БИБЛИОТЕЧКА
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ
МАТЕМАТИКА
Я. С. БРОДСКИЙ, А. К. СЛИПЕНКО
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Киев
Головное издательство
издательского объединения «Вища школа»
1983
22.193
Б88
УДК 517.948
Функциональные уравнения. Бродский Я. С., Слипен-
ко А. К.— К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983.— 96
с.—(Б-чка физ.-мат. школы. Математика).
В книге изложены элементарные методы решения функцио-
нальных уравнений, т. е. уравнений, в которых требуется найти
неизвестную функцию, удовлетворяющую определенным соот-
ношениям. К таким уравнениям приводят различные задачи
математики, механики, физики. При решении этих уравнений
используются такие важнейшие понятия алгебры и математи-
ческого анализа, как группа, матрица, непрерывность, диффе-
ренцируемость и т. д. Книга содержит упражнения для само-
стоятельной работы. Для ее чтения достаточно знания школьного
курса математики.
Рассчитана на учащихся физико-математических и средних
общеобразовательных школ. Она может быть использована учи-
телями математики при проведении факультативных занятий и
внеклассной работы, а также студентами младших курсов.
Табл. 6 Ил. 15. Библиогр.: 9 назв. Прил. 1.
Редакционная коллегия: чл.-кор. АН УССР
А. В. Скороход (ответственныйредактор), проф. Л. А. Калужнин,
проф. Н, И. Кованцов, доц. В. И. Коба, доц. Н. Я. Лященко,
доц. Ю. М. Рыжов, проф. М. И. Ядренко (заместитель ответствен-
ного редактора), канд. пед. наук Л. В. Кованцова
Рецензент кандидат физико-математических наук
А. А. Курченко (Киевский государственный университет)
Редакция литературы по математике и физике
Зав. редакцией Е. Л. Корженевич
1702050000—303
Б М211 (04)—83 Б3~ 1°—И—83
(g) Издательское объединение «Вища школа», 1983
ВВЕДЕНИЕ
Понятие функции является важнейшим в современной ма-
тематике.
Напомним, что числовой функцией f называется отображе-
ние подмножества D множества R на подмножество Е множе-
ства R.
Множество D = D (/) называется областью определения,
а Е = Е (/) — множеством значений функции f.
Число исходных, основных функций, изучаемых в школь-
ном курсе математики, сравнительно невелико. К ним, напри-
мер, относятся линейная, степенная, показательная, некото-
рые тригонометрические функции. Многие другие функции
получаем из основных при помощи композиции.
Так, функция f (х) = sin (2% + 1) является композицией
линейной g (х) = 2х + 1 и тригонометрической h (х) = sin х
функций, т. е.
f (х) = h(g(x)) = h°g(x).
Функция f (х) = Igarcsin х получена в результате композиции
функций g (х) — arcsinx и h (х) = 1g х. Обратим внимание на
то, что в область определения композиции hog входят
те значения х из D (g), для которых g (х) £ D (h). В последнем
примере D (g) = [—1; 1], D (Л) = ]0; оо[. Так как arcsin х >
> 0 при х G ]0; 1], то D (/) = ]0; 1 ].
__2х I 1
Композицией дробно-линейных функций g (х) = —^х-^2—
Зд._2
и h (х) =	является функция
3 — 2x4-1
с / \	1 / / \\	Зх + 2	— 12х — 1	,	2
№) = MgW)-	----° Ц,т7 '
З* + 2	' 3 4
Здесь D(f) =Я\{------|-;------§-}•
Нетрудно убедиться в том, что композиция g о h в общем
случае не равна h° g. В то же время для любых функций /,
3
g, h имеем (/.° g) о h = f ° (g о А), что непосредственно вы-
текает из определения композиции.
В уравнениях, которые обычно решаются в школе, требу-
ется найти числовое значение некоторой переменной. Вместе
с тем в сборниках олимпиадных и конкурсных задач нередко
встречаются «необычные» уравнения, где в качестве неизвест-
ных выступают функции.
Например,
2f (1 — х) + 1 = xf (х), х £ Я;
(4	\
2—х / =х' х€д\{°; 2}.
В этих уравнениях искомые функции связаны с известными
при помощи операции композиции. Такие уравнения называют
функциональными. Впрочем, «необычность» этих уравнений
для школьника состоит скорее всего в постановке задачи:
найти функцию, удовлетворяющую уравнению. Ведь функци-
ональными уравнениями / (х) = f (—х), f (—х) = —/ (х),
f (х + а) = f (х) задают такие известные свойства функций,
как четность, нечетность, периодичность.
Многие функциональные уравнения не определяют конкрет-
ную функцию, а задают широкий класс функций. Так, урав-
нению
f (х + 2л) = f (х)
удовлетворяют функции у = sinx, у = cos х, у — tg х, у ==
== sinx + cos х и многие другие, например, y=g(sinx),
y = g(cosx), где g — произвольная функция.
В других случаях класс функций, удовлетворяющих
функциональному уравнению, вполне обозрим. Например,
функции вида f (х) = a sinx + b cosx при произвольных а£
ев, и только они удовлетворяют функциональному
уравнению / (х + у) 4* f (х — у) = f (х) cos у (см. задачу 4,
§3).
Обычно различают частное и общее решения функциональ-
ного уравнения. Частное решение функционального уравнения
есть функция или система функций, удовлетворяющая урав-
нению в заданной области определения. Общее решение со-
ставляет совокупность всех функций, удовлетворяющих урав-
нению Ч
Естественно, решение функционального уравнения зави-
сит от того, в каком классе функций ойо решается. Так, общее
1 Иногда выделяют частные решения, когда функция f (х), удовлетво-
ряющая уравнению, содержит произвольные постоянные или не содержит
их совсем, общие решения, если / (х) содержит произвольные функции,
и полные решения (в нашей терминологии — общие решения).
4
решение уравнения
f(2x) = 2f(x)	(1)
в классе функций, определенных при всех действительных х
и имеющих непрерывные производные, имеет вид f (х) = kxt
k^R (см. упражнение 5, § 6). Если же ослабить условия,
накладываемые на искомые функции, то появятся и другие
(1) удовлетворяет функция
решения. Например, уравт
f (х) = х tg (л log2 х).
Функциональные урав-
нения начали изучать бо-
лее 200 лет тому назад.
Обоснование закона сложе-
ния сил привело к реше-
нию функционального
уравнения
f (X + у) +
+ /(х-г/) = 2ШШ
которое принято называть
уравнением д'Аламбера (см. § 7).
О. Коши (1789—1857) рассмотрел ряд уравнений, явля-
ющихся характеристическими свойствами линейной, показа-
тельной, логарифмической, степенной функций. Эти примеры
свидетельствуют о важности функциональных уравнений для
построения различных аксиоматических теорий. В связи с
этим рассмотрим более подробно, как использовал Н. И. Ло-
бачевский (1792—1856) функциональное уравнение для полу-
чения формулы угла параллельности в неевклидовой гео-
метрии.
Как известно, в геометрии Лобачевского аксиома о том, что
через каждую точку, не лежащую на данной прямой, прохо-
дит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной
плоскости и не пересекающая ее, заменена аксиомой: через
точку, не лежащую на данной прямой, проходят по край-
ней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскос-
ти и не пересекающие ее.
Рассмотрим прямую А'А, точку Р вне прямой, перпен-
дикуляр PQ к (Л'Д), прямую В'В, проходящую через
точку Р и перпендикулярную [PQ] (рис. 1);
Переменная точка М перемещается вдоль луча QA в на-
правлении, указанном стрелкой. Прямая РМ не может
достичь положения (РВ), поскольку {В'В) не пересекает
(А'А), и, таким образом, имеется какое-то предельное поло-
жение (РТ), к которому приближается (РМ), когда М неогра-
ниченно удаляется по лучу QA. Смысл аксиомы параллель-
ности Лобачевского заключается в том, что (РТ) образует
5
c (PQ) некоторый острый угол a (QPT = а, а < -yj. Этот
угол называется углом параллельности. Он является монотон-
но-убывающей функцией длины х отрезка PQ : а — П (х).
Формула
X
fW = tg-^-=r k
для угла параллельности была получена Лобачевским из
функционального уравнения
(/ (*))2 = f (x + y)f (х — у)
(решение этого уравнения см. в § 6).
Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным
уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж
(1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые
второго порядка, определяемые следующим свойством для
любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна
ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе
первой. Пусть такая кривая является графиком функции
у = f (х); (х, f (х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно
условию, точка с абсциссой f (х) имеет ординату х. Следова-
тельно,
НЦх))=х.	(2)
Функциональному уравнению (2) удовлетворяют, в частности,
функции: / (х) = )/ а2 — х2, х£ [0; \а |], f (х) =	» а^=0.
В книге изложены некоторые элементарные методы решения
функциональных уравнений. При этом приведены решения
отдельных «классических» функциональных уравнений, име-
ющих широкое применение в математике. Рассматривается
ряд применений функциональных уравнений.
Некоторые задачи, предлагаемые в книге, взяты из журна-
лов «Математика в школе», «Квант» и др.
Наиболее трудные, по мнению авторов, разделы, задачи
и упражнения отмечены звездочкой. При первом чтении их
можно опустить.
Авторы стремились к тому, чтобы различные методы реше-
ния функциональных уравнений излагались независимо друг
от друга. Это расширяет возможности использования книги
различными группами читателей.
Приложение содержит доказательство нескольких фактов
из математического анализа, используемых в книге. Эти
утверждения детально в средней школе не изучаются.
§ 1. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Одним из наиболее исследованных в математике является
функциональное уравнение Коши
f(x + y) = f(x) + f(y\	(1)
Оно выражает так называемое «свойство аддитивности».
Значение аддитивной функции от суммы двух чисел равно
сумме ее значений от каждого из этих чисел. Легко проверить,
что линейная однородная функция f (х) = ах удовлетворяет
уравнению (1). В самом деле,
f (х + У) = а (* + У) = ах + ay == f (х) + f (у).
В то же время функции 1пх, %2, sinx и др. свойством аддитив-
ности не обладают.
Возникает вопрос, существует ли аддитивная функция,
определенная при действительных значениях аргумента и отлич-
ная от однородной линейной. Другими словами, обладает
ли функциональное уравнение (1) решениями, не совпадаю-
щими с функцией f (х) = ах?
Если функция f (х) удовлетворяет уравнению (1), то, за-
меняя последовательно у на х, 2х, Зх, получим:
f (2х) = f (х) + f(x) = 2/ (х),
f(3x) = f(x) + f(2x) = 3f(x),
f(4x) = f (x) 4- f (3x) = 4/ (x).
Методом математической индукции убедимся, что равен-
ство
f(nx) = nf(x)	(2)
выполняется для всех натуральных п.
Предполагая, что (2) верно для некоторого натурального
числа п, докажем справедливость его для п + 1:
f((n + 1)х) = f (х + пх) = f (х) + / (пх) =
= Дх) + п/(х) = (п + l)f(x).
Итак, (2) выполняется для всех действительных х и нату-
ральных п. Далее, положив в (2) х = 1, получим f (и) =
1
“ nf (1). Заменяя в (2) х на (tn, n£N), получим f (т) =>
=> nf Кроме того, f (tn) = tnf (1). Отсюда
Итак, для положительных рациональных х
f(x) = xf(l).	(3)
Убедимся, что формула (3), дающая значение любой ад-
дитивной функции f, применима для всех рациональных зна-
чений аргумента (а не только для положительных). Действи-
тельно, в силу (1), f (х + 0) / (х) + f (0), т. е. f (х) =
= f (х) + f (0), f (0) = 0, f (0) « 0/ (1). Применяя опять
свойство аддитивности функции f (х), получим
Q-f(x-x)~f(x) + f(-x),
f(—x) = —f(x).	(4)
Из равенств (4) и (3) при всяком положительном рациональ-
ном х получим f (—х) = —/ (х) = —xf (1), т. е. (3) доказано
для всех х £ Q.
Одновременно доказано, что всякое решение уравнения
(1) — нечетная функция, так как равенство (4) выполняется
Для всех действительных х.
Упражнения
1. Доказать, что формула (2) справедлива для всех рациональных п,
2. Доказать, что если f (х) — аддитивная функция, то
/ (*i + • ’• + хп) = f (хх) + <• • + f (хп), xt £R, i = TTn> n^N.
Приведенные выше рассуждения не свидетельствуют о том,
что линейные однородные функции исчерпывают множество
решений уравнения (1). Действительно, равенство (3) доказа-
ло только для рациональных значений х. И хотя каждое дей-
ствительное число можно «приблизить» рациональным с лю-
бой степенью точности, тем не менее нельзя утверждать, что
не существует других функций, определенных на множестве
действительных чисел и удовлетворяющих уравнению (1).
Аддитивную функцию, отличную от линейной однородной,
построил в 1905 г. немецкий математик Г. Гамель? Он ввел
множество, называемое теперь базисом Гамеля. Это множество
G действительных чисел обладает тем свойством, что каждое
действительное число х представимо и притом единственным
8	G. Hamel ЖьН. Лм
образом в виде
X = n1g1 + n2g2 + ••• +
где п19 п2, ... , nk£Z, glf g2, ... , gk£G.
Произвольно задав значения функции f (х) в точках мно-
жества G, можно однозначно продолжить ее на всю числовую
прямую при помощи равенств (1), (2), (4):
/(%)==/ (n1g1 + n2g2+ +tlkgk)^
= (gl) + n2f (g2) + ... + nkf (gfe).
Такими функциями исчерпываются все решения уравнения (1).
К сожалению, построение базиса Гамеля требует знаний, да-
леко выходящих за рамки школьной программы. Тем не менее
во многих важнейших классах функций функциональное урав-
нение Коши решается полностью методами, доступными для
учащегося средней школы.
Ъ Класс непрерывных функций. Напомним, что функция
f (х) называется непрерывной в точке x0QD (/), если lim f (х) =
-/(Хо).
Если функция f непрерывна в каждой точке промежутка,
входящего в область определения функции, то она называется
непрерывной на этом промежутке.
Например, функции sinx, ех — непрерывные на всей чис-
ловой прямой, 1пх — на промежутке ]0; оо[, функция —
непрерывна на промежутках ]—оо; 0[ и ]0; оо[.
Найдем непрерывные функции, определенные для всех дей-
ствительных х и удовлетворяющие уравнению (1). Уже дока-
зано, что f (х) = xf (1) при всех рациональных х для искомой
функции f.
Пусть теперь х — любое иррациональное число. Известно,
что существует последовательность рациональных чисел г19
г2, ...» гп> • > сходящихся к х, т. е. x = limrn (например,
П«*оо
последовательность десятичных приближений по недостатку).
Как уже доказано, f (гп) rnf (1), п £ N. Перейдем теперь
к пределу при п->оо. Справа получаем xf (1). Слева же,
ввиду непрерывности функции /, получим (см. теорему 2 при-
ложения)
lim f (rn) = f (х).
Г2-+ОО
Окончательно, f (х) = ах, где а = f (1).
Непосредственной подстановкой было проверено, что эта
функция удовлетворяет уравнению (1).
9
Предполагалось, что функция f (х), удовлетворяющая
условию аддитивности, непрерывна на всей числовой прямой.
Оказывается, достаточно было предположить, что она непре-
рывна хотя бы в одной точке. Докажем, что если функция
аддитивна и непрерывна при х = х0, то она непрерывна
при всех х. Действительно, для произвольного / f й
lim f (х) = lim f ((х — х' + х0) + (х' — х0)).
х-*х'	X—X'4-X0-*X0
Заметим, что если х -> х', то х — х' -> 0, х — х' + х0 -> х0.
Обозначив х — х' + х0 = t, в силу аддитивности получим
lim f (/ + (х' — х0)) = lim (/ (t) + f(x' — х0)).
t-*xo	t-ЬХъ
Применяя теоремы о пределах функций и учитывая непрерыв-
ность f (х) в точке х0, т. е. равенство lim /(Z) =f (х0), получим
t-*X0
lim + f (х' — х0) = f (х0) + / (х' — х0) =
t~+x0
= / (х0 + (х' — х0)) = f (х').
Итак, lim f (x) — f (х')> т. е. функция f (х) непрерывна при
х-*х'
любом х'£Я.
2.	Класс монотонных функций. Из школьного курса ма-
тематики известно, что функция f называется возрастающей
(неубывающей) на множестве Е, если для любых хх и х2, при-
надлежащих множеству Е, из хх < х2 вытекает f (xj <
< f (*2) (соответственно, f (xj f (x2)). Функция f называется
убывающей (невозрастающей) на множестве Е, если для любых
хх и х2, принадлежащих множеству £, из хх < х2 вытекает
f (xi) > f (*2) (соответственно, f (xj) f (х2)). Неубывающие
и невозрастающие функции называются монотонными. Напри-
мер, функции х ах (при а > 0), х -> хп (при натуральных
нечетных п), х ах (при а > 1) возрастают на всей числовой
прямой. Функции х -> logax (при 0 < а < 1), х —х2 убы-
вают на положительной полупрямой ]0; оо[.
Найдем решение функционального уравнения (1) в классе
монотонных функций. Пусть f (х) не убывает при всех х £ R.
Доказано, что f (х) = xf (1) для всех рациональных х. Если
х — иррациональное число, то для любого натурального q
найдется целое число р такое, что
р + 1
(5)
Например, для действительного числа х = aOf а^аз ... ап ...
а0, а^аз ... ап<х<а0, а^аз ... ап + 10
10
Так как f (х) — неубывающая функция, то из (5) имеем
или
а •	</(%)<а • -^-5- > где а = /(1).
Поскольку / (0) = 0, то /(1)^0 (использовано условие моно-
тонности /). Если а>0, то -у-	р *' • • Отсюда,
сравнивая с (5), имеем —Ф = х, f(x) = ах. Если же а = 0,
то из неравенств 0 • -у- f (х) 0 •  р 1 следует, что
f(x)ss0. Итак, если f(x)— неубывающая функция, то f(x) —
— ах.
Аналогично решается уравнение (1) при условии, что
f (х) — невозрастающая функция.
Упражнения
3.	Привести решение уравнения (1) при условии, что f (х) — невозрас-
тающая функция.
4.	Найти решение (1) в предположении, что f (х) > 0 при х > 0.
3.	Класс ограниченных функций. Функция f на множестве
Е называется:
а)	ограниченной сверху (рис. 2), если существует такое чис-
ло Л4, что при всех значениях аргумента х £ Е имеет место
неравенство
б)	ограниченной снизу (рис. 3), если существует число т
такое, что при всех значениях х g Е имеет место неравенство
f(x)>m;
в)	ограниченной (рис. 4), если она ограничена сверху и
снизу.
Так, функции х sin х, х -> cos х ограничены на всем мно-
жестве R : | sin х |	1, | cos х |	1; функция х -> 2х на множе-
стве]— оо; оо[ ограничена снизу числом 0, так как 2х > 0.
На полупрямой ] — оо; 01 функция х -> 2х ограничена, так как
1
0 < 2	1, если х < 0. Функция х-> — не ограничена в об-
ласти ее определения.
и
Покажем, что если аддитивная функция f (х) ограничена
сверху хотя бы на одном интервале ]а; Ь[, то она — линейная
однородная функция.
Рис. 2
Рассмотрим функцию
g(x)~f(x)-xf(l).	(6)
Как следует из равенства (3), она
обращается в нуль для всех раци-
ональных х. Кроме того, g (%) —
аддитивна. Действительно,
g {х + у) = / (х + у) — (X +
+ y)f(iww + f G/)-
Рис. 4
— */(!) — yfW =g(x) + g(y).
Поэтому
g (X + г) = g (х) + g (г) = g (х)
для всех рациональных г. Функция g(x) ограничена сверху
на промежутке ]а; 6[. В самом деле, так как f (х) < М для
всех х С ]а; &[, то
g(x)<M',	(7)
где М' = М + |/(1)|тах{|а|; |&|}.
а-х г b~x U а, х+r о х
Рис. 5
Убедимся, что функция g (х) на всей числовой прямой мо-
жет принимать только те значения, которые она принимает
на 1а; Ь[.
Пусть х — любое действительное число. Обозначив через
г десятичное приближение с недостатком числа b — х, превос-
ходящее а — х (рис. 5), получим
а — x<Zr<Zb — х, откуда a<r + x<Zb.
Но g (х + г) = g (х) для г g Q. Тем самым показано, что
g (х) ограничена сверху на множестве ]—оо; оо[. Отсюда сле-
12
дует, что функция g (х) тождественно равна нулю. В самом деле,
пусть существует действительное число х0 такое, что g (х0) =
= А, А Ф 0. Тогда, так как g (х) — аддитивная функция,
то из (2) (см. также упражнение 1) имеем
g (пх0) = ng (х0) = nA, п g Z.
Подобрав п так, чтобы nA > М', получим g (пх0) > М',
что противоречит ограниченности g (х). Итак, g (х) = 0 при
всех значениях х. Поэтому из равенства (6) получим f (х) =•
= ах, где а = f (1).
Упражнения
5.	Доказать неравенство (7).
6.	Пусть f (х) — аддитивная функция, х — иррациональное число, х =*
= а0, «£ ... ап Н---» где еп— иррациональное число, еп £ ]0; 1[.
10"
Доказать, что f (х) = xf (1) + (f (е„) — е„/ (1)).
7.	Воспользовавшись упражнением 6, доказать, что если аддитивная
функция f (х) ограничена на ]0; 1[, то f (х) = ах.
4. Класс дифференцируемых функций. Как известно, функ-
ция, имеющая производную в каждой точке некоторого проме-
жутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Функция х -> sin х дифференцируема на всей числовой пря-
мой, х->]/"х дифференцируема на промежутке 10; оо[, х->-
1 х | дифференцируема при всех х =# 0 и т. д.
