РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА
Современная математика — студентам и аспирантам
С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ
ОСНОВЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
З-е издание, исправленное
НОВОСИБИРСК
Издательство Института математики
2000
УДК 517.98
ББК 22.16
К95
Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд., испр. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — xii+ЗЗб с. (Современная математика — студентам и аспирантам).
ISBN 5-86134-074-9.
В монографии изложены основные разделы современного функционального анализа. Особое внимание уделено теории банаховых алгебр и функциональному исчислению, теории нётеровых операторов, теории двойственности локально выпуклых пространств, выпуклому анализу, принципам банаховых пространств, теории распределений и ряду смежных вопросов. Около двадцати лет книга служит базой обязательного курса лекций для студентов-математиков Новосибирского государственного университета.
Книга адресована читателю, интересующемуся методами функционального анализа и их приложениями.
Библиогр.: 347.
Ответственный редактор
В. В. Иванов
Редактор серии Ю. Г. Решетняк
К	Без объявл.
У1о2 (Uo J —2UUU
ISBN 5-86134-074-9	© Кутателадзе С. С., 2000
© Институт математики
им. С. Л. Соболева СО РАН, 2000
Содержание
Предисловие к первому изданию	viii
Предисловие ко второму изданию	xi
Предисловие к третьему изданию	xii
Глава 1. Экскурс в теорию множеств	1
§ 1.1.	Соответствия ............................. 1
§ 1.2.	Упорядоченные множества .................. 3
§ 1.3.	Фильтры .................................. 7
Упражнения ...................................... 10
Глава 2. Векторные пространства	12
§ 2.1.	Пространства и подпространства .......... 12
§ 2.2.	Линейные операторы ...................... 15
§ 2.3.	Уравнения в операторах ................... 18
Упражнения ..................................... 24
Глава 3. Выпуклый анализ	26
§ 3.1.	Множества в векторных пространствах ..... 26
§ 3.2.	Упорядоченные векторные пространства ..... 29
§ 3.3.	Продолжение положительных функционалов и операторов ......................................... 32
§ 3.4.	Выпуклые функции и сублинейные функционалы 35
§ 3.5.	Теорема Хана — Банаха .................... 38
iv
Содержание
§ 3.6.	Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов ............................ 41
§ 3.7.	Теорема Хана — Банаха для полунормы ......... 44
§ 3.8.	Функционал Минковского и отделимость ........ 46
Упражнения ......................................... 51
Глава 4. Экскурс в метрические пространства	53
§ 4.1.	Равномерность и топология метрического пространства ..................................... 53
§ 4.2.	Непрерывность и равномерная непрерывность ...	56
§ 4.3.	Полунепрерывность ........................... 59
§ 4.4.	Компактность ................................ 60
§ 4.5.	Полнота ..................................... 62
§ 4.6.	Компактность и полнота ...................... 65
§ 4.7.	Бэровские пространства ...................... 68
§ 4.8.	Теорема Жордана и простые картины ........... 71
Упражнения ......................................... 72
Глава 5. Мультинормированные и банаховы пространства	74
§ 5.1.	Полунормы и мультинормы ..................... 74
§ 5.2.	Равномерность и топология мультинормированного пространства ..................................... 79
§ 5.3.	Сравнение мультинорм ........................ 82
§ 5.4.	Метризуемые и нормируемые пространства ...... 85
§ 5.5.	Банаховы пространства ....................... 87
§ 5.6.	Алгебра ограниченных операторов ............. 97
Упражнения ........................................ 104
Содержание
v
Глава 6. Гильбертовы пространства	106
§ 6.1.	Эрмитовы формы и скалярные произведения ....	106
§ 6.2.	Ортопроекторы ............................. 111
§ 6.3.	Гильбертов базис .......................... 114
§ 6.4.	Эрмитово сопряженный оператор ............. 119
§ 6.5.	Эрмитовы операторы ........................ 122
§ 6.6.	Компактные эрмитовы операторы ............. 125
Упражнения ....................................... 129
Глава 7. Принципы банаховых пространств	131
§ 7.1.	Основной принцип Банаха ................... 131
§ 7.2.	Принципы ограниченности ................... 134
§ 7.3.	Принцип идеального соответствия ........... 138
§ 7.4.	Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике .	141
§ 7.5.	Принцип автоматической непрерывности ...... 147
§ 7.6.	Принципы штрихования ...................... 150
Упражнения ....................................... 155
Глава 8. Операторы в банаховых пространствах	158
§ 8.1.	Голоморфные функции и контурные интегралы .	158
§ 8.2.	Голоморфное функциональное исчисление ..... 165
§ 8.3.	Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации ......................................... 172
§ 8.4.	Теория Рисса	—	Шаудера .................... 175
§ 8.5.	Нётеровы и фредгольмовы операторы ......... 179
Упражнения ....................................... 187
vi	Содержание
Глава 9. Экскурс в общую топологию	190
§ 9.1.	Предтопологии и	топологии .................. 190
§ 9.2.	Непрерывность	....................... 193
§ 9.3.	Типы топологических пространств ............ 196
§ 9.4.	Компактность ............................... 201
§ 9.5.	Равномерные и мультиметрические пространства 207
§ 9.6.	Покрытия и разбиения	единицы ............... 213
Упражнения ........................................ 218
Глава 10. Двойственность и ее приложения	220
§ 10.1.	Векторные	топологии ....................... 220
§ 10.2.	Локально выпуклые топологии ............... 223
§ 10.3.	Двойственность векторных пространств ...... 226
§ 10.4.	Топологии, согласованные с двойственностью ..	228
§ 10.5.	Поляры .................................... 230
§ 10.6.	Слабо компактные выпуклые множества ....... 232
§ 10.7.	Рефлексивные пространства ................. 234
§ 10.8.	Пространство C(Q,	R) ...................... 236
§ 10.9.	Меры Радона ............................... 243
§ 10.10.	Пространства 3 и	3' ...................... 251
§ 10.11.	Преобразование Фурье умеренных распределений .................................... 260
Упражнения ........................................ 272
Содержание	vii
Глава 11. Банаховы алгебры	274
§ 11.1.	Каноническое операторное представление .... 274
§ 11.2.	Спектр элемента алгебры ................... 276
§ 11.3.	Голоморфное функциональное исчисление в алгебрах ............................................. 278
§ 11.4.	Идеалы в коммутативных алгебрах ........... 280
§ 11.5.	Идеалы в алгебре C(Q, С) .................. 281
§ 11.6.	Преобразование Гельфанда .................. 283
§ 11.7.	Спектр элемента С*-алгебры ................ 288
§11.8.	Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка	290
§ 11.9.	Операторные *-представления С*-алгебр ..... 294
Упражнения ........................................ 300
Литература	303
Указатель обозначений	323
Предметный указатель
327
Предисловие
к первому изданию
Как следует из названия, эта книга посвящена функциональному анализу. Термин «функциональный анализ» был изобретен в самом начале текущего века Ж. Адамаром, известным всем математикам по формуле для вычисления радиуса сходимости степенного ряда. Функциональным анализом стали называть новую ветвь вариационного исчисления, которую интенсивно разрабатывали в то время В. Вольтерра, Ч. Арцела, П. Леви, С. Пинкерле и ряд других представителей французской и итальянской математических школ.
Вклад Ж. Адамара в создание новой дисциплины не сводится, разумеется, к изобретению слова функционал (точнее, к превращению соответствующего прилагательного в имя существительное). Ж. Адамар хорошо понимал роль зарождающегося направления, интенсивно работал, постоянно пропагандировал вновь возникающие проблемы, идеи и методы. В частности, он поставил перед своим учеником М. Фреше задачу построения того, что все теперь называют теорией метрических пространств. В этой же связи уместно отметить, что окрестности, применяемые в функциональном анализе в смысле Адамара — Вольтерра, послужили предтечей известных работ Ф. Хаусдорфа, ознаменовавших оформление общей топологии. Для дальнейшего важно подчеркнуть, что одно из наиболее интересных, трудных и важных направлений классического анализа — вариационное исчисление — стало первым источником функционального анализа.
Вторым источником функционального анализа были исследования, направленные на создание алгебраической теории функциональных уравнений, точнее говоря, на упрощение и формализацию
Предисловие
ix
манипулирования «уравнениями в функциях» и, в частности, линейными интегральными уравнениями. Теория таких уравнений, восходящая к Н. Абелю и Ж. Лиувиллю, получила существенное развитие в работах И. Фредгольма, К. Неймана, Ф. Нётера, А. Пуанкаре и др. Труды этих математиков подготовили почву знаменитым исследованиям Д. Гильберта по теории квадратичных форм от бесконечного числа переменных. Идеи Д. Гильберта, развитые Ф. Рис-сом, Э. Шмидтом и др., непосредственно предшествовали аксиоматическому построению теории гильбертовых пространств, данному Дж. фон Нейманом и М. Стоуном. Возникший раздел математики оказал и продолжает оказывать сильнейшее воздействие на теоретическую физику и прежде всего на квантовую механику. Небезынтересно и поучительно в этой связи отметить, что термин «квант» возник в том же 1900 г., что и термин «функционал».
Третьим важнейшим источником функционального анализа послужили геометрические идеи Г. Минковского. Развитый им аппарат конечномерной геометрии выпуклых тел подготовил тот круг пространственных представлений, в котором осуществляется современное развитие анализа. Идея выпуклости, разработанная Э. Хелли, Г. Ханом, К. Каратеодори, И. Радоном и др., легла впоследствии в основу теории локально выпуклых пространств. В свою очередь, эта теория способствовала распространению метода обобщенных производных, открытого С. Л. Соболевым и коренным образом изменившего аппарат математической физики. В послевоенные годы геометрическая концепция выпуклости завоевала для математики новую сферу приложений — социальные науки и особенно экономику. Исключительную роль при этом сыграло линейное программирование, открытое Л. В. Канторовичем.
Приведенный перечень линий становления функционального анализа схематичен, неполон и приблизителен (так, остались неотмеченными линия принципа суперпозиции Д. Бернулли, линия функций множеств и теории интеграла, линия операционного исчисления, линия исчисления конечных разностей и дробного дифференцирования, линия «общего анализа» и многое другое). Несмотря на это, перечисленные три источника отражают основную, наиболее существенную закономерность — в функциональном анализе осуществлены синтез и развитие идей, представлений и методов классических разделов математики: геометрии, алгебры и анализа. Таким образом, хотя в буквальном смысле слов функциональный анализ —
X
Предисловие
это анализ функций и функционалов, даже поверхностный взгляд на его историю дает основания сказать, что функциональный анализ — это алгебра, геометрия и анализ функций и функционалов. Более глубокое и развернутое разъяснение понятия «функциональный анализ» дает Советский Энциклопедический Словарь: «Функциональный анализ, один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа. Характеризуется использованием понятий, связанных с различными абстрактными пространствами, такими, как векторное пространство и др. Находит разнообразные применения в современной физике, особенно в квантовой механике» (с. 1449).
Оформление функционального анализа как самостоятельного раздела математики связано с книгой С. Банаха «Теория линейных операций», вышедшей в свет полвека назад. Влияние этой книги на развитие математики огромно — представленные в ней концепции С. Банаха пронизывают всю математику.
Выдающийся вклад в развитие функционального анализа внесли советские ученые И. М. Гельфанд, Л. В. Канторович, М. В. Келдыш, А. Н. Колмогоров, М. Г. Крейн, Л. А. Люстерник, С. Л. Соболев. Для отечественной школы характерно развитие исследований в области функционального анализа в связи с крупными прикладными проблемами. Эти исследования расширили роль функционального анализа — он стал основным языком приложений математики. Показателен следующий факт. Хотя в 1948 г. само название широко известной статьи Л. В. Канторовича «Функциональный анализ и прикладная математика», заложившей основы современной теории приближенных методов, воспринималось как парадоксальное, уже в 1974 г., по словам С. Л. Соболева, теорию вычислений стало «так же невозможно себе представить без банаховых пространств, как и без электронных вычислительных машин».
Наряду с постоянным ростом потребностей в методах и представлениях функционального анализа в последнее время наблюдается экспоненциальное накопление фактического материала в рамках самой этой дисциплины. Таким образом, разрыв между современным уровнем анализа и уровнем, зафиксированным в доступной широкому читателю литературе, постоянно увеличивается. Настоящая книга преследует цель преодоления этой негативной тенденции.
Предисловие
ко второму изданию
В течение более десятка лет эта книга используется в качестве основы обязательного курса лекций по функциональному анализу в Новосибирском государственном университете. Время подтвердило обоснованность принципов составления монографии. В настоящее издание внесены разделы, трактующие основы теории распределений, добавлены упражнения теоретического характера и существенно обновлен список литературы. Устранены также неточности, указанные мне коллегами.
Пользуюсь случаем поблагодарить всех, кто помог мне в подготовке этой книги. Мой приятный долг особо отметить финансовую поддержку во время подготовки издания со стороны Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, Российского фонда фундаментальных исследований, Международного научного фонда и Американского математического общества.
Предисловие
к третьему изданию
Настоящее третье издание содержит указатель основных обозначений. В нем исправлены некоторые мелкие неточности, выжившие в двух предыдущих русских вариантах и английском переводе, осуществленном издательством Kluwer Academic Publishers в 1996 г. Надеюсь, что число дефектов, возникших при подготовке нового издания, невелико.
С. Кутателадзе
Глава 1
Экскурс в теорию множеств
1.1.	Соответствия
1.1.1.	Определение. Пусть А и В — множества и F — подмножество произведения А х В. Тогда F называют соответствием с областью отправления А и областью прибытия В или, короче, соответствием из А в В.
1.1.2.	Определение. Для соответствия F с А х В множество
domF:= D(F):= {a G А : (ЭЬ G В) (а, b) G F}
называют областью определения F, а множество
imF:= R(F):= {6 G В : (3aGA)(a, b) G F}
— областью значений или образом F.
1.1.3.	Примеры.
(1)	Если F — соответствие из А в В, то
/-' 1 := {(6, a) G В х А : (а, b) G F}
— соответствие из В в А, называемое обратным к F. Ясно, что F обратно к соответствию /•' 1.
(2)	Отношение F в А — это соответствие F с А х А.
(3)	Пусть F С А х В. Тогда F называют однозначным соответствием, если для каждого a G А из условий (a, bL) G F и
2
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
(а, Ы - вытекает, что bi = Ь%. В частности, если Г с А и 1и = {(а, а) G А2 : a G U}, то 1ц — однозначное соответствие из А в В, о котором говорят и как о тождественном отношении или тождестве на U. Соответствие F С А х В называют отображением множества А в множество В, если F однозначно и domF = А. Соответствие 1ц является отображением только при А = U. В этом случае 1ц называют тождественным отображением. Отображение F С А х В обозначают символом F : А —> В. Стоит подчеркнуть, что при этом непременно domF = А и в то же время образ imF может отличаться от В. Равенство imF = В выделяют словами: «F — отображение А на В».
Наконец, если соответствие /•' 1 с В х А оказывается однозначным, то исходное отображение F : А —> В называют взаимно однозначным.
(4)	Вместо отображений иногда говорят о семействах. Точнее, отображение F : А —> В при желании называют семейством элементов В и обозначают просто (Ьа)аеА, или а ba (a G А), или даже (Ьа). Имеется в виду, что (a, b) G F в том и только в том случае, если b = Ьа. Допуская вольность, не различают семейство и его область значений.
(5)	Пусть F с А х В — соответствие и U с А. Соответствие Ff~l(BxB)cBxB называют сужением F на U или следом F на В и обозначают F\u- Множество F(B):= imF|[/ называют образом множества U при соответствии F. Применяют естественные сокращения. Так, если F — отображение, то для элемента а пишут F(a) = b, подразумевая F({a}) = {6}. Скобки в символе F(a) часто опускают или изображают в ином начертании. Отметьте, наконец, что образ при обратном отображении называют прообразом. Точнее говоря, образ /•' 1(Г) множества U в В при соответствии /•' 1 называют прообразом множества U при соответствии F.
1.1.4.	Определение. Для FcAxBhGcCxD множество
GoF:= {(a, d) G A x D : (3b) (a, b) G F & (b, d) G G}
называют композицией или суперпозицией соответствий F и G. При этом G о F рассматривают как соответствие из Ав D.
1.1.5.	Замечание. Объем понятия суперпозиции, по существу, не уменьшится, если в 1.1.4 заранее считать, что В = С.
1.2. Упорядоченные множества
3
1.1.6.	Пусть F — соответствие. Тогда F о /-' 1 э I[mF- Более того, F о F1 = IimF в том и только в том случае, если /''|<1От /-' — это отображение. <[>
1.1.7.	Пусть F с Ах В, G с В х С и U с А. Тогда для соответствия G о F с А х С будет G о F(G) = G(F(L/)). <[>
1.1.8.	Пусть F С А х В, G с В х С, Н с С х D. Тогда соответствия Н о (G о F) с Ах D и (Н о G) oF с Ах D совпадают. <[>
1.1.9.	Замечание. В силу 1.1.8 разумно определен символ Н о G о F и ему подобные выражения.
1.1.10.	Пусть F, G, Н — три соответствия. Тогда
HoGoF= [J F^1 (b~) х Н(с).
(b,c)eG
< (a, d) G Н о G о F О (3 (b, с) G G) (с, d) G Н & (а, b) G F О (3 (6, с) G G) a G F-r(b) & d G Я(с) О
1.1.11.	Замечание. Предложение 1.1.10 и выкладка, приведенная в качестве его доказательства, с формальной точки зрения вопиюще некорректны, поскольку основываются на неоговоренной явно или на двусмысленной информации (в частности, на определении 1.1.1). Опыт позволяет считать указанную критику поверхностной. Поэтому в дальнейшем аналогичного рода удобные (а на самом деле и неизбежные) некорректности будут, как правило, использоваться без специальных оговорок и сожалений.
1.1.12.	Для соответствий G и F выполнено
GoF= [J F-1(b) х G(b).
be imF
<1 В 1.1.10 полагаем: Н:= G, G:= !\тг и F:= F. [>
1.2.	Упорядоченные множества
1.2.1.	Определение. Пусть п — отношение в множестве X, т. е. п С X2. Рефлексивность п означает включение п D lx, транзитивность — включение поп с п, антисимметричность — включение п П п1 С 1х и, наконец, симметричность п означает равенство п = п1.
4
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
1.2.2.	Определение. Рефлексивное и транзитивное отношение называют отношением предпорядка. Симметричный предпорядок называют эквивалентностью. Антисимметричный предпорядок называют порядком. Если X — множество, а а — порядок в X, то пару (X, л) называют упорядоченным множеством и пишут х <а у вместо у G л(ж). Допускают обычные вольности словоупотребления и написания: само X называют упорядоченным множеством, пишут х < у и говорят «х меньше у» или «у больше х» и т. п. Аналогичные соглашения действуют и для предупорядоченных множеств, т. е. множеств с отношениями предпорядка. При этом в случае отношения эквивалентности используют знаки типа или просто
1.2.3.	Примеры.
(1)	Тождественное отношение; подмножество Хо в X с отношением л о := 17 О Xq х Xq.
(2)	Если а — (пред)порядок на X, то л 1 также (пред)по-рядок на X. При этом отношение л 1 называют противоположным к л (пред)порядком.
(3)	Пусть / : X —> Y и т — отношение в Y. Рассмотрим в X следующее отношение: /1 ото/. В силу 1.1.10
/-1ото/= [J ./' 1 (?/i) / ./' 1 (y-j) 
(yi.yz'YT
Значит, выполнено
(Ж1, 12) е 1 ото/ъ (/(®1), /(ж2)) G т.
Таким образом, если т — это предпорядок, то /1 ото/ тоже предпорядок, называемый прообразом т при отображении /. Ясно, что прообраз эквивалентности является эквивалентностью. В то же время прообраз порядка не обязан быть антисимметричным отношением. В частности, так, как правило, бывает для следующего отношения эквивалентности:	1 о / = /' 1 о IY о /.
(4)	Пусть X — произвольное множество и — эквивалентность в X. Определим отображение <р : X —> 2х правилом р(х):= сДж) (здесь 2х — это множество подмножеств X, обозначаемое также и ^(Х)). Пусть X := Х/ш := im р — фактор-множество.
1.2. Упорядоченные множества
5
Отображение р, как известно, называют каноническим (канонической проекцией, факторным отображением и т. и.). Заметим, что р считают действующим на X. Множество р(х) называют классом эквивалентности или комножеством элемента х. Отметим еще, что
Ш = (р-1 О р = рГ1 (ж) X (р-1 (ж).
хех
Пусть теперь f : X Y — отображение. Тогда f допускает снижение f на X, т. е. существует отображение f : X Y такое, что f о р = f в том и только в том случае, если ш с 1 о f. <|>
(5)	Пусть (X, <т) и (У, г) — два предупорядоченных множества. Отображение f : X Y возрастает (т. е. х <а у => /(ж)	/(у)) в том и только в том случае, если а С ото/. <[>
1.2.4.	Определение. Пусть (X, <т) — упорядоченное множество и U — подмножество в X. Элемент х G X называют верхней границей U, если U С 1(ж). Коротко пишут: х > U. В частности, х > 0. Элемент х G X называют нижней границей U, если х является верхней границей U в противоположном порядке 1. Коротко пишут: х < U. В частности, х < 0.
1.2.5.	Замечание. В дальнейшем мы будем допускать вольности при введении понятий, получающихся из данных путем перехода к противоположному (пред)порядку. Отметим также, что определение верхней и нижней границ осмыслено и в предупорядоченных множествах.
1.2.6.	Определение. Элемент х называют наибольшим в множестве U, если х > U и х G U. Аналогично определяют наименьший элемент U.
1.2.7.	Пусть ira(U) — совокупность всех верхних границ подмножества U в упорядоченном множестве (X, <т). Пусть, далее, х G X — наибольший элемент U. Тогда, во-первых, х — наименьший элемент ira(U), а во-вторых, <т(ж) О U = {ж}. <[>
1.2.8.	Замечание. Предложение 1.2.7 является основой двух обобщений понятия наибольшего элемента.
6
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
1.2.9.	Определение. Элемент х из X называют точной верхней границей множества U в X, если х — наименьший элемент множества всех верхних границ U. При этом пишут х = supx U или, короче, х = sup U. Аналогично (при переходе к противоположному порядку) определяют точную нижнюю границу множества U — элемент inf U или, более полно, inf % U.
1.2.10.	Определение. Элемент х упорядоченного множества (X, <т) называют максимальным в подмножестве U множества X, если <т(ж) П U = {ж}. Аналогично определяют минимальный элемент множества U.
1.2.11.	Замечание. Необходимо отчетливо представлять себе различия и общие черты понятий наибольшего и максимального элементов и точной верхней границы множества. В частности, стоит «экспериментально» удостовериться, что у «типичного» множества нет наибольшего элемента, однако максимальные элементы встречаются.
1.2.12.	Определение. Упорядоченное множество X называют решеткой, если для любых двух элементов х±, з» из А’ существуют их точная верхняя граница х1 V х2 := зир{ж1, ж2} и точная нижняя граница Ж1 А ж2 := inf {ж1, ж2}.
1.2.13.	Определение. Упорядоченное множество X называют полной решеткой, если любое подмножество X имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы.
1.2.14.	Упорядоченное множество является полной решеткой в том и только в том случае, если любое его подмножество имеет точную верхнюю границу. <[>
1.2.15.	Определение. Упорядоченное множество (X, <т) такое, что X2 =	1 о а, называют фильтрованным по возрастанию. Ана-
логично определяют фильтрованное по убыванию множество. Непустое фильтрованное по возрастанию множество называют направленным или, короче, направлением.
1.2.16.	Определение. Отображение направленного множества в данное множество X называют (обобщенной) последовательностью или сетью в X. Отображения (естественным образом) направленного множества натуральных чисел N в X называют (счет
1.3. Фильтры
7
ными) последовательностями. (Следуя одной из традиций, полагают N := {1,2,3...}.)
1.2.17.	Решетка является полной в том и только в том случае, если любое фильтрованное по возрастанию множество в ней имеет точную верхнюю границу. <[>
1.2.18.	Замечание. Смысл 1.2.17 состоит в том, что для нахождения точной верхней границы любого подмножества в X следует научиться находить такие границы для двухэлементных подмножеств в X и для возрастающих сетей элементов X.
1.2.19.	Определение. Пусть (X, <т) — упорядоченное множество и X2 = a U 1. Тогда X называют линейно упорядоченным множеством. Если Хо — непустое линейно упорядоченное подмножество X, то Xq называют цепью в X. Непустое упорядоченное множество называют индуктивным, если любая цепь в нем ограничена сверху (т. е. имеет верхнюю границу).
1.2.20.	Лемма Куратовского — Цорна. Индуктивное множество имеет максимальный элемент.
1.2.21.	Замечание. Лемма Куратовского — Цорна служит эквивалентом аксиомы выбора, принимаемой в теории множеств.
1.3.	Фильтры
1.3.1.	Определение. Пусть X — множество и S3 — непустое подмножество непустых элементов 2х. Множество S3 называют базисом фильтра (в X), если S3 фильтровано по убыванию при введении в множество 2х подмножеств X отношения порядка по включению.
1.3.2.	Подмножество S3 в 2х является базисом фильтра в том и только в том случае, если
(1)	S3^0, 0 S3;
(2)	В1, В2 е S3 (ЗВ G S3) В С В1 п в2.
1.3.3.	Определение. Подмножество & в 2х называют фильтром (в X), если & представляет собой совокупность надмножеств некоторого базиса фильтра S3 (в X), т. е.
S3 = fiW:= {С G 2х : (3В G S3) В С С}.
8
Гл. 1. Экскурс в теорию множеств
При этом говорят, что — базис & или что & имеет S3 своим базисом и т. и.
1.3.4.	Подмножество .S в2х является фильтром в том и только в том случае, если
(1)	0, 0 £
(2)	A G А С I) С X = I! t F:
(3)	А}, А% (Е & => П А% (Е <][>
1.3.5.	Примеры.
(1)	Пусть F с X х Y — соответствие и S3 — фильтрованное по убыванию подмножество 2х. Положим F(^) := {F(B) : В G S3}. Видно, что F(S3) фильтровано по убыванию. Допускают некоторую вольность в обозначениях, считая F(S3):= fil F(S$). Если SF — фильтр в X и В П domF 0 для всякого В G то F(^) — фильтр в Y. Этот фильтр называют образом фильтра SF при соответствии F. В частности, если F : X Y — отображение и S3 — базис фильтра в X, то F(^) — фильтр в Y.
(2)	Пусть (X, <т) — направление. Несомненно, что S3-.= {<т(ж) : х G X} — это базис фильтра. Если F : X —> Y — некоторая обобщенная последовательность, то фильтр filF(^) называют фильтром хвостов F.
Пусть (X, <т) и F : X —> Y — другие направление и сеть элементов Y. Если фильтр хвостов F содержит фильтр хвостов F, то F называют подсетью (в широком смысле) сети F. Если же существует подсеть (в широком смысле) G : X —> X тождественной сети (х)хЕх элементов направления (X, а) такая, что F = F о G, то F называют подсетью F (иногда говорят: F — подсеть Мура или строгая подсеть F). Каждая подсеть служит подсетью в широком смысле. <[>
1.3.6.	Определение. Пусть ^(Х) — совокупность всех фильтров в множестве X. Если	G J^(X) и D ^2, т0 говорят,
что тоньше или мажорирует -ХА (соответственно ^2 грубее или ^2 минорирует ^i).
1.3.7.	Множество А^(Х) с отношением «тоньше» является упорядоченным. <[>
1.3. Фильтры
9
1.3.8.	Пусть .А" — направление в ^(Х). Тогда у ЭЕ есть точная верхняя граница .Х() := sup 0К. При этом
Эф = U{^ : & G ЭЕ}.
<1 Нужно убедиться только, что .Х() — это фильтр. Ясно, что 0 и, в силу непустоты	/ 0- Если A G и В D А,
то, подбирая & из ЭЕ, для которого A G заключаем: В G & с Л,. Если же Ai, А2 Е ^о, то можно найти элемент & в Э' такой, что Ai, А2 Е ЕЭ, ибо Э' — это направление. На основании 1.3.4, Ai П А2 Е ЕХ С ^о-
1.3.9.	Определение. Максимальные элементы в упорядоченном множестве ^(Х) всех фильтров в X называют ультрафильтрами.
1.3.10.	Каждый фильтр грубее некоторого ультрафильтра.
<1 Ввиду 1.3.8 множество фильтров, содержащих данный, является индуктивным. Остается сослаться на лемму Куратовского — Цорна 1.2.20. [>
1.3.11.	Фильтр ЕХ является ультрафильтром в том и только в том случае, если для каждого А с X либо А Е ЕЭ, либо X \ А Е &.
<1 =>: Пусть А^^иВ:=Х\А^ ЕХ. Отметим, что 4	0 и
В 0. Положим &i := {С Е 2х : A U С Е &}. Тогда А & => 0 и В е =>	0. Столь же просто проверить 1.3.4 (2)
и 1.3.4 (3). Итак, &i — фильтр. По построению E?i D EX. Раз ЕХ — ультрафильтр, то &i = EX. Получилось противоречие: В & и В Е ЕХ.
•<=: Пусть EXi Е ^Х(Х) и EXi D &. Если А Е ЕХг и А ЕХ, то Х\А Е & по условию. Отсюда Х\А Е ЕХг, т. е. 0 = Ап(Х\А) Е &i, чего быть не может. [>
1.3.12.	Если f — отображение из X bY и А — ультрафильтр в X, то /(EX') — ультрафильтр bY.<J>
1.3.13.	Пусть EXE :=	:= {ЕХ Е >^(А) : С ^о} Для неко-
торого Е ^(Х). Тогда .А' — полная решетка.
<1 Понятно, что — наибольший, а {X} — наименьший элементы в ЭЕ. Стало быть, пустое множество в ЭЕ имеет точную
10
Гл.1. Экскурс в теорию множеств
верхнюю и точную нижнюю границы: sup0 = inf .А = {X} и inf 0 = sup .X = ^o- В силу 1.2.17 и 1.3.8 достаточно установить существование V для любых ^2 G  Рассмотрим & := {Ai П А2 : Ai G А2 G ^2}- Нет сомнений, что & С и & D & D ^2- Поэтому для проверки равенства & = &i V нужно доказать, что & — фильтр.
Соотношения 7^01107.7' очевидны. Ясно также, что (Bi, В2 G & => Bi П В2 G ^). Помимо этого, если С D Ai П А2, где ф е Я И Л2 е ^2, ТО С = {А1 П А2} U С = (Ai и С) п (А2 и С). Поскольку Ai U С G а А2 U С G ^2, выводим:	Апелляция
к 1.3.4 дает требуемое. [>
У пражнения
1.1.	Привести примеры множеств и не множеств, теоретико-множественных свойств и не теоретико-множественных свойств.
1.2.	Может ли отрезок [0, 1] быть элементом отрезка [0, 1]? А отрезок [0, 2]?
1.3.	Найти композиции простейших соответствий и отношений: квадратов, кругов и окружностей с общими и с несовпадающими центрами, шаров в х при различных допустимых наборах М, N.
1.4.	Для соответствий R, S, Т установить соотношения:
(RUS'f1 = R1 US-1; (RnSf1 = Я1 П S-1;
(/?US)oT = (Я о Г) U (So Г); Ho(SUT) = (RoS)U(RoT);
(HnS)oTC (Я о Г) П (So Г); Я о (SCI Г) С (RoS)H(RoT).
1.5.	Пусть X С X х X. Доказать, что X = 0.
1.6.	Выяснить условия разрешимости уравнений ^А = В и А-Х^ = В относительно & в соответствиях, в функциях.
1.7.	Найти число отношений эквивалентности на конечном множестве.
1.8.	Будет ли эквивалентностью пересечение эквивалентностей? Объединение эквивалентностей?
1.9.	Найти условие коммутативности эквивалентностей (относительно композиции).
1.10.	Сколько порядков и предпорядков на двух- и трехэлементном множествах? Предъявить их. Что можно сказать о числе предпорядков на конечном множестве?
Упражнения
11
1.11.	Пусть F — возрастающее, идемпотентное отображение упорядоченного множества X в себя. Допустим, что F мажорирует тождественное отображение: F > lx- Такие F называют операторами (абстрактного) замыкания или, короче, оболочками. Исследовать свойства неподвижных точек оператора замыкания.
1.12.	Пусть X, Y — упорядоченные множества и М(Х, Y) — множество возрастающих отображений X в Y с естественным упорядочением (каким?). Доказать, что
(1)	(М(Х, Y) — решетка) О (У — решетка);
(2)	(М(Х, У) — полная решетка) <=> (У — полная решетка).
1.13.	Установить, что для упорядоченных множеств X, У, Z справедливы следующие утверждения:
(1)	М(Х, У х Z) изоморфно М(Х, У) х M(Y, Z);
(2)	М(Х х У, Z) изоморфно М(Х, M(Y, Z)).
1.14.	Сколько фильтров на конечном множестве?
1.15.	Как устроены точные границы множества фильтров?
1.16.	Пусть f отображает X на У. Доказать, что каждый ультрафильтр в У есть образ относительно f некоторого ультрафильтра в X.
1.17.	Доказать, что каждый ультрафильтр, мажорирующий пересечение двух фильтров, тоньше хотя бы одного из них.
1.18.	Доказать, что каждый фильтр представляет собою пересечение содержащих его ультрафильтров.
1.19.	Пусть бУ— ультрафильтр в N, содержащий дополнения конечных подмножеств. Для х, у € s;= RN положим х у := (ЗА G бУ) х|а — у\а> Обозначим *R:=	Для t G R знак символизирует класс, содержащий
постоянную последовательность t(n) -.= t (nGN). Доказать, что *R \ {*£ : t G R} 0. Ввести в *R алгебраические и порядковую структуры. Как связаны свойства R и *R?
Глава 2
Векторные пространства
2.1.	Пространства и подпространства
2.1.1.	Замечание. В алгебре, в частности, изучают модули над кольцами. Модуль X над кольцом А определяют указанием абелевой группы (X, +) и представления А в кольце эндоморфизмов X, заданного отображением левого умножения • : А х X X. При этом заранее обеспечивают естественное согласование операций сложения и умножения. С учетом сказанного трактуют фразу: «модуль X над кольцом А описывается четверкой (X, А, +, •)».
2.1.2.	Определение. Поле вещественных чисел R и поле комплексных чисел С называют основными полями. Для обозначения основного поля используют также символ F. Считают, что поле Ж стандартным (и общеизвестным) способом вложено в С.
2.1.3.	Определение. Пусть F — основное поле. Модуль X над полем F называют векторным пространством (над F). Элементы F называют скалярами, а элементы X — векторами. Векторное пространство над Ж называют вещественным векторным пространством, а векторное пространство над полем С — комплексным векторным пространством. Употребляют соответствующие развернутые записи: (X, F, +, •), (X, R, +, •) и (X, С, +, •). Все же, как правило, допускают большую вольность, отождествляя множество векторов X с отвечающим ему векторным пространством.
2.1.4.	Примеры.
(1)	Основное поле F — векторное пространство над F.
(2)	Пусть (X, F, +, •) — векторное пространство. Рас
2.1. Пространства и подпространства
13
смотрим набор (X, IF, +, •*), где •* : (А, ж) А*ж для A G IF и ж G X, а А* — комплексно сопряженное к А число. Полученное векторное пространство называют дуальным к X и обозначают X*. При F := R пространство X* совпадает с X.
(3)	Векторное пространство (Xq, F, +, •) называют подпространством векторного пространства (X, F, +, •), если Xq — это подгруппа в X и умножение на скаляр в Xq — это сужение на F х Хо умножения на скаляр в X. Множество Хо называют линейным множеством в X. Очень удобно, хотя и не вполне корректно, рассматривать линейное множество Xq как векторное подпространство в X. Более того, нейтральный элемент — нуль группы X — считают подпространством X и обозначают символом 0. Поскольку связь нуля с X явно не отражена, все векторные пространства, включая и основные поля, можно воспринять как зацепленные за один общий нуль.
(4)	Пусть (Xf)fg:g — семейство векторных пространств над полем F. Пусть, далее, 93 := Пс< - Х^ — произведение соответствующих множеств, т. е. совокупность отображений ж : S —> Uje-X^, для которых ях := ж(£) G АЕ при каждом I t Е [в подобных ситуациях всегда молчаливо подразумевают, что S / 0). Наделим 93 покоординатными операциями сложения и умножения на скаляр:
(Ж1+ж2)(С):= Ж1(С)+ ж2(С) (®i, GtX (es);
(А • ж)(£) := А • ж(£) (ж G 33, A G F, £ G S)
(ниже, как правило, вместо выражений типа А • ж будем писать сокращенно: Аж и изредка жА). Полученное векторное пространство 93 над F называют произведением семейства векторных пространств (Х^)^еп. При S := {1, 2,..., X} пишут Xi х Х2 х ... х Хх := 93. В случае, когда АА = X для любого I t Е, используют обозначение Xs := 33. Если к тому же Е:= {1, 2,..., N}, полагают XN := 93.
(5)	Пусть (Xf)fg:g — семейство векторных пространств над полем F. Рассмотрим прямую сумму множеств 930 :=	Х^,
т. е. подмножество в произведении 93 := s состоящее из таких элементов жо, что найдется (вообще говоря, свое для каждого ж0) конечное подмножество Е() в Е такое, что ж0(Е \ So) с 0. Видно,
14
Гл. 2. Векторные пространства
что — линейное множество в произведении 9S. Соответствующее векторное пространство — подпространство произведения векторных пространств (Х^)^еп — называют прямой суммой семейства векторных пространств (Х^)^еп.
(6)	Пусть (X, F, +, •) — векторное пространство и задано подпространство (Xq, F, +, •) в X. Положим
~х0:= {(ж1, х2) G X2 : жх — ж2 G Хо}.
Тогда ^х0 — эквивалентность в X. Пусть 'X := Х/^х0 и 99 : X —> .'X — каноническое отображение. Определим в -X операции
®1 + ж2 :=	+ ^-1(ж2)) (®i, ж2 G .X):
Аж:= ДА:р 1 (ж)) (ж G , A G F).
Здесь, как обычно, для множеств Si, S2 в X, множества Л в IF и элемента A G F считается, что
Si + S2 := +{Si х S2};
ASi := • (Л х Si); ASX := {A}SX.
