Н. С. Работнов
ЛАРЧИК
МОЖНО НЕ ОТКРЫВАТЬ

К С. Работнов
ЛАРЧИК
МОЖНО НЕ ОТКРЫВАТЬ
Квантовый I Полвека
туннельный загадок
эффект I и открытий
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
1983

ББК 22.314
Р 13
УДК 530.145
Рецензент Ю. В. Конобеев
Работнов Н. С.
13 Ларчик можно не открывать: Квантовый
туннельный эффект. Полвека загадок и открытий.—
М.: Энергоатомиздат, 1983.— 168 с, табл., ил.
30 к.
В научно-популярной форме раскрыта физическая сущность
квантового туннельного эффекта, рассказана история его обнаружения и
теоретического объяснения, приведены примеры его разнообразного
использования в науке и технике. Используемые при этом элементы
математического аппарата квантовой механики изложены на
доступном для неспециалистов уровне.
Для инженеров и техников, желающих расширить свой кругозор,
а также для выпускников средних школ, студентов, преподавателей.
л 1704070000-096 ББК 22.314
р 264-83
051(01)-83 530.1
Николай Семенович Работнов
ЛАРЧИК МОЖНО НЕ ОТКРЫВАТЬ
КВАНТОВЫЙ ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
ПОЛВЕКА ЗАГАДОК И ОТКРЫТИЙ
Редактор Е. В. Сатарова
Обложка и заставки художника В. Н. Забайрова
Технический редактор О. Н. Лдаскина
Корректор М. Г. Гулина
ИБ № 588
Сдано в набор 27.10.82. Подписано в печать 17.01 83. Т-02840. Формат
84Х108'/з2. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 8,82. Усл. кр.-отт. 9,03. Уч.-изд. л. 9,64. Тираж
60 000 экз. Заказ № 271. Цена 30 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Владимирская типография «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
© Энергоатомиздат, 1983

ПРЕДИСЛОВИЕ
Когда закончится двадцатый век, люди захотят дать
ему краткую характеристику и станут вспоминать
крупнейшие научно-технические достижения. Девятнадцатый
был назван веком пара и электричества, а двадцатый —
век атомной энергии? Электроники? Авиации?
Спутников? А может быть, и других достижений — ведь он еще
не кончился.
Но, пожалуй, какие бы открытия ни состоялись в
восьмидесятые и девяностые годы, физик будущего,
оглядываясь на наше столетие, назовет его веком
квантовой механики.
Начнем с того, что она почти ровесница столетия —
старше его всего на две недели. Уходящий
девятнадцатый кроме пара и электричества к моменту передачи
эстафеты уже имел на своем счету открытие
рентгеновского излучения (1895), радиоактивности (1896),
электрона (1897) и радия (1898), а под занавес успел сказать
«а» и в вопросе о квантах. Сказано это было устами
Макса Планка на заседании Немецкого физического
общества 16 декабря 1900 г. На фоне только что
перечисленных блестящих экспериментальных достижений,
взбудораживших весь ученый — и не только ученый —
мир, скромное сообщение теоретика о квантах осталось
надолго почти незамеченным. Кстати, ученый мир тогда
был невелик — на рубеже двух веков во всех странах
насчитывалось около четырехсот физиков, разбросанных по
десяткам университетов. Но открытие Планка, как
сказал позже Нильс Бор, «выявило в законах природы
черту атомистичности, которая выходит далеко за пределы
старого учения об ограниченной делимости материи»,
резко разграничило классическую и квантовую физику.
Поначалу факты, противоречащие привычным
представлениям, казались недоразумением, досадной
мелочью. С чем; только их ни сравнивали — и с бельмом на
1*
з

глазу классической физики, и с облачком на ее ясном
горизонте. Как написал позже один из создателей теории
сверхпроводимости Л. Купер, ситуация напоминала ту
известную позицию «игры в пятнадцать», когда
остается поменять местами последние две фишки, и готово, но
сделать это почему-то не удается никому.
Часто говорят, что гипотеза квантов вывела физику
из тупика. Но для того чтобы поезд науки направился
по новому пути, недостаточно оказалось просто
перевести стрелку. Развивая железнодорожную аналогию,
можно сказать, что потребовалось перейти на новую, более
широкую, колею, сменить локомотив да еще и пересесть
в другие вагоны, казавшиеся поначалу весьма
неудобными.
В первое десятилетие нашего века немногие
представляли себе важность и глубину происходящих
перемен. Известный английский физик С. Ф. Пауэлл в своей
статье для сборника «Будущее науки», опубликованной
в семидесятые годы, писал: «Недавно я вспоминал
поразительное замечание, сделанное Лениным в 1908 году в
книге «Материализм и эмпириокритицизм», когда
электрон был единственной известной элементарной частицей.
В то время, когда весь научный мир считал, что
существуют лишь постоянные неизменяемые частицы, Ленин
сказал, что электрон неисчерпаем».
Суть переворота, произошедшего далеко не сразу,
заключалась в следующем: «Понятие вероятности в
физике, первоначально введенное как печальная
необходимость, продиктованная ограниченными возможностями
людей оперировать со слишком большим числом данных,
оказалось заложенным в самом фундаменте здания
физики». Приведенную цитату, подражая «Литературной
газете», можно назвать повестью, состоящей из одного
названия. Это длинный заголовок раздела в книге
Ф. Кемпфера «Путь в современную физику».
Подрывались очень глубокие устои. До тех пор лап-
ласовское «Дайте мне граничные условия, и я полностью
предскажу будущее» звучало не менее гордо, чемч
архимедовское «Дайте мне точку опоры, и я переверну
Землю». Уверенность в том, что при соверщенно одинаковых
условиях происходят только совершенно одинаковые
события, казалась прочно утвердившейся основой
научного миропонимания, фундаментом науки.
Перестройка этого фундамента на основе новых тео-
4

ретических представлений продолжалась около
тридцати лет параллельно с каскадом поразительных
экспериментальных открытий, из которых важнейшим,
несомненно, являлось обнаружение Э. Резерфордом
существования атомного ядра. Были объяснены также
огромная совокупность атомных и молекулярных
явлений, свойства кристаллов и электромагнитного
излучения.
Недостатка в кажущихся парадоксах в процессе
становления квантовой механики не было. Однако явление,
о котором пойдет речь в нашей книге, пожалуй, резче
других противоречит классическим представлениям.
Возможно, именно поэтому оно было замечено, объяснено и
использовано позже прочих — на рубеже тридцатых
годов. Но, в то же время, к моменту обнаружения
квантового туннельного эффекта новая «волновая механика»
уже царила в теоретической физике микромира, поэтому
представление о материальных частицах, проникающих
сквозь непроницаемые по всем старым понятиям
перегородки, прижилось без особой борьбы. Чтобы узнать, что
спрятано в «квантовом ларчике», не обязательно его
открывать. Спрятанное само рано или поздно «выплывет»
наружу — в этом, образно говоря, суть туннельного
эффекта.
Задержка с его обнаружением связана, конечно, и со
сравнительной редкостью, затрудненностью протекания
обусловленных этим эффектом процессов. Зато
квантовое туннелирование во многих случаях является
буквально «выходом из безвыходного положения», этюдным
ходом природы, позволяющим добиться, казалось бы,
недостижимых целей.
В некотором смысле можно сказать, что жизнь на
Земле существует благодаря туннельному эффекту,
поскольку ядерные реакции на Солнце, снабжающие нас
энергией, идут за счет туннелирования. Это самый
крупномасштабный пример. На другом краю шкалы
размеров находятся крохотные туннельные диоды и атомные
батарейки. Вместе со сверхпроводимостью туннельный
эффект используется в гальванометрах Джозефсона для
регистрации и измерения неуловимых прежде токов, для
определения с рекордной точностью фундаментальных
физических постоянных. Об этих и многих других
следствиях существования квантовых туннелей будет
рассказало ниже.
5

Автор стремился к доступности изложения и
привлекал сведения, способствующие некоторому его
оживлению, но речь пойдет о явлениях весьма сложной
физической природы. Эта книга не годится для
развлекательного чтения — она не только о физике, но и по физике.
Она написана для молодых людей, интересующихся
современным состоянием этой науки и приступающих или
готовящихся приступить к ее серьезному изучению, она
для специалистов смежных областей, желающих
расширить свой кругозор, и преподавателей. Не исключено,
что и физик найдет в ней что-то для себя новое,
поскольку при выборе материала автор руководствовался
мнением одного из корифеев науки прошлого века Джеймса
Максвелла, чьи труды читаются с живым интересом и
до сих пор: «Нет лучшего метода сообщения уму
знаний, чем метод преподнесения их в возможно более
разнообразных формах».
Н, Работное

Глава первая
МОЛОДЫЕ НАСЛЕДНИКИ СТАРЫХ ПОНЯТИЙ
лова живучи. Это относится и к обыденной
речи, и к научной терминологии.
Совершенно новое явление, не укладывающееся в
известные рамки и непривычное, надо как-то
назвать — и изобретение новых слов не
всегда помогает. Хотя к услугам создателей
квантовой механики был широкий выбор
латинских и греческих корней, они воспользовались
простыми словами «волна» и «частица», которые пережили
научный переворот, лишивший их старого содержания.
Процитируем еще раз Максвелла: «Обороты речи и
мышления, с помощью которых мы переносили
терминологию знакомой нам науки в область науки, менее нам
знакомой, можно назвать «научными метафорами».
Согласно одному из энциклопедических определений
«метафора—употребление слов... в переносном смысле,
за счет перенесения на данное явление характерных
признаков другого явления. Она может быть сжата до
одного слова («расцвет...») или развернута
(«прохладной влагой синей ночи костер волненья залила», А. Блок)
или даже распространена на все произведение («Телега
жизни», стихотворение А. С. Пушкина). Метафора —
одно из сильнейших изобразительных средств языка».
Слова «волна» и «частица» и стали по существу
научными метафорами.
При рождении новых научных понятий чаще всего
происходит одно из двух. Либо, умирая, старое понятие
порождает несколько новых, и каждый из юных
наследников наделяется частью родительских свойств, либо,
наоборот, несколько старых почтенных понятий, иногда
кажущихся несовместимыми, сливаясь, рождают одно,
но зато весьма широкое, богатое.
Известный пример первого рода дала теория
относительности. В доэйнштейновской физике было понятие
7

массы — измеримой, сохраняющейся величины, не
зависящей от скорости частицы. В теории относительности у
него оказалось два наследника: масса покоя то —
постоянная, характеризующая частицу, и т —
релятивистская масса, зависящая от скорости, пропорциональная
полной энергии и сохраняющаяся при
взаимопревращениях частиц.
Квантовая механика основана на синтезе, слиянии
двух представлений. Они казались
взаимоисключающими: волна и частица. Частица — малое, а в идеале
точечное материальное образование, перемещающееся в
пространстве по строго определенным, хотя иногда и
сложным, извилистым траекториям. Волна —
колебательное, периодическое движение сплошных сред и
полей, непрерывных, протяженных, занимающих большой
объем, а в идеале все пространство.
Казалось бы, эти идеализированные описания
относились и всегда будут относиться только к совершенно
разным реальным физическим объектам, области
применения этих понятий никогда не пересекутся. Атом,
понятно, является частицей, корпускулой, так же как
брошенный мяч или обращающаяся вокруг Солнца планета.
А свет, ясное дело — волна, как и звук, как и океанский
прибой.
Первым начал «торчать» из этой гладкой,
благополучной картины свет, и заметил это Плачк. Для
устранения резкого, необъяснимого противоречия выводов
чисто волновой теории излучения с наблюдаемыми
спектрами нагретых тел ему пришлось постулировать порци-
онность, дискретность света, разбить его на «кванты»
(«количества»), обладающие определенной энергией.
Напомним, что длина волны к, частота v и скорость света с
по определению связаны соотношением
c = kv. (1.1)
Оказалось, что энергия светового кванта Е связана с
частотой v той же простейшей функциональной
зависимостью — прямой пропорциональностью:
£ = Av. (1.2)
Коэффициент пропорциональности h называют
постоянной Планка, Она очень знаменита. В физике еще,
пожалуй, лишь две константы пользуются столь же широкой
и столь же заслуженной известностью: это заряд элект-
8

рона с и скорость света с, и в знак уважения к ним мы
выпишем их числовые значения с известной к
настоящему времени точностью, добавив к ним еще массу покоя
электрона:
А = 6,626176- 1(Г34Дж.С; е= 1,6021892-10""19 Кл;
с = 299792458 м/с; те - 0,9109534-10~30 кг.
Величина h была названа квантом действия.
Действием в классической механике называют величину,
имеющую размерность произведения энергии на время и
измеряемую (в СИ) в единицах кг-м2-с~л. Она играет
очень большую роль в выводе основных уравнений
механики, но непосредственно в приложениях используется
гораздо реже, чем, скажем, энергия. Ту же размерность,
что и действие, имеют момент количества движения и
произведение импульса на координату. Упрощая, можно
сказать, что в квантовой механике дискретные,
«порционные» значения, состоящие из целого числа квантов /?,
принимают все величины размерности действия.
Исторически первой величиной,' у которой такое свойство
дискретности было обнаружено, оказался коэффициент
пропорциональности между энергией и частотой
светового излучения.
На представлении о корпускулярных свойствах света
основана квантовая теория фотоэффекта. Впервые его
наблюдал в 1887 году Г. Герц, а основные
закономерности были количественно исследованы в следующем году
великим русским физиком А. Г. Столетовым. Объяснены
они были лишь почти через двадцать лет Альбертом
Эйнштейном. Суть эффекта согласно его объяснению
оказалась в том, что световые волны — интерферирующие,
дифрагирующие , преломляющиеся в оптических
устройствах световые волны — соударялись с отдельными
электронами, как материальные точки, и поглощались
целиком. Смысл своей теории фотоэффекта как
существенного дополнения идеи Планка о порционном испускании
света сам Эйнштейн описывал следующим образом:
«Если пиво всегда продается в бутылках, содержащих
пинту, отсюда вовсе не следует, что пиво состоит из
неделимых tiaeteft, равных пинте». Свет же, оказалось,
действительно состоял из неделимых частей, которые атом мог
«глбтать только целиком».
Итак, корпускулярные свойства света с особой на-
9

глядностью проявились в квантовой теории
фотоэффекта. «С особой наглядностью...» Легко писать такое
спустя семьдесят пять лет. Наглядно лишь привычное. «В
моей молодости уравнения Максвелла, особенно для
физиков старшего поколения, казались чем-то
совершенно не наглядным и чисто математическим. Сегодня
каждый электротехник оперирует понятиями полей и пучков
силовых линий... Учение Коперника первоначально
представлялось крайне малонаглядным, однако сегодня оно
вошло в нашу плоть и кровь»,— так писал Арнольд Зом-
мерфельд, выдающийся теоретик классической школы,
сразу поверивший в квантовую теорию и много
сделавший для ее развития. Но ведь новый корпускулярный
взгляд на природу света был лишь очередным витком
диалектической спирали, возвратом на новом уровне к
ньютоновским представлениям. А вот, когда в 1924 году
Луи де Бройль написал соотношение, связывающее с
каждой частицей длину волны:
% = hftnv, (1.3)
состояние физиков можно было сравнить с шоком. В этом
выражении m — масса частицы; v — ее скорость; h —
та же самая постоянная Планка, которая связывает
энергию светового кванта (его стали называть фотоном)
с частотой! А еще через два года Эрвин Шрёдингер
написал для частиц волновое уравнение...
Однако мы перескочили через очень важное в
развитии квантовой механики двадцатилетие. О нем
необходимо кратко рассказать.
Физиков и химиков уже давно интриговала одинаковость и
устойчивость атомов, из которых состоят химические элементы.
Правда, пока никто толком не знал, что такое атом, эти свойства не очень
беспокоили ученых. Но вот открыли электроны, и стало ясно, что
они в атоме есть. Появилась и приобрела популярность «пудинго-
вая» модель Дж. Дж. Томсона, согласно которой отрицательные
электроны, как изюминки в тесте, распределены в некоем жидком
положительно заряженном веществе и скорее всего там покоятся,
потому что двигаться в ограниченном объеме, не излучая
электромагнитных волн и не теряя энергию, они не могут. Этот вывод
вытекал из электродинамики Максвелла, все следствия которой до тех
пор с блеском подтверждались. Но в 1911 году Резерфорд
обнаружил, что весь положительный заряд атома сконцентрирован в
крошечном ядре, диаметр которого в тысячи раз меньше диаметра все-
10

го атома. Возникшую картину сравнивали с мешком сена, в котором
спрятан крошечный кусочек платины. Помощникам Резерфорда
Гейгеру и Марсдену пришлось провести многие недели в полной
темноте, считая на люминесцирующих экранчиках слабые вспышки
а-частиц, рассеянных атомами медной фольги. Они насчитали около
двух миллионов (!) актов рассеяния этих частиц на разные углы,
и эти данные неопровержимо свидетельствовали: о «пудинге» не
может быть и речи. Резерфорд предложил новую модель: атом
подобен планетарной системе, где вокруг ядра-Солнца вращаются
электроны.
Но не могут они вращаться. При движении по кругу они
должны излучать! Замедляться!! Падать!!! А вместо этого —
неслыханная стабильность. Вернер Гейзенберг, один из тех, кто придал
квантовой механике ее теперешний стройный вид, позже написал об
этой стабильности: «Никакая планетная система, которая
подчиняется законам механики Ньютона, никогда после столкновения с
другой системой не возвратится в исходное состояние. В то время как,
например, атом углерода остается атомом углерода и после
столкновения с другими атомами». И живет, добавим, сколько угодно,
совершенно не меняя своих свойств. А среди этих свойств были
тоже по-своему странные. Выдающийся советский физик-теоретик
академик В. А. Фок писал: «Атом водорода состоит из тяжелого ядра
и одного электрона. Такой системе из двух зарядов невозможно
приписать по классическим представлениям состояние, которое
обладало бы сферической симметрией. Между тем, мы знаем, что в
основном состоянии атом водорода обладает сферической
симметрией». Это подтверждается его поведением при столкновениях с
другими атомами.
Вообще, к началу нашего века об атомах знали немало. Давно
была создана Д И Менделеевым периодическая система элементов,
которая навела удивительный, но непонятный сначала порядок в
хаосе их химических свойств. Имелись богатейшие данные по
оптическим спектрам испускания и поглощения атомами светового
излучения.
Тут уместно вспомнить старую историю, служащую
эффектной иллюстрацией поговорки «Не было бы счастья, да несчастье
помогло». Юный ученик шлифовальщика оптических стекол
австриец Иосиф Фраунгофер был засыпан обломками внезапно
рухнувшего дома своего хозяина. Начались спасательные работы. Мимо руин
проезжал наследный принц, когда из-под них извлекли живого и
невредимого мальчика. Все было как в сказке. Чудом спасенному
принц пожаловал значительную сумму денег, тот откупился от
хозяина, сам стал прекрасным шлифовальщиком и великим оптиком.
В 1815 году он обнаружил в сплошном солнечном спектре узкие
11

темные полосы — фраунгоферовы линии; а 44 roia спустя Г.
Кирхгоф и Р. Бунзен показали, что они прекрасно совпадают с яркими
линиями в спектрах, испускаемых накаленными газами и парами
различных веществ в земных условиях. Так родилась оптическая
спектроскопия, которая стала на долгое время точнейшим способом
исследования атомных свойств. Линейчатые спектры оказались
строго индивидуальными для каждого элемента и очень слабо
зависели от внешних условий. При этом длины волн, соответствующие
некоторым спектральным линиям данного элемента, укладывались в
серии, хорошо описываемые простыми формулами типа
^ = Я(1М2 —1/т2), (1.4)
где пит — целые числа; R — постоянная. Эти серии получили
имена их открывателей: Лаймана, Бальмера, Пашена, Фаулера, Пч-
керинга и др
Вообще, если начать считать шаги, приведшие к современным
квантовым теориям строения вещества, то их окажется не так уж
много, даже если считать шаги, сделанные вперед и назад.
Демокрит в глубокой древности предположил, что делимость материи
ограничена, и придумал само слово «атом» — «неделимый». Пожалуй,
можно сказать, что Аристотель задавил эту идею своим авторитетом
почти на две тысячи лет, и вернулись к ней только во времена
Ньютона. Следующими шагами были: открытие броуновского
движения в начале девятнадцатого века и выдвинутое Дальтоном
понятие о химическом элементе. Размеры атомов оценивались
М. В. Ломоносовым и Б. Франклином, но слишком неточно, а
правильное значение удалось определить австрийцу И. Лошмидту в
1865 году. Примерно к тому же времени относятся открытие
Д. И. Менделеевым периодического закона и развитие оптической
спектроскопии. Вот, пожалуй, и все.
Итак, к 1912 году об атомах были известны
следующие фундаментальные факты: номер элемента в
периодической системе равен положительному заряду ядра, в
котором сконцентрирована почти вся масса атома;
электроны находятся в стабильном движении и не падают на
ядро; излучение света атомом происходит порциями-
квантами, энергия и частота которых связаны формулой
Планка; частоты характеристических линий по простому
закону формируют серии.
Молодой стажер в лаборатории Резерфорда
датчанин Нильс Бор связал воедино все эти закономерности,
опубликовав в 1913 году серию из трех статей «О
строении атомов и молекул». Через пятьдесят лет его великая
трилогия была переиздана в Дании отдельной книжкой
12

с большой вводной статьей, написанной многолетним
сотрудником Бора профессором Л. Розенфельдом, где
вспоминаются обстоятельства этого открытия: «Бор
приехал в Манчестер в середине января 1912 года с
определенными надеждами, но трезвым взглядом на вещи. Его
пребывание в Кембридже было для серьезного и
искреннего юноши источником горького разочарования.
Отдавая себе отчет в важности своих идей, воплощенных в
диссертации об электронной теории металлов, он тщетно
пытался привлечь к ним внимание кембриджских
физиков. Дж. Дж. Томсон быстро потерял интерес к
предмету, не испытав удовольствия от того, что юный
чужестранец указал на некоторые его ошибки, да и Джине без
особого энтузиазма реагировал на критику его взглядов
по проблеме излучения твердого тела. Кембриджское
философское общество сочло английский вариант
диссертации слишком длинным и дорогим для публикации».
В сентябре 1913 года, после полутора лет
напряженной работы, Бор выступил с докладом о своих новых
результатах в Бирмингеме на заседании Британской
ассоциации содействия развитию науки, где присутствовали
корифеи классической физики: Рэлей, Лоренц, Томсон,
Джине, Рамзай.
Розенфельд назвал «смелым до скандальности»
основное предположение Бора — что частота испускания и
поглощения света атомами не совпадает ни с одной из
собственных частот движения электронов внутри атома.
Согласно постулату Бора в каждом атоме существуют
наборы стационарных орбит, по которым — и только по
ним!—электроны могут двигаться, не излучая. Радиусы
этих орбит определяются простым соотношением
mvnrn = nh/2n, (1.5)
где п — целое число; гп — радиус л-й орбиты; vn —
скорость; величину А/2я принято обозначать %, в
дальнейшем мы тоже будем придерживаться этого обозначения.
Доклад был принят кембриджскими патриархами
прохладно. Доказательства и умозаключения на
основании косвенных данных, как едко отметил Розенфельд,
были не в традициях британской науки. Лорд Рэлей
ограничился замечанием, что люди, коим за шестьдесят,
не должны высказывать суждения о новых идеях. По-
видимому, единственным, кто в то время активно иод-
13

держал Бора, был бирмингемский математик С. Мак-
Ларен. (Его безвременная гибель на фронте в 1916
году— он был всего на девять лет старше Бора —
оборвала блестяще начатую работу над фундаментальными
проблемами науки того времени.)
Но с публикацией статей в «Философикал мэгэзин»,
весьма убедительных и подробных, положение
изменилось, и одним из первых признал значение переворота,
произведенного этими работами, Джине. Он написал:
«Д-р Бор дал в высшей степени остроумное,
плодотворное и — я думаю, следует добавить — убедительное
объяснение закономерностей в спектральных линиях,». Да и
деваться, так сказать, было некуда. Сам Бор писал
впоследствии: «Только существование кванта действия h
препятствует слиянию электронов с ядрами в
нейтральную частицу практически бесконечно малого размера...
Только оно дало полное объяснение замечательным
зависимостям между физическими и химическими
свойствами элементов — зависимостям, выраженным в
знаменитой таблице Менделеева».
Сильнейшее впечатление на физиков произвело
объяснение серии Бальмера и вычисление постоянной
Ридберга. Очень смелым и неожиданным было
предположение Бора, что серии Пикеринга и Фаулера
принадлежат гелию, и оно было очень быстро подтверждено
экспериментально сотрудником лаборатории Резерфорда
Эвансом. В сентябре 1913 года Эйнштейн узнал,
встретившись в Вене с венгерским физиком Хевеши, об этой
экспериментальной проверке теории Бора. Как
вспоминает Хевеши, Эйнштейн был потрясен — частота света
совершенно не зависит от электронной частоты:
«Большие глаза Эйнштейна стали еще больше, и он сказал
мне: «Тогда это одно из величайших открытий».
Следует заметить, что задолго до Бора и даже до
открытия Резерфордом ядра высказывались мысли о
строении атома, отличные от томсоновских. Еще в
1901 году Ф. Перрен упоминал в своих лекциях о
возможной «ядерно-планетарной» структуре атома. В
1904 году японец Нагаока предложил модель атома, в
которой центральную положительную частицу окружало
кольцо электронов, движущихся с одинаковой угловой
скоростью. Эта картинка более походила на Сатурн с
его кольцами, чем на солнечную систему, она так ц была
названа «сатурноподобным атомом», Резерфорд в своей
14

работе ссылается на Нагаоку, который, кстати, прибли*
зительно во время открытия ядра путешествовал по
Европе и посетил Манчестер. Английский астрофизик из
Оксфорда Дж. Никольсон в 1911—1912 годах построил
свою модель атома для объяснения нескольких
непонятных линий в спектрах туманностей. В этой модели
электроны, движущиеся по плоским орбитам, излучали за
счет колебаний в направлениях, перпендикулярных
плоскости орбиты.
Однако эти модели объясняли лишь частности и
довольно резко противоречили остальной массе
экспериментальных фактов. Никольсону пришлось ввести два
новых «элемента»: небулий и протофтор с дробными
атомными массами 1,3 и 2,1, а для получения
количественного согласия с наблюдаемыми частотами использовать
значение постоянной Планка, заметно отличавшееся от
общепринятого.
Теория Бора, напротив, была стройной и объясняла
многие свойства атомов. К тому же открытие Резерфор-
да помогло Бору четко осознать различие между
явлениями атомного и ядерного уровней. До этого, например,
все, кто пытался рассмотреть планетарные модели
атома, считали, что электроны при (S-излучении
«срываются» с атомных орбит. Теперь все указывало на то, что
они вылетают из ядра. Бор приветствовал ядерную
модель Резерфорда еще и потому, что следующая из нее
неустойчивость по отношению к испусканию
электромагнитного излучения до предела обостряла противоречие с
наблюдаемой устойчивостью атомной и молекулярной
структуры. Эта устойчивость была просто
неопровержимым экспериментальным фактом, фундаментом, с
которого можно было начинать новую постройку, не
оглядываясь на старое.
В год публикации работ Бора немецкие физики
Франк и Герц открыли новый способ возбуждения
атомов. Он в корне отличался от обычно применявшегося
способа нагревания веществ до высоких температур и
очень хорошо согласовался с теорией Бора. Этот
метод — бомбардировка ускоренными электронами,
энергия которых квантовыми порциями передавалась
атомным электронам и «перебрасывала» их с нижних орбит
на верхние; возвращаясь обратно, электроны излучали
световые кванты. Энергию бомбардирующих электронов
можно было измерять и фиксировать очень точно, что
15

Рис 1 Графические модели
атома (а — Резерфорда; б —
Бора; в—Зоммерфельда) и
современная эмблема атома (г)
открыло новые заманчивые
спектроскопические
возможности.
С работ Бора 1913 года
началась теоретическая
атомная физика, да,
пожалуй, и теоретическая
химия— уже через год В. Кос-
сель предложил квантовую
теорию валентности. Сама
модель Бора была
существенно развита Зоммерфель-
дом. Он изучил
расщепление спектральных линий,
обнаруженное с помощью
приборов большой
разрешающей способности, и кроме
боровских стационарных
орбит рассмотрел также «прецессирующие» орбиты,
которые при движении по ним электрона сами медленно
вращаются в разных плоскостях.
В краткой статье «Символ века. Атом» в журнале
«Юный художник» историк В. Похлебкин приводит три
графических модели атома, соответствующих
представлениям Резерфорда, Бора и Зоммерфельда, а также
художественную эмблему, употребительную в настоящее
время (рис. 1). Он пишет: «В конце 60-х —начале 70-х
юдов эмблема «мирного атома» приходит в советскую
эмблематику. Благодаря своей графической
лаконичности она становится составной частью сложных эмблем*
значков различных институтов, обществ, связанных с
изучением проблем атомной физики и энергетики. Новая
эмблема широко используется и в советской городской
геральдике при создании гербов городов науки...
Сегодня ее можно увидеть... на спасательных кругах
атомоходов «Ленин» и «Арктика»... Обратите внимание на
рисунки. В то время как научные модели атома
невыразительны, бледны, чертежны, эмблема атома проста,
элегантна, красива и хорошо запоминается».
Действительно, обратите внимание на рисунки.
Именно эти «невыразительные, бледные, чертежные»
завитушки Резерфорд, Бор и Зоммерфельд постоянно рисовали в
тексте и на полях своих рукописей. Подлинное содержа-
16

ние их работ неизмеримо сложнее, но рисуночки,
наверное, помогали им в чем-то. Может быть, они помогут вам,
наши читатели. А эмблема — согласимся с «Юным
художником»— действительно элегантнее.
Однако были не только успехи, начались и трудности. Вернее,
они были с самого начала, и Бор не закрывал на них глаза.
Прежде всего, сам постулат квантования, сформулированный следующим
образом: «Момент количества движения электрона, обращающегося
вокруг атомного ядра, может принимать лишь значения, кратные
постоянной Планка», — ниоткуда не следовал. Он был чистой
догадкой, оправданной в определенных рамках лишь до тех пор, пока
следствия из него согласовались с экспериментом. Оставалось
непонятным, например, почему поле ядра действует на электрон,
удерживая его на орбите, а поле самого электрона как бы бездействует,
не испуская при его вращении по орбите положенных по
электродинамическим законам волн. Не объяснялась и двойственная
природа света (корпускулярно-волновой дуализм), к тому времени
твердо установленная. Кроме того, стало понятно только положение
спектральных линий — но не их интенсивность и яркость, потому
что механизма самого перехода с одной орбиты на другую модель
Бора не раскрывала. И были детали в спектрах (например, так на*
зываемые дублеты — очень близкие парные линии), не находившие
объяснения ни в теории Бора, ни в уточняющей ее теории Зоммер-
фельда. В некоторых случаях при истолковании спектров молекул
теория приводила к совершенно определенным, но ошибочным
выводам.
Теория Бора дала экспериментальным исследованиям
структуры атома мощный побудительный импульс, но вскоре разразилась
первая мировая война. Во враждующих армиях по разные стороны
фронта сражались ученики Резерфорда Гейгер и Марсден. Погиб
в бою англичанин Мак-Ларен, оказавший Бору на ранних этапах его
работы столь ценную поддержку. Но на Эйфелевой башне в
Париже уже стучал ключом молодой военный радиотелеграфист Луи де
Бройль. Об этом имени, которое пока встречалось не на страницах
научных изданий, а в европейских геральдических справочниках
(по крови он был французским герцогом и немецким принцем),
физикам вскоре предстояло услышать.
С окончанием войны и теоретические и экспериментальные
результаты первостепенного значения не заставили себя ждать
Некоторые из них подтверждали теорию Бора, как, например, опыты
О. Штерна и В. Герлаха. Они доказали реальность введенного
Зоммерфельдом «пространственного квантования», т. е. расположение
атомных орбит в различных плоскостях и их прецеесирование. На
2—271
17

основании' своих взглядов Бор сумел детализировать предсказания
менделеевской систематики, что привело к открытию В. Костером й
Д. Хевеши в 1922 году нового элемента, гафния. Он был назван так
по древнему имени датской столицы, родного города Нильса Бора.
Открытие гафния произошло за несколько недель до вручения Бору
Нобелевской премии, и в своей лауреатской лекции он уже мог
упомянуть о новом эффектном подтверждении квантовой теории.
Другие работы существенно дополняли боровские постулаты.
Так, Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, исследуя расщепление
спектральных линий в магнитном поле, пришли к предположению, что у
электрона помимо орбитального момента имеется и собственный (волч-
ковый, «спиновый») момент количества движения и связанный с ним
магнитный момент. Молодой швейцарский физик Вольфганг Паули
выдвинул свой знаменитый теоретический принцип («запрет Паули»),
согласно которому на одной атомной орбите могут одновременно
находиться не больше двух электронов, и то лишь в том случае,
если их собственные моменты, «сйины», направлены в разные
стороны. Принцип Паули оказался столь же, если не более,
универсальным, как и правила Бора, и столь же непонятным.
Исследования американца А. Комптона в 1923 году вновь
подчеркнули противоречие между корпускулярными и волновыми
представлениями о законах микромира. Об остроте этого противоречия
можно судить по следующему воспоминанию академика А. Ф.
Иоффе, создателя советской школы исследования атомных и ядерных
явлений. Беседу с ним Генрик Антон Лоренц, великий голландский
физик, один из создателей классической электродинамики и
непосредственный предшественник Эйнштейна в развитии взглядов,
приведших к созданию теории относительности, закончил следующими
словами: «Я жалею, что не умер пять лет назад, когда этого
противоречия еще не было. Тогда я умер бы в убеждении, что раскрыл
часть истины в явлениях природы». Беседа происходила в
Гарлеме, в Голландии как раз в 1924 году, когда в Париже готовил к
к выпуску в свет свою работу де Бройль.
Еще в 1901 году знаменитый русский физик П. Н. Лебедев, в
ту пору бывший ассистентом А. Г. Столетова, поставив
исключительные по экспериментальному мастерству опыты, обнаружил, что свет,
отражающийся от поверхности твердых тел, оказывает на нее
давление — так же, как молекулы газа, отскакивающие от стенок
сосуда. Усредненный эффект от большого числа таких соударений и
воспринимается как давление.
В опытах Комптона фотоны сталкивались уже с отдельными
электронами буквально как биллиардные шарики в том смысле, что
энергия, а значит и частота этих квантов (Комптон исследовал
рассеяние рентгеновского излучения на водороде), уменьшались после
18

столкновения. Так и хочется сказать «кванты замедлялись», однако
мы знаем, что это как раз неверно, свет всегда распространяется
со скоростью света. Итак, световые волны вели себя в точности, как
частицы.
Оставалось сделать последний, но очень
значительный и решительный шаг — симметризовать картину,
предположить, что и частицы могут вести себя, как
волны. Этот шаг и был сделан де Бройлем. Его статья
появилась в сентябре 1924 года в том же английском
журнале, что и работа Бора одиннадцатью годами раньше.
Согласно формуле Планка и эйнштейновскому
объяснению фотоэффекта фотоны имеют энергию E-—hv —
=hc/k. В соответствии с результатами Комптона они
несут и импульс p=hv/c=h/X, т. е. импульс и энергия
фотона связаны соотношением Е=рс. У «материальных
частиц» энергия выражается через импульс по-другому:
Е—р2/2пг (мы поставили кавычки, потому что уже
знаем — свет тоже материален). Де Бройль, однако,
предположил, что несмотря на это различие с каждой частицей,
а не только с фотоном, можно связать некий волновой
процесс, и соответствующая длина волны выражается
через импульс так же, как у фотона:
Х = А/р. (1.6)
Это соотношение можно переписать (но не для фотона!)
и в несколько другой форме: k—h/mv, где v — скорость
частицы.
Для первоначальной реакции физиков на эту
гипотезу чрезвычайно характерна следующая выдержка из
письма Эйнштейна Максу Борну, где он так рекомендует
диссертацию де Бройля: «Прочтите ее. Хотя и кажется,
что написал ее сумасшедший, написана она солидно».
Смелость мысли де Бройля (как потом оказалось,
глубоко оправданная) заключалась не только в ее
новизне, но и в универсальности. Волну де Бройль связывал
не только с электроном, но с любой частицей, большой
или малой, электрически заряженной или нейтральной,
а до появления его работы волновое движение на
микроуровне считалось исключительным свойством «лучистой
материи».
Скажем прежде всего о масштабах. Поскольку даже
у самой легкой из известных тогда «несветовых»
частиц— электрона — импульс при той же энергии гораздо
2*
19

больше, чем у фотона, соответствующая длина волны
должна быть гораздо меньше. Приведем численный
пример. При изучении атомных явлений естественной
единицей энергии является электронвольт, сокращенно эВ,
равный энергии, приобретенной электроном (или другой
частицей с электрическим зарядом, равным
электронному) при прохождении разности потенциалов 1 В.
Сравним длины волн фотона и электрона, имеющих
одинаковую энергию 1 эВ = 1,602. Ю-19 Дж:
для фотона
Яф = hclE
для электрона
1Э = hlVbmE = 6,6- 10~34/l/2.0,9.1(П30.1,6- 1(Г19 **
» 10~9м.
При такой энергии длина волны электрона, как
видим, в тысячу с лишним раз короче, но она как раз
имеет масштаб внутриатомных расстояний, характерных для
квантовой механики.
Что такое волны де Бройля, было не ясно ему
самому. Ясно было, чем они не могут быть. Распространяясь
в полной пустоте, они не могут быть механическими
колебаниями типа звуковых. Относясь в равной степени к
нейтральным и заряженным частицам, они не могут быть
электромагнитными колебаниями. Но, оставив на время
в стороне вопросы типа «почему» (хотя и не забыв о
них), физики стали выяснять, как работает новое
представление, что из необъясненного оно объясняет и какие
до сих пор еще не наблюденные явления предсказывает.
Следует указать на несколько курьезный факт: идея
электронного микроскопа, прибора, казалось бы,
волнового, «светового», старше представления об электроне
как о волне. Мысль о возможности создания
электронного микроскопа высказал в 1922 году Г. Буш, однако он
исходил при этом из геометрической электронной
оптики, из представления о лучах как о траекториях — это
представление применяют и при расчете световых
оптических приборов.
Мысль же де Бройля была прежде всего шагом
вперед в понимании стабильности боровских атомных ор-
6,6-10—34-3108
1,610
г-19
1,3.10-° м;
20

бит. Оказалось, что устойчивы именно те орбиты, на
которых укладывается целое число дебройлевских волн.
Тогда электрон — не шарик на орбите, а стоячая волна,
стационарный процесс, этим можно объяснить и
сохраняющуюся энергию.
А новые явления? Раз волна, значит, должны быть
интерференция и дифракция, знакомые всем со времен
Ньютона кольца и полосы, возникающие при
пропускании излучения через малые отверстия и щели, при
«огибании» волнами малых препятствий. Но длина волны
частиц гораздо меньше световой, где взять щели, линзы
и дифракционные решетки со столь малыми и при этом
строго выдержанными характерными размерами? Пока
над этим думали экспериментаторы, теоретики не
дремали.
Представьте себе спелеолога, который узкими
извилистыми лазами с неимоверным трудом пробирается в
глубь системы пещер и, наконец, попадает в прекрасный
и величественный грот, блистающий минеральными
чудесами. И вот, когда он, с трудом веря своим глазам,
начинает перебирать обнаруженные сокровища,
раздается грохот кирки, и сквозь пролом в стене появляется
его столь же чумазый и усталый коллега. Обменявшись
приветствиями, наши спелеологи выясняют, что
добрались сюда, ни много ни мало, с разных материков.
У первопроходцев в науке подобные случаи нередки,
особенно в математике. Так бывает, что упорный
исследователь, «зарывшись», скажем, в математический
анализ, вылезает на свет божий в теории чисел — и с
крупным открытием. В 1926—1927 годах нечто подобное
произошло в теоретической физике, когда Шрёдингер и
Гейзенберг, стартовав независимо друг от друга из
далеких областей — теории дифференциальных уравнений
в частных производных и матричной алгебры, —
встретились в гроте квантовой механики и, ярко, в два факела,
осветив его, впервые смогли по достоинству оценить
простор и красоту этого помещения.
Все, что касается законов атомного мира при
скоростях, малых по сравнению со скоростью света, встало на
свои места — по крайней мере, в математическом
отношении. Мы в дальнейшем будем использовать главным
образом понятия, связанные с волновым уравнением
Ш^дингерз, выбирая из двух «зол» меньшее, —
матричная формулировка Гейзенберга менее наглядна.
21

Новые концепции оказались трудными не только для
непосвященных. Такой искушенньщ в физике и
математике человек, как Зоммерфельд, писал в то время: «Из
двух великих достижений физики XX в. — теории
относительности и квантовой теории атома — до недавнего
времени последнее благодаря своей наглядности
казалось превосходным, тогда как первому ставились в
упрек абстрактное изложение и математическая сложность.
Квантовая теория дала нам красивую модель атомной
планетной системы со своими кеплеровыми законами и
правильным порядком в оболочках, тогда как теория
относительности пригласила нас в четырехмерное
пространство, где угостила жестковатым блюдом из тензоров
разного ранга и символов Кристоффеля, Но теперь эти
теории поменялись местами. Сегодняшняя квантовая
механика ставит перед абстракцией, возможно, еще более
высокие требования, чем общая теория
относительности». И ниже: «Один остроумный американский физик
как-то сказал: «В старой теории мы многое могли
объяснить, но немногое рассчитывать. Сегодня мы немногое
можем объяснить, но многое можем рассчитывать».
А экспериментаторы? К 1927 году наблюдались и
кольца, и полосы. Дифракционные картины для
электронов получили К. Дэвиссон и Л. Джермер в Америке и
независимо от них Дж. П. Томсон в Англии. Сын Дж. Дж.
Томсона, открывшего электрон как частицу, одним из
первых воочию убедился, что электрон — волна.
Средства для изучения электронной дифракции были те же, что
и при работе с коротковолновым электромагнитным
излучением (рентгеновским): кристаллическая решетка
металлов как средство получения дифракционной картины
и фотопластинка как средство регистрации. На рис. 2,
взятом из книги Дж. Орира «Популярная физика»,
приведены наблюдаемая и расчетная интерференционные
картины в разных плоскостях для двух щелей. Опыт
Дэвиссона и Джермера позволил им кроме всего
прочего наиболее точно для своего времени, с погрешностью
1 %, определить постоянную Планка А.
Образы, которыми пользовались физики в то время
при популярном изложении сущности новых открытий,
невольно отдавали патологией. Самым вежливым по
отношению к электрону, каким он его представлял из
уравнения Шрёдингера, оказался тот же Зоммерфельд,
назвавший его двуликим Янусом. Другие прямо говорили о
22

б
Рис. 2. Интерференционная картина на двух щелях:
а — наблюдаемая, в плоскости, перпендикулярной пучку и параллельной
щелям (чем меньше расстояние между щелями, тем больше расстояние между
максимумами яркости, тем шире полосы); б — расчетная, в плоскости,
перпендикулярной щелям и параллельной пучку (узлам волн соответствуют
темные участки, пучностям — светлые)
раздвоении личности, но одни считали, что этой редкой
болезнью страдает сам электрон, другие относили ее
лишь к описывающей электрон теории. Двуликость была
налицо. Посмотрите на великолепную траекторию
электрона в камере Вильсона (рис. 3 )и сравните ее с
предыдущим рисунком. Как будто нет сомнения, что в одном
23

Рис, 3. Траектория быстрого электрона в камере Вильсона,
помещенной в магнитное поле. По мере замедления электрона кривизна
траектории увеличивается
случае перед вами частица, в другом волна. Но это одни
и те же электроны. Как написал венгерский физик
Ф. Каройхази: «Кентавр человеку покажется лошадью,
а лошади — человеком... Электрон шарику
представляется волной, волне — шариком».
Для дальнейшего изложения важнее всего следующее:
оказалось, что поведение каждой свободной
микрочастицы при движении вдоль оси х описывается некоей
непрерывной, так называемой волновой функцией ^{х).
Описывается в следующем смысле: квадрат модуля этой
функции |г|)(л:)| пропорционален плотности вероятности
найти указанную микрочастицу в окрестности точки х.
Всякому приходилось в своей жизни наряду с осторожным
«вероятно» и эмоциональным «невероятно!» употреблять и выражения
«более вероятно» или «менее вероятно». Эти последние
словосочетания уже имеют некий оттенок количественности. Действительно,
вероятности реальных или гипотетических событий часто можно
приписать некоторую числовую характеристику, сделать вероятность
объектом сравнений и расчетов. Теория вероятностей — богатая и
24