Легко проверить, что если функция f (х) дифференцируема
в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Как показывает
пример функции f (х) = ] х|, обратное утверждение, вообще
говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций
уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением
уравнения Коши
f(x + y) = f(X) + f(y)
в классе дифференцируемых функций является линейная
однородная функция. Тем не менее, метод решения уравнения
Коши в предположении дифференцируемости f (х) представ-
ляет интерес ввиду его простоты. При фиксированном у £
Q R f (х + у) и f (х) + f (у) являются функциями переменной
х £ R. Ввиду их равенства, равны и их производные (по пере-
менной х!). Продифференцировав обе части равенства (1), по-
лучим
Г (х + у) = f (х)	(8)
((/ {у)У = 0, как производная постоянной). Равенство (8) вы-
полняется для любых х g Я, у С Я, так как у можно было
13
выбрать произвольно. Положив в (8) х = 0, придем к тождеству
Л(у) = /'(О) = С
для всех у Q К. Итак, f (х) — постоянная функция. Поэто-
му ее первообразная
f (.г) = сх + Ь,	. (9)
где Ь — некоторое действительное число. Проверка показы-
вает, что (9) удовлетворяет (1) только при b = 0, с g R.
Упражнения
8*. Пусть аддитивная функция f (х) имеет первообразную на любом
интервале числовой прямой. Доказать, что
х+у	х	у
yf W = j f (и) du — J f (и) du — § f (u) du.	(10)
ooo
9. Воспользовавшись соотношением (10), доказать, что если аддитив-
ная функция / (х) имеет первообразную на любом интервале числовой пря-
мой, то f (х) == ах.
5*. Одно обобщение уравнения Коши. Пусть п — фикси-
рованное натуральное число. Рассмотрим функциональное
уравнение
Г(Х + /) = /(*) + (/«,	(11)
где D (/) = R. При п — 1 оно обращается в уравнение Коши.
Как было показано, в классе непрерывных функций единствен-
ным решением уравнения Коши является линейная однородная
функция. Из результатов Гамеля (см. с. 8) следует, что и раз-
рывные функции могут удовлетворять уравнению Коши.
Покажем, что решение уравнения (11) при п > 1 является
непрерывной функцией.
Полагая х = у = 0, получим f (0) = 0. Поэтому при х —
= 0 из (11) имеем f (уп) = (/ (z/)p для всех у £ R. Каждое
неотрицательное число z может быть записано в виде z — уп.
Отсюда
f(x + г) = f(x + yn) = /(%) + (/« =
-f(x) + f(yn) = f(x) + f(z), 2>0, x^R.
В частности, при х — —z
/(*) + f(z) = f (- z) + f(z) = f (-2 + г) = f (0) = 0,
т. e. f(—z) = —/(2), z£R. Если 2^0, то
MX_Z) = _^(_X + 2) = -(/(- X)+f(2)) =
= — f (— X) — f (г) = f W — f (z).
14
j. Отсюда следует, что f (х + w) = f (х) + f (w) для всех x^R,
t w £ R, t. e. f (x) — аддитивная функция. Для аддитивной
: функции при рациональных t имеет место соотношение f (tw) =e
«= tf (w) (см. упражнение 1). Легко видеть, что
f((/ + x)") = (/(/ + x))n = (/(;) + /«.	(12)
Воспользовавшись формулой Ньютона *•
(a +b)n=t Cknan-kbk,
k=0
где С* =	’ QI = 1> и аддитивностью /(х), преоб-
разуем отдельно левую и правую части (12) при рациональ-
ных I:
(п	п
2	= Е f (ckntn~kxk) =,
/ л=о
п
= 2 C*f-Af(xft);
/г=0
(f (0 + f (х))" = 2 ск (f (f (х))* =
Л==0
~ 2 с*(^(1)Г*(/(х))*= 2 c^-A(Z(i))"-A(f(x))\
k=0	k=0
Правые части последних двух равенств представляют собой мно-
гочлены от t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях t, получим
f(x*)=(/(i)r*(f(x))*, k£Z0, П>1.
В частности, для k — 2 имеем
/ (х2) = (/(1))п—2 (/(х))2.	(13)
Если (/ (1))п-2 > 0, то f (х) — неубывающая функция. Дей-
ствительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х2, поэтому
из (13) имеем f (у) = f (х2)	0. При %! > х2, хх — х2 > 0,
f (%! — х2)	0, или, в силу аддитивности f (х), f (xj — f (х2)
1 Здесь применена сокращенная запись операции суммирования:
£oXfc = Хо + X! + • • • + Хп, в нашем случае
£ Скпап~кЬк = С°пап + С'пап~1Ь + С2пап-2Ь2 +  • • + СппЬп.
15
0. • Если же (/ (1))п“2 < 0, аналогично доказывается, что
функция f (х) — невозрастающая.
Ранее было доказано, что если аддитивная функция мо-
нотонна, то она имеет вид f (х) = ах.
Полагая в (13) х = 1, получим, что f (1) равно 0 или 1 .1
при четном п и f (1) равно 0, 1 или —1 при нечетном п > 1.
Итак, f (%) = х либо f (х) = 0 при четных n; f (х) =*
= х, либо f (х) = —х, либо f (х) = 0 при нечетных п > 1.
Тем самым доказана не только непрерывность решения
уравнения (11) при п > 1, но и получен его вид.
§ 2. УРАВНЕНИЯ КОШИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Наряду с уравнением аддитивности, Коши рассматривал
решения трех уравнений:
f(x + y) = f(x) • f(y),
f (ху) = f(x) + f (У),
f(xy) = f(x) • f(y),
которые также иногда называют уравнениями Коши, Как
увидим в дальнейшем, их решениями являются известные
элементарные функции (показательная, логарифмическая, сте-
пенная). Рассмотрим, последовательно, каждое из этих урав-
нений.
Найдем решение уравнения
+ = (1)
в классе монотонных функций, определенных на действитель-
ной числовой прямой.
Покажем вначале, что если функция, удовлетворяющая
уравнению (1), хотя бы в одной точке х0 обращается в 0, то
она тождественно равна 0. В самом деле, f (х) = f ((х —
— х0) + х0) = f (х — х0) f (х0) = 0. Отметим, что f (х) = 0
является решением уравнения (1).
Пусть теперь f (х)^0. Заменив в(1) х-> -^- >	>
получим
Таким образом, решение уравнения (1), отличное от нулево-
го, является функцией, принимающей строго положительные
значения при всех х g R.
Прологарифмируем уравнение (1) в предположении, что
оно имеет решение. Получим
In f (х + у) = In t (х) + In f (у).	(2)
16
Если функция f (х) неубывающая, то функция g(x) — Inf (х)
также неубывающая. Действительно, если хг > х2, то f (хх) >
f (*з)> In f (xj) In f (x2). Аналогично, если f (x) — невоз-
растающая, то и g (х) — невозрастающая.
Уравнение (2) перепишем в виде
g(* + y) = g(x) + g(y).
Решением последнего уравнения в классе монотонных функ-
ций является g (х) == сх. Следовательно, In / (х) » сх, f (х)
= есх.
Проверка показывает, что при любом с функция f (х) =«
= &х является решением (1).
Уравнение (1) аналогично может быть решено в классе
функций, непрерывных при всех х С R, Результат получается
тот же. Однако пришлось бы воспользоваться сведениями,
выходящими за рамки школьной программы, а именно, пона-
добилась бы теорема о том, что композиция двух непрерывных
функций — непрерывная функция.
Решение уравнения (1), по существу, сведено к уравнению
аддитивности. Аналогично решается уравнение
f(xy) = f(x) + f(y).	(3)
Это уравнение будем рассматривать в классе монотонных функ-
ций, определенных при положительных значениях аргумента.
Положим х = g (t) = f (eQ, откуда t = Inx, f(x) =3 g(lnx)f
Так как функция e* — возрастающая, а функция f (x) — моно-
тонная, то g (t) = f (ef) — также монотонная. Доказательство
этого факта предлагаем провести самостоятельно.
Функция g (/) удовлетворяет уравнению аддитивности. В са-
мом деле,
gG + и) = }(е(+и) = f(el  еи) =	+ f(еи) = g(/) + g(u).
Решением уравнения (3) в классе монотонных функций яв-
ляется функция g (t) = ct. Отсюда f (х) = с In х.
Решение уравнения (3) найдено в предположении, что
f (х) — монотонна и определена при х > 0.
Если существует функция, определенная при х = 0 и
удовлетворяющая (3), то при у = 0
/(O) = f(x)+/(O),
т. е. / (х) = 0, x£R.
Предположим, что уравнение (3) имеет решение среди
функций, определенных при всех х 0. Тогда, полагая
вначале х = у = t, а затем х = у — —t, получим:
/(И = 2/(0,
/(Н = 2/(-0,
2 2—2932
17
откуда
f(-O = f(O.
т. е. только четные функции, определенные при х g R \ {0},
могут удовлетворять уравнению (3). Если f (х) — монотонна
при х>0, то, как видели выше, f (х) = Ыпхдля положитель-
ных х. Если х < 0, то f (х) = f (—х) = с In (—х). Итак^
f (х) = с In | х |, х 0.
Упражнения
1.	Доказать, что если функция, удовлетворяющая уравнению
f(xy) = f(x)<f(y),	(4)
определена при х — 0, то / (х) == 1, или / (0) = 0.
2.	Найти все монотонные функции f (х), определенные при х > 0
и удовлетворяющие функциональному уравнению (4).
3.	Доказать, что если функция f (х) удовлетворяет (4) и определена
при всех х =Д 0, то она является четной или нечетной.
4.	Используя результаты упражнений 2 и 3, найти все решения урав-
нения (4) среди функций, монотонных при х > 0 и определенных при всех х.
5*	. Доказать, что если f (х) непрерывна в точке х0 С D (/), а ф (у) не-
прерывна в точке у0 = f (x0)s у0 £ D (J)9 то ф (/ (х)) непрерывна в
точке х0.
6.	Решить уравнения (3) и (4) в классе непрерывных функций, опре-
деленных при х > 0.
Функциональные уравнения Коши с успехом применя-
ются при решении некоторых математических задач.
Задача 1*. Говорят, что последовательность (хп) сходится
по Чезаро к числу а, если
lim 3i-+r.L±fr, = а,
п->оо	П
и обозначают хд а. Функцию f (х) называют непрерывной
по Чезаро в точке х = а, если из соотношения хп —> а следу-
ет f М -+ f (а)- Найти все функции, непрерывные по Чезаро
хотя бы при одном значении х = а.
Пусть f (х) — искомая функция. Обозначим: В = f (а),
g (х) = f (х + а) — В. Покажем, что если f (х) непрерывна
в смысле Чезаро при х = а, то g (х) непрерывна по Чезаро
при х — 0. В самом деле, пусть х„ -► 0, тогда
lim + «).+,	+(xn.+_a)_. == jIm /.51+..1L,_+..X?_ 4. a\ e
п->оо	n	n-*oo \	n	/
== 0 + a = a,
t. e. xn + a a. В силу непрерывности f (x) по Чезаро в точ-
ке х = a, f (x„ + a) f (a) = В. Поэтому g (x„) g (0) =>
18
8= 0. Задача свелась к нахождению функций g (х), непрерыв-
ных в нуле по Чезаро и таких, что g (С) = 0.
Рассмотрим последовательность (а, Ь, с, а, Ь, с, ...) и вы-
ясним, при каких условиях она сходится к нулю в смысле
Чезаро. Среднее арифметическое первых п членов этой после-
довательности имеет одно из следующих трех значений:
1/	, к । \ а + Ь + с , 2а — b — с
T(aib+c)-. - г3^-+----------
+
з
а-\-Ь — 2с
Зп
Легко видеть отсюда, что (a, b, с, a, fe, с, ...) -^>0 тогда
и только тогда, когда а + Ь + с = 0.
Пусть действительные числа а, &, с удовлетворяют соотно-
шению а + b + с = 0. Тогда из непрерывности по Чезаро
g (х) в точке нуль вытекает (g (a), g (b), g (с), g (a), g (b),
g (с), ...)-+0, т. е. g (а) + g (b) + g (с) = 0, или g (а) 4-
+ g (b) = —g (—а — Ь). Отсюда при b = 0 получим g (а) =
— —g (—а). Заметим, что я и b можно считать произвольными
действительными числами, а с = —а — Ь. Таким образом,
при любых х и у
£(* + i/) = gW + g(Z/)-
Получено уравнение Коши. Его решение сможем записать,
если покажем, что функция g (х) принадлежит к одному из
рассмотренных классов функций. Убедимся, что она непре-
рывна (в обычном смысле!) в точке нуль.
Пусть limxn = 0. Поскольку последовательность (хп) схо-
П-*оо
дящаяся, то она ограничена (необходимое условие сходимости
последовательности), т. е. существует такое число М, что
| хп | < М для всех п £ N. Возьмем е > 0, тогда из определе-
ния предела последовательности вытекает существование на-
турального «о такого, что | хп | < — при всех п > п0. Так
как lim — — 0, то найдется nx g N, nOi
П-.00 n
такое, что —	для всех n>nx. Тогда
fl ZflQ-lVl
+	... +x„ [<J_(|X1| + |X2|+ ... +|Xn|) =
= (I xi I + I 1 4- • • • +1 I) + — (I Яло-н | 4- • • •
2*
19
••• +i^l)C 4"  + v ‘	"n)<
8П0М .8 П — По
2ПоМ + 2 ’ п <Л
для п > nv Еще раз применяя определение предела, получим
lim Xf + x2+	+*п = 0>
fl-boo
т. е. хп—-* 0.
В силу непрерывности g (х) в точке нуль по Чезаро по-
лучим
ут g(*i) + g(x2)+ +g(xn) _ Q
n-*oo	n
Функция g (x) аддитивна, поэтому g (rx) = rg(x), r£Q
(см. упражнение 1, § 1). Тогда
g (*t) + g (x2) 4~	4~g(*n) _ e ( Xj + Xj+   +xn \ e
n	° \	n	/
Итак, из соотношения x„ -> 0 следует
lim g /„51+Л +	+xn \ = o.
& \	n	/
П-ьоо \	/
Построим последовательность yn = nxn — (n — 1) xn-\. При
этом
v   У1 + g2 +  * • -\-Уп
Xn~	n.
„	Л У1 + У 2 + • • * + Уп n
Так как х„->0, то ----------„---------->0 и, ввиду непре-
рывности g(x) по Чезаро, g Уа ‘-> 0, т. е.
g (хп) 0- Следовательно, g (х) непрерывна в точке х = 0
в обычном смысле (см. приложение, теорема 1). А так как она
удовлетворяет уравнению Коши, то
g (х)« Ах.
Для исходной функции f (х) имеем
f (х + а) » g (х) + В = Ах 4- В, f (х) — А (х — а) 4- В «а
= Ах 4- С9
где С — В — Аа.
Рекомендуем самостоятельно убедиться в том, что функция
Ах 4- С (А, С — произвольные действительные числа) не-
прерывна по Чезаро при любом значении х.
20
Таким образом, линейные функции и только они непрерыв-
ны по Чезаро при любом действительном х.
Задача 2*, Найти все непрерывные функции f (х), опреде-
ленные на промежутке ]0; оо[, для которых разность f (xyj)
— f (Х%У) ПРИ произвольных допустимых значениях хх и ха
не зависит от у.
По условию, выражение f (ху) — f (у) (хг — х, х2 = 1)
не зависит от у. Поэтому
Положив g (х) «= f (х) — f (1), получим функциональное урав-
нение Коши
g(xy)=g(x)+g(y).
Известно, что в классе непрерывных функций g (х) = с In х
(см. упражнение 6). Отсюда /(x)=clnx + &, где b = f (1).
Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют
функции f (х) = с In х + b при произвольных & и с.
Рассмотрим задачу 2, считая хх и х2 различными фиксиро-
ванными числами. Так как f (xyj) — f (х2у) не зависит от у,
то f (хху) — f (х2у) = с. Пусть х2у = х, тогда f (ax) = f (х) +
+ с, где a — — 7^=1, а > О, с — постоянная. Заменив х
х2
на ех, получим
/ (е*+1па) — с — f (ех), х£Н.
Вычитая из обеих частей > получим
f (ех+1па)_	+ М /(^)---------£L_ ,
или
g(x + In а) = g(x),	(5)
где g (х) = f (ех)-Уравнению (5) удовлетворяют пери-
одические с периодом In а1 функции. Отсюда / (х) = g (In х) -h
. с In X
' In a
При проверке убеждаемся, что функции вида /(х)=>
== g (In х)+ aln х, где a — произвольная константа, a g (х) —
непрерывная периодическая с периодом In функция,
обладают требуемым свойством.
Решение многих функциональных уравнений сводится
к уравнениям Коши.
1 Ina не обязательно наименьший положительный период.
21
Задача 3. Известно, что сложение действительных чисел
обладает сочетательным свойством:
(х + У) + г = х + (у + г)
для любых х, у, z g R. Требуется найти все непрерывные
функции f (х), «сохраняющие» сочетательность, т. е.
Z(x + y) + f(z)=/(x) + /(«/ + z).	(6)
Перепишем (6) в виде
f(* + У) — f(x) = f(y + z) — f(z).
Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е.
f(x + y) — f(x)=g(y).
При х = 0 имеем f (у) — g (у) + а, а = f (0). Пришли к функ-
циональному уравнению Коши
£(*+«/)=£(*)+£(«/)•
Его непрерывным решением являются функции g (х) = сх.
Таким образом, f (х) = сх + а, где а и с — произвольные
константы.
Задача 4. Найти плоские кривые, обладающие следующим
свойством: для произвольных двух точек сумма произведений
абсциссы одной точки на ординату другой равна ординате
точки, абсцисса которой равна произведению абсцисс данных
точек.
Ограничимся отысканием кривых, являющихся графика-
ми непрерывных функций, определенных при положительных
значениях аргумента.
Задача сводится к решению функционального уравнения
f {ху} = xf (у) + yf (х).
Пусть g (х) =	• Тогда получим одно из уравнений Коши
вида g (ху) = g (х) + g (у). Так как g (х) непрерывна при
х > 0, то g (х) = с In х. Отсюда f (х) = сх In х с произвольной
константой с.
Упражнения
7. Найти непрерывные функции f (х), определенные при х > 0,
удовлетворяющие уравнению
/(х^) = Ло/)+^(х), Зе Я.
8. Решить в классе положительных непрерывных функций уравнение
= f (y + x)f (у — х), D (f) = R.
Задача 5, Найти непрерывные функции / (х), определенные
22
при х > 0 и удовлетворяющие уравнению
/(/(%)) = #(*)•	(7)
Легко проверить, что никакая константа, отличная от О,
не является решением уравнения (7). Кроме того, из (7) вы-
текает, что f (х) > 0 при всех допустимых значениях х. Рас-
смотрим функции / (х), не являющиеся константами. Пусть
У f (х). Уравнение (7) перепишем в виде f (у) = ху, отсюда
Ш (у)) = f (ху). Так как f (f (у)) = yf (у) = f(x)f(y), то
/ (ху) — f (х) f (у).
Получили функциональное уравнение Коши (4). Его непре-
рывные решения, отличные от 0, имеют вид f (х) = ха (см.
упражнение 6).
Заметим, что f (х) = ха является решением уравнения
Коши, если х и у независимо друг от друга принимают любые
положительные значения. В нашем случае у и х связаны соот-
ношением у == f (х). Поэтому проверкой найдем те значения
а, при которых f (х) = ха может удовлетворять (7).
1 I ТЛГ
Имеем ха2 = ха+\ откуда а= —---------- Обратно, функ-
1+ /5	1— /5
ции х 2 и х 2 удовлетворяют (7). Таким образом,
1+ /5	1— Уз
функции / (х) = 0, f (х) = х 2	, / (х) = х 2 являются
решениями задачи 5.
§ 3. МЕТОД ПОДСТАНОВОК
В предыдущих параграфах были найдены решения функци-
ональных уравнений в предположении, что искомая функция
удовлетворяет условиям непрерывности, либо монотонности,
либо обладает некоторыми другими свойствами. Перейдем
к рассмотрению метода, который, с одной стороны, позволяет
решить функциональное уравнение без столь существенных
ограничений, а с другой, является достаточно элементарным.
Задача 1. Найти функцию f (х), определенную при всех
действительных х Ф а, х =/= 0 и удовлетворяющую уравнению
(а — x)f(x) — 2xf (а — х) == 1.	(1)
Если такая функция существует, то вместо х можем под*
ставлять в уравнение (1) любое выражение, не выводящее
за пределы области определения функции. Заменяя х на а —
— х, получим уравнение
xf (а — х) — 2 (a — x)f\x) = 1,	(2)
23
которое содержит те же самые функции f (х) и f (а — х). Ре-
шая (1) и (2) как систему относительно неизвестных / (х)
и f (а — х), получим
=	*¥=0.
Проверкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет усло-
вию задачи: (а — х) ~~^.а--2х  а ~х^а' =
Сущность метода, использованного при решении задачи 1,
заключается в следующем. Предполагаем, что уравнение
имеет решение. Применяем к переменным, входящим в функ-
циональное уравнение, некоторые подстановки. Получаем
систему уравнений, одним из неизвестных которой является
искомая функция. После решения системы непосредственной
проверкой необходимо убедиться, что найденная функция
удовлетворяет условиям задачи.
Основная трудность при использовании этого метода со-
стоит в подборе удачных подстановок.
В первую очередь изложим приемы решения некоторых
функциональных уравнений, в которых одно из двух пере-
менных х или у встречается и самостоятельно, т. е. вне
функции /.