Таким образом в 2Х введена структура векторного пространства над F. Это пространство называют фактор-пространством пространства X по подпространству Хо и обозначают Х/Хо.
2.1.5.	Пусть X — векторное пространство н Lat(X) — совокупность всех подпространств в X с отношением порядка по включению. Тогда упорядоченное множество Lat(X) является полной решеткой.
<1 Ясно, что infLat(X) = Он supLat(X) = X. Помимо этого, пересечение непустого множества подпространств также подпространство. Привлекая 1.2.17, получаем требуемое. [>
2.1.6.	Замечание. Для Хх, Х2 G Lat(X) справедливо соотношение Xi V Х2 = Xi + Х2. Столь же несомненно, что для непустого множества S в Lat(X) выполнено inf S = П{Хо : Xq G S}. Если к тому же S фильтровано по возрастанию, то sup S = U {Хо : Хо G S}. <[>
2.2. Линейные операторы
15
2.1.7.	Определение. Подпространства Х± и Х2 данного векторного пространства X разлагают X в (алгебраическую) прямую сумму (символическая запись: X = Х1ФХ2), если Х1ЛХ2 = 0 и Х± V Х2 = X. При этом Х2 называют (алгебраическим) дополнением Xi, а Х1 — (алгебраическим) дополнением Х2.
2.1.8.	Любое подпространство векторного пространства имеет алгебраическое дополнение.
<1 Пусть Xi — подпространство X. Положим
S:= {Хо G Lat(X) : Хо Л Хг = 0}.
Очевидно, 0 G S и для каждой цепи S$ в S, в силу 2.1.6, Х± Asup S$ = 0, т. е. sup <oq G S. Таким образом, S — индуктивно, и на основании 1.2.20 в S есть максимальный элемент Х2. Если х G X \ (Xi + Х2), то
(Х2 + {As : A G F}) Л Xi = 0.
В самом деле, если для некоторых A G F и жх G Х1; ж2 G Х2 выполнено Ж2 + Аж = Ж1, то Аж G Xi + Х2 и, стало быть, А = 0. Отсюда Ж1 = Ж2 = 0, ибо Xi /\Х2 = 0. Следовательно, Х2 + {Аж : A G F} = Х2 в силу максимальности Х2. Последнее означает, что ж = 0. В то же время явно ж 0. Окончательно Х± V Х2 = Х± + Х2 = X. [>
2.2.	Линейные операторы
2.2.1.	Определение. Пусть X, Y — векторные пространства над F. Соответствие Т с X х Y называют линейным, если Т — линейное множество в произведении векторных пространств X х Y. Отображение Т : X Y, являющееся линейным соответствием, называют линейным оператором (или просто оператором, если линейность ясна из контекста). Желая отличить такой Т от линейных однозначных соответствий S с X х Y с областью определения domS 7^ X, говорят: Т — всюду определенный линейный оператор (из X в Y) и S — линейный оператор из X в Y, или даже S — не всюду определенный линейный оператор.
2.2.2.	Отображение Т : X У является линейнвтм оператором в том и только в том случае, если ввшолнено
Т(А1Ж1 + А2Ж2) — XiTxi + Х2Тх2 (Ai, А2 G IF; ж^, Ж2 G X). <][>
16
Гл. 2. Векторные пространства
2.2.3.	Множество _2f(X, У) всех линейнвтх операторов из X в Y представляет собой векторное пространство — подпространство Yx. <[>
2.2.4.	Определение. Операторы из -8Y(X, F) называют линейными функционалами на X, а пространство X# := _2f(X, IF) — (алгебраически) сопряженным пространством. Линейные функционалы на X* называют *-линейными функционалами на X. Если хотят подчеркнуть природу основного поля F, то говорят о вещественно линейных функционалах, о комплексно сопряженном пространстве и т. п. Понятно, что при F = R термин «*-линейный функционал», как правило, не употребляют.
2.2.5.	Определение. Линейный оператор Т G -2ДХ, У) называют (алгебраическим) изоморфизмом, если соответствие 7' 1 является линейным оператором из -2?(У, X).
2.2.6.	Определение. Векторные пространства X и У называют (алгебраически) изоморфными и пишут X ~ У, если существует изоморфизм между X и У.
2.2.7.	Пространства X и Y являются изоморфнвтми в том и только в том случае, если найдутся операторы Т G _2?(Х, У) и S G -2?(У, X) такие, что S оТ = 1х и Т о S = 1у. При этом ввшолнено S = Т-Г иТ = 8-1. <[>
2.2.8.	Замечание. Пусть X, У, Z — векторные пространства, причем заданы Т G -2ДХ, У) и S G -2?(У, Z). Бесспорно, что соответствие S оТ — это элемент _2f(X, Z). Оператор S оТ в дальнейшем для простоты будет обозначен символом ST. Отметим здесь же, что композицию (S, Т) ь- ST, как правило, считают отображением о : _2?(У, Z) х _2f(X, У) —> ТГ(Х, Z). В частности, если S с -2ДУ, Z), аТ е ZY(X, У), то полагают о Т:= o(<f х {Т}).
2.2.9.	Примеры.
(1)	Если Т — линейное соответствие, то/' 1 также линейное соответствие.
(2)	Если Xi — подпространство векторного пространства X и Х2 — его алгебраическое дополнение, то Х2 изоморфно Х/Xi. Действительно, если : X —> X/Xi — каноническое отображение, то его сужение на Х2, т. е. оператор ж 2 т(х2), где я’2 G Х2, осуществляет требуемый изоморфизм. <[>
2.2. Линейные операторы
17
(3)	Пусть -X :=	— произведение семейства векторных пространств	Отображение Pix : -X Х%, опреде-
ляемое соотношением Pixx: = х%, называют координатным проектором (= проекцией). Ясно, что Pix — линейный оператор: Pix G Х%). Отметим, что часто этот оператор рассматривают как элемент пространства :=	^Х), имея в виду естествен-
ный изоморфизм и Х%, где := П;)г s а := О ПРИ Г1 иХе:=Хе.
(4)	Пусть X := Xi ф Х2. Поскольку отображение + 1 осуществляет изоморфизм X и Х± х Х2, то определены линейные операторыРХ1 := Pxt\\x2 := Ри °(+-1), Рх2 := Px2\\xt := Вг2 °(+ 1), действующие из X в X. Оператор РХ1 называют проектором X на Xi параллельно Х2, а РХ2 — дополнительным проектором к РХ1- В свою очередь, РХ1 дополнителен к РХ2, а РХ2 осуществляет проектирование X на Х2 параллельно Х1. Отметим также, что Pxt +Рх2 = 1х- Кроме того, Р|1 := РХ1РХ1 = РХ1, т. е. проектор — идемпотентный оператор. Наоборот, любой идемпотентный оператор Р G -Х\Х) является проектором на Р(Х) параллельно Р 1(0).
Если Т G Jzf(X), то РХ1ТРХ1 = ТРХ1 в том и только в том случае, если T’(A'i) СХрт. е. Xi инвариантно относительно Т. <[> Равенство ТРХ1 = РХ1Т справедливо в том и только в том случае, если как Х1, так и дополнение Х2 инвариантны относительно Т. В последнем случае говорят, что разложение X = Xid)X2 приводит оператор Т.
Со следом Т на Х1 работают как с элементом Ti пространства .Х<ХЛ При этом 71 называют частью Т в Х^. Если Т2 G _2?(Х2) — часть Т в Х2, то оператор Т мыслят как матрицу
\ 0
0
Т2 J 
Именно, элемент х из Х± ф Х2 рассматривают как «вектор-столбец» с компонентами яд G Х±, х2 G Х2, где = Ргхх х, х2 = Рг%2 х. Умножение матриц проводят обычным способом по закону «строка на столбец», а результат умножения указанной матрицы на вектор-столбец х, т. е. вектор-столбец с компонентами Т\х±, Т2х2 (или, что в данном случае то же самое, Тх±, Тх2), естественно трактуют как элемент Тх.
18
Гл. 2. Векторные пространства
Иными словами, Т отождествляют с отображением Xi х Х2 в Xi х Х2, действующим по правилу
Xi \	/ 71	О Ш
®2 )	\ О	Т2 )
Аналогичным образом вводят матричные представления общих операторов Т G ^(Хх ф Х2, Ух Ф I2). <[>
(5)	Конечное множество S в X называют линейно независимым, если из условия Аее = 0, где Хе Е F (е G S), вытекает, что Хе = 0 для всех е G S. Множество S называют линейно независимым, если любое конечное подмножество S линейно независимо.
Максимальное по включению линейно независимое множество в X называют базисом Гамеля (или алгебраическим базисом) в X. Любое линейно независимое множество содержится в некотором базисе Гамеля.
У всех базисов Гамеля в X одинаковая мощность, называемая размерностью X. Размерность X обозначают dimA''.
Каждое векторное пространство X изоморфно прямой сумме семейства (F)^en, где S имеет мощность dimX.
Если Xi — подпространство X, то размерность X/Xi называют коразмерностью Xi и обозначают codim Уф Если X = XL ф Х2, то codim Xi = dim Х2 и dim X = dim Xi + codim Xi.
2.3.	Уравнения в операторах
2.3.1.	Определение. Для оператора Т G SS(X, Y) определяют: kerT := 7’ 1(0) — ядро, coker Т := У/imT — коядро, coimT := Х/кегТ — кообраз Т.
Оператор Т называют мономорфизмом, если кегТ = 0. Оператор Т называют эпиморфизмом, если im Т = У.
2.3.2.	Оператор является изоморфизмом в том и только в том случае, если он мономорфизм и эпиморфизм одновременно. <[>
2.3.3.	Замечание. В дальнейшем иногда удобно пользоваться языком коммутативных диаграмм. Научиться им пользоваться можно, разобрав подходящий пример.
Так, фраза «следующая диаграмма
2.3. Уравнения в операторах
19
коммутативна» означает, что сц G У?(Х, У), a2 G -2?(У, IV), «з G _2f(X, IV), сц G _2f(V, У) и og G _2f(V, IV), причем a2ai = а2 И СК5 = СК2ск4-
Т S
2.3.4.	Определение. Диаграмму X У —> Z называют точной (в члене У) последовательностью, если kerS = imT. Последовательность ... —> Xk~i Xk Xk+i —> ... называют точной в члене Xk, если точна последовательность Xk~i Xk Xk+i (наименования операторов опущены). Рассматриваемую последовательность называют точной, если она точна в каждом члене (кроме первого и последнего, если таковые, разумеется, есть).
2.3.5.	Примеры.
Т S
(1)	Точная последовательность X У —> Z полуточна, т. е. ST = 0. Обратное утверждение неверно.
Т
(2)	Последовательность 0 —> X У точна в том и только в том случае, если Т — мономорфизм. (Здесь и в дальнейшем запись 0 —> X — это, конечно же, еще одно обозначение нуля — единственного элемента пространства У£(0, X) (см. 2.1.4 (3)).)
т
(3)	Последовательность X У —> 0 точна в том и только в том случае, если Т — эпиморфизм. (Понятно, что под символом У —> 0 тут снова скрывается нуль — единственный элемент пространства SZ(У, 0).)
(4)	Оператор Т G -2ДХ, У) является изоморфизмом в т
том и только в том случае, если 0 —> X У —> 0 — это точная последовательность.
(5)	Пусть Xq — подпространство в X. Символом с : Xq —> X обозначим оператор (тождественного) вложения: lxq := х0 для всех х0 G Хо. Пусть теперь Х/Хо — фактор-пространство и р : X —> Х/Хо — соответствующее каноническое отображение.
20
Гл. 2. Векторные пространства
Тогда последовательность
0 - Л',, ± X I Х/Хо 0
является точной. (Знаки /и у ниже в подобных случаях, как правило, опущены.) Указанная последовательность в известном смысле уникальна. Именно, рассмотрим произвольную, как говорят, «короткую» последовательность
т я
и допустим, что она точна. Полагая Y$ := imT, легко построить изоморфизмы а, /3, 7 так, что получается следующая коммутативная диаграмма:
о |	(3 |	7 |
0 ------ Уо----- Y-----У/Уо------ 0
Иными словами, короткая точная последовательность — это, по сути дела, то же, что подпространство и фактор-пространство по нему. <[>
(6)	Пусть Т G ^(Х, У) — оператор. С ним связана точная последовательность
0 kerT X X У coker Т 0,
называемая канонической точной последовательностью для Т.
2.3.6.	Определение. Оператор Т называют продолжением Tq (пишут Т Э То), если коммутативна диаграмма
А'о---->- X
т. е. То = Tt, где ь : Хо
X — вложение.
2.3. Уравнения в операторах
21
2.3.7.	Пуств X, Y — векторные пространства и Xq — подпро-странствовХ. Для любого Tq G	Y) существует продолжение
Те^(Х, У).
<1 Предъявим Т := TqPx0, где Рх0 — оператор проектирования на А'о. [>
2.3.8.	Теорема о разрешимости уравнения ^ZA = В. Пуств X, У, Z — векторные пространства; A G У?(Х, У), В G У'(А', Z). Диаграмма
А
Z
коммутативна для некоторого 2Z Е У£ (У, Z) в том и только в том случае, если ker А с ker В.
<1 =>: То, что при В = А выполнено ker А с ker В, очевидно.
•<=: Положим .У := В о А-1. Ясно, что для х G X будет Ж о А(т) = В о (Л 1 о А)х = В(х + ker А) = Вх. Проверим, что '= -^limA — линейный оператор. Следует проверить только однозначность АР. Пусть у GimAnzi, Е .У (у). Тогда z\ = Вх±, z% = Вх2, a Axi = Ах2 = у. По условию В(х\ — тг) =0. Значит, z\ = Z2-Применяя 2.3.7, возьмем какое-либо продолжение ЗА оператора на пространство У. [>
2.3.9.	Замечание. Если в условиях 2.3.8 оператор А — эпиморфизм, то оператор АР единствен. <[>
2.3.10.	Линейный оператор допускает единственное снижение на свой кообраз.
<1 Это следствие 2.3.8 и 2.3.9. 1>
2.3.11.	Линейный оператор Т допускает (каноническое) разложение в композицию эпиморфизма <р, изоморфизма Т и мономорфизма l, т. е. коммутативна следующая диаграмма:
22
Гл. 2. Векторные пространства
Т coim Т------>- im Т
Н т 1*
для единственного оператора Т. <[>
2.3.12.	Пуств X — некоторое векторное пространство и заданы fo, J\,..., fx € X#. Функционал Jo является линейной комбинацией fi,..., /n в том и только в том случае, если ker fo D ker fj.
<1 Пусть (fi, ...,fN):X —» v';V — линейный оператор, заданный соотношением
(fi, , fN)x:= (fi(xf ..., fN(xf).
Видно, что кег(Д,..., /;v) = ^jLi ker fj. Используя теорему 2.3.8 для задачи
F
и учитывая строение пространства WN#, получаем требуемое. [>
2.3.13.	Теорема о разрешимости уравнения АЭС = В. Пуств X, У, Z — векторные пространства; A G ЭС(У, X), В G CZCZ. X '). Диаграмма
А
коммутативна для некоторого ЭС £ ££(Z, У) в том и только в том случае, если im A D im В.
2.3. Уравнения в операторах
23
<] =>: imB = B(Z) = A(JT(Z)) С А(У) = imA.
•<=: Пусть Yq — алгебраическое дополнение ker А в У и Ао := А|у0. Тогда Ао взаимно однозначно отображает То на imA. Оператор := Ад1 В, очевидно, искомый. [>
2.3.14.	Замечание. Если в условиях 2.3.13 оператор А — мономорфизм, то оператор 'У единствен. <[>
2.3.15.	Замечание. Теоремы 2.3.8 и 2.3.13 связаны «формальной двойственностью». Каждая из них получается из другой «обращением стрелок», «перестановкой ядер и образов» и «переходом к противоположному включению».
2.3.16.	Лемма о снежинке. Пуств заданвт S G -2?(У, Z) и Т G	У). Существуют, и притом единственные, операторы
ai,..., «в, Для которвтх коммутативна диаграмма:
При этом (ввщеленная) последовательность
О ker ker S'1'АУ ker coker T	coker ST coker S 0
является точной. <[>
24
Гл. 2. Векторные пространства
У пражнения
2.1.	Привести примеры векторных пространств, а также и не векторных пространств. Какие конструкции приводят к векторным пространствам?
2.2.	Изучить векторные пространства над двухэлементным полем Z2.
2.3.	Описать векторное пространство со счетным базисом Гамеля.
2.4.	Доказать существование разрывных решений / : R —» R функционального уравнения
f(x + у) = f(x) + f (у) (х, у е R).
Как представить такие f графически?
2.5.	Доказать, что пространство, алгебраически сопряженное к прямой сумме, реализуется как прямое произведение.
2.6.	Пусть X D Xq Z) Xqq. Доказать, что X/Xqq и (X/Xq)/(Xqq/Xq) — изоморфные пространства.
2.7.	Пусть отображение «двойной диез» определено правилом:
х** -х*	(х\х*}	(х&Х,х*ЕХ*).
Установить, что это отображение осуществляет вложение векторного пространства X во второе сопряженное пространство X##.
2.8.	Доказать, что алгебраически рефлексивными являются конечномерные пространства и только они, т. е.
##(Х) = X## о dimX < -|-оо.
2.9.	Есть ли аналоги базисов Гамеля в общих модулях?
2.10.	При каких условиях сумма проекторов будет проектором?
2.11.	Пусть Т — эндоморфизм некоторого векторного пространства, причем Тп~1 ^Ои Тп = 0 для какого-то натурального п. Доказать, что операторы Т°, Г,..., Тп-1 линейно независимы.
2.12.	Описать строение линейных операторов, определенных на прямой сумме пространств и действующих в произведение пространств.
2.13.	Найти условия единственности решений следующих уравнений в операторах SZA = В и АХ= В (здесь неизвестным является оператор ^).
2.14.	Как устроено пространство билинейных операторов?
2.15.	Охарактеризовать векторные пространства, возникающие в результате овеществления комплексных векторных пространств.
Упражнения
25
2.16.	Для семейства линейно независимых векторов (xe)eES подыскать такое семейство функционалов	чтобы выполнялись соотношения:
(хе I xf) = 1
(е € ^);
(хе | xf) =0 (е, е Е S, е е).
2.17.	Для семейства линейно независимых функционалов	подыс-
кать такое семейство векторов (хе)е^^, чтобы выполнялись соотношения:
(хе I х#) = 1 (е Е S);
(хе | х#) =0 (е, е! Е S, е е).
2.18.	Найти условия совместности системы линейных уравнений и линейных неравенств в вещественных векторных пространствах.
2.19.	Пусть дана коммутативная диаграмма
W—> Х-^ Y—> Z “J. Д J- _ 7 J- <5 i
W—> ~Х~ Y—> z
с точными сторонами, причем ск — эпиморфизм, а 6 — мономорфизм. Доказать, что ker у = T(ker^) и T-1(ini7) = im^.
Глава 3
Выпуклый анализ
3.1.	Множества в векторных пространствах
3.1.1.	Определение. Пусть Г — подмножество IF 2, a U — подмножество векторного пространства. Множество U называют Г-множеством (и пишут U G (Г)), если выполнено
(Ai, л2) g г => ад./+ л2г/с а
3.1.2.	Примеры.
(1)	Любое множество входит в (0). (Таким образом, (0) не является множеством.)
(2)	При Г := IF2 непустые Г-множества это в точности линейные подмножества векторных пространств.
(3)	Если Г := Ж2, то непустые Г-множества в векторном пространстве X называют вещественными подпространствами в X.
(4)	Если Г := то непустые Г-множества называют конусами. Иными словами, непустое множество К является конусом в том и только в том случае, если К + К С К и аК С К при всех a G R+- Непустые \ 0-множества (иногда) называют незаостренными конусами, а непустые >+ х 0-множества — невыпуклыми конусами. (Здесь и в дальнейшем использовано обычное обозначение R+ := {t 6 R : t > 0}.)
(5)	Пусть Г := {(Ai, А2) G IF2 : Ai + А2 = 1}. Непустые Г-множества называют аффинными многообразиями. Если Хо
3.1. Множества ввекторных пространствах
27
— подпространство в X и ж G X, то ж + Xq := {ж} + Xq — аффинное многообразие в X. Наоборот, если L — аффинное многообразие в X и х Е L, то L — х:= L + {—ж} — линейное множество в X. <[>
(6)	Пусть Г := {(Ai, Л2) G F2 : |АХ| + |А2| < 1}. Тогда непустые Г-множества называют абсолютно выпуклыми.
(7)	Пусть Г:= {(А, 0) G F2 : |А| < 1}. ТогдаГ-множества называют уравновешенными (при F := R говорят также о звездных множествах; используют и термин «симметричное множество», что не вполне оправдано).
(8)	Пусть Г:= {(Ах, А2) G Ж2 : Ах > 0, А2 > 0, Ах + А2 = 1}. Тогда Г-множества называют выпуклыми.
(9)	Если Г:= {(Ах, А2) G х'у : Ах + А2 < 1}, то непустые Г-множества называют коническими отрезками. Множество является коническим отрезком в том и только в том случае, если оно выпукло и содержит нуль. <[>
(10)	Для любого Г С IF2 и произвольного векторного пространства X над F выполнено X G (Г). Отметим еще, что в 3.1.2 (1)-3.1.2 (9) множество Г является Г-множеством.
3.1.3.	Пусть X — векторное пространство и S — некоторое семейство Г-множеств в этом пространстве X. Тогда П{П : U G G (Г). Если, кроме того, imS филвтровано по возрастанию (относительно включения множеств), то U{0 :	(Г). <[>
3.1.4.	Замечание. Предложение 3.1.3, в частности, означает, что совокупность Г-множеств данного векторного пространства, будучи упорядочена по включению, становится полной решеткой.
3.1.5.	Пуств X и Y — векторнвте пространства, a U с X и V с Y — некоторые Г-множества. Тогда U х V G (Г).
<1 Если одно из множеств U или V пусто, то U х V = 0 и доказывать нечего. Пусть теперь нх, u2 G U и г>х, т2 G V, а (Ах, А2) G Г. Тогда Axux + А2м2 G U, а Ах?;2 + А2щ G V. Значит, (Ахнх + A2it2l Ax-yx + A2i>2) G U x V. [>
3.1.6.	Определение. Пусть X, Y — векторные пространства и Т С X х У — соответствие. Пусть Г С F2. Если Т G (Г), то Т называют Г-соответствием.
28
Гл. 3. Выпуклый анализ
3.1.7.	Замечание. Если Г-множества (при фиксированном Г) носят специальное название, то это название сохраняют и для Г-соответствий. В этом смысле говорят о линейных и выпуклых соответствиях, аффинных отображениях и т. п. Уместно подчеркнуть особенность терминологии: выпуклая функция одной переменной не является выпуклым соответствием, за исключением тривиальных случаев (см. 3.4.2).
3.1.8.	Пусть Т с X х Y — некоторое Г1 -соответствие, aU с X — некоторое Г2-множество. Если Г2 С Гх, то Т(Г) G (Г2).
<1 Если yi, У2 G T(U), то для некоторых х±, х--> G U будет (тх, У1) G Т и (т2, у2) G Т. Для (Ах, А2) G Г2 имеем (Ах, А2) G Гх и, значит, Ах(тх, У1) + А2(т2, у2) G Т. Отсюда следует, что Ахух + А2?/2 G Т(Г). >
3.1.9.	Суперпозиция Г-соответствий — Г-соответствие.
<1 Пусть FcXxVnGcWxYnF, Ge (Г). Имеем
(ti, yi) G GoFo (Зтх) (тх, тх) G F & (тх, ух) G G;
(т2, У2) G G о F О (Зт2) (т2, т2) G F & (т2, у2) G G. «Умножая первую строчку на Ах, вторую — на А2, где (Ах, А2) G Г, и складывая результаты», последовательно получаем требуемое. [>
3.1.10.	Если U,V — подмножества X и U,V G (Г) для Г С F2, то для любых а, (3 е F выполнено aU + (3V е (Г).
<1 Следует сослаться на 3.1.5, 3.1.8 и 3.1.9. 1>
3.1.11.	Определение. Пусть X — векторное пространство, Г — подмножество IF2 и U — подмножество X. Множество
Яг(Г):=П{Е С X : Ve (Г), V D U}
называют Г-оболочкой U.
3.1.12.	Справедливы утверждения:
(1)	ЯГ(Я) G (Г);
(2)	Яг (Г) —наименьшее Г-множество, содержащее U;
(3)	Гх С г2 ^Яг(Гх) СЯГ(Г2);
(4)	Ue (Г)оГ = Яг(Г);
(5)	Яг(Яг(Г)) = Яг(Г). <[>
3.2. Упорядоченные векторные пространства
29
3.1.13.	Имеет место формула Моцкина:
Нг(1Г) = и{//р(Ц)) : Uo с U, Uo— конечное подмножество}.
<1 Обозначим через V множество, стоящее в правой части формулы Моцкина. Так как Uo с U, то, по 3.1.12 (3), ТГг(^о) С Нг(1Г), а потому Нг(1Г) D V. В силу 3.1.12 (2) необходимо (и, разумеется, достаточно) проверить, что V G (Г). Но последнее следует из 3.1.3 и того факта, что Нг(^о) О #r(^i) С 7?г(^о U ^1)- >
3.1.14.	Замечание. Формула Моцкина показывает, что для описания произвольных Г-оболочек следует найти лишь Г-оболочки конечных множеств. Подчеркнем, что при конкретных Г используют специальные (но естественные) названия для Г-оболочек. Так, при Г:= {(Ai, Аг) G : Ах + А2 = 1} говорят о выпуклых оболочках и вместо Hr(U) пишут co(U). Вместо	пишут или
lin(?7), если U / 0, кроме того, полагают для удобства Jzf(0) := 0. Множество У?(U) называют линейной оболочкой U (и по возможности не путают с пространством эндоморфизмов У£\Х) векторного пространства X). Аналогично вводят понятия аффинной оболочки, конической оболочки и т. п. Отметим здесь же, что выпуклая оболочка конечного множества точек составлена из их же выпуклых комбинаций, т. е.
{n	1
У, XkXk : Afe > 0, Al + ... + XN = 1 > . <[>
fe=i	J
3.2.	Упорядоченные векторные пространства
3.2.1.	Определение. Пусть (X, R, +, •) — векторное пространство. Пусть, далее, а — предпорядок в X. Говорят, что а согласован с векторной структурой, если а — конус в X2. В этом случае пространство X называют упорядоченным векторным пространством. (Точнее говорить о предупорядоченном векторном пространстве (X, R, +, •, <т), сохраняя термин «упорядоченное векторное пространство» для тех ситуаций, когда а — это отношение порядка.)
3.2.2.	Пусть X — упорядоченное векторное пространство н а — соответствующий предпорядок. Тогда <т(0) — конус. При этом а(х) = х + <т(0) для всякого х G X.
30
Гл. 3. Выпуклый анализ
<1 Множество <т(0) — конус в силу 3.1.3. Помимо того, из тождества (ж, у) = (ж, ж) + (0, у — ж) выводим (ж, у) G а О у — ж G <т(0). 1>
3.2.3.	Пусть К—конус в векторном пространстве X. Положим
&'= {(®, У) £ X2 : у - ж G К}.
Тогда a — предпорядок, согласованный с векторной структурой, причем К совпадает с конусом положительных элементов <т(0). Более того, а является порядком в том и только в том случае, если КП(-К) = 0.
<1 Ясно, что 0бХ=>1хС<тиК + ХсК=><го(7С<т. Имеем также представление 1 = {(ж, у) G X2 : ж — у G К}. Значит, а П л 1 С 1х О К П (—К) = 0. Осталось проверить, что a — конус. С этой целью возьмем (ж1, yi), (жг, у2) G <г и оц, R+- Тогда О1У1+а2у2 — (сцж!+а2ж2) = «1(У1-®1) + «2(У2-®2) G aiK + a2K С
3.2.4.	Определение. Заданный конус К называют упорядочивающим или острым, если К О (—К) = 0.
3.2.5.	Замечание. На основании 3.2.2 и 3.2.3 задание в векторном пространстве структуры предупорядоченного векторного пространства равносильно выделению в нем конуса положительных элементов. Структуру упорядоченного векторного пространства создают выделением острого конуса. В этой связи о (пред)упорядоченном векторном пространстве X часто говорят как о паре (X, Х+), где Х+ — конус положительных элементов.
3.2.6.	Примеры.
(1)	Пространство функций с конусом >+ := (Г+)= функций, принимающих положительные значения.
(2)	Пусть X — упорядоченное векторное пространство с конусом положительных элементов Х+. Если Xq — подпространство X, то порядок, индуцируемый в Xq из X, задан конусом Xq П Х+. В этом смысле Xq рассматривают как упорядоченное векторное пространство.
(3)	Пусть X и У — (пред)упорядоченные векторные пространства. Оператор Т G _$f(X, У) называют положительным (пишут Т > 0), если выполнено Т(Х+) с У|_. Множество всех положительных операторов образует конус _2^_(Х, У). Линейную оболочку
3.2. Упорядоченные векторные пространства
31
У+(Х, У) обозначают символом У, (X, У). Операторы из У; (X, У) называют регулярными.
3.2.7.	Определение. Упорядоченное векторное пространство называют векторной решеткой, если решеткой является упорядоченное множество векторов рассматриваемого пространства.
3.2.8.	Определение. Векторную решетку называют пространством Канторовича или, короче, К-пространством, если любое непустое ограниченное сверху множество в ней имеет точную верхнюю границу.
3.2.9.	В К-пространстве каждое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.
<1 Пусть х < U. Тогда —х > —U. Значит, по 3.2.8 существует sup(—U). При этом —х > sup(—U). Отсюда очевидно следует, что — sup(—U) = inf U. [>
3.2.10.	В К-пространстве для непустых ограниченных сверху множеств U nV выполнено
sup(Lf + V) = sup U + sup V.
<1 В случае, когда множество U или множество V состоит из одного элемента, требуемое равенство ясно. Общий случай получаем теперь в силу «ассоциативности точных верхних границ». Именно,
sup(Lf + V) = sup{sup(u + V) : u € U} =
= sup{u + sup V : u G U} = sup V + sup{u : u G U} =
= sup V + sup U. [>
3.2.11.	Замечание. Вывод предложения 3.2.10 можно считать справедливым в произвольном упорядоченном векторном пространстве при условии, что у исходных множеств имеются точные верхние границы. Аналогично трактуют соотношение: sup XU = X sup U для X G ffi+.
3.2.12.	Определение. Для элемента х векторной решетки вектор х+ := х V 0 называют положительной частью х, элемент ж_ := (—ж)+ — отрицательной частью, а |ж| := х V (—ж) — модулем х.
32
Гл. 3. Выпуклый анализ
3.2.13.	В векторной решетке для любых элементов х и у имеет место тождество
х + у = х\/у + х/\у.
<1 х + у — х/\у = х + у+ (—х) V (—у) = у V х [>
3.2.14.	х = х+ — ж_; |ж| = ж+ + ж_.
<1 Первое равенство получается из 3.2.13 при у := 0. Помимо этого, |ж| = ж V (—ж) = —ж + (2ж) V 0 = —ж + 2ж+ = (ж+ — ж_) + 2ж+ = ж+ + ж_. [>
3.2.15.	Лемма о сумме промежутков. Для положительных элементов х, у в векторной решетке X будет
[0, ж + у] = [0, ж] + [0, у].
(Как обычно, [и, г>] := a(u) П л 1(ф.)
<1 Включение [0, ж] + [0, у] С [0, ж + у] несомненно. Если же 0 < z < х + у, то положим z\ := z Л ж. Видно, что z\ G [0, ж]. Пусть теперь z--> := z — z\. Тогда z--> > 0. При этом z--> = z — z Л ж = z + (—z) \/ (—ж) = 0 V (z - ж) <0\/(ж + у — ж) = 0\/у = у. [>
3.2.16.	Теорема Рисса — Канторовича. Пусть X — векторная решетка, a Y — некоторое К-пространство. Пространство регулярных операторов S£r (X, У) с конусом (X, У) положительных операторов является К -пространством. <[>
3.3.	Продолжение положительных функционалов и операторов
3.3.1.	Контрпримеры.
(1)	Пусть X — пространство В([0, 1], Ж) ограниченных вещественных функций на [0, 1], a Xq := С([0, 1], Ж) — подпространство X, составленное из непрерывных функций. Положим У := Xq и наделим Xq, X и У естественными отношениями порядка (ср. 3.2.6 (1) и 3.2.6 (2)). Рассмотрим задачу о продолжении тождественного оператора То : Xq —> ¥ до положительного оператора Т G _2^_(Х, У). Если бы эта задача имела решение Т, то у каждого непустого ограниченного множества S в Xq нашлась бы точная верхняя граница supx.. S, вычисленная в Хо. Именно, supXo S = Т supx S, где supx S — точная верхняя граница S в X. В то же время нет сомнений, что У не является К-пространством.
3.3. Продолжение положительных функционалов
33
(2)	Пусть s:= Rw — пространство последовательностей, наделенное естественным порядком. Пусть, далее, с — подпространство в s, составленное из сходящихся последовательностей. Установим, что положительный функционал Jq ' с определенный соотношением ./о (ж) := 1ппж(п), не допускает положительного продолжения на s. В самом деле, пусть / G s#, f > 0 и f D /о- Положим ®о(п) := п и Xk(n) := к Ап для fc, n G N. Ясно, что /о(ж&) = к. Помимо этого, /(®о) > /(яц) > 0, так как xq >	> 0. Получили
противоречие.
3.3.2.	Определение. Подпространство Хо упорядоченного векторного пространства X с конусом положительных элементов Х+ называют массивным (в X), если Xq + Х+ = X.
3.3.3.	Подпространство Xq массивно в X в том и только в том случае, если для всякого х G X найдутся элементы х0, х° G Хо такие, что выполнено xq < х < х°. <[>
3.3.4.	Теорема Канторовича. Пусть X —упорядоченное векторное пространство, Xq — массивное подпространство в X и Y — некоторое К-пространство. Любой положительный оператор То G _$?+(Хо, У) допускает положительное продолжение Т G _2^_(Х, У).
<1 Этап I. Пусть сначала X := Xq ф Xi, где Х± — одномерное подпространство, Х± := {ax : a G R}. Так как подпространство Xq массивно и оператор То положителен, то множество U := {Tqt° : х° G Xq, х° > ж} ограничено снизу и, значит, определен элемент y:=infL?. Положим
Тх:= {TqTq + ay : х = xq + ах, xq G Xq, a G R}.
Очевидно, T — однозначное линейное соответствие, причем Т D То и domT = X. Осталось убедиться в положительности Т.
Если х = xq + ах и х > 0, то при а = 0 доказывать нечего. Если же а > 0, то х > — xq/o. Отсюда следует, что — TqXq/o < у, т. е. 7'ж G У+, Аналогично при а < 0 имеем ж < — xq/o. Стало быть, у < — Тохо/а и вновь Тж = Тожо + ay G У|_.
Этап II. Пусть теперь S — совокупность таких однозначных линейных соответствий S с X х У, что S D То и S(X+) с У|_. В силу 3.1.3 при упорядочении по включению S индуктивно, и по лемме Куратовского — Цорна в S есть максимальный элемент Т.
34
Гл. 3. Выпуклый анализ
Если х G X \ dom Т, то можно применить доказанное на этапе I к случаю X := dom Т ф Х±, Xq := dom Т, Tq:= Т и Х± := {ох : а 6 R}. Возникает противоречие с максимальностью Т. Итак, Т — искомое продолжение. [>
3.3.5.	Замечание. При Y := R о 3.3.4 иногда говорят как о теореме Крейна — Рутмана.
3.3.6.	Определение. Элемент х из конуса положительных элементов называют дискретным, если [0, ж] = [0, 1]ж.
3.3.7.	Если на пространстве (X, Х+) имеется дискретный функционал, то X = Х+ — Х+.
<1 Пусть Т — такой функционал и .X : = Х+ — Х+. Возьмем f G Х#. Достаточно показать, что ker / D => / = 0. По условию Т + f G [0, Т], т. е. для некоторого a G [0, 1] будет Т + f = aT. Если Т\ж = 0, то 2Т G [0, Т]. Отсюда Т = 0 и f = 0. Если же Т(жо) 0 для какого-либо х$ G 9?, то а = 1 и вновь f = 0. 1>
3.3.8.	Теорема Крейна — Рутмана для дискретного функционала. Пусть X — упорядоченное векторное пространство, X — массивное подпространство в X и Tq — дискретный функционал на Xq. Тогда существует дискретный функционал Т на X, продолжающий Tq .
<1 «Подправим» доказательство 3.3.4.
Этап I. Предъявленный функционал Т дискретен. В самом деле, при Т' G [0, Г] для подходящего a G [0, 1] при всех х0 G Хо будет Т'(хо) = аТ(хо) и (Т — Т')(ж0) = (1 — а)Т(ж0). Оцениваем:
Т'(х) < т£{Т/(ж°) : ж0 > ж, ж0 G Xq} = аТ(ж);
(Т — Т')(х) < inf{(T — Т')(х°) : ж0 > ж, ж0 G Xq} = (1 — а)Т(ж).
Таким образом, Т' = аТ и [0, Г] С [0, 1]Т. Противоположное включение справедливо всегда. Итак, функционал Т дискретен.
Этап II. Пусть S — множество, введенное при доказательстве 3.3.4. Рассмотрим множество £&, состоящее из таких элементов S G S, что след A'ldomS представляет собой дискретный функционал на пространстве domS. Следует установить индуктивность В соответствии с 1.2.19 возьмем цепь <£q в Положим S := U{S0 :
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы
35
Sq G Sq}. Очевидно, что S G S. Убедимся в дискретности S, что и завершит доказательство.
Пусть S' G (domS)# таков, что 0 < S'(®o) < S(®o) для всех xq G (domS)+. Если S(®o) = 0 для любого такого жо, то S' = OS, что и нужно. Если же S(®o)	0 для некоторого xq G (dom S)+, то выбе-
рем Sq G Sq из условия Sq(®o) = S(®o). Тогда в силу дискретности Sq можно записать: S'(®') = aS(x') для всех х' G domSo- При этом a = S'(®o)/S(®o), т. е. а не зависит от выбора Sq. Поскольку Sq — цепь, заключаем: S' = aS. [>
3.4.	Выпуклые функции и сублинейные
функционалы
3.4.1.	Определение. Полурасширенной числовой прямой^' называют множество Ж' с присоединенным наибольшим элементом +оо. При этом полагают о(Тоо) := +оо (о G >+), +оо + х:= х + (+оо) := Too (ж G >').
