/
Текст
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Методическое пособие к лабораторной работе
Ижевск 2006
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
ББК 22.37
Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой ФТТ П.Н. Крылов,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ФТТ А.С. Алалыкин,
канд. физ.-мат. наук, инженер кафедры ФТТ, научный сотрудник
ФТИ УрО РАН Р.Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в
И32 полупроводниках: Метод, пособие к лаб. работе/ Сост. П.Н.
Крылов, А.С. Алалыкин, Р.Г. Валеев. Ижевск, 2006. 34 с.
Рассмотрена теория эффекта Холла и магниторезистивный эффект в
полупроводниках. Приведены основные формулы для расчета параметров
эффекта Холла в случае примесной и смешанной проводимости. Работа
содержит теоретическую и практическую части. В практической части
рассмотрен четырехзондовый метод исследования эффекта.
Методическое пособие предназначено для студентов, изучающих курсы
"Физика твердого тела" и “Физика полупроводников и диэлектриков”.
ББК 22.37
© Сост. П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев, 2006
© Удмуртский государственный университет, 2006.
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Цель работы: Исследовать полевую зависимость ЭДС Холла, найти
концентрацию, определить тип носителей заряда и механизм их рассеяния в
полупроводнике. Исследовать зависимость удельного сопротивления
полупроводника от величины магнитного поля. Найти постоянную Холла, угол
Холла, холловскую подвижность, коэффициент магнетосопротивления.
ВВЕДЕНИЕ
Кинетические явления, возникающие в твердых телах при совместном
действии на них электрического и магнитного полей, называются
гальваномагнитными явлениями. Одним из наиболее изученных
гальваномагнитных явлений является эффект Холла, открытый в 1879 году.
Суть данного эффекта состоит в том, что при наличии внешнего магнитного
поля на движущиеся электроны в образце действует сила Лоренца,
перпендикулярная к направлениям их скорости и магнитной индукции.
Поэтому движение электронов в различных направлениях полупроводника
происходит по-разному, и даже изотропный полупроводник в отсутствие
магнитного поля становится анизотропным. Таким образом, в полупроводнике
с током, помещенном в магнитное поле, появляются электродвижущие силы,
как следствие возникает дополнительное электрическое поле и изменяется
сопротивление полупроводника.
Рассмотрим поведение носителей заряда в полупроводнике под действием
постоянного магнитного поля.
§1. ДВИЖЕНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ
И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС
Пусть полупроводник находится в постоянном магнитном поле с индукцией
|в| = const. На электрон, движущийся со скоростью v±, перпендикулярной
вектору магнитной индукции, будет действовать сила Лоренца:
F = -e^v1xB^|. (1)
Под действием этой силы электрон будет двигаться по окружности в
плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Круговая частота вращения
3
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
шс, которая носит название циклотронной, определяется из равенства
центробежной силы и силы Лоренца
где т* - эффективная масса электрона в полупроводнике. Отсюда следует, что
циклотронная частота не зависит от радиуса окружности и выражается
формулой
ту еВ
0)е= — = — (3)
г т
Если одновременно полупроводник поместить в слабое высокочастотное
электромагнитное поле, колеблющееся в плоскости, перпендикулярной В, то
при приближении частоты поля со к сос электрон будет сильно поглощать
энергию электромагнитного поля. Это явление резонансного поглощения
излучения называется циклотронным резонансом. Из измерений резонансной
частоты поглощения радиоизлучения определяется сос, а затем по соотношению
(3) вычисляется величина эффективной массы электрона (или дырки). Если эта
величина анизотропна, то, изменяя ориентацию магнитного и электрического
полей относительно кристаллографических осей кристалла, можно изучить
форму эллипсоида равной энергии.
Осуществить эксперимент для определения резонансной частоты
поглощения сос возможно в том случае, если время свободного пробега
электрона т достаточно велико:
Г» — , (4)
60 с
т.е. за время т электрон должен успеть совершить, по меньшей мере, один
оборот. Чем больше электрон делает оборотов, тем резче, острее проявляется
резонанс.
Время свободного пробега т носителя заряда тем больше, чем меньше в
кристалле структурных несовершенств. Поэтому эксперименты по
циклотронному резонансу необходимо проводить при очень низких
4
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
температурах (обычно при температуре жидкого гелия - 4,2 К) и на особо
чистых кристаллах.
1.1. Слабые и сильные магнитные поля
Под слабым магнитным полем понимают такое поле, для которого время
релаксации носителя заряда, совпадающее по порядку величины со временем
свободного пробега т, много меньше его периода обращения Тс по круговой
орбите в магнитном поле:
У г (5)
Тогда в соответствии с частотой циклотронного резонанса а>с = 2л/Тс в слабых
магнитных полях
^=лув=^<<1. (6)
2тг 2лт 2л
Соответственно в сильных полях имеет место неравенство
7(3с _ >> 1
2л 2л
Таким образом, условие слабого и сильного магнитного поля определяется не
только значением индукции магнитного поля |в|, но и значением подвижности
носителей заряда д . Для одного и того же значения магнитной индукции В в
полупроводниках с малой подвижностью носителей заряда может выполняться
условие (6), а в полупроводниках с высокой подвижностью - (7). Более того, в
одном и том же полупроводнике при высоких температурах данное поле может
быть слабым, а при низких - сильным, поскольку д ~ Тг и зависит от механизма
рассеяния носителей заряда.
Если воспользоваться понятием длины свободного пробега 2 = т±т носителей
заряда и радиусом циклотронной орбиты r = vja>c, по которой движется
носитель, то
— = та>с. (8)
г
Как видно из соотношения (6), в слабом магнитном поле г » 2, и носитель
заряда, движущийся по круговому пути в плоскости, перпендикулярной В,
5
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
успевает пройти до столкновения малое расстояние по круговой орбите, а в
сильном магнитном поле, для которого г«2, траектория носителя заряда
искривляется очень сильно.
