Текст
2
Розділ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
ЧИСЛОВІ РЯДИ
Числовий ряд - це формальний вираз, що означає суму нескінченної
кількості доданків. Такі вирази часто виникають в математичному аналі-
зі як стандартне представлення для різноманітних величин та функцій.
Ці нескінченні суми можуть мати лише один природний смисл, а саме
— граничне значення суми перших п доданків при п —» +оо. Основни-
ми поняттями при цьому є поняття загального члена, частинної суми,
збіжності-розбіжності та суми ряду.
Загальним критерієм збіжності як завжди є критерій Коші, з якого
зокрема випливає проста, але корисна необхідна умова збіжності.
Важливим частинним випадком є знакосталі ряди (тобто знакодода-
тні або знаковід'ємні). Для таких рядів загальний критерій збіжності
має дуже простий вигляд, з якого випливають також прості, але досить
універсальні ознаки порівняння. Для зиакододатних рядів певної кон-
кретної структури замість ознак порівняння зручніше використовувати
спеціальні ознаки збіжності, а саме ознаки Даламбера, Коші, інтеграль-
ну ознаку Коші та в виняткових випадках — ознаку Гауса.
Для знакозмінних рядів розрізняють абсолютну та умовну збіжність
(різннця між цими двома випадками яскраво виявляється при переста-
новці доданків зиакозміниого ряду). Найважливішими ознаками збіжно-
сті є ознаки Діріхле та Лейбніца. При дослідженні на збіжність будь-
якого ряду існує стандартна загальна схема дослідження збіжності,
якої доцільно завжди дотримуватись.
Аналогічно до звичайних скінченних сум збіжні ряди можна почлеино
додавати (завжди) та множити (при певних умовах).
1.1 ОСНОВНІ поняття
Означення 1.1.
Числовим рядом називається формальний вираз (дивись Додаток 1)
ОС
^2 Оп = «І + «2 + • • + йп + - - ) (1*1)
П«1
тобто сума нескінченної кількості доданків. При цьому п-ий дода-
нок а„ називається загальним членом ряду (1.1), а сума перших п
доданків 3„ = 21 аь — “і + “2 + • • • + <+ — частинною сумою ряду (1.1).
1
Приклад 1.1.
(1) Розглянемо ^(-І)"-1- 1-1 + 1-..., тоді +> = (—І)”-1 .
1
00 111 1
(2) Розглянемо У2 ~ = 1 + о + о+ -- ' Т0ДІ <4) = -
п 2 о И
оо
(3) Розглянемо У^д” = 1 + д + д2 + ..., тоді <+ = дп (|д| < 1) .
о
Цілком природно, що формальна нескінченна сума (1.1) може мати лише
один смисл, а саме 1іліп 52" “ Нпіп Зв'дси — поняття суми ряду та
збіжності ряду.
Означення 1.2.
Якщо існує 11т 5„ = З Є й (можливо оо), то ця границя 3 послідов-
ності частинних сум називається сумою ряду (1.1) і за означенням
пишуть 52і° «п = 3- При цьому ряд називається збіжним, якщо його
сума 8 є скінченною, і розбіжним, якщо його сума 3 є нескінченною
або не існує.
Приклад 1.2. Повернемось до рядів з попереднього прикладу:
Г 1 п — ОУ — 1
(1) 3„ = | 0’ п_2£ (*:= 1,2,...), отже 1іт5п не існує, ряд
розбіжний;
(2) 3„ = 1+1+...+1 > 1п Ґ1 + 1^+Іп ґі + ^+.-.+Іп (1 + 1) =
2 п \ 7 \ 2/ \ п)
= 1п ^2^ +1п + ... + 1п = 1п(п +1) -» +оо, отже
1іпі5п = +оо, ряд розбіжний, 52ї° 1/п — +°° і
1 — 1 1
(3) при |д| < 1 3„ = -—- —< :--, ряд збіжний, Удп = :-.
1-д і-д „ 1-9
Зауваження 1.1. Ряд може починатись не обов'язково з а і (дивись (3) з
Прикладу 1.1, де ряд починається з ал).
Знайти зручний вираз для частинної суми Зп заданого ряду, а потім за
допомогою цього виразу дослідити ряд на збіжність та знайти його суму
і. і Основні поняття
Розділ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
5 безпосередньо за означенням (як це зроблено для рядів з Прикладу 1.1),
вдається дуже рідко. Тому при розгляді ряду головним є питання про
те, чи буде заданий ряд збіжним. Якщо ряд є справді збіжним, то
значення частинної суми Зп при досить великих п буде наближеним
значенням шуканої суми ряду 3 (причому тим точнішим, чим більше п).
З властивостей границі послідовності та означень збіжності ряду і су-
ми ряду очевидним чином випливають наступні елементарні властивості
збіжних рядів.
Теорема 1.1 (про множення збіжного ряду на сталу).
Ряди 521° а„ та 521° с а„ збігаються або розбігаються одночасно,
причому у випадку збіжності
00 ос
52сап = с 52а4 •
1 1
Теорема 1.2 (про суму збіжних рядів).
Якщо ряди 52Г+> та 52ї° збігаються, то ряд '^^(аап + 0Ьп)
також збігається, причому
ОО ОС 00
і і і
Зокрема при цих умовах у випадку а = 0 = 1 маємо
ОС ос оо
52(Оп + Ьп) =52“п + 52Ьп •
І 1 1
Зауваження 1.2. Очевидно також, що збіжність ряду не зміниться, якщо
у нього відкинути скінченну кількість перших доданків, тобто
ос- оо
У7 “п збігається V По Є N ап збігається .
1 По
При цьому нескінченна сума г„ = 52^+1 називається п-им залишком
ряду, а для всієї суми ряду у випадку збіжності маємо
00 П ОС
52 ак = 52 ак + 52 ак аб° 5 = 5П + г„ .
1 1 П+1
Звідси випливає, що ряд збігається тоді і тільки тоді, коли г„ —> 0.
З критерій Коші збіжності числової послідовності очевидним чином
випливає наступний загальний критерій збіжності числового ряду.
Теорема 1.3 (критерій Коші збіжності числового ряду).
Ряд (1.1) збігається
Ує>0 Зпс: Чп>п, Яр>1 |ап+і + <»п+2 + • • + <»п+р| < £ (1-2)
< Ряд (1.1) збігається +> послідовність {5П} збігається +> (за критерієм
Коші збіжності числової послідовності)
V є > О 2 п£ : Яп>пв Яр>1 |5„+р - 5„| < £ ,
ДЄ Зп+р — *5п = Оп+1 + +1+2 + . . + Ор+р . і>
Щодо прикладів застосування цього критерій, то зауважимо, що всі
приклади застосування критерій Коші для числових послідовностей були
фактично прикладами дослідження збіжності числових рядів.
Наслідок 1.1 (необхідна умова збіжності).
Ряд (1.1) збігається => ап —> 0 (тобто загальний член прямує до
нуля).
< В твердженні критерій Коші треба покласти р = 1. >
Приклад 1.3. Для ряду (1) з попередніх прикладів а„ = (-1)”-1,
звідки а„ 0, а отже не виконується необхідна умова збіжності і
цей ряд розбігається.
Зауваження 1.3. Умова а„ —> 0 є лише необхідною, і ряд, для якого це
має місце, цілком може бути розбіжним. Так для ряду (2) з попередніх
прикладів маємо Ор = 1/п —> 0 , але 521° 1/п = +°° •
1.2 ЗНАКОСТАЛІ РЯДИ
Означення 1.3.
Ряд (1.1) називається знакододатним, якщо для всіх його доданків а„
маємо а„ > 0. Аналогічно — поняття знаковід’ємного ряду. Ряд, який
є або знакододатним або знаковід'ємним, називається знакосталим.
Оскільки для будь-якого знаковід’ємного ряду 52і° ап ряд 52і°(~°п) є
знакододатним, то (якщо в Теоремі 1.1 взяти с = -1) дослідження збі-
жності та суми знаковід’ємного ряду є рівносильним розгляду відповідно-
го знакододатнього ряду. Тому надалі в цьому розділі розглядатимемо
лише знакододатні ряди. При цьому для частинних сум виконано
Зі < 32< ... < Зп< ,
1.2 Знакосталі ряди 5
а отже сума знакододатнього ряду 5 = 52” “* = 1іт5„ завжди існує
(хоча можливо 5 = +оо). Оскільки за критерієм збіжності монотонної
послідовності маємо 1іт5п<оо <=> 8пр5п<оо, то критерій збіжності
знакододатнього ряду набуває наступного простого виду.
Теорема 1.4 (критерій збіжності знакододатнього ряду).
Нехай ряд 52” а„ є знакододатним. Тоді його сума обов’язково існує
(скінченна або нескінченна), причому
ряд 52“* збігається 52 а* +о° вир5„<+оо. (1.3)
і і
З цього простого критерій випливає зручний метод дослідження збіжно-
сті знакододатних рядів, який називається методом порівняння. Цей
метод грунтується на двох теоремвх, які називаються ознаками порів-
няння, і детально розглядається в наступному розділі.
1.2.1 Ознаки порівняння для знакододатних рядів
Теорема 1.5 (перша ознака порівняння).
Нехай ряди 52” а„ та 521° є знакододатними, причому при п > По
виконано нерівність а„ <Ь„. Тоді
і) 52 ьп < +оо => ^2 Оп < +оо 2) 22 = +°° ="* 52 = +о° •
її її
Отже з збіжності більшого ряду випливає збіжність меншого, а з
розбіжності меншого ряду випливає розбіжність більшого.
< В силу Зауваження 1.2 замість рядів а»» та 22і°^п можна роз-
глядати відповідно ^2“ Оп та ^2“ Ьп • При цьому за умовою V N >
По У 2 а* У%6*' звідки Узд“* Уі£6* ‘ залишається застосу-
вати теорему 1.4. >
Наслідок 1.2.
Нехай 52” <*п та У”6* є знакододатними, причому ап/Ьп 0. Тоді
52^ < +°° =* 52 “п < +°° та 52 “*= +о° * 52 *** ~ +о°
11 11
< Справді, Оп/Ьп —> 0 (п —> оо) =ь 3 По : V п > По “„ < Ьп . і
залишається використати внщедоведену першу ознаку порівняння. >
6 Розділі. ЧИСЛОВІ РЯДИ
Теорема 1.6 (друга ознака порівняння).
Нехай ряди 52” “п та У” 6* є знакододатними, тоді, якщо ап~Ьп,
то обидва ряди збігаються або розбігаються одночасно.
< Справді, Оп ~ Ь„ а„/Ь„ -> 1 (п -> оо), звідки обов’язково
З По : 7п > По 1/2 < а„/Ь„ <2, а отже 7п>по а„ <2Ь„, Ь„ < 2а„
Залишається використати Теорему 1.1 та першу ознаку порівняння. >
Наслідок 1.3.
Нехай ряди 52” “* та У” 6* є знакододатними, тоді, якщо маємо
Оп/Ьп —> с 0, то ці ряди збігаються або розбігаються одночасно.
< Справді, Оп/Ьп -»с^0 => а, - сЬ„, а отже залишається викори-
стати другу ознаку порівняння та Теорему 1.1. >
Практична схема застосування ознак порівняння при дослідженні збі-
жності знакододатних рядів полягає в наступному.
Схема застосування ознак порівняння
або шукаємо підходящу оцінку ап < Ьп, де ряд 52” 6* збіжний,
чи Оп>Ь„, де ряд 52”Ь* розбіжний;
вбо виділяємо спрощену головну частину ап~Ьпу величини ап.
Зручними еталонами для порівняння при цьому є сума геомет-
ричної прогресії 52“ 9" та узагальнений гармонічний ряд 52” п~р-
Використання цих рядів як “еталонів” в ознаках порівняння базується на
відомій Інформації про їх збіжність, яка полягає в тому, що
------------------------------------------------------------।
52”?" збігається |д| < 1 (див. (3) з Прикладу 1.2) ;
5"”п^ збігається р>1 (див. Приклад 1.9) .
Приклад 1.4. Розглянемо ряд
52
і
і
х/п3 + 1
. Тоді:
1.2 Знакосталі ряди
Розділі. ЧИСЛОВІ РЯДИ
. 1 1 1 1
Ьии_спрсіб : а„ = . ..... < -= = збігається =>
х/п3 +1 Уп3 п3/2 п3'2
(1-а ознака порівняння) наш ряд збігається;
, . 1 1 1 1 ..
2-ии спосіб : щ, = .. .. ~ збігається =»
х/п3 +1 уп3 п3/2 г—л пз/2
(2-а ознака порівняння) наш ряд збігається.
п8Іп—- (р > 0) . Тоді:
п’’
Приклад 1.5. Розглянемо ряд 52П8Д
і
оо) => П 8ІП —
' пТ
п 1
-- = ----г =*
пТ п’’-1
- 1 > 1) =ь (2-а ознака
р > 0 => — —> 0 (п
пТ 4
(оскільки 52” п"(’’*1) збігається
порівняння) наш ряд збігається тоді і тільки тоді, коли р > 2,
тобто при р> 2 наш ряд збігається, а при р <2 розбігається.
0° 1
Приклад 1.6. Розглянемо ряд > —= . Тоді:
“ еу*
е_у/" — о(п-2) (адже е_у/"/п-2 = п2/е'ЛЇ —> 0 при п —> оо), звідки,
оскільки ряд 52”п~2 збігається, наш ряд також збігається в силу
наслідку з ознаки порівняння.
1.2.2 Спеціальні ознаки для знакододатних рядів
Нерідко зустрічаються випадки, коли безпосередньо застосовувати озна-
ки порівняння важко. Проте є деякі поширені частинні випадки, коли в
силу особливостей виразу загального члена щ, при дослідженні збіжності
ряду можна скористатись якою-небудь з наступних теорем.
Теорема 1.7 (ознака Даламбера).
Нехай ряд (1.1) є знакододатним і існує границя Ііт а”+1 = і. Тоді
п-.+ьс а„
1) <1 < 1 => ряд (1.1) збігається;
2) <і > 1 =ь ряд (1.1) розбігається (більше того, а„ —» +оо!);
3) при <2=1 ряд може як збігатись, так і розбігатись.
< 1) Нехай <2 < 1, фіксуємо є > 0, для якого <іо = <і +а < 1- Тоді
ЗПц: 7п>По Оп+1/Оп < б + є = <2о < 1 ,
звідки при п > по маємо Оп < <2о • а„_і < <2о • а„-г < • • < а„0.
Оскільки ряд 52” “тюзбігається, то (1-а ознака порівняння) наш
ряд також збігається.
2) Нехай <2 > 1. Тоді фіксуємо є > 0, для якого <2о = <2 — є > 1, звідки
З По: Уп>по “п+і><2о-ап і Уп>По а„ > <і» • “п„,
де (<20)п'п»-а„„-4-юо.
3) Якщо <2 = 1, то нічого напевне сказати не можна, що показують
приклади
а) 52” 1/п ~ тУт “п+і/“* 1 ' РЯД розбігається ;
б) У” І/"2 — тут а„+і/а„-> 1 і ряд збігається .
Отже в цьому випадку досліджувати на збіжність треба якось інакше.
>
2"
Приклад 1.7. Розглянемо ряд 2^^' Тоді:
= ---— . — =--------- —> 0 < 1 => наш ряд збігається за
(п+ ). 2 п+ ознакою Даламбера.
Теорема 1.8 (ознака Коші через корені).
Нехай ряд (1.1) є знакододатним і існує границя Ііт уіщ = ?. Тоді
1) у < 1 =» ряд (1.1) збігається;
2) у > 1 => ряд (1.1) розбігається (більше того, ап —» оо!);
3) при у = 1 ряд може як збігатись, так і розбігатись.
< Доведення аналогічне доведенню ознаки Даламбера.
1) Нехай у < 1, фіксуємо є > 0, для якого уа = у + є < 1. Тоді
З по : V п > по іуіщ < ? + є = д0 < 1, а„ < у£ , де 52” Чо < +°° •
2) Нехай у > 1 .фіксуємо є > 0, для якого уо = у — є > 1 • Тоді
З по : V п > по >у-є = уа>1, а„ > <гоп , де <?ап -> +оо .
3) Досить розглянути 52” 1/п та У” 1/п2 • >
1.2 Знакосталі ряди
Розділі. ЧИСЛОВІ РЯДИ
°° 1 / 1 \ "2
Приклад 1.8. Розглянемо ряд У' — І 1 + - ) . Тоді:
2п \ п/
1 / е
(/<+ = - І 1 + — ) —» - > 1 =ь (ознака Коші) наш ряд розбігає-
2 \ п/ 2
ться.
Теорема 1.9 (інтегральна ознака Коші).
Нехай ряд (1.1) е знакододатним, причому а„ = а(п), де функція а(х)
є неперервною та спадною на деякому [по, +оо). Тоді
2 , «п збігається / а(х)<1х збігається .
п,, А>
< 3 умов теореми випливає, що V п > п«
гп+1
ЗдвСО = Оп+1 < І а(х)<1х < ЗдВгСгО = Оп .
Тому
00 “> уп+1 у+оо X
52 - 52 / “(я)*: = / “(я)1*® 2 52
п0+1 По По
звідки і випливає твердження теореми. >
Приклад 1.9. Ряд р збігається р > 1 (тобто збігає-
ться при р > 1 і розбігається при р < 1).
< При р < 0 1/пр /» 0, а отже ряд розбігається. При р > 0
в силу інтегральної ознаки Коші ряд збігається тоді і тільки тоді,
коли /(^х^Лс < +оо , тобто коли р > 1. >
Зауваження 1.4. Якщо ознака Даламбера дає <1=1 (або ознака Коші
через корені дає д = 1), то можна скористатись ознакою Гаусса, яка
полягає в наступному:
Нехай = 1 + - + -77-, де вир |0„| < +оо, є > 0 .
Оп+1 П П1+е
Тоді при р > 1 ряд збігається, а при р < 1 — розбігається.
При цьому потрібний розклад для відношення а„/а„+і можна отримати
з формули Тейлора /(х) = /(0) + /'(0) ® + /"(.сх) хг/2 для такої функції
/(і), для якої /(1/п) = Оп/Оп+і . Відповідний вид залишкового члена
гарантується, якщо )(х) Є С2(—є,є).
Приклад 1-Ю. Розглянемо ряд
(2п-1)!І
(2п)і!
Тоді:
Оп+і/оп = (2п+ 1)/(2п + 2) —» 1, тому ознака Даламбера нічого не
дає. Оскільки
Оп = 2п + 2 = 2 + 2/п = /1 \ = 2 + 21
а„+і 2п + 1 2 +1/п \п/ ’ 2 + 1
, 1 8 о ап , 1
товсилу/(!) = 1 + --і--^^-і , маємо — = 1 + - + -,
звідки за ознакою Гаусса в силу р = 1/2 < 1 наш ряд розбігається.
При дослідженні збіжності знакододатнього ряду доцільно дотримуватись
певної чіткої послідовності дій, яка полягає в наступному.
Схема дослідження збіжності знакододатнього ряду
Перевіряємо необхідну умову збіжності. Якщо вона не виконує-
ться, то ряд розбігається і дослідження збіжності закінчене. Якщо
ж необхідна умова виконується або перевірка цього питання є скла-
дною, то рухаємось далі (цей пункт виконується, як правило, усно).
Пробуємо застосувати ознаку порівняння, тобто:
або шукаємо оцінку а„ < Ь„, де відомо, що 52Г Ьп < +00;
або шукаємо оцінку а„ > Ьп , де відомо, що 52і° = +°° І
або виділяємо головну частину +> ~ Ьп, де 52“^ - відомий
ряд.
Якщо ознаку порівняння застосувати не вдається або її застосу-
вання потенційно виглядає занадто громіздким, тоді пробуємо за-
стосувати одну з спеціальних ознак, а саме:
ознаку Даламбера, якщо ап+і/ап є простим виразом;
ознаку Коші, якщо є простим виразом;
інтегральну ознаку Коші, якщо а„ = /(п) задовольняє умовам
відповіднеє теореми, причому інтеграл /0+ас )(х) сіх можна без-
посередньо обчислити.
Якщо ж ознаки Даламбера чи Коші (через корені) дають відповідно
значення д. = 1 та у = 1, тоді треба застосовувати ознаку Гаусса.
1.3 Знакозмінні ряди
11
Розділ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
Приклад 1.11. Розглянемо ряд
уЧ2п-1)!!
V (2п)"
Тоді:
1) Перевіряємо необхідну умови збіжності: на те, що а„ /» 0, не
схоже, тому рухаємось далі.
2) Одержання зручної оцінки зверху чи знизу або виділення голов-
ної частини для а„ є неочевидним, зате добре видно, що при
діленні Оп+і на а„ факторіали скоротяться, а тому природно за-
стосувати ознаку Даламбера.
3) ознака Даламбера дає <1 = 1, а отже залишається застосувати
ознаку Гаусса (далі дивись Приклад 1.10).
1.3 ЗНАКОЗМІННІ РЯДИ
Для того, щоб особливості знакозмінних рядів та певні поняття, пов’язані
з ними, стали більш зрозумілими, почнемо розгляд з наступної теореми.
Теорема 1.10.
Ряд з модулів 52“ |оп| збігається => ряд 521° а„ також збігається.
< Фіксуємо є > 0 . Тоді для ряду 52“ ІОпІ за критерієм Коші
Зп£: 7п>п£,7р>1 |ап+і| + |а„+2І +... + ІОп+,1 < є ,
але тоді
'І П > Пє , V р > 1 ІОп+1 + Оп+2 + . . . + Оп+рІ < ІОп+11 + • • + І0п+1>І < є,
тобто ряд 52“ а„ збігається за критерієм Коші. >
Отже для довільного знакозмінного ряду обов’язково маємо який-
небудь один з трьох наступних можливих випадків:
1) ряд 52ї° І°пІ збігається ( => ряд 52“ також збігається );
2) ряд 52“і“пі розбігається, але ряд 521°“" збігається;
3) РЯД 52і° розбігається .
Звідси природно випливає наступне означення.
Означення 1.4.
Ряд І2і° називається збіжним абсолютно, якщо збігається відпо-
відний ряд з модулів 52і° |оп|. Ряд називається збіжним умовно, якщо
сам цей ряд збігається, а ряд з модулів розбігається.
Позначимо через 5„+ та 3~ суми відповідно додатніх членів ряду та
модулів від’ємних членів того самого ряду до номера п включно, а 5+ та
3~ — границі цих частинних сум при п —> +оо (можливо нескінченні).
Теорема 1.11.
Ряд 52“ І°п| збігається 3+, 3~ < оо. При цьому 52“ 3+-3~.
< Перше твердження випливає з Теореми 1.4 та наступної нерівності
£|а,| < 3+ + 3~ < 2£|ап| .
і і
Друге твердження випливає з рівності 3„ = 5+ — 3~ , оскільки при
цьому 3„ -> 52“ “п. 5+ -> 3+, 3~ -> 3~. >
Наслідок 1.4.
Ряд 521°збігається умовно => 3+ = 3~ = +оо.
< Якби хоча б одна з цих сум була скінченною, то мала б місце рівність
52ГОп = 8+ — 3~ і наш ряд був би розбіжним. >
Збіжні числові ряди можна вважати сумами нескінченної кількості до-
данків. Чи виконуються для таких нескінченних сум такі звичайні вла-
стивості скінченних сум, як можливість як завгодно групувати доданки
чи переставляти доданки довільним чином?
Відповідь иа перше питання є простою. А саме, очевидно, що якщо ряд
є збіжним, то при будь-якому групуванні його доданків (тобто при будь-
якій розстановці дужок всередині ряду), збіжність та значення суми не
зміняться (для доведення досить розглянути підпослідовності частинних
сум за закритими дужками). Для розбіжного ряду це невірно (прикладом
є ряд 1-1 + 1- ...).
Що стосується питання про можливість переставляти доданки, то від-
повідь на нього дають дві наступні теореми. З них зокрема випливає, що
ряд є аболютно збіжним тоді і тільки тоді, коли будь-яка переста-
новка його членів не змінює ні збіжності, ні суми ряду. Саме в цьому
і полягає головний смисл виділення класу абсолютно збіжних рядів.
Теорема 1.12 (перестановка членів абсолютно збіжного ряду).
Якщо ряд збігається абсолютно, то при будь-якій перестановці його
доданків одержуємо абсолютно збіжний ряд з тією ж самою сумою.
< Нехай 521° “п — Деяка перестановка ряду 52ї°°п- Т°ді 3 нерівно-
сті 52Г І“пІ - ЕГІ“пІ випливає абсолютна збіжність нового ряду, а з
рівностей 1іт5+ = 5+ та 1іт5~ = 8~ — збереження суми 8+ — 3~. >
Розділі. ЧИСЛОВІ РЯДИ
1.3 Знакозмінні ряди 13
Теорема 1.13 (про перестановку членів умовно збіжного ряду).
Якщо ряд збігається умовно, то V Ь Є К (включаючи випадки Ь =
+оо та Ь = —оо) існує така перестановка членів ряду, що сумою
переставленого ряду є Ь.
< Позначимо рі,р2,...та уі,дг,... відповідно додатні елементи нашого
ряду та модулі від’ємних елементів, взяті в тому ж порядку, в якому
вони стоять в нашому ряді. Нехай Ь - довільне фіксоване число, Ь > 0 .
Візьмемо найменшу кількість додатніх членів так, щоб рі + .. -+Рп, > Ь .
Потім додамо найменшу кількість від’ємних членів так, щоб (рі + ... +
Рпі) — (?1 + • • • + ?п3) < Ь. Потім знову додамо групу додатніх членів,
потім - групу від’ємних членів і т.д. Оскільки 8 + = рі + рг + ... та
3~ = «і+«г + - • складаються з нескінченної кількості доданків, причому
3+ = 3~ = +оо, то цей процес завжди можливий і є нескінченним.
При цьому ми обов’язково переберемо всі члени нашого ряду, адже на
кожному кроці доведеться використовувати хоча б один додатній або
від'ємний член ряду.
Доведемо, що сумою одержаного ряду є Ь. Справді, якщо частин-
на сума 3„ побудованого ряду закінчується повною групою, наприклад,
(Рп4 + ••• +Рпь+і)> то |3„ — І| не перевищує модуля останнього члена
цієї групи. Якщо ж частинна сума 8п закінчується неповною групою,
то |5П — Ц не перевищує модуля останнього члена попередньої групи.
Оскільки при цьому р„, у„ —< 0, то |5„ — Ь\ —< 0.
При Ь = +оо міркування аналогічне, тільки групи треба вибирати так,
щоб після додавання к-1 групи (рПк_1+і + . +рп») виконувалось 3Пі > к.
Випадок Ь < 0 (зокрема Ь = -оо) абсолютно аналогічний, тільки
починати треба з від’ємної групи. >
З Теореми 1.11 та її наслідку випливає, що для абсолютно збіжних
рядів збіжність в а„ —► 0 відбувається настільки швидко, що суми 3+ та
3~ є скінченними. Для умовно збіжних рядів звичайно також а„ —> 0,
але швидкість цієї збіжності настільки повільна, що 3+ = 3~ — +оо
(так, наприклад, ]£2і°пч = +оо). Тому умовно збіжні ряди збігаються
за рахунок того, що додатні та від’ємні члени ряду взаємно гасяться.
Тепер розглянемо такі ознаки збіжності зиакозмінних рядів, які можна
застосовувати саме до умовно збіжних рядів.
Теорема 1.14 (ознака Діріхле).
Нехай ряд виду ОпЬп задовольняє наступним умовам:
N
(1) зирІ^ОпІ < М ; (2) Ь,\; (3) Ь*. —► 0 .
" і
Тоді наш ряд ^2” а„Ьп збігається.
< 3 критерія Коші випливає необхідність розглядати суму ^2к=п
1) Перетворення Абеля-Діріхле:
п+р । к । п+р п+р п+р
^2 = Зк = 22 “• = 22(5*- = 22 -^Зк-іЬк.
к-п ' 1 ' к~п к-п к=п
Для того, щоб в обох сумах у 3 індекс був одним і тим же, ми в першій
сумі зробимо заміну к = і, а в другій - заміну к = і + 1. Тоді
п+р п+р п+р—1 п+р-1
ак&к = 'У ЗіЬі = 5п+р &п+р ~~ Зп-і&п + Зі(Ьі — Ь;+і)
к=п і=п і=п—1
2) Доведення збіжності нашого ряду: (2),(3) => Ьп > 0, > 0,
звідки з урахуванням перетворення Абеля-Діріхле і умови (1) теореми
маємо
п+р п+р-1
і22“^і< і3п+ріібп+яі+і5п-іііі>пі + 22 і^нь-м <
Л«п »=п
п+р-1
< Л/[Ьп+р + і>„+і + 22 ~ Ьі+і)] = М (Ь„ + Ьп+і) < 2 М • Ьп
і*п
Фіксуємо є > 0. Оскільки з (3) випливає, що Зп£ : Уп > п. |!>п| < є/2М,
то V п > п, V р > 1 152^2^ < є, що в силу критерія Коші і
доводить збіжність нашого ряду. >
Наслідок 1.5 (ознака Лейбніца).
Нехай Ьп спадає. Тоді: ряд І)”'1 Ьп збігається Ьп —> 0.
< [^] Ьп\,Ь„ - о, ІЕГ(-1)"-1І < 1 => ряд
збігається за ознакою Діріхле.
Г^ї Ь„ + 0 => не виконано необхідну умову збіжності. >
Зауваження 1.5. Ряд виду У”(-1)п-1Ьп називається знакопочеред-
ним або рядом тину Лейбніца. Для таких рядів ознака Діріхле пере-
творюється на ознаку Лейбніца.
Зауваження 1.6. В доведенні ознаки Діріхле одержано оцінку для зали-
шку ряду г„ = акі>к Для ряду типу Лейбніца ця оцінка може бути
уточнена, а саме
|г„| = |3-5„| = І 22 (-1)4 5
Чвп+1
1.3 Знакозмінні ряди
15
16
Розділ 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
< Справді , 0 < | ££.,(-1)* ‘Ь*| = (Ьи+і - Ь„+2) + (Ьп+3 - Ьп+*) + ...=
Ьп+І — (Ьп+г — 5п+з) — (і>п+4 — Ьп+з) — . .. = — [(і>п+2 — Ьп+з) + (і>п+4 —
Ь„+і) + ...] < Ьп+і, оскільки сума в квадратних дужках додатня. >
Приклад 1.12. Розглянемо ряд ]£2Ї° . Цей ряд є знакопочере-
дннм, тому в силу п-1 = і \ 0 ряд збігається за ознакою Лейбніца,
причому, оскільки для ряду з модулів маємо ]£2і° п-1 = +оо, ця
збіжність є умовною.
Зауваження 1.7. Ознака Діріхле - це ознака звичайної збіжності. Тобто,
якщо виконуються умови ознаки Діріхле, то можна стверджувати, що
ряд збігається. А як саме (абсолютно чи умовно) можна дізнатись лише
після розгляду ряду з модулів.
Схема застосування ознаки Діріхле
З умов (2) та (3) ознаки Діріхле випливає, що Ь„ > 0, отже вся
знакозмінність ряду зосереджена в множнику а„ і саме за рахунок
знакозмінності а„ доданки в У2Г <4, взаємно гасяться і можливе
виконання умови (1) цієї ознаки. Тому
застосування ознаки Діріхле полягає в представленні за-
гального члена знакозмінного ряду у вигляді добутку ОпЬп,
де множник Ь„ е додатною спадною послідовністю, для
якої Ь„ —> 0, а знакозмінні множники Оп утворюють обме-
жені суми, тобто вирубі22^а„| < М.
Приклад 1.13. Розглянемо ряд У"4 8ІППІ .
па
П=1
При х = як всі члени ряду є нульовими, а отже збіжність ряду є
очевидною. Тому надалі х як.
Почнемо розгляд з абсолютної збіжності. В силу очевидної не-
рівності |віппх/па| < п~а та ознаки порівняння для знакододатних
рядів абсолютна збіжність матиме місце тоді, коли збігається ряд
22і° п~а. тобто прн а > 1. Отже
п~а \ та п~“ —> 0 (п —> оо). Тому залишається для множникз
вшпа: перевірити умову (1) цієї ознаки, тобто спробувати для суми
^2]8ІпА:а: при х як знайти оцінку зверху. Оскільки при х як
маємо віпх/З^О, тому
п
122®іп І = І віпх + 8Іп2і + ... + 8Іппа:| —
к=і
(2п—1)1 (2п+1)і
С08 2
= —-—тт • І28Іпі8Іпа:/2 + 28іп2ізіпі/2 + ... + 28іппі8іпж/2| =
2|віпа:/2| 1 ' 1
1 ।, х Зі
= 2Ї^72Ї’ і (С08 2 -С08 У > — 1 —2~
1 । х (2п + 1)і| 1
2|віпі/2| '008 2 2 ' - |віпі/2|
= Мх .
Отже при а є (0,1] та при х як наш ряд збігається за ознакою
Діріхле. Чи не буде ця збіжність також абсолютною ?
лУ І 8ІПП1| > ВІП2Ш _ 1 / 1 СО82пї\ _
2-, па — 2-і па 2 2—1 ( па Па ) +
П=1 П=1 п=1 4 '
оскільки при а є (0,1] маємо 22^1/п“ = +оо, а 522°сов2пх/па
збігається за ознакою Діріхле. Отже
при а Є (0,1] наш ряд збігається умовно.
Нехай тепер а < 0, тоді п~а + 0. Припустимо, що зіппі -> 0
при п —> +оо. Тоді обов’язково і біп(п + 1)1 — 0 при п —> +оо,
звідки в силу відомої тотожності
ЗІп(п + 1)1 = ВІД ПІ СОВІ + СО8П18ІЛІ
матимемо созпі — 0 при п —> +оо. Отже вш2пі + соз2пі —> 0 при
п —> +оо, що протирічнть основній тригонометричній тотожності.
Отже наше припущення невірне, і для а < 0 та х як матимемо
від пі • п_“ /> 0 при п —> +оо, тобто для нашого ряду не виконано
необхідну умову збіжності і він є розбіжним.
при а > 1 наш ряд збігається абсолютно.
Нехай тепер а < 1. Очевидно, що в добутку віппа:-п_“ множник
п~а при а > 0 задовольняє умовам (2) та (3) ознаки Діріхле, тобто
На завершення розділу сформулюємо загальну схему дослідження збі-
жності ряду, яка охоплює випадки як знакосталих, так і зиакозмінних
рядів. Саме цієї послідовності дій автор і радить дотримуватись.
1.4 Додавання та множення рядів
17
Розділі. ЧИСЛОВІ РЯДИ
Загальна схема дослідження збіжності ряду
Перевіряємо необхідну умову збіжності. Якщо вона не виконує-
ться, то ряд розбігається і дослідження збіжності закінчене. Якщо
ж необхідна умова виконується або перевірка цього питання скла-
дна, то рухаємось далі (цей пункт виконується, як правило, усно).
Якщо ряд є знакосталим, то починати треба з ознак порівня-
ння. Лише якщо застосувати якусь з цих ознак не вдається, то
слід звертатись до спеціальних ознак (детальніше — Схема дослі-
дження збіжності знакододатного ряду на стор. 10).
Якщо ряд є знакозмінним, то починати треба з розгляду ряду з
модулів. Якщо ряд з модулів збігається, то наш ряд збігається аб-
солютно і дослідження збіжності закінчене. Якщо ж ряд з модулів
розбігається або перевірка цього є складною, то засосовуємо або
ознаку Діріхле (в загальному випадку) або ознаку Лейбніца (для
знакопочередного ряду). Є також інші ознаки, наприклад ознака
Абеля, проте застосовуються вони рідко.
1.4 ДОДАВАННЯ ТА МНОЖЕННЯ РЯДІВ
Додавання збіжних рядів та множення збіжного ряду на сталу вже було
розглянуто на початку розділу. Зараз ми лише відмітимо той очевидний
факт, що рівність
ОС оо ос
^2(а„±Ь„) = У^ап±У^І>п (1.4)
П=1 П=1 П=1
виконується завжди, коли існує права частина цієї рівності (тобто ко-
ли або обидва ряди збігаються, або коли один ряд збігається, а сума
іншого є нескінченною, або коли суми обох рядів є нескінченностями
одного знаку). Причому цю особливість вже було нами використано в
Прикладі 1.13.
Що стосується ідентичної до формули добутку скінченних сум рівності
= ^2 “< •
У-1 і=1 1=1
то з виду її лівої частини та теорем про перестановку доданків абсолютно
та умовно збіжних рядів випливає, що ця рівність передбачає обов’язкову
абсолютну збіжність ряду-добутку.
Теорема 1.15 (про множення рядів).
Якщо ряди 22Гап й 22ї° Ь„ збігаються абсолютно, то ряд 22<%і(аА)
також збігається абсолютно і має місце рівність (1.5).
< Будь-яка скінченна сума 22«Іа<Ь?| не перевищує 22Г Iа"! ' 52і°Іьп|.
