Похожие
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
ПОЛНОЕ СОБРАНИЕ
С ОЧИНЁНИЙ
П.Л.ЧЕБЫШЕВА
Том Н
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
"ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ: НАУК СССР
МОСКВА-ЛЕНИНГРАД
*947
'Т/
t?e{f*<
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Академики: И. И. Артоболевский, С» N. Бернттейн (председатель), Н.Г.Бруевич,
И* М» Виноградов, А* Я. Колмогоров, I Л. Я. Крылов I, Л. С. Лейбензон,
С, Л.'Соболев;член-корреспондент АН СССР ВМ* Делоне, профессор В. Л. Гончаров,
Ответственные редакторы II тома
академик С, Я. Бернттейн, академик А, Я. Колмогоров,
профессор Я. И, Ахиезер, профессор В, Л. Гончаров
ОТ РЕДАКЦИИ
Второй том Полного собрания сочинений П. Л.
Чебышева содержит основные труды П. Л. Чебышева
но математическому анализу» включая теорию
вероятностей, относящиеся к первой половине его
научной деятельности — к 1843—1867 гг.
Комментарии к отдельным статьям этого тома составлены
Н. И. Ахиезером, С. Н. Бернштейном, В. В. Голубевым
в В- Л- Гончаровым.
ЗАМЕТКА ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КРАТНЫХ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ *
Теорема. Какова бы ни была форма функции /, имеем уравнение
00 00 00
\\...\ Ъ{Х)Ъ(Х)ЪМ ■ ..f(xm+y4-zP + ...)dxdydz...=
8 8 о
со
= ^<f>(u)f(u)du, (1)
о
в котором Ф(и) определяется по данным функциям их{х), у»{у),
ср3 {z), ... при помощи квадратур формулою
Ф г «^ — НиУ~\)-ь(-иУ=\)
где
сЬ (гг)= \ е—(\ ъ(х)е * dx\y2(y)e "йу\<?г(г)е u'dz...)ds. (2)
0 0 б О
Эта теорема предполагает, что функции <pt, ю2, ср3, ... таковы, что
1°. ф(и) и ее производная остаются конечными для всех
вещественных положительных значений и или для всех мнимых, значений и
с положительною вещественною частью;
2°. функция cb(u) обращается в нуль при
u = a±z]/r—l или u = zzbaV—I,
когда а=оо, каково бы ни было значение z, лишь бы только оно
было вещественное и положительное.
Пусть, например,
1°. т — п=р = ... — 1,
ь (х)=х*-\ ъ {у)=уь~1, ъ (*)=-с-\ ...;
в этом случае, для того чтобы найти значение интеграла
оооо оо
[[•••[ jca-y-1^-1 • • .f(x+y + z^ )dx dy dz-..,
0 0
* „Note sur une classe d'integrales definies multiples11 (Journ. de math, pures et
appl., I serie, VIII (1843), стр. 235—239); русский перевод И. И. Иванова в Собр. соч.
П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 189Э,
стр. 1—6. — Ред.
имеем сначала, в силу уравнения (2),
0 0 0 О
-У«-[(?)Тм(?),Г(*)(?)Т(е)...]<Ь-
00
= Г(а)Г(&)Г(с) • • • и2<*+'+<+-> j *-а- <'+*+'+ •••) rfa =
о
= Г(а)Г(*)Г(£)...Г(1 — а — 6 — с )д2(в+л+в+...>
и, подставляя это значение ф(и) в уравнение (1), находим
Ф(и*) = Т(а)Т{Ь)Т(с)--Т(1—а — Ь — с )Х
21сУ—1
==Г(л)Г(*)Г(с).. -Г(1 —а—Ъ—с )si"fg4-^+g+"->tt2(^^c+--i)
Это уравнение дает
Ф(и) = Г(а)Г(*)Г(^)-..Г(1—а—&—г )sin-^+H-g+'-')„/»T^..c+.—1
Но, по известному свойству функции Г, имеем
_ ni^a-b-c )-'Г(а + ь + с+..,г
следовательно,
0000 CO
i J-' • j^-y-1*-1- --/(я-Ку+ *Ч ) dxdydz- • • =
0 0 О
Г(*)Г(*)Г(ф.. ?fl4.,^.,,-,,, w
что уже было доказано г. Лиувиллем.
2°. Пусть
т = п=р = * • - = 2,
?| (x) = cos or, ср2 (j/) = cos £у, ^(z) = coscz, ...;
для нахождения значения интеграла
0000 00
£ £ • • • С cos ал: cos &у cos £z -../ (х2 -j- J/2 + г2 -j ) dy dx dz--
6 b о
имеем сначала
oo oo ^«^ oo ^aJ^ со ^aza
ф(и)= \ e-«{ ^cosaxe "a d*\ cos bye a* dy \zoscze * dz-.Ada =
где jjl означает число переменных х, у, z, ... и р = а2 -\- Ъ2 -j- с2 -{-«
Но известно, что при нечетном ft имеем
2" J f
<2у- f- —* к-—1
2 r—n 2 / , «2\ 2
и а* (-1)
К)
= Й^-
к 2 М\ 2 d 2 «-"^
=гЙ)
*(")=—тз-.Ч-"
следовательно,
2 g-«^p
(-1) 2 (dp) 2
И
P_=i и^1
<Т>^ —ФСдУ-О-ФС-иУ-О _ * * rf 2 cosrz/p I
2(-1) 2 №) 2
откуда
ф (В) = _ll_ £j_E2i}^e 1 .
2(-1) 2 (dp) 2
поэтому при нечетном числе переменных х9 уу z9 ... получим
00 ОО 00
С f • • • \ cos ал: cos ^j/coscz- • -/(.л;2+з>2-]--г2-| )dxdydz--- =
00 О
Р-—1 Со {*—1
_ 2
2(-1) 2 о (rf?) 2
Это равенство выражает теорему г. Коши (Journ. de l'Ecole Poly-
technique, XIX cahier), из которой он выводит, как частный случай,
формулу Пуассона.
ЗАМЕТКА О СХОДИМОСТИ РЯДА
ТЭЙЛОРА *
На основании правила г. Коши ряд
+ TTfe/("}(*) + ---
будет сходящимся во всех случаях, когда
НшГто(1р^-/(-)(а)]"<1,
или, что то же,
!
Um [(modzJ-mod^L]'1 < l, (1)
и расходящимся, если
1
ton [modr-g— /Ща)\"> 1 **. (2)
Но имеем
если функция f(a~\-rePvz^) конечна и непрерывна, каково бы ни было
р для г=# и для всех значений г меньших /?***. Точно так же
/'(«)=i [/'(«+/г^"1)^ (3)
* .Note sur la convergence de la serie de Taylor" (Journ. fur reine u. angew.
Math., 28 (1844), стр. 279—283); русский перевод И. И. Иванова в Собр. соч. П. Л. Ч е-
бышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 7—14. — Реб.
** Современную более точную и более общую формулировку теоремы,
выражаемой неравенствами (1) и (2), см. например, в книге И. И. Привалова,
Введение в теорию функций комплексного переменного, 1940, стр. 58 (формула Коши —
Адамара). — Ред.
*** A. Cauchy, Exercices d'analyse et de physique mathematique, I, p. 356.
— 9 —
+5
Г^) = т^Г(а+Яе"у-1)аР, (4)
/t»-D (a) = Ij/(-i)(a + /?^-i)^, (5)
/(Л) («) = i J /(B) (« + &рУ~г) dp, (6)
—it
если
/'(0 + ^^), /"(a + r^^), ..., /<«-!>(a-fr**^),
/^(a + r^K=rT)
конечны и непрерывны, каково бы ни было /7, для всех значений г, не
превосходящих R.
Но интегрирование по частям дает
J /' (a + ReP'~4dp = ±- [ e-P^f(a + ReP^)dp,
—ж —тс
J Г (a+ ^^) dp = X-£ J *-v^/(a + /?e^)<fo
—-1С —1С
—it —к
f* +* .
j /(«) (a + /?^v=i) tf/>==b2-..o«-i)g J е-^=Т/(л+/?ер/=г)dp..
что изменяет уравнения (3), (4), (5) и (6) в следующие
f W=l T J e-'^f(a + ReP^)dp, (7)
/' (a) = i W I e-^"1/(a + ^^rf/,, (8)
— it
+r _
+r —
/(в)(«) = 51— J e-'pV-tfia+Re'^y.dp. (10)
—10 -±
Обозначая через X наибольшую величину модуля выражения
/(a-^Re^-^) для всех значений р, мы находим, что модули
mod [e-P v~lf{a + Re'tt)]* mod \e^Pv~^ f(a -f ReP^~%
mod [e~ <Л -1 > Ру~х f(a + Яе*^)!, mod [e-**^ /(a + Z^^)]
не превосходят л, ибо модули выражений
e-Pv~\ e-2Pvzr\ ..., г-о*-!)*^, е-"'^
равны единице.
Поэтому из уравнений (7), (8), (9) и (10) заключаем, что
,/"(а)/1 к Г , \
R2 Л J "У — #2
—тс
, /(я-1)(д) ^ 1 1 , Г . X
Ш0(11.2...(Д--1)<5РЧ <*/> = й==1>
ГС
—re
Следовательно, условие (1) сходимости ряда
/^) + т/,И + Й/',И+--- + 1.2..^1_1)/(л-1>(а) +
+ Ь2^/(я)(а)+"'
приводится к такому:
или, просто,
mod^</?,
i_
так как предел 1л для п—ос равен единице. Следовательно, ряд Тэйлора
/(а) + f/' (a) + й/»(а) + • • • + м.Х-В^^ +
+ ь^/(я)(а) + --- (Н)
будет сходящимся, если модуль z меньше Ry причем, как выше было
сказано, выражения.
f(a + reptt)9 f(a + rePv=i)9 ..., /("-1)(а+геР^),
fa)(a + rePvz^)} ...
остаются конечными и непрерывными, каково бы ни было р, для r=R
— 11 —
и для всякого значения г<#. Другими словами, ряд Тейлора
/и+т/'и+й/'(^+---+1.2..г:(;1_1)/(а-1)и+
будет сходящимся, если модуль z остается меньше модуля того
мнимого значения х, при котором по крайней мере одна из функций
f{a + x), f'(a + x), f"(a + x), ..., ; <-»(* + *), /<">(£ + *), ...
обращается в бесконечность или разрывается.
Но все ли эти условия необходимы для сходимости ряда Тэйлора?
То-есть будет ли ряд Тэйлора наверное расходящимся для всякого
значения г, модуль которого больше модуля того значения х> при котором
по крайней мере одна из функций
f{a + x), f(a + x), Г{а+х), ..., /o-U(a+x), /<">(а + *), ...
обращается в бесконечность или разрывается? Мы это сейчас исследуем.
Если например, функция /<-тЦа-\-х) делается бесконечною или
разрывною при х=Х9 то по крайней мере один из рядов
У У%
■ /«) (а + X) =/<«> (а) + ^j (и+1) (а) + f^ fm^ (а) -\ \-
уй — т—1 Хп"т
+ 1.2...(я-„г-1)/'я-»(а)+1,2.,.(я_от)/С)(а)4----,
/(m+i)(a + X)=/('»+i)(a)4-p/(m+2)(c) + S^('"+3) <аН Ь
+ l.2^-«-2)f™W + l-2-.%-~-l)f,A (а)+-' •
будет расходящимся, что может иметь место только в предположении
Но эти условия могут быть выражены так:
Urn [.nod ^„/о. М]^^?"-^.^....]'.
притом
,- Г (mod*)* 1 l"-^^ [7mod*V (modX\rn}n
_i_ i
ь- Г (mod г)" 1 l°yWw r/fflpd£_\»/raodX\«+i]«
— 12 —
т- Г/ mod*W™°d*\ wl л mod* .. /modA\a mod*
f. Г / mods\« /modAT \«+П я mod* «. fmodX\ л mod*
следовательно, неравенства дают
••[-*ff->w],!>Hr
Сравнивая это неравенство с условием (2) расходимости ряда
№+-f/' («)+& (g)+• • • +1 -2- ч»- в-/*-1' W+
мы видим, что этот ряд будет наверное расходящимся, если модуль z
больше модуля того значения х, при котором по крайней мере одна из
функций
f(a + x),f'(a + x),f'{a + x), ...,/<"»(* + *),/(в)(* + *), ••-
обращается в бесконечность или разрывается.
Итак мы приходим к следующей общей теореме:
Ряд Тэйлора
/(Q) + £/(a) + I|r(a)+..._fb2^_i)/(a-1)(Q) +
будет расходящимся или сходящимся, смотря по тому, будет ли
модуль z больше, или меньше модуля того мнимого значения х, при
котором по крайней мере одна из функций
/(а + х),Г(а+х),Г(а + х), ..., /<«-i>(a + x), ]^{а + х), ...
обращается в бесконечность или разрывается.
Так, например, ряд
<l+*F=:l+.W4*'-i(l-|)**+
+1('-1)(>-1У-10-4)0-1)0->'+-
будет сходящимся или расходящимся, смотря по тому, будет ли модуль z
меньше или больше единицы, т. е. модуля значения х=Y—l9 при ко-
з
тором вторая и последующие производные • (1 —j- jc2)^ обращаются в
бесконечность.
Эта теорема вытекает, как очень простое следствие, из
замечательных открытий'г. Кбши;' но,она отчасти противоречит правилу сходимости
рядов, которое дано этим знаменитым геометром и формулируется так:
— 13 —
Если х означает вещественную или мнимую переменную, то
вещественная или мнимая функция х будет разложима в сходящийся
ряд, располоэюенный по возрастающим степеням х, пока модуль х
сохраняет величину низшую, чем наименьший из модулей всех тех
значений х, при которых функция или ее производная перестает
быть конечной и непрерывной *.
Недостаточность этого правила происходит, как мне кажется, от
того, что г. Коши полагает, будто значение определенного интеграла
разложимо в сходящийся ряд, когда дифференциал между пределами
интегрирования может быть разложен в сходящийся ряд; это имеет
место только в частных случаях.
* A. Cauchy, Exercices d'analyse et de physique mathematique. I, p. 29.
[В современной терминологии точное выражение приводимой здесь теоремы Коши
см. например, И. И. Привалов, Введение в те.орию функций комплексного
переменного, 1940, стр. 183. См.. также, определение аналитической функции там же,
стр. 64—65, или Э. Гурса, Курс матемагичхкого анализа, II, ч. 1, ГТТИ;Т933.—М^Э.) -
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ОДНОГО ОБЩЕГО ПРЕДЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ*
§ 1. Предметом этой заметки будет доказательство следующего
предложения:
Можно всегда назначить столь большое кисло испытаний, при
котором будет сколь угодно близка к достоверности вероятность
того, что отношение числа повторений некоторого события Е
к числу испытаний не уклонится от средней арифметической
вероятностей события Е свыше данных пределов, как бы ни были тесны
эти пределы.
Это основное предложение теории вероятностей, заключающее как-
частный случай закон Якова Бернулли, было выведено г.
Пуассоном из формулы, которую он получил, вычисляя по приближению
величину одного довольно сложного определенного интеграла („Recherches
surles probabilites des jugements", chap. IV).
Однако, как ни остроумен способ, употребленный знаменитым
геометром, он не доставляет предела погрешности, которую допускает
этот приближенный анализ, и вследствие такой неизвестности величины
погрешности доказательство не имеет надлежащей строгости.
Я покажу здесь, как можно строго доказать это предложение вполне
элементарными рассуждениями.
§ 2. Положим, что рг, ръ ..., р представляют вероятности
события Е для jx последовательных испытаний, а Рт вероятность, что Е
случится не менее т раз в эти [i испытаний. Как известно, выражение Рт
можно получить, разлагая произведение
{plt+\-pl){pJ±\-p2)(p,t+\-p,)...{pJ+\-pv)
по степеням t и составляя сумму коэффициентов при tmy tm+ly..., t*.
Отсюда вытекают, очевидно, такие два свойства Рт:
1) это количество содержит ри р2, ..., р^ в степенях не выше
первой; 2) оно симметрично относительно рг, ръ ..., р
* „Demonstration elementaire d'une proposition generate de la theorie des
probabilites* (Journ. fur die reine u. angew. Math., 33 (1843), стр. 259—267); на русском языке
в Собр. соч. П. Л. Чеб ышева под ред. А; А. Маркова и Н. Я. Сонина, том. I,
СПб. 1899, стр. 15—26— Ред.
— 15 —
В силу первого свойства Рт можно представить под видом
где U, V, Vv W не зависят от рх и р2; в силу же второго, V и Vx
равны. Итак, форма выражения Рт будет
тле U9 V, W не содержат ни рх ни р2. На этом основании легко
доказать относительно выражения Рт следующую теорему:
Теорема. Если ри р2 не равны, то можно без изменения величин
Р\Л-ръ> Pz«• • ' /V увеличить Рт, принимаярг =р2, или можнопритти
к одному из следующих уравнений:
без уменьшения величины Рт.
Доказательство. Мы видели, что выражение Рт можно
представить под видом UJrV(p1-{-p2)-\-Wplp29 где U, V, W не зависят
от рх и р2.
Но в формуле U-{-V(p^-{-p2)-\-'Wplp2 представляется всегда один
из трех случаев:
ur>o, 1^=0, w<o.
В первом случае сумма рг + р» остается та же, а величина Рт
увеличивается на -^ W(px—р2)2, когда мы 'меняем pv p2 на -jCpi+A)»
■jlA+A)» ибо разность
приводится к -^W(p1—р2)2.
В двух же других случаях мы не изменим величины суммы рх-\-ръ
и не уменьшим величины U-\-V{pl-\-pi)-\-Wpip2, переменив рх, рг
на 0, р\-\-р% или на 1, рх-\-рг— 1, ибо
-[U+Vfa+pJ+Wpj^-Wpj,»
1/+^(1+Л+Л-1)+^-Ь(Р1+Л-1)-
-[^+^СР1+Л) + ^>Л] = -^(1-Л)(1-Л).
Но величины 0, А+А Для Pv Pi могут быть допущены во всех
случаях, когда А+А не превосходит 1, ибо они тогда положительны
и не превосходят единицы; в противном случае, когда А+А>Ь мы
можем заменитьрг на \,р2 тр1-\-р2—1, что и доказывает высказанную
теорему.
— 16 —
Эта теорема приводит еще к следующей:
Теорема. Наибольшая величина, которую может иметь Рт
в случае, когда аН~А~1~ •+/71х===^ соответствует величинам
Ри Ръ • • • > /V данным уравнениями
А = 0, Рч^Ъ, • ., ^р = 0> Рр+1=Ь Рр + 2=1> •••> Рр+*=1'
Рр+а+1 ^ — р — о' Pp-ro+2 jx — f? — а * ••*' Pv- ji — р.— о *
где р, а означают определенные числа.
Доказательство. Положим, что тгх, тг2, ..., тг^ представляет
систему значений рг, р„ ~. р^ которые, удовлетворяя уравнению
А+А + • • +/V = S,-
дают наибольшую величину для Рт и в то же время содержат возможно
большее, при этих условиях, число значений равных 1 и 0.
Пусть будут далее тг3, тг2, ... .тгр те из количеств ъг, тг2,... , тгу,
которые равны нулю; п г ттр+„ . ,тгр+а те, которые равны единице, все
прочие тгр+в+1, тг0+а+2, . , тт^ отличные по предположению от 0 и 1,
должны быть равны между собой, как мы сейчас докажем.
Действительно, если ттр+с+1 не равно тгр+а+2, то можно, по
предыдущей теореме, или увеличить Рт без изменения суммы
^1+^2+ • • +V« + l+V« + 2+ •'• + V
принимая тгв+в+1 = тг0+в+2, или сделать тгр+с+1 равным 1 или 0 без
уменьшения величины Рт. Но первое противоречит предположению, что
система тг1, тг2,... , тт^ дает наибольшую величину для Рт под условием
второе же противно предположению, что из всех систем, обладающих
этим свойством, ttj, тт2, ..., тг^ представляет ту, которая содержит
наибольшее число величин, равных 1 и 0.
Следовательно, необходимо должно быть
Но кроме этих уравнений, мы имеем
^i = 0, тт2 = 0, ..., ттр = 0,
"1+^2+ ••• +\ = S>
откуда вытекают уравнения предложенной теоремы.
§ 3# Перейдем теперь к разысканию значений выражения Рт,
соответствующих значениям
А = 0, А —0, ..., />р = 0,
5— q S —а 5 — с
Рр+с + 1 ji — р — а > Рр + а + 2 н,_?_а» •> Pp.— "jTZT^TZT-
— 17 —
Из замечания, которое мы сделали относительно выражении Р^,
следует, что величина Рт, соответствующая
равна сумме коэффициентов при tmy tm+1,..., t* в разложении по
степеням t произведения
\ р— р— а • \l—р— а '
и, следовательно, она равна
1»2 — <р — р~ с) / 5 —а \яЧ/У—"Д —р\к--»-рЛ , pi — /FC—р v
1-2..-(/72 — a).1.2...(pt—/п—p)Vji — Р —в/ W —Р —«/ \ ~*~ «— S + 1
Ч/, S — q | ji—т — р S — 9 ji — т — р — 1 5 — с (
X ^—S — р » m—a-f- 1 jx—S — р m —a + 2 ц—S — р »
, pi —m — p 5 — q |i — /я— p — 1 5 — о 1 S — « ^
' m — q+l ji —S —p /я — c-f-2 |i — S — p '*" p.— p — о |jl — 5 — p /•'•
Таково выражение, которое, вследствие предыдущей теоремы,
будет, при некоторых целых положительных р и а, высшим пределом всех
величин Рт в случае, когда /^+^2+ ••• +/V = 5-
Замечая, что величина выражения
1 i I1 — т—? $ — q | f*—т — Р «S — q У"—т—Рт! S — g }
1 m—o-|- 1 jx — S — p~* /7i — c-f-i ji — S — p m — c4-2 ji —• S — p '
i |л— /я — p «S — q J* — m — p — 1 S — с 1 S — о
• m — q-|~lji — S—p m — a-\-2 \l—S—- p p— p—оц —S—p
меньше величины выражения
i _lм- — ^ — p S — i 1 /ц —« —p S—« \2 j
I /p — m — p S — q ^-«-p
+ l «-• !*-$—p;
которое совпадает с разложением
1 _ (*~~т~~? S — o \н-л-р+1
V ю — д ji—S —р/
у1~т—-р S —q *
/я— q р— S — р
ИЛИ
(т — q)(i* — S — p) [\_ /{1 —/я —р S —д у-т-р+П
<Я1 —S)(|i—р —a) L V «-• jt—S —рУ ]>
мы приходим к такой теореме:
Теорема. Для некоторых целых положительных кисел р и в
величина выражения
1.2-.-(fi—p—q) / 5 — q \*«-° /pL — S — p\ n-*-P+i ^
х(£т)Н'.-Т',-71,Г""]
2 П. Л. Чебышсв, т. II
— 18 —
превосходит величину Рт вероятности, что событие Еву.
испытаний, имея вероятностями ри р2, ..., р^ случится по меньшей мере т
раз, где 5 равно сумме л4~/72+ • • • +/V-
§ 4. Остановимся на случае, когда т превосходит 5+1. Согласно
последней теореме, мы имеем
р / 1 2---(ц —р —«) / S — c \«-/^5->py^-?riy
^Л^1-2.--(« —a)-l-2---(ji — m —p) \р. — р — су \^ — ? — о J
fm — q\ Г. /|i — /« — р 5 —q \ р-ж-р-м"!
X^-sJl1- V "* —* ji —s — pj ]
и тем более
1.2...QL —p-g) / S-o )"-<> sy
^«^b2...(m — e).b2-..(ii— m — p) ^—p —ffy
x(^|)'-"-'*'(S)- (i)
Но при /я большем, чем 5+1, величина выражения
b2--»(ji —p —g) f (S — g X"»-q /pi—-S—p\f—w-p+i I m — z\
1.2...(m — g)-b2-.-(|i — /7z— p) Vh~ P— ^y \ji--p— g/ \m — $/
увеличивается от уменьшения целых положительных чисел р и тг.
В самом деле, если разделим на это выражение то значение,
которое оно примет по замене а на а—1, мы найдем для их отношения
у. _- р - g 4- i (5 - g+1)*»-"*1 (ц — p — c)h-p-*+1
ИЛИ
«-* V ^-g J v^—p — ^ч-iy
что, будучи представлено под видом
1 .-<»->'<* (^s=i+i)+<^-+i)iof (i-^pi0+1)
'^ S-g+l
приводится к
1 re-S — 1 1 Г ге~« 1 1 1 Г от-з 1 1 .
1— -е5—+г 2 [(5-e + l)» ^-p-a+lJ + 3 [(S-a+1)' (jt-p-a+1)* | + * ' \
Но эта величина, очевидно, больше, чем 1; ибо
т—S— 1
1
1+*-5-l
^-•+1
равняется
• 1 I **--5— 1 , 1 //72 —S— 1\2 1 //72 — 5 — 1X3.
"^.s-g + i ' 2 ys — g + ij ^2-з ys—g+i; + •••
, /п — 5 — 1 >
'^s-cr + i
а это выражение превышает единицу, так как, по предположению, т
больше 5+1, и, следовательно, т — 5—1 величина положительная.
19 —
Что же касается величин
т — с 1
(S —а-И)2 |i —р —а+1* (5—а+1)3 (ц— р — с + I)2 ' ••''
то они все положительны; ибо, по предположению, /я—а превосходит
S—а+1, a ^—а? —|— 1 не может превосходить pi—р — а —J— I, так как
иначе дробь __~^ , которая представляет величину вероятности
(см. § 2), была бы больше единицы.
Так мы убеждаемся, что с уменьшением а значение выражения
l-2-.-Qi-p-
Ь2-...(т —с).Ь2.
■•(|i — /и — о) Vp. — р — a/ \ji— p—a/ 1™—$/
увеличивается. То же имеет место относительно р.
Отсюда мы заключаем, что при /n^>S-\-l величина выражения
1.2'»..(ц —р —с) / S — a \m~° f\L — S — p\ H-w-P+l //я — g\
1.2---(/tz—a).l-2---(fi—m—p) \ji—p —a/ U — P—*/ \m— S/
в неравенстве (1) не может превышать величины, которая соответствует
р = 0, а=0 и равна
1.2...w.l.2...(ji-w)\,|i; V И У
Итак, из неравенства (1) мы можем вывести следующее:
р S 1-2---|1 /SW|i—S\i*—-и m (2)
^«4-1.2.../72.b2...(fi — m) V li/ \ ^ / m—S >
где т предположено большим чем 5+Ь
§ 5. Но известно, что величина произведения 1-2- • -{х— \)х меньше,
чем 2,53;c*+2 е х+12х, и больше, чем 2,50х*+2 г-**.
* Вот как очень просто можно притти к этому результату.
Деля соответственно величины выражений " *' ~, -1 * * * у-—iii
х 2 е 12х х 2 *-* ,
* + 0
* + Т
*,
при х==п-{-1 на их величины при х = п, находим отношения
/2+1/
которые приводятся к
е
и, наконец, к
М з \ 1 / 1 4 \ 1 1 1
^12 2-4-$)(п + 1)<'Г V 12 2.5-6/(гг+1)«Г 12 (n-fl)2 12 («-fl)*"7 "*
Так как первое количество больше единицы, а второе меньше ее, то, очевидно,
1-2-.-(дг —
с увеличением х величина —± — также увеличивается, а величина
— 20 —
Согласно этому величина выражения
l-2"-pt (S\m/ )L~.S\v-m+l m
1.2...m.l-2--.(|i — m) \ ft ) \~~T~~j m — S
меньше, чем
JL +JL
.JL UJ V ^ У
(2,5ор ж+1 „_„+4 wy v ^ ; *-*
/л 2 ({1 —т)
а потому и подавно меньше, чем
2__ /S \« / (i — S U-«ti /я
(Ш^У
т z (|i — /и)
1 j_
ибо при наибольшей величине еп*, которая равна е™ , произведение
2>53 ^f2j
все еще меньше -т>.
(2,50р
1
Итак имеем, на основании (2),
р-< ГТ^ тт— (f )* (^)
/и ^ (р. — /72) ^
1.2.-- (jc —1)д:
^-т — уменьшается.
х 2 е х
Поэтому для всех значений х меньших s будем иметь
1-2--• (*—•!)* l-2---(s—•!)$ Ь'2-»-(лг — 1) jc ^ 1.2...(g—1).?
л- 1е 12х s 2 e 1ZS х х* х .<? -• ?-*
и, следовательно,
1.2-..(х-1)х<Г4г"ш/ 2^ * 12*, 1.2...(л--1)л->Гл-'Г^"2>а-, (А)
где Г величина выражения
s z e
Положим 5 = оо и назовем Т0 величину -——\ при 5=00; из (А) сле-
дует, что для всех конечных величин х будет
Ь2...(^-1)дг<Г0/ 2е * 12х, \-2...(х-\)х>Т0хХ~]~ хе-*,
где Т0 постоянное.
Делая в этих неравенствах х= 10, найдем, что Т0 больше чем 2,50 и меньше 2,53;
следовательно, предыдущие неравенства дают
х , i х± — х + ~
1.2....(jc—1)jc<2j53jc 2е 12х , Ь2-.. (л- 1)дг>2,5о/ 2 *-*.
— 21 —
или, что все равно,
m + i
Это неравенство доставляет следующую теорему:
Теорема, Если вероятности события Е в р. последовательных
испытаниях суть ри р2, ... , р^ и их сумма равна S, то величина
выражения
2(т — S) V (i \m) U — «/
л/ш /д большем, чем S+l, превзойдет всегда вероятность того,
что Е случится в эти \i испытаний по меньшей мере т раз.
Из этой теоремы через замену т, /?1Э /?2,..., р^ S на ц—п, 1 — ри
1 —/?2,..., 1 —рр., ji— S следует, что, если сумма 1 —рг +1 — /?2 +
+ ... + 1—/?р. равна ji—5, то величина выражения
1 /"/2(}л — /2) (y.—Sy-n(Sy+i
2(S — n) V )i Vji — лУ \лУ
при ^l — n^>\i — 5+1 превосходит величину вероятности того, что
событие, противоположное Е, случится по меньшей мере jx— п раз в у.
испытаний, где р1У р^ ..., /^ вероятности £.
Замечая, что условия
1—А + 1—А + -.. + 1—/V = Ji —£ . ^-^>J^-5+l
сводятся к
А+Л+-.+/>, = $ я<5-1
и что, событие, противоположное Е, случается не менее у. — п раз в д
испытаний, если £ представляется в эти испытания не более п раз, мы
приходим к следующей теореме:
Теорема. Если вероятности события Е для ji
последовательных испытаний суть р1У ръ ..., р^ и их сумма равна S, то величина
выражения
1 /я (к —/г) /fi — Sy-g/jSy+i
2(S~ n) V |i U —л/ U/
/г/?/г л меньшем S—1 превзойдет всегда величину вероятности, что
Е случится в эти испытания не более п раз.
§ 6. Но повторение события Е может дать место только одному из
таких трех случаев: или событие Е случится по меньшей мере т раз,
или не более п раз, или, наконец, более п, но менее т раз.
Следовательно, вероятность последнего случая будет определена через вычитание
из единицы вероятностей двух первых случаев.
Поэтому как следствие двух последних теорем, выходит такая:
Теорема. Если вероятности события Е для ц последовательных
испытаний суть pv ръ ..., р^ и их сумма равна S, то вероятность,,
что число повторений события Е в эти ц испытаний будет меньше
т % больше п, превзойдет, при т большем 5+1 и п меньшем 5—1,
— 22 —
величину выражения
1 1 /m(?—m)/S\>*(v. — S\v-'"Ti_
1 2(m — S) V fi V/я/ U—iff/
1 A fr- *) /i* - S\ *-* ( g\ *+'
2(«-S) К p \v--n) \n) '
Чтобы вывести из этой теоремы предложение, высказанное в начале
нашей заметки, заметим, что отношение числа повторений события Е в р.
испытаний к числу jx не достигает пределов
S . s
если Е в эти испытания случается менее S -}- \& раз и более 5 — ^г
раз.
Но вероятность, что это имеет место, превзойдет (по последней
теореме) при г> — величину выражения
1 1 1/(S-f»*)(E-S--ltf)/ S \
4zV I» ^-S+iu/ \S-t*J
которое можно представить под видом
s
где положено для сокращения — =р и
;Г(п^)'-*=»,' (^""(^Г-",. ,4,
Уравнения (4) дают нам для натуральных логарифмов Н и Нх
следующие ряды:
*2 ^
2(1-/>) 6(1 —/7)2"
И
_£?._-£!._ ^2 Л 1 2 \ г* / 3 .г \
2/> 6/* "• 2(1 —/^) V 3 1—W 12(1—/7)3^ 5 1-/7J ••*>
откуда ясно, что Н я Нг имеют величины меньшие чем 1.
Следовательно, выражение (3) приближается к пределу 1 при
возрастании |х, так что разность между ним и 1 сделается меньше какого
угодно числа Q, если за ji взять число большее, чем
lOgH П 10g Я!
Итак, мы пришли к строгому доказательству предложения, которое
составляет предмет этой заметки.
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ,
ИЗВЕСТНЫХ КОД НАЗВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛОГРАМОВ*
§ 1. Когда нужно упрочить прямолинейное движение части механизма,
подверженной действию наклонного к ней усилия, нельзя пренебрегать
мало доступными измерению неправильностями направляющих; уклонения,
не заметные простым глазом, ясно обнаруживаются пассивными
сопротивлениями, происходящими вследствие их существования. Направляя
порыневый стержень паровой машины посредством кулисы или
параллелей, особенное внимание обращают на то, чтоб они были выполнены
с возможным совершенством. Если эти направляющие заменяются па-
раллелограмом, то следует еще более стараться увеличить, насколько
возможно, точность его хода, так как даже в самых благоприятных
условиях он дает уклонения столь значительные, что их никогда не
допустят в движении стержня, направляемого посредством кулисы или
параллелей. Боковые давления, происходящие от неправильностей в ходе
параллелограма, часто обнаруживаются даже образованием некоторого
рода эллиптичности в сальнике.
При настоящем состоянии практической механики не существует
надежных правил для нахождения наиболее выгодных элементов
параллелограма. За отсутствием прямой методы его элементы определяют на
основании условий, выполнение которых считают необходимым для
точности хода этого механизма. Таким образом находят длину отводного
радиуса и положение его оси качаний, стараясь сделать направление
поршневого стержня вполне вертикальным в начале, в середине и в конце
его хода.
Тогда, если даны стороны параллелограма, все сводится только
к определению надлежащим образом положения стержня относительно
коромысла.Это положение находят, стараясь поместить стержень так, чтобы
его продолжение прошло через середину стрелки дуги, описываемой концом
коромысла. Здесь, как и везде впоследствии, мы принимаем за
* .Theorie des mecanismes connus sous le nom de parallelogrammes* (Memoirea
presentes a J'Acad. Imp. des Sci. de St.-Petersbourg par divers savants, VII (1854),
стр. 539—568); русский перевод Н. М. Гюнтера .Теория механизмов, известных» иод
именем параллелограмов" в Собр. соч. П. JL Чебышева под ред. А. А. Маркова и
Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 109—193; см. также „Успехи математических
наук*, I, вып. 2 (12) {новая серия), стр. 12— 37. — Ред.
— 24 —
конец коромысла точку его прикрепления к крайнему звену паралле-
лограма.
Если считать особенно выгодным, чтобы поршневыи стержень имел
вполне точное направление в начале, в середине и в конце его хода,
то отводной радиус, находимый при помощи методы, о которой мы
только что говорили, очевидно, единственный, удовлетворяющий этому
условию.
Но этот случай, как мы увидим, не самый благоприятный для
точности хода параллелограма в других точках пробега поршня. Что же
касается до наиболее выгодного положения поршневого стержня по
отношению к коромыслу, предыдущий принцип его не указывает. Из
теории, предлагаемой в этом мемуаре, видно, что поршневыи стержень
должен быть более или менее приближен к центру коромысла, смотря
по размерам параллелограма, и что в наиболее обыкновенных случаях,
его продолжение вовсе не проходит через середину стрелки дуги,
описываемой концом коромысла. Так в случае, когда параллелограм Уатта
построен на половине плеча коромысла (каким делал его сам Уатт и
каким его следует делать, если имеется возможность располагать
размерами параллелограма) предел уклонений стержня от его нормального
направления можно значительно уменьшить, приближая его к центру
коромысла более, чем это следовало бы сделать, основываясь на
принципе, о котором мы только что говорили. А именно: 1) в случае, когда
желательно сделать вполне вертикальным положение стержня в начале,
в середине и в конце его хода, за его направление следует брать
направление прямой, делящей стрелку дуги, описываемой концом
коромысла, в отношении 2 к 1; 2) в случае, когда не требуется абсолютная
точность в двух крайних положениях стержня, за его направление
следует брать прямую, делящую эту стрелку, в отношении 5 к 3.
В последнем случае отводной радиус уже не будет более
определяться предельными положениями коромысла; для определения его
придется брать положения, которые им предшествуют приблизительно на
одну сороковую часть амплитуды качаний. Хотя изменения в устройстве
параллелограма Уатта, о котором мы только что говорили, не велики,
и хотя они только приближенные следствия наших формул, тем не менее
они значительно увеличивают точность его хода.
При помощи анализа легко убедиться, что в силу этих изменений
предел уклонений стержня от вертикальной линии уменьшается более
чем на половину.
Это нам ясно показывает, что принцип, лежащий в основании
современной теории параллелограма, далеко не сводит к minimum'y предел
его уклонений, столь вредных благодаря происходящим от них боковым
давлениям на поршневой стержень. Поэтому не только для теории, но
и для практики очень важно заменить в исследованиях о параллелограме
этот принцип, который стараются оправдать при помощи не точных
рассуждений, прямой методой. Достигнув этой цели, можно из природы
самого механизма и представляемых практикой условий вывести наиболее
— 25 —
подходящие элементы для точности его хода. В этом мемуаре мы
предполагаем дать такую методу, которая обнимает параллелограм Уатта и
все его разновидности, находящие применение на практике.
§ 2. Когда разлагаем функцию f(x) по степеням х—а, сумма
первых членов дает полином, который между всеми другими той же
степени наиболее приближается к f(x) вблизи~л: = а. Этот полином
принимают за приближенное значение функции/(х), когда требуется представить
ее в виде целой функции. Но для вычисления f(x) под видом целой
функции следует этому полиному предпочесть другой, если вместо
наиболее приближенного выражения f(x) вблизи х = а требуется увеличить
предел точности ее приближенного выражения внутри данного для х
промежутка. Этот второй полином определяется условием, чтобы предел
его уклонений от f(x) в данном промежутке был менее предела
уклонений всех других полиномов той же степени. По мере уменьшения
этого промежутка второе приближенное выражение f(x) приближается
к выражению, находимому из разложения f(x) по степеням х — я, при
прилично выбранном а. Но пока промежуток остается конечным,
коэффициенты этих двух приближенных выражений f(x) отличаются друг от
друга, и их разностями, даже в случае, когда они малы, нельзя
пренебрегать в теории механизмов, которыми мы будем заниматься. Мы
уже заметили, как важно было определить с достаточной точностью
положение поршневого стержня относительно коромысла, или, что
сводится к тому же, углы параллелограма в его среднем положении. Углы
же эти уклоняются очень немного от 90°, и эти уклонения происходят
именно от различия в коэффициентах двух приближенных выражений
функций, о которых мы только что говорили, именно, выражения,
которое дает наименьшую погрешность вблизи некоторого значения х, и
выражения, которого предел погрешности наименьший в данном
промежутке. Если не обращать внимания на эти разности, то для углов
параллелограма в его среднем положении получается 90°, и происходящая
отсюда ошибка, хотя и в небольшом числе градусов, оказывается, однако,
достаточною, чтобы уменьшить более чем в 10 раз точность хода этого
механизма. . .
Из сказанного видно, что теория параллелограмов, которую мы
собираемся дать, не может быть основана на приближенных формулах,
определенных только тем условием, что они дают maximum точности
вблизи некоторого одного значения переменной; ътг теория требует
методов приближенного вычисления, которые могли бы доставить
наибольшую точность для всех значений переменной между данными
пределами- В этом-то и заключается трудность этой теории.
Относительно методы приближенных вычислений, о которых мы
только что упомянули, мы имеем только изыскания Понселе, который
дал часто употребляющиеся линейные формулы для представления таких
трех выражений:
— 26 —
В задачах Понселе уравнения, определяющие искомые коэффициенты,
решаются легко. Но это встречается только в очень частных случаях.
Тем более точное решение их будет невозможно, если надо найти общее
выражение коэффициентов для представления какой угодно функции,
ибо тогда эти уравнения, сами по себе очень сложной формы, содержат
произвольную функцию. Поэтому для этой методы приближенного
вычисления можно дать общие формулы только при посредстве рядов.
Именно таким путем мы и искали решение следующего вопроса:
Определить изменения, которые надо произвести в
приближенном выражении функции f{x), данном ее разложением по степеням
х — а, если требуется сделать наименьшим предел его погрешностей
между х = а — А и x — a-{-h, где А величина не очень значительная.
Предлагаемая здесь теория параллелограмов основана на решении
этого вопроса для случая, когда разложение f(x) останавливается на
члене, за которым следует член с показателем большим на единицу: это
случай наиболее часто встречающийся при вычислении функции.
§ 3. Пусть будет f(x) данная функция, U — полином степени п с
произвольными коэффициентами. Если выберем эти коэффициенты так,
чтобы разность f(x) — U от х = а—А до x = a-\-h оставалась в
пределах наиболее близких к 0, то разность f(x) — U> как известно, будет
обладать следующим свойством*:
Между наибольшими и наименьшими значениями разности
f{x) — U в пределах от х—а—А до x=a-\-h встречается по
крайней мере /r-f- 2 раза одно и то же численное значение.
Значения, принимаемые f(x)— U при x — a — h и при x=a-t-hy
рассматриваются как maximum или minimum.
Пользуясь этим, легко установить уравнения, которым
удовлетворяют коэффициенты £/. Если мы условимся обозначать через L общее
численное значение л+ 2 наибольших и наименьших значений,
принимаемых f(x)~U в пределах от x = a — h до x = a-f-A, то уравнение
\f{x) — U]* — L* = 0 (l)
должно иметь л + 2 корня, лежащие между а — А м я + А, и все эти
корни должны удовлетворять уравнению
d(f{x)-U)
dx ~~~u'
которое представляет из себя условие maximum'a или minimimi'a, или
приводиться к значениям a —ft, a + h: одним словом, ц-\-2 корня
уравнения (1), лежащие между а — А, я-[-А,, должны удовлетворять
уравнению
(x-a + A)(*--g-A)'"W-</>==Q. щ
* См. Комментарий в конце тома.—Ред.
— 27 —
Это дает нам достаточное число уравнений для нахождения п 4-1
коэффициентов полинома U и неизвестного значения L, ибо каждому
из п 4-2 общих корней уравнений (1) и (2) соответствует уравнение
между коэффициентами U и величиною L, что в общем составляет
п + 2 уравнения. Решение этих уравнений, очевидно, возможно только
в том случае когда данная функция f(x) вполне определена. Но если
величина h достаточно мала, можно оставить f(x) произвольной и искать
коэффициенты U в рядах, расположенных по возрастающим степеням h.
Здесь мы будем искать эти коэффициенты только для случаев,
имеющих значение в теории параллелограмов: но наш метод может быть
распространен на все случаи, когда f(a-\-z) в пределах от г= — h до
z= ~\-h может быть разложена в ряд по формуле Тэйлора. Это будет
предметом другого мемуара.
Чтобы упростить наши формулы, мы обозначим через
«о, &j, &>,...
значения
■fia) fM т
так что разложение f(x) по формуле Тэйлора будет
f(x) = k0 + kl{x — a)-{-k>{x — af+ ...
Затем мы положим х — a = hz, что приведет разложение f(x) к
виду
£0 4- Khz + k»Pzl + • • • i
а пределы
л: = <2 — A, x = a-\-k
обратятся в следующие
z = —1, z = +l.
Тогда искомый полином U будет определен условием, что в пределах
z = —1, z = 4~l разность
&04-V^+M2z24~ ... — £/= к (3)
по возможности наименее уклоняется от нуля.
Если обращать внимание только на величины порядка меньшего Ая+1,
то выражение лля Y будет
k0 + kxhz 4- kji*& + ...+ hhn*n — U>
и его minimum, очевидно, равен нулю; ибо, вследствие того, что
искомый полином U степени /г, можно привести Y к нулю, взяв
U = ko + kxhz + kji*# +... 4- *„АЯ*Я. (4)
Следовательно, значение U, точное до величин порядка А*4"1, будет
равно
kQ 4- kyhz 4- k2h?z* 4-. • • 4" Khnz*-
t
— 28 —
Нетрудно убедиться, что степень точности этого значения U будет
еще выше, если в ряду
k0 + kxhz + hpz* + •••• + knhaz* -f кя+,Ae- ^ +' +...
за членом £лАлгл следует несколько членов равных нулю.
Действительно, если
kn+x = О, kn+2 = 0,..., Ал+Я1 = 0, (5)
этот ряд можно заменить полиномом
даже в случае, когда полином U ищется с точностью до величин
порядка АЯ+|И+1. Следовательно, вообще точное выражение U будет иметь
вид
U = U0+Vhm**+\ (6)
где
Uo = kb + kJiz + k2hW + .. . + £ЛА*-
полином степени /г, коэффициенты которого не делаются бесконечно
большими при А = 0, а яг — число уравнений (5). Это число не равно
нулю только в том случае, когда £л+1 = 0, что имеет место тогда,
когда а — один из корней уравнения fa+1(xn+1) = 0, так как мы обозна-
чаем через kn+l значение \m2..mn' Для того чтобы это число равнялось
2,3,..., необходимо, чтобы а было двукратным, трикратным и т. д.
корнем уравнения /я+1(л;) = 0.
Из (6) видно, что точное значение U состоит из двух частей: £/0 и
Vhm+a+1. Первая часть, очевидно, не что иное, как сумма я+1 первых
членов разложения f(a-\-kz) по степеням z; что же касается второй части,
то она определяет те изменения, которым надо подвергнуть
коэффициенты найденного приближенного значения, чтобы сделать наименьшим
предел его погрешности в данном для независимой переменной
промежутке. Переходя к определению этой части U, мы подставляем сумму
Uo-\-Vhm*a*1 вместо U в выражение (3) для У; на основании уравнений
(4) и (5) значение Y будет
(К+т+i*n+m+1 + Ья+.+2>&+я+% +... - V) Ая+я+,;
именно это выражение мы и должны стараться сделать по возможности
близким к нулю в пределах от г = —1 до z = Jrl.
Если мы откинем постоянный множитель hn+m*1 и будем обращать
внимание только на величины, порядок которых ниже порядка А,
значение V, точное до этой степени, определится условием, что V — тот
из полиномов степени /г, для которого разность
Kn+m + l* v
наименее уклоняется от нуля в пределах от z = —1 до z = 4*JL
— 29 —
Но, по §3, это приводится к системе 2ге + 4 уравнений такого вида
Решение этих уравнений при помощи обыкновенных методов алгебры
требует вычислений, почти не выполнимых, вследствие их сложности,
если только степень п искомого полинома не мала. Мы покажем, что
при помощи интегрального исчисления можно заменить эти уравнения
другими, число которых, при всяком п, не превышает 2 /я, и даже
дать их общее решение для случаев /я = 0 и т = 1, что очень важно
для метода приближенного вычисления, которым мы теперь занимаемся,
так как, по сказанному нами, число т имеет значительную величину
только в очень редких, исключительных случаях, обыкновенное же его
значение есть нуль. Последний случай представляется и в теории парал-
лелограмов.
§ 4. Положим для краткости
y = K^^^-V. (7)
Тогда уравнения, определяющие V, представятся так:
j,2_jr2 = 0| (*_l)g=0. (8)
Из условий того minimum'а, который мы ищем, следует, что эти
уравнения должны иметь п + 2 общих корня, лежащих между z ——-1
и z= + l- А это, так как у— полином степени /i-f-/n-{-l,
предполагает, как мы сейчас покажем, что дробь
у* — !*
т'
приводится к виду
где Р и Q — целые функции, первая степени 2т, вторая степени т.
Действительно, положим, что
n-\-2 общих корня уравнений (8). Среди них по крайней мере л».будучи
отличным от —1 и 4-1 у не могут иначе удовлетворить уравнению
(*--i)g=o,
как обращая ^г в нуль. Если же z=zt один из этих корней, разность
z — zv очевидно, разделит ^ и у2 — L2. Нетрудно убедиться, что
dy
у2 — 12 разделится даже на квадрат (z — zx)2, ибо уравнение —=0,
которое имеет место при z=zv предполагает кратность этого корня л
— 30 —
уравнении f — L2 = 0. Поэтому если
Z\y Z%y . . . , Zn
значения z> удовлетворяющие уравнениям
У2_12 = 0, (*_i)g = 0f
не приводя г2—1 к нулю, то функции (jjfj , V2 — L* делятся на
Следовательно, дробь
у* — L*
т'
приводится к д|,гдеРо — полином степени 2(ri-\-m-\-\) — 2п = 2т-\-2,
г Q — степени п + т — п = т. Остается доказать, что полином Р0 можно
привести к виду P(z2—1). Для этого заметим, что уравнения
y2-L2 = 0, (*B_l)g=0
удовлетворяются еще двумя значениями z, а именно
Если эти значения не обращают ~ в нуль, они равны +1 и — 1
и, следовательно, у2— I2 делится на (z-\-l)(z—l) = z2—1. Но так
как в этом случае —■ не обращается в нуль при £ = ±1, в дроби
д|, равной J 2 , числитель Р0 содержит множителем г2—1, и, сле-
\dz)
довательно,
p0 = P(z2—1).
К этому виду можно привести числитель и в том случае, когда
одно из значений zn+l9 znJr± или оба вместе удовлетворяют уравнению
—■ = 0. Действительно, если z = zn4,l делает |j = 0, на основании
сказанного выше, квадрат (z—z„+1)* будет общим делителем функций
у2 — L2, (jjj» а следовательно, и функций Р0 и Q2. Если же мы этот
множитель сократим в дроби ^ и вместо него введем z+1 илиг — l,
мы получим дробь, числитель и знаменатель которой будут той же
р
степени, как и в дроби т4, но числитель которой уже будет содержать
множителем z-j-1 или z—1. Это нам показывает, что во всех
возможных случаях мы будем иметь дифференциальное уравнение
у2—L*_P№— 1)
— 31 —
которое приводится к виду
dy Qdz
Yp — L* Y(*-l)Pf
где степени Р и Q суть, соответственно, 2т п тя
Так как левая часть этого уравнения имеет интегралом
мы заключаем, что дифференциал
2Qdz
Y{z*-\)P
принадлежит к числу тех, интеграл которых приводится к одному
логарифмическому члену вида log -—q Гг—, где р отличается от у только
р — qV R
постоянным множителем и, следовательно, в силу (7), функция р должна
быть степени /t-f-m-f-l и не может содержать членов со степенями
zn+m, zn+m-i,..., z**1. Поэтому остроумный метод Абеля для
интегрирования дифференциалов вида jLJL помощью одного логарифмического
члена даст нам 2т уравнений между коэффициентами полинома Р, что
вполне достаточно для его определения, так как он степени 2/гс,и один
из его коэффициентов может быть выбран произвольно. Уравнения,
20
определяющие Р, следующие: 1) т условий интегрируемости гг=^ dz
в виде log p~^ij * , где р степени п-\-т-\-\\ 2) т уравнений,
получаемых через приравнивание нулю коэффициентов при гл+Л, zn+m+1,...,
zn+l в выражении р. По методу Абеля, как условия интегрируемости
-7-~Ji— в виде logp q r—, где р определенной степени, так и
Y{*-\)P *p-qVR' У У
самый полином р даются в функциях одних коэффициентов Р,
так что для нахождения этих коэффициентов и выражения р придется
только решить систему 2т уравнений с 2т неизвестными. Найденное
таким образом значение р доставит полином у с постоянным
множителем, который, на основании (7), определится из условия, что коэффициент
при zrt+OT+1 равен kn+m+v
Таким образом, определение полинома у} а следовательно, по (7), и V,
сводится к решению 2т уравнений, тогда как уравнения (8) давали
коэффициенты этих полиномов системою 2я + 4 уравнений.
На основании методов знаменитого Якоби, все эти изыскания
значительно уйрощаются в некоторых случаях при помощи эллиптических
функций.
Важность найденного нами дифференциального уравнения для
нахождения у обнаруживается в случае т = О, когда это уравнение
интегрируется легко н дает нам общее значение у для всякого я. По этому
интегралу находится и общее значение у в случае т=1.
— '32 —
§ 5, Функции Q и Р в дифференциальном уравнении
Qdz &у
VW^X) Р ~~ Vy*-L*'
как мы видели, соответственно степеней т и 2т. Поэтому, если m—Qf
эти функции приводят к постоянным, и наше уравнение делается
dz dy
к
f*—\ у>—l*'
интегрируя его, получаем
где постоянная С есть нуль, так как при z—±\ будем иметь j/ =
= 4:1. Итак
z + y#ZZ\ . y + V^T2
) log r = =log ——/ . ,
и, следовательно, без логарифмов
у* — L%_ fz + Vz* — lV
что дает
Чтобы определить величины L и i, заметим, что, вследствие (7), ори
/я = 0 полином у должен быть п~{-\ степени и иметь первым членом
*д+г ^я+1- ^° в Разложении найденного выражения у член с
наивысшей степенью z, имеет значение
±2x~lLzl,
которое может быть тождественно с &Л+Згл+* только при
» —2х ~i—— 2" • W
Поэтому мы находим для _у в случае т==0 такое выражение:
з'^^й^ + К^^^' + ^-К'^^ГГ1] (ю)
и, следовательно, по (7),
Таким 'образом, при т=0 мы находим с точностью до порядка А
общий вид функции V, определяющей (§ 3) разности между
коэффициентами приближенного выражения f(x), находимого из ее разложения
по степеням х— а, и того, предел погрешности которого в промежутке
x — a — hy x-=a-\~h наименьший. В случае лг=0 положение х=а
не удовлетворяет уравнению f+1(x) = 0, где л —показатель наивысшей
степени jc в искомом приближенном выражении f(x). В случае, когда
— 33 —
х = а — простой корень уравнения f*+1(x) = Q и когда, следовательно,
/7t=l, значение I/, точное до членов порядка h, найдется с такою же
легкостью. Действительно, при т=1, уравнение (7) дает
и, так как V степени л, мы заключаем, что у, кроме члена kn^zM>
содержит только степени z ниже zn+l; среди полиномов такого вида у
будет тот, который наименее уклоняется от нуля в пределах z=—1,
2 = 4-1. Из (10) видно, что из всех видов полиномов, в которых член
с наивысшей степенью z есть kn+2za*2, наименьшее уклонение от нуля
имеет место для
а так как в этом полиноме коэффициент при za+1 равен 0', то мы
заключаем, что он и представляет искомое выражение ^ = ^+2^й+2—V.
Следовательно, при т=\, полином V определяется уравнением
В случае, когда т превышает 1, у = кп+т^^п+т^г ~ V, а
следовательно, и V могут быть определены, как мы видели, системою 2т
уравнений.
Таким образом найдется вэ всех случаях функция V с точностью
до величин порядка h. Что же касается более приближенного значения V,
то нахождение его требует только элементарных действий алгебры, как
мы обнаружим в следующих параграфах на случае т — 0.
Но прежде чем перейти к этим изысканиям, мы остановимся несколько
на формуле (10), чтобы показать ту пользу, которую можно из нее
извлечь при исследовании свойств целых функций. Мы нашли это
выражение у у отыскквая тот из полиномов степени /г-f-l, который, имея вид
АЛ+1 z"+1 — V, наименее уклоняется от нуля в пределах z = —1, г=-|-1.
Если рассматривать V как произвольный полином степени п, то разность
k ,/+1—V будет общим выражением полиномов степени п + 1, у
которых коэффициент при zn+1 равен knJrV Поэтому, так как между
всеми этими полиномами данный формулою (10) наименее уклоняется
от нуля в пределах z = —1, z = -\-\ и так как число L, обозначающее
наибольшее его уклонение, равно ±-^г (9), то мы заключаем, что все
другие полиномы этого вида, от z = —1 до 2 = -f-l, представляют
более значительные уклонения, и следовательно, их значения, так же как
и значения (10), не могут быть заключенными в пределах более тесных
чем
3 П. Л. Чебышев, т. II
X ■
— 34 —
ЬА-а
3^-, Ля+1 на Л (-g-) , я+1 на /,
отсюда, заменив z на —т—-—, ля+1 на л f—«— / , й+ i на /, мы
получаем следующую теорему:
Теорема. Если в целой функции степени I коэффициент при
наивысшей степени х равен А, то при изменении х от х = а до
х = Ь, значения этой функции не могут исключаться в пределах
более тесных, чем
М-2А(^)\ М+2Л{^)
§ 6. Мы видели в § 3, что полином степени л, наименее
уклоняющийся от f(x) в пределах от х = а — h до .r = a-J-A, B случае когда
f*l(a) не разно нулю, имеет вид
где U—сумма первых л 4- 1 членов в разложении f(x) по степеням х — ау
а V—полином степени п, определяемый следующим условием: при
х—a — hz, V обращается в полином, который в пределах z = —1,
г = -{-1 уклоняется от kn+ т zn+ 1 + К+1гП*3 + • • • менее всех других
полиномов той же степени. Величины
k k
соответственно равны
fn+1)(a) /«+%
Ь2...(л + 1) ' Ь2...(л + 2)'"в
В §§ 4 и 5 мы искали выражение V точное до количества порядка hy
и нашли, что оно равно
v. [*~,-(1±1£Е1Г,-(г=!гЕ!Л ■
*) Эта теорема приводит нас ко многим другим, относящимся к решению
уравнений, например:
1) Если/ {х) = *'-|- Ar'-i + Сх*-*+..., то между пределами h и h~n 4 у it -~ f(x)
находится по крайней мере один корень уравнений /(лг) = 0. /' (jc) = 0. Радикал
следует брать со знаком — или +, смотря по тому, одного знака f(h) и /'(h) или
различных.
2) Уравнение (х1 + Вх1-1 + Сх*-* + ... +//х)2 —/С2 = 0 имеет по крайней мере
один корень между пределами —2y-^Kt -|-2y — #.
3) Уравнение *я+1 + ЯлгЯ-i + Cx«-« -f... + Их + Д'= 0 имеет по крайней мере
2И-1 2/+1
один корень в пределах — 2 |/ — АГ, +2 1/ -~ /С; так что в пределах — ~ —
2 2/~ 9 . . 27 я . 2 J/"а 9 t , 27
~у(/ ^ —у^-гу^ """g" + "9_ I/ у — — я£-f-у * непременно находится по
крайней мере один корень кубического уравнения л:8-{-а#2 + for-{-£ ~ 0.
— 35 —
Мы дадим теперь способ нахождения V со сколь угодно большою
точностью.
Если мы для краткости положим
M(i±¥^r+(£z#Z3
-Угг2._1\л+1
=У>
найденная нами величина I/, точная до величин порядка А, представится
в виде
K+iZn+1-y,
и, следовательно, точное значение V будет
V=K+,zn+l-y+V9k, (12)
где V0 — полином степени я, коэффициенты которого остаются
конечными при А=0. По свойству полинома I/, мы найдем эти коэффициенты,
стараясь сделать наименьшим предел значений
в промежутке от z = —1 до z = -f-l. А для этого нужно, как мы
видели в § 3, чтобы уравнения
(^2_ 1) * 1*п+чhzn+*+ka+B /гУ+3 + ■ ■ • +У - Vph)^Q
имели в пределах от z = —1 до г=+1 я+ 2 общих корня. Если
ограничиться только величинами порядка низшего, чем h\ эти
уравнения будут
fo+2 hz"+*+y-V0?i}>-Ll = Q, (13)
(^-l)^^rh^M=0- (.4)
Далее, что для нас очень важно, последнее уравнение можно
заменить с той же степенью точности следующим:
(*-i)g=o.
Действительно, так как это уравнение не имеет кратных корней
(что видно из выражения для у), то численные значения его корней
изменятся только на величины порядка А, если к его левой части
прибавим член
после чего оно сделается тождественным с уравнением (14). Поэтому
корни уравнения (14), которые не делаются бесконечными при А = 0 vf
следовательно, все те, которые остаются в пределах — 1 и -fli при А
3*
— 36 —
очень малом даются уравнением
(*-1)2=°
с точностью до первой степени А. Если в корнях уравнения (14), не
ра:ных ± 1, мы сделаем ошибку порядка h , ошибка в значении
для этих корней будет порядка Л2 или еще высшего, так как,
вследствие (14), перзая производная этого выражения равна нулю для этих
значений г с точностью по крайней мере до величин порядка Л. Что
же касается корней
2 = —1, * = +1,
для которых эта производная не равна нулю, то они будут точными
корнями уравнения
fes-Og=o.
Поэтому значение l/0/z, точное для величин порядка Н\ определится
условием, что п + 2 корня уравнения
"(*-Dg=o
удовлетворяют уравнению
[bn+th*+*+y— V<>h]*-I* = Q,
которое обращается в
)P + 2y(kn+22T+*-V0)h-L* = Q,
если в нем откинуть члены, содержащие множителем А2, и, наконец, в
(f—L*)y + 2}fi(kn+iZ*+*- l/0)A = 0,
если его умножить на у. Но из найденного в § 5 следует, что
полином у% имеющий значение
'=*-*! [
z -fi^p-zriWi (z_yjr=ny+->-
Г+№
удовлетворяет уравнению
при z, равном одному из корней уравнения
с-чЕ-ft
где I равно ± -^~-. Следовательно, для этих значений г можно в
найденном уравнении заменить у2 через I2, что дает
(L*-L$y + 2L4k^z?+*-V0)h = 0.
Последнее же уравнение может быть удовлетворено п + 2 корнями
— 37 —
уравнения
(*-ng-o
только в том случае, если оно с ним тождественно, так как оба они
степени л 4-2. (Это видно из того, что ^степени п +1, a V0 степени л.)
Отсюда следует, что их левые части отличаются только постоянным
множителем, и потому
(L*-L*)y+2L4kn+2z"+*-V0)h-C(z*-l)d£ = 0,
где С — постоянная.
Но так как у степени /г-f-I и не содержит члена со степенью zn,
а степень V0 не превышает п> то ясно, что в этой формуле
коэффициент при гп+г приводится к нулю только в случае, когда
I* —/,* = (),
и, следовательно, так как L разно ±——, когда
^Л + 1
*•! = =!=-£-• (15)
На этом основании последнее уравнение нам дает
■о£-»(22-1)-.
2hL* v ; az
v=kn+iz»+*—^(z<—i)dv
Q
Постоянную ^tjs мы найдем, замечая, что V0 не содержит члена
с zn+2. Так как в выражение (z2 — 1) —, где
1л. £
у=К+\
+ У*-Л«*1 . (* — УЖ=Т\а
(*±у*ц™+
входит член (п-{-1)ка+1&*+29 последнее условие требует, чтобы
л+2 2hL2 '
откуда
С kn + 2
2hL* — (л + 1)Ля+1*
Подставляя эту величину ^-2 в найденное выражение для VQ, мы
получаем
Таким образом мы находим значение 1/0 точное до первой степени Л,
что, вследствие (12), нам дает такое значение V, точное до Н\
V=kn+,z^-y+k,t+i(z^-T^^id£)k, (16)
где, как мы видели, у имеет следующее значение:
У — К+\
'+(-£3)"].
— 38 —
§ 7. Не останавливаясь на этом приближенном значении функции V,
мы покажем вообще, как найти ее значение, точное до величин порядка к >
когда известно ее значение с точностью до величин порядка к1.
Если мы обозначим через Уг это последнее значение функции I/,
то ее точное значение можно представить в виде
V=Vx+VJl\
где V2—полином степени п, коэффициенты которого остаются
конечными при Л = 0. По свойству V (§ 5), неизвестный полином К, будет
определен условием, что уравнения
^ ' dz
имеют я+2 общих корней, лежащих в пределах z=—1, £ = +1.
Если обращать внимание только на величины порядка меньшего А2'»
можно откинуть в этих уравнениях члены, содержащие к , к , А ...,
и результату дать следующий вид:
(g-D'fr+^-^l^o, J (17)
полагая для краткости
Что же касается уравнений, определяющих 1/3 (значение К точное
только до к\ их можно получить из уравнений (17), откидывая в них
члены, содержащее к1, kl+\ А/+2, .... Так что, с точностью до
величин порядка к\ мы будем иметь для
следующие уравнения:
в которых L2 — значение 12, точное до к1; а это предполагает уравнение
L*=Lt + W. (19)
Переходя к определению 1/2, мы замечаем, как и в предыдущем
параграфе, что в условиях, определяющих V2kl с точностью до величин
порядка А2/, последнее из уравнений (17) может быть заменено
следующим:
и так как в этих условиях дело касается только корней, остающихся
конечными при А = 0, то последнее уравнение может быть заменено
— 39 —
другим, ища
где W — целая функция, выбранная таким образом, что уравнение №=0,
точное до hly содержит все корни уравнения -—-1, которые не делаются
бесконечными при й = 0*. Так как число этих корней равно л, ибо при
k = 0 рассматриваемый нами теперь полином ух делается равным
найденному в § 5 (10), который был степени /г-j- /, то заключаем, что
степень уравнения W=Q может быть понижена до п.
В этом случае уравнение
(г*—1)П7=0
будет только степени л+ 2, и по условиям, которыми определяются
V2 и уи все его п -f-2 корней должны удовлетворять уравнениям
[y^Sti-VJif — Ц=0,
первому с точностью до членов порядка h21, а второму — до ft1.
Подставляя в первое из этих уравнений значение £2 из (19) и
откидывая члены, содержащие А2, мы получаем равенство
у\ + 2ух (S—V^hl — L\ — %JLxti = 0
которое, по умножении на уг, дает уравнение
(y{-Ll)yl + 2y2(S-V2)h'-2lL1Vy1=0;
которому, с точностью до h2\ должны удовлетворять все корни
уравнения
{& — l)W=Q.
Но для этих корней, с точностью до h\ мы имеем также
уравнение
которое, будучи умножено на 2(5—V2)hl и вычтено из только что
найденного уравнения, дает с точностью до А2' следующее уравнение
01 - Ц) Ух + Щ (S - V2) hl - IlLfyt = 0,
или, что то же,
* Вот как можно отделить корни уравнения и-рЛгг = 0, которые не делаются
бесконечными при /z = 0.
Если уравнение и = 0 не имеет равных корней, то корни уравнения a-J-/K? = 0,
которые не делаются бесконечными при ЛЬ=0, даются уравнением а = 0 с точностью
до первой степени /г. Чтобы найти эти корни с точностью до /г2, следует взять
уравнение и-4-Л# = 0, где R остаток от деления v на и. Для приближения до Л8 следует
взять u-\-hRi = Q, где /^ — остаток от деления v на u + hR, и т. д. В случае, когда
уравнение и = 0 имеет равные корни, приложим тот же метод, но только в этом
случае приближение идет не так быстро. ч
— 40 —
Так как зто уравнение, до членов порядка h2\ удовлетворяется
всеми корнями уравнения
(**—1)П7=0,
то, с той же степенью точности, его леиая часть должна делиться
на (z2— 1)UP, и, следовательно, если мы обозначим через R0 и Rx остатки
9 о
от деления yji1 и «S/z'-j—5—J__L на (zi—1) W9 то выражение
2Lj
Wht+j-Ro-R»
члены которого низшей степени, чем (г2—\)W, должно быть
тождественно равно кулю, до величин порядка h'\ Поэтому с такой же
степенью приближения будем иметь
и, следовательно,
Voh*=Rx-±R0>
что можно привести к виду
V^=r+(q-±)Ru,
обозначая через q и г частное и остаток от деления /?т на /?0.
Но нетрудно убедиться, что это уравнение может быть удовлетвэ-
рено только при
и, следовательно,
Е=^
V2h'=r.
Действительно, степень искомого полинома V2 не выше п; то же
самое можно сказать относительно г: эта функция — остаток от
деления /?i на /?о, а /?о —остаток от деления yji1 на (z2—1) W\
следовательно, степень г по крайней мере двумя единицами меньше степени
(z2—\)W, равной л+2. Напротив, остаток R0 непременно выше
степени я, ибо, как мы заметили выше, при А = 0 полином ух приводится
к у, данному формулой (10), и тогда (г2— 1) W делается (z* — 1)— ;
из выражения же у видно, что остаток от деления у на (г3—1)^
содержит член со степенью г"+г.
Итак, чтобы найти функцию VJi\ точную до А2/, следует поступать
так: делить функции
иг c/<4-(ZlZ^
y,h, Sfi-i —2
на {z2— 1) W\ делить второй остаток на первый.
— 41 —
Остатком от второго деления будет выражение VJi1.. По функции
V2hl легко найти полином V, так как V— I/, + 1/2А*.
Частное от последнего деления дает нам тоже очень важное
выражение. Это частное, обозначенное нами через qy равно, как мы видели,
дроби j-; следовательно, 1 — д1г и, по (19),
L^L^l + qh).
Таким образом мы находим постоянную Ц уравнения (17), которая
нам указывает предел уклонений полинома V от функции
b«+i*n+l + K^hz^ + A.+8AV+« +...
между 2 = —1 и 2 = -М.
Только что изложенный нами метод позволяет переходить от
одного приближенного значения V к другому, более точному.
§ 8. Мы приложим теперь этот метод к решению следующего
вопроса, очень важного для теории параллелограмов:
Найти изменения, которым надо подвергнуть коэффициенты
приближенного выражения f(x)
для того, чтобы оно в пределах от х — а — h до x = a-\-h
наименее уклонялось от f(x).
Мы предголожим величину h настолько малою, что можно
разложить искомые поправки коэффициентов по возрастающим степеням h\
кроме того, мы исключим случай, когда f*(x) делается нулем
прилги; а.
По сказанному нами в § 3, эти поправки даются выражением
где I/, как функция г= ~7а, должна быть полиномом четвертой степени,
для которого разность
kbz* + k6hz* -f kji V +... — V
наименее уклоняется от нуля в гределах от z=—1 до z=-|-L
Коэффициенты kb, ke, k,y ... соответственно равны
/VM fvl(a) fvll(o)
Ь^.го' 1.2-5-..6' 1-2.о--./ '
Уравнение (16) § 6 нам дает следующее значение V, точное до ft*:
где
— 42 —
Из этих формул находим
V--=h (т*3-Гбг) +** {7г*-Тб*П) h-
Величину же Lv которая определяет предел уклонений Г от функ-
*ций V + W + V^'4"' > мы получаем из (15):
Переходя к определению V, точной до ft4, мы замечаем, что
функции, обозначенные в предыдущем параграфе через Vu уг S, имеют те-
лерь следующие значения:
По этим значениям Vu ylt S, метод предыдущего параграфа дает
V= V, + V«A
где Vo — полином, который находят при помоют следующих действий:
1) Ищут уразнение 4-й степени, точное до h\ содержащее все
корни уравнения
t = k* {**-%* + &) +*е (fe--7* + £z) й = 0,
остающиеся конечными при А = 0. Так как остаток от деления
k6(Qz>-7z* + ^z) Ha ^(sz'-i^ + i) равен (Ав-|г8+-|г) ,
мы заключаем, пользуясь примечанием к § 7, что требуемым условиям
удовлетворяет следующее уравнение:
и, следэзательно, функция, которую мы обозначили в прошлом
параграфе через W, имеет значение
2) Ищут остаток от делениями2 на (z2 — l)W. При данных
значениях ух и W этот остаток, если откинуть в нем члены, содержащие
Л\ К\ ..., будет равен
— 43 —
3) Делят функцию
Sh*
(y\-L\)yi
2L{
на (z*—1) W. В рассматриваемом нами случае остаток от этого
деления имеет следующее значение, точное до №:
7*Йт + *5 . 13fr*7 + 6*g , . A5ft7-f-2A|
4*5
-z5
16А-
16АВ
Аг+
4
Г36^*8-Ь2А5*6*, — ^ 87*|*8+10*5*6*,-5*^
16*1
+
7*1*8 + 2*5*<,*7-*б
64*2
64*|
А3.
2? +
4) Делят последний остаток на первый
Это деление дает частное
7*5*7+ *6
4ki
и остаток
Збф8 + 2*Л^-^6Д3^ , 22k-'k"-'4h,ji 87*1*8+10*5*6*т-5*? 3_
16/s| "t" 16*s 64*| Z
31 *5*, - 3*? 7А1*з+2*6*6*7 - *|
Ь4*5: ' 64*|
Отсюда заключаем:
1) Величина V2A2, с точностью до h\ имеет значение
33*1*8 +2*6*6*,-*1 з 1 , 22*5*7-4 ., з 87*^8+ 10*5*6*,-8*8 .8 „
—— Д2-г 1бл6 nz Ш Л2_
16*1
31*5%,-3*! 7*1*8 +2*5*6*7 ~*6
64*5
■h2z
64**
h\
и, следовательно, с той же степенью точности,
V=Vx + VJt = k>$*-^z) + *« (т24-Бг2+Гб) *+W=
/7 , , 36*1*3 +2Wt~*1 иь\^ | /Ч , , 22*5fe, ~к\и,
=[тк*ь+ щ-—А;^+^4^+-1б*г-А,
87*1*8+10*5*6*7-
^*)--(^+2^»).+
64£
+ 'М+!Ш!^4,
ш1
LAI
— 44 —
2) Значение постоянной L2, определяющей предел уклонений
полинома V от функции
kbz5 + kuhzs + k.filz^r...
между z =—1, z = 4" 1 равно
4kt J —Щ • Щ
Умножая найденное значение V на If и заменяя z через ^А мы
получаем выражение
>iM.+",8>'+,%»-'W • ->-<■>•+
+ (>'+^^д-+ ... )«-«>■-
+ '¥4*i*t£<i4...
Здесь коэффициенты при (лс— а)4, (х — а)3, ... определяют
поправки, которые нужно произвести в коэффициентах приближенного
выражения f(x)
чтобы уменьшить возможным образом предел его погрешности между
х=а — h, x = a-\-h. Что же касается величины предельной
погрешности, из того, что было найдено для V, следует, что она равна
§ 9. До сих пор мы искали приближенные выражения функций,
подчиняя их только услозию, чтобы предел их уклонений в данном
промежутке был наименьшим. Но иесьма часто бывает важно, чтобы
погрешность приводилась к нулю для пределов промежутка.
Нетрудно убедиться, что этот случай, если промежуток
достаточно мал, решается также при помощи только что данных нами ме-
тодоз.
Положим, что/(л:) функция, приближенное выражение которой в
пределах х = а — у, д: = а + Т ищется под видом полинома и степени п,
подчиненного вышеупомянутым условиям. Так как разность/(х) — и
должна обращаться в 0 при х — а— у и х = &-\-Ъ в полиноме и ос-
— 45 —
хается только п— 1 произвольных коэффициентов, которые, по свойств/
искомого minimum'a, будут определены следующим условием:
Среди наибольших и наименьших величин разности f(x) — я
в пределах х = а — у, x = a-j-y встречается по крайней мере п раз
одно и то же численное значение. А это требует (§ 3), чтобы для
некоторой величины /, уравнения
(/(*)-*)»-/» = 0, '"%-">=о
имели п общих корней, заключенных в пределах х — а — у, a-f~Y*
Следовательно, если заменим эти пределы другими, более широкими,
х = а — /z, x = a-\-h, выбранными так, чтобы для них разность f(x) — и
делалась равною -f / или —/, то уравнения
if(x) — й)2-/2 = 0, {х — a + h){x — a — h)d(f('^n) = 0 (20)
будут иметь /z-}-2 общих корня между х = а — h, x = a-\-h.
Поэтому для этих пределов полином U = a дает решение
уравнений (1) и (2), которыми мы занимались в предыдущих параграфах, а
следовательно, и наоборот, решение этих уравнений дает нам полином и
для некоторых значений a— у, a-j-y. Последний мы легко найдем,
замечая, что, вследствие свойств искомого minimum'a, значения х — а — у,
х — а-\~ч, лежащие между а — h, a-\-hf удовлетворяют уравнению
f(x) — u = 0t
и между этими двумя значениями х находятся п общих корней
уравнений
</{х)-пГ-Р = 0, rf-^g=^ = 0.
Чтобы показать приложения сказанного, мы найдем полином иэ
который, будучи сам степени я, дает точное значение /(*)== A/i+1a"i,+1
при х = а — у, x=a4-Y> и наименее уклоняется внутри этих пределов
k v**1 — я
от функции/(л;) = А/2+1хл+Ч При этом значении/^ .
x^=a-\-hz> 1=-^-, уравнения (20) обращаются в
_у2_£2 = 0, (Z2-l)g = 0,
л4"2 общих корня которых должны лежать между z = — 1, z=+l.
Так как у = Ь.^(а + *^——- полином степени л+1, в котором
коэффициент при £Л+1 равен йя+1, то мы видим на основании (10), что
это может иметь место только при
■*4И?Е1Г+(^?3Л' l-*
«п+\
Л! 2"
— 46 —
Заменяя здесь у через n+l h+{ , * через —^— , L через
/
-^, мы получим
—w»--*...[(*—|-Т?=Г'+
Г].
x-a-.Y{x-a)«--Ki\a+v
/ =
А?,.»^"*1
" 2п
Переходя к определению а — у, a-f-Y* Для которых этот полином
дает искомый minimum, мы замечаем, что уравнение
*Л+1^+1-»=Ал + 1[^ :Г—г1 J +
обращающееся в
cos (л+1)? = О,
если положить х— a = Acos<p, имеет следующие корни:
Так как в этом ряду находятся только два значения
a-ACOS2lTF2> Л + ЛС082ТТ2>
между которыми лежат п корней уравнения
dx
Г / * — л 4- Wлг — о \* — /гЛ п
d(kn+1xn+1 ~u)_
) +[ 2 , .
■2\*+П
которое обращается в —^—~ = 0, если положить —г— = cos<p, то
мы заключаем, что а — у, а + у не могут иметь других значений, кроме
откуда следует
a = a, А = 2— ф
COS :
2л+2
— 47 —
Подставляя эти значения а и Л в найденное выражение а, полу-
чаем
"(л — aj2 " f \я+1
»=^+i^+i-^
4cos2
2л-}-2-
л+г
+(-V^-^)
2/2 + 2/
Таков общий вид полинома степени п, делающегося равным кп+]л?**
при х = а— у, x=a + Y и между этими пределами наименее
уклоняющегося от этой функции. Что же касается пределов этих уклонений,,
мы нашли
/ = Ч_*а±1А"+1
— 2» ' я •
COS2T+2
Поэтому постоянная /, определяющая этот предел, имеет
следующее значение:
2* cos**' *
Так как разность &„+r*fl+1— и, где и — произвольный полижш
степени п, представляет общий вид целой функции, в которой член
с наивысшей степенью х равен kn+xxn+l9 то найденные нами формулы,
приводят к следующей теореме:
Теорема. Между двумя корнями х = а, х = Ь уравнения
f(x)=Axn'"-{-Bxn-\-Cxn-1-l =0
численное значение f(x) не может оставаться меньше
а—Ъ \л+1
2А(-
\ 4 cos
2л+ 2
Исследуя таким же образом случай f(x)=pxb-\-qx7 и предполагая
у очень малою, мы найдем по формулам § 8, что с точностью до у8,
полином и четвертой степени, делающийся равным pxbJrqx1 при х=
= — у, jc=4~Y и наименее уклоняющийся от этой функции между
х——у и jc=-j-y> имеет следующее значение:
а- ( *Р у* | П~*п18°еоз54° Л 8
11 ~ U cos* 18° ? Т" 8 cos< 18° чт У л
( 5д ^ , 31-4 sin 18° cos 54° e\
V16cos*18° • ~ 64cosbl8° 4l J
V16cos*18°
Что же касается предела уклонений этого полинома от функции
pxb-\-qx4 между х = — y» x==z+ Y> ег0 найдем равным
pf , 7 —sin 18° cos 54° .
16cos518° »" 64cos718° "• "
— 48 —
§10. При помощи найденных нами формул можно во всех
возможных случаях определить наиболее выгодные элементы параллелограма.
Но это не единственный результат, следующий из наших формул. Мы
видели, что они дают некоторые теоремы алгебры, доказательство
которых, может быть, было бы невозможно при посредстве
обыкновенных методов. Существуют и в геометрии вопросы, решение которых
требует методов приближенного вычисления Ероде тех, которыми мы
занимались.
Приведем пример. Пусть даны уравнения двух кривых, из которых
одно содержит п произвольных параметров, которые позволяют, при
приличном выборе кх, располагать по произволу абсциссами п точек
пересечения данных кривых в промежутке х — а— A, x — a-\-k.
Очевидно, что в этом промежутке кривые будут более или менее близки
друг к другу, смотря по положению точек пересечения. Каково
расположение точек, общих обеим кривым между х—а — A, x = a-^-k9 при
котором предел уклонений кривых друг от друга внутри этого
промежутка наименьший?
Этот вопрос, очевидно, относится к тому методу приближенного
вычисления, которым мы занимались в предыдущих параграфах.
Приложение к нему наших формул дает очень интересные результаты.
Пусть
у=№
уравнение кривой с данными параметрами, и
Y=F(x,h)
уравнение, которого п произвольных параметров выбраны по згсловию
искомого minimum'a между пределами х = а—A, ;с = #-]-А.
Если примем А — 0, последняя кривая обратится в соприкасающуюся
с данной в точке х — а, и касание их будет, если исключить некоторые
особенные точки, порядка п—1, и мы будем иметь
dnF(xyh) dnf(x) „ /л<ч
—dxn j^r= конечной величине, (21)
вместе с равенствами
Fix h\ — f(x\ dF(x,h)__df(x) d*-lF{x% h) dn~lf(x)
при х = а, A = 0.
Предполагая, что функции
f(x)9 4/te) <РЦху
dx > dx*
Fir h\ dFl*'h) *•*(*» h) dnF{xyh)
r\x,n), dx , йхг , ..., ^n
остаются конечными вблизи A = 0, х — а, мы заключаем отсюда, что
при А очень малом для значений х, лежащих между х = а А,
— 49 —
X = <2-J-/Z, фуНКЦИИ
-' dx > dx* > •"' dx*
не делаются бесконечно большими. Затем функции
dn(Y — y) _dnr(x1 h) _ d^f ix)
dx* dx" dx"
можно дать вид
полагая для краткости
K7 = dnF{a}0) dnf(a)
dan dan '
b(Y\ = dnF.{x /2> dpF{a70) dttf(x) , dnf(a)
dxn dan dxn ' dan '
b(x):
CL>
Поэтому для значений х, лежащих между x = a — k, x = a-{-h,
при h достаточно малом, ряд Тэйлора дает
Y—у = А + В{х — а)-{- С{х — а)*-~.. .-f-rt(л'—a)""1-f-
где величины А, В, С, ..., И, X не зависят от х и притом
d;iF(a,0) dnf(a)
N = -
dan dan
отлична от нуля по (21). Что же касается функции ty(a-\-b(x — a% то
для рассматриваемых нами значений х она делается бесконечно малой
одновременно с h.
Эта формула нам показывает, что для х, лежащего между
пределами х = а — h и x = a-\-h, с точностью до величин порядка К1
включительно, значение Y—у равно полиному
А + В(х — а) + С{х — ay^... + H(x-a)»-i+i7^{x--a)«,
и, следовательно, по § 5, искомый minimum будет иметь место только
в том случае, когда предыдущий полином с такою же степенью
приводится к
(х — а —У {х- ар-Н*У]
М \(х — а ■+ У~(х — а)2 — hAa ,
[72:~п{{ 2 / +
<d это предполагает, что между пределами х — а— А, л; =
аЦ-А*-'Значение Y—у имеет вид
+ (x~a-Vi*-a)t-hi)"']+zii>',
где Z — величина, делающаяся бесконечно малой одновременно с А.
4 П. Л. Чебышев, т. II
— 50 —
Из этого значения Y—у видно, что абсциссы точек пересечения
рассматриваемых нами двух кривых даны уравнением
__ N
1-2T../Z
2—: у -г [ 2 : у J "!" —
Если мы положим
.V — Л
— = COS Ъ,
h ''
это уравнение обратится в
COS ЛИ -j т^ = 0,
из которого, откидывая член -^ , мы получаем
cos щ = 0,
что дает
2т -4- 1
0 = ТГ,
где m— произвольное целое число.
Значение <р, которое мы нашли, откинув в нашем уравнении член
^ , очевидно, точно до величии порядка Z, так как уравнение
cos/Tf —0 кратных корней не имеет. Из этого мы заключаем, что
с точностью до величин порядка Z/i искомые значения х определяются
формулою
и, следовательно,
:COS ' 7Т,
in
I z. 2л* 4-1
х — а 4- as cos — тг.
1 т
Таково общее выражение, дающее нам с точностью до А
включительно абсциссы п точек пересечения двух кривых для случая
рассматриваемого нами minimum'a. Найденное выражение приводит к
следующему, очень простому построению:
Из середины промежутка х — а — A, x = a-\-h, отложенного по
оси абсцисс, описываем круг' радиуса, равного половине этого про-
межутка; в этот круг вписываем правильный многоугольник о 2п
сторонах, располагая его так, чтобы две из его сторон были
перпендикулярны к оси х. Вершины этого многоугольника определят,
с точностью до величин порядка h включительно, абсциссы точек,
в которых кривые должны пересечься, чтобы предел их уклонений
в промежутке х—а — h, x=a-\~h был наименьшим.
Если хотят, чтобы обе кривые проходили через те же точки на
концах промежутка, внутри которого их хотят наиболее сблизить, имеет
место то"'же построение (§ 9), с тою только разницею, что, вместо
радиуса h, следует взять радиус
h
Таковы два результата, получаемые из наших формул относительно
расположения точек общих двум кривым в случае, когда хотят сделать
наименьшим предел их уклонений в данном промежутке; эти точки
имеют большое значение во многих вопросах, встречающихся на практике.
В следующих параграфах * мы покажем приложение выведенных
нами формул к нахождению элементов параллелограмов,
удовлетворяющих условиям, при выполнении которых точность хода этих
механизмов наибольшая.
* См. Комментарий, стр. 473—484. — Ргд.
4*
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ *
§ i
fo-x dx
Если дифференциал ]TJ-^~"^, составленный из рациональной дроби
i^- и корня целой функции Ох, интегрируется при помощи алгебраиче-
ских и логарифмических знаков, то, как мы знаем на основании остроумных
Г/о* dx
изысканий Абеля и Лиувилля, интеграл \ 7^j;«7g^ имеет следующий
ВИД: U+A0 log V™ + A' log И -f A" log V* -Ь • • -,
где £/, l/°, I/', V", .., рациональные функции от л- и mv 0.v; Л°, Л', Л'' ...
постоянные величины555*.
Определение алгебраического члена U не представляет затруднении.
р ^Zi
Известно, что он имеет вид ~ (6л*) т , где Р и Q — целые функции,
находимые при помощи следующих действий ***:
1°. Знаменатель Q алгебраической части находится как общий
наибольший делитель функций F0x Ьх и —^ х ****.
* wSur ".'integration des difference lies irrationnelles" (Journ. de math, pures et
appl., I serie, XVIII (1853), стр. 87—111); русский перевод Н. М. Гюнтера в Собр. соч.
П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина том I, СПб. 1899,
стр. 147—168; см. также П. Л. Чебышев, Избранные математические труды. ГТТИ,
1946, стр. 77—99. — Ред.
** См., например, доказательство этой теоремы в книге: В. В. Н е м ы ц к и й,
М. И. С л у д с к а я, А. Н. Черкасов. Курс матем нического анализа, т. I, 1940,
стр. 374. — Ред.
*** Мы предполагаем, что дифференциал J{>' •—-Ц-тг приведен так, что Ол* не
Рцх '£/ Ьх
содержит множителей степени выше т — 1.
**** ^то слеДует из того, что в знаменатель алгебранческоЛ части интеграла
могут входить только множители вида х—я, где а — кратные корни F{){x) или Ь{х)
совершенно так же, как это имеет место в случае аналогичной формулы, получаемой
при интегрировании рациональных функций; ее естественным обобщением и является
формула Абеля. Далее дается подробный разбор частного примера на выделение
алгебраической части интеграла в частном случае, когда т = 2. — Ред.
— 53 —
2°. Если степени функций*
Qfox Q
х(Ьх) т
ниже —1, то алгебраический член равен 0. В противном случае,
обозначая через п наименьшее целое число, превышающее степени этих
функций, можно найти числитель Р по формуле
Р = В0 + В1х + В2х* +. •- -\-Впх\
где В&, Bv Въ..., Вп — постоянные коэффициенты, значения которых
определяются из условий, что полином
П* - -°J- (5, + 2В2х +...+ пВ^) -
m-\F0xVx FoXbxdx
т Q Q2
(В0 + В1Х-\-Вг**+...+ВяХ*)
q F^bx-D
делится на ^, и при том степень частного не выше степени -^ >
где D — общий наибольший делитель функций Ъх и (Ух.
Если нельзя удовлетворить этим условиям, то заключаем, что инте--
грирование дифференциала ^~^== при помощи алгебраических и
логарифмических знаков невозможно. В противном случае мы находим
алгебраический член и, вычитая его дифференциал из ^;^~т==, получаем
выражение, которое должно интегрироваться при помощи одних лог!->
рифмических членов. Этим-то интегрированием мы теперь и займемся.
В этом мемуаре мы даем решение следующих вопросов:
1°. Определить число логарифмических членов в выражении данного
интеграла.
Решение этого вопроса дает как частный случай доказательство
теоремы, высказанной Абелем следующим образом:
„... существует следующая замечательная теорема:
Если интеграл вида \уъ> в котором р и R — целые фуя::*
ции от х, выражается через логарифмы, то его всегда можно
* Степенью алгебраической функции F(x) Чебышев, следуя Абелю (см.
N. Н. Abel, Oeuvres, I, 1881, p. 108), называет такое число 8, при котором
um m
ЛГ-»СО ХО
есть конечное, отличное от нуля число. Например, степень 3~_~ равна 2. —Ред.
— 54 —
представить следующим образом:
где А — постоянная, ар и q —целые функции от хи. (Oeuvres
completes, I, 1839, p. 65,).
2°. Найти аналитические условия, определяющие каждый член в
отдельности. Решение этих вопросов покажет между прочим, что
известные случаи интегрируемости биномиальных дифференциалов вида
x*{a-\-bx*Ydx,
единственные, в которых интегрирование этих дифференциалов при
рациональных s, s', s" выполнимо посредством алгебраических и
логарифмических знаков.
§ II
Мы видели, что логарифмические члены в значении интеграла
rfx dx
\}— —— имеют вид
\ Fx1^ fix
A log V,
где V — рациональная функция от х и 7*Ьс.
Следовательно, полагая для краткости
и обозначая через
cpod), ?1(д), %(д), ?3Ц),..;
рациональные функции от х и Д, мы будем иметь следующее уравнение:
|ёт = Л°1о8?о(Д) + ^г1о8?1(Л) + ЛМог?2(Д)+...,
если значение интеграла \ & -£ не содержит более алгебраических
членов.
Заменяя в этом уравнении Д последовательно через аД, а-Д,...,
ат~1А и умножая его соответственно на 1, а, а'2,..., а""1, где а —
первообразный корень уравнения
л"1—1=0,
мы получаем ряд уравнений, сумма которых дает
+ A' log [h (Д) • ** (аД). c*f (а2Д) - -. ^f"1 (а*-»Д)] ~г
и, следовательно,
— 00 —
где WQy Wu W2,... функции вида
с? (А) ?« (а\) ?*'(a2A)- • :?«w"1 (aw-'A),
а Л0, Д, А>,... постоянные. Именно в этом виде мы будем исследовать
значение интеграла тА-т-*
Мы начнем с доказательства того, что, когда выражение интеграла
\t~-~X приведено к наименьшему числу членов, коэффициенты Л0, Аи
А»,... не могут удовлетворять уравнению
Л^оЛ + Л^1Л1+ЛГ24+...=0,
в котором iY0, Л/*!, А/2,-.- комплексные числа, зависящие от а.
Действительно, если это уравнение имеет место, мы находим из него
и, подставляя это значение Л0 в выражение интеграла К^Х'
^образовываем его в такое
Л, log W,W0 ^ + AAogW2WQ "*+...,
которое содержит менее членов, чем уравнение (1); и каждый из этих
членов, как мы сейчас покажем, может быть приведен к виду
A log [ф (А) • ф> (аЛ) • сЬ»5 (а2А).. .ф*"1-1 (а^А)],
где ф(А) — рациональная функция от х и А.
Чтобы привести к этому виду член
Л'
мы представим v/ так:
л° -f- //'а 4- л''а- 4- ...
где /г, /г°, я', л",... целые рациональные числа, что всегда возможно*.
Тогда член
A.log W,W~^
можно представить так:
Jlog[U7? WT* Н^Г'* ^Гл^---1.
где выражение под знаком log разлагается на множители и
делители вида
W*1 ='fl(b) r'+>A)V+V-i)..., .
* Си. ниже § III.— Ред.
— 56 —
которые приводятся к
?(Д) *а(аД) ?а'(а2Д)...,
когда заменим ю(Д) через (f (а'Д).
Тот же вид сохраняется и по перемножении и делении этих величин.
Следовательно, при помощи уравнения
N0A0 + NlAl + N«A2-[-... = 0
можно уменьшить число членов в выражении интеграла \jr:-y, не
изменяя их главной формы, и потому это уравнение не может иметь места,
если выражение интеграла \ 4-.-y приведено к наименьшему числу
членов, что мы всегда будем предполагать в наших изысканиях.
§Ш
Пусть будет х' значение л\ обращающее 1Г0 в 0 или в ос.
Нетрудно убедиться, что существует степень д- — х\ отношение которой
к W0 конечно при х = х\ и что показатель этой степени, вообще
говоря, комплексное число,.зависящее от а. Действительно, функция \Х\1У
как мы видели, равна произведению
ЫД) ¥*(**) <(**)... >
в котором <fo—функция алгебраическая. Но если разложить множители
?0(Д), ъ(а±)> ?и(Д2Д)>...
по возрастающим степеням х — х' и обозначить через /7м, п\ //",...
показатели х — х' в первых членах этих разложений, то эти показа!ели
будут рациональны, а сумма
будет показателем х — х' в первом члене разложения WQ. Отсюда
следует, что если No равно комплексному числу
Wo
то отношение v/ остается конечным при х=х'.
(x-x'i °
Пусть Л/i, N& ... будут комплексные числа, играющие ту же роль
по отношению W v W2, ... Взяв равенство
j
X— Хг
v v' v'
= ,40 }g (x — х') и + Л1 lg (а- - х') 2 — А2 lg (х — х') --
членно из
и вычтя его почленно из
fxdx
о/
мы находим
Fx-S
= A0\og-
1ГП
iV,
7 +Л, lOg
X — -V
dx =
Wo
(x-xf)
(x — x
[x — x') 2
.'\ 1
Так как вторая часть этого уравнения остается конечною при х — хг,..
мы заключаем, что это значение х не обращает в бесконечность интеграл.,
fx A0N*0 + AX + A*ft,2 + -"~
LA-л-.А
dx3
а это предполагает, что предел
[ Jx A0N'0 + A1n'i + aX + ---
(Х X'\.Fx-± x-xl
при х = х' равен нулю, и, следовательно,
NoAq + N[A, + МЛ +. • • = lim
(х — xl) fx~\
FxTT
Это уравнение нам показывает, что члены в выражении интеграла-
[f*A* делаются бесконечно большими только для значения х, равного-
J Fx Д
одному из корней уравнения
Fx = 0; '
ибо, по § II, сумма
л^оЧ-л/^ + Мл-к..
(Х y;l\ -fx
отлична от нуля, тогда как lim -—-рх/х не равен нулю только в том
случае, если Fx содержит множителем х — х'у так как множитель Л
может содержать х — х' только в степени ниже 1 (§ I, примечание).
(х X1) fx
Это уравнение показывает также, что предел —FxlJ при х = х'
не может быть бесконечным.
Положим теперь, что х\ х", х'\ ..., х^ обозначают все корни.
уравнения
Fx=0,
а К', К", К'", ..., К{1) — значения
,. {х — z)fx
lim p /
х=х> tx'X
хМ).
при z = x\ х , х , ..., хк
Только что найденное нами уравнение и те, которые мы найдем
таким же образом, исследуя случаи х = х", х"', ..., х&, можно написать так:
1МЛ = /С', %NuiAi = K\ ..., 1МЧ = Л (2)
х=0
fr-0
=0
1 fx dx
Г fx dx xj x r"
где £-|-l — число членов в выражении интеграла J^-д-, N°' No "y
M°, M, M, ..., M° и т. д. — комплексные числа, выбранные тж, что
— 58
отношения
t ft
{л-—л-') °(л-— x") °-.
{x—x') l (x — xtl) 1-.
..(* —ХМ) °
остаются конечными для x = xt, л-", л'"', ..., л^'> и, следовательно, для
всех конечных значений х; ибо, как мы заметили, корни уравнения
Fx = 0
единственные конечные значения ху обращающие функции
w0, wv wv ...
в 0 или в со.
Заменяя в уравнении
(Йт = A>logUP0 + 4, log ИГ,-t- AAogW,-^....
х на — и рассматривая случай ^ = 0, мы таким же образом наГдем
уравнение
/-о
в котором А^0 —предел ^~ при -х: = оо, з ■*„, «i,, jir, ... степени
функций UTo, 1^, U72, ...
Это уравнение нам показывает, между прочим, что функция 4~-х
не мажет быть степени высшей —1; ибо тогда число
•было бы бесконечным, чего не может быть, как видно из найденного
нами уравнения.
§ IT
Положим теперь, что, обозначая через М\ М\ М\ ... комплексные
■числа, зависящие от а, мы стараемся удовлетворить уравнению
MV + MV + MV+.-.--0, "
и что существует только \ уравнений этого вида, не тождественных
между собою относительно Л'°, К', К'\ ..., К(1К
При помощи этих уравнений, очевидно, можно выразить \ величин
из ряда
К\ К\ К\ ..., K(t)
линейными функциями от остальных; и эти функции будут иметь
коэффициентами комплексные числа, зависящие от а.
Положим, что мы нашли
[ (i)
/=ь ;
Так как величины К0, К\ К\ ..., К{1) могут удовлетворять не
более как X различным уравнениям вида
M)K* + M'K'+MK" + ... = Q, (5)
то количества
к{1\ ка+1\ ...,к{\
взятые отдельно от
к°, к', к", ...,kix-v-,
не могут удовлетворить подобному уравнению* иначе это последнее
уравнение и I уравнений (4), очевидно, не тождественные между собою,
составили бы А.+ 1 уравнение вида (5), что противно предположению.
Из этого нетрудно убедиться, что число членов в выражении ин-
тг-j- не может быть менее / — а+1; ибо в противном случае
число коэффициентов
Ah ^1j А*,, . . .
было бы меньше /—>.+ 1; а тогда последние / — \-\-\ уравнения
в ряду (2) дали бы по исключении этих коэффициентов по крайней мере
одно уравнение между К{1\ К°Л1\ ..., К{1\ которое было, бы вида (5),
что невозможно.
Тот же результат имел бы место, если бы одно из /—/.+ 1 п°-
следних уравнений (2) было тождественно с другими относительно
величин Дь Av Av ... Следовательно, при помощи этих уравнений,
можно найти /—а —f— 1 количеств из ряда
Аь А^, А2, • • •
в функциях других и количеств К(Х\ К^+1\ .-.., К{1)\ эти функции
будут линейными, а коэффициенты их будут комплексные числа,
зависящие от а.
Положим, что таким образом найдены величины
и что их значения подставлены в уравнение
После этой подстановки выражение интеграла \-^с^ будет
содержать различные члены с коэффициентами
— 60 —
Но если мы соберем в один член все, что содержит один и тот же
коэффициент, то получим только / членов, которых общий вид будет
К{1) log Z или А£ 1 og Z,
где
A, Pi P-:
а Р0, Р„ Ро, ..., Qc, Q„ Q2, ... комплексные числа, зависящие от а.
Но из доказанного в § II достоверно, что, как ни был сложен вид этих
членов, их всегда можно привести к такому виду:
^ log IF или -'loerUf,
где п — целое вещественное число, a W—функция вида
ф (А) '|а (дД) 4«-(а?А)- • •'{/'~1(2Я1-,-Л).
Следовательно, после подстановки, о которой мы только что
говорили, главный вид членов не изменится, но / —л-{-1 из коэффициентов
окажутся замещенными через
где jiu, лр л2» •••> я/-х— целые вещественные числа.
В последующем мы будем предполагать это преобразование
сделанным, и, следовательно, в уравнении
(ё¥=^1о§ w'o-M, ioj ^ -ь л, ioS w24-...
мы примем
д, = £', A, = ^, Л = *^, .... Л,_х = ^, (б)
где я0, Яц w2> •••> ni-i— целые вещественные числа.
До сих пор мы ничего не говорили о виде функций ?0(А), ср1(Д), ...,
входящих в состав 1F0, Wl9 ..., и рациональных относительно х и А;
в последующем мы будем считать их приведенными к простейшему
виду, т. е. к
г ''
где XQ, Xv X2, ..., Хт-и К —целые функции от х. Кроме того, так
как знаменатель Y пропадает в выражении
W=y(А)<р«(аА)ср*2 (а*Л)• • • ^"^(а*-*А),
вследствие равенства
1-4-a-f a2 + .. .-f а^-1 = 0,
мы можем считать Y=\.
— 61 -
§ v
Уравнения (2), (3), (4) и (6), по исключении из них
кГ° К' К" А*п
Л, Л, Л,..., Л ,
дают
/-•—>.
1 -'J /—О
2 уи;яд. = »л1и,.
1—0 /-:)
/-' — л
1-0 /-О
/-о
/«•>
В этих равенствах комплексные числа Ж/ определены
уравнениями (4), которые дают К\ К\ К\ ..., К[Х"1) в функциях /<Ч /С<х+1),
..., AT(Z); комплексные числа М' не известны и обладают, как мы
видели, свойством, что отношение
й
Л*' N"
{х—х1) *{х — х") '...
остается конечным для всех конечных значений х; число, обозначенное
через ji„ определяет степень функции №,.. Количества же л0, nlt ...,
Ki-к СУТЬ вещественные целые числа, также нам не известные.
Так как коэффициенты
Ло, А1У Лг, ...
не могут удовлетворять уравнениям вида
ЛГвЛо + ЛГ141 + Л^+ •.. =0,
где 7Уо> #i> N*> • • • комплексные числа, зависящие от а, то найденные
нами уравнения должны* быть тождественными относительно .Д^А,,
А2у ♦.., что влечет за собой существование следующих равенств:
— 62 —
для / = 0, 1, 2, ..., 1 — 1, ft
для />/—л.
Из этих равенств, имея в виду соотношения, существующие между
функциями Wt и числами jiz., М-, М', •••, заключаем:
1°. Все функции Wt_Ul, lPV.x+2, Н^/-х..3, ... степени 0, и ни одно
из значений х не обращает их ни в 0 ни в ее.
2°. При / = 0, 1, 2, ...., / — а степень Неравна Mfrig.; функция же,
отношение которой к Wi остается конечным для всех конечных
значений х, представляется в виде:
[(x-x'f't (x-x"f{ (х-х"')м'".. .(x-xP-Dfi{K~l) (х — л^)?\
где остается неизвестным только целое и вещественное число nt.
Таковы свойства функций
" wb9 wl9 wt, w, ...,
входящих в уравнение
если оно преобразовано по способу, указанному в § IV. Прибавим, что
уравнения (6) дают равенства
к™ ■
где i = 0, 1, 2, ..... 1 — 1.
§ VI
Из найденного нами о функциях
ИР,-х+1, U^x+2, fl^x+„ ...
нетрудно убедиться, что они приводятся к постоянным количествам.
Действительно, если функция W не делается ни 0, ни оо при х—а,
то показатель при х — а в первом члене разложения W по степеням
х — а равен нулю. Но для
W— ? (Л) Г («А) Г (а2А)' • • Гт"] (*т~*\)
этот показатель (§ II) равен сумме
в которой л°, /г', п\ ...., «^-^—рациональные вещественные числа,
обозначающие степени первых членов в
<?(Л), ?(аЛ), ?(а2Л), ..., 'f(a*»-U),
а a — первообразный корень уравнения
хт— 1=0.
— 63 —
Эта сумма приводится к нулю только в случае, если
п0 = п' = п" = ... = n^m~l\
т. е. только в том случае, если разложения
с?(Д), ср(аА), ср(а21), ..,, и (а*-'Л)
содержат в первых членах одну и ту же степень х — а\ но тогда мы
найдем, что прих = а остается конечным отношение ^-а■■--*,■ где р и а—
числа целые.
Следовательно, если функция И? остается конечною для всех
конечных значений х, тем же свойством обладает и дробь-2-12—1.
Таким же образом мы придем к заключению, что степень функции
j равна нулю и что, следовательно, она остается конечною
»(а^Д)
при х = оо.
Из этого мы находим, что произведение
у(аЛ\) ? (аР±) у (о^Д) _jM^4L
<р (Д) * <р (аД) * <р (о2Д) " * *<е (ол-й)
остается конечным для всех значений х.
*rnUp\\
Но это произведение приводится к ■*—^—', где 5—целая
функция л", не зависящая от а, ибо
5=ср(Д) <р(аД) сР(а2Д)---(р(а/и-1Д)
симметрическая функция корней уравнения
Дт —целой функции,
а ср (А), как мы видели, целая функция х и Д. Что же касается '^"(д'Д),
то эта функция того же вида, как и ср(Д) (см. § IV].
Следовательно, полагая
е£*>=Ф(в,А), (7>
мы найдем, что функция ф(а^Д) определяется уравнением
ф(аЛЬ) = ^ + ^Д + ^ДЧ |-%^ДЛ-\
где S, Х0 Хи Х2> - • •, Arm_1 — целые функции от х, и что она остается
конечною для всех значений х. Последнее же, как мы сейчас покажем,
может иметь место только в том случае, если все члены в выражении
ф (аЛ1) постоянны.
Действительно, из выражения <Ь(ар±) мы находим для всех i<im
cb (ар±) + а-"1> [о.р^Д) ■+- а~2'Ь (а"+2Д) +... + or ^-D'? (a'+^-U) = т % Л',
и, следовательно,
[ф КД) + а-'i (а^+ !Д) -f а~2/ф (а'+2Д) +... + а~ ^-^i (а'+»-1Д)]« =
4 .р)ЯА^
— 64 —
Первая часть этого равенства остается конечною для всех
значений ху так как она составлена из функции i. Вторая же часть
Л1т(-^\т\т\ если не предположим ее постоянною, будет бесконечна
или для некоторых конечных значений х, или для л- —ее, смотря по
* х- т
тому, приводится ли рациональная функция тт[^) Уп: к дроби или
к целой функции.
Из этого ясно, что ни одного члена в функции 'Ь(яр\) нельзя
считать переменным; но тогда из (7) следует, что
где Ср— величина постоянная, а 5—функция, не зависящая от чР. Если
мы теперь, пользуясь последним уравнением, возьмем значения функций
?(Л), ?(аЛ), »(я2Л), .... ъЦт-Ч)
и внесем их в формулу
W=?(l) у*(дЛ) ^,(а2Л)---^л",(яЯ|-1А),
то получим
W=C0 С\ С?---С£ГХ S
Но сумма
l+2-f22 + --- + am~1
равна нулю; следовательно, W имеет постоянное значение.
§ VII
Доказав, что в выражении интеграла \ -JAA все функции
могут быть только постоянными, мы выводим отсюда, что
единственные переменные члены суть
AlogW0, AxlogWl9 ..., Лг_х log U^_x;
а так как, по (6), коэффициенты их имеют вид
где щ—число целое, то заключаем, что число их не может превзойти
числа отличных от нуля членов ряда
к\ к', к\ ..., к*.