1.2. Движение носителей заряда в скрещенных постоянных
электрическом и магнитном полях
Пусть по полупроводнику, имеющему форму прямоугольной пластинки (рис.
1), под действием электрического поля Ё протекает ток
У = -env^ = оЁ, (9)
где г - дрейфовая скорость носителей заряда. Если полупроводник
однородный, то эквипотенциальные поверхности расположены
перпендикулярно к направлению электрического поля Ё, а следовательно, и к
вектору плотности тока j . Поэтому разность потенциалов между точками А и
Б, лежащими в плоскости, перпендикулярной j , будет равна нулю.
Если поместить полупроводник в магнитное поле, перпендикулярное вектору
тока, как показано на рис. 1, то на носитель заряда, движущийся со скоростью
г , будет действовать сила Лоренца
А = ±е[ухв], (10)
направленная перпендикулярно у и В. Здесь “+” соответствует дырке, а
электрону. Но, учитывая что
у=±дЕ = ±-^-Е, (11)
т
где (г) - среднее время свободного пробега [1], имеем
6
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Из формулы (12) следует, что направление силы Лоренца не зависит от знака
носителя заряда, а определяется направлением векторов Ё и В или ] и В.
Следовательно, если скорость носителей заряда определяется электрическим
полем, то электроны и дырки под действием силы Лоретта отклоняются в
одну и ту же сторону.
Для выбранных нами направлений В и Е, представленных на рис. 2, для
дырок векторное произведение и сила Лоренца в данном случае будут
направлены вниз, для электронов векторное произведение направлено вверх, а
сила Лоренца - вниз (е < 0).
Рис. 2. Эффект Холла в дырочном (а) и электронном (б) полупроводниках
Под действием этой силы дырки в акцепторном полупроводнике (рис. 2а) и
электроны в донорном полупроводнике (рис. 26) будут оттеснены к нижней
поверхности образца, вследствие чего на верхней поверхности возникнет их
дефицит, что обусловит противоположный по знаку заряд по отношению к
заряду на нижней поверхности. В результате разделения зарядов появится
электрическое поле Ён, перпендикулярное направлению магнитного поля.
Направление этого поля, которое называется полем Холла, зависит от типа
носителей заряда.
Если изобразить векторы плотности тока дырок и электронов (рис. 3), то с
учетом направления поворотов (рп и (рр плотности тока ]п и jp
соответствующих носителей поворачиваются в противоположные стороны.
При этом предполагается, что либо холловское поле еще отсутствует, либо
7
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
имеется неограниченный по направлению Ь образец (последнее можно
смоделировать с помощью образца в виде диска).
а) б)
Рис. 3. Изменение направления плотности тока в дырочном (а) и электронном (б)
полупроводнике в магнитном поле в отсутствие поля Холла
§2. ЭФФЕКТ ХОЛЛА И ПОПЕРЕЧНОЕ МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЕ
На рис. 2 поле Холла Ён направлено вверх в р-образце и вниз в «-образце.
Явление возникновения в полупроводнике с текущим по нему током
поперечного электрического поля под действием магнитного поля называется
эффектом Холла. Поле Холла будет расти до тех пор, пока сила, обусловленная
этим полем, не скомпенсирует силу Лоренца:
е\’ф = еЕн. (13)
Однако выражение (13) может быть справедливым лишь для некоторого
значения дрейфовой скорости v . Если его правая часть имеет определенное
значение, то и левая часть - только одно значение скорости. Это обстоятельство
весьма существенно, так как с ним связаны и другие гальваномагнитные
явления. В выражении (13) подразумевается средняя скорость дрейфа, так как
большинство носителей заряда движется со скоростями, близкими к средней
дрейфовой.
Умножая обе части выражения (13) на концентрацию электронов н, получим
для полупроводника «-типа ет>ф = епЕн. Но по закону Ома произведение еиг
равно плотности тока:
=7=2-, (14)
ab
где а и Ъ - линейные размеры образца, показанного на рис. 2. Таким образом,
8
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
получаем
F _ 1 1 IB
Внп ~ —]В —-----т (15 )
еп еп аЪ
Разность потенциалов Енп 'Ь ~ 1нп будет
VHn = —jBb = ——. (16)
еп еп а
Если учесть распределение носителей заряда по скоростям, то для
невырожденных полупроводников выражение (16) несколько видоизменится:
Tr A рд A IB
1 =—jBb =------. (17)
еп еп а /
Величину А называют холл-фактором, который зависит от механизма
рассеяния носителей заряда. Например, при рассеянии электронов на
акустических колебаниях решетки
А = Зл-/8 « 1,18
для Si, Ge, InSb и др. при относительно высоких температурах, включая
комнатную. При рассеянии на ионах примеси
А = 315л-/512 « 1,93 .
Учитывая тип носителей заряда, необходимо записывать знак электронов в
явном виде, т.е. указывать что он отрицателен. Учет знака в явном виде дает
где е > 0, Rn - коэффициент Холла
Rn=-A/en. (19)
Для полупроводника p-типа коэффициент Холла получают аналогичным
образом:
Rp = А/ер . (20)
Как следует из равенств (19) и (20), коэффициент Холла обратно
пропорционален концентрации носителей заряда, а знак его совпадает со
знаком носителей заряда.
