/
Текст
Новости физики твердого тела
Выпуск 12
КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
Сборник статей
Перевод с английского
д-ра физ.-мат. наук А.Я. Шика
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю.В. Шмарцева
Москва
"Мир" 1986
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
1. Новый метод очень точного определения постоянной тонкой структуры
{К. фон Клитцинг, Г. Дорда, М. Пеппер) 10
2. Использование квантования холловского сопротивления в гетерострук-
турах GaAs - ALGa. YAs для создания эталона сопротивления {Д. Цуи,
А. Госсард) 18
¦ 3. Вклад физики полупроводников в определение постоянной тонкой
структуры [К. фон Клитцинг) . . . _ 25
4. Квантовый эффект Холла при низких температурах {М.~ Пааланен, Д. Цуи,
А. Госсард) 52
5. Квантовые гальваномагнитные явления в гетероструктурах
GaAs - AlxGa1 _xAs при очень низких температурах (Г. Эберт,
К. фон Клитцинг, С. Пробст, К. Плог) 61
6. Состояние с нулевым сопротивлением для двумерного электрон-
электронного газа в квантующем магнитном поле Щ. Цуи, Г. Штермер,
А. Госсард) 69
7. Исследование квантового эффекта Холла в гетеропереходах
In Ga, As - InP при низких температурах {А. Бриггс, И. Гулднер,
ЖГВирен, М. Воос, Ж. Хирц, М. Разеги) 76
8. Двумерная магнитопроводимость в ультраквантовом пределе
(Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард) 83
9. Дробное квантование в эффекте Холла {Г. Штермер, А. Чанг, Д. Цуи,
Дж. Хуанг, А. Госсард, В. Вигманн) 91
10. Квантовый эффект Холла в одиночных квантовых ямах InAs
(?. Мендез, Л. Чанг, С. Чанг, Л. Александер, Л. Есаки) 100
11. Энергетическая структура и квантовый эффект Холла двумерного
дырочного газа (Г. Штермер, 3. Шлезингер, А. Чанг, Д. Цуи,
А. Госсард, В. Вигманн) 106
12. Влияние частоты на квантованное холловское сопротивление
(М. Пеппер, Дж. Вакабаяси) 113
13. Зависимость холловского напряжения от геометрии инверсионного
слоя в режиме квантового эффекта Холла (Р. Ренделл, С. Гирвин) 119
14. Объяснение плато квантованного холловского сопротивления в
инверсионных слоях гетеропереходов (Г. Барафф, Д. Цуи) 130
15. Локализация и квантованное холловское сопротивление в двумер-
двумерном электронном газе (Д. Цуи, С. Аллен, мл.) 140
16. Квантованное холловское сопротивление и измерение постоянной
тонкой структуры (Р. Пранге) 143
17. Влияние локализации на холловскую проводимость двумерных
систем в сильных магнитных полях {X. Аоки, Ц. Андо) 152
18. Квантованная двумерная холловская проводимость {Я. Лафлин) 160
19. Квантованная холловская проводимость, токонесущие краевые
состояния и наличие делокализованных состояний в двумерном
неупорядоченном потенциале {Б. Гальперин) 165
20. Основное состояние двумерных электронов в сильном магнитном поле
и 1/3-квантовый эффект Холла {Д. Иосиока, Б. Гальперин, П. Ли) 178
21. Квантовенное движение трех двумерных электронов в сильном
магнитном поле [Р. Лафлин) 185
22. Аномальный квантовый эффект Холла; несжимаемая квантовая
жидкость с дробным зарядом возбуждений [Р. Лафлин) 198
23. Теория квантованной холловской проводимости {Б. Гальперин) 207
ББК 22.33
К32
УДК 538.632 + 530.145
Составители А.Я. Шик и Ю.В. Шмарцев
ПРЕДИСЛОВИЕ
Квантовый эффект Холла. Сб. статей. Пер. с англ./Сост. А.Я. Шик и
К32 Ю.В. Шмарцев. - М.: Мир, 1986 - 232 с, ил.
Сборник, содержащий статьи, написанные известными учеными из Англии, США,
Франции, ФРГ и Японии. Статьи посвящены квантовому эффекту Холла — явлению,
которое еще не получило всестороннего теоретического обоснования, но уже нашло
практическое применение. В сборник включены обзорные статьи по проблеме в целом,
статьи, в которых рассматриваются результаты экспериментальных исследований эф-
эффекта, а также ряд наиболее важных работ по теории квантового эффекта Холла.
Для физиков-экспериментаторов, занимающихся явлениями переноса в твердом те-
теле, теоретиков, интересующихся проблемами квантовой физики, а также для аспиран-
аспирантов и студентов.
1704060000 - 262
041 @1) - 86
65 - 86, ч. 1
ББК 22.33
Редакция литературы по физике и астрономии
Научное издание. Сборник статей
КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
Составители
Александр Яковлевич Шик и Юрий Васильевич Шмарцев
Научный редактор А.Н. Куксенко
Мл. редактор В.И. Аксенова
Художественный редактор B.C. Прищепа
Технические редакторы Т.А. Чистякова, М.А. Анциферова
Корректор И.С. Голубева
ИБ № 5384
Подписано к печати 13.06.86.
Формат 60 х 84/16 Бумага офсетная № 1
Печать офсетная. Объем 7,25 бум. л.
Усл.печ.г 13.49 усл. кр.-отт. 13.73»
Уч.-изд. л. 13,57. Изд. №2/4160
Тираж 2650 экз. Зак. HJG Цена 2 р. 00 к.
Набрано в издательстве "Мир" на участке оперативной полиграфии
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2
Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
300600, Тула, проспект им. В.И. Ленина, 109.
© состав, перевод на русский язык, "Мир", 1986.
Данная книга представляет собой сборник переводов оригинальных
статей, посвященных открытию и исследованию одного из немногих макро-
макроскопических квантовых явлений и вместе с тем одного из интереснейших
эффектов в современной физике твердого тела — квантового эффекта
Холла.
Термином квантовый (или квантованный) эффект Холла сейчас обозна-
обозначают два, вообще говоря, разных по своей сути явления, которые наблюда-
наблюдаются в двумерном электронном газе при низких температурах в сильном
магнитном поле и имеют сходное внешнее проявление - возникновение не-
нескольких плато на зависимости холловской проводимости двумерного элект-
электронного газа а от концентрации электронов N или от напряженности маг-
магнитного поля ??•; в тех областях изменения независимой переменной (N или
В), где наблюдаются плато оху, диссипативная составляющая удельной про-
проводимости сг хх (а также и удельного сопротивления рхх) обращается в нуль
или по крайней мере проходит через минимум.
Одно из этих явлений - целочисленный квантовый эффект Холла — об-
обладает замечательным свойством: значение холловской проводимости сг
на плато с высочайшей точностью является целым кратным величины e2/h, т.' е.
A)
где i = 1, 2, 3,. . . - целое число.
Строго говоря, само по себе наблюдение целочисленного квантового
эффекта Холла нельзя назвать открытием, поскольку несколькими голами
ранее [ 1, 2] в теоретических работах, значимость которых, по-видимому,
недооценивалась, было показано, что в полностью квантованной системе,
каковой является двумерный электронный газ, находящийся в сильном на-
направленном нормально поверхности системы магнитном поле, холловская
проводимость сг должна, во-первых,равняться величине e2/h, умножен-
умноженной на число заполненных уровней Ландау, и, во-вторых, сохранять это
значение в конечном интервале изменения независимых переменных N
и (или) В. Вместе с тем при наблюдении целочисленного квантового эффек-
эффекта Холла были обнаружены два неожиданных и удивительных факта. Во-пер-
Во-первых, — это ширина плато; при достаточно низких температурах плато зани-
занимает до 97% всего интервала, оставляя на долю переходных областей меж-
Предисловие
Предисловие
ду плато лишь около 3%. Во-вторых, это точность, с которой выполняется
условие A). Прецизионные измерения показывают, что она, во всяком слу-
случае, не хуже чем 10~7. И это несмотря на наличие в образце примесей и
иных дефектов, неизбежную неоднородность магнитного поля, неидеаль-
неидеальность геометрии образцов и др.! Впоследствии обе эти особенности были
интерпретированы в рамках одноэлектронного приближения; следует заме-
заметить, что в рамках одноэлектронного приближения удается хорошо объяснить
все, что касается целочисленного квантового эффекта Холла.
Второе явление — это дробный (или аномальный) квантовый эффект
Холла, отличающийся тем, что плато на аху наблюдаются при дробных зна-
значениях величины e2/hf т.е.
аху = veVh, t B)
где v(= r/p) — фактор заполнения, причем р = ¦ 1, 3, 5, ... -
нечетное целое число, а г — любое целое число, не равное р. Несмотря на
внешнее сходство с целочисленным квантовым эффектом Холла, дробный эффект
имеет совершенно иную физическую природу. Это явление - существенно
многоэлектронное, связанное с тем, что кулоновские силы в двумерном
электронном газе, помещенном в сильное магнитное поле, превращают та-
такую систему в своеобразную квантовую жидкость, энергия которой имеет
особенности при дробных значениях фактора заполнения v = Nhc/eB.
Целочисленный и дробный квантовые эффекты Холла не только имеют
различную природу, но и являются в некотором роде конкурентами, требуя
для своего наблюдения различных условий. Это особенно отчетливо показа-
показано в работе [ 3], в которой с ростом подвижности носителей в образце наб-
наблюдалось подавление целочисленного и усиление дробного квантового эф-
эффекта Холла. К сожалению, включить в данный сборник работу [ 3] по тех-
техническим причинам мы не смогли.
В целом можно сказать, что за неполные пять лет, прошедших со вре-
времени первого наблюдения квантового эффекта Холла, в этом направлении
проделана огромная работа, нашедшая свое отражение в сотнях опублико-
опубликованных работ1}. Мы постарались отобрать для сборника наиболее характер-
характерные работы, каждая из которых, на наш взгляд, представляет собой опре-
определенный этап в понимании основных закономерностей как целочисленного,
так и дробного квантового эффекта Холла и их физической природы.
Сборник открывается пионерской работой Клитцинга, Дорды и Пеппе-
ра (статья 1), в которой сообщается о первом наблюдении квантового эф-
эффекта Холла в кремниевой МДП-структуре. Эта статья замечательна тем,
Большинство этих статей проанализировано е весьма компетентном обзоре
Э.И. Рашбы и В.Б. Тимофеева Г 4L
что в ней не только излагаются результаты блестящего эксперимента, но
также дается их качественная интерпретация и высказываются соображе-
соображения о возможностях практического применения квантового эффекта Холла
для создания эталона единицы сопротивления и для уточнения постоянной
тонкой структуры d .
В работе Цуи и Госсарда (статья 2) сообщается о первом наблюдении
квантового эффекта Холла в гетероструктурах GaAs — Al^Gaj -x ^s с мо-
модулированным легированием, которые в настоящее время благодаря рекордно
высокой подвижности носителей стали основным "полигоном" для изучения
квантовых эффектов.
В статье 3 рассматриваются вопросы метрологических применений кван-
квантового эффекта Холла, а также некоторые проблемы, связанные со специ-
спецификой измерений в реальных образцах. Кроме того, эта статья, по сущест-
существу, есть не что иное, как обзор самых первых исследований целочисленно-
целочисленного квантового эффекта Холла, дающий представление о становлении основ-
основных понятий в изучаемой области.
Статьи 4 и 5 посвящены первым низкотемпературным (Г= 8 — 50 мК) исследова-
исследованиям квантового эффекта Холла, продемонстрировавшим наличие плато с
необычайно большой (до 97%) относительной шириной.
В статье 6 описываются экспериментальные исследования квантового
эффекта Холла не как такового, проявляющегося в виде плато на недиагональной
компоненте проводимости а ху, а его неразлучного спутника - обращения
в нуль диагональной компоненты а хх. Статья 7 посвящена еще одному перс-
перспективному объекту для наблюдений квантового эффекта Холла - гетеро-
структурам InxGa х _жАв -InP.
Статьи 8 и 9 посвящены первым наблюдениям дробного квантового эф-
эффекта Холла, а в двух последующих статьях A0 и 11) вновь рассматривают-
рассматриваются результаты по целочисленному квантовому эффекту Холла, но обнару-
обнаруженные в принципиально новых объектах, содержащих уже не один, а два
типа носителей. В статье 10 — это гетероструктура InA.s — GaSb, имею-
имеющая энергетический спектр полуметаллического типа и содержащая элект-
электроны и дырки в равных количествах, а в статье 11 — это двумерный дыроч-
дырочный газ в сложной валентной зоне Ga As. Наконец, статья 12 посвяще-
посвящена изучению важного вопроса о влиянии частоты измерений на квантовый
эффект Холла.
В последующих статьях сборника рассматриваются теоретические воп-
вопросы. Они начинаются со стоящей несколько особняком статьи 13, носящей
скорее методический, чем теоретический характер. Авторы этой статьи не
стремятся раскрыть физическую природу квантового эффекта Холла, а
принимают характерное для квантового эффекта Холла условие ахх = 0 как
" За открытие квантового эффекта Холла Клаусу фон Клитцингу присуждена
Нобелевская премия по физике в 1985 г.
Предисловие
Предисловие
данное и показывают, что в этом случае погрешность измерений величины
(Уху в реальных структурах пренебрежимо мала; это делает такие структу-
структуры пригодными для прецизионных измерений квантового эффекта Холла и
связанных с этим практических применений.
Статьи 14 и 15 представляют попытки объяснить целочисленный кванто-
квантовый эффект Холла в рамках простых понятий, доступных любому экспери-
экспериментатору. Хотя первая из них и не дает возможности количественно объяс-
объяснить наблюдаемую ширину плато в холловском сопротивлении, а вторая вооб-
вообще носит чисто иллюстративный качественный характер, включение этих
статей в сборник, на наш взгляд, целесообразно хотя бы в силу их просто-
простоты и наглядности, которых так недостает другим теоретическим работам
по квантовому эффекту Холла.
В двух последующих работах (статьи 16 и 17) в рамках простых моде-
моделей доказывается центральное положение теории целочисленного квантового
эффекта Холла о том, что наличие неупорядоченности в двумерном элект-
электронном газе, которая может привести к фиксированию уровня Ферми в об-
области локализованных состояний, не меняет значения недиагональной ком-
компоненты а В статье 18 с помощью соображений калибровочной инвариан-
инвариантности показано, что это утверждение носит достаточно общий характер.
В статье 19 используется аргументация такого же рода для выяснения воп-
вопроса о влиянии краевых состояний на квантовый эффект Холла.
Статьи 20 — 22 посвящены'разработке основ теории дробного квантово-
квантового эффекта Холла с точки зрения изучения свойств "квантовой жидкости",
образованной взаимодействующими двумерными носителями в сильном маг-
магнитном поле.
Сборник замыкает обзорная статья Гальперина (статья 23). Хотя в от-
отдельных местах ее содержание перекрывается с некоторыми оригинальны-
оригинальными статьями, помещенными в сборник, мы сочли ее включение в сборник
необходимым. Для этого имеются по меньшей мере две причины. Во-пер-
Во-первых, она создает цельное представление о проблеме в отличие от отрывоч-
отрывочной, а местами и противоречивой картины, возникающей при знакомстве с
большим количеством оригинальных работ. Во-вторых, значительная часть
этого обзора содержит материал, отсутствующий в иной литературе (или
по крайней мере в литературе, включенной в сборник). Это в первую очередь
относится к теории дробного квантового эффекта Холла.
В заключение следует заметить, что при переводе на русский язык
статей настоящего сборника мы добавили ряд примечений, включая ссыл-
ссылки на более поздние или почему-либо не цитированные в оригиналах работы
(в литературе эти работы отмечены звездочками); кроме того,
р некоторых случаях изменили обозначения отдельных физических вели-
величин, сделав их однотипными для всех статей, а также исправили замечен-
ные опечатки.
Мы благодарим Б.Гальперина и Р. Лафлина, оказавших нам помощь
в этой работе.
А.Я. Шип
Ю.В. Шмарцев
Литература
3. Paalanen МЛ., Tsut D.C., Gossard AM., Hwahg J.C.M., Solid State
Ъ1э)Т Тимофеев В. Б. - ФТГ1. 1986, т. 20, с. 977.
1. Новый метод очень точного определения
постоянной тонкой структуры,
основанный на измерении
квантованного холловского сопротивления
К. фон Клитцинг*, Г. Дорда**, М. Пеппер
Перевод статьи: Klitxing K°,v., Dorda G., Pepper M. — Physycal Review Letters,
1980, v. 45, № 6, p. 494.
Сообщаются предварительные результаты измерений холповс-
кого напряжения в двумерном электронном газе, выполненные на крем-
кремниевом МОП-транзисторе. Установлено, что при некоторых хорошо оп-
определяемых экспериментально знамениях поверхностной концентрации
носителей холловское сопротивление принимает не зависящие от гео-
геометрии прибора фиксированные значения, определяемые только посто-
постоянной тонкой структуры и скоростью света.
В настоящей работе сообщается о новом методе определения постоян-
постоянной тонкой структуры а, который в перспективе может обеспечить весьма
высокую точность измерения. Новый подход основан на том обстоятельст-
обстоятельстве, что вырожденный электронный газ в инверсионном слое полевого тран-
транзистора со структурой металл — окисел — полупроводник (МОП) при рабо-
работе в области гелиевых температур и сильных магнитных полей порядка
15 Тл является полностью квантованным (см., например, обзоры [ 1]). В вер-
верхней части рис. 1 схематически изображена типичная МОП-структура, ис-
используемая в данной работе. Перпендикулярное поверхности электрическое
поле затвора разбивает энергию движения по нормали к границе полупро-
полупроводник - окисел на подзоны, а магнитное поле разбивает энергию движения
в параллельном границе направлении на уровни Ландау. Плотность состоя-
состояний D(E) представляет совокупность уширенных 5-функций [ 2J; достаточно
сильное магнитное поле делает их перекрытие минимальным. Без учета спи-
1. Сверхточное определение пост, тонкой структуры
Подложка р-типа
11
Р и с. 1. Зависимость холловского напряжения и и напряжения между потенциаль-
потенциальными зондами Upp от потенциала затвора V при температуре Т = 1,5 К.
Постоянное магнитное поле В = 18 Тл, а ток между стоком и истоком
/ = 1 мкА. На вставке показан вид сверху на структуру длиной Ь = 400 мкм,
шириной W = 50 мкм и расстоянием между потенциальными зондами L =
= 130 мкм. 1 — исток; 2— холповский зонд; 3 — сток; 4 — п -области; 5
вор; 6 - потенциальные зонды; 7 - поверхностный канал.
зат-
нового и долинного вырождения число состояний па каждом уровне Ландау
*K.Klitzing, v., Physikalisches Institut der Universitat Wurzburg, D-8700 Wurzburg,
Federal Republic of Germany, and Hochfeld-Magnetlabor des Max-Planck-Instituts fur
Festkorperforschung., F-38042, Grenoble, France.
**G. Dorda, Forschungslaboratorien der Siemens AG, D-8000 Munchen, Federal Re-
Republic of Germany.
*** M. Pepper, Cavendish Laboratory, Cambridge CB3 OHE, United Kingdom.
© 1980 The American Physical Society
nl =
A)
Если плотность состояний на уровне Ферми IV(?F) равна нулю, то носители
в инверсионном слое не могут рассеиваться и центр циклотронной орбиты
дрейфует в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному
полям. Если же N(?F) конечна, но мала, то рассеяние не может быть сколь
угодно слабым. Большое время релаксации приводит, как и в отсутствие
рассеяния, к локализации, т.е. к отсутствию токонесущих состояний [3].
12
К. Клитцинг, Г. Дорда, М. Пеппер
1. Сверхточное определение пост, тонкой структуры
13
Таким образом, при расположении уровня Ферми между уровнями Лан-
Ландау ток через прибор носит активационный характер и аж^ин — минималь-
минимальные значения ахх— могут быть меньше, чем 10~7 с^акс [ 4]. Увеличе-
Увеличение магнитного поля и понижение температуры приводит к дальнейшему
уменьшению а™хт. Холловская проводимость а , которая в обычных усло-
условиях сложным образом зависит от процессов рассеяния, в отсутствие рас-
рассеяния принимает весьма простой вид [ 2]:
о- = -Ne/B, где N - концентрация носителей. B)
Поправка к выражению B), Аажу, имеет порядок ахх/ сот (со — циклотрон-
циклотронная частота, т — время релаксации электронов проводимости), причем в
сильных магнитных полях ют» 1. Если уровень Ферми находится между
уровнями Ландау и <тх^ин ** Ю~7 сг;^.акс> то поправкаДа^/сг^ < 10~®. Хо-
Хотя сг и может содержать различные поправки, связанные с Аажу, но при
полностью заполненном уровне Ландау, когда N = Nbi (i = 1, 2, 3, . . .), из
выражений A) и B) сразу получаем
-exy = e*i/h. C)
Холловское сопротивлениерху = -аху/(ахх+ сгД,) = —о~у, по определению
равное EH/j (?н - поле Холла, j -плотность т.ока), может быть переписано
в виде Яд = Uu/I, где Дд — холловское сопротивление, UH- холловское напря-
напряжение, а / —величина тока. Таким образом, Ra = h/e2i, что окончательно
можно записать в виде [ 51
Кн=а-1цоС/2«\ D)
где 1^, - магнитная проницаемость вакуума, равная точно 4тт • 10~т Гн/м,
с = 299792458 м/с - скорость света в вакууме2), известная в настоящее
время с точностью до 4 • 10"9 [ 5], и а = 1/137 — постоянная тонкой струк-
структуры. Из выражения D) видно, что прецизионное измерение холловского со-
сопротивления в системе единиц СИ позволяет определить а по существу с
той же самой точностью. Поскольку в системе СИ при использовании рас-
расчетного конденсатора Томпсона — Лампарда [ 6J сопротивления могут опре-
определяться с точностью до нескольких единиц на Ю^8, вопрос о связи абсо-
абсолютных и воспроизводимых единиц здесь значительно проще, чем проблема
Х)В работе [ 14*] теоретически показано, что ахх= о в конечных интервалах
поверхностной концентрации и магнитного поля. Интересно отметить, что авто-
авторы этой работы обратили внимание и на то, что при ахх = о холловская. проводи-
проводимость а^ конечна. Малость диссипативной составляющей тензора проводимос-
проводимости в конечном интервале концентраций впервые, по-видимому, наблюдалась
авторами работы [10]. -Прим. пер ев. ,
2~> В 1983 г. 17 Генеральная конференция по мерам и весам в Париже приняла
указанную величину в качестве точного значения скорости света. — Прим. ред.
определения отношения e/h из нестационарного эффекта Джозефсона. Кроме
того, величина Дн лежит в сравнительно удобном для измерений диапазоне:
Дн = B5813 Ом)А ¦; причем обычно i =2 — 8. Заметим, наконец, что если
величину а считать известной из других экспериментов (например, из дан-
данных по измерениям 2e/h и гиромагнитного отношения протона у,,), то фор-
формулу D) можно использовать для создания эталонного сопротивления.
В рассматриваемом случае становятся несущественными два типа попра-
поправок к эффекту Холла, хорошо известные для слабых полей. Это, во-первых,
поправки за счет закорачивания холловского напряжения контактами стока
и истока [ 7]. В слабых полях они существенны для образцов с отношением
длины к ширине L/W < 4, но при значении холловского угла 90°, т. е.при
&хх= 0 эти поправки обращаются в нуль [ 8]. Во-вторых, это поправки за счет
того, что холловские выводы расположены не точно друг против Друга.
При ахх = 0 такая ошибка тоже не играет роли, поскольку при этом отсут-
отсутствует падение напряжения вдоль образца [ 9].
Эксперименты выполнялись на МОП-структурах с толщинами окисла
dOK в диапазоне 100 — 400 нм и отношением длины к ширине L/W, меняв-
менявшимся в пределах 25 - 0,65. Все структуры были изготовлены на подложках
кремния р- типа с ориентацией A00), имевших, как правило, удельное со-
сопротивление при комнатной температуре 10 Ом • см. При гелиевой темпера-
температуре сопротивление структур превосходило 101S Ом . см и какой-либо
измеримый ток между стоком и истоком, помимо тока канала,
отсутствовал. Длинные структуры (L/W > 8) имели не только холловские, но
и потенциальные выводы.
На рис 1 показаны типичные экспериментальные зависимости холлов-
холловского напряжения UH и напряжения между потенциальными зондами Upp от
потенциала завтора. Эти результаты получены в постоянном магнитном поле
В = 18 Тл при температуре 1,5 К и постоянном токе канала / = 1 мкА. Ос-
Основные параметры структуры были следующими: L = 400 мкм, W = 50 мкм
и расстояние между потенциальными зондами около 130 мкм.
Измеряемое напряжение ирр пропорционально компоненте удельного со-
сопротивления рхх = охх[рхх+ ру. При напряжениях на затворе, при которых
?F располагается в энергетическом зазоре между уровнями Ландау, наблю-
наблюдаются минимумы как на кривой а хх, так и на кривой рхх [ 9]. Подобные ми-
минимумы отчетливо видны на рис. 1 и могут быть идентифицированы. Так-
Также видны минимумы., связанные со снятием спинового и долинного (двукратного)
вырождения. При концентрациях носителей, соответствующих нулевым зна-
значениям ахх и рхх, холловское напряжение отчетливо сохраняет постоянные
значения ("ступеньки"). Величина [7Н на этих участках хорошо согласуется
с предсказаниями формулы D), если учесть поправку на входное сопротив-
14
К. Клитцинг, Г. Дорда, М. Пеппер
1. Сверхточное определение пост, тонкой структуры
15
ление двухкоординатного самописца, равное 1 МОм. Было обнаружено, что,
если ахх = 0, значение UH на "ступеньках" при данном значении тока не за-
зависит от геометрии образца и направления магнитного поля.
Объектом возможной критики теоретических основ эксперимента явля-
является роль, которую могут играть носители, локализованные не на уровнях
Ландау. Мы не конкретизуем механизм локализации, но при наличии локали-
локализованных носителей потеряют силу как соотношение Л? = WLj, так и фор-
формула D). Однако экспериментальные результаты уверенно свидетельствуют
о том, что наличие таких носителей не сказывается на справедливости вы-
выражения D). Подобного рода локализация к настоящему времени уже ис-
исследована как теоретически, так и экспериментально [ 3, 4, 9 — 12]. Андо
[2] предположил, что электроны в примесных зонах, возникших за счет
короткодействующих рассеивателей, не участвуют в холловском токе, в то
время как электроны на уровне Ландау создают такой же холловский ток,
как и в случае, когда все электроны находятся на уровне и могут двигать-
двигаться свободно. Подобный процесс, несомненно, должен иметь место, но
чрезвычайно высокая точность измерений холловского сопротивления тре-
требует тщательного анализа области существования этого процесса.
Для прецизионных измерений последовательно с образцом включалось
эталонное сопротивление Ro. Напряжение на нем (?/0), а также поперечное
и продольное напряжения на образце (?/н и Upp) измерялись высокоомным
вольтметром (R > 2 • 10 Ом). Сопротивление До было калибровано в
Брауншвейгском федеральном физико-техническом институте и имело
величину До= 9999,69 Ом при температуре 20 °С. На рис. 2 представлены
типичные результаты измерений холловского сопротивления Дн = 11ц/1 =
= ^НДО/#О и сопротивления между потенциальными выводами прибора
Rpp - VppR0/U0 при 8 = 13 Тл и Т = 1,8 К. Минимум проводимости а хх
при Vg = 23,6 В соответствует минимуму при Vg = 8,7 В на рис 1, посколь-
поскольку в этих двух структурах толщина подзатворного окисла различалась в
3,fi раза Чувствительность нашего экспериментального оборудования не
позволяла измерять значения Rpp, меньшие 0,1 Ом, которые наблюдались
в диапазоне 23,40 В < V < 23,80 В. Холловское сопротивление в этом диа-
диапазоне имело величину 6453,3 ±0,1 Ом. Погрешность ±0,1 Ом была обус-
обусловлена ограниченной чувствительностью вольтметра. Следует заметить,
что в большинстве образцов, в особенности в структурах с малым отноше-
отношением длины к ширине, зависимость холловского напряжения от V имеет
минимум с левой стороны от плато. На рис. 2 этот минимум относительно
мелкий и его величина равна 6452,87 Ом при V=23,30 В.
400
о
Ъоо
\
\
+
S
23,0 23.5 24,0 24,5
6500
О. 6400
X
6300
К9ПЛ
\
ч
1
.„.—
\
\
\
\
1 1 1
23,0 23,5
24,5
Р и с. 2. Холповское сопротивление RH и сопротивление между потенциальными
зондами Rpp в зависимости от потенциала затвора Vg в области V соот-
соответствующей полностью заполненному низшему ("l= О) уровню Ландау.
Ппато на кривой RH соответствует значению 6453|3 ±0.1 Ом. Структура
имела следующие геометрические размеры: L = 400 мкм, W = 50 мкм,
Lpp = 130 мкм, и находилась в магнитном поле В = 14 Тл при температуре
1,8 К.
Чтобы продемонстрировать нечувствительность холловского сопротив-
сопротивления к геометрии прибора, на рис. 3 показаны результаты измерений для
двух образцов с отношением длины к ширине соответственно L/W = 0,65 и
25. Напряжение на затворе измерялось в относительных единицах и для
этих двух образцов было различным в силу разной толщины подзатворного
окисла. Напряжение V = 1,00 приблизительно соответствует поверхност-
поверхностной концентрации носителей, при которой полностью заполнен нижний че-
четырехкратно вырожденный уровень Ландау с nL = 0. Для обоих образцов
плато на кривой холловского сопротивления имело одну и ту же величину
16
К. Клитцинг, Г. Дорда, М. Пеппер
1. Сверхточное определение пост, тонкой структуры
17
6454-
V
r*fc t
6453-
6452
6457
64501 -1
1 1
o,sa 0,99 1,00 /,oi юг
Vq, опт. еЭ.
Рис.3. Холловское сопротивление RH двух образцов различной геометрии в облас-
области напряжений на затворе V соответствующей полному заполнению уров-
уровня Лендау nL== о. В = 13,9 Тл, Т = 1,8 К. Сплошная кривая - образец с
L = 1000 мкм, W = 40 мкм, пунктирная кривая — образец с L = 260 мкм.
W = 400 мкм. Рекомендованное значение h/Ae1 = 6453,204 Ом показано
жирной пинией.
(с точностью до экспериментальной погрешности 0,1 Ом). На рисунке от-
отмечено также значение отношения h/Ae2 = 6453,204 ± 0,005 Ом, соответст-
соответствующее рекомендованному значению постоянной тонкой структуры [ 5].
Уменьшение холловского сопротивления при понижении напряжения на зат-
затворе в образце с L/W = 0,65 связано в основном с закорачиванием холловс-
холловского напряжения контактами. Этот эффект наиболее ярко выражен в слу-
случае, когда холловский угол становится меньше, чем 90°. В пределе малых
холловских углов для образца с L/W = 0,65 холловское напряжение умень-
уменьшается в 2 раза [7].
Среднее значение холловского сопротивления для всех исследованных
образцов равнялось 6453,22 + 0,10 Ом при измерениях в области энерге-
энергетического зазора между уровнями Ландау п^ = 0 и nL = 1 [ что соответствует i = 4
в формуле D)], 3226,62 + 0,10 Ом при измерениях в области энергетическо-
энергетического зазора между уровнями nL = 1 и nL=2 («' =8) и 12906,5' ± 1,0 Ом при из-
измерениях в области энергетического зазора между уровнями с nL = О
и с различной ориентацией спина (i = 2). Эти значения сопротивления прек-
прекрасно согласуются со значениями h/e2i, вычисленными на основе вдщавно
определенной с высокой точностью [ 13] величины а -1 = 137,035963A5)
A,1 • ю~7).
Измерения с помощью вольтметра с лучшим разрешением и калиброван-
калиброванного стандартного сопротивления с исчезающе малым температурным
коэффициентом при Т = 25 °С позволили получить значение h/4e2 = 6453,17 +
+ 0,02 Ом, соответствующее постоянной тонкой структуры а -* = 137,0353 +
± 0,0004.
Благодарности
Нам хотелось бы выразить благодарность сотрудникам Брауншвейго
кого федерального физико-технического института за помощь при выпол-
выполнении экспериментальных работ, а также Е. Коэну, Т, Энглерту, В. Козе,
Г, Ландверу и Б, Тейлору за весьма ценные обсуждения.
Литература
l.Stem F., Crit. Rev. Solid State Sci., 5. 499 A974); Landwehr G., В сб.:
Advances in Solid State Physics: — Festkorperprobleme (ed. H.J. Queisser),
Pergamon, New York — Vieweg, Braunschweig, 1975, v. 15, p. 48.
2.Ardo Т., J. Phys. Soc. Japan, 37,622 A974).
3. Aoki H,, Kamimura Я„, Solid State Comm., 21, 45 A977).
4. Nicholas R.J., Stradling R.A», Tidey R.J., Solid State Comm., 23, 341
A977).
5. Cohen ЕЛ„, Taylor B.N., J. Phys. Chem. Ref. Data, 2, 633 A973).
6. Thompson AM,, Lampard D.G., Nature (London), 177, 888 A956).
7. lsenberg I., Russel B.R., Greene F.R., Rev. Sci. Instrum., 19» 685 A948).
8. Wick R.F», J. Appl. Phys., 25„ 741 A954).
9. Englert Th., Klitzing K., v°. Surf. Sci., 73, 71 A978).
10. Kawaji S., Wakabayashi J., Surf. Sci., 58„ 238 A976).
11. Pepper M., Philos. Mag., 37B, 83 A978).
12. Kawaji So, Surf. Sci., 73, 46 A978).
13. Williams ЕЯ., Olsen Р,Т„ Phys. Rev. Lett., 42„ 1575 A979).
1А*.Бас%ин Э. М.,.Магарилл Л.И.,Энтш М.В. - ЖЭТФ, 1978, т. 75, с 723.
2-416
2. Использование квантования
холловского сопротивления
в гетероструктурах GaAs — ALGai - * As
для создания эталона сопротивления
Д. Цуи*. А. Госсард*
Перевод статьи: Tsui D.C., Gossard A.C. - Applied Physics Letters, 1981, v. 38,
p. 550.
В гетероструктурах GaAs -AlxGai _xAs при температуре 4,2 К
и сравнительно слабых магнитных полях вплоть до 4,2 Тл наблюдается
квантование холловского сопротивления двумерного электронного га*
за. Это указывает на практическую полезность эффекта для создания
первичного эталона сопротивления.
При достаточно сильных магнитных полях (В^15 Тл) и низких темпера-
температурах (Т~ 1,5 К), когда плотности состояний соседних уровней Ландау
перекрываются слабо, перенос носителей в инверсионных слоях кремниевых
МОП-транзисторов имеет аномальный характер [ 1]. Это конкретно проявля-
проявляется в исчезновении параллельной компоненты сопротивления pXf и в на-
наличии плато на холловском сопротивлении р в конечном интервале напря-
напряжений V на затворе, соответствующем случаю, когда уровень Ферми ?F
располагается между уровнями Ландау [ 2]. Такие же аномалии наблюда-
наблюдались на зависимостях pxx{R) и рху(Щ для двумерного электронного газа
BМ-электронов) на границе раздела гетеропереходов GaAs -A^Gaj _xAs
[ 3]. Позднее с помощью весьма точных экспериментов на инверсионных
слоях в Si Клитцинг с сотр. [ 4J показали, что на плато
Рху
2. Использование для создания эталона сопротивления
19
= h/e2i =o-»m,c/2i , A)
где i -число заполненных уровней Ландау*>, а - постоянная тонкой струк-
структуры, ц0 _ магнитная проницаемость вакуума, с - скорость света. Цуи и
Аллен [ 5] отметили, что этот поразительный результат можно объяснить
с классических позиций. Они утверждают, что локализованные состояния,
которые нельзя описать с помощью орбит Ландау, не участвуют в кванто-
*DUC Tsui, Л „С. Gossard, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey 07974, USA.
1:)Точнее говоря, i есть полное число подуровней (расщепленных или вырожден-
вырожденных) на уровнях Ландау под уровнем Ферми. В частности, для поверхности A00) Si
.j равно учетверенному числу уровней Ландау. - Прим. перев.
© 1981 American Institute of Physics
вых явлениях переноса [6, 7]. Площадь, занимаемая орбитами Ландау
этих состояний, если они не были бы локализованными, должна быть исклю-
исключена из образца. Следовательно, орбитальное вырождение данного уровня
Ландау, представляющее собой полное число орбит на площади образца,
уменьшается на число локализованных состояний и выражение A) остает-
остается справедливым, если только заполнены все орбиты Ландау для данного
уровня. Дальнейшее увеличение напряжения Vg приводит к заполнению ло-
локализованных состояний без изменения величины р и тем самым создает плато.
Клитцинг с сотр. использовали такое квантование холловского сопро-
сопротивления для точного определения постоянной тонкой структуры а и
отметили возможность применения этого эффекта для создания эталона
сопротивления. Однако для реализации квантового режима в инверсионных
слоях Si необходимо магнитное поле не менее 15 Тл и температура не бо-
более 2 К. Необходимость столь сильного магнитного поля и низкой темпера-
температуры, несомненно, ограничивает возможности получения эталона сопротив-
сопротивления. (Следует заметить, что с помощью сверхпроводящих магнитов из
NbTi сравнительно нетрудно получить магнитное поле В = 8,5 Тл при тем-
температуре 4,2КиВ«10Тл при 2 К.) Поскольку рассматриваемое кванто-
квантование есть свойство двумерных носителей, можно ослабить условия его
реализации до В < 10 Тл иТ~ 4,2 К, используя в гетероструктурах GaAs —
Alj-Gai _j;As 2М-электроны, циклотронная масса которых п?= 0,068 т0 [8]
в три раза меньше, чем в инверсионном слое на поверхности A00) S i. Нами бы-
были изготовлены гетеропереходы GaAs -А1Ж Ga,„^As, в которых часто-
частота столкновений 2М-электронов была приблизительно такой же, как
и в кремниевых МОП-транзисторах. Измерения рхх(В) и р (В) при тем-
температуре 4,2 К показали наличие квантования холловского сопротивления
вплоть до S = 4,2 Тл. В остальной части данной статьи мы подробно опи-
опишем эксперимент и результаты наблюдений, демонстрирующие пригодность
гетероструктур GaAs -Al^Ga l _xAs для практического создания первич-
первичного эталона сопротивления.
Гетероструктуры GaAs -Al^Gaj _XAS были выращены методом мо-
лекулярно-лучевой эпитаксии на полуизолирующих подложках GaAs < Сг >,
не обладавших при температуре 4,2 К заметной проводимостью. Каждый
образец содержал слой нелегированного Ga As толщиной 1 мкм, слой
я-Al^Ga , _xAs< Si > толщиной 0,07 мкм и верхний слой нелегированного
GaAs толщиной 0,02 мкм. Граница между верхним слоем GaAs и
AlxGa 1 _xAs обеднена свободными носителями, и 2М-электроны, созданные
ионизованными донорами в слое Al^Ga, .„As, приведены к границе меж-
ДУ A^Ga, _xAs и нижележащим слоем GaAs. Эти электроны локализова-
20
Д. Цуи, А. Госсард
2. Использование для создания эталона сопротивления
21
ны в потенциальной яме, образованной разрывом зоны проводимости на ге-
терогранице(Д?с~' 330 мэВ) и изгибом зон в GaAs [8]. Поэтому энергия
движения электронов в перпендикулярном границе направлении квантуется.
При этом в направлении, параллельном границе, электроны сохраняют
возможность свободного движения и образуют тем самым двумерную сис-
систему.
Образцам придавалась форма стандартных "холловских мостиков" с
шестью симметричными боковыми выводами, облегчающими измерения маг-
нитосопротивления и эффекта Холла [9]. Мостики имели ширину 0,1 или
0,38 мм, а расстояние между соседними боковыми выводами было 0,3 мм
для узких и 1,0 мм для широких образцов. Электрические контакты изготав-
изготавливались путем вплавления в эпитаксиальные слои индия при температу-
температуре 400 °С в атмосфере водорода Качество контактов и однородность об-
образцов проверялись путем сравнения вольт-амперных характеристик, сня-
снятых на различных комбинациях токовых и потенциальных контактов.
В табл. 1 представлены сведения о поверхностной концентрации электронов
N и холловской подвижности и в образцах, на которых проводились точные
измерения квантованного холловского сопротивления. Они получены в од-
нозонной модели из данных по сопротивлению и эффекту Холла в слабых
полях (/?= 0,025 Тл).
На рис. 1 показаны зависимости рхх и рху от магнитного поля, получен-
полученные при температуре 4,2 К на образце ,№ 1. Данные были получены путем
измерения напряжений между соответствующими боковыми выводами вольт-
Таблица 1
Концентрация алюминия (х) в легированных слоях
структур и концентрация носителей и подвижность, оп-
определенные из холлоеских измерений в слабом магнит-
магнитном поле
Обра-
зац
1
2
3
4
X
0.3
0.3
0,26
0.26
N, 1
300 К
0,53
1,0
0,52
0,88
0»см-
78 К
0,40
0,73
0,35
0,70
-2
4,2 К
0.42
0,84
0,36
0.77
и, Ю
300 К
0,94
0,32
0,83
0,52
4 см2/(В • с)
78 К
7,7
1,8
4,0
2,0
4.2 К
7,9
4,0
3,6
1.8
10
Р и с. -1. Зависимости рху и рхх от В для обрвзца № 1 гетероструктуры Ga As -
А'о.з Ga(i7As при температуре 4,2 К. Магнитное поле перпендикулярно по-
поверхности.
метром с высоким входным сопротивлением и при токе через структуру
10 мкА. Магнитное поле, создаваемое сверхпроводящим соленоидом при тем-
температуре 4,2 К и определяемое с погрешностью менее 3%, было направле-
направлено перпендикулярно границе Ga As -AlxGa,_xAs. Осцилляции Шубнико-
ва - де Гааза при В < 4 Тл были периодичны по 1/В, и определенная из
периода этих осцилляции концентрация электронов N [ 9] оказалась рав-
равной 4,2-1011 см~2.двумерности электронного газа свидетельствовали зави-
зависимость периода осцилляции лишь от нормальной компоненты магнитного
поля R и отсутствие осцилляции в случае, когда магнитное поле параллель-
параллельно поверхности. Поведение кривых в области Р~6 Тл сильно зависит от
температуры, и при Т = 1,2 К выявляются два хорошо разрешаемых пика.
Мы связываем эти пики со спиновым расщеплением уровня Ландау с
пъ= 1. Следует заметить, что в GaAs эффективный g-фактор электронов
равен g*= 0,522 [ 10] и ари В = 6 Тл расщепление составляет Д? = 0,18 мэВ.
Поскольку при температуре 4,2 К мы имзем kT = 0,36 мэВ и Л/т = 0,25 мэВ,
наблюдать расщепление было бы невозможно, если значение g* в действи-
действительности заметно не уреличивалось бы за счет обменных эффектов
[ И, 12].
22
Д. Цуи, А. Госсард
2. Использование для создания эталона сопротивления
23
Наиболее поразительной особенностью кривых на рис. 1 является об-
обращение в нуль величины рхх и постоянство рху (на уровнях около 12 кОм
и 6 кОм) в конечных интервалах магнитного поля ДВ вблизи значений
В = 8,4 и 4,2 Тл. При таких значениях магнитного поля величина ?F ле-
лежит между уровнями Ландау соответственно с nL = 0 и 1 и с nL = 1 и 2.
При понижении температуры оба этих интервала расширяются, а при
Т ~ 1,2 К проявляется еще один участок вблизи В = 2,7 Тл, соответст-
соответствующий положению ?F между уровнями Ландау с пъ = 2 и 3. Эти резуль-
результаты сходны с зависимостями рхх и р от V в инверсионных слоях Si и
свидетельствуют о квантовании холловского сопротивления 2М-носителей.
В нашем случае концентрация носителей фиксирована и заполнение уров-
уровней Ландау осуществляется путем изменения магнитного поля, меняющего
орбитальное вырождение уровня. Благодаря тому, что в Ga As цикло-
циклотронная масса меньше, эффекты квантования в нем могут наблюдаться при
значительно меньших магнитных полях и более высоких температурах, не-
нежели в инверсионных слоях на поверхности кремния с высокой подвижнос-
подвижностью носителей, обладающих сравнимыми значениями электронного време-
времени релаксации (т -~ 2,7 • 102 с).
В табл. 2 представлены итоговые результаты наших более точных из-
измерений квантованных значений р . Учитывая спиновое вырождение и
наличие односвязной ферми-поверхности для электронов в GaAs,. имеем
Таблица 2
Характеристики плато квантованных холлово
ких сопротивлений; положение (В), ширина (ДВ) и
высота (р_,); nL — каантовое число уровня Ландау,
расположенного непосредственно под уровнем
EFt a i — квантовое число а выражении A) для
холловского сопротивления
Обра-
Образец
1
2
3
4
0
1
1
0
1
В.Тл
8,4
4,2
8,4
7,6
7,7
ДВ,Тл
0,4
0,1
0,2
0,4
0,2
р^.Ом
12907,0
8 453,4
6 453,4
12907,1
6 453,2
h/e2i ы Эм
12906,4
6 453,2
6 453,2
12906,4
6 453,2
i = 2(nL + 1). Величины рху соответствуют результатам измерений при
указанных в табл. 2 значениях магнитного поля В, а ДВ есть интервал, на
котором рху меняется не более чем на 0,01%,. При выполнении измерений
последовательно с образцом включался калиброванный резистор и с по-
помощью нуль-детектора падение напряжения на нем сравнивалось с холлово
ким напряжением. В качестве калиброванного резистора использовался
декадный резистор, изготовленный компанией "Дженерал Рейдио" (мо-
(модель № 1433F) и дающий сопротивления в интересующей нас области с точ-
точностью до 0,01%. С такой точностью, как показывает эксперимент, холлов-
ское напряжение линейно зависит от така вплоть до / = 10 мкА.
Из табл. 2 видно, что измеренные в областях плато значения р (при
использовании известных значений a, ц0 и с) хорошо согласуются с форму-
формулой A). Это согласие ограничивается точностью нашего калиброванного
резистора. Результаты показывают также, что квантованные значения р
будучи независимыми от магнитного поля и температуры, не зависят и
от подвижности ц, значения которой н исследованных образцах варьиро-
варьировались от 18 000 до 69 000 см2/(В> с). Иными словами В, Тиц должны
иметь значения, достаточные для реализации кщантового режима, свиде-
свидетельством которого является малость рхх (< 0,1 Ом), но величина кван-
квантованного сопротивления рху} описываемая формулой A), не зависит от
В, Т и ijl Очевидно, следовало бы ожидать,, что наличие контактов к
слою двумерного электронного газа и неоднородностей в нем, нарушаю-
нарушающих двумерный характер системы, должно сказываться на величине рх .
Опыт подсказывает, что должны также иметь место такие явления, как различие в
напряжениях между эквивалентными парами боковых выводов, нелинейность и асим-
асимметрия вольт-амперных характеристик и нерегулярная структура на кривых
РХХ{В)> Однако в исследуемых нами образцах ничего подобного мы не об-
обнаружили.
Таким образом, мы наблюдали квантование холловского сопротивления
в гетероструктурах GaAs - Al^Ga, _xAs при температуре 4,2 К и значе-
значениях магнитного поля вплоть до 4,2 Тл. Достижение таких значений В и Т
сравнительно несложно и не является препятствием к практическому ис-
использованию эффекта для создания первичного эталона сопротивления.
Мы наблюдали два квантованных значения: 12 096,4 и 6453,2 Ом. Измере-
Измерения проводились на одиночных гетероструктурах GaAs -AlxGaj _xAs,
каждая из которых содержала по одному двумерному электронному слою.
Более удобными для измерений, очевидно, являются многослойные струк-
структуры GaAs -AlxGa, _х As, или сверхрешетки, содержащие m идентичных,
параллельно соединенных двумерных электронных слоев. При этом кванто-
квантованное холловское сопротивление имеет вид р,„ = h/e2im и значение эталон-
24
Д. Цуи, А. Госсард
ного сопротивления можно варьировать, меняя число слоев GaAs -AlxGa j _xAs.
Следует также заметить, что, если использовать узкозонные полупро-
полупроводники, квантового режима можно достичь при еще меньших зна-
значениях магнитного поля. В настоящее время уверенно установлено на-
наличие двумерных электронов в структурах металл - окисел — полупровод-
полупроводник или в сверхрешетках из гетеропереходов на основе InS Ъ , I nAs , РЪ Те
и Hg^Cd! _xTe (см., например, материалы конференции "Электронные свой-
свойства двумерных систем'! [ 13]1}). Например, для создания квантового резис-
резистора при использовании двумерного электронного газа в InS Ъ потребуется
магнитное поле около 1 Тл.
Благодарности
Мы выражаем благодарность С. Аллену, А. Чо, П, Платцману, Дж. Роу-
эллу и Г. Штермеру за обсуждения данной работы, а также Г. Каминскому
и У. Вигманну за весьма ценную техническую помощь.
Литература
1. Kawaji S», Wakabayashi /„, Surf. ScL, 58, 238 A976).
2. Englert Th., Klitzing K., v., Surf. Sci., 73, 70 A978).
3. Tsui D.C, Cho A.Y., неопубликованная работа.
4. Klitzing К., w., Dorda G., Pepper М„, Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980). [Име-
[Имеется перевод в настоящем- сборнике (статья 1).]
5. Tsui D. С. Allen S.J., Jr., Phys. Rev. В, 24, 4082 A981) .[Имеется
перевод в настоящем сборнике (статья 15).]
6. Ando Т„, Петита Yo, J. Phys. Soc. Japan, 36, 959 A974).
7. Ando Т., Matsumoto У., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 39, 279 A975).
8. Stormer H.L», Dingle R., Gossard А„С„, Wiegmann W., Sturge М„О„, Solid
State Comm., 29, 705 A979).
9. Tsui О„С„, Logan R.A., Appl. Phys. Lett., 35, 99 A979).
10. Duncan V/,, Schneider ?„?„, Phys. Lett., 7, 23 A963).
11. Ando To, Uemura Yu, J. Phys. Soc. Japan, 37, 1044 A974).
12. Tsui D.Co, Stormer H.L., Gossard A.C., Wiegmann W., Phys. Rev., В21„
1589 A980).
13. Surf. Sci., 98A980).
14* Surf. Sci., 113 A982).
15* Surf. Sci., 142 A984).
3. Вклад физики полупроводников
в определение постоянной тонкой структуры
К. фон Киитиапг*
Перевод статьи: Klitzing К., v., Festkorperprobleme XXI, 1981, p. 1.
Точное значение постоянной тонкой структуры а позволяет прове-
проверить теоретические выводы квантовой электродинамики и уменьшить
неопределенность в значениях других фундаментальных констант. Дает-
Дается краткий обзор различных традиционных методов измерения а и пред-
представление о новом квантовом эффекте в твердом теле (квантованное
холловское сопротивление двумерного электронного газа), который поз-
позволяет непосредственно определять величину а. После описания свойств
двумерного электронного газа в сильном магнитном поле приводятся ре-
результаты измерений квантованного холловского сопротивления. Анали-
Анализируются поправки, связанные с локализацией носителей, процессами
рассеяния и конечностью геометрических размеров образца.
1. ВВЕДЕНИЕ
Постоянная тонкой структуры а является одной из важнейших фунда-
фундаментальных физических констант, поскольку эта безразмерная величина,
характеризующая взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными
полями, может быть представлена различными комбинациями других фун-
фундаментальных констант. Любое изменение этой величины влияет на значе-
значения других фундаментальных констант, таких, как комптоновская длина вол-
волны электрона Лс, постоянная Фарадея F, гиромагнитное отношение прото-
протона у элементарный заряд е, масса покоя электрона тое и постоянная План-
Планка /г.
Малость величины а = 1/137 позволяет использовать ее в качестве па-
параметра разложения в квантовой электродинамике (КЭД). Соответствующие
теоретические выражения доведены уже до весьма высокой точности (см.
обзор [ 1]).
Цель настоящей работы - показать возможности применения нового
квантового эффекта физики твердого тела [2], а именно квантованного хол-
ред.
'а также труды последующих конференций по этой тематике [ 14*, 15*] - Прим.
*К. Klitzing., v.s Physik-Department, Technische Universitat Miinchen, Garching,
Federal Republic of Germany.
© 1981 Friedr. Vieweg & Sohn, Verlagsgesellschaft.
24
Д. Цуи, А. Госсард
ного сопротивления можно варьировать, меняя число слоев Ga As -Al^Ga Y _xAs.
Следует также заметить, что, если использовать узкозонные полупро-
полупроводники, квантового режима можно достичь при еще меньших зна-
значениях магнитного поля. В настоящее время уверенно установлено на-
наличие двумерных электронов в структурах металл - окисел - полупровод-
полупроводник или в сверхрешетках из гетеропереходов на основе InS Ъ, I nAs , РЪ Те
и Hg^Cdj -х^е (см«» например, материалы конференции "Электронные свой-
свойства двумерных систем" [ 13] *>). Например, для создания квантового резис-
резистора при использовании двумерного электронного газа в InSb потребуется
магнитное поле около 1 Тл.
Благодарности
Мы выражаем благодарность С. Аллену, А. Чо, П. Платцману, Дж. Роу-
эллу и Г. Штермеру за обсуждения данной работы, а также Г. Каминскому
и У. Вигманну за весьма ценную техническую помощь.
Литература
1. Kawaji 5„, Wakabayashi /„, Surf. ScL, 58, 238 A976).
2. Englert Th., Klitzing K., v., Surf. Sci., 73, 70 A978).
3. Tsui D.C., Cho A.Y., неопубликованная работа.
4. Klitzing К., v», Dorda G., Pepper М„, Phys. Rev. Lett., 45. 494 A980). [Име-
[Имеется перевод в настоящем-сборнике (статья 1).]
5. Tsui D. С. Allen S.J., Jr., Phys. Rev. В, 24, 4082 A981) .[Имеется
перевод в настоящем сборнике (статья 15).]
6. Ando Т., Uemura Yo, J. Phys. Soc. Japan, 36, 959 A974).
7. Ando T», Matsumoto Y., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 39. 279 A975).
8. Stormer H.L,, Dingle R., Gossard AM., Wiegmann W., Sturge M»D«, Solid
State Comm., 29. 705 A979).
9. Tsui D,Cr, Logan R.A., Appl. Phys. Lett., 35, 99 A979).
10. Duncan W,, Schneider ?„?„, Phys. Lett., 7, 23 A963).
11. Ando Т„, Uemura У„, J. Phys. Soc. Japan, 37„ 1044 A974).
12. Tsui DM., Stormer H.L., Gossard A.C., Wiegmann W., Phys. Rev., 821,
1589 A980).
13. Surf. Sci., 98 A980).
14* Surf. Sci., 113 A982).
15? Surf. Sci., 142 A984).
3. Вклад физики полупроводников
в определение постоянной тонкой структуры
К. фон Клитцинг*
Перевод статьи: Klitzing К., v., Festkorperprobleme XXI, 1981, p. 1.
Точное значение постоянной тонкой структуры а позволяет прове-
проверить теоретические выводы квантовой электродинамики и уменьшить
неопределенность в значениях других фундаментальных констант. Дает-
Дается краткий обзор различных традиционных методов измерения а и пред-
представление о новом квантовом эффекте в твердом теле (квантованное
холловское сопротивление двумерного электронного газа), который поз-
позволяет непосредственно определять величину а. После описания свойств
двумерного электронного газа в сильном магнитном поле приводятся ре-
результаты измерений квантованного холловского сопротивления. Анали-
Анализируются поправки, связанные с локализацией носителей, процессами
рассеяния и конечностью геометрических размеров образца.
1. ВВЕДЕНИЕ
Постоянная тонкой структуры а является одной из важнейших фунда-
фундаментальных физических констант, поскольку эта безразмерная величина,
характеризующая взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными
полями, может быть представлена различными комбинациями других фун-
фундаментальных констант. Любое изменение этой величины влияет на значе-
значения других фундаментальных констант, таких, как комптоновская длина вол-
волны электрона Ас, постоянная Фарадея F, гиромагнитное отношение прото-
протона у элементарный заряд е, масса покоя электрона тое и постоянная План-
Планка/г.
Малость величины а = 1/137 позволяет использовать ее в качестве па-
параметра разложения в квантовой электродинамике (КЭД). Соответствующие
теоретические выражения доведены уже до весьма высокой точности (см.
обзор [ 1]).
Цель настоящей работы - показать возможности применения нового
квантового эффекта физики твердого тела [2], а именно квантованного хол-
ред.
'а также труды последующих конференций по этой тематике [ 14*, 15*] - Прим.
*К. Klitzing., v., Physik-Department, Technische Universitat Miinchen, Garching,
Federal Republic of Germany.
© 1981 Friedr. Vieweg & Sohn, Verlagsgesellschaft.
26
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
27
ловского сопротивления двумерной системы, для непосредственного опре-
определения значения постоянной тонкой структуры. Этот альтернативный спо-
способ определения а с помощью эксперимента нового типа увеличивает чис-
число независимых измерений постоянной тонкой структуры, что должно дать
информацию о непротиворечивости наших представлений о физической кар-
картине мира и может привести к формированию новой, более точной системы
фундаментальных констант.
2. ТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ
ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
Постоянная тонкой структуры а была впервые введена в 1916 г. Зом-
мерфельдом в теории тонкой структуры оптического спектра атомарного во-
водорода [ 3], где она определялась как отношение скорости электрона на
низшей боровской орбите к скорости света с. В системе единиц СИ это
отношение дается выражением
а = (е2/А)(иос/2), A)
где с = 2,99792458 • 108 м/с, а ц0 = 4тг • 10" Гн/м - магнитная прони-
проницаемость вакуума. Эта фундаментальная константа играет важную роль
в КЭД при расчете следующих величин, определяемых из весьма точных
измерений:
а) сверхтонкого расщепления hfs основного состояния водородоподобных
систем [ hfs (H) водорода, hfs (M) мюония и hfs (P) позитрония};
б) тонкого расщепления в водороде А?нили (А? -6)н (с учетом лэмбовско-
го сдвига) и в атомарном гелии v0 t;
в) аномального магнитного момента электрона (ае), позитрона (а ) и мюона
Если исходить из того, что КЭД справедлива, то постоянную тонкой
структуры можно определить из сравнения теории и эксперимента [ 4]. На
рис. 1 представлена сводка значений а, полученных из различных экспери-
экспериментов [ 4 — 16] с применением формул КЭД. Заштрихованная полоса соот-
соответствует среднему значению а (±одно стандартное отклонение), определен-
определенному по результатам подобных работ, опубликованных до 1976 г. [1]. Недавно
было сообщено об очень точном экспериментальном определении аномаль-
аномального магнитного момента [17], приведшем к следующему значению постоян-
постоянной тонкой структуры [ 16}:
о-»(ае) = 137,036007A,1 . 10-7).
-/37,03 7 -
- 137,03б\,
'а-
- Щ035
]
'////////¦
1
2
1 1
i
I
5
17
У/////А
I
Y///V/A
i
э
f n
70
Годы A970-1980)
P и с. 1. Сводка результатов измерений постоянной тонкой структуры, использую-
использующих формулы КЭД. 1 - (АЕ _б)н [5]; 2- (ДЕ - б)н [б];3- v01(He) [7]-
4-hfs(H) [в]; 5-(ДЕ -б)н[91;в-ве [ю]; 7 - hfs (M) [11. 12]: в -'
ДЕн[1з, 14]; 9- v01 (Не) [7.1]; ГО- ае[15,1]; 11 -ае A979 г.) [ 1б].За-
1б].Заштрихованная область соответствует среднему значению а, определен-
определенному по результатам работ, опубликованных до 1976 г. [ 1].
Основная погрешность здесь обусловлена оценкой неточности формул КЭД,
которые дают следующее выражение для аномального магнитного момента
электрона [ 18}:
а_ =
2тг
3 +с
где С4 = _ 0,3284784458 и С6 = 1,184 ±0,007. Коэффициент С8 содержит 891
фейнмановскую диаграмму и пока еще не вычислен1).
На рис. 2 для сравнения приведена сводка значений а, определенных из
различных экспериментов [ 19 - 29], анализ которых не опирается на форму-
формулы КЭД. В этом случае величину а вычисляют из выражения
Это выражение идентично соотношениям [ 14] a-1 = C^-Jl/y ' и a-1 = C2J\/F,
ГДе ТР — гиромагнитное отношение протона, F — постоянная Фарадея, а С t
и С2 - комбинации фундаментальных констант, известные с ошибкой, зна-
' В литературе [74*] уже имеются предварительные сообщения о вычислении
коэффициента с8. — Прим. ред.
28
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
29
-Щ037
-/37,036
в
-/37,035
-ЩОЗЬ
т
..3
Годы A962-1980)
Р и с. '2. 'Сводка результатов измерений постоянной тонкой структуры, при полу-
получении которых не использовались формулы КЭД. ' —ур„ [ 14, 19];.2 уь
[2О-23];3 - F [24. 25]; -4 .-• Ypi [2б];5 - Yp2 A979 г.)[27];'б -\р1
A979 г.)'[2в];'7 —h/e2 A980 г.) [29]..Заштрихованная область соответ-
соответствует значению а, определенному методом наименьших квадратов по
состоянию на 1973 г. ¦
чительно меньшей, чем ошибка в определении у и F. На рис. 2 у j озна-
означает, что в данном эксперименте магнитное поле (слабое) создается током,
протекающим по соленоиду с известными размерами, в то время как в
случае у 2 магнитное поле (сильное) калибруется путем измерения силы,
действующей в этом поле на проводник с током.