Замечая, что / есть число корней уравнения
Fx = 0
у\\ что
— 65 —
приводится к нулю, если степень -^ ниже —1, мы приходим к
следующим теоремам*:
Теорема I. Пусть будет & рациональная дробь, a Ojc полином,
множители которого степени ниже т. Если выражение интеграла
\ 7Г т/— сооержит только логарифмические члены, то интеграл
J ГХ j/ Qx
тг т^л- равен сумме членов следующего вида:
Fx |/ чх .
А\огЫт/Щ г(а УЬх) f{<* УЩ- ■ ^""Ча^УЩ,
I
где yCJ/bx) — целая функция х и у^Ьх,а а —первообразный корень
уравнения
хт— 1=0.
Число таких членов, достаточное для доставления выражения
интеграла { — тг-т-> не превзойдет степени Fx, если степень функ-
fx
ции . Jmy ниже —1; в противном случае число таких членов
превзойдет степень Fx только на единицу.
В случае Fx=\ предыдущая теорема приводится к следующей:
Теорема II. Если fx и Ьх целые функции и Ьх содержит
множители степеней не выше т и если интеграл ( т — dx выражается
только логарифмическими членами, то он может быть приведен
к виду
A\ag[tf{Vbx) p{affix) ?* {а*¥Щ- • .рт~\ат-1УЩ,
где уСУЬх) — целая функция от х и "У^х, а а — первообразный
корень уравнения
хт— 1 = 0.
В случае т=2 мы получаем упомянутую в § 1 теорему Абеля:
Теорема III. Интеграл \-J^= dx не приводится к функциям алге-
браической и логарифмической, если 8г не имеет кратШх
множителей степени выше т — \ и если степень функции fx ниже сте-
пени, .. .
* О содержании теоремы I и дальнейших с точки зрения современной теории
алгебраических функций см., например, В. В. Голубев. Работы П. Л. Чебышева
по интегрированию алгебраических функций, § 4 (Научное наследие И. JL Чебышева/
вып. I). — Ред.
5 П. Л. Чебышев, т. II
— 66 —
Действительно, если предположим, что \-£ir=dx приводится к
функциям алгебраической и логарифмической, то, по § I, приходим к заклю-
чению, что его выражение не содержит алгебраического члена. То же
самое имеет место и относительно логарифмических членов, ибо
дифференциал ~-r dx имеет знаменателем только у/Ьх и степень ^~
ниже —1, а в этом случае, по теореме I, число логарифмических членов,
достаточное для доставления выражения интеграла тгт" dx> равно 0.
Поэтому, если предположим, что интеграл 1 ^==- dx приводится к
функциям алгебраической и логарифмической, то будем вынуждены
заключить, что его значение постоянно.
При /я = 2 это сводится к теореме, данной Лиувиллем.
§ VIII
Посредством доказанных нами теорем можно вполне решить вопрос
об интегрировании, при помощи одних алгебраических и
логарифмических знаков, биномиальных дифференциалов
x*{a + bx?ydx,
где s, s'y s" — рациональные числа.
Интеграл этих дифференциалов легко приводится к виду
. \ x*~l(l-\-x?)mdx,
где р, q, m, ml—целые числа и ^>0, а значение этого интеграла
находится по известным методам, если одно из двух количеств
р р х т' г>
1? ' qi ~т число Целое- В противном случае интеграл приводится
к виду
. р xpf-l
Uo+\ zpdx,
v m
где U0— алгебраическая функция, р1 — наименьшее положительное число,
сравнимое ср по модулю q, а т* — наименьшее число, сравнимое с —т'
по модулю т, что предполагает
p'<Cq, m'<m*.
* При помощи интегрирования по частям или при помощи метода
неопределенных коэффициентов дифференциальный бином можно всегда преобразовать таким.
образом, что при целых тип можно сделать /я ^ -2- и /? < — , т. е., в обозначениях
Чебышевз, /?—. 1 < — и — <"о-» откуда сейчас же получаем* условия Чебышева:
Р' <Я. 8 т"<м-, Вывод формул цриведения см., например, в ,книге К. Поссе,
И. Привалов. Курс интегрального исчисления. 1939, стр. 46. — Ред.
— 67 —
С р'—*
Чтобы найти алгебраический член в выражении интеграла I ——— Лс
следует, согласно § I, искать общий наибольший делитель функций
. \ а(\ -4-xq)m"
(l-J-л?)*1* и dx •,» Так как этот делитель равен {\-\-х4\т"-\ то
заключаем, что. алгебраический член имеет знаменателем функхщю
•(l-i-xty*-1.
Но, рассматривая функции
VJ ПГХ J /, . а\т'г —— >
Х(\-\-Хч) т
в которых, как мы видели, /?'<#, т"<^т, /?'>0, находим, что их
степени ниже —1, что, в силу § 1, свидетельствует, что а выражении
хР1-1
^5 dx нет алгебраического члена. Поэтому остается искать его
выражение только через логарифмические члены.
. ., Но из сказанного в §111 следует, что подобное выражение его воз-
i
можно только в том случае, когда степень — не выше—1, а зслед-
ствие последней из доказанных нами теорем, эта степень не должна
xpi-\
быть ниже —1; следовательно, интегрирование —, при иож>ИШ
(1 + **)»"
алгебраических и логарифмических знаков невозможно, если степень
хр'-\
функция ^ не равна в точности —1, что. и влечет за собою *га-
кое соотношение между показателями /?', q, —:
£1-21 = 0.
р т
Переходя к числам р и т'у из которых первое сравнимо с jf нб
модулю q, а второе с — т" по. модулю щу мы находим, что последнее
соотношение требует, чтобы -2--J-— было целым числом. Следователе
но, кроме этого случая и случая, когда р делится на q, интеграл
г 2!
]xp^{l.+xq)mdx
представляет особенную трансцендентную функцию, что и' требов'алГоСь
доказать, чтобы быть уверенным, что обыкновенные методы
интегрирования биномиальных дифференциалов с рациональными . показателями
обйимают все случаи, когда эта интегрирование вьшолнимо при помощи
алгебраических и логарифмических злаков.
— 68 —
* IX
Из найденного в §§ IV, V и VI заключаем, что вообще число
логарифмических членов, достаточное для выражения интеграла Sp-^-*
равно /—Х+1, где / обозначает степень функции Fx, а X— число
уравнений (4). Кроме того, мы видели, что интеграл m~-j-может быть
приведен таким образом, чтобы в уравнении
все члены имели вид
где щ—целое вещественное число, а
представляет функцию, степень которой равна /И?-л/ и которая для
всех конечных значений х остается в конечном отношении с функциею
[(* —*) '(*—*ТЧ* —*'Т' • • .(jc —х^-^Л (л — *&**)]*,
числа же Л1?, л£, Л#, Л*Г, ..., M?~l) известны из уравнений (4).
Нетрудно убедиться, что по этим данным вполне определяется
ifxdx
■р^-£, т. е. если найдены числа
щ, п1У я2, ..., Щ~\
и функции
W(t, Wl9 W%9 .... Wg_x,
выполняющие вышеприведенные условия, то сумма
будет выражением интеграла J Щ.Ц;, если последний может быть
выражен при помощи логарифмических членов.
Действительно, если эта сумма не представляет значения интеграла
fx Fx
jsjT» т0 пусть
В0 log W°, В, log W, В2 loj W", .... Bs log P4
J
будут члены, которые надо к ней прибавить, чтобы сделать ее равною
|йпг- Получим
+ В0 log W\ + В log W + В, log W +... + В, log 1Г*.
— 69 —
Для этого выражения интеграла j^^ уравнения (2) и (3) дают
A\+i)
/-0 ni /-о
'-'-* ,(х+л ;~*
/-*
/-0 ' /-0
■ч' г>" tV"
где v„ Рь PJ, РГ, ..., Р/°—комплексные числа, зависящие от а,
имеющие то же значение для функции W(I\ какое имеют числа ji/f Л//, Л& Л/}",f.. .-
М(/) для функции ЯР,.
Но найденные значения jxf> Л//, Л#, М'", ... , ЛГ/Г) (§ V),
удовлетворяют, как нетрудно убедиться, следующим равенствам:
/—г—х
J*/
/.о
1-й '
/-о л<
*» = "£ Ni^.
/-Э
Следовательно, предыдущие уравнения дают равенства
ffV/B/=o, 2Pte*=o, 2р?Д/=о, ..., SpPb^o,
/-о '-о /-о i=o
которые должны быть тождественны относительно В0, Ви В2> •••> Дг>.
если сумма
B0\ogW°±B1\orW' + B2logW,' + ...+Bs\ogWW
приведена к наименьшему числу членов (§ II). Следовательно,
V/=o, р;=о, р;=о, ..., pi°==o,
что, на основании § VI, приводит нас к заключению, что каждый из членов
BQ log W„ В2 log W,, 5S log 1^, ..., B, log W,
величина постоянная.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ
ПОЛИНОМОВ ТРЕТЬЕЙ ИЛИ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ*
В этом мемуаре автор дает общий и прямой способ такого
интегрирования, если только оно возможно в конечном виде. По его
исследованиям, опубликованным в 1853 г. в журнале Лиувилля „Journal de
mathematiques pures et appliqueesfti это интегрирование сводится к
определению целых функций и чисел, которые удовлетворяют известным
условиям. В настоящем мемуаре он дает способ для нахождения этих
неизвестных, если только дело идет об интегрировании указанных
дифференциалов; он достигает цели при помощи некоторого преобразования
своих уравнений, после которого.их решение сводится к одной задаче,
решенной Абелем (Oeuvres completes, I, p. 33). Автор замечает, что
это преобразование его уравнений необходимо также для упрощения
интегрирования более сложных дифференциалов, что оно моя:ет быть
с выгодою употреблено в других исследованиях трансцендентного
анализа и в самой теории чисел, что этот метод дает прием, посредством
которого можно найти представление чисел квадратными формами. Что
касается дифференциалов, которые содержат квадратный корень из
функции четвертой степени, то этот метод приведения доставляет очень
интересное сближение построения иррациональных величин посредством
линейки и циркуля и интегрирования дифференциалов в конечном виде.
Оканчивая свой мемуар автор излагает вкратце правила, которые,
согласно его исследованиям, составляют общий способ интегрирования
дифференциалов, содержащих квадратный корень из полинома третьей
или четвертой степени, если только интегрирование возможно в
конечном виде.
* Краткая заметка в Bulletin de la Classe phys.-mathem. de Г Acad. Imp. des
Sciences de St.-Peteisbnurgb XII, стр 315—316» представлена 1 февр. (20 янв.) 1854 г.
Собр. соч. П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб.
1899, стр. 699—700. —Ред.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ
МНОГОЧЛЕНА ТРЕТЬЕЙ ИЛИ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ*
§1
В мемуаре „Об интегрировании иррациональных дифференциалов*,
напечатанном в 1853 г. в Journal de mathematiques putes et appliqiiees
de M. Liouville**, мы дали метод для нахождения алгебраической части
Г { х dx
в выражении интеграла И— m —, если он возможен в конечном виде»
J г*хf/ Ъх'
и для определения отдельно всех логарифмических членов при помощи
некоторых условий, которым они должны удовлетворять. Теперь мы
покажем, как можно по этим условиям найти логарифмические члены
в самом простом и наиболее интересном случае, именно в том, когда
дифференциал содержит корень квадратный из многочлена третьей или
четвертой степени. За неимением общего метода известны только
частные случаи, когда подобный дифференциал интегрируется в конечном
виде; во многих других случаях, когда это интегрирование также
выполнимо, его производят только, пробуя различные преобразования,
а чаще всего отказываются от мысли найти интеграл, сделав множество
безуспешных попыток.' Но, по нашим изысканиям, упомянутым выше,
частные методы и пробы различных преобразований, употребляемые
при этом интегрировании, заменятся общим и прямым способом,
как только удастся определить логарифмические члены в выра-
Г { х dx
жении ——г = по условиям, найденным для их опре-
J /VrV.**+M + 7*2 + 3* + *
деления.
* „Sur Integration des differentielles qui contiennent une ratine ^атгёе cTun
polynome du troisieme ou du quatrieme degre" (Memoires de Г Acad. Imp; des Sciences
de St-Petersbourg, VI serie, VI (1857), стр. 203—232); русский перевод E. И. В-ой
в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркове и Н: Я. Сонина, том I, СПб.
1899, стр. 171—200. — Ред.
** См. стр. 52—69 этого тома. — Ред.
— 72 —
Мы теперь дадим метод, по которому отыскание этих членов сводится
всегда к такому вопросу, решенному Абелем:
Найти все дифференциалы вида Щ=, где р и R суть целые
функции х, интегралы которых могут выражаться формулой вида
l0g£±l!$l(0euvres completes, I, 1839, p. 33).
Это интегрирование будет, таким образом, заимствовано у Абеля как
по основному принципу, из которого мы исходили в наших изысканиях
об интегрировании иррациональных дифференциалов, так и по методу
решения упомянутого вопроса, к которому сводится окончательно опреде-
ление логарифмических членов в выражении J —^.^+ Л#+ъх + \.
Поэтому наши изыскания, как нам приятно думать, заполнят в
некотором отношении пробел, остающийся между теми мемуарами этого
великого геометра, в которых он дает общий вид интегралов
алгебраических дифференциалов, если они возможны в конечном виде, и теми,
в которых он отыскивает их выражение, делая частное предположение.
Приведение наших уравнений, о котором мы только что говорили,
необходимо также для упрощения интегрирования дифференциалов более
сложных. Что касается дифференциалов, содержащих под знаком
квадратного корня только функцию первой или второй степени,—это
приведение доставляет, непосредственно логарифмическую часть их
интегралов. Кроме того, это приведение замечательно различными извлекаемыми
из него результатами относительно природы интегралов, а это дает нам
очень интересное сопоставление построения иррациональных величин
при помощи циркуля и линейки с интегрированием дифференциалов
в конечном виде. Таким образом, увидим, что если сумма чисел л°,
#', п\ ... нечетная, то интеграл
где для сокращения мы сделали А (х) = Vx* + fiх8 + ух2 + Ьх+X, не
может быть выражен в конечном виде, если по количествам
а', а\ ..., р, у, 8, \
и при помощи циркуля и линейки нельзя построить ни одного из
корней уравнения
Например, интегралы
— 73 —
и т. д. невозможны в конечном виде, потому что при помощи циркуля
и линейки нельзя вписать в круг правильный семиугольник, что
необходимо для построения корней уравнения х*-{-2х2 — 8x4-9 = 0*.
Есть и другие вопросы трансцендентного анализа, где тот же метод
приведения может быть употребляем с пользою, именно когда
желательно выразить сумму интегралов
Г /0х dx | Г f0x dx . ,
J «*-H KG"1"] <**+(* УТх^"'
при помощи суммы определенного числа подобных же интегралов с
прибавлением к ней некоторой алгебраической или логарифмической функции.
Наконец, этот метод, приложенный к числам, дает нам прием, при
помощи которого находится представление данного числа формою
хг— Пуъ во всех случаях, когда это число может быть представлено
такою формою и когда известно значение ху при котором формах2 — п
делится на это число. В случае п = —1 это сводится к остроумному
способу, употребленному Эрмитом для доказательства, что все простые
числа вида 4А+1 всегда разложимы на сумму двух квадратов и для
выполнения вместе с тем такого разложения**.
§и
Если в формулах нашего мемуара, упомянутого выше, сделаем
от = 2, Л = у^бЗс=КбЗс,
то найдем, что уравнение
хт— 1=0,
один из первообразных корней которого послужил нам для составления
комплексных чисел, обращается в х2—1 = 0; а так как первообразный
корень этого уравнения равен —1, то комплексные числа,
обозначенные нами через
М°, Ж!, М% ...,
становятся вещественными и рациональными. Сверх того, общий'вид
логарифмических членов
A log [<р (%' (а4)?*'(а2Л) • •. ^(ф-Щ
* Уравнение лг* + 2л:2 — 8*+ 9 = 0 имеет резольвенту третьей степени
01 + 16б2-б4.8.е —642 = 0, (1)
где б = (xi — х2 4- xz — х±)2. (См., например, I. Serret, Cours d'algebre supdrieur,
И, 1879, стр. 478). Полагая 6 = 16 .у, приведем уравнение (1) к виду
У+У-2у-1=0. (2)
С другой стороны, уравнение деления окружности на семь частей
^ + *5+* + *s + *2 + * + 1=<)"
подстановкою y = z-\ также приводится к уравнению (2).—Ред.
** Ch. Her mite, Note sur un theoreme relatif aux nombres entiers (Journ. de
math, pures et appl., I serie, III (1848)); см. также Oeuvres de Ch. Her mite; I, 1905,
стр. 264. —Ред.
— 74 —
по причине того, что т = 2, \=УИх, становится
A logKcpV'oT) <г Ч - УЩ=А log^^ ;
а так как ю — целая функция, то получим
ср(У Е) = Хо + X Vbx, ?(— КЙ = *0 — -Y1 'бх.
где Хо, X суть целые функции.
Итак, логарифмические члены в выражении интеграла I j~ r^=
напишутся так: __
AlogX* + xY* .
Стараясь определить эти члены, мы нашли, что коэффициент А
будет равен известной величине, деленной на неизвестное целое число,
и если обозначить это число через пь то степень функции -^—~=^
Х$ — ХуЪх
выразится произведением щМ°п где Щ — величина известная. Сверх
того, эта функция для всех конечных значений х будет в конечном
отношении с я,-й степенью функции
(Х-*)\х-хГ)м\х-хГ<)^. • ^(х-х^^'\х-х^%
где
лг;, м% м?, ..., Mf-v
в рассматриваемом нами случае вещественны и рациональны. Переходя
к определению неизвестных пи XQ, X, мы замечаем, что п1 должно
приводить произведения
пгЩ, n£M'iy n£M"i9 п£М?, щМ?^
X 1 X T*"9jc
к целым числам, ибо пШ означает степень °-£- f , которая
немого — X У Ьх
жет быть дробной, так как Х0, X—целые функции; то же самое имеет
место относительно произведений
п£М'р ntM% п£М™, ..., п£М^\
которые равны показателям х — х\ х — х\ х~ х",..., х — л*'—х> в
первых членах разложения -° ' г£- по возрастающим степеням х — x!f
Xq X У VX
х — х", х — jd",..., х — х^-1). Следовательно, ni должно делиться на
наименьший знаменатель, к которому могут быть приведены количества
Щ% М'„ М% ..., Mfl),
а потому, если обозначить этот знаменатель через а и частное —
через + Р или — Р> будем иметь
— 75 —
где мы возьмем тот из двух знаков, который принадлежит Щ. Поэтому
щМ°и степень ^L±^_i; выразится черезЧ^аЛ^р, где ±Ш?
приводится к целому положительному числу. Обозначая это число через тг
и применяя для степени J>+*^!|f обозначение Абеля* ъхо+хУ**
х0-хУъх x0-xVb;
будем иметь относительно р такое уравнение:
x,-xVfc-^
Что касается функции, которая при всех конечных значениях х
остается в конечном отношении с функцией °~^ 1; то, в силу
xQ — х \Ьх
п~±ра, она приводится к '
[{x—x'f'1 (x—xffi (х — хГ')"'...^ — ^))^1* (х — х/Н*)]**9,
а так как произведения аМ'г оМ"п ..., аМ^-г\ по свойству числа а,
приводятся к целым числам, то функция
[(х-х'р.(х — х")'.(х-x'")Mi ...(х-х^))Mt (х-&Щ
может быть только рациональной. Итак, если положим для сокращения
[(*-*')*' (x — xrf* (х — Х"')<...{x-x^^f^ (x-xQ+i))f>=!L9
где я, v суть целые функции, и если условимся обозначать через Т все
функции, которые остаются конечными, пока х не бесконечно, свойство
рассматриваемой нами функции и у1лг-- выразится таким уравнением:
Хь+xVbi =т(«\*.
Хъ-ХУЬх \v
По этому-то уравнению, в соединении со следующим?
мы должны отыскивать число р и функции Х0 и X.
Эти уравнения будут чаще всего очень сложны по причине
высоких степеней функций и и v и значительной величины тт. Но мы
покажем, что их можно привести к такому виду, что сумма степени гю и
числа тг будет ниже степени У^х.
9 dx
См. N. Н. A b е 1. Sur Integration de la formule differentielle-^=r-, R et p etant des'fon-
ctions entieres. Oetivres, 1, 1881, стр. 108. —Ред.
— 76 —
§ Ш
Нетрудно убедиться, что если Ьи (U — целые функции, произведение
которых равно Ьх, а р и д какие-нибудь целые функции, то искомуюг
функцию х°~^х^ ^ можно представить в виде
J\n —~ л у Ох
\pVh-qVbJ />0-<?0J «*'
выбирая подходящим образом целые функции Р0 и Q0. В самом деле,
частное __ _ _
приводится к выражению
(xQ -+• хУЪх) {рУ\-дУТ)р ^(Xq+xVG) (Рьг-яУЧхУ
(Xo-XVtyipV^ + qVW (XQ~XV$i)(ph + qVfc)*'
которое можно представить в виде u ' —~, обозначая через Р0 ра-
Po — Qoyte
циональную часть произведения (X0-{-XVbx)(pbl — qVbx)? и через
QaVbx ту часть, которая имеет множителем Vbx.
Но если подставить в уравнения
Х0+хУЪх_т(и\? ъХ^ХУЫ:
х;^угх-т\^)' ьх^х7ь~-** {1)
(рУ\+-яУ*Л* Рь + Я(УЪх Ха + хУЬЦ
произведение ^v , : • „„1-~ на место » °^ r* % они
^ \рУ\-я\ъл1 p0-QqV*x Хъ-хУъх*
приведутся к таким:
р^±9^^ — т[± рУЧ-дУЧУ
Ръ-ОъУъ* \v рУЧ + яУч)'
а если функции р и q выбраны так, что они удовлетворяют уравнениям
рУЧ+яУ^=п с/. >рУ*1+чУТъ
pVh-яУь* v 'u' ' P\'h-qVh~**'
то уравнения, которые определяют новые неизвестные Р0 и Q0,
становятся __
P9-Q0VG-rW) ' 8р0-~РоУС~(7Г_7Т1)Р- (2)
Эти уравнения будут более или менее простыми, смотря по
величинам р и q, употребленным в приведении, о котором мы только что
сказали. Но мы покажем сейчас, что в приведенных уравнениях (2)
сумма степени aV и численного значения тс — тх будет ниже степени
Vbx, если взять для р и q функции, находимые следующим образом:
77 —
1) Отыскиваем целую функцию S, для которой дроби ^К^+Ма
^—2-не становятся бесконечными, пока х остается конечным.
5-
УЧ
У¥
2) Разлагаем —j~ в непрерывную дробь и среди подходящих
дробей находим такую, степень знаменателя которой ниже у uv^l**t
но за которой следует дробь со знаменателем степени высшей
fuvbyx*-
УГх в
м
3) Обозначая эту дробь через у, принимаем
q = N, p=SN—Mwv. (3)
В самом деле, из уравнений (3) и из свойства функции S видно, что
оба выражения
рУ'\Л-дУЧ рУ\-дУч
и у v
остаются конечными при всех конечных значениях х. Поэтому, если
обозначить через
а, аи а2,..., р, (Jlf (52,...
значения х, обращающие эти выражения в 0, а через
Т* jv Jъ • • • 9 £> §v £ъ> • • •
показатели
х—a, x — av x — av...9
х—~% *> — Pi» х—Р2,....
в юс разложении по возрастающим степеням этих разностей, то будем
иметь
pVh+iV<>i==Tiix_ay {x_ainx_att,..t
где Tv T2 означают функции, остающиеся конечными при всех конечных
значениях х.
Но так как показатели х — а, х — ат, х— а2,..., x—$,x — $v
рУЧ+яУЪ рУ<к-дУТ2. •
х—(J2,... в разложениях -—^~—= , £-—±~—* не могут содержать
других дробей, кроме т».т0 9ТИ уравнения приведутся к такому виду:
'УЬ^чУЬ=ту Vw, 'Vbj'Vb=TiU. у*, (4)
где u'f v\ w, w' суть целые-функции, из которых две последние
содержат только простые множители. Через перемножение этих уравнений
— 78 —
находим
uv l -
а следовательно,
nv u'u' У ww'
Это уравнение доказывает, очевидно, что Г,'Л— величина
постоянная; ибо, по свойству функций ТгТ2, их произведение не становится
нулем или бесконечным при х конечном, между тем как это уравнение
показывает, что квадрат Т^Т2 — дробь рациональная (waV)Sa^T , кото-
рая не может оставаться конечной для всех конечных значений хк если
не приводится к постоянной величине. Итак
а, следовательно, предыдущее уравнение становится
а.-л^ (5)
ии u'v' V wwf
Но это равенство предполагает, что ww'— полный квадрат, а так
как w, w' состоят только из простых множителей, то это может иметь
место только» при
w = w\ (6)
Поэтому, разделяя уравнения (4) одно на другое, находим
pYbi + q/bo
П 11f *
■pVh — vVh v ц
подставляя для сокращения Т на место ~ .
2
Теперь нам остается доказать, что если сделать
ьрУь^яУ\
1 pVh-gVh
то сумма b{ufv*) и численного значения к— ъг будет ниже 8 Vbx.А смотря
по тому, будет литг—^положительным или отрицательным, эта сумма
будет равна Ь(й'ъ')-\-т:—щ или b(u'v') — it+тг,. Мы покажем, что эти
два количества действительно меньше bV^x, если р и q определены
так, как мы указали.
Чтобы в этом удостовериться, заметим, что после подстановки
у ■ *рУХ + аУТ*
ох* и о—у-—^т7== на место тг и тг^ эти количества становятся
pVh — qvh
pVh+qVh }^ pVh-qV*%
Но, по уравнению (5), находим
4 У ДО
— 79 —
Поэтому предыдущие количества равны или меньше таких.
т pVb+tVf, vitv * ■
uv "Г pyh_qyWi -о у— Л -
Но первое из этих количеств через подстановку значений р и q, по
(3), становится
uv l \ wt/ Af/iV К J- gj '
25 W—Muo)Vi
Vuv
количеством меньшим 5 Кб.*, если в ряде подходящих дробей • е* за
-т? следует дробь со знаменателем степени высшей л/ uvby_f\ m Отно-
сительнр второго количества замечаем, что оно может быть
представлено в "таком виде:
25
Vuv * Vuv
U» J '
я, следовательно, не превышает по крайней мере одной из двух величин
2d
pVh-<;Vh-\
VI
»]-
25
pVh-чУ** „у
/да
—2il
Vac 2 У Vbx
Но так как мы нашли, что 2S -—LZ=f—'.к* меньше &Vbx, и так
F VX
-,/иуЬх-хк
как мы взяли q — N, степени ниже у ■ ■JL-■■, то отсюда следует, что
эти два количества ниже bVbx. Таким образом убеждаемся, что
величины р и q, определенные по изложенному способу, действительно
способны через подстановку
х0+xVte _ fnVi] + qV&\'p0 + Q0V&
xa-xv 6x \pVt\-qVhl P0-QtY*x
приводить уравнения
Xo + XV0x_t(jAp
X.-XVTx \v]'
ь x0+xVt)x _
ЛГ0-А-/вл:
яр
к таким:
где сумма степени uV и деленного значения тт — т^ ниже степени VTx.
— 80 —
Мы покажем теперь, что это приведение будет всегда возможно,
если первоначальные уравнения сами не удовлетворяют условию
Легко заметить, что определение р и qy о котором мы говорили,
предполагает существование только двух подходящих дробей 1-
таких, что одна имеет знаменателем функцию степени низшей
у —Lr—, между тем как у следующей знаменатель степени высшей
/:
av^-x*
V*x
Но мы увидим, что это всегда будет иметь место, если условие
i(wv)-{-Tc<^iVbx не выполнено и если разложить подходящим образом
функцию Ьх на два множителя 0г -62, именно так, чтобы у ~^.1^было
дробцой степени. В самом деле, при этих предположениях степень
у uv Г5* выше 0, а, следовательно, если начать ряд подходящих дро-
■ s-л/Ъ
— V ь о
бей —L с у, где знаменатель нулевой степени, то, наверное,
найдется между ними по крайней мере одна дробь со знаменателем степени
высшей 1/ —-rt=— •
Но тогда в бесконечном ряде подходящих дробей выражения
- найдутся непременно две последовательные дроби такие, что
VTv
одна будет иметь знаменателем функцию степени низшей у gpV-**
между тем как знаменатель другой будет степени высшей у uvdrxK
г УТХ *
если только ни одна из подходящих дробей ±- не будет иметь
знаменателя той же степени, как у UfAyx* ^ ^0 этого не будет, если
эта функция дробной степени, ибо при Ьх четной степени все подхо-
дящие дроби ———i.= —— содержат только целые степени
х, а при Ьх нечетной степени степень у uv*vx* имеет вид А-+-4-
Г Vbx ~4 '
— 81
*-V\
между тем как дробные степени х в функции —^—1 имеют вид
V \_ уьх
*+±
S-
Заметим еще, что в ряде подходящих дробей —
дробные степени х встретятся только после дроби -у , служащей для
нахождения функций р и д. В самом деле, дробные степени х могут
входить только, если Ьх степени нечетной. Но тогда все функции вида
X | х У^бЗс
-£-3-—*7=-, очевидно, нулевой степени, а следовательно тг=0. Но если
^"о — ХУ их
тг равно нулю, то на основании сказанного нами об определении р и д
знаменатель N будет степени низшей у ™2 , и при таком
знаменателе подходящая дробь дает, вообще, функцию, из которой она
получается через разложение в непрерывную дробь, только с точностью до
количества порядка высшего 7—/4тлп\» = иТ£^ = 7^ V Г- Но ИР-
1 _уе* 1 _ 1 /•,
/avSx у h uv uv V бх"
ТЁ7
рациональная часть ——— именно точно такого порядка.
Итак, в этом случае эта часть не имеет никакого влияния на дробь
м л У 8i м
—- , так что можно ее выпустить в формуле ——±- и отыскивать -г?,
разлагая только — в непрерывную дробь.
§1Т
Теперь мы покажем, что можно извлечь из только что
изложенного приведения для решения уравнений
Xo — XVbx \vJ' XQ-XVex " .
когда Ьх третьей или четвертой степени. По нахождении функций р и д,
как мы сказали, полагая
ХъЛ-ХУТх =fpVh + qV*1 VP0 + Q0V9x
х,-хУЪх \pVh-~qVh) Pq-QqV*x'
приходим к таким уравнениям: ,
б П. Л. Чебышев, т. II
— 82 —
Чтобы найти функцию ~, разделим р% — q% на tw. Из способа,
служившего нам для нахождения функций р и д. ясно, что частное от
этого деления будет степени низшей Кбл*, а, следовательно, когда Од:
третьей или четвертой степени, это частное представится вообще через
ахАгЪ. Но, по уравнениям (5), (6), это частное равно u'v'w с
постоянным множителем. Поэтому одна из трех функций
я', v\ w
будет равна ах-\-Ь, а другие обратятся в постоянные величины, и,
следовательно, придем к одному из трех случаев
—— — ах j_ £ = /г^/7/. величине.
v ax-\-b' v l ' tr
г.
Но полагая х = в уравнениях (4), где, по (6), w' = w, увидим,
что первый случай имеет место, если это значение х делает
и ~и'
второй, если
v
Ъ
и, наконец, третий, если при — находим в одно и то же время
рУ*\ + дУь =Q рУ%-*У*% = 0
и ' v
Итак, если условиться обозначать через е величину, которая
обращается в
+ 1, -1, О,
смотря по тому, получается ли при х —
рУЦ+аУЪ_„
и ~~U>
или
рУ^дУ^__
V — U»
или одновременно
рУЧ + дУЪ__п рУй-дУЪ „
то величина -у будет дана уравнением
* 1
« (ах+Ь)Л
Поэтому уравнения, определяющие Р0, Q0 и р, становятся
(7)
— 83 —
В случае, когда а не обращается в нуль, можно представить эти
уравнения в более простом виде, вводя вместо х новую переменную z
по уравнению
ах-\-Ь = ~ .
Po + QoVfo
В самом деле, если рассматривать величину 0~rvo rr_ как функ-
цию этой новой переменной, то легко убедиться, что, по предыдущим
уравнениям, функция u „■*/•*-> выраженная через z, определится
Pq — Qo У "х
такими свойствами:
1) Она остается конечною, пока z конечно и отличается от 0; ибо
Ь
эти значения z соответствуют значениям х, отличным от и
конечным.
остается ко-
2) При z = 0 предел отношения po + <?oT^;jg(*i-:Op
Ро — ОоУв*
нечным, ибо это отношение не что иное, как предел величины
/>о + ОоУ^;х(«-«1)р при x = O0.
Po — QoWx v _
3) При 2=оо отношение р°^™; * :zt? остается конечным, ибо
"о — <?о у 9-г
Т h
это отношение равно —, если сделать х = .
а9 л
Итак, делая ах-\-Ь = — , можно заменить уравнения (7) такими:
Но нетрудно удостовериться, что при а, отличном от нуля, будем
иметь
71 = 71!.
В самом деле, так как т^ = &£-Z_gaL*J_^ т0 разности тг—т,
Р У h — ч У 62
Kj — тс можно представить в таких видах:
ЬрУ\ + дУ^ х^ = 2Ь р Vh +jУЧ -1 ,/^х- ^
Поэтому, если коэффициент а в величине &г~"? 2 = ад;-{-£ не ра-
вен 0, то разности
Я ТГр ТСХ — ТС
соответственно равны
6*
— 84 —
Но, по § 3, имеем
2bpVh^V^x^ уг 2bpV\+JVT>x-^<bVVx,
а так как Ьх только четвертой или третьей степени, то это доказывает ,что
разности тг — тг1э ttj — ти ниже 1, что может быть только при п = щ.
Поэтому уравнения, определяющие Р0 и Q0 в функциях z, становятся
в?»
что мы представим в виде
, У. ** /_ = r, S г \ « У _гг (8)
чтобы освободить подкоренную функцию от отрицательных степеней z.
Но первое из этих уравнений отличается только по виду от
рассмотренного Абелем в его мемуаре „Sur Pintegration de la formule
differentielle y^-, R et p etant des fonctions entieres"; а из остроумных
исследований этого великого геометра мы знаем, что такое уравнение
невозможно, кроме случая Рв = 0 или Q = 0, если непрерывная дробь,
получающаяся из у z46 (а "^ г) , не периодическая; а в противном
случае, когда имеем
+ *■ >
^ 2r
" + 7-J.
этому уравнению удовлетворим, принимая
15Г-Г+7Г , _!_
Что касается уравнения
р**-а> \/ ^9(—
• te
— 85 —
то ему мы удовлетворим подходящим выбором р, именно принимая
Итак, если положить для сокращения
то искомая величина ° ' J/^a. в функции 2: будет
а по уравнению ах-\-Ь = ^ будем иметь, в функции х9
Число же р найдется по уравнению
Р = -
Эта величина р показывает, что решение уравнений (8), найденное
нами, может быть употреблено только в случае, когда s не обращается
в нуль, потому что при 8 = 0 эта величина р становится бесконечной,
между тем как р означает у нас число конечное. Но в этом случае
наши уравнения, очевидно, удовлетворятся величиной конечной р, если
принять одно из решений уравнения
P*+Qy *(*=*.) ^
которое мы отбросили, именно: Q0 = 0 или Р0 = 0, что дает нам
(9)
•«-/*-(тг
— 86 —
В этих решениях, при е = 0, число р остается произвольным, и
можно взять р = 1. Заметим, что эти решения, которые можно также
извлечь из формулы (9), принимая y{z) равной 0 или сю, могут быть
употреблены, в свою очередь, только в случае, когда s^=0, ибо иначер
будет равно 0, между тем как это число должно отличаться от 0.
Таким образом находятся функция Т\ ~ и число р, если част-
ное от деления р265 — дЧ2 на wv обращается в ахА^Ь и если а не равно
нулю. Но если случится, что а = 0, то функции а\ v\ по только что
сказанному относительно их определения, обратятся в постоянные, а
следовательно, уравнения, определяющие Ри, Q0 и р станут
Р^М^=Т, 0^o+ggi;^ = (Tr_ }
P0-QQYQx P0-Q0VQx v v<
А так как эти уравнения такого же рода, как и уравнения (8), и
только здесь Р0, Q0, V bx, тг — тг2 замещают Ри2Г2, Q0, у 2*flfSLzi_f^ е>
то мы заключаем, по предыдущим формулам, что решение этих
уравнений дается формулами
Po — QoVQx ъ{х) — УТх9 р *—*г ^Ю — У**'
где вместо <р0(*) возьмем нуль или бесконечность, если
тг — тг, = 0,
а в противном случае разложим УЬх в непрерывную дробь
" +77-
•- + U4-
+ .
и возьмем
1
'+■.,1
• + 7T + JL.
Заметим еще, что если первоначальные уравнения
х0+хУ¥х_r fu\t ,.x0+xVfc
Ъ-xVU-1 \Т) > $х0-хувх = п?
удовлетворяют сами по себ; условию
то их решение найдется при помощи формул, данных нами для реше-
— 8/ —
ния приведенных уравнений
В этом случае возьмем тт вместо тг— тгх и найдем a, b, s,
приравнивая
и _ 1
v ~(ах + Ь)г'
На основании высказанного нами относительно решения уравнений
Ь=1гШ-Т\т) ' Ьх—хТГх-^ <10)
можно доказать, что они невозможны, если, при Ьх четвертой степени
и ~у=г нечетной степени, уравнение 6х=0 не удовлетворяется
выражениями х, составленными из корней уравнения иг> = 0 и коэффициентов Ьх при
помощи только квадратных радикалов; следовательно, нельзя выразить
в конечном виде все интегралы, определение которых сводится к
уравнениям (10) этой категории.
Для доказательства заметим сперва, что в случае, когда
uvx*
нечетной степени, можно выполнить приведение уравнений (10) по § 3,
принимая такое разложение Ьх на два множителя 8Х, в2:
61==1, 02 = 6х;
а если с этими величинами Ьи 62, предполагая известными корни
уравнения uv — 0, сделаем приведение уравнений (10) и будем искать их
решения, то][мы встретимся только с извлечением квадратных корней и
различными рациональными действиями. Поэтому во всем этом анализе
будем иметь только количества, которые не могут удовлетворять
уравнению Ьх = 0 в рассматриваемом случае. Но мы сейчас докажем,
что, когда это будет, нельзя дать решения уравнений (10).
По предыдущему параграфу, при решении уравнений (10) можно
обойтись без разложения у zAb( a~z z) nVbx в непрерывную дробь
только в случае, когда е = 0 или тт — тта = 0, а = 0.
Но мы знаем (см. § 4), что количество е приводится к нулю только
Ь
в случае, когда значение х= удовлетворяет двум уравнениям
рУЧ+яУЧ_п pVh-яУЧ—ь
рУХЛ-qVX pVJl — qyil Ph — 01
а так как произведение И ц * v равно у 1uv4 1=*
= ax-f-6, то это предполагает, что разложенце
рУЧ + дУ*1 pVh-gYh
и * v
— 88 —
по степеням х-\— содержит дробные показатели, чего не может
быть, если 6Х и в2 не содержит множителя х-\- — \ следовательно, это
предполагает, что значение х =—- удовлетворяет уравнение 6,02==
= 6х = 0, что не может быть допущено, как мы уже заметили.
Случай, когда я = 0, тг — 7^ = 0, не может иметь места, потому
что мы нашли в предыдущем параграфе
1 Vuv uv
и так как
то получим
&=£*^ах+ь, ei = Ij %==bXt
uv
У uv
VLV Xя
Но в рассматриваемом случае функция -^=- нечетной степени, и
функция А /-— целой степени; следовательно, если (2 = 0, разность
i/bx
тга—тг имеет вид 2&+1, а потому не может приводиться к нулю.
Теперь остается доказать, что тем более не получится решения
наших уравнений через разложение у z4b ( а "^ г ) или Vftx в
непрерывную дробь. Для этого покажем, что, вообще, если ни один из
корней биквадратного уравнения /?=0 не может быть выражен при помощи
одних квадратных радикалов, то непрерывная дробь, получающаяся из
VR> не может быть периодической, т. е. вида
rH+J_
Г2 +
1 1
1 г, 1 1
ri+-h
Г1 "• '.
В самом деле, если б это было, то мы знаем из исследований
Абеля, что посредством этого разложения ]/# получилось бы решение
уравнения
Yl— r2R = C,
где Го, У—целые функции, а С — постоянная величина; все это,
будучи определено разложением К/?, можрт содержать только
количества, выражающиеся через ^коэффициенты R посредством одних
— 89 —
квадратных радикалов. Но, допуская такое решение уравнения
уз_у»Я=С,
предположим, что
yl-fR = c,
будет то из них, в котором у отличается от нуля и в то же время
наименьшей степени.
Из предыдущего уравнения находим
и, следовательно,
(yo + VT)(y0-VZl=)PR.
Так как y0Vc , y0-{-Vc не могут иметь общего делителя, то это
уравнение может быть удовлетворено не иначе, как если примем
yo+V7=yiR1, y0 — V7=y22R2, угу2=у, RrR2 = R9 (11)
и, следовательно,
2VrF=y21R1-y22R2.
А нельзя предположить, что одна из функций Rv R2 обращается
в постоянную; ибо, допуская, например, что R1=icv находим, по (11),
р
/?2== —, и, следовательно, предыдущее уравнение становится
С\
или
2c1V7=(cly1)*—$R,
что дает, противно предположению, решение уравнения
Y20-Y*R = C,
где степень Y—y2 ниже степеди у.
Но функции Ru R2 тем более не могут быть степеней выше нуля;
ибо иначе удалось бы разложить биквадратную функцию R на два
множителя Rv R2 и, следовательно, найти по крайней мере один корень
уравнения /? = 0 при помощи одних квадратных радикалов, так как,
по (11), чтобы найти Rr и R2) надо только найти общий делитель
функций уо+VT и R, y0—Vc~ и R.
§ VI
Оканчивая наш мемуар, сделаем обзор приемов, которые, по
изложенному нами здесь, составляют вместе с нашими вышеупомянутыми
изысканиями общий метод интегрирования дифференциалов,
содержащих квадратный корень из многочленов третьей или четвертой степени,,
поскольку это интегрирование возможно в конечном виде.
Предполагаем, что предварительно из этих дифференциалов
выделена рациональная часть и что остаток представлен в виде ~^--тй= г
где/о*, FoX не имеют вовсе общих делителей; предположим также, что б*,.
— 90 —
многочлен только третьей или четвертой степени, не имеет кратных
множителей, ибо иначе интегрирование i-^---^p= было бы очень простым.
Чтобы найти интеграл-^-^L в конечном виде, когда это воз-
v F0x Ybx
можно, поступим следующим образом:
1) Отыщем общий наибольший делитель функций F^x-bx и
d{FbX- х) ^ обозначим этот делитель через Q.
2) Определим степени функций jr—fc, ч ~ . Если эти
функции степени ниже —1, то алгебраического члена в выражении искомого
интеграла нет. В противном случае возьмем п равным наименьшему
целому числу, превосходящему степени этих функций, и отыщем
коэффициенты многочлена
Р = Впх- + Вп^х»-ь J и в,х* -f Вгх + Во
при таком условии: функция
■ dbx _. л dQ\
f F»xbx dP \lj\dx ** ^ dx j n
будучи разделена на Q, дает нуль в остатке, а в частном функцию,
степень которой не выше степени -^q— -
Если это условие не может быть выполнено, то заключаем тотчас,
что искомый интеграл невозможен в конечном виде. В противном
случае найдем коэффициенты многочлена Р и заключим, что
алгебраическая часть искомого интеграла имеет величину -^Vbx.
3) Представим функцию jrj — Vbx чdx в виде -gL, Где/х,
Fx—целые функции, не имеющие общего делителя; отыщем корни
Уравнения Fx=0 к вычислим количества /С0, К*, К", К'\ . -., К}1) по
уравнениям
[fx Ybx]x^oo' г {х')У*е (xr)'
1С— Пх*] --- Kll)-= f{xl)
F (*") Vb (х-) ' " " ' А Fx(') У'ЩхЩ '
где х\ х\ ... , х® означают корни уравнения Fx—О и Fx= —
dx
4) Отыскиваем целые числа М\ М\ М\ ... , М(/), при которых
М°К° + М'К + М"К" + ... + МРК® = 0.
Пусть \ число всех уравнений этого вида, не тождественных между
собою относительно
— 91 —
и пусть будут
получающиеся из этих уравнений выражения I количеств из ряда
К\ К', К\ ..., К{1\
в функциях других.
Отсюда заключим, что логарифмическая часть искомого интеграла
состоит из /—Х+1 таких членов
тЛ\) iA\+l) жАЯ
^-iog^o+V10s^+ ••• +hlogW^>
где п0, пъ ... , п^х означают целые числа, a W0, Wu ... , Wv
функции вида
х0 + хУьх
Х0—ХУЪх
5) Чтобы найти какой-нибудь член" —-— log Wg9 отыщем
наименьший знаменатель, к которому могут быть приведены количества М°£9
М., М], ... , М^-г). Обозначая этот знаменатель через а, сделаем
принимая тот из знаков +, который принадлежит M°£i и представим
выражение
[{х _ x')Mi (x - Х") £ . . . (х - Х^») ' {X - & +0) \
в виде простой дроби —.
6) Разложим 6л; на два простых множителя 6Г62 так, чтобы
/ tivb х™
у —7kr— не был целой степени; найдем целую функцию S, для кото-
f УЬх
рой дроби _ __
sVbl+y'b2 sVb1-Vb2
а ' v
не становятся бесконечными, пока х остается конечным, и, разлагая
выражение L в непрерывную дробь, отыщем между подходя-
щими дробями L такую, знаменатель которой степени наиболее
близкой к степени у *?^f f но ниже степени этой функции.
Обозначая эту дробь через -тт-, отыщем частное от деления
(NS—Muv)\ — N\
на uv. Это частное будет всегда степени ниже второй.
— 92 —
7) Если частное будет функцией первой степени ах-\-Ь, то
возьмем
— log Wi - -ТГ 10- {NS - Muv) Vh - N }% '
в случае, когда обе функции
(NS — Muv) У^ + NVh № — Muv) У1^ — N^
и ' v
обращаются в нуль при х = — —.
В противном случае будет
2.
— Muv)J/\ + NV\\ ■ ^
— Мии)Уь[ — ЫУЬ^) X
X
где w(z) — функция, равная
1 " +
если непрерывная дробь, получающаяся из у z%(———] ,
периодическая и вида
'+^. •
1 " +
+^+i
ri 4-— ,
1 2r ! »
+^
+*
+
p —степень —-, e = 4-l или —1, смотря по тому,
ъ
удовлетворяет ли х— уравнению
(MS—Muv) ]/"e1 + jV Уь2 _
= 0 или «rS-Mavrfb-NVb
+1 ~~"""* V/»
— 93 —
8) Если это частное обращается в постоянную, возьмем
в случае, если (^^у^^уу* нулевой степени. В противном
случае, обозначая через е степень (ЛГ ~~Muv)^^]_—NVb*_x* будем
иметь
_ -£-
^('+/) lo-W = £^(Х+0 loo- Г/У$-^"*)^+^М е .Уо(*)+Я1:
л/ & ' ^ PJ ^ LV(iVS — Л* и*) У0Х —NVbJ <p0 (*) — > Ох.
где
если непрерывная дробь, получавшаяся из корня Vbx> периодическая
и вида
Г+гГ+1
'•2 +
" + * + "'"а. >
p — степень ——!- . ■—.
r «pox — l/b:
9) To, что мы сказали об определении члена ——log Wiy приложимо
только в случае, когда степень функции uvx* превосходит 1. Если
случится, что степень uvx* не выше 1, то член log W{ будет
также определен только что изложенными нами формулами, только нужно
(NS — Muv)VTl + NV§; i-i, и
положить - ~~— *-~l = 1, найти а, о, е, приравнивая - =
= и взять е = тт, если а = 0.
10) Найдя все логарифмические члены, продифференцируем их сумму.
г- , , fx dx
Если этот дифференциал не приводится к yxyf^> то искомый
интеграл невозможен в конечном виде; в противном случае его величина
будет дана суммой
р ^(Х) г, (1+1) к-Щ
— 94 —
Если требуется, например, найти интеграл
1
2*« + 4л'5 + 7х* _ з.уЗ — .уа — 8.V — 8 ^
то отыщем общий наибольший делитель функций
Так как этот делитель равен 2х2— 1 и функции
(2лг2 — 1) (2х* + 4*5 + 7-у4 — Зл-з — х* — S.v — 8) 2.v- — 1
(2л'2- 1)2(л^ + 4л« + 2л-2+ 1) ' x)".v4^-4^4-2.v-+l
степеней ниже 1, то отыщем коэффициенты функции первой степени
Р = Вгх-\-В0. Для этого разделим
2х* + 4х* + 7х* — Зхз_ Л:2_ 8х-8 — (-^^(^-Ь4хза-2л-2+ПВ1 —
"1 (2*2 — 1 )2 (4л*з 4-12дг2 + 4*) (2л-2 — 1 р (.v* + 4л« 4- 2Л* 4- 1) -4дг] , D , D ,
2 2х^Г\ (2а*-1)3 J W-T^o)
на 2х2—1. Так как это деление дает остаток
(4B1 + 9B0-f)x+|si + 450-f
и так как, кроме того, в частном стоит член
(2х* — 1 }2 V х4 4- 4xz 4- 4>лг2 4- 1
степень которого выше -^= J к ^ ^
это нулю, что дает нам уравнения
4В1 + 9В0-? = 0,
и отсюда
Итак, алгебраический член в выражении искомого интеграла имеет такую
величину:
х+-2 г ,
V0c* + 4x8 + 2x2+L
2*2—1
Приводя выражение
2д^4-4д:5+7^— Ъх* — ** — 8дг— 8
(2лг2—1)2 ■ —
х+-2 ^__
— |/^ + 4д:3 + 2х2+1 ^—^ ix
к простейшему виду, приходим к
6х*+5х+7
2*2—1 ;
вне
9_
2
So
л: (2*2 —
ния
Вг + АВо
1
"" 2 '
1)
_13
2
р =
—~——. ?
=о,
•х+т
то
1-
*
приравняем
-£,=0,
все
— 95 —
а так как корни уравнения 2х2— 1=0 суть х = L л; = -4= то
)Л> ]/2
количества К°, К\ К" вычисляем по формулам
^ _ 6^+5^ + 7
4л:" Улл-"4 4-4л-,,з + 2х^+1 '
1 1
полагая х = — -^г-, л:^-^, что дает
Т 2 У 2
/с°=о, к' —f, *•=£,
и, следовательно, будем иметь
MV + М'/С + М'К' = О, (12)
если взять
Л*°=1, Ж' = 0, ЛГ = 0,
или
Л4° = 0, ЛГ = 1, /И"=1.
Что касается других значений М°, М> М", удовлетворяющих
уравнению (12), они приводят относительно ЛГ°, К\ К" только к уравнениям
тождественным с теми, которые были найдены при упомянутых
значениях /И0, М', М". Из этого заключаем, что логарифмическая часть
искомого интеграла содержит только один член
Так как коэффициенты выражения К0 и К' в функции К" не
дробные и коэффициент К* в выражении К0 нуль, то возьмем
о=1, тт = 0,
представим произведение
в виде дроби
1
* + &'
и, разложив х4 + 4х8 -{-2л:2-f- 1 на два множителя (х-f-l) (л8+3х2—л:+ 1)г
отыщем целую функцию S, для которой дроби
sY7+r\+yx3 + Zx*~-x+l sVx~+\-Vx* + '6x* — x-\-\
х~7? X+Vf
не становятся бесконечными, пока х остается конечны^, или, -что-то
же самое, функцию S, которая при .х=-т~, х^= — --?-= обращает-
— 96 —
ся соответственно в
УШ
3 / 1 \2
+3 У?
w+1
/тт
+ 1
3 — Тл2
я
V{-w)4-wbvf
/~Йг
+ i
3 + J'2_
Отсюда находим
5=1—Зл-.
/л-»4-Зл-2--л--г1
1-3*- |/
Отыскивая подходящую дробь -? ГТ7—~—Г~\ ' степень числи"
теля которой наиболее близка к степени 1 / \ t '•*> ' \ Т - ; V /
у у 'J*II 4л» + 2л2 +1 '
но ниже ее, возьмем для этой дроби j ; а так как
^.(i_3x)-o.^-^^4-y^)]2(^+i)-i8-(^+a^-*+i)=
=»8л3 — 4х,
разделенное на [^ — -т=| (х-\--т==\ = х2—^ , дает в частном 8л и
так как х = 0 обращает в нуль последнее из двух выражений
<1 — Ъх) УТ+Т +Ух» + 3x2 - -у + 1 (1— Зх)Ух"+Т— Ух« + 3х* — х + 1
х~п
х+п
то логарифмический член, по #°7, будет дан формулой
i4
ьр
-log
X
(1—Зх)Ух+1 + Ух' + 3х* — х + Гр1
(1 — Зх) Ух~+Т _ у> + 3х* — x + l/ Х
**?(—)+Ух* + 4х»+2ха+Г
где р означает степень
>Ш-"
+/
j4_^4x' + 2x*+l
*(*)
*(*)
-/;
(*)'+« Ф'+'Ш'н-'!
[ф'+ЧУ+^ЛЧ
— 97 —
Чтобы найти функцию ер (г), разложим корень
в непрерывную дробь. Так как находим
K24 + 2z' + 4z+l=^ + l+j . 1
тт г-
'2 (*»+!) +
+т'
2 ^"+" 2^ — 2 -{-
то возьмем
что дает
? (*)=*+1+J
2~Z-
2*-2 + -
? (г) =
z'° — z* + 3z*+z* + 2
а, следовательно, число р, степень
,w+/H(4),+4(i)1+2(i)4,
'«-/-[(4)'+«(i),+.(i)'+.J
равно 10.
Таким образом, полагая для сокращения
получим для искомого логарифмического члена такое выражение:
_ J_ i00. Г/п-а*)Т^ТГ+У>+з*«--х+Л-10
2-10 » |^(1__з*)1Лг+1-У*» + а*»-*+1/ X
х
или, что то же самое,
1 ГЛ1 - Здг) уТ+Т + VF+ал» - л- + 1 У°
Т g [\(1—Злг) Vx~+~\ — Vx* + bx* — x+l) X
л:*
ЛГ*
^^-(rl'+'f^'+^'+'l
[Ф'-ф*+•&'+&"+»]
+
—
т'-ш'+^т
№'-№+*№
А
Л
X
7 п. Л. Чебышев, т. И
2д-5 + лг» + За"2 — ДГ + 1 — f2^ — jc + 1) Д"
2л5 + л;3 + Ьл-2 — х+1 + (2х* — * + ^А
:]•
— 98 —
Итак, если искомый интеграл может быть выражен в конечном
виде, он должен быть равен
Х+-7) !
2л*=ЛД+Т10§
v 2.r5 + ;t-3 + 3.v* — .r4- 1 —С2х*- — х+ 1)Л'"|
^ч2л^-|-л-3 + Зл-2—.v+ 1 -р (2.v-— а--+- 1> Aj *
где
Действительно, дифференцированием находим, что это точно величина
интеграла
Г 2х* + 4л* + 7jc* — Зл* — х* — 8лг — 8
J (2*2 - I)2 Vx* + 4x* + 2x*+l dx>
который мы вычисляли.
1 — Xv) Vx 4- 1 +Vx* + Зл* — л + 1
{(1 - Зл) Vx~+~\ - V^4- Зл~ - л -г 1
1U
X
ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ АНАЛИЗА4
Если f(x) представляет целую функцию л-й степени и известны
п + 1 ее значений
то формула Лагранжа дает такое выражение этой функции f(x):
(х — х')(х — х")..- f( 0, , (x — x^ix — x").-. г, ,, ,
(JC0 — X')(X0 — X").*.J ^ ' « (*' — Л"0)(д;' —*")... •/ ^ »
Эта величина f(x) может быть представлена в различных видах;
один из наиболее замечательных видов есть следующий:
А' Я/С*) - А" ф, (х) 'ff ф, (■*')/(*<) + Л" <Ь2 (х) £" 4>2 (*')/(-*') - • • •,
:—0 1—0 /«О
где А\ А\ А\ ... означают коэффициенты при х в частных
непрерывной дроби
— . 1
-+S+5+.
происходящей от разложения суммы
и Ф1 М> Ф2 (х)> • • • знаменатели подходящих дробей, которые отсюда
получаются.
Эта формула выгодна потому, что она дает f{x) под видом целой
функции, члены которой, вообще говоря, представляют ряд, заметно
убывающий. В частном случае, когда
и п бесконечно велико, эта формула доставляет разложение f(x) по
величинам известных функций, которые Лежандр обозначил через
Хт (Exercices, Part. V, § 10) и которые определены здесь разложением
х 4- 1
выражения log __, в непрерывную дробь.
* Краткая заметка в Bulletin de За Classe phys.-mathem. de l'Acad. Imp. des
Sciences de St.-Petersbourg, XIII, стр. 210, представлена I ноября (20 окт.) 1854*
Собр. соч. П. Л. Чебышева под. ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I»
СПб. 1899, стр. 701— 702.- Ред.
7*
— 100 —
Но наиболее ценное свойство этой формулы состоит в следующем.
Если взять в этой формуле только первые члены в каком-нибудь
числе, то получится приближенная величина f(x) под видом многочлена
степени т—1 ис коэффициентами, указываемыми способом наименьших
квадратов, в предположении, что данные величины
Я*0), /(П /(*"), ..., /(х-)'
заключают ошибки одной природы.
В непродолжительном времени я буду иметь честь представить
Академии мемуар, где обнаружится, сверх того, польза, которую можно
извлечь из этой формулы для анализа*
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ МЕМУАРА О
НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ*
В заметке, читанной 20 октября прошлого года**, г. Чебышев
предложил формулу интерполирования, которая выгодна потому, что она
дает выражение искомой функции с коэффициентами, указываемыми
способом наименьших квадратов. В настоящем мемуаре он
рассматривает этот предмет в наиболее общем виде, именно предполагая
различными законы вероятностей ошибок значений искомой функции, и в этом
предположении он показывает, как при помощи разложения некоторого
выражения в непрерывную дробь можно найти приближенное выражение
искомой функции с наименьшею опасною погрешностью.
Для определения этого выражения он дает три различные формулы,
из которых одна заключает, как частный случай, данную ранее в
вышеупомянутой заметке.
Наконец, посредством этих формул он обнаруживает замечательные
свойства выражений, определенных разложением некоторых раЦиональ-
ных функций в непрерывную дробь.
Так, обозначив через
ФоМ, &(*), фя(*),
знаменателей подходящих дробей, происходящих от разложения в
непрерывную дробь выражения
где x0i хХ9 X2, ♦.., хп— различные друг от друга вещественные числа
и Ь(х) — целая функция, которая не обращается в нуль при х=х0, xv
-*2> •••» хп> он показывает, что функции $t{x), $2(x)> ••• отличаются
от всех других, имеющих ту же степень и тот же коэффициент при
наивысшей степени х, наименьшею величиною сумм
'ff*?(*,)os(*i). 2Ф! (*/)«'(**). •••
/-0 /-)
* Краткая заметка в Bulletin de la Classe phys.-mathem. de Г Acad. Imp. des
Sciences de St.-Pe4ersbourg, XIII, стр. 287—288, представлена 24 (12) янв. 1855.
Собр. соч. П. Л. Чебышев а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, той I,
СПб. 1899, стр. 703—704. — Ред.
** ,06 одной формуле анализа*, стр. 99—100 этого тома. — Ред.
— 102 —
С другой стороны, если обозначим через срт (х) функцию
Ы*)И*)
и, взяв ее значения при
Х = Х$У Xi, Х2, , . ., ХпУ Ш :^= и> 1, х, ..., /Z,
составим квадрат
¥оС*о)» ?o(*i)> «Pofo) • •, ?oW.
¥1 (*o). ¥i (*i)> ¥1 (*2)> • • • > ?i (*„),
?з(*о)> Ъ(хг\ ЧгМ, •••». <M*/i)>
?я(4 <p„(-*i)> <рЛ(*2)> •••> ?Л(*Л
то найдем, что этот квадрат удовлетворяет следующим условиям:
1)- сумма квадратов членов всякой вертикальной, как и всякой
горизонтальной, строки равна единице; 2) сумма произведений
соответствующих членов двух различных строк ' как для вертикальных, так
и горизонтальных строк, равна нулю.
Итак, эта функция доставляет решение задачи, которая была
предметом исследований Эйлера в его мемуаре „Problema algebraicum
ad affectiones prorsus singulares memorabile." N. Coram., XV.
Мемуар Чебышева будет напечатан на русском языке в Ученых
записках.
О НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ*
В октябре прошлого года я имел честь представить Академии
Наук один из результатов изысканий моих об интерполировании:
формулу, которая дает приблизительные выоажения искомой функции по
ее частным значениям, и притом с коэффициентами, определяемыми
условием способа наименьших квадратов. Такая формула, как видно из
записки моей,, напечатанной в Бюллетене Академии под заглавием
«Note sur une formule d'analyse» **, получается при помощи
разложения некоторой функции в непрерывную дробь. Оставляя
исследование этой формулы по отношению ее к интерполированию до окончания
изысканий, моих об этом предмете, мы рассмотрим здесь эту формулу в
отношении ее к непрерывным дробям, как выражение особенного
свойства их.
Мы начнем с вывода этой формулы, предложенной нами в
вышеупомянутой записке без доказательства, и потом покажем, что из нее
можно вывести относительно свойств подходящих дробей, получаемых
через разложение некоторых функций в непрерывную дробь.
Началом наших изысканий будет решение следующей задачи:
Известны значения F(x) при п-\-\ различных величинах
переменной x = Xq, xv хг, ..., хп; найти значение этой функции при х = Х,
предполагая, что она выражается такою формулою:
а -\-bx-\-cx* + ••• Jrgxm-l-irhxmy
где т не превосходит п, и притом так, чтобы погрешности значений
F(xQ),F(xJ> F{x1)> ..., F(xn) имели наименьшее влияние на искомую
величину F(X).
♦Опубликовано в Ученых записках Имп. Академии Наук, III (1855), стр. 636—664;
французский перевод „Sur les fractions continues* в Journ. de math, pures et appi.
II, serie, III (1858), стр. 289—323. Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред.
А. А. Маркова, и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 203—230. — Ред.
** См. стр. 99—100 этого тома— Ред.
— 104 —
Выражения F(x) при х = х0, х1, х2, ..., хп дают нам такой ряд
уравнений:
F(xo) = a + bxo + c4 + . • .+«*S,~1 + A*S',
F(Xl) = a-\-bxl +сх\ +... + «xf1 + hxT,
F(xi) = a+bxt + cxl + ... + gx?-1-\-hxZ,
F{x,~) = a-\-bxn-±cxl +... + gx?-1 + hx?.
Чтобы вывести отсюда значение F(X), мы умножаем эти уравнения
на неопределенные множители Х0, Х„ ).2, ..., \п и потом берем их сумму
lo F(xQ) + llF(xl) + \2F(x2) +... -f V(*Jh=
=аа0+х1-ьх2+--.+и-т-
+ * Мо + Vc, + М* + • • • + Х,Л») +
Сличая это с величиною F(X) = a-\-bX-\-cX2-\- .. .-{-gX™-1-^ kX,
мы находим, что для равенства
F (X) = luF (хй) + \F (Xl) + l2F (x2) + ... + lnF (xn)
множителе X0, 1г, X2> • • • > Ал Должны удовлетворять таким уравнениям
1о + *1 + Ь2 + ... + *я=1э
Хо-^о 4- ^i-^i Н~ ^2-^2 "Ь • • • "h \xn—ХУ
W"1+W""1+W1 + • • •+W1=хт~\
l0x? + X^f + X2x- + ... + \nx? = Xm.
Этими уравнениями вполне определяются значения множителей Х0,
\, Х2, ... Дп, если т — п\ ибо тогда число их равно числу уравнений,
и в этом случае для коэффициентов формулы
F (X) = l0F (jcb) + \XF (хг) + l2F (х2) + ... + IJ* (хп),
определяющей значение F(X), возможна одна только система
величин Х0, 1и 12У ..., 1п. В противном случае, если т<^п, эти уравнения
могут быть удовлетворены бесконечным множеством различных величин
Хо> Xi, Х2, •.., Хл, и каждая система таких величин, по формуле
F(X) = l0F(x0) + l1F(xl) + l,F(x,) + ... + lnF(xn)
нам доставит особенное выражение величины F(X). Но, ис условию
задачи, из этих различных выражений величины F(X) мы должны, выбрать
ту, в которой погрешности значений Fixo), Fix^, F{x2\....,. F^)
— 105 —
имели бы- наименее влияния на искомую величину F(X); а для этого,
как известно из теории вероятностей, значения Х0, lv l2, ..., ).л в
формуле
F(X) = V»FXx„) + XxFix,) + \2F(xt) +... + ).nF(x„)
должны быть выбраны под условием наименьшей величины суммы
где через Щ, k2v k\y. .., k\ означаем количества, пропорциональные
средним величинам квадратов погрешностей значений F{xQ), F[xJ,
F(x2), .. , F(xn). Для ббльщей общности мы предполагаем, что вообще
законы погрешностей в величинах F(xQ), F^), F(x2), ..., F(xn)
различны между собой. Что касается до случая, когда для всех величин
F(*o)t F(xi)f FM-f •••> F(xh) закон погрешностей один и тот же, мы
будем иметь
/cq -— /2j =—- «2 '-— • • • Н>п
и можем взять эти количества равными 1.
Итак, при тгк^п решение нашей задачи приводится к определению
F (X) по формуле
F(X) = l0F(x0) + l1F(x1) + l2F(x2) + ..-+lnF(xn),
Где' множители 10, 11У \2, ..., 1а определяются уравнениями
10+^ + 1, + ... + 1Я=1,
1*4+М?+ h^+... + \*l=х*9
•т-.1
(1)
и условием наименьшей величины суммы
К\ \ К \ "Г ^2 Л2 I" • # * "I ^ а К'
Заметим, что это же может быть отнесено и к случаю /п=я, ибо
тогда значения ;0, lv \2, ..., \п вполне определяются уравнениями (1)
и условие наименьшей величины
>2-;2 I
коко
к\11 + Щ11 + ... + к1\1,
ничего не прибавляет, что согласно со сказанным выше об этом случае.
Приступая к определению величин lQy \x, \2у •-•> К> положим, что
Ь(х) есть такая целая функция, которой значения*при х=х0, хи х99
1 1 1 1
, а. равны -г-, Т к,
г-, вследствие чего сумма
*№+ЧЦ+ЩЦ+>"+*№
напишется так:
I2
^(Хо)^г^(х1)^0Цх2)
*Чха
— 106 —■
Отыскивая условие minimum'a этой суммы при величинах" ).0, lu \2,
,...., 1п, связанных между собою уравнениями- (1), мы, по
обыкновенному способу наибольших и наименьших величин, берем дифференциал
этой суммы и приравниваем его сумме дифференциалов уравнений (1),
умноженных на вспомогательные множители jx0, ^, \l2, ..., ]im> откуда,
сравнивая между собою члены с dlQ, dku dl2, ..., d\n, находим
следующие п-\~1 уравнений:
oAl==^ + ^i + !l2^ + --- + JX-^
\ (2)
02 (Xl)
-5^= ^o + M« + *А + • • • + »«*Z- J
&ти уравнения вместе с уравнениями (1) определяют значения z -f-1
неизвестных
^6> ^1> ^*2> • • • > ^л
и величины /и+1 вспомогательных множителей
. М-о, ft, J4» • • •» »V
Вся трудность в решении этих уравнений; мы употребим для этого
особенный прием.
§п
Полагая
мы заменяем уравнения (2) такими:
откуда выходит
л0 = 82(х0)?(хо), *i = 04*iM*i), ••- ^ = 02(^)?(^Л). (3)
Внося же эти величины 10, \и ..., 1Я в уравнения (1), мы их
приводим к такому виду:
6г (х0) ? (х0) х0 + О* (хх) ср (X!) хг + ... + 6г (х„) <р (хя) хл = X,
0>о)<Р(хо)х2о + 0г(-*1)?(*1)^ + ... +02(хп)<?(хя)х2я = ^(
92(хо) <? (Хо) л*-» + О4 (х,) ? (X!) х»-* + ... + 0s (xjш (х„)х--1 = Хт-',
б2 (хо) ¥ (Хо) х» + б2 (х2) tp (xt) х? + • • - + б2 (-**) ? (ха) х? = X",
где, как нетрудно заметить, первые части суть коэффициенты при
11 11
-^> ^i, ••-. ^, . .^^гв ряде, получаемом через разложение
— 107 —
функции
в*(*оЖ*о) | °2 (*i) ? Ui) г , ^WtUJ
по нисходящим степеням л;; вторые же — подобные коэффициенты в
разложении
1
х — Xй
А потому эти уравнения могут быть заменены условием, что разность
функций
'•в'(*оЖ*о) . ea(*i)?(*i) , ва(*яЖ*д) I
разложенная но нисходящим степеням х, не содержит членов с
ill 11
7>^5»^i, ..->^Г, ^7Г и> следовательно^ что она приводится к
дроби -^т, где степень знаменателя N превосходит степень числителя
М по крайней мере на га+ 2. Итак, предыдущие уравнения заменяются
таким равенством:
*а(*оЖ*») . e*(*0?(*i) f . _0У„Ж*я) L. — ^.
x~xQ ' д: — .r7 ' *•*"!" дг — л:л л* -— X 7Т *
С другой стороны, полагая для сокращения
(х — х0){х — хг)(х — х2) ... (x — xa)=f{x)
и называя через U целую функцию, заключающуюся в дроби
0-(.r)f (x)f (х) ^ по те0рИИ разложения сложных дробей на простые, на-
ХОДИМ
О'*' (*) • (х) Г(х)_т7Л_ °2 (*о) ? <*о) f ^Ж*!) , , *2 (*я) ? (*,)
Q'W?WfW_rr , Д2(*оЖ*о) tj'^i)?^) , , i
f(x) U'T x-x0 "Г x-x, Т- — -Г
*-**
вследствие чего предыдущее уравнение приводится к такому:
P(x)*(x)f>{x) rr 1__ jW
f{x) U x --X~ N '
или, что одно и то же,
(*-*)/'(*) о*U) У(.г-.*) + 1_(* —*)М
f(x) <?(x) ?(x)N •
На основании этого уравнения нетрудно найти значение функции у(х).
Для этого мы замечаем, что функция I7x) N степени ниже, чем
Y7~\> ибо <?(*), которая означает у нас
Н + Н*+УчХ2 + -.' +ЫХт
2
не может быть степени выше т, между тем как степень Л/"
превосходит степень М по крайней мере на m-f-2 и, следовательно, дробь
(х—Х)Мт степени ниже чем l m д потому, на основании предыдущего
N ¥ \х)
— 108 —
уравнения, заключаем, что дробь —-—-г—-1— дает величину функции
(*~ ,, ^—Щ верно до членов степени -^т\ включительно, т. е. до
единицы, деленной на квадрат знаменателя. Но такая степень точности,
как известно, принадлежит исключительно подходящим дробям,
получаемым через разложение **~~ /Л —— в непрерывную дробь. При-
том в ряду таких дробей за дробью — """, должна следовать
дробь со знаменателем, которого степень выше т, ибо иначе разность
(х - X) f (х) 9- (х) U(x-X) + \
не была бы степени ниже , т, как предполагает наше уравнение
(x — X)f(x)b*(x) U(x — X)+\ = (x-X)M
f(x) i(x) . i(x)N '
где дробь кг —> как видели, степени не выше —(/я+1).
Итак дробь (Х) ь найдется в ряду подходящих дробей, по-
(х —X) Г (.г) ь* (х) х
лучаемых разложением -j—1 : в непрерывную дробь, и в этом
ряду за нею должна следовать дробь со знаменателем степени выше т;
а так как в дроби , ■■■ знаменатель <p(x) степени не выше т,
/х х\ f (х) б2 (х)
то эта дробь в ряду подходящих дробей выражения j-— -
f \x)
должна быть последнею, в которой знаменатель степени не выше т.
Отыскивая такую дробь в ряду подходящих дробей выражения
(х — X) fr (х) Ъ2 (х) х ?о(лл
^ l_^ l и изображая ее через 1-~, мы будем иметь уравнение
Ц(х-Х) + \=уО(х)
откуда выходит
Это уравнение предполагает, что произведение <р° (х) <р (х) делится
на ср0 (х), а как, по свойству подходящих дробей, функции ср° (х) и <р0 (х)
простые между собою, то <р0(х) не иначе может делить произведение
ср° (х) ср (х); кйк Деля множителя <р(х). Называя же через # частное,
получаемое при этом делении, находим
что, по внесении в предыдущее уравнение, дает
Чтобы вывести отсюда значение функции <р(х), мы замечаем, что
она, как видели, не может быть степени выше т\ а потому множитель q
— 1Q9: — ■
должен быть постоянною величиною, если <р0 (х) степени т. Эту
постоянную величину множителя q легко найти: делая в последнем
уравнении х=Х, имеем
откуда
что, по внесении в найденное нами выражение функции <р(л:), дает
<?(*)■-
чЧХ)
Так найдется значение функции ср (х) при ср0 (л:) степени т. В
случае же низшей степени <р0 (х) множитель q в формуле
?(*) = «ЧРо(*)
может быть какою-иибудь целою функциею л:, лишь бы только
произведение дуо{х) не выходило степени выше т. Следовательно, в этом
случае для искомой функции у(х) найдется бесконечное' множество
величин. Но если согласимся из всех возможных величин сррс)
употреблять ту, у которой степень наименьшая, то опять в формуле
должны взять за q постоянное количество, и попрежнему для
определения • <р (х) • найдется
Так определяется функция ср (д:), которая, по (3), дает
U = О2 (хо) ср (х0), Хх = 01 {хх) у(хг), ♦.., ln = О2 (л;J ср (л:я),
где *0, 11; Х^ • • • > *л СУТЬ коэффициенты формулы
определяющей значение /^(Х) через F^o), Z7^), Z7^)» •••» ^fo)-
Откуда выходит такое окончательное выражение величины ^(Л):
Что касается функций ср0(л:), ср°(;с), то, как видели, для
определения их должны найти в ряду подходящих дробей выражения
(x-X)f (-у)в-(у)
я*)
последнюю дробь со знаменателем не выше степени т; числитель этой
дроби будет у°(х), а знаменатель ср0(х).
Так решается задача, предложенная нами в начале первого
параграфа.
— по —
§ш
Рассматривая найденную нами формулу для определения F(X)y мы
приходим к убеждению, что в ней. должны произойти значительные
сокращения; ибо, по сущности задачи, искомая величина F(X) должна
выражаться целою функциею АГ, между тем как в найденной нами
формуле есть делитель <p°(J0, и по составу ее не видно, чтобы здесь
количество X сокращалось. Это происходит от того, что функции -у°(х}>
*о(х), определяясь разложением в непрерывную дробь выражения
^х *~ *у ^——, содержат величину X в своих коэффициентах. Чтобы
привести найденную нами величину F(X) к такому виду, где бы яснее
был ее состав, мы покажем, каким образом от подходящих дробей
выражения * ^х}{ можно перейти к подходящим дробям выражения
(*~*)/'WQ2W следовательно, к дроби 5!i£) 4
Для простоты мы предположим, что в непрерывной дроби
!, + },+±
/' (х) 92 (х)
происходящей от разложения —т+-—, все знаменатели qv qz, ...
содержат переменную х в первой степени и, следовательно, подходящие
дроби ее
?о Mi + 1 ?о4г9з + Яг + 4о
Т' . ft ' «1*2+1
которые будем изображать так:
*о(х) ц(х) ко(х)
Ы*)' М*)9 bW
имеют в знаменателе функции степени 0, 1, 2, ... и так далее.
Р (х) 9^ (х)
Заметим, что для функции у . , где степень числителя может
/ \Х)
быть меньше степени знаменателя только на единицу, разложение в
непрерывную дробь всегда будет такого вида, исключая некоторые
частные случаи, условливаемые особенными уравнениями между
коэффициентами функций Ь(х) и f(x), вследствие которых знаменатели qv q2, :..
могут быть степени 2, 3, ... и пр. Притом нетрудно убедиться, что
такие неправильности в непрерывной дроби
J ?2+\
совершенно невозможны в случаях, представляющихся при
обыкновенном интерполировании, где х0, xv хъ ... , хпУ корни уравнения f(x) = О,
имеют действительные значения и различны между собою, функция же
6 (л:) не заключает мнимых коэффициентов и при х — х0, xv х2, ... , х
'л
Ill —
1 1 1
имеет конечные значения ~il...l.B самом деле, в этом
Ло Л1 кг Rn
случае, употребляя знакоположение Коши (Journ* de l'Ecole Polytec-
nique, cahier 25), имеем такое уравнение:
2 (дай-«+•••
+ 00
г а
fix)
для f{x) степени л-f-l остается всегда меньше л + 1, если в дроби
а по способу определения величины Э ((^ ^Л^)) видно, что она
1 42 +
/' (х) б2 (Х)
происходящей от разложения J /,х) , какого-либо из знаменателей
Я\> Я* - •. степени выше первой.
Убедясь таким образом, что ограничения, сделанные нами относи-
Р (х) б2 (х)
тельно. вида непрерывной дроби, происходящей от разложения J у } у
I \х)
не имеют особенной важности, мы переходим теперь к определению
Mt(v последней дроби в ряду подходящих дробей выражения
То \х)
^ у(\-' с знаменателем степени не выше т и докажем, что
такая дробь выражается формулою
*m (Х) *m . г (X) ^ /' (X) P (X)
где r^j-t, jf(j) означают подходящие дроби выражения • х\х) >
которых знаменатели суть степени Я1 и т+1.
В самом деле, по составу формулы
*m(*)iWiU)~*„+i(*)VU)
-^Гх »« W t*+i (*) -t* <*) Фж+1 №)
видно, что ее знаменатель приводится к целой функции степени не
выше т. С другой стороны, определяя разность этой дроби с дробью
(х — X) f (х) в* {х)
- у '——, находим
г/* (*> «*(■*) *м+11х)]. (Х, . \Г(х)а3(х) *ж(х)1 ,,, ,„,, f .
дг —ЛГ
что будет степени ниже, чем
1 №» <*) ♦«+! (*) - *« (*) Ф«+г №1
1 I
1 »«WUW-t.WUWlx"'
* — ЛГ
— 112 —
ибо, по свойству подходящих дробей, выражения
степени ниже, чем , , . и, следовательно, — .
Итак дробь
. Фт W«« + l W - Фт + 1 (*) *т/*)
J3* [Ф* (*) Фт + 1 W - Ф* (*) Фт + 1 (*)] '
имея знаменателя степени не выше т, дает величину
(х—Х)П*)*1х)
7Тх)
верно до членов степени одинаковой с функцией
1 1
1 [Ф«(^Ф«+1<*)--Ф«(*)Фл»+1(*)] ХМ
х — х
(x — X)f (х) 0- (х)
С такою же степенью точности функция Л - может
выражаться только своими подходящими дробями, и из них лишь теми,
за которыми следуют подходящие дроби с знаменателем степени выше т.
Следовательно, наша дробь принадлежит к числу таких дробей* а как
ее знаменатель степени не выше т, то она должна быть' последнею
с таким знаменателем, и потому она равна дроби, которую, мы озна-
фО (х)
чали через 1-т-г.
v f о (■*)
На основании этого заключаем,.что в формуле предыдущего пара-
выражения
То Uo) Уо <xi) ?о <*п)
могут быть заменены такими:
J—^[Фт(^)Фт+1(^о)~-
-^tt«W*««(*i)-*«+iW^tri)l
*r
Ф/n+l (^0 *« №
1
-*«
^■[Фл. W Фт+1 Ц,) -♦«+! W Ф„ (ХП)]
Фя № «« + 1 W - Ф« + 1 (X) Km (X)
где знаменатель
как знаем из теории непрерывных дробей, приводится-к-(—1)т9 вслед-
— 113 —
ствие чего предыдущее выражение F(X) приводится к такому виду:
F (X) = (- 1Г ^^^'W-t'^^W О9 (jco) F (x0) +
-4- (_ i)m ft« w ^/»+i(дг*> — */и-н (*> ♦«< л^ 6- (x ) F (л,) 4-
До — A'
что короче будем писать так:
F {X) = (- 1 у» Х" ^W^^q-^^W^Uv) 0* (X() p (^
Вот новая формула для определения величины F(X) по значениям
^(^о), F(x{), F(x2), ... , F(xn). Она составляется из функций фЛ(х),
фда+1 (х), знаменателей двух подходящих дробей выражения J } ,
/ \Х)
получаемых через разложение его в непрерывную дробь, и по составу
этой формулы видно, что она приводится к целой функции X.
Теперь мы покажем, каким образом из этой формулы получается
ряд, о котором говорили в записке, представленной Академии в
прошедшем году, и который теперь послужит нам к раскрытию некоторых
свойств функций фоМ» $i(x)> Фа Mi ••• » определяемых разложением
J Л . ' в непрерывную дробь.
Найденная нами формула дает величину F(X) в предположении,
что F(x) выражается так:
F(X) = a-\-bx-\-cx2 + ...-\-gxn~l + hxm.
Изображая такую величину F(X) через Ут9 и величину той же
функции F(X), находимую в предположении
F{x) = a-{-bx-{-cx2-{-...-\-gx!n-\
через Ут_и мы находим по предыдущей формуле
Ут = (~ 1Г'ff*«W*-^^>-^W*"^ 6s(x,)F[х,), (4)
« = 0 l
Гт_% = (- 1)»-! ' jfФ"-1 W Ф» (^>-*» W ^ (*'> «S (JC,) F (*,),
откуда, вычитая Ут_г из Km, выводим
_(_ 1 )m V Фт (X) №m + i(Xi) - фт-1 (*,)] - <M*f) HwiW - »«-l Wl ft2 ^ ^ ^ ^
8 П. Л. Чебышев, т. II
— 114 —
что значительно сокращается по свойству функций фт+1(х), $т{х\
'!>ы(4 Эти функции суть знаменатели подходящих дробей, получаемых
/' (х) б* (х)
разложением J х \ / ■ в непрерывную дробь
+ Si4 '
4?«+Г
где, по сделанному нами предположению, знаменатели
Я\> Чъ ••- > Чп* Чт + V • • •
должны быть линейными функциями х и, следовательно, выражаться
так:
ql = Alx + Bl9
q2 = A2x-)rB2,
Чт + l — Am + \X~TBm+V
По общему правилу составления подходящих дробей находим
Ф«+1 С*) = Чт^т (*) + Ф«-1 (*) = ( А*+1* + Вп + 1) Ът (X) + фя-1 (X),
откуда выходит
Ф**+1 W - Ф*-, (*) = (Am+Xx + Bm„) фт (х).
Заменяя здесь х через я, и X, имеем
Фт+1 (*,) - Ф*-1 (*,) = Ит+Л + Яя+1) Фт (*,),
Фж+1 W - Фя-1 (АО = (Лт+1Х+ Вя+1) фл (X);
внося же эти величины разностей
Ф* + 1(*/) —Фя-1(-КД
Фя+1 (*)-*.-,(*)
в формулу, найденную нами для определения Ym—Ym_v получаем
что, по сокращении, дает
i = л
Ги - кЛ_х={- 1Г А,+1'К (*) 2 ф„ (л-,) е2 с*,) f (х(.)
1=0
— 115 —
Делая здесь /и=1, 2, ... , т — 1, т, находим такой ряд
уравнений:
Гг - Ко = - Л2фг (X)' S Фг (*,) б2 (л-,) F (xt),
i = 0
Y2-Y,= Л3ф2(X)'2ф«(*,) О2 С*,)/=• С*Д
/ = 0
Ym-Ym_^{- \)т Ат+1Ьт[Х) ^ ^m(xlW{xl)F{xi),
/ = 0
и, складывая их, получаем
i—n
У,п -Го=-Л2<Ь1 (X) 2 Ф, (х;) О* (х,.) F (х,)+Л3ф2 (X) S ф2 (х,)02(х;) /?(д:/)+...
+ (- IJ-M^»., (X) 'f фл_, (хг) О2(х,) F {хг) +
/=0
i—n
4- (-1)" A*-мФ* (JO S Ф« (*/) о3 ю /■• (хд
откуда для определения Ym выходит такая формула:
Ym = Г„ - Л3фх (*) 1" Ф, К) О2 (х,) F (*,) +
+ л А (х)£ ф2 ю о2 (*,) ^ (х(.) + ...
х = 0
+ (-1)" Ат+16т (X) 'I Ът (*,) О3 (х,) F (х,).
Что касается величины Г0, то по формуле (4), делая в ней т = Оу
находим
Уо = £ f^JAJfrf^LWiaift) о2 (x,) /-- (х,),
где фоМ, 4^1 W означают знаменателей первых двух подходящих
дробей выраже
ную дробь
f (х) в* (х)
бей выражения J /, ', определяемых разложением его в непрерыв-
1 ЧгЛ"
— 116 —
Откуда выходит
Фо(*) = 1, <Ь1(х) = А,х + В1.
А потому функция У0 определится формулою
«=0 '
= A^f(xl)F{xl),
что можем представить так:
Го = Л,ф0(Х)ТФо fo)б2(*,)F{х,),
замечая, что ф0(х) = 1.
Внося эту величину К0 в предыдущее выражение Ym, находим для
определения Ym величины F(X) в предположении
F(x) = a + bx + ctf+... + gtfn-1 + hx™-
такую формулу:
Ут = АДо (X) '1Гфо (*,) 62 (xt) Fix,}- AA (X)' 1" ф, (х,) 82 (хг) F^c,) +...
/=0 i = О
где, как видели, функции ф0 (я), tyt (я), cb2 (л:), #.. и постоянные Д,
Л2, Л3, ... опре;
ную дробь вида
{' (х) № (х)
Аъ АВУ ... определяются разложением функции ; Лх) ■ в яепрерыв-
?о+^1
b + ZTA- !
Функции $о(х), $г{х), ф2(*)> ••- суть знаменатели подходящих
дробей, получаемых из этой непрерывной дроби, а постоянные Аи Аъ
Л3, ... суть коэффициенты х в знаменателях ql9 q2, <?s, ...
В частном случае, когда закон погрешностей для всех величин
F(xo)> F(*\)f ^Му • •• °ДИН и тот же и, следовательно, по § 1,
величины k0, къ k2y ... могут быть приняты за 1, функция Ь(х),
определяемая уравнениями
G(x0) = l, »(.*i)=£, в(х,)=^, ... ,
приводится сама к 1, вследствие чего найденная нами формула
принимает такой вид: • '
Ут = ЛФо WS* Фо (^)^(^)- А8ф1 (X)1 S*i (xdF(*t) +. ■ •
+ (-1)« ли+1 фи роТфи (*,-) F (х,),
— 117 —
где ф0 (х), Фт (х\ ф2 (*)» • • • , Л, Л, Л3, ... определяются разложением
в непрерывную дробь выражения у~|; об этом-то ряде мы говорили
в вышеупомянутой записке. Но здесь мы не будем ограничиваться
частным предположением, при котором функция 0 (х) приводится к
единице, и будем рассматривать наш ряд в общем его виде. Это
приведет нас к любопытным предложениям относительно функций '%(*)>
§V
Нетрудно убедиться, что если величины
F(x0), F^Ffa), ... ,F(xn)
определены точно по формуле
F (х) = a -f~ Ъх 4- сх* +... + г**-1 + Axm,
то наш ряд дает точное выражение этой функции и притом для
всякого значения функции 0(х). Это ясно из того, что ряд наш получен из
формулы
F(X) = \0F (*o) + V7 W + - - • + ^ (-«Л
и для определения коэффициентов л0, л1з л2> • - • > ^л одним из условий
было удовлетворение уравнений
4*0 + *Л1-*1 "Ь 4*2 "Ь • • • 4" А/Г*л == ^>
10Х20 4- ^ + М| + . . . + КХ1 = **»
^0«*0 Н" ^1-*1 Л" 4*2 "Ь • " • "Ь ^л-*л ~ -^ >
вследствие же этих уравнений сумма
UF С*о) + У (х,) + l,F (xi) + • •. + l„F [xn\
по вставке величин F (xQ), F (xx), F (x2)y ... , F (xn), определяемых
уравнением
F(x) = a 4- bx -f ex2 +... + ^xm~1 + Axw,
приводится к такому выражению
a + bX+cX*+... + gXm-1 + hXm,
что, в предположении
F(x) = а-\- Ъх 4- схг 4- ... + S^"1 + hxmi
есть точная величина F{X).
— 118 —
Итак, по формуле предыдущего параграфа, в случае F{x) целой
функции степени не выше т, она может быть представлена так:
F(X) = Дфо (X) 'If фо (*,) б2 (*,) /=■ (хг) -
i — 0
- АФ1 (X) 'S* Фх (*/) 9'2 (*<) ^ (*<) + • • • +
/=0
+(-1)я^«+1фя,т¥фв.(^)в,(^)/?(л/).
1—0
Делая здесь Z7 (х) = фт (х), мы находим
<L (*) = ^хФо (X) 'J фо (*,) О2 (х,) фЛ (Xt) -
/=о
■ лф, w 2 <м*,) о* (*,)*»(**)
* = 0
z = 0
что, по перенесении всех членов в одну часть уравнения, дает
АФо (X) 'If ф0 (*,) фЛ (х,) 02 (х,) - Л2ф, (X) 'ff ф, (х£) фт (*£) 6* (xf) +...-f
/=0 1=0
+ ф/Л^)[(-1Г^+/2Ф^(^)б2(^-1)]=о.
Но так как функции ф0(лг), ф: (х), ф2(х), ... суть степеней О, 1,
2, ... , то это тождество предполагает уничтожение отдельно каждого
из членов, содержащих ф0 (X), фх (X), ф2 (АГ), ... , а потому должно
быть
(-1Г^+12ФМ*/)^)-1 = о,
/=0
/=0
ЛДфо^Ф^Л^О-о.
: = 0
Первое из этих уравнений нам дает
*-Л л"1+1
замечая же, что коэффициенты Ат: >,_ Л..; А} все отличны от нуля,
— 119 —
мы, на есновании остальных уравнений, заключаем
2<S>,(*,)<U*i)es(*,)=o,
'£%>(*,) Ф*(*/)в'(*,)==0; ,
f =* 0 у
откуда видно, что вообще, при т! отличном от т, сумма
(5)
/«о
равна нулю. В случае же т' — т эта сумма, как видели, равна
(-1)*
-, откуда выходит такое выражение количества Дя+1:
4
и на основании этого для определения количеств Av Аъ ..., ЛЛ+1
находим
А^т=г
1
i«0
^=7=Г
2 Ф?<*<) «*(*,)
/=0
л
<-1)"
/гс-;-1 ~ / = я
2 *« to) •*<*<)
i=0
Внося же эти значения количеств Л„ А..,..., А„^ в формулу
i = 0
/«о
J=0
мы приводим ее к такому виду:
2 4"ota)e*Wta)
^W =
i=0
4.1 Л2/ ~ ч fl2
Л(*) +
S*i(.vfjO-Uf)^Uf)
I---,I
О J.2 ,
•М*)+
2 Ф*>в* <**> 2*i^>92^>
1-0
(6)
— 120 —
По составу этой формулы видно, что она не меняет своей величины
от введения каких-либо постоянных множителей в функциях ф0(л:),
фа(;с), ф2(х),...; а потому здесь, при определении этих функций, можно
брать разложение ^ {*\ [х) в непрерывную дробь вида
какие бы ни были постоянные количества L\L",..., ибо члены
подходящих дробей какого-либо выражения, получаемых от разложения его
в непрерывные дроби таких двух видов
как известно, разнятся между собою только постоянными множителями.
Точно так же для функции ф0(*), ^х(х), $2(x)> •••> определяемых
Г (х) 92 (х)
разложениемJ /(x) в непрерывную дробь вида
4* + 7:л-£.
#2 "
остаются справедливыми уравнения (5); ибо они не нарушаются
введением каких-либо постоянных множителей в функции &0(х), ф, (х), ф2(х), •••
А потому теперь, приступая к приложениям формулы (6) и
уравнений (5), мы не будем ограничиваться предположением, что в
непрерывной дроби
*о+ё
определяющей значения функций ф0 (х), ф1 (х), ф2 (х), ..., числители I',
L", ..., равны 1, как делали в предыдущих параграфах.
Кроме уравнений (5), между функциями ф0 (х), фа (л:), ф2 (х),
существуют еще замечательные соотношения, которые легко вывести
из формулы (6), сличая ее, при т = п, с формулою интерполирования
Лагранжа.
— 121 —
В самом деле, при т = п, формула (6) дает такое выражение
функции степени п. по значениям ее при x=xQ, хи х2, ..., хп:
.2П Фо (х/) в2 (х-) Р (xi) 2 fe (•*/) в2 Uct) F Ш
.2й<**)ва<*7) 2 *?(**) •*(*•<)
/;=Л
+И^ *,(4
Но та же функция, по формуле Лагранжа, представляется так:
£j <*' - *!) <*' - *3) ' * ' <*Г- */-l) (*i ~ -*.+l) • • * V '''
Для тожества этих двух формул, независимо от значений F(xQ),
F(xx), F(x2), ..., F(xn)y они должны иметь одинаковые члены с
множителями F(x0), F(x1)} F{x2), ..., F(xn). На основании этого, сличая
в них члены с F(xi), находим такое уравнение:
(Х—х^Х—х^.-АХ — хм) 1Г-*/.м)---_
(х£— хг) {xt — х2) •.. (лг,— *,_!) (л-; — */+1)...
= ,■*? (х'> *(Xi) ». (*) 4- >(ДГ/) °2 (ДГ/) *t (X)+. •. + J:{Xl) а' <*'> их),
откуда, делая Х—хГ{, где 7] не равно i, имеем
2*§(*£)eVi) 2*?ta)«Vd
i^O r — 0
X*iw«*w
■Ф«Ц).
9(дг)
что, по умножении на fj^.-,, может быть представлено так:
Л Фо(*/)«(*»)Фо (■*,)• (■*,,) , М*/>в<*/)+!<■*,,)•<■**)
0= T=R 1 Т=к !-••• +
2+ota)fl,c**) 2 *?(■*/)•"-(*/>
1 = 0 /=0
, Ф.<*/) в(*<)Ы*ц)8(-*ч>
"T l=/2
2*S(*de,W
1=0
Делая же Х = хг, находим
1:
2 Фо (**>92 (**) S ф! ta> e" to) 2 £ to)fl2 (**>
t-0 /-0 f-0
— 122 —
Эти уравнения вместе с уравнениями (5) представляют
замечательное свойство функций, определяемых формулою
1/Ж(*/)в3^)
Изображая эти функции через Фт{х), мы, на основании уравнений,
сейчас выведенных, имеем
2 ф„(*/)ф,(О=0,
те=0
если ц не равно /, и
в случае т^ = и
По виду же функций Фт (х) й уравнениям (5) нетрудно заметить, что
2ф^(^)ф^(^) = 0или 1,
7=0
смотря по тому, будет ли щ различно с т, или т1=^т; ибо сумма
%Пфт(х,)Ф (*,),
/=0 1
по вставке значений Фт{х[)} Фт (xt)9 приводится к такому выражению:
/ = 0
]/ |V* we2 <**) j/ |V« w9' w
где, по (5), числитель обращается в 0, если щ не равно т\ в случае
же т1=т числитель становится равным знаменателю, и эта формула
приводится к единице.
Итак, функция Фт{х), определяемая уравнением
_4»Jf)Hv)
*«(*) =
1/ Is'to *(■*,>
где ф0 W> *i (я) $2> (•*)> • • • означают знаменателей в подходящих дробях,
f (х) О'2 (х)
получаемых разложениемJ-—' }- в непрерывную дробь вида
1 #2 "Г
— 123 —
имеет такое свойство: в квадрате
*o(*o), (M*i), Ф0(*»),..., Фо(лд,
Ф,(*о), cM*i)> Фо(х2),..., Ф2(*я),
ФЯМ, *«(■*,), $n(X2),..., *„(*„)
составленном из значений Фт (х) при т=0, 1,2,...,//, л*—■#<„ л;,, л>,..., л',;,
члены каждой из строк как горизонтальных, так и
вертикальных, в сумме квадратов дают 1; перемножая же соответственные
члены в двух строках, вертикальных или горизонтальных, в сумме
этих произведений находим 0.
Составление подобных квадратов было предметом мемуара Эйлера
под заглавием „Problema algebraicum ol) affectiones prorsus smgulares
memorabile* (N. Comm., т. XV].
§ТП
На основании уравнений (5) нетрудно показать особенное
значение функций
<Ы*)> Ы*)> Фз(4 -•-
между всеми функциями тех же степеней и с теми же коэффициентами
при высших степенях х\ для этих функций суммы
if*? <**) °2 Kxt\ 'if+1 (Xi) о- {хй, if^ w °s <*л -..
/-а /«о f-o
имеют наименьшую величину.
В самом деле, так как степени функций ф0(я), <!>i (х)9 ф2(х)> • • •»Фт^)
суть 0,1,2,..., /7i, то всякую целую функцию Vстепени л/, можно
представить так:
V = А\ (х) + Вф, (х) -|- Сфа (х) +... + Щт (х),
где последний коэффициент Н должны взять равным 1, если
предполагаем в функции Vкоэффициент при хт тот же самый, как и в §т[х).
Итак, в этом предположении будет
V= АЬ0 (х) + Вф, (х) + Сф, (х) +... + фя (х).
Отыскивая значение коэффициентов Л, J5, С,..., при которых сумма
5" у3 в2 (х,) = 'if Wo (x{)+вы*,) + сф3 (х,)+- • • 4- ♦« К)]2»2 (х/)
1=0 1-0
имеет наименьшую величину, мы для определения их, по известному
— 124 —
приему дифференциального исчисления, находим такие уравнения:
2 S" [Аф0 (*,) + Вфг (xt) + Сф2 (х,) -Ь... + Ф» (*/)] Фо С**) б2 (х,.) = О,
1=0
2 S [Лфо W+вф, (х£)+сф2 (х(.)+• • •+Ф» to)] ti (•*/) е- (*,)=о,
2 S" [Лф0 (*/) Ч- ВФ, (*«) + Сф2 (х,) +... + Ф« (*,)] Ф8 С*/) в' К-) = 0.
/—О
что, вследствие (5), дает
1,2,
2Л2фо(*,)82(*/)==0.
/=0
2С^ф1(х,)62(^.) = 0,
/=0
откуда выходит
_4==0, В = 0, С = 0, ...
/—/г
Итак, наименьшая величина суммы ]£] У^б*^), при 1/ вида
/=о
ЛФо (*) + Вфг (х) + Сф8 (х) + • •. + фт (х),
соответствует
Л = 0, В = 0, С = 0,...,
и, следовательно,
у=ф»(*)-
Также нетрудно показать, что, употребляя формулу (С),
,=-i=Z Фо(^Г) + '-Т=3 Фг (X) +. -.
i = 0 j» О
+ '-т^ <ьт (х)
/«о
для определения по приближению какой-либо функции F{X), мы
получаем для выражения ее такую целую функцию степени т, которая от
всех других той же степени отличается наименьшею величиною суммы
квадратов ее разностей с F(X) при X=x0,xvx2,.. .,хп, умноженных
на 92(х0), б2^), 62(*2),...
— 125 —
В самом деле, представляя искомую функцию под видом
Лфо (Л) + Вф, (X) + Сф2 (X) + •.. + НЬт {Х)
и отыскивая значение коэффициентов А, В, С,... ,Н, при которых сумма
'£V(*,) - Лф0 (*,) - Вф, (*,) - Сф2 (х,.),...,- Щт (х,)]2 б2 (х,.)
имеет наименьшую величину, мы находим уравнения
2 2V (*«) - Лфо С*,) - Вф, (х,) - Сф2 (х,)... - //фи (*,)] ф0 (х,) в3 (х,.)=О,
2 'iff/7(*,) - Лф0 (х,.) - Вф, (х,) - Сф2 (х,.)... - Щт (х,)] ф1 (х;) б2 (х,.) = О,
2 SV К) - Лф0 (xt) - Вф, (х,) - Сф2 (х,.)... - НЬт (х,)] ф2 (х,) б2 (хг) = О,
£=0
2 2>(Л-)-^о(^)-Вф1К)-Сфг(л/)...-//флг(х;)]фга(х,)б2(х/) = 0,
которые, по (5), приводятся к такому виду:
2%F{x,)Mxt)V{xt)-2A %\ (х,)82(х,) = 0,
22 F(х{)ф, (х,) б2(х,)-2В 2*Ф? (*/)О2(*,) = О,
1—0 /«О
22 F (*,) Ф3 (х,) б2 (х,) - 2С 2ф! (xt) б2 (*,) = О,
/-0 1«0
откуда
R__i=2
f-0
f-0
О /—я
2*i<*/)M*/>
/-0
"S*«^/)ea^/)^^)
я=^°
/=л
ЧЛ J.2
2 &<*)*<*/)
/=0
— 126 —
Внося же эти величины в формулу
АфоРО + Яф, (Х) + СЫХ) + ...+Н&т(П,
находим, согласно со сказанным выше, что искомое выражение функции
F(X) есть следующее:
2 Фо (хд е- (хд р {xj> 2 *i to) 9"J to) р to)
'Ц=-п Фо (X) + '-=£=; Фг (X) +
S^w^ stftoje'to)
S ** to)ja to) ^ to) 2 *« to) e2 to) /=• (x,-)
+ t=T=S *»(*) + .••+'-=7=3 ♦«№
S^»'W 2&to)esw
*«o /so
О РЯДЕ ЛАГРАНЖА *
§ 1. Интегрирование по частям дает с крайнею легкостью ряд
Тэйлора с дополнительным членом; чего же не достает этому способу,
чтобы дать подобным же образом более общий ряд Лагранжа. Все
способы, приводящие к ряду Тэйлора, могут дать ряд Лагранжа с
большею или меньшею легкостью; один только способ интегрирования по
частям представляет исключение. Стараясь заполнить этот пробел, мы
убедились, что следует только несколько распространить способ
приведения интегралов, известный под именем интегрирования по частям,
что, повидимому, может быть полезным и во многих других случаях.
Интегрирование по частям сводится к тождеству
\ 6 (*) 4 (х) dx = 0 (х) [ ф (х) dx—[v (х)\ \ ф (x) dx]dx.
Если не отделять вовсе множителей произведения 0 (-*) Ф («*)> то
можно написать это тождество так:
f(* Г d ГО (х"\ 6 (х'\ dx
О(*)ф(х) d*=J b(xr)b(*)dx— \ - j £ dx>
предполагая, что значки у х' и х? откидываются по выполнении тех
действий, которые относятся исключительно к этим количествам.
Но, представив в таком виде интегрирование по частям, без труда
убеждаемся, что ничто не мешает приложить его к случаю, когда
произведение 6(х")ф(л;') заменено какой-нибудь функцией двух букв х\ х?.
Вот и все изменение, необходимое для того, чтобы вывесть ряд Лагранжа
тем же приемом, который приводит к ряду Тэйлора.
Это приведение может быть изложено в таких словах:
Если условимся отличать х и х" от х только при выполнении
действий, относящихся исключительно к хг и х", то будем иметь
J7(*', *")<** = j7(*\ x°) dx-§dff{X^f)dX' dx.
(1)
Нетрудно заметить, что приведение интегралов, о котором мы
только что сказали, отличается только способом выражения от данного
г. Бертраном в VIII томе Journal de mathematiques pures et appliquees
de M. Liouville.
* ,Sur la serie de Lagrange" (Bulletin de la Classe phys.-mathem derAcad.Imp.
des Sciences de St-.Petersbourg, XV (1857), стр. 289—307; Joum. de math, pures et
appl., II serie, II, (1857), стр. 166—183, без последнего параграфа); русский перевод
Е. И. В-ой в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина,
том I, СПб. 1899, стр. 251—270. —Ред.
— 128 —
Чтобы показать, как пользоваться этим приведением, предположим,
что нужно привести интеграл
[ (cos х -у ех) dx.
Начнем с представления выражения cosx-fe* B виде функции двух
букв х, х", что можно сделать, очевидно, различными способами. Если
остановиться на случае, когда х' дает один значок в величине косинуса
и два значка в показателе е, то выражение
cos x-\-ex
обратится в
cosx' ~\-ex%
и тогда по формуле (1) будем иметь
Г W С , «* , f^J(cos*' + ex )dx' J
(cos xT + е )dx=\ (cos x' -f- e )dx' — \ dx„ - dx =
— sin x" -j- x 'ex' — f xrex'dx,
или, откидывая значки,
[ (cos-x + &*)dx — sin a-f- *£* — \xexdx.
Интегрируя относительно x', мы взяли за постоянную нуль, но
ничто не препятствует взять какую-нибудь величину, которая может быть
даже функциею х".
Чтобы в этом убедиться, надо только заметить, что формула (1)
будучи продифференцирована по х, сводится к. такому тождеству:
ч , d\f(x\x")dx' d(f(x',x")dx'
§ 2. Перейдем теперь к доказательству ряда Лагранжа. *
Предположим, что
X — а=щ{Х)
и что отыскивается разложение F(X) по возрастающим степеням 7j.
Подражая обыкновенному ходу доказательства, приводящему к ряду
Тэйлора, представим величину F (X) в виде
к
F{X) = F(a)+{F'{x)dx.
* Существует очень много доказательств этой знаменитой формулы. Из
элементарных доказательств можно отметить, например, доказательство Лапласа; см.,
например, Э. Г у р с а. Курс математического анализа, I, ч. 2, 1933, стр. 85.
Из доказательств, основанных на применении теории функций комплексного
переменного, отметим здесь доказательство Эрмита; см., например, Э. Гурса. Курс
математического анализа, II, ч. 1, 1933, стр. 101, или Ш. Эрмит. Курс анализа, 1936,
стр. 240, где указана и литература вопроса — Ред.
— 129 —
Затем, замещая в производной F' (х) букву х через х\ находим по
формуле (1)
§F'(x) dx = $F'(x")dx = $F'(>-")dx-^/?'{£}dX' dx =
=={x' + C)r{x»)-^x'^/'^dx,
что дает
j> (Х-1) dx=[x'-a- ад (X")] Г (X") - {d[x'~a~r*Jx")]F'U») ^
если принять
Cx=~-a-ri(p(4
Заметим мимоходом, что эта величина С представляет большое
сходство с величиною, которую употребляют в том же случае при
отыскании ряда Тэйлора. Если приложим снова формулу (1) к интегралу
J dx"
то придем к приведению
[d \х' —а-т# {xtf)} F' (х»)
dx=
) 5Р dx =
[ д [Х' _ д „ w (х«)} F' {х") А„, \ * <__
— J ax7' ax ~ J J7'
1 <*\х' — а — ту (х")}* Ff (x») I Cd°-\ х' — а — 7)? (дг^р F' (х") «
= у а*" — YJ (<***)* ах'
Остается только продолжать итти тем же путем, чтобы получить
последовательно
Cd2 [x> — a — w (**)Р F* (*") а
\_ d^lx' — a — ^jx^Fix") _J_ (YP \х' — а — щ (х")]* F' (лЛ (
Ux-.
_ 1 d*[x' — a — w(xtt)]*F,(x'') 1 ftf* [*' — д - тц (*")]* /?' (*"> ,
— Т (3F)S 4 J (rf*")4
.JL f Д" 1-* — a — Ti? \л' )Г г \>л ) fjr
rd3 [х' — д — гц (^)]3 - (д^) ^ м _
J {dx"f
и так далее.
Подстановка этих величин дает для неопределенного интеграла
^F'(x)dx
9 П. Л. Чебышев, т. II
— 130 —
такое выражение
[Fr (x) dx = [x' — a — Tjc? {x")} F' {x") —
1 а{х'-а-щ{х")}*Р'{х") , 1 &[х' — а—ч*(х")\*Р'{х")
' 2-3-.-Л (d*")""1
, (— 1)" f d*^ —a — T)cp (*")]*/"(*") -
Переходя к определенному интегралу
\ F (x) dx,
а
тотчас заметим, что для х = х' = х" = а члены вне знака
интегрирования становятся
-ПГ (a)?(fl)—j Та ^ зз ^^гп j^zi .