Вектор суммарного электрического поля ЁП в полупроводнике (рис. 2)
повернут на некоторый угол ср относительно направления тока ] и
9
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
соответствующего ему продольного электрического поля Ё. Угол, заключенный
между ] и Ёп, носит название угла Холла. Угол
жно определить из
соотношения
причем знак tg^ определяется направлением поля Холла: он положителен для
дырочного полупроводника и отрицателен для электронного. Если магнитное
поле слабое, то можно считать
откуда следует, что
Для электронного полупроводника сг„ = енрп, при этом угол Холла
Аналогично для дырочного полупроводника
2.1. Эффект Холла в полупроводниках со смешанной электропроводностью
При рассмотрении эффекта Холла выше предполагалось, что доминирует
только один из типов носителей заряда - п или р. Здесь мы рассмотрим
полупроводник со смешанной электропроводностью, в котором нельзя
пренебрегать ни электронами, ни дырками. Концентрации и подвижности
носителей заряда соответственно равны л, и .
Как указывалось ранее, векторы суммарного электрического поля для
полупроводников п- и p-типа, а следовательно, и плотности тока ]п и jp за счет
эффекта Холла отклонены в разные стороны. На рис. 4 приведена диаграмма
для плотностей токов в предположении, что холловское поле еще не действует.
Полная плотность тока ] является векторной суммой плотностей ]п и ]р и
составляет угол <р с направлением внешнего поля Ё, создающего дрейф
10
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Рис. 4. Отклонение токов при смешанной проводимости
Выберем оси координат так, чтобы ось х была направлена по внешнему
полю Ё, ось у - по полю или против поля Холла, а ось z - по магнитному
полю В.
Тогда для тангенса малого угла <р имеем
tg^ = jy/jx ~ (р, (26)
где jx и jy - составляющие вектора полного тока по осям хиу (имеются в виду
абсолютные значения всех величин).
Как видно из рис. 4, с учетом слабых магнитных полей, когда
COS(pp « COS (рп « 1, углы (рр И (рп малы, то
А- = jp cos^p + jn C0S(pn = e(ppp + npn )E = ctE . (27)
Составляющая плотности тока
jy = jpsm(pp + jnSmtpn ~ jp(pp + jn(pn- (28)
В случае достижения динамического равновесия, когда поле Холла достигает
установившегося значения, имеем
^(Рр=Еур/Е^(рр,
tg<p„ =Еуп/Е *(рп.
Величину Е можно выразить из соотношения (27):
Е —
оп егщп ’
£ - Jp - ^Р
сур еррр'
С учетом выражений (15)и(17)
(Рр * A/JpB’ (30)
срп ~ -АрпВ.
11
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Подставляя приближенные выражения (30) в формулу (28), получим
jy = Ae(ppj-np^)EB.
Угол Холла (р тогда будет равен
(р » Re В,
jy . РВр - "Bn
<р « — = А—------------
А- РРр + 77/А
(31)
(32)
(33)
Кроме того, аналогично формуле (25) для угла (р можно записа
где о- = е(р[лр + . Сравнивая формулы (32) и (33), находим
А рр2р- пр*
R =------------2 ’
е (РВр
(34)
Формула (34) определяет общее выражение для коэффициента Холла,
соотношения (19) и (20) находятся из него как частные случаи: при р = 0 или
/7 = 0. Для собственной электропроводности согласно формуле (34)
д . (35)
е//г рр + рп
Поскольку обычно > рр , то Д является отрицательной величиной.
Кроме дрейфовых подвижностей вводят также понятие холловских
подвижностей, которые определяют в виде
ВРн=АВр. (36)
ВпН = АРп-
Холловские подвижности при А = 1 совпадают с дрейфовыми.
Ранее использовались приближенные выражения в предположении малости
углов (рр, (рп, (р. Соответственно магнитные поля, для которых указанные углы
малы, также называются слабыми. Критерии слабого магнитного поля, по
аналогии с определением (8), выражаются неравенствами:
<Рр = Ар/ГР = АВрВ = РрНВ « 1, ™
= 4„/г„ = АрпВ = цн,,В « 1,
где и лр - длины свободного пробега электронов и дырок, гп и гр - радиусы
дуг окружностей, по которым закручиваются электроны и дырки под действием
12
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
силы Лоренца (радиусы циклотронных орбит).
Например, для германия при д„=0,3 м2/(В-с) и В = 1 Тл неравенства (37)
выполняются (поскольку подвижность дырок меньше подвижности электронов,
то условие слабых магнитных полей для дырок также сохранится).
Явление Холла широко применяется в исследовательской работе с
полупроводниками. Экспериментально легко определить ток I, текущий через
образец, величину магнитного поля В, ширину образца а, на границах
которого возникает холловское поле VH, и по формулам вида (18) найти
коэффициенты ХоллаR. Если известен механизм рассеяния (известно Л), то
нетрудно определить и концентрацию п или р .
Основные затруднения могут возникнуть при измерении VH. Эту величину
определяют с помощью потенциометра постоянного тока, причем измеряют
разность потенциалов между двумя зондами, контактирующими с
полупроводником в точках на двух противоположных гранях. Эти точки
должны располагаться на эквипотенциальной поверхности тока (плоскости,
перпендикулярной току) так, чтобы не измерять омическую разность
потенциалов из-за несимметричного расположения холловских контактов.
Однако добиться этого очень трудно, и приходится измерять величину VH при
двух полярностях тока I так, чтобы омическая разность потенциалов имела
разные знаки. Затем находят среднее арифметическое из данных указанных
измерений VH. Обычно в установке имеются также зонды, расположенные на
образце вдоль тока так, что можно определять удельную электропроводность
тех же участков образца (в качестве одного из зондов можно использовать
холловский контакт).
Комплексные измерения R и а позволяют определять знак носителей заряда,
их концентрацию и подвижность. Если поместить измерительную ячейку в
термостат, где легко установить и поддерживать различную температуру, то
можно исследовать и температурную зависимость указанных величин.
13
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Эффект Холла является следствием действия силы Лоренца. Очевидно, что
большая часть носителей заряда движется со скоростями, близкими к средней
дрейфовой скорости, которой соответствует среднее значение силы Лоренца.