звідки ряд 22у-і(°<Ьу) збігається абсолютно, а отже його сума не зале-
жить від перестановки доданків. При цьому для однієї з підпослідовно-
стей його частинних сум маємо
п п п оо оо
і,у=1 1=1 І=1 1=1 1=1
звідки за теоремою про границю послідовності через підпослідозності і
одержуємо рівність (1.5). >
Приклад 1.14. В наступному розділі при розгляді степеневих рядів
буде доведено, що
V х Є К ряд 2_/^Г 3^‘гається> причому У . = е*
п-0 п=0
Користуючись цією рівністю, перевіримо, що ех -еу = ех+у . З оче-
видної абсолютної збіжності ряду для ех та теореми про множення
рядів випливає, що
Оскільки доданки останнього ряду можна переставляти та групувати
довільним чином, то праву частину можна переписати у вигляді
( ___, „п \ “ / ”• хк .го-к \
( V -гЛт І = ІП = т - к І = У2 І У2 --мї І •
^\&к'(т~кЧ
Домноживши та поділивши внутрішню суму на ті і враховуючи
рівність для та формулу бінома Ньютона, остаточно отримуємо
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
тобто екстремум функції при виконанні певних додаткових умов.
Перейдемо до розгляду функцій декількох змінних. Такі функції виника-
ють в тих випадках, коли результуюча величина у одночасно залежить
від значень не одного, а декількох різних числових параметрів ц,... ,х„.
Хоча основним об’єктом розгляду є функції з числовими значеннями,
тобто функції виду у = /(хь ...,Хп) : К" —> К, в ряді випадків доцільно
розглянути функції з багатовимірними значеннями / : К" —> Кт.
Почнемо, звичайно, з границі функції декількох змінних. Виявляється,
що якщо аргумент (х^ ...,х„) такої функції розглядати як точку в бага-
товимірному просторі К", то практично всі ключові поняття і теореми,
що стосуються границі та неперервності функції, повністю зберігаються.
Єдине, про що при цьому треба пам’ятати, це необхідність розрізняти цю
границю в К" (тобто границю по сукупності всіх змінних) та покоор-
дннатну границю (тобто границю по окремим змінним).
При розгляді похідних від /(хх, ...,хп) природно почати з похідних по
кожній окремій змінній. Виявляється, що, як і похідні від функції однієї
змінної, саме ці похідні (які називаються частинними) є тими елемента-
ми, на яких грунтується вся аналітична частина диференціального числе-
ння функцій декількох змінних. Хоча вирази з частинними похідними ча-
сто є досить громіздкими, використання природних векторно-матричних
позначень дозволяє надати їм компактної форми, причому аналогічної
відповідним виразам для функцій однієї змінної.
Як і для функцій однієї змінної, дуже важливими є поняття диферен-
ційовності та диференціала, означення яких є Ідентичними до випадку
функцій однієї змінної. Проте для функцій декількох змінних існуван-
ня частинних похідних є лише необхідною умовою диференційовності,
а достатньою умовою є не тільки існування, але і неперервність всіх
частинних похідних відповідного порядку.
Важливою складовою теорії функцій декількох змінних є питання
існування та єдиності розв’язку функціонального рівняння Р(х,у) = 0,
яке описується теоремою про неявну функцію. З цим тісно пов’язані
питання існування І єдиності розв’язку загальної системи функціональ-
них рівнянь та питання існування залежності декількох функцій в околі
заданої точки.
Найважливішим застосуванням, як і раніше, є дослідження функції
на екстремум. Проте для функцій декількох змінних поряд з звичайною
задачею знаходження локального екстремума у внутрішній точці множи-
ни виникає абсолютно нова задача дослідження на умовний екстремум,
19
2.1 Границя функції / : Кп -> Кт
Функцію /(хі,...,хп) від декількох дійсних змінних можна вважати фун-
кцією точки або вектора х = (х1,...,хп) Є К", тобто функцією виду
/(і) : 25/ С К" —> Кт. Розгляд граничної поведінки такої функції Дї)
при х —> їп передбачає можливість як завгодно близького наближення
аргумента х до граничного значення х0. Всі різноманітні способи, якими
це може відбуватись в багатовимірному просторі, охоплюються загальною
конструкцією границі по множині. Проте ми в основному обмежувати-
мось найпоширенішим і найважливішим випадком, коли
точка х0 е внутрішньою або для самої області
визначення О/ або для замикання О/ цієї мно-
жини.
Так, наприклад, для /(х) = від ||х|| / Ці|| точка хо = 0 2?/ з усіх сторін
оточена множиною О/, а тому є внутрішньою для 2?/. Якщо ж виникне
потреба розглядати більш загальну ситуацію, то ми обов’язково відміти-
мо всі необхідні зміни.
Після цього зауваження заміна |х| для х Є К на ||х|| для х Є К” у від-
повідних твердженнях дозволяє дослівно (разом з доведенням!) зберегти
практично всі поняття та факти, які мали місце для / : Т С К —> К™.
Зокрема зберігаються:
• означення границі функції, теореми про єдиність границі, про гра-
ницю функції через послідовності та про границю суми, різниці і
суперпозиції функцій;
• означення неперервності та теореми про неперервність суми, різниці
і суперпозиції функцій;
• (у випадку / : Т С К" —> К) неперервність добутку та відношення
функцій, неперервність елементарної функції декількох змінних на
області визначення та теорема Веєрштраса;
• поняття рівномірної неперервності та теорема Кантора.
При цьому роль відрізка [а, Ь] в теоремах Веєрштраса та Кантора віді-
грають компактні множини X С Ж", оскільки для таких множин:
а) з будь-якої послідовності {х„} С X можна виділити збіжну підпо-
слідовність (внаслідок обмеженості множини X і теореми Больцано-
Веєрштраса);
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
2.1 Границя функції / : К" -» Вт 21
б) якщо послідовність {х„} С X є збіжною і Іітїп = Хо, то хп Є X
(внаслідок замкненості множини X).
Єдине, що не зберігається, це поняття односторонньої границі, оскільки
в В” (на відміну від В) немає якогось одного заданого напрямку і до
кожної точки х є В" можна наближатися з нескінченної кількості різних
сторін. Для прикладу розглянемо означення границі функції.
Означення 2.1.
Величина а Є Вт (скінченна або оо) називатиметься границею
функції 7(х) : В" —» Вт при 1 —> То Є В", якщо
V О(а) З : V х є /(і) Є 17(3) .
Записавши замість х є £7($о) та /(х) є П(а) відповідні нерівності,
матимемо зокрема:
*1іт /(ї) = а Vє > 0 3 <5, > 0 : 0 < ||ї - їоІІ < <5е => ||/(х) - а|| < є,
Ііт /(ї) = оо УЕ > 0 3<5® > 0 : 0 < ||ї - ї<,|| < <5д =ь ||/(ї)|| > Е.
ї—
Оскільки для /:ХСВП—»Вт /(ї) = (/і(і)...........7т(х)), то в силу
принципу покоординатної границі маємо
Ііт (Л(ї),.... /т(ї)) = ( Ііт Л(ї),..., Ііт /т(ї)), (2.1)
X—»ХО ї—
зокрема
Лг) = (/і(ї)>--->/т(ї))->о Уі = 1,...,т /<(і)-0.
Аналогічно функція /(х) = (7і(х),...,/т(х)) є неперервною в ТОЧЦІ Хо
тоді і тільки тоді, коли всі координатні функції /і(£),..., /т(х) є непе-
рервними В ТОЧЦІ Х().
Отже питання існування границі, значення цієї границі та неперерв-
ності загального відображення / : В" —> Вт зводиться до розгляду
координатних функцій /і(Ж),.... /т(Ж) цього відображення, тобто до ви-
падку числових функцій / = /(хь... ,х„) : X С В" -* В від декількох
змінних. Саме на цьому випадку в подальшому і буде зосереджена основ-
на увага.
Зауваження 2.1. Границю функції 7(х), де х Є В", не можна плутати з
повторними границями по різним змінним. Так, наприклад, розглянемо
7(®.») =
1 , ЯКЩО X = У 7^ 0,
0, якщо х у або х = у = 0.
Тоді (дивись малюнок, де зображено у —» 0)
Ііт ( Ііт /(х, у} ) = Ііт 0 = 0 = Ііт ( Ііт /(х, у)
х—о\.іі—о ' ') х->о V—о\і->о '
В той же час загальна границя функції /(х,у) при (т,у) —♦ (0,0) не існує,
оскільки для двох різних послідовностей (х„,і/„) = (1/п, 1/п) -»(0,0) та
(х„,Й,) = (1/п,0) -> (0,0) границі Ііт/(хп, 1/п) = 1 та Ііт /(хп,5п) = 0
не співпадають.
На щастя потреба в спеціальному знаходженні границі функції декіль-
кох змінних двиникає досить рідко. В переважній більшості випадків мн
матимемо справу з неперервними функціями у внутрішніх точках області
визначення, де вони завжди є неперервними.
2. 2 ПОХІДНІ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛИ 1-ГО ПОРЯДКУ
2.2.1 Частинні похідні та диференціал
Як відомо, поняття похідної — це характеристика функції однієї дійсної
змінної, хоча значення функції при цьому може бути як числовим (тоб-
то одновимірним), так і багатовимірним. Тому застосовувати похідні до
функції декількох змінних / : В" —» Вт можна лише тоді, коли / роз-
глядається на адиопараметричиій миожині Х = {х(і), і Є Т С В} С В"
(тобто на кривій в В”), а тому має вигляд /(х(і)) і є фактично функцією
однієї змінної. Першим кроком при цьому є розгляд функції /(хі,..., х„)
як функції якої-иебудь однієї з своїх змінних Х( при фіксованих значен-
нях всіх інших.
Означення 2.2.
Нехай а = (аі,...,а„) е внутрішньою точкою області визначення О/
для функції 7 : Вп —» В". Тоді частинною похідною функції /(х) в
точці а по змінній Хі називається величина
ї' (аі Ііт ^а‘ + ^х’“2’ • ’а") ~ /(Ді.Дг. - ,ап)
І*" ' Ді-о Дх
Аналогічно — частинні похідні по іншим змінним /х3(а),..., /х„(а).
2.2 Похідні та диференціали 1-го порядку
23
24
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Отже, процедура знаходження частинної похідної полягає в наступному:
якщо необхідно знайти, скажімо, /їі(хі,.. ,,х„), то фіксу-
ємо значення змінних хг, -, х„ і беремо звичайну похідну
від функції /(хі,Х2,... ,х„) однієї змінної хі з сталими
3^2, • • • , Хп-
Зауваження 2,2. Іншим позначенням для частинних похідних від фун-
кції є позначення
Приклад 2.1. Розглянемо функцію и(х,у) = х2!у. Тоді
ди _ д ї х2\ _ І оскільки величина |_1 д , 2* _
дх дх\у) | 1/у є сталою | у дх'? у у
ди _ д (х2\ _ І оскільки величина І _ 2 д /1\ _ х2
ду ду\у) | х2 є сталою | х ду \у) у2 '
Оскільки 7Д є звичайною похідною від 7 як функції однієї змінної хь
(при фіксованих значеннях інших змінних), то з теореми про похідну
багатовимірної функції автоматично одержуємо наступне твердження.
Теорема 2.1.
Для багатовимірної функції /(х) = (7і(х), • , /т(х)) : В" -» Вт похі-
дна /1к(а( існує тоді і тільки тоді, коли Уі = 1,...,т 3(/і)іі,(а),
причому їХк = ( (71)х*, • - - , (/т)хк )
Крім поняття похідної, для характеристики локальної поведінки фун-
кції, як і раніше, потрібні поняття дифереиційовиості та диференціала,
означення яких є аналогічними випадку функції однієї змінної.
Означення 2.3.
Функція 7 : В" -» Вт називається диференційовною в точці а (що є
внутрішньою для множини О/), якщо приріст А/ функції в цій точці
можна подати у вигляді
Щ = 7(а + Дх) - 7(3) = А(Дх) + о(Дх), (2.2)
де функція А : В" —» Вт є лінійною відносно Хх. При цьому доданок
А(Дх) (тобто головна частина приросту називається диферен-
ціалом функції } в точці а і позначається ф/.
Очевидно, що для подальшого розгляду дифереиційовиості та дифе-
ренціала необхідна додаткова інформація про А(Дх) та о(&х).
2.2.2 Похідні та диференціали для / : К" —> К
З теореми 2.1 випливає важливість випадку } : В" -* В, який мн і
розглянемо в даному розділі. При цьому дуже часто виникають суми виду
С1Х1 -І-1- СпХ„, де величина х = (ц,... ,х„) Є В" є аргументом функції
/(і). Виявляється, що такий вираз доцільно розглядати як матричний
добуток вектор-рядка с = (сі,..., с„) на вектор-стовпчик х = (ц,..., х„)
і записувати у вигляді с- х.
Лема 2.1.
Функція С : В" —»В є лінійною 4=> С(х) = ’^=1сі-хі або С(х) - с-х,
де с= (еі,...,Сп), х = (хі,...,х„), причому |С(ї)| < ||с|| ||х||.
<3 Доведення першої частини цього твердження є досить простим і
наводиться в курсі лінійної алгебри. Що стосується нерівності, то це є
просто нерівністю Коші-Буияковського, оскільки С(х) = с • х співпадає
із скалярним добутком векторів с = (сі,... ,с„) та х = (хі,... ,х„). >
Лема 2.2.
Для величини б(х) : В" —> В маємо <5(х) = о(х) 4=Ф-
5(х) = ^2єі(ї) • х< або 5(х) = є(х) х , (2.3)
1=1
де £(ї) = (єі(ї),... ,єп(ї)) —» 0 при х-»0.
<3 Г^~| Нехай &(х) = о(х), тоді
г, —\ ^(ЗЗ) ,2 2\ Хп А
= Є1(Ї) XI + • + є„(ї) • х„, де Єі(х) = • і^ії -» о при х — 0 ,
як добуток 5(ї)/||ї|| —» 0 та обмеженої Хі/||х|| Є [—1,1].
Г^І Нехай виконано (2.3). Тоді з нерівності Коші-Буняковського маємо
|<5(х)| < ||е(ї)|| • ||х|| , звідки |5(х)|/||х|| < ||е(х)|| -» 0 при х -> 0. >
Теорема 2.2 (критерій дифереиційовиості для / : В" —< В).
Функція / : В" —» В є диференційовною в точці а 4=Ф-
Д7 = (Сі + єДДх)) • Дх; = У2 сі Да:ї + 52 £ї(Д2) &х> • (2-4)
7=1 >=1 7=1
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
2.2 Похідні та диференціали 1-го порядку 25
або в векторно-матричній формі
А/ = с Дх + б(Дх) Дх = (с + є(Дх)) • Дх . (2.5)
При цьому диференціал має вигляд — с- Ах.
< Твердження теореми є автоматичним наслідком означення диферен-
ційовності та двох попередніх лем. >
Теорема 2.3 (необхідні умови днференційовності для / : Ж" —» Ж).
Нехай функція { : Ж" —< Ж є диференційовною в точці а. Тоді
1) функція / є неперервною в точці а;
2) існують всі /^(а), причому = 52//, (а) • Дії .
1=1
< 1) Доведемо неперервність: (2.5) =ь |Д/| < ||с + ?(Дї)|| • ||Дї|| —► 0
при Дг — 0 як добуток обмеженої ||г + ?(Дг)|| (що прямує до ||г|| ) на
нескінченно малу ||Д£|| —< 0 .
2) Розглянемо, наприклад, Дх = (Дхі,0,... ,0). Тоді відповідно
Д/ = /(“1 + Дхі,О2,... ,а„) - /(аі,а2,. ,.,а„) = сі • Дхі + єі(Дг) • Дхі,
звідки [Даі + Дхі,а2,... ,а„) —/(аі.Ог,.. . ,а„)]/Дхі — сі + єі(Дї). отже
існує Д (а) = сі. Випадок /х„ , //„ — аналогічно. >
Зауваження 2.3. Для диференціала функції однієї змінної маємо рів-
ність Ф/ = /'(х)-Дх, тобто похідна є множником при Дх у виразі для (і/.
Тому за аналогією для / : Жп —< Ж в силу (2.6) вектор-рядок (//,,..., //„)
прнродньо назвати похідною функції /(іі,...,хп) і позначити /'(х).
Прн цьому внраз для <і/ також матиме внгляд
її/ = /'(ї) • Дх , (2.7)
де під операцією множення треба розуміти матричний добуток. Очевидно,
що за формою (2.7) співпадає з виразом для й/ від функції однієї змінної.
Зауваження 2.4. Твердження останньої теореми означає, що для дифе-
ренціновної функції /: Ж" —> Ж диференціал гі/ визначається однозначно
і обов’язково має внгляд (2.6) або (2.7).
Зауваження 2.5. Знаходження й/ по / можна вважати результатом дії
на функцію / формального “оператора диференціювання”
<1 = • Дхі + ... + Дх„ = 52 • Дх< , (2.8)
дії дх„ дх.
де дія оператора полягає в тому, щоб / поставити на вільні місця в Д :
/А д л V А9/ .
І ? о---Ах< І І — 5 а-----&хі
\ Х-Д дХі І 4-у дх,
\1=1 / 1=1
Аналогічним чином знаходження похідної /’(х) можна вважати результа-
том дії на функцію / формального “оператора похідної”. Цей оператор
позначається V або V, називається “оператор набла", діє аналогічно
оператору Ф і має вигляд
д
дії’
V =
(2.9)
Оператор похідної V має наступні очевидні властивості:
1) Т(с) = 0, Т(с/) = с?(/);
2) 7(/±<?) = Т(/)±Т(0);
3) ?(/•<?) = 0-Т(/) + /-Т(0);
4) для /: Ж—>Ж та д : Ж" -> Ж 7(/(з)) = /'(р) • 7(р).
Крім того, вираз (2.8) можна вважати формальним “скалярним добу-
тком” операторів V та Ах і відповідно пнсатн д. = (^,Дх). Відмітимо
також, що вектор похідної /'(х) = (//,,>//„) = V/ часто називають
градієнтом функції і позначають вгай/. Детальніше про цей вектор,
його смисл та застосування йтиме мова в останньому розділі прн розгляді
математичної теорії скалярних та векторних полів.
Зауваження 2.6. На відміну аід випадку / : Ж —> Ж з існування скін-
ченних частинних похідних в точці а не випливає диференційовність
функції в цій точці. Так функція /(х,у) з Зауваження 2.1 на стор.21 є
не тільки недиференційовною, а навіть розривною в точці (0, 0), хоча
зй(0,0) = ііиі *°= ит = 0,
' ' д»-Ч) Ах Дх
і аналогічно З //(0,0) = 0 .
Теорема 2.4 (достатні умови днференціновності для / : Ж" —> Ж/.
Нехай похідна /’(х) (тобто всі /ї,,...,від функції /(ї)
1) існує в деякому околі її(а) С О;,
2) є неперервною в точці а.
Тоді функція /(Я) = /(хі,...,х„) є диференційовною в точці а.
2.2 Похідні та диференціали 1-го порядку
27
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
/і(а) + Еі(Дх) Дії ,
< Для а = (а(,...,вп) та Дх = (Дхі,..., Дхп) маємо:
А/ =/(о + ЛЯ) -/(а) = /(аі + Дхі,...,Оп + Дх„) -/(аь... ,а„) =
= [/(аі + Дхь а2 + Дх2,..., а„ + Дх„) - /(а,, а2 + Дх2,..., а„ + Дх„)]+
+[/(аі, а2 + Дх2, а3 + Дх3, ...) — /(аі, а2, а3 + Дх3,...)] +-I-
+[/(аі, ...,а„-і,а„ +Дхп) -/(а1,...,ап-і,а„)] .
Звідси за формулою Лагранжа по кожній з компонент (прн фіксованих
значеннях інших змінних) одержимо:
/(а +ДЯ) - /(а) - //,(аі + 0іДхі, аг + Дх2,...) • Дхі+
+/2(аі> “2 + 02Дх2, а3 + Ах3, ...) Дх2 +-р
+//,. (аі..Оп-1, Оп + 0цДхп) • Дія ,
де .., вп Є (0,1). Але в силу неперервності в точці а кожну з частин-
них похідних можна записати у вигляді //,(а) +єі(Дх), де еДДї) —> 0
прн Дх —> 0. Отже
п
+ Дї) - /(а) = 52
і=і
що в силу критерій диференційовності якраз і означає диференційовність
функції / в точці а. >
Приклад 2.1 (продовження). Оскільки и'х = 2х/у та 14 = —х2/у2
є неперервними на множині Пи = {(х,у) : у 0}, то и(х,у) =
я2/у 6 диференційовною на Ои. (Аналогічно — для будь-якої іншої
елементарної функції від декількох змінних!)
2.2.3 Похідні та диференціали для / : Кп —> Кт
З практичної точки зору без розгляду похідних та диференціалів від ба-
гатовимірних функцій можна було б обійтись. Проте записані в векторно-
матричній формі вирази для цих похідних та диференціалів не тільки чіт-
кіше виявляють їх суть, але і дозволяють практично дослівно зберегти
вид цілого ряду ключових формул, теорем та доведень, відомих з роз-
гляду функцій однієї змінної. При цьому ми часто використовуватимемо
суми виду
п
Уі = 52 с<іхі = СЦ • Я1 + С12 • Х2 + ... + с„ • х„ (і = 1,..., т) ,
2=1
де х = (хі,..., х„) Є Ж" є аргументом, а у = (уі,..., ут) Є Ж” — значен-
ням функції у = /(ї). Виявляється, що набір таких виразів
У1 ~ Сц ’ + С12 ’ + • • • + Сіп ' Жп
У2 ~ ^21 ’ ®1 + С22 * ^2 Ч” • • 4” С2п ’ %п
Ут — Сщі • ®і 4- Стп2 • ®2 + • • • + ^тп * хп
доцільно розглядати як матричний добуток матриці С = (^) на вектор-
стовпчик х = (хі,... ,х„) Є Ж" і записувати у вигляді
У = С х.
При цьому у Є Ж™ та х Є Ж" є вектор-стовпчиками, а С — матрицею з
т рядками та п стовпчиками.
Лема 2.3.
Функція С : Ж" —> Ж™ є лінійною для у — (уі,..., Ут) — С(х) маємо
Уі = '^сцХі (і = 1,...,т) або у = С-х. (2.І0)
і=і
При цьому ЦС-хЦ < ||С|| • ||х||, де ||С|| =
< Доведення твердження про загальний вигляд лінійного відображення
розглядається в курсі лінійної алгебри. Що стосується нерівності, то з
нерівності Коші-Буняковського |22"=ісоа:у| ^/і2"=і =
УЕ"=і • ||х|| маємо
||Сх|| =
Лема 2.4.
Для ї(.т) = (<5і(г),... ,<5т(х)) : Ж”-* Ж” маємо 6(х) = о(х) 4=#-
7г = 1,...,т 5і(ї) = 52єч(г)' а^° 5(х) = є(х) • х , (2.11)
і=і
де для матриці є(х) — (є^(х)) маємо є(х) —> 0 при х —> 0 .
2.2 Похідні та диференціали 1-го порядку
29
< Очевидно, що прн х —> 0
6(х) = / <5і(х)
І1®11 \ М
Мд)\ , п
1ЙГ/ 0
Уі = 1;
Д<(ї)
и
— о,
т
тобто V і <5Дх) = о(х). А це в силу Леми 2.2 рівносильно тому, що
виконуються рівності (2.11). >
Теорема 2.5 (загальний критерій днференційовності).
Функція /= (/і,..., /т) : Ж" —»Жт е диференційовною в точці а 4=>
Уг Д/. =52(сі; + Еу(Дг))Дх] ='^с1]Л.хі +^2еу(Дх) Дх, , (2.12)
;=1 ,=1 >1
або в матричному вигляді
Д/= С Дх+ є(Дх) • Дх = (С + є(Дх)) Дх . (2.13)
При цьому диференціал має вигляд <1{ = С • Дх.
< Твердження теореми є автоматичним наслідком загального означення
днференційовності та двох попередніх лем. >
Наслідок 2.1.
Функція / = (Л,. •., /т) : К" —» Жт е диференційовною в точці а тоді
і тільки тоді, коли всі координатні функції : Ж" —> Ж е дифвренці-
йовними в точці а, причому = (<(/ї, . , <Ут)
< Рівність (2.12) в силу Теореми 2.2 означає, що кожна координатна
функція : Ж” -> Ж є диференційовною в точці а, причому 4Л =
22"=1 аі, Дх,. Але, оскільки Х2"=1а<,Дх, є г-ю компонентою вектора
С • Дх = і/, то д./ = (<//і,..., <І/т) • >
Теорема 2.6 (загальні необхідні умови днференційовності).
Нехай функція / = (/і, ...,/т) : Ж" —» Жт є диференційовною в точці
а. Тоді
1) /(х) є неперервною в точці а;
2) існують всі ^(а), причому V і = £ |£(а)' 4х,, тобто
• Дхз+ ... +^-Д®п
.......................................... (2.14)
#» = &'4хі + §£-Дх2+ +& • 4х„ •
ЗО Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
< 1) Доведемо неперервність: (2.10) => ||Д/|| < ||С + е(Дх)|| • ||Дх|| —> 0
при Дг —» 0 як добуток обмеженої ||С + е(Дх)|| (що прямує до ||С||)
на нескінченно малу ||Дх|| —»0.
2) Через наслідок 2.1 всі координатні функції Д : Кп —> Ж диференційовні
в точці а, причому за Теоремою 2.3 й/, = 52, Й)(“)' 4х,. >
Зауваження 2.7. У відповідності з сказаним в аналогічному зауваженні
з попереднього розділу, рівності (2.14) доцільно розглядати як матричний
добуток і записувати у вигляді
= Г&) Дї - (2Л5)
де Н/ Є Жт та Дх є Ж" є вектор-стовпчикамн, а /'(х) = (|£) — матри-
цею з частинних похідних всіх компонент відображення Ж" —* Жт.
Цю матрицю природно назвати похідною відображення /. Матрицю
похідної часто називають матрицею Якобі, а її визначник (у випадку
тп = п) — визначником Якобі, або якобіаном. Його часто позначають
3(хі,...,х„) '
Зауваження 2.8. Твердження Теореми 2.6 зокрема означає, що для днфе-
ренційовної функції / : Ж" —> Жт диференціал визначається однозначно
і має вигляд (2.14) або (2.15).
Теорема 2.7 (загальні достатні умови днференціновиості).
Нехай похідна }'(х) (тобто всі (/<)'= (^)) від функції ї(х)
1) існує в деякому околі Ії(а) С О;,
2) є неперервною в точці а.
Тоді функція ](х) = ї(х\,.. ,,хп) є диференційовною в точці а.
< При фіксованому і для компоненти /<(х) виконуються достатні умо-
ви днференційовності (дивись Теорему 2.4), а отже, Л(х) є днферен-
ційовиою в точці а. Звідси (дивись Наслідок 2.1) функція Дх) =
(Л(ї)> • • • > /т(ї)) є диференційовною в точці а. >
Приклад 2.2. Формули зв'язку прямокутних декартових та полярних
координат на площині мають вигляд
{х = г сов ір
У = Г8ІПф .
2.2 Похідні та диференціали 1-го порядку 31
Ці формули задають відображення множини
П = { (г, <р) : г Є (0, +оо), <р Є [ 0,2тг ] }
нз множину Ж2. Оскільки х'Т = соз<р, х'^ = — гзітр, у'т = зіп<р та
Уу = гсозір є неперервними функціями від (г, <р), то це відображення
є диференційовним в кожній внутрішній точці множини И.
2.2.4 Диференційовність складної функції
Питання диференціювання складної функції, як і у випадку функцій
однієї змінної, є одним з ключових. Що стосується змісту, форми та
доведення відповідної теореми, то очевидними є їх повна тотожність ви-
падку функцій однієї змінної. Це, зокрема, є додатковим аргументом на
користь розгляду загальної багатовимірної функції, позначення /'(х) для
матриці частинних похідних та векторно-матричних позначень взагалі.
Теорема 2.8 (про диференціювання складної функції).
Нехай функції х(ї) та у(х) мають наступні властивості:
1) х = х(і) : Ж* —> Ж" є диференційовною в точці ід Є Ог,
2) у = у(х) : Ж" —> Ж” є диференційовною в точці їо = х(їо) Є Иц .
Тоді їх суперпозиція у(х(ї)) : Ж* —> Жт є диференційовною в точці їд,
причому
[г/(ї(ї))]& = у'(.®о) • ї'(їо) • (2.16)
< Нехай £7(хо) є тим околом точки хо, на якому визначена похідна
у'(х), причому за умовою V х0 + Дх є £7(х0)
Ду = у(їо + Дї) - у(їо) = [і/(їо) + еЦДї)) • Дг (і)
Оскільки функція х — х(ї) є неперервною в точці Іо і Хо = х(Іо). то
З V(ї0). на якому х(і): V(їд) -» И(їо) 1 за умовою V ї = ї0 + Дї Є £7(іо)
Дх = х(іо + ДЇ) - х(їп) = [х'(іо) + £<(ДЇ)] • Дї • (іі)
Тоді для тзких Дї в силу (і) та (іі)
у(х(іп +Дї))-у(х(іо)) = [у'(®о) 4-е»(Дг)] • Дї =
= [у'(хп) + ЕІ(Дх)].(х'(іп)-|-Е1(Дг)]-ДЇ = [г/'(хп) • і'(£))]-Дї-і-
+[Ех(Дх) х'(їо) + у'(хп) • Е,(ДЇ) + £х(Дх) • £|(ДЇ)] • Дї .
32
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Оскільки Дї -> 0 => Дх -> 0 => Ех(Дї) -> 0, то вираз в дужках (тобто
перший множник) другого доданку є нескінченно малою при Дї —> 0,
тобто другий доданок має вигляд е(ДЇ) • Ді. Але рівність
Ду(х(ї)) = у(х(їд + ДД))-у(х(їоУ) = [у'(хо)-х'(їо)]-ДЇ+е(ДЇ)-ДЇ
якраз і означає твердження теореми. >
Наслідок 2.2 (похідна від суперпозиції в координатній формі).
З правила множення матриць випливає, що в координатній формі
матрична рівність (2.16) має вигляд
, ду{ _^дуі дхі _ дуі дхг дщ Зхп „
1 ’ " 'т оі- дхі діі Зхі діі дхп діу
Зокрема для функцій / : Ж" —> Ж та и = Дхі(і),... ,х„(і)) маємо
— = + + дх" (218)
діі дхі діі дх2 ді.; дхп ді-.
Приклад 2.3. Нехай и = /(з,і), де з = х-у,і = х/у. Тоді
Зи З/ дз д/ Зі _ З/ 3/ 1_
дх дз дх^ дї дх дз + ді у ’
ди_д£ дз 3/ 3/ /аЛ
ду дз ду+ ді ду дз Х + ді \ у2)
З формули похідної складної функції автоматично отримуємо властивості
диференціала. Як покажуть наступні приклади, ці властивості можуть
значно спростити обчислення не лише диференціалів, але і частинних
похідних.
Наслідок 2.3 (інваріантність форми Л{).
Якщо для незалежної змінної х є Жп функції у = Дх) : Ж" -♦ Жт у
виразі для д.у замість ЇХх писати сіх, то диференціал ду матиме один
і той самий вигляд ду = й'(х) - дх як у випадку, коли х — незалежна
змінна, так і у випадку, коли х = х(ї).
< Якщо ї = ї(і), то в силу формули (2.16) і асоціативності матричного
добутку Ну = [у'(і) х'(ї)] • Дї = у'(х) [х'(і) • Дї] = у'(х) сіх. >
2.2 Похідні та диференціали 1-го порядку
33
Наслідок 2.4 (властивості диференціала).
Для будь-яких функцій и : Ж" —» Ж та V : Ж" —»Ж маємо
гі(и ± р) = гіи ± гіи , гі(си) = сгіи,
„ . . , /и\ ргіи — игір
гі(ир) = й гіи + и гіи , гі =----~ї----1
причому перші дві рівності зберігаються також і для багатовимірних
функцій й : Жп —» Жт та б : Ж" —» Жт.
< Розглянемо диференціал гі(и+«) (решта тверджень доводиться абсолю-
тно аналогічно). В силу інваріантності формн гі(и+р) можна розглядати
як гі/ від функції /(и,р) = и+Р, звідки гі(и+р) = (и+р)^-гіи+(и+р);,-гір =
1 • гіи + 1 • гір = гіи + гір.
Що стосується багатовимірних функцій, то
гі(й + €) = (гі(иі +Рі)..гі(ит + Рт)) = (гіщ + гійі,..., гіи„ + гіРт) =
= (гіиі,... ,гіит) + (гійі,... ,гірт) = гій+ гій . >
Приклад 2.1 (продовження). Нехай и = х2/у (дивись стор. 23),
тоді за формулою для диференціалу добутку
гіи = і • гі(х2) + х2 • гі ( = - • 2х • гіг +12 • ( —• гіу.
У XV/ V \ У2)
При цьому через те, що диференціал ди визначається однозначно й
дорівнює ихдх + иуду, для частинних похідних маємо и'х — 2х/у
(що дорівнює коефіцієнту при дх у виразі для ди) та иу = -а^/ї/2
(що є коефіцієнтом при ду у виразі для ди).
Приклад 2,3 (продовження). В силу інваріантності форми ди
ди = /адз + /*ді,
де дз = удх + хду ,
Підставивши дз тв ді у вираз для ди, одержимо
<& = (/'. • У + гіх + (ії-х + Х- (-—^ду ,
причому вирази для их та и'у, що випливають з останньої рівності,
співпадають з одержаними раніше на стор.32 (як і повинно було
бути).
34___________________________Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Приклад 2.4. Функція /(х) називається однорідною функцією
степеня р на множині X, якщо Є X та VI: іх = (іхг, ...,іхп) є
X /(1-х) = і’’•/(£). Нехай така функція /(Я) є диференційовною
на вказаній множині X. Тоді <р(і) = /(іх) є диференційовною в
точці і = 1, звідки
^'(і) = ^-(іх).х1 + ^-(іх)-х2+...+-ІІ-(іх).хп.
З іншого боку ір'(і) = (ір /(%))' = рір~1/(х) і отже <р'(1) =р/(Я),
а тому однорідна функція /(х) задовольняє рівнянню
^-(х)-х1 + -^-(х)-х2 + ... +-^-(х)-х„ = р/(х) .
0X1 0X2 дх„
2.2.5 Геометричний смисл дифереиційовиості
Для більшої наочності геометричний смисл дифереиційовиості розгляне-
мо на прикладі функції двох змінних г = /(х,у), яка описує поверхню в
звичному просторі Ж3. При цьому
/(х, у) є диференційовною в точці М(а,Ь) <=>
/(х, у) — /(а,Ь) — А (х — а) + В (у — Ь) + о(р) або
/(х,у) = [/(а,Ь) + А (х — а) + В (у - Ь)| + о(р),
де р = у/(х-а)2 + (у-Ь)г, причому А = ^(а,Ь), В = ^(а,Ь). Але
рівняння а = /(а, Ь) + А (х - а) + В (у - Ь) є рівнянням площини, що
проходить через точку (а,Ь,/(а,Ь)) поверхні. Отже диференційовність
функції в точці означає, що існує площина, яка проходить через цю точку
поверхні і відрізняється від поверхні на о(р), причому така площина
єдина. Цю площину природньо назвати дотичною до поверхні. Отже
Функція г = /(х,у) є диференційовною в точці М(а,Ь) тоді і
тільки тоді, коли в цій точці для поверхні, що задається рів-
нянням г=/(х,у), існує дотична площина. Рівнянням дотичної
площини є
г - /(М) + ^(М)-(х-а) + ^-(М).(у-Ь) . (2.19)
Аналогічно нормаллю до поверхні природньо назвати нормаль до доти-
чної площини. При цьому вектор ±(/х(М), /^(М),— 1) задає напрям такої
2.3 Похідні та диференціали вищих порядків
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
нормалі в точці М(а,Ь), а рівняння нормалі має вигляд
і — а у — Ь г — /(а,Ь)
/Ж) " ТЦм) ~
(2.20)
2.3 Похідні та диференціали вищих порядків
2.3.1 Частинні похідні вищих порядків
Для функції у = /(х1,...,хп) частинні похідні /х„...,/£, (якщо існують)
є також функціями від цих змінних. Частинні похідні вже від //,,...,//„
називають частинними похідними 2-го порядку (або просто похідними
2-го порядку) від функції / і позначають /Х1Х1 або . Так, напри-
клад,
= зїї (з£) аб° - (/X
14 = аЦд = (з£) аб° = Я*. = (А'.)і,-
Аналогічно — похідні 3-го, 4-го та інших порядків. Так, наприклад,
ах,вг2вх3 = аїї (а^Хз) аб° = (А'ііа)іі -
= ^7 аб° = (/ад)і. •
Прн цьому бачимо, що для обох позначень похідної першою виконується
похідна по тій змінній, яка стоїть ближче до значка функції. Похідні по
різних змінних називаються змішаними.
Приклад 2.1 (продовження). Нехай и — х*/у (дивись стор. 23), тоді
$2и _ 9 (9и\ _ д (2х\ — 2 д2и _ 9 ( 9и\ _ 9 ( х3\ _ 2д?
бгт Зх дх } у ’ Зу7 Зу \3у) \ 7/ 7” ’
32и 9 (ди\ 9 / _2х 92и 9 (9и\ 9 (2х\ 2х
дхду Зх у \ 7/ 7 ’ ^уЗх Зу Зу у у
&аи _ 9 ( 0аи \ __ д_ ( 2х\_____2
дх2ду Зх \3х9у) \ 7/ 7 ’
_ 9 (92ч\ _ 9 (2\ _ 2
Зу \3?) Зу І5/ у5 ’
а3ц _ 9 ( 92и \ _ 9 ( 2х\ _ 2
дхЗудх Зх \ дудх) Зх \ ) 7 *
Виявляється, що рівності та є зовсім
невипадковими, а випливають з наступних загальних теорем.
Теорема 2.9 (про рівність змішаних похідних 2-го порядку).