Затем для х=х' — х" = Х, если X корень уравнения
Х — а = тм(Х),
все эти члены обращаются в нуль по причине множителя х' — а — т^ (х?)9
который там остается, несмотря на все дифференцирования, и который
при х'=х,/ = Х обращается в нуль, в силу предыдущего уравнения.
Итак
а
ъп dn-lFJ{a)4?ri(a) , (-1)" Г dn[xi — a — Ti<9ix")]nFJ{xr') j*
J...л da"'1 » 2-3... л J (<**")«
и, следовательно,
F{X) = F(a) + ^F(x)dx=:
а
X
, T)fl d»-1/?'(*)?"(*) , (-1)* (У[*'-Д — 1Ц (*»)]"/"(**)
"г2-3---л da*"1 "+"2-3-.-л J (d*")* <***
— 131 —
Таким образом приходим к ряду Лагранжа
Р(Х) = Р(а) + Г1Р(а)1{а) + **Щ£& +
, г^ d2Fl (о) ?з (д) , , rin dn~lFl (а)<?п{а)
» 2-3 da* "» » 2-3.-Л ^д*-1
и видим, что дополнительный член имеет величину
X
(-1)* [dn[xl^a-r^(xf')]nF"{x"\,
2-3
где после дифференцирования относительно х" надо откинуть значки
у х' и х\ Эта величина, очевидно, может быть представлена в таком
виде :
2-3---/z J d/л '
где нужно после дифференцирования положить i = 0. На основании
того, что мы видели, формула
/*W=/4*)+4/*(«M«) + ?*^^
X
тп дп-1РЧа)*п{а) , (—1)я Г dn[xf — a — w(x")]nF'(x")
(-1)" Г
2-3---Л J
2-3.--л ^дл~х ' 2-3...л J (Лг")л
йЬс
существует одинаково для всех величин Х> удовлетворяющих уравнению
Х — а = щ{Х).
Но первые члены
F{a) + riF[a),{a) + td-^^ + gl^^Jr...
I т,я dn"1Fl (a) *" (а)
"+"2-3... п dan-i
этого выражения, которые и составляют разложение /?(ЛГ) по ряду
Лагранжа до (л+1)-й степени ть дают действительно величину F(X)
с точностью до количеств того же порядка, только если
дополнительный член
х
(-1)" С Plx'-a-wWF'W) dx =
2-3...п J (rf.r")n
■2-3.../2 J л-«
становится при tj- малом величиною порядка г^+1 или высшего.
9*
— 132 —
Легко заметить, что это необходимо имеет место, если только X
тот из корней уравнения
который обращается в а при ?] = 0; ибо, в силу уравнения
Х-а = щ{Х),
разность X—а будет в этом случае количеством порядка 7), и, следо-
[
X
J di*
вательно, интеграл
х
где х — а остается заключенным между 0 и X—а, имеет, по большей
мере, величину порядка г/1*1.
§ 3. Найденный нами дополнительный член позволяет указать
пределы остатка в разложениях, построенных по формуле Лагранжа и
остановленных на определенном члене. Мы сейчас дадим тому примеры
на известных разложениях эксцентрической аномалии и радиуса-вектора
по возрастающим степеням эксцентрицитета.
Для разложения эксцентрической аномалии надо положить в наших
формулах
F (х)=х, ср (х) = sin х,
предполагая, что X означает эксцентрическую аномалию, а — аномалию
среднюю и 7] — эксцентрицитет.
В этом случае уравнение
Х-а = щ(Х)
становится
X — a = risinX)
и дополнительный член разложения F(X) = X, продолженного до гД
выражается так:
х
1 f tf»h Sta (* + /)+fl-*]"rfy,
2-3... л J din
a
где нужно принять f = 0.
Но так как выражение
1 tf"[T)sin(jc4-/) + g-- х]п
2-3... п Jfn -f
при i = 0, будет не что иное, как определенный интеграл
— 133 —
где г—какое-нибудь количество, то этот дополнительный член может
быть представлен в виде
а О
Чтобы установить предел, которого не может превзойти это
выражение, отыщем наибольшую величину модуля выражения
[г, sin (х + геР у:Гх) + а — х}
при х, заключенном между а и X, корнем уравнения
X — а = г^тХ,
или, что то же самое, при а, заключенном между х—r^iwx и х.
Обозначая через R модуль этого выражения, находим
откуда, отыскивая величину j^ > имеем
da* ~~~ *
Так как величина ^ положительна, то заключаем, что maximum R
может иметь место только при предельных величинах а, именно:
а = х, а = х — rjsinx.
Но при а = х величина R становится
7j sin {x + re? 1/^Г1)-7з sin (x-f- rer* v~l),
что приводится к
\[cos(2rV—l sin/?) — cos(2x + 2rcosp)] =
= T[ 2 cos(2x + 2rcos/7)J,
и наибольшая величина этого выражения имеет место, очевидно, при
sinp=l, cos (2x + 2rcos/>) = —1, что дает для maximum R такую
величину:
Взяв же вместо а другую предельную величину х — Tjsinx,
находим, что R делается
т?[ sin {х + геР vzri) — sin х] [sin (х + ^ ~р VZri) ~ sin л:],
что приводится к
4,«cos(*+£^) slags'"^cos (х + г-е-рУ~)*\п^е-р]Г~1) ;
— 134
а так как
2cos^ + ^^-1)cos(^ + ^-^-1)=cos(r]/=Isinp) +
jr sin р | £— г sin p
+ cos (2x4- rcos/>) = -^ Ь cos (2x+rcosp),
2 sin (£ ерКГГ) sin (I е-"/:1Г)= cos (г]/=Л sin/?) - cos (rcosp) =
— i X^ cos (rcosp),
то находим для R такую величину:
R=r?SSv
где
r sin P4-/?~"rsln ^
5 — Z X COS (Г COS Cp) ,
г sin P )p—r sin p
S1 = - X£ |_ cos (2x + r cos <p).
Легко убедиться, что эта величина остается всегда ниже maximum /?,
который мы нашли при х-=а.
В самом деле, отыскивая величины р, при которых выражение
rsinp | — rsinp
S= X cos(rcoscp)
может стать maximum или minimum, находим уравнение
ersinp^g— rsinp
5 cos p — sin (rcosp) sin/7 = 0. (2)
Это уравнение, очевидно, удовлетворяется, если сделать
sin/> = 0 или cos р = 0,
и кроме этих случаев оно не может быть удовлетворено; ибо, пока
sin p отличается от нуля, имеем
( „rsinp v-r sin/Л 2
( Г ] > г* Ы&Р,
и так как
sin2 (r cos p) < г2 cos2 ^,
то это предполагает
/ ersinp е— rsinp\2
\ 2 Sin (r COS р)
между тем как уравнение (2), при cos p отличном от 0, дает
ersinp е— г sin p
2 Sin (Г COS р) ^ "*
Итак, maxima и minima выражения
S= х cos (rcosp)
— 135 —
могут быть только при
cosp = 0 или sin/7 = 0.
Поэтому, замечая, что выражение
grsmp i e— rs'mp
-^ cos (rcos р)
становится
2 2 ~ 2-3-4 ^2-3.4-5-6^" # »
ИЛИ
г2 И , /*
1 — cosr=
2 2-3-4 «2-3.4-5-6 ••''
смотря по тому, возьмем ли cos/? = 0, или sinp = 0, и что первая
величина превышает вторую, мы заключаем, что эта первая величина и
представляет maximum выражения
J sin P + e-r sin р
S= -^ cos (rcos р).
Но так как другой множитель
ersin p 4_e—rsinp
St = 75 h cos (2x -p r cos p)
величины R—r?SSx не может превосходить предела
то отсюда следует, что величина R не может превосходить предела
I К —1— £Г - I I К —Г- *Г f .. I <ч I С — Р
ч-
и, следовательно, она ниже
что и требовалось доказать.
Таким образом убеждаемся, что наибольшая величина, которую
может иметь модуль выражения
[tj sin (х + re?v~) -\-a-xf
при х, заключенном между а я X, корнем уравнения
X—a = 7jsinX,
такова:
Отсюда следует, что интеграл
Х2к
^_ г г /,sin(*+^-')+g-^v^- dpdx>
О О
— 136 —
представляющий остаток ряда, о котором идет речь, численно ниже
такой величины:
Х2а п
-мнут1:
о о
Этот предел остатка будет более или менее велик, смотря по
величине г. Но так как величина г совершенно произвольна, ничто не
мешает выбрать ее так, чтобы предел
сделался возможно наименьшим и, следовательно, по возможности
близким к истинной величине остатка.
Мы достигнем этого, принимая за г величину, которая делает
наименьшим выражение
(ег + е-гу
\ 2г ) '
или, что то же самое, делает наибольшим выражение
Обозначая через k maximum последнего выражения, получим для
предела остатка величину
{X-a)(j)\
а так как разность X—а, в силу уравнения
X — а — г^'тХ,
не превышает гь то можно взять этим пределом выражение
Для определения величины k находим, что maximum
2
имеет место при г, равном корню уравнения
и что приближенная величина этого maximum'a будет 0,66274.
Итак,
k = 0,66274.
§ 4. Чтобы найти предел остатка в разложении радиуса-вектора,
возьмем
1 /г(х)=1 — tjcosx, y{x) = smx,
2 dvdx
,{X-a)t[f-
1r
— 137 —
предполагая всегда, что х означает эксцентрическую аномалию, а —
среднюю аномалию и ч— эксцентриситет. Эти величины F (х) и ср(;с),
при остановке ряда Лагранжа на члене
т,я dn~lFt {а) ?п (а)
2-3...п dan-i
дают для остатка
х
1 f d^ ft) sin (д: + /) (tj sin (.v 4- /) + a — *)«]
2-3-•-л J din
dx,
a
где г = 0 после дифференцирования.
Идя тем же путем, как и в предыдущем параграфе, представим
это выражение под видом
Х2тг __
1 Г Гч sin (х + г^^^1) fo sin (л: + г^ /""1) + Д-*]я £-«^~^^#
а О
Отыскание высшего предела остатка, таким образом
преобразованного, начнем с вычисления наибольшей величины модуля выражения
tj sin (х + re? к:гт) [ч sin (х + ге^ г:гг) -J- a — xf
при величине х, заключенной между а и X, корнем уравнения
X—a = TismX.
Но мы только что нашли в предыдущем параграфе, что при этих
величинах х наибольший модуль выражения
[ч sin (х + re.P v~) + а — xf
будет
и что эта величина модуля имеет место только при х = а и,
следовательно, только в случае, когда выражение
[Ч sin (x + rep v -1) + a —xf
обращается в '
hsinta + r^^"1)]1.
Итак, величина ч2\ > j служит пределом для модулей
каждого из двух выражений
[ч sin#(x + г*' /:Т) + а — xf, [ч sin (х + г£"> ^J2.
Отсюда следует, что модуль
Ч sin (x + re^fa sin (* + ^ ^ + л — -*Г
— 138 —
не может превзойти
и потому величина интеграла
Х2л
J_ Г Г1 sin (* + ^ ) fr sin (* + геР^ ^)+д-х]п e-nPV~d ^
т. е. величина остатка ряда, о котором идет речь, должна быть ниже
такого предела:
' \« + l/er + e-r чя+i . , ,v Лия+1^ + ^\Л+1.
^Г^№Г<^=<*-«>^(!
а О
Этот предел приблизится наиболее к истинной величине остатка,
если возьмем его minimum, который наступает, когда г определяется
уравнением
гп[ 2 > =о
dr v'
или
m('3f:)b'-^r-iTT^+^
= 0.
Но эта величина не увеличится значительно, если взять за г
корень уравнения
[ег — е~г) г— ег— е~г= 0,
которое получается, если в предыдущем уравнении сделать п
бесконечно большим.
При такой величине г выражение
обращается в количество, обозначенное нами буквою &, и тогда
найденное выражение предела остатка становится
'<*-«)(*)"■•
Сверх того, так как разность X—а не превосходит т\, можно
заменить этот предел таким:
t 0+2
"(1Г-*(*У
Найденные нами пределы для остатка разложения эксцентрической
аномалии и радиуса-вектора уменьшились бы значительно, если бы
при вычислении предела модуля
[ij sin {x+ rePVZIi) +. а — х]\
— 139 —
вместо замены выражений
g2rsin pJ^e-lr sinp . £rsm p JLe~rs\n p
: 2 И» § r-1»
^rsinp-L^-rstnp
Lg COS (Г COS/7),
ля всех значений p, их наибольшими значениями
2 "Г"1' 2 » А> 2 *'
как мы сделали в § 3, мы приняли во внимание их уменьшение, когда
sin/? приближается к нулю. Но и, несмотря на это неблагоприятное
предположение, найденных пределов достаточно, чтобы ясно показать,
что разложения эксцентрической аномалии и радиуса-вектора по
возрастающим степеням эксцентриситета будут всегда сходящимися, если
величина эксцентриситета ниже предела k— О,66274. Это нашел
первый Лаплас, а Коши доказал очень остроумным способом. Найденных
пределов достаточно также для доказательства, что при этих
разложениях погрешность всегда ниже отношения эксцентриситета к 0,66274 '
возвышенного в степень, равную числу удержанных членов.
В этом убедимся, если заметим, что в выражениях
найденных нами для этих пределов, множители k и kr меньше единицы,
ибо величина к равна 0,66274, а г, корень уравнения
ег + е"т— г(ег — О ==0,
меньше 1,2.
Предполагая, как мы это и сделали, что в этих разложениях
останавливаем ряд Лагранжа на члене
1 dnmmlF'{a)in(a)
2-3... п da"'1
находим л+1 или п-\-2 членов, смотря по тому, раскладываем ли мы
эксцентрическую аномалию или радиус-вектор, так как в первом
случае
F (х) = х,
а во втором
F(x) = \ — 7j cos х,
что дает одним членом более.
§ 5. В случае нескольких совместных уравнений вида
Г—Ь = Ц\Х, YiZ%...)>
Z — с = и>Ъ{Х> Г, Z, ...),
— 140 —
приведение интегралов, которое мы употребили для нахождения ряда
Лагранжа, прямо приводит к разложению функций каждого из
неизвестных X, Yy Z, . .. по возрастающим степеням rh $, со, . . . и дает остатки
этих разложений. Это мы сейчас покажем на двух уравнениях
X-a = w(X, Г), (3)
Y — b^Z<b(X, Г), (4)
отыскивая разложение F (X).
Идя путем, сходным с тем, который привел к ряду Лагранжа,
представим искомую величину ^(А') под видом
F(X) = F(a)+[F'{xydx (5)
а
и приведем интеграл
[F (x) dx
по выше указанному способу, заменяя F'(x) на F'(х"). Таким образом
находим
j> (х) dx=fF' (x") dx = (х' + С) р (*") - f SlW+e)f^') dXj
где С, как известно, может быть какою-нибудь функцией х\ Возьмем
за С величину
— а — 7j и (х\ у),
предполагая, что у будет функция х\ определяемая уравнением
У — Ь = Ц{х\у). (6)
Таким образом для величины неопределенного интеграла \F'{x)dx
находим
Переходя к определенному интегралу
X
[F'{x)dx,
а
замечаем, что при пределе х=Х имеем
х' = Х, х* = Х,
и, по (4) и (6),
у=У.
Но для этих значений х\ х" и у выражение
[*'-«-rff(x'\y)]F'(x°),
в силу уравнения (3), обращается в нуль.
— 141 —
х
При нижнем пределе интеграла \F'(x)dx, полагая
а
х' = х" = а ,
находим, что это выражение обращается в
— ^К.Уо)^'(дЬ
если у0 означает величину у при х = а. Эта величина у, в силу (6),
определяется уравнением
Уь — Ь = Щ(а,уь). (7)
Итак, по предыдущей величине интеграла \F'(x)dx, будем иметь,
х х
f г?! / \ j of \ / \ f d [■** — я — тл (л-'\ v)] F' {х") ,
y(x)dx = riF'(a)y{a}y0)—^-± ^„ ' —— dx,
а а
или, что то же самое,
j> W dx = ч F (а) ? (в, ft) - ^-«-у^*-) Л +
а а
Уо
+ 4j/7r(fl)^(a,-y)dy
ъ
Идя тем же путем, приведем интегралы, содержащиеся в этом
выражении интеграла
а
Приводя интеграл
С4[х'-а-гя(х»,у))Г(х") J
J 5Р rf'^
находим
d [xf — а — т,у (дг", у)] /=» (х") j d [xr — а — т,у (jc»,.y)la /=»(*»)
— 2 J (d*»j2 »* »
а так как выражение
x' — a — Tff{jf,y),
как мы видели, обращается в 0 или в —щ{ау у0), смотря по тому,
сделаем ли
X = л ^ .л ,
или
х'=х" — а,
142
то это уравнение дает
х
{<Цх' — а-^(х''уу)]Г(х'') j r?~ dF (a) f [а, уп)
J dx7' ax — 2 da
х
1 f # [х' - а - цу (х», >QP /* (*») ^ ^
— "2 » fav*)2 '
или, что все равно,
р d [лг' - g — цУ {х\у)) F {х") j„__ т)2 dF(a)f(a,b)
J 5F ' ал — ~ 2 da
Уо
X d\ F(a)o(a,y)vv(a,y)dy
1 f ^2 [^ „ g - jjff {x», jQP F (a-) ^ J .
""""2 J (HP)2 aX~ ri ^
Переходя к интегралу
Уо
заметим, что тот же способ приведения, приложенный к интегралу
[F{a)uy{a,y)dy,
дает
\F'(a)uy(a,y)dy=\F(a)vy(a,y'')dy==(y' + C)F(a)<?'y(a,y')-
J dy"
что обращается в
j F (с) ?; (а, у) dy = [y' — b- *!> (a, /)] F (а) уу (а, /) —
Cd[y'-b- Ц (а, у")] г (в) т, (в. у")
-J W, у- dy,
если возьмем
С = — й — Ща,у").
Так как выражение
в силу (7), обращается в 0 при у'=у"=у(1, это приведение доставляет
\р (а) ?>, .у) dy = Р (а) <?'» {а, Ь) Ща, Ь) — .
TdF'(я) т;(в,у") [у'-Ь-Ц {а,у")\
"J ~ W **--..
ь
— 143 —
Когда поставим зти величины интегралов
Г d F' (х'г) [хг — а — г,в {х'\у)\ j С -. , ч » , ч -
J tf.v»—ь±^±п ^, \ F {а) ъ (а, у) dy
в предыдущее выражение
[F(x)dx,
а
найдем для его величины
г, Р (а) у (a, b) + %d F' {a)df{а'Ь) + ,5 F (а) ^ (а, Ь) 6 (а, Ь) +
X d \F'(a)*(a,y)<? (a,y)dy
+ 2 J (dx>')2 ал-р^ rfa
p d \y> _ &_c <?(*,/')] F(rt) rv (*, V
tfv"
Если продолжать таким же образом приведение интегралов этого
выражения
х
а
то найдем, что
1 f dr [x' - g - тц (лг", д/)РЛ (x") w „ f , ^
2" .1 TSFb ax-j-rr —
2 J (dx"p ' ' da
f d [У - & - &!> (a, y")] Fr (a) • (a, У0
-4 \ j? " dy
обращается в
x
r? d2F' (а) уз (fl, ft) \ ( ^[^-g-r.yC^j;)!8^^) ^r ,
2^3 5д2 2-3.) (d\*:"j3 "^
Уо
— 144 —
Jldb'-b- 6ф (*, У)] />' (а) у (Д, У) У; (g, У)
_ 2J 4£ , г^_Р'(а)9'ь(а9Ь)^(а9Ь)
Ti da T" 2 d£ +
+ у) (^у)2 ЧУ
%ь
и так далее.
х
Повторяя п раз это приведение интегралов в выражении \F'(x)dx
а
и откидывая члены, снабженные знаком интегрирования, приходим к
такому разложению
х
F{x) = F{a)^r\jF'{x)dx:
а
+ Ч^^+ь2Г1-а- + >- + 1,2.,.(л,,1).1 аа^ +
+ :
Ы-2 dfc i ••• l 1.2...(л— 2).1-2 dan-Ub
+ Ы.2...(/2— 1) SF^ >
где для сокращения мы подставили
F\ ср, и!,, Ф
вместо
Г (а), <р(а, ft), <р*(а, ft), ф(а, ft).
Что касается отброшенных членов, которые определяют остаток
в этом выражении F(X), то они могут быть представлены в таком виде:
х dn~l //>' (а) Г'1 («, У) <?!,(*, У) dy
(-1)" CdnunFl(x») d , щп " '»
1-2-•-л J (ах")п "*"ь2-..л-1 dan~l
а
dn-/f w («) уд-3 (д' J'") ь (д- у*) р1 ^
(я _!),"-! у 4Г
1-2...(л-1).1 da»"2
1.Ц . ?Д"1[/я(а)Уу(а.Лол~1] J
.1.2... (л— 3) J Adv^-1 ~~ Uy'
l.i.v...^ H.j. щу
— 145 —
если для сокращения положить
х' — а — щ (х\ у) = и,
у'— Ъ — Щ(а, у") —v.
Окончим замечанием, что найденная величина F(X) при я = со
обращается в бесконечный ряд, который символически может быть
представлен следующим образом:
F {X) = F (a) -f '—jj-J F'(a) + r^' '-g—i jbF{a),
если предположить, что в членах разложения этого выражения
множители
А* пь
будут поставлены впереди всех функций и что
DaDfU
будет принято за обозначение производной
dm+m'U
damdbm''
Этот ряд представляет большое сходство с рядом Лангранжа,
дающим символическое выражение
F{a)+e—u-^F'{a)
для величины F(X) в случае
ВОПРОСЫ
О НАИМЕНЬШИХ ВЕЛИЧИНАХ,
СВЯЗАННЫЕ С ПРИБЛИЖЕННЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ
ФУНКЦИЙ*
В мемуаре, озаглавленном „Теория механизмов, известных под
названием параллелограмов", мы занимались приближенным представлением
функций под видом многочлена и пришли к решению такой задачи:
Определить изменения, которые надо внести в приближенное
выражение функции f (х), данное ее разложением по степеням х — at
если требуется сделать наименьшим предел его погрешностей между
х = а— h и x = a-\-h, где h — величина незначительная,
В настоящем мемуаре мы даем общую теорему относительно
решения задач этого рода, которые могут быть высказаны так:
Для функции данного вида с произвольными параметрами ри
р2, ..., рп требуется подходящим выбором значений ри /?2, ..., рп
сделать наименьшим предел ее отклонений от нуля между х = — h
и х — -\-К
По упомянутой теореме легко убедиться, что в разысканиях
приближенных значений функций под видом многочлена
или под видом дроби
AQx>n + Alx>*-l + ...+Am-.1x + AM
с данным знаменателем, количества ри ръ ..., рп определяются
условием, что в промежутке, где требуется привести к наименьшей величине
наибольшую из ошибок, эта ошибка достигает своей предельной
величины по меньшей мере я-f-l раз.
Такова была исходная точка в приведенном выше мемуаре, где,
как только что было сказано, мы рассматривали представление функции
* Краткая заметка в Bulletin de la Classe phys.-math. de TAcad. Imp. des Sciences
de St.-Petersbourg, XVI, стр. 145—149, представлена 21 (9) окт. 1857; Собр. соч.
П. Л. Ч е б ы ш е в а под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899,
стр. 705—710; П. Л. Чебышев, Избранные математические труды, ГТТИ 1946,
стр. 111-116. — Ред.
— 147 —
в виде многочлена. Но та же теорема показывает, что это условие
изменяется в случае, когда ищется представление функции под видом
дроби, оба члена которой произвольны, и что тогда условие, о котором
идет речь, надо заменить следующим.
Если дробь
Pn-U\xl+Pn-l-\-^1-1 + - • • + Рпх + !
от х =— h до x — -\-k отклоняется от. данной функции Y менее,
нем все другие дроби того же вида, то число вещественных и раз-
личных значений х, для которых разность
V__ РЛХ + Р'1Х ..± • - • /Г" Рп-1
/>л_7+ }х* +ря-1^~1 + ...+рях+1
между х = — h и x—-{-h достигает своих крайних значений 4-Z,
и —L, может быть ниже л-f-l на d единиц, только если будем
иметь
А = 0> /у—О, ..., Pd = 0,
Высказывая это, мы отвлекаемся от случая, когда функция Y и ее
производные для значений х, заключенных между х = —k и х = -[-й,
перестают быть конечными и непрерывными, и предполагаем, что дробь
PvXn~i~\ 4-p.2xn~i-24-... + Pn-i
Pn-l+l*1 +Рп-1т2*1~1 + • • • +PnX + l
приведена к простейшему виду.
Переходя к приложениям, мы отыскиваем решение таких задач.
1) Какая из всех целых функций вида
A- + /VV"-1 + р^~* + • • • + А,-1* + Л
отклоняется возможно менее от нуля между пределами х = — k
и x = + h?
2) Какая из дробей вида
хп _^р(хп-\ +р»хп-г± , .. + р(п-1)х + р(»)
A0xn-i-i + Alxn-i-* + ...+An-l-1ix + Au-l-.li
имеющих один и тот же знаменатель, отклоняется наименее от нуля
между x = — h и .х= + й?
3) Какая из дробей вида
р'хп-*-1 + p"x*-t-J + .. .+/?("~л
между д: = — h и л: = ■+■ Л отклоняется возможно менее от данного
многочлена x»-l + Ax»-l-l + Bx"-l-~ + ...?
Несмотря на всю сложность уравнений, которые определяют
неизвестные коэффициенты ри р2, ..., ри9 р\ р\ ..., р(п+1\ мы достигаем
окончательного решения наших задач, сводя их к вопросам
неопределенного анализа.
— 148 —
Тот же прием может быть выгодно употреблен во многих других
случаях и, между прочим, в общих исследованиях о приближенном
представлении функций в рациональном виде, где этот способ доставляет
решение такой задачи:
Для данного приближенного выражения f(x), выведенного
обыкновенными способами в виде многочлена или в виде дроби, найти
изменения, которым надо подвергнуть коэффициенты, когда
требуется сделать наименьшим предел его погрешностей между
х=а— h и х = а-\-1г, причем К величина довольно малая.
Это мы предполагаем сделать в другом мемуаре, где обнаружится,
насколько решение частных задач, которое мы даем теперь, важно для
общих исследований о приближенном представлении функций в
рациональном виде. На этот раз мы ограничиваемся указанием той пользы,
которую можно извлечь из нашего способа для изучения свойств
функций целых и дробных.
Таким образом нам удается установить следующие теоремы
совершенно нового вида.
Теорема. Численная величина функции
xn-t + Ax»-1-1 -f 5я-*-2 -f-...
между х = — h и x—.-\-h не может оставаться ниже 2(-£ ]•
Теорема. В пределах х—— h и x — -\-h, где дробь
хп +р'х^-1 +... -)-р(п-1)х4-р(")
А0ХП-1-1 _|_ ^«-/-2 + . . . + An-t-oX + 1
не обращается в -^, ее числовая величина не может оставаться
НиЭтСВ
где ji означает число мнимых корней уравнения
AoXi-i-i + AiX -1-2 + т . u + An_t_xx+ 1 =0
и р — низший предел их модулей.
Теорема. Функция
ха + Ахп-^ + Вхп~* -f.. .-1—^L
от х= — h до x = -\-h не может оставаться численно ниже
где корень взят со знаком противоположным знаку числа А.
Теорема. Функция
x» + A*"-» + ...4- —Ч—1—
1 1 ' л:—а » дг —ft
— 149 —
от х = — h до x=-\-h не может оставаться численно ниже
[в+^±/(в+*^+?](|)я-\
где радикал взят со знаком противоположным знаку количества
B + J-A».
При помощи этих теорем можно доказать много очень простых
предложений о решении уравнений. Вот некоторые из них:
Если уравнение
x2l+1 + Ax«J-~l-\-...-\-Ix + K===0
содержит только нечетные степени х, т.о между
21+1 / -J 21 + 1 Г~х
-2 у {К, +2 у±К
лежит по крайней мере один из его корней.
Если уравнение
f(x) = xn + Axn~l-\-Bxn~* + ...-irK=0
имеет только вещественные корни, какова бы ни была величина t,
всегда окажется по меньшей мере один из его корней между
x = t и х = £±4 |/£^,
если радикал взят со знаком противным знаку 4У:.
Если числовая величина интеграла
и
f (хп + Ах"'1 + £л-Л~2 + -.. + К) dx
меньше ^ —4—) ' т0 меж"У Х — Н и х==Н0 лежит по
меньшей мере один корень уравнения
х« + Ахп-1 + Вхп~°- + ... + К=0.
По меньшей мере один корень уравнения
Х2\+1 _|_ Ах* _|_ Bx2i-i + с***-* +... + Нх* + 1х + К= О
лежит между пределами
где )i — число мнимых корней уравнения
Ах* + Cjfix~* + ... -{-Нх* + К=0
up — нижний предел их модулей.
— 150 —
Если уравнение
л?х+1 + Ах*х~1 +... ±К»х*' +. .. + 1х±АГ=0
содержит только один член К(>х2Х° с четною степенью х, и его
показатель 2).0 не превосходит \, то по меньшей мере один корень этого
уравнения заключается между пределами
х = -2 у {-К-2 }/~К0,
* = +2 у\К+2 YjK..
Кроме этих теорем и некоторых других того же рода, мы показы-
ваем, какую пользу можно извлечь из наших исследований для
интерполирования.
ВОПРОСЫ О НАИМЕНЬШИХ
ВЕЛИЧИНАХ
СВЯЗАННЫЕ С ПРИБЛИЖЕННЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ
ФУНКЦИЙ *
I
§ 1. Пока переменная л- остается в смежности одного значения, по
правилам дифференциального исчисления можно притти к представлению
всякой функции f(x) под данным видом с наибольшим приближением.
Таким образом, приближенное представление функции f(x) в
смежности х — а в виде полинома степени п находим, останавливая ее
разложение в ряд Т эй лор а
/(л)=/(а) + ^Р£/'(а) + !£й~-/*(я) + ...
на члене ^-^;-/(Л) (а). Так же получаем приближенную величину/U)
в некоторой форме Z, приравнивая нулю при .v —я разность f(x) — Z
и ее первые производные.
Если дело идет только о величинах х смежных с а, эти
выражения f(x) представляют ее с наибольшею точностью, какую только
допускают их формы.
Но это не имеет более места, если неременная х подчинена только
условию оставаться в пределах более или менее широких. В этом
случае разыскание приближенных выражений для f{x) требует методов,
существенно отличных от тех, о которых мы сейчас упомянули.
Так как степень точности приближенных выражений функций
определяется пределом их ошибок, то ясно, что для представления f{x)
надо взять то из выражений, которое между всеми другими того же
вида наименее уклоняется от f(x) в промежутке, для которого ищется
ее приближенное выражение. Но приближенные выражения функций,
находимые по правилам дифференциального исчисления, никогда не
* „Sur les questions de minima qui se rattachent a la representation approximative
des Fonctionse (Memoires de Г Acad. Imp. des Sciences de St.-Petersbourg, VI serie, VII
(1859), стр. 199—291); русский перевод Е. И. В-ой в Собр. соч. П. Л. Ч е б ы ш е к л
под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 273—378. — Ред.
— 152 —
удовлетворяют этому условию: они дают величину f(x) с наибольшею
точностью только в смежности одного значения х, или, что то же,
в промежутке бесконечно тесном.
Следовательно, когда х меняется в пределах более или менее
широких, как это бывает на практике, необходимо изменить более или
менее приближенные выражения f{x), получаемые обыкновенными
способами.
§ 2. В нашем мемуаре, озаглавленном „Теория механизмов,
известных под названием параллелограмов", мы разобрали случай, когда
отыскивается приближенное выражение функций в виде многочлена, и мы
дали решение такой задачи:
Найти изменения, которые следует внести в приближенную
величину f(x), данную ее разложением по восходящим степеням
х—а, когда требуется сделать наименьшим предел погрешностей
между х = а — h и x — a-\-h при h довольно малом.
Решение этой задачи легко доставляет элементы параллелограмов,
которые удовлетворяют условиям наиболее выгодным для точности
хода этого механизма. Но, стараясь решить другие вопросы того же
рода, мы убедились, как важно иметь общий метод для решения
задач, аналогичных с указанной нами здесь и состоящих в
определении выражений, которые, между всеми другими того же вида,
наименее уклоняются от некоторой функции f(x) между двумя данными
пределами.
Именно решением подобных задач мы сейчас займемся.
§ 3. Начнем с изложения общей теоремы относительно решения
этих задач, которые можно формулировать следующим образом:
Для некоторой функции F (х) данного вида с п произвольными
параметрами р1У р2,..., рп надо подходящим выбором значений
Ри р2> • • • > Рп сделать наименьшим предел ее отклонений от нуля
между х = — h и x = -\-h.
Переходя к приложениям этой теоремы, мы покажем, как ею
пользоваться для получения уравнений, доставляющих решение задачи в
случае, когда требуется представить функцию в виде полинома или
рациональной дроби.
Наконец, мы покажем, что можно извлечь в некоторых частных
случаях из решения этих уравнений, которое производится при помощи
методов, аналогичных с употребляемыми в анализе Диофанта и которое
приводит ко многим алгебраическим теоремам совершенно нового рода.
§ 4. Заметим еще, что частные случаи, которые будут здесь
рассмотрены, очень важны для решения такой общей задачи:
Для данного приближенного выражения f{x), выведенного
обыкновенными способами в виде многочлена или в виде дроби, найти
изменения, которым надо подвергнуть коэффициенты, когда
требуется сделать наименьшим предел его погрешностей между
х=а — ft и x = a-\-h, причем h величина довольно малая.
— 153 —
Теперь, однако, мы не остановимся на этой задаче, решенной
отчасти в выше упомянутом мемуаре и решение которой составит
предмет другого мемуара.
II
§5. Какая-нибудь функция F(x) между пределами х = — А и х = Л-к
отклоняется от нуля не более как на некоторое количество А, если
все ее значения, от х ——h jxo x — -\-h, заключены &ежду—L и +^>
и по крайней мере одно из них равно -J-Z, или —L.
Предположим, что это значение F(x) соответствует х — хх.
Так как F(x) для всех величин х, заключенных между л: = — Л,
x = -\-h, не должна ни превосходить -\-L, ни опускаться ниже — L,
то ясно, что величина х = хи которая приводит F(x) к -hZ,, должна
быть или одной из величин х, для которых г (х) достигает либо
максимума либо минимума, или одной из предельных величин х, т. е.
д: = -|~А, х = — *•
Поэтому, отвлекаясь от случая, когда производная F'(x) становится
при х = х1 бесконечной, мы заключаем, что хх должно удовлетворять
одному из уравнений
(х— А)(* + й) = 0, Г{х) = 0
и, следовательно, такому:
{x—h)(x + h)F'{x) = Q
или
(х2 — h2)F'{x) = 0.
То же самое будет иметь место для всех значений х, которые, в
пределах х~ — А, х = -{-h, приводят F (х) либо к -f-Z-> либо к —L,
или, что то же самое, которые удовлетворяют уравнению
/-"2 (*) = !=.
Поэтому, обозначая через
величины х, о которых мы сейчас сказали, заключаем, что уравнения
F2 (х) = Z,2, (х* - A2) F (х) = 0 (1)
будут иметь jjl общих решений
X = Xj, Х2, . . . , Х^у
где хг, х2,..., х^ величины вещественные, различные между собой
и заключенные между х =— А и jc = -f-A.
Имея в виду эти общие решения уравнений (1), мы постараемся
определить величины параметров ри р2,..., рп функции F{x), для
которых количество I, означающее, как мы видели, предел уклонений
F{x) от 0 между х = — А их = -|-А, становится возможно наименьшим.
— 154 —
§ 6. Чтобы упростить эти изыскания, мы оставляем в стороне
случай, когда F(х) и ее производныя относительно х, ри р2,..., рп
перестают быть конечными и непрерывными между х =— А и x = -\-h, и
в этом предположении установим следующую теорему:
Теорема 1. Количество L, которое означает, насколько F(x)
отклоняется от нуля между х = — h и x = -\-h, не приведено к
своей наименьшей величине, если система уравнений
dF(xx)
dpi Al"
dF{xx) ,
dp2 Л^'
dF(x2
dpi
^2 +
dF(x„)
dF(x2) ч
dp->
ь +
dpx
dPt
K = 0,
= 0,
dF(xx) . i dr(x.
ЛР а
it dn, h^T ■■
dP(xJ.
dpa
v
(2)
не имеет других решений, кроме
\ = 0, kg — 0>
= 0;
хх, х2,..., л; представляют, те значения х, для которых функция
F(x) между х — — k и x = -\-h достигает своих предельных
значений -\-L и — L\px, ръ. - у рп означают произвольные параметры F{x).
Доказательство. Эта теорема вытекает, очевидно, из двух
следующих предложений, которые мы установим сначала:
1) Если уравнения (2) возможны только при /^ = 0, L> = 0, ...,
а = 0, то можно найти конечные величины Nlf N2, .., Nn>
удовлетворяющие ji уравнениям
^1 + ^,
(
(3)
«wNl+«g>N1+m
dpi
dp.
dP(x^)
apTl
Nn=F(xJ.)
2) Посредством конечных величин Nu N2, ..., Nn, которые
удовлетворяют уравнениям (3), можно указать систему величин параметров
Pv Ръ •••> рп> ПРИ которых F(x) от jc = — h до x = -f-A не достигает
ни предела +1, ни предела —L и, следовательно, остается
заключенною в более тесных пределах.
§ 7. Доказательство первого предложения. Когда
дело идет об уравнениях первой степени, которых коэффициенты и
известные члены имеют конечные значения, всегда можно удовлетворить
им конечными значениями неизвестных, если только, решая их по
одному из обычных способов, не встретим уравнения, где все неизвестные
исчезают, а известный член не приводится к нулю.
— 155
Если бы это представилось при решении уравнений (3), то можно
было бы их так сочетать, чтобы получилось
+
dF(x:
dpx
dpx ;vi ' dp2 зТ i dpn /v«
= F(xx) Xi + F (Xt) l2 + •*..+ F (*,)>., ,
где все неизвестные Nv N2, - •, Nn исчезают, а член
F(x])ll + F(x2)l2 + ...+F(xlXK
не обращается в нуль, что предполагает возможность удовлетворить
уравнениям
dF{Xl) . dF{xt) > , , ^(V, _ п
dPx *•* « d^ A2-r----t- d/?l *> —и,
rfFUi). , d^Ua). i , ^V.
4+..-+-^V-o,
dpt Л1 l d/72 ~ l * ' * l dfl
£*/•'(*,) . , d/-'U«)* i , d/,,(^).
/.
^+...+-^4=0.
«>« n^ d/\ - k '■' г «Р*
не приводя к нулю выражения
Fixjl. + Fix,) >,, + ... +F(aV)V
и, следовательно, не полагая
Итак, пока нельзя удовлетворить уравнениям (2) другими
значениями lv i2, • ••> >>, кроме Хх = 0, ..., \х = 0, наверно найдутся
конечные величины Nu /V2. • • • > Nn> удовлетворяющие уравнениям (3), что и
требовалось доказать.
§8. Доказательство второго предложения. Пусть
будет со бесконечно малое положительное количество, Л/\, ЛГ2, ..., NH
конечные величины, удовлетворяющие уравнениям (3), FQ(x) значение,
которое принимает функция F[x) по замене ее параметров
Р\у Ръ • • • > Рк
на
рх — Л/^со, р2 — ЛГ3«>, • • • у Рп — Nn®.
Так как дело идет только о случае, в котором функция F{x) и
ее производныя относительно xf pv ..., рп остаются конечными и
непрерывными для всех величин х, заключенных между — h и -\-h
(единственных значений х, которые мы рассматриваем), функция Рщ{х),
— 156 —
которая выводится из F(x) через замену количеств
Pi, Ръ ■■■, Рп
на
Л —W,e>, p-i — N2<>>, ..., p/t — Nnw,
может быть представлена так:
f.w=fw- [*&н1+Ц£н,+ ...+Ч£ы.).+1ъ: (4)
где R — функция о> и х% не делающаяся бесконечною при со = 0.
Поэтому легко показать, что от х = —h до x = -\-h числовая
величина F0(x) остается ниже L, предполагая, конечно, что количество L
не нуль, или, иначе говоря, что функция/7^) между х = — knx = -\-h
не постоянно равна нулю.
Чтобы в этом убедиться, заметим, что для х = хг, по формуле (4)
п в силу уравнений (3), находим
F0(x) = F{xl) — F(xl)u + ®*R = F{xl){l—«>) + Q*R,
и так как F(xJ, по (1), приводится к ±L, величине отличной от нуля,
и (о, по нашему предположению, количество положительное, бесконечно
малое, то числовая величина этого выражения FoixJ, очевидно, ниже L.
То же самое имеет место, если дать х значение, разность которого
с хг не превышает некоторого конечного предела.
Действительно, по уравнениям (1) и (3), при х = хг выражения
Fix),
*£>".+^ ".+ ...+*£!*.■
имеют одну й ту же величину ±L, отличную от нуля, и, в силу
непрерывности функций, составляющих эти выражения, они не могут
изменяться скачками.
Отсюда следует, что в смежности с х = хг эти выражения будут
иметь значения отличные от нуля и одного и того же знака. Но пока
это имеет место, уравнение (4), где со положительное и бесконечно
малое, дает для F0(x) величину численно меньшую, чем F(x) и,
следовательно, меньшую L, т. е. предела значений F (х) между х = — А и
x= + h.
Подобным же образом убедимся, что числовая величина F0(x)
остается ниже L, если х находится в смежности со значениями
Остается доказать, что это имеет место также для всех прочих
значений х, заключенных между x = — h и x~-{-h. Но так как
xv х2, ..., х,х представляют единственные значения х, для которых
функция F(x) между х = — /г и x = -\-h достигает своих предельных
значений — L и +Z, и так как F0{x) отличается от F (х) только
бесконечно малыми членами, то ясно, что в случае, когда х не находится
в смежности с хи хъ ..., х , ни одна из функций F0(x) и F(x) не
— 157 —
может приближаться бесконечно близко ни к —I, ни к 4-Л, и,
следовательно, значения F0(x) будут заключаться в более тесных пределах.
Итак, приходится признать, что от x~ — h до x=-\-h функция
F0{x), найденная через замену в F{x), параметров
Pv Л> • • - > Рп
на
/7,-^0), р2 — М>о>, ..., pn — Nn(u
не может достигнуть ни предела -{-L, ни предела —L, что и
доказывает предложение.
III
§ 9. Выведенная теорема послужит нам для нахождения уравнений,
определяющих значения параметров pv p2f ...Kpn, при которых
функция F(x) наименее отклоняется от 0 между х =—h и x—-{-h. Легко
было бы найти эти уравнения, если бы знали наперед число ;л, которое
означает, сколько раз от х = — h до л: = -{-й функция F(x) при
искомых величинах параметров достигает своих предельных значений—L и
+L. Но незнание нами величины jji составляет обыкновенно главную
трудность рассматриваемых вопросов о наименьших величинах.
Мы покажем теперь, как можно всегда устранить эту трудность
до известной степени, а в некоторых особенных случаях даже вполне.
Относительно числа pt можно сделать два предположения: 1) д
превосходит п, число произвольных параметров F(x); 2) jjl не превосходит я.
Каждое из этих предположений, как мы увидим впоследствии,
может иметь место; разберем их.
§ 10, Число ji превосходит п. В этом случае не важно знать
истинную величину jx; ибо, если ;л более п, ряд
содержит по крайней мере п~\-\ различных величин, и тогда, по § 5,
уравнения
F2 (х) = L\ (х* — /г) F (х) = 0
должны иметь по меньшей мере п-\-\ общих решений, что влечет за
собой п -\-1 уравнений с п -f-1 неизвестными количествами, а именно:
п искомыми параметрами функции F(x) и количеством I, которое
означает, насколько F(x) уклоняется от нуля между пределами
х = — h и x = -{-h. Через решение этих уравнений получим все
неизвестные, если только не встретим тождественных уравнений, что
может представиться только в исключительных случаях. Мы не
остановимся теперь на этих частных случаях, ибо они не встретятся вовсе при
решении вопросов, которыми нам предстоит заниматься.
Итак, если число. jx больше п9 можно обойтись совершенно без
уравнений (2). К тому же, нетрудно заметить, в этом случае они
ничего не дают ни относительно I, pv p2, ..., рп, ни относительно
хг, хъ ..., хп, потому что, когда ji больше п, число уравнений (2)
меньше числа неизвестных \у Х2, ..., >. .
— 158 —
§ 11. Число ;л не превышает п. В этом случае уравнения
(2), по исключении \i неизвестных \19 ..., /^ доставляют п— jjl —J— 1
уравнений между /z-f-jx количествами
Pv Ръ • • • > Рп у
xv х», ..., х^.
С другой стороны, делая в уравнениях(1)
X = Х^, Х2, . . . , Х[Х ,
находим еще 2jx уравнений между рл, р2, ..., рп, хи х2> ..., л: и I.
Итак всего будем иметь л -f- ji -{-1 уравнений с таким же числом
неизвестных
Р\з Ръ • • • j /?/z> -*u -^2> • • • > •*>» ^-
Решая эти уравнения, мы достигнем определения и количества I и
искомых параметров функции F{x). Но так как эти уравнения
изменяются существенно с величиною числа р., их можно решить, только
устанавливая заранее величину д; и, чтобы обнять все возможные случаи,
надо рассматривать отдельно такие предположения
}Х=1, 2, ..:, Л
единственно возможные по той причине, что 0<ц=£^я.
§ 12. Пока ничего не известно наперед о числе jx, можно узнать
искомые параметры F(x), при которых она наименее уклоняется от
нуля, между х== — h и x = -{-h, только сравнивая между собой
значения!, находимые в различных предположениях о jx, именно: \i^>n и
}i = l, 2, ..., п. Заметим, что важность исследования различных систем
параметров, входящих в F(x), и выбора той их них, которая дает
искомое решение, обусловливается природой нашей залачи, в которой ищется
minimum minimorum величины L, для чего необходимо знать все
возможные минимумы.
Часто, однако, легко убедиться, что уравнения (2) при 119 л2, ...,)
отличных от нуля, невозможны для некоторых значений, jx; тогда число
возможных предположений о величине числа ji уменьшается, и потому
решение нашей задачи значительно упрощается.
Один из таких случаев, наиболее интересный и вместе с тем наи-
чаще встречающийся, тот, когда по природе функции F (х) уравнения
(2) влекут за собой
).1 = 0, >.2 = 0, ..., 1^ = 0,
пока }л не превышает п.
Тогда, согласно теореме 1, нельзя привести L к его наименьшей
величине, не делая |л>я, и, как мы видели, количество L и искомые
параметры F(x) определятся условием, что уравнения
F2 (jc) — L2 = 0, (х* — А V (х) = 0
имеют по крайней мере п-\-\ общих решешш. Так как эти решения
— 159 —
суть
X -'•—'■ Х^ у X ■ Х-^у X -— Л'.., , » ,
то мы заключаем, в силу показанного в § 5 относительно этих
количеств, что п -(-1 общих решений наших уравнений будут наверно не
равными и будут заключаться между х — — h и x — -\-h.
IV
§13. Чтобы показать, какую выгоду можно извлечь из
установленных выше положений, рассмотрим, в частности, такие три
выражения F (х):
F( \- ^ХП^1^1 + Р^ХП'1^^''' ^ Pn-l-v^ + Pn-l у
t[X)— Рп-1^х1 + Рп-1+г*1-х+'.-+Рп*+\ '
где Y—функция от х, остающаяся конечною и непрерывною, так же
как и ее производные, от л' = — 1г до л: = -—//.. Решение нашей задачи
для этих трех выражений F (х) тем важнее, что оно, очевидно, связано
с приближенным представлением функций или в виде многочлена, или
в виде дроби с данным или произвольным знаменателем.
§ 14. Первый случай:
F(x) = Pl#-*-\-PtX»-*+ ... + Рп_лх + рл-7.
В этом случае легко убедиться, что уравнения (2) требуют
л1==0, ).2 = 0, ..., ^ = 0,
если jj. не превосходит п.
Действительно, дифференцирование выражения F (х) но р}, /э2,..., ри
дает
dF(x) _ уЛ_ х dF(x) _уа_« dFix) _ dFjx) _ «
~1рГ~х ' тЧ^Г—х ~' -" аРп-х —*' dPu "А-
В силу этого уравнения (2) становятся
мг2 +^г2+ • - ■ + vr2=0>
и, взяв сумму этих уравнений, предварительно помноженных
соответственно на какие-нибудь количества Ка„ь Ka-z* • • •» ^ ны получаем
**ф (ь)+\2ф (**) + — + V* W=°>
где
• W^/r^^^ + ZC^-^ ... -f AT^ + Ai.
— 160 —
А так как Ф(х) может представлять все целые функции степени
ниже /г, можно положить
Ф (х) = {х — х2) (х — хъ)-->(х — xv) = х»~* — (х2 + л-3 + ... + xjх*~* +
если у. не превосходит л, и для этого значения Ф(х) предыдущее
уравнение становится
>-i (*i — **) (xi — хз) • • • (xi — xv) — °'
откуда следует
так как количества xv х>, ..., х^ различны между собой.
Таким же образом найдем
12 = 0, .... ^ = 0,
принимая
ф (д;) = (х — ХЛ){Х — Хь) ..-{Х- Х^,
Ф(Х)==(Х — Х1){Х — Х2)"'{Х — Х^1).
Из того, что мы доказали относительно уравнений (2) в случае
F(x)=plXl-1+p*x?-2+ -..Л-Рп-1Х+Рп—У
и из § 12 вытекает следующая теорема:
Теорема 2, Если количества pv р2У ..., рп выбраны так, что
функция
F(x)=Plx"-i-\-p2x»-*+... +Рп_1Х + Рп-У
наименее уклоняется от нуля между х = — h и x = -\-h, то
уравнения
F2(x)—L2=0, (x* — fi2)F'(x) = 0
имеют по крайней мере п-\-\ общих решений, отличных друг от
друга и заключенных между х = — h ux = -\-h. Количество L означает
предел уклонений F(x) от нуля между х— —h и x — -{-h.
§ 15. Второй случай
W — A0xm + Alx>n-i+...+Am_lx+Am Г'
Стараясь решить нашу задачу для этого выражения F(x), мы можем
ограничиться случаем, когда знаменатель дроби
Л**-1 + Р2*п-г+- ■ -+Рп-\Х+Рп
не исчезает между х = — h и x = -\-h. Действительно, по свойству
: задачи, искомая дробь должна быть необходимо из числа тех, которые
не перестают оставаться конечными от х = — ft до x = -{-h.
Следовательно, если бы ее знаменатель
А0хт + Ахх^ + • • • + Ат_гх + Ат
— 161 —
содержал множители, обращающиеся в нуль между лг = — А и x = -\-h9
то ее числитель
должен был бы делиться на все эти множители. В силу этого искомая
дробь приводилась бы к более простому виду, в котором знаменателем
была бы функция A0xrnJrAlxm~x-\-...-JrAm, лишенная всех
множителей, способных обращаться в нуль между л: = — Л и *===-{-А, а
числителем была бы функция того же вида как
А^1+А^2 + - • -+Pn-iX+Pn>
но степени ниже п — 1 на столько единиц, сколько в функции
А0хт + Ах**-* +... + Ат_хх + Ат
есть линейных множителей, которые исчезают между х= — Ah;c=-J-A.
Таким образом, наша задача для выражения
rW — A0x*n+A1x*-i+...+Am-lx+Am Y
сводится всегда к случаю, в котором знаменатель не обращается в нуль
между пределами лг== — Л и .x = -f-A.
Именно этим случаем мы теперь займемся.
Так как Y> по предположению, представляет функцию, остающуюся
между х = — А и х=+А конечною и непрерывною вместе со своими
производными, и так как знаменатель дроби
A0xm + A1x'n-i+...+ Am^lx+Am
не обращается в нуль в этих пределах, то ясно, что в этом промежутке
ни функция
Ft V _Plxn~X + P*xn~* + "-+Pn-lx + Pn v
rW — A0x" + Alx*-l+...+ Am-1x+Am Г>
ни ее производные относительно х, ри р2, ..., рп не перестанут
оставаться конечными и непрерывными.
Поэтому для этого выражения F(x) теорема § 6 будет иметь место.
С другой стороны, легко убедиться, что для такого вида F{x)
уравнения (2) в случае ]i^n предполагают, что
^ = 0, /.£ = 0, .. ., 1^ = 0.
В самом деле, полагая для сокращения
Лух* + Агхт-> -\-...+Ат_1х + Ат=:ч (х),
находим для упомянутого значения F(x)
dF{x) х71"1 dF{x) У2"""2
dpi ¥(■*)' dPi — ?(*)''
11 П. Л. Чебышев, т, И
dF(x) x
mf *Pa-i~~1<*)9
dF(x) _ 1
*P* ~f(*)
— 162 —
На основании этих формул уравнения (2) становятся
н*5Т~' Тш +••• + <? ц,) — '
? 0*l) ' <? (*2> ' " * ' * <? Цх)
• ••••• ft
Vl*1 , *2-v2
>- 0,
где ср(^), <o(x2), ..., ?(^) отличны от нуля, ибо функция
<р (*) = Л^ + Л^"1 + • • • + Ат^х + Лт
не обращается в нуль между х = — h и х = АгК а величины хр х2>
.,., Хр, как мы видели (§ 6), заключены в этих пределах*
Умножив предыдущие уравнения соответственно на количества
и взяв их сумму, имеем
>.t<E(*i) , УЕ(**) . УРЦЛ_0
*(*i) + *ta) + ;" + ?Ц,)
где
Повторяя рассуждения, употребленные в первом случае, заключаем,
что это уравнение, в котором ufa), ^(^2), ..., <p(A'sJ имеют величины
отличные от нуля, требует Л! = 0, 12 = 0, ..., ^=0, пока ji не
превышает п. Вот почему мы приходим, как и в предыдущем случае, к
теореме:
Теорема 3. Если количества pv ръ ..., рп выбрани таким об-
разом, что функция
t W— АьХт + А^т-1+... + А^Х + Ап Г>
от х= — h до x = -\-h, наименее уклоняется от нуля, то уравнения
F\x) — L2 == 0, {х* — h*) F' {х) = 0
имеют по крайней мере я-f-l общих решений, различных между
собой и заключающихся между х = — ft ux = -\-h. Количество L
представляет предел значений F(x) между х = — h\ji x=-\-h.
§ 16. Третий случай.
Fl PlXn-^+P^-i-l + '-'+Pn-l-lX+Pn-l у
Г W— Pn-i+*xi+Pn-i+ix'-i+...+pnx+\ Г'
— 163 —
. Всегда можно предположить, что дробь
Pn-l+lxl-гРл-1-rl*1-1 +- •- + Рпх + {
приведена к своему простейшему виду. Предполагая это и замечая, чтр
дробь, которая решает нашу задачу о минимуме, не перестает быть
конечной между х =— h и x = -\-h, заключаем, что ее знаменатель
остается отличным от нуля между этими пределами, а в таком случае
ни функция
Ft ^„^"^Ч^^+^ + ^ЧЧ^дЧ "
Г (Х)~ Pn-t+lX'+Pn-l+^-'+'-'+PnX+i УЗ
ни ее производные относительно х, р19 р2, ..., рппе могут становиться
бесконечными или прерывными для рассматриваемых значений х.
Следовательно, теорема § 6 приложима также и к этому выражению F{x).
Чтобы извлечь из этой теоремы уравнения, относящиеся к pv ръ .,,%
ри1 L, начнем с разыскания выражений
, dF{x) dF(x) dF(x)
dPx ' dp2 ' "> dpn *
Из выражения F(x)y полагая для сокращения
Pn-M^ + Pn-l+lX1"1 + . . . +Р„Х+ 1 =<р (х),
находим
dF(x)_xn-t-i dF{x) _xn-i-* dF(x) __ 1
dpi ~ ?(*) ' dp, — а>(дг) > '••, dpn-t~-f(.v)'
rfF(x) _ лП(х) dF(x) _ х!-хЦх) dF{x) _ дгф(дг)
После этого уравнения (2) становятся:
*1*1 | А2*2 ! | У> 0
= 0,
А1Д*1 | А*2Л*-2 , . ^(А-*"|А
= 0,
?2(*i) <p"-(-v2) •'* T2^)
= 0,
= 0,
M (*l)*l *2 Ф (Л'2) *1 V ЦЛ J>
?2(*i) ?*C*s) "" ?2ЦЛ
'" =0.
h$ jxi) хг Х2Ф (л-2).у2 y$ (V -у
?2(*l) ?2(-V2) •'• T'^a)
11'
— 164 —
Нетрудно показать, что эти уравнения, в случае ;х<л и lv \%t
. ♦., i отличных от нуля, влекут за собой следующие:
Pn-l+l — °> Рп-1+2 — ®> '" у Pn-l+d — ®>
где
1:} «
Для доказательства возьмем сумму этих уравнений, предварительно
помножив их соответственно на произвольные множители
Вд_/-г> Вп-1-2у "• » #i> 50, С7, Cz-1, ••• , С2, Cj,
что дает нам
**(*i) "*" ?2(*2) ~Г ' ' ' "*">(**)" '
если для сокращения положим
*W = ? (*) (Вп-,-г л"-'-1 + 5л_/_2^-'^ + •' • +£,*+S0) -
- х ф(х) (<V~i + Си х'~г + • • • + С2х + СО-
Из этого уравнения мы нашли бы
)ч = 0, Х2 = 0, ..., V = 0,
как в предыдущих случаях, если бы приличным выбором количеств
Bn-l-V Bn-l-2>' ' '> "l> &0' Q> W— l» ' * '» ^2j Cj
в выражении
Ф(х) = с?(х)(5л_,_1х"-г-1 + 5я_/_2л:«-г-2+...Ч-В1х4-Во)-
- *Ф (х) (C^'-i 4- С,.,л'-2 Ч Ь С*х+С,)
можно было сделать
$(x) = (x — xt)(x — x,)---(x-~xf) = xf~1 — (xt + xz-\ -f
Ф(а:) = (х — ^)(х — х3).--(х — x(l) = ^-i — (x, + x3-1 Ь
Ф(х) = (х — a:j)(jc — х2)- ■ ■(x — xiL_,) = x*-i — (x1 + xi-{ Ь
+ х,_,)х^+...
Поэтому для доказательства, что уравнения (2) в случае ц<л и
А„ >.2> • • •, V отличных от нуля, влекут за собой уравнения (5),
достаточно показать, что формула
— х$(х) (C,x'-i -f Cw *»-» -f • • • + С2х+Сх)
может представлять все выражения ф (х), упомянутые выше, если
уравнения (5) не удовлетворены; что мы и сделаем.
— 165 —
Так как дробь
Ь(х) _pixn-t-i+pzxn-l-s.\ \-Рп-1-\х+Рп-1
<Р (X) ~ Pn-l + l xl +Pn-t+2 X1"1 Н YPti* + 1
несократима и так как ее знаменатель
<Р W^Pn-t+ix'+Pn-r^x1"1 Ч \~Рп*+1
не делится на х, *го функции ср (х) и х ф (х) взаимно простые, и
следовательно, можно найти функции М и N, удовлетворяющие такому
уравнению:
у(х)М — x${x)N=l.
Отсюда мы выводим
Ф(х) = Ф (х) {<((х)М—хф (х)N) = у(х) (Ф(jc) Af—хф (х)Q) —
-*Ф(*)(Ф(*)ЛГ-?(х)(г),
где Q — какая угодно функция.
Из этого выражения функции Ф(х) заключаем, что она
представляется формулой
+с/.1^-а + ---+с^+с1),
если только подходящий выбор Q понижает степени функций
Ф(х)М — хФ{х)(}, ${x)N—u{x)Q
соответственно ниже п — / и /. Как мы сейчас увидим, в случае, если
уравнения
не удовлетворяются, всегда достигнем этого, принимая за Q частное
от деления Ф(х)М на х<Ь(х).
В самом деле, для этого значения Q функция
Ф{х)М — xb(x)Q
приводится к /?, остатку от деления Ф(л:)Мна х$(х), и, следовательно,
ее степень ниже степени х$(х) или л*-1.
Переходя к выражению
Ф(х)М— <f(x)Q,
заметим, что уравнения
у(х)М — xty(x)N=lf <b{x)M — x&(x)Q = R
дают'
м— ^+-^(x)N п_Ф(х)М-Х
Откуда следует такое выражение для Q:
и затем
Ф(х)-\-х№)Ф(х)М—Яу{х)
4 ^WfW
Ф(;с)ЛГ-ср(;с)3 = Ф(*)АЛ-Ф^^
w т ч / -х \ / д:ф(л:3 лгф (л*) » жф (х)
— 166 —
Из этого выражения функции
<!>(x)N— tf(x)Q
легко узнаем, что ее степень будет -ниже /, пока уравнения
Д=0, р2 = 0, ..., p-d = 6
не будут удовлетворены, или, что сводится к тому же, пока степень
функции
•будет превосходитьп — I — d — 1,. или jji—/— 2, ибо d равно п +1 — д.
Чтобы в этом удостовериться, заметим, что в этом случае член
^ будет степени ниже [л— 1 — (jjl —/—i) = rf/так как функция
•Ф (х) только степени ji — 1.
Что касается другого члена выражения
степень его также ниже /, ибо степень R, как мы видели, ниже
степени х&(х), а.степень функции
<р (X) =Яя-/+1 XlJrPn-V+t Я*'1 Н \-P*X+ l
не может быть выше /,
Таким образом, мы убеждаемся, что в случае, когда уравнения
не удовлетворены и когда Q представляет частное от деления Ф(х)М
на *ф(л:), степени выражений
<J>{x)M—xty(x)Q, <b{x)N—<f(x)Q = 0
будут соответственно ниже п — / и /, что и требовалось доказать.
Так же можно убедиться, что в случае, когда уравнения
Ai-/+i = 0* #i-/+2 = 0, ..., А,-/+<*=0
не удовлетворены, степени функций
Ф (х) М— х ф(х) Q, Ф (*) W— с? (*) Q
будут соответственно меньше п — / и /, если только взять за Q
частное от деления Ф (х) N на ср (х).
В силу чего, как мы видели, уравнения (2), при ц«^/г и X,, ),2,
,.., /^ отличных от нуля, влекут за собой неизбежно такие равенства:
Ai-/+i = 0> Л-/+2 = 0, ...> Л-/+«* = 0,
где
d = n-\-\—jjl
Отсюда, по § 2, вытекает следующая теорема:
Теорема 4. Если количества ри ръ ..., рп выбраны так, что
— 167 —
от х — — h до x = -\-h уклоняется наименее от нуля, то кисло
различных решений, общих для двух уравнений
F2 (х) — I? = 0, [х? — /г) F (х) = О
и заключенных между х— — h и x = -\-h, может быть ниже я-f-l
на d единиц не иначе, как только при условиях
Pn-t+l = °> Рп-1+2 = 0> ' • ' > /V-/+* = О"
Количество L означает предел значений F{x) между х = —h и
х = -f- A.
Так как всякий общий корень двух уравнений доставляет особое
соотношение между их коэффициентами, то ясно, что из этой теоремы
•получатся /z-f-1—d уравнений между количествами
Pv Pz>"-> Piv L>
которые входят в функции F2(x) — L"\ (x2 — /г2)Р'(х), и, так как
в то же время имеем
А = 0, Л = 0, ..., Ра=0,
то окончательно будем иметь л-р^-т~1 уравнений между /z-f-1
искомыми количествами ри р2, ..., /?л, I,
Отсюда следует, что, кроме случая d = 0, эти уравнения могут
быть удовлетворены не иначе, как если данные задачи сами
подчиняются некоторым условиям; а это приводит нас к заключению, что
число а может отличаться от нуля только в исключительных случаях,
когда входящие в функцию Y количества вместе с данной величиной h
удовлетворяют некоторым уравнениям.
Оставляя в стороне эти случаи, будем иметь
и тогда, согласно доказанной теореме, число различных решений,
общих для двух уравнений
F2 (х) — Z,2 = 0, (л? — Л2) F (х) = О
и заключенных между х = — h и л' —-{-А, будет по меньшей мере
равно л+1, как это всегда имеет место для двух других уже
рассмотренных выражений F(x).
V
§ 17. Чтобы показать приложение теорем, относящихся к трем
частным видам F{x), займемся решением таких трех задач:
1) Какая из всех целых функций вида
хя+Р1ха^+р2хп^+ . > * л-рп^х + ря
уклоняется возможно менее от нуля между пределами х —— h
и * = + Д?
— 168 —
2) Какая из дробей вида
A0xn-i-i+Axxn-i-*-l [.^л-/-^+-^я-/-1
имеющих один и тот же знаменатель
Ло^-'-' + ^-'-Ч Мй_,_2х + 4,-г-1>
уклоняется возможно менее от нуля между пределами х = — h и
х = + Л?
3) Какая из дробей вида
■ p{n-i+i) xi +рп-1+2х*-Ц \-p{*] x+ph+й
между х = — h и x — -\-h уклоняется возможно менее от данного
полинома хя"Ч-Ахл-1-1 + 5л«-'-3+1... ?
§ 18. Все эти задачи, очевидно, представляют только частные
случаи тех, которыми мы занимались в §§ 14, 15, 16, и на основании
трех выше доказанных теорем легко притти к уравнениям, которые
определяют их решение. Но переходя к разысканию окончательных
результатов, тотчас увидим, что уравнения, определяющие искомые
количества
Ри Ръ • • ♦, Рп
не могут быть решены известными методами алгебры, если только
число этих количеств не очень ограничено; ибо по причине очень
сложной формы этих уравнений их решение в случае многих неизвестных
требует выкладок, совершенно не выполнимых. Итак, если пытаться
решать наши задачи посредством этих уравнений, то нельзя итти далее
небольшого числа частных случаев, которые, отдельно взятые, не
представляют большого интереса. Мы покажем в следующих параграфах,
что можно дать общее решение наших задач, приводя их к вопросам
неопределенного анализа.
Мы выполним это приведение, замечая, что, в силу выше
доказанных теорем, решение этих задач характеризуется одним очень простым
свойством, которым обладает система двух уравнений, составленных из
искомых функций, и аналитическое выражение которого, как мы увидим,
доставляет неопределенные уравнения второй степени между искомыми
многочленами, заключающимися в функциях, и некоторыми другими
многочленами, которые играют роль вспомогательных неизвестных. С
помощью этих-то неопределенных уравнений мы получаем окончательное
решение наших задач, которое нельзя было бы найти с помощью
обыкновенных способов алгебры.
§ 19. Тот же способ может быть с выгодой употреблен во многих
других случаях и, между прочим, в общих исследованиях о
приближенном представлении функции в виде многочлена или в виде какой-нибудь
дроби, причем он дает решение задачи, упомянутой в § 4.
— 169 —
Мы предполагаем это сделать в другом мемуаре, где будет видно,,
как важно решение частных задач, которое мы дадим теперь, для
общих исследований о приближенном представлении функций в
представленном рациональном виде.
VI
О функции вида
x"+Plxa^ +Л*Л-2 -| |-/v.i х + Рп,
которая наименее уклоняется от нуля между
пределами л = — h и x = -\-h.
§ 20. Так как функция
** + рх*«-*+р2х*-*-] VPn-iX + Pn
представляет выражение
Л^-1 + A**-'+ • • • +Л-1*+Л— У
в случае К= — хп, то мы заключаем, в силу теоремы 2, что при
таком выборе коэффициентов
Pv Рг> • • •» /V
для которого выражение
уклоняется возможно менее от нуля между х=—h и x = -\-hy
уравнения
F2 (х) — I2 = 0, (tf — A2) F {х) = 0 (6)
имеют по крайней мере я+1 общих решений, различных между собой.
Положим, что
X •— Х§
будет одним из этих решений.
Нетрудно убедиться, что тогда выражение
(х2 — fr)(F2{x) — L2)
будет делиться на (х — х0)2. Действительно, на основании первого я
предыдущих уравнений выражение
(j<* — h*)(F*{x)—L*)
обращается в нуль при х=х0.
Сверх того, его первая производная
2 (х* — ft2) F (x) F (х) -f 2х (F2 (х) — L%
в сил} тех же уравнений, также приводится к нулю при х=х0; а это-
и доказывает нам, что выражение
(x* — h*)(F*(x) — L*)
делится на (х — х0)2.
То же самое имеет место относительно других общих решение
уравнений (6), и так как число этих решений, различных между собой,
— 170 —
не меньше я-f 1, то из этого следует, что выражение
делится на п -f-1 различных множителей
(х — х0)*> {х — хх)\ {х — х2у, ..., {х — хп¥
и, следовательно, на их произведение
(х — ХьУ{х — хх¥{х — х2у.',{х — х,у.
Но выражение
(x*-fi2)(F2(x)-L%
в котором
только степени 2/г-]-2, и потому частное от деления этого выражения
на произведение
(х — л'0)2 (х — хгу {х — х2)* • • • {х — хау
может быть только постоянным. Поэтому
{Х2 _ А*) (/* W _ /*) = с (^ - х0)2 (х - *х)« (* - xtf • • • (х - *л)з. ■
Это уравнение будет иметь место только, если x-\-h и х — А
находятся в числе множителей
X Xq, X Х-^у X Xoj . . . , X — Хп,
А если предположить
х — x0 = x-{-h9 х — хг=х — А,
то, по разделении на {x-\rh)(x—А)=х2 —А2, оно становится таким:
F2 (х) -L2 = C (х? - It2) (x - xtf... (х - хп)\
или
F'(x)-L2 = (x^fr)^>"'(x), (7)
причем через Ф(х) обозначена целая функция
Vc{x — x2)...(x — хп).
Именно из этого уравнения мы найдем F(x), т. е. ту из функций
вида xnJrp1xn-1 -\ \-рп-1хЛ-Рп> которая уклоняется возможно
менее от нуля. Количество I, как мы знаем, определяет
наибольшую величину этой функции для х заключенного между
пределами х = — Л и л* = + А.
. § 21. Чтобы найти функцию F(x) по уравнению (7), заметим, что
оно дает
(Р (Х) _ ф (х) yW^F.) (F (х) + Ф (х) V^T2) = L2
и затем
— 171 —
Отсюда мы выводим
^£1=]/^ГГ^
Ф(ДГ) ' Ф(х)(Р(х) + Ф(х)Ух*-Н2)'
а это доказывает, что дробь ^~j представляет величину Ух2 — А2 с
точностью до членов порядка ф2, включительно.
Но это может иметь место только, если d ,■■• будет одною из
подходящих дробей к л:2 — Л2, которые находятся разложением этого
радикала в непрерывную дробь. Сверх того, так как функции Fix),
Ф(.х), в силу уравнения (7), необходимо взаимно простые и так как
F (*) = *• +А^+А^-Ч гД,-1*+А.
то ясно, что ф~~ будет тою из подходящих дробей \ х2— А2,
числитель которой степени п, и что ее части могут отличаться только
постоянным множителем от F[x) и Ф(а'). Следовательно, будем иметь,
обозначая через yf ту из подходящих дробей у х2— А-, числитель ко-
торой степени я,
F{x) = CQPny <I>(x) = C0Qn.
Значение постоянной С0 мы найдем, замечая, что F (х) должна быть
вида д^ + р1л:л-1+»—VPn-\xJrPn и> следовательно, коэффициент при
ха должен быть равным 1.
§ 22. Через разложение \ х2— А2 в непрерывную дробь нетрудно
найти ряд ее подходящих дробей, следовательно, и обозначенную нами
через 5«, которою определяются F(x) и Ф(х). Но можно найти прямо
выражения функций Рп и Qn, как мы сейчас покажем.
Из тождества
(* _ Vtf — h?) (х -f Vx2 — Iv) = А2,
которое легко проверить, имеем
VlF^i?- - *'
"K.v2 — /z2 12л- + У х* — /г- —.
потому находим
V X? — /Г — X-
2*-2?
2д: +
л" /Г
2л- + У"л:2-Л- —л: ov .. л*
2.v-fl/\v~>-
' ~ 2л- _ _
V
' -
"/Г- — х
h2 ^
*2—Л3 + *
— 172 —
Отсюда видно, что выражение Vхг — А* развертывается в
непрерывную дробь
2л- ^
и что полное частное равно Va? —#*+•*• Итак, обозначая через
<?1 ' Q*' " • " > Qm-l ' Qm > ' ' •
ряд подходящих дробей для
2х ^
имеем
и затем
х+УХ' — Н*
Так как
А2 = (х + Kjc* — А2) (х — К;с* — А2),
эта величина Pm —QmVx*— fi* дает нам
Рт ~ Q* ^ - А3 = (х - /** - А2) (РЛ-1 - Qm_t Кл? - А2),
или, что сводится к тому же,
Pm-1-Qm-lVx*-*1
Делая в этой формуле
т — п, т=п—1, ..., /7г = 3, /я = 2,
получаем ряд уравнений
Pt-QzVxb-H' v-
которые, по перемножении, дают
Pl-.QiVJfl-.h*~{X VX ~k) '
— 173 —
Откуда мы заключаем
Рп — Q„ Vtf — h% = (х — Vjfl — h*) (x — Ух* — ft2)""1 = (Л- _ VxTZ^f t
замечая, что первая подходящая дробь для
У#^Ё = х-£__£
2лг
равна -у и что, следовательно,
Рг=х, Q, = l, Л — Qi V* — &* = * — Ух* — Л3.
Уравнение '
Р„ — Qn К** — А5 = (Л — Кд? — Л2)"
через перемену знака Ух2 — Л3 становится
и, следовательно, мы имеем
Р _ (.V + W _ hy + {х _ yxi _ д»)в
П _. (•<■' + Ух* — 1*У — (х —Ух* - Л*)"
д"~" 2У*=#
Поэтому искомая функция F(x), равная, как мы видели (§ 21)
С0РЯ, выражается так:
F <х) = Сц <*+У^2 - *У + (* - ^2 - *2)л
Это выражение F{x), разложенное по возрастающим степеням ху
имеет первым членом 2а~1С(ухп, a F(x) должна быть вида
хР+Рг&^+Рг*-*^ \rPn-i*+Pn*
следовательно, 2Я~1С0 = 1, откуда
Г — -I-
Со —jr.!-
Внося эту величину в предыдущее выражение функции /^(.х),
находим окончательно
F(х) ={х+Vx'~ АУ + (х ~V* ~ кГ . (8)
Таково выражение F(x)9 той из функций вида
^-b/V^+A^M \-Ря-1Х+Р*
которая уклоняется возможно менее от нуля между ;с = — h и x~-\-h.
УП
§ 23. Найденное выражение F(x) легко доставляет предел
уклонений этой функции от нуля между х = — А и х — -{-И,, предел,
обозначенный нами буквой L.
Для этого заметим, что уравнение (7) при л = А дает
— 174 —
И ПОТОМУ
L = ±F*(h);
Но, делая л: = А в найденной величине F(x)9 имеем
следовательно,
Найдя величину L и замечая, что между всеми функциями вида
наша функция F{x) наименее уклоняется от нуля между x= — h и
x = -\-h9 мы приходим к такой теореме:
Теоремаб. Числовая ее личина функции xnJrplxn^ -f *" '-\-Рп-\хЛ-ра
между х = — h и *=+ h не может оставаться ниже 21 yj .
§ 24. Из этой теоремы выводится много других; мы укажем
некоторые из них.
Теорема 6. Если функция f'(х) имеет вид хп+ргхп"1 -| [-
pn-iX-\-pn, и разность между двумя значениями f(a — A), f{a-\-fi)
меньше 4 (тгГ, то первая производная от f{x) меняет знак между
х — а—h и x — a-{-h.
Для доказательства предположим противное, именно, что f'{x) не
меняет знака между х = а — А и x = a-\-h*
В этом предположении функция
f(a+x)-"a + h)+f(—k)
от х=—h до .*; = -{-А могла бы быть только ^постоянно возрастающей
или постоянно убывающею и, следовательно, оставалась бы
заключенною между своими двумя значениями
ffa h\ f(* + b)-fla-b)=f(a-k)-f(a+h)
f(a J h) /<* + *>+/<*-*> = fla-h)-f(a + h)^
Откуда следует, что ее числовая величина, от х=—Адох= + А,
не превосходила бы числовой величины ' (a — b) — f(a+h) ^ след(Ь
вательно, была бы ниже 2 (-^у, так как последняя величина, по
сказанному в теореме, численно больше, чем
у(д-ц-/(д + М
2 •
— 175 —
Но функция
имеет вид
и, следовательно, этого не может быть, в силу теоремы 5, что и
доказывает высказанную теорему.
Теорема 7. Если числовая величина интеграла
н
\ {л*-* + Лд^-Ч \-fQdx
Но
меньше — ( "^ °) , то между х=Н0 и х = Н лежит по крайней
мере один корень уравнения.
х*-1 + ^л~2Н \-К=0.
Для доказательства заметим, что, полагая
х
л J (л«-» + Ах»-Ч \-K)dx=f{x),
и
Н0 — а — h, H^=a-\-h,
находим
я
f(a-\-h)—f(a — h) = n\ (л"1"1 + Ах"-*-( + К)dx,
(^ГЧт)'.
и так как, согласно условию теоремы, определенный интеграл
н • ' '
,f (^-^f Лл"'-Ч Ь #)<**■
численно ниже — (—т—) > то> следовательно, числовая величина f {a -J-
+ А)—/(а — Л) меньше 4 (-о")*. Откуда, замечая, что функция
X
f(x) = n\ (;c*-* +A*"-4 [-/О&с
о
имеет вид
x»+Plxn^-\ \-рп,
мы заключаем, по предыдущей теореме, что уравнение
f(x) = n{xn"1 + Axn-^ {-К) = 0
должно! иметь по меньшей мере один корень, лежащий между а — к=Н^
a-{-h='H, что и требовалось доказать.
Теорема 8. Число перемен знака в ряде
/(*)> Г (х), Г (х), ..., /<-« (х), /с-) (х),
где
/(*) = х* + Л**-1 -| + /£
— 176 —
всегда меняется, когда переходим от какой-нибудь подстановки
x = t к другой, определяемой формулой x = tzb4y нр» npum-
f(t)
мая корень со знаком противоположным знаку ~~.
Мы разберем здесь только случай, когда f(t) и/'(t) положительны.
Но легко убедиться, что то же доказательство приложимо ко всем
другим случаям.
Для доказательства нашей теоремы в случае, когда f(t) nf(t)
положительны, мы покажем, что по меньшей мере одна из функций
2п /~/2 и\
/(*)» f(x) меняет знак между x = t — 41/ J~^ и x = t.
Действительно, если бы функции f(x), f(x) оставались положительными между
этими двумя пределами, то величина
была бы положительною и ниже f(t), а следовательно, численное
значение разности
оставалось бы ниже /(f), или, что сводится к тому же, ниже
[*-(*-*УЩ
Но этого нельзя допустить, ибо, в силу теоремы 6, числовая
величина разности
не может быть ниже
если только f(x) не меняет знака в пределах
x^t—iyrf^W^ * = t-
Итак, наверно в этих пределах по меньшей мере одна из функций
/(х), /' {х) перестает быть положительной.
Наша теорема становится очевидною, если f(x) меняет знак между
x==t—41/ ^р и x = f; поэтому остается только разобрать случай,
когда в этих пределах функция/(х) остается положительною, a f(x)
меняет знак.
Так как /' (t) число положительное, то ясно, что в случае измене-
2« ГТГПл
ния знака функции f(x) между x = t — 41/ у~т^ и х = £ она должна
переходить от отрицательных значений к положительным. Но эта перемена
— 177 —
знака унесет две перемены знака в ряде
/(*), /' (х), Г (*), ... /-» (х), /1"> (х),
ибо, по предположению, /(х) положительна отх = £— 4 у -$ дох
= £, а /" (х) не может быть отрицательной, когда f (x) переходит от
отрицательных значений к положительным, что и доказывает нашу
теорему.
В частном случае,-когда уравнение
f(x) = 0
имеет только вещественные корни, только что установленная теорема
влечет за собой следующую:
Теорема 9. Если уравнение
имеет только вещественные корни, какова бы ни была величина t,
всегда существует один из его корней между x = t и x = t —
— ^ V Т7Г' если Ра^икал взят со знаком противным знаку ^~- .
Теорема 10. Если уравнение x2l+l-\-Ax2l~1-] \-Jx-\-K=0
содержит, только нечетные степени х, то между пределами —
2/+1 /"к 2'+1 f~K
— 2 У*т»+2 у ~ лежит по меньшей мере один из его корней.
Действительно, если бы уравнение
х2^1 + AxOJ~l +...-f Jx-\-K=0
не имело вовсе корней между
х = -22Г+-|/|, x = Jr22,yt>
то же самое относилось бы и к уравнению
х'^1 + Ах*1-1 -f ... + Ух — /f=0.
Отсюда, взяв произведение зтих уравнений, мы пришли бы к
заключению, что в тех же пределах уравнение
(x*l+1 + AxrJ-* + ... + Jx)* — K2 = Q
не имеет корней.
Но так как функция
х2'+1 + Лх?'-1 + ... + /х
обращается в нуль при х = 0, это предполагает, что ее численное зна-
чение от х = — 2 Т/~дох = + 2 |/~ остается ниже К> чего
нельзя допустить, ибо, по теореме 5, функция вида x-z+1+A^2r+
+ ---+p2m между этими пределами не может оставаться численно
ниже
откуда и вытекает наша теорема.
12 П. Л. Чебышев, т. II
— 178 —
Теорема 11. Если уравнение
x^ + Ax^ + ... + Jx+K—KoX^ = 0
содержит только один член —К0х21 с четною степенью х и этот
член имеет знак противный знаку известного члена К, то между
пределами х= — 2 у~,л: = + 2 у -j лежит по меньшей мере
один из его корней.
Замечая, что уравнение
^■,1^ Ах^1-' -\-... + Jx-\-К— К0х2Х = 0
с переменой х на —х становится
x*l+i + Ax*l-l + ... + Jx — K+KQx2X = 0
и что эти уравнения, перемноженные между собой, дают
(j^1 + Ах21~г + • • •+Jxf — (#— ^2Х)2=о;
мы заключаем, как и в предыдущем доказательстве, что последнее
уравнение не имело бы вовсе корней между
если бы ни один из корней уравнения
х*1^ + Лх^-i + • •. + Jx + К— К0х* = О
не заключался в этих пределах, и потому численное значение функции
x^ + Ax^ + .-. + Jx
2'+V/T 2/+1 /Тс
от х = — 2 |/удох = -}"2 у ~2 оставалось бы ниже численного
.значения К—Лус2Ч А это, очевидно, невозможно, если выражение
К—К0х2Х обращается в нуль в этих пределах, так как числовая
величина никогда не меньше нуля.
Это невозможно и в том случае, если в этих пределах выражение
К—КоХ2Х не обращается в нуль; ибо в этом случае, при одинаковых
знаках К0 и Ку числовая величина К—К0х2к остается ниже численного
значения ЛГ, и на основании того, что мы видели при доказательстве
предыдущей теоремы, функция
**l+i-{-Ax*1-1+ ... + Jx
в пределах
21+1 /-Т? 2Z + 1 /-р
х = -2 [/§, х = + 2 у\
не может оставаться численно ниже К и тем более ниже величины
численно меньшей, что и доказывает нашу теорему.
— 179 —
Till
§ 25. Кроме данных нами теорем и многих других того же родат
можно извлечь еще много других результатов из рассмотрения целой
функции, которая среди всех функций того же вида возможно менее
уклоняется от нуля между данными пределами.
Мы покажем теперь, какую выгоду можно извлечь из этого
рассмотрения относительно интерполирования.
Пусть f(x) то точное выражение величин, которое требуется
представить приближенно целою функциею
А + Вх + Сх* + ...-\-Нхп-*
и
п значений f{x), при помощи которых определяются коэффициенты
Л, В, С, ..., Н искомого выражения f{x).
Так как коэффициенты
Л, В, С, ..., И
находятся посредством приравнивания функции f{x) и ее искомого
выражения
А + Вх-\- Сх* + ...-\-Н&-*
при х = х19 Хо, .-., хп, то разность этих двух функций будет
приводиться к нулю для всех этих значений х. Поэтому, пока функция /{х}
и ее производные f'(x)9 f" (х), .♦., /{i>)(x) не перестают быть конечными
и непрерывными в пределах, где заключены х> xv хъ ..., хп, находим
f^-iA + Bx + .^+Hx^^^^ix-x^ix-x^^^x-x^
где а — некоторое среднее количество между х, хи х2, ..., хп.
§ 26. Так как разность
f(x) — {А + Вх + Сх* + ...+Нхп~1)
означает погрешность приближенной величины /(х), полученной па
формуле
/(х) = А + Вх + Сх* + ...+Нх"-\
то предыдущее уравнение показывает нам, что степень точности
значений f(x)y находимых по этой формуле, или, что то же самое,
посредством интерполирования, будет больше или меньше, смотря по величине
выражения
Из того, что это выражение в промежутке, где производится
интерполирование, может достигать пределов более или менее значительных
сообразно с величинами хл, х2, ..., хп, ясно, что степень точности
значений, полученных интерполированием, зависит не только от природы
интерполируемой функции и от числа значений/^), f{x2), ..., f(xn)r
употребляемых при интерполировании, но также от более или менее
12*
— 180 —
подходящего выбора этих значений. Чем более выражение
приближается к нулю в пределах интерполирования, тем выгоднее
величины
f(*i)> /(**), ••-> f(xn)
для точности результатов.
Но так как ничего не известно о точном выражении
интерполируемой функции f(x) и, следовательно, о связи я между величиной /{пЦа)
и величинами х, хи х«, ..., хп, то остается только выбором/^), /(х>),
• • • > f(xn) стараться уменьшить по возможности множитель
{х — хг){х — х2)---{х — хп)
между пределами интерполирования.
Итак, относительно точности результатов интерполирования всем
системам величин
/М, /(-*?)> •-., f(x«)
.следует предпочесть ту, для которой функция
(х — хг) (х — х2) • • -(х — хп)
между пределами интерполирования наименее уклоняется от нуля, и,
следовательно, по § 22, следует взять
если интерполирование производится между пределами
х = — Л, х = -\- h.
§ 27. Только что полученная формула показывает, что величины,
которые должно взять за хи х2, ..., хп при интерполировании между
пределами х = — h и x—-\-hy суть п корней уравнения
а если положим
это, уравнение становится
Отсюда следует
x = h cos <?,
cos щ = CL
2£+1
' 2л '
где k—какое-нибудь целое число.
Поэтому п корней уравнения
(х + V*2 + &)" + (х — Ух* — У)п_
2п — U>
и, следовательно, величины хг, хъ ..., хи, о которых мы говорим,
выражаются так:
Acos~, A cos | А, _, Acps^^v (9)
— 181 —
Преимущество этих значений хи хъ . ♦., хп перед значениями
равноотстоящими, употребляемыми обыкновенно при интерполировании,
обнаруживается очень ясно. В самом деле, по § 23, в случае, когда
(х — хх)[х — хъ)..-(х — х^^-3: 301 Ц
произведение
(х — х1)(х— х>)- • *(х — хл)
от х = — h до x = -\-h достигает только удвоенного (-jY, между тем
как в случае хи хъ ..., хп равноотстоящих
. п — 3» п — 5. г
Хг — а, Х% — п 2 **> *^з — л j ^> • « • у Хп — И
находим, что произведение
[х-хг) {х—х2)* - -(л:—хя)
в тех же пределах не остается ниже утроенного (тт). Например, при
л = 2, 3, 4, 5
находим, что для этих значений хъ х2у ..., хп произведение
{х — хг)(х — х2)---{х—хп)
в пределах х = — A, x = -{-h достигает следующих величин:
44)". &(*)'■ "(!)'• ^(4)
Сверх того, отыскивая maximum maximorum этой функции между
х = — A, x = -\-h в случае большого я, находим для его
асимптотической величины выражение
где множитель при ( у 1 стремится к ее по мере того, как возрастает
число /г.
§ 28. Так как значение /п) (а) в выражении погрешности
интерполирования
Ь^Г^ — xi)(x — *2Ь'(* — *J
остается неизвестным, то нельзя ясно представить себе, насколько
уменьшается ее maximum maximorum между х = — h и x=--\-h от
замены величин равноотстоящих хъ х2, ..., хп величинами определенными,
как мы только что показали, по (9). Но легко убедиться, что, кроме
исключительного случая, когда/л)(0)== 0, отношения maximum
maximorum выражения
^lyLfr — xJix — xJ-'-ix — xJ
и его множителя
(x — xJix — xJ-'-ix — xJ,
— 182 —
которое получаются между x = —h и я= + А при двух выше указан*
ных системах величин хи х29 ♦ .., хп9. стремятся к одному и тому же
пределу, по мере того как А приближается к пределу нуль.
В самом деле, пусть Е9 М наибольшие величины выражений
Y^n (* — *i) (* — •**)•' -(x — Xn)*
(х — хг)(х — *J-••(*■— хп),
в случае, когда х19 хъ ..., хп определены по (9) и когда х остаетоя
между пределами —А и -\-h. Так как отношение д будет заключаться
между наибольшей и наименьшей из величин, которые может иметь
выражение . Л
/(л)(«)
l-2-.-л
от х = — А до x = -\-h, и так как а — количество, остающееся в тех
же пределах, как х, xl9 х29 ..., хп, т. е. между —А и + А, то мы
зааходим " , ч
обозначая через 6 величину, заключенную между —1 и -}-1-
Тем же способом мы получаем
Е' _/(д)(М)
W \-2.--n9
где 6Х представляет количество, заключенное между —1 и +1, а Е\
Ш'-'обо5начают наибольшие значения выражений
Ь2-^(*~**)(*~ x2)--(x — хп\
(х — хг){х — х2)---{х—хп),
которые получаются между х = —А и x = -\-h при равноотстоящих
Деля одну на другую величины
Е_ Е^
М' №
амеем
? . М _ f(n) (Щ .
Е1' М' /Л)(М) *
Что доказывает, что отношение величин
ё.' УН
£'>' 'Mi
стремится к единице, когда А приближается к нулю и /л) (6А), /п) (6^)
при А■== 0 не обращается в нуль, что и требовалось доказать.
Мы видели, что. отношение. -^ остается ниже ^. Итак, в силу до-
Е
казанного нами, наверно отношение g-,, кроме исключительного случая
/л)(0) = 0, необходимо ниже 1, цока. А будет достаточно малым.
— 183 —
IX
О дроби, которая из числа всех дробей вида
х* 4- /р'-г*1-14- ♦ - • 4-/><л-1Ь:-j-p№
имеющих тот же знаменатель AqX"-1'1-]- Л1ля""|-24-.- .+
-rAz-/-i> возможно менее уклоняется от нуля между
пределами х = — h и x = -\-k.
§ 29. Дробь, о которой идет речь, очевидно, можно представить
под видом
р!хп -1 -j-p''xn-2-f- . . . -f.^) — X*
Аох*-1-1+А1хп-*-*+... + Ап-1-1 ^«-^-t-^i^-^+.-.i-^B-i-i
и так как это выражение представляет частный случай такого
А*""14- P^n"2Jr ... +/>к к
которое мы разбирали в § 15, то из теоремы 3 мы заключаем, что
искомая дробь
хп J^-p'xn-i 4- ... 4-р^-Ъх4-/?(я)
которую мы для сокращения будем обозначать через F(x)9 должна
обладать следующим свойством:
Уравнения
F2(x) — L2 = 0, (x* — fi2)F'(x) = 0
имеют по:меньшей мере я-j-l общих решений, различных между
собой и заключенных в пределах х—— A, x = -\-h.
Сообразуясь со сказанным в § 15, мы предполагаем, что
знаменатель
A**1-1-* + 4*-'-* +... + Ая_м
не обращается в нуль между х =— h и x = -\-h.
§ 30. Полагая для сокращения
Лох"-1-» + ДХ»-1-» + • • - + Ai-r-i = ^
находим
через это уравнения
F2(x) —12 = 0, (^ —A2)F(x) = 0
сводятся к таким:
— 184 —
В силу этого легко убедиться, что если х = х0 будет общим
решением уравнений
F2 (х) - I2 = О, (х2 - /г2) F (х) = О,
то это значение х удовлетворит также двум следующим уравнениям:
(^-^)(^-iV)=o, ^2-^f~'V)-o-
Действительно, первое из этих уравнений представляет
непосредственное следствие такого:
U2 — IV = 0.
Что же касается второго, то оно приводится к уравнению
где, в силу уравнения
U* — L2v* = 0,
£/2
при х = х0 первый член исчезает, а второй, по замене I v на — ,
обращается в
2{tf-h*)U( dU rTdv
v V ~dx. dx,
что будет нулем, по уравнению
имеющему корень х=х0.
Но, коль скоро х=х0 удовлетворяет двум уравнениям
функция
(х2 — fi2)(U2 — IV)
необходимо имеет множителем (л:—х0)2.
Из показанного нами относительно общего решения двух уравнений
F2 (x) — I2 = 0, {** — h2) F {х) = О
следует, что высказанное выше свойство искомой дроби - предполагает
делимость функции
(х2 — fi2)(U2 — IV)
на множители
(х — х0)2, (х—^)2> ••> (* —*J2,
где л:0, хг ..,, хл—величины неравные и заключенные междух=—h
и х = -\-/1.
Откуда следует, что эта функция делится на произведение
(х-х0)Цх — ^...(х — xnf
и что этот делитель не имеет с v общих множителей, ибо функция v,
по предположению, не обращается в нуль между х = — h и х—-\-Н,
а х0, хг, ..«, хп заключены в этих пределах.
— 185 —
Но так как функции U и v суть соответственно степеней п и
п — 1—1, степень (х2— Ji*)(U2 — LV) не может превосходить степени
произведения
(х — х0)*{х — хг)*~-(х — хя)*,
у\ потому частное от деления
(х* —/z-)(U2 — IV)
на
(х — х0у- {х — хху-.-{х — хя)*
может быть только количеством постоянным. Итак, будем иметь
(л* — ^)(и2 — ЬЧ^ = Со(х-х0)Цх-х^-"(х— xrf.
Это уравнение предполагает, что два из множителей
X Xq} X Хц •••> X Хп
соответственно равны
х + Л, х—h.
А если положим
х — x0 = x-\-h, х — хг=х— А,
это уравнение обратится в
[f—L2v* = C,(x + h)(x — h)(x — x2)2...(;c — хп)\
и потому
U2 — L*v* = {x* — h2)W*,
или
£/*_ W2(x* — Aa) = lV, (10)
где для сокращения принято
VCQ{x — ХъУ--(х—хи)= W.
§ 31. По уравнению
U*—W*{x* — h*) = l№
мы и будем искать функцию U, означающую, как мы видели,
числитель дроби
v Ацхп-I-Ur-Ахх*-1-2-{-...-{-А,^^ 9
которая из всех дробей того же вида уклоняется наименее от нуля,.
от ;с = —-А до x = -\-h. Положим, что, по разложении функции
v = AQx"~l~i + А^-1-* + ... + Д,-,-,
на линейные множители, находим
V — A0[x — а{у> (х — а2)/а
где аи а2, ... величины различные между собой. Так как функция <о>
по предположению, не исчезает между х= — А и x = -\-h, то
количества аи а2, ..., если они вещественны, лежат вне пределов x = —hy
x=-\-h. С другой стороны, в силу того, что функция v степени
— 186 —
п — /—1, и v равняется Ай(х— a-x)h(x— <*,)'"..., будем иметь,
А+/2+...=л—/— 1.
Наконец, так как
(х2 _ h*) W=ус^ (Х_ *0) (Х - Xl) (x - х2) • • • (х - хп)
01)
и значения х09 хъ х2, ..., хп заключены между х = — h и x = -\-hy
функция (х2— A2) W не может обращаться в нуль при х = а19 а2, ....
§ 32. Переходя к определению U по уравнению
lf—W*{jfi — h*)=lS>\
начнем с разыскания всех решений уравнения
X2— Y2{x2 — h2) = C^v\
где (х2 — А2) Г2 не обращается в нуль прид; = а1, а9, ..., а функция ^
разлагается на линейные- множители следующим образом:
v = A0(x — al)t*(x — a2y*"- ..
Чтобы достигнуть-этого, условимся обозначать, через-sl5 e0,
единицу, взятую с одним из двух знаков ±, через Р рациональную часть
выражения
или, что сводится к тому же, выражения
x — h i x-\-h
aj— h ' *\-\-h
*/?
+ Л2у \^2 —Л I а,-|-Л
•2e.
VW
n через QVx2 — А2 другую его часть, содержащую иррациональный
множитель Vx2— А2. Согласно этому, находим
-£2]/ ^+-k) --г
_ft\2'-
-Л
У а,-Л
(12)
■что по перемножении доставит
}2 /^2/^ L24 . (x—h x-\-h\2/i /д:-
P2—Q2(x2 — h2)=^
-(■
2Л \2/x/ 2Л \2Г3
'A x+h\2l*
ajf—Л»
«»-Л*
a2 — Л a2-j-/?y
(я-еО'Чк-а,)^.
— 187 —
Откуда, замечая,.что произведение
. {х — аг)2Цх — с^)2'....
отличается от v2 только постоянным множителем, мы. заключаем, что
определенные таким образом функции Р и QV х~ — /г удовлетворяют
уравнению
Р'2 — Q2{x°- — h2) = C{])v~. (13)
. . Сверх того легко убедиться, что функции Р и Q \ X1 — /г не обра
Р
шаются в нуль при х = аи а„, ... и что их отношение — — для
этих значений х приводится соответственно к г,,: г2т ....
Чтобы обнаружить это, заметим, что х = аг обращает в нуль или
выражение
л/~х — н „ ^fx-л-п
или выражение
у 4-h ' ^ У ^-t-yz'
смотря по тому, будет ли г<[=-{-1, или г1 = —1, и что для этого
значения х ни одно из выражений
/х — h , ^/x + h ■*/ х~h l i/*£±A
/x — h fx^-h fx — h fx-\-h
-Ц^ — Чу-^Г^ У ^ZTJz €зу «^/^
не может обращаться в нуль, так как количества al9 av ... не равны
между собой.
Поэтому формулы (12) при х = аг дают или
Р—qVx* — Л2 = 0, P-\-Qrx2 — hr = конечной величине,
или
P-j-qK;c2 + A* = 0, P — QVx2 — fi2 = конечной величине,
смотря по тому, будет ли sx == —I— 1, или s, = — 1. Итак, всегда
р—г^оУх? — А2 = 0, Р + г&Ух- — ft2 = конечной величине,
Но из этих уравнений находим, очевидно, конечные величины для
Р и QVx2 — А2, и первое из них дает =8^ что и требова-
^ v QV x>—Hl
лось доказать.
§ 33. Теперь легко найти все возможные решения уравнения
X2 — у2 (л? — h2) = С< V,
где К]/*2 — А2 не обращается, в- нуль при x = alt a2, .-...
— 188 —
Во-первых, замечаем, что это уравнение, где
v — AQ{x — л^Цх — а2)'в---,
при x = av a2, ... дает
X2—Г2(х2 —А2) = 0,
и потому
X=±yVx* — h\
атак как функция yVx* — K1 не обращается в нуль при х=av a2,... f
то это предполагает, что отношение ,,. для этих значений х
YV х^-Н1
должно приводиться к 1 с одним из двух знаков ±. Откуда следует,
X
что мы не пропустим ни одного из решении, предполагая, что ,
при x=av a2, ... приводится соответственно к sv s2, ..., которыми
мы обозначаем ±1. Установив это, мы покажем, что искомые решения
уравнения
X2 — Y2 {х* — ft2) = С<°М (14)
и функции Р и Q, определенные по (12), связаны между собой
следующим образом:1
1) Выражения PX—QY{x2— A2), PY—QX делятся на v*.
2) Функции
у _РХ— QY(x*—hr) v _PY — QX
удовлетворяют уравнению
Xl — Ко (х2 — А2) = постоянной.
В самом деле, из уравнений (13) и (14) находим
X2=Y*(x* — h2) + C^v^ P2=Q2(x2— г) + с{%\
и, в силу этих значений X2 и Р2, произведение
(PJf — QY {х* - h2)) (PX+QY(x* - ft2)) = P2X2- Q2Y2 (x* - A2)2
приводится к
(Y2 (x* — h2) + &*W) (Q2 (x2 — A2) + СЪЩ — Q V2 (x2 — A2)2 =
= C(0)Q2 (x2 — A2) *>2 -f C<1> Г2 (x2 — A2) v* + С<°)С^)ф*.
Отсюда ясно, что произведение
(PX-QY (х2 — A2)) (PX±QY (х2 - А2))
делится на v2.
С другой стороны, легко показать, что множитель
PX+QY(x*~ A2)
не обращается в нуль при х—аи а2, .♦.*
— 189 —
Чтобы удостовериться, заметим, что функции
QVx* — h\ yVxt—ti*
не обращаются в нуль для этих величин х, и, пока они остаются
отличными от 0, выражение
PX+QY{x2 — А2)
не может исчезнуть, если только не имеем
РХ
QY (х* — И1)
1=0,
или, что сводится к тому же,
Р
qYx2-H2 yVxI-H1'
1.
А этого не может быть при х = аи а2, ..., ибо мы видели, что для
этих величин х отношения
Р X
qVx2--K1' yVx2 — H*
приводятся к sp е2, ..., и потому их произведение становится равным
2 2 1
ei,e2,..., т. е. 1.
Итак, мы удостоверились, что выражение
PX + QY(x* — А2)
не обращается в нуль для x = av a2, ... и что, следовательно, оно не
имеет общего множителя с функцией
v — A0{x — a^{x — а2)г«- ••.
Но так как мы нашли, что произведение
{PX — QY (х2 — h2))(PX + QY (х* — А*))
делится на v2, то из этого следует, что v2 делит РХ — QY{x2— А2).
Нам остается показать, что функции
Y — PX-QY^-ti1) у _ PY-QX
удовлетворяют уравнению
Xl — Yl (х2 — А2) = постоянной.
Но этого очень легко достигнуть, замечая, что произведение
уравнений (13) и (14) может быть представлено под видом
(РХ—QY [х2 — А2))2 — [PY — QX)2 {х2 — А2) = С^С^ъ*,
откуда, разделив на г>4, получаем
и потому
(PX-QY^-h^2 _ (PY-QX^ {х? _^ = c(0)c(1)j
Х\— Yo(*2 — H*) = CWCW,
где Хй, F0 означают частные от деления функций
/..'.. PX—Qr(x* — h% PV—QX
на v2.
— 190 —
§ 34. Из того, что мы знаем о связи между функциями Р и Q,
определенными по формулам (12), и искомыми решениями уравнения
X2— Y2{x«- — A2) = C<°V,
ясно, что можно извлечь все эти решения из формул
v _PX—QY(.x? —ti2) v __PY-QX
V- 7 и V-
принимая за Х0 и К0 все целые функции, способные удовлетворить
уравнению
Xl — Ко [х2 — А2) = постоянной.
А на основании того, что мы видели в § 22 относительно
уравнения 0 0 "о *
f*(x) — <J?(x)(j<* — ff) = L\
можно удовлетворить уравнению
Хо—Yq(x2 — h2) = постоянной
при Х0 степени п только величинами Х0, Y0, определенными таким
образом:
л 0 = С0Рп, Yq = C0Q;i,
Рп + Qn V& - А3 = (х + V* - AT,
Ря - Q„ У*» - Л2 = (х - У> - AT,
или, что то же,
Хд J- Г0 /*£ _ л2 = С0 (X + ^х7^]?)'\
Х0 — Г0 Кх« —Л* = С0 (х — V~&^¥)\
Отсюда следует, что мы найдем всевозможные решения этого
уравнения по формулам
х0 + г0 У~&^к1=с0 (х+1^Г^)\
Л'0 - Г0 ^ - А3 = С0 (х - ^ - Л2)\
принимая за показатель ). какое-нибудь целое число.
Из этого мы заключаем, что все искомые решения уравнения
. X2— Y2{*2 — /г2) = С^2 ,
определяются такой системой равенств:
У _PX-QY(x«—h2) v _PY—QX'
Xt+Y^jfi — A* = C0(;t4- ^2 — Аа)\
Хо — Г0 VV- —А2= С0 (х — К^з — /г2)\
где Р и Q суть целые функции, находимые по формулам (1-2)..
§ 35. Переходя к разысканию величин X и F, заметим, что дг^
первых равенства дают
— 191 —
а, в силу двух последних, эти формулы становятся
С0(х-Vx^~^ = (Р^ОУ^=Т'у-У^=^) ,
/Э2 Л2 ( v2 tf\
Заменяя здесь, по (13), v2 на -^щ -, мы получаем
ov ' ; Я2 — О2 (*2 — /г2)
Откуда вытекают такие величины для X-\-YVx?— А2 иХ-
— yVx2 — /г:
X - Г К^А7 = gj (х- /х* - A3)1 (P-Q Ух* - А2),
которые после подстановки величин (12) P-^-QVx2 — А2, Р — Q]/л2 — А*
и после того, как сделано
О) />
становятся
EI'2'*
s + ft/
+-./Й«*Г(/;---*+*/£
* _ г ]/*=*■= С, (х - V* - *')'( /^=£
-«./£*) Vf3-*/I
4-Л
+ Л.
2/,
Так мы приходим к определению всех решений уравнений
X*—Y\(x* — h}) = CWv\
где Kj/x2 — А- не обращается в нуль для x=a„ а*.... Количеств
Сх и число I1—произвольные постоянные; е2, е2,... означают ±1.
— 192 —
XI
§ 36. Из найденных решений уравнения
Xi—yi{jfl — ht) = CWr/t
мы видим, что уравнение
t/«—^(x3 —A,) = IV,
установленное относительно искомой функции U (§ 30), предполагает
f/+r|/^rn2==Cl(.v + KF=T2)x(|/^+
+1 у sr+ftj Ik ^^+C2 У ^+а) '"'
— »1 К а, + йУ V V Oj-A W2 К о, + лу '•*
и потому
+|(*-^-av(/j-;-
]/ й-8+ау v К ^=а~~ 2 У ^ч
-fA^2'"
А,
уг^Сх{х+уХ*-У)х I ,/"*-*
2 У** —Л*
+ ^V^TaJ (К^га-^К Йа] •••
2 yjjrzrp V К в1 —л
-8i1/^TaJ IV ^а-^К^ГГа) •'•
Чтобы определить величины 1 и С„ заметим, что найденное
выражение £/, будучи разложено по убывающим степеням х, дает для
первого члена
2-е, fi+v^Yi^+v^Y'... ^'^-,
и так как искомая функция U имеет вид
х'+р'х"-1 + ... -\-p^-Vx-\-p(fl\
то отсюда следует
Х +А+ 4+ •••=>*,
— 193 —
Первое из этих уравнений, в силу (11), дает
i = /i —(л—/—l) = /-f-l,
и, внеся эту величину к в последнее, выводим
1
Сл = ~ т
Вследствие этого предыдущие выражения U и W становятся
и=<
L=V
/"Ял4-/г /
t /.v-j/>-ft*y+v к ^=h-^V s^m VjElC^K*^)
2/ + 1У;С2-/г2 I 1 , h ~ J \ 1 , S2~ " I "
\ l/"ai—Л У'^ + Л ' V Уо2—ft У'ао + Л /
/ . Гх^Н , /*Тл\ 2fl / -. / *=Й , /"x+h\ 2t*
\ Ус^—Л Уо! + А / \ Va3-ft У^а-f/z /
§ 37. Чтобы найти величину L, заметим, что при x = h уравнение
U*—W* {& — &)=: Lhfi
дает
U* = L-v\ U = ±Lv;
это доказывает, что количество L равно значению — при х — п, а так
как предыдущие выражения U и v в случае л: = А дают
v=±Ao{a,—h)b{at — h)t*---,
и, по (11),
/, + /,+ -.. =Я-/-т1,
то отсюда вытекает такое значение для L:
лп .
13 П. Л. Чебышев, т. II
— 194 —
или, что все равно,
1=4-.