На рис. 2 видно, что результат, полученный из измерений постоянной
Фарадея, противоречит другим данным и поэтому не включается в офици-
официальные оценки фундаментальных констант по методу наименьших квадра-
квадратов [ 4]. Полученные при этом наиболее вероятные значения а -1 по состоя-
состоянию на 1973 г. соответствуют заштрихованной области. В дополнение к дан-
данным по ур, использованным для официального уточнения фундаментальных
констант, на рисунке показаны также новые данные у 2 [ 27], ур, [ 28] и
обозначенные через h/e2 результаты определения а из данных по кванто-
квантованному холловскому сопротивлению [ 29]. Этот новый метод, детально об-
обсуждаемый ниже, дает значение постоянной тонкой структуры с точностью,
сравнимой с точностью других методов. В ближайшем будущем можно ожи-
ожидать дальнейшего повышения точности в определении величины a~1(h/e2),
что, по-видимому> приведет к использованию данного метода при следующем
уточнении фундаментальных констант и к получению надежных значений а
с точностью порядка 10~7 без использования формул КЭД.
3. КВАНТОВАННОЕ ХОЛЛОВСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
В данном разделе мы рассмотрим новый квантовый эффект, позволя-
позволяющий непосредственно определять величину h/e2 и тем самым постоянную
тонкой структуры а [см. формулу A)]. Поскольку отношение h/e2 имеет
размерность сопротивления (h/e2 = 25,813 кОм}, новый метод эквивален-
эквивалентен созданию прибора с фиксированными значениями сопротивления, зави-
зависящими (согласно теории), только от отношения h/e2. Этот параметр фигу-
фигурирует в ряде теорий, например в качестве минимальной металлической
проводимости [30, 31] при переходе металл — диэлектрик или же в качест-
качестве значений магнитопроводимости двумерного электронного газа в максиму-
максимумах квантовых осцилляции [ 32]. Но, по-видимому, только один эффект, а
именно квантованное холловское сопротивление двумерного электронного
газа [ 2], определяется исключительно фундаментальными константами и
не зависит от таких параметров, как геометрия образца, температура,
механизм рассеяния и др. Неожиданность этого результата связана с тем,
что в трехмерном вырожденном электронном газе холловское сопротивле-
сопротивление Ru зависит от неточно определяемых величин, таких, как толщина об-
образца d, напряженность магнитного поля В и концентрация носителей пс
в соответствии с выражением
= B/encd.
B)
Однако в двумерном электронном газе параметр d включается в двумерную
концентрацию носителей N, а отношение N/B, как мы покажем ниже, в силь-
сильных магнитных полях квантуется, становясь целым кратным величины e2/h.
Это приводит к квантованным значениям холловского сопротивления, равным
где i =
C)
Точность нового метода определения величины h/e2 (а следовательно,
и а) ограничивается в основном погрешностями при реализации ома — едини-
единицы сопротивления в системе СИ. К счастью, это наиболее точно известная
электрическая величина, ошибка в измерении которой не превосходит 10~ »
поскольку ее можно определить по сопротивлению расчетного конденсатора
Томпсона - Лампарда [ 33],и не связана с погрешностями в определении дру-
других единиц СИ — вольта и ампера. Если формула C) правильна, то^сравни-
вая холловское сопротивление с эталонным омом, можно с относительно
высокой точностью измерить отношение h/e2 в системе СИ.
С другой стороны, если постоянная тонкой структуры а и, следова-
следовательно, h/e2 известны из других экспериментов, то наш новый прибор
с сопротивлением RH = h/e2i {i = 1,2,...) представляет собой эталон
30
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
31
сопротивления. Даже если его значение в системе СИ точно не известно,
новый "квантовый резистор" можно использовать как эталон сопротивле-
сопротивления по аналогии с тем, как реализуется воспроизводимое, не зависящее
от времени напряжение с помощью нестационарного эффекта Джозефсона.
Такие применения квантованного холловского сопротивления возмож-
возможны лишь при условии, если известны все возможные поправки. До сих пор
экспериментальные значения квнантованного холловского сопротивления,
не зависящие от параметров, находились в согласии с предположением о
правильности формулы C). Справедливость формулы C) подтверждают и
недавние теоретические работы [ 34, 35]. Чтобы получить эту формулу и об-
обсудить возможные поправки к ней, в последующих разделах мы рассмот-
рассмотрим экспериментальные данные и теоретические выкладки, касающиеся
квантованного холловского сопротивления. Общий обзор свойств квазидву-
квазидвумерных электронных систем читатель может найти в других публикациях
[ 36, 75*].
3.1. Квазидвумерный электронный газ
Электроны образуют квазидвумерный газ в том случае, когда их движе-
движение в одной плоскости (плоскость ху) является свободным, а в направлении
оси z ограничено стенками узкой потенциальной ямы. Яма должна быть
столь узкой, чтобы расстояние между результирующими собственными
значениями ?,- энергии движения в z-направлении (электрическими подзо-
подзонами) превосходило кинетическую энергию электронов.
Такой квазидвумерный электронный газ можно создать на поверхнос-
поверхности жидкого гелия [ 37], на гетерограницах между двумя полупроводниками
[ 38, 39] или на границе полупроводник - диэлектрик в структуре металл —
окисел - полупроводник (МОП) [ 40]. В большинстве экспериментов кванто-
квантованное холловское сопротивление наблюдается при гелиевых температурах
в МОП-транзисторах1 > на поверхности A00) Si;no3TOMy в дальнейшем
мы будем в основном рассматривать эту систему.
На рис. 3 показаны вид сверху и поперечное сечение типичной МОП-
структуры, используемой в наших экспериментах. На монокристаллической
подложкер -Si (с концентрацией акцепторов Л/А) термически выращен слой
Si О 2 с типичной толщиной ОД — 1 мкм. Роль затвора играет слой метал-
металла (обычно алюминия) на поверхности окисла. Положительное напряже-
напряжение на затворе относительно полупроводника может управлять квазидву-
'В последнее время для наблюдения квантового эффекта Холла чаще всего
используются гетероструктуры с модулированным легированием (см. статьи 2,
4-9, 11 данного .сборника). - Прим. ред.
W
Р и с. 3. Вид сверху (в верхней левой части рисунка) и поперечное сечение (в правой
верхней части рисунка) типичных МОП-структур, используемых в экспери-
экспериментах. Слева — длинный образец; справа — кольцевой образец. 1 — исток;
2 — затвор; 3 - сток, 4 — инверсионный п-слой (двумерный электронный газ);
5 — подложка Р — Si; 6 — л+-контакт.
мерным электронным газом (инверсионным слоем) вблизи границы полупро-
полупроводник — диэлектрик.
Сильнолегированные я+-области на поверхности полупроводника играют
роль омических контактов к инверсионному слою. Поверхностный канал,
состоящий из п+-контактов и инверсионного слоя n-типа, изолируется от
подложки слоем обеднения. Поэтому ток от истока к стоку течет (по край-
крайней мере, при низких температурах) исключительно по инверсионному слою,
а не по подложке. Показанная на рис. 3 геометрия затвора и п+- контактов
позволяет измерять в магнитном поле как компоненту проводимости икх
(на кольцевом образце),. так и компоненты сопротивления рхх и рху (на длин-
длинном образце) [ 41].
При анализе данных по эффекту Холла важным параметром является
поверхностная плотность заряда. Концентрацией носителей в поверхностном
слое в отличие от массивного полупроводника можно управлять с помощью
напряжения на затворе Fg. Величина Fg и плотность заряда электронов ин-
инверсионного слоя -QMMB связаны между собой приближенным соотноше-
соотношением
где сок - Удельная емкость окисла. Если пренебречь разностью ра-
работ выхода алюминия и кремния и зарядом на границе, то пороговое
напряжение VQ будет определяться зарядом слоя обеднения Qo6 и паде-
падением напряжения <ро6 на этом слое вблизи порога [ 42}:
vo = <Роб - '
E)
32
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
33
Прикладывая к подложке внешнее смещение ^подп> падающее на слое обед-
обеднения, можно управлять величиной -Qoq в соответствии с выражением
Q06 = - \/2еоеSi dVA(F( - ^подл)* ^Ри низких температурах встроенное
напряжение Vi приблизительно равно 1,2 В.
Поскольку для анализа результатов холловских измерений RH(Vg)
весьма важную роль играет соотношение между напряжением на затворе
У и поверхностной плотностью заряда QMHB, следует помнить, чта обычно
ё
предполагаемая линейная связь между ними имеет лишь ограниченную
применимость.. В общем случае связь между QMHB и Vg можно полу-
получить из условия нейтральности Q = -QMHB -Qoq (Q -полная плотность
заряда на затворном электроде) и того факта, что приложенное к зат-
затвору напряжение слагается из падений напряжения на окисле, а также
на слоях обеднения и инверсии [43]:
Q <4
г/
ок
< z >.
F)
Таким образом, для получения выражения D) из E) и F) следует допустить,
что среднее расстояние двумерного электронного газа от границы < z >
пренебрежимо мало по сравнению с толщиной окисла и толщиной слоя обед-
обеднения, а последняя при надпороговых напряжениях на затворе остается пос-
постоянной. Только при этих приближениях и дополнительном предположении о
том, что заряд в окисле не изменяет падения напряжения на нем, будет
справедливо общепринятое линейное соотношение между изменениями напря-
напряжения на завторе и изменениями концентрации в инверсионном слое.
Поскольку в двумерном электронном газе плотность состояний не за-
зависит от энергии [ 36], увеличение напряжения на затворе вызывает рост
энергии Ферми по отношению к низшей электрической подзоне ?0 приблизи-
приблизительно по линейному закону с наклоном, который для инверсионного п-слоя
на поверхности A00) Si близок к 6 мэВ/A012 электрон • см~2).
Энергетический зазор между двумя нижними электрическими подзона-
подзонами столь велик, что при поверхностной концентрации носителей, меньшей
чем 6 • 1012 см~2, заполнена лишь первая из них ?0 (электрический кван-
квантовый предел). Это видно из рис. 4, на котором показан энергетический
зазор ?j -Ео, определенный из оптических экспериментов, при двух различ-
различных смещениях на подложке [ 4]. Эти результаты согласуются с тео-
теоретическими расчетами. Вопрос о том, какие подзоны будут заполняться
при очень высокой поверхностной концентрации: вышележащая подзона Е1 или новая
серия подзон ?'0(принадлежащих долинам с меньшей эффективной массой, соответ-
соответствующей движению в перпендикулярном к поверхности направлении), еще не имеет
однозначного решения [ 45, 46]. Во всяком случае, условие электрического квантово-
э"
50
20
Ю
N, Юйсм-2
Р и с. 4. Зависимость резонансов, отвечающих межлодзонным переходам (Ej _ Ео),
от концентрации носителей а инверсионном слое при двух различных сме-
смещениях на подложке. Штриховая линия соответствует расстоянию от нижней
подзоны Ер до уровня Ферми EF.
го предела выполняется при концентрации в инверсионном слое, меньшей
чем 6 • 10и см~2, или при отрицательных смещениях на подложке
(^подл < —2 В). Это означает,, что собственные значения энергии можно
записать через двумерный волновой вектор (к к) и эффективные массы
тх и ту следующим образом:
Плотность состояний такого двумерного электронного газа на единицу
площади равна [ 36]
D(E) =
(8)
Если учесть спиновое и долинное вырождение, то в выражении для плот-
плотности состояний в инверсионном слое на поверхности A00) Si появится
дополнительный множитель 4.
Формулы G) и (8) применимы не только к МОП-структурам, но и к дву-
двумерному электронному газу на границе между двумя полупроводниками
(например, на границе Ga As - Al^Gaj _xAs [ 47]), показанной на рис 5.
В отличие от МОП-структур концентрация носителей в таком электронном
газе определяется не напряжением на затворе, а уровнем легирования слоя
3-416
34
К. Кпитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
35
GaAs
Р и с. 5. Схематическая зонная диаграмма гетероструктуры GaAs -AlxGa 1 _xAs .
В GaAs р-типа концентрация легирующей примеси меньше, чем в
AlxGa j _xAs п-типа. Пунктирная пиния — уровень Ферми EF; зачерненная
область содержит двумерный электронный газ.
Al^Gaj _xAs. За исключением этого обстоятельства, все последующие вы-
выводы справедливы для любых двумерных электронных систем, а не только
для инверсионного слоя на поверхности A00) кремниевой МОП-структуры.
Цуив работе [73] показал, что в гетероструктурах GaAs -Al^Gaj _xAs
может наблюдаться и квантованное холлэвское сопротивление.
3.2. Квантовые явления переноса в двумерном электронном газе
в сильных магнитных полях
3.2.1. Плотность состояний
Сильное магнитное поле В с нормальной поверхности компонентой Вг
заставляет электроны инверсионного слоя двигаться параллельно поверхнос-
поверхности по циклотронным орбитам.
Вследствие орбитального квантования уровни энергии двумерного элект-
электронного газа в сильном магнитном поле [ для инверсионного слоя на поверх-
поверхности A00) Si ] можно схематически записать в виде
1/2)й
сос+
vE
v,
(9)
где s = + 1./2 (спиновое квантовое число), величина g представляет собой
g-фактор Ланде [ 64], v = ±1/2 (долинное квантовое число), Ev - долинное
расщепление [65, 66], Па>с = ЩеВг/у/тхту)— расстояние между уровнями
Ландау с квантовыми числами п и п + 1. Энергия Ландау 7*сос зависит от нор-
нормальной к поверхности компоненты магнитного поля Bz, в то время как спино-
спиновое расщепление зависит от полного магнитного поля В. Это позволяет не-
независимо изменять эти энергии, меняя ориентацию поля относительно
нормали к поверхности.
Волновую функцию двумерного электронного газа в сильном магнитном
поле можно записать в представлении, в котором роль квантового числа
играет одна из координат центра циклотронной орбиты [ 48]. Вырождение
каждого уровня Еп^ s ^ v определяется полным числом возможных коорди-
координат центра. Поскольку на площади 2тг/02 (/ 0 = \Д/<гВ - радиус основной
орбиты Ландау) может находиться лишь один центр [ 49], кратность вырож-
вырождения (на единицу площади) имеет вид
No = eB/h.
A0)
Эту кратность для каждого уровня Еп> s> v можно также определить как
число состояний (при В = 0) в интервале энергий йсос, поскольку условие
сохранения полного числа состояний приводит к "конденсации" состояний
из этого интервала на один уровень Ландау:
No = D(E)ftcoc = eB/h. ¦
Эта кратность вырождения (число состояний на единицу площади для каждо-
каждого уровня энергии) играет важную роль при анализе квантованного холлов-
ского сопротивления, поскольку поверхностная концентрация носителей
квантуется при полностью заполненных уровнях Ландау, что приводит к
холловскому сопротивлению, описываемому формулой C).
3.2.2. Магнытопроводимостъ а
Перестройка плотности состояний в сильном магнитном поле приводит
к существенному изменению проводимости. Расчеты уширения уровней и
поперечной проводимости ахх двумерного электронного газа в сильных маг-
магнитных полях [ 32, 48] показали, что плотность состояний на каждом уров-
уровне Ландау Еп> s> v не является б-функцией, а имеет в рамках самосогласо-
самосогласованного борновского приближения эллиптическую форму, причем отдельные
уровни разделены энергетическими зазорами. В приближениях высшего
порядка на краях уровней появляются дополнительные хвосты плотности
состояний [ 50]. В случае короткодействующих рассеивателей проводимость
ахх при низких температурах определяется в основном квадратом плотнос-
плотности состояний на уровне Ферми ? F и имеет максимальные значения (при
половинном заполнении одного из уровней) ст"^кс = (е2/тг2й)(п + 1/2). Конеч-
Конечность радиуса действия рассеивателей уменьшает ахмакс [ 48].
36
К. Клитцинг
Характерные особенности проводимости нетрудно понять с помощью
простой картины диффузии центра циклотронной орбиты, если учесть, что
проводимость пропорциональна произведению коэффициента диффузии и
плотности состояний на уровне Ферми. В отсутствие рассеяния электроны
не могут диффундировать вдоль электрического поля (они дрейфуют перпен-
перпендикулярно электрическому и магнитному полям). Поэтому наблюдаемое в
сильных магнитных полях обращение vxx в нуль соответствует исчезающе
малой вероятности рассеяния.
На рис. 6 показана типичная зависимость проводимости ахх (измерен-
(измеренной в структуре с кольцевой геометрией) от напряжения на затворе при двух
различных значениях магнитного поля В„ Причиной осцилляции является
изменение плотности состояний на уровне Ферми. Долинное расщепление
заметно лишь для уровней Ландау сГп = 0, 1, а спиновое - вплоть до
уровней с п = 3. Период по напряжению на затворе сохраняется постоян-
постоянным с точностью до 1% и в пределах экспериментальной ошибки, равной
0,5%, линейно растет с увеличением магнитного поля.
Этот результат согласуется с выражениями D) и A0) и означает, что
изменения концентрации в инверсионном слое пропорциональны изменени-
изменениям напряжения на затворе, а вырождение каждого уровня пропорциональ-
пропорционально магнитному полю. При значениях V соответствующих падению &хх до
нуля, энергетический уровень Еп s v является полностью заполненным..
Это означает, что при точно таких же напряжениях на затворе концентра-
концентрация носителей в инверсионном слое равна целому кратному No — кратнос-
35
Р и с. 6. Зависимость проводимости ахх от напряжения на затворе V при темпера-
температуре 1,5 К и различных налряженностях магнитного поля В. Штрихпунктир-
ная кривая соответствует В = о, сплошная кривая — В = 10 Тл, штриховая
кривая — В = 18 Тл.
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
ти вырождения уровня Ландау:
N = i^l— = iN0 = ieB/h (i =1, 2, 3, . . .).
37
(И)
Следует ожидать, что при таких Vg холловское сопротивление RH = h/e2i
(? = 1,2,3,.. .). Чтобы измерить это квантованное сопротивление с вы-
высокой точностью, требуется точное определение значений V , соответ-
соответствующих полному заполнению уровней Ландау. Подобное определение V с пог-
погрешностью, меньшей чем Ю-6, по-видимому, невозможно из-за нестабильности
как напряжения на затворе, так и порогового напряжения. Помимо
этого, коивая ахх вблизи сг?*хин резко асимметрична (см. рис. 7,
а также [58]) и положение минимума определяется плохо. Наконец, в очень
сильных магнитных полях (В = 18 Тл на рис. 6) величина ахх становится
необнаружимо малой (<*кх< 10~9 Ом) в некоторой области AV обыч-
обычно трактуемой как область локализации. Поэтому положение минимума
величины ахх на шкале Vg не может быть определено. Детальные исследо-
исследования области локализации показали, что для уровней Ландау сп> 1 ло-
локализованными являются примерно Bп + 1) -1 от полного числа электронов
на уровне [ 52]. Наблюдаемую "локализацию" электронов можно объяснять
в рамках различных теорий (локализация за счет дефектов решетки [ 53 — 55]
или за счет электрон-электронных взаимодействий [ 56, 57]).
m
8,0
8,2
8,6
Р и с. 7. Зависимость axx(Vg) при В = 7,4 Тл вблизи напряжений на затворе, соот-
соответствующих полному заполнению уровня Ландау п = 1, и при различных
температурах Т.
38
К. Клитцинг
До сих пор еще не ясно, при каком напряжении на затворе V внутри об-
области локализации заполнены все состояния нижележащих уровней Ландау.
Результаты, показанные на рис 7 (Т = 0,4 К), свидетельствуют в пользу
того, что в области локализации начинают заполняться состояния верхнего
уровня Ландау (в согласии с расчетами для двумерной неупорядоченной
системы электронов в сильных магнитных полях [ 55]), но измерения дру-
других авторов [ 59] и на других образцах (рис. 12) не подтверждают этого вы-
вывода.
Создается впечатление,, что неопределенность в значениях V ПрИ к0_
торых выполняются условия A1) и D), не позволяет точно установить ве-
величину N = ieB/h и, следовательно, точно измерить квантованное холловс-
холловское сопротивление. К счастью, измерения эффекта Холла показывают, что
в той области напряжений на затворе, для которой наблюдается локализа-
локализация, холловское сопротивление остается в точности постоянным и имеет ве-
величину, соответствующую полному заполнению целого числа энергетических
уровней [ 29].
3.2.3. Холловская проводимость axv
Экспериментальные измерения с использованием приборов с кольцевой
геометрией не позволяют определить холловскую проводимость аху из-за
того, что невозможно измерить азимутальную компоненту тока/^ = охуЕ
(Е - поле между стоком и истоком). Однако в длинных образцах можно из-
измерить как ток вдоль оси прибора (между стоком и истоком), так и перпен-
перпендикулярное ему холловское электрическое поле. Если ток имеет лишь од-
одну компоненту (/ = jx), то падение напряжения в направлении тока пропор-
пропорционально компоненте тензора сопротивления рхх, а холловское поле про-
пропорционально р [ 41]. Следует заметить, что в двумерных системах ве-
величина р непосредственно определяется из отношения двух измеряемых
величин, а именно холловского напряжения ?/н и тока между стоком и ис-
истоком Iх, и (с точностью до малых поправок) не зависит от размеров об-
образца. Поэтому экспериментально определенны з величины /?н = Un/Ix (хол-
(холловское сопротивление) и Rx (сопротивление между потенциальными зон-
зондами) тождественны р и рхх, если пренебрегать поправками, связанными
с конечностью длины образца (см. рис. 13-15).
¦Соответствующие компоненты тензора проводимости ихх и
ляются по следующим формулам:
:= Рх
иху = -(
где
Рхх =
'<р2*
'у г
+ Ply).
Рху = -Рух-
вычио
A2)
A3)
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры 39
На рис. 8 показаны типичные зависимости Rx « рхх и Ян = р от на-
напряжения на затворе при постоянном магнитном поле. Осцилляции зависи-
зависимости RX(V ) в основном обусловлены осцилляциями проводимости gxx(V ),
поскольку в сильных магнитных полях, когда рху > рхх, соотношение A2)
сводится к ахх = р^/р^у. При этом нули функции ахх соответствуют нулям рхх.
Представленные на рис. 8 результаты измерений холловского сопро-
сопротивления показывают, что зависимость Rn(Vg) носит ступенчатый характер
(квантованное холловское сопротивление). В интервалах напряжения на зат-
затворе AV , соответствующих Rx < 1 Ом, даже при изменениях напряжения
AVg/Vg = 3% величина RH с высокой точностью оказывается постоянной
(A^j/KH < 10 i). Измерения, выполненные в различных лабораториях на
большом количестве различны к структур разной геометрии и с различны-
различными свойствами границы Si —SiO2) показывают, что в пределах ошибки, мень-
меньшей чем 10~5, значения Ян на плато не зависят от параметров образца и
условий эксперимента (величин тока и магнитного поля, смещения на под-
подложке, температуры). Эти экспериментальные результаты дают основание
—h/2ez
О
Р и с. 8. Зависимость холловского сопротивления RH( = р ) и сопротивления
Rx( = рхх) от напряжения на затворе. Измерения проводились при В = 18,9 Тл
и Т = 1,5 К на длинном образце с отношением длины к ширине L/W = 8
и расстоянием между потенциальными зочдами А = L/3.
40
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
41
предполагать, что квантованное холловское сопротивление зависит только
от фундаментальной константы h/e2 (как ожидалось для идеального двумер-
двумерного электронного газа), поскольку среди известных поправок отсутствуют
такие, которые не зависели бы от величин, варьируемых в наших экспери-
экспериментах. Однако ясно, что при повышении точности могут возникнуть поправ-
поправки в формуле RH = h/e2i .
Например, конечность времени рассеяния r(CJxx ^ 0) оказывает влияние
на холловскую проводимость ах [ 60, 61] и приводит к поправочным членам,
которые обращаются в нуль лишь при т -»°° (сг^.^. = рхх = 0). Для точного ана-
анализа р эти поправки должны быть известны, поскольку в наших экспери-
экспериментах а хх (или рхх) никогда в точности не равно нулю. Анализируя данные
по эффекту Холла, мы обсудим вначале эту проблему, затем природу плато
на зависимостяхRH(F ) (при значениях V при которых рхх ~ 0) и, нако-
наконец, рассмотрим влияние геометрии образца на экспериментальные резуль-
результаты.
3.2.3.1. Поправка к холловской проводимости обусловленная рассеянием
Влияние конечности времени рассеяния на холловскую проводимость
рассчитывалось в рамках самосогласованного борновского приближения.
В соответствии с классическим выражением а = -Ne/P + ахх/оэ т
(т - время релаксации) результаты можно записать в виде [ 62]
°хУ =-Ne/B+Avxyt (И)
где N — полное число состояний под уровнем Ферми на единицу площади.
Поправка в оху к основному члену -Ne/B происходит из-за рассеяния
электронов, если при этом не учитывать локализацию носителей. В преде-
пределе короткодействующего потенциала рассеивателей поправку Дстх при ну-
нулевой температуре можно записать в виде [48, 62]
д макс = (Г/ЙЫсH-
макс
XX
(ГП
Г
/zoo
¦n2h
.(.¦1I-
~Е
п, s,v
3/2
A5)
где ширина уровня Ландау Г (в миллиэлектронвольтах) связана с подвиж-
подвижностью электронов в нулевом магнитном поле \х соотношением
Г =
A6)
где В измеряется вТл, ам в м2/(В . с). Максимальное значение поправ-
поправки д^макс пропорционально ах^акс и может быть записано в виде
причем в сильных магнитных полях Г/йоос < 1.
Экспериментально наблюдавшиеся значения Дстмакс пь крайней мере в два раза
превосходят значения, полученные в теоретических расчетах в рамках самосогласо-
самосогласованного борновского приближения. На рис. 9 приведены соответствующие результаты
для двух различных смещений на подложке Рподп [ 61].
Аналогичные данные были получены Кавадзи и др. [ 63]. Из этих результатов
также следует, что отношение Да^акс jQ макс близко к единице. В рамках
самосогласованного борновского приближения это отношение убывает при
уменьшении проводимости ст, поскольку Да,.y/G x x пропорционально плот-
плотности состояний на уровне Ферми. Следовательно, выражение Дрх = рмин
(или, эквивалентно, &<*ху = охх) при напряжениях на затворе, соответствую-
соответствующих минимуму рхх, представляет верхнюю границу для поправочного члена.
В наших прецизионных измерениях квантованного холловского сопротивле-
ния рТх" < 0-02 Ом.
Кроме того, величину р ^хич (а следовательно, и поправку &рху) можно
уменьшить, увеличивая магнитное поле или уменьшая температуру, что прак-
практически приводит к исчезающе малой поправке &Рху/рху- Это позволяет
считать, что связанная с рассеянием поправка Дрху несущественна, до тех
пор пока измеряемое значение квантованного холловского сопротивления
не зависит от магнитного поля и температуры.
ю
Р и с. 9. Верхние две кривые — результаты измерений (До^акс)/(стм^н ) в канале
га-типа на поверхности A00) для уровней Ландау с различными квантовыми
числами п; Т = 1,6 К; В = 8,54 Тп. Нижние две кривые — результат расче-
расчета в рамках самосогласованного борновского приближения.
42
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
43
3.2.3.2. Холлоеская проводимость в области локализации '
Наиболее впечатляющий результат наших измерений холловского сопро-;
тивления, представленных на рис. 8, состоит в наличии плато на зависимое- ¦
тях RH(V ). Это кажется противоречащим представлению о падении холловс-
холловского сопротивления с ростом концентрации носителей, а следовательно, и
с ростом напряжения на затворе [см. выражение D)]. Сейчас известны сле-
следующие три механизма, способных объяснить независимость холловского
сопротивления от напряжения на затворе:
1. Вопреки выражению D) поверхностная концентрация носителей -
N = iNQ = ieB/h [ выражение A1)] остается постоянной в интервале напря-
напряжений на затворе, в котором ахх = 0. Изменение напряжения на затворе при-
приводит в первую очередь к росту изгиба зон <р (связанному с небольшим из-
изменением толщины обедненного слоя), а не к росту QMHB [ см, выражение
F)]. Экспериментально наблюдавшиеся резкие скачки емкости [ 67, 68] и со-
соответствующие расчеты [ 69] показывают наличие нелинейной связи между
напряжением на затворе и концентрацией в инверсионном слое в сильных
магнитных полях. Однако количественно этот эффект слишком мал, чтобы
объяснить наблюдаемые плато на р , „
г ху
2. Плато на рху могут быть связаны с заполнением перезаряжаемых
поверхностных состояний, лежащих в зазорах между уровнями Ландау и не
дающих вклада в холловское сопротивление. Результирующая концентрация
поверхностных состояний должна быть равна примерно 2 • 1013 см~2. эВ-1, что
представляет слишком большую величину. Концентрацию таких состояний можно
определить как разность между концентрациями, определенными по емкости
окисла и по эффекту Холла, В высококачественных образцах подобная раз-
разность не наблюдается [70].
3. Наиболее вероятной причиной наличия плато на кривых р являются
локализованные состояния в хвостах уровней Ландау. Вычисления показыва-
показывают, что при уровне Ферми, лежащем в зазоре между уровнями Ландау, хол-
ловская проводимость несмотря на наличие неподвижных носителей опреде-
определяется полным числом электронов под уровнем Ферми [ 34, 35]. Это означа-
означает, что делокализованные состояния создают дополнительный холловский
ток, в точности компенсирующий отсутствие тока в локализованных состоя-
состояниях. Кроме того, если уровень Ферми располагается в области локализо-
локализованных состояний, вклад Аа°у от локализованного состояния |о > равен
рис. 10. Схематический ход зависимостей плотности состояний (D), статической
проводимости (<? ) и холловской проводимости (ст^у) от концентрации
электронов N [ЗбП Заштрихованныз области на плотности состояний отве-
отвечают локализованному режиму.
компенсирует изменение в члене — Ne/B, Поэтому можно ожидать, что не-
независимо от числа заполненных состояний величина а ху принимает постоян-
постоянное значение
A9)
где /(?) — функция распределения Ферми. Следовательно, Да а
ху
в точности
при условии, что EF лежит в области локализованных состояний (в зазоре)
между (г — 1)-й и »-й подзонами Ландау. Этот вывод остается справед-
справедливым и при учете электрон-электронного взаимодействия [ 35]. Данные
теоретические результаты иллюстрируются на рис. 10.
Аоки и Андо [ 35] указали на то, что теория не учитывает перемешива-
перемешивания состояний, принадлежащих различным уровням Ландау. Подобные поправ-
поправки должны зависеть от отношения Г /Ьсзс, которое в эксперименте можно ме-
менять, изменяя величину магнитного поля. Поскольку в пределах точности на-
наших данных значения квантованного холловского сопротивления не зависели
от магнитного поля, можно заключить, что рассматриваемые поправки дос-
достаточно малы.
На рис. 11 представлены зависимости RH = Рху и Rx = pxx, полученные
при различных магнитных полях и напряжениях на затворе, соответствую-
соответствующих заполнению уровня Ландау с я = О (который в силу спинового и долин-
долинного вырождения расщепляется на самом деле на четыре уровня). С ростом
44
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
45
W ~
66
Рис. 11. Результаты измерений зависимостей холловского сопротивления Кн и
сопротивления Rx от напряжения на затворе V при различных напряжен-
ностях магнитного поля В. Использовалась структура с отношением длины
к ширине L/W = 1 и расстоянием между потенциальными зондами Д = 0,6^-.
Показаны участки кривых вблизи напряжений на затворе, соответствую-
соответствующих полному заполнению уровня Ландау п = О.
магнитного поля ширина плато резко возрастает. Для повышения точности
измерений эту ширину, следует максимально увеличивать, поскольку при
этом неточности в напряжении на затворе (за счет падения напряжения на
образце или дрейфа порогового напряжения в ходе эксперимента) не скажут-
скажутся на экспериментальных данных. Кроме того, поправки за счет конечности
скорости рассеяния (рхх 4 0) убывают с ростом ширины плато. Поскольку
энергия активации локализованных состояний составляет лишь несколько
миллиэлектронвольт [ 41], температура должна быть предельно низкой (в наших экспе-
экспериментах, как правило, 1,4 К), а плотность тока не должна превосходить
0,05 А/м. Из рис. 12 следует, что Дн и Rx существенно меняются с темпе-
температурой.
Для обеспечения высокой точности измерений необходимо иметь боль-
большое холловское напряжение, что требует максимально возможного тока че-
через образец. Однако при плотности тока, большей чем 0,05 А/м, электро-
электроны разогреваются более чем на 0,2 К и поэтому ширина образца W должна
быть достаточно большой. Но при уменьшении отношения длины к ширине
L/W все более существенным становится закорачивание холловского напря-
напряжения контактами стока и истока, что уменьшает измеряемое холловское
сопротивление. Эти поправки должны быть значительными в образцах с
L/W < 1.
Р и с. 12. Зависимость измеряемых значений холповского сопротивления RH (Vg) и
сопротивления RX(V ) при различных температурах Г и В = 13 Тл. Сплош-
Сплошные кривые - Т = 1,5 К, штриховые кривые - Т = 3,5 К.
33.3.3. Поправки, связанные с геометрией образца
В общем случае измеряемое холловское сопротивление Щ^сп всегда
меньше своего теоретического значения для бесконечно длинного образца
н =
Коэффициент G, который зависит от холловского угла в (t g в = а ^ /а хх) и
отношения L/W, был вычислен [71] с помощью конформного преобразования,
предложенного Липпманом и Куртом [ 72]1.;)На рис. 13 показана поправка
1 - G для различных значений отношения L/W, В этих вычислениях положе-
положение холловских электродов I считалось совпадающим с серединой расстоя-
расстояния между стоком и истоком A/L = 1/2). При асимметричных холловских
электродах A/L < 1/2) поправка 1 - G увеличивается. На рис. 14 представ-
представлены результаты для образца с отношением L/W = 5 и значениями 1/L в
пределах 1/4 - 1/13.
Для резко асимметричных холловских электродов (l/L « \Jl) поправ-
поправку 1 - G' можно определить из рис. 13, считая отношение размеров образ-
15 Ранее аналогичный результат был получен в работе [76*]. — Прим. ред.
46
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
47
Холловские
,злектроды
Сток
ца равным 21 /№•:
Рис. 13. Расчетные значения поправочного члена О, связанного с конечностью
отношения длины к ширине структуры L/w, при измерениях холловского
сопротивления. (Холловские электроды считаются расположенными точно
посередине между истоком и стоком.)
10
/о"
ю3
*
Холловские
электроды
иг' ю° га' ю2 ю3
/О
Р и с. 14. Расчетные значения поправочного члена G в холловском сопротивлении
для структуры с L/W- 5 и различными положениями I холловских элект-
электродов.
W - L I 2 L LW L 2
Расчеты показывают, что для получения поправок, меньших чем 10 » при
типичных значениях <гху,/ахх = 106 необходимо иметь отношение L/W > 2.
Однако при напряжениях на затворе, соответствующих областям вне плато
на р , поправка 1 - G становится относительно велика, В частности, на
рис. 12 минимум величины RH при напряжении Vg « 62 В (Т = 1,5 К) связан
с конечностью отношения L/W, Для бесконечно длинного образца минимум
исчезает и холловское сопротивление должно следовать кривой Ян(°°) = рху>
показанной на рис. 15.
Следует заметить, что поправка за счет эффекта закорачивания и поп-
поправка Да в формуле A4) имеют разные знаки и потому частично компен-
компенсируют друг друга. Если известны поправки к а , мы можем считать, что
экспериментальные значения рху (измеренные при напряжениях на затворе,
соответствующих рхх = рм?н) согласуются с формулой рху = h/e2i с тач-
c соот-
соотРис. 15. Сопоставление измеряемых величин RH = Vy/lx цйх = E/3)vx/lx c
ветствующими компонентами тензора сопротивления Рху. и рхх; В = 13 Тл;
Г = 1,5 К. Структура имела отношение длины к ширине L/W = 1, а поло-
положение холловских электродов (потенциальных зондов) соответствовало
1/L = 0,2 (см. рис. 14).
48
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
49
ностью до 10~7 при а > 105 <*хх и L/W > 3. Но для исключения неучтен- »
ных системетических ошибок необходимо иметь значительно больший объел|
прецизионных измерений квантованного холловского сопротивления для раз4
ных структур в различных магнитных полях. jj
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
Измерения холловского сопротивления Ян двумерного электронного I
газа, вьшолненные на кремниевых МОП-структурах, показывают, что при |
концентрации носителей, соответствующей полному заполнению уровней а
Ландау, /?н не зависит от внешних параметров (с точностью, лучшей чем |
10-*). Мы считаем, что Кн описывается выражением Ян = h/еЧ (i - число J
полностью заполненных энергетических уровней), справедливым для идеаль4
ного двумерного электронного газа, поскольку все известные поправки (за г>
счет конечной вероятности рассеяния, взаимодействия между уровнями Лан-|
дау, закорачивания холловского напряжения на контактах) должны зависеть'
от магнитного поля, температуры и геометрии образца, чего на опыте не 1
наблюдалось. Экспериментально определенное значение h/e 2 позволяет вы- :
числить постоянную тонкой структуры а с ошибкой, равной, согласно оцен- i;
кам,1,3 • Ю-6. При такой точности следует ожидать, что результаты, полу- ''
ченные с помощью рассмотренного здесь нового метода определения а, бу-
будут учтены при следующем уточнении фундаментальных констант. Это долж-
должно привести к установлению новой, более точной системы фундаментальных
констант.
Благодарности
Мы провели эксперименты с большим числом МОП-структур, полученных
из различных источников. Я хотел бы поблагодарить Г. Дорду (Исследова-
(Исследовательская лаборатория фирмы'Сименс, Мюнхен, ФРГ), М. Пеппера (Кавендиш-
ская лаборатория, Кембридж, и "Плесси Компани", Англия), Д. Цуи ("Белл
Лэборатриз", Мюррей-Хилл, США) и Р. Вагнера (Научно-исследовательская
лаборатория ВМСчВашингтон, США) за помощь в обеспечении меня образцами.
Я не мог бы выполнить прецизионных измерений без содействия сотрудни-
сотрудников Брауншвейгского федерального физико-технического института, и мне
приятно выразить признательность Е. Брауну, В. Козе и Ф. Мельхерту за их
помощь. Я многим обязан Д. Цуи, Р. Пранге и Т. Андо, которые сообщили
мне полученные ими результаты до их публикации, и благодарен Б. Винте-
Винтеру и Дж. Лассу за многие полезные обсуждения.
Литература
1. Taylor Ва№, Cohen E0R0, Atomic Masses and Fundamental Constants, v.5
(eds. J.H. Sanders, A.H. Wapstra), Plenum Press, New York, 1976, p. 663.
2. Klitzing К„, ; «.„ Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45. 494 A980).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
% Sommerfeld A., Annalen der Physik (Leipzig), 51, 1 A916).
4. Cohen E.R., Taylor B.N., J. Phys. Chem. Ref. Data, 2. 663 A973).
5. Cosens B.L., Vorburger ТДЛ,, Phys. Rev. A, 2, 16 A970).
6. Shyn T.W., Rebane Т., Robiscoe R.T., Williams W.L., Phys. Rev., A3,
116 A971).
7. Kronou A., Hughes V.W., Johnson C.E., Lewis S.A., Pichanich FM«J..j
Phys. Rev. Lett., 26, 1613 A971).
8. Essen Lo, Donaldson R»W«, Bangham M.J., Hope E.G., Nature, 229, 1106
A971).
9. Kaufmann S.L., Lamb У/.Е., Lea KM., Leventhal M. Phye. Rev. A, 4. 2128
A971).
10. Granger S., Ford G.W., Phys. Rev. Lett., 28. 1479 A972).
11. Thompson P.A., Crane P., Crane Т., Amato JJ., Hughes V.W., Putlitz C,
zu, Rothberg J.E., Phys. Rev. A, 8, 86 A973).
12. Favart D., Mdntyre P.M., Stowell D.Y,, Telegdi V.L., De Voe R,, Phys. Rev.
Lett., 27, 1336 A971).
13. Baird J.C., Brandenberger J'., Gondaira K.h, Metcalf H., Phys. Rev. A, 5,
564 A972).
14. Taylor B.N., Parker W.H., Langenberg D.N., Rev. Mod. Phys., 41. 375
A969).
15. Cvitanovic P., Kinoshita Т., Phys. Rev. D, 10, 4007 A974).
16. Cohen E.R., Atomic Masses and Fundamental Constants, v. 6 (eds. J.A. No-
len, W. Benenson), Plenum Press, New York, 1980, p. 525.
17. van Dyck R.S., Schwinberg P.Ba, Dehmelt H.G., Bull. Am. Phys. Soc, 24.
758 A979), Abstract D5.
18. Kinoshita Т., New Frontiers in High Energy Physics in Natural Sciences,
v. 14 (eds. A. Perlmutter, L.F. Scott), Plenum Press, New York, 1978,
p. 127.
19. Яъола Г.К., Зингерман В.И., Сепетый В.Н. — Измерит, техн., 1962, в. 5,
с. 24; Измерит, техн., 1966, вып. 7, с. 44.
20. Нага К., Nakamura Я„, Sakai Т„, Koizumi N.. report to Comite Consultatif
d'Electricite, Comite International des Poids et Mesures, 12th Session, Oc-
October 1968.
21. Vigoureux P., Proc. Roy. Soc. A (London), 270. 72 A962).
4-416
50
К. Клитцинг
3. Физика полупроводников и пост, тонкой структуры
51
22. Маляр ев скал Т.Н., Студенцов Н.В./Шифрин В.Я. - Труды метрологи-
метрологических институтов, 1971, вып. 120 A80), с. 14.
23. Студенцов Н. В., 'Маляр ев екая Т.Н., Шифрин В.Я. - Измерит, техн.,
1968, вып. 11, с. 29.
24. Craig О„, Hoffman J°h, Law C.A., Earner WJC, J. Res. Nat. Bur. Stand.
(U.S.), 64A (Phys. and Chem.), № 5, 381 A960).
25. Marinenko G., Tay lor J.K., AnalyU Chem., 40. 1645 A968).
26. Olsen PeT.,Driscoll R.L., Atomic Masses and Fundamental Constants,
v. 4 (eds. J.H. Sanders, A.H. Wapstra), Plenum Publishing Corp., New York,
1972, p. 471.
27. Kibble B.P., Hunt G.J., Metrologia, 15, 5 A978).
28. Williams R.E., Olsen P.TO, Phys. Rev. Lett., 42, 1575 A979).
29. Bratm E., Staben ?„, Klitzing К„, v., PTB Mitteilungen, 90„ 350 A980).
30. Licciardello D.C.,Thouless D.J», Phys. Rev. Lett, 35, 1474 A975).
31. Pepper M., Proc. Roy. Soc, A, 353, 225 A977).
32. Ando Т.,Matsumoto Y.a Uemura У», Kobayashi M,, Komatsubara K,F.,
J. Phys. Soc. Japan, 32, 859 A972).
33. Thompson AM., LampardD.G., Nature, 177, 888 A956).
34. Prange R.E., Phys. Rev., B23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 16).]
35. Aoki H., Ando Т., Solid State Сотой., 38, 1079 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 17).]
36. Stem F», Crit. Rev. Solid State Sci., 4, 499 A974). [Имеется перевод:
Стерн Ф. Квантовые свойства поверхностных слоев пространственного
заряда. - В кн;: Новое в исследовании поверхности твердого тела. —
М.>: Мир, 1977, ВЫП. 2, С. 280.] Landwehr G., Feskorperprobleme XV (ed.
Landwehr G., Feskorperprobleme XV (ed. H.J. Queisser), Pergamon
Vieweg, 1975, p. 49.
H.J. Queisser), Pergamon Vieweg, 1975, p. 49.
37. Grimes CC, Surf. Sci., 73, 379 A978).
38. Dingle Ко, Advances in Solid State Physics, v. 15 (ed. J.H. Queisser),
Vieweg, 1975, p. 21.
39. Esaki L,, Chang LL, Thin Solid Films, 36. 285 A976).
40. Fowler А„В„ Fang F.F«, Howard W.E., Stiles P.]., J. Phys. Soc. Japan,
21. 331 A966).
41. Englert Tfu, Klitzing K., v«. Surf. Sci., 73, 70 A978).
42. Sze SM», Physics of Semiconductor Devices, Wiley and Sons, New York,
1969. [ Имеется перевод: Зи СМ. Физика полупроводниковых приборов.-
М.: Энергия, 1973.]
43. Ohta К„, Japan. Appl. Phys., 10, 850 A971).
44. Ни фф, Pearse ]., Cham KM., Wheeler R.G., Surf. Sci., 73, 207 A978).
45. Tsui D.C,,Kaminsky G_, Phys. Rev. Lett., 35, 1468 A975).
46. Howard W.E., Fang F.F., Phys. Rev. B, 13, 2519 A976).
47. Dingle R., Stormer H.L*, Gossard A,C, Wiegmarm W>, Surf. Sci., 98, 90
A980).
48. Ando Т., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 36, 959 A974).
49. Kubo R.,Miyake S.J., Hashitsume N., Solid State Physics, v. 17 (eds. F.
Seitz, D. Tumbull), Academic Press, New York, 1965, p. 269.
50. Ando Т., J. Phys. Soc. Japan, 37, 622 A974).
51. Nicholas RJ«, Stradling R.A., Tidey R.J., Solid State Comm., 23, 241 A977).
52. Kawaji S.,Wakabayashi J,, Surf. Sci., 58, 238 A976).
53. Pepper M., Phill. Mag. В, 37„ 83 A978).
54. Aoki H., Kamimura H., Solid State Comm., 21, 45 A977).
55. Aoki H., J. Phys. C, 11, 3823 A978).
56. Fukuyama H., Solid State Comm., 19, 551 A976).
57. Tsukada M», J. Phys. Soc. Japan, 42, 391 A977).
58. Nicholas R..J,, Kress-Rogers ?„, Kuchar F., Pepper M., Portal ],С„, Strad-
Stradling R.Aa, Surf. Sci., 98, 283 A980).
59. Tsui D.C., Solid State Comm., 21. 675 A977).
60. Wakabayashi J., Kawaji 5,, Surf. Sci., 98. 299 A980).
61. Ebert G., дипломная работа (неопубликованная), Wurzburg, 1978.
62. Ando Т., Matsumoto Y., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 39, 279 A975).
63. Kawaji S,, Igarashi Т., Wakabayashi J., Progr. Theor. Phys., Suppl., 57,
176 A975).
64. Englert Th,, Klitzing K., a, Niclolas RJ., Landwehr G., Dorda Go, Pep-
Pepper M., Phys. Stat. Sol. (b), 99, 237 A980).
65. Kbhler H., Roos M., Phys. Stat. Sol. (b), 91 233 A979).
66. Nicholas RJ., Klitzing К., и,, Englert Th,, Solid State Comm., 34. 51 A980).
ST.Kaplit M,, Zemel J.N., Phys. Rev. Lett., 21, 212 A968).
68.Voshchenkov AM., Zemel J.N,, Phys. Rev. B, 9. 4410 A974).
69.0hta K., Japan. J. Appl. Phys., 10. 850 A971).
IQ.Eisele I., Dorda G.f Solid State Comm., 15, 1391 A974).
71. Obloh H., неопубликованная работа.
72. Lippmann H.J., Kuhrt F., Zs. Naturforsch., 13a, 462, 474 A958).
73. Tsui D.C., Gossard A.C., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). [Имеется пере-
перевод в настоящем сборнике (статья 2) J
74*Kinoshita Т., Lindquist W.B., Phys. Rev. Lett., 47, 1573 A981).
75*. Андо Т., Фаулер А.Б., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных сис-
систем/Пер, с англ. — М.: Мир, 1985.
76*. Isenberg L, Russel B.R., Greene R.F., Rev. Sci. Instr., 19v 685 A948).
4. Квантовый эффект Холла
при низких температурах
М. Пааланен *, Д. Цуи *, А .Госсард
Рху = h/ie
A)
•М.А. Paalanen, D.C. Tsui, А.С. Gossard, Bell Laboratories, Murray-Hill, New
J ersey 07974, USA.
© 1982 The American Physical Society
4. Квантовый эффект Холла при низких температурах
53
Перевод статьи: Paalanen М„А„, Tsui D.C, Gossard АХ„ — Physical
Review В, 1982, v. 25, № 8, p. 5566,
При низких температурах вплоть до 50 мК исследовался квантовый
эффект Холла в двумерном электронном газе гетероструктур Ga As —
А1Х Gai—х As° B пределе малых токов и низких температур наблюда-
наблюдались резкие ступеньки между плато квантованного холловского сопро-
сопротивления. При понижении температуры диагональная компонента сопро-
сопротивления рхх уменьшается как в максимумах, так и в минимумах ос-
осцилляции Шубникова — дв Гааза; обнаружено, что в магнитных полях,
превосходящих 40 кГс, эта величина является исчезающе малой.
Квантовый эффект Холла представляет собой уникальное свойство вы-
вырожденной двумерной электронной системы, находящейся в сильном магнит-
магнитном поле В, перпендикулярном плоскости системы. Он наблюдался при иссле-
исследовании кинетических коэффициентов в электронных инверсионных qлoяx
кремниевых МОП-транзисторов [ 1] (полевых транзисторов со структурой ме-
металл — окисел — полупроводник) и в гетеропереходах Ga As — Alx Ga.. As
[2] при температурах Т = 1,2 - 4,2 К. В последнем случае эффект проявля-
проявляется в виде серии плоских плато на кривых зависимости холловского сопро-
сопротивления р от магнитного поля В. Одновременно в магнитных полях, соот-
соответствующих этим холловским плато, диагональная компонента рхх , описы-
описывающая сопротивление вдоль направления тока, становится исчезающе малой.
Указанные области отвечают ситуации, когда все делокализованные состоя-
состояния в конечном числе уровней Ландау заполнены полностью и уровень Ферми
Е р "закреплен" в зазоре между делокализованными состояниями двух сосед-
соседних уровней Ландау. Квантованное холловское сопротивление дается выраже-
выражением
где h — постоянная Планка, е — заряд электрона, а квантовое число i есть
число полностью заполненных уровней Ландау. Несмотря на наличие элект-
электрон-электронных взаимодействий и случайного потенциала примесей, выра-
выражение A) является точным для образцов с различными концентрациями как
электронов, так и примесей [1,2].
В настоящей работе мы рассмотрим некоторые новые явления, которые
наблюдались при измерении квантового эффекта Холла в гетеропереходах
GaAs - А1х Ga,.,,. As в области температур ниже 1 К. Эти явления позволя-
позволяют нам получить более четкое представление о выражении A) и о квантовых
состояниях двумерного электронного газа. Для низших уровней Ландау при
В > 40 кГс величина рхх в максимумах осцилляции Шубникова — де Гааза
носит активационный характер и при температуре Т = 0 стремится к нулю.
Вместе с тем при Т = 50 мК переходы между квантованными значениями холлов-
холловского сопротивления с изменением В становятся очень резкими- Мы объясня-
объясняем это тем, что более 95% состояний на уровнях Ландау являются локализо-
локализованными. Отсюда следует, что одноэлектронные теории, в которых число ло-
локализованных состояний рассматривается как малый параметр теории возму*
щений, не могут дать убедительной интерпретации выражения A). Узкую по-
полосу делокадизованных состояний можно качественно рассматривать как уз-
узкий уровень протекания в классической теории двумерного протекания. Для
более высоких уровней Ландау (nL > 4) величина рхх в максимумах осцилля-
осцилляции Шубникова — де Гааза имеет температурную зависимость вида In Г, кото-
которую можно объяснить кулоновским взаимодействием в пределе большого маг-
магнитного поля В в соответствии с работой [ 3] .
Гетероструктуры GaAs - Alj.Ga,..,. As были описаны в работе [2]. Об-
Образцы изготовлялись в форме стандартных "холловских мостиков" с шестью
симметричными боковыми выводами для измерений сопротивлений рхх и р
/fea исследуемых образца имели подвижности ц = 8,6 • ДО4 и; 4,7 • 10* см2'В-1 .с,
и постоянные концентрации, равные соответственно /V = 4,0 и 3,2- 1011 см~2.
Образцы с помощью апьезоновой вакуумной смазки закреплялись на серебря-
серебряной пластине, которая находилась в прямом тепловом контакте со смеситель-
смесительной камерой рефрижератора, растворения, позволяющего достигать темпера-
температуры Ю мК при В = ЮО кГс. Использовались малые измерительные токи до
1O~1Q А и система синхронного детектирования на частоте 11 Гц. Эта техника
позволяла производить- измерения лишь при равновесных температурах не
ниже 50 мК.
На рис. 1 показаны зависимости величин рхх и рхуот: магнитного поля В для образ-
образца с большей подвижностью при температуре 50 мК. Цифры и стрелки над мак-
54
М. Пааланен, Д. Цуи, А. Госсард
4. Квантовый эффект Холла при низких температурах.
55
симумами величины рхх указывают квантовое число и спиновую поляризацию |
соответствующего уровня Ландау. Возрастание эффективного g-фактора элек-|
тронов за счет обменного взаимодействия [ 4] позволяло наблюдать спиновое f
расщепление уровней cnL = l и 2 (слабая структура при В = 32 кГс). Следует I
заметить, что холловское сопротивление р измерялось в омическом режиме |
при малых плотностях тока B,6 . 10~7 А/мК Однако величина рхх для уровней!
Ландау с п-^ = 1 и 2 проявляла неомические свойства при токе 2,6 • ДО А/м, |
который мы были вынуждены использовать с целью получения достаточно
больших измеряемых сигналов.
Самой примечательной особенностью наших результатов являются исклю-
исключительно широкие холловские плато на зависимости рх (В) и обращение в нуль
диагональной компоненты сопротивления рхх как в максимумах, так и в ми-
минимумах осцилляции Шубникова — де Гааза при В > 40 кГс. Переходы между
соседними холловскими плато происходят в очень узких областях магнитного
поля В, соответствующих приблизительному совпадению энергии Ферми ?F с
наполовину заполненным уровнем Ландау. Однако значения В, отвечающие се-
середине указанных ступенек, были несколько меньше, чем значения в макси-
максимумах величины рхх 1'. Мы детально изучали температурную зависимость ши-
ширины плато, соответствующего i = 4 (р = hj\ez ~ 6,5 кОм*, а также сту-
ступеньки при пъ = It. С точностью не хуже 1% квантованное значение р опре-
определялось выражением (Ь. Ширина плато при температуре 50 мК достигала 93%
максимальной возможной (определенной как расстояние между серединами
соседних ступенек), а при экстраполяции к нулевой температуре (Г -» 0) ширина
плато достигала 97% максимальной возможной. Переход, отвечающий nL = It»
при температуре 50 мК происходил в пределах ширины, соответствующей при-
примерно 3% ширины плато и при экстраполяции к нулевой температуре, возмож-
возможно, становился бесконечно резким.
При Г > 1,2 К величина рхх , как известно, равна нулю на участках холлов-
ских плато [5], в то время как ее максимумы в осцилляциях Шубникова —
1),
и Рху измеряются на несколько различающихся участках
' Сопротивления р
образца, так что несовпадение "значений В, отвечающих ступеньке холловского сопро-
сопротивления р и максимуму величины рхх , можно было бы, например, объяснить нали-
наличием постоянного градиента концентрации. Если максимумы величины рхх соответст-
соответствовали бы "полуквантованным" значениям холловской проводимости а , то на рис. 2
и 3 величину ахх при температуре 50 мК следовало бы умножить на 1,44; 1,30; 1,23;
1,19 и 1,14 соответственно для nL = 1f; 1|; 4; 5; 6 и 7. Эта небольшая мультиплика-
мультипликативная поправка должна плавно уменьшаться до единицы при Т- 10 К и не оказывать
влияния на выводы, сделанные на основе рис. 2 и 3.
Р и с. 1. Зависимости сопротивлений рхх и рху от магнитного поля В при темпера-
температуре 50 мК и частоте измерительного сигнала 11 Гц. Цифры и стрелки
над максимумами величины р означают квантовое число Ландау и спино-
спиновую поляризацию уровней. Плотность тока через образец составляла
2,6 • Ю-7 А/м при измерении рху и 2,6 • Ю А/м при измерении рхх.
де Гааза увеличиваются с понижением температуры. Мы установили, что при даль-
дальнейшем понижении температуры величина рхх уменьшается даже в максиму-
максимумах осцилляции Шубникова - де Гааза. Это особенно хорошо видно на примере
максимума nL= It, который при температуре 50 мК уменьшается настолько,
что разрешение используемой нами экспериментальной аппаратуры делает его
неразличимым. Ранее Кавадзи и Вакабаяси [6] сообщили об исчезновении в
кремниевых МОП-транзисторах наинизшего из системы максимумов, связан-
связанных со спиновым и долинным расщеплением. Однако квантовые плато эти ав-
авторы не наблюдали.
На рис. 2 показана температурная зависимость диагональной компоненты
проводимости ахх при фиксированных значениях магнитного поля В, отвечаю-
отвечающих отдельным максимумам сопротивления рхх . При этом использовались из-
56
М. Пааланен, Д. Цуи, А. Госсард
4. Квантовый эффект Холла при низких температурах
57
10
Р и с. 2. Температурная зависимость вепичины ахх при наполовину заполненных
уровнях Ландау. 1 — В = 66,5 кГс, nL = 1f ; 2 — В = 49,8 кГс, nL = 1 1;
3 - В = 18,3 кГс, nL = 4; 4 - В = 15,0 кГс, nL = 5; 5- В = 12.7 кГс,
nL = 6; 6 — в = 11,1 кГс, nL = 7. Плотность тока через образец
2,6 • 10 А/м, частота измерительного сигнала 11 Гц.
меренные значения рхх и р , пересчитанные по формуле ахх = р хх/ {рхх +
+ рху) (см. подстрочное примечание на с. 54). Вообще говоря, для всех уров-
уровней Ландау значения ахх были меньше тех, которые предсказывают Андо и
Уемура [7] для случая короткодействующих рассеивателей. Для всех уровней,
кроме «l = 1^» значения ахх в максимумах увеличивались с понижением тем-
температуры в интервале от ~Ю до 1 К, как и следовало ожидать для случая,
когда температура превосходит температуру Дингла, характеризующую рас-
рассеяние. Небольшое возрастание проводимости ахх при X > Ю К пока остается
непонятным. Ниже температуры 50 мК имеет место насыщение величины
а , связанное, возможно, с разогревом электронов. В области температур
примерно 50 — 300 мК полученные для обоих образцов данные для квантовых
уровней nL > 4 свидетельствуют о логарифмической температурной зависимос-
зависимости: До^ [См] = @,9 ± 0,05) • Ю -5 In Г[К]. Аналогичный результат был полу-
получен в случае кремниевого МОП-транзистора при В = 0 в пределе слабой лока-
локализации [8]. Как было недавно показано [3], в очень сильных магнитных по-
полях этот результат можно объяснить кулоновским взаимодействием в двумер-
двумерной системе.
На рис. 3 демонстрируется более сильная зависимость максимумов вели-
величины ахх, отвечающих низшим уровням Ландау, от температуры. На этом ри-
рисунке кривые, представленные на рис. 2, перестроены в другом масштабе, а
именно в виде логарифмической зависимости величины ахх от 1/Г. Проводи-
W'U
0
25
Р и с. 3. Данные рис. 2, представленные для ахх в логарифмическом масштабе в
зависимости от обратной температуры. 1 — В =66,5 кГс, nL = 1 Т;
2 - В = 49,8 кГс, n L = 1 ; 3 - В 1 8,3 кГс, nL = 4; 4 - В =
= 11,1 кГс, nL = 7; 5 — В = 0 кГс. Плотность тока через образец
2,6 • 10 А/м, частота измерительного сигнала 11 Гц. Для уровня
"l -It при Т^ 0,3 К энергия активации составляет 0,3 К.
58
М. Пааланен, Д. Цуи, А. Госсард
4. Квантовый эффект Холла при низких температурах
59
мостьсгжж, соответствующая уровням п^ = Ци 1*,носит активационный харак-
характер. В случае образца с меньшей подвижностью такое.активационное поведе-
поведение еще более заметно для максимума nL = 0J, который наблюдался при В =
= 87,5 кГс и имел энергию активации около 2,2 К.
В некоторых сравнительно недавно опубликованных работах рассматри- .
ваются теоретические модели квантового эффекта Холла. Модель, предложен- |
ная Бараффом и Цуи [ 9], объясняет эффект, наблюдавшийся в гетероперехо-
гетеропереходах GaAs — XI х Ga, _x As при температуре 4,2 К. В этой модели донорные
примеси в А1ж Ga1_JC As играют роль электронного резервуара, обеспечиваю-
обеспечивающего непрерывность относительного движения ?F через энергетические за-
зазоры между уровнями Ландау. Однако данная модель не дает сильную темпе-
температурную зависимость величины ахх и может объяснить лишь около 30% наб- |
людаемой нами ширины плато. Другие одно электронные теории [ 10 — 14] опи- |
раются на представление о локализованных состояниях в хвостах уровней Лан- jj
дау. Модельные расчеты, выполненные Пранге [ 11], ясно показывают, что |
уменьшение холловского тока за счет локализации части состояний компенси- |
руется избыточным током, создаваемым остальными состояниями на уровне |
Ландау, оставшимися делокализованными. Следовательно, выражение A} спра- t
ведливо в любом случае, когда делокализованные состояния Целого числа уров-i
ней Ландау полностью заполнены и уровень Ферми ?F находится в области ло-
локализованных состояний. Наблюдавшаяся в наших экспериментах ширина плато
свидетельствует о том, что на уровнях Ландау n.L = It и U локализовано бо- ;
лее 95% состояний. При столь большой доле локализованных состояний сохра- ;:
нить справедливость выражения A) в рамках модели Пранге становится зат- :;
руднительно. Однако предложенный Лафлином [ 12] подход, использующий поня- г
тие калибровочной инвариантности, не зависит от числа локализованных состо- I
яний на уровне Ландау и, следовательно, должен оставаться справедливым да-
даже при бесконечно малой доле делокализованных состояний.