3.4.2.	Определение. Пусть f : X R’ — некоторое отображение. Множество
epi/:= {(ж, t)eXxR: t > /(ж)}
называют надграфиком f, а множество
dom./':= {ж G X : /(ж) < Too}
— эффективной областью определения функции f.
3.4.3.	Замечание. Непоследовательность в применении символа dom f кажущаяся. Именно, эффективная область определения функции f : X —> R’ совпадает с областью определения однозначного соответствия / АХхКизХвК. В этой связи при dom f = X будем, как и прежде, писать f : X R, опуская точку в Ж'.
3.4.4.	Определение. Пусть X — вещественное векторное пространство. Отображение f : X R’ называют выпуклой функцией, если надграфик epi f — это выпуклое множество.
36
Гл. 3. Выпуклый анализ
3.4.5.	Отображение f : X R’ является выпуклой функцией в том и только в том случае, если имеет место неравенство Йенсена, т. е.
+ a2x2) < ciiffxi) + a2f(x2),
как только од, од > О, <д + a2 = 1 и х1; х2 G X.
<1 =>: Если выбраны числа од, 02 > О, «i Год = 1 и один из векторов яд, х2 не входит в dom f, то доказывать нечего — неравенство Йенсена очевидно. Пусть яд, х2 G dom/. Тогда (яд, /(яд)) G epi/ и (яд, /(яд)) G epi/. Стало быть, с учетом 3.1.2 (8),	/(яд)) +
«2(®2, /(ж2)) G epi/-
•<=: Пусть f : X R’ — функция и (яд, ti) G epi/, (я?2, 1г) G epi/, т. е. 11 > /(яд) и t2 > /(яд) (в случае dom / = 0 будет /(я;) = +оо (х G X) и epi f = 0). Привлекая неравенство Йенсена, видим, что для ai, а2 > 0, ai + а2 = 1 справедливо (оцяд + а2х2, apti + од«2) £ epi/. [>
3.4.6.	Определение. Отображение р : X R’ называют сублинейным функционалом, если надграфик epip — это конус.
3.4.7.	При domp 0 эквивалентны утверждения:
(1)	р является сублинейным функционалом;
(2)	р — выпуклая функция, удовлетворяющая условию положительной однородности: р(ах) = ар(х) при всех а > 0 и х G domp;
(3)	для любых од, а2 G R+ и яд, яд G X выполнено р(о1я;1 + а2х2) < о1р(я;1) + а2р(х2);
(4)	р — положительно однородный функционал, удовлетворяющий условию субаддитивности: р(яд + яд) < р(яд) +р(яд) для всех яд, яд G X. <[>
3.4.8.	Примеры.
(1)	Линейный функционал сублинеен, в то время как аффинный функционал — выпуклая функция.
(2)	Пусть U — выпуклое множество в X. Положим
/ , / , Г 0, если х G U, 6(U)(x):=
( Too, если х U.
Отображение : X R’ называют индикаторной функцией множества U. Ясно, что — выпуклая функция. Если U — конус, то
3.4. Выпуклые функции и сублинейные функционалы
37
— сублинейный функционал. Если U — аффинное множество, то ё(и) — аффинный функционал.
(3)	Сумма конечного числа выпуклых функций и точная верхняя граница (или верхняя огибающая) семейства выпуклых функций (вычисляемая поточечно, т. е. в (х')х) суть выпуклые функции. Аналогичные свойства наблюдают у сублинейных функционалов.
(4)	Суперпозиция выпуклой функции с аффинным оператором (т. е. со всюду определенным однозначным аффинным соответствием) является выпуклой функцией. Суперпозиция сублинейного функционала с линейным оператором — сублинейный функционал.
3.4.9.	Определение. Пусть X — векторное пространство, a U и V — два подмножества в X. Говорят, что U поглощает V, если найдется п G N, для которого V с nU. Множество U называют поглощающим (в X), если U поглощает каждую точку в X, т. е. X = UnE^nU.
3.4.10.	Пусть Т С X х Y — линейное соответствие, причем imT = Y. Если U поглощающее (в X), то T(U) поглощающее (в У).
< у = Т(х) = T(U„eN nW) = UnENT(nU') = U„eN nT(U) [>
3.4.11.	Определение. Пусть U — подмножество векторного пространства X. Точка х из U принадлежит ядру coreU множества U (или алгебраически внутренняя в U), если множество U — х — поглощающее в X.
3.4.12.	Пусть f : X —> R’ —выпуклая функция и х G coredom/. Для всякого h G X существует
\(h\ Г f(x + ah)-f(x) f(x + ah)-f(x) J (x)(h):= hm---------------= mi ----------------.
оЦО	a	a>o	a
При этом отображение J' Yi:) : h f'(x)h является сублинейным функционалом J ' Yr) : X —> R.
<1 Пусть <p(a) := f(x + ali). В силу 3.4.8 (4) отображение <p : Ж —> Ж' — это выпуклая функция. При этом О G core dom р. Отображение а (</?(а) — р(ДУ)/а (о > 0) возрастает и ограничено снизу, т. е. имеется </(0)(1). По определению /'(т)(/г) = </(0)(1).
38
Гл. 3. Выпуклый анализ
Для /3 > 0 и h G Н последовательно получаем
• г f^x + af3h^ ~ f (x)((3h) = inf----------------=
a
ap
Кроме того, для hi, € X в силу уже установленного
f \x)\h1 + /г2) = 21Ш1-----------------------=
МО	a
nr f (2 (Х + ahl^ + 2^ +	~ ЛЖ)
21im —-----------------------------
MO	a
, r /(ж + adii)-/(ж)	/(ж + ah-i) - /(ж)
< hm-----------------h hm---------------
MO	a	MO	a
= /'(жД/гД + /'(^)(/i2).
Ссылка на 3.4.7 завершает доказательство. [>
3.5.	Теорема Хана — Банаха
3.5.1.	Определение. Пусть X — вещественное векторное пространство, f : X —> R’ — выпуклая функция и ж G dom/. Множество
ЭД/) := {I G X* : (Vy G X) 1(у) - 1(х) < /(у) - /(ж)}
называют субдифференциалом функции f в точке х.
3.5.2.	Примеры.
(1)	Пусть р : X R’ — сублинейный функционал. Положим Э(р):= Эо(р). Тогда
Э(р) = {I G X* : (Уж G X) /(ж) < р(ж)};
дх(р) = {I £ 9(р) : /(ж) =р(ж)}.
3.5. Теорема Хана — Банаха
39
(2)	Пусть I G Х#. Тогда д(Г) = дх(Г) = {Z}.
(3)	Пусть Xq — подпространство X. Тогда
<Э(6(Х0)) = {I G X* : kerZ D Хо}.
(4)	Пусть / : X —> R’ — выпуклая функция и при этом выполнено х G coredom/. Тогда
М/) = Э(/(ж)).
3.5.3.	Теорема Хана — Банаха. Пусть Т G -2?(Х, У) — линейный оператор, f : У —> R’ — выпуклая функция, а точка х Е X такова, что Тх Е coredom/. Тогда
Эж(/оТ) = ЭТж(/)оТ.
<1 На основании 3.4.10 заключаем, что х G coredom f. Применяя 3.5.2 (4), имеем dx(f оТ) = d((f о Т)'(т)). Помимо этого, для й G X выполнено
(/оТ)-(«)(Ч = lim (/°Г)(» + аЛ)-(/оТ)М = оЦО	a
f(Tx + aTh)-f(Tz)
= S-----------~a-------= ! ™TK>
Положим p:= f'(Tx). Вновь апеллируя к 3.5.2 (4) и учитывая, что, в силу 3.4.12, р — это сублинейный функционал, выводим:
Э(р) = Э(Г(ТЖ)) = дТх(/ф,
Э(роТ) = Э((/оТ)'(т)) = Эж(/оТ).
Таким образом, осталось доказать равенство
д(роТ) = д(р) о Т.
Если Z G д(р) о Т, т. е. Z = 1± о Т, где l± G д(р), то Zi(y) < р(у) для любого у G У. В частности, l(x) G 1±(Тх) < р(Тх) = роТ(х) при всех х G X, т. е. Z G д(р о Т). Итак, Э(р) о Т С д(р о Т).
40
Гл. 3. Выпуклый анализ
Пусть теперь I G д(р о Г). Если Тх = 0, то /(ж) < р(Тх) = р(0) = 0, т. е. /(ж) < 0. То же верно для элемента —ж. Окончательно /(ж) = 0. Другими словами, kerZ D kerT. Значит, по теореме 2.3.8, I = Zi о Т для некоторого G У#. Полагая Yo := Т(Х) и обозначая символом l вложение Y> в Y, видим, что функционал о / входит в д(роь). Если мы покажем, что д(роь) С д(р) oi, то для подходящего Z2 G д(р) будет Zioz, = 12ol. Отсюда / = l^oT = I^oloT = 12oloT = 12оТ, т. e. I G д(р) о T.
Таким образом, для завершения доказательства теоремы Хана — Банаха следует установить только, что д(р 01) с д(р) о ь.
Возьмем элемент Zq из д(р 01) и в подпространстве фо := Y$ х R пространства ф := Y х R рассмотрим функционал То : (yo, £) » t — /о(уо)- Упорядочим ф с помощью конуса ф+ := epip. Заметим, во-первых, что подпространство фо является массивным в силу тождества
(у, t) = (0, t — р(у)) + (у, р(у)) (у G У, t G R).
Во-вторых, при (yo, t) G фо П Ф+, на основании 3.4.2, t > р(уо) и, стало быть, То(уо, £) = t — Zo(yo) > 0, т. е. То — положительный функционал на фо- По теореме 3.3.4 найдется положительный функционал Т на ф, продолжающий Tq. Положим Z(y):= Т(—у. 0) для у G У. Ясно, что Z о z, = Zo. Помимо этого, Т(0, t) = То(0, t) = t. Следовательно, 0 < Т(у, р(у)) =р(у) — Z(y), т. е. Ze д(р). [>
3.5.4.	Замечание. Утверждение теоремы 3.5.3 именуют также формулой линейной замены переменной под знаком субдифференциала, подразумевая бросающуюся в глаза связь со стандартным цепным правилом дифференциального исчисления. Отметим здесь же, что включение д(р о t) с д(р) о / часто называют «теоремой Хана — Банаха в аналитической форме» и выражают словами: «линейный функционал, заданный на подпространстве векторного пространства и мажорируемый там сублинейным функционалом, допускает продолжение на все пространство до линейного функционала, мажорируемого исходным сублинейным функционалом».
3.5.5.	Следствие. Пусть X — векторное пространство, Xq — подпространство в X и р : X х — сублинейный функционал. Имеет место (несимметричная) формула Хана — Банаха:
д(р + б(х0)) = д(Р) + д(б(х0)).
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов
41
<1 Включение правой части искомой формулы в ее левую часть очевидно. Для доказательства противоположного включения возьмем I G д(р + <5(А'о)). Тогда I о / G д(р о Д, где / — вложение Xq в X. По 3.5.3, I о i 6 д(р) о t, т. е. для подходящего G <Э(р) выполнено I о l = Zi о ь. Положим /2 : = I — h- Из определения получаем Z2 ° z, = (Z — Zi) о l = Z о l — Zi о l = 0, т. е. ker Z2 D Xq. Как отмечено в 3.5.2 (3), это означает, что Z2 G <Э(6(Х0)). [>
3.5.6.	Следствие. Пусть f : X —> R’ — некоторая выпуклая функция и х Е coredom/. Тогда dx(J) 0.
<1 Пусть р := a l : 0 —> X — вложение. Ясно, что О G д(р о Д, т. е. д(р о Д / 0. По 3.5.3, <Э(р) / 0 (иначе было бы 0 = <Э(р) о I = д(р о Д). Осталось привлечь 3.5.2 (4). [>
3.5.7.	Следствие. Пусть f±, /2 : X —> R’ —выпуклые функции и х G core dom Д О core dom Д. Тогда
dx(fi + /2) =	+ ДДД).
<1 Пусть pi := Д(ж) и Р2 := Д(ж). Для ж1> ж2 G X положим р(®1, ж2) := pi(®i) +^2(^2) и ЦжД := (жх, жх). Используя 3.5.2 (4) и 3.5.3, последовательно выводим:
dx(fi + /2) = 9(pi +р2) = д(р о Д =
= Э(р) о l = Э(р1) + Э(р2) = ДДД) + <ЭЖ(Д). [>
3.5.8.	Замечание. Следствие 3.5.6 иногда называют теоремой о непустоте субдифференциала. С одной стороны, ее можно установить непосредственным применением леммы Куратовского — Цорна. С другой стороны, имея следствие 3.5.6, можно доказать, что д(р оТ) = <Э(р) о Т, следующим образом. Положим
Рт(у) := inf{p(y + Тж) - /(ж) : ж G X},
где Z G <Э(р) и приняты обозначения из 3.5.3. Ясно, что функционал Рт сублинеен и любой элемент Zx из д(рт) удовлетворяет соотношению Z = Zi о Т. Итак, непустота субдифференциала и теорема Хана — Банаха в субдифференциальной форме образуют удобный (и не порочный) круг.
42
Гл. 3. Выпуклый анализ
3.6.	Теорема Крейна — Мильмана для суб дифференциалов
3.6.1.	Определение. Пусть X — вещественное векторное пространство и seg С X2 х X — соответствие, действующее по закону
seg(®i, ж2) := {oi®i + а2х2 : од, а2 >0, од + о2 = 1}-
Пусть, далее, V — выпуклое множество в X и segy — сужение seg на V2. Выпуклое множество U, лежащее в V, называют крайним в V, если seg/1 (Г) с Г2. Крайние множества иногда называют гранями. Точку х из V называют крайней точкой V, если {ж} — крайнее подмножество V. Множество крайних точек V обозначают символом ext(V).
3.6.2.	Множество U является крайним bV в том и только в том случае, если из условий Vi, v2 € V, оу о2 >0, oi + о2 = 1 и oi?7i + о2г2 G V вытекает, что щ G Г и г2 G Г. <[>
3.6.3.	Примеры.
(1)	Пусть р : X —> R’ — сублинейный функционал и точ-ка х из X входит в domp. Тогда <Эж(р) — крайнее подмножество
<1 Действительно, если для од, о2 > 0 и oi+o2 = 1 известно, что oiZi + o2Z2 G <Эж(р) и Zi, Z2 G <Э(р), то 0 = р(ж) - (оДДж) + o2Z2(a;)) = од(р(ж) — ЯДж))+ а2(р(ж) — £2(ж)) >0. Помимо этого, р(ж) — Zi (ж) >0 и р(ж) — /2(ж) > 0. Следовательно, Zx G дх(р) и l2 G <Эж(р). [>
(2)	Пусть U — крайнее множество в V и, в свою очередь, V — крайнее множество в W. Тогда U — крайнее множество в W. <[>
(3)	Пусть X — упорядоченное векторное пространство. Элемент ж G Х+ является дискретным в том и только в том случае, если луч {ах : о G л+} представляет собой крайнее множество в конусе Х+.
<1 •<=: Пусть 0 < у < ж. Тогда ж = 1/2 (2г/) + 1/2 (2(ж — у)). В силу 3.6.2, 2у = ож и 2(ж — у) = /Зх для некоторых о, (3 Е R+. Итак, 2ж = (о + /3)ж. Если ж = 0, то доказывать нечего. Если же ж / 0, то о/2 G [0, 1] и, стало быть, [0, ж] с [0, 1]ж. Обратное включение очевидно.
3.6. Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов
43
=>: Пусть [0, ж] = [0, 1]ж и для чисел а > 0; од, о2 > 0, ад + а2 = 1 и элементов у±, у2 G Х+ выполнено ах = арщ + а2у2. Если а = 0, то О1У1 G [0, ж] и а2у2 G [0, ж] и, стало быть, у\ и у2 лежат на рассматриваемом луче. Если же а > 0, то (ац/а)у1 = tx при подходящем t G [0,1]. Наконец, (а2/а')у2 = (1 — t)x. [>
(4)	Пусть U — выпуклое множество. Выпуклое подмножество V множества U называют шапкой U, если U \ V — выпуклое множество.
Точка ж в U является крайней в том и только в том случае, если {ж} — шапка множества U. <[>
3.6.4.	Лемма о крайней точке субдифференциала. Пусть р : X R — сублинейный функционал и I G <Э(р). Пусть, далее, X := X х R, УД := epip и Т[ : (ж, t) I — /(ж) (ж G X, t € Ж). Тогда I — крайняя точка <Э(р) в том и только в том случае, если Т[ — дискретный функционал.
<1 =>: Возьмем функционал Т' G такой, что Т' G [0, Тг]. Положим
fi:=T'(O, 1), /1(ж):=Т'(-ж, 0);
t2:= (Тг -Т')(0, 1), /2(ж):= (Тг -Т')(-ж, 0).
Ясно, что fi > 0, f2 > 0, ti +t2 = 1; Zi G d(txp), Z2 G 5(t2p) и Zi+Z2 = I. Если fi = 0, to Zi = 0, t. e. T' = 0 и T' G [0, 1]Тг. Если же t2 = 0, то fi = 1, t. e. T' = Ti и вновь T' G [0, 1]Т/. Пусть теперь fi, f2 > 0. Тогда 1/fi Zi G <Э(р) и l/t2 Z2 G d(p), причем Z = Д (1/fi Zi)+t2 (l/f2 Z2). Поскольку по условию Z G ext(<9(p)), из 3.6.2 выводим = Д1, t. e. T' = fiT.
•<=: Пусть Z = c«iZiH-ck2Z2, где Zx, Z2 G <Э(р) и од, a2 > 0, од + a2 = 1. Функционалы T' := аДД и T" := o27/2 положительны, причем Т' G [0, Ti], ибо Т' + Т" = 1}. Значит, найдется /3 G [0, 1], для которого Т' = (3Ti. Рассматривая точку (0,1), получаем а± = (3. Следовательно, = I. Аналогично l2 = Z. [>
3.6.5.	Теорема Крейна — Мильмана для субдифференциалов. Пусть р : X R — сублинейный функционал. Для всякого ж G X найдется крайний функционал I G ext(3(p)) такой, что г(ж) =р(ж).
44
Гл. 3. Выпуклый анализ
<1 Установим сначала теорему Крейна — Мильмана «в узком смысле», т. е. докажем, что в субдифференциале любого сублинейного функционала р есть крайние точки: ext(5(p))	0.
Введем в пространство 'X := X х R конус := epip и выделим подпространство Xq := 0х>. Заметим, что Х^ИХо = Ox х+ = epiO. Применяя 3.6.4 для случая X := О, I := 0 и р := 0, видим, что То — это дискретный функционал на Xq. Подпространство Хо в 9С массивное (ср. доказательство 3.5.3). Апеллируя к 3.3.8, подыщем дискретное продолжение Т G функционала Tq. Понятно, что Т = Ti, где /(ж) := Т(—х, 0) при х G X. Вновь привлекая 3.6.4, приходим к соотношению I G ext(5(p)).
Установим теперь теорему в полном объеме. На основании 3.4.12 и уже доказанного выберем элемент I из ех1(<Эж(р'(ж))). Из 3.5.2 (2) и 3.5.2 (4) вытекает: I G ех1(<Эж(р)). По 3.6.3 (1), <Эж(р) — крайнее множество в <Э(р). Таким образом, в силу 3.6.3 (2) функционал I является крайней точкой субдифференциала д(р). [>
3.6.6.	Следствие. Пусть р^, р% : X R — сублинейные функционалы. Неравенство щ > р% (в хх) справедливо в том и только в том случае, если d(pi) D ext(5(p2)).
<1 Бесспорно, что р± > р% о <9(pi) D d(pz). Кроме того, по 3.6.5, р2(®) = 8ир{/(ж) : I G ext(d(p2))}. >
3.7.	Теорема Хана — Банаха для полунормы
3.7.1.	Определение. Пусть (X, F, +, •) — векторное пространство над F. Векторное пространство (X, R, +, • |к Хх) называют вещественной основой пространства (X, F, +, •) и обозначают коротко символом Xr.
3.7.2.	Определение. Пусть X — векторное пространство и f G X# — линейный функционал. Положим Re / : j Re / (ж) (ж G X). Возникающее отображение Re : (X#)r —> (Xr)# называют овеществлением.
3.7.3.	Овеществление Re — это изоморфизм вещественных векторных пространств (X#)r и (Xr)#.
<1 Следует разобрать только случай F := С, ибо при F := R оператор Re — тождественное отображение.
3.7. Теорема Хана — Банаха для полунормы
45
Линейность оператора Re не вызывает сомнений. Убедимся в том, что Re — мономорфизм и эпиморфизм одновременно (ср. 2.3.2).
Если Re f = 0, то
О = Re /(гж) = Ве(г/(ж)) =
= Re(z(Re/(a;) + г Im/(ж))) = — Im/(ж).
Отсюда f = 0 и Re — мономорфизм.
Если теперь g G (Xr)^, то положим /(ж) := р(ж) — ф(гж). Очевидно, что f G _2?(Хв, С®) и Re/(ж) = р(ж) при ж G X. Осталось проверить, что f(ix) = ибо тогда f G X#. Прямое вычисление f(ix) = g(ix) + гр(ж) = г(р(ж) — ф(гж)) = г/(ж) позволяет заключить, что Re — эпиморфизм. [>
3.7.4.	Определение. Оператор Re 1 : (XR)# —> (X#)R называют комплексификатором.
3.7.5.	Замечание. В силу 3.7.3 для комплексного поля скаляров
Re rg : ж i-> р(ж) - гр(гж) (р G (XR)#, ж G X).
В случае F := R комплексификатор Re 1 — тождественный оператор.
3.7.6.	Определение. Пусть (X, F, +, •) — векторное пространство над F. Функцию р : X —> R’ называют полунормой, если domp G 0и для Ж1, ж2 G X и Ai, А2 G F выполнено
р(А1Ж1 + А2ж2) < |Ai|р(ж1) + |А2|р(ж2).
3.7.7.	Замечание. Каждая полунорма является сублинейным функционалом (на вещественной основе рассматриваемого пространства) .
3.7.8.	Определение. Пусть р : X —> R’ — полунорма. Множество
|а|(р):= {Z е X# : |/(ж)|<р(ж) при всех ж G X} называют субдифференциалом полунормы р.
46
Гл. 3. Выпуклый анализ
3.7.9.	Лемма о субдифференциале полунормы. Для любой полунормы р : X R’ субдифференциалы |5|(р) и д(р) связаны соотношениями
Ж = Re-1 (Э(р)); Re(|5|(p)) = 5(p).
<1 При F := R очевидно равенство |<Э|(р) = д(р). Осталось вспомнить, что в этом случае отображение Re — тождественное.
Пусть F := С. Если I G |<Э|(р), то (ReZ)(®) = Re/(ж) < |/(ж)| < р(ж) для всех х Е X, т. е. Re (|<Э|(р)) С д(р). Пусть теперь g G д(р) и f := Re \<у. Если /(ж) = 0, то |/(ж)| < р(ж). Если же /(ж) / 0, то положим 0:= |/(ж)|//(ж). Тогда |/(ж)| = 0/(ж) = /(0ж) = Ие/(0ж) = <?(0ж) < р(0х) = |0|р(ж) = р(ж), ибо |0| = 1. Итак, f G |<Э|(р). 1>
3.7.10.	Пусть X — векторное пространство, р : X —> R — полунорма и Хо — подпространство в X. Имеет место (несимметричная) формула Хана — Банаха для полунормы
\д\(р + б(х0)) = \д\(р) + \д\(б(х0)).
<1 С помощью 3.7.9 и 3.5.5, выводим:
|Э|(р + <5(Х0)) = Не-1(д(р + д(Х0))) = В.е-1(д(р)+д(д(Х0))) =
= Re-1(5(p)) + Re-W(X0))) = 1^10) + |Э|(Й(ХО)). О
3.7.11.	Пусть X, Y — векторные пространства, Т G ^(Х, Y) — линейный оператор и р : Y R — полунорма. Тогда р о Т — полунорма, причем
\д\(рот) = \д\(р)от.
<1 Привлекая 2.3.8 и 3.7.10, последовательно имеем
|Э|(роТ) = |Э|(р + 6(imT))оТ= (|<Э|(р) + |d|(<5(imT))) оТ =
= |<Э|(р) о Т + |<Э|(Й(ш1Т)) о Т = \д\(р)оТ. >
3.7.12.	Замечание. В случае оператора вложения и комплексного поля скаляров 3.7.11 называют теоремой Сухомлинова — Бо-ненблюста — Собчика.
3.7.13.	Теорема Хана — Банаха для полунормы. Пусть X — векторное пространство, р : X R — полунорма и Xq — подпространство в X. Пусть, далее, Z() — линейный функционал на Xq, для которого |£о(жо)| < р(жо) при жо G Xq. Тогда существует такой линейный функционал I на X, что |/(ж)| < р(х) для всякого х G X и, кроме того, 1(xq) = Zq(tq), как только жо G Xq. <[>
3.8. Функционал Минковского и отделимость
47
3.8.	Функционал Минковского и отделимость
3.8.1.	Определение. Пусть Ж — расширенная числовая прямая (т. е. Ж' с присоединенным наименьшим элементом — оо). Если X — произвольное множество и f : X R — некоторое отображение, то для t € R полагают
{f < t}:= {х G X : /(ж) < t};
Множества {f < t}, {f = t}, {f < t} называют лебеговыми множествами f. Помимо этого, множества {f = t} называют множествами уровня.
3.8.2.	Лемма о задании функции лебеговыми множествами. Даны Т с Ж и 11—. Ut (t G T) — семейство подмножеств X. Существует функция f : X —> R такая, что
{f <t}cutc{f <t} (teT)
в том и только в том случае, если отображение t Ut возрастает.
<1 =>: Пусть Т содержит не менее двух элементов s и t (в противном случае нечего доказывать). Если s < t, то
us С {f < s} С {f < t} C Ut.
•<=: Положим /(ж) := inf{£ G T : ж G Ut}. Тем самым задано отображение f : X R. Если для некоторого £ G Т множество {/ < £} пусто, то {/ < £} С Ut. Если же ж G {/ < £}, то /(ж) < +оо, а потому найдется элемент s G Т, удовлетворяющий соотношениям ж G Us и s < £. Итак, {f < £} С Us С Ut. Помимо этого, если ж G Ut, то по определению / будет /(ж) < £, т. е. выполнено Ut с {f < £}. 1>
3.8.3.	Лемма о сравнении функций, заданных лебеговыми множествами. Пусть функции f, g : X —> R определены семействами (Ut)teT и (Vt)teT соответственно:
{f < £} С Ut С {f < £};
48
Гл. 3. Выпуклый анализ
{д < t} с Vt с {д < t} (£ G Г).
Пусть, далее, Т плотно в Ж (т. е. (V г, t G R, г < i) (3 s 6 Т) (г < s < £)). Неравенство f < д (в R , т. е. /(ж) < р(ж) для х G X) имеет место в том и только в том случае, если
ill ^2 G Г, £i < £2 =* Vtt С Ut2.
<1 =>: Следует из включений
vtl с {д < £1} С {f < £1} С {f < £2} С Ut2.
•<=: Пусть р(ж) / +оо (иначе заведомо /(ж) < р(ж)). Для £ G К такого, что р(ж) < £ < +оо, выберем £1; £2 G Т из условий р(ж) < £1 < £2 < £. Имеем
ж G {д < £1} С Vtl С Ut2 С {f < £2} С {/ < £}.
Итак, /(ж) < £. Из-за произвольности £ получаем: /(ж) < р(ж). [>
3.8.4.	Следствие. Пусть Т плотно в Ж и семейство t » Ut (£ G Г) возрастает. Существует, и притом единственная, функция f : X R, для которой
{f <t}cUtc{f <£} (£ G Г).
Для лебеговых множеств f выполнены соотношения
{f < t} = U {Us : s < £, s G T};
{f <£} = П{ГГ: t<r, rGT} (£GR).
<1 Существование и единственность f обеспечены 3.8.2 и 3.8.3. Если s < £,s G Т, то Г С {/ < s} С {/ < £}. Если же /(ж) < £, то в силу плотности Т найдется s G Т так, что /(ж) < s < £. Значит, f G {f < s} С Us, что доказывает формулу для {f < £}. Пусть теперь г > £, г G Т. Тогда {f < £} С {f < г} с Ur. В свою очередь, если ж G Ur для г G Т, г > £, то будет выполнено /(ж) < г для всех г > t, откуда /(ж) < £. [>
3.8. Функционал Минковского и отделимость
49
3.8.5.	Пусть X — векторное пространство и S — некоторый конический отрезок в нем. Для t € R положим Ut:= 0, если t < 0, и Ut:=tS при t > 0. Отображение 1Ut (£ G R) возрастающее.
<1 Если О < £i < t2 и х G £iS, то х G (ti/t2)t2S. Значит, х G t2S. [>
3.8.6.	Определение. Функционал ps : X R такой, что
{ps < £} С £5 с {ps < £} (£ G >+)
и {р < 0} = 0, называют функционалом Минковского конического отрезка S. (Существование и единственность этого функционала обеспечивают 3.8.2, 3.8.4 и 3.8.5.) Иными словами,
Ps(x) = inf{£ > 0 : х G tS} (ж G X).
3.8.7.	Теорема о функционале Минковского. Функционал Минковского конического отрезка сублинеен и принимает положительные значения. Если, в свою очередь, р — некоторый сублинейный функционал с положительными значениями, то множества {р < 1} и {р < 1} суть конические отрезки. При этом р является функционалом Минковского любого конического отрезка S такого, что {р < 1} С S с {р < 1}.
<1 Пусть S — некоторый конический отрезок и ps — его функционал Минковского. Пусть х G X. Неравенство ps(t) > 0 очевидно. Возьмем a > 0. Тогда
ps(ax) = inf{£ > 0 : ax G tS} = inf < £ > 0 : x G — S > =
I a J
= inf{a/3 > 0 : x G {3S, (3 > 0} =
= ainf{/3 > 0 : x G /3S} = aps(x).
Для проверки субаддитивности ps возьмем яц, x2 G X и, заметив, что для £i, £2 > 0 выполнено t^S + t2S С (£1 + t2)S (ибо имеет место тождество
£1^1 + t2x2 = (£1 + £2) (	ti + —у—х2 ) ) ,
+ L2 tl + Ь2 J J
50
Гл. 3. Выпуклый анализ
последовательно получаем
Ps(®i + ж2) = inf{£ > 0 :	+ ®2 G tS} <
< inf{£ : t = £х + £2; Н, t2 >0, яд G £х5, т2 G t2S} =
= inf{£i > 0 : яд G £XS} + inf{£2 > 0 : яд G t2S} = рз(яд) + Ps(t2).
Пусть теперь p : X R’ — произвольный сублинейный функционал с положительными значениями. Пусть {р < 1} С S С {р < 1}. Положим Vt := {р < £}, Ut := tS для £ G Кд и Vt := Ut := 0 при £ < 0. Ясно, что
{ps < £} с Ut с {ps < £}; {p<t} cvtc{p< £}
для £gR. Если 0 < £х < £2, то Vtl = {р < £х} = tr{p < 1} С trS = Utl С Ut2. Кроме того, Utl С tr{p < 1} С {р < £1} С {р < £2} С Vt2. Значит, в силу 3.8.3 и 3.8.4, р = ps- 1>
3.8.8.	Замечание. Конический отрезок S в X является поглощающим множеством в том и только в том случае, если domps = X. Если же известно, что S абсолютно выпукло, то ps — полунорма. При этом для любой полунормы р множества {р < 1} и {р < 1} являются абсолютно выпуклыми. <[>
3.8.9.	Определение. Подпространство Н данного векторного пространства X называют гиперподпространством, если Х/Н изоморфно основному полю. Элементы Х/Н называют гиперплоскостями в X (параллельными Н). Под гиперплоскостью в X понимают аффинное многообразие, параллельное какому-либо гиперподпространству X. При необходимости гиперплоскости в вещественной основе Xr пространства X именуют вещественными гиперплоскостями в X.
3.8.10.	Гиперплоскости в X суть в точности множества уровня ненулевых элементов из X#. <[>
3.8.11.	Теорема отделимости. Пусть X — векторное пространство, U — непустое выпуклое множество в X и L — аффинное многообразие в X. Если L П U = 0, то найдется гиперплоскость Н в X такая, что Н D L и Н П core Г = 0.
Упражнения 51
<1 Не нарушая общности, можно считать, что core U 0 (иначе нечего доказывать) и, более того, что О G core U. Возьмем точку х G L и положим Xq := L — х. Рассмотрим вектор-пространство X/Xq и соответствующее каноническое отображение р : X X/Xq. Привлекая 3.1.8 и 3.4.10, видим, что p(U) является поглощающим коническим отрезком. Значит, в силу 3.8.7 и 3.8.8 функционал Минковского р:= Pv(u) таков, что domp = Х/Хо и, кроме того,
p(coretl) С corep(Ll) С {р < 1} С р(1Г).
Отсюда, в частности, следует, чтор(р(ж)) > 1 либо р(ж) p(U~).
На основании 3.5.6 имеется функционал f из субдифференциала дх(р о р). Учитывая теорему Хана — Банаха 3.5.3, выводим
7 £ дх(р о р) = dv(x) (р) о р.
Положим Н := {f = р о р(ж)}. Ясно, что Н — это вещественная гиперплоскость в X. То, что Н D L, несомненно. Осталось сослаться на 3.5.2 (1), чтобы заключить: Н О core?/ = 0. Пусть теперь / := Re и Н := {/ = /(ж)}. Нет сомнений, что L С Н С Н. Таким образом, гиперплоскость Н — искомая. [>
3.8.12.	Замечание. В условиях теоремы отделимости 3.8.11 можно считать, что core U О L = 0. Отметим здесь же, что теорему 3.8.11 часто называют теоремой Хана — Банаха в геометрической форме или же теоремой Минковского — Асколи — Мазура.
3.8.13.	Определение. Пусть U, V — множества в X и Н — вещественная гиперплоскость в X. Говорят, что Н разделяет U и V, если эти множества лежат в разных полупространствах, определяемых Н, т. е. если существует представление Н = {f < t}, где f G (XR)# и t e R, для которого V С {f < t} и U C {f > t} := {—f < -t}.
3.8.14.	Теорема отделимости Эйдельгайта. Пусть U и V — непустые выпуклые множества, причем ядро V не пусто и не пересекается с U. Тогда найдется вещественная гиперплоскость, разделяющая U nV и не содержащая точек ядра V. <[>
52
Гл. 3. Выпуклый анализ
У пражнения
3.1.	Установить, что гиперплоскостями служат в точности максимальные по включению аффинные множества, не совпадающие со всем пространством.
3.2.	Доказать, что каждое аффинное множество представляет собой пересечение гиперплоскостей.
3.3.	Доказать, что в вещественном векторном пространстве дополнение гиперплоскости состоит из двух выпуклых множеств, каждое из которых совпадает со своим ядром. Такие множества именуют открытыми полупространствами. Объединение открытого полупространства с исходной гиперплоскостью называют замкнутым полупространством. Найти способы задания полупространств.
3.4.	Найти возможные представления элементов выпуклой оболочки конечного числа точек. Как учесть конечномерность пространства, в котором ведется рассмотрение?
3.5.	Для множеств Si и S2 полагают S = U0<A<1 А51П(1 —A)S2. Доказать, что S выпукло при условии выпуклости Si и Да.
3.6.	Вычислить функционалы Минковского полупространства, конуса, выпуклой оболочки объединения и пересечения конических отрезков.
3.7.	Пусть S := {р + q < 1}, где р, q — функционалы Минковского конических отрезков Sp и Sq. Выразить S через Sp и Sq.
3.8.	Описать сублинейные функционалы, определенные на
3.9.	Вычислить субдифференциал максимума конечного числа линейных функционалов.
3.10.	Пусть р, q — сублинейные функционалы, находящиеся в общем положении, т. е. такие, что
domp — domq = domq — domp.
Доказать симметричную формулу Хана — Банаха (ср. 3.5.7)
д(р + q) =др + dq.
3.11.	Пусть р, q : X —* R — всюду определенные на X сублинейные функционалы. Тогда выполнено равенство
Э(р V q) = со(др U dq).
3.12.	Найти функционал Минковского шара с необязательно нулевым центром симметрии в гильбертовом пространстве.
3.13.	Симметричную квадратную 2 х 2-матрицу назовем положительной, если у нее положительные собственные числа. Согласован ли возникающий порядок в пространстве таких матриц с векторной структурой? Определяет ли он структуру пространства Канторовича?
4 Упражнения
53
3.14.	На каждом ли упорядоченном векторном пространстве можно задать нетривиальный положительный функционал?
3.15.	Какими способами можно превратить в К-пространство?
3.16.	При каких условиях заключение теоремы Хана — Банаха в аналитической форме выполнено для не всюду определенного сублинейного функционала?
3.17.	Для стандартной нормы в loo найти крайние точки ее субдифференциала.
3.18.	Найти возможные обобщения теоремы Хана — Банаха для отображений, действующих в пространства Канторовича.
3.19.	Для множества С в пространстве X определить преобразование Хёр-мандера Н(С) соотношением
Н(С) = {(re, t) Е X х R : х Е tC}.
Изучить свойства преобразования Хёрмандера.
Глава 4
Экскурс в метрические пространства
4.1.	Равномерность и топология метрического пространства
4.1.1.	Определение. Отображение d : X2 >+ называют метрикой на X, если
(1)	d(x, у) = О О ж = у;
(2)	с?(ж, у) = d(y, ж) (ж, у G X);
(3)	d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) (ж, у, z G X).
Пару (X, d) называют метрическим пространством. Вещественное число й(ж, у) обычно именуют расстоянием между ж и у. Допуская вольность речи, само множество X в этой ситуации также называют метрическим пространством.
4.1.2.	Отображение d : X2 —> >+ является метрикой в том и только в том случае, если
(1)	{d<Q}=Ix;
(2)	{d < t} = {d < f} 1 (t G R+);
(3)	{d < fi} о {d < t2} C {d < ti + t2} (fi, t2 G >+).