сложная математическая дисциплина. Но простейшие понятия,
необходимые при чтении последующих глав, вполне можно изложить
на нескольких страницах.
Понятие «вероятность» всегда относится к событию, которое
еще не произошло. Обычно различают понятия «событие» и «исход
события». Например, событие — это бросание кости, а выпадение
двойки или шестерки при бросании — различные исходы этого
события, но мы иногда будем называть для краткости событием и
некоторый определенный исход
Простейшим и практически не редким примером является
событие с несколькими равновероятными исходами. При том же
бросании кости, если она представляет собой аккуратно и без подвоха
сделанный однородный кубик, бросающему интуитивно ясно, что
кубику «все равно», какой стороной вверх упасть. Опытная
проверка этого утверждения заключалась бы в следующем — бросайте
кубик, пока не надоест, и регистрируйте в виде таблички с шестью
колонками выпадение каждого из шести возможных чисел очков.
Если полное число бросаний N, то при N-+oo число выпадений
каждой грани должно стремиться к N/6. Если же вместо кубика
бросать монету и считать число выпадений орла и решки, то каждое
из этих чисел будет стремиться к N/2.
Вероятностью определенного исхода в таком
экспериментальном определении называется отношение числа случаев, когда
именно этот исход имел место, к полному числу состоявшихся событий.
Таким образом, при бросании кости, деля примерно N/Q на N, мы
получим вероятность, приблизительно равную 1/6, для выпадения
каждой грани. Аналогично получим примерно 1/2 для вероятности
выпадения орла и решки. Но необходимости в постановке
длительных опытов такого рода как-то не чувствуется, не правда ли? Мы
готовы поверить, что шанс получить любое заданное число очков
от одного до шести при бросании кости равен одной шестой, т. е.
единице, деленной на полное число равновероятных исходов опыта.
Это понятие — вероятности при определенном числе различных
равновероятных исходов — и служит основой большинства
рассуждений и расчетов элементарной теории вероятностей. Если исходов к,
то вероятность некоторого из них, имеющего номер /, есть Р% (k) =
= 1/& и не зависит от /.
Мы рассмотрели простейшие события. Сложными событиями
назовем некоторые комбинации простейших, например бросание двух
костей одновременно или последовательно (значит, и одной кости
два раза, это одно и то же). Какова вероятность выпадения строго
определенной комбинации очков, например 6 и 6 или 3 и 2? Первое
главное утверждение теории вероятностей о сложных событиях:
вероятность того, что произойдут два независимых события А и В,
25

вероятности каждого из которых
равны Ра и Рв, есть
Рл*в~РЛРв- С-7»
Значит, выпадение любой
фиксированной комбинации на двух
костях (с учетом порядка: 2 и 3
отличается от 3 и 2!) есть (1/6)Х
Х( 1/6)=*= 1/36. Это так называемый
закон умножения вероятностей.
Он применяется тогда, когда
нужно вычислить вероятность того,
Рис. 4. Мишень с сотней про- что произойдут события А и В.
боин, иллюстрирующая поня- А как вычислить вероятность со-
тие плотности вероятности бытия А или события В} Тут
действует закон сложения
вероятностей. Например, пусть нас интересует вероятность выпадения суммы
11 очков при бросании пары костей. Эту сумму можно получить
двумя способами, при двух исходах рассматриваемого нами сложного
события: когда выпадают 6 и 5 или 5 и 6. Их суммарная вероятность
есть 1/36+1/36=1/18. Тот же закон действует и при большем числе
слагаемых. Вероятность выпадения суммы 8 очков есть Р(6 и 2) +
+ Р(5 и 3)+Р(4 и 4)+Р(3 и 5)+Р(2 и 6), и каждое из слагаемых
равно 1/36; значит, Р = 5/36. Это в пять раз больше вероятности
выпадения суммы 12, которая реализуется единственным способом:
6 + 6. Итак,
Рл«,*в=РА + Рв- О-8)
В общепринятой математической символике слова «и» и «или»
заменяются значками Д и\/ • ^от пРостое мнемоническое правило
для запоминания их смысла: \/ похоже на развилку дорог, это
выбор «или», а Д похоже на общую крышу, объединяющую
события, это «и».
Следует еще добавить, что вероятность исхода невозможного,
запрещенного постановкой опыта полагается равной нулю, а
вероятность единственно возможного, определенного исхода — единице.
Понять, что такое плотность вероятности, поможет рис. 4,
изображающий мишень, по которой достаточно долго палил довольно
скверный стрелок. Предположим, что «в молоко» он все-таки не
попал ни разу, хотя судя по состоянию мишени его можно
подозревать и в этом. Всего в мишени 10 пробоин. Вероятность попасть
в кольцо с номером п (в «десятку», «девятку», «восьмерку» и т. д)
Рп равна числу пробоин в соответствующем кольце (или
центральном кружке), деленному на 100: Рп=Лгп/100. Но все кольца имеют
26

Таблица 1. Расчет плотности вероятности попаданий в мишень,
изображенную на рис. 4
Номер кольца
п
Ю
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Число
попаданий
в кольцо
*
1
5
10
21
26
17
8
6
5
| 1
Вероятность
попадания
в кольцо
0,01
0,05
0,1
0,21
0,26
0,17
0,08
0,06
0,05
0,01
Площадь
кольца
**
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Плотность
вероятности
Wn=PnlSn
0,0100
0,0167
0,0200
0,0300
0,0289
0,0155
0,0061
0,0040
0,0029
0,0005
* Касание внешней границы кольца считается попаданием в него.
** Мы приняли за единицу площадь «десятки» и считаем шаг по радиусу
постоянным. Тогда нетрудно убедиться, что площади колец относятся друг
к другу как последовательные нечетные числа.
разную площадь, она тем больше, чем больше радиус кольца.
Плотность вероятности есть вероятность, отнесенная к единице
площади, т.е. Wn — Pn/Sn, где Sn — площадь соответствующего
кольца. Для мишени, изображенной на рис. 4, значения Nn, Pn, Sn и
Wn приведены в табл. 1. У хорошего стрелка это, как говорят,
распределение вероятностей выглядит по-другому — оно имеет резкий
максимум на десятке и практически обращается в нуль при п<8.
Светлые полосы на электронограмме (см. рис. 2) —это места,
куда электроны попадали наиболее густо, плотность вероятности,
т.е. |г|}|2, там максимальна. Она имеет вид практически
непрерывной функции со многими максимумами и минимумами.
Рассмотренные нами мишени — и стрелковая, и электронная —
расположены перпендикулярно направлению пучка (пуль на рис. 4
и электронов на рис. 2, а). Они задают поперечный разрез пучка,
но в принципе можно сделать и его продольный разрез. При
стрельбе для этого можно использовать трассирующие пули и снимать их
траектории на пленку. Для электронов приходится ограничиться
расчетной плотностью. На рис. 2, б видно, что плотность
электронов пульсирует и вдоль «траекторий» наблюдаются типично
волновые узлы и пучности.
Мы упомянули о непрерывности волновой функции.
Если говорить точно, непрерывной должна быть и сама
27

f /
\JL
\
1
1
1
Jv_
a)
xO
0
VI
Г
1
\J —1ЛЛЛЛЛ
JWwb
ft
Рис 5. Примеры разрешенного (а) и запрещенного (б) поведения
волновой функции if>(x) (б: вверху — скачок, т. е. нарушение
непрерывности, внизу — излом, т. е. скачок производной)
Рис. 6 Движение в потенциальном поле, образующем барьер,
классической (а) и квантовой (б) частиц. Отмечены классические точки
поворота. Для квантовой частицы схематически изображена
зависимость волновой функции от координаты
функция i|)(#), и ее первая производная по координате
dty(x)/dx. Подробнее, с количественными примерами, мы
поговорим о свойствах ty(x) в следующей главе, а сейчас
ограничимся качественным обсуждением.
Непрерывность функции означает, что она не имеет
скачков, разрывов. Непрерывность производной
означает, что г|)(х) не имеет изломов. На рис. 5 изображены
случаи разрешенного и запрещенного в соответствии с
этими правилами поведения ty(x). Эти свойства
необходимо учитывать, например, если частица проходит через
границу раздела двух сред. По знакомым каждому
свойствам световых волн известно, что на таких границах
они испытывают преломление и отражение. Чего-то
подобного следует ожидать и от электронных волн. Эти
ожидания, как мы увидим позже, оправдываются.
Мы уже подошли вплотную к вопросу о сущности
квантового туннельного эффекта. Что произойдет, если
классическая частица, свободно двигавшаяся с
постоянной скоростью, встретит на своем пути потенциальный
барьер? Например, если у горизонтального желоба, по
которому без трения скользит в поле тяжести массивный
шарик, начнется участок со встречным наклоном? Эта
ситуация изображена на рис. 6, где по оси абсцисс
отложена координата шарика х, а по оси ординат — его
потенциальная энергия V(х). Теряя скорости, щарик пока-
28

тится в гору. Если его начальная кинетическая энергия
Е была больше УМакс, то он благополучно перевалит
«гору» и покатится дальше. А если £<КМакс, то
найдется на склоне «точка поворота», где вся кинетическая
энергия перейдет в потенциальную, и в соответствии с
законом сохранения энергии шарик остановится и
покатится обратно. Шансов проникнуть за барьер у него нет
абсолютно никаких. Что же будет в аналогичной
ситуации с квантовой частицей? Рисовать точку, приписывать
ей строго определенные координату и скорость мы уже
не имеем права (см. ниже), но мы можем нарисовать
примерный график волновой функции \\я>(х). Чтобы
упростить ситуацию, рассмотрим случай, когда
потенциальная энергия меняется скачком (она не if>(*)> ей можно)
и барьер имеет вид ступеньки с резким краем. До
барьера частица свободна, ее волновая функция испытывает
незатухающие колебания. Но вот достигнута точка х—0.
Дальше барьер E<cV. Пора обратно? Но при х — 0 ty(x)
не может, по принципу непг_>ерывности, вдруг скачком
обратиться в нуль. Даже «надломиться» ей, как мЙ
помним, нельзя. Она может, конечно, начать убывать,
затухать, как и показано на рис. 6, но дело уже сделано: в
подбарьерной области |г|)(л:)2| ФО. Вероятность
проникновения частицы внутрь барьера отлична от нуля. А если
барьер не слишком широкий и к правому его краю \$(х)
не затухнет окончательно, все те же самые рассуждения
применимы и к точке выхода из-под барьера: ty(x) ив
ней непрерывна и, следовательно, отлична от нуля за
барьером. Частица опять свободна и может двигаться
дальше.
Если электронную интерференцию на двух щелях
образно описывают как способность электрона, не
разделяясь, проскакивать в два отверстия сразу, то туннельный
эффект — это способность электрона проскакивать через
стену, в которой отверстий вовсе нет. Что считать более
парадоксальным, дело вкуса.
Чтобы слегка ослабить это противоречие со здравым смыслом,
вернемся к классическому потенциальному барьеру. До сих пор мы
говорили о материальной точке. Теперь рассмотрим механическую
систему. Ее потенциальная энергия в поле тяжести, как известно,
есть V—mgl, где m — полная масса системы (тела), а / — ордината
се центра масс (привычное для этой ординаты обозначение h мы
закрепили за постоянной Планка). Пусть L—высота барьера в поле
29

тяжести, например высота установленной перед прыгуном планки.
Должен ли прыгун обязательно приобрести за счет разгона и
отталкивания кинетическую энергию, большую mgl, чтобы перелететь
через планку? Хорошо известно, что нет У лучших прыгунов в
высоту и с шестом центр масс при прыжке проходит под планкой.
Представим себе смелого прыгуна, который атакует не планку, а
кирпичную стенку, и предположим, что мы видим не его самого, а
светящуюся точку, совпадающую с центром масс его тела. Эта
точка буквально пройдет сквозь стенку не хуже электрона. Еще
более яркий пример — сифон. Именно аналогию с сифоном
приводит А. Ф. Иоффе в своей изданной в 1935 году книге «Атомное
ядро сегодня», иллюстрируя свойства открытого за несколько лет
перед этим туннельного эффекта Целое озеро можно выпустить в
долину через гору без затраты энергии через сифонный
трубопровод. Кстати, было время, когда это свойство сифона заставлять
воду течь в гору воспринималось не просто как парадокс, а как
настоящее чудо, сверхъестественное явление.
Однако все классические аналогии имеют лишь ограниченный,
иллюстративный смысл. Нельзя, конечно, представлять себе, что,
проникая через потенциальный барьер, электрон «сперва
перекидывает руки, потом ноги» О наглядных пояснениях квантовых законов
известный физик-теоретик Рьчард Феинман сказал: «Здесь
совершенно необходимо указывать не только на сходство с чем-то всем
нам знакомым, но и на коренные отличия от всего нам знакомого».
Поэтому вернемся к описанию квантовой картины на квантовом
языке.
Кроме матричной формулировки теории Гейзенберг
ввел в квантовую механику гораздо более знаменитое
соотношение неопределенностей. Существуют
соотношения неопределенностей разных типов. Наиболее
известные и самые старые из них — соотношения между
импульсом и координатой, а также между энергией и
временем. Формулируются они очень симметрично;
ДрДл:>й; АЕМ>% (1.9)
и имеют следующий смысл: погрешность одновременного
измерения характеризующих квантовую систему
наблюдаемых величин, входящих в соотношение
неопределенностей, должна удовлетворять неравенствам (1.9) и
принципиально не может быть уменьшена. В
соотношении между Е и t имеется в виду время пребывания / в
состоянии с энергией Е. Так что, если, например,
известно, что ядра некоторого радиоактивного элемента живут
30

до распада в среднем время /=1 с, то полная энергия
такого ядра не может быть известна с погрешностью,
меньшей АЕ—%Ц— 10~34 Дж^б-10-16 эВ. Это, конечно,
немного, но если /=10~15 с (а ядерные системы, бывает,
живут и того меньше), то Д£ = 0,6 эВ, а это заметная на
микроуровне энергия.
Однако вспомним: энергия и импульс, входящие в
квантовые соотношения неопределенностей, в
классической физике подчинялись точным законам сохранения!
Значит, в квантовой физике эти законы нарушаются?!
Закон сохранения энергии — одна из самых глубоких
и плодотворных концепций науки. Макс Планк, отвечая
на вопрос о том, что привлекло его к занятиям физикой,
вспоминает пример действия именно этого закона,
завороживший его в детстве —он был приведен
гимназическим учителем физики: «Представьте себе рабочего,
который поднимает кирпич на верх строящегося дома.
Затраченная рабочим энергия не пропадет. Возможно, спустя
много лет этот кирпич расшатается и упадет вниз на
голову случайного прохожего». По его собственным
словам, гимназист Планк был потрясен не меньше
гипотетического прохожего. Кирпич может пролежать наверху
сто лет! Но энергия, затраченная на его подъем, за это
столетие никуда не исчезнет, не «рассосется» и
выделится полностью, когда представится случай!
Так вот, законы сохранения энергии и импульса в
квантовой механике тоже выполняются, но смысл и
форма у них несколько другие и нуждаются в
разъяснении в свете соотношения неопределенностей.
Академик В. А. Фок, чьи работы по развитию
квантовой теории получили всемирное признание, писал о
соотношении неопределенностей: «Первоначально
величины Ах, Ар и т. д. толковались как неточности измерения
х, р и т. д. Такое толкование до известной степени верно,
но оно недостаточно глубоко. Самый термин
«неточность» как бы предполагает, что существуют «точные»
значения х, р, но только они почему-то не могут быть
измерены. Это предположение уже явно неверно. На самом
деле невозможность точного измерения есть следствие
того, что частица по своей природе не допускает
одновременной локализации в координатном и в импульсном
пространстве. Поэтому лучше употреблять термин
«неопределенность», а не «неточность». Аналогичное значение
имеет соотношение Гейзенберга — Бора AEAt>%. Оно
31

утверждает, что акт передачи Энергии не может быть
точно локализован во времени».
Подчеркнем — В. А. Фок говорит о передаче энергии.
Стационарная замкнутая квантовая система способна
существовать бесконечное время и обладает точно
заданной энергией. Но при взаимодействии, при обмене
энергией и импульсом с другими системами и частицами
вступает в действие соотношение неопределенностей.
А ведь зарегистрировать, «увидеть» частицу мы можем
только в том случае, если она обменивается энергией и
импульсом с детектирующим устройством, с прибором.
Поэтому соотношение неопределенностей для энергии
следует понимать так: да, электрон может «жить
взаймы», приобретая энергию А£ на краткое время kt^fr/AE*
Но при попытке задержать взятое на срок, больИшй
положенного, занятое превращается в украденное и
должно быть изъято. В квантовой механике до этого дело не
доходит. Законопослушные электроны всегда
рассчитываются энергией в срок.
Это полностью относится и к туннельному эффекту.
Можно сказать, что электроны пробивают только строго
горизонтальные туннели, на выходе из которых полная
энергия частицы точно такая же, как и на входе.
Электрон в подбарьерной области,т.е. при Е< V(х) на рис. G,
отнюдь не имеет отрицательной кинетической энергии
и мнимой скорости. Локализация его под барьером
привела бы к неопределенности в импульсе и,
следовательно, в кинетической энергии, достаточной для
нормального прохождения над барьером. Попытка «уличить»
частицу, застать ее с лишней энергией в энергетически
нелегальной области не удастся. Так же невозможно и
наблюдать частицу посреди ее квантового скачка с
одной боровской орбиты на другую. Кинетическая и
потенциальная энергии, согласно соотношению
неопределенностей, не имеют одновременно точных значений, так
как кинетическая энергия зависит от импульса, а
потенциальная— от координаты. Поэтому равенство £" =
=p2/2m-\-V(x) имеет в квантовой механике лишь тот
смысл, что в любом состоянии полная энергия равна
сумме средней кинетической и средней потенциальной
энергий, а их значения могут колебаться вокруг средних
так, чтобы сумма сохранялась.
Человек, проходящий сквозь стены, — соперник
человека-невидимки по популярности в качестве героя ска-
32

зочной и фантастической литературы. Герою повести
французского писателя М. Эме, которая так и
называется «Человек, проходивший сквозь стены», нужны были
для преодоления этих препятствий «запасы внутренней
энергии», и однажды, обессилев, он так и остался в
стене. Квантовым законам, как мы видели, это
противоречит— барьер должен вытолкнуть «ослабевшую»
частицу.
Наблюдаемые, измеренные величины никогда не
вступят в противоречие с законами сохранения.
«Квантовая механика может утверждать самые невероятные с
точки зрения классической физики вещи. Но доказать
ложность этих утверждений, пользуясь классическими
приборами, принципиально невозможно» (Рыдник В. И.
Законы атомного мира). На кажущихся
парадоксах квантовой механики мы остановились здесь лишь
кратко. В популярном изложении они весьма подробно
рассмотрены Р. Фейнманом в его переведенной на
русский язык книге «Характер физических законов» и более
полно и подробно — в последних двух выпусках «Фейн-
мановских лекций по физике». Эти издания можно
рекомендовать заинтересованным читателям.
Но вернемся к нашим потенциальным горбам.
Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота
которого больше ее кинетической энергии, — не
единственный трюк, невозможный в классической механике и
возможный в квантовой. Если E>VMaKCi то классическая
частица всегда перелетает через такой барьер, оставляет
его позади. А квантовая частица имеет отличную от
нуля вероятность отразиться от барьера и полететь в
обратную сторону, на сколько бы ни превышала ее
кинетическая энергия высоту потенциальной ступеньки. Больше
того, встретив потенциальную яму, через которую
классическая частица проскочит, лишь временно увеличив
свою скорость, квантовая частица будет также иметь
некоторую вероятность повернуть обратно, хотя
вероятность проскочить все-таки, конечно, больше.
Более детально прохождение квантовых частиц через
потенциальные нерегулярности и отражение от них будут
рассмотрены в следующей главе. При знакомстве с
научной проблемой есть два крайних подхода.
Проиллюстрируем их на примере геологии. Оказывается,
геологическое строение земной коры с весьма большой пользой
можно изучать... из космоса, фотографируя или наблю-
3—271
33

дая Землю с большого расстояния. При таком подходе
замечаются и осознаются лишь крупномасштабные,
общие, но очень важные особенности. Это один
предельный случай. Другой — глубокое бурение. Берется точка
земной поверхности и проходится многокилометровая
скважина, причем исследуется каждый сантиметр
извлеченных кернов. Тут видны уже только детали, но и мель-»
чайшие подробности тоже крайне существенны.
В настоящей главе мы познакомились с проблемой
туннелирования, можно сказать, первым способом,
быстро и конспективно оглядев очень широкую—и
тематически и исторически — область. Целью автора было
заинтересовать читателя. Но пора спускаться на Землю и
переходить к глубокому бурению. Гранит науки можно и
грызть. Но сейчас в нашем распоряжении есть алмазный
турбобур математики, и каждому, кто интересуется
физикой всерьез, придется рано или поздно познакомиться
с разнообразными сменными головками этого могучего
инструмента и научиться обращению с ними. А. Зоммер-
фельд высказывался резко: «Кто его (математического
формализма. — Н. Р.) не понимает, тот должен оставить
физику в покое. Природе нет дела до наших математик
ческих способностей, она является гораздо лучшим
математиком, чем мы». (Для баланса приведем, однако, и
высказывание известного советского физика Ф. В. Воль-
кенштейна: «Математика — это мясорубка, в которую
должна быть заложена физическая идея, для того чтобы
получилась физическая теория. Если такой идеи нет,
можно без конца крутить ручку этой мясорубки, не
получая ничего».)
Поэтому следующая глава для многих читателей
явится испытанием не только их любознательности, но и
трудолюбия. Они приглашаются понюхать пороху
квантовой механики в условиях, так сказать, приближенных
к боевой обстановке.

Глава вторая
МАТЕМАТИКА КВАНТОВОГО БАРЬЕРА
ольшинство математических понятий,
необходимых для начального знакомства с
аппаратом квантовой механики,—
функциональная зависимость, производная,
интеграл — в настоящее время введено в
школьную программу. Исключением, не очень
понятным, являются лишь комплексные числа.
С них и начнем.
В пятнадцатом и шестнадцатом веках математики,
работавшие над решением алгебраических уравнений -—
в те времена главным образом итальянцы — стали все
чаще сталкиваться со странными числами. Как их только
тогда ни называли: невозможные, абсурдные,
запрещенные и, наконец, помягче, потерпимее — мнимые. Гак,
некоторые квадратные уравнения, про которые в
школьных учебниках до сих пор пишут, что они не имеют
решения, прекрасно можно было решать, если ввести один
значок для «числа», которое при возведении в квадрат
дает минус единицу. В качестве такого значка
утвердилась буква i*. Таким образом,Y—l=±i и (±i)2=—1.
Значку i разрешили участвовать в арифметических
операциях. Ничего страшного не произошло. Ни один из
основных законов арифметики — переместительный,
распределительный, сочетательный — не нарушился.
Мнимым числом стали называть выражение \у, а
комплексным z=x-\-\y, где х и у— обычные числа
(«действительные», «вещественные»). Если действительные числа
привыкли изображать точками на числовой прямой, то
для комплексных тоже быстро придумали наглядный
геометрический образ — точки на плоскости с
координатными осями х и у. Значения х и у называют
действительной и мнимой частями комплексного числа г. С
каждой точкой плоскости (х, у) связан проведенный в нее из
начала координат вектор. На эти-то векторы
постепенно и привыкли смотреть как на двумерные изображения
комплексных чисел.
Если обозначить угол, который составляет такой вектор с осью
х, ф (рис. 7), то длина вектора запишется следующим образом:
* От английского «imaginary» — «мнимый».
3*
35

У
3
2
1
Z=4+3t,
У?У
Л?" ^/
- wS^
VS
/yS\ (p=nrctg (3/4)
Kill I I—--
7
2
p=]/ x2+y2 , а его проекции: *=
= рсоБф и #=psinq>. Число z
имеет тогда вид z=p(cosqp-Msin ф), где
р — модуль комплексного числа г,
|г|=р; ф —его фаза. Попробуем
записать арифметические операции над
парой комплексных чисел zi=xi +
+ h/i и z2=X2+iy2, обозначая
результат z = x+\y, а именно:
Рис 7. Геометрическая
интерпретация комплексных
чисел на примере числа
2=4 + 3i (p —модуль, ф —
фаза)
сложение:
(хг + \уг) + (х2 + \у2)= (*х + х2) +
+ ЦУ1 + У2)> *• е. х = х1 + х2;
У=Уг + У*
вычитание:
(*i + т) — (Ч + т) = (*i — Ч) + i (</i — У%),
т. е. л = ^1 — х2\ у=у1 — у2\
умножение:
(*i + Ш (*а + ^2) = *i *2 + i^i *2 + i*i Уъ + (О2 У\ У2 =
= ^^2— f/x^ + i (#1*2+ #2*i)> т- е- х — ЧЧ — УгУб
У= УгЧ + ЧУ2-
Сложнее обстоит дело с делением. Должно быть:
(*i + Ш/(Ч + Ш = * + iy,
значит,
(*1 + lyi) = (*2 + ^2> (* + *#) = *2 Х — 020 + 1 (02* + *2 0) •
У равных комплексных чисел равны и действительные, и мнимые
части, поэтому
х1 = х2х — у2у\ уг = у2х + х2у.
Решая эту систему относительно х и у, получаем:
х = (^ *2 + уг y2)l{x\ -4-1/1); 0 = (01 *2 — *i 0i)/(*2 + 02) •
Если записать все числа через модуль и фазу, то нетрудно
убедиться (предоставляем это'читателю), что результаты двух последних
операций будут выглядеть проще: при умножении р = рфг; Ф = ф1 +
4-ф2; при делении p = pi/p2', Ф = ф1 -—Фг-
Просто записывается и операция извлечения квадратного корня
из комплексного числа. Если z=yzh то р=]/рь а ф = ф^2 или
Ф1/2 + Я. Почему получились два равноправных значения для
фазы, можно понять, если вспомнить, что и у действительных чисел
возможны два значения корня, они отличаются знаком. Прибавление
36

к фазе числа величины я при сохранении модуля эквивалентно
умножению на —1, поэтому и для комплексных чисел два возможных
значения квадратного корня отличаются лишь знаком. Из
определения умножения следует также, что если г=г", то р = р", а ф=мф1.
Выписанные правила позволяют вычислять значения
алгебраических функций комплексного аргумента. Введем также
специфическую операцию комплексного сопряжения, обозначаемую
звездочкой Она сводится к изменению знака мнимой части числа, т. е. для
z=x-\-\y z* = x—\у Модуль z* тот же, что у г, а фаза отличается
знаком Отметим, что zz* = {х+\у) (х—\у) =х2+у9 = р2.
Нам понадобится еще одна очень важная функция
комплексного аргумента — показательная (экспоненциальная). Запишем ее
сначала для чисто мнимого аргумента \у:
е1у = cos у + i sin у. (2.1)
Это одна из красивейших формул элементарной математики
(формула Эйлера). Обобщение на случай z—x-{-iy получить просто:
сохраняется правило «сумме показателей соответствует произведение
степеней», поэтому
ег = ex+iy = ex,eiy = e* (cos y + j sin y^ (2<2)
Таким образом, мнимая часть комплексного показателя есть фаза
результата, а действительная его часть — натуральный логарифм
модуля результата. По определению модуля |е1ф| = у cos2 ф-f-
-fsin2qp = l. Значит, экспонента с чисто мнимым показателем имеет
модуль, равный единице, и в комплексной плоскости ее значения
заполняют окружность единичного радиуса с центром в начале
координат. Полная окружность пробегается при изменении фазы от
О до 2л.
Теперь мы готовы к тому, чтобы начать решать
уравнение Шрёдингера. Выпишем его для случая
одномерного движения вдоль оси х, когда положение квантовой
частицы описывается одной координатой:
— 0г2/2т) d2^ (x)/dx2 + V(x)^{x)=E^ (x). (2.3)
Обозначим операцию взятия второй производной с ум-
л
ножением на коэффициент— %V2m как Т (обратите
внимание на «крышечку» ДО: T=—(%2/2m)d2/dx2. Тогда
уравнение Шрёдингера приобретает вид, чем-то очень
л л
знакомый: Tty+V(x)yp=Ety. «Сократим» на г|>: Т+
37

,r\-V(x)=E. Выбросим крышечку: T+V(x) =Е — да это
же закон сохранения энергии при классическом
движении частицы по прямой! Полная энергия Е равна сумме
кинетической Т и потенциальной V энергий. Смысл
выражения (2.3) чуть-чуть прояснился.
Приступим к решению. Для этого сначала упростим
символы. Производные будем обозначать штрихами:
di|)/d.x;==\|/, d2ty/dx2=d/dxy)p'='ty". Перенесем член ty(x)E
в левую часть уравнения и поделим все на коэффициент
при первом слагаемом, введя для краткости обозначение
k2{x) = {2ml%2)[E-V{x% (2.4)
Получим:
f + k2 (х) ф - 0, или г|)" - — k2 (x) г|?. (2.5)
В классической механике кинетическая энергия Е—V=
=p2/2m = mv2/2, где р— импульс, a v — скорость
частицы. Вспомним определение длины волны де Бройля из
первой главы [формула (1.6)] и получим, что k2(x) =
— 1/№(х). Величину k называют длиной волнового
вектора, а при рассмотрении одномерной задачи мы часто
будем называть ее просто волновым вектором. Он
равен, следовательно, обратной длине волны (обратим
внимание на то, что при наличии потенциальной энергии
длина волны стала зависеть от координаты).
Прежде чем продолжить изложение, сделаем существенную
оговорку. В уравнение (2.3) никак не входит время. Это не
значит, что квантовое движение от него не зависит. Мы только сразу
написали уравнение Шрёдингера для так называемых стационарных
процессов, когда зависимость волновой функции от времени имеет
простой стандартный вид (какой именно, мы позже обсудим), и,
кроме того, достаточно изучить «мгновенный снимок» движения,
волновую функцию в один какой-то момент времени t0, и мы
сможем легко вычислить ее в любой момент времени t. Уравнение
(2.3) фактически соответствует /о = 0, некоему моменту времени,
принятому за начальный.
Тот факт, что знание волновой функции в начальный момент
определяет ее «навечно», напоминает ситуацию в классической
механике, начальные условия там тоже определяют состояние
классической системы для любого момента времени. Это даже дало
повод Планку приветствовать Шрёдингера, своего преемника на
университетской кафедре, как человека, восстановившего в правах
детерминизм. Но называть его так — все-таки натяжка: слишком
38

глубоко изменилось понятие «состояния» системы, оно само стало
включать вероятность, неопределенность.
Простейшим движением частицы является свободное
движение, когда ее потенциальная энергия постоянна и
равна нулю. Тогда длина волны не зависит от х, и
k2(x) =k2 — постоянная величина.
Надеемся, читателю известно, что такое производная.
Напомним, однако, как выглядят производные для
волновых функций нескольких видов, которые нам сейчас
понадобятся (табл. 2). Уравнение Шрёдингера в форме
(2.5) в случае свободного движения имеет вид о|/'=—&2г|),
т. е. для функций, являющихся его решением, вторая
производная должна отличаться от самой функции
только постоянным отрицательным множителем. Но мы
видим, что именно этим свойством обладают функции в двух
крайних левых колонках табл. 2 — синус и косинус.
А для чего мы написали две правые колонки? Вернемся
к определению k2(x). Пусть теперь потенциальная
энергия V(x) не равна нулю, а имеет постоянное
положительное значение У>£. В классической механике такое
предположение, как мы уже знаем, не имело бы смысла,
там координата частицы не может принимать значений,
при которых V>E. Но книга, которую вы читаете,
написана только потому, что в квантовой механике это
возможно: уравнение Шрёдингера имеет решения,
соответствующие k2= (2m/tf) {E—V) =—\k\2= (i\k\)2<0. Для
таких решений вторая производная отличается от самой
функции постоянным положительным множителем.
Этому условию удовлетворяют функции e±ftx, записанные в
правых колонках табл. 2.
Это-то достаточно очевидно, но в справедливость
следующего утверждения читателю придется поверить на
слово: все решения уравнения Шрёдингера для свобод-
Таблица 2. Производные первого и второго порядков
от некоторых функций

Производная
Волновал функция ty (x)
sin (kx)
&cos (kx)
—k2 sin (kx)
cos (kx)
—k sin (kx)
—k2 cos (kx)
ekx
kekx
k2ekx
Q—kX
k2 z-kx
Примечание Здесь k — число
39

ного движения являются линейной комбинацией либо
первой пары функций из табл. 2 (&2>0), либо второй
пары (&2<0). Слова «линейная комбинация» означают:
сумма с постоянными коэффициентами, т. е. в самом
общем случае
г|) (х) = A sin (kx) + В cos (kx), &2 > 0; 1
^(x) = Celklx + De-W\ & < 0.} (2'6)
Коэффициенты Л, Б, С, D могут быть и комплексными.
Благодаря этому соотношениям (2.6) можно придать
более симметричный вид, вспомнив формулу Эйлера (2.1).
Подставив в нее y=kx и у=—kx, можно выразить
синус и косинус через экспоненциальные функции чисто
мнимого аргумента:
sin (kx) = - —— ; cos (kx) = -—— . (2.7)
Подставим их в первую из формул (2.6), которая тогда
примет вид:
q(x) = Ae{kx + Be-lkx. (2.8)
Для коэффициентов Л и Б мы сохранили те же
обозначения, хотя они, конечно, изменились по сравнению с
(2.6), если \р(х) — та же функция.
Одно из главных свойств уравнения Шрёдингера — его
линейность. Это означает, что если функции -фх и г|?2
являются его решением, то и любая функция вида Лг|?1+
-\-B\p2, где А и В — комплексные числа, также есть
решение. При записи формул (2.6) мы воспользовались
этим свойством для простейшего вида уравнения, но оно
справедливо и в самых сложных случаях. А уравнение
Шрёдингера бывает весьма сложным: может, например,
описывать волновую функцию не одной частицы, а
нескольких и не в «одномерном пространстве», а в
настоящем трехмерном, и частицы эти могут не просто
двигаться во внешнем поле, а еще и взаимодействовать друг с
другом по разным законам. Найти решение такого
уравнения иногда исключительно сложно, над подобными
задачами физики, бывает, бьются, сменяя друг друга,
целыми поколениями. Но линейность и вытекающий из нее
принцип суперпозиции (наложения) справедливы всегда:
линейная комбинация решений также есть решение.
40

х=а/2
х=а
Рис 8 Низшие уровни
энергии и
соответствующие им волновые
функции в потенциальной яме
с бесконечно высокими
стенками
Формулы (2.6) — (2.8) дают
самое общее выражение для
волновой функции при свободном
одномерном движении. Они же
позволяют понять фундаментальное
свойство квантованности,
дискретности энергии в волновой
механике. Оно проявляется только
тогда, когда частица движется
в ограниченном объеме, не имея
возможности уйти на
бесконечность. Такое движение называют
финитным, конечным. Не
позволяет ей уйти на бесконечность,
как и в классической задаче,
потенциальная энергия. Но мы же
пока решили уравнение Шрёдин-
гера только для свободного
движения. Как использовать это
решение для рассмотрения
финитного движения? А вот как: предположим, что частица
движется свободно в области значений х от 0 до а, а на
концах этого отрезка потенциальная энергия скачком
обращается в бесконечность (рис. 8) — в этих точках
как будто располагаются абсолютно непроницаемые
стенки. При х>а и х<0 волновая функция должна
тождественно равняться нулю, и, значит, в силу
непрерывности
ф(0) = 1|>(а) = 0. (2.9)
В этих, как их называют, граничных условиях — все
дело. Волновая функция внутри такой «бесконечно
глубокой потенциальной ямы» имеет вид (2.6), но запишем мы
ее несколько по-другому:
\\> (х) = A sin (kx) + В cos (kx) = A' sin (kx + 6), (2.10)
где A'=VA2+B2\ 6 = arccos(^/"|/"^2+B2). Но
постоянные k и б, входящие в это выражение, уже не могут
принимать произвольных значений: *ф(л:) должна
удовлетворять условиям (2.9). Первое из них о|)(0) =^/(sin &-0+
+6)=v4sin6 = 0 дает нам 6=0*, а из второго гр(а) =
= y4'(sin /га+6) =А/ sm(ka)=0 вытекает, что ka==nn,
* При Л/—0 волновая функция была бы тождественно равна
нулю, что соответствует отсутствию частиц. Такое решение нас не
устраивает.
41

где п — целые числа, начиная с единицы [при п=0
получилось бы тождественно $(х) =0]. Таким образом,
волновой вектор может принимать лишь значения, кратные
л/а, а энергия Е = р2/2т=к2%2/2т— только значения
Еп = п2%2п112та\ (2.11)
Мы получили дискретный энергетический спектр в яме
бесконечной глубины. При этом стала ясна
фундаментальная роль в квантовой механике, наряду с
уравнением Шрёдингера, граничных условий. Именно они
квантуют движение в ограниченной области: общее решение
всегда есть сумма двух линейно независимых функций с
постоянными коэффициентами, первый из которых
должен быть произвольным из-за линейности, а второй
определяется одним граничным условием. Если есть и
второе условие — а при конечном движении их всегда два,
одно справа, другое слева — удовлетворить ему можно,
только «приспосабливая» единственный оставшийся
параметр — полную энергию.
Результирующее выражение для энергии (2.11) в
разобранном простом примере можно было получить
гораздо проще, используя правило квантования старой
квантовой теории Бора и соображения размерности,
широко применяемые в физике для разного рода
приближенных оценок. Переформулируем правило Бора—Зом-
мерфельда так: «При конечном движении величины
размерности действия должны принимать дискретные
значения, кратные %». Единственная величина
размерности действия в только что рассмотренной задаче есть
ра, отсюда и вытекает квантованность ра=п%и т. д.
Про физический смысл волновой функции мы уже
упоминали в первой главе: квадрат ее модуля \ty(x) |2 =
= -ф* (лг)-ф(л:) представляет собой плотность вероятности
найти частицу в точкех, т.е. |-ф(х) \2dx есть вероятность
того, что значение координаты частицы заключено
между х и x-\-dx. Поскольку \е1кх\ =1 и не зависит от
координаты, tj} = eifex соответствует постоянной плотности
вероятности. То же самое относится и к функции -ф =
— e-iAx цем же различаются эти два решения? На этот
вопрос мы ответим чуть позже.
Одна из основных черт квантовой механики
заключается в том, что знание волновой функции дает
максимально возможную информацию о состоянии частицы. Все,
что мы хотим узнать о ее поведении, мы должны уметь
42

получать из волновой функции. А что мы хотим знать
помимо координаты? Да уж, по крайней мере, импульс.
Посмотрим на уравнение Шрёдингера в исходной форме
(2.3), точнее на первое слагаемое в его левой части,
которое, как мы имеем основания считать, связано с
кинетической энергией частицы. Его можно переписать в виде
2т dx* 2т \ dx J { dx)
eJ_/_iftjL\? + e£i, (2.12)
2m \ dx) Y 2m ^ l '
Мы символически обозначили двукратное
последовательное применение операции дифференцирования с
умножением на —\% как квадрат такой операции, которая в
л
конце (2.12) кратко обозначена р. Соотношение (2.12)
наводит на мысль о том, что воздействие на волновую
функцию с помощью операции —i%d/dx имеет какое-то
отношение к определению импульса квантовой частицы.
Математики различают два основных способа
действия на функцию, если «действие» понимать в самом
широком смысле слова. В результате одного способа из
функции получается также функция от той же самой
переменной, но другая. Тогда говорят, что на функцию
подействовали оператором. Например, функцию ty(x)
умножили на число А, отличное от единицы, и получили
новую функцию Aty(x). Это называется оператором
умножения на число. От функции sin (их) взяли первую
производную — применили к ней оператор
дифференцирования— и получили функцию k cos(fex). При другом
способе той функции, на которую действуют,
сопоставляется не какая-то функция, а единственное число.
Такой способ называют вычислением функционала от
функции. Функционалом может быть значение функции
в определенной точке, например в начале координат,
или площадь под кривой, образуемой участком графика
этой функции. Напомним, что этот последний
функционал называется определенным интегралом от функции.
Итак, —i%d/dx — это оператор, и в полном
соответствии с догадками, основанными на соотношениях (2.12),
Л Л
он называется оператором импульса частицы р, а р2/2т—*
оператором кинетической энергии. Но ведь нам нужно
число, значение импульса.
43

Теперь как раз пора вспомнить, что нас интересует
вопрос — чем различаются решения e±lkx. Сейчас на
этот вопрос можно ответить. Подействуем «новоиспечен-
л
ным» оператором импульса р на волновые функции e±lkx:
р (elkx) = - i%delkx/dx - U (eto);
р (e-[kx) = - i%de"lkx/dx = -U [e~lkx).
Волновой векторе, умноженный на постоянную Планка,
как мы уже знаем, есть импульс p=%k. Значит, согласно
л
равенству (2.13), действие оператора р на функцию
elkx эквивалентно умножению на число p=%k, а
действие его на функцию e~lhx эквивалентно умножению на
л
число —р. Если действие некоторого оператора А на
данную функцию эквивалентно умножению на число Л,
л
т. е. Лг|э=Л,ф, то говорят, что Л является собственным
значением оператора Л, а г|)— его собственной функцией.
Какой бы вид ни имел оператор, отнюдь не каждая
л
функция будет его собственной*. Удача с оператором р
и функциями e±lkx , конечно, не случайна, а подстроена
автором. Эти функции соответствуют собственным
значениям импульса, которые различаются знаком, т. е. они
описывают состояния частиц, движущихся с
постоянным одинаковым импульсом, но в разные стороны,
одна— в положительном направлении оси х, другая ей
навстречу.
Независимость квадрата модуля |e±lft*| от х
означает, что координата частицы в этом состоянии абсолютно
не определена — она с равной вероятностью может
принимать произвольные значения от —оо до +°°- В то же
время импульс ее, как мы видели, имеет совершенно
точно определенное значение %k9 что находится в
полном соответствии с соотношением неопределенностей
(1.9). Из него вытекает, что при Др->0 должно
стремиться к бесконечности Ах.
Положим импульс в таком состоянии равным нулю: elhx\k=o —
= 1, плотность вероятности как была, так и осталась единицей.
Вспомним, что говорилось в предыдущей главе о «расщеплении»
* Тривиальным исключением является, конечно, оператор
умножения на число.
(2.13)
44

понятий в процессе обновления физических теорий. Теперь мы
видим, что в квантовой механике по сравнению с классической такому
расщеплению подвергалось уже понятие простейшего из возможных
движений — покоя, неподвижности. Нужно, правда, оговориться. Из
классической физики известно, что в сложной механической системе
и неподвижность — вещь непростая. Вспомним — целый раздел
механики, статика, посвящен изучению неподвижных, находящихся
в равновесии систем. Но сейчас речь идет не об этом, а о
простейшей системе — об одной частице, материальной точке. Что значит:
частица покоится? Спросите у школьников седьмых-десятых
классов, и тут же все поднимут руки. Но одни скажут: «Ее скорость
равна нулю», а другие: «Она находится на одном месте», или
«Занимает определенное положение», или «Ее координата постоянна».
В классической механике все приведенные определения равнозначны.
В квантовой же механике у этого элементарного — и, увы,
ныне покойного — понятия есть два полноправных наследника, один—
состояние с нулевой скоростью, другой — состояние с
фиксированной координатой. Эти состояния не просто разные, они в некотором
смысле предельно непохожи друг на друга. В квантовой механике
нельзя ошибиться сильнее, чем подменив состояние с определенной
координатой состоянием с определенной, пусть и нулевой, скоростью.
Такие состояния называют дополнительными; именно
дополнительными, хотя, глядя на запись соотношения неопределенностей, так
и хочется назвать их взаимоисключающими. Действительно, если
скорость равна нулю, то про координату ничего не известно, а если
координата фиксирована, то измерение скорости этой частицы
может дать любые, в том числе и сколь угодно большие, значения.
Можно придать этому рассуждению количественный характер.
Состояние eikx с определенным импульсом известно как плоская
волна. Суперпозицию двух плоских волн ty(x)=elhx+e-lxh = cos(kx)
можно назвать состоянием с определенным модулем импульса.
Рассмотрим теперь волновую функцию, являющуюся наложением
синусоид с различными целочисленными значениями волнового вектора.
Будем строить их последовательно, обозначив
% (*) = cos (0- #) = 1; if»! = % (х) + cos х; г|?2 (х) =1^ (х) + cos 2x
п
и т. д. Следовательно, if>n(*)=2 cos(£a;). Вычислив эту сумму по
/г=0
известной тригонометрической формуле (ее нетрудно доказать по
индукции), получим, что
*W = C°S T sin (,/2) • (2Л4)
Несколько функций \|)п(*) изображены на рис. 9. Видно, что с
ростом числа слагаемых эти функции, так называемый волновой па*
45