Задача 2. Найти функцию, определенную при всех действи-
тельных х и удовлетворяющую уравнению
f(*y) = z/W	(3)
Полагая х = 1, получим f (у) = yk f (1). Обозначим f (1) =*
= с. Тогда f (у) = сук. Эта функция удовлетворяет уравне-
нию (3) при любом значении с. В самом деле, f (ху) = с (xy)k = -
ykcxk = ykf (х).
Рассмотренное уравнение характеризуется тем, что у
в правой части стоит не под знаком функции /. В то же время
в левой части х и у вместе содержатся под знаком искомой
функции. Подстановка х = 1 позволила получить выражение
для f (у).
Аналогично решается функциональное уравнение
f(x + y) + f(y — x) — (y + 2)f(x) + t/(x2 — 2y) = 0,
О(/) = Я.	(4>
В результате подстановки х = 0 получаем
f (У) = У* + -j- У + а,	(5)
где а = / (0). Проверка показывает, что выражение (5) дает
решение функционального уравнения только при а 0.
24
Окончательно получим f (х) == х2 (несущественно, как обозна-
чить переменное).
Хочется подчеркнуть, что проверка является составной час-
тью решения функционального уравнения. Ведь все преобра-
зования проведены в предположении, что существует функция,
удовлетворяющая данному уравнению. И то обстоятельство,
что в процессе решения получено некоторое выражение для
f (х), свидетельствует только о том, что если существует реше-
ние уравнения, то оно обязательно имеет найденный вид.
Так, решая уравнение
f (ху) = sin у • f (х), D (/) = R,
подстановкой х = 1, получим f (у) = a sin у, где а f (1).
В результате проверки убеждаемся, что только при а =» О
получаем функцию, удовлетворяющую уравнению: f (х) e=s
а 0.
Попытка решить уравнение f (х + у) — f (х — у) =* 4ху
подстановкой у = 0 (или х = 0) не дает положительного ре-
зультата. Однако, если произведем замену х + у = г, х —
— у = t, то получим уравнение
f(z)-f(t) = Z*-t\
которое сразу решается подстановкой t = 0.
Упражнение
1.	Решить функциональные уравнения (D (f) = R):
a)	f (х + у) = f (х) + у, б) f (х + у) = f (х) еу;
в)	/ (х + у) = (f (х))«-, г) f (ху) = (/ (х))у\
Д) f (х + У) + 2/ (х — у) + f (х) + 2f (у) = 4х+ у;
е)	f (х + У) + f (х — у) — 2х2 + 2уг.
Задача 3. Решить функциональное уравнение1
f(x + У) + f(x —y) — 2f(x) (1 + у) = 2ху(3у — х2). (6)
Метод, предложенный в предыдущей задаче, не дает реше-
ния функционального уравнения. Если положим х = 0, то
наряду с f (у) выделится f (—у). При у = 0 тоже не получаем
желаемого результата.
Произведем последовательно подстановки х == 0, у = t;
х = t — 1, у = 1, х = —Е у — t — 1. Получим систему
уравнений
f(0 + f(-0-2a(l + 0 = 0,
1 Если не указана область определения искомой функции f (х), то пред-
полагается, что D (/) = R.
25
f(i-2) + f(i) = — 2 (/— 1) (2/—/2 —4)
f (t — 2) + f (— t) — 2bt = — 2 (t — 1) (3t — 4),
где a = f (0), b = f (—1).
Исключая f (—t), f (t — 2) (для этого достаточно из суммы,
первых двух уравнений вычесть третье), получим
2f (/) = 2t3 + 2t (а — b — 1) + 2а.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что только при
а = 0, b = —1 функция f (/) = t3 + t (а — b — 1) + а удо-
влетворяет уравнению (6). Итак, f (х) = х3 является един-
ственным решением уравнения (6).
При решении задачи 3 существенным фактором было то,
что при у = —1 слагаемое 2/ (х) (1 + у) обращается в 0.
Этот метод применим к уравнениям, для которых существует
такое значение у = у0, что член, содержащий f (х), становится
равным 0. Если данное условие выполнено, подстановки х = 0,
у = I; х = у0 + t, у = у0; х = у0, у = у0 + t приводят
к системе трех уравнений относительно неизвестных f (t),
f (—t), f (2z/0 + t). Из этой системы исключаем f (—f) и f (2y0 4-
+ t), если это возможно, получая тем самым выражение для
f (/). Это выражение содержит не более двух постоянных а =
= f (0) и b = f (у0). Проверка позволяет определить значения
а и Ь, при которых найденный класс функций действительно
является решением.
Проиллюстрируем описанный метод еще на одном примере.
Задача 4. Решить уравнение
f (х + у) + f (х — у) = 2/ (х) cos у.
Заметим, что при у = -у- исчезает член, содержащий f (х).
Выполняя последовательно замены х = 0, у = t\ +^»
у =	; х= > у — -у- + t, получим систему уравнений
f (t) + f (— t) = 2a cos/
f(n + t) + f[ t)=Q
f[ л + t) + — = — 2b sin t,
где a = f (0), b = f (-f-j • Отсюда
f (/) = a cos t + b sin t.
Проверка показывает, что найденное выражение является
решением задачи 4 при любых а и Ь.
26
Укажем другие наборы подстановок, применение которых
позволяет решить некоторые типы функциональных уравне-
ний, содержащих f (х + у), f (х — у), f (х), f (у), х, у.,
Для решения функционального уравнения
f(x)Hx + !/) = (/(z/))2(/(x-«/))2^+4	(7?
следует выполнить подстановки х = 0, у = t; х = 0, у = —t.
Применением подстановок х = 0, у = t\ х = t, у = 2t\
х = t, у — —21 решаем уравнение
f (X + у) + 2f (х — у) = 3f (х) — у.	(8)
Заметим, что метод, примененный к решению задач 3 и 4,
не приводит к желаемому результату при решении уравнения
(8), так как нельзя указать значение переменной у, при кото-
ром исчезает член с f (х).
С помощью последовательного применения подстановок х =
— О, у = t\ х = /, у = 2Z; х = 2/, у = t\ х = у = t можно
решить функциональное уравнение
Hx+r/)-2f(x-r/) + Z(x)-2f(i/)=t/-2.	(9)
К уравнениям подобного типа приводятся уравнения, со-
держащие f (ху), f f W, f (f/), У- Для этого достаточ-
но произвести замену х = ezt у = Например, уравнение
g (ху) + 2g (-4-) = 3g (х) — In у, у>0, х>0,	(10)
приводится к уравнению (8), где f (f) = g (ez). Вместе с тем
уравнение (10) решается непосредственным применением на-
бора подстановок х = 1, у = t; х = t, у = /2; х = t, у =
Возможны и другие приемы приведения функциональных
уравнений к уравнениям описанного вида. Так, в уравнениях,
содержащих f (х + ay), f (х + (а — 1) у), f (х + (а + 1) у),
f О/), У, х, а £ Z, достаточно сделать замену х + ay = t,
У = z.
Например, функциональное уравнение
2f (х + 2у) + f (х) = f (х + у) (2е^ + е~У) (11)
заменой х + у = t, у — г приводится к уравнению
2f (I + г) + f (t - z) = f (t) (2e* + e~*).
Последнее, в свою очередь, решается путем подстановок t ~ 0,
z =: u\ t = a, z = 2w, t = и, г = —2м.
27
Упражнения
2.	Решить функциональные уравнения (7), (8), (9), (11), приведенные
в тексте.
3.	Решить функциональные уравнения:
a)	xf (х + у) — 2f (х — у) == f (х) (хеу —
б)	f (xy)^yf (х), х > 0;
в)	2f (x + y) — f (х — у) — (1— y)f (х) =#(6х + х2 + #);
г)	f (* + У) — f (х — У) = 2/ (У) cos х.
§ 4.	ГРУППЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В задаче 1, § 3, в уравнении (а — х) f (х) — 2xf (а — х) =
«= 1 под знаком неизвестной функции f стоят функции gi = х
и g2 а — х. В результате замены х на а — х получено еще
одно уравнение, содержащее те же функции f (х) и f (а — х).
Функции gr и g2 образуют группу относительно композиции
функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать
целесообразные подстановки для решения функциональных
уравнений.
Становление теории групп произошло в начале XIX века
при исследовании вопросов о решении алгебраических урав-
нений и связано с именем выдающегося французского мате-
матика Эвариста Галуа (1811—1832). В дальнейшем теория
групп нашла применение в геометрии, физике, кристаллогра-
фии и стала математическим аппаратом для изучения всевоз-
можных проявлений симметрии в математике и естествознании.
В основе определения групп лежит понятие алгебраичес-
кой операции. Многочисленные примеры алгебраических опе-
раций дает школьный курс математики. Это известные ариф-
метические операции сложения, вычитания, умножения
действительных чисел, сложение векторов на плоскости, компо-
зиция перемещений, операции сложения, вычитания, умноже-
ния многочленов. Во всех случаях алгебраическая операция
каждой упорядоченной паре а и b элементов произвольного
множества G ставит в соответствие единственный элемент с
того же множества. Операцию часто обозначают символами
+, ., *, © и т. д., пишут а * b — с. Элемент с называют
произведением а и Ь.
Обратим внимание на то, что в приведенных примерах
результат выполнения операции над любыми двумя элемента-
ми множества снова является элементом того же множества.
В то же время вычитание, деление на множестве натуральных
чисел N нельзя считать алгебраическими операциями, так
как выполнение этих действий может вывести за пределы мно-
жества N.
28
Упражнения
1.	Являются ли алгебраическими операциями на множестве Z всех
целых чисел:
а) сложение; б) умножение; в) деление; г) вычитание?
2.	Проверить, является ли умножение алгебраической операцией
на множестве всех целых степеней числа 2.
3.	Является ли алгебраической операцией композиция функций на
множестве многочленов второй степени?
4.	Является ли алгебраической операцией скалярное умножение век-
торов плоскости?
Произведения а * b и b * а могут оказаться одинаковыми
или различными. Например, сумма а + b любых векторов
—>	—>
равна b + а\ ab = Ьа для обычного умножения действитель-
ных чисел. Если а * b = b * а для лю-
бых элементов а и b множества G, то опе-
рацию «*» называют коммутативной. Вы-
читание на множестве целых чисел не яв-
ляется коммутативной операцией.
Если для произвольных элементов а,
Ь, с множества G имеем (а * Ь) * с =
== а * (Ь * с), то операцию «*» называют
ассоциативной. Композиция перемещений
пространства, композиция отображений
множества на множество, сложение
Таблица 1
8	е а b
е а b	е а b а b е b е а
и умножение действительных чисел являются ассоциативными
алгебраическими операциями. Операция деления положитель-
ных чисел не ассоциативна.
Перейдем к определению группы.
Группой называется множество G, в котором определена
алгебраическая операция (назовем ее умножением), удовлет-
воряющая следующим свойствам:
1)	(а * Ь) * с = а * (Ь * с) для любых а, Ь, с из мно-
жества G (свойство ассоциативности операции);
2)	существует единичный элемент е £ G такой, что для
всех a g G имеем а*е = е*а = а\
3)	для каждого а £ G существует обратный элемент а~х £
С G такой, что а * а-1 = а~х * а — е.
Так, множество положительных рациональных чисел явля-
ется группой относительно операции умножения. Множество
векторов плоскости образует группу относительно сложения
(здесь роль единичного элемента играет нулевой вектор,
а роль обратного элемента — противоположный вектор). Мно-
жество {—1; 1} является группой по умножению.
Весьма распространен табличный способ задания групп
на конечном множестве. Если G = (е, a, b), то операцию
29
умножения, относительно которой G — группа, можно задать
табл. 1.
В верхней строке и левом столбце (входы таблицы) выписа-
ны элементы множества G. Результат операции над элемента-
ми записан на пересечении соответствующих строки и столб-
ца. Так, а • b = е, Ь • е = b и т. д. Из таблицы видим, что
е является единичным элементом, т. е. ех = хе = х для любого
х £ G. Элемент е обратный самому себе, а и b взаимно-обратны.
Наиболее громоздки выкладки, связанные с проверкой ассо-
циативности операции. Так, если множество G состоит из п
элементов, то проверка ассоциативности сводится к установ-
лению справедливости п3 равенств вида (х • у) • г = х • (у X
X г), %, у, zQ G. В нашем случае не следует выписывать все 27
равенств. Если один из сомножителей равен е, то равенство
очевидно. Непосредственным вычислением убеждаемся, что
(а • а) • а = е =	а • (а • а)\	(Ь •	а) •	а = а = b • (а • а)\
(а • Ь) • b = Ь =	а • (Ь • Ь)\	(Ь •	Ь) •	b = е = b • (Ь • Ь)\
(Ь • Ь) • а — Ь =	b • (Ь • а);	(а •	Ь) •	а = а = а • (Ь • я);
(а • а) • b — а =	а • (а • Ь);	(Ь •	а) •	b = b = b • (а • Ь).
Количество элементов конечной группы называют поряд-
ком группы. Приведенная выше группа имеет порядок 3.
Упражнения
5.	Выяснить, образуют ли группу следующие множества относитель-
но указанных операций:
а)	целые степени числа 2 относительно умножения;
б)	совокупность всех подмножеств данного конечного множества отно-
сительно объединения множеств;
в)	множество всех целых чисел, кратных натуральному и, относитель-
но сложения;
г)	множество R относительно умножения;
д)	множество четных чисел относительно умножения.
6.	Доказать, что совокупность четырех букв а0) alt а2, а3, умножение
которых определено таблицей
является группой.
30
* 1	*0	а1	*2	аз
ао	«0		а2	аз
		#0	а3	а2
а?	а2	«з	aQ	
«3	а3	аа	at	а0
Приведем примеры конечных групп, определенных на не-
которых множествах функций действительного аргумента,
относительно композиции.
Пример. Функции = х, f2 =	> /3 =-----• ft =
•= t> определенные на Я\{0, — 1, 1), образуют груп-
пу четвертого порядка. Здесь
f t — t if < w — ~ ~~1 _*+i _f
fi°fs — /2 (/s (-*))— i — j________x —fii
~ Г 1
—----- i
h ’ h = h (h (*)) = x+^-f- = * = Л.
1 x+ 1
Результаты всех «умножений» внесем в табл. 2.
Вычисления, необходимые для составления таблицы, ре-
комендуем выполнить самостоятельно.
В приведенном, примере группы единичным элементом
является функция = х с указанной областью определения.
Это нетрудно заметить, рассматривая табл. 2, где строка
и столбец, соответствующие х, повторяют входы таблицы.
Функции /2 и /4 являются взаимно-обратными элементами
группы: /2 0 h = Л ° /2 “ fi- Предлагаем самостоятельно
отыскать по таблице умножения остальные пары взаимно-
обратных элементов. Обращаем внимание на то, что в каждой
строке и каждом столбце таблицы умножения стоят все эле-
менты группы в некотором порядке.
Покажем, как этот и подобные ему примеры групп могут
быть использованы при решении функциональных уравнений.
Пусть в функциональном уравнении
«о£ (/о) + «12 (fi) +	+ an-ig = b (1)
выражения f0 (х) = х, f± (х), ..., fn_i (х), стоящие под знаком
неизвестной функции g (х), являются элементами конечной
группы порядка п относительно композиции функций. Коэф-
фициенты уравнения (1) а0,	..., an_i, b в общем случае за-
висят от х. Некоторые из них могут равняться 0. Предположим,
что уравнение (1) имеет решение. Заменим х на f± (х). Эта заме-
на равносильна умножению справа всех элементов группы
на В результате последовательность функций /0, f19 ..., fn^i
31
перейдет в последовательность f0 © flt © f19 f2 © flf ...
..., fn-i ® fi, состоящую из всех элементов группы. Обращаем
внимание на то, что получены элементы второго столбца таб-
лицы умножения (соответствующего fr).
Произведенная замена перевела уравнение (1) —линейное
относительно неизвестных g (f0), g (Д), g — в новое
линейное уравнение относительно тех же неизвестных. За-
Таблица 2
о	X	X— 1		1_ X	X + 1 1 — X
		х+1		
X	X	X — 1 х 1		1_ X	х+1 1 — X
X — 1	X — 1		1_	х+1	х
х+1	X -р 1	X	1 — X	
	1_		1_	х+1	X	X— 1
X	X	1 —X		х -j- 1
х+ 1	х + 1	X	X — 1		1_
1 — X	1 — X		х 1	X
меняя далее x-+f2(x), х->/3(%), •••, х f/z_i (х), получим
систему п линейных уравнений с п неизвестными.
Решая эту систему, находим неизвестную функцию g (fQ) =»
== g (х), если, конечно, система имеет решение. Непосредствен-
ной проверкой следует убедиться, что полученная функция
удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотренный метод
ограничивает область определения функции, так как прихо-
дится отбрасывать те значения аргумента, при которых эле-
менты группы не имеют смысла.
Задача 1. Найти функцию f (х), определенную на множе-
стве действительных чисел, отличных от 0, 1, —1, и удовлетво-
ряющую уравнению

(2)
х__1
Выражения х, —7—г- > стоящие под знаком неизвестной
функции /, являются элементами группы, заданной табл. 2.
Заменяя последовательно х на ——г»------------, -т-2— > полу-
X ~р 1	X I —— X
32
чим систему
х<М + 2/(^!-) = 1,
7ТГ^(тТг)+2/(-4)”Ь
4±4-f(-^) + 2/« “ >•
Последовательно исключая неизвестные f * j, —pj.
г I x 1 \
/ Ь имеем
/м=^ё^пг-’
Рассуждения вытекали из предположения, что решение урав-
нения (4) существует. Подставляя в (4) полученную функцию,
убедимся, что она удовлетворяет уравнению.
Задача 2. Найти функцию f (х), х Ф 0, х а, удовлетво-
ряющую уравнению
где а — постоянная, отличная от 0.
тт	О2
Нетрудно проверить, что выражения х, вместе
с ах~а составляют группу с табл. 3. Здесь х£7?\{0, а}.
Рассуждая аналогично решению задачи 1, получим систему

ах — а2 \ . с / ч. ах — а2
—-х—J + f W = —х—
а2х I а3
Из нее находим f (х) = —2x'fx —а)— ' Проверка показывает,
что эта функция удовлетворяет уравнению.
Иногда в функциональном уравнении выражения, стоящие
под знаком неизвестной функции, являются значениями
з 2-2932	33
элементов некоторой группы от одной и той же функции g. '
После замены g (х) на х получаем уравнение, которое решает-
ся изложенным выше методом.
Таблица 3
1	X	а2			ах — а2
		а	—	X	X
			а2		ах — а2
X	X				
		а	—	X	X
а2	а2	ах	—	а2	X
а — х	а — х		X		
ах — а2	ах — а2		х		а2
X	X				а — х
Задача 3.: Найти f (х) из уравнения
af (х — 1) + bf (1 — х) = сх.
Выражения х — 1 и 1 — х можно рассматривать как зна-
чения элементов группы второго порядка {х, —х) от функции
g (х) = х — 1. Заменяя х — 1 на х, получим уравнение
af (х) + bf (— х) = с (х + 1).
Решая его (используем группу {х, —х}), найдем
f W = х + ттг ’ если “2 * Ь2>
f(x) не существует, если а2 = Ь2, с=^0;
f (х) — любая нечетная функция, если а — Ь, с = 0;
f(x) —любая четная функция, если а = —Ь, с = 0.
Под знаком неизвестной функции f могут стоять не эле-
менты группы, а более сложные выражения, образованные из
них. Для решения таких уравнений приходится угадывать,
из элементов какой группы образованы эти выражения и зна-
чениями каких функций они являются.
Задача 4. Найти функцию f (х), х ф 0, х =/= 1, удовлетво-
ряющую уравнению
/(т=т)+/(-4-)-^	. (4)
При внимательном рассмотрении уравнения (4) можно заме-
тить, что функции  и-------являются обычными про-
34
взведениями взятых по 2 элементов группы gj	= х,	g2	= —ц ~	»
gs = —-— ; х т^= 0, х =f= 1	(см.	табл. 3 при	а =	1).	А именно
х	1	_	11	х— 1	_
1-х ~Х' 1-х ~S1 ’ g2’	Г“Т=7
Заменяя последовательно -jх~~ 1 > получим
систему уравнений (совместно с (4))
f (gigs) + f tao = x,
. f (gigs) + f (gsgi) =	>
f (g3gi) + f (gigs) =	*
Отсюда
f (gigs) = f (—j-) =
1 — x + 2x2 — x3
2x (1 — x)
__ _ X3 + %2 + 2x+l
/W	2x (x + 1)
Проверкой убеждаемся, что найденная функция удовлетворяет
условию.
Анализ решения приведенной задачи показывает, что вы-
ражения g2g3l g3glf стоящие под знаком /, при выполнен-
ных подстановках переходят друг в друга. Подобным свойством
обладают члены так называемых симметрических многочленов
от нескольких неизвестных. Многочлен х + у + ху является
примером симметрического многочлена от двух неизвестных,
он подсказан формулами Виета для корней квадратного трех-
члена. Симметрическими многочленами от трех неизвестных
являются xyz, х3 + у3 + z3, х2у2 + x2z2 + y2z2 и др. Все
эти многочлены от любой перестановки неизвестных не ме-
няются. Например, многочлен х2у2 + x2z2 + У2?2 при заме-
не х -> у, у -+z, z -> х переходит в равный многочлен y2z2 +
+ у2х2 + z2x2. То же самое произойдет при любой из 6 возмож-
ных перестановок трех неизвестных. Рекомендуем проверить
это самостоятельно.