<1 Свойства 4.1.2 (1)-4.1.2 (3) суть переформулировки 4.1.1 (1)-4.1.1 (3) соответственно. [>
4.1.3.	Определение. Пусть (X, d) — метрическое пространство и £ G >+ \0. Множество Bs := В^Е := {d < г} называют замкнутым цилиндром (порядка е), а множество ВЕ := В^е '= {d < е} —
4.1. Равномерность и топология метрического пространства
55
открытым цилиндром (порядка е). Образ Ве(ж) точки х при соответствии Bs называют замкнутым шаром радиуса £ с центром в х. Аналогично множество Ве(ж) называют открытым шаром радиуса £ с центром х.
4.1.4.	Открытые цилиндры, равно как и замкнутые цилиндры непустого метрического пространства, составляют базисы одного и того же фильтра. <[>
4.1.5.	Определение. Фильтр, порожденный цилиндрами непустого метрического пространства (X, d) в множестве X2, называют метрической равномерностью и обозначают У/х, или Ж/, или, наконец, просто <%, если нет сомнений, о каком пространстве идет речь. При X := 0 полагают У/х '= {0}. Элементы равномерности У/х называют окружениями (диагонали).
4.1.6.	Пусть & —метрическая равномерность. Тогда
(1)	Жсй1{/Х};
(2)	и G W => В-1 G W-,
(3)	(V и G <%) (3 V G <%) V о V С В;
(4)	П{В: Ue%} = Ix.
4.1.7.	Замечание. Свойство 4.1.6 (4), связанное с 4.1.1 (1), часто называют хаусдорфовостью %.
4.1.8.	Для пространства X с равномерностью ^х положим
т(х):= {U(x) : ВёЖ}.
Тогда т(х) — фильтр для каждого х G X. При этом
(1)	т(х) С Н1{ж};
(2)	(VB G т(х)) (3V G т(х) & V С В) (Vy G V) В G т(у). <[>
4.1.9.	Определение. Отображение т : х т(х) называют метрической топологией, а элементы т(х) — окрестностями точки х. Для обозначения топологии используют также и более полные обозначения: Тх, т(%) и т. п.
56
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
4.1.10.	Замечание. Замкнутые шары с центром в некоторой точке составляют базис фильтра окрестностей этой точки. То же верно и для открытых шаров. Отметим еще, что у различных точек в X существуют непересекающиеся окрестности. Это свойство, связанное с 4.1.6 (4), называют хаусдорфовостью тх-
4.1.11.	Определение. Множество G в X называют открытым, если оно является окрестностью каждой своей точки (символически: G G Ор(т) о ((V® G G) G G т(ж))). Множество F в X называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически: FgC1(t)o(X\FgOP(t))).
4.1.12.	Объединение любого семейства и пересечение конечного семейства открытых множеств сутъ множества открытые. Пересечение любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых множеств суть множества замкнутые. <[>
4.1.13.	Определение. Для множества U в X полагают
шШ:= U := U{G G Ор(тх) : G QU}-
ciU:= U:= n{F G Cl(rx) : F D U}.
Множество int U называют внутренностью U, а его элементы — внутренними точками U. Множество cl U называют замыканием U, а его элементы — точками прикосновения U. Внутренность дополнения X \ U называют внешностью U, а элементы внешности — внешними точками U. Точки пространства X, не являющиеся ни внешними, ни внутренними для U, называют граничными точками U. Совокупность всех граничных точек U называют границей U и обозначают fr U или dU.
4.1.14.	Множество U является окрестностью точки х в том и только в том случае, если х — внутренняя точка U. <н>
4.1.15.	Замечание. В связи с предложением 4.1.14 множество Ор(тх) также часто называют топологией X, имея в виду, что тх однозначно восстанавливается по Ор(тх). Последнее, разумеется, относится и к совокупности С1(тх) всех замкнутых множеств в X.
4.1.16.	Определение. Пусть S3 — базис фильтра в X. Говорят, что S3 сходится к точке х из X или что х — это предел S3 (и пишут: S3 ж), если тоньше фильтра окрестностей точки х, т. е. fil-F? D т(х).
4.2. Непрерывность и равномерная непрерывность
57
4.1.17.	Определение. Пусть — это (обобщенная) последовательность в X. Говорят, что рассматриваемая последовательность сходится к х (пишут: х^ —> х), если к х сходится фильтр хвостов этой последовательности. Используют и другие распространенные обозначения и обороты. Например, х = lime хс и х — предел (т^), когда £ пробегает S.
4.1.18.	Замечание. Предел фильтра, как и предел обобщенной последовательности, единствен. Этот факт есть другое выражение хаусдорфовости топологии. <[>
4.1.19.	Для непустого множества U и точки х равносильны следующие утверждения:
(1)	точка х является точкой прикосновения U;
(2)	существует фильтр & такой, что — з: и U t &,
(3)	существует последовательность (яд н элементов U, сходящаяся к точке х.
<1 (1) => (2): Так как х не является внешней точкой U, то фильтры т(т) и fil {?7} имеют точную верхнюю границу & := т(х) Vfil {?/}.
(2)	=> (3): Пусть J ж и ( £ &. Превратим & в направление с помощью порядка, противоположного порядку по включению. Возьмем ху G V П U для V G &. Ясно, что ху х.
(3)	=> (1): Пусть V — замкнутое множество, (т^)^еп — последовательность элементов V и хс —> х. Достаточно показать, что в этом случае х G V. Последнее очевидно, ибо при х G X \ V хотя бы для одного ( 6 5 было бы хс G X \ V. [>
4.1.20.	Замечание. В условиях метрического пространства в 4.1.19 (2) можно считать, что фильтр & имеет счетный базис, а в 4.1.19 (3) — что S := N. Указанное обстоятельство иногда выражают словами: «метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности».
4.2.	Непрерывность и равномерная непрерывность
4.2.1.	Пусть f : X Y и тх, ту — топологии в X и Y соответственно. Эквивалентны утверждения:
58
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
(1)	СеОркун/ 'АеОрЫ:
(2)	FGCl(Ty)^r1(F) GCl(rx);
(3)	/(тх(ж)) D ту(/(ж)) при всех х G X;
(4)	(х G X, х ') =• (J(XT) /(ж)) Для фильтра УТ;
(5)	/(ж^) —> /(ж), каковы бы ни были точка х и сходящаяся к ней последовательность (ж^)-
<1 Эквивалентность (1) о (2) вытекает из 4.1.11. Остается проверить, что (1) => (3) => (4) => (5) => (2).
(1) => (3): Если V G ту (/(ж)), то W:= int V G Ор(ту) и /(ж) G W. Отсюда	G Ор(тх) и ж G 1(И'). Иначе говоря, fYW) G
тх(х) (см. 4.1.14). Помимо этого, /' 1 (V') D f4W} и, следовательно, ./' 1 (V’) G тх(ж). Наконец, V D 1 (V’)).
(3)	=> (4): Если .F ж, то fil .F Э ту(ж) по определению 4.1.16. Привлекая условие, выводим /(^) D /(тх(ж)) D ту(/(ж)). Повторная апелляция к 4.1.16 дает /(^) —> /(ж).
(4)	=> (5): Образ фильтра хвостов последовательности (жфгз при отображении f грубее фильтра хвостов (/(ж^))^6д.
(5)	=> (2): Пусть F — замкнутое подмножество в Y. Если F = 0, то 1 (F) также пусто, а потому и замкнуто. Пусть F непусто и ж — точка прикосновения 1 (/•'). Рассмотрим последовательность (жс)сГд точек из 1 (/•'), сходящуюся к ж (ее существование обеспечено 4.1.18). Тогда /(ж^) G F и /(ж^) —> /(ж). Вновь применяя 4.1.18, видим, что /(ж) G F и, стало быть, ж G 1 (/•'). [>
4.2.2.	Определение. Отображение f : X -х Y, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений 4.2.1 (1)-4.2.1 (5), (как хорошо известно) называют непрерывным. Если при этом 4.2.1 (5) выполнено в фиксированной точке ж G X, то говорят, что f непрерывно в точке х. Стало быть, f непрерывно на X в том и только в том случае, если f непрерывно в каждой точке X.
4.2.3.	Суперпозиция непрерывных отображений непрерывна.
<1 Следует трижды применить 4.2.1 (5). 1>
4.2.4.	Пуств J : X — У и %х-,	— равномерности в X и Y
соответственно. Эквивалентны утверждения:
(1)	(VVG'W) (3UeWx) ^ж, у)(ж, у)УГ=>
=Х (/(ж), /(у)) G V-
(2)	(VVG^y) f^oVofe^x-,
4.3. Полунепрерывность
59
(3)	fx (^Of) D 'W, где fx : X2 Y действует по правилу fx : (x, y) (f(x), f(y));
(4)	(VV G r-'tV) e ®x, T. e.	c ^x.
<1 Достаточно заметить, что по 1.1.10 для U с X2 и V с Y2 выполнено
/-1oVo/= [J / %) / f L(y) = (V1,^2)6V
= {(Ж,у) G X2 : (/(Ж), /(у)) GV} = 7х-1 (V);
foUof-1= [J /(kJ x/(u2) =
(Ul,1X2)6^
= {(/(ui), /(ti2)) : («1, w2) G U} = fx(U). [>
4.2.5.	Определение. Отображение f : X Y, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных утверждений 4.2.4 (1)-4.2.4 (4), (как хорошо известно) называют равномерно непрерывным.
4.2.6.	Суперпозиция равномерно непрерывных отображений равномерно непрерывна.
<1 Пусть f : X —>Y, g :Y Z и h:= g о f : X Z. Ясно, что
hx (®, у) = (h(x), 7i(y)) = (y(/(®)), y(/(y))) =
= sx(/(®), f(y)) = gx °fx(x, y)
для всех x, у из X. Значит, hx (%х) = gx (,/х (^х)) D ух (^у) D %z в силу 4.2.4 (3). Вновь апеллируя к 4.2.4 (3), видим, что h равномерно непрерывно. [>
4.2.7.	Равномерно непрерывное отображение непрерывно. <[>
4.2.8.	Определение. Пусть S’ — множество отображений из X в У и ^х,	— соответствующие равномерности. Множество S
называют равностепенно (равномерно) непрерывным, если
(VVG W) П f^oVofe^x-
fes
4.2.9.	Равностепенно непрерывное множество отображений состоит из равномерно непрерывных отображений. Конечное множество равномерно непрерывных отображений равностепенно непрерывно. <[>
60
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
4.3.	Полунепрерывность
4.3.1.	Пуств (Xi, ф) и (Х2, ф) —метрические пространства. Пуств, далее, 9Г := хХ2. Длях:= (ж1; т2) ИУ:= (У1> У2) положим
d(x, у)-.= дДхг, У1) + Ф(ж2, у2).
Тогда d — метрика на 9Г. При этом для любого х:= (ж1; ж2) G 9Г справедливо представление
тХ(х) = filfTi х U2 : 1Д G tX1(®i), U2 G тХ2(ж2)}. <[>
4.3.2.	Определение. Топологию т%- называют произведением топологий тхг и тх2 или топологией произведения Х± и Х2 и обозначают Txt х тх2.
4.3.3.	Определение. Функцию f : X R’ называют полунепрерывной снизу, если ее надграфик epi f — замкнутое множество в топологии произведения X и Ж.
4.3.4.	Примеры.
(1)	Непрерывная функция f : X R полунепрерывна снизу.
(2)	Если Д : X —> R’ — полунепрерывная снизу функция для каждого £ G Е, то верхняя огибающая /(ж) := sup{Д(ж) : £ G Е} (ж G X) также полунепрерывная снизу функция, так как epi f = nee=epi/e.
4.3.5.	Функция f : X R’ полунепрерывна снизу в том и только в том случае, если выполнено
ж G X => /(ж) = lim inf f(y).
Здесь, как обычно,
lim inf /(у) := lim /(у) := sup inf f(U)
У^х	y—^-x	UEt(x)
— нижний предел функции f в точке ж (по фильтру г (ж)).
<1 =>: Если ж dom/, то (ж, t) epi/ для каждого t е R. Значит, имеется окрестность Ut точки ж, где inf f(Ut) > t. Отсюда вытекает: lim,y ,., inf/(y) = +00 = /(ж). Если же ж G dom/,
4.4. Компактность
61
то inf f(V) > —оо для подходящей окрестности V точки х. Выберем е > 0 и для любой U G т(ж), лежащей в V, подыщем точку ху G U из условия inf f(U) > f(xy) — £ По построению ху G dom/ и, кроме того, ху х (при введении естественного порядка в множество окрестностей точки ж). Положим ty := inf f(U) + £. Ясно, что ty t := liiriy ,..,;inf f(y) + £. Поскольку (xy, ty) G epi/, to (ж, t) G epi / в силу замкнутости надграфика /. Окончательно
lim inf f(y) + £ > /(ж) > lim inf f(y). y—^X	y^-X
•<=: Если (ж, t) epi /, to
t < lim inf /(y) = sup inf f(U).
UEt(x)
Таким образом, inf f(U) > t для некоторой окрестности U точки ж.
Отсюда вытекает, что дополнение (X х Ж) \ epi / открыто. [>
4.3.6.	Замечание. Свойство, указанное в предложении 4.3.5, можно принять за основу определения полунепрерывности снизу в точке.
4.3.7.	Функция f : X R непрерывна в том и только в том случае, если f и —f полунепрерывны снизу. <[>
4.3.8.	Функция f : X —> R’ полунепрерывна снизу в том и только в том случае, если для всякого t G R замкнуто лебегово множество
<1 =>: Если ж {/ < t}, то t < /(ж). На основании 4.3.5 в подходящей окрестности U точки ж будет t < inf f(U). Иначе говоря, дополнение X \ {f < t} открыто.
•<=: Пусть для каких-нибудь ж G X и t G R выполнены соотношения lim^-^inf /(у) < t < /(ж).
Возьмем £ > 0 из условия t+e < /(ж) и, используя рассуждения доказательства 4.3.5, для U G т(ж) найдем точку ху из U П {/ < inf f(U) + £}. Бесспорно, ху G {/ < t + £} и ху х. Приходим к противоречию. [>
62
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
4.4.	Компактность
4.4.1.	Определение. Пусть С — множество в X. Множество С называют компактным, если для каждого множества S с Ор(т%) такого, что С с U{(7 : G е S}, существует конечное подмножество Sq в S, удовлетворяющее соотношению С с U{G : G G Sq}.
4.4.2.	Замечание. Определение 4.4.1 часто выражают словами: «множество компактно, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие».
4.4.3.	Замкнутое подмножество компактного множества является компактным. Компактное множество замкнуто. <[>
4.4.4.	Замечание. В связи с 4.4.3 используют понятие относительно компактного множества, т. е. множества, замыкание которого компактно.
4.4.5.	Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен.
<1 Прообразы множеств из открытого покрытия образа составляют открытое покрытие исходного множества. [>
4.4.6.	Полунепрерывная снизу функция принимает на непустом компактном множестве наименвшее значение (т. е. образ такого множества имеет наименвший элемент).
<1 Будем считать, что f : X R’ и X компактно. Пусть t0 := inf/(X). Если io = +оо, то доказывать нечего. Если же io < +оо, то положим Т := {t € R : t > io}. Множество Ut := {f < t} для t G T непусто и замкнуто. Докажем, что n{L7t : t 6 Т} непусто (тогда любой элемент х указанного пересечения — искомый: /(ж) = inf/(X)).
Предположим противное. Тогда множество {Gt := X \ Ut : t 6 Т} образует открытое покрытие X. Выделяя из него конечное подпокрытие {Gt : t G То}, выводим:	: t G То} = 0. Последнее
соотношение ложно, поскольку Utl П Ut2 = UtlM2 при ii, Е Т. [>
4.4.7.	Критерий Бурбаки. Пространство является компактным в том и только в том случае, если каждый ультрафильтр в нем сходится (ср. 9.4.4).
4.5. Полнота
63
4.4.8.	Произведение компактных пространств компактно.
<1 Достаточно дважды применить критерий Бурбаки. [>
4.4.9.	Теорема Кантора. Непрерывное отображение компакта равномерно непрерывно. <[>
4.5.	Полнота
4.5.1.	Пуств S3 — базис фильтра в X. Тогда {В2 : В G S3} — базис фильтра S3* в X2.
< (Bl х Bl) П (В2 х В2) D (Bl П В2) х (В1 П В2) [>
4.5.2.	Определение. Пусть ST — фильтр в X и %х — равномерность в X. Фильтр ST называют фильтром Коши, если -Т* D &х- Сеть в X называют сетью Коши или фундаментальной сетью, если фильтр ее хвостов есть фильтр Коши. Аналогичный смысл вкладывают в термин «фундаментальная последовательность».
4.5.3.	Замечание. Если V — окружение в X2, a U — множество в X, то говорят, что U мало порядка V, если U2 С V. В частности, U мало порядка Ве в том и только в том случае, если диаметр diam В := sup(B2) не больше е. В связи с указанной терминологией определение фильтра Коши выражают словами: «фильтр является фильтром Коши в том и только в том случае, если он содержит сколь угодно малые множества».
4.5.4.	Для метрического пространства эквивалентивт следующие утверждения:
(1)	каждвш фильтр Коши сходится;
(2)	каждая сеть Коши имеет предел;
(3)	любая фундаменталвная последовательность сходится.
<1 Импликации (1) => (2) => (3) очевидны, поэтому установим только импликацию (3) => (1).
Пусть Un G & — множество, малое порядка Вг/П. Положим Vn := Bi П ... П Un и возьмем xn G Vn. Имеем, что Ц D D ... и diam Vn < 1/n. Следовательно, (тп) — фундаментальная последовательность. Значит, есть предел: х:= lim.rn. Покажем, что & х. Для этого выберем no G N из условия: d(xm, х) < l/Zn при тп > tiq. Тогда для произвольного n G N будет d(xp, у) < diaml’;, < 1/2п и
64
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
d(xp, х) < 1/2п, если только р := ng V 2п и у Е Vp. Отсюда вытекает, что у Е Vp => d(x, у) < 1/п, т. е. Vp С В1/П(т). Окончательно заключаем: & D т(т). 1>
4.5.5.	Определение. Метрическое пространство, удовлетворяющее одному (а потому и любому) из эквивалентных утверждений 4.5.4 (1)-4.5.4 (3), (как хорошо известно) называют полным.
4.5.6.	Критерий Кантора. Метрическое пространство полно в том и только в том случае, если всякое филвтрованное по убвтванию непустое семейство его непуствтх замкнутвтх подмножеств, диамет-рвт которвтх стремятся к нулю, имеет общую точку.
<1 =>: Если — подобное семейство множеств, то, по определению 1.3.1,	— базис фильтра. По условию — базис фильтра
Коши, т. е. существует предел: S3 х. Точка х — искомая.
•<=: Пусть & — фильтр Коши. Положим S3 .= {cl V : V Е &}. Диаметры множеств из S3 стремятся к нулю. Стало быть, найдется точка х такая, что х Е cl V при каждом V Е &. Ясно, что & х. В самом деле, пусть V — множество из & малое порядка е/2 и у Е V. Для некоторого у' Е V будет d(x, у') < е/2 и, значит, d(x, у) < d(x, у') + d(y', у) < е, т. е., следовательно, V С Ве(т) и, значит, Ве(т) Е &. [>
4.5.7.	Метрическое пространство полно в том и только в том случае, если любая последовательность вложеннвтх шаров BS1 (яд) D ... D В£п (т„) D ВЕп+1 (т„+1) D ..., радиусв! (е„) которых стремятся к нулю, имеет общую точку. <1 [>
4.5.8.	Образ фильтра Коши при равномерно непрервтвном отображении — фильтр Коши.
<1 Пусть отображение f действует из пространства X с равномерностью S/x в пространство Y с равномерностью ^ф. Пусть, далее, ST — фильтр Коши в X. Если V Е ‘fry, то f 1 ° V о f Е %х по определению 4.2.5 (см. 4.2.4 (2)). Поскольку & — фильтр Коши, то при подходящем Г Е X будет В2 с 1 о V о f. Оказывается, что f(U) мало порядка V. В самом деле,
т2 = и Л«1) х Л«2) =
= f°U2Of-1CfO(f-1OVOf)Of-1 = (J о f-1) о Vo (/ о Г1) с и, ибо, на основании 1.1.6, f о = Iimj с 1у. 1>
4.5. Полнота
65
4.5.9.	Произведение полных пространств — полно.
<1 Следует применить 4.5.8 и 4.5.4. [>
4.5.10.	Пуств Хо плотно в X (т. е. с1Х0 = X) и fo : Хо —> Y — равномерно непрервтвное отображение из Xq в полное пространство Y. Тогда существует, и притом единственное, равномерно непрервтвное отображение f : X ^>Y, продолжающее fo, т. е. такое, что f\x0 = fo-
<1 Для х G X фильтр := {U П Xq : U G тх(х)} является фильтром Коши в Xq. Стало быть, из 4.5.8 можно вывести, что fo^x) — фильтр Коши в У. В силу полноты У существует предел у G У, т. е. fo(f^x) У- Более того, этот предел единствен (ср. 4.1.18). Полагаем f(x):= у. Остается провести несложную проверку равномерной непрерывности отображения f. [>
4.5.11.	Определение. Отображение f : (X, d) (X, d) называют изометрией X в X (или изометрическим вложением), если d = do fx. Отображение f называют изометрией X на X (короче, изометрией), если f — изометрия X в X и, кроме того, im / = X.
4.5.12.	Теорема Хаусдорфа о пополнении. Пуств (X, d) — метрическое пространство. Тогда существуют полное метрическое пространство (X, d) и изометрия l : (X, d) (X, d) на плотное подпространство в (X, d). Пространство (X, d) единственно с точ-ноствю до изометрии в том смысле, что любая диаграмма
(X,d)
Ф
(X,d)
(х1;ф)
где /1 : (X, d) (А/, Д) — изометрия X на плотное подпространство полного пространства (Xi, d±), достраивается до коммутативной диаграммы с помощвю изометрии Ф : (X, rf) —> (Xi, ф) пространства X и пространства Xi.
<1 Единственность с точностью до изометрии вытекает из 4.5.10.
В самом деле, пусть Фо := д о л1. Тогда Фо — изометрия плотного подпространства t(X) в X на плотное подпространство *ч(Х) в Хх.
66
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
Возьмем в качестве Ф единственное продолжение Фо на X. Следует проверить только, что Ф действует на Х1. Выберем х1 из Х1. Этот элемент есть предел последовательности (/,1(жп)), где xn G X. Понятно, что (жп) фундаментальная. Стало быть, фундаментальна последовательность (t(®„)) в X. Пусть х := limt(®„), х G X. При этом Ф(ж) = limФо(/-(жп)) = limti о	= 1ши1(жп) = яд.
Наметим теперь схему доказательства существования X. Рассмотрим множество 2Е всех фундаментальных последовательностей в пространстве X. Определим в 'X отношение эквивалентности так: ®1 ~ ж-2 О d(xi(n), х2(п)) —> 0. Пусть Х:= 2Е и d(ip(xi), <£>(ж2)) := limd(®i(n),ж2(п)), где р : 'X X — каноническое отображение. Изометрия l : (X, d) —> (X, d) строится так: /,(ж) := tp(n i—> ж (n G N)). [>
4.5.13.	Определение. Пространство (X, d), фигурирующее в 4.5.12, равно как и любое изометричное ему пространство, называют пополнением пространства (X, d).
4.5.14.	Определение. Множество Xq в (X, d) называют полным, если полным является пространство (Хо, d|X2) — подпространство (X, d).
4.5.15.	Замкнутое подмножество полного пространства является полнвтм. Полное множество замкнуто. <1 [>
4.5.16.	Пуств Xq — подпространство некоторого полного метрического пространства X. Тогда пополнение Xq изометрично замыканию Хо в X.
<1 Пусть X := cIXq и l : Xq —> X — тождественное вложение. Ясно, что l — изометрия на плотное подпространство. При этом X полно в силу 4.5.15. Осталось сослаться на 4.5.12. [>
4.6.	Компактность и полнота
4.6.1.	Компактное пространство полно. <[>
4.6.2.	Определение. Пусть U — множество в X и V G Хх-Множество Е в X называют V-сетью для U, если U С V(E).
4.6.3.	Определение. Множество называют вполне ограниченным, если для каждого V из Хх У него имеется конечная V’-сеть.
4.6. Компактность и полнота
67
4.6.4.	Если для любого V из S/x У множества U в X есть вполне ограниченная V-сеть, toU — вполне ограниченное множество.
<1 Пусть V G и W G &х таково, что W о W с V. Возьмем вполне ограниченную И'-сеть F для U, т. е. Uc W(F). Поскольку F вполне ограничено, то найдется конечная И'-сеть Е для F, т. е. F CW(E). Окончательно
и С VK(F) С W(W(E\) = W о W(E) С V(F),
т. е. Е — конечная V’-сеть для U. [>
4.6.5.	Множество U в X является вполне ограниченным в том и только в том случае, если для всякого V из S/x найдется конечное семейство 1Д,... ,Un подмножеств U такое, что U = U ... U Un и каждое из множеств 1Д,... ,Un мало порядка V. <[>
4.6.6.	Замечание. Факт, отмеченный 4.6.5, выражают словами: «множество вполне ограничено тогда и только тогда, когда у него есть конечные покрытия сколь угодно малыми множествами».
4.6.7.	Критерий Хаусдорфа. Множество является компактным тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. <[>
4.6.8.	Пусть С(Х, F) — пространство непрерывных функций на компакте X со значениями в основном поле F и с метрикой Че-бышёва
d(f, g):= sup dF(/(®), p(®)) = sup |/(ж) -р(ж)| (/, g G C(X, F)). tEX	xEX
Для 0 G 'W положим
Ue:={(f, g)eC(X, F)2: ро^Сй).
Тогда :Sd = fil {Ug : 0 G <ll>
4.6.9.	Пространство C(X, F) полно. <[>
4.6.10.	Теорема Асколи — Арцела. Множество S в С(Х, F) относительно компактно в том и только в том случае, если S равностепенно непрерывно и множество U{g(X) : g G S} вполне ограничено в пространстве F.
68
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
<1 =>: То, что U{p(X) : д G S} — это вполне ограниченное множество, не вызывает сомнений. Для проверки равностепенной непрерывности S возьмем О G 'Ж' и подберем симметричное окружение в' из условия в' о в' о в' с 0. По критерию Хаусдорфа найдется конечная бД-сеть S' в S. Рассмотрим окружение U G '//х, заданное соотношением
и-.= р| Г^е'о/
feS'
(ср. 4.2.9). Для произвольных д & S и f G S' таких, что до]'1 с О', выполнено
е' = о'-1 э (gof-1)-1 = (/-1)-1 op-1 = fog-1.
Помимо этого, из свойств композиции соответствий и из 4.6.8 вытекает
5Х (U) = д о U о д-1 С до (f-1 о в’ о /) о д-1 С
С (р о 1) о в’ о (J о д1') С в' о в' о в' С в.
Вместе с произвольностью р последнее означает, что S равностепенно непрерывно.
•<=: На основании 4.5.15, 4.6.7, 4.6.8 и 4.6.9 достаточно для каждого в G 'W построить конечную Ug-сетъ в S. Подыщем в' G 'W, для которого в' о в' о в' с 0, и найдем открытое симметричное окружение U G &х, чтобы было
U С Р| р 1 о О' о р
дЕ£'
(существование U обеспечено равностепенной непрерывностью S).
Ясно, что семейство {Н(ж) : х Е X} образует открытое покрытие X. Используя компактность X, укажем конечное подпокрытие {1Джо) : жо G Xq}. В частности, с учетом 1.1.10
1х С |J Н(ж0) х 1Дж0) =
= U и-1 (ж0) х 1Дж0) = и о 1Хо о и.
(a?o,a:o)elxo
4.7. Бэровские пространства
69
Множество {р|х0 : 9 G S} вполне ограничено в Fx°. Стало быть, в этом множестве есть конечная (/-сеть. Точнее говоря, имеется конечное множество S’ в S, обладающее тем свойством, что для каждого д Е S при подходящем f G S’ справедливо
9°1х0	1 С 0’.
Применяя полученные оценки, последовательно выводим
9 °	1 = 9 ° 1х °	1 С д о (U о 1Хо о U) о f1 с
с д О (<у 1 о 0' о д) о 1Хо о (/ 1 о 0' о /) о J'1 =
= (д ° д-1) ° o' ° (д ° ix0 ° Л1) ° 0' ° (/ ° х) =
= Лтд ° 0' ° (д О 1Хо О J'1) О 0' О /im/ С
С 0' О 0' о 0' с 0.
Таким образом, в силу 4.6.8, S' — это конечная Сд-сеть для S. >
4.6.11.	Замечание. Полезным утверждением является перевод доказательства теоремы Асколи — Арцела на язык «е-<5». Вот необходимый словарь: «0, Ug — это е», «0' — это е/3», а «5 — это U». Столь же полезно (и поучительно) найти обобщения теоремы Асколи — Арцела для отображений, действующих в произвольные пространства.
4.7.	Бэровские пространства
4.7.1.	Определение. Множество U принято называть разреженным или нигде не плотным, если в его замыкании нет внутренних точек, т. е. intel С = 0. Множество U называют тощим (или множеством первой категории), если U содержится в объединении (не более чем) счетного числа разреженных множеств, т. е. U С Une^Un, intclCn = 0. Нетощие множества, т. е. множества, не являющиеся тощими, называют также множествами второй категории.
4.7.2.	Определение. Пространство называют бэровским, если любое его непустое открытое множество нетощее.
70
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
4.7.3.	Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	X — бэровское пространство;
(2)	объединение счетного числа замкнутых разреженных множеств не имеет внутренних точек;
(3)	пересечение счетного числа любых всюду плотных (т. е. плотных в X) открытых множеств является всюду плотным;
(4)	дополнение любого тощего множества всюду плотно.
<1	(1) => (2): Пусть U:= U„eN Un, Un = cl Un, причем int Un = 0. Тогда U — тощее множество. Так как int U c U и int U — открытое множество, то int U, являясь тощим множеством, обязательно пусто в силу бэровости X.
(2)	=> (3): Пусть U := C\nE-^Gn, где Gn открыто и с1(7п = X. Тогда X\U = Х\П„екGn = и„ек (X\Gn). При этом X\Gn замкнуто и int(X \ Gn) = 0 (ибо clGn = X). Стало быть, int(X \ U) = 0. Последнее означает, что у U пустая внешность, т. е. U всюду плотно.
(3)	=> (4): Пусть U тощее в X, т. е. U с U„eN Un и int cl Un = 0. Можно считать, что Un = dUn. Тогда Gn := X\Un открыто и всюду плотно. По условию Ппек Gn = X \ Un£N Un всюду плотно. При этом указанное множество содержится в X \ U и, значит, множество X \ U всюду плотно.
(4)	=> (1): Если U — непустое открытое множество в X, то X \ U не является всюду плотным. Следовательно, U нетощее. [>
4.7.4.	Замечание. В связи с 4.7.3 (4) отметим, что дополнения тощих множеств (иногда) называют вычетами или остаточными множествами. Вычеты в бэровском пространстве — нетощие множества.
4.7.5.	Теорема Осгуда. Пусть X — бэровское пространство и : X — 7)е' = — семейство полунепрерывных снизу функций, причем sup {./'Дж) : 1 t Е[ < +оо для каждого х Е X. Тогда всякое непустое открытое множество G в X содержит непустое открытое подмножество Gq, на котором семейство	равномерно ограни-
чено сверху, т. е. выполнено sup.,.,- (7.. sup {Д(ж) : 1с Е[ < +оо. <[>
4.7.6.	Теорема Бэра. Полное метрическое пространство — бэровское.
<1 Пусть G — непустое открытое множество и ж() G G. Допустим, что G тощее, т. е. G с dnE^Un, где int Un = 0 и Un = clUn. Найдем
4.7. Бэровские пространства
71
£о > 0 из условия BSo (®о) С G. Ясно, что L4 не содержит целиком шар Вео/2(жо), т. е. имеется G Вео/2(®о) \ U\. В силу замкнутости Bi можно подыскать £i так, что 0 < £1 < £q/2 и ВЕ1(ж1) П = 0. Проверим, что BE1(®i) С ВЕо(®о). Действительно, если d(®i, щ) < £1, то сЦу!, х0) < (Цу!, ®1) + d(®i, ж0) < £1 +£о/2, ибо Й(Ж1, ж0) < £о/2. Шар ВЕ1/2(ж1) не лежит целиком в В2. Поэтому существуют ж2 G ВЕ1/2(ж1) \ U2 и 0 < £2 < £1/2 такие, что ВЕ2(ж2) П В2 = 0. Видно, что вновь ВЕ2 (ж2) С ВЕ1 (жД. Продолжая начатый процесс по индукции, получим последовательность шаров ВЕо(жо) D ВЕ1 (Ж1) D ВЕ2(ж2) D ..., причем £n+i < Enfa и ВЕг1(жп)ПВп = 0. На основании 4.5.6 у построенных шаров есть общая точка ж:= Нтжп. При этом, конечно же, ж / ипек Un и, стало быть, ж G. С другой стороны, ж G ВЕо(жо) С G. Получили противоречие. [>
4.7.7.	Замечание. Теорему Бэра часто используют как «чистую теорему существования».
В качестве классической иллюстрации рассмотрим вопрос о существовании непрерывных нигде не дифференцируемых функций. Для / : [0,1] —> R и ж G [0,1) положим
п г/ А Г ' f f(x + h') - /И
D+ f(x):= hm mi---------------;
+ v ’	h[0	h
n+ft \ r f(x + ty ~f(x) D+/(a:):= limsup--------------.
Элементы D+f(x) и D+f(x) из расширенной числовой прямой Ж называют нижней правой и соответственно верхней правой производной Дини функции f в точке ж.
Пусть D — это множество таких функций / G С([0, 1], Ж), что для некоторой точки ж G [0, 1) элементы l)+ f<x) и D+ /(ж) входят в Ж, т. е. конечны. Тогда D — тощее множество. Значит, функции, не имеющие производной ни в одной точке из (0, 1), всюду плотны в С([0, 1], Ж). В то же время конкретные примеры таких функций дались не просто. Вот наиболее известные из них:
функция Ван дер Вардена
((4”ж))
72
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
(здесь {{х}} := (х — [ж]) Л (1 + [ж] — ж) — расстояние до ближайшего к ж целого числа),
функция Римана — 5 —- sin (п2тгж) п=0
и, наконец, исторически первая
функция Вейерштрасса — bn cos (а”тгж) п=0
(здесь а — нечетное положительное целое, 0 < b < 1 и ab > 1 + =у).
4.8.	Теорема Жордана и простые картины
4.8.1.	Замечание. В топологии, в частности, устанавливают глубокие и тонкие факты о метрическом пространстве >2. Ниже приведены используемые в дальнейшем те из этих фактов, роль которых известна, например, из комплексного анализа.
4.8.2.	Определение. Гомеоморфный (= взаимно однозначный и взаимно непрерывный) образ отрезка называют (жордановои) дугой. Гомеоморфный образ окружности называют простой (жорданное ой.) петлей. Естественный смысл вкладывают в понятия типа «гладкая дуга» и т. п.
4.8.3.	Теорема Жордана. Пусть у — простая петля в плоскости Ж2. Существуют непересекающиеся открытые множества Gi и G2 такие, что
Gr U G2 = >2 \ 7; 7 = dGr = dG2. <[>
4.8.4.	Замечание. Одно из множеств G± и G2, фигурирующих в 4.8.3, ограничено. Помимо этого, каждое из них связно, т. е. непредставимо в виде объединения двух непустых непересекающих-ся открытых подмножеств. В этой связи теорему Жордана часто выражают так: «простая петля разрезает плоскость на две области и является их общей границей».
Упражнения 73
4.8.5.	Определение. Пусть D, Dk,..., Dn — замкнутые круги (= замкнутые шары) на плоскости, причем Dm П Dk = 0 при т / к и Di,..., Dn С int D. Множество
п
D\ [J int Dk
к=1
называют резным диском. Всякое множество в плоскости, диффео-морфное (= «гладко гомеоморфное») некоторому резному диску, называют связным элементарным компактом. Объединение непустого конечного семейства попарно не пересекающихся связных элементарных компактов называют элементарным компактом.
4.8.6.	Замечание. Граница dF элементарного компакта F состоит из конечного числа непересекающихся гладких простых петель. При этом вложение F в (ориентированную) плоскость Ж2 индуцирует в F структуру (ориентированного) многообразия с (ориентированным) краем dF. Отметим здесь же, что в силу 4.8.3 имеет смысл говорить о положительной ориентации гладкой петли, подразумевая ориентацию края компактной части плоскости, ограниченной этой петлей.
4.8.7.	Пусть К — компактное подмножество плоскости и G — непустое открытое множество, содержащее К. Тогда существует элементарный компакт F такой, что
К С intF С F С G. <[>
4.8.8.	Определение. Множество F, наличие которого отмечено в 4.8.7, называют простой картиной для пары {К, (7).
У пражнения
4.1.	Привести примеры метрических пространств. Выяснить, какими способами можно получать новые метрические пространства.
4.2.	Каким должен быть фильтр в X2, совпадающий с некоторой метрической равномерностью в X?
4.3.	Пусть S — пространство измеримых функций на [0, 1] с метрикой
d(f, g) := f	(/, g e S)
0
(подразумевается некоторая естественная факторизация — какая именно?). Выяснить смысл сходимости в этом пространстве.
74
Гл. 4. Экскурс в метрические пространства
4.4.	Для а, [3 G NN полагают
с/(ск, Д) = 1/min {k Е N :	Д/с}-
Проверить, что d — метрика и что пространство NN гомеоморфно множеству иррациональных чисел.
4.5.	Можно ли метризовать поточечную сходимость последовательностей? А функций?
4.6.	Как следует ввести разумную метрику в счетное произведение метрических пространств? В произвольное произведение метрических пространств?
4.7.	Выяснить, какие классы функций описываются ошибочными определениями непрерывности и равномерной непрерывности.
4.8.	Для непустых компактных подмножеств А и В пространства RiV положим
d(A, В) := sup inf |х — у\ (V sup inf |х — у\ \х£А УЕВ	J \уЕВ Х(ЕА
Установить, что d — метрика. Ее называют метрикой Хаусдорфа. Каков смысл сходимости в этой метрике?
4.9.	Доказать, что непустые выпуклые компактные подмножества выпуклого компакта в R^ составляют компакт относительно метрики Хаусдорфа. Какова связь этого утверждения с теоремой Арцела — Асколи?
4.10.	Доказать, что каждая полунепрерывная снизу функция на RiV есть верхняя огибающая некоторого семейства непрерывных функций.