Эти носители заряда не отклоняются от направления внешнего поля, так как
сила Лоренца уравновешивается силой холловского поля.
Но если учесть тепловую составляющую скорости электронов, то
оказывается, что полная скорость может изменяться в широких пределах. В
полупроводнике есть носители заряда, скорости которых отличаются от
средней скорости, и, следовательно, могут наблюдаться эффекты,
определяемые ими. Как правило, это будут “тонкие” эффекты, для наблюдения
которых требуются тщательные эксперименты и достаточно “чистые” условия
опытов.
К таким эффектам относятся гальваномагнитные явления типа
магнетосопротивления или изменения сопротивления в магнитном поле, а
также возникновение поперечной или продольной разности температур.
Кроме того, наличие “холодных” и “горячих” носителей заряда определяет
ряд термомагнитных эффектов: возникновение добавочной разности
температуры в полупроводнике, помещенном во внешнее магнитное поле,
имеющем разность температур; возникновение разности потенциалов в
полупроводнике, помещенном во внешнее магнитное поле, имеющем разность
температур.
2.2. Магниторезистивный эффект
Искривление траектории носителей заряда в магнитном поле приводит к
изменению составляющей тока, направленной вдоль вектора электрического
поля, что эквивалентно изменению удельного сопротивления полупроводника.
Это явление получило название эффекта магнетосопротивления {эффект
Гаусса} или магниторезистивного эффекта.
Наиболее простую оценку изменения удельного сопротивления можно
провести, если рассмотреть изменение длины свободного пробега носителя
заряда вследствие отклонения от направления внешнего электрического поля
14
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
(рис. 5). Проведем простой расчет, предполагая, что поле Холла еще
отсутствует.
Рис 5. Изменение длины свободного пробега носителя заряда при его отклонении в
магнитном поле
Средняя длина свободного пробега ЛК = А в направлении поля Е
уменьшается на Д2 = DK = A- AD, причем для слабого магнитного поля
Таким образом, А2 = А - л(1 - у?2 /2). С учетом выражений (30) получаем
В данном случае принято, что изменение удельного сопротивления
пропорционально изменению средней длины свободного пробега. При этом
предполагается, что все свободные носители заряда движутся со средней
скоростью и имеют одинаковую длину пробега. Удельное объемное
сопротивление полупроводника увеличивается при уменьшении длины
свободного пробега носителей заряда. Если не учитывать холловское
электрическое поле, то относительное изменение удельного сопротивления
оказывается пропорциональным квадрату произведения подвижности на
индукцию магнитного поля.
При наличии поля Холла закручивание в магнитном поле и соответственно
изменение длины свободного пробега будут наблюдаться лишь для “горячих”
(быстрых) носителей заряда. К тому же закручивание и изменение длины
15
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
свободного пробега для них будет меньше, чем при отсутствии поля Холла.
“Холодные” (медленные) носители заряда, скорости которых значительно
меньше средней скорости, будут отклоняться в противоположную сторону
полем Холла, поскольку сила еЁн будет превышать силу Лоренца Ёл. Это
также будет приводить к возрастанию сопротивления. Следовательно, удельное
сопротивление полупроводника в поперечном магнитном поле увеличивается
за счет уменьшения длины пробега только “горячих” и “холодных” носителей
заряда. Очевидно, относительное изменение сопротивления с учетом поля
Холла будет меньше, чем это получается по формулам (38).
Более строгий расчет магниторезистивного эффекта проводится при решении
уравнения Больцмана и применении его к частному случаю - эффекту Холла
[1]. Мы здесь приведем лишь некоторые выводы для полупроводника н-типа,
основанные на этом решении.
Так, зависимость плотности тока jx, параллельного внешнему
электрическому полю Ех, от поперечного слабого магнитного поля В. при
наличии поля Холла, т.е. при условии jy = 0, имеет вид
jx
Щ) + Р<РВ +
( YqB-_ )2
ао + Р<>В-
Е.
где сг0 = ие2(т)/т* = 1/ро _ электропроводность в отсутствие магнитного поля,
4 3
п / 3 \ Пе / 2 \ -г
Ро = —h Yo = / • 1огда относительное изменение
m л ' ' m 2 ' '
электропроводности может быть найдено из формулы (39):
(40)
Величину Г\ * = к-± иногда
V m* )
называют коэффициентом
магнетосопротивления.
Оставаясь в рамках линейного приближения по магнитному полю и
пренебрегая членами, содержащими В1-, легко показать, что в слабом
16
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
магнитном поле в линейном приближении сопротивление полупроводника не
меняется, т.е.
Рв - Ро ~ Рв - Ро
Рв Ро
Магниторезистивный коэффициент Г, зависящий от механизма рассеяния,
определяется выражением
\ (41)
Если зависимость т от энергии имеет наиболее типичный вид степенной
функции, то для Г имеем
Г = 9л~ (3r+3/2)!(г+ 3/2)!-[(2r+ 3/2)!]2
16 [(г + 3/2)!]4
Численное значение Г лежит в интервале от 0,38 (при рассеянии на
акустических колебаниях решетки, когда г = —1/2) до 2,15 (при рассеянии на
ионах примеси, когда г = 3/2). Очевидно, что Г зависит от механизма рассеяния
сильнее, чем Холл-фактор А. С учетом выражения для дрейфовой
проводимости правая часть выражения (40) примет вид Г(дВ_)2. Полученные
результаты справедливы только при (д/У )2 «1, поэтому изменение
сопротивления в магнитном поле пропорционально В2 только до тех пор, пока
Ар « рв.