Нехай похідні 2-го порядку /ХіХі та /Х1Х, від функції у = /(хх, ...,х„)
1) визначені на деякому околі Ії(а) точки а,
2) є неперервними в цій точці а .
Тоді обов'язково /хц^а) — А”і,(и) •
< Очевидно, що досить розглядати /() як функцію лише змінних х,
та X] (при фіксованих значеннях всіх інших), тобто досить розглянути
функцію двох змінних /(х,у).
Нехай а = (хи,уи). Візьмемо р = (Да:, Ду) настільки малим, що а+р Є
£7(о) і для х = а:0 +Дг розглянемо <р(х) = Д,/ = /(х,у0 + Ду) - /(т,Уо)-
Тоді для Ф(Дх, Ду) = Д<р(і) = ір(хп+Ах)-ір(ха) за формулою Лагранжа
маємо Ф(Дт, Ду) — <р '(х0 + вДт)А.х або
Ф(Дх, Ду) = [/Х(ха + гіДа:,у0 + Ду) - /Х(ха + 0Лх,у0) ] Дт ,
звідки за формулою Лагранжа для /'(а:о+9Д®,у) як функції від у маємо
Ф(Дг, Ду) = /^ (ха + гіДт, уо + Є і Ду) Ду Дт .
Звідси в силу неперервності змішаної похідної /^ в точці а
Ф(Дх, Ду) = [ /'^(хи, уо) + є(р) ] Ду Дт ,
ф(іїг,Ду)/Да:Ду = /'^(хо,Уо) + е(р) -» /'^(хо.уо) при р 0 . (*)
З іншого боку, для величини ф(у) = А.х/ = /(хо + Дх,у)-/(іо,у) маємо
Дф(у) = ф(у0 + Ду) - ф(у0) =
= [Да:0 + Ді,уо + Ду) - /(х0 + Ді, Уо)] - !/(хо. Уо + Ду) - ї(хо,Уо)]
що дорівнює тому самому Ф(Дх,Дї/), що і раніше. Тому, повторивши
попередні міркування для Д^(2/)< одержимо
Ф(Дх, Ду)/Да: Ду = /,х(хо,Уо) + Єі(р) %х(хо,Уо) при р -» 0 ,
що в силу (*) і доводить твердження теореми. >
Нехай тепер існують і є неперервними всі змішані похідні 3-го поряд-
ку. Тоді, наприклад,
З3и _ д2
дхдудх дхду удх) ’
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
2.3 Похідні та диференціали вищих порядків 37
і в силу тільки що доведеної теореми, застосованої до / = ди/дх, маємо
33и _ дг ї'9и\ _ З2
дхдудх дхду\дг) дудх\дх) дудхдх '
Тому при зміні порядку двох зовнішніх похідних змішана похідна не змі-
нюється. Для двох внутрішніх це є безпосереднім наслідком попередньої
теореми. Але переставляючи сусідні похідні можна переставити будь-які!
Очевидно, що ці міркування можна продовжити по індукції до похідних
будь-якого порядку, тобто має місце наступна теорема.
Теорема 2.10 (про рівність змішаних похідних к-го порядку).
Якщо всі похідні к-го порядку від функції е неперервними в точці
а, то всі змішані похідні к-го порядку цієї функції не залежать від
послідовності диференціювання по різним змінним.
Наслідок 2.5 (про змішані похідні від елементарних функцій).
Якщо функція у =. /(хі,...,хп) є елементарною функцією від своїх
змінних хі,..., х„, то у внутрішніх точках множини И/ змішані похі-
дні будь-якого порядку від { існують, є неперервними та не залежать
від послідовності диференціювання по різним змінним.
<1 Це є наслідком попередньої теореми і того, що
- похідна будь-якої елементарної функції завжди існує і також є еле-
ментарною функцією,
- кожна елементарна функція є неперервною на області визначення .
>
Зауваження 2.9. Наведена теорема з точки зору обчислення змішаних
частинних похідних в загальному випадку (коли функція / є не обов’яз-
ково елементарною) нічого не дає. Справді, перевірка умов цієї теореми
вимагає обчислення обох похідних )£'ІХ1 та )£'іХІ, після чого їх рівність є
очевидною і застосувати теорему вже непотрібно. В той же час має місце
більш загальне твердження (дивись, наприклад, посібник1):
Нехай похідні існують в деякому окалі Ії(а), а похідна
є неперервною в точці й. Тоді існує /„„(а), причому /*х(а) =
‘Г.М.Фмхтенгольц, Курс дифференциального и (інтегрального нечисленне. - М..1966, т.1. ст.4О7
2.3.2 Диференціали вищих порядків
Означення 2.4.
Функція /(х) називається 2 рази диференційовною (або просто 2-
диференційовною) в точці а, якщо всі похідні 1-го порядку Л,,...,
існують в певному околі точки а і є диференційовними в цій точці.
Тоді з теорем про умови дифереиційовності автоматично одержуємо
Необхідні умови 2-днференціновності
Нехай функція /(хіг ...,х„) є 2 рази диференційовною в точці а, тоді
1) всі )і„ є неперервними в точці а ,
2) існують всі /Х1Хі(а) (і,і = 1,..., п) .
Достатні умови 2-днференційовності
Нехай всі похідні 2-го порядку )ХІХІ від функції }(хі,... ,хп)
1) існують в деякому околі точки а ,
2) є неперервними в точці а .
Тоді функція /(хі,..., х„) є 2 раза диференційовною в точці а.
Абсолютно аналогічно в загальному випадку одержуємо наступне озна-
чення та умови к-диференційовності.
Означення 2.5.
Функція /(хі, ...,хп) називається к раз диференційовною (або просто
к-диференційовною) в точці а, якщо всі похідні (к— ї)-порядку існу-
ють в певному околі точки а і є диференційовними в цій точці.
Необхідні умови к-днфереиційовиості:
Нехай функція /(хі,... ,хп) є к раз диференційовною в точці а, тоді
1) всі похідні (к-І)-го порядку є неперервними в точці а,
2) існують всі похідні к-го порядку в точці а .
Достатні умови к-днфереищйовності:
Нехай всі похідні к-го порядку від функції /(хі,..., тп)
І) існують в деякому окалі точки а ,
2) є неперервними в точці а .
Тоді функція /(хі,...,хп) є к раз диференційовною в точці а.
Достатні умови дифереиційовності функції декількох змінних приро-
дньо приводять до наступного важливого поняття.
2.3 Похідні та диференціали вищих порядків 39
Означення 2.6.
Нехай О С К" є відкритою множиною, тоді функція / називається
к раз неперервно диференційовною на О, якщо існують всі похідні
к-го порядку від /, які є неперервними на И функціями. Множина
всіх таких функцій позначається Ск(О). Отже, запис Є С*(£>)”
означає, що функція / є к раз неперервно диференційовною на И.
Зауваження 2.10. При к = 0 множина С°(О) є множиною всіх непе-
рервних на О функцій. При к = оо множина С°°(О) є множиною всіх
функцій, у яких на О існують неперервні частинні похідні будь-якого
порядку.
Наслідок 2.6 (про похідні від елементарних функцій).
Якщо { є елементарною функцією від всіх своїх змінних, то { Є
СХ(Й/), де О) — множина внутрішніх точок області визначення.
При означенні диференціала від йу для функції у = )(хг,...,хп) у
випадку, коли х\,...,хп є незалежними змінними, необхідно відмітити,
що Лу в точці і е не числом, а лінійною функцією від Ах. Тобто
&У = ї/(х)-Дх = • Дяі .
і=1
Тому при зміні точки х змінюються саме коефіцієнти цієї
лінійної функції, а не Ах1,...,Ахп. Отже від функції ду = у'(2) • Ах по
змінній х можна знаходити і похідні і диференціали.
Означення 2.7.
Нехай функція { є відповідну кількість разів диференційовною, тоді
а2/ = ,...<**/ =
” Я2 Г
Дті = У -^-І-АхіАхі .
дхідхі 3
Аналогічно,
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
дх^.дхц^- ^
•1.4=1 1
(2.22)
Якщо ж хі... х„ є залежними величинами (тобто функціями), то з Озна-
чення 2.7 та загальних властивостей диференціала одержимо
д2/ Ь &/дг
-----ах, І Ч-----а Хі
дх^Хі 31 ' дх( ‘
•0=1
дхідхі 3 дхі
' і=і
Зауваження 2.11. Якщо використати оператор диференціювання сі (ди-
вись Зауваження 2.5 на стор. 25), то з (2.21) та (2.22) автоматично
одержуємо
п о2 п Йк
Дх(1...Дхід. (2.23)
. дхідхі С'З'іі • • • Сшік
•0=1 1 »1.4=1
Крім того, очевидно, що попередні рівності можна записати у вигляді
формальних степенів оператора диференціювання й
При цьому, ЯКЩО ті,
,а„ є незалежними аміними, то
г Л д2/ д д
У = V АііАх]
“ дхідхі
1.7=1 * '
(2.21)
Справді,
.г 9і\ . А/А 9 д)\ . \ д
<1 У = Ул ( Дті = 2? V-т— І Т— ДіИ =
% \дхі/ ^\~^дхі\дх<) )
Зауваження 2.12. Виявляється, що рівність змішаних частинних похі-
дних має місце при умові відповідної диференціновиості (дивись, напри-
клад, підручник2). Звідси для іс-диференційовної функції / у виразах
для Лк/ всі змішані частинні похідні не залежать від порядку диферен-
ціювання.
Зауваження 2.13. Для у = )(х): Ж -» К у випадку, коли х — незалежна
змінна, її*/ = /№(х) (Ах)к. Тому, продовжуючи аналогію за принципом
“похідна — це множник в диференціалі" та виходячи з (2.22), назвемо
*В.А.Ильнн, З.Г.Позняк, Основи математнческого анализа. - М.,1982, т.1. ст. 494.
2.4 Заміна змінних в диференціальних виразах
41
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
багатовимірний масив (57^5-) всіх частинних похідних к-го порядку
похідною к-го порядку від / і позначимо /^(х). Тоді рівність (2.22)
можна буде формально переписати у вигляді
дку = /(*’(х) (Дх)* . (2.24)
При цьому обчислення дк в матричній формі набирає формального виду
дку = </[</*” * 1у] = </[/'*-1)(х) • (Аг)*"1] =
(2.25)
= [/'**(х) • (Дт)] • (Дх)1-1 = /Ік,(х) • (Дх)* .
Приклад 2.5. Нехай ф(і) = /(хо + іДї), де
Ді » і - іо — функція однієї змінної і Є Я. То-
ді <р(і) є суперпозицією функцій /(й) : Кп -» В
та й = їп + 4Дх : В -» В. Оскільки /(й) є ди-
ференційовною в деякому околі Щхо), то ф(і) є
диференційовною в деякому ОКОЛІ (—£,£), причо-
му за формулою похідної від суперпозиції
¥>'(«) = /'(а) |о=Іо+1ДІ • (їо + «дг); = /'(®о+<д®) •
Оскільки /'(хо + іДх) має ту ж саму структуру, що і у?(і), то у
випадку 2-диференційовності /(О) в деякому околі С/(х0) функція
<р(ї) буде 2-диференційовною в деякому (-£,£), причому
¥>"(«) = [/'(®о + <Дї)К Дї = /"(їо + *Дї) • (Дї)2 ,
а в загальному випадку к-диференційовності в деякому околі Щхо)
маємо к-диференційовність функції ф(і) і рівність
у/*>(і) = + іДі). (Дг)‘ .
Зокрема
¥>(*’(0) = /*(і0) • (Ді)* = £ /х(*’.^„(їо) • Дхь. • . Дх.» .
«1.-Зк
2.4 ЗАМІНА В ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВИРАЗАХ
Необхідність та смисл заміни змінних в диференціальних виразах можна
пояснити, наприклад, наступним чином.
Нехай /(М) є функцією точки площини. Якщо на цій площи-
ні ввести прямокутну декартову систему координат (скорочено
ПДСК), то /(М) описуватиметься певною функцією від двох
змінних /прям(х,У), де (х,у) — прямокутні декартові координати
точки М. Якщо ж замість ПДСК на цій самій площині розгляну-
ти полярну систему координат, то та ж сама функція точки /(М)
описуватиметься вже іншою функцією від двох змінних, а саме
/пол(т,Ч>), де (г,ф) — полярні координати точки М. Проблема при
цьому полягає в тому, щоб знайти зв'язок похідних від цих різних
“координатних реалізацій” /прям(х,у) по х і у та /пол(г, ¥>) по г
і Ч>-
Зауважимо, що при цьому часто пишуть / незалежно від того, яка си-
стема координат використовується. Ми ж будемо чітко розрізняти задану
вихідну (“стару”) та “нову” системи координат, і писати / та / для ре-
алізацій функції /(М) відповідно в цих “старій” та “новій” системах
координат.
Виявляється, що всі різноманітні можливі випадки можна звести до
одного загального простого алгоритму, який полягає в наступному:
1) Знаходимо рівності, що зв'язують / та / (тобто зв’язок ре-
алізацій функції /(М) відповідно в “старій” та “новій” системах
координат).
2) Диференціюємо отримані рівності (тобто від обох частин цих
співвідношень беремо або частинні похідні або диференціали).
Так, наприклад, нехай г(х, у) описує певну функцію на площині, задану
в прямокутній декартовій системі координат, а г(и,о) — це та ж сама
функція на площині, тільки вже в координатах и та о. Нехай також
зв'язок “старих” координат х і у та “нових” координат и і о задано
у вигляді х ~ х(и, о) та у = у(и,о). Схематично це можна зобразити
наступним чином:
г(х, у) і-» г(и,о), х — х(и, о), у = у(и, о).
Звідси автоматично випливає, що зв'язок між г та ї має вигляд
г(х(и,о),у(и,л)) = х(и,о) , (♦)
і залишається цю тотожність продиференціювати по и та о (тобто по
тих змінних, від яких і залежать ліва та права частини тотожності). Це
диференціювання можна виконати будь-яким з двох наступних способів:
Перший спосіб: візьмемо еід обох частин (») частинні похідні:
2.4 Заміна змінних в диференціальних виразах 43
по и : хі хі + хі - уі = хі ,
по V : х'х • х„ + Ху • уі = хі ,
звідки, розв'язуючи одержану систему, отримуємо х'х та х'у через хі та
Другий спосіб: візьмемо від обох частин (») диференціал:
х'хдх + Худу = хі ди + г„' до .
Підставивши сюди сіх = хіди + хідо та ду = уіди + уідо отримаємо
2х • (®и ди + хі до) + хі (уі ди + уі до) =
(х'х • хі + хі- уі) ди + (хі -хі + х’у- уі) до ,
тобто
(хі -хі + хі' уі) ди + (хі • хі + хі~ уі) до = хіди + хі до .
Оскільки диференціал визначається однозначно, то коефіцієнти перед ди
та до в обох частинах останньої рівності співпадають і ми отримуємо той
самий результат, що і першим способом.
Який саме з цих способів обрати залежить від конкретної ситуації.
Приклад 2.6. Нехай маємо певну функцію х(х, у) від прямоку-
тних декартових координат на площині, і треба виразити величини
17г|2 = (хі)2 + (хі)2 та Дг = хЦ + Хуу в полярних координатах. Ін-
шими словами, треба величини |57г|2 та Дг переписати для х(г,ф),
тобто для тієї ж самої функції, тільки вже в полярних координатах
г та ф.
<1 Оскільки х = гсозір та у = гзілір , то маємо наступну задачу
заміни змінних:
г(х,у) і-» г(г,<р), х = гсов<р, у = гзіл^.
При цьому зв'язок між г та г має вигляд
г(гсов<р, гзіл<р) = г(г,<р) ,
і взявши частинні похідні від обох частин цієї тотожності, одержимо
хі • созф + х'у • вілф = хі (похідна по г) ;
хі (-гзілу?) + хі • гсов^ = х'у, (похідна по ф) .
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Розв’яжемо цю систему відносно хі та хі методом Крамера:
Д = Г , Дх = Г СОВ ф хі — 8ІЛ ф • хі , Д„ = Г ВІЛ ф • хі + СОВ ф • Ху, ,
звідки
, Дх 8ІП<р , Дх , СОВф .
ХІ = -д- = совф-хі------Ху,, Ху = = зш<р-гг-|—--Ху,. (**)
Отже |ї7г|2 = (хі)2 + Г_2(г^)2 .
Неважко помітити, що знаходження виразів для хі та хі було б
простішим, якби зв'язок між г та г мав вигляд
х(х,у) =х(г(х,у),ф(х,у)) .
Справді, з цієї рівності відразу отримуємо
г» = хі-гі + хі-фі , х'у = зі-гі + хі-фі ,
і ніякої системи вже роз’язувати не треба, правда, для цього потрібно
знати гі, фі, ті, фі . Ці величини знайдені в Прикладі 2.11 на
стор. 51:
Гх = СО8^>, Гу=8ІП<р, фі = — 8ІЛф/т , ф'у = С.ОВф/г. (* » *)
Перейдемо до знаходження х£х та хЦу. Для цього візьмемо відповід-
ні похідні від (**), враховуючи залежності г = г(х, у) , ф = ф(х,у)
та
ЗІ = 2І(г(х,у),ф(х,у)) , хі = хі(г(х,у),ф(х,у)) ,
а також вже відомі рівності (***) Справді
» , /зІПф\' , 8ІП<Р
Ххх = (сО8ф)х -Хг + С08ф- (хг)х - • Ху, + (Х^)х =
віл2ф віл2ф віл2<р зіл2¥>
= ХІ + х'у, + СО52 ф ХІІ--^2- хіу, + -хт .
Аналогічно
п , .і /совф\ соз<р
хіу - (ЯПф)у • хг + зіл<р (хг)у + І —— 1 -Ху, -і-— (Ху,)у =
соз2ц> зіл2<р зіл2<р сов2¥>
= г ХІ--------• хі + зш2ф • х„ + г Хгу, + -Хуу, .
Отже остаточно хЦх + гЦу = хіі + ^ г^, + - -хі. >
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
2.5 Формула Тейлора 45
Приклад 2.7. Розв’язати рівняння х2 у" + ху' + у = 0, зробивши
звміну незалежної змінної х = є*.
а Шуканий розв’язок у(х) та його перетворення у(4) зв'язані тотож-
ністю у(ее) = у(і). Диференціюючи цю тотожність, маємо
у’(е‘)е' = у'(і) та у"^ + у'е1 = у" ,
звідки у' = у'е~‘, у" = (у" — у')е-и. Підставивши ці вирази
та х = е‘ в наше рівняння, отримуємо у" + у = 0. З теорії зви-
чайних диференціальних рівнянь відомо, що загальним розв’язком
цього рівняння є функція у(і) = Сі віпі + С2созі, звідки загальний
розв’язок нашого рівняння має вид у(х) = Сізш(іпх) + С2со8(1пт).
>
Приклад 2.8. Розв'язати рівняння коливання струни —а2ихх = 0
(а > 0), зробивши заміну змінних £ = х — аі та у = х + аі.
<1 Шуканий розв'язок и(ї,х) та його перетворення и(С>7) зв’язані
тотожністю й(х—аі,х+аі) = ц(ї,х). Диференціюючи цю тотожність
по х і по і, маємо
“і = + = (Д + ^) “ “е =“{(““) = ~°(з?
Звідси ихх = (Д + б;)2“. ин = _ Д)2и, 1 наше рівняння набу-
ває вигляду и'^ = 0. Розв'язуючи це рівняння, отримуємо («£,){ = 0
*» = Лп) (де Лп) є С(К) )•»« = ] /(»?)<й?+(7(4) = •Р(»7)+<ЗЮ
Тому загальний розв'язок нашого рівняння має вид
и(і, х) = Р(х — аі) + С(х + аі) ,
де /"(»?) тв <7(£) є довільними функціями з неперервною похідною.
>
2.5 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Формулу Тейлора для функцій однієї змінної ми спочатку отримали як за-
гальний асимптотичний розклад, а вже потім при додаткових умовах для
залишкового члена цього розкладу отримвли формулу Лагранжа. Для
функцій декількох змінних з технічних причин (складність відповідних
доведень!) ми підемо протилежним шляхом, а саме:
1) спочатку доведемо існування розкладу з залишковим членом у формі
Лагранжа (прн умові (N-1-1)-диференційовності функції на деякому
околі У,(а)),
2) потім розглянемо загальну асимптотичну формулу (при умові Д'-
диференційовності функції в точці а).
Нагадаємо, що зміст цих формул є дещо різним, а саме: формула Тейлора
з залишковим членом у формі Лагранжа е по суті загальною формулою
Лагранжа, а формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано —
загальним асимптотичним розкладам.
Теорема 2.11 (про формулу Тейлора в формі Лагранжа).
Нехай існує окіл ІІс(а) = {х : ||® — б|| < є}, на якому /(х) : К" —» В є
(И + 1) -диференційовною. Тоді
” 1
УіЄІ/.(5) /(®) = У;і/<‘>(а)-(Дх)‘ + ^(Дх), (2.26)
де
я,у(Д®) = ізгЬ /(‘У+1)(а + (д*)"+1. є (о, і).
< Фіксуємо х Є 1)с(а) і розглянемо пряму {а + і Д®}, ----
де Д® = х — а. Тоді ф(Ґ) = /(б + іД®) визначена ґ _\
на деякому інтерввлі (—5, 5) причому І > 1 (див. / [ Д ® \
малюнок). Тоді у>(4) Є С(—5,6), уз(О) = /(а) і V к < І/
N + 1 3<р(к)(і) =/(1’(б+їД®)(Д®)і (див. приклад 2.5), X. 25
звідки ¥>(1)(0) = /Ік,(а)-(.йх)к. Оскільки ір(і) є N+1 д = 1
ййференційовиою на (-5,5), то за формулою Тейлора із залишковим чле-
ном у формі Лагранжа
звідки при і = 1 (а і = 1 є (—5,5)!) і одержимо потрібне. >
Наслідок 2.7 (формула Лагранжа для х„)).
Нехай функція /(і) є диференційовною в деякому околі ІІс(а), тоді
'Іхі111[а) /(®)-/(б) = 57 -&(° + 0дД) • &Хі
і=1
2.5 Формула Тейлора 47
Наслідок 2.8.
Нехай О Є В" є зв’язною областю (тобто множиною, будь-які дві
точки якої можна з'єднати ламаною лінією, що повністю лежить в
цій множині), а функція и(х) є диференційовною на О. Тоді якщо
би=0 на О, то и(хі,... ,х„) — с на О.
<1 Досить розглянути ф(і) = и(г(і)), де ламана з рівнянням г(і) зв'язує
фіксовану точку (її,..., х„) Є О з довільною (її,..., х„) Є О. >
Теорема 2.12 (про формулу Тейлора а формі Пеано).
Нехай /(х) є N раз диференційовною в точці а, тоді існує многочлен
Тк(х) степеня N такий, що
дЛ’(®) = /(х) - Тк(х) = о( ||Д®||") ,
причому такий многочлен єдиний і має вигляд
ТК(х) = Хті^-^к •
4=0 '
а Повне доведення теореми є досить громіздким і тому ми його тут не
нвводитимемо. Що стосується основних складових частин цього доведе-
ння, то вони є наступними.
Перш за все з попередньої теореми випливає, яким має бути многочлен
Тейлорв для функції декількох змінних, а саме це є многочлен
^(®) = £і/(*)(а)-(Д®)*.
4=0 '
Тому розглядається різниця &у(х) = /(х) — Тк(х), для якої доводиться,
що в умовах теореми Діу(6) = 0, Д^(б) = 0,..., Д^/)(б) = 0.
Після цього доводиться, що якщо функція Дд-(®) є ТУ-днференційов-
ною в точці б та Дд-(а) = 0, Д'дг(б) = 0... Д^(а) = 0, тоді
обов’язково Д,у(®) = о(||Д®||*). Тому для такого многочлена Тц(х)
перше твердження теореми виконано, а отже один такий многочлен існує.
На завершення доводиться, що якщо для многочлена Ру(®) степеня
N маємо Рн(х) = о(ЦДіЦ7^), то Ру(х) = 0, звідки випливає єдиність
шуканого многочлена. >
48
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
2.6 НЕЯВНО ЗАДАНІ ФУНКЦІЇ
2.6.1 Одновимірний випадок
Спочатку нагадаємо, що всі можливі способи аналітичного задання за-
лежності величини у від величини х (тобто задання функції у = у(х))
вичерпуються наступними:
1) звдано безпосередню формулу у = у(х) ;
2) задано взаємний зв'язок Р(х,у) = 0 ;
3) задано опосередкований зв'язок х = х(і), у = у(і) .
Ці випадки називаються відповідно явним, неявним та параметричним
гаданням функції у = у(х). При цьому навіть у випадку явного задання
формула у = у(х) не завжди дозволяє по х знвйти відповідне у (напри-
клад, величина у = у/х при х = — 1 серед дійсних чисел не існує), звідки
виникає питання множини існування функції у = у(х), тобто області її
визначення. Для параметричного задання питання існування залежності
у = У(х) — не питання існування оберненої функції і = і(х) для х = х(і).
Відповідь на питання про існування неявно заданої функції дає нвступна
важлива теорема.
Теорема 2.13 (про неявно задану функцію однієї змінної).
Нехай маємо рівняння Р(х,у) =0 та точку М = (ха,уи), в якій
Г(М) — 0. Нехай, крім того, існує окіл ІІм точки М, на якому
похідні Рх >па є неперервними, причому Р^(М) 0.
Тоді обов'язково існують прямокутник П = Пх х П# С ІІм та фун-
кція у = у(х), х Є Пх, для яких
о) {(і,у) Є П : Р(х,у) = 0} = {(х,у(л)), х Є Щ}, зокрема у(хи) -
Уо,
б) у(х) є неперервно диференційовною на Пг .
X
Мал. 1
2.6 Неявно задані функції 49
Очевидно, що твердження (а) означає існування та єдиність розв’язку
!/ = у(х) рівняння Е(х, у) = 0 при умові у(хо) — уа иа прямокутнику П,
а твердження (б) — неперервну диференційовність цього розв’язку.
Замість того, щоб розглядати доведення цієї теореми, яке є досить
громіздким і з практичної точки зору мало що дає, покажемо иа простих
прикладах особливості її застосування.
Приклад 2.9. Розглянемо рівняння х2 + у1 = 1 або і2 + у1 — 1 = 0
(Мал. 2). Тоді Гу = 2у = 0 <=> у = 0, звідки для околів точок, в
яких у / 0, маємо
Мі = (1/\/2,1/\/2) => розв'язком є у = VI - х$ ;
Мг = (1/^2, —1/\/2) => розв'язком є у = —VI - х2 .
Якщо ж Мз = (—1,0) (де Гу — 0), то розв’язку виду у = у(х) не
існує, але в силу Ех / 0 існує розв'язок виду х = х(у) — — у/1 — у2.
Приклад 2.10. Розглянемо рівняння Xі — у1 = 0 (Мал. 3). Тоді з
точки зору застосування теореми про неявну функцію для Е(х,у) =
л2 - у2 маємо
( Гх “ 2т = 0 ( х = 0
( Г,’ = —2у = 0 ** ( у - 0
Отже, точка (0, 0) є особливою, тобто в як завгодно малому її око-
лі Теорема 2.13 не забезпечує ні існування розв'язку у = у(х), иі
існування розв’язку х = х(у). Але Мал. З чітко показує, що саме
відбувається в цій точці. В даному випадку точка (0,0) є точкою
розгалудження (російською мовою — точка еетеления), тобто че-
рез цю точку проходять дві різні гілки нашої функції (або два різних
розв'язки нашого рівняння).
Зауваження 2.14. Для знаходження похідної у' від неявно заданої фун-
кції у(х) досить взяти похідну по х від тотожності Е(х,у) = 0, X Є Пж,
пам’ятаючи, що у = у(х). При цьому маємо
Ех+Еу- у'(х) = 0, звідки у'(х) =-Ех/Еу .
Зауважений 2.15. Теорема про неявну функцію може бути корисною
і при дослідженні питання про існування оберненої функції. Справді,
нехай у = у(х) Є С1(а,Ь), причому у'(т) 0. Покладемо Е(х,у) «
у(х) — у і розглянемо рівняння Е(х,у) = 0. Оскільки Ех = у'(х) 0, то в
силу Теореми 2.13 існують інтервали ІІХ, Іїи та єдина функція х = х(у),
50 Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
для яких Е(х(у),у) = 0 або у(х(у)) = у, причому х(у) Є С1(ІІУ). Отже,
з теореми про неявну функцію випливає локальне існування оберненої
функції для функції однієї змінної у(х) : К —» К.
2.6.2 Загальний випадок
Зберігаючи аналогію з попереднім випадком, розглянемо неявно задану
багатовимірну функцію (або відображення) у = у(і) : РсК” -> як
розв'язок багатовимірного рівняння
7(х,у) = 0, (2.27)
де 7: С с Кп+т —> Кт. В координатній формі це багатовимірне рівняння
перетворюється в систему:
’ /|(гі,...,хп; уі,...,ут) = 0
, ^(^і.....хп; уі...ут) = 0 (2.28)
. ....хп; уі,...,ут) =0
Теорема 2.14 (загальна теорема про неявну функцію).
Нехай маємо багатовимірне рівняння 7(1, у) = 0 та точку М =
(2о,Уо), е якій Е(М) = 0. Нехай, крім того, існує окіл Сім точки М,
на якому всі похідні від Е\ ,Е2,.. ,,Ет по та по у2 є неперервними,
причому _
^(М) = д(Г1’--'-^(М) 0 .
Оу д(Уі, . . . ,Ут)
Тоді обов'язково існують прямокутник П = П, х Щ С Пм та функція
У = у (і), 1 Є П», для яких
о) {(®,Й Є П :7(х,у) = 0} = {(х,у(х)), х Є Щ}, зокрема у(ха) = уо,
б) у(1) є неперервно диференційовною на Пх.
Як і в одиовимірному випадку, твердження (а) означає існування та
єдиність розв'язку у = у(ї) рівняння Е(х,у) — 0 при умові у(їп) — Уп
на прямокутнику П, а твердження (б) — неперервну диференційовність
цього розв'язку.
Зауваження 2.1в. Для знаходження у ’(х) слід диференціювати багато-
вимірне рівняння 7(1, у) = 0, пам'ятаючи, що у = у(х). Скориставшись
матричними позначеннями для похідних, при цьому одержимо
Ех + Еу у'(х) = 0, звідки у’(х) = ~(ЕУ) 1 Ех
2.6 Неявно задані функції 51
Розглянемо відображення у = у(х) : Их С К" —► К". Нехай існує окіл
Пх точки Мх, на якому всі похідні від уі,уг,...,уп по т, є неперервними,
причому деІу'(Мх) 0. Тоді (дивись Зауваження 2.15 до одновимірио-
го випадку) розглянемо багатовимірне рівняння Е(х,у) = у — у(х) = 0.
Оскільки деЛ.ЕЇ(Мх) = деїу'(Мх) / 0, то в силу Теореми_2.14 існують
прямокутники ІІХ, Ну та єдина функція 1 = х(у), для якої Е(х(у),у) = 0
або у(х(у)) = у на 1/у (тобто функція х(у) є оберненою до у(х)), причому
х(у) є С1 (Іїу). Тому з тотожності у(х(у)) = у за формулою диференцію-
вання складної функції маємо у '(х)• х’(у) — І (І — одинична матриця),
звідки х'(у) = (у'(х))~1 та 6еІх'(у) = 1/ деіу'(х). Отже ми довели на-
ступне твердження.
Теорема 2.15 (існування оберненої функції для у = у(х)).
Нехай маємо відображення у = у(х) : Лх с Кп —► Кп, причому в деякій
точці М Є Ох виконано деі.у'(М) 0. Нехай, крім того, існує окіл
ІІХ точки Мх, на якому всі похідні від Уі,У2,...,уп по хі ,хг,.. ,,хп
є неперервними. Тоді в деякому околі Оу точки Му = у(Мг) існує
обернене відображення х = х(у) Є С1 (Оу). При цьому матриця х'(у) є
оберненою до матриці у'(х), звідки, зокрема, деіх'(у) = 1/деіу'(і).
Приклад 2.11. Повернемось до зв'язку прямокутних декартових і
полярних координат точки на площині (Приклад 2.2 иа стор. ЗО).
Розглянемо для простоти праву напівплощину, тоді
(г, <р) Є (0, +оо) х (-тг/2, +іг/2)
{ Ту> = Є (0, +0О) Х (-°°’+00) '
Але похідні для відображення (яг, у) ♦-» (г, <р) можна отримати і без
таких явних формул. Справді, в силу попередньої теореми про обер-
нене відображення маємо
х = гсоз^р
у = Г8ІП(р
СО8<Р
8ІП<Р
—Г8Ш<р
ГСОЗф
8ІП<р А _ / х/г у/г
— ЯХИр/г С08(р/г у \ “у/7’2
Очевидно, що одержаний результат співпадає з результатом безпо-
середнього диференціювання знайдених функцій г(х^у) та ф(х,у).
52
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Аналогічним чином можна розглянути зв’язок прямокутних декартових
координат в просторі з сферичними та циліндричними координатами, що
ми дуже радимо читачеві виконати самостійно.
2.7 ЗАЛЕЖНІСТЬ ФУНКЦІЙ
Розглянемо функції иі(л), ...,ит(х) Є С'(О), де О С К".
Означення 2.8.
Будемо говорити, що функція ит(') залежить в області О від фун-
кцій иі(-),...,ит-і(-), якщо
іхЕО ит(х) = Ф(иі(х),... ,гц„-і(х)) ,
де Ф(-) — деяка С1-функція від (т— 1) змінних. Якщо такої функції
відразу для всієї И не існує, то залежності в області О немає.
Будемо говорити також, що функції иі(-), ••. ,“т(’) £ залежними в
області И, якщо одна з них залежить від інших в області О. Якщо
ж жодна з них не залежить від інших в О, то такі функції назвемо
незалежними в області О.
Зауваження 2.17. Точніше було б говорити про “гладку залежність” або
“С1-залежність”, адже функція Ф(-) в означенні залежності повинна ма-
ти неперервні частинні похідні.
Зауваження 2.18. Очевидно, що лінійна залежність функцій (згадайте
лінійну алгебру) є частинним випадком вищеозначеної.
Зауваження 2.19. У вищенаведеному означенні залежність функцій мо-
жна подати у вигляді Ф(иі(л),..., Цт(®)) = 0. але Т°Д* потрібно задати
додаткову умову, що забезпечує можливість розв’язку цього неявного
рівняння відносно якої-небудь щ. Отже в результаті нічого нового порів-
няно з наведеним означенням ие виникає.
Приклад 2.12. Функції иі(хі, х2, х3) = х\ + х% + х%, и2(хі,х2,х3) =
її + х2 + х3 та из(яі,х2, х3) = хі х2 + хі х3 + х2 х3 є залежними в
К3, оскільки иі = (из)2 — 2из.
Приклад 2.13. Функції а, = т + у та а, = ї- у є незалежними в
будь-якій області Ь С К2, для якої (0,0) Є И. Справді (див. Мал. З
иа стор. 48), иа прямій х + у = 0 маємо иі|х+,=о= 0 та И2Іх+,=о= 2т,
звідки на цій прямій змінна из не може залежати від сталої щ.
Аналогічно щ не залежить від на прямій х — у = 0, отже функції
«!(•) та ц2(-) незалежні на Л.
2.7 Залежність функцій
53
Теорема 2.16 (необхідна умова залежності функцій).
Нехай функції : С с Кп —» К належать до класу
причому п. > т. Тоді, якщо и\,...,ит є залежними е деякому околі
точки М, що є внутрішньою для О, то обов'язково гапвСі(М) < т.
<1 Нехай, наприклад, ит = Ф(иі,.... ц„_|) в деякому околі £7(М), тоді в
цій точці М маємо
дит _ ЗФ &Ц| ЗФ Зи2 + ЗФ Зит_|
Зх, Зиі дхі диг Зхі дит-і 8хі
дит _ ЗФ Зиі ЗФ Зц2 ЗФ Зит_|
Зхг Зц| Зі2 доа дх? Зищ-і Зхг
Зит _ ЗФ Зиі ЗФ диг ЗФ Згіт-і
Зхп 3и1 Зхп Зиг Зхп Зит-і дхп
Неважко помітити, що ці рівності означають лінійну залежність векторів
_ /Зиі ЗиЛ _ (дит дит\
= ( д—,. •., -X— І,.., = І -х—,..., -х— ), а саме
\ОХ| СЛГП/ \ дХ{ ОХп /
„ ЗФ _ ЗФ „ ЗФ „
Чит = -к— Чиї + -X— ^г + .-. + х--------'7ц„-і .
СГЦ| 01*2 О1*т-1
Отже рядки матриці йі — (дщ/дх^ є лінійно залежними і тому обов’яз-
ково гапвйі < т. о
Наслідок 2.9 (достатні умови незалежності функцій).
Нехай е умовах попередньої теореми гап8(3иі/3хі) (М) = т, тоді
функції иі(-)....“т(-) є незалежними е будь-якому околі точки М.
<1 Якби функції иіит(-) були залежними в деякому околі точки
М, тоді в силу попередньої теореми мало б бути гап£ (дщ/дх^ < т, що
протирічить умовам теореми. Отже ці функції є незалежними в будь-
якому околі точки М. о
Приклад 2.12 (продовження). Для абсолютно довільної точки
(хі,Х2,хз) Є К3 маємо
= 1 2*' 2р
9(хі, і2, а:з) Хг + Із х< + Іа Х1 + х^
Отже ранг цієї матриці завжди менше 3-х, а тому достатні умови
незалежності цих функцій не виконуються ні для якої точки.