4.11.	Выяснить связи между непрерывными и замкнутыми (как множества в произведении) отображениями метрических пространств.
4.12.	Выяснить, когда непрерывное отображение метрического пространства в полное метрическое пространство допускает распространение на пополнение исходного пространства.
4.13.	Описать компактные множества в произведении метрических пространств.
4.14.	Пусть (У, d) — полное метрическое пространство. Отображение F : У —* Y называют расширяющимся, если d(F(x), F(y)) > /3d(x, у) для некоторого (3 > 1 и х, у Е Y. Пусть расширяющееся отображение F : У —* Y действует на У. Доказать, что F взаимно однозначно и обладает единственной неподвижной точкой.
4.15.	Доказать, что компакт не отображается изометрично на свою собственную часть.
4.16.	Установить нормальность произвольного метрического пространства.
4.17.	При каких условиях счетное подмножество полного метрического пространства является нетощим?
4.18.	Можно ли охарактеризовать равномерную непрерывность в терминах сходящихся последовательностей?
4.19.	На каких метрических пространствах любая непрерывная вещественная функция достигает точные границы множества своих значений? Ограничена?
Глава 5
Мультинормированные и банаховы пространства
5.1.	Полунормы и мультинормы
5.1.1.	Пусть X — векторное пространство над основным полем F и р : X —> R’ — полунорма. Тогда
(1)	domp — подпространство в X;
(2)	р(ж) > 0 для всех х Е X;
(3)	ядро полунормы kerp:= {р = 0} — подпространство
(4)	множества Вр := {р < 1} и Вр := {р < 1} абсолютно выпуклые, причем р является функционалом Минковского любого абсолютно выпуклого множества В такого, что Вр С В С Вр;
(5)	X = domp в том и только в том случае, если Вр — поглощающее множество.
<1	Если	я:2 G domp и 04, <>2 G F, то ввиду 3.7.6 имеем
p(ai®l + О!2®2) < |«1 |р(®1) + 1а2 |р(^2 ) < +°° + (+°°) = +°°-
Значит, (1) верно. Допустим, что (2) не верно, т. е. для некоторого х G X справедливо р(ж) < 0. Тогда 0 < р(ж) + р(—х) < р(—х) = р(х) < 0. Получается противоречие. Утверждение (3) немедленно следует из (2) и субаддитивности р. Справедливость (4) и (5) частично уже отмечалась (ср. 3.8.8). Оставшаяся неотмеченной часть обосновывается теоремой о функционале Минковского. [>
76
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.1.2.	Пусть р, q : X R’ — две полунормы. Неравенство р < q (в множестве (>')х) имеет место в том и только в том случае, если Вр D Bq.
<1 =>: Ясно, что {q < 1} С {р < 1}.
•<=: Имеем, по 5.1.1 (4), р = рвр и q = рвч. Возьмем ti, t2 G К такие, что ti < t2. Если < 0, то {q < С} = 0 и, стало быть, {q < ti} С {р < ^2?- Если же 11 > 0, то t\Bq С t\Bp С t2Вр. Значит, в силу 3.8.3, р < q. [>
5.1.3.	Пусть X, Y — векторные пространства, Т с X х У — линейное соответствие и р : У —> Ж' — полунорма. Пусть, далее, Рт(х) := infp о Т(ж) для х Е X. Тогда рт : X R’ — полунорма, множество Вт := /' 1 (Вр) абсолютно выпукло, причем рт = рвт-
<1 Для , х2 G X и од, «2 6 F имеем
рт(а1х1 + о2®2) = infр(Т(а1х1 + о2®2)) < < inf р(а1Т(т1) + а2Т(х2У) <
< inf(|ai|p(T(Ti)) + \а2\р(Т(х2')')') =
= |«1 |гг(ж1) + |а2|гт(ж2),
т. е. рт — полунорма.
То, что множество Вт абсолютно выпукло, следует из 5.1.1 (4) и 3.1.8. Если х G Вт, то для некоторого у Е Вр выполнено (ж, у) G Т. Отсюда рт(ж) < р(у) < 1, т. е. Вт С ВРт. Если, в свою очередь, х G Врт, то рт(ж) = inf {р(у) : (ж, у) GT} < 1. Значит, найдется у G Т(ж) такой, что р(у) < 1. Стало быть, ж G /' 1(/1р) С /' 1(/1р) = Вт-Итак, ВРт с Вт С ВРт. Привлекая 5.1.1 (4), видим: рвт =рт- >
5.1.4.	Определение. Полунорму рт, построенную в 5.1.3, называют прообразом полунормы р при соответствии Т.
5.1.5.	Определение. Пусть р : X R — полунорма (в силу 3.4.3 эта запись означает, что domp = X). Пару (X, р) называют полунормированным пространством. Часто, допуская обычную вольность, само X называют полунормированным пространством.
5.1.6.	Определение. Непустое множество всюду определенных полунорм (в называют мультинормой и обозначают или
5.1. Полунормы и мультинормы
77
просто ЭЛ, если ясно, о каком пространстве X идет речь. Пару (X, ЭЛх), равно как и исходное X, называют мультинормирован-ным пространством.
5.1.7.	Множество полунорм ЭЛ в (х')х является мультинормой в том и только в том случае, если (X, р) является полунормирован-ным пространством для всякого р G ЭЛ. <[>
5.1.8.	Определение. Мультинорму ЭЛ% называют хаусдорфо-вой (или отделимой), если для любого х G X, х / 0, существует полунорма р G ЭЛ% такая, что р(х) 0. В этом случае X называют хаусдорфовым (или отделимым) мультинормированным пространством.
5.1.9.	Определение. Хаусдорфову мультинорму, состоящую из одного элемента, называют нормой. Единственный элемент нормы в X (как хорошо известно) также называют нормой в X и обозначают || • || или (реже) || • ||х, и даже || • | Х||, если есть необходимость в указании на пространство X. Пару (X, || • ||) называют нормированным пространством. Как правило, так же называют и X.
5.1.10.	Примеры.
(1)	Полу нормированное пространство (X, р) рассматривается как мультинормированное пространство (X, {р}). То же относится к нормированному пространству.
(2)	Пусть ЭЛ — множество всех (всюду определенных) полунорм на пространстве X. Тогда ЭЛ — хаусдорфова мультинорма, которую называют сильнейшей мультинормой в X.
(3)	Пусть (У, 01) — мультинормированное пространство и Т С X х Y — линейное соответствие, причем domT = X. В силу 3.4.10 и 5.1.1 (5) для р G 01 полунорма рт всюду определена и, стало быть, ЭЛ := {рт : Р € 01} — мультинорма в X. Мультинорму 01 называют прообразом мультинормы 01 при соответствии Т и (иногда) обозначают 01т. Отметим, что если Т G -2?(Х, Y), то ЭЛ = {р ° Т : р G 01}. В связи с этим используют естественное обозначение 01оТ := ЭЛ. Особо выделим случай, когда X — это подпространство Yo в Y и Т — тождественное вложение Т:= l : Yo Y. В такой ситуации Yo, как правило, рассматривают как мультинормированное пространство с мультинормой 01 о ь. Более того, некорректно
78
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
используют фразу «Ж — мультинорма в 1о». Эту некорректность использовать очень удобно.
(4)	Основное поле F наделено, как известно, нормой | • | : F —> Ж. Пусть X — векторное пространство и f G X#. Так как f : X F, то определен прообраз нормы в основном поле: р/(ж) := |/(ж)| (ж G X). Если теперь ЭФ — некоторое подпространство в X#, то мультинорму <т(Х, <ЗГ) := {pf : f G .У'} называют слабой мультинормой в X, наведенной ЭФ.
(5)	Пусть (X, р) — полунормированное пространство, Xq — подпространство в X и р : X —> X/Xq — каноническое отображение. Линейное соответствие р 1 определено на всем пространстве X/Xq. Значит, имеется полунорма pv-i, которую называют ф актор-полунормой р по подпространству Xq и обозначают Pxix,,- Пространство (Х/Хо, Рх/Хо) называют фактор-пространством пространства (X, р) по подпространству Xq. Определение фактор-пространства общего мультинормированного пространства связано с некоторой тонкостью и введено в 5.3.11.
(6)	Пусть X — векторное пространство и ЭЛ С (Ж')х — множество полунорм на этом пространстве. В этой ситуации можно говорить об ЭЛ как о мультинорме на пространстве Хо := f~l{domp : р G ЭЛ}. Более точно, подразумевая мультинормированное пространство (Xq, {pt : р G ЭЛ}), где / — тождественное вложение Xq в X, употребляют выражения: «ЭЛ — мультинорма» или «рассмотрим (мультинормированное) пространство, порожденное ЭЛ». Вот типичный образец: «семейство полунорм
< ра,р(Г) := sup |ж“Э/3/(ж)| : а, (3 — мультииндексы > (	’	a?eRN	J
задает (мультинормированное) пространство бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих на бесконечности функций на R^^» (такие функции часто называют умеренными, ср. 10.11.6).
(7)	Пусть (X, ||-||) и (У, ||’||)—нормированные пространства (над одним основным полем F). Для Т G .У(Х, У) рассмотрим «операторную норму», т. е. величину
||Т|| := sup {||Тж|| : ж G X, ||ж|| < 1} = sup qpyL
хех 1И1
5.1. Полунормы и мультинормы
79
(Здесь и в дальнейшем в аналогичных случаях принято считать, что 0/0 := 0.)
Видно, что || • || : -^(А, У) —> R’ — полунорма. В самом деле, положив Вх '= {|| • ||х < 1}, Для Ti, Т2 G -2ДА-, У) и оц, 02 6 IF имеем
||О1Т1 + а2Т2\\ = sup II • || а^ + а^Т^Вх) =
= sup II • II((oiTi + а2Т2')(Вх')') < sup ||О1Т1(ВХ) + а2Т2(Вх)\\ <
< Ы sup || • ||Т1(ВХ) + |о2| sup || • ||т2(Вх) =
= Ь | \\Т, || + |о21 \\Т21|.
Подпространство В (А, У), являющееся эффективной областью определения введенной полунормы, называют пространством ограниченных операторов, а его элементы — ограниченными операторами. Ясно, что векторное пространство В(А, У) нормировано (операторной нормой). Отметим, что оператор Т G -2?(А, У) ограничен в том и только в том случае, если для него справедливо нормативное неравенство, т. е. если найдется строго положительное число К такое, что
||т®||у < 7<||ж||х (жбА).
При этом ||Т|| есть точная нижняя граница чисел К, фигурирующих в нормативном неравенстве. <[>
(8)	Пусть X — векторное пространство над F и || • || — норма в X. Пусть, далее, А':= В(А, F) — сопряженное пространство, т. е. векторное пространство ограниченных функционалов f с «сопряженной нормой»:
11/11 = sup{|/(ж)I : ||ж|| < 1} = sup хех ||ж||
Рассмотрим пространство X" := (А')' := B(Xr, F) — второе сопряженное к X пространство. Для элементов х Е X и f G X’ положим
х” := l(x) : f /(ж).
Несомненно, что Дж) G (А')# = _$f(A', F). Помимо этого,
||ж"|| = ||Дж)|| = sup {|Дж)(/)| : НЛх' < 1} =
80
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
= 8нр{|/(ж)| : |/(ж)| < ||ж||х	G X)} =
= 8ир{|/(Ж)|: f G |Э|(|| • ||х)} = ||ж||х.
Последнее равенство следует, например, из теоремы 3.6.5 и леммы 3.7.9. Таким образом, Дж) G X" для каждого х G X. Понятно, что оператор t : X —» X", действующий по правилу l : х Дж), является линейным и ограниченным, при этом / — мономорфизм и фж|| = ||ж|| для всех х G X. Оператор / называют каноническим вложением X во второе сопряженное пространство или, более образно, двойным штрихованием. Более того, как правило, элементы х и х" := ьх не различают, т. е. X рассматривают как подпространство X". Нормированное пространство X называют рефлексивным, если X совпадает с X" (при указанном вложении). Рефлексивные пространства обладают многими достоинствами. Очевидно, однако, что не все пространства рефлексивны. Так, к сожалению, не рефлексивно пространство С([0, 1], F). <[>
5.1.11.	Замечание. Построения, проведенные в 5.1.10 (8), показывают известную симметрию (или «двойственность») между X и X'. В этой связи для обозначения действия элемента х G X на элемент f G X' (или действия / на ж) используют запись (ж, /) := (ж | /) := /(ж). Для достижения наибольшего единообразия элементы X' обозначают символами типа ж', т. е. (ж | ж') = (ж, ж') = ж'(ж).
5.2.	Равномерность и топология
мультинормированного пространства
5.2.1.	Пусть (X, р) —полунормированное пространство. Возьмем Ж1, Ж2 G X и положим dp(xi, жг):=р(ж1 — жг). Тогда
(1)	dp(x2) cffi+, {d<0}Dlx;
(2)	{dp <t} = {dp < t}-1, {dp < t} = t{dp < 1} (1G>+\O);
(3)	{dp < ii} о {dp < t2{ C {dp < ii +t2{ (ii, t2 G ®Д);
(4)	{dp < ii} П {dp < t2} D {dp < li A t2} (Д, t2 G R+);
(5)	p — норма о dp — метрика. <[>
5.2.2.	Определение. Фильтр := fil {{dp < 1} : 1 G \ 0} называют равномерностью пространства (X, р).
5.2. Равномерность и топология
81
5.2.3.	Пусть У/г, — равномерность полунормированного пространства. Тогда
(1)	% cfil{/x};
(2)	U G V/,, => U1 G <%р‘,
(3)	(VL/G4},) (Я V G %) Vo V С U. <[>
5.2.4.	Определение. Пусть (X, ЭЛ) — мультинормированное пространство. Фильтр % := sup{44 : р G ЭЛ} называют равномерностью пространства X (используют также обозначения 44л, %х и т. п.). (Это определение корректно в силу 5.2.3 (1) и 1.3.13.)
5.2.5.	Пусть (X, ЭЛ) — мультинормированное пространство и % — соответствующая равномерность. Тогда
(1)	С Ш {/а-}:
(2)	С G < => U-1 G 4Г;
(3)	(V и G 41) (Я V G 4f) V о V С U.
<1 Проверим (3). Если U G У/, то по 1.2.18 и 1.3.8 найдутся полунормы pi,... ,pn G ЭЛ такие, что U =	= 4^х V.. .Х/^Рп.
Привлекая 1.3.13, подыщем множества L4 G ^рк из условия U D L4 П ... П Un. Используя 5.2.3 (3), выберем 14 G 4/;,(., для которых 14 о 14 с Life. Ясно, что
(14 п ... п 14) о (14 п ... п 14) с 14 о 14 п ... п 14 о 14 с
с L4 п ... п ип.
Помимо этого, 14 П . .. П 14 G &Р1 V ... V 4<Pri С . [>
5.2.6.	Мультинорма ЭЛ в X хаусдорфова в том и только в том случае, если равномерность 44л тоже хаусдорфова, т. е. П{1/ : V G = 1х-
<1 =>: Пусть (ж, у) 1х, т. е. х / у. Тогда для некоторой полунормы р G ЭЛ будет р(х— у) > 0. Значит, (ж, у) {dp < 1/2р(ж — у)}. Но последнее множество входит в 4/р, а потому и в 44л- Итак, X2\Ix С X2\n{v : V G 44л}- Помимо этого, lx С П{1/ : V G 44л}.
•<=: Пусть р(ж) = 0 при всех р G ЭЛ. Тогда (ж, 0) G V для любого V G 44л и, стало быть, (ж, 0) G 1х по условию. Следовательно, ж = 0. [>
82
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.2.7.	Для пространства X с равномерностью положим
т(х):= {U(x) : U G '//х\ (ж G X).
Тогда т(ж) — фильтр для каждого ж G X. При этом
(1)	т(ж) С fil {ж};
(2)	(Д U G т(ж)) (3 V G т(ж) & V С Г) (Ду G V) V G т(у).
<1 Очевидно (ср. 4.1.8). 1>
5.2.8.	Определение. Отображение т : ж ь-> т(ж) называют топологией рассматриваемого мультинормированного пространства (X, ЭЛ), а элементы фильтра т(ж) — окрестностями точки ж. Для обозначения топологии используют также более детальные символы: Тх, Вт, т(^т) и т. и.
5.2.9.	Для любого ж G X выполнено
Тх(ж) = 8ир{тр(ж) : р G ЭЛХ}.
5.2.10.	Пусть X—мультинормированное пространство. Тогда для ж t X имеет место соотношение
U G т(ж) О U - ж G ту(0).
<1 В силу 5.2.9 и 1.3.13 можно ограничиться случаем полунор-мированного пространства (X, р). При этом для всякого £ > 0 справедливо представление {dp < е}(ж) = еВр + ж, где Вр := {р < 1}. В самом деле, еслир(у—ж) < £, то у = г(£ 1(у—ж))+ж и г 1(у—ж) G Вр. В свою очередь, если у G еВр + ж, то р(у — ж) = inf {/ > 0 : у — ж G tBp} < г. [>
5.2.11.	Замечание. Из доказательства 5.2.10 видно, сколь важную роль играет шар единичного радиуса с центром в нуле (полу)нор-мированного пространства (X, р). В этой связи за ним закреплены название «единичный шар пространства X» и обозначения Вр, Вх и т. п.
5.2.12.	Мультинорма ЭЛ % хаусдорфова в том и только в том случае, если хаусдорфова топология тх, т. е. если для любых различных Ж1, ж2 из X найдутся окрестности 1Д G тх(ж1) иГ t тх(х-2) такие, что Гх П Г2 = 0.
5.3. Сравнение мультинорм
83
<1 =>: Пусть ®2 и для р G ЭЛ% выполнено е:= р(жх — Ж2) > 0. Положим Ui := жх +е/3 Вр, U2 := Ж2 +е/3 Вр. По 5.2.10, L4 G Тх(жй). Убедимся, что U\ П U2 = 0. В самом деле, если у Е U\ П U2, то р(х1 — у) < £/3 и р(ж2 — у) < е/3. Отсюда р(жх — ж2) < 2е/3 < £ = р(х1 — ж2), чего быть не может.
•<=: Если (жх, Ж2) G П{Е : V G ^х}, то Ж2 G П{Е(жх) : V G %х}-Поэтому жх = Ж2 и, стало быть, на основании 5.2.6 мультинорма ЭЛ% хаусдорфова. [>
5.2.13.	Замечание. Наличие в мультинормированном пространстве равномерности и соответствующей топологии позволяет, очевидно, использовать такие понятия, как равномерная непрерывность, полнота, непрерывность, открытость и замкнутость и т. п.
5.2.14.	Пусть (X, р) — полунормированное пространство и Xq — подпространство в X. Фактор-пространство (X/Xq, Рх/х0) хаус-дорфово в том и только в том случае, если Xq — замкнутое множество.
<1 =>: Пусть ж Хо. Тогда <р(ж)	0, где, как обычно, р : X
X/Xq — каноническое отображение. По условию будет 0 г := Лх/х0(Нж)) =	= Ы{р(ж + ж0) : ж0 G Хо}. Значит, шар
ж + е/2 Вр не пересекается с Xq, т. е. ж — внешняя точка Xq. Итак, Xq замкнуто.
•<=: Пусть ж — ненулевая точка фактор-пространства Х/Хо и ж = <р(ж) для подходящего элемента ж из пространства X. Если Рх/ХоУ^) = 0, то 0 = т!{р(ж — жо) : жо G Xq}, т. е. имеется последовательность (жп) в Xq, для которой хп х. Следовательно, по 4.1.19, ж G Xq и ж = 0. Получили противоречие. [>
5.2.15.	Замыкание Г-множества — Г-множество.
<1 Пусть U G (Г) и U 0 (иначе все ясно). В силу 4.1.9 для точек ж, у Е cl U найдутся сети (ж7), (у7) элементов U такие, что ж7 —> ж, у7 —> у. Если (а, /3) G Г, то аж7 + /3у7 G U. Вновь привлекая 4.1.19, выводим ах + /Зу = Пт(аж7 + {Зу-/) G cl ?7. [>
5.3.	Сравнение мультинорм
5.3.1.	Определение. Пусть ЭЛ и 91 — две мультинормы в векторном пространстве. Говорят, что ЭЛ сильнее 91, и пишут ЭЛ 91, если Жул 3 Ж)!  Если одновременно ЭЛ 91 и 91 >- ЭЛ, то говорят, что ЭЛ и 91 эквивалентны, и пишут ЭЛ ~ 91.
84
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.3.2.	Теорема о сравнении мультинорм. Для мультинорм ЭЛ и 54 в векторном пространстве X эквивалентны утверждения:
(1)	ЭЛ^Э4;
(2)	для всякого х Е X выполнено тэп(х) D туД.т):
(3)	тэт(О) D т«п(0);
(4)	(Vq G Э4) (Зр1,...,рпеЭЛ)
(3 £i,..., en (Е М_|_ \ 0) Bq в £i Врг П ... П епВрп \
(5)	(V<7 G Э4) (Зрь .. . ,pn G ЭЛ) (31 > 0) q < i(pi V. . .Vp„) (порядок взят из К-пространства Жх).
<1 (1) => (2) => (3) => (4): Очевидно.
(4)	=> (5): Используя теорему о функционале Минковского (ср. 5.1.2), имеем
q < рв , V . . .V рв ,	=
(1 \ ( 1 \ (1 1 \
= — Pl V ... V —pn < —V...V — Р1 V . . . V рп.
\^1 /	\^п	/	\Г1	/
(5)	=> (1): Достаточно проверить, что ЭЛ >- {<?} для полунормы <7 G Э4. Если V G Wq, то V D {dq < е} для некоторого £ > 0. По условию
{dq < е} D	< — } О ... О < — }
для подходящих pi,...,pn G ЭЛ и t > 0. Множество, стоящее в правой части последнего включения, — элемент %Р1 V ... V %Pri = ^{pi,...,p„} С Значит, V также входит в У/дг 1>
5.3.3.	Определение. Пусть р, q : X R — две полунормы в X. Говорят, что р сильнее q, и пишут р >- q, если {р} >- {<7}. Аналогично трактуют эквивалентность полунорм р ~ q.
5.3.4.	р >- q О (31 > 0) q < tp О (31 > 0) Bq D tBp;
p ~ q О (3ii, h > 0) t2p < q < lip О (3ii, h > 0) trBp C Bq C t2Bp.
<1 Следует из 5.3.2 и 5.1.2. [>
5.3.5.	Теорема Рисса. Пусть р, q :	—> R — полунормы на
конечномерном пространстве Тогда р q УУ kerp С ker <7. <[>
5.3.6.	Следствие. Любые две нормы на конечномерном пространстве эквивалентны. <[>
5.3. Сравнение мультинорм
85
5.3.7.	Пусть (X, ЭЛ) и (У, 91) — мультинормированные про-странстваиТ G -2?(Х, У)—линейный оператор. Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	91 о ЭЛ;
(2)	Тх(^х) D 'W, 7х-1 (W) с
(3)	х G X => Т(тх(х)) D ту(Тж);
(4)	Т(тх(О)) D ту(О), тх(0) D Г^О));
(5)	(Vg G 91) (3pi, ...,pn G ЭЛ) q о Т -< pi V ... V рп. <[>
5.3.8.	Пусть (X, || • ||х) и (У, ||-||у)—нормированные пространства и Т G .X(X, У) — линейный оператор. Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	Т ограничен (т. е. Т G В(Х, У));
(2)	|| • ||х У || • ||y о Т;
(3)	Т равномерно непрерывен;
(4)	Т непрерывен;
(5)	Т непрерывен в нуле.
<1 Все сказанное — частный случай 5.3.7. 1>
5.3.9.	Замечание. Предложение 5.3.7 показывает, что бывает удобно рассматривать вместо исходной мультинормы ЭЛ какую-либо эквивалентную ей фильтрованную по возрастанию (относительно отношения > или ^) мультинорму. В качестве такой можно взять мультинорму ЭЛ:= {зирЭЛо : ЭЛо — непустое конечное подмножество ЭЛ}. В то же время при рассмотрении нефильтрованных мультинорм необходима известная осторожность.
5.3.10.	Контрпример. Пусть Х:= 7" и Хо состоит из постоянных отображений Xq := Fl, где 1 : ( м 1 (( £ Е). Положим ЭЛ := {р^ : £ G S}, где р^(ж) := |ж(£)| (ж G F=). Ясно, что ЭЛ — мультинорма в X. Пусть теперь р : X —> X/Xq — каноническое отображение. Несомненно, что ЭЛ^-i состоит только из нуля. В то же время мультинорма ЭЛ^-i хаусдорфова.
5.3.11.	Определение. Пусть (X, ЭЛ) — мультинормированное пространство и Xq — подпространство в X. Мультинорму ЭЛ^-i, где р : X —> X/Xq — каноническое отображение, называют фпкгпор-мультинормой и обозначают ЭЛх/х0- Пространство (Х/Хо, ЭЛх/х0)
86
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
называют фактор-пространстпвом пространства X по подпространству Хо.
5.3.12.	Фактор-пространство X/Xq хаусдорфово в том и только в том случае, если Хо замкнуто. <[>
5.4. Метризуемые и нормируемые
пространства
5.4.1.	Определение. Пусть (X, ЭЛ) — мультинормированное пространство. Назовем (X, ЭЛ) метризуемым, если существует такая метрика d на X, что Жи = Если на X существует норма, эквивалентная исходной мультинорме ЭЛ, то X называют нормируемым. Если же на X существует счетная мультинорма, эквивалентная исходной, то X называют счетнонормируемым.
5.4.2.	Критерий метризуемости. Мультинормированное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счет-нонормируемо и хаусдорфово.
<1 =>: Пусть Жгл = Переходя, если нужно, к мультинорме ЭЛ, будем считать, что для всякого n G N можно указать такие полунорму pn G ЭЛ и число tn > 0, для которых {d < 1/n} D {dPn < tn}. Положим Э4:= {pn : n G N}. Несомненно, что ЭЛ Э4. Если V G то V D {d < 1/п} для некоторого n t I I по определению метрической равномерности. Значит, по построению V G С %т, т. е. ЭЛ -<; Э4. Следовательно, ЭЛ ~ Э4. Хаусдорфовость отмечена в 4.1.7. Привлекая 5.2.6, видим, что и хаусдорфовы.
•<=: Переходя, если нужно, к эквивалентной мультинорме, будем считать, что пространство счетнонормировано и хаусдорфово: ЭЛ:= {рп : n G 11} и ЭЛ — хаусдорфова мультинорма.
ДЛЯ Я’1, ®2 G X положим
“ 2к 1+рДж1 -ж2)
(ряд в правой части этой формулы мажорируется сходящимся рядом 52^-! l/2fe, так что определение d корректно).
Проверим, что d — это метрика. Достаточно убедиться лишь в справедливости неравенства треугольника. Прежде всего, положим a(t) := 1(1 + 1) 1 (i G R+). Ясно, что o/(t) = (1 + I) 2 > 0.
5.4. Метризуемые и нормируемые пространства
87
Стало быть, функция а возрастает. При этом а субаддитивна: o(£i + t-i) = (£1 + £г)(1 + £1 + £2) 1 =
= £1 (1 + £1 + £2) 1 + £2 (1 + £1 + £2) 1 < £1 (1 + £1) 1 + £2 (1 + £2) 1 = = o(£i) + о(£2).
Значит, для х, у, z G X выполнено
Ф, У) = ^2^ka(.Pk(x ~У)) <Е^(Рк(х - z) +pk(z -у)) < к=1	к=1
- 52 (а(Мж “ г) + a(Pk(z - у))) = d(x, z) + d(z, у).
Осталось установить совпадение и
Проверим сначала, что С ^л- Возьмем цилиндр {d < е}, и пусть (ж, у) G {dpi < £} О ... О {dPn < £}. Тогда с учетом монотонности а получаем
,z , = А 1 Pk(x - у)	1 рк(х-у)
Ю ^2М+№(ж-у)+ 2- 2М+^(ж-у) -
Так как £(1 + £) 1 + 2 ” стремится к нулю, когда п оо и £ —> О, для подходящих £ и п будет (ж, у) G {<£ < е}. Значит, {d < е} G Т^л, что и нужно.
Установим теперь, что С Для этого следует при данных рп G ЭЛ и £ > 0 подыскать £ > 0 так, чтобы {dPn < £} D {d < е}. Очевидно, можно взять
1 i £'~ 2" 1 + £’
поскольку из соотношений
1 Pn(x-y)	1	£
------< d(x, у) < £ =------------- 2й 1+р„(ж-у) - v - 2й 1 + £
для любых ж, у вытекает, что рп (х — у) < £. [>
88
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.4.3. Определение. Множество V в мультинормированном пространстве (X, ЭЛ) называют ограниченным, если supp(V) < +оо при всех р G ЭЛ, т. е. если числовое множество p(V) ограничено сверху в Ж для каждой полунормы р из ЭЛ.
5.4.4. Для множества V в (X, ЭЛ) эквивалентны утверждения: (1) V — ограничено;
(2) для любой последовательности (жп)пек в V и последовательности (Ап)пек в I? такой, что Хп 0, выполнено Хпхп 0 (т. е. р(Хпхп) 0 для всякой полунормы р G ЭЛ);
(3) V поглощается каждой окрестностью нуля.
<1 (1) => (2): p(A„®„) < |А„|р(ж„) < |A„|supp(V) -> 0.
(2)	=> (3): Пусть U G т^(0) и не верно, что U поглощает V. По определению 3.4.9 это значит, что (Vn G N) (Зж„ е V) xn nU. Таким образом, 1/пхп U для всех n G N, т. е. (1/пхп) не стремится к нулю.
(3)	=> (1): Пусть р G ЭЛ. Найдется n G N, для которого V С пВр. Ясно, что supp(V) < supp(nBp) = п < +оо. [>
5.4.5.	Критерий Колмогорова. Мультинормированное пространство нормируемо в том и только в том случае, если оно хаус-дорфово и имеет ограниченную окрестность нуля.
<1 =>: Очевидно.
•<=: Пусть V — ограниченная окрестность нуля. Не нарушая общности, можно считать, что V = Вр для некоторой полунормы р из исходной мультинормы ЭЛ. Несомненно, что р -<; ЭЛ. Если теперь U G тэт(0), то nU D V для некоторого n G N. Значит, U G тр(0). Привлекая теорему 5.3.2, видим, что р >- ЭЛ. Таким образом, р ЭЛ и, стало быть, в силу 5.2.12, р также хаусдорфова полунорма. Последнее означает, что р — норма. [>
5.4.6.	Замечание. Попутно в 5.4.5 установлено, что наличие ограниченной окрестности нуля в мультинормированном пространстве равносильно его полунормируемости.
5.5. Банаховы пространства
5.5.1.	Определение. Полное нормированное пространство называют банаховым.
5.5. Банаховы пространства
89
5.5.2.	Замечание. Непосредственным расширением класса банаховых пространств служат полные метризуемые мультинормированные пространства — пространства Фреше. Можно сказать, что пространства Фреше составляют наименьший класс, содержащий банаховы пространства и замкнутый относительно образования счетных произведений. <[>
5.5.3.	Нормированное пространство является банаховым в том и только в том случае, если любой абсолютно (= нормально) сходящийся ряд в нем сходится.
<1 =>: Пусть 52^=1 ||жп|| < +оо для некоторой счетной последовательности (жп). Тогда последовательность частичных сумм sn := + ... + хп фундаментальна, ибо при m > к справедливы соотношения
IIs™- «fell = Е
n=fc+l
< Е 1Ы1-0.
n=fc+l
•<=: Пусть (хп) — счетная фундаментальная последовательность. Выберем возрастающую последовательность (пк)ке® такую, чтобы было ||жп - жт||< 2 к при n, m > пк. Тогда ряд хП1 + (ж„, -хП1) + (жПз — ®п2) + • • • абсолютно сходится к некоторой сумме х, т. е. хПк х. Видно, что одновременно с этим хп х. [>
5.5.4.	Пусть X — банахово пространство и Xq — замкнутое подпространство в X. Тогда фактор-пространство X/Xq банахово.
<1 Пусть : X .X := X/Xq — соответствующее каноническое отображение. Несомненно, что для каждого элемента х G -X существует элемент х G <р~1(ж) такой, что 2||ж|| > ||ж|| > ||ж||. Значит, для ряда 52^=1 хп, абсолютно сходящегося в 2Х, можно выбрать xn G р 1(ж„), обеспечив сходимость ряда норм 522=1. 1Ж«11- На основании 5.5.3 имеется сумма ж:= 5222=1 хп- Пусть ж:= <р(ж). Тогда
ж-Ежй < fe=i
ж - Еж^
к=1
Вновь апеллируя к 5.5.3, выводим, что -X банахово. [>
5.5.5.	Замечание. Понятно, что 5.5.3 можно перенести на по-лунормированные пространства. В частности, если (X, р) — полное полунормированное пространство, то фактор-пространство Х/кегр банахово. <[>
90
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.5.6.	Теорема. Пусть X, Y — нормированные пространства иХ /(). Пространство ограниченных операторов 1ЦХ. У) является банаховым в том и только в том случае, если Y банахово.
<1 •<=: Пусть (Т„) — последовательность Коши в В(Х, У). По нормативному неравенству для всех х G X выполнено ||Ттж —Т^ж|| < ||Tm — Tfe|| ||ж|| —> 0, т. е. (Тпх) — фундаментальная последовательность в У. Таким образом, есть предел Тх:= ПтТпж. Бесспорно, что возникающее отображение Т — линейный оператор. В силу оценки |||Tm|| - ||Tfe||| < \\Tm - Tk\\ последовательность (||Т„||) фундаментальна в Ж, потому и ограничена, т. е. supn ||ТП|| < +оо. Отсюда, переходя к пределу в неравенстве ||Тпж|| < supn||T„|| ||ж||, получаем: ||Т|| < +оо. Осталось проверить, что ||Т„ — Т|| —> 0. Возьмем для заданного £ > 0 номер по так, чтобы было ||Тт — Т„|| < е/2 при т, п > п0. Помимо этого, для х G Вх подберем т > п0, для которого \\Ттх - Тж|| < е/2. Тогда ||Тпж - Тж|| < ||Тпж - Ттх\\ + \\Ттх - Тж|| < \\ТП - Тт\\ + \\Ттх - Тж|| < £ при п > п0. Значит, ||Т„ — Т|| = sup{||T„® — Тж|| : х G Вх} < £ при достаточно больших п.
=>: Пусть (у„) — последовательность Коши в У. По условию существует элемент х G X с нормой ||ж|| = 1. Привлекая 3.5.6 и 3.5.2 (1), подыщем элемент х' G |<Э|(|| • ||), для которого (ж, ж') = ||ж|| = 1. Очевидно, что одномерный оператор Тп := х' ® уп : ж ь-> (ж, х')уп входит в В(Х, У), ибо \\ТП\\ = Цж'Ц \\уп||. Значит, \\Tm - Тк\\ = ||ж' ® (.Ут~Ук)\\= IMI \\Ут-Ук\\ = ||ym-yfe||, т. е. (Т„) — фундаментальная последовательность в В(X, У). Обозначим Т:= lim7„. Тогда |7'ж — Т„ж|| = \\Тх — уп\\ < ЦТ — Тп\\ ||ж|| —> 0. Иначе говоря, Тж — предел (у„) в У. [>
5.5.7.	Следствие. Сопряженное пространство (с сопряженной нормой) банахово. <[>
5.5.8.	Следствие. Пусть X — нормированное пространство, l : X X" — двойное штрихование, осуществляющее каноническое вложение X во второе сопряженное пространство X". Тогда замыкание cl t(X) — пополнение X.
<1 В силу 5.5.7, X" — банахово пространство. По 5.1.10 (8) отображение / — это изометрия X в X". Осталось сослаться на 4.5.16. О
5.5. Банаховы пространства
91
5.5.9.	Примеры.
(1)	«Абстрактные» примеры: основное поле, замкнутое подпространство банахова пространства, произведение банаховых пространств, 5.5.4-5.5.8.
(2)	Пусть <S — непустое множество. Для х G F^ положим ||ж||оо := sup|®(<o’)|. Пространство Zco(<o’) := Zco((o’, F) := dom || • ||oo называют пространством ограниченных функций на S. Используют и такие обозначения: В(<о) или В(<о, F). При S := N полагают т:=	:= l^^S").
(3)	Пусть & — фильтр в S. По определению считают X G с((о>, О (х G Zco(<o’) и ж(^) — фильтр Коши в F).
В случае, когда S := N и & — фильтр дополнений конечных множеств в N, пишут с:= с(<о’, и говорят о пространстве сходящихся последовательностей. В с(<о’, рассматривают подпространство с0((Г, ^):= {х G с(<о’,	: ж(^)	0}.
Если & — фильтр дополнений конечных множеств в бесконечном (o’, то применяют сокращенную запись с0(<о’) := с0(<о’, и говорят о пространстве функций, исчезающих на бесконечности. При S := N пишут просто со := со(<о’). Пространство со называют пространством сходящихся к нулю последовательностей. Следует помнить, что все эти пространства без особых оговорок наделяют нормой, взятой из соответствующего пространства (S, &).
(4)	Пусть S := (<f, X, f) — система с интегрированием. Таким образом, X — векторная решетка в причем решеточные операции в X и Д' совпадают, a f : X R — (пред) интеграл, т. е. f G X* и f хп J, 0, как только хп G X и хп(е) J, 0 для е G S. Пусть, далее, f G — измеримое (относительно S) отображение (можно, как это обычно и принято, говорить о почти везде конечных почти везде определенных измеримых функциях).
Положим ^p(f) := (/ |/|p)1/p для р > 1, где f — соответствующее лебегово расширение исходного интеграла f (использование единого символа — традиционная вольность).
Элементы dom ./1) называют интегрируемыми или суммируемыми функциями.
Интегрируемость f G F6 равносильна интегрируемости ее вещественной и мнимой частей Re f, Im f G Для полноты напомним,
92	Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
что ^1(/) = 7V(/), где
ЯР):=
:= inf {sup У хп : (ж„) С X, xn < xn+1, (Ve G S) \д(е) | = lim ж„(е) |
для произвольной д G F'T При F = Rясно, что dom./ll представляет замыкание X в полунормированном пространстве (dom Д', N).