Зависимость jx от Ех в сильном магнитном поле определяется выражением
[1]
Ы<,Л±Е,, (43)
\ а J
3 / 2 \ 2 / \
где v = —-(---- ), а = —(----— ). Следовательно, для относительного
т*2 \1 + ш2т2 / т* \1 + ш2т2 /
изменения удельного сопротивления имеем
— = 1---а н-----.
Рв а о v 67 J
(44)
17
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
В приближении сильного поля величина сг становится меньше, чем у2В?/сг,
поэтому ею можно пренебречь. В случае сильных полей единицей в
выражениях для у и а также можно пренебречь, поэтому
ц > - [Mr- L.
Для случая уже упоминавшейся степенной зависимости т
= 1_______21_______ (46)
Рв 16(r + 3/2)!(3/2-r)!' V ’
Численные значения этой величины составляют 0,116 при г = -1/2 и 0,706 при
г = 3/2 . При г = 0, когда т не зависит от энергии и скобки усреднения можно
опустить, магниторезистивный эффект отсутствует при любых значениях
магнитного поля. Теперь понятно, почему магниторезистивный эффект в
металлах ничтожно мал: вклад в проводимость дают только электроны,
находящиеся вблизи поверхности Ферми. Они обладают почти одинаковой
энергией и одинаковым значением т, хотя для носителей в металле т зависит
от энергии. Тем не менее, среднее от т равно значению этой величины на
поверхности Ферми, которое фактически является константой.
Следует отметить еще одну интересную особенность. Если для слабых полей
4 п
Рв~р0, то в случае сильных полей рв=— р. Поэтому при рассеянии на
Дух
тепловых колебаниях решетки, когда А = Зл-/8,
^ = JF-1 = —-1 = 0,13. (47)
р ЗА 9л- v 7
В сильном магнитном поле для магнетосопротивления наступает насыщение.
В этом случае величина магнетосопротивления не зависит от механизма
рассеяния.
2.3. Магниторезистивный эффект в случае смешанной проводимости
В собственных или компенсированных полупроводниках, а также в
полуметаллах вклад в изменение сопротивления в магнитном поле дают оба
типа носителей - электроны и дырки. Легко убедиться, что величины а, у и
18
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
должны заменяться суммами вкладов от носителей обоих типов, например
<т„ +ар и т.д. Опуская для краткости индекс 0, обозначающий случай слабого
поля, для величины &р1^рвв1) вместо формулы (40) получим
Ар _ Р р + Рп ( У р + ТпЛ г (48)
рвВ: &р + &р + J
Поскольку <т0 и р0 содержат только четные степени заряда е, знаки ар и <т„, а
также рр и рп совпадают, в то время как знаки у р и уп противоположны.
Предполагая для простоты, что механизм рассеяния электронов и дырок один и
тот же, из формулы (48) получаем
Ар = 9л- [ (Зг+3/2)! ЖШв+\2)! ppf-np^ 2 1
рвВ? 16 I [(г + З/2)!]3 PPp + ”Рп |_[(r + 3/2)!]2 PPp + ”Рп J Г
В случае собственного полупроводника (п = р) и рассеяния на акустических
колебаниях решетки (г = -1/2) получим
Ар _ 9тг 2
(50)
где Ъ = р„1рр . При больших значениях b последнее выражение удобно
переписать в виде
Ар 9л- 2( лАГ. t-г! zci\
—= —Р,7 1 1 + ——т-b +bz . (51)
рвВ? I6A"W4JL 1-лг/4 J V 7
Сопоставление двух последних выражений приводит к следующему результату:
гальваномагнитные эффекты, такие, как магниторезистивный, определяются
носителями с большей подвижностью.
В случае полуметаллов, когда процедурой усреднения можно пренебречь,
9л-/16 и л-/4 в выражении (50) можно заменить на единицу. Тогда из выражения
(50)следует
А? = (52)
РвВ=
Такое поведение сопротивления в магнитном поле было обнаружено в
полуметаллах (например, в висмуте) и в вырожденных собственных
19
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
полупроводниках. Наблюдаемый эффект по величине на несколько порядков
больше, чем в металлах с только одним типом носителей.
Еще одно обстоятельство может существенно повлиять на величину
магниторезистивного эффекта. Многие полупроводники /э-типа содержат
тяжелые и легкие дырки (обозначим их индексами h и /). Оба сорта дырок
также дают вклад в электропроводность. В отличие от случая
компенсированного полупроводника все носители здесь обладают зарядом
одного знака. Обозначим отношение подвижностей д//дл как 3, а отношение
концентраций pi/ph - через ту. Предполагая вновь степенную зависимость т с
показателем г = -1/2, получим
Ар _ 9тг 2 1 + 77<53 л Г1 + цЗ2
рвВ- 16 1 + г)§ 4 1 + г)§ )
где pp=ph - подвижность большинства дырок. Например, в германии /э-типа
<5 = 8 и 77 = 4%, что для выражения в фигурных скобках дает значение 10,6
вместо 1-Л-/4» 0,215 при ту = 0. Следовательно, если среди 25 дырок хотя бы
одна является легкой, значение Ар возрастает почти в 50 раз. При ту = 0
подобный эффект достигается только с увеличением напряженности поля В:
почти в 7 раз. Электропроводность а и коэффициент Холла R содержат более
низкие степени S и поэтому менее чувствительны к вкладу легких дырок (о-
увеличивается в 1,3 раза, a R - в 2 раза).
МЕТОДИКА И ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
Общая принципиальная электрическая схема для исследования эффекта
Холла представлена на рис. 6.
Лабораторная установка состоит из следующих устройств:
• Электромагнит марки ЭМ-1 предназначен для создания регулируемых
постоянных магнитных полей напряженностью до 12000 Э. Зазор между
полюсами плавно регулируется от 0 до 70 мм. Диаметр полюсных
цилиндрических сердечников 80 мм. Катушки электромагнита намотаны
проводом ПЭВ-2, диаметром 0,55 мм. Остов электромагнита и полюсные
20
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
наконечники изготовлены из железа “Армко”, что сводит к минимуму
явления гистерезиса. Параметры обмоток электромагнита ЭМ-1 сведены в
таблицу 1.