54 Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
2.8 ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ НА ЕКСТРЕМУМ
Як і у випадку функції однієї змінної, одним з основних застосувань
диференціального числення є дослідження функції /(хі,хг, ...,х„) : К" -»
К на екстремум. При цьому означення локального екстремума в точці х«
дослівно повторює відповідне означення для функції однієї змінної і.
зокрема, також передбачає, що ця точка є внутрішньою для О/, тобто
функція /(х) є визначеною на деякому околі £7(хо) с О/.
Означення 2.9.
Якщо функція /(х) визначена на околі ІДїп) і Ух є 17(хо) /($) < /(х(і),
то точка £о називається точкою локального максимуми, а значення
/(ха) — локальним максимумом. Аналогічно — у випадку локального
мінімума.
Точка локального максимума або мінімума називається точкою
локального екстремума для /(х), а значення функції /(х0) е цій то-
чці — локальним екстремумом. Якщо при цьому V х Є V(£«) : х хо
відповідна нерівність е строгою, то локальний екстремум називає-
ться строгим.
Мал. 1 Мал. 2
Мал. З Мал. 4
Приклад 2.14. Розглянемо декілька простих функцій:
(1) /(х,у) = х2 + у2 — параболоїд обертання, тоді /(0,0) є локаль-
ним мінімумом (Мал. 1);
(2) /(х,у) = —(х2 + у2) — також параболоїд обертання, тоді /(0,0)
є локальним максимумом (Мал. 2);
(3) /(х, у) = у2 — х2 — точка (0,0) є сідловою, локального екстре-
мума в цій точці немає (Мал. 3);
(4) /(х, у) = \/х2 + у2 — коиус, для якого точка /(0,0) є локальним
мінімумом (Мал. 4).
2.8 Дослідження функції на екстремум
56
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Лема 2.5 (необхідна умова локального екстремума).
Нехай хо є точкою локального екстремума для функції /(х), причому
в ній існує похідна /Х',(хо) (можливо нескінченна). Тоді /№) = о.
< Нехай для зручності х, = хі. Розглянемо у(хі) = /(х|,х",...,х£), де
X! — змінна, а х“..х“ — відповідні координати точки х0 = (хі,...,х![),
тоді д(хі) має локальний екстремум в точці х“. Оскільки 3 з'(х*|) =
//(х(,), то за теоремою Ферма д'(х") = 0, звідки Д',(хо) = 0. >
З цієї леми автоматично випливає наступна теорема про необхідні
умови існування локального екстремума у дифереиційовиої функції.
Теорема 2.17 (необхідні умови локального екстремума).
Нехай хо є точкою локального екстремума для функції /(х), причому
в цій точці функція /(х) є диференційовною. Тоді обов’язково /'(хо) =
0 або <(С(хо) = 0.
Отже, локальні екстремуми слід шукати серед точок, в яких або /(х)
є недиференційовною, або д/(х) = 0. Такі точки (як і у випадку функції
однієї змінної) називаються критичними.
Приклад 2.14 (продовження). Функції (1), (2) та (3) в точці (0,0) є
дифереиційовннми, причому <2/(0,0) = 0. У функції (4) точка (0,0) є
такою, де /(х, у) недиференційовна. Отже у всіх чотирьох функцій
точка (0,0) справді є критичною. А те, що функція (3) в точці (0,0)
не має локального екстремума, ілюструє той факт, що умова 4/ = 0
є лише необхідною.
Очевидно, що при знаходженні достатніх умов локального екстрему-
ма аргументи типу “похідна змінює знак при переході через точку' (як
це було для функції однієї змінної) для функції декількох змінних вже
неможливі. Залишаються аналогічні до одновимірного випадку міркува-
ння за допомогою асимптотичних розкладів. При цьому, аналогічним же
чином, вирішальну роль відіграє 2-ий диференціал
п
^2/(®о) = 52 •
У=1
Справді, якщо 4Г(®о) = 0 (тобто виконано необхідну умову екстремума)
і /(х) є 2-диференційовиою в точці хо, тоді в деякому околі £7(хо)
1 п 1
д/ = /(®) - /(®о) = 2 52 •&Д®о)Дя:«ДяЗ + °(Р2) = 2 + °(Р2) •
У=і
Оскільки в силу малості доданку о)/?2) знак приросту Д/ в досить ма-
лому околі £7(хо) визначається знаком доданку <ї2/(хо), то розглянемо
вирази для д2/, тобто функції виду А(х) = 52у°^ХіХ^, детальніше.
Означення 2.10.
Функція виду А(х) = Оі/х<х^ називається квадратичною фор-
мою від х. Якщо при цьому 'і і,з а^ = а^, то квадратична форма
називається симетричною.
Якщо функція / є 2-диференційовною в точці Хо, то в силу рівно-
сті змішаних частинних похідних (дивись Зауваження 2.12 на стор. 40),
диференціал д2/ завжди є симетричною квадратичною формою.
Означення 2.11.
Квадратична форма А(х) називається:
1) додатньо-визначеною (позначатимемо А(х) > 0),
якщо Ух 9^0 А(х) > 0;
2) від’емно-визначеною (позначатимемо А(х) < 0),
якщо V х 0 А(х) < 0;
3) знакозмінною (позначатимемо А(х) 0),
якщо 3 хі, хг : А(і|) < 0 < А(хг).
Додатньо-визначені та еід'ємно-визначені квадратичні форми нази-
ваються знаковизначеними.
Наведемо кілька простих властивостей квадратичних форм, які нам
будуть потрібні в подальшому.
Лема 2.6 (про знаковизиачеиі квадратичні форми).
Розглянемо множину 3Г — {х: ||х|| = г} (яка є сферою радіуса т > 0)
та знаковизначену квадратичну форму А(-) на цій множині. Тоді
1) А(-) > 0 => 3 тіп{А(х), х Є 5Г} = пц > 0 ;
2) А(-) < 0 => 3 тах{А(х), х Є 5Г} = Мг < 0 .
< Оскільки множина 8Г є замкненою і обмеженою (тобто, компактною),
а функція А(-) скрізь неперервна, то за теоремою Веєрштраса 3 їщш Є
3Т : А(хшш) = шіп{А(х), х є 5Г}. Але Хщц, Є Зг, звідки хПщ, 0, а отже
пц. = .^(Хщіа) > 0 . Випадок МГ — аналогічно, о
Лема 2.7 (про збереження знаку форми на прямих).
Нехай А(-) є квадратичною формою, тоді УієК А(і і) = і2 А(х).
< Автоматичний наслідок з означення квадратичної форми, о
2.8 Дослідження функції на екстремум
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Лема 2.8 (про знакозмінні квадратичні форми).
Нехай квадратична форма Л(-) є знакозмінною, тоді
V г > О Зхі, х2 Є 5Г : А(хі) < 0 < Л(х2) •
<1 Для доведення досить взяти хі, їг з означення знакозмінності, роз-
глянути точки хіх = 5Г П {іхі, і Є В} та хг,г = 8Г П {іхг, і Є В} 1
використати лему про збереження знаку, о
Теорема 2.18 (достатні умови локального екстремума).
Нехай функція / є 2-диференційовною в точці хп, причому <//(їо) = 0
(тобто виконано необхідну умову екстремума). Тоді
1) </2/(хц) <0 => /(хц) — строгий локальний максимум;
2) </2/(хо) >0 => /(хо) — строгий локальний мінімум;
3) </2/(хц) § 0 => в точці х0 екстремума немає.
<1 За умовою теореми
/(«) - /(®0) = 1 £ ® + Є(|| д®||) • ||Дх||2 =
IIМ2 /Да2/&)
2 \м=1 дх'дхї
іідгіі' ||Д®|| +е(І|Лі|І)) -
причому перший доданок в дужках є значенням гі2/(хо) на 5,.
1) </2/(®о) <0 => З М < 0 : </2/ < М на 5і. Але оскільки Дх —» 0
=> є(||Дх||) —» 0, то існує окіл С/(хц), на якому є(Дх) < |М|/2 . Тому на
цьому околі маємо /(х) — /(х0) < 0, тобто /(хп) є строгим локальним
максимумом.
2) </2/(їо) > 0 — аналогічно.
3) Нехай </2/(х0) 0. Тоді існують її, х2 Є 5, : А(х,) < 0 < Л(х2).
Тому вздовж іхі для г = го + і®і маємо ||Д±|| — ||іхі|| = |і|, звідки
Д/ = /(х)-/(хо) = /(х0 + іхі) -/(х0) = 1— • |А(хі) + є(і)] •
Величина А(хі) < 0 є фіксованою і при і -> 0 маємо є(і) -» 0. Тому при
досить малих і А(гі) + є(і) < 0, звідки Ує > 0 З іс = + Є С4(®о) :
Д/ = /(х£) - /(го) < 0- Аналогічно вздовж іх2 при малих і Д/ > 0.
Отже як завгодно близько до хо є точки, в яких А(хі) < 0 < Л(х2). >
Зауваження 2.20. Достатні умови можна одержати коротшим шляхом,
користуючись при цьому лише тим, що Д/ = /(х) - /(х0) = </2/(с)/2.
Але, по-перше, це вимагає додаткових умов на </2/ (2-диференційовність
в околі точки іо), а, по-друге, при цьому важко сказати, що буде у
випадку знакозмінності <Р/. Єдине, що залишається в цьому випадку,
це безпосередній розгляд <і2/ або Д2/.
Отже використання достатніх умов екстремума вимагає вміння пере-
віряти знаковизначенність квадратичної форми. В загальному випадку це
можна зробити лише за допомогою наступної теореми, що доводиться в
курсі лінійної алгебри. При цьому нагадаємо, що головними мінорами
матриці А = (ау) називаються визначники з елементів матриці, розмі-
щених в її лівому верхньому куті, тобто
Ді =ац,
Д2 =
Цц Ц|2
021 “22
Д3 =
О|| 012 013
021 022 О2з
Озі Оз2 О33
Теорема 2.19 (критерій Сільвестра головних мінорів).
Квадратична форма АІЇ} = ^ацхіХ] е додатньо-визначеною » для
матриці А = (оу) квадратичної форми маємо Д| >0, Дз > 0, ...,Д„ >
0. Квадратична форма є від'ємно-визначеною <=> для матриці цієї
квадратичної форми маємо Д, < 0, Дз > 0, Дз < 0, ...
Зауваження 2.21. Для функції 2-х змінних /(х,ц) умови існування екс-
тремума можна доповнити умовами знакозмінності, а саме,
якщо Дз < 0, то в відповідній точці екстремума немає.
< Справді, розглянемо А(Дх, Ду) = /х'4(Дх)2 + 2/^ДхДц + /^(Ду)2.
1) Нехай тоді
А(Дх,Ду) = А-[(Л'і)2(Дх)2 + 2ЙА"ДхДу + Ду)2] -
/гх
= + /хіДу)2 + (&& - (Ду)2] =
= -^[(/х'ІД* + /^Ду)2 + Дг(Ду)2]
Іхх
Тому
а) ЯКЩО Дз = /ай/и - (Д)2 > о, ТО ЗІ£П А = ЗІ8П, звідки
/ж'і > 0 => А > 0 — локальний мінімум;
/"х < 0 => А < 0 — локальний максимум;
2.8 Дослідження функції на екстремум
59
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
б) якщо ж Дз < 0, то підбором значень Дх та Ду можна переко-
натись, що квадратична форма А є знакозмінною, тобто екстремума
немає.
2) Випадок Ді = 0, /уу ^0 є аналогічним до попереднього.
3) Якщо /хх = /„'і = 0 (при цьому завжди Д2 = ~(/х")2 < 0), тоді форма
А(Дх, Ду) = З/і'лДхДу є очевидно знакозмінною і екстремума немає.
4) Якщо ж Дз = /х'і/„'' — (/х'і)2 = 0, то можливо що завгодно, о
Приклад 2.14 (продовження).
(1) /(®,у) = ®2+у2, З.2/ = А(Дх, Ду) = 2 [(Дх)2 + (Ду)2] > 0, тому
/(0,0) є локальним мінімумом (Д, = 1 > 0, Дз = 1 > 0);
(2) /(х,у) = -(х2 + у2), </2/ = —2[(Дх)2 + (Ду)2] < 0, /(0,0) є
локальним максимумом (справді, Д, = — 1 < 0, Д2 = 1 > 0);
(3) /(х,у) = у2 - х2, гі2/ = 2 [(Ду)2 - (Дх)2] 0, тому локальних
екстремумів немає (справді, Д2 = —1 < 0).
Зауваження 2.22. Якщо <і2/ = 0, то можна узагальнити теорему про
достатні умови (через <ї3/, <ї4/ і т.д.) аналогічно до одиовимірного ви-
падку. Якщо ж сі2/ > 0 або гі2/ < 0 (тобто нерівності є нестрогими!),
то потрібно розглядати безпосередньо Д/ = /(х) -/(їо), як це зроблено
в наступному прикладі.
Приклад 2.15.
1) и = х3 + у3, критичною точкою є (0, 0), в цій точці сі2и = 0, а
Ди = (Дх)3 + (Ду)3 0, тому екстремума немає;
2) и = х4 + у4, критичною точкою є (0, 0), в цій точці <і2и = 0, а
Ди = (Дх)4 + (Ду)4 > 0, тому /(0,0) є локальним мінімумом;
3) и = х2, критичними точками є точки прямої х = 0, <і2и = 0,
Ди = (Дх)2 > 0 і на прямій х = 0 маємо нестрогий мінімум;
4) и = -х2, критичними точками є точки прямої х = 0, Ф2и = 0,
Ди = -(Дх)2 < 0 і на прямій х = 0 маємо нестрогий максимум.
Прикладом повного дослідження функції декількох змінних на екстремум
може служити розв'язок наступної задачі.
Приклад 2.16. Для системи матеріальних точок Мь = з
масами ть (де к = 1...п) треба знайти точку Мп = (іо>Уп), від-
носно якої момент інерції цієї системи є найменшим, тобто для якої
функція
і&у) = 52’п‘Кі-аі)2 + в~ь‘)2і
4=1
приймає найменше можливе значення.
<1 Відразу відмітимо, що в задачі мова йде не про локальний, а
про глобальний екстремум. Проте за допомогою не дуже складних
міркувань (спробуйте виконати їх самостійно!) можна довести, що
у функції І(х,у) справді існує найменше значення. Але оскільки
кожний глобальний екстремум такої функції (яка визначена при всіх
(х,у) є В2) буде одночасно і локальним, то залишається знайти всі
локальні мінімуми нашої функції.
1. Необхідні умови. Знаходимо критичні точки. Оскільки наша
функція є скрізь диференційовною, то такі точки є розв’язками си-
стеми ді/дх = 0, ді/ду = 0, тобто
^ = 2^ть(х-аь)=0
^ = 2^ть(у-Ьь) = 0
1 ”
У0 = ~ У' т4 Ь4
т
де т = ^2"тц. Отже маємо єдину критичну точку (хо.уіі).
2. Достатні умови. Оскільки критична точка єдина, то з сказаного
вище вже випливає, що (хо,і/о) є шуканою точкою. Проте для при-
кладу дослідимо цю критичну точку повністю. Оскільки =
2т, а 1'^ = = 0, то матриця другої похідної має вигляд
0
2тп
звідки
Ді = 2т, Дз =
2т 0
0 2т
= 4т2
Оскільки Д| > 0, Дз > 0 (або для диференціала маємо просто
гі2І = 2т[(Дх)2 + (Др)2] > 0), то точка (х0, г/п) є точкою локаль-
ного мінімума, а тому, в силу вищесказаного, — точкою загального
мінімума для функції І(х,у). о
2.9 УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ
В попередньому розділі ми розглядали задачу дослідження функції /(х)
на екстремум, по-перше, у внутрішній точці області визначення Су, і,
по-друге, відносно всіх сусідніх точок області визначення. Проте дуже
часто виникає потреба в дослідженні функції на екстремум відносно не
2.9 Умовний екстремум
61
62
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
всіх сусідніх точок, а лише відносно точок деякої підмножини З С £>/.
Таку задачу, що не має аналогів для функцій однієї змінної, можна в
загальних рисах сформулювати наступним чином:
дослідити функцію /(х1, ...,хп) на екстремум при
умові, що ( (і,,..., хп) = 0
< .......................... (2.29)
, • • , Хп) — 0
Рівняння умов (тобто рівняння системи (2.29)) часто називають рівнян-
нями зв'язку або просто зв'язками. Іншими словами, якщо позначити
через 3 розв’язок цієї системи (що, як правило, є (п — тп)-внмірною
поверхнею), то мова йде про дослідження функції /(х) лише на цій по-
верхні, тобто про дослідження на екстремум звуження /|$ функції /(х)
на множину 3.
Приклад 2.17. Нехай /{х,у) = х2 + у2 (дивись Мвл. 1 на стор. 54).
Оскільки точка (0,0) є точкою безумовного локального міиімума для
/(.т,1/), то очевидно, що на будь-якій кривій І, що проходить через
точку (0,0), функція /|| також матиме умовний локальний мінімум.
Приклад 2.18. Нехай /(х,у) — у2 — !2 (дивись Мал. З на стор. 54).
На прямій її = {у = 0} маємо /|і, = — х2 1 точка (0,0) є точкою
умовного (при у = 0) локального максимума, тобто точкою звичай-
ного локального максимума для звуження /|1а на пряму {у = 0}.
Аналогічно на І? = {х = 0} функція /|;а = у2 в точці (0,0) матиме
умовний локальний мінімум.
Найпростішим методом дослідження функції /(х) на умовний екстремум
є метод виключення, який полягає в наступному. Якщо система (2.29)
допускає явний розв'язок, наприклад
%1 ~ Лі(хт+|....Хп)
.....~............................. (2.30)
хт — ^т^т+Ь • • • ,хп)
то задача дослідження иа умовний екстремум зводиться до підстановки в
/(її,... ,хп) замість значень змінних хі,... ,хт виразів для цих змінних
з (2.30) (тобто виключення цих змінних), а після цього дослідження
функції
/(•Гт+1, ...» *Гп) и /(3-І (хт^.|,..., Хп), . .. , Хт(хт+|,..., Хп), Хт^>], . . . , Хд)
на звичайний “безумовний” екстремум, адже змінні хт+і,... ,хп вже є не-
залежними. Схема застосування цього методу є абсолютно очевидною,
проте застосувати його иа практиці вдається дуже рідко, оскільки в пе-
реважній більшості випадків отримання явних розв’язків системи (2.29)
у вигляді типу (2.30) є неможливим.
Універсальним і ефективним методом дослідження функції на умовний
екстремум є метод Лагранжа (його ще називають методом невизна-
чених множників), який базується на наступній теоремі. Для того, щоб
умови цієї теореми були зрозумілішими, звернемо увагу на такий момент.
Рівняння зв'язку повинні бути функціонально незалежними, адже залеж-
ні рівняння є зайвими і їх завжди можна відкинути. Єдиним способом
перевірки незалежності цих рівнянь є розгляд матриці (дфі/дхі) (дивись
Теорему 2.16 та її наслідок). Тому, зокрема, повинно бути т < п, тоб-
то кількість рівнянь зв’язку повинна бути меншою за кількість змінних.
Крім того, з курсу лінійної алгебри відомо, що гап£(3у>і/3х^) = т тоді і
тільки тоді, коли існує иенульовий мінор т-го порядку цієї матриці. Без
будь-якої втрати загальності можна вважати, що
* о , (2.3І)
інакше можна просто змінити порядок змінних хи...,хп. При цьому
в силу загальної теореми про неявну функцію в певному околі (7(хо)
розв'язок системи (2.29) можна представити у вигляді (2.30).
Теорема 2.20 (про необхідні умови умовного екстремуме).
Нехай /, у>і,...,¥>т Є С'(£>), де О в пеєною областю є К", причому
1) в точкою умовного екстремуме для / при умовах (2.29),
2) тах^дфі/дх^ха) = т.
Тоді існують такі числа Аі,...,Ат, що точка хц е критичною для
Цх) = /(і) + Аіу>і (2) + ... + Ат<рт(х) . (2.32)
< Нехай 20 = (і;,... ,х"). В силу зроблених перед теоремою зауважень
можна аважати виконаною умову (2.31), тому розглянемо / та <рі,...,
як функції від хі,...,хт при фіксованих хт+1 = х^+|,...,х„ = х" і
позначимо через '7т оператор ..., . Тоді умова (2.31) означає,
що вектори '7ту>і(х0), • •,'^ту>т(20) з Кт є лінійно незалежними, а
отже утворюють базнс в Кт. Таким чином
З А],..., Хт : Ї7т/(хо) + А,'Ї7ОТ срДхо) = 0
2.9 Умовний екстремум 63
64
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
або в координатному вигляді
ді _ дф,
^) + к = 1,...,т. (.)
Як вже було відмічено, з умови (2.31) та загальної теореми про неявну
функцію випливає, що для системи (2.29) в околі точки хо існує розв’я-
зок виду (2.30), причому функції !,(•) є неперервно диференційовними.
Тому в цьому околі умови (2.29) набувають вигляду тотожностей
<рі(Х|(хт+1, . . . ,ХП), . . . ,хт(хт+1, ... ,хп),хт+і,... ,хп) = 0 ,
де і = 1, ...,т, причому хт+і,...,хп є незалежними змінними. Дифе-
ренціюючи ці тотожності по хт+|,..., х„, одержимо
дфі дхк дфі
“ дхк дхі ді] ' '
З умови (1) нашої теореми випливає, що (х^,+,,..., х}[) є точкою звичай-
ного (тобто “безумовного”) екстремума функції
/(Х1(хт+1, . . • , Х„),. . . , Хт(хт+|,. . . , Хп), Хт+], . . . , Хп)
з незалежними змінними хт+|..., х„. Звідси за необхідною умовою екс-
тремума для цієї функції
(V” , ^/
\ дяь дхі дхі
Підставивши сюди 3//йхь з (»), отримаємо
о 1- , V—' ( у @ф, \ дхк д/ ’
- ^(Хо)+Е Е +Е<-А<)-
де з = т + 1,..., п. Звідси та з (**) маємо
д/, г'Лй
ат(г«) + ЕА‘£: = о- з=т + і,...,п.
3 І=1 3
= 0 , ) = т+ 1,... ,п .
ул Зй
дхк дх, '
Отже рівність (*) виконується V / = 1,...,п, тобто
Означення 2.12.
Функція (2.32) називається функцією Лагранжа для задачі дослідже-
ння на умовний екстремум функції / при умовах (2.29).
Що стосується достатніх умов існування умовного екстремуму, то
відмітимо таке. Нехай 3 є поверхнею, що описується системою (2.29),
тоді на цій поверхні /І5 = Д|$, звідки для функції Лагранжа Цх) маємо
1) точки екстремуму для /І® та ДІ5 співпадають;
2) в точці, де виконуються необхідні умови умовного екстремуму, в
силу
попередньої теореми
ДД|5 = Д(х)|5-Д(х0) = і<і2Д|5 + ... .
Отже, вигляд <і2Д|з так само визначає існування умовного екстремуму та
його тип, як вигляд <і2/ у випадку звичайного безумовного екстремуму.
Приклад 2.19. Дослідимо на екстремум функцію и = х + у + а при
умові X = X2 + у2.
< Спочатку розв'яжемо задачу методом виключення. Для цього
підставимо до и(х, у, х) змінну а з умови екстремуму і отримаємо
задачу дослідження на звичайний безумовний екстремум функції
и = х + у + х2 + у2. Розв'язавши останню задачу отримуємо, що
функція и — х+у+зР+у2 має єдиний локальний екстремум (мінімум)
в точці х = у = -1/2. Отже, отримавши з умови а(-1/2,-1/2) =
1/2, маємо, що у функції и — х+у+х на поверхні х = з?+у2 є єдина
точка умовного екстремуму (мінімуму) при х = у = -1/2, а — 1/2.
Тепер розв’яжемо цю задачу методом Лагранжа. Функція Ла-
гранжа має вид
Цх, у,х) = х+у + х + Х(х2 + у2-2).
Розглянемо необхідні умови екстремуму:
= 1 + 2Ах = 0
Ц = 1 + 2Ау = 0
Ц = 1-А = 0
X = X2 + у2
А = 1
1 + 2х = 0
1 + 2у = 0
X = X2 + у2
А = 1
х = -1/2
!/ = -1/2
а = 1/2 .
57Б(хо) = Ф/(х0) + Хі^ф^хц) - 0 ,
і точка хо справді є критичною точкою для функції Цх). >
Розглянемо достатні умови екстремуму. Оскільки = Цуу = 2А,
= 0, а всі мішані похідні дорівнюють нулю, то при А = 1 маємо
<і2Ц<іх, д.у, сіх) = 2 (<іх)2 + 2 (<іу)2 + 0 (<іх)2 .
2.9 Умовний екстремум
65
Розділ 2. ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ
Якщо при цьому з рівняння умови виразити гіг через <1х та сіу, то
гі2Ь(гіх, гір) = 2(гіт)2 + 2(гіу)2 е додатиьо-визиаченою кввдратичиою
формою від (гіх,гір), тобто точка х = у = —1/2, а = 1/2 є точкою
умовного мінімуму, о
З задачею на умовний екстремум тісио пов'язана задача знаходження
найбільшого і найменшого значення функції на множині. Алгоритм
роз'язування такої задачі в цілому повторює алгоритм знаходження най-
більшого і найменшого значення функції на відрізку: спочатку знаходимо
критичні точки, а потім — обчислюємо значення функції в усіх таких
точках і на краях множини і вибираємо найбільше та найменше значен-
ня. Проте для функції декількох змінних критичні точки треба шукати
не лише у внутрішніх точках множини (точки можливого безумовного
екстремуму) але і на межі множини (точкн можливого умовного екстре-
муму) .
Приклад 2.20. Знайдемо найбільше і найменше значення функції
и — х + у + г на множині точок, координати яких задовольняють
умові X2 + у2 < 2 < 1.
<1 Шукаємо точкн можливого максимума та мінімума: г»
а) всередині множини, тобто при умові х2+у2 < г < 1:
и'х = и„ = и'- = 1 0 , \ /
отже всередині множини критичних точок немає.
б) на межі множини: межа миожнни складається з х/' %
частини параболоїда г = х2 + у2, х2 + у2 < 1, круга
г[х,у) = 11 х? + у2 < 1 і кола 2 = 1, х(х,у) = х2 + у2, тому треба
розглянути кожну з цих частин окремо.
Для параболоїда г(х,у) = х2 + у2, х2 + у2 < 1, скористаємось
методом підстановки, тоді отримаємо звичайну задачу на безумовний
екстремум и = х + у + X2 + у2, х2 + у2 < 1. При цьому (дивись
попередній приклад) маємо єдину критичну точку х = —1/2, у =
-1/2, 2 = 1/2.
Для круга г(х,у) = 1, х2 + у2 < 1, знову таки за методом
підстановки отримаємо звичайну задачу на безумовний екстремум
и = х + у + 1, х2 + у2 < 1. При цьому = 1 0 і отже
всередині цього круга критичних точок немає.
Для кола 2 = 1, 2 = х2 + у2, зробимо підстановку 2 = 1, після
чого до и(х, у) = х + у + 1 при умові х2 + у2 — 1 застосуємо метод
Лагранжа:
і(х, у) = х + у + 1 + Х(х2 + у2 - 1) ,
звідки
' Ц, = 1 + 2Ат = 0 Аі,2 = ±1/т/2
< Ьу = 1 + 2Ху = 0 <=> хі = -1/2\/2, уг = -1/2-У2
т2 + у2 = 1 І2 = 1/2ч/2, уг = 1/2ч/2 .
Отже ми отримали три точки, в яких виконано необхідні умови екс-
тремума (безумовного та умовного). Оскільки наша множина є за-
мкненою і обмеженою, а наша функція — неперервною, то за тео-
ремою Веєрштраса найбільше та найменше значення нашої функції
иа цій множині обов’язково досягаються. Тому ці значення можуть
бути тільки в знайдених точках. Таким чином, обчислюючи значен-
ня нашої функції в кожній з знайдених трьох точок, отримаємо, що
шіп{и} = —1/2 , тах{и} = 1 + у/2 . >
2.10 ПІДСУМКОВІ ЗАУВАЖЕННЯ
Основними та абсолютно обов’язковими для засвоєння поняттями да-
ного розділу є наступні:
- границя функції декількох змінних;
- частинна похідна та диференціал функції декількох змінних;
- диференційовність функції декількох змінних;
- похідиі та диференціали вищих порядків;
- оператори похідної та диференціала;
- матриця Якобі та якобіан;
- дотична площина та нормаль до поверхні;
- залежність функцій;
- критична точка функції декількох змінних;
- безумовний та умовний локальний екстремум;
- квадратична форма та її знаковизначеиість;
- функція Лагранжа для задачі на умовний екстремум.
Основними твердженнями та формулами даного розділу є наступні:
- необхідні умови днференційовності функції декількох ЗМІННИХ;
- достатні умови днференційовності функції декількох змінних;
- загальне правило диференціювання складної функції;
- геометричний смисл диференційовиості функції декількох змінних;
2.10 Підсумкові зауваження
67
- умови незалежності змішаних похідних від порядку диференціюван-
ня;
- формула для диференціала к-го порядку для незалежних змінних;
- формула Тейлора;
- загальні умови існування неявно заданої та оберненої функцій;
- умови залежності функцій;
- необхідні умови локального екстремума;
- достатні умови локального екстремума;
- критерій знаковизначеності квадратичної форми.
Основними задачами, що стосуються матеріалу даного розділу є такі:
- обчислення частинних похідних та диференціалів від функції декіль-
кох змінних (в тому числі заданих неявно та параметрично);
- заміна змінних в диференціальних виразах;
- дослідження функції декількох змінних на екстремум (безумовний
та умовний);
- застосування методу Лагранжа до дослідження функції декількох
змінних на умовний екстремум;
- знаходження найбільшого та найменшого значення функції декількох
змінних на множині.
Типовими та найпоширенішими помилками, що стосуються диференцію-
вання функцій декількох змінних є наступні:
- технічні помилки в силу громіздкості відповідних виразів;
- неправильне обчислення частинних похідних вищих порядків від
складної функції ;
- неправильне застосування достатніх умов локального екстремума;
- зайва перевірка достатніх умов екстремума при знаходженні найбіль-
шого та найменшого значень функції декількох змінних на замкненій
та обмеженій множині.
ІНТЕГРАЛИ
В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Нагвдаємо загальну конструкцію інтеграла та її застосування. Нехай ма-
ємо деяку множину X С К3 з мірою д (тобто криву, поверхню або об'-
ємну область з відповідною геометричною мірою) та функцію множини
С), яка має наступні властивості:
1) є аддитивною, тобто ДХ;) = і
2) е локально лінійною, тобто (З(ДХ') » д(х) • д(ДХ), де х Є ДХ .
Тоді, розглядаючи розбиття X = ^\ДХ, на досить малі частини, шля-
хом граничного переходу (тобто для “нескінченно дрібного розбиття”)
одержимо
= 1іт^в(х4).д(ДХ() = «Сг)м(іг) .
* X
З загального виду числових функцій від скалярних або векторних ком-
понент (дивись в Додатку про типи функцій від фізичних величин) ви-
пливає, що поєний список всіх можливих випадків (тобто всіх мо-
жливих інтегралів в К3) є наступним
Вид множини Орієнтація Вигляд Д<2 Вигляд гіф
Крнві (одновимірні) иеорієнтовні орієнтовні Д<2 = / • Дї Д<2 = а • Дг & а- О О II II ©1 % 5=
Поверхні (двоовнмірні) неорієнтовні орієнтовні Дф = У•Д5 — а • Д5 гіф = /гі5 гіф = а • (15
Об'ємні області (тривимірні) неорієнтовні орієнтовні д<2 = / • Д V = / • д7 я "я II II СУ О я та
68
69
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
При цьому, як вже було виявлено в Додатку, можна вважати, що
- величини /гі/, /<і.8 та /гіУ є масами з густиною (щільністю) /;
- величина а гіг є циркуляцією або роботою вздовж гіг;
- величина а <13 є потоком через поверхню <13 в заданому напрямку.
Звідси автоматично отримуємо інтерпретацію відповідних інтегралів:
- повна маса (лінійна, поверхнева чи просторова);
- циркуляція або робота вздовж всієї кривої;
- потік через всю поверхню в заданому напрямку.
Інтеграли від /гі!, /д.3 та /гіУ (тобто інтеграли по неорієнтовним мі-
рам) називають інтегралами 1-го роду, а інтеграли від а гіг, агі5 та
/гіЦ (тобто інтеграли по орієнтовним мірам) — інтегралами 2-го роду.
Різницю між цими двома типами інтегралів ми бачили вже при розгляді
звичайного визначеного інтеграла від функції однієї змінної, а саме ін-
теграл 1-го роду — це інтеграл по відрізку, а інтеграл 2-го роду — це
інтеграл від точки до точки.
В нашому розгляді ми в основному матимемо справу з інтегралами від
функцій двох або трьох змінних, що відповідає розмірності оточуючого
нас геометричного простору. Проте абсолютно очевидною є збереження
переважної більшості відповідних понять, властивостей та формул для
функцій від будь-якої кількості змінних.
Почнемо розгляд з інтегралів і-го роду. Найпростішим таким інтегра-
лом є інтеграл по множині розмірності простору (в К2 це 2-вимірні мно-
жини, в К3 — 3-вимірні), такі інтеграли називають кратними. Для кра-
тних інтегралів означення, критерій інтегровності обмеженої функції, до-
статні умови інтегровності та основні властивості інтеграла є практично
дослівним повторенням (разом з доведеннями!) відповідних тверджень
щодо інтеграла по відрізку. Обчислення кратних інтегралів відбуває-
ться шляхом почергового інтегрування по кожній змінній, а відповідний
алгоритм називається зведенням кратного інтеграла до повторного.
Важливу роль, як і раніше, відіграє заміна змінних, проте в кратних
інтегралах вона вживається, як правило, не для спрощення виразу підін-
тегральної функції, а для спрощення області інтегрування.
Інтеграли по кривих та поверхнях (тобто по множинах, розмірність
яких є меншою за розмірність простору), називають відповідно криво-
лінійними та поверхневими. Такі інтеграли мають всі властивості “зви-
чайних" інтегралів, а обчислюються по заданому рівнянню кривої чи по-
верхні зведенням цих інтегралів до відповідно однократного та кратного
інтегралів.
Інтеграли 2-го роду також є інтегралами по мірі, тільки по мірі орі-
єнтовній (яка враховує орієнтацію відповідної множини, а тому може
бути від’ємною). Проте їх принципово важливою особливістю є те, що
такі інтеграли з аналітичної точки зору є інтегралами від диферен-
ціальних форм. Так, наприклад, якщо /(х)д.х є інтегралом по від-
різку [а, Ь] (скажімо, масою цього відрізка з лінійною щільністю /), то
Г/(х)<іх є інтегралом від диференціальної форми /(х)<іх, для якого
ЦдР(х) = Р(Ь) — Р(а). Ця знаменита формула при розгляді довільних
інтегралів від диференціальних форм перетворюється на загальну фор-
мулу Стокса /мда> = /вмш , де гіш є зовнішім диференціалом від
форми ш, а дМ — відповідно орієнтованою межею множини М. Частин-
ними випадками цієї фундаментальної формули є не лише вже згада-
на формула Ньютона-Лейбніца, але і дуже важливі формули Гріна та
Гаусса-Остроградського.
3.1 ІНТЕГРАЛИ 1-ГО РОДУ
3.1.1 Кратний інтеграл
Нагадаємо, що інтегралом по відрізку [а,Ь] є границя Ііт£,/(х,)Дхі,
це а = хо <х, < ... < хн = Ь е розбиттям відрізка, а Дх; — довжиною
частини [лі-і, Лі] цього розбиття. Тому для функції двох змінних /(х,у),
де (х, у) Є П С К2, в силу рівності
52 Дл = (*)
х ' у ‘ х,у
де ДгДт/ > 0 є площею координатного прямокутника Д2? з розбиття
множини 2? на частини, границю
Шп£ /(гг,у)ДгДі/ = 1іт£ У(А) пл(ДД)
природно назвати подвійним інтегралом і позначити Аналогічно
— потрійні інтеграли ///і взагалі п-кратні. При цьому виявиться
(що видно вже з (*)), що // /дхду = / ( / /ду)дх = / дх //(х,у)ду,
аналогічно для потрійних і взагалі — для довільних кратних інтегралів.
Надзвичайно важливо відмітити, що заміна в (*) змінних х та у
на будь-які інші (наприклад, на т та ір) нічого не змінює по суті,
тобто Аг Аїр — це все одно площа прямокутника з сторонами Аг
та Аїр. Отже геометричний зміст суми в (♦) є завжди одним і
тим же, а саме маємо ПДСК, де координати позначаються довіль-
ними літерами ((з,2), (т,р), (и,і>) і т.п.)> розбиття О = ^Д2?, на
прямокутні частини АІ)і та суму /(Аі) пл(АИі), де А, є АО[.
3.1 Інтеграли 1-го роду
Розділ З, ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Перейдемо до точних означень. Для функцій декількох змінних існує
обчислювальна процедура, яка називається інтегралом Рімана по мно-
жині і є аналогічною до інтеграла Рімана по відрізку. Розглянемо цю
конструкцію детально.