Имеет место неравенство Гёльдера
< ^(/)^'(s) Q + У = р > •
<1 Это неравенство есть следствие неравенства Юнга:
хр ур’ ,
ху-----<— (®, У G >+),
р р'
примененного к |/|/Л£(/) и \д\/Лу(д) в случае, когда ^(/) и Лр’(д) не равны нулю одновременно. При	= 0 неравенство
Гёльдера несомненно. [>
Множество .Xr, := dom Мр является векторным пространством.
< \f+g\p < (l/l+lsl)p < 2p(\f\v\g[)p = 2p(|/|pv|sn < 2p(\f\p+\g\p) >
Функция Mp — полунорма, ибо для нее справедливо неравенство Минковского
+ g) < Xtp(f) +Лр(д).
<1 При р = 1 неравенство Минковского несомненно. При р > 1 неравенство Минковского следует из представления
Mp(f) = sup{^(/p)/^'(p) : 0 < ^'(р) < +оо} (/ G .Хр),
в правой части которого стоит верхняя огибающая семейства полунорм.
Для доказательства нужного представления в силу неравенства Гёльдера достаточно заметить, что при Mtp(f) > 0 для д := \f\p^p выполнено д G S£p' и, кроме того, ^(/) =	д}IХ/р\д).
5.5. Банаховы пространства
93
В самом деле, = j'\f\p/p'+1 = 'K(f)p, ибо р/р' + 1 = р(1 — 1/р) + 1 = р. Помимо этого, ,Лрбд)р = f \д\р = f \f\p = jYp(j)p, так что	= ^(f)p^p • Окончательно получаем
Л (Л)/Л'(5) = ^(/)pM(/)p/p' =
= Лр(Г)р-р/р' =	= ^p(f),
что и завершает доказательство. [>
Элементы dom называют интегрируемыми или суммируемыми функциями. Интегрируемость f G F^ равносильна интегрируемости вещественной и мнимой частей Re f, Im f G . Ради полноты, напомним, что
ЯР):=
:= inf< sup / xn : (xn) С X, xn < xn+1, (Ve G <f) |p(e)| < lim®„(e)
для произвольного g G F^. Если F := R, to dom./Ii, очевидно, представляет собой замыкание X в нормированном пространстве (dom Д', TV).
Фактор-пространство ker наделенное соответствующей фактор-нормой || • ||р, называют пространством функций, суммируемых (вместе) ср-той степенью, или пространством р-суммируемых функций и обозначают Lp. Конечно, используют и более развернутые символы типа Lp(S), Бр(<^, X, f) и т. п.
Наконец, если система с интегрируемостью S возникает из рассмотрения ступенчатых измеримых функций на пространстве с мерой (Q, srf, р), то пишут Lp(Q,, /X, р), Бр(£1, р) и даже Lp(p), где остальные параметры рассматриваемой ситуации ясны из контекста.
Теорема Рисса — Фишера. Пространство Lp является банаховым.
<1 Наметим доказательство. Возьмем какой-либо абсолютно сходящийся ряд t:=	-А(А), где fk G ^р. Положим an := У22=1 А
и sn := Ylk=i IАI- Видно, что последовательность (sn) состоит из положительных функций и является возрастающей. Это же верно для последовательности (s£). Более того, f sp < tp < +оо. По
94
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
теореме Леви о монотонной сходимости почти для каждого е G S предел р(е) := lims^(e) конечен и можно считать, что возникающая функция д лежит в Jzfi- Полагая /г(е) := g1/p(e), видим, что h G S£p и sn(e) —> /г(е) почти при всех е G S. Из неравенств |<т„| < sn < h вытекает, что почти для любого е G S сходится РЯД Е^1Л(е)- Для суммы /0(е) будет |/о(е)| < /г(е), и, стало быть, можно считать, что /о G Применяя теорему Лебега об ограниченной сходимости (= о предельном переходе), заключаем: Лр(стп — /о) = (f |<7п — /о|р)1/Р —Итак, абсолютно сходящийся ряд в полунормированном пространстве Л£) сходится. Остается сослаться на 5.5.3-5.5.5. 1>
Если система S — это «обычное суммирование» на S, т. е. в случае, когда X := ^eElg> К — прямая сумма основных полей Rn f х:= Еее<?ж(е)> пространство Lp состоит из семейств, суммируемых с p-той степенью. Это пространство обозначают lp(S). При этом Н< := (Ее^ЖН1/р- При S := N пишут просто 1р и говорят о пространстве последовательностей, суммируемых с p-той степенью.
(5)	Пространство Н определяют на основе следующей конструкции. Пусть X — упорядоченное векторное пространство и е G Х+ — положительный элемент. Полунормой ре, ассоциированной с е, называют функционал Минковского промежутка [—е, е], т. е.
ре(ж) := inf{£ > 0 : — te < х < te}.
Пространство Хе, совпадающее с эффективной областью определения domре, называют пространством ограниченных по отношению к е элементов, а сам элемент е — сильной единицей в Хе. Элементы ядра kerРе называют неархимедовыми (по отношению к е).
Фактор-пространство Xe/kerpe наделяют фактор-полунормой и называют нормированным пространством ограниченных элементов, порожденным е (в X). Так, пространство C(Q, R) непрерывных вещественных функций на непустом компакте Q есть нормированное пространство ограниченных элементов, порожденное функцией 1 := 1q : <7	1 (</ G Q) (в себе). В пространстве та же
функция 1 порождает пространство (S’).
Для системы с интегрированием S:= (S, X, J) в предположении измеримости 1 рассматривают пространство таких измеримых
5.5. Банаховы пространства
95
функций из S в F, что
 Л4(.Л := inf{< > 0 : |/| < Л} < +оо,
где < означает «меньше почти везде». Это пространство называют пространством существенно ограниченных функций и обозначают -Sfco-
Фактор-пространство	/ ker .ЛД обозначают а норму в
нем — || • ||со. Элементы L.^, допуская вольность речи, называют (как и элементы -2Д,) существенно ограниченными функциями. Пространство является банаховым. <[>
Пространству Lx, так же, как и пространствам C(Q, F),Zp(<o’), c0(<f), с, Zp, Lp (р > 1), присвоено название «классическое банахово пространство». В последнее время к числу классических относят также пространства Линденштраусса, т. е. пространства, сопряженные к которым изометричны Д (относительно какой-нибудь системы с интегрированием). Можно показать, что банахово пространство X является классическим в том и только в том случае, если сопряженное пространство X’ изометрично одному из пространств Бр при р > 1.
(6)	Пусть S := (<о, X, |) — система с интегрированием и р > 1. Допустим, что для каждого е G S имеется банахово пространство (Уе, || • ||уе). Возьмем любой элемент / G ]феЁ(?Уе и положим Ill/Ш : е ||/(е)||уе. Пусть, далее, -ZVp(/):= inf{^(p) : g G g > lll/Щ}- Ясно, что domTVp — векторное пространство с полунормой Np. Фактор-пространство dom Np/ ker Np с соответствующей нормой Hi-Hip называют суммой семейства (Уе)ее^> по типу р (точнее, по типу Lp в системе с интегрированием S).
Сумма по типу р семейства пространств — банахово пространство.
<1 Пусть Np(fk) < +оо. Тогда последовательность частичных сумм (sn:= Efe=illlAlll) сходится к некоторой почти везде конечной положительной функции g и Np(g) < +оо. Отсюда видно, что почти для каждого е G S сходится последовательность (sn(e)), т. е. РЯД IIЛ (е) || Из-за полноты Уе получаем, что ряд E/Xi А А) сходится к некоторой сумме /о(е) в Уе почти при любом е G S. Поскольку ||/о(е)IIуе < й(е) почти при всех е G S', можно считать, что /о G dom АД Наконец, Np (ELi А - А) < E^„+i Np(fk) 0. >
96
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
В случае S .= N и «обычного суммирования» сумму 2) последовательности банаховых пространств	часто обозначают
ф := (У1 Ф У2 Ф ... )р,
где р — тип суммирования. Элемент у пространства 2) — это последовательность (уп)пек такая, что yn G Yn и
/со	\ 1/р
111<:=	<+оо.
\ к=1	/
В случае, когда Уе := X при любом е е S, где X — некоторое банахово пространство над F, полагают .'Фр := doiiuV?, и Fp := JXp/ ker Np. Элементы полученных пространств называют векторными полями или Х-значными функциями на S (с нормами, суммируемыми с p-той степенью). Несомненно, что пространство Fp является банаховым. В то же время если в исходной системе с интегрированием есть неизмеримое множество, то пространство Fp содержит чересчур много элементов (так, для обычной лебеговой системы с интегрированием Fp / Lp). В этой связи в пространстве .?Р выделяют функции с конечными множествами значений, каждое из которых принимается на измеримом множестве. Такие элементы, равно как и отвечающие им классы в Fp, называют простыми, конечнозначными, ступенчатыми или размещенными функциями. Замыкание множества простых функций в Fp обозначают Lp (более развернуто: £р(Х), Lp(S, X), Lp(Q,, sY, р), Lp(Q,, р) и т. п.) и называют пространством Х-значных функций, суммируемых с p-той степенью, или же пространством /^суммируемых Х-значных функций. Ясно, что £р(Х) — банахово пространство.
Проиллюстрируем одно из достоинств этих пространств в случае р = 1. Заметим прежде всего, что простую функцию f можно записать в виде «конечной комбинации характеристических функций» :
f = Е
xGimf
где множество 1(ж) измеримо при х G im./'. Более того,
IIII/III = I Е =
J	J zeimf
5.5. Банаховы пространства
97
= / 22 х/-1(Ж)И®|| = 22 ini / xj-i(z) <+°°-
xEimf	xEimf
Каждой простой функции f сопоставим элемент в X по правилу:
/ /= 22 /
J	zeimf J
Проверка показывает, что возникающий интеграл J, определенный на подпространстве простых функций, линеен. Более того, он ограничен, ибо
В силу 4.5.10 и 5.3.8 оператор f допускает единственное продолжение до элемента пространства B(Zi(X), X). Этот элемент обозначают тем же символом f (или и т. п.) и называют интегралом Бохнера.
(7)	В случае «обычного суммирования» приняты те же соглашения, что и в скалярной теории. Именно, вместо интегралов суммируемых функций говорят о суммах суммируемых семейств и используют соответствующие стандартные знаки. При этом беско-нечномерность порождает свои проблемы.
Пусть (®„) — семейство элементов банахова пространства. Его суммируемость означает суммируемость (в смысле интеграла Бохнера) числового семейства (||жп||), т. е. абсолютную сходимость (жп). Тем самым среди (®„) лишь счетное число ненулевых элементов и (®„) можно считать (счетной) последовательностью. При этом ||жпII < +°° (= ряд Х1 + ж2 + • • • абсолютно сходится). С учетом 5.5.3 для суммы ряда х = Y^=ixn выполнено: х = lim^se, где sg := хп — (соответствующая 0) частичная сумма, а в пробегает направление конечных подмножеств N. В последней ситуации х изредка называют неупорядоченной суммой ряда (®„), а последовательность (®„) — неупорядоченно суммируемой к х (пишут: х = 52„eN®n). В этих терминах заключаем: суммируемость влечет неупорядоченную суммируемость (к той же сумме). При dim Д' < +оо верно и обратное утверждение (= теорема Римана о рядах). Общий случай разъясняет следующий глубокий факт.
98
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
Теорема Дворецкого — Роджерса. В каждом бесконечномерном банаховом пространстве X для любой последовательности положительных чисел (tn) такой, что	< +°°> существует
неупорядоченно суммируемая последовательность элементов (жп), у которой ||жп|| = tn при всех n G N.
В этой связи для семейства элементов произвольного мульти-нормированного пространства (X, ЭЛ) принимают следующую терминологию. Говорят, что семейство (хе)еЕ^ суммируемо или безусловно суммируемо (к сумме ж) и пишут х := 52ee<g> хе при условии, что х является пределом в (X, ЭЛ) соответствующей сети частичных сумм (sg), где в — конечное подмножество S, т. е. sg х в (X, ЭЛ). Если для каждого р существует сумма 52ее<?л(же)> т0 говорят, что семейство (хе)еЕ£ абсолютно суммируемо (или, что более правильно, фундаментально суммируемо, или даже абсолютно фундаментально).
Пусть в заключение 2) — еще одно банахово пространство и Т G В(Х, 2)). Оператор Т естественным способом распространяют до оператора из £i(X) в £1(2)), полагая для простой Х-значной функции f, что Tf : е ь- Tf(e) при е Е S. Тогда для f G £i(X) будет Tf G £i(2)) и f^T f = Т f. Последний факт выражают словами: «интеграл Бохнера коммутирует с ограниченными операторами». <[>
5.6. Алгебра ограниченных операторов
5.6.1.	Пусть X, Y, Z — нормированные пространства, а Т Е .Х(Х, Y) и S Е A?(Y, Z) — линейные операторы. Тогда ||ST|| < ||ВЦ ||Т||, г. е. операторная норма является субмультипликативной.
<1 В силу нормативных неравенств для х G X выполнено
||5Тж|| < ||S|| ||Тж|| < ||S|| \\Т\\ ||ж||. >
5.6.2.	Замечание. В алгебре, в частности, изучают (ассоциативные) алгебры над F. Так называют векторное пространство А над F, в котором имеется (ассоциативное) умножение элементов о : (а, Ь) ab (a, b е А). Предполагается, что умножение о дистрибутивно относительно сложения (т. е. (А, +, о) — это (ассоциативное) кольцо) и, кроме того, что операция о согласована с умножением на скаляр в том смысле, что Х(аЬ) = (Ха)Ь = а(ХЬ) при всех а, Ь Е А
5.6. Алгебра ограниченных операторов
99
и A G F. Иными словами, в более развернутом виде алгебра — это набор (A, F, +, •, о). В то же время, как и в других аналогичных ситуациях, говорят просто об алгебре А.
5.6.3.	Определение. Нормированная алгебра (над основным полем) — это ассоциативная алгебра (над этим полем), наделенная субмультипликативной нормой. Банахова алгебра — это полная нормированная алгебра.
5.6.4.	Пусть В(Х') := В(Х, Д') — пространство ограниченных эндоморфизмов нормированного пространства X. Пространство PA X ') с операцией суперпозиции операторов в качестве умножения и с операторной нормой представляет собой нормированную алгебру. При X 0 в В(Х) есть единичный элемент 1х и ||/х|| = 1- Алгебра РАХ) является банаховой в том и только в том случае, если X — банахово пространство.
<1 Если X = 0, то все очевидно. Если же X / 0, то нужно воспользоваться 5.5.6. 1>
5.6.5.	Замечание. В связи с 5.6.4 за элементом Х1х, где A G F, удобно закрепить тот же самый символ А. (В частности, 1 = /о = О!) При X/d описанную процедуру можно мыслить как отождествление основного поля F и одномерного подпространства Г1х-
5.6.6.	Определение. Пусть X — нормированное пространство и Т G В(Х). Число г(Т) := inf (||T"||1/" : n е N} называют спектральным радиусом Т. (Естественность этого термина станет ясной несколько позже (ср. 8.1.12).)
5.6.7.	г(Т) < ||Т||.
<1 Действительно, в силу 5.6.1, ||Т”|| < ||Т||”. 1>
5.6.8.	Справедлива формула Гельфанда
r(T) = lim vHW-
<	1 Пусть £ > 0 и s G N таковы, что ЦТ®|| < (г(Т) + е)®. Для каждого n G N в случае n > s имеется представление n = k(n)s+l(n), где k(n), l(n) G N и 0 < l(n) < s — 1. Значит,
||Tn|| = \\pk(n)sTl(n) II < ||2^s||fc(n.) ||у/(п)|| <
100
Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
<	(1 V ||Т|| V ... V ||TS-11|) ||Ts||fe(") = м ||Ts||fe(").
Следовательно,
г(Т) < ||ТИ||1/И < 7Vf1/”||Ts||fe(”)/” <
<	Af1/"(r(T) + £}fe(n)s/« = M1/"(r(T) +
Так как М1/™ — 1 и (п- Z(n))/n —> 1, то г(Т) < limsup||T”||1/” < г(Т) + £. Соотношение lira inf ||Tn||1/" > г(Т) очевидно. В силу произвольности е получаем требуемое. [>
5.6.9.	Теорема о сходимости ряда Неймана. Пусть X — банахово пространство и Т G В(Х). Эквивалентны утверждения:
(1)	ряд Неймана 1 + Т + Т2 + ... сходится в операторной норме пространства В(Х);
(2)	\\Tk\\ < 1 для некоторого к из N;
(3)	Г(Т) < L
При выполнении одного из условий (1)-(3) будет	=
(1-Т)-1.
<1 (1) => (2): Если ряд Неймана сходится, то общий член СТк) стремится к нулю.
(2)	=> (3): Очевидно.
(3)	=> (1): На основании 5.6.8 при подходящем £ > 0 для всех достаточно больших к € N будет г(Т) < ||TfeЦ1^ < г(Т) + е < 1. Иными словами, хвост ряда	\\Тк || мажорирован сходящимся
рядом. Учитывая полноту 1ЦХ) и критерий 5.5.3, заключаем, что ряд Тк сходится в пространстве В(Х).
Пусть теперь S:= 52/Хо Тк и sn = 52k=o тк- ТогДа
5(1 - Г) = lim 5„(1 - Г) = lim (1 + Г + ... + Г") (1 - Г) =
= lim(l - Tn+1) = 1;
(1 - Т)5 = lim(l - T)Sn = lim(l - T)(l + T + ... + Tn) =
= lim (1 — T”+1) = 1,
ибо Tn 0. Итак, в силу 2.2.7, S = (1 - Г)-1. >
5.6. Алгебра ограниченных операторов
101
5.6.10.	Следствие. Если ||Т|| < 1, то оператор (1 — Т) (непрерывно) обратим (= имеет ограниченный обратный), т. е. обратное соответствие — ограниченный линейный оператор. При этом iKi-^^iKa-iiTii)-1.
<1 Ряд Неймана сходится, причем
11(1 - т)-'\\ < £ \\тк\\ < £ \\т\\к = (1 - ЦТЦ)-1. >
к=0	к=0
5.6.11.	Следствие. Если ||1 — Т|| < 1, то Т обратим и
<1 По теореме 5.6.9,
1 + £(1 - Т)к = ^2(1 - Т)к = (1 - (1 - т))-1 = т-1. к=1	к=0
Отсюда выводим:

к=1
5.6.12.	Теорема Банаха об обратимых операторах. Пусть X и Y — банаховы пространства. Множество (непрерывно) обратимых операторов открыто. При этом операция обращения оператора Т /' 1 является непрерывным отображением.
<1 Пусть операторы S,Te В(Х, Y) таковы, что 7' 1 G B(Y, X) и, кроме того, |7' 1| ||S — Т\\ < 1/2. Рассмотрим оператор T-1S G В(Х). Имеем
||1 - т-1 S|| = \\т-кт - т-^ц < ЦТ-1!! \\т - S|| < | < I.
В силу 5.6.11, (7' 1А') 1 — это элемент В(Х).
Положим R:=	. Ясно, что R G B(Y, X) и, кроме
того,
R = S-^T-1)-1!1-1 = S1
102	Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
Помимо этого,
||S-1||-||T-1||<||S-1-T-1|| =
= \\S-1(T-S)T-1\\ < ns-1!! \\т — s\\ ||т-1|| < |||5-1||.
Отсюда ||.S' 11 < 2||V’ 11|. Окончательно
US-1 - г-1!! < ns-1!! \\t - s|| ЦГ-11| < 2ЦТ-11|2\\t - s||. >
5.6.13.	Определение. Пусть X — банахово пространство над F и Т G В(Х). Скаляр А 6 F называют регулярным или резольвентным значением Т, если (А — /') 1 G В(Х). При этом полагают R(T, А) := (А — 7') 1 и называют оператор R(T, А) резольвентой (оператора Т в точке А). Множество резольвентных значений обозначают res(T). Отображение А R(T, А) из res(T) в В(Х) также называют резольвентой оператора Т. Множество F \ res(T) называют спектром Т и обозначают Sp(T) или <т(Т). Элементы спектра называют спектральными значениями.
5.6.14.	Замечание. Если X = 0, то спектр единственного оператора Т = 0 G В(Х) равен пустому множеству. В этой связи в спектральном анализе молчаливо предполагают, что X / 0. В случае X / а при F := R спектр также бывает пустым, а при F := С — не бывает (ср. 8.1.11). <[>
5.6.15.	Множество res(T) открыто, причем если Ао G res(T), то в некоторой окрестности Ао выполнено
Д(Т, А) = ^(-l)fe(A - Ao)feB(T, A0)fe+1.
k=0
Если |А| > ||T||, to A G res(T) и имеет место разложение
i 00 7’^
k=0
причем ||Я(Т, А)|| —> 0 при |А| —> -hoc.
5.6. Алгебра ограниченных операторов
103
<1 Поскольку ||(А — Т) — (Ао — Т)|| = |А — Ао|, то открытость множества res(T) следует из 5.6.12. Кроме того,
А _ т = (А - Ао) + (Ао - Т) = (Ао - Т)Я(Т, А0)(А - Ао) + (Ао - Т) =
= (А0-Т)((А-А0)Я(Т, Ао) + 1) = (Ао-Т)(1-((-1)(А-Ао)Я(Т, Ао))).
Значит, в подходящей окрестности точки Ао в силу 5.6.9 будет
R(T, А) = (А - 7’) 1 =
= (1 - ((-1)(А - А0)Ж Ао))) 1 (Ао - ГТ1 =
= f^(-l)fc(A - A0)fcfl(T, A0)fe+1.
к=0
На основании 5.6.9 при |А| > \\Т\\ имеется оператор (1 — Т/А) 1, представляющий собой сумму ряда Неймана, т. е.
Очевидно
||Д(Т’ Л)|1 - |А| ' 1 - ||Т||/|АГ
5.6.16.	Спектр любого ограниченного оператора Т компактен.
5.6.17.	Замечание. Полезно помнить, что неравенство |А| > г(Т) представляет собой необходимое и достаточное условие сходимости ряда Лорана R(T, А)= Tk/Xk+1, дающего разложение резольвенты в окрестности бесконечно удаленной точки (см. также 8.1.12).
5.6.18.	Оператор S коммутирует с оператором Т в том и только в том случае, если S коммутирует с резольвентой Т.
<1 =>: ST = TS => S(X -Т) = XS - ST = XS -TS = (A - T)S => R(T, A)S(A - T) = S => R(T, A)S = S R(T, A) (A G res(T)).
«=: SR(T, Ao) = R(T, A0)S => S = R(T, A0)S(A0 - T) => (Ao -T)S = S(A0 - T) => TS = ST. [>
104	Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.6.19.	Если X, р G res(T), то имеет место первое резольвентное уравнение (= тождество Гильберта)
R(T, X) - R(T, р) = (р- X)R(T, p)R(T, X).
<1 «Умножая тождество р — X = (р — Т) — (А — Т) сначала на R(T, X) справа, а затем на R(T, р) слева», последовательно приходим к требуемому. [>
5.6.20.	Если X, р е res(T), то R(T, X)R(T, р) = R(T, р) о Д(Т, А).
5.6.21.	Для X G res(T) выполнено
rik
А) = (-l)fefc! R(T, X)k+1. <[>
5.6.22.	Теорема о спектре произведения. Спектры Sp(ST) и Sp(TS) могут отличаться лишь нулем.
<1 Достаточно установить, что 1 Sp(ST) => 1 Sp(TS). В самом деле, тогда при А Sp(ST) и А 0 будет
1 £ у Sp(ST) => 1 Sp ( yST ) => 1 Sp ( yTS ) => А Sp(TS). А	\ А )	\л)
Итак, рассмотрим случай 1 Sp(ST). Формальные разложения типа ряда Неймана —
(1 - ST)-1 - 1 + ST + (ST) (ST) + (ST) (ST) (ST) + ...,
T(1 - ST^S ~TS + TSTS + TSTSTS + ... - (1 - TS)-1 - 1
— наводят на мысль, что справедливо представление
(1 - TS)1 = 1 + Т(1 - ST^S
Упражнения 105
(которое обеспечит соотношение 1 Sp(TS)). Следующие прямые выкладки:
(1 + Т(1 - ST)-1 .S')(1 - TS) =
= 1 + Т(1 - ST)-rS -TS + Т(1 - ST)-1 (-ST)S =
= 1 + Т(1 - ST^S -TS + T(1 - ST)-1^ -ST- 1)S =
= 1 + T(1 - ST)-^ -TS + TS - T(1 - ST)-^ = 1;
(1 - TS)(1 + T(1 - ST^S) =
= 1 - TS + T(1 - ST)-1S + T(-ST)(1 - ST^S =
= 1 - TS + T(1 - ST^S + T(1 -ST - 1)(1 - ST^S =
= 1 - TS + T(1 - ST)-1S + TS - T(1 - ST^S = 1
доказывают искомое представление, а вместе с тем и теорему. >
Упражнения
5.1.	Доказать, что нормированное пространство конечномерно в том и только в том случае, если любой линейный функционал на нем ограничен.
5.2.	Проверить, что в каждом векторном пространстве можно определить норму.
5.3.	Установить, что векторное пространство конечномерно в том и только в том случае, если все нормы в нем эквивалентны.
5.4.	Доказать, что отделимые мультиметрики задают одну и ту же топологию конечномерного пространства.
5.5.	Каждую ли норму в можно использовать для нормировки произведения N нормированных пространств?
5.6.	Выяснить условия непрерывности конечномерного оператора, действующего в мультинормированных пространствах.
5.7.	Описать операторные нормы в пространстве квадратных матриц. Когда такие нормы сравнимы?
5.8.	Найти расстояние между гиперплоскостями в нормированном пространстве.
5.9.	Выяснить общий вид непрерывных линейных функционалов в классических пространствах.
5.10.	Изучить вопрос о рефлексивности классических банаховых пространств.
106 Гл. 5. Мультинормированные и банаховы пространства
5.11.	Выяснить взаиморасположение пространств 1Р и lq, Lp и Lq. Когда дополнение одного из элементов каждой пары плотно в оставшемся?
5.12.	Найти спектр и резольвенту оператора Вольтерра, проектора, одномерного оператора.
5.13.	Построить оператор, спектр которого — наперед заданный непустой компакт в С.
5.14.	Доказать, что тождественный оператор (в ненулевом пространстве) не может быть коммутатором двух эндоморфизмов.
5.15.	Как определить спектр оператора в мультинормированном пространстве?
5.16.	Каждое ли банахово пространство над F допускает изометрическое вложение в пространство C(Q, F), где Q — компактное пространство?
5.17.	Выяснить, в каких случаях Lp(X)' = Lp/(X'), где X — банахово пространство.
5.18.	Пусть (Хп) — последовательность нормированных пространств и
ll^nllx^ -> о
— их сумма по типу со (с нормой ||х|| := sup{ ||xn|| : п G N}, взятой из суммы по типу /сю). Доказать, что Xq сепарабельно в том и только в том случае, когда сепарабельно каждое из пространств Хп.
5.19.	Доказать, что пространство	1] представляет собой сумму ко-
нечномерного подпространства и пространства, изоморфного С*[0, 1].
Глава 6
Гильбертовы пространства
6.1.	Эрмитовы формы и скалярные
произведения
6.1.1.	Определение. Пусть Н — векторное пространство над основным полем F. Отображение f : /I2 F называют эрмитовой формой, если
(1)	отображение /(•, у) : х f(x, у) лежит в II# для всех у Е Y;
(2)	/(ж, у) = f(y, ж)* при любых ж, у £ Н, где А А* — естественная инволюция в F, т. е. переход к комплексно сопряженному числу.
6.1.2.	Замечание. Как видно, для эрмитовой формы / при каждом ж G Н отображение /(ж, •) : у ь- (ж, у) лежит в Hf, где Я* — дуальное к Н векторное пространство (см. 2.1.4 (2)).
Таким образом, при F := R эрмитова форма билинейна, т. е. линейна по каждому аргументу, а при F := С — полуторалинейна, т. е. линейна по первому аргументу и *-линейна по второму.
6.1.3.	Для каждой эрмитовой формы f выполнено поляризационное тождество:
f(x + y, х + у) - f(x - у, ж - у) = 4Re/(ж, у) (ж, у G Я).
< _f(x + y,x + y) = f(x, ж) + /(ж, у) + f(y, ж) + f(y, у) f(x -у, х-у) = f(x, ж) - /(ж, у) - f(y, ж) + f(y, у)
2(/(ж, у) + /(у, ®))	>
108
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.1.4.	Определение. Эрмитову форму f называют положительной, или скалярным произведением, если /(ж, ж) > 0 для любого ж G Н. При этом пишут: (ж, у) := (ж | у) := f(x, у) (ж, у G Н). Скалярное произведение называют невырожденным, если (ж, ж) = 0 => ж = 0 (ж G Н).
6.1.5.	Имеет место неравенство Коши — Буняковского
К®, у)|2 < (®, (у, у) (г у е я).
< Если (ж, ж) = (у, у) = 0, то 0 < (ж + ty, х + ty) = t(x, у)* + 1*(ж, у). Выбирая t:= —(ж, у), получаем — 2|(ж, у)|2 > 0, т. е. в этом случае нужное установлено.
Если, к примеру, (у, у) 0, то ввиду оценки
0 < (ж + ty, ж + ty) = (ж, ж) + 21 Ие(ж, у) + 12(у, у) (1 G R)
заключаем: Ие(ж, у)2 < (ж, ж)(у, у).
Если (ж, у) = 0, то доказывать нечего. Если же (ж, у) / 0, то положим 0:= |(ж, у)| (ж, у) 1 и ж:= 0х. Тогда |У| = 1 и, кроме того,
(ж, ж) = (Уж, Уж) = УУ*(ж, ж) = |У|2(ж, ж) = (ж, ж);
|(ж, у)| = У (ж, у) = (Уж, у) = (ж, у) = Ие(ж, у).
Таким образом, |(ж, у)|2 = Ие(ж, у)2 < (ж, ж)(у, у). [>
6.1.6.	Если (•, •) — скалярное произведение на Н, то отображение || • || : ж I—> (ж, ж)1/2 — полунорма на Н.
<1 Следует проверить только неравенство треугольника. Применяя неравенство Коши — Буняковского, имеем
||ж + у||2 = (ж, ж) + (у, у) + 2Ие(ж, у) <
< (х, ж) + (у, у) + 2||ж|| ||у|| = (||ж|| + ||у||)2. [>
6.1.7.	Определение. Пространство Н со скалярным произведением (•, •) и соответствующей полунормой || • || называют предгильбертовым. Предгильбертово пространство Н называют гильбертовым, если полунормированное пространство (//, || • ||) банахово.
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения
109
6.1.8.	В предгильбертовом пространстве Н справедлив закон параллелограмма
||ж + у||2 + ||ж - у||2 = 2(||ж||2 + ||у||2) (ж, у€Я)
— сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
< II® + у||2 = (х + у, х + у) = ||®||2 +2Re(®, у) + ||у||2;
||® - у||2 = (х - у, х — у) = ||®||2 - 2Re(®, у) + ||у||2 [>
6.1.9.	Теорема фон Неймана — Йордана. Если в полунор-мированном пространстве (Я || • ||) справедлив закон параллелограмма, то Н — предгильбертово пространство, т. е. найдется, и притом единственное, скалярное произведение (•, •) в Н такое, что ||®|| = (ж, ж)1/2 для всех х G Н.
<1 Рассмотрим вещественную основу Як пространства Я и для ж, у G Як положим
(ж, y)R:=	(||ж + у||2 - ||ж — у||2) .
Применяя закон параллелограмма, для отображения (•, у)к последовательно выводим
(жь у)к + (ж2, у)к =
= (||®1 + у||2) - (||®1 - у\\2 + II+ у\\2 - ||- у\\2) =
= ((||®1 +у||2 + ||®2 +у||2) - (||®1 — у||2 + ||®2 — у||2)) =
= (|(11 (-1 +у) + (ж2 + у)||2 + ||®1 — ж2||2^ -
(||(ж1 - у) + (ж2 - у)||2 + ||®1 - ®2 II2)) =
= f|ll®i +®2 + 2у||2 - |||Ж1 +ж2 - 2у||2 j =
110
Гл. 6. Гильбертовы пространства
= | (|101 +®2)/2 + у||2 - ||(®1 -ж2)/2 -у||2) =
= 2((®i + ж2)/2, у)к.
В частности, при ж2 := 0 будет (ж2, y)R = 0, т. е. 1/2(®1, у)® = (1/2®i, у)к. Соответственно при := 2®i и ж2 := 2ж2 имеем
(®1+®2, у)к = (®1, у)н+(ж2, y)R.
В силу очевидной непрерывности отображения (•, y)R можно сделать вывод, что (•, y)R G (HR)*. Положим
(х, y):=Re 1((-, у)и)(ж),
где Re 1 — комплексификатор (см. 3.7.5).
В случае F := R ясно, что (х, у) = (ж, y)R = (у, ж) и (ж, ж) = ||ж||2, т. е. доказывать нечего. Если же F := С, то
(ж, у) = (ж, y)R - г(гж, y)R.
Отсюда вытекает, что
(у, ж) = (у, ж)и - г(гу, ж)и = (ж, y)R - г(ж, гу)к =
= (ж, у)к + г(гж, y)R = (ж, у)*, поскольку
(ж, iy)R = i (||ж + гу||2 - ||ж - гу||2) =
= (1*1 \\у - И2 - HI Н*ж + у112) = НИ У)к-
Помимо ЭТОГО,
(ж, ж) = (ж, ж)к - г(гж, ж)к =
= IlHl - \ (Н*ж + ж112 - Н*ж - ж112) =
= ||ж||2 (1 - 2- (|l + i|2 - |1 -г|2)} = ||ж||2.
Утверждение об единственности следует из 6.1.3. 1>
6.1. Эрмитовы формы и скалярные произведения
111
6.1.10.	Примеры.
(1)	Примером гильбертова пространства служит пространство (относительно какой-нибудь системы с интегрированием). При этом скалярное произведение вводят так: (/, д') := J fg* для f, д G L2. В частности, для получаем (ж, у) := 52ee<g> хеу* при Ж, у G Z2(<o>).
(2)	Пусть Н — предгильбертово пространство и (•, •) : № —> F — скалярное произведение в Н. Ясно, что вещественная основа Hr со скалярным произведением (•, -)к : (ж, у) » Яе(ж, у) является предгильбертовым пространством, причем норма элемента в Н не зависит от того, вычисляют ее в Н или в Hr. Предгильбертово пространство (Ur, (•, -)r) называют овеществлением пространства (U, (•, •))• В свою очередь, если вещественная основа некоторого полунормированного пространства является предгильбертовым пространством, то процесс комплексификации приводит к естественной предгильбертовой структуре в исходном пространстве.
(3)	Пусть Н — предгильбертово пространство и //* — дуальное к Н векторное пространство. Для ж, у G //* положим (ж, у)*:= (ж, у)*. Ясно, что (•, •)* — скалярное произведение в //*. Полученное предгильбертово пространство называют дуальным к Н и сохраняют за ним обозначение //*.
(4)	Пусть Н — предгильбертово пространство и Но := ker ||-|| — ядро полунормы || • || в Н. Привлекая неравенство Коши — Буняковского, теорему 2.3.8 и 6.1.10 (3), видим, что в фактор-пространстве H/Hq естественным образом возникает скалярное произведение: если жх := <p(xi) и ж2 := </?(ж2), где ж1; ж2 t // иу : H/Hq — каноническое отображение, то (яд, ж2) := (ж1, ж2). При этом предгильбертово пространство H/Hq можно рассматривать как фактор-пространство полунормированного пространства (//, || • ||) по ядру полунормы || • ||. Таким образом, H/Hq — хаусдорфово пространство, которое называют хаусдорфовым предгильбертовым пространством, ассоциированным с Н. Пополняя нормированное пространство Н/Но, получаем гильбертово пространство (например, в силу теоремы фон Неймана — Иордана). Построенное гильбертово пространство называют ассоциированным с исходным предгильбертовым пространством.
(5)	Пусть (7/,:),r — некоторое семейство гильбертовых пространств нН — сумма этого семейства по типу 2, т. е. h G Н в
112
Гл. 6. Гильбертовы пространства
том и только в том случае, если h:= (he)eE^, где he G Не для е G S, и при этом
В силу 5.5.9 (6), Н — банахово пространство. Для элементов f,gE /I, применяя последовательно закон параллелограмма, имеем
|(11/ + 5||2 + 11/-5||2) =
= |(Е 11Л+5е||2 + Е Wfe-geW2) =
' ее<?	'
= Е ^(11Л+5е||2+||Л-5е||2) =
eES
eES
так что, по теореме фон Неймана — Йордана, Н — это гильбертово пространство. Пространство Н называют гильбертовой суммой семейства гильбертовых пространств	и обозначают фее^Не.
При S:= N пишут также Н:= Н± ф П> ф ....
(6)	Пусть Н — гильбертово пространство и S — некоторая система с интегрированием. Пространство L->(S. /I), составленное из Н-значных функций, суммируемых с квадратом, является гильбертовым. <[>
6.2.	Ортопроекторы
6.2.1.	Пусть U — выпуклое подмножество некоторого шарового слоя (г + е)Вн \ гВн, где 0 < £ < г, в гильбертовом пространстве Н. Имеет место следующая оценка диаметра: diam U < -\/12ге.
<1 Для х, у Е U, учитывая, что 1/2(ж + у) G Г, и привлекая закон параллелограмма, выводим
||® - у||2 = 2 (||®||2 + ||у||2) - 41|(® + у)/2||2 <
6.2. Ортопроекторы
113
< 4(r + е)2 — 4r2 = 8re + 4е2 < 12ге. [>
6.2.2.	Теорема Леви о проекции. Пусть U — непустое выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве Н и х Е Н \ U. Тогда существует, и притом единственный, элемент uq G U такой, что
||® — и01| = inf{||® — u|| : u е U}.
<1 Положим Ue := {u G U : ||® — и|| < inf ||Н — ®|| + е}. В силу 6.2.1 семейство (L4)e>o образует базис фильтра Коши в U. [>
6.2.3.	Определение. Элемент uq, фигурирующий в 6.2.2, называют наилучшим приближением х в множестве U или проекцией х на множество U.
6.2.4.	Пусть Но — замкнутое подпространство в гильбертовом пространстве Н и х G Н\ Но. Элемент ®о G Но является проекцией х на Но в том и только в том случае, если (х — xq, ho) = 0 для каждого ho G Hq.