В задаче 4 под знаком неизвестной функции стояли члены
симметрического многочлена grg2 + g±g3 + g2g3- Выполненные
«групповые» подстановки переводят g2l g3 друг в друга,
т. е. осуществляют перестановку элементов группы. В резуль-
тате каждый член симметрического многочлена переходит
в некоторый член того же многочлена.
3*
35
Вернемся опять к группе четвертого порядка, заданной
табл. 2. При внимательном рассмотрении можно обнаружить,
что
fz = fb9 ft9 ft ~
fz — fz° fz° ft9 ft = fl>
Таким образом, все элементы этой группы являются «степеня-
ми» одного и того же элемента /2. Этот элемент называют
образующим, а саму группу — циклической четвертого по-
рядка.
Отмеченное свойство группы позволяет без труда решить
следующую задачу.
Задача 5. Найти хотя бы одну функцию вида f(x) =	»
для которой равенство f (f (f (f (x)))) = x является тождеством,
а равенство f (f (x)) = x не является тождеством (каждое
в своей области определения).
X —~ 1
Ясно, что функция f2 —	> х=/=0, ху= lj удовлетво-
ряет условиям задачи.
Предлагаем самостоятельно убедиться, что функция =«
s=  t х > х#= — 1, х=И=0, тоже является решением задачи,
т. е. /4 является образующим элементом группы.'
При решении задачи 5 использовали циклическую группу
четвертого порядка, элементами которой являются дробно-
линейные функции. Ранее уже рассматривали циклические
,	>	( а2 ах — а21
группы второго {х, а — х} и третьего <х, а , —-—Г поряд-
ков. В последнем примере х Ф 0; хф а. Возникает вопрос,
существует ли для любого п G N циклическая группа дробно-
линейных 'функций n-го порядка относительно алгебраиче-
ской операции — композиции функций. Положительный ответ
на этот вопрос дает пример группы с образующим элементом
л . л
X cos----sin --- z
f =----------------—,	x=/= — ctg-^^-, m=2, n — 1.
л ,	л	n
xsin-----Pcos---
n ‘	n
При этом область определения всех элементов группы одна
и та же: она состоит из всех действительных чисел за исключе-
нием тех значений х, при которых знаменатель хотя бы одно-
36
го элемента обращается в нуль. Методом индукции докажем,
что
kn	kTC
X cos-----sin -----
f =-------£--------' k£N. (5)
x sin-----1- cos-
n	n
Действительно, при k — 1 утверждение очевидно. Пусть
(б) справедливо для k = s. Докажем, что оно выполняется
для k ж s + 1.
STC
cos------ ’
п
(S3T
cos---cos
п
sin jrc _ «
n
Л . Л
x cos---------sin------
n	n . STC
--------------------------------------------------------— sin 	
. Л	, Л-n
X sin---------k COS ---Г
n	n
Л	Л
X cos---------sin -----
n	n	, STC
--------------------------H cos---------
n
л	. л
X Sin------k COS ----
п	п
Л . 5Л . Л
	sin	sin-
n-----------------------n _ n
• 5Л	Л	. 5Л . Л
sin------COS--------k cos--------sin------
k n	n	n n
.	STC Л
+ cos----------cos------
\	n
(«Л	л	5Л	. Л	1	,
sin---cos----k cos---sin--- 4-
n	n	n n	I
STC . Л \
sin---sin----
n  n
(s+ 1) Л
X COS ——!---
n
(s + 1) Л
Sin —i—!--L-
______П_______
(s+ 1) Л (s+ 1) л
X sin ~-------k COS ~—i------
n	n
Следовательно, утверждение справедливо при
Ясно, что fn = х. В то же время fk х при 0 < k < п. В са-
мом деле, пусть
всех k g N,
Отсюда
kTC . kTC
X cos----------sin .-------
_________n	- n = x
kTC	. kTC
xsin----------1-cos ----—
n	n
kn
X cos----
n
. kn
XSin —
• kn' n • kn i	kn
— sin------= X2 Sin--------h X cos----
n	n 1	n
. kn .
+ cos------Ф 0,
37
что равносильно
(х2 + 1) sin ~— = О,
’ • /?ЭТ I	kjXi .
X Sin-------h COS ---Ф 0.
k	n	‘	n '
Так как x2 + 1 Ф 0, то sin == 0. Это невозможно ни при
каком 0<&<п.
Найдено частное решение следующей геометрической за-
дачи. Найти кривые, обладающие свойством: берется произ-
вольная точка на кривой; затем строится вторая точка, абс-
цисса которой равна ординате первой точки; этот процесс
повторя_ется п раз (п — фиксировано), причем ордината по-
следней точки равна абсциссе первоначальной. Такие кривые
иногда называют периодическими кривыми n-го порядка.
Приведем примеры ряда групп, которые могут быть ис-
пользованы при решении функциональных уравнений:
G, — IX, — г» здесь и далее а=Н=0;
X	\	'	X )	’ п	{ а	а \ G2 = IX, — 9 — х,	? , 2	1 ’ X	’	X J г	(	1	1	х—1 G3 = ix, —, —х,	> ——г а	[	х	х	х + 1 X -f- 1 1 1 — х J f а2	ах	ах — Сл = \х, —, а — х, 	9 	 *	\	х	х — а	х л _ L х/з-1	х — Уз [	х + Уз	х?3 + 1 х/з+1 V Уз — X ) ’ ( хУЗ—1	х — Уз = \Х,				7=— 9				»	• 1	х + /У	X Уз +1 х/3+1	1	х + Уз Уз— х	х	хУЗ—1 1—хУз	Уз—х 1 . х + Уз ‘ хУз+1 J	1 —X	X + 1 ’ X + 1 ’ X — 1 * - х2	а2 1 У а — х ) * 	L,	х + Уз X	1—х/з- ’ 1	х + Уз" >			 9 X	1 — хУз хУз+1 х-Уз	Xt
38
Как обычно, из области определения каждого элемента
группы исключаются те значения х, при которых хотя бы один
элемент не имеет смысла. Этот набор групп можно значительно
расширить путем следующих несложных построений.
Пусть G = {gj = х, g2, .... gn] — конечная группа функ-
ций относительно композиции. Выберем произвольную об-
ратимую функцию <р = <р (х). Обозначим
Оф = {ф-1 о^оф, ф-1 о£2оф, . . . , ф-1 »^„’ф}.
Покажем, что бф — группа. Композиция двух произвольных
элементов бф принадлежит множеству 6Ф:
(ф-1 о gl о ф) о (ф-1 о gk а ф) = ф-1 о (gl о gk) о ф.
Как известно, операция композиции обладает свойством ассо-
циативности. Единичным элементом в множестве Сф является
ф”1 0 gl ° Ф “ Ф"1 0 X 0 ф = ф~! о Ф = X.
Если gt и gk взаимно-обратные элементы группы G, т. е.
gl°	X, ТО (ф-1 О g{ О ф) О (ф-1 О gk О ф) = X И
(ф 1 о gk о ф)«(ф 1 о g{ о ф) = х. Следовательно, для каждого
элемента 0ф существует в этом множестве обратный элемент.
Приведенные построения могут сузить область определения
функций, входящих в группу.
Проиллюстрируем описанную конструкцию на конкретных
примерах. Пусть О = {х, 1 —х}, ф = ф (х) = е*. Тогда
Ф-1 = In х;
Оф = {х, In (1—ех)}, х<0.
1	*—11
—— » -------? > ф = хп, п — нечетное, то
Если О — (х,
х=/=0; х=/»1.
Решим с помощью построенных групп следующие задачи.
Задача 6. Найти решение функционального уравнения
In (1 —	(х) — 2xf (In (1 — е*)) = 1, х< 0.	(6)
Произведя замену х-> In (1 —е*), получим уравнение
х/(In (1 — &*)) — 2 In (1 — в*) / (х) — 1.
Решая его совместно с (6), найдем f (х) = —--------•
1п (1 —е*)
Задача 7. Решить функциональное уравнение
=	1 + х« , х =/=(), х^1,	(7)

39
где п — нечетное.	_______.
П / г"__ 1
Заменим последовательно в уравнении (7) х -> 1/ —%— *
х -> |/ —---— • Получим:
(п / у'1 1 \	( п /	1	\ Л /	 1
Ц|/	+ /«-]/ -П7?г- 
Отсюда
.	1 fvi-i—й . /Л 2 —х" "/’ 2х" — 1 \
/« = -1/1+*’ +]/ —-~V ——)
Рассмотрим функциональные уравнения, в которых под
знаком неизвестной функции стоят, кроме выражений, зави-
сящих от х, и константы.
Задача 8. Решить уравнение
2f (х) 4-f (1 —х) = 3—х/(1).	(8)
На множестве {х, 1 —х, 1, 0} определена операция ком-
позиции, если рассматривать числа 1 и 0 как функции, тожде-
ственно равные константе. Таблица умножения здесь имеет
вид:
х 1 — х 10
Ц I	—1 о	х	1 — х • 1 0 1 — х	х	0 1 1	111 0	000
Из таблицы видно, что для элементов 1 и 0 не существует обрат-
ных, т. е. данное множество функций не является группой.
В алгебре множества с ассоциативной операцией называют
полугруппами. Полугруппы в отдельных случаях можно при-
менить к решению функциональных уравнений.
Делая в (8) последовательно замены х 1 — х, х 1,
40
л->0, получим систему
2/(х)4-/(1-х)4-х/(1) = 3,
2f (1-х) -|-/(х)4-(1-х)/ (1)»3,
2/ (1) 4-/(0)4-	/(1) = 3,
12/ (0) 4-/(1)	=3.
Из двух последних уравнений имеем / (1) = Теперь из
О
первых двух уравнений найдем: /(%) = —g—. Проверка по-
казывает, что найденная функция удовлетворяет уравнению
(8).
Упражнения
7.	Решить уравнение в классе функций, определенных на Я\{0};
. х/(х)Ч-2/(--^=3.
8.	Найти f (х), если
f (—Ц-) + xf. (—) = 2.
' \ X— 1 /	\ х I
9.	Найти f (х), если af (хл) + f (—хл) = Ьх, где а Ф 1, п — нечетное
число.
10.	Найти хотя бы одну функцию, удовлетворяющую уравнению
f (f (f (х))) --- и не удовлетворяющую уравнению f (Л(х)) = —х-
11.	Найти функцию, определенную при х =И= 0 и удовлетворяющую
уравнению
(х-2)/(х) + /(-—х/(2) = 5.
12.	Решить функциональное уравнение
'fer)+2'ter-)-«
в классе функций f (х), для которых D (f) = В \ {0; 1).
§ 5.	МАТРИЦЫ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
В большинстве задач § 4 под знаком неизвестной функции
стояли дробно-линейные выражения вида + d Такие дро-
би полностью определяются заданием таблицы
(а Ь\
\с dj ’
составленной из коэффициентов a, b, с, d.
41
Например, выражениям Зл. 4- , -	, -£_-2~ »
х — 1, -j- » — х можно поставить в соответствие следующие
таблицы:
/ 1 — 2\ р 1\ р 0\ /1 —1\ р 1\
\—3	4/ V О/ \5 —2)' \0	I/’ \1 oj * '
/— i 0\
\ 0 1/
Подобные таблицы принято в математике называть матрица-
ми 2-го порядка (по числу строк и столбцов, содержащихся
в них). Матрицы — очень важный объект в математике. Они
нашли применение в теории систем линейных уравнений, гео-
метрии, алгебре, механике, физике. Во всех приложениях су-
щественно-то, что над матрицами можно выполнять некоторые
действия. Одну из операций изучим подробнее в связи с ком-
позицией дробно-линейцых функций.
При решении функциональных уравнений необходимо ис-
кать КОМПОЗИЦИЮ функций А (х) = alx~tpl и f М =»
==	• Найдем выражение для
^2Х + ^2	। д
^1	II “г” и
Л (AW)=-------------------=
Е= + bjC2) х + (at62 +	, j , п
(схаг + djCj) х + (СуЬг + d^dj 2 "Г 2	•
В результате получено выражение для дробно-линейной функ-
ции (обратите внимание на ее область определения).
Предполагаем, что выражения сгх 4- dt и с2х + d2 тожде-
ственно не равны нулю, т. е. сг и dr, а также с2 и d2 не равны
нулю одновременно. При этих предположениях + dYc2
и ctb2 + drd2 в выражении для /х (f2 (х)) вместе в нуль не обра-
щаются, если только композиция /х о f2 определена.
Действительно, пусть
сха2 + dxc2 = О,	(1)
c±b2 + drd2 = 0.	(2)
Возможны следующие 4 случая:
1Усху=0, с2 0; 2) сх^=0, d2=/=0;
3) с2 0, dx =£ 0; 4) dx 7^ 0, d2 7^ 0.
42
Детально разберем первый случай. Поскольку с2^=0, то
из (1) получим d, =-------, а (2) примет вид сх&2 —
-----£i£2_ d2 = о, или, так как сх =0= 0, то c2b2 = a2d2. Если
С2
Ь2 =0=0, то «2=0=О и d2=0=O. Обозначим	= k. При
с2 ^2
ЭТОМ функция /2 (х) = 	= "У" ПРИ х	Но
х = — k не входит в область определения f2 (х), так как при
этом с2х + d2 = — с2 + d2 = 0.
с2
Заметим, что если /2 (х) тождественно равна константе с,
то Д (/2 (*)) = fi (С). В нашем случае с =	=-----
-f~ bf
J - при подстановке
“г «£
не входит в об-
С2
= 0.
знаменатель сгх +
Однако знаменатель дроби (я) = ——
С-^Х
df *
х = — обращается в нуль, т. е.
С1
ласть определения (х).
Если же Ь2 = 0, то а2 = О или
При а2 = 0 dx = 0; f2 (х) ss 0
функции fr (х) обращается в нуль.
 При d2 = 0 f2 (х) =
тель /2 (х) отличен от нуля). .. ....
С2
ласть определения ft (х).
Случаи 2) — 4) исследуются аналогично.
^2
И
£2
С2
(я=Н=О, так как знамена-
И опять не входит в об-
Упражнения
1.	Доказать, что равенства (1) и (2) одновременно не имеют места при
указанных выше предположениях.
2.	Найти область определения композиций /\ о /2 следующих функций:
ч	£ _	2^ + 3 f _	х—2
а) ~	5х— 1	’ '2-	3х+4	•
х\ г _	2х~" 1 f _	2х+ 1
х + 2 1 '2“ — х 4- 2
Функции (%) =	ставится в соответствие матри-
ца А =1 ( 1	*) > функции f2 (я) =? -azX jb.2 — матрица
\б?1 ах/	С2Х "Г
43
fa2 &2\
В = I , » а их композиции
\^2	^2/
f ' f /„4 _ (<№ + bjCj x + (a^ + bjdt)
1	(М2 + dicz) x 4- (c^ + djd2)
соответствует матрица
c _ (а1аг + M
I	I ^1^2/
('% И > ГМХ >
Рис. 6
Матрицу С называют произведением матриц А и В. При этом
пишут С ₽ Л • В. Например,
/ 1 — 2\ /3	0\_
\—3	4/ \5 —2/ =
/ 1 • 3 + (— 2)-5	1-0 + (—2)-(—2)\_/—7	4\
3.3 + 4-5	— 3 • 0 + 4 • (— 2) J \ 11 —8/
Несмотря на кажущуюся сложность формулы умножения
матриц, легко запомнить правило нахождения элементов про-
изведения двух матриц. Так, элемент, стоящий в i-й строке
А-м столбце (/ = 1,2; k — 1,2) матрицы С = А • В, равен сумме
произведений элементов i-й строки матрицы А на соответству-
ющие элементы k-vo столбца матрицы В (рис. 6).
Примеры. Найти композицию функций fa о fa
.g £ / \ ЗХ “ 2	£ / \	~1~“ 1
1. h (X) = _х_|-4 ’» fs (х) —	3x4-2 *
Вычислим произведение соответствующих матриц:
/ 3 — 2W—2 1\_Г— 12 — 1\
1	4/ \ 3 2/= \ 14	7]’
(Таким образом,
fl (fz W) =	14x4-7 > х I**	з~ •
2< W 2х — Зх2 ’	= X—1 •
44
Функция h (х) представима в виде gt (х) • g2 (х), где
, ч	13х — 4	. ч 1
^М = “2^зГ. ёЛх) = —.
Для того чтобы ВЫПОЛНИТЬ КОМПОЗИЦИЮ Л (/2 (х)), достаточ-
но найти qx (/2 (х)) и q2 (f2 (х)), а затем полученные выражения
перемножить.
Поскольку
/ 13 — 4\/1
3	2/\1
gtkfz W)-------х ’ I.
0\ / 9	4\ /0 1\
=	, х
— 1) \—1 — 2/ \1 О/
Si (fz (х)) = , х 1;
Следовательно,	(/2 (х)) =
(9х 4-4) (х — 1)	.
(~х —2)х	’Л^1 *‘
ог/\ х + 3	t/\	3x4-5
3. /1М = ^з7ТТ- £>(*)= =7Т1--
। Вычислим произведение соответствующих матриц:
/ 1 3 чУ 3 5 * *\ = ( 0	8\
3 1Д—1 V \—10 —14/-
Таким образом,
fl (А (*)) «= _ 10х _ и = _ 5Х—7 • X 1.
Обратим внимание на характер соответствия между дробно-
линейными функциями и матрицами. Очевидно, одной и той
же функции f (х) — ь  соответствует класс матриц вида
сх ~j— а
fka kb\ ,	,
, где k — любое действительное число, отличное от
\kc kd)
ч la (ka kb\
нуля. Матрицу kA = .	| назовем произведением числа
\kc kd)
k£ R на матрицу А = (а	. Заметим, что две матрицы
\с d)
(ал а2\	/Ь, Ь2\
1 и ) считаются равными, если равны их соот-
\as aj	\b3 bj
ветствующие элементы
at = bh i = 1, 2, 3, 4.
Отметим, что функциям, заданным одним и тем же выражением,
-но имеющим различные области определения, соответствует
один и тот же класс матриц. Установлено соответствие между
45
выражениями для дробно-линейных функций и классами
матриц.
Легко проверить, что
(3)
(kA) В = A (kB) = k (AB)
для любого числа k и произвольных матриц А и В.
Соответствие между дробно-линейными выражениями и опи-
санными классами матриц взаимно-однозначно. Приведенный
выше анализ и равенства (3) показывают, что это соответствие
сохраняется при выполнении действия композиции функций
и умножения матриц.
Умножение матриц обладает теми же свойствами, что и ком-
позиция функций. Это можно проверить непосредственно.
1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. (А • В) • С .=
= А • (В • С) для любых матриц Л, В, С. Об ассоциативности
композиции функций было сказано в предыдущем параграфе.
।	2. Матрица Е — называется единичной. При умно-
жении матриц она играет ту же роль, что и число 1 при умно-
жении чисел, а именно АЕ = ЕА = А для любой матрицы А.
Ik 0\
Класс матриц . kE = I соответствует тождественному
\0 kj
преобразованию f (х) = х.
3.	Если функция f (х) = bd - отлична от константы,
т. е. ad — Ьс=^О, то для нее существует обратная функция
/	(х) =	• В самом деле, произведение соответствую-
/а b\ I
щих матриц •
\с d) '
/ad— be
\ о
Аналогично^
/ d
\— о
' d —b\
равно матрице
.— c а/
°	\ — (ad — be) E.
ad — be
— Ь\/а Ь\ . ,	, . '
| = (ad-— be) Е.
aj\c dl
Матрица
А~1 =	1	( d —Ь'
ad be I — с а
называется обратной к матрице
46
Она обладает тем свойством, что
AA~l = А-1 А = Е.
Для композиции соответствующих функций имеем
/»Г1 = Г1’/ = х.
Если же
ad — be = О,
(4)
(5)
т. е. f (х) — константа, то обратной функции не существует.
Отсюда следует, что при выполнении условия (5) для
не существует матрицы А \ удовлетворяющей соотношению
(4).
4.	Ясно, что выражение для композиции f ° g, вообще
говоря, не совпадает с выражением для g ° f. Так, если f (х) =
= 4'* s W = то f °g (х) = х =/= О, a g° f (х) =
= 1 — х, х =# 0. В связи с этим можно сделать вывод, что
умножение матриц не подчиняется коммутативному закону.
Свойства 1—4 позволяют решить матричное уравнение
вида АХ = В, если существует матрица Д^1,’ обратная А.
Предполагая, что уравнение имеет решение, умножаем обе
части его слева на Л-1. Получим Д”1 (Д X) = Д“1В; (Д^Д) Х=
= Д^В; X = А~[В. Найденная матрица действительно удов-
летворяет уравнению АХ = В. Аналогично решается урав-
нение ХА = В. Здесь умножаем обе части уравнения на Д*-4
справа. Получим X = ВД”1.
Упражнения
3. Доказать ассоциативность умножения матриц.
4. Используя умножение матриц, найти композиции А о /2 и /2 0 fi
следующих функций:
fi М =
2х+ 1
Зх — 2*
— х + 1
2х—1
ft W =
5. Решить матричные уравнения;
47
6.	Используя формулу обратной матрицы, найти /”“г (х), если f (х) ==
2х
—х+2 ’
Изложенные сведения о матрицах позволяют не только
упростить нахождение композиции дробно-линейных функций,
но и указать новые методы для решения некоторых функцио-
нальных уравнений.
Задача 1. Найти функцию определенную при
5;	0; — 4-; 1)
4 I	О .	О I
и удовлетворяющую уравнению
е/ х \	х + 3г/х + 3\ _х2-—2х — 2
Цх —2/	2 Ц —Зх + 5/“ х	а W
Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под
знаком неизвестной функции f в уравнении (6), друг в друга.