Почнемо з розгляду розбиття множини на частини. Нехай 2? С К"
є вимірною (за Жорданом) множиною, ц( •) — мірою Жордана в про-
сторі Кп, а величина д(А) = зир{||яі — ±2||, їьїг Є А} — діаметром
множини. Тоді набір множин {2?ь..., От} називатимемо розбиттям
множини И, якщо*,
(а) О = □ Р2 □ ... □ От :
(б) 2?і,...,2?т — непорожні і вимірні ;
(в) р(Оі П 2^) = 0 (і # ;) .
Зауваження 3.1. Оскільки для вимірної множини 2? С завжди маємо
у(дО) = 0, то з умови (в) випливає, що множини розбиття можуть
перетинатись, скажімо, по спільній частині межі. Наприклад, на прямій
В1 [1,3] = [1,2] □ [2,3], де [1,2] П [2,3] = {2}.
Зауваження 3.2. Існують як завгодно дрібні розбиття на вимірні части-
ни,
тобто їе>0 9 розбиття О = 2);и.. .112%,. :
тахі гі(2),!) < є . Таке розбиття можна утво- . [
рити, наприклад, за допомогою розбиття на ......исГ....АГ'Тс....
координатні клітини відповідного рангу (ди- /[ ; [ А
вись малюнок). і І
Зауваження 3.3. Для будь-якого розбиття V . : . /
7П ~--,--
нір) = 52м(Д).
»=і
Означення 3.1.
Нехай маємо вимірну множину 2) с К” та функцію /їх), х Є 2). Роз-
глянемо X = {2)ь..., 2%} — розбиття множини О, Г — {71,... ,7т}
{де 7і Є Д) — набір точок з множин розбиття. Тоді сума
т
>=і
називається інтегральною сумою Рімана функції / по множині О,
величина л{Х} = тахгі(Д) — дрібністю розбиття X, а границя
Ііт І(Х,Г)
(якщо вона існує, є скінченною і не залежить ні від способу розбиття
X, ні від вибору точок Г) — інтегралом Рімана від функцій / по
множині О, позначається
У/(х)д(гіх) або ^...^/(х,,...,хп)(іх1...дхп .
о о
Функція / називається інтегровною за Ріманом на множині О,
якщо існує скінченний }п/(х)гіх.
Як бачимо, це означення повністю повторює відповідне означення для
інтеграла по відрізку, а отже є узагальненням цього інтеграла на випадок
функції /(х!,...,хп) декількох змінних. Так само дослівно з одновимір-
ного випадку переноситься і аргументація в наступних двох прикладах.
Приклад 3.1. Нехай /(х) = с, х Є О. Тоді /(х) є інтегровною на
множині О, причому
У ср{<іх) = с р(гіх) ,
о
зокрема
Приклад 3.2. Розглянемо функцію
. ґ 1, всі числа х; є раціональними;
І(хі, ,хп) ~ | о, хоча б одне х( є ірраціональним.
Тоді Дх) не є інтегровною за Ріманом ні на якій множині 2) С К".
Приклад 3.3. Нехай р(П) = 0, тоді будь-яка функція / є інтегров-
ною на О, причому /о/гір = 0.
Зауваження 3.4. На відміну від одновимірного випадку, для кратного
інтеграла обмеженість функції вже не є необхідною умовою інтегровно-
сті (дивись попередній приклад, де /(х) може бути необмеженою на О).
Проте необмеженість може виникати лише на множині міри 0, що не змі-
нює ні інтегровності, ні значення інтеграла. Тому реально цілком досить
обмежених функцій, що ми і будемо надалі передбачати.
3.1 Інтеграли 1-го роду
73
Розділ З, ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Нехай функція /(х2, ...,хл) є обмеженою. Тоді означення сум Дарбу
та подрібнення розбиття, а також теорема про властивості сум Дарбу
переносяться з одновимірного випадку дослівно разом з доведенням, а
критерій інтегровності набуває наступного вигляду.
Теорема 3.1 (критерій іитегровиості за Ріманом).
Нехай функція /(х) є обмеженою на О С К". Тоді /(х) є інтееровною
за Ріманом на О <=> Уе > 0 ЗХ£: 5(Х£) — 5(Х£) < є .
<1 Оскільки використано лише властивості сум Дарбу, які для кратних
інтегралів повністю зберігаються, то доведення переноситься дослівно
шляхом заміни слів “відрізки розбиття" на “множини розбиття”, о
Теорема 3.2 (достатні умови іитегровиості).
Нехай функція /(х) задовольняє умовам:
1) {(х) є обмеженою на компакті Осі";
2) р(Е/ О .0) = 0, де Е/ — множина точок розриву функції /(х).
Тоді функція /(х) є інтееровною за Ріманом на множині О.
< Відмітимо, що за означенням міри Жордана, друга умова теореми
означає, що Уе > 0 існує зовнішній координатний багатокутник Аг, для
якого р(Л.) < є. Після цього стає очевидною ідентичність цієї умови
з відповідною умовою теореми про достатні умови Інтегровності функції
однієї змінної на відрізку. Тому, замінивши А. = (<2і,Ьі) О...О (ат,Ьт) з
одновимірного випадку на А. = Ті О... О Тт, де Тт є відкритими коор-
динатними клітинами, маємо можливість дослівно перенести відповідне
одновимірне доведення на наш випадок. >
Наслідок 3.1 (інтегровиість неперервної функції).
Нехай функція /(х) є неперервною на компактній множині О, тоді
вона є інтееровною за Ріманом на цій множині.
Наслідок 3.2 (інтегровиість суми, добутку та модуля).
Нехай / та д є обмеженими на О, причому р(Е/С\О) = р(ЕапО) = 0.
Тоді функції / ±5, / • д та |/| також є обмеженими на О, причому
ц(Е/±1ПО) = іДЕ/.дПЕ) = ц(Е\/\П27) = 0. Тому /±д, / д та |/| також
задовольняють умовам теореми про достатні умови інтегровності, а
отже є інтегровними на О.
З точки зору точного і коректного застосування кратного інтеграла
Рімана дуже важливою є наступна теорема про місце в інтегруванні межі
дО множини інтегрування О.
Теорема 3.3.
Нехай множина О С К" є вимірною, а функція /(х) — обмеженою на
замиканні О множини О. Тоді
/(±) є інтееровною на О /(і) є інтееровною на О ,
причому (у випадку інтегровності) /о/(х)<й = /(х)<іх .
<1 Розглянемо множину Оц = 0 — 0, тоді м(Ді) = 0- Справді, £>,, С дО,
а тому у випадку ц(Ои) > 0 існує координатна клітина П с Оа, але тоді
центр цієї координатної клітини не може бути граничною точкою для £>.
Нехай тепер /(х) є іитегровною на О. Фіксуємо є > 0. В силу крите-
рія інтегровності існує розбиття Хе = {Деи...и.О£г} : 8(Хс)—8_(Хг) < є.
Оскільки для Оа = О — О маємо іДОц) = 0, то для будь-якого розбиття
Хи множини Оо маємо 5(Х0) = 5(Хи) = 0. Тому, якщо утворити розбит-
тя множини С = Р II Д об'єднавши X, = X. О Ха, то 5(Х£) = 5(Х.) і
3(ХС) = 3(Х;), звідки 5(Х£) — 5(Х£) < є, тобто / є іитегровною на £>.
Доведення оберненого твердження (інтегровиість на О => інтегров-
иість на О) є практично аналогічним. Рівність же інтегралів по в та
О (у випадку інтегровності) випливає з того, що, як було показано ви-
ще, для будь-якого розбиття X множини О існує його доповнення X до
розбиття множини О таке, що 3(Х) = 3(Х) та £(Х) = £(Х). >
Наслідок 3.3.
Якщо / є обмеженою на О, то продовживши } до обмеженої О до-
вільним чином, одержимо, що при цьому не зміняться ні інтегровність
функції { (якщо вона є), ні значення інтеграла. Отже, при розгляді
інтегралів /гір. від обмежених функцій неістотно, чи включається
до області інтегрування О межа цієї множини дО і, зокрема, чи є
функція / визначеною на дО.
Теорема 3.4 (про основні властивості кратного інтеграла).
Нехай функції /(І) та д(ї) задовольняють умовам Теореми 3.2. Тоді
1) м(Г>1ПГ>2) = 0 => / /=//+//-,
В^иВз Ві
2) уа,3 І(а/ + Зд) = аІ/ + ЗІд-,
В о о
3) У >0 на Б => / / > 0, звідки / > д => / / > / д ;
В В В
<1 Доведення з одновимірного випадку переноситься без змін. >
3.1 інтеграли 1-го роду
Розділ З, ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Приклад 3.4. Розглянемо подвійний інтеграл Д5зі§п(х — у)іх<іу
по множині 8 = {(х,у) : 0<х,у< 1}. Тоді (дивись малюнок)
Д58І8п(х-у)</х</у =
5+ = {(х,у)є5: х-у>0}
8- = {(я,у) Є 8 : х - у < 0}
X
= //(+1)<іг</у + /$(-1)<1х<1у = 1 • пл(5+) + (-1) • пл(5_) = 0 .
5+ ї_
Теорема 3.5 (про середнє).
Нехай множина Осі" г лінійно зв'язною та компактною, функція
/(х) задовольняє умовам Теореми 3.2, а д(х) є неперервною на О. Тоді
якщо /(х) > 0 на О, то
ЗсЄГ>: У(ї)р(ї)<й - д(с) /(х)дх .
о о
< Оскільки д(х) Є С(О), то існують точки Є О, в яких
й(5ш;п) = тіп{д(х), х Є О} = т, д(хшах) = тах{д(х), х Є О} = М.
Оскільки множина О є лінійно зв'язною, то д(х) приймає всі проміжні
значення між т та М. Всі інші міркування повністю повторюють одно-
внмірний випадок. >
Як вже було відмічено вже на початку розділу, обчислення кратного
інтеграла зводиться до повторного обчислення однократних інтегралів.
Для більшої наочності ми обмежимось формулюванням та доведенням
відповідних тверджень лише для подвійних інтегралів. Вигляд та дове-
дення відповідних тверджень для довільних кратних інтегралів є досить
очевидними.
Лема 3.1 (про неперервність інтеграла з параметром).
Нехай
1) р(х),ф(х) є С[а, Ь], <р(х) < ф(х) на [а, Ь] ;
2) /&У) Є С(О),
де О = {(х, у) : а < х < Ь, <р(х) <у < ф(х)} є
криволінійною трапецією (дивись малюнок).
Тоді І(х)= [ /(х,у)ду є С[а,&].
-'о(і)
<1 Перейдемо в інтегралі І(х) до сталих меж інтегрування, для чого при
кожному фіксованому х Є [а, Ь] зробимо заміну
у = <р(х) + [ф(х)-<р(х)]і: [0,1] -> [<р(х),ф(х)] .
Тоді ду = М®) — ^(я)] а отже
Л®) = [ /(т:,р(х) + [ф(х)-<р(х)]і)[ф(х)-ір(х)]аі
до
або !(х) =/^/(х,і)ді, де /(х,і)єС(П), П = [а, Ь] х [0,1].
Фіксуємо є > 0. Тоді за теоремою Кантора для функції / на П існує
<5 = <5(е)>0, для якого
х/(лі -х2)2+ (Ї! - ї2)2 < <5 =ь [/(хьї,) - /(х2,і2)| < є .
Тому, оскільки |хі - х2| < <5 => ||(хі,і) - (х2,ї)|| = |іі - х2| < 5, то
при |хі — х2| < <5 маємо
|7(хі) -/(х2)| < [ \/(хі,і)~/(х2,і)\ді < [ єді = є . >
зп зп
Теорема 3.6 (про зведення подвійного інтеграла до повторного).
В умовах попередньої леми
г г гЬ
/ / /(х,у)дхду = / Ох / /(х,у)ду . (3.2)
д д да д<л(х\
В
<1 3 леми випливає, що !(х) = /(х,у)ду Є С[а, д], звідки існує
повторний інтеграл
Гь гь-іх)
І !(х)дх= І дх І /(х,у)ду .
’а да д<^(х)
Доведемо, що цей повторний інтеграл співпадає з нашим подвійним.
Розіб'ємо 2? на замкнені криволінійні клітини:
по вертикалі — прямими х = хіг де
а = Ха < хі < ... < Хк = Ь, Ах = (Ь - а)/к,
по горизонталі — кривими у = 9^(1), де
¥>(х) = <рп(х) < <рі(х) < ... < у>к(х) = ф(х), Хі~' х‘
а Дд> = (ф(х) — ір(х))/к. Одержимо кг клітин Е^ = [хі-і,ті]х
При цьому вважатимемо очевидним, що при к —> +оо тах^К^1) —> 0 .
3.1 Інтеграли 1-го роду
77
78
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Нехай та є відповідно мінімумом та максимумом для непе-
рервної функції /(х,у) на клітині а 5* та 5* — відповідними
сумами
Дарбу цієї функції. Тоді з інтегровності функції / на 2) випливає, що
З Ніл 8% — Ііт 8к — /(х, у)(1х(1у .
о
З іншого боку, для повторного інтеграла маємо
Ь ¥'(*) х,
»(»)
а <р(х) хі-1 М' Х»-1 ^-1(г)
= І = \-т^пл(Е^) = £*.
І площею криволінійної КЛІТИНИ Ьу | V 4 V > ***
Аналогічно отримується оцінка зверху через 5*. тобто при всіх к маємо
ь 4>(х)
5* < УУ №,у)<іу < Зк
0 ++
Звідси, в силу (*), при к —» +оо і одержуємо рівність (3.2). о
Представлення Л = {(г,у) : а <х< Ь, ір(х) <у < ^(®)}
означає, що відрізок [а, Ь] є проекцією множини Л
вісь ОХ, причому V хц Є [а,Ь]
Оп{г = т»} = {(го,и): У Є [<р(го),^(яо)]} •
Таку множину природно назвати х-трапецією.
Очевидно, що абсолютно аналогічним до формули (3.2) чином формулу
зведення подвійного інтеграла до повторного можна використувати і тоді,
коли множина Л допускає представлення виду
Л = {(я, У) -а<у<ь, <р(і/) < X < ^(0)} ,
тобто є у -трапецією. Якщо ж для всієї мно-
жини представлення або у вигляді г-трапеції
або у вигляді у -трапеції є неможливим, то пра-
ктично завжди існує розбиття Л = О-, + ... + Л^, де всі частини Л,
вже допускають таке представлення. Так на малюнку частина Лг є х-
трапецією, а частини Л, та Лз — у-трапеціями.
Підсумовуючи сказане, загальний алгоритм обчислення подвійного ін-
теграла можна сформулювати наступним чином.
Аналогічна властивість, що зветься формулою
зведення кратного інтеграла до повтор-
ного, має місце і для загального п-кратного
інтеграла. Зокрема, для потрійного інтеграла
найзручнішим для застосування варіантом ці-
єї формули є наступна.
Теорема 3.7.
Нехай. Лей2- замкнена вимірна множина,
на якій: , .
І) ір(х,у) < ф(х,у) на Л ;
2) <р(г, у), ф(х, у) Є С(Л) ;
3) /(х,у,х)єС(У),
Обчислення подвійного інтеграла
Для обчислення інтеграла /!х,у)<1х<Іу множину О треба
представити у вигляді або х-трапеції або у-трапеції. Якщо, на-
приклад, маємо представлення
О = {(т, у) : а< х <Ь, <р(х) <у < ^(х)} ,
тоді для інтеграла отримуємо формулу
[Ь Г'Ні)
/(х,у')дхду= іх / /(х,у)(1у .
є? а
Якщо ж саму множину не можна представити у вказаному ви-
гляді, то її треба розбити на частини, кожна з яких таке пред-
ставлення допускає. Тоді наш інтеграл є сумою інтегралів по
цих частинах, а подвійний інтеграл по кожній з цих частин
вже можна звести до повторного.
де V = { (х, у, г) : (х, у) Є Л, <р(л, у) < г < ф(х, у) }. Тоді
У у 7(2,1/, 2)(ІХ(Іу(І2 = УУ (ІХСІу У І(х,у,2)(І2 .
(3.3)
3.1 Інтеграли 1-го роду>79
Аналогічно для потрійного інтеграла представлення множини інтегру-
вання у вигляді V = {(х,у,х) : (х,у) Є Л, ір(х,у) <г< ф(х,у)} озна-
80
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
чає, що множина Л є проекцією множини інтегрування V на площину
0Х¥, причому V (хо,0о) Є Л
V П {х = х0, у = (/()} = {(тп,їо,2) : а Є [^(т(і,їо),^(^о,!Л))]} •
Таку множину природно назвати ху-циліндром. Для обчислення інтегра-
ла множину V треба представити у вигляді ху-трапеції, 02-трапецїї або
зт-трапеції, після чого застосувати формулу типу (3.3). Якщо ж саму
множину не можна представити у вказаному вигляді, то її також треба
розбити на частини, кожна з яких таке представлення вже допускає. Тоді
знову таки наш інтеграл є сумою інтегралів по цих частинах, а потрійний
інтеграл по кожній з цих частин вже можна обчислити вищеописаним
чином.
Приклад 3.5. Зведемо до повторного інтеграл по множині Л, зобра-
женій на малюнку. Оскільки з малюнка
очевидно, що
Л = {(х,0) : 0 < х < 1, 0 < т/ < ге} =
= {(х,у) : 0 < у < 1, у < х < 1} ,
то для подвійного інтеграла по Л маємо
[І /(х,у)<іх<іу = [ Ох [ /(х,у)ду
з зо Зо Зо
Приклад 3.6. Зведемо до повторного інтеграл по множині Л, зобра-
женій на малюнку. Оскільки з малюнка у
видно, що Л = Л|+Лз, де 2
= {(х.У) : 0 < у < 1, у < х < 2у} , / \
Ог = {(х, V') : 1 < У < 2, у < х < 2} , %
то для подвійного інтеграла по Л маємо 2
[ /(х,у)дхду = [ <іу [ /(х,у)ах+ [ (1-у [ /(х,у)іх.
’о ЗО Зу Зі Зу
Приклад 3.7. Обчислимо площу круга радіуса а. Оскільки у відпо-
відній ПДСК такий круг є множиною виду 8 - {(х,0) : х2+у2 < а2},
то в силу рівності пл (5) = 4пл (5,), де
= { (х,у) : 0 < х < а, 0 < у < 7я2 — ®2 } ,
з формули (З.і) маємо
і-а /• >^аі~х2 /• а _______
пл(8) =4 (іхсіу = 4 І (їх <1у = 4 / у/а2 — х2 сіх .
7 -/(і
Зробимо в останньому інтегралі заміну х = азіп^, де і Є [—тг/2.тг/2].
Тоді при таких і маємо созі > 0, звідки
\/а2 — 22 = \/а2 — а2 зіп2 і = Vа2 соз2 і = а сов і ,
а тому остаточно
утг/2 утт/г
пл (8) = 4а2 І соб21 сії = 2а2 / (1 + соз2^)Л = тга2 .
7о Уп
Зауваження 3.5. Відома з теорії звичайних визначених інтегралів фор-
мула для площі криволінійної трапеції є простим наслідком форму-
ли (3.1) та формули зведення подвійного інтеграла до повторного. Справ-
ді, якщо 2? = {(я, у) : а < х < Ь, </?(г) < у < ^(і)}, то
р р рь р№У рЬ
площа (2?) = II с1х(1у= / / (Іу= [^(х) ~ ір(х)] сіх .
Ф дО 7а 7<р(х) 7а
Аналогічно для об'єму області, що у відповідній ПДСК допускає пред-
ставлення виду V = { (х,у, г) : (х,у) Є 2?, <р(х,у) < г < ір(х, у) }, маємо
об’єм(У') [’Ф(х,У') ~ <р(^,у)] дхсіу .
Зауваження 3.6. Як теорема про зведення подвійного та потрійного ін-
тегралів до повторного, так і наведені приклади чітко виявляють той
факт, що найважливішим при обчисленні кратного інтеграла є отри-
мання потрібного представлення множини інтегрування. При цьому
очевидно, що хоча геометричне зображення відповідної множини не є
обов'язковим, проте наочність такого зображення полегшує розв'язання
задачі. Що стосується обчислення потрійних інтегралів, то тут ситуація
спрощується тим, що як проекція Л, так і рівняння а = <р(х,у) нижньо-
го та 2 = ф(х,у) верхнього країв множини інтегрування в формулі (3.3)
часто є досить очевидними.
Приклад 3.8. Обчислимо об'єм тіла, обмеженого площинами х = О,
у = 0, г = 0 та т + 0+г = 1. Неважко помітити (дивись малюнок
на наступній сторінці), що цю можину можна представити у вигляді
V = {(г, ї,:) : (і,Є Л, 0<2<1— х — у},
3.1 Інтеграли 1-го роду
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
де О = {(а:, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1 — ж}. Тому (в силу тільки що
сказаного про обчислення об’єму)
об(У) =УУ (1-х-у)дхду =
(1 - а: - у) гіу
Приклад 3.9,
щині
{X = Г СО8 (р
у = Г 8ІП (/?
Розглянемо перехід до полярних координат на пло-
д(Х,у) С08(/? -геіп^
д(г, <р) 8Ш</> ГС08(/?
= У [(1 - ®)УІІ *-р2|І *]<& = Ц (1-ї)2<& = і .
Крім формули зведення до повторного при обчисленні кратних інте-
гралів часто використовують формулу заміни змінних. Оскільки спосіб
застосування цієї важливої формули є досить очевидним, а повне дове-
дення дуже громіздким, то ми це доведення не наводитимемо.
Теорема 3.8 (про заміну змінних).
Нехай у = у(х) : X —» У є взаємно однозначним відображенням
області X С на У = у (X) с , причому у'(х)еС(Х). Тоді
для будь-яких неперервної на У функції /(у) та замкненої вимірної
множини О с У множина у~1(П) С X також є замкненою та
вимірною, причому
(3.4)
Коротко цю формулу можна записати у вигляді ду = | беї у '(2)| дх або
гіуі... ду„ = І І (іх... дхп
І д(Х!,..., х„) |
(3.5)
де беіу'(ї) є якобіаном відображення у(±), тобто визначником матриці
похідної у'(2) цього відображення.
Як вже було відмічено на початку розгляду кратних інтегралів, змінні
інтегрування (як би ми їх не позначали) завжди мають смисл прямокут-
них декартових координвт на відповідний множині. В силу поширеності
центрально симетричних явищ найважливішим прикладом заміни змін-
них в кратному інтегралі є перехід від таких “прямокутних декартових
координат" до полярних (у випадку подвійного інтеграла) та сферичних
(у випадку потрійного інтегрвла).
Приклад 3.10. Розглянемо перехід до сферичних координат в по-
трійному інтегралі
X = Г С08 0 С08 (£>
у = Г С08 0 8ІП (р
X = Г 8ІП 6
Зауваження 3.7. У випадку сферичних координат за кут 0 інколи виби-
рають кут між радіусом-вектором точки та віссю 02. В цьому випадку
дещо змінюються формули зв’язку прямокутних декартових та сферичних
координат, зокрема модуль якобіана дорівнює г28ш0. Існує простий ев-
ристичний прийом, який дозволяє не переплутати ці випадки: в зобра-
женому на малюнку випадку 0 Є [—тг/2.тг/2], а при цьому саме соз0 є
додатнім, тому у виразі для якобіана буде саме соз0.
Зауваження 3.8. Заміна змінних в кратному інтегралі має важливу осо-
бливість, а саме: якщо в однократному інтегралі заміну змінних роблять
виключно з метою спрощення підінтегральної функції, то в кратному —
в основному для спрощення області інтегрування.
Приклад 3.11. Знайдемо площу множини £), що обмежена лініями
у = х2, у = 2Х2, ху — 1 та ху = 2. Навіть без будь-якого малюнка
зрозуміло, що цю множину можна подати у вигляді
Р = { (х, у) : х2 < у < 2а:2, 1 < ху < 2} ,
що при заміні у/х2 = и та ху = V перетворюється на прямокутник
Р = { (и, V) : 1 < и < 2, 1 < V < 2} .
Тому, виразивши х та у через и та у і знайшовши відповідні ча-
стинні похідні, маємо
3.1 Інтеграли 1-го роду
83
84 Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Розглянемо приклад обчислення п-кратного інтеграла.
Приклад 3.12. Знайдемо міру (п-вимірний об’єм) множини в
И", яка має вигляд
{ (*ь -.Хп) Хі > 0,..., х„ > 0, її + ... + х„ < а} .
Оскільки за формулою (3.1) для цієї міри виконано рівність
К(а) = у...У аХ1...ахп,
іі+,„+хп<а
то після заміни Х( = ащ (при цьому якобіан дорівнює ап) маємо
К(“> = а" у.. .у дщ ... дщ. = а" У„(1) .
иі+.-.+ип^ 1
иі>0,...,Цп>0
Звідси за формулою зведення кратного інтеграла до повторного
К(І) = /о Лип / ’ ’/ й“"-1 =І“" = ІІ= У <* •
иі+...+ип-і<1-ип
«і >0,>0
Оскільки величина є сталою, а отже виноситься за знак остан-
нього інтеграла, то після обчислення цього інтеграла маємо рекур-
сивну формулу Т„(1) = хД/п. Звідси
К(1) = У^/П = У„(ІХп-1) = ... = = 1/п! .
Отже остаточно Уп°' = а"/п! .
Наслідок 3.4 (інваріантність означення міри Жордаиа).
Нагадаємо, що міра Жордана була побудована виходячи з певної фі-
ксованої ПДСК. Будь-яка інша ПДСК може бути одержаною з цієї
"вихідної" системи координат шляхом лінійного ортогонального пе-
ретворення (тобто повороту і, можливо, дзеркального відображення).
Але при такому перетворенні х = х(ї) маємо:
аеі±'(і) = = ±і,
о(їі,. . . ,Іп)
звідки для мір Жордана рх та означених в цих різних системах
координат
~ У (Іх1...сІхп — |ж = І’(ґ)| =
о»
= /"/1 ІЛ]-Лп = /-/= М1(о) •
о, о,
На завершення коротко розглянемо невласні кратні інтеграли, тобто
інтеграли, які не охоплені нашим попереднім означенням. Як і у випадку
функції однієї змінної, такі інтеграли бувають двох типів, а саме:
1) від обмеженої функції по необмеженій множині;
2) від необмеженої функції по обмеженій множині.
Обидва ці випадки можна розглянути єдиним чином в рамках наступної
природної конструкції.
Означення 3.2.
Нехай функція /($) : С С В” —> К, де С є відкритою множиною, є
неперервною (а отже і інтегровною) на кожній замкненій підмножині
С сб. Нехай також послідовність множин {Сп} задовольняє умовам
С = С„Сп та V п СпсС„+і. Тоді, якщо границя
Ііт /.../ /(х)дх (3.6)
існує, є скінченною і не залежить від вибору послідовності {Сп}, то
функція називається інтегровною в невласному розумінні на множи-
ні С, а значення цієї границі називається невласним інтегралом і
позначається /(х) дх.
На відміну від одновимірного випадку в багатовимірному просторі та-
кі послідовності множин {Сп} можна вибирати дуже порізному. Тому
(якщо згадати аналогію між невласним інтегралом і числовим рядом та
теорему про перестановку доданків умовно збіжного ряду) стає зрозумі-
лою причина появи в багатовимірному випадку наступної теореми.
Теорема 3.9 (про обов'язкову абсолютну збіжність).
Для невласних інтегралів в багатовимірному просторі
^...^ /(х)дх збігається <4- ^...^ \/(х)\дх збігається.
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
3.1 Інтеграли 1-го роду 85
тобто збіжність невласного кратного інтеграла завжди є абсолю-
тною.
Що стосується доведення абсолютної збіжності (тобто збіжності
інтегралів від знакододатних функцій), то у випадку кратних невла-
сних інтегралів маємо нвступне:
1) для збіжності інтеграла /—/0/(£)<!£ досить Існування скінченної
границі (3.6) для якої-небудь однієї послідовності множин {£„};
2) мають місце такі ж ознаки порівняння, як і для функцій однієї
змінної.
При обчисленні кратного невласного інтеграла можна користуватись фор-
мулою зведення кратного інтеграла до повторного (але при умові збіжно-
сті цього повторного!) та формулою заміни змінних.
Приклад 3,13. Розглянемо інтеграл е~ІХ,+у1,<іхсіу . Перейшов-
ши в ньому до полярних координвт, отримаємо
Ц е~^х'^^Их<1у = е~г1 г<іг = \ — г2 = 1\ = е‘<Й = тт .
Отже в силу очевидної рівності
/{яіе-^ду
маємо ще один спосіб обчислення відомого інтеграла, який назива-
ють інтегралом Ейлера-Пуассона.
3.1.2 Криволінійний інтеграл
Перейдемо до розгляду інтегралів по множинах, розмірність яких е мен-
шою за розмірність простору, тобто до інтегралів по кривих та по по-
верхнях. Почнемо з інтегралів по кривих. При означенні тв оперуванні
з такими інтегралами дуже зручно, якщо координатою точки на кривій
є віддаль І від цієї точки до заданої “початкової” точки кривої. Така
віддаль є природною внутрішньою характеристикою розташування
точки на кривій, а тому параметризацію г = г(І) називають при-
родною параметризаціею кривої. Існування такої параметризації для
кусково-гладкої кривої нами вже доведено при розгляді довжини кривої.
Нехай Г є гладкою кривою, а г = г(і), і Є [а, Ь] — її довільною глад-
кою параметризаціею, тобто г(і) є С^а, 6]. Тоді крива Г має скінченну
довжину І(Г), причому
1(Г) = £\\г'(і)\\<1і або гі/ = ||г'(і)||й . (3.7)
Крім того, оскільки вектор г'(і) є дотичним до кривої, то точки, в яких
Г'(і) = 0 (тобто в яких дотичний вектор є нульовим), природно називати
особливими.
Зауваження 3.9. Наявність у кривої самоперетинів або самоналягань
ніяк не впливає на вищесказане. Що стосується самоиалягаиь, то це
означає, що кривв розглядається не просто як множина деяких точок
площини чи простору, в як повна траєкторія руху точки, прн якому по
одній і тій самій множині можна проходити декілька разів.
Означення 3.3.
Нехай Г = АВ е деякою кривою, А = А^, А{, ... , Ап = В — роз-
биттям цієї кривої на частини Аі-<Аі, М< — точками з частини
Аі^іАі, Д.і< — і(Аі_іАі), А = тахД£, /(•) — функцією від точок кри-
вої. Тоді границя
Ііт 52
<
(якщо існує, є скінченною і не залежить ні від способу розбиття,
ні від вибору точок Мі) називається криволінійним інтегралом 1-го
роду від / по Г і позначається /г/<11.
Зауваження 3.10. Замість слів “криволінійний інтеграл 1-го роду” можна
говорити просто “криволінійний інтеграл”, оскільки тип інтеграла (тобто
по якій мірі він береться — по орієнтовній чи неоріентовній) буде ВИДНО
безпосередньо з ного запису (якщо інтеграл по <11, то це інтеграл 1-роду,
а якщо по <1г — то 2-го роду).
Зауваження 3.11. Підінтегральна функція / є функцією від точкн траєк-
торії, а не від геометричної точки простору, тобто / = /(г(-)).
Теорема 3.10 (про існування криволінійного інтеграла).
Нехай Г е кусково-гладкою кривою з скінченною кількістю особливих
точок, а функція / є неперервною на Г. Тоді інтеграл /г/д1 існує,
причому
/г/м = / ЖОМ , (3.8)
де г = г(1), І є [0, Ь] є природною параметризаціею кривої Г.
3.1 Інтеграли 1-го роду 87
<1 Оскільки для Мі Є Л-1А Мі = г(їі), де Ц Є [0-іЛ], то
Е,-Жі)М = 52.ж4))до, (*)
тобто множини інтегральних сум для криволінійного інтеграла /г/ді та
звичайного інтеграла /^/(г(1))сіІ співпадають. Але інтеграл від непе-
рервної функції /(г(0) (тобто границя сум в правій частині рівності (*))
завжди існує, звідки і випливає як існування інтеграла /г/ді, так 1
виконання рівності (3.8). І>
Теорема 3.11 (про властивості криволінійного інтеграла).
Нехай Г = АВ є кусково-гладкою кривою з скінченною кількістю
особливих точок, причому / та д є неперервними на Г. Тоді
1) Уа,/?єК ^(а/+ 0д) <ІІ = а /01 + 0 { дЛ-
2) + =ь /г/<и = /,ЇЛ + /
3) К/<и= Г/<іі.
Уав цва
<] 1) В силу попередньої теореми
/г [а/ + 0д] М = £ [а/(г(1)) + 0д(г(1))] <11 ,
звідки в силу лінійності звичайного інтеграла
^(а/+ 0д)си = а /(т(1))си + 0 д(г(1))<11 = а+0/
2) Нехай г = г(І), І є [0,£] є природною параметризаціею всієї кривої
Г = Гі + Г2, тоді відповідна параметризація для частини Гі має вигляд
г = г(І), І Є [0,£і]. Де £і < £ , а для А — вигляд г = г(Г), І Є [£і,£].
Тому /(г(і))<и = ^‘/(г(і))<и + /^/(г(і))<іі = /Гі/<и +
ІГ,^.
3) Це є наслідком того, що в означенні криволінійного інтеграла величи-
ни Д£ не залежать від напрямку руху по кривій. І>
Теорема 3.12 ( про обчислення криволінійного інтеграла).
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Нехай т = г(і), і Є [а, 6] є гладкою параметризаціею кривої Г, а
функція / є неперервною на Г. Тоді
[/<и = £ Ж0)ІН0ІМ
(3.9)
< В силу теореми про існування досить в правій частині рівності (3.8)
зробити заміну І = 1(і) та врахувати (3.7). І>
Зауваження 3.12. Формула (3.9) означає, що відомий з обчислення дов-
жини кривої скорочений запис <Н = ||г'(і)|| <1і (дивись рівність (3.7))
можна вживати також і при обчисленні криволінійного інтеграла.
Підсумовуючи сказане, загальний алгоритм обчислення криволінійно-
го інтеграла 1-го роду можна сформулювати наступним чином.
Обчислення криволінійного інтеграла
Для обчислення інтеграла по кусково-гладкій кривій треба спо-
чатку подати його у вигляді суми інтегралів по гладких части-
нах цієї кривої, після чого на кожній з цих частин скористатися
формулою
/г^1 = / №(*>) ^'(ОІМ
та параметричним рівнянням відповідної частини. Це можна
скорочено записати у вигляді <11 = ||г '(і) || <11, причому, зокрема
а) х- х(Ґ), у = у (і) =ь <11 = >/(х')2 + (у')2<іі.
б) у- у(х) =ь <11 = у/1 + (у1)2 сіх.
Приклад 3.14. Обчислимо інтеграл /с(х+у)<11, де крнва С є конту-
ром трикутника з вершинами в точках 0(0,0), А(1,0) та В(0,1).
Очевидно, що крива С є кусково-гладкою, а її розбиттям на гладкі
частинне С = ОА + АВ + ОВ. Рівняннями цих частин тв виразами
для <11 на цих частинах є
ОА: у(х) = 0, де х є [0,1], = <іх ;
АВ: у(х) = 1-х, де х Є [0,1], <11 = </2дх ;
ОВ: х(у) = 0, де у Є [0,1], <11 = <1у .
3.1 Інтеграли 1-го роду
90
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Тому для нашого інтеграла маємо /с(х + р)<й = /ол + + /ов =
/0‘а: <& + /„'[ і + (1 - ж)] т/2<іх + /п‘ уііу = 1 + \/2.
3.1.3 Поверхневий інтеграл
1. Рівняння поверхні. Поверхня — це таке ж фундаментальне поняття
геометрії, як точка, крива або просторове тіло. Якщо точку простору
описувати радіус-вектором, то поверхня описується векторним рівнянням
г = г(и, о), (и,о)є£>, (3.10)
яке називається параметричним рівнянням поверхні в векторній фор-
мі (або просто рівнянням поверхні). Якщо вибрати систему координат,
то одне векторне рівняння перетворюється в три координатних. Так, на-
приклад, в ПДСК одержуємо три рівняння
{х — х(и,у)
у = у(и,у) (в,»)єО, (3.11)
г = г(и, і»)
які називаються параметричними рівняннями поверхні в координа-
тній формі.
Приклад 3.15. Розглянемо сферу радіуса а з центром в точці О:
1) рівняння х2 + у2 + г2 = а2 є неявним рівнянням цієї сфери;
2) система трьох рівнянь
х = а сов в сов <р
• у = асозваіп^, в є [-тг/2, +тг/2], р є [0,2л]
г = авіпв
є її параметричними рівняннями;
3) рівняння г = у/а2-х2-у2 , де (г, у) є £) = {х2 + у2 < а2} є
рівнянням її верхньої напівсфери;
4) Рівняння у = -у/а2 - х2 — г2 , де (г, г) є £) = {х2 + а2 < а2}
є ріанянням її лівої напівпівсфери.
Отже (як це було і для кривої), одна і та сама поверхня може бути
описана різними рівняннями.
Особливості тих методів, які мн можемо застосувати, заставляють
обмежитись тим випадком, коли поверхня описується рівнянням (3.10),
де г(и,о) Є СЦО). Така поверхня називається гладкою, що геометри-
чно справді означає певну гладкість поверхні 1 відсутність “піків” (типу
вершин конуса) або “ребер” (типу ребер куба).
2. Координатна лінія. Дотична площина. Нормаль. Покладемо в рів-
нянні (3.10) і» = й), тоді г = г(и,оо) є вектор-функцією однієї змінної,
що описує певну криву на нашій поверхні. Ця крива називається и-
координатною лінією, а вектор г„ є дотичним до неї. Аналогічно —
поняття V-координатної лінії, дотичним до якої буде вектор ті .