Для доказательства того, что квантованные холловские плато обусловлены
наличием локализованных состояний вблизи ?F , Цуи и Аллен [14] также ис-
использовали представления классической теории протекания в двумерных систе-
системах. Сравнительно недавно в работах [15, 16] было отмечено, что в
пределе больших В, когда магнитная длина / = {Ь.,/еВ^/г становится много ':
меньше размера флуктуации потенциала d, в двумерной системе уровень проте-
протекания, соответствующий половинному заполнению уровня Ландау, является ;
бесконечно узким1' - Наличие таких узких зон делокализованных состояний в -
11 Андо [17] показал также, что в случае дальнодействующих рассеивателей лока- f
лизованы все состояния, кроме тех, которые соответствуют центру уширенного уров- |
ня Ландау. i
центре уширенных уровней Ландау может объяснить широкие холловские плато
в рамках теории Лафлина. Сильная температурная зависимость величины
ст , которая хорошо видна на рис. 3 для нижних уровней, обусловлена тепловой
активацией на уровень протекания и прыжковым переносом через потенциаль-
потенциальные барьеры. Для более высоких уровней Ландау, наб.людаемых при меньших
значениях В, условие / « d может нарушаться, что приводит к заметному
расширению полосы уровней протекания и делает несущественной тепловую ак-
активацию при совпадении ?F с центром полосы уровней протекания. При этом
становится возможным наблюдение эффекта кулоновского взаимодействия на
уровнях Ландау двумерной системы, который приводит к логарифмической
поправке в величине ахх , как показано на рис. 2.
По-видимому, рассмотренная выше классическая модель качественно объясняет
интересные особенности наших экспериментов. Однако следует упомянуть о
некоторых проблемах. Во-первых, в наших экспериментах магнитная длина I
была порядка 100 А, а среднее расстояние между донорными примесями (если
считать их однородно распределенными) — порядка 200 А. Так вот неясно,
что в наших образцах при этом является причиной флуктуации потенциала с
d » ЮО А. В этой связи было бы желательно провести эксперимент на крем-
кремниевых МОП-транзисторах при таких концентрациях, когда заведомо преобла-
преобладает рассеяние на короткодействующем потенциале. Во-вторых, в случае когда
уровень Ферми ?F совпадает с уровнем протекания, проводимость ахх при
Т -* 0 должна оставаться конечной или же логарифмически стремиться к нулю.
Для уровней сп^= 1 при температуре 35 мК такое поведение еще не проявля-
проявляется. Наконец, несколько лет назад Фуку яма, Платцман и Андерсон 11ST вы-
высказали гипотезу о том, что основным состоянием электронов двумерной сис-
системы в сильных магнитных полях является волна зарядовой плотности. В нас-
настоящее время Фукуяма и Платцман [ 19] дали качественное объяснение наших
результатов на языке пиннинга и плавления волны зарядовой плотности. Воп-
Вопрос о том, действительно ли в наших экспериментальных условиях существует
состояние с волной зарядовой плотности, требует дополнительных как теорети-
теоретических, так и экспериментальных количественных исследований.
Благодарности
Мы весьма признательны за полезные обсуждения, в которых приняли
участие С. Аллен, П. Андерсон, П. Ли и Г. Штермер.
60
М. Пааланен, Д. Дуй, А. Госсард
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Klitzing К., v.,Dorda G,, Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980). [Имеет-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
Tsui D.C., Gossard А.С., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). {Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 2).]
Girvin S.M., Jonson М., Lee P.A., Phys. Rev. В, 26. 1651 A982).
Englert Th., Tsui D.C, Gossard A.C, Uihlein Ch., Surf. Sci., 113, 295 A982).
Tsui D.C, Stormer H.L., Gossard A.C., Phys. Rev. B, 25, 1405 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 6).]
Kawaji S., Wakabayashi J., Surf. Sci., 58, 238 A976).
Ando Т., Uemura J., J. Phys. Soc. Japan, 36, 959 A974).
Bishop D.J., Tsui D.C, Dynes R.C., Phys. Rev. Lett., 44, 1153 A980).
Baraff G.A., Tsui D.C, Phys. Rev. B, 24, 2274 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 14).]
Aoki H., Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [ Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 17).]
, Prange R.E., Phys. Rev. В, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 16).]
Prange R.E., Joynt R., Phys. Rev. В, 25, 2943A982).,
. Eaughlin R.B., Phys. Rev. B, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18).]
Halperin BJ., Phys. Rev. В, 25, 2185 A982). [ Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 19).]
Tsui D.C, Allen S.J., Phys. Rev. В, 24, 4082 A981). [Имеется перевод В
настоящем сборнике (статья 15).]
lordansky S.V., Solid State Comm., 43, 1 A982).
Kazarinov R.F., Luryi S., Phys. Rev. B, 25, 7626 A982).
Ando Т., Surf. Sci., 113, 182 A982).
Fukuyama H., Platzman P.M., Anderson P.W., Phys. Rev. B, 19, 5211 A979).
Fukuyama H., Platzman P.M., Phys. Rev. B, 25, 2934 A982).
5. Квантовые гальваномагнитные явления
в гетероструктурах GaAs — AkGai _xAs
при очень низких температурах
Г. Эберт*, К. фон Клитцинг*, С. Пробст**, К. Плог
***
Перевод статьи: Ebert G., Klitzing К., v.,Probst С, Ploog К. - Solid State Commu-
Communications, 1982, v. 44, №2', p. 95.
Измерения магнитосопротивления (рхх ) и холловского сопротивле-
сопротивления (р ) в гетероструктурах GaAs - AlxGa1_x As_ показали, что в
пределе нулевых температур локализованы не все состояния на уровнях
Ландау. Кроме того, в одном из образцов при температуре Т< 35 мК
наблюдалось расщепление каждого спинового подуровня уровня Ландау
с nL** 1 на три пика. Эффект, по-видимому, связан с недавно обнаружен-
обнаруженными особенностями величин рхх и рх в упьтраквантовом пределе, для
объяснения которых высказывалась гипотеза об образовании нового
электронного состояния типа вигнеровского кристалла или волны заря-
зарядовой плотности с треугольной симметрией.
Открытие квантового эффекта Холла в двумерных системах [1] иниции-
инициировало большое количество экспериментальных и теоретических работ, в ко-
которых обсуждалась природа локализации электронов в двумерном электрон-
электронном газе в сильных магнитных полях [2 — 14]. Энергетический спектр двумер-
двумерного электронного газа в магнитном поле, направленном перпендикулярно
плоскости двумерной системы, состоит из дискретных уровней Ландау
с квантовыми числами Ландау п^ и со спинами, ориентированными вверх (f)
и вниз ( j)- Эксперименты показывают, что в интервале энергий между дву-
двумя уровнями Ландау существуют локализованные состояния, поскольку при
движении уровня Ферми через эту область проводимость ахх остается равной
нулю яри Т -» 0. Одновременно холловское сопротивление рх принимает пос-
постоянные значения
ху
¦hie
2 ;
*G. Ebert, К. Klitzing, v.t Physik-Department der Technischen Universitat Miinchen,
D-8046 Garching, FRG.
**C. Probst, Zentralinstitut fur Tieftemperaturforschung d. Bayer Akademie d. Wis-
senschaften, D-8046 Garching, FRG.
**• K. Ploog, Max-Plank-Institut fur Festkorperforschung,D-7000 Stuttgart 80, FRG.
© 1982 Pergamon Press Ltd.
60
М. Пааланен, Д. Цуи, А. Госсард
Литература
1. Klitzing К., v.,Dorda G, Pepper М., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980). [Имеет-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Tsui D.C., Gossard АХ., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 2).]
3. Girvin S.M., Jonson М., Lee Р.А., Phys. Rev. В, 26, 1651 A982).
4. Englert Th., Tsui D.C., Gossard AX., Vihlein Ch., Surf. Sci., 113, 295 A982).
5. Tsui D.C., Stdrmer H.L., Gossard AX., Phys. Rev. B, 25, 1405 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 6).]
6. Kawaji S., Wakabayashi J., Surf. Sci., 58, 238 A976).
7. Ando Т., Uemura /., J. Phys. Soc. Japan, 36, 959 A974).
8. Bishop D.J., Tsui D.C., Dynes R.C., Phys. Rev. Lett., 44, 1153 A980).
9. Baraff G.A., Tsui D.C., Phys. Rev. B, 24, 2274 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 14}.]
10. Aoki H., Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [ Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 17).]
11., Prange R.E., Phys. Rev. В, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 16^-]
Prange R.E., Joynt R., Phys. Rev. В, 25, 2943 A982). -
12.. Eaughlin R.B., Phys. Rev. B, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18^.]
13. Halperin B.L, Phys. Rev. В, 25, 2185 A982). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 19).]
14. Tsui D.C., Allen S.J., Phys. Rev. В, 24, 4082 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 15^.]
15. lordansky S.V., Solid State Comm., 43. 1 A982).
16. Kazarinov R.F., Luryi S., Phys. Rev. B, 25, 7626 A982).
17. Ando Т., Surf. Sci., 113, 182 A982).
18. Fukuyama П., Platzman P.M., Anderson P.W., Phys. Rev. B, 19, 5211 A979).
19. Fukuyama H., Platzman P.M., Phys. Rev. B, 25, 2934 A982).
I
5. Квантовые гальваномагнитные явления
в гетероструктурах GaAs — Al^Gai _xAs
при очень низких температурах
Г. Эберт*, К. фон Клитцинг*, С. Пробст**, К. Плог ***
Перевод статьи: Ebert G., Klitzing К., v.,Probst С, Ploog К. — Solid State Commu-
Communications, 1982, v. 44, №2, p. 95.
Измерения магнитосопротивления {pxx ) и хопловского сопротивле-
сопротивления (рх ) в гетероструктурах GaAs — AlxGa1_x As_ показали, что в
пределе нулевых температур локализованы не все состояния на уровнях
Ландау. Кроме того, в одном из образцов при температуре т < 35 мК
наблюдалось расщепление каждого спинового подуровня уровня Ландау
с п^ы 1 на три пика. Эффект, по-видимому, связан с недавно обнаружен-
обнаруженными особенностями величин р
и рх в ультраквантовом пределе, для
объяснения которых высказывалась гипотеза об образовании нового
электронного состояния типа вигнеровского кристалла или волны заря-
зарядовой плотности с треугольной симметрией.
Открытие квантового эффекта Холла в двумерных системах [1] иниции-
инициировало большое количество экспериментальных и теоретических работ, в ко-
которых обсуждалась природа локализации электронов в двумерном электрон-
электронном газе в сильных магнитных полях [2 — 14]. Энергетический спектр двумер-
двумерного электронного газа в магнитном поле, направленном перпендикулярно
плоскости двумерной системы, состоит из дискретных уровней Ландау
с квантовыми числами Ландау п^ и со спинами, ориентированными вверх (f)
и вниз ( j)- Эксперименты показывают, что в интервале энергий между дву-
двумя уровнями Ландау существуют локализованные состояния, поскольку при
движении уровня Ферми через эту область проводимость ахх остается равной
нулю яри Т -» 0. Одновременно холловское сопротивление рх принимает пос-
постоянные значения
* G. Ebert, К. Klitzing, v., Physik-Department der Technischen Universitat Miinchen,
D-8046 Garching, FRG.
**C. Probst, Zentralinstitut fur Tieftemperaturforschung d. Bayer Akademie d. Wis-
senschaften, D-8046 Garching, FRG.
*** K. Ploog, Max-Plank-Institut fur Festkorperforschung,D-7000 Stuttgart 80, FRG.
© 1982 Pergamon Press Ltd.
62
Г. Эберт, К. Клитцинг, С. Пробст, К. Плог
где h — постоянная Планка, е — элементарный заряд, at =1,2,3, ... — число
полностью заполненных уровней Ландау. Андо [8] утверждает, что, посколь-
поскольку потенциал имеет случайный характер, состояния в хвостах каждого уров-
уровня Ландау локализованы и отделены краем подвижности от делокализован-
ных состояний в центре уровня. Кроме того, Аоки и Андо [7] показали, что
когда изменяется степень заполнения локализованных состояний, холловское
сопротивление р сохраняется постоянным и соответствует целому числу
полностью заполненных уровней Ландау. Отвечающие делокализованным сос-
состояниям области энергий, в которых р меняется от h / е2i до h/e2 (i + 1),
а диссипативное сопротивление рхх имеет пики, сужаются с ростом радиуса
рассеивающего потенциала- В пределе дальнодействующих рассеивателей ло-
локализованы почти все состояния, за исключением лишь тех, которые распола-
располагаются в непосредственной близости от центра уровней Ландау, и рх между
соседними холловскими плато должно испытывать скачки, отвечающие поло-
половинному заполнению уровней Ландау. Аналогичное поведение предсказывали
Фукуямаи Платцман [9], использовавшие электронно-дырочную симметрию
наполовину заполненного уровня и предположение о наличии при низких тем- •
пературах волн зарядовой плотности определенного типа. Ожидается, что
при Т -» 0 как ширина, так и высота пика проводимости должны стремиться
к нулю.
Остается неясным, что же играет доминирующую роль в локализации элек-
электронов: беспорядок или кулоновская корреляция. Лучшему пониманию явлений
локализации в двумерных системах может способствовать изучение ступенек
холловского сопротивления, а также пиковых значений и полуширин осцил-
осцилляции Шубникова — де Гааза при нулевой температуре.
В настоящей работе описываются результаты гальваномагнитных изме-
измерений в магнитных полях В до 6 Тл и при температурах Г до 8 мК на двух об-
образцах гетероструктур GaAs — AlxGa ,_x As, характеризуемых почти оди-
одинаковыми подвижностями, но существенно различающихся по свойствам.
Структуры были выращены методом молекулярно-лучевой эпитаксии [15]
на полуизолирующих подложках GaAs< Сг>. Они состояли из последователь-
последовательно выращенных слоев: номинально нелегированного GaAs толщиной 1 мкм,
нелегированного Al03 Ga07As толщиной 10 — 15 нм, n-M03Ga0j As< Si>
толщиной 140 нм и GaAs толщиной 20 нм. В слое GaAs вблизи гетерограни-
цы Ga As — Al x Ga, _ х As за счет ионизации доноров в легированном
AlxGa1_xAs образовывался двумерный электронный газ. Методом фотолито-
фотолитографии были изготовлены холловские мостики, содержащие по шесть боковых
выводов для измерений кинетических коэффициентов Рхх и р . Омические
5. Квантовые гальваномагнитные явления
63
контакты к слоям создавались путем вплавления индия. Исследования
проводились на двух образцах, характеризовавшихся следующими концентрациями и
подвижностями электронов в слое: W= 3,7 • 1011 см~2, р = 4,1 . 10* см2Дв . с)
(образец 1) и N=2,6- 10псм-2, ц = 3,9 . 104см2/(В- с) (образец 2) .
Оба образца находились в тепловом контакте со смесительной камерой
рефрижератора растворения, создававшего температуру до 4 мК. Были пред-
предприняты меры для минимизации джоулева нагрева, создаваемого измеритель-
измерительными токами и внешними устройствами. Мы полагаем, что минимальная реаль-
реальная температура образца была менее 25 мК, поскольку при снижении тем-
температуры Т смесительной камеры от 20 мК до 8 мК экспериментальные ре-
результаты изменялись. Измерения проводились с помощью стандартной схемы
синхронного детектирования на частоте 30 Гц.
На рис. 1 показаны зависимости рхх (В) и рху (В) для образца 1 при но-
номинальной температуре 8 мК. Реальная температура образца была, по-види-
8,Тл
Р и с. 1. Зависимости рхх и р^ от В для образца 1 при температуре 8 мК. Штрихо-
Штриховые линии с цифрами указывают положение максимумов рхх и поляризацию
спина, определенные из периода осцилляции Шубникова — № Гааза в сла-
слабых магнитных полях.
64
Г. Эберт, К. Клитцинг, С. Пробст, К. Плог
мому, несколько выше. Измерения проводились при плотности тока около
Ю Д/м, при которой, как показала проверка, реализуется омический режим.
Штриховые линии с Цифрами сверху отмечают значения магнитного поля, при
которых ожидается половинное заполнение уровней Ландау (при квантовых
числах пъ > 2 спиновое расщепление не обнаруживается). Несовпадение
этих линий с реальными максимумами величины рхх обусловлено, вероятно,
перекрытием плотностей состояний соседних уровней. При nL < 2 сильное
возрастание g-фактора П2] позволяет наблюдать спиновое расщепление. Наи-
Наиболее впечатляющим на рисунке является необычайная узость пиков Шубни-
кова — де Гааза, соответствующих малым квантовым числам nL < 3- Полу-
Полуширина Г этих пиков резко уменьшается с понижением температуры и сопро-
сопровождается возрастанием наклона dpx ,/dB при значениях магнитного поля,
при которых рхх имеет максимум. Ниже мы будем анализировать лишь те
Данные, которые относятся к уровням Ландау с nL =1, поскольку для боль-
больших квантовых чисел плохое разрешение спинового расщепления приводит к
перекрытию пиков проводимости, связанных с соседними энергетическими
уровнями, что может исказить анализ максимальных значений р м^кс и по-
повлиять как на ширину осцилляции Шубникова — де Гааза, так и на переходную
область между плато на кривой р .
При понижении температуры с X = 170 мК до Т = 8 мК значения р!^.акС
для уровней 1I и И увеличиваются соответственно на 4% и на 45%. Это про-
противоречит как данным работы [13], так и результатам, полученным для образ-
образца 2 (см. рис. 3), согласно которым амплитуда рмакс экспоненциально умень-
XX
шалась при понижении температуры. Данный результат не согласуется
и с теоретическими расчетами Гирвина и др. [ 10], которые предсказали,
что кулоновское взаимодействие приводит к логарифмическим температу-
температурным поправкам для пиков проводимости.
Чтобы получить информацию относительно числа делокализованных сос-
состояний на каждом уровне Ландау при Г -» 0, мы измеряли температурную зави-
зависимость полуширины пиков рхх и обратного наклона {dpx /dB)~* при маг-
магнитных полях, соответствующих р ^акс На рис_ 2 приведены эксперименталь-
экспериментальные результаты для (dpx /dB)~1, измеренного в единицах классического зна-
значения Ne (N — поверхностная концентрация электронов). Результаты для по-
полуширины Г пиков рхх аналогичны, поскольку произведение Г {dpx ,/dB) не
зависит от температуры. Измерения показывают, что даже при Т = 0 следует
ожидать конечного наклона dpxy,/dB в переходной области между холловскими
плато и конечной полуширины Г пиков рхх. Из анализа следует, что на уров-
5. Квантовые гальваномагнитные явления
65
200 300
ТмК
400
р и с. 2. Температурная зависимость нормированного обратного наклона
(Ned:pX3,/dB)~l! холповских ступенек в центре уровней Ландау пъ =
и nL = if для образца 1.
нях с nL = 1 при Т = 0 остаются делокализованными приблизительно 3% сос-
состояний „
Такое поведение согласуется с численными расчетами Андо [ 8], изучав-
изучавшего локализацию при наличии случайного потенциала рассеивателей. Он по-
показал, что делокализованными являются состояния лишь в самой ближайшей
окрестности центров уровней Ландау, в особенности когда рассеиватели ха-
характеризуются дальнодействующим потенциалом. Края подвижности отделя-
отделяют эти состояния от локализованных состояний в хвостах уровней Ландау.
При температурах Т -* 0, когда отсутствует термически активированная про-
проводимость по локализованным состояниям, пики Шубникова — де Гааза стано-
становятся очень узкими и значения рх^.акс так же, как и резкие ступеньки между
холловскими плато на р перестают зависеть от температуры.
На рис. 3 представлены экспериментальные результаты для образца 2. В
этом случае были получены лишь данные по рхх , поскольку один из холловс-
ких контактов оказался неомическим. В отличие от образца 1 здесь для уров-
уровней 14 и 11 в интервале температур 35 мК < Т < П7 мК виден активационный
характер температурной зависимости р макс с энергией активации, отвечаю-
X X
щей температуре То = 73 мК. Это качественно согласуется с эксперименталь-
экспериментальными данными, полученными Пааланеном и др. [13]. В указанной работе дает-
дается интерпретация как в рамках классической теории протекания, так и с прив-
5-416
66
Г. Эберт, К Клитцинг, С. Пробст, К. Плог
лечением понятия о коррелированном состоянии электронов. Иорданский [4]
показал, что если случайный потенциал слабо меняется на магнитной дли-
длине I *= (П/еВI/2, уровеныфотекания оказывается бесконечно узким. Любая
наблюдаемая проводимость должна быть связана с активацией на уровень про.
текания, что приводит к активационной температурной зависимости максиму,
мов величины рхх , Фукуяма и Платцман [9] для качественного описания экс-
периментов Пааланена и др. [13] предположили существование сильно корре-
коррелированного состояния типа волны зарядовой плотности или вигнеровского
кристалла. Наличие примесей должно вызывать пиннинг волн зарядовой плот-
плотности, проявляющийся в отсутствии проводимости при Г - 0. Предполагается,
что конечная проводимость при конечной температуре может быть связана либо со
"срывом" электронного кристалла либо с активацией дефектов в нем, либо с
его плавлением.
При температурах ниже 35 мК становится заметным расщепление уровне!
с nL = 1 на три пика. Кроме того, на пике It (но не на пике 11) существует
еще большое количество мелких деталей, ясно видных на рис. 3 при Г = 117 м1
Аналогичная структура наблюдалась для пика It в образце 1. Арнольд [16]
рассмотрел происхождение тонкой структуры, наблюдавшейся на подвижности
5. Квантовые гальваномагнитные явления
67
P и с. 3. Зависимость рхх{в) для образца 2. Положения максимумов обозначены
аналогично рис. 1. На арезке показаны расщепленные по спину уровни
пъ = 1 при различных температурах.
эффекта поля в МОП-транзисторах с дальнодействующими флуктуациями по-
поверхностного потенциала, с позиций теории протекания. При этом проводимость мо-
могут оказывать влияние процессы резонансного туннелирования через потен-
потенциальные барьеры. Аналогичные идеи могут быть применены и к объяснению
механизма переноса в сильных магнитных полях.
Наблюдавшееся при температуре 35 мК расщепление уровней с nL = 1 на
три пика может быть связано с особенностями, наблюдавшимися Цуи и др.
[14] при гальваномагнитных измерениях в ультраквантовом пределе. Эти ав-
авторы обнаружили, что при факторе заполнения v = Nh/eB = 1/3 на рхх
имеется минимум, а на р — плато со значением р = ЗЛ/<?2. Наблюдались
также дополнительные аномалии при v = 2/3 и 3/2. Для объяснения этого эф-
эффекта было высказано предположение о том, что в этом случае образуется
коллективное основное состояние типа вигнеровского кристалла или волны зарядовой
плотности с треугольной симметрией. Наши эксперименты показывают, что при
Т < 35 мК подобное коррелированное состояние может быть стабильным даже
при больших кинетических энергиях (для квантового числа Ландау nL = 1).
В заключение следует заметить, что в ходе наших низкотемпературных
гальваномагнитных измерений два образца проявили весьма различные
свойства. Эти образцы различались главным образом концентрациями
носителей, но нельзя исключить того факта, что к различным их свойствам
могут приводить и особенности процесса роста.
Благодарности
Мы хотели бы поблагодарить К. Андреса за помощь и поддержку при про-
проведении низкотемпературных экспериментов, а также Т. Энглерта, А. Фауле-
ра и Б. Винтера за обсуждения, имевшие для нас большую ценность. Большой
признательности заслуживает Дж. Кнехт за искусное приготовление образ-
образцов.
Литература
1. Klitzing К., v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1К]
2. Prange /?.?., Phys. Rev.В, 23. 4802 A981). [Имеется переводе настоящем
сборнике (статья 16) Л
3. Thouless D.L., J. Phys. С, 14, 3475 A981).
4. lordanski S.V., Solid State Comm., 43, 1 A982).
68
Г. Эберт, К. Клитцинг, С. Пробст, К. Плаг
5. Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). {Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18).]; Surf. Sci., 113, 22 A982).
6. Halperin B.I., Pays. Rev. В., 25, 2185 A982). [Имеется перевод в насто-
настоящем сборнике (статья 19).]
7. АоЫ Я., Ando Т., Solid State Comm., 38. 1079 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 17).]
8. Ando Т., Surf. Sci., 113, 182 A982).
9. Fukuyama H., Platzman P.M., Phys. Rev., В, 2Б. 2934 A982).
10. Girvin S.M., Jonson M., Lee P.A., Phys. Rev. B, 26, 1651 A982).
H. Tsui D.C., Allen S.J., Phys. Rev. B, 24, 4082 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 15).]
12. Englert Th., Tsui D.C., Gossard A.C., Uihlein Ch., Surf. Sci., 113, 295
A982).
13. Paalanen M.A., Tsui D.C., Gossard A.C., Phys. Rev. B, 25, 5566 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 4).]
14. Tsui D.C., Stormer H.L., Gossard A.C., Phys. Rev. Lett., 48, 1559 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 8).]
15. Ploog К., Annual Rev. of Mater. Sci., 11, 171 A981).
16. Arnold E., Surf. Sci., 58. 60 A976). "
6. Состояние с нулевым сопротивлением
для двумерного электронного газа
в квантующем магнитном поле
Д. Цуи*, Г. Штпермер*, А. Госсард*.
Перевод статьи: Tsui D.Customer H«L., Gossard А.С. - Physical Revjes В,
1962, v. 25, № 2, p. 1405.
В случае когда уровень «ерми зафиксирован в энергетическом за-
зазоре между двумя уровнями Ландау двумерного электронного газа,отклик элект-
электронов полностью заполненных уровней на электрическое поле представ-
представляет собой недиссипативный холловский ток в направлении, перпендику-
перпендикулярном полю. Выполненные нами низкотемпературные измерения на
гетеропереходах GaAs - AIx Ga.j _^ As дают для сопротивления в
направлении тока оценку сверху рхх ^! 5 ° 10~7 Ом/п , что соответст-
соответствует трехмерному удельному сопротивлению р< 5 -10~13 Ом • см. Эта
величина более чем на порядок меньше сопротивления любого несверх-
проводящего материала-
В квантующем магнитном поле В энергетический спектр двумерного элек-
электронного газа представляет собой совокупность дискретных уровней Ландау,
каждый из которых вырожден с кратностью р = yeBJh, (Здесь hje — квант
потока, а у характеризует спиновое и долинное вырождение.) Наличие рассея-
рассеяния снимает орбитальное вырождение и уширяет каждый уровень в зону. Яв-
Явления электропереноса в такой системе определяются в первую очередь поло-
положением уровня Ферми EF по отношению к этим "подзонам Ландау" [1]. Если
" подзона" заполнена наполовину, то она ведет себя как хороший проводник
и ее диагональная проводимость ахх достигает максимума^ Если же "подзо-
"подзона" заполнена полностью, то наличие энергетического зазора между запол-
заполненным и пустым уровнями Ландау препятствует рассеянию, и нулевая плот-
плотность состояний вблизи EF приводит к обращению в нуль величины ахх при
Т ж 0. Однако в отличие от изолятора в данном случае не равна нулю недиа-
недиагональная холловская проводимостьах = Ne /В - ie2 Jh, где N — концент-
концентрация электронов, a i — число заполненных уровней Ландау [2]. Эти условия
* D.C. Tsui, H.L. Stormer, A.C. Gossard, Bell Laboratories, Murray-Hill,
New Jersey 07974, USA.
©1982 The American Physical Society.
70
Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
(ст = 0 и а * 0) означают, что холловскийугол равен 90° и что холловс-
кий ток является недиссипативным. Иными словами, диагональная компонен-
компонента сопротивления рх
,/{
ахх +
ху ) также обращается в нуль при Т = 0,
у
т.е. двумерная электронная система находится в состоянии с нулевым сопро-
сопротивлением. Однако в изолированной двумерной электронной системе, не име-
имеющей локализованных состояний, такое состояние не может быть реализова-
реализовано, поскольку при этом ?F всегда будет находиться внутри уровня Ландау
и в системе всегда будет иметься частично заполненный уровень, за исклю-
исключением отдельных особых значений N или В.
Квантование эффекта Холла для двумерного электронного газа недавно
наблюдалось в инверсионных слоях Si - МОП-транзисторов (полевых тран-
транзисторов со структурой металл-окисел-полупроводник) [3] и в гетероперехо-
гетеропереходах Ga As - Al Ga , _x As [ 4]. Было показано, что с точностью, лучшей-
чем 10"*, холловское сопротивление р в конечных интервалах N к В дается
выражением ¦
ху
h,/e2i .
A)
Из этих наблюдений следует, что уровни Ландау остаются заполненными в ко-
конечных интервалах N или В и обсуждавшееся выше состояние с нулевым со-
сопротивлением может быть достигнуто в этих физических системах. Проведен-
Проведенные измерения фактически уже показали, что сопротивление рхх крайне мало
[5], и дали для него оценку сверху, равную 0,1 Ом/Ь [4]. Мы провели экспе-
эксперименты на гетеропереходах GaAs — AljcGa1_x As с целью изучения этого
специфического состояния двумерного электронного газа с нулевым сопротив-
сопротивлением и получили при температуре 1,2 К значительно меньшую величину
верхнего предела для рххш Полученные нами результаты дают рхх4 5 • ' Ю~~7 Ом/а,
что в 5 • Н)8 раз меньше, чем р при В = 0. Это соответствует времени
релаксации электронов т > 1,5 • 10~3 с, если предполагать, что величина т
определяется выражением т = "**,/Afe2pxje.
Гетероструктура GaAs — Alx Ga1_ x As была изготовлена методом моле-
кулярно-лучевой эпитаксии. Ее размеры и строение показаны на врезке 2
рис. 1- Двумерный электронный газ в GaAs создавался за счет ионизации
доноров в слое А1ж Ga, _ х As и был сосредоточен вблизи границы между
Alx Ga,_x As и нижележащим слоем GaAs. Граница между верхним слоем
Ga As (выращенным с целью облегчить создание омических контактов) и
Aljc Ga, _ х As была обеднена свободными электронами за счет поверхностно-
поверхностного потенциала. Методом фотолитографии были изготовлены стандартный "хол-
довский мостик" (врезка 2 на рис 1) и кольцо, аналогичное диску Корбино
(врезка на рис 2). Контакты изготовлялись путем вплавления индия в слои
10
Рис. 1. Общий вид полевой зависимости р^ и рхжв гетеропереходе GaAs — AlxGa , _xAs
при температуре 4,2 К [4]. На врезке 1 указаны состав и размеры слоев об-
образца (стрелкой указано местоположение двумерного электронного газа).
На врезке 2 представлена геометрия "хопловского мостика".
Ю "г
7.8 8,0 8,2 <3.4 8.6
8,Тл
9,0 9,2
Р и с. 2. Поведение рхх вблизи минимума Llt показанного на рис. 1, при температу-
температуре Т = 1,23 К. Величина рхх определялась из измерений <тхж на образце в
виде диска Корбино, показанном на врезке.
72
Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
при температуре 400 °С в атмосфере водорода. Качество всех контактов про-
проверялось путем сравнения сопротивлений и вольт-амперных характеристик, из-
измеренных на различных комбинациях контактов при температурах вплоть до
1,2 К. Контактных сопротивлений не было обнаружено. Из стандартных изме-
измерений удельного сопротивления и эффекта Холла в слабых полях при темпе-
температуре 4,2 К была определена поверхностная концентрация N= 2,4 • 1011 см~2
и подвижность р.= 79 000 см2- В .с*.
Рис. 1 дает представление о зависимости сопротивлений р . и р от
магнитного поля при температуре 4,2 К. Эти результаты подробно рас-
рассмотрены в работе [ 4]. Здесь мы отметим лишь, что минимумы величины рхх,
обозначенные через L., и L 2 , соответствуют полному заполнению одного и
двух уровней Ландау, каждый из которых двукратно вырожден по спину. В об-
областях магнитного поля около 0,4 Тл вблизи L и около 0,1 Тл вблизи L2 ,
в которых р х с точностью до 10 ~* имеет плато, величина рхх стремится к
нулю, что наводит на мысль об обращении в нуль сопротивления в направле-
направлении линий тока.
Из-за того что величина рхх мала, что затрудняет ее точное определение
в рассматриваемой выше геометрии, вместо рхх мы измеряли ахх и затем
вычисляли рхх путем обращения тензора проводимости (а )-1 = р- Ограничи-
Ограничиваясь при анализе областями, в которых справедлива формула A), находим,
что рхх = ахх рху , до тех пор пока рхх « р „ В минимуме L, мы имеем
ху
12,9 • 103Ом, а в минимуме L2 - р = 6,5 • 103 Ом.
ху
Проводимость ахх измерялась в кольцевой геометрии (врезка на рис. Ъ путем
приложения постоянного напряжения V к /рум противоположным контактам и из-
измерения тока / между ними Цифровым амперметром с высоким разрешением
(Ю-14 А). Если ограничиваться измерениями в тех областях магнитного
поля, для которых р 4 Ю Ом, то рассматриваемая геометрия эквива-
эквивалентна диску Корбино, обычно используемому для измерения ахх .
На рис. 2 показаны зависимости рхх от магнитного поля при температу-
температуре 1,23 К, полученные при измерении ахх вблизи минимума L,- Конечная
степень разрешения амперметра требует приложения напряжений, выходящих
за пределы линейного участка вольт-амперной характеристики. Измерения на
большем удалении от минимума показывают, что линейная связь между / и V
реализуется при V < 10 мВ. Полученные нами результаты при существенно
более высоком напряжении V четко свидетельствуют об уменьшении величины
рхх с понижением V. Если выбрать напряжение V = 50 мВ, то в области магнит-
магнитного поля 8,3 — 8,5 Тл величина рхх оказывается вообще неизмеримой. Наи-
Наименьшее измеренное значение рхх было получено при В = 8,35 Тл и V = 500 мЗ.
верхний предел для рхх в минимуме Ly равнялся приблизительно
6. Состояние с нулевым сопротивлением
73
5- 10~тОм/ а и был в 5 • 10 8 раз меньше, чем р при В = 0. Он соответствует
времени релаксации электронов т ^ 1,5 ¦ Ю^с, если полагать, что т =
= m*./Ne2pxx. Холловский угол 9, определяемый из условия tgQ >2,6¦- 1О10,
равнялся 90°. Считая, что проводящая двумерная электронная система имеет
толщину d « 10 см, для трехмерной удельной проводимости получаем р =
_р d^ 5- 10 ~'3 Ом - см.' Это значение более чем на порядок меньше удель-
удельного сопротивления любого несверхпроводящего материала [6L
Поразительной особенностью результатов, приведенных на рис. 2, являет-
является отсутствие области плато, наблюдаемой на р , В области магнитных по-
полей ~ 0,4 Тл, в которой величина р постоянна с точностью до 10", рхх ме-
меняется приблизительно на три порядка. Зависимость от поля по обе стороны от
минимума можно приблизительно описать выражениями Рхх~ехр( — 27. В [Тл])
В наших опытах величина рхх уменьшалась как при понижении температу-
температуры, так и при уменьшении напряжения. На рис. 3 показана зависимость рхх от
Т в минимуме L2 , где в отличие от L, сопротивление было достаточно вели-
велико, что позволяло проводить измерения на линейном участке вольт-амперной
характеристики при температурах от 4,2 до 1,2 К. Возможность того, что наб-
наблюдаемая зависимость от температуры связана с шунтирующей объемной прово-
проводимостью, исключалась.Этот вывод сделан на основании измерений в случае,
когда направление магнитного поля составляло непрямой угол с поверхностью
образца. Он основан на том обстоятельстве, что объемные свойства, будучи
Р и с. 3. Температурная зависимость магнитосопротивпения рхх в минимуме L2.
Прямая пиния получена расчетом по формуле 1,86 • 1О4 [Ом/п] х
хехр(_11,б T-J/З) [К]#
74
Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
трехмерными, зависят от полной величины магнтного поля, в то время как на
двумерный электронный газ действует лишь нормальная поверхности компо-
компонента магнитного поля. При полной величине поля В = 8,4 Тл и ее нормальной
компоненте, соответствующей L2, объемная проводимость, которая должна
быть меньше полной проводимости при магнитное поле В = 8,4 Тл, пераенди-
кулярном поверхности, оказалась меньше чем 10.
Из приведенных данных видно, что в наших экспериментах при стремле-
стремлении Т и V к нулю величина рхх также стремилась к нулю. Зависимость рхх
от V количественно не исследовалась» Анализ температурной зависимости
(представленной на рис. 3) показывает, что она не имеет вида exp (—TQ:/ г);
отсюда следует, что величина рхх не может быть обусловлена обычной акти-
активацией через постоянную энергетическую щель. Наши результаты хорошо опи-
описываются кривой вида ехр[— (Г0/тI/3]- Такую зависимость связывают с
прыжковым переносом с переменной длиной прыжка по локализованным сос-
состояниям з двумерных системах [7].
Различные теории квантованного холловского сопротивления [8 — 12] ис-
используют понятие о неподвижных электронных состояниях, фиксирующих уро-
уровень Ферми в зазоре между уровнями Ландау так, что в конечных интервалах
N и В может оставаться заполненным целое число уровней Ландау. Это мо-
могут быть либо локализованные состояния в инверсионном слое, либо примеси,
расположенные достаточно близко и обменивающиеся электронами с инверси-
инверсионным слоем. Наши результаты согласуются с обеими этими возможностями
и приводят к следующей физической картине. Если заполнено целое число
уровней Ландау, то ?F может находиться в зазоре Д между двумя уровнями.
Отклик электронов проводимости этих уровней на слабое электрическое поле
Е дает холловский ток ]х, протекающий при kT < А без потерь. Ток Jx про-
происходит от движения всей совокупности электронов проводимости со скорос-
скоростью vd = Е / В. Иными словами, в системе координат, движущейся со скорос-
скоростью vd г электрическое поле отсуствует и электроны проводимости описыва-
описываются просто на языке квантования Ландау. Неподвижные электроны могут ак-
активироваться за счет температуры или приложенного электрического поля и
совершать прыжки с узла на узел даже при k T < Д. Эти электроны будут дрей-
дрейфовать в движущейся системе координат и приводить к диссипации. Наши ре-
результаты не позволяют ответить на вопрос, принадлежат ли неподвижные сос-
состояния инверсионному слою, где их можно рассматривать как локализован-
локализованные состояния вне уровней Ландау, или же они связаны с расположенными
поблизости примесями. Во всяком случае, поскольку причиной наличия плато
на р является фиксация уровня Ферми EF в щели за счет неподвжиных
6. Состояние с нулевым сопротивлением
75
состояний, то рхх может на самом деле обращаться в нуль лишь при нулевых
значениях температуры и электрического поля Е . Однако с увеличением
магнитного поля возрастают величина А, а также энергетический барьер и
длина прыжка, который должны совершить неподвижные электроны, чтобы
создать рхх . Благодаря этому при малых температурах сопротивление рхх
можно сделать практически равным нулю за счет увеличения магнитного поля.
Благодарности
Мы благодарим К. Болдуина, Г. Каминского и В. Вигманна за помощь, а
р. Лафлина, Г. Бараффа, Д. Хаманна, К. Вайсбуха и В. Нараянамурти за об-
обсуждение данной работы.
Литература
1. Ando Т., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 36, 959 A974).
2. Ando Т., Matsumoto Y., Uemura Y. J. Phys. Soc. Japan, 39, 279 A975).
3. Klitzing K., v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1)Л
4. Tsui D.C., Gossard A.C., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). [Имеется пере-
переводе настоящем сборнике (статья 2).]
5. Englert Т.Н., Klitzing К., »., Surf. Sci., 73, 70 A978).
6. Friedberg СВ., Stark R.W., Phys. Rev. B, 5, 2844 A972).
7. Nicholas R.J., Kress-Rogers E., Kuchar F., Pepper M., Portal C, Stradling R.A.,
Surf .Sci., 98, 283 A980).
8. Prange R.E., Phys. Rev. B, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоящем
; сборнике (статья 16).]
9. Tsui D.C., Allen S.J., Phys. Rev. В, 24. 4082 A981). [Имеется переводе
настоящем сборнике (статья 15).]
10. Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в нас-
настоящем сборнике (статья 18).]
11. Aoki H., Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 17).]
12. Baraff G.A., Tsui D.C., Phys. Rev. В, 24, 2274 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 14).]
7. Исследование квантового эффекта Холла
в гетеропереходах In*Gai _*As — InP
при низких температурах
А. Бриггс*, И. Гулднер**, Ж. Вирен**, М. Воос**,
Ж. Хирц***, М. Разеги***
Перевод статьи: Briggs A,, Guldner Y„, Vieren J.P., Voos M., Hirtz J.P.,
Raseghi M. - Physical Review В, 1983, v. 27, № 10, p. 6549.
Исследовалась температурная зависимость квантового эффекта Холла
в гетеропереходах Inx Ga., _х As — InP с модулированным легировани-
легированием. Изучалась диагональная компонента проводимости ахх в отдель-
отдельных максимумах и минимумах магнитосолротивления рхх при темпера-
температурах вплоть до 50 мК. Интересным результатом является наблюдение
прыжковой проводимости при положении уровня Ферми в хвостах уши-
уширенных уровней Ландау.
Наблюдение квантового эффекта Холла в Si — МОП-транзисторах (поле-
(полевых транзисторах со структурой металл — окисел — полупроводник) [1],, а впо-
впоследствии и-в гетеропереходах Ga As - Al^Ga t _xAs [ 21 и InxGa t _xAs->Inp
[3] с модулированным легированием стимулировало в последнее время брль-
шое количество экспериментальных и теоретических исследований, В гетеро-
гетеропереходах квантовый эффект Холла проявляется при низких температурах
в виде плато на холловском сопротивлении рх при изменении магнитного
поля В, направленного перпендикулярно границе. Эти плато отвечают кванто-
квантованным значениям величины р , т.е. рху = h,/ie2, где i = 1, 2, ... - чис-
число заполненных квантовых уровней двумерного электронного газа, образован-
образованного в узкозонном материале вблизи границы,, Плато на р сопровождают-
сопровождаются, кроме того, исчезновением магнитосопротивления р . Эти наблюдения
означают, что уровень Ферми ?F в конечных интервалах магнитного поля .
фиксируется между уровнями Ландау за счет мелких доноров в широкозонном
материале [4] или локализованных состояний в хвостах уширенных уровней
Ландау [5 — 9].
*А. Briggs, CRTBT and SNCI, CNRS, 38042 Grenoble, France.
** Y. Guldner., J.P. Vieren, M. Voos, Groupe de Physique des Solides, Laboratorie
associe an CNRS, de 1' Ecole Normale Superieure, 24 rue Lhomond, 75005 Paris.
France.
*** J.P. Hirtz, M. Raseghi, LCR, Thomson-CSF, 91401 Orsay, France.
© 1983 The American Physical Society
7. Квантовый эффект Холла в гетеропереходах
77
Сравнительно недавно на гетеропереходах Ga As — Al xGa t _xAs были про-
проведены исследования в области температур ниже 1 К [ 10], давшие интересную
нфОрмаЦию о рассматриваемом эффекте- Здесь мы хотим изложить резуль-
результаты первых исследований температурной зависимости квантового эффекта
Холла в области температур вплоть до 50 мК, выполненных на гетероперехо-
гетеропереходах In Ga1_x As —InP с модулированным легированием. Мы наблюдали ло-
рИфМическую температурную зависимость проводимости ахх в различных
максимумах магнитосопротивления, которая согласуется с теоретической
моделью [11], учитывающей роль кулоновских взаимодействий в двумерном
электронном газе, находящемся в сильном магнитном поле. Мы также изме-
измерили температурную зависимость ахх в отдельных минимумах магнитосопро-
магнитосопротивления, указывающую на прыжковый механизм проводимости.
Мы использовали гетеропереходы bxGa1_x As —InP с х = 0,53?выращен-
ные газовой эпитаксией из Металл-органических соединений при низком дав-
давлении [12] на полуизолирующих подложках, легированных Fe, с ориентацией
A00), Слой InP толщиной 2000 Я имел га-тип проводимости с ND - NA «=
_ 3 • 1016 см ~3. Слой Inх Ga, _ „. As" был также n-типа с ND -NA » 1,5 х
х Ю15 см" и толщиной 1 мкм. Для измерений рхх и р использовались
стандартные холловские мостики. Образец охлаждался в рефрижераторе рас-
растворения, а магнитное поле, перепендикулярное границе, создавалось сверх-
сверхпроводящим соленоидом и могло изменяться непрерывно от 0 до 9 Тл. Хол-
Холловские измерения в слабых полях показали, что типичные подвижности элек-
электронов составляют 9700, 31 000 и 33 000 см2 • В • с при температурах
соответственно 300, 77 и 4,2 К.
На рис. 1 показаны зависимости р и рхх от магнитного поля В, полу-
полученные при температуре 1,85 К и 55 мК при измерительном токе 10-* А. Из
периода осцилляции величины рхх по \/В стандартным образом определялась
концентрация электронов, оказавшаяся равной 4,5 • 1011 см~2. Температур-
Температурная зависимость квантового эффекта Холла характеризуется в первую оче-
очередь возрастанием ширин плато на р и сужением соответствующих пиков маг-
магнитосопротивления рхх при понижении температуры. На рис. 2 показана тем-
температурная зависимость проводимости ахх для различных максимумов вели-
величины рхх . Для квантовых чисел я > 2 области температур 0,2 - 2 К наблюдает-
наблюдается логарифмическая зависимость вида 5ахх [Ом~1] = 0>8 • 10 ~* In T [К],
аналогичная наблюдавшейся в гетеропереходах GaAs -А1 Ga, v As [10] в об-
ласти температур 50 — 300 мК для га > 4. Гирвин и др. [11] вычислили 5ахх
для двумерного электронного газа с учетом кулоновских взаимодействий в пре-
пределе сильного магнитного поля и получили следующее выражение:
Т, A)
78
А. Бриггс, И. Гулдкер. Ж. Вирен, И. Воос, Ж. Хирц, М. Разеги
а'гооо
X !
ч j
«! WOOii-
390,
Ok
о
к •
2
л
' 1
Л1
\i
1
\
И.
г
/
/
1
к
Л
i
1
I
Л
'
\
\
\
/+
\
\
\
\
\
\
4 6
Б Тп
в
Р и с. 1. а — зависимость хопловского сопротивления р от магнитного поля В при
различных температурах; на врезке показана температурная зависимость
отношения ширины плато р = h/Ле2 к максимальной возможной ширине,
определенной в тексте; б — зависимость магнитосопротивления р от В
при различных температурах; через 1+, 1~, 2, . . . обозначены соответст-
соответствующие уровни Ландау.
где величина F зависит от отношения длины экранирования к магнитной длине]
Для нашего случая F = 0,6, что дает зависимость вида 5<т [Ом~11 •= 0>86 х
х 10~* 1пГ [ К],, которая согласуется с нашими экспериментальными данными. Такая
логарифмическая зависимость наблюдалась также в кремниевых МОП-транзис]
торах при В - 0 в режиме слабой локализации [13]. Однако следует заметить,
что, как и в работе ПО], мы исследовали ахх в нескольких пиках рхх вместо
7. Квантовый эффект Холла в гетеропереходах
79
Р и с. 2. Температурная зависимость величины ахх в различных максимумах
того, чтобы непосредственно измерить температурную зависимость различных
максимумов ахх , но очевидно, что при малых п результирующая погрешность
невелика. Заметим также, что в наших опытах при п > 2 спиновое расщепление
уровней Ландау не разрешается, как и во многих других экспериментах по
квантовому эффекту Холла. На данном этапе исследований трудно понять7мо-
жет ли это повлиять на наблюдаемую температурную зависимость, однако в
рамках модели Гирвина и др. [11] данное обстоятельство, по-видимому, не ока-
окажет существенного влияния на наше рассмотрение.
80
А. Бриггс, И. Гулднер, Ж. Вирен, И. Воос, Ж. Хирц, М. Разеги
Необходимо обратить внимание на некоторые, на наш взгляд удивительные
и еще не объясненные, результаты экспериментов.
1. Весьма неожиданными являются отношения высот и ширин пиков рхх , обоз-
обозначенных на рис. 1 через 1+ и 1~ и относящихся к расщепленному по спину уров-
уровню Ландау п = 1. Действительно, пик п = 1+ значительно более широк и имеет
большую интенсивность по сравнению с пиком п = 1"~, что противоречит резуль-
результатам, полученным на гетеропеходах GaAs - Al^ Ga, _ х As [ 10, 14] (по крайней
мере если судить об относительных высотах этих двух пиков).
2. Ступенька на р , связанная с пиком п = 1 ~ величины рхх (рис. 1), яв-
является более крутой, чем ступенька, отвечающая пику п - 1+.
3. Хотя представленные на рис. 2 данные для квантовых чисел п = 1+ и 1~
при температуре выше 1 К не вполне надежны, поскольку соответствующие пики
р оказываются уширенными и перекрываются, все же эти данные показыва-
XX
ют, что логарифмическая температурная зависимость величины 8охх не наб-
наблюдается. Помимо этого, наши результаты отличаются от данных, получен-
полученных Пааланеном, Цуи и Госсардом [10], которые наблюдали термически ак-
активированную проводимость.
о га>
Р и с. 3. Температурная зависимость ахх в минимумах рхх, обозначенных 1,2 ч
3 в соответствии с определением, данным е тексте.
7. Квантовый эффект Холла в гетеропереходах
81
4. Как и в работе [10], мы наблюдали насыщение проводимости ахх при
низких температурах (Т < 200 мК), которое может быть обусловлено разог-
разогревом носителей.
На рис. 3 показана температурная зависимость величины а в трех ми-
минимумах рхх , а именно между уровнями Ландау п = 2 и п = 3 (кривая 1), меж-
между я = 1 и п = 2 (кривая 2) и между расщепленными по спину подуровнями
уровня п = 1 (кривая 3). Кривые 1,2 к 3 отвечают соответственно значениям
магнитного поля В = 3,3; 4,95 и 6,3 Тл. Можно показать, что в широкой облас-
области ахх, соответствующей изменению температуры в пределах 50 мК — 1 К,
результаты описываются следующей формулой:
A;/Г)ехр[-(Т0./Г)
1/2
B)
Формула <тхх ~ ехр [-, (То,/ ТУ /3], использовавшаяся в работе [15]
для гетеропереходов GaAs -Al^ Ga,_x As в иной и более узкой области тем-
температур, не дает столь хорошего согласия в рассматриваемом температур-
температурном Диапазоне. Формула B) была выведена для прыжковой проводимости дву-
двумерного электронного газа в сильном магнитном поле в предположении о
гауссовой локализации состояний, близких к краям уширенных уровней Лан-
Ландау [16]. В этом случае температура То дается выражением
ro-B/D(?F), C)
где D(?F) — плотность состояний на уровне Ферми ?F . Из эксперименталь-
экспериментальных результатов для кривых 1,2 -л 3 получаем соответственно То = 11; 70 и
7,8 К. Для объяснения этой разницы недостаточно содержащейся в C) зависи-
зависимости магнитного поля, а необходимо, чтобы плотности состояний D( EF ) в
минимумах рхх 1, 2, и 3 были различны. Действительно, из рис. 1, б следует,
что перекрытие хвостов уровней п=1~ига = 2 и, слздовательно, D (?F ) для
минимума 2 меньше, чем для минимумов 1м 3. Наблюдение описанного прыж-
прыжкового переноса можно объяснить существованием локализованных состояний
в хвостах уширенных уровней Ландау. Наличие таких локализованных состоя-
состояний подтверждается численным моделированием, выполненным Андо [17], а
их влияние на квантовый эффект Холла впервые обсуждали Пранге [5], а
также Аоки и Андо [ 8].
Плато на рх существуют, когда ?р располагается в области локализо-
локализованных состояний; ширина этих плато должна увеличиваться при понижении
температуры. Мы исследовали ширину плато р = h/Ae2 в интервале тем-
температур 4,2 К — 50 мК. Как показано на врезке" рис. 1, а, с точностью до
0,5% эта ширина меняется от 30 до 80% ее максимального возможного зна-
значения, определяемого как расстояние между серединами соседних ступенек
6-416
82
Л. Бриггс, И. Гулднер, Ж. Вирен, И. Воос, Ж. Хирц, М. Разеги
при температуре 50 мК. Эти результаты не укладываются в модель Бараф-
фа и Цуи [4], которая не может объяснить сильную температурную зависи-
зависимость квантового эффекта Холла, а свидетельствует о том, что при Т > 0
значительная часть электронных состояний является локализованной, что уже
наблюдалось на гетеропереходах GaAs — А1ж Gat_x As [10, 14].
Благодарности
Авторы хотели бы выразить признательность Б. Гальперину, Б. Суиллар-
ду, Г. Тулузу и П. Вуазену за весьма полезные и плодотворные обсуждения.
Литература
1. Klitzing К., v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Tsui D.C., Gossard A.C., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). [Имеется
перевод в настоящем сборнике (статься 2)]; Tsui D.C., Stormer H.L., G
Gossard A.C., Phys. Rev. Lett., 48, 1559 A982).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 8)Т]
3. Quldner Y., Hirtz J.P., Vieren J.P., Voisin P., Voos M., Razeghi M.,
J. Phys. Lett., 43. L613 AЭ82).
4. Baraff G.A>, Tsui D.C., Phys. Rev. B, 24. 2274 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 14).]
5,Prange Я.Е., Phys. Rev. В , 23, 4802 A981). [Имеется перевод и настоя-
настоящем сборнике (статья 16).]
6. Laugh lin Я. В., Fhys . Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в нас-
настоящем сборнике (статья 18).]
7. Tsui D.C., AllenS.J., Phys. Rev. В, 4082 A981). [Имеется переводе
настоящем сборнике (статья 15).]
8. Aoki Н., Ando Т., Solid State Comm., 38. 1079 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 17).]
9. Halperin B.I., Phys. Rev. В, 25, 2185 A982). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 19).]
10. Paalanen M.A., Tsui D.C., Gossard A.C., Phys. Rev. В, 25. 5566 A982).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 4).]
11. Girvin S.M., Jonson M., Lee P.A., Phys. Rev. В, 26, 1651 A982).
12. Razeghi M., Hirtz P., Larivain J.P., Blondeau R., de Cremoux B. Duche-
min J.P., Electron. Lett., 17, 643 A981).
13. Bishop D..J., Tsui D.C., Dynes R.C., Phys. Rev. Lett., 44, 1153 A980).
14. Ebert G., Klitzing K., v. Probst C, Ploog K., Solid State Comm., 44,
95 A982). [Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 5).]
15. Tsui D.C., Stormer H.U, Gossard A.C., Phys. Rev. В, 25, 1405 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 6).]
16. Опо Y., J. Phys, Soc. Japan, 51, 237 A982).
17. Ando Т., SurL Sci. 113. 182 A982).
8. Двумерная магнитопроводимость
в ультраквантовом пределе
Д. Цуи*, Г Штермер**, А. Госсард**
Перевод статьи: Tsui D.C., Stormer H.L., Cossard A.C. ~ Physical Review
Letters, 1982, v. 48, 22, p. 1559.
При температуре ниже 5 К в магнитопроводнмости двумерной сис-
системы электронов с высокой подвижностью наблюдалось квантованное
хопповское ппато на р со значением р = 3k/е2, сопровождаемое
минимумом магнитосопротивления рхх • это соответствует заполнению
низшего расщепленного по спину уровня на 1/3. Предполагается, что
такой эффект саязан с образованием вигнеровского кристалла или вол-
волны зарядозой плотности с треугольной симметрией.
Система двумерных электронов в сильном магнитном поле В, направленном
перпендикулярно плоскости системы, при низких температурах Т может обра-
образовывать вигнеровский кристалл [1, 2]. В пределе В -* ~ можно проводить
аналогию этой системы с классическим электронным газом на поверхности
жидкого гелия, который кристаллизуется [3], когда отношение средней потен-
потенциальной и тепловой энергий электронов Г = е2(ткЫ^/г,/&kT = 137 (N — по-
поверхностная концентрация электронов). При конечных значениях магнитного
поля становятся существенными квантовые эффекты и, как предполагалось в
работе [4], при достаточно больших температурах в качестве предвестника
вигнеровской кристаллизации может образовываться состояние с волной
зарядовой плотности. Первоначальным объектом экспериментальных исследо-
исследований был инверсионный слой в Si вблизи границы Si -SiO2. Кавадзи и Вака-
баяси [5], а также Цуи [6] при измерениях магнитопроводимости в сильных
полях наблюдали структуры на кривых и зависимости от электрического поля,
которые не удалось объяснить с помощью модели независимых электронов
[7]. Впоследствии Кеннеди и др. [8] наблюдали сдвиг циклотронного резси-
нанса наряду с резким сужением линии при больших В, когда среднее меж-
*D.C. Tsui, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Princeton
University, Princeton, N.J. 08544.
* *H.L. Stormer, A.C. Gossard, Bell Laboratories, Murray-Hill, N.J,,,
07974, USA.
© 1982 The American Physical Society
84
Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
электронное расстояние превышает циклотронный диаметр. ВилУсон, Аллен
и Цуи [9] изучали зависимость этого эффекта от степени заполнения уров-
уровня Ландау (и = Nh /eB) и убедились в том, что наиболее удовлетворительное
объяснение результатов по циклотронному резонансу дает модель фиксиро-
фиксированной волны зарядовой плотности [10]. Однжо в области значений N, в ко-
которой были выполнены указанные эксперименты, даже в отсутствие магнит-
магнитного поля важную роль играет, как известно, локализация за счет неупоря-
неупорядоченности границы Si -SiO2 , и потому невозможно отделить эффекты чис-
чисто межэлектронного взаимодействия от эффектов разупорядоченности.
В настоящей работе сообщается о некоторых новых удивительных явле-
явлениях при переносе электронов двумерной системы с высокой подвижностью
в гетеропереходах GaAs — AlGaAs в ультраквантовом пределе (и < 1), ког-
когда частично заполнен лишь низший спиновый подуровень первого уровня Лан-
Ландау. Мы установили, что при температурах Т < 5 К диагональная часть р
тензора сопротивления имеет небольшой провал при и =1/3, который ста-
становится более глубоким с понижением температуры. При и < 1/3 величина
рхх имеет приблизительно экспоненциальную зависимость от Т~1- С другой
стороны, холловское сопротивление р с понижением температуры стре-
стремится к ступеньке 3h,/e2 при и = 1/3, но вне этого холловского цлато оно
остается почти не зависящим от температуры. Указанные свойства
напоминают квантованное холловское сопротивление и состояние с нуле-
нулевым сопротивлением, ожидаемые исключительно для целочисленных значе-
значений и. Мы полагаем, что эти удивительные результаты указывают на сущес-
существование при и = 1/3 нового электронного состояния. Это согласуется с
представлением о том, что образование вигнеровского кристалла или волны
зарядовой плотности с треугольной симметрией происходит предпочтитель-
предпочтительно при и = 1/3, когда площадь элементарной ячейки пронизывается целым
числом квантов магнитного потока.
Образцы для измерений были получены методом молекулярно-лучевой
эпитаксии [11] и состояли из монокристаллических слоев нелегированного
GaAs толщиной 1 мкм, нелегированного A1Q 3Ga0 7As толщиной 500 А,
легированного кремнием A1O3G4.O 7As толщиной 600 К и легированного
кремнием GaAs толщиной 200 А, последовательно выращенных на подлож-
подложках из изолирующего GaAs. На гетерогранице GaAs — Al GaAs со стороны
GaAs образовывался газ двумерных электронов, созданных за счет иони-
ионизации доноров в Al GaAs на расстоянии 500 Я от границы [12]. Образцы
вырезались в форме стандартных холловских мостиков и снабжались оми-
омическими контактами, изготовленными путем вплавления In при температуре
400 °С. Для определения величин Миц измерялись кинетические коэффици-
8. Двумерная магнитопров. в ультраквантовом пределе
85
енты в слабы< магнитных полях. В исследованных образцах N менялось в
пределах A,1 - 1,4) . 1011 см~2, а ц - в пределах (8 - 10) • Ю4 см2 • В с~!
Измерения в сильных магнитных полях проводились в Национальной магнит-
магнитной лаборатория им. Ф. Биттера (Кеймбридж, шт. Массачусетс).
На рис. 1 представлены зависимости р я рхх от величины магнитного
поля В для одного из образцов при четырех различных температурах. На шка-
шкале в верхней части рисунка приведены значения фактора заполнения v, т.е.
число заполненных уровней. При целочисленных значениях и наблю-
наблюдаются квантованные холловские плато на рх и нули на рхх [13 — 15], свя-
связанные с фиксацией энергии Ферми ?р в зазоре между двумя соседними
уровнями. Появление таких особенностей при нечетных v свидетельствует о
снятии спинового вырождения [16]. Как уже отмечалось ранее [17], с пони-
432
100 КО
8, кГс
200
Р и с. 1. Зависимости pxv ч Рхх от В в образце GaAs -Alo_ 3Ga0 7As с N = 1,23 x
x 1O11 см-2 и \х = 9-10* см2 • В • с-1 при / = 1 мкА. Фактор заполнения
уровней Ландау v = Nh/eB.
86
Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
жением температуры плато на Р „ участки с Р хх . 0 становятся все более
отчетливыми.