кет, концентрируются вблизи нуля — центральный максимум
делается все выше и уже. В пределе п-*-оо получается странная
«функция», свойства которой наглядно можно представить так: «Она
равна нулю всюду, кроме точки х~0, а в этой точке равна
бесконечности». Физики называют ее дельта-функцией Дирака, она-то и
описывает состояние квантовой частицы с определенной
координатой х = 0. Ее обозначают 6(#)*. Значит, 6(х) и е1Л*|лво = 1—пара
дополнительных состояний (мы иногда будем и про само состояние,
и про его волновую функцию говорить просто «состояние»).
Симметрия координаты и импульса, формально
отраженная в соотношении неопределенностей, красной
нитью проходит через всю квантовую механику и
определяет содержание так называемого принципа
дополнительности, сформулированного Бором. Согласно этому
принципу (процитируем энциклопедию «Физика
микромира») : «...получение экспериментальной информации
об одних физических величинах, описывающих
микрообъект (элементарную частицу, атом, молекулу),
неизбежно связано с потерей информации о некоторых
других величинах — дополнительных к первым. Такими
взаимно дополнительными величинами являются, например,
координата частицы и ее скорость (или импульс)...
Другие примеры дополнительных величин: направление и
величина момента количества движения; кинетическая и
потенциальная энергии; напряженность электрического
поля в данной точке и число фотонов, и т. д.».
Теперь уже вплотную можно заняться вычислением
вероятности проникновения квантовой частицы через
потенциальный барьер на конкретном примере. До этого
нам осталось только добавить кое-что о свойствах
волновых функций. Об обязательной непрерывности самой
функции if>(x) и ее первой производной мы уже
упоминали. Естественным ограничением является также сле-
* Эта функция удовлетворяет равенству \6(x)dx=\. Функ-
ции (2.14) таким свойством не обладают. При /г-voo их надо
нормировать— умножить на число, зависящее от п, чтобы интеграл
обращался в единицу.
** Упоминавшаяся выше 6-функция является исключением из
этого правила — как и из многих других. Высказанные ограничения
относятся к «обычным», а не к обобщенным функциям.
46

дующее: ty(x) нигде не должна обращаться в
бесконечность, в том числе следует исключить и возможность ее
неограниченного роста при х->оо**. Мы будем
использовать все три условия: непрерывность ty(x)t
непрерывность г|/(л;) и ограниченность г|>(х). Следует,
правда, сделать оговорку: требования непрерывности
производной не распространяются на случай бесконечно
большого скачка потенциала — как мы увидим ниже,
моделируя очень резкие потенциальные кривые,
приходится рассматривать и такие ситуации. Одну из них мы
фактически уже рассмотрели, когда на примере ямы с
бесконечно высокими стенками получили дискретный
спектр. При этом пришлось слегка схитрить — мы не
заострили внимания на том, что производная решения в
этом случае испытывает скачок на границах интервала,
хотя сама функция непрерывна.
Рассмотрим сначала самый простой случай, так
называемое отражение от ступеньки. Соответствующая
потенциальная энергия изображена на рис. 10: V(x) = 0 при
х<0 и V(x) = Vo при х^О. Там же горизонтальными
линиями показаны два значения энергии: E<V0 и £>1/0.
Все значения х, т. е. числовая ось, разбиваются на две
области: 1 — луч (—оо, 0], где V(x)=0, и 2 — луч [0, оо),
где V(x) = Vo, В каждой из этих областей мы умеем
решать уравнение Шредингера. Соответствующие решения
в области / всегда определяются первой из формул
(2.6), а в области 2— первой или второй в зависимости
от того, что больше: Е или У, но в любом случае
волновой вектор принимает в областях 1 и 2 разные значения.
Рис. 9. Вид функций $п(х),
определяемых выражением (2 14), для
нескольких значений п
Рис. 10. Ступенчатый потенциал
V*
0
1
E>Vo !
Vq
ЕЩ
7
2
■■ИМ». .1.1 1 1. IIH...I ^
47

Оба решения должны подчиняться указанным выше
требованиям: значения г|) и г|/ на стыке двух областей
должны совпадать при подходе с двух сторон,
обеспечивая непрерывность этих функций. Для полного
определения решения необходимо знать значения четырех
числовых коэффициентов функции (2.6) — по два в каждой
области. На границе областей имеем два условия:
непрерывность \|>(л;) и г|/(х). Эти условия, как мы убедимся,
сводятся к системе линейных алгебраических уравнений,
в которые искомые коэффициенты входят в качестве
неизвестных. Значит, неизвестных у нас четыре, а
уравнений пока два, и условия непрерывности уже
использованы. Но остались еще граничные условия на
бесконечности. Их можно выбрать так, чтобы смоделировать
физическую ситуацию, которую мы хотим описать
искомыми волновыми функциями.
Пусть частицы с E>Vq падают на ступеньку из
бесконечности слева, частично отражаются от нее и летят
обратно, а частично преодолевают ее и летят дальше.
Значит, в области 1 есть как падающая волна eikx, так
и отраженная erikx9 а в области 2 отраженной волны с
импульсом, направленным влево, нет. Это определяет
один коэффициент, он оказывается равным нулю.
Поскольку нам важна относительная вероятность
прохождения через барьер, значение коэффициента при е1** в
исходной волне для нас безразлично, и проще всего его
положить равным единице. Это уже четвертое условие,
теперь можно записать и решать систему, так как
осталось два неизвестных и два уравнения. (Всякий раз,
когда автору приходится решать такую систему,
определяющую точку пересечения прямых на плоскости, он
вспоминает образное сравнение Я. И. Френкеля,
пояснявшего свойства решения следующим образом:
«Представьте себе, что у вас есть две пересекающиеся улицы.
По одной стоят женщины, по другой — милиционеры. Кто
стоит на перекрестке? Женщина-милиционер».)
Если E<cV0, то в области 2 есть два формальных
экспоненциальных решения с действительными
показателями — одно затухающее при увеличении х, другое
растущее. Ясно, что второе не удовлетворяет условиям
при х—мх> и в результат входить не должно. Значит,
один из коэффициентов равен нулю. Случаи E<CV0 и
E>V0 надо рассматривать по отдельности, начнем с
первого.
48

Наряду с k2=2mE/fi2 введем обозначения kl=2mVo/ii2
и x2=&q—k2. Тогда, согласно (2.6) и оговоренным
условиям на бесконечности, получим уравнения
в области /: yp[-\-k2^=0 с решением tyl=eikx -\-Be ~~ikx;
в области 2: ty"2 +х2г|)2 = 0с решением 0-е** -\-Ое~-*х. Для
определения В и D у нас есть два условия непрерывности
%(()) =г|)2(0) и $[(()) ==$!2(0). Дифференцируя,
подставляя х=0 и приравнивая их друг другу, получаем:
l + B=D; )k{l— B) = — xD.
Решаем эту систему обычным способом, не обращая
внимания на комплексность некоторых коэффициентов.
Находим:
В = — (и + i£)/(x — i&); D = — 2i£/(x — to).
Нас интересует квадрат модуля В в сравнении с
единицей. Эта величина покажет нам, какая доля частиц
отразилась со ступеньки, т. е. интенсивность отраженной
волны по сравнению с интенсивностью падающей. По
общим правилам действия над комплексными числами
% + ik I2 = [x + i&l2 = х2 + £2 = j
х — ik I | x — ik |2 ~~ x2 + k* ~
Отразилось все, что упало. Ступенька, т. е.
бесконечно широкий барьер, не пропускает частиц даже в
квантовой механике, и этот результат совпадает с
классическим. Однако отличие от нуля коэффициента D
показывает, что координата частицы имеет подбарьерное
значение с вероятностью, которая, хотя и быстро,
экспоненциально убывает с увеличением х, тем не менее
остается на любой глубине конечной.
При E>Vo решения в обеих областях являются
комбинациями плоских волн, но с разными значениями
волнового вектора по обе стороны границы. Слева от нуля
он по-прежнему равен k\ = k, а справа k2=\r2m(E—VQ)/fi2.
Кроме того, за ступенькой при х>0 есть только
«прошедшая», уходящая вправо волна е lk*x. Тогда
% = е,м + В1е-|М; i|?2 = 4eiM.
Выполняя «сшивание» на границе в точности так же, как
и при E<cVq, т. е. приравнивая в точке х=0 друг другу
/? = |Я|2 =
4—271
49

v{
J>Vo_
E<V0
7
2fi E/Vq
Рис. 11. Прямоугольный потенциальный барьер
Рис. 12. Зависимость проницаемости прямоугольного барьера от
энергии
функции г|?1 и ^2, а также их производные, получаем
линейную систему
\ + В1 = А2\ Ml-#i) = M2.
Отсюда
А2 = 2kxl{ki + К)\ В, = (kx - k2)l{K + К).
Коэффициент отражения R=\B\\2=[(k\—к2) I {k\+k2)]2
отличен от нуля! Это уже факт, невозможный в
классической механике: хотя кинетическая энергия частиц в
левой области и превышает высоту потенциальной
ступеньки, часть их испытывает отражение и движется в
обратном направлении.
Рассмотрим теперь прямоугольный потенциальный
барьер конечной ширины (рис. 11). При E>Vo в трех
областях (1, 2, 3 на рис. 11), привлекая соображения,
аналогичные высказанным выше при рассмотрении
ступенчатого потенциала, можно следующим образом записать
волновые функции:
при х<0 я^-е^+^е-**1*;
^х + B2e~iM;
при 0 < х < а у]р2 = А2 е1
Л*е
IRiX
(2.15)
при х > а я£>3
Здесь уже четыре неизвестных, но и условий
«сшивания» четыре: по два при х=0 и х=а. Выписывать и
решать получающуюся систему из четырех уравнений с
четырьмя неизвестными мы не будем, желающие могут
выполнить это довольно громоздкое упражнение самосто-
50

ятельно. Приведем лишь получающийся в результате
коэффициент прохождения через барьер
Р = | Л3 р = — . (2,16)
(k\ — k22) sin2 ak2 + 4£2 k\
Коэффициент отражения, очевидно, равен R = \—Р. Нас
уже не удивляет, что Р не равен единице, a R не равен
нулю. Осталось вычислить коэффициент прохождения при
E<Vq и убедиться, что он отличен от нуля. Тогда мы
сможем сказать, что научились описывать
математически все основные «парадоксы» квадратного барьера.
Следовало бы, конечно, переписать систему (2.15), заменив
в подбарьерной области плоские волны, т. е. экспоненты
с мнимыми показателями, действительными
экспонентами, и решить ее заново. Поступим, однако, хитрее —
произведем замену действительного волнового вектора
k2 чисто мнимой величиной ix2= (l/fe)V 2т (Е—V0) уже
в ответе (2.16) —именно такую замену нам нужно
сделать в исходной системе (2.15), чтобы перейти к под-
барьерным энергиям, а на операции по решению системы
такая замена нисколько не повлияет. Но тогда в ответ
войдет тригонометрическая функция от чисто мнимого
аргумента, а что это такое? Мы еще не знаем. Не знаем,
но вполне можем догадаться, вернувшись к формуле
Эйлера (2.1). Подставим в нее в качестве аргумента
чисто мнимую величину у = \п2х9 тогда
et(ix**) _ cos (ik^q _|_ j s;n (j Х2Д:).
после подстановки #==—ix2* получим:
eu-ix2*) ^ cQs £_ j x^ _j_ i sin (— i x2x)
и потребуем, чтобы для мнимых аргументов сохранялись
обычные свойства тригонометрических функций
sin (—х) =—sin x; cos (—х) =cos x. Тогда
е~*2* = cos (i к2х) + i sin (i х2лг); e***=cos (ix2x)—i sin (ix2x).
Вычитая второе уравнение из первого и учитывая, что
l/i=—J, находим:
sin (i к,х) = е 2Г~е =|(ev- е-**). (2.17)
4*
51

Подставив &2 = m2 в (2.16), учтя (2.17) и заменив в
нескольких местах i2 значением —1, запишем
окончательно:
Р = — . (2.18)
4*? А + (*? + >ф [ (е**2 - е"™-) /2]2
Зависимость коэффициента прохождения Р от
энергии, определяемая выражением (2.18), изображена на
рис. 12. Как видим, в отличие от случая ступенчатого
потенциала эта зависимость немонотонная — в подбарьер-
ной области Р испытывает, приближаясь с ростом
энергии к единице, колебания. Ну и совсем уж просто
можно получить коэффициенты отражения от потенциальной
ямы и прохождения над нею (см. рис. 14, б). Для этого
в выражениях (2.16) даже не надо ничего менять, а
просто следует принять, что k2= (l/%)Vr2m(E+Vo) вместо
(llffiV %т (Е— Уо). Получающийся коэффициент
прохождения, естественно, гораздо слабее зависит от энергии,
чем в случае барьера, а с ее увеличением гораздо
быстрее приближается к единице.
Прямоугольный барьер тем хорош, что решение
соответствующего уравнения Шрёдингера, как мы убедились, доступно
десятикласснику. Но эта форма барьера, конечно, является сильной
идеализацией, упрощением тех потенциальных функций, с которыми
приходится сталкиваться физикам в своих расчетах. Реальные
усложнения можно разбить на две основные категории:
1. Форма барьера сильно отличается от прямоугольной, но он
остается, как говорят, одногорбым (рис. 13,а), т. е. горизонтальная
прямая Е—const пересекает потенциальную кривую не более чем в
двух точках. Такие точки называют точками поворота; это
название является «пережитком» классической терминологии, и его не
следует понимать буквально. У прямоугольного барьера положение
точек поворота не зависит от энергии налетающей частицы.
2. Барьер становится многогорбым, и точек поворота может
быть больше чем две (рис. 13,6). Попытавшись записать
уравнение Шрёдингера, мы поймем, с какими вычислительными
трудностями нам придется столкнуться — решения с £>Vo и E<.V0
имеют разный вид, их придется сшивать в каждой точке поворота,
соответствующие линейные системы типа (2.15) станут громоздкими
и решать их будет трудно. Однако при этом в поведении
коэффициентов проницаемости при изменении энергии, как будет показано
ниже, могут возникать особенности, приводящие к интереслейшим
52

физическим следствиям, так что этот сложный случай также
заслуживает внимательного рассмотрения.
Но сначала познакомимся с одногорбыми барьерами,
отличными от прямоугольного. Пожалуй, простейшим из них является
параболический, когда потенциальная энергия зависит от координаты
как V(х) = шо)У/2 (см. рис. 14, а). Здесь т—масса частицы; со—
параметр, имеющий размерность частоты, т. е. измеряемый в
обратных секундах. О его физическом смысле мы еще поговорим. Точное
вычисление проницаемости в этом случае довольно сложно, но оно
дает очень простую конечную формулу
/ 2лЕ\
Р(£) = 1/\1+е ftG>). (2.19)
Кривая, соответствующая этой формуле, приведена на
рис. 14, б*. Главное отличие ее от проницаемости прямоугольного
барьера (см. рис. 12), которое бросается в глаза, — монотонность.
Барьер гладкий, без углов, и кривая получилась плавная. Отметим
также, что независимо от того, какое значение принимает величина
foco, Я(0) = 1/2, т.е. когда энергия частиц сравнивается с вершиной
параболического барьера, ровно половина их отражается, а другая
половина проходит. Поскольку большинство гладких барьеров
вблизи вершины похожи на параболический, формула (2.19)
широко используется в физике.
Поговорим теперь о величине /гсо, имеющей размерность
энергии. Возможно, это следовало сделать раньше, в первой главе,
когда упоминались правила квантования Бора — Зоммерфельда.
Однако мы договорились вводить новые понятия главным образом по
мере надобности, поэтому и в дальнейшем будем руководствоваться
английской поговоркой: «Перейдем по мостику, когда дойдем до
него».
На рис. 14 параболический барьер нарисован также и в
перевернутом виде. Эта пунктирная кривая изображает уже не барьер,
а потенциальную яму, причем такую, высота стенок которой с
увеличением х неограниченно растет по квадратичному закону. Эту
яму называют осцилляторным потенциалом. В классической
механике производная потенциала по координате, взятая со знаком
«минус», называется силой: F=—dV0/dx=—m(x)2x. Таким образом, в
* На первый взгляд может показаться странным, что в
выражение (2.19) не входит масса частицы. Так получилось только потому,
что в выбранной нами форме записи от массы зависит потенциал
(при фиксированном со). Если бы мы записали его как —kx2/2,
считая k _независимым «параметром жесткости», то в (2.19) вошло бы
й)=У k/m — явная зависимость от массы. Рис. 14 соответствует
случаю k=l.
53

случае осцилляторного потенциала на частицу действует сила,
которая стремится вернуть ее к началу координат и линейно растет
по мере удаления от этой точки — так работает идеальная
пружина. Если потенциальные барьеры вблизи вершины по большей
части похожи на параболический, то и потенциальные ямы вблизи дна
похожи на осцилляторный потенциал, и приближенная замена
реального потенциала осцилляторным — популярнейший расчетный
прием в квантовой механике.
Решать уравнение Шрёдингера с таким потенциалом мы не
будем, а вспомним модифицированные правила квантования,
приведенные выше В качестве квантуемой «величины размерности
действия» для осцилляторного потенциала естественно выбрать отно-
шение £/со, что сразу и дает эквидистантный спектр (спектр из
равноотстоящих уровней): £/co=/?/t, т.е. Е—пйы.
Последовательное решение уравнения Шрёдингера приводит к
немаловажному уточнению — в действительности £=Йб)(п+1/2).
Минимальное значение энергии, соответствующее, как говорят,
основному состоянию осциллятора я = 0, равно Ны/2. Кроме того,
полученное соотношение означает, что энергия движущейся в осцил-
ляторяой яме квантовой частицы
может принимать лишь значения,
кратные величине /ш, которая
называется осцилляторным
(колебательным) квантом. Значит,
параметр ш, задававший кривизну
вершины параболического
барьера, совпадает с частотой осцилля-
iA»
1Л
/ я]
.-< I 1. .1
О х -5 0 5х -0J 0 0,5 Е
Рис. 13. Одногорбый (а) и двугорбый (б) потенциальные барьеры.
На кривых указаны классические точки поворота, соответствующие
различным значениям энергии
Рис. 14. Параболически;* потенциальный барьер (сплошная кривая)
и осцилляторный потенциал (пунктир) (а), а также зависимость
проницаемости параболического барьера от энергии (б). Значения
по осям V, х и £ — в произвольных единицах
к
KJ
pi f~\
к'-/
|
Uj
P-/V-
w-\
ff)1
—1
y^
—==a
^J
pJ
54

тора, который получается, если барьер перевернуть. К спектру
осциллятора мы еще вернемся при обсуждении свойств многогорбых
барьеров.
Отличие энергии основного состояния от нуля
является общим свойством всех дискретных квантовых
энергетических спектров. Качественно это вытекает уже из
соотношения неопределенностей (1.9): раз движение
конечно и частица локализована в ограниченном
пространстве, она имеет неопределенность в импульсе и некое
отличное от нуля среднее значение кинетической энергии,
которое и «поднимает» ее над дном энергетической ямы.
Для осцилляторного потенциала этот «подъем»
оказывается равным ft со/2.
Мы обсудили выражения, описывающие зависимость
проницаемости квантового барьера от энергии в двух
простейших случаях, а одно из них даже самостоятельно
получили. Но как быть в сложных ситуациях, когда
барьер не похож ни на прямоугольник, ни на параболу?
Хотелось бы иметь какой-то, пусть приближенный, но
простой общий способ оценки проницаемости как функции
энергии. Такой способ есть, он тесно связан с
приближенными правилами квантования спектров конечного
движения, которые мы уже неоднократно использовали,
и называется квазиклассической формулой
проницаемости. Обозначим буквой S величину размерности
действия— площадь под кривой, изображающей зависимость
импульса р от координаты, между точками поворота,
ь
т.е. 5= \ p(x)dx. Если рассмотреть точки поворота не
а
для ямы, а для барьера, то между ними E<.V и р =
= V 2т(Е—V0) принимает чисто мнимые значения.
Запишем модуль этой величины, доопределив 5 =
b
= Г \р(х) \dx. Тогда нужная нам приближенная форму-
а
ла для проницаемости (приведем ее без вывода) примет
вид:
ь
Р=е h = е A )V\E — Vo\dx. (2.20)
а
Проверим ее на параболическом барьере. «Интегральное
действие» S для параболического потенциала равно
jtf/co, модуль его при «переворачивании» и превращении
55

ямы в барьер не меняется, поэтому согласно (2.20) Р&
ttQ-znE/hto^ что совпадает с формулой (2.19), если в ней
пренебречь в знаменателе единицей по сравнению с
экспоненциальным слагаемым. Такое возможно, лишь если
экспоненциальное слагаемое много больше единицы. Это
выполняется, если энергия Е заметно меньше высоты
барьера и сама проницаемость мала. Приведенными
условиями и определяется область применимости формулы
(2.20): ее можно использовать, когда Р(£)<С1 (и уж,
конечно, она неприменима в надбарьерной области).
Вычислив (2.20) при £=0, когда и S = 0, мы
получим Р(0)=1, что вдвое превышает точное значение для
параболического барьера — погрешность составит 100%.
Однако с углублением «под барьер», т. е. с уменьшением
энергии, точность приближения быстро увеличивается,
поэтому оно применяется очень часто. Для
прямоугольного барьера, учитывая, что S= \p\a=xah, получаем из
(2.20) Р=е*~2°*. Сравнить эту зависимость с точной (2.18)
читатель может самостоятельно.
Прежде чем рассматривать физические следствия туннельного
эффекта, познакомимся со свойствами многогорбого барьера.
Начнем с двугорбого.
Прохождение частицы через двугорбый барьер можно
представить себе как поэтапный процесс. Будем рассуждать так: сначала
частица проникает через барьер А и оказывается в яме С. Тут
перед ней открываются две возможности: прорываться вперед через
барьер В или вернуться назад, преодолев вторично барьер Л. Зная
уже начатки теории вероятностей, мы прикидываем: вероятность
первого этапа равна проницаемости левого горба Ра\ вероятность
дальнейшего движения вправо Рв, а вероятность обратного
перехода снова Ра. Какова полная вероятность оказаться правее всего
барьера? Она, очевидно, равна проницаемости РА, умноженной па
относительную вероятность преодолеть второй горб, т. е.
реализовать одну из возможностей, суммарная вероятность которых есть
Ра-\-Рв. Этот относительный шанс составляет Рв/(Ра+Рв), и
полная вероятность, следовательно, равна
Рлв = РаРВ/(ра + Рв). (2-21)
а вероятности РА и Рв мы, можно сказать, умеем вычислять по
формуле (2.20).
Что-то уж больно просто, подозрительно скажет бдительный
читатель — и будет прав.
56

Представим себе, что горбы Л и В очень высокие и широкие',
проницаемости их ничтожно малы. Тогда частица с небольшой
энергией, ухитрившаяся все-таки попасть в яму С, должна будет
чувствовать себя там, вблизи дна этой ямы примерно как в
параболическом потенциале. Но мы же видели — в параболической яме
может двигаться частица отнюдь не со всякой энергией, а только с
En = ti(j)(n+1/2). Слева же к барьеру могут приходить из
бесконечности частицы с любой энергией (движение неограниченно!),
которая должна сохраняться. Это наводит на мысль, что должно как-то
затрудняться проникновение в межбарьерную яму частиц с
энергией, сильно отличающейся от уровней энергии, которые бы они
имели в яме С, если бы горбы Л я В вдруг стали непроницаемыми.
А, может быть, и наоборот — попадание в «долину» С частиц с
энергией, совпадающей с одним из таких уровней, облегчится? Так
оно и есть. Формула (2 20), которую мы взяли все-таки не совсем
«с потолка», выполняется лишь в среднем, а истинная вероятность
испытывает относительно этого среднего весьма резкие колебания.
Настоящая формула проницаемости двугорбого барьера имеет
вид:
Р (Е) = МРАРВ 1(РЛ Рв + 16)2 cos* Ф +
+ \e(PA+PBysin^]-\ (2.22)
ъ
где cp(E)=S/h=r \k\dx — интеграл действия; а и Ь — точки пово-
а
рота в яме; Ра и Рв — по-прежнему выражаются формулой (2.20),
в которой интеграл действия берется между точками поворота на
горбах. Однако забудем пока про действие и интегралы и
посмотрим на (2.22) просто как на выражение, содержащее величины Ра
и Рв и тригонометрические функции единственной переменной ф.
Во-первых, это выражение можно существенно упростить, заметив,
что в сумме Ра^в+16 вполне можно отбросить РаРв — ведь
формула (2 22) справедлива лишь для РА «С 1 и Рв<1, а значит,
РаРв<С\ тем более. Тогда получим:
рлрв Г/ РА + Р
Р (Е) = -А—? / -А2 I sin* ф + cos* ф
К
(2.23)
Если ф= (2/г+1)зх/2, то соб2ф = 0, sin2 cp= 1 и нетрудно
убедиться, что
Р(Е) = 4РДРВ/(РА+РВ)*, (2.24)
а при ф = яя, т. е. cos2 ф = 1 и sin2 ф = 0,
Р(Е) = РАРв/4. (2.25)
57

Легко понять, что первое из полученных значений гораздо больше
второго — у него в знаменатель входит маленькая величина (Ра +
-}-Рб)2, да и 4 стонт в числителе, а не в знаменателе. При
значениях фазы ф, промежуточных между (2/г-Ы)л/2 и л/г,
проницаемость тоже принимает значения в промежутке между
вычисленными, которые теперь можно обозначить РМакс и РМИн. Избранные
числа ср(£) = (2/г+1)л/2 — это как раз те значения, которые
согласно правилам квантования Бора—Зоммерфельда соответствовали бы
стационарным уровням в изолированной яме С. Итак, зависимость
(2.22) в случае двугорбого барьера имеет резонансный характер,
достигая максимальных значений вблизи... Действительно, вблизи
чего? Резонансные значения энергии — не настоящие уровни,
вспомним, наша задача, строго говоря, относится к неограниченному
движению. Как же эти значения теперь назвать? Профессор, чьи
лекции по теоретической механике автор когда-то слушал,
говаривал: «Когда физики не знают, что сказать, они говорят «квази».
Вот эти значения энергии и назвали квазистационарными уровнями.
Зависимость Р(Е) для двугорбого барьера схематически
изображена на рис. 15. Разумеется, полное число квазистационарных
уровней в яме между горбами может быть различным: ни одного,
один, два, много. Рисунок соответствует случаю, когда таких уров-
У
&EZ
*Ь
0
1 ^MQKC
£ ЯЛА
£lJ_Jy U l
. д. а.)
X
Рис. 15. Двугорбый потенциальный барьер (а) и зависимость его
проницаемости от энергии (б)
Рис. 16. Многогорбый потенциальный барьер (а) и зависимость его
проницаемости от энергии (б)\ показано также образование
энергетических зон
58

ней два. Область благоприятных значений энергии, при которых ре*
зонансная зависимость Р(Е) облегчает прохождение частицы через
двойной барьер, чрезвычайно узка. О ее примерной ширине можно
судить на основании соотношения неопределенностей для энергии и
времени АЯ-AZ—ft, где А/ — среднее время пребывания частицы на
квазистационарном «распадающемся» уровне: АЕ — «энергетическая
ширина» уровня, состояния. Время А/ должно быть
пропорционально полной вероятности того, что частица покинет уровень, т. е.
величине РаЛ-Рв, а в качестве коэффициента пропорциональности
фигурирует все та же осцилляторная частота со, которая для
параболической ямы строго постоянна, а для потенциала, близкого к
параболическому, равна расстоянию между соседними уровнями
энергии, деленному на ft, и слабо меняется от уровня к уровню.
Тогда А£[со(Ра+Рв)]~1 — ^. Более строгое рассмотрение
показывает, что в полученном выражении не хватает множителя 4л и
правильный ответ есть А£=Г=/1со(Ра-ЬРв)/4л;.
Упростим формулы (2.24) и (2.25) для симметричных горбов,
когда при всех энергиях Ра = Рв=Р. Тогда
Рав = Р/2; ^аке=1(!); Яшв = ^/4. (2.26)
Восклицательный знак поставлен не зря. Подумать только: если
горбы двугорбого барьера симметричны, то для частиц резонансных
энергий их как-будто бы и вовсе нет. К широкому и высокому,
почти непрозрачному барьеру добавили еще один точно такой же, и
они, как волки в сказке Чуковского, «от испуга скушали друг
друга». Ясно, чю в каких-то физических явлениях этот эффект должен
играть — и действительно играет — чрезвычайно важную роль.
Заметим, что и средняя проницаемость Рав составляет в этом случае
половину проницаемости только одного горба.
А если горбов больше чем два? Общие выражения тогда
достаточно сложны, приводить их нет необходимости; однако
качественно описать ситуацию, возникающую с ростом числа одинаковых
горбов, стоит.
Во-первых, второе из равенств (2.26) сохраняется. При любом
числе горбов N существуют энергии, для которых барьер
совершенно прозрачен. Во-вторых, средняя проницаемость также близка к
проницаемости одного горба. В-третьих, детальная резонансная
структура проницаемости меняется так: пики примерно сохраняют
свое положение и высоту, но расщепляются каждый на N—1 более
узких пиков (рис. 16), причем с ростом числа горбов провалы между
пиками становятся все мельче, и при N-^oo они сливаются в некое
совершенно прозрачное «окно» конечной энергетической ширины,
которое называется энергетической зоной.
59

Из последовательности очень большого числа одинаковых
потенциальных горбов и ям состоят фактически все электрические
поля внутри кристаллов, определяющие движение электронов. Там-то
положение энергетических зон и играет решающую роль, так что
мы еще неоднократно будем возвращаться к ним. Пока же
рассмотрим следующий схематический пример. Выше уже упоминалось
о б-функции Дирака как о волновой функции состояния, имеющего
определенную координату. Однако она часто используется в самых
разных вычислительных задачах, когда требуется приближенно
описать функцию, принимающую очень большие значения внутри
узкого интервала значений аргумента, а вне этого интервала равную
нулю. Используют ее и для моделирования потенциалов. Кстати,
размерность [б(х)] = [1/*], поскольку по определению «площадь»
оо
под этой «кривой» равна 1, т.е. символический интеграл § 6(x)dx=
—оо
= 1.
Вообще у б-функции довольно любопытная история, о которой
стоит рассказать, начав с несколько, может быть, неожиданного
сравнения. Как известно, хорошие борцы классического стиля часто
получаются из спортсменов, занимающихся национальными видами
борьбы, самбо и вольной борьбой. Набор приемов, которые
разрешены в этих видах, включает массу таких, которые в классической
борьбе строго запрещены. Но оказывается, запрещенные приемы
вовсе не обязательно применять, их очень полезно просто знать,
поскольку развиваемые при их отработке мышечные навыки весьма
нужны и в классической борьбе.
Применение б-функции в «чистой», классической математике
долго рассматривалось как типичный запрещенный прием. Однако
шустрые физики в стремлении положить решаемые ими задачи «на
лопатки» весьма успешно пользовались этим приемом. (Да
простится автору эпитет «шустрые». Он употреблен, конечно, в шутку. Ведь
придумал б-функцию один из титанов теоретической физики
двадцатого века Поль Адриен Морис Дирак. Он, однако, в пору ее
изобретения был человеком совсем молодым и, как многие вспоминают,
весьма подвижным.) Прошло, пожалуй, лет десять, прежде чем
представители «чистой» математики, сперва советский академик
С. Л. Соболев, а затем француз Лоран Шварц, показали, что
можно, не поступаясь строгостью, рассматривать б-функцию как
математический объект. Теперь теория таких, как их стали называть,
обобщенных функций является важной составной частью широкой
области математики — функционального анализа.
Запишем б-образный потенциал:
V (x) = (h*/2m) Q6(x)9 (2.27)
60

где Q — постоянная, имеющая, как и 6(х), размерность волнового
вектора, т. е. обратной длины. Проницаемость такого барьера
вычисляется довольно сложно, но результат имеет очень простой вид:
P = k4(Q* + k*), (2.28)
где k — волновой вектор частицы. Периодический потенциал,
образованный бесконечной эквидистантной последовательностью б-функ-
ций с интервалом а, называют дираковской потенциальной
гребенкой и записывают так:
оо
V(x) = — V д(х + па). (2.29)
т j^
П=—оо
Оказывается, энергетические зоны такого потенциала определяются
очень просто — соответствующие разрешенным значениям энергии Е
волновые векторы (напомним, k2=2mE/h2) должны удовлетворять
неравенству
| cos (ka) + (Q/k) sin (ka)\ < 1. (2.30)
Желающие могут попробовать решать его графически. По мере
роста энергии получающиеся разрешенные зоны расширяются, так что
спектр приближается к непрерывному, однако никогда с ним
полностью не совпадает: даже при самых высоких энергиях всегда
имеются запрещенные зоны, примыкающие сверху к точкам ka^
—/wt.
Теперь читатель достаточно подготовлен, чтобы разобраться в
многочисленных конкретных примерах «работы» туннельного
эффекта в различных областях физики и техники. Их изучение мы и
начинаем со следующей главы.
Глава третья
ЬЕГЛЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ
И ПИРАМИДА НАИЗНАНКУ
1978 году исполнилось пятьдесят лет со дня
опубликования замечательной работы двух
советских теоретиков, впоследствии
академиков, М. А. Леонтовича и Л. И.
Мандельштама «К теории уравнения Шрёдингера».
Возникновение революционно новых
физических представлений и развитие
соответствующего этой физике математического аппарата
потребовало напряженной работы теоретиков многих стран.
Публикации, содержащие первоклассные, «долгоживу-
61

щие» результаты, не были тогда редкостью, но и на этом
фоне работа М. А. Леонтовича и Л. И. Мандельштама
выделяется. Академик Н. Д. Папалекси в предисловии к
пятитомнику трудов М. А. Мандельштама в 1949 году
писал, что в этой работе, в сущности говоря,
содержатся все основы теории прохождения частиц через
потенциальный барьер, послужившей фундаментом для
теории а-распада радиоактивных частиц.
Со временем статья не забылась, напротив, ее
значение было осознано глубже. Золотой юбилей работы был
отмечен статьей группы ученых во главе с академиком
Б. Б. Кадомцевым, опубликованной в журнале «Успехи
физических наук». В ней отмечается, что в работе
«впервые дана трактовка плавного перехода между
дискретным и сплошным энергетическими спектрами и углублен*
ная трактовка концепции «квантования»... Работа...
замечательна тем, что в ней схвачена суть сразу двух
важнейших квантовых концепций — туннельного
эффекта и квазистационарных состояний».
Именно эти концепции являются теоретической
основой объяснения явлений, о которых пойдет речь в нашей
книге, и историю туннельного эффекта, видимо, можно
отсчитывать с момента появления упомянутой
работы. Все изложенное в первых главах уже позволяет
читателю понять в основных чертах содержание и
значение статьи М. А. Леонтовича и Л. И.
Мандельштама.
Авторы исходили из следующего: есть дискретный
спектр, например осцилляторный, есть непрерывный
спектр свободного движения. Что будет, если на
значительных расстояниях и на большой высоте «загнуть
вниз» и устремить к нулю края параболической ямы,
«обрезать» осцилляторный потенциал? С одной стороны,
если сделать такую операцию достаточно далеко от
начала координат, система почти не должна это
почувствовать. С другой стороны, при этом неизбежно
произойдет качественное изменение — дискретный спектр —
отдельные линейчатые уровни, разделенные пустыми,
запретными энергетическими промежутками, —
превратится в сплошной, где запретных энергий нет.
На поставленный вопрос был найден правильный
ответ— возникнут квазистационарные состояния, т.е. при
значениях энергии, близких к уровням бывшего
дискретного спектра, волновая функция будет, с одной стороны,
62

концентрироваться внутри «остатка» ямы, а с другой
стороны, иметь незатухающие синусоидальные компоненты
малой амплитуды вне ямы, т.е. частица, идущая «из
одной бесконечности в другую», пройдет получившийся
потенциальный барьер без потери интенсивности, но
надолго задержится в центральной, не очень глубокой
потенциальной яме.
И началось длинное путешествие в страну туннелиро-
вания, как назвал его много позже в своей Нобелевской
лекции японский физик Л. Эсаки. Дж. Оппенгеймер
объяснил явление автоионизации атомарного водорода, а
Р. Фаулер и Л. Нордгейм — основные черты явления
холодной эмиссии электронов из металла под воздействием
сильного внешнего электрического поля.
Экспериментально холодная эмиссия была обнаружена шестью
годами раньше, но оставалась совершенно непонятной.
Выдающийся советский физик Я. И. Френкель, о
чьих идеях мы неоднократно будем говорить ниже, так
описывал электроны в металле: «Каждый атом с его
положительным ядром и отрицательной периферией
является шаровым конденсатором. Снаружи потенциал
равен нулю, внутри он положителен. Можно ли
утверждать то же самое, если мы имеем два, несколько или
бесконечное множество атомов? Представим себе их
сближенными настолько, что поверхности шаров
пересекаются. Внутри сфер господствует положительный
потенциал. Если в эту систему ввести электрон, то он сможет в
ней двигаться, но не сможет вырваться наружу».
Таким образом, кусок металла представляет собой
трехмерную потенцальную яму для электронов. В такой
яме, как мы уже знаем, существует система
энергетических квантовых уровней, на которых электроны и
располагаются. Эту систему можно представить в виде очень
плотно расположенных друг над другом этажей, и
согласно принципу Паули на каждом этаже могут «проживать»
одновременно только два электрона. Напомним суть
принципа Паули: в одном квантовом состоянии может
находиться только один фермион. В рассматриваемом
случае состояние определяется значением энергии и
ориентацией спина электрона, а таких ориентации возможно
всего две — вверх и вниз. Значит, и электронов с точно
одинаковой энергией в ферми-газе может быть только
два. Каждый энергетический этаж в пространстве
занимает весь кристалл, так что в отношении «площади»
63

своих квартир электроны живут просто роскошно (двое
на этаже!), но вот с высотой «импульсного потолка» и,
так сказать, с кубатурой этих помещений дело обстоит
очень неважно. Соотношение неопределенностей можно
написать для каждой из трех компонент координаты и
импульса, и тогда получим:
ApxApyApz-AxAyAz>%*.
Кубик со стороной %—вот все, что положено электрону
в пространстве действия. Не разбежишься.
Посмотрим на эту яму в разрезе (рис. 17,а). В ней
есть масса незанятых верхних этажей, и если электрону,
запертому где-то внизу, сообщить достаточную энергию,
он может бросить своего «соседа по общежитию» и
перебраться повыше, а то и вовсе вылететь наружу. Если
такой лишней энергии нет ни у одного из электронов, то
занятые уровни от незанятых отделяет резкая черта. Она
называется границей Ферми, обозначим ее EF. Ниже
этой границы «битком набито», выше—никого. Эта
ситуация соответствует температуре абсолютного нуля.
Энергетический интервал, отделяющий границу Ферми
от края ямы, называют
работой выхода £'вых = Ф.
Если температура ТфО,
то граница Ферми как бы
размывается, электроны,
обмениваясь энергией, время от вре-
г=о
7>0
В)
1 Туннельная
змиссия,
Электронные Поля нет
уробни ч
fr \ fa
О
Рис. 17. Определение границы Ферми EF и энергии выхода £Вых
для частиц-фермионов в потенциальной яме при температуре
абсолютного нуля (а) и отличной от нуля температуре (б). В последнем
случае граница Ферми размывается
Рис. 18. Механизм холодной эмиссии электронов из металла в
сильном электрическом поле
64

мени «выскакивают» на верхние уровни (рис. 17,6).
В общем, заметная часть электронов в металле
настолько подвижна, что их во многих
отношениях можно рассматривать как идеальный газ с
температурой, близкой к нулю. Однако вследствие принципа
Паули (запрещение занимать уже занятые нижние
уровни) многие свойства этого газа кажутся весьма
необычными, если сопоставлять их с нашими привычными
представлениями о газах, состоящих из свободных атомов
или молекул.
Прежде всего, электроны на верхних уровнях,
естественно, должны иметь довольно высокую кинетическую
энергию, которая для большинства металлов составляет
несколько электронвольт. Кинетическая энергия
частицы обычного идеального газа, как известно,
пропорциональна его температуре, и коэффициент
пропорциональности равен (3/2)*, где k = 1,380662-10"23 Дж/К —
постоянная Больцмана. Отсюда видно, что электрон,
находящийся вблизи границы Ферми EF=5 эВ, имеет
энергию такую же, как молекула газа, нагретого до
температуры 55 000 К. А поскольку масса электрона мала,
скорость для этого он должен иметь весьма высокую —
около 1000 км/с! И число свободных электронов в 1 см3
металла примерно в 1000 раз больше, чем число
молекул в таком же объеме газа при атмосферном давлении
и комнатной температуре — электронный газ как бы
сжат до давления 1000 ат и как бы нагрет до
температуры 55 000 К. Эта так называемая нулевая энергия
электронов составляет у обычных металлов тысячи
киловатт-часов на кубометр, но воспользоваться ею нет
решительно никакой возможности. Нулевая энергия —
каменное дно любого энергетического резервуара.
Из рис. 17 ясно, что если мы хотим добиться эмиссии — потока,
тока электронов из металла, то можно воспользоваться двумя
способами. Один, очевидный, способ — подогрев металла, и горячая
эмиссия электронов была известно давно. Другой путь, уже
упоминавшийся в первой главе, — фотоэффект, в котором электронам
сообщается не хаотическая, тепловая, а строго отмеренная световая
энергия. Не забудем только, что помимо «обобществленных»
электронов, о которых писал Я. И. Френкель, у атомов могут остаться
и «личные», сильно связанные электроны, которые добыть можно,
только ионизируя соответствующий атом. Если свободных
электронов много и они «гуляют» по кристаллу, то такой кристалл назы-
5—271
65

вают проводником, металлом, а если их очень мало или вовсе нет—»
изолятором, диэлектриком.
Шоттки в 1914 году наблюдал усиление электронной эмиссии
из нагретой проволоки в результате приложения к ней сильного
электрического поля. Однако количественные закономерности
явления сразу установить было трудно, поскольку неоднородности
металла приводят к местным усилениям поля, «вытягивающего»
электроны. В 1922 году было обнаружено, что если прикладывать к за*
зору между проводниками достаточно сильное электрическое поле,
то через зазор начинает течь слабый ток и без подогрева катода,
причем с ростом напряженности поля ток плавно, но быстро растет.
Постоянное электрическое поле соответствует линейно
зависящему от координаты потенциалу. Поэтому Фаулер и Нордгейм
предложили одномерную модель холодной эмиссии (рис. 18).
Электроны в металле удерживаются потенциальной ступенькой, полная
высота которой равна сумме работы выхода Ф и энергии Ферми EF.
Бесконечная ширина этой стенки может быть превращена в конечную
приложением сильного внешнего электрического поля F (его
потенциал— наклонная прямая линия на рис. 18). Значит, вместо глухой
стены появляется барьер с конечной проницаемостью. Вычислим эту
проницаемость по .приближенной формуле (2.20), взяв интеграл,
стоящий в показателе. В рассматриваемом случае потенциал V(x) =*
= ф — Fx. Положение границы металл — вакуум примем за
начало координат #=0, это будет одна точка поворота. За начало
отсчета энергии примем границу Ферми. Тогда £=0 и вторая точка
поворота определится условием У(х0)=Ф — Fx0=0, т.е. x0=<S>!F.
По формуле (2.20) в этом случае
хп х0
_ JL Г /21т V (x)dx - -1 Г V'2m (Ф—Fx) dx
Н J Н J
Я(Е) = е ° =е ° ее-*.
Введем новую переменную Fx=y и положим Уо=Ф, тогда
/--SF-j^"')1,i<"--ar-- (ЗЛ)
Показатель получился точно такой, как у Фаулера и Нордгей-
ма, однако их более точное рассмотрение позволило вычислить и
предэкспоненциальный множитель, оказавшийся пропорциональным
F2. В результате мы приходим к хорошо ныне известной формуле
для зависимости тока холодной эмиссии от приложенного поля и
работы выхода:
4 (2т)]/2Ф3/2
/ = const F?e ШР . (3.2)
Как уже упоминалось, «туннельный подкоп» электроны могут
66