Но так как
И ПОТОМУ а, al ==± Лл ,-j
то найденное выражение приводится к такому;
L = ± 7 7=&П г sw. • 05)
24-1-г
i+V1~^i+V"l~~^r"
§ 38. В выражениях искомой функции U и количества L остаются
неизвестными только знаки е1 = ±1, £2 = ±U • •• Мы покажем теперь,
что должно взять
гг=+1, e2 = +U ••■>
если под радикалами
подразумевать те из корней уравнений
а1 а2 '
вещественная часть которых положительна.
Из выражения L видно, что его модуль при Есех возможных
предположениях о знаках sx == ^4^ 1» £2 = ± 1. • • • получает наименьшее
значение, когда гх = + 1, s2 = + 1, ...; ибо модули
1+l/ ~г 1+1/
ыше модулей
ie части количеств
соответственно выше модулей
так как вещественные части количеств
положительны.
С другой стороны, легко убедиться, что значение I, которое
находим, принимая 6! = +1, 'е2 = ~г 1,..., вещественно. Действительно,
количества а1э а2, ... не могут иметь, как мы. видели (§ 31),
вещественных значений, заключенных между х== — h и x = -\-hy и отсюда
видно, что выражения
/'-гг /•-£
могут быть мнимыми только в случае, когда аи а^ ... мнимы. Но
мнимые множители вещественной функции
v^A0{x — a^ix— a2)?«.-.
— 195 —
сопряжены попарно, следовательно, то же самое будет с мнимыми
множителями произведения
1
■+/-5)'('+1Л=3)4-.
и наша формула дает для L величину вещественную.
В силу показанного нами относительно величины L в случае.
е,==+1, е2 = + 1> •«• видно, что она будет наименьшею среди всех
вещественных величин L, которые можно найти из нашей формулы.
Но так как L означает предел значений искомой функции — между
* = — h йх = + Аи так как, согласно нашей задаче, требуется сделать
этот предел по возможности близким к нулю, то отсюда следует, что
предположение
st=-f 1, е8 = +1, ...
дает искомое решение, если только, принимая эти значения sv г2>
в наших формулах, найдем, что дробь - от х = — h до ;с = + h
остается, действительно заключенною между —[ и ~\-L.
В этом последнем очень легко убедиться, как мы сейчас покажем.
Полагая е1 = +11 s2 = -f-l, ... в найденных выражениях U и W,
мы замечаем, что они приводятся к такому виду:
\ -у-5 Д 'У^
+^1У"Тх
х
Ubx — h?
«1
У'-^'Х^'-/'-^-
Л*
1 +
/-3 A .+/-5
X
Л
2г+1/1»^Тг
X
X
'^У-З^У^-у
^2 ,
1 тЛхЪ-W
1 +
/^ A 'V-1
13*
\ L
L
— 196 —
и так как множители произведений
в силу показанного нами относительно количеств i/ 1—-5» 1/ 1—— ,...,
или вещественные, или мнимые, сопряженные по два, то видим, что
значения U и W необходимо вещественны. Но пока функции U9 W
я количество L вещественны, уравнение
U2— W4x2— h*) = L4t-
предполагает, что от jc =— h до x = -\-h функция U'1 не превосходит
I2^8, и, следовательно, дробь — остается заключенною между —L
и -- L, что и требовалось доказать. Итак, мы приходим к убеждению,
что при функции U, определенной по формуле (16), дробь — будет та,
которая из всех дробей вида
с одинаковым знаменателем
наименее уклоняется от нуля между х —— h и x — -\-h.
Что касается I, предела значений этой дроби между л*=—к
и я=-4-й, то, принимая в формуле (15) st = l, s2=l, ..., мы находим>
что он выражается так:
»V,-,(.+l/ '-5V('+/'-5)*
Так как все другие дроби с знаменателем
д^-i-i -f- Д,**-^ + ... + Лд_^1
и числителем
между х = — А и x=--\-h9 будут уклоняться от нуля более, чем та,
о которой мы говорили, то отсюда следует, что в этом промежутке
их величина не может оставаться ниже найденной величины L.
— 197 —
ХП
§ 39. Укажем теперь ту выгоду, какую можно извлечь для алгебры
из полученных результатов о дробях вида
X" -f- p'Xn-l-\ \-pin-l) х -}._ pjn)
Если сц, a.j, ... вещественны, количества
,+|/'_з' ,+/'1'
как мы видели, также вещественны, и их значения, очевидно, ншке 2.
С другой стороны, если av a2, ... величины мнимые, и о —низший
предел их модулей, то очевидно, что модули количеств
1+i/1-^. ■V'-l'
14" -' и> следовательно, остаются ниже 2 ~| - ~ ,
' Г р- 5
ибо |/l-j—<^l-f-~. Поэтому, предполагая, что уравнение
Ло^-^Ч- Л^-^ + . .. +Лл_^ = Д(л-- a^U- ^ • - - = 0
имеет |х мнимых корней и п—/ — ji—1 вещественных корней, мы
находим, что произведение
менее 2 • ( 2 + -) =2 (~^7~] > и П0ТОМУ
н" ■>2('-)"(-l?-Y
2'(' + 1/1-7;)('+1/-э)-
Откуда, в силу того, что
^(,Vi-3)W '-it-'
следует, в случае Лл_/_1 = 1, такая теорема:
Теорема 12. Если знаменатель дроби
хп + о'хп"1 Н f- р("~1)х -f- /эМ
не обращается в нуль между х =— h и л=4-А, то числовая
величина этой дроби от х —— h до x~-{-h не может оставаться
ниже 2 (xYio ~Х/г)^ г^е ^—число мнимых корней уравнения
А0х -'-* +• А,х«~1~* Н Ь Л,-/-** +1=0
и р — низший предел их модулей.
— 198; —
Если функция A0xn~l~l + ААхп~{~г-\ \~1 обращается в нуль
между х=—А и x=z-\-h, то в этих пределах дробь
не может оставаться конечною, если только ее числитель не обращается
в нуль одновременно с знаменателем. Поэтому только что доказанная
теорема влечет за собой следующую:
Теорема 13* В пределах х =— h и х = 4-Л, где дробь
Aoxn-i'i + A^-i-^-l НЛ-/-**+1
О
не становится -г, ее численное значение не может оставаться ниже
2(-) (о -L'hY' г^е ^ — число мнимых корней уравнения
AoXn-i-i + л1Х*л-. + ...+ Амх+ 1 =0,
а р — низший предел их модулей.
В случае, когда знаменатель
А*"-'-1 + AlXi-'-*+• • • 4- An_t_tx +1
содержит только вещественные множители, число jjt приводится к нулю
и предыдущая теорема изменяется в такую другую:
Теорема 14. Если дробь
хп +/>'.уя-1 -| t-pQ-Цг 4-gM
Аох*-*-* + ^«-/-2 _j (. Ля_,_*г + 1 '
знаменатель которой составлен из вещественных линейных
множителей, не обращается в ^ между х=—Л и x=-{-h, ее численное
значение в этих пределах не может оставаться ниже 2 (|)".
§ 40. На основании этих теорем можно доказать много очень
простых предложений относительно решения уравнений. Вот некоторые
из них.
Теорема 15. Если уравнение A*2X-f Cx2X-2-j \-Hx*-\-K=0
имеет у. мнимых корней и их модули не ниже р, то найдется по
крайней мере один корень уравнения
хП+*±Ах^ + Вх*-1 + Сх*-*-\ ^Hx^Jx +./Г=0
между x = — h и *==-}-А, коль скоро численное значение К не пре-
В самом деле, если бы уравнение
*2W 1 + Ахгх + Вх&-1 + Схгх-г +... + Нх? + Jx + K= Q
не имело решений между л=-А и ^=-f Л, то не имело бы таковых
и уравнение' •
Л2х+1 _ Ах* + Bjc2x-i _ Сх2х_2 _j Hx*-\-Jx — K=*Q,
которое получаем, меняя х на — л: в уравнении
X2i+1 _|_ Лд:2х + Вх*х-1 + С^-» Н (- Я** + Ух + tf= 0.
— 199 —
и потому следовало бы заключить, что в пределах х = — h и x=-\-k'
нельзя удовлетворить уравнению
(^х+1-Ь£**х-Ч М*)2 — (Лх^ + Ся^-Н h^^2 + ^)2 = 0,
полученному через перемножение двух предыдущих уравнений.
А этого нельзя допустить, как мы сейчас покажем.
Это уравнение, очевидно, имеет решение между х=— Л и * = -|-А,
если в этих пределах обе функции
***+!+а**-ч yjx,
Ах* + Сх*-* ^ ^Нх^^гК
обращаются в нуль одновременно. В противном случае дробь
между х — — Лил: = + йне обращается в ^, и тогда, по теореме 13,
ее числовая величина не может оставаться ниже 2 (-) + ( * Л * и,
следовательно, ниже числовой величины К, так как, по предположению,
эта величина по большей мере равна 2 (-J + L _j\j . Но,
представляя уравнение
под видом
легко убеждаемся, что оно имеет по меньшей мере один корень между"
х=—h и x=-{-k9 если только дробь
которая обращается в нуль при х=0, не остается численно ниже К,
что и доказывает высказанную теорему.
С помощью этой теоремы всегда можно найти пределы —А и-j-A,
между которыми уравнение
X2X+1 _|_ Ах* _f Вх*-1 + С*2*-2 Н Ь^*2 + ^ + *= О
имеет по меньшей мере один корень, именно принимая за А
положительную величину, удовлетворяющую условию
ЧГ*!Ш"**- (17)
А если уравнение
Ах* + Сх*х~*-\ \-Нх? + К=0
имеет только вещественные корни, число jji сводится к нулю, и тогда
это условие становится
4(§)4Х+2жа,
— 200 —
или
чему удовлетворим, принимая за h ту из двух величин -f-2 *г/ £ ,
— 2 1/ 7' котоРая положительна.
Отсюда вытекает следующая теорема:
2X-J-1 /-г? 2X-J-1 Г7>
Теорема 16. В пределах—2 }/£> +2 1/^ находится по
меньшей мере один корень уравнения
х*+<-+- Ах* + Sx-^1 + С*2*-* Н h //х2 -f Jx -f /<= 0,
если уравнение Ах* -j- Cx2X~2 -f- • • • + /f= 0 имеет т.олько
вещественные корни.
§ 41. Замечая, что условие (17) можно представить под видом
легко видеть, что ему можно удовлетворить положительным значением
А, принимая
Чтобы в этом удостовериться, достаточно заметить, что при этом
значении h находим, с одной стороны,
4/> — 2|х + 2
и, с другой стороны (по причине А>2 т/ ~1),
*'(1+Г<<У1+Г-
Откуда следует неравенство
которое и надо было проверить.
Замечая, что выше указанное выражение А, способное удовлетворить
условию (17), равно
с одним из двух знаков ±, мы выводим из теоремы 15 такую:
— 201 —
Теорема 17. Существует, всегда по меньшей мере один корень
уравнения
л***' + Ак» + Bx*-i + С**1-* + • •. • + Их* + Jx + К= 0
между пределами
■2 '*+\fK( 1 + L 4X+iy^yx-ii+1j
гд*> )i — число мнимых корней уравнения
Ах*+С*2*-* Н Ь #*2 + tf= 0,
и j> — нижний предел их модулей.
Если ji не превосходит X, дробь п_^1,1 остается меньше единицы*
и тогда *
1+7 У т) <*+? 1т)
да следует
2,-+1 Гк I , 14Х+2 ЛТоУ**1-* 2Х+1 ГТ »-у+1 /--7?
^ У fl' + j Ft] <2 ]/т+2 )/£>
и предыдущая теорема влечет за собой такую:
Теорема 18* Если ji, число мнимых корней уравнения
Ах* +С^Х"Ч b#jc2 + tf=0,
«е превосходит к, а их модули не ниже р, т.о найдется всегда па
меньшей мере один корень уравнения
х*+1 + Ах* -\г Вх*~1 + Сх*~*-\ f //*»-f- Jx + K-=0
между пределами
В случае, когда уравнение
Ах* + С*2""2 + [-Нх* + К=:0
сводится к
К^ + К^О,
причем количества К^ К одного и того же знака, находим, что «х,
число его мнимых корней, равно 2Х0 и что все эти корни имеют модулем
2Х° /~Т
1/ ~. Принимая же эту величину за р й полагая »л=2Х0, получаем
2 у #4-2 у £=2 Ут+2 Ут-
* Легко убедиться, что и случае 2>0, m< i и >0 количество, (\+z)™ меньше
чем 1 -f- zm, замечая, что функция {\-\-z)™ — \--zm, первая производная которой
равна т[{\ + г)™-1—-«г»»-1],остается убывающей для всех положительных значений .»
м обращается в нуль для z = Q.
— 202 —
Откуда, в силу предыдущей теоремы, вытекает следующая:
Теорема 19. Если уравнение
Л^ + Сх^Ч УК^Л ]rJX + K=0
содержит только один член К0х21° с четною степенью х и
коэффициент этого члена одинакового знака с известным, членом К,
а показатель не превосходит I, то это уравнение имеет по
меньшей мере один корень, заключенный между пределами
Если члены KqX2^ и К противных знаков, то найдется, по теореме
11, по меньшей мере один из корней уравнения
впределах более тесных
Итак, если через KQ, К обозначим величины положительные,
пределы
содержат необходимо по меньшей мере один корень уравнения
X2X+1 + C;C2X-1 +. . .±KqX*.-1 ^±#=0,
каковы бы ни были знаки у членов Кйх^° и /С
\ттт
О дроби вида
p'xn-t-i ^рпхП-1-г ^ ^я-/--1)х, ^ ^д-j)
pin-i+i)xi+tfin-i+№* ^ [-pb.)x +p(n+i)
которая между х=— ft и х= + А наименее уклоняется от
данного многочлена xn-lJrAxn-l-1-\-Bxn-l-'2-\
§ 42. Ясно, что эта дробь не должна становиться бесконечной при
х=0, а это предполагает, что в ее выражении
p'x"-t~i + р"х»-*-* -| \-pfc-i-Dx +/Н*-/
p{u~l+l)Xl -^-p(n-l+2)xl "I -| |"/7('*)JC -±-p(n + l)
член p(n+v не приводится к нулю. Но если pt'+D не нуль, очевидно,,
эту функцию можно представить под видом
обознач*я
р' рп pi'i-t-l) p(n-l) pin-l+l) p{n)
p{n+l)» p{n+l) ' • • ' > jp(«+l) » />(л+1) ' jp(« + i) ' • • • » р(я+1)
через
/>1> /*2> • • • > Pn-l-U Рл-l» Pa-l+l> • • • > /V
— 203 —
Именно в этом виде мы и будем рассматривать искомую дробь.:
Обозначая через г(х) разность данного многочлена
и искомой дроби
PlXn-l-l + p2Xn-l-2 -f- ■ - + pn-l-1X +Pn-.l
Pn-l+lXlJrPn-l+'>xl~l+--' + PnX+i '
мы заключаем из теоремы 4 (§ 16), что число различных между собой
решений, общих двум уравнениям
F2 (х) — V = 0, (х? — К2) F' (х) = 0,
не может понижаться до п-\-\—d, если только искомая дробь
Pxxn-1-i+psxn-i-t+...+p^^x+p^
Pn-l+lxl +Рп-1+Ъ Л"'-1 +... + РаХ + 1
не сводится к виду
Pn-l+d+lXl-d+...+pnx+ l
Полагая же для сокращения
находим
/?(*) = а_ тг = ——,
и затем уравнения, о которых мы будем говорить, становятся
(uV—Uf — L2V*^0, (x* — h2)—5j—= 0.
§ 43. Следуя тому же пути, как в § 30, легко убедиться, что если
х = х0 есть общее решение этих двух уравнений, то выражение
(tf — hy&uV—Uf — L*]/^
делится на (x — xQ)2; а так как число этих корней, различных между
собой, по меньшей мере равно л+1—d, то мы заключаем, что выра-
жение
делится на п-\-\—d различных множителей
(X — Х0)2, (Х —X;)2, (х —Х2)2, ... , (Х — Хп_а)\
Откуда мы выводим уравнение
(х2 — A2) [{a V—Uf — L V2] =
= С (X — Х0)2 (X —X,)« (X — X,)2 . . . (X - Xn_d)\
замечая, что функция (х2 — h2)[{uV— Uf—L*V], гДе
u=x"-l+Axn-l-1 + Bxn-l-i+... ,
U=pg+iX?-t-a-1-\-^-+P«-i-ix + P*-i>
— 204 —
не может быть высшей степени, чем ее делитель
(х — л%)2 {х — хг)2 (х — х2)-... (* — a-w_,j)-.
Но это уравнение, очевидно, невозможно, если только х — h и
л--}-А не находятся среди множителей
X — Х(\у X — X}, X Л*2, • • • т л ~"~ А » - rf 1
если же для определенности мы положим, что имеем
х — х0 — х — А, х — хх = л: -j- Л,
то оно становится
(яз _ й») [(и1/ — £/)2 — LV2] =
= С (jc — A)2 (х + А)а (а: — Хо)2 ... (х — хк_ а)\
и поэтому
(uV — Uf — llVl = С (л* — /г) (х — х>)-... (л- - л-,,./.
Отсюда мы выводим уравнение
(иУ—tf)2 —lV = UT3^ -A2), (18)
обозначая через W целую функцию
VC{x-x,)...(*-**-*)•
Так как функция U \\ V вида
то их степени не превзойдут я — /—d-\-l, I — d. Сверх того, легко
видеть, что степень V не может быть ниже / — d; ибо иначе функция
[uV—Uf — L2]/*
была бы степени низшей, чем 2 (п — d), и, следовательно, уравнение
(18), где
^(^ — ^) = С(х-х^^'{х-ха^а)Ц^-к\
было бы невозможным.
Итак функция V необходимо будет степени / - d.
§ 44. Согласно сказанному в § 16, дробь
представляет искомую в ее простейшем виде, и, следовательно,
функции U и V взаимно простые. Это выражение искомой дроби может
представить два случая, именно: случай, когда d число четное, и
случай, когда d число нечетное. Но мы сведем последний случай к
первому, предполагая, что в случае нечетного d в функции U, V, W
вводится общий множитель l-f-т- или 1—-j"' чт0 не изменяет ни вй^а
уравнения (18), ни величины дроби у, только ее члены становятся
делимыми на одну и ту же функцию дг-f А или х — А*
— 205 —
В силу этого мы будем отныне предполагать, что d число четное
и что функции U и V могут иметь общий делитель х±й, который не
представит никаких усложнений в наших исследованиях, как мы увидим
впоследствии.
§ 45. Переходя к определению функций (/и 1/, заметим, что
уравнение (18) можно представить в таком виде:
{nV-~U^LV){uV—U-LV)^{x2-hr)W\
а это доказывает, что функция (х2— /г) W~ разлагается на два
множителя
uV — U-i-LV, uV — U — LV.
Так как эти множители, помноженные соответственно на L — й.
L-f-u, дают в сумме — 2Ш, а их разность приводится к 211/, то ясно,
что их общий делитель должен делить также обе функции
Uy V
и, следовательно, может быть только вида х-т~_К ибо функции U и V,
как мы видели (§ 44), не могут иметь общего делителя другого ввда.
В силу этого, замечая, что функция (х2— h2) W* может разлагаться на
два множителя, взаимно простые или с общим делителем х + й, только
двумя способами:
(x — h)Wl-(x + h)W2v
мы заключаем, что уравнение
(uV — U + LV)(uV— U-LV)^^-^)]?/2
необходимо влечет за собой одну из таких четырех пар уравнений:
„V — U-\-LV= Wl> иУ — и-ЬУ=(х* — к*)Ш1;
u.V — U~{-LV = (x — h)wl> uV—U— LV={x + h)W\\
uV — U + LV=-(x2 — h2)Wh uV—U — LV=W\\
uV — U + LV={x + h)Wt> uV-U — LV=-{x — h)W2-
Из этих четырех систем уравнений нам следует рассмотреть только
две первые
uV — U + LV=Wl> uV -U -LV = (x2-tf)W\\
uV — U'+ LV = {x- h)W%, uV — U — LV={x + h)W\>
ибо последние выводятся из них через изменение знака у количества L
Сверх того, так как функции и9 V соответственно степеней n+~l> l—d,
и степень U не превосходит n — l—d—\, то находим, что выражение
uV—U+LV
степени п — d, и, следовательно, при d четном это выражение будет
четной или нечетной степени, саго*?я по тому, четное или нечетное
— 206 —
само число п. Поэтому, замечая, что из двух систем уравнений
uV-U+LV=Wl> uV-U-LV=№-h*)Wl;
uV-U+LV = (x-h)Wl> nV — U-LV=(x + h)W*i,
первая предполагает, что функция
uV—U+LV
четной степени, а вторая, что она нечетной степени, мы заключаем,
что первая система будет иметь место в случае четного п, а вторая
в случае нечетного п.
Мы разберем отдельно каждый из этих случаев.
XIV
Число л четное
§ 46. В этом случае будем иметь такие два уравнения:
aV—U + LV=W2o, uV — U — LV = № — h*)Vfl, (19)
которые, будучи решены относительно U и I/, дают
211/= Wl — (jfi — h?) W\, (20)
2LU={ti — L)Wl — {ti + L)(x«~ — fc) Wl (21)
Так как функции а, V соответственно степеней п — /, /—<tf, и
степень U не превосходит п — / — d—1, уравнения (19) показывают нам,
что функций W0, W^ соответственно степеней ^Ц1- , ^ I.
С другой стороны, уравнение (21), будучи представлено под видом
2Ш= [W0V^L- W, V(tt-{-L)(** — h*)][wyjT^L +
дает нам
W0_ /(u + L)lx!*-h*)_ 2LU_
Щ V u—L W\\W0(U'
что доказывает, что дробь ^ представляет величину у " i-l7~—
точно до членов того же порядка, как
2LU_
А так как функции W0, Wu и, в силу показанного выше,
соответственно степеней ^-у-~, ^-^—1, п — 1> и степень U не превышает
п — /—d—1, то находим, что выражение
2LU
— 207 —
не более высокой степени, чем
xM-l-d-l
n — d _ п —d xn «
X 2 X 2 У»"'
до членов порядка
Итак, дробь ^ на основании указанного выше уравнения, представляет
U\LL тоже по меньшей мере
—. Но так как Wl9 знаменатель дроби ^, только степени ^у-^ —
— 1 <Су» то эт0 невозможно, если только она не будет одною из
подходящих дробей выражения
/■
и—I
которые находятся разложением его в непрерывную дробь, так как
степень Wx знаменателя дроби ^° равна ~ 1. Сверх того, дробь
де* п d
WQ , имея знаменателя степени —^ 1, не может представлять выра-
, /"(ji + DU2 —Л2) 1
жение у — ц__^ точно до членов —, если только следующая
непосредственно за ней подходящая дробь того же выражения не имеет
знаменателем функцию по меньшей мере степени ^i^+1.
w
Откуда видно, с одной стороны, что ~ в ряду дробей подходящих
-— U__L *■ будет последнею с знаменателем степени ниже у
и, с другой стороны, что среди этих дробей ни одна не имеет
знаменателем функцию степени у. Первое показывает нам, что функции Wx
и W0, а следовательно, и искомая дробь у, вполне определяются
величиной L; второе послужит для нахождения постоянной L, а по ней
легко получим величину дроби у .
§ 47* Чтобы этого достичь, положим, что
избудет разложение у {и + ^*—— в непрерывную дробь и
будет, величина полного частного, получаемого при • остановке на
знаменателе дв. В этом предположении имеем
'(и+1){х2 — &)_„ _!t — !t —
- о**нУ-. (22>
/*
■/. -J**' ?! 4.
— 208 —
?,+, + %** + &?-l-r • ■ ■ = 7Г • ^
л X -I- хр д. IV _|-
Последняя из этих формул показывает нам, что знаменатели
0,, <?о> • • • » #*
о
будут функциями первой степени, если количества
G0, Gj, -.., Gn_x
остаются отличными от нуля.
Но коль скоро qv qz, ...,?«_ функции первой степени, разложение
2
У u — L
в непрерывную дробь
остановленное на знаменателе q,±, дает, очевидно, подходящую дробь
2
со знаменателем степени -| . В силу же уравнения (21), где L означает
предел значений и— у между x——h ил: = +А, этого не должно быть,
как мы видели; итак, для этого значения L по меньшей мере одно из
уравнений
Г7Л==П. Ci.—i) U „
G0 = 0, ^=0, ..., G„_t--0
2
будет необходимо иметь место.
§ 48. Положим теперь, что из всех возможных значений L,
удовлетворяющих этому условию, численно наименьшее будет 10- Так как
— I и -J-£ определяют пределы, в которых от х ~—h до jc = -|-A
остается заключенною разность искомой дроби
или, что все равно (§ 41),
U _р'х*-1-1+рГх*-1-ъ + .. .+ pLn-i-i)x + j*n-i)
V pln-I+l)xl+p(fi-l+qxI-l +m , 9+jtn)X -f p(n+l) >
и многочлена
u = xn~l-{- Ax*-l~l -\- Вхп-1~*+...
и так как, по смыслу нашей задачи, требуется сделать эти пределы
по возможности близкими к нулю, то ясно, что в ее решении будем
иметь
L = Z,o,
если только возможно получить дробь
U _p'x*-i-i+p*xn-i-* -К . . + /*Д-'-*>лг + ***-'*
— 209 —
разность которой с и, от х = — h до x = -\-h, остается заключенною
между пределами столь близкими, как —L0 и +10.
Мы покажем теперь, что это возможно, и что такая дробь
найдется по нашим формулам (20), (21), если взять
L = LQf W0 = M, Wr = N,
где др — подходящая дробь для
л/т{и + р{х*-Щ_„ _h* ,,
#2
которая соответствует знаменателю qaJ причем
О. = 0
первое из уравнений
G0=0, G1==0, ..., G«_ =0,
2
имеющее место в случае L=I0.
§ 49. Для достижения этого замечаем прежде всего, что для
таких величин I0, W0y W1 уравнения (20), (21) становятся
2L0V=M* —{** — &)№, 2LQU^(u-LQ)M*—(u + L)(x*-Fi2)N\
^ и
откуда следует такое выражение для дроби -у:
С другой стороны, так как
О, = 0
первое из уравнений
G0=0, GlS=0, ... , Q1 =0,
2
которое имеет место в случае L = L0> то ВИДН0 из (22)> что ПРЙ этой
величине I функции
Чъ Яг> ••• > Я*
первой степени, a ?в+1 более высокой степени. Откуда следует, что,
останавливая разложение
У u — LQ
в непрерывную дробь
на знаменателе q,, найдем подходящую дробь, члены которой
соответственно степеней а-{-1, а к величина которой отличается от
~(u + L0){x*-hr)
U—Lq
14 п. J1. Чебышев, т. II
V1
— 210 —
1 ^ м
только членами степеней низших ^тг- Следовательно, так кик -^
подходящая дробь для у ^ , -, соответствующая знамена-
телю да, то функции /И, 7V будут соответственно степеней j —l, j,
и разность
,V V и — Lb
функция степени низшей, чем —(2а+1).
В силу показанного нами о функциях
М N - — Л/^±Ь11^±А
т> 1У> N V u-LQ
легко видеть, что дробь
определенная по формуле (24), приводится к виду
Действительно, ее числитель
{и — L0) М* — (и +10) (х2 — If) N~
может быть представлен под видом
и так как функции
щ м, N, ]/^ + ^-Ц~да>
соответственно степеней
/г — /, a-f I, j, 1,
а степень разности
N г и — ju0
меньше — (2с+ 1), то находим для этого выражения степень низшую,
чем п — /, и, следовательно, оно будет вида
Переходя к ее знаменателю
Mr-(x* — A2)N2,
заметим, что его можно представить под видом
и Г^о " ,
и так как функции
соответственно степеней
с + 1, а, /г — /,
a
— 211 -
в силу того, что мы только что видели, степени меньшей, чем я — /,
то находим, что степень этого выражения равна 2а+ 2 —(я — /). Но
при а, равном одному из чисел
0 12 ~ — 1
число 2а+ 2— (я— /) не может превосходить L Откуда следует, что
функция
AP — (x* — ti)N*
имеет вид
Так мы приходим к убеждению, что дробь у, находимая по (24),
имеет вид
^я-/ + 1)л/+ p(fl~l+*)xt-l + . . .+р(«)х + р(" + 1) *
Нам остается показать, что ее разность с и, между х— — h и
x=-f-h9 заключается в пределах —LQ и + L0. Для этого заметим,
что, по (24), имеем
U\2 _ 4L20M\V2
и так как Л4, N—функции вещественные и, следовательно, выражение
[М2 — {х* — A«)^vaj2
не может становиться отрицательным, то это уравнение показывает,
что от х = —А до x=-\-h функция
( ^\2
iu-v)
не превосходит I*, а это и доказывает, что разность
и — 7
от х =—h до x = -\-h остается заключенною в пределах —10 и-|-10.
§ 50. Таким образом, мы удостоверяемся, что дробь, находимая
по (24), имеет вид
p>xn-l-lJrp>'xn-l-2-{-...Jrp(n-l-l)x + p{n-t)
р(л-1 + 1)х1+р{п-1+*№-1+...+р(«)х + р{" + 1) '
и что ее разность с а, от х——А до х=+А, остается заключенною
в пределах —LQ и +10. Откуда следует, в силу § 48, что
L = L0
представляет действительно то значение L, которое отвечает нашей за-
U
даче и которое, следовательно, определяет пределы значении и — ^9
наиболее близкие к нулю.
14*
212 -
Замечая, что — LQ и +10 СУТЬ пределы разности и — у между
х = —h и х = + Л, наиболее близкие к нулю, из того, что показано
относительно дроби у, определенной по (24), мы видим, что она дает
решение нашей .задачи, состоящей в нахождении дроби у вида
p{n-l^l)Xl^pin-Ut)xl--lJr_,Jrp{n)x^rp{n-Tl)'>
которая, от х= — h до х— +А, наименее уклоняется от и.
Сверх того, легко убедиться, что это будет единственно возможное
решение нашей задачи (кроме случая, когда получается для 10 два
значения противных знаков, каждое из которых, по (24), может дать
решение); ибо, в силу показанного об уравнении (21), функции W0 и
Wx и, следовательно, дробь у вполне определены величиною L.
Таким образом, количество L=L0 и искомая дробь у находятся только
при помощи разложения выражения
/
в непрерывную дробь
л*
02-
продолженную до знаменателя q„, что требует очень длинных вычис-
U
-О И у •
лений. Мы покажем теперь, как можно упростить определение L0 и
XT
§ 51. Так как функция и степени п — /, выражение
V'
u — L
отличается от
Vx* — h?
только членами порядка д_/_>1 или низших.
Откуда следует, что через разложение выражений
V^ztb, YKuJru-L~m
в непрерывную дробь получится одна и та же формула, если не
продолжать этого разложения за предел, при котором непрерывные дроби
дают их точные величины до членов порядка п\^х т
—213—
Поэтому, замечая, что 1Лс2 — № (§ 22) разлагается в непрерывную
дробь
х 2x — L
2х— _
которая не дает величину V*2 — Л2, точную до ~jzi , если число ее
знаменателей не превосходит
п — 1 — 2 £ / — 2
2 2 2 '
мы заключаем, что в разложении
to-
окажется
*-*
где k — наибольшее целое, содержащееся в ■—- .
Откуда следует, что ~ — А +1 подходящих дробей у *а + ^П-* *-■#)
равны подходящим дробям ]Аг2— А2, которые мы обозначили (§ 22)
через
£l £2 &
<?i' Qtу Оь' '* *
и члены которых, как мы видели, определяются так:
(25)
г> _{х + Ух* — №)х + (х — Ух* — &)х \
п _ (х + Ух*— &)х — (х—Ух* — №)х
^— zyw^F*
§ 52* На основании этого легко найти некоторую функцию, которая
своим разложением дает часть непрерывной дроби
следующую за знаменателем qn
В самом деле, так как подходящие дроби
V 1Г=Г1 — ?о— ъ — ±
qi~to~,
которые соответствуют знаменателям #*___> ^1^ку с^ть
Р Р
v. v»+>
— 214 —
то мы находим
(я+£)(**-ft»)
u — L
= q0-
Jl ff-
p" i rZP"
#. — A-.-1 ... __*
' ?"-.-Z
обозначая через Z величину непрерывной дроби
%-ш+г-7„ »
• >
и поэтому
Подставляя сюда величины
извлеченные из вышеупомянутых формул (25), имеем
£-* 1"-* "
[(Л" + У^2 - Д2) " - (х - У> — Л2 ) - ] )^W -^ /. -
- ((.у + VF^P) 2 ^ + (.у + VFZ^~ ) /«+1
'- — £ я — * *
- [(-V + У^* = Л*) 2" + (л- + /ЗП^,2 ЦГГ=Т
и так как
(х + j/x« —А*) (х — }Лс2 —А2) = Л0-,
то это выражение Z сводится к такому:
z_ 1 [(^^^^^Г^^-^^^л^^^^НЬГ—
х + Уд^ПР [(л: + У х*—&)"-**-л»-2*]}/"г7+2 -
Помножая в последнем выражении Z числитель и знаменатель на
мы находим окончательно
~x + V** — h* L(x + Vx*~ — &)<*-** —h«-n (и+ У и* —L*)
215 —
Так мы находим функцию Z, которая своим разложением
определяет часть непрерывной дроби
Наследующую за знаменателем qn , и вместе с тем величины
Оп > Оп ь , 1 > •■•> ^я »
2-*' T-*+1
которые обозначают коэффициенты при — в полных частных
непрерывной дроби
^2"
остановленной на знаменателях
?*_*> ^-*+if •••' Ц-i'
Поэтому имеем
0±_к =gv Gn_-k4—g* •'• ' Gn -i = &' ^
обозначая через
5и &> • • » 5*
коэффициенты при — в k первых полных частных разложения Z в
непрерывную дробь
л*
яп
&
2-Л + 2 *|-A+*
Что касается величин
О0, G„ ... , Gп
т-А-А
то, замечая, что знаменатели
?i> ^ ••• > Яп и
в непрерывной дроби
?2_
как мы видели (§51), равны 2*, мы находим
— 216 —
§ 53. На оснований показанного нами относительно разложения
V u — L
в непрерывную дробь
Л2 ,,о
определение постоянного £0 и искомой дроои -у значительно упрощается,
как мы сейчас покажем.
По § 48, найдем величину 10, отыскивая среди корней уравнений
наименьший численна.
А так как мы нашли (27)
г /^ р }£ г __ Л_2
и0— С) у иг t> , . . . , и п — - 4) ,
-* - —- — %— \ -
то ясно, что L — L<s может быть только корнем уравнений
Gn --О, Gn ,.=0, ..., G„ --О
или, что сводится к тому же на основании (26), таких:
Поэтому при определении L0 мы приходим к такому
окончательному заключению:
Значение L0 находится как численно наименьший из корней
уравнений
&=о, &=о, ..., &=о,
где &, g2, ... gk—коэффициенты —- в k первых полных частных
разложения
л- + Vx*~^li* L(x+ УЖ^ Щу-& — А""2* (а + VW^T*)
в непрерывную дробь и k означает наибольшее целое число, содер-
/+з
жащееся в —-—•
Мы не говорим ничего о виде непрерывной дроби, в которую
будем разлагать Z, отыскивая величины gu g& .. , gk; ибо ясно, что
полные частные, за исключением постоянных множителей, будут те же,
разлагаем ли Z в непрерывную дробь вида
Яп
'-*"- V«-
— 217 —
как мы предполагали до сих пор, или в непрерывную дробь вида
7+-^_
где а', а", о!\ ... какие-нибудь постоянные величины.
Заметим, что то же обстоятельство представится еще для членов
подходящих дробей, которые мы должны будем рассматривать
впоследствии.
§ 54. Переходя к определению искомой дроби у, положим, что
&=о
первое из уравнений
которое оправдывается, если взять
Так как мы нашли (§ 52), что
г — }£. г — w* г — &
то, следовательно, в этом предположении уравнение
будет первым среди
2 *
которое имеет место при L=LQ.
Откуда мы заключаем, в силу § 48, что искомая дробь будет
определена формулой (24), если взять
* = -J— k+i— 1,
что вам дает
V~ ЛР —(** —Л2)ЛР '
где
Л! _ Л2
~N=q«~Ti-2*
'~-k+i-l
Во, обозначая через
ЛТг Л42 ЛГа
— 218 —
ряд подходящих дробей выражения
V*+\
p--»i
где
имеем
Mi 0
Ni ~~ 1 '
м л2
17 — 4« дг_
Мо Л2
Щ Чп ...
/22
02 _ -
Откуда, замечая, что подходящие дроби
Л2
которые соответствуют знаменателям # л , ?л , суть
мы заключаем, что
V**' V-
Р„ Ъ-Рв М,
T-*+i T-*
и потому предыдущее выражение у становится
— -k+l j-k ~-k+l T-*
где числитель приводится к
-2[(рл 4+1pii_ft-Q» A+1Q* {*-h?))u-
219 —
а знаменатель — к
.2
-2(^_ft+1^_ft-Q1_A+1Q^L_^l^))^,
Но так как, по (25), находим
X I ^Х V / "' "~7\ ———————— — ^
РЛ-г ~ QtQx-i (*2 - А») = h2X-*X,
то эти величины U и V становятся
U=\h"~-k+-u—l U+Yx^^f-^^+{х~у;^ггу2)*-2*+2
_2 Г д«-г*хй_^ (* + У1*^"да)»-***'+(х- Yx^rffiY~^+-i.
гг-2&
1/ = hn~*-k [№Щ — 2хКГ£М( + Щ.
и
Итак мы приходим относительно определения искомой дроби у к
следующему окончательному заключению:
Если £}=0 первое из уравнений
= 0,
?2 = 0,
&=0,
t/
которое оправдывается при L = LQ, то члены дроби у, которая
среди всех других вида
p(n-l+l)xi + p{n-l+2>xi-l+.. +р{*Ух + р{п+1)
наименее уклоняется от
и=хп~1-{-Аха-1-1-\-Вхп-1-2-\
между х= —h и х= +Л, доставляются формулами:
V=h"-*" [НЩ — 2xNiMt+Щ],
— 220 —
где Mh Nt — члены i-й подходящей дроби выражения
х + YxTZTB L(x + у^пг&у-^-hn-OJi (и + Vtf=r&) y
которые находятся его разложением в непрерывную дробь и в числе
0
которых считается -у .
XVI
Число п нечетное
§ 55. Метода, данная нами для определения LQ и дроби у при п
четном, может быть легко приложена к случаю, когда п нечетное, как
мы сейчас покажем.
Мы видели в § 45, что при нечетном п имеется такая система
уравнений
uV— U-\-LV={x-h)Wl \
uV—U—LV={x + h)W\y \ f28)
или, что то же,
2LV=(x-h) Wl-(x + h) Щ (39)
2LU={u — L){x — h)W$—{u + L){x + h)W*. (30)
Так как функции я, V соответственно степеней я — /, / — d и
степень U не превосходит n — l — d—\ (§ 43), то уравнения (28)
доказывают, что функции
степени п~~ " , Но по уравнению (30), находим
Щ_ fju + pjx + h)
wx у (u-L)(x-h) — Wli
2LU
l \W0 (и - L) (x — h) + Wx У (и* - L*) <** - Щ] У
что нам показывает, что дробь
представляет величину
/
(n+L)(x+h)
{u-D(x-h)
точную до членов порядка
2LU
Щ[Щ (« - L) (х - Л) + WXV{& — Z.2) (л* - Л*)] f
и, следовательно, в силу показанного относительно степеней П70> П7,, £/,
1 т^
и, точную до д+1 . Но так как Wu знаменатель дроби -~^, только
X W j
л — rf— 1 1ГП
степени —^ > то это невозможно, если только -~г не будет одною
из дробей, подходящих к
/:
(u + L){x + h)
(u-L)(x-h)>
а подходящая дробь, следующая за -^, не будет иметь знаменателем
— 221 —
функцию степени - -g * Откуда видно, что среди подходящих
дробей выражения
V (u — L)(x — h)
ни одна не будет иметь знаменателем функцию степени nJr[ .
§ 56. В силу этого, повторяя над разложением
-/(u + pjx + h)
V (u—L)(x — h)
в непрерывную дробь
то, что мы сделали в §§ 47, 48, 49 с разложением
в непрерывную дробь
V'-
Яо~
lu + L)(x*-
u — L
Л2
-№)
02
легко узнаем, что величина L должна удовлетворять по меньшей мере
одному из уравнений
2
1 п ...I— 1
где (J0, Gu ..., Gn-1 — коэффициенты при — в —2L- первых полных
2
частных для
/(u + L)(x + h)_ , 2ft
ft —
С другой стороны, если уравнение
О.=0
первое среди
G0 = 0, G1 = 0, ..., G„-i=0,
имеющее место при L = La и если положим
Л* „ | 2ft . ;
ff _^(ц-10) (лг-ft)Ж2-(ц+ £(,)(*+ *)^
V (*~ft)M2-(.* + ft)<V2
(31)
— 222 —
то, поступая с этой величиной у так же, как с данной по формуле (24),
находим, что она имеет вид
и что ее разность с и, от л-= —h до л*= -W/, остается заключенною
в пределах —LQ и -f L0. Поэтому, как в случае четного п (§ об),
заключаем, 4что искомая величина L будет численно наименьшею из всех
тех, которые удовлетворяют по меньшей мере одному из уравнений
и что если эта величина L = L0> a
G, = 0
первое из уравнений
2
которому она удовлетворяет, то искомая дробь -у определяется по фор-
м ^ ..
муле (31), где за -~г надо взять ту из подходящих дрооеп
/
(tt+Ln)ix + h) f_2/t .
(я—Z.0)(jt—А> *° ' <?1 — 4~
которая соответствует знаменателю qz.
Так в случае нечетного п можно определить величину постоянной Lb
и искомой дроби -у .
XVII
§ 57. Постараемся теперь упростить определение L и у- в
случае нечетного /г, как мы сделали для случая четного л, и будет
видно, что окончательно определение L и т? в этом случае не
отличается от найденного нами для случая частного я.
Так как функция и степени п— 1, то выражения
К (и —L) (х—Л)' К *— л
(и —/.)(* —Л)
отличаются друг от друга только членами порядка . и менее
высоли
ких порядков.
Отсюда следует, что лпя разложений |/т^зтШ^т! и V х~^ь
найдется одна и та же непрерывная дробь, если не продолжать этих
— 223 —
разложений за предел, при котором они выражаются непрерывными
дробями с точностью до —^. А так как находим
/Т+~/2 . 2/г
2х —±-
2х
и эта непрерывная дробь не дает величины у х^~-г> точн°й Д°
-37=7» если сохраняем —^ & из ее знаменателей, где А — целая часть
/4-3
-Х-, то ясно, что в разложении
f(u + l)(x + k) _ , 2h
V (u—L){x — h)~™f ^ _J[1
02 .
будем иметь
^0=1, qx = 2x — h9 q» = 2x, ..., £„+i = 2x. (32)
1 *
Откуда мы заключаем, что подходящие дроби
К (и —1) (* —Л) —™~Г ^ _^1
?2
которые соответствуют знаменателям
будут
1 ""2
,(■*-) „(--*)
р(0) р(1) р{2)
если обозначить через —^у-, —^ , —щ-, ... ряд подходящих дробей
■„'/"* +ft „ , 2/z
?2 _#
для определения которых легко находим такие формулы*:
* Легко проверить эти выражения для РМ, QM, замечая, что они дают точные
величины в случае Х = 0 и Х=1 и что они удовлетворяют уравнениям/>М = 2хР(>*~1) —
—/r*Pa~2), Q®i = 2xQ®~1* — /z2Qa~2), согласно виду непрерывной дроби
~Х ~~ 2х —
224 —
Z^+ZW+d^-/^
§ 58. Из показанного нами о подходящих дробях
V (u — L)(x — h)9
которые соответствуют знаменателям
*а±}-е ?^i-*-i
полагая
/г"
Г"""1~^^:_.
*=ii-* + »
мы находим такое выражение для у {ц _Л,Х_,':
••/•<!> + /.) (ЛГ + *)_- I
L){x~h)
Яг _
/г1
*я+1 . —Z
,№-') ,„(У-')
откуда следует такая величина Z:
которая после подстановок величин
„(*-), /--*), Qc-*4 Q(-->)
z=-(?
— 225 —
из формул (33) становится
Замечая, что /г — число нечетное и что
УЩ*+ VWfiV^- /Ф)'-!-*^.
a-2ft
легко узнаем, что эта величина Z может быть представлена так:
а так как
/г^+-1/^)*=*+К*=*-.
то это выражение Z сводится к
что совпадает, кроме знака при L, с выражением Z в случае четного п
(§ 53).
§ 59. Обозначая через
£i> Ss> &>
коэффициенты — в полных частных
X
Z=-- да
*Л -г- 1
i-*+1 %±i-*+2--.
находим
Л —п «-|-* 2
2
где
согласно обозначению, принятому в § 56, означают коэффициенты
15 П. Л. Чебышев, т. II
Оп+1 . у С/я-М , • • • > Од—1 >
~= * "1 *' 2
— 226
— в полных частных
х
1г —
когда останавливаемся на знаменателях <ул-м > <?*-? ,, м , ... , ff/x+i •
2 2- 2
Сверх того, в силу выше найденных (§ 57) величин gQ9 qu ...э
qn+i , легко убедиться, что G0, Gl9 ..., Gn-j , коэффици-
1 * 2
1 Л + 1 г.
енты — в —- k первых полных частных
У (д+ £)<* + *) . 2/г
#з —.
имеют значения
G,=K Ог=—£, 0,= --?-, •", G«-J_*=--£-
Из .этого ясно, что среди уравнений
G0=0, Gt = 09 G2 = 0, ..., G*-1 = 0,
которые, по § 56, определяют L — L0, первые -^ к не могут быть
выполнены, а последние сводятся к
й=о, &=о, ..., &=о,
как и в случае четного п\ только L, в силу того, что мы видели
относительно 2, будет заменено на —L.
§ 60. Переходя к определению искомой дроби -у у положим, что
будет первое из уравнений
которое оправдывается при L = L0. Количества
G0, GV Go, » , Gg—l ,
в силу того, что мы видели, не могут обращаться в нуль, и так как
°л+1 ь = &> Оя+1 .,=&э •••> Gn-l = gto
то при этом предположении уравнение
Ga+i = 0
будет первым из уравнений
G0 = 0, О, = 0, G2=0, .... Ол-1 = 0,
удовлетворяющимся при-X = L0. .
227 —
Но в этом случае, принимая
<* = 2 ^Ч-^— 1 =—2 А + *>
мы находим, по (31), что искомая дробь -у определяется так:
U_ (и - Ln) (х — h)M*- — (u + L0) (x + h) №
V (x — h)J№ — (x + h)№ '
M — /r -1- 2Л
"лГ — *o "Г -jr
7^ — *о-г-^-_^
?2_
#
V-+'
С другой стороны, так как подходящие дроби
2л
Яо + ^
Н
Яг
Чч.
которые соответствуют знаменателям
суть
Чп -н k > ^i±l_A_a =
и так как предыдущая величина ^ может быть представлена под
видом
М , 2Л
?2 _
■ А«
если через -т/- обозначать г-ю подходящую дробь для
Чп+1 ... *
то мы заключаем, что
(»-Р-*) С-^-Л
N=Q\ 2 > Ni — Q\ 2 > М^
Но в силу этих величин М и N, предыдущее выражение у
становится
мл*
(*tU) ("-=1-*) ' (?±U) : (2=2-*)
15*
— 228 —
Откуда после подстановки значений
("4-1-*) (--f-1-*) ("-£-'-*) (я-^-*)
из (33) получаются те же выражения U и I-7, как и в случае четного п
(§ 54), в которых только, согласно тому, что мы видели (§ 59)
относительно уравнений, определяющих £ = /.„ количество Ьл заменяется
на — Lu.
Таким образом, убеждаемся, что окончательные результаты,
полученные в отделе XV относительно определения количества Z,0 и дроби
~У для случая четного п, приложимы и к случаю нечетного п.
хтш
§ 61. Чтобы показать приложение изложенного нами, положим, что
требуется найти дробь вида
р>х<^ +/лу»-3 + — +р{я-щ-)х ~ /><я-!>
которая, от х = —h до х = -{-//, уклоняется возможно менее от
данного многочлена
хп~1 + Ахп-* + Bxn~z 4
Так как в этом случае
то находим, что я, которое означает целую часть —— , равняется 2.
Для этого значения &, принимая
и = xn~l + A**-2 -f £*л~3 -Ь • • • ,
мы находим через разложение в ряды
и + У it- — L2 = 2xn-i + 2Лх°-2 + 2£*л-8 4- ...
{х+1/гп=^^*^Л4-/^::^,м=2я"2 (*"~2 - л 72 А2*л~4 + • • •)
Внося эти величины
в формулу
х+ YxTZTki i (x + УхЫГ&у*-*< _ hn-** (и4- yifi^D)
и полагая
* = 2,
имеем
Z=
j 2«-*I
X-f У>— ft* jlt-*^
4 '
д.я-,_л-4л^-в+...
4
-Ал~2 [2а-л~1+2/4л'/1""2+. •.]
1 -Ля-412хя""1-{-2Ллл"1Ц-. - -1
ЛЯг*"1-}- ГлЧ-2 (-|У *L\xn-* + h*Bxn'-*+.-
2хп + 2Ахп~1-¥-хп~* + 2Вхл~*+."
— 229 —
Это выражение Z, разложенное в непрерывную дробь, дает
Л2
Z=
* + (тН+т(*Г**-4*Г1-£.
Откуда следуют такие подходящие дроби для Z:
Мх _ 0_ ib — h*
л,-У ^-Ь + (|Г,=
отыскивая же величины gl9 g2, ..., которые означают по нашим
обозначениям коэффициенты — в полных частных Z, мы находим
& = -, &=2Л7Г) Z ЛЫ .^-Т-
Переходя к определению L=L0, замечаем, по §53, что в
рассматриваемом случае число k равно 2, и потому величина L=L0 должна
удовлетворять по меньшей мере одному из следующих уравнений:
Л2 1 / 2 \ 2Л-4 . .> ' / 2 \л—2 г />2 •
Первое из этих уравнений невозможно; остается только отыскать
решения последнего. А решая уравнение
находим два значения для L:
г = ($)"(А+У7?Т»),
Из этих величин L численно наименьшею будет та, у которой знак
при радикале УЛ2, + А2 противоположен знаку А Итак, в силу
показанного нами в § 53 относительно определения L=I0> будем иметь
10==(4)в~2(л±1/лч^),'
предполагая, что радикал взят со знаком противоположным знаку А.
Так как эта величина 10 удовлетворяет только второму из двух
уравнений
а=4-=о, ft=2-uj ^-лЫ ^--г^0'
то надо взять
* = 2,
— 230 —
и так как
вторая подходящая дробь Z, равна
2х+Ы £
то заключаем, что
И4£ = #, Лг£ = 2х+(4)Л"?1.
Откуда, в силу показанного нами в § 54 об определении -^ ,
замечая, что А = 2, мы приходим к таким величинам U и V:
—2
^ха-^**^""^^""^"**
K=A"-<[h? (2x+ (4)'-2L0)!-2A^ (2x4- (г)в"%) +*«] =
.,8.7-4; 2
где
и=л?-1 + Ахп~" -{- Bxn-J -f •
ц=$у~*м±гщъ).
Таковы члены дроби
которая среди всех других того же вида, от x — — h до х=+^
уклоняется наименее от и=хп-1-\-Ах'—'2-{-Вх?~*-\
§ 62. Величина LQ показывает, что для дроби ~ , так
определенной, пределы значений разности
U
» — !/>
от x=—h до x=-\-hy суть
причем радикал VA2-\~k- надо брать со знаком противоположным
знаку А
— 231 —
Так как для всех дробей у вида
р'х»-24-р"хп~г +... + р(п-2)х -4- р(м-Р ••
р{П)Х-\-р{.> + 1)
эти пределы обширнее и так как разность
и v" —* -r^** -+-... :—Р(п)Х+Р(«+1) f
где /?', р\ ..., /?(л"~2)> У'1-1), /?(л),р(л+1) —количества произвольные,
может представлять все функции вида
Xя-1 + Ах:*-2 + A'xn~z +... + А*-^ + ^~1 ,
то отсюда вытекает следующая теорема:
Теорема 20. Функция
Xя-1 + Ахп~* + А'х«~3 -f... + А{л~ъ
А(п~П
X— Л
от х——h до x=-\-h не может оставаться численно ниже
где радикал взят со знаком противоположным знаку А.
§ 63. Отыскивая тем же способом дробь
р'хп-* -4- tfx* -* +... + **п ~z)*+рь~*>
p(n-l)X* -\-'pkn)X +/Кя+1) '
которая среди всех других того же вида уклоняется наименее от
и=хп-* + Вха~*~{-Сха-* + ...
между х=—h и х=-{-кч возьмем /=2, и так как для этого значе-
юга / количество -у- равно у то положим k=2.
Принимая же
u=;cn-*-{-B;C-*-f-Cx''-* +...,
в выражении Z (§ 53), находим
Это выражение Z, развернутое в непрерывную дробь,- дает г нам
*-—Ь— , .(;Г*-<«ч-(.-»*(1Г*Чг
- 232 —
Откуда вытекает такой ряд подходящих дробей Z:
и такие величины gu g2t ..
ft-*-»(*)"'•
(^-2(г) L)
которые означают у нас коэффициенты — в полных частных.
Так как £=2, то надо искать величину L = L0 среди корней двух
уравнений
.(p-v-<«+t-»*(in-f ..„
Первое из этих двух уравнений дает
второе -г-
ЧтГ[в+^ ** - V{*+"-r*)'+T;]-
п — 2,
В частном случае, когда В = — ~Т"~^' эти ТРИ величины> если не
обращать внимания на знак, равны. Но, исключая этот случай, мы
находим, что наименьшею численно будет та из них, которую получаем по.
формуле
■ • H4n[s+^±/(B+^)*+fj, ■
принимая радикал со знаком, противоположным знаку В-|-lZLt д*#
Откуда, согласно § 53, мы заключаем
U=(тГ'[*+^-2"' = V С+т^Г+т]-
Эта величина 10, кроме случая В = ^А*, удовлетворяет только
второму из уравнений
233
.(j.)-V-(«+,.-„..)(|)-V-j
Следовательно, надо взять
i — 9 Mi — *k
и так как мы нашли
то будем иметь
При этих величинах Mi9 Ni9 ввиду того, что k= 2, найденные нами
в § 54 выражения (J и V дают
(х -f У^Гл"2)л-3 4- (х - У',^=12)л-3]
м> U
jv2 — 2*
^=A»-2(!)
ЛЛ = 2*.
П
л-4
— 2\hn~*xu—L
4-1 /*"-* к—i,
к*2-
О 2
2х(А2-2||)Я_410)+
Таковы члены дроби рг, которая среди всех дробей вида
pin-Vxt+pWx+pi**1) '
от х = — h до jc=+A, наименее уклоняется от
и=л*-* + Я*»-* + Схл-5 +...
Исследуем теперь случай
В-
-к\
который мы оставили в стороне. По найденным выше величинам gv
gv в случае 5 = ~^9 имеем
*+»Й)
2 \*-4,
^2— 2 ч л/2 \я-*,
Так как корни уравнений
— 234 —
ft= "'-ЧтГ' '
т. е.
Л = 2(4)-'.
численно равны между собой, то мы находим два значения для 10
i, = -2(|)-',
Взяв первое значение Л0, мы замечаем, что оно удовлетворяет только
второму из уравнений
/ 2 \ « "*
Итак будем иметь
и потому найдем для U и I/ те же выражения, как и в общем случае,
где имеем также i = 2.
Переходя к другой величине L = Lft? мы замечаем, что она
удовлетворяет первому из уравнений
откуда следует
и так как
то находим
Afx. = 0, Л^=1.
При этих величинах Mi9 A/*f, замечая, что мы находим, по
выражениям U и V, данным в § 54,
— 235 —
Откуда вытекает та же величина у, как и найденная по формулам
общего случая при Ц = —2(-2")
Л\ я-2
§ 64. В силу того, что мы видели относительно £0, которое
определяет пределы величин разности
К Л Т^ -i-СЛ -t-... ^-«^i^^jr-f-^+i)
между х — — h и x—-\-h, замечая, что
может представлять все функции вида
мы приходим к следующей теореме:
Теорема 21. Функция
от х = — А до, х = 4"^» w^ может оставаться численно ниже
)"[a + '-^*±/(B+!Lj2*)" + *,
где радикал взят со знаком противоположным знаку количества
ОБ ОДНОМ НОВОМ РЯДЕ*
В моем мемуаре о непрерывных дробях, представленном Академии
в 1855 г. и напечатанном в ее мемуарах**, я пришел к формуле,
которая по данным значениям функции, заключающим некоторые погрешности,
прямо доставляет ее выражение в виде полинома с коэффициентами,
определяемыми по способу наименьших квадратов. Эта формула содержит
как частные случаи известные разложения функций по косинусам кратных
дуг и по известным функциям, обозначаемым через Х{а\ Из нашей
формулы получатся и многие другие ряды, когда сделаем различные
частные предположения о совокупности известных значений искомой
функции. В самом простом предположении, когда эти величины будут
равностоящими, каковы
.Bl=/(A), иа=/(2й),..., u„=f(nh),
и когда их вероятные погрешности одинаковы, наша формула
доставляет разложение и=/(х) по знаменателям непрерывной дроби, которая
получается из разложения выражения
х — h ' х — 2Л ' ' л — nh "
Но так как знаменатели при Ax = /z выражаются формулою
bHx — h){x — 2h).'*(x — lh)(x — nh — h)(x — nh — 2h).^(x — nh — lh)
с постоянным множителем, то при помощи очень простого
преобразования сумм получается следующий замечательный ряд:
1 1».2«.8».л (й* - 1*) (Tfi - 2*) (я*_ 3*)» 1(Х—/1)[Х — М)(Х М)Х
X(x — nh — h)(x—nh — 2h)(x — nh — 3h)-\-...,
* .Sur une nouvelk serie' (Bull, de la Classe phys.-matb. de Г Acad. Imp. des
Sciences de St-Petersbourg, XVII, стр. 257—261, представлено 20 (8) окт. 1858);
русский перевод М. И. М-ой в Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова,
Н. Я- Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 381—384. —Ред.
** См. стр. 103—126 этого тома. —Ред.
— 237 —
в котором знаки суммирования распространяются на все значения i от
i= 1 до / = л.
Сверх того, находим, что функции
А (х — h)(x — nh — А),
&(x — h)(x — 2h)(x — nh — h)(x — nh — 2h\
¥(x — h)(x — 2k)(x — 3h)(x — nh — h)(x — nh — 2h)(x — nh — 3h)f
которые для краткости мы обозначим через
А1 А2 А3
связаны между собой уравнением
AZ = (2Z — l)h(2x — nh — А)Д« —(/ — Щп* — (/— 1)*]А<Л/-Я,
откуда легко выводятся выражения всех этих функций
А1 = А (2х — лА — А),
А2 = ЗА3 (2х — nh — А)з — (л8 — 1 )h\
Л3=15А*(2* — лА — А)з_3(3/12 — 7)A6(2jc — лА — А),
A4=105A4(2jc — лА — A)4 — 30 (Зл2 — 13)Ag(2jc —/zA — А)* +
+ 9 (л2 — 1)(п* — 9)А8,
А5 = 945АЧ2х — лА — А)5— 1050 (л2 — l)ti (2x — nh — A)3-f
+ 15 (15л4 — 230л2 + 407)А9(2х — лА — А),
и тотчас получается разложение выражения
1,1, ,1
je-A ' JC-2A ' ' x—nh
в непрерывную дробь
i(2r ** Л) 5(,х_л^Л) ______
Ряд, полученный нами для вычисления и по равноотстоящим
значениям, ничего не оставляет желать лучшего для параболического
интерполирования таких значений ввиду того, что все члены этого ряда*
легко вычисляются по последовательным разностям данных значений.
В случае когда
Л
и л бесконечно велико, наш ряд сводится к ряду, расположенному по
функциям АГ(л). Если же
и п бесконечно велико, он сводится к ряду Маклорена.
— 238 —
С другой стороны, умножая его члены на и{ и суммируя от i = 1 до
i —/г, выводим формулу
V ?_($>/)* i З^л-ЦАд/]2 , 5 Hg/f/Ч- 1) Гя — Л (л — /— П AgCT/ "|g j_
*-+ l n ~T~ 1*-л(л4—1*)Л* ' Г--2-л(л2— Г-хл- —'^-)Л* »
, 7 [У f (/+ 1) (/ + 2) (п — /) (л — г — 1) in — /—'->) ЛДИ/■ ,
"^ 12-22.32-л(л2— 12] (л2— 2->(л'- — 3-;л" » *
которая, в свою очередь, при
п
и п бесконечно большом становится
\u4x={\udx) +Щх{\-х)^<1х) +
+ W(b2d-^S^)24-
Заметим еще, что функции
А (х — h)[x — nh — h),
№(x — h)(x — 2h)(x — nh — h)(x — nh — 2h),
^^x — h){x — 2h){x — 3h)(x — nh — h){x — nh — 2h)(x — nh — ^h\
входящие в наш ряд, очень замечательны по свойствам, аналогичным
свойствам функций Лежандра Х&К
Кроме того, эти функции доставляют приближенные выражения
суммы
^F(ih),
которые обладают тем же важным свойством, как выражения, данные
Гауссом для квадратур.
В одном из наших последующих мемуаров будут указаны все
необходимые подробности о выведенном нами ряде и замечательных
функциях, из которых составлены его члены.
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ ВЕЛИЧИН,
ДОСТАВЛЕННЫХ НАБЛЮДЕНИЯМИ*
Если число интерполируемых величин превышает число членов
сохраняемых в их выражении, интерполирование может быть выполнено
различными способами. Но в каждом частном случае эти методы далеко
не одинаково хороши; они отличаются друг от друга либо большей
или меньшей продолжительностью вычислений, либо величиною средней
погрешности, если дело идет об интерполировании величин,
доставленных наблюдениями и, следовательно, заключающих погрешности. Так
как нельзя выиграть свыше меры в одном отношении без того, чтобы
не потерять в другом, то невозможно дать способ интерполирования,
который был бы вообще лучше всех других; ибо, . смотря по
обстоятельствам, приходится преимущественно заботиться или о
простоте вычислений, или о точности результатов. Таким образом, выбор
способа интерполирования зависит от числа интерполируемых величин.
Если это число довольно мало, то данные интерполирования
представляют мало средств для ослабления влияния их ошибок на искомый
результат, и тогда важно извлечь из данных все, что возможно, для
уменьшения средней погрешности, что можно сделать только по способу
наименьших квадратов. В противном случае значительное число данных,
имеющихся в нашем распоряжении, избавляет нас от необходимости
прибегать к способу наименьших квадратов, который требует слишком
длинных вычислений. В этом случае для упрощения численных действий
можно пожертвовать более или менее значительною частью того,
что доставляют интерполируемые величины для точности искомого
результата.
В мемуаре пО непрерывных дробях**, представленном Академии в
1855 г.**, мы рассмотрели параболическое интерполирование по способу
наименьших квадратов, и мы пришли к ряду, который прямо даст
результаты такого интерполирования, неизбежного, как мы видели, если
число известных значений интерполируемой функции довольно мало.
В настоящем мемуаре мы покажем, как по нашим способам получаются
* Краткая заметка в Bulletin de la Classe phys.-math. de l'Acad. Imp. des Sciences
de St.-Petersbourg, XVI, стр. 353—358; представлена 30 (18) марта 1858; см. также
Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том 1,.СПб. 1899,
стр. 711—714. — Ред.
** См. стр. 103—126 этого тома. — Ред.
— 240 —
и другие формулы интерполирования, которые могут с выгодою
заменить только что упомянутую, когда ее приложение, по причине
большого числа интерполируемых величин, с одной стороны, перестает
быть важным, а с другой стороны, становится неудобным.
Мы не рассматриваем различных частных случаев, которые может
представить интерполирование, смотря по большей или меньшей
значительности числа интерполируемых величин; мы ограничимся
рассмотрением того, который будет пределом всех других, где число
интерполируемых величин бесконечно велико. Хотя в действительности это число
никогда не бесконечно, но формулы, получаемые при таком
предположении, могут быть, однако, полезными в приложении; ибо они
представляют предел, к которому сходятся очень быстро результаты
интерполирования, по мере того как это число возрастает, и в каждом частном
случае нетрудно видеть, какую степень точности могут доставить эти
формулы в зависимости от интерполируемых величин.
Так, между другими формулами мы получили следующую:
а а О
/W=ij"/<*>**+ [f/Wdx ~ J /Wdx] i +
+ []f(x)dx-\f(x)dx + J /(х)Жс]__± +
+ \{f(x)dx-$f(x)dx+$ f(x)dx- \ f(x)dx]4X*~JatX+
JL ° ~~ ~Л
vr v*
V*5> 1 VT-1 КГ-1
а ~\Га ~Г'° ~°
-f [ [ f(x)dx- \ f(x)dx+ [ f(x)dx— \ f(x)dx+
Vb+l 1 ""-1 V"5 — 1 lT-f-1
—Г~ а —7 a л—a r— a
4 4 4 4
+ \ f(x)dx] ф + [ [ f(x)dx- \f(x)dx +
~a IT *
2 ~
16** — Шд^+^д**
^ 8
J /W(b]
— 241 —
Хотя эта формула содержит интегралы, для вычисления ее членов
с приближением достаточным, не выше того, что представляют ошибки
самих данных, обыкновенно надо только очень ограниченное число
значений f{x) между х =— а и х = -\-а. Но если только имеется
достаточное число значений f(x)9 эта формула может быть выгодно
употреблена для интерполирования; ибо здесь, с одной стороны, числовые
действия, в виду сложности задачи, достаточно кра ки и, с другой
стороны, влияние ошибок интерполируемых значений на ошибки искомого
вывода значительно ослаблено. Чтобы в этом удостовериться, замечаем,
что вся трудность интерполирования по этой формуле сводится к
вычислению интегралов
О а О
J f(x) dx, \f(x) dx, j f[x) dx и т. д.
— л 0 — а
по известным значениям f(x). Но хотя число различных
арифметических действий, которые она требует, возрастает беспредельно вместе
с числом интерполируемых значений f(x), эти два числа только одного
и того же порядка значительности, между тем как в способе
наименьших квадратов первое числэ высшего порядка, чем второе. С другой
стороны, состаз этой формулы показывает, что средняя ошибка вывода,
происходящая от ошибок интерполируемых значений, вообще того же
порядка значительности, как единица, деленная на корень квадратный
из их числа, как это имеет место и в способе наименьших квадратов.
Что касается определения интегралов
а а О
\ f(x)dx, \f(x)dx, \ f(x)dx и т. д.,
— я О — я
которые входят в нашу формулу, то они могут быть вычислены по
известным значениям f(x) с большим или меньшим приближением. Но если
эти значения f(x) достаточно близки друг к другу, часто можно будет
при приближенном вычислении интегралов довольствоваться такою очень
простою формулою:
я
^(х)Лх=±[(хх + хх+,-2к)/(хх) + (хх+2-хх)/(хм)-\
h
-Н-Ч+S—-Ч + l)/ (*Х + 2) + • • • + K--*V-2)/K-l) + (2Я-^—*,-!)/(.*,)] >
где
известные значения f(x) и
значения х, заключенные между x—hnx=H+
1$ Г1. Л. Чебышев, т. II
— 242 —
fi
Ошибка этого выражения интеграла \^f{x)dx, как легко убедиться,
всегда будет ниже
где Л, В обозначают наибольшие значения fix), f(x) между x-=h
и х = Н, и А — наибольшая из разностей
хх — A, ^x+i х\у • • • > -*> -^u-i> " -*>•
Сверх того, можно будет найти интегралы
a a J
j f{x)dx, \f{x)dx, \ f{x)dx и т. д.
почти без вычисления, если имеется графическое представление
функции f{x\ построенное по ее известным значениям; ибо тогда для
вычисления всех этих интегралов нужно будет только определить
площадь кривой
J> = /(«*).
между х — —а и x=-f а, между х = 0 и я = я и т. д., что очень
легко сделать при помощи планиметра.
Заметим еще, что, делая в этой формуле
X
\/{x)dx = F(x),
о
находим формулу
cwY^—^W-^f-a) , F(a)-2F(0) + F(-a) Y,
+ ^ У -' (2.Y»-|rf)4-
я<
•(4ЛГЗ — 2сРХ)-\-
+ >-w-2^H±i„)+2f(t^i»')_2,(_v^i„
a*
± )(SX*-6a*X*)+\ ^
+
2F(JL)-2F{Q)+2F(-j)-2F(-q.a)+F{_a))
— j x
X (l6*6— 16a*ATs +| a<X) + ...,
— 243 —
которая может быть выгодно употреблена для определения
первой производной F'(х) по данным значениям F(x), если, конечно,
эти значения достаточно близки друг другу, чтобы можно было по ним
вычислять, с достаточным приближением, все значения F(x), которые
входят в формулу.
Легко удостовериться, что в преимуществе этой формулы перед
тою, которая находится по вычислению конечных разностей, замечая,
что здесь делители сравнительно больше и, следовательно, ошибки
известных значений F (х) имеют меньшее влияние на ошибку искомой
величины F'(x), что очень важно во многих случаях.
16*
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ
В СЛУЧАЕ БОЛЬШЕГО ЧИСЛА ДАННЫХ,
ДОСТАВЛЕННЫХ НАБЛЮДЕНИЯМИ*
Когда число данных значений превышает число членов, сохраняемых
в их выражении, интерполирование может быть выполнено различными
способами. Но в каждом отдельном случае эти способы далеко не
одинаково удобны; они отличаются друг от друга либо большей или
меньшей продолжительностью вычислений, либо г-еличиной средней
погрешности, которой следует опасаться, если дело идет об интерполировании
значений, доставляемых наблюдениями и, следовательно, заключающих
погрешности. Так как нельзя выиграть слишком много в одном
отношении без того, чтобы не потерять в другом, то невозможно дать способ
интерполирования, который был бы вообще предпочтительнее всех
других, ибо, смотря по обстоятельствам, приходится заботиться
преимущественно об упрощении вычислений или о точности результатов. Если
известно только небольшое число значений интерполируемой функции, то
представляется мало средств ослабить влияние погрешностей на искомый
результат; тогда важно извлечь из данных интерполирования все, что
возможно, для уменьшения возможной средней погрешности, что можно
сделать только по способу наименьших квадратов.
В противном случае значительное число данных, имеющихся в
нашем распоряжении, избавляет нас от необходимости прибегать к способу
наименьших квадратов, требующему слишком длинных вычислений.
Тогда для упрощения численных выкладок можно пожертвовать более
или менее значительной частью того, что можно извлечь из данных
значений для повышения точности искомого результата. В мемуаре
„О непрерывных дробях", грел ставленном Академии Наук в 1855 г **, мы
изложили параболическое интерполирование по способу наименьших
квадратов*** и получили ряд, дающий непосредственно результаты тз-
* „Sur Interpolation dans le cas (Tun grand nombre de donnees fournies par les
observations* (Memoires de Г Acad. Imp. des Sciences de St-Petersbourg, VII serie,
I. №5(1859), стр. 1—SI); русский перевод Е. И. В-ой в Собр. соч. П. Л. Чебышева
сид ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 387—469. — Ргд.
** См. стр. 103—126этого тола. — Ред<
*** Французский перевод этого мемуары которым я обязан просвещенной
любезности г. Бьенэмэ, только что появился в журнале Лиувилля, II serie, III.
— 245 —
кого интерполирования, как мы еидели, если число известных значений
интерполируемой функции довольно мало. Мы покажем в настоящем
мемуаре, как по нашим способам получаются и другие формулы
интерполирования, которые могут с выгодою заменить только что
упомянутую, когда ее приложение, по причине большого чис^а данных значений,
с одной стороны, перестает быть важным, а с другой стороны,
становится неудобоприменимым. Из числа различных частных случаев,
которые может представить интерполирование сообразно с большим или
меньшим числом данных значений, мы ограничимся рассмотрением того,
который будет пределом Есех других: именно когда число данных
значений бесконечно. Хотя, в действительности, это число всегда не
бесконечно, но формулы, получаемые при таком предположении, могут
быть все же полезны в приложении, потому что они представляют
предел, к которому сходятся очень быстро результаты интерполирования
по мере того, как это число возрастает, и в каждом частном случае
нетрудно видеть, какую степень точности могут доставлять эти
формулы в зависимости от данных значений.
I
§ 1. Начнем с изложения решения задачи, которая послужит
основою нашим изысканиям.
Задача. Дан ряд значений F (х) = А0 + Д х + ... -\~А^са,
соответствующих равноэтстоящим и очень близким между собою значениям х;
сочетать значения г(х) исключительно путем сложения и вычитания
так, чтобы окончательный результат содержал член с коэффициентом А
и чтобы этот член был по возможности наибольшим.
Решение. Пусть
F(Xi), F(b), .... F{xt)
данные значения функции
F{x) = At+Alx + ...+Anx*.
Предполагая, что
F{*\)y F(x2)> •••> ?{**),
суть значения F(x), взятые со знаком -|~, а
F(x9 + i), F(xe + 2), ..., Z7(« + *')>
F(Xa + a' + a» + l)> F(Xc+3' + & + 2), • .., F (Хв + e> + с» + *'*),
суть значения, которые будут взяты со знаком —, находим, что
искомое сочетание значений
Г(хг), Г(х2), ..., Г(х,)
выражается формулой
а a-f-c' a-fa'-j-ar" * ' ' o-f-e'-J-o^-j-o*'
2^)- S r(xj+ 2,/W- A^F(X^--'
— 246 —
Значения
по предположению, равноотстоящие, а поэтому это выражение, если не
принимать во внимание поЬтоянного множителя, нисколько не
изменяющего искомого решения, равно
2 F (хJ (ха+1 - xj - °J' F (xj {хл+1 - xj +
что обращается в
\F(jc)dx— \ F{x)dx + \ F{x)dx— \ F{x)dx + ...
при значениях
X\i Xfy • • • » Л/
очень близких между собой.
А если положить
Ха = T|j, «^з-f a' =: ^J2» «Я*-|~з'4- '* :r::r %> • • •
и обозначить через а и b крайние значения х в ряду
и через v число значений
Х^, .Xa-J-a'j X3-^-zt_u Zn ,. . . ,
то предыдущее выражение может быть представлено так:
-Ч ig г,а Ь
\F(x)dx — \F{x)dx+\r(x)dx —... + (— \у \ F{x)dx.
Поэтому наша задача сводится к определению количеств
rii> ri2» • • • > Ч»
под условием, что для
имеем
Ttf ^ ^? \
$F(*)^—J/4*)^+\'r (*)<** —.-. + (— 1)'JF(jc)dJC = ^ (l)
и что множитель 5 по возможности наибольший, предполагая,
разумеется, что, по смыслу задачи, числа
a> 4i» Ч2» •• • э ч*» *
представляют ряд возрастающий.
— 247 —
§ 2. Чтобы извлечь отсюда уравнения, относящиеся к ц, 1]2, .,
заметим, что формула (1), при
F(x)=*A9 + A,x+ ... + A„x*, .
становится
Л0[_а4-2г11-2гЬ + 2п3-...-2(-1)^+(-1)^1 +
+ 1 ^[-^ + 2^-2^ + 2^-... -2 (_1)^ + (- №>] +
+ l^L-«3 + 2^-2rJ| + 2f3-...-2(-l)-r13-f(_l)^]4-
+ ^^-а'+1 + 2^+1-2^+1 + 2^+1-...-2(-1)^1+'(-1)^'+1]+
+7^2 ^+i[-a'+2 + 2r,;+2-2^+2+2^+2_...-2(-l)^+H(-l)^+2] 4
■^~ Ап[— ап+^-\-2^+!—2rJ^+1-l-2Ti;f+1—...—2(—1 )»,£+! 4-(— 1),*'1+1] =
= 5Лг .
Отсюда получаются уравнения
а — 2Ч, ' >,„ —... + 2( —1)\ —( — 1)^ = 0
Д» — 2i)? + 2т|| —... 4- 2( — l)vr(2 —( —1)^ = 0
o'-2rnr + 2rj- ...4-2( — 1)'ij,'—( —1)»3' = 0 }
а'+^ —27]t'+24-2ri2+2~...4-2( —l)v,'+2 —(— 1)^'+* = 0
а
л + 1
.«+1
м П + 1
Ьл+а —Г
2in" + 14-2ii5 + l-...4-2(-l)V+ -(-1Г*+ =0 J
(2)
при условии, что количество
s=-7^a+1-24^42i]£+1^^ (3)
имеет наибольшую величину, и, следовательно, обыкновенный способ
относительных maxima дает уравнения
Чг — h -1 • h Ъ 4- Vi? 4- • • • + tf»
Ч* = lo 4 Vb + М* 4-... 4- lnr^t
где i0> >.i До,.. • Дя — вспомогательные неизвестные.
Последние уравнения показырают, что количества
суть корни одного и того же уравнения
V)n4... 4-М2 + \п + )>о-гНО*
— 248 —
Так как степень этого уравнения не выше п, а количества
различны между собой, то отсюда следует, что v, число этих количеств,
не может превысить я. Итак, относительно числа v можно сделать
только п -j- 1 предположений, а именно:
v = /z, v = /z—1, ... v=l, v~0.
Сверх того, легко убедиться, что первое предположение содержит
как частный случай все другие, если допускаются решения, где
некоторые количества
т1п> Г1п-\> ^п-Ь • • •
равны Ь. В самом деле, если
в наших основных формулах (1), (2), (3) р членов исчезает, а остаток
становится тождественным с тем, который получился бы, если бы ваяли
у — п — р
вместо
Вот почему при отыскании т\^ т].„ ..., tjv мы ограничимся первым
предположением о числе v, именно: v==/z.
А для этого значения v формулы (2) и (3) дают
a-24l+2ij2- ... -4-2Г —1Гг1я — ( — 1 Г А =-О
а» — 2г,? + 2Ч1 —.. . + 2 ( - \У% -( - 1) # -О
a'-2iii,-f27i5-... + 2(-l)Bri;-(-l)»:l = 0 | (4)
^+2_273/-{-2 + 2ri24-2-.^ + 2(-l)^+--(- 1)"^2=:0
^+i_2ri? + 1 + 2ri? + 1- ... + 2( — 1)"Ч;+1— (-1)6- + ' = О
1
s=-
/+1
^+i _ 24( + 1 4-2iji+1 - ... 4- 2 ( — I)«7}.'*f' — ( - 1)л*
/rl
(5)
Уравнений (4) достаточно для определения всех количеств г^,т^у ...,•/;
Эти уравнения могут иметь несколько решений, но легко отличить
соответствующее нашей задаче принимая во внимание значение
которое мы стараемся сделать возможно наибольшим. Сверх того, как
мы видели, следует откинуть все решения, в которых числа
не представляют возрастающего ряда.
— 249 -
§ 3. Оэыкнозенными алгебраическими способами было бы очень
трудно решить уравнения (4); но этого легко достичь, как мы сейчас
покажем, при помощи особого способа, которым мы пользовались
в вышеупомянутом мемуаре.
Разлагая выражение
_J 2 , __2 , 2(-1)" _ (-_])*
х — а .v — гп ' х — т|3 ' * * "Г х _ Т)д Л- _ b
по убывающим степеням х9 имеем
_] 2 . 2, 2(—1)« Г-1)" =
л" — а х — *0i .v — г,2 * * ' ' х — Tjn л' — b
= i[«-2rj, + 2%-...4-2(-l)%-(-l)^] +
+ 1[^-2^ + 2г,1-... + 2(-1)^-(-1)^] +
-f.^5- a«+i_2rl{ + 42ife+2-... + 2(-l)%+1-(-l)V + 1]+-
+ .^Г,КИ -2rJrг^-2r,? + ,-...+2(-l)"^+, _(_1)-^]J-
+ ^Г,[«И+2 - 2г,Г2 + 2r,2"+2- ... + 2 (- 1 у%* ~(- mn+2)4-
+ ^[а»+8_2г,?+8 + 2Чаи+8-... + 2(-ивч"+8-(-1)"*"+3] +
Отсюда, в силу уравнений (4), (5), полагая для сокращения
s' = an + '2-2ri1 + 2 + 2ril+2-. .. + 2(-l)V«+S-(-l)"*" + S.
s' = an + 3_27if+3 + 27i2 + 3-...+2(-iyv+3-(-l)V
\Яья4-3
получаем
ЛГ —Я ДГ — 7)! ' X— Т)2
_^ (/ + !)* . »
Л./+2 ' у.л + 3
s'
Ar" + 8
, 2(-1)л
1 *" 1
I ^+« 1 •
(-1)"
х—Ь
С другой стороны, полагая
(* —4i)(
(х —ri3)(x —Ч4)... = ф(х)1
(л: —ч,)^ —48)-.. = ?Wl Г6>
находим
_1 , 1 | = ?' (*)
_1 , _1 I _У(х)
д: —т»2 ""'"л:— Щ~^'" И*) '
а поэтому предыдущее уравнение дает
— 250 —
Отсюда, интегрируя, получаем
log (л: — а) — 2 log;?U) + 21ogi (x) — { — \)" log (x —ft) = log С -f
или,что то же самое,
(.V - Л) 42 (л-)
С*-*)1-"".'**)
:С£*Г + 1 (л + 2)*Л+2 (л ~ 3> v'; ' 3
По составу функций ?(х), -Ь (х) видно, что высшая степень х в
разложении дроби
(.v-g)^U)
(х-Ь)(~1у11*(х)
будет иметь коэффициентом 1, а так как первый член разложения
С*?*'4"1 (л + 2)хя + 2 (я-}-3) лг* + 3
равен С, то предыдущее уравнение требует
С=1
и обращается тогда в такое:
(Х _ £) ^^(.г)
что дает нам
(7)
ср (Л) .V — Л
Именно посредством этой формулы мы и найдем коэффициент 5
в уравнении (1)
• Ъх T)s rlt b
[F(x)dx — \F{x)dx+\F{x)dx —... + (— iy[F(x)dx=sAt
"a T)! T)4 T^
и функции
cp(x), ф(лг),
которые, по (6), определяют количества
Ъ rJ2> • • • > V
Но чтобы этого достичь, мы должны рассмотреть отдельно случаи,
когда п — четное и когда п — нечетное.
— 251 —
Число п — четное
§ 4. В случае, когда п четное, уравнение (7) становится
«p (x) V x -—a
Отсюда получается
л: — л V х-— а' к Lh
а, так как выражение
е 2(п + 2)хп + 2 2(п + 3)*л + 3 '" _|
разложенное в ряд, содержит х только в степенях ниже —(я+1), то
отсюда следует, что дробь
$
есть величина W xszl e 2xl+l точная до —^ • С другой стороны, так
как п число четное, функции ср (х), ф (х)> определяемые формулами (6)
имеют (
личину
имеют степень -^-, и в^этом случае дробь —г~ не может выражать ве-
V х — а
Лх
■/+1
с точностью до п+2 , если только она не равна одной из подходящих
дробей непрерывной дроби, получающейся при разложении у x~~b e2xJ+'1 .
Сверх того, так как эта подходящая дробь должна представлять
s
/Х — Ъ 2Xi+i c точностью до —--у и так как ее знаменатель не
х~а хП+"
п_
будет иметь степени выше ср (х) или х2, то следующая за ней
подходящая дробь должна иметь знаменатель степени выше у+1. Отсюда
видно, что между подходящими дробями непрерывной дроби, получаю-
щейся из -ш/x~bc2*t+l, дробь, которая определяет величину ^~-,бу-
V х — а ? W
дет последнею со знаменателем степени низшей -j*+l. Поэтому, как
только узнаем величину s, найдется и дробь -^т§", а отсюда функции
ф(х), ср(х), освобожденные от их общего делителя. Но, принимая во
внимание состав формул (1), (4), (5), (6), видим, что все общие множители
функций ср(х), ф (х) дают только значения ril5rj2,7)8, . . . попарно равные,
а такие значения 4i» 4s» 4s в формулах (1), (4), (5) доставляют только
члены, тождественно равные нулю.
— 252 —
Таким образом, удостоверяемся, что, обозначая через
Р..
Qn
последнюю из подходящих дробей j/f—?^2.v/tI, знаменатель которой
имеет степень ниже ~+1, и откидывая общие множители функций
${х),<р(х), не шмеющие никакого влияния на состав наших
окончательных формул, будем иметь
2 ' '-' »
где С0 — постоянное количество, а отсюда, в силу (6), количества
ГЛ> ri:.» » • • • >
ri2, ri4 ,.. .
определяются решением уравнений
Р« =0,
Так как количества
Ъ Ъ - • >
Г\1> ГИ> • • •
составляют возрастающий ряд, то, располагая корни уравнений
2
по величине, найдем два ряда членов," соответственно равных
гл> Чз> • • •»
§5. На основании показанного, легко найдем количества 4i»Ча» 4s»
ri4, ..., как только узнаем величину постоянной sy которая входит в
выражение ■/ *zil e и1^1. Определением этой постоянной мы и займемся.
У х — а
Обозначая через д-= ту из подходящих дробей непрерывной
дроби, получающейся из |/^JzA^2.r/+1 , которая следует непосредст-
Рп
1 Ф(лг)
венно за ^-=~~-> находим, что разность
Т
у Р S
— 253
того же порядка, как и выражение
2 2 ^*
Но мы видели, что дробь gj~- должна представлять величину
s
л/ х ~~ь е 2*i+1 с точностью до ! , следовательно это выражение не
может быть степени выше —(л+ 2), а потому функция Qn , знаме-
^ г
натель подходящей дроби, следующей за — —-^-^, должна быть сте-
т
пени высшей нежели -я— • В силу этого можно всегда найти все значе-
ния 5, удовлетворяющие нашим уравнениям.
В самом деле, так как степень знаменателя дроби
Г _ ф (х)
не выше -к у то степень выражения -~— может быть только выше
2
£+1.
Следовательно за подходящей дробью
■f___ii£L,
со знаменателем степени низшей тг+1, будет непосредственно сле-
довать дробь т , где степень знаменателя выше -к- -J-1. Отсюда
видно, что непрерывная дробь, получающаяся из разложения
i/ х—ъ e2Xi+i % не будет иметь подходящей дроби со знаменателем
степени у+1- Но если найти все значения 5, при которых выражение
S
У х—а
обладает этим свойством*, то, рассматривая каждое из них в отдельно-
* В мемуаре, озаглавленном „Вопросы о наименьших,величинах, связанные с
приближенным представлением функций* [см. стр. 152—236 этого тома. — Ред.] мы
показали путь для нахождения значений постоянной, определяемой условием подобного рода.
— 254 —
сти, отметим те, которые согласно показанному нами относительно дроби
2 , делают степень Q„ выше степени x"~rl
Таким образом нам удается определить значения s,
соответствующие всем возможным решениям наших уравнений. Чтобы выбрать
между ними значение s, решающее нашу задачу, исключим все те,
которые ведут к несобственным решениям, т. е. к таким, для которых
значения
A, fy, 7jo, 7j8, 7j4, ..., -j-A,
противно смыслу нашей задачи, не все вещественны или не представляют
возрастающего ряда. После этого значение s, численно наибольшее
между остающимися, будет соответствовать, очевидно, искомому
решению нашей задачи, в которой надо сделать количество
5== —7^ri[fl'+'-2ri{ + 1 + 2rJ;+l-...-(-lr^+ij
возможно наибольшим.
Следуя указанным путем, найдем окончательно значение, решающее
нашу задачу и, как мы видели, определяющее \ се другие неизвестные
в формуле
Ъ1 Ъ* ?,* *
\V (х) dx —J F (x) dx + \r (x) dx — ... -- { — iy\r (x) dx = sA-
Но во многих частных случаях определение 5 значительно
упрощается, потому что часто ряд значений, между которыми будем
отыскивать то, которое решает нашу задачу, приводится к одному члену,
который и будет только искомым значением s. Заметим еще, что во
всех этих изысканиях можно откинуть мнимые значения 5, которые не
соответствуют смыслу задачи.
Число п — нечетное
§ 6. В этом случае формула (7) становится
S S' s"
И*) _ * е '^+1 "IS + 2)х* +2 ~ 2(п + 3)хп+* "" "" "
'ч(х\ ~ Vlx-a)(x — b)
что дает нам
.У S
2<r/+l V+1 ~ I _-.~
Ф(ДГ) е <Г_ ip -,(« + 2)хЛ+а 2(я + 3)«+* _1)#
<р (х) VU — а) (х —Ь) У{л —а){х — Ь)
Эта формула доказывает, что дробь
отличается от выражения
s
Г (л- — а) {х — Ь)
— 255 —
только членами порядка низшего -^» а та* как, по (6), при п
нечетном, находим, что <р (х), знаменатель этой дроби, степени ^4-^-, то это
предполагает, что она равна одной из подходящих дробей
непрерывной дроби, получаемой через разложение выражения
S
е "л
У (х — а) {х — Ь)
Сверх того, обозначая через
2
Qn-
ту из подходящих дробей непрерывной дроби, получающейся из
s
Vu-Cv-fr)' кот°Рая-Равна 1W' а через
рп+г
2
рп + г
2
подходящую дробь, следующую непосредственно за q— , находим,
что разность
а/^ i?^J P^ J&1
Ф Су) = =======
фСг) |/"(д: —л)(дг —^j О^м V(x—a)(x—b)
2
той же степени, как и
1
2 2
Откуда, на основании замеченного нами относительно разности
Ш _ ^ ,
<р W Ус* — а) (х — Ь)
вытекает, что функция Qn±s должна быть степени высшей, чем q ■
Но, так как -?Л— равняется дроби l^L, представленной в про-
2
/ ч Л + 1
стейшем виде, и так как степень <p(x) не выше —^—, это доказывает
что степень Qn + з будет выше 1+1. Отсюда видно, что за подходящей
ApJOblO
Л( + г
Q«±l
Н*) .
?<-*)
знаменатель которой степени не выше ^~- , непосредственно следует
подходящая дробь
Рп + Ь
Qn- 3
со знаменателем стегени выше /Ц— . Итак, между подходящими
дробями непрерывной дриби, получающейся из выражения
■У
^ U — а, (л — of
дрооь
*л + 1
6 tx)
будет последней со знаменателем степени низшей или равной n,f .
А на основании только что показанного относительно подходящих
дробей
2
тем же путем, как и в §§ 4 и 5, приходим относительно определения
количеств
4i> Ч*:» Чз> Ч4> • • • » s>
когда п — нечетное, к таким заключениям:
1) Количества
Чр Ч.{> • • • t
гь ri4, ...
суть корни уравнений
2 2
где ^±1* Q*±l означают члены последней подходящей дроби для непре-
2 i
рьшной дроои, получаемой при разложении
степень знаменателя которой Q„+i по большей мере равна ^у-'
— 257 —
2) Значение s надо искать между значениями, не дающими для
непрерывной дроби, происходящей через разложение выражения
такой подходящей дроби, знаменатель которой был бы степени —^.
Из ряда значений s, обладающих этим свойством, следует исключить
Рп+Ъ
прежде всего те значения, при которых подходящая дробь ~- , сле-
v/i-ьз
Рп±2
дующая за п 2 -=ЦО-, имеет знаменателем функцию степени низшей,
2
чем т>—> а затем все те, которые дают числа
V/2-fl
з
7iV Ti2» Tk> Tlb * ' • >
не отвечающие нашей задаче (см. § 2). Из оставшихся значений
численно наибольшее будет равно искомому значению s. Мнимые значения s
оставляются без внимания.
II
§ 7. Чтобы показать употребление изложенных способов, будем
отыскивать коэффициенты функции
F(x) = AQ + Alx+...~{-Anx«9
когда
л = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Для упрощения вычислений предположим, что данные значения F(x)
заключены между х— —h и x=-\-h или, что то же, возьмем в наших
формулах
а — — А, £=-{-А.
При этих значениях а и Ь, предполагая п четным, заметим (§§ 4, 5),
что определение коэффициента А0 связано с разложением выражения
V x + he
в непрерывную дробь. По обыкновенному способу легко находим, что
непрерывная дробь, получающаяся из этого выражения, имеет следующую
величину:
2х + h — ± s + -oT^^Ofcf^ ** — Vhsb + 60Л*^ —720Л^» —2880Afc■+ 2880/?q
.2 24(*-/Л)дг + _ 10[(5-.2Л)8 + ЗЗЛ«].г+. ..
ПГ п« Л. Чебышев, т. И
— 258 —
Рассматривая состав этой непрерывной дроби, видим, что ее три
первые частные не перестают быть первой степени, а следовательно,
дают подходящие дроби со знаменателями, соответственно степени
О, 1, 2, 3, пока количества
s — 2A,
(s— Щ* + Ш\
s* — Wis5 + 60й2А4 — 720/z4s2 — 2880A3s -i- 2880A6
отличны от нуля. Для того чтобы это не имело места, количество s
должно удовлетворять, по крайней мере, одному из таких уравнений
5— 2А = 0,
(s — 2Л)3 + 32/23 = 0,
sq _ 12A55 + 60Л254 — 720A*s2 — 2880A5s -f 2880A6 = 0.
С другой стороны, предполагая последовательно, что количество
^ удовлетворяет одному из этих уравнений, находим, что непрерывная
j-py e2* при этих трех предположениях,
становится соответственно
0(s — 6h)
i"T 48л»-|-.
и s~2h
s 3s?—ZQhs4 + 8Qffis* — 240/z«5 + 480/zS
-* + « 2-h 1920(5 —2Л).гЗ + .
-* 24(5—2Л);с + -^ + в
Откуда для подходящих дробей у x\h e2* получаем
J_ 48л*+-.-
(8)
2дг — h + ~s
I ' 2 3840(5-2/е)лг< + ... /m
2х —ft-f-5 ' ^
1 2-Y"^/z+2"^ 48(5 — 2Л)дг»+12(5 — 2h)*x + (s~2h)* + Z2& pA Ръ ,]Ш
1 ' о , fc 1 '48(5 — 2Л)л;2 — 12(5 — 2Л)2* + (5 — 2h)*-j-'62h* '^' ft'""' ^ '
обозначая через ~, —, ... подходящие дроби со знаменателем степени
Ч\ чъ
высшей 3.
Таким образом нам удается найти все случаи, когда непрерывная
дробь, получающаяся из у *Т\ в5*, не имеет подходящих дробей со
знаменателями степеней 1, 2, 3. Поэтому, следуя по пути, указанному
в §§ 4, 5, легко найти решение этой задачи при л = 0, 2, 4.
— 259 —
Случай гг = 0
§ 8. В этом случае 5 надо искать среди значений, .при1 которых
,h e2x, не имеет
подходящей со знаменателем степени -^ Аг 1 = 1. А на основании того, что
/Т^Ъ —
'j-TTfi e2xy это может
быть только в случае, когда
5 —2А = 0,
и так как это уравнение дает только одно значение s>
то мы заключаем тотчас, что оно решает нашу задачу.
Чтобы найти количества
4l> ^V T/3» • • • у
постараемся найти среди подходящих дробей (8), получаемых при
предположении что
s — 2Л=0,
такую, которая была бы последней со знаменателем степени низшей
у 4-1 = 1. Так как эта дробь -у, то
Р„=1, Q«=l,
2 2
откуда видно, что число количеств
TlV Ti2> Чз» • ' • >
определяемых уравнениями
Р*=0> Q*=0,
2 2
приводится к 0.
Внося же в формулу (1) найденную величину $ и приводя ряд
количеств
а> 4i> Ti2> %> •• • • *
к
-А, +*>
получаем при я = 0 и /=0
\ F{x)dx = 2hA0.
Этому уравнению легко удовлетворить, замечая, что при я=0
функция
F(x) = A0 + A1x+...+A^
сводится к постоянному*.
— 260 —
Случай и = 2
§ 9. Если гс = 2, то s будем отыскивать между значениями, при
которых непрерывная дробь, получаемая из выражения
V x+he '
2
не имеет подходящей со знаменателем степени -^ 4~1===2. Но как мы
видели в (§ 7), это может быть только в том случае, когда
удовлетворяется одно из уравнений
s_2A = 0, (s — 2й)3 + 32А* = 0. (11)
Чтобы выбрать из корней этих уравнений корень, решающий нашу задачу,
заметим, что при
s — 2Л = 0,
подходящие к непрерывной дроби, получаемой разложением у x\h e2x,
доставляет по (8) такой ряд:
I > 48л-5+... ' •••
Так как между этими дробями последняя со знаменателем степени
низшей у +1 = 2 будет -у- , то при нашем обозначении, предполагая
s — 2й=0, получим
Q» = l, Q. =48*» + ...
2 2 +
При этих величинах Qn> Q^ , степень Q^ не выше степени ~^~ ,
и потому заключаем (§ 7), что уравнение
s — 2А = 0
не дает значения 5, решающего нашу задачу.
Поэтому остается только искать это значение между корнями
последнего из уравнений (11), а так как это уравнение имеет только один
вещественный корень
5 = 2(1-^4)4,
то мы заключаем тотчас, что он и соответствует нашей задаче.
Чтобы найти количества
Ч:> Ча> Ча» * • • у
заметим, что при
(s — 2/z)*-f32A3 = 0
дроби подходящие к непрерывной, получаемой при разложении
/ s
У .x+he •
как мы видели (см. (9)), суть
1 ^2 3840 (s — 2h)x*+...
1' 2* + Л-2* ' 3840(*-2A)x*-h... '•-
— 261 —
Дробь
2x-h + ±-s
2r + A~i-
последняя со знаменателем степени ниже -|- -f-1 = 2, а потому мы
заключаем, что будет
Р± = 2х — h + ±s9 Q^lx + h — ±s.
2 2
Поэтому, для определения количеств
fy» Is» • * • >
Ъ Ч4> •••
получаем уравнения
Qn=:2x + h—4^ = 0,
рп=:2х — A+-i* = 0.
2
2
2
2
Откуда следует, что
л , 1 л 1
внося же сюда найденную величину s, окончательно имеем
4i = — hy J> Ч2=+А|/4-
В силу этих значений
s, 4i» Ч2»
замечая, что в настоящем случае
/=0, а=—А, &=+А,
по формуле (1) получим
J F{x)dx— j F(x)£fcc-f J F(;c)rf;c = 2(l — ^4)АЛ0.
Случай /i=4
§ 10. Мы видели (§ 7), что непрерывная дробь, получаемая
разложением выражения
Yi
'Л pbt
не имеет подходящей со знаменателем третьей степени только в
случае, если s удовлетворяет одному из уравнений
(я —2А)* + 32А8 = 0,
5в _ 12As5 -f 60A*s< — 720A*s2 — 2880A*s + 2880А* = 0.
Поэтому, так как число т+1, ПРЙ л = 4, становится равным 3, тр-
значение s будем отыскивать (по § 5) среди вещественных корней
этих уравнений.
— 262 —
С другой стороны, так как, в предположении
(5 — 2А)3 + 32Л3 = 0,
мы нашли, что подходящие дроби суть
1
2л- — h + -j.? 3840 (5 __ 2h) xi 4_.. #
1
и что за дробью
2x + h--s
2x-h + ~s
■ 1 *
последней со знаменателем степени ниже 3, следует дробь
3840 (s — 2h)x* + ...
3840(s — 2/z)*44---- '
степень знаменателя которой не выше степени
2дг + Л — ~s
то мы заключаем, что уравнение
(5_2Л)3 + 32Л3 = 0
не может дать искомого значения s и, следовательно, что таковое надо
искать между вещественными корнями уравнения
5г> _ 12hsb + 60A2s4 — 720 h*s* — 2880 frs 4- 2880Л* = 0.
Отыскивая же вещественные корни этого уравнения, находим, что один
из них заключается между s = 6h и s = 7h, а другой — между s = 0 и
sz=z h. Чтобы узнать, какое из этих значений 5 относится к нашей
задаче, перейдем к рассмотрению соответствующих значений
4i> Ча» Чз> * • •
Так как в случае
<?6 — 12hsb + 60 A*s4 — 720Л452 — 2880/^.9 4- 2880А6 = 0
подходящие к непрерывной дроби, получаемые из
•Л .or
YW*'*
по (10) будут
2х — h + ^s 48 fo—2h) х* + 12 (s — 2Л)* .v + (s — 2Л)3 + 32# р±
19 2x4-h — ±s ' M(s — 2h)x*—V2(s — 2h)*x + (s — 2h)S + S2?fiy q^
4
<u последнею из них со знаменателем ниже — 4-1=3 будет
48 (s — 2ft) л* + Ш5 — 2Л)* .v 4- (s — 2Л)'<+ 32Л»
48 (5 — 2/2) .г* — 12 (5 — 2Aj* л- + ($ — 2Л)« 4- 32й*'»
— 263 —
то для определения
Чи Ъ •-• >
42» 44» • • •
находим уравнения
48 (s — 2А)х* — 12(s — 2А)*;с + ($ — 2А)3 + 32А* = 0,
48 (s — 2A)x* + 12(s — 2A)*;t + (s — 2А)з + 32А3 = 0.
Но, нетрудно видеть, что эти уравнения не имеют вовсе
вещественного решения, если s превышает 2А. Отсюда заключаем, что корень
уравнения
s6 — 12 As5 + 60A*s8 — 720A4s2 — 2880А5* + 2880А6 = О,
лежащий между s = 6A и s = 7A, не доставляет значений
Ч»> 42' Чз> Ч-t» • • • 9
свойственных нашей задаче, и, следовательно, что его другой корень,
заключенный между 5 = 0и^ = Аи приближенная величина которого
0,83440 А, соответствует нашей задаче.
Внося эту величину s в уравнения, найденные для определения
количеств
Чр Чз> • • • >
Чг> тп> • • >
имеем
jc2 + 0,29138 Ах -0,54362 А2 = 0,
jfi — 0,29138 Ах — 0,54362 А* = 0,
а так как корни этих уравнений, расположенные в возрастающем порядке,
суть
— 0,89725 А, +0,60587 А,
— 0,60587 А, +0,89725 А,
то мы заключаем, что будет
г„= —0,89725 А, 7)з = 0,60587 А,
rtt= —0,60587 А, 7)з = 0,89725 А.
Таким образом мы находим значение количеств
s, Чи 42» Чз» 44
при /г = 4, когда принято, кроме того,
/=0, д=—А, £=+А.
Поэтому формула (1) дает
—0 89725 Л -0,60587 Л 0,60587 Л 0,89725 А
\ F(x)dx- [ F{x)dx-\- \ F(x)dx— j /?(х)Лс+
Л Л —0,39725 Л -0,60587 Л 0,60587 А
А
+ ^ F(x)dx = 0,83446 АЛ0.
0,8у7?5 А
— 264 —
Случаи п= 1, 3, 5
§ 11. Отыскивая для этих значений п решение нашей задачи,
относящейся к определению A0i и принимая всегда
а==—A, b=-\-h,
приходим окончательно к формулам, тождественным соответственно с
найденными для
я=0, 2, 4,
как это можно было предвидеть, замечая, что в формулах
Л
[ F{x)dx=2kA0,
\ F(x)dx— { F(x)dx + Г F{x)dx=2(l—y4)hAo,
-"У ¥ "У J
-0,89725 А —0,60587 h 0,60587 h 0,89725 Л
\ F(x)dx — Г F(x)dx + \ F(x)dx— \ F{x)dx +
~h —0,89725 Л —0,&>587 h 0,60&87 Л
Л
-f \ F(x)dx= 0,83446 hА0
0,89725 Л
все члены функции
с нечетными степенями х исчезают.
§ 12. Отыскивая так же решение нашей задачи при
/=1, п=1, 2, 3, 4, 5
и предполагая всегда
а= —А, &= +А,
приходим окончательно к таким формулам:
Случай л=1 или 2
0 Л
( F(х)Жс — С г (*) dx = — AM,.
—Л 0
Случай л —3 или 4
~Л}/ т о Л^
\ F(x)dx— С F(jc)(ix+ С F{x)dx-
-Ь 4/Т О
~ЛУ г
- J /7W^=(/2-l)AM1.
— 265 —
Случай гс = 5
— 0,91682 Л —0,67418 Л 0 0,67418 Л
{ F{x)dx — \ F{x)dx + Г F(x)dx— [ F{x)dx +
~h —0?91682 A 0,67418 Л О
0,91682 A A
+ [ F{x)dx— С F(x)dx= — 0,82277 AM!.
0,67418 Л 0,91682 A
Точно так же при 7=2 находим, полагая последовательно л=2,
3, 4, 5:
Случай п = 2 или 3
-ТА + ТЛ а
\ F{x)dx— \ F(x)dx+ \F{x)dx=\ кгАг.
Случай /г=4 или 5
—0,87305 Л -0,37305 Л 0,37305 Л 0,87305 Л
( F(x)dx — \ F{x)dx+ \ F{x)dx— \ F(x)dx +
—Л — 0^87305 Л -0*37305 Л 0,^7305 А
Л
-f \ F{x)dx= — 0,15139 А3Д.
0,87305Л
Принимая /=3, а /г = 3, 4, 5, мы получаем такие формулы:
Случай я=3 или 4
\* F{x)dx— С f(A;)ix+ j F(x)dx —
-и г— о
-|/тЛ
'X /" /i •*lfi»
"4"' ^8-
Случай л=5
—0,89945 Л —0,55589 A 0
( F(x)dx— \ F{x)dx+ [ F{x)dx —
"-Л —0,89945 A -0*55589 A
0,55589 A 0,89945 А Л
— [ F(x)dx+ \ F{x)dx- J /3(x)dx=0,0590UM8.
^ 0 0,55589 A 0,89945 A
Случай /=4 и /1=4 дает нам уравнение
С F(x)dx- [ F{x)dx+ J F(x)^- J F(*)<*x-{-
4 4 4
+ J F(x)dx=jAM4.
/5"+l „
— 266 —
Наконец, в случае 1=Ъ и п = Ь получаем такую формулу:
С F(x)dx— Г /7(jc)rfx+ J F(x)dx— \ F{x)dx+
-* /г ! о
-—Л ~тА
+ J F(*)dx- \ F(x)dx=-±h*A>.
§ 13. На основании только что найденного, легко составить таблицу
значений v, s, rily ri2, ri3, т;4, ... в случаях
п = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
принимая пределами х величины —А и -\-h. Такая таблица помещена
в конце нашего мемуара, а в IV разделе увидим, что из нее можно
извлечь для интерполирования. Желательно, чтобы эта таблица была
продолжена до более значительных величин л.
III
§ 14. В предыдущих параграфах мы дали общий способ для
нахождения, согласно нашей задаче, количеств
5> rJl> Tl2> TJS»
в формуле
r,i Tja tjS Ъ
\F{x)dx— \F(x)dx+\F(x)dx 1-(— l)v \F(x)dx = sAl9
каков бы ни был коэффициент Аг функции
F(x) = Au + Alx-\ \-A,x\
которую желаем определить. Мы покажем теперь, что этот способ
возможно упростить в частном случае, когда требуется определить Лл,
последний коэффициент функции
F(x) = Af> + Alx+..-+AKx«.
Мы увидим, что' в этом случае легко найти прямо значения
S, 7]т, 7|2, 7]3, . . .
каково бы ни было число п, а позднее покажем, как можно вывести из
этого новую формулу интерполирования.
Для упрощения наших формул будем всегда предполагать
а== — A, b = h.
и начнем со случая, когда п нечетное.
— 267 —
Случай нечетного п
§ 15. Полагая в формулах § 6
находим, что, в случае нечетного л и / = л, количества
riu ri3> • • • >
т\г> rU> • • •
определяются уравнениями
где Рп+г и Qb+i — члены последней подходящей к
2 2
/2+1
дроби, знаменатель которой Qn+i степени не выше —~. С другой
стороны, так как выражения
е2хп+*
отличаются друг от друга только членами порядка -—^ или низших и
так как члены этих порядков не имеют никакого влияния на подходящие
л-4-2
дроби со знаменателем степеней низших —^—, то ясно, что при
определении по упомянутому способу
2
1
можно брать выражение
вместо
Jlxn + l
На основании этого легко найти общее выражение функций Рп+\ и
Qe+i и, чтобы этого достичь, будем искать закон составления непре-
рывной дроби, получаемой через разложение выражения
— 268 —
§ 16. Замечая, что произведение величин
х — \'х? — h\ x -f V х2 — h2
обращается в А2, мы заключаем, что
х —/л* —А3=-
или, что то же самое,
Yx* — h* — x = -
а отсюда посредством последовательных подстановок
2г+(У"**—** —*)
вместо
Y&—k*—x
находим
Ух* — №—х=
2х — .