В ультраквантовом пределе (и < 1) частично заполненным остается лишь
низшее спиновое состояние низшего уровня Ландау, т.е. состояние @,| ). В
этом режиме (соответствующем В > 50 кГс на рис. 1) система полностью
поляризована по спину. При Г > 4,2 К мы имеем рху _ в./Ne и также почти
линейную зависимость от В величины рхх , что согласуется с теорией [7, 16],
основанной на модели свободных электронов. При более низких температу-
температурах рху вблизи и = 1/3 отклоняется от зависимости рх = В,/Ne, С пониже-
понижением температуры это отклонение становится все более заметным и при
Т = 0,42 К с точностью, лучшей чем 1%, кривая выходит на плато р = 3h,/e2.
8. Двумерная магнитопров. в ультраквантовом пределе
87
ху
отчетли-
Появление этого плато сопровождается наличием минимума у рхх , „inoiJm-
во видного на нижней половине рис. 1. Указанные особенности в своем раз-
развитии сходны с квантованным холловским сопротивлением и сопутствующим
ему исчезновением магштосопротивления рхх , наблюдаемыми при целочис-
целочисленных значениях и в области более высоких температур. Кроме того, при
v< 1/3 и вне области плато величина рхХ резко увеличивается с понижением
температуры, а рху очень слабо убывает и даже по существу не зависит от
температуры. Такое поведение наблюдается вплоть до и = 0,21, минимально-
минимального значения и, достигнутого в данных экспериментах.
На рис. 2 показана температурная эволюция сопротивлений р и р
при фиксированных значениях В. Рис 2, а показывает наклон кривой рХУ
при и = 1/3, отнесенный к наклону в высокотемпературной области (Г = У30К),
для трех образцов со слегка отличающимися значениями концентрации N.
На рис. 2, б представлен соответствующий минимум величины р (пш и =
1 /О \ о XX * "
= 1/3), а на рис- 2, в показано поведение рхх при v = 0,24 с целью продемон-
продемонстрировать его температурную зависимость в области и < 1/3, далекой от
хрлловского плато. Следует отметить несколько обстоятельста Во-первых, наклон
величины р для v = 1/3 стемится к нулю при Т « 0,4К, что указывает на наличие
квантованного хрлловского плато. Во-вторых, представление графика на рис. 2, а в
виде логарифмической зависимости величины наклона от 1/Г показывает нали-
наличие линейного участка при Т > 1,1 К. Этот факт позволяет экстраполировать
нормированный наклон к единице, получив температуру То = 5 К, которую
можно трактовать как температуру возникновения эффекта. В-третьих, ве-
величина рхх при v = 1/3 примерно равна 6 кОм/п для минимальной достигну-
достигнутой нами температуры Г = 0,42 К, так что для выяснения того, обращается
ли действительно рхх при и = 1/3 в нуль при Г -* 0, требуются значительно
более низкие температуры. Наконец, при перестроении графика на рис 2, в
в логарифмическом масштабе tin рхх A/ т)] в области Т > 0,6 К видна экс-
4,0
Рис. 2. а- температурная зависимость наклона рху при v = 1/3, нормированного
на наклон при ~ 30 К; б — температурная зависимость величины рх
при v = 1/3; в — температурная зависимость величины рхх при v = 0,24,
Кружки отвечают образцу с N = 1,23 • 10й см~2, квадраты - 1,11 х
х 1011 см, треугольники - 1,38 • 10й см~2.
поненциальная зависимость от 1/Г с предэкспоненциальным множителем,
равным примерно 13 кОм/п. Этот результат можно интерпретировать как
термически активированный перенос с энергией активации 0,94 К. Предэкспонен-
Циальиый множитель здесь существенно меньше максимального поверхност-
поверхностного металлического сопротивления ~40 кОм/п, предсказываемого теорией
андерсоновской локализации в хвостах уровней Ландау [18], но сравним с
сопротивлением, отвечающим переходу металл - диэлектрик в двумерных
системах при В = 0 [19]. Кроме того, данные для v < 1/3 говорят о нали-
наличии локализованного состояния, в котором электронная подвижность носит
активационный характер [17], на что указывают кривые рхх . В то же время
из наклона зависимости рху от В следует, что концентрация электронов по
существу не зависит от Т.
88
Д Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
Наличие квантованного холловского сопротивления, сопровождаемого
обращением величины рхх в нуль при целочисленных значениях и, представ-
представляет уже хорошо известный факт. Эти эффекты связывают с наличием энер-
энергетической щели между делокализованными состояниями соседних уровней
Ландау и с наличием локализованных состояний, удерживающих EF в щели
и сохраняющих в конечных областях изменения В и N полностью заполнен-
заполненными делокализованные состояния целого числа уровней Ландау. В работе
.Лафлина [20] на основании свойства калибровочной инвариантности было
показано, что квантование холловского сопротивления, определяемое фор-
формулой р = hjiе2 (г = 1, 2, ...), есть следствие полного заполнения всех
делокализованных состояний на уровне Ландау вне зависимости от наличия
локализации. Для случая наблюдаемого нами при и = 1,/3 квантованного хол-
холловского сопротивления 3h,/e2 аргументы Лафлина неприменимы. Если
объяснять эффект наличием щели вблизи EF при и = 1,/3, когда низший уро-
уровень Ландау заполнен на треть, то указанные аргументы приводят к квази»
частицам с дробным электрическим зарядом <?,/3, существование которых
допускалось для заполненных на треть квазиодчомерных систем [21].
Удовлетворительного объяснения для всех наблюдаемых нами эффек-
эффектов пока не имеется. Тот факт, что описанное явление происходит всегда
при и = 1/3 и наиболее четко выражено в образцах с максимальной подвиж-
подвижностью электронов, позволяет предположить образование нового электрон-
электронного состояния с поляризованными спинами, такого, как вигнеровский крис-
кристалл или волна зарядовой плотности с треугольной симметрией [22], кото-
которые являются наиболее выгодными при и = 1,/3. В этой картине наблюдае-
наблюдаемые особенности сопротивлений рхх ир могут быть связаны с процес-
процессами переноса в коллективном основном состоянии. При Г = 0 перенос яв-
является недиссипативным, что позволяет ожидать исчезновения магнитосоп-
ротивления рхх . Поскольку число электронов в этом основном состоянии
N = eB,/3h, холловское сопротивление рх = B,/Ne = 3h/e 2- Как отмеча-
отмечали Барафф и Пуи [23], наблюдаемые квантованные холловские цлато мож-
можно связать с наличием донориых состояний внутри Мх Ga, _ х As. Актива-
ционный характер величины рхх при и = Х/3 может быть обусловлен акти-
активацией дефектов в конденсате, которая приводит к диссипации.
Наконец, полученные нами результаты свидетельствуют также о сход-
сходной, но более слабой структуре на рхх вблизи и = 2./3 и и = 3/2, сопровож-
сопровождаемой небольшими изменениями наклона величины рху . Эта структура,
хотя и заметная на рис. 1, различима значительно лучше на кривых, отно-
относящихся к образцу с# = 1,4 • Ю11 см~2 и ц = 100 000 см2 • В ~1 • с
8. Двумерная магнитопров. в ультраквантовом пределе
89
при температуре 1,2 К. В нашей картине особенность при v = 2,/3 на осно-
основании электронно-дырочной симметрии можно связать с образованием виг-
вигнеровского кристалла или волны зарядовой плотности из дырок. При и = 3/2
уровень Ландау @, f ) заполнен полностью, а уровень (QA ) — наполовину.
Следовательно, две трети полного числа электронов занимают нижележащий
уровень @, f ) и лишь оставшаяся одна треть со спином I может участво-
участвовать в образовании коллективного основного состояния. Наши данные, по-
видимому, позволяют предположить, что это условие также благоприятно
для основного состояния в виде вигнеровского кристалла или волны зарядо-
зарядовой плотности''.
Подводя итоги можно сказать, что в данной работе мы наблюдали инте-
интересные особенности гальваномагнитных коэффициентов для двумерной сис-
системы электронов с высокой подвижностью в гетеропереходах Ga As - Al Ga. xAs
при v = li/3, а также сходные, но значительно более слабые особенности при
v = 2,/3 и 3/2. Эволюция этих особенностей с температурой напоминает пове-
поведение квантованного холловского сопртивления рх , сопровождаемое исчез-
исчезновением рхх и ожидавшееся только для целочисленных значений и. В качест-
качестве возможного объяснения мы предполагаем образование нового электрон-
электронного состояния, такого, как вигнеровский кристалл или волна зарядовой плот-
плотности с треугольной симметрией.
Благодарности
Мы выражаем благодарность П. Тедроу за предоставление рефрижератора
3Не, Р. Лафлину, П. Ли, В- Нараянамурти и П. Платцману за обсуждение
этой работы, а также К. Болдуину, Г. Каминскому и В. Вигману за техничес-
техническую помощь. Данная работа субсидировалась частично Национальным науч-
научным фондом США.
Литература
LWigner E.P., Phys. Rev., 46, 1002 A934).
2. Лозовик Ю.Е. Юдеон В.И. - Письма ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 26.
3. Grimes С.С, Adams G., Phys. Rev. Lett., 42, 795 A979).
4. Fukuyama Н„ Platzman P.M., Anderson P.W., Phys. Rev. B, 19, 5211 A979).
5. Kawaji S., Wakabayashi /., Solid State Comm., 22, 87 A977).
1 • Последующий теоретический анализ [24*] показал, что особенности сопротив-
пвния могут иметь место при дробных v только с нечетными знаменателями. Что
касается особенности при v = 3/2, то, как показали впоследствии авторы этой ста-
статьи [25*], она является кажущейся и образована наложением двух реальных особен-
особенностей при v = 4/3 и 5/3. — Прим. перев.
90
Д. Цуи, Г. Штермер, А. Госсард
6. Tsui D.C, Solid State Comm., 21, 675 A977).
7. Ando Т., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 36. 959 A974).
8. Kennedy T.A., Wagner R.J., McCombe B.D.,Tsui D.C, Solid State Comm.,
22, 459 A977).
9. Wilson B.A., Allen S.J., Tsui D.C, Phys. Rev. Lett., 44, 479 A980).
10. Fukuyama H., Lee P.A., Phys. Rev. B, 18, 6245 A978).
11. Cho A.Y., Arthur J.R., Prog. Solid State Chem., ID. 157 A975). ;
12. Stormer H.L., Pinczuk A., Gossard A.C, Wiegmann W., Appl. Phys. Lett.,
38, 691 A981);
Dmmmond T.J., Morkoo H., Cho A. Y., J. Appl. Phys., 52, 1380 A981).
13. Klitzing K., v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
14. Tsui D.C, Gossard A.C, Appl. Phys. Lett., 38. 550 A981). [Имеется
перевод в настоящем сборнике (статья 2).]
15. Tsui D.C, Stbrmr.r H.L., Gossard A.C, Phys. Rev. B, 25, 1405 A982).
[Имеется переводе настоящем сборнике (статья 6).]
16. Tsui D.C, Stormer H.L., Gossard A.C, Wiegmann W., Phys. Rev. B, 21.
1589 A980);
Englert Th., Tsui D.C, Gossard A.C, Surf. Sci., 113, 295A982).
17. Paalanen M.A., Tsui D.C, Gossard A.C, Phys. Rev. B, 25, 5566 A982).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 4).]
18. Aoki H., Kamimura H., Solid State Comm., 21. 45 A977).
19. Bishop D.J., Tsui D.C, Dynes R.C., Phys. Rev. Lett., 44, 1153 A980).
20. Laughlin R.B., Phys. Rev. B, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в нас-
настоящем сборнике (статья 18).]
2J. Su W.P., Schieffer J.R., Phys. Rev. Lett., 46, 738 A981).
22. Yoshioka D., Fukuyama H., J. Phys. Soc. Japan, 47, 39 4 A979); 50, 1560
A981).
23. Baraff G.A., Tsui D.C, Phys. Rev. B, 24. 2274 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 14).]
24? Laughlin R.B., Phys. Rev. Lett., 50, 1395 A983). [Имеется переводе
настоящем сборнике (статья 21).]
251 Stormer H.L., Chang Л., Tsui D.C, Hwang J.СМ., Gossard A.C,
Wiegmann W., Phys. Rev. Lett., 50, 1953 A983). [Имеется перзвод в нас-
настоящем сборнике (статья 9).]
9. Дробное квантование в эффекте Холла
Г. Штермер*, А. Чанг**, Д. Цуи*", Дж. Хуанг*,
А. Госсард*, В. Вигманн*
Перэяод статьи: Stdrmer H.L., Chang A., Tsui D.C, Hwang J.C.M., Gossard A.C.,
Wiegmann W. - Physical Review Letters, 1983, v. 50, Ш 24, p. 1953.
Исследованы гальваномагнитные свойства двумерных электронов
и дырок в магнитных полях до 300 кГс при температурах вплоть до
0,5 К. В дополнение к наблюдавшимся ранее структурам при значени-
значениях фактора заполнения уровней Ландау v = 1/3 и 3/3 обнаружены но-
новые структуры при v = 4/3, 5/3, 2/5, 3/5, 4/5 и 2/7. Полученныз ре-
результаты позволяют предположить, что дробное квантование эффекта
Холла существует в виде совокупности серий, каждая из которых свя-
связана с определенным нечетным знаменателем.
Сравнительно недавно в двумерном электронном газе на гетерострук-
турах GaAs — Alx Ga1_x As в ультраквантовом пределе было обнаружено
дробное квантование эффекта Холла [1,2]. Эффект, приписываемый обра-
образованию нового электронного состояния, проявлялся в гальваномагнитных
коэффициентах в виде плато на холловском сопротивлении рх и миниму-
минимумов на диагональной компоненте сопротивления рхх при значениях магнит-
магнитного поля В, соответствующих и = 1/3 и 2./3. Здесь и = NhJeB — фактор
заполнения уровня : Ландау, N — поверхностная концентрация электронов,
h,/e — квант магнитного потока eB,/h — орбитальное вырождение каждого
спинового подуровня уровня Ландау. В последующих экспериментах [3]
при температурах, создаваемых рефрижератором растворения, было пока-
показано с точностью, лучшей чем 10, что холловское плато при v = 1,/3 име-
имеет квантованное значение рх = h/(l/3)e2 и одновременно диагональная
компонента сопротивления рхх спадает ниже значения 1 Ом/п.
Это новое явление во многих аспектах напоминает хорошо известный
квантовый эффект Холла при целочисленных и [4, 5]. Однако его нельзя
*H,L. Stormer., J.CM* Hwang, A.S. Gossard, V/. Wiegmann, Bell Laboratories,
Murray-Hill, New Jersey 07974, USA, Настоящий адрес Хуанга: G.E. Electronics
Laboratory, P.O. Box 488, Syracuse, N.Y. 13221.
** A. Chang, D.C, Tsui,.Department of Electrical Engineering and Computer
Science, Princeton University, Princeton, New Jersey 08544, USA.
© The American Physical Sosiety
92
Г. Штермер, А. Чанг, Д. Цуи, Дж. Хуанг, А. Госсард, В. Вигманн
объяснить в рамках теорий целочисленного квантового эффекта Холла
[6 — 9], основанных на наличии щелей в одночастичной плотности состояний t
вызванных дискретной природой уровней Ландау двумерной электронной сис-
системы в магнитном поле. Хотя экспериментальные результаты позволяют
предположить связь дробного квантования с конденсацией электронов дву-
двумерного газа в сильно коррелированные многочастичные основные состоя-
состояния при v = 1/3 и 2,/3, отделенные от одночастичных энергий системы конеч-
конечными энергетическими целями, пока не существует отчетливых представ-
представлений о природе основного электронного состояния. Первоначальные попыт-
попытки объяснения эффекта опирались на модель вигнеровского кристалла и не-
непосредственно связанных с ним состояний с волной зарядовой плотности
[10 — 12]. Однако недавно выполненные численные расчеты не показали
какой-либо энергетической предпочтительности соразмерных вигнеровских крис-
кристаллов, отвечающих и = 1/3 и 2/3, а в данных по низкотемпературному переносу
[ 2] при и = 1 /3 не проявился пиннинг волны зарядовой плотности, что ставит под
сомнение указанную интерпретацию. В более поздних теоретических работах
выдвигается идея о конденсации электронов при v = 1/3 и 2/3 в несжимаемую
электронную жидкость [13, 14].
В настоящей работе представлены новые экспериментальные данные, по-
показывающие, что обсуждаемое явление дробного квантования не ограничи-
ограничивается случаями v = 1,/3 и 2/3. Указанные данные получены на восьми об-
образцах двумерных систем в магнитных полях до 300 кГс и температурах
вплоть до 0,5 К. Рассмотренные нами двумерные системы, в том числе и
одна из них, представляющая собой двумерный газ дырок, имели концентра-
концентрацию носителей в интервале A,4 — 3,5) . 1011 см~2,а подвижность в случае
электронных систем A,2-5,0) • :105 см2 • В-1 . :c-i и в случае дырок 0,36 х
х 105 см2 • В-1 • с-1. Мы наблюдали помимо особенностей при и = 1/3 и 2/3
новые структуры при и = 2/5, 3/5, 4/5 и 2/7, а также при v = 4/3 и 5/3, когда
система уже не находится в ультраквантовом пределе. Никаких свидетельств в
пользу существования структур при и = 1/2 и 1/4 не имеется. Полученные резуль-
результаты позволяют достаточно уверенно предположить, что дробное квантование
имеет вид ряда серий. Каждая серия соответствует целым кратным некоторо-
некоторого нечетного знаменателя.
Исследованные нами образцы содержали гетеропереходы GaAs — Al Ga. _ As
с модулированным легированием. Двумерная система электронов (или дырмО
образовывалась в GaAs вблизи границы между GaAs и Al Ga, As. Пава-
X 1 ¦¦" X "
метры образцов приведены в табл. 1, а условия их изготовления подробно
описаны в работах [1, 15]. Измерения в сильных магнитных полях проводи-
проводились в Национальной магнитной лаборатории им. Ф. Биттера (Кеймбридж,
Массачусетс).
9. Дробное квантование в эффекте Холла
Параметры образцов
93
Таблица 1.
Номер тип 1-й олой, 2-й слой, 3-й злой, Уровень Содержа- N,
образ- носителя GaAs нелегиров. легиро- легирова- ние Al, 1011cm~2
ца (AlGa)As ванный ния, см %
(AlGa)As
А
В
С
D
?1
?2
?3
?4
Электроны
Электроны
Дырки
Электроны
Электроны
Электроны
Электроны
Электроны
= 1 мкм 230
= 1 мкм 370
= 1 мкм 200
= 1 мкм 370
=> 1 мкм 230
То же, что
о
А
О
А
о
А
О
А
о
А
400 А
400 А
250 А
400 А
400 А
и образец ?. с
> концентрацией,
I с помощью
2
2
2
2
2
изменяемой
затвора
• iO18Si
. 1018Si
• 1018Ве
• 1018Si
• 1O18Si
30
30
50
30
30
1,66
1,41
3,46
1,53
2,69
2,55
2,47
2,23
500
510
36
= 400
= 500
На рис. 1 показаны экспериментальные кривые для р (В) и р (В) для
четырех образцов, полученные при температуре 0,5 К. Заметим, что для каж-
каждого образца шкалы магнитного поля были выбраны с таким масштабом, что-
чтобы у всех кривых одинаковые факторы заполнения и лежали на одной верти-
вертикали (см. верхнюю шкалу). На рис» 1, г и д отсутствуют участки слабых по-
полей, поскольку здесь для измерений использовался составной магнит с поля-
полями до 300 кГс, имеющий фиксированное исходное поле 70 кГс. На рис. 1 все
кривые, за исключением рис. 1, г, . относящегося к двумерной системе дырою [15],
получены для двумерных систем электронов. Кривые для р на рис. 1, а и рхх на
рис. 1, б снимались одновременно на одном и том же образце.
На кривых рис. 1 ясно виден ряд следующих характерных особенностей:
1. Помимо минимумов с нулевым сопротивлением и квантованных холлов-
ских плато при целочисленных и, образцы обнаруживают минимумы величины
Рхх и плато на р при и = 1/3 и 2/3, о которых уже сообщалось в литера-
литературе. Кроме того, на рхк также заметны более слабые минимумы при и = 2/5,
3/5 и 2,/7.
2. На кривой р для наиболее глубокого из указанных минимумов» наб-
наблюдаемого при и = 2/5, заметно также проявление холловского плато. Струк-
Структура, развивающаяся на рхх и р при и = 2/5, фактически напоминает осо-
особенности при и = 1/3 и 2/3 при более высоких температурах и структуру с
целочисленными значениями и при еще более высоких температурах.
94
Г. Штермер, А. Чанг, Д. Цуи, Дж. Хуанг, А. Госсард, В. Вигманн
150 200
В.кГс
Р и с 1. Зависимости величин рхх и рху от магнитного поля, полученные
для четырех различных образцов при температуре Т = 0,55 К. а — рху в
образце/!; б - рхх в образце А; в- рхх в образце В; г - рхх в образце С
(двумерная система дырок), д -¦ рхх в образце D. Масштабы измерения
магнитного поля выбраны таким образом, чтобы факторы заполнения
ложились на единую шкалу (верхняя шкала).
9. Дробное квантование в эффекте Холла
95
3. Широкая особенность, наблюдавшаяся ранее [1] вблизи v = 3/2, рас-
распадается на два минимума рхх при и = 4/3 и 5/3 1 •. При таких значениях и
двумерная система не находится в ультраквантовом пределе (т.е. при и < 1)
и уже не является полностью поляризованной по спину.
4. Все особенности, за исключением и = 4/5, наблюдавшиеся в двумер-
двумерной системе электронов, проявляются также в двумерной системе дырок, ес-
если только они попадают в экспериментально реализованную нами область
магнитных полей (см. рис. 1, г). Таким образом, наблюдаемое явление дейст-
действительно не зависит от исходной зонной структуры .
5- При повышении температуры выше 0,5 К. указанные слабые особеннос-
особенности постепенно (вблизи температуры 1 К) пропадают, начиная с самой слабой.
На рис. 2 представлены итоговые данные по положению минимумов р
для всех восьми образцов. Сплошные линии отвечают и = Nh./eB, причем зна-
значения N определялись по величине магнитного поля, соответствующей поло-
положению минимума либо и = 1/3, либо и = 2,/3. Линии, обозначенные буквами
от А до Е, относятся к различным образцам, а линии Ел, ..., ?4 отвечают
четырем различным концентрациям, достигнутым в образце Е путем пода-
подачи смещения на подложку [18]. Точки на рисунке построены на основании
экспериментальных кривых рхх ( в). Отчетливо видно, что точки концентри-
концентрируются вблизи фиксированных значений и. В частности, значения и = 2/5 и
v = 3/5 с весьма высокой степенью точности отвечают положению наблюдае-
наблюдаемых минимумов. В случае и = 4/5 имеется большая неопределенность и ре-
результаты располагаются четко ниже ожидаемого значения и = 4/5. Эта тен-
тенденция к небольшому сдвигу в сторону меньших и связана, по-видимому с
наличием фонового наклона, вызванного глубоким минимумом при и ~ 2/3.
Наши экспериментальные возможности не позволяли наблюдать предположи-
предположительно существующую структуру в случае и < 1/5. Однако положения двух
слабых, но различимых понижений при v < 1/3 можно приписать случаю
v = 2/7. Структуры, связанные с и = 3/7, 4/7, ..., ожидаются при более низ-
низких полях, и потому они более слабы и ненаблюдаемы. При температуре
0,5 К ни в одном из наших образцов не проявлялись структуры, отвечающие
v = 1/2 или 3/4.
Из приведенных нами экспериментальных фактов можно заключить, что кванто-
квантование эффекта Холла при дробных значениях фактора заполнения не ограничивается
значениями v = 3/3, 2/3. Минимумы на рхх обнаруживаются также при и = 2/5, 3/5,
4/5, 2/7,4/3 и 5/3. При T=Q,5 Кэти минимумы еще находятся на ранней стадии сво-
своего превращения в состояния с нулевым сопротивлением и (за исключением и = 2/5^
Расщепление уровня Ландау с nL = 1 наблюдалось также в работе [ 1б].
96
Г. Штермер, А. Чанг, Д. Цуи, Дж. Хуанг, А. Госсард, В. Вигманн
25
Р и с. 2. Связь между обратными значениями магнитных попей, соответствующих
минимумам величины рхх, и фактором заполнения v уровней Ландау для
различных образцов. Прописные буквы означают номер образца в соот-
соответствии с табл. 1. В образце Е концентрация меняется с помощью затво-
затвора [18], что отвечает кривым ?а -Е4. Остальные подробности см. а тексте.
еше не развились в состояния, обеспечивающие появление цлато на р Для под-
подтверждения квантования следовало бы наблюдать квантованные холловские
плато при рх = h/ v е 2, где v - соответсвуйщий дробный фактор заполне-
заполнения. В настоящее время мы не можем достичь температур, необходимых
для проверки этого квантования. Тем не менее наличие квантованных хол-
ловских плато при v = 1/3 и 3/3, приближение к плато при v = 2/5 и регу-
регулярность, с которой дополнительные структуры появляются в ряде различ-
различных образцов, служат сильными аргументами в пользу того, что рассмат-
рассматриваемый эффект существует при точных рациональных значениях v.
Если исключить целочисленные v, то наблюдаемые положения миниму-
минимумов можно идентифицировать со значениями v = pjq (где р, q = 1, 2, 3, ...)
и определить р /q как р-го представителя серии \/q. Экспериментально
наблюдались лишь нечетные серии \/q и по меньшей мере по одному пред-
представителю от первых трех из них (т.е. дл«^= 3, 5 и 7). Из сравнения раз-
различных серий следует, что с ростом q минимумы становятся все менее
четко выраженными. Для каждого образца внутри данной серии наблюдались
9. Дробное квантование в эффекте Холла 97
gee значения числителей р в интервале от минимального Рмин , определяе-
определяемого предельно достижимыми в наших условиях магнитными полями, и до
максимального рмакс , определяемого температурой, размывающей струк-
структуры при больших значениях р. В то время как для серии 1/3 можно было
считать, что структуры при v = 1/3 и 2/3 связывает между собой электрон-
электронно-дырочная симметрия, для второго и третьего члена серии 1/5, а также
для второго члена серии 1/7 подобная интерпретация невозможна [ 17]. Для
данной серии глубина минимума уменьшается с увеличением р. Это обстоя-
обстоятельство можно трактовать как зависимость эффекта от величины магнитного
поля, поскольку в наших образцах с фиксированной концентрацией носите-
носителей дроби с большими числителями неизбежно отвечают более слабым полям.
Такое предположение подтверждается экспериментами, выполненными для
серии 1/3 в образцах, в которых концентрацию можно изменять так,
чтобы минимумы 1/3 и 2/3 отвечали одной и той же напряженности магнит-
магнитного поля. Результаты убедительно свидетельствуют о том, что при приве-
приведении к одному значению магнитного поля оба минимума имеют одинаковую
величину. Заметив, что на рис. 1 серия 1/5 имеет такую же полевую зави-
зависимость, как и серия 1/3 в том же образце, можно заключить, что все пред-
представители серии 1/5, будучи приведенными к одной и той же величине поля,
также должны иметь одинаковую амплитуду. Аналогичный вывод можно сде-
сделать и относительно серии 1/7, поскольку там наблюдался только минимум
v = 2/7.
Обобщая полученные нами экспериментальные результаты, можно счи-
считать, что многочастичное основное состояние, обусловливающее дробное
квантование, существует для v = i/q (q = 3, 5, 7, ...) и для любых кратных
им значений v = p/q, исключая целочисленные значения v- Энергетическая
щель этого состояния увеличивается с ростом магнитного поля и уменьша-
уменьшается с увеличением q. При фиксированной величине В щель не зависит от р.
Конденсация двумерной системы носителей в таком основном состоянии при
четных значениях обратного фактора заполнения либо отсутствует вообще,
либо имеет место при температурах ниже температуры конденсации при не-
нечетных значениях q. С целью тщательного исследования этих предположе-
предположений планируется проведение экспериментов при еще более низких темпера-
температурах.
В заключение обратим внимание на тот факт, что все данные, представ-
представленные на рис. 1 и 2, получены на образцах с высокой подвижностью носи-
носителей , указывающей на то, что флуктуации потенциала в месте нахождения дву-
двумерной системы невелики. В образцах с меньшими подвижностями при лю-
7-416
98
Г. Штермер, А. Чанг, Д. Цуи, Дж. Хуанг, А. Госсард, В. Вигманн
бом нецелом значении v ничто не указывало на наличие дробного квантова-
квантования. Вместо этого в таких образцах при целочисленных значениях v образу-
образуются очень широкие плато на р и широкие минимумы с нулевым сопротив-
сопротивлением на рхх , подавляющие любую дополнительную структуру (см. также
работу [ 19] ).Из указанных наблюдений можно сделать вывод, что целочис-
целочисленный и дробный квантовые эффекты Холла имеют существенно различную
природу и в действительности конкурируют друг с другом.
Благодарности
Мы выражаем благодарность П. Тедроу за разрешение пользоваться его
рефрижератором 3Не и Л. Рубину за постоянную помощь при проведении нами
экспериментов в Национальной магнитной лаборатории. Нам приятно выразить
признательность Р. Лафлину, П. Ли, П. Литтлвуду и П. Платцману за обсуж-
обсуждения данной работы, Д. Лэнгу, В. Нараянамурти и П. Вольфу за поддержку,
а также К. Болдуину за техническую помощь. Эта работа частично субсиди-
субсидировалась Отделом исследований ВМС США и Национальным бюро стан-
стандартов США.
Литература
1. Tsui D.C., Stormer H.L., Gossard А.С., Phys. Rev. Lett., 48, 1559 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 6).]
2.Stormer H.L., Tsui D.С, Gossard A.C., Hwang J.C.M., Physica, 117B/118B,
688 A983).
3. Tsui D.C.,Stormer H.L., Hwang J.СМ., Brooks J.S., Naughton M.J., Phys.
Rev. B, 28. 2274 A983).
l.Klitzing K., v.,Dorda C, Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45. 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1^.]
5. Tsui D.C., Gossard А.С, Appl. Phys. Lett., 37. 550 A981). [Имеется пе-
перевод в настоящем сборнике (статья 2^.]
6. Laughlin R.B., Phys. Rev. В., 23, 5632 A981), [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18).]
l.Aoki П., Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 17V]
8. Ilalperin ВЛ., Phys. Rev. В, 25, 218,'j A982). [ Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 19).]
9. Thouless D.J., Kohmoto M., Nightingale M.P,, den Nijs М„ Phys. Rev. Lett.,
49. 405 A982).
10. Fukuyama U., Platzman P.M., Anderson P.W., Phys. Rev. B, 19, 5211 A979).
11. Tosatti E., Parrinello M., Nuovo Cira Lett,, 36, 289 A983).
9. Дробное квантование в эффекте Холла
99
12. Yoshioka D., Lee P.A., Phys. Rev. B, 27, 4986 A983).
13. Yoshioka D., Halperin B.L, Lee P.A., Phys. Rev. Lett., 50, 1219 A983).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 20).]
14 Laughlin R.B., Phys. Rev. Lett., 50, 1395 A983). [Имеется перевод в нас-
настоящем сборнике (статья 21).]
15. Stormer H.L., Schlesinger Z., Chang A., Tsui D.C., Gossard A.C.,
Wiegmann W., Phys. Rev. Lett., 51, 126 A983). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 11^.]
16. Ebert G., KlitzingK., v,, Probst C, PloogK., Solid State Comm., 44,
95 A982). [Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 5).]
17. Halperin B.L, Helvetica Phys. Acta, 56, 75 A983). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 22).]
18. S former H.L., Gossard А.С., WiegmarmW., AppL Phys. Lett., 39, 493
A981).
19. Paalanen M., Tsui D.C., Gossard A.C., Phys. Rev. B, 25. 5566 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 4К]
10. Квантовый эффект Холла
в одиночных квантовых ямах InAs
Е. Мендез,* Л. Чанг*, С. Чанг, Л. Александер*, Л. Есаки'
Перевод статьи: Mendez E.E., Chang, L.L., Chang C.-A., Alexander L.F.,
Esaki L. - Surface Science, 1984, v. 142, p. 215.
Приводятся результаты га^ьваномагнитных измерений на гетеро-
структурах GaSb— InAs — GaSb при температурах до 0,55 К и магнитных
полях до 28 Тп. В умеренных и сильных полях магнитосопротивпение об-
обращается в нуль, а холловское сопротивление имеет ппато со значениями
ft./ ie2 (t = 1. 2, 3, ...) при полном заполнении i магнитных уровней. В
образцах с высокой подвижностью проявляются и новые дополнительные
особенности, наиболее заметной из которых является плато при j = 5/2.
Свойства этих особенностей отличны от наблюдаемых в системе
GaAs — Al^Ga, _х As при дробных числах заполнения, что позволяет
предположить их связь с наличием дырок в исследуемой системе.
Исследование двумерной системы носителей, сосредоточенных на грани-
границе раздела двух полупроводников, вызывает большой интерес, в особенности
в связи с проблемой квантового эффекта Холла. До сих пор единственной
детально изученной системой была система GaAs - Alx Ga, _ х As [1 — 4] и
в значительно меньшей степеыи система Inx Ga1_x As —InP [5, 6]1' • Сравни-
Сравнительно недавно в первой из них был обнаружен аномальный квантовый эффект
Холла [7 — 9], а именно наличие холловских плато в ультраквантовом режи-
режиме при дробных числах заполнения уровня Ландау i = 1/3 и 2/3. Дополнитель-
Дополнительные особенности наблюдались также при i = 4/3, 5/3, 2/5, 3/5, 4/5 и 2/7.
Однако какие-либо структуры, отвечающие последовательности чисел запол-
заполнения с четными знаменателями типа 1/2 или 1/4, не были обнаружены, хотя
и высказывались соображения [ 10] о возможности существования при г = 1/2
волны зарядовой плотности с квадратной симметрией.
*Е.Е. Mendez., L.L. Chang., C.-A. Chang., L.F. Alexander, L. Esaki, IBM
Thomas J. Watson Research Center, P.O. Box 218, Yorktown Heights, New York
10598, USA.
11 См. также статью 7 настоящего сборника. —Прим. перев.
© Elsevier Science Publishers B.V.
10. Одиночные квантовые ямы InAs
101
Система InAs —GaSb качественно отличается от системы GaAs —
-Alx Ga ,_xAs тем, что в ней одновременно существуют как электроны, так
и дырки. Относительное энергетическое положение зоны проводимости и ва-
валентной зоны в объеме InAs и GaSb приводит к тому, что вблизи гетеропере-
гетероперехода между этими материалами образуется двумерный электронный газ в
InAs и двумерный дырочный газ с такой же плотностью со стороны GaSb .
Собственный характер процесса, определяющего плотность двумерных газов,
не позволяет изменять концентрацию носителей в гетеропереходе InAs —GaSb
Это ограничение снимается в двойной гетероструктуре GaSb-InAs-GaSb.
(рис. 1), в которой сохраняется полуметаллический характер системы, но
число электронов, перешедших в слой InAs, зависит от его толщины L. При
превышении критической толщины (около 60 К), меньше которой электроны
не переходят из слоя в слой, число носителей растет монотонно и стремит-
стремится к насыщению при L >j 300 А, когда заполнено уже несколько электронных
подзон [ 11].
В данной работе сообщается об исследовании квантового эффекта Хол-
Холла в квантовых ямах Ga S Ь -I nAs - Ga S Ь толщиной L в интервале 70 - 2 00 А.
Структуры выращивались методом молекуляр но-лучевой эпитаксии на подлож-
подложках из полуизолирующего GaAs. На толстый (толщиной 3 000 К) буферный
слой GaSb наносилась тонкая пленка InAs , после чего сверху напылялся слой
GaSb
-L/2 0 Ц2.
InAs
GaSb
Рис. 1. Зонная диаграмма двойной гетероструктуры GaS Ь - InAs — Ga S Ь в
электрическом квантовом пределе. Валентная зона слоя GaSb располага-
располагается выше на величину А = 0,15 эВ, чем зона проводимости слоя InAs,
что и вызывает электронные переходы между ними. Уровни электронов и
тяжелых дырок обозначены соответственно через Ех и НН*. Энергия Ферми
обозначена через EF.
102
Е. Мендез, Л. Чанг, С. Чанг, Л. Александер, Л. Есаки
GaSb толщиной 200 Д. Методом фотолитографш изготавливались холловские
мостики с шестью выводами, имеющие длину 2 мм и ширину 0,1 мм, и к об-
области с двумерным газом носителей создавались омические контакты. С уве-
увеличением толщины L концентрация электронов и подвижность, определенные
из ходловских измерений в слабом поле при температуре 4,2 К, возрастали
соответственно от 5 . 10" до 8,5 . 10" см и от 4 ¦ Ю4 до 2,1 . 10 5
см 2 - В -1 • с -1. Фоновая концентрация примесей в массивных слоях InAs
(n-типа^ и GaSb (p- типа*, выращенных в аналогичных условиях, имела по-
порядок Ю16 см. Гальваномагнитные измерения проводились в Националь-
Национальной магнитной лаборатории. Поля дл 22 Тл создавались одним биттеровским
соленоидом, а поля до 28 Тл - биттеровским соленоидом, помещенным
внутрь сверхпроводящего магнита. Температура образца вплоть до 0,55 К
достигалась путем откачки паров жидкого 3Не.
На рис. 2 показаны магнитосопротивление и холловское сопротивле-
сопротивление, измеренные на постоянном токе при температуре 1,6 К для кванто-
квантовой ямы с L = 100 А. Магнитосопротивление имеет типичный осциллирую-
осциллирующий вид что соответствует пересечению электронных уровней Ландау
(nL = 1,2,.. .\ с уровнем Ферми. При умеренных значениях магнитного по-
о
id
>
о
14
12
8
2
а
20
15
Ю
0
1
-
-
-
—^
"~~ 1
1 1 1 >
4 3 Д
л Л
i i i
г
д
1 1
1 i I
-
1 1 1 1
1 1 1
70
U 14
В, ТЛ
Р и с 2. Магнитосопротивпение (р^ и хопповсюе сопротивление (р^) квантовой ямы
с L = 100 А. Отношение длины к ширине образца при измерении магнито-
сопротивпения составляло 10; Л^= 7 ¦ 10п см; ц = 6,9 • 104 см2- В- с;
Т = 1,6 К. Цифры на нижнем рисунке соответствуют квантовым числам
Ландау nL.
10. Одиночные квантовые ямы InAs
103
ля ( = 8 Тл) уровни расщепляются по спину, что отмечено знаками плюс и
минус Состояние с нулевым сопротивлением, начинавшее проявляться уже
на рис 2 при температуре 1,6 К, достигается при температурах ниже 1 К.
Начиная с весьма слабых полей порядка 2,5 Тл холловское сопротивление
имеет хорошо выраженные плато, совпадающие с теоретическими значения-
значениями ft/ i e 2 (с точностью, лучшей чем 1%, которая определяется погрешнос-
погрешностью наших измерений). Другие образцы с умеренной подвижностью ведут
себя аналогично вплоть до ультраквантового предела, который в образце
с L = 70 А достигался при значении магнитного поля около 22 Тл.
Образцы с подвижностями не менее 1,5 • Ю5 см2 . В -1 .с вели се-
себя иначе. Холловское сопротивление в них, помимо регулярных плато, имело
дополнительную структуру, аналогичную изображенной на рис. 3 и представ-
представляющую собой три дополнительные особенности в рх при значениях мегнит-
ного поля 5,3; 12 и 23,5 Тл. Наиболее заметным является плато, которое с
точностью до 1% соответсгвует дробному фактору заполнения г = 5/2. Во
всех случаях соответствующие особенности обнаружены и на р . Заслужи-
Заслуживают упоминания некоторые характерные черты наблюдаемого явления:
1) возможное наличие квантового эффекта Холла для дробных чисел запол-
заполнения с г > 5; 2) лучшее разрешение дробного квантования при г = 2,5, чем
при г < 2; 3) наличие участка холловского квантования (вблизи значения
магнитного поля 12 Тл)" без отчетливых признаков соответствующего участ-
25 зо
Р и с. 3. Удельное магнитосопротивление рхх ( в кОм/TJ) и хопповское сопротивле-
сопротивление р^ для образца с L = 150 А; ц= 2,1 • Ю5 см2 • В-1 - «-*; Т = 0,55 К.
Стрелками указаны полные числа г заполненных уровней Ландау.
104
Е. Мендез, Л. Чанг, С. Чанх, Л. Александер, Л. Есаки
ка нулевого сопротивления. Все эти особенности существенно отличаются
от тех, которые наблюдались в структурах GaAs — AlxGa1_..As, где
а) дробное квантование было обнаружено только в области г < 5/3; б) струк-
структуры на кривых всегда лучше разрешены в более сильных полях и в) нет
указаний на наличие дробей с четными знаменателями. Кроме того, для об-
образца, представленного на рис. 3, плато при магнитном поле 12 Тл отчетли-
отчетливо проявлялось при температуре 4,2 К, при которой в структурах
GaAs — Alj.Ga1_xAs дробное квантование не наблюдаемо. При этой темпе-
температуре широкий пик величины рхх вблизи магнитного поля 12 Тл отчетливо
расщеплялся на два, а при понижении температуры до 0,55 К пик, отвечаю-
отвечающий большим полям, уменьшался по амплитуде и сдвигался в сторону более
слабых полей. Предварительные данные, полученные при значительно более
низких температурах, также свидетельствуют о весьма различном поведе-
поведении двух компонент дублета на рхх при значении магнитного поля 5,3 Тл.
Перечисленные выше факты указывают на то, что природа дополнитель-
дополнительной структуры на кривых иная, нежели у обычных холловских плато. Присут-
Присутствие в системе как электронов, так и дырок делает рассмотрение значи-
значительно более трудным 1 •. В истинно метадлической структуре (п = р) элект-
электронные и дырочные уровни Ландау должны пересекать уровень Ферми одно-
одновременно и при одинаковых значениях i . При этом не следует ожидать
дополнительных особенностей, связанных непосредственно с дырками.
Наблюдаемая новая структура может быть обусловлена еще не иссле-
исследованными эффектами электронно-дырочного взаимодействия. Другой воз-
возможной причиной является то, что число носителей одного типа не равно в
точности числу носителей другого типа, благодаря чему магнитное поле
опустошает уровни Ландау не одновременно. При этом дополнительная струк-
структура могла быть связана с дырками, что объяснило бы наблюдаемое отли-
отличие в ее температурной зависимости. Такая интерпретация согласуется и
с тем обстоятельством, что ни одна из дополнительных особенностей не наб-
наблюдалась в образцах с низкими подвижкостями, в которых подвижность дырок,
которая в любом случае существенно меньше электронной; должна быть еще
меньше.
Благодарности
Мы выражаем признательность П. Тедроу за содействие при выполнении
низкотемпературных измерений.
11 Такого рода анализ как для рассматриваемой здесь структуры, так и для
пленок попуметаппов (другой квантовой системы с п = р ) проведен в работе
[12*]. -Прим. ред.
10. Одиночные квантовые ямы InAs
105
Литература
1. Tsui D.C., Gossard A.C., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). [Имеется пе-
перевод в настоящем сборнике (статья 2).]
2. Paalanen M.4., Tsui D.C., Gossard А.С., Phys. Rev. В, 25. 5566 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 4).]
Ъ.ЕЪеП С, Klitzing К., v., Probst С, Ploog К., Solid State Corara., 44, 95
A982). [Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 5)-1
4. Ebert G., Klitzing К., v., Probst С, Schuberth ?., Ploog K., Weimann G.,
Solid State Corara., 45. 625 A983).
5. Guldner Y., Him J.P., Vieren J.P., Voisin P., Voos Af., Razeghi M.,
J. Physique, 42, L613 A982).
6. Nicholas R.J., Brummel M.A., Portal J.C., Razeghi M., Poisson M.A.,
Solid State Coram., 43. 825 A982).
7. Tsui D.C., Stormer H.L., Gossard A.C., Phys. Rev. Lett., 48. 1559 A982).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 8>.]
8. Stormer H.L., Chang A., Tsui D.C., Hwang J.CM., Gossard Л.С-, Wieg-
raann W., Phys. Rev. Lett., 50, 1953 A983). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 9).]
9. Mendez E.E., Heiblurh M., Chang L.L., Esaki L., Phys. Rev. B, 28,
4886 A983).
10. Kuramoto У., Phys. Rev. Lett., 50. 866 A983).
11. Bastard G., Mendez E.E., Chang L.L., Esaki L., J. Vacuum Sci., Technol.,
21. 531 A982).
12*. Меэрин О.А., Шик АЛ, - ФТТ, 1985, т. 27, с. 2258.
11. Энергетическая структура
и квантовый эффект Холла
двумерного дырочного газа
Г. Штермер*, 3. Шлезингер*, А. Чаиг**, Д.
А. Госсард*, В. Вигмапн*
Перевод статьи: Stormer H.L., Schlesinger Z., Chang A., Tsui D.C., Gossard А С
Wiegmann V. - Phvsical Reriew Letters, 1983, v. 51, № 2, p. 126. "* ' '
Совместные измерения явлений переноса в магнитном поле и цикло-
циклотронного резонанса в двумерной системе дырок гетероперехода
С a As — Al^Ga1_;(.As с модулированным легированием показывают, что
при конечных значениях к крамерсово вырождение нижней подзоны сни-
снимается, что приводит к двум циклотронным массам: т{ = 0,38 Шр и
ntj* = 0,60 mg при ?F = 2,4 мэВ. Наблюдение плато на р свидетельст-
свидетельствует о нечувствительности квантового эффекта Холла к деталям исход-
исходной зонной структуры.
В то время как двумерные электронные системы являлись в последние
годы объектом пристального внимания, интерес к двумерным дырочным сис-
системам был весьма невелик [ 1]. Это в основном связано с тем, что по сравнению
с электронами, дырки имеют большую массу и как следствие более низкую
подвижность и меньшее расстояние между уровнями Ландау. В частности, ма-
малая величина сос т (= ц В) отрицательно сказывается на результатах измерений
гальваномагнитных эффектов и циклотронного резонанса и приводит к тому,
что мы можем наблюдать лишь самые грубые особенности в схеме уровней
для подзон двумерной системы дырок. Эта весьма неприятно, поскольку слож-
сложная структура валентной зоны исходного материала, характеризующаяся нали-
наличием вырождения и сильной анизотропии, позволяет рассчитывать на богатую
картину спектров в экспериментах такого рода. В действительности, несмот-
несмотря на сложность структуры подзон двумерйой системы дырок, простые сим-
метрийные соображения позволяют выявить некоторые характерные черты,
общие для всех двумерных дырочных систем. Одной из наиболее существенных
особенностей является снятие крамерсова вырождения в каждой подзоне вслед-
вследствие отсутствия центра инверсии у потенциальной ямы приблизительно тре-
*H.L Stormer, Z.Schlesinger, A.C.Gossard, W.Wiegmann, Bell Laboratories, Mur-'
ray-Hill, New Jersey 07974, USA.
A.Chang, D.C.Tsui, Department of Electrical Engineering and Compjtf-r Science,
Princeton University, Princeton, New Jersey 08540, USA.
© 1983 The American Physical Society
11. Двумерный дырочный газ
107
угольной формы, ограничивающей движение носителей [2, 3] J). Однако эк-
экспериментальных свидетельств в пользу этого эффекта пока не имеется.
В настоящее время техника модулированного легирования [ 4] позволя-
позволяет создавать двумерные дырочные системы с чрезвычайно высокими подвиж-
ностями [5]2) и детально исследовать их кинетические свойства. В данной
работе сообщается о совместных измерениях эффекта Шубникова - де Гааза
и циклотронного резонанса в двумерной дырочной системе, созданной вблизи
гетерограницы в структуре GaAs — AlxGa1_;(.As с модулированным леги-
легированием. Полученные результаты показывают, что крамерсово вырождение
двух нижних дырочных подзон при конечных значениях к снимается и приво-
приводит к наличию двух циклотронных масс. При к = 0 обе подзоны остаются вы-
вырожденными. При определении структуры подзон этой двумерной дырочной
системы важную роль играет одновременное наблюдение квантового эффекта
Холла [6,7]. Кроме того, указанные наблюдения показывают, что это новое
квантовое явление наблюдается не только для электронных двумерных систем
и действительно не зависит от сложных деталей исходной зонной структуры.
Образец был выращен методом молекулярно-лучевой эпитаксии на под-
подложке GaAs<O> с ориентацией A00) и состоял из слоя нелегированного GaAs
толщиной 1 мкм, следующего за ним слоя делегированного А1жGa 1_xAs тол-
толщиной 70 А и верхнего слоя Al Gax _жАв толщиной 500 А, легированного бе-
бериллием до уровня ~1-1018см~^ Молярная доля А1 составляла 50%. Благодаря
тому что дырки с акцепторов в Al^Ga х _х As переходят на состояния вблизи
края валентной зоны в GaAs , на границе GaAs — Al^Ga x _xAs создавался
двумерный газ дырок [5]. Для измерения эффектов переноса образец вырезал-
вырезался в форме бруска. Контакты изготовлялись стандартным методом путем диф-
диффузии Аи : Zn. Исследования явлений переноса проводились в диапазоне тем-
температур 4,2 - 0,55 К в магнитных полях, перпендикулярных плоскости пере-
перехода,вплоть до величины 210 кГс.
На рис. 1 показаны зависимости от магнитного поля величин рх% (эффект
Шубникова — Де Гааза) и рх (эффект Холла) для двумерного газа дырок при
температуре 0,55 К. На рхх различаются две последовательности осцилляции,
одна из которых затухает при значении В ~ 35 кГс, а другая при этом поле на-
начинает проявляться. При значениях магнитного поля вблизи 100 и 200 кГс сис-
система приближается к состоянию с нулевым сопротивлением рхх . При этих же
самых магнитных полях на рх возникают плато, характерные для квантового
' ' Теория размерного квантования дырок в веществах со сложной структурой ва-
валентной зоны развивается в работе [ 14*].— Прим. перев.
2) Недавно сообщалось [ 15*] о наблюдении в структуре Р - Al^Ga, _xAs —GaAs
с модулированным легированием двумерного дырочного газа с рекордным значением
подвижности 97 000 см2- В • с —1. — Прим. ред.
108
Г. Штермер, 3. Шлезингер, А. Чанг, Д. Цуи, А. Госсард, В. Вигманн
150
200
Рис. 1. Зависимости недиагональной хопловской компоненты сопротивления р (а)
и диагональной компоненты рхх< описывающей осцилляции Шубникова —
де Гааза (б), в случае двумерного дырочного газа в гетероструктуре
Ga As — Al xGa l _ ^As с модулированным легированием от магнитного по-
поля при температуре 0,55 К; в — веер уровней Ландау и положение уровня
Ферми (ступенчатая кривая), вычисленные для значений масс, определенных
из циклотронного резонанса (см. рис. 3 и текст); сплошные линии соот-
соответствуют т*2 = 0,60 т0, а штриховые - mf = 0,38 mQ.
эффекта Холла. Все особенности проявляются очень четко и напоминают ре-
результаты, полученные для электронных двумерных систем, что свидетельству-
свидетельствует о высоких параметрах дырочного газа. Точные измерения • сопро-
сопротивлений рхх и р проводились на последнем плато U = 1). Величина рх
сравнивалась с эталонным сопротивлением фирмы "Дженерал Рейдио" (модель
1433-F), а магнитосопротивление рхх измерялось непосредственно при по-
помощи цифрового вольтметра с высоким разрешением. Было установлено, что
сопротивление р является квантованным со значением h/e2, причем с точ-
точностью, лучшей чем Ю-4, которая представляет собой точность нашего эталон-
эталонного сопротивления. При этих же самых полях мы получили р < 1 Ом. Хотя
точность измерений квантованного сопротивления можно повысить, используя
11. Двумерный дырочный газ
109
более точно откалиброванный эталон [8], полученный результат уже показы-
показывает, что квантовый эффект Холла не является привилегией лишь двумер-
двумерных электронных систем, а существует и в двумерных дырочных системах. От-
Отсюда следует, что это квантовое явление универсально и не лимитируется спе-
спецификой зоннной структуры исходного материала.
Однако имеются две характерные особенности, являющиеся прямым след-
следствием структуры дырочных подзон. Первая из них связана с существовани-
существованием Двух последовательностей квантовых осцилляции, свидетельствующим о за-
заполнении двух подзон, а вторая — с относительными ширинами плато рху = h/i e2
при i = 1, 2 и 3. В электронных системах плато с четными номерами су-
существуют при более высоких температурах и имеют большую ширину,
чем плато с нечетными номерами [ 6,7]. Это связано с двукратным спиновым расщепле-
расщеплением каждого уровня Ландау. Поскольку величина расщепления ЛанДау значи-
значительно превосходит величину спинового расщепления, плато, связанные со
снятием спинового вырождения, возникают при относительно более низких
температурах. Как видно из рис 1, в дырочной системе холловские плато с
четными и нечетными номерами не отличаются друг от друга. Ширина и тем-
температурная зависимость плато при i - 3 и плато при i = 2 и 4 аналогичны.
Эта примечательная особенность связана со снятием спинового вырождения
двумерного газа дырок на гетерогранице. Описанные измерения наряду с из-
измерениями циклотронного резонанса позволяют непосредственно определить
структуру дырочных подзон.
В наших исследованиях зонной структуры квантовый эффект Холла игра-
играет важнук> роль. Тот факт, что при 8 = 206 кГс мы имеем р = h/e2, по-
позволяет без детального знания структуры подзон однозначно заключить, что
заполнен лишь один уровень и, следовательно, концентрация равна
/V = eB/hc = E,0 + 0,05) • 10йсм. На рис. 2 стандартным образом постро-
построена зависимость обратной величины полей, отвечающих максимумам и мини-
минимумам рхх , от номера этих максимумов и минимумов. Отчетливо видны два
прямолинейных отрезка, относящиеся к двум последовательностям осцилля-
осцилляции и имеющие наклон соответственно st = 80,6 кГс и s2 = 206 кГс. На
рис. 3 приведены данные по циклотронному резонансу в дальней инфракрас-
инфракрасной области, полученные на том же самом образце в магнитных полях вели-
величиной до 80 кГс. Они подтверждают присутствие двух типов носителей с раз-
различными массами: ш* = 0,38 т0 и т% =0,60т0. Поскольку циклотронные мас-
массы тяжелых и легких дырок в объеме GaAs в направлении A00) равны соответ-
соответственно т\= 0,49т0 и m*t = 0,086m0 (CM- работу [9], а также формулу D7)
в работе [ Ю]), можно предположить, что носители с обеими наблюдаемыми
массами образованы из зоны тяжелых дырок в объеме GaAs - Из температур-
температурной зависимости амплитуды осцилляции в слабых полях (здесь не показанной)
но
Г. Штермер, 3. Шлезингер, А. Чанг, Д. Цуи, А. Госсард, В. Вигманн
/2
кГс"
Р и с. 2. Обратные значения магнитного поля, отвечающие максимумам и минимумам
Рхх, в зависимости от номера последних. Наклоны в области малых и боль-
больших полей равны соответственно st = Д;/ЛР-1 = (81+1) кГс и s2 =
= B06 ±2) кГс.
мы получим массу п? = @,36 ± 0,03)т0, что явно позволяет связать эти осцил-
осцилляции с носителями, имеющими меньшую из двух наблюдавшихся циклотрон-
циклотронных масс, т-е- m*j.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что имеются
две дырочные подзоны с концентрациями Л^ и N2, массами т* и щ и энер-
энергиями Ферми Еу 1 и Еу2 . Зная период осцилляции в слабых полях можно най-
найти концентрацию Nt = (e/hc)s1 = A,95 ± 0,02)-10"см, оставляя для второй
подзоны N2= N -Ny = C,05 ± 0,03)-10u см^2 носителей при нулевом поле.
Используя плотность состояний двумерной системы в нулевом поле
D = т*/2ттй2[ 1], получаем значения ?F 1 = 2,45 ± 0,02 мэВ и ?F2 = 2,43 ± 0,02 мэВ,
равные друг Другу в пределах точности наших измерений. Наклон в области
сильных полей s2 = 206 кГс отвечает концентрации .V = E,0 ± 0,05)-Юисм~2 ,
совпадающей с полной концентрацией в образце. Этот результат подтвержда-
подтверждает сделанный ранее теоретический вывод [ 11] о том, что в предельно сильных
магнитных полях осцилляции [ 5] определяются только полной концентрацией
электронов, а не отдельными подзонами и их относительными заселенностями
[12,13].
То, что энергии Ферми обоих типов носителей равны друг другу, свиде-
свидетельствует о вырождении обеих подзон при к = 0. При к Ф 0 подзоны расщеп-
11. Двумерный дырочный газ
111
15-
Э /0 -
1
-
-
-
: /у
i i
т*=0,38т0
/.
//
'/
i i
/
1
I
1 1
У
т*=0,60т0
Л
о га го
, «.см
¦
-
-
1 ~
30-
О
10 АО
100
60 80
В.кГс
Р и с. 3. Данные циклотронного резонанса в дальней ИК-обпасти для двумерного
дырочного газа. На врезке представлен типичный спектр поглощения (в от-
относительных единицах) при магнитном поле В = 70 кГс. График показы-
показывает зависимость положения максимумов поглощения от поля. Величины
т*х и т^ — эффективные массы, найденные из измерений.
ляются. Расщепление, которое характеризуется двумя различными массами
/л* = 0,38 т,, и и* = 0,6(Ц , равно 1,41 мэВ при к = % = 1,96 'Ю6 см,
где кр — фермиевский волновой вектор в зоне более тяжелых дырок. Рас-
Расщепление связано с тем, что поверхностный потенциал вблизи гетерограниЦы
нарушает симметрию системы относительно инверсии. Необходимо отметить,
что и в массивном Ga As отсутствие центра инверсии снимает крамерсовское
спиновое вырождение зон при конечных к. Однако это расщепление пренебре-
пренебрежимо мало. Здесь же за счет приграничного потенциала, квантующего энергию
движения накопленных у гетерограницы дырок, в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном границе, расщепление создает две хорошо различаемые подзоны. Хотя
структура подзон двумерной системы дырок в GaAs и не рассчитывалась,
имеются подобные расчеты для таких дырок в кремниевых полевых транзисто-
транзисторах [ 2,3]. Из этих теоретических моделей следует, что при к Ф 0 низшее свя-
связанное состояние расщеплено по спину, что и наблюдалось в наших экс-
экспериментах. Важно подчеркнуть, что указанное расщепление не требует нали-
наличия магнитного поля, а обусловливается только направленным перпендикулярно
поверхности электрическим полем (нарушающим симметрию относительно ин-
инверсии) и связанным с этим эффектом проявлением спин-орбитального взаимо-
взаимодействия.
Таким образом, совместные измерения явлений переноса в магнитном по-
поле и циклотронного резонанса со всей определенностью показывают, что низ-
низшее связанное состояние дырок в потенциальной яме вблизи гетерограницы
112
Г. Штермер, 3. Шлезингер, А. Чанг, Д. Цуи, А. Госсард, В. Вигманн
GaAs — Al^Gaj _жАз состоит из двух подзон, которые являются вырожден-
вырожденными при k = 0. Снятие спинового вырождения при к Ф 0 за счет отсутствия
центра инверсии у гетерограницы приводит к наличию двух циклотронных масс:
mf = 0,38 mo и ">* = 0>б0 то ПРИ Е F = 2»4 мэВ. Одновременное наблюдение
квантового эффекта Холла в дырочной двумерной системе свидетельствует о
том, что это новое квантовое явление не зависит от деталей исходной зонной
структуры.
Благодарности
Мы выражаем признательность П. Тедроу за разрешение пользоваться реф-
рефрижератором 3Не и Ларри Рубину за постоянную техническую помощь при
проведении нашей работы в Национальной магнитной лаборатории. Нам хоте-
хотелось бы поблагодарить С. Аллена за полезные обсуждения работы, Д. Лэнга,
В. Нараянамурти и П. Вольфа за поддержку программы этой работы, а также
Болдуина за техническую помощь. Трое из нас (Штермер, Чанг и Цуи) были при-
приглашены для проведения исследований в Национальной магнитной лаборатории
им. Ф. Биттера (Массачусетский технологический институт). Эта работа
частично субсидировалась Отделом морских исследований США, а также
Литература
1. Ando Т., Fowler Лойо, Stem F», Rev. Mod. Phys., 54. 447 A982).
[Имеется перевод: Андо Т.,<Фаулер А.Б,,.Стерн Ф. Электронные свойст-
свойства двумерных систем. -М.: Мир, 1985.1
2.0hkawa F.J., Uemura Y*, Progr. Theor. Phys., Suppl., 57. 164 A975).
3. llangert ?., Landwehr C, Surf. Sci., 58, 138 A976).
4. Sto'rmerH.L., Dingle R., Gossard A.C., Wiegmann W., Sturge M.D., Solid State
Comm., 24. 705 A979).
5. Stomer H.L., Tsang W.T., Appl. Phys. Lett., 36. 685 A980).
6. Klitzing K,, v., Dorda C, Pepper U., Phys. Rev. Lett., 45. 494 A980).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
7. Tsui D.C., Gossard A.C., Appl. Phys. Lett., 37. 550 A981).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 2).]
8. Tsui B.C., Gossard A.C., Field B.F., Cage M.E., Dziuba R.F., Phys. Rev. Lett.,
48. 3 A982).
9. Hess K., BimbergD., Lipari N.O., Fischbach Я.А., Altarelli U., Proceedings
of the 13th Intern. Conference on the Physics of Semiconductors, Rome, Italy,
1976 (ed. F.G.Furai), North-Holland, Amsterdam, 1977, p. 142.