совершать не только из общей ямы — металлического образца, но
и из отдельных атомов, если их также поместить в электрическое
поле. Картина очень похожа в этом случае на холодную эмиссию
(см. рис. 18), только яма, у которой мы для металла рисовали лишь
правый край, потому что ее размеры были по атомным масштабам
огромны, теперь имеет величину как раз с атом — это кулоновское
поле притяжения, действующее по закону V=—e2/r на электрон
(считаем заряд ядра равным единице, что соответствует атому
водорода). Такая автоионизация существенно влияет на поведение
газов в сильных электрических полях. Атомы нейтрального газа не
переносят заряда, такой газ не проводит тока, но с ростом
приложенного напряжения и, следовательно, поля в каждой точке
вытянутые из атомов вследствие туннельного эффекта электроны не
только образуют ток, но, ускоряясь в этом поле, начинают
выбивать электроны из других атомов, ионизуя их. Возникает
электрический пробой газа, он возможен (примерно по тем же причинам)
и в твердых диэлектриках.
До сих пор, говоря о туннельном эффекте, да и
вообще о волновых свойствах объектов микромира, мы то и
дело сбивались со слова «частица» на «электрон», и
конкретные примеры предыдущего параграфа также
относились к прохождению под барьером именно
электронов. И понятно почему. Взглянем хотя бы на
определение длины волны де Бройля (1.6): масса частицы стоит
в знаменателе, чем частица легче, тем больше ее длина
волны, тем сильнее квантовые эффекты. А в
приближенных формулах проницаемости барьера, как общей (2.20),
так и для конкретного случая в виде зависимости 1(E)
(3.2), корень квадратный из массы стоит в
отрицательном показателе экспоненты. Это означает, что при
переходе от электрона, например, к протону, который почти
в 2000 раз тяжелее, отрицательный логарифм
проницаемости барьера при прочих равных условиях увеличится
по абсолютной величине в Vтр/теж43 раза, т.е.
сквозь барьер, через который проникает каждый
десятый электрон, пройдет (при той же кинетической
энергии) лишь один протон из 1043. Разница, мягко говоря,
заметная. Однако и для тяжелых микрочастиц —
протонов, нейтронов, целых атомных ядер туннельным
эффектом часто пренебрегать нельзя. В основном это относится
к ядерной физике, и не только потому, что там
кинетические энергии частиц больше (там выше и барьеры),
а потому, что там расстояния меньше. Если применить
5*
67

формулу (2.20) к расчету проницаемости
прямоугольного барьера, то для этого случая V(x) = V0 =const и
1пР = —(2]^mVo/U) a> где а — ширина барьера. Таким
образом, масса частицы и высота барьера входят в
показатель в степени 1/2, а ширина барьера — линейно, от
нее проницамость зависит сильнее! Однако о ядерных
явлениях разговор пойдет в конце книги, а есть важные
и интересные примеры туннельного эффекта для
тяжелых частиц и в атомно-молекулярной физике. На одном
из них мы сейчас и остановимся.
Речь пойдет о так называемом аммиачном мазере.
Для этого нам придется несколько вернуться назад.
Говоря о стационарных уровнях квантовых систем,
например о дискретных спектрах атомов или гармонического
осциллятора, мы только вскользь упоминали о
квантовых переходах между этими уровнями. А между тем
именно такие переходы, точнее, сопровождающее их
электромагнитное излучение, и дают возможность судить
о спектрах, делают их наблюдаемыми. Строго
стационарный уровень, который не распадается и не
заселяется, наблюдать невозможно.
Соотношение неопределенностей для времени и
энергии (1.9) записано для состояния, имеющего конечное
время жизни и отличный от нуля энергетический
разброс— ширину. Мы о ней говорили, обсуждая
квазистационарные уровни в потенциальной яме между
максимумами многогорбого барьера. Там квазистационарность
была специфическая — частица просто могла покинуть
яму, уйти на бесконечность. Сейчас мы говорим о
другом— о возможности спускаться вниз по лесенке
уровней, например осцилляторных, отдавая энергию,
например испуская каждый раз квант излучения, фотон, с
энергией, равной разности энергий уровней. При этом
можно «прыгать» и через ступеньку или через несколько
ступенек и даже прямо переходить в основное состояние,
из которого спускаться уже некуда.
Возможен, естественно, и обратный процесс — если
облучать систему фотонами подходящей частоты, то она
может поглотить такой фотон и возбудиться, перейти на
более высокий уровень. Вероятность конкретного
перехода с испусканием фотона определяется свойствами
самих уровней (а все эти свойства описываются
соответствующими волновыми функциями) и законами, которым
подчиняется электромагнитное поле. Для каждого уров-
68

ня такая вероятность перехода W и соответствующая ей
ширина T=hW— величины постоянные, вычисляемые и
доступные экспериментальному определению, они так
же характеризуют уровень, как и само значение
энергии.
В 1917 году Эйнштейн ввел представление о так
называемом индуцированном излучении; это представление
добавляет к только что описанной картине очень
важную черту. Оказывается, вероятность излучения
постоянна только для свободной системы, при отсутствии в
окружающем ее пространстве поля излучения. Если же
такое поле излучения есть, причем система облучается
фотонами точно той же частоты, какую она может
сообщить испускаемым фотонам, то вероятность испускания
увеличивается прямо пропорционально плотности
«индуцирующего» излучения, т. е. числу его фотонов в
единице объема.
Сорок лет спустя эта указанная Эйнштейном
возможность привела к созданию лазеров, о которых теперь
наслышан, наверное, каждый. Идея лазера проста: надо
накопить достаточное число квантовых систем в
квазистационарных возбужденных состояниях, тогда рано или
поздно сорвется световая лавина — испущенные кванты
будут индуцировать испускание новых и т.д., и
практически мгновенно накопленная энергия высветится в
виде монохроматического параллельного пучка световых
волн.
Во-первых, такую возможность надо было осознать,
а, во-вторых, осознав, осуществить. На это и ушло сорок
лет. За создание лазеров Нобелевской премии были
удостоены советские ученые Н. Г. Басов и А. М. Прохоров
и американский физик Чарльз Таунс.
«Но при чем тут туннельный эффект?» — спросит
читатель. А вот при чем: чтобы возбужденные состояния
можно было накопить, накачать, они должны быть
достаточно долгоживущими, или, как еще говорят, метаста-
бильными. (Чем отличаются термины «метастабильный»
и «квазистационарный», автору, честно говоря,
неизвестно. Но когда физики не знают, что сказать, они
говорят «мета» почти так же охотно, как и «квази».) Чтобы
уровень жил долго, его распад должен быть чем-то
затруднен, но не запрещен полностью. В качестве помехи,
тормозящей высвечивание возбужденного уровня,
потенциальный барьер вполне годится, важно правильно по-
69

добрать его характеристики. В одном из первых лазеров
и использовалось явление туннельного перехода, а
начальная буква его названия другая, потому что излучал
он не свет («liqht» — по-английски), а
сверхвысокочастотные колебания («microwave»). Остальные буквы
аббревиатуры были те же— («amplification by stimulated
emission of radiation» — «усиление за счет
стимулированного испускания излучения».
Рассмотрим схему молекулы аммиака (рис. 19). Ее химическая
формула NH3 —--три атома водорода соединены с одним атомом
азота в пирамидальную конструкцию, основанием которой служит
«водородный треугольник», а вершиной — тяжелый атом азота. Эта
система упруго соединена электронными связями и может, в
принципе, совершать массу сложных движений — вращаться вокруг
любой из трех осей и по-разному колебаться. Все эти типы движений
квантуются, каждому из них соответствует свой набор
квазистационарных состояний, и переходы между такими состояниями дают
разнообразный набор наблюдаемых частот излучения. Кроме
того, могут возбуждаться электроны на орбитах образующих
молекулу атомов. Частоты, соответствующие состояниям разных типов,
лежат в разных областях спектра: электронные — в
ультрафиолетовой оптической, колебательные — в инфракрасной, вращательные —
Рис. 19. Схема молекулы аммиака NH3. Заштрихована плоскость,
проходящая через три атома водорода. Пунктиром изображена
зеркально-симметричная конфигурация, получающаяся в результате
туннельного проникновения атома азота через эту плоскость
Рис. 20. Потенциальная энергия атома азота в молекуле аммиака в
зависимости от расстояния х до плоскости водородных атомов и
энергетические уровни осциллятора в такой яме. Ниже центрального
максимума каждый уровень расщепляется на два. Пунктиром
указаны положения нерасщепленных уровней, соответствующие
нулевой проницаемости горба между ямами
70

в далекой инфракрасной. Все эти линии нас сейчас не интересуют,
и соответствующие им типы движений мы рассматривать не будем.
А интересует нас единственная, особняком расположенная линия с
частотой гораздо меньшей, чем у инфракрасного излучения. Это
уже радиочастота /=24 000 МГц, отвечающая длине волны X —
= с// = 3«1010/24-109 см/с-с-"1 = 1,25 см и энергии перехода
—посчитайте сами — порядка одной десятитысячной электронвольта.
Определим, какому движению она соответствует.
Обозначим координатой х положение атома азота относительно
основания пирамиды. Тогда при фиксированном положении атомов
водорода для атома азота возможны два явно равноправных
равновесных положения — одно по правую сторону основания (х=а),
другое—по левую сторону (х=—а). Будем считать, что молекула
очень жесткая, и атому азота позволены лишь малые колебания
относительно х—а или х=—а. Потенциалы, соответствующие таким
колебаниям, приблизительно параболические с крутыми стенками.
Но как бы ни были круты внутренние стенки этих двух осцилля-
торных потенциалов, при х=0 они где-то наверху соприкасаются,
значит, реальный потенциал (рис. 20) должен иметь форму двух
симметричных потенциальных ям, разделенных промежуточным
максимумом.
Но возникающий таким образом потенциальный барьер имеет
отличную от нуля проницаемость. Следовательно, атом азота, со*
вершающий колебания относительно равновесной точки х=а, рано
или поздно перейдет в положение, соответствующее левому
минимуму х——а, пирамида «вывернется наизнанку» — а потом он
может вернуться обратно и т. д. Поэтому волновая функция,
описывающая поведение атома азота (а этот атом в целом — тоже
квантовая частица), будет суперпозицией, т.е. суммой двух волновых
функций if>,(*) и if>2(*), каждая из которых имеет резкий максимум
вблизи х=а и х — —а соответственно. Оказывается, если взять две
такие линейные комбинации, различающиеся лишь знаком при
втором слагаемом, то они будут соответствовать реальным состояниям,
слегка раздвинутым по энергии: основное состояние в осциллятор-
ном потенциале слегка расщепится на два состояния, и
энергетическая разница между ними будет очень просто связана с
вероятностью туннельного перехода атома азота из одного равновесного
положения в другое, т. е. с вероятностью «проскочить» сквозь
плоскость, проходящую через атомы водорода. Если вероятность такого
перехода в единицу времени велика, то это есть фактически частота
колебаний, соответствующих периодическому прохождению атома
азота через плоскость, в которой лежат атомы водорода.
Если молекула аммиака находится в нижнем из двух
получившихся состояний (обозначим их if>/ и г|)ц), то, поместив ее во
71

внешнее высокочастотное поле, можно добиться перехода в верхнее
состояние, которое и будет высвечиваться с испусканием
«радиофотона». Но для работы мазера нужно накапливать молекулы в
верхнем состоянии. Как это сделать?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассмотреть поведение
молекулы аммиака во внешнем не зависящем от времени
электрическом поле. Пусть оно направлено перпендикулярно плоскости, обр i-
зованной атомами водорода. Теперь уже энергии состояний с
разным расположением атома азота относительно этой плоскости
могут быть неодинаковыми, поскольку из-за присутствия сильно
заряженного ядра азота электронные облака атомов водорода в
среднем несколько смещаются в его сторону. Молекула остается
нейтральной, но центры масс положительно и отрицательно заряженных
частей (заряд каждой из них по абсолютной величине равен 10 е)
оказываются несколько раздвинуты; говорят, что у молекулы
появляется дипольный (двуполюсный) момент. Обозначим расстояние
между центрами положительно и отрицательно заряженных частей
d. Во внешнем электрическом поле разница энергий этих
раздвинутых заряженных частей пропорциональна de, и знак ее зависит от
того, по какую сторону плоскости расположен атом азота. В
результате энергия молекулы в электрическом поле зависит от ее
ориентации, а именно, энергия больше, если атом азота удален от
плоскости в направлении «по полю», и меньше в противном случае,
причем энергетическое расщепление тем больше, чем больше
приложенное поле е: A£=±|ie (коэффициент [i и называют дипольным
моментом).
Вспомним теперь, что истинные состояния молекулы не i|)j и ф2,
a if>/ и if»//, которые являются смесью if>j и г|)2 в равных долях,
причем при е== 0, когда дипольное расщепление тоже равно нулю,
энергии Ei и Еи различаются на величину ?1со, т.е. Ei,ii=E0±:hu>/2.
В очень сильных полях стимулированное расщепление должно
возобладать над исходным, поэтому точный расчет положения уровней
энергии Ei и Еи с учетом и туннельного эффекта, и расщепления
электрическим полем дает формулу Е = Е0± ]/^йсо/2)24-|л2е2,
которая при 6=0 и 8->оо дает как раз такие предельные случаи,
которые мы обсудили.
До сих пор речь шла о сильном, но постоянном электрическом
поле. А если поле еще и резко меняется в пространстве, то на
молекулу как целое будет действовать результирующая сила. Если
устроить электроды, создающие поле, так, чтобы эта сила была
направлена поперек пучка пролетающих между электродами молекул,
то поле будет сортировать молекулы в состояниях / и //, отклоняя
их в разные стороны. Теперь осталось пропустить пучок молекул,
находящихся в состоянии /, через резонатор, т. е. полость с метал-
72

лвческими стенками, в которой создано высокочастотное (24 ГГц)
электромагнитное поле, и там в соответствии с давним
предсказанием Эйнштейна эти молекулы высветятся, мазер заработает.
Остался один подводный камень. Индуцирующее поле будет
разряжать молекулы, но оно же будет их снова заряжать,
возбуждать. Если данные процессы находятся в равновесии, то
результирующего излучения не получится. Для детального изучения этого
вопроса нам надо было бы решить уравнение Шрёдингера с
потенциалом, зависящим от времени по гармоническому, синусоидальному
закону; но мы его решать не будем, ограничимся лишь довольно
очевидным утверждением, что со временем будут меняться
синусоидально и решения, волновые функции, а также квадраты их
модулей, т. е. вероятности найти молекулу в состояниях i|?j и if>j/.
Круговая частота этих колебаний со0 = |лео/^, где ео — амплитуда
высокочастотного поля. Если молекулы влетают в резонатор в момент
времени / = 0 в состоянии if>/, то в дальнейшем вероятность найти
их в том же состоянии равна P/=cos2(^|ieo/ft), а вероятность того,
что они будут в состоянии -фл, Pn = s'm2(t^ol%). Если молекула
пересекает полость резонатора за время 7\ то его нужно выбрать
так, чтобы вероятность Pi успела как раз упасть до нуля, а Рц —
вырасти до единицы. Тогда произойдет полная разрядка. Для этого
необходимо, чтобы выполнялось равенство 71(jie0//i = Jt/2, т.е. 7=
= л?1/2|лео.
Вот теперь принцип работы аммиачного мазера можно понять
во всех деталях (рис. 21): смешанный (по состояниям / и //)
пучок молекул NH3 входит в пространство с сильным полем между
изогнутыми электродами и расходится на пучки молекул,
находящихся в состояниях / и //. Первый из них направляется в резонатор,
время пролета в котором подобрано так, чтобы обеспечить полную
разрядку. За счет этой разрядки подпитывается поле в полости и
излишек энергии излучается. В реальных конструкциях существует,
конечно, разброс молекул по скоростям, выводящий их из резо-
Рис. 21. Принципиальная схема Направление
1
Е
аммиачного мазера: v — скорость
молекул; Т—период
высокочастотных колебаний; I и II —
компоненты молекулярного пучка,
соответствующие двум
«подуровням», на которые расщепляется
каждый уровень из-за подбарьер-
ных колебаний. Переменное в
пространстве поле разделяет пучок на
компоненты. Переменное во времени поле резонатора переводит их
из состояния / в состояние // за счет индуцированного излучения
электрическое поле
с амплитудой 60,
частотой со0
ill
vT
73

нанса, и другие отклонения от нарисованной выше
идеализированной картины, однако в целом аммиачные мазеры исправно
работают.
Чтобы закончить разговор о туннелировании
тяжелых частиц, следует кратко сказать об интересном
явлении квантовой диффузии. Вообще диффузия — это
взаимопроникновение двух различных веществ, приведенных
в соприкосновение. Легче всего, с наибольшей скоростью,
так сказать, прямо на глазах она протекает у газов и
жидкостей, но и атомы твердых тел, например двух
различных металлов, прижатых друг к другу, пересекают
границу раздела и постепенно внедряются на все
большую глубину в кристаллическую решетку соседа.
Изучать диффузию в твердых телах начал в прошлом веке
известный английский металлург У. Робертс-Остин,
поставив следующий несложный опыт. Он наплавил
тонкий золотой диск на торец свинцового цилиндра длиной
2,5 см и в течение десяти дней прогревал этот цилиндр
в печи при температуре около 200 °С. Разрезав его
после этого на тонкие диски, он измерил содержание золота
в каждом из получившихся срезов вплоть до
противоположного торцевого, и золото во вполне заметных
количествах было во всех дисках. Продиффундировал и
свинец в золото, но гораздо слабее. Скорость диффузии в
твердых телах сильнейшим образом зависит от
температуры. Например, при нагревании от комнатной
температуры до 300 °С скорость диффузии цинка в медь
возрастает примерно в 100 млн. раз. До сих пор речь шла об
обычной диффузии, обусловленной классическим
броуновским движением. В некоторых случаях, однако,
диффузия может осуществляться за счет туннельного
эффекта. Это явление получило название квантовой
диффузии.
Начнем с цитаты из обзора Е. Г. Максимова и
О. А. Панкратова «Водород в металлах»: «Физические
и химические свойства соединений водорода с
металлами... изучаются очень интенсивно уже много лет.
Интерес к этим соединениям вызван возможностью их
широкого практического применения, особенно в ядерной
технике, а также тем обстоятельством, что водород,
попадающий в металл, является одной из основных
причин возникновения различных дефектов, ухудшающих
свойства металла. Но, пожалуй, с точки зрения физика
наибольший интерес вызывают эти соединения благода-
74

ря множеству очень любопытных и специфических
явлений, в которых проявляется существенно квантовая
природа поведения легкого водорода в тяжелой
металлической матрице».
К числу таких явлений относится, например,
способность добавленного в металл водорода делать его
сверхпроводником или, наоборот, уничтожать
сверхпроводимость. Примером первого рода служит палладий,
второго— ниобий. Особенностью диффузии водорода в
металлах является также ее необычно большая скорость —
почти как в жидкостях. Иногда это сильно мешает и
заставляет принимать специальные меры
предосторожности. Особенно опасна быстрая диффузия в твердых
телах радиоактивного изотопа водорода, трития (атомная
масса его равна трем).
Внедрившийся в чужую кристаллическую решетку
атом водорода, для того чтобы перемещаться по
кристаллу, должен переходить из одного междоузлия в
другое через потенциальный барьер. Нормальная,
классическая диффузия имеет место, когда этот переход
осуществляется за счет теплового движения — хаотические
колебания решетки рано или поздно снабжают
водородный атом достаточным количеством энергии, и он
перелетает через барьер. Коэффициент классической
диффузии подчиняется хорошо и давно известному закону Ар-
рениуса
D = Do<rv/kTf (3.3)
где V—высота потенциального барьера; Т —
температура. Коэффициент D0 пропорционален частоте тепловых
колебаний со0, а она обратно пропорциональна корню
квадратному из массы атома водорода. Поэтому из
классической теории диффузии, т. е. из формулы (3.3),
вытекает, например, что отношение коэффициентов
диффузии легкого водорода и дейтерия (атомная масса равна
двум) должно независимо от температуры равняться
DU/DD =1,41. При низких температурах на практике
это соотношение заведомо не выполняется.
Квантовая модель диффузии отличается от
классической двумя главными чертами. Во-первых, надо
учитывать наличие у атома примеси нулевых колебаний, не
затухающих и при температуре абсолютного нуля, а во-
вторых, как пишут авторы обзора, «возникает весьма
интригующая возможность туннельного перехода примеси
75

между различными междоузлиями». Поэтому
зависимость коэффициента диффузии от температуры носит
немонотонный характер — достигнув с понижением
температуры минимума, он потом начинает вновь возрастать.
Это увеличение в некотором отношении аналогично
нормальному росту электронной проводимости при
охлаждении металла (подробнее об этом будет говориться в
следующих двух главах)—решетка застывает,
упорядочивается и начинает оказывать меньшее сопротивление как
электронному, так и протонному туннелированию,
Глава четвертая
КОНТАКТ
статье «Природа твердых тел», написанной
известным специалистом по теории
кристаллов Г. Ванье, говорится: «Физика
твердого тела является новой областью науки,
возникшей и развиваемой лишь в нашем
столетии. Зачастую только необычные и
удивительные стороны предмета
способствуют пробуждению интереса к нему. К твердому состоянию
тел интерес физиков привлекли два таких свойства,
выясненных в начале столетия: строение кристаллов и
электропроводность металлов».
Кристаллы завораживали людей с глубокой
древности, их описание и классификация были любимым
занятием ученых со времен античности. Красота и редкость
крупных кристаллов, выросших в естественных условиях,
сделали их драгоценностями, воспроизводить которые в
лабораторных и промышленных условиях люди еще
только учатся*. По-иному обстояло дело с
электропроводностью. Познакомившись поближе с электричеством,
ученые быстро разделили все твердые тела на
проводники и изоляторы и на этом надолго успокоились. К
пониманию законов движения зарядов в твердых телах
физики пришли лишь в двадцатом веке, а к количест-
* Кое в чем, правда, люди обогнали природу. Пример тому —
имеющие ювелирную (и не только ювелирную!) ценность
кристаллы-фианиты, созданные в ФИАНе (Физическом институте АН СССР
им. П. Н. Лебедева).
76

венному описанию — лишь во второй его половине,
поскольку законы эти, во-первых, квантовые, а во-вторых,
они гораздо сложнее того, с чем приходится
сталкиваться при изучении, скажем, отдельных атомов и молекул.
Но сложность всегда означает разнообразие, наличие
богатых, зачастую весьма не очевидных возможностей.
Поэтому детальное изучение физики твердого тела
вознаградило исследователей многочисленными открытиями,
которые нашли самое широкое применение в технике и
коренным образом изменили наш быт. В последнем
отношении, пожалуй, лишь химия может соперничать с
физикой твердого тела.
В этой обширной и богатой красотами области
науки многое тесно связано с нашей темой, и в первую
очередь именно электропроводность, которую Ванье
наряду со строением кристаллов назвал необычным и
удивительным свойством. Что же в ней необычного и
удивительного?
Представим себе стальную стену метровой толщины.
Она является зримым воплощением понятия
непроницаемости. Это непреодолимое препятствие на пути
почти любого материального тела. Однако возьмем
слабенькую батарейку и замкнем ее контакты через эту
стену— ток потечет насквозь. Электроны будут входить в
стену через одну ее поверхность и выходить через
другую. Кстати, о том, что проходить через стену будут
именно электроны, немецкий физик П. Друде догадался
в 1900 году, через пять лет после открытия этой
элементарной частицы, в ту пору единственно известной. У
протонов точно такой же по абсолютной величине
электрический заряд, как и у электронов, но протонный ток
через нашу стальную стенку мы не получим. «Ну, — начнет
читатель, — так ведь электроны меньше протонов...» —
и запнется. Во-первых, что меньше, а что больше, еще
вопрос. Во-вторых, вспомним картину строения атома,
возникшую в результате опытов Резерфорда: «кусочек
платины в охапке сена». Каждый атом — почти пустое
место, и поэтому наш стальной монолит — тоже
фактически сплошная дыра. Однако электроны через нее
проходят, а протоны нет. А что такое изоляторы? Стекло —
не преграда по сравнению со сталью, свет, например,
через него довольно свободно проходит, а электроны не
проходят. Загадки налицо.
Разгадать первую из них — почему электроны прохо-
77

дят, а протоны не проходят — мы, усвоив азы квантовой
механики, уже можем. Дело не в том, что электроны
меньше протонов, а в том, что они легче, у них меньше
масса, стоящая в знаменателе выражения для длины
волны, — мы об этом уже говорили. Электроны — «более
квантовые» частицы, а прохождение через любой
барьер — квантовый эффект (метр стали — вот уже барьер
так барьер).
Разницу между проводником и изолятором можно
понять на основе представления о кристалле как много-
много-многогорбом барьере — того представления,
которое читатель получил, прочитав предыдущую главу.
Довольно наглядное сравнение, помогающее понять зонный
механизм проводимости, приводит Ванье в уже
цитированной нами статье. Представим себе сосуд из широких
вместительных цилиндров, расположенных один над
другим и соединенных очень узкими осевыми трубками.
Каждый такой цилиндр изображает одну зону
проводимости. В цилиндр налита жидкость, целиком
заполняющая Нижние зоны, а верхнюю — лишь до половины. Это
модель проводника. Если и верхняя зона заполнена по
горлышко, до трубки, — это модель изолятора.
Приложение электрического поля в такой модели — легкий
наклон сосуда. У «проводника» ситуация в верхнем сосуде
при этом заметно меняется — уровень жидкости
перекашивается относительно стенок, и если есть отверстие в
стенке где-то выше исходного уровня, жидкость через
него потечет. С «изолятором» же, можно сказать, ничего не
произойдет, положение жидкости относительно стенок
практически не изменится (капиллярной трубкой мы
пренебрегаем, считая, что через нее ничего
по-настоящему вылиться не может). «Жидкостью» в твердых телах
являются электроны. Мы их уподобляли, и не без
оснований, газу, но электроны в металлах, согласно теории,
созданной академиком Л. Д. Ландау, во многом
похожи и на жидкость.
В разных материалах положение границы Ферми
(«уровня жидкости») относительно границы зоны
(«крышки верхнего сосуда») различно, поэтому очень
интересные ситуации возникают при соприкосновении
различных металлов и диэлектриков между собой — при
их электрическом контакте. Некоторые из этих ситуаций
будут рассмотрены в настоящей главе, чем и
объясняется ее название.
78

Прежде чем заняться контактными явлениями,
необходимо сказать еще об одном (кроме проводников и
изоляторов) замечательном классе веществ, о котором мы
до сих пор не упоминали. Привыкнув к тому, что
качество есть лишь количество-переросток, мы легко можем
предположить, что значения электропроводности (или
обратной ей величины — удельного электрического
сопротивления) реальных материалов вовсе не
распадаются на две резкие группы без всяких промежуточных
случаев. Такие случаи есть.
В нашей «многоэтажной бутылке», моделирующей
электронные зоны, не следует совсем забывать о
соединительной трубке. Она ведь может иметь и разную
длину, и разное сечение, а от них зависит, например,
следующий процесс. Представим себе, что бутылку слегка
трясут. В результате такой тряски какое-то количество
жидкости, пусть по каплям, будет попадать в абсолютно
пустое отделение, расположенное выше заполненного.
Роль тряски в твердых телах играет нагрев. Нагревом
можно забрасывать в зону проводимости носители тока,
электроны, если трубка сравнительно неплохо их
пропускает. А пропускает их она тем легче, чем сама короче,
т.е. чем меньше разность энергий между пустой верхней
зоной и полностью заполненной электронами нижней
зоной. Чем сильнее тряска, тем больше электронов будет
в верхней свободной зоне и тем больше должна быть
проводимость.
Это что-то новенькое. Со школы всем известно, что
электрическое сопротивление увеличивается при
нагревании. А тут мы видим, что в принципе можно
представить себе материалы с такой зонной структурой (малый
энергетический промежуток между целиком заполненной
и пустой или почти пустой зонами), что они, во-первых,
при отличной от нуля температуре будут иметь
ненулевую проводимость, а во-вторых, эта проводимость будет
расти с увеличением температуры. Такие вещества
действительно есть. Они называются полупроводниками.
Еще одна деталь. Капля жидкости в результате
тряски проскочила наверх. Что осталось вместо нее в
нижнем, теперь уже несколько менее полном сосуде?
Пузырек, пустое место, дырка, которую официально,
по-научному, так и называют: дырка.
На квантовом языке дырка — это состояние,
освобожденное перешедшим на более высокий уровень элек-
79

троном. Поведение такого образования во многом очень
похоже на поведение настоящей частицы с собственным
электрическим зарядом, противоположным
электронному, и даже с собственной массой. Заметим только, что
эта масса может быть не равна эффективной массе
электрона в полупроводнике, да и обе они могут очень
сильно отличаться от массы свободного электрона. Никакой
мистики тут нет, электрон сам по себе, конечно, не
меняется, но, как тело, движущееся в жидкости,
взаимодействует с ней и частично ее увлекает, так и частица в
среде— или даже пустое место в среде! — при своем
движении воздействует на среду, возбуждает в ней движение,
с которым можно связать импульс, энергию — и массу.
Название «масса» в этом случае в значительной мере
условно, и без прилагательного «эффективная» или
«наблюдаемая» его лучше не употреблять. Итак,
носителями тока в полупроводниках являются возбужденные
электроны, перескочившие через запрещенную зону, и
сменившие их в заполненной зоне дырки. И тех и других
немного, так что особенно большого роста проводимости
при этом не происходит — не забудем, что собственная
проводимость полупроводников при комнатной
температуре, все-таки, мала. Даже если мы нагреем
полупроводник и его проводимость вырастет — что из этого? Есть
же металлы, прекрасные проводники, зачем мучиться с
полупроводниками?
С чистыми полупроводниками, надо сказать,
особенно и не мучились, ограниченную возможность их
применения осознали быстро. Совсем другое дело
полупроводники с примесями. Революция в электронике связана
именно с ними. Такие полупроводники в отличие от
чистых можно было бы назвать грязными, но используют
более благородное слово, пришедшее из металлургии —
их называют легированными. Как известно, углеродные,
молибденовые, никелевые, марганцевые, вольфрамовые
добавки к чистому и в чистоте своей почти
бесполезному железу превращают его в высокопрочную,
жаростойкую нержавеющую сталь. Столь же, если не более
чудесные метаморфозы происходят с полупроводником при
введении в него легирующих добавок — причем в
мизерных количествах, в долях одна на миллион и ниже, так
что с химической точки зрения и легированный
полупроводник все еще остается материалом исключительной
чистоты.
80

Причина чувствительности электрических свойств
полупроводника к добавкам заключается в следующем.
Запрещенную зону мы до сих пор представляли себе как
сплошную, непрерывную по вертикали, предполагая, что
существует интервал энергий, значения которых не
могут отвечать электронным уровням. Это справедливо
для чистых веществ и однородных кристаллических
решеток. Появление атомов примеси может качественно
изменить положение. Они будут расположены редко,
образуя в кристалле как бы подрешетку, обычно
нерегулярную. У этого «подкристалла» может возникнуть своя
зона проводимости, гораздо более узкая, чем зоны
кристалла-хозяина, чаще всего ее можно назвать просто
одиночным уровнем — но этот-то уровень может попасть
как раз в запрещенную зону полупроводника.
Рассматривая кристаллическую решетку как
совокупность отдельных атомов с заданным числом
электронов на внешней оболочке, можно сказать то же самое и
по-другому. Возьмем в качестве примера кристалл
самого популярного полупроводника — германия (Z = 32).
Он находится в четвертой группе таблицы Менделеева,
а на его внешней оболочке — четыре электрона. В
кристалле беспримесного германия каждый из них
находится на своем постоянном месте — держится за близнецов-
соседей. Для создания заметной проводимости «рабочих
рук» — электронов у кристалла не хватает. В кристалл
вводится примесь, атомы ближайшей, пятой, группы,
например атомы правого соседа германия по
периодической таблице — мышьяка (Z=33). Они замещают часть
атомов германия в решетке. Но мышьяка мало. Его
атомы с пятью электронами на внешней оболочке
попадают, как правило, в полное трехмерное окружение своих
четырехвалентных хозяев и сцепляются с ними
четырьмя из своих пяти внешних электронов, а пятый может
свободно перемещаться и проводить ток. Такой
внедренный атом, пожертвовавший своим электроном ради
общего дела — улучшения проводимости, называют
донором, а возникшую проводимость — донорной, или
электронной. Если вместо атома мышьяка ввести атом
третьей группы — пусть это будет сосед слева, галлий (Z=
=31), то окажется, что у него на внешней оболочке не
хватает одного электрона; на это место легко перейдет
электрон германия, оставив в своем атоме незанятую
орбиту.
6—271
81

Мы уже знаем, что это
дырка, эквивалентная под*
вижному положительному
заряду. Возникнув в
большом количестве, такие
дырки создадут акцепторную,
или дырочную,
проводимость. На энергетической
зонной диаграмме
легированного полупроводника
(рис. 22) уровни донора
располагаются в
запрещенной зоне чистого
полупроводника вблизи ее верхнего
края, а уровни акцептора —
вблизи нижнего края.
Электроны и дырки обладают резко различной
подвижностью в электрическом поле и движутся, при
одном знаке напряжения, в разные стороны. Если
приложить друг к другу два кристалла германия, в одном из
которых предварительно создать примесь донора, а в
другом — акцептора, то полученный контакт будет
обладать различными значениями проводимости в двух
направлениях (он называется я—р-переходом*). При
напряжении одного знака получим высокую электронную
проводимость и сильный ток, при напряжении другого
знака — низкую дырочную проводимость и маленький
ток. Прибор, действующий таким образом, называют
полупроводниковым диодом или выпрямителем: если
приложить к нему переменное напряжение, то он будет
пропускать ток в одном направлении и запирать в другом.
Помещая между двумя кристаллами с электронной
проводимостью тонкий третий кристалл с дырочной
проводимостью, получают полупроводниковый триод — знаме<
нитый транзистор, способный усиливать колебания
напряжения. Революционная замена громоздких
электровакуумных приборов (ламп) крошечными
экономичными надежными полупроводниками за два
десятилетия неузнаваемо изменила электронику. Как
образно выразился один физик, в результате этого пере-
* Это сокращение от английского «negative — positive»
(отрицательный — положительный») обозначает разные знаки зарядов
носителей тока по разные стороны границы.
Запрещенная зона" ^
Рис. 22. Энергетические
зонные диаграммы (включая
уровни примесей)
низколегированных (а) и высоколегированных
(б) полупроводников.
Пунктир— уровень примеси
82

ворота, например, электронно-вычислительная машина,
которая раньше была величиной с верблюда, теперь
стала проходить через игольное ушко.
Одним из создателей транзистора был Джон Бардин,
единственный пока в истории человек, дважды
удостоенный Нобелевской премии по физике (Мария Кюри
также получила Нобелевскую премию дважды, но один раз
по химии, другой — по физике).
Однако пора рассказать о непосредственном
применении квантового проникновения через потенциальный
барьер в полупроводниковых устройствах — о
туннельном диоде.
Впервые идею о возможной важной роли туннелиро-
вания электронов через контактные промежутки
высказал замечательный советский физик Я. И. Френкель в
1930 году для объяснения удивительного факта
независимости контактного сопротивления между металлами от
температуры. Барьером, по предположению Я. И.
Френкеля, служит узкий вакуумный зазор между
контактами. Вскоре тщательные измерения контактного
сопротивления показали, что значение сопротивления тонких
поверхностных пленок на контактах и независимость этого
сопротивления от температуры действительно
согласуются с представлением о туннелировании. Фактически
оно происходит не через вакуумный, а через вакуумпо-
добный промежуток — слой окисла.
Яков Ильич Френкель известен как блестящий
ученый и педагог, оставивший немало прекрасных научных
трудов. Академик И. К. Кикоин, бывший в свое время
учеником Зоммерфельда, вспоминает, что почтенный
профессор, про которого студенты шутили: «Нет Бора
кроме Бора, и Зоммерфельд пророк его»,—принимал
экзамены по книге «Электродинамика» Я. И. Френкеля,
которую считал лучшим учебником в мире. Это очень
высокая оценка, если учесть, что Зоммерфельд сам был
автором великолепного курса классической
электродинамики, изданного во многих странах.
Обладая широкими познаниями и богатой
интуицией, Я. И. Френкель умел наглядно объяснить физические
принципы самых разнообразных явлений и их
технических применений—-как осуществленных, так и
потенциальных. Коллега Я. И. Френкеля, И. М. Имянитов, написал
в своих мемуарах про рассказ Якова Ильича на лекции
(в 1939 году!) «о том, как может быть устроена ядерная
6*
83

бобма,— рассказ, правда, оканчивающийся
утверждением, что никогда не удастся добыть нужного количества
чистого изотопа урана (235U — H. Р.), в то же время был
достаточно точный, чтобы в 1945 году по газетной
заметке о Хиросиме его ученики могли представить себе
принцип действия ядерного оружия».
В объяснении ключевого для всей ядерной
энергетики явления деления ядер нейтронами Я. И. Френкель
был пионером так же, как Нильс Бор и Дж. Уилер, об
этом будет подробно говориться в последней главе.
В 1932 году вместе с другим выдающимся советским физиком,
своим учителем А. Ф. Иоффе и одновременно с зарубежными
учеными Р. Фаулером и Л. Нордгеймом он применил представление
о квантовом туннелировании к описанию контактов между металлом
и полупроводником. Такие контакты работали в выпрямителях,
изготовленных из селена и окиси меди. Теоретически было получено
хорошо совпадающее с наблюдаемыми данными выражение для
тока/в зависимости от напряжения V и температуры Т:
/ = const (e^*r-l).
Это объяснение было принято в течение нескольких лет, но потом
обратили внимание на то, что оно предсказывает неправильный знак
выпрямленного тока, и от него пришлось отказаться. «Теперь
ясно, — скажет много позже Л. Эсаки, — что в обычных условиях
поверхностные барьеры, образующиеся в месте контакта
полупроводников и металлов,... слишком велики, чтобы можно было
наблюдать туннельный ток. В те далекие годы вообще имелась тенденция
объяснять любой необычный эффект с помощью туннелирования.
Однако убедительное экспериментальное подтверждение эффекта
туннелирования часто отсутствовало, главным образом ввиду
примитивности применявшейся тогда экспериментальной техники».
Лишь четверть века спустя идея Я. И. Френкеля и А. Ф.
Иоффе воплотилась в туннельном диоде, созданном Эсаки. Японский
физик использовал многочисленные достижения техники
полупроводниковых устройств, плоды ее стремительного развития.
До середины пятидесятых годов в физике и технике
полупроводников использовались концентрации атомов примеси порядка
1016—1017 см-3. При таких концентрациях относительное
расположение уровня Ферми и границ зон в полупроводниках имеет вид,
знакомый нам по рис. 22, а. Толщина п — /7-перехода, определяемая
в основном концентрацией носителей тока, контактной разностью
потенциалов на переходе VK и приложенным внешним
напряжением V (его называют еще напряжением смещения), составляет 10-1—
10~5 см. В отсутствие смещения (V=0) электрическое поле в кон-
84

такте равно отношению контактной разности потенциалов (она
имеет порядок 0,1 эВ) к толщине перехода, т.е. е~ VJL^ 103—-
104 В/см.
В туннельных же диодах используются высоколегированные
полупроводники с содержанием примесей 1018—1020 см-3. Толщину
перехода в этих случаях уменьшают до (1—2)-Ю-6 см, и
напряженность поля на переходе резко возрастает до значения 105—
106 В/см. Уровни примесей при этом смещаются, у
полупроводников «-типа — в зону проводимости, у полупроводников р-типа —
в валентную зону (рис. 22, б).
В этих условиях электрон из зоны проводимости /г-области
кристалла может за счет туннельного эффекта перейти в р-зону,
причем для этого ему не надо сообщать никакой дополнительной
энергии — как справа, так и слева от барьера он будет находиться
на одном энергетическом уровне. При этом можно считать, что
токи справа налево и слева направо одинаковы, и общий ток равен
нулю. Если же приложить добавочное малое напряжение в
«пропускном» направлении, то уровни Ферми по обе стороны перехода
уже не будут одинаковы по высоте, число электронов, туннелиру-
ющих справа налево, будет больше, чем число электронов, тунне-
лирующих слева направо — через переход потечет ток.
Зависимость тока / между контактами от приложенного к ним
напряжения V называют вольт-амперной характеристикой прибора,
о внешних контактах которого идет речь. Простейшая
вольт-амперная характеристика всем знакома — это наклонная прямая линия,
соответствующая школьному закону Ома: /= V/R (рис. 23, б,
кривая 4). Величина R называется сопротивлением. Про туннельные
диоды иногда говорят, что их электрическое сопротивление может
быть отрицательным. Как это можно понять, глядя на запись закона
Ома? Ток течет в направлении, обратном приложенному
напряжению? Нет, разумеется. Просто определение сопротивления в общем
случае отличается от школьного примерно так же, как понятие
скорости от понятия средней скорости. Вспомним старый анекдот:
полицейский останавливает лихую водительницу:
— Мадам, вы ехали со скоростью восемьдесят миль в час, а
здесь разрешено только тридцать миль в час!
— В какой еще час?! — возмущается дама. — Я всего десять
минут, как выехала из дому!
В общем случае сложной зависимости тока от напряжения
сопротивление можно определить как величину, обратную производной
тока по напряжению: R=(dI/dV)~\ а не (I/V)~\ так же как
скорость есть производная пути по времени: v = dS/dt, a S/t — средняя
скорость. Значит, существование «отрицательного» сопротивления —
это наличие на вольт-амперной характеристике участков с отрица-
85

Рис. 23. Энергетические диаграммы (а) и вольт-амперные
характеристики (б) туннельного диода — двух высоколегированных
полупроводников п- и р-типов, разделенных изолирующим промежутком
(барьером). Диаграммы /—4 примерно соответствуют участкам с
теми же номерами на вольт-амперной характеристике, которая
сравнивается с линейной зависимостью /= V/R, соответствующей закону
Ома
тельным наклоном, когда dI/dV<0 (см. кривую 2 на рис. 23,6).
Мы приостановили рассмотрение туннельного перехода,
приложив к нему мысленно небольшое напряжение и получив малый
участок вольт-амперной характеристики, примерно соответствующий
обычному закону Ома. Что произойдет при дальнейшем росте
напряжения?
Если увеличить смещение до значения, при котором энергия
Ферми сравнивается с краем зоны, то ток увеличится. При
дальнейшем увеличении приложенного напряжения для некоторой части
электронов, которые мо1Ли бы перейти налево, образуется
запрещенная зона, эти электроны выбывают из общего потока, ток
начинает уменьшаться и вскоре упадет почти до нуля, когда
переходить электронам будет некуда. Если увеличивать напряжение еще
больше, появится и будет расти обычный диодный ток, который
называют еще диффузионным (рис. 23, а, случай 4).
Таким образом, одну не совсем обычную особенность
туннельных диодов мы выяснили: они обеспечивают немонотонную
зависимость тока от приложенного напряжения. Следует сказать, что
такое поведение тока было получено и на туннельных переходах типа
металл — окись — полупроводник, например А1 — А1203 — GeTe.
В них участок с отрицательным сопротивлением возникает по
несколько иной причине — получается, что с увеличением напряжения
86