Нехай и = и(і), у = і»(і), і є [а, 6] є рівнянням кривої на нашій
поверхні, а М = (и(ів),о(іо)) — певиою точкою цієї кривої. Тоді рівняння
т = Г(и(і),о(і)) є рівнянням цієї кривої в просторі, а вектор
г'(й>) = Ги(ЛІ) • и'(іо) + Гь(ЛЇ) • о'(іо)
є дотичним до кривої в точці М. Очевидно, що цей дотичний вектор
лежить в площині
г = г(М) + а • ги(ЛЇ) + В ті(М) , (3.12)
причому це виконано для будь-якої кривої на поверхні, що проходить
через точку М. Тому площину, що описується рівнянням (3.12), природно
назвати площиною, дотичною до поверхні в точці М, причому така
площина існує в кожній точці гладкої поверхні, де г„ х ті / 0. Точки
поверхні, в яких ця умова порушується, називають особливими.
Як добре відомо з аналітичної геометрії, параметричне рівняння пло-
щини (3.12) можна записати у наступному векторному вигляді
(г — го,Ги>г») = 0 (3.13)
або (якщо записати це в координатній формі)
X- X» у-у» 2 ~ X»
хі уі ?і
хі УІ гі
(3.14)
Пряма, що проходить через точку поверхні перпендикулярно до поверх-
ні, називається нормаллю до поверхні. Оскільки напрям нормалі — це
напрям вектора ГІ'хГІ / 0 , то параметричне рівняння нормалі має вигляд
т = ги + І(ги х ті) . (3.15)
3.1 Інтеграли 1-го роду
92
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Приклад 3.16. Нехай поверхня описується рівнянням г — г{х,у),
№ (х,у) є О. Тоді рівняння дотичної площини має вигляд
х-х» у— у» г- з»
1 0 зі
0 1 гі
або (ж- то)(-^) + (у- у»)(-гі) + (х- з») = 0 , тобто
х = х» + 2і(х - ®о) + 2у(У - У») .
Отже, ми іншим способом отримали те саме рівняння дотичної пло-
щини до поверхні г = г(х,у), яке вже було раніше при розгляді
поняття диференціала функції декількох змінних.
Зауваження 3.13. Вектор нормалі в координатній формі має вигляд
±(г« X ?»') = ±
і і к
хи Уи ги
Уи
або (з урахуванням традиційного позначення якобіана)
, м = /д(У,г) д(г,х) д(х,у)\
и * у) ’ ’ д(и, у))
Отже одиничним вектором нормалі є вектор
— і о \ । Гц X Ту
п = (сова,соар, СО87) = ± —------—т ,
II Ти X г„'||
причому знак обирається, виходячи з геометричного розташування від-
повідної нормалі по відношенню до осей системи координат.
Приклад 3.15 (продовження). Для знаходження нормалі в довіль-
ній точці природно використати параметричне рівняння сфери. Тоді
ті х =
звідки
і і к
х'в у’а 4
Хф Уір
і з к
-авіп0сов</> — аяпвешір асоев
—а сов в від ір а соа 9 сов р 0
ті х т!р= -а2соз20со8<рі - а2 сов20віп</>у — а2 від в сов 9 к . (*)
Але оскільки зовнішня нормаль п в області {х,у,г > 0} утворює з
віссю 02 гострий кут, то для г-координати нормалі має бути СО87 >
0. Тому, оскільки в (*) для г-координати нормалі при 9 Є (0, тг/2)
маємо —а2від(?со80 < 0, то в силу ||г^ х г^|| = соз0 > 0 остаточно
маємо
П = СО8 0СО8І/Ц + СО8 08ІП</>У +8ІД0А; .
3. Орієнтація поверхні. Якщо гладка поверхня без особливих точок
П описується рівнянням (3.10), причому відображення т — т(и,у) е
взаємно однозначним, то рівняння нормалей (гиХгг) та — (тіхті) е двома
різними неперервними функціями на поверхні П (точніше однаковими за
модулем,
але протилежними за знаком). Очевидно, що
кожна з цих нормалей відповідає одній з сто- _____________
рін поверхні, а поверхня, для якої все це має
місце (тобто поверхня з двома різними сторо-
нами), називається двосторонньою. Прикла- —-------------------
дом односторонньої поверхні є лист Мьобіу-
са (дивись малюнок).
Аналогічно до площини, двостороння поверхня, в якій вибрано і фі-
ксовано одну сторону, називається орієнтованою. Як відомо (дивись
Додаток), крім вибору одного з варіантів неперервної нормалі орієнтацію
можна задавати напрямом обходу замкнених контурів на поверхні, а саме
обраній нормалі відповідає такий напрям обходу контурів, що з вершини
нормалі напрям обходу її основи направлено проти часової стрілки.
4. Площа поверхні. Нагадаємо, що у випадку кривих ми спочатку да-
ли означення довжини кривої, а вже потім на підставі цього означення
одержали певну інтегральну формулу для обчислення цієї величини. На
жаль, для поверхонь такий шлях є хоча і можливим, але дуже громі-
здким. Тому для поверхонь ми на основі певних природних припущень
відразу одержимо певну інтегральну формулу, яка одночасно виступати-
ме і як означення площі поверхні, і як формула для обчислення цієї
площі.
Нехай г(и,о), (в,е)єВ є рівнянням гладкої поверхні П, О = ^ІЛ
є розбиттям параметричної множини О координатними лініями, а АВСО
(дивись малюнок) — одним з паралелограмів цього розбиття. Тоді множи-
ну Пі — т(Рі) назвемо криволінійним паралелограмом. Вважатимемо
підходящим наближеним значенням для площі цього криволінійного па-
ралелограма площу плоского паралелограма з сторонами
г(Р) — г(А) = г(и + Ди, о) — г(и, у) = Д„г ,
т(В) — г(А) = г(ц, у + До) — г(и, у) = Д„г ,
3.1 Інтеграли 1-го раду
93
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
тобто || Д„г х Д„г ||. Тоді в силу Диг«ГиДи, Д„г»г„'До маємо
5(П() « ||ДигхД„г|| » || (г„ Ди) х (?„'Ди) || =
= ||ги'х г„'|| |Ди Ди| = Цг^ х г„'|| пл(Д) ,
звідки
5(Л) » 52 Н^“ х ?«ІІм. пл(А) •
Сума в правій частині останньої рівності — це інтегральна сума подвій-
ного інтеграла. Отже, стандартними міркуваннями про все більш дрібне
подрібнення і граничний перехід приходимо до наступного означення.
Означений 3.4.
Приклад 3.15 (продовження). Обчислимо площу поверхні сфери
радіуса а. Спочатку скористаємось загальним параметричним рів-
нянням такої сфери. Оскільки, як вже було знайдено на стор. 91,
маємо
ге х ті = — а2сов2всоз<рг - а2сов2взіп<ру — а.2 зіп в соз б їс ,
то
ІЗ = ||ге х г^Ц<10 ір = а2 сов в <19 ір ,
звідки
г2» , . »
З = а2 / ір / соввів = 2тга2 (зіп0|_’У = 4тга2 .
»/0 «/—іг/2
Розв’яжемо нашу задачу, користуючись явним рівнянням верхньої
напівсферн х = у/а2 — х2 — у2 , де (х,у) Є Р = {х2 + у2 < а2}.
Тоді за формулою (3.18) маємо ІЗ = адхіу/у/а2 — х2 — у2, звідки
л2тг на
2а І ір І
зо зо
т іт
і/а2 — т2
4тга2 .
Нехай П є гладкою поверхнею, яка описується рівнянням г = г(и, и),
де (и,и) Є О. Тоді за означенням
3(П) = Щ Ц тй х г„' || Лидл або <13 = || ті х ті|| сіигіи
(3.16)
Зауваження 3.14. Вираз для <15 має простий геометричний зміст, а саме
|| (г/ ди) х (?„' <іи) || диду є площею “нескінченно малого" паралелограма з
сторонами диг = Гиди та сі»? = ?„'<іи, який лежить в площині, дотичній
до поверхні у відповідній точці (дивись попередній малюнок).
Зауваження 3.15. В координатній формі вираз (3.16) для ІЗ набуває
вигляду
чз = ум2 + м2 + м2 , (з.17)
У д(и,и) д(и,и) д(и,и)
що у випадку рівняння виду з = г(х, у) перетворюється на
5. Інваріантність. Як відомо, одну і ту саму поверхню П можна опису-
вати різними рівняннями. При цьому рівняння г = гі(и, и) та т = тг(з,і)
визначають одну і ту саму поверхню тоді, коли існує зв’язок
{и = и(з,і)
V = п(з,і) ,
(3.19)
причому це відображення (з, і) Є О —» (и,и) Є Р повинно бути вза-
ємно однозначним. Крім того, оскільки ми розглядаємо гладкі поверхні,
функції и = и(з, і) та V — и(з, і) мають належати класу С1, тобто бути
неперервно диференційовними. Нарешті у цього відображення не повин-
но бути своїх особливих точок, тобто має бути д(и,п)/д(в,і) / 0 .
Якщо всі ці умови виконано, то прн такій заміні змінних з очевидної
тотожності г2(з, і) = гї(и(з,і),и(з, і)) випливає, що
ІІ(ПКх (ПКІІ-
|а(и,и)| д(х,у)г д(х,х)г д(у,г)2
І д(з, і) І у д(и, у) д(и, у) д(и, и)
І #(и. и) І
І ^(»Л) І
дЗ = ^/1 + (х))2 + (х^)2 дхду . (3.18)
Ід(х,у)г д(х,х)г д(у,г)г
у д(з,і) 3(з,<) д(з,1)
II (гг)', х (г2)ЯІ ,
3.1 Інтеграли 1-го роду
95
96
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
звідки особливі точкн не залежать від параметризацїї, а в звичайних
(неособлнвнх) точках для дотичної площини нашої поверхні маємо
{“(’‘і)і + /?(п)і = { А (г2)і + д (г2)і: А.дєК},
тобто дотична площина (а, отже, і нормальна пряма) залишаються тими
ж самими (хоча їх рівняння зовні можуть виглядати дещо по-різному).
Аналогічно для площі поверхні при такій заміні маємо
^ї77) = х (гі)ІНи^ = УУII(гі)і X (гі);ц • 1^’лі >
Р с
звідки в силу сказаного вище остаточно отримуємо
5'(77) =УУ ІІ(й)и X = Ц ||(г2)і х (г2);Нз<Й .
о с
Одержані рівності означають, що
особлива точка, дотична площина, нормальна пряма та площа
поверхні є геометричними інваріантами, тобто хоча початково
ці об’єкти та величини були означені через конкретне рівняння
поверхні, насправді вони від цього рівняння не залежать, а отже
є чисто геометричними характеристиками цієї поверхні.
6. Кусково-гладкі поверхні. Виявляється, що тільки гладких поверхонь
для практичних потреб недостатньо. Так, наприклад, хоча кожна з бічних
граней куба є гладкою поверхнею, вся бічна поверхня такою вже не буде.
Означення 3.5.
Поверхня називається кусково-гладкою, якщо вона є сумою скінченної
кількості гладких частин.
Для кусково-гладких поверхонь очевидним чином визначені поняття
дотичної площини і нормалі (крім особливих точок та, можливо, точок
стику гладких частин), а також площа поверхні (як сума площ її глад-
ких частин). З орієнтацією (тобто описом різних боків такої поверхні)
ситуація є складнішою. Так лист Мьобіуса є прикладом того, як скле-
юванням двосторонньої поверхні можна отримати односторонню. Орієн-
тація кусково-гладкої поверхні будується через напрям обходу контурів
на гладких частинах (або, що те саме, через напрям обходу краю цих
гладких складових).
Означення 3.6.
Нехай П = Пі О Пг є кусково-гладкою поверх-
нею, а Пі, Пг є її гладкими складовими части-
нами. Тоді орієнтації на частинах Пі та Пг
називаються узгодженими, якщо на спільному
краї (тобто на лінії стику) орієнтації країв у
поверхонь Пі та Пг є протилежними.
Абсолютно очевидно (днвнсь малюнок), що узгоджені орієнтації на ча-
стинах породжують орієнтацію всієї кусково-гладкої поверхні Пі ЦП?.
Очевидним також є узагальнення цього на будь-яку скінченну кількість
складових частин поверхні, а саме:
П1 О Пг О ... О Пк = ((П1 О Пг) О П3...) ,
де під сумою двох орієнтовних частин розуміємо не тільки їх геометричне
об’єднання, але і відповідну орієнтацію цього об’єднання.
Означення 3.7.
Кусково-гладка поверхня називається орієнтовною, якщо на всіх її
гладких складових можна вибрати узгоджені орієнтації.
Прн цьому виявляється, що будь-яка замкнена кусково-гладка поверх-
ня є орієнтовною. Цей факт досить природний і означає можливість
розрізняти внутрішню та зовнішню сторони замкнутої поверхні.
7. Поверхневий інтеграл. При розгляді площі гладкої поверхні ми спо-
чатку дали означення площі через конкретне параметричне рівняння по-
верхні, а потім показали, що величина площі від цього рівняння не за-
лежить, а отже є справді чисто геометричною характеристикою поверхні.
Аналогічним чином діятнмо і у випадку поверхневих інтегралів.
Означення 3.8.
Нехай П — гладка поверхня, що описується рівнянням г(и,и), (и,о) Є
О, а /(•) є функцією від точок цієї поверхні. Тоді поверхневим інте-
гралом 1-го роду від функції / по гладкій поверхні П називається
/ІЗ = УУ/(г(и, и)) II Ги х г„'||<їигіи . (3.20)
п о
Якщо ж поверхня П є кусково-гладкою, то поверхневим інтегралом
по ній назвемо суму інтегралів по її гладких складових частинах.
Теорема 3.13 (про існування поверхневого інтеграла).
Нехай П є кусково-гладкою поверхнею, а функція / — неперервною
на П. Тоді інтеграл /ІЗ існує і не залежить ні від конкретного
параметричного представлення гладких частин поверхні П, ні від
способу розбиття її на такі гладкі частини.
3.1 Інтеграли 1-го роду
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
<1 Існування інтеграла по гладких поаерхиях аипливає з того, що при
довільний гладкій параметризації функція /(г(и,и))||г<!хгЛ| є неперерв-
ною на О, а отже інтеграл (3.20) існує. Інваріантність цього інтеграла
відносно зміни параметричного рівняння доводиться в точності так само,
як і інваріантність площі поверхні.
Що ж до незалежності інтеграла аід розбиття поаерхні на частини, то
це є досить очевидним наслідком адитианості інтеграла по множині. >
Зауваження 3.16. Як і для площі поаерхні, ріаність (3.20) є одночасно
і означенням, і формулою для обчислення, яку скорочено можна запису-
вати у вигляді <18 = Ц г„ х г„'|| гіигіи.
Теорема 3.14 (про властивості поверхневого інтеграла).
Нехай П є кусково-гладкою, а / та д — неперервними на П. Тоді
І)Уа,/?єК //(а/+ 0д)сі8 = а ///сів + 0 //дсів ;
2) П = П1+П2 => ///48 = ///48 + ///48.
П Пі Пз
<1 Доведення автоматично аиплиаає з (3.20) та звичайних властивостей
подвійного інтеграла по 4и4у. >
Підсумовуючи сказане, загальний алгоритм обчислення поверхневого
інтеграла 1-го роду можна сформулювати наступним чином.
Обчислення поверхневого інтеграла
Для обчислення інтеграла по кусково-гладкій поверхні треба
подати його у вигляді суми інтегралів по ії гладких частинах,
після чого на кожній з цих частин скористатися формулою
// = // ")) II ?і х й!II 4и4о
п о
та параметричним рівнянням відповідної частини. Це можна
скорочено записати у вигляді <18 = ||г„ х г„'||гіигіи, що в коор-
динатній формі в загальному випадку має вигляд
у д(и, о) д(и, о) д(и,у)
а у випадку рівняння виду х = х(х,у) відповідно
48 — у/1 + (її)2 + (а„')2 4х4у .
3.2 ІНТЕГРАЛИ 2-ГО РОДУ
До сих пір величини Дх, Др, Ди, Ди, Дг, Ду> і т.д. ми вважали виключ-
но додатними. При цьому їх добутки ДиДи, ДхДрДг і т.п. (а також
їх граничні аналоги типу гіигіи чи 4х4у4х) мали смисл звичайних площ
та об’ємів. Але аже навіть у випадку однократного інтеграла як тільки
ми перейшли від означення інтеграла /^/(х)4х до його обчислен-
ня, виявилось зручним зняти умову а < Ь, тобто а сумі $2/(хі)Дх,
допустити можливість Дх< < 0. Справді, при цьому можна, наприклад,
сміливо писати (звичайно у випадку інтегровності функції на відповідних
проміжках)
[ /(х) 4х = - / /(х) сіх або / /(х) 4х = / /(х) 4х + ( Цх) сіх ,
абсолютно не турбуючись про взаємне розташування точок а, Ь та с.
Аналогічним чином і для інтеграліа аід функцій декількох змінних зру-
чно відмовитись аід додатності величин Дх, Ди, Дуг і т.п. Геометричний
смисл такої відмови детально розібрано а Додатку, цей смисл полягає у
включенні до розгляду орієнтації відповідних множин (тобто кривих,
поверхонь та об’ємних тіл). Відповідні інтеграли (криволінійні, поверх-
неві та кратні), як відомо, називають інтегралами 2-го роду.
В таких інтегралах часто вживають позначення типу Ди Л Ди та
4иА4у, проте, на наш погляд, не має жодних підстав відмовлятись від
традиційних і звичних позначень. Справді, а поверхневих та кратних ін-
тегралах (як і у відповідних інтегральних сумах) добутки типу ДиДи
чи сіиду завжди мають один єдиний смисл, а саме дорівнюють від-
повідній орієнтовній мірі. Тому надалі ми називатимемо такі добутки
геометричними і завжди писатимемо, наприклад, 4х4у та <1х4у4з, па-
м’ятаючи, що це є відповідно зовнішнім та мішаним добутками, які є
антисиметричними та лінійними по кожному множнику (детальніше
про означення, смисл та властивості цих добутків диаись Додаток, розділ
про обчислення геометричних мір).
Для позначення орієнтації множини інтегрування а інтегралах 2-го
роду, як правило, вживають знаки + та — зверху або знизу аід позначе-
ння цієї множини і пишуть, наприклад, Г+ або Г+, П_ або П~, У+ або
У+. Інколи зручно позначати не саму множину, а відповідну міру.
3.2.1 Кратний інтеграл
Для кращого розуміння того, чим саме кратний інтеграл 2-го роду відріз-
няється від “звичайного” кратного інтеграла по множині, почнемо знову
3.2 Інтеграли 2-го роду
100
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
з інтеграла від функції однієї змінної.
Як відомо, з точки зору зробленої класифікації інтеграл /а^/(х)4х є
інтегралом 1-го роду, а інтеграл /а/(х)4х — інтегралом 2-го роду. Про-
те ця різннця між ними жодного разу не заважала нам в практичній
роботі, що є абсолютно неаипадкоаим. Адже при фіксованій орієнта-
ції множини інтегрування (а такою множиною для інтеграла /а/(х)4х
є шлях від нижньої межі інтегрування до верхньої) основні властивості
такого інтеграла (тобто лінійність та аддитианість по множині інтегрува-
ння) не залежать аід орієнтації множини інтегрування і нічим не відрі-
зняються аід відповідних властивостей інтеграла по відрізку. Єдина осо-
бливість полягає в тому, і^о /(х) > 0 => ///(х)4х > 0 лише при а < Ь.
Специфіка ж інтеграла /а /(х) 4х саме як інтеграла 2-го роду виявляє-
ться лише при заміні змінної х = х(і) у випадку х'(і) < 0 та при пере-
становці меж інтегрування. При цьому ріаність ///(х)4х = —/^/(х)4х
означає, що при зміні орієнтації множини інтегрування знак інтеграла
змінюється на протилежний.
У випадку кратного інтеграла ситуація є абсолютно аналогічною, тоб-
то при фіксованій орієнтації множини інтегрування основні властивості
кратного інтеграла 2-го роду (тобто лінійність та аддитианість по мно-
жині інтегрування) не залежать від орієнтації множини інтегрування
і нічим не відрізняються від властивостей кратного інтеграла 1-го роду.
Справді, якщо позначити міру в просторі К" через р, то у випадку роз-
гляду орієнтації множини матимемо відповідно міри д+ > 0 та д_ < 0,
всі властивості яких є абсолютно ідентичними. Специфіка інтеграла 2-го
роду також може проявитись лише при заміні змінних та зміні орієнтації
множний інтегрування. Так, зокрема, VЦ с К" маємо р+(Р) = —рДр)
та /в/4р+ = — /о/<1р_, що означає зміну знаку міри та інтеграла
при зміні орієнтації множини. Розглянемо ці особливості на прикладі
інтеграла від функції двох змінних.
1. В кратних інтегралах 2-го роду маємо 4и4о = —Досій.
Розглянемо добуток ДиДи, диференціальним (або граничним) аналогом
якого а позначенні інтеграла є 4и4у. Добуток ДиДи є площею парале-
лограма з сторонами Дие„ та Дие„ а просторі К^„. Тому перехід від
добутку ДиДи до добутку ДиДи означає, що порядок векторів парале-
лограма (еи —» е„) змінився на протилежний (е„ —> е„). Геометрично це
означає, наприклад, що на площину „ цього паралелограма ми тепер
диаимось з протилежного боку, а аналітично це, як аідомо, проваляє-
ться в зміні знаку добутку на протилежний. При цьому відмітимо, що
ця зміна знаку має місце як прн числовій інтерпретації добутку ДиДи,
так і при аекторній.
З доведеної властивості автоматично випливають рівності гіигіи = 0 та
4о4о = 0, які мають очевидний геометричний смисл.
2. Заміна змінних в кратних інтегралах 2-го роду має вигляд
(х = х(и,и) = Щ^у)
(у = у(и,и) * д(и,о) '
Справді, в силу антисиметричності нашого геометричного добутку та його
лінійності по кожному множнику, з ріаностей
сіх = хі гіи + х„ гіи та 4у = уі гіи + уі с/и
а силу 4и4и = 0, сіигіи = 0 та досій = —4шіо маємо
сіхсіу = (х„ гіи + хі4у)(уі 4и + уі 4о) = (хі уі — хі уі) 4и4о .
З формули (3.21) очевидним чином випливає геометричний смисл яко-
біана д(х,у)/д(и,у) = хіуі — хіуі , який полягає а наступному.
1) модуль якобіана \д(х,у)/д(и, и)|л/ є величиною (або “коефіцієн-
том") зміни міри а околі точки М ;
2) знак якобіана означає збереження орієнтації множини (якщо це +)
або зміну цієї орієнтації на протилежну (якщо це —).
3. Зведення до повторного в кратних інтегралах 2-го роду. * і,
Розглянемо множину О = {(х,р) : а < х < Ь, <р(х) <у< ф(х)}, орієн-
тація якої є додатною, тоді за формулою зведення подвійного інтеграла
до повторного
[ [ /(х,У)4х4у = [ 4х [ /(х,у)4у . (3.22)
3 3 За 1^(1)
Нехай тепер подаійний інтеграл зліаа є інтегралом 2-го роду. Якщо пе-
реписати множину інтегрування у вигляді
1? = { (х,у) : х змінюється від а до Ь, у — від <р(х) до ф(х)} , (3.23)
то, по-перше, виникає можливість нерівностей а>Ь або <р(х) > у(.т),
і, по-друге, виникає можливість міняти місцями як межі по 4х (тобто а
та Ь), так і межі по 4у (тобто <р(х) та ф(х)). Кожна така зміна означає
зміну орієнтації множини Р, а отже змінює знак інтеграла а лівій частині
рівності (3.22). З іншого боку, кожна перестановка меж змінює знак
відповідного однократного інтеграла по сіх чи по сіу а правій частині цієї
рівності. Сказане можна підсумувати наступним чином:
3.2 Інтеграли 2-го роду
101
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Якщо область інтегрування записувати у вигляді (3.23), то рів-
ність (3.22) означає формулу зведення подвійного інтеграла 2-
го роду до повторного, причому межі в повторному інтегралі в
правій частині цієї рівності відповідають орієнтації множини
інтегрування подвійного інтеграла в лівій її частині.
3.2.2 Криволінійний інтеграл
1. Означення і властивості. Для функції однієї змінної інтегрування є
операцією, оберненою до диференціювання. Розглянемо питання віднов-
лення функції за її диференціалом для функції декількох змінних, при-
чому для простоти обмежимось випадком функції двох змінних /(х,у)
(загальний випадок — абсолютно ідентично). Нехай для функції }(х,у)
маємо:
' /ї = и(х, у)
ІЇ = у(х, у)
. і/о) = /о
або
й/ = и(х, у)(Іх + у(х, у)<іу
/(^о, Уо) = 7о •
Для знаходження функції /(х,у) фіксуємо точку А(г, у) і розглянемо
таку довільну криву Г, що
1) Г з’єднує точки Ао = (хп, уп) та А = (х,у);
2) Г лежить в області визначення функцій /(х,у), и(х,у) та и(х,у).
Нехай Ац, А,.....А„ = А є довільним розбиттям цієї кривої, а М) —
точкою дуги А,_,А,, тоді Д7і = /(А;) - 7(А,_1) яв #(Л£). Звідси
п п
/(А) = 7о + 52 І7(Л) - 7(А-і) 1 « 7о + 52 [«(Л/0Ах* - «(М()Дй].
причому нвблнжения буде тим точнішим, чим дрібнішим буде наше роз-
биття, а точну рівність матимемо при А = шах || А^АЛ -* 0, тобто
/(А) = 7о + Ит 52 І“(М')Ді< + "(Мі)Діл] •
Очевидно, що ця границя є інтегралом від й/ = исіх + V <іу = /'<іг, при-
чому такий інтеграл (дивись таблицю иа початку розділу) називається
криволінійним інтегралом 2-го роду. Очевидно також, що інтеграл від
похідної / /'<іг повинен залежати не від конкретного виду кривої А0А,
а лише від початкової та кінцевої точок цієї кривої, причому має бути
/ /'<іг = / <Ц = /(А)-/(Ао) (формула Ньютона-Лейбніца) .
ЗАдА ЗАдА
З наведених міркувань випливає наступне точне означення.
Означення 3.9.
Нехай Г = АВ є довільною кривою, А = А», Аь..., Ап = В є розбит-
тям цієї кривої, — точками дуг А(_іА,, Дг, = Аі-іА< = (Дг,, Ду,),
а А = тах ||Дг( ||. Тоді для поля а = (Р, С) на кривій Г границя
Ііт 52 б.(Мі) Дг, = Ііт 52 [Р(Мі)Ді,- + <2(Мі)£ууі\
І і
(якщо існує, є скінченною і не залежить ні від способу розбиття, ні
від вибору точок Мі) називається криволінійним інтегралом 2-го
роду від вектора а по кривій Г = АВ і позначається /А~асІг або
/лв^Р<іх + ^^-
Зауваження 3.17. У випадку інтеграла по замкнутому контуру замість
7 інколи пишуть / .
Зауваження 3.18. Оскільки на кривій Г обрано певний напрям руху
(тобто крива є орієнтованою), то замість Г інколи писатимемо Г+ (або
Г- у випадку протилежного напряму руху).
Зауваження 3.19. Тут розглянуто криву в К2, але очевидно, що як озна-
чення інтеграла, так і все, що буде сказано далі, фактично дослівно пе-
реноситься на випадок кривої в В3.
Теорема 3.15 ^існування криволінійного інтеграла 2-го роду).
Нехай Г = АВ є кусково-гладкою кривою з скінченною кількістю
особливих точок, б = (Р,<2) Є С(С). Тоді інтеграл /Г адг існує,
причому
У адг = / (а,г'(1))<ІІ , (3.24)
де рівняння ? = г(ї), І Є [0,Л] е такою загальною природною пара-
метризацією кривої Г, що А = г(0), В = г(£).
< За умовою криву Г можна подати у вигляді Г = Гі + ... + Г„, де
Ц є гладкою кривою без особливих точок. Тому спочатку розглянемо
інтеграл по окремій гладкій кривій І}, а вже потім —- по Д + Д.
3.2 Інтеграли 2-го роду
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Нехай Г є гладкою кривою без особливих точок, г = г(1) — її приро-
дною параметризацією, причому похідна г'(Г) є неперервною. Тоді
52 “(М) дп = 52 [Р(Мі)£зхі + <3(Мі)&Уі] =
=52 +а(г(іі))у’(іі)] м =
= 52 х'м+»'(«і д'< +52 £<(ду -
де Єі(ІМі) = Р(г(«) (х'(їі) - х'(1і)) + О(г(1і)) (у'(Іі) - у'(іі)) •
Оскільки 22Є<(Д^)Д^ —‘ 0 ПРН шахДІ; —* 0, а перший доданок в
розкладі для 52а(Л4і)Дг,- є інтегральною сумою інтеграла по [0, Д] від
неперервної функції а(г(І))г'(І) = Р(г(1))х'(1) + <2(т(Г))у'(ї), то твер-
дження теореми у випадку гладкої кривої доведено.
Нехай тепер Г = Г, + Д, де Д, Д є гладкими кривими без осо-
бливих точок, Ап,..., А„ — розбиттям кривої Д 5(Ао,..., А„) — інте-
гральною сумою, побудованою на цьому розбитті, а А = ДПД — точкою
стику кривих Д та Д. Нехай А Є {АО,...,АП}, скажімо А = А*,
тоді
5(А(І,...,А„) = 5(А0,...,А*) + 5(А*,...,А„) ,
причому доданки правої частини — це інтегральні суми для /цйсіг та
/г2а<іг, збіжність яких до цнх інтегралів вже доведено вище. Якщо ж
А^ {Ао,..., А„}, причому {Ао,...,А4} с Д ,в {А*+і,..., А„} с Д , то
5(А0,...,А„) відрізняється від 8(Ац,... ,Ак,А) + 3(А,Ак+і,.. .,А„) на
нескінченно малу при А = тахДІі —» 0 величину. Отже
З 1іт5(Ао,...,А„) = / ад.т= / аіт + / айг =
А~и Зг ЗГі Зг3
= У (а,г'(1))<ІІ + У (а,г'(1))<іІ = у (а,г'(І))<ІЇ .
де т = г(І) є загальною природною параметризацією, одержаною стиков-
кою параметризацій на Д та Д. >
Наслідок 3.5.
Для кусково-гладких кривих інтеграл / адг можна виразити через
звичайний криволінійний інтеграл 1-го роду. При цьому в (3.24) вектор
т'(1) є одиничним вектором дотичної, направленим в напрямку руху
по кривій, а скалярний добуток (а, г'(І)) — проекцією вектора а на
цю дотичну.
Теорема 3.16 (властивості криволінійного інтеграла 2-го роду).
Нехай Г = АВ є кусково-гладкою кривою з скінченною кількістю
особливих точок, а функції а та Ь — неперервними на Г. Тоді
1) V а, 0 Є К У (ай + /ЗЬ) <іг = а адг + /3 Ьйг;
2) Г = Д + Д =ь у адг = айг + адг;
3) Іасіг = — Іайг.
ЗВА ЗАВ
< Доведення перших двох властивостей повністю повторює доведення
відповідних властивостей інтегралів 1-го роду. Що стосується останньої
властивості, то вона випливає з означення, де в інтегральних сумах ін-
теграла 7Вд“^’: маємо = АіАі-і = — А;-іАі . >
Теорема 3.17 (обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду).
Нехай т = г(і), де і змінюється від а до Ь, є гладкою параметризацією
кривої Г = АВ, причому А = г(а), В = г(Ь), а векторне поле а =
(Р,^) є неперервним на Г. Тоді
! аіг = У й(г(і))г'(і)<Й , (3.25)
або в координатній формі
У Рйx + ^<іу = У [Р(x(1:),у(і))x'(і) + ^(x(1:),у(і))у'(і)]сіі . (3.26)
< Для доведення досить в формулі (3.24) зробити заміну І = 1(і) і
врахувати, що г(І(і)) = г(і) та г'(Г)<ІІ = г'(1) • І'(і)<іі = г'(і)сіі . >
Підсумовуючи сказане, загальний алгоритм обчислення криволінійно-
го інтеграла 2-го роду можна сформулювати наступним чином.
Обчислення криволінійного інтеграла 2-го роду
Для обчислення інтеграла 2-го роду по кусково-гладкій кри-
вій треба спочатку подати його у вигляді суми інтегралів по
гладких частинах цієї кривої, після чого на кожній з цих ча-
стин скористатися формулою (3.25) або (в координатній фор-
мі) (3.26) та параметричним рівнянням відповідної частини.
Це можна скорочено записати у вигляді адг = Р<іх + С}<1у =
[Рг'(і) + <2ї/'(і)]<іі.
3.2 Інтеграли 2-го роду
105
106
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Приклад 3.17. Обчислимо інтеграл /схдх + уду, де крива С є
контуром трикутника з вершинами в точках 0(0,0), А(1,0) та
В (0,1), що обходиться проти часової стрілки. Очевидно, що крива
С є кусково-гладкою, а її розбиттям на гладкі частини відповідної
орієнтації є С = оЯ+аЗ+вЗ. Рівняннями цих частин та виразами
для адг на цих частинах є
ОА: у(х) = 0, де і від 0 до 1, адг = хсіх ;
АВ: у(х) = 1 — х, де х від 1 до 0,
а гіг = хсіх — (1 — х)дх = (2х — 1)сіх ;
в5: х(у) = 0, де у від 1 до 0, а дг = уду .
У
Тому для нашого інтеграла маємо /с(х + у)д! = /0Л + /Ав + /во =
/0'хдх +/°(2х - 1)дх + $уду = 0.
2. Інтеграл по елементарних кривих. Повернемось до означення ін-
теграла 2-го роду. Сума £,Р(Л/і)Діі не є інтегральною сумою для ін-
теграла / Рдх, оскільки в загальному випадку послідовність координат
хл = Х(і,хі,... ,х„ = хв (які є х-координатами точок Ао,..., А„ розбиття
кривої) не обов'язково є монотонною, а отже не утворює розбиття від-
різку між хл та хв (дивись малюнок). Для того, щоб така послідовність
була монотонною завжди, необхідно (і достатньо!), щоб крива мала ви-
гляд Г — {(х,у(,х)), х є [а,Ь]} , тобто вза’ємно однозначно проектувалась
на вісь ОХ. Назвемо такі криві х-елементарними.
Зауваження 3.20. Підкреслимо, що на відміну від випадку довільної
кривої (дивись Теорему 3.15), у випадку ^-елементарної кривої для існу-
вання криволінійного інтеграла досить тільки неперервності цієї кривої
(тобто неперервності функції у = у(х)).
3. Відновлення функції за її похідною. Тепер можна повернутись до
початкової задачі відновлення функції за її диференціалом у випадку
функції декількох змінних (на прикладі функції двох змінних /(і,у),
оскільки загальний випадок е абсолютно аналогічним).
Теорема 3.19 (про відновлення функції за її похідною).
Нехай С С К2 є зв'язною областю, а векторне поле а = (Р, О) є
неперервним на С. Тоді функція и Є (^(С), для якої ди = а дг =
Рдх + Оду (або и' = а) існує тоді і тільки тоді, коли
\ІА,ВеС Інтеграл І адг не залежить від шляху .
Зав
При цьому функція и(А) = и(х,у) має вигляд
и(А) = [ адг + С = [ (Рдх + <?ду) + С . (3.27)
Ул, У а,
< Г^І Нехай початкова точка Ао Є С є фіксованою, а А = (х,у) —
довільною. Розглянемо функцію и(А) = /А,адг і виберемо такий шлях
А«А = А«В + ВА, щоб лінія ВА було прямою, паралельною ОХ (Мал.1).
Хо х3
Мал.2
Теорема 3.18 (про інтеграл по елементарних кривих).
Нехай крива Г = { (ж,у(х)), де х змінюється від адоЬ} (можливо а >
Ь) є графіком неперервної функції у(х), функція Р(х,у) є неперервною
на Г, причому на цій кривій вибрано напрям від у(а) до у(Ь) (дивись
малюнок). Тоді З /гРдх = /г(Рдх + Оду) = Р(х,у(х))дх.
<1 Для векторного поля а = (Р,0) сума 22іа(Л/і)Дг( = Р(ї(,!/(г())Ді(
(де х, лежить між Хі~і та ж,) є інтегральною сумою для інтеграла від а
до Ь неперервної функції Р(х,у(х)). >
Тоді лінія ВА описується рівнянням у(х) =у, де X ЗМІНЮЄТЬСЯ ВІД хв ДО
і. Звідси и(х,у) = и(А) = ]'^адГ+/&адг, де інтеграл /Дай? є сталою
величиною, і в силу ду = 0 та попередньої теореми /д адг = /д Рдх =
І*ВҐ,(Х'У)<ІХ- Оскільки 3&£іР(і,у)ді = Р(х,у), то 3^и = Р(х,у).
Аналогічно, розглянувши А«А = АоС + СА, де лінія СА є прямою,
паралельною ОУ (Мал.2), одержимо, що З ^и = С}(х,у). Отже и' = а
або Рдх + і^ду = ди. Оскільки, так само, як і в одновимірному випадку,
йиі = диз на зв’язній множині С =ь щ = и^ + С ,
3.2 Інтеграли 2-го роду 107
то для довільної и, такої, що ди = Рдх + С)ду , виконується (3.27).
|=» і Нехай А, В є С є довільними точками, а г = г(і), і є [а,Ь] є
гладкою параметризацією кривої Г = АВ С С. Тоді
[адг=Г и’(г(і))-г'(і)ді= [ [и(г(і))]'<й = и(г(і))|‘ = и(В)-и(А) ,
УАВ а да
тобто інтеграл /^адг не залежить від шляху між А та В. >
Наслідок 3.6.