10. Hensel J.C., Suzuki K., Phys. Rev., B, 10. 4219 A974).
11. Vinter В., Overhauser A.W., Phys. Rev. Lett., 44, 47 A980).
12. Narita S., Takeyama S., Luo W.B., Hiyamizu S., Nanbu K., Hashimoto H.,
Japan J. Appl. Phys., 20, L447 A981).
13. StdrmerH.L., Japau. J.Appl. Phys., 20. L859 A981).
14*. Дьяионов М.И., Хаецкий А.В. - ЖЭТФ, 1982, т. 82, с. 1584.
15*. Wang W.I., Mendez E.E., Stem F., Appl. Phys. Lett., 45, 639 A984).
12. Влияние частоты
на квантованное холловское сопротивление
М. Пеппер*, Дж. Вакабаяси**
Перевод статьи: Pepper M,,Wakabayashi J. - J. Phys. С: Solid State Phys.,
1983, v. 16, p. Ы13„
Приводятся результаты, свидетельствующие о том, что в инверсион-
инверсионных слоях Si с ростом частоты измерительного сигнала могут исчезать
плато квантованного холловского сопротивления. Представлены доказа-
доказательства квазидырочного поведения состояний вблизи вершины почти за-
заполненного уровня Ландау. Характеристики частотной зависимости ука-
указывают на важную роль кулоновского взаимодействия между носителями,
которое может доминировать при увеличении их концентрации и уменьше-
уменьшении роли фоновых неоДнородностей.
Национальным бюро стандартов США и Национальным научным фондом.
Сравнительно недавно мы опубликовали результаты, показывающие связь
квантовых холловских плато в двумерных системах с локализацией электро-
электронов на уровнях Ландау. Одной из главных особенностей этой работы было на-
наблюдение частотного эффекта, заключающегося в том, что увеличение часто-
частоты измерительного сигнала способствовало образованию плато (рис. 1) [ 1, 2].
В данной статье описываются результаты дальнейших исследований час-
частотных эффектов, а также новое явление — исчезновение квантования с рос-
ростом частоты. Это явление было обнаружено в инверсионных слоях Si, в кото-
которых рост частоты не вызывал образования плато; пример такого явления
представлен на рис. 2. Изображенные на этом рисунке кривые получены на
структуре, имеющей максимальную подвижность 6200 см^В-'-с, толщину
окисла 1400 А, длину 2 мм и ширину 0,4 мм. Потенциальные и холловские зон-
зонды были расположены вдоль канала. Напряжения на этих зондах измерялись
при постоянной величине тока через образец. Из рис. 2 видно, что при низких
*М. Pepper, Cavendish Laboratory, University of Cambridge, Madingley Road,
Cambridge, UK; General Electric Company, pic, Hirst Research Centre, Wembley,
Middlesex, UK.
* * J. Wakabayashi, Cavendish Laboratory, University of Cambridge, Madingley Road,
Cambridge, UJC; настоящий адрес: Physics Department, GalcMshuin University, Tokyo,
171, Japan.
© 1983 The InstitHte of Physics
8-416
114
М. Пеппер, Дж. Вакабаяси
2,7
Р и с. 1. Влияние частоты измерительного сигнала / на плато хопловского сопро-
тивпения RH между уровнями @ f-) и @ J+) в МОП-структуре типа Р2 -
02Н на поверхности Si A00). Измерительный ток / = 0,26 мкА; Т = 1,2 К;
В = 9 Тл [ 2]. Одно деление оси ординат соответствует 0,5 %.
частотах A80 Гц) существует фактически сформированное плато, а с ростом
частоты на кривой образуется структура с двумя провалами. В случае когда
величина Vg такова, что энергия Ферми EF располагается в центре спино-
спиновой щели уровня Ландау с п = 0 между двумя полностью заполненными под-
подуровнями с параллельной ориентацией спинов и между двумя полностью пус-
пустыми подуровнями с антипараллельной ориентацией спинов, холловское напря-
напряжение имеет постоянное значение (не зависящее от частоты), близкое к вели-
величине плато. Примечательной особенностью результатов является то, что от-
отклонение от плато максимально, когда выше середины щели имеется немного
электронов или ниже этой середины - несколько дырок. Рост концентрации
электронов или дырок приводит снова к тому, что холловское напряжение ста-
становится равным своему значению на постоянном токе. Увеличение тока через
образец и, следовательно, температуры электронов, подавляет стремление
кривых к значению, характерному для плато при энергии ?F, располагающейся
в центре щели (рис. 3). Тот факт, что провал на кривых в электронной облас-
12. Влияние частоты на холловское сопротивление
115
Р и с. 2. Влияние частоты измерительного сигнала на плато RH = /i/2e2 между уров-
уровнями (Of-) и @1+) в другой МОП-структуре на поверхности Si A00). Стрел-
Стрелкой отмечен центр щели между уровнями, соответствующий минимуму ве-
величины рхх; I = 0,1 мкА; Т = 1,2 К; В = 9 Тл. Одно деление оси ординат
соответствует 0,5% величины h/2e2.
ти больше, чем в дырочной, не является существенным. Мы установили, что
подача смещения на подложку (которая также превращает квазиплато в плато)
увеличивает провал в дырочной области по сравнению с электронной. Качест-
Качественно сходный, но более слабый эффект был обнаружен при положении энер-
энергии Еу в щели между уровнями Ландау с п. = 0 и 1 (рис. 4). Видно, что эффект
в основном тот же, но стремление к значению, характерному для плато, менее
четко выражено.
Провалы на кривых не связаны с частотной зависимостью величины рхх,
приводящей к нарушению условия а хх = 0, необходимого для наблюдения плато.
Мы исследовали частотную зависимость магнитосопротивления рхх в области
щели и установили, что оно может либо возрастать, либо убывать с частотой.
Однако эти изменения слишком малы, чтобы они могли оказать влияние на а х ,
и, что существенно, частотная зависимость исчезает при значении V , соот-
соответствующем минимуму величины рхх, т.е. там, где р стремится к своему
значению на плато.
116
М. Пеппер, Дж. Вакабаяси
3,6
Р и с. 3. Измерения на том же образце, что и в случае рис. 2, но при большем изме-
измерительном токе, равном 5 мкА. Т = 1,2 К; В = 9 Тл. Небольшой сдвиг поро-
порогового напряжения ( ~ 0,2 В) связан с иным харектером процесса охлаж-
охлаждения. Одно деление оси ординат соответствует 0,5% величины ft/2e2.
Природа этого эффекта неясна. Ранее мы объяснили образование плато с
ростом частоты тем, что амплитуда осциллирующей длины дрейфа слабо лока-
локализованных электронов вблизи центра уровня становится меньше длины лока-
локализации. Мы также предполагали, что очень высокие частоты вызывают отклик
локализованных электронов в хвостах уровней Ландау, а это приводит к исчез-
исчезновению плато. Для исследованных нами структур отклик носителей, локализо-
локализованных в хвостах, по всей вероятности, увеличивается с ростом частоты. Это
весьма похоже на возрастание с частотой проводимости электронов, локализо-
локализованных в примесной зоне легированного полупроводника. Но при локализации
носителей, обусловленной лишь неупорядоченностью, следовало бы ожидать воз-
возрастания отклика при смещении энергии ?F от центра щели и ослаблении ло-
12. Влияние частоты на холловское сопротивление
117
Р и с. 4. Влияние частоты измерительного сигнала на плато холловского сопротив-
сопротивления RH = h/Ле , соответствующее первой щели Ландау между уровнями
@1—) и A1 +). Образец тот же, что и е случае рис. 2. Ток / был равен
0,5 мкА, что для данного плато достаточно мало ; Т = 1,2 К; В = 9 Тл; од-
одно деление оси ординат соответствует 1% величины ft/4e2.
кализации. Однако этого не происходит. Очевидно, что отклик достигает макси-
максимума при некотором значении концентрации электронов на почти пустом уровне
и при некотором значении концентрации дырок на почти заполненном уровне.
Дальнейший рост концентрации электронов или дырок вызывает уменьшение
отклика, т.е. усиление локализации. Отсюда следует, что локализация носите-
носителей обусловлена не только случайным полем, но и каким-то еще дополнитель-
дополнительным фактором. Мы полагаем, что речь идет о кулоновском взаимодействии,
роль которого возрастает по мере увеличения концентрации электронов или ды-
дырок, уменьшающей влияние фоновой неупорядоченности.
Другой существенной особенностью полученных кривых является то, что
при прохождении EF через центр щели холловское напряжение принимает зна-
значение , близкое к величине плато. Добавление в систему небольшого числа элек-
электронов приводит к тому, что с ростом частоты мы постепенно приближаемся
к картине свободных электронов. Однако по другую сторону от центра щели
картина иная; в этой области холловское напряжение Fg падает ниже своего
значения на плато, а не поднимается выше его, как в случае свободных элек-
118
М. Пеппер, Дж. Вакабаяси
тронов- Система вздет себя так, как будто электроны, энергия которых рас-
располагается ниже ?F вблизи центра уровня, создают холловское напряжение,
а дырки с энергией EF (у верхнего края уровня) уменьшают это напряже-
напряжение своим откликом на осциллирующее электрическое поле [3].
В настоящее время еще не ясно, почему описанному частотному эффекту
не предшествует увеличение плато при низких частотах. Для ответа требуется
детальное исследование длин локализации и природы существующей неупоря-
неупорядоченности.
Таким образом, мы установили, что существенным условием наблюдения
квантового эффекта Холла в двумерной системе является режим постоянного
тока- Увеличение частоты ликвидирует эффект. Из представленных здесь ре-
результатов следует, что система вблизи верхнего края почти полностью запол-
заполненного уровня ведет себя как квазидырочная и что предположительно локализа-
локализация электронов во многом определяется кулоновским взаимодействием. Непо-
Непонятно, почему эффект в спиновой щели, в которой 90% электронов имеют оди-
одинаковые ориентации спинов, сильнее чем в щели Ландау, в которой электро-
электроны почти поровну распределены между состояниями с различной ориентацией
спина. Весьма вероятно, что в условиях сильной спиновой поляризации влияние
кулоновского взаимодействия на локализацию возрастает х'»
Литература
1. Wakabayashi ]., Myron H.W., Pepper M., Physica, 117B/118B 691 A983).
2. Pepper U., Wakabayashi J., J. Phys. С, 15„ L861 A982).
3. Kawaji S., Wakabayashi /., Physics in High Magnetic Fields (eds. S. Chikazu-
mi, N.Miura), Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1981, p. 284.
4*. Долгополое В.Т., Дорожшн СИ, -Поверхность, 1985, вып. 2, с. 5.
*'Предлагаемое здесь объяснение наблюдаемых эффектов не является единст-
единственно возможным. В сравнительно недавно опубликованной статье Долгополова и До-
рожкина [ 4*] рассмотрена задача о распределении переменного тока в МОП-структу-
МОП-структуре с учетом емкостной связи между инверсионным слоем и затвором. Такой подход
также позволяет качественно объяснить описанные выше экспериментальные законо-
закономерности. — Прим. перев.
13. Зависимость холловского напряжения
от геометрии инверсионного слоя
в режиме квантового эффекта Холла
Р. Ренделл*, С. Гирвин**
Перевод статьи: Rendell R.W., Girvin S.M. - Physical Review В., 1981 т. 23 № 12
p. 6610. ' ' '
Представлен расчет холловского напряжения в рамках модели
конечного двумерного инверсионного слоя. Получен явный вид рас-
распределения электрического поля и показано, что оно имеет стелен-
стеленную расходимость в углах инверсионного слоя. Эта особенность наь
более ярко выражена в условиях квантового эффекта Холла, когда
холловский угол близок к тг/2. Для этих условий вычислена погреш-
погрешность измерений холловского напряжения, обусловленная закорачива-
закорачивающим влиянием истока и стока. Установлено, что эта погрешность
пренебрежимо мала с точки зрения требований, необходимых для
определения постоянной тонкой структуры и создания нового втало-
на сопротивления на основе измерений квантового эффекта Холла
в инверсионном слое. Кратко рассмотрены пределы применимости
модели и иные возможные источники погрешности.
1. ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что коэффициент Холла двумерного электронного га-
газа (например, инверсионного слоя в полевом МОП-транзисторе или гетеропе-
гетеропереходе) осциллирует при изменении магнитного поля вследствие квантования
Ландау орбитального движения электронов (обзор новейших результатов мож-
можно найти в трудах Конференции по электронным свойствам двумерных систем
[ 1]). При температурах, равных нескольким Кельвинам, и в Достаточно силь-
сильном магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости структуры, рас-
рассеяние носителей между уровнями Ландау становится чрезвычайно слабым. Ког-
Когда положение уровня Ферми соответствует заполнению i уровней Ландау, хол-
холловское сопротивление имеет плато, отвечающие универсальным значениям
* R.W. Rendell, Electron Physics Group, National Внгсаи of Standards, Washington
D.C. 20234, USA.
* * S.M.Girvin, Surface Science Division, National Вигеан of Standards, Washington,
D.C. 20234.
© 1981 The American Physics Society
120
Р. Ренделл, С. Гирвин
h/e2i [ 2]. В последнее время этот факт вызвал большой интерес из-за воз-
возможности прецизионного измерения постоянной тонкой структуры и создания
эталона сопротивления нового типа.
Для проведения точных измерений необходимо ясно понимать все воз-
возможные источники погрешностей в неидеальных приборах. В данной рабо-
работе особое внимание уделяется погрешности, связанной с конечной длиной
прибора. Этот вопрос изучался ранее в связи с измерениями коэффициента
Холла в полупроводниках [3]. Однако представленные расчеты не охватыва-
охватывали область параметров, необходимую для учета чрезвычайно высокого коэф-
коэффициента Холла и чрезвычайно низкого удельного сопротивления, которые мо-
могут иметь место в структурах с инверсионным слоем. Кроме того, результа-
результаты тех ранних расчетов являются весьма громоздкими и особенно трудными
для получения оценок в области, представляющей в настоящее время наиболь-
наибольший интерес. Целью данной работы является получение более простого и пря-
прямого решения задачи, а также анализ возможных погрешностей для типичных
геометрий инверсионного слоя, используемых в настоящее время.
2. МОДЕЛЬ ИНВЕРСИОННОГО СЛОЯ
Мы будем рассматривать стандартную модель, использовавшуюся ранее
Другими авторами [3]. Считается, что инверсионный слой имеет прямоуголь-
прямоугольную форму, показанную на рис. \,а, и характеризуется постоянным по пло-
площади коэффициентом Холла /?н. Электроды стока и истока с высокой концен-
концентрацией носителей (и, следовательно, с пренебрежимо малым коэффициентом
Холла) расположены на противоположных концах прямоугольника. Точечные
холловские зонды расположены в произвольных точках боковых граней, и ток
через них отсутствует. Граничные условия для рассматриваемой геометрии
состоят в том, что ток через боковые грани равен нулю, а электрическое
поле, параллельное торцам, отсутствует. Предполагая полное закорачивание
холловского напряжения на торцах, мы несколько переоцениваем погрешность,
поскольку коэффициент Холла в электродах хотя и мал, но отличен от нуля
и имеет тот же знак, что и в инверсионном слое. Электрическое поле и плот-
плотность тока считаются не зависящими от координаты z, направленной по нор-
нормали к слою. В этом же направлении считается ориентированным и магнит-
магнитное поле В, так что мы имеем дело со" строго двумерной задачей. В этом
случае основным уравнением задачи является
рн J х z = a -1 J ,
B.1)
13. Холловское напряжение и геометрия инверс слоя
121
Р и с 1. а- геометрия модельного инверсионного слоя (заштрихованы области
истока и стока); б-- геометрия параллелограмма; однородное элект-
электрическое поле удовлетворяет граничным условиям.
где рн - RHB — холловское удельное сопротивление, а х — омическое удель-
удельное сопротивление, a J — плотность тока. Все величины в уравнении записа-
записаны в единицах, соответствующих двум измерениям (например, для удельно-
удельного сопротивления Ом/п). Из формулы B.1) следует, что ток образует по от-
отношению к электрическому полю холловский угол 5 , определяемый выраже-
выражением
tg5 =
B.2)
В интересующей нас области, в которой энергия Ферми располагается в про-
промежутках между уровнями Ландау, удельное сопротивление а —1 становится
очень малым, так что холловский угол 5 близок к тт/2. Поэтому удобно оп-
определить величину е, такую, что 5 = (тт/2)A — е). Проведенные в последнее
время измерения [ 2, 4] позволяют установить, что верхний предел для е ра-
равен 5-Ю-7.
Можно заменить граничное условие / = 0 требованием, чтобы электри-
электрическое поле образовывало угол 5 по отношению к боковым граням. Если
бы структура имела форму параллелограмма, изображенного на рис. 1,6, то
такому условию отвечало бы однородное электрическое поле Е = ?оу1 Этот
факт можно использовать для получения решения данной двумерной задачи,
если найти конформное отображение, которое преобразует прямоугольник в
такой параллелограмм. Наш метод, непосредственно использующий конформ-
конформное отображение, проще, чем ранее применявшийся подход, опирающийся на
преобразовании Шварца — Кристоффеля вещественной оси в границы прямо-
прямоугольника и параллелограмма [ 3].
В стационарных условиях вектор электрического поля Е можно записать
в виде градиента потенциала. Если пренебречь магнитным полем токов, то из
уравнений Максвелла и формулы B.1) следует, что потенциал в инверсионном
122
слое удовлетворяет уравнению
V 2ц> = О,
Р. Ренделл, С. Гирвин
B.3)
где V 2 — двумерный лапласиан в плоскости инверсионного слоя. Следователь-
Следовательно, в этих условиях можно применять метод конформного отображения. Важно
осознать, что функция ц> однозначно определяется уравнением B.3) и гранич-
граничными условиями на краях инверсионного слоя и что она нечувствительна к кон-
конфигурации прибора за пределами инверсионного слоя. Например, в полевом
МОП-транзисторе наличие металлического затвора над инверсионным слоем
не влияет на у для условий, указанных выше. Однако металлический затвор
влияет на плотность заряда в структуре, что определяется трехмерным лапла-
лапласианом, действующим на функцию ц>. Из уравнения B.3) не следует, что плот-
плотность заряда в слое равна нулю. Она определяется разрывом г-компоненты
электрического поля на инверсионном слое.
Конформное отображение W(Z) поворачивает локальные углы на величину
B.4)
B-5)
Если положить
dW/dZ =exp[/(Z>],
то
9(Z)=
B-6)
Комплексный потенциал, соответствующий однородному электрическому
полю в плоскости W (плоскость параллелограмма), имеет простой вид
V=
B.7)
где \ — произвольная вещественная постоянная, которую мы полагаем рав-
равной единице. Физический потенциал дается мнимой частью комплексного по-
потенциала. Комплексное электрическое поле в плоскости Z (плоскость пря-
прямоугольника) записывается в виде
-Е = dV/dZ = dW/dZ = exp [/(Z)].
B.8)
Физическое поле связано с комплексным полем соотношением Е = Е + i EK.
Следовательно, конформное преобразование непосредственно определяет ис-
искомое электрическое поле.
13. Холловское напряжение и геометрия инверс. слоя
123
При отображении прямоугольника на параллелограмм необходимо, чтобы
\mf (Z) = 5 на боковых сторонах прямоугольника и Im/(Z) = 0 на его торцах.
Поэтому мы ищем аналитическую функцию, мнимая часть которой удовлетво-
удовлетворяет этим граничным условиям. Это есть не что иное, как стандартная зада-
задача электростатики, состоящая в вычислении потенциала внутри прямоуголь-
прямоугольника, две стороны которого имеют потенциал 5, а торцы заземлены. В сис-
системе координат, изображенной на рис. 2, а, опуская произвольную веществен-
вещественную постоянную, связанную с А, имеем
f(Z) =
[ sh (
п(нечет) ттга[ \
sh
/ch'
B.9)
Из этого выражения для боковых сторон прямоугольника получаем сле-
следующие равенства;
Im/(±S + ir)= 5,
Ref(±S +iy)=±lg{y)+ А (у)],
где
45
cos
п нечет тгл 1
л нечет ттл
\ Т I
B.10)
B.11)
B.12)
B.13)
-S
+ s
-2S-
111
P и с. 2. Системы координат, используемые при решении краевой задачи. Система
(а) рассматривается в разд. 2 настоящей статьи, а система (б) —в разд. 3.
124
Р. Ренделл, С. Гирвйн
В выражении B.12) сумму можно вычислить точно, и мы имеем
- 25-
Пэлагая Z = ±S + iy, из формулы B.8) находим
B.14)
B.15)
Из этого выражения следует, что в углах структуры электрическое поле име-
имеет степенную особенность. Интересно отметить, что показатель этой степе-
степени является таким же, как у многочастичной t -матрицы в задаче о крае рент-
рентгеновского поглощения [ 5]. В обоих случаях речь идет об аналитической функ-
функции, фаза которой изменяется скачком от нуля до 5. Такая функция неизбеж-
неизбежно имеет особенность степенного типа.
3. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ
Потенциал на краях структуры (а следовательно, и холловское напряже-
напряжение) можно определить путем интегрирования поля, описываемого выражени-
выражением B.15). Однако наличие сингулярности в углах создает численные труднос-
трудности, особенно в представляющем наибольший интерес предельном случае
B5/тг) -»1.Эта трудность отрицательно сказывается и на результатах пре-
предыдущих исследований [3]. Более удачный подход состоит в интегрировании
поля вдоль пути, проходящего непосредственно по середине структуры вда-
вдали от углов. Выражение B.9) для этого неприемлемо, поскольку оно сходит-
сходится довольно медленно, особенно для структур с большим отношением длин
сторон [G72S) » 1].
Удобно перейти к новой системе координат, изображенной на рис. 2,6, и
записать f(Z) в виде
]\?) — to + k(Z,), {y•^)
где \mk(Z) = 0 на боковых сторонах и Imit(Z) = —5 на торцах структуры. При
этом получаем следующее выражение:
A(Z)= -2 21-
п нечет ттга
C.2)
которое для структур с большим отношением длины к ширине всюду, за исклю-
13. Холловское напряжение и геометрия инверс. слоя
125
чением углов, быстро сходится. Это выражение принимает особенно простой
вид на центральной линии (у = 0), где уравнения B.8), C.1) и C.2) приводят
к следующим формулам для компонент электрического поля:
Ех (*) = -ein§(*);
здесь
п(нечет) ттл
Полный ток через структуру, равный
/ = ) JAx)dx,
о 7
с помощью формулы B.1) можно переписать следующим образом:
/ fdx^(Egx)
о H-tg25 y
Холловское напряжение определяется выражением
C.3)
C.4)
C.5)
C.6)
C.7)
C.8)
а для холловского сопротивления мы имеем
R=vH/i. C-9)
3 случае бесконечно длинной структуры для любых х выполняется следующее
соотношение:
EjEy = tgS, C.10)
и поэтому холловское сопротивление имеет вид
Яоо= -(lAOtgS. <ЗЛИ
Из выражений C.7) - C.11) получаем
1 + te25 Г 2S 2S
C.12)
126
Р. Ренделл, С. Гирвин
Р и с 3. Геометрия прибора, используемого в Научно-исследовательской лаборатории
ВМС. Отношение длины к ширине равно 6,5. Хопловские эонды расположе-
расположены вдоль каждой из сторон иа расстоянии, соответствующем 1/5 полной
длины стороны, от торцов прибора.
-J
-2
-3
-ч
-5
-6
-7
-8
-9
-га
-11
_Ч
-
Л
i i
\
\
\
\
ч
\
\
\
\
I i
! |
ч
\
\
\
\
\
Vh/V^
i i
i i i i
-
—
'**/У**)
-
\
\
ч
ч
Ч Ч
\ ^ -
\ ч
^Ч N. -
-1 -2 -3 -4 -5 -б -7 -8 -Э -10
Р и с. 4. Погрешность в измеряемом холловском напряжении за счет эффекта зако-
закорачивания, в случае когда структура имела отношение длины к ширине,
равное 6,5 VH = IR _ измеряемое холловское напряжение; Voo = IR^-
идеальное холлоеское напряжение для бесконечно длинной структуры. Ниж-
Нижняя сплошная линия получена для холловских зондов, расположенных лосе-
редине между торцами (х = 1/2), а верхняя для геометрии, приведенной на
рис. 3 (х = 1/5). Штриховая линия соответствует геометрии на рис. 3. Вели-
Величина ? определяется из выражения 6 = A/2)ттA — <•).
13. Холловское напряжение и геометрия инверс. слоя
127
Расчет этого выражения показывает, что (R/R^ )~1 — е . На рис. 4 при-
приведены результаты численных расчетов для геометрии структуры, представ-
представленной на рис. 3. Электрическое поле на краю структуры дается выражением
B.15). Его параллельная компонента Е имеет порядок е . Следовательно,
экспериментальное измерение величины Vxx , т.е. падения напряжения между
двумя контактами на одной и той же стороне структуры (см. рис- 3), позво-
позволяет определить е . На рис. 4 показана зависимость Vxx от е для геометрии
структуры, показанной на рис. 3.
4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Хотя наименьшее достижимое значение е неизвестно, однако предвари-
предварительные измерения, выполненные сотрудниками Национального бюро стан-
стандартов и Научно-исследовательской лаборатории ВМС [4], дают для верхне-
верхнего предела е величину 5-Ю-7. Отсюда следует, что погрешность за счет
эффектов закорачивания на торцах структуры является в рамках рассматри-
рассматриваемой модели чрезвычайно малой. Это нетрудно понять на примере резуль-
результатов, полученных для прибора с отношением длины к ширине, равным 6,5, и
приведенных на рис. 4. Одно из следствий малости величины е состоит в том,
что холловское напряжение FH и напряжение между стоком и истоком Vs D
равны друг Другу (также с точностью до очень малых поправок). Это не про-
противоречит тому факту, что напряжение V^ близко к нулю, так как между тор-
торцевым электродом и инверсионным слоем существует слой поверхностного
заряда и почти все напряжение падает на этих границах (в рамках рассмат-
рассматриваемой модели).
В нашей модели при изменении размеров инверсионного слоя результаты
меняют масштаб таким образом, что в ответ входит только отношение разме-
размеров. Однако некоторые из физических допущений, сделанных при выводе
уравнений, при таком изменении масштаба могут нарушаться. В частотнос-
частотности, мы неявно предполагали, что электроны рассеиваются, прежде чем они
достигнут стока, что позволяет внести понятие об угле Холла. Однако умень-
уменьшение размера системы при фиксированном значении VSD может в конце кон-
концов привести ее в режим горячих электронов. Из-за чрезвычайно малой час-
частоты столкновений это может произойти уже при достаточно больших разме-
размерах
1)
Судя по всему, авторы имеют в виду так называемый баллистический режим,
реализующийся в случае, когда длина свободного пробега превосходит длину инверсион-
инверсионного канала (см., например, обзор [ 9*]). — Прим. перев.
128
Р. Ренделл, С. Гирвин
В нашей модели также предполагалось, что угол Холла однороден по ин-
инверсионному слою. Это приводит к существенному разрыву линий электричес-
электрического поля на проводящих торцевых электродах в пределе B5/тт) -* 1, что и соз-
создает степенные сингулярности в углах структуры. Кавадзи [ 6] проиллюстрировал
эту ситуацию с сильной концентрацией поля вблизи углов. В реальных струк-
структурах вблизи электродов величина 5 будет иметь неоднородное распределение
вследствие высокой плотности поля, конечной проводимости электродов и
скругления углов у структуры. Поэтому предположение о постоянстве 5 ста-
становится менее точным в случае большого отношения длины к ширине, когда
особенность поля оказывается более сильной. Однако, как было отмечено в
разд. 2, наша модель в этом смысле переоценивает погрешность. Пренебре-
Пренебрежение магнитным полем, создаваемым токами в приборе, также приводит к
большим погрешностям при большом отношении длины к ширине.
В нашей модели мы предполагали, что ток через холловские зонды от-
отсутствует. Любой такой ток мог бы привести к серьезным погрешностям в
измерениях из-за весьма высокого выходного импеданса прибора(/?вых= А/е2!).
При малых размерах прибора могут возникнуть и другие сложности, обус-
обусловленные конечностью размеров циклотронной орбиты и наличием краевых
полей на кромке затвора, делающих границы инверсионного слоя неясно выра-
выраженными. Можно надеяться, что неоднородности в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном плоскости (например, флуктуации толщины окисной пленки), не будут иг-
играть существенной роли вследствие нечувствительности холловского сопротив-
сопротивления в области ступеньки к напряжению на затворе. Еще одной трудностью
является возможность локализации некоторых носителей в случайном потен-
потенциале примесей. Высказывался ряд физических аргументов в пользу того, что
локализованные состояния не влияют на холловское сопротивление, но деталь-
детально этот вопрос не рассматривался [ 7]. Недавно Пранге [ 8] показал справедли-
справедливость этого утверждения для частного случая одиночного рассеивателя с по-
потенциалом в виде 5-функции.
С целью нового определения постоянной тонкой структуры и соз-
создания нового эталона сопротивления на основе квантового эффекта
Холла желательно уменьшить погрешности в измерении холловского сопро-
сопротивления до уровня 10-8 или ниже. Мы считаем, что для инверсионных слоев,
описываемых данной простой моделью, погрешность за счет закорачивания
холловского поля на торцах прибора конечного размера является пренебре-
пренебрежимо малой. Из рис. 4 можно видеть, что для структуры с отношением дли-
длины к ширине, равным 6,5,и е = 5"Ю~7 погрешность, обусловленная эффектом
закорачивания, составляет при центральном расположении холловских зондов
примерно 3-Ю-10.
13. Холловское напряжение и геометрия инверс. слоя
129
Литература
1. Surf. Sci., 98 A980).
2. Klitzing К., v., Dorda G., Pepper U., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
3. Wick R.F., J. Appl. Phys., 25, 741 A954);
Lippman H.J., Kuhrt F., Zs. Naturforsch., 13A, 462 474 A958)
4. Cage U.E., Dziuba R.F., Field B.F., Wagner R.]., Lavine С.Л.'неопублико-
ванная работа.
5. Mahan G.D., Solid State Physics, vol. 29 (eds. H. Ehrenreich, F. Seitz D Turn-
bull), Academic Press, New York, 1974, p. 75.
6. Kawaji S., Surf. Sci., 73, 46 A978).
7. Tsui D.C., Allen S.J., Phys. Rev. B, 24, 4082 A981). [Имеется перевод в на-
настоящем сборнике (статья 15).]
Stiles P.J., неопубликованная работа.
8. Pmnge R.E.,Phys. Rev. В, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья16).]
9*. Рыжий В.И., БанноеН.А., Федирко В.А. - ФТП, 1984, т. 18, с. 769.
14. Объяснение плато квантованного
холловского сопротивления
в инверсионных слоях гетеропереходов
Г.Барафф, Д. Цуи*
Перевод статьи: Baraff G.A.y Tsui D.C. — Physical Review B, 1981, v. 24, № 4,
p. 2274.
Самосогласованный расчет зависимости отношения N/B (где N —
концентрация носителей а инверсионном слое и В - напряженность маг-
магнитного поля) от 1/В приводит к квантованным значениям (плато) в ко-
конечных интервалах магнитного поля В, что согласуется с измерени-
измерениями холловского сопротивления, выполненными Цуи и Госсардом. Элек-
Электроны поставляются в инверсионный слой ионизованными донорами, ко-
которые благодаря изгибу зон имеют непрерывное распределение по энер-
энергии. При прохождении уровней Ландау мимо донорных состояний пос-
последние заполняются или опустошаются, что приводит к образованию
плато.
Недавно было обнаружено квантование холловского сопротивления дву-
двумерного электронного газа в инверсионных слоях Si-МОП-транзисторов (поле-
(полевых транзисторов со структурой металл — окисел - полупроводник) [ 1] и ге-
гетеропереходов GaAs — Al^Ga х _xAs [2]. Исходной причиной этого нового
квантового эффекта является расщепление энергетического спектра Двумер-
Двумерного электронного газа в магнитном поле на дискретные уровни Ландау, каж-
каждый из которых вырожден с кратностью р = eB/h. (Здесь В — величина маг-
магнитного поля, перпендикулярного плоскости двумерного электронного газа;
hie — квант потока; спиновое и долинное расщепление не учитываются.) При
заполнении целого числа уровней Ландау nL рассеяние отсутствует благода-
благодаря наличию щели между заполненным и пустым уровнями Ландау. В этом слу-
случае Диагональная компонента проводимости а равна нулю, а не диагональ-
ная, холловская компонента а = Ne/B. Поскольку N = пьф> есть полное
число электронов, необходимое для заполнения nL уровней Ландау, мы имеем
о- х - nT e2/h, а холловское сопротивление рх = A/nLe2. Холловское сопро-
сопротивление принимает такое характерное значение лишь при отсутствии в сис-
системе частично заполненных уровней Ландау, т.е. при несовпадении энергии
Ферми с уровнями Ландау.
*G.A.Baraff, D.C.Tsui, Bell Laboratories, Мнггау-НШ, New Jersey 07974, USA.
©1981 The American Physical Society
14. Объяснение плато
131
Такое простейшее объяснение является неполным; оно не учитывает двух
независимых нерешенных проблем. Первая из них должна дать ответ на вопрос:
почему величина а равна nLe2A со столь высокой точностью, несмотря
на наличие в системе злектрон-электронных взаимодействий, краевых эффек-
эффектов, флуктуации потенциала и т.п.? Этот вопрос исследовался на ряде
теоретических моделей [3-6] и здесь рассматриваться не будет. Вторая
проблема, которую мы здесь рассмотрим, связана с ответом на вопрос: поче-
почему квантованные значения а существуют в конечных интервалах величин N
или В, т.е. почему существуют плато? Из формулы аху = Ne/B ясно, что для
наблюдения плато на зависимости от магнитного поля В концентрация /V долж-
должна меняться с изменением В, т.е. должен иметься резервуар, поставляющий
носители в двумерный электронный газ.
В настоящем сообщении будет показано, что в гетеропереходах, в кото-
которых двумерный электронный газ предполагается изолированным, на должном
расстоянии существуют ионизованные доноры, играющие роль резервуара. На-
Наши расчеты потенциала в гетеропереходах Ga As — Alx Ga l _ х As , аналогич-
аналогичных использованным в работе [ 2], показывают, что при уровнях легирования,
используемых для получения двумерного электронного газа, высота и толщи-
толщина потенциального барьера на л-стороне перехода столь малы, что между иони-
ионизованными донорами и инверсионным слоем возможно быстрое туннелирование.
Обе эти системы даже при низких температурах находятся в равновесии. По-
Поскольку уровни Ландау при изменении В сдвигаются относительно энергий до-
доноров, концентрация носителей в инверсионном слое зависит от В и требует са-
самосогласованного расчета, который был выполнен нами с использованием те-
теории Хартри. Теоретически найденные зависимости /V/B содержат плато, анало-
аналогичные наблюдаемым в экспериментах.
Важнейшим свойством резервуара, оказывающим влияние на ширину пла-
плато, является его пространственная удаленность от двумерного электронного
газа. Это объясняется тем, что движение уровня Ландау относительно энергия
Ферми EF обусловлено двумя причинами. Во-первых, энергия уровня относи-
относительно потенциала двумерного электронного газа (nL + 1/2) %озс увеличивает-
увеличивается с ростом магнитного поля В. Во-вторых, потенциал двумерного электрон-
электронного газа относительно EF также зависит от В, поскольку электроны, необ-
необходимые для поддержания уровня в заполненном состоянии, переходят из ре-
резервуара (или в резервуар), который фиксирует энергию Еу. Чем удаленнее
резервуар, тем сильнее меняется потенциал двумерного электронного газа
при переходе каждого электрона. В случае когда уровень Ландау совпадает
с ?F, возрастание магнитного поля В приводит к увеличению энергии уровня
и его опустошению путем перевода электронов обратно в резервуар, что вы-
вызывает понижение потенциала двумерного электронного газа. Это понижение
132
Г. Барафф, Д. Цуи
потенциала удерживает частично заполненный уровень в точности на ?F. Ког-
Когда же уровень опустошится полностью, он поднимется выше Е^,. При этом
частично заполненные уровни Ландау отсутствуют и начинается новое плато.
Теперь с возрастанием В увеличивается число носителей, которое может
вместить заполненный уровень Ландау, и носители переходят из резервуара
в двумерный электронный газ. Потенциал двумерного электронного газа уве-
увеличивается, увеличивается также и энергия каждого уровня Ландау и, нако-
наконец, самый верхний заполненный уровень достигает Еу . На этом плато закан-
заканчивается, и цикл повторяется снова. Если полагать, что ионизованные доноры
вблизи гетероперехода представляют собой единственный резервуар, то для
реальных параметров материалов вычисленные ширины плато оказываются при-
приблизительно на 22% меньше, чем наблюдавшиеся на гетеропереходах.
На ширину плато могут оказывать влияние и другие эффекты. Например,
край подвижности внутри уширенного уровня Ландау может также создавать
резервуар локализованных состояний. Из-за своего расположения непосредст-
непосредственно внутри двумерного электронного газа это может быть весьма эффек-
эффективный резервуар, поскольку его заполнение или опустошение не изменяет
потенциала двумерного электронного газа. Мы не будем усложнять модель
рассмотрением такого резервуара, хотя его наличие и вполне возможно.
Другим возможным эффектом, влияющим на ширину плато, является зави-
зависимость собственной энергии верхнего заполненного уровня Ландау от степени
его заполнения. Она будет изменять скорость опустошения уровня при увеличе-
увеличении поля. Мы будем полагать, что собственная энергия электронов на частич-
частично заполненном уровне Ландау сильно зависит от степени заполнения самого
верхнего уровня, увеличивая свое отрицательное значение по мере роста за-
заполнения, хотя зависимость энергии от числа электронов на низших заполнен-
заполненных уровнях также имеет место. Это несколько напоминает объяснение обмен-
обменного возрастания g-фактора, осциллирующего в сильных полях. Действитель-
Действительно, можно считать, что выражение для собственной энергии, использованное
Андо и Уемурой [7], проявляет зависимость такого рода. Для описания ука-
указанной зависимости собственной энергии от степени заполнения нами пред-
предлагается простое однопараметрическое выражение, учет которого увеличива-
увеличивает ширину плато в наших расчетах.
Перейдем к описанию модели и последовательных расчетов. Рассматри-
Рассматривается гетеропереход, изображенный на рис. 1. Со стороны Ga As (координа-
(координата х > 0) суммарная концентрация акцепторов NA мала. Когда переход нахо-
находится в равновесии, уровень Ферми проходит вблизи края валентной зоны в
объеме Ga As . Изгиб зон приводит к заполнению части акцепторных уровней,
создавая в области 0 < х < L А неподвижный заряд с плотностью NA (в еди-
единицах заряда электрона —е). В инверсионном слое существует подвижный за-
14. Объяснение плато
133
Рис.). Равновесная зонная диаграмма гетероперехода в нулевом магнитном поле.
ряд с плотностью pj (x). Поверхностная плотность инверсионного заряда
Ql = Го Pi W ^х непосредственно определяется из периода осцилляции Шуб-
никова — де Гааза.
На границе \х = 0) зона проводимости терпит разрыв известной величи-
величины Д [ 8]. Там возможно также наличие локализованных состояний, например
оборванных связей, энергии которых определяются зонной структурой, а не
уровнями Ландау. Эти состояния в отличие от носителей в инверсионном слое
не описываются в рамках формализма эффективной массы, и было бы некор-
. рентным считать их отщепленными от уровня Ландау. Тем не менее они мо-
могут выступать в роли резервуара электронов, поставляя носители в инверси-
инверсионный слой и обусловливая тем самым наличие плато. Мы не знаем их плот-
плотности и энергетического спектра и будем пренебрегать ими как резервуаром,
считая, что все эти состояния лежат ниже инверсионного слоя, всегда явля-
являются заполненными и образуют поверхностный заряд с плотностью Qs 5 (х).
Величину Qs следует подбирать из условия совместимости с другими изме-
измеряемыми параметрами, поскольку их значения в действительности сами за-
зависят от Q$ •
Со стороны Al^Ga х _ х As (координата х < 0) концентрация доноров ND
велика. Номинально она равна нулю в приграничном слое толщиной L и од-
однородна во всем остальном объеме. В образцах с модулированным легирова-
легированием типичные значения L лежат в интервале 0 — 100 А [9]. В равновесных
условиях уровень ?F располагается вблизи края зоны проводимости в объеме
AlxGa х _ xAs . Изгиб зон приводит к опустошению части донорных уровней,
создавая в слое —LD < х < —L заряд с объемной плотностью — ND • Пренеб-
Пренебрегая малой разницей .в диэлектрических проницаемостях е обоих полупровод-
полупроводников, получаем следующие условия для плотностей зарядов и энергий (в при-
приближении обедненного слоя):
DtoVs)[-I Nd(L2d-L2)
134
где
Г. Барафф, Д. Цуи
14. Объяснение плато
NALA
B)
Xj * / xPl(x) dx/Qj.
о
Для одной заполненной подзоны Qj - / p(e)de, где ef — граница за-
заполнения, а р (е ) — плотность состояний для поперечного движения. Учиты-
Учитывая спиновое вырождение, но пренебрегая энергией спина, имеем
р (е) - р йсос 2 5(е - (п - 1/2)йсос),
п
"с = еВ/п?
р= {2тг
В отеутствие магнитного поля величина р(е) имеет постоянное значение р.
Таким образом, имеем следующие выражения:
' приВ=0; (За)
(?/=
, (» - 1/2)Лшс < ? F < (i + 1/2) Л
COc, (j + 1/2)ЙС0=Ер.
C б)
(ЗВ)
Выражение (Зв) применимо в случае, когда i -й уровень совпадает с ?F . При
этом степень заполнения а лежит между нулем и единицей. Поскольку е f опре-
определяется объемным значением EF , можно записать следующее равенство:
Dтте2Д ) ND (L2 - L2)/2 = Д -
D)
Точные значения Eg и Xj зависят от формы потенциала у(х) (см. ниже), но,
как правило, близки соответственно к 100 мэВ и 100 А. Временно считая их
известными, из выражений A), B), (За) и D) определяем Qs, LA, ef и LD.
При необходимости можно провести итерационную процедуру, определив q> (x)
и повторно вычислив Eg и Xj . Полагая Qj = 4,2:1011см~2, L = 100 А,
ND = 7-1017см-3о, NA = 1015см-3 и Д = 315 мэВ, получаем Qs = 3,8*10"см-2
и LA = 1,5-104А.
Барьер, через который носители должны туннелировать, является приб-
приблизительно параболическим с Д — Eg =245 мэВ и: LD - 236 А. Полагая
135
»й*= 0,068 mQ, получаем, что время установления равновесия между двумя
системами имеет порядок 10—' с.
Теперь обсудим роль магнитного поля В. При охлаждении образца полу-
полупроводник превращается в диэлектрик. В силу этого аЕЦепторы не перезаря-
перезаряжаются, величина Qa= NaLa замораживается на полученном выше значе-
значении, положение уровня Ферми в объеме Ga As перестает играть роль и урав-
уравнение A) можно исключить из рассмотрения. Однако доноры и инверсионный
слой остаются связанными и соотношение между LD,Q{ и ef сохраняется.
Рассмотрим вначале значения магнитного поля, при которых существует час-
частично заполненный уровень Ландау. При этом для определения Qj , LD, e F
и (t + ос) необходимо использовать выражения B), (Зв) и D). Исключая из
этих четырех уравнений Qj , ef и Ld и вводя обозначения y=EF /ftpc и
QA= Qj + Qs°, получаем
(i +cc)y+ c(L
A=(QIiJ,
В = 2Qf (Q*A + ND L),
C= Bте2А)-%Е«,
D = B ueVe )-' ND (Д - e B) - QX (Q*A
E a)
E6)
E b)
Er)
EД)
Верхний индекс " относится к величинам, вычисленным ранее для В = 0.
Пренебрегая на время зависимостью ?g от Qt, видим, что выражения
E) отражают существенные свойства решения. Рассмотрим результирующие
значение
Qj /р йшь = i + а,
у.
F а)
F6)
считая сумму i + а параметром. Для нецелых значений i + а величина а оп-
определена однозначно и при этом для у имеется одно положительное решение.
В случае i + а = nL (raL — Целое число) мы должны использовать два значе-
значения: а = 0 и а = 1, каждому из которых соответствует свое положительное
значение у . Значения у, промежуточные между этими двумя, не удовлетво-
удовлетворяют уравнению E а), поскольку они не соответствуют полям, при которых на
поверхности имеется частично заполненный уровень. В этих областях запол-
заполнено ровно nL уровней Ландау и должно использоваться уравнение C б).
Это и есть плато с квантованными значениями рх .
136
Г. Барафф, Д. Цуи
Теперь учтем изменение величины е в . В конечном счете е в зависит от
QA и Qj , но в рассматриваемой ситуации QA фиксировано. Если относитель-
относительные изменения Qj невелики, то в разложении по Qj можно ограничиться чле-
членами первого порядка, что дает
G =
V
»=
i0 = (» +«)y
Ga)
G 6)
G b)
Хотя для вычисления величин efi и G необходимо иметь в принципе самэсо-
гласованное решение уравнения Шредингера, весьма хорошим приближением,
как было показано, является простая аналитическая формула, впервые пред-
предложенная Фэнгом и Ховардом [ 10] и обстоятельно изученная Стерном [11].
При этом исходят из того, что для волновой функции ц>ь (z) =(ba/2I/2ze~b z/z
плотность заряда NA + yl{z)QI и результирующий потенциал ф (г) зависят
от Ь. Значение гамильтониана, у которого пробная волновая функция выбрана
в виде h>q(z) = (р 3/2)^ ze-&z/2, зависит от величин Ь и р и должно быть ми-
минимизировано путем вариации р . Затем, полагая р = Ъ, делают всю процеду-
процедуру самосогласованной. Из результирующего уравнения определяется величина
р, и мы получаем величины е в Xj и G в виде аналитических функций от Qr
Подстановка выражений G) в E д) позволяет отделить равновесную часть,
после чего мы получаем
D= D°-[(i +<x)/y-\}F (F^CG^/t^
Используя решение в случае В - 0, можно показать, что D0 = А +¦ В + С, от-
откуда следует, что при а = 1/2 решение записывается в виде у - i + a, a Qj= Qf.
Для произвольных а имеем у = i + а + К , ав первом порядке по K/(i + а ) по-
получаем
Эта величина однозначна при нецелых i + « и имеет два значения при i + а = пъ
поскольку при этом а имеет два значения. Относительная ширина плато
(в единицах периода осцилляции Шубникова — де Гааза) равна С/BА +¦ В + С + F).
Плато связано исключительно с наличием доноров, играющих роль резервуара.
14. Объяснение плато
137
Полученные выше результаты качественно соответствуют показанным на
рис 2. Некоторое различие связано с тем, что мы еще не учитывали собствен-
собственную энергию Z электрона на верхнем уровне Ландау. Величина 2 зависит от
i , a, Qj и fiwc , но, поскольку две последние величины определяются задани-
заданием i и а, будем обозначать величину Z как 1.{ (а). Чтобы учесть влияние
этой величины, запишем формулу D) в модифицированном виде, заменив е в
на 6 в +2. Это приведет к следующей модификации решений: модифицирован-
модифицированное D° по-прежнему равно А + В + С, ак?в-?В° добавляется величина
52(а) = 1((а) -1°. Здесь Z0 - собственная энергия электрона на уровне
Ферми в двумерном электронном газе при 6=0.
Хотя величина 5Z a priori неизвестна, о ее виде можно высказать правдо-
правдоподобные соображения. Поскольку мы обнаружили, что при a = 1/2 плотность
носителей такая же, как при 6=0, можно предположить, что при a = 1/2
мы имеем 5Z = 0. Разность 5Z @) - 5ZA) представляет собой энергию, свя-
связанную с возрастанием «-фактора, а соответствующим энергетическим мас-
масштабом является йсос. Простая функция, которая удовлетворяет этим требо-
требованиям, сильно меняется с изменением а (электроны на частично заполненном
уровне должны быть хорошо поляризуемы) и легко вписьшается в наш метод
расчета, имеет- вид 52(а) = A/2 — а)Цас § . По аналогии со случаем ^фак-
^фактора можно ожидать, что параметр Е, является положительным и в более стро-
строгой теории зависит от ширины уровня Ландау.
Рассмотрение нетрудно повторить с учетом 52. Окончательный результат
сводится к тому, что при вычислении К разность A/2 — с) следует умножить
на A +§)• На рис. 2 представлена зависимость величины i + а от у, вы-
вычисленная при § = 0,22 и параметрах образца, соответствующих образцу 1 из
работы [ 2]. Указанные значения поля удовлетворяют условию %ас = е р при
В - 8,4 Тл. Стрелками отмечены границы плато на а xv в соответствия с
табл. II из работы [ 2]. В отсутствие § (нашего единственного подгоночного
параметра) плато сужаются на 22%. Наши расчеты показывают, что с помо-
Р и с. 2. Зависимость Q7 /рАсо от е?./Ясос , полученная из расчетов для образца 1 из
работы [2] с использованием параметров, указанных а тексте; § = 0,22.
138
Г. Барафф, Д. Цуи
щью простых самосогласованных расчетов можно объяснить значительную
часть экспериментальных результатов, • полученных на гетеропереходах
Ga As — AlxGa j _ ^s, а с помощью вычислений, учитывающих собственно-энер.
гетические поправки, — всю их совокупность.
В слоях SiO 2 кремниевых полевых МОП-транзисторов доноры, действующие
как резервуар электронов, по-видимому, отсутствуют. Акцепторы в Si также
неэффективны, так как отделены слишком широким слоем обеднения. Затвор-
Затворный электрод, соединенный с двумерным электронным газом, через внешнюю
цепь и действующий как резервуар, находится столь далеко, что создает пла-
плато фактически нулевой ширины. Однако фигурировавшие в наших расчетах по-
поверхностные состояния могут существовать в интересующем нас энергети-
энергетическом интервале и выступать в качестве резервуара1^. Резервуаром могут
также служить локализованные состояния за краями подвижности каждого из
уровней Ландау. Очевидно, что необходим должный учет всех этих эффектов,
прежде чем будут сделаны количественные выводы о краях подвижности и ло-
локализации.
Благодарности
Нам приятно выразить благодарность Q Адлену, Г. Штермеру, А. Госсарду
и П. Платцману за полезные замечания.
Литература
1. Klitzing К., v., Dorda G., Pepper U., Phys. Rev. Lett., 45. 494 A980). [Име-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Tsui B.C., Gossard А.С., Appl. Phys. Lett., 38. 550 A981). [Имеется пере-
перевод в настоящем сборнике (статья 2).]
3. Tsui D.C., Allen S.J., Phys. Rev., В, 24. 4082 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 15).]
4. Prange R.E., Phys. Rev. В, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 16). ]
5. Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в насто-
настоящем сборнике (статья 18).]
6. Aoki H., Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 17).]
7. Ando Т., Петита Y., J. Phys. Soc. Japan, 37, 1044 A974).
14. Объяснение плато
^ В рвботах [12* — 14*] было показано, что квантованные плато рх в кремни-
кремниевых МОП-структурах действительно могут быть объяснены наличием резервуара по-
пограничных состояний, а свойства этого резервуара можно определить путем исследо-
исследования самого квантового эффекта Хоппа. — Прим. ред.
139
8. Dingle R., In: Festkoipeiprobleme XV (ed. H J. Queisser), Pergamon-Vieweg,
Braunschweigh, 1975, p. 21.
9. Dingle R., Stormer H.L., Gossard A.C., Wiegmann W., Appl. Phys. Lett., 37,
665 A978).
10. Fang F.F., Howard W.E., Phys. Rev. Lett., 16. 797 A966).
11. Stem F., Phys. Rev. B, 5. 4891 A973).
12*. Константное О.В., Мезрин О.А., Шик А.Я. - ФТП, 1983, т. 17, с. 1073.
13*. Константное О.В., Мезрин О.А. - ФТП, 1983, т. 17, с. 1120.'
14*. Константинов О.В., Мезрин О.А., Шмарцев ЮЗ. - ФТП, 1983, т. 17,
С* * it 11 •
15. Локализация
в квантованное холловское сопротивление
в двумерном электронном газе
Д. Цуи, С. Аллеи, мл*.
Перевод статьи: Tsui D.C., Allen S.J., Jr. - Physical Review В, 1981, v. 24, № 7,
p. 4082.
Простые аргументы, основанные на классической двумерной теории
протекания, показывают, что наличие локализованных состояний на уровне
Ферми в зазоре между уровнями Ландау должно оказывать небольшое вли-
влияние на квантованное хопловское сопротивление при температуре Т = О К.
Как было показано в работах [ 1, 2], холловское сопротивление двумерно-
двумерного электронного газа в пределе сильных магнитных полей является кратным
величине hi е2 с точностью, которая позволяет использовать эффект для соз-
создания эталона сопротивления или для измерения величины h/e2- Очевидно, что
локализованные состояния, расположенные вблизи минимума плотности сос-
состояний между уровнями Ландау, играют важную роль в следующих двух отно-
отношениях. Во-первых, благодаря наличию таких состояний уровень Ферми систе-
системы в некотором интервале электронных концентраций или магнитных полей
может находиться вне области делокализованных (токонесущих) состояний и,
во-вторых, локализованные состояния почти не влияют на величину холловско-
го сопротивления, хотя и препятствуют любым попыткам точного определения
числа электронов в делокализованных проводящих состояниях ниже уровня
Ферми. Этот результат предвидел еще Андо [3], но последние эксперименты
стимулировали разработку нескольких новых интересных микроскопических
теорий [4 — 6], посвященных влиянию локализованных состояний на квантован-
квантованное холловское сопротивление. Все эти теории приходят к желаемому выводу
о том, что локализованные состояния оказывают малое влияние на холловское
сопротивление или вообще на него не влияют.
К такому выводу нетрудно прийти и без привлечения строгих, но утоми-
утомительных квантовомеханических расчетов, учитывающих роль магнитного поля,
если сделать следующие два предположения.
1) Если система находится при температуре О К и уровень Ферми лежит
в области локализованных состояний, то некоторая часть / площади образца,
15. Локализация и квантованное холловское сопротивление
141
* D.C.Tsui, S.J.Allen, Jr., Bell Laboratories, Merray-Hill, New Jersey 07974, USA.
© 1981 The American Physical Society.
соответствующая локализованным состояниям, может не проводить ток. Осталь-
Остальная часть образца может' считаться идеальной и заполненной целым числом
уровней Ландау. (Точная величина области, исключенной за счет локализован-
локализованных состояний, несущественна, однако делокализованные участки должны быть
связными. Относительная доля локализованных и делокализованных областей
может меняться при изменении полной концентрации электронов в области пла-
плато.)
2) Результирующую систему можно рассматривать как неоднородную двух-
компонентную. Одна ее компонента, имеющая относительную долю /, являет-
является диэлектриком, а другая компонента, характеризуемая долей 1 — /, представ-
представляет собой проводник с квантованным холловским сопротивлением.
Гальваномагнитные явления в двухкомпонентной двумерной системе изу-
изучали Юречке, Ландауэр и Свенсон [7], Арнольд и Шеннон [8], а также Адкинс
[9], которые получили следующие результаты. Авторы работы [7] показали,
что холловское сопротивление не зависит от исключенной площади при усло-
условии, что оставшаяся область является связной. Адкинс [ 9] выполнил расчеты
по методу эффективной среды и обнаружил, что холловское сопротивление оп-
определяется связной областью вплоть до порога протекания при / = 0,5. Послед-
Последний результат, хотя и полученный в приближении эффективной среды, свидетель-
свидетельствует о поразительной нечувствительности холловского сопротивления к нали-
наличию включений, в нашем случае - локализованных состояний. Следует заметить,
что аналогичное рассмотрение трехмерного случая [7, 10] дает поправки к хол-
ловскому сопротивлению, линейные по доле исключенных областей /, и поэто-
поэтому нельзя рассчитывать на наличие у трехмерных систем таких же примеча-
примечательных свойств, как у двумерных систем.
Физическая сущность явления ясна и была также продемонстрирована в раз-
различных микроскопических теориях. В проводящих областях течет дополнитель-
дополнительный ток, компенсирующий отсутствие тока в исключенных участках. Возраста-
Возрастание холловского напряжения в проводящих областях точно компенсирует его
отсутствие в исключенных участках. Такой эффект возможен лишь для дву-
двумерных систем.
Как и другие теоретические расчеты, приведенное выше рассмотрение не
позволяет получить количественных поправок к холловскому сопротивлению.
Однако оно представляет полезный интуитивный способ трактовки удивитель-
удивительного физического результата.
Литература
1. KlitzingK., v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980). [Име-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья I).]
2. Tsui D.C., Gossard A.C., Appl. Phys. Lett., 38, 550 A981). [Имеется пере-
перевод в настоящем сборнике (статья 2).]
142
Д. Цуи, С. Аллен, мл.
3„ Ando Т., J. Phys. Soc. Japan, 37, 622 A974).
4. PrangeR.E., Phys. Rev, B, 23. 4802 A981). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 16).]
5. Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 23. 5632 A981). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 18).]
6. Aoki U., Ando Т., Solid State Comm., 38. 1079 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 17).]
7. Juretschke H.J., Landauer R., Swanson J.A., J. Appl. Phys., 27, 838 A956).
8. Arnold E., Shannon J-U,, Solid State Comm., 18, 1153 A976)
9. Adkins C.J., J. РЬув. С, 12. 3389 A979).
TO. Cohen- M.H.,. JortnerJ., Phys. Rev. Lett., 30, 696 A973).
16. Квантованное холловское сопротивление
и измерение постоянной тонкой структуры
Р. Пранге'
Перевод статьи: Prange R.E. — Physical Review В, 1981, т. 23, № 9, р. 4802.
В квантовом пределе проведен простейший точный расчет свойств
двумерного электронного газа в скрещенных электрическом и магнит-
магнитном полях при наличии примеси с потенциалом в виде 5=функции. При-
Примесь создает связанное состояние, не дающее вклада в проводимость.
Однако оставшиеся подвижные электроны, проходя вблизи примеси, соз-
создают дополнительный недиссипативный холловский ток, в точности ком-
компенсирующий уменьшение тока за счет локализации электрона. Благо-
Благодаря этому хопловское сопротивление должно в точности равняться ве-
величине h/e2 , что и было обнаружено экспериментально Клитцингом с
сотрудниками. Кратко обсуждаются возможные отклонения от этого ре-
результата.
В сравнительно недавней работе Клитцинг и, др. [ 1] сообщили о прецизи-
прецизионных (с точностью порядка 10—') измерениях отношения е2/Л- Поскольку
значение скорости света с известно с достаточно высокой степенью точнос-
точности, дальнейшее совершенствование эксперимента позволило бы в принципе1)
измерять постоянную тонкой структуры с точностью, большей, чем сущест-
существующая ныне (~10—7). Клитцинг и др. получили свой результат при измере-
измерениях квантованного холловского сопротивления двумерного электронного газа
в инверсионном слое полевого МОП-транзистора. В настоящей работе прово-
проводятся простые расчеты, связанные с этой проблемой и позволяющие продвинуть-
продвинуться вперед на пути теоретического определения точности, с которой величина
e2/h может быть измерена экспериментально.
Поскольку свободные электроны, заполняющие целое число уровней Лан-
Ландау, обладают холловским сопротивлением, равным в точности величине h/e2,
деленной на целое число, задача состоит в рассмотрении дефектов, которые
могут вызвать обычное сопротивление и (или) создать локализованные состо-
'R.E. Prange, Department of Physics and Astronomy and Center for Theoretical
Physics, University of Maryland, College Park, Maryland 20742, USA.
*' В некоторых лабораториях с помощью этого метода уже, по-видимому, достиг-
достигнута точность порядка 10" [ 2].
© 1981 The American Physical Society
144
Р. Пранге
16. Измерение постоянной тонкой сруктуры
145
яния, способные вызвать отклонение холловского сопротивления от идеально-
идеального значения. (Мы не учитываем межэлектронного взаимодействия, оставляя
его в качестве объекта для будущих исследований.) Мы здесь рассмотрим прос-
простой, поучительный и, что особенно важно, точно решаемый случай двумерной
системы электронов с единственной примесью, характеризуемой потенциалом
в виде 5-функции.
Основной результат заключается в том, что а) существует локализован-
локализованное состояние, которое б) не дает вклада в ток, но при этом в) остальные не-
локализованные состояния создают избыточный холловский'ток, в точности
компенсирующий потерю в токе за счет локализованного состояния. Таким об-
образом, если заполнены все нелокализованные состояния соответствующего
уровня Ландау, полный холловский ток, создаваемый электронами этого уров-
уровня, является в точности таким же, каким он был бы в отсутствие примесей и ло-
локализованных состояний.
N(E)
а0
Р и с. 1. В верхней части — геометрия задачи с одиночной примесью. Справа — энер-
энергетическая диаграмма двух низших уровней Ландау, уширенных за счет
примесей и изогнутых электрическим потенциалом. Кривые а,- -аг- —гра-
—границы энергетических состояний, образованных из различных уровней; кри-
кривые М; _м(- — края подвижности, рвзделяющие локализованные и делокали-
зованные состояния (области делокализованных состояний заштрихованы).
Ход электрохимического потенциала дается кривой ц — \х" — и'. —ц, поло-
положение которой зависит от полной концентрации электронов, т.е. от напря-
напряжения на затворе. Заполненные состояния располагаются под кривой ц'— ц'-
ц" — ц'. Источником холповского напряжения является избыток электро-
электронов (дырок) в областях ц —ц' —ц". Слева — схематическая диаграмма плот-
плотности состояний в сечении с —с, отмеченном в правой части рисунка.