смещения при некоторых условиях растет высота барьера,
уменьшаются его проницаемость и ток.
Процитируем воспоминания Л. Эсаки: «В процессе
экспериментов мы прежде всего получили так называемый обратный диод,
который обладал лучшей проводимостью в обратном, а не в прямом
направлении. В этом отношении его свойства согласовались с
направлением выпрямления, предсказанным ранее упомянутой старой
туннельной теорией выпрямления ... Вольт-амперные характеристики
при комнатной температуре свидетельствовали, что основной
электронный ток в обратном направлении был, несомненно, обусловлен
туннельным механизмом... Когда элемент был охлажден, мы
впервые увидели область отрицательного сопротивления... При
дальнейшем увеличении степени легирования и соответствующем сужении
ширины перехода (следовательно, при дальнейшем уменьшении
пути туннелирования) отрицательное сопротивление было четко
видно при всех температурах».
Такая богатая деталями картина возникает уже для
туннельного перехода с одногорбым потенциальным барьером. Но барьер,
как мы знаем, может иметь и более сложную форму, и тогда
возникает возможность резонансного прохождения. Энергетические
диаграммы при разных напряжениях смещения в туннельном переходе
с двойным барьером изображены на рис. 24. Этот резонансный
эффект был использован при изготовлении многослойных контактов.
Их создание потребовало высокого экспериментального мастерства.
В опытах Эсаки с сотрудниками контакты такого типа на основании
арсенида галлия (соединение галлия с мышьяком) приготовлялись
путем нанесения в сверхвысоком вакууме на поверхность чистых
полупроводников слоев толщиной в несколько сот нанометров
(1 нм=10-9 м = 10А) с помощью молекулярных пучков,
интенсивность которых контролировалась электронной следящей системой.
В полученном двугорбом барьере ширина центральной ямы была
около 10~9 м, а глубина 0,4 эВ. В такой яме должны существовать
два квазистационарных состояния. Полученная зависимость
проводимости описанного контакта от напряжения, т. е. зависимость
dl/dV от напряжения, изображена на рис 25 Она имеет явно
резонансный характер, и на ней видны участки отрицательного
сопротивления.
Появление туннельных диодов открыло перед
электроникой высоких частот и малых мощностей много
новых возможностей, которые опираются в первую очередь
на быстродействие прибора, его безынерционность.
Толщина рабочего промежутка туннельного диода рекордно
мала, поэтому он срабатывает — запирает или отпирает
87

£2
^^
Г"
eV
Рис. 24. Энергетические диаграммы туннельного
диода с двойным барьером в отсутствие
напряжения смещения (а) и при напряжении смещения,
обеспечивающем проникновение электрона за
счет резонанса проницаемости (б)
dl
dv
0,2
0,1
0
-0,1
-0.7
мОм-/
\ / \
L_l
ai
1
_i
i
f\
\l\
-Ю
■0,5
0,5
;,иа
0,3
0,2
0,'
Ц1
KB
0,2
Рис. 25 Вольт-амперная характеристика и ее
производная для туннельного диода с двойным
барьером. Участки, где кривая dl/dV опускается
ниже нуля, соответствуют отрицательному
сопротивлению. Иллюстрация взята из Нобелевской
лекции Л. Зсаки
ток — исключительно быстро, что делает его незамени-
мым элементом в высокоскоростных вычислительных
устройствах. Возникают новые возможности для
генерации, усиления, смешения и регистрации
электромагнитных колебаний сверхвысоких частот. Интересными
оказались и чисто научные применения туннельного диода.
Предоставим последний раз слово его создателю Л. Эса-
88

ки: «Анализ деталей вольт-амперных характеристик
позволил изучать не только электронные состояния
исследовавшихся материалов, но также и взаимодействие тун-
нелирующих электронов с фононами, фотонами, плазмо-
нами и даже с колебаниями молекул барьера.
В результате возникла целая область науки, а
именно туннельная спектроскопия, которая позволила
получать богатую информацию с помощью исследования
туннельных явлений».
Глава пятая
ТУННЕЛИРОВАНИЕ И СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
золятор, полупроводник, проводник...
Располагая различные вещества в порядке
убывания удельного электрического
сопротивления, исследователи довольно быстро
разложили их по трем только что
перечисленным полочкам. Лучше всего проводят
электрический ток металлы, и сопротивление их
тем меньше, чем меньше температура. Представления
о структуре твердого тела, которые мы изложили выше,
позволяют качественно понять такую температурную
зависимость. Если бы кристалл был идеальным,
а его атомы строго неподвижны, то они создавали бы в
пространстве постоянное во времени и периодически
меняющееся с расстоянием поле. Электрон с энергией,
соответствующей зоне проводимости (зоне полной
прозрачности кристаллического барьера), двигался бы
совершенно свободно, не встречая помех со стороны
кристаллической решетки — кристалл был бы идеальным
проводником с нулевым сопротивлением. Однако, во-
первых, тепловые колебания атомов решетки нарушают
ее регулярность, а во-вторых, с этими колебаниями
электроны, движущиеся в кристалле, могут
взаимодействовать, передавать им свою энергию, что и означает
появление электрического сопротивления. Кроме того,
идеальность кристалла нарушают примеси посторонних
атомов; значит, и примеси снижают проводимость. Если
охлаждать кристалл и очищать его от примесей, то он
будет приближаться к идеальному; следовательно, его
удельное сопротивление будет при этом падать. Но кри-
89

сталл — квантовая система, его атомы колеблются по
квантовым законам. Эти законы нам в общих чертах
известны из рассмотрения гармонического осциллятора.
Главное отличие квантовых колебаний от классических
заключается в том, что квантовый маятник не может
остановиться совсем, застыть в абсолютном покое — он
может лишь перейти в низшее, основное состояние,
соответствующее энергии ftco/2. Значит, атомы в кристалле не
остановятся и при абсолютном нуле, и сопротивление
току всегда будет малым, но конечным? Никого не
удивило бы, если бы это оказалось так. Но еще в 1911 году,
когда квантовая механика находилась в «младшем
школьном возрасте» и мало что могла объяснить в
твердом теле из-за сложности этого объекта, голландский
ученый Г. Каммерлинг-Оннес экспериментально
обнаружил факт, поразивший не только физиков, но и всех, кто
хоть сколько-нибудь интересовался электричеством.
Оказалось, что при очень низких температурах
электрическое сопротивление некоторых металлов, исправно и
плавно уменьшавшееся при охлаждении, с достижением
некоторого критического значения температуры вдруг
скачком исчезало начисто. Обращалось в нуль. «Так-таки
и в нуль? — покачает головой читатель, — настоящий
нуль, и ничего, никакого «остаточного» или там
«затравочного» малюсенького сопротивленьица?»
Представьте себе, действительно в нуль. Трудно
назвать другую наблюдаемую и измеримую физическую
величину, которая обращалась бы в такой же «круглый
нуль», как сопротивление сверхпроводника ниже
критической температурной точки. Ток в замкнутом контуре
из сверхпроводящего материала с отключенным
питанием может циркулировать буквально неделями. Если
записать нуль и заменить все буквы на этой странице
нулями после запятой, а потом поставить единицу, то и
получившееся число (в омах на сантиметр) будет
больше удельного сопротивления настоящего
сверхпроводника.
Возникла загадка, да еще какая. Этот нуль
оказался чем-то вроде тяжелой рукавицы Ильи Муромца,
которую природа бросила непрерывно задирающим ее
физикам. В желающих принять этот вызов недостатка не
было. Развилась и окрепла квантовая механика. От ее
слияния с теорией относительности возникла квантовая
электродинамика, объяснившая строение атома в тончай*
90

ших деталях. Экспериментаторы проникли в атомное
ядро и начали там хозяйничать. Было открыто
множество новых элементарных частиц. Взорвалась *уРановая
атомная бомба, а затем водородная. Началось мирное
использование атомной энергии. Но сфинкс
сверхпроводимости уст не размыкал, хотя экспериментально это
явление было изучено весьма тщательно.
Правильный путь к его пониманию указал очередной
достаточно скромный экспериментальный факт,
открытый в 1950 году, так называемый изотопический эффект.
Изучая сверхпроводимость у различных изотопов ртути
и олова, ученые обнаружили, что критическая
температура перехода в сверхпроводящее состояние Гк и масса
атома изотопа М связаны соотношением
ГК]/ЛГ= const. (5.1)
Изотопы — это ядра одного и того же элемента, они
имеют одинаковый заряд, но разную массу. Все
взаимодействия атома с электронами и другими атомами в
молекулах и твердых телах, т. е. химические и физические
свойства кристаллов, определяются зарядом ядра.
Собственно от массы зависит только частота колебаний
атомов в решетке — она так же, как и Гк, обратно
пропорциональна корню квадратному из массы. Посмотрим
еще раз на закон изотопического сдвига (5.1). Он резко
противоречит тем объяснениям зависимости
проводимости от температуры, которые мы развивали выше. Если
устремить в этой формуле М к бесконечности, то Тк
будет стремиться к нулю, т. е. чем тяжелее атомы, чем
медленнее они колеблются, тем труднее (при меньших
температурах) получается идеальная проводимость, а чем
выше энергия нулевых колебаний — тем легче. Таким
образом, изотопический эффект указывал, что колебания
решетки участвуют в создании сверхпроводимости!
Многие теоретики в разных странах, используя
разные подходы, внесли вклад в создание теории
сверхпроводимости. Близки были к истинному решению
создатели «теории ГЛАГ» (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау,
А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков). В 1957 году к
разгадке подошли с разных сторон американцы Дж. Бардин,
Л. Купер, Шриффер и академик Н. Н. Боголюбов.
Американские физики успели несколько раньше поставить
последнюю точку. Чтобы понять суть ответа, нам
придется более детально обсудить один из основных законов
91

квантовой механики — уже упоминавшийся выше
принцип Паули.
Объекты микромира, которые можно условно
назвать элементарными, многочисленны и разнообразны.
Полная их классификация далека от завершения, но
одна из перегородок в том будущем ящике со множеством
отделений, по которым все частицы будут рано или
поздно разложены, сделана давно и прочно. Это принцип
Паули, отделяющий фермионы от бозонов. Названия
происходят от фамилий двух физиков: итальянца Э.
Ферми и индийца Ш. Бозе. Ключевой количественной
характеристикой, определяющей, является частица, фермионом
или бозоном служит спин частицы, ее собственный
момент количества движения. Мы уже знаем, что эта
физическая величина имеет размерность действия и
квантуется поэтому особенно просто: обычный, или, как еще
говорят, орбитальный, момент количества движения
частицы в любом состоянии принимает только
целочисленные значения, если измерять его в единицах h. Но, как
оказалось, частицы микромира обладают помимо
орбитального и «врожденным» собственным моментом
количества движения — и он-то кроме целых может
принимать полуцелые значения в единицах h . Частицы с
целым спином — бозоны, с полуцелым — фермионы. К
бозонам относятся и частицы, у которых спина нет, т. е. он
равен нулю. Такая, казалось бы, количественная
характеристика, как спин, приводит к резкому качественному
различию между бозонами и фермионами, которое
заявляет о себе в системах одинаковых частиц: фермионы
подчиняются запрету Паули, а бозоны не подчиняются.
Мы обсуждали свойства системы фермионов —
электронного газа — и видели, что обстоятельством,
определяющим его необычные свойства, является невозможность
более чем двум частицам занимать один и тот же
квантовый уровень, да и две-то могут уживаться на этом
уровне, только если их спины направлены в
противоположные стороны. Про эту разницу физики говорят, что
фермионы «подчиняются статистике Ферми», а бозоны —
«статистике Бозе».
На бозоны принцип Паули не распространяется, они
могут заселять каждый уровень в любом количестве.
Особенно резко отличаются друг от друга низшие
энергетически возможные состояния систем бозонов и
фермионов. Всгз бозоны заселяют единственный нижний 'ур°*
92

венЪ, а фермионы располагаются ровно по два на
каждом уровне вплоть до границы Ферми. Грубо говоря,
бозоны могут, например, все сразу остановиться, а
фермионы— ни в коем случае.
Однако, как многие, наверное, слыхали,
элементарность квантовых частиц — понятие относительное. Они
могут взаимодействовать, распадаться или сливаться с
образованием иных частиц. Что будет, если сольются два
фермиона? Оказывается, в любом случае получится
частица с целым спином, т. е. бозон. Это еще одно из
специфических свойств квантовых векторов момента
количества движения — закон их сложения отличается от
обычного правила параллелограмма. Так, при
сложении двух спинов по ft/2 может получиться либо ft, либо
нуль, но не ft/2! Значит, частица, составленная из двух
фермионов, будет подчиняться статистике Бозе.
Самыми известными фермионами и самыми старыми,
если считать с момента открытия, являются электроны.
Среди бозонов такое же заслуженное ветеранское
положение занимают фотоны, кванты света.
Об условности понятия «элементарный»
применительно к частицам мы уже упоминали. Но среди квантовых
«частиц», фигурирующих в различных физических
теориях, попадаются и откровенно не элементарные.
Чтобы, говоря про них, не ставить слово «частица» в
кавычки, к нему обычно добавляют уже упоминавшееся выше
«квази». К понятию квазичастицы мы подходили уже
достаточно близко, когда обсуждали движение частицы в
осцилляторном потенциале; тогда речь шла о неком
кванте, который настоящая частица могла испускать и
поглощать, переходя с уровня на уровень. Понятие
колебательной квазичастицы играет исключительную роль
в физике твердого тела, где эту квазичастицу назвали
фононом. Если фотон — световой квант, то фонон, по
буквальному смыслу греческого корня, — звуковой квант.
Фонетическое сходство названий не случайно, кванты
света и звука имеют с теоретической точки зрения много
общего. Во-первых, и тот и другой бозоны, во-вторых,
оба могут появляться и исчезать, рождая другие
частицы (или квазичастицы). И уравнения, описывающие их,
весьма похожи.
Электромагнитное взаимодействие между
заряженными частицами можно представить себе как
непрерывный обмен квантами электромагнитного поля — фотона-
93

ми. Взаимодействие между частицами, образующими
твердое тело, на очень похожем, как говорят, «полевом»
языке можно описать как обмен квантами фононного
поля— фононами.
Свободные электроны в вакууме, обладая
одинаковыми по значению и знаку электрическими зарядами,
отталкиваются друг от друга по закону Кулона. Они не
могут образовать связанного состояния, объединившись
в «биэлектрон», который был бы уже бозоном. Такое
образование возможно только для частиц, испытывающих
взаимное притяжение, но электроны в твердом теле
нельзя считать совсем свободными, они там движутся в
поле фононов — рождают их, рассеивают, поглощают,
обмениваются ими. Это может привести к изменению в
наблюдаемом взаимодействии между самими
электронами.
Наличие среды может, в принципе, менять даже знак
взаимодействия между частицами, превращать его из
притягивающего в отталкивательное или наоборот .
Поясним сказанное унылым, но, увы, не редким
житейским примером. Молодых супругов связывают
прочные узы, но живут они не в вакууме, а взаимодействуют
с другими людьми. Если взаимодействия зятя с тещей и
невестки со свекровью становятся «сильно отталкива-
тельными», то это влияние среды может разорвать —
бывает, и разрывает — казалось бы, прочно связанную
пару. Но ведь бывает же, бывает и наоборот! — мудрые,
благожелательные родители мирят, соединяют
капризных и неопытных юнцов.
Так вот, в твердом теле реализуется, к счастью для
сверхпроводимости, как раз вторая ситуация:
взаимодействие электронов с фононным полем может связывать
их в пары, вопреки кулоновскому отталкиванию. Эти
пары называют куперовскими по имени Леона Купера,
предположившего двадцать пять лет назад, что
сверхпроводимость в сильно охлажденных металлах связана
с образованием электронных пар.
Как же влияет на проводимость образование
электронной пары? Дело в том, что электронная пара,
которую можно теперь рассматривать как целое, биэлектрон,
является бозоном. Если сильно охлаждать металл,
отнимая у него энергию, то этот процесс, естественно,
должен сопровождаться опусканием биэлектронов-бозонов
по энергетической шкале до полной или почти полной
94

остановки. Фактически одним из основных элементов
модели Купера было как раз утверждение, что пару
могут создавать два электрона, импульсы которых равны
по величине и противоположны по направлению, т. е.
полный импульс пары равен нулю. Электронные пары
образуют, как говорят, бозе-конденсат. К чему это
приводит? Процитируем известного популяризатора науки
из ГДР Г. Линднера, чья книга «Картины современной
физики» была переведена и прекрасно издана
издательством «Мир»: «Почему конденсат электронных пар
«течет» по кристаллической решетке, не встречая никакого
трения, можно объяснить с точки зрения волновой
модели. Поскольку импульсы электронов в паре равны по
модулю и направлены противоположно, скорость движения
пары как целого практически равна нулю. Согласно
соотношению де Бройля, что означает, что паре
соответствует волна сколь угодно большой длины. По сравнению
с ней все неоднородности и детали структуры решетки
неизмеримо малы, и ими можно полностью пренебречь.
Поэтому решетка металла в сверхпроводящем состоянии
становится более прозрачной для электронных волн,
чем самое прозрачное стекло — для световых волн».
Можно сравнить электроны в куперовской паре с
альпинистами в связке — они легко преодолевают препятствия,
на которых единичный электрон, образно говоря,
свернул бы себе шею.
С физической точки зрения явление
сверхпроводимости похоже на другой удивительный феномен —
сверхтекучесть жидкого гелия. Только тяжелые бозоны — атомы
гелия — существуют «в готовом виде», а электронам
нужно объединяться попарно в легкие бозоны, которые
могут создавать сверхпроводимость.
Уже привыкнув к зонным энергетическим
диаграммам для электронов в твердых телах, мы можем теперь
посмотреть, какие изменения вносит в эти картинки
сверхпроводимость.
Пары образуются из электронов, занимавших уровни
вплоть до энергии Ферми, причем объединяются в купе-
ровскую пару электроны, бывшие на одном уровне. Как
отражается на них это объединение? Связываясь, пара
электронов как бы попадает в очень неглубокую, но
широкую потенциальную яму, для этого ей надо передать
небольшую энергию кристаллической решетке. Отданная
энергия называется энергией связи пары. Ее значение
95

можно приближенно
оценить, зная критическую
температуру Тк> при
которой металл переходит в
сверхпроводящее
состояние или, если двигаться
со стороны низких
температур, выходит из этого
состояния. Максимальное
из известных значений Тк
равно примерно 20 К, что
соответствует 1/500 эВ.
В большинстве случаев
Тк еще меньше и
соответствует десятитысячным
долям электронвольта.
Разрушение
сверхпроводимости— это разрыв
колебаниями куперовских пар, значит, энергия их связи в
температурных единицах должна составлять немногие
градусы. Поэтому энергетический спектр электронов в
сверхпроводнике можно представлять следующим
образом: все электронные уровни сдвигаются вниз по
сравнению с энергией Ферми на величину Д (рис. 26),
имеющую порядок тысячной доли электронвольта. Если
теперь в такой сверхпроводник попадет единичный, неспа-
ренный электрон, то куда ему «приклонить голову»? Он
должен занять уровень, который на 2А выше
последнего из занятых спаренными электронами. Туда же
должны волей-неволей переходить и электроны, составляющие
куперовскую пару; если она под влиянием какого-то
воздействия разорвется, а промежуток от EF—Д до £^+Д
будет оставаться незанятым — говорят, что в
энергетическом электронном спектре сверхпроводника имеется
энергетическая щель шириной 2Д. Она внешне очень
похожа на запрещенную зону, отделяющую, скажем, зону
проводимости от валентной (заполненной) зоны в
обычном металле, но физическое происхождение у нее
совершенно другое и, главное, у нее другая ширина. Щель в
сверхпроводнике гораздо уже.
Рассмотрим с изложенной точки зрения контакты
между двумя проводниками из одинакового металла, но
один раз будем предполагать, что оба проводника
находятся в нормальном, несверхпроводящем состоянии, а
Вакуум
1 Сверх'проВодник
^Энергетическая 1
Г щель J
\^Граница
1 сдерхпрододника
лЕг-
3
Рис. 26 Электронный спектр
сверхпроводника:
EF — граница Ферми при
температуре ниже критической точки;
EF — граница Ферми при
температуре выше критической точки,
вплотную к ней
96

Рис 27. Энергетическая диаграмма контакта между обычным
(слева) и сверхпроводящим (справа) металлами
а — напряжение смещения мало, eV<&, ток через контакт идти не может;
б — eV>&, ток протекает
другой раз — что правый проводник охлажден и стал
сверхпроводником (рис. 27). Из этих диаграмм ясно, что
ток слева направо во втором случае течь не может, пока
приложенное напряжение меньше Д/е — свободным
единичным электронам слева некуда будет переходить, их
встретит негостеприимная энергетическая щель. Значит,
вольт-амперная характеристика такого контакта
пересекает ось абсцисс правее начала координат, при значении
приложенного напряжения, отличном от нуля и равном
А/е.
Впервые вольт-амперные характеристики такого
типа наблюдал норвежец И. Гиавер, причем точно
известно, когда это произошло — 22 апреля 1960 года.
Цитатой соответствующей записи в лабораторном журнале
Гиавер начал свою Нобелевскую лекцию в 1973 году
после получения премии вместе с Эсаки, о котором мы уже
упоминали, и Брайеном Джозефсоном — о нем речь
впереди.
Истории о школьных и студенческих успехах
крупных физиков, довольно часто появляющиеся в печати,
четко делятся на две группы. Одни учились хорошо,
другие, как ни странно, плохо. К последним принадлежит,
ни много ни мало, Альберт Эйнштейн, которого
практически исключили из гимназии, а примером блестящего
студента, притом весьма самоуверенного, может быть
Вольфганг Паули. Когда Эйнштейн, уже знаменитый
автор теории относительности, выступал с лекцией в одном
из швейцарских университетов, первым, кто пожелал
высказаться по окончании лекции, был
девятнадцатилетний Паули, и высказываться он начал следующим обра-*
7—271
97

som: «А вы знаете, то, что нам рассказал господин
Эйнштейн, совсем не так уж глупо...»
Так вот, в смысле успехов в учебе Гиавер явно
попадает в одну компанию с Эйнштейном. В той же
упоминавшейся Нобелевской лекции он говорил: «В одной из
газет Осло я обнаружил недавно следующий заголовок:
«Мастер по биллиарду и бриджу, едва не
провалившийся на экзамене по физике, получает Нобелевскую
премию». Речь шла о моих студенческих успехах в
Тронхейме. Должен сознаться, что это сообщение не лишено
оснований, поэтому я не только не буду пытаться делать
вид, что этого не было, но признаюсь также, что я чуть
не провалился и по математике».
В послевоенной Норвегии жилось трудно, а тут еще
закончил на тройки... Молодой, недавно женившийся
инженер решил сменить обстановку и уехал в Канаду,
устроившись на работу в местное отделение компании
«Дженерал электрик». Там же он поступил на трехгодичные
курсы повышения квалификации по инженерному делу
и прикладной математике и, видимо, зарекомендовал
себя хорошо, потому что через несколько лет был
переведен в известную центральную исследовательскую
лабораторию той же фирмы в Скенектади, США. Там ему
поручили заняться проводимостью тонких пленок.
Опыта такой работы у него не было. Гиавер вспоминает:
«...мы попытались прокладывать между металлами
разнообразные тонкие изоляторы, сделанные из ленгмюров-
ских пленок и формвара. Однако в таких пленках
неизбежно имеются маленькие дырочки, а поскольку один
из электродов, которые мы использовали в наших
контактах, был ртутным, то он обычно закорачивал
пленки. Так мы потратили некоторое время, измеряя
интересные, но всегда невоспроизводимые вольт-амперные
характеристики, к каждой из которых мы относились как
к чуду, поскольку каждая наблюдалась лишь однажды.
Через несколько месяцев мы напали на правильную
идею: использовать напыленные металлические пленки и
разделить их естественно образующимся слоем окислов...
Чтобы приготовить туннельный контакт, мы сперва
напыляли в вакууме алюминий на стеклянную пластинку.
Затем эту пленку выносили на воздух и нагревали, в
результате чего ее поверхность быстро окислялась. После
этого на первоначальную пленку напылялось несколько
поперечных полосок алюминия, благодаря чему одновре-
98

менно получалось несколько контактов... Этот процесс
решал сразу две проблемы: во-первых, в окисле не было
дырочек, так как он «самозалечивался», и во-вторых,
мы избежали механических проблем, возникавших при
работе с ртутным электродом. К апрелю 1959 г. мы
выполнили несколько успешных туннельных
экспериментов... К этому времени я уже прорешал уравнение Шрё-
дингера достаточное число раз, чтобы поверить в то, что
электроны иногда ведут себя как волны, и больше особо
не беспокоился по этому поводу».
Год ушел на отработку методики, неудачные пробы,
повторение уже полученных другими ранее результатов.
Но Гиавер хотел непосредственно наблюдать влияние
перехода одного из участвующих в туннельном контакте
материалов в сверхпроводящее состояние, ожидая
эффекта, изображенного на рис. 28.
Вот как вспоминает Гиавер очередную попытку:
«Вместо того, чтобы специально
окислять первую алюминиевую
полоску, я просто экспонировал ее на
воздухе в течение нескольких минут
и затем поместил обратно в напы-
литель, чтобы нанести сверху
поперечные полоски из свинца.
Получившийся таким образом слой окисла
имел толщину порядка 30 А, и я
легко мог померить вольт-амперную
характеристику имевшимися в
моем распоряжении приборами... На
этот раз идея работала!
Вольт-амперная характеристика заметно
изменялась, когда свинец переходил
из нормального состояния в
сверхпроводящее. Изменение было как
раз такого типа, какой изображен
на рисунке (рис. 28. — Н. Р.). Это
было потрясающе! Я немедленно
повторил опыт с другим образцом —
тот же результат! Еще один
образец— и опять тот же результат!...
Я конечно, не был первым, кто
измерил энергетическую щель в
сверхпроводнике. Вскоре я узнал о
прекрасных экспериментах М. Тинк-
Т 99
Рис. 28
Вольт-амперная характеристика
контакта Гиавера,
когда оба металла
находятся в
нормальном состоянии (У —
обычный закон Ома)
и когда один из
металлов перешел в
сверхпроводящее
состояние (2).
Энергетические диаграммы,
соответствующие двум
участкам кривой 2,
приведены на рис. 27

хэма и его учеников, изучавших поглощение
инфракрасного излучения. Помню, меня беспокоил тот факт, что
величина щели, которую измерил я, не совсем
согласовалась с этими более ранними, измерениями. Бин
(теоретик, коллега Гиавера. — Н. Р.) успокоил меня, сказав,
что отныне другие должны будут беспокоиться о том,
чтобы их измерения согласовались с моими, что мой
эксперимент станет эталоном — я был польщен и
впервые почувствовал себя физиком».
Мы привели здесь эти длинные цитаты, поскольку
они — живой рассказ из первых рук о редком
переживании, «моменте истины», когда физик воочию убеждается,
глядя на экран осциллографа, ленту самописца, шкалу
или цифровой индикатор прибора (а теперь уже все
чаще и чаще, читая распечатку с анализирующей
эксперимент ЭВМ), что пришедшая ему в голову и
«выстраданная» им идея, только что бывшая умозрительной
картинкой, соответствует действительности!
Эксперимент Гиавера красив и поучителен. В нем
впервые непосредственно и поэтому точно была
измерена величина энергетической щели в сверхпроводнике.
Напомним, что дело происходило в 1960 году, теория
сверхпроводимости лишь недавно была создана. Исходя
из тех же общих представлений, Гиавер поставил новые
опыты с туннельными контактами двух различных
сверхпроводников, обладавших энергетическими щелями
различной ширины (рис. 29). Он использовал алюминий
(низкая критическая температура, узкая щель) и
свинец (высокая критическая температура, широкая щель),
разделенные барьером из окиси алюминия. При
отсутствии напряжения на контакте уровни Ферми (рис. 29, а)
обоих металлов совпадают и верхний край щели в спектре
алюминия ниже, чем у свинца. Даже те немногие
термически возбужденные электроны, которые находятся выше
щели, переходить направо не могут. Когда разность
потенциалов на контакте постепенно повышается, эти
«надщелевые» электроны проходят барьер во все
больших количествах и ток возрастает. После того как
сравниваются верхние края щелей (рис. 29, б), ток начинает
падать, что соответствует участку знакомого нам по
туннельному диоду отрицательного сопротивления.
Наконец, после того как нижний край узкой щели
сравняется с верхним краем широкой (рис. 29, в), начнется
резкое увеличение тока, подъем вольт-амперной характе-
100

Термически
Возбужденные
электроны
СШодные
состояния
Заполненные
состояния
Плотности
состояний
1
А
Щ
'м>.
'"v
Рис. 29. Туннельный контакт двух сверхпроводников с
энергетическими щелями разной ширины и вольт-амперная характеристика.
В отличие от диаграмм на предыдущих рисунках учтено
увеличение плотности состояний с приближением к границам щели.
Укороченные штрихи изображают частично заполненные состояния.
Случаи а, б и б соответствуют разным значениям напряжения
смещения. Соответствующие точки отмечены на вольт-амперной
характеристике
ристики — теперь многочисленным «подщелевым»
электронам алюминия ничто не мешает переходить направо.
Опыты Гиавера поучительны не только тем, что он
заметил, но в неменьшей степени и тем, что он заметил,
но не понял, посчитав результатом погрешности в
изготовлении образцов. Позже он вспоминал: «Мы
наблюдали этот эффект много раз; действительно,
невозможно не видеть этот ток, если работать с контактами
олово — окисел олова — олово или свинец — окисел —
свинец ...Однако у меня уже было готовое объяснение
этого явления — сверхпроводящий ток шел через
контакт по металлической закоротке или мостику. Правда,
я был озадачен неожиданной чувствительностью этого
тока к магнитному полю, однако никто не знал, как
поведет себя в этой ситуации мостик длиной и шириной
о
20 А. Если я что-нибудь и усвоил как ученый, так это то,
101

что не надо усложнять вещи там, где можно дать
простое объяснение. Таким образом, все образцы, которые
показывали эффект Джозефсона, мы отбрасывали, как
имевшие закоротки. На этот раз я оказался слишком
простодушен! С тех пор меня часто спрашивали, не ругал
ли я себя за то, что проглядел этот эффект. Я твердо
отвечаю «нет», так как, чтобы сделать эксперименталь*
ное открытие, мало наблюдать какой-то эффект, нужно
понимать смысл и значение этого наблюдения, а в
данном случае я и близко не подошел к этому».
Прямота этого высказывания внушает уважение.
Следует также иметь в виду, что эффект Джозефсона,
к обсуждению которого мы сейчас приступим,
пожалуй, самое сложное из всего, с чем читателю придется
столкнуться на страницах этой книги. Он, если можно
так выразиться, многоступенчато квантовый, детали его
интерпретации оказались неожиданными даже для
специалистов. А ведь Брайен Джозефсон не просто
интерпретировал имеющийся экспериментальный результат —
он его предсказал, открыл «на кончике пера» и детально
описал постановку нужного опыта.
И что удивительнее всего — это была работа
студента! Ивар Гиавер только после завершения
экспериментов с туннелированием и энергетической щелью сел
писать диссертацию, так что предыдущую историю можно
было озаглавить «Как получить Нобелевскую премию
за кандидатскую диссертацию», а рассказ, к которому
мы перешли, содержит положительный ответ на вопрос
«Можно ли получить Нобелевскую премию по физике за
дипломную работу?».
Как тип студента Джозефсон был ближе к Паули,
чем к Эйнштейну. Бывший его профессор Филип
Андерсон вспоминал: «Джозефсон слушал мой курс по физике
твердого тела и теории многих частиц. Смею вас
заверить, что это было обескураживающим переживанием
для лектора. Всему полагалось быть в полном порядке,
а если что-то было не в порядке, то после лекции
Джозефсон подходил и объяснял вам, что именно... Он
показал мне свои расчеты через день или два после того, как
их впервые проделал. К этому моменту я уже
достаточно знал Джозефсона, чтобы поверить в результаты этих
расчетов, но он сам был в некотором сомнении, и
вечером я занялся их проверкой».
102

Основная идея Джозефсона была довольно проста,
ее высказывали и раньше. Если отдельные электроны
могут туннелировать через окисный барьер между двумя
сверхпроводниками, то почему бы не туннелировать и
электронным куперовским парам, ведь ток при
сверхпроводимости — поток именно таких пар. Однако мы
уже знаем, что проницаемость барьера сильнейшим
образом зависит от массы проникающей частицы, а тут
масса удваивается. Значит, нужно было еще в полтора-
два раза уменьшить толщину барьера, а
экспериментаторы и так уже работали на пределе (вспомним гиаве-
ровские «закоротки»). Краткое описание туннелирова-
ния в сверхпроводниках в статье «Как Джозефсон
открыл свой эффект» в журнале «Физике тудэй» очень
напоминает рецепт из американской поваренной книги
для начинающих кулинаров (она называется «Я не знаю,
как кипятят воду»): «Слегка окислите сверхпроводящую
о
пленку (скажем, свинцовую) на глубину 10—20 А, а
затем испарением нанесите на нее поперечную пленку
свинца и просто (! — Н.Р.) снимите вольт-амперную
характеристику полученного туннельного контакта». Только и
всего.
Но не экспериментальные трудности смущали
Джозефсона, который в период получения первых
результатов был преимущественно теоретиком. Смущали
некоторые неожиданности. Чтобы лучше понять, в чем дело,
нам придется сделать довольно длинное отступление и
вернуться к уравнению Шрёдингера, но на сей раз — к
уравнению, зависящему от времени. Оно имеет столь же
обманчиво простой вид, как и стационарное уравнение,
а именно:
\hd^/dt= Яф. (5.2)
Общий смысл уравнения (5.2) действительно прост.
Авторы популярного во всем мире учебника квантозой
механики академики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц
объяснили его следующим образом: «Волновая функция г|>
полностью определяет состояние физической системы в
квантовой механике. Это означает, что задание этой
функции в некоторый момент времени не только
описывает все свойства системы в этот момент, но определяет
ее поведение также и во все будущие моменты времени—
конечно, лишь с той степенью полноты, которая вообще
103

допускается квантовой механикой. Математически это
обстоятельство выражается тем, что значение
производной d\p/dt от волновой функции по времени в каждый
данный момент времени должно определяться значением
самой функции гр в тот же момент, причем зависимость
эта должна быть, согласно принципу суперпозиции,
линейной». Общий вид такой линейной зависимости:
производная г|) по времени равна результату действия на эту
функцию в тот же момент некоторого линейного
оператора. О том, что этот оператор есть энергия системы,
деленная на ihy догадался уже Шрёдингер.
Обратите внимание — в выражении (5.2) по-другому
записан символ производной. Раньше он изображался
(для производной по координате) так: d/dx, а теперь
(для производной по времени): d/dt. Но дело не в том,
что производится дифференцирование по другой
переменной, мы теперь учитываем, что функция -ф зависит
уже не от одной переменной, а от двух: х и t\ d/dt —
обозначение так называемой частной производной по одной
из многих переменных. Ее вычисляют так: все остальные
переменные только на время выполнения
дифференцирования считают постоянными. По каждой из них тоже
можно дифференцировать, но тогда уже все другие,
включая t, нужно временно считать постоянными.
Л
В выражении (5.2) оператор Гамильтона // может
зависеть, а может и не зависеть от времени.
Спрашивается, зачем нам зависящее от времени уравнение, если
гамильтониан не зависит от времени? Скоро поймем, а
пока только вспомним, что независимость от времени
означает сохранение энергии, но отнюдь не
независимость от времени полного решения уравнений Шрёдинге-
ра. Гамильтониан в классической механике есть
энергия системы (или точки), выраженная через координаты
и импульсы. Если она не зависит явно от времени, то
движение происходит по стационарным орбитам, но
все-таки происходит — координаты и импульсы
меняются. Сейчас мы увидим, что и как меняется у квантовой
Л
системы в стационарном состоянии, при Я, не зависящем
от t. Для этого надо в уравнении (5.2) провести
операцию, которая называется разделением переменных.
Представим полную волновую функцию в виде ^¥(х91) =
= (p(t)ty(x), обозначив х совокупность всех
пространственных координат, и подставим ее в уравнение (5.2),
104

При такой подстановке оператор дифференцирования по
времени не действует на г|)(л:), а не зависящий от време-
л
ни гамильтониан Н не действует на ф(0> и его действие
на г|)(л;), поскольку энергия сохраняется, эквивалентно
умножению на число Е. Получаем:
(dldt) W (х, 0 = -Ф (*) дф (t)/dt;
HW(xtt) = q> (t)Hty (x) = £ф (/) г|) (х). (5.3)
Подставим (5.3) в (5.2) и сократим обе части на г|)(х);
тогда
i hyp (х) ^ = Ец> (/) г|) (*), или т ^ = £ф (t).
dt dt
Последнее уравнение, как легко убедиться, имеет
решение
_ \Et
Ф(/) = е h. (5.4)
Таким образом, учесть зависимость от времени волновой
функции стационарного квантового состояния весьма
просто, для этого надо умножить ее пространственную
часть ty(x) на стандартный множитель (5.4), где Е —
энергия системы.
Из формулы Эйлера (2.1) для экспоненты чисто
мнимого аргумента следует, что квадрат ее модуля равен
единице. Это значит, что множитель (5.4) не влияет на
плотность вероятности |if>(x, t)\2 и как будто не
отражается на наблюдаемых величинах. Однако нельзя
забывать, что фазовый множитель определяет
интерференционную картину при наложении независимых
процессов. Если нам придется складывать две волновые
функции с разными множителями ф*(/), а потом
вычислять квадрат модуля суммы, то различие частот Et/fi,
определяющих фазы Ett/h, приведет к появлению
наблюдаемых колебаний плотности вероятности в зависимости
от времени, точно так же, как в стационарной
интерференционной картине получаются колебания плотности в
зависимости от координаты. Волна де Бройля, таким
образом, является пространственно-временным
колебательным процессом, и частота колебаний этой волны во
времени прямо пропорциональна ее энергии.
Теперь надо сказать об особой роли и смысле
волновой функции электронов в сверхпроводниках. Вот что
8—271
105

пишет по этому поводу Р. Фейнман в своих широко
известных «Лекциях по физике»: «Обычно та волновая
функция, которая появляется в уравнении Шрёдингера,
относится только к одной или двум частицам. И сама
волновая функция классическим смыслом не обладает в
отличие от электрического поля ... или других подобных
вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы —
это «поле» в том смысле, что она есть функция
положения, но классического значения она, вообще говоря, не
имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в
которых квантовомеханическая волновая функция
действительно имеет классическое значение ... особенности
квантовой механики могут особым образом сказаться в
крупномасштабных явлениях.
При низких температурах, когда энергия системы
очень-очень сильно убывает, вместо прежнего
громадного количества состояний в игру включается только очень-
очень малое количество состояний — тех, которые
расположены неподалеку от основного. При таких условиях
квантовомеханический характер этого основного
состояния может проявиться на макроскопическом уровне».
Здесь можно вспомнить ошибку Шрёдингера,
исправленную Максом Борном. Шрёдингер, получив свое
уравнение, решил, что сам электрон «размазан» в
пространстве, и плотность его электрического заряда
пропорциональна \|)i|}*. Экспериментально это не подтвердилось.
Электрон никогда не локализовался по кусочкам, а
всегда только целиком, и Борн правильно предположил, что
ty(x) я|)*(я) —это плотность вероятности найти
поблизости от точки х целый электрон. Однако, если вблизи
абсолютного нуля в одном и том же состоянии может
находиться очень много бозонов, то о|д|)* после умножения
на малое, но конечное значение элемента объема dV
будет примерно равно реальному числу частиц в этом
элементе объема; если они заряжены, то, умножив это
произведение на заряд частицы, мы получим заряд элемента
объема, а поток плотности вероятности в каждой
точке будет пропорционален реальному электрическому
току. Зная волновые функции в этом случае, можно прямо
вычислять плотности зарядов и токи — именно это
имеет в виду Фейнман, говоря, что волновые функции
приобретают классический макроскопический смысл.
Самый известный пример такого рода — квантовая
механика фотонов. Как мы уже упоминали, кванты элек-
106

тромагнитного поля являются бозонами, в каждом
квантовом состоянии их может быть огромное количество, и
тогда волновая функция электромагнитного поля
приобретает хорошо известный классический смысл
потенциала поля. Потенциал этот представляет собой в общем
случае четырехкомпонентную векторную величину,
подчиняется уравнениям Максвелла, и его рассмотрение
увело бы нас далеко за рамки избранной темы.
Электроны же являются фермионами, и в каждом
состоянии не может находиться более одного электрона,
поэтому справедливо считалось, что волновые функции
электронов не будут иметь такого микроскопического
смысла. Однако объединение электронов в куперовские
пары при сверхпроводимости в корне меняет ситуацию,
ибо куперовская пара — бозон.
Итак, переход Джозефсона — это два
сверхпроводника, разделенных тонким слоем изолятора, а ток
Джозефсона— это поток туннелированных электронных пар
через такой переход.
Произведем расчет эффекта Джозефсона, следуя изложению
Р. Фейнмана в его «Лекциях по физике». Пусть i|?i и г|)2 — общие
для всех электронных пар волновые функции слева и справа от
барьера. Будем считать, что сверхпроводящий металл один и тог
же с обеих сторон. Если бы барьер был абсолютно непроницаемым,
то наблюдалось бы стационарное состояние, в котором конденсаты
электронных пар справа и слева от изолятора абсолютно
независимы и имеют одинаковую энергию U. Тогда, согласно (5.2), i|?i и г|52
подчинялись бы одинаковым временным уравнениям Шрёдингера
ihd^/dl^U^ ihdty2/dt = U\t)2. (5.5)
Если же проницаемость барьера отлична от нуля, то i|?i и i|)2
перестают быть независимыми. Как это учесть в уравнениях (5.5)?
В их правых частях должны появиться «перекрестные» слагаемые,
пропорциональные «чужой» волновой функции, т. е. /Сф2 в первом
уравнении и Kty\ — во втором. Коэффициент пропорциональности
есть амплитуда вероятности туннельного перехода. Вспомним, что
в квантовой механике вероятности равны квадратам модуля
амплитуды, значит К~1/~Р, где Р — проницаемость барьера. Уравнения
(5.5) записаны в предположении, что к контакту никакого
напряжения не приложено. Если приложить к нему разность потенциалов
V, то U в уравнениях (5 5) придется заменить величинами U{ и U2,
где Ux—U2=qV (q = 2e — заряд электронной пары). От выбора
начала отсчета энергии ничего не должно зависеть, поэтому можно
8*
107

положить Ui = qV/2, a f/2 = —qV/2, и е учетом всего сказанного
уравнения (5.5) приобретают вид:
ihdq1/dt=(qV/2)ql + K\h\ ihfrt>2/dt= — (qV/2)y2+K$i- (5.6)
Как было подчеркнуто выше, квадрат волновой функции
электронных пар в сверхпроводнике равен макроскопической величине,
плотности электронов р. Введем в явном виде модули и фазы
волновых функций по обе стороны перехода с помощью следующих
обозначений:
ti = K~p7eie>; *а = "КрГе|в-. (5 7)
Подставим выражения (5.7) в уравнения (5.6). Учтем, что eie =
=cos 0-f isin 0, и в каждом уравнении приравняем друг другу
действительные и мнимые части выражений справа и слева, обозначая
для краткости производную по времени точкой сверху: dpjdt — p
и дО/д/ = 0. Напомним также, как дифференцируются произведение
функций: (д/dt) (uv) = (dufdt)v+ (dv/dt)u и сложная функция
(функция от функции): (d/d/)y"p=(l/2j/^)dp/d/; (d/d/)ei0 = e!eid6/d/.
Простые, но довольно длинные выкладки с дифференцированием и
последующим приравниванием действительной и мнимой частей
читатель при желании может выполнить самостоятельно. Приведем
получающиеся в результате соотношения, введя дополнительное
обозначение для разности фаз б = 9г — 0i:
p1-(2A)/(l/rp7p"2sin6; p2 = -(2A)/(]/"p^sin6; (5.8)
Соотношений получилось четыре — по два из каждого уравнения
для комплексных величин.
Вычитая левое уравнение (5.9) из правого, получаем для
производной разности фаз:
dbldt = б = 62 — 9х = qVIH. (5.10)
Решение этого уравнения очевидно:
6(0 = 6(0) +-^(V(0*. (5.11)
о
Производная заряда по времени есть электрический ток.
Уравнения (5.8) показывают, что плотности заряда по разные стороны
контакта меняются одинаково с точностью до знака. Если замкнуть
сверхпроводники, то между ними потечет ток, определяемый только
108