х 4- 3 t /	5	\
’Для этого положим —.......;- = -—5- х Ф ; t =£ 2 . Отсюда
— ОХ 4“ о Г "I о	I
tx 4-3/ — 2х — 6 = — 3tx 4- Ы, х = 2/—3i [t 4") •
/4-3
v	X	2/ — 1	t _L 3	/	5	1 \
Кроме того, х_2 — t + 3	— _3< + 5 з ’>	2 ) • .
2/ — 1	2
х । з
Следовательно, подстановка	2X_'i—искомая. Уравнение
(6) примет вид
f ( * + 3	_ 7х f I х \ _ -И*2 4-4*4-13
Ц— 3x4-5j 4х — 2' (х — 2/ (х 4-3) (2х — 1) - •	' '
{5 1
0; 2; -уI. Подстановка х ->
х 4- 3	л о 5
-» j переводит точки 0; 2; — соответственно в точки
5
— 3;	2. Кроме того, из характера подстановки вытекает
1	5	1
л-=4= у. Поэтому в уравнении (7) х=£—3; -д-; 2; у. Область
допустимых значений х в системе, составленной из уравне-
ний (6) и (7), является пересечением соответствующих обла-
стей каждого из уравнений (6) и (7), т. е. х £ R \ (—3;
х I о
2; 4-: °1-	-
48
Исключая из этой системы f [ -*4гк) , получим
OX D /
(^-з-> 4-
2; -у ; °) •
Обозначив х\_ "2 — г> получим х — t . Из условия х
— 3; —х-; 2; 4; 0 получаем z =/= 4; — 5;-----------; О,
о	Z	О	о
а также г<^=1, что определяется видом подстановки.
2х	х ~ I 1
Подстановка х -> х_-у дает f (х) = —у—. Итак, функция
f(x) = областью определения 7?\ [О; 4 ; — 5; —4; 1)
является решением задачи 1, что и подтверждается проверкой.
Сужение области определения искомой функции удалением
точек х = —4 1 вызвано методом решения уравнения. Не-
сложные вычисления показывают, что функция f (х) =
х -J-1 z г 3 л
= —, х Ф —5; у; 0, удовлетворяет исходному уравнению.
В самом деле, полагая в (6) х = 4» получим
фтН™"
д. I 1	3
Значения функции f (х) = ——, х — 5;	; 0, в точ-
X	D
ках-----j- и 1 соответственно равны f(----== — 2; /(1) = 2
и удовлетворяют приведённому соотношению.
Более того, решение уравнения (6) в классе функций таких,
(3	1
—5; Оу, имеет вид
х +1	.	1
—j—,	если х^=1; —
f(x) =
а,	если х = 1 (a G Я);
7	н	1
-т- а-----, если х --------------5- .
т"	Z	О
При'решении задачи 1 подробно изложены вопросы, свя-
занные с областью определения искомой функции. В дальней-
шем подобные вопросы будут рассматриваться с меньшей
детализацией.
49
Уравнение (6) решено, так как найдена подстановка х->-
*-> переводящая дробно-линейные функции —и
—друг в друга. На языке матриц это означает, что
OX —j— о
(1 з\
1 j такая, что АХ = kB; ВХ =
= 1А, где
Л = Р °\; В = ( 1 3V k^O, 1^0.
V — 2/	\-3 5/
Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций
существует аналогйчная подстановка; другими словами, для
любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворя-
ющая уравнениям
АХ = kB,	(8)
BX^IA	(9) ,
при некоторых k, /, отличных от нуля.
Предполагая, что такая матрица существует, из уравне- .
ний (8) и (9) получим: (/А) X = (Ik) В, (ВХ) X = (Ik) В,
BX2 = (lk)B.	(10)
Предположим, что функции, соответствующие матрицам А
и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А'
и В существуют обратные матрицы. Умножим обе* части ра-
венства (10) слева на В"1, Получим
B~lBX2«B~'lkB\ EX2 = lkE\ Х2 = тЕ,
где т = Ik.
Найдем общий вид матрицы X = г1 ] такой, что X2'=
\х3 xj
1т 0\
—	, т. е.
\0 т]
(Х1	Х2\(Х1 xi\_/m 0\
\х3 х4/\х3 xj \0 mj
при некотором т 0. Заметим, что х^ — х2х3 =^= 0. Из пра-
вила умножения и условия равенства матриц имеем:
Ху + х2х3 = т,
хгх2 +*х2х4 = 0,
хгх3 + х3х4 = 0,
х2х3 + xl — m.
50
Вычитая из первого уравнения четвертое, получим х? = х4,
т. е. х4 = х4, либо хх = —х4.
Если х4 = х4, то х4х2 = 0 и хгх3 = 0, что приводит к мат-
V	ХЪ\	V (Х1	0\ Т7
рицам вида лх = I или Л 2 = I ). Если же хх —
\х3 0 /	\ 0 xj
—х4, то придем к матрице
Х3
Х1
/з
Х2
Х1
Проверкой убеждаемся, что матрицы Х2 и Х3 удовлетворяют
уравнению X2 — тЕ при некотором т. Матрица Х3 при хх =
•= 0 дает Хх.
/хх 0 \	/хх	х2\
Итак, матрицы вида Х2 = I n 1 и Х3 = I	и
\	%’1 /	\-^з	Xj /
только они удовлетворяют уравнению Х2 = тЕ^ =/= 0. Из (9)
имеем X = IB^A. Поэтому, если матрица ЕГ^А имеет вид
Х2 или Х3, то она удовлетворяет каждому из уравнений (8),
(9).
Теперь изложим один из способов решения функциональ-
ного уравнения вида
\ С1Х Г а1 /	\ С2Х Г а2 /
где s (х), t (х), р (х) — некоторые данные функции.
Решая матричное уравнение вида А = ВХ, vjsp А =*
?= (й1 В г= , получим X = S’”1 Л.
^1/	W2 ^2/
fk I \
Если* матрица X имеет вид I ), то подстановка
\т —k]
kx “4“ I л 1 \
х-> тх~'^ в И даст втоРое уравнение относительно не-
известных
с / охх 4- fef \ f / Д8Х + &2 \ .
1 \c1x + dl|, ' \ CjX + d2 ) •
Если полученная система имеет решение, то из нее найдем
выражение для f (	)• Последнее дает возможность
\	~Га1/
найти f (х). Как обычно, обязательной частью решения явля-
(х 0\
1	] тривиален, А = х±В9
О х1)
Т. е. выражения, стоящие в (11) под знаком Д совпадают.
51
Задача 2. Найти функцию /, определенную при х $
В/ {б;——1), удовлетворяющую уравнению
3/(=^2
.. 8
х — 2 ) ~ х— 1 *
(12)
Решаем
матричное уравнение
л=( 1 “Ч;
\— з	2/
АХ = В,
В = (~ 1
\ 1
где
1\
— 2/
матрицы А обратной является матрица
“ Ц. Тогда А~'В = [~ 2
— 1/	\-з
0\	' v	(k
. Матрица X имеет вид
V	\т
меним к уравнению (12) подстановку х
удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравне-
(О	8\
I 1. Применение к ней
х	/0	8\
•2л._д равносильно умножению I	I
0\ л	( 16 - 8\ „
। та_
-1 1/
Для
(—2
3
п
(2 -
подстановки
/1
справа на I
ним образом,
1\
— 2/=°
поэтому прй-
—1\/—1
— 1Д 1
I \
I > Ь’
— k)
> 2T~i • Последнюю
. В результате получим
из уравнения (12) находим
1 х — 1 \ _ 16x — 8
-Зх + 2/---х+1 •
(13)
х — 2
Исключив из системы, составленной из уравнений (12) и (13),
/ (=зггг)’имеем
<14>
2
Из (12) видим, что х ¥=—; 2; 1. Подстановка сохранила эти
TZ	/1
ограничения. Кроме того, х .
__х I 1	2	1
Положим-------тг- = z. Так как х Ф -я-; 2; 1; -тг , то z
; 0; —. Отсюда х =	• Заменяя х ->	,
62
из (14) получим
Z(*) = ^,	0; --L; -1.
Проверка показывает, что
ловию задачи:
эта функция удовлетворяет ус-
(2	1
V	о;	з
'2 ' —1\	/—	1
J	о/	\	1
— 1\	/5 — 4\
2/~ \1 —1J’
1\ [—3 4\
-2/	1 V
— Зх + 4_8
— X + 1	X— 1 ‘
Упражнения
7.	Найти решение уравнения (12) среди функций, определенных при
ж€Я\{о; --J-}-
8.	Найти функцию f (х) с областью определения D (/) = R \ {—2; 0;
1 I
удовлетворяющую уравнению
2/	- 3f = 13*~4
' \х — i) Ч (2х + 1] 2х — Зх2 •
9.	Найти функцию f (х), определенную при х =/= 1; 3; —2
О	А
и удовлетворяющую уравнению
„ ^tl х + 2 \ , ег/ х — 3 \ х2 + 2х — 5
(7х ~ 6) /	+ 5/ (Z^+Т) = “TZT~ *
При решении задачи 2 было использовано преобразование
х	0\ п
<р : х -и---т-, соответствующее матрице . Вместе с
1	\2 —11
тождественным преобразованием е : х -> х (х =# оно обра-
зует группу второго порядка с таблицей умножения
8 ф
8	8 ф
ф ф 8
Из предыдущих рассуждений следует, что таким свойством
обладает любое преобразование ср вида * Это позволяет
53
указать другой способ решений уравнений вида (6), (12)г
которые имеют следующую форму:
s (х) f (g (х)) + t (х) / (g (<р (х))) = р (х).	(15)
Здесь, как и ф (х), g (х) — некоторая дробно-линейная
функция, отличная от константы. Выполняя в (15) подстановку
х -> g~l (х), придем к уравнению
81 (х) f (х) + tx (х) f (g о ф о g-i (х)) = gj (х).	(16)
В предыдущем параграфе показано, что если {х, ф (х)} — груп-
па, то {х, g о ф о g~l (х)}—тоже группа. Для решения
уравнения (16) можно применить групповую подстановку
х -> g о ф о g-i (х).
При реализации данного метода удобно использовать мат-
ричный аппарат.
Задача 3. Решить функциональное уравнение
fl % \ I of / Зх -р 1 \ х
' ' Т \ —2х — 2) = 2х + 2 ’
(17)
где функция f (х) определена на множестве R.
В уравнении (17) функция g(x) = —. Ей соответствует
X “р 1
и 0\
матрица А = I j I. Изложенный метод применим, если функ-
Зх I 1	/ 3	1\
ция h (х) = ——х с матрицей В = I о	о представи-
ма в виде h (х) — g о ф (х), где ф (х) — дробно-линейная функ-
/£ А
ция, отличная от константы с матрицей вида	|.
\т —kJ
Предварительно нет необходимости выяснять, обладает ли
функция h (х) указанным свойством, как и нет необходимости
находить функцию ф (х). Выполняя подстановку х -* g~l (х),
переведем h (х) в функцию h » g~l (х) = g о ф . g-i (%),
которая имеет вид-----'—г, тогда и только тогда, когда ф (х)
такого же вида.
Найдем функцию h о g-1 (х). Соответствующая ей матри-
1/3	1\ /	1 0\	/2	1\
ца равнаВА~ =1_2 _2/’\—1 1 /	\0 — 2/’ В П0Лу'
ченной матрице диагональные элементы 2 и —2 — противо-
положные числа. Следовательно, функция 2х^~2^ является
образующим элементом циклической группы порядка 2.
54
Подстановка х -> g-' (х) переводит (17) в уравнение
/(х) + 2/(^±±] = 4(х^1).	(18)
тт	2х + 1
. Пр оизводим замену х ->	, получаем уравнение
f(24±l) + 2JW = 2-ii!(x^--f-).	(19)
Из системы (18)— (19)	----. Как и в
задаче 1, устраняем ограничение на область определения
/ (х). Проверку предоставляем читателю.
Замечание. Естественно возникает вопрос, не применим ли при-
ем, которым решена задача 3, для уравнений вида
s (х) f (g (х)) + i (х) f (<p (g (x))) = p (x).	(20>
Подстановка x -> g~^ (x) приводит (20) к уравнению
«1 (x) f (x) + tt (x) f (cp (x)) = Pi (x).
Если функции x и (p (x) образуют группу относительно композиции, т. е.
 , . ах + b
если ф (х) == •	, то решаем полученное уравнение групповой подста-
новкой.
Уравнения (20) и (15) одновременно приводятся или не приводятся
к уравнению, где под знаком неизвестной функции стоят элементы цикличес-
кой группы второго порядка. Это следует из того, что если для матриц
второго порядка В — СА, где С2 = Е, то В = AD, где D2 = Е. В этом
можно убедиться, положив D = В-"1 С"*1 В. Подчеркнем, что функ-
ции, соответствующие А и В, отличны от констант.
Упражнение
10.	Решить уравнения (6), (12) методом, использованным при решении
задачи 3.
При решении уравнений вида (11), (15), (20) использова-
лась циклическая группа второго порядка. Образующему*
(а Ь\
элементу группы соответствовала матрица I
\ С 1 Cl j
Найдем общий вид дробно-линейной функции, порожда-
ющей циклические группы более высоких порядков. Это рас-
ширит класс функциональных уравнений, решаемых методом
подстановок.
Будем искать матрицы второго порядка, удовлетворяющие
уравнению X3 = kE при некотором k £ В \ {0}. Это рав-
носильно нахождению дробно-линейной функции, являющей-
ся образующим элементом циклической группы третьего по-
рядка.
55
Пусть X — (X1 *2). Равенство X3 = kE равносильно си-
стеме уравнений
Xi 4- 2х1х2^з + *3X3X4 s= k,
х2х2 4- Х2Х3 4- х1х2х4 4- x2xl — О,
х2х3 4- Х1Х3Х4 4- *2*3 4- Х3Х4 — 0>
+ 2х2хах4 4- *4 = k.
Легко убедиться, что х2 и х3 одновременно обращаются или не
обращаются в нуль. Если х2 = х3 = 0, то получим хг — х4 —
— у k. Случай х2 Ф 0, х3 =0= 0 приводит к соотношению
х2 4- х2х3 4- Х1Х4 4- *4 = 0.	(21)
Из полученных классов матриц нужно исключить те. матрицы,
которые удовлетворяют уравнениям X = тЕ или X2 = IE
при некоторых т, I £ R. Они соответствуют дробно-линей-
ным функциям, порождающим циклические группы порядков
меньших 3. Окончательно получаем
(*1 + *4 4~ *1*4 \
1	*з I» *1	*4>	(22)
Х3 	^4	/
что и подтверждается проверкой.
Аналогичные рассуждения приводят к матрице
(_	4- &2 \
а	2с |,	а Ф — Ь,
с	b l
-соответствующей образующему элементу циклической группы
четвертого порядка. Для доказательства можно воспользо-
ваться тем, что функция, соответствующая А2, порождает
циклическую группу второго порядка.
Упражнения
11.	Указать порядки циклических групп с образующими элементами:
а) —Д, х=^0, х#= — 1; г) -fe—t-L- , х^= — 1, х=/= — 3;
х + 2	— х + 1
х — 1	1	х — 3
б> з7+Т х^~'
56
X — 1	1
12.	Показать, что функция f (х) =	, х — 1;-------— ; 0; 1, яв-
ляется образующим элементом циклической группы шестого порядка.
13.	Дать полное доказательство условий, необходимых и достаточных
, ах + Ъ ,
для того, чтобы функция —была образующим элементом циклической
группы четвертого порядка.
14.	Указать общий вид матриц, соответствующих дробно-линейным
Функциям, которые являются образующими элементами циклических групп
[естого порядка.
Задача 4. Решить функциональное уравнение
+ (* + 3) / (2х + 5) - f gAJ) - ('1Уз+1) , (23>
где функция f (х) определена на множестве R \ {3; 5; 1; 2; —1}.
ла	„	/1 -1\ D /2 5\ г /3 4\
Обозначим через Л =	, В =	, С =	|
U 1/	\0	V \1 2/
матрицы, соответствующие функциям, стоящим под знаком f
в (23). Уравнение можно решить, если найти матрицу X, име-
ющую вид (22) и удовлетворяющую соотношениям АХ = В?
ВХ = kC. При этих условиях СХ — 1А. Получим
Х^Л~'В=±1 > 5V I >	3\.
2	1 1Д0 1	1 — 2/
В соответствии с (22), матрица X удовлетворяет уравне-
нию X3 = kE. Кроме того, ВХ = Р	_
н	\0 1Д—1 —2)
г= I	I = — а. Итак, подстановка х -> —/-l 2~ пеРе"
водит выражения, стоящие под знаком f в (23), друг в друга.
Выполняя эту подстановку дважды, получим систему урав-
нений
(^4) + + 3) f + 5) - f = (*121Л±Ц -
х + 3 (/Г)^ ,	] 2х + 3 с ftx + 4\ f (X — 1\   х + 1
+т+2‘Ц7+27~Ц7+1i/-------X(X + 2) »
-2*-3f р* + 4\ , f /х-л _[(2х + 5)
х+1 ' \х+2/^х+ 1' \х+ 1/
__	х-}-2
(х+ 1)(х + 3) ’
Решая ее, найдем
Д2х + 5)=2^Г5, х^-1; 0; -2;	-3.
57
х 5
После замены х->—%— окончательно получим
f (х) = "x'-Ci" > Л'=т^=2>	1» 2.
Л “Г 1
Эта функция удовлетворяет задаче 4.
Уравнение (23) можно решить и подстановкой х -> —*
х “Г 1
Последняя функция обратна —-т-р. В результате получим
х ~г 1
уравнение
Х + 1	4: f (- Зх + 7 \ f / -« + 7\
-х+1 I W + -Г+Г ' ^х+Т) ” I (-х + 3 ) =
2(3 —х)
(х—1)(х —5) ’
которое решается групповой подстановкой х -> __	> при-
вмененной дважды. Как обычно, нужно обращать внимание
на множество допустимых значений х.
Подобный прием используется для решения уравнений вида
S (X) f lg (*)) + t (x) f (<P (g (x))) + U (x) f (q> о <P (g (x))) = p (x),
где ф — образующий элемент циклической группы третьего
порядка.
Упражнение
15. Найти функцию f (х), определенную при х £ R \ {1; 3} и удовлет-
воряющую уравнению
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА К РЕШЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При решении уравнений Коши существенно использовались
основные понятия математического анализа такие, как предел
последовательности и функций, непрерывность, дифференци-
руемость и др. Рассмотрим некоторые общие методы решения
важнейших классов функциональных уравнений, основанные
на этих понятиях.
1.	Предельный переход
Задача 1. Решить в классе непрерывных функций урав-
нение
3f(2x+1)=/(х) + 5х,	(1)
58
где х С Я.
Заменив х на —у- , получим
'/М = +л('-р)+т'Р-	<2>
Используя ту же замену, из уравнения (2) последовательно
получим
1 г !х — 1\ _ 1 г	!х — 3\ ,__5	х — 3
~	2~ / — ПГ '	4у + ТГ	’	~4~	•
1 с /х — 3\ __ 1 г	(х — 7\ ,_5	х — 7
V Ц~4~ ] ~ 17 '	\8~ ) +	27	’Г"	’
Методом математической индукции можно доказать, что
х — 2” + 1 \ _	1 J х — 2'!+14-1
2п ) — 3"+‘	2'1-н
,5 х — 2'1+1 + 1
* gn-H 1	2п+1	*
Сложив все уравнения, начиная с (2), получим
.. .	1 tlx —	, 5 х — 1 . 5 х — з ,
1\х)~ 3п+1 /|	^+г	)+з" 2	 9 1 4 -I
... 4.	5 х —2П+1 + 1
* ‘ ' ~Г gn+l ‘	*

(33
(4>
Так как функция f (х) непрерывна, то при любом фиксирован*
ном х
..	. 1х — 2"+’ + 1\	.. flx+l Л
hmf —„+!— =hmf —р -1 =
n-^OQ \ Z 1	у П->оо \	у
=/(— 1) (теорема 2 приложения).
> \ 2 ~	/ /
х I 1
Здесь lim—=0. Из (1) легко заметить, что /(—1) —
П->00	2
—у-. Тогда
..	1 fix — 2"+14-1\ Л
hm и.. 7 ----------= 0.
п-»оо 3"+* '	2"+‘ У
59>
Левая часть равенства (4) не зависит от п, поэтому существует
ее предел при п -> оо. Переходя к пределу в равенстве (4),
при п -> оо имеем
х/\ и /5 х — 1, 5 х — 3,
Х	3 ' 2 + 9 ’ 4 + •••
5 х —2п+‘ + 1
Правая часть (5) является суммой трех бесконечно убываю-
щих прогрессий
5.5	.	.5	.
— x+-gg-x+ +-^jTX+ •.. -X,
5	5	5	____5_
3’	-9	з«+1	”* ~	2 '»
1+4 + ••• +^г+ - =i-
з
Итак, f (х) & х-2~, что и подтверждается проверкой.
Упражнение
1.	Доказать справедливость формулы (3).
Проанализируем решение задачи 1. Для уравнения (1)
применена подстановка, которая перевела выражение, стоящее
под знаком неизвестной функции f в одном члене уравнения,
в выражение, стоящее под знаком f в другом члене. Эта под-
становка была повторена и раз. Получили систему п линей-
ных уравнений.. Исключая последовательно неизвестные,
получим уравнение вида
f(x) = a^(f>n(x))+c„(x),
где ап, Ьп (х), сп (х) — члены некоторых последовательностей,
п — фиксированное натуральное число.