Рассмотрим свободные электроны с эффективной массой т (т. & 0,2 т ,
что соответствует кремнию), движущиеся в плоскости ху и помещенные в элек-
электрическое поле Е, направленное в отрицательном направлении оси х, а также
в магнитное поле В, направленное по оси г. (Геометрия задачи показана на
врезке рис. 1.) Мы не будем учитывать спинового и долинного вырождения и
ограничимся рассмотрением случая, когда заполнен лишь самый нижний уро-
уровень Ландау. Выберем т в качестве единицы массы, тс /еВ в качестве еди-
единицы времени и(Ас/2тгеВI/2=/ в качестве единицы длины.(Циклотронный ра-
радиус kFhc/2ireB в задаче не фигурирует.) Обозначим скорость дрейфа
сЕ/В= -еФн/Ш, где Фн — холловское напряжение, через v, а ширину об-
образца в ^-направлении через W. Гамильтониан системы имеет вид
Н = Но + 2тгА52(г), где Но = A/2) [-д2/дх2 + (ру + хJ] - vx. Собственные
функции гамильтониана Н 0 в калибровке Ландау запишутся в виде
. ,. 1/2
где L — длина образца в у-направлении, Нп — полином Эрмита, х= х + р,
р = р - v, а <р(х) = [ехр( —ж2/2)]/тг^. Состоянию упр соответствует соб-
собственная Энергия п. + vp. Величина р принимает значения 2-nk/ L, где к-
целое число, причем —Ь < —р< W —Ь. Примесь предполагается помещенной
в начале координат, расположенном на расстоянии Ь от нижнего края образца.
Полное число значений р равно, таким образом, WL/2-rr. Эта величина есть
кратность вырождения уровня Ландау. Образец, описанный в работе [ 1], в
наших единицах при В = 18 Тл имел L = 7-104, W = 8'103 и v-'1/W^\0~A.
Мы будем считать L nW макроскопическими величинами, a v малым, но, как
будет видно, 1/L отнюдь не является наименьшим параметром задачи. Ампли-
Амплитуда потенциала А имеет порядок единицы, т.е. А » 1/L .
Для нахождения всех собственных состояний Н разложим состояние,
обозначаемое через ц>а, по "невозмущенным" собственным состояниям Но:
ц/а(т) = ^¦с°р^'пр(г)- Нетрудно показать, что
A)
причем собственная энергия Еа и амплитуда Аа определяются соответствен-
соответственно выражениями
1ч\,
1 = 2тгА
пр
;- П ~PV
пр (Е^ -п -pv)'
B)
C)
10-416
146
Р. Пранге
Как известно, энергии, определяемые формулой B), лежат между близко рас-
расположенными уровнями, отвечающими последовательным значениям р, за ис-
исключением возможных связанных состояний, отщепленных вверх или вниз от
указанной зоны. Поэтому состоянию а мы можем приписывать индекс, соот-
соответствующий ближайшему уровню системы, не возмущенной наличием примеси.
Для простоты будем рассматривать только состояния, принадлежащие нуле-
нулевому уровню Ландау.
В качестве начального приближения сохраним в суммах только члены с
п=0. Это соответствует часто используемому в литературе "пределу силь-
сильных магнитных полей" (см. работу [ 3], а также предыдущие работы этих
авторов). Считается, что такой подход адекватен диагонализации подпростран-
подпространства (почти) вырожденных состояний, соответствующих одному уровню Лан-
Ландау, если уровни расположены на достаточно большом расстоянии друг от дру-
друга. В этом случае выражение для тока можно получить без нахождения точ-
точных собственных функций и ток не зависит от формы рассеивающего потен-
потенциала. Из вида оператора ж-компоненты тока jx = A/i) (д/дх) непосредст-
непосредственно следует, что ни одно из состояний не дает тока вдоль электрическо-
электрического поля. В действительности этот же вывод можно получить и из точного
решения задачи. Оператор ^-компоненты тока имеет вид / = р + х = р + х+ v.
Действуя на состояние ц^а, этот оператор дает сумму состояния ьц>° и сос-
состояния, ортогонального у а} поскольку оператор р + х изменяет номер уров-
уровня Ландау, а, согласно нашему предположению, сумма, определяющая ц>аг со-
содержит состояния лишь одного уровня Ландау. Таким образом, все состояния,
принадлежащие данному уровню Ландау, создают один и тот же холловский ток.
Поскольку локализованное состояние, безусловно, не вносит вклада в ток,
из сказанного выше следует, что использованное приближение справедливо
при отсутствии локализованных состояний. Мы покажем, что для потенциала,
имеющего вид 5-функции, такое состояние существует и приближение неспра-
несправедливо.
Таким образом, мы должны решать задачу полностью, учитывая вклад
в волновую функцию всех уровней Ландау. Сразу же возникает трудность,
связанная с тем, что в выражении B) сумма поП) будучи вычисленной после
суммирования по р, не сходится, по крайней мере если в силу больших зна-
значений L и W заменить суммирование по р интегрированием в бесконечных пре-
пределах и при больших п пренебречь членом pv в знаменателях. Однако в слу-
случае, когда пространственная протяженность волновых функций упр становит-
становится сравнимой с шириной образца, начинает сказываться конечность области
интегрирования и при п. = M~W2 будет иметь место эффективное обрезание.,
(Большая величина этого обрезания является специфической особенностью
16. Измерение постоянной тонкой сруктуры
147
потенциала в виде 5-функции. Для потенциалов конечного радиуса эта величи-
величина значительно меньше.)
Для оценки формул B) и C), заменим сумму по р на интеграл в смысле
главного значения и добавку, связанную со значениями р в непосредственной
близости от сингулярной точки. Введем обозначения ка -5а = LE /2-п-г?
(где ка - целое число, a 2 | Ва| < 1)и ра = 2nka/L ). Тогда уравнение B)
можно переписать в виде
1=
Здесь G(E) — главное значение интеграла, равное
Ba)
(E -n)-1 при |?-и| »
(Поскольку G имеет порядок In M, обрезание при большом, но конечном значе-
значении не приведет к чрезмерно большим значениям G.) Дискретная сумма яв-
является сходящейся и дается выражением аа= — тгс1?(-тг5а). Аналогичным об-
образом можно получить выражения для амплитуд А а:
-* =-IL]/*** ,4Pa)
(За)
Рассмотрим вначале состояния с ра »I, т.е. те, для которых перекры-
перекрытие с примесью мало и величина <р2(ра ) « 1/L действительно очень мала. За
исключением ситуации, когда G(Ea) = 1/л, величина аа неизбежно является
очень большой, в правой части выражения (За) преобладает второй член и от-
отличие состояния уа от соответствующего невозмущенного состояния незна-
незначительно.
Однако существует выделевное значение энергии Е^ , удовлетворяющее
условию G{ER) = I/A, для которого сга«1 ив правой части выражения (За)
преобладает первый член. При этом указанному требованию удовлетворяет
единственный уровень. Это относится также и к случаю примесей в приповерх-
приповерхностных областях образца, которые могут иметь связанные состояния, лежа-
лежащие за пределами квазиконтинуума. (Переход к термодинамическому пределу
L ¦* °°, когда рассматриваемое состояние становится чрезвычайно узким ре-
резонансом, не изменит результата.) Такие состояния являются локализованны-
локализованными с волновой функцией yR - ехр[ —(х2 + у2 — 2ixy)№/\[br (мы полагали
v = 0 и пренебрегали вкладом других уровней). Характерной особен-
особенностью рассматриваемой системы является то, что радиус состояния,
локализованного на короткодействующей флуктуации, определяется величиной
магнитного поля и не увеличивается даже при очень малых А и Е^. (Этот факт
может привести к модификации теории андерсоновской локализации для слабо-
148
Р. Пранге
связанных состояний.) Ток jR, создаваемый локализованным состоянием, ра-
разумеется, равен нулю, в чем можно убедиться прямым вычислением:
\){(ER-n) -
= 0.
D)
Далее следует рассмотреть оставшуюся совокупность состояний, а имен-
именно состояния с энергиями Еа, для которых соответствующие ра имеют поря-
порядок единицы, т.е. состояния, происходящие из невозмущенных собственных
состояний, заметно перекрывающихся с примесью. Собственные состояния уа,
разумеется, не перекрываются с примесью, поскольку они должны быть орто-
ортогональны локализованному на ней состоянию ц>R. Энергии Еа имеют порядок
величины v и, следовательно, С(?а)= ReG0(pa)/v, где функция G0{pa) дается
выражением
Pa - P + «I
—< dp.
E)
Таким образом, мы имеем G~\/v, <р(ра)~1, и а~1, и из-за большой величины
L в правой части выражения (За) преобладающим оказывается второй член. Хол-
ловский ток, создаваемый рассматриваемым состоянием, в пренебрежении чле-
членами высших порядков по v запишется в виде
= v +
F)
Сумма по состояниям a не имеет особенностей и может быть заменена на ин-
интеграл по ра. Вычисления дают
' Ш I ЦП I .. _ 1 уТ.**
G)
-(г)
Исследование аналитических свойств входящего в формулу интеграла позво-
позволяет оценить его как тт/р292(р)</р= -л/2. Таким образом, дополнительный ток /°,
создаваемый электронами, движущимися вблизи примеси, равен v, т.е. в точ-
точности компенсирует потерю в токе за счет локализованного состояния.
Аналогичным образом можно исследовать и случай двух потенциалов типа
5-функции. При этом, если примеси разнесены на расстояние А1» 1, они не
16. Измерение постоянной тонкой сруктуры
149
взаимодействуют между собой и результат получается тем же, что и для одной
примеси. (Это относится и к произвольному числу далеко расположенных друг
от друга примесей.)Напротив,если Д/« 1, две примеси действуют как одна.
Лишь при Д/ = 1 примесные уровни взаимодействуют между собой и начинают
образовывать примесную зону.
Полученные результаты наряду с представлениями о локализации Андер-
Андерсона, развитыми Моттом и другими авторами [ 1, 4, 5], свидетельствуют в
пользу того, что имеет место следующая физическая картина [1, 3]. При на-
наличии достаточного числа примесей, дефектов или иных флуктуации потенци-
потенциала в достаточно сильном магнитном поле и в отсутствие электрического по-
поля данный уровень Ландау уширяется в зону, центральная часть которой от-
отвечает делокализованным состояниям. Состояния за краем подвижности лока-
локализованы, и перенос носителей по ним осуществляется лишь благодаря прыж-
прыжковым процессам. Следовательно, делокализованные состояния различных зон
разделены областями локализованных состояний. Однако делокализованные сос-
состояния каждой "зоны" Ландау при наличии электрического поля или градиента
потенциала коллективно создают суммарный холловский ток / , определяемый
выражением
= {-ev/L) LW/2-п- = е2Фн,
(8)
Таким образом, наши расчеты подтверждают предположения о том, что кван-
квантованное холловское сопротивление имеет значение й/е2.
Полученный нами результат относится к разбавленной системе примесей
с 5-образными потенциалами. Вывод о квантовании холловского тока был по-
получен также АнДо, Мацумото и Уемурой (см. работу [ 3] и предыдущие работы
этих авторов) в рамках принятых ими приближений, а именно приближения "силь-
"сильного магнитного поля", одноузельного приближения с самосогласованным уче-
учетом рассеяния и предположения о наличии щелей между результирующими "при-
"примесными зонами". Приближение "сильного поля" в целом носит общепринятый
характер, но имеет и некоторые отличия, поскольку оно использовалось в рам-
рамках элегантного формализма, предложенного Кубо и др. [ 6]. (В этом методе
выражение для проводимости через коррелятор токов разбивается на две части,
одна из которых вычисляется точно, а другая — приближенно.) Хотя условия
применимости приближения сильного поля и не были конкретизированы, можно
предположить, что они выполняются, когда длина I столь мала, что потенциал
на этой длине меняется незначительно. С другой стороны, результаты, полу-
полученные при использовании 5-функции, должны быть качественно верны, если
действие потенциала ограничено областью с размерами, меньшими чем I. Для
значений /~70 А, соответствующих типичным экспериментам, нельзя предпо-
150
Р. Пранге
латать заранее, что какое-либо из указанных приближений является очень
хорошим. Однако из эксперимента 1следует, что результаты, полученные
для обоих предельных случаев, должны оставаться справедливыми и при весь-
весьма общих предположениях.
Помимо этих вопросов, на которые при объяснении экспериментальных
данных необходимо получить разумный ответ, существует еще несколько со-
соображений о возможных эффектах на уровне точности~10~6 . В частности,
величина W не столь велика, чтобы поправки порядка 1/W не играли роли. По-
Поэтому краевые эффекты должны быть тщательно изучены. Например, из теории диа-
диамагнетизма Ландау известно, что поверхностные уровни Ландау переносят ток в
направлении, противоположном направлению тока, создаваемого объемными
уровнями. Возможно, такого рода поправки можно исключить, если в Духе ска-
сказанного выше наличие поверхностных или иных аномальных состояний компен-
компенсируется возрастанием холловского тока делокализованных состояний. Другой
малый эффект, заслуживающий изучения,— это непараболичность энергетичес-
энергетических зон.
Интересно выяснить, является ли квантовый холловский ток аналогом сверх-
сверхпроводящего тока и может ли он быть незатухающим. Будучи по направлению
перпендикулярным электрическому полю, холловский ток сам по себе недис-
сипативен. Он близок сверхпроводящему току в том смысле, что наличие энер-
энергетической, щели как бы фиксирует волновую функцию, и в том, что сам факт
его существования связан с векторным потенциалом.
Более интересным является вопрос о том, возможно ли существование
слабого тока, параллельного электрическому полю, т.е. о том, является ли сис-
система в этом направлении идеальным диэлектриком? В нашей модели такой ток
может возникнуть лишь за счет ранее не учитывающихся неупругих процессов,
вызывающих изменение в заполнении состояний. Если в токонесущем состо-
состоянии уровень целиком заполнен, то изменить степень его заполнения без боль-
большой затраты энергии невозможно. Локализованные состояния при достаточно
низкой температуре также представляют собой прекрасный диэлектрик, по-
поскольку проводимость по ним носит активационный характер. Следовательно,
можно ожидать, что холловский потенциал способен поддерживаться без дис-
диссипации и при этом может быть создан незатухающий ток.
Отсюда возникает идея создания фотоиндуцированной разности потенци-
потенциалов в направлении оси у. Падающий свет может возбудить электроны в не-
незаполненные делокализованные состояния вышележащего уровня Ландау. Эти
электроны создадут ток в направлении оси х, который в свою очередь вызовет
их сдвиг в холловском направлении и приведет к падению потенциала вдоль
образца. Изменяя частоту света, можно получать некоторую информацию о по-
положениях краев подвижности.
16. Измерение постоянной тонкой сруктуры
151
Предположение об однородности-электрического поля также требует допол-
дополнительного анализа. Неизвестно, где находится заряд, создающий это поле, по
крайней мере в случае равенства.нулю диагональной компоненты проводимос-
проводимости ахх , и реальная конфигурация поля может зависеть от того, как устанав-
устанавливается холловский ток. Если заряд локализован вблизи краев образца, то он
создает равный по величине и противоположный по знаку заряд изображения в
примыкающем металле на расстоянии нескольких десятых долей микрометра.
Потенциал подобной цепочки диполей будет наиболее резко меняться на рас-
расстоянии, равном нескольким десятым микрометра, от края. В этом случае хол-
холловский ток будет протекать в основном вблизи краев образца, а в его внут-
внутренней области он будет практически отсутствовать. При этом эффективное
значение локальной скорости дрейфа v увеличится и поправки порядка v2 мо-
могут оказаться существенными. К счастью, пока не имеется свидетельств о зна-
значительной неоднородности электрического поля [ 7]. Однако эта проблема может
возникнуть в геометрии диска Корбино (диск с отверстием в центре), в которой
холловское напряжение можно создавать за счет передвижения внешних заря-
зарядов.
В конфигурации, имеющей место в реальном эксперименте [ 1], первичный
заряд, создающий холловский потенциал, сосредоточен, по-видимому, на лока-
локализованных состояниях. При этом реализуется ситуация, схематически изобра-
изображенная на рис. 1. При низкой температуре эти заряды не могут релаксировать
к равновесию, поскольку для изменения их состояния необходимо наличие неуп-
неупругих активационных процессов. При этом изгиб зоны Ландау повторяет ход по-
потенциала, как это и показано на рисунке.
Благодарности
Я хотел бы поблагодарить Денниса Дрю за ознакомление с данной пробле-
проблемой и выразить признательность ему и Виктору Коренману за полезные обсуж-
обсуждения данной проблемы.
Литература
1. Klitzing К., п., Dorda G-, Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980). [Имеет-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Braun E., Staben Е., Klitzing К., v., PTB-Mitteilungen, 90, 350 A980).
3. Ando Т., Matsumoto У., Uemura У., J. Phys. Soc. Japan, 39, 279 A975).
4. Nicholas R.J., Stradling P.A., Tidey R.J., Solid State Coram., 23, 341 A977).
5. Aoki H., Kanimura H., Solid State Comm., 21. 45 A977).
6. Kubo R., Uiyake S.J., Hashitsume N., Solid State Physics, v. 17 (eds. F.Seitz,
D.Turnbull), Academic Prees, New York, 1965, p. 269.
7. Klitzing K., v., частное сообщение.
17. Влияние локализации
на холловскую проводимость
двумерных систем в сильных магнитных полях
X. Аоки*, Ц. Андо**
Перевод статьи:/!о*« Н., Ando Т.- Solid State Communications, 1981, v. 38, p.
1079.
Исследованы некоторые томные свойства холловской проводимости в
сильных магнитных полях двумерной электронной системы, содержа-
содержащей неподвижные носители. Показано, что при нахождении уровня Ферми
в области локализованных состояний хопловская проводимость а долж-
должна быть в точности равна целому кратному величины — e2/h.
В сравнительно недавних работах Клитцинг и др. [ 1], а также Кавадзи
и Вакабаяси [2] экспериментально доказали, что плато на холловской прово-
проводимости а двумерной электронной системы в инверсионных слоях МОП-
структур, находящихся в сильном магнитном поле (8 = 100 кГс), имеют
значения, равные целому кратному величины —e2/h, что в принципе обеспе-
обеспечивает потенциальную возможность прецизионного измерения универсаль-
универсальной константы е2/Ло Было показано, что область плато на а в которой
статическая проводимость ахх также обращается в нуль, связана с наличи-
наличием неподвижных носителей вблизи хвостов подзоны Ландау. Локализация но-
носителей в этих системах связывалась с наличием яеупорядоченности [3, 4],
электрон-электронного взаимодействия [ 5, 6] или с совместным влиянием
обоих этих факторов [7]. Однако вывод о том, что а = — ie2/h (i - целое),
несмотря на наличие локализации, является весьма интригующим, поскольку
можно было бы, например, ожидать, что а = _ еспо/В, где п0 — число
подвижных носителей. В данной статье мы попытаемся осветить этот вопрос
с теоретической точки зрения и выясним некоторые точные свойства холлов-
холловской проводимости.
*Н.А oki, Cavendish Laboratory, Madingley Road, Cambridge CB3 OHE, Eng-
England.
**T. Ando, Institute of Applied Physics, University of Tsukuba, Sakura, Ibaraki
305, Japan.
© 1981 Pergamon Press Ltd.
17. Локализация и холловская проводимость 153
Гамильтониан двумерной системы носителей заряда со случайным по-
потенциалом V(t), находящейся в магнитном поле В, имеет вид
где тг= р + (е/с)А, а А - вектор-потенциал. Электронный спектр состоит из
подзон Ландау [ 8]. Полное число состояний в подзоне для одного направле-
направления спина (и в расчете на одну долину в случае Si - МОП-структур) равно
1/2тт/2 на единицу площади, где I = (ch/eBI/2— циклотронный радиус. Как
было показано в работе [ 10], координаты электрона можно записать в виде
суммы координат центра орбиты и координат, описывающих движение отно-
относительно центра: х = ?+Х, y = r\
этом холловская проводимость
Y, где § = {12/К)тту и г| = -
ху
= - пес /В + Да
ху>
где
До-.
1 2.1 / VY >,
к. При
B)
C)
Двойные угловые скобки здесь означают корреляционную функцию, содер-
содержащую каноническое усреднение и усреднение по конфигурациям случайно-
случайного потенциала. В выражении B) правая часть записана с учетом соотноше-
соотношения е К §г| > = —пес/В, где п — полное число состояний на единицу пло-
площади под уровнем Ферми ?F. Формулы для холловской проводимости дву-
двумерных систем получили Андо и др. [ 9]1}, и мы начнем рассмотрение с об-
общего выражения
I^LfdEf(E)/\sPx(j- Re1
\ЭЕ
Да =
ху
^^яТГ5]-[^]><
E -H + iS
D)
где S - площадь системы, а 5 — бесконечно малая положительная величина.
Обозначим через |а), ..^ и Еа, . . . соответственно собственные состоя-
состояния и собственные энергии гамильтониана. Тогда выражение D) можно пе-
переписать в виде
h.
+i5)
[(«|х|р)(р|
E)
" В работе [э] уже отмечалось, что в одноузельном приближении
несмотря на наличие примесных состояний.
= -iea/fc
154
X. Аоки, Ц. Андо
где /(?) — функция распределения Ферми. Если состояние | а) является ло-
локализованным, то для любого | р) имеем
(а|*1р)= («-Л)-Ча| Х| р)(?в -Яр), F)
так что в выражении E) вклад от состояния | а) в До-жу запишется следующим
образом:
А°?у = f(Ea)ec/B-, G)
здесь мы использовали соотношение [X, у] = И2. Из полученного результа-
результата мы можем вывести важные общие свойства холловской проводимости при
нулевой температуре:
1) до тех пор пока уровень Ферми ?F располагается в области локализо-
локализованных состояний энергетического спектра, величина аху остается постоян-
постоянной, не зависящей от п, т.е. от полного числа электронов с энергиями,
меньшими EF;
2) если все состояния, расположенные ниже ?F, локализованы, то
оху = 0, поскольку в выражении B) члены hoxy н — пес/В в точности ком-
компенсируют друг друга.
Теперь обратимся к предельному случаю сильных магнитных полей, ког-
когда энергетический спектр представляет собой отдельные подзоны Ландау.
В этом случае возможна ситуация, когда ?F лежит в щели между е-й и
(i + 1)-й подзонами Ландау и подзоны до i-й включительно являются запол-
заполненными, т.е. п = |/2тг/2. Тогда можно показать, что
3) &аху = 0, т.е. оху = -ie2/h, если электроны заполняют i подзон Лан-
Ландау. Это нетрудно показать с помощью выражения E), сделав в нем вполне
допустимую замену f(Ea) на/(?а)[1 - /(?а)]. Отсюда следует, что в пре-
пределе сильных магнитных полей
4) в согласии со свойствами 1 и 3 холловская проводимость а прини-
принимает постоянное значение —ie2/h, если EF лежит в области локализован-
локализованных состояний между i -й и (t + 1)-й подзонами, как показано на рис. 1, и
что
5) в силу свойств 2 и 3 все состояния не могут быть локализованными.
Далее можно показать, что свойство 3 сохраняется, даже если учесть
наличие электрон-электронного взаимодействия. Доказательство опирается
на присущую гамильтониану данной системы так называемую электронно-ды-
электронно-дырочную симметрию. В квантовом пределе, когда можно рассматривать лишь
одну подзону Ландау, гамильтониан имеет вид Н = Н^ + Н2, причем
17. Локализация и холловская проводимость
155
А
2я1гп
Р и с. 1. Схематический ход зависимостей плотности состояний D, статической про-
проводимости охх и холповской проводимости а от концентрации электронов
п в подзоне Ландау. Заштрихованные области на плотности состояний от-
отвечают локализованному режиму. На нижнем рисунке штриховой прямой
показана зависемость а = -пес /В.
ху
Я =J>+(r)F(rL,(r)dr,
т
- г2)
(8)
(9)
Здесь v(r) — функция, описывающая электрон-электронное взаимодействие,
а у(г) — полевой оператор для подзоны Ландау (по предположению имеющей
номер i ). Оператор ц/{г) можно разложить следующим образом:
а-.
A0)
где <piX (г) — обычная волновая функция i -го уровня Ландау с диагонализован-
ной координатой центраX, as;x- оператор уничтожения. Рассмотрим пре-
преобразование V, которое изменяет операторы следующим образом: aix -» а+х
и atx-*at х* Можно показать, что при этом гамильтониан Н с точностью до
аддитивной постоянной переходит в гамильтониан аналогичной системы, в
которой V(r) и Р заменены соответственно на -V(r) и -В. Кулоновский
156
X. Аоки, Ц. Андо
и обменный члены, возникающие при перегруппировке, связанной с перехо-
переходом от Ч'Тч'а^Ч'зЧ'* к H'^V+^'+V можно убрать путем соответствующего вы-
выбора начала отсчета энергии. Аналогично операторы координат центра X и
Y заменяются соответственно на -Хи —У„ Поскольку величина Да „ запи-
сывается в виде еЦ« YX » -«XY ») и является нечетной функцией от
В, можно сделать вывод, что холловская проводимость обладает следую-
следующим свойством:
Aaxy(F, В; v) = Аа ху (-V, -В; 1 - v) = - Ачху (- V, В; 1 - v),
(И)
где v — степень заполнения подзоны, определяемая выражением v = 2тт/ 2п{,
в котором п{ - концентрация электронов в подзоне. С помощью выражения
A1) можно получить соотношение между значениями а на верхнем и ниж-
нижнем краях подзоны Ландау. В частности, видно, что свойство 3, согласно
которому при заполненных подзонах Ландау ст ху = -t e2/h, и соответственно
свойство 4 при наличии многочастичных эффектов остаются справедливыми, посколь-
поскольку обращение в нуль ay дна зоны соответствует в точности axv= -e2/h у вершины
зоны (рис. 1). Следовательно, если рассмотреть величину а для всех подзон
Ландау, то всякий раз, когда EF попадает в область локализованных состояний меж-
между двумя соседними подзонами (рис. 2), эта величина будет принимать значение,
равное целому кратному -e2/h. Ча рис. 2 показано, что указанная область сужа-
сужается с ростом номера подзоны в соответствии с предсказаниями теории
[3,4].
-с
<u
0 7 2 3
2яг12п
Р и с. 2. Схематический ход зависимости хо л лове кой проводимости <jxy от 2iW2n.
Штриховая прямая отвечает зависимости <j = —пес /В.
17. Локализация и холловская проводимость 157
Мы показали, что несмотря на наличие неподвижных носителей хол-
холловская проводимость аху принимает значения -ie2/h, Физический смысл
у
этого свойства можно пояснить следующим образом. В случае сильного
магнитного поля матричный элемент тока jx сводится к матричному эле-
элементу - еХ. Уравнение движения для X имеет вид [ 10]
h \ду
Поскольку а является недиссипативной величиной, мы имеем
]х = - — 2 [(а |_— | ос ) + еЕ J,
В а' (Эу
где суммирование по ос' выполняется по заполненным состояниям, и
A2)
A3)
A4)
Заметим, что в а' учтено влияние бесконечно малого внешнего электричес-
электрического поля ?у. Если все состояния, связанные с подзоной Ландау, заполнены,
то
dv
<r)|2-i^i> dr
2тт/:
дУ(г)
ду
dx = 0;
здесь мы использовали соотношение
1
A5)
A6)
Локализованное состояние не вносит вклада в холловскую проводимость,
потому что эффзктивное поле случайного потенциала, модифицированное за
счет небольшой деформации волновой функции, компенсирует приложенное
электрическое поле. С другой стороны, на электроны делокализованных сос-
состояний действует эффективное поле, параллельное внешнему полю, которое
ускоряет их движение. Это связано с жестким ограничением A5) и с тем,
что волновые функции делокализованных состояний должны быть ортогональ-
ортогональны функциям локализованных состояний. Увеличение скорости движения
электронов в делокализованных состояниях в точности компенсирует умень-
уменьшение тока за счет локализации электронов.
158
X. Аоки, Ц. Андо
17. Локализация и холлов екая проводимость
159
Описанные выше свойства 3-5 были получены в пределе сильного
магнитного поля. Подмешивание состояний из других подзон Ландау может
привести к возникновению поправок. Из выражения E) можно показать, что
в низшем порядке по (Г/йсос J (Г - уширение подзоны Ландау, hac - цикло-
циклотронная энергия) такие поправки отсутствуют. Поправки высших порядков
нами не исследовались — это задача на будущее15. Следует заметить, что
в рамках одноузельного приближения можно показать [ 12], что при положе-
положении ?р в области щели с нулевой плотностью состояний До-жу = 0 в произ-
произвольном магнитном поле. Аналогичный вывод был недавно получен Пранге
[ 13], который исследовал задачу об одиночной примеси с потенциалом в ви-
виде 5-функции. Мы также показали, что в случае, когда все состояния лока-
локализованы, холловская проводимость аху в точности равна нулю. В действи-
действительности и эксперимент, и теория приводят к конечным значениям а ,
Это означает, что не все состояния в системе локализованы, и указывает на
то, что теория, развитая Абрахамсом и др. [14], неприменима, по крайней
мере в однопараметрической скейлинговой схеме, к двумерным системам
в сильных магнитных полях. Что касается соотношений симметрии для
A<Txy, то в частном случае, когда случайный потенциал создается равными
количествами притягивающих и отталкивающих рассеивателей, они сводят-
сводятся к До- (v) = — Дд-ху A - v). Хотя для реальных МОП-структур это может
и не быть в точности справедливым, все же весьма вероятно (см., например,
работу [ 15]), что вблизи границы инверсионного слоя имеется почти одина-
кооое количество положительно и отрицательно заряженных примесей. В це-
целом в настоящей работе продемонстрирован ряд отличительных свойств хол-
ловской проводимости двумерных систем, находящихся в сильных магнитных
полях, что проявляется в виде характерного поведения, связанного с уни- ''
версальной величиной е 2/А.
Благодарности
Авторы многим обязаны проф. С. Кавадзи и д-ру Й. Вакабаяси за обсуж-
обсуждение этой работы и за сообщение экспериментальных результатов до их
публикации. Мы также благодарим проф. И. Уемуру и д-ра М. Пеп-
пера за весьма ценные обсуждения. Один из авторов (X. Аоки) выражает
благодарность Научно-исследовательскому совету (Англия) за финансовую
поддержку.
15 Усов и Улинич [16*] показали, что уквзаммые поправки отсутствуют в любом
конечном порядке теории возмущений, - Прим, перев.
Литература
1. Klitzing К„, т/,, Dorda G,, Pepper Al.,. Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Kawaji S,, Wakabayashi ]., Physics in High Magnetic Fielda (eds. S. Chika-
zumi., N, Miura), Spriuger-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1981, p. 284,
3. Aoki H., Kamimura Н„, Solid State Comm., 21, 45 A977).
4. Aoki Н„, J. Phys. C, 10, 2583 A977); J. Phys. C, 11, 3823 A978); Solid
State Comm., 31, 999 A979).
5. Tsukada M., J. Phys. Soc. Japan, 42 ,391 A977).
6. Fukuyama Н„, Solid State Comm, 19, 551 A976).
Fukuyama H., Platzman P.M., Anderson P.If.,Phys. Uev, B, 19 5211 A979),
7. Aoki H., Surf. Sci., 73, 281 A978); J. Phys. C, 12. 633 A979).
8. Ando Т., Vemura Y., J. Phys. Soc Japan, 36, 959 A974). Ando Г., J. Phys.
Soc. Japan, 36„ 1521 A974); 37, 622 A974); 37, 1233 A974).
9.Ando Т., Matsumoto У„, Vemura Y,, J. Phys. Soc. Japan, 39O 279 A975).
10. Kubo R., Miyake SJ., Hashitsume N., Solid State Physics, v. 17 (eds. F.
Seitz, D. Turnbull), Academic Press, London, 1965, p. 269.
11. Kubo R., J. Phys. Soc. Japan, 12, 570 A957). [Имеется перевод: Кубо Р.
Статистическая механика необратимых процессов. - В сб. статей: Вопро-
Вопросы квантовой теории необратимых процессов. - М. ИЛ, 1961, с. 39.]
12. Ando Т., неопубликованная работа.
13. Prange R.E,, Phys. Rev. В, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 16).]
14. Abrahams E., Anderson P.W., Licciardelio D.C, Ramakrishnan T,V,, Phys.
Rev. Lett., 41, 673 A979).
15. Papper M., в кн: The Physics of SiQj and Its Interfaces (ed. S/Г. Pantelides ),
Pergamon Press, Oxford, 1978, p. 407
16*.Усов Н.А.,'Улшич Ф.Р. - ЖЗТФ, 1984, т. 86, с 644.
18. Квантованная двумерная
холловская проводимость
Р. Лафлин*
Перевод статьи: Laughlin R.B. - Physical Review В, 1981, v. 23 p. 5632.
Показано, что квантование холловской проводимости двумерных
металлов, обнаруженное недавно Клитцингом, Дордой и Пеплером, а
также Цуи и Госсардом, является следствием калибровочной инвариант-
инвариантности и существования щели подвижности. Показано, что краевые эф-
эффекты не влияют на точность квантования. Дается оценка ошибки,
связанной с термическим возбуждением носителей на край подвижности.
В настоящее время значительный интерес привлекает замечательное наб-
наблюдение, сделанное недавно Клитцингом, Дордой и Пеппером [ 1], а также
Цуи и Госсардом [2] и состоящее в том, что холловская проводимость ин-
инверсионного слоя при определенных условиях квантуется, причем с точнос-
точностью, лучшей чем 10~5, представляет собой целые кратные значения величи-
величины ez/h. Уникальность полученного результата состоит в явном и полном
отсутствии обычной зависимости указанной величины от меняющейся от об-
образца к образцу концентрации подвижных носителей. Поскольку данный эф-
эффект предлагается использовать для создания нового эталона сопротивления
и для уточнения известного значения постоянной тонкой структуры [ 1], важ-
важным вопросом в настоящее время является выяснение пределов точности
квантования, в особенности в условиях высокой концентрации примесей.
Некоторый свет на эту проблему проливают расчеты, выполненные Андо
[ 3] для перенормированного слабого рассеяния, которые показали, что нали-
наличие изолированной примеси не оказывает влияния на холловский ток. Анало-
Аналогичный результат получил недавно Пранге [ 4], который показал, что изоли-
изолированная примесь с потенциалом в виде 6-функции, хотя и создает связан-
связанное локализованное состояние, но не влияет на холловскую проводимость в
низшем порядке по скорости дрейфах» = сЕ/В, поскольку оставшиеся дело-
кализованные состояния переносят дополнительный ток, в точности компен-
компенсирующий потерю. Высокая степень точности этих результатов и их явная
*R-B. Laughlin, Bell Laboratories, Мштау-ШИ, New Jersey 07974, USA.
© 1981 The American Physical Society
18. Квантованная двумерная холловская проводимость
-Д/
161
О
Р и с. 1. С пев а: схематическое изображение металлической ленты, согнутой в пет-
петлю; справа: плотность состояний в отсутствие (вверху) и при наличии
(внизу) неупорядоченности. Заштрихованными являются области делокали-
зованных состояний; штриховой линией показано положение уровня Ферми.
нечувствительность к типу или местоположению примеси наводят на мысль
о том, что эффект имеет в конечном счете фундаментальную природу. В дан-
данной статье указывается на то, что этот эффект в действительности обуслов-
обусловлен наличием дальнего порядка (жесткостью фазы), характерного для сверх-
сверхпроводящего така> и существованием щели подвижности.
Рассмотрим двумерную металлическую ленту, замкнутую в петлю дли-
длиной Lt любая точка которой находится в магнитном поле BQ, направленном
перпендикулярно поверхности ленты (рис. 1). В отсутствие неупорядоченнос-
неупорядоченности плотность состояний этой системы, также изображенная на рис. 1, пред-
представляет собой последовательность 6-функций, по одной для каждого уровня
Ландау. Наличие беспорядка уширяет уровни в зоны делокализованных сос-
состояний, разделенные хвостами локализованных состояний. Мы будем рассмат-
рассматривать модель беспорядка, в которой уровень Ферми лежит в щели подвиж-
подвижности, как показано на рисунке.
Наша задача состоит в том, чтобы получить соотношение между полным
током в петле / и разностью потенциалов на ее краях У. Рассматриваемый
ток равен адиабатической производной от полной энергии электронов U
по магнитному потоку <р через петлю. Его можно получить путем дифференци-
дифференцирования по векторному потенциалу А, направленному вдоль петли:
ди
ЗА
A)
Эта производная отлична от нуля лишь за счет фазовой когерентности волно-
волновых функций вдоль петли. Например, если все состояния локализованы, то
11-416
162
Р. Лафлин
влияние величины А сводится лишь к умножению каждой волновой функции
на exp (i eAx/hc), где х - координата вдоль петли, а изменение энергии и
ток равны нулю. Однако, в случае когда состояние делокализовано, подобное
калибровочное преобразование законно лишь при условии, что
В случае невзаимодействующих электронов фазовая когерентность ве-
ведет к тому, что возрастание векторного потенциала меняет полную энергию,
сдвигая заполненные состояния к одному из краев ленты. А именно, если
взять обычный гамильтониан с изотропной эффективной массой:
Н » A/2т*)(р -М/сJ+ еЕ у C)
(здесь Ео _ электрическое поле поперек ленты), и использовать калибровку
Ландау
А = Воух, 1Л
то при изменении векторного потенциала, равном ААх, волновые функции
-Уо),
где <?п - решение уравнения для гармонического осциллятора:
<Р„ = (п + 1/2)П сос <рп
2 т*
а у0 связано с А соотношением
У о =
«с
изменяются лишь за счет смещения их центров по закону
-АА/В0.
Энергия состояния, определяемая выражением
en,k = (п + 1/2)Йсос + еЕоУо + (т*/2)(сЕ0/Р0J,
E)
F)
G)
(8)
(9)
при этом меняется линейно с ДЛО Отсюда следует, что производную в выра-
выражении A) удобно вычислять, используя следующую подстановку:
18. Квантованная двумерная холловская проводимость 163
где Аф'= hc/e - квант потока. Поскольку в силу калибровочной инвариант-
инвариантности B) добавление Д<р отображает систему саму на себя, связанное с
этим возрастание энергии происходит из-за результирующего переноса п
электронов (в отсутствие спинового вырождения) с одного края на другой.
Следовательно, ток можно записать в виде
(И)
Рассмотрим теперь "грязную" систему с взаимодействиями. Как и в
идеальном случае, калибровочная инвариантность представляет собой точ-
точное свойство симметрии, приводящее к тому, что добавление кванта пото-
потока вызывает лишь возбуждение или девозбуждение исходной системы. Как
и в идеальном случае, здесь имеется щель, хотя она скорее существует
между электронами и дырками, испытывающими возмущающее взаимодейст-
взаимодействие по всей петле, нежели в плотности состояний. Поскольку адиабатическое
изменение многочастичного гамильтониана не может перебросить квазичас-
квазичастицы через щель, оно создает лишь возбуждения типа разнообразных пере-
переносов заряда, обсуждавшихся при рассмотрении идеального случая, хотя
число перенесенных электронов не обязано быть таким же, как в идеальном
случае, и может равняться нулю, как в большинстве систем со щелью. Сле-
Следовательно, выражение A1) справедливо в любом случае как объемное свой-
свойство дня некоторого целого п всякий раз, когда локальный уровень Ферми
располагается в щели спектра делокализозанных состояний.
На краях ленты эффективная щель схлопывается и связь между делока-
лизованными состояниями и локальным уровнем Ферми восстанавливается.
Частицы, попавшие в эту область, быстро термализуются до уровня Ферми,
полностью "забывая" о том, что были адиабатически отображены. Это было
бы источником заметной ошибки в формуле A1), если бы не тот факт, что
изотермическое дифференцирование по <р, которое является термодинами-
термодинамически корректной процедурой для получения / , эквивалентно адиабатичес-
адиабатическому дифференцированию внутри образца и является обратимым. Таким
образом, медленное добавление Д<р физически переносит частицу с локаль-
локального уровня Ферми одного края ленты на локальный уровень Ферми друго-
другого края, исполняя как бы роль насоса. Поскольку энергия Ферми определя-
определяется как изменение величины U, происходящее при добавлении частицы, а
eV определяется как разность уровней Ферми, то краевые эффекты не яв-
являются причиной ошибок в формуле A1).
Остается исследовать некоторые другие причины, в том числе возмож-
возможную зависимость от <р, эффект перехода от кольцевой геометрии, показан-
показанной на рис. 1, к обычной полосковой геометрии и эффекты туннелирования.
164
Р. Лафлин
Однако интуитивно представляется, что квантовый эффект должен сопро-
сопровождаться постоянством токов и, таким образом, физически существенным
источником ошибок должно быть тепловое возбуждение носителей на край
подвижности. Эти носители создают большое, но конечное нормальное сопро-
сопротивление R (на квадрат), которое в стационарной плосковой геометрии при-
приводит также к малому изменению холловского сопротивления величиной
|Д/^/Ян| =(ЯН/ЯJ. A2)
Таким образом, мы показали, что квантовый эффект Холла тесно связан с
наличием делокализованных состояний вблизи центра уровня Ландау, уширен-
уширенного за счет беспорядка, и что краевые эффекты не оказывают влияния на
точность квантования. Нам представляется, что единственным существен-
существенным источником ошибок является тепловое возбуждение носителей на край
подвижности.
Благодарности
Я выр'ажаю признательность П. Ли, Д. Цуи, Р. Пранге и Г. Штермеру за
полезные обсуждения данной работы".
Литература
1. Klitzing К., v.tDorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45,494 A980). [Име-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Tsui DM,, Gossard A.C.. Appl. Phys. Lett., 38„ 550 A981). [Имеется пе-
перевод в настоящем сборнике (статья 2).J
3. Ando 7V J. Phys. Soc. Japan, 37, 622 A974).
4. Prange R.EO, Phys. Rev, B, 23, 4802 A981).[Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 16).]
19. Квантованная холловская проводимость,
токонесущие краевые состояния
и наличие делокализованных состояний
в двумерном неупорядоченном потенциале
Б. Гальперин*
Перевод статьи: Halperin B.I. — Physical Review В, 1982, v. 25, N» 4, p. 2185.
В проводящем слое, помещенном в сильное перпендикулярное плос-
плоскости слоя магнитное поле, существуют токонесущие состояния, локали-
локализованные вблизи границы образца на длине порядка циклотронного ра-
радиуса, но делокализованные по периметру. Показано, что эти квазиодно-
квазиодномерные состояния остаются делокализованными и создают ток даже при
наличии некоторой упорядоченности. В свете общего рассмотрения Лаф-
лина обсуждается роль краевых состояний в квантованной холловской
проводимости. Обобщение теории Лафлин а используется также для ис-
исследования наличия делокализованных состояний в слабойеулорядочен-
ной двумерной системе при наличии сильного магнитного поля.
1. ВВЕДЕНИЕ
Лафлин в сравнительно недавно опубликованной работе [ 1] дал весьма
изящное и общее объяснение явления, состоящего в том, что при определен-
определенных условиях холловская проводимость двумерного образца в сильном маг-
магнитном поле при нулевой температуре квантуется и в точности равна цело-
целому кратному величины eV/i1). (Д. Тулесс [ 5] применил иной, чем у Лафли-
на, подход и, опираясь на сходимость теории возмущений, представил дока-
доказательство того, что квантование холловской проводимости остается точным
и при наличии случайного потенциала с амплитудой, меньшей чем A,/2)йсос .
См. также обсуждение проблемы в работах [ 6, 7] и имеющиеся там ссылки.)
*ВЛ. Halperin, Lyman Laboratory of Physics, Harvard University, Cambridge, Massa-
chusets 02138, USA.
15 Квантование холловской проводимости впервые предсказали на основании при-
приближенных вычислений простой модели Андо, Мацумото и Уемура Ы. Впослед-
Впоследствии квантование было обнаружено с высокой точностью экспериментально Клит-
цингом, Дордой и Пелпером [з], а также другими авторами. Последние эксперимен-
экспериментальные результаты, полученные в ряде лабораторий, приведены в трудах Четвертой
международной конференции по электронным свойствам двумерных систем М.
© 1982 The American Physical Society
166
Б. Гальперин
19. Квантованная холловская проводимость
167
В настоящей работе рассматриваются некоторые любопытные свойства элек-
электронных состояний в магнитном поле, вытекающие из рассмотрения Лафли-
на, и попутно уточняются некоторые детали его аргументации. В частности,
в 'разд. 2 и 3 будет показано, что квазиодномерные приграничные состояния
могут переносить ток вдоль периметра образца и не становятся локализован-
локализованными при наличии случайного потенциала с не слишком большой амплитудой.
Если уровни Ферми на двух концах образца различны, то эти состояния игра-
играют важную роль в холловских измерениях.
Следуя методу Лафлина [ 1], рассмотрим ленту, свернутую в виде коль-
кольца и помещенную в магнитное поле, перпендикулярное ее плоскости. В этом
случае токи вдоль внутренней и внешней границ текут в противоположных
направлениях и не создают результирующего кольцевого тока, если уровни
Ферми на обеих границах одинаковы. Если же эти уровни различаются на
еД, то, как будет показано, приграничные состояния вносят в результирую-
результирующий ток в кольце вклад, равный
5I=ie2A/h, A)
где.г — целое число. Это согласуется с квантованием холловской проводи-
проводимости, поскольку разность химических потенциалов Л (наряду с любым
электростатическим потенциалом) входит в ту разность потенциалов,
которую измерил бы вольтметр, включенный между внутренней и внешней
границами кольца. Разумеется, в общем рассмотрении Лафлина [ 1] крае-
краевые токи и величина Л учитываются автоматически.
Ниже (в разд. 4) мы воспользуемся обобщением теории Лафлина с целью
решения вопроса о принципиальной возможности существования делокали-
зованных состояний внутри неупорядоченной двумерной системы. Будет
сделан вывод о том, что, если амплитуда случайного потенциала меньше,
чем циклотронная энергия Ъ. сос , вблизи энергии Ландау должна существо-
существовать зона делокализоЕанных состояний или по крайней мере энергия, при
которой длина локализации расходится.
2. ИДЕАЛЬНЫЙ ОБРАЗЕЦ
Рассмотрим вначале систему невзаимодействующих электронов, заклю-
заключенных в идеальную однородную пленку кольцевой геометрии с однородным
магнитным полем #0, перпендикулярным плоскости образца (рис. 1). Пред-
Предположим, кроме того, что в отверстие кольца помещен соленоид с магнит-
магнитным потоком Ф, который может меняться без изменения магнитного поля
в области, содержащей электроны. (Это есть некоторая модификация рас-
рассмотренной Лафлином цилиндрической геометрии.) Будем полагать, что элек-
Р и с. 1. Геометрия образца. Свернутая в кольцо пленка г < г < г2 помещена в маг-
магнитное поле Во, направленное по нормали к рисунку; дополнительный маг-
магнитный поток Ф сосредоточен в области г < тг. Стрелками едоль окружнос-
окружностей указаны направления токов /, и /2 вблизи границ ленты.
трическое поле отсутствует, т.е. электростатический потенциал является
постоянным внутри ленты, и что размеры кольца весьма велики по сравне-
сравнению с циклотронным радиусом го электронов в магнитном поле. Выберем
калибровку, в которой векторный потенциал А ориентирован в азимутальном
(9) направлении, а величина его зависит только от расстояния до центра
кольца:
А = A/2) IV + Ф/2-пт .
B)
Для данной геометрии электронные состояния вдали от границ пленки имеют
вид
Vm, n(r) ~ const • exp(imQ)fn(r -rm), C)
где ви п — целые числа (причем п > 0), fn _ [п + 1).е собственное состояние
одномерного гармонического осциллятора, а радиус гт определяется соот-
соотношением
Воттг^ = тФ0 -Ф. D)
Здесь Фо з hc/e — квант потока. Ширина функции / имеет порядок циклотрон-
циклотронного радиуса гс, Разумеется, формула C) применима лишь в области
г, < гт< г2, причем (rm-rj » rc и (г2 -гт) » гс. В нашем рассмотрении
мы будем считать, что величина гс мала по сравнению с гх и т2 -гх
гии состояний C) даются формулой Ландау
Энер-
ЭнерE)
168
Б. Гальперин
19. Квантованная холловская проводимость
169
где »с - циклотронная частота, определяемая напряженностью магнитного
поля В и эффективной массой носителей т*:
= \еВ0\/т*с
F)
Электронная плотность | Ут,п{х)\2, связанная с волновой функцией C),
симметрична относительно радиусагт и быстро спадает при \г -гт\ /гс »1.
Ток, создаваемый данным состоянием, определяется следующим образом:
еА(г)
<"\Vm.n\*{rm-r). (?)
Здесь интегрирование можно вести по радиальной координате г при любом
фиксированном значении 6. Для состояний в глубине кольца полный ток ра-
равен нулю, поскольку у функций гармонического осциллятора плотность ве-
вероятности оимметрична относительно точки г = гт.
Если точка гт отстоит от границы образца менее чем на несколько
гс , ситуация существенно меняется. Условие обращения в нуль волновой
функции на границе будет сдвигать энергии состояний относительно энергий
Ландау, определяемых выражением E).
Сосредоточим свое внимание на поведении электронов вблизи внешнего
края кольца. Будем по-прежнему обозначать индексом п число узлов ради-
радиальной волновой функции. При этом волновую функцию электрона можно за-
записать в виде
exp(imQ)gn(r -rm, r2 -r ),
(8)
gn (x, s) — функция, определенная в области — ~ < х < s, обращающаяся в
нуль при х -» 5 их-* -оо, имеющая п узлов и удовлетворяющая уравнению
dx2
(9)
Видно, что собственное значение Ет> п при (г2 - гт) » гс стремится к вели-
величине Еп =Пюс(п + 1/2). С ростом радиуса гт энергия Ет>„ будет монотонно
увеличиваться; при гт = г2 она принимает значение ?m> n = hcoc Bn + 3/2)
и затем при (rm -r2) > гс возрастает как (гт -г2Jе2В$/2т*с 2. Такое по-
поведение энергии схематически изображено на рис. 2.
= 2
о
Р и с. 2. Зависимость энергии уровней (в единицах h coc j упорядоченной системы от
параметра тт. Величина гmопределяется азимутальным квантовым числом
лв соответствии с выражением D) и представляет собой радиус, на кото-
котором плотность азимутального тока в состоянии с квантовым числом m об-
обращается s нуль. Еспи величина г т не слишком близка кг, и к г2, то тт
соответствует центру волновой функции утп .
Поскольку плотность |ут „(г)|2 перестает быть симметричной относи-
относительно точки г = гт, уже нельзя ожидать, что lm> n = 0. Действительно, не-
нетрудно показать, что
т,п
A0)
В случае Во > 0 находим, что 1т>п> 0 при гт « г2, в то время как вблизи
внутренней границы {rm~ rt) мы имеем lm> n < 0.
Заметим, что величина | <Э?т> п/дт\ равна в точности расстоянию между
соседними энергетическими уровнями с данным квантовым числом п. Та-
Таким образом, полный ток, переносимый состояниями с данным п, энергии
которых располагаются в узком интервале значений §Е, равен {e/h)SE
у внешней границы образца и - (e/h)SE -у внутренней его границы. (Мы пре-
пренебрегаем здесь спиновым и долинным вырождением носителей.)
Предположим, что в глубине образца уровень Ферми расположен между
энергиями Еп уровней Ландау с п = i — 1 и п = i . Будем также считать,
что вблизи г 2 и г j уровни Ферми различны и равны соответственно Е?2) и
?(*>, но по-прежнему лежат между Ег _х и Ег . При этом полный ток, созда-
создаваемый приграничными состояниями, лежащими между Е<?> и ?(го, будет
равен «е/г-1(?р2) -Е^), что согласуется с формулой A).
170
Б. Гальперин
В реальном эксперименте измеряемое холловское напряжение eV явля-
является суммой электростатического потенциала eVQ и разности уровней Ферми
Ет - ? F . Таким образом, краевой ток представляет собой лишь часть
полного холловского тока, равную (?<2> _ ECi))/eV = air Па С/ег, Где
С - емкость приграничных состояний на единицу длины, а а — число порядка
единицы.
3. РАЗУПОРЯДОЧЕННЫЙ ОБРАЗЕЦ
Теперь необходимо показать, что небольшая разупорядоченность в об-
образце не влияет на краевые токи. Исследуем влияние слабого случайного по-
потенциала V(r) с \V(r)\ « hac . Для простоты рассмотрим случай, ког-
когда уровень Ферми ?F располагается посередине между невозмущенными
энергиями Ландау ?0 и Et. При этом очевидно, что в глубине образца не име-
имеется состояний с энергиями Е, близкими к ?F, но вблизи г2 и гх существуют
две зоны таких состояний, локализованные в радиальном направлении.
Рассмотрим некоторое состояние ^ из зоны, расположенной вблизи r2f
и представим его в виде суперпозиции собственных состояний утп упорядо-
упорядоченной системы:
Ч4г) = 2 стпутп(х). A1)
тп
Коэффициент разложения стп будет относительно велик при п = 0 и значе-
значениях гт, близких к г2, но несколько меньших этой величины. При п > 1
коэффициент стп будет меньше на множитель порядка F(r)/ftcoc , а при
1 Г2 -Тт\ ^Тс коэффициент стп будет "экспоненциально мал".
Ток в азимутальном направлении, создаваемый состоянием у, запишется
в виде
< / > =
,с тпстп'*тпп'
где
тп п =
2ттт*
(-г-
eA(r)
A2)
A3)
Заметим, что азимутальный ток не должен зависеть от 6, поскольку условие
непрерывности тока требует V • < j (г)> = 0, где < j (г) > - плотность тока,
создаваемого любым точным собственным состоянием гамильтониана. Мы
видим, что при п = п' величина / - совпадает с / -. Кроме того пш г = *
тси
имеет тот же порядок, что и ImQ, а именно ^еасгс /г2. Отсюда
19. Квантованная холловская проводимость
171
следует, что вклад недиагонального (п 4п ) члена в выражение A2) при ма-
малом значений отношения Р(г)/йсосне может скомпенсировать вклад диаго-
диагонального (п = п =0) члена и, следовательно, ток < / > отличен от нуля. Из
непрерывности тока следует также, что собственное состояние у ни в одной
из областей в не локализовано по азимуту и должно быть более или менее
однородно "размазано" по окружности кольца.
Из физических соображений очевидно, что ситуация не изменится при
наличии отдельных изолированных областей с F(r) > йсос. Хотя в областях
с большой величиной потенциала 'и могут существовать локализованные свя-
связанные или резонансные состояния, токонесущие приграничные состояния бу-
будут просто локально сдвигаться, обходя указанные области. Разумеется,
если случайный потенциал становится столь сильным, что частота рас-
рассеяния электронов превосходит сос; использование понятия об уровнях Лан-
Ландау в качестве отправной точки становится бесполезным и наша аргумента-
аргументация теряет силу.
Проведенное выше рассмотрение можно без труда применить и к случаю,
когда ? находится посередине между уровнями Ландау с п = 1 и п = 2 и
т. д. При1 этом для нескольких значений п коэффициенты разложения стп мо-
могут оказаться очень большими. Тем не менее при Р(г)/йсос « 1 вклады в ток,
создаваемый состоянием у, от недиагональных (п 4 п) членов выражения A2)
малы, поскольку матричный элемент tmn n • является диагональным по т, в
то время как коэффициенты стп для различных осцилляторных уровней п при-
принимают максимальные значения при разных т. Однако следует заметить, что
приведенная здесь аргументация, очевидно, теряет силу, если энергия Ферми
F F слишком близка к невозмущенному значению энергии ?„.
Из нашего утверждения о tomv что для приграничных состояний в слабо-
слабонеупорядоченной системе < / > 4 0, не следует строгой справедливости вы-
выражения A) для тока в этом случае. Применимость этого выражения легче
всего может быть доказана путем рассмотрения изменений в системе при
адиабатическом увеличении пронизывающего ее потока Ф на один квант, ана-
аналогично тому, как это делал Лафлин [ 1]. Мы не будем здесь детально вос-
воспроизводить этот анализ, но некоторые существенные его стороны отметим
в следующем разделе.
4. СУЩЕСТВУЮТ ЛИ ДЕЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЕ?
Лафлин в своем рассмотрении квантованной холловской проводимости
использовал в качестве отправной точки предположение о том, что в систе-
системе невзаимодействующих электронов бесконечного двумерного образца со
слабой неупорядоченностью, находящегося в сильном магнитном поле, на-
172
Б. Гальперин
19. Квантованная холловская проводимость
173
правленном перпендикулярно плоскости образца, существуют энергетические
зоны делокализованных состояний ("уровни Ландау"), разделенные областя-
областями локализованных состояний и/или энергетическими щелями, вообще не со-
содержащими состояний. Лафлин показал, что если уровень Ферми находится
вне зон делокализованных состояний и если поток Ф, пронизывающий отверс-
отверстие кольцевого образца,адиабатически увеличивается на один квант Фо, то
целое число i электронов перейдет с уровня Ферми внешней границы
на уровень Ферми внутренней границы образца. Поскольку полное из-
изменение энергии образца при этом равно — ieV, где V — разность по-
потенциалов между внешней и внутренней границами образца, а работа по из-
изменению потока равна -с ~1№>0, где / — ток в кольце, то результат, полу-
полученный Лафлином, означает, что I/V = iec /Фо.
Естественно отождествить целое число i с числом зон делокализованных состоя-
состояний под уровнем Ферми (умноженным на кратность спинового и долинного вырождения)
и предположить, что для слабой неупорядоченности оно будет равняться .числу уровней
Ландау, которые в отсутствие беспорядка находились бы ниже энергии Фер-
Ферми ?F. Однако при достаточно сильной неупорядоченности, когда локализо-
локализованы все состояния ниже ЕТ1 мы получили бы, что целое число i равно ну-
нулю и квантованная холловская проводимость не наблюдается.
В настоящее время принято считать, что в отсутствие магнитного по-
поля или других механизмов, нарушающих инвариантность уравнения Шредин-
гера по отношению к обращению времени, электронные состояния в двумер-
двумерном случайном потенциале в принципе всегда являются локализованными
(см. работу [ 8] и имеющиеся там ссылки). Если симметрия по отношению к
обращению времени отсутствует, то в уравнениях теории ренормализацион-
ной группы основной член, ответственный за локализацию, обращается в
нуль. Тем не менее и в этих условиях вопрос о возможности существова-
существования делокализованных состояний в двумерной системе остается открытым
[ 8 - 10].
Если двумерные состояния действительно всегда были бы локализован-
локализованными, то исходные положения теории Лафлина вызывали бы в принципе ¦
серьезные возражения. Можно было бы встать на точку зрения, состоящую
в том, что существование экспериментально наблюдаемой ненулевой кван-
квантованной холловской проводимости само по себе служит достаточным дока-
доказательством наличия делокализованных состояний и делает лишним дальней-
дальнейшее обсуждение этого вопроса. 1J Однако для составления полной мысленной
В работах [5, 7] также подчеркивалось, что ненулевая холловская проводи-
проводимость при Т = О подразумевает существование под уровнем Ферми делокализованных
состояний.
картины, по-видимому, стоит заметить, что существование делокализован-
делокализованных состояний и ненулевой холловской проводимости на самом деле может
быть доказано теоретически, по крайней мере для слабо разупорядоченного
образца в сильном магнитном поле, с помощью приведенного ниже обобщения
аргументов Лафлина. (В действительности нельзя исключить возможность
того, что области энергий, отвечающие делокализованным состояниям, в
пределе бесконечного образца имеют нулевую ширину, что само по себе не
противоречит наличию ненулевой квантованной холловской проводимости.)
Кроме того, теоретическое доказательство можно непосредственно применять
к теоретически важному случаю невзаимодействующих электронов, в то вре-
время как в экспериментальных системах электрон-электронные взаимодейст-
взаимодействия могут a priori играть существенную роль 1) - В приведенном ниже обсуж-
обсуждении мы фактически будем ограничиваться случаем невзаимодействующих
электронов, хотя слегка видоизмененные рассуждения также свидетельству-
свидетельствуют о том, что не слишком сильное электрон-электронное взаимодействие не
разрушает ненулевую квантованную холловскую проводимость.2)
Начнем наше рассмотрение с обобщения кольцевой геометрии рис 1 .
Разделим образец на три концентрические области, ограниченные окружнос-
окружностями с радиусами гх < г[< г2' < г2. Будем считать, что при г1 < г < г [
и Г2 < г < Г2 потенциал V{r) равен нулю, а при г\ < г < г2' существует не-
небольшой случайный потенциал F(r) « Acoc. Макроскопическое электроста-
электростатическое поле отсутствует, а границы г,иг2 считаются, как и прежде, беско-
11 В неопубликованных работах Фуку ямы, Платцмана, Ли и Андерсона было
указано на необходимость точного учета злектрон-электронного взаимодейст-
взаимодействия для объяснения экспериментов, в которых меняется концентрация носителей и
уровень Ферми проходит через область делокализованных состояний (Н. Fukuyama,
частное сообщение; Н. Fukuyama, P.M. Platzman, неопубликованная работа).