разностью фаз волновых функций электронных пар по обе стороны
контакта б и константой связи К:
/ = /0sin6; I0 = (2K/h)Vp^z. (5.12)
Обратим внимание на то, что в это выражение для тока никак не
входит напряжение на контакте V. Значит, если создана заметная
разность фаз б, то ток пойдет и в отсутствие напряжения?
Оказывается, именно так! Вольт-амперные характеристики перехода Джо-
зефсона выглядят весьма странно (рис. 30). Вертикальная черточка
при ]/=0 и есть ток, предсказываемый формулой (5.12) Эту
черточку неоднократно видел на своих вольт-амперных характеристиках
Гиавер; но принимал ее за последствия «закороток» в образцах и
выбрасывал эти образцы вместе с полученными кривыми.
Если же приложить небольшое постоянное напряжение, то из
формулы (5.11) при V(/) = V0 = const получим:
b = bo + (qV0/h)t. (5.13)
Фаза будет меняться линейно со временем, а ток,
пропорциональный синусу фазы, будет осциллировать с очень большой
частотой щ — qVJh—ведь в знаменателе этого выражения стоит ft. Так,
если V0 составляет 1 мВ, то (о0 = 484 ГГц — почти полтриллиона
герц! Поэтому никакого постоянного тока через контакт Джозеф-
сона при напряжении 1 мВ
зарегистрировано не будет, зато при желании и
наличии соответствующего приемника
можно убедиться, что контакт под таким
маленьким постоянным напряжением
начинает испускать излучение сверхвысо*
кой частоты. Приведенное выше
значение частоты coo соответствует длине
волны 3,9 мм (Х=сл./о)о). Это излучение
так же, как и постоянный ток при
нулевом смещении, было зарегистрировано в
первых же экспериментах с контактами
Джозефсона.
Выражение для частоты со0 линейно
связывает хорошо измеримые
макроскопические величины — частоту и
напряжение — с отношением фундаментальных
констант, заряда электрона и постоянной Рис 30. Пример вольт-
Планка. Поэтому первым —но не по- амперной характеристи-
следним — практическим применением ки перехода Джозефсо-
эффекта Джозефсона было измерение с на- Резкое падение тока,
недоступной ранее точностью весьма Значенное пунктиром,
/ F ,. _ соответствует участку
важной величины е/п. Эти измерения при- ^—в на рис. 29
1}мкА
10
10
-j -г
т
1
1 г ш
109

вели к существенному пересмотру принятого значения и устранили
расхождение, существовавшее к тому времени между результатами
расчетов методами квантовой электродинамики и
экспериментальным значением, получаемым из структуры энергетических уровней
водорода. Последующие измерения заставили пересмотреть
значения всех физических постоянных, а само отношение e/fi известно
сейчас с погрешностью, меньшей Ю-4 %.
Удивительной чертой первой публикации Джозефсона в
журнале «Физике леттерс» была полнота описания возможных физических
следствий эффекта и их использования. Филип Андерсон
вспоминает, что когда он и его коллега-экспериментатор Джон Роуэлл
попросили ознакомиться со статьей Джозефсона
высококвалифицированного юриста-патентоведа фирмы «Белл телефон», тот пришел
к заключению, что исчерпывающая полнота описания всех аспектов
явления оставляет мало шансов на успех любым будущим
изобретателям в попытках запатентовать что-либо существенное на
основании эффекта Джозефсона в обход его работы.
Мы видим, что в формулы (5.11) — (5.13) входит
разность фаз волновых функций в двух областях
сверхпроводника. Физические приборы, действие которых основано
на измерении или сравнении разности фаз,
называются интерферометрами; интерференционные опыты
—давний способ осуществлять тонкие и точные физические
измерения. Наиболее известны и употребительны
оптические, световые интерферометры, которые служат
основой определения стандартов единиц длины и
времени.
Любопытно, как сильно изменился за последние
несколько десятилетий масштаб явлений, используемых
физиками в качестве эталонов стабильности и
прецизионности. Раньше образцом точности и надежности были
астрономические наблюдения, но стоило физикам
углубиться в атомный мир, как они быстро осознали, что на
неизменность и постоянство крошечных объектов
микромира можно полагаться с гораздо большим основанием,
чем на «гармонию небесных сфер». Тот же Филип
Андерсон высказал обоснованное утверждение в том, что
вся будущая система физических единиц может быть
основана на измерениях, выполненных с
интерферометрами двух типов — оптическими и джозефсоновскими.
Поговорим о единицах измерения подробнее.
Позвонив по рабочему телефону какому-нибудь
своему коллеге-экспериментатору, автор часто слышит: «Его
нет, он на измерениях» или «Он в другом корпусе,
готово

вится к измерениям». Основой физического
эксперимента всегда было и остается измерение — сопоставление
некоторой физической величины с эталоном и получение
числа —■ значения этой величины, выраженной в точно
определенных единицах. В очень давние времена весь
опыт фактически сводился к самому процессу
измерения — отсчету времени, взвешиванию, замеру длины, но
это далекое прошлое. Сейчас львиную долю рабочего
времени физика (иногда многие годы) занимает
подготовка к опыту — создание установки.
Тем не менее, окончательный результат опыта всегда
был и останется числом: данная величина содержит
столько-то таких-то единиц. С течением времени
измерения уточнялись, и роль единиц измерения, эталонов
возрастала. Возьмем, к примеру, время. В распоряжении
человека всегда были абсолютно надежные и довольно
точные часы — сама Земля, ее вращение вокруг своей
оси. Снисходительный оттенок в выражении «довольно
точные» не случаен, мы увидим, что часы, созданные
человеком, сейчас намного превосходят по точности
«земные» (надежность — дело другое). Для измерения
времени измеряющему нужен некий периодический процесс,
в котором совершенно определенная ситуация
повторялась бы через строго одинаковые промежутки времени,
такой промежуток и выбирают за эталон. У «земных»
часов этот промежуток — звездные сутки, а моментом
отсчета для данной местности является, например,
прохождение определенной звезды через меридиан. (О
том, как можно измерять промежутки времени с
помощью апериодических процессов, мы будем говорить
ниже в главе об а-распаде, этот вопрос также имеет
непосредственное отношение к нашей теме.)
Но сутки, во-первых — промежуток довольно
длинный, его нужно научиться делить на доли, а во-вторых,
увы, не очень постоянный. Некоторые колебания в
продолжительности звездных суток имеют понятную
причину, их можно объяснить и учесть, ввести
соответствующие поправки, но период вращения Земли
подвержен и непредсказуемым, случайным — правда, очень
небольшим — изменениям, порядка одной
двадцатимиллионной доли. В настоящее время даже такая
астрономическая точность не удовлетворяет физиков.
В физике и математике слово «гармонический»
означает строго периодический, в узком смысле — синусои-
111

дальный. Гармониками с частотой о называются
функции времени sin (со/) и cos (со/) или их линейные
комбинации е±ш. Как уже говорилось, «гармония небесных
сфер» оказалась в этом смысле недостаточно
гармоничной, и в поисках настоящей математической гармонии в
природных процессах физикам пришлось обратить свой
взор, можно сказать, в противоположную сторону.
В первых атомных часах использовались те же самые
колебания молекулы аммиака, что и в аммиачном
мазере (см. главу третью), и роль маятника в этих часах
играли атомы азота. Чтобы колебания маятника не
затухали, периодически надо сообщать ему энергию, причем
частота этой подкачки должна быть равна собственной
частоте маятника или меньше ее в целое число раз.
Создание самого рабочего элемента аммиачных часов
было, пожалуй, проще, чем у мазера. Его основой
служит скрученная в спираль полая трубка-волновод
прямоугольного сечения, которая заполняется аммиаком
под низким давлением. Она подключается к источнику
электромагнитных колебаний с частотой, которая
близка к резонансной (24 000 МГц). Молекулы аммиака
играют роль хранителя частоты, поскольку в этих часах
есть и второй «маятник»— кристалл кварца, частота
собственных колебаний которого тоже постоянна, но с
меньшей точностью, чем у молекулы аммиака. Поэтому
молекулярные колебания служат для коррекции колебаний
пластинки кварца. Система питания и электронного
преобразования частоты для выхода на обычные часы с
циферблатом располагалась тогда (дело было в 1948
году) в довольно увесистом шкафчике. Современный
кварцевый хронометр, как известно, помещается в корпус
наручных дамских часиков. Погрешность первых
аммиачных часов составляла 10_6% — меньше секунды
в год — и затем была уменьшена еще примерно втрое.
Затем первенство перешло к другим атомным часам —
цезиевым, имеющим погрешность 10~7 %.
Но вернемся к туннелированию в сверхпроводниках. Постоянный
ток через контакт Джозефсона чрезвычайно чувствителен к
приложенному магнитному полю. Рассмотрим два одинаковых контакта,
включенных параллельно (рис. 31). Это полный аналог столь
популярного в электронной и световой оптике опыта с интерференцией
волн от двух щелей, только здесь интерферируют не световые
волны и не волны де Бройля, а два джозефсоновских тока, каждый со
112

своей амплитудой /а, 1Ъ и фазой
б0> б6. Концы сверхпроводников
Р и Q присоединены к прибору,
который измеряет ток, равный
сумме (с учетом фаз!) токов /а и
/ь. Если в направлении,
перпендикулярном плоскости схемы,
приложено магнитное поле, то разность
фаз ба—бь связана простым
соотношением с магнитным потоком
через контур Ф:
ба-бь==(2е/&)Ф. (5.14)
Обозначим б0 среднее
арифметическое фаз да и 6ь. Тогда
6а = б0 + еФ/ft; б6 = б0 — еФ/П
и полный ток через параллельные
контакты
'полн == 'о sin (б0 + еФ/h) +
/0 sin (б0 — еФ/h) =
= 2/0sin60coseO/ft. (5.15)
Получается, что магнитное поле модулирует выражение для тока
/полн осциллирующим множителем, причем чрезвычайно
чувствительным к магнитному потоку — h опять стоит в знаменателе!
Соединив параллельно два контакта Джозефсона, можно получить
исключительной чувствительности прибор для измерения магнитного
поля. На рис. 31 показана также типичная зависимость тока черев
параллельные контакты Джозефсона от напряженности
приложенного магнитного поля. Видно, что амплитуда тока совершает
полный период колебаний при изменении магнитной индукции на сотые
доли гаусса, или на миллионные доли тесла. Это далеко не предел.
Если площадь, охватываемую контуром с двумя переходами,
сделать равной 1 мм2, то максимумы кривой на рис. 31 будут отстоять
друг от друга всего на 2-10~9 Тл.
Высокая чувствительность контактов Джозефсона
приводила порой к неожиданным возможностям их
использования. Сам Джозефсон рассказал об одном таком
примере. Два знакомых ему дипломника, Кларк и Рейт,
жили в одной комнате. Кларк занимался как раз
двухконтактными интерферометрами Джозефсона, пытаясь
сделать на их основе высокочувствительный гальваио-
-100 -50
50 HJirVi
Рис. 31. Схема параллельного
включения контактов
Джозефсона и зависимость тока в
такой цепи от напряженности
магнитного поля,
перпендикулярного плоскости контура
PaQ6
113

метр. Однажды его сосед Рейт обратил внимание
Кларка на то, что ему никак не удавалось припаять обычным
припоем ниобий. Кларк рассудил, что это происходит из-
за неизбежного образования тончайшей пленки окисла
между ниобием и припоем, причем толщина пленки
должна быть достаточно мала для создания туннельного
перехода. Предположение Кларка оказалось верным. Если
ниобиевую проволоку полностью окружить каплей
припоя, то критический ток через барьер оказывается
совершенно нечувствительным к внешним магнитным полям,
но зато исключительно чувствительным к магнитному
полю тока, протекающего по центральной проволоке. Это
привело к разработке гальванометра чувствительностью
Ю-14 В!
Чрезвычайная чувствительность эффекта к внешним
воздействиям оказалась серьезным препятствием на
пути его экспериментального обнаружения. Джозефсон
вспоминал: «Пиппард предложил мне самому
попытаться обнаружить туннельные сверхпроводящие токи,
измеряя характеристики контакта в компенсированном
магнитном поле. Результат моего эксперимента был
отрицательным, хотя было бы достаточно тока менее одной
тысячной предсказанного критического значения, чтобы
дать заметное падение напряжения на контакте. Одно
время этот эксперимент предполагалось описать в
отдельной главе моей дипломной работы, имевшей
название «Два неудачных эксперимента по электронному тун-
нелированию между сверхпроводниками».
Андерсон и Роуэлл устранили причину одной из воз-
можных помех и сумели наблюдать эффект. Как писал
Андерсон, причин тому было три: «Во-первых, мы знали
что искать. Во-вторых, мы понимали то, что видели ...
В-третьих, мы были уверены в умении Роуэлла делать
хорошие, чистые, надежные туннельные переходы. Поняв
все это, мы в названии своей статьи «Возможное
наблюдение эффекта Джозефсона» изменили слово
«возможное» на «вероятное».
Создание контакта Джозефсона означало очередное,
например по сравнению с туннельным диодом,
уменьшение характерных размеров и, следовательно, времен
срабатывания, увеличение рабочих частот. Именно за этим
охотятся специалисты по разработке ЭВМ и другой
электронной аппаратуры. Возможности применения кон-
114

тактов Джозефсона в этом отношеннии характеризуются
следующими уже достигнутыми показателями:
изготовлены экспериментальные логические ячейки,
срабатывающие за 13 пс (1,3- 10~и с). Толщина «проводов» в такой
схеме (это печатная схема, изготовленная
электроннолучевой литографией) составляет 30—40 нм, т. е. всего
150—200 атомных диаметров, а толщина самого барьера
еще примерно в семь-восемь раз меньше. Однако
технологические трудности, стоящие на пути практического
использования этих достижений, разумеется, весьма
велики.
Глава шестая
ГОД ЧУДЕС
вантовую механику в первые десятилетия ее
развития часто называли также атомной
механикой. Ее привлекали для объяснения
свойств самих атомов и состоящих из них
систем. Роли туннельного эффекта именно в
этой области физики и были посвящены
предыдущие главы. Однако с начала
тридцатых годов все более важным объектом исследования
становится атомное ядро. Этот новый шаг в глубь
микромира привел к важным открытиям в области квантового
туннелирования уже на внутриядерном уровне. К их
рассмотрению мы сейчас и перейдем, начав с небольшой
главы исторического характера.
В 1982 году ядерная физика отпраздновала
своеобразный золотой юбилей — не одного какого-то
открытия, а целого «года чудес». Именно так, «annus
mirabilis»—«год чудес»— называли современники
1932 год. О нем в ядерной физике вспоминают, как в
виноделии о знаменитом «годе кометы», упомянутом в
«Евгении Онегине». Он дал неслыханный урожай и вина
изумительного качества.
Судите сами хотя бы по экспериментальным
достижениям. В январе Г. Юри объявил об открытии
тяжелого изотопа водорода — дейтерия. В феврале Дж. Чадвик
доказал существование нового элемента ядерной
структуры — нейтрона. В апреле Кокрофт и Уолтон впервые
115

вызвали искусственную ядерную реакцию — разрушение
атомного ядра при бомбардировке его ускоренными на
электрофизической установке протонами. В августе
К. Андерсон обнаружил на фотопластинках, облученных
космическим излучением, следы еще одной новой
частицы — положительно заряженного электрона, названного
вскоре позитроном. Семейство элементарных частиц,
таким образом, за один год возросло вдвое — до тех пор
были известны лишь электрон и протон. Правда,
Андерсон наблюдал в своих экспериментах положительно
заряженные легкие частицы в очень ограниченных
количествах, три-четыре случая, на основании которых нельзя
было сделать решающего вывода, но вскоре английский
физик П. Блэкетт обнаружил уже около шестисот
случаев, и все сомнения отпали.
Тем же летом Лоуренс, Ливингстон и Уайт начали
исследования на циклотроне, и к концу года энергия
ускоренных на этой установке протонов достигла 5 МэВ.
Научную литературу той поры трудно читать без
волнения. В декабре 1932 года к восьмидесятилетию
О. Д. Хвольсона, автора всемирно известного
шеститомного курса физики, учителя многих известных русских
ученых, четвертым изданием вышла его книга «Физика
наших дней». Первое ее издание было выпущено в
1928 году, и почти ежегодные переиздания автору по
существу приходилось переписывать заново, настолько
быстро обогащалась фактами и идеями физика на
рубеже двадцатых и тридцатых годов. Процитируем отрывок
из четвертого издания: «1932 год уже успел принести
нам еще одну новость, которая, если она окажется
верной, может значительно расширить наши представления
о превращении одних элементов в другие. Сейчас (июль
1932 года) автору этой книги известны только две
заметки, из которых вторая датирована 16 апреля 1932 года;
обе заметки написаны двумя молодыми учеными Кокроф-
том и Уолтоном в Кембридже, сотрудниками Резерфор-
да ... Совокупность наблюдений приводит авторов к
мысли, что частицы, возникающие из атомов лития под
влиянием бомбардировки весьма быстрыми протонами, суть
не что иное, как обыкновенные частицы а... Если это
окажется верным, то мы имели бы совершенное новое
явление распада атома одного элемента на два атома
другого элемента по схеме: Li(Z=7)+Н=2Не».
Однако страницей ниже автор пишет: «Мы знаем состав атом-
116

ыого ядра, знаем, что оно содержит А протонов и (A—Z)
электронов». Это утверждение к моменту выхода книги
успело уже устареть. Как бы предчувствуя это,
О. Д. Хвольсон еще через две страницы заключает
параграф следующими словами: «Открытие Боте и Бекке-
ра бериллиевых лучей и связанное с этим открытием
введение понятия о нейтроне Чадвиком... сулят новые
данные по фундаментальному вопросу о строении
атомного ядра».
Теперь кажется даже странным, что в течение более
чем двадцати лет после открытия атомного ядра физики
считали его состоящим из протонов и электронов.
Противоречия, с которыми при этом приходилось мириться,
были существенные. Перечислим их.
1. Ядро имеет размеры порядка Дл:~10~12 см.
Подставив эту величину в соотношение неопределенностей
для электрона, получим неопределенность импульса
Ap^h/hx. Соответствующая неопределенность
кинетической энергии Д£»Др2/2те==3000 МэВ! Как можно
удержать электроны с такой фантастической энергией в
ядре? Да и вылетают они оттуда с энергиями, в тысячи
раз меньшими.
2. Забудем, хотя это и трудно, про соотношение
неопределенностей. Тогда вообще почему электроны
вылетают из ядра, к которому они должны сильно
притягиваться за счет кулоновских сил — ядро заряжено
положительно, а электроны отрицательно?
3. Куда девается в ядре магнитный момент
электрона, у ядра он в 1000 раз (!) меньше, чем у отдельного
электрона?
4. Согласно существовавшим тогда полуклассическнм
оценкам размеры электрона больше размеров ядра!
Но электрон вылетал из ядра! Вернер Гейзенберг
писал позднее: «Я получил одно письмо, в котором
говорилось, что, мол, это прямо-таки скандал — утверждать,
будто в ядре нет электронов, когда каждый может
видеть, как они вылетают из ядра, мол, я создаю
настоящий хаос в физике, выдвигая такие неразумные
предположения, и мою позицию просто нельзя понять».
Гейзенберг получил это письмо по весьма важному
поводу. «Год чудес» был не только порой великих
экспериментальных открытий. Можно считать, что в этом году
родилась и теоретическая ядерная физика. Летом этого
года появились работа советского теоретика Д. Д. Ива-
117

ненко, где впервые была высказана гипотеза о протон-
нейтронном составе всех ядер, а затем большая, в трех
частях, статья Гейзенберга, в которой с учетом
существования нейтрона обсуждалась возможность применения
квантовой механики к ядру. До тех пор, как мы видели
из приведенных выше четырех пунктов, это было просто
немыслимо. Известный советский специалист по теории
ядра и физике твердого тела академик АН УССР
А. С. Давыдов писал: «С 1932 года, после установления
протон-нейтронного состава ядра, возникла
необходимость объяснения свойств атомных ядер как устойчивых
систем взаимодействующих частиц. С этого времени и
ведет начало теоретическая ядерная физика».
Переломным моментом все безоговорочно считают
открытие нейтрона.
В больших гостиницах наряду с ключами для
постояльцев, отпирающих каждый свою дверь, имеется
обычно у администратора и универсальный ключ,
подходящий ко всем замкам на этаже. Таким «хозяйским
ключом» в ядерной физике, можно сказать, и оказался
нейтрон, с его помощью открылись многие двери, к которым
не знали, как и подступиться.
О возможности существования такой частицы
упомянул еще в 1920 году в одной из своих лекций Резерфорд,
и его ученик Джеймс Чадвик задумался о том, как ее
найти. В 1930 году немецкие физики В. Боте и Г. Бек-
кер открыли проникающее излучение со странными
свойствами, возникающее при бомбардировке бериллия
а-частицами, но они попытались интерпретировать его —
довольно безуспешно — как разновидность у-излучения.
Странность заключалась в необыкновенной
проникающей способности, новые частицы проходили через
свинцовые пластины, полностью поглощавшие обычное v-из-
лучение (не говоря уже о заряженных а- и р-частицах),
и не отклонялись магнитным полем, следовательно, не
несли электрического заряда. Опыты Чадвика не
оставили сомнения в том, что к у-излучению новая частица
отношения не имеет. Она была названа нейтроном
(«neuter» на латыни—«ни тот ни другой»). Открытие
нейтрона можно назвать лебединой песней а-частиц
природных радиоактивных элементов как орудия
физического исследования. Они потрудились в этом качестве
более двадцати лет (вспомним, Резерфорд с их помощью
открыл атомное ядро) и были вынуждены окончательно
118

уступить место пучкам ускоренных частиц. В
дальнейшем и исследования по физике более высоких энергий
(которые, как пошутил один историк науки, долго
сводились в основном к упражнениям в скалолазании,
поскольку выполнялись с космическим излучением высоко
в горах) постепенно переносились в экспериментальные
залы все более мощных и дорогих ускорителей.
Известный английский экспериментатор С. Ф. Пауэлл
писал в своей статье для сборника «Будущее науки»:
«... Когда супруги Кюри находились в расцвете своих сил,
и даже тридцать или сорок лет спустя, исследования в
области элементарных частиц еще сохраняли всю
прелесть индивидуального творчества. Ученые могли еще
сами придумать идею опыта, конструировать аппаратуру в
лучшем случае с помощью хорошего механика, делать
измерения и подводить им итоги. В те годы можно было
еще провести весь эксперимент — от идеи до
результата — в течение нескольких недель, имея под руками
необходимые материалы. Подобными преимуществами
обладают и художники».
Эпоха, которой посвящены эти ностальгические
строки, кончалась на глазах. Ниже Пауэлл пишет, уже имея
в виду характерную для нашего времени
индустриализацию эксперимента: «...Именно в физике элементарных
частиц мы впервые увидели черты науки будущего,
контуры того стиля работы, который, по нашим ожиданиям,
возобладает во все возрастающем числе разделов науки
по мере развития научных методов».
О самой истории экспериментального открытия
нейтрона следует сказать несколько слов. После
опытов В. Боте и Г. Беккера, обнаруживших
непонятное излучение, его исследованием занялись супруги
Кюри.
В шахматных соревнованиях на самом высоком
уровне не часто, но все же бывают такие случаи.
Гроссмейстер завершил острую интересную партию вничью. И вот
часы остановлены, игра окончена, а в кулуарах коллега,
расставив фигуры, убедительно показывает окончившему
игру шахматисту, как на предпоследнем или последнем
ходу он мог блестящей комбинацией выиграть партию.
Это нельзя даже назвать просмотром — позиция
сложна — но субъективно такое гораздо обиднее, чем грубый,
даже повлекший за собой проигрыш зевок. Могла
получиться бессмертная партия — и не получилась,..
119

Нечто подобное произошло - с Ирен и Фредериком
Жолио-Кюри. Измерив коэффициент поглощения \х
неизвестных нейтральных частиц (а тогда единственной
нейтральной частицей, известной физикам, был у-квант,
фотон), они получили значение гораздо ниже, чем все
известные до тех пор. Зависимость коэффициента
поглощения от энергии кванта Еу была известна до значений
энергии в несколько мегаэлектронвольт, и с ростом
энергии значение |ыт монотонно уменьшалось. Если логически
продолжить, экстраполировать имевшуюся кривую в
сторону более высоких энергий, то значение |ы7, которое
получили Жолио-Кюри, примерно соответствовало Еу «
»50 МэВ — огромное, непонятное число. Попутно было
обнаружено еще одно загадочное явление — когда между
источником и регистрирующей ионизационной камерой
ставили тонкий слой поглотителя, содержащего атомы
водорода, ток в ионизационной камере возрастал!
Эксперименты в камере Вильсона, где можно непосредственно
наблюдать треки частиц, показали, что ток вызывается
протонами. Правильно решив, что быстрые протоны
получают энергию при столкновении с неизвестными
частицами, и зная ее, экспериментаторы рассчитали энергию
у-квантов, необходимую для сообщения протонам
соответствующего импульса. Она опять получилась равной
примерно 50 МэВ... Это была уже, говоря
по-шахматному, настоящая ловушка — природа форсировала ничью,
можно сказать, повторением ходов. Трудно было
посчитать полученное число простым совпадением, каким оно
в действительности оказалось. Решающую комбинацию
нашел Джеймс Чадвик. Он заставил неизвестные
частицы рассеиваться с передачей импульса не только на
ядрах водорода, но и на ядрах азота. Полученная
простая система уравнений, вытекающая из механических
законов сохранения, позволила определить
одновременно энергию и массу частиц. Масса их практически
совпадала с массой протона. Нейтрон был открыт Чадви-
ком.
Французские ученые были очень расстроены неудачей,
но отнюдь не пали духом. Переключившись на
исследования с ^-излучением высоких энергий, они обнаружили,
что коэффициент поглощения этого излучения с
увеличением энергии ведет себя совсем не так, как можно было
ожидать по начальному участку кривой — убывание его
в действительности замедляется, а потом и вообще сме-
120

н-яется ростом. Обнаружив этот эффект, Жолно-Кюри
экспериментально нашли ему объяснение, и это
оказалось открытием, сравнимым по значению с
обнаружением нейтрона. Они доказали, что высокоэнергичные
Y-кванты в поле атомных ядер расходовали свою
энергию на рождение электрон-позитронных пар. Супруги
Жолио-Кюри открыли превращение света в вещество]
Они же открыли искусственную радиоактивность.
А. Ф. Иоффе писал вскоре после этого: «Совсем недавно
Ирен Кюри и Жолио открыли новое замечательное
явление. Оказалось, что существует новый тип
радиоактивности, что ядра алюминия, бора, магния, сами по себе
не радиоактивные, будучи бомбардированы а-лучами
становятся радиоактивными. В течение от 2 до 14 мин
они продолжают сами собой испускать частицы, и эти
частицы уже не а- и р-лучи, а позитроны».
Истории о новых частицах и ядерных превращениях
проникли на страницы широкой прессы, воскрешая
мечтания алхимического толка и надежды на новые
источники энергии. Вот заголовки статей в газете «Нью-Йорк
Тайме» на протяжении одной недели: 1 мая —
«Энергия растет — атомы разлетаются на части», 3 мая —
«Да здравствует новый подход к энергии атома»,
4 мая — «Атомная энергия», 8 мая — «Бомбардирующие
атом».
«Вокруг нас бушует, грохочет научный ураган,—
писал в уже цитированной книге О. Д. Хвольсон,— какого
не знает история нашей науки, ураган, в сравнении с
которым возникновение и развитие принципа
относительности... представляется слабым ветром, хотя он и произвел
совершенный переворот в наших основных
представлениях о пространстве и, в особенности, о времени».
Пожалуй, именно с 1932 года словосочетание
«ядерная физика» начало приобретать те значение и смысл, к
которым люди позднее привыкли. Стремительно
менялись масштаб, темпы, методы исследования, сложность
установок — и затраты.
Первый электростатический ускоритель протонов
Кокрофта — Уолтона имел высоту 5 м и обошелся в
сумму, которая тогда казалась чудовищной—100 фунтов
стерлингов! Первый циклотрон Лоуренса, заработавший
к началу 1932 года, имел диаметр магнита 28 см,
разгонял протоны до энергии 1,2 МэВ и был построен на
субсидию в 500 долларов.
9—271
121

После «года чудес» ситуация начала меняться. В
крупнейшем американском журнале «Физикал ревю» доля
статей по ядерной физике уже в следующем, 1933 году,
более чем удвоилась, и к 1937 году снова удвоилась.
Число ежегодно защищаемых диссертаций по ядерной
физике к концу тридцатых годов по сравнению с
началом тридцатых годов выросло в 20 раз, и в 1940 году
Лоуренс уже получил от Рокфеллеровского фонда свыше
миллиона долларов для строительства циклотрона на
энергию 100 МэВ.
Большое влияние оказали все эти события на
развитие ядерно-физических исследований и в нашей стране.
Следует сказать, что до Октябрьской революции в
России не велось никаких исследований в области
радиоактивности. История систематических работ в этом
направлении начинается с создания в 1922 году в Ленинграде
Государственного радиевого института, возглавляемого
В. Г. Хлопиным и носящего ныне его имя.
Начав работу с высоковольтными источниками
постоянного напряжения лишь в июне 1932 года, группа
сотрудников Украинского физико-технического института в
Харькове уже к октябрю располагала разрядной
трубкой на напряжение 350 киловольт, и с помощью этой
установки 11 октября впервые в СССР было
осуществлено искусственное расщепление ядра лития ускоренными
протонами. Авторами работы были К. Д. Синельников,
А. И. Лейпунский, А. К. Вальтер и Г. Д. Латышев.
Исследования свойств нейтрона и вызываемых им
ядерных реакций развернулись во многих странах
немедленно после его открытия. В СССР эту работу возглавил
в 1933 году в Ленинградском физико-техническом
институте молодой физик Игорь Васильевич Курчатов, и в
следующем году уже появились первые публикации
советских ученых по нейтронной физике. С 24- по 30 октября
1933 года в Ленинграде состоялась Первая всесоюзная
конференция по физике атомного ядра. С большим
докладом о протон-нейтронной структуре ядра выступил
Д. Д. Иваненко. Участие в этой конференции таких
выдающихся зарубежных ученых, как Нильс Бор, Фредерик
Жолио-Кюри, Поль Дирак, Франсис Перрен, придало ей
характер широкого международного форума физиков.
В дальнейшем конференции по структуре ядра стали
проводиться у нас в стране регулярно. После Великой
Отечественной войны, с 1950 года, они возобновились под
122

названием всесоюзных ежегодных совещаний по ядерной
спектроскопии и структуре ядра.
В двухтомном историческом исследовании «Развитие
физики в России» говорится: «С начала 30-х годов при
ширркой материальной поддержке со стороны
правительства начинается создание крупных научных центров
для работ в области ядерной физики. Изолированные
группы из двух-трех исследователей заменяются
лабораториями, оснащенными новой техникой... К 1934 году
была в основном оформлена организационная структура
научных учреждений, занимающихся проблемами
ядерной физики. Ее основу составили четыре научных
центра: Ленинградский физико-технический институт,
Украинский физико-технический институт в Харькове,
Государственный радиевый институт и Физический институт
АН СССР в Москве».
Конкретных путей практического использования
внутриатомной энергии еще никто не видел, но
интуиция не обманула ученых, веривших в исключительную
важность ядерных исследований. Время, когда эта
уверенность оправдается, было не за горами.
Глава седьмая
ТУННЕЛИ ИЗ ЯДРА И В ЯДРО
томное ядро — единственный природный
объект, для свойств которого одинаково
важны все основные виды известных
взаимодействий между элементарными
частицами кроме, пожалуй, гравитационного.
Определяющим из них является так называемое
сильное, ядерное взаимодействие, в
основном его и имеют в виду, когда говорят «ядерные силы*.
О его роли свидетельствует шутливое высказывание
одного из докладчиков на международной конференции
по физике элементарных частиц: «Бог сказал сперва:
«Да будут сильные взаимодействия!»—и лишь потом:
«Да будет свет!». «Свет»—это электромагнитные
взаимодействия, второй по важности из факторов,
определяющих структуру ядра.
Сильные взаимодействия создают мощное взаимное
притяжение всех частиц, непосредственно входящих в
состав ядра. За их счет попарно притягиваются и нейтрон
9*
123

с нейтроном, и протон с протоном,
и протон с нейтроном.
Электрические силы отталкивают друг от
друга протоны, а также целые
ядра, если они сближаются
достаточно, чтобы экранирующие
электронные оболочки атомов
уже не мешали (оболочки могут
быть к тому же полностью или
частично удалены ионизацией).
Это электростатическое
отталкивание, «кулоновский барьер», и
служит основным препятствием,
которое необходимо преодолеть,
для того чтобы изучать ядерные
реакции с участием заряженных
частиц.
При слове «барьер» читатель
уже должен насторожиться.
Барьеры для того и существуют,
чтобы через них проникать
туннельным способом. Чтобы полнее
понять роль кулоновского
барьера в ядерных процессах, мы его сначала нарисуем в
крупном масштабе примерно 1012: 1 (рис. 32), т. е.
изобразим потенциальную энергию протона в зависимости
от его расстояния до некоторого ядра с зарядом Ze.
Сильные взаимодействия проявляются только на
самых близких расстояниях порядка 10~~12 см, а при
отдалении нуклонов друг от друга очень резко ослабляются,
поэтому, когда хотят совсем просто изобразить
потенциал сильного межнуклонного взаимодействия, рисуют
прямоугольную яму глубиной несколько десятков
мегаэлектронвольт. Детали потенциала сильного
межнуклонного взаимодействия изучены недостаточно хорошо, зато
прекрасно известен и с высокой точностью выполняется
закон Кулона, согласно которому электрические силы
расталкивают заряды -\-е и -{-Ze. Соответствующая
потенциальная энергия равна
V(r) = Ze2/r. (7.1)
Сложение потенциала прямоугольной ямы с кулонов-
ским и дает потенциал, изображенный на рис. 32. Заме-
уШтенциал притаже-
\ ния, обусловленный
ядерными силами
Рис. 32. Кулоновский
барьер для протонов,
налетающих на
сферическое ядро с зарядом
Ze:
Ro — радиус ядра; г —
расстояние от протона до
центра ядра
124

тим, что внутри ядра выражение (7.1) уже не действует,
прилетевший протон там держится на некоторой средней
дистанции от своих заряженных соседей, и кулоновскую
добавку к его энергии можно считать примерно
постоянной, а не обращающейся при нулевом расстоянии от
центра ядра в бесконечность. Потенциал, изображенный
на рис. 32, с момента, когда его впервые нарисовали, из-
за очевидного контурного сходства стали называть
«кратерной моделью». Диаметр кратера нашего
потенциального вулкана для всех не слишком легких ядер
можно оценивать следующим образом. Плотность массы
очень слабо хменяется от ядра к ядру, ее можно
приблизительно считать постоянной (она составляет, кстати,
примерно 240-106 т/см3). Тогда полная масса
пропорциональна кубу радиуса, т. е. радиус пропорционален
корню кубическому из массы. При этих приближенных
рассуждениях вполне можно пренебречь разностью масс
протона и нейтрона. Тогда получаем, что радиус
кратера, ядерной потенциальной ямы, равен /?0=/у11/3 , где
А — массовое число, т. е. полное число нуклонов в ядре,
а г0«1,4-10-15 м.
Самой большой массой и самым большим зарядом из
существующих в природе ядер обладает основной по
распространенности изотоп элемента урана: А =238,
Z=92. Оценим высоту кулоновского барьера для
протона, налетающего на это ядро:
Vp = ZeVr0A]/3 = 92^б2-10~38 дж = и МэВ.
1,4-10—15-2381/3
Для двукратно заряженной а-частицы эта энергия
примерно вдвое больше. «Примерно», потому что при
вычислении Va нужно в качестве г подставить сумму
радиусов ядер урана и гелия. Последняя величина хоть и
мала, но заметна. В результате 1/а=25 МэВ. а-Излуче-
ние с такой большой энергией при распаде ядер не
наблюдается. А первыми снарядами, которыми физики
открыли огонь по ядру, были а-частицы, ядра гелия с Z —2,
поэтому природными а-частицами долго
бомбардировали только сравнительно легкие ядра, у которых кулонов-
ский барьер гораздо ниже.
Естественная радиоактивность была первым ядерным
явлением, с которым столкнулись физики. Ее открыл
француз Анри Беккерель, обнаружив, что соль урана
125

испускает излучение, засвечивающее фотопластинку и
разряжающее электроскоп. Известный американский
специалист по теории ядра В. Вайскопф писал:
«Внутренняя структура ядер не столь существенна для мира,
в котором мы живем. Действительно, ядерная физика —
это уже дело рук человека: нам пришлось возбудить
ядра, прежде чем мы смогли изучать сопутствующие
явления. В естественных земных условиях мы можем
наблюдать очень мало явлений, которые
непосредственно обусловлены механизмом внутриядерных процессов.
К ним относится, в частности, естественная
радиоактивность, но она представляет собой всего лишь
горячую золу, оставшуюся от ядерного пламени,
которое бушевало четыре биллиона (миллиарда. — Н. Р.)
лет назад».
А в одной из первых отечественных
научно-популярных книг в этой области «Атака на атомное ядро»,
которую очень интересно прочитать и сейчас, будущий
академик АН УССР А. К. Вальтер очень поэтично описал
явление естественной радиоактивности: «Принято считать,
что болезнь и смерть — бедствия, которые преследуют
нас, живых, и, конечно, минуют мир атомов ...
Исследования последних тридцати с лишним лег отняли у нас
эту иллюзию. Атом, во всяком случае атомы наиболее
тяжелых элементов, как и мы, живут в течение
ограниченного периода времени. Они рождаются, от рождения
несут в себе зародыш своей погибели и по прошествии
некоторого срока внезапно и бурно умирают. Их
смерть — катастрофа в атомном мире, чудовищный
взрыв, распад, при котором часть умирающего атома
выбрасывается с такой силой, что она пронизывает
сотни тысяч других атомов и в некоторых случаях даже
наносит им смертельные раны». После сравнения
природной радиоактивности с естественной смертью
радиоактивность искусственную следует назвать насильственной
смертью — А. К. Вальтер так ее и называет, но мрачность
всех этих метафор, конечно, шутка.
Промежутки времени между моментом научного
открытия и началом его практического использования
могут быть очень различны. Одним из общеизвестных
примеров весьма быстрого внедрения является
использование рентгеновского излучения — его применили уже
через две недели после открытия. Примером
противоположной крайности можно считать открытие шарообраз-
126

ности земного шара. Ее доказал еще в третьем веке до
нашей эры греческий мыслитель Эратосфен, заведующий
Александрийской библиотекой, и не только доказал, но
и определил радиус земного шара. Историю эту стоит
рассказать. Эратосфен знал, что в Сиене есть колодец,
дно которого освещается солнцем в день летнего
солнцестояния, т. е. солнце в этот полдень для Сиены в зените.
Имея хорошие угломерные инструменты, Эратосфен
нашел, что в то же время в Александрии солнце отстоит к
югу от линии отвеса на одну пятидесятую окружности,
т. е. на семь градусов двенадцать минут. Расстояние
между этими двумя местами он определил в 5000
стадий. Таким образом, он вычислил длину окружности
Земли по меридиану и получил результат 50-5000 =
=250 000 стадий, т. е. 39 700 км, что с удивительной —
однопроцентной — точностью совпадает с истинным
значением 40 000 км. «Практически использовано» это
открытие было лишь семнадцать веков спустя Колумбом,
который настолько в него поверил, что снарядил
экспедицию на запад в поисках восточных земель и открыл в
1492 году Америку.
Первым применением ядерного явления на практике
была одна из разновидностей светящихся красок. В них
использовался а-распад — ударяя в мельчайшие
кристаллики сернистого цинка, а-частицы заставляли их
светиться, и свечение было хорошо различимо
невооруженным глазом в темноте. От фосфоресцирующих красок
радиоактивные выгодно отличались тем, что их не нужно
было «заряжать» на свету, и они служили долго, до
разрушения слоя. Ими стали покрывать шкалы
авиационных приборов и бытовых, в том числе наручных часов.
Но это изобретение принесло, пожалуй, больше вреда,
чем пользы. В зарубежной печати сообщалось, что
работницы на фабриках, наносившие светящийся состав
кисточкой, не принимали никаких мер предосторожности,
некоторые даже... слегка облизывали кисточку, чтобы
краска лучше к ней приставала. Были зарегистрированы
злокачественные заболевания слизистой рта. Причину
поняли, и радиоактивные краски были быстро
запрещены, так же, как и появившиеся было рентгеновские
аппараты в обувных магазинах (автор еще помнит одну
такую установку в большом обувном магазине на
Сретенке). С ионизирующими излучениями не шутят. Но,
осознав опасность и приняв необходимые меры предо-
127

сторожности, радиоактивность научились широко
использовать.
Основной закономерностью любого радиоактивного распада
является его экспоненциальность, а основной количественной
характеристикой — период полураспада. Поясним, что это такое. Если
имеется большое число нестабильных атомных ядер,
подвергающихся распаду, то принципиально нельзя предсказать, когда распадется
то или иное ядро, можно лишь утверждать, что каждое из них
имеет определенную постоянную вероятность распасться в единицу
времени (обычно считают за секунду). Эту удельную вероятность
называют постоянной распада и обозначают Я. Если в данный
момент времени имеется N нераспавшихся ядер, то в ближайшую
секунду должно произойти примерно %N распадов, причем это
соотношение выполняется тем точнее, чем больше N. Число ядер,
распавшихся в секунду в данном образце радиоактивного материала,
называется активностью образца. Распавшиеся ядра прекращают
свое существование, поэтому число N за истекшую секунду
уменьшится на KN. Уменьшение N за единицу времени есть, по
определению, взятая с обратным знаком производная этой величины по
времени, отсюда непосредственно получается дифференциальное
уравнение для радиоактивного распада
dN/dt*=—XN. (7.2)
Решением его и является основной закон радиоактивного распада:
N(t) = N0e~>J9 (7.3)
где N0=N (t = 0)—число ядер в образце в момент времени,
принятый за начальный. Из формулы (7.3) получим выражение для
периода полураспада через К. По определению периодом
полураспада Т называется такой промежуток времени, по прошествии
которого нераспавшимися остается лишь половина из
первоначального числа ядер, т. е.
N0<r*T = N0/2; е~КТ = \/2; J
^т = 2\ In 2 = 1Т\ Г = (In 2) Д. J
Это позволяет переписать закон (7 3), используя период
полураспада:
1п2./
N(t)=N0e T =N0-2-t/T. (7.5)
При всей своей простоте формула (7.5) — одна из самых
точных в физике микромира. Разумеется, она носит статистический,
вероятностный характер, в отличие, например, от законов
сохранения или связи между энергией и массой Е — тс2. Эти последние
128