В умовах останньої теореми для будь-якої “первісної функції и“ від
поля а = (Р, О) (тобто такої и, що и' = а або ди = адг) виконано
рівність
I адг = ^ (Р дх + С^дх) = и(В) — и(А) (формула Ньютона-Лейбніца).
3.2.3 Поверхневий інтеграл
Як вже було відзначено при огляді всіх інтегралів на початку розділу,
поверхневий інтеграл 2-го роду — це інтеграл виду //адЗ, де З —
площа на орієнтованій поверхні. Орієнтація поверхні, як відомо, означає
вибір однієї з її сторін або (що те ж саме) вибір одного з напрямів через
поверхню, а поверхневий інтеграл 2-го роду — сумарний потік вектора
а через всю поверхню в цьому напрямку. Орієнтація поверхні задається
або вектором нормалі, або напрямом обходу контурів на поверхні. Проте,
оскільки поверхня може бути не обов’язково гладкою (а отже нормаль
може і не існувати), напрям обходу областей на поверхні є більш зручною
характеристикою для задання сторони поверхні.
Означення поверхневого інтеграла 2-го роду мн дамо аналогічно до то-
го, як це було зроблено для площі поверхні та звичайного поверхневого
інтеграла, тобто спочатку дамо означення інтеграла через певне параме-
тричне рівняння поверхні, а потім доведемо незалежність цієї величини
від вибору цього рівняння.
Означення 3.10.
Нехай П+ є гладкою орієнтованою поверхнею, Що описується рів-
нянням г = г(и, и), (и,и) є О, причому знак + означає вибрану
108 Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
орієнтацію. Нехай а є векторною функцією на П. Тоді поверхневим
інтегралом 2-го роду називається
Ца,дЗ = єЦ а(г(и,и)) • (г„ X ги') диди , (3.28)
л+ о
де множник е = ±1 визначається з орієнтації поверхні П+ та геоме-
тричного розташування нормалі г„ х г( відносно поверхні. У випадку
кусково-гладкої орієнтованої поверхні інтеграл 2-го роду є сумою ін-
тегралів по орієнтованих відповідним чином гладких частинах цієї
поверхні.
Зауваження 3.21. Рівність (3.28), яка є одночасно і означенням, і форму-
лою для обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду, можна скорочено
записувати у вигляді дЗ = є(г£ х г()диди.
Теорема 3.20 (існування інтеграла та інваріантність означення).
Нехай П є кусково-гладкою поверхнею без особливих точок, а функція
а є неперервною на П. Тоді інтеграл ^пад8 існує і не залежить
ні від конкретного параметричного представлення гладких частин
поверхні П, ні від способу її розбиття на такі гладкі частини.
< Доведення є абсолютно аналогічним до випадку звичайного поверх-
невого інтеграла 1-го роду (дивись Теорему 3.13). >
Теорема 3.21 (про зв’язок з поверхневим інтегралом 1-го роду).
Нехай П+ є гладкою орієнтованою поверхнею, а векторна функція а
є неперервною на П. Тоді
Ц адЗ = Ц(а,п)дЗ , (3.29)
л+ л
де п є одиничним вектором нормалі, яка відповідає орієнтації П+.
< Це випливає з д8 = є(г„ х г() диди = п ||ги' х г„'|| диди = пд8. >
Поширивши це твердження очевидним чином на кусково-гладкі по-
верхні, отримуємо, що для таких поверхонь інтеграл адЗ виражає-
ться через звичайний поверхневий інтеграл. Прн цьому вектор п є оди-
ничним вектором нормалі, направленим у відповідності з орієнтацією
поверхні, а скалярний добуток (а, п) — проекцією вектора а на цю нор-
маль.
3.2 Інтеграли 2-го роду
109
110
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Зауваження 3.22. Для знаходження є = ±1 треба обчислити тй х ті і
порівняти напрям цього вектора з напрямом вектора й потрібної орієнта-
ції. На практиці для цього досить порівняти знаки будь-якої компоненти
цих векторів, якщо знаки співпадають, то в (3.28) треба взяти є = +1, а
якщо знаки протилежні, то є = -1 (дивись Приклад 3.15 на стор. 91).
В координатній формі підінтегральний вираз в означенні (3.28) поверх-
невого інтеграла 2-го роду набуває виду
Теорема 3.22 (про властивості інтеграла 2-го роду).
Нехай П є кусково-гладкою орієнтовною поверхнею, а функції а та
є неперервними на П. Тоді
1)
Ь
2)
асїЗ — є(а, ті, ті) <іи<іо = є
Р
хі
Хм
<2 Я
Ми
УІ %и
сіисіу ,
Уа.ЗЄІЯ уу(аа + /ЗІ
п+
П+ = П1+ + П2+ =>
п.
[[ аЛ8 — — [[ а (ІЗ .
П+
0 уу ЬйЗ;
/Н;
ПІ
або (якщо розписати визначник по першому рядку та врахувати тради-
ційне позначення якобіанів)
= є(р\$ **,|+С?Н 5 І) =
\ І Уи | •*-» І •*-« у» І /
( „ 3(2/, а) , „ 3(г, х) , „ д(х, у) \ , ,
— Є і Р X----г + О уо--г + Р «7---г ) ФиФь .
\ д(и,и) д(и,ь) д(и,о) )
Перший доданок цієї суии є потоком х-компоненти ах = (Р,0,0) нашого
поля, або х-складовою загального потоку ас(5. При цьому у відповідності
з формулою заміни змінних Фшіо = Фуйх є площею проекції аЗ
на 0¥2, орієнтованою відповідно до орієнтації нашої ПДСК. Звідси,
зокрема, випливає запис
а ЛЗ = Р Фу сіх + С) сіхФх + її сіхсіу ,
що має безпосередній геометричний зміст у випадку, коли поверхня вза-
ємно однозначно проектується на кожну з координатних площин. З ін-
шого боку, цей запне зручний тнм, що при параметричному заданні пе-
ретворення вирази
д(у,х) д(х,х) , д(х,у) . ,
д(и,о) д(и,о) д(и,у;
зразу дають потрібні обчислювальні формули. Якщо, крім того, відповід-
но до (3.29) записати аФЗ у вигляді
(а,п)й5 = (Р сов а + ф сов/? + Я сов у') (ІЗ ,
тоді з вищесказаного отримуємо сов а (ІЗ = сіуйг. Ця рівність має очевид-
ний геометричний смисл площі проекції на О¥7, адже кут між поверх-
нями Ф8 та О¥2 співпадає з кутом між нормаллю до ІЗ та ОХ.
П.
п.
< Доведення перших двох властивостей повторює відповідні доведення
для звичайного поверхневого інтеграла та криволінійного інтеграла 2-го
роду, а остання є очевидним наслідком попередньої теореми. >
Підсумовуючи сказане, загальний алгоритм обчислення поверхневого
інтеграла 2-го роду можна сформулювати наступним чином.
Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду
Для обчислення інтеграла 2-го роду по кусково-гладкій поверх-
ні треба спочатку подати інтеграл у вигляді суми інтегралів
по гладких частинах цієї поверхні, після чого на кожній з цих
частин скористатися означенням (3.28) та параметричним рів-
нянням відповідної частини.
Приклад 3.18. Обчислимо потік поля а = (х,у,х) з середини назов-
ні череа сферу г2+2/2 + а2 = а2. Оскільки ми розглядаємо всю сферу,
то зручніше всього скористатись її параметричним рівнянням. При
цьому в силу сказаного в Прикладі 3.15 на стор. 91 в цьому випадку
маємо аіЗ = —а(г(0, у>)) • (ті х г^) івіїр = —(а, Те, г^івфр , де
(а, те, Тр) =
а сов в сов <р а сов в від <р а від в
—а від в сову; —авіпввіпу; а сов в
—а сов в від <р а сов в сов <р 0
—а3сов0 .
Тому для шуканого потоку остаточно отримуємо
І’2’
а (13 = / фр / а3 сов в Ф0 — 4тга3 .
Зо 3-гіІ
п+
3.2 Інтеграли 2-го роду
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
На завершення аналогічно до випадку кри-
волінійного інтеграла 2-го роду розглянемо
випадок поверхні, що проектується на коор-
динатну площину. Так назвемо поверхню уг-
елементарною, якщо вона взаємно однознач-
но проектується на 0¥2, тобто може бути
описаною рівнянням х = х(у, х), (у,х)еОр.
Оскільки для такої поверхні х т( = (1, — х^, — х(), що відповідає
потрібному напрямку нормалі (дивись малюнок), то
Як відомо, підінтегральні вирази для криволінійних інтегралів, тоб-
то диференціальні фории 1-го степеня ші = Ріх + ^Фу + Яіх, можна
отримати шляхом звичайного диференціювання. А диференціальні фор-
ми вищих порядків? Для відповіді на це питання задамо диференціал
іш від довільної форми ш аналогічно до звичайних диференціалів ви-
щих порядків, лише замінимо “числове” множення диференціалів сіх, іу
та сіх на геометричне (тобто “зовнішнє”). Таку операцію назвемо зовні-
шнім диференціалам. Тобто за означенням для диференціальної форми
= Е
а ІЗ — +
р О я
хі 1 0
Хх 0 1
іЇ2/<іл ,
звідки для ах = (Р,0,0) маємо ахФЗ = Ріуіх, а отже інтеграл
[і о.х(ЇЗ = /"/ Р(х(у,х),у,х)Фуіх (3.30)
ззп+ 3 зо,,
є т-складовою загального потоку в напрямі ОХ.
Зауваження 3.23. Одержана рівність (3.30) може служити означенням
для т-складової загального потоку в напрямі ОХ, оскільки в силу ска-
заного ця рівність є еквівалентною до означення (3.28). Проте важливою
особливістю формули (3.30) є те, що вона не вимагає гладкості функції
т = х(у, г). Випадок 2/-складової та а-складової потоку — аналогічно.
де добутки ФхіФхіі...Фхіі є геометричними.
Зауваження 3.24. З геометричної точки зору для у(х) маємо Ду± Дт,
звідки сІ2/± іх.
Зауваження 3.25. Аналогічно до того, як мн погодились всі вирази виду
іхіу вважати геометричними добутками, так само надалі диференцію-
вання завжди вважатимемо зовнішнім.
Зауваження 3.26. Реально такі диференціальні внразн виникають та
використовуються виключно як підінтегральні вирази в інтегралах рі-
зноманітних типів.
На основі вищесказаного в результаті зовнішнього диференціювання ма-
ємо:
3.2.4 Зовнішній диференціал
Інтеграли 2-го роду в просторі — це інтеграли від диференціальних ви-
разів виду
Ріх + С)іу + Яіх, Ріуіх + С)іхФх + ЯФхіу, / іхіуіх ,
де всі “добутки" іуіх, іхіх, сіх (і у та сіхсіусіх є “геометричними", зокре-
ма аитиснметричннми та полілінійними (дивись стор. 98-100). Такі ви-
рази називаються диференціальними формами (відповідно 1-го, 2-го та
3-го степеня). Звичайну иепродиференційовану функцію з цієї точки зору
природно назвати “диференціальною фориою 0-го степеня”.
Означення 3.11.
Диференціальною формою степеня к в просторі К" (позначається
їді,) називається вираз
иік = 52 Їч -іАхі’ •••>*>) Фсц-Фхц ,
де сума береться по всім можливим значенням індексів її,...,і* з
множини (1....п). а сіх. ...сіх;. є геометоичними добитками.
шо = / =>
, дГ д} ді
фда = — сіх +—сіу + —сіх
ох ду дх
= Р сіх + о Фу + ЯФх :
Фші = (дР) Фх + сіу + (гіЯ) сіх =
(дР , дР , дР '
(дО , дО , до'
+ (-х-сіх + —<іу+-х-дх
\ дх ду дх ,
(дЯ , дЯ , дя , \ ,
+ — Ох + Фу + — дх ] сіх =
\ дх ду дх )
<іу+
Фуіх +
ар
дх
дх )
ФхФх ,
3.2 Інтеграли 2-го роду
113
Лрі =
дхдх
дх )
Ш2 — РЛуйх + (ійхЛх-(-В.Лхйу :
<іил = (-3-4і: + -к-</і/ + — <Ь| <ір<Ї2+
\дх ду дх )
ґ&<2 . д(} . дї} А. .
+ {-^-дх + — ду + -^-дх] дхдхЦ-
\ дх ду дх )
(дЯ, дЯ_, дЯ . \ . , (дР д<2 дЯ\ .
0>з = / дхдудх : сішз — (^-дх + ^-ду + У- ЛаЛ дхдудх = 0 .
\ох ду ах )
Отже при кожному к гіш* = шк+1 і, оскільки кожна з диференціальних
форм іщ- є полілінійною антисиметричною функцією шк(сІх,від к
змінних-диференціалів, то (використовуючи позначення А* для множини
всіх таких функцій 1 д — для оператора диференціювання) можна сказа-
ти, що маємо відображення д : А* —* Л*+і, причому це відображення є
лінійним, тобто д(аш + /Зш) — адш + 0дш .
Аналогічно до того, як для у(х) диференціювання давало ду =
де похідна у'(х) є швидкістю зміни величини у в залежності від х, то
подібний зміст природно чекати 1 у зовнішнього диференціала:
1)
шп = / — звичайна функція
, д/, д/. д^
д>д0 = —дх + — ду + — дх
ох ду дх
=ь
є характеристикою зміни функції;
2) ші = Рдх+ <$ду + Ядх— циркуляція векторного поля =$•
. , (до дР\.. (дЯ ^\ , (дР дЯ\ . .
’ дї) + (дЦ - Тх)
є характеристикою зміни циркуляції;
114 Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
3) Ш2 = Рдудх + Є)дхдх + Ядхду — потік векторного поля =ь
л (дР дС} дЯ\ . . . „
сіш2 = | ——н + —— І дхдудх - характеристика його щільності.
\ дх ду дх)
Теорема 3.23 (теорема Пуанкаре).
Необхідною умовою того, що диференціальна форма ш з С1 -коефіцієн-
тами е зовніиіім диференціалом, є рівність дш = 0, тобто
ш = дш =ь дш = 0 або V ш д 2ш — 0 .
< Зручніше всього це зробити в загальному вигляді:
ш = 53/<!...« сЬч-'Ьіц => щ = <Ий = =ь
гіш = й(<©) = ’£(д2/ІІ,.Лк)дхі1...дхік ,
але для функції в силу рівності змішаних частинних похідних
" дхідхі 1 4-! І дхідх,- дх.дхі І 1
ІЗ 1 кі \ ' 1 1 /
3.2.5 Відновлення форми за її диференціалом
Для будь-якої неперервно диференційовної функції (тобто для днферед-
ціальної форми нульового степеня = /) вздовж довільної кривої АВ
маємо рівність
рВ р в
яку природно називати формулою Ньютоиа-Лейбніца. Природно постає
питання, чи виконується щось подібне для діщ та дш^ ?
1. Простір К2. Розглянемо простір К2 і
дші = (дР) дх + (гіф) ду. Якщо область О є
х-елементарною (див. малюнок), тобто має вид
О = {(х,ї/) : х Є [хі, х2], у є [г/і(х),глг(ж)]} ,
тоді для (дР)дх маємо:
3.2 Інтеграли 2-го роду
116
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
(др з дРз\з др з ®р , з
(дР)дх = — дх + — ду дх = —дудх = - —дхду ,
\дх ду ) ду ду
звідки за формулою для інтеграла 2-го роду по елементарних кривих
У у (др)дх = - у у ^-дхду = - Г\ уи<1) ^-ду] дх =
з Зв 3 Зр ду )Хі ду
= Г [Р(х,уі(х))-Р(х,уг(х))]дх = Ірдхц- і Рдх.
Зп Злв Зсв
Оскільки ВСІ сіх та АЛ±дх, то /в~ Рдх = рдх = 0, звідки
Я(йр)іс =ирах’
де 022+ є додатно орієнтованим краєм множини 22 (дивись малюнок).
Аналогічно, якщо множина 22 є ^-елементарною, маємо
//с(л?)^ =^<іу’
звідки для будь-якої елементарної множини О с К2 (тобто множи-
ни, яка є одночасно і х-елементарною і у-елементарною), векторного
поля а = (Р,<2) Є С‘(.Р) і форми иц = Рдх + ()ду має місце рівність
ф (Рдх + С)ду)
Зав+
(3.31)
яку скорочено можна записати у вигляді /вдіщ = $вв ш1г і яка
називається формулою Гріна.
Виявляється, що при досить широких припущеннях множину й С К2
можна розбити на скінченну кількість елементарних частин (аналогічне
питання ми розглядали при зведенні подвійного інтеграла до повторного).
Тому має місце наступна загальна теорема.
Теорема 3.24 (про формулу Гріна).
Нехай О С К2 е замкненою множиною, яку можна розбити на скін-
ченну кількість елементарних частин, і а ~ (Р^) € С1(22). Тоді ви-
конано формулу Гріна (3.31).
< Нехай 22 = 2 22* є розбиттям нашої множини на елементарні
к=1
частини, тоді в силу вже доведеного маємо
//(§-ї)-'ї//(&-%)= Т.$р<^у-
В Вк ав(
Але, оскільки на спільній частині дОі П дО, складові інтегралів по
дО* та дОЗ взаємно знищуються (згадайте узгодженість орієнтацій
частин орієнтовної множини), то
ф адг + ф адг — ф адг ,
дав? Заві Заїв.ивл*
звідки У' ( ф Рдх + ї^ду ) = ф (Рдх + С}ду) . >
к \заві } Зав*
Формула Гріна дозволяє дати досить вичерпну відповідь на питання про
відновлення функції двох змінних за її диференціалом.
Означення 3.12.
Множину В с К2 називають однозв’язною, якщо для будь-якої за-
мкнутої кривої ГсО обмежена цією кривою область повністю ле-
жить в О.
Однозв’язність множини геометрично означає, що всередині такої мно-
жини О немає ніяких дірок, тобто кожна замкнена крива Г с О є краєм
дС деякої підмножини Сей, а тому до такої кривої можна застосову-
вати формулу Гріна, тільки прочитану вже справа-наліво.
Теорема 3.25 (критерій повного диференціала).
Нехай множина О с К2 є однозв’язною областю, а функції Р(х,у)
та <2(х, у) — неперервно диференційовним на О. Диференціальна фор-
ма ш = Рдх + С)ду є повним диференціалом тоді і тільки тоді, коли
дш = 0 або дСЦдх = дР/ду.
< Необхідність умови дш = 0 доведено в теоремі Пуанкаре, а тому
зупинимось на її достатності. В силу однозв’язності області О довільна
замкнена крива Г с О є краєм певної підмножини С с О. Тому з
формули Гріна випливає, що такої довільної кривої /г Рдх + С)ду =
$г ш = Ід/диі = 0. Але очевидно, що це є рівносильним незалежності
інтеграла від шляху, тобто (в силу Теореми 3.19) тому, що ш = ди. На
завершення залишається нагадати, що дш = (дЄ)/дх — дР/ду)дхду, а
отже рівність дш = 0 є рівносильною до рівності д(Цдх = дР/ду. >
3.2 Інтеграли 2-го роду
118
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Приклад 3.19. Розглянемо форму ш = (х + + (х — у)<1у.
Оскільки в силу відомих властивостей зовнішнього добутку <іш =
(Лс + <іу)<іх + (сіх - <1у)сІу = ЛуЛх + <іх<іу = 0, то в силу попередньої
теореми ш є повним диференціалом. Знайдемо
відповідну первісну. В силу Теореми 3.19 таку
первісну можна представити у вигляді
и(В) = У (ж + у)<іх + (х - у)сІу + С ,
де ОВ є довільним шляхом з початкової точки О до довільної точки
В. Оскільки наш інтеграл не залежить від шляху, то цей шлях ми
можемо вибрати довільним зручним для нас чином. Оберемо шлях
ОВ = ОА + АВ (дивись малюнок), при якому ми рухаємось вздовж
координатних осей. Позначимо для зручності В = (®о,уо), тоді рів-
няннями відповідних частин та виразами для ш на цих частиних
є
О А : у(х) = 0, де х від 0 до хц, а ш = хсіх ;
АВ : х(у) = хи, де у від 0 до уи, а ш = (х0 - у)<іу .
Тоді для нашого інтеграла маємо и(В) = ш + Лсо- ії°хсіх +
/*(хи-у)<1у = Хо/2+хоі/п-і/о/2 , звідки остаточним видом первісної
є и(х,у) = (х2 + 2ху- ц2)/2 + С .
2. Простір В3. Випадок форми шг в просторі
Ж3 є аналогічним до вже розглянутого випад-
ку форми шх в просторі Ж2. Справді, розгляне-
мо множину V с Ж3 і диференціальну форму
дшг = (<1Р) йуйх + () сіхсіх + (<ІВ) сіхду .
Якщо множина V є і/2-елементарною, тобто
має вигляд (дивись малюнок)
У = { (®>р,г) : (р,г) Є £>, X є [хі(р,г),х2(р,з:)] } ,
тоді для маємо
(<ІР ) <Іу<І2 = дх + ^-сіу + ~ сіхУ сіусіх — ^-дхіуіх.
\ох ду дх ) дх
Звідси за формулою (3.30) для інтегралів по елементарних поверхнях
(Іу(І2 —
Г Г Г І ®2(к,«) '
= // ^2)
*/«/£ ІХ1(у,г)
= [і РІЇуІЇХ— [і РсІусІХ ,
* * Зкврх * * Знижн
де два останні інтеграла означають потік вектора (Р, 0,0) через верхню
та нижню основи множини V в напрямку осі ОХ. Але, оскільки в силу
Зеїчш II ОХ маємо //3ваР<іу<іх = 0, а інтеграл -Р дусіх є
ПОТОКОМ через поверхню 8нижн згори донизу (тобто по відношенню до У
з середини назовні), то
Щ^Р)<№ =Л^^х =Мау/№-
Міркуючи абсолютно аналогічно для (<1(2)(іхсІх та (<іЯ)(іх(Іу, одержимо,
що для будь-якої елементарної множини V С К3 ( тобто множини,
яка є одночасно ху-, уг~ та гх-елементарною), поля а = (Р,ф,Я) Є
СХ(У) і форми о^2 = Ріїуйх 4- <2&иіх 4- Нсіхйу має місце рівність
///< (£+й+© = /+яахау}
яку скорочено можна записати у вигляді }у йог = шг і яка нази-
вається формулою Остроградського-Гаусса.
Абсолютно аналогічно до загальної теореми про формулу Гріна одер-
жуємо наступну загальну теорему про формулу Остроградського-Гаусса.
Теорема 3.26 (про формулу Остроградського-Гаусса).
Нехай V С Ж3 є замкненою множиною, яку можна розбити на скін-
ченну кількість елементарних частин, і а = (Р, <2,Я) Є СІ(ЇЛ). Тоді
для а на V виконано формулу Остроградського-Гаусса.
Приклад 3.20. Обчислимо потік поля а = (х,у,х) з середини на-
зовні через сферу 8 = { х2 + у2 + з2 = а2 } користуючись формулою
Остроградського-Гаусса. Оскільки для ш = хйусіх+уіхсІх+хйхсТу ма-
ємо дш = 3, то ш = /у дш = ЗУ і в силу відомої рівності V =
4тга3/3 для шуканого потоку остаточно отримуємо ш — 4тга3.
3.2 Інтеграли 2-го роду
120
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
3. Формула Стокса. Вище ми розглянули зовнішні диференціали від
форми ші в просторі Ж2 (формула Гріна) та від в просторі Ж3 (фор-
мула Остроградського-Гаусса). Доведення цих формул були чисто аналі-
тичними і спирались на властивості відповідних форм та їх зовнішніх
диференціалів, причому ситуацію спрощувало те, що порядок форми ди>
дорівнював розмірності простору. Залишилось розглянути ші в просторі
Ж3.
Теорема 3.27 (про формулу Стокса).
Нехай П+ с Ж3 є кусково-гладкою орієнтованою поверхнею з краєм
дП+, орієнтація якого є узгодженою з орієнтацією самої поверхні
П+. Нехай на цій повехні маємо форму ші = Р сіх + Оду + Віх,
коефіцієнти якої є неперервно диференційовними. Тоді для дшх на П+
виконано формулу
/7 (д(і дР\ . . (дВ дО\, , (дР дВ\
/ / І л----ЗГ 1 + ( '5--"а~ І + І "Н-------X— І дгдх =
) Уп+ \ дх ду ) \ду дх / \дх дх )
= Ф Р сіх + <2іу + Всіх
звп+
яку скорочено можна записувати у вигляді /п <1ш1 = /ап ші і яка
називається формулою Стокса.
<1 Як це вже було при доведенні теореми Пуанкаре, відповідні аналі-
тичні перетворення значно спростяться, якщо замість х, у та х писати
ВІДПОВІДНО ті , Хо та х3 (що може служити ще одним прикладом корнеті
від загальних індексних позначень). Аналогічно до попередніх випадків
ДЛЯ дш ВІД форми Ш = РсІХ! + 5сІХ2 + Я<іх3 досить розглянути доданок
(гіР)Лгі.
Оскільки (аналогічно до того, як це було при до-
веденні формули Гріна) при розбитті орієнтованої
поверхні на частини = /аП1 +... + /вПі,
то досить розглядати лише випадок гладкої поверх-
ні. Крім того, не буде серйозним обмеженням вва-
жати. що нашу поверхню можна задати рівнянням
г = г(и,ц), и Є [«і, и2], о Є [глі, гл2], а відповідний
р,С
А ІВ
. и
иі иг
прямокутник на площині Ж^„ позначимо О (дивись малюнок).
Розглянемо перетворення форми (гіР)<іа:і при використанні парамет-
ричного рівняння поверхні:
х- дР д(Хі,хх)
(сІРУїІХ! = У £— (ІХіСІхі = У -т----------сіисіо =
> гГ—і^дХі г-^ідіі д(и,о)
V—' дР (дхі дхі дхі дх1 \ . .
дхі \ди до до ди )
дР дхі дР дхі V
ди до до ди ] и У ’
ГТ[дРдх1 дРдхі}
= Ло[ і; - а ]
Але
гг дР дхі, л г14 г /“’ ар , ] , . дхі
Ц-ді-ді^ =л [л ді^^
с
-Д =]в р-ді^ -Д р-ді^-
Оскільки ВСЗ-ди, то /дР^ди = 0, звідки
/”С г, дхі Гс (дхі дхі \ Гс
/ Р "лГ <і’и= р ( дТ + "ЗГ до] = Рдхі .
У в до Зв \ди ди ) ]в
Аналогічну рівність маємо для інтеграла /^Р^сіи, звідки
гг дР дх, Гс ГА
І -X-—диди = / Рдхі + / Рдхі .
ууо ди до ув Ус
Оскільки абсолютно аналогічним чином маємо
- ї[ ^^-сіидо = [ВРдхі+ [°Рсіхі ,
УУо до ди )л ]с
то з (*) отримуємо рівність (йР)<іхі — $еп Рйхі. Інтеграли від
доданків (<ф)сІХ2 та (<ІВ)сІхз — абсолютно аналогічно. >
3.3 Підсумкові зауваження
121
122
Розділ 3. ІНТЕГРАЛИ В БАГАТОВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Для застосування формули Стокса на множині V С В3 необхідно,
щоб кожна замкнена крива Г С V була краєм деякої кусково-гладкої
поверхні П с. V. Такі множини аналогічно до випадку В2 називають
однозв’язними. Для таких множин повністю зберігається (разом з дове-
денням!) критерій того, що форма ш = Ріх + С)сІу + ЯЛа з неперерв-
но диференційовнимн коефіцієнтами є повним диференціалом, а саме
щ = дД> <іш — 0. Також зберігається алгоритм відновлення функції
за її диференціалом (дивись Приклад 3.19 на стор. 117).
Всі одержані при розгляді інтегралів від диференціальних форм (тобто
інтегралів 2-го роду) формули можна підсумувати наступним чином:
Нехай М є кривою, поверхнею з краєм, або об'ємною облас-
тю, тоді для диференціальних форм відповідного степеня
з С1-коефіцієнтами має місце рівність
І Лд = І ш ,
зм Звм
яка називається загальною формулою Стокса.
Отже, повертаючись до початкового питання про відновлення форми за її
диференціалом, можна сказати, що якщо для звичайних функцій / по д/
відновлюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца, то загальний
випадок довільних диференціальних форм можна схематично зобразити
наступним чином
зовнішній <1
формула Стокса
• кратний, криволінійний і поверхневий інтеграли 1-го роду та їх смисл;
- криволінійний і поверхневий інтеграли 2-го роду та їх інтерпретація;
- орієнтація та міра орієнтовної множини;
- диференціальна форма та зовнішній диференціал.
Основними твердженнями та формулами даного розділу є наступні:
- формула зведення кратного інтеграла до повторного;
- формула заміни змінних в кратному інтегралі;
- формули для обчислення криволінійних та поверхневих інтегралів;
- теорема про відновлення функції кількох змінних за диференціалом;
- властивості геометричного добутку;
- вирази для зовнішнього диференціала від форм довільного порядку
в просторах К2 та К3;
- формули Гріна, Стокса та Гаусса-Остроградського;
- теорема Пуанкаре та критерій повного диференціала.
Основними задачами, що стосуються матеріалу даного розділу є насту-
пні:
- обчислення подвійного та потрійного інтегралів;
- обчислення криволінійних та поверхневих інтегралів;
- відновлення функції декількох змінних за її диференціалом.
Типовими та найпоширенішими помилками, що стосуються кратних, кри-
волінійних та поверхневих інтегралів, є наступні:
- неправильні межі інтегрування при зведенні кратного інтеграла до
повторного;
- неправильний вибір знаку при обчисленні інтеграла по орієнтованій
множині;
- невміння застосувати властивості диференціальних форм при знаход-
женні зовнішнього диференціала.
3.3 ПІДСУМКОВІ ЗАУВАЖЕННЯ
Особливістю даного розділу в порівнянні з попередніми є як його зна-
чний об'єм, так і непростий характер цілого ряду понять та тверджень,
пов’язаних з орієнтацією множини, інтегралами 2-го роду та диферен-
ціальними формами. Проте загальна кількість нових понять є досить
невеликою, а основними та абсолютно обов'язковими для засвоєння з
них є наступні:
Розділ 4. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ
Застосуємо розглянутий раніше математичний апарат (диференціювання
та інтегрування функцій декількох змінних) до реальних фізичних по-
лів. На відміну від фізичної теорії поля, яка вивчає фізичну природу та
фізичні властивості відповідних полів, об'єктом нашого розгляду будуть
чисто математичні поняття, операції та співвідношення, які при цьому
виникають. При цьому фактично мова йтиме про певну інтерпретацію
вже розглянутого раніше матеріалу.
В залежності від типу величини, що розглядається, поле може бути
скалярним, векторним, тензорним і т.п. Ми обмежимось лише скалярни-
ми та векторними полями. При цьому важливо відмітити незалежність
реальних фізичних полів від системи координат в тому розумінні, що по-
ле є функцією точки множини (кривої, поверхні чи просторової області)
без будь-яких посилань на системи координат. Якщо ж на цій множині
вибрати певну систему координат, то поле описуватиметься певною фун-
кцією від цих координат, в іншій же системі координат те саме поле
описуватиметься вже іншою функцією від координат.
Приклад 4.1. Нехай величина ц(Л) = |ОЛ| є віддаллю від фі-
ксованої початкової точки О на площині до довільної точки А цієї
площини. Тоді, якщо системою координат є ПДСК з центром в точці
О, то наша величина описується функцією и(х,у) = \/х2 + у2, якщо
ж системою координат є полярна СК з центром в точці О, то та ж
сама величина описується функцією и(г, у) = г.
4.1 СКАЛЯРНІ ПОЛЯ
Як і у будь-якої скалярної функції, визначаль-
ною характеристикою скалярного поля є похі-
дна.
Означення 4.1.
Нехай и(А) — и(тд) є значенням поля в точці А, п — одиничним
вектором, що задає напрямок. Тоді при і > 0 величина и(гд + Іп) є
значенням цього поля на промені, що виходить з точки А в напрямку
п, і — віддаллю від точки А до точки Аі на цьому промені, а границя
^(Л)=
дп1 ' і-+о І
(4.1)
називається похідною за напрямком в точці А.
Очевидно, що дане означення ніяк не пов'язане з системами координат.
Якщо ж в просторі задано ПДСК, то має місце наступне твердження
щодо обчислення такої похідної.
Теорема 4.1.
Нехай в заданій ПДСК скалярне поле и(-) описано числовою функцією
и(х,у,х), яка є диференційовною в певному околі точки А. Тоді для
довільного напрямку п — (сов а, ссе 0, сов 7)
тз (Л) = (Л) сова + -х- (Л) • сов Д + -5- (Л) • сов7 = ц'(Л) • п
дп дх ду 02
< Розглянемо и — и(т) = и(х,у,а) на промені т = та + Іп, де І > 0.
Тоді згідно означення похідна за напрямком є просто правою похідною
від функції й(1) = и(тд + іп) при і = 0, звідки за формулою похідної
складної функції
(Л) = и'(гд + /Я)|і=„ • (гд + Іп)' = и'(Л)-й . >
Як відомо, вектор и' = (и^,и^,ц'2) називається градієнтом і позна-
чається згасіи. Тоді формулу для ди/дп можна записати у вигляді
(4.2)
-хх(А) — 8га<іи(Л) • п = | £гасі и | • сов <р ,
оп
звідки автоматично випливає смисл вектора &гас1и.
Смисл вектора @га<1 и
Оскільки в (4.2) ір є кутом між векторами п та ^гасіи, то
І) похідна за напрямком є максимальною сов ір = 1
(тобто напрям п співпадає з напрямом етади);
ди
2) сову = 1 => | р-асігі | = — .
(771
Отже вектор £гади за напрямом співпадає з напрямом
найбільшого зростання поля и, а за величиною якраз і є
цією найбільшою швидкістю зростання.
123
4.2 Векторні поля 125
Сказане означає, що &гас1и є інваріантною (тобто незалежною від
системи координат) характеристикою скалярного поля и. Оскільки ж,
як відомо,
и(А) = / 8гади4г + С
ЗЛо
(тобто поле и можна відновити по кгади з точністю до сталої), то £гасігі
е вичерпною характеристикою скалярного поля и.
Приклад 4.2. Нехай и = /(г), тобто поле и е центрально симет-
ричним. Тоді в силу рівностей дг/дх = х/т, дг/ду = у/т та
дтівг = г/г , де г = \/х2 + у2 + а2, маємо
Вгади = (/'(г) , /'(г) • , /'(г) • = /'(г) • £ = /'(г) • е ,
х Г Г Г/ Г
де е є одиничним вектором напрямку г’.
Розділ 4. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ
В результаті зовнішнього диференціювання цих функціоналів виникають
наступні диференціальні вирази (або “диференціальні форми”):
, (дЯ д(ї\ . (дР дЯ\. . (д<2 дР\. ,
(дР дС)
При цьому очевидно, що права частина виразу для Зіщ є потоком через
33 певного вектора, який позначається гоі а, а права частина виразу для
Зшз є Інтегральною мірою певної величини з щільністю, що позначається
сііу а. Отже природно приходимо до наступних понять.
Озмачеммя 4.2.
Вектор
к
а
Зі
Я
дО__дР_
дх ду
8
5Ї
4.2 ВЕКТОРНІ ПОЛЯ
При інтерпретації векторного поля З його найчастіше розглядають або
як поле швидкостей певного рухомого суцільного середовища (рідини
або газу) або як напруженість силового поля (чи просто силу).
4.2.1 Характеристики векторного поля
Нехай в просторі задано певну ПДСК. Тоді, як відомо, кожне вектор-
не поле а = (Р, <£, Я) породжує наступні числові лінійні відносно З
локальні характеристики (“функціонали”):
а) о/| = адг = Р Зх + Зу + Я3х — циркуляція поля З вздовж Зі' у
відповідному напрямку (або робота сили 3 вздовж Зг);
б) и>2 = аЗз = РЗуЗх+С^ЗхЗх+ЯЗхЗу — потік поля а через поверхню
Зз у відповідному напрямку.
Звідси для відповідних інтегралів маємо :
а) /г+ші = /г+ 33т є поєною циркуляцією поля 3 вздовж Г у відпо-
відному напрямку (або поєною роботою сили 3 вздовж Г);
б) //п+ = /а 33 є поєним потоком поля 3 через поверхню П у
відповідному напрямку.
назиєається ротором еекторного поля а і позначається
дР д<2 дЯ
дх ду дх
назиєається дивергенцією векторного поля З і позначається сііу 3.
Після цього означення відповідні інтегральні теореми набувають на-
ступного короткого виду
формула Стокса : Ф 33г = 11 тої 333 ,
388+ з 3 8
формула Гаусса-Остроградського : // ЗЗз = 111 ЗІуаЗи .
3 38У+ З 3 Ту
З цих рівностей відразу випливає смисл дивергенції та ротора.
І
а
Зі
(З
тої а. Число
Смисл величини (Ну а
Нехай V є таким малим об'ємом, що сііу аі « сопзі. Тоді на
V
сііуа «а і / / 333 або сііуа = Ііт І [[ 333, (4.3)
V ЗЗаут V ]]ау+
тобто <1іу 3 означає щільність потоку поля 3 в заданій точці.