(2*+К ** — Л'— х)
= — оГ Л*
2? _£_ л5
2л:
Zr+(/jc2 —А1—.г)"
2х-
' ' • ^2
2г-
Откуда получается такое разложение в непрерывную дробь:
L__l кг
ilx~2i-
Чтобы найти закон образования подходящих дробей этой непрерывной,
которые мы обозначаем через
р\0) рп) />(3)
QP) » "gap (РГ' ••••
заметим, что их члены связаны между собой уравнениями
Р(»+з) = 2х Р(т+*> — A*p(«),
Q(m+2)_2A;Q(m+l)_A2Q(OT)^
Но, рассматривая эти формулы как уравнения с конечными
разностями, выводим
р(*> = С{х+}/x^=*V + Сг(х — yx* — hY,
QW = Ct(x+V&^¥)m + C3(x — Vx* — hy,
— 269 —
где
С, Сг, С2, С3
количества, не зависящие от числа т. Чтобы определить эти
количества, заметим, что предыдущие выражения Р(Л>, Q(«), при т=0 и
/тг= 1, дают
Q(o) = C2 + C3, Q^ = C2(x + l^^^) + C3(x-K^^F),
а так как, с другой стороны, из разложения . 1 в непрерывную
дробь
2х ——
2л:—
находим
Р(0) ^ Р0)_ J_
Я(0) — 1 ' Qd) — х *
то получаются уравнения
С + С: = 0,
C(jc + /x2 — h*) + Ci(x — Vx* — A»)=l,
C2-j-C3 = 1,
С2(х+К^ — А3) + С3(х — Уд:2 — Л''1) = х.
Эти уравнения, будучи решены относительно С, Cv C„, С8, дают
и внося значения С, С\, С2, С3 в выражения P<w>, QW, находим
окончательно
(х + y& - fi2Yn- U - УЯ=Я*)п
р(«)=:
2 Уд-2 — Л2
Таковы выражения членов дробей
ptf) р(1) р(2) роте)
Q55 * <?Ф* QW ' ' *"' Q{m)' '" '
подходящих к непрерывной дроби
1
2л- — —
2л; _
получающейся из разложения -т====.
— 270 —
§ 17. Из этого видно, что последняя дробь, степень знаменателя
которой не выше -т>—, имеет членами функции
я+1 д+1
2
Отсюда, в силу того, что мы видели относительно определения
rh» г1з> • • • у
Т\2> TU> • • *
следует, что эти количества суть корни уравнений
(х+YTzrfff^+(х - y^zrwft __
«4-1
л + 1
(x+yxrzrj?) 2 ^(x^YlF=n?) *
0,
:0.
(12)
Решения этих уравнений легко можно получить, замечая, что при
4=coscp
они обращаются в следующие:
cos
л+1
! !0-=
?=о,
sm -+- <р
sin?
= 0,
которым вообще удовлетворим, полагая
Г-
,(2£+1) it
2/«
/2+1 * Г_ Л + Р
где ft и /—целые числа, и последнее из них не должно делиться на
^t—. Поэтому, полагая последовательно
* = ^, * = ^, ..., * = 2f *=1, *=0,
— 2 ' — 2 > •••> —*"» *— А>
находим для корней уравнения (12), расположенных в возрастающем
порядке, а следовательно, и для искомых количеств
4i> Чз» • ••»
следующие выражения:
Ч1 = ЛС08_1Т, I^ACOS^
*>
Пл-2 = *С08л^1.
7j// = Acos
* + lJ
7)2=Acos~qITTr, T^AcosJ-pTi,
2т:
4«-i = Acos^qpf
— 271 —
§ 18. Переходя к определению количества s, заметим, что, по § 6,
его значение надо отыскивать среди величин, при которых выражение
2*л+1
У**-Л2
отличается от подходящей дроби
2
Qn+i
2
только членами порядка низшего —(л-|-2), что предполагает
существование уравнения
lim
Х=00
****
+1 Р*±1
2
Хл+2
= 0.
Но так как мы нашли
л+1 л4-1
л+1 л+1
Wrt + l о
e2xa+l = l f s
S*
то это уравнение будет
lim
X =-=00
2jc«+i i 8д;2«+2
2л:Л+1П^8д:2"+2
л 4-1 я+1\
(x + yznzщ 2 ~{х~У^г=гщ 2 \ .г**2
я 4-1 л + 1 I у^2 £2
(д^^^^1^2) 2 + (* —У*2 —Л2) 2 /
= 0.
Откуда, замечая, что
л 4-1 л + 1
I (лг + Уа:2 — ^2) 2 -^(х--У^=Тз) 2
2Лл+1
х-оо L\8jc2«+2
,.л+2 -1
Y~xz-h\
= 0,
lim
Х—ОО
получаем
2дгл+*У> — Л2
2ЛП+1
2 ~*~*1™ VU+y^=P)«+1+^+1 ViS^raJ и>
— 272 —
а так как выражение
2hn+i хп+*
{x + V^=&)n+1 + ka+l V*-**
hn+l
при х=сх> обращается в ^-, то отсюда получается такое значением:
5 = -
2Л
Таким образом, в случае нечетного л, если принято
а = — К b = h, 1 = п>
прямо получаются значения количеств
s> 4i» ^12» • • • > *Li>
которые, по формуле (1), дают
Случай четного я
§ 19. В этом случае, отыскивая выражение
Рп
2
2
/■- *
последней подходящей дроби к непрерывной, получаемой из ]/ ~^Л^2хЛ+1,
со знаменателем Qw степени низшей 4~М> можно взять выражение
вместо
•ш/ X"hnHXa+l
У x + fi
которое отличается только степенями х ниже --, и так как члены
подходящих дробей непрерывной дроби, получаемой через разложение
V x + h*
выражаются формулами*
2Х + 1
"Г 2
(,/£Е+ |/*Н?)*«_( /SE- ,/13
xZLh
* См. наш мемуар „Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным
представлением функций*, § 57 [стр. 152—236 этого тома. — Ред.]
— 273 —
то отсюда получаются для Р^, Q„_ следующие выражения:
(/*-&
_{/Щл
-/!Щ™ + (/Цк.
i/Ц!
-/Щ""-{\^-
- vwr
- /Щ"п
/х-¥
В силу этих выражений Рп , Qn, мы заключаем по § 4, что искомые
количества
т\2> 44» •••
суть корни уравнений
Чтобы решить эти уравнения, положим, как и в предыдущем случае,
-£-=cos<p,
вследствие чего они превращаются в следующие:
sin —±—f cos —£-?
VI — cos «p У 1 + cos «
которым удовлетворим, полагая соответственно
2/* - „(2*+*)*
где целые числа /, 2А+1 не должны делиться на л+Ь
Корни уравнений, полученных для определения количеств
4i> Чз> • ••>
Ча» 44» • • •»
выражаются. так:
Acos^.., Acos<^; ....Acos^,
W<^, Acosi=^l...... Acos^,
а так как эти корни расположены по величине, то они соответственно
18 п. Л. Чебыпжв, т. II
— 274 ■—
равны
42» TU> • '
Отсюда видно, что количества
rit> ri2» ri3> ri4> • • •
выражаются теми же формулами, как и в случае, когда п нечетное,
§ 20. Чтобы найти количество sy заметим, что, по § 5, оно должно
удовлетворить условию
lim
Qn]
= о.
А подставляя найденные выражения Р , Q/z и разлагая е*х**1 в ряд,
2 ~2
имеем
lim <
ЛГ=ОС
т/'i^*
К л + Л
Ы i_.
52
8дя+-
и так как
lim
JC=O0
9л
i™[»/1l?(cfe--+->"*,J=0-
то отсюда получается
s — ^n^i-
Это выражение s отличается от такого же выражения в случае
нечетного п только своим знаком.
Но легко заметить, что мы обнимем .оба эти случая, если введем
в значение 5 множитель (— 1 )л, который обращается в -{-1 или *— I,
смотря по тому, будет ли п четным, или нечетным.
Таким образом, для s мы получаем выражение
иП + 1
которое будет существовать при всех значениях л.
— 275 —
IV
§ 21. Хотя рассматриваемая нами задача никогда не встречается
на практике, где число известных значений искомой функции никогда не
бывает бесконечно, но все же формулы, найденные нами в этом
предположении, прилагаются с пользою, как мы сейчас и покажем.
Если известны значения функции
F(x) = A0 + Alx+^^-^Anx-y
при всех значениях х, от х=хг до х=хп и если их рассматривать
как равноотстоящие и бесконечно близкие друг другу, то можно
получить только путем сложения и вычитания величины коэффициентов Л0,
Аг, .. , Ая> помноженных на возможно большие числа. Эти выражения,
определяющие коэффициенты
будут представляться, как мы видели (§ 1), формулой
"4i Ч* х\
[F{x)dx — \F\x)dxA \-(—iy^F(x)dx.
■*« ч* х
Поэтому вся трудность определения коэффициентов
Aq, Ах, ..., Аа
будет состоять в вычислении интегралов
]P(x)dx9 ^F(x)dxy...y \F{x)dx.
•*« ъ \
А так как эти интегралы, с большим или меньшим приближением,
могут быть вычислены при помощи ограниченного числа значений F(x)t
то легко понять, что можно пользоваться этими выражениями,
определяющим коэффициенты функции
F{x) = A0 + Alxm+----\--As*9
коль скоро имеется достаточное число значений F{x), при помощи
которых интегралы
\^F(x)dxy \F{x)dxy ..., \r(x)dx
Хх % X
могут быть вычислены с достаточным приближением.
§ 22. Что касается вычисления интегралов
\F{x)dx, \F{x)dx9...y \F(x)dxy
xt ?t X
которое придется производить при приложениях наших формул, то оно
не предстазит никакой трудности.
18*
■- 276 —
Чтобы этого легче достичь, надо только заметить, что интегралы
J F(x)dx, J F{x)dx \ F(x)dx
означают, соответственно, площади кривой
y = F{x)f
заключенные между х=хг и х = щг,х = rit и л: ~ гг,, ..., х ~т rh йа' = л-ь
и что каждое из данных значений F(x) определяет одну из точек этой
кривой. Таким образом, вычисление интеграла, о котором идет речь,
приводится к геометрической задаче:
Дан ряд точек, определить для кривой, проходящей через эти
точки, площади, заключенные между данными пределами.
Но такая задача допускает приближенное решение, которое легко
найти.
Если имеется графическое представление кривой
y = F(x)9
построенной по известным значениям F(x), то плошади найдутся прямо
при помощи планиметра. В противном случае, можно найти эти площади
посредством очень простого вычисления, взяв вместо кривой
многоугольник, определяемый данными точками. Таким образом, предполагая, что
известные значения F(x) суть
f(4 f(4 .... J4U /4*.+i), .... r{xrU F(x^x)9 ...
и что количества
X Лц , X —-- j\
заключаются, соответственно, между у и у+1, у и у+1, находил, что
площадь кривой
между х=х0 и х — Х выражается приближенно следующей очень
простой формулой:
(У+1~У)*^(У> —(У~У)*^(Ун-1) 1 J /^ v\Fir \>
2(y+i —У) l 2^ + 2~A«'rlx«+ii"T
+ ^(^-ьз —У.ы)^(У+2)Н h^ (^.^, —^_г>/=-(^с,) —
Чтобы ясно представить себе степень точности этой формулы, заметим,
что разность между площадью кривой и площадью многоугольника
в пределах х—х0 и х = Х равна
-Йиу+1-у)3 + (у+2-^+1)и + ---+(^-^1)и +
+ (Х-у)МЗу+1-у-2^)~-(у-хв)2(Зу+1-у-2х0)], (14)
dPFx
где N—среднее между значениями -j^ между д:=у и х=Х.
— 277 —
§ 23. По упомянутой выше формуле (13) легко найти
приближенную величину выражений вида
■Til Т(? Xi
' \F{x)dx—\F(x)dx-\ \-{—iy\r(x)fa
но известным значениям F(x):
/>(*,), F(x2)9 ..., Fix,).
Чтобы этого достичь, начнем с отыскания среди ряда
X j у Хс^ , • • • > Х^
пары членов, соответственно наиболее близких к количествам
Tl\> 7Liy Ъ> -у гЬ-г> Чу
Обозначая эти члены через
найдем, что количества
заключаются соответственно между xt и х2, x,v и jc/^_^i, x/» и xt»+i>
Xv» и Xyr#r+1, ..., x^-i) и a:£(v-i)+1, ^rf(v) и ^f(v)+1, д:^! и jc4..
Поэтому, полагая последовательно в формуле (13)
Xq=^X1s X = lj|, Xe=Xj, -^o+l^3**^» Xx = X(t> XT+i=Xit+i)
xQ = r^j> X = Tj2, x5=л:/*, дгв+! = ^//-j-t, д:т=Xt», xz+1 = л^-j-i ,
#o = rte» ^==rjs» xe=Xi*9 xg+-l=Xit^\y x„ — Xittty ^+1==Л'"+ь
-ro = TU> # = .*,-, xj=x&), х9+1=х№+ъ *-=x/_i, *,+i = л:/
получаем для площадей кривой
y=F(x)
между х = хг и x = Tilt x = rh и x=rte, ..., -* = ч*«1 и jc = q.„ *=Ч*
и х=Ар, а следовательно, для интегралов
7? * у > *
Jr^djc, J/7 (*)<**» \F{x)dx, ..., \ r(x)dx, \F(.x)rfx
следующие приближенные выражения
\F(x)dx^±(x2 — x1)F(xl)±~(xz-xl)F(x2) + 1(x4~x2)F(xb) +
:■+••• +-S(*>+i — XP-i)F{xl>) i 2^^-^) '
— 278 —
Т »/ w to' +i-ii)2F(xi->_(д;'.-%)^to.+i) ,
+ i{x//+2 — xi,)F(Xi>+t)-{- -^{xn+z— Xi*+i)F(Xi>+2)-\ U
.1 . (^4.t - ^)* /■' (Л>) - (Л> - rt,)* /-' (jc^ ^ j
- (-^'iV'-fl xVt)
-f -j (л>+2 — Xi») F (X//r+i) + 2" (-*>+3 — *i*+l) F i*i»+2) H Ь
+ J [XfA +1 - X^) /* (*,<„) 2 (**>+,-'|W) '
]>(JC) dx=(^+l-4^)-(^v>-^x*;b>+l) I
J 2(-*rJ4v)+]-A'/(v))
Отсюда, полагая для сокращения
Mi = (•*«—*i)^(*i)> A^(x,—x,)/^), Af, = (x4 —x,)F(x,}, ...
имеем
J/> (*)<&— ] F(x)dx-\-]F(x)dx ( -1)' ^F(x)dx+
хг Ъ гп ч
•4 \- M,m — Mim+i ( — 1У М,ь-ц+1 —
. {~11гМ& + {-1ум^+~. + \-1у щ}-
(Xf, 4.1 — 4i)* P (x,,) — (x„ —ijtfF (xlf +1)
Xi'+l—xil
(Xj*+1L --TrfPiXp) - (x£. —■rbfif>{Xtm+ l) .
"1 7 ~z '• ■" r • • t -4-
4"+l~~'xi»
l ( }y{*^-SFFix&)-(x&-W{*M*A^
, _„ 05)
Х,Ь)+1~Х,Ь)
— 279 -
Sot каким образом мы получим приближенные величины выражений
вида
7 ? ? >
\F{x)dx — \F(x)dx+\F(x)dx (-1)" J F(x)dx-j-
Та
+ {-iy$F(x)dx,
Х\ "П. ra
v-1
Xi
определяющие коэффициенты функции
Р(х) = А0 + Агх~\ Мя**-
§ 24. В силу показанного, с одной стороны, относительно
определения коэффициентов функции
**(*) = A0 + Atx+-..+As*
уравнениями вида
У т£ U* xf
sA, = ] "(x)dx—\F(x)dx+[F(x)dx H—lY\F(x)dx,
xt Tii TQa T
а с другой стороны, относительно приближенного вычисления выражения
^1 *» "»)з Xi
] F{x)dx— \ F(x)dx+[F{x)dx— ..- + ( — 1)» \F(x)dx
X, 7„ T„ ц
по известным значениям F(x):
F(Xi), F(x2) F(x,),
все коэффициенты функции
F(x) = A0 + Alx+-.-+As?
будут даны одной и той же формулой
sAl=\^Mx-\-Mi-\ \-Mi, — Mn+i Mt* + Mi»+i-\- ■■ 4-
+ АГ/« —Afcm+, ( —1)'%,_г)+1 (—\ущь+
xirt+l-~xi*
если взять для
значения, получаемые в предположении
/ = 0, 1, 2, ..., /г,
а для
л://, л://_}-ь Xi»> Хр+и ..., д^ь ■*,-(*) ^
члены ряда
Х\у Х%> Х%у • ♦ • у X}
соответственно наиболее близкие к
— 280 —
§ 25. Способом, данным в §§ 4, 5, б, всегда найдем количества '•
входящие вформулу (16). Но в обыкновенных случаях практики, когда
степень функции
F(x) = A0 + Alx+^^-Anx"
остается ниже 6, можно при помощи таблицы, приложенной к нашему
мемуару, избавить себя от труда отыскивать эти количества.
Эта таблица содержит в себе решения нашей задачи в случаях,
когда
я = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
а пределами х взяты значения
-А, +А.
Итак, всякий раз, когда в ряде данных значений F(x)
Fix,), F(xJy ..., Fix,)
будем иметь
хг = xt
а я в выражении
/*(х) = Л0 + Л1*+-.-+ Л^*,
не превзойдет' 5, количества
s> тл> ri2> • • • э гь
могут быть определены нашей таблицей, если взять
h—xr
Сверх того, нетрудно заметить, что если отыскивать, посредством
нашей формулы (16), коэффициенты разложения F(x) по степеням
л 2 »
каковы бы ни были значения х£ и х19 количества
s> 4i> ri2> - • •» *Ь>
при
л = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
будут также даны этой таблицей, и для этого надо взять
В самом деле, если положить
х-^±^=Х
и если надо отыскать, по (16), коэффициенты функции
предполагая известными ее значение при
Х=Х1У Х^у ..., Xi7
— 281 —
соответствующие значениям
X =: Х^, Х% у . . . , Х{,
то находим для определения коэффициентов
такую систему формул
sKt — ^My^M^ \-Mu — Mii±i — Mu+2 Mv> +
~i у у : * *
в которых количества
определятся для таких предельных величин ЛГ:
А так как эти количества, в силу уравнения
\г у Xl + Xj
л—х ^ >
приводятся к
2
с тем или другим знаком, то видно, что при
л = 0; 1, 2, 3, 4, 5
эти решения будут даны нашей таблицей, если взять
U Х1~Х1
• п— 2 *
Что касается случая я>5, то, согласно показанному, мы найдете
количества
формулы (1) при помощи общего способа, если возьмем для х пределы,
отличающиеся толыео- знаком, но численно равные, что сильно упростит
отыскание этих количеств*
— 282 —
Заметим еще, что если заместим переменную X величиной
А ♦> *
то формулы, только что найденные нами для определения
коэффициентов ЛГ0, К19 . • -, Кпъ разложении F(x) по степеням
v v A'i "^ **
Л. — л 2 у
сделаются
5/С,= 41^1 + ^2+ ''; +Mi> — Mi>+i—Mif+2 АГ*> 4-
г \
—г- " - " -\"
xV'+\— xi"
+(_ ^J^^-^-^y^-^-^-^-^y^^v >
^i==(^2 —^i)^(^i)5 Жо = (^з — xx)F(x2)9...,
Mi-x = (xi — x.^F (*M) Af, = (*, — хм) Т7 (*,). (18|
В формуле (17)
— количества из ряда
^1> -л2, •. • , Хг,
наиболее близкие к
ty» riv - • * > Чу>
^ потому видно из уравнения
S\ ' -Л,
что количества
Х=*.-^р,
X//, Xf/4-i, ^i», -*>-}-ь • • • > */W ^^i
найдутся в- формуле (18), если отыскать в ряде
пары членоз, соответственно наиболее близких к
— 283 —
§ 26. Так как количества
sy г1ъ т& ' ' • > Ч*»
входящие в формулу (18), в наиболее обыкновенных случаях практики
я = 0, 1,2,3,4,5
находятся непосредственно с помощью нашей таблицы, если брать А =
= х* ~ *1 > и так как эта таблица по способу, данному в §§ 4,5,6, может
быть с легкостью продолжена до более значительного предела и далее
величин /г, нужных для практики, то ясно, что формула (18),
определяющая коэффициенты в разложении функции
F(x)=:A0 + A1x+ ... +А,х*
по степеням
очень удобна для разыскания ее выражения по известным значениям
F(xi)9 F{xJ, ...',' F(xt).
Эта формула дает выражение функции F(x)> только приближенно,
по причине погрешностей, которые являются при вычислении интегралов
от замены кривой многоугольником. Но эти погрешности, по мере
возрастания числа данных значений F{x), очень быстро стремятся к нулю,
и, на основании §22, в каждом отдельном случае можно установить
их предел. Коль скоро известные значения даны в значительном числе
и они определены наблюдениями, чаще всего эти погрешности будут
меньше. тех, которые происходят от неточности самих наблюдений.
В этих случаях наша формула, без сомнения, очень удобна для
отыскания приближенного выражения функции F(x) в силу того, что она
определяет отдельно все коэффициенты разложения F{x) по степеням
у ■ *i + *f
а требует только очень простых вычислений.
Употребление этой формулы тем более удобно, что большая.часть
ее членоз и именно тех, ► числа • которых возрастает вместе с числом
данных значений F(x), т. е.
М19 М2,...9 flt,
остаются, за исключением знака, одними й тейй же при определении
всех искомых коэффициентов
Ко, - К\,. --., Кп,~
а число других членов никогда не больше степени F(x), обыкновенно
невысокой. Что касается'вычисления всех этих членов, то относительно
простоты оно не оставляет желать ничего лучшего. Но, как мы уже
заметили выше (§§ 22), можно fipfr дюмощи планиметра' -.избавить себя
от труда-производить эти .вычисления, если имеется • графическое
представление искомой функции; и тогда по нашим формулам мы найдем
с чрезвычайной легкостью ее выражение в виде
— 284 —
§ 27. Чтобы показать на примере приложение формулы (18),
отыщем выражение изменений объема воды при различных температурах,
между £ = 0° и £ = 25°, по наблюдениям, взятым из мемуара Коппа
(Annalen der Physik und Chemie von J. C. Poggendorf, Band 20, S. 45),
результаты которых могут быть представлены так:
т
1
2
! 3
4
5
6
7
8
9
10
Н
12
13
14
15
хт
0
0,9
1,6
2,1
5,2
5,6
6,1
6,3
7,2
8,5
8,6
9,1
11,2
11.9
12,7
Р{х„д
одоэооо
— 0,000022
— 0,000098
— 0,000077
— 0,000115
— 0,000135
— 0,000094
— 0,000101
— 0,000047
— 0,000006
0.000L07
0,000081
0,000215
0,000317
| 0,000352
т
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
**
13,5
13,8
15,0
15,6
16,3
17,4
18,6
18,6
19,2
19,8
21,2
21,8
22,2
24,0
24,5
l*ixm)
0,000480
0,000568
0,000706 1
0,000841 1
0,0,0927 !
0,001057
0,001256
0,001298
0,001419
0,031496
0,001805
0,001989
0,002043
0,002421
0,002618
где через хт мы обозначаем температуру, а через F(xm) — изменения
единицы объема воды при различных температурах выше нуля.
Отыщем выражение F(x) формулою
А + Агх+&»J& 4~ A*x*>
и для этого возьмем
С другой стороны, так как в ряде известных значений F(x) пределы
х суть
■«1 = 0, xw = 24f5,
то, по нашим обозначениям,
хг = 0, л;,-=24,5, z = 30,
а отсюда
Н = ^ = Щ=»= 12,25,
£4^=^=12,25.
Поэтому, представляя функцию F(x) в виде
*o + *i (х—12,25) + ** (*-12,25)*+ ЛГ3(*-12,25)*,
и отыскивая коэффициенты
*0> *1> *2> *8
— 28.5 —
при помощи нашей формулы (18), имеем
sKi=-i- {Мг-\~Мй + • • • + Mi— Mv+i — Mi.+2 Mt. -f
■4- Mi^i -j h M'"— /И'"'+1 h (— 1 )v M,-w 4 + (— 1)' Mjo \ —
(•у,^т — ^ — 12,25)'F[x,,) — (x,,— щ — 12,25P /?(^.>+t)
Л!'-+1 xi<
(xill+% - 7)8— 12,25)2 /?(л>) — (л-,-„ -т],— 12,25)3 F(x{„+1) _
A'l''+1 Л!"
U, <»> , - T>v - 12,25)2 />(*,„,) _ (x (v) _ ^ _ 12,25)2 F{x.(v) )
где количества
s, v, 4i, rh,---, rh
найдутся по таблице, приложенной к нашему мемуару, если взять
и = 3, А= 12,25,
что дает нам систему величина, v, ijt, rl2,---, r,v соответствующих
/=0, 1, 2, 3.
/=0
s = — 1,17480-12,25==-—14,3913;
v=2;
ij, = — 0,79370-12,25 = — 9,7228;
jj2 = 0,79370 • 12,25 = 9,7228.
1=1
5=0,41421-12,252= 62,1579;
v = 3;
4l= — 0,84090-12,25 = — 10,3010;
^ = 0,84090-12,25= 10,3010.
/=2
5 = 0,5-12,25s = 919,13;
v = 2;
nt = —0,5-12,25=—6,125;
Г1г = 0,5 -12,25 = 6,125.
/ = 3.
s = — 0,25'-12,25* = — 5629,7;
v=3;
4i = — 0,70711-12,25 = — 8,6620;
ija = 0;
% =0,70711 -12,25 = 8,6620.
— 286 —
В силу этого, замечая, что при нашем обозначении
JC/a, Xir+i, Xiny Xi*+u . . . , Хр\ -tyv>+i
означают пары величин из ряда
л„ л*2> , • • • xh
соответственно наиболее близких к количествам
rh +12,25, ri2 + 12,25,-••, гь4-12,25,
легко извлечь из формулы (19) уравнения, определяющие отдельно
каждый из коэффициентов
#о» ^i> К«, /<з
искомой функции
Р(х) = К0^Кг(х-12Хо) + К.Ах-12ХоУ2-КАх-1^^У.
§ 28. Для определения коэффициента К0 возьмем
/ = 0
и получим
s = —14,3913, v = 2, rn= —9,7228, ri2 = 9,7228.
Так как в столбце значений хт (§ 27) наиболее близкие к
ijt +12,25 = — 9,7228 -f 12,25 = 2,5272,
ri2+ 12,25 = 9,7228+ 12,25 = 21,9728
суть
х4=2,1, х5 = 5,2, х27 = 21,8, х28 = 22,2,
то возьмем, согласно нашим обозначениям,
Xzv = Х4, X/r-J-i = Х5> Xi» = Хо7, -K/J-J-l ==: «*28»
|' = 4, f = 27.
При этих значениях
5, v, riu rte, /', Р
формула (19) дает
- 14,3913К0 = ±[МХ + М2-\~ ... +М, — МЬ- ... -Мг7+Мп +
, 1 м 1 (*г,- 2,5272)2 F(r4) - (х4 - 2,5272)* Р(.г,) ,
, (^--21,9728)* F (лгут) — (-гет — 21,9728 '/Чгу)
Переходя к определению коэффициента /С1? примем
и так как для этого значения / мы только что нашли
s = 62,l579, v=3, J], = —10,3010, i)4 = 0, J],= Ю.ЗОЮ,
а в столбце значений хщ ближайшие к
т],+ 12,25 = —10,3010 + 12,25=1,9490,
Ъ +12,25 = 0+12,25= 12,25,
1)з + 12,25 = 10,3010+12,25 = 22,5510
— 287 —
CVTb
ха=1Д x4 = 2,l, ^4=11,9, x„=12,7,
.*M = 22,2, x29 = 24,0,
то будем иметь, согласно нашим обозначениям,
/' = 3, Г =14, Г = 28.
Тогда для определения коэффициента Кх формула (19) доставит нам-
такое уразнение
62,1579/С1=4-[Л11 + Л*. + Л*8-М4- ... __Ми + м^±.
А4 Л3
(дч) — 22,5510)2 F{.i&) - (л21 - 22,5510)»/^g,)
Отыскивая таким образом уравнения, определяющие коэффициент /£,.
примем
/=2
и будем иметь
s = 919,13, v=2, ч,= — 6,123, ij2=^6,125f
/' = 7, i" = 2L
Для этих значений
Ч s> V, 7]j, 7j2, Г, £ff,
формула .(19) делается
919,13tf2 = i-[Af1 + ;W2 + .^ +Ж7-М8 ж21+^20 +
+ ••• +^3oJ J^ZT4 +
. (x& — 18,375)» /Чог^) — (дг21 - 18,375)» Z^)
Л*22 — •*» 21
Наконец, для определения Кв сделаем
1=3
и найдем
5=—5629,7, v = 3, 4i= — 8,6620, tj9 = 0, Чв = 8,6620,
Г = 4, Г =14, Г =25,
вследствие чего формула (19) дает
— 5629,7/Га=1[Л*1+Л42+ ^Ж4-Ж6- ... -MH + M1S +
i г ^ лг Ml Us - 3,5880)» F(x4) - (х* - 3,5880)» /Ч*5) ,
, (л-15- 12,25)»^(л:ц)-(Ли-12.25)'/^i») '
(Хзб — 20,9120)» /Ту») - (лгг> - 20,9120)» Р <х&)
Посредством полученных формул легко найти коэффициенты искомое
функции
^И = /Г0 + ^Л^-12,25) + ^(х-12,25)2 + /Св(х-12>25)3,
что мы сейчас и покажем.
— 288 —
§ 29. Чтобы найти значения
M,={x2-x,)F{x,)y ■ М„ = {х,-хг)Р{х„), Ma = ixt-xs)F(xi),
Mi-i = (х,. — х,-_2) F (av_i), Mi = (х,. — хм} F (x,),
отыщем разности
хг — хг =0,9—0 =
х3 — хг =1,6—0 =
Xi —х„ = 2,1— 0,9:
хъ —хг = 5,2— 1,6:
— х4 = 5,6— 2,1 = 3,5,
— хь = 6,1— 5,2 = 0,9, х22 — х20= 18,6—16,3 = 2,3,
Xq
х1
0,9,
1Л
1,2,
3,6,
3,5,
Хч — х]5=13,8 — 12,7 = 1,1,
x,s— хи= 15,0— 13,5= 1,5,
х19— х17 = 15,6—13,8= 1,8,
х20— х]8 = 16,3— 15,0= 1,3,
х2, — х„= 17,4 — 15,6= 1,8,
х$ —xt — 6,3— 5,6 = 0,7,
хя —х7 = 7,2— 6,1 = 1,1,
х\о — •*» = 8,5— 6,3=2,2,
хп —х9 = 8,6— 7,2=1,4,
л:,.—jc10 = 9,1— 8,5 = 0,6,
xt3 —хи = 11,2 — 8,6 = 2,6,
х,4-
-^25 "
—Хи = 18,6—17,4=1,2,
-х =19 2-
-х23=19,8-
18,6 = 0,6,
18,6=1,2,
*2в — х24 = 21,2-19,2 = 2,0,
xi, — *»5 = 21,8 — 19,8 = 2,0,
*,,—^=22,2 — 21,2=1,0,
,= 11,9— 9,1 = 2,8, х,в—x2J=24,0 — 21,8 = 2,2,
Х|5 «^1з— *А* '
11,2=1,5,
■11,9=1,6,
хяп — х„я = 24,5 - 22,2 = 2,3,
х,0 — хм = 24,5 — 24,0=0,5.
Умножая эти разности на значения
Fix,), F{x,), -■■
Fix„),
получаем
■AT, = — 0,000000
М2 = — 0,000022
Мъ= — 0,000098
М4 = — 0,000077
Мь = — 0,000115
Ж6 = — 0,000135
М7= — 0,000094
М, = — 0,000101
Mt = — 0,000047
М,0= — 0,000006
0,000007
0,000081
Л*» =
Af„ =
Ж,
лг»=
Л1„=
Л1„ =
А19—
0,000215
0,000317
0,000352
0,000480
0,000568
0,9=—0,000000,
1,6 = —0,000035,
1,2=— 0,000118,
3,6= —0,000277,
3,5 = — 0,000402,
0,9 = —0,000122,
0,7 = —0,000066,
1,1= — 0,000111,
2,2 = —0,000103,
1,4= — 0,000008,
0,6 =
2,6 =
2,8 =
1.5 =
1.6 =
U =
1,5 =
0,000004,
0,000210,
0,000602,
0,000475,
0,000563,
0,000528,
0,000852,
— 289 -
М18 = 0,000706-1,8 = 0,001271,
ЛГ„= 0,000841-1,3= 0,001093,
М2и= 0,000927-1,8= 0,001668,
Мп = 0,001057-2,3= 0,002431,
М22 = 0,001256-1,2= 0,001507,
ЛГ,3 = 0,001298-0,6 = 0,000779,
М„л = 0,001419-1,2 = 0,001703,
М25 = 0,001496-2,0= 0,002992,
Ж2в= 0,001805-2,0= 0,003610,
ЛГ,7 = 0,001989-1,0= 0,001989,
М28 = 0,002043-2,2 = 0,004495,
№л= 0,002421-2,3= 0,005568,
М30 = 0,002618-0,5= 0,001309.
Отсюда непосредственно получаются значения всех сочетаний
количеств
Ми М2, ..., М30,
которые содержатся в выражениях, определяющих коэффициенты
^о» ^i> ^Q> ^s>
а именно:
^1 + Ж24---- + ^ —Ж, — ... —М274-ЛГ28 + ... + Ж30 = —0,010523,
^i + Мг + ЛГ3-Ж4 -... -Ми + Ж,, + ... + ^И28 - Mi9 - Ж80 = 0,018249,
Мх +Мг +... + М,-М,—... -Мп + М22 +.. . + ^30 = 0,013457,
^+м* -f...+м4 - мь -...-мы+лг16+...+ж25 - мзв-...-ж80 =
= — 0,002493.
С другой стороны, через подстановку значений
Х3, Xt -^S» ~6> -*-7> •"•в» XU> Х\Ъ> •"•21» -*22' -*25> ХМ> XV&> XW
F(xs), F(xt), F{xt), F(xt), F(Xj), F(x8), F{xu), F(xn), F(xn), F{xJ,
F(x№), F(x„), F{x.iS), F{xt!l)
имеем
(лг5- 2,5272)* ^ (■*<) — (,y« -2,5272)* /■'(лг5) _
-^В — -*4
_ — (5,2—2,5272)2-0,000077-K2.1—2,5272)*-0,000115 _ _n nnn17n
5^—2,1 U.UUUWU,
(x23 — 21,9728)* F(xy) — (xri - 21,9728) ^(дг28) _
Xy& — Л'21
_ (22,2—21,972^-0,001989— (21,8-21,9728)-0,002043 n nncunt
22,2-21,8 ^ U,UUU U>3,
(лг4.-^ 1,9490)* /^Ut) — (дг3 —1,9490)* F(jc4) __
Xi — X3
— — (2,1—1,9403^-0,000093 + (1,6—1,9490)»-0.000077__Q 0000l4
19 П. Л. Чебышев, т. II
— 290 —
(л-1Г| —12,25)* F (хи) — (хи —12,25/2 F (xrf _
_ (12,7—12,25)2.0,000317 - (11,9—12,5)2.0,000352 _Q qqqq06
(лг29 — 22,5510)2 F(x2S) — (,vS8 —22,5510)2 /Ч.у...,}
(24—22,5510)2.0,002043 — (22,2—22,5510)2.0,002421 п плло. _
= 24=325 ---0,0022b,
(.v8 — 6,125)2 /? U-7) — (л-7 — 6,125)2 F t.vs) __
.VS — Xrj
— (6,3-6,125)2.0,000094+ (6,1—6,125)2.0,000101 A ААЛ1,
= £^1 — —0,00014,
(xn—18,375) F(x2l) — (.1-^—18,375)2 Fix») __
(18,6—1S.375)2-0,001057— (17,4—18,375)2.0,001256 n nAArv- .
= 18,6-17,4 =—0,0009ol,
(л-5 — 3,588)2 F (.r4)— U4 — 3,583)2 /-* (.v5) _
.vs — л4 —
_ —(5,2—3,588)2.0,000Q77+(2 Д —3,5S8)g - 0,000115 ___. n
— -——-—-—-————-———— — U,UUUU i /,
(л-^ —20,912)2 f Ug) — (лу, — 20,912)2 Fix*,) _
-V2G — л25
(21,2-20,912)2.0,001496— (19,8—20,912 )2.0,<0Ш5
= 21,2-19,8 = —O.OOloOo.
После этого уравнения, которые мы нашли для определения
коэффициентов
дают
— 14,3913/<o = 5l^3 + 0,000171 + 0,000103 = -0,004987,
62Л579^=^—— °>000014 + °'000026 -0,002217 = 0,006919,
919ДЗ/С2 = —2— +0,000014—0,000951=0,005791,
5629,7 Кь=~°'002493 — 0,000017+0,000026+0,001505 = 0,000268,
и отсюда получаем
—0,004987 пптоигг
Ао = _14>391з = 0>0003465,
^t = 6W =0,00011131,
**=тшг =0.°ооообзо,
*» = =sSS =-0,0000000476.
— 291 —
Внося эти значения
-Ко» Кц АГо, Kz
в искомое выражение F(x)9 имеем
F(x) = 0,0003465+0,00011131(x — 12,25) + 0,00000630 (х— 12,25)2 —
—0,0000000476 (х— 12,25)у,
что представляет все данные значения F(x) с вполне достаточным
приближением, как это можно видеть в следующей таблице:
т
\ 1
2
3
4
5
6
7
8
^
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
*т
0
0,9
1,6
2,1
5,2
5,6
6,1
6,3
7,2
8,5
8,6
9,1
11,2
11,9
12,7
13,5
13,8
15,0
15,6
16,3
17,4
18,6
18,6
19,2
19,8
21,2
21,8
22,2
24,0
24,5
Наблюденные
значения
0,000000
-0,000022
-0,000098
—0,000077
—0,000115
—0,000135
—0,000094
—0,000101
-0,000047
-0,000006
0,000007
0,000081
0,000215
0,000317
0,000352
0,000480
0,000568
0,000706
0,000841 !
0,000927 !
0,001057 1
0,001256 !
0,001298 1
0,001419
0,001496
0,001805
0,001989
0,002043
0,002421
0,002618
Вычисленные
значения
+0,000016
—0,000035
—0,000067
—0,000085
-0,000107
-0,000101
—0,000089
-0,000083
-0,000049
—0,000020
—0,000007
0,000061
0,000236
0,000308
0,000398
0,000495
0,000534
0,000698 j
0,000789 ;
0,000891 |
0,001080
0,001295
0,001295
0,001408
0,001525
0,001813
0,001942
0,002030
0,002447
0,002568
Разности
1 -0,000016
+0,000014
-0,000031
+0,000008
—0,000008
—0,000034
—0,000005
—0,000018
+0,000002
+0,000014
+0,000014
+0,000020
—0,000021
+0,000009
-0,000046
—0,000015
+0,000034
+0,000008
+0,000052
+0,000036
—0,000023
-0,000039
+0,000003
+0,000011
—0,000029
—0,000008
+0,000047
+0,000013
—0,000026
+0,000050
§ 30. По формуле (14), принимая, согласно с найденным
выражением F(x)y
F" (х) = 0,0000126 — 0,000000285 {х — 12,25),
находим, что погрешности, которые вносятся в наши значения
коэффициентов
А'о* К\, Key А3
при замене, как это мы сделали, кривой y — F(x) многоугольником,
содержатся соответственно между пределами
— 0,0000023 и —0,0000040,
+ 0,00000059 и +0,00000079,
— 0,000000022 и —0,000000032
— 0,00000000059 и —0,00000000081.
— 292 —
Из этого мы легко убеждаемся, что эти ошибки значительно ниже
происходящих от неточности наблюдений. Эти погрешности были бы еще
менее, если бы значения аргумента наблюдений Ш& 4 и 5 не были
так удалены между собою.
VL
§ 31. По способу, изложенному в предыдущих разделах, можно
найти коэффициенты функции
F(x) = A0 + Alx+... + A„#
с большим или меньшим приближением, смотря по числу известных
значений.
Но так как количества
входящие в наши формулы, зависят существенно от числа л, то их
нельзя употреблять при отыскании выражения F(x), не назначив наперед
числа ее сохраненных членов, а следовательно, пока ничего не известно
об этом числе, важно рассмотреть различные к нему относящиеся
предположения и искать, отдельно при каждом из них, выражение F(x\ что
значительно удлиняет наши вычисления. Мы покажем теперь, как по
нашему способу получить формулу интерполирования, которая
совершенно устранит эту трудность. Формула, которую мы теперь дадим,
охватит все возможные предположения относительно числа членов в
выражении F(x) и будет соответствовать каждому из них по мере
продолжения ряда, который представляет эта формула.
В этом отношении она не оставляет ничего более желать, только,
как и все другие формулы этого мемуара, она не дает результата с
наименьшею опасною погрешностью, разультата, который прямо можно
найти только помощью вышеупомянутого нашего ряда.
§ 32. Чтобы получить формулу интерполирования, о которой мы
говорим, условимся обозначать символом
л
выражение вида
Ti? "% у ?
\ udx — \ udx-\- \ ndx —... -f- (— 1)" \ udx,
~k ГЦ Гц 71д
где
4t» rh> • - •»
Ъ ru> • • •
суть корни уравнений
л-j-l /z-f-1
2 —О»
я-И д-fl
(x+Vx*—h*) * —fx—y>—#) 2
2 У х*—л'
— 293 —
в случае нечетного п и уравнений
-ftV+i
(/***+ У^ГАУ^-/Щ 0<
\ 2
= 0
в случае четного п.
При таком обозначении найденные в разделе III формулы для
определения последнего коэффициента функции
F\x) = Ab + Axx + ...+Aj?
представляются так:
§F(x) = sAn.
Я
Откуда, подставляя выражение F(x), мы выводим
\{Аъ + А,х+... + Апх«) = А^х* + А^хЛ---- + А^х» = вАл/
п а п п
что предполагает
ля я
Пусть теперь
f(x) = a0 + ax + atx* + ... + aa/™
будет функцией, значение которой мы ищем при
x = z.
На основании выражения
f{x) = aQ + alx + atx* + ...-\-amx>*
имеем
?/(*) = [(aQ + a1x + atx* + ... + a,t#*) =
= я0 J хР + ъ [х + а2 J х* + ...+ am J х»;
а так как мы видели, что
ж л л л
то это нам дает, в предположении п<^т-{-1,
л л л л
Отсюда, полагая
л=0, 1, 2, 3, . ,
— 294 —
мы получаем такую систему уравнений:
*о "о "и "о "о
\f(x) — ах \ х-г я2 \ л2 + • • • -г"да [ Л"':>
г "i "i *i
\/(*) = а2 \ ** + ••• + *Л \ л-",
/Л /И
Эти уравнения определяют все коэффициенты
функции
я0, я^, «.,, ..., ат
f(x) = av -- аук — <г.,л-- — ... -f Vя.
(20)
по которым легко найти ее значение при x = z.
§ 33. Чтобы прямо получить величину f(z), возьмем сумму
уравнений (20), помноженных соответственно на произвольные множители
0„ К К -mW
Таким образом получаем
в, J/(*) + 02\/(*)+0s \/(х) + ... + 0я+1 ^/(Х) =
0 12 от
= а0 Oi \ х°+ с, (О, U+% \х) + д2 (9, j л» -f 0, \ .д* + 03 U2} +
+ в* (в, J **+<>. \ .*» -Ь • • • -г 6Л+1 j л").
0 1 m
Отсюда выводится такое выражение f(z) = a0-\-a^z-\-a„z2jr.. . Ц-я^г*:
в, $/(*) +в2 \/W + 0, \/(*) + ... + вя+1 \/(х) =/(*), (21)
0 1 2 т
причем множители
к к к •••. t.
выбраны так, что
«; •'*"«. »j "*»» ° «J I
0 0 1 и 1 2
О, j *» + в8 J х<* +... 4- 0m+I j л" = г*.
U22)
По виду этих уравнений заключаем, что множители
6„ в„ 63
входящие в состав выражения (21) для f(z), суть функции г
соответственно степеней
0, 1, 2, ...
— 295 —
и что их значения совершенно не зависят от /и, числа членов искомой
функции. Поэтому, если сделать т = ос, выражение /(г), данное
формулой (21), будет обладать свойством, о котором мы говорили в § 31!
Чтобы в этом удостовериться, достаточно заметить, что при /тг = оо
формула (21) обращается в бесконечный ряд
о, \/W+»2\Vw + o3i/W+...-.
и что этот ряд, при остановке на члене 0m+1 \f(x), дает величину/(г),
т
которую находим, по (21), предполагая, что
f(x) = а0 + щх + tfoX2 +... + атхт.
§ 34. Найдем теперь закон ряда
/(2)=e1j/(*)+ei$/(*)+o8J/(x)'+..., (23)
о f a
получаемого из выражения (21) в случае, когда
т = оо.
Уравнения (22), определяющие функции
0„ 02, 0„
при т=сс, становятся
О, ?*о=1.
О, \х + 02 \* = z,
"о *i
О 1 *2
(24)
Решив эти уравнения, легко найдем функции
0lf fJ2, 03, ...,
но трудно указать их общий вид.
Мы покажем теперь, как этога можно достигнуть совершенно
особенным приемом.
В силу того, что мы видели (§ 32) относительно.выражений
\х«, U $**,-:■' J.-^"1.
п п
имеем
$** = (), [х° = 09 ' U° = 0,
2 Ъ
296 —
Отсюда следует, что, не изменяя ничего в уравнениях (24), их можко
представить в таком виде:
б, U°-t-o<. \*°+o8 ^•-}-...=1,
О, \ х + % \ х + % \ x-\-... = z,
6, \ Jfi + 6, \ л2 + 93 \ ** -г • • • = Z-,
О I %
б^ + вД х* + %\ **+... = z\
Если же помножить эти уравнения соответственно на
_L 1 1 1
где а — какое-нибудь количество, и если взять их сумму, то
получится
+
и так как
j>+|J*+^'+ip+...=fti+S+?+i?+...) =
1
a — zf
то эта формула обратится в такую:
(Я —Z;2
(25)
Чтобы найти количества, содержащиеся в этой формуле, заметим,
что по нашему обозначению
TQi Ъ* V* А
dx
{а-~х?
— 297 —
откуда следует
Г.. * = !_J 2 2_ + _2 _l_(_iy._J_.
) (а — хр а 4- Л » а — т^ а — т,2 » а — т\$ 1 х ' а — К '
а так как
L-4—i ?—»—?■ _i_(_1)n_L_
_ __ dlogia + h) , 2tflog(a —та) 2rflog(g —tip) . 2rflog(a — ъ)
da * da da ' da
I/ * \-i d ]°g(a — *) — (a —i)3)2---(a + /t)
r~ v —x > ——^ — "
da da >
то отсюда следует, что
J(a —л-;2— da • W
л
При похмощи этой формулы легко получить окончательную величину
V.
В случае нечетного п количества
4i > г1з» • • • t
*J2> г]4э • • • >
суть (§ 32) корни уравнений
д-Н n-t-1
2 ~ U>
л+г я-Н
2/1^Г7? —U>
а отсюда находим
(а — 4i) (а — Чв) • •'= с о 2 '
л+1 л+1
(а —Чг)(а —Ч*) ci 2уа21ГА2
обозначая через С0 и Cj количества, не зависящие от а. Поэтому
формула (26), при я нечетном, дает нам
п-И л+1 »
Cg/fg + Va'-tf) 2 + (с —Уа» — Г
J (*-*;*
da
л+1
л-М «
"j^P (а + К а'=*Г+1 _ (« _ V ,* _ iff* '
— 298 —
Переходя к случаю четного п, мы заметим, что для таких
значений я количества
т1т тг.;> •• • >
та, ты, ...
суть корни уравнений
У ~1 г У ■> j \\ 2 \ 2 i _
^f-lzA
о,
У
а следовательно,
(а — г„)(а — !;,)••• =
(/Ф+ /5?)"Ч/^-УтГ'
о 1/ 1п5
" > 2
= С,
(a —rj2)(2—rJ4).-.=
>/т-'
Поэтому формула (26), при п четном, дает нам
rflog^,
tf<x
л+1 4ЛЛ+1
V'a« — Л« (a + /а»— Л2}«+1 — (a _ /a*- /г2)*+* '
На основании найденных выражений для
f_L_
п
получаем при л = 0, 1, 2, ...
Г }_'_ 1 Ah
Г 1 _ 2 4Л*
— 299
в силу чего формула (25) обращается з
Л0Т
Y& — #•■
2ОТ9
. "J Ла2 _ /22 _ ( а _ )'"а2 - Л2) (а _|_ у а2 _ А2)2 - ( а - У^^ГЛ2)
5Р.+
1 (а -1-1 а* —Л*)*—(а —Уа*—А2)»
Чтобы упростить эту формулу, положим
a + y^ZZtf
(а — г/г *
что дает нам
a —yV —Л* 1 2/а2 — &
П.
1
2а
а вследствие этого наша формула изменяется в такую:
8 r_Ji
2б„
Зб3
II ) \и U1 5 "3 ~
или
29.
30,
~4)
К2 Ц3
2Л
(--£+'"
§35. Обе части этого уравнения преобразуются в. очень простые
суммы. В самом деле, так как .
>.=со Хшт1
20.,
зо.
1 , 1 г , 1
и и1 и*
1 . 1
■£--!-•
то находим
20.,
~Г .ах Г „5Х "Г * ' ' Z.I
Х=со pL=oo
.„(a^-i)A '
иг и6
—II
Г1 Г^1 И
*=1 Н-=1
С другой стороны, при помощи разложения на простые дроби, получаем
^._2^ + l)2 2/2»-А*
(/ш_г_^2_Л2)г"ГЛц_г_|Лг2_Л«
(г-У?^)«
г—У^-Д»
'{Лы — Z + V&— Л2)2 Ли —г +
— г + yi^rpj'
а отсюда
— 300 —
откуда получается
4 У>_ h-\ ha "1 Л2н3 "• ° ЛЗыз
Ло Л2"2 й»и*
■ь
Вследствие только что сделанных нами преобразований наша
формула обращается в такую:
Л-u*
§ 36. Чтобы вывести из этой формулы ту, которая приведет нас
к искомым функциям
*i» К йз> •••»
будем интегрировать ее от и=\ до и = оо, помножив на
где р — число произвольное. Таким образом получаем
^=00 {1=00 *~
£ 2 (-»"^J^£5S—
Ь=1 jt=l j
00
r=i T 4ЛТУ"^=ГР J a*+i
а так как интегралы
J я (*^)^1 ' J я'+i
1 1
обращаются в
1
то получается, по устранении общего множителя [\og~l--<ixf
— 301 —
или, что то же самое,
Сверх того, замечая, что
"у6 ] = 1 [ * -I ,1. ) 1 1 J i =
А, (2р.— I/ I? ~ Зр •" 5Р ' 7Р ' 9Р ~Г
1
'-£(-*(-£••■
находим, что эта формула может быть представлена в виде
Е
_ у°т (* + У*2-h2 )т - (*—т7*2- *')
_ "i* 4ftV/SLTft5
а отсюда получаем
Х=оо
V
Именно посредством этой формулы мы и найдем общее выражение
функций
6И б2, 63, ♦ ..
§ 37. Чтобы найти значение 6Х, заметим, что формула (27),
независимо от числа р, может иметь место не иначе, как если обе ее части
содержат одинаковые члены с —. Но в первой части такой член будет
(—I)*-1^
х .
переходя к отысканию соответствующих членов во второй части, мы
найдем, что произведение
•-±)(-*)М
приводится к ряду
ДР~ 5P 7р ЦР"1"-^
который представляется в виде
— 302 —
если через
du do, cf3, ...
обозначены нечетные числа
1, 3, 5, 7, II, 16, 17, 19, ...
без квадратного множителя и предположено, что член
1
р
берется со знаком -|~ или —, смотря по тому, входят ли простые
делители dp в четном, или нечетном числе.
Вторая часть нашей формулы приводится, следовательно, к
Т=00 /7= 00
(г + УТГГуу _ (г _ ]/> - &)'■
а отсюда находим, что члены с — суть
\ X
4A*»J *2—Л2
2. (* + т^2^"2)** - U -У г* - л2 )*■ i ^
.где
d,, rf2, ...
обозначают те же нечетные делители числа 1, которые не имеют
квадратных множителей.
Что касается знаков этих членоз, то, согласно с показанным нами,
нужно взять вообще
А к
\ (2 _j- УЖ^ЩйР — (г — Т~^~=ГР fo
^nl/-3
4/z РК^-А2
со знаком -|- или —, смотря по тому, будут ли простые делители dp
в четном, или нечетном числе.
Сравнивая между собой найденные нами в обеих частях формулы (26)
1
члены с—, мы получаем такое уравнение:
(-i)x"1xftx=x(^+^^:=^)x-U-^?:=="ft5)x 1 ,
Хр 4ЛХ1/У2—Л2 Хр —
к i
±dl х у±
4/z*' > ** — Л2
, X (г + У г* - ^2 )*» - {z - УгПП[* )*» 1 ,
±- Л ^~ "'
4Л*У* —Л*
— 303 —
которое дает нам для искомой величины функции бх
ft — / .... 1*-, (* + V*=r&?-(z-Vr*=h*r ,
А. К
. _^_ (-1/ "Х (г + У^ГУ2 )g _ (г _ T/"grTft5 )* [
— dx ± —
i i
§ 38. Из найденного выражения \ легко получаются все функции
fy» в2, в3> 9*> ••*
по которым расположена наша формула (23). Таким образом, замечая,
что при
1=1, 2, 4
число X не имеет делителя, который был бы нечетным и в то же время
без квадратного множителя, мы находим длявх, 62,04 такие выражения;
ft _ (г + /1^Т*)2 - (г - У7^2)2 __ *
2 4A*W-#> А2'
А = (* + У*Г:ГУгУ -(z— V*=T* У _ 4*3 — 2ft2z
4_ 4А*У>— А* — **
При
Х = 3, 5, б,
так как нечетные делители I без квадратных множителей таковы:
то найденное выражение 6Х дает нам
3 4/гЗуг22~/г-> 3 Ш |/"z2— А2
. ' 2z2 — -|- Л2
A3 >
1)5 — 4Л5У^=^ 5 4hV*=J?
6— M*YzTZT* "»" 3 4/z*y>-A2
162»— 16ft*2«4-|A*2r
— 304 —
Что касается количеств
Г Г Г Г
содержащихся в формуле (23), то заметим, что по § 32
та Т/з *i» A
J/W= i /(*)<**- \f(x)dx+\f(x)dx \-(-if (/(*)&
я — Л т„ % т„
а по §§ 17, 19
, гк. . Гл —21 =
, (л—l)z , (л—;-iir
ri2==Acos-—-i-, rl4 = Acos a_[ ,
что дает нам
.л-rl л-г1 я-т-i
А
+ (-1)л f /Wdjc.
A cos ——
п-г-\
Отсюда, полагая
л = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...,
получаем
А
\f{x)=\f{x)dx,
■J -ft
0 ft
\/(*) = \ f{x)dx- \ f(x)dx + \ f{x)dx,
--i-ft JL*
".* • >•* ft
}/(*) = \ f(x)dx- \ f(x)dx+ \ f(x)dx- \ /(*)Лс,
"7-" " -4*
4 ft -_j-A __ft
]/(*) = J f{x)dx— \ f(x)dx+ \ f{x)dx-
4 A
- J f(x)dx+ i f(x)dx,
У s-1,. V~5-m
- A
305
- л А
тА
— *
-4*
- } №dx+
4*
■f f /(*)*C- j /(x)rfA-,
КЗ
4*
В силу найденных значений
%, %, 0,, •<,...,
Г Г Г J
6* 1 * 2' 3* # * ' '
наша формула (23) обращается в такое разложение функции f(z):
К г 0 А -|
—* L—4 О J
"T* T* A
J /(A')rfx- J /(*)<*,+ J f(X)dX
+
-T*
w-7*«
ft»
--И"
VI
j f(x)dx— { /(л)Лс+ J/(x)*c — \ /(jc)Ac
— A
Г £?±1<
-Ffft
УГ
42Г»— 2/r«*
Л*
+
Vrl~ 1
VT-t
— h
VS+li
J f(x)dx+ ] f(x)dx
KS-l
/w,
8e*~flAV+|-ft*
A*
-4*
**
J f(x)dx- {_ /(х)Лс+ J /(*)**- J /WAc-
— A
4*
кз"
4 л
+ J f(x)dx- \ f{x)dx
1. к J".
>
+...
(Щ
которое, смотря по числу удержанных членов, дает выражение ff*)
в виде полинома более или менее высокой степени*
20 П. Л, Чебыше»» т. И
— 306 —
Что касается приближенного вычисления выражений
\f{x)dx,
—h
\f(x)dx-\f(x)dx,
С f(x)dx— \ f(x)dx+ \ f(x)dx,
J mJ *J
-ft
4* ¥
по данным значений /(2)
Я*,). /fe)> Л^ -...Ж),
то его можно произвести, как мы показали в § 22, при помощи
планиметра, если у нас есть графическое представление кривой
в противном случае эти выражения можно отыскать при помощи
формулы (15), которая через замену х на zy F(x).na f(z) обращается в
]f(z)dz-]f(z)dz + ]f(z)dz +{-\y]f(z)dz =
zi ^h fli TQy
= -j|Aft + M2+ • • • -\-Mi,—Mu+i — Mi*+2— Mi«-\-Mi»jLi -| \-
-f Mim — Mi.»+1Mtm+b — ( — 1)^,-1) +1
-(-1ГМ^+(-1)ш^)+1 + -.+(-1)^ж}-
_ l*n +i ~ *& f{z») ~~(Ztl~~~ ^f (*а+i) . <*/»-н~ ^Я*/») — U/y — r<2)у (<rf„ ^>
*«' +1 — ZV zi» +1 zi«
где
Z/f, Z//-J.1,
суть пары членов из ряда
^1> ^2> ^"3» • • • » ^7»
соответственно наиболее близкие к количествам
а
Л*1=(*2 —Sj/te),. ^2=(^3 —^l)/fe),
В формуле (28) пределы переменной суть —Л'и- -[-*> чт0 предпо-
дагает. в ..ряде .данных значений /(я)
307
количества zx и zt численно равными, но с противными .знаками., .Если
же этого нет, этого легко достичь простым изменением переменной,
именно, принимая за новую переменную z разность z — Zl\Zi.
§ 39. Чтобы показать употребление формулы (28), мы приложим
ее к тому же примеру, который.мы рассмотрели выше, в разделе III. В этом
примере предельные значения переменной суть ^ = 0, я,=24,5.
Поэтому, сообразно сказанному, возьмем за новую переменную, которую
мы обозначим через zy разность
х_0±24£ = х_12^
Поэтому таблица данных, которые мы имели в § 27, изменится
в такую:
т
1
2
з
4
5
6
7
1 8
9
10
и
12
13
14
15
*«
— 12,25
— 11,25
—10,65
— 10,15
— 7 05
— 6,65
— 6,15
— 5,95
; — 5,05
i — 3,75
— 3,65
— 3,15
— 1,05
— 0,35
0,45
/<*«)
0,000000
— 0,000022
— 0,000098
— 0,000077
| —0,000115
— 0,000134
— 0,000094
— 0,000101
— 0,000047
— 0,000006
0,000007
0,(XJ0081
0,000215
0,000317
0,000352
т
16
17
18
19
20
21
22
23
24
■25
26
27
| 28
29
30
'*т
1,25
1,55
2,75
3,35
4,05
5,15
6,35
6,35
I 6,95
7,55
8,95
9,55
9,95
11,75
12,25
Я**)
0,000480
0,000568
0,000706
0,000841
0,000927
0,001057
0,001256
1 0,001298
0,001419
0,001496
0,001805
0,001989
0,002043
0,002421
6,002618
Так как в этой таблице предельные значения z суть
^ = —12,25, zs0= 12,25, .
то возьмем
h =12,25,
а при таком значении 'А будем иметь, по 'формуле (28), следующее
разложение функции f(z):
12,25 „. 0 12,25
' -12,25 L-12,25 U • • J •
[- 6,125 6,125 12,25 •
' f f(z)dz- f f{z)dz+\ /Ч*)^нЙЩ
-12.25 -6,125 6,125 J
[
12,25
— 8,662
-12,25
12,25
— 8,662.
[f(z)dz-'^ f(z)dz+ j f(z)dz-
12,25
4z3—300,13*
2251V
(30)
20*
— 308 —
§ 40, Для вычисления выражений
12,25
\ f(z)dz,
— ft,2o
0 12,25
\ f(z)dz- \ /(*)&.
-12,25 О
— 6,125 6,125 12,25
\ f(z)dz- \ f(z)dz+ \ f(z)dz4
-12,25
— 8,662
J №
-12,25
dz-
- £,125 6,125
О 8,662 ГЛ25
f /(2) fife-f \ f{z)dz- \ f{2)ds.
-%,№Z
S.662
найдем предварительно значения Ж,, Л1>, ..., /WS(I по формулам
Aft=(«,-«,)/(«,), Ж, = (zs-2, )/(*.,), Afs = (24-z.)/(ar1),
Л*а»=(zso — 2->8>/(г2вК ^w = {г.м — 2,,s/1 z.in).
Таким образом, мы получим
Mt =—0,000000, Мп =0,000004,
Mt=—0,000035,
М% = — 0,000118,
М< = — 0,000277,
Mt =—0,000402,
Mt=—0,000122,
Mi =—0,000066,
Л^ =—0,000111,
М9 =—0,000103,
М1й=—0,000008,
ЛГ„ = 0,000210,
Ми=0,000602,
ДГ,4 = 0,000474,
Afft,=0,000563,
Mxt=0,000528,
М„=0,000852,
Л*18=0,001271,
М„=0,001093,
М^=0,001668,
ЛГМ = 0,002431,
М..=0,001507,
Мм = 0,000779,
М24=0,001703,
Мг% — 0,002992,
Л*м=0,003610,
/1^=0,001989,
М28=0,004495,
Ж29=0,005568,
Л1М=0,001309.
По определении этих значений вычисление предыдущих выражений
посредством формулы (29) делается очень удобным.
Чтобы найти интеграл
12,25
j J /(*)<fe,
I -13,25
возьмем в формуле (29)
/=30, v=0, st = —12,25, *,= 12,25,
н будем иметь
12,25
откуда, в силу найденных значений Ml9 Af2, ..., М„, получаем
12,25
\ f(z) dz=^ .±.0№ШГ = 0,016203.
-ft,*
— 309 -
Чтобы найти величину выражения
О 1!
\ f{z)dz- \ f{2)dz,
12,5
— 12,25
сделаем в формуле (29)
/' = 30, v=l, ^ = — 12,25, 2г£-= 12,25, ги = 0,
что дает
О 12,25
\ f(z)dz— \ f(z)dz = l(Ml+M^ l~Mi,-Mi,+i AfJ-
—12,25 0
4+i/<*/')—4/(*//+!)
где, по нашему обозначению, zn, zv+i означают пару значений гт
наиболее близких к 0. Так как в столбце значений гт (§ 39) наиболее
близкие к 0 суть
^14 = —0,35, 215 = 0,45
и так как по таблице значений Ми М2, ..., М^
М} +Мо Ч |-М14=0,000049,
Mx, + M„-i \- Л*30 = 0,032358,
то предыдущая формула обращается в такую:
0 12,25
[ f{z)dz— С f{z)dz = 1(0,000049 — 0,032358)-
- Й,25 0
0,45* / (— 0,35) — 0,35^ f (Qy4Q)
0,45 + 0,35
Отсюда, принимая во внимание значения
/( — 0,35) = 0000317, /(0,45) = 0,000352,
жолучаем
0 12,25
J f(z) dz — ] f(z) dz=\ (0,000049 — 0,032358) —
—12,25 0
0,45*-0,000317— 0,352-0,000352 n maion
0,45 + 0,35 — 0,016180.
Положив в формуле (29)
;=3Q, v=2, ^ = —12,25, z^ 12,25,
4l= —6,125, rfe=6,125,
будем иметь
— вД35 6,125 12,25
\ f(z)dz- [ f(z)dz+ J f(z)dz = ^[M, + M2+^^+Mi,-
--»,* -6,125 6,125
— Mv+i Af/H-Afop+H h^ol —
• - " »fl +x + 6,125)»/ (zp) - (zit + 6,125)*/ (if,+1) t
ZU -f-1 ~~ Zl'
(*<g+1 - 6,125)*/ fr„) - (fin — 6,125)*/ fry+1)
» z\«.\r\—zi«
— 310 —
где
Zv, Zit+i, Z[t>, Zin+i ,
означают пары значений zm, наиболее близких к количествам
— 6,125, 6,125.
Так как в ряде значений zm члены, наиболее близкие к
— 6,125, 6,125,
суть
2:7 = — 6,15 z8=5,95,
z21 = 5,15, z22 = 6,35,
то эта формула дает нам
— 6,125 6,125 12,25
j f{z)dz- J f(z)dz+ \ f(z)dz=
-12,25 —6,125 6,125
(г8+6,125)V (z1) — (гу + 6,125)2 / (zs) , (zg — 6,125)2 / (дг21) — (г21 - 6,125)» / (*g)
*8— *T,, , Z22— z21
а отсюда, подставляя значения
Z"Ij ^8 j ^21» ^22» J\ZV> J (^8/> /(^21/> /(2'22/>
ЛГ1Э M2, ..., Mw,
получаем
- 6Д25 6,125 12,25
j f(z)dz+ f /(«)<& + J f(z)dz=
-12,25 —6,125 6,125
= ^.0,013457 + 0,000014 —0,000951 =? 0,005791.
Отыскивая так же величину
-8,662 ... 0 8,662 12,25
j f(z)dz- J f(z)dz+ f f(z)dz- \ f(z)dz,
— 12,25 —8,662 О 8,662
возьмем r формуле (29)
i = 30, «j =—12,25, zt=12,25,
v=3, 7),=—8,662, 7]2=0, 7]s=8,662,
f==4, i* =14, t'" = 25,
в силу чего она обращается в
-8,662 0 8,662 12,25-
••$ f(z)dz*- ^ f(z)dz+ \ f(z)dz-.[ f(z)dz= ■
— 12,25 —8,662 ' 0 8,£б2
*if/(*u)-*i«/W (*»-8,<62)»/fr») — (*»-8,662)*/(za,)
— 311
Отсюда, через подстановку значений
/(**)> Ж), /(*«). /(215), /Ы, А**),
М15 Л12, ..., ЛГ30,
^4? Z5» Z14> ^15» Z2b> ^2б>
ВЫВОДИМ
— 8.662
8,662
12,25
[ f(z)dz— \ f{z)dz + \ f{z)dz— [ /(*)<& = 0,000268.
— &,25 —8,662 0 8,&2
Поэтому посредством формулы (29) найдем такое разложение
искомой функции:
№
_ 0,016203 , 0,016180 , 0,005791
24,5
150,06
1838,26
(2**—100,04) —
.0-i^(te._3oo,m,+
которое дает ее выражение в виде полинома, более или менее высокой
степени, смотря по числу членов, сохраняемых в этом ряду. Таким
образом, останавливаясь на четвертом члене, для ее выражения в виде
полинома третьей степени найдем такую формулу:
°>016203 . °'016180 z -4- 0'005791 Г2*2 — 100 04V- °'00026* (4z* - 300 12*1 =
^5Г" 150,06 * + 1838,26 (ZZ 1UU>U4J— 22519 ^Z — ^U,1^ZJ —
= 0,0003463 + 0,000111392: -f 0,00000630** — 0,0000000475**,
которая отличается от выражения, полученного в разделе V, только
количествами, которыми можно совершенно пренебречь.
Таблица решений уравнения
| F{x) dx—^F(x) dx+ j F{x)dx — 9.. + (— 1)" [ F{x) dx = sAt
— h
TQ»
соответствующих наибольшей величине множителя s,
где F{x) представляет полином Ло + Л^-(-...+ ЛЛЛ
л = 0.
/=о
>г=0
s = 2h
п=\
/ = 0
1 л=1
1
> = 0
s~2h
v=l
s = —Л2
— 312 —
n = 2
/==0
/=1
/ = 2
v = o т)^-0,79370 А, ч2== 0,79370 А
s = ~ 1,17480 Л
v 1
v=2
t,j := — 0,5 А, Ъ+ = 0,5 h
s=0.5A«
л = 3
/==о
/=1
/ = 2
/ = 3
> = 2 (
ц^— 0,79370 Л, т<2 = 0,79370 А {
s=—1.17480 А [
*=3 [
т>3 = — 0,84090 A, ifcssO. пз = 84090Л
$=0,41421 Л*
у = 2 1
ijx = —0.5A, Г42 = 0.5Л
s = 0,5A*
V=3
щ = —0,70711Л. ij, = 0. ч,= а707ИА
у=:~0.25А*
л = 4
| >=4
/ = 0 тз1 = — 0,89725 Л, % =-О 60587Л, щ = 0.60587А, тц = 0,89725 А
у=033446 А
i=l
/ = 2
/ = 3
/ = 4
> = 3
4, = — 0,84090 Л, ij4 = 0, т* = 0.84090А
$ = 0,41421 Л*
>=4
тц = — 0.87305 A, dj = — 0.37305 Л, т* = 0.37305 Л. тц = 0,87305 А
*=-0,15139Л*
v = 3
т)1 =■ — 0,70711 Л, т}2 = 0, та = 0,70711 А
s = — 0.25Л*
Ч1 = - 0,80902 Л. гл = - 0,30902 Л> т* = 0.30902 Л, тц = 0,80902 А
^ = 0.125 А*
— 313 —
я = 5
/ = 0
1 = \
1 = 2
/ = 3
/ = 4
/ = 5
L— .
v=4 I
^-.г —0,89725 ft, ri2rr-~ 0,60587 А, т,8 = 0,60587 Л, тц = 0,89725 А,
5 = 0,83446 А
v = 5
4i—— 0,91682 A, ij2= —0,67418 Л, А=0, т}4=0,67418 Л, г(5^-0,91682 А)
?= —0,22772А2
у = 4
гл= — 0,87305А г12= — 0,37305 А, т,8 = 0,37305 Л, ^=0,87305Л
* = — 0,15139 Я*
v = 5 |
га = — 0,89945 Л, т}2=—0,55589 Л, т)3=0. гц=0,55589 А, т)6=0,89945А
5 = 0,06901 А*
v = 4 I
rtl == — 0,80902 Л, ri2 = — 0,30902 Л, щ> = 0,30902 А, гц = 0,80902 А
s = 0,125 А*
у = 5 1
Т|1 — _ 0,86602 A, т,2 = — 0,5 A, iis = 0, -гц= 0,5 Л, т}5 = 0,86602 А
5 ==_ 0,0625 Лб
-*■
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ ПО СПОСОБУ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ*
В мемуаре „0 непрерывных дробях*** я дал ряд, представляющий
окончательный результат параболического интерполирования по способу
наименьших квадратов. Так как этот ряд прямо дает выражение
интерполируемой функции в форме полинома с коэффициентами, наиболее
вероятными, и без определения наперед числа его членов, то понятно,
что в теоретическом отношении он не оставляет ничего более желать
для параболического интерполирования* Но чтобы сделать его вполне
применимым на практике, оставалось указать удобный путь, которого
•следует держаться при вычислении отдельных членов. Это было нами
-сделано для простейшего случая, когда значения переменной,
соответствующие известным значениям интерполируемой функции, суть
равноотстоящие. Разбирая этот частный случай в заметке „06 одном новом
ряде****, мы показали приведение нашего ряда в следующей формуле,
ючень удобной для приложений:
, 5 v /(i+1) («-/)(«-/-!) .
+ л(*-1*)(л«-2-)2*—Ь2 Ь2 Дед*12) +
, 7 v /(/+*)(* 4-2)
X <«-0(«-/-1)0»-'-*) дч^(2) +
где
я„ и29 uz, ..., ип
обозначают данные значения и, соответствующие равноотстоящим
значениям х
X = Xj, Xfy Х§у . . . , Хп>
.и где принято для сокращения
z = -
д:2 — Хх
* ,Sur Tinterpolation par la raethode des moindres carres" (Memoires de l'Acad.
Imp. des Sciences de St-Petersbourg, VII serie, I (1859), № 15, стр. 1—24); русский
перевод М. А. Тихомандрицкого в Собр. соч. П. Л. Чебышева подред. А. А. Март
лова иН. Я. Сонина, том 1, СПб. 1899, стр. 473—498. — Ред.
** См. стр. 103—126 этого тома.— Ред.
*** См. стр. 237—239 этого тома.— Ред.
— 315 —
В этом ряде знаки суммирований распространяются на все
значения i от г = 1 до i = n, и
■?о(*), ?i(z), % (2), ?8 (*),...
суть целые функции от z, выводимые из формулы
i'(.+s?i) (*+s?-,)-(«+S:4rtl) (—^ (—
-S*2)-.(*_5±»=i),
8 которой нужно / давать значения
О, 1, 2, 3, ...
Так как эти функции связаны между собою уравнением
<рх(z) = 2 (2/- 1) z?/:, (2) — (/— 1)»[л» — (/- l>2jcpz_2 (2)
и так как
9о(г) = А»1=1,
,1(Z) = A(Z+l±l)(Z-4-1)=22,
то тотчас находим
?2(z) = 12z2 — («2 — 1),
?s(z)=l20z3 —6(3/г2 —7)z,
ср4 (z).= 1680z4 —120 (3/г2 — 13) z2 -f 9 (/г2 — 1) (я2 — 9),
срб (z) = 30240Z5 — 8400 (/г2.— 7) z3 + 30 (15/г4 — 230л2+407) z,
Это разложение и, которое вытекает из нашего ряда, как скоро
Xj, Х2, Х§у . . ., Хд
будут величины равноотстоящие, весьма удобно для вычисления
выражения и в виду того, что его члены, подобно членам интерполяционной
формулы Ньютона, содержат разности
Дй/, Д2и/Э Д8а,у...
возрастающих порядков, а эти разности под знаками суммирования
сопровождаются только множителями
1 ' 1. » .
/(/+1) (/г-/)(/2-/-1)
Ь2 » 1-2
/(/ + 1)(* + 2) (/г — /) (/г — г — 1) (^ — / — 2)
1-2-3 ' " * . 1V2.3
которые, по известному свойству многоугольных чисел, вычисляются
легко путем простого сложения. А так как этот ряд дает нам
выражения и с коэффициентами наиболее . вероятными,. то понятно, что он
ничего не оставляет желать для интерполирования в частном случае,
когда, значения. дезависимой переменной, соответствующие данным
значениям функции, суть равноотстоящие.
— 316 —
Но это не единственная выгода, которую можно извлечь из нашего
ряда для приложений; его употребление весьма полезно во всех
других случаях параболического интерполирования, как мы теперь покажем,
указав путь, который легко приводит к последовательному определению
его членов. При этом видно будет, что наш ряд доставляет очень
удобное средство для вычисления почленно выражения
интерполируемой функции и; в то же время он дает сумму квадратов разностей
между известными ее значениями
щ, и2, »3> • • > ип
и теми, которые следуют из совокупности найденных членов для ее
выражения, из чего тотчас получается средняя ошибка, с которой
найденные члены и представляют данные ее значения, а через это сейчас
узнаем тот, на котором можно будет остановиться. Таким образом при
помощи нашего ряда найдется зараз и число членов и, которые важны
для интерполирования, и их коэффициенты, определенные по способу
наименьших квадратов. Чтобы дать понять превосходство этого способа
интерполирования над теми, которые обыкновенно употребляются,
заметим, что он с большею легкостью дает совершенно те же результаты,
какие получаются через решение уравнений, доставляемых способом
наименьших квадратов, который предполагает, что число членов в
выражении и наперед определено. С другой стороны, определяя и число
членов, которые нужно вычислить, и их значения, предписываемые
способом наименьших квадратов, он будет, кроме некоторых
исключительных случаев, быстрее способа интерполирования Коши, который далек
от того, чтобы давать результаты наиболее вероятные, вытекающие из
способа наименьших квадратоа
. §i
На основании того, что мы показали в упомянутом выше мемуаре,
если данные значения функции и
соответствующие
X = Х^, Х%9 Х^у . . . , Хп%
содержат погрешности одинакового рода, и ищется ее выражение п$
способу наименьших квадратов в виде полинома какой угодно степени,
мы будем иметь*:
где
Ао> К\, Аз» • • •
суть постоянные коэффициенты, га „
Ы*\ Ъ(*). Ф*С*Ь ...
* Мы заимствуем нз нашего прежнего мемуара только вид этого ряда; все же,
что важно для его применения, будет дано здесь.
— 317 —
знаменатели подходящих дробей суммы
V * = ! . i I | L.J l_J
которые находятся нз ее разложения в непрерывную дробь
Si
В этой дроби постоянные
av а2, agt • • •
могут быть выбраны произвольно. Для определенности мы
предположим, что они выбраны так, что коэффициенты при х в неполных
частных
Я\> Яъ Ч& •••
равны единице, и обозначим через
av — <22, — av ...
значения
av а2> аз> • • •»
удовлетворяющие этому условию. На основании этого, а также
замечая, что знаменатели
Я\у Чь 9%> •••
будут функции первой степени, мы будем иметь для определения
функций
такое разложение суммы
в непрерывную дробь:
1 ы аг
х-».
Отсюда получим для вычисления ее подходящих дробей
Г»(х) ъ(х) «,(■*) ft(*)
следующие формулы:
«М*)=0, ^,
<?1(дс) = а„ j
<М*) = 1, ?о(*)=0, \
4»s W — {x — *,#, (л) — a,<j)0 (x), <?2 (*) = (x—bt) «p,(x) — в,?0 (x), >
&(*)=(* — ^Ж-i (х) — «A-i(*), &(•*>=(* — bj«p,_!(jc) — «,<&_.(*)j
318 —
при помощи которых, полагая
M*)£j=7f--«Ps(*)==tfs.
'^^)Цг^-^^=^'
(2)
получим для функций
Ro> 'Си "г» • • •» «с*.
такой ряд уравнении:
#2 = С*—*г) Ri — azRo, f
^ = (х — bx) Rx_x — axRx_2. j
(3)
Именно при помощи этих формул мы и достигнем определения
всех количеств, которые необходимы для вычисления членов нашего
ряда.
§П
Так как подходящие дроби
?oW *i(*) ?2W
Уи. W frx + 1 (*)
Фо(*Г ФгО*)' fcW ""' M*>' ^iW"
непрерывной дроби
«5
■■* — ъ*—
которая получается от разложения суммы
имеют знаменателями функции
<М*), <Ы*), <М*), •••> ФД*)> t,+i(4 -••
соответственно степеней
О, 1, 2, ..., ji, ji+1, ....
то дробь
представит значение суммы
— 319 —
с точностью до -р^, и, следовательно, разность
будет степени низшей —2ji. Но так как функция §^{х) степени ji, то»
это предполагает, что выражение
■xt
•<?,w
степени низшей —jx, а отсюда заключаем, что его разложение не
может содержать членов со степенями х высшими х-*-1. Следовательно,,
будем иметь
(I4_.rt j_ fa Е+1) j_ (mii + 2)
ch-+i
-|H-2
,-М-З
где
(»Ц Jt), (ft, ji+1), (ji, ji + 2), ..
обозначают коэффициенты при
1 1
•.!«■+«■ '
в разложении R^
В силу этого, давая указателю ji значения
О, 1, 2, ..., X —2, I— 1, X,
получаем для функций
*М)> <м> *V2> *
следующие разложения:
.Ш f (0,1) г (0,2)
#Jl-2> ^?3l-1» ^
/?о = '
/?1
#2 =
(1.1) , 0,2)', (1,3)
д-2 ~г ^з ~г xi ■
(2.2) , (2,3) ,(2,4)
Rx-i
_(Х-2, Х-2)
*5
а-
^-i=
а-
1,1-1)
2,1-1).,. (X-2, X),.,
"Г д-Х+1 1
а-
1, X)
а-i, н-1)
*х i *х+: . ' •• x^*i
(х, х) , (х,х + 1) ,_.а, х+2)
(Х-2, Х-2), (X-2, V—1), (X—2, ■;),.=
(х —и-х-i), (х—i; х)г(v^r, i+1),-,
a, i), a, x+i), a, x+2),...
входят как вспомогательные количества.
где
/хх —
постоянные
(0,
О,
(2,
ЛГ^1 ~!
0),
1),
2),
(0,
(1.
(2,
х1+2 ■ 1
1),
2).
3),
(0,2), .
:(1, 3),
(2,4),
xx+z I
• • »
•,..'•> •
*••* " '
• '• • >
(4>
— 320 —
§ш
Внося в формулы (3) разложения
*Mb °1> ^V2> • • • > "х-2> °1-1> "х
по (4), получим следующий ряд формул
Е1 _(0. 0) , (0, 1) I (0, 2) ,
x-xt~~ х "•" а-» ' дг« ;
(1. П. (1.2) _|_(1.3), ,,. h vf(0,0) , (0, I) , (0,2) , I
(2,2) , (2,3) , (2,4) _j_ _,„ A 1П, 1) , (1.2) , (h±) ,
-fTI F~-r~^5- i ••• — lA p: J ji ; л-з ■ *4 "Г'-
Л Г(0. 0) . (0, 1) , (0,2) ,
— Й2[—J Г "J* I IT-—"
■pud , OjH-i) , Oji+2) , ,„ fc ,ra-i, x-i) , a-1.a ,
3£7li—F+2~ + ~xJ^e—t — (•*—°J[ ^ ?ГЙ~ —
, ft-1.31+1) , ] _ rft-2,1-2) , g —2.1—1) , ft-2.1) , 1
Первая из этих формул, по разложении суммы
2и х — х{
в ряд
X ' X* [ X* I • • • >
дает нам
2tf l^iS^ , _№°> , №П , <°>2) ,
юткуда следует
(о,о)=2 Л (o>i)=2** (о,2)=2 х1 • • •
Из второй получим, приравнивая коэффициенты одинаковых
степеней х,
0 = (0,0) —д„ 0 = (0,1) —M0,0)f (U) = (0,2)-M<U),
(1,2) = (0,3) —^(0,2), (1,3) = (0,4)-*, (0,3),...,
что доставляет
о, = (0,0), Ь^щщ>
(1, 1)=-(0, 2) — ^(0, 1), (1,2) = (0,3)-М0,2), (1,3) =
= (0,4)-^ (0,3),...
Поступая точно так же со всеми прочими формулами, увидим, чад
вообще, в случае Х>1, количества ах и Ьх определяются так:
^— (X - 2, а -"2) ' ^^ <i— 1, X— 1) (X - 2, Г— 2)
— 321 —
и что все количества
ад), a, i+i). а, i+2)
в зависимости от
а-2, л-2), (Х-2, 1-1), (л-2, у, ... ,
а—1,1-1), (i-i,i), а-1, i+i),...
находятся в такой формуле:
(1, ^) = (1—1, 1*+1)-А(1 —1, Ji) —0,(1 —2, V).
Таким образом последовательно найдутся количества
al9 bv
а при помощи этих количеств, по (1), легко получатся функции
Фо(*)> ^(4 <Ы*).
которые входят в состав членов нашего ряда.
§iv.
Переходя к определению коэффициентов нашего ряда, мы покажем,
что, в силу формул (2) и (4), будет
2^W=o, (5)
если pi<l, и
2-tf<M*,) = (1,Ю, (6)
если ц^Х. у
Чтобы притти к этому, заметим, что по (12)
и так как остаток от деления Ьх{х) на х— xt равен <K(*,), то эта
формула приводится к следующей:
где F(a:, jc^ есть целая функция, получающаяся в частном при делении
^(х) на х — xt. Если же разбить сумму
на две части
и разложить в сумме
дробь
X—Xi
2! п. Л. Чебышев, т. И
— 322 —
в ряд
JL 4----'-]--
X * Л"- * Л"
то эта формула даст нам
ГМ*/) , S.rAf.v) , Гх7Фх^/)
X ' A-i ' Л-3 . • ' • >
что предполагает, по (5), тождество таких двух рядов:
2*/%*,.*,)—?х(*н—-—i—p— -;—-ь—г •••.
л'*+х~' a*+s "Г" л'»--'3 1~ • • ■ •
Но так как
суть целые функции, то может это быть не иначе, как только тогда,
когда члены с знаменателями
х, Л'2, х\ . • •, ;с\ дЧ-1, ,хх"Ь2, • • •
в этих двух рядах соответственно равны. Следовательно,
2>Н\ (*,)=ft, х), ЪсР\ (xt)=а, х+1), •..,
что и доказывает уравнения (5) и (6).
На основании этого легко определить коэффициенты
•^0» *Ч» ^2» * * "
ряда
*=KM*)+KiUx) + K£t(x) + ...
Для этого помножим ряд на x't\ где ;х — какое угодно число, и
просуммируем его члены для всех значений
Л = ->\Г|, Х*у Х%, • * • , Х>п.
Мы получим таким способом
где щ представляет значение я, соответствующее x=xt; а так как,
в силу (5) и (6), будет
2-tf*oW=(o, /4 2>?4,W=(i, ii),..., 2Л(*Л= (ля),
241>и-1 М=о, 2-tf 1W2 (*,)=о 2^ГФк+а (*,.)=о,...,
то отсюда следует
Sxf«, = fOi^)/r0 + (lflL)/r1+ ... + {ц—1, иЖг-х + ^йК*.
Отсюда для определения коэффициента А^ посредством коэффициентов
АГ0,/v,, ... ,/v-i получается такая, очень прзсгая, формула:
SA-fo - (0, (ii а> - <1, л) А"! - . -. - (.и - I, u) A"u_t
Да — : ; •
(lb W
— 323 —
Давая здесь значку р. значения О, 1, 2, 3, ... , получим для
последовательного определения коэффициентов
^Ч(> Ки К2> К», . . .
такой ряд уравнений:
Ап (0,0)'
,, _2xpt-(Q, 1)ДГ0
Al— (1, 1)
S .tr? й/ - (0, 3) Ко - О, 3) K\ - (2, 3) АГ3
к=-
(3,3)
§ v
Нам остается доказать, каким образом легче всего находится сумма
квадратов разностей между данными значениями и
#j, #о> ^з> * * ' ' ^л*
соответствующими
и теми, которые получаются для тех же значений х с помощью нашего
ряда, остановленного на члене Kx<bk(x), где X — какое угодно число.
Чтобы, притти к этому, покажем, что должно быть
2<М*,)ФЛ*/)=о (7)
пока v<^jx и
2<М*<Ш*/)=*0*,и). (8)
в случае jx = v.
В самом деле, на оснозании (1), функция <!>,,(.*) будет такого вида:
х* + А1Х'-1 + Л2-Г~2 + -.. ,
и, следовательно, мы будем иметь
2 Ф, (•*/) Ф, (*/)=2*7 <k to)+^i2*Г! Ф л*/)+Л 2*Г2Ф, (*,)+• • -v (9)
Но, в силу (5), в случае v<ji все суммы
2*7ФЛ*/). 2*Г'ФЛ-*£). 2*Г*ФЛ*/). • . .
приводятся к нулю, и через это, по предыдущей формуле, найдем
2ФЛ*,)ФЛ*/) = 0,
что доказывает уравнение (7).
Точно так же, в случае
мы найдем, по (5) и (6), что сумма
2*7ФЛ*,)
равна (jjl, p.) и что суммы
2*Г'ФЛ*/)> 2*7~^te). . ..
— 324 —
обращаются в нуль, в силу чего для ji=v формула (9) дает нам
уравнение (8):
С помощью уравнений (7) и (8), которые мы только что доказали,
легко показать, что всегда будет
2п/Ы*/) = (^Ка. (10)
Чтобы в этом убедиться, заметим, что ряд наш
»=ЯА(*) + КА[х) + К£, (л-)Ч- ■•• ,
продолженный до последнего члена, представляет точно все данные
значения и
и19 и29 и3, . . . , и ,
а поэтому должно быть
' 2 »А (х) = Ка 2 Ф0 (*,) % (х{) + К, 2 *i [х,) ^ (xt) +
-;-^2^(^)^(^-)-:----
Но по (7) суммы
2 i Ш 1v М, 2 Ф1 (*) Ф* (*/). • • • > 2 *>-i to) ^ to).
2^i(*#)<M*/)> —
обращаются в нуль, и по (8) находим
Следовательно, предыдущее разложение 2 tt/?V (*/) приведется к одному
'Члену
что нам и дает уравнение (10),
В силу доказанных уравнений легко найти сумму
2 t*/-W*<)-*&(**) КА(ъ)]\
где
для *=1, 2, ... , л представляют данные значения а
«1» «2» ГЬ • • • > Мл>
а выражения
WAxi) + WAx,) + K£i(xl)+ ... + *&(*,)
их приближенные значения, полученные с помощью нашего ряда,
остановленного на члене К$х(х).
Для этого гредставим квадрат
[Щ - к A (Xi) - к A (Xi) - к А (х{) КА (х:)Т
ПОД ВИДОМ
tt}-2ul[K$o(xt)-hKl*>t(xl) + KA(xl)+ .~ -{-КАШ +
+#oW*/)TOi(*/) + *,<!'i(*i)4- *&(*/)+ ••• + *&(**)] +
+*А (а-,) №0 С*,)+К А {х,)+*& (*,) -!-••• КА (х,)] +
+КА (х,) [КА {х,)+К <h (х,.)+л& (Х[) + • • ■ + К А (*)].
— 325 —
что нам дает
2 [«/ - *А (*<•) - КА (х,.) - КА (х,.) КА (х,)]*=
=2«/-2^o2«A(^)-2a:]2^1(^)-2/<'22",4oK.)
- 2^2 «А (•*<•)+
+^2Ф« (*,) Фо (**)+ад 2 Ф, (*,) ф, (*,)+ад 2 Фо (*,) ф2 С*,) + • • •
•••+^о^2Фо(^)Фх(^) +
+ KtK0 2 Ф, (я",-)Uxt) + *? 2 Ф, (X,) ф, (х,) + ЗД2ЛЛ (X,-) ф2 (*,)+
+■••• +ад. 2 Ф, №>.(*,•) 4-
+ад, 2 Фх с*,) Фо (*л+ад 2 Фх (х,) ф, (х,)+ад 2 Фх с*,) ф2 (*,) + • • •'
•••+л?2Фх(*,-)Фх (•*,-)
Но по (10) мы будем иметь
2 «Л (хд=(о, о) ка, 2 «ж (х,)= (i, i) *i, 2 ",-Ф2 (*,)=(2,2) л;, ...,.
а по (7) и (8)
2Фо(*/)ФоК-) = (0,0), 2Ф. (*Л Ф| (*/) = (*. 1),2Ф2(^)Ф2(^) = (2,2),...,
2 Ф1 (*,) Фо (х,) = 0, 2 Ф2 (X;) Фо (*,) =0,
2 Фо (хг) Ф, (х,) = 0, 2 Фа I*,) Ф, (*,) = 0,. ... ,
2 Фо to) Ф. (•*<)=о, 2Ф.(^)Ф»(^)=о, ...,
в силу чего предыдущая формула обращается в такую:
2 [«/ - *оФо (**) - ад (xt) - ад (*,) ад {хдТ -
= 2»?— 2(0,0)^0 — 2(1, 1) А'?—2(2,2)/$ 2(1,\)К!+
+ (0,0)/Й + (1, 1)/Й + (2,2)/й+ ••• -ЬОЛКх
и затем приводится к следующей:
I. [«< - ад {хЦ - ад (*,) - ад (х,.) КА № =
= 2и? —(0,0)Ло-(1, 1)Лг-(2,2)/Й (аД)А1
Такова формула, дающая сумму квадратоз разностей между
данными значениями и и вычисленными с помощью ряда
остановленного на члене К$^(х). Изображая для краткости эту сумму
через
Srf.
мы будем иметь
S^2 = S^?-(0,0)^-(l, l)Al-(2,2)/d ()Л)Л!,
откуда для последовательного определения сумм
2 ^о, S ^ь S ^2» - • • >
которые соответствуют по порядку случаям, когда наш ряд останавли-
—326 —
вается на членах 1, 2, 3, . . ., получается такой ряд уравнений:
24=2bi—(о,о)/&
2^=2*0-0. и*?.
2 <й=2rf? -(2.2)/&
§ VI
Сопоставим теперь Есе окончательные формулы, с помощью кото-
рых вычисляется почленно выражение и на основании ряда
и определяется в то же время сумма квадратов погрешностей в
представлении данных значений и, когда останавливаемся на членах 1, 2,
3, . . . Д.
В этих формулах, согласно употребленному нами обозначению,
данные значения функции и и независимой переменной х представляются
через
ui> uv иъ> * • • > ип>
-Kj, Х2, ЛС3, • • • , Х(.
Суммирования распространяются на все значения указателя i от £ = 1
до i = n, и 2^ обозначает сумму крадратов погрешностей в
представлении данных значений и нашим рядом, остановленным на члене Кк$х(х);
из этой суммы находится средняя ошибка по формуле
E=]/~-Edl
Формулы, относящиеся к определению члена /f0<j>0(х):
(0,0)=2*? = й,
F — -"t
ч° ~~ (0, 0)'
<?„(*)= 1,
2 <й=2*?-(0,0) кЗ.
Формулы, относящиеся к определению члена /(^(х):
(0,1) = 2*„ (0,2) = 2^i
fli = (0,0)
Ь1 = Ы> 0. 1) = (0,2> —^(0,1),
Д1- (1ЛЗ '
61(х) = х — Ь1,
24=24-(1,1)л1.
— 327 —
Формулы, относящиеся к определению члена К2'Ь2(х):
(0,3) = 2^> (0,4) = 2*/.
(1, 2) = (0, 3)-ft,(0, 2), (1, 3) = (0, 4)-ft,(0, 3),
а -^1>
2~(0,0)'
Ь*=1<Л$-Ш' (2,2) = (1,3)-*,(1,2)-о8(0,2)
_ S х\и-, - (0, 2) АГо - П, 2) /ft
2 (2, 2) '
<!>3 (х) = (X — ft,) ф, (X) — в,ф0 (*),
2<й=2^-(2,2)л|.
Формулы, относящиеся к определению члена К$х{х)-
(0, 21 -1) = 2 хТ~\ (0, 2*) = 2*?.
(1,2Х —2) = (0,&—1) —ft,(0, 2X —2), (1, 2X—1)=<0, 2),) —
— *, (0, 21—1),
(2, 21 — 3) = (1, 2)i — 2) —ft,(I, 21 —3) —а2(0, 21 — 3), (2, 21 — 2) =
= (1, 21— 1) — £20> 21 — 2) — а,(0, 21 — 2),
(3, 21 — 4) = (2, 21— 3) — ft,(2, 21 — 4) — а3{\, 21 — 4), (3, 21 — 3) =
= (2, 21 — 2) — ft, (2, 21 — 3) — 0,(1, 21 — 3)
а-1,1) = (1-2,1+1)-&х-,а-2,1)-сх_1(1-3,1),
(X—l.l+l) = a-2,X + 2)-ft,_,a-2.X+l)-fli.l(X-3,l + l),
^=5Ййг>-а=1^2» а, i)^(i-i, i+i)-ft,a-U)-
-аг (1-2,1),
2дг^-(ОД)Ао — ИЛ)/ft - Г2, Ъ Л"2 a—1,l)ATx-i
/сх=-
(1. */
<!>х (х) = {х— ft,) Фх_, (х) — ахфХ-2 W.
S^=S^-i-(l,l)/<f.
§ vn
Формулы, которые мы только что дали для последовательного
определения членов
tfotoM. *&(*). ^ti(4 . . . > A7AW
в разложении # по нашему ряду и для вычисления в то же время
суммы квадратов погрешностей, с которыми найденные члены и пред-
стазляют все данные значения, доставляют нам способ параболического
интерполирования, важный во многих отношениях. В силу замечательно-
— 328 —
го свойства нашего ряда, этот способ дает выражение и в форме
полинома с коэффициентами наиболее вероятными. Без предварительного
задания числа его членов мы их найдем по этому способу
последовательно один за другим, и вместе с тем по сумме квадратов
погрешностей, с которыми найденные члены и представляют данные значения
(которая дает сразу среднюю ошибку их представления), узнаем, на
котором члене можно остановиться. Сверх того, легко видеть из состава
наших формул, что, когда число данных значений и и число членов
его выражения значительны, в нашем способе интерполирования
вычисления менее продолжи пелыш, чем в употребляемых в настоящее время.
Эта продолжительность вычислений происходит почти всецело
благодаря различным умножениям и делениям, число которых возрастает
более или менее быстро с числом данных значений и и также с числом
членоз в его выражении. В этом-то отношении мы и покажем
преимущества нашего способа интерполирования, остазляя в стороне сложения
и вычитания, которые при выполнении этих вычислений немного значат,
и по отношению к которым точно так же легко можно обнаружить
выгоду нашего способа.
Чгооы найти с помощью наших формул выражение и с Х-|-1
членами, нужно вычислить ЗХ-j-l сумм
•^7» 2j «Я/» 2j Xtj • • • у 2тк Х1 У
2 «Л 2 */ "/, 2 Х&1> • • • > 2 Ж**
и с помощью этих сумм отыскивать члены
На основании того, что мы видели, приаодя их к окончательному
виду
A + Bx+CjP +
придется сделать не более как 4л2 + 2 умножений или делений.
Но если искать это выражение я, как обыкновенно, по способу
наименьших квадратов, приходится вычислять те же суммы
Zu xt> Zi -W, 2л xiy - • • , JL •*!- »
2 щ> 2 xtul9 2 -v£/„... , 2 *)щ
для состазления уравнений, определяющих коэффициенты я, а при
решении этих уравнений с X -{-1 неиззестными приходится иметь дело
с умножениями и делениями, число которых растет с возрастанием X
как известно, гораздо быстрее, чем 4Х2 —f-2.
По способу Коши для отыскизания в разложении и членов
A+Bx+CjP+ \-Нхх
нужно при х=хи х2>х.л, ... , хл, вычислить много функций, степени
которых достигают X, и состазить их суммы, называемые подчиненным»
(suDordoanees). А это требует, очевидно, гораздо более умножений, чем
2
— 329 —
сколько их нужно для вычисления сумм
2j-%i, 2jXi, 2j*iy . • • > 2а xl *
которые представляются при вычислении нашего ряда, а также, чтобы
найти сумму
входящую в определение сумм
2 ^о» 2^i» 2 ^2, ...»
по которым в нашем способе узнается число членов, важных для
интерполирования.
С другой стороны, чтобы найти функции, заключающиеся в
подчиненных суммах, и чтобы вычислить их коэффициенты А, В, С, ... , Н
в выражении
й = Л4-В* + Сх2-(- \-Нх\
в способе Коши необходимо выполнить много умножений и делений,
которых общее число с возрастанием X растет быстрее, чем 4X24-)i + 3,
числа тех же действий, которые предстазляются, когда по нашему
способу по значениям сумм
JLi Х{, 2Li Xt > ^j Xt . •. , . j^ Xt у
2 и л 2 хрь 2 xJut... f 2 x)uiy 2и?>
ищутся 14~* членов и определяются последовательно суммы
2 ^о> 2 di, 2 ^2, • • • » 2 Л-
Отсюда несомненно, что по числу действий способ Коши далеко не
столь прост, как тот, который вытекает из нашего ряда. Но так как многие
из этих действий в способе Коши упрощаются более и более, по мере
того как увеличивается сходимость ряда
то нет сомнения, что встречаются частные случаи, когда этот способ
будет быстрее нашего.
§ VIII
Чтобы показать на примере употребление нашего способа
интерполирования, мы приложим его к такому ряду значений хаи*:
хг =0,15411 и, =19,47
х, =0,19516 й, =21,83
х, =0,22143 й8 =23,11
х4 =0,28802 й4 =26,11
* Эти значения представляют результаты первой серии наблюдений г. Марие-
Деви над сопротивлением при перемене проводников, которые он дает в своем ме-
муаре, озаглавленном „Kecherches experimcntales sur Telectricit^ voltafque (Ann. de
chimieetde physique, III serie, XIX). Через х мы обозначаем обратную величину
напряжения тока, приведенную к одной сотой части ее, а через и сопротивление.
— 320 —
х, =0,32808 н5 =27,60
хь =0,38183 и6 =28,89
х, =0,45517 щ =33,17
Xi =0,57012 и8 =33,38
хй =0,75930 и9 =32,31
х10 = 0,91075 и,0 = 31,88
хп=0,13895 ни = 25,46
Пробуя выразить одним членом
возьмем К$0 (х),
(0,0) =24= И, я, =19,47
а2 =21,83
я, =23,11
ut =26,11
и& =27,60
я6 =28,89
н7 =33,17
ц8 =33,38
н9 =32,31
и10=31,88
кп= 25,46
2 и,=304,21
.0,0, — z/'
^ = (0Т?Г = 27'5645'
что дает с точностью до 0,001
К$0(х) = 27,564.
Чтобы найти сумму квадратов погрешностей, с которыми найденный
член представляет данные значения, делаем следующие вычисления:
а? = 379,08
ul= 476,55
ul = 534,07
я! = 681,73
и\ = 761,76
ul = 834,63
я? =1100,25
ul =1114,22
ul = 1043,94
afo= 1016,33
а?1== 648,21
2 «? =8690,77
— (0,0) А"02 = — 8357,84
2 d2 = 2«/ — (0, 0) Ло2=232,93
— 331 —
что дает для средней ошибки
*=/i^=/2^ = 4,6.
Замечая на основании этого недостаточность выражения а одним членом
ХАМ,
станем искать второй член
КА(х)
я для этого вычислим последовательно
(0,1)=2^. (0,2)=2*»,
^ = (0,0), *, = ^,
(1, 1) = (0,2)-6,(0, l)
2*А, %х,щ — (0,1)К0,
как ниже следует:
х, =0,15411
Хз =0,19516
х3 =0,22143
х4 =0,28802
хъ =0,32803
х6 =0,38183
х, =0,45517
х8 =0,57012
Хд =0,75930
*,„ = 0,91075
,*„ = 1,13895
(0, 1) = 2>,- = 5,40292
а, = (0, 0) = 11
(0,2) =
-6,(0,
х\ =0,02375
х\ =0,03809
х\ =0,04903
х\ =0,08295
х\ =0,10764
х\ =0,14579
х} =0,20718
х\ =0,32504
х\ =0,57654
х\0 = 0,82947
^, = 1,29721
; 2]^ = 3,68269
1)=—2,65378
h w Ч П 40117 ■ .
°i — (0,0) — u'*Jil/ (i, i; = (U, -J,) — ^(0,1)= 1,0^691
Л',и,= 3,00052
л-2ц2= 4,26034
x"sas = 5,11725
л4и4= 7,52020
хьиъ= 9,05501
х0ий= 11,03105
х,щ= 15,09799
л8и8= 19,03000
— 332 —
лу*в = 24,53298
*,0и10 = 29,03471
л:,, й„ =28,99767
~2Jx1ui = 15d,67832
.(0, \)Кй = — 148,92903
2 xflt — (0, 1)АГ0 = 7,74929
(1,1)
^^1-^*^7,5315
6l(x) = x — bl = x — 0,49117
Следовательно,
/С16,(.х:) = 7,5315(х —0,49117) = 7,532^ — 3,699
Переходя к определению 2^?> вэзьмеу
2^=232,93
-(1, 1)^ =—58,37
2>а*=£а~ — (1,1)К1=т,об,
откуда для средней ошибки представления данных значений а двумя
найденными членами его получается
^yriTJi=\/rW=^
Так как столь значительная средняя ошибка недопустима, то будем
искать третий член
и для этого определим последовательно количества
(0,3)=2*}, (0,4)=2**.
(1,2) = (0,3)-М0,2), (1,3) = (0,4)-61(0,3),
„ — fLi] /, _ <'-2) «U)
"2~(о,о)' °а~(1, и Ги;or
(2,2) = (1,3)-6.(1,2)-л2(0,2),
2 .ф„ 2 *1"' — (0,2)АГ0 —(1, 2) *,,
S^-(0,2) Xi-{1,2)^
к,--
(2,2)
и функцию <b2(x) следующим образом:
х\ =0,00367 х\ =0,00056
х\ =0,00743 х* =0,00145
х\ =0,01085 х\ =0,00240
х\ =0,02389 х\ =0,00688
— 333 —
х\ =0,03531 х< =0,01158
х\ =0,05567 x\ =0,02126
x] =0,09430 x] =0,04292
x\ =0,18531 x\ =0,10565
x\ =0,43776 x* =0,33240
x?0 = 0,75544 4, = 0,68801
x\x = 1,47745 ^=1,68275
(0, 3J = 2 x{ = 3,08709 (0, 4) = 2**=2,89586
— K (0,2) = —1,80884 — 0,(0,3) = 1,51630
(1, 2) = (0, 3) — '*, (0, 2) = 1,27825 (1, 3) = (0, 4) — ^ (0, 3) = 1,37956
a, = [blj = 0,09354 ~h(U 2) = -0,96020
J-|^= 1,24235 ". — a2 (0,2) =-0,34446
-Й = -°>49117 (2,2) = (1,3)-^(1,2)-
— a2 {0,2) = 0,07490
. _(l,2) (0.'l)_n7-11ft
x2Ht = 0,46241
х|иа = 0,83145
x\uz= 1,13311
x*k4 = 2,16596
xfu5 = 2,97075
л;|и8= 4,21199
х27щ= 6,87215
4 и8= 10,84949
л* я, = 18,62790
х20и10 = 26,44337
д«1я11 = 33,02691
2^=107,59549
_(0, 2) АГ9=—101,51151
— (1,2)/Г, = — 9,62778
2 а-|«, — (0, 2) /Г0 — (1, 2) /ft=— 3,54380
ф, (х) = (л — *,) ф, (х) — а2 = (х — 0,75118) (х — 0,49117) — 0,09354 =
=х2 —1,24235* + 0,27542.
Отсюда следует
АГг(Ь2(х) = — 47,313 (*»—1,24235*+0,27542) =
==—47,313х3 + 58,779х- 13,031,
— 334 —
а так как
2d?= 174,56,
-(2, 2) #1=—167,64,
2ф=2<*?-(2»2)*2=6,92,
то для средней ошибки находим
Продолжая так поступать, будем получать выражение а член за
членэм, и через это средняя ошибка в представлении данных значений
н будет все более и более приближаться к нулю. Но если сочтем
достаточным свести эту ошибку к 0,79, то остановимся на
найденных членах
К'Ь,(х)= 27,564,
К{Ь{(х)= 7,532л — 3,699,
К2'Ь2(х)= —47,313л2-1-58,779 - 13,031,
«следствие чего для искомого выражения и будем иметь
+ 27,564
— 3,699 + 7,532*
— 13,031 + 58,779л — 47,313л2
и =10,834+ 66,3 11л — 47,313л2.
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ*
§ 1. В мемуаре „О непрерывных дробях* я показал, что если
будем искать по данным значениям функции F (х)
F(xx), F{x2)9 ... 9 F(xa),
ее приближенное выражение в виде полинома какой-нибудь степени
с коэффициентами, указываемыми способом наименьших квадратов, то
получится разложение F (х) в ряды, аналогичные рядам Фурье и
расположенные по знаменателям подходящих дробей, получающихся из.