<1 Достаточно рассмотреть овеществление (Я0)к пространства Но. На (Яо)к определена выпуклая функция ./'(Ао) := (ho-x. ho —ж). При этом жо G Яо служит проекцией ж на Яэ тогда и только тогда, когда О G ЭЖо(/). В связи с 3.5.2 (4) последнее вхождение означает, что (ж — ®о> h0) = 0 при любом h0 G Яо, ибо /'(®о) = 2(®о —
6.2.5.	Определение. Элементы х, у Е Я называют ортогональными и пишут х ± у, если (ж, у) = 0. Символом U1- обозначают совокупность элементов, ортогональных ко всем точкам данного множества U, т. е. U1- := {у Е Я : х G U => х ± у}. Множество U1-называют ортогональным дополнением множества U.
6.2.6.	Пусть Но — замкнутое подпространство в гильбертовом пространстве Н. Тогда его ортогональное дополнение /1() — замкнутое подпространство, причем Я = Яо ф Н^.
<1 Замкнутость Н^ в Я очевидна. Ясно также, что Яо А Н^ = Но П //() = 0. Осталось проверить, что Яо V Hq = Но + 1/(1 = Н. Возьмем элемент h G Я \ Яэ. На основании 6.2.2 существует проекция ho G Яэ, а, в силу 6.2.4, h — ho G Hq. Итак, h = ho + (h — ho) G Ho + H^. [>
114
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.2.7.	Определение. Проектор на замкнутое подпространство Hq параллельно //() называют ортопроектором на Но и обозначают рн0-
6.2.8.	Лемма Пифагора. X ± у => ||ж + у||2 = ||ж||2 + ||у||2. <[>
6.2.9.	Следствие. Норма ортопроектора не превосходит единицы: Н / О, Но ± 0 => \\Рц01| = 1-
6.2.10.	Теорема об ортопроекторе. Для каждого оператора Р G Г£ < /1) такого, что Р2 = Р, эквивалентны утверждения:
(1)	Р — ортопроектор на Hq := im Р;
(2)	\\h\\ < 1 => \\Ph\\ < 1;
(3)	(Г®, Pdy) = 0, где Pd:= 1ц — Р и х, у G Н;
(4)	(Р®, у) = (ж, Ру) при ж, у Е Н.
<1 (1) => (2): Отмечено в 6.2.9.
(2)	=> (3): Пусть Hi := kerГ = imPd. Возьмем ж G Н±. Поскольку х = Рх + Pdx и х ± Pdx, то ||х||2 > ||Р®||2 = (ж — Pdx, х — Pdx) = (ж, ®)-2Re(®, Pdx) + (Pdx, Pdx) = ||®||2 + ||Pd®||2. Отсюда Pdx = 0, t. e. x G imP. Из соотношений Hr = kerP и H^~ c imP с учетом 6.2.6 выводим: H^~ = imP = Hq. Итак, (Px,Pdy) = 0 для любых x,y G H, ибо Px G Ho, a Pdy G Hr.
(3)	=> (4): (Px, y) = (Px, Py + Pdy) = (Px, Py) = (Px, Py) + (Pdx, Py) = (x, Py).
(4)	=> (1): Проверим сначала, что Но — замкнутое подпространство. Пусть ho := lim hn и hn G Hq, t. e. Phn = hn. При любом x G H из непрерывности функционалов (•, x) и (•, Px) последовательно вытекает
(ho, х) = lim (hn, x) = lim (Phn, x) = lim (hn, Px) = (Pho, x).
Отсюда (ho — Pho, ho — Pho) = 0, t. e. ho G imP.
Теперь для произвольных x G H и ho G Hq выводим (x — Px, ho) = (x — Px, Pho) = (P(x — Px), ho) = (Px — P2x, ho) = (Px — Px, ho) = 0. Таким образом, привлекая 6.2.4, получаем Px = Рнох. [>
6.2.11.	Пусть Р\, Р-_> — ортопроекторы, причем PiP2 = 0. Тогда P2Pi = 0.
<1 PiP2 = 0 => imP2 С kerPi => imPi = (kerPi)x С (imP2)x = kerP2 => P2Pi = 0 [>
6.3. Гильбертов базис
115
6.2.12.	Определение. Ортопроекторы Р± и Р называют ортогональными (и пишут Pi ± Р> или Р> -L Pi), если Р\_Р> = 0.
6.2.13.	Теорема. Пусть Р±,.. ,,Рп — ортопроекторы. Оператор Р := Pi + ... + Рп является ортопроектором в том и только в том случае, если Pi ± Рт при I / т.
<	1 =>: Заметим прежде всего, что для каждого ортопроектора Ро по теореме 6.2.10 выполнено ||Ро®||2 = (Pq®, Pqx) = (Рух. х) = (Ро®, ж). Следовательно, при ж G Н и I / т справедливо
||Ргж||2 + ||Ртж||2< п	п
<	£ ||Pfe®||2 = £ (Pfe®, ж) = (Рж, ж) = ||Рж||2 < ||ж||2. к=1	к=1
В частности, полагая х:= Pix, получаем
||Рг®||2 + ||РтР1Х||2 < ||Рг®||2 =» ||РтРг|| = 0.
•	<=: Прямой подсчет показывает, что Р — идемпотентный оператор. В самом деле,
,	к	9
/ п	\	п	п	п
р2= Еn = Е Е ^- = Ер" = р-\к=1	/	1=1	т=1	к=1
Помимо этого, в силу 6.2.10 (4), (Р^ж, у) = (ж, Р&у) и, стало быть, (Р®, у) = (ж, Ру). Осталось вновь сослаться на 6.2.10 (4). [>
6.2.14.	Замечание. Теорему 6.2.13 называют критерием ортогональности конечного множества ортопроекторов.
6.3.	Гильбертов базис
6.3.1.	Определение. Семейство (xe)eEte элементов некоторого гильбертова пространства Н называют ортогональным, если / е2 => хе1 ± ®е2. Соответственно множество S в гильбертовом пространстве Н называют ортогональным, если ортогонально семейство (е)ее<?-
116
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.3.2.	Теорема Пифагора. Ортогональное семейство (xe)eEg элементов гильбертова пространства (безусловно) суммируемо тогда и только тогда, когда суммируемо числовое семейство (||же||2)ееg. При этом
2
22 Же = 22 ИЖе112-
<1 Пусть Sff := )>JeEgXe, где в — конечное подмножество <о. На основании 6.2.8, ||«е||2 = Ef:r о ||®е||2- Значит, для конечного множества О', содержащего О, выполнено
1Ь'- м2 = ib'^ii2 = 22 ИЖе112-
еСв'\в
Иными словами, фундаментальность сети (sg) равносильна фундаментальности сети частичных сумм семейства (||же||2)ее^. Привлекая 5.5.3, получаем требуемое. [>
6.3.3.	Теорема о суммировании ортопроекторов. Пусть (Pe)eEg — семейство попарно ортогональных ортопроекторов в гильбертовом пространстве Н. Тогда для каждого х G Н (безусловно) суммируемо семейство (Pex)eEg. При этом оператор Рх:= ^eEg Рех является ортопроектором на подпространство
J^:= < ^2 ®е : хе G Не := imPe, 22 11же||2 < +°° Г • le£<?	еС£	J
<1 Для конечного подмножества в в S положим sg := РеПо теореме 6.2.13, sg — это ортопроектор. Поэтому, с учетом 6.2.8, IIMI2 = ЕеЁе ||Реж||2< ||ЖЦ2 при каждом х G Н. Следовательно, семейство (||Реж||2)ее^ суммируемо (сеть частичных сумм возрастает и ограничена). По теореме Пифагора имеется сумма Рх:= HeES Р?Х’ Т- е- Рх = SeX-
Отсюда Р2х = Нищ sgPx = lime sg lime' sg>x = lime lime' sgsg/x = lime lime' sgEg/x= lime sgx = Px. Окончательно ||Px|| = || lime sgx|| = lime ||se®|| < ||ж11 и, кроме того, Р2 = Р. Апеллируя к 6.2.10, заключаем, что Р — ортопроектор на im Р.
Если х G im Р, т. е. Рх = х, то х = Еее<? рх и п0 теореме Пифагора Еее<? ||-Реж1|2 = ||ж1|2 = ||Р®||2 < +°о- Поскольку Рех G
6.3. Гильбертов базис
117
Не (е G tf), то х G JT. Если же хе G Не и ||же||2 < +оо , то для х:=	же (существование следует из все той же теоремы
Пифагора) будет х = хе = Рехе = Рх, т. е. х G im Р. Итак, im Р =	[>
6.3.4.	Замечание. Приведенную теорему можно трактовать как утверждение об изоморфизме .ГГ с гильбертовой суммой семейства (He)eEg. Нужное отождествление при этом осуществляет, как видно, интеграл Бохнера, представляющий в данном случае процесс суммирования.
6.3.5.	Замечание. Пусть h G Н — нормированный элемент: ||/г|| = 1. Пусть, далее, Но := Нг — одномерное подпространство в Н, натянутое на ho. Для каждого элемента х G Н и произвольного скаляра A G F справедливо
(ж — (ж, h)h, А/г) = А*((ж, /г) — (ж, /г))(/г, /г) = 0.
Значит, по предложению 6.2.4, Рн0 = (•, h) ®h. Для обозначения этого ортопроектора удобно использовать символ (/г). Итак, (/г) : ж (ж, h)h (ж G Л).
6.3.6.	Определение. Семейство элементов гильбертова пространства называют ортонормальным (или ортонормнрованным), если, во-первых, это семейство ортогонально, а во-вторых, если нормы входящих в него векторов равны единице. Аналогично определяют ортонормальные множества.
6.3.7.	Для любого ортонормального множества S в Н и произвольного элементах G Н семейство ((е)ж)е6<? (безусловно) суммируемо. При этом имеет место неравенство Бесселя:
ini2 > 12	e)i2-
<1 Достаточно сослаться на теорему о суммировании ортопроекторов, ибо
12
eCS
12 е)е
2
= 12 11(ж, е)е||2 •
118
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.3.8.	Определение. Ортонормальное множество S в гильбертовом пространстве Н называют гильбертовым базисом (в Л), если для всякого х G Н выполнено х = 52ее<?(е)ж. Ортонормальное семейство элементов гильбертова пространства называют гильбертовым базисом, если область значений этого семейства является гильбертовым базисом.
6.3.9.	Ортонормальное множество S является гильбертовым базисом в Н в том и только в том случае, если линейная оболочка Г£(S’) плотна в Н. <у>
6.3.10.	Определение. Говорят, что множество S удовлетворяет условию Стеклова, если S1- = 0.
6.3.11.	Теорема Стеклова. Ортонормальное множество является гильбертовым базисом в том и только в том случае, если оно удовлетворяет условию Стеклова.
<1 =>: Пусть h G S\ Тогда h =	е)е =
Ее6<?0 = 0.
•<=: Для х G Н, в силу 6.3.3 и 6.2.4, х — 52еЁ(?(е)ж G S\ [>
6.3.12.	Теорема. В каждом гильбертовом пространстве есть гильбертов базис.
<1 По лемме Куратовского — Цорна в гильбертовом пространстве Н имеется максимальное по включению ортонормальное множество S. Если есть h G Н \ Но, где Но := c\SS(S), то элемент h\ := h — PHoh ортогонален любому элементу из S и, значит, при Я^О будет U {||1| 1/?i} = S. Получили противоречие. В случае Н = 0 доказывать нечего. [>
6.3.13.	Замечание. Можно показать, что у двух гильбертовых базисов одного и того же гильбертова пространства Н одна и та же мощность. Эту мощность называют гильбертовой размерностью Н.
6.3.14.	Замечание. Пусть (жп)пек — счетная последовательность линейно независимых элементов гильбертова пространства Н. Положим еще жо := 0, е() := 0, и пусть
п—1
уп'.=- хп	еп
к=о
Уп \\Уп\\
(n G N).
6.3. Гильбертов базис
119
Видно, что (у„, е/~) = 0 для 0 < к < п — 1 (например, из 6.2.13). Столь же несомненно, что уп / 0, ввиду бесконечномерности Н. Про ортонормальную последовательность (cn)nf   говорят, что она получена процессом ортогонализации, или процессом Грама — Шмидта, из последовательности (жп)пек. Привлекая процесс ортогонализации, нетрудно показать, что в гильбертовом пространстве есть счетный гильбертов базис в том и только в том случае, если в нем имеется счетное всюду плотное множество, т. е. если это пространство сепарабельно. <[>
6.3.15.	Определение. Пусть S — гильбертов базис в пространстве Н и х G Н. Числовое семейство х:= (же)е6<? в заданное соотношением хе:= (ж, е), называют преобразованием Фурье элемента х (относительно гильбертова базиса S).
6.3.16.	Теорема Рисса — Фишера об изоморфизме. Пусть S — гильбертов базис в Н. Преобразование Фурье Г :	(от-
носительно базиса S) есть изометрический изоморфизм Н на lz(S). Обратное преобразование — суммирование Фурье 1 : Of S') Н — действует по правилу Чж) := 52ее<*>®ее для ж := (же)ее<§> G /2(<о’)- При этом для любых ж, у Е Н имеет место равенство Парсе-валя
(%, у) = Е ^еУ*-
eCS
<1 По теореме Пифагора преобразование Фурье действует в (S). По теореме 6.3.3, ~ — это эпиморфизм. По теореме Стеклова, ~ — мономорфизм. То, что 1ж = ж для ж G Н и 1(ж) = ж для ж G несомненно. Равенство
1И2 = Е И2 = Ре111
следует из теоремы Пифагора. При этом
(Ж, у) = I Е ®е6’ Е Уе& I = Е ®еУ*'(е, е') = Е ХеУе- > \е£<?	/	е,е'Ё<?
6.3.17.	Замечание. Равенства Парсеваля показывают, что преобразование Фурье сохраняет скалярные произведения. Таким образом, это преобразование — унитарный оператор или гильбертов
120
Гл. 6. Гильбертовы пространства
изоморфизм, т. е. изоморфизм, сохраняющий скалярные произведения. В этой связи теорему Рисса — Фишера иногда называют теоремой о «гильбертовом изоморфизме гильбертовых пространств (одной гильбертовой размерности)».
6.4.	Эрмитово сопряженный оператор
6.4.1.	Теорема Рисса о штриховании. Пусть Н — гильбертово пространство. Для х G Н положим х' := (•, ж). Тогда отображение штрихования х х' осуществляет изометрический изоморфизм Н* на Н'.
<1 Ясно, что х = 0 => х' = 0. Если же х 0, то
\\у’\\Н' = sup |(у, ж)| < sup \\у\\ ||ж|| < ||ж||;
1Ы1<1	1Ы1<1
1И1н' = sup |(у, ж)| > |(ж/||ж||, ж)| = ||ж||.
1Ы1<1
Таким образом, х х' — изометрия Л* в Н'. Проверим, что это отображение является эпиморфизмом.
Пусть I G Н' и Hq := ker I Н (если таких I нет, то доказывать нечего). Выберем элемент ||е|| = 1 такой, что е G П(, , и положим gradZ:= Z(e)*e. Если х G Но, то
(gradZ)'(a;) = (ж, gradZ) = (ж, Z(e)*e) = 2(е)**(ж, е) = 0.
Следовательно, для некоторого а 6 F и всех ж G Н в силу 2.3.12 выполнено (gradZ)'^) = al(x). В частности, при ж:= е получаем
(gradZ)'(e) = (е, gradZ) = Z(e)(e, е) = oZ(e),
т. е. a = 1. [>
6.4.2.	Замечание. Из теоремы Рисса следует, что сопряженное пространство Н' обладает естественной структурой гильбертова пространства и отображение штрихования ж ж' осуществляет гильбертов изоморфизм Л* на Л'. Обратным отображением при этом служит построенное в доказательстве градиентное отображение I . gradZ. В этой связи 6.4.1 называют теоремой «об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве».
6.4. Эрмитово сопряженный оператор
121
6.4.3.	Гильбертово пространство рефлексивно.
<1 Пусть l : Н Н" — двойное штрихование, т. е. каноническое вложение Н во второе сопряженное пространство Л", определенное соотношением ®"(Z) = t(®)(Z) = Z(®), где х G Н и Z G Н' (см. 5.1.10 (8)). Проверим, что / — эпиморфизм. Пусть f G Н". Рассмотрим отображение у ы f(y') для у Е Н. Ясно, что это отображение — линейный функционал над Л* и, стало быть, по теореме Рисса найдется элемент х G Н = Л** такой, что (у, ж)* = (ж, у) = f(yr) для каждого у Е Н. Имеем /,(ж)(у') = у'(ж) = (ж, у) = f(yr) при всех у Е Н. Так как по теореме Рисса у . у' — отображение на Л', получаем l(x) = f. [>
6.4.4.	Пусть Н1, Н2 — произвольные гильбертовы пространства и Т G В Л2). Тогда существует, и притом единственное, отображение Т* : Н2 Hi такое, что для любых ж £ //1: у Е Н2 выполнено
(Тх, у) = (ж, Т*у).
При этом Т* G В(Л2, Л1) и ЦТ*|| = ЦТЦ.
<1 Пусть у G Л2. Отображение ж ь-> (Тж, у) есть композиция у' о Т, т. е. представляет собой непрерывный линейный функционал на Л1. По теореме Рисса имеется в точности один элемент ж G Л1, для которого ж' = у' о Т. Полагаем Т*у := ж. Ясно, что Т* G ГГ(Н2, Hi). Помимо этого, привлекая неравенство Коши — Буняковского и нормативное неравенство, выводим
|(Т*у, Т*у)| = |(ТТ*у, у)| < ||ТТ*у|| ЦуЦ < ЦТЦ ||Т*у|| ЦуЦ.
Значит, ||Т*у|| < ЦТЦ ЦуЦ для всех у G Л2, т. е. ЦТ*|| < ЦТЦ. В то же время Т = Т**:= (Т*)*, т. е. ЦТЦ = ||Т**Ц < ||Т*Ц. >
6.4.5.	Определение. Оператор Т* G В(Н2, Hi), построенный в 6.4.4, называют эрмитово сопряженным кТ G В (Hi, Н2).
6.4.6.	Пусть Hi, Н2 — гильбертовы пространства и, кроме того, S, Те В (Hi, Н2) и X G F. Тогда
(1)	Т** = Т;
(2)	(S + T)* = S* + Т*;
(3)	(АТ)* = А*Т*;
(4)	ЦТ*ТЦ = ЦТЦ2.
122
Гл. 6. Гильбертовы пространства
<1	(1)-(3) — очевидные свойства. Если же ||®|| < 1, то
\\Тх\\2 = (Тх, Тх) = \(Тх, Т®)| = \(Т*Тх, ж)| <
<||Т*ТЖ|| И <||Т*Т||.
Кроме того, в силу субмультипликативности операторной нормы и предложения 6.4.4, ||Т*Т|| < ||Т*|| ||Т|| = ||Т||2, что доказывает (4). [>
6.4.7.	Пусть Н^, //_>, /I?, —три гильбертовых пространства, и заданы Т G Я(ЯЬ Я2) и S G Я(Я2, Я3). Тогда (ST)* = T*S*.
< (ST®, г) = (Тх, S*z) = (х, T*S*z) (х G Яь г G Я3) [>
6.4.8.	Определение. Рассмотрим простейшую — элементарную — диаграмму Ях П>- Диаграмму Ях П> называют эрмитово сопряженной к исходной. Если в произвольной диаграмме, составленной из ограниченных линейных отображений гильбертовых пространств, каждая элементарная поддиаграмма заменена на эрмитово сопряженную, то возникшую диаграмму называют эрмитово сопряженной к исходной.
6.4.9.	Принцип эрмитова сопряжения диаграмм. Диаграмма коммутативна в том и только в том случае, если коммутативна эрмитово сопряженная к ней диаграмма.
<1 Следует из 6.4.7 и 6.4.6 (1). 1>
6.4.10.	Следствие. Пусть Т G В(Нк, Я2) и Т* G В(Н2, Ях). Оператор Т обратим в том и только в том случае, если обратим Т*. При этом 7’*1 = Т^1*. <[>
6.4.11.	Следствие. Для Т G В(Н) верно A G Sp(T) О A* G Sp(T*). <[>
6.4.12.	Принцип эрмитова сопряжения последовательностей (ср. 7.6.13). Последовательность
__. ТТ	П , ТТ Т + 1 , .	_
• • •  > Xlk-l  > xlk  > xlk+1  > • • •
точна в том и только в том случае, если точна эрмитово сопряженная последовательность
...«— яй_х Л- нк Ьс1 цк «— .... гь X	гь	n- । X
6.5. Эрмитовы операторы
123
6.4.13.	Определение. Инволютивной алгеброй или *-алгеброй (над основным полем F) называют алгебру А с инволюцией *, т. е. с отображением а — в Л таким, что
(1)	а** = а (а G А);
(2)	(а + Ь)* = а* + Ь* (а, b G А);
(3)	(Аа)* = А*а* (A G F, a G А);
(4)	(ab)* = Ь* a* (a, Ъ G А).
Банахову алгебру А с инволюцией *, для которой ||а*а|| = ||а||2 при всех а G А, называют С*-алгеброй.
6.4.14.	Пространство W/I) эндоморфизмов гильбертова пространства Н представляет собой С*-алгебру (относительно операций произведения операторов и перехода к эрмитово сопряженному оператору в качестве инволюции). <[>
6.5.	Эрмитовы операторы
6.5.1.	Определение. Пусть Н — гильбертово пространство над полем F и Т G В(Н). Оператор Т называют эрмитовым (или самосопряженным), если Т = Т*.
6.5.2.	Теорема Рэлея. Для эрмитова оператора Т имеет место равенство
\\Т\\ = sup \(Тх, ж)|.
h||<i
<1 Пусть t := sup{|(T®, ж)| : ||ж|| < 1}. Ясно, что |(Тж, ж)| < ||Тж|| ||ж11 < ГН, как только ||ж|| < 1. Стало быть, t < ||Т||.
Так как Т = Т*, то (Тх, у) = (х, Ту) = (Ту, х)* = (у, Тх)*, т. е. (х, у) (Тх, у) — эрмитова форма. Значит, в силу 6.1.3 и 6.1.8
4Re(T®, у) = (Т(х + у), х + у) - (Т(х-у), х - у) <
< t(\\x + у\\2 + \\х — у\\2) = 2t(\\x\\'2 + \\у\\2).
Если Тх = 0, то явно ||Тж|| < t. Пусть Тх / 0. Тогда при ||ж|| < 1 для у:= ||'7’ж|| 1Т’.ч; будет
/ Т гр	Т т \
НГ-Н = IIT-II (и.	=
= (Тх, в) = Ке(Тт, у) < ± t (|МР + ||7т/1|ГМ| ||2) < t,
т. е. \\Т\\ = sup{||Тж|| : ||ж|| < 1} < t. [>
124
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.5.3.	Замечание. Как отмечено в доказательстве 6.5.2, каждый эрмитов оператор Т в гильбертовом пространстве Н порождает эрмитову форму /т(ж, у) := (Тх, у). Пусть, в свою очередь, f — эрмитова форма, причем для каждого у Е Н функционал /(•, у) непрерывен. Тогда в силу теоремы Рисса найдется элемент Ту из Н такой, что /(•, у) = (Ту)'. Очевидно, Т G -^(Н) и (х, Ту) = f(x, у) = f(y, х)* = (у, Тх)* = (Тх, у). Можно убедиться, что в этом случае Т G В(Н) и Т = Т*. Кроме того, f = fT. Таким образом, в определении 6.5.1 условие Т G В(Н) можно заменить условием Т G &(Н) (теорема Хеллингера — Тёплица, см. 7.4.7).
6.5.4.	Критерий Вейля. Число X лежит в спектре эрмитова оператора Т в том и только в том случае, если
inf ||Аж —Тж|| =0.
||ж|| = 1
<1 =>: Пусть t := inf{||Аж — Тх\\ : х G Н, ||ж|| = 1} > 0. Установим, что А Sp(T). Для каждого ж G Н выполнено ||Аж — Тж|| > 1||ж||. Стало быть, во-первых, (А — Т) — мономорфизм, во-вторых, Hq := im(A — Т) — замкнутое подпространство (ибо ||(А — Т)хт — (А — Т)ж^.|| > t^xm — ®k||, Т. е. «прообраз последовательности Коши фундаментален») и, наконец, в-третьих, (А — 7') 1 G В(Н), как только Н = Hq (в такой ситуации ||Я(Т, А)|| < < Д. Допустим, вопреки доказываемому, что Н / Hq. Тогда существует у G /1() , для которого ||у|| = 1. При всех ж G Н будет 0 = (Аж — Тх, у) = (ж, А*у — Ту), т. е. А*у = Ту. Далее, А* = (Ту, у)/(у, у) и из эрмитовости Т выводим A* G R. Отсюда А* = А и у G ker (А — Т). Получили противоречие: 1 = ||у|| = ||0||=0.
•<=: Если А Sp(T), то имеется резольвента R(T, A) G В(Н). Поэтому inf{||Аж — Тж|| : ||ж|| = 1} > ||Д(Т, А)|| 1. [>
6.5.5.	Теорема о границах спектра. Пусть Т — эрмитов оператор в гильбертовом пространстве. Положим
тт:= inf (Тх, ж), Мт'.= sup (Тх, ж).
hll=i	||ж||=1
Тогда Sp(T) С [т?, М?] пт?, М? G Sp(T).
6.6. Компактные эрмитовы операторы
125
<1 Учитывая эрмитовость оператора Т — Re А в рассматриваемом пространстве Н, из тождества
|| А® — Тж||2 = | Im А|21|х||2 + \\Тх — Re А®||2
на основании 6.5.4 получаем включение Sp(T) с Ж. Если А < тт, то для элемента х G Н с единичной нормой ||®|| = 1 по неравенству Коши — Буняковского 6.1.5
||Аж — Т®|| = ||Аж — Тж|| ||ж|| > |(А® — Тх, ж)| =
= |А — (Тх, ®)| = (Тх, ж) — А > гпт — А > 0.
Апелляция к 6.5.4 дает: A G res(T). Если же А > Мт, то аналогичным образом
||Аж — Тж|| > |(Аж — Тх, ж)| = |А — (Тх, ж)| = А — (Тх, ж) > Л —Мт > 0.
Вновь A G res(T). Окончательно Sp(T) С [тт, Мт].
Поскольку (Тх, ж) 6R при х G Н, то в силу 6.5.2
\\Т\\ = sup{|(T®, ж)|: ||ж|| < 1} =
= sup{(T®, ж) V (—(Тх, ж)) : ||®|| < 1} = Мт V (-т-г).
Допустим сначала, что А:= ||Т|| = Мт- Если ||®|| = 1, то
||Аж - Тх\\2 = А2 - 2Х(Тх, ж) + ||Тж||2 < 2||Т||2 - 2||Т||(Тх, ж).
Иначе говоря, справедлива оценка
inf ||Аж — Тж||2 < 2||Т|| inf (||Т|| - (Тх, ж)) = 0.
|ж||=1	||ж||=1
Привлекая 6.5.4, заключаем: A G Sp(T).
Рассмотрим теперь оператор S := Т — тт- Ясно, что Ms = Мт — тт > 0 и ms = тт — тт = 0. Таким образом, ||S|| = Ms и по уже доказанному Ms G Sp(S). Отсюда следует, что Мт входит в Sp(T), ибо Т = S + тт, а Мт = Ms + тт- Осталось заметить, что тт = —Мт и Sp(T) = — Sp(—Т). [>
6.5.6.	Следствие. Норма эрмитова оператора равна радиусу его спектра (и спектральному радиусу). <[>
6.5.7.	Следствие. Эрмитов оператор является нулевым в том и только в том случае, если у него нулевой спектр. <1 [>
126
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.6. Компактные эрмитовы операторы
6.6.1.	Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства. Оператор Т G .&(Х, У) называют компактным (при этом пишут Т G JY(X, У)), если образ Т(Вх') единичного шара Вх в X относительно компактен в У.
6.6.2.	Замечание. Подробное исследование компактных операторов в банаховых пространствах составляет содержание теории Рисса — Шаудера. Эта теория рассмотрена в гл. 8.
6.6.3.	Пусть Т — компактный эрмитов оператор. Если 0 7^ A G Sp(T), то А — собственное число Т, т. е. ker(A — Т) / 0.
<1 По критерию Вейля для некоторой последовательности (тп) такой, что ||тп|| = 1, выполнено Ххп — Тхп 0. Не нарушая общности, будем считать, что последовательность (Тхп) сходится к у:= ПтТтп. Тогда из тождества Ххп = (Ххп — Тхп) + Тхп получаем, что существует предел (Ххп) и у = ПтАтп. Следовательно, Ту = Т(ПтАтп) = АНтТтп = Ху. Так как ||у|| = |А|, заключаем, что у — собственный вектор Т. [>
6.6.4.	Пусть Ai, А2 —различные собственные числа эрмитова оператора Т, а хк, х2 — отвечающие Ai и А2 соответственно собственные векторы (т. е. xs G ker(As — Т), s := 1, 2). Тогда х1 и х2 ортогональны.
< 01, х2) = y-O^i, х2) = 7“0ь ^2) = v'Ob ^2) > Л1	Ах	Ах
6.6.5.	Для всякого е > 0 вне промежутка [—е, е] может лежать лишь конечное число собственных чисел компактного эрмитова оператора.
<1 Пусть (А„)пГ   — последовательность попарно различных собственных чисел Т, причем |АП | > е. Пусть, далее, хп — собственный вектор, отвечающий Хп и такой, что ||тп|| = 1. В силу 6.6.4 имеем (xk, xm) = 0 при m к. Значит,
\\Txm - Тхк\\2 = \\Тхт||2 + \\Тхк\\2 = Х2т + А2 > 2е2,
т. е. последовательность (Тхп)пЕ^ не является относительно компактной. Получили противоречие с компактностью Т. [>
6.6. Компактные эрмитовы операторы
127
6.6.6.	Лемма о разбиении спектра. Пусть Т — компактный эрмитов оператор в гильбертовом пространстве Н и 0 A G Sp(T). Положим Н\ := кег(А — Т). Тогда Н\ конечномерно и разложение Н = Н\ ф приводит Т. При этом имеет место матричное представление
Т (О
\о Тх)’
где оператор Тх — часть Т в /1Х — эрмитов и компактен, причем Sp(Ta) = Sp(T) \ {А}.
<1 Подпространство Нх конечномерно ввиду компактности Т. Помимо этого, Нх инвариантно относительно Т. Значит, ортогональное дополнение Н^ подпространства Нх — инвариантное подпространство Т*(= Т), ибо выполнено (V® G Яд)(®, h) = 0 => (V® G Hx)(T*h, х) = (h, Тх) = 0.
Часть оператора Т в Нх — это явно А. Компактность и эрмито-вость части Тх оператора Т в Н^ несомненны. Столь же очевидно, что при р / А оператор
й-т
р — А 0
0
М - тх
обратим в том и только в том случае, если обратим р — Тх. Ясно также, что А не является собственным числом Тд. [>
6.6.7.	Теорема Гильберта — Шмидта. Пусть Н — гильбертово пространство и Т — компактный эрмитов оператор в Н. Пусть, далее, Рх — ортопроектор на ker(A — Т) для A G Sp(T). Тогда выполнено
Т= £ АРд.
AeSp(r)
<1 Привлекая нужное число раз 6.5.6 и 6.6.6, для любого конечного подмножества 0 в Sp(T) получаем
t-£apa
хео
= sup{|A| :
A G (Sp(T) U 0) \ 0}.
Остается сослаться на 6.6.5. 1>
128
Гл. 6. Гильбертовы пространства
6.6.8.	Замечание. Теорема Гильберта — Шмидта содержит новую информацию по сравнению с конечномерным случаем по сути дела лишь тогда, когда оператор Т «бесконечномерен», т. е. имеет бесконечномерный образ или, что то же самое, если /1(1 — бесконечномерное пространство </Г'-= kerT). Действительно, если оператор Т конечномерен, т. е. имеет конечномерный образ, то подпространство Hq изоморфно этому образу и, стало быть,
Г = '^Xklck) = '^Хке'к ®ек, к=1	к=1
где Ai,... ,	— ненулевые точки спектра Т, «взятые с учетом крат-
ности», a {ei,...,en} — ортонормальный базис в /1(1 , выбранный должным образом.
Теорема Гильберта — Шмидта показывает, что с точностью до замены суммы рядом бесконечномерные компактные эрмитовы операторы устроены так же, как и конечномерные. В самом деле, при А ц, где А, // — ненулевые точки спектра Т, собственные подпространства Н\ и И к конечномерны и ортогональны. При этом гильбертова сумма ФлеЗр(т)\о-^л равна П(, = climT, ибо Hq = (imT)x. Строя «по порядку» базисы в конечномерных пространствах Нх (перенумеровывая собственные числа «в порядке убывания модулей и с учетом кратности», т. е. полагая Ai := А2 := ... := А(п,п //А1 :=
^dim hA1-i-i	^dim H\1 +dim •— A2 и t. д.), получаем раз-
ложение H = Hq Ф Нх± ф Н\2 ф ... и представление
Г = Хк(ек) = Хкек ® ек, к=1	к=1
где ряд суммируется в операторной норме. О
6.6.9.	Теорема об общем виде компактного оператора. Пусть Т G JC(Hk, //_>) — бесконечномерный компактный оператор, действующий из гильбертова пространства Нк в гильбертово пространство П>- Существуют ортонормальные семейства <,ек)кс". в Нк, (Л)кем в Н2 и семейство чисел (рк)кЕ^ в >+ \ 0, рк J. О, для которых справедливо представление
Т = ^рке’к ®fk.
к=1
6.6. Компактные эрмитовы операторы
129
<1 Положим S := Т*Т. Понятно, что S G B(-Hi) и S компактен. Помимо этого, (5ж, ж) = (Т*Тх, ж) = (Тх, Тх) = ||Тж||2. Значит, в силу 6.4.6, S эрмитов и Но := kerS = kerT. Отметим также, что Sp(S) с по теореме 6.5.5.
Пусть (ek)kr   — ортонормальный базис в /1(1 из собственных векторов S и (Afe)feeN — соответствующая убывающая последовательность положительных собственных значений А& > О, к Е N (ср. 6.6.8). Тогда элемент ж G Нк можно разложить в ряд Фурье
ж - РНож = У^(ж, ек)ек. к=1
Таким образом, учитывая, что ТРн0 = 0, и полагая /р := yfXk и fk:= р^Тек, получаем
Тж = У2(ж, ек)Тек = У2(х, ек)—Тек = У2^к(х, ek)fk. S	S
Семейство	ортонормально, ибо
—-—(Ten, Tem) =
~^—(Se,
= —(T*Te, Ц’пЦ’Ш
—	^n^n->	= (en, em) •
Привлекая теперь последовательно теорему Пифагора и неравенство
Бесселя, выводим:
2
2
к=1
Р-к(х, ek)fk fc=n+l
= У2 MfeK®, efe)|2 < А„+1 У2 1(ж, efe)|2 < Лп+11Ы|2-к=п-\-1	к=п-\-1
130
Гл. 6. Гильбертовы пространства
Окончательно, учитывая соотношение Xk I 0, имеем
к=1
< Мп+1 о* о
6.6.10.	Замечание. Теорема 6.6.9 означает, в частности, что компактные операторы (и только они) суть точки прикосновения множества конечномерных операторов. Этот факт выражают еще и так: «гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации».
Упражнения
6.1.	Найти крайние точки шара гильбертова пространства.
6.2.	Выяснить, какие из классических банаховых пространств гильбертовы, а какие — нет.
6.3.	Будет ли гильбертовым фактор-пространство гильбертова пространства?
6.4.	Каждое ли банахово пространство вкладывается в гильбертово пространство?
6.5.	Может ли быть гильбертовым пространство ограниченных эндоморфизмов гильбертова пространства?
6.6.	Описать второе ортогональное дополнение к множеству.
6.7.	Доказать, что ни один гильбертов базис бесконечномерного гильбертова пространства не является базисом Гамеля.
6.8.	Построить на отрезке наилучшее приближение в метрике L? полинома степени n + 1 полиномами степени не выше п.
6.9.	Доказать, что х ± у в том и только в том случае, если ||х + 3/||2 = 1Ы12 + 1Ы12 и + ч/112 = 1Ы12 + IIj/II2•
6.10.	Для ограниченного оператора Т установить соотношения
(kerT)x = cl imT*, (imT)x = kerT*.
6.11.	Выяснить связи между эрмитовыми формами и эрмитовыми операторами.
6.12.	Найти эрмитово сопряженные операторы к операторам сдвига, умножения, к конечномерному оператору.
6.13.	Доказать, что оператор в гильбертовом пространстве компактен в том и только в том случае, если компактен эрмитово сопряженный к нему оператор. Как связаны соответствующие канонические представления этих операторов?
Упражнения
131
6.14.	Пусть известно, что оператор Т — изометрия. Будет ли изометрией оператор Г*?
6.15.	Частичная изометрия — это оператор, являющийся изометрией на ортогональном дополнении своего ядра. Как устроен эрмитово сопряженный к частичной изометрии оператор?
6.16.	Каковы крайние точки единичного шара в пространстве эндоморфизмов гильбертова пространства?
6.17.	Доказать, что при сужении на шар слабая топология сепарабельного гильбертова пространства становится метризуемой.
6.18.	Доказать, что идемпотент оператора Р в гильбертовом пространстве является ортопроектором в том и только в том случае, если Р коммутирует с Р*.
6.19.	Пусть (aki)k — бесконечная матрица такая, что aki > 0 для всех к, I и, кроме того, имеются также рк и /3, 7 > О такие, что
У^ ак1Рк < (Зрг, aklPl < урк (к, I Е N).
к=1	1=1
Тогда существует оператор Т Е В(2г) такой, что (ек, е;) = aki и ||Т|| = д/Ду (где ек — канонический базис в I2, составленный характеристическими функциями точек из N).
Глава 7
Принципы банаховых
пространств
7.1.	Основной принцип Банаха
7.1.1.	Лемма о топологическом строении выпуклого множества. Пусть U — выпуклое множество с непустой внутренностью в (мульти) нормированном пространстве: int U 0. Тогда
(1)	0 < a < 1 => a cl U + (1 — а) int U С int U-,
(2)	core U = int U-,
(3)	clU = clintU;
(4)	int dU = int U.