а) Одной из возможностей учета электрон-электронного взаимодействия являет-
является мысленный эксперимент, в котором такое взаимодействие существует лишь для
электронов в неупорядоченной области г J < г < г2', показанной на рис. 3. При не
слишком сильном взаимодействии энергетический зазор между первым и вторым
уровнями Ландау должен сохраняться. Если необходимо удержать уровень Ферми в
этом зазоре, то в неупорядоченной области можно включить дополнительный посто-
постоянный потенциал. При этом из условий сохранения энергии и числа частиц следует,
что, когда поток Ф увеличивается на один квант, через неупорядоченную область
переносится отличное от нуля целое число электронов, как и в рассмотренном в
разд. 4 случае отсутствия взаимодействий. Если в последнем случае на уровне Фер-
Ферми существовала конечная ллотность локализованных состояний, то мы должны сде-
сделать дополнительное разумное предположение о том, что при наличии электрон-
электронного взаимодействия эти состояния остаются локализованными (т.е. непро-
непроводящими).
174
Б. Гальперин
19. Квантованная холловская проводимость
175
нечными отражающими стенками. Мы будем также предполагать, что раз-
размеры образца являются сколь угодно большими по сравнению с любой микро-
микроскопической длиной.
Энергетические уровни электронов для рассматриваемой нами геометрии
изображены на рис 3. В приграничных областях \< г <\ и г' < г < г ,
где применимы результаты анализа, данного в разд. 2, поведение электрон-
электронных уровней нам хорошо известно. Энергии этих уровней ?mjj описываются
формулой Ландау Еп = hac (n + 1/2) вшоду, за исключением границ т1 и г2,
вблизи которых они резко поднимаются вверх, как показано на рис. 2. При
этом можно ожидать, что во внутренней разупорядоченной области .
г \ < г < г 2 состояния имеют вид зон конечной ширины с центрами вблизи
энергий Еп„ Если потенциал F(r) является достаточно слабым, то вблизи
середины зазора между уровнями Ландау состояний не должно быть. (В аль-
альтернативном случае, когда имеются примеси с большой амплитудой потен-
потенциала, но с низкой концентрацией, в указанной области может существовать
небольшая плотность изолированных примесных уровней; однако они будут
локализованы на расстояниях порядка гс и, следовательно, несущественны
для нашего рассмотрения.)
Рассмотрим теперь одну из двух возможных гипотез:
1. Состояния в разупорядоченной области являются локализованными
при всех энергиях и имеют конечную длину локализации ~к(Е), зависящую от
энергии.
2. Состояния вблизи центра каждой магнитной зоны являются делокали-
зованными или по крайней мере \(Е) -> °о для некоторой энергии Е в зоне.
Будем считать, что справедлива гипотеза 1 и покажем, что это приводит к
противоречию.
Р и с. 3. Энергетические зоны в различных точках образца при геометрии неодно-
родностей, описанной в разд. 4. Области г, <г <г,'иг'<г <г, отвеча-
ют "идеальному" упорядоченному проводнику, а область г1 < г < г2 содер-
содержит слабый случайный потенциал У(г).
Предположим, что в образце первоначально заполнены все энергетичес-
энергетические состояния вплоть до уровня Ферми ?F, который будем считать находящим-
находящимся при энергии йсос, т.е. посередине между уровнями Ландау п = 0 и п = I.
Будем полагать, чтог^ ~г[» Амакс, гдеХМакс - максимальное значение
длины локализации А(?) в области энергий ? < ?F. Теперь адиабатически
увеличим магнитный поток Ф через отверстие в кольце на один квант Фо. По-
Поскольку первоначально суммарный ток в образце отсутствовал, в ходе указан-
указанного процесса работа не совершается, или, точнее говоря, совершаемая рабо-
работа —с~^[ЫФ обратно пропорциональна размеру системы, поскольку индуци-
индуцированный ток при больших г мал. Нам также известно, что в упорядоченных
областях волновые функции будут слегка сжиматься при изменении потока,
так что в итоге при г ^г2 образуется одно незаполненное состояние непос-
непосредственно под уровнем Ферми ?F, а при г ~г± образуется одно новое запол-
заполненное состояние выше уровня ?F.
Такое изменение заполнения состояний в случае очень большого образ-
образца не требует энергетических затрат. Однако если в разупорядоченной об-
области локализованы все состояния ниже фермиевской границы, то осущест-
осуществить перенос электропа через эту область невозможно, поскольку, как уже
отмечал Лафлин, изменение потока приводит к изменению волновых функ-
функций локализованных состояний лишь на несущественный фазовый множитель
ехр[ ie(r)]. Поэтому электрон, удаленный из точки г » г2, должен быть "пе-
"перемещен" на новое заполненное состояние при г = r'a, а новый электрон при
г = г j должен быть связан с дыркой вблизи г = г^. Однако в нашей модели в глуби-
глубине образца нет состояний с энергиями, находящимися вблизи ?F (за исклю-
исключением, может быть, сильно локализованных примесных состояний, запол-
заполнение которых не может измениться при увеличении потока). Отсюда следу-
следует, что для требуемого изменения заполнения необходимо затратить энергию
порядка Ъ сос, что привело бы к нарушению закона сохранения энергии. Поэ-
Поэтому даже в неупорядоченной области образца неизбежно должно существо-
существовать хотя бы несколько делокализованных состояний под уровнем Ферми.
Интересно выяснить, как изменится представленное выше доказатель-
доказательство, если случайный потенциал является достаточно большим, так что в
неупорядоченной области все состояния под уровнем Ферми оказываются
локализованными. По-видимому, с ростом неупорядоченности зоны делока-
делокализованных состояний не исчезают вообще, а скорее выталкиваются вверх
по энергии и холловская проводимость обращается в нуль, когда самая ниж-
нижняя делокализованная зона поднимается выше уровня Ферми!). В геомет-
15 Аналогичное предположение было высказано также Р. Лафлином в частном со-
сообщении.
176
Б. Гальперин
19. Квантованная холловская проводимость
177
рии неоднородностей типа рассмотренной выше на уровне Ферми вблизи гра-
границ разупорядоченной области (г = г\ и г2 = г'2) токонесущие состояния бу-
будут такого же типа, как и у края образца. При этом добавление кванта пото-
потока вызовет передвижение одного электрона из состояния вблизи г2 в состоя-
состояние вблизи г j и другого электрона из состояния при г J- в состояние при
г,, так что к образцу в целом аргументация Лафлина неприменима. В данном
случае холловскии ток будет определяться падением напряжения лишь на об-
областях, не содержащих неоднородностей.
В заключение заметим, что в рассмотренной выше геометрии нам уда-
удалось привести лафлиновское доказательство точного квантования холловс-
кой проводимости к виду, не требующему каких-либо априррных предположе-
предположений о поведении делокализованных состояний в разупорядоченной области
при адиабатическом изменении потока Ф. Мы опирались лишь на известные
СЕоистЕа волновых функций в однородных граничных областях и на достаточ-
достаточно тривиальное поведение всех локализованных состояний на уровне Ферми
при изменении потока Ф. При этом перенос заряда через разупорядоченную
область и квантованная связь между током / и потенциалом V следуют из
законов сохранения энергии и числа частиц.
Благодарности
Автор почерпнул большую пользу от вдохновляющего участия в обсужде-
обсуждении данной работы многих коллег, в числе которых особо стоит отметить
Джеймса Блэка, П. Ли, С. Хиками и С. Аллена. Особой благодарности заслу-
заслуживают Г. Лубкин и Б. Шварцшильд, которые привлекли мое внимание к этой
теме и сообщили о работе Лафлина. Автор признателен также Р. Лафлину за
полезные замечания по рукописи. Эта работа выполнялась частично благодаря
субсидии Национального научного фонда (США).
Литература
1. Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18).]
2. Ando Т., Matsumoto Y., Uemura Y., J. Phys. Soc. Japan, 39, 279 A975).
3. KlitzingK., v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494A980). [Име-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
4.Surf.Sci., 113 A982).
5. Thouless D.h, J. Phys. С, 14, 3475 A981).
6. Prange R.E., Phys. Rev. B, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 16).]
7. Aoki Н„ Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 17).]
8. Lee PA., Fisher D.S.,: Phys. Rev. Lett., 47, 882 A981).
9. Lee PA., частное сообщение.
10. Hikami S., частное сообщение.
20. Основное состояние двумерных электронов
в сильном магнитном поле
и 1/3-квантовый эффект Холла
Д. Иосиока*, Б. Гальперин**, П. Ли
Перевод статьи: Yoshioka D., Halperin B.I., Lee PA. — Physical
Review Letters, 1983, v. 50, № 16, p. 1219.
Проведена численная диагонализация гамильтониана двумерной сис-
системы, содержащей до шести взаимодействующих электроноа на низшем
уровне Ландау, помещенных а прямоугольный ящик с "периодическими"
граничными условиями. Обнаружено, что у основного состояния парная
корреляционная функция существенно иная, а энергия значительно мень-
меньше, нежели у вигнеровского кристалла. Обнаружены также некоторые
свидетельства наличия у системы минимума энергии при кратности за-
заполнения 1/3.
Природа квантового эффекта Холла двумерной электронной системы в
сильном магнитном поле [ 1] в настоящее время уже достаточно хорошо изу-
изучена [2-5]. Однако аномальный квантовый эффект Холла, который наблю-
наблюдался экспериментально в гетеропереходах AlGa As — GaAs 15[6, 7], пока
еще не имеет удовлетворительного объяснения. В указанных экспериментах
холловская проводимость а^ имела плато при аху = A/3)е2//г и B/Z)e2/h.
Поскольку электроны в гетеропереходе Al Ga As - Ga As обладают очень вы-
высокой подвижностью, естественно предположить, что причиной эффекта явля-
является кулоновское взаимодействие между электронами. Однако попытки объяс-
объяснить эффект образованием волны зарядовой плотности типа вигнеровского
кристалла не имели успеха [8]. Было установлено, что при кратностях запол-
заполнения низшего уровня Ландау 1/3 или 3/3 энергия не имеет каких-либо за-
заметных особенностей и в кристаллическом состоянии при фиксации кристал-
кристалла примесями холловская проводимость а ху принимает лишь значения, яв-
являющиеся целыми кратными кванта e2/k [9, 10]. Для объяснения аномального
20. Основное состояние двумерных электронов
179
* D. Yoshioka, Bell Laboratories, Murray-Hill, New Jersey 07974, USA.
** BJ. Halperin, Harvard University, Cambridge, Massachusetts 02138, USA.
***P.AU, Lge,Department of Physics, Massachusetts Institute of Technology, Camb-
Cambridge, Massachusetts 02139, USA.
15 А также в кремниевых МДП-структурах [15*. 16*]. — Прим. перев.
© 1983 The American Physical Society.
квантового эффекта Холла необходимо наличие нового состояния с энергией,
меньшей, чем у кристалла.
В данной работе численно исследуются собственные состояния сис-
системы электронов в количестве до шести частиц, находящихся на первом
уровне Ландау и помещенных в прямоугольную ячейку с "периодическими"
граничными условиями. Мы установили, что основное состояние имеет энер-
энергию, существенно меньшую, чем энергия вигнеровского кристалла, вычислен-
вычисленная в приближении Хартри - Фока, и существенно иную парную корреляцион-
корреляционную функцию g(r). Состояния, у которых энергия и g(r) близки к вигнеровс-
кому кристаллу, появляются при более высоких энергиях.
Пусть в нашей системе координат границы ячейки соответствуют лини-
лм х = 0, х = а, у = 0, у = Ь, а векторный потенциал А = @, хВ). Согласно
принятому нами граничному условию, величина ab/2-nl2, где 2-nl2 = hc/eB,
должна равняться целому числу т. При этом в ячейке будет т различных од-
ноэлектронных состояний с волновыми функциями
<
±
ka)y
*=—
ехр
+ ka -xK
A)
Здесь индекс; A 4 j 4 т) нумерует состояние, а величина X. = 2irl2j/b
представляет собой координату центра циклотронного движения.
Электроны в ячейке испытывают кулоновское взаимодействие друг с дру-
другом и с однородным положительным фоновым зарядом. В силу граничных ус-
условий кулоновский потенциал в реальном пространстве имеет вид
s t
B)
где ? — диэлектрическая проницаемость, а х и у - единичные векторы вдоль
соответствующих осей. Поскольку рассматривается только низший уровень
Ландау, гамильтониан содержит лишь член, описывающий кулоновское взаи-
взаимодействие:
\а1акаи> C)
где ay - оператор уничтожения для у-го состояния. Одноэлектронная часть
описывает взаимодействие электрона со своим изображением, так что S —
известная константа, связанная с кулоновской энергией классического пря-
прямоугольного вигнеровского кристалла [11].
20. Основное состояние двумерных электронов
181
180 Д. Иосиока, Б. Гальперин, П. Ли
Двухэлектронная часть дается выражением
' qx, 2 tts /a Qqy ,2-nt/b x
D)
Символ Кронекера 5 со штрихом означает равенство по модулю т, а сумми-
суммирование по q не включает q = 0.
Пусть в рассматриваемой нами ячейке число электронов равно п. Тогда
фактор заполнения v = п/т. Гамильтониан системы за вычетом постоянного
члена, который при п -> °° равен -(¦n/8)l/2v2(e2/el), обладает электронно-ды-
электронно-дырочной симметрией. Благодаря этой симметрии результаты наших вычисле-
вычислений, проведенных для случая v < 0,5, распространяются и на v > 0,5.
Базисные n-электронные волновые функции определяются числами запол-
заполнения одноэлектронных состояний: {j v j2, .... jn). Полное число элемен-
элементов в базисе равно ( ™). Однако гамильтониан Н сохраняет у-компоненту пол-
полного импульса / = /j + /2 + „ „ „ jn (mod m). Поэтому для фиксированных зна-
значений т, п и / число элементов в базисе приблизительно равно т~х{ ™), что и
определяет размерность матрицы гамильтониана.
Два значения /, отличающиеся на целое кратное величины п , эквивалент-
эквивалентны, поскольку состояния 0i,/2,„..,/„) и (j'i + 1, У2 + 1, .... /„ + 1) отличают-
отличаются лишь трансляцией в ^-направлении. Следовательно, при отсутствии у т и п
общих множителей энергетический спектр гамильтониана не зависит от 7 и
каждое собственное состояние является вырожденным по меньшей мере
т -кратно. Однако при наличии у тип общего множителя кратность вырожде-
вырождения оказывается меньше и основное состояние реализуется лишь при опреде-
определенном выборе J. Например, в случае v = 1/3 и п = 4 обнаружено трехкратно
вырожденное основное состояние при / = 2, 6, 10.
Поскольку мы интересуемся основными состояниями вблизи v = 1/3, чис-
численная диагонализация проводилась для п = 4, 5 и 6, причем 0,25 < п/т=
= v < 0,5, за исключением случая п = 6, для которого расчеты были выполне-
выполнены только до значений т= 20, т. е. v = 0,3. На рис. 1 показана энергия основ-
основного состояния п -электронных систем как функция кратности заполнения
v = п/т при отношении а/Ъ = я/4 (такой выбор отношения а/Ъ приблизитель-
приблизительно соответствует локальному минимуму энергии). Для исследования природы
собственных состояний гамильтониана мы также вычисляли парную корреля-
корреляционную функцию g(r), одинаковую для всех состояний вырожденного муль-
типлета. При п = 4 функция g(r) для основного состояния имеет ось симмет-
симметрии четвертого порядка и максимумы при г = (+ а/2, 0) и @, ± Ь /2), но не
при г = (±аЛ2, ±Ь/2), где их следовало бы ожидать, если состояние отве-
отвечало бы квадратному кристаллу. Состояния, соответствующие квадратно-
квадратному и треугольному кристаллам, обнаружены при больших энергиях для .
четных т. Энергия треугольного кристалла меньше, чем квадратного, и име-
имеет минимум при а/Ъ - 2Д/ЗТПри этом функция g(r) имеет вид, аналогичный
тому, который получается для бесконечного треугольного кристалла в при-
приближении Хартри.- Фока. Энергия этого кристаллического состояния также
показана на рис. 1.
Р и с. 1. Зависимость энергий двумерных электронных систем в расчете на одну
частицу от относительного заполнения первого уровня Ландау. Штриховая
и пунктирная линии отвечают энергиям электронного и дырочного беско-
бесконечного кристаллов, вычисленным в приближении Хартри — Фока. Белые
кружки, черные кружки и треугольники отвечают энергиям основного сос-
состояния соответственно для п = 4, 5 и 6 электронов при v< 1 /2 и п = 4, 5 и
6 дырок при v > 1/2. Черные квадратики — энергия кристаллического сос-
состояния для п = 4, полученная в приближении Хартри — Фока. Точки, соот-
соответствующие основному состоянию системы с п = 5, соединены сплошной
линией лишь для наглядности.
182
Д. Иосиока, Б. Гальперин, П. Ли
20. Основное состояние двумерных электронов
183
Для того чтобы лучше понять природу основного состояния и роль границ,
мы также применили приближение Хартри — Фока к гамильтониану четырех-
электронной системы. Мы предполагали, что параметры порядка Д;¦¦ =
= < о ^а- > являются конечными, расцепляли гамильтониан и получали
самосогласованные решения для Д;. . [ 12]. При этом всегда получалось
состояние с треугольной волной зарядовой плотности, за исключением слу-
случая v = 1/2, отвечающего одноосному состоянию с волной зарядовой плот-
плотности. Энергия имела минимум при а/Ъ = 2Д/37 Эта энергия также представ-
представлена на рис. 1.
Энергия четырехэлектронной системы, полученная в приближении Харт-
Хартри - Фока, несколько меньше, чем найденная в этом же приближении энергия
бесконечного кристалла, показанная на рис. 1 штриховой и пунктирной линия-
линиями соответственно для электронного и дырочного кристаллов. Это различие
связано с граничными условиями. В конечной системе кулоновский потенциал
между электроном и его изображением, разделенными расстоянием R = (та, nb),
всегда равен e2/e.R, в то время как в бесконечном кристалле необ-
необходимо проводить усреднение по гауссову распределению заряда. Этот эф-
эффект полностью объясняет разницу энергий конечной и бесконечной сис-
систем.
Заметим далее, что при я = 4 хартри-фоковские энергии оказываются
несколько больше, чем энергии "кристаллических состояний", полученные
точной диагонализацией. Разница, которую хотелось бы связать с корреля-
корреляциями между соседними электронами, приблизительно в 2 раза больше, чем
корреляционная энергия, оцененная Иосиакой и Ли [ 8] во втором порядке
теории возмущений, что представляется вполне разумным. Однако, как уже
упоминалось выше, кристаллические состояния не являются низшими состоя-
состояниями наших систем.
Как видно из рис. \,энергия основного состояния рассматриваемых на-
нами небольших систем имеет тенденцию к образованию минимума типа изло-
излома при простых рациональных значениях \>. Очевидно, что экстраполировать
полученные нами результаты к я = °° нельзя. Тем не менее интересно заме-
заметить, что минимум при v = 1/3 остается практически неизменным для трех
рассчитанных систем (я = 4, 5, 6). Излом заметен также при v = 2/5, но,
к сожалению здесь имеются данные лишь для двух значений я. Напротив,
энергия основного состояния при v = ] /2 сильно и немонотонно зависит от
я. Для наглядности на рис. 1 мы соединили точки, соответствующие я = 5,
для которых из дробей низшего порядка существуют только v = 1/3 и 1/2.
Интересно, что эта кривая практически не имеет излома при v = 1/2.
Здесь можно высказать ряд предположений относительно бесконечной
системы и о связи теории с экспериментом. Мы считаем, что полученные
нами результаты свидетельствуют о том, что основное состояние представ-
представляет собой не кристалл, а трансляционно-инвариантную "жидкость". Эта жид-
жидкость, как мы полагаем, при v = 1/3 (а возможно, и при других рациональ-
рациональных значениях v) обладает энергией соизмеримости, и для больших, но ко-
конечных систем основное состояние при v = 1/3 трехкратно вырождено и от-
отделено от множества возбужденных состояний энергетической щелью. Пу-
Путем перехода в движущуюся систему координат нетрудно показать, что при
v = 1/3 холловский ток будет бездиссипативным даже при наличии приме-
примесей. Далее,если значение v близко к 1/3, основное состояние (в данном слу-
случае сильно вырожденное) можно рассматривать как сумму основного состоя-
состояния при v = 1 /3 и дополнительного небольшого количества квазичастиц или
квазидырок. Это, естественно, приведет к минимуму на зависимости энер-
энергии от v. При этом холловское плато при значении а = A,/3)е2А можно объ-
объяснить, если квазичастицы локализуются у примесей и поэтому не дают вклада
в холловский ток, который просто переносится нижележащим состоянием, от-
отвечающим v = 1/3. Сравнительно недавно мы узнали об оригинальном предпо-
предположении, высказанном Лафлином, относительно вида волновой функции жидко-
жидкого состояния при v = 1/р (где р — нечетное число), которое, по-видимому, име-
имеет необходимую энергию соизмеримости [ 13] *>.
Возможно и альтернативное объяснение существования плато холловской
проводимости, предполагающее наличие при v = 1/3 энергии соизмеримости
Е с , если принять, что система электронов в слое обогащения Ga As за счет
туннелирования находится в равновесии с донорными состояниями в Al Ga As
[ 14]. В случае v = 1/3 энергетически выгодно зафиксировать концентрацию
при v = 1/3, если выигрыш в энергии | Дя| ? с превосходит энергию перезаряд-
перезарядки 2тг1^(еДпJ/б при переносе Дя¦= (v — l/3)/2-rrf 2 электронов через обеднен-
обедненный слой толщиной Ld. Если по глубине минимума вблизи v = 1/3 на рис 1
получить приближенную оценку ?с = 0,008(е2/б;) и считатьLd= 240 А и
; = 66А (В = 15 Тл), то полная ширина холловской ступеньки при v = 1/3
окажется равной 5v/v = 20% , что согласуются с данными экспериментов.
На самом деле описанное альтернативное объяснение зависит от деталей
структуры слоя, и мы считаем его менее привлекательным, чем первое из
предложенных объяснений.
*>См. также статьи 21 и 22 в настоящем сборнике. — Прим. перев.
184
Д. Иосиока, Б. Гальперин, П. Ли
Благодарности
Мы благодарим М. Пааланена, Г. Штермера и Д. Чуй за обсуждения экс-
экспериментальных данных, а также сотрудников Аспеновского физического
центра, в стенах которого выполнялась данная работа, за их гостеприимство.
Эта работа частично субсидировалась Национальным научным фондом (США).
Литература
1. KlitzingK.V.,v., Dorda G., Pepper M., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Laughlin Д. P., Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18).]
3. Thouless D.J., J. Phys. С, 14. 3475 A981).
4. Aoki H., Ando Т., Solid State Comm., 38, 1079 A981). [Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 17).]
5. Halperin B.I., Phys. Rev. В, 25. 2185 A982). [Имеется перевод, в настоящем
сборнике (статья 19).]
6. Tsui D.C., Stormer H.L., Gossard А.С„ Phys. Rev. Lett., 48. 1559 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 8).]
7. Stormer H,L., Tsui А,С„, Gossard Z.C., Hwang].СМ., Physica, 117B/118B,
688A983).
8. Yoshioka D., Lee PA,, Phys. Rev. B, 27. 4986 A983).
9. Fukuyama П., Platzman PM., Phys, Rev. B, 25, 2934 A982).
10. Yoshioka A,, Phys. Rev. B, 27. 3637 A983).
11. Bonsall U, Maradudin A,, Phys. Rev. B, 15, 1959 A977).
12. Aoki Я„, J. Phys. C, 12. 633 A979).
13. Laughlin Д.Р., частное сообщение .
14. BaraffGA,, Tsui D?a, Phys. Rev. B, 24. 2274 A981).[Имеется перевод в
настоящем сборнике (статья 14).]
15? Гаерилов М.Г.,< Квон З.Д., Кукушкин И.В., Тимофеев В.Б. - Письма
ЖЭТФ, 1984, т. 39, с. 420.
Ш Кукушкин И.В..Тимофеев В.Б.,* Черемных П.А. - ЖЭТФ, 1984, т. 87,
с. 2223.
21. Квантованное движение
трех двумерных электронов
в сильном магнитном поле
Р. Лафлин*
Перевод статьи: Laughlin R.B. - Physical Review В, 1983, v. 27, № 6, p. 3383.
Найдено простое точное решение уравнения Шредингера для трех
двумерных электронов, находящихся в сильном магнитном попе, в пред-
предположении, что все они находятся на одном уровне Ландау. Показано,
что межэпектронное расстояние принимает характерные значения, не
зависящие от вида взаимодействия и разрывным образом меняющиеся
при изменении приложенного давления, и что характерные энергии воз-
возбуждений в систвме приблизительно равны 0,03 е2/1, где I - магнитная
длина.
Как показали Цуи, Штермер и Госсард [ 1], квантовый эффект Холла мо-
может иметь место при дробном значении A/3)(е2/й). Эберт, Клитцинг, Пробст
и Плог [ 2] описали также согласующиеся с этим наблюдением аномалии в
диагональной компоненте проводимости. В отличие от обычного квантового
эффекта Холла [3 — 5], при котором проводимость двумерного электронного
газа квантуется, принимая значения, кратные в точности величине e2/h, но-
новый эффект обусловлен конденсацией системы в макроскопическом коллек-
коллективном основном состоянии, напоминающем основное состояние сверхпровод-
сверхпроводника, в котором возможно протекание тока при уменьшенных [ 1] или, возмож-
возможно, при вовсе отсутствующих резистивных потерях. Хотя существование эф-
эффекта в условиях спиново-поляризованного уровня Ландау и при фиксирован-
фиксированной плотности электронов препятствует обычной сверхпроводимости со спа-
спариванием спинов, высказывались предположения о наличии здесь сверхпрово-
сверхпроводимости фрелиховского типа. В последние годы стало известно [ 6], что в
условиях реальных экспериментов электронный газ неустойчив по отношению
к образованию волны зарядовой плотности с периодом, сравнимым с магнит-
магнитной длиной I = (%c/eB0)v2, где BQ — напряженность магнитного поля. Интуи-
Интуитивные соображения подсказывают, что неоднородность плотности заряда
R. В. Laughlin, University of California, Lawrence Livermore National Labora-
Laboratory, California 9455Q, USA.
© 1983 The American Physical Society
186
Р. Лафлин
21. Квантованное движение трех двумерных электронов
187
должна играть роль соответствующего параметра порядка, поскольку она спо-
способствует разделению электронов и минимизации за счет этого энергии их
кулоновского отталкивания. Однако выполненные затем расчеты [ 7, 8] волны
зарядовой плотности по методу Хартри - Фока не дали повода чем-то выде-
выделить степень заполнения 1/3, хотя и привели к энергии конденсации порядка
в2/1 на частицу. Теория Хартри - Фока относится к разряду методов средне-
среднего поля со всеми их трудностями в двумерных задачах и с возможностью
упустить важные физические факторы. Однако трудность в получении энер-
энергии соразмерной конфигурации из хартри-фоковского основного состояния
является достаточно серьезной проблемой, вызывающей сомнения в спра-
справедливости гипотезы о волне зарядовой плотности.
В настоящей работе описываются результаты вычислений, проливающих,
по нашему мнению, некоторый свет на природу аномального квантового
эффекта Хтолла. Нам удалось точно диагонализовать задачу о трех двумерных
электронах в сильном магнитном поле. В отличие от хартри-фоковского реше-
решения той же самой задачи, мы обнаружили, что независимо от типа взаимодей-
взаимодействий имеет место квантование межэлектронного расстояния. Обнаружены
также несжимаемость и наличие характерных энергий возбуждения порядка
0,03 е2/1 .Оба последних явления находятся в согласии с экспериментом [1].
Рассмотрим электроны, заключенные в плоскости ху и помещенные в маг-
магнитное поле Во z. Одночастичный гамильтониан задачи имеет вид
H = (l/2m)[(h/i) V -(е/с)А]2<
A)
причем векторный потенциал А в симметричной калибровке дается выражени-
выражением
()
Будем измерять энергию и длину в единицах соответственно циклотронной
энергии йсос = ПеВ0/тс и магнитной длины I = (й/m сос I/2= (Пс/еВ^2. Соб-
Собственные функции запишутся следующим образом:
I m, n > =*
1
,(*2+у2)
Bт+п+1-пт\п !)
дх ду
У2)/2
C)
причем
Н\т, п > = (я + 1/2)\т,п>.
D)
Функция \т,п > является также собственной функцией оператора углового
момента, отвечающей собственному значению т - я„ Множество состояний с
энергией п + 1/2 составляет я-й уровень Ландау. Мы будем рассматривать
вначале состояния низшего уровня Ландау, имеющие более простой вид:
т> = \т,0> =
1
zme-\z\*/<
E)
Bт+1тип!I/2
где z = х - iy ¦ Эти состояния описываются качественно как состояния цик-
циклотронного движения вокруг начала координат с угловым моментом т и
радиусом орбиты \/2т, поскольку
< т\ г2\ т > = 2(т+ 1).
Заметим также, что
1 , ^ Bт)!
< ml
\т> =
22т + ^{m
F)
G)
и при больших т стремится к \/\/2т..
В нашем представлении физическая причина квантования межэлектрон-
межэлектронного расстояния состоит в том, что одноименно заряженные частицы в силь-
сильном магнитном поле не отталкиваются, а вращаются вокруг их центра масс
со скоростью, пропорциональной кулоновской силе между ними. Рассмот-
Рассмотрим два электрона, описываемые гамильтонианом
н= J_ (Л
2т \ i
(8)
где Vj означает дифференцирование по координатам первой частицы, а А -
векторный потенциал в месте нахождения первой частицы. Задача допускает
обычное разделение переменных. Вводя координаты центра масс и коор-
координаты внутреннего движения:
(Zl -
(9)
188
Р. Лафлин
получаем гамильтониан, описывающий внутреннее движение'^
HBHj = J_ (±- Va - -f-AaV + -1— . (Ю)
Потенциал сохраняет угловой момент, и поэтому его собственные функции
имеют вид
гдеха -iya = гехр(-гф), am из соображений антисимметрии должно быть
нечетным. При этом получаем
dr
у[2г
A2)
где ? - собственное значение энергии. Это уравнение радиального движения
двумерного гармонического осциллятора с добавочной отталкивающей серд-
сердцевиной, имеющей мощность е2. Если эта сердцевина достаточно слаба, то
собственные функции задачи можно аппроксимировать функциями свободной
частицы | т> , и мы получаем следующее выражение:
1/2I т>.
где
A3)
A4)
Это приближение, точность которого увеличивается с ростом т, очень хоро-
хорошо выполняется для условий, соответствующих реальному эксперименту. На
рис 1 численное решение уравнения A2) при т= 1 сравнивается с функцией
^Заметим, что в силу линейности уравнения B) выражения (9)преобразуют ве-
величины А и V соответственно как ковариантные и контравариантиые векторы, нап-
например
Л "о ¦ -
/~ ~(Уа* X°V)'
2 2
Заметим также, что якобиан этого преобразования отличен от единицы.
21. Квантованное движение трех двумерных электронов
189
Р и с. 1. Сравнение волновой функции свободной частицы | 1 > (сплошная кривая) с
точным решением уравнения A2) для т= 1, не имеющим узлов (штриховая
кривая).
11 > для случая, когда е 2/1 - йс^,. Для положения пика функции т" различие
составляет 20%, для собственного значения энергии различие равно 7%. Вьь
бирая значение диэлектрической проницаемости равным 13, а эффективную
массу равной 0,07 mQ, что соответствует Ga As , получаем, что рассматрива-
рассматриваемый случай отвечает магнитному полю 6 Тл, типичному для экспериментов
[ 1, 2]. Таким образом, мы имеем физическую картину, в которой частицы
совершают взаимное вращение на расстоянии г друг от друга, как если бы
они двигались в отсутствие кулоновского взаимодействия, но с отрицатель-
отрицательной энергией связи е2/г„ Перемешивание состояний различных уровней Лан-
Ландау представляет собой малое возмущение. Кроме того, ограничиваясь вол-
волновыми функциями низшего уровня Ландау, мы сводим, вообще говоря, одно-
частичную задачу к "нуль-частичной", для которой состояния, отвечающие
свободным частицам, диагонализуют гамильтониан #внутр. Следовательно,
трехчастичная задача сводится к эффективной одночастичнои и поэтому мо-
может быть без каких-либо трудностей решена.
Рассмотрим теперь три электрона, описываемые гамильтонианом
--Ц-г'¦-¦?-*¦)" ¦¦Ыт-
1
2m
е- А,
A5)
2.3
31
190
Р. Лафлин
Как и прежде, можно разделить переменные в выражении для Н с помощью
следующего преобразования координат, выделяющего движение центра масо:
1 +z2 + zs)/3,
A6)
zj =(Zl-Z2)/VT.
Гамильтониан внутреннего движения принимает вид
Д
М
|-(l/2)zb-(V572)ze
A7)
Условие антисимметрии требует, чтобы волновая функция была нечет-
нечетной по zb и симметричной относительно поворота на + 120° в плоскости ab.
Система функций
| т, п > =
2 \n
x exp[-(l/4)(|ZJ2+|zb|2)]
A8)
составляет полный ортонормированный базис, удовлетворяющий этим услови-
условиям. Наличие ортонормированности проще всего доказать, выполнив предвари-
предварительно следующее преобразование координат:
za -tzb
A9)
21. Квантованное движение трех двумерных электронов
191
Функция \т,п> есть собственная функция полного углового момента с соб-
собственным значением М = Зт+ 2п, Поскольку Нвнутр сохраняет величину М,
необходимо рассматривать только матричные элементы кулоновского взаимо-
взаимодействия между состояниями с одним и тем же значением М„ Эти матричные
элементы мы рассчитываем численно, разлагая вначале полиномы следующим
образом:
\т, п> =
1
м
¦2
Ь а
B0)
а затем почленно применяя формулу G). При этом получаем
\т, п
2лг
I 1/2
!в !
м
Bk)l{M-k)l
B1)
В силу инвариантности функций относительно вращения в плоскости а Ъ на
+ 120° кулоновский матричный элемент будет в ЗД/2~раз превосходить указан-
указанную величину. В табл. 1 приведены матричные элементы <т, п |A/| г& | )\т',п>
для значений М < 22. При малых М вырождение по угловому моменту во мно-
многих случаях равно единице, и при этом \т, п > является ¦ собственным
состоянием. Однако даже при вырождении, отличном от единицы, наибольшие
недиагональные матричные элементы, как правило, примерно в 10 раз мень-
меньше, чем разности диагональных элементов. Таким образом, и в общем случае
функция | т,п > представляется хорошим приближением для собственных
состояний. С целью получения полноты картины в табл. 2 мы представили
все собственные значения энергии для М < 39.
Первым вырожденным угловым моментом является М = 9, что в 3 раза
превосходит минимальное значение М = 3 и поэтому приблизительно соот-
соответствует упаковке с плотностью 1/3. В этом случае, типичном для систем
с вырождением, разность энергий между состояниями с одним и тем же
Таблица 1.
Купоновские матричные элементы [в единицах {Э/у/г)/(е2/1)] между функциями
\т,п>, определяемыми формулой A8). Квантовые числа ти п указаны в скобках.
Полный угловой момент М = Зт + 2п. Состояния с М = О, 1, 2 и 4 отсутствуют
Квантованное движение трех двумерных электронов
Собственные значения кулоновской матрицы в единицах C/\/2)/(е2/1)
193
Таблица 2.
М
М
3 A,0) 5,6790797X10-
= 5 A,1) 4,9783743X10
6 B,0) 4,2011726X10
7 A,2L,4712999Х10
8 B,1) 4,0323072X10
= 9 C,0) 3.4О17834Х1О 1.3061401X10
A,3) 1,3061401X10 4.0872620X10"
= 10 B,2) 3,8683028X10
м
м
г1
= 11 C.1) 3,3275419X10"'
A,4) 1,9954144X10
= 12 D,0) 2.9275434ХЮ
B.3) 8,4104645X10
М=13 C,2K,2560275X10"
A.5) 2,4851395X10"
М = 14 D,1) 2,8787081X10"
B.4) 1.4241563X10"
Л/=15 E,0) 2.6092388X10"
C,3) 5,0642663X10"
A.6) 9,2329895X10"
М =16 D,2) 2.833327ОХ1О"
B.5) 1,9268913X10
М= 17 E,1) 2,5726473X10
.-3
,-2
.-3
.-2
C.4) 9,0439649X10"
A.7) 1.8059974X10
М = 18 F,0J.3768325X10"
D.3) 3,2649505X10"
B.6) 5,9590829X10"
Af = 19 E.2) 2.5386185X10"
C.5) 1,2830525X10
A.8) 2,7342388X10"
М = 20 F.1) 2,3480284X10"
D.4) 5,9820064X10"
B.7) 1,2593072X10"
М=21 G,0) 2.1974229X10"
E,3) 2,2664334X10"
C.6) 3,2842353X10"
A.9) 8,0497269X10"
1,9954144X10
3,7848378X10
8,4104645X10
3.7146562X10
2.4851395Х10
3.5392739X10
1,4241562X10
3,5729604X10""'
5.0642663Х10
3.1867162Х10
2.8369523Х10
1,926891 ЗХЮ
3.443О872Х1О
9,0439649Х10
З.ПЭбЭббХЮ
3,0905383X10
3.2649505Х10
2,7905413X10"'
2,3546263X10
1.283О525Х1О
3,0547790X10
3,2731460X10
5,9820064X10
2,7497763X10
2.715247ОХ1О
2.2664334ХЮ
2,5067438X10
1.6354641Х10
3.6580450X10
9,2329895X10"
2,8369523X10"
3,3350100X10"
1,8059974X10
3,0905383X10
3,1617842X10
5,9590829X10
2.3546263Х10
3.3242217Х1О
2,7342388X10~3
3,2731460X10
3,0125463X10
1,2593072X10
2.7152470Х1О
3,2153298X10"'
3.2842353Х10 8.О497269Х1О
1.635464Х10 3.6580450X10
2.3323702X10"' 3.4037984Х10
3.4037984Х1О 2.8822825X10
М =3
М = 5
М = 6
М = 7
М = 8
М = 9
М = 10
М =11
М = 12
Л/= 13
ДГ = 14
ДГ = 15
Л/= 16
ДГ = 17
М = 18
ДГ= 19
М = 20
ДГ =21
ДГ = 22
Jlf = 23
М = 24
ДГ = 25
ДГ = 26
М = 21
*f=28
ДГ =29
ДГ = 30
ДГ = 31
ДГ =32
М = 33
ДГ = 34
ДГ =35
ДГ = 36
ДГ=37
ЛГ=38
0,56790797
0,49783743
0.42011726
0.44712999
0.40323072
0,33777390
0.38683028
0,32527155
0,29186570
0,31116152
0.28506293
0,26044218
0.27775397
0,25558618
0,23740816
0.25014423
0,23382964
0.21956591
0.22994005
0,21676499
0,20522387
0,21373263
0,20295758
0.19336901
0,20052682
0,19148529
0,18335681
0.18947723
0.18175876
0.17475455
0.18006460
0,17337643
0,16725962
0.17192212
0,16605514
0.41113063
0,38596642
0,37235427
0.36836862
0,36010392
0,29708952
0.34988745
0.28413189
0,27039753
0.27276739
0,26332982
0.24418964
0.25675949
0,23783759
0,22583985
0.23132474
0,22163521
0,21050323
0,21743257
0,20709589
0,19796042
0,20351363
0.19528754
0.18736226
0,19253915
0,18515547
0,17828678
0,18286774
0.17643722
0,35556379
0,34568463
0,34135386
0,33768277
0,33415398
0.26314295
0.32799895
0,25519580
0,25078681
0,24867101
0.24543048
0,22495186
0.24065551
0,21896732
0.21332926
0,21353194
0,20949416
0.19976091
0,25771205
0,19588188
0.18974977
0.19197823
0,18695784
0.33098345
0,32524804
0,32266716
0.32025819
0,31799278
0.24322376
0,31385162
0.23855904
0,23639925
0,23447598
0.23259127
0,20872878
0,22916528
0.20455725
0,20228239
0,20093658
0.19912205
0.31586253
0,31195078
0,31014952
0,30843981
0,30681394
0,23084536
0,30378806
0.22758088
0,22606400
0.22462108
0,22323986
0,30526536
0,30237677
0,30102669
0,29973352
0.29849337
1.3-416
194
Р. Лафлин
21. Квантованное движение трех двумерных электронов
195
собственным значением существенно превосходит минимальную разность
между состояниями с соседними М, поскольку увеличение квантового числа
п энергетически весьма невыгодно. На рис 2 сопоставляются распределения
зарядовой плотности в состояниях | 3, 0 > и | 1, 3 > для случая, когда центр
масс совпадает с началом координат и один электрон располагается в точке
У = - 3. Фиксировать положение одного из электронов необходимо, посколь-
поскольку распределение абсолютной плотности заряда является цилиндрически сим-
симметричным. Очевидная тенденция к надвиганию заряда на фиксированный
электрон с ростом квантового числа п может быть прослежена и для других
значений М.
Вычисленные положительные собственные значения можно интерпретиро-
интерпретировать как энергии связи, если к электронам приложить давление, поместив их
во внешний потенциал вида
Q |a + | гь |Я). B2)
V = (а/2)(| гг\* + | Zj|| 2 + | Zs|2) . Cа/2)| I|a +
Не рассматривая связывание центра масс, имеем
B3)
Таким образом, указанный характер давления не оказывает влияния на вол-
волновые функции, но понижает энергии состояний с малыми М относительно
состояний с большими М. На рис 3 представлена зависимость полного уг-
углового момента основного состояния от величины I/a. Видны резкие скач-
скачки до значений, кратных трем, происходящие при понижении давления. Крат-
Кратность трем возникает за счет того, что при любом давлении низшее энерге-
энергетическое состояние соответствует п = 0. На рис. 3 показано также средне-
среднеквадратичное значение площади, занимаемой электронной системой. Площадь
треугольника с вершинами при z%,z2 и zs определяется оператором
А = _L Iml
+Z2
(*в*б-*б*3).
матричные элементы которого
< т, п \ А | гп, п> = 0 ,
B4)
B5)
< fn.nl A2\m',n'> =6mm.6nn'C/4)[CmJ+(M+2)]. B6)
Таким образом, ожидаемое значение площади также скачкообразно зависит
8
Р и с. 2. Распределения зарядовой плотности для двух состояний с одинаковым угло-
угловым моментом (М = 9) при условии, что центр масс (Д) лежит в начале координат, а
один из электронов расположен при у = — 3 (х). Каждый контур соответст-
соответствует плотности заряда, составляющей 0,1 максимальной величины.
от давления, что мы интерпретируем как указание на несжимаемость элект-
электронного кластера. Этот факт отчасти связан с конечностью кластера, и по-
поэтому трудно предсказать, сохранится ли указанное свойство при увели-
196
Р. Лафлин
21. Квантованное движение трех двумерных электронов
197
Р и с. 3. Зависимость полного углового момента и приведенной площади электрон-
электронной системы от обратного давления 1/ос. Величине а измеряется а едини-
единицах v3/2{«2//3), а площадь А _ в единицах I 2. Оператор площади отлича-
отличается от оператора, определяемого выражением B4), множителем 5
чении числа частиц. Однако если оно сохранится, то это могло бы позволить
макроскопическому квантовому состоянию обтекать препятствия без гене-
генерации коллективных возбуждений.
Благодарности
Мне хотелось бы выразить благодарность П. Платцману, П. Литтлвуду,
П. Ли, Б. Гальперину, П. Андерсону, Р. Мартину и К. Херрингу за полезные
обсуждения данной работы. Мне приятно также поблагодарить сотрудников
Аспеновского центра теоретической физики, в котором выполнялась часть
этой работы, за гостеприимство. Данная работа проводилась при содействии
министерства энергетики США в Ливерморской национальной лаборатории
им. Лоуренса по контракту №-W-7405-Eng-48.
Литература
1. Tsui D.C, Stormer H.L., Gossard A.C., Phys. Rev. Lett., 48, 1559 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 6).]
2. Klitzmg К„ v,, частное сообщение.
3. Klitzing К.,.уь, porda G., Pepper М„, Phys. Rev. Lett., 45. 494 A980).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
4. Laughlin R° В„ Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в настоя-
настоящем сборнике (статья 18).]
5. tialperin B.h, Phys. Rev. В, 25. 2185 A982). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 19).]
6. Fukuyama Н„ Platzman РЖ, Anderson P.V/., Phys. Rev. В, 19, 5211 A979).
7. Yoshioka Da, Fukuyama H., J. Phys. Soc. Japan, 47, 394 A979).
8. YoshiokaD., Fukuyama H., J. Phys. Soc. Japan, 50, 1560 A981).
22. Аномальный квантовый эффект Холла;
несжимаемая квантовая жидкость
с дробным зарядом возбуждений
Р. Лафлин*
Перевод статьи: Laugh tin R.B. — Physical Review Letters, 1983, v. 50, N1 10, p. 1395.
Данное сообщение посвящено вариационным волновым функциям ос-
основного и возбужденного состояний, описывающим конденсацию двумер-
двумерного электронного газа в новое состояние вещества.
Эффект /3", обнаруженный сравнительно недавно 11уи, Штермером и Гос-
Госсардом [ 1], связан с конденсацией двумерного электронного газа в гетерострук-
туре GaAs — Al;eGa1_;t.As в коллективное основное состояние нового типа.
Получены следующие важные экспериментальные факты:
1. Конденсация происходит при определенной концентрации электронов,
составляющей 1/3 полного числа состояний на уровне Ландау.
2. Электроны создают ток с малыми или вообще отсутствующими резис-
тивными потерями и имеют холловскую проводимость A/3)е2/й;
3. Небольшие изменения концентрации электронов не влияют на величину
проводимости, большие же приводят к ее изменению.
4. Конденсация происходит при температуре ~1,0Ки магнитном поле
-150 кГс.
5. В одних образцах эффект наблюдается, а в других - нет.
Цель настоящего сообщения состоит в описании вариационных волновых
функций основного и возбужденного состояний, которые, по моему мнению,
согласуются со всеми экспериментальными фактами и объясняют этот эффект.
Основное состояние представляет собой новое состояние вещества —
квантовую жидкость с элементарными возбуждениями (квазиэлектронами и
квазидырками), обладающими дробным зарядом. Адекватность этих волновых
функций доказана мною для случая малого числа электронов, когда возможна
непосредственная численная диагонализация многочастичного гамильтониана.
Я предсказываю существование последовательности таких основных состояний
с убывающей плотностью, оканчивающейся вигнеровским кристаллом.
*R.B.Laughlin, Lawrence Livermore National Laboratory, University of California,
Livermore, California 94550, USA.
©1983 The American Physical Society.
22. Аномальный квантовый эффект Холла
199
Рассмотрим двумерный электронный газ, расположенный в плоскости ху
и помещенный в магнитное поле BQ , направленное вдоль оси z. Выберем сим-
симметричную калибровку векторного потенциала А = A/2) [ Во х г ] и запишем
собственные состояния идеального одночастичного гамильтониана
-(е/с)А|гввиде
m,n> =
.— 1/2
«р[A/4)(*2 + у2)]х
дх
ду
1
дх
где циклотронная энергия Лсос = h(eBQ/mc) и магнитная длина
I - (ft/mco I/2= {%с/еВй)^2 положены равными единице. Имеем
Н
одн
т,п> =(п
т,п>.
B)
Множество состояний с энергией п + 1/2 представляет собой n-й уровень
Ландау. Состояния низшего уровня Ландау можно записать в следующем со-
сокращенном виде:
|2], C)
т>=
где z = х + iy. Величина \т > представляет собой собственную функцию угло-
углового момента с собственным значением т. Многочастичный гамильтониан за-
записывается следующим образом:
Я =
(*/*
-(е/с)А,\2
/ > к
z
D)
где V(z •) — потенциал, созданный однородным нейтрализующим фоном, а сум-
суммирование ведется по всем N частицам системы.
В предыдущей работе [2] мною было показано, что эффект /3" можно
объяснить, рассматривая состояния лишь низшего уровня Ландау. Если
е2/1 4 й"с. что соответствует условиям эксперимента, то квантование угло-
углового момента приводит к квантованию межэлектронного расстояния. Волновые
функции вида
+z2)"exp[(-l/4)(|
E)
являются единственными функциями, сконструированными из состояний низше-
низшего уровня Ландау, которые описывают движение с угловым моментом т относи-
200
Р. Лафлин
22. Аномальный квантовый эффект Холла
201
тельно центра масс. В данной работе это утверждение обобщается на случай N
частиц.
Запишем функцию основного состояния как произведение функций
Ястрова:
/ Л ч
F)
и минимизируем энергию по /. Заметим, что электроны будут находиться на низ-
низшем уровне Ландау, только если функция f{z) будет полиномом, причем нечет-
нечетным, чтобы удовлетворить условию антисимметричности функции у . Для со-
сохранения углового момента необходимо, чтобы произведение Т\; <kf(z- -zk)
было однородным полиномом степени И, где М — полный угловой момент. Та-
Таким образом, мы имеем f(z) = zm, где степень т является нечетной. Для то-
того чтобы определить значение т, минимизирующее энергию, запишем следу-
следующее равенство:
|2 =
П
G)
где р = \/т, а Ф — классическая потенциальная энергия системы N одинако-
одинаковых частиц с зарядом Q - т, взаимодействующих по логарифмическому зако-
закону и находящихся на фоне однородного нейтрализующего заряда с плотностью
а = B-гт;2)-1:
Ф=-1
2m2ln
*/ -ч
(8)
Такая система есть не что иное, как классическая однокомпонентная плазма,
изученная весьма детально. Расчеты по методу Монте-Карло показали [ 3], что
при значениях безразмерного плазменного параметра Г = 2р(?2= 2т, пре-
превышающих 140, однокомпонентная плазма представляет собой гексагональный
кристалл, а в иных условиях — жидкость. Величина | у т \ 2 описывает систему,
однородно расширенную до состояния, при котором достигается плотность
а т - „Г1 B-rrZ2)-1. Она минимизирует энергию в случае, когда а т равняется
плотности заряда, создающего потенциал V.
В табл. 1 приводятся проекции функции ут для трех частиц на собствен-
собственное состояние с наинизшей энергией и угловым моментом 3 т, которые были
найдены численными методами. Все они близки к единице. Это подтверждает
мое предположение о том, что волновая функция, определяемая выражением
F), обладает необходимой вариационной свободой. Проделанные мною анало-
аналогичные расчеты для четырех частиц с кулоновским отталкиванием дали
Таблица 1.
Проекция вариационных трехчастич-
ных волновых функций у>т1 аида
Величина 4>т — собственная функг
ция углового момента с собствен-
собственным значением Зт и минимальной
энергией, вычисленная при V = О
для потенциала межэлектронного
взаимодействия, описываемого од-
одной из следующих функций: 1/г,
-1п(г) и ехр(-г 2/2)
Ш
1
3
5
7
9
11
13
1/г
1
0,99946
0,99468
0,99476
0,99573
0,99652
0,99708
-1п(г)
1
0,99673
0,99195
0.99295
0,99437
0,99542
0.99615
ехр(_г z/2)
1
0,99966
0,99939
0,99981
0,99999
0,99996
0,99985
значения проекций 0,979 и 0,947 для состояний соответственно с т = 3
и т~ 5.
Состояние ^т при малых значениях т характеризуется большей отрица-
отрицательной энергией в расчете на одну частицу, чем состояние с волной зарядо-
зарядовой плотности [ 4]. Эта энергия определяется радиальной функцией распре-
распределения g(r) однокомпонентной плазмы:
V,
полн
(9)
о т
В пределе больших Г полная энергия #попн с точностью до нескольких про-
процентов аппроксимируется энергией ионного диска
2
U
ПОЛН
dr\ th\ =
= D/Зтг- IJe2/K,
A0)
i4-416
202
Р. Лафлин
22. Аномальный квантовый эффект Холла
203
где область интегрирования имеет вид диска радиусом R = (тг°т)-^. ПриГ=2
известен точный вид функции Лт)*) [5], а именно g(r) = 1 — ехр[-(г/ДJ],
дающий f/nOnH = -(l/2)i/iTe2/^. Для m = 3 и m= 5 я воспроизвел расчеты
функции g(r) по методу Монте-Карло, используя описанный в работе [ 3] ме-
метод сверхаереплетающихся цепочек и получил #попн&) = (-0,4156 ± 0,0012) е2/1
к U E) = (-0,3340 ± 0,0028)е2//. Соответствующие значения для волны
зарядовой плотности равны -0,389е2Л и -0,322е2Л [4]. Величина J7nonH яв-
является гладкой функцией от Г, которую я приближенно интерполировал зави-
зависимостью
I
0,814 /0,230
U.
попн
(*)*-
\f~tn
_ Л е
/ I
(И)
Эта интерполяция приближается к энергии волны зарядовой плотности при m = 10.
Реальная точка кристаллизации не может быть определена из результатов, от-
относящихся к случаю однокомпонентной плазмы, поскольку при m > 71 волна за-
зарядовой плотности имеет меньшую энергию, чем кристалл, описываемый функ-
функцией ут.
Я изучал элементарные возбуждения состояния vy создаваемые путем
пронизывания жидкости в точке г0 бесконечно тонким соленоидом и адиаба-
адиабатического пропускания кванта магнитного потока Д<р = h с /е. При этом одно-
частичные волновые функции преобразуются следующим образом:
*). A2)
Запишем приближенные представления этих возбужденных состояний в виде
'm z,
ПЦ. _Zo)}f П {z -
i j<k '
A3)
' Значение Г = 2 отвечает полностью заполненному уровню Ландау, для кото-
которого полная энергия раена своему хартри-фокоескому значению — \Jit/B e2/l. Это
соответствие можно рассматривать как причину существования точного решения
при Г = 2.
A4)
соответственно для квазидырки и квазиэлектрона. Для четырех частиц я про-
проектировал эти волновые функции на аналогичные функции, найденные числен-
численным расчетом, и получил 0,998 для ч^г° и 0,994 для у~г° . Для функции
ф " о = { П,- (zf - ?)} у3, которая представляет собой у**0, без учета дви-
движения центра масс, я получил значение 0,982.
Рассматриваемые возбуждения представляют собой частицы с зарядом
\/т.Чтобы убедиться в этом, запишем | у +г° |2 в виДе ехР (—РФ )» где
Р = Ут и
Ф* = Ф —
In |
A5)
Функция Ф* описывает однокомпонентную плазму, взаимодействующую с фик-
фиктивным точечным зарядом в точке zQ . Этот заряд будет полностью экраниро-
экранироваться плазмой путем создания вблизи z0 равного по величине и противопо-
противоположного по знаку заряда. Однако, поскольку в действительности плазма сос-
состоит из частиц с зарядом, равным не т, а единице, реально создается заряд
величиной \/щ- Аналогичные рассуждения применимы и к функции ^~г°,если
приближенно записывать ее в виде П-(г- -го)-1 Pz y3» ГДе Pz -проекци-
-проекционный оператор, уничтожающий все конфигурации, содержащие какой-либо элек-
электрон в одночастичном состоянии (z -zo)°exp(- j z|2/4). Проекция этой приб-
приближенной волновой функции на у^й для четырех частиц равна 0,922. В более
общем случае можно видеть, что вдали от соленоида адиабатическая добавка
Д<р сдвигает жидкость как целое в точности на одно состояние в соответствии
с выражением A2). При этом простой подсчет, аналогичный тому, который был
выполнен в работе [ 6], дает для заряда частиц величину 1/т. Размер этих
частиц равен длине экранирования в классической однокомпонентной плазме.
Для слабовзаимодействующей плазмы (Г < 2) эта длина экранирования должна
быть равна дебаевскому радиусу X D = / /у/Т. В случае сильновзаимодейству-
ющей плазмы более правильно считать длину экранирования равной радиусу
ионного диска, связанного с зарядом 1/т и имеющего значение R = yfll . Зная
размер, можно оценить энергию, необходимую для образования частицы. В приб-
приближении Дебая — Хюккеля зарядовый избыток вокруг фиктивного заряда мож-
204
Р. Лафлин
22. Аномальный квантовый эффект Холла
205
но записать в виде
5р =
2-тттЛ2,
D
где Ко - модифицированная функция Бесселя второго рода. Для создания та-
такого распределения требуется энергия
_ тг
Г12
A6)
Поскольку плазма является сильновзаимодействующей, формула A6) дает для
энергии оценку сверху. С целью получения более точной оценки предположим,
что внутри ионного диска 5р = сгт, а вне его 5р = 0, что дает
41 )• A7)
При т- 3 эти оценки составляют 0,062 е2/1 и 0,067 е2//, что хорошо согласу-
согласуется со значением 0,033 е2/1, полученным из численного решения четырех-
частичной задачи с использованием формулы
A8)
где ?(у3) - собственное значение, отвечающее функции у3» полученной чис-
численными методами. В зыражении A8) энергии, необходимые для образования
электрона и дырки, усредняются, а ошибки, связанные с тем, что не учитыва-
учитывается потенциал V, взаимно вычитаются. Проделанные мною расчеты по методу
двухкомпонентных сверхпереплетаюшихся цепочек дали @,022 ± 0,002) е2/1 и
@,025 ± 0,005)е2// соответственно для энергий v|i*z° и уТ*0 ¦ Если поло-
положить диэлектрическую постоянную е равной 13, что соответствует Ga As, то
при Во = 150 кГс получаем 0,02е2Д/«4К.
Энергия, необходимая для образования частицы, не зависит от z0 , до тех
пор пока расстояние частицы от поверхности превосходит ее размер. Таким
образом, как и в одночастичной задаче, состояния являются вырожденными
и кинетическая энергия отсутствует. Оператор рождения можно разложить в
ряд по степеням величины ze:
N
го / = о
*Nl
A9)
Входящие в это выражение функции А являются элементарными симметрич-
симметричными полиномами [7]. Их алгебра может быть использована для описания на-
набора симметричных функций. Поскольку любую антисимметричную функцию
можно записать в виде произведения симметричной функции на у х, указанные
операторы в совокупности со своими сопряженными образуют полное простран-
пространство состояний. Поэтому можно рассматривать их как /V линейно независимых
операторов рождения частиц.
Состояние, описываемое волновой функцией ут , является несжимаемым,
поскольку сжатие или растяжение равносильно инжекции частиц. Если площадь
системы увеличивается или уменьшается на величину 5А, то энергия возрас-
возрастает на 5U = отА\ЬА\ . Для упругого твердого тела с модулем упругости Ь
мы имели бы ъЬ - A/2)ЬE/4JА4. Несжимаемость приводит к тому, что про-
продольные коллективные возбуждения, напоминающие звуковые волны сжатия, в
системе отсутствует или, точнее говоря, в длинноволновом пределе имеют энер-
энергию порядка Д. Это способствует токопрохождению без резистивных потерь при
нулевой температуре. Прототипом подобного поведения является заполненный
уровень Ландау (т- 1), для которого указанное коллективное возбуждение су-
существует при t coc. Отклик рассматриваемой системы на сжимающие напряже-
напряжения аналогичен отклику сверхпроводника второго рода на приложенное магнит-
магнитное поле. Вначале система, не сжимаясь, генерирует холловские токи, а затем
при достижении критического напряжения коллапсирует на квант площади 2тг/2
и образует частицу, которая, подобно вихревой нити, окружена вихревыми хол-
ловскими токами, направленными в некотором смысле навстречу токам,' инду-
индуцированным механическим напряжением.
В рассматриваемой теории примеси и неоднородности в образце играют та-
такую же роль, как и в разработанной мною теории обычного квантового эффекта
Холла [ 8]. Электронные и дырочные зоны, которые в отсутствие примесей раз-
разделены щелью 2д, уширяются в континуум, состоящий из двух зон делокализо-
ванных состояний, разделенных зоной локализованных состояний. Малые изме-
изменения плотности электронов перемещают уровень Ферми внутри зоны локализо-
локализованных состояний, а дополнительные квазичастицы захватываются примесными
центрами. Холловская проводимость равна (l/m)(e2/h), поскольку при нахожде-
нахождении уровня Ферми в зоне локализованных состояний условие калибровочной ин-
инвариантности связывает ее с зарядом квазичастиц е*: сгн= e*e/h. Как и в обыч-
обычном квантовом эффекте Холла, разупорядоченность, способная локализовать
все состояния, приводит к разрушению эффекта. Это имеет место, когда время
столкновений т в отсутствие магнитного поля становится меньше, чем ft/Д .
206
Р. Лафлин
Благодарности
23. Теория квантованной холловской
проводимости
Мне приятно выразить благодарность X. де Витту за то, что он порекомендо-
порекомендовал мне использовать метод Монте-Карло, и Д. Беркеру за полезные обсужде-
обсуждения данной работы. Я хотел бы также поблагодарить П. Ли, Д. Иосиоку и Б. Галь-
Гальперина за полезные критические замечания. Настоящая работа была выполне-
выполнена при поддержке министерства энергетики США в Ливерморской национальной
лаборатории по контракту J* W-7405-Eng-48.
Литература
1. Tsui D.C., Stormer H.L., Gossard А.С., Phys. Rev. Lett., 48, 1559 A982).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 8). ]
2. Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 27, 3383 A983). [Имеется перевод в насто-
настоящем сборнике (статья 21).]
3. Caillol J.U., Levesque D., Weis J.J., Hansen J.P., J.Stat. Phys., 28, 325 A982).
4. Yoshioka D., Fukuyama H., J. Phys. Soc. Japan., 47, 394 A979);
YoshiokaD., Lee P.A., Phys. Rev. B, 27, 4986 A983), а также частное сообщение.
5. Jancovici В., Phys. Rev. Lett., 46. 386 A981).
6. Su W.P., Schrieffer J.R., Phys. Rev. Lett., 46. 738 A981).
7. Lang S., Algebra , Addison-Wesley, Reading, 1965, p. 132.
8. Laughlin R.B., Phys. Rev. B, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 18). ]
Б. Гальперин*
Перевод статьи: Halperin B.I. — Helvetica Physica Acta, 1983, v. 56, p. 75.