разложения выражения
у *(х£)
в непрерывную дробь; при этом вероятные погрешности данных
значений F (х)
F{xx\ F(x2), ... , F(xJ
предполагаются пропорциональными
1 1 1
Поэтому делая частные предположения относительно ряда значений*
•^1» -^2> • • • э Хп
и вида функции Ь(х\ получим для разложения функций несколько
более или менее замечательных рядов.
Если предположим значения
равноотстоящими, бесконечно близкими между собою, и сделаем
*! = —1, *я=+1,
Ь\Х):
Х2 — Ху
V1-JK
то приведем выражение
Ч
* „Sur le developpement des fonctions a" une seule variable" (Bulletin de la Classe
phys.-maih. de 1'Aead. Imp. des Sciences de St.-Petersbourg, I, стр. 1УЗ—200,
представлено 2б (14) окт. 1859 г.); русский перевод М. И. М-ой в Собр. соч. П. Л. Чебышева.
под ред. А. А. Маркова и Н, Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 501—508. —А&
— 336 —
+-'' ' л-: ■
J *—* Vl-u* }гх^=Г\
• 1
Непрерывная дробь, получаемая из этого выражения, будет
1х 2х -
а ее подходящие, как в этом легко убедиться, имеют знаменателями
целые функции х, которые могут быть представлены в виде
cos <p, cos 2'f, cos 3?, ....
где
9 = arc cos x.
В силу вышесказанного, мы приходим к известному разложению
Фурье функции f(x) в ряд, расположенный по косинусам кратных дуг.
Сохраняя то же предположение относительно
и принимая, что 02(лг) приводится к постоянной
Х% Х^у
мы найдем, что выражение
становится
— 1
и так как подходящие дроби этого выражения имеют знаменателем
функции, обозначаемые через Х^а\ то получается известный ряд,
расположенный по этим функциям.
В заметке, читанной в Академии в 1858 г.,* я указал очень простое
выражение знаменателей подходящих дробей выражения
*X-Xi
когда
0(*) = 1,
если
— равноотстоящие. Это нам дагг новый ряд для разложения функции, ряд
тем б злее замечательный, что он ничего не оставляет желать лучшего
для парабэлического интерполирования в одном из самых
обыкновенных случаев практики.
* ,06 одном новом ряде-, см. стр. 237—239 этого тома. — Ред.
— 337 —
Мы покажем теперь еще два случая, когда знаменатели
подходящих дробей выражения
имеют замечательный вид, что, в силу наших предшествовавших
разысканий, даст для разложения функций два новых ряда, которые при
известных обстоятельствах доставят результаты с наименьшими
погрешностями.
§ 2. Если от —оо до -j-oo различные значения переменной х
имеют вероятность у — e-kx* и для всех этих значений отыскивается
приближенное выражение F(x) в виде полинома, с наименьшей
погрешностью, то на основании выше приведенного мемуара мы получим для
определения искомого выражения следующую формулу:
' e~kx\(x)F(x)dx
/4
-**aA 2i
' Фо M dx
э
-boo
i/T
A e-k^l(x)F(x)dx
+ 00
-<M*) + .-•.
где
I /4 •"***?<*>**
9o(4 4>i(*)> -<
суть знаменатели подходящих дробей непрерывной дроби, получаемой
из
+ оо
Это разложение F(x) приводится к очень замечательному, виду, так
как все функции
как легко убедиться, выражаются в следующем простом виде:
Ых) = е**е-**9 Мх^е"*^, ... , ф,(*) = *«*^. (1)
Действительно, по этим выражениям функций
Фо(*)> *i(*)> •••
22 П. Л. Чебышсв, т. II
338
находим вообще
+ 00
[-00 _-{-00
J /| er**b(x)F{x)dx= /4 J &£-F{x)dx~
+ 00
=(-i)l|/"4 Je-"^(x)dx,
+ 00
+ 00
J /7Г^)Л= /4 J *J_£Wx)*:
+ eo
= (—1)' ]/| J e-k*>W{.x)dx=l'2.Z--'l{2k)\
— 00
вследствие чего предыдущая формула становится такою:
+ 00
— со
-+00
2£
е-**77'(*)<**-Фх(*) +
— 00
+ со
+ W \ er**r(x)dx-b(x)-
— оо
-2ОТ \ е-^Р"(х)^.ф8(х) +
где
ФоМ» <M-*)» Ф«(*)> <М*).
суть целые функции jc, имеющие следующие значения:
<М*) = «**
.2 Л?6
— kx*
dx
-2kx,
*2 (*) = е*" Ц^г- = №х* - 2k,
xd*e
~kx*
ф, (х) = е**> Ц&-= - 8А«*» +1 Шх,
(2)
— 339 —
Окончательно это нам дает замечательный ряд
+ 00 -{-00
F(x)= ]/|- J* er*"F(x)dx+ ]/"А j' e-**F(x)dx.Z +
— 00 —ОЭ
__+°° Х2 L __,_00 ДГЗ —1.
•3
— 00
который дает приближенные выражения F(x) в виде полинома с
наименьшею погрешностью для всех значений х между х = — оо и х—
=+ оо, если только их вероятности выражаются формулой 1/ — е~ **.
Если &=оо, этот ряд приводится к ряду Маклорена, дающему
выражение F(x) с наименьшей погрешностью, если дело идет только о
значениях х, смежных с х==0. Это можно было предвидеть из того, что
функция 1/ ~ ег к*> взятая нами для выражения вероятностей
различных значений х, в случае k = co перестает исчезать только для х=0.
По разложению F(x)y только что нами полученному, находим
несколько интересных тождеств. Так, например, отыскивая по (2)
значение интеграла
+ оо
[ e-**T*{x)dxy
— 00
получаем формулу
-j-oo +оо -f-oo
]/£ j е- k*T* (x) dx = ^e- kx'F (x) dx )'+^ ( J er k*>F' (x) dxj * +
— 00 — 00 — OO
+2^(T^^W^)*+srs»(Te-ta'/,"'W^),+ ---
С другой стороны, принимая во внимание выражения (1) функций
№)> <M*)> Фа(*)» ••• *
мы находим, что они связаны уравнением
4}l(x) = -2kx<h_1(x)-2(l-\)kbl_z(x).
Отсюда легко получаем величину этих функций и тотчас находим
разложение интеграла
■dtt
i
в непрерывную дробь
+ О0
X — U
— 00
1
е dtl = zJt ** 2k
x — u- —2kx ~ZZ2kx — • 6k
- oo —lkx - 2kx - —
2kx —
V2k
~'VTk-x-
~VTk-
'r»'x-?wi-
22*
— 340 —-
§ 3. Переходя к другому случаю, мы предполагаем, что значения х
заключаются между 0 и +оо, что ke~kx представляет закон их
вероятности* При этом предположении, отыскивая в виде полинома
выражение F(x) с наименьшею погрешностью, сообразно с показанным нами
в вышеприведенном мемуаре, будем иметь
со со
' \ ке~ кх60 (х) F (х) dx \ ke~ кхЬг (х) F(x) dx
F(x)=S— Фо(*)+^ №) + ... ,
[ke-***?0(x)dx \ke-kxb\(x)dx
о о
где
суть знаменатели подходящих дробей непрерывной дроби, получаемой
из разложения
jx — u
В этом новом случае находятся также очень простые выражения
.функции
ф0(х) = е*"в-*«, ^(Х) = е^а-^-, ...,bl{x) = e^d^ff-, (3)
откуда следует вообще
со со со
Jite^M;c)F(;c)<i*^
0 0 и
со со со
^ke-kx^](x)dx=[k^^^t(x)dx= (— \)lk\xle~kx&p (x)dx =
.0 0 0
= 12. 22... /2,
Предшествующий ряд примет вид
F (х)=. \ ke~** F (х) dx • ф0 (х) — -^ kxe~kx F\{x) dx • <Ь, [х) +
о и
со со
+ ^кх*е-**Г (х)dx-Ь(х)--^[fufitr**!*"(x)dx-ф8(х) + ...
о о
и по (3) получим
§й{х) — екхе-кх=\,
Ф. (х) = екх f^g-- = &х* - \kx + 2,
ф, {х) = е** **£* = - k*x* -f 9#х» — 18/fcc-f 6,
— 341 —
Этот новый ряд заключает ряд Маклорена как частный случай,
соответствующий А=оо. Отыскивая по этому ряду значение
со
[e-**F* {х) dx,
о
получаем тождество
оо -foo оо
\\ e~k*F* (х) dx = ( J e~kxF(x) dx)2 + Ц\xe-k*F'(x) dx)* +
0 —00 У О
00 00
0 0
и по формулам (З) находим, что функции
Фо(*)э <М*)> Ф*(*)> •••
связаны между собой уравнением
ф/(^) = -(Ах-2/+1)ф/.1(х)-(/-1)»фм(х).
Отсюда следует разложение интеграла
J X — U
в непрерывную дробь
00
&* _ з — "тг—г 32
0 Лг-5-^^_
OB ИНТЕГРИРОВАНИИ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ*
В силу того, что нами было показано в мемуаре об интегрировании
дифференциалов, содержащих квадратный корень из полинома третьей
или четвертой степени, интегрирование в конечном виде дифференциала
fix) dx
Г(*)Уах* + № + чх*- + Ъх + \ *
каковы бы ни. бы ли целые функции f(x) и F(x), окончательно
приводится к разысканию интегралов вида
x + L
1>
.dx,
+ ixz + mx<l + nx -\-p
где /, m, n, p суть известные постоянные, a L — постоянное,
определяемое условием, что интеграл способен выражаться в конечном виде.
Всякий раз, когда условие это может быть выполнено, мы найдем
интеграл
Г *±* :dXt
jVx*i-lx*-\-mx* + nx+p
согласно методе Абеля, разлагая в непрерывную дробь выражение
V& + 1х* + тх2 Л~пх+Р
и продолжая это разложение до тех знаменателей, в которых начинает
обнаруживаться их периодичность. Но так как эта периодичность не
имеет места в случае, если интеграл
fr —г . -.. —. dx
v Ух* + lx* -f- к** t nx + p
в конечном виде невозможен ни при каком значении для Z,, то понятно,
что ряд операций, к которому ведет эта метода, может продолжаться
до бесконечности, не доставляя какого-либо решительного вывода. Это
затруднение не может быть устранено рассмотрением интегралов,
определяющих природу функции
Г x + L
J ух* + 1х* + тх* + пх + р
dxy
* „Sur Integration des differentiellesirrationnelles* (Comptes rendus hebd. des
seances de Г Acad, des Sciences, LI (1860), стр. 46—48; Journ. de math.pures et appl., II
serie, IX (1964), стр. 242—247); русский перевод А. М. Ляпунова в Собр. соч. П. Л.
Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 511—
514. — Ред.
— 343 —
и позволяющих узнать, возможно ли ее выражение в конечном виде,
ибо для этого последнего необходимо иметь точные величины этих
интегралов, между тем как они могут быть вычисляемы только
приближенно. Для интересующего нас интегрирования нужно иметь способ,
который мог бы обнаруживать возможность или невозможность
интеграла
в конечном виде на основании природы величин /, т, п, р и при
помощи одних алгебраических действий, число которых было бы конечно.
Это именно мы и пытались сделать и этого достигли, поскольку дело
касается случая, когда /, т9 п, р суть числа рациональные, а полином
х* + 1хъ + тх2 + пх -f- p
неразложим на линейные множители при помощи одних
квадратных радикалов. Найденная нами метода интегрирования
соответствующих этому случаю дифференциалов позволяет, при помощи ряда
однообразных операций, или убедиться в невозможности этого интегрирования
в конечном виде, или выполнить его до конца. Во всех случаях процесс
оканчивается, и для числа операций, которые приходится произвести,
всегда можно назначить предел. Откладывая изложение этой методы
до обстоятельного об этом предмете мемуара, мы ограничимся теперь
замечанием, что для разобранного нами случая рассматриваемая метода
дает непогрешимое средство определять, на каком месте всегда можно
остановить разложение в непрерывную дробь при разыскании интеграла
по способу Абеля.
Принимая для упрощения, что дифференциал _/-— , * , , dx
r J r ^ у х*-{-1х*-\-тх*-{-пх-{-р
приведен к виду
Ух^ + рхъ + дх + г
где ру q, r—числа целые, мы можем следующим образом дополнить
методу Абеля в приложении к рассматриваемому случаю.
Если в дифференциале
V&-\ px* + qx + r
полином xiJrpx2-\-qxJrr имеет коэффициентами целые числа и
неразложим на линейные множители при помощи одних квадратных
радикалов, то этот дифференциал не может быть интегрирован в
конечном виде, каково бы ни было значение А, коль скоро в непрерывной
дроби, происходящей от разложения радикала
Vx*+px2+qx+r,
ни один из 2N—1 первых знаменателей не будет второй с гепени,
причем N означает число целых решений уравнений
у2 — 3xz=p2+l2r,
z* (4x*z — х2у2 — 18xyz -f 4y3 + 2722) =
= (4p* + 27q2)q2 — lQ\(p2 — 4r)2 + 9pq2]r.
— 344 —
В противном случае, при некотором значении А, дифференциал
* + А нг
Vx*-\-px*-\-qx + r
проинтегрируется в конечном виде, и интеграл его найдется по формуле
11осг ? W + У'хЧ:.™: "t" чх -г г
где ср (х) есть подходящая дробь, которую получим, когда при
разложении в непрерывную дробь радикала
Vx± + px"^-qx—r
остановимся на первом знаменателе второй степени, а ).— степень
числителя этой подходящей дроби.
Дополненная таким образом метода Абеля дает все, что нужно для
интегрирования рассматриваемых дифференциалов, ибо всегда можно
определить число N, изображающее, сколько целых решений
допускается уравнениями
j/2 — Зхг=р- -J- 12г,
22 {4x*z — х2у2 — \8xyz-j- 4у3 + 27 z-) =
= (4/?3 + 27 q*) q«-—l6 Г(р2_ 4r)2-L-9pq*] г.
В самом деле, последнее уравнение предполагает, что кгадрат z
делит число
Поэтому, разыскивая квадратные делители этого числа, мы получим
все значения, которые может иметь неизвестная z. С другой стороны,
принимая для z каждое из этих значений со знаком -f- или —, мы
получаем для определения х и у два уравнения, которые вполне
определяют эти неизвестные и по самому виду не могут иметь более шести
-решений. Вследствие этого нетрудно перечислить все целые решения
этих уравнений, и мы видим, что число их никогда не превзойдет
взятого 12 раз числа квадратных делителей выражения
(4/>3 + 27?2) ^2—16 ^2 _ 4Г)2 + 9pq2] г.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА ^,+J^+i
Интегрирование дифференциала
х + А
■dx
Vx* + ахз -f рл-2 + Тлг + о
не представляет никакого затруднения, если функция-
x4 + ax3 + j3;c2 + Y<K + s
имеет равные множители; вследствие чего, оставляя в стороне этот
случай, мы будем предполагать везде в последующем, что множители
функции
x4 + ax3 + p^2 + Y^ + 5
все различны. В этом предположении интегрирование в конечном виде
дифференциала
dx
Yxt + axt+ljp + ix+t'
как известно, невозможно; откуда заключаем, что интеграл
С х + А
Vx± + ах> + рх2 + Тдг + 6
dx
только в том случае может выражаться в конечном виде, когда гос-
тоянная А выбрана надлежащим образом. В самом деле, если бы мы
допустили, что интегрирование выражения
Х + А -dx
Vx* + aX* + $X*+«(X + &
в конечном виде возможно как в случае А = С, так и в случае А = С1%
то нашли бы, что оно возможно и по отношению к дифференциалу
dx
Vx* + ax* + $х*~ + yjc + 8 '
х | j\
* ,Sur nntteration de la differentielle ,,. л , „ , a 0 , = dx" (Bulletin de
* Vx* + ax*-\-$x* + ix + B .
la Classe phys.-iaath. de l'Acad. Imp. des Sciences de St.-Petersbourg, HI (1861), стр.
1—12; представлена 31 (19) окт. 1860); русский перевод А. М. Ляпунова в Собр. соч.
П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр.
517—530. —Ред.
— 346 —
получаемого вычитанием дифференциалов
х + С dr x + Ci dY
Vx± + ax> + $x2 + уд: + о ' Ух* + ал"» + ?or* + 7* + с
одного из другого и делением их разности на С — СХУ чего нельзя
допустить. Вследствие этого дифференциалы вида
Ух* + ах*+ $x* + fX+6
представляют один из двух случаев: или при известном значении А
интеграл
f
Ух* + ах* + 'рх* + чх -
рая
dx
выражается в конечном виде, или такое выражение
х + А
| У х* + ад:3 -f- p.v- + Т-* + о
невозможно ни при каком значении для Л. Исследование дифференциала
Х + А dx
У х* -f- ад:3 -|" Ъх*1 + Y-* -г ^
в этом отношении имеет весьма большую важность. К этому именно
окончательно приводится интегрирование дифференциалов, содержащих
квадратный корень из полинома третьей или четвертой степени, как
было нами показано в мемуаре, касающемся таких дифференциалов,
и только таким путем можно узнать, приводится или нет данная
эллиптическая функция третьего рода к эллиптической функции первого
рода. Эти важные вопросы превышают средства анализа в его
современном состоянии, за неимением верного признака, при помощи которого,
по данным величинам коэффициентов а, [}, у, й, можно было бы
узнавать, при всех ли значениях А интегрирование в конечном виде
дифференциала
х + А г
:I— ^r dx,
Ух* + ах* + № + 1Х + *
невозможно; или нет. На основании того, что было показано Абелем
в его остроумном мемуаре об интегрировании дифференциала ^Л,
•интеграл
■^Л ^
1>
Ух* + ах* + $х* + чх + а
только в том случае невозможен в конечном виде ни при какой
величине Л, когда непрерывная дробь, получаемая при разложении радикала
Kx4 + a;c3 + P*2 + Y-x; + 8>
не обладает периодичностью. Но убедиться в этом мы не можем, как
бы далеко ни было продолжаемо разложение
Ух* + ах* + $х* + чх + й,
в виду того' что <шсло членов в периоде остается неопределенным.
— 347 —
Нельзя также получить ничего полезного для этого вопроса и из
рассмотрения известных определенных интегралов, позволяющих определить
аналитически все случаи дифференциалов
yV + сие* + рл* + ^х+Ь '
интегрирующихся в конечном виде; ибо для того, чтобы способом этим
узнать, что данный дифференциал не допускает такого интегрирования
ни при каких значениях Л, необходимо иметь точные величины
названных интегралов, между тем как интегралы эти могут быть вычисляемы
по коэффициентам а, (5, у, Ь только с большим или меньшим
приближением.
Для полного решения только что упомянутых важных вопросов
должно найти способ, который позволял бы по коэффициентам а, р, у, Ь
и при помощи конечного числа алгебраических действий узнавать,
возможно или нет выбрать А так, чтобы интеграл
i
^+* ,dx
Ух* + ах* + И + Т* + * '
выражался в конечном виде. Зто именно мы и пытались сделать для
случая рациональных а, р, у, о" и для этого случая мы нашли методу,
которая позволяет посредством конечного числа алгебраических
действий или найти выражение интеграла
х + А
\-
.dx>
Ул* + ах*4- рлг2 + т* + S'
при известной величине А, или убедиться, что интеграл этот в
конечном виде невозможен ни при какой величине Л.
Эта метода интегрирования дифференциала
х + А
где
/** + ах* + $х* + чх + 5
а, Р, у, $
dx,
числа рациональные, состоит в следующем:
1) Интеграл
i
х + А
приводим к виду
уХ4 + ахг + pjp2 + Тл- + «
Г . '±1 <fe,
ИХ
где /, яг, /г — числа целые, чего всегда можно достигнуть при помощи
линейной подстановки
x = aQz-\-bQy
если функция - " ~
х* + ах* + $х*-{-чх + Ъ
обладает рациональным множителем первой степени. В противном
.случае интеграл
С х + А .
J Vx* +ах* + fx* + чх + $
— 348 —
предварительно преобразовываем, полагая
1 _ 4?-
= 2\
вследствие чего, делая
— За* + 16tffi — 16а? — 16Р + 64S
За* — 2? = 6,
4
8
__5.а«+-£а?-т = *,
находим
где новый интеграл под знаком радикала содержит полином,
обладающий рациональным множителем z.
2) Исследуем, разложима ли функция
24 -j- lzz + mz2 -j- nz
на два рациональных множителя второй степени
(& + pz)(* + rz'+s),
коэффициенты которых р, г, s удовлетворяли бы уравнению
s(p*—pr-\-s) = точному квадрату, (1)
и по крайней мере одному из двух неравенств
pr—2s>0 или 4s — г*>0. (2)
В случае, когда функцию
z* + &8 + ™& + ж
возможно разложить на два множителя
(* + /«), (0 + TZ + S),
удовлетворяющих этим условиям, и когда р не равно г, интеграл.
Г *±1 dx
)V* + lz*'+mz* + nz '
преобразовываем, полагая
(r-p)z+s —Zl>
что дает
Г *JrB dx= 1 Г *i+lL~P)№-p) dz ,
lyzt + W + mzi + nz 2 УУъ1ъ + (р-гШ*1+Р*-РП* + *з*й
Новый интеграл
J ^ Л + (/>-/■}*] t(^i+^-^)2+4»1] J
— .349;—.
преобразовываем таким же образом, если функция
^fe + (P-/)2][(^+P2-P^2 + 4^1]
разложима на два рациональных множителя
удовлетворяющих условиям
s{p\—А^ + ^) = точному квадрату,
рхгх — 2s\ > 0 или 4^ — y\ > О,
при ри отличном от гл, и т. д. Если при этих, преобразованиях мы
встретим интеграл
, jVzt+lrf + mrf + nn "
в котором функция
разлагается на два множителя
(^ + Л**) (*/+ ***, + *,)
с коэффициентами piy r{9 равными между собою, то выражение этого
интеграла получим тотчас же по формуле
ti+jPi i V' 4+Pi*i+V А Л-PjZj + st
V(zi+pfr)(*l+Pi*i+Si) z,~^- og У*}+р&-У**+Р&+зй9
принимая
Bt=jPt.
В противном случае будем повторять эти преобразования до тех пор,
пока не придем к интегралу
в котором функция
не будет более разложима на два рациональных множителя второй степени
удовлетворяющих условиям
s\ (Р\ — P\r\ + s\) — точному квадрату,
pxr^ — 2sxy0 или 4sx — r2>0,
и с интегралом этим будем поступать, как сейчас будет показано.
3) Имея дело с дифференциалом
У* + 1гВ + тг* + пг '
где функция
1
— 350 —
неразлджяиа на два рациональных множителя
(2?+pz)(z* + rz + s),
удовлетворяющих условиям
5 (р2 —pr -f- s) = точному квадрату,
pr— 2s>0 или 45 —г2>0,
вычисляем, руководствуясь формулами
/,+1=-ч-
d)-imiY-
2l) — &imi+l6ni
щ+i=—ni+т limi — §■ li
1й = 1, т0 = т, щ — п,
(3)
числа
/0, /?г0, Яо,
ll9 mu nv
^2> ^2> ^2>
продолжая вычисления до тех пор, пока в ряду этом не встретим числа
дробного или пока не найдем двух систем чисел
соответственно равных. В первом случае заключим, что интеграл
j
z+B
Vz* -j- lz* -f- тг*~\- nz
dz
не выражается в конечном виде ни при какой величине В. Во втором
случае будет несомненно, что при некоторой величине В этот интеграл
выразится в конечном виде, и выражение его найдется в формуле
1=
Г2Н-1 И-2 и-fv "1
П1о2 L/V^/V^-^ V*^A'
(4)
где
1 > ПА+?
— 351 —
суть алгебраические функции переменной z, определяемые следующим
образом:
1,з 1
16
о -j кЩ+ 2по
V^ + W + moP + w ~z*-jkz—^rzA
Z*—-
Тб г1 4" limi-\~ 2 *l
V А+^А+щАл^-A-k^-^^
Z/+l='
1 ,3 ! , , 1
V z)+ 1$ + т$ + п&-$—110г
4/w, —/?
(5)
Что касается величины В, то она будет даваться /такою формулою:
Число операций, которые придется произвести, пользуясь этой
методой интегрирования, будет всегда конечно* Число преобразований»
которые, согласно 2), нужно выполнить над интегралом
г + В
f
dz,
Yz± -\- lz* -f- mz'2 -f- я*
в том случае, когда функция
z4 + /z8+mz2 + flz
разлагается на два множителя
'■ (#-\-pz){* + rz+s)f
удовлетворяюших условиям (1) и (2), будет менее наименьшего из
показателей простых чисел, входящих множителями в числитель и
знаменатель дроби
pr —2& + 2Vs (p2—pr + г)
Ys{jfl-rpr-\-s)
приведенной к простейшему виду. Число систем
которые, согласно 3), нужно вычислить, имея дело с интегралом
) Yz4-JrlzS+mz*JrrtzaZ>
где функция
z*-\-lz* + mz? + nz
— 352 —
н§, разлагается на два множителя
удовлетворяющих условиям (1) и (2), не превзойдет числа целых
решений уравнений
уз—ъхг=т*—з/я,
Z*(4X*Z — X*Y* — 1SXYZ + 4Г3 + 27"Z2) =
= я2 (4/3я — /2m2 — Штп -f 4/тг3 + 27л2),
которое может быть только конечным; в самом деле, в силу второго
уравнения, квадрат неизвестной Z должен быть делителем числа
/г2 (4/8л — /2«а — 18/лш + Ш + 27/г2),
а всякий :раз, когда величина Z выбрана определенным образом, обе
остальные неизвестные этими уравнениями определяются вполне.
Чтобы показать на частных случаях употребление этой методы,
для первого примера разыщем интеграл
Х + А dx.
Так как функция
не имеет рационального множителя первой степени, то, согласно 1),
интеграл этот преобразовываем, полагая
I
2
17
/■
х+ + х* + х + \-х*—\
= z.
Таким путем находим
J у^ + х2 + х + ^ yz 2z z
Замечая, что функцию
z4 — 2г2 — г
можно разложить на два рациональных множителя второй степени
(z*+pz)(z2 + rz-{-s)
не иначе, как принимая
Р = 1, . г=— 1, s = —l,
и что числа эти не удовлетворяют условию
s(p*—pr-\-s) = точному квадрату,
переходим непосредственно к разысканию интеграла
— 353 —
по способу 3). Для этого вычисляем
формулам (3), принимая
/=0,
Таким образом находим
/0= о,
А= 4,
4=—4,
/,= 4,
лх = -2,
т0 = —2,
ягх= 4,
/и2== 4,
тга3= 4,
мечая, что последняя система чисел
4> mj» лз
я =—1
л0 = -
«8 =
-1,
1,
-1,
1.
тождественна со второю
11У щ, л,,
на ней останавливаемся и тотчас же заключаем, что при величине 2Л,
надлежащим образом выбранной, интеграл *
2+2А
h
.dz,
W —2*2 —z
может быть получен в конечном виде. Так как в нашем случае
pL=l, v = 2,
то, на основании (4), будем иметь
где функции
в силу (5), определятся так:
1 ,з 1 г i 1 1
16'о —3" /о/яо+2я° — 5"
я
г.,:
1,з !,._ ,I„ -
4m0 — /J У"лг* —2*» —лг—jzr*-i-l *
У 4+44 + 44+ 21~-z21 — 2z:
2 1
"" 2 - 2
23 п. Л. Чебышсв, *. II
— 354 —
Вследствие этого находим
|f^fe^=bg(KiD+|iog(^7f/i;)=
«Н°§
yV+2*-i-*4-i/ (z + 1)j*
С другой стороны, так как
ji=l, v = 2, /e = 0, /, = 4, 4 = —4,
то из (6) получаем следующую величину для постоянной 2Л:
4 U^4 3 12 А) 3 '
откуда выходит
л-i-
При этих величинах интеграла
и постоянной А формула (7) нам дает
1
х +
V
6 J \ л
=dx=jlog
x*+jfl + x+-2
rfz
где
z=.
lAW — 2г2 — г— z2 -f 1
(2 + 1)"
H-o-bg*,
Внося эту величину z в предыдущее выражение интеграла
1 у— == fljc, окончательно находим
J|/**+*»+*+ Т
^+-S
д*4-Л« + Х + Т
= >g
У
ы+/
dx =
1 \2
(j-^x' + tf + x+^fr-l-j-- УХ^Х*+Х+Х-
1 , ,/•—
= 1 ]ост i!+V* +1 l0g *-?+?*
■Ун
log-
*s+4-+vr"
-/* ' 6 "'6x*+|->/^'
— 355 —
R=x* + x> + x + ±.
Возьмем еще для примера интеграл
J,
dx.
Так как функцию
z4-f5z3 + 3z2 — г
можно разложить на два рациональных множителя
(*+pz)(# + rz+s)f
принимая
р — \, r—49 s=—I,
и так как числа эти удовлетворяют условию
s(p2—pr-\-s)= точному квадрату
и неравенству
рг— 25 > О,
то, согласно способу 2), интеграл
Ji
dz
V~2* + b& + 3# — z
преобразовываем, полагая
{r—p)z + $ 3*—1 х
Таким образом находим
Так как функция
2$ — 2$ —81*2 + 81^
составлена из четырех рациональных множителей первой степени
Zl, ^ — 9, ^—1, 2t + 9,
то для разложения ее на два рациональных множителя второй степени
(sfi+pzW + rz + s)
мы находим три системы значений /?, г, s, а именно:
р = —9, г= 8, 5 = —9,
/?==—1, г= 0, 5 = —81,
р= 9, г= —10, 5= 9.
Но так как ни одна из этих систем не делает количеством^2—pr~{-s)
точным квадратом, то обращаемся к разысканию интеграла
г1 + 6В-3 rf,-
V *}_ 4-81^ + 81^
ii
— 356
по способу 3). Переходя же к определению чисел
1и щ, пг,
по формулам (3), мы должны остановиться на /,, замечая, что для него
выходит дробное значение
1 U-H-31)* _ 104979.
—2—8.1-81+16-81 ~~ 646 '
отсюда заключаем тотчас же, что интеграл
1
* + 6*-3 :dzl9
V4—4—sl4+su'i
а следовательно, и интересующий нас
i
j/>-f 5** + Зг2 —г
*fe
не способны выражаться в конечном виде ни при какой величине
постоянной В.
ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ*
§1. В мемуаре под заглавием „О непрерывных дробях" ** я дал
формулу для интерполирования по способу наименьших квадратовуКаковы бы-
ни были известные величины интерполируемой функции. Теперь я покажу
упрощения, допускаемые этою формулою в случае особенно
замечательном, а именно, когда известные величины функции взяты через
равные промежутки. В этом случае общая формула интерполирования,
соответствующая формуле Лагранжа, приводится к ряду,
соответствующему формуле интерполирования Ньютона, и, подобно ей,
заключающему в своих членах конечные разности данных величин, последовательно
в порядках 1, 2, 3, ..., что в практическом отношении, как известно,
особенно выгодно. Этот ряд дает выражение интерполируемых величин
под видом полиномов большей или меньшей степени, смотря по числу
членов, в нем удерживаемых, и полиномы эти получаются с теми самыми
коэффициентами, которые находят по способу наименьших квадратов,
решая целую систему уравнений, составляемых особенно в каждом
частном предположении относительно степени искомого выражения. Легко
видеть, до какой степени разыскание таких выражений упрощается
употреблением нашего ряда, из которого они прямо получаются, и
последовательно всех степеней, начиная с нулевой. Но этим еще не
ограничивается вся выгода употребления его при интерполировании: этот ряд
представляет также особенные удобства для того, чтобы видеть,
сколькими членами, или, что одно и то же, какими степенями можно
ограничиться в искомом выражении для интерполирования.
При обыкновенных приемах интерполирования по способу
наименьших квадратов для этого нужно перечислять все данные величины по
формуле, находимой в каждом частном предположении относительно
степени ее. Это тем более затруднительно, что такие вычисления
приходится повторять несколько раз, пока не дойдешь до выражения,
представляющего данные с достаточною точностью, так как степень такого
выражения трудно угадать вперед. В этом отношении наша формула
представляет ту важную выгоду, что, прибавляя по ней член за членом
в искомом выражении для интерполирования, мы в то же время прямо
* Опубликовано в приложении к IV тому Записок Имп. Академии Наук, № 5
(1864); см. также Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я
Comma, том I, СПб. 1899, стр. 541—560. —Ред.
** См. стр. 103—126 этого тома. — Ред.
— 358 —
можем видеть, как последовательно убывает сумма квадратов
погрешностей, представляемых этим выражением при определении по нему всех
данных величин; откуда легко получается и среднее квадратическое
этих погрешностей, по которому можно судить о достаточности взятых
членов в искомом выражении.
§ 2. Пусть будет
и0> щ, иа, ... , ип_л
ряд данных величин функции, соответствующих таким величинам
переменной х:
х = 0, 1, 2, ... , п— 1.
Прилагая к этому случаю общую формулу интерполирования*, мы
находим для выражения и полиномом какой-нибудь степени, с
коэффициентами, определяемыми правилом наименьших квадратов, такой ряд;
п п п
2*о(о«< Зь о»/ 2 *»<*)*<
и=—п <М*)4Л Ы*)+—п <Ы*)+ •••, (1)
2*2 (о 2*?w 2*iw
о о
где
Фо(*)> <M*)> <Ы*)>
означают знаменателей в подходящих дробях, получаемых от
разложения суммы
±4~1-+-1-+ + —
х ^ х~~ 1 ' х-2^ ••' I .г-л-fl
в непрерывную дробь вида
Lv 1Ъ Lz — постоянные величины.
В частном случае, нами рассматриваемом, функции
Фо(*)> §Л*)> <Ы*). •••
легко определяются без помощи разложения суммы
1 I— x
л* — л + 1
в непрерывную дробь, и при этом, как мы увидим, открывается весьма
замечательный закон их составления, вследствие чего ряд (1) и
приводится к тому удобному для приложения виду, о котором сказано в
предыдущем параграфе.
Формула (6) вышеупомянутого мемуара.
— 359 —
§ 3. Чтобы найти функции
<М*). &(•*). <М*),
не прибегая к разложению суммы
в непрерывную дробь, мы замечаем, что, по доказанному в
вышеупомянутом мемуаре, эти функции, с одной стороны, будут иметь
степенями
О, 1, 2, ... ,
а с другой — они удовлетворяют таким уравнениям:
|<МШ*)=о, |фх(г)«ка)=о, .... 1^(0^(0=0,
или, что одно и то же,
о
при ц < I.
Этими же свойствами, как нетрудно убедиться, функции
Фо(*)» «М*)> <Ы*)> ■••
определяются вполне, кроме постоянных множителей, которые в них
остаются совершенно произвольными, пока не сделано никакого частного
предположения относительно постоянных Ll9 L2, L& ... в
непрерывной дроби
а 4-А
происходящей от разложения суммы
1 , 1 i I i I 1
х-л+Р
и которые в формуле (1), очевидно, сокращаются.
Чтобы показать, что вышеприведенные свойства функций ф0(*),
$i (*)> Фз (*)» - • • определяют их верно до постоянных множителей,
пусть будет
целая функция, подобно $х(х), степени X и, подобно ей,
удовлетворяющая уравнениям
jj«fre(*)/(0=o, 2^(0/(0=0, ... ,| Ф^ (*)/(*)=е.
о о о
— 360 —
Так как
ФоМ> <М*). <М*)> ••• э Фх-iW» Фх(*)
представляют ряд целых функций, которых степени
О, 1, 2, ..., л—1, л,
то целая функция f(x) степени л всегда представится суммою
где
Л0, л19 ... , лх-1, Лх
постоянные коэффициенты.
Внося же эту величину f(x) в предыдущие уравнения, мы находим
2ф0«/Ю=л2^
0 0 0 О
S*i(0/(0 = A.S$e(i)*1(0 + ^S#(0-f ••• 4-А 2 *,(*)&(*)= о,
0 0 0 0
2Фх-1«/(0 = Л2^-г (*Ш + ••• + A-i2*U(*)-f
0 0 О
Ч~ А 2 *>.-,(*)&(*)== О,
О
что по (2) приводится к таким равенствам:
Л>2Ф2(*)=о, ^2ф?(0=о, ..., A-i2*LiW=o,
о о о
а это предполагает
Л0 = 0, 4, = О, ..., АХтя1=0,
так как суммы квадратов
составленные из действительных функций ф0(лс), &i(x), ... , ф^Л-к) не
могут обращаться в 0. Равенство же нулю коэффициентов
^*0j А"уу ... , А'к^\
в формуле
/ (х) = Лоф0 (*) + А& [х)+... + A-A-i (*) + АФх W
показывает, что функция f{x)9 удовлетворяющая, подобно фх(х),
вышеприведенным условиям, равняется
4Фх(4
где Лх—постоянный коэффициент, и, следовательно, она только таким
коэффициентом и может отличаться от функции ф} (jc), что и
требовалось доказать.
— 361 —
§ 4. На основании доказанного нами, определение функций
Фо(*). <М*). *?i(x), ■■,
верное до постоянных множителей, сводится вообще на отыскивание
целой функции степени )., способной удовлетворить уравнению
S Фа (0/(0= 0, (3)
о
где $р(х) есть целая функция степени ji, a jjl есть число, меняющееся
от 0 до а — 1 включительно.
Чтобы облегчить определение функции/(г) под этим условием, мы
будем ее рассматривать как выражение разности порядка I некоторой
функции F(i). В этом предположении, внося в предыдущее уравнение
величину f(i) по формуле
№ = &F(i), (4)
мы его приводим к такому виду:
Замечая же, что всякая сумма вида ^U{LxVf может быть
преобразована таким образом:
+ (-1)х2лЧ/,_,У, + С (5)
(в чем нетрудно убедиться, взявши конечные разности первой и второй
части этого равенства), мы находим по этой формуле
ЗФ^(0Д^(0 = Ф^(*-1)А^1^(0-^(^2)А^/?(г)+...-
-(-l)^^^(i-l)F(i) + (-'l)l2A^(i-^)/7W + ^
а так как у насфДх)— целая функция степени меньшей >., то Лх ф^ (£—1)
равняется нулю, и предыдущее выражение суммы ЗФ^ДОЧ*) ПРИВ°-
дится к следующему:
-(-l)W~%(i-l)F(i) + C.
Откуда видно, что уравнение
±^(i)^F(i)=0
о
будет удовлетворено, если при пределах
/ = 0, i = n
функции
fr-Wii), &~*F(i),. .... F(i)
— 362 —
обращаются в 0, или, что одно и то же, если при этих величинах i
выражения •
F(i)% F(i+1), F(l + 2)9 ...,-F(i + l-l)
равны нулю; ибо в этом случае функция F(i) и ее 1—1 конечных
разностей, при i = 0 и / = /г, будут равняться нулю. Но обращение в О
функций
F(D, F(i+1), F(i + 2), ..., /чг + i-l),
при i = 0 и £ = /г, предполагает, что функция F(i) обращается в 0 при
1 = 0, 1, 2, ..., а— 1
и при
i = /z, я+1, л + 2, ..., я + 1— 1
и, следовательно, что она в составе своем имеет множители
t, i—l$ i — % ..., i —1+1,
i — n, i — n—1, i — n — 2, ..., i — n —1+1.
Итак, уравнение (З) будет удовлетворено, если мы, полагая
/(f) = AV(i),
возьмем за F(i) такую функцию, которая содержит в себе множителем
произведение
i{i—1)(£—2).-.(i—1+1) (i — n){i — n— l)(i — n — 2).-.
... (£ — » — х-4-1).
С другой стороны, для того, чтобы искомая функция f(i) была
степени 1, з выражении ее по формуле
функция F(i) должна быть, очевидно, степени 21 и, следовательно,
одинаковой степени с произведением
i(i_l)(l_2)...(i — i+l) (i_ n){i — n—\)(i — n— 2)...(f— n—1+1),
Откуда видно, что функция f(i) степени 1, удовлетворяющая
уравнению (3), получится из формулы
/(i) = AV(i),
если взять
F(i) = i(i— l)(i — 2)...(i —1+1) (i—n)(t — я—1)...(£ — п—1 + 1),
к, следовательно, по доказанному в предыдущем параграфе относительно
функций
Ы*)> Ых)> Ы*)» ••»
— 363 —
они выразятся вообще такою формулою:
^{х)=С1Ххх{х—1)...(*—1-1-1)(л — п)(х—п— 1). ..(jc —/г—а + 1), (6).
где Сх есть постоянный коэффициент.
§ 5. При помощи найденного нами выражения функций
<М*)> Ых)> <Ы*)> •-.
определение сумм, входящих в формулу нашу
л я я
S*o«и/ 2 k о»/ 2fef/>a/
и=А: Ъо(х) + —« <М*) 4--Ч <Ш+ •••,
2*о« 2*?w 2*l«
о о о
значительно упрощается.
Мы покажем теперь, что суммы
2<Ы*)«<. 2ф,(*)и„ 2 Ф. (*)«/, ....
0 0 0
содержащие величины й0, ц2, и2, ..., приводятся к суммам,
составленным из конечных разностей этих величин последовательно порядка
О, 1, 2, ... и удобным для вычисления; суммы же
f m |m %ш....
не содержащие этих величин, определяются окончательно.
Для преобразования первых сумм мы замечаем, что общий вид их
такой:
|Ж(*)"/,
что, по вставке найденного нами (6) выражения tyk(x), представляется так:
С^щЬЧ(1— 1).--(J — A+l)(i — n)(i~n— 1)---(г — п — л + 1). (7)
Но по формуле
2 UAxVi = Ui^-1 Vt — Д£/,-_3Дх-2 V,-\
(- 1)^-ЧУ,_х!/,-Н -1)^2 AV^V. + C,
показанной выше, (5), полагая в ней
и,=щ,
^ = ф —1)-.-(г—Х+1)(/ —л)(г —л—1)..-(г —л—Х-1-1)
и замечая, что в этом случае функция Vt и ее X — 1 разностей ДКц
— 364 —
A2V?, ..., Ax-,Vf, при i = 0 и г=л, обращаются в нуль, мы находим
2 я, Лхг(£— 1)- ••(£ —1+ 1)(г —л)(г —л—!)• ■■(i — n — l-fl) =
о
= ( —l)x2i(j—1)---(г —Х+1)(г —ra)(i —л —!)•••
о
-..(i —л — 1+1) ДЧ-»
что можно представить под видом более простым, заменяя во второй
сумме i через z+X; вследствие чего получаем
%аЛЧ(1 — l)-.-(t — Х+1)(г — л)(* — /г— !)...(« — /г — Х + 1) =
о
= (-1)х5 (^-т-Х)(г + Х—l)---(i+l)(f-hX —«)(г + Х —л—1)-..
..-(г-л+1)ДЧ,
или, что одно и то же,
2МХ*(«—1)---(*—1-И)(*—л)(г —я—о- •-{/—л—).+ i)=
о
= 2 (£+1)(г + 2)-••(; + '*)(« —«— 1)(л — i — 2)--.(л — / — а)АЧг,.
А так как в последней сумме, от i = — 1 до £ = — I и от г = л — X
до г=я—1, функция обращается в 0, то в этой сумме пределы
* =— X, i=n — X
без изменения ее величины могут быть заменены такими:
z=0, i—n,
и по выше найденной формуле мы будем иметь:
п
2МЧ(*—1). ••(?•->•+ 1)(*-л)(* —л-1)...(/ —л-x-f 1) =
=2!(*+1)(* + 2)--•(* + *)(« — /•— 1)(л —/ — 2)--.(л —i — Х)ДЧ-,
что по (7) нам дает такую формулу для вычисления сумм 2 Фо (*") я/>
о
2<М*'К-, 2«М*)в„-..;
о о
о
п ■ .
= Cx2{i+l)(t + 2).:.{i + \)(n — l—l)(n — t — 2)...(n — t — 1)ДЧ-.(8)
— 365 —
§ 6. Переходя к вычислению сумм
мы замечаем, что уравнение (8), в предположении
дает относительно этих сумм такую общую формулу:
=с^(г+1)(г+2).-.(£+1)(я-г—1)(я-^-2)--.(л-/-х)дН)1(г);
по формуле же (6) мы находим
= ^^(1 —l)---(i —X+l)(t —n)(t —л—1). .-(f —л —л+1),
что дает нам
^d.x(i) = l.2.3-.-2XCx,
и вследствие этого предыдущее выражение суммы
приводится к следующему:
о
= 1-2- • -2XC?SW4-l)(i+2)- • -(Н*) («-i-l)(«-i-2). • • (n-i-l)l (9)
О
Для облегчения дальнейшего преобразования этой формулы мы
замечаем, что
= 2Х (2Х — 1). • - (л +1) (/ + X) (/ + л — 1)- - - (i+1};, ?
вследствие чего она может быть представлена так:
2 <*?(*) =
о
= 1-2- • ■lClf[(n—i—l)(n—i—2)- ■ -(я—i—Х)Д\;+).)(г+Х-1)- ••(/—/.+1)1;
О
Прилагая к сумме
2(й —f—1)(л —г —2).-.(л —i —а)ДЧ£4-л)(£ + л —l)-..(f —1+1)
— 366 —
формулу (5), по которой находим вообще
+(_i)*2A4/._j/. + c,
мы должны взять
U;=(n — i— \)(п — i — 2)- • -(я— i — \),
Vl = (i + \)(i + \-l). ■ -(z-a+ 1);
а так как в этом случае функции
Л*-1!/,, Л>-^„ .... Л1Л, V,
обращаются в 0 при i = 0, а функции
при i = n, то в приложении этой формулы к нашей сумме члены
сократятся, и эта сумма приведется к следующему:
(-\)xt#Ut_xUt.
О
Находя же по вышеуказанной величине функции Ub что
&Uim.x=&(n — * + *— 1)(л — * + * — 2)---(л — *) =
= (_1)х.ь2.3..-Х,
и замечая, что
V/=(i-f-X)(i + l-l)-.-(f-\+l),
мы таким образом сумму
■2(n-f —1)(я—г —2)...(я —J —1)ДЧ*+Ж*+*—l)---(i—1 + 1)
О
приводим к следующему виду:
я
Ь2.3...х2(г+Х)(г + 1-1)...(£ —х+1).
Что касается до определения последней суммы, то она легко
находится по известным приемам обратного способа разностей.
Так, зная, что
и -замечая, что выражение
щт1(1+к)(1+1-1)---(1-1)
при /'=0 обращается в 0, а при i=n равняется
2ТТТ(я+Х)(л + Х-1)...(л-х),
— 367 —
или
2^я(я*-1«)(л»-2«)...(л»_1»),
мы получаем
п
^(i+Dii + l— !)•••(* — 1+1) = 2Г^г1л(л2—1«)(л« — 2«)...(л« —Х«).
На основании этого, мы по предыдущей формуле находим, что
сумма
2 (/г — £ — 1)(л — / — 2)-..(л — i — Х)ЛХ(* + М* + * —!)•••(* — X-f 1)
о
равняется произведению
Ь2.3...^^л(л2-12)(я2_22)...(^_;2);
я
а это, по внесении в выше найденное выражение суммы 2 Фх (0» Дает
^^^^...^^-^-^.ч^--^ (10>
§ 7. Вследствие показанного нами относительно значения функций
Фо (*)> Ф1 (•*)> Фа (•*)> • • •' входящих в формулу
я = -£
2*о«я< SfcW»/ 2fe(0»/
2*o« 2йо ' 2+i<o
О О О
п п
и сумм вида 2 Фх (*)и/» 2 Ф? (0»эта формула приводится к такому ряду:
и Л
и
в
2«* 32(/ + 1)(л-/-1)Дв,
tt==V+ ° 12.п(я2-12) Ьх(х-п) +
52 (/+ 1) (/ + 2) (я -/- 1)(я_/_2) &щ
+ — р.2а.п(П2-12Ил2_22) Лс(х-1)(х —«)(* — »-1) +
'72^+1)(''+2)(' + 3)(л-/-1)(/1-/-2)(л-/-3)"Д»в,
л«_о : y
~ 1.2.22-32.Л (Л* — I3) (Л* —2=»j (Л2 — 3*) ^
X А8 [•*(■* — 1)(jc — 2)(х — п)(х — п— 1){х — п — 2)J f . . . . (11)
где общий вид членов есть такой:
(2Х +1)2 (/+ 1)" • •(' + *) <л -'* ~ !)■' <п -' -*) *Ч
о •• •■•••,•' • у
ia.2a.--tf-л (л* — 1«)---(ла —1») 'ч
'•ХДЧ^(^— 1)- - -(Jc — *-Н)(* —я)(х —я — ■!).•.(* — п — к±\)].
— 368 —
Что касается до значения функций
Ьх(х— я),
\*х(х— \)(х — п)(х — п— 1),
£х{х —1)(* — 2){х — п)(х — п — \){х — п — 2),
входящих в члены этого ряда, и которые мы для сокращения будем
обозначать так:
А(х), АЦх), tf(x), ...,
то они, по обыкновенным приемам исчисления конечных разностей, легко
найдутся.
Также нетрудно вывести различные формулы для определения
этих функций. Так, на основании известного равенства
±WxVx=Vx+xMJx+± ^У^г-г^-^ + ^-^^^К^^-ЧЛ---,
определяющего разность ДЛ произведения двух функций, делая в нем
С/Л = х(х-1)--.(х —а+1)>
Vx = (x— п)(х— п—1)---{х—п — X-f-1),
мы находим следующее выражение для £-{х):
\-2---\(х-\-1 — n)(x+l — n— l)...(x — «-f 1)-г
+ j-2-3---l-l(x-\-). — ri—\)(x-\-l — n — 2)---{x — n — l)x4-
+Щ^}.3.4...1-10.-1)(х+1-п-2)...(х-п+1)х(х-1) + ...
которое короче можно написать так:
&(х) = 1'2.-.Ц{х + \ — п)(х + \ — п— \)---(х — л+1)+ • • .
+ £(х+к-п-1)...(х-п+1)х +
+ ^£f(x+>.-n-2)...(x-,i+l)x(x-l) + ...).
Другую формулу, более удобную для вычисления Iх (х), мы найдем
на основании известной формулы
№ =/(х)+~7J А/(х)+{х ~Х) (Г,2~1 ~1) ДУ 00 + • • •,
разлагая по ней произведение
(х — п)(х — п— 1)...(л- — п — л+1)
под знаком А в выражении
&(х) = &х{х— !)■..(* — 1+1){х — п){х — п — 1)...(л- —я—1+1),
— 369 —
что дает нам
Ах (л-) = 1 -2--- л(X — п) (}. — п — 1). • .(1 — Л) +
-i-^ -2.3. ••(>.+ l).i().-«)(\-«-l).. -(2-я)4-
+ ^.£ZLl.3...0. + 2)4~a-")a-n-l)...(3-«) +
= (_1)Ч-2...).(л-1)(л-2)...(л-л)
, g— i) л a+ 1) a+-2) xLx— i)_
"Г (п—\){п—2) \*.-£t
1 ПХ+1) -У ;
П— 1 12 I
ft —2)0,— 1)...(/.4-3) .с (л-— 1)(л- —2)
' (л— 1)(л — 2) (л — 3) 12.22-32
(12)
Кроме того, можно найти уравнение для последовательного
вычисления функций
дч*), д*(*), д8м,...
Для этого мы замечаем, что функции
Фх+iW. ФхМ, Фх-iW.
которые, по выше показанному, выражаются так:
Ф.(х) = С^(х),
должны быть связаны уравнением
4\+1(•*) = Ях+А (х) + £х+А-! W.
так как функции
ФоМ. <М*). Ф2М- •••> Фх-iW. «KW.A+iM. •••
означают знаменателей подходящих дробей непрерывной дроби
Притом функция
должна быть линейная, вида
Чк _L-^1±J
<7x+l-j-,
Ах + В;
ибо, как знаем, функции <!>х+1 {х)9 <bx{x), *X-iW имеют степенями
л+1, X, X—1, что, по предыдущему уравнению, предполагает qkttl
первой степени* Внеся же в это уравнение Ах-\-В на место ql+1 и под-
ставя выше показанные величины функций фх+1 (х), ^(х), Фх-iWi МЬ1
находим
сх+, дх+' (*)=(А*+В) c,ix (*)+lx+ А-1 Дх"т (*).
24 П. Л. Чебышев, г. £1
— 370 —
что, по разделении на Сх+1, можно написать так:
ди-1 {Х) — (Мх _|_ М) Ах (х) + ЯАХ-' (л-),
делая
Определивши таким образом вид уравнения, связывающего между
собою функции
дх+1(*), *XW, ^""'W.
мы легко найдем постоянные Af, Л/г, Р, в него входящие; для этого
стоит только вставить в него значения функций
Д, + 1(х), Iх (х), Xх-1 (х)
при трех различных величинах х и найти, при каких постоянных /И, /V,
Р получаемые таким образом уравнения будут удовлетворяться. Так,
делая в нем последовательно х = 09 л:=1, х—2, мы для определения
постоянных
ЛЬ Лг, Р
находим следующие три уравнения:
Ax+I(0) = NAx(0) + P^~I(0)>
^(^(M + ^l'Oi + PA^O),
дх+1(2) = (2М + Л^)Лх(2) + РЛх^(2),
из которых для М, N, Р получаются такие величины:
Ах + 1(2) Лх + 1(1) А^1 (0)
р^ А>(2) ~2 Л>(1) + Ау(0)
Лх(2) ~~ Дх(1) Дх(0)
л^^л>+1(0) -р A'~1(Q)
Ах (0) Ах (0) '
-1X + 1H) AU1(0) _ /Ах-г(1) Ах"1(0)\
Лх(1) Лх(0) \ Ах(1) Лх(0) / '
что, по вставке значений
Iх-1 (0), Дх-'(1), Д^),
Д*(0), Mi), Д*(2),
Дх+,(0), AU1(1), Ax+1(2),
получаемых из выше найденных выражений функции Дх(х), дает
Л/=-(21+1)(я-1),
М=2(2Х+1),
а вследствие того, по предыдущему, получается такое уравнение между
функциями Дх+1(*), 1*(х)9 Iх"1 \х):
Дх+3(х) = (2а-|-1)(2х — я+1)Дх(я') — л* (я2 — л2)^"1 («*)•
— 371 —
На основании этого уравнения и замечая, что
Д°(;е)=1,
Л1(л-) = 2х —я + 1,
мы находим последовательно
А2(х) = 3(2л- — /г+1)2 — л2+1,
д3(х)=15(2^ — /г + 1)з_3(3^ — 7) (2х — п -f-1),
д4(*)= 105(2* — /г+1)4 — 30 (Зл3— 13) (2л: — /г-f- 1)2_|_9(^ — 1)(л2—9),
•Д5(Х) = 945 (2х — я + 1 )Г> — Ю50 (/г2 — 7) (2* — /г + I)3 +
+ 15 (15л* — 230л3 + 407) (2л: —л+1),
и т. д. *
§ 8. Разлагая и по формуле, нами выведенной (§ 7), и-
ограничиваясь в этом разложений различным числом членов, мы получим
выражения функции и под видом полиномов большей или меньшей степени и,
соответственно с этим, представляющих и с большею или меньшего
степенью точности. По этим приближенным выражениям и будут
получаться ее значения
и0, и„ й2, ... , ип_л
с погрешностями более или менее значительными; мы- теперь займемся
определением суммы квадратов погрешностей в получаемых таким
образом значениях
Uq, llV llo, . . . , И/J-l
при различном числе членов, удержанных в разложении и.
Продолжая разложение функции по формуле (1) до последнего
члена, мы находим
п п п
2 Фо (г'> '•/ • 2 *i О "г 2 $« W "t '
» = -^ Ф» W + Л; Ф. W + • • • + —п Ф- (•*). (13)
и 0 0
что, как замечено было в вышеупомянутом мемуаре, будет давать
вполне точно все п значений функций и
нп, н„ и2, ..., ^_х.
Возводя обе части этой формулы в. квадрат, и суммируя для всех
целых величин х, от х = 0 до х = п, мы для определения суммы
п о
2 «г
* Эти функции, как нетрудно убедиться, удовлетворяют такому уравнению
в конечных разностях:
(x + 2){x + 2 — n)&Y + (2x + Z — n-\*~l)±Y--l{l+\)Yz=Qt
где I — степень У.
24*
— 372
находим выражение
2Фо«"; 2<Ы*')^ 2ФЯ(<>«/
... ,л . о _М;) + ..._|_Л_ d>„(i)
-„ Ф>(*)-т--тг—
2*>->
"о" о о
А так как (§ 2) по свойству функций ^(^tiW^^W» ••• сумма
2К0ФЛ0
и
для JX и v различных обращается в 0, то это приводится к следующему:
2 Фо (Оц/
2йм
2ф2(*) +
О
2 '-Н ('»«/
j
L о
2ф?(0 + --.+
2*«ю«/
2Ф*«
2tf(i),
о
что по сокращении дает такое выражение суммы
Ек*
2 Фо о»*) 2*i««/
2 Фа (О
2*?w
+••••
|l*.(0
«/
2*«<o
С другой стороны, перенеся в формуле (13) X —}— 1 членов справа
налево, возведя в квадрат и суммируя от х= О до x-j-zz, мы подобным
образом для определения суммы
2*о»
«/
И;-
2*5»
о
-Фо(*)-.
?ью
аг
2*'«">
•Фх(»)
получим такое выражение:
, (|*-«я')Я
2*?+1«
2*?+г№
2*-<о
о
по составу же этой суммы видно, что представляет сумму квадратов
погрешностей в значениях
Ц)> **!> ^2' • • • > ^л—1>
получаемых из разложения и в ряд
и =
2*o«*i 2 ФИО «i
S*2w
2*?»
0
— 373 —
когда его останавливают на ().-}- 1)-м члене,
,».2 /-х
2ф?(о
Поэтому, изображая для сокращения сумму квадратов таких
погрешностей через
2<&
мы, по предыдущему, будем иметь
Z*^V *'+vV '+■■
2'^iW 2*ч*ю 2Й(о
Сличая это выражение суммы 2^ с выше найденным выражением
я
суммы 2 й'» мы замечаем между ними такое соотношение:
О * О О
что и послужит нам для вычисления 2<Й.
Что касается до значения членов, входящих в эту формулу, то, по
(8) и (10), мы находим вообще для какого-нибудь л
* 2 12.22. . Ok2./2 (/Z2 — 12) (Я2_ 2^J - . -(Л2 — /2)
О
вследствие чего эта формула приводится к такому виду:
\2и/) з(2(/ + 1)(л--/--1)Дн,
Z*a* — Z*Ui л 12.Л(Я2_12;
]_о —>
12.22.. .\2.П (/22— Р) (л2_ 22j. .. (л* —X2)
2
— 374 -
и дает такое соотношение между суммами S^> S^~i:
(2* + 1)(2(Ж)('+2)- • • (г+Х)(/г—if— 1 )(/2—г—2) -. -(л-/-Х)ДЧг,
Х^ = Х^-г
12.22. . .Х2.л (Л2_ 12} (л2_ 22]. . .(Я2 — *2)
по которому удобно вычислять последовательно суммы
2 di, 2 d\, 2 4, ...
и легко видеть, как они уменьшаются по мере увеличения числа членов
удерживаемых в разложении а. Что касается до первой суммы 2^о,
то она, как нетрудно заметить по предыдущим формулам, будет равна
сумме квадратов разностей величин
2/0, и1У и.,, ... у 11п_г
и их средней арифметической
п
24
_и
п
так как эта средняя составляет первый член разложения и (in
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ*
§ 1, В мемуаре под заглавием „Sur Tintegration des differentielles
irrationnelles** я показал, каким образом при интегрировании в конечном
виде дифференциалов, содержащих корень какой-нибудь степени,
определяется алгебраическая часть и получаются уравнения, определяющие
отдельно каждый из логарифмических членов. Для окончательного
решения вопроса об интегрировании в конечном виде этих
дифференциалов остается найти способ вычислять логарифмические члены по
уравнениям, их определяющим. До сих пор такой способ имеется только
для случаев особенно простых.
В известном мемуаре Абеля об интегрировании дифференциала
А= (Oeuvres completes, t. I, p. 65) мы находим такой способ для случая
квадратного радикала, р — целой функции и R— функции без кратных
множителей. В мемуаре под заглавием „Sur Integration des
differentielles qui contiennent une racine carree d'un polynome du troisieme ou
du quatrieme degre" *** я показал, что тем же способом определяются
логарифмические члены интеграла \~7~dx и в случае р дробного,
если только степень полинома R не более 4. Этот способ определения
логарифмических членов в выражении интеграла \-Л=сЬс9 как
известно, состоит в разложении радикала V R в непрерывную дробь вида
1
*+*
получаемые при этом подходящие дроби выражения VR определяют
те две неизвестные функции, которые входят в состав логарифмического
* Опубликовано в Приложении к VII тому Записок Имп. Академии Наук, № 5
0865); представлено 28 (16) февр. 1865 г.; см. также Собр. соч. П. Л. Чебышева
под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том I, СПб. 1899, стр. 563—608. — Ред.
** „Об интегрировании иррациональных дифференциалов* (1853), стр. 52—69
этого тома. — Ред.
*** ,06 интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из
многочлена третьей или четвертой степени", стр. 71—98 этого тома.—Ряд.
— 376 —
члена при интегрировании дифференциала ~-^ в выше упомянутых случаях.
Можно показать, что этот способ определения логарифмических членов
распространяется и на все остальные случаи интегрирования
дифференциалов, содержащих квадратный корень, и что для этого нужно только
брать разложение радикала VR в непрерывные дроби вида более
общего, а именно:
где sv s2> sz, ... суть некоторые функции х. Но если случай квадратных
радикалов может быть всегда решен при помощи непрерывных дробей,
то нетрудно заметить, что случаи радикалов высших степеней требуют
особенного приема; в этих случаях определение каждого из
логарифмических членов приводится к отыскиванию неизвестных функций, числом
больше двух, между тем как непрерывными дробями решаются только
вопросы с двумя неизвестными функциями. Чтобы показать, в чем
состоит этот прием, заменяющий, в случае радикалов высших степеней,
разложение в непрерывную дробь, которое дает логарифмические члены
в выражении интеграла \-7~dx с радикалом второй степени, я в
настоящем мемуаре покажу интегрирование в конечном виде диффе-
ренциала T7j? с радикалом кубическим у R , предполагая при этом,.
как это делал Абель в вышеупомянутом мемуаре относительно
дифференциалов с радикалом квадратным, что р — функция целая, а рП^ не
имеет рационального делителя.
§ 2. Так как определение алгебраического члена в выражении
рассматриваемых нами интегралов, по замеченному выше, не
представляет никакой трудности, мы будем предполагать, что такой член в
выражении интеграла VrTf.dx был предварительно исключен. В этом
предположении, по § III вышеупомянутого мемуара об интегрировании
иррациональных дифференциалов, степень выражения
?
не будет превосходить —I, а по § VII того же мемуара, степень
выражения
не может быть и ниже — 1; ибо иначе число членов в интеграле Т7% dx
было бы 0. Следовательно, выражение iy= должно быть степени — 1,
— 377 —
что предполагает одинаковость степеней функций £/# и -• Называя же
через X целое число, изображающее степень рациональной функции
£, мы на основании этого находим, что подрадикальная функция R
должна быть степени ЗХ, т. е. степени кратной трем. С другой стороны,
так как по предположению радикал Y~R не имеет рационального
делителя, функция R не должна иметь линейных множителей в степени выше
второй, а потому она вообще будет представляться так:
/? = /?!•/&
где /?t и 7?2 состоят из линейных множителей, различных между собою.
После этих предварительных замечаний мы переходим теперь к
определению интеграла \\7ъ&х- Так как здесь, по предположению, р —
целая функция, и радикал y~R не имеет рационального множителя, то
выражение этого интеграла логарифмическими членами по.теореме I
вышеупомянутого мемуара, будет такого вида:
J^^ = ^l08f?(^)"?M«^)-?eV^)], (1)
где ср (l^R) есть целая функция переменной х и радикала У#, К—
постоянное, а — первообразный корень двучленного уравнения
аз_1=0.
Так как функция y(\/~R) целая относительное и f/R, то она будет.
вообще вида __
X+yyR + Z(VR)\
где X, Y, Z— целые функции х, а это, по внесении RxRl на место R,
приводится к следующему:
где радикалы У^яЬ V R\Ri взаимно друг другом определяются так:
(УЩ)2==ЪУЩ*-
На основании этого, и поставив в предыдущей формуле просто Z на
место ZR2> мы заключаем, что вообще функция у(У#), входящая в выше
показанное выражение интеграла
будет такого вида:
где X,'Y,Z — функции целые," радикал УТ^Щ тождественен с yRK
а радикал yR\R2 определится так:
ЪУШ^(¥^У=(У®2>
— 378 -.
Нетрудно заметить, что в этом выражении ср (|//^) функции A!*, K,Z
могут быть всегда сокращены на общего всем им делителя; ибо это
соответствует сокращению произведения
в формуле (1) на такой делитель, возвышенный в степень l-j-a-f-a2,
а сумма \-{-а-\-а? приводится к нулю, по свойству первообразных
корней уравнения а3 —1=0. На основании этого мы будем всегда
предполагать, что в выражении функции <?(*/#) по формуле
полиномы X, К, Z не имеют общего делителя.
Кроме того, нетрудно показать, что выражение интеграла по
формуле (1) может быть представлено так, что в нем функции <?(]//?),
cp(aj//?), ?(a2j//?), обращаясь в 0 при какой-нибудь величине х = хи
будут содержать множителем х — хт непременно в целых, а не в
дробных степенях. В самом деле, эта формула может быть представлена так:
f тМ* = ±K log [?» (VR) • <?** (a YR) - ?** V VW))
или
^dx = KQ\og[^(VR)^(aVR) -r4<*VR)l
где KQ — ^ #• biVR) =?3(*/#). Здесь функция v0(VR), очевидно,
остается такого же вида, как <? (£//?), т. е. Х-{- yV RiRi + ZVR\Rz\ no
зависимости же ее от у{¥Л) видно, что вообще, если '^(a^jJ/T?)
обращается в 0 при х = хх и имеет множитель х — jc, в степени л, то v{aPi/R)
должна также обращаться в 0 при х=х1 и иметь множитель х — хг
в степени-—, что предполагает п числом целым, так как ®{\/Т?)> будучи
целою функциею х и кубического радикала l/lR, может содержать
множитель х—х% только в таких дробных степенях, которых показатель
имеет знаменателем 3.
Мы будем всегда предполагать, что выражение нашего интеграла
по выше сказанному приведено к виду, в котором функции <?(*//?),
<р(а*//?), y(a?\/R), обращаясь в 0 при какой-либо величине х=хи
имеют множитель jк— хх не иначе как в целых степенях, и что полиномы
X, Г, Z,
входящие в состав функции ср (>//?), не имеют общего делителя. В этом
предположении, как нетрудно показать, ни при какой величине х все
три функции
9(У#), 4\*Yr)> vwVr)
— 379 —
вместе не будут обращаться в 0. В самом деле, мы имеем
что для определения выражений со (а$//?), yi^VH) дает
Ч(аУ1?) = Х+аГУ7Щ+а^¥7Щу
откуда, по свойству первообразных корней уравнения а3 — 1=0, выходит
V(VR) + *2<Р («V~R) + а< <?(а2f/R) = 3ГК/Щ
Из этих же уравнений видно, что обращение в 0 при каком-нибудь
a' = Xj всех трех функций
ViVR), 4(&VR), <t(<*VR)
и происходящая при этом, согласно с вышесказанным, делимость их
на х — хл в целых степенях предполагают, что то же имеет место
относительно функций
х, гУЩЩ? уУЖЩ;
а так как функции Rx и R2 состоят из линейных множителей,
различных между собой, и, следовательно, радикалы
УЩя» УЖЩ
2
не могут содержать множитель х — хг в степени выше у, то это, со своей
стороны, предполагает, что функции
X, Y, Z,
в составе своем содержат х—хг и, следовательно, в противность
вышесказанному, имеют общего делителя.
§ 3. Так как в рассматриваемом-нами дифференциале
Vr
функция р есть целая, то, по § IX выше упомянутого мемуара, для
определения функции ср (j/R), входящей в выражение интеграла
№*■
формулою __ __ _
Klog[v{VR)-r(*¥#yY(*VR)l
находим следующее:
Выражение __ __
сохраняет конечную величину при всех конечных значениях переменной.
— 380 —
На основании этого нетрудно показать, что функции
?(]/#), V(*VR), *{&УЩ
не будут обращаться в 0 ни при какой конечной величине переменной.
В самом деле, допустивши, что какая-нибудь величина х = хг обращает
одну или несколько из этих функций в 0, и называя через }i0, щ, jx
степени множителя х — хг в этих функциях, мы находим, что
произведение __ __
ч(Уя)-г(*У#)-гЧ**Уя)
должно содержать множителя х — хг в степени
Ъ +№ + №*'>''
а так как, по выше замеченному свойству этого произведения, оно
сохраняет конечную величину при х = хи то сумма Ио + ^Ч" **2а2 должна
привестись к 0. Но, по свойству первообразных корней уравнения
аа —1=0, равенство
1*0 + ^1 а + Д2а2 = 0,
где, по предыдущему параграфу, числа -ji0, jjlp jx2 суть целые, не иначе
может быть удовлетворено, как допущением равенства
а это противно положению, ибо предполагает обращение вО при х = хл
всех трех функций __
<?(]//?), *[аУк\ Ч^Уй).
Убедившись таким образом, что никакая величина не будет обращать
в 0 ни одной из этих функций, мы замечаем, что то же должно иметь
относительно их произведения
Ч(У®-Ч(*У$)-Ч(&¥®\
а так как это произведение, очевидно, представляет функцию
рациональную и целую, такая же функция не иначе может сохранять конечную
величину при всех конечных величинах переменной, как будучи нулевой
степени и, следовательно, постоянною, мы заключаем, что
<Р (УЪ * ? (а У® • ? (а2 Ут == С, (2)
где С — постоянная величина.
§ 4. На основании показанного нами в предыдущем параграфе мы
видим, что возможность выразить интеграл
?-dx
формулою (1) предполагает возможность удовлетворить уравнению (2)
функциею у(УП) вида
х+гУ*Щ+гУЩ%,
где X, Y, Z суть целые функции х, а /?, R\ есть разложение R на
произведение множителей простых и двойных.
— 381 —
Обратно, предполагая, что функция
удовлетворяет этому уравнению, мы, дифференцированием формулы
убеждаемся, что она выражает значение интеграла такого вида:
Ро
dxy
JVr
где р0 есть целая функция. Прилагая же к этому интегралу то, чт<?
было сказано в § 2 относительно интеграла
j
?
Vr
dx,
мы замечаем, что и здесь выражение 3-7== будет степени —1. Кроме
того, нетрудно показать, что выводимые таким' образом из различных
ду собою только постоянным множителем.
В самом деле, пусть будут
С г
решений уравнения (2) интегралы вида \TT^dx будут разниться меж-
\fsd- W*
два интеграла, которые мы, по предыдущему, находим, принимая за
функцию yii/R) два различных решения уравнения (2); эти интегралы
будут выражаться одними логарифмическими членами, а потому то же
будет иметь место относительно интеграла
РСоро—СгРи„
J~TT~ '
каковы бы ни были значения постоянных коэффициентов С0 и Cv Но
в этом интеграле надлежащим выбором величин С0, Сг можно привести
выражение
Qpo —- £iPi г Ро г» ?i
к степени ниже —1, так как, по замеченному выше, выражения
Ро Pi
Vr ' Vr
будут степени — 1; в этом же случае (§ 2) число членов в выражении
интеграла
J v*
приводится к 0, и, следовательно, величина его обращается в
постоянную, что предполагает равенство
— 382 -
Откуда ясно, что интегралы
выводимые из различных решений уравнений (2), будут разниться только
постоянными множителями.
Из этого видно, что для определения всех интегралов вида
Л dx
Vr '
которые выражаются формулою (1), достаточно найти одно решение
уравнения (2) и что по этому решению мы найдем псе значения
дифференциала .J dx, которых интегралы выражаются такою формулою,
дифференцируя выражение
где ср (f//?) есть функция, удовлетворяющая уравнению (2), а
К—произвольный коэффициент. В случае невозможности удовлетворить
уравнению (2) при каком-либо значении R все интегралы вида у=dx будут
не выразимы формулою (1).
Таким образом, наш вопрос об интегрировании дифференциалов вида
Vr
приводится к отысканию решения уравнения
где
и
R,Rl = R,
чем мы и будем заниматься в следующих параграфах.
Здесь же заметим связь вопроса об интегрировании дифференциала
■.dx,
Vr
нами рассматриваемого, где # = /?t/£i, с таким же вопросом об интег-
е Г f^_ dx, где /?0 = /?i/?o. Прилагая к последнему интегралу то, что
сейчас выведено было относительно первого, мы находим, что
выражение нового интеграла формулою вида (1) будет такое:
I
i^dx=KQlog[^(VRo)-fo(aVR,)-^(^VRo)l,
где функция
— 383 —
представляет решение уравнения
? о (VRU) • ¥о (a VWo) • <р0 (о? УЩ = С.
Сравнивая же вид функций
Ъ(*У%>) = Хо + аГъУ^+**2ь1ПЩ
?о («2 ^о) = *о + а2П ^flffl, + aZo £//Щ
сюда входящих, с видом функций
*(al/R) = X+ayyRTR$ + a*ZyRfR:,
определяющих значение интеграла
при /?=/?! /?2, мы замечаем, что по виду этих функций можно принять
<?o(v/5) = ?(v/^)1
а так как при этих значениях
<Ро(^#о). <?о(а^£о), <?o(*2^#o)
уравнение
<Ро(>/^о)-(?о(а№о)-?о(а2№о) = С
приводится к уравнению
которому функция ?(»/#) удовлетворяет, то несомненно, "что эти
значения функций <ой(Уф), Уо(яУЮ, t?0 (a2 j//?) вполне соответствуют
требованиям выше показанной формулы, выражающей значение нового
интеграла
(A. dx;
вследствие чего по этой формуле мы находим
ГА dx = К0 log ЫУт- Г («»К/?) • <?'2 (а |//?) I
Таким образом, функция у(УК), получаемая решением уравнения
<? (Ук~)- 9 («v^)- <Р (<*У$) = С,
послужит нам для определения интеграла
— 384 —
и в предположении 2
R=Ri R2,
и в предположении 2
в первом случае выражение это'го интеграла представится формулою
к log [с? ( Vrvt (* Vr)Y(*VR)1
во втором — формулою
K\og[^{irRyr{^V^y^\aVR)l
§ 5. Относительно решений уравнения
¥(^#)-?(а^)-?(«2 lrR)=C,
где функция ?(]//?) вида
нетрудно заметить, что по одному из них можно найти бесконечное
множество других. В самом деле, если этому уравнению мы
удовлетворим, принимая
• • . <r(VR)=b(VR)>
где %(VR) есть функция вида
Х+ Y УТЩ + Z УЩ«9
то этому уравнению будет также удовлетворять
<Р (VR) = ?о ( */tf) • fol (a VR) • № ?//?),
где pi, jij, ja2 суть какие-нибудь целые положительные числа; так как по
этой формуле функция <?()//?) получается также вида
х+ гУТЩ+z УЩ7?2,
а рассматриваемое нами уравнение при этом значении <р (J/7?)
приводится к равенству __ ___
Ы VR) • ?0 (« v^) • <Ро (*2 К*)]* + * + «- = С,
которое будет иметь место в предположении функции <р0 (|/#) решением
нашего уравнения.
На основании этого нетрудно показать, что для всякого уравнения
?(^).c?(ai3/7?).(?(a2^) = C,
имеющего решения, найдется такое решение, в котором функция <?(*/#!
степени отрицательной, функции же y(a\/R) и u{a?\/~R) имеют
степени положительные и притом равные.
В самом деле, пусть будет
v(Vr)=vo(¥r)
какое-нибудь из решений этого уравнения; п^п^тц — степени функций
^{VRl b(*VR), чЛ*У#)
и N—наибольшее из чисел nQyrtvn2.
— 385 —
Принимая в выше показанной формуле,, определяющей различные
решения нашего уравнения по одному из них,
]i = N — n(sy \Lx = N — nv p.2 = N — n2,
получаем
V (VR) = ?о"-Лв (VR) • ? A"* (af/R). ?0"-* (a« £//?).
Замечая же, что, по положению,, функции ©0(j!//?), <p0.(a £//?),
cp0(a2>//?) суть степеней л0,л1Эл2, мы по этой формуле находим, что
степени функций
<t(i/R) = *<>"-"* (j/tf) • ?u^,Zl (a */£) • 'fo7""^ (*2 ^
<? (a $/#) = ?0"-*> (a */£,. ?о*-Я1 (aS */£). ?олг-Ла( s^
имеют такие величины:
N {n0 + щ + л*) — Яо — я? — «1.
Л'К + ^ + Яз) — щпл — л^о — ^2/z0,
N (я0 -{- «1 + >*2) — Щп2 — пгп0 — д2/^ .
А так как сумма /z0-f-^-[-л2 означает степень произведения
которое по уравнению, нами рассматриваемому, приводится к
постоянной величине, то эта сумма должна обращаться в 0, вследствие чего
выше найденные выражения степеней функций
<?(VR), <?(*VR)>- 4№¥RY
приводится к следующим:
2 2 2
— Ло — П\ — П21 —П0ПХ— ПгП2 — /V4, —ПЬП2 — Я0Л;—П2Пи
откуда видно, что первая функция степени отрицательной, а последние
две имеют одинаковую степень. Замечая же, что сумма этих степеней
приводится к —(п0 -f- Щ + п2)2 = 0, мы убеждаемся, что последние две
степени должны быть положительные.
Убедясь таким образом, что между различными решениями нашего
уравнения всегда найдется такое, в котором выражение ^(y/^R) степени
отрицательной, выражения же <р (а >//?), ср(а2*//?) имеют одинаковую
степень и притом положительную, мы теперь займемся определением
такого решения. Изображая через п целое положительное число,
означающее степень выражений ср (а £//?), у{а?\/ТЬ в этом решении, и
замечая, что по нашему уравнению сумма степеней функций <p(J//?),
<р(а£/#), у(аг VR\ должна быть -в, мы находим что степень функции
w{\/7l) будет равна —2л. Обратно, нетрудно убедиться, что наше
уравнение всегда будет удовлетворено, если степень фуркции <р (>//?)
не выше — 2п, а степень функций с© (a Y~R\ <f(a* VR) не выше л, тд^
25 fh л. Чебдаиев, т. И
— 386 —
п — какое-нибудь число; ибо в этом случае степень произведения
будет не выше 0. По составу же этого произведения видно, что оно
приводится к функции рациональной и целой, а такая функция не иначе
может быть нулевой степени, как при обращении в постоянное
количество, что предполагает уравнение
<? (VRV ? (я VRY ? (a2 VR) = С.
Из этого видно, что определение отыскиваемого нами решения
уравнения (2) приводится к определению такой функции з(^/7?), которая,
будучи вида
имела бы степень не выше —2л, степени выражений- ю{аУТ<),
<р(а2>//<Г) были бы не выше п> где п — какое-нибудь целое или
положительное число.
С другой стороны, по формуле
<f(VR) = X + rffRJ$ + Z \/~Шг
мы находим, как показано в § 2,
3Z ]ГЩ = '? (VR) + d'f {о- VR) + a2? (*2 VR),
откуда видно, что в отыскиваемом нами решении уравнения (2) члены
х, у{Ль&,- zyrWRz
не будут степени выше, чем функции.
и, следовательно, степени их не будут превосходить предела п.
Обратно, по формуле
*(УЩ=х+гуП^+гугя$ъ
яснд,.что функции
?(а/й), <?(a*VR)
будут степеней не выше п, если то же имеет место относительно
каждого из членов
Xt- VfrR^L Z^"^R2t
Вследствие этого, по замеченному нами выше относительно
отыскиваемого нами решения уравнения (2), определение его сводится на onpef-
деление:*значейия'трех''йолиномов X, K^Z^npn которых всё члены вы-
— 387 —
ражения
<р (VR) = X + У y/"/?i/?l+ Z ^RlR,
степеней не выше п9 степень же всего этого выражения не выше — 2п,
где п — какое-нибудь целое положительное число. Определением под
этими условиями полиномов
X, Y, Z,
входящих в формулу
*(VR) = X+Y}/rR1Rl-\-Z^R21R2,
мы теперь и займемся.
§ 6. Принимая за п какое-нибудь число, мы, в этом частном
предположении относительно л, найдем высший предел степеней полиномов,
X, Y, Z по условию, что выражения
должно быть степени не выше п; для определения же коэффициентов^
этих полинохмоз мы замечаем, что по условию выражение
Х+ Y^RjRt +ZyrF$R~2
должно быть степени не выше —2/г и, следовательно, в разложении
его по нисходящим степеням х все члены до -^ должны сокращаться,
откуда получается ряд уравнений, которым должны удовлетворять
коэффициенты полиномов X, Y, Z и которые относительно этих
коэффициентов будут первой степени. Если эти уравнения будут совместны,
решением их мы найдем коэффициенты полиномов^, Y, Z;b противном
случае будет несомненно, что принятая нами величина п не есть
надлежащая. Так как число п вследствие того, что мы видели выше, остается
неизвестным, подобное определение полиномов X, Y, Z требует
испытания различных предположений о величине числа п до тех пор, пока
получатся уравнения, допускающие решения. Такие испытания различных
величин п тем более затруднительны, что для всякого
частного.предположения относительно числа п придется составлять особенные
уравнения, а эти уравнения, с увеличением числа п, все более и более'
усложняются. Подобное затруднение представляется при решении рас-
сматриваемого нами вопроса и в случае радикала квадратного; но там
оно устраняется непрерывными дробями,-так как в этом случае искомых
полиномов только два и условия, их определяющие, приводятся к тому,
чтобы выражения X, YVR были степени не выше какого-нибудь пре-:
дела я, степень же разности X—YV~R были бы не выше —л, что
прямо указывает на равенство отношения -р с'одной из подходящих дрэ-,
бей радикала1/7?, получаемых разложением его. в непрерывную дробь.,.
В рассматриваемом нами случае, где искомых полиномов три, непрерыв-"
ные дроби, очевидно, не йогут иметь приложений; прием, заменяющий
здесь разложение в непрерывную дробь, будет предметом следующих
параграфов.
: 25*
— 388 —
§ 7. Выражение
.<р (у%) = X±Y }/~RiRl+Z }^Ш,
не может быть степени ниже —2/?, если члены его
и, следовательно, выражении
<р,Ся ]/#) = * + * К]^^+a*Z уЖ,
степени, не выше п; ибо иначе степень произведения
ч(УR)•-Н* №)•<?(** УR) ■
была бы отрицательная, что невозможно, так как это произведение
приводится к функции рациональной и целой. Из этого видно, что
отыскиваемые нами полиномы X, Y, Z, для которых выражение
ч(УЪ)=х+у¥яД+г¥Ш,
остается степени не выше — 2/7, а каждый из членов степени не выше я,
приводят это выражение к самой низкой степени, до которой оно может
быть доведено в том случае, когда степень его членов не превосходит
предела /г. Откуда ясно, что такие полиномы, для некоторого значения
N=n7 представляют решение следующей задачи:
Между выражениями вида
X+Y^R^ + Z //"*?%,
в которых члены. X, Yy R-iRI, Zy RlR2 степени не выше N,
найти то, которого степень самая низкая.
Вследствие этого наши полиномы (если только уравнение (2)
возможно) найдутся между системами значений Х> К* Z, получаемыми
решением этой задачи в предположении N=l9 2, 3, ... . Между
этими системами значений AT, Yy Z мы легко узнаем ту, которая
дает искомые полиномы; так как при этих значениях Xf Г, Z степень
X^-Yy /?1/?2 + ^)/ #?/?2 бУДет не выше — 2л, где п — предел
степеней X, YyRxRfc, Zj/ R(R<>; для всех же других значений X, К, Z
степень выражения
х+ур!1$+гуПЩр
сравнительно со степенями членов X, Y у /?,/$, Zy RiR2 будет выше.
Таким образом^ вся трудность отыскания наших полиномов сводится на
определение решений выше показанной задачи, соответствующих
различным значениям N. Этим мы теперь и займемся.
— 389 —
Приступая к этому, мы замечаем, что для всех величин ■ N, меньших
3/ "^ з f—§—
степени у /?ХК2 и степени у RiR2> в рассматриваемой нами задаче
выражение _
не должно заключать членов
YjrR.Rl z¥r{R,,,
так как степени их, при этих, величинах N, будут всегда превосходить .V.
Вследствие чего, при этих величинах N, выражение
х+ ууг^Щ+г^^Ш^
приводится к одному члену X, и так как низшая степень функции X
есть 0 и эта степень соответствует обращению его в постоянное
количество, то рассматриваемая нами задача, при всех вышеупомянутых
значениях N, будет представлять такое решение:
Для тех значений N, которые не меньше степени]/ Z^/?!, но меньше
степени]/ R$R2 или, обратно, не меньше степени у RiR2, но меньше
степени у RxRl, в рассматриваемой нами задаче выражение
^(УЦ=х+гуг^1^гу/'Ш2
будет иметь только два члена:
или
Х+Уу R1Rl
или
з/
X + Zyff&Rv
*r~r
смотря потому, будет ли число N меньше степени функции]/ RiR2, или
степени функции у RJ&. В том и другом случае, как нетрудно
заметить, задача наша решается помощью непрерывных дробей; но, не
останавливаясь на этих частных случаях, мы займемся теперь решением
нашей задачи в общем виде, предполагая, что функция
может содержать все три члена.
§ 8. Так как выражение
и каждый из его членов-в отдельности не меняют своих степеней от
умножения всех трех полиномов! X, Y, Z на какое-либо постоянное ко-
— 390 —
личество, мы, при решении нашей задачи, не будем обращать внимания
на постоянные множители, общие этим поликомам, и будем считать за
одно решение такие, которые разнятся между собой только подобными
множителями. Условившись в этом, мы теперь покажем, что для
всякого данного числа N наша задача будет иметь только одно решение.
Для доказательства этого допустим противное и положим, что
Х=Х' Y=r, Z=Z\
Х=Х» Х=У, Z = Z"
представляют два решения нашей задачи и что степень выражения
доведенная до jininimuni'a при этих решениях, равняется /л, а
коэффициент при хт имеет значения К' и К\ Так как рассматриваемые решения
предполагаются различными, то, согласно с вышесказанным, отноше-
X' YT Z*
ния yjr, pjr, -ух не могут равняться какому-либо постоянному числу,
и, следовательно, такие три разности
К'Х" — К*Х; K'Y" — K"Y\ KrZn — K"Zr
не могут все вместе обратиться в 0. Принимая же эти разности за
значения полиномов X, Yy Z в выражении
мы замечаем, что оно обращается в разность
где, по замеченному выше относительно коэффициента при хт в
разложениях
X' + г ]TrM+Z' VtiR» x" + г VrM -f z" ^Щ,
член с хт сокращается и, следовательно, степень получается ниже ту
что, в противность предположению, показывает возможность сделать
степень выражения
ниже i7i, и притом оставляя члены его, по условию задачи, степени не
выше ЛЛ, ибо, очевидно, предел этих степеней будет один и тот же как
для предположенных нами двух решений нашей задачи
Х=Х\ Y=Y\ Z = Z\
Х=Х\ Y=Y\ Z = Z\
так и для значений X, Y, Z, определяемых формулами
X = К!Х" — К*Х', Y= K'Y* — K*Y\ Z = КГ — K*Z\
Убедясь таким образом, что при всякой данной величине N наша
задача имеет одно решение, мы теперь перейдем к рассмотрению соот-
— 391 —
ношения, которое существует между решениями ее при различных
величинах N. з
Мы видели, что для всех значений N, меньших и степени]//^/?!
и степени yRiR2, задача наша имеет такое решение:
з з
y(y$=x+vV^i + zVRiR,=c,
или, сокращая, согласно с выше замеченным, на постоянный
множитель С, __
w(l/R)=L
Называя через щ наименьшую из степеней функций
мы, таким образом, для всех значений N, от N=0 до Ы—пй не
включительно, будем иметь
<?(VR)=l.
Переходя к большим значениям N, изобразим через
<Ро (VR) = *о + П VR~M + Zu УШг,
3 3
Ь(УЩ = ХЛ + Г, \fR,Rl+Z, У RlRt,
з з _____
*0(yR) = Xp + ryR^ + ZpVR2iR2,
ряд различных значений функции
ср (VR) = X + Y \fRARi + Z у /Й/?я,
представляющихся при решении нашей задачи, когда за Л/
последовательно принимаем
Так как одна и та же система полиномов X, Y> Z и, следовательно, одна
и та же величина функции y{VR) может получиться при решении
нашей задачи в различных предположениях относительно числа N, мы для
большей общности предполагаем, что
9(VR)=b(VR)
соответствует значениям N от N=n0 до N=n1 не включительно, что
соответствует значениям N от N—n^ до N = n2ne включительно и
т. д., вообще, что
будет решением задачи от N=n? до N=n?+l не включительно.
— 392 —
§ 9. Приступая к исследованию ряда функций
определяемых, как сейчас видели, решением нашей задачи при
различных значениях N, мы рассмотрим сначала, каким образом, будут
определяться решения нашей задачи. Называя степени функций у R^R% у R( ?2
через 1, У и замечая, что, по условию задачи, степени членов
выражения
не должны превосходить N, мы, заключаем, что полиномы X, Y, Z
должны быть такого вида:
X=L,xN + Lfx^1 + ••• +LNx + Lw,
Z = РгхЫ' + P2x^'-i + • • • + Pn-x>x + PN-»+u
где
Mp Af„, ... , Mn-*9 M.v-x-f-i.
Pv P:, . .. , P,v-^, Рд'-x^i,
постоянные коэффициенты, числом 3N—I — Х' + З. Внося эти
выражения полиномов X, Yy Z в формулу
з я
и заменяя радикалы
• у яД уШ2
разложением их по нисходящим степеням х, мы найдем для функции
(р(>/^) разложение такого вида:
где коэффициенты
К\, К^ АГз, . ..
будут известные линейные функции ЗЛ/" —). — V -f- 3 выше означенных
коэффициентов, заключающихся в полиномах X, К, Z. Переходя к тому
случаю, когда рассматриваемые нами полиномы представляют решение
нашей задачи, и изображая через т степень, до которой такими
полиномами доводится степень выражения yd^R), мы, по выше показанному
разложению <p(i//?), заключаем, что в этом случае коэффициенты
полиномов Ху Y, Z должны удовлетворять уравнениям
где С —есть количество, отличное от 0 (оно найдется по
коэффициентам X, Y, Z в рассматриваемом решении нашей задачи). Из этого видно.
— 393 —
что уравнения .
при решении их относительно количеств
Lv Lo, ... , i/v+b
ЛГ„ ЛГ,, ... , ЛГлг-х+ь
Р19 Р2, . . . , Рдг_х^_1
не могут оказаться несовместными. С другой стороны, нетрудно
заметить, что эти уравнения больше одного решения иметь не могут, В
самом деле, если мы допустим противное и положим, что
Х\ Г, Z\ Х\ Y\ Г
представляют две системы полиномов Х> Г, Z, в которых коэффициенты
удовлетворяют этим уравнениям, то на основании их мы найдем, что
выражение
з з
при
Х = Х'—Х*, Y=Y' — Y\ Z=Z' — Z\
приводясь к разности
х'+ г VrM+г ]^Щ - [х- + г VrM+zt "УШ),
будет степени ниже т, а это противно положению, по которому т есть
з з
низший предел степени выражения Х-\- yVRxrI-{-Z у RiR2 в
рассматриваемом случае.
На оснозании показанного, мы заключаем, что уравнения
/(1 = 0, /Г3 = 0, .... , /&v-« = 0, /Gv-*«+i==C,
при решении их относительно количеств
Ми М2, ... , Млг-ч-ь
Р1Э Р?, ... , Рлм/+1
не могут оказаться, с одной стороны, несовместными, а с другой,
неопределенными, а это, как известно, предполагает, что число уравнений
не меньше числа количеств, определяемых ими; следовательно,
N—m+l^W—1 — 1'+ 3,
что дает нам
т< — (2N— I — V + 2).
Это было выведено в предположении, что N не меньше). и V, степеней
з з
функций у RJ&, У F&R2\ в противном случае выражение
^(УЩ=х+гу^+гуШ2
не может заключать все три члена; но нетрудно показать, что и в этом
случае формула
/п« —(2ЛГ—л —V + 2),
— 394 —
определяющая предел степени ?(*/"/?) при решении нашей задачи, будет
иметь место. В самом деле, если N<CV и не меньше }., то, по
замеченному в § 7, функция yi'-i/lR) будет вида
x+yvrM,
и задача в этом случае решается помощью непрерывных дробей, а
у
именно, рг найдется в ряду подходящих дробей, получаемых разложе-
нием — у /^1 в непрерывную дробь, и она в этом ряду будет
последняя со знаменателем степени не выше N—л. Замечая же, что, по свойству
подходящих дробей, дробь гг, таким образом находимая, дает величину
-УяД
Еерно до членов степени
1
мы заключаем, что выражение
будет степени не выше чем
1
и, следовательно, степень выражения
будет не больше —(N—i-f-l)» как это и предполагает формула
т^ — (2М— а — У+ 2),
при V>N.
То же самое найдем для N<^\ и Жл'.
Что касается до значений Ny меньших и 1 и )/, то в этом случае,
по замеченному выше (§ 8), наша задача имеет своим решением
v(l/R)=ly
и, следовательно, здесь /тг = 0, что также согласно с общею формулою
относительно т, которая, при A>Af, л'>Л/, дает
/ЖО.
Таким образом, мы убеждаемся, что при всех значениях N
функция <?(j//?), получаемая решением нашей задачи, будет степени не
выше — (2М— I—У+ 2). Делая же здесь //=лр+1 —1 и замечая, что
по нашему знакоположению, при Af= лр+1 —I, функция cp(j/#),
решающая нашу задачу, есть
— 395 —
мы на основании этого заключаем, что степень этой функции будет не
выше —(2яр+1 — а — У), или, что одно и то же, не выше степени
\ 2 , ибо RtR2, по нашему знакоположению, степени Х + /Л Это дает
х2пр+1
где
нам такую теорему относительно ряда функций
b(VR)> ъ(УЪ), v*(Vr), ..... %{Vr\ ^aVr)^,
Теорема, Выражение ®A\/R) степени не выше, чем - ^ 2
Л* р+1
я +1 есть предел степеней х в членах функции ?р+1 (jX/?).
§ 10. На основании доказанного нами относительно функций
%(VR), vAVR), biVRl ..-,
вычисление их может быть сведено на определение функций более
простых, таких функций, которых члены содержат х только в степенях
ниже степени R&, между тем как члены рассматриваемых нами
функций tp0 (j/7?), с увеличением р, становятся более и более высокой
степени. Эти новые функции через функции
Ъ{Ук~)> 9ЛУ&)> Ъ(У%), •••
выражаются так:
^о = Фо (]/£)•'?<, (a VR)-vA& VR\ )
»i=?,( VR) •». (« VR) ■ Ь («' VIZ), I
fs = ?, (^) • ¥S (^ Kff) • ?, (a' V^). f
(3)
bo(VR) = b(¥R)>
Ф, (^) = <P, (^) • <?o (a ^#) ■ % (а2 у/Я).
Ф« (^) = Ъ (^) • ?, (« ^) • <P. (*J v^)- Iх W
4>P (v'tf) = ?p (VR)-Ъ-i iaVR)• %-x (* VR). ^
В формулах, определяющих функции
Щ, V\, v„ ... ,
радикал, очевидно, сокращается, и, следовательно, эти функции будут
представлять собою некоторые полиномы; в выражении же функций
ЫУ®. ЪЛУЯ)' UVR)>--'
радикал \Z~R~ остается, а потому эти функции такого же вида, как
<Ро
(VR)> b(VRb 4*{VR)>
— 396 —
т- е- з _ з
Но здесь, как мы сейчас покажем, все члены будут степени ниже /?, /?,,
и то же будет иметь место относительно функций v0, vv vv ...
Чтобы убедиться в этом, мы. замечаем, что, по §^8, все члены
выражения Фр_г(?/#),а потому исамыевыражения»р_,(а^/?), ?,,_, (a2 ¥~R),
будут степени не выше, чем
X р-1,
выражение же v9{r/R), по теореме § 9, степени не выше -££-; отку-
да видно, что функция
будет степени не выше, чем
•X р-ьЛ-1
Но так как, по нашему знакоположению (§ 8), ряд
Л0, Щ, Я2, . . .
состоит из чисел целых, возрастающих, то лр+1 ~л?-1 не меньше 2; а
потому, на основании предыдущего, мы заключаем, что функция Фр (>//?)
будет степени не выше, чем -£4—.
• Рассматривая подобным образом выражения функций
для которых предыдущая формула дает
ФЛ*2 К/?) = ?Р(а» 5/7?)-ТР-1(^)-?Р-1 (а У*)>
мы находим, что эти функции будут степени не выше, чем
ЛГЛР л: р *Р—1
и, следовательно, не выше, чем
Ml
X *
ибо, по нашему знакоположению, п v np — числа целые и первое меньше
второго.
Убедись таким образом, что все три выражения
%{Vr\ %(*Vr), %{*УЩ
будут степени не выше, чем^^р, мы заключаем (§ 5), что то же
будет иметь место относительно членов их.
Приступая к рассмотрению степени функции v?, мы замечаем, что
выражение ©(>//?), по теореме предыдущего параграфа, будет степени
397 -r-
#1#2
VAaVR), *Aa?VR)
не выше, чем 2/;-_r , по нашему же знакоположению все члены выра-
хш р *
жений
остаются степени не выше /г, а при этом, по формуле
*р = ¥Р(^БИ,(а ^#К (а2 >//?),
функция # не может быть степени выше, чем
*2вЖ . *2(VH—p)
и, следовательно, выше, чем
-1*2, ибо разность яр+1 — лр не может быть меньше 1, так как я?+1, п?
числа целые и #р+1>лр.
Определивши таким образом высший предел степеней во вводимых
нами функциях
*о, vu vt9 ... ,
мы теперь покажем, как наши искомые функции
ь(УМ b(VR)' ъ(У$)> — >
представляющие решение нашей задачи, выразятся через эти более
простые функции, а потом мы займемся определением их.
По (4) мы имеем
что по умножении на функцию <рр_-, (j/R) дает
*p(^)-vi(^)=M^
По формулам же (3), определяющим значения функций
%» V\> v<i> ♦ •• »
мы имеем
а вследствие этого, по предыдущему, мы находим1
ФР(|/#К_* (^) = ¥,(^)'Vt''
откуда для определения функции срр.( ^^) по f^ifv^/?), получается
такая формула:
Заменяя здесь р через р—1, р — 2, .. . # 3, % I и заи&чая что по (4)
^(^^)==ф0 (^^ мы ||аяучаем pip уравнений, которые по перемноже-
— 398 —
нии между собою и сокращении дают
Так определяется функция уЛУВ) через функции более простые
. ©о, Vx, Vv ....
Фо(^). Ф,(^). \{Уя\ •••-
§11. Переходя к определению функций
г/0> fj, vs, ... ,
ЫУ& Ь(УЯ)> Ь(Уя)> -••>
мы на основании формул (4) находим
=*?(Уя)-'?9(а УЯ)-ч,{* УЪ)-*и {Ущ-4-Ло. Уя)-*1-х{<* У®,
что, по (3), приводится к такому равенству:
<М^Н,0* УЪПг(* yR) = v,vl_v
откуда выходит
Эта формула послужит нам для вычисления v no v^u когда будет
известна функция фр (£//?).
Приступая к определению функции ^?(i/rR)t мы замечаем, что в
уравнениях
а также.-вуравнениях^
могут оказаться одинаковые корни, и это, как мы увидим, значительно
усложняет определение функции фр(*//?). Такие особенные случаи мы
рассмотрим после, а теперь покажем определение функции <рр (?//?) в
том виде, как оно будет иметь место вообще, когда ни уравнения
Vi=0> Vs=V
ни уравнения
не имеют общих корней.
По (4) мы имеем
^(^)=^(fl/?)-Vi(a^)-Vi(fl2^
..? \к «>/ тР-
Vi<v^) = 'Vit^J-?P:»(a )//?)• Vita2'^-
— 399 —
Определяя по последней из этих формул значения функций
<РР_, (* *//?). Ъ-х{оаУИ)
и внося в первую, находим
. а это по равенству
¥р-8(VRY%-*{* VRY%-*{* VR)=v,-*,
приводится к следующему
?р ( К #) = 12 '" *
Так как уравнение
по положению, не имеет общих корней с уравнением
Vi=0'
то дробь __ • __
То (|/^) Тр-2 (« У*)"**-* (g2 K^
не может.обращаться в бесконечность ни при каком из корней
уравнения
а в этом случае, как известно, всегда можно найти целую функцию
степени ниже v u которая при всех корнях уравнения
будет иметь ту же величину, как и дробь
с одним каким-либо из трех значений-радикала j/7?. В настоящем
случае значение радикала £//? мы определим таким образом: по равенству
каждый из корней уравнения
Vi = °
должен обращать в нуль функцию ср0-1(.-^/?)пд крайней мере с одним
из трех значений радикала, различающихся множителями а0, а, а2; а так
как, по положению, уравнения
V.(«^)=0, <tf-i(*yR)*=0
не имеют общего корня, то равенство
— 400 —
при каждом из корней уравнения
будет иметь место только для одного значения радикала. С этим
значением радикала 'мы и будем рассматривать дробь
ур- (ущ • ?Р -2 <»уъ) • »Р-з (? у$)
и в этом предположении пусть будет L та целая функция, степени ниже
чем z/ _,, которая при всех корнях уравнения
(предполагаемых пока неравными) имеет одинаковые величины с этой
дробью. С такою функцией L, как нетрудно показать, разность
<К_, (a f/RHt., (а« УЪ-L- %(УЩ
будет обращаться в нуль при всех корнях уравнения
и при всяком из трех значений радикала >//?.
В самом деле, повыше найденному выражению функции &A\/"R),
эта разность представляется так:
а это, по вставке значений функций
%.ЛаУЪ), %-A*VR)>
на основании (4), и по замене, на основании (3), произведения
Ъ-t(VR)• ¥,-,(а УЩ-Ь-t(а2 УЮ
через vf_it приводится к следующему:
%-A^VR)-%.i^yR)-<f,.t(VR)-vf.t-D,
где _ _
D=L — *^*H-»(« у^Ч-г^ i/*)
Рассматривая это выражение разности
мы замечаем, что в нем, при корнях уравнения
будет обращаться в 0 множитель
_ч,-Л**УЩ-ъ-х{*УШ),
если за радикал У# принимается то из значений его, при котором не
имеет места равенство
V,(W)=0;
— 401 —
в противном же случае, по свойству функции I, последний множитель
его D приведется к нулю. Из этого видно, что со всяким из трех
значений радикала YR разность
будет обращаться в нуль при корнях уравнения
На основании этого нетрудно показать, что такая разность, по
приведении к виду Х-\- Y у R^Ri-\-ZyRl% = y(VR), будет
содержать все три полинома X, Y, Z, делящиеся на функцию v г. В самом
деле, по § 2, полиномы X, Y, Z в выражении
3 з
X+Y VR.Ri + Z ]/~RiR2 = *{VR)
должны делиться на х— хи если x = xv обращая в 0 выражения ®(т/Щ,
? (a j!//?), ?(a2 ]/R), не делает /?=0, как это будет иметь место для
всех корней уравнения г/р_1 = 0-(пбэ иначе, в противность положению,
уравнения з^, (a j/,s?) = 0, ^о_1(а2 i/R) = 0 имели бы общий корень)-
Следовательно, по доказанному нами выше относительно разности
%.i(a VRV%-X(& VU)-L-%{VR),
в выражении ее формулою
полиномы X, К, Z должны делиться на каждый из линейных
множителей функции v0_v а потому и на всю эту функцию, так как корни
уравнения vo_1=0 предполагаются неравными. Полагая
4,-1 f„-l
мы таким образом доходим до равенства
которое дает нам такое выражение искомой функции:
- (м+N frR^ + pfrWz*) v0_v (8)
где L, My N, P — некоторые полиномы, и первый, как видели, степени
ниже чем v х.
Это выражение функции cbp (YR) мы вывели, предполагая все корни
уравнения
неравными; но нетрудно заметить, что это, по способу пределов,
распространяется и на случай равных корней. Что же касается до сделан-
26 П. Л. Чебышсв, т. II
— 402 —
ного выше предположения относительно уравнений
по которому ни уравнения
ни уравнения
не должны иметь одинаковых корней, то это, как легко показать, будет
всегда иметь место, если в найденном нами выражении фр(у/Г/?)
произведение
%-Л*УТЪ-%-Л* Vr)
не имеет делителя, общего с функцией v v делителя, который, очевидно,
остался бы и в функции &9(\/R).
В самом деле, по (4) мы находим
ж, заменяя по (3) произведение
<t?.-2(VRHp-%(* У$Уъ-*(а* У®
через ^0_о, получаем
откуда ясно видно, что произведение
и функция v г будут иметь общим множителем х—х19 если х = хг
есть общий корень уравнений
Vi=0' Ve = °-
То же представляется нам, если х^.^ есть общий корень уравнений
Чтобы убедиться в этом, мы замечаем, что, называя через Д то значение
радикала У .1, с которым эти уравнения имеют место для x = xv эти
уравнения можем представить так:
Откуда ясно, что произведение
которое, как мы нашли сейчас, ранно
— 403 —
будет обращаться в нуль при х = х1 и при всех трех значениях
радикала 't/Тг
)/jR — X аД, а2Л;
а это (§ 2) предполагает в этом выражении множителем некоторую
степень х— хг. С другой стороны, по формуле
видно, что обращение в нуль функции vp^(VR) ПРИ *=*i влечет эа
собою делимость целой функции v г на ту же разность х—х1.
§ 12. На основании доказанного нами мы заключаем, что выражение
функции фрС!^) формулою
будет всегда иметь место, если в нем произведение
не имеет делителя, общего с функцией v v С другой стороны, по
доказанному в § 10, функция §9{\/R), по приведении к виду
должна иметь все члены
х9 y^rM z^rIr*
DO
степени не выше чем —~*, а сама представлять выражение степени не
выше -^. Если это будет иметь место только для одной системы
полиномов I, Му N, Р, входящих в формулу
(считая одинаковыми те, которые отличаются только общим постоянным
множителем), функция фр(]/7?) определится прямо через нахождение
такой системы полиномов L, M, N, Р. Если же это будет иметь место
для различных систем полиномов Z,, M, N, Р, то, кроме определения
их, нужно будет выбрать между ними надлежащую систему. Потребные
для того средства будут указаны ниже, а теперь мы покажем, что
такое усложнение определения гЪ{\/7$ по формуле
уД^ = фр_1(а^).фр_1(^^)-1-(Л1+^''ад+Р|/"Щ)ар.1
будет представляться только в особенных, исключительных случаях.
Для этого мы замечаем, что по § 8 члены выражения
V: (VR) = X+Y-i/'RlRl + ZyrRlRi
26*
— 404 —
будут степени не выше nf_x, а потому функция $9-i(¥~R)представится
следующею формулою:
%-1{У$ = Аох"^ + ^xV-i-'4-. • • + Аа?_г+ )
+ (B^--1 ±B1x°f-*-l~1+- ■ •+^p_1_x)VA^l+| (9)
где, по § 9, X, \' означают степени выражений i/R^Rl, \/R\^.
А так как функция у9_л{\/~$), по § 8, может быть сокра'паема на
всякий постоянный множитель, то здесь один из числа 3/г —X — Г4-3
коэффициентов
л0, Лр ..., Ап ^
С0, Gj, -.., Gw —X'
может быть принят равным единице, и затем в выражении функции
•%-i(i/~R!) останется неизвестных только Зл^ — к—\'-\~2
коэффициентов..
С другой стороны, по внесении в формулу
значения функций <рр _,($//?), '^-т U */ <?), 'fp-ifc2^?) из (9) и по
разложении здесь в ряд радикалов уП^Щ, VR\^ мы находим для
функции vfmml выражение такого вида:
где Kit K2, K&. . . функции коэффициентов, входящих в ?p-1(J//?) по (9).