соотношения выполняются точно для каждого акта взаимодействия
или распада, в то время как выражение (7.5) — один из примеров
действия закона больших чисел. Это соотношение определяет
наиболее вероятное ожидаемое значение величины, и реальные
измерения дают всегда разброс значении, отклоняющихся в обе стороны
от наиболее вероятного. Теория вероятностей предсказывает, что
этот разброс при регистрации А распадов примерно равен ]/*/!,
поэтому, если А~\0е, то ДЛ = ]/^Л~103 и относительная
статистическая погрешность такого измерения активности есть АЛ/Л =
—10"3 = 0,1 %. Закон (7.5) должен выполняться — и всегда
выполняется — в рамках именно этой статистической погрешности.
Целенаправленные поиски отклонений от этого закона, выполненные в
специальных условиях с весьма высокой точностью,
положительного результата не дали.
Выше упоминалось о возможности использования
апериодических процессов наряду с периодическими для измерения времени.
Одну из таких возможностей представляет как раз
экспоненциальный закон радиоактивного распада. В периодическом процессе
одна и та же ситуация воспроизводится через равные промежутки
времени. В радиоактивном распаде за равные промежутки времени
активность образца уменьшается в строго определенное число раз,
что и позволяет делать отсчеты времени, регистрируя спад
активности. Таким образом, удается измерять как весьма малые,
характерные для микромира, промежутки времени, так и весьма большие, с
которыми оперируют археология и геология.
Более сложной характеристикой радиоактивного распада в
общем случае является его энергетический спектр. Если на опыте
помимо регистрации самого акта распада можно измерить и энергию
вылетающих частиц, то экспериментатор обычно строит график, по
оси абсцисс которого откладывается энергия регистрируемых
частиц, а по оси ординат — число частиц, имеющих дань'ую энергию.
Энергия, разумеется, — величина непрерывная, а число частиц
дискретно, но регистрирующая установка обычно фиксирует число
частиц с энергиями, заключенными в узких, но конечных по ширине,
примыкающих друг к другу энергетических интервалах. При этом
ось абсцисс тоже становится как бы дискретной, она содержит
«номера энергетических каналов», а по оси ординат откладывается
«счет в канале». Получающийся график и называется наблюдаемым
энергетическим спектром. Поскольку каждый спектр вылетающих из
ядра частиц так или иначе связан со спектром квантовых
энергетических состояний, он в идеале тоже должен быть либо
дискретным, либо непрерывным, а на практике чаще всего является
комбинацией этих двух типов, т. е. состоит из более или менее резких
129

пикой — «линий» на гладком «фоне». В этой главе мы будем в
основном говорить об а-распаде, его спектрах и периодах, о роли
этого явления в ядерной физике и технике.
Если до распада существовала одна покоящаяся частица —
исходное или, как еще говорят, материнское ядро, а после распада их
стало две, а-часгица и дочернее ядро (обе с совершенно
определенной массой), то законы сохранения энергии, импульса и
равенство Е=тс2 совершенно однозначно определяют кинетические
энергии как а-частицы, так и ядра отдачи. Значит, энергетический спектр
а-распада в таком варианте должен содержать единственную узкую
линию. Что же наблюдается в эксперименте? Перечислим основные
эмпирические характеристики а-распада.
Известно свыше двухсот а-активных нуклидов. Почти все они
принадлежат области самых тяжелых ядер с зарядом Z>80 и
атомной массой Л>210, т.е. речь идет в основном о ядрах
тяжелее свинца. У таллия (Z=81) нет ни одного а-активного изотопа,
у свинца (Z = 82) их два, у висмута (Z = 83) девять, а у полония
(Z=84)—свыше двадцати. Есть еще лишь небольшой островок
а-активлых нуклидов в области редкоземельных элементов с Л==
= 140ч-160 С большой натяжкой по формальным признакам
можно также причислить к «а-распадным» совсем легкое и весьма ко-
роткоживущее ядро изотопа бериллия 8Ве. Оно распадается на д*зе
а-частицы с периодом полураспада 3-Ю-16 с, но его со всех точ^к
зрения лучше рассматривать как особый случай.
Периоды полураспада от одного а-активного нуклида к
другому меняются очень сильно — примерно на тридцать порядков, от
Ю-6 с у радона gg Rn до 1,4-1017 лет у легкого изотопа свинца
g2 Pb. Про энергию вылетающих а-частиц этого сказать нельзя, она
варьируется довольно слабо: 4—9 МэВ у тяжелых ядер и 2—
4,4 МэВ у редкоземельных элементов. Энергетический спектр а-из-
лучения каждого нуклида дискретен и содержит либо всего одну,
либо несколько очень близких по энергии узких линий.
Удивительной является чувствительность периода полураспада
к энергии испускаемых частиц Для этой зависимости еще на заре
развития ядерной физики, во втором десятилетии нашего века, был
эмпирически установлен закон Гейгера — Неттола, следующим
образом связывающий Т и Е:
\gT = C +DlVT. (7.6)
Величины С и D в узких областях значений Z и А можно
приближенно считать постоянными: С = — (50-J-52), a D= 130ч-140, если
энергию измерять в мегаэлектронвольтах, а период полураспада в
годах. Подставив в (7.6) при С=50 и D=130 один раз £=5 МэВ,
а другой раз £=6 МэВ, получим значения lg Г, равные 8,14 и 3,07
130

соответственно. Таким образом, при увеличении энергии на 1 МэВ,
что составляет 20 % первоначальной энергии, период полураспада
уменьшается в сто тысяч раз!
Как только установили, что а-частицы вылетают из ядра (а
заряд ядра был известен точно), и были примерно определены
размеры ядра, главной загадкой стало следующее. Кулоновский барьер
для ядра урана и а-частиц составляет примерно 28 МэВ. Это та
кинетическая энергия, которую а-частица должна запасти, чтобы
взобраться по потенциальной горе к кратеру — туда, где ее с
распростертыми крепкими объятиями встретят ядерные силы
притяжения. На обратном пути, вырвавшись из этих объятий, она должна
приобрести такую же энергию, скатываясь по склону, и именно
эту энергию, 28 МэВ, зарегистрирует детектор.
Однако фактическая энергия а-частиц была в три-пять раз
меньше ожидаемой. Возникло серьезное противоречие Резерфорд
одно время даже выдвигал предположение, что при а-распаде
вылетают не ядра, а целые атомы гелия, которые, «продираясь» сквозь
электронную оболочку материнского ядра, теряют свои два
электрона. Такое объяснение нельзя было, конечно, признать
удовлетворительным, Резерфорд это понимал и особенно на нем не настаивал.
Разгадал загадку в 1928 году Г. Гамов. В чем заключалось
объяснение, читатель, несомненно, уже догадывается: а-частицы
туннелируют из ядерного кратера. Проницаемость барьера,
изображенного на рис. 32, можно легко оценить по квазиклассической фоо-
муле (2.19), подставляя в нее значения потенциальной энергии V(r) ~
=2Ze2/r и координат поворота ri=Ro и r2 = 2Ze2/E. Вычисление
интеграла дает для проницаемости барьера:
Г Me1 Л
р = ехр — — [я - 2ф0 — sin (2ф0)]| . (7.7)
4Ze2V m г
Если обозначить D—— [я — 2ф0 — sin (2фс) ], то выра-
hV 2
жение (7.7) совпадет с формулой Гейгера — Неттола.
Поскольку масса и полная энергия любого тела
различаются лишь универсальным множителем, в ядерной
физике стало привычным, говоря о массе, измерять ее в
энергетических единицах, умножая мысленно га на с2.
Этот язык весьма удобен при подсчете энергобаланса
ядерных превращений. Приведем энергетические
эквиваленты некоторых часто используемых значений массы:
масса протона 938,213 МэВ, нейтрона 939,507 МэВ,
электрона 0,511006 МэВ.
ш

Для того чтобы решить часто возникающий вопрос:
возможен ли распад некоего ядра на заданные
продукты, другие ядра,— достаточно сравнить массу исходного
ядра с суммарной массой продуктов. Если первая
больше, то распад в принципе возможен. Наблюдается ли он
реально, зависит от многих факторов, в большинстве
случаев от проницаемости некоторого потенциального
барьера.
Вместо энергетического эквивалента полной массы,
величины неудобно большой, чаще пользуются так
называемой энергией связи или удельной характеристикой—
энергией связи, приходящейся на один нуклон. Для
ядра, состоящего из N нейтронов и Z протонов, энергия
связи определяется следующим образом:
НЕ = с2 (Zmp + Nmn — Af„). (7:8)
Энергия связи на нуклон есть г=АЕ/А и у большинства
ядер она составляет 6—8 МэВ; Д£ равняется той
энергии, которую надо сообщить ядру, чтобы его можно было
«полностью разобрать на составные части». Та же
энергия выделится, если А свободных нуклонов сольются в
ядро. Отсюда ясен смысл названия — чем больше
энергия связи, тем сильнее скреплены нуклоны в ядре, тем
большую энергию надо затратить, чтобы разрушить
ядро.
Хотя полная энергия, примерно пропорциональная
числу нуклонов в ядре, и соответственно с меняются для
различных ядер не сильно, изменения эти чрезвычайно
важны — не будь их, не существовало бы, в частности,
ядерной энергетики. Если отложить на объемном,
трехмерном графике удельную энергию связи 8 как функцию
чисел N и Z, то получится картина, напоминающая
горную цепь, где пики соответствуют самым устойчивым,
наиболее крепко связанным ядрам. Некоторые считают
более наглядным противоположный метод
энергетического «картографирования», откладывают величину е с
обратным знаком, в этом случае самым устойчивым ядрам
соответствует ущелье, называемое долиной стабильности.
На дне долины стабильности лежат устойчивые ядра, не
подверженные радиоактивному распаду — бессмертные
по терминологии А. К. Вальтера. Таких ядер известно
несколько сот. Однако гораздо больше ядер, имеющих
положительную энергию связи, но более или менее
быстро распадающихся с изменением нуклонного состава.
132

Известно несколько способов указанного распада,
первый — р-распад двух типов. При нем происходит
испускание электрона или позитрона в сопровождении
фермиона с нулевой массой покоя и скоростью, равной
скорости света,— нейтрино. р-Распад можно считать
внутриядерным превращением нейтрона в протон или
наоборот. Написанные выше значения тп и тр говорят
нам, что в свободном состоянии возможно только
превращение нейтрона в протон, а обратное превращение
энергетически запрещено. Однако в ядрах большие резервы
энергии, так что один из ядерных протонов может за их
счет превратиться в нейтрон.
Второй способ — так называемое спонтанное
деление, т. е. превращение тяжелого ядра в два осколка
половинной массы, о нем подробно говорится в последней
главе.
у-Излучение мы не рассматриваем — оно происходит
без изменения нуклонного состава ядра и не связано с
туннелированием. Нас сейчас интересует а-распад —
один из трех первоначально открытых видов
радиоактивности. Чтобы ядро с заданными N и Z могло испустить
а-частицу, его масса должна быть больше, чем сумма
масс дочернего ядра (N—2 и Z—2) и ядра 4Не. Дочернее
ядро также может быть а-активным — и т. д.
Получаются радиоактивные цепочки, или семейства — довольно
длинные последовательности превращающихся друг в
друга нуклидов. Наиболее известным из них является
семейство урана. Энергия связи ядра 258U составляет
1801,7 МэВ, а изотопа свинца 206РЬ— 1636,4 МэВ.
Энергия связи а-частицы 28,29 МэВ. Ядро 200РЬ стабильно,
нуклонов в нем на 32 меньше, чем в ядре 238U.
Попробуем рассчитать, может ли 238U перейти в 206РЬ
в результате восьми последовательных а-распадов.
Проверим сперва, допускается ли это законом сохранения
энергии. Разница энергий связи ядер урана и свинца
составляет 165,3 МэВ. Энергия связи восьми а-частиц
гораздо больше —226,4 МэВ. Значит, энергетически эта
цепочка возможна, должна еще выделиться энергия
226,4—165,3=61,1 МэВ. Однако при ядерных
взаимопревращениях сохраняется не только энергия. Строго
выполняется, в частности, закон сохранения электрического
заряда. В ядре 238U 92 протона, а в ядре 206РЬ — 82.
Восемь а-частиц должны унести 2-8=16 единиц
положительного заряда, а 92—82 = 10. Значит, невозможно? Но
133

S2U "* 90ТЬ
474-Wgflem IHcgm
2J4,
dMUH
222п
86ПП
3,8 суm
к
91Ра
i JT
s2U -* Th — „Яа
2/И0?ш у-10члет ШОляП
Рис. 33. Цепочка радиоактивных рас-
падов
g U-^82 РЬ (семейство урана).
Жирные стрелки соответствуют а-
распаду, тонкие р-распаду.
Направление стрелок значения не имеет.
Под каждым символом изотопа
проставлен его период полураспада
27мн
■>
гомии
♦г
№
84
210,
90
84
138дней
82
Стабилей
Ро
1,6-1Q~18Q
(<Х
210,
j3~ 2/0
гггоЬа
бдней
заряд можно изменить за счет р-распада. Не хватает
шести положительных зарядов. Их можно накопить в
результате шести р-распадов: испустятся шесть
электронов, а шесть нейтронов превратятся в недостающие
протоны. Итак, гипотетический путь превращения урана в
свинец должен содержать четырнадцать этапов: восемь
а-распадов и шесть р-распадов. Эта цепочка,
действительно, реально существует, она изображена на рис. 33.
Цепочка ;|8U->|fPb широко известна, потому что в
качестве исходного включает самое тяжелое природное
ядро, а в качестве одного из промежуточных этапов
содержит 226Ra — именно его радиоактивность была
открыта Беккерелем, с него началась ядерная эпоха в физике.
Можно сказать, что ядро 238U—а-пистолет, заряженный
полной обоймой из восьми а-частиц, которые он
выстреливает одну за другой во все возрастающем темпе.
Однако средняя скорострельность этого пистолета очень
низка— она определяется большим периодом полураспада
начального ядра 238U, составляющего миллиадры лет.
Последующие распады не могут состояться, пока не
состоялись предыдущие, поэтому 238U сравнительно
слаборадиоактивный нуклид. Из-за большого периода а-рас-
134

пада он и сохранился в земной коре, не превратился
целиком в свинец. Но среди многочисленных изотопов
урана есть и гораздо менее безобидные, например один из
самых легких изотопов этого элемента ?52U, имеющий
период а-распада 72 года. Согласно формулам (7.2)-—
(7.4) активность образца радиоактивного элемента
обратно пропорциональна периоду полураспада. Поэтому,
если взять равные количества 232U и 238U, то первый
будет активнее — и, значит, с точки зрения
радиационной безопасности, вреднее—почти в сто миллионов
раз.
Если любознательный читатель сам заглянет в схемы
распада различных радиоактивных семейств, то он
заметит, что известны и более легкие изотопы урана с еще
меньшими периодами а-распада: 231U — 4 сут, 230U —
21 сут, 229U —58 мин, 228U —9 мин, 227U — 1 мин. Так
почему же мы взяли для примера 232U й обличаем его
исключительную вредность — 227U еще чуть ли не в
миллион раз активнее?!
Да, 227U весьма активен и опасен, но опасность эта
буквально минутная, скоропроходящая. Подождали
минуту — уменьшилась вдвое, еще минуту — вчетверо;
подождали час — уменьшилась в сто миллиардов
миллиардов раз, нет ее. Неприятным свойством 232U является
сочетание высокой активности с достаточно большим
периодом полураспада, примерно совпадающим со средней
продолжительностью человеческой жизни — его не
переждешь. Именно такие нуклиды с периодом
полураспада десятки — сотни лет доставляют наибольшие
хлопоты в ядерной технике, например при создании систем
переработки горючего ядерных реакторов и захоронении
отходов различных атомных производств. Строительство
этих «могил» обходится крайне не дешево, а само их
существование является предметом постоянной
озабоченности — они должны сохранять свое опасное
содержимое буквально тысячелетиями. Конструкций и построек,
с необходимостью рассчитанных на такую долговечность,
если не считать египетских пирамид, мы не знаем.
Однако надежные способы хранения радиоактивных
отходов, разумеется, разрабатываются и постоянно
совершенствуются. Эти отходы, например, связывают с прочными
стеклообразными массами и в специальных контейнерах
погружают в глубокие (многосотметровые) шахты,
пробитые в толще слоев каменной соли.
135

Среди радикальных предложений по борьбе с
радиоактивным загрязнением окружающей среды получило
известность одно, казавшееся поначалу довольно
фантастичным, но с развитием ракетной техники оно свою
фантастичность теряет. Речь идет о выбрасывании
концентрированных радиоактивных отходов в космическое
пространство, конкретно — на Солнце, которое «все
стерпит».
Оттачивается техника автоматической и
дистанционной обработки значительных количеств
сильнорадиоактивных веществ. Вообще культура производства и
техника безопасности на предприятиях атомной
промышленности традиционно весьма высоки.
Мы упоминали, что спектр а-частиц состоит из
одной или нескольких линий. Одна линия, отвечающая
наибольшей энергии а-частиц (но не обязательно самая
интенсивная!), соответствует превращению основного
состояния материнского ядра в основное состояние
дочернего ядра. Другие, с меньшими энергиями,
соответствуют случаям, когда дочернее ядро остается в
возбужденном состоянии. Как правило, это один из двух-
трех самых близких к основному состоянию уровней с
небольшой энергией возбуждения. Эта энергия
практически мгновенно излучается в виде у-кванта, и она
невелика по сравнеию с энергией а-распада. Но раз уж
мы заговорили про радиационную безопасность, то
следует сказать, что не только энергией частицы
определяется ее проникающая способность и, следовательно,
потенциальная опасность. Сильно упрощая, можно сказать,
что средний пробег частиц в веществе при заданной их
энергии определяется отношением электрического
заряда к массе — чем это отношение больше, тем пробег
меньше. Отношение заряда к массе максимально у
Р-частиц — электронов и позитронов, от них достаточной
защитой может служить и листок бумаги. Заметно
больше пробег у а-частиц, но они тоже полностью
поглощаются тонкой металлической фольгой.
У у-квантов же нет зарядов, они взаимодействуют с
электронными оболочками атомов вещества гораздо
слабее заряженных частиц, и от них уже надо заслоняться
многосантиметровыми слоями металла. А уж про
нейтроны и говорить нечего — они незаряжены, практически
не взаимодействуют с электронами, а тормозятся и
поглощаются только ядрами. Ядра, как мы знаем, зани-
136

мают крошечную долю объема атомов, так что самые
плотные вещества представляют собой для нейтронов,
можно сказать, сплошную дыру. Защиту от интенсивных
нейтронных потоков приходится делать уже
многослойную и многометровую.
С этой точки зрения появление сопровождающих
а-распад у-квантов является осложнением. В некоторых
случаях это осложнение особенно нежелательно. Речь
идет об атомных батарейках, компактных источниках
энергии, использующих радиоактивные распад, чаще
всего именно а-распад. В одном отношении требование к
содержащемуся в них нуклиду должно быть как раз
обратным тому, что требует техника безопасности —
нужна высокая активность и не слишком короткое время
жизни. Значит, искать их нужно как раз среди тех ядер,
которые мы упоминали как самые вредные. Однако
активность их должна быть такова, чтобы от нее можно
было сравнительно легко защититься, превратив по
возможности большую часть выделившейся энергии в
полезные электрическую и тепловую энергии. Значит, примесь
у-квантов должна быть как можно меньше.
Есть оптимальное ядро, удовлетворяющее всем этим
требованиям, — изотоп плутония 238Ри. Период а-распа-
да этого ядра 88 лет, а дочернего ядра 234U уже 240 тыс.
лет, и эти распады практически не сопровождаются у-из-
лучением. Поэтому 238Ри можно в принципе
использовать даже в атомных батарейках для сердечных
стимуляторов, а в общем и для искусственного сердца —
буквально вживлять в грудную клетку человека, не
создавая для пациента радиационной опасности.
а-Частицы при распаде ядра пробивают себе
туннель через кулоновский барьер наружу. Но в природе
протекают и имеют для нас громадное значение и
обратные процессы — когда заряженные частицы проникают
в ядро через тот же барьер извне, вызывая ядерные
реакции. К рассмотрению таких явлений мы и переходим.
По имеющимся сведениям — иногда достоверным,
иногда легендарным, в жизни американского
физика-теоретика Ганса Бете вагон поезда был чем-то вроде
ньютоновской яблони или архимедовой ванны. В вагоне
поезда по дороге в Скенектади он выполнил первый расчет
так называемого лэмбовского смещения, сыгравшего
важную роль в становлении квантовой электродинамики.
Беседуя с другим известным физиком Е. Вигнером в ва-
10-271
137

гоне нью-йоркского метро, Бете пришел — не без помощи
собеседника — к правильному решению задачи о
рассеянии нейтронов в водороде. Наконец, в поезде из
Вашингтона в Итаку им была задумана (а, как утверждают
некоторые, и создана) теория энерговыделения в звездах
на основе углеродного цикла. Последнее утверждение
автор, правда, отрицает: «Она (теория — Я. Р.) отняла не
очень много времени, пришлось потратить около шести
недель, но так много времени не отнимает даже поездка
по транссибирской железной дороге».
По воспоминаниям Бете, в Вашингтоне проходила
небольшая конференция по изучению земного магнетизма.
На ней затрагивались вопросы образования и эволюции
планет и звезд, в частности, астрофизики рассказывали
просто физикам о строении звезд, о распределении
внутри них плотности, давления, энерговыделения и т. д. Но
вот ответа на вопрос — откуда же берется энергия в
звездах — найти не могли. К этому времени все уже,
разумеется, понимали, что источником звездной энергии
должны быть ядерные, а не химические реакции, но
какие именно? По мнению Бете от этих реакций тогда
требовали слишком многого — чтобы они были источником
звездной энергии и одновременно определяли
образование и распространенность различных химических
элементов во Вселенной. Проблему удалось разрешить,
только разделив ее на две самостоятельные части.
Бете пишет: «Я пришел к углеродному циклу
довольно последовательно. Вейцзекер первый
предположил, что, по-видимому, основной реакцией в звездах
является наипростейшая из всех мыслимых, а именно:
H+H=D+e++v (из двух протонов образуется
дейтерий, позитрон и нейтрино. — Н. Р.). Конечно, эта
реакция чрезвычайно маловероятна, поскольку составной ее
частью является р-распад, однако в звездах мы имеем
почти неограниченный запас времени и к тому же очень
большие плотности и достаточно высокие температуры,
чтобы преодолеть потенциальный барьер... На
сегодняшний день она считается основной реакцией на Солнце.
Однако астрофизики говорили, что существуют
звезды гораздо более яркие, чем Солнце, температура
которых немногим больше, чем солнечная. И было
непонятно, откуда у этих звезд берется такое интенсивное
энерговыделение. Дело в том, что протон-протонная
реакция очень слабо зависит от энергии, поскольку при
138

тех температурах, которые имеют место в центре
Солнца, потенциальный барьер преодолевается довольно
легко. Вероятность этой реакции ведет себя
приблизительно, как четвертая степень температуры, а это вряд ли
может объяснить яркость, скажем, Сириуса А и более
ярких звезд. Так что мне пришлось искать реакции с
более высокими потенциальными барьерами. Для этого я
стал систематически перебирать периодическую
таблицу, но всегда получал бессмыслицу, ибо, какой бы атом
я ни взял, будь то литий, бериллий и т. д., он
обязательно разрушался в реакциях, и к тому же... этих элементов
чрезвычайно мало как на Земле, так и на звездах...
Наконец, я подошел к углероду и... все оказалось, как надо.
Шесть реакций происходят последовательно, и в конце
опять получается углерод. В ходе реакций четыре атома
водорода превращаются в гелий».
Лет двадцать тому назад при подготовке к
телевизионному КВН-матчу Обнинск — Дубна кто-то из членов
обнинской команды сочинил куплеты на мотив песенки
«Ты ласточка моя, ты зорька ясная», в которой были
такие слова:
Ведь у всех бензин и уголь,
А у нас — эм цэ квадрат!
«У нас» — имелось в виду в ядерной энергетике.
Утверждение это неточное: у всех тс2. Соотношение
Е=тс2 выполняется в химических реакциях горения
бензина и угля с той же точностью, что и в ядерных
реакциях, независимо от места их протекания — в
реакторе АЭС или на Солнце. Просто доля массы,
превращающейся в электромагнитное излучение и кинетическую
энергию продуктов реакции, в химии примерно в
миллион раз меньше, поэтому там «масса сохраняется».
В ядерных реакциях не заметить соответствующего, как
его называют, дефекта массы уже невозможно, в этом
случае массовый баланс — основа энергетических
расчетов.
Про Солнце к тому моменту, как на него обратили
внимание физики-ядерщики, было известно довольно
много, но главное заключалось в следующем. Эта
звезда состоит примерно на три четверти из водорода и на
четверть из гелия, все остальные элементы составляют
меньше трех процентов. В основном это углерод, азот,
кислород и неон. Масса Солнца 2-Ю30 кг, радиус
10*
139

7-Ю8 м, средняя плотность 1400 кг/м3, возраст
примерно 6 млрд. лет, средняя излучаемая энергия 4-1026 Дж/с.
Последние два числа как раз и показывают, что
объяснить солнечную энергию надо на ядерном уровне, при
столь большом энерговыделении любое химическое топ-
либо сгорело бы за несколько тысяч лет, а тут
миллиарды лет — и все горит.
Попробуем определить, как это делали в свое время
физики, какие реакции между основными компонентами
солнечного состава могут обеспечить нужную энергию.
Может быть p+p-^He+v? Изотопа ?2Не не существует.
Или p+pie'-^lLi+y? Изотопа |Li не существует.
Тогда, вероятно, а+а, т. е. 4He+4He-^Be+v? Изотопа^ Be
не существует.
По поводу последнего, нестабильного ядра \Ве
можно вспомнить следующий диалог из серии «Улыбки
разных широт»:
— Шеф совершенно озверел! Он заставляет нас
работать за четверых!
— Ах вы, бедняжки!
— Но, к счастью, нас восемь...
Восемь нуклонов в ядре ^Ве «работают слабо», они
не могут удержать ядро в целости и сохранности, не то
что «великолепная четверка» в а-частице, т. е. ядре
гелия — одном из самых стабильных, крепко связанных
ядер.
Ядерные реакции начинаются на Солнце с процесса,
указанного Вейцзекером: два протона образуют
дейтрон с излучением позитрона и нейтрино, для чего им
нужен р-распад. Он вызывается слабыми
взаимодействиями, характерные энергии которых в 1024 раз меньше,
чем у сильных взаимодействий. Согласно соотношению
неопределенностей для энергии и времени, характерные
времена процессов, происходящих за счет слабого
взаимодействия, должны быть во столько же раз больше,
а обратная величина — вероятность таким процессам
произойти в единицу времени — соответственно в 1024 раз
меньше. Поэтому «слабую» реакцию p+p-^d+v+p в
земных условиях никто не наблюдал. Но, как правильно
заметил Бете, Солнце долговечно, времени у него
хватает, и на нем может происходить эта экзотическая
реакция. Скорость энерговыделения при этом крайне низка,
порядка десятитысячных долей джоуля на килограмм
140

солнечной массы в секунду. Кто-то прикинул, что если
полностью теплоизолировать чайник с водой и
подогревать его в этих солнечных условиях, то пройдет не один
год, прежде чем он закипит. Почему же пышет энергией
Солнце? Именно из-за прекрасной теплоизоляции его
внутренних областей, из-за очень малого отношения
площади поверхности, с которой излучается энергия, к
объему, в котором она рождается.
Что же произойдет после превращения двух
протонов в дейтрон? Тут уже в игру вступают сильные
взаимодействия, и события разворачиваются стремительно.
Поскольку существует стабильный изотоп гелия pie,
возможна реакция
d + р ->- !Не + у.
Если два ядра этого изотопа прореагируют между собой,
то одна ветвь цикла завершается:
^Не + 2Не-^Не+2р.
В результате вместо четырех протонов получается
одно ядро *Не. Но могут прореагировать между собой и
два разных изотопа гелия:
32Не+$Не-+1Ве + у.
Дальше еще одно разветвление: либо
lBe+e~ -* ^Li + у; Ihi + р -> зНе,
либо
\Ве + р-+ iB+y; \В-+2 \\1е+е+ + у.
Не правда ли, похоже на расчет вариантов
шахматной задачи? (Последние варианты мы привели, так
сказать, в сокращенной нотации, без пояснений.) Конечная
позиция везде одна и та же: четыре протона
превратились в с|Не с выделением энергии 26,7 МэВ. Правда,
часть этой энергии, унесенная нейтрино, для Солнца
бесполезна, на эти частицы теплоизоляции не
напасешься, они пронизывают толщу Солнца, как бумагу, и
уносят всю полученную энергию в галактические и
межгалактические просторы. Доля этой пропавшей энергии
меняется от 2 до 19 % в различных ветвях расписанного
выше водородного цикла.
141

Уравнения ядерных реакций, которые мы сравнили с записью
шахматной партии, конечно, гораздо более похожи на знакомые
всем со школы уравнения простых химических реакций. Область
физики ядра, занимающуюся изучением ядерных реакций,
взаимными превращениями элементов, иногда так и называют — ядерной
химией.
Поскольку тяжелых элементов — углерода, азота, кислорода в
звездах мало, в десятки и сотни раз меньше, чем водорода и
гелия, ясно, что гореть они в звездной ядерной топке не могут —
давно выгорели бы. Однако химические аналогии подсказывают для
этих элементов еще одну возможную роль — роль катализатора в
ядерных реакциях, т. е. они могут принимать участие в реакциях,
помогая обеспечить выполнение различных законов сохранения, но
сами при этом либо не реагируют и не меняются вообще, либо,
прореагировав и изменив свой нуклонный состав, воссоздаются на
последующих этапах цепочки реакций. Именно в качестве
катализатора выступает изотоп углерода 12С в звездном энергетическом
цикле, предложенном в 1939 году Бете. Выпишем подряд уравнения
реакций углеродного цикла:
12бС + р-Л3Ы + Г 13
^C + p-^N + Y
^N+p-ngO + v
«N + p-^C+^He + v;
В правый столбец вынесены уравнения промежуточных распадов,
когда нестабильный изотоп испускает р-частицу (позитрон) и
нейтрино. Это, как мы уже отмечали, процесс медленный, но само
образование 7 N и з О происходит за счет сильного взаимодействия и
потому с достаточно высокой вероятностью.
Кулоновские барьеры, через которые приходится проникать
реагирующим ядрам, в углеродном цикле в среднем заметно
выше, чем в водородном, и при низких температурах вероятность
углеродного цикла подавлена, но она значительно быстрее растет с
увеличением температуры и выходит на насыщение гораздо позже.
Скорость энерговыделения в водородном цикле сначала
увеличивается пропорционально четвертой, а в углеродном — двадцать
четвертой (!) степени температуры. При температуре примерно 13 млн»
градусов они сравниваются, затем скорость энерговыделения в
углеродном цикле становится больше, и при 50 млн. градусов
углеродный цикл уже в миллионы раз интенсивней водородного.
Мы видели, что чистый уголь *2С в углеродном цикле не
сгорает, горит все тот же водород, четыре протона превращаются в
?N-*1§C + e+ + v;
1|0-*.1!N + e+ + v.
142

а-частицу с тем же самым энерговыделением. А что будет, когда
сгорит водород? Сначала это произойдет в центре звезды, где
температура и плотность выше, там накопится инертный (до поры, до
времени!) гелий, и основные реакции будут идти в наружной
оболочке. Если масса звезды велика, по крайней мере втрое больше
солнечной, то гелиевое ядро постепенно сожмется
гравитационными силами и в результате этого раскалится до такого состояния, что
при плотности порядка 1 т/см3 и температуре 100 млн. градусов
начнет гореть и гелий.
В тройных соударениях три а-частицы будут сливаться в ядро
*2С с выделением дополнительной энергии 7,5 МэВ. Осуществлению
этой реакции помогает следующее обстоятельство. Перебирая
возможные реакции, мы отмахнулись от изотопа ^Ве как
нестабильного. Он, однако, недолго, но живет, примерно 10~1в с, а в очень
плотных и горячих звездных недрах этого достаточно, чтобы к
слившимся на столь короткий срок двум а-частицам присоединилась
третья и образовалось ядро *2С. При накоплении достаточного
количества углерода становится возможным образование кислорода в
реакции рЛе+ Щ1-^^0+у и г. д. Это один из способов
образования ядер более тяжелых элементов при слиянии легких, однако
детали интересного и сложного вопроса о происхождении изотопного
состава видимой нами Вселенной выходят за рамки нашей книги.
Остановимся лишь на следующем. Водород, гелий, углерод,
кислород, другие элементы — все они, как мы видим, горят в звездах,
являются топливом мироздания. А что же служит золой, шлаком?
Наряду с источниками энергии во Вселенной должно быть и ее
«кладбище» — ядро, которое гореть уже не может. Таким ядром
является один из изотопов железа — 24^е- ^ экзотермических
ядерных реакциях, сопровождающихся энерговыделением, это ядро
участвовать не может.
Но в «железной могиле» надежно хоронится только ядерная
энергия, запасенная сильными взаимодействиями. Мы уже
говорили, что ядро является природной лабораторией по изучению всех
видов взаимодействия, кроме гравитационного — оно слабее и
сильного, и электромагнитного, и слабого на десятки порядков, в
ядерной физике им справедливо пренебрегают. Но на последних
этапах звездной эволюции, при совсем уже чудовищных плотностях,
сотни миллионов тонн на кубический сантиметр, бывшая в загоне
гравитация берет реванш, она становится полновластной хозяйкой
и, в частности, справляется с ядрами jjJjFe, постепенно превращая в
них все протоны один за др>гим в нейтроны, т.е. превращая
железо в марганец, марганец в хром и т. д. Необходимая для этого
энергия берется за счет гравитационного сжатия, и в результате полу-
Ш

чается нейтронная звезда. Существование таких звезд предсказали
в 1936 году Дж. Опленгеймер и Г. Волков, а открыты они были
лишь в 1967 году — это знаменитые пульсары.
Нейтронные звезды — далекая экзотика, а
заканчивая разговор о звездном пламени, мы можем сказать,
что жизнь на земле обязана своим происхождением
квантовому туннельному эффекту — только за его счет
могут идти на Солнце ядерные реакции водородного цикла
с интенсивностью, обеспечивающей нас светом и теплом.
Почти вся энергия, которой мы пользуемся на Земле,
получая ее от воды и ветра, сжигая горючие ископаемые,
имеет один источник — звездное, солнечное пламя.
Поднимаясь к истокам почти любой энергетической реки,
обязательно придешь к родникам, бьющим на Солнце.
Почему мы говорим «почти»? О главной причине этой
оговорки речь пойдет в нашей последней главе.
Глава восьмая
САМОЕ СЛОЖНОЕ ЯДЕРНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ
ейчас немногие помнят, с каким
удивлением и недоверием встретили физики
сообщение о делении ядра в 1939 году...
Это было почти то же самое, что расколоть
гранитную скалу, постукивая по ней
карандашом»,— эта фраза взята из статьи
американского физика Личмена. Он нисколько
не преувеличивает. «Постоянство» атомных ядер было
к тому времени уже достаточно хорошо известно.
Поскольку энергия связи нуклона в тяжелых ядрах
составляет 6—7 МэВ, именно такую энергию нужно затратить,
чтобы оторвать от ядра единственный нейтрон или
протон. И вот обнаружили ошеломляющий факт:
возбудившись до энергии 6 МэВ, ядро урана буквально «выходит
из себя» — испускает осколок, содержащий сотню
нуклонов. Еще в 1936 году немецкий физик Отто Ган назвал
предположение о возможности подобных реакций
абсурдом. Но в начале 1939 года именно он со своим коллегой
Ф. Штрассманом опубликовал статью, где осторожно, с
оговорками сообщалось о наблюдении в эксперименте
как раз такого процесса. «Мы еще не можем
решиться,— писали Ган и Штрассман,— на противоречащий
144

всему прошлому опыту ядерной физики прыжок. Может
быть, в наши результаты закрался ряд странных
случайностей».
Однако их результат не был игрой случайностей^
К нему привели многолетние исследования двух опытных,
зрелых экспериментаторов — Лизы Мейтнер и Отто
Гана. «Неарийское происхождение» Лизы Мейтнер
сделало для нее кошмаром последние годы работы в
гитлеровском рейхе, и за несколько недель до постановки
решающего опыта ей пришлось, спасая свою жизнь,
бежать в Швецию, однако она по праву делит с Отто
Ганом славу открытия самого сложного и до сих пор
практически самого важного ядерного превращения—■
деления ядра.
В предшествовавшие этому событию месяцы многие
физики, включая таких известных, как Энрико Ферми и
супруги Жолио-Кюри, экспериментируя с нейтронами,
неоднократно были близки к этому открытию. Ферми
даже зарегистрировал странную активность с периодом
13 мин, возникавшую при облучении урановых образцов,
но ошибочно связал ее с образованием неизвестного
трансуранового элемента — над возможностью
получения трансурановых элементов думали уже тогда.
История науки знает много случаев, когда для
описания нового физического явления использовался уже
готовый математический аппарат, развитый ранее для
применения к совершенно другому случаю. Так,
математические описания процессов, происходящих в
колебательном контуре радиоприемника и в обыкновенном
часовом маятнике, практически одно и то же — это пример
классический. Есть случаи и более любопытные. Перед
войной было опубликовано в одном из математических
журналов очень красивое решение задачи «о сильном
точечном взрыве в газовой среде». Работу никому не
пришло в голову засекретить — расчет, казалось, не
имел отношения к действительности. Речь шла о взрывах
такой силы, какие в то время можно было получить,
лишь подняв на воздух огромный склад боеприпасов.
Какая уж тут «точечность». Теория, казалось, явно не
имела области применения — так, игра ума. Об этих
выкладках вспомнили лишь после первого атомного
взрыва...
Знаменитый английский физик девятнадцатого
столетия Джон Стрэтт, известный больше как лорд Рэлей,
145

не знал о существовании атомных ядер. Зато он
всесторонне изучал колебания в газах и жидкостях. Ему
приходилось интересоваться самыми разнообразными
вещами. Например, как струя жидкости разбивается на
капли? Как эти капли потом колеблются и разбиваются
на более мелкие? Что изменится, если брать жидкости с
разным поверхностным натяжением? Если капли
электризовать? Рэлей любил подробно и обоснованно
отвечать на вопросы, которые сам себе задавал. В его
двухтомной «Теории звука», неоднократно изданной и на
русском языке, есть параграф, названный длинно
«Колебания разрозненных капель. Теоретический расчет.
Устойчивость, создаваемую сцеплением (поверхностным
йатяжением. — Я. Р.), можно уравновесить
неустойчивостью, создаваемой электризацией». Наглядная
теоретическая интерпретация явления ядерного деления была
подсказана именно результатами Рэлея.
Качественную аналогию с заряженной каплей
первыми высказали Лиза Мейтнер и находившийся с ней в
Швеции племянник Гана — Отто Фриш. Получив оттиск
направленной в печать статьи Гана и Штрассмана, они
сразу качественно истолковали деление на основе
капельной модели и сообщили об этом Нильсу Бору,
бывшему тогда в Америке. Фриш вспоминает, что «Бор на
заседании Американского физического общества
доложил о нашем толковании. Некоторые физики тотчас же
покинули заседание и через несколько часов смогли
экспериментально доказать предсказанное выделение
энергии».
Почти одновременно опубликовал сообщение о
выделении энергии при делении ядра и Фредерик Жолио-
Кюри в Париже. Нильс Бор вместе с американцем Дж.
Уилером засели за расчеты и детально разобрались в
возникающей картине с привлечением все тех же
капельных представлений. При подготовке своей статьи
они получили посвященную тому же вопросу работу, на
которую потом сослались как на «макускрипт
профессора Френкеля из Ленинграда». Так родилась теория,
получившая впоследствии название капельной модели
Бора—Уилера—Френкеля.
Эти авторы предположили, что атомное ядро в
некоторых отношениях похоже на маленькую каплю
исключительно плотной заряженной положительно
жидкости. Если поверхностное натяжение преобладает, то
146

устойчивой формой капли будет сфера. Однако
одноименно заряженные половинки этой сферы
отталкиваются друг от друга кулоновскими силами, и если
увеличивать заряд при неизменном поверхностном натяжении,
то электростатическое отталкивание рано или поздно
разорвет каплю. Этот процесс можно смоделировать,
например, поместив каплю ртути в масло и все сильнее
заряжая ее. Когда плотность заряда капли достигнет
некоторого критического значения, она разорвется.
Такие опыты были поставлены и засняты на пленку.
Разберемся в этом процессе несколько более детально.
Реальная макроскопических размеров капля не может, конечно,
порваться скачком, она должна предварительно постепенно
деформироваться, принимая все более и более вытянутую форму. Форма
на разных этапах удлинения может быть довольно сложной — в этом
и состояла основная математическая трудность капельной модели
на первых этапах ее создания. Сравнительно просто — это как раз
сделал еще Рэлей — рассмотреть малые колебания капли
относительно сферического положения равновесия и найти момент, когда
они потеряют устойчивость Решающим показателем при этом
оказывается отношение энергии поверхностного натяжения к кулонов-
ской энергии капли в сферическом, равновесном состоянии. Энергия
поверхностного натяжения £Пов пропорциональна при заданном
коэффициенте поверхностного натяжения площади поверхности, т. е.
£пов = а-4л;/?2, где R — радиус капли. Кулоновскую энергию
равномерно заряженного шара вычислить сложнее, мы сразу выпишем
результат Екул= (3/5) (Ze)2/R, где Ze — полный заряд ядра-капли.
Радиус его (вспомним о примерно постоянной, не зависящей от А
плотности ядерного вещества) пропорционален Л*/з. Значит,
^ = _з(££!> const^.
£пов 5/?C6.4jt#? Л
Параметром делимости называют х=^Екул/2Е„0Ъ. Таким образом,
капельная модель предсказывала, что ключевым параметром,
определяющим устойчивость ядра к делению, является отношение
квадрата заряда к атомной массе. Для кислорода (Z=8, Л —16) это
отношение равно 4; для железа (Z=24, Л = 56) 10,3; для свинца
(Z=82, Л=208) 32,3; для урана (Z=92, Л = 238) 35,4.
Когда ядро не возбуждено, находится в основном состоянии,
ядерная жидкость обладает следующими свойствами:
сверхтекучестью (у нее полностью отсутствует вязкость), несжимаемостью и
температурой абсолютного нуля. При поглощении нейтрона или
другом возбуждении ядра, когда ему передается некоторое
количество энергии, ядерная жидкость нагревается (соответствующая
147

темперауура измеряется миллиардами градусов) и перестает быть
сверхтекучей. Ядро колеблется, вращается, по поверхности ядерной
жидкости ходят волны. В какой-то момент, когда беспорядочное
внутреннее движение ядерной жидкости особенно сильно растянет
половинки ядра в разные стороны, капля начнет удлиняться, ча
ней образуется шейка, после разрыва которой горячие осколкч, уже
ничем не сдерживаемые, разлетятся.
Мы сейчас фактически повторили рассуждения Рэлея,
классические рассуждения. Где же должен проявиться квантовый
характер рассматриваемой системы, атомного ядра? Прежде всего в том,
что деление тяжелых ядер на самом деле — туннельный, подбарь-
ерный процесс. Мы привыкли рисовать потенциальные барьеры в
зависимости от декартовой координаты (или от радиуса, как в
а-распаде) для одиночных частиц, подчиняющихся уравнению Шрё-
дингера, в которое входит их масса. А для движения какой частицы
и в каком поле мы должны написать уравнение Шрёдингера в
рассматриваемом случае? В действительности ядро есть система из А
взаимодейств>ющих нуклонов, квантовые задачи такой сложности
теоретики прямо решать не умеют и вряд ли скоро научатся.
Значит, надо учесть квантовый характер системы на том языке, на
котором начали ее описывать — модельном. Попробуем проквантовать
движение жидкой капли.
Для начала, как при подходе к любой динамической задаче,
нужно выбрать переменные, их называют обобщенными
координатами. Они должны, с одной стороны, достаточно полно для наших
целей описывать состояние системы (или «положение» ее в этом
обобщенном координатном пространстве), а с другой стороны, этих
переменных должно быть по возможности немного, иначе
математически проблема может стать неразрешимой. Насчет числа
переменных у теоретиков есть такая поговорка: «Если в задаче меньше
трех переменных, то это вообще не задача, если больше восьми —
она неразрешима». Утверждение это справедливо, конечно, весьма
приблизительно, и лучше всего постараться свести задачу к
знакомой одномерной картине: по оси абсцисс отложена некая
координата, по оси ординат — зависящая от этой координаты
потенциальная энергия.
«Состояние системы», которое мы собираемся описывать, — это
форма капли на разных стадиях деформации, от начальной сферы
до двух одинаковых осколков, возникших в момент разрыва шейки.
Будем для простоты считать, что ось, вдоль которой разлетятся
будущие осколки, есть ось симметрии делящейся капли, т. е. сама
капля на всех стадиях деформации является телом вращения.
Остается как-то задать, описать математически замкнутую кривую,
служащую образующей этого тела вращения.
148