В нашем случае ап =	, Ьп(х) =	+ ?, сп(х) =
_ 5 х— 1 .	' ,	5 х — 2"+’ + 1
~	3 •	2	•!*’•’'+• 3п+1 •	2п+1
Если существуют пределы при п оо последовательностей
(ап), (Ьп (х)), (сп (х)), причем lim bn (х) является константой,
п-*оо
то предельным переходом, используя непрерывность f (х),
находим выражение для f (х). Как обычно, проверка является
составной частью решения.
60
Аналогично задаче 1 могут быть решены в классе непре-
рывных функций уравнения вида
f (kx + b) = mf (x) + P (x),
f(kx + b) =f (x) • apt-x\
где k > 1, | m | < 1, P (x) — многочлен, a > 0.
Задача 2, Найти все непрерывные функции, определенные
на множестве действительных чисел, удовлетворяющие урав-
нению	_
Н*2)+/(х) =Х2 Н-х.
Обозначив f (х) — х через g (х), получим
g(x2) = —g(x).	(6)
Пусть х > 0. Выполним в уравнении (6) п раз замену х -> Ух.
Тогда
g (х) = — g (Ух),
— g(Vx) = g(^x),
. 2П—L 	он '
Складывая уравнения, получим
£(х) = (— l)ng(yG).
Чтобы избавиться от «неудобного» множителя (—1)п, произ-
2"г-
йедем замену х -> у х:
g(x) = (—1)" g (Vx) = g(/x).	(7)
При любом х > 0, используя непрерывность функций In х и ех,
получим
фН
4И	In lim у х
lim ух = е
П-*оо
ф<1 _
lim In -у х
= еп*°°
= е'^00	= е° = 1
В силу непрерывности g (х), предельным переходом из (7) по-
лучим
4П7—
g (х) ~ limg(y х) = g-(lim у х) =g(l).
/2->ОО	/2->ОО
Из (6) легко получить g (1) = g (0) = 0, т. е. при х 0 g (х)
® 0. Функция g (х) — четна. Действительно,
g (_ Х) =, _ g ((_ х)2) = — g (х2) = g (х).
61
Поэтому g (х) = 0 и при х < 0. Итак, условию задачи удов-
летворяет единственная функция f (х) — х.
Задача 3. Решить функциональное уравнение
f(2x+ ) + 4.f	=	+	(8>
в классе непрерывных функций.
Выполнив замену х -> —у— > получим
+ + = (9)
Складывая (8) с уравнением (9), умноженным на получим
Это уравнение решается аналогично уравнению (1). Найдем
х______________________________________з
подстановку, переводящую 2х. + 1 в —. Для этого по-
I_____3	I___j
ложим 2х 4- 1 = —4— . Отсюда х = —g—. Выполнив п раз
х — 7 '	.
подстановку х->—g—, получим систему уравнении, из кото-
рой находим
Ц2х + 1) + (- I)"	') -
7х—1 ,	, ,	1Ч„ 7x + 7-23(,1+I>
= —§—+ ••• +(-1) -----------£з7Гн-----•
Отсюда при п -> оо
f (2х + 1)	217 > ИЛИ f (х)	 gj X 217 >
что и подтверждается проверкой.
В уравнении (8) три слагаемые содержат неизвестную функ-
цию. Подобным образом решается уравнение вида
/ (Ь + Ь) + 4-/	= 4- f(x) + Р (х),
1.1 Ь	\ Кг J	11b
где k > 1, т 1, Р (я) — многочлен.
Упражнения
2.	Решить в классе непрерывных функций следующие уравнения:
a)	f (х) = f (-4*) * ах‘, в) /(х) = -^-f (4") + х;
б)	H2x + l)=f(x); г) /(Зх)+ -1-/(4) = -5-/W + h
т \ О / Z
62
3.	Найти непрерывную функцию, график которой обладает следующим
свойством: сумма ординаты и абсциссы любой точки А графика равна
удвоенной ординате точки, абсцисса которой вдвое больше абсциссы точ-
ки А.
2. Дифференцирование
В некоторых случаях для нахождения решения функцио-
нального уравнения целесообразно продифференцировать обе
части уравнения, если, конечно, производная существует.
В результате получим функциональное уравнение, которое
содержит и производную неизвестной функции. Решим это
уравнение относительно производной. Тогда неизвестная
функция является одной из первообразных для найденной про-
изводной. Этот метод уже применялся при решении уравне-
ния Коши в классе дифференцируемых -функций.
Задача 4. Найти в классе функций, имеющих непрерывные
производные, решение уравнения
f(3x + 2) = 3/(x), x£R.	(10)
Попытки решить уравнение методом предельного перехода
не приводят к желаемому результату. Левая и правая части
(10) являются функциями от х. Они равны, следовательно,
равны их производные по х. Продифференцируем (10) и после
сокращения получим
f'(3x + 2) = f'(x).
Это уравнение уже можно решить методом предельного пере-
х 2
хода. Выполнив подстановку х -> ——» получим цепочку
равенств
е, ( \	£, (х — 2\ V (х — 8\	Г, ( х — Зп + 1 \
f= f (-3-j = f	)= •••
Ввиду непрерывности f (х), при п -> оо, имеем
f‘(х) = limГ( *~3;+1) = lim f Н-1 - 1U f (- 1).
п-*оо \ О J п-*оо \ О	/
Итак, f (х) = k, где k = f' (—1). Первообразная функция
/ (х) = kx + b. Подставив в (10) х = —1, получим / (—1) = 0.
Кроме того f (—1) = —k + b, т. е. k = b.
Легко проверить, что f (х) = k (х + 1) удовлетворяет
условию при произвольном k.
При решении ряда задач к желаемому результату приводит
повторное дифференцирование обоих функциональных урав-
нений.
63
Задача 5. В классе функций, имеющих непрерывные вто*
рые производные, найти решение уравнения
f(5x+ l) = 25f(x), xQR.	(11)
Предполагая, что уравнение (11) имеет решение, дважды
продифференцируем обе его части. Имеем
f(5x + l)«5/'(x),	(12)
№ + l) = f(x).	(13)
Заменяя последовательно п раз х -*—§—, получим из равен-
ства (13)
/ х • 5" — 1 \
=	- ==K~F----------------7-
При п -> оо имеем
/ х 5п — I \
/• w=i™ (J=г (- 4) - “
п-*<х> \	О	/	\	/
Первообразная функция f (х) = ах 4- Ь. Подставляя в (12)
х = j-, получим /' ( = 0. Кроме того, /' (—=
= а • (--+ Ь, т. е. а = 4Ь, f (х) = b (4х ф- 1). Рассуждая
аналогично, получим
Дх) = 4-Ь(4х+1)2 + с,	=
/(х) = 4-Ь(4х+ I)2.
Легко проверить, что если f (х) является решением уравне-
ния (11), то и kf (х) удовлетворяет этому уравнению при любой
константе k. Таким образом, решением задачи являются функ-
ции f (х) = k (4х + I)2 и только они.
Рассмотрим задачу, где производную существующей функ-
ции находят, исходя из определения.
Задача в. Найти функции, определенные при х >• 0, име-
ющие производные и удовлетворяющие уравнению
Hxy) = f(x)f(y).	. (14)
Очевидно, f (х) ss 0 является одним из решений задачи.
В дальнейшем исключим этот тривиальный случай.
Пусть f (х) удовлетворяет (14) и f (а) Ф 0 при некотором а.
64
Тогда из (14) при у — получим
Следовательно, f (х) Ф 0 при всех х > 0. Кроме того, f (х)
строго положительна, так как f (х) — (/(]/х))2. По условию
f (х) = lim --х +	существует при всех х > 0. Вос-
Лн-О	П
пользовавшись тем, что f (х) удовлетворяет (14), получим
h
При h -> 0 и любом фиксированном х дробь — стремится к 0.
Так как f' (х) существует, то существует и lim
который не зависит от х. Обозначим его через с. Тогда
f' (х) =
f (X) X
Замечая, что (In f (х))' =	, найдем первообразные функ-
ции обеих частей (15)
1п/(х) = clnx + b.	(16)
При у = 1 из (14) получим f (х) =0 или f (1) = 1. Последнее
условие из (16) дает b = 0. Окончательно, f (х) ss 0 или же
f (х) = Xе при произвольном с.
Задача 7. Найти дифференцируемые функции f (х), перево-
дящие произвольную арифметическую прогрессию a, bt о
в арифметическую прогрессию f (a), f (b), f (с).
Пусть а = х, у — разность прогрессии. Тогда b = х + у,
с = х + 2у. Для того чтобы f (х), f (х + у), f (х + 2г/) состав-
ляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно,
чтобы для любых х9 у £ R
f(x) + f(x + 2y) = 2f(x + y).	(17)
65
Дифференцируя обе части (17) по у при фиксированном х, по-
лучим
Л(* + 2</)-2==2/'(х + У)	(18)
(производная f (х) равна 0 как производная постоянной).
Равенство (18) справедливо для любых х, у £ R, так как
х можно было зафиксировать произвольно. Положив в (18)
х = —у, получим
7'(г/) = /'(0)
для всех у £ R. Обозначим f' (0) через k.
Таким образом, производная функции f (х) постоянна;
f (х) = kx + I,
Проверка показывает, что линейные функции f (х) = kx +
+ I при произвольных k, I £ R удовлетворяют условию
задачи.
Упражнения
4.	Найти решение функциональных уравнений в классе функций, име-
ющих производные:
а)	Ш*)) = Ш + х;
б)	f (ху) = f(x) + f (у), D (f) = ]0; оо[.
5.	Решить функциональное уравнение
/ (2х) = 2/(х)
в множестве функций типа R Л, имеющих непрерывную производную
во всякой точке х £ R.
6.	Что можно сказать о дифференцируемой функции f (х), если ее про-
изводная — периодическая функция?
7.	Решить уравнение
f (b + 6) = z?2f (х), £=Н=0; 1,
в классе функций, имеющих непрерывные производные II порядка.
8.	Найти все дифференцируемые функции f : R R, для которых
f (1) = 1 и при любых х, у £ R выполняется равенство
f 4- у) = f (х) + f (у) + ху.
3. Метод Коши
Метод, с помощью которого решено уравнение аддитивнос-
ти в классе непрерывных функций (см. с. 7), является одним
из немногих общих методов решения функциональных урав-
нений. Он может быть успешно применен к решению широко-
го класса уравнений, в частности,
/(* + у) = f(x)- f(y),
f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x) - f(y),
66
f(x + y) = f(y)-f(x)^№,
f(x + y)~f(x)'"^,
f(x I M_ Ш + Ш
Г(Х±У)~ , _ f (x) .f ,
f (r J- tA —	H*) - f (У)
f(x + y)- f(X) + f(y)
и др. Этот метод часто называют методом Коти. Он применим
для нахождения непрерывных решений функциональных урав-
нений. Сущность его заключается в следующем. Решение с по-
мощью специально подобранных подстановок ищется после-
довательно для натуральных, рациональных значений аргу-
мента х, затем предельным переходом — для положительных
действительных х и, наконец, распространяется на все дей-
ствительные значения аргумента.
Задача 8. Найти все непрерывные функции, для которых
f (X + г/) = /(x) + f(tz) +/(%)/(//).	(19)
Предположим, что существует непрерывная функция, оп-
ределенная на всей числовой прямой, удовлетворяющая (19).
Заменяя у последовательно на х, 2%, 3%, ... получим:
f (2х) = 2/ (х) + /2 (х) = (f (х) + I)2 - 1,
f (Зх) = 3/ (х) + З/2 (х) + Р (х) = (f (х) + I)® - 1,
f(4x) = (f(x)+l/-l,
Методом математической индукции убедимся в том, что
f (пх) = (/(х) 4-1)" — 1	(20)
для п g N, х £ R. Действительно,
f ((п 4- 1) х) = f (х 4- пх) = f (х) 4- / (пх) 4- f (х) f (пх) =
= f(x) + (f(x)+ 1)" - 1 + f(x)((f(x) 4- 1)" - 1) =
= (/(x)4-l)"+1-l.
Итак, (20) выполняется для всех действительных х и натураль-
ных п. Далее, положив в (20) х = 1 и обозначив f (1) = а,
получим
f(n) = (a+ 1)"-1.
Заменяя в (20) х на —, т £ N, п g N, получим
= (/ (4) +
67

1
Кроме того, f(tn) = (а 4- I)"1—1. Отсюда, учитывая, что 1
1 4- / (х) = (1 4- / (“г))2 > °> имеем	i
т
f(v) = <“+1)"	i
Итак, для	положительных рациональных	х решением (19)	j
является	j
f(x) = (a+l)*-l.
Пусть теперь х — любое положительное иррациональное
число. Из школьного курса математики известно, что сущест-
вует последовательность положительных рациональных чи-
сел ги г2, ..., гп, сходящихся к нему. Только что было до-
казано, что
/(г^(1 4-а)г‘—1,
/(r2) = (1 + ар—1,
/(rn) = (1 4-а)гп—1,
Последовательность (/ (гп)) сходящаяся, так как lim гп = х,
П-*оо
а [ (х) — непрерывна. Имеем
lim7(r„) = lim/(r„) = f(x).
,,^оо	гп-*х
Так как показательная функция (1 4- а)х непрерывна, то
lim ((1 4- а)Гп — 1) = (1 4- а)х — 1.
П -> оо
Здесь и выше использована теорема 2 приложения. Итак,
f (х) = (1 4- а)х — 1, х > 0, х € «. Ввиду того, что область
определения f (х) содержит 0 и отрицательные числа, то пола-
гая в (19) х = 0, найдем
f (у) = /(0)4- Ш 4-7(0) f(y),
т. е. либо / (у) '=s —1, либо / (0) = 0.
При у = —х, х > 0, из (19) получим
0 = /(x-x) = /(x)4-/(-x)4-/W/(-x) =
= (1 4- а)х — 1 4- /(- х) 4- ((1 4- a)* - 1)/(-х) =
= (1 4-«)*—1 4-/(—х)(1 4-а)*.
Отсюда
х>0-
68
Итак, f (х) = (1 + а)х — 1 или f (х) = —1. Непосредственной
подстановкой убедимся, что эти функции удовлетворяют урав-
нению (19):
-1=(- 1) + (-1) + (- 1)(- 1)
и
(1 + а)*— 1 + (1 + а)у— 1 + ((1 + а)х — 1)((1 + а)у— 1) =
*= (1 + а)х + (1 + а)у - 2 + (1 + а)х+у - (1 + а)х -
-(1 + а)у+1^(} + а)х+у-1.
Упражнения
9.	Решить в классе непрерывных функций следующие функциональные
уравнения:
а)	/ <х + у) = f (у) • f (x)'-ln IM, D(f) — R;
б)	f (х + у) =	, D(f) = ]0; со[;
/ W + f О/)
в)	f(x + y) = f(x)'n^ , D(f) = R;
г)	f {х + у) = axyf (х) f(y), а > О, D (f) = R.
10.	Решить функциональное уравнение
f(x + y) = f(x) + f(y)+xy
на множестве функций f : R -> R, непрерывных в точке х — 0.
Основные идеи метода Коши использованы при решении
следующей задачи.
Задача 9*. Найти непрерывные функции	Я+, пе-
реводящие члены арифметической прогрессии
х, х + у, х + 2у
в соответствующие члены геометрической прогрессии
f (х), f (х + у), f (х + 2у).
Используя характеристическое свойство геометрической
прогрессии, получим функциональное уравнение
(f(x + ytf = f(x).f(x + 2y).
Заменой х -> х — у оно сводится к уравнению Лобачевского
(см. введение):
(/(x))2 = f(x-z/)/(x + z/).	(21)
Применяя подстановку х -> у -> -у- и обозначая f (0) — а,
а=£0, и /(1) = 1>, Ь^О, получим f(x)f(O) =	откуда
f (-f) = /TO	(22)
69
При х = 1,	отсюда последовательно получим:
? (~г) = ^^0) = V"ab = ас~, с = 4-»
= ас4,
acin, nQN.
Покажем, что
2fe—1
ас 2п при k£N, n£N. Вначале
2k__i
проведем индукцию по п для правильных дробей вида -п -
при фиксированном k. Если п — 1, то k
= Vaf(l) = Vab = ас2 . Предполагая справедливость равен-
2Л—1
€тва f = ас 2п 9 покажем, что оно выполняется для
\ 2п /
' „ 2k — 1
дробей вида :
2 А?— 1	2^~~1
аас 2 == ас
Теперь убедимся, что соотношение имеет место при произволь-
ном k g N. При k = 1 оно уже доказано. Пусть оно выполня-
ется для правильных дробей вида где s — нечетно, s
2k — 1. Тогда оно имеет место для 2fe~^~1.
2"
Действительно, полагая в (21) х =	, у =	, получим
или
1	2А?+2
ас 2П = а2с 2П
2п /
если k + 1 — четное число, то дробь можно сократить).
70
Итак
2А+1
Z(^)=aC2"- (23>
Пусть теперь х — произвольное действительное число
из промежутка [0; 1]. Оно представимо в виде бесконечной
десятичной дроби
х = 0, ад ... ап ... =-^4--^+ ... +-^-+ •••>.
где at = 0, 1,	9 (z‘ = 1, 2, и, ...).
Аналогично действительное число х £ [0; 1] можно запи-
сать в виде
х =	4- — 4- • • • + — + • • •
2	22	‘	“ 2п ~
где pi = 0; 1 (i = 1, 2, п, ...). Эту запись называют разло-
жением х в двоичную дробь. Число х является пределом после-
довательности ее «двоичных приближений»:
г —	Pi Y ______ Pi	I	Р2 х =
Л1	2	* Л2 2	*	22	> • • • *
— Pi I ^2 .1 .. . । Рп
~ 2	22	2п ’ ” * *
Легко заметить, что хп можно представить в виде
Используя непрерывность функций f (х) и переходя
к пределу в обеих частях (23), получим
f(x) = f (lim xn) = f (lim 4“) = lim f (-5И =
n-froo	\n-*oo 2	/ n-*oo \ 4	/
lim xn
= lim ac 2n = lim acxn = acn'*’x> = ac*,
n->00
t. e.
f(x) = a£x, xGlO; 1].	(24)
Пусть теперь x£[l; oo[. Очевидно, найдется такое n,
что 4^^'	(22) последовательно
2
имеем
3 1
2М-1—1	1
1 *	тг~
2П 2п
...=а f (х).
71
Отсюда, используя (24),
2_J------------------------------
й2С2"=а	2"Р«(Д
или, возводя обе части в степень 2", получим для всех х О
f (х) = ас*.
Положив в (21) х = 0, получим для у > О
f (У)	— (О))2 = а\ f (- у) =	= ас-у.
Таким образом, если существуют функции, удовлетворяющие
условию задачи, то они имеют вид f (х) = асх, х £R.
Подставляя найденные функции в (21), увидим, что они
в самом деле удовлетворяют уравнению при произвольной
константе а.
Упражнения
11.	Решить уравнение (21) в классе непрерывных положительных
функций путем приведения к одному из уравнений Коши.
12.	Найти непрерывные функции, обладающие следующим свойством:
для любых двух точек значение от среднего арифметического этих точек
равно среднему арифметическому значений функции в каждой точке.
Соответствующее функциональное уравнение рекомендуем решить
двумя способами: приведением к уравнению аддитивности и методом,
использованным при решении задачи 9.
13.	Решить в классе непрерывных функций уравнение
f(x + у) = f (х) / (у) -/1-(Ш)2 •	D (/) = R.
4*. Цикличность и непрерывность
В предыдущих параграфах неоднократно рассматривались
решения функциональных уравнений вида
Г(х)=х	(25)
таких, что fk (х) у= х при k < и. Как следует из § 4, эти реше-
ния являются образующими элементами циклических групп
n-го порядка.
Так, функции1—х2, х С [0; 1]; а — х являются
образующими элементами циклических групп второго порядка.
1	3 / Г"
Функции » х #= 0; 1/ 1-------js" , *	1, порождают цик-
лические группы третьего порядка. Циклическая группа с об-
X ~	1
разующим элементом р-ру, х #= 0; 1, имеет четвертый порядок.
В § 4 указаны решения уравнения (25) при любом п g N.
72
Конечно, обращает внимание на себя то, что среди приве-
денных решений при п 3 нет ни одной непрерывной функции.
Оказывается, бесполезно искать непрерывные решения урав-
нения (25) для п 3.
Докажем это утверждение.
Пусть g (х) — непрерывная на некотором промежутке А
функция, g : А -> Л, gm (х) = х. Тогда из равенства g (х) =
== g (у) вытекает х = g,n (х) = gm (у) = у, т. е. для произ-
вольных х, у £ А из х =£ у следует g (х) =7^ g (у). Поэтому
функция g (х) является либо строго возрастающей, либо стро-
го убывающей на А (см. приложение, теорема 5). Если g (х) —
возрастающая, то, предполагая, что g (х0) > х0, х0 £ Л, по-
лучим х0 < g (х0) < g1 2 (х0) < ... < gm~x (х0) < gm (х0) = х0,
что невозможно.
Аналогичный результат имеет место, если найдется такая
точка Xjl g А, что g (хх) < хР Итак, g (х) = х для всех х g Л,
а тождественная функция х порождает циклическую группу
первого порядка.
Пусть теперь g (х) — убывающая на Л функция, тогда из
неравенства х < у вытекает g (х) > g (у), g2 (х) < g2 (у)*
т. е. функция h (х) = g2 (х) = g (g (х)) является возрастаю-
щей. Для этой функции h!n = (g2)m = (gm)2 = х о х = х.
Выше было доказано, что если gm (х) = х и g (х) — строго
возрастающая функция, то g (х) == х. Поэтому h (х) = g2 (х) =
= х, g (х) — образующий элемент циклической группы вто-
рого порядка.