Рис. 6. Принципиальная электрическая схема лабораторного стенда
для исследования эффекта Холла
Таблица 1
Параметры обмоток электромагнита ЭМ-1
№ обмотки Секция Число витков Сопротивление постоянному току, Ом
1 1-2 8200 240 ± 5%
2-3 5200 220 ± 5%
2 4-5 2700 140 ± 5%
5-6 1400 75 ± 5%
• Питание электромагнита осуществляется универсальным источником
питания УИП-1. Поскольку индуктивность обмотки электромагнита
21
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
весьма велика, нельзя выключать УИП-1 или отсоединять электромагнит
от источника питания, не уменьшив плавно ток до нуля! В противном
случае может произойти пробой обмотки и/или несчастный случай.
• Образец закреплен в плексигласовой “капсуле”, помещенной между
полюсами электромагнита. К торцам образца прижаты два медных
токопроводящих контакта №1 и №4, а зонды №2, №3 и №5 представляют
собой вольфрамовые иглы. Размеры образца: длина / = 22,22 +0,05 мм,
ширина а = 4,45 ± 0,05 мм, толщина Ъ = 2,59 ± 0,05 мм. Расстояние между
зондами №2 и №5 d = 1,39 ± 0,02 мм.
• Пульт управления лабораторной установки представлен на рис. 7.
На панели расположены следующие переключатели и измерительные
приборы:
1. Тумблер BKi включает электрическую схему лабораторного стенда.
2. Переменный резистор Rr предназначен для установки тока 1уст,
текущего через образец.
3. Сила тока, текущего через эталонный резистор R3m и образец,
контролируется с помощью миллиамперметра mA, зашунтированного
22
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
сопротивлением R2 с целью расширения пределов измерения.
Поправочный коэффициент шунта кш =1,35. Действительная
величина тока, текущего через образец, равна
~ к-Дуст • (^4)
4. Переключатель ПК1 задает направление тока, текущего через образец,
на прямой 1д Т и обратный 1д 4 .
5. Переключатель ПК2 в нижнем положении подключает выводы для
измерения напряжения к зондам №1 и №4, что позволяет измерять
падение напряжения Vx на торцах образца. В верхнем положении ПК2
переключает схему в режим работы “ЗОНДЫ”. В этом режиме
задействован переключатель ПК4.
6. Переключатель ПК4 в нижнем положении подключает выводы для
измерения напряжения к зондам №2 и №3 (напряжение Vy), в верхнем
положении - к зондам №2 и №5 (напряжение Va ).
7. Переключатель ПК3 в верхнем положении подключает выводы для
измерения напряжений к зондам образца (при соответствующих
положениях переключателей ПК2 и ПК4), в нижнем положении - к
эталонному сопротивлению, имеющему сопротивление R3m = 5,1 Ом.
• Милливольтметр универсальный цифровой В7-16.
• Источник питания лабораторного стенда ЛИПСП-30.
Методика расчета и обработки результатов измерений
Измеряя с помощью милливольтметра падение напряжения Уэт на эталонном
резисторе R3m, можно вычислить эталонный ток, проходящий через эталонный
резистор и подаваемый на образец
1эт= —. (55)
дат? q \ ,/
^~эт
Падение напряжения на зондах №1 и №4 Vx позволяет найти сопротивление
образца
23
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Тогда удельное сопротивление и удельная электропроводность образца равны
1 „ ab К. ab ,с/-\
p=- = Ro6p — = -^—. (56)
(J I 1 /
По падению напряжения на зондах №2 и №5 Va можно найти удельное
сопротивление и удельную электропроводность образца между этими зондами,
аналогично формуле (56)
Р = ТУ (57)
(Т 1 д U
Чтобы найти коэффициент Холла R, можно воспользоваться выражением (18),
предполагая, что доминирует один тип носителей заряда
а по его знаку определить тип носителей.
При измерении холловской разности потенциалов VH необходимо иметь в
виду следующее: теоретически зонды №2 и №3 должны находиться в одной
эквипотенциальной плоскости. Если это не так, то даже в отсутствие
магнитного поля между зондами будет образовываться побочный потенциал Го.
Из-за различия в соотношениях VH и Го измеряемые в магнитном поле при
разных направлениях В потенциалы Vy могут быть или разных или одного
знака и, естественно, разных значений (для одного значения поля В_) из-за
4*0.
Если значения потенциала Vy для разных направлений магнитного поля
разного знака, то результирующее значение Vy (потенциал 4/) определяется
как полусумма модулей этих потенциалов:
ун = К + К| + |(~Ж|. (59)
Если же значения потенциалов Vy для разных направлений магнитного поля
одного знака (только “+” или только “-”), то результирующее значение vy
24
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
(потенциал Ун) определяется как полуразность модулей этих потенциалов:
VH = + ^^1 для каждого знака. (60)
Знак Ун определяется по знаку Уу для “прямых” направлений тока (“+”) и
магнитного поля “+” (справа - налево: “+” на “N”, на “S”).
Расчет удельных сопротивлений и электропроводностей по формулам (56) и
(57) должен приводить к одинаковым результатам, если мы предполагаем, что
образец однороден и нет других гальваномагнитных эффектов. Например, при
наличии градиента температур вдоль образца может возникнуть термо-ЭДС.
Для исключения эффектов, нечетных по знаку от направлений магнитного
поля, аналогично выражению (59) необходимо брать среднеарифметическое
для значений и Ух. Например,
() = К + )^| + |(~)^| (6 j )
для каждого направления тока 1д. Расчет удельных сопротивлений и удельных
электропроводностей с Va оказывается более предпочтительным, поскольку
температурные эффекты в этом случае выражены слабее.