Рис. 34. Овалы Кассини, моделирующие форму ядра в процессе
деления на разных его этапах: от начальной сферы до момента
разрыва на два осколка
Рис. 35. Барьеры деления в капельной модели при различных
значениях параметра делимости х=£Кул/2£Пов:
£,=£,110В+^КуЛ — полная энергия капли; £0 — ее значение,
соответствующее сферической форме; р — расстояние между центрами масс половин капли;
R о — радиус равновеликой сферы
На рис. 34 начерчено семейство кривых, которые с очевидностью
удовлетворяют тем качественным требованиям, о которых
говорилось выше. Менее очевидно, что все тела вращения, полученные на
основе этих кривых с осью абсцисс в качестве оси симметрии,
имеют равный объем, однако это так. Происхождение этих кривых
любопытно. Они называются овалами Кассини и определяются как
геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до
двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянно:
rlr2=const Их придумал Джованни Доменико Кассини (1625—
1712), итальянец по происхождению, французский астроном,
основатель уникальной научной династии. Он сам и его потомки в трех
поколениях: сын Жак (1667—1756), внук Сезар-Франсуа (1714—
1784) и правнук Жак-Доминик (1748—1845) были, сменяя друг
друга, директорами Парижской обсерватории.
Так вот, основатель династии считал, что он открыл кривые,
по которым движутся планеты вокруг Солнца, находящегося в
одном из фокусов, и не признавал законов Кеплера, блестяще
объясненных Ньютоном. Согласно этим законам планеты движутся по
эллипсам опять-таки с Солнцем в фокусе. Но эллипс Кеплера —
Ньютона это геометрическое место точек, сумма расстояний которых
от фокусов постоянна. Справедливости ради следует сказать, что
при малых эксцентриситетах, т. е. при малых отличиях от сферы,
овалы и эллипсы очень близки друг к другу.
В астрономии овалы Кассини не пригодились, но им нашлось
другое применение. Форму этих овалов имеют, например, силовые
линии магнитного поля, образованного двумя проводниками, в
149

плоскости, перпендикулярной этим проводникам. Овалы, показанные
на рис. 34, подобны истинным овалам Кассини^ те не сохраняют
объема тел вращения. Это условие введено нами, чтобы
смоделировать несжимаемость заряженной капли.
Для нас весьма важно, что семейство кривых на рис. 34 одно-
параметрическое. Задание единственного числа, скажем расстояния
между фокусами, полностью определяет кривую из этого
семейства. При моделировании процесса деления чаще берут другое число,
однозначно связанное с межфокусным расстоянием и при больших
деформациях близкое к нему по значению: р, расстояние между
центрами масс половин капли.
Итак, у нас теперь есть настоящая и притом единственная
«деформационная» координата. Следует сказать, что овалы Кассини
не вполне точно описывают форму капли в процессе деления, но для
наших целей точность эта вполне достаточна. Можно вычислить ку-
лоновскую и поверхностную энергии капли, имеющей такую форму,
сложить их и построить график зависимости этой суммы У=Еп0в-\-
+£Кул от р. Такие графики для различных значений параметра
делимости х приведены на рис. 35. При #<1 они имеют уже
привычный нам вид одногорбого потенциального барьера.
Можно вычислить и кинетическую энергию капли Т при
изменении р со временем, она представляет собой квадратичную
функцию от производной р по времени, а коэффициент
пропорциональности можно назвать половиной эффективной массы: Т=Мр2/2 — и
пожалуйста, пишите уравнение Шрёдингера. При этом мы
столкнемся с одним затруднением — не только потенциальная энергия, но
и масса М (р) окажется зависящей от координаты. Однако не стоит
слишком углубляться в этот вопрос, нам достаточно было понять,
что такое барьер деления в капельной модели. Численные расчеты
дают правильные по порядку величины, но все же заметно
завышенные по сравнению с наблюдаемыми значениями высоты барьеров
деления. Не следует забывать, что барьер деления появляется за
счет небольшого изменения при деформации двух очень больших,
составляющих несколько сот мегаэлектронвольт, величин, ЕП0в и
£кул, причем их изменения имеют разный знак и почти
компенсируют друг друга — при таких расчетах всегда трудно получить
точный результат.
Прежде чем обсудить, к чему приводит деление ядра
на два резко отличающиеся от него по массе осколка,
заметим, что полученная картина прямо подсказывает
следующее: раз деление — процесс туннельный, оно
должно, хоть и с малой вероятностью, происходить и при
энергиях возбуждения, меньших высоты барьера, в том
150

числе и прямо из основного состояния ядра. Этот факт
был осознан практически одновременно с открытием
вынужденного деления, возбуждаемого при поглощении
ядром нейтрона, и сразу же начались поиски этого, как
его называют, спонтанного, т. е. самопроизвольного
деления. А
Оно было открыто в 1940 году советскими физиками
Г. Н. Флёровым и К. А. Петржаком. Чтобы оценить
трудность этой работы, следует сказать, что спонтанное
деление урана — один из самых медленных природных
процессов, соответствующий период полураспада
составляет примерно 1016 лет! Акты деления чрезвычайно
редки, поэтому приходится работать с большими
количествами вещества и тщательно страховаться от
всевозможных паразитных процессов. Важнейшим из них является
вынужденное деление под действием частиц
космического излучения, достигающих поверхности Земли
несмотря на могучую защиту атмосферы. Г. Н. Флёров и
К. А. Петржак проводили измерения с помощью
многослойных ионизационных камер большой площади —
тысячи квадратных сантиметров — и высококачественного
усилителя с коэффициентом усиления 107. Параметры
этой установки были для своего времени уникальными и
обеспечивали высокую надежность при регистрации
редких событий. Многочисленные контрольные измерения
исключили все ложные эффекты. Для защиты от
космического излучения авторам пришлось опускать свою
установку под землю, в пятидесятиметровую шахту
московского метро.
Физики, развернувшие исследования процесса
деления сразу вслед за его открытием, почти немедленно
обнаружили, что наряду с большим энерговыделением эта
реакция характеризуется еще одной исключительно
важной особенностью. При делении помимо осколков
испускаются и нейтроны, причем не по одному, а по два-три
на акт деления. Этот факт был обнаружен в 1939 году
практически одновременно в разных странах, в том
числе и в Советском Союзе Л. И. Русиновым и Г. Н.
Флёровым. Их работа, а также открытие спонтанного деления
стали крупными достижениями советской ядерной
физики, впоследствии завоевавшей прочные позиции и
высокий авторитет в мировой науке. К достижениям
отечественных исследователей в этой области мы еще будем
обращаться на страницах нашей книги.
151

Потенциальные возможности использования
испускания при делении нейтронов были оценены сразу.
Новорожденные нейтроны тоже могли в свою очередь
вызывать деление ядер урана и так далее— могла пойти
цепная реакция! Возможности развития этой реакции и
пути ее реализации стали детально обсуждаться в
научной печати, в том числе в работах советских физиков
Я. Б. Зельдовича и Ю. Б. Харитона, А. И. Лейпунского,
И. В. Курчатова.
Нужно сказать несколько слов о наблюдаемом
энергетическом и массовом балансе деления. На какие части
делится ядро? Казалось бы, ядру-капле проще всего
разорваться пополам. При делении ядра 925U, поглотившего
нейтрон, это привело бы к образованию двух ядер с
половинными зарядом и масой, т. е. ядер палладия ^Pd.
Однако этого почти никогда не происходит. Чаще других
образуются осколки, соответствующие асимметричному
делению, например, ^Ва и ЦКх, с испусканием
нескольких нейтронов. Дело в том, что существуют так
называемые магические ядра с повышенной энергией связи на
нуклон. У них число нейтронов или протонов, а то и
сразу оба, принимают одно из следующих значений: 2, 8,
20, 50, 82, 126. С энергетической точки зрения
делящемуся ядру было бы выгодно иметь в качестве осколков
ядра как можно более близкие к этим магическим
(хорошо бы и их самих, да число нуклонов в ядре урана из
двух магических чисел не составишь). Так что
распределение осколков по массам не объясняется простой
капельной моделью, а скорее описывается такой
картинкой: с прочного остова, близкого к магическому ядру,
стекает ядерная жидкость, сливаясь в легкий осколок.
Может вызвать удивление легкость, с которой мы
обращаемся для описания свойств одного и того же
ядерного процесса к моделям, казалось бы,
взаимоисключающим: то однородная жидкая капля, то какой-то чуть
ли не твердый остов... Эта ситуация весьма характерна
для физики ядра вообще, да и не только для нее —
вспомним: про электроны в твердом теле мы тоже
говорили по очереди «газ» и «жидкость». Атомное ядро
является весьма сложной системой большого числа
взаимодействующих частиц, причем даже сами силы,
действующие между парами частиц, изучены
недостаточно. Точного решения этой квантовой задачи многих
1S2

тел — так ее называют — нет и не предвидится. В таких
условиях теоретикам волей-неволей приходится
прибегать к построению моделей, лишь частично и иногда
заведомо односторонне описывающих моделируемый
объект— ядро. При этом за счет сужения круга
рассматриваемых явлений удается добиться более наглядного и
более точного описания.
Полную энергию, выделяемую в каждом акте
деления, легко подсчитать, сравнив массы осколков и
нейтронов с массой исходного ядра. Эта энергия составляет
примерно 200 МэВ. Однако для практического
применения важно не только количество выделившейся энергии,
но и ее качество — то, в каком виде она выделяется.
Когда, например, дрова горят в камине, энергетический
баланс этой реакции довольно сложен. Часть
выделившегося тепла нагревает комнату, часть в полном смысле
слова вылетает в трубу, а не очень заметная, но важная
доля идет на нагревание и поджигание подкладываемых
в камин поленьев или угля. Впрочем, если дрова сырые,
то последняя часть сразу о себе заявляет.
В энергии деления главная часть — кинетическая
энергия осколков. После прохождения энергии ядра
через потенциальный горб и разделения ядра осколки
ускоряются каждый кулоновским полем партнера до
суммарной энергии примерно 150 МэВ (при полном
энерговыделении 200 МэВ). Эта часть энергии полезная,
например в ядерном реакторе атомной электростанции
используется главным образом она. Кроме того, осколки
разлетаются сильно разогретыми, они «кипят»,
разбрызгивая во все стороны нейтроны, ^-кванты, электроны и
антинейтрино. Энергия, уносимая антинейтрино
(примерно 6 МэВ), — это как раз то, что «вылетает в трубу».
Нейтрино и на Солнце не задержится, насквозь
пронижет. Электроны полностью, а у-излучение почти
полностью задерживаются материалами активной зоны и
защиты реактора и тоже немного их нагревают. О
судьбе электронов и у~излУчения никто особенно не
беспокоится — лишь бы не прошли сквозь защиту.
Другое дело нейтроны. Это капитал, который
конструкторы реакторов тщательно учитывают и экономят.
Именно они «поджигают» и «сушат» ядерные дрова.
Природный уран аналогичен смеси сырых дров с сухими
в очень неприятной пропорции—150:1. Деление ядра,
поглотившего нейтрон, можно сравнить с выстрелом, для
11—271
153

таких реакций в английском языке, например,
существует выразительное название «trigger reaction»
—«реакция со спусковым крючком». Внесение нейтроном
небольшого количества энергии (нажатие на курок)
приводит к делению (выстрелу). Но кроме выстрела
возможна и осечка — ядро не разделится, а
«высветится»: испустит несколько у-квантов с суммарной
энергией 6 МэВ и успокоится, перейдет в основное
состояние. Причем, если нейтроны достаточно медленные, то с
ядрами 238U такая осечка происходит в 100 % случаев —
это ядро разбивают только быстрые нейтроны. Ценное
качество реакции — нулевой порог — пропадает. Однако
не все нейтроны, вызвавшие осечку, пропадают
бесследно. Большая часть образовавшихся ядер 239U, испустив
последовательно два электрона, превращается в 239Ри,
Это уже не просто сухие дрова, а настоящий порох. Они
прекрасно делятся и медленными нейтронами, а осечки
с ними случаются даже реже, чем с 235U.
На каждые два акта деления образуется примерно
пять нейтронов. Будь их вдвое больше, критическая
масса, т. е. минимальное количество делящегося вещества,
в котором начинает идти цепная реакция, уменьшилась
бы в десятки раз.
Если нейтроны деления — золотой запас реактора, то
есть в этом запасе маленький, но особо дорогой
золотник, о котором стоит упомянуть отдельно. Это
«запаздывающие» нейтроны, которые составляют всего 1 %
общего числа нейтронов. Остальные 99 % испускаются
практически в самый момент деления — не позже чем через
10~13 с. Если бы все нейтроны были такие, то безопасных
управляемых реакторов не удалось бы создать —
получались бы только бомбы. Любое случайное увеличение
интенсивности реакции в аппарате разрасталось бы
молниеносной лавиной.
Выручает немаловажное обстоятельство: среднее
время жизни одного поколения нейтронов в реакторе не
так-то мало. Речь идет о промежутке времени,
необходимом, чтобы произошла следующая цепочка событий:
нейтрон вылетает из осколка только что разделившегося
ядра и начинает гулять по реактору, стукаясь то об
одно ядро, то о другое. Наконец, при удачном
столкновении он поглощается ядром горючего, оно делится и
осколок испускает два-три нейтрона-близнеца. Между
прочим, это как раз тот случай, когда не скоро сказка
154

сказывается, а скоро дело делается. «Мгновенные»
нейтроны долголетием похвастаться не могут, весь
описанный процесс протекает за тысячные доли секунды.
С запаздывающими нейтронами дело обстоит иначе.
Перегруженные нейтронами ядра-осколки могут
освобождаться от перегрузки, не только испуская нейтроны
непосредственно, что происходит очень быстро, но и
«переваривая» их, превращая в протоны путем р-распада.
р-Распад — процесс, по ядерным масштабам, очень
медленный, на него уходят секунды, даже десятки секунд.
А после р-распада в некоторых случаях появляется
энергетическая возможность снова испустить нейтрон —
он-то и будет запаздывающим.
В одном из старых номеров «Крокодила» был
стишок, содержавший примерно такие строки о фокусах
статистики со средними значениями:
Есть один миллионер
И девятьсот девяносто девять нищих.
Складываем, делим, и вот результат —
У каждого ровно по тыще!
Предположим для простоты, что каждый
запаздывающий нейтрон имеет среднее время жизни 100 с (это
преувеличение), а каждый мгновенный нейтрон — Ос
(это занижение). Сколько живет в среднем один любой
нейтрон? Складываем, делим, и вот результат: (99-0+IX
ХЮ0)/100=1 с. Секунда! Она-то (а для современных
автоматических средств управления секунда — не мало) и
обеспечивает резерв времени, позволяющий управлять
ходом реакции и при необходимости ее
останавливать.
Почему спонтанное деление является редким процессом, можно
понять, вспомнив формулу (2.19) для проницаемости квантового
барьера. Масса, стоящая в показателе экспоненты, весьма велика
по масштабам микромира. Мы уже говорили, что эффективная
масса осколка, проходящего сквозь барьер деления, — понятие не
простое, так же как понятие деформационной координаты,
введенное выше. Однако дать качественное объяснение этому понятию
несложно. Можно считать, что при делении ядерная жидкость
заключена в сосуд, поначалу сферический, стенки которого
деформируются по некоторому закону, и сосуд последовательно принимает
конфигурации, изображенные на рис. 34. Давлением стенок
жидкость вовлекается в движение, но разные части ее объема движутся
с разными скоростями, в среднем меньшими, чем те, с которой
coll*
155

суд с жидкостью как целое совершал бы поступательное движение.
Теоретическая гидродинамика позволяет вычислить массовый
коэффициент в выражении для кинетической энергии Г=(1/2)МрЧ
Оказывается, он составляет на разных этапах деформации примерно от
четверти до трети полной массы ядра. Но даже четверть массы
ядра урана —это почти шестьдесят нуклонных масс. С туннелиро-
ванием столь тяжелых «частиц» мы еще не встречались.
Речь шла до сих пор о спонтанном делении естественных
радиоактивных нуклидов, главным образом ядер урана.
Зарегистрировано еще спонтанное деление ядер тория 232Th, но его период
составляет и вовсе 1021 лет. Это явление находится на грани
возможностей детектирования современными средствами. Вспомним, однако,
что устойчивость ядра по отношению к спонтанному делению
должна быстро падать с увеличением параметра делимости х, а он
неуклонно растет с продвижением к концу периодической таблицы.
После 238U начинается область трансурановых элементов —
искусственных радиоактивных элементов, и если для урана и всех более
легких элементов спонтанное деление является достаточно
экзотическим способом распада, то для трансурановых элементов
положение иное. Период спонтанного деления постепенно уменьшается с
ростом Z2/At оно начинает успешно конкурировать с а- и Р-распадом
и, наконец, для самых тяжелых элементов становится главным
способом распада, определяющим наблюдаемое время жизни
радиоактивных ядер.
Действительно, если ядро может распадаться несколькими
способами, то полная постоянная распада по любому каналу в единицу
времени, т. е. с испусканием либо а, либо (З-частицы, либо пары
осколков, пропорциональна сумме постоянных распада Хи а
каждая из них в свою очередь обратно пропорциональна времени
жизни, так что итоговая постоянная распада есть
Значком о обозначено спонтанное деление. Если Гф <^Та ? Т$ f
то первыми двумя слагаемыми можно пренебречь, и Т~Тф.
Первым искусственным трансурановым элементом был плутоний
239Ри, полученный в макроскопических — поначалу
миллиграммовых — количествах в рамках Манхэттенского проекта, т. е. работ
по созданию атомной бомбы в США в период второй мировой
войны *. Он получается, как мы уже упоминали, в ядерном реакторе в
* Плутоний был первым искусственным элементом, полученным
в заметных количествах как вещество. Радиоактивный распад
первого синтетического элемента был зарегистрирован еще в 1940 году
Мак-Милланом и Абельсоном. Этим элементом был нептуний.
156

результате захвата нейтрона ядром 238U и поледующего
двукратного Р-распада:
238U+Az->239uC239NpC239Pu
Плутоний имеет огромное значение для ядерной энергетики
В подавляющем большинстве ядерных энергетических реакторов до
сих пор эффективно используется в качестве горючего только
легкий природный изотоп урана 235U, именно он делится медленными
нейтронами. Если же нейтрон поглощается гораздо более
распространенным изотопом 238U и приносит в качестве возбуждения
только свою энергию связи, то этого недостаточно, чтобы
преодолеть барьер деления — у составного ядра 239U он заметно выше,
чем у 236U, почти на 1 МэВ. Мы уже упомянули, что каждое ядро
урана при делении испускает 2—3 нейтрона, но ничего не сказали
об их кинетической энергии. Она может меняться в широких
пределах, но среднее ее значение около двух мегаэлектронвольт.
Казалось бы, нейтроны деления имеют достаточно большую скорость,
чтобы вызвать деление и ядра 238U, но дело тут обстоит совсем не
просто. Во-первых, активная зона реактора состоит отнюдь не из
одного урана, она по необходимости включает конструкционные
материалы, в основном специальную сталь, и
вещество-теплоноситель, которым чаще всего служит вода. Сталкиваясь с более
легкими, чем уран, ядрами железа, кислорода и с совсем легкими
ядрами водорода, нейтроны передают им часть своей энергии и
замедляются, в результате чего они, как говорят, «уходят под
порог» — теряют способность вызывать с заметной вероятностью
деление ядер 2,8U. Во-вторых, нейтроны — квантовые частицы, их
длина волны пропорциональна l/j/"£~l/o. Пока они быстрые и
длина волны их меньше радиуса ядра R0, можно считать, что они
поглощаются ядром как непрозрачным шариком с площадью
поперечного сечения kRq. Но, оказывается, с уменьшением энергии
нейтронов ядра начинают поглощать их с гораздо большей
интенсивностью, которая тем выше, чем больше длина волны нейтрона.
Чаще всего используется такая характеристика вероятности
ядерных реакций, как эффективное сечение или просто сечение. Если
на образец-мишень площадью 1 см2, содержащий N ядер, падает
поток частиц в количестве п в секунду, вызывающий за тот же
отрезок времени А актов реакции, то очевидно, что А прямо
пропорционально и я, и Nt т. е.
А = onN.
Коэффициент пропорциональности а и называют сечением
соответствующей реакции, поскольку он имеет размерность квадрата
длины. Однако буквально представлять себе атомное ядро как шарик
157

площадью поперечного сечения о не следует; а зависит и от типа
рассматриваемой реакции, и от энергии и сорта падающих частиц.
Для совсем медленных нейтронов поглощающие ядра как бы
разрастаются, сечение поглощения становится пропорциональные
длине волны нейтрона, т.е. 1/|/£ или l/v — это явление так и
называется «закон \/v». Сказанное полностью относится к так
называемым тепловым нейтронам, которые в результате многократных
соударений с ядрами веществ активной зоны замедлились
настолько, что пришли в тепловое равновесие со средой. Средняя кинети»
ческая энергия теплового нейтрона, как у молекулы идеального
газа, равна (3/2) kT. При температуре 300 К эта энергия близка к
1/40 эВ, ей соответствует скорость нейтрона 2200 м/с. Сечение
поглощения такого нейтрона ядром 235U составляет примерно 5,4Х
Х10~22 см2, что в сотни раз больше геометрического сечения я#2.
Единица плошади Ю-"24 см2 называется в ядерной физике «барн»
(от английского «barn»—«сарай»). Происхождение названия
довольно комично — работая с заряженными частицами,
проникновению которых в ядро препятствует кулоновский барьер, физики
привыкли иметь дело с эффективными сечениями реакций гораздо
меньшими, чем 10~24 см2, поэтому когда выяснилось, что нейтроны
поглощаются ядром с такими сравнительно огромными
вероятностями, кто-то сказал, что для нейтронов ядро все равно что для
стрелка сарай — по такой мишени не промахнешься. Словечко
привилось, им стали обозначать указанную площадь. Были
предложения переименовать эту очень популярную в микромире единицу,
назвав ее в честь кого-нибудь из выдающихся физиков, и
очевидной кандидатурой был Энрико Ферми, первым заметивший
странное свойство нейтронов тем сильнее поглощаться ядром, чем
они медленнее. Однако именем Ферми назвали единицу длины,
составляющую Ю-15 м, так что пока используется единица сечения
реакции барн, 1 6=100 фм2.
Большая вероятность реакции деления урана,
соответствующая большому сечению, поглощения тепловых
нейтронов, во многих отношениях удобна, именно
поэтому на протяжении первых десятилетий развития
ядерной энергетики активные зоны реакторов наряду
с горючим, сталью и теплоносителем всегда содержали
специальное вещество-замедлитель, которое слабо
поглощает нейтроны, но хорошо их замедляет. Это позволяет
экономить горючее. Роль замедлителя иногда по
совместительству может достаточно эффективно выполнять
теплоноситель. В тяжелую воду, например, входят не
атомы водорода, а атомы дейтерия; она является
хорошим теплоносителем и прекрасным замедлителем.
158

Но в реакторах на тепловых нейтронах не
используется почти 99,3 % массы природного урана! Горючее
приходится обогащать изотопом урана 235U, а это
исключительно трудоемкая и дорогая операция — физики
гитлеровской Германии, работавшие над атомной
проблемой, сочли, например, что изменение изотопного состава
урана вовсе невозможно осуществить в промышленных
масштабах, и не нашли пути к созданию атомного
оружия.
Более полно использовать энергию урана позволяют
реакторы на быстрых нейтронах. Замедление в этом
случае враг, а не союзник, активная зона не должна
содержать ничего лишнего. Эта вынужденная компактность
создает определенные технические трудности, но они
должны с лихвой окупиться расширенным
воспроизводством ядерного горючего — если использовать в
качестве основного топлива в быстром реакторе плутоний, то
после окончания топливного цикла его накапливается
буквально больше, чем сгорает, причем прибавка
получается весомая — десятки процентов. Никакого чуда,
ничего похожего на вечный двигатель тут, разумеется,
нет — плутоний получается не из ничего, а из 238U,
который и сам может быть ядерным топливом. Это
похоже, как мы говорили выше, на сушку сырых дров из
запаса, а не заготовку новых. Возможность использования
реакторов-размножителей на быстрых нейтронах
качественно меняет перспективы ядерной энергетики. Без этих
реакторов ядерного топлива человечеству хватило бы на
десятки лет, а с ними — на сотни.
Мысль о возможности воспроизводства ядерного
горючего с помощью реакторов на быстрых нейтронах
была высказана в нашей стране выдающимся физиком,
академиком АН УССР А. И. Лейпунским в 1949 году.
Он возглавил их разработку и за успехи в развитии
этого нового направления физики реакторов был удостоен
в 1960 году Ленинской премии вместе с докторами
физико-математических наук И. И. Бондаренко, О. Д. Казач-
ковским и Л. Н. Усачевым. Все они были сотрудниками
Физико-энергетического института в Обнинске, где в 1954
году осуществился пуск первой в мире атомной
электростанции (АЭС) с реактором на тепловых нейтронах.
Поначалу действовали несколько экспериментальных
реакторов на быстрых нейтронах, а затем были введены в
строй мощные промышленные реакторы БН-350 в г. Шев-
159

ченко на берегу Каспия и БН-600 на Белоярской АЭС
под Свердловском. Цифры в марке реактора указывают
его номинальную электрическую мощность в тысячах ки«
ловатт. Ядерная энергетика на быстрых нейтронах стала
реальностью, и ее развитие является одним из
магистральных направлений широкого промышленного исполь-*
зования энергии ядра.
Заговорив о быстрых реакторах, нельзя не упомянуть
об одной уникальной установке из этого семейства, идея
которой была предложена Д. И. Блохинцевым и
И. И. Бондаренко еще в начале пятидесятых годов, а
сейчас уже третий ее вариант работает в Объединенном
институте ядерных исследований в Дубне. Речь идет о
реакторах семейства ИБР (импульсный реактор на
быстрых нейтронах). Уникальность их заключается в том,
что в ИБРе, единственном из всех реакторов, цепная
реакция осуществляется на мгновенных нейтронах деления.
Вспомним, что мы говорили чуть выше,- хваля
запаздывающие нейтроны, — без них, мол, реактора не
построишь, только бомбу. Это утверждение не вполне точно —
опровергает его ИБР, веха на полпути между бомбой и
стационарным энергетическим реактором. Основной его
конструкции является быстро вращающийся массивный
стальной диск с запрессованными в него полусферами из
плутония, которые проходят десятки раз в секунду
мимо такой же полусферы на неподвижном диске. При
каждом прохождении начинается, зарождается ядерный
взрыв, но произойти не успевает, получается лишь
короткая мощная энергетическая вспышка,
сопровождающаяся всплеском нейтронного излучения. Именно
нейтронные импульсы и являются продукцией ИБРа, ради них
он построен. Быстрые нейтроны физики используют в
качестве тонкого и эффективного инструмента для
исследования ядра, а после замедления и сортировки по
энергиям в длинном нейтроноводе — и в физике твердого
тела.
Плутоний, повторяем, первый «рукотворный»
трансурановый элемент, но далеко не последний. Достройка
таблицы Менделеева вот уже на протяжении почти
четырех десятилетий является одним из интереснейших
направлений ядерно-физических исследований, причем
сейчас мы говорим о достройке в смысле получения
новых элементов, т. е. сильно заряженных ядер с
большими атомными номерами Z>92, которых нет в природе..
160

Важным является и получение новых радиоактивных
изотопов уже известных элементов, в том числе и
стабильных. Но это предмет для особого разговора.
Основным препятствием на пути синтеза новых сверхтяжелых
элементов является спонтанное деление. Период его
быстро убывает с ростом отношения Z2/A: 238U—1016 лет;
240Pu— 10й лет; 246Cm — 109 лет; 248Cf — 104 лет; 252Cf -
100 лет.
Получать сверхтяжелые ядра трудно. Для этого надо
бомбардировать мишени из самых тяжелых элементов
быстрыми многозарядными ионами — не протонами, не
а-частицами, а ядрами азота, кислорода, неона и т. д.
При этом из урана можно получить соответственно
девяносто девятый, сотый, сто третий и так далее
элементы. Ускорение многозарядных ионов — весьма сложная
техническая задача, хотя принципиально она сейчас уже,
можно считать, полностью решена — удается разгонять
ионы любых элементов. Сейчас физики получили
элементы до сто четвертого — курчатовия, названного так
в честь Игоря Васильевича Курчатова,
многолетнего руководителя программы ядерных исследований
в СССР, основателя и первого директора Института
атомной энергии — колыбели советской атомной
техники. Курчатовий синтезирован в лаборатории
Г. Н. Флёрова в Дубне. Среди «новобранцев второй
гвардейской сотни» в честь великого русского
ученого Д. И. Менделеева назван еще один элемент —
менделевий.
Есть основания полагать, что особенно интересными
свойствами будет обладать ядро-гигант, состоящее из
126 протонов и 184 нейтронов — дважды магический
изотоп сто двадцать шестого элемента. Синтез этого ядра—
одна из стратегических целей «строителей»
периодической таблицы. Чтобы получить его, нужно заполнить
пропасть из двадцати еще не открытых элементов или
перескочить через нее. Теоретически для этого
достаточно слить ядра урана и селена. Но для преодоления куло-
новского барьера снаружи нужно разгонять
бомбардирующие ионы до очень высоких энергий,
результирующее столкновение будет «антиделением», настоящей
ядерной катастрофой. Сталкивающиеся ядра чаще
разбиваются вдребезги, чем сливаются, поэтому физики и
решили действовать с запасом, в частности попробовать
«.долбить» ураном по урану — разгонять самые тяже-
161

лые и самые многозарядные природные ядра и
направлять их на такую же мишень.
Сильно утрируя, можно сказать, что получить при
столкновении двух ядер урана сто двадцать шестой
элемент — это почти то же самое, что получить «Волгу» при
лобовом столкновении двух «Жигулей». Надежда здесь
только на неоднократно нами упоминавшуюся
стабильность квантовых систем, их способность добираться до
своего основного состояния после самых жестоких
встрясок и пертурбаций.
Заговорив об очень сложных опытах по созданию и
идентификации новых спонтанно делящихся элементов, нельзя не упомянуть
об одном исключительно простом, но красивом и эффективном
экспериментальном методе регистрации осколков деления, открытом в
середине шестидесятых годов.
О чем грезит физик-экспериментатор, создавая установку для
изучения какой-нибудь ядерной реакции? Идеальный прибор-мечта
должен, во-первых, реагировать на все частицы, которые интересуют
нашего экспериментатора и, во-вторых, не замечать никаких других
частиц, сколько бы их ни рождалось в ходе изучаемого процесса и
в побочных (паразитных или, как говорят физики, фоновых)
реакциях. Существует множество разнообразных методов обнаружения
ядерных частиц: по ионизации, которую они создают в газе или
полупроводниках, по следам, которые они оставляют в
фотопластинках, в пузырьковых и искровых камерах, камерах Вильсона и т. д.
Иногда приходится тратить многие годы и большие средства на
создание очень громоздких, дорогих и капризных детекторов —
устройств для регистрации частиц.
Как же радовались физики, когда оказалось, что осколки
деления — единственные частицы, которые могут оставлять в
некоторых аморфных веществах (например, в стекле) следы, видимые
после протравливания в обычный микроскоп, —
аккуратные круглые луночки. Любопытен механизм образования
этих луночек, так называемый «электрический топор». Осколки не
просто пробивают эти дырки и не проплавляют их, как думали
сначала. Своим большим электрическим зарядом они создают вдоль
трека такую сильную ионизацию, такое перераспределение зарядов,
что сам трек оказывается сильно заряженным, и силы
электростатического отталкивания раскалывают вещество в месте
прохождения осколка. Любым другим частицам для этого не хватает
заряда, и поэтому стекло их не замечает. С помощью такого метода
изучалось деление быстрыми а-частицами совсем легких (конечно,
по сравнению с ураном и плутонием) ядер, например таллия. Этот
Ш

эксперимент особенно наглядно демонстрирует волшебную простоту
и чувствительность новой методики. С уменьшением энергии а-час-
тиц вероятность процесса падала и падала и, наконец, уменьшилась
в десять миллиардов раз, а стекла все так же уверенно выделяли
из фона осколки деления, которые на завершающем этапе
эксперимента появлялись со скоростью одна пара за несколько часов
работы ускорителя!
Это свойство осколков деления нашло неожиданный
практический выход с большим экономическим эффектом. В очень тонких
полимерных пленках они не просто оставляли следы, а пробивали
настоящие сквозные дырочки исключительно малого диаметра,
какие нельзя создать никакими другими известными способами
(любые механические, макроскопические инструменты гораздо грубее).
Так удалось получить тончайшие эффективно работающие фильтры,
нашедшие разнообразное применение — вплоть до виноделия.
Простую зависимость «капельных» барьеров деления, которые
мы обсуждали выше, от Z2/A сильно искажают так называемые
оболочечные эффекты. Оболочечная модель ядра в некотором
смысле противоположна капельной модели. В последней нуклоны,
составляющие ядро, как таковые вообще не фигурируют, вместо ядра
рассматривается модельный объект — кусок ядерного вещества.
В отличие от этого в оболочечной модели индивидуальность
протонов и нейтронов полностью сохраняется. Считается, что каждый
нуклон свободно движется в некотором среднем потенциальном
поле, создаваемом всеми остальными нуклонами. Это представление
похоже на кратериую модель потенциала, которую мы рисовали
для а-частицы, только для нейтронов кулоновский потенциал,
создающий «склоны вулкана», отсутствует, и кратер заменяется
просто потенциальной ямой.
Но ведь мы столько раз подчеркивали, что между отдельными
нуклонами существуют сильные взаимодействия, как же можно ими
пренебрегать, считать, что частица в среднем поле движется как
свободная? Парадоксальная мысль о такой возможности пришла
в голову независимо и примерно одновременно двум физикам —
датчанину И. Иенсену и американке немецкого происхождения
Марии Гепперт-Майер — в сороковых годах.
Будущий лауреат Нобелевской премии Гепперт-Майер, в
тридцатых годах выехавшая с мужем в США, долго вынуждена была
заниматься в американских университетах физикой на
общественных началах, поскольку ее супруг, известный химик Иозеф Майер
был штатным работником, а правила борьбы с кумовством во
многих американских учебных заведениях запрещали жене занимать
официальные должности там, где работает ее муж. Позже эта
несправедливость была устранена.
163

Гепперт-Майер и Йенсен предположили, что считать нуклоны в
ядре невзаимодействующими позволяет принцип Паули. В самом
деле, что значит, что нуклоны" провзаимодействовали? Это значит,
что они изменили свое состояние, каждый перешел в другое
состояние. А в какое? Мы уже знаем, что в основном квантовом состоянии
системы фермионов (пример тому электронный газ в металлах) все
состояния отдельных частиц заняты вплоть до самой границы
Ферми. Нуклоны и «рады бы» провзаимодействовать, сменить уровень,
но податься решительно некуда — они ведь тоже фермионы, и все
уровни забиты. Это обстоятельство значительно упрощает теорию
ядра и делает ее во многих отношениях похожей на теорию
атомных электронных оболочек, отсюда и присхождение названия обо-
лочечная модель.
Можно считать, что в основном состоянии потенциальная яма
оболочечной модели имеет определенную пространственную форму,
причем не обязательно сферическую. Все хорошо делящиеся ядра,
например, уже в основном состоянии заметно вытянуты, имеют
эллипсоидальную форму. Это уже сам по себе оболочечный эффект-
жидкая капля, если и имеет при заданном отношении Z2/A
устойчивую равновесную форму, то только сферическую. Но раз нуклон-
ные оболочки так влияют на свойства делительного потенциала
V(p) при малых деформациях, то, наверное, влияют и при
больших. Они сдвигают минимум, меняют высоту барьера — почему бы
им не сделать зависимость V(p) более сложной, почему бы, в
частности, не превратить одногорбый барьер деления в двугорбый?
Такое предположение, обоснованное теоретическими расчетами,
выдвинул в середине шестидесятых годов советский физик-теоретик
В. М. Струтинский, а незадолго до этого экспериментаторы из дуб-
ненской лаборатории Г. Н. Флёрова обнаружили странное явление.
Облучая в поисках все более тяжелых элементов уран и
трансурановые элементы разными частицами, они изучали радиоактивный
распад образующихся ядер, в частности их периоды спонтанного
деления. Как мы знаем, эти периоды систематически уменьшаются
при движении к ныне установленному правому краю периодической
таблицы. И вот оказалось, что наряду с этими, укладывающимися
в привычную систематику периодами для некоторых комбинаций
ядра-мишени и бомбардирующей частицы появляются несравненно
более короткие периоды, скажем, доли секунды вместо лет.
Предположение, что спонтанное деление со столь странными свойствами
характеризует новые, не известные до сих пор ядра, исключалось
условиями эксперимента—делились давно известные ядра с точно
определенным нуклонным составом, но каким-то другим способом или
из других начальных состояний. Эти состояния получили название
спонтанно делящихся изомеров.
164

Вообще явление ядерной изомерии заключается в следующем.
Греческий корень «изо» означает «равный, одинаковый, постоянный».
Так, изотермы — линии постоянной температуры, изобары — линии
постоянного давления, изотопы — ядра с одинаковым атомным
номером, а изомеры — это, фактически, разные квантовые состояния
одного и того же ядра, хотя некоторые наблюдаемые их свойства
могут столь сильно различаться, что столкнувшись с изомерами,
нетрудно предположить наличие ядер других элементов.
Явление ядерной изомерии было открыто в 1935 году. Исследуя
радиоактивность брома, возникающую под действием нейтронов и
Y-излучения, И. В. Курчатов, Б. В. Курчатов, Л. М. Русинов и
Л. В. Мысовский показали, что распад ядра 80Вг характеризуется
двумя периодами полураспада — 4,5 и 20 мин, т.е. это ядро
имеет, кроме основного, по крайней мере еще одно долгоживущее
состояние.
Мы знаем, что у большинства ядер, как и у атомов, молекул,
других квантовых систем, возбужденных состояний над основным
очень много, чем же выделены изомеры? Прежде всего, одной
наблюдаемой характеристикой — аномально большим временем
жизни. Например, у ядра 235U существует изомер, очень близкий к
основному состоянию, отстоящий от него всего на 70 эВ. Он живет
около получаса — целую вечность по ядерным масштабам.
Следующее возбужденное состояние 235U имеет энергию уже свыше 10 кэВ
и распадается, испуская у-квант, быстрее, чем за миллиардную
долю секунды. На первый взгляд, разграничение между изомерами и
неизомерами по времени жизни кажется, во-первых,
неопределенным и произвольным, а во-вторых, формальным, поверхностным.
Однако резкие различия во времени жизни есть следствие глубоких
различий в структуре этих состояний. Ближайшие к основному
возбужденные состояния обычно получаются из основного достаточно
просто — можно, например, заставить ядро вращаться как целое
или возбудить, перевести на уровень над поверхностью Ферми всего
один из его нуклонов, оставив прочие на местах, и т. д. Таким
состояниям просто образоваться, им просто и распасться, поэтому
живут они, как правило, недолго и изомерами не являются.
У читателя может возникнуть вопрос: мы все время
подчеркиваем, что вообще изомеры — долгоживущие состояния, а начали
разговор о спонтанно делящихся изомерах с утверждения, что они
характеризуются аномально малым временем жизни по отношению
к спонтанному делению. Противоречия тут нет, эти изомеры
распадаются быстро по сравнению с периодом спонтанного деления
основных состояний ядер, но по сравнению с характерными
временами жизни других возбужденных состояний, прежде всего
по отношению к испусканию у-квантов, их время жизни велико.
165

Вывод В. М. Струтинского о том, что барьер деления
двугорбый, позволял очень естественно объяснить факт существования
спонтанно делящихся изомеров: тех квазистационарных состояний в
яме между горбами, о которых шла речь во второй главе.
Мы уже знаем, что зависимость проницаемости двугорбого
барьера деления от энергии падающих частиц носит резко
немонотонный, резонансный характер. Разумеется, моделирование
процесса деления проникновением частицы через потенциальный
барьер является довольно грубым приближением, но формулы (2.22) —
(2.25) показывают, что эффект очень резкий, в идеализированном
одномерном случае проницаемость в резонансе может увеличиться
на несколько порядков. Поиски таких эффектов сразу же начались
и быстро увенчались успехом. Да, собственно, некоторые из них
наблюдались и раньше, но не получили столь последовательной и
ясной интерпретации. Интенсивные экспериментальные и
теоретические исследования на протяжении последующих пятнадцати лет
привели к обнаружению спонтанно делящихся изомеров у десятков
тяжелых ядер.
Настоящая глава не случайно называется «Самое
сложное ядерное превращение». Ни одна ядерная
реакция не изучалась в таком огромном числе работ, как
деление. Сложность ее, в частности, обусловлена
разнообразием продуктов деления — ядер-осколков. Среди
них с разными вероятностями встречаются буквально
сотни стабильных и радиоактивных ядер-элементов из
разных областей периодической таблицы.
Если делению подвергаются ядра топлива в ядерном
реакторе, то ядра-осколки, обрастая электронами,
превращаются в атомы. Они остаются там, где родились, —
в толще материала тепловыделяющего элемента
активной зоны. Некоторые из них являются, например,
атомами благородных газов. Если таких атомов много, то они
собираются в микроскопические пузырьки. Это уже
крупная неприятность—атомное топливо начинает
распухать, плотность его падает, появляются деформации,
механические напряжения, способные даже разрушить
топливный стержень.
Про другие ядра-осколки говорят, что они
«отравляют» активную зону. Среди них есть такие, которые без
толку поглощают драгоценные нейтроны с сечением в
десятки и сотни раз большим, чем ядра топлива, т. е.
гасят огонь цепной реакции.
Примерно один раз из трехсот случается, что ядро
делится не на два, а на три осколка — из шейки в мо-
166

мент ее разрыва вылетает кроме нейтронов и легкое
заряженное ядро, в большинстве случаев а-частица— ядро
атома гелия. Значит, и гелий потихоньку накапливается
в ядерном реакторе.
Все это и многое, многое другое конструкторам
ядерных энергетических установок надо знать в мельчайших
деталях. Реактор — живая машина. Как никакая другая
конструкция, он непрерывно меняется в процессе
эксплуатации, меняются химический состав и физические
свойства его важнейших узлов и деталей, и главный
источник этих изменений — ядерная реакция деления.
Поэтому она — не только объект любознательности ученых.
Ее тщательное изучение было и остается важной
практической задачей специалистов, создающих физический
фундамент ядерной энергетики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Читатель мог убедиться, что туннельные процессы —
та общая черта, которая связывает очень разные
явления, протекающие на разных «этажах» микромира.
Иногда в этих процессах участвует макроскопическое
тело — целый кристалл, иногда они протекают на атом-
но-молекулярном и еще более глубоком, ядерном, уровне.
Мы, кстати, фактически не заглядывали в «цокольный»
этаж — царство элементарных частиц, и не потому, что
там нет интересных явлений, связанных с туннельным
эффектом. Просто все процессы на этом уровне носят
релятивистский характер, при их рассмотрении необходимо
помимо квантовой механики привлекать и теорию
относительности, а это уже совсем другая история.
Эта книга, как и другие научно-популярные издания,
позволяет лишь краем глаза заглянуть в огромный мир
квантовой физики. Желающему войти туда надо
преодолеть серьезные трудности, и одной из задач автора было
дать о них представление. Но мы надеемся, читатель
понял — трудности эти преодолимы, и тот, кто справится
с ними, узнает много по-настоящему для себя нового,
1лубокого и интересного.
Наша краткая экскурсия в страну туннелирования
закончена. Но физики продолжают по ней
путешествовать и наносить на карту новые области. Пожелаем им
успеха.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
Глава первая
МОЛОДЫЕ НАСЛЕДНИКИ СТАРЫХ ПОНЯТИЙ 7
Глава вторая
МАТЕМАТИКА КВАНТОВОГО БАРЬЕРА 35
Глава третья
БЕГЛЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ПИРАМИДА НАИЗНАНКУ 61
Глава четвертая
КОНТАКТ 76
Глава пятая
ТУННЕЛИРОВАНИЕ И СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 89
Глава шестая
ГОД ЧУДЕС 115
Глава седьмая
ТУННЕЛИ ИЗ ЯДРА И В ЯДРО 123
Глава восьмая
САМОЕ СЛОЖНОЕ ЯДЕРНОЕ ПРЕВРАЩЕНИЕ 144
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
167

30 к.