Квантованная хопповская проводимость наблюдается в двумерных
электронных системах при низких температурах и сильных магнитных
полях. Если уровень Ферми лежит между двумя уровнями Ландау, то
наблюдается исчезновение продольного сопротивления рхх и квантова-
квантование холловской проводимости 1/ржу, равной в точности целому кратно-
кратному величины ; e2/h. Эти эффекты можно объяснить в рамках одноэлектрон-
ной модели. Однако в последнее время появились сообщения о том, что
в случае, когда уровень Ландау заполнен частично, на холловской про-
проводимости наблюдаются "аномальные" плато с дробными значениями ве-
величины е2 /h. Этот эффект можно объяснить, если предположить, что
электроны образуют коррелированную квантовую жидкость нового типа,
имеющую энергетическую фиксацию соразмерных состояний (т.е. про-
провал на энергетической кривой) при соответствующих кратностях запол-
заполнения. Р.Лафлин сконструировал изящную волновую функцию, облада-
обладающую требуемыми свойствами при v = 1/m, где m — нечетное целое чис-
число. Мы предлагаем здесь пробные волновые функции для других рацио-
рациональных значений v.
1. ВВЕДЕНИЕ
Совокупность явлений, включаемых в понятие "квантованная холловская
проводимость", представляет собой одно из наиболее удивительных физичес-
физических открытий последних лет. "Нормальный" квантовый эффект Холла, в кото-
котором холловская проводимость двумерной электронной системы имеет плато
со значениями, равными целым кратным величины aQ& e2 /h , был обнаружен
экспериментально в 1980 г. Клитцингом, Дордой и Пеппером [ 1]. Хотя некото-
некоторые аспекты этого явления предсказывались еще в 1975 г. [ 2], высокая сте-
степень точности, которую имеют квантованные холловские плато, явилась пол-
полной неожиданностью, и потребовалось около года, прежде чем удалось найти
удовлетворительное объяснение данного эффекта. Большую часть осо-
особенностей эффекта, которые имеют место, когда уровень Ферми располагает-
располагается между двумя уровнями Ландау, можно по существу объяснить в рамках од-
* В J. Halperin, Harvard University, Cambridge, Massachusetts 92138, USA.
© Birkh'amser Verlag Basel, 1983.
208
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
209
ноэлектронного представления, в котором электрон-электронные взаимодейст-
взаимодействия играют лишь вспомогательную роль.
В действительности даже более удивительное явление, чем нормальный
квантовый эффект Холла, представляет собой "аномальный" квантовый эффект
Холла, приводящий к плато на холловской проводимости при некоторых значе-
значениях, являющихся простыми дробями величины e2/h. Этот эффект обнаружи-
обнаружили впервые Цуи, Штермер и Госсард [ 3], которые сообщили в 1982 г. о том,
что в обогащенном слое Ga As с очень высокой подвижностью и относитель-
относительно низкой концентрацией носителей наблюдается плато на холловской прово-
проводимости со значением, равным сг 0/3 , в таких магнитных полях, при которых
все электроны находятся на первом уровне Ландау и фактор заполнения v = 1/3.
Они также заметили, что аналогичный эффект проявляется и при v = 2/3. По-
Последующие измерения показали, что холловские плато являются практически
горизонтальными и в пределе нулевой температуры имеют значения, составля-
составляющие в точности 1/3 и 2/3 величины e2/h [ 4]. При этом диагональная ком-
компонента сопротивления стремится к нулю, как и в случае нормального кванто-
квантового эффекта Холла. Впоследствии появились сообщения [ 5] о наблюдении
аномалий или по крайней мере намеков на их наличие при значениях фактора
заполнения, равных 2/7, 2/5, 3/5, 4/5, 4/3 и 5/3. Однако при факторе запол-
заполнения 1/2 или других дробных значениях величины v с четными знаменателя-
знаменателями аномалий не наблюдалось!
Теория аномальной квантованной холловской проводимости находится
еще лишь в начальной стадии своего развития. Ясно, что в данном случае ре-
решающую роль играет электрон-электронное взаимодействие и что электроны
на частично заполненном уровне Ландау образуют сильно коррелированную
квантовую жидкость нового типа. Эта жидкость может иметь "энергетичес-
"энергетическую фиксацию соразмерных конфигураций"* > (т.е. провал на энергетической
кривой) при Дробных значениях фактора заполнения, соответствующих наблю-
наблюдаемым холловским аномалиям. Лафлин [ 6] предложил довольно изящную проб-
пробную волновую функцию, которая существует для факторов заполнения v= \/m
или v = 1 — A/п$, где т- нечетное число, и которая, по-видимому, имеет
все необходимые свойства для объяснения соответствующих аномалии ц кине-
кинетических коэффициентах. Чтобы можно было понять аномалии при других дроб-
дробных значениях v, необходимо привлечь нечто более сложное по сравнению
с предложенной Лафлином волновой функцией. Некоторые возможности тако-
такого описания мы рассмотрим в разд. 4.5.
В следующем разделе мы кратко опишем геометрию экспериментов, по-
посвященных исследованию квантового эффекта Холла. В разд. 3 обсуждается
теория нормального квантового эффекта Холла, а разд. 4 суммирует совре-
современные представления о природе дробных холловских ступенек. Наконец, в
разд. 5 мы обсудим вопрос о степени точности квантованной холловской про-
проводимости для обоих названных случаев.
2. УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Квантовый эффект Холла наблюдается в двумерных электронных систе-
системах при очень сильных магнитных полях и низких температурах. Образцы, ис-
используемые в экспериментальных исследованиях этого эффекта, представля-
представляют собой инверсионные слои в полупроводниках, расположенные либо вблизи
границы полупроводник — диэлектрик (как в оригинальных опытах Клитцинга
с сотр. [ 1], которые использовали, инверсионный слой в кремнии), либо вблизи
гетерограницы. В последнем случае наиболее распространенной системой яв-
является GaAs — Al;eGa1_;t.As, хотя применялась также и система
In^Ga х _ х As — InP1). В условиях реальных экспериментов все электроны про-
проводимости находятся в низшей "подзоне" проводящего слоя, т.е. в низшем
квантовом состоянии, относящемся к движению в перпендикулярном границе
направлении, но свободно движутся в плоскости ху, параллельной границе,
Магнитное поле приложено в направлении, нормальном этой плоскости, а из-
измеряемый ток 1х течет вдоль образца по оси х. К образцу подведено несколь-
несколько контактов для измерения падения напряжения V в направлении, параллель-
параллельном току, и холловского напряжения V в направлении, перпендикулярном току.
3. НОРМАЛЬНЫЙ КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
При относительно высоких температурах в электронных слоях обогащения
имеет место нормальный (двумерный) эффект Холла. Холловское сопротивле-
сопротивление рху= Vyllx линейно меняется с магнитным полем В в соответствии с вы-
выражением
Рху= B/Nec, A)
где N — поверхностная концентрация носителей. Продольное сопротивле-
сопротивление УХ/1Х слабо зависит от напряженности магнитного поля, оставаясь по вели-
величине близким к своему значению при В = 0.
При достаточно низких температурах и сильных магнитных полях картина
существенно меняется. На зависимости холловского сопротивления рх от маг-
' Ангп. " commensurate locking energy" . — Прим. перев.
i' Не претендуя на полноту библиографии, посвященной многочисленным экспе-
экспериментам, проводившимся в последнее время по квантовому эффекту Хоппа, укажем
для примера на работы [з, 4, 7 — 10, 35].:
210
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
211
нитного поля В появляется серия плато, на которых
lfaxy = i<J0>
B)
где <т0 = e2/h, a i - целое число. С понижением температуры плато становят-
становятся все более и более плоскими и выражение B) выполняется все с большей и
большей точностью. При значениях магнитного поля, соответствующих холлов-
ским плато, продольное сопротивление Vx/Ix с понижением температуры резко
уменьшается и при Т - 0 ток в рассматриваемых образцах может течь без
диссипации. Справедливость выражения B) доказана экспериментально с отно-
относительной точностью порядка 10~7, а наблюдавшиеся значения сопротивления
оказываются на много порядков меньше, чем при В = 0, а также меньше, чем
сопротивление меди или любого другого металла, не являющегося сверхпровод-
сверхпроводником [ 8 — 10].
Кроме того, выражение B) остается точным (при Т -»0) безотносительно
к точной форме или степени однородности образца и в отсутствие жестких огра-
ограничений на однородность магнитного поля.
В связи с этим возникают три фундаментальных вопроса, на которые сле-
следует ответить при объяснении нормального квантового эффекта Холла:
1. Почему вблизи целых кратных значений величины e2/h холловская про-
проводимость имеет аномалии?
2. Почему при этих условиях ток течет без диссипации (Vx = 0)?
3. Почему выражение B) выполняется со столь высокой степенью точнос-
точности независимо от деталей эксперимента?
В настоящее время ответы на Эти вопросы уже получены, хотя еще и ос-
остаются нерешенными некоторые связанные с ними проблемы (см., например,
разд. 3.3). В действительности ответы на вопросы 1 и 2 можно найти в статье
Андо и др. [ 2], написанной еще в 1975 г., до того как были выполнены экспе-
эксперименты [ 1].
Прежде чем дать общие ответы на поставленные вопросы, мы рассмотрим
частный случай свободных электронов.
3.1. Свободные электроны
Эвристическое объяснение нормальной квантованной холловской проводи-
проводимости нетрудно дать с помощью модели бесконечной системы свободных не-
невзаимодействующих электронов на фоне однородного компенсирующего потен-
потенциала. В присутствии магнитного поля энергетический спектр электронов пред-
представляет собой систему дискретных уровней Ландау с энергиями
где сос — циклотронная частота, определяемая выражением
со = еВ/пРс
D)
E =
n
(„+ 1/2),
[ здесь m* — масса (или эффективная масса) электронов]. Поскольку на ди-
дискретной системе энергетических уровней необходимо разместить большое
число электронов, пропорциональное площади системы, ясно, что каждый уро-
уровень Ландау будет вырожден с высокой кратностью. Можно показать, что для
одного уровня Ландау число электронных состояний на единицу площади (без
учета спиновой степени свободы) равно В/Фо, где Фв - квант магнитного
потока, определяемый выражением
Ф„= hc/e. E)
Если положение уровня Ферми Ет считать случайным, то его совпа-
совпадение с уровнем Ландау имеет нулевую вероятность и уровень Ферми всегда
будет лежать в щели между двумя уровнями Ландау. Тогда при температуре
Г = 0 будет заполнено целое число уровней Ландау ? и концентрация электро-
электронов будет даваться выражением
N = iB/O0. F)
Для свободных электронов выражение A) справедливо как в квантовом, так и
в классическом приближении. (Оно также справедливо и при наличии кулонов-
ского взаимодействия между электронами.) При этом, используя выражения
A), E) и F), мы получаем непосредственно выражение B), описывающее кван-
квантовый эффект Холла.
Если учесть спиновую степень свободы, то для каждого уровня Ландау мы будем
иметь две системы электронных уровней: одну для спинов, ориентированных вверх, дру-
другую для спинов, ориентированных вниз, причем в каждой из этих систем плотность элек-
электронных состояний равна В/Фо. При этом, если уровень Ферми располагается посере-
посередине между двумя уровнями Ландау, число электронов удваивается по сравнению
со сказанным выше и реализуется выражение B), описывающее квантовый эф-
эффект Холла с четными ? . С другой стороны, если выбрать уровень Ферми та-
таким образом, что он будет располагаться между спиново-расщепленными под-
подуровнями одного уровня Ландау, будет иметь место выражение B) с нечетны-
нечетными ?. В инверсионных слоях Si существует еще дополнительный фактор, рав-
равный двум и обусловленный так называемым "долинным вырождением" элект-
электронов проводимости, вследствие чего при нахождении уровня Ферми между
двумя уровнями Ландау величина i кратна четырем.
К сожалению, попыгки применить рассмотренное выше эвристическое до-
доказательство к реальным физическим системам приводит к ряду существенных
проблем. В первую очередь отметим, что хотя приведенные рассуждения спра-
212
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
213
ведливы практически для любых положений уровня Ферми, при данном значении
магнитного поля эти положения соответствуют лишь дискретному набору кон-
концентраций носителей. Если же, напротив, фиксировать концентрацию носителей,
то положение уровня Ферми в любом случае будет совпадать с серединой уров-
уровня Ландау, так что последний из них является частично заполненным. Именно
при этом условии приведенное выше доказательство несправедливо и холловская
проводимость не является целым кратным величины e2/h. В эксперименте в
соответствии с условием нейтральности задается, как правило, полное
число электронов в окрестности проводящего слоя. При этом, для того чтобы
объяснить наблюдаемые холловские плато, необходимо привлечь гипотезу о на-
наличии вблизи проводящего слоя достаточно большого резервуара электронов, ко-
который может обмениваться электронами со слоем и тем самым поддерживать
концентрацию носителей N равной величине ?Й-/ФО в некотором интервале зна-
значений магнитного поля В [11, 12].
Кроме того, рассмотренный эвристический подход не может объяснить, по-
почему квантовый эффект Холла проявляется со столь высокой степенью точнос-
точности. Он не учитывает такие факторы, как влияние границ образца, отклонение
от простого приближения эффективной массы и, что наиболее важно, игнориру-
игнорирует влияние примесей. Все эти факторы должны были бы приводить к отклонениям
от выражения B) еще задолго до того, как будет достигнута точность
порядка 10~6.
Действительно, при наличии примесей или иной неупорядоченности выра-
выражение A) перестает быть справедливым и число состояний на уровне Ландау
даже не может быть точно определено. Таким образом, промежуточные эта-
этапы нашего эвристического доказательства являются некорректными и остает-
остается справедливым лишь конечный результат, а именно выражение B). Это, ес-
естественно, вызывает необходимость в более строгом рассмотрении.
3.2. Влияние примесей
Обсудим качественное влияние малого случайного потенциала примесей
на состояния невзаимодействующей двумерной электронной системы, нахо-
находящейся в сильном магнитном поле. В данном рассмотрении мы не будем учи-
учитывать влияние границ образца.
Наличие случайного потенциала в первую очередь приведет к снятию пол-
полного вырождения состояний данного уровня Ландау и к размыванию каждого
уровня в энергетическую зону конечной ширины. Следовало бы ожидать, по
крайней мере на первый взгляд, что состояния вблизи центра каждой зоны долж-
должны быть делокализованными, а состояния вблизи краев зоны - локализованны-
локализованными [ 2]. Кроме того, если имеется небольшая концентрация примесей с потен-
потенциалом большой амплитуды, в щели между зонами Ландау могут возникнуть
сильно локализованные состояния с малой плотностью. Мы увидим, что ха-
характерные особенности квантового эффекта Холла имеют место, когда уровень
Ферми располагается в области локализованных состояний или в энергетичес-
энергетической щели.
Теперь мы можем обратиться к поставленному ранее вопросу 2 о причине
отсутствия при нулевой температуре падения напряжения в направлении, парал-
параллельном току 1Х. Прежде всего заметим, что если с помощью соотношения
h =
G)
где Е — электрическое поле, a j\ - плотность тока, определить тензор про-
проводимости {oih), то отсутствие диссипации можно представить себе как ра-
равенство нулю его диагональных компонент cr{J- :
в то время как недиагональные компоненты остаются конечными:
(8)
(9)
Таким образом, ток течет перпендикулярно направлению электрического поля,
и никакой работы при этом не совершается.
С помощью формулы Кубо диагональную часть тензора проводимости мож-
можно полностью записать через матричные элементы между состояниями на фер-
ми-поверхности. Можно показать, что, если эти состояния локализованы, при
нулевой температуре величины ахх и ауу обращаются в нуль. Недиагональ-
Недиагональные же элементы (aik) определяются всеми состояниями под уровнем Ферми,
и а ух может отличаться от нуля, если хотя бы одно из этих состояний явля-
является делокализованным. [Можно заметить, что при ненулевой температуре в
а хх и ауу бУДУт вносить конечный вклад туннельные переходы с участием
фононов (прыжковая проводимость) между локализованными состояниями вбли-
вблизи уровня Ферми; однако такая проводимость резко падает с понижением тем-
температуры и практически может быть сделана сколь угодно малой [7, 13].]
Естественно ожидать, что при наличии слабой неупорядоченности прово-
проводимость ст^ по крайней мере приближенно должна быть равна квантованной
холловской проводимости свободных электронов, если уровень Ферми лежит в
середине зазора между двумя уровнями Ландау. Кроме того, значение а не
должно меняться при движении уровня Ферми по области локализованный сос-
состояний на краю зоны Ландау, поскольку локализованные состояния не дают
вклада в ток. Однако данное утверждение не означает, что постоянная
величина а в точности равна квантованному холловскому значению. Для до-
доказательства этого факта использовались два различных подхода. Авторы пер-
первого подхода с помощью формулы Кубо для а показали, что при положении
214
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
215
уровня Ферми посередине между двумя уровнями Ландау значение проводимос-
проводимости а не зависит от случайного потенциала при условии, что его амплитуда
не превосходит некоторой критической величины [ 14 — 17, 46*]. Второй под-
подход, предложенный Лафлином, использует требование калибровочной инвари-
инвариантности и представляется значительно более общим [ 18]. В частности, исполь-
используя аргументацию Лафлина, нетрудно показать, что боковые грани образца не
вносят существенных поправок; при этом можно также включить в рассмотрение
случай, когда напряжение между двумя краями образца связано с разностью не
только электростатических, но и химических потенциалов [15]. Кроме того,
Лафлин не предполагал, что меняющийся в пространстве потенциал является
слабым; он показал в общем виде, что при положении уровня Ферми в щели
или в области локализованных состояний мы имеем а = а - О и
а = -or =ie2/h, где i - целое число (включая нуль). Однако значение i
может быть совсем иным, чем в отсутствие потенциала, и меняться сложным
образом при переходе от одного плато к соседнему, что достаточно наглядно
было продемонстрировано на некоторых моделях с периодическим потенциалом
[ 19 — 21]. Эти выводы сохраняют силу и в присутствии электрон-электронного
взаимодействия при условии, что оно не изменяет качественно природу возбуж-
возбуждений вблизи уровня Ферми. Квантовый эффект Холла (нормальный) наблюда-
наблюдается при i ф 0.
Мы не будем воспроизводить здесь аргументацию Лафлина, Доказывающую,
что выражение B) является точным. Однако в разд. 5 я приведу другой вывод,
справедливый (с некоторыми ограничениями) для случая бесконечной системы.
Читателю можно порекомендовать обратиться к оригинальной литературе, в
частности к ряду опубликованных в последнее время работ, в которых кванто-
квантовый эффект Холла рассматривается для различных конкретных моделей [ 18 —30].
3.3. Доля локализованных состояний
Важный вопрос об относительной доле локализованных и делокализован-
ных состояний в каждой зоне Ландау пока еще остается открытым. Для не-
невзаимодействующих электронов эта доля определяет величину интервалов напря-
женносга магнитного поля, соответствующих плато на квантованной холловской
проводимости.
Доля локализованных состояний на данном уровне Ландау может зависеть
от отношения корреляционной длины случайного потенциала § к магнитной
длине I, определяемой выражением
2тт12=Ф0/в A0)
(величина I равна приблизительно циклотронному радиусу электрона на низшем
уровне Ландау). В случае, когда пренебрегается электрон-электронным взаимо-
взаимодействием, доля локализованных состояний не должна зависеть от амплитуды
случайного потенциала, если она мала по сравнению с циклотронной энергией.
Более подробное обсуждение этого вопроса читатель может найти'в многочис-
многочисленных теоретических и экспериментальных работах, опубликованных к насто-
настоящему времени [ 7, 22, 26 - 35, 47*].
Можно показать [14, 15], что, до тех пор пока степень неупорядоченности
не слишком велика, вблизи центра каждой зоны Ландау существует по крайней
мере одно значение энергии, при котором состояния остаются делокализован-
ными.
4. АНОМАЛЬНЫЙ КВАНТОВЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА
Как уже упоминалось во введении, дробные квантованные холловские сту-
ступеньки наблюдались только в образцах с очень высокой подвижностью. (Такая
подвижность достигалась путем пространственного разделения положительно
заряженных доноров и электронов проводящего слоя.) Поэтому естественно
предположить, что в этих образцах снятие вырождения на уровне Ландау свя-
связано в большей степени с электрон-электронным взаимодействием, чем с по-
потенциалом примесей. Таким образом, объяснение дробных холловских ступе-
ступенек следовало бы, по-видимому, начинать с попытки определения свойств дву-
двумерного ансамбля взаимодействующих электронов, частично заполняющих пер-
первый уровень Ландау, на фоне однородного положительного заряда. Влияние
примесей можно впоследствии учесть по теории возмущений.
Безразмерной единицей концентрации электронов в нашей системе являет-
является степень заполнения уровня Ландау v:
Естественной единицей потенциальной энергии в электронной системе являет-
является величина е2Д I, где е — диэлектрическая проницаемость среды, а I — маг-
магнитная длина, определяемая выражением A0). В случае магнитных полей
В > Ю5Гс, используемых при наблюдении дробных холловских ступенек, и зна-
значений е = 13 и т* = 0,07 mQ> которые соответствуют GaAs, мы имеем
е 2/е J -? tv>c .Поэтому мы можем считать хорошим начальное приближение, в
котором пренебрегается подмешиванием к первому уровню Ландау вышележа-
вышележащих состояний и рассматривается эффективный гамильтониан, который имеет
лишь матричные элементы, описывающие кулоновское взаимодействие между
состояниями первого уровня Ландау.
Большая величина используемых магнитных полей позволяет также пред-
предположить, что спины всех электронов параллельны магнитному полю, и рас-
рассматривать лишь одно спиновое состояние. (В действительности из-за ано-
аномально малого g-фактора электронов в GaAs это предположение является
спорным, что обсуждается ниже в разд. 6.)
216
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
217
Есяи считать, что все спины направлены параллельно магнитному полю,
и пренебрегать вкладом высших уровней Ландау, то единственным энергети-
энергетическим параметром задачи будет потенциальная энергия е2/е I [за вычетом
постоянной кинетической энергии, равной A/2) tu>c на один электрон]. По-
Поэтому энергия в расчете на одну частицу системы, измеренная в единицах
е2А I, будет зависеть от единственного параметра v. Можно также показать,
что задача обладает электронно-дырочной симметрией, так что полная энергия
при факторе заполнения v будет отличаться от энергии при 1 — v на простую
квадратичную функцию от v.
4.1. Желаемое: провал в энергии
Для объяснения дробных холловских плато необходимо, чтобы в системе
электронов на однородном положительном фоне некоторые дробные значения
фактора заполнения уровня Ландау v были бы энергетически предпочтительны-
предпочтительными. В частности, было бы желательно обнаружить в полной энергии системы Ё
провал при v = 1/3 (и при Других Дробных значениях, соответствующих наблю-
наблюдаемым аномалиям). Существование провала нужного вида на Ё означает раз-
разрыв химического потенциала EF - ЭЁ/dN при данной концентрации, а это в
свою очередь означает, что концентрация фиксируется при v = 1/3 в некото-
некотором интервале значений химического потенциала. Если при этом предположить,
что вблизи слоя обогащения существует внешний резервуар, поставляющий
электроны в слой, то мы будем иметь v = 1/3 в некотором интервале напря-
женностей магнитного поля. Поскольку выражение A) для холловской прово-
проводимости электронов на однородном фоне остается справедливым и при наличии
электрон-электронного взаимодействия, мы имеем
2/h
A2)
и, следовательно, плато на холловской проводимости со значением e2/3&.
Разрыв в производной ЗЁ/dN при v = 1/3 означает, что в спектре за-
заряженных возбуждений имеется энергетическая щель. Иными словами, энерге-
энергетические затраты на удаление одного электрона должны превосходить выиг-
выигрыш в энергии при добавлении одного электрона в систему. В согласии с рас-
рассмотрением, данным Лафлином, заряженными возбуждениями с наименьшей
энергией в исследуемой системе должны быть квазичастицы и квазидырки с
зарядами +е/3 [6]. Поэтому разрыв в производной ЭЁ/dN должен в три раза
превосходить энергию, затрачиваемую на образование пространственно разде-
разделенной пары квазичастица - дырка. Фиксация концентрации при v = 1/3 пред-
предполагает также отсутствие низкочастотных, длинноволновых возбуждений фо-
нонного типа.
Очевидно, что в отсутствие примесей токопрохождение не связано с дис-
диссипацией энергии и ахх = а - 0. Щель в спектре возбуждений обеспечивает
отсутствие диссипации и при наличии слабого случайного потенциала. (Мы бу-
будем считать, что потенциал достаточно слаб и не ликвидирует энергетическую
щель.) В соответствии с преобразованиями Лоренца в системе координат, дви-
движущейся со скоростью дрейфа vD =[E x В] с/В2, электрическое поле равно
нулю и ток отсутствует. Однако в этой системе координат примеси Движут-
Движутся со скоростью — Vq . Переменный потенциал, создаваемый примесями, в си-
силу наличия энергетической щели не будет при низких температурах рождать
возбуждения и рассеивать энергию.
В разд. 5 мы покажем, что холловская проводимость также не изменится
под воздействием слабого потенциала примесей, так что величина ах остает-
остается в точности равной A/3) e2/k, когда концентрация фиксируется при значении
v = 1/3.
Наличие примесей позволяет также объяснить холловские плато, не прибе-
прибегая к гипотезе о наличии резервуара, который удерживает значение фактора за-
заполнения v равным 1/3. Можно предположить, что небольшие отклонения от
v = 1/3 обусловливаются добавлением к основному состоянию, отвечающему
v = 1/3, небольшого количества квазичастиц или квазидырок. Эти возбуждения
будут локализоваться за счет любого случайного потенциала, и поэтому при
Т = 0 не будут давать вклада ни в холловский ток, ни в диагональную компо-
компоненту тензора проводимости aik.
4.2. Приближение Хартри - Фока
Приближение Хартри — Фока является простейшим нетривиальным прибли-
приближением, позволяющим вычислить энергию системы взаимодействующих элек-
электронов на однородном положительном фоне, В этом случае определяют одно-
электронные собственные состояния в самосогласованном потенциале (содержа-
(содержащем прямой и обменный члены), который в свою очередь вычисляется с учетом
заполнения собственных состояний. Если последний уровень Ландау заполнен
лишь частично, то в приближении Хартри - Фока мы получаем, что однородная
электронная система при низких температурах всегда неустойчива по отноше-
отношению к образованию волн зарядовой плотности [36]. Это позволяет предполагать,
что в приближении Хартри — Фока основное состояние системы представляет
собой вигнеровский кристалл. Расчеты в данном приближении различных крис-
кристаллических структур для электронов на первом уровне Ландау показывают,
что основным состоянием волны зарядовой плотности является треугольная ре-
решетка электронов, в случае когда уровень Ландау заполняется меньше чем на-
15-416
218
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
219
половину, и треугольная решетка дырок, в случае когда этот уровень заполня-
заполняется больше чем наполовину [37, 38] *'
На рис. 1 штриховой и пунктирной линиями показана для этих решеток
энергия в расчете на один электрон как функция фактора заполнения v. Видно,
что энергия, вычисленная в приближении Хартри — Фока, при v = 1/3 не имеет
даже намека на особенность. Помимо этого, Иосиока и Ли [ 38] вычислили пер-
первую не обращающуюся в нуль поправку к энергии кристалла в приближении Харт-
Хартри — Фока. Эта поправка оказалась численно малой и также не имеющей особен-
особенностей при v = 1/3. Следовательно, если основным состоянием системы дейст-
действительно является вигнеровский кристалл, то при v =1/3 его энергия, по-ви-
по-видимому, регулярна и мало отличается от хартри -фоковского значения энергии.
-0,35,
-0.40Ь
-0,45i
-0,50
Р и с. 1. Зависимость энергии в расчете на одну частицу в двумерной электронной
системе от фактора заполнения первого уровня Ландау. (Рисунок заимст-
заимствован из работы [40].) Штриховая и пунктирная кривые соответствуют
энергиям электронного и дырочного кристаллов, вычисленным в прибли-
приближении Хартри — Фока в случае бесконечной системы [38]. Светлые круж-
кружки, темные кружки и треугольники отвечают энергиям основного состоя-
состояния для системы соответственно с п = 4, 5 и 6 электронов при и< 1/2 и
с п = 4, 5 и 8 дырок при v > 1/2. квадратики — энергия кристалла для
п = 4, полученная в приближении Хартри — Фока. Сплошная линия, соеди-
соединяющая точки, соответствующие основному состоянию с п = 5, проведена
исключительно для наглядности.
'Предположение о том, что холловсков плато с м- 1/3 может быть как-то свя-
связано с треугольным вигнвровским электронным кристаллом, было сделано в ориги-
оригинальной экспериментальной работе Цуи и др. [ з]. Попытки развития этой идеи пред-
предпринимались и другими авторами (см., например, работы [ 39]).
Даже если бы энергия кристалла и имела при v = 1/3 необходимую особен-
особенность, все равно объяснить в рассматриваемой модели аномальную холловскую
проводимость было бы затруднительно из-за торможения волны зарядовой плот-
плотности примесями, присутствующими в реальной системе. Если волна зарядовой
плотности не может двигаться со скоростью дрейфа [Е хВ]с/й2, то электро-
электроны не будут давать вклада в а [21].
Таким образом, мы приходим к гипотезе о том, что настоящим основным
состоянием системы является не вигнеровский кристалл, а своеобразная тран-
сляционно-инвариантная "жидкость", не испытывающая захватывающего вли-
влияния примесей и обладающая энергией, плохо согласующейся с энергией крис-
кристалла, полученной в приближении Хартри - Фока.
4.3. Решение для конечных систем
С целью изучения природы основного состояния Иосиока, Гальперин и Ли
[ 40] выполнили численные расчеты собственных состояний системы п элек-
электронов (п = 4, 5 и 6) в прямоугольном ящике с "периодическими" граничными
условиями. В гамильтониане учитывался лишь один уровень Ландау и только
одна ориентация спина. Граничное условие состояло в том, чтобы ящик прони-
пронизывался целым числом т квантов потока; таким образом, фактор заполш:ния
v принимал рациональные значения вида п/ т. На рис. 1 треугольниками и круж-
кружками изображены для рассматривавшихся систем энергии основного состоя- .
ния в расчете на один электрон для значений v в области 0,25 ^ v < 0,5, при-
причем отношение размеров прямоугольника а/Ь выбиралось равным п/4. (Данные
для системы п дырок при v > 1/2 получены из соображений электронно-дырочной
симметрии.) Для наглядности мы соединили точки, соответствующие п = 5,
сплошной линией. Светлыми квадратиками показаны полученные в приближении
Хартри — Фока Энергии кристалла при п - 4, которые располагаются несколько
ниже хартри-фоковских энергий бесконечной системы (штриховая и пунктирная
кривые).
Из рис. 1 видно, что в рассматриваемом диапазоне значений v реальные
энергии основного состояния существенно меньше, чем энергия, вычисленная
в приближении Хартри- Фока. Анализ основных состояний показывает также,
что парная корреляционная функция g(r) является совсем иной, нежели в виг-
неровском кристалле. Состояния, отвечающие кристаллу, для некоторых из ис-
исследованных факторов заполнения были обнаружены при более высоких энерги-
энергиях. Эти результаты подтверждают вывод о том, что в действительности основ-
основное состояние системы не является вигнеровским кристаллом.
Кривая на рис. 1 имеет провалы при простых рациональных значениях v,
таких, как v = 1/3, 2/5 и 1/2. Экстраполяция этих результатов к п = <» была
бы,очевидно, недостоверной. Однако интересно Заметить, что энергия при
v = 1/3 по существу не зависит от п при п = 4, 5, 6, тогда как результаты
220
Б. Гальперин
при v = 1/2 меняются существенно и притом не монотонно с п. Результаты
для а - 5, соединенные на рис. 1 сплошной кривой, характеризуются лишь не-
небольшой аномалией при v = 1/2.
Следует заметить, что расчеты, выполненные Лафлином для небольших
конечных систем,также указывают на наличие провала в энергии при концентра-
концентрации, отвечающей v = 1/3. Однако в этих расчетах не используются периодичес-
периодические граничные условия, что делает экстраполяцию на бесконечные системы в
этом случае еще более затруднительной [41].
4.4. Волновая функция Лафлина
Хотя указанные выше соображения позволяют считать, что для представ-
представляющих интерес концентраций основное состояние системы не является вигне-
ровским кристаллом, они мало способствуют пониманию природы волновой
функции основного состояния и причин ее фиксации при определенных дроб-
дробных значениях фактора заполнения. Ключевая идея здесь была высказана Лаф-
Лафлином сравнительно недавно [6].
Лафлин предложил волновую функцию следующего вида:
-rN)= [П (zj -i
l-l«/
74
A3)
где
*/=*/ -h/
A4)
— комплексная координата /-го электрона. Эта волновая функция при нечетных
т удовлетворяет статистике Ферми, а при-четных т — статистике Бозе. Кроме
того, волновая функция сконструирована полностью из состояний первого уров-
уровня Ландау, так что она является собственной функцией оператора кинетичес-
кинетической энергии, отвечающей минимальной кинетической энергии A/2)й сос на элек-
электрон.
Сразу не очевидно, соответствует ли волновая функция A3) однородной
плотности электронов. Однако это становится ясным, если записать квадрат
этой функции в виде
|VI 2 s exp(-pff), A5)
Р0*2»^1п|г. -rt| +J- 2 |r/.|2f A6)
совпадающем с функцией распределения вероятности для классической
двумерной однокомпонентной плазмы. В выражении A6) первый член
описывает отталкивание между двумерными "зарядами", имеющее логарифми-
23. Теорил квантованной холловской проводимости
221
ческий характер, а второй член соответствует взаимодействию с однородным
"заряженным фоном". Очевидно, что в равновесном состоянии частицы плазмы
распределены по диску с центром в начале координат и с плотностью, нейтра-
нейтрализующей однородный, фон внутри диска. Плотность частиц внутри диска тако-
такова, что
v = 1//п. A7)
Проведенный ранее численный анализ показал, что при очень больших зна-
значениях параметра тоднокомпонентная плазма образует кристалл, но при т^70
выражение A5) описывает жидкость (см. работы [ 6, 42] и имеющуюся там ли-
литературу).
Заметим, что при т = 1 выражение A3) представляет собой детерминант
Слэтера, описывающий полностью заполненный уровень Ландау. При т= О
волновая функция описывает ансамбль заряженных бозонов, конденсирован-
конденсированных на одной орбите Ландау, локализованной в начале координат. Значимость
волновой функции, определяемой выражением A3), станет еще яснее, если за-
зафиксировать положение всех электронов, кроме одного, и исследовать зави-
зависимость волновой функции от оставшейся переменной z.. При движении элек-
электрона по замкнутому контуру площадью А, обходящему другие электроны сис-
системы, фаза волновой функции изменится на величину Д<р= 2тгЛВ/Ф где А
велико. Это фактически весьма общее требование, при невыполнении которого
кинетическая энергия электрона станет аномально большой. Таким образом,
внутри области площадью А волновая функция должна содержать А В/Фо. "вих-
"вихрей", где вихрь определяется как точка, в которой волновая функция равна ну-
нулю, а фаза при обходе этой точки в отрицательном направлении меняется на
2тт. Для соблюдения принципа Паули необходимо, чтобы в месте нахождения
каждого электрона гк (при ktj) существовал по меньшей мере один вихрь. ;
Волновая функция, предложенная Лафлином, характеризуется той особеннос-
особенностью, что при каждом zft существует в точности т вихрей и других, "одино-
"одиноких" вихрей в образце не имеется.
Очевидно, что m-кратное обращение в нуль волновой функции, когда два
электрона сближаются друг с другом, приводит к их взаимному разделению и
минимизации потенциальной энергиии системы. Тенденция к зарядовой ней-
нейтральности классической плазмы также стремится подавить длинноволновые
флуктуации плотности, которые приводили бы к проигрышу в потенциальной
энергии, хотя в этом аспекте плазма не столь эффективна, как хартри-фоков-
ское твердое тело.
Используя различные расчеты парной корреляционной функции классичес-
классической плазмы, Лафлин вычислил ожидаемое значение потенциальной энергии для
волновой функции, описываемой выражением A3). Энергия в случае т= 3хоро-
3хорошо согласуется с точными расчетами для системы из 4 - 6 электронов с пери-
222
Б. Гальперин
23. Теория квантованной холловской проводимости
223
одическими граничными условиями (см. рис. 1) при v = 1/3 и имеет сущест-
существенно меньшую величину, чем энергия хартри-фоковского твердого тела.
При отклонении электронной плотности от разрешенных значений v = \/m
с нечетным т построить волновую функцию, имеющую на каждом электроне ров-
ровно по твихрей, уже невозможно. Если значения v несколько меньше чем 1/ш,
то простейший способ -достичь необходимой электронной плотности состоит в
добавлении малого числа дополнительных вихрей, не связанных с положениями
электронов. Можно, например, добавить вихрь в точку (хОг у0), умножив пра-
правую часть выражения A3) на произведение П-(г.- -z0), где z0 = х0 -iya. Квад-
Квадрат волновой функции при этом будет представлять собой распределение веро-
вероятности для классической плазмы с фиксированным "зарядом" величиной \/т
в точке z0. Этот фиктивный заряд будет экранироваться за счет образования
"дырки" площадью 1/тв изначально однородном распределении реальных элек-
электронов. Очевидно, что наличие этой дырки приведет к увеличению потенциаль-
потенциальной энергии системы по сравнению со случаем однородной плотности заряда.
Лафлин вычислил эту энергию и нашел, что она имеет значение 0,022 е2/е I при
т= 3[43].
Несколько сложнее построить волновую функцию для системы с одной не-
недостающей вихревой линией вблизи некоторой данной точки zQ [ см. приведен-
приведенное ниже обсуждение в связи с формулами B2) — B4)]. Тем не менее ясно, что
вблизи отсутствующего флюксоида будет концентрироваться избыточный заряд,
величина которого составляет \/т заряда электрона, и за это снова придется
расплачиваться потенциальной энергией.
Если фактор заполнения v несколько отличается от \/т при нечетном
т, то основное состояние системы должно содержать малую концентрацию
квазичастиц или квазидырок с зарядами ±е/щ удерживаемых кулоновским
отталкиванием на взаимном удалении. По-видимому, в идеальной системе при
Г = 0 эти квазичастицы или квазидырки образуют регулярную треугольную
решетку с постоянной решетки, расходящейся как |v — 1/т|~^2при v -» \/m.
Однако при наличии примесей можно ожидать, что квазичастиЧы или квазидыр-
квазидырки при малых концентрациях будут, как правило, захватываться флуктуаци-
ями потенциала.
Можно, наконец, поинтересоваться, что же произойдет с волновой функ-
функцией, определяемой выражением A3), при учете подмешивания состояний, свя-
связанных с высшими уровнями Ландау. Если в этом случае фиксировать все элек-
электроны, кроме одного, и рассмотреть зависимость от оставшейся переменной
г.-, то вблизи от мест расположения каждого электрона г k мы снова обнару-
обнаружим по т вихрей. Однако, вообще говоря, только один из вихрей будет совпа-
совпадать с координатой г k, а остальные нули волновой функции будут слегка сме-
смещены в зависимости от положения всех других электронов в окрестности г..
Тем не менее мы можем рассматривать волновую функцию как умеющую т
вихрей, связанных с каждым электроном.
4.5. Другие рациональные дроби
Вследствие отмеченной выше электронно-дырочной симметрии получен-
полученные Лафлином результаты для v = 1/ .л подразумевают также наличие энерге-
энергетической фиксации соразмерного состояния при v = 1 - \/т . Аномалии, на-
наблюдаемые при v = 4/3 и v = 5/3, можно объяснить аналогично, если учесть
второе спиновое состояние электронов. Однако результаты Лафлина не дают
прямого объяснения аномалиям, наблюдаемым при v = 2/7, 2/5 и 3/5. Сущест-
Существует также возможность обнаружения в будущем аномалий при дробных зна-
значениях v с четными знаменателями х). Здесь предлагается некоторое обобще-
обобщение идей Лафлина, позволяющее построить пробные волновые функции для
произвольных рациональных факторов заполнения v из интервала 0 < v < 1.
Эти волновые функции будут описывать, по крайней мере в простейших случа-
случаях, трансляционно-инвариантную жидкость.
Один из возможных путей обобщения идей Лафлина состоит в группировке
электронов системы в связанные пары и в последующем построении волновой
функции лафлиновского типа (с четной степенью т) для пар. (Заметим, что
пары при их взаимной перестановке ведут себя как бозоны.) Подобное постро-
построение приводит к статистически однородной плотности электронов с фактором
заполнения v = 4/m- Таким образом, если т= 4р + 2, причем р — целое чис-
число, то
v= 2/BP+ 1).
Если же т = 4р, то
v- 1/р
A8)
A9)
для произвольных целых р, в том числе и четных. Возможность того, что
при v = 1/2 низшее энергетическое состояние содержит спаренные электроны,
является особенно привлекательной ввиду упомянутых выше осцилляции энер-
энергии систем, содержащих четыре, пять и шесть электронов. Наиболее интерес-
интересно было бы выяснить, не наблюдалась ли в конечном итоге слабая холловская
ступенька при v = 1/2.
* Недавно в работе L 48*] наблюдалось дробное квантование при v = 1/3, 2/3,
4/3. 5/3. 7/3, 8/3, 4/5, 6/5, а в работе [ 49*] - при v = 2/5, 3/5, 3/7, 4/7, 4/9„ 5/9.
Единственная работа [ 50*], в которой наблюдалось квантование с четным знаменате-
знаменателем (v = 5/2), была выполнена на гетероструктуре InAs — G-iSb ,и авторы считали,
что эффект обусловлен наличием двух типов носителей заряда. — Прим. ред.;
224
Б. Гальперин
Аналогичным образом можно сгруппировать электроны в п-мультиплеты и
построить из таких мультиплетов волновую функцию Лафлина степени т, где
m и п должны иметь одинаковую четность. Такое построение дает
v - п2/т,
B0)
что в принципе может представлять собой любую рациональную дробь. Дру-
Другие возможности включают в себя смешанные волновые функции спаренных
и неспаренных электронов, о чем речь пойдет ниже.
Разумеется, нельзя гарантировать того, что волновая функция, постро-
построенная с помощью предложенной здесь процедуры, будет соответствовать низ-
низшему энергетическому состоянию при данном значении v. Квантованные хол-
ловские плато будут иметь место, лишь если при данном v основное состо-
состояние будет представлять собой трансляционно-инвариантную жидкость, а ши-
ширина плато будет пропорциональна энергии, необходимой для создания квази-
квазичастицы или дырки (т.е. для создания или ликвидации одного кванта потока)
в этом основном состоянии.
Для того чтобы сделать эти соображения более убедительными, можно
рассмотреть- явный вид пробной волновой функции парного типа. Запишем
следующую функцию:
B1)
у(гг, ..., r2N) - A${rv ..., r2N),
где А — оператор антисимметризации, а
к < п
-1-22„) J.
B2)
здесь индексы i и j принимают значения от 1 до 2 N, а к и п — от 1 до /V. Ве-
Величины s, t и ц представляют собой целые числа, причем s > 0, u > 0, а раз-
разность s ~t нечетная и положительная. Кроме того, либо величина и, либо t,
либо обе вместе должны быть положительными. Квадрат волновой функции цГ
можно интерпретировать как функцию распределения вероятности для пар
классических частиц, взаимодействующих по логарифмическому закону друг
с другом и с однородным фоном. В выражении B2) различные члены описыва-
описывают соответственно отталкивание по логарифмическому закону между всеми
23. Теория квантованной холловской проводимости
225
частицами, уменьшение силы ооталкивания между составляющими пару части-
частицами и отталкивание между центрами тяжести различных пар. Можно показать,
что величина | $|2 приводит к фактору заполнения электронами v = 4/в»,
где т- 4s + 2ц.
Волновая функция ф антисимметрична относительно перестановки элек-
электронов внутри пары и, как и требуется, симметрична относительно переста-
перестановки пар. Она не обладает свойством антисимметричности относительно пе-
перестановки двух электронов, принадлежащих различным парам. Однако опе-
операция антисимметризации будет играть относительно небольшую роль, не ока-
оказывая сильного влияния на нормировку, потенциальную энергию или корре-
корреляционную функцию плотности электронов при условии, что области конфигу-
конфигурационного пространства, в которых волновые функции^и Р..(р имеют макси-
максимум, перекрываются слабо. (Здесь оператор Р.. меняет местами два электрона
из различных пар.) Мы считаем, что такая ситуация будет иметь место, если
входящие в $ пары являются достаточно компактными по сравнению с рассто-
расстоянием между ними. Однако слишком плотные пары тоже нежелательны, по-
поскольку это оборачивается проигрышем в потенциальной энергии пары. Похо-
Похоже на то, что минимальным энергиям будут соответствовать наименьшие воз-
возможные значения г и и.
Заметим, что в случае ц Ф 0 волновая функция у будет спадать по гауссо-
гауссову закону, если два электрона какой-либо пары мы будем пытаться удалить
друг от друга на расстояние, большее среднего расстояния между парами.
В качестве примера можно рассмотреть случай s = 2, * = 1 и в = 1. В
этом случае мы получаем приемлемую пробную волновую функцию для v = 2/5.
Если выбрать * = 3, t = 0 и и - 1, то мы имеем волновую функцию для v = 2/7,
а если 5=1)«=0иц=2,то волновую функцию для v = 1/2.
Для построения смешанной волновой функции пар и неспаренных электро-
электронов запишем iy в виде Ау', где А - оператор антисимметризации, а
x П (
ц < V
B3)
Здесь 4? - несимметризованная парная волновая функция, определяемая вы-
выражением B2), индексы неспаренных электронов ц и v принимают значения от
2N + 1 до 2/V + U, в то время как i меняется от 1 до 2/V, а к - от 1 до N так
же, как и в выражении B2). Показатель т, определяющий корреляции между
226
Б. Гальперин
неспаренными электронами, должен быть нечетным; показатель р = 4s + 2U,
соответствующий корреляции между парами, автоматически является четным,
в то время как показатель r = 2q + w, отвечающий за корреляции типа элек-
электрон - пара, может быть любой четности. Требование того, чтобы пары и
одиночные электроны занимали одну и ту же область пространства, приводит
к условию N/U = Bщ-г)/(р -2г). При этом полное число электронов в этой
области 2N + U отвечает фактору заполнения
v= Dm + p — 4г)/(шр — г2). B4)
В качестве примера здесь можно рассмотреть случай т= 3, т - 5 и
р > 10. Здесь волновая функция свободного электрона "видит" три вихря в
месте нахождения любого другого свободного электрона, в то время как с
каждой парой связано лишь пять вихрей. Следовательно, в каждой паре не-
недостает одного флюксоида, и поэтому отдельная пара является моделью ква-
квазичастичного возбуждения для лафлиновского состояния с v = 1/3. (Для полу-
получения волновой функции с минимальной потенциальной энергией следует, по-ви-
по-видимому, выбрать q- 2, w- l,s -t = 1, а величину 2S необходимо взять
максимально близкой к р.) Если величина р достаточно велика, то плотность
пар будет мала, и из сказанного выше следует, что v приближается к 1/3.
Аналогия между квазичастицами и квазидырками предполагает, что ква-
квазидырочные возбуждения (добавочные кванты потока) можно также рассмат-
рассматривать как бозоны и образовывать аналогичные функции, описывающие кван-
квантовую жидкость квазидырок, дополняющую простое состояние v = 1/ш . Это
действительно так. Волновую функцию требуемого вида можно записать сле-
следующим образом:
y(rlt...,rN)= fd24t ... <12чм[ U (zt- -z} )ml x
x Г П (n* - т
B5)
здесь т— нечетное, ар — четное положительное число; индексы i и / прини-
принимают значения от 1 до N, а индексы & и т- от 1 до М, где М = /V/p. Комп-
Комплексные переменные r\k представляют положения свободных вихрей (квазиды-
(квазидырок), а электронный фактор заполнения v определяется выражением
v = р/(шр + !)• Таким образом, при р = 2,т= 3 мы получаем состояние с
v = 2/7, в то время как выбор р = 2, т- 1 приводит к состоянию с v = 2/3.
Вывод такой волновой функции будет приведен в другом месте.
23. Теория квантованной холловской проводимости
227
В заключение данного раздела заметим, что формальный метод постро-
построения волновых функций для произвольного рационального фактора заполне-
заполнения с нечетным знаменателем был предложен также Лафлином [43]. Однако
пока не ясно, какова может быть связь между волновыми функциями Лаф-
лина и функциями, рассмотренными нами выше.
4.6. Возможность переориентировки спинов
В приведенных выше рассуждениях, касавшихся частично заполненного
уровня Ландау, мы предполагали, что заполненным является лишь одно спи-
спиновое состояние. Однако в GaAs g-фактор электрона составляет 1/4 величи-
величины ^фактора свободного электрона [ 44], в то время как т* => 0,07 т . Поэто-
Поэтому зеемановская энергия приблизительно в 60 раз меньше, чем циклотрон-
циклотронная, и близка по масштабам к энергиям квазичастиц в аномальном холлов-
ском состоянии при магнитных полях порядка 10 Тл. Следовательно, нельзя
полностью исключить того, что при не слишком больших значениях В и N ос-
основное состояние для некоторых значений v будет содержать определенное
количество электронов с противоположной ориентацией спина. (Заметим, что
е2/е1«>Ви2, в то время как ?3ееман~В-)
В частности, если у половины электронов спины антипараллельны полю,
можно сконструировать достаточно простое состояние с полной концентраци-
концентрацией, соответствующей v = 2/5:
_2
П
к < т
i ,к
B6)
Здесь через z и ~z обозначены координаты электронов со спинами, направлен-
направленными соответственно вниз и вверх. Было бы интересно рассчитать энергию
этого состояния и сравнить ее с наинизшей энергией, могущей существовать
у состояния с v = 2/5 и с полностью ориентированными спинами.
5. ТОЧНОСТЬ КВАНТОВАННОЙ ХОЛЛОВСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Здесь мы рассмотрим соображения, касающиеся точности квантованных
холловских плато, кратных целому или дробному числу квантов e2/h. В сво-
своих рассуждениях мы ограничимся случаем бесконечного однородного образца.
Предположим, что в квазичастичном спектре идеальной системы без примесно-
примесного рассеяния при заданном рациональном значении фактора заполнения ve име-
имеется энергетическая щель и разрыв в производной энергии по концентрации
электронов ЭЕ/dN. Предположим также, что потенциал, связанный с неупоря-
228
Б. Гальперин
доченностыо, достаточно слаб, так что энергетическая щель и разрыв произ-
производной dE/dN сохраняются и при наличии примесей. В нашем рассмотрении мы
будем использовать формулу Уидома и Штреды [ 20, 45], которая оказывает-
оказывается справедливой при этих условиях.
Рассмотрим изменение энергии образца в присутствии зависящих от ко-
координат внешнего потенциала ^внеш(г) и магнитного поля В (г). В пределе
длинноволновых флуктуации можно написать следующее выражение для энер-
энергии:.
E= fd2r\E[N(r),
+ lL // d2r d2r'
u(r - г
B7)
где S/V(r) - изменение электронной плотности в точке г, а и (г - г') - куло-
новское взаимодействие между зарядами в точках г и г '. [ Удобно представить
себе, что на некотором расстоянии от электронного слоя имеется заземлен-
заземленная плоскость, так что функция ц(г — г ') обрезается на больших расстояниях
и возможно однородное изменение плотности электронов N при конечном из-
изменении энергии, приходящейся на электрон.] Функционал E(N, В) есть плот-
плотность энергии бесконечной системы; находящейся в постоянном магнитном
поле В и имеющей постоянную макроскопическую плотность электронов N
при наличии случайного примесного потенциала и однородного положитель-
положительного фонового заряда, обеспечивающего общую зарядную нейтральность.
Таким образом, в условиях равновесия мы можем написать следующие
соотношения:
(г) =
5?/6В(г) - -
B8)
где M(r) — плотность намагничивания в направлении, перпендикулярном плос-
плоскости системы. Реализация условий равновесия в свою очередь означает, что
мы минимизировали термодинамический потенциал Е — \xN. Обычно отсюда
следует, что
6?/6iV + eV(r) = ц, B9>
где ц — константа, не зависящая от г, а
Г(г)= ?внвш<г) + е/в(г-г'NЛЧг')«*2г'. C0)
Однако в рассматриваемом нами случае уравнение B9) мы должны заменить
выражением
iV=v0B/O0, C1)
когда ц — eV удовлетворяет неравенству
23. Теория квантованной холловской проводимости
229
-eV <
9N
C2)
Здесь дЕ'/dN -два предельных значения производной dE/dN при v -> v0 . Из
формул B8) и C1) можно видеть, что при выполнении условия C2) имеют мес-
место следующие равенства:
дМ
внеш
3N
дВ
Vt
внеш
voe
Тс
C3)
Теперь можно рассмотреть равновесный случай, при котором магнитное
поле В поддерживается постоянным, потенциал Рвнеш периодически меняется
в пространстве, a v соответствует энергетической щели, определяемой вы-
выражением C2). Используя то, что dN/dVBHeui = 0 и, следовательно, 8V=6V
получаем искомый результат внеш
j =e[V.xM] = vo(e2/A)[zxE]. . C4)
В реальных экспериментах потенциал не является периодическим в про-
пространстве, а химический потенциал ц не является постоянным в образце. Оче-
Очевидно, что градиент величины ц не будет оказывать влияния на ток, текущий
через образец, до тех пор пока уровень Ферми располагается в энергетической
щели. Однако на краях образца щель отсутствует, и поэтому эти края вносят
вклад, который существенно зависит от ц. Можно показать, что в образце с
симметричными выводами, если величина eV - ц имеет одинаковое значение
на двух границах, суммарный вклад от краев образца в холловский ток будет
равен нулю. В более общем случае оказывается, что интегральный холловский
ток определяется разностью в значениях ц, а не разностью электростатических
потенциалов V между двумя границами образца. Это весьма удачно, посколь-
поскольку именно разность значений ц является в точности той величиной, которую
измерял бы вольтметр, подключенный к образцу [ 15,18].
Приведенные выше аргументы не могут быть непосредственно перенесе-
перенесены на случай, когда уровень Ферми располагается не в истинной энергетичес-
энергетической щели, а в области локализованных состояний. В действительности при этих
условиях производная ЭМ/dV уже не равна в точности отношению v0 e2/hc. Од-
Однако, как мы уже обсуждали выше, локализованные состояния не дают вкла-
вклада в ток; следовательно, когда химический потенциал имеет значения, соот-
соответствующие области локализованных состояний, холловский ток не зависит
от величины ц .
В случаях когда неупорядоченность становится столь существенной, что
между уровнями Ландау уже отсутствуют участки с нулевой плотностью сое-
230
Б. Гальперин
тояний, или же когда в ситуации аномального эффекта Холла заполнены од-
одновременно локализованные квазиэлектронные и квазидырочные состояния,
рассмотрение несколько усложняется. Эти случаи мы здесь не обсуждаем.
Благодарности
Я получил большую пользу от обсуждения моей работы многими колле-
коллегами, которых не имею возможности здесь всех перечислить. Однако особо-
особого упоминания заслуживают дискуссии с П. Ли, Р. Лафлином, Д. Иосиокой,
Г. Штермером, Дж. Уорлоком, Г. Тулузом, М. Комбескотом и с членами эк-
экспериментальной группы из Высшей нормальной школы. Данная работа вы-
выполнялась частично благодаря субсидии Национального научного фонда (США).
Литература
1. Klitzing К., v., Dorda G., Pepper М., Phys. Rev. Lett., 45, 494 A980) [Име-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 1).]
2. Ando Т., Uatsumoto У., Uemura У., J. Phys. Soc. Japan, 39. 279 A975).
3. Tsui D.C., Stormer H.L., Gossard A.C., Phys. Rev. Lett., 48. 1559 A982).
[ Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 8).]
4. Stormer H.L., Tsui D.C., Gossard A.C., Hwang J.C.U., Physica, 117B/118B,
688 A983).
5. Stormer H.L., Chang A., Tsui D.C., Hwang J.C.M., Gossard A.C., Viegmann W.,
Phys. Rev. Lett., 50, 1953 A983). [Имеется перевод в настоящем сборни-
сборнике (статья 9). ]
6. Laughlin R.B., Phys. Rev. Lett., 50,1395 A983). Имеется перевод в насто-
настоящем сборнике (статья 22).]
7. Briggs A., Guldner У., Vieren J.P., Voos М., Hirtz J.P., Razeghi М., РЬуз.
Rev. В, 27, 6549 A983). [Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 7).]
8. Tsui D.C., Gossard А.С., Field B.F., Cage U.E., Dziuba R.F., Phys. Rev.'
Lett., 48. 3 A982);
Yoshihiro K., Kinoshita J., Inagaki K., Yamanouchi C, Moriyama J.,
Kawaji S., J. Phys. Soc. Japan., 51. L5 A982).
9. Cage M.E., Girvin S.U., Comm. Solid State Phys., 11, 1 A983).
10. Klitzing K., v., Tausendfreund В., Obloh H., Hersog Т., Ргос. of the Conf.
on High Magn. Fields on Semicond. Phys., Grenoble, 1982. .
11. Baraff G.A., Tsui D.C., Phys. Rev. В., 24, 2274 A981). [Имеется перевод
в настоящем сборнике (статья 14).]
12. Вок ]., Combescot M., Solid State Comm., 47, 611 A983).
13. Опо У., J. Phys. Soc. Japan, 51, 237 A982).
14. ThoulessD.J., J. Phys. C, 14, 3475 A981).
15. Halperin B.h, Phys. Rev. B, 25, 2185 A982). [Имеется перевод в настоящем
сборнике (статья 19).]
16. Prange R.E., Joynt R.f Phys. Rev. В, 25, 2943 A982).
17. Prange R.E., Phys. Rev. B, 23, 4802 A981). [Имеется перевод в настоящем
23. Теория квантованной холловской проводимости
231
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46*
47*
48*
49*
50*
сборнике (статья 16). ]
Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 23, 5632 A981). [Имеется перевод в насто-
настоящем сборнике (статья 18).]
Thouless D.I., Kohmoto М., Nightingale M.P., den Ntjs M., Phys. Rev. Lett.,
49, 405 A982).
SiZeda P., J. Phys. C,15, L717 A982).
Yoshioka D., Phys. Rev. B, 27, 3637 A983).
Aoki H., J. Phys. C, 15, L1227 A982).
Imry Y., J. РЬуз. С, 15. L221 A982).
Rammal R., Toulouse G., Jaekel M.T., Halperin. B.h, Phys. Rev.B, 27,5142 A983).
Brenig W., Zb. Phys. B, 50, 305 A983).
Ando Т., Surf. Sci., 113, 182 A982).
Ono Y., J. Phys. Soc. Japan, 51, 2055 A982); 52, 2492 A983).
lordansky S.V., Solid State Somm., 43, 1 A982).
Kazarinov R.F., Luryi S., Phys. Rev. B, 25, 7626 A982).
Trugman 5.4., Bull. Amer. Phys. Soc, 28, 365 A983).
Fukuyama H,, Proc. of the Conf. on High Magn. Fields in Semicond. Phys.,
Grenoble, 1982.
Fukuyama H., Platzman P.M., Phys. Rev. B, 25, 2934 A982).
Houghton A., Senna J.R., Ying S.C., Phys.Rev. B, 25, 6468 A982).
Girvin S.M., Jonson M., Lee P.A., Phys. Rev. B, 26, 1651 A982).
Paalanen U.A., Tsui D.C., Gossard A.C., Phys. Rev. B, 25, 5566 A982). [Име-
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 4.1.1
Fukuyama Н„ Platzman P.M., Anderson P.W., Й»у= • Rev- B, 19, 5211A979).
Yoshioka D., Fukuyama H., J. Phys. Soc. Japan, 47, 394 A979).
Yoshioka D., Lee P.A., Phys. Rev. B, 27. 4986 A983).
Lai W., Shen J., Su Z., Yu L., Comm. in Theor. Phys., Beijing, 2, 929 A983);
Tosatti E., Parrinello M., Nuovo Cira. Lett., 36, 289 A983);
Kuramoto Y., Phys. Rev. Lett., 50, 866 A983).
Yoshioka D., Halperin В.1., Lee P.A., Phys. Rev. Lett., 50, 1219 A983).
[Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 20).]
Laughlin R.B., Phys. Rev. В, 27, 3383 A983). [Имеется перевод в насто-
настоящем сборнике (статья 21).]
Choquard P., Clerouin J., Phys. Rev. Lett., 50, 2086 A983).
Laughlin R.B., частное сообщение.
Duncan W., Schneider E.E., Phys. Lett., 1, 23 A963).
Widom A., Phys. Lett. A, 90, 474 A982).
;. Усов Н.А., У линии Ф.Р. - ЖЭТФ, 19,84, т. 86, с. 644.
. Баскин Э.М., Иагарилл Л.И., Энтин МЗ. - ЖЭТФ, 1978, т. 75, с 723.
Кукушкин И.В., Тимофеев В.Б., Черемных П.А.- ЖЭТФ, 1984, т. 87. с. 2223.
Chang A.M., Berglund P., Tsui D.C., Stormer H.L., Hwang J.C.M., Phys. Rev.
Lett., 53, 997 A984).
. Mendez E.E, Chang L.L., Chang C.-A., Alexander L.F., Esaki L., Surf. Sci.,
142, 215 A984). [Имеется перевод в настоящем сборнике (статья 10').]