А так как, по § 10, функция v x дэлжна быть степени не выше
чем -V*» или лсН-*'-*, то в выше найденном выражении ее должны
иметь место следующие равенства:
Кг = 0, /Са = 0, - . ., ЛгЗЛр_1-х-.Х'+2 = 0,
что представляет столько уравнений, сколько, по замеченному выше,
нужно найти коэффициентов для определения функции 49-X(l/~R)\ а
затем это выражение v^x приводится к такому виду:
Откуда видно, что функция v } будет вообще степени \-\-Y— 2 й что
степень ее может быть ниже этого предела только в том частном
случае, когда уравнение
удовлетворяется вместе с уравнениями
-405 —
Переходя к определению функции
%(Vr) =x+y У7Щ+ z У7Щ,
мы замечаем, что, по § 10, все члены ее, взятые отдельно, должны
быть степени не выше чем -^, или хх+х'-г; вся же эта функция
должна представлять выражение степени не выше чем ^~ , или лН*'-4.
Откуда видно, с одной стороны, ч?о полиномы X, Y, Z остаются
степеней не выше X-+->/ — 1, л'—1, 1—1 (степени выражений У^Щ,
i/RlR2 суть л, X') и, следовательно, в составе своем они заключают не
более X-{-X'+ X + X'= 2Х + 2Х' коэффициентов и, с другой стороны, эти
коэффициенты должны удовлетворять трем уравнениям, которые
находим, приравнивая нулю коэффициенты при хх+х'~г, х1*"-2, ^ч-^—з в
разложении выражения ^9{V~R) - Так как функция ?p(v/7?), а вместе с нею
и Фр (*//?) может быть сокращаема на всякий постоянный множитель,
то один из 2Х + 2Х' коэффициентов функции ф0(|/#) может быть принят
равным единице, а затем лля определения 2Х4-2Х'—1 остальных
коэффициентов, кроме вышеупомянутых 3 уравнений, необходимо еще
2Х + 21' —4 уравнений. Но такое число уравнений относительно
коэффициентов функции фр(£//?), как нетрудно заметить, дает нам формула
фД^Я) = Фр-i (*</R)- Фр-ifc2 УЮ-L - (М- NVRM + PVW*)*r-v
если только функция v г остается степени X +1' —2. В самом деле, по
этой формуле разность фД*//?) —Фр_1 (аК#)#ФР-1 (a2]/R)-L, где L есть
полином степени ниже; чем v г, или л:х+х'~2, и, следовательно»,
вида А^хк+х'-ъ-\-А2хк+х'-*-\ f-A+^-2, должна делиться на 0р-1;
а это предполагает, что такая разность, по приведении к виду
x+yVWI+zVW^
содержит полиномы X, Y, _Z, делящиеся на vp_r; откуда выходит
между коэффициентами <р (£//?) и L, как нетрудно видеть, 3(Х-(-Х' —2)
уравнений; а по исключении из них Х + Х'—2 коэффициентов функции
L = Агхх+ *-* + А2хх+Х,~* -| h A+xr-2
получается 3 (1 + X' —2) — (X + *' — 3) = 2Х + 2Х' — 4 уравнений, которых
недоставало для определения коэффициентов функции фр(}/R)*
§ 1.3. Чтобы обнять все возможные случаи, которые могут
представиться при определении функции фр(|/7?)> нам остается показать,
как найдется эта функция, если она не вполне определяется формулою
(8) или если эта формула, по замеченному выше, не имеет места.
В первом случае, составив по формуле (8) и § 10 различные
уравнения, которым коэффициенты функции фр (>//?) должны удовлетворять,
находим общее их решение, что нетрудно сделать, так как эти
уравнения будут первой степени. Найденные таким образом величины коэф-
— 406 —
фициентов функции ^0(\/R) будут заключать в себе одно или несколько
неопределенных количеств; но значения этих количеств легко найдутся
на основании того, что функция yp(\/R), выражающаяся по (б) формулой
ЧУЩМУЩ--%-ЛУ«)МУ«)
должна быть, согласно с условиями нашей задачи, по возможности
низкой степени.
Переходя к тому случаю, когда формула (8) не имеет места, мы
покажем, что взамен этой формулы можно по функциям
%-ЛУШ %ЛУЖ ...
составить для определения коэффициентов функции ^9{'\/R) ряд
уравнений, которых число будет вдвое больше против числа корней уравнения
как это представляется при выводе подобных уравнений из формулы (8).
Для этого мы изобразим через х, какой-либо из корней уравнения
Vi=0
' ii положим, что в ряду уравнений
V2 = 0, %-з = °» ■••
первое, которому х = х^ не удовлетворяет, есть
В этом предположении, делая х—хг и давая радикалу $/R to из
значений его, с которым получается
по (4) находим
Так как по (5) функция y^ii/R) может быть представлена под видом
\МУЩ^ЛУЩ--^МУЩ^о(УЩ
то для определения значения радикала, с которым эти уравнения, при
к=хь должны удовлетворяться, мы вместо уравнения
можем взять
Замечая же, что, по положению, функция
*г,=ъ-ЛУЯ-ъЛ*№-ъ-А*№
не обращается в 0 при х = хи мы зто уравнение можем сократить на
-£^ii-—I, и таким образом для определения значения радикала УЯ,
— 407 —
с которым будут иметь место при х = хх два равенства
получаем уравнение, заключающее в себе только функции
Vp-2> ^р~3' * • * » ^р-о + 1-
Повторяя то же о каждом из корней уравнения
мы выведем относительно функции фр (>//?) ряд уравнений, которых
число вообще будет вдвое больше числа корней этого уравнения.
Мы считаем излишним входить в большие подробности о тех
особенных случаях, когда формула (8) оказывается недостаточною для
определения функции фр(^/?) или когда эта формула неприложима,
так как эти случаи не имеют особенного интереса в теоретическом
отношении и они не представляются в тех приложениях, которые мы
имеем в виду.
§ 14. За исключением особенных случаев, показанных в предыдущем
параграфе, для последовательного вычисления функций
^(Vr\ ^(Vr\ ^(Vr)> ...,
v0, vv v2,
no §§ 11 и 12, мы имеем такие формулы:
с условием, что члены функции &p{)/R) остаются степени ниже чем
#,/?2, а вся эта функция представляет выражение степени не выше чем
-~~. Полиномы I, M, N, Р входят как вспомогательные неизвестные,
и первый из них, по § 11, будет степени ниже, чем г/р_2.
Что касается до первоначальных функций
то, по § 10, они определяются так:
где ?0(v/r^)» по § 8, есть решение нашей задачи при наименьшем
значении TV, допускающем в выражении
члены с радикалами. Если выражение VRiR\ степени ниже, чем
\/Щ~Ъ, степень первого будет то значение TV, при котором получится
- 408 —
функция ®0(]/R), представляющая решение нашей задачи. Замечая, что
для такого значения N, по условиям нашей задачи, в выражении
член Z]/R~R<2 не может иметь места, a Y должен быть количеством
постоянным, которое можно принять равным —1 (так как функцию
ср0(£/"/?), по § 8, можно сокращать на всякий постоянный множитель)
мы находим, что y0{\/R) в рассматриваемом нами случае приведется
к такому виду:
x-Vr.ri
Для того же чтобы это выражение было, согласно с требованием нашей
задачи, самой низкой степени, за X должно взять цел}то функцию,
получаемую при извлечении корня j/V?j x^, так как это единственная целая
функция, которая с выражением i//?^ не разнится членами степени
положительной или нулевой. Таким образом, для определения функции
y0{l/~R) в случае t/R^i степени ниже i/RlR2 мы находим следующую
формулу:
изображая через г% целую функцию, получаемую при извлечении корня
Подобным образом, называя через г2 целую функцию, получаемую
при извлечении корня ]/R*R2> находим, что при \/R%R2 степени ниже
]/RxRl функция ?0(>/#) будет иметь такую величину:
9АУ®=г2-УЩг.
Наконец, если выражения \/R\Rl и v^^iR* одинаковой степени, число
N9 при определении функции <р0(£/7?), будет равно этой степени, и при
таком значении N, согласно с условиями нашей задачи, функция <р0 (£//?)
представится формулою
%(УЩ^Х+аУ1Щ^^УЩ^
где а, (5 — постоянные количества. Чтобы найти значение полинома X
и постоянных а, р, входящих в эту формулу, мы замечаем, что она
может быть представлена так:
?о(^) = АГ + аг1 + рг1 + а(^^-гО + Р(^/Щ-га).
Приводя же это выражение функции ?0 (*//?), согласно с требованием
нашей задачи, к возможно низкой степени, мы замечаем, что для
понижения его до степени отрицательной необходимо взять
-Y + ar1 + ?r8 = 0,
а затем для дальнейшего понижения степени должно выбрать
постоянные аир таким образом, чтобы высшая степень х в разложении
— 409 —
разностей
при вычислении функции <Ро(^#) по формуле
сокращалась бы. При этом, как видно, одно из постоянных а, {5 остается
произвольным; его, на основании сказанного в § 8, можно принять за
единицу.
§ 15. Мы видели (§ 14), как определятся функции
и как последовательно будут вычисляться функции
<MK#), ^(VrI ь(УЯ),...,
Щ, Щу Щ, ...
Эти функции, по § 10, служат для выражения функций более сложных
%(VR),b(VR), %(//?), ...,
которые были введены (§ 7) для того, чтобы при помощи их дойти до
решения уравнения
если оно только возможно. Решением же этого уравнения (§ 3)
определяется функция с? (>//?), которая по формуле
дает все интегралы вида
выразимые в конечном виде.
Так как решение уравнения
'/(]//?)•? t*VR)-v№VR)=^c,
отыскиваемое нами, по § 7, должно заключаться в ряду функций
^(VR\ biVRl Ъ(У$),.-.,
то одна из них должна дать решение этого уравнения, если только оно
возможно. Изображая через
ту из функций этого ряда, которая дает значение ^{у/ГП)У
удовлетворяющее рассматриваемому уравнению, мы замечаем, что это предполагает
равенство
а так как, по нашему знакоположению (§ 10), произведение
%(Vr)^MVr)^M^
есть v^y то функция v^ должна привестись к постоянному количеству.
— 410 —
На основании этого в ряду функций
v0, vv v2, ...
легко узнать v , которая соответствует функции ?Дт//?), доставляющей
решение нашего уравнения: эта функция v^ будет постоянною величиною.
Найдя такую функцию в ряду
v0, vl9 v29 ...,
мы, по (6), делая р=д, получаем такое выражение:
для определения значения функции ^(j/T?), соответствующей v ; это
и будет выражение функции <?(j/7?), удовлетворяющей уравнению
и доставляющей по формуле
все интегралы вида
возможные в конечном виде.
Мы видели (§ 2), что в выражении этого интеграла рациональные
делители функции <p(j/7?) сокращаются, а потому при определении его
можно взять, вместо выше найденного выражения функции ?(*//?), такое:
Кроме того, нетрудно показать, что при определении этого
интеграла можно остановиться на функциях ф^(*/7?) и v^, если v в составе
своем содержит только множители, входящие в функцию RlR2.
В самом деле, если D есть общий делитель всех членов выражения
%(VR)> то> полагая
„(уа^ЩЗ, (10)
найдем, что <p(i/#) удовлетворяет уравнению
Для доказательства этого мы замечаем, что, по (3), имеем
а так как, по положению, v не содержит множителей, отличных сет
множителей функции RtR2y то по этому уравнению ни одно из выражений
%(Vr)> %{*Vr\ ?№Vr)
— 411 —
не будет обращаться в 0 при величинах х, отличных от корней уравнения
и, по 10, то же будет иметь место относительно функции
viVR), »(a{/R), №УТ$.
Что касается до корней уравнения
то они, как видно по виду функции
не могут обращать в 0 одно из выражений
<?(V~R), *(aVR), <t(a*V®,
не обративши в 0 всех остальных; обращать же в 0 все эти три
выражения вместе никакая величина х не может, по доказанному нами в § 2
относительно функции, определяемой формулою (10). Из этого видно,
что рассматриваемая нами функция v(l/R) не будет обращаться в 0
ни при какой величине х и ни при каком значении радикала, и,
следовательно (§ 3), будет удовлетворять уравнению
?(v/^)-?(a^)-?(a2v/r«) = C,
е вместе с тем и давать выражение рассматриваемых нами интегралов
по формуле
I
^dx^Klogl^V^^riaV^'r^VR)]'
Внося же сюда величину функций ср (£//?) по (10) и замечая, что
1_|_а_|_а2 —о и D сокращается, мы находим, что этот интеграл через
функцию ¥р(}/Щ выразится так:
I
з
Откуда ясно, что при определении этого интеграла за функцию <?(}//?)
можно брать ср (v^/?), если v^ не содержит множителей, отличных от
множителей функций R^ и R2; а потому при вычислении функции
yil^R) на основании выше показанных формул можно останавливаться
и на таком значении, которое содержит переменную х; достаточно,
чтобы эта функция не имела линейных множителей, отличных от
множителей функции Rt и R2.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПРИ ПОМОЩИ
НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ*
Милостивый Государь,
Николай Дмитриевич.!
В ряду различных приложений, сделанных доселе из
алгебраических непрерывных дробей, интерполирование по способу наименьших
квадратов представляет нечто особенное: здесь непрерывные дроби
являются как средство для разложения в ряд. Интерполирование по
спссобу наименьших квадратов и все ряды, из него вытекающие, не
обнимают еще и малой доли тех приложений, которые требуют такого
употребления непрерывных дробей и которые, быть может, столь же
обширны, как и приложения непрерывных дробей при обыкновенном
их употреблении. В самом деле, такие дроби обыкновенно употребляются
для определения полиномов X, У, при которых разность иХ— У
наиболее приближается к нулю; здесь предполагается, что функция и
способна разлагаться в ряд по нисходящим степеням переменной и что
степень приближения к 0 определяется высшею степенью переменной
в остатке. Для решения вопроса, представляющегося при
интерполировании по способу наименьших квадратов (Journal de matherr.atiques
pures et appliquees deM. Liouville, 2-я серия, 111 том, стр. 295**), нужно было
найти полиномы X, У, при которых разность вида иХ— У приводится
наиближе не к нулю, а к некоторой функции (к функции _у по зна-
коположению выше упомянутого мемуара), и это привело к новому
употреблению непрерывных дробей. Но этот частный случай приведения
разности аХ— У по возможности ближе к данной функции не есть
единственный, который представляется в анализе и который требует
нового употребления непрерывных дробей: какова бы ни была функция
vy определение полиномов X, F, с которыми разность иХ—У наиближе
* Письмо Н. Д. Брашману, прочитанное П. Л. Чебышевым на заседании
Московского математического общества 30 (18) сент. 1865 г. Опубликовано вМатем. Сборнике,
3 (1866), стр. 291—296, и в Journ. de math, pures et appl., И serie, X (1865), стр.
153—358; см. также Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Со-
нина, том I, СПб. 1899, стр. 611—614.—Ред.
** „Об интерполировании по способу наименьших квадратов*', стр. 315—335 зтог»
тома. — Ред.
— 413 —
выражает v, также решается помощью непрерывных дробей и формулами,
подобными тем, которые служат для интерполирования по способу
наименьших квадратов.
Этот вопрос об определении полиномов X, Y в разности uX—Y
тем более интересен, что, по простоте своей, он занимает первое место
после вопроса, решаемого обыкновенным употреблением непрерывных
дробей, когда ищут X, Y под условием, чтобы разность иХ—Y была
наиближе к нулю.
Пусть будет
непрерывная дробь, в которую разлагается функция к, и
Л_?о Pi Wi -И Рз /У2 + Ят
ее подходящие дроби. Если мы согласимся означать знаком Е целую
часть функции, то полиномы X, Y, с которыми разность иХ— Y
наиближе подходит к функции vy определяется такими рядами:
Х= (Eq<QiV — qfiQiV)Qi—iEq2Q2v — q2EQ2v)Qs + ...9
r=—Ev + (Eq1Qlv — q1EQ1v)Pl — (Eq2Q2v — q,EQtV)P2 + ---;
эти ряды будут конечные или бесконечные, смотря по тому каков
будет ряд подходящих дробей
5 р* рл
<?i* W <V "■
Члены этих рядов, как нетрудно заметить, представляют собою
полиномы, которых степени идут возрастая. Остановленные на
соответствующих членах, эти ряды дают значения X и Y в виде целых
функций, степеней более или менее высоких, смотря по числу членов, взятых
в выражениях X, Y, и во всяком случае эти значения X, Y будут
таковы, что при них разность иХ—Y будет столь близка к
функции vy как и олъко возможно быть при целых значениях X, Y
тех же степеней, а также при степенях более высоких, но ниже
степени значений X, Y, получаемых после прибавления члена в их
разложении.
Значения X, F, представляющие столь замечательные свойства,
получаются из разложения функции v по значениям функций
которые все степеней ниже нуля и степени их идут уменьшаясь.
Разложение функции v по значениям Rv Rv /?3, ... нетрудно
сделать. Если от v отнимем ее целую часть Ev и остаток разделим
на Rv новый остаток разделим на R2 и т. д., то ясно, что полученные
при этом частные, умноженные на соответственные делители /?,, /?2, ...
в сумме с Ev дадут значение функции v верно до последнего остатка.
— 414 —
Разложение же функции v, получаемое таким образом, как
нетрудно увериться, приводится к следующему ряду:
zr=Ev + (E^1Q1^ —^EQ^)/?! —(E^3Q2^ —?2EQ2^)/?2-j ,
где члены представляют функции, которых степени идут, постоянно
уменьшаясь.
В случае наиболее обыкновенном, когда все знаменатели q^ q2>
с8, ... непрерывной дроби
1
?• + -
* + *+,.
суть функции первой степени, этот ряд значительно упрощается.
В этом случае все множители,стоящие при Rv /?2, /?8, ..., обращаются
в постоянные количества, и эти постоянные приводятся к произведениям
Л-iL-i, ^2-^2» ^3^3» " " " '
где Av A2, Av ... означают коэффициенты х в знаменателях qv q2>
<73, ..., a Lv I2, Ls, ... коэффициенты — в произведениях
Q&> Q#>> Q*v> •••
Вследствие этого в рассматриваемом случае разложение функции v
представится так:
v = Ev + Л,!,/?! — A2UR2 H ,
а значения полиномов X, К, при которых разность иХ— Y наиболее
приближается к функции v, будут определяться такими формулами:
Х= A,L,Q, — AZ2Q2 + - • -f
Y= — Ev + AlLlPl — A2L2Pt-\-.* .
В том случае, когда функция v может быть представлена суммою
X — Х\ X — X* X — „Vjj
где Ф(х) — целая функция, a Kv Kv Кл ,...,х1Ух„,х3,... постоянные, мы
находим, полагая Q, = Ф1 (х), Q2 = ф2 (■*)> Qs= Фз (■*)> • • •» такие формулы
для определения постоянных Lv U, Z,3,... :
LX = KA (хг) + КД (xt) + /ЭД, (х,) -f • • • = 2 *#> (*<)>
I,=К, ф2 (х,) + /Г,фа (xt) + А'з'Ь., (*,) + ■ ■ • = S *Ж (*Л
Is = *,Ф, К) + ^Ф3 (*5) + ОД (хл) 4- • • • = 2 #/Фз (X/),
При этих значениях Lv I2, Ls, ... выше показанные ряды дают:
v =■- Ег/ + Л, 2 А?Ф, (*,)Я, Л 2 *Ж (•*/) #2 + А 2 *#» (*/) # з »
Jf= Л, 2 *Ж (*,) Q: - А, 2 *Ж (*/) Q2 + А 2 Д?Фз (*,) Q8 ,
- 415 —
где
В частном случае, когда функция и приводится к одному члену
——, по первой из предыдущих формул находим такое разложение
выражения х_а:
1
= Аг$г (a) R, - А2ф2 (a) R2 + Л3ф3 (a) R,
х а "*171 V/'Vl "^2T2V^'V2 I ^ЗТЗ
где каждый из членов представляет произведение функции а на
функцию ху как зто замечается в разложении (х — а)""1 яо биному Ньютона.
Делая в предыдущих формулах
1,1, i 1
и-
X — Xi*X — X2[ i X— Хп AuX — Xi*
F(xx) ] F(x2) 1 i F(xn) _ ^ F{Xt)
X — X\ ' X — ЛГ2
''^LlX — Xi>
у F(xt)
1их-х(у
мы получаем значение полиномов X, Y, при которых разность
У—^—Х—У
Z~k х — xi
наиближе подходит к функции
у Fixt) c
1их-хС
а так как такое приближение составляет необходимое и достаточное
условие для того, чтобы полином X приводил сумму
к minimum'у (что нетрудно показать), то значение X, таким образом
получаемое, нам представляет формулу для интерполирования по способу
наименьших квадратов.
Я не буду останавливаться на приложениях, которые можно сделать
из разложения в ряды при помощи непрерывных дробей;
сказанного мною достаточно, чтобы видеть, как много интереса
представляет предмет, на который я был наведен Вашими лекциями и всегда
драгоценными для меня беседами с Вами.
Примите и пр^
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ
ПРИ ПОМОЩИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ*
§ 1. Пусть будет
* + £+!
алгебраическая непрерывная дробь, в которой знаменатели
<7i> Чч> <7з> •••
целые функции переменной х, и — точное значение этой дроби и
Pi P-2 Ъ
О19 <V <V ""
ее подходящие дроби, которые получим, останавливаясь в разложении
последовательно на q0, q„ qn, ... По свойству подходящих дробей для
определения величины разностей
_Р\ _ Р2 Ръ
мы имеем такую формулу:
и_/Ь=.--(-1),1-х
.где гп есть величина непрерывной дроби
Уд + 3 Г •
и, следовательно, представляет функцию степени ниже 0.
* Опубликовано в Приложении к IX тому Записок Имп. Академии Наук, № 1
(1866); см. так же Собр. соч. П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Со-
лина, том I, СПб. 1899, стр. 617-636. — Ред.
— 417 —
По этой формуле видно, что функции
uQ1 — P„ uQ2 — P2> uQB — Pb, ...,
получаемые от умножения разностей
f\ Po р3
на
Ч.\у Q.%9 Уз> * • •>
будут удовлетворять такому равенству:
Рядами, получаемыми при помощи этих функций, мы теперь и
займемся. Для сокращения мы будем изображать эти функции через
Rlj До, Г?з> ' • • *f
полагая
uQx —Pi = Rx, uQ2 — P2 = Rv uQz — P8 = /?8, ....
§ 2. Так как, по (1), для функций Rly R2y Rb, ... будет иметь
место равенство
/^==<?»+1-И»<?» (2)
и Q1? Q2> Q3» • • • > знаменатели подходящих дробей
5 £* ^
РГ ft' <?»' *"
представляют ряд функций со степенями возрастающими, то ясно, что
в ряду
*М> <\2» *4J> ' * *
все функции будут степеней отрицательных, и степени их представят
ряд понижающийся. Вследствие этого, имея какую-нибудь функцию vy
способную разлагаться в ряд по целым нисходящим степеням х, мы
для выражения функции v с точностью более или менее значительною,
.можем найти строку, которой члены будут. состоять из целых
функций х с множителями Rv R2, RZi ...
В самом деле, если мы согласимся изображать вообще знаком Е
целую часть функции, разность v — Ev будет представлять функцию
отрицательной степени. Деля эту разность на Rx, мы найдем в
частном некоторую целую функцию ®г и остаток гг степени ниже чем Rx.
Леля гг на R2y мы также найдем в частном целую функцию ф2,й:
полученный при этом остаток г2 будет степени ниже R2. Продолжая
таким образом деление получаемых остатков на #8, /?4, ... , мы найдем
ряд частных
©!, (Do, 0)3, . . .,
представляющих собою целые функции, и ряд остатков-
Г\у ^2> 'V " ' ">
27 П. Л. Чебышев, т. II
— 418 -^
которых степени ниже степеней Rl9 /?2, Rz, • • •» и эти Функции будут
связаны уравнениями
V — Е^ = ©1/?1 + г1,
Г1 = ©2/?2+Г2>
Эти же уравнения, по исключении из них г„ г2, ..., гл-1, дают
такую формулу для выражения функции v.
v = Ev + ®lRl + Q2R2 + azRz + ... + <*JZn + rn. ^ (3)
Так как./я1 по выше сказанному, будет степени ниже, чем Rn, эта
формула' верно до членов порядка Rn включительно, представит
функцию v под таким видом:
где;©!,. ©2, ©3,...-., ©„ — целые функции.
Всякий раз, когда непрерывная дробь
будет бесконечная, ряд функций
*М> *\2> ^\3> • • • >
определенных' ее подходящими дробями, тоже будет бесконечный, и,
следовательно, число п в выше найденном выражении функции v можно
будет увеличивать беспредельно, что и даст такой бесконечный ряд
для разложения V: ■
§ 3. В каждом частном случае, как видели, функции ®и&2, ©8, ...,
входящие в формулу (3), могут быть найдены последовательно
делениями; мы теперь покажем общее выражение этих функций, по которому
всякая из них найдется непосредственно.
Для этого мы докажем сначала, что функции
<»1> <°2, ©з, ...
будут степени ниже, чем qv ql9 qZ9 ..., которые заключаются в
непрерывной дроби
В самом деле, по §2, эти функции найдутся в частном при
делении
v — Ev, rlf r2, ..,
— 419
на
*М» ^2> ^\3> • • • J
а так как, по замеченному там же, разность v — Ev степени ниже 0, а rv
г2, ... степени ниже, чем /?1? R2, ..., то ясно, что функции
°>1, <«>2, ®3» • • •
будут степени ниже, чем выражения
1 • 8к £8
Но, по (2), мы находим, что
*Ч» А2> Rsi • • •
будут одних степеней с функциями
L 1 1
<?>' <V CV ,,,;
вследствие чего выражения
JL *i я?
#i' R*' #«' ""
будут одинаковых степеней с выражениями
Замечая же, что Q2, Q3, Q4> • • • означают знаменателей подходящих*'
дробей.
Ь 3 £
о»* ft' <v "•'
которые получаем, останавливаясь в разложении
на знаменателях ^„ #2, <?з> •••» мы находим, что
vfc —ft, с2 —?2~r<?2' 5i—*8~*"$' '••
Откуда ясно, что функции
^' С? Сз'
и, следовательно,
1 #i ^
*l' #2' Я*' •"•
имеют одинаковые степени с знаменателями qv 4 ^2, #з> • • •» а потому
функции
<«>1> <°2, <°д,
будут степеней низших.
27*
**2> Л ' /О ' в ' ''
— 420 —
§ 4. Переходя к определению функций
(Dj, <02, С03, '•->
мы замечаем, что формула (3), по умножении на Qn, дает
Qnv = QnEv + ^Qn + «bRiQn + • • • + »nRnQn + '«Q« •
Так как rn степени ниже Rn, a Rn, no (2), одной степени с -JL. ,
то член rnQn не может содержать целой части; член же QnEv, очевидно,
будет содержать одну лишь целую часть. Вследствие этого, определяя
по предыдущей формуле величину EQnv, найдем
EQnv = QnEv + Еш&С1п + E*2R2Qn +... + E»aRnQn,
а это, по вычитании из предыдущей формулы, даст
Qnv - EQnv = «^Q, - Ет&С1я + *&Qn - Eco2/?2Qw + .. . + ^nQnR/( -
-EvnRnQn + rnQn.
Умножая же эту формулу на qn и определяя по ней Eqn (Qnv — EQnv),
мы получаем такое равенство;
Eqn(Qnv-EQnv) = Eqa («о, R^-E^R.QJ -f Eqn (*2R2Qn - E<o2/?2Qn) +...
+ Eqn(<onRnQn-E<»nRaQn). (4)
Что касается члена EqnrnQn7 то он оказывается равным нулю; ибо гп
степени ниже Rn, a Rn, по (2), одной степени с ~—; вследствие чего
выражение qnrnQn будет степени ниже, чем qnQnrr—, и, следовательно,
V/z + l
степени отрицательной, так как qnQn?y~, где Qn+i — QnQn+Qn-u
V/x + l
представляет собою выражение степени нулевой.
§ 5. Чтобы вывести из полученного нами равенства (4) формулу
для определения функции сол, мы найдем значение членов, входящих
во вторую часть этого равенства. Для этого мы замечаем, что, по (1),
UQ-P+ (-')П~1
Умножая это на Qm, где т — какое-нибудь из-чисел 1, 2, 3, ...,
п—1, л, мы получаем
С другой стороны, замечая, что, по нашему знакоположению,
мы находим
uQm = Rm + Pm.
Внося отсюда величину uQm в предыдущую формулу, мы имеем
откуда получается такое выражение произведения:
RmQn = PnQm - PmQn-f J""!".'fe • (5.)
— 421 —
Определяя по этой формуле величину EamRmQn и замечая, что
®m{PnQm — PmQn) есть функция целая, мы находим
е».е.о.=«ь (p„q„ - рм+е £^;ffi.
Рассматривая же дробь
(-l)*-iComQm
где множитель о>л, по § 3, степени ниже qm мы замечаем, что здесь
числитель будет степени ниже, чем qmQM, и, следовательно, ниже,
чем Qm+1, ибо Qm+l = Q/hqm + Qm^ А потому дробь эта представит
выражение степени ниже, чем
Qm + l
и, следовательно, в рассматриваемом нами случае, где т не более я,
будет функция отрицательной степени, так как при т = п или т<^п степень
функции QOT+1 будет не более степени Qn+1. Вследствие этого в выше
найденном выражении E®mR,nQn член
Е (-1)*-Чп<Ь«
будет равен нулю, и оно приведется к следующему:
А так как, по (5),
то, по выше найденному, будем иметь
откуда для определения величины
Eqn(<»„RmQn-t«>mRmQn)
получается такая формула:
Щп №mQn - Е-.ЛА)=E {-Q])n~!l?Q0m • (в)
По этой-то формуле мы и найдем значение членов второй части
равенства (4), что и послужит нам для определения выражения
функции а>;2.
§ 6. Мы видели (§ 5), что дробь
<?я+1 + *я<?я
представляет выражение степени ниже, чем тр^1' а П0Т0МУ Дробь
будет степени ниже, чем
0л+1 »
— 422 —
или
QnQm+l —- Qm+l
Qa<in+Qn-i Q«+l-Qn-i
Откуда .ясно, что от лг=1 до т=п—1 эта дробь будет представлять
выражения отрицательной степени. Следовательно, для всех этих
величин т будет
и по найденному выше выражению значения
Bqn(b>mRmQn-E^mRmQn)
мы заключаем, что при
т=1, 2, ..., п— 1
получится
Е?>тад„-Еш„/?от(Эл)=:0.
Делая же в формуле (6)
т = п,
мы имеем
Чтобы найти на основании этой формулы значение
E^Ktf^-EV^QJ,
мы замечаем, что выражение
G <?я+1 + гв<?я *
по внесении в него Qrt^+Qn^! на место Qn+1, приводится к
р {—\)n-lqnv>nQn
что иначе можно написать так*.
Е (-:1)»-Ч- (~ 1Г1 %~л ®я >
а это, очевидно, приводится к (—l)*""1^; ибо второй член выражения,
стоящего здесь под знаком Е, представляет функцию отрицательной
степени, так как сол степени ниже qa, Qrt_1 степени ниже Q„, а гп
степени отрицательной.
На основании выше показанного мы заключаем, что выражение
остается равным нулю при /и.= 1, 2, 3, ..., п—1 и обращается в
(- 1У-Ч
при т = п, а вследствие этого формула (4) приводится к такому
равенству:
E^(Q^~E9^)=(-iy-4;
— 423 —
откуда для определения wn получается такая формула:
»« = (-l)e-1E^(Q^-EQ^). (7)
Делая здесь
л=1, 2, 3, ...,
мы найдем выражение всех множителей
«>1, (% ©3» •••»
входящих в разложение функции ^ по формуле
Так как разность
Qnv-EQnv
равняется дробной части произведения Qnv, то, по формуле (7),
определение функции фп приводится к определению целой части в
произведении, получаемом при умножении дп на дробную часть Qnv.
С другой стороны, раскрывая в формуле (7) скобку, мы находим
«I, = (- I)""1 Гадягг - Е (qJ2Qav)]>
а так как qnEQnv есть функция целая, то
E(^EQ^) = ^EQ^,
и это выражение оЛ приводится к такому виду:
«л = (- 1 Г"1 (E^Q^ - ^EQ^).
Замечая же, что о>Л есть целая функция степени ниже, чем qn, и что
член qnEQnv есть произведение qn на целую функцию, мы из этой
формулы заключаем, что сол, с одним из двух знаков+, будет представлять
остаток, получаемый при делении на qn функции EqnQnv, т. е. целой
части произведения qnQnv*
§ 7. Показанное нами разложение функции v по формуле
^ = Е^ + (0Л + (02/?2 + (0з^з + --
особенно заслуживает внимания потому, что оно доставляет решение
такого вопроса:
Найти значение полиномов X, Y, при которых разность иХ— Y
выражает данную функцию v с наибольшею степенью точности,
которую можно получить, оставляя полином X степени не выше дан-
ного предела.
Полиномы X, Y, для которых разность иХ—Y наиближе подходит
к нулю, как известно, получаются непосредственно разложением и в
непрерывную дробь, и через это алгебраические непрерывные дроби
представляют средство для решения различных вопросов в анализе. Полиномы
X, Y, для которых разность иХ— Y наиближе подходит не к нулю,
а к какой-нибудь данной функции, не получаются непосредственно
разложением и в непрерывную дробь; но, как увидим, определяются
особенными рядами, которых члены находятся через разложение и в,
непрерывную дробь, и это для алгебраических непрерывных дробей открывает
— 424
новое поле приложений, пример которых можно видеть в нашем мемуаре
„О непрерывных дробях", где выведена формула для интерполирования
по способу наименьших квадратов.
Пусть будет т предел степени полинома X, который вместе с
полиномом Y ищется под условием, чтобы разность иХ— Y наиближе
подходила к данной функции v9 и пусть Qn будет тот из знаменателей
подходящих дробей
Л 5 Р3
Qif <?>>' Q*9 '"'
который в ряду знаменателей
Qp Q2, Q3, ...
последний имеет степень не выше пи В этом предположении искомый
полином X будет степени ниже, чем Qn+V Изображая через Fn и рл
частное и остаток, получаемые при делении X на QA, через гд-1 и рЛ-1
частное и остаток, получаемые при делении рЛ на Qn^9 и т. д., и
замечая, что остаток при делении на Qx = l будет нуль, мы находим
такой ряд уравнений:
X=FnQn + ^
?2 = F2Q^ +-?2>
p2 = f1Q1,
откуда, по исключении
Рпу Рл-1» • • •» ?2>
выходит такое выражение искомого полинома X:
X=FlQl + F& + ...+FA_1Q^l+FaQa9 (8)
где
М* * 2> • • •? ' л-1» 'я
неизвестные целые функции. Так как эти функции получаются от
деления функций
Рз> ?3> • • -э Рл> ^
на
то они будут одинаковых степеней с выражениями
01* ft* '••, Qn-i' <V
Но функции
Р2> Рз> • • '» Рл>
получаемые в остатке при делении на
будут степеней ниже, чем
так же X будет, по выше замеченному, степени ниже, чем
Q«+1;
— 425 —
а потому выражения
Ь. р± _Рц_ х
Qi' Q-i' '••' <?„-i' Qn
будут степеней ниже, чем
Ъ Яз Qn Qn^
Qx' СУ ••- Qa-,' 0n '
и, следовательно, ниже, чем qv qv ..., qn_u qn; ибо, по свойству
подходящих дробей, находим
Я* —a Q-l — a^Qi Qn -n _и<?«-«
Из этого видно, что в разложении (8) искомого полинома X
множители
будут функции степеней низших сравнительно с' знаменателями
§ 8. Для определения функций
* 1» Г2> • • •> *п~1> 'т
входящих в выражение искомого полинома X по формуле
и для определения К, другого неизвестного полинома, мы замечаем,
что, по условию задачи, с искомыми полиномами X, Y разность
аХ—У
должна наиближе выражать данную функцию vy а это требует, чтобы
выражение
uX—Y — v
наиближе подходило к нулю, и, следовательно, чтобы полином У
выражал наиближе значение функции иХ—ю.
Откуда видно, что этот полином должен равняться целой части
выражения иХ—v, и, следовательно, по нашему знакоположению, для
определения полинома Y будем иметь такое равенство:
Y = E(uX—v). (9.)
С другой стороны, находя по этому равенству
иХ— Y — v = uX—v — E{uX— v),
мы заключаем, что степень точности, с которою формула иХ— Y дает
выражение функции v, определяется степенью разности
иХ—V — Е(иХ—v),
или, что одно и то же, степенью дробной части выражения иХ—v.
— 426 —
Следовательно, по требованию задачи, дробная часть выражения
иХ—v
должна быть сделана степени по возможности низшей.
На основании этого, имея разложение функции v по формуле
мы легко можем найти значение множителей
в выражении искомого полинома X по формуле
X=FlQ1 + F,Q2Jr... + Fn^Q^1 + FnQn
и определить другой неизвестный полином К
Для этого мы вносим в выражение
иХ—v
выше показанные разложения полинома X и функции v, что дает нам
uX—v=F1Qlu + F2Qp + ... + Fn_1Qa_la + F&^ — Ev — »lRl —
- ©a^S — - • • — ®д#я — Vl^fl — • • •
Но, по нашему знакоположению,
/?i = qiU_P1j #2 = Q2a-P2, ..., Rn = Qnu — Pa.
Внося отсюда значение произведений
Qj«, Q2r/, ..., Q^/г
в предыдущую формулу, мы находим
^-v = -EvJrF1P1 + F2P, + ... + FnPn + (F,-^)Rl +
+ (^-^)/?2 + ... + (^-o>J/?/2-(o/I+1^+1-...
Рассматривая это выражение разности иХ—v9 мы замечаем, что
здесь члены
-Ev + F1Pl + FJPt + ... + FJ>n
составляют функцию целую; остальные же представляют функции
отрицательных степеней, как это видно из того, что множители Rv /?2,
Rz, ..., по § 2, одинаковых степеней с выражениями
1 1 1
Q* Gift? Qz'
а множители
^i — <°i>
состоят из функций
,
I 1 1
Qtfi + Qi' '"' Qn+i~~ Qdn + Qa-i*
F*—** •".., Рп — ®н> °W> •••
F F F
©„ <o2, ..., <o„, <oe+1, ....
которые (§§ 3, 7). степеней вдже, чем ql9 q2, ..., qn7 qn+u ... На
основании этого для величины #е|лой части выражения uX — v находим
~*o+F1P1 + F1pt + ...+FJP„
— 427 —
а для величины дробной части
(Fl-<ul)R1 + (F2-*2)Ri + ... + (Fn-<»n)Rn-<i,tt+lRn+1-...;
первое нам дает, по (9), такое выражение полинома Y:
r=-Ev + F1Pl + F2P, + ... + FnPn,
второе же нам послужит средством для определения множителей
F F F
входящих в выражение искомых полиномов X и Y.
§ 9. Рассматривая состав членов в выше найденном выражении
дробной части функции
иХ— v,
мы замечаем (§ 8), что множители
К19 г\Ь • • • э Кп> *\п + V
одинаковых степеней с выражениями'
1— _L 1 _ 1
i _ i i _ 1
Qn+i Qtfn+Q*-i' Qn+2 Оя+Л+i-HOi,'
а множители
F\— ®v Рг — ®2> •••» Fn — ®n> %+i> •••
степеней ниже, чем
Яи Яг* •••» Яп> Яп+\> • • •>
но не ниже лг°, так как они состоят из функций целых. Вследствие же
этого мы находим, что член.
(Л — «>i)/?i
будет степени ниже, чем
Я\ _ ft _ 1
и не ниже, чем
£? — 1.
член
(^-(о2)/?2
будет степени ниже, чем
и не ниже, чем
*о \^
<3з~~<Уз'
и т. д. По этим же пределам степеней членов в ряду
(Fx — o)1)/?14-(F2_co2)/?2 + ... + (F, — сол)/?л — о>я+1/?л+1 —...
видно, что здесь степени членов идут постоянно понижаясь, и,
следовательно, дробная часть выражения
иХ — v%
— 428 —
определяемая этим рядом, будет степени тем ниже, чем больше членов
в начале этого ряда сократится.
На основании этого нетрудно найти значение множителей
доставляющих решение нашей задачи. По условиям этой задачи,
полином X, который выражается у нас формулою
*=^Qi+^Q2H Ь^А>
должен быть степени не ниже данного предела ю, что, по § 7, предпо-
лагает Fn степени не выше ^~, и, по § 8, этот полином должен делать
дробную часть выражения
aX — v
по возможности низшей степени, что, как сейчас видели, требует
сокращения по возможности большого числа членов в начале ряда
(Л - ®i) Ri + (F2 - ш2) /?s+ • ■ • + (F„ - «О Rn - ®л+Л+,
Так как здесь первые п — 1 членов сокращаются от принятия
и эти значения множителей Fv F$ , . . ., /^-i как степеней низших
сравнительно с
9» <Ь •••> Яп-V
по § 7, возможны, мы для решения нашей задачи находим
При этих величинах множителей Fv /\,, ..., гяв, дробная часть
выражения иХ—v приводится к следующему:
(Fn — <*n)Rn — ®„+i/?„+i >
где первый член может быть уничтожен приличным выбором
множителя Fa только в том случае, когда
Fn=*n
будет степени не выше W-, или, что одно и то же, когда ®nQ.n будет
степени не выше т, предела степени полинома X. В противном случае,
по условию нашей задачи, множитель Fn должен быть степени ниже ©я
и, следовательно, значение его не может иметь влияния на степень
выражения
{Fn — <Un)Rn — *n+lRn + l
А потому при ®nQn степени выше т за множитель Fп можно взять
всякую целую функцию, для которой произведение FnQn не будет степени
выше т, предела степени полинома X. Но из всех значений Fn,
удовлетворяющих этому условию, особенно заслуживает внимания значение
ее, равное нулю, так как при этом получается простейшая величина
полиномов Х9 Y, доставляющих решение нашей задачи.
На основании показанного нами относительно множителей
— 429 —
в формулах
видно, что ряд
^iQi + ^ + UaQaH ,
остановленный на последнем члене степени не выше т, даст величину
полинома X в решении нашей задачи и что ряд
— Е* + «1Р1 + ©аР2+---,
остановленный на соответствующем члене, даст величину полинома Y
в этом решении. Это решение будет единственно возможное, если
первый из откинутых членов в ряду
fl)iQi + <»aQs + <D8Qs4
будет иметь множителем Qn степени выше т, предела степени X.
В противном случае это будет простейшее из бесконечного
множества решений нашей задачи, которые все будут давать выражение v
с одинаковою степенью точности, и все они получатся из простейшего
решения, если в нем к величинам полиномов X, Y прибавятся члены
где F—какая-нибудь целая функция, которая по умножении на Qn дает
произведение степени не выше т, предела степени полинома X.
Таково решение нашей задачи в общем ее виде.
§ 10. Множители
0>1, ®2> ®2> ->
входящие в разложение функции v по формуле
tf = Etf + ©i/?i-bfi>2tf2+---
и в ряды
Х= ©iQi + ^Qa + ^eQeH >
Г=-Егг + ш1Р1 + ©аРв + «Л+---,
определяющие значение полиномов X, Y, при которых разность иХ—Y
наиближе выражает функцию v, найдутся, как видели (§ 6), по формуле
или
В случае, обыкновенно представляющемся, когда знаменатели qv q2,
qzy ... в непрерывной дроби
» = ?o + iji
?l4--r_L l
Ф.
Г2 +
?3
i +
все суть функции первой степени, множители
со,, (о«, со3, ...
обращаются в постоянные количества, и величина их легко определяется.
— 430 —
В самом деле, если
q1 = Alx-\-Bu <72 = A,x + R,, ..., д„=А,х-\-В„,
то, по первому из выше показанных выражений множителя ша, находим
»» = (-l)-1E(i4ex + BJI)(Qe«'-EQ/lv).
С другой стороны, замечая, что разность
Qnv-EQnv
в разложении своем не будет содержать степеней х, ни положительных
ни нулевой, мы заключаем, что эта разность будет разлагаться в такой
ряд: w^+-«+ —
А так как это, по умножении на А„х-\-В# дает
то, отбрасывая здесь дробную часть по выше показанной формуле, для
определения сол находим
где, как видели, Ап есть коэффициент х в знаменателе дп, а 1Л есть
коэффициент при — в разности Qnv — EQnv, или, что одно и то же,
в выражении'Q^, так как член EQnv не содержит отрицательных
степеней х.
Находя по этой формуле значение множителей
<°1> °V Ш3> ••• >
мы, по выше показанному, для разложения функции v получаем такой
ряд:
v=Ev-\-A^Rx — AJLiRi +AJLzRb ,
и для определения полиномов X, У, при которых разность и А' — Y наи-
ближе выражает функцию vf получаем такие ряды:
•Х= AAQ,- A2L2Q2+ A,L3QS ,
r=-Ev + AlLlP1—A.LJP% + A9LJ>9 ,
где
А\9 Л2, Л3, • • •
означают коэффициенты при х в знаменателях непрерывной дроби
а**+в*+а^тв;+
а
х-1, Lo, L.|, . . .
коэффициенты при — в разложении произведений
Qiv, Q*v, Qz** •••
по нисходящим степеням переменной х.
О СРЕДНИХ ВЕЛИЧИНАХ*
Если мы примем называть вообще математическим ожиданием
какой-либо величины сумму всех возможных для нее значений,
умноженных на вероятности их, то нетрудно показать относительно
пределов, в которых будет содержаться сумма каких-либо величин, такую
весьма простую теорему:
Теорема. Если математические ожидания велияин х, у\ г, .. <•.
суть
а, Ь, с, ...,
а математические ожидания квадратов х2, у2> z2, ... суть
&i> *1> C\i • • • >
то вероятность, что сумма
x-\~y-\-z-\- •••
заключается в пределах-
а + ^-Ь^...+а ^1 + ^1 + ^1 + '' а2 — Ь2 — с2 ,
а +& + £...— aj/^ + ^-j-^-j a2 — b2 — c2 ,
при всяком значении.а остается больше 1—^.
Доказательство. Пусть будут
Л}, Х%) Х%, • • •} Хр
Угу Уъ Уь> •••' Ут>
2\> %ъ> ^3» • • •> *л>
все возможные значения величин х, у, z, ... и
Р\у Ръ> Рву • • •> Рь
Qv <Iv Ягу •••> Яя>
Л> ^2> Г3> • * •> 'л»
вероятности этих значений, или, иначе, вероятности предположений
X — Хц Х2, Х%9 . . ., Xfr
у=у» у*> Уя> •••» л,,
* Опубликовано в Матем. Сборнике, II (1867), стр. 1—9, и в Journ. de math, pares
et appl., II serie, XII (1867), стр. 177—184; см. также Собр. соч. П. Л. Чебышева
под ред. А. А. Маркова и Н. Я- Сонина, том Г, СПб. 1899, стр. 687—694. — Ред.
— 432 —
При этом знакоположении математические ожидания величин
Ху У у **у • • • у
X", У", Zu, . . .,
представятся так:
а = р,хх 4- P**2 +РЛ Л Ь Pixi>
Ь = ЯхУх + ЧъУъ + 9*Уг Н Ь ЧтУт*
\
c=rxzx + r0z2 + r3z3 -1 j- г,Л< , j
* >
<h =a-*i+a-*8+a*H \-pA -
с, = r,2f + г„г|4- ^г^ г* rj* ,
(1)
(2)
С другой стороны, так как выше показанные предположения
относительно величин х, у, z, ... суть единственно возможные, то
вероятности их будут удовлетворять следующим уравнениям:
А+А+АН ЬЛ=1> )
;
На основании уравнений (1), (2), (3), нетрудно найти, к чему
приводится сумма всех значений выражения
К+Л + М a — b — c )*AV»'"
при Х=1, 2, 3, ..., I; ц=1, 2, 3, ..., /га; v=l, 2, 3, -.., п; ....
Для этого мы замечаем, что это выражение, по раскрытии скобки,
напишется так:
/wv • --kJ+avv • -у\ +а?/'- • -zv+
+ 2A?/v • • --ЧЛ + 2/W* • • • -V, + 2а V» • • -У^ы -\
— 2(а + Ь + с-\ )AV»' • -л-, — 2{а + Ь-\-с-{ )рхд%г,- ■ -у,,—
— 2(а + Ь + с-\ }v,qj.,- ■ -z.,
■(a-\-b-\-c-
■)8АЯЛ-
Давая здесь числу ). все значения от ).= 1 до ). = / и складывая
получаемые при этом выражения, мы находим такую сумму:
<7/./ • • (Pi4 + P*4+PA-\ \-Pi*fy +
+ (А +А+аН ЬА) VV • --V; + (a + A.-{ гЛ)?//--^+
+ 2 (ал, + а*2 -г АЛ + '
+ 2 (А-«, -Ь АЛ + Р-Л + '
-гА^/)^"-^--
+ A^)^rv-"--v-;-
+ 2 (А + А>+А Н г-A) <7,Л • - -JV*, -
— 2{а + Ь + с-\ ) (A*i + АЛ + АЛ ~\ Ь А*г) VV
— 2(а + £ + с-1 На + А + АЧ Ь А)?/»-' %
— 2(а+& + <:-1 )(а + А+АЧ На»^-"2»
+ {а+Ь + с-\ )-(A + A + A-i г А> ?•/•-•
— 433 —
Заменяя здесь по (1), (2), (3) суммы
РЛ + РЛ+Ргхь Л Ь РРъ
рАЛ-рА+р%х1 ^ YpA »
А+Рз + ЛН г А,
через а, я,, 1, мы получаем такую формулу:
<Wv 1-W • -4+^v -ZH
— 2(a + & + c-j )aq^ 2(a-f-* + c-| )^r,-•-^—
Давая здесь числу jjl значения
ц. = 1, 2, 3, ..., rn
и складывая получаемые при этом выражения, мы находим по замене
сумм
tfU'i + We + ftJ'e Ь
яЛ+я&Х 4- я,у\—\-ЯтУ*я,
Я\+ Яг +Я$-\ \-Ят>
на оснор.ании (1), (2), (3), через b, bv 1 такой результат:
«ir. h*irv \-r,---zl+--.
-j-2a6rv |-2аг,- • -zv + 26r,- • -z,-]
— 2{a + b + c-\ )ar^ 2{а + Ъ-\-с-\ )br4-..
_2(fl + a + c+...)r,...z, |_(a + a + c+...)*,.,...
Поступая таким же образом со всеми числами X, щ v, ..., мы находим,
что сумма всех значений выражения
(*х+Л + ^-1 a — b — c fpxq^---,
получаемых при
1=1, 2, 3, ..., /; ц=1, 2, 3, ..., т.; v=l, 2, 3, ..., и; ...
равна
*i4A + *H—
— 2(а + * + Н )а — 2(а + £ + с-| )£ —
*-2(а + & + Н )с
+ (а + * + с+...)2,
а это по раскрытии скобок и сокращении, приводится к следующему:
a, + *, + ct+- а8 — *2 —с8
Из этого мы заключаем, что сумма значений выражения
a2(«i+*i + q4 в» —й* —^ ) х^ v
28 П. Л. Чебышев, т. II
— 434 —
получаемых при
Х=1, 2, 3, ..., /; jx == 1, 2, 3, ..., т; v=l, 2, 3, ..., п\ ...
будет равна -^. Выкидывая же из этой суммы все члены, в которых
множитель
(■Гх+ЗУ + ЗуЧ а-Ъ — с )*
не превосходит 1, и заменяя его единицею там, где он больше 1, мы,
очевидно, сумму эту уменьшим, и, следовательно, получим сумму
меньше
\_
Но эта уменьшенная сумма, состоя из одних значений произведения
соответствующих тем величинам хх, у , zv, ..., для которых
(*\+Ур + **-\ а — Ъ-с ?
будет представлять вероятность, что х, у, г, ... имеют значения,
удовлетворяющие условию
(х + У + г-\ а — Ь — с )» ^ - ...
а^(а1 + Ь1+с1-\ аъ — Ь* — с* ) ^ ^ '
Эта же вероятность может быть заменена разностью
1-Р,
если через Р означим вероятность, что условие (4) не выполняется, или,
что одно и то же, что х, у, z, ... имеют значения, при которых
отношение
(*+.У + Н д — Ь — с )Д
a2 {аг + Ьх + сг Н й2 — £2 _ с* j
не > 1, и, следовательно, сумма
х+У+*-\
не выходит из пределов
я + &4-<Ч haVai + ^ + ^-\ а2 — б2 — (* ,
a-j-£ + H a Vax -f-6t -f-сл -j a2 — b2 — c* ,
откуда видно, что для вероятности Р будет иметь место такое
неравенство:
которое дает
-^ а2 >
в чем и заключается предложенная теорема.
— 435 —
Если мы изобразим через N число величин х, у, z, ..., и,
полагая в доказанной сейчас теореме
разделим на N как сумму
так и пределы ее
а + * + <Ч f-sJ/^-j-A+^H а* — Ь2 — с2 ,
а-\-Ь-\-с-\ aj/^+^ + ^-j а2_^2_^2 ^
то из этой теоремы получим следующую относительно средних величин:
Теорема. Если математические ожидания величин
х, уу zy ..., х*, у2, г\ ...
суть
а, Ъу с, ..., аи Ьи си ♦ ..,
то вероятность, что среднее арифметическое N величин х, у, г,...
от среднего арифметического математических ожиданий этих
величин разнится не более как на
f/5
TV N
при всяком значении t, будет превосходить 1—jg
Так как дроби
fli + fr+ *!+"«
Л' *
означают средние величины количеств
^i> "i> с1э . •.,
tf, £2, с\ ...,
то всякий раз, когда математические ожиданья
ау Ъу с, ...,
0i, *i, *i» •••
не превосходят какого-либо конечного предела, выражение
будет иметь конечную величину, как бы велико ни было число ЛГ, и,
следовательно, в этом случае, принимая за t величину достаточно
большую, мы можем сделать количество
i/5
N N
28*
— 436 —
по желанию малым. А так как при всяком t, с увеличением числа N
t-
до со, дробь jy приводится к нулю, то, на основании предыдущей
теоремы, получается следующая:
Теорема. Если математические ожидания величин
Ul9 U2, £/3, ..-,
LPV U% Ь% ...
не превосходят какого-либо конечного предела, то вероятность,
что среднее арифметическое N таких величин от среднего
арифметического их математических ожиданий разнится менее чем на
какую-нибудь данную величину, с возрастанием числа N до со,
приводится к единице,
В частном предположении, что величины
Uv £/3, U„ ...
приводятся к 1 или 0, смотря по тому, имеет ли место какое-нибудь
событие Е или нет в 1-м, 2-м, 3-м, ... испытании, мы замечаем, что
сумма
£/1 + t/2 + tf»+---+tf*
будет давать число повторений события Е в N испытаний, а среднее
арифметическое
N
представит отношение числа повторений события Е к числу испытаний.
Чтобы приложить к этому случаю последнюю теорему, изобразим через
Р Р Р Р
вероятности события Е в 1-е, 2-е, 3-е, ..., Лг-е, ... испытание.
При таком знакоположении для определения математических ожиданий
величин
/72 [72 772 7/2
находим
Pi-1 + 0-Pi)-0; Pe-l + (l-P2)-0;
pi.is + (i_pi).0s; p2.is + (i_p2).02;
откуда видно, что эти математические ожидания равны
Р Р Р
и что среднее арифметическое первых N ожиданий есть .
Pi + P2 + P*+ — +Pn
N .
т. е. среднее арифметических вероятностей Рх, Р2, Р3, ... 9 ры.
Р8.1+(1-Р3).0;
Р3-12 + (1-Р,).02;
— 437 —
Вследствие этого, на основании предыдущей теоремы, мы приходим
к такому заключению: вероятность, что отношение числа
повторений события к числу испытаний разнится от средней
арифметической величины вероятности события в эти испытания менее чем
на какую-нибудь данную величину, с увеличением числа испытаний
до бесконечности приводится к единице.
В частном случае, где вероятность события во все испытания одна
и та же, отсюда получается теорема Бернулли.
О НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ
ВЕЛИЧИНАХ СУММ,
СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ЗНАЧЕНИЙ
ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ *
§ 1. Наибольшие и наименьшие величины интегралов определяются
помощью вариационного исчисления только в том случае, когда вид
неизвестных функций, заключающихся в интегралах, предполагается
совершенно произвольным; если же по свойству вопроса вид неизвестных
функций чем-нибудь ограничен, определение их под условием
наибольшей и наименьшей величины интеграла или вообще какой-либо суммы,
составленной из их значений, требует особенных приемов. Здесь мы
займемся исследованием простейшего из этих случаев, а именно: когда
неизвестная функция предполагается целою, данной степени и через эту
функцию, ее производные и независимую переменную все члены
рассматриваемой суммы выражаются целою функциею данного вида.
Случай этот особенно замечателен по своим приложениям, так как им,
между прочим, разрешается вопрос о параболическом интерполировании
по способу наименьших квадратов.
§ 2. Пусть будет
Г(х,У,У',У'\ ...)
какая-нибудь данная целая функция независимой переменной х,
неизвестного полинома
-у = Л0 + Л1х+....+^+-.-+Ля.1х—*
и производных его
У, У, • ••
Изображая через
Х|, Х2, Х3, . . .
ряд каких-нибудь величин независимой переменной х (для простоты
будем предполагать все эти величины х различными между собою) и через
сумму значений функции
F(x, у, у', У, ...)
* Опубликовано в Приложении к XII тому Записок Имп. Академии Наук, № 3
(1867), стр. 1—47; на франц. языке „Des maxima et minima des sommes composees des
valeurs d'une fonction entiere et de ses derivees* в Journ. de math, pures et appl.,
II serie, XIII (1868), стр. 9—42; см. также Собр. соч. П. Л. Чебышева под
пед. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том II, СПб. 1907, стр. 3—40. — Ред.
— 439 —
при этих величинах переменной х, мы замечаем, что величина этой
суммы будет зависеть от коэффициентов
Л0, Аъ ... , Ар . •., Ат_г
полинома
у = Л0 + Л,* + ... + Л^+ ... + Д^**-*
и что значение этих коэффициентов, при которых сумма
имеет maximum или minimum, определяется по началам
дифференциального исчисления такими уравнениями:
<* 2 ^*/' л -у/> у1> •••) п
А40
^2^(^07.Л
A4Z
Д> Д> . . .,
2^ta»jfc
. у". ••
ft
Л ..
• х. у;
•_)_
.)
.)_
• >
:' *
— и,
=0,
= 0,
= 0.
Ая-1
• •)
А так как величины
в выражении
не находятся отдельно от функций у, у\ у\ ..., то, вообще, определяя
производную этого выражения по Аъ мы получаем
d 2 F (*/> Уь У у Уь »- ■) __ у dF С** xi> У it y"i> ■■ -) _
dAt —Zu dAi
LdF(xb yi% yv у], ...) dVi у dF [xb yb y\, yb ...) dy\
dyt dA^Z* dy[ dA1TrJ
, у ^ (xb yb уьy"v ...)dy\
+ ^ dy\ dA^'-
По выражению же функции
у = А0 + Агх+...+ A^+...+А^**-1
и ее производных
У = Ь Д + • • • +1А^ + ... +(т- \)Ат^х^\
f^\.2A2+...+l(l—l)Alxl-*+...+(m—l)(m — 2)Am_,xm-\
мы находим, что
dA—Xi> Жг~1Х1 • dA-LV l>Xi '
— 440 —
Внося эти величины производных
4у/ 4У/ ^2
dAi ' dA~t ' dAt '
в выше найденное выражение производной
dAi
и изображая, для сокращения, значения производных
dF(x, у, у', у",...) dF(x,y,y\y\ ...) dFix,y,y',y\ ...)
при каком-нибудь л' через
Ж, N, Р, ...,
а при „х; —л*;. через
ЛГ,, Л'„ Р„
имеем
Выводя по этой формуле значение производной
при
/=0, 1, 2, ..., m—U
мы находим, что выше показанные уравнения, определяющие
коэффициенты полинома
при которых сумма
имеет maximum или minimum, приводятся к следующему:
2 'мл .+2ьад=о,
2^- +22^л-+2л -2Р^=о,
2^aT_1 + 2<m — *)Nix?~2Л-^{т—\){т — 2) PiXf~* + ... = 0.
§ 3. Полагая для сокращения
(х — хх) (х — хг) (х — хь)---(х — х„_г) = и (х)
и изображая через
U, V, W, ...
целые функции, получаемые при делении произведений
Mi {x), N<f'(x), P<?'(x), ...
на и(х), мы замечаем, что дроби
М? ix\ N<?' (х) Р?> (х)
» (х) ' fix) ' в (л:) ' ' • •>
— 441 —
по разложении на простейшие, представляются так:
f(X) ^Z^X — Xi' *(X) V T ZiX — Xi'
<f(X)
W+X;
где, по нашему знакоположению (§ 2),
Mi9 Nt, Pi9 ...
означают величины функций
M, N, P, ...
при x = xs; суммирование же распространяется на все величины х~хи
х2, х2, ..., хт. Определяя по этим формулам значение выражения
Mvr (х) ""?(■*)" " v(x)
<р (х) dx ~~г~ dx* " " " '
мы находим, что оно равняется следующему:
u tf*~i~ rfx2 ~Z- Vx — Xi~(x — xjP^ix — xtf^ * "';
где члены
TT dV , d*W
представляют целую функцию, а сумма
v / Mt , Ц 2/>f . \
по разложении дробей
M{ Nt 2Pj
в ряды
" X — Xt ' (X —Xtf ' {X — X$ '
Mtx% MjXj Mrf .
A/,-*? 2A//xi flV,*2, ,
1-2-Р^ 2-3-Я,*, 3-4-Я,**
л-3 ~Т" д;4 "Г ХЬ
и но соединении подобных членов приводится к такому ряду:
ZMjx] ( IMjXj + ZMix] , 2^ + 2 2^ + 2 1-2Я/*?
Откуда видно, что суммы
%Mfx%
2лгл +2ВД.,
ЦМ/4 +22^л+2Ь2Р^
SM^^+S^-^^r^+S^-1^^-2^^
-34
— 442 —
равняются коэффициентам при
1 _L ± -1
х > л-2 ' д;3 ' • * ' > л-"*
в разложении выражения
. N»'(x) Po'(x)
M-f' (х) *(х)__ , yU')
ср (х) dx ' d*2
по нисходящим степеням переменной х; а так как эти суммы, по § 2,
составляют первую часть уравнений, определяющих значения
коэффициентов полинома
у = А0 + А1х + ...+Ая_1*Г-\
при которых сумма
%F(Xi, У* У'п ?п -••)
имеет maximum или minimum, мы заключаем, что эти уравнения
сводятся на обращение в нуль коэффициентов при
-L JL J_ - _!
Х ' л-2 ' Jt-З ' * • * ' хт
в разложении выражения
d Wx) j>p*'(x)
(р(лг) dx + d*2
по нисходящим степеням переменной и, следовательно, приводятся
к такому условию:
Выражение
dN*'(x) d,Pyf(x)
Mv'(x)__ 9(x) . <р(дг) -— (п
<?(х) d * dx* ••*' ^ '
с точностью до степеней х~т включительно равняется функции целой.
Здесь, как видели (§ 2), М, N, Р> ... суть производные функции
Fi*> У> У> У. • • •) п° У, У» У,
§ 4. До сих пор мы предполагали, что коэффициенты полинома
были совершенно произвольны; теперь мы рассмотрим тот случай, когда
выбор этих коэффициентов ограничен несколькими уравнениями такого
вида:
2/i(*/. Л' У г У"г •••) = *„
2Л(^ Л, У, У, ...) =<Ч,
где
Л(•*> ^ У. У» • • •). Л(*. у> у\ У» •.•)>
какие-нибудь целые функции независимой переменной л:, полинома ^ и
его производных у, у, ... Мы предположим сначала, что здесь все
суммирования распространяются на те же величины переменной
xlt х<р х%, ..., хт_1>
— 443 —
как и сумма
2Л(*» Уг>У'г У> •••).
которой ишется maximum или minimum.
По свойству наибольших и наименьших величин относительных,
значения количеств
А)> ^1» Ао3 • • • > ^от-1'
которые дают maximum или minimum суммы
2/оК-> л, у, у;,..-)
под условиями
2Л (-*» Л, У> Л*> • • •) = «2. [> (2)
как известно, определяются тем, что они обращают в нуль производные
по Л, Ал, Л2, ..., Л^ суммы
2Л(*/> л> X, У, . .)+^2/i(^ л, у, у, ...)+
+ *«2Л(-**> л» У» У> ...) + .-.»
где а,, Х2, ... постоянные множители. Сумма же эта приводится к виду
2 [ЛК, Уi9 У, У,, -.. - ) + Х,Л (*„ j/f, у, у7, . ..) +
+ 1*Д (-«/» Л, У, У', ...)+•••]>
что можно представить так:
2^(*/. л» У*/*• •••)>
полагая здесь
Н*. ^ У, У, ...)=/о(*. 3>> У. У» ..-) + Vi(*. У. У- У. •-•)■+-
-К2Л(-*> .у, У, У, ...)+ •••
А поэтому, на основании показанного в §§ 2 и 3 относительно
уравнений
dA0
4 2Р(*ьУ1*УрУ% •••)
А4Х
d^F{xh yi9y'i9 У/,...)
=о,
= 0,
= 0,
мы заключаем, что в настоящем случае уравнения, определяющие коэф-
фициены полинома
у = А0-\-Агх + А2х^ ЬД»-!*"1-1.
приведутся также к условию, выведенному в конце § 3, и что в этом
случае за функцию
F\x, у, У, У, ...)
должны взять сумму
/о(*, j'>y>y> ...)+Vi(*> У> У' У. .-0+Ш*..У>У>У. ■••)+•••>
где Х1? Х2, ... неизвестные постоянные множители.
— 444 —
Определяя по этому условию коэффициенты полинома
у = А0 + А,х + А^+ Мл,-!**"1.
мы найдем их выражения в функции множителей lv i2, ... ; внося же
эти выражения коэффициентов полинома у в условия (2), мы получим
столько уравнений, сколько множителей lv л2, ..., откуда и найдется
их величина.
§ 5. Переходим теперь к тому случаю, когда требуется сделать
maximum или minimum сумму
2ф0(-*> у> у, У. •--)>
распространенную на величины
X==CZ^, й^ч #з> • ••>
а выбор коэффициентов полинома
y = A0 + Alx + A2x* + ...~\-Am_lxm-i
ограничивается условиями
2*i(*. У, У> \>\...) = а„
2*8(^ з>>У У. ...)==а2,
где суммы распространяются на величины х
x = bv b2, b3,
X = С-^у Ctyy c3, . . . у
различные и между собою и с величинами
х — а19 а2, а3, ...
Чтобы свести этот случай на случай, рассмотренный в предыдущем
параграфе, мы заменяем все выше показанные суммы, распространенные
на различные величины переменной л\ суммами, распространенными на
одни и те же величины переменной. Для этого, полагая
(х — ах){х — а2) (х_ да)... = ?0 (х),
(х — Ьг) (х — Ь2) (х — bz) • • • = <р, (х),
(х — сх) (х — с2){х — с.л) • • • = ср2 (х),
и
%{х)ъ(х)ъ{х)ттт = c?t;c) =
= (* — ai)(x — a2){x — a8)...(x — bt){x — b2){x — bz)...{x — сг)(х —
— Съ)(х — сь)**.>
определяем целые функции
*^0> *-*1> ^2> * ' " »
Т Т Т
1 U> л 1> J 2» »
— 445 —
удовлетворяющие уравнениям
c?'W50 = cp(x)r0 + c?;(x)c?1U)c?2(x)..., ]
с?'(х)51 = (?(х)Г1+с?;(х)с?0(^)с?2(х) ... , !
Эти уравнения будут иметь решение; ибо, по положению, корни
уравнения ср(х) = 0, равные аг а2, ... , Ьг Ь2> ..., си с2, ... , все
различны между собою, а потому функция у(х) не имеет общего
множителя со своею производною <р' (х). На основании этих уравнений нетрудно
показать, что суммы
2 ЗД) (х, у, у\ у\ ...), 2$ Фг (х, у, у, У, ...),
252Ф2(х, ;;, у, у ...).-.,
распространенные на все величины х
X = #j, #2* ^3» • • • > ^1> ^2» 3» • • • » ^1» ^2' ^3» ' * * »
приведется к сумме
2(1\)(*> J>, У> У, «••)>
распространенной только на х = аъ а2, а3, ...', к сумме
2*i (*. ^> У. У» • • •)>
распространенной только на х = Ьг, Ь2, Ьг, ..., к сумме
2*2(*> ^ У, У, •••),
распространенной только на х = ^ £2, г8, ... и т. д. Чтобы показать это
относительно суммы
250Ф0(х, у, у, у, ...),
мы замечаем, что, по уравнению
?' м ^=<? w n+?; w ?i w ?2 w ...
и составу функций
?(*)» ?oW5 ?i(4 ?aW» •>
функция 50 будет обращаться в нуль при x = bv b2) Ьг, ..., cv c2,
cz, ..., корнях общих уравнениям
?(х) = 0
и
?iW?2W •••=o,
так как при этих величинах переменной х производная у'{х) не будет
нулем; ибо, по замеченному выше, функции ср(лг) и ср'(х) не имеют
общего множителя.
С другой стороны, при
-£ = <21, #2» ^3> • • • >
корнях, общих уравнениям
?W=0f %W = 0f
— 446 —
мы находим, что производная
и' (х) = fon (■*) ?i (х) ?♦> (х) ... _
= ?J (л:) ©, (л) с?2 (х) \- <$>,' (х) <р0 (х) ?2 (х) j- ?2 (л:) ?0 (х) зт (х) .. + •••
приводится к ^(х^Мср^х)..., и вследствие того по уравнению
?' (х) 50 = ср (х) Т0 + ?; (х) ?1 (х) ? о (х) • • -
при таких величинах переменной х получится
Откуда ясно, что сумма
250Ф0(х, з', у, /, ...),
распространенная на все величины переменной х
X = &i, й2> ^3» •••» ^1» ^2> 3» •••> ^1> ^2> ^3» •••»
приводится к сумме
2<М*. :у.У.У. ••■>.
распространенной только на
x = £1? #2, #3,
Подобным же образом находим, что суммы
2^(x, j/, у, У, ...), 2«VM*. Л У. У* -..).
распространенные на одни и те же величины переменной х,
х=#lf #2, #3> • • •» *i> ^2? ^з» • • • > ^i> ^з> ^s» • • •»
приводятся к сумме
2*i(*. v» У. У. •••),
распространенной на х = £1? £2, 63, ...,
к сумме
2*2(-*, з>> у. у. • ••),
распространенной н:.
X = £j, Со, ^з» • • • »
и т. д.
Заменяя на основании выше сказанного суммы
2*o(*> У> У> У» •--)»
2<М*. з>> У. У» -•-),
2сМ*> .у» у, у, ...),
распространенные на различные величины переменной х, суммами
250Ф0(х, у, у, у, ...),
253Фа(х, у, у, у, ...),
252Ф2(х, ууу\у\ ...),
— 447 —
распространенными на одни и те же величины переменной х9
определяемые уравнением
■?(*) = О,
мы заключаем, что в настоящем случае коэффициенты полинома
•У = А0 + Агх-\-А2х* + -.-+Ат_,*»г-1
определятся по сказанному в предыдущем параграфе, когда в
формулах этого параграфа за функции
/о(*. -У» У» У* •••). -№ У> У. У> •••), Л(«*. ^,У, У, ...)> • ••
примем произведения
So фо(*э .У» У. У. • • •). ^ Ф, (х, у,/, У, ...),
5аФа(л;, .у, У, У>...).-•.
и, следовательно, они найдутся по условию, выведенному в конце § 3,
когда положим там
Р(*> У> У> У* ...)=VM*» v, /, у%...) + 11ЗгФ1(х9 у, у\ у\ .. .) +
+ Х252Ф2(х, у, у, /...)+.-.
Здесь ъ1э Хо, ..". постоянные неизвестные множители.
Определяя для этой величины функции F{xf уу у\ у\ ...)
выражение производных
dy '
.T__dF{x,y,y>,y\...)
iV — dy'
р _dF{x,y,y',y\...)
Г ~~ dy"
через
и изображая производные функций
*o(*> У>У> У у •••), Ф^-к, .у, У, У, .-.), Фз(*. .У» У. У> •••)» •••
по
J>, У, Уэ • • •
ЛГ0, Mv Мъ ...,
Л^о, Л/i, JV2, ...,
ЛГ=50М0 + *ДЛГ, + \S%M2 + • • •.
JV = S0W0 + З^ЗД + ХгЗД + • • • .
р = 50Р0 + ХЛ^г + W» + • • •.
и выражение (1), которое для искомого значения полинома
у = Л0 + Лл -Ь Л*2 + • • • + Л»-1 •*""•
находим
— 448 —
по § 3, должно равняться, с точностью до степеней х п включительно,
функции целой, в этом случае напишется так:
Ч(х) T^ ^^'<f(x) I 1
_ ) fW fix) ?ta) if ( (4)
Ho no уравнениям (3), определяющим функции SQ, Su S2> ..., мы
находим
%' (x) _ | ^ (*) ?1 (дг) <p2 (*)...
?(■*) °~ flX)
Srf(x) __ ?!(*) To (*)?»(*) ♦•-
£2?4f)_r t ?2 (*) 90 (*) ?I (*) .. >
fix) —J*^ f(J)
no вставке же во вторые части этих равенств произведения
на место <р(л;) получаем
£2?/ !f! _ г i ?2{х)
откуда видно, что функции
$о?! (х) V' (х) S2? (х)
fix) y ~f(x) 9 fix) ' ••«
и
?о(*) ?1 (*) ^W
?oW ц(*)' ?2(д:)' *••
разнятся между собою только целыми частями; а потому, заменяя
первые последними в выражении (4), мы изменим только целую часть этого
выражения; степень же точности, с которою это выражение
представляет функцию целую, останется без изменения, и, следовательно, оно
шпрежнему будет служить для определения полинома
— 449 —
Делая такую перемену в выражении (4), мы получаем следующую
формулу»
Ai0 ?о (х) . Mtf'j (х) Л12?; (х)
»„(*) +л« ?1U, + *» Л(х) ^
. _ y-
, rf' ) "?n'(.v) ' Л' ?1 (х) ~Т" А2 "^Щ- 4 |
1 ^ - - ,
которая, по выше сказанному, с точностью до степеней х~т
включительно, должна привести к функции целой, если полином
v = Л 4- А хх + А^ -1 \- Ат_, хт~К
имеет те коэффициенты, с которыми сумма
2*о(*> v. У. У> •••)
под условиями
2*i(A% 3'» У> У». ..) = а„
2*й(а% V, У, /,...) =а_„
имеет наибольшую или наименьшую величину. Мы это вывели,
предполагая, что в рядах
аи а.,, яа, ...,
Й„ 6о, 6а, ...,
С|, Со> ^3» * • * »
нет одинаковых членов; но по способу пределов это легко
распространяется и на тот случай, когда в этих рядах есть общие члены.
§ 6. В предыдущих параграфах мы показали условие,
определяющее то значение полинома у данной степени, с которым сумма
2<№ У> У> У> •••)
достигает наибольшей или наименьшей величины. При этом мы
предполагали, что коэффициенты его или совершенно произвольны, или должны
удовлетворять уравнениям такого вида:
2*i(*. J'> У> /> ...) = *p
2*2 С*, v. У» У. •••) = <**
В последнем случае условие, определяющее искомый полином,
содержит неизвестные постоянные \v Х2,... Величины этих постоянных
найдутся по выше приведенным уравнениям, которым должен удовлетворять
искомый полином у и которых столько же, как и неизвестных количеств
А|, А2> • • •
29 п. Л. Чебышев, т. II
— 450 —
Определение полинома у под условием наибольшей или наименьшей
величины суммы
имеет аналогию с решением подобных вопросов в вариационном
исчислении, и в частном случае, когда эта сумма приводится к интегралу,
полином у, определяемый по выше сказанному, может быть
рассматриваем как приближенное выражение этой функции, которую находят
помощью вариаций. Но в вариационном исчислении искомая функция,
определяясь дифференциальным уравнением, получается интегрированием
его по известным способам; здесь же определение искомого полинома
V требует особенных примеров, так как он определяется условием,
которое не приводится к уравнениям какого-либо из известных видов.
Чтобы показать, как могут быть определяемы полиномы на основании
таких условий, мы рассмотрим теперь тот простейший случай, когда
функции
Ф0(х,у,у',у"..
^(-^д'./.У. •
Ф,{х,у,у',у",.
■ ■).
..),
..).
содержат^ в степенях не выше второй, а производные его — у\ у , ...
в степени не выше первой и с коэффициентами, зависящими только от
переменной х. В этом случае производные
ywo— dy ' <п\— dy
не заключают у\ у", ... и содержат у только в первой степени,
производные же
Лг __о?Ф0(*,.у>у',.уУ..) лг _ d<Px u, v,/,/',...)
^о — Ну * ? — W '
р __аФь(х,у,уу;...) р _4Фг(х9у,у,у,...)
0— dyn 9 ] dy" "' "'
не содержат совсем j/, у, у\ ...; а поэтому выражение
М»%'(х) , > М-$[ (х) j^. M»ul,{x) ,
1 9п(х)
\х) . % Nlf[(x) N,<?'2(x) {
dx
"Г dx*
которое, по § 5, с искомым полиномом
у=Л0 + Ахх +... + Дя-!*"-1,
+
- 451 —
верно до степеней х~т включительно, должно равняться целой функции,
приведется к двучлену
ну — ?',
где //, v — функции одной независимой переменной х. Следовательно,
в этом случае задача наша об определении полинома
У = Л + ^+--. + Л«-1^-1
под условием наибольшей или наименьшей величины суммы
2 (№3'>/>/'>♦.-)
приводится к определению полинома у степени т — 1, с которым
разность
ny — v,
верно до степеней х~т включительно, равняется функции целой.
Полиномы же, представляющие такое свойство, как мы покажем, легко
получаются при помощи ряда, данного в мемуаре нашем под заглавием
„Разложение функций в ряды при помощи непрерывных дробей".
§ 7. В выше упомянутом мемуаре мы показали, что разлагая
какую-нибудь функцию и в непрерывную дробь
определяя ее подходящие дроби
рл 5 £
<?Г CV Qz9 '"'
и изображая через
*\\> ^\2> ^8>
разности
и<2г — Р» uQ« — P2, uQs — Psi •••>
а через
©„ <о„, со3,
целые функции, получаемые по формуле
для разложения функции v по величинам
*\\> ^2? Аз> • • •
имеем такой ряд:
^ = Е<г/ + с01#1 + ш2#2 + (0з#з + --- (5)
При этом предполагается, что функции и и v способны разлагаться по
целым нисходящим степеням переменной х.
* Знаком Е обозначаем целую часть функции.
29*
— 452 —
Приступая к определению при помощи этого ряда полинома
y = A, + Alx±A«x*-{-...-[-Am_ix>»-\
с которым разность иу— v, верно до членов степени х~т
включительно, приводится к функции целой, положим, что Q^ есть последний
из знаменателей подходящих дробей
£ рл РЛ
<?Г (V <V '""'
которого степень ниже т, и что
/> r.^v ..., /\„ ru
суть частные и остатки, получаемые при делении полинома j> на Qu>
первого остатка г^ на Q^, второго остатка г t на Q 3 и т. д.
Приравнивая делимые произведениям частного на делитель, сложенным
с остатком, мы получаем такой ряд уравнений:
Исключая из этих уравнений остатки
и замечая, что последний остаток гъ получаемый при делении на Q1 == 1,
есть нуль, мы находим, что
Искомый полином
V = Л0 -f- Ахх -f Л2Л'2 4-... + А^х"1-1
•будет во всяком случае степени не выше т — 1, а потому функция F ,
получаемая при делении у на Q , будет степени не выше, чем
я, следовательно, степени ниже
так как QF+1, по положению, будет степени выше т—1. Функции же
F F F F
1 {*.-!> * р.-2> • " • > 7 2> * 1
будут степеней ниже, чем
р*-!* CV-V '■•' с <?l'
так как о«и получаются при делении остатков
на
Q^p Q,-» ••-, Q*, Qv
— 453 —
а эти остатки, получаясь от деления на
Q,, Q,_x, • • •, Q2, Qlf
будут степеней ниже, чем
Q,> Q,-p ..., Q2, Qr
Для определения множителей
в разложении искомого полинома у по формуле
v^^Q.+^-iQ.-i + '-'-frA+^A (6)
мы замечаем, что разность ну — v, по внесении в нее этого
выражения у и величины v по формуле (5), представляется так:
ну — ^ = ^^Q^ + F^-A^tl + -^F2Q2u + FiQiu — Ev — ^iRi — ^
что, по вставке величин
получаемых из равенств
приводится к такому виду:
+(^ - *>3) /?3+... + (г,_1 - %-i) /?^i+Cv - °v) ^ - %+i^+i - • ■ •
Рассматривая это выражение разности yj' — г/, мы замечаем, что здесь
члены
- Ev + /у, + /у8 +... + ^-iP,-i + ^Л
составляют функцию целую; остальные же, как нетрудно убедиться,
все степеней отрицательных, и степени их идут понижаясь. В самом
деле, по нашему знакоположению
/?i=Qi» — Л, #* = Q2« — Р2, •••> /?„.! = Q^iB — P,_15
^=QIJ.tt -Р(л> ^+i ==Qjx+iK Рц+i» •••>
а эти разности, по свойству подходящих дробей, одних степеней с
дробями
J. JL J__ _L __L _J_
по сказанному же в предыдущем параграфе относительно функций
в в выше упомянутом мемуаре относительно функций
•Юр 0)2, (03, . .., ©№-1, (0И, (0^+1, ... ,
— 454 —
видно, что в членах
(^х — «i>/?i Ч-Сй — «2)/?я-Ь - - - -4- (^:.-i — »:.-t) ^-, -5-
множителями при
R\, R-2> Rv • • •
стоят целые функции степеней ниже, чем
Ъ 2? Jh_ Qt±i Q*±:
Qi' <?2' vV-i' <?* ' ^-ri' '",
<?•> I 1 1
а потому первый член степени ниже, чем rf-FT=F.- , и не ниже тг .
VI V-2 VI СЛ
0-1 11 1
второй член степени ниже, чем я •/т=;т» и не ниже, чем ^ , . . . .
V2 V3 V2 V:]
о VV-» 1 1 1
член <0а ,,/?„., степени ниже, чем ^-^ • г— — ~— , и не ниже, чем я— ,
^ ' +1 <^-Н С i • 2 Vu + l Qa+2 '
и т. д. Откуда видно, что в выше найденном выражении разности ну—v
дробная часть представляется рядом
(Л-«1)/?1+(^-*з)/?2+ —
— «., + т/?, + 1 —...,
где степени членов идут понижаясь, а потому степень точности, с
которою эта разность приводится к функции целой, определится степенью
первого из членов его, не обращающегося в нуль.
На основании этого нетрудно найти значения функции
F F F F
входящих в выражение (6) искомого полинома, или убедиться в
невозможности его.
Члены
(F] — ©,)/?„ (г2 - со2) /?2, ..., (f^i - co^j /^
как видели, будут степеней не ниже, чем
_1 1 L
VV CV **•' <V
и, следовательно, не ниже, чем
ибо, по нашему знакоположению, в ряду знаменателей Qu Q0, Q.., ..., Q^
ни один не будет степени выше т—1; а потому разность ну — v
может привестись к функции целой с точностью до х~т только в том
случае, когда все эти члены сокращаются, что предполагает такие
уравнения:
7^-^ = 0, F2- а>2 = 0, ..., *>, —<V-i=0.
из которых мы находим
Fi = <»i> /?2 = ®2, •♦, JV-i = «V-i- (7)
— 455 —
При этих величинах функций
выше найденное выражение дробной части разности ну — v приводится
к ряду
где, как видели, члены
°V+1^ + lt ^ + 2^ + 2»
степеней ниже, чем
1 1
и, следовательно, ниже, чем
ибо, по нашему знакоположению, знаменатели
степеней не ниже т. А потому, чтобы привести найденное выражение
разности иу— v к функции целой, с точностью до степеней х~т
включительно, необходимо и достаточно, давши функциям
выше найденные значения (7), сделать степень члена
CV-%)/?,.
ниже —т.
Но, с другой стороны,' чтобы искомый полином у у определяемый
формулою
оставался, согласно с требованием задачи, степени не выше т,
необходимо и достаточно, при Fu F2, ..., /> выше найденных (7), сделать
член F^Qp. степени не выше т—1; ибо остальные члены, как нетрудно
убедиться, будут степеней ниже от—1. В самом деле, по замеченному
выше, множители
будут степеней ниже
Qi9 Q%9 •'•' <k-i'
а потому произведения
будут степеней ниже, чем
Уя> Уа> • • •» Уу.»
— 456 —
и, следовательно, ниже, чем
так как, по нашему знакоположению, все эти знаменатели подходящих
дробей и степеней ниже т — 1.
На основании этого мы заключаем, что искомый полином у найдется
по формуле
V - F& + F2Q2 +... + F^Q^ + F^,
где
f1=©1, F2 = a>2, ..., /7^3 = со,._м
а множитель Fa есть целая функция, определяемая такими условиями:
Степень произведения F^QV не выше т—1, а степень
произведения (/% — %)/?„. не выше —гп—1.
Так как, по нашему знакоположению,
а по свойству подходящих дробей разность Q^u — Р^ будет одной
степени с дробью
то при определении по выше сказанному множителя F,x можно взять эту
дробь вместо /?а; вследствие чего условия, определяющие множитель F^
можно представить так:
Степень произведения F^Q^ не ei:::ie т—1, а степень част-
f — <i>
ного ~"п—^ не выше —т — 1.
Что касается функций
<*>!, «2, ©з, ...,
то они, как замечено было в предыдущем параграфе, вообще,
выражаются так:
*a = (-lf-lEqa(Qav-EQav)
Определяя по этой формуле значения функций
и, по (7), внося их в выражение искомого полинома вместо
м> ' 2> • • • у ^V-i>
мы для определения у находим такую формулу:
где множитель F^ должен быть выбран согласно с выше показанными
условиями. Определением F^ под этими условиями мы и займемся в
следующем параграфе.
— 457 —
§ 8. По нашему знакоположению,
есть последний знаменатель в ряду
Q„ Qa, ..., QH, QF+1, ...
степени ниже т, а потому знаменатель
Q,+1
будет или степени т, или степени выше т. В первом случае, как
нетрудно показать, выше найденным условиям, ограничивающим выбор
множителя F^, будет удовлетворять только одна такая величина F :
во втором же случае или ни одна величина F не будет удовлетворять,
этим условиям, или им будет удовлетворять функция с несколькими
произвольными коэффициентами.
В самом деле, по условиям, определяющим функцию F^
произведение /^Qu должно быть степени не выше т—1, а частное -w~-^
степени не выше —т—1. Но если знаменатель Q^+1 степени т, то-
при делимом F— о> целом, отличном от нуля, частное
я, — а,,.
Qv- +i
будет всегда степени выше —т—1. Следовательно, в этом случае
необходимо принять
/V—«v=o,
откуда выходит
F =ш .
Так как функция (o[JL, по замеченному выше, степени ниже, чем
СУ +i
Он- '
то при этой величине F^ произведение F Q^ будет степени ниже, чем-
I.+1
Q»=Q»
Qp Чу. Чр+v
и, следовательно, ниже, чем хт, ибо в рассматриваемом случае
знаменатель Qp+r степени т.
Из этого видно, что при Q^+j степени т можно взять
F =о)
и что никакая другая величина множителя F^ не может удовлетворять,
условиям, выведенным в предыдущем параграфе.
Следовательно, в этом случае для искомого полинома у будет
возможна одна только величина, и она получится из выше найденной
формулы
когда примем в ней
F =* .
— 458 —
Переходим к тому случаю, когда знаменатель Q^+1 степени выше т.
По условиям, определяющим множитель F^, произведение F^Q^ должно
F' — о)
быть степени не выше т—1, а частное-^ £ степени не выше — т—
— 1, или, что одно и то же, множитель F^ должен быть степени не выше,
чем-д—, а разность F^—u^ степени не выше^^, а это приводится
к таким уравнениям:
F11 = C1a- + C2^-1+ ••• . (8)
FIfc-cDll=C'^.+C^-1+... , (9)
xm~l Q
где v означает степень функции '~q-~ , v, — степень функции -£±1, а
Г Г Г' С"
неопределенные коэффициенты.
Эти уравнения, по исключении F^f дают
^ = Сгх* + С^"г + ... —Сх^ + Сх^-г
что не может быть удовлетворено никакими величинами С„ С2, ...
С, С, • -. , если степень функции со^ превосходит и показателя v и
показателя v3. Откуда видно, что при ю^ степени выше v и v1 нельзя
удовлетворить таким условиям, определяющим множитель F^ в
выражении искомого полинома, и, следовательно, в этом случае решение нашей
задачи невозможно. В противном же случае, когда степень о^ не
превосходит по крайней мере одного из чисел v, Vj, значение множителя/7^
легко найдется, и, как нетрудно заметить, оно будет определяться или
одним уравнением (8), или одним уравнением (9), смотря по тому,
будет ли
или
v не < vt.
В самом деле, взявши значение Т* по уравнению (8) и внеся его
в уравнение (9), мы находим, что последнее приводится и к
следующему:
Если показатель v меньше vu первая часть этого уравнения будет степени
не выше, чем вторая; ибо при v<^ v1 степень функции со^ не может
быть больше VpTaK как иначе, в противность положения, она
превосходила бы оба числа v и vt. А потому в этом случае всегда удовлетворится
уравнение
C^ + Oj.r-1-f ... — <Dlx = C'^+C,'^-1+ ...
приличным выбором коэффициентов С, С", ... во второй части его,
каковы бы ни были коэффициенты Cv C2, ... в первой части.
— 459 —
Точно так же при v не <vx, взявши, по (9),
/v=<^+c^+cv'-i-f ...
и оставляя здесь все коэффициенты произвольными, мы получаем зна-
чение F^9 удовлетворяющее уравнению (8) при величинах Съ С2, ... ,
приличным образом выбранных.
Из этого видно, что всякий раз, когда степень функции © не пре-
восходит по крайней мере одного из чисел v, vx степеней функций —ру— ,
-~~7 ) , значение множителя г^ по условиям предыдущего параграфа
может быть найдено и что величина F определится или формулою
г jj, = С j X* -\~ С 2-К' -р . . . ,
или формулою
смотря по тому, будет ли v<%x или v^vx. Коэффициенты же
Clf С2» • • • >
с, с\ ...
остаются произвольными.
§ 9. Для примера мы рассмотрим теперь определение полинома
у = А0 + Ахх+ А,х* + ... + Ат_гх^
под условием наибольшей или наименьшей величины суммы
£т(и- Я*/))8<К*/).
распространенной на
•^ ^1? -^2' *^3> * * *
Сначала мы предположим, что выбор коэффициентов
А)> A]f Л о, ... , Am_i
искомого полинома у ничем не ограничен, а потом мы перейдем к тому
случаю, когда дана величина одного из коэффициентов
^о> Av Л2, .«• > A>n-i'
В первом предположении, при xv х2, хн, ... действительных и
функции Цх), не меняющей знака, мы получим известную уже формулу,
которая решает вопрос о параболическом интерполировании по способу
наименьших квадратов в обыкновенных случаях; во втором
предположении, при тех же значениях количеств xv xv x3, . • • и функции 6 {х)9
мы найдем формулу для параболического интерполирования по способу
наименьших квадратов в тех исключительных случаях, когда один из
коэффициентов выражения у должен иметь требуемую величину.
Полагая в формулах § 2
F{x,y,y',y\ ...) = ±(у-Ях)уЦх),
— 460
мы находим
д^= <//Чу,.у,У, у», ■■■) = 0
dyT '
n_dF(x, у, у' у", ■■0_п
При таких значениях функции Д Af, P, ... ив предположении,
что нет никаких условий, ограничивающих выбор коэффициентов
полинома v, для определения его, по § 3, имеем такое условие:
Выражение
где у(х) = (х — хх)(х— х2)(х — л'3) ..-, должно, с точностью до
степеней х~т включительно, привестись к функции целой.
Изображая через
знаменателей подходящих дробей, получаемых разложением выражения
в непрерывную дрооь
дрс
<v
)бь
, 1
1 <7i-f .
и полагая, что в ряду
<Ы*). №), ... , ^_Х(А-), <!>,,. (xj, <!v+1(x), ...
последняя функция степени ниже т есть
мы, по § 7, находим, что полином
У = Ай + Ахх + A^rfi + ... + Ат_ххт~\
удовлетворяющий такому условию, определяется формулою
У = «>i*i W + «»аФг (*) + • • • + «V-i Ф^_ 1 (х) + Z7 Д (х),
где множители
«1. »8. ••• > %_i
найдутся по формуле
а —(—\\-iEa 4><x)f<x)*lx)*'(x) в *„ (х) f <х) Ь <х),'<х) \
— 461 —
а множитель F^ no § 8, будет иметь одну определенную величину
если функция гЬ^г{х) степени т; в противном случае, если только
задача наша имеет решение, т. е. если сумма
имеет maximum или minimum, множитель /^ содержит несколько
произвольных коэффициентов и найдется по одной из формул
/7|, = % + С^ + С^-1+ ....
где v, vt означают степени функций
и первая из этих формул будет иметь место при v<y,, вторая при
v^vx. Что касается признака, по которому мы узнаем, имеет ли наша
задача решение, или нет, то, как видели (§ 8), множитель F ,
удовлетворяющий условиям нашей задачи, возможен только в том случае,
когда степень функции со^ не превосходит по крайней мере одного из
чисел v, vx.
В том случае, когда величины xv х2, х3, ... имеют
действительные значения и функция 6 (х) не меняет своего знака, непрерывная дробь,
происходящая от разложения выражения
как известно, будет такого вида:
, 1
где Al9 Bv А>, В2, ... величины постоянные. * В этом случае функции
Я\у Яъ • • • > <?п> * • •
имеют такие значения:
д1 = А1х + Въ q* = A2x-{-B2, ... , qn = Arlx + Ba, ... ,
а
* См. мемуар „О непрерывных дробях" [стр. 103—-126 этого тома. —-Ред.].
В этом же мы убеждаемся на основании того, что при хь х2, ... действительных
и 8(лг), не меняющей знака, наша задача имеет всегда одно решение, каково бы ни
было т, так как это, по § 8, предполагает, что в -ряду ф^дг), ф2(*), ... найдется всегда
знаменатель степени т и, следовательно, здесь найдутся знаменатели всех степеней,
что возможно только при выше показанном виде непрерывной дроби.
— 462 —
знаменатели подходящих дробей выражения
о (х) у' (х)
? (х) '
будут степеней
О, 1, ... , т — 2, /71—1, т., ...
Так как здесь последний знаменатель степени ниже т есть 'Ът(х)у
а следукщий за ним Ьт+г(х) — степени /и, то, по выше сказанном},
искомый полином в рассматриваемом случае найдется по формуле
Внося же в выше показанное (§ 7) выражение множителей
Юр со,, ... , o)m_v о>да
величину ^ = Ллх-4-Вл, мы найдем, что они будут определяться так:
K = (-iy-iE(A^ + Bj(^(x)flx);(x)*'(x)-E^(x)f<x),><x^'^).
п \ ; v Л ' Л V ? (X) 9 (х) J
Изображая через U целую функцию, получаемую при делении
произведения
Ъп(х)/(х)Цх)<У(х)
на <р(л:), мы, по нашему знакоположению, имеем
Ebn(x)flx)bix)z'(x) =и
? (XI
и
¥ (X) ' Л* ~ ■*! ' Л* — Л*2 ~1~
что для величины разности
$„(x)f(x)b(x)*'(x) g У*/)/(.У/)Иу/) ?'(*/}
? Ф ~» (х)
дает
<£* х — х£
Вследствие этого выше найденное выражение множителя соя приводится
к следующему:
что иначе можно написать так:
а
— 463 —
Выражение, стоящее здесь под знаком Е, есть нулевой степени, а.
потому, делая jc = oo, мы получим целую часть этого выражения.
Таким образом, мы находим по предыдущей формуле, что
»» = (- V"-1 S AJ(xt) Ь (xt) ф„ (л-,) = (- 1 )«-М„ 2/W 0 (л-,) 6„ (х,)..
Определяя по этой формуле значение множителей
СО,, 0)2, ... , «„_„ ©Л
в выше найденном выражении искомого полинома у, мы полунаг
формулу:
y = Al%f(xl)Hxi)&1(xi)b1(x) -Л82/(^)0(^)Ф,(^)Ф,(а:)4- •••
+(-1)"1-2 л^., 2 / (*,) 6 (*,) *„_, {хг) фя_1 (х) +
+ (- 1^ Ли 2/W 9 (xt) ф„ (х,.) ф„ (*).
Так определяется полином j/ степени ад — 1, с которым сумма
распространенная на действительные величины х, при множителе Ь(х)г
не меняющем своего знака, имеет maximum или minimum.
Эта формула и служит для параболического интерполирования по-
способу наименьших квадратов, когда относительно коэффициентов
искомого полинома нет никаких особенных условий.
§ 10. Переходим теперь к тому случаю„ когда в искомом полиноме
у = А0 + А1х + А*х*-\- ... +Д»-!**-1
коэффициент при х\ где / — одно из чисел 0, 1, 2, ..., т— 1,
предполагается данным.
Условие, что в полиноме у коэффициент при х1 должен равняться
какой-нибудь данной величине, может быть представлено равенством
2 Ф^х,;/,/,/', ...) = *!>
если принять, что здесь сумма распространяется только на одну
величину переменной х = 0и что функция
<1\ (*, з>> У, У, •••)
приводится к одному члену У = 2^ • В этом случае, по знакополо:кеник>
§ 5, будем иметь
у (Х)=Х, "i-L7— = — ,
♦ * v ' ' »x (X) X 9
и все производные функции
ФЛх>У>У'?> •••)=У
по j/, у, У, ... обратятся в нуль, кроме производной по у\ которая
будет равна 1.
Предполагая же, что сумма, которой желают иметь maximum или
minimum, есть попрежнему
— 464 —
и что она распространяется на величины
мы, по знакоположению § 5, имеем
Ф« (•*> У, У, У", ■■■) = j(y —fix))* 0 (х),
Мй = лФ^У'У'/"'-)=(У-]\х))Цх},
кг ЛФ0(х,у,у', у\ ...) п
D _<*Ф0(ХУУ,У',У\ ■■■) _п
(х — хг){х — х2) (х — л'з) ... = с?0 (л*).
При таких значениях функций
М0, /V0, Р0, ... , с?0(х), чг(х)
и по замеченному выше относительно производных функции
Фх{х9у9у\у\ ...)=У
по у, у',у", • • • , 3''» • • • искомый полином, на основании § 5,
определится таким условием:
Выражение
(У-/(*)) Чх)*'0(х) \(_ui _х
65/7WO до степеней х~т включительно, должно привестись к функции
целой.
Так как это выражение, по выполнении дифференцирования и по
раскрытии скобки, приводится к разности
Чх)*'р(х) {f<x)Q(x)i'n{x) 1-2 ... 1Лг
то, по § 7, для определения полинома у, должно разложить в
непрерывную дробь выражение
«о (х)
Ограничиваясь тем случаем, когда все величины хи х>, xZy ...
действительные и функция в(х) не меняет своего знака, мы, по
замеченному в предыдущем параграфе, будем иметь
П(х) =ЯъЛ-Ах + В\ 1
— 465 —
где Av В1У Л2, В2, ... постоянные величины; из этого выражения
?oW
найдется ряд подходящих дробей, которых знаменатели
4>i(*). <Ы*), • -. , *«.iW, iW, 4wiW> ...
будут степеней
О, 1, ... , m — 2, /72.— 1, т, ...
Так как здесь последний знаменатель, степени ниже т, есть фот {х\ и
следующий за ним, &т+1(х), степени т, то искомый полином
У = А0 + Агх+ ... +Ат^хт^
представится, по § 8, формулою
Замечая же, что в настоящем случае
q1=^Alx + Bv q2 = AiX + Bv ... ,
Qi = 4>i(*)> Qs = (M*)>
и
/(*)*(*)9р(*) Ь2 ... ЛХ|
мы для определения множителей ю,, ю2, ... , <dm„v <от, по § 7, находим
такую формулу:
что иначе может быть написано так:
«,=<.- l)-i Е (Аах + 2Ц ( / {х) b(X)f lix) ф* И - Е f {Х) ЦХ)^] ** <Х)) -
Но, по сказанному в предыдущем параграфе, выражение
Ь(Л°х+Вл)1 ^й Е £w
приведется к
Разлагая же функцию фв(л) по маклореновои. строке, мы находим, что
bL^L-k^.j.1^14- Г * ф"(0) I
+ 1.2...Ц1 + » '^+1(°) + Ь2-;(/ + 1)(/+2) V«(0)-+v-r
30 П. Л. Чебышев, т. И
466 —
а потому
Ь^1"-Ь2.../(/ + 1)'* lU, + l-2.-(/ + l)(/+2) ^n W l ""
и разность
хм xai
приводится к следующему:
Фя(0) 1 , Ф^'ЧО) 1 ,
Ь2-.-/лг » Ь2...(/— 1)** "Г • • •
Умножая это на Аах-\-Вп и в полученном произведении
1-2.-./ "» V1-2 — / "т"1.2...(/ — 1)Удг "Г"
откинув члены с отрицательными степенями переменной х, мы находим,
что
Е(^+Ва)(^-Е-^>)
имеет такую величину:
1-2.../ *
Вследствие этого предыдущее выражение множителя <оя приводится
к такой формуле:
«я=(-1ГМв(2/(^)в(^)фя(^/)-х1ф!;(0)).
Определивши по этой формуле величину множителей а^, ю2, ...у
®т-\> ^т и вн^ся их в выражение искомого полинома
мы находим, что оно приводится к следующему:
у=лх (S/We^'Wxbv^O)) ф,(х) -
+ (-1)^1^ (2/(^)0(Х/)фт(Х/)-).1ф^(О]) ф/л(А'),
где \х —х постоянная неизвестная величина, которая определяется темг
что здесь коэффициент при х1 должен иметь данную величину.
Подобным образом найдется выражение полинома у и в том случае,
когда дано несколько из коэффициентов его, а остальные определяются
тем условием, что сумма
^т((у-/(х)уь(х),
распространенная на данные величины переменной х, имеет наибольшую
или наименьшую величину.
ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ*
В мемуаре „Об интегрировании дифференциалов, содержащих
кубический корень"** показано было, вычислением каких простейших
функций можно дойти /ю выражения интеграла 1 TTfjr в конечном виде,
всякий раз когда для него такое выражение возможно; при этом
предполагалось, что радикал \f R не содержит рационального делителя и что
алгебраический член в выражении интеграла \ ттн dx исключен.
Вычисление этих функций, служащих для определения интеграл?
■is-pdx, как нетрудно заметить, соответствует разложению радикала
i
уж
j/7? в непрерывную дробь, через что Абель доходит до выражений
интеграла \~~/ifdx формулами вида Alogp r- в известноммемуаре
по этому предмету.
Прилагая этот способ к примерам, Абель находит несколько
частных случаев интегрируемости дифференциала
Yx* + ajp-\-bx-\-c
в конечном виде.
То же самое, на основании выше упомянутого мемуара, можно
сделать относительно дифференциалов, содержащих кубический корень.
Так, прикладывая показанное там к дифференциалу ъ/^6,а^^) dx, мы
находим, что, кроме случая, когда функция xbJraxJrb имеет кратного
множителя, этот дифференциал интегрируется также в конечном виде
* Опубликовано в Матем. Сборнике, II (1867), стр. 71—78; см. также Собр. соч.
П. Л. Чебышева под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина, том И, СПб. 1907,
стр. 43—47. —Ред.
** См. стр. 375—411 этого тома. — Ред.
30*
— 468 —
при каждом из следующих условий:
1) £ = 0;
-> дЗ 6 '
3)р=-6-±-18- ' ИТ-П-
При всех этих условиях выражение интеграла
дается общею формулою
где К—постоянный множитель, а — один из мнимых корней уравнения
а3—1=0; функция же <?(\/R) приводится к произведению
в котором множители
*Л¥%), ^(Vr), ••-. %-^Vr),
определяемые последовательно друг через друга, при
R=x*-{-ax-\-b,
как нетрудно показать, имеют такие величины:
Число ji, означающее, сколько множителей
UVR), UV~R)> ...
входит в состав функции <p(j//?), может иметь все величины от нуля
до бесконечности.
Условие
6 = 0
получается в предположении
ji=1,
и в этом случае показанные нами формулы дают
где
<?(i/R)=x- У&+Ъ.
— 469 —
Условие
*! — —1
а* 6
имеет место при
и в этом случае функция <?(|/#) в выражении интеграла
i - р == dx
J у** + ах+ь
формулою
/Г log[cp (£/#И«(а ^).?*2(а2 f/fl)],
по выше показанному, представится так:
?(^)=(*-^){**+з(*+4)(з!-*+!)+
+ [*-3(з§+1)(* + А)]?/£ + ^}.
Та же величина pi, а потому и то же' значение функции ср (£/#)
остаются для случая
fl3— 6 — 18 • •
Во всех этих случаях р остается количеством постоянным и имеет
следующие значения:
1) —2АГ при Ь = 0, 2) — ЪК при ^3= —j и
3) § #при 3=_-±__.
Но этими и подобными им частными результатами не ограничивается
приложение данного нами способа для интегрирования дифференциала
V*
dx
в конечном виде; этот способ интегрирования особенно заслуживает
внимания тем, что он также доставляет условие, необходимое для того,
чтобы интеграл
\ytix
мог выразиться в конечном виде. Так, для возможности интеграла
dx
\ ?/*
у/х* + ах -h Ь
в конечном виде оказывается необходимым, чтобы по крайней
мере одно из уравнений
Х*-*ъ± 4-1
3(5)г^ + б|з# + 2Х}=1
могло удовлетворяться такою величиною X, которая выржяёёётся
рационально через -|.
— 470 —
Прилагая это условие к выше показанным случаям интеграла
J
ух*-\-ах-\-Ъ
dx,
мы находим, что здесь количество —в имеет такие значения:
О, —-g-, —5"± ^р*
Ъ2
При первых двух значениях ^ уравнение
приводясь к
.Х»=1, Х3 = — 4-,
о
&2
очевидно, имеет решение, рациональное относительно -д.
При последнем значении ^ уравнение
Л — 4 аЗ+Ь
приводится к
Л — 8 — 8
что не может удовлетворяться величиною, рациональною относительно
— = — -g- ± -7g- • Но в этом случае уравнение
з(Э2^+б5(^+2^}=1
приводится к такому:
и этому уравнению, как нетрудно убедиться, удовлетворяет
3 . У=з
Х=
2 — 2
что выразимо рационально через ^—— —4-1—?f
а именно:
— 471 —
В том случае, когда количество ^ соизмеримо, по выше
замеченному, для возможности интеграла
i
?
.dx
УхЪ-^ах-^Ь
в конечном виде, необходимо, чтобы по крайней мере одно из уравнений
Л — 4 дзТ-1»
з(5)2^ + б|(^ + 2Х)-1
имело соизмеримый корень.
На основании этого мы легко узнаем невозможность в конечном
виде очень многих интегралов, представляемых формулою
н
pfxs+ax + b
КОММЕНТАРИИ
„ЗАМЕТКА ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КРАТНЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ"
Первый научный математический труд Чебышева, написанный под
влиянием тщательного изучения работ главным образом Коши. Заметка посвящена
вопросу, тесно связанному с задачею интегрирования уравнений
математической физики, где решения могут быть представлены в виде кратных интегралов
такого типа, какой рассматривает Чебышев; соответствующие работы Фурье,
Коши и Пуассона относятся к 1811—1835 гг.*
Доказательства теоремы, приведенной в заметке, повидимому, дано не
было. Для справедливости теоремы налагаемых Чебышевым ограничений
недостаточно; в этом отношении теорема требует некоторых дополнений.