§ 7.	НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
1. Аксиоматическое определение элементар-
ных функций
В предыдущих параграфах решен целый ряд функциональ-
ных уравнений. Часто решением уравнения являлась вполне
определенная функция. Например, единственным решением
уравнения
х/(х) + 2х/(-х) = -1,	=	(1)
является функция Возникает мысль определить обратную
пропорциональную зависимость как решение функционально-
го уравнения (1). По существу, уравнение (1) является харак-
теристическим свойством функции f (х) = -i-. Идея указания
набора характеристических свойств, полностью определяющих
7а
функции, составляет содержание аксиоматического мето-
да определения функций. Так, для показательной функции
/ (х) = ех совокупность характеристических свойств состоит
из функционального уравнения
f (х + у) = f(x) f(y),	(2)
условия монотонности при всех х £ R и равенства f (1) = е.
В самом деле, как было показано (см. с. 16), монотонными
решениями (2) являются функции f (х) = 0, f (х) = ах (а > 0).
Ввиду условия f (1) = е, обеспечивающего единственность
решения (2), получим f (х) = ех.
Характеристические свойства, полностью определяющие
функции, принято называть аксиомами. В системе аксиом,
принимаемых в качестве определения функций, важнейшей
аксиомой является функциональное уравнение. При этом су-
ществование его решения постулируется, а основным содер-
жанием аксиоматического метода определения функции яв-
ляется доказательство единственности этого решения, а также
исследование свойств определяемой функции.
В качестве примера приведегл аксиоматическое определение
одной из тригонометрических функций.
В средней школе тригонометрические функции изучаются
на основе их геометрического определения. Приводимое ниже
определение функции cos х строится чисто аналитическими
средствами, независимо от геометрии. Для определяемой функ-
ции будем употреблять термин «аналитический косинус».
В дальнейшем установим эквивалентность аналитического
косинуса и функции cos х, определяемой геометрически.
Определение. Аналитическим косинусом
называется функция:
а)	непрерывная при всех действительных х;
б)	удовлетворяющая функциональному уравнению
f(x + y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)-,	(3)
в)	принимающая в точке нуль положительное значение;
г)	обращающаяся в нуль при некотором положительном
значении х = с таком, что / (х) у= 0 при 0 < х <с.
Из этой системы аксиом можно вывести целый ряд свойств
аналитического косинуса.
Свойство!, f (0) = 1.
Положив в (3) х = у = 0, получим f (0) = /2 (0), и так как
/ (0)>0, то/(0) = 1.
Свойство 2. f (х) — четная функция.
Это следует из (3) при х = 0 с учетом свойства 1.
Свойство 3. Функция f (х) периодическая с наименьшим
положительным периодом 4с.
74
Прежде всего покажем, что
/(2с + х) = -/(%).	(4)
Действительно,
/(2с + х) + /(х) = /((с + х) + с) +
+ /((с + х) —с) = 2/(с + х)/(с) = 0.
Отсюда, в частности, имеем
/(2с) = —/(0) = —• 1.	(5)
Далее, число 4с является периодом / (х), так как
/(4с + х) = /(2с + (2с + х)) = —/(2с + х) = /(х).
Предположим, что положительное число I, меньшее 4с, явля-
ется периодом /(х). Тогда /(/) =/(0 +/) =/(0) = 1. Из (3/
при х = у = 4j- получим /(/) + /(0) = 2/2 (4) , откуда
^(4-) = * ?(4-) = ±1-
Допустим вначале, что / (4) = 1, тогда, в силу (5),/(2с) 4-
+ / (4) = 0. Из уравнения (3) при х = с + 4 и у = с —
—4 последовательно применяя (4) и свойство 2, имеем
/ (2с) + / (4) = 2/ (с + 4-) / (с - 4-) =
= 2/(2с-(с-4))/(^-7г) =
е _ 2/ (- (с - 4-)) / (с - 4-) = - 2 (/ (с - 4J.
Следовательно, f[c---= 0 при 0 < с —< с, что про-
тиворечит аксиоме г).
Если же / (4j — — 1 > т0> полагая в (3) х = у = 4 , на-
ходим / (4) + f (0) = 2/2 (4) ’ 0ТКУда f (4) ~ что снова
противоречит г).
Свойство 4. Функция f (х) ограничена, | / (х) |	1
при всех х £R.
Допустим, что при некотором х = а | / (а) | > 1, тогда
из (3) при х — с + а, у — с — а получим
2/ (с + а) / (с - а) = / (2с) + / (2а) = - 1 + / (2а).
75
Но /(2а) = f(a + a) + f(a — а) — 1 « 2/2(а) — 1. Поэтому
/ (с + a) f (с — а) = /2 (а) — 1 > 0. Кроме того, в силу (3) и (4),
f(c — a)f(c + a)^f(2c — (c + a))f(c + a) = —(f(c + а))2< 0.
Полученное противоречие доказывает свойство 4.
Свойство 5. Функция f (х) положительна в промежут-
ке [0; с[.
Это свойство вытекает из того, что / (0) > 0, / (х)	0 в
промежутке [0; с[, и следующей теоремы математического
анализа, принадлежащей Коши.
Пусть функция f (х) определе-
на и непрерывна на промежут-
ке [а; Ь] и на концах этого про-
межутка принимает значения
разных знаков. Тогда между а и
Ь найдется точка t, в которой
функция обращается в нуль.
Доказател ьство теоремы приведено в приложе-
нии. Она имеет очень простой геометрический смысл. График
непрерывной функции состоит из одного куска; одна из его
точек лежит ниже оси абсцисс, а другая выше, и поэтому на
графике должна быть точка, где он пересекает эту ось (рис. 7).
Конечно, нужно иметь в виду, что геометрическая интуи-
ция не заменяет доказательства.
В силу аксиомы г) число с — наименьшее положительное
значение, при котором / (х) = 0. Если предположить, что
/ (и) < 0, 0 < и < с, то в силу теоремы Коши на интервале
10; и[ нашлась бы точка t (0 < t < с) такая, что / (/) = 0.
Упражнения
1. Доказать, что для аналитического косинуса / (х) имеет место форму-
ла деления аргумента пополам:
2. Доказать, что если f (х) — аналитический косинус, то
Установлено ряд свойств аналитического косинуса как
следствия аксиом а) — г). Следующее свойство доказывает,
что различные способы задания функции cos х равносильны,
поскольку они не могут привести к различным функциям,
обладающим данными характеристическими свойствами.
Свойство 6. Не существует двух различных функций
fi W и fi (х)> удовлетворяющих при данном с условиям а) — г).
76
При доказательстве свойства используется метод решения
задачи 9, § 6.
Предположим, что существуют функции (х) и f2 (х),
(х) f2 (х), удовлетворяющие аксиомы а) — г) при данном
с. Покажем, что если Д (х) и f2 (х) совпадают хотя бы при одном
значении х = а, отличном от нуля, то они совпадают при всех
значениях х. Этого достаточно для доказательства свойства,
так как h (2с) = f2 (2с) = —1 в силу (5).
Из (3) при х = у = а для каждой из функций ft (х) и f2 (х)
имеем
А (2а) = 2/1 (а) - 1; f2 (2а) =* 2fl (а) - 1.
Но так как (а) = f2 (а), то /х (2а) = f2 (2а).
Методом математической индукции легко показать, что
/1 («“) = /2 (««)	(6)
при всех п С N. После подстановки в (3) х = у = -у по-
лучим
/Д«) +/ДО) = 2/?	, 1=1,2,
откуда /1 0^-) = /г (-у) . Можно считать, что 0 •< а < 2с, так
ЧТО fl (-у) > О, i == 1, 2, поэтому
г / а \ _ г / а \
'ЦТ)	’
Итак, если 0 < I 2с,	(а) = /2 (а), то
г / а \ _ £ / ос \
/1.	— /2 ^у| •
Применяя это утверждение т раз, по индукции получим
£ / ОС \	£ / ОС \
flvf) = ("Fr m^N‘
Отсюда, используя (6), получаем
f ( па \ _ f ( па \	,7Х
п £ N, m£N. Это равенство справедливо и при п = 0,
так как h (0) = f2 (0) = 1.
Далее, в силу четности ft (х) и f2 (х)
77
Таким образом, равенство (7) выполняется для всех т £ N,
ti £ Z.
Пусть теперь х — произвольное действительное число,
а — отличное от 0 число, для которого (а) — f2 (а). Разло-
жим — в бесконечную двоичную дробь и составим последова-
тельность	ее двоичных приближений; =*
=
*—оо 2m*
В силу (7)
fi(—a\ = f2(-^-a\, fe = l, 2............. (8)
\ 2^k	)	12 \ 2mk Г	'	v
Так как f± (х) и f2 (х) — непрерывные функции, то
J™ a (“йг а)= fi (vа)= w* 1 =1 •2-
Переходя к пределу в (8), находим
fi (х) = /2 (х).
Свойство доказано.
Нетрудно проверить, что функция cos х, определяемая
в школе геометрически, удовлетворяет аксиомам аналитичес-
кого косинуса при с = Действительно,
a)	cos х непрерывен при всех х £ Я;
б)	соотношение (3) вытекает из теоремы сложения;
в)	cos 0 = 1 > 0;
г)	cos -£- = 0, cos х у= 0 при 0 < х <
На основании свойства 6 заключаем, что при с = ана-
литический косинус совпадает с геометрическим. Заметим,
что при произвольном с > 0 аналитический косинус совпадает
с функцией cos (-у- х).
2. Закон сложения сил
Из курса физики известно, что силы складываются по пра-
вилу параллелограмма. Открытие этого правила связано с име-
нем Леонардо да Винчи.
Правило параллелограмма и сейчас выступает в качестве
одной из аксиом статики — раздела механики, изучающего ус-
ловия равновесия материальных тел под действием сил.
Приведем основные аксиомы статики.
78
1.	Точку приложения силы можно переносить вдоль линии
ее действия.
2.	Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно
заменить одной силой (равнодействующей), приложенной
в той же точке, причем вектор этой силы равен геометриче-
ской сумме векторов данных двух сил.
3.	Если на тело действуют две силы и оно находится в рав-
новесии, то эти силы имеют общую линию действия, равны
по величине и направлены в	$
противоположные стороны.	р Л. f
Вторая аксиома издавна	/у/ \
привлекала внимание своей	\
сложностью. Поэтому пред-	1
принимались попытки вывести
ее из более простых положе-	/	2
ний. Одновременно выяснил-	J А
ся вопрос о существовании	xv
другого правила сложения 4
сил, не противоречащего ос-	Рис 8
тальным аксиомам.
Изложим схему одного из возможных обоснований закона
сложения двух сил (или в геометрической интерпретации, двух
векторов), основанного на решении функционального урав-
нения. Ограничимся рассмотрением равных по величине сил.
Вместо аксиомы 2 будем исходить из следующих более
простых утверждений.	__
А) Две равные по величине силы, приложенные в одной
точке, имеют равнодействующую (т. е. сумму), приложенную в
той же точке и направленную по биссектрисе угла, образован-
ной данными силами. При этом, если Р — величина каждой из
сил, 7? — величина равнодействующей, 2х — величина угла
между силами, то
7? = 2Р/(Д	(9)
где / (х) — некоторая непрерывная функция от величины угла.
В) Сложение сил коммутативно, ассоциативно.
С) Пусть а, b — силы, имеющие общую линию действия,
|а|, \Ь\ — величины этих сил. Тогда если |а|>|Ь|, то направ-
ление а + b совпадает с направлением а, причем | а + b | =
==|а| +|И если а И b одинаково направлены и \а + b | =
= | а \ — | b |, если а и b имеют противоположное направление.
Если же |а| —1&|, а и b противоположно направлены, то
а + b = 0; | а + b | = 2| а | при одинаково направленных а и Ь.
79
• Пусть к точке О приложены четыре равные по величине
силы ОР., ОР2, OPS, ОР^ (рис. 8). Причем | ОРХ | = 10Р21 =
= | ОР31 = | 0Рл |, где | ОР{ | — величина силы Р.ОР2 «
= Р3ОРь = 2у, Р2ОР3 == 2 (х — у). Равнодействующая OQ.
для сил ОРХ и ОР2 направлена по биссектрисе угла Р.0Р2.
Аналогично OQ2 = OPS + ОР4.
В силу (9), | бфх | = | OQ21 = 2Р? (у). Заметим, что Qx0Q2 в
>= 2х. Тогда
I OR | = | 0Qx + 0Q21 = 2| OQ. \f (x) = 4Pf (y) f\x).
Используя коммутативность и ассоциативность сложения
сил, имеем
I OR I = |OQX + 0Q21 = |(бРх + OP2) + (0Pa + 0Pt)\^
^\(OP1 + tPi) + (pP2 + OPs)\.
Силы OR. = OP. + 0P4 и 0R2 — OP2 + OP3 имеют общую
линию действия — прямую, на которой лежат биссектрисы
углов Р.ОР. и Р2ОР3. Поэтому
| OR. + OR21 = I OR. I + 10R21 = 2Pf(x + y) + 2Pf(x-y).
Приравнивая полученные выражения для | 07? | и сокращая 1
на 2Р, имеем	/
f(x + y)+f(x — у) — 2f (х) f(y).	J
Получили функциональное уравнение, которое фигуриру-
ет в определении аналитического косинуса. Нетрудно прове-
рить, что выполняются и остальные аксиомы этого определе-
ния. В самом деле, непрерывность функции f (х) предусмотре- J
на утверждением А). Для ненулевых сил, совпадающих по 1
величине и направлению, равнодействующая равна 2Р (см. ут-	1
верждение С)). По формуле (9) R — 2Pf (0). Отсюда f (0) =	1
= 1 > 0.	]
Наконец, в силу аксиомы статики 3 и утверждения С) i
f = о и f (х) Ф ° при 0 < х <.	j
Отсюда заключаем, что f (х) = cosx. Таким образом, форму- ]
ла (9), выражающая закон сложения двух равных по величине 1
сил, составляющих между собой угол 2х, принимает вид |
/? = 2Pcosx.	(10)	5
80	. |
Из формулы (10) следует, что четырехугольник О А ВС, обра-
зованный двумя приложенными к одной точке силами ОА и ОС
(равными по величине Р) и отрезками, соединяющими их кон-
цы с концами равнодействующей ОВ, будет ромбом (рис. 9).
Таким образом, установлен закон параллелограмма для сло-
жения равных по величине сил.
Предлагаем распространить полученное правило парал-
лелограмма сложения сил на произвольные силы. Целесооб-
разно вначале рассмотреть случай, когда силы ОР и OQ пер-
пендикулярны (рис. 10), затем перейти к общему случаю
(рис. 11). Необходимые построения приведены на рисунках.
3.	Скалярное произведение векторов
Важное место в геометрии занимает понятие скалярного
произведения векторовх. Известно, что результатом скаляр-
ного умножения векторов а и b является число
а • b = | а | • | b | cos (а, Ь).
Это действие над векторами обладает рядом полезных свойств,
из которых выделим следующие:
1)	с • (а + Ь) = с • а + с • Ь\
2)	(аа • Ь) = а (а • Ь) — (а • ab), а С Я;
3)	скалярное произведение векторов не меняется при по-
вороте пространства на произвольный угол 1 2.
1 Предполагаем, что векторы выходят из одной точки.
2 Поворотом пространства относительно оси на данный угол называет-
ся операция, которая состоит в повороте каждой точки плоскости, прохо-
дящей через эту точку и перпендикулярной оси, на данный угол около точки
пересечения этой плоскости с осью.
81
£________ Возникает вопрос, нельзя ли ина-
V___» А	че определить операцию над вектора-
V	/ ми, результатом которой было бы чис-
\	~ /	ло и К0Т0Рая удовлетворяла бы свой-
—\-Jii/	ствам 1) — 3). Оказывается, что с точ-
рис. 12	ностью до положительного множителя
такая операция определяется одно-
значно. Доказать это можно с помощью функционального
уравнения.
Предположим, что результатом операции над векторами а
и b является число (a, b) g 7? и операция обладает свойствами
1) — 3). Из свойства 3) вытекает, что (а, Ь) « (Ь, а). Это
можно получить поворотом пространства на угол л вокруг
биссектрисы угла между а и Ь.
Обозначим еа = -А-, еь —	---единичные векторы в на-
I а I IИ
правлении ненулевых векторов а и Ь. Тогда, согласно свойст-
ву 2),
(а, Ь) = |а| • |Ь| • (еа, еь).	(11)
Из свойства 3) следует, что результат операции (а, Ь) зависит
только от длины векторов а и b и угла (а, Ь) — (еа, еь).
Предварительно покажем, что если а _1_ Ь, то (а, Ь) = 0.
Действительно, произведя поворот перпендикулярных век-
торов а и b вокруг b на угол л, получим два вектора (—а),
Ь. Тогда из 2) и 3) вытекает
(а, Ь) = (— а, Ь) — — (а, &), т. е. (а, Ь) =. 0.
Обозначим
(X. ^) = /(ф),	(12)
где <р = (еа, еь). Пусть elt е2, е8 — три компланарных единич-
ных вектора, такие что
Й. е3) = 2ф, (7Г, е2) = <р — ф
ф — произвольный угол из промежутка 0;
(рис. 12).
82
Тогда
X) = <Р + •Ф» е2 + е3) = ф.
Используя свойство 1), получим
(elt ~е2 + 73) = (7lt е2) 4- (7Х, ^).
Так как |е2 + I = 2 cos гр, то в силу (11)
(ех, е2 4- 73) = 1 • 2 cos ф • (elt	= 2 cos ф • f (ф).
\ I ег 4* ез I /
Кроме того, (ех, е2) = f (ф — ф), (еь е3) — f (ф 4* ф). Итак,
получили функциональное уравнение
2f (ф) cos ф = f (ф 4- Ф) 4- f (ф — Ф).
Решение этого уравнения имеет вид
f (ф) = k cos ф 4-1 sin ф,
где k = /(0), I = f 0^ (см. задачу 4, § 3).
Показано, что если (а, Ь) = -у , то (а, Ь) = 0. Учитывая
(И) и (12) для этих векторов, имеем ,
(а, Ь) = |а| • |Г| •	,
т. е. I = f = 0. Итак,
f (<р) = k cos ф, (а, b) = k | а 11 b | cos ф.
Пришли к выражению, отличающемуся от обычного скаляр-
ного произведения двух векторов лишь произвольным (но
фиксированным) множителем k.
Упражнения
3.	Косым произведением векторов а и b плоскости называется число
а * b = | а | » | b | • sin (а, Ь}.
Доказать следующие свойства косого произведения:
—> —>	—> —>
1)	а * b = — (Ь * а);
2)	(аа) * b = а * (аЬ) = а (а * Ь);
3)	а * (Ь + с) — а * b + а * с.
83
4. Пусть некоторая операция, ставящая каждой паре векторов а и о
плоскости в соответствие число а 0 Ь, обладает свойствами 1) —3) упраж-
нения 3, причем, если а и b поворотом плоскости переводятся в векторы
а1 и ^1, то
а ® b =	® Ьр
Доказать, что эта операция с точностью до постоянного множителя совпа*
дает с косым произведением векторов.
§ 8. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Среди функций, изучаемых в средней школе, можно выде-
лить функции, для которых областью определения является
множество всех натуральных чисел (их называют бесконеч-
ными числовыми последовательностями) или же множество
чисел 1, 2, ..., п (конечные последовательности, содержащие
п членов). К числу таких функций относятся, например, ариф-
метические и геометрические прогрессии, последовательность
кубов натуральных чисел I3, 23, З3, ..., п3, ..., последователь-
ность ....	и т. д. Для двух последних функций
легко указать формулу общего члена, т. е. задать функции
с помощью формул
f(n) = n3,
Однако прогрессии, да и другие последовательности, зачастую
задаются с помощью рекуррентных соотношений, т. е. с помо-
щью формулы, которая выражает n-й член последовательнос-
ти через предыдущие. Например, для арифметической прогрес-
сии ап = ап^\ + d, где d — постоянное для данной прогрессии
число. Аналогично, ап = an^q для геометрической про-
грессии. Рекуррентно задается известная последовательность
1, 1, 2, 3, 5, 8, ... чисел Фибоначчи (здесь ап = ап^ + ^-2).
При этом следует указать необходимое количество первых
членов последовательности, чтобы иметь возможность восполь-
зоваться рекуррентным соотношением. В арифметической и
геометрической прогрессиях достаточно указать первый член,
а для последовательности чисел Фибоначчи — два.
При задании последовательности рекуррентным соотноше-
нием, естественно, возникает задача об отыскании формулы
для n-го члена, т. е. выражения для функции f (п). Фактичес-
ки речь идет о решении функциональных уравнений, где
неизвестные функции определены на множестве натуральных
чисел.
Если запишем рекуррентное соотношение для последова-
тельности чисел Фибоначчи в виде f (п) = f (п —1) + f (п —
— 2), получим привычную форму функционального уравне-
84
ния. Решив его при условии, что f (1) = f (2) == 1, найдем
формулу общего числа последовательности.
Укажем некоторые приемы решения функциональных урав-
нений натурального аргумента, имеющие вид рекуррентных
соотношений Ч
Один из самых распространенных методов нахождения
решений заключается в том, что, вычисляя значение искомой
функции от нескольких первых чисел натурального ряда (при
этом используется рекуррентное соотношение), пытаются
заметить вид искомой функции, а затем убеждаются в спра-
ведливости догадки с помощью метода математической индук-
ции. Именно так выводятся формулы для n-го члена арифме-
тической и геометрической прогрессий.
Задача 1. Найти формулу n-го члена последовательности*
заданной рекуррентным соотношением f (п) = 3/ (п — 1) —
—2/ (п — 2), если f (1) = 3, f (2) = 7.
Последовательно находим:
/(3) = 3/(2) — 2/(1) = 15,
/(4) = 3/(3) — 2/(2) = 31.