Холловская подвижность может быть найдена, например, для
полупроводника p-типа согласно формулам (20), (36) и ар = еррр:
А А ррн
р Г-
ер а а
е---
ерр
Тогда, с учетом расчета а по формуле (57), имеем
= ГТр = а^н =d Ун 1
‘р" аЬ • В1д ь в •
Для того чтобы определить характер рассеяния носителей заряда и
соответственно Холл-фактор Л, магниторезистивный коэффициент Г,
необходимо определить, в каких полях наблюдается эффект Холла. Если,
согласно неравенствам (37), ррНВ. «1, то поля слабые. Анализируя изменения
р или о- в магнитных полях (по формулам (56) или (57)), найдем зависимость
(40)
25
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
лс7»-л'-’ /'I,,../;.)- у (64)
Угол наклона зависимости Ло-/о-0(в?) или |Лр/р0|(в?) определяет коэффициент
магнетосопротивления к±. С другой стороны, на основании формул (64) и (36)
(65)
РрН А !ЛР А
При рассеянии на акустических колебаниях решетки Г = 0,38, А = Зл-/8 и
/'/л2~ 0,2729, при рассеянии на ионах примеси Г = 2,15, 4 = 315л-/512 и
г/А2 « 0,5772. Следует, однако, отметить, что приведенные численные значения
приведены без учета влияния “легких” дырок и других типов носителей заряда.
Определив характер рассеяния носителей заряда (соответственно А и г),
легко найти подвижность и концентрацию носителей заряда по формулам (36)
и (20) (или (19)) соответственно.
Угол Холла может быть найден на основании формул (30), (63) или по
определению (21):
• (66)
Примечание. Все формулы в методическом пособии приведены в системе СИ.
Порядок выполнения работы
1. Установить соответствие экспериментального стенда с предложенной
схемой лабораторной установки.
2. Включить вольтметр В7-16. По истечении 15 ч- 20 мин установить “0”
прибора и произвести калибровку вольтметра в соответствии с
инструкцией по эксплуатации.
3. Установить переключатели лабораторного стенда в следующее положение:
ПК3 в положение “эталон”, ПК2 - Vx, 1д - прямой.
4. Вывести положение ручек ЛИПСП-30 в крайнее левое положение.
Включить ЛИПСП-30 и лабораторный стенд. При помощи ЛИПСП-30
установить требуемое значение тока 1уст. {Значения токов 1уст и их
количество задаются преподавателем.}
26
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
5. Изменяя положение переключателей ПКЬ ПК2, ПК3, ПК4 на основании
описанного выше их функционального назначения, с помощью вольтметра
В7-16 определить значения ¥эт, ¥х, ¥у, ¥а при разных направлениях тока
Iуст
Примечание. Заданное значение 1д (установленное по 1уст) лучше всего
контролировать по ¥эт. ¥эт должно оставаться неизменным в течение
всего хода измерений для данного значения 1д!
6. Включить источник питания УИП-1 и установить значение тока
электромагнита ЭМ-1 согласно табл. 2. Внимание! Ввиду большой
индуктивности катушек электромагнита и высоких значений
напряжений питания электромагнита включение УИП-1 и работа с
ЭМ-1 производится только преподавателем или лаборантом,
имеющим соответствующий допуск по электробезопасности.
7. Повторить и.5 для установленного значения и направления поля В.
8. Результаты измерений занести в табл. 2.
Таблица 2
Результаты измерений
Примерное значение тока 1уст, мА
Направление поля В ЭМ ? мА V3m, мВ мВ ¥у, мВ 17, мВ
Направление тока Направление тока Направление тока Направление тока
7 4 7 4 7 4 7 4
0 60 120 180 240 300 360
(-)V 0 60 120 180 240 300 360
27
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Обработка результатов измерений
9. Для каждого значения и направления тока 1уст, направления поля В
рассчитать значения токов 1эт, 1д (теоретически 1эт =1д). Для каждого
значения тока 1д рассчитать среднеарифметическое (Д) от разных
направлений поля В аналогично формуле (61) (для всех значений полей).
Определить суммарную погрешность 1д.
10. По измеренным полевым зависимостям ЭДС Холла построить график
зависимости Vy (В- ) для каждой комбинации: направление поля -
направление тока. Значения индукции магнитного поля В определяются
по калибровочной кривой В- (1ЭМ ), представленной на рис. 8.
11. Для каждого значения и направления тока 1д рассчитать напряжение
Холла VH по формулам (59), (60), среднеарифметическое для значений
и Д аналогично формуле (61).
12. Совместно с указанными в и. 10 кривыми построить график МП
Пояснить ход кривых и возможные различия между ними.
13. Рассчитать удельные сопротивления р (или электропроводности сг)
образца по формулам (56) и (57) для каждой комбинации: значение,
направление тока - направление поля. Рассчитать удельные сопротивления
р (или электропроводности о-) на основе среднеарифметических значений
(Н), (Выбор р или о- проводится по согласованию с
преподавателем.)
14. Построить полевые зависимости Асг/сг0(в?) или |Лр/р0|(в?) для каждого
значения тока 1д. Пояснить ход кривых и возможные различия между
Л(т/сто(^1) или |Лр/р0|(Д?) при расчете с (Н) и (1;).
15. Для каждого значения тока 1д рассчитать коэффициент Холла R по
формуле (58). Найти среднеарифметическое и погрешность R. Результат
представить в виде R = R + /±R. По знаку коэффициента Холла определить
тип носителей заряда.
28
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Рис. 8. Калибровочная кривая на электромагнит ЭМ-1
16. По формуле (63) рассчитать холловскую подвижность с учетом (Кст)
для каждого значения тока 1д. Вывести формулу и рассчитать для (Н-).