В. Голубее.
„ЗАМЕТКА О СХОДИМОСТИ РЯДА ТЭЙЛОРА*
Эта заметка в научном творчестве Чебышева интересна в том отношении,
что она является единственною работою Чебышева, в которой он применяет
достаточно широко основные методы теории функций комплексного
переменного, как они были разработаны Коши.**
При чтении этой статьи необходимо помнить, что в годы, когда писалась
эта заметка, терминология в теории функций комплексного переменного была
весьма неточной. Автор везде говорит о функциях „конечных и непрерывных14
от комплексного переменного г, что, конечно, не совпадает с современным
понятием голоморфной функции. Однако дело идет именно о функциях
голоморфных в известной области, так как автор систематически пользуется так
называемым интегралом Коши (формулы (3), (4), (5), (6) и т. д.). Поэтому
* Изложение этих работ и соответствующую литературу можно найти, например,
в книге: А. Н. Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях математической
физики, имеющих приложение в технических вопросах. Л. 1932, стр. 101.
** Об отношении Чебышева к методам теории функций комплексного переменного
см. В. В. Голубев, Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебраических
функций, § 1, в сборнике «Научное наследие П. Л. Чебышева", вып. I, 1945.
— 473 —
доказанная Чебышевым теорема, которою он пытается исправить приведенную
в конце статьи формулировку Коши, неправильна.*
Приводимый Чебышевым пример ясно показывает и причину этого. Для
з
функции (l-f-z2)* точки z=±:i суть точки ветвления, при обходе вокруг
которых функция меняет два значения. В формулировке Коши и в методах
доказательства дело идет, конечно, об однозначных в рассматриваемой области
функциях, что в формулировке теоремы Коши явно не указано.
В. Голубев-
„ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО ОБЩЕГО
ПРЕДЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"
Работа „Элементарное доказательство одного общего предложения теории
вероятностей* является добавлением к магистерской диссертации Чебышева
„Опыт элементарного анализа теории вероятностей", защищенной в
Московском университете в 1846 г. и опубликованной отдельным изданием в 1845 г. **
Работа напечатана в 33-м томе журнала Крелля в 1846 г. и имеет
подзаголовок „Extrait d'un memoire russe sur l'analyse elementaire de la theorie des
probabilitytt. Здесь, очевидно, имеется в виду упомянутая выше диссертация,
хотя вся оригинальная часть заметки в диссертации отсутствует, если не
считать вывода некоторых оценок, относящихся к формуле Стирлинга,
приведенного в сноске на стр. 19—20. Повидимому, это добавление фигурировало
в каком-то виде при защите диссертации.
Рассматриваемая работа содержит первое общее доказательство теоремы
Пуассона для независимых событий, дающее оценку '
р ^ Х /~т(у.-т) /S\m(v.-Sy-»4-i
**^2(m— S) V \l \m) \\L-m) Л . .
необходимую для обоснованных практических применений этой теоремы.
Замечательный элементарный метод доказательства является первым
примером экстремального рассуждения, характерного для всего последующего
творчества Чебышева.
Нельзя, однако, не отметить упущения Чебышева в формулировке
условий теоремы, именно того, что события независимы. Это замечание относится
и к другим его работам. Возможно, что Чебышев считал естественным
предметом теории вероятностей изучение только независимых событий и не
находил нужным оговаривать это. Во всяком случае условие независимости
прекрасно сознавалось Чебышевым как здесь, так и в дальнейших его
работах, и вполне строго использовалось во всех рассуждениях. Как известно,
ошибка самого Пуассона заключалась в том, что он применял свою теорему
к самым различным зависимым событиям.
* См., например, В. В. Г о л у б ев, Работы П. Л. Чебышева по "интегрированию-
алгебраических функций, § К в сборнике .Научное наследие П. Л. Чебышева*, вып. L
** Эта диссертация .будет .помещена«в V тояе настоящего издания-хР*д-
— 474 —
Распространение теоремы Пуассона на некоторые классы зависимых
событий при весьма широких условиях было дано А, А. Марковым (см. его
^Исчисление вероятностей").
В 1918 г. в Сообщениях Харьковского математического об-ва С. Н. Берн-
штейном было дано условие, необходимое и достаточное для применимости
теоремы Пуассона к зависимым событиям, в виде следующей теоремы:
Пусть ph представляет первоначальную вероятность события А в й-ом
опыте, pik) его вероятность, когда известно, что событие А произошло в
к-ои опыте, а р^ вероятность А в h-ou опыте, если известно, что в &-ом
опыте оно не произошло; пусть, далее,
p(k) Р\ ^ГРЧ ^Г-'-^гРп
^п — п
Тогда для применимости теоремы Пуассона необходимо и достаточно, чтобы
произведение
стремилось к нулю равномерно относительно k при возрастании п.
С. Бернштейн.
„ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ, ИЗВЕСТНЫХ ПОД НАЗВАНИЕМ
ПАРАЛЛЕЛОГРАМОВ*
Сохранились сведения о том, что еще в детские годы внимание Чебышева
■было привлечено к простейшим кинематическим механизмам — системам
стержней, соединенных между собою подвижными шарнирами.
Мемуар „Теория механизмов, известных под названием параллелограмов*,
который мы в дальнейшем будем называть кратко „Теория механизмов*1,
опубликован непосредственно после первого заграничного путешествия
Чебышева (1852). Оно отражено в интереснейшем отчете,* показывающем, что по
прошествии ряда лет, отданных работам в области математических теорий
классического направления, Чебышев, к тому времени уже зрелый ученый с
европейским именем, обращается в сторону практической механики и, в
частности, впервые подвергает научному исследованию предмет своих ранних
размышлений—шарнирный многоугольник. С этих пор и до конца жизни
кинематические механизмы, не уходят из поля зрения Чебышева. Все статьи
и заметки, им посвященные, а также описание созданных его собственными
руками или по его указаниям моделей и конструкций, будут помещены
в IV томе настоящего полного собрания сочинений; там же следует
* Отчет этот будет напечатан в V томе настоящего собрания сочинений, г— Ред.
— 475 —
искать разъяснения подробностей технического характера. Мы остановимся
здесь на теории механизмов постольку, поскольку она явилась поводом
для развития замечательной чебышевской теории наилучшего приближения
функций, фундамент которой был заложен в рассматриваемом мемуаре.
Простейший шарнирный механизм, обладающий одной степенью свободы,
есть многоугольник, составленный из трех стержней СААгСг (фиг. 1);
стержни СА и С1Л1 закреплены в концах С и Сг и сочленены подвижными
шарнирами с третьим стержнем ААг в концах А и Аг. Очевидно, точки А и Аг
способны описывать окружности с центрами С и Сг и радиусами, равными
длинам стержней СА и С1Л1; стержень ААг способен двигаться таким образом,
что один из его концов скользит по первой окружности, другой — но второй.
При движении системы стержней точка М,
расположенная произвольно и жестко
связанная со стержнем ААг (например, можно
представить себе, что она соединена
стержнями AM и АгМ с концами стержня AAt),
описывает траекторию, называемую кривой
Уатта. Таких кривых, соответствующих _J_^ o\
данной системе CAAXCV столько, сколько L
возможно положений точки М в плоскости:
эти кривые образуют семейство, зависящее фиг* *
от двух параметров.
Мы ограничимся рассмотрением простейшего симметрического случая,
когда длины стержней СА и СгАг одинаковы, и точку М будем считать
находящейся на середине стержня AAV Положим
СА = СгАг=1*, 0(^ = 21, AAt = 2d (/— £<<*</ + #)•
Поместим координатную систему ОХ У так, как показано на фиг. 1; точка С
будет иметь координаты (—/, 0), точка Сг — координаты (-f-f, 0); координаты
точек Д, Ах и М обозначим соответственно через (6, 7]), (£,, fy) и (я, у).
Тогда получим уравнения
I a=#cosT — /, ( 51 = /?cost1 + /, ■
\ 7i = flsinT, I %=/?sinT1,
I 2x = Z + Sv (6 —ga + (4 —4i)2 = 4^
где t и Tt — угловые параметры, значение которых не требует объяснений.
Исключим сначала S, ij, ^и^:
I 2х = R (cos т + cos т,), R2 s.n21-^ _Rl (cosx_ cos^ + p ^ d2;
\ 2y = R (sin t + sin т,), 2
затем, пользуясь тем, что
^ -f j;2 _ /?s C0S2 T-^p,
получаем в результате исключения т и хг
r(#2^/2_^) —(*2+7*)]^ ■■■•(»
— 476 —
Это уравнение шестого порядка как раз и представляет кривую Уатта.
Очевидно, кривая вся целиком лежит в круге х2-\-у* ^/?2; на самой
окружности точки кривой могут быть лишь в том случае, если d = l; тогда кривая
Уатта распадается на окружность x2~{-y2 — R2 и кривую четвертого порядка
(*2 -f.y2)2 = Я2*2 + (R2 — Щу2
с очертанием лемнискаты (лемниската Бернулли получается при R=ll/2).
Начало координат — середина отрезка ССЛ—принадлежит кривой Уатта.
Однако если d-\-l<^R> то оно представляет собою изолированную точку
кривой; если d~\-l^>R, то в начале координат находится особая точка с
парой различных касательных, причем в окрестности этой точки имеет место
разложение вида
где для краткости положено
р = |/(/? + /)2 —^2, q = Vd* — {R — lY.
Наконец, если tf-)-/=/?, то две касательные в начале координат совпадают,
и тогда имеет место разложение вида
Легко понять, что в случае разложения (3) двойная касательная
совмещается с осью О К и имеет простое касание с ветвями кривой. В случае же
разложения (2) касательные наклонны и различны при R^-^-l-^d2 и
совпадают между собою при 7?2-|~/2 = ^2; касание в этом случае, вообще говоря,
второго порядка, а если l2 = R2-{-d* (что возможно только при/?2-}-/2=^=d2),
то даже — четвертого. Таким образом, можно сказать иначе, что при
условиях
|/ — R\<d<l + R
в начале координат „кривая приближенно представляется касательной с
точностью до бесконечно малых величин третьего порядка", а при
дополнительном условии
d* =/* — /?* (4)
даже „с точностью до бесконечно малых величин пятого порядка".
Кинематически это означает следующее. Придадим нашему механизму
«„среднее" положение, именно такое, чтобы точка М оказалась на середине
отрезка СС{. для этого придется стержни СА и СгАг направить по разные
стороны прямой ССХ (фиг. 2). Это возможно, конечно, только при условии
d-\-l*^>R. Тогда при небольших отклонениях от указанного положения
системы точка М будет описывать траектории, близкие к прямолинейным, т. е.
приближенно („до третьей степени") будет осуществлять прямолинейное
движение. Приближение оказывается особенно точным („до пятой степени"),
когда выполняется условие (4), означающее, что в указанном исходном поло*-
Ленин системы углы-САМ и СгАгМ.—* прямые.
— 477 —
На фиг. 3 изображены кривые Уатта, соответствующие частному
предположению / = 1,4-# при различных значениях d, не превышающих /. Та
кривая, у которой пара касательных в начале координат имеет касание
четвертого порядка, хорошо заметна. Высокая степень приближения к прямо"
линейному движению для соответствующего механизма совершенно
очевидна. V
я '
Мы изложили устройство наиболее су- л •
щественной (с теоретической точки зрения) / \ !
части механизма Уатта: заметим, что в / у
нем имеется и часть, в математическом */. Д -•--- х
отношении менее существенная. Она заклю- j\ /
чается в том, что один из стержней, имею- [ \ /
щих неподвижный конец, например СгАг, I \/
продлен по ту сторону конца Ахло точки А' * '
t Фиг 2
(фиг. 4), причем отрезок А^А равен от- . . .
резку СгА19 и стержень СгА' в шарнире Ал не сгибается; кроме того,
добавлены еще стержни AM' и АМ\ соответственно равные Л^л' и АгА,
со свободными шарнирами в точках А и М'. Легко понять, что точка Ж га
Фиг. 3
точки М при любом положении системы возникает с помощью гомотетии,
коэффициент которой равняется двум; таким образом, при движении системы
точка Ж описывает ту же кривую Уатта, что и точка Ж, но увеличенную
вдвое. Фигура ААХАЖ есть параллелограм: отсюда название механизма —
„параллелограм Уатта".*
* Дальнейшие сведения по поводу кривей Уатта и воспроизводящих ее механизмов
можно почерпнуть у Koenigs'a „Lecons de cinematique".
— 478 —
Обратимся теперь к той собственно математической задаче, которая
возникла перед Чебышевым в связи с его занятиями теорией параллелограмов.
Рассматривая, например, фиг. 3, мы видим дуги, чрезвычайно мало
отличающиеся от прямой линии. Возьмем на такой дуге точки Р и Q с
абсциссами — hah; совершенно ясно, что с уменьшением /?, т. е. при
сближении точек Р и Q (с условием, что они остаются симметричными
относительно центра) дуга PQ все в
меньшей степени отличается от отрезка
прямо й.
Согласно классическому ходу мыслей,
идущему от Лагранжа, кривую PQ
сравнивают с касательной к этой кривой,
проведенной в центральной точке. Чтобы
характеризовать близость касательной к кривой,
указывают „порядок касания": в нашем
примере порядок касания — четвертый.
Пользуясь употребительной в наше время
символикой, можно выразить ту же мысль,
утверждая, что ордината точки Р при h—*-0
имеет длину 0[hb).
Чебышев высказывает мысль, что, заменяя данную кривую ее касательной, мы
получаем хорошее приближение лишь „вблизи" некоторой определенной точки —
точки касания; если же желательно достигнуть хорошего приближения „между
данными пределами" (в нашем примере — между данными точками Р и Q или
в промежутке —h ^ x^ -j- h при фиксированном положительном К), то
касательной следует предпочесть некоторую другую прямую, „лучше" представляющую
рассматриваемую дугу PQ, чем соответствующий отрезок касательной.
ч Однако необходимо заранее указать какой-то способ для того, чтобы
измерять „уклонение" (или „отклонение"*) дуги кривой от касательной, или,
в более общем случае и более отвлеченно, чтобы измерять „уклонение"
данной функции от другой, ею приближаемой. В качестве „уклонения" функции
ш(х) от функции /(х) в рассматриваемом промежутке а — h^x^a-\-h
(в наше время в большей степени принято говорить о „расстоянии" между
функциями) Чебышев предлагает взять — это шаг, важный в принципиальном
отношении, — наибольшую из разностей значений функций в промежутке, т. е.
в современной символике понимает под „уклонением" величину
&(/,?)= max \f(x) — <f(x)\. (5)
Итак, имея в виду приблизить в промежутке я —• k^x^a-\-h кривую
y=f(x) с помощью прямой линии, надлежит подобрать коэффициенты р0 и
рх в уравнении прямой у=:р0х-^гр1 таким образом, чтобы выражение
max |/(*) —(Po*+A)I
стало возможно меньшим.
— 479 —
В „Теории механизмов* Чебышев формулирует и более общую задачу,
вводя в качестве приближающей функции, вместо многочлена первой степени,
многочлен любой степени
V=PoXa + PiXa-4 ЬР*>
причем коэффициенты многочлена U (параметры) следует подобрать таким
образом, чтобы выражение
max |/(*) —{/|
стало возможно меньшим.
По поводу происхождения выдвинутого им принципа приближения
имеются следующие высказывания самого Чебышева:
„Я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знали очень мало.
Все, что сделано в этом отношении, принадлежит члену Парижской Академии
г. Понселе, известному ученому в практической механике...
Относительно метода приближенных вычислений, о котором мы только
что упомянули, мы имеем только изыскания Понселе, который дал часто
употребляющиеся линейные формулы для представления таких трех величин:
Работа Понселе, на которую намекает Чебышев, помещена в журнале
Креяяя за 1835 г.; в ней Понселе ищет, например, приближенную
формулу вида
с таким расчетом, чтобы максимум относительной погрешности при условии
x^ky (у — данное положительное число) было возможно малым.
У Понселе же можно найти, правда в довольно неясной форме, практическое
правило нахождения приближающей функции согласно выдвинутому принципу —
минимализировать максимум отклонения. Именно, нужно „в каждом данном
случае найти аналитические выражения для пределов возможной ошибки;
приравнять их абсолютные значения; тогда становится возможным — если
только число полученных таким образом уравнений окажется равным числу
неопределенных величин (параметров) — подсчитать те значения
неопределенных величин, которые удовлетворяют поставленным требованиям".
В случае, когда приближающая функция есть многочлел U степени п}
имеется я-f-l параметров; чтобы правило Понселе могло быть применено,.
необходимо существование по меньшей мере /z-f-2 точек, в которых
«возможная ошибка", 1. е. отклонение \f(x) — U\, достигало бы своего
наибольшего (йо абсолютному значению) предела L:
L= max \f{x) — U\.
Можно ли быть заранее уверенным, что при некотором выборе
коэффициентов отклонение \f(x) — U\ достигнет своего наибольшего значения L по
меньшей мере в п + 2 точках рассматриваемого промежутка?
В .Теории механизмов" Чебышев утверждает, что, действительно,
отклонение \f{x) — U\9 как известно, обладает этим свойством, но не приводит
ни доказательства, ни указания, откуда это известно.
— 480 —
Соответствующее предложение во вполне обоснованной и
исчерпывающей, и притом в гораздо более общей, форме было трактовано Чебышевым
спустя четыре года в мемуаре „Вопросы о наименьших величинах, связанные
с приближенным представлением функций" (стр. 152—236 этого тома).
Мы укажем здесь идею современного, простейшего, доказательства
необходимого условия Чебышева: если U0 — многочлен степени п, для
которого уклонение
тах|/(*)--£/0|
достигает своего наименьшего возможного значения L, то равенство
\f(x)-U0\ = L
в пределах рассматриваемого промежутка имеет место не менее чем
в п-\-2 различных точках.
В самом деле,, положим f(x)— U^ = R(x), и пусть число т точек
отклонения xt таких, что
R(Xi) = ±L (/=1, 2, ..., т),
л —Л<д:1<лг2<.-. Ода<а-{-Л,
меньше, чем п-{-2. Предположим, что в последовательности т чисел
R(Xl), Я(*2), ..., R(xm)
имеется k перемен знаков, причем, очевидно, k <; т—1 и,
следовательно, k<^n-\-\. В каждом из k промежутков x{<^x<^xi+1 таких, что
Я(х()Я(х1+1)<^0, выберем по одному числу: пусть £1Э $2, ... , £k будет
совокупность выбранных чисел. Тогда, как легко понять и нетрудно убедиться
формально, при достаточно малых абсолютных значениях числа а и при
надлежащем выборе его знака, многочлен степени п
будет обладать свойством
max |/(лг) —£/|<1,
что противоречит допущению. Итак, т^п-\-2.
Заметим, что предположение, что £/0 есть многочлен степени л,
наименее уклоняющийся от f(x) (в смысле Чебышева), влечет за собою дальнейшее
следствие: можно выбрать такие л-J-2 точки отклонения хг<^х2 <^ ... <^хп+2,
что знаки чисел R (лгД R (х2), ... , # (хп+2) чередуются. В этой форме условие
является не только необходимым, но и достаточным, так как, обратно, из
того, что оно выполнено, следует, что UQ есть многочлен, наименее
уклоняющийся от f(x). Этого замечания нет в работах Чебышева^ который
в каждом данном случае ставит перед собой задачу не только выяснить,
является ли такой-то многочлен наименее уклоняющимся, но и указать
регулярный прием его нахождения.
Достаточность указанного выше условия следует из того, что если бы,
например, Ux был многочленом степени п таким, что \f(x) — UX\<^L для
всех значений х в рассматриваемом промежутке, то многочлен Ux — U0
степени п в точках отклонения х£ ( /== 1, 2, ... ,/2-f-2) последовательно менял бы
знак, значит, имел бы п -{-1 корней, что невозможно.
— 481 —
В мемуаре „Теория механизмов" Чебышев предполагает, что задача
наилучшего приближения решена для промежутка конечной длины 2/г с центром
х=ау причем и приближающий многочлен. £/0 и само наилучшее приближение
(наименьшее уклонение) L, естественно, оказываются зависящими от h. Затем
Чебышев заставляет h стремиться к нулю и следит за тем, что при этом
происходит с многочленом U0 и как изменяется L.
Остановимся сначала на нескольких простых примерах для того, чтобы
лучше схватить смысл общей проблемы. Для простоты будем допускать в этих
примерах, что а равно нулю.
1. Пусть /(х)=х2у л=1. Требуется в промежутке (— k, -f-Л)
приближенно представить параболу у — х2 прямой y=pQx-{-pv По Лагранжу,
надо было бы взять касательную в центре промежутка, т. е. прямую у = 0;
к
Л\
Фиг. 5
Фиг. 6
тогда приближение в смысле Чебышева равно h2 (максимум отклонения
ДО
на концах промежутка). По Чебышеву, надо взять прямую у — —;
тогда приближение в смысле Чебышева дается формулой L — ~t> вдвое
меньше, причем отклонение, с чередованием знаков, достигает своего
максимума в трех точках — на концах и в центре промежутка (фиг. 5).
2. Пусть f(x)=xz, /2=1. Требуется в том же промежутке (— h,-\-h\
приблизить кубическую параболу у = хг прямой j/ = p0x-|-p1. По Лагранжу,
надо было бы опять взять касательную _у = 0, что дало бы приближение h\
3
По Чебышеву, нужно взять прямую У = ~т h2x, которая имеет четыре (вместо
необходимых трех) точки отклонения х — -+утг и x = zhh, причем L=—Д8
/фиг. 6).
При f(x) = xBy n = 2, получился бы тот же результат: это
обусловливается наличием четырех точек отклонения.
3. Пусть /(х) = д:4, /г = 1. Расположение чертежа то же, что и в
примере 1. По Лагранжу приближение равно Л4, по Чебышеву — /z4.
4. Пусть /(лг) = д^, я = 2 (или 3). Требуется приблизить кривую у = х*
параболой второго порядка вида У='р^2-]-р1х-^рг По Лагранжу, надо
31 П. Л. Чебышев, т. IJ
— 482 —
взять р0=рг—р2 = 0, причем получается снова ось j/ = 0 с касанием
третьего порядка. По Чебышеву, как нетрудно подсчитать, получается парабола
1 " — "* * = 0. ±:^р ±й, при-
/г4 с пятью точками отклонения
*h -Ш
чем1=4-^4(ФИГ-7)-
Заметим, что в приведенных примерах приближение по Чебышеву —
того же порядка, что и приближение по Лагранжу, но в конечное число раз
меньше: при h—*0, очевидно, L также стремится
к нулю, причем приближающая в смысле Чебы-
шева функция в пределе переходит в функцию,
приближающую по Лагранжу (у = 0).
Обратимся теперь к более общему случаю,
когда данная функция есть какая угодно целая
положительная степень: f(x) — xn; предлагается
найти в промежутке (— /?, -\-h) ее наилучшее
приближение по Чебышеву с помощью много-
фиг- 7 члена степени п—1. Иными словами, требуется
найти многочлен степени п со старшим коэффициентом, равным единице,
наименее уклоняющийся от нуля в данном промежутке. Пусть А = 1. Тогда
искомый наименее уклоняющийся от нуля многочлен лишь постоянным
множителем отличается от многочлена Тп(х), который можно представить или
в тригонометрической форме
Тп (х) = cos n arc cos дг, (6)
или в алгебраической форме*
Тп{х) = ±[{х+У*^)а + (х-У*^\Т}. (7)
В самом деле, этот многочлен: 1) при |х|^1 по абсолютному значению не
превосходит единицы, 2) в п -\-1 точках
^4-cos^uf (f=0, l, 2, .... п)
принимает значения -\-1 или —1, последовательно меняя знак. Отсюда
следует, в силу приведенного выше достаточного условия, что многочлен
2B-i*« — Тп (х) в промежутке | х | < 1 — наименее уклоняющийся, степени п — 1 >
от функции 2п~1хп. Линейная замена переменной сейчас же приводит к тому
заключению, что многочлен
есть наименее уклоняющийся, степени п—1, от функции хп в промежутке
Наилучшее приближение здесь дается формулой L= -^ и,
следовательно, того же порядка, что и приближение по Лагранжу, но в 2п~1 раз
меньше. Легко -проверить непосредственно, что при h—*0 многочлен (8)
стремится к нулю.
* Переход от тригонометрической формы к алгебраической выполняется с
помощью замены л: = cos в и с применением формулы Эйлера.
— 483 —
Регулярный прием, который в „Теории механизмов" позволяет Чебышеву
получить формулу для многочлена Тп(х)у заключается в следующем. Исходя
из необходимого условия существования л—|— 1 точек отклонения, из
которых должно быть не менее п — 1 внутренних, и принимая во внимание,
что во всех внутренних точках отклонения производная от Тп(х) должна
равняться нулю, устанавливается тождество многочленов (л:2 — 1)Т'*(;с)и
п2{Т2п(х) — Z,2), так что Тп(х) удовлетворяет дифференциальному
.уравнению
.. *У =п dx (9)
интегрирование которого немедленно приводит к указанной выше
алгебраической форме многочлена Тп(х)* Тригонометрической формы нет в „Теории
Фиг, 8
Фиг. 9
механизмов": но ее легко было бы получить из того же дифференциального
уравнения (9), придав ему вид
dy ^ dx
П;
У\—у* Vi — x*'
Соответствующие интегральные кривые имеют уравнение
у = cos (n arc cos x -f- С),
(10).
(Н)
причем единственный полиноминальный частный интеграл Тп(х) получается
при С = 0.
Если из бумажной полосы, на которой изображен график гармонического
колебания, вырезать прямоугольник, содержащий ровно п периодов, и затем
склеить его вертикальными краями таким образом, чтобы получилась боковая
поверхность кругового цилиндра, то пространственная синусоидальная кривая,
в которую перейдет график, при проектировании на плоскости, проходящие
через ось цилиндра, будет давать как раз кривые (И). В частности, график
Тп(х) получится, если плоскость проекции пересечется с пространственной
синусоидой в точке максимума (хотя бы в одной или в двух, смотря по
четности п; фиг. 8). При таком пространственном построении становится
совершенно наглядным явление сгущения осцилляции графика у концов
основного промежутка —1^дг^-)-1 (фиг. 9).
Ту задачу, которую мы вкратце рассмотрели для случая функции хчу.
Чебышев ставит по отношению к произвольной функции f(x). Единственное
ограничение, наложенное на эту функцию, заключается в том, чтобы она была
аналитической в рассматриваемой точке # = #, т. е. разлагалась в степеннойу
31*
— 484 —
ряд вида
■/(*)=• 2 ЬЛ* — аУ (12)
б некоторой окрестности точки а; число h, разумеется, предполагается
настолько малым, чтобы промежуток а — h^x^a-\-h принадлежал этой
окрестности.
Маогочлен Рл{лг) .степени -л, наименее уклоняющийся от f(x) в промежутке
от а — h до a -J- /г, является функцией параметра Л
PR(x)=Pn(x, h)= S *<«>(*)(* — *)*•
Чебышев неявно постулирует аналитический характер коэффициентов
k№(h) относительно параметра /г (при h = 0), предполагая, что названные
выражения могут быть разложены по степеням h*, и затем разрешаемая им
проблема сводится к нахождению алгорифма для вычисления последовательных
коэффициентов этих разложений
*<я) (A) = А<»> + *(;)h + Ag) A« + ...
Решение расчленяется следующим образом:
1) коэффициенты k^\ k$, ... вычисляются без труда, именно: прямо из
определения многочлена, наименее уклоняющегося от данной функции, следует,
во-первых, что
(это означает, что при h—*0 наилучшее приближение в смысле Чебышева
в пределе переходит в наилучшее приближение в смысле Лагранжа, т. е.
в соответствующий отрезок степенного разложения), и, во-вторых, что
k[f = 0- (/=1, 2, ..., п)
«(другими словами, названные приближения различаются между собою лишь
«а величины порядка hn+l);
2) вычисление коэффициентов k[^n , г приводит далее, при допущении
&л+1=^:0, к многочленам степени л-f-l, наименее уклоняющимся от нуля при
заданном старшем коэффициенте (о чем речь была раньше);
3) в дальнейшем алгорифму придается рекуррентный характер.
Аналогично трактуется наилучшее приближение L, которое также есть
функция параметра /г
L = L{h).
Конец мемуара „Теория механизмов" Чебышевым не опубликован; не были
•обнаружены и рукописные материалы, которые могли бы дать о нем более
точное представление, чем заключительные слова мемуара: „В следующих
параграфах мы покажем приложения выведенных нами формул к нахождению
•элементов параллелограмов, удовлетворяющих условиям, при которых точность
* Вопрос об аналитическом характере зависимости наилучшего приближения от
параметра находит свое освещение в исследованиях академика С. Н. Бернштейна
см., например, .Экстремальные свойства полиномов", ОНТИ, 1937, гл. 1, 9).
— 485 —
хода этих механизмов — наибольшая". Сопоставляя это указание с намеками,
содержащимися во вступительном параграфе, позволительно догадываться, что
Чебышев имел в виду оценить отклонение конечной части сильно
выпрямленной дуги уаттовой кривой не от касательной в центральной точке (по
Лагранжу), а от секущей,, уравнение которой должно было быть получено из
степенного разложения кривой путем введения поправки в коэффициенты в
соответствии с разработанным им оригинальным методом.
Повидимому Чебышев имел намерение продолжить свои исследования еще
и в некоторых иных направлениях, именно он предполагал: 1) разыскать
наилучшее приближение функции ^посредством многочлена степени т<С^п — 1
с привлечением метода интегрирования дифференциального уравнения и
с использованием эллиптических функций (см. §§3 — 4); 2) разработать для
дробной рациональной приближающей функции ту же. проблему, которая
в „Теории механизмов* рассмотрена для случая целой рациональной функции:
„Для данного приближенного выражения /(х), выведенного обыкновенными
способами, в виде многочлена или в виде дроби, найти изменения, которым!
надо подвергнуть коэффициенты, когда требуется сделать наименьшим предел
его погрешностей между х = а — h и x = a-\-h, причем h величина довольно
малая." *
Что значит „обыкновенными способами" в случае дробного приближения,—
не вполне ясно.
В. Гончаров.
„ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ* (1853); „ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ, СОДЕР
ЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ МНОГОЧЛЕНА ТРЕТЬЕЙ
И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ"; „ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ" (1860); „ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА ^—^^-л dx«; „ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ";
„ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ"
§ 1. В научном творчестве Чебышева видное место занимают его
исследования по интегрированию алгебраических функций. Этой задаче посвящено
шесть мемуаров, напечатанных в 1853 —1867 гг.; той же задаче посвящена
его диссертация pro venia legendi, написанная в 1847 г. и оставшаяся
ненапечатанной) как при жизни Чебышева, так и в собрании его сочинений,
изданных академиками Марковым и Сониным после его смерти в 1899 —
1907 гг. Диссертация была впервые опубликована в 1930 г. академиком
* См. мемуар „Вопросы а наименьших величинах, связанные с приближенным
представлением функций", § 4 и 19, стр. 149—233 этого тома,, а также автореферат
этого мемуара на стр. 144—148 настоящего тома.
— 486 —
Af H. Крыловым. В научном творчестве Чебышева она интересна тем, что
определяет направление всего цикла работ, посвященного интегрированию
алгебраических функций, и метод исследования, применяемый в этих
работах. *
Задача, которую Чебышев ставит и решает в этих работах, одна и та же.
Ставится задача об изыскании условий, при которых интеграл вида
где /{х), F(x), Q(x)— многочлены, выражается в элементарных функциях, и
при выполнении таких условий ищется метод нахождения интеграла. Сначала
в основном мемуаре Чебышева „Об интегрировании иррациональных
дифференциалов", напечатанном в 1853 г., эта задача ставится и частично решается
для общего случая, когда т — любое положительное целое число; в
последующих работах рассматриваются частные случаи, когда т = 2 и /я=3.
В случае т — 2, очевидно, дело идет о решении весьма общей задачи
изыскания всех псевдоэллиптических интегралов.
Метод, который применяет в этих исследованиях Чебышев, — это метод,
которым пользовались в решении аналогичных задач Абель и позднее Лиу-
вилль. Началом всех таких исследований и надо считать следующую задачу,
поставленную Абелем в его мемуаре „Об интегрировании дифференциального
выражения-^-Д-, где р и R суть многочлены*, ** напечатанном в 1826 г.: „Найти
все дифференциалы вида -^=, где р и R — многочлены, интегралы которых
могут быть представлены в виде
где р и q—многочлены".
Решение этой задачи и ее различные обобщения составили предмет
многочисленных исследований самого Абеля,*** Лиувилля, Чебышева и ряда
других математиков; несомненно, что в этой области Чебышеву принадлежат
наиболее общие и наиболее интересные результаты.
В другом месте мы попытались проследить генезис идей Абеля и
выяснить связь работ Чебышева с работами Абеля и Лиувилля;**** в настоящей
заметке мы отметим только важнейшие результаты, полученные Чебышевым.
* Эта диссертация входит в V том настоящего Полного собрания сочинений
П. Л. Чебышева. — Ред.
** „Oeuvres completes de N. Н. АЬеГ, I, стр. 108, 1881.
*** Кроме указанного мемуара, см. также гл. I и II посмертного мемуара Абеля
„Theorie des transcendentes elliptiques\ напечатанного впервые в 1881 г. в II томе
полного собрания сочинений „Oeuvres completes de N. Н. АЬеГ, II, Christiania,
1881.
**** В. В. Голубев, Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебраических
функций. Сборник „Научное наследие П. Л. Чебышева*, вып. I, 1945; см. особенно
§§ 2 и 3.
— 487 —
Мемуар „Об интегрировании иррациональных дифференциалов*(1853)
является самым богатым по общности поставленных в нем вопросов и по полученным
в нем совершенно классическим результатам. В этом мемуаре Чебышев
рассматривает интегралы вида (1) и ищет условия, при которых такие интегралы
выражаются в элементарных функциях. Результаты, полученные Чебышевым,
в основном состоят в следующем:
1) подробно указан метод выделения алгебраической части интеграла;
2) дан общий вид разложения трансцендентной части интеграла в сумму
логарифмических членов (§ II, равенство (1));
3) в трех основных теоремах дано чрезвычайно широкое обобщение
соответствующих результатов Абеля и Лиувилля;
4) путем применения основных теорем (I, II и III) дано замечательное
по простоте доказательство знаменитой теоремы о случаях интегрируемости
в конечном виде дифференциального бинома.
Как известно, теорема Чебышева о дифференциальном биноме состоит
в следующем:
Интеграл вида
\хт(а + Ьхп)Р(1х9
где показатели т> п, р — рациональные числа, выражается в элементарных
функциях только в трех следующих случаях:
1) р — целое число;
2) —! целое число;
' п
оч т 4-1 .
3) —! j-p —целое число.
В работе Чебышева рассматриваемый интеграл приводится к виду
Г —
ХхР-ЦХ+хГ)"1 dx, (2)
где р, #, ту т' — целые числа. Тогда теорема принимает следующий вид:
Интеграл (2) выражается в элементарных функциях только в трех
следующих случаях:
1) т= 1 (этот случай Чебышев специально не выделяет вследствие его
очевидности);
2) ~ — целое;
3) £-4-— целое.
Еще Эйлер показал, что в трех указанных случаях интеграл
дифференциального бинома выражается в элементарных функциях; чрезвычайно
простое доказательство этой теоремы и дается во всех учебниках анализа.
Неизмеримо труднее доказать, что три указанных случая исчерпывают
все случаи, когда интеграл дифференциального бинома выражается в
элементарных функциях; это и было доказано Чебышевым.
По своей общности этот результат занимает, несомненно, одно из
первых мест в классическом математическом анализе среди весьма небольшого
числа других теорем, где указываются различные условия, при выполнении
— 488 —
которых те или иные типы интеграла не выражаются в элементарных,
функциях. Таковы, например, теоремы Лиувилля о невозможности выражения
в элементарных функциях эллиптических интегралов. *
По важности и по общности полученного результата теорема Чебышева
может быть поставлена в одном ряду с классическими алгебраическими
теоремами о невозможности алгебраического решения различных классов
алгебраических уравнений и с геометрическими теоремами о неразрешимости при
помощи циркуля и линейки различных классов задач на построение.
§ 2. Естественным продолжением и в известном смысле дальнейшим
развитием мемуара „Об интегрировании иррациональных дифференциалов" (1853)
представляют собою работы Чебышева „Об интегрировании дифференциалов,
содержащих квадратный корень из многочленов третьей или четвертой степени",
„Об интегрировании иррациональных дифференциалов" (1860) и „Об интегри-
х-\-А
ровании дифференциала ' dx*.
■ Vx*+ax*+p* + ix + &
Все эти мемуары посвящены теории псевдоэллиптических интегралов,,
причем в первом из них рассматриваются самые общие интегралы вида
Г/М^х__
где в (л:) — многочлен 3-й или 4-й степени и, следовательно, ставится самая
общая задача об отыскании всех псевдоэллиптических интегралов.
Интегралы вида (3) представляют собою частный случай интегралов
вида (1) при т = 2; общие теоремы, полученные относительно интегралов
вида (1), служат в этом мемуаре основою всех дальнейших изысканий. Однако
в рассматриваемом частном случае решение оказывается возможным
продвинуть значительно дальше.
Другие два мемуара посвящены более частной задаче. В них ставится
вопрос: возможно ли при заданных a, g, у, 5 найти такое Л, чтобы интеграл
х+А
Ji
:dX
Ух^ + ахЗ + ^ + чх+б
был псевдоэллиптическим?
Эта задача восходит еще к Абелю, который рассматривал интегралы
подобного типа в мемуаре „Sur I'integration de la formule differentielk
£_£-. ..«,** и позднее, более подробно в мемуаре „Theorie des transcendentes
elliptiques".
Указанный Чебышевым результат дает существенное дополнение к
исследованиям Абеля., Однако сам Чебышев не дал полного доказательства
формулированной им теоремы; во втором мемуаре „Об интегрировании
хХ-А
дифференциала f ~ dxa он дает только общие указания
Yx* + ax2+$x* + 4X + S J
относительно метода доказательства и подробно рассматривает числовой пример.
* Подробнее об этом см., например, В. В. Голубев, Работы П. Л. Чебышева
по интегрированию алгебраических функций („Научное наследие П. Л. Чебышева'г
вып. I, 1945), где указана и соответствующая литература.
** См., например, „Oeuvres completes de N. Н. Abel*, I, стр. 142, Christiania,
1881, там же, II (в особенности стр. 139—164).
— 489 —
Теорема Чебышева была доказана впервые в 1872 г. Е. И. Золотаревым
в мемуаре „О методе интеграции г. Чебышева" *; позднее другим методом
дал доказательство той же теоремы И. Долбня. **
В своих доказательствах и Золотарев и Долбня пользовались
трансцендентными методами; Золотарев применял теорию эллиптических функций
Якоби, Долбня внес некоторое упрощение благодаря применению
эллиптических функций Вейерштрасса. Можно думать, что метод, которым пользовался
Чебышев, был совершенно иной. Судя по некоторым указаниям во втором
мемуаре, можно заключить, что Чебышев применял метод алгебраических
преобразований, непрерывные дроби и т. п. К сожалению, повидимому, не
:охранйлось полного доказательства этой теоремы, принадлежащего самому
Чебышеву. ***
Теории псевдоэллиптических интегралов в последующие годы было
посвящено очень большое число работ, но в изыскании различных случаев
псевдоэллиптических интегралов авторы всех этих исследований применяли
методы общего математического анализа и теории функций, коренным
образом отличные от тех методов, которыми пользовался в своих исследованиях
Абель и позднее Чебышев; по своему характеру эти методы (теория
непрерывных дробей, формальные алгебраические преобразования) более типичны
для исследований по теории чисел. ****
* G. Zolotarev, Sur la methode d'integration de M. Tchebycheff, Math. Ann.
5, (1872), стр. 560—580; Собр. соч. Е. И. Золотарева, т. I, стр. 85, 1931; си. также
Е. И. Золотарев. Теория целых комплексных чисел с приложениями к
интегральному исчислению. Диссертация, 1874, 'Собр. соч., т. I, стр. 16.
** I. Dolbnia, Sur les integrates pseudo-elliptiques d'Abel. Journ. de math, pures
et appl., IV serie, IV (1890), стр. .293 — 311; ом., также „Oeuvres mathematiques de
I. Dolbnia", Paris, 1913, стр. 36.
*** Замечания относительно метода доказательства и истории вопроса см.
В. В. Голубев, Работы П. Л. Чебышева по интегрированию алгебраических
функций, § 5. Сборник „Научное наследие П. Л. Чебышева*. вып. I, 1945.
**** Вот некоторые из работ по теории псевдоэллиптических интегралоз:.
1. К- Weierstrass. Uber die Integration algebraischer Differentiate yerrnittels
Logarithmen. Berl. Ber., 26, II, (1857); Werke, I стр. 22.
2. I. C. M a I e t. Two theorems on integration. Ann. di Matem. (2), б (1874).
3. S. Giinter. Sur revaluation de certaines integrates pseudo-elliptiques. Bull.
Soc. Math, de France (1882), стр. 88..
4. H a 1 p h e n. Traite des fonctions elliptiques, II, Ch. XIV, стр. 575.
5. E. G о u r s a t. Note sur quelques integrates pseudo-elliptiques. Bull. Soc. Math.
de France, 15, (1887), стр. 106; также E. Go u г sat. Cows d'analyse mathematique, 1^
Ch. V. (том I., ч. 1, русского издания 1933 г.)
6. L. R a f 1 у. Sur les transformations invariantes de differentielles elliptiques.
Bull. Soc. Math, de France, 12 (1884), стр. 57.
7. Green hi 11. Pseudo-elliptical integrals and their dynamical applications.
Proc. Lond. Math. Soc. 25 (1894), p. 195,
8. I. Dolbnia. Sur les integrates pseudo-elliptiques qui dependent d'une racine
cubique d'un polyn6me du troisieme degre. Bull. Soc. Math., 2-me serie, XVII (1893),
стр. 125—138; также Oeuvres de I. Dolbnia.
9. L D.olbnia. Sur les integrates pseudo-elliptiques dependant des radicaux du
quatrieme et sixieme degre. Bull. Soc. Math., 2-me serie, XVII (1893), стр. 228-230;
также Oeuvres de I. Dolbnia.
— 490 —
§ 3. Другая область, в которой Чебышев также применил общие
результаты своего основного мемуара, это случай т=Ь> когда интеграл имеет
вид
Исследованию случаев, когда подобные интегралы выражаются через
элементарные функции, посвящены два мемуара Чебышева „Об интегрировании
дифференциалов, содержащих кубический корень*4 и „Об интегрировании
простейших дифференциалов, содержащих кубический корень".
Первый мемуар представляет собою приложение общих теорем,
доказанных для интегралов вида (1) к случаю т=3. В дальнейшем в этом мемуаре
Чебышев подробно излагает метод, заменяющий в случае т = В метод
разложения в непрерывную дробь, который Абель и позднее Чебышев применяли
в случае т = 2.
Во втором мемуаре рассматривается частный случай, когда многочлен/? —
третьей степени. В этом мемуаре Чебышев дает без доказательства следующую
теорему: Для того чтобы интеграл
dx
I
l/xs + ax+b
выражался в элементарных функциях, необходимо, чтобы по крайней мере
одно из уравнений
3(l-)';f'+6S(A,+2J0=1
удовлетворялось выражением X, рациональным относительно -у.
Эта теорема, данная Чебышевым без доказательства, повидимому, никем
не была доказана и в дальнейшем.
С другой точки зрения к решению той же задачи подошел Долбня.
Применяя теорию эллиптических функций, он доказал следующую теорему: *
„Пусть
£2 — и> £з— зб (я — Ъ)*{а — с)*
и z0 определяется из уравнения
если z0=— (т — целое), то
J;
dx
У(х — аНх—Ь)(х — с)
выражается через элементарные функции *.
' * L Do lb nia. Sur les integrates pseudo-elliptiques qui dependent d'utte racine
'cubique d'un polyndme du troisieme degre. Bull. Soc. Math., 2-me serie, XVII (1893),
стр. 125—131; также Oeuvres, стр. 81.
— 491 —
В качестве примеров он приводит следующие два интеграла:
dx
a — Qy Ь=ру с ——р,
I
J
?/ х.ь~ в*х 2
У х*~р*х
-о?\/х* — р)*; (as = l).
dx - *<*,)=£ ^
i-
1
Применяя формулу p (2z) = — 2g> (z) + T(&7j!) 2> можно показать, что
3"
g-In (* - Vx^=T){ x—a if*=lf(x—a* Vx^=T)\
(2z0)=%>(z0), т. e. *0 = -£,
dx
y&=r
з
Оба эти примера удовлетворяют условиям, указанным Чебышевым. Действи-
тельно,*в первом примере — = 0, и в первом из уравнений Чебышева
достаточно положить Х—Л. Во втором примере ~ = оо, и во втором уравнении
Чебышева достаточно положить Х= (\2-Л , при условии, конечно, что
--=00.
а»
В том же мемуаре Долбня рассматривает и задачу, аналогичную задаче
Абеля: при каких условиях
(x+H)dx
[
выражается в элементарных функциях?
Он показал, что если положить
£2 u» 6е 36 (a — bf (a — с)*
и определить z0 из уравнения
*(*о) = * *
то 2г0 должно быть аликвотною частью 2<u(z0=— J, и. при- атом Я должно
быть определено из условия
В качестве примера приводится интеграл
J-££L=k==-L\n(x-yW=T)(x-a У&=ТУ{х-* У*=ТГ.
В этом примере #=0*
R* Голубев*
I
— 492 —
„ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ АНАЛИЗА", „ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ МЕМУАРА
О НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ", „О НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ", „ОБ
ОДНОМ НОВОМ РЯДЕ", „О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ", „ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ ПО СПОСОБУ
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ", „ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ", „ОБ
ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ ВЕЛИЧИН РАВНООТСТОЯЩИХ"
Перечисленные в заглавии мемуары и заметки * посвящены детальной
разработке метода параболического интерполирования, который имеет большое
значение в прикладном анализе и носит название метода наименьших
квадратов. Однако этим не исчерпывается значение рассматриваемых работ.
Характерное для Чебышева умение сочетать теорию с практикой и на
базе чисто прикладных вопросов ставить и решать тонкие математические
проблемы, создавая при этом общие методы и алгорифмы, в достаточной
мере отражено и в работах по интерполированию.
В самом деле, в этих работах заложены основы общей теории
ортогональных полиномов, а также дан общий метод — метод непрерывных дробей,
который в, этой области оставался основным орудием исследования в течение
многих лет, вплоть до своего триумфа в замечательных «Исследованиях о
непрерывных дробях" Стиль тьеса.
В дальнейших своих работах (см. Hi том настоящего Полного собрания
сочинений) Чебышев обогатил свою теорию многими новыми фактами и
постановкой новых оригинальных и глубоких проблем.
Не касаясь этих работ здесь, мы в настоящих строках хотим, с одной
стороны, проследить тот путь, по которому шел Чебышев при-построении
ортогональных полиномов, а с другой стороны, несколько остановиться на
практической стороне. Впервые общие • вопросы Чебышев трактует в мемуаре
яО непрерывных дробях".
Отправным пунктом для него является система точек
и система положительных чисел (масс)
^0» ^1> JA2> •••. JV
Затем исследование ведется по следующей схеме.
1. Ставится задача:
Построить многочлены
\(х), \(х), ..., \п(х)
степени т<^п так, чтобы для любого многочлена F(x) степени т имело
место равенство
• х—0
* Последний мемуар входит в III том настоящего Полного собрания сочинений
П. Л. Чебышева. —Ред.
— 493 —
и чтобы величина-
я
w(*)=2i«»l№P
была минимальной.
2. Устанавливается, что полиномы \.(х) имеют вид
где Кт(х> у) есть многочлен степени т по каждой из переменных х, у.
3. Доказывается, что
(x)Sm(y)-Sm(x)
«„<*, я—^ х_у ,
где £,„— некоторая положительная константа, а ^(я) (£ = 0, 1, 2, .:.,
т -jr-1) -г- полином степени & с равным 1 старшим коэффициентом, являющийся
знаменателем подходящей '.дроби для некоторой непрерывной дроби.
Указанной непрерывной дробью является та, в которую разлагается
выражение 4 .
о2 (х) 2
1
.{=0Х—~Х1*
где 6 (х) — многочлен степени я, удовлетворяющий условиям
4*i) = V^ (* = 0,-1, .'.., л).
4. Полученная интерполяционная формула
^тТ^л Х Xi
точная для любого многочлена F(a;) степени /я, преобразуется к* следующему
виду:
т
Р[х)= 2 V4(4 (1)
ft=0
где
Л=^ .
jjw [$*(■*,)]»
При этом устанавливается, что правая часть формулы (1) является
отрезком суммы
Злам.
k=0
и делается заключение о важности этого обстоятельства при практическом
интерполировании в тех случаях, когда степень интерполяционного
многочлена не задана заранее, а определяется в зависимости от точности
получаемого приближения. *
* Особенно существенен такой подход в математической статистике при
определении уравнений регрессии. Здесь методы Чебышева нашли международное
признание после мемуара К. Пирсона [К. Р е а г s о п. On a general method of determining
the successive terms in a skew regression line (Biometrica, III (1923)}.
— 494.—
5. На основании полученной формулы выводятся соотношения
ортогональности; пусть
ф*(*)-_—зд—
/I"1
тогда
л
2 иА (л,) фр (^)=га? (а, р=о, 1, ..., л)
и матрица
ортогональна.
6. Устанавливается, что полином Sk (х) среди всех полиномов степени k
(с равным 1 старшим коэффициентом) минимизирует сумму
2 ъ[Ы*№
/ = 0
7. Устанавливается, что для любой функции f(x) полином степени т
Р{х)=-г Ё ft/ (*i) Sm+1 W Sm {Xt) ~ Sm (X> Sm+1 ^
минимизирует среди всех полиномов Р{х) степени т величину
/ = 0
Этот путь, естественный для Чебышева, не является наиболее простым*
Несомненно, что все рассмотрения упростились бы при следовании в
другом порядке, например в обратном. При этом оказалось бы излишним
введение многочлена 6(лг), и соответствующие рассмотрения привели бы сразу
к выражению
л
подлежащему разложению в непрерывную дробь, а не к выражению
1
лх — *1
Р{Х)ЖТ='
которое, впрочем, легко приводится к предыдущему с помощью выделения
целой части.
От случая конечного числа сосредоточенных масс Чебышев естественно
перешел к случаю непрерывного распределения массы, т. е. к задаче о
наилучшем квадратичном приближении функции полиномами при заданном
непрерывном весе. В современном изложении обе эти задачи объединяются
в одну при помощи употребления интегралов Стильтьеса.
Повторять свои выводы на случае „непрерывного распределения массы"
Чебышев не счел нужным. Ему была ясна общность полученных им фактов,
как это показывают слова Чебышева в короткой статье вО разложении
— 495 —
функций одной переменной" где, беря свою функцию
2=0'
он говорит: «Делая частные предположения относительно ряда значений xt
и вида функции 6 (*), получим для разложения функций несколько более или
менее замечательных рядов". Таким образом, Чебышев в этом мемуаре
рассматривает как „частные случаи" функции Ф(х) выражения
1 1
Г * du С du
л/ — I da \ da
V к J х — и ' J х — и *
придя в первых двух случаях к известным разложениям в ряд Фурье по
косинусам и в ряд по полиномам Лежандра и получая в двух последних
случаях ряды по новым системам полиномов, которые принято называть
полиномами Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра.
Учитывая важность для практики разработанного им метода
интерполирования, Чебышев счел необходимым представить свой способ в такой форме,
которая была бы особенно удобной при вычислениях и, в частности,
позволяла бы на каждом этапе судить о той квадратичной погрешности, которая
соответствует взятой степени интерполяционного полинома. Этим вопросам**
Чебышев посвятил мемуары „Об интерполировании по способу наименьших
квадратов" и „Об интегрировании величин равноотстоящих"..
Во втором из этих мемуаров рассматривается случай равноотстоящих
узлов. Этому последнему случаю Чебышев придавал особое значение и
посвятил ему еще две работы: короткую статью „Об одном новом ряде" и
мемуар „Об интерполировании". Особое значение для практики случая
равноотстоящих узлов при одинаковых весах очевидно. ** Однако и в
теоретическом отношении этот случай имеет особый интерес, так как отвечающие ему
ортогональные полиномы представляют конечно-разностный аналог полиномов.
Лежандра и превращаются в эти последние с помощью предельного перехода-
Чебышев нашел ряд свойств своих полиномов, некоторые из свойств
различными путями.
#. Ахиезер.
* Хорошее изложение параболического интерполирования по способу
наименьших квадратов, следующее Чебышеву, содержится в классической книге А. А.
Маркова „Исчисление вероятностей".
** В сочинении А. К. Митропольского „Техника статистического
исчисления* для случая равноотстоящих узлов даны вспомогательные таблицы, делающие
применение способа Чебышева чрезвычайно простым. Более полные таблицы были
опубликованы Хотимским.
— 496 —
„ВОПРОСЫ О НАИМЕНЬШИХ ВЕЛИЧИНАХ, СВЯЗАННЫЕ
С ПРИБЛИЖЕННЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ФУНКЦИЙ"
Второй, наиболее капитальный мемуар Чебышева из числа посвященных
вопросам наилучшего приближения составлен в чисто теоретическом плане.
Теория параллелограммов Уатта, породившая характерную для Чебышева
проблематику, отступает в сторону, как далеко не исчерпывающая область
возможных применений.
Рассматриваемая Чебышевым математическая проблема получает настолько
широкое обобщение, насколько это мыслимо, и исследуется со строгостью,
почти отвечающей требованиям нашей эпохи.
Вместо разности между заданной функцией и ее приближением, взятым
в виде полинома данной степени с произвольными коэффициентами, Чебышев
вводит произвольную функцию F(x; рг, pv ... , рп) основной переменной х и
каких угодно параметров ри /?2, ... ,рп (в конечном числе) и ставит задачу:
подобрать систему значений параметров, которая обращала бы в минимум
наибольшее возможное значение абсолютной величины функции F в некотором
основном промежутке, скажем, от а до Ь. Следуя по пути неосторожных
обобщений, можно было бы угадывать, что в случае осуществления минимума
абсолютное значение F в основном промежутке принимает свое наибольшее
возможное значение L по меньшей мере в л-j-l точках (число точек
отклонения должно по крайней мере на единицу превышать число
параметров). С величайшей проницательностью Чебышев не только усматривает
возможность исключений из такого гипотетического правила, но и выводит
необходимые условия минимума для исключительных случаев.*
Пусть xv x2i ..., Хр—(различные) точки отклонения, число которых,
допустим, не превышает числа параметров: ]i^n. Тогда утверждение
Чебышева (в модернизированной форме) заключается в том, что ранг матрицы
Ml М2 • • • Мл
\\р р р
* Существование системы значений параметров, обеспечивающей минимум,
Чебышев критическому рассмотрению не подвергает и постулирует его неявно. В этом он
близок скорее к Риману, чем к Вейерштрассуи современности. Следует, однако,
заметить; что ход мыслей Чебышева в рассматриваемых им задачах эффективно приводит
к их решению, чем и доказывается существование такового. Совсем иное положение,
например, в случае проблемы Дирихле. По всей вероятности, Чебышев едва ли
согласился бы с тем, что решающий успех заключается в доказательстве существования,
решения, а не в нахождении приема решения.
Для выяснения вопроса о том, каково отношение Чебышева к требованиям
математической строгости в современном смысле слова, характерны следующие слова:
„Чтобы упростить изыскания, мы оставляем в стороне случай, когда F(x) и ее
производные относительно х, рь ръ...j>n перестают быть конечными и непрерывными
между * = — h и x = -\-h* (§ 6).
а)
— 497 —
где положено
d —
Pi* — S5lF(xi'Pi>P'-> ••••?„),
меньше чем ji. В нормальном случае (если ji^n-fl) число-2}t уравнений
в системе
I /",<*'>==i* (/ = 1.2 (2)
не меньше, чем число ;л-|-л-[-1 неизвестных
дгр х2, ..., х^; р19 р2, ..., рп; L,
чем, теоретически говоря, обеспечивается, по Чебышеву, возможность ее
решения. При исключительной ситуации (если )К,п) недостающие п — pi—j— l
уравнения восполняются п — jx+1 независимыми условиями понижения ранга
Чебышев не приводит примеров подобного рода исключительных ситуаций;
построить их, однако, нетрудно.
1) Пусть в промежутке —1^лг^-(-1 требуется приблизить параболу.
у=—~— параболой же, принадлежащей семейству у = (х— р)2 (—сю<^
*Л I 1
<[ р <d + со). Если р = 0, то функция F (х, р) = —~ (х — р)2,
выражающая разность ординат парабол по абсолютному значению, достигает
максимума у при л: = 0, тогда как если 0<^|/?|^ —, то максимум достигается
при х = 2р и равен р2-|—~, следовательно, больше чем у» если же )/?£>
>—, то максимум достигается (смотря по знаку р) на левом или на правом
конце промежутка и равен 1 р | (| р | -f- 2) ^> — ^ Итак, наименьшее отклонение
у осуществляется при /? = 0, и тогда имеется лишь одна точка отклонения
дг=0 (фиг. 10).
2) Пусть в том же промежутке требуется приблизить параболу у=\ —х2
прямою, проходящею через начало координат, у — рх. (— оо <^р <^ -j~ °°)-
Дело сводится к минимализации максимума абсолютного значения функции
F(x,p)=l—х2 — рх. Если р = 0, то максимум достигается при х = 0 и
равен 1. Если 0<[ )/?]<: 2, то он достигается при х — — —■ и -равен
1 + 7"» следовательно, он больше чем 1. Если, наконец, |/?|^>2, то он
достигается (смотря по знаку р) на левом или на правом конце промежутка
и равен |р|; значит, он тогда больше чем 2. Итак, наименьшее отклонение!
осуществляется при р = 0, и имеется притом только одна точка отклонения
х = 0 (фиг. 11).
Чебышев применяет полученную им общую теорему к трем основным
задачам („случаям"), когда-данную функцию/(х) в данном промежутке
требуется приближенно представить: 1) многочленом данной степени; 2) дробной
32 п. J1. Чебышев, т. И
— 498 —
рациональной функцией, причем многочлен в знаменателе задан, а в
числителе задана лишь степень многочлена, коэффициенты же его неопределенны;
3) дробной рациональной функцией, причем даны лишь степени многочленов
в числителе и в знаменателе, коэффициенты же обоих многочленов
неопределенны.
Результат таков, что ни в одном из трех „случаев" исключительной
ситуации представиться не может; в „случае" 3) — с оговоркой, что степени
Фиг. 10
Фиг. 11
числителя и знаменателя не снижаются одновременно на одно и то же число
единиц.
Доказательства, приводимые Чебышевым (§§ 13—16), современному
читателю могут показаться громоздкими, потому что они не используют
определителей и матриц. В § 14 матрица (1) принимает вид
\xf-\r1 ... xt 1J1 (3)
(выписана ради краткости только /-ая строка, i = 1, 2, . ♦., ji), и совершенно
ясно, что понижения ранга быть не может, так как в числе определителей
матрицы порядка ji имеется определитель Вандермонда
I xi xt ... х. 1 |, (4)
наверное отличный от нуля. В §15 положение лишь немного осложнено
наличием знаменателя ср (jc); матрица (1) теперь имеет вид
„л-1
^л—2
1
и так как знаменатели ср (xt) заведомо отличны от нуля, то ранг матрицы (5)
не отличается от ранга матрицы (3). Наконец, в §16 мы имеем дело с
матрицей
Xi 1 xfafri) X&{Xi)
гП-l-l
которая элементарными преобразованиями приводится сначала к матрице
|*?~М¥(*/) ••• *#(*/) ?(*)) 4M*/) ••• xi'Hxi)b
и затем — при допущении, что хоть один из коэффициентов
Pb Р& •••» Р& Л/.-/+1Э Pn-1+V "••> Pn-l+d
— 499 —
(где й? = л+1—М-) отличен от нуля, —путем тех же соображений, которые
высказаны в §16, можно притти к заключению о существовании таких
дальнейших элементарных преобразований последней матрицы, которые приводят
ее к матрице, содержащей определитель Вандермонда (4).
Дальнейшую конкретизацию задачи, поставленные Чебышевым, получают
в § 17.
Первая из них заключается в приближении функции f(x) — xn, скажем,
в промежутке —1<;л;<4~"1 многочленом степени п—1, или, иначе, в
нахождении многочлена степени п с заданным старшим коэффициентом, наименее
уклоняющегося от нуля. К этой задаче, уже решенной им в мемуаре „Теория
механизмов, известных под названием параллелбграмов", Чебышев
возвращается теперь снова и, дав обоснование используемому необходимому условию,
решает ее новым методом, „аналогичным с употребляемым в анализе Диофанта*4,
именно с помощью непрерывных дробей.
Еще в „Теории механизмов" Чебышев установил, что искомый многочлен
удовлетворяет тождеству
F* (х) — 1* = пЦх*—1) F'2{x), (6)
и, рассматривая последнее как дифференциальное уравнение, определяет F(x)
путем интегрирования. На этот раз Чебышев исходит из существования
многочлена Ф(х) степени п — 1, связанного с F(x) тождеством
F*(x) — Z* = (jfl — 1) Ф2(лг), (7)
игнорируя то обстоятельство, что Ф(х) лишь постоянным множителем
отличается от F'(x). Последнему тождеству придается вид
фИ ^ <P(x)[F(x) + <!>(x)V x*—l]'■
F{x) *
откуда ясно, что ф~~ есть не что иное, как л-ая подходящая дробь в
разложении У х2— 1 в непрерывную дробь. Это свойство приводит к многочлену
Чебышева Тп(х), с точностью до постоянного множителя, который вычис:
ляется без затруднений.
Этот вывод формулы для многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, был
воспроизведен Бертраном в его классическом курсе анализа „Traite du calcul
differentiel" (1864).
Вторая задача (или „случай") конкретизируется Чебышевым в § 29
следующим образом: требуется найти дробную рациональную функцию, наименее
уклоняющуюся от нуля в данном промежутке —1 ^х^-\-\> если наперед
заданными являются степень числителя, коэффициент при старшей степени в
числителе и, наконец, весь знаменатель. Задача принадлежит к категории
задач наилучшего приближения с наперед заданным, как теперь принято
говорить, „весом*: обратить в минимум выражение
max ?{x)\f(x)—P(x)\,
причем «вес" р{х) — функция неотрицательная в данном промежутке. Чебышев
вводит, таким образом, вес вида
где А{х) — многочлен,
32*
— 500 —
Эту задачу, как и предыдущую, Чебышев решает методом „анализа
Диофанта** Исходное тождество (7) принимает на этот раз более общий вид
F* (х) — 1*АЦх) = (х* — 1) Ф2 (х) (8)
(см. в иных обозначениях в начале § 32). Окончательные формулы,
определяющие числитель дроби и наименьшее уклонение, выписанные в конце § 38,
показывают, как названные величины выражаются через корни многочлена А{х).
Заметим, что кропотливого диофантова анализа в этой, как и в
предыдущей (простейшей) ёадаче, можно избежать путем проведения апостериорного
рассуждения (см., например, S. Bernstein. „Lemons sur les proprietes ex-
tremales des polynOmes". Ch. I, troisieme probleme).
Что касается третьей из задач Чебышева (§ 42 и следующие), то
содержание ее заключается в том, чтобы минимализировать отклонение от нуля
выражения, представляющего собою сумму
многочлена и правильной рациональной дроби, причем
задана степень / знаменателя дроби и 1-{-1
старших членов многочлена, все же прочие
коэффициенты могут быть варьируемы произвольно.
Этой задачей, гораздо более трудной, чем две
Фиг. 12 предыдущие (поскольку неопределенными здесь
являются не только коэффициенты в
числителе, но и коэффициенты в знаменателе), после Чебышева занимался
Н. И. Ахиезер, сумевший избавить ее решение от аппарата непрерывных
дробей.
Чебышев указывает целый ряд применений полученных им результатов,
касающихся целых и дробных функций, наименее уклоняющихся от нуля.
Сюда относится, во-первых, ряд алгебраических теорем, позволяющих судить
о, расположении корней данного многочлена и его производных: эти теоремы
частично цитированы без доказательства в „Теории механизмов". Во-вторых,
указываются результаты, касающиеся интерполирования. Чебышев рекомендует
рри интерполяции выбирать в качестве узлов в данном промежутке не системы
равноотстоящих точек (по Ньютону), а систему нулей многочлена Tn(x)f
сгущающихся к концам промежутка: при таком выборе снижается предел
возможной погрешности. Графический прием построения этой системы нулей
доказан при п=\2 на фиг. 12. Добавим к этому, что выбор системы
нулей Тп(х) в качестве узлов интерполяции обеспечивает сходимость (при п -*- оо)
интерполяционного процесса в случае любой функции, аналитической в
рассматриваемом промежутке, что не всегда оправдывается для ньютоновых
интерполяций (обстоятельство, отмеченное К. Рунге в 1901 г.)
Капитальный мемуар „Вопросы о наименьших величинах, связанные с
приближенным представлением функций" содержит все главнейшие результаты,
полученные Чебышевым в области созданной им теории наилучшего
приближения функций. В. нем Чебышев отчетливо выступает как основоиояожник
того особого, ныне широко распространенного и прочно утвердившегосд стиля
в математике, характерной чертой которого является систематическая
постановка и разрешение экстремальных проблем. Если в исследованиях по наидуч-
— 501 —
шему приближению дан ярчайший образчик этого стиля, то словесное
изложение его принципиальных основ содержится в речи .Чебышева „Черчение
географических карт", написанной вскоре* после опубликования основных
работ по наилучшему приблджению. В выше изложенном мемуаре, как нигде,
сказываются со всею отчетливостью характерные индивидуальные свойства
математического творчества Чебышева: исключительная простота и
конкретность в постановке задач, чрезвычайная точность и полнота в их решении.
Проследим вкратце, какое развитие идеи в области наилучшего
приближения функций получили в период времени от Чебышева до наших дней.
Мы назовем лишь основные пути научной мысли, порожденные Чебышевым;
некоторые дополнения к этому найдут свое место в комментариях ь: III тому.
Пытаясь расчленить обширные и .разнообразные исследования,
примыкающие к Чебышевскому наследию, естественно выделить три важнейших
направления.
Первое направление можно назвать алгебраическим. Для него типична
постановка задач, строго ограниченная рамками, поставленными в собственных
работах Чебышева: и приближаемые и приближающие функции —
алгебраические, полиномы или дробные функции данной наперед степени и подчиненные
ограничительным условиям в том или ином числе — алгебраического же
характера; притом задачи ставятся на конечных промежутках оси одного
действительного переменного. Успехи исследований по наилучшему приближению,
предпринимаемых в алгебраическом направлении, служат скорее к углублению,
чем к расширению теории. Об относящихся сюда результатах можно сказать,
что ценность их тем более значительна, что и, помимо тех случаев,
рассмотрение которых позволило самому Чебышеву проявить высокую
проницательность и остроумие, всякое дальнейшее продвижение вперед требует
преодоления все более серьезных трудностей. Следует отметить также, что если
при решении простейшей алгебраической задачи естественно встречаются
тригонометрические функции, (мы имеем в виду формулу Тп(х) = cosn arc cos*),
то при решении более тонких задач аналогичную роль исполняют уже функции
более сложной природы — эллиптические и автоморфные. Характерно $ще и
то, что, тогда как Чебышев в процессе доказательства никогда не выходит за
пределы действительной области, новейшая алгебраическая теория
приближения функций все шире применяет методы теории функций, комплексного
переменного.
Посмотрим, какие возможны модификации в постановке задач
классического алгебраического направления. Ограничительное условие, введенное в
простейшей задаче Чебышевым, заключается в задании коэффициента при
старшем члене искомого многочлена. Вместо того, можно считать наперед
заданным коэффициент при любом другом члене; можно считать заданным
числовое значение некоторой линейной комбинации коэффициентов, причем
таковЪю, в частности, является значение искомого многочлена в некоторой
* 20 (в) февраля 1856 г. ьа торжественном акте в Петербургском университету :
будет помещена в У<томе настоящего собрания сочинений, -гРед.
33 П. Л. Чебышев, т, II
— 502 —
точке, или же значение какой-либо из его производных. Вместо одного
ограничительного условия, можно ввести два или больше. Вместо одного основного
промежутка, можно взять систему из двух или большего числа промежутков.
Наконец, допускается рассмотрение „взвешенного* приближения, с тем или
иным весом.
Ограничительное условие в форме задания значения многочлена в
назначенной точке впервые встречается у Чебышева в позднейшей работе „О
функциях, мало удаляющихся от нуля при некоторых величинах переменной*
(1881); случаи, когда заданы: 1) два старших коэффициента или 2) один
старший коэффициент и значение функции в данной точке, по побуждению
Чебышева, рассмотрел его ученик Е. И. Золотарев. В конце восьмидесятых
и начале девяностых годов братья А. А. и В. А. Марковы исследовали
вопрос о коэффициенте при любом члене и родственный вопрос о значении
производной любого порядка в данной точке. При решении получившей в
дальнейшем широкую известность „задачи Менделеева" А. А. Марков, вместо
значения производной в данной точке, ввел максимум абсолютных значений
производной в основном промежутке и доказал замечательную теорему для
многочленов Рп(х) степени п: если \Pn(x)\^L в основном промежутке
— 1=<д:^-(-1, то в том же промежутке \p'n(x)\^n2L (равенство возможно
только на концах промежутка при Рп(х)=Тп(х)). В. А. Марков поставил
задачу о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, при
линейной зависимости общего вида между коэффициентами. Аналогичная задача,
но при двух линейных зависимостях рассматривалась в начале XX века А. П. Пше-
борским и другими авторами. Выдающиеся и разнообразные результаты в
алгебраическом направлении получены за последние 10—20 лет Н. И. Ахие-
зером: укажем лишь на случай, когда заданы три старших коэффициента,
и на случай системы двух промежутков.
Второе направление в теории наилучшего приближения назовем теоретико-
функциональным. Пусть f(x) какая угодно непрерывная функция, заданная
в промежутке а ^ х <: by En(f) — наилучшее приближение * этой функции
с помощью многочлена степени п:
En(f) = mm max \f(x) — Pn(x)\. (9)
Для теоретико-функционального направления характерной чертой является
устремление внимания к асимптотическим свойствам последовательности
Ex(f), EJJ), ..., E„(f), ..., (10)
причем эти свойства ставятся в связь с дифференциальными или
аналитическими свойствами функции f(x). Точное нахождение приближающего полинома
и точное нахождение соответствующего значения наилучшего приближения
отступают с точки зрения теоретико-функциональной на второй план: так как
существенными являются лишь предельные свойства последовательности (10),
то во многих случаях достаточно найти приближенные решения поставленной
экстремальной задачи.
* £—от французского ecart (отклонение).
— 503 —
Чуждая, повидимому, Чебышеву теоретико-функциональная точка зрения
возникла, с одной стороны, из замечательного открытия Зейерштрасса (1885),
установившего, что для любой функции, непрерывной в замкнутом основном
промежутке,
lim £.(/) = <>,
а с другой стороны, на основе теории функций действительного и
комплексного переменного, расцветшей к началу XX в. главным образом на
французской почве. После того как Э. Борель в своей монографии „Lemons sur les
fonctions de variables reelles et les developpements en serie de polyn6mes"
(1905) привлек внимание западноевропейских математиков к вопросам
приближения функций, в частности, к результатам Чебышева, методы разложения
функций в ряды полиномов и установление взаимоотношений между свойствами
разлагаемых функций и быстротой сходимости ряда стали актуальными
вопросами теории функций. Соответствующая проблематика в форме объявления
конкурсных тем была выдвинута в 1908—1909 гг. Бельгийской Академией
наук (Валле-Пуссен) и Гёттингенским университетом (Ландау). Содержательным
вкладом, положившим прочный фундамент теоретико-функциональному
направлению в теории наилучшего приближения, явилась представленная Бельгийской
Академии и позднее ставшая докторской диссертацией работа академика
С. Н. Бернштейна (тогда приват-доцента Харьковского университета) „О
наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной
степениа. В соединении с последующими примыкающими к ней работами,
а также с диссертацией американского математика Д. Джэксона, одновременно
и независимо от нее представленной Гёттингенскому университету, она
создала возможность единой классификации функций действительного и
комплексного переменного, основанной на свойствах наилучшего приближения.
Оказалось (по крайней мере в первом приближении), что совокупность
непрерывных функций, заданных в некотором промежутке, образует своего
рода упорядоченное множество, нечто вроде функционального спектра:
структура функции тем проще или, напротив, тем сложнее, чем быстрее или
медленнее убывает последовательность (10).
Чтобы иллюстрировать эту общую идею, достаточно привести несколько,
характерных примеров. Если, принимая за основной промежуток —1 ^x^-f-l,J
положим
п -*- оо к
и допустим, что
1<р<~,
то р есть не что иное, как полусумма осей эллипса с фокусами — 1 и -f-V|
внутри которого функция f(x) регулярна, но на контуре которого уже имеет/
особенности. Если положим, с другой стороны,
В-+СО Ign
и допустим, что
0<s<oo/
— 504 —
то можно утверждать при 5 дробном, что функция f{x) имеет производные
всех порядков, до порядка & = [$] включительно, причем 5 — k есть тогда
верхняя граница для порядков условий Липшица, которым удовлетворяет
производная fW (x) в рассматриваемом промежутке (случай s целого несколько
сложнее). Естественно сосредоточить внимание на функциях, имеющих
особенности простейших типов. Для случая элементарной дроби с простым
полюсом, предполагая Ana вещественными числами, |а|^>1, мы получаем
точную формулу
*.(*^)"^т>- t=-+V*=*-
Подобным же образом для случая полюса кратности т получается
асимптотическая формула
(т- 1)1(^2— 1> 2
Так, в случае простейшей особенности непрерывной функции
действительного переменного — угловой точки в центре промежутка — исходным
является чрезвычайно тонкий результат Бернштейна о существовании
конечного предела
lim nEn{\x\).
Позднейший, сюда относящийся, более общий результат записывается в виде
формулы
£„(1*-фМ1-'*)^. (-!<'<+!),
где s^>0, a \l{s) — некоторая непрерывная функция параметра s, разумеется,
обращающаяся в нуль при всех его целых значениях.
Разнообразные проблемы и результаты, включающиеся в теорию наилучшего
приближения функций теоретико-функционального направления, собраны в
монографии С. Н. Бернштейна „Legons sur les proprietes extremales et la meilleure
approximation des fonctions analytiques d'urie variable reelle", представляющей
собою изложение лекций, читанных им в Сорбонне в 1923 г.; позднейшая
'русская редакция этой монографии носит название „Экстремальные свойства
полиномов" (1937).
Третье направление в теории наилучшего приближения можно
характеризовать как функционально-аналитическое. Относящиеся сюда исследования
обладают тем признаком, что, сохраняя общие формальные контуры
классической чебышевской проблематики, или (в большей или меньшей степени, но
существенно) модифицируют ее конкретное содержание, или же на
дальнейшем этапе абстрагируют теорию, придавая ее изложению такой характер,
чтобы в условии каждого доказываемого предложения содержались лишь те
предпосылки, которые неизбежно используются при доказательстве. Первое
ведет к исканию „аналогов*1 теории приближения в различных
функциональных пространствах, второе — к созданию абстрактной теории приближения.
— 505 —
Следует заметить, что в данном случае в особенности ярко сказывается то
обстоятельство, что в процессе абстрагирования положительное содержание
теории становится более бедным, если не сводится к утверждениям чисто
экзистенциального порядка. Чебышеву свойственно стремление к конкретному,
в его работах отсутствует дух абстракции в современном смысле. Тем не
менее, принимая во внимание значение для функционального анализа тех
концепций, которые создаются из идей наилучшего приближения, следует видеть
в Чебышеве, хотя бы объективно, одного из основоположников этой
новейшей области математической мысли.
Функциональное пространство, в котором поставлены исходные задачи
Чебышева, есть пространство С или С(р) функций одного действительного
переменного, заданных и непрерывных в конечном промежутке с метрикой,
определяемой соответственно формулами „расстояний"
г (/,*)== max |/(*) — £(*)|
или
* (f,g) = шах р (х) \f(x) — g (х) | (р (*) ^ 0 — вес).
Но уже у самого Чебышева в позднейших работах встречаются задачи,
поставленные в пространстве непрерывных периодических функций, заданных на
всей' оси, а также в пространстве L.№ (p) с метрикой
Hf,g) = ^?(x)[f(x) — g(x)fdx.
В теории ортогональных полиномов он вплотную подходит к изучению этого
пространства. Далее, в собственных работах Чебышева * имеются лишь намеки
на пространство L(1) (p) с метрикой
*{f,& = \9(x)\f(x) — g(*)\dx>
во, едва ли независимо от Чебышева, в 1873 г. Коркиным и Золотаревым
была решена в этом пространстве простейшая задача Чебышева („первый
случай"). Более глубокие результаты, сюда же относящиеся, уже в последнее
время были получены С. Н. Бернштейном, Я. Л. Геронимусом, В. Ф. Бржечка
и Н. И. Ахиезером.
Чебышевскими проблемами в пространствах общего типа впервые . стал
заниматься в 1907 г. американский математик Юнг (J. W. Young); позднее
Г. Полна, Д. Джэксон и другие рассматривали пространства с метрико-й
i (/,«) = [ р (х) | /(х) —g(x) |* dx (s > 0), (11)
причем Полна изучал основную проблему Чебышева при предельном переходе
от пространств № (при s—*оо) к пространству С.
От „обыкновенных" (алгебраических) полиномов
P.(*) = Co + «i*+-"+V (12>
к „обобщенным", или „отвлеченным", полиномам
Pn(x) = Wo(*) + *i<tiix)-{ Ия¥л(*). (#)
* См. «Об интерполировании в случае большого числа данных, доставленных наблюй
дениями" (1858 г.), стр. 245—314 этого тома.
— 506 —
где \vk{x)}—заданная линейно независимая система непрерывных функций,
сделал попытку перейти тот же Юнг; в дальнейших работах Хаара и .С. Н. Берн-
штейна выяснилось, что существенным для возможности обобщения
чебышевской теории является свойство последовательности {уп(х)\, заключающееся
в том, что любой, не равный тождественно нулю полином (13), „степени я"#
должен иметь не более п корней; системы {<рЛ(х)}, обладающие этим
свойством, С. Н. Бернштейн назвал „системами Чебышева*. К числу чебышевских
систем следует отнести (mutatis mutandis) тригонометрическую систему
1, cos лг, cos 2х, ... , cos пх, ... ,
sin ху sin 2х, ... , sinnx, ...,
которая — в пространстве L<2) — рассматривалась еще Фурье, Дирихле я
Риманом, а в пространстве С обстоятельно и систематически под углом
зрения теории Чебышева была изучена Валле-Пуссеном („Legons stir Papproxi-
mation des fonctions d'une variable reelle", 1919).
Интересно, что в то время как простейшие тригонометрические
многочлены cos ял; и sinnx решают простейшую экстремальную задачу Чебышева
одновременно в пространствах периодических функций С и L№ в случае
обыкновенного конечного промежутка |лг|^1., соответствующая зависимость
между обыкновенными полиномами заключается в том, что полином Чебышева
Тп{х) решает простейшую задачу одновременно в пространствах С и L2(q)t
где
а (х) = - .
Как показал С. Н. Бернштейн, отмеченное свойство сохраняется
асимптотически для пространств С(£) и L? (tq)y где t(x)—функция, заключенная
между положительными пределами.
В пространстве функций двух действительных переменных, заданных
в некоторой основной области, при метрике Чебышева, а также в
пространствах, образованных функциями комплексного переменного^ регулярных в
данной области, исходная задача Чебышева может быть поставлена и имеет
решение, но чебышевские условия приближения на этот случай не переносятся,
и притом теряется единственность решения (Тонелли). Следует заметить, что,
напротив, теорема Маркова, вытекающая из „задачи Менделеева", с
позднейшими модификациями, указанными С. Н. Бернштейном, допускает замечательные
обобщения на случай комплексной области, установленные Сеге и Фекете.
Приближения Чебышева в комплексной области в ближайшее к нам
время усиленно штудировали американские авторы, в том числе Джэксон и
J. L. Walsh.
Заканчивая обзор исследований по наилучшему приближению
„функционально-аналитического направления", нужно особо оговорить случай
пространств функций действительного переменного, заданных в бесконечном
промежутке (на всей оси или на полуоси), разумеется, при условии введения
надлежащего веса. Перенесение чебышевской проблематики на этот случай
— 507 —
связано со значительными трудностями, но и представляет тем больший
интерес. Этому вопросу посвящена значительная часть упомянутой раньше русской
монографии С. Н. Бернштейна; вопрос далек от того, чтобы быть
исчерпанным. *
В. Гончаров.
„ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ ВЕЛИЧИН, ДОСТАВЛЕННЫХ
НАБЛЮДЕНИЯМИ". „ОБ ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ В СЛУЧАЕ БОЛЬШОГО
ЧИСЛА ДАННЫХ, ДОСТАВЛЕННЫХ НАБЛЮДЕНИЯМИ*
Мемуар „Об интерполировании в случае большого числа данных,
доставленных наблюдениями" (1859) и заметка 1858 г., в которой дается его
краткое содержание, стоят особняком среди многочисленных статей
знаменитого математика, посвященных интерполированию, предметом которых
являются способ наименьших квадратов и ряды по ортогональным полиномам.
В самом деле, в рассматриваемом мемуаре мы видим как раз отказ от
способа наименьших квадратов и построение нового способа интерполирования,
который, судя по характеру изложения.и примерам, Чебышев считал
имеющим практическое значение в случае больших рядов наблюдений,
сопряженных со значительными ошибками.
Несмотря на то, что рекомендованные Чебышевым приемы не нашли,
повидимому, применения, проследим сначала ход его идей именно с этой
практической стороны.
1. Пусть имеются основания допускать, что интересующая нас функция F(x)
с достаточной точностью выражается многочленом какой-либо заданной
степени п
F(x) = A0+AlX-\ \.Aj*.
Для весьма длинного ряда значений
наблюдения дают
где г( — независимые друг от друга ошибки, для которых
матем. ожид. (е/) = 0,
матем. ожид. (&$ = &*= -j-.
Идеальным методом определения коэффициентов Ат полинома F(x)
будет тогда метод наименьших квадратов, рекомендующий за приближение
к истинному полиному F(x) взять полином Р{х), обращающий в минимум
* Более подробные сведения обзорного характера по поводу теории наилучшего
приближения функций можно найти в статье С. Н. Бернштейна „Современное
состояние . и проблемы теории приближения функций действительного, переменного
посредством полиномов* (Труды первого Всесоюзного съезда математиков, Харьков,
1930 г.), а также в обзоре работ Чебышева по наилучшему приближению функций,
принадлежащем автору настоящего комментария и помещенном в сборнике „Научное
наследие Чебышева*, вып. I (1945); там же имеются более подробные литературные
указания.
— 508 —
выражение
я
Eib,—^ (*,)?•
Однако в случае большого числа наблюденных величин yi вычисления по
методу наименьших квадратов становятся крайне громоздкими. В то же
время, если из последовательности точек xf выбрать лишь
подпоследовательность
где /"значительно меньше $, то точность определения коэффициентов Ат по
соответствующим значениям удт окажется значительно меньше.
Чебышев замечает, что интегралы
\ F(x)dx
*V
могут быть определены по значениям
Л/ Лу+1» ---1 Л, л
(например, в случае равностоящих xi по формуле трапеций
*0
У
x[i^+^l + -'-+"v^i^ + i^/J'
где Л = л:/+1 — х£), со значительно большей точностью, чем отдельные
значения/7^.) по соответствующим уа. Поэтому он ставит задачу определения
коэффициентов Ат по интегралам
^(лг)^, j F(x)dxy ..., ^ F(x)dx, (^)^л<г]1<12<-<Чг<Ь
Можно было бы искать /4т в виде
4«=^il ^(*) dx + 4!} J ^ (*) **+ • ■ ■ + # J ^ <*) dx. ■
Тогда точки r^, i]3, ... , tj. можно было бы выбрать одинаковыми для всех
коэффициентов Ат или даже ограничиться q.,. образующими арифметическую
прогрессию. Определение соответствующих коэффициентов с^у которые
должны зависеть лишь от степени полинома F(x) и от выбора точек ij, может
быть, представляло бы практический интерес.
Чебышев, однако, стремится еще упростить вид коэффициентов, требуя,
чтобы
— 509 —
Это приводит к необходимости выбирать точки тл. особым образом для
каждого т. Возможно, что именно это обстоятельство и сделало способ
Чебышева не употребительным на практике. Тем не менее, нельзя считать
исключенным, что в том или ином видоизменении идеи рассматриваемых работ
Чебышева найдут отклик в прикладном анализе, так как удовлетворительного
общепринятого решения поставленной им задачи упрощения метода
определения полинома F(x) в случае большого числа данных еще, видимо, не
существует.
2. С теоретической стороны задача, поставленная Чебышевым и
содержащая в зародыше идею биортогональных последовательностей функций тоже
весьма интересна. Однако рассмотрения Чебышева нашли отклик лишь через
40 лет в мемуаре А. А. Маркова [1], * вышедшем в свет в 1898 г. и
содержащем дальнейшее развитие и обобщение исследований Чебышева и
установление их связи с другими вопросами анализа.
Пусть дана неубывающая функция ограниченной вариации о(х)
(— 1<:с<1) с бесчисленным множеством точек роста. Обозначим через L-
множество всех функций f(x) (— l^x^l), для которых
1
$|/(*)|*Л(*)<оо.
-1
Система функций
{ик{х), M*)IS°> 0)
где ик, vk £ L?y называется, как известно, биортогональной относительно
функции распределения о(х), если
i\ui(x)vk(x)do(x) = Zik.
—i
Имея биортогональную систему (1), мы можем отнести каждой функции
/(*)€*; ряд
1
/(х) - V АкЧ (х), Ah=\f (х) vk (x) da(*). (2)
*=о. -1
В общем виде проблему Чебышева можно сформулировать теперь
следующим образом:
Требуется построить такую биортогональную систему (1), чтобы
a) функция uk(x) (&г=0, 1, 2, ...) была полиномом от х степени k;
b) функция vk(x) (k = 0, I, 2, ...) принимала всего два значения±1
U имела внутри интервала (—1, 1) не более k точек разрыва, т: е\
допускала представление
vk(x) = signQk{x),
где Qk(x) — многочлен от х степени k.
**См. краткий указатель литературы в' конце комментария, стр. 5141
— 510 —
Оправданием приведенной постановки вопроса является то, что
коэффициенты разложения (2) по полиномам uk{x) подобной биортогональной системы
допускают особенно простой способ вычисления. Например, если da(x) = dx,
то достаточно построить всего одну кривую
После этого, как говорит Чебышев, вычисление „приводится к
геометрической задаче: дан ряд точек, определить для кривой, проходящей через эти
точки, площади, заключенные между данными пределамиа.
Легко показать, что удовлетворяющая указанным требованиям биорто-
гональная система всегда существует и что для построения ее надлежит
найти среди всех полиномов вида
тот полином Qk{x), который минимизирует интеграл
1
J ixk + AlXk-i+...+Ak\da(x);
после того, как функции
^W = signQA<*)
получены, система полиномов uk(x) находится путем процесса, аналогичного
процессу ортогонализации Е. Schmidt'a. Чебышев рассмотрел только тот
случай, когда
da{x) — dxt
и с помощью весьма остроумных вычислений нашел, что искомая биортого-
нальная система имеет вид
, . . sin {k-f-1)? . . '/«. i -iv
*,(*) = sign i^yiJ= sign sin(A + l)<p,
(x=coscp, 4 = 0, 1, 2, ...),
где dt пробегает совокупность всех нечетных делителей числа fc-f-li a Р-(а)
есть функция Mobius'a.
Соотношения биортогональности проверяются непосредственно, если
принять во внимание, что
*ъ*ь*=±я*т^. w
г=о
Стилизованные синусы, каковыми, по выражению Kaczmarz — Steinbaus [2],
являются функции (4), сравнительно недавно рассматривал Rademacher [3],
а затем Walsh [4], Kaczmarz [5], Paley[6]. Система Rademacher'a имеет вид
^я(/) = sign sin (2лтг<)==( — l)l2*iJ (0<*<1) (л=1, 2, ...).
Это — ортонормированная, но очевидно, неполная система, играющая роль
в некоторых рассмотрениях рядов со случайными коэффициентами. Система
Rademacher'а является .частью системы Чебышева, и, можно ожидать, что
— 511 —
система Чебышева, содержащая все стилизованные синусы, должна быть
полной. В самом деле, нетрудно показать, что из
к
JiF(<P)p^<0o (5)
И
«
^F(y) sign sin я<р*р = 0 (л=1, 2, ...) (6)
вытекает, что
о
С этой целью положим
^ Z7 (cp) sin «ср fifcp = 0 (п = 1,2, ..,).
ся= j F(y)smnydy (я = 1, 2, ...у,
так что, в силу (5) и (6),
ж=1
оо
4=1
Обозначим через т(я) число делителей числа п. Как известно, при любом,
Поэтому, иа основании (5-bis), сходится абсолютно ряд
*=;1
а значит и двойной ряд
00
V Стк
Следовательно, сходятся абсолютно ряды
А,л=1
Поэтому, на основании (6-bis),
t M^-i)^r;a-i> с-1.2—)
0=Х.М2я-1)Е(^гЙ^ =
*=1 я-Л
ж=1 U/2/n—1 '
= 1, 2, ...)•
— 512 —
Как уже было упомянуто, А. А. Марков значительно обобщил исследования
Чебышева и связал их с другими вопросами анализа.
Не останавливаясь на исследованиях Маркова, к которым примыкает
одна интересная работа М. Г. Крейна [7], отметим лишь, что в мемуаре
Маркова в качестве примера построена биортогональная система для случая
dz (х) — -7г==..
Эта система содержит стилизованные косинусы и имеет вид
v0(x) = l, *>*(*)—-sign cosktf,
(jC = COS<p) (& = 1, 2,
^cos^.,
где tfT пробегает совокупность всех нечетных делителей числа &, не
содержащих квадратных множителей, а Л есть число простых множителей вида
Ат-\~\> входящих в dv
Ни Чебышев, ни Марков вопросом о сходимости разложения (2) не
занимались.
Свойством функции/(х), от которого должна зависеть сходимость ряда (2),
является, повидимому, быстрота убывания при п—*сс величины
г
Ea(f) = min J |/(*) —(p^ + Pi^-M |-pe)Irfff(x).
Pi -i '
Действительно, коэффициенты ряда (2) удовлетворяют неравенствам.
и легко видеть, что существуют целые классы функций, для которых в этом
соотношении имеет место знак = при любом п.
Мы уже упомянули, что задача построения рассматриваемой биортого-
нальной системы связана с некоторой минимум-проблемой, которая служит
для получения функций vk(x). Речь идет о нахождении
1
min П^ + р^-Ч \-P*\d*{x).
Pi -i
Остановимся несколько подробнее на этом вопросе, принимая для простоты,
что рассматривается случай Чебьииева
da (х) — dx.
Свой мемуар Чебышев начинает с проблемы на экстремум, которая
формулируется иначе и гласит:
Найти многочлен Ф{х) степени ^п так, чтобы.
1
J xksign<l>{x)dx=:0 (A = 0, 1, ..., /—1, /4-1, ..., п)
—i
— 513 —
а чтобы величина
\ xlsign<b{x)dx
имела максимальное значение.
Эта проблема является частным случаем некоторой общей проблемы
моментов, которой впервые занимался А. А. Марков и которая получила
дальнейшее развитие в работах М. Г. Крейна и автора настоящих строк [8]. Полное
решение своей проблемы Чебышев дал для 1 = п.
Это решение имеет вид
а максимальное значение s равно rpri»
Поэтому для любого многочлена вида
/>(*)=*»+Л*-Ч h/>„
имеет место равенство
-—-^ \ Р(х) sign Ф (x)dx9
откуда
-1^ ||Я(*)|Аг.
С другой стороны, беря Р(х) = Ф{х), получаем, что
1 1
^1 = f Ф (х) sign<I>(x) dx = J |Ф(*)| dx.
—i —i
Следовательно,
1
min Г | х"+ /7^-4 hP«l^ = 5Fi- (7)
Pi Л 2
Мы видим, что экстремум-проблема Чебышева связана с той
минимум-проблемой, решение которой служит для нахождения функций vk\x). В общем виде
связь между экстремум-проблемами этого рода исследована в цитированной
книге Крейна и автора.
Выражаемый равенством (?) результат, содержащийся, таким образом,
в мемуаре Чебышева, имеет любопытную историю.
В 1873 г. он был заново получен А. Н. Коркиным и Е. И.
Золотаревым [9], с именами которых его обычно связывают.
В 1876 г. среди других результатов он найден Т. Stijeltjes'OM* [10].
Затем в связи с некоторыми родственными проблемами задачу Чебышева
снова решил ц 1913 г. Fujiwara [11] и в 1927 г.— С. Н. Бернштейн [12].
-.■'*' Я: Ахиезер.
— 514 —
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. Марков. О предельных величинах интегралов в связи с
интерполированием. Записки Академии Наук (189S).
2. Kaczmarz-Steinhaus. Theorie der Orthogonalreihen. Warszawa, 1935.
3. Rademacher. Einige Satze iiber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen.
Math. Ann. 87, 1922.
4. Walsh. A closed set of normal orthogonal functions. Am. Journ. Math. 55, 1923.
5. Kaczmarz. Uber ein Orthogonalsystem. I Congres des math, des pays slaves,
Warsovie, 1929.
6. Pa ley. A remarkable system of orthogonal functions. Proc. Lond. Math. Soc. 34,
1932.
7. M. Крейн. Об одном обобщении исследований акад. А. А. Маркова и т. д.
Труды 2-го Всес. Съезда математиков, II, 1934.
8. Н. Ахиезер и М. Крейн. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков,
1938.
9. А. К о р к и н и Е. 3 о л о т а р е в. Stir un certain minimum. Собр. соч. Е. И.
Золотарева, т. I.
10. S tie It jes. Jets over de benaderde voorstelling van eene functie door eene andere
Delft. 1876. ..
11. Fuji war a. Uber die Polynome von der kleinsten totalen Schwankung. Tohoku
Math. Journal 3, 1913.
12. С. Н. Бернштейн. Sur une propriete des polynomes de Tchebycheff. Доклады
Акад. Наук СССР (1927).
„РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПРИ ПОМОЩИ НЕПРЕРЫВНЫХ
ДРОБЕЙ", „О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ПРИ ПОМОЩИ
НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ*
Рассматриваемые статьи посвящены обобщению основной теоремы * о
соответствии между степенными рядами и алгебраическими непрерывными
дробями. Основная теорема гласит:
Если коэффициенты $k(k = 01 1,2, ...) формального степенного ряда
5+Э+3+
0)
удовлетворяют неравенствам
*>*=
■ sb
°k+\
Sk 5* + l • • • S2k
7^0 (k = 0, 1, ...),
(2)
то степенному ряду (1) принадлежат вполне определенная непрерывная
дробь вода
г — аг
(3)
где
b0 = D0,
' D2
(k=\, 2, ...; Z?_1=l).
(4)
* По поводу этой теоремы см. О. Perron. Die Lehre von den Kettenbruchen.
Leipzig, 1913.
515
Эту принадлежность нужно понимать в том смысле, что при любом
натуральном п подходящая дробь /z-ro порядка
(5)
<?«(*)
для этой непрерывной дроби разлагается в степенной ряд по убывающим
степеням z, совпадающий с рядом (1) до члена
s2n-l
включительно.
Указанное свойство подходящей дроби (5) вполне ее характеризует среди
всех рациональных дробей, знаменатель которых есть многочлен степени п.
К своему обобщению Чебышев пришел при рассмотрении следующей
проблемы: пусть, кроме ряда (1), дан второй ряд
требуется найти многочлен X(z) степени ^п и второй многочлен Y(z) таким
образом, чтобы формальное разложение по степеням — выражения
{~+% + %+---)Х(г)-У(г) (Г)
совпадало с рядом (6) до члена возможно более высокого порядка.
Сформулированная проблема сводится, как легко видеть, к решению некоторой
системы линейных уравнений. Замечательна форма, в которой Чебышев
представил окончательный результат. Теорема Чебышева гласит:
Если коэффициенты ряда (1) удовлетворяют неравенствам (2), то
для получения многочленов X(z), Y(z), из которых первый степени не
выше п и для которых разложение по степеням — выражения (7)
совпадает с рядом (6) до члена возможно высокого порядка, надлежит по-
ложшпъ
п п
*(*)= Е %=-х w*). n*)=Е %-l£*Q*(2)' (в)
где
причем символом
обозначен коэффициент при — в формальном разложении функции F{z)
по степеням — .
При указанном построении многочленов X (z), Y {z) разложения (6), (7)
будут совпадать до члена
включительно» и это свойство многонленов X(z), Y(z) характеризует их
полностью.
33*
— 516 —
Существенным обстоятельством является • то, что многочлены (8) суть
частные суммы рядов
00 00
Поэтому при переходе от и к й-(-1 нужно прибавить по одному члену к уже
построенным многочленам, не меняя старых членов.
Необходимо отметить, что теорема Чебышева в той форме, как мы ее
здесь сформулировали, так же как и соответствующая часть основной теоремы
теории непрерывных дробей, остается в силе и тогда,- если условия (2)
выполняются только при & = 0, 1, 2, ..., N, но в этом случае степень п
указанных в теоремах полиномов должна быть <^ N
Отметим также, что Чебышев рассматривал не только дроби вида (3),
но и более общие дроби
где q. (z) — многочлены не обязательно первой степени.
Н. Ахиезер.
„О НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ВЕЛИЧИНАХ СУММ,
СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ЗНАЧЕНИЙ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ И ЕЕ
ПРОИЗВОДНЫХ*
Оригинальная проблема Чебышева о максимуме или минимуме суммы
/= О
где у пробегает совокупность полиномов данной степени, возникла в
результате обобщения проблемы параболического интерполирования по способу
наименьших квадратов. Основное внимание Чебышев уделил нахождению
алгорифма для определения искомого полинома. В этом алгорифме фигурирует
выражение, представляющее любопытную аналогию с вариационной
производной. Однако Чебышева, повидимому, привлекла не только формальная сторона
вопроса. В начале § 6 он, правда мимоходом, замечает, что полином ух
дающий решение его проблемы, может рассматриваться как приближенное
гыражение функции, доставляющей максимум или минимум интегралу
а
\ F(x, у, У, У, ...)dx.
b
Развитию этой идеи Чебышева, которою он в некотором смысле предвосхитил
новое направление в вариационном исчислении (так называемые прямые
методы), посвящена статья Н. М. Крылова- „Sur quelques idees de P. Tcheby-
cheff qui peuvent etre rattachees к la solution approchee des problemes du
calcul des variations'1 (Изв. Академии Наук СССР, 1929, Отд. физ.-мат. наук,
стр. 435 —456). И. Ахиезер.
— 517 -
„О СРЕДНИХ ВЕЛИЧИНАХ"
Основным содержанием работы является доказательство классической
теоремы Чебышева, обычно называемой теперь „неравенством Чебышева*. Из
статьи Чебышева „О предельных величинах интегралов* видно, что идеи
Чебышева, лежащие в основе доказательства его неравенства, так же как
и предельной теоремы, развивались в некоторой мере под влиянием француз*
ского математика Бьенэмэ (см. Bienaime, Considerations •& I'appui de la
decouverte de Laplace sur la loi de probabilites dans la metho.de des moidr'es
carrees. Journal de Liouville, II serie, 12, 1867; см. также А. А. Марков!
Исчисление вероятностей; С. Н. Бернштейн. О работах П. Л. Чебышева
по теории вероятностей. »Научное наследие П. Л. Чебышева**, вып. I,
1945).
Неравенство Чебышева дает точную нижнюю границу вероятности >
неравенства
л " I ■ Г п
где а£ =: М.О. xi, ££ = М.О. х2р в виде 1 £> если ° независимых
случайных величинах хг, дг2, ... больше ничего не известно. Неравенство Чебышева
представляет собой одно из наиболее фундаментальных предложений теории
вероятностей и ее приложений. Здесь, как и в статье „Элементарное доказа-,
тельство одного общего предложения теории вероятностей4, Чебышев не
оговаривает условия независимости .случайных величин xt, x2i ,..., хоти условие
независимости фактически используется Чебышевым при. вычислении дисперсии
яя=м.о,■[/SlK—^)]
Для случая /независимых случайных величин неравенство Чебышева были
существенным образом дополнено А. Н. Колмогоровым в работе „Ober die;
Summen durcji den Zufall bestimmten unabhangigen Grossen" (Matk
Ann., 99 (1928)) следующим образом: вероятность осуществления всех
неравенств
2 */-.2eJ<a..S i^-af)
/ = i f=i
/ = i
для k ^ n больше 1 x.
a'
Как показал С. Н. Бернштейн в заметке „О- некоторых видоизменениях
неравенства Чебышева" (ДАН СССР, XVII, 1937), теорема Колмогорова
распространяется на зависимые случайные величины, если математические
ожидания каждой из последующих величин не зависят от значений, полученных
предшествующими величинами.
Введение дополнительных ограничений на рассматриваемые величины
позволяет значительно уточнить как неравенство Чебышева, так и
неравенство Колмогорова (см. С. Н. Бернштейн. Об одном видоизменении
неравенства Чебышева и о погрешности формулы Лапласа. Уч. зап. н.-и.
— 518 -
кафедр Украины, отд. мат., выи. 1, 1924; см. также вышеупомянутую заметку
С. Н. Бернштейна в ДАН СССР).
Из своего неравенства Чебышев выводит чрезвычайно общую
формулировку закона больших чисел: если хх,х2, ... последовательность независимых
случайных величин с математическими ожиданиями М.О.x. = ai{i= 1, 2, ...)
и с конечными и равномерно ограниченными дисперсиями, М.О. (х.— а£)-^
<^С(/=1, 2, ...), то, каково бы ни было е>0, вероятность неравенства
U(*! + *2+•••+**) — -^(^4**2+•••+**)] <£ стремится к единице
при п —► оо.
Как замечает сам Чебышев, эта теорема содержит как частный случай
теорему Пуассона.
А. А. Марков, заменив в неравенстве Чебышева сумму 2 (Pi — af) ли-
[п 12
2 (*/ — я,-) , распространил его в такой форме также
и на зависимые величины. Достаточное условие Маркова для применимости
к величинам хг,х2,... закона больших чисел заключается в том, что
-£—►О при п—►оо.
Это простое замечай"* Маркова позволило ему и позднее другим авторам
распространить закон бо. их чисел на обширные классы зависимых величин.
Кроме того, вводя вспомогательные величины х\ п по условию: х\ „=•*,•>
когда \xx\^Ln, и х\ „ = 0, когда |лг/|^>^л, Марков получает возможность
доказать применимость закона больших чисел в ряде случаев, когда М.О. х\ ,
а следовательно и Вп> не существует. Например, он следующим образом
обобщает теорему Чебышева: если для некоторого р ^> 1 М.О. [ xt \p <^ L,
где L—некоторое постоянное, то к независимым величинам хг применим закон
больших чисел (при р=1 это утверждение, вообще говоря, ошибочно). Из
других результатов, получаемых аналогичным образом, отметим еще
чрезвычайно общую теорему А. Я. Хинчина: если все независимые величины х£
подчиняются одному и тому же закону распределения, причем М.О. xt существует,
то к величинам хг, д:2, ... применим закон больших чисел. (По вопросу
о других обобщениях см. монографию А. Н. Колмогорова „Основные понятия
теории вероятностей" (1936) и вышеупомянутую статью С. Н. Бгрнштейна
из „Научного наследия П. Л. Чебышева44, вып. I, а также 4-е издание его
курса «Теория вероятностей*4.)
С. Бернштейн.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От редакции 3
Заметка об одном классе кратных определенных интегралои 5
Заметка о сходимости ряда Тэйлора 8
Элементарное доказательство одного общего предложения теории вероятностей . 14
Теория механизмов, известных под названием параллелограмов 23
Об интегрировании иррациональных дифференциалов [1853] 52
Об интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из
полиномов третьей или четвертой степени [Краткая заметка] 70
Об интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из
многочлена третьей йлй четвертой степени 71
Об одной формуле анализа [Краткая заметка] . * 99
Извлечение из мемуара о непрерывных дробях [Краткая заметка] 101
О непрерывных дробях 103
О ряде Лагранжа 127
Вопросы о наименьших величинах» связанные с приближенным представлением
функций [Краткая заметка] 147
Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением
функций 152
Об одном новом ряде 237
Об интерполировании величин, доставленных наблюдениями [Краткая заметка] . . 240
Об интерполировании в случае большого числа данных, доставленных
наблюдениями 245
Об интерполировании по способу наименьших квадратов 315
О разложении функций одной переменной 336
Об интегрировании иррациональных дифференциалов [1860] 342
х-\- А
Об интегрировании дифференциала г ' dx 345
V**+axZ + № + «<x + h
Об интерполировании 358
Об интегрировании дифференциалов, содержащих кубический корень 375
Разложение в ряды при помощи непрерывных дробей (Письмо Н.Д. Брашману) . 412
О разложении функций в ряды при помощи непрерывных дробей 416
О средних величинах 431
О наибольших и наименьших величинах сумм, составленных из значений целой
функции и ее производных 438
06 интегрировании простейших дифференциалов, содержащих кубический корень. 467
Комментарии
«Заметка об одном классе кратных определенных интегралов>;
.Заметка о сходимости ряда Тэйлора" (В. Голубев) 472
. „Элементарное доказательство одного общего предложения теории
вероятностей* (С. Бернштейн) 473
„Теория механизмов, известных под названием параллелограмов*
(В. Гончаров) ' 474
„Об интегрировании иррациональных дифференциалов" [1853]; „Об
интегрировании дифференциалов, содержащих квадратный корень из
многочлена третьей или четвертой степени"; „Об интегрировании
иррациональных дифференидалов* [I860]; „Об интегрировании дифференциала
— 520 —
жащих кубический корень*. ,06 интегрировании простейших
дифференциалов, содержащих кубический корень*, (В Голубев) 485
,06 одной формуле анализа*; .Извлечение из мемуара о
непрерывных дробях*; ,0 непрерывных дробях*; ,06 одном новом ряде*; ,0
разложении функций одной переменной*; ,06 интерполировании по способу
наименьших квадратов*; ,06 интерполировании*; ,06 интерполировании
величин равноотстоящих* (77. Ахиезер) . 492
.Вопросы о наименьших величинах, связанные с,приближенным
представлением функций* (В. Гончаров) 496
,06 интерполировании величин, доставленных наблюдениями*; ,06
интерполировании в случае большого числа данных, доставленных
наблюдениями" (Н. Ахиезер) 507
.Разложение в ряды при помощи непрерывных дробей*; ,0
разложении функций в ряды при помощи непрерывных дробей* (Н. Ахиезер) . . 514
,0 наибольших и наименьших величинах сумм, составленных из
значений целой функции и ее производных* (Н. Ахиезер) 516
,0 средних величинах* (С. Бернштейн) 518
Печатается по постановлению Редакционно-издательского Совета Академии Наук СССР
Редактор издательства Л А. Васильков. Технические редактор <?. В. Залышкина
Корректор Л. Л*. Николаева.
РИСО АН СССР М 2743. АОЧЗГЗ. Издат. J* 876. Тип. заказ М 7193. Подп. к печ. 16/IX 1947 г.
Формат бум. 70X1 WVx*. Печ. л. 327t4-l вклейка. Уч.-издат. 35. Тираж 5000 »*з.
Цена в переплете 32 руб.
Набрано в 1-й Образцовой типографии треста «Полнграфкнига» Огиза при
Совете Министров СССР. Москва, Валовая, 2&i
Отпечатано с матриц ;в<* 2-й тим. Издательства'Академии H^Vk СССР. Зале afil4
Москва, Шубинский ixep^iu 1Q.