Уже можно высказать предположение, что
/(n) = 2”+1 — 1.	(I)
Докажем его справедливость, используя метод математичес-
кой индукции. Имеем / (1) — 3 = 21 2 — 1. Предположим, что
/ (k) = 2*+1 — 1 для k < п, тогда, согласно рекуррентному
соотношению,
/ (П) = 3/ (п — 1) — 2/ (п — 2) = 3 (2” — 1) — 2 (2'1-1 — 1) =
= 2n+1 — 1.
Итак, утверждение (1) справедливо для всех натуральных
чисел.
Задача 2. Найти / (n), п g N, если
Уравнение имеет смысл при натуральных п> 1, так как
/ (0) по условию, не определено. Если п = 2, то 2/,2>-1 =
= 1W). Отсюда / (2) = 1, / (1) = а, где а £ R. Взяв последо-
вательно п = 3, 4, 5, получим:
3ДЗ)-1 = 2Д2). f (3) = 1(jgg 2 + J = 10gg 6.
1Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. Попу-
лярные лекции по математике. Вып. 1. М.: Наука, 1975. 48 с.
85
4Z(4)~' = 3Z(3); 4Z(4)—1 = 310S’6; f (4) = log4 6 4-1 = log, 24;
5/(5)-l = 4/(4). 5/(5)-l = 4log4 24. j (5) = log5 j20
Естественно высказать предположение, что
f(n)=log„nl, л>1.
При n = 2 имеем f(2) = 1 = log2 21. Далее, (n 4- l)z(n+1)_I =
_ n,osnnl — п\. Отсюда
/(«+!)= log,1+i n! 4- 1 = logn+i (n 4- 1)!.
Итак, решение задачи 2 имеет вид: f (и) = log„ n! при
n > 1, f (1) = а, где a — произвольное действительное число.
Упражнение
1.	Найти f (п), n^N, если
a)	/(n)=2/(n-l)-Hn-2), /(1) = 2, f (2) = 3;
б)	f(n)=(a+p)/(n-l)-a₽f(«-2), Hl) = «4₽. f(2)=a2 +
+ a₽ + ₽2-
Приведенный метод нахождения решения функционально-
го уравнения требует умения «угадывать» выражение для
функции по нескольким ее значениям. Некоторые типы функ-
циональных уравнений, где неизвестная функция определе-
на на множестве натуральных чисел, можно решить методом,
аналогичным рассмотренному в § 6.
Задача 3. Найти функцию f (п), определенную для нату-
ральных значений п и удовлетворяющую условию
/(n) = f(n— l) + a", aQR.
Для натуральных чисел 2, 3, ..., п имеем
f(2) = /(l) + a2,
f(3W(2) + a3,
f(n) = f(n— l) + a\
Складывая эти равенства, получим f (п) = k + а2 + а3 + ...
... + ап, где k = f (1). Отсюда
(< . а2 (ап"~] — 1)	, т
r z ч \k Н----1----т—-, если а =И= 1»
(k + п — 1, если а = 1.
Проверка показывает, что найденная функция является реше-
нием задачи 3 при произвольном k 6 В.
Использованный в задаче 3 прием применим для решения
В6
функциональных уравнений вида
«/(«) = f(«— 0 + g(n).
где п > 2, а — некоторое действительное число, g (п) — из-
вестная функция.
Упражнения
2.	На сколько частей можно разделить поверхность шара плоскостями,
проходящими через его центр, при условии, что никакие три плоскости не
проходят через один и тот же диаметр?
3.	Найти функцию f (п), определенную для натуральных п 3 и
удовлетворяющую условиям:
6
/(3) = 1.
(к данному уравнению приводится задача о числе частей, на которые де-
лится выпуклый n-угольник его диагоналями, если никакие три из них
не пересекаются в одной точке).
Для последовательности чисел Фибоначчи очень трудно
отыскать выражение для f (п) по значениям
/(1)= 1, f(2)= 1, f(3) = 2, Ц4) = 3, /(5) = 5, Д6) = 8,...,
хотя рекуррентное соотношение f (n) = f (п — 1) + f (п — 2)
весьма просто. Неприменим и метод, использованный при
решении задачи 3.
Рассмотрим общий метод нахождения функции из рекур-
рентного соотношения вида
f(ri) = af(n— \) + bf(n — 2),	(2)
где а и b — постоянные коэффициенты, не равные одновремен-
но 0, а2 —4Ь.
Обозначим через х, и х2 корни квадратного уравнения
х2 — ах — b = 0.
Возможны 2 случая:
1) х, #= х2. Тогда подставим в (2), согласно формулам Вие-
та, а — xt 4- х2, b = —х,х2. Получим
f (п) = (х, + х2) f (п — 1) — х1х2/ (п — 2).
Отсюда
/ (п) — х2/ (п — 1) = х, (/ (п — 1) — х2/ (п — 2)),	(3)
f (п) — Xif(n— 1) = х2(/(п— 1) — Xif\n — 2)).	(4)
Из равенств (3), (4) видно, что числа
сп = f(n> — x2f(n— 1), п — 2, 3,
87
•образуют геометрическую прогрессию со знаменателем #Х) а
числа
dn = f(n)— Xif(n—1), п — 2, 3,
являются членами геометрической прогрессии со знаменателем
х2. Следовательно, сп = с2хп~2, dn = d2x2~2. Или
f (п) — xzf(n—l) = (f (2) -x2f (1))хГ2,
f (n) - xj (n - 1) = (/ (2) - xj (1)) xp2.
Решая систему уравнений (5) — (6) относительно 1
ных f (п) и f (n — 1), получаем
f (n) = H2)-^(D xn-1 _ m-xxHi.) xn- 4
~ X2
2) Xi = x2. Тогда
f («) — xj (n — 1) = xx (f (n — 1) — xxf (n — 2)),
и числа cn = f (n) — xj (n — 1), n — 2, 3, ..., образуют
метрическую прогрессию co знаменателем xx.
Поэтому f (n) — xj (n — 1) — (f (2) — xj (1)) x"-2 или
f(n) f(n-l) /(2)-x1/(l)
vn	vn— 1	„2
Л]	Л|	Л1
(5)
(6)
неизвест-
(7)
ГСО-
(8)
Равенство (8) показывает, что числа , п — 2, 3, ..., об-
X?
,	f (2) — xJ(l)
разуют арифметическую прогрессию с разностью L-L-L----
Следовательно,
H2). + f(2)-^(l)
f (п) = хГ2 (f (2) + (/ (2) - xj (1)) (n - 2))
= хГ2/ (2) • (n - 1) - хГ7 (1) (n - 2).

(9)
Проверкой нетрудно убедиться, что полученные выражения
(7) при хх Ф х2 и (9) при хх = х2 удовлетворяют условию зада-
чи. Например, обозначив А =	, В =	- »
при подстановке (7) в (2) получим
ЛхГ1 - в Г' - аАхГ2 + «ВхГ2 - ЬЛх?“3 + ЬВхГ3 =
= А (х2 — ахх — Ь) хГ”3 — В (х2 — ах2 — Ь) х'-Г3 = 0.
«8
Задача 4. Найти выражение f (п) для n-го числа Фибо-
наччи.
Имеем
f(n)»/(n-l)+/(n-2), /(1) =/(2) = 1.
Составим уравнение х2— х—1 = 0 (здесь а = b = 1). Era
1 + Кб	1 — /5 -г	.
корни xt — —, х2 =------— • Тогда, согласно форму-
ле (7),
,	1-/5
f (rt) = _____?_____f.i+££?-'_
M J l+/5	1-/5 \	2 J
2	2
,	1+/5
2____
1 + /5	1-/5
2	2
1 /7 1+/5 V ( 1 — /5 V)
<5 Ц 2	(	2
Упражнения
4.	Решить функциональные уравнения (n g N):
а)	Н« + 2)=5Нп+1)-6/(п);
б)	f(n + 2) = 4f(n+l)-4/(n);
в)	/(л + 2)=/(п).
5.	Найти выражение для n-го члена последовательности, заданной усло-
виями
“л+2 — 4ап+1 +Зап = °» ai = 1°, «а = 16-
ПРИЛОЖЕНИЕ
Теорема 1. Пусть хь х2, •••> хп> •••—произвольная последовательность
значений х, имеющая своим пределом число а. Если соответствующая по-
следовательность / (хх), f (х2), • ••» f (xti)> ••• значений функции f (х) имеет
своим пределом число А, то lim f (х) = А.
х-*а
Доказательство. Предположим, что А не является пределом
f (х) при х -> а. Тогда найдется такое е > 0, что для всех 6 > 0 существует
котя бы одно значение переменной х == х' отличнее от а, для которого
| х' — а I < 6, но | f (х') — А | > 8.
Рассмотрим последовательность положительных чисел (6Д), стремящу-
юся к 0. Для каждого 6 = дп найдется такое значение х' = х'п, что | хп —
— а | < но | f (хп) — А | > е. Получим последовательность чисел
Хр х'2> ..., х'п, ..., для которой | х'п — а | < п £ N. Так как 0,
то хп а (по определению предела последовательности). Соответствующая
последовательность значений функции / (xt), f (х^), ..., f (х'п), ... должна
стремиться к Л. А это невозможно, так как при всех п £ N | f (х'п) — А |
8.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 2 (обратная теореме 1). Если lim f (х) = А, то для
х-+а
любой последовательности Хр х2, ..., хп, ... значений переменной х, сходя-
щейся к а (хп=^ а), соответствующая последовательность значений функ-
ции f (хг), f (х2), f (xj, ... имеет своим пределом число А.
Доказательство. Возьмем произвольное число а > 0. По
определению предела функции f (х) существует такое 6 > 0, что для всех х,
отличных от а, удовлетворяющих неравенству | х — а | < 6, выполняется
соотношение | f (х) — А | < 8. Так как последовательность (хп) сходится
к а, то для указанного 6 найдется такой номер N, что для п > N будет вы-
полняться неравенство | хп — а | < 6, а следовательно и | f (хп) — А | <
< 8.
Этим и доказана сходимость последовательности (J (хп)) к А.
Теорема 3, Для всякой функции f(x), непрерывной на промежутке
fa; &] и принимающей на концах этого промежутка значения разных знаков,
существует точка с £ ]а\ Ь[, в которой f (с) = 0.
Доказательство. Для определенности положим f (а) < 0,
a f (b) > 0 (рис. 13). Разделим промежуток [а; 6] пополам точкой -	.
г? г / a, -j- b \ Л	а b
Если f I—£— I = 0, то теорема доказана: с — —-—.
Пусть f (	—j =/= 0. Тогда на концах одного из полученных проме-
жутков функция принимает значения разных знаков, причем на левом конце
отрицательное, а на правом — положительное. Обозначим этот промежуток
[яр dj. С ним поступим точно так же. Обозначим через [я2; ту из поло-
90
вин промежутка, для которой f (а2) < О, f (b2) > 0 и т. д. Получим не-
убывающую ограниченную последовательность точек а < а2 < ...
... ап ...< Ь. Эта последовательность имеет предел с lim ап (см.
П-+ОО
«Алгебра и начала анализа» 9 кл. п. 32).
Покажем, что f (с) = 0. Пусть f (с) > 0. Положим е =	| f (с) |,
тогда для любого 6 > 0 найдется N такое, что | с — ап | < б, но f (aN) < 0.
Следовательно, | f (с) — f (aN) | > | f (с) | > 8, что невозможно, ибо
/ (х) — непрерывная функция (см. теорему 2).
При f (с) < 0 получается аналогичное противоречие из неравенства
Теорема 4. Если функция g (х) непрерывна в некотором промежутке
и в двух точках х— а, х — b (а < Ь) этого промежутка принимает нерав-
ные значения g (а) = А и g (b) = В, то каково бы ни было число С, лежащее
между А и В, найдется такая точка х= с между а и Ь, что g (с) = С
Действительно, пусть А > В, так что А > С > В. Функция f (х) =
= g (х) — С непрерывна на [а; 6] и на концах промежутка имеет разные
знаки. Согласно теореме 3, существует точка с 6 1а; &[, для которой f (с) = О
или g (с) ~ С.
Теорема 5. Если функция g(x) непрерывна на некотором промежутке А
и для любых х,у£Аизх=£у следует g (х) =# g (у), то g (х) является либо
строго возрастающей, либо строго убывающей на А.
В самом деле, пусть g (х) не является ни строго возрастающей, ни строго •
убывающей на А. Тогда найдутся три такие точки Xj < х2 < х3 , что£ (хт) <
< g (*2)', g (*2) > g (x3), либо g (хх) > g (x2), g (x2) < g (x3). В первом слу-
чае для определенности предположим, что g (хх) < g (х3) (рис. 15). Тогда,
согласно теореме 4, для любого числа С, лежащего между g (х2) и g (х3)>
найдутся такие точки сг £ Jxj.; х2[ и с2 £ ]х2; х3[, что£ (сх) = g (с2) = С, а это-
невозможно.
Аналогично рассматривается второй случай.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
§ 1
3.	ах, а < 0. 4. ах, а > 0. Указание. Доказать монотонность
Г W-
7.	Указание. | f (х) — xf (1) | =	1/ (вя) — е„/ (1) |< X
X (M + |f(l) |).
8.	Решение.
§ f (и + у) dy = j (f (ц) + f (//)) du= j / (u) du + f (y) x.
0	0	0
Воспользовавшись формулой Ньютона — Лейбница и правилом замены
переменных в интеграле, получим
х	х+у	х+у	у
f (« + У) du = j f (z) dz = j f (z) dz — J f (z) dz.
P	у	0	0
4). Решение. Правая часть (10) не изменяется при замене л на у и у на х,
поэтому yf (х) = xf (у).
При х 4= 0 f (х) х-1 =а, где а — константа, т. е. f (х) — ах. Из аддитид»
дюсти / (х) вытекает, что последнее равенство справедливо и при х = 0.
§ 2
2. f (х) — ха; f (х) = 0 при х > 0.
,,	( | х Г, х>0, с=/=0;	(	1. *>0:
4* {С)Х ’ X — о- I _Iх 1С’ х<0;	°; 1;	1, Х<0;
’ I 0, х = 0;	I	0, х = 0<
5. Решение. Пусть 8 — произвольное положительное число. Так как
,ф (у) непрерывна при у — yQ, то для выбранного 8 найдется такое > 0,
что	из	|	у — у01 <	следует | (р (у) — Ф (г/0) | < 8. Ввиду непрерывности
f (х)	при	х = х0 для > 0 найдется 6 > 0, что из | х — х01	< о	следует
I	f	(х) — f (х0) I = If (х) — уд I < 6.
IФ (/ М)	— Ф (Уо) I = I Ф (/ (^)) — Ф (/ Ы) I < е.
;92
6.	logfl x, a > 0, a 1; / (x) ~ 0; xc; f (x) ss 0. Указание. Вос-
пользоваться упражнением 5.	j
7.	cx^lnx.
8.	ecx. Указание. Свести к уравнению Коши
Ф (х + у) = <р (х) <р (у).
3 ае\ a£R-t в) 1; г) сх9 е>0; д) х; е) х9,
, ,‘*х“2; х+а; х+1; аех»
аех\ б) с In х; в) х2; г) a sin х.
1.	а) х + а; б)
2.	0,
3.
1.
«.
7.
а) Да; б) да; в) нет; г) да. 3. Нет. 4. Нет.
а) Да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.
6х + 3
—-— . 8. Нет решений.
ох
9.
10.
11.
—т- если х 0;	----—г
а — 1 »	а— 1
^0.
х + /3	/3
f (х) = — 5, если х =& 0.
4х — 15
если х < 0.
12. ~~ х^0.
3(1— х)
; 7 ; б) Я\{2}
4. ft О fi =-----!----,
1 2	— 7х + 5
2
зГ’
—	2х
7)- 6- 7+2'Х¥! ‘
6.
2х — 1
7.	f (х) =
х
а,
3
1та
8.	—
X
16
1
з~’
г-
если х = — 1 (а 6 7?);
1
, если X =--.
3
Л х	1	1
9.	--- , х=£ I; 3;--;--
х—-2	3	2
если
§ 3
§ 4
§ 5

„ х — 3
о fa =-------
1
' 2
— 1
11. а) 4; б) 3; в) 2; г) 4; д) 2; е) 3.
93
(xl xixi + *4 \	2
Xi	Зх^ |, Xf =/= — х4. 15. J~Z~[ ’ х
х3	х4 /
§ 6
“V-	6х	4	х
2. a) ka 4 , k£R; б) k\ в) —-; г) —. 8. —.
5	о	о
4. а) *	*’ в) С I*1 Х* 5* ^Х’
6. f (х) = g (х) + kx, где
периодом, что и f (х), k С R-
/ ь \2
7. с(,+_).сел.
9.	а)	6) -2-;
X
g (х) — периодическая функция с тем же
_ х(*+1)
8- --2--•
») г) /+“
10.	ах -4------, a £R. Указание. Предварительно доказать,
что / (х) непрерывна при любых действительных х.
11.	а\ 12. сх + а.
13. cos сх. Указание. Положить f (1) = cos с.
§ 8
1.	a) f (re) = п + 1; б) а” + а""1? + ...+ аР"-1 +
2.	2 + т (пг — 1), где т — число плоскостей. Решение. Окруж-
ность, по которой m-я плоскость пересекает шар, пересекается каждой из
остальных плоскостей в двух точках и, следовательно, делится на 2 (tn — 1)
частей. По обе стороны каждой из этих частей находятся 2 части сферы, ко-
торые обращаются в одну, если убрать т-ю окружность. Следовательно,
число F (т) кусков сферы при делении ее пг плоскостями на 2 (пг — 1)
больше, чем F (пг — 1) — число делений т — 1 плоскостями:
F(m) — 2(m —	1), F(l) = 2;
F(z») = 2(1 + 1+2 + 3+ -b (m — 1)) = 2 4-m (m — l)j
F (m) == 2 + tn (m — 1).
(re — 1) (re — 2) (re2 — Зге + 12)	.
3.	f (re) -------------—--------------. Указание. 1  2 > 3 +
+ 2 • 3 • 4 + 3 • 4 • 5 + - + n (n + 1) • (re + 2) = 1 • (1 + 1) . (1 +
+ 2) + 2 • (2 + 1) • (2 + 2) + 3 . (3+1) • (3 + 2) + ...+ re (re +
+ 1) (re + 2) = (18 + 28 + ...+ re3) + 3 • (I2 + 22 + ... + re2) + 2 (1 +
+ 2 + ...+ re).
4.	a) cfin + c23n, где clt c2 € R', 6) (c, + c2re) 2”, где clt c2 g R; в) Cj +
+ c2 (-1)", где с,, c2 6 R. 5. 7 + 3".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	А ц е л ь Я. Некоторые общие методы в теории
функциональных уравнений одной переменной.
Новые применения функциональных уравне-
ний.— Успехи мат. наук, 1956, т. 11, 3 (69),
с. 1—68.
2.	В и л е н к и н Н. Я- Комбинаторика. М. :
Наука, 1969. 328 с.
3.	Д о р о ф е е в Г. М. Применение производ-
ных при решении задач в школьном курсе матема-
тики.— Математика в школе, 1980, №5, с. 12—21.
4.	Калужнин Л. А., Сущанский В. И.
Преобразования и перестановки. М.: Наука,
1979. 112 с.
5.	К о л я г и н Ю. М. О функциональных урав-
нениях.— Математика в школе, 1959, № 5,
с. 4—8.
6.	Л о п ш и ц А. М. Функциональные уравне-
ния.— Квант, 1975, № 1, с. 30—35.
7.	П р и з в а Г. Й. Функцюнальш сшввщношен-
ня.— В кн.: У св1т! математики. К.: Рад.
школа, 1979, вип. 10, с. 55—71.
8.	Смишляев В. К., Смишляева М. В.
Найпроспш! функцюнальш р!вняння.— В кн.:
У свт математики. К.: Рад. школа, 1978, вип. 9,
с. 203—211.
9.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференци-
ального и интегрального исчисления: В 3-х т. М. i
Наука, 1969. Т. 1. 607 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................. 3
§ 1.	Аддитивные функции ................ .	7
§ 2.	Уравнения Коши и их применения 16
§ 3.	Метод подстановок ................... 23
§ 4.	Группы и функциональные уравнения 28
§ 5.	Матрицы и дробно-линейные функции 41
§ 6.	Применение элементов математического
анализа к решению функциональных урав-
нений .................................... 58
§ 7.	Некоторые приложения функциональных
уравнений ................................ 73
§ 8.	Рекуррентные соотношения............. 84
Приложение ......................•	• • 90
Ответы, указания, решения............. 92
Список литературы .....................95
Библиотечка физико-математической школы
Математика
Яков Соломонович Бродский,
Анатолий Константинович Слипенко
Функциональные уравнения
Редактор Л. П. Онищенко
Литредактор А. П. Ковальчук
Художественный редактор Е. В. Ч у р и й
Технический редактор Л. Ф. К у р ы ш е в а
Корректор Л. Д. М я к о х о д
Информ, бланк ЛЪ 7982
Сдано в набор 30.09.82, Подп. в печать 04.08.83. Формат
84x1 ОЗ1^. Бумага типогр. № 2. Лит. гарн. Выс. печ.
5,04 усл. печ. л. 5,35 усл -кр. отт. 5,01 уч.-изд. л. Тираж
7500 экз Изд. № 5561. Зак. 2—2932. Цена 15 к.
Головное издательство издательского объединения «Вища
школа». 252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7
Отпечатано с матриц Головного предприятия РПО «По-
лиграфкнига» в Харьковской городской типографии № 16,
г. Харьков-3, ул. Университетская, 16. Зак. 1476.