4.2 Векторні поля 127
Аналогічно гоіогіз ~ (гоі.3, п)3з, де п є одиничною нормаллю до
Зз відповідного напрямку, звідки на досить малій поверхні З
(тої 3, п) и —Ф аЗт , (4.4)
пл(3) /
88+
де праву частину можна назвати відносною циркуляцією. Звідси очеви-
дним чином випливає смисл вектора гоі, а.
Смисл вектора ГОІ а
В кожній точці, де гоі а 0, існує така орієн- гоі а /
тація (розташування) малої площини Зз, в якій /
відносна циркуляція є максимальною. Ця пло- /
щина розташована так, що гіз_1_гоІа, причому ве- Зз
ктор тої а направлений в такий бік, щоб з його
вершини циркуляція була додатною (тобто на-
ЙЦЯряЯЗД№ йрбуй часової стрілки), а | гоіа| якраз і є величиною
цієї додатної відносної циркуляції в так розташованій площині
Зз.
Таким чином (дивись праві частини рівностей (4.3) та (4.4)), скаляр
сііуа та вектор гоі а не залежать від системи координат, а отже є інва-
ріантними характеристиками векторного поля 3.
Приклад 4.3. Простим обчисленням безпосередньо за означенням
легко перевірити, що
1) а = §гад и => гоі, 3 = 0 ;
2) 3 = гоі Ь => Лу а = 0 .
Але, з іншого боку, ці рівності є автоматичним наслідком леми Пу-
анкаре. Справді, враховуючи природу гоі, а та сііуа (тобто їх зв’язок
з зовнішніми добутками), маємо
1)а = 8гади => иц = а Зг = и'Зт = Зи = гішо =>
тої33з = З(аЗт) = З(Зшп) = 0 або гоіа = 0;
2) а = гоіЬ => а>2 = аЗз = тоїЬЗз = 3(ЬЗт) = Зсщ =>
дІуЗгіу = гі(агіз) = 3(3іщ ) = 0 або <Цуа = 0.
Розділ 4. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ
4.2.2 Основні типи векторних полів
З леми Пуанкаре випливає важливість розгляду таких форм од., для яких
Зил, = 0. В просторі К3 в силу рівностей для Зиц та Зш? це набуває виду
1) при к = 1 иц=33т, звідки Зші = 0 о гоіа = 0;
2) при к = 2 Ш2 = 33з, звідки Зиі? = 0 « <ііуа = 0.
В силу загальної формули Стокса /ди изь = /л/3ил рівність йо.’*, = 0
означає, що V М = 0. Зокрема при к = 1 (коли — аЗт) це
означає, що для довільної замкненої кривої маємо £ГаЗт = 0. В цьому
випадку, як відомо, Ви : 3 = егасіи або иі\ = Зи і тому таке поле
називається потенціальним.
При к = 2 (коли иі2 — ЗЗз) це означає, що для довільної -—~
замкненої поверхні П маємо $паЗз = 0. Для виявлення 1
смислу цієї властивості розглянемо циліндричну область Г "і
(“трубку”), бічна поверхня якої паралельна лініям поля ..... /
З, таку область назвемо трубчатою для поля а. Тоді на І/
бічній поверхні Зєіч трубки маємо 333 = (а, п)3з = 0,
звідки //^аЗз — 0, а отже (дивись малюнок)
0
В останній рівності обидва потоки направлені в один бік по відношенню
до напряму в трубці, а отже потік через будь-який переріз такої трубчатої
області є сталою величиною. Тому природно приходимо до наступного
означення.
Означення 4.3.
Поле 3, в якому для потоку через будь-яку замкнену поверхню П ма-
ємо $паЗз = 0, називається трубчатим або соленоїдальним.
Виявляється, що аналогічно до випадку потенціального поля поле а
є соленоїдальним тоді і тільки тоді, коли Ш2 = аЗз = Зи>\, тобто існує
таке поле Ь, що а = гоіЬ. Отже (при певних природних умовах щодо
шь) маємо
Зиі); — 0 V АД-і Ф = 0 = Зшь-і ,
замч-і
тобто (порівняйте з Прикладом 4.3!)
4.2 Векторні поля
129
1) при к = 1: поле а є потенціальним « гоіа = 0 « а = £га<іи ;
2) при к = 2 : поле З є соленоїдальним « <ІІуа = 0 « а = гоіо.
4.2.3 Відновлення векторного поля за Ніг та тої
Нехай маємо область V з краєм 5 = дУ, де
діу а|г = е, гоіа|г = ш, (а,й)|3 = /.
Тоді при певних додаткових умовах на о,/ та ІЗ (наприклад сііуш = 0 в
силу діу(гоіа) = 0) поле а, що задовольняє цим умовам, справді існує,
причому таке поле єдине. Знаходження цього поля 3 полягає в тому, що
послідовно знаходимо:
1) поле Зі, для якого ЗіуЗі = д, гоіЗі = 0 (поле Зі є потенціальним);
2) поле а2, для якого ЗіуЗг = 0 , гоїа2 = ш (поле 32 є соленоїдаль-
ним) :
3) поле аз, для якого <1іуЗз = 0 , гоіЗз = 0, а (а2,п)|3 = /, де
7=/-(а1,Й)|3-(32,п)|5 .
Після цього 3 = Зі + Зг + Зз, тобто будь-яке поле а при звичайних
умовах є сумою потенціального та соленоїдального полів.
ДОДАТОК
А.1 СКОРОЧЕНЕ ПОЗНАЧЕННЯ СУМ
Нагадаємо, що сума а^,, + ... + а„ скорочено позначається
П п
У а* або У а* ,
*=По
де 22 ~ че позначення суми, щ — це загальний вираз к-го доданку цієї
суми, к називається Індексом підсумовування, а записи к = п0 знизу та
п зверху від знаку 22 вказують відповідно на найменше та найбільше
значення індекса в сумі 22ї=поа*- При цьому очевидно, що індекс під-
сумовування можна вибирати довільним чином, так 22*=ц,аь — £"=„<, а>-
Інколи, якщо індекс підсумовування є очевидним, то для скорочення за-
пису його можна не вказувати, а писати відповідно
п
У О* або У а* .
По
А.2 ВЕКТОРИ В ОБЧИСЛЕННІ ГЕОМЕТРИЧНИХ
МІР
Поняття вектора є одним з фундаментальних математичних понять.
Ми розглядатимемо вектор як модель величини, що характеризується
не тільки вимірюючим її в певних одиницях відповідної міри числом,
але І напрямом у просторі. Вектори (або векторні величини) зручно зо-
бражати направленими відрізками, які інколи називають геометричними
векторами. Предметом нашого розгляду буде використання векторів при
обчисленні звичайних геометричних мір (тобто довжин, площ та об’є-
мів). При цьому ми подивимось на вже відомі факти векторної алгебри,
що були раніше розглянуті в курсі аналітичної геометрії, з дещо іншої
точки зору.
А.2.1 Міри зі знаком та орієнтація
Питання знаку геометричної міри на перший погляд може видатись див-
ним, адже звичайні геометричні міри (довжина, площа та об'єм) завжди
130
А.2 Вектори при обчисленні геометричних мір
132
Додаток А. ДОДАТОК
були додатними величинами. Проте насправді цей випадок хоча і є най-
більш поширеним, проте далеко не вичерпує всіх можливих ситуацій,
при розгляді яких використовують ці міри. Так, наприклад, в просторі
В1 величина Дх = х2 — хі є “довжиною зі знаком”, смисл якого полягає
в порівнянні напрямку від точки хі до точкн х2 з заданим фіксованим
напрямком на цій координатній прямій. Таке Дх, як відомо, характери-
зує величину переміщення від точки XI до точки хз на цій прямій.
Розглянемо простір К2, тобто звичайну площину, на якій вибрано і
фіксовано прямокутну декартову систему координат (скорочено —
ПДСК). Тоді величини Дх та Дз/ також описують певне переміщен-
ня в нашому просторі (яке в цілому описується вектором Дг), причому
знак цих величин має смисл, аналогічний до випадку простору В1. Роз-
глянемо тепер добуток Дх • Ду, абсолютна величина якого є площею
відповідного прямокутника. Чи має знак цього добутку який-небудь гео-
метричний смисл, а якщо має, то який саме? Порівняємо знак цього
добутку з смислом знаку величин Дх та Ду, тобто з напрямами перемі-
щень вздовж відповідних осей нашої ПДСК (які вважаємо направленими
звичайним чином):
Неважко помітити, що замість напряму найкоротшого повороту для
векторів можна розглядати напрям обходу краю відповідного прямоку-
тника (дивись наступний малюнок). При цьому Дх- Д.у > 0 тоді і тільки
тоді, коли при обході краю цього прямокутника від Дх до Ду сам пря-
мокутник (тобто його внутрішня частина) залишається зліва.
А» +
д» +
Дх
Дх > 0
Ду > 0
Дх
Дх < 0
Ду < 0
Дх > 0
Ду < 0
Дх < 0
Ду > 0
Отже, якщо розглянути вектори Дх = Дхї та Ду = ДуУ (тобто без-
посередні компоненти розкладу Дг = Дх + Ду), то очевидно, що знак
добутку Дх-Ду відповідає взаємному розташуванню векторів Дї та Ду,
а саме:
Таким чином, Дх Ду > 0 тоді і тільки тоді, коли напрям повороту від
Дх до Ду відповідає напряму повороту від осі ОХ до осі ОУ в нашій
ПДСК.
Отже знак добутку &х -Ду характеризує напрям повороту в нашому
просторі в порівнянні з базовим напрямком, яким є поворот від осі ОХ
до осі О¥ в нашій базовій ПДСК.
Підсумовуючи отримане і не заглиблюючись далі в усі можливі деталі,
можемо вже зробити наступні важливі висновки.
1. У будь-якого явища специфічні особливості чи характеристики ви-
являються виключно При порівнянні його з іншим подібним явищем.
Зокрема напрям кута повороту на площині визначається шляхом
порівняння цього напрямку з базовим, за який взято поворот проти
руху годинникової стрілки. Тоді кут такого ж напрямку вважається
додатним, а протилежного — від'ємним.
2. Оскільки взаємне розташування осей ПДСК можливе двома різними
способами, то вибір одного з таких способів називається орієнтаці-
єю системи координат. Це поняття дає нам можливість говорити
про дві різні сторони площини та розрізняти ці сторони. Справді,
коли ми говоримо про напрям повороту на площині, то це передбачає
можливість дивитись на цю площину “зі сторони”, тобто “занурені-
сть” цієї площини в простір більшої розмірності. Якщо ж при цьому
вважати, що ПДСК на площині задано і фіксовано, тоді певна орієн-
тація системи координат означає відповідне розташування цієї
площини відносно "спостерігача”. При цьому зміна орієнтації озна-
чає, що спостерігач змінив своє розташування відносно площини і
дивиться иа неї вже з протилежного боку.
3. З сказаного випливає ще один спосіб задання орієнтації площини,
а саме за допомогою нормалі, що направлена в той бік, з якого
орієнтація ПДСК на цій площині є додатною.
4. Якщо не виходити за межі площини, то слова “проти часової стріл-
ки” втрачають смисл. В цьому випадку є тільки поняття “перший”
А.2 Вектори при обчисленні геометричних мір 133
та "другий” для заданих векторів базису. Зміна орієнтації в цьому
випадку означає зміну нумерації базнсннх векторів.
5. Знак добутку Дх • Др показує, чи співпадає напрям кута поворо-
ту від Дх до Д§ з кутом повороту для осей ПДСК, причому цей
знак не залежить від орієнтації ПДСК, тобто від розташування
площини в просторі (відносно спостерігача). Замість знаку добутку
можна розглядати напрям обходу відповідної множини. При цьому
напрям обходу називатимемо додатним, якщо внутрішність мно-
жини,що обходиться, при обході залишається зліва або, що те ж
саме, якщо з вершини нормалі, проведеної в бік спостерігача, цей
обхід відбувається проти часової стрілки.
6. Зміна знаку добутку Дх • Др для тих самих Ьх та Ду (або зміна
напрямку обходу того самого прямокутника), як І у випадку зміни
орієнтації ПДСК, означає зміну орієнтації всієї площини.
Оскільки множники Дх та Ду в добутку Дх • Ду мають не лише чи-
словий, а і геометричний смисл (тобто є фактично векторами Дії та
Дуу), то для підкреслення цієї особливості ми надалі замість Дх • Ду
писатимемо Дх Л Ду. При цьому маємо
ДулДх = -ДхЛДу. (А.1)
Справді, якщо уважно подивитись на смисл знаку добутку Дх • Ду, цей
знак пов’язаний з кутом повороту не від ї до ], а від напрямку першо-
го множника до напрямку другого. Тому при зміні порядку множників
змінюється і знак добутку.
З сказаного випливає необхідність розгляду площі 3(а,Ь), побудо-
ваної на довільних векторах. Виявляється, що при цьому природно
виникають важливі операції, які складають зручний формалізм “автома-
тичного” розв’язування такого роду задач. Сказане раніше мало метою
зробити зрозумілішим природу та смисл цього формалізма. Прн цьому
походження багатьох ідей та понять буде очевидно механічним, що зов-
сім не випадково. Адже саме механічний рух є найпростішим видом змін,
передбачення яких якраз і є смислом будь-якої теорії.
А.2.2 Вектори та їх проекції
Зміна положення точки називається переміщенням, зображається на-
правленим відрізком і позначається г або АВ (де А та В є відповідно
початковим та кінцевим положеннями точки). Як відомо з механіки, для
переміщень визначені операції додавання (яке виконується за правилом
134 Додаток А. ДОДАТОК
трикутника або правилом паралелограма) та множення на скаляр. Ве-
личини Т, які характеризуються ие лише певним числом, але і напрямком
в просторі, і для яких визначені операції гі + гг та а т з відомими вла-
стивостями, називаються векторами. Оскільки вектор об'єднує в собі
орієнтацію (напрям) і числову міру, то його можна вважати орієнтова-
ною мірою.
Для аналітичного оперування з векторами у відповідності з методом
аналітичної геометрії в просторі вибирається система координат, при
цьому кожний вектор однозначно визначається його проекціями на осі ці-
єї системи. Отже немає нічого дивного в тому, що саме проекція вектора
на вісь та властивості цієї проекції відіграють ключову роль в векторній
алгебрі.
Проекція вектора на вісь також є вектором. Проте, якщо знаходити-
ся лише на самій осі, то проекцію вектора на цю вісь можна описувати
числом рга — |а| • соєу>, де кут <р є найменшим кутом між напрям-
ком вектора та напрямком осі. Знак числа рга (тобто знак числа созу)
відображає співвідношення напрямків вектора та осі:
рга < 0
Найважливішою властивістю проекції на вісь є наступна
Лінійність операції проектування
рг (а а) = а рг й "і
_ > о рг (а а + 0 Ь) = а рг а + 0 рг (6)
рг (а + Ь) = рг а + рг Ь )
Якщо розглядати не окремий вектор, що проектується на певний на-
прям, а два рівноправних вектора а та Ь, то приходимо до симетричної
по відношенню до цих векторів операції, яка включає обчислення їх вза-
ємних проекцій, тобто до скалярного добутку а • Ь = |а| |Ь|сов^>.
Справді, якщо позначити через е(а) та е(Ь) одиничні вектори напрямів
й та Ь, то, враховуючи отриману вище формулу для величини проекції,
маємо
а-ї = |а| • рге(а)6 = |6| • ргв(ь)а .
А.2 Вектори при обчисленні геометричних мір
135
136
Додаток А. ДОДАТОК
З цієї формули, з лінійності операції проектування та означення скаляр-
ного добутку автоматично отримуємо наступні властивості цього добу-
тку:
І) добуток а-Ь є лінійним по кожному множнику;
2) добуток а-Ь є симетричним, тобто а-Ь = Ь- а.
Вже з цих властивостей, в свою чергу, так само автоматично отриму-
ємо формулу для обчислення скалярного добутку в будь-якій системі
координат. Зокрема в ПДСК ця формула має вигляд
а-Ь = аі • + аз • бг + Дз • Ьз .
А.2.3 Площа паралелограма
Тепер перейдемо до розгляду площі 3(а, Ь) паралелограма, побудованого
на довільних векторах а та Ь. З елементарної геометрії добре відомо, що
5(а, 6) = |а| |6| зіпір, де <р > 0 є кутом між цими векторами. При цьому
виявляється, що і тут не обходиться без проекцій, адже 5(а, Ь) = |а| • Л„,
де для висоти Ла, опущеної на сторону а, маємо
Ь.„ = |6|віп<р = |6| соз(тг/2 - у) = |ргп(о)6| ,
де п(а) є нормаллю до а, направленою так, щоб орієнтація пари (а, гі(а))
співпадала з орієнтацією системи координат на площині цих векторів.
Зручність використання лінійності величини ргб викликає бажання
використовувати в формулі для площі паралелограма замість |рг 6| просто
ргб, але тоді можливо З < 0. З іншого боку, симетричність означення
виникне тоді, коли ми не вимагатимемо ір > 0, звідки знову є можливим
З < 0. При цьому виявляється, що
випадок 3 < 0 має певний геометричний смисл, який є одним
і тим же як при використанні ргЬ замість |рг6|, так і при
<р < 0.
Справді, нехай <р < 0. Але знак кута у> — це знак по відношенню до
орієнтації системи координат на площині, тому <р < 0 означає, що напрям
повороту від а до 6 є протилежним до напрямку повороту від ОХ до О¥,
тобто орієнтація пари (а, Ь) є протилежною до орієнтації цієї системи
координат (якою б остання не була). Але дуже легко переконатись, що
рг„(о)6 <0 о КУТ м>ж Ь та й(°) Е тупим 4=> (дивись малюнок) кут
повороту від а до Ь є від’ємним.
й(а)
Отже можна розглянути величину 3(а,Ь) = |а||6|8Іпу> = |а|рг„(0)6,
де кут <р є кутом повороту від а до Ь. При цьому
1) модуль величини |5(а, 6)| є звичайною площею паралелограма:
2) знак величини 3(а, Ь) означає орієнтацію цього паралелограма (тоб-
то пари (а,Ь)) по відношенню до орієнтації нашої системи координат.
З формули 3(а, 6) = |а| рг„(а)6 в силу лінійності операції проектування
випливає лінійність функції 3(а, Ь) по другій змінній. Звідси, враховуючи
очевидну рівність 3(а,Ь) = —5(6, а), отримуємо лінійність функції 5(а, 6)
і по першій змінній. Отже так переозначена величина 5(а,6) як функція
від змінних а та 6 має наступні алгебраїчні властивості:
1) функція 3(а,Ь) є лінійною по кожній змінній;
2) функція 5(а,6) є антисимєтричною, тобто 3(а,Ь) = —3(Ь.а).
Вже з цих властивостей, в свою чергу, так само автоматично отримуємо
формулу для обчислення величини 3(а, 6) в будь-якій системі координат.
Зокрема в ПДСК ця формула має вигляд
5(а,6) = (аі&2 - агбі) • 3(і, ]) = аібг-агб!, (А.2)
де 5(Ї,У) = 1 є площею координатного квадрата.
Зауваження 1.1. При фіксованому а величина 5(а, 6) = |а| рг„(а)6 веде
себе як проекція на п(а). З іншого боку, в силу 5(а,6) = -5(6. а) =
—|6|Ргп(Ь)а. ця ж сама величина веде себе як проекція на п(6). Але П(а)
та п(Ь) є двома різними напрямками, тому ніяким вектором на нашій
площині величина 5(а, 6) бути не може.
Оскільки ми шукаємо певний формальний апарат, то поглянемо на
функцію 3(а, 6) з чисто алгебраїчної точкн зору. Для цього розглянемо
множину всіх антисиметричних та лінійних по кожній змінній числових
Додаток А. ДОДАТОК
А.2 Вектори при обчисленні геометричних мір 137
функцій від двох змінних а,Ь Є К2, яку позначимо Л2(К2). Тоді для
кожної функції А(-) є Л2(В2) з антнсиметричності випливає, що А(і,і) =
= 0, а тому
А(а,6) = (аііз - а26і) • А(ї,і) = 8(2,6) • А(ї,]) ,
тобто А( ) = А • 8(-). Таким чином, з алгебраїчної точки зору множина
Л2(К2) є одновимірним лінійним простором, в якому “одиничним бази-
сним елементом" з координатою А = 1 е величина 3(а, Ь) = аі 6з — азбі
Неважко помітити, що є певний сенс в тому, щоб надати цьому про-
стору геометричний смисл. Справді, сказане в попередньому зауваженні,
а також геометричний смисл орієнтації паралелограма як розташування
по відношенню до спостерігача або як направленої у відповідний бік нор-
малі, підказують ідею розгляду множини Л2(К2) як напрямленої прямої
в В3, що є ортогональною до відповідного паралелограма] орієнтованою
так, щоб з вершини вектора 3(а, 6) кут повороту від 2 до Ь був додатнім.
Нехай тепер а та Ь є довільними просторовими векторами. Тоді після
всього сказаного вище природно приходимо до означення
3(а,6) "й |а| |Ь| вішр • п(а,Ь) , (А.З)
де аектор п(а,6) є ортогональним до а та Ь2 одиничним і направленим
так, щоб з його кінця кут повороту від а до Ь був додатним. При цьому
1) модуль величини |8(8, Ь)| є звичайною площею паралелограма;
2) напрям вектора 3(а,Ь) характеризує розташування та орієнтацію
цього паралелограма в просторі.
Очевидно, що таке означення величини 8(2,6) означає, що 3(а,Ь) спів-
падає з звичайним векторним добутком й х 6, добре відомим з курсу
векторної алгебри. Всі ж наші попередні міркування фактично є мотиву-
ванням природності та логічності появи такої операції над векторами.
Властивість 3(а,Ь) — — 3(Ь, а) безпосередньо
випливає з означення. Доведемо лінійність по
п(а, Ь): другій змінній.
5 Нехай маємо вектор а, площину тг(о) Ха та
проекцію рг 6 вектора Ь на цю площину. Для
векторів площини я-(а) введемо операцію по-
• о вороту на 90° в додатному напрямку (якщо ди-
, . внтнсь з кінця вектора а), яку позначимо 7±а.
' ' Тоді 8(2,6) = |2| -ТхДргЬ). Оскільки кути та
віддалі на площині тг(а) при такому повороті не змінюються, то
Т±О (Рі Ь, + 02 Ьз) = 01 Т1а (6.) + 02 Т1_а (6з) ,
тобто операція є лінійною. Але тоді в силу лінійності проектора рг
операція 71а(рг) є також лінійною, звідки функція 3(а,і>) = |о| 7±а(рг6)
є лінійною по другій змінний. Отже означена згідно (А.З) величина
8(2, Ь) як функція від довільних просторових змінних 2 та 6 зберігає
свої попередні алгебраїчні властивості:
І) функція 3(а,Ь) є лінійною по кожній змінній;
2) функція 3(й,Ь) є антисиметричною, тобто 3(а,Ь) =-3(Ь.а).
А з цнх властивостей, в свою чергу, так можна легко одержати формулу
для обчислення величини 8(2, Ь) в будь-якій системі координат.
Наш розгляд питання про алгоритм обчислення площі паралелогра-
ма можна підсумувати наступним чином. Оскільки величина 8(2,6) є
результатом певної операції над векторами, то, як і раніше, позначимо
цю операцію а Л 6. Оскільки результатом цієї операції є орієнтована
площа, тобто об’єкт іншої природи, ніж 2 та 6, то операцію 2Л6 назве-
мо зовнішнім добутком. Прн цьому виявляється, що величину а Л 6
можна зображати вектором, що відповідає природі цієї величини і є до-
сить зручним. Підсумовуючи сказане з алгебраїчної точки зору, маємо
наступне.
Зовнішній добуток х Л у
Маємо нову операцію х Л у, яка називається зовнішнім добу-
тком і полягає в наступному:
1) добуток х Л у є вектором, ортогональним до х та у;
2) з кінця добутку кут повороту від х до у є додатним;
3) |ї Л у| є площею паралелограма, побудованого по х та у.
Операція зовнішнього добутку хАу має наступні властивості:
1) антисиметричність, тобто х Ау = — у Ах;
2) лінійність по кожному множнику.
Вже з цих властивостей, в свою чергу, можна легко одержати фор-
мулу для обчислення величини 2 Л Ь в прямокутній декартовій системі
координат. Цю формулу традиційно записують у вигляді
а Л 6 =
(А.4)
А.2 Вектори при обчисленні геометричних мір 139
Звідси для площі паралелограма маємо
8 = |2 Л 6| = ^/(аі&2 - азбі)2 + (а,6з - а36і)2 + (0363 - а36г)2 • (А.5)
А.2.4 Об'єм паралелепіпеда
Розглянемо об'єм паралелепіпеда, побудованого на довільних векторах
а, 6 та с. Якщо, як і раніше, позначити через п(а,Ь) одиничний вектор,
ортогональний до а та 6 (з відповідною орієнтацією), то за відомою
формулою елементарної геометрії
V = Зки-їі = |8(2,6)| • |рг„(аЛ)с| .
Тому аналогічно до випадку площі паралелограма розглянемо величину
У(2,Ь,с) = 8(а,6) • ргп(оМс = (2Лб)-с.
З формул обчислення зовнішнього та скалярного добутків в ПДСК для
величини У(а,6, с) одержуємо
У(2,6, с) =
Оі а2 аз
6і 6з 63
Сі С2 Сз
(А.6)
З цієї рівності та відомих властивостей визначників очевидно, що фун-
кція У(а,Ь,с) має наступні алгебраїчні властивості:
І) антисиметричність: тобто при перестановці будь-яких двох
множників змінюється знак функції
У(а,Ь,с) = — У(Ь,а,с) - У(Ь,с,а) =
= — У(с,Ь,а) = У(с,а,Ь) = — У(а,с,Ь) ;
2) полілінійність (тобто лінійність по кожній змінній).
Оскільки |У(2, 6, с)| є звичайним об’ємом паралелепіпеда, то розглянемо
смисл знаку цієї величини. При цьому з означення очевидним чином
випливає, що У(а,Ь,с) >0 ргп(о(1)С >0 о з кінця вектора с
напрям повороту від а до 6 є додатним. Звідси в силу антнсиметричності
У (а, 6, с) > 0 ргя(в>6) с > 0 ргп((,.с) а > 0 рг„(с а) 6 > 0 ,
Додаток А. ДОДАТОК
що відображає погляд на трійку векторів (2,6, с) відповідно з кінця век-
тора с, 2 та 6 (дивись малюнок, де верхній вектор для простоти зобра-
жено ортогональним до двох нижніх, звідки, наприклад, ргп(а6)с = |с|).
Отже знак величини У(а,Ь,с) характеризує орієнтацію трійки векторів
(а, 6, с) по відношенню до орієнтації базової ПДСК.
Розглянемо орієнтацію бічних граней нашого паралелепіпеда. Вектор
с направлено в бік внутрішньої (по відношенню до бічної поверхні) нор-
малі паралелограма, що проходить через а та 6, аналогічно — для векто-
рів 2 та 6 по відношенню до площин протилежних граней. Але напрям
нормалі до_ площини є одним з варіантів характеристики її орієнтації.
Тому У(а,6,с) >0 о всі бічиі грані паралелепіпеда при погляді зсе-
редини тіла мають додатню орієнтацію « нормаль до бічної поверхні
тіла направлено всередину.
Оскільки величину У(а, 6, с) одержано комбінацією скалярного та зов-
нішнього добутків, то вона називається змішаним добутком і познача-
ється (а, 6, с). При цьому очевидно, що (2,6, с) = (2 Л 6) • с = 2 • (6 Л с),
Крім змішаного, з трьох векторів можна утворити тільки “подвійний
зовнішній добуток” оЛ(бЛс). За допомогою формули для зовнішнього
добутку через координати в ПДСК, для цього подвійного зовнішнього
добутку одержуємо оЛ(блс) = 6-(2-е) - с-(а-б).
А.2.5 Типи функцій від фізичних величин
Основними типами реальних “фізичних” величин є числові (або “ска-
лярні”) та векторні. Розглянемо числові функції від таких величин (прн
початковому розгляді цього досить, адже навіть у вектора чи тензора
компонентами є числа). Всі такі функції утворюються шляхом якого-
небудь добутку певних компонент і обов’язково є лінійними по кожному
множнику, а також симетричними або антисиметрнчинми.
Для визначення загального виду таких функцій розглянемо ЛЦВ") —
множину всіх числових функцій виду
А(2і,..., £* * І)) : В” х ... х Кп —► В ,
А.2 Вектори при обчисленні геометричних мір
141
142
Додаток А. ДОДАТОК
які є антисиметричними та лінійними по кожній змінній (тобто "полілі-
нійними"). Неважко перекоиатись, що
1) иа прямій К1: А(а) Є А^К1) => А(а) = А • а ;
А(а, 6) Є Л2(К‘) => А(а,6) = 0 .
2) на площині К2: А(а) Є А](К2) => А(а) = А,аі + А2а2 = А а ;
А(а,Ь) Є Л2(К2) => А(а,Ь) = (а^ — а2Ьі) • А = А • (а Л 6) ;
А(а, Ь, с) Є Лз(К2) => А(а, 6, с) = 0 .
3) в просторі К3: А(а) Є Л](К3) => А(а) = Аіаі+А2а2+А3а3 - А-а ;
А(а,Ь) Є Л2(К3) => А(а,Ь) = (а^ - а2і>і) А(ї,})+
+(а3Ьі - а^Ь-і} А(£,ї) + (а-гЬ-і-а.іЬг}>.(3,к) = А - (аЛЬ) = (А,а,Ь);
А(а, Ь, б) Є Л3(К3) => А(а,6, с) = (а, 6,с) ;
А(а,Ь, с) Є Л|(К3) => А(а,6, с) = 0 .
Функції від фізичних величин завжди будуються наступним чином:
скалярне поле / або векторне поле 3 = (Р, С),В) комбінуються шляхом
якого-небудь добутку з вектором переміщення г або його компонентами
х = хі, у = у] , і = гк. При цьому у відповідності з вищесказаним про
загальну структуру полілінійних антисиметрнчних функцій все зводиться
до розгляду одного з наступних випадків:
1) на прямій К1: / • х ;
2) на площині К2: й-г, / 3 = / • (2 А у);
3) в просторі К3: а • т, а • З = а • (х Л у), / • V = / • (2, у, г) ;
де 3 та V є відповідно орієнтованою площею та орієнтованим об’ємом
координатних паралелограма та паралелепіпеда. Якщо ж використовую-
ться неорієнтовні міри, то в силу |г| = І відповідно одержуємо
/І, /-8, /-V.
Справді, якщо розгл_янутикнаприклад, добуток а_лЬ (орієнтовну площу),
де а = її і + у,], Ь = т2і + уі] є К2, то_ а л Ь = Хіі А уд) - х2ї Л ум,
тобто маємо суму доданків виду 2 Л у = хі Л у].
Розглянемо смисл всіх отриманих величин. Що стосується виразів з
неорієнтованими мірами, то величини {-І, /-3 та /-V можна
вважати загальною масою “чогось”, однорідно розподіленого відповідно
на відрізку, частині площини або в об’ємній області з сталою щільністю
/ (відповідно лінійною, плоскою та просторовою).
Для виразів з орієнтованими мірами зручніше всього вважати, що ми
маємо справу з однорідним рухомим середовищем (рідиною або газом).
Вектор 3 при цьому розглядатимемо як сталу швидкість частинок цього
рухомого середовища.
Розглянемо рух цього середовища по тонкій пря- “X
молінійній трубці. Таку трубку можна описати за •ч'Г— а,
допомогою вектора г, прн цьому І = |г| є довжи-
ною трубки, а напрям вектора г — тнм напрямом, : " г
рух в якому нас цікавить. Оскільки число аг = ргга -— І —-
є проекцією швидкості 3 на напрямок г (випадок
0внб41є, що відповідний рух відбувається в напрямі, протилежному до
напряму г), то добуток і • аг = І • ргга = 3 • г характеризує кількість
речовини, що переміщується цією трубкою в заданому напрямку. Ця
величина називається циркуляцією поля а вздовж лінії г.
Розглянемо рух цього середовища через плоску
поверхню. Таку поверхню можна описати за допо- “ й
могою вектора 3, при цьому 3 = |3| є площею ~ а
поверхні, а напрям ортогонального до поверхні ве- ----
ктора Я є тим напрямом, рух в якому нас цікавить. ---- 5^
Оскільки число ап = рг„а є проекцією швидкості
И < 0 означає, що відповідний рух відбувається в напрямі,
протилежному до п), то добуток 3 ап = 3 • рг„а = а • 5 характеризує
кількість речовини, що переміщується через цю поверхню в заданому
напрямку. Ця величина називається потоком поля а через поверхню
З лінійності відповідних величин по а випливає лінійність циркуляції
та потоку (позначимо їх відповідно Ф та П):
Ф^іЗі + агйг) = аі Ф(ЗЦ + а2Ф(32) ;
Що, Зі + а2а2) = аіП(Зі) + а2П(а2) .
Звідси, розклавши поле 3 на координатні складові а = Рі + (}) + Вк =
йх + йу + аг (де ах = (Р, 0,0), = (0, С). 0), аг = (0,0, Я)), отримуємо
наступний розклад
Ф(а) = Ф(3Х) + Ф(а„) + Ф(Зг) ;
П(а) = П(31) + П(3,) + П(3г) ,
А.З Орієнтація множини
144
Додаток А. ДОДАТОК
який дозволяє звести розгляд циркуляції та потоку довільного поля до
циркуляції та потоку від координатних складових цього поля.
А.З ОРІЄНТАЦІЯ МНОЖИНИ
Як відомо, кожна площина в принципі має дві різні сторони, а тому мо-
же бути орієнтованою (по відношенню до уявного спостерігача) двома
протилежним способами. Прн цьому слова “орієнтація площини” означа-
ють певне розташування цієї площини в просторі з урахуванням сторін
площини.
Реально розрізняти сторони площини, як було виявлено в попередньо-
му розділі, можна різними способами. Мн виділимо два способи задання
орієнтації, а саме за допомогою нормалі та за допомогою напряму об-
ходу замкнутих контурів. Як відомо, ці способи є взаємопов’язаними:
нормаль та напрям обходу замкнених контурів означають одну і ту ж
орієнтацію (тобто одну і ту ж сторону площини), якщо з кінця цієї нор-
малі напрям обходу замкнених контурів є додатним (тобто проти часової
стрілки). При цьому зрозуміло, що наведені міркування є справедливими
не тільки для площин, але і для довільних незамкнених поверхонь.
Дуже важливою властивістю орієнтовних мір є збереження орієн-
товності при об’єднанні (або “склеюванні”) множин. Справді, для на-
правлених відрізків (тобто векторів) напрям суми однозначно і природно
випливає з правила трикутника
АВ + ВС = АС .
Як комбінуються дві орієнтовні поверхні, вичер-
пно пояснює малюнок, прн цьому складові части-
ни на їх спільній лінії повинні мети протилежні
орієнтації (такі орієнтації суміжних частин нази-
ваються узгодженими).
Що стосується орієнтації просторових тіл, то згадаємо задання та-
кої орієнтації шляхом вибору нормалі до бічної поверхні тіла. Вибір
внутрішньої або зовнішньої нормалі, як і раніше, можна розглядати
як вибір напряму руху через цю поверхню. При цьому по відношенню до
самого тіла ці напрями можна називати відповідно напрямом всередину
та напрямом зсередини назовні. Отже орієнтація просторового тіла
полягає в певній орієнтації його бічної поверхні. Якщо користуватись
поняттям спостерігача, то додатність орієнтації означає, що спостерігач
знаходиться всередині тіла, що в свою чергу є рівносильним тому, що
бічна поверхня повернута до спостерігача своєю внутрішньою стороною.
Як комбінувати два просторових тіла (тобто дві
І І замкнені орієнтовні поверхні), показує малюнок,
— ......!— »_ на якому ці тіла (поверхні) показано в розрізі.
І І Прн цьому складові частини на їх спільній по-
верхні повинні мати протилежні орієнтації (такі
орієнтації суміжних частин, як і раніше, називаються узгодженими).
Підсумовуючи, можна сказати наступне. Ми розглянули всі типи еле-
ментарних множин, які можна побудувати за допомогою геометричних
векторів: такими є самі вектори (1-внмірна множина), паралелограми
(2-вимірна множнна) та паралелепіпеди (3-вимірна множина). Вияви-
лось, що відповідна міра кожної з таких множин може бути як додатною,
так І від'ємною, причому знак цієї міри має цілком певний геометричний
смисл, який виражається поняттям орієнтації множини.
Вищеописаним способом (можливо, з наступним граничним перехо-
дом) з таких елементарних орієнтованих частин можна будувати орі-
єнтовані множини відповідної розмірності (лінії, поверхні та просторові
тіла) як завгодно складної форми. При цьому орієнтації складових ча-
стин є обов'язково узгодженими, що аналітично проявляється в тому,
що їх міри є обов’язково одного знаку. Таким чином
звична геометрична міра будь-якої множини (лінії, поверх-
ні чи просторового тіла) при врахуванні орієнтації цієї
множини може бути як додатною, так і від'ємною. При
цьому, наприклад, у випадку від'ємності міри, при розбит-
ті цієї множини на менші частини в силу узгодженості
орієнтацій цих частин як між собою, так і з орієнтаці-
єю початкової множини, міри цих частин також будуть
від'ємними.