Сравнить результаты, оценить погрешность.
17. По формуле (66) рассчитать угол Холла <р с учетом (Кст) для каждого
значения тока 1д. Вывести формулу и рассчитать (р для (К). Сравнить
результаты, оценить погрешность.
18. По углу наклона зависимостей Ло-/о-0(в?) или |Лр/р0|(в?) (для (Кх) и
(Va)) определить коэффициент магнетосопротивления . Оценить
погрешность измерений.
19. На основании соотношения (65) определить характер рассеяния носителей
заряда. Объяснить причины возможного отклонения от приведенных там
числовых значений.
20. Найти подвижность и концентрацию носителей заряда по формулам (36) и
(20) (или (19)) соответственно. Определить погрешность, результат
записать в виде диапазона значений.
29
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
21. Все рассчитанные параметры R, /л, к±, концентрацию носителей заряда
сравнить с известными данными. Результаты расчетов занести в табл. 3 и
4.
Основные требования техники безопасности при выполнении работы
• В ходе выполнения работы необходимо соблюдать правила, изложенные в
инструкции по технике безопасности в лаборатории.
• Приступая к работе, проверить заземление приборов, питающихся от сети
переменного тока.
• При работе с электромагнитом соблюдать изложенные здесь требования.
КАТЕГОРИЧЕСКИ ЗАПРЕЩАЕТСЯ МЕНЯТЬ МЕСТАМИ ШТЫРЬКИ
ПРОВОДОВ ЭМ-1 В ГНЕЗДАХ УИП-1, ЕСЛИ ТОК НА УИП-1 НЕ
УМЕНЬШЕН ДО НУЛЯ!!!
• Запрещается прикасаться к неизолированным участкам цепи, находящимся
под напряжением.
• Запрещается оставлять включенную установку без присмотра.
• Перед работой снять браслеты, цепочки, кольца, перстни и другие
электропроводящие украшения.
Таблица 3
Полевая зависимость основных величин эффекта Холла
1д = (1д) ± Мд, мА
№ п/п Bz, Тл , мВ тл , мВ VH, мВ Р Ом см р (Ю), Ом см
Направление тока Направление тока Направление тока Направление тока Направление тока
Т 4 - Т 4 Т 4 Т 4 Т 4
1 2 3 4 5 6 7 ° 1
30
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Таблица 4
Параметры эффекта Холла и полупроводника
R, см3 Кл AR, з см Кл Вн > см2 Вс ^Вн > см2 Вс Гс~2 Ак±, Гс~2 п (Р), см~3 Кп (4?), см~3 <р,° А^,0 Тип носителей Г п . Характер рассеяния (акуст.. ион.)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем состоит суть явления, получившего название “эффект Холла”?
Какие величины характеризуют этот эффект. Какие еще
гальваномагнитные явления существуют? Охарактеризуйте каждое из них.
2. Циклотронная частота в вакууме и твердом теле. Что означают термины
“сильное магнитное поле”, “слабое магнитное поле”?
3. Выведите формулу для коэффициента Холла в случае примесной
проводимости.
4. Выведите формулу для коэффициента Холла в случае смешанной
проводимости. Найдите частный случай для собственного
полупроводника.
5. Магниторезистивный эффект. Слабые магнитные поля.
6. Магниторезистивный эффект. Сильные магнитные поля.
7. Магниторезистивный эффект в случае смешанной проводимости. Легкие и
тяжелые дырки.
8. Покажите, что в слабом магнитном поле в линейном приближении
сопротивление полупроводника не меняется.
9. Методы измерения эффекта Холла на образцах разной формы. Метод Ван-
дер-Пау.
31
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зеегер К. Физика полупроводников. М.: Мир, 1977. 616 с.
2. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. М.: Высш, шк.,
1977. 448 с.
3. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергия, 1976. 416 с.
4. Киреев П.С. Физика полупроводников. М.: Высш, шк., 1975. 584 с.
5. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука,
1977. 672 с.
6. Кучис Е.В. Методы исследования эффекта Холла. М.: Сов. радио, 1974.
328 с.
7. Смит Р. Полупроводники. М.: Мир, 1982. 560 с.
8. Вейсс Р. Физика твердого тела. М.: Атомиздат, 1968. 456 с.
32
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
СОДЕРЖАНИЕ
Введение....................................................3
§ 1. Движение носителей заряда в постоянном магнитном и электрическом
поле. Циклотронный резонанс..............................3
1.1. Слабые и сильные магнитные поля.....................5
Е2. Движение носителей заряда в скрещенных постоянных
электрическом и магнитном полях.....................6
§2. Эффект Холла и поперечное магнетосопротивление..........8
2.1. Эффект Холла в полупроводниках со смешанной
электропроводностью.....................................10
2.2. Магниторезистивный эффект..........................14
2.3. Магниторезистивный эффект в случае смешанной проводимости. 18
Методика и оборудование для проведения измерений...........20
Контрольные вопросы........................................31
Список рекомендуемой литературы............................32
33
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Составители:
ИЗУЧЕНИЕ ЭФ
МАГНЕТОСОПРО
ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Петр Николаевич Крылов
Александр Сергеевич Алалыкин
Ришат Галеевич Валеев
А ХОЛЛА И ПОПЕРЕЧНОГО
Методическое пособие к лабораторной работе
Подписано в печать 04.09.06 Формат 60 х 84
Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,09 Уч.-изд. л. 1,73.
Тираж 50 экз. Заказ №1857
Редакционно-издательский отдел УдГУ.
Типография ГОУ ВПО “Удмуртский госуниверситет”.
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, кори.4.
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Изучение эффекта Холла и поперечного магнетосопротивления в полупроводниках