<1 (1) Для uq g int U в силу 5.2.10 множество int U — uq — открытая окрестность нуля. Отсюда при 0 < a < 1 получаем
a cl U С cl aU С aU + (1 — о) (int U — u0) =
= aU + (1 — a) int U — (1 — o)uq C
C aU + (1 — a)U — (1 — a)uo C U — (1 — a)UQ.
Таким образом, (1 — a)u0 + a cl U C U и, стало быть, U содержит (1 — a) int U + a cl U. Последнее множество открыто, ибо представляет собой результат сложения а сП/ с открытым множеством (1 — a) int U.
(2)	Несомненно, что int U с core U. Если же uq G int U и u Е core U, то для некоторых м1бУиО<а<1 будет u = аи0+(1—а)^. Поскольку щ G cl U, на основании (1) заключаем: и G int U.
7.1. Основной принцип Банаха
133
(3)	Понятно, что cl int U с clU, ибо int U с U. Если, в свою очередь, u Е cl U, то, выбрав и0 G int U и положив ua := аи0+(1—а)и, видим: иа и при а 0 и иа Е int U, когда 0 < а < 1. Итак, по построению u G cl int U.
(4)	Из включений int U с U с cl U вытекает, что int U с int cl U. Если теперь и G int cl U, то, в силу (2), «6 согесПУ. Значит, вновь выделяя и0 G int U, подыщем щ G сПУ и 0 < а < 1, для которых и = auo + (1 — o)iti. Привлекая (1), окончательно выводим: и G int U. [>
7.1.2.	Замечание. В случае конечномерности рассматриваемого пространства условие inttl 7^ 0 в пунктах 7.1.1 (2) и 7.1.1 (4) можно опустить. В бесконечномерной ситуации наличие внутренней точки, как показывают многочисленные примеры, — это существенное требование. В частности, так обстоит дело при U := ВСо ПХ, где со — пространство сходящихся к нулю последовательностей, а X — подпространство финитных последовательностей в со, т. е. прямая сумма счетного числа экземпляров основного поля. В самом деле, бесспорно, core U = 0 и в то же время сПУ = ВСо. <[>
7.1.3.	Определение. Множество U в (мульти)нормированном пространстве X называют идеально выпуклым, если U выдерживает образование счетных выпуклых комбинаций. Точнее говоря, U идеально выпукло, если, каковы бы ни были последовательности
и («„)„£N, где ап G >+, 52X1 а» = 1 и мя € У, для которых ряд 52X1 апип сходится в X к элементу и, выполнено и Е U.
7.1.4.	Примеры.
(1)	Параллельный (на вектор и0) перенос х ь- х + и0 «сохраняет» идеальную выпуклость.
(2)	Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло.
(3)	Открытое выпуклое множество идеально выпукло.
<1 В самом деле, пусть U открыто и выпукло. Если U = 0, то доказывать нечего. Если же U 0, то по 7.1.4 (1) можно считать, что О G U и, значит, U = {ру < 1}, где ри — функционал Минковского множества U. Пусть (w.n)neN и (ап)пек — последовательности в U и в У+ такие, что 52X1 0> = 1 и элемент и := 52X1 anun не попал в U. В силу 7.1.4 (2), и лежит в сПУ = {ри < 1} и, стало быть, ри(и) = 1. С другой стороны, ясно, что Ри(и) < Y.n=ianPu(un) < 1 = 52Xia" (СР- 7.2.1). Итак, 0 =
134
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
52X1 (“» “ апРи(ипУ) = 52X1 “"(1 “ Ри(ипУ). Отсюда ап = 0 для всех n G N. Получили противоречие. [>
(4)	Пересечение произвольного семейства идеально выпуклых множеств идеально выпукло.
(5)	Выпуклое подмножество конечномерного пространства идеально выпукло. <[>
7.1.5.	Основной принцип Банаха. В банаховом пространстве идеально выпуклое множество с поглощающим замыканием является окрестностью нуля.
<1 Пусть U — такое множество. По условию для рассматриваемого банахова пространства X выполнено X = Unf   n cl U. По теореме Бэра X — нетощее множество и, стало быть, найдется n t Н. для которого intncltl / 0. Таким образом, int cl U = 1/n intndU 0. Нам известно, что 0 G core cl Значит, на основании 7.1.1 заключаем: О G int cl U. Иными словами, существует ё > 0 такое, что сП7 D ёВх- Следовательно, имеет место соотношение:
£ > 0 => cl-U D -Вх. е е
С помощью приведенной импликации проверим, что U Э ё/2 Их-
Пусть х0 G ё/2ВХ- Полагая £ := 2, выберем G 1/eU из условия ||у1 — ®о|| < 1/2е <5. Получаем элемент щ G U, для которого ||l/2ui — ж0|| < 1/2£<5 = 1/4<5.
Полагая теперь х$ := —1/2щ+хо и £ := 4 и применяя предыдущие рассуждения, обнаруживаем элемент u-> Е U такой, что ||1/4и2 + 1/2 щ — ж0|| < 1/2е<5 = 1/8 ё. Продолжая приведенный процесс по индукции, строим последовательность (w.n)neN в U, обладающую тем свойством, что ряд 52X1 1/2” un сходится к жо- Поскольку 52X1 1/2” = 1 и множество U идеально выпукло, выводим: ж0 G U. [>
7.1.6.	В банаховом пространстве у идеально выпуклого множества совпадают ядро, внутренность, ядро замыкания и внутренность замыкания.
<1 Ясно, что int U с core U с core cl U. Если u G core cl U, to cl(77 — u) = dU — u — поглощающее множество. При параллельном переносе идеально выпуклое множество перейдет в идеально
7.2. Принципы ограниченности
135
выпуклое множество (см. 7.1.4 (1)). Значит, U — и — окрестность нуля по основному принципу Банаха 7.1.5. В силу 5.2.10, и входит в int U. Итак, int U = coreU = core cl U. Привлекая 7.1.1, имеем intdU = intU. [>
7.1.7.	Ядро и внутренность замкнутого выпуклого множества в банаховом пространстве совпадают.
<1 Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло. [>
7.1.8.	Замечание. Анализ 7.1.5 показывает, что условие бана-ховости в 7.1.7 использовано не в полной мере. Существуют примеры неполных нормированных пространств, в которых ядро и внутренность у любого замкнутого выпуклого множества совпадают. Пространства, обладающие указанным свойством, называют бочечными. Понятие бочечности, как видно, имеет смысл и в мультинормиро-ванных пространствах. Известны широкие классы бочечных муль-тинормированных пространств. В частности, таковы пространства Фреше.
7.1.9.	Контрпример. В каждом бесконечномерном банаховом пространстве существуют абсолютно выпуклые поглощающие, но не идеально выпуклые множества.
<1 Используя, например, базис Гамеля, возьмем разрывный линейный функционал f. Тогда множество {\f\ < 1} — искомое. [>
7.2.	Принципы ограниченности
7.2.1.	Пусть р : X R — сублинейный функционал на нормированном пространстве (X, || • ||). Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	р равномерно непрерывен;
(2)	р непрерывен;
(3)	р непрерывен в нуле;
(4)	{р < 1} — окрестность нуля;
(5)	||р|| := sup{|р(ж)| : ||ж|| < 1} < +оо, т. е. р ограничен.
<1 Импликации (1) => (2) => (3) => (4) очевидны.
(4)	=> (5): Найдется t > 0, для которого t-1Bx С {р < 1}. Поэтому при ||®|| < 1 будет р(ж) < t. Кроме того, из неравенства —р(—ж) < р(х) вытекает, что и — р(х) < t при х G Вх- Окончательно IIpII < t < +оо.
136
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
(5)	=> (1): Из субаддитивности р для х, у Е X получаем
р(ж) — р(у) <р(х-у)-, р(у) — р(х) <р(у-х).
Отсюда \р(х) - р(у)\ < р(х - у)\/ р(у - ж) < ||р|| ||ж - у\\. >
7.2.2.	Теорема Гельфанда. Полунепрерывный снизу сублинейный функционал, определенный на банаховом пространстве, непрерывен.
<1 Пусть р — такой функционал. Тогда множество {р < 1} замкнуто (см. 4.3.8). Поскольку domp — это все пространство, то, по 3.8.8, {р < 1} — поглощающее множество. По основному принципу Банаха {р < 1} — окрестность нуля. Осталось применить 7.2.1. [>
7.2.3.	Замечание. Теорему Гельфанда можно более развернуто формулировать следующим образом: «если X — банахово пространство, то эквивалентные условия 7.2.1 (1)-7.2.1 (5) равносильны высказыванию: р полунепрерывен снизу». Отметим здесь же, что требование domp = X можно несколько ослабить и считать, что dom р — нетощее линейное множество, не предполагая при этом полноты X.
7.2.4.	Принцип равностепенной непрерывности. Пусть X — банахово пространство и Y — (полу) нормированное пространство. Для любого непустого множества S непрерывных линейных операторов из X в Y эквивалентны утверждения:
(1)	S поточечно ограничено, т. е. для всякого х Е X ограничено в Y множество {Тх : 1ТД:
(2)	S равностепенно непрерывно.
<1 (1) => (2): Положим q(x) := sup{p(Tx) : Т G S’}, где р — полунорма в Y. Несомненно, что q — полунепрерывный снизу сублинейный функционал и, стало быть, по теореме Гельфанда ||g|| < Too, т. е. р(Т(х — у)) < ||д|| ||ж — у|| при всех Т Е S. Значит, Tx^({dp < е}) С {d||.|| < е/||<?||} для каждого Т G S, где £ > 0 — произвольное число. Последнее означает равностепенную непрерывность S.
(2)	=> (1): Очевидно. [>
7.2.5.	Принцип равномерной ограниченности. Пусть X — банахово пространство и Y — нормированное пространство. Для
7.2. Принципы ограниченности
137
любого непустого семейства (Т^)^еп ограниченных операторов эквивалентны утверждения:
(1)	х G X => supeeS ||Т5т|| < +оо;
(2)	supees ||Те|| < +оо.
<1 Достаточно заметить, что 7.2.5 (2) — это другая запись 7.2.4 (2)- >
7.2.6.	Пусть X — банахово пространство и U — множество в X'. Тогда эквивалентны утверждения:
(1)	множество U ограничено в X';
(2)	для каждого х Е X числовое множество {(х | х') : х' G U} ограничено в F.
<1 Это частный случай 7.2.5. 1>
7.2.7.	Пусть X — нормированное пространство и U — множество в X. Тогда эквивалентны утверждения:
(1)	множество U ограничено в пространстве X;
(2)	для каждого х' G X' числовое множество {(ж|ж') : х G U} ограничено в F.
<1 Следует проверить только (2) => (1). Поскольку X' — банахово пространство (см. 5.5.7), а X изометрически вложено в X" с помощью двойного штрихования (см. 5.1.10 (8)), то требуемое вытекает из 7.2.6. [>
7.2.8.	Замечание. Высказывание 7.2.7 (2) можно переформулировать таким образом: «множество U ограничено в пространстве (X, <т(Х, X'))» или же, в связи с 5.1.10 (4), так: «множество U слабо ограничено». Двойственность предложений 7.2.6 и 7.2.7 будет полностью вскрыта в 10.4.6.
7.2.9.	Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть X, Y — банаховы пространства и (Тп)пЕ^, Tn G !1<Х. У), — последовательность ограниченных операторов. Положим Е:= {х G X : 31im7n®}. Следующие утверждения эквивалентны.
(1)	Е = X;
(2)	sup„eN \\ТП|| < +оо и Е плотно в X.
При выполнении эквивалентных условий (1), (2) отображение То : X —> У, определенное соотношением Тох := НшТпх, представляет собой ограниченный линейный оператор и ||7q II < liminf ||Tn||-
138
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
<1 Если Е = X, то, конечно же, cl Т = X. Кроме того, для каждого х G X последовательность СТ,®)пГ   ограничена в Y (ибо она сходится). Значит, по принципу равномерной ограниченности suPneN \\Т™|| < +оо и (1) => (2) доказано.
Если выполнено (2) и х G X, то для х Е Е и т, к £ I I справедливы соотношения
\\Ттх - Ткх\\ = \\Ттх - Ттх + Ттх - Ткх + Ткх - Ткх\\ <
< \\Ттх - Ттх\\ + \\Ттх - Ткх\\ + \\Ткх - Ткх\\ <
< ||Тт|| ||® - ®|| + \\Ттх - Ткх\\ + \\Тк\\ ||® - ®|| <
< 2sup \\ТП|| ||®-®|| + ||Tm®-Tfe®||.
пек
Возьмем е > 0 и подберем, во-первых, элемент х G Е, для которого 2supn ||Т„|| ||ж—®|| < е/2, а во-вторых, n G N такой, что ||Ттж—Т^жЦ < е/2 при тп, к > п. В силу уже установленного ||Тт® — Т^жЦ < £, т. е. (Тпж)пек — фундаментальная последовательность в Y. Поскольку Y — банахово пространство, заключаем: ж G Е. Итак, (2) => (1) доказано.
Осталось отметить, что для каждого ж G X верно
||Тож|| =lim||T„®|| <liminf ||Т„|| ||®||,
ибо норма — непрерывная функция. [>
7.2.10.	Замечание. В условиях теоремы Банаха — Штейнгау-за из справедливости одного из эквивалентных утверждений 7.2.9 (1) и 7.2.9 (2) можно сделать вывод, что последовательность (Тп) сходится к То равномерно на компактных подмножествах X. Иными словами, для всякого (непустого) компакта Q в X выполнено
sup \\Тпх - То®|| -> 0.
а?е<з
<1 В самом деле, по теореме Гельфанда сублинейный функционал р„(ж) := sup{||Tm® — Tq®|| : m > п} непрерывен. При этом рп(х) > рп+1(ж) и р„(ж) —> 0 для каждого х G X. Значит, требуемое вытекает из теоремы Дини: «убывающая последовательность непрерывных вещественных функций, поточечно сходящаяся на компакте к непрерывной функции, сходится к этой функции равномерно». [>
7.3. Принцип идеального соответствия
139
7.2.11.	Принцип фиксации особенности. Пусть X — банахово пространство и Y — нормированное пространство. Если (Тп)пе® — последовательность операторов из В(X, У)ивирп ||ТП|| = +оо, то найдется точка х Е X, для которой выполнено supn ||Тпх|| = +оо. Множество таких «фиксирующих особенность» точек — вычет.
<1 Первая часть утверждения содержится в принципе равномерной ограниченности. Вторая часть требует ссылок на 7.2.3 и 4.7.4. [>
7.2.12.	Принцип сгущения особенностей. Пусть X — банахово пространство и Y — нормированное пространство. Если
— семейство в В(Х, У) такое, что sup„ ||Tn,m|| = +оо для каждого m G N, то существует точка х G X, для которой supn ||ТП1тт|| = +оо при всех m G N. <[>
7.3.	Принцип идеального соответствия
7.3.1.	Пусть X и Y — векторные пространства. Соответствие FcXxY выпукло в том и только в том случае, если для хЛ, х2 G X и од, г» с х+ таких, что ад + «2 = 1, имеет место включение
F(oiTi + 02^2) Э aiF(Ti) + a2F(x2).
<1 •<=: Если (яц, ?/1), (т2, у2) G F и оц, a2 > 0, од + a2 = 1, то «1У + «2У2 G F(a1x1 + a2x2), поскольку щ G F(tx) и у2 G F(t2).
=>: Если xi или х2 не входит в domF, то доказывать нечего. Если же xi, х2 G domF и ух G F(tx), у2 G F(x2), то од(яд, ух) + “2(^2, У2) G F при од, а2 > 0, од + а2 = 1 (см. 3.1.2 (8)). 1>
7.3.2.	Замечание. Пусть X, У — банаховы пространства. Ясно, что в пространстве X х У удается многими способами задать норму так, чтобы соответствующая топология совпадала с произведением топологий тх и ту. Например, можно положить ||(я?, у)|| := Иж11х + ||у||у, т. е. ввести в X х У норму как в сумму пространств X и У по типу 1. Отметим здесь же, что понятие «идеально выпуклое множество» имеет линейно топологический характер, т. е. выделяемый этим понятием класс объектов не зависит от способа задания топологии (в частности, не меняется при переходе к эквивалентной (мульти)норме). В этой связи корректным является следующее определение.
140
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.3.3.	Определение. Соответствие F с X х Y, где X и Y — банаховы пространства, называют идеально выпуклым, или, короче, идеальным, если F — идеально выпуклое множество.
7.3.4.	Лемма об идеальном соответствии. Образ ограниченного идеально выпуклого множества при идеальном соответствии — идеально выпуклое множество.
<1 Пусть F С X х Y — рассматриваемое соответствие и U — ограниченное идеально выпуклое множество в X. Если UAdornF = 0, то F(U) = 0 и доказывать ничего не надо. Пусть теперь (уп)пек С F(U), т. е. yn G Е(жп), где xn G U и n G N. Пусть, наконец, (а„) — последовательность положительных чисел такая, что У22=1 an = 1 и, кроме того, в Y существует сумма ряда у := 522X1 anyn. Несомненно, что
УХ iion®nii = ух ««ii^nii - Ea"sup = sup ii^ii < +°° n=l	n=l	n=l
ввиду ограниченности U. Поскольку X полно, то на основании 5.5.3 в X есть элемент х := 522X1 anXn- Следовательно, в пространстве X х Y выполнено
(®, у) = УХ an(xn, Уп).
П=1
Используя последовательно идеальную выпуклость F и U, выводим: (ж, у) G F и х G U. Стало быть, у G F(lF). [>
7.3.5.	Принцип идеального соответствия. Пусть X и Y — банаховы пространства, F с X х Y — идеальное соответствие и (ж, у) G F. Соответствие F отображает окрестности точки ж на окрестности точки у в том и только в том случае, если у G core F(X).
<1 =>: Очевидно.
•<=: С учетом 7.1.4 можно считать: ж = 0 и у = 0. Поскольку каждая окрестность нуля U содержит еВх для некоторого £ > 0, достаточно рассмотреть случай U:= Вх- Так как U — ограниченное множество, на основании 7.3.4, F(U) идеально выпукло. Для завершения доказательства можно проверить, что F(U) — поглощающее множество и сослаться на 7.1.6.
7.3. Принцип идеального соответствия
141
Возьмем произвольный элемент у G Y. Раз известно, что О G coreF(X), то найдется a G ®+, для которого ay G 1'<Х). Иначе говоря, для подходящего х G X справедливо ay G 1'<Х). Если ||ж|| < 1, то доказывать нечего. Если же ||ж|| > 1, то А := |®|| 1 < 1. Отсюда, привлекая 7.3.1, выводим:
aXy = (1 - А)0 + Хау G (1 - A)F(O) + AF(t) С
С F((l - А)0 + Аж) = F(At) С F(BX) = F(C).
Здесь мы учли, что || Аж|| = 1, т. е. Аж G Вх- 1>
7.3.6.	Замечание. Свойство F, описываемое в 7.3.5, именуют открытостью F в точке (ж, у).
7.3.7.	Замечание. Говоря формально, принцип идеального соответствия слабее основного принципа Банаха 7.1.5. Тем не менее соответствующий зазор невелик и легко устраним. Именно заключение 7.3.5 останется верным, если считать, что у G coreclF(X), потребовав дополнительно идеальной выпуклости F(A'). Последнее требование не слишком обременительно и в силу 7.3.4 заведомо выполнено, если эффективное множество domF ограничено. Указанная незначительная модификация 7.3.5 содержит 7.1.5 в качестве частного случая. В этой связи 7.3.5 обычно называют основным принципом Банаха для соответствий.
7.3.8.	Определение. Пусть X и Y — банаховы пространства и F С X х Y — соответствие. Соответствие F называют замкнутым, если F — замкнутое множество.
7.3.9.	Замечание. По понятным причинам о замкнутом соответствии часто говорят как о соответствии с «замкнутым графиком».
7.3.10.	Соответствие F замкнуто в том и только в том случае, если для любых последовательностей (хп) в X и (уп) в Y таких, что хп G domF, уп G F(t„) и хп ж, уп у, выполнено ж G domF и у G С(ж). <[>
7.3.11.	Пусть X и Y — банаховы пространства nF с X х Y — замкнутое выпуклое соответствие. Пусть, далее, (ж, у) G F и у G coreimF. Соответствие F отображает окрестности точки ж на окрестности точки у.
<1 Замкнутое выпуклое множество идеально выпукло, так что всё содержится в 7.3.5. 1>
142
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.3.12.	Определение. Соответствие F с X х Y называют открытым, если образ открытого множества в X — открытое множество в Y.
7.3.13.	Принцип открытости. Пусть X, Y — банаховы пространства и F С X х У — идеальное соответствие, причем im F — открытое множество. Тогда F — открытое соответствие.
<1 Пусть U — открытое множество в X. Если у G F(U), то найдется х G U, для которого (ж, у) G F. Ясно, что у G coreimF. Поскольку выполнены условия 7.3.5, то F(U) — окрестность у, ибо U — окрестность х. Последнее означает, что F(U) — открытое множество. [>
7.4.	Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике
7.4.1.	Определение. Оператор Т из-2?(Х, У) называют гомоморфизмом, если Т G В(Х, У) и Т — открытое соответствие.
7.4.2.	Пусть X — банахово пространство, У — нормированное пространство иТ — гомоморфизм из X bY. Тогда im Т = У и У — банахово пространство.
<1 То, что im Т = У, очевидно. Если заранее известно, что Т — мономорфизм, то выполнено Т 1 G 2У(У, X). Из-за открытости Т оператор /' 1 входит в В(У, X), что обеспечивает полноту У (прообраз последовательности Коши — последовательность Коши в прообразе). В общем случае рассмотрим кообраз coimT := X/kerT, наделенный фактор-нормой. На основании 5.5.4, coimT — банахово пространство. Кроме того, в силу 2.3.11 имеется единственное снижение Т оператора Т на coimT. Учитывая определение фактор-нормы и 5.1.3, заключаем, что оператор Т — гомоморфизм. Мономорфизмом этот оператор является по построению. Осталось заметить, что im Т = im Т = У. [>
7.4.3.	Замечание. Относительно снижения Т : coimT —> У оператора Т можно утверждать, что ||Т|| = ||Т||. <[>
7.4.4.	Теорема Банаха о гомоморфизме. Ограниченный эпиморфизм одного банахова пространства на другое является гомоморфизмом.
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике
143
<1 Пусть Т G В(Х, У) и imT = Y. Применяя принцип открытости к соответствию Т, получаем требуемое. [>
7.4.5.	Теорема Банаха об изоморфизме. Пусть X, Y — банаховы пространства и Т Е 1ЦХ. У). Если Т — изоморфизм векторных пространств X и У, т. е. kerT = 0 и imT = У, то Т 1 G В(У, X).
<1 Частный случай 7.4.4. [>
7.4.6.	Замечание. Коротко теорему 7.4.5 формулируют так: «непрерывный изоморфизм банаховых пространств является топологическим изоморфизмом». Отметим здесь же, что эту теорему иногда называют «принципом корректности» и выражают словами: «если уравнение Тх = у, где Т G В(Х, У), а X, У — банаховы пространства, однозначно разрешимо при любой правой части, то решение х непрерывно зависит от правой части у».
7.4.7.	Теорема Банаха о замкнутом графике. Пусть X, У — банаховы пространства и Т G Т£(X, У) — замкнутый линейный оператор. Тогда Т непрерывен.
<1 Соответствие Т 1 идеально, и /' 1(У) = X. [>
7.4.8.	Следствие. Пусть X, У — банаховы пространства и задан '/’G Д'(Х, У). Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	Т G В(Х, У);
(2)	для любой последовательности (жп)пек в X и х G X таких, что хп х и Тхп у, где у 6 У, выполнено у = Тх.
<1 (2) есть переформулировка замкнутости Т. [>
7.4.9.	Определение. Подпространство Хх банахова пространства X называют дополняемым (реже — топологически дополняемым), если Xi замкнуто и, кроме того, найдется замкнутое подпространство Х2 такое, чтоХ = ХхфХ2 (т. е. ХхАХ2 = 0, XxVX2 = X).
7.4.10.	Принцип дополняемости. Для подпространства Хх банахова пространства X эквивалентны утверждения:
(1)	Xi дополняемо;
(2)	Xi есть область значений ограниченного проектора, т. е. найдется Р G В(Х) такой, что Р2 = Р и im Р =
1-
144
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
<1 (1) => (2): Пусть Р — проектор X на Хк параллельно Х-_> (см. 2.2.9 (4)). Пусть (жп)пек — последовательность в X и хп х, а Рхп у. Ясно, что Pxn G Xi для n G N. В силу замкнутости Хк, по 4.1.19, у G Хк. Аналогично из условия —Pxn G Х-_> для n G N) вытекает, что х — у G Х%. Значит, Р(х — у) = 0. Помимо этого, у = Ру, т. е. у = Рх. Остается сослаться на 7.4.8.
(2) => (1): Следует проверить только, что Хк = imP замкнуто. Возьмем последовательность (жп)пек в Хк такую, что хп х в X. Тогда Рхп Рх ввиду ограниченности Р. Имеем Рхп = хп, ибо xn G imP, а Р идемпотентен. Окончательно х = Рх, т. е. х G Х1, что и нужно. [>
7.4.11.	Примеры.
(1)	Конечномерное подпространство дополняемо. <[>
(2)	Пространство cq не дополняемо в 1^.
<1 Для простоты будем работать с X := Zco(Q) и У := cq(Q), где Q — множество рациональных чисел. Для t G R подберем последовательность попарно различных отличных от t рациональных чисел (7„) такую, что tn t. Пусть Qt := {tn : n G N}. Подчеркнем, что Qt' О Qt” — конечное множество при t' t".
Пусть xt — класс, содержащий характеристическую функцию Qt в фактор-пространстве Х/Y и V := {xt : t G R}- Поскольку Хе / Xt'/ при t'/ t", множество V несчетно.
Возьмем f G (Х/У)' и положим V/ := {i> G V : /(i>)	0}. Видно,
что Vf = ипек1/(п), где У/(п) := {г> G V : |/(f)| > 1/n}. Если m G N, vi,..., vm G Vf (n) попарно различные, vk,..., vm G V/(n) и ak := \f(yk)\/f(yk), то для x = Y,k=iakvk будет ||ж|| < 1 и ||/|| > 1/(ж)1 = 1ЕГ=1 akf(yk)\ = |Efe=i l/(^)ll > m/n- Таким образом, Vf(n) — конечное множество.
Следовательно, Vf счетно. Отсюда следует, что для каждого счетного множества F С (Х/У)' существует элемент v Е V, для которого (V f G F) f(v) = 0.
В то же время счетный набор координатных проекций 5q : х x(q) (q G Q) тотален на Zco(Q), т. е. (V</ G Q) <5д(ж) = 0 => x = 0 при x G Zoo(Q)- Осталось сопоставить сделанные наблюдения. [>
(3)	Каждое замкнутое подпространство гильбертова пространства дополняемо (по 6.2.6). Оказывается, что если в некотором
7.4. Теоремы о гомоморфизме и замкнутом графике	145
банаховом пространстве X таком, что dimA' > 3, каждое замкнутое подпространство — область значений некоторого проектора Р и ||Р|| < 1, то X изометрично гильбертову пространству (= теорема Какутани). Более глубок следующий факт:
Теорема Линденштраусса — Цафрири. Любое банахово пространство, в котором каждое замкнутое подпространство дополняемо, (линейно и топологически) изоморфно гильбертову пространству.
7.4.12.	Теорема Сарда об уравнении 9СА = В. Пусть X, Y, Z — банаховы пространства; A G В(Х, Y), В G B(Y, Z). Пусть, далее, im А — дополняемое подпространство в Y. Диаграмма
А
Z
коммутативна для некоторого 9С Е В (Y, Z) в том и только в том случае, если ker А с ker В.
<1 Следует проверить только •<=. При этом в случае imA = Y единственный оператор .А() G Jzf(Y, Z) такой, что СС0А = В, непрерывен. В самом деле, для открытого множества U в Z имеем ^(U) = A(B^1(U)). Множество В1Ш) открыто в силу ограниченности В, и А (/1 1 (U)) открыто по теореме Банаха о гомоморфизме. В общем случае следует построить G В(imA, Z) и в качестве 9С взять ЛдР, где Р — какой-нибудь непрерывный проектор Y на im А. Существование этого проектора обеспечивает принцип дополняемости. [>
7.4.13.	Замечание. Полнота Z в доказательстве теоремы Сарда не использована.
7.4.14.	Теорема Филлипса об уравнении АЭС = В. Пусть X, У, Z — банаховы пространства, A G B(Y, X), В G B(Z, X). Пусть, далее, ker А — дополняемое подпространство в Y.
Диаграмма
146
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
коммутативна для некоторого Г G 1> (Z, У) в том и только в том случае, если im A D im В.
<1 Вновь следует проверить только •<=. Воспользуемся определением дополняемости и представим У в виде прямой суммы ker А и Yo, где Yo — замкнутое подпространство. По 5.5.9 (1), Yo представляет собой банахово пространство. Рассмотрим след Aq оператора А на Iq. Несомненно, что imA0 = imA D imB. Значит, по 2.3.13 и 2.3.14 уравнение Aq^o = В имеет, и притом единственное, решение
:= Aq1B. Нам достаточно доказать, что оператор <^о, являющийся элементом пространства Jzf (Z, 1q), ограничен.
Оператор .У() замкнут. В самом деле (ср. 7.4.8), если zn z и A^Bzn у, то Bzn Bz, поскольку В ограничен. Кроме того, в силу непрерывности Aq соответствие .40 1 С X х Yo замкнуто, и, стало быть, по 7.3.10 справедливо равенство у = A()1Bz. [>
7.4.15.	Замечание. Полнота X в доказательстве теоремы Филлипса не использована.
7.4.16.	Замечание. Теоремы Сарда и Филлипса находятся в «формальной двойственности», т. е. могут быть получены одна из другой с помощью обращения стрелок и включений и замены ядер образами (ср. 2.3.15).
7.4.17.	Принцип двух норм. Пусть векторное пространство полно относительно каждой из двух сравнимых между собой норм. Тогда эти нормы эквивалентны.
<1 Пусть для определенности || • ||г II • 111 в пространстве X. Рассмотрим диаграмму
7.5. Принцип автоматической непрерывности
147
(x.imij 2^- (х,ц.||2)
(ЛII-Hi)
По теореме Филлипса некоторый непрерывный оператор 9Т превращает эту диаграмму в коммутативную. Но такой оператор единствен — это 1Х- >
7.4.18.	Принцип нормы графика. Пусть X, Y — банаховы пространства и оператор Т G -2ДХ, У) замкнут. Определим норму графика ||ж||8Гт := ||®||х + ||Т®||у для х Е X. Тогда выполнено
;r Т ~ || ' ||X-
<1 Следует заметить, что (X, || • ||gr у) — полное пространство. Помимо этого, || • ||gr т > || • ||х- Осталось сослаться на принцип двух норм. [>
7.4.19.	Определение. Нормированное пространство X называют банаховым образом, если X служит образом некоторого ограниченного оператора, определенного на каком-либо банаховом пространстве.
7.4.20.	Критерий Като. Пусть X — банахово пространство и X = Xi ф Х2, где Xi, Х2 G Lat(X). Подпространства Xi и Х2 замкнуты в том и только в том случае, если каждое из них является банаховым образом.
<1 =>: Следствие принципа дополняемости.
•<=: Пусть Z — какой-либо банахов образ, т. е. для некоторого банахова пространства У иТ G B(Y, Z) выполнено: Z = T(Y). Переходя, если нужно, к снижению на кообраз, можно считать, что Т — изоморфизм. Обозначим ||z||0 := \\Т~1 z\\у. Ясно, что (У, || • ||0) — банахово пространство и ||г|| = ||ТТ~ 1г|| < ||Т||||Т-1г|| = ||Т||||г||0, т. е. || • ||о >- || • ||z. Применяя описанную конструкцию кХ[ и Х2, приходим к банаховым пространствам (Х1; || • ||х) и (Х2, || • ||2). При этом II • life >- II • ||х на Хк при к:= 1, 2.
Для G Xi и ®2 G Х2 положим Цац + ж2||0 := ||ж1||1 + ||®2||2. Тем самым в X возникает норма || • || более сильная, чем исходная || • ||х- По построению (X, || • ||0) — банахово пространство. Осталось сослаться на 7.4.17. 1>
148
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.5.	Принцип автоматической непрерывности
7.5.1.	Критерий непрерывности выпуклой функции. Рассмотрим выпуклую функцию f : X R’ в (мульти)нормированном пространстве X. Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	U:= int dom f 0 и f\u — непрерывная функция;
(2)	существует непустое открытое множество V такое, что выполнено sup f(V) < +оо.
<1 (1) => (2): Очевидно.
(2)	=> (1): Ясно, что U / 0. Привлекая 7.1.1, легко убеждаемся в том, что у каждой точки u Е U имеется окрестность W, в которой f ограничена сверху, т. е. t:= sup f(W) < +оо. Не нарушая общности, можно считать, что и := 0, f(u) := 0 и что W — это абсолютно выпуклое множество. В силу выпуклости f для всякого a G 7+ такого, что a < 1, и произвольного v £ W справедливы соотношения:
/(от) = f(av + (1 - о)0) < о/(т) + (1 - п)/(0) = о/(т);
/(от) + af(-v) > f(av) + /(о(-т)) =
= 2	> 2/(0) = 0.
Таким образом, выполнено |/(aIV)| < at, откуда и вытекает непрерывность f в точке и:= 0. 1>
7.5.2.	Следствие. Если х G int dom / и f непрерывна в точке х, то субдифференциал <ЭЖ(/) содержит только непрерывные функционалы.
<1 Если I G Эж(/), то (V® G X) Z(®) < Z(®) + /(ж) — /(ж) и, стало быть, Z ограничен сверху на некоторой окрестности точки ж. Следовательно, Z непрерывен в этой точке по 7.5.1. Привлекая 5.3.7, убеждаемся, что Z непрерывен. [>
7.5.3.	Следствие. Каждая выпуклая функция в конечномерном пространстве непрерывна во внутренности своей эффективной области определения. <[>
7.5.4.	Определение. Функцию / : X —> R’ называют идеально выпуклой, если ее надграфик epi f — идеальное соответствие.
7.5. Принцип автоматической непрерывности
149
7.5.5.	Принцип автоматической непрерывности. Каждая идеально выпуклая функция в банаховом пространстве непрерывна на ядре своей эффективной области определения.
<1 Пусть f — такая функция. Если core dom f = 0, то доказывать нечего. Если же х G coredom/, то положим t := /(ж) и F := (epi f)1 С Ж х X. Применяя принцип идеального соответствия, найдем ё > 0 из условия F(t + Br) D х + ёВх- Отсюда, в частности, вытекает оценка /(ж + ёВх) < t +1. На основании 7.5.1, / непрерывна на int dom f. Поскольку к тому же ж G int dom f, то, по лемме 7.1.1, coredom / = intdom/. [>
7.5.6.	Замечание. Используя 7.3.6, можно показать, что идеально выпуклая функция /, определенная на множестве с непустым ядром в банаховом пространстве, является локально липшицевой на int dom /. Иными словами, для всякой точки жо G int dom / найдутся, во-первых, число L > 0, а во-вторых, окрестность U этой точки, для которых ||/(ж) — /(жо)|| < £||ж — жо||, как только ж G U. <[>
7.5.7.	Следствие. Пусть f : X R’ — идеально выпуклая функция в банаховом пространстве X и ж G coredom/. Тогда производная по направлениям f'(x) — непрерывный сублинейный функционал и <ЭЖ(/) С X’.
<1 Нужно дважды воспользоваться принципом автоматической непрерывности. [>
7.5.8.	Замечание. В связи с 7.5.7 при изучении банаховых пространств в субдифференциал любой функции f : X R’ в точке ж включают только подходящие непрерывные функционалы на X, т. е. полагают
М/):= М/) П X'.
Аналогичным образом поступают и в (мульти) нормированных пространствах. Если необходимо отличить «старый» (более широкий) субдифференциал, лежащий в X#, от «нового» (более узкого) субдифференциала в X', первый называют алгебраическим, а второй — топологическим. Указанные в 7.5.2 и 7.5.7 факты в этом смысле часто называют принципом совпадения алгебраического и топологического субдифференциалов. Отметим, наконец, что по подобным же причинам в случае, когда f := р — полунорма в X, считают: \д\(р)-.= |Э|(р) ПГ.
150
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.5.9.	Теорема Хана — Банаха для банаховых пространств. Пусть f :Y —> R’ — идеально выпуклая функция на банаховом пространстве Y. Пусть, далее, X — нормированное пространство и Ту В(Х, Y). Если точка х Е X такова, что Тх Е coredom/, то
dx(f°T) = dTx(f)oT.
<1 Правая часть доказываемой формулы включена в ее левую часть по очевидным обстоятельствам. Если же I из X' лежит в dx(f ° Т), то по теореме Хана — Банаха 3.5.3 можно подыскать элемент Zi из алгебраического субдифференциала f в точке Тх, удовлетворяющий соотношению I = о Т. Осталось заметить, что, в силу 7.5.7, Zi является элементом Y' и, стало быть, элементом топологического субдифференциала Этж(/). 1>
7.5.10.	Теорема Хана — Банаха для непрерывной полунормы. Пусть X, Y — нормированные пространства, Т G В(Х, У) и р : У —> R — непрерывная полунорма. Тогда
|Э|(роТ) = |Э|(р)оТ.
<1 Если Z G |<Э| (р о Т), то Z = Zi о Т для некоторого из алгебраического субдифференциала полунормы р (см. 3.7.11). Из 7.5.2 вытекает, что Zx непрерывен. Итак, |<Э|(роТ) с |<Э| (р)оТ. Обратное включение бесспорно. [>
7.5.11.	Принцип непрерывного продолжения. Пусть Xq — подпространство в X и Zq — непрерывный линейный функционал на Xq. Тогда существует непрерывный линейный функционал I на X, продолжающий Zq. (При этом можно считать,что ||Z|| = ||Zq||.)
<1 Возьмем р := ||Zo|| || • ||, и пусть / : Xq —> X — тождественное вложение. С учетом 7.5.10 будет Zo G |<Э| (pot) = |<Э| (р) о t = ||Z0|| 1^1(11 • II) ° Осталось заметить, что |<Э| (|| • ||х) = ВХ'- 1>
7.5.12.	Теорема отделимости в топологическом варианте. Пусть U — выпуклое множество с непустой внутренностью в пространстве X. Если L — аффинное многообразие в X и ЛЛ int U = 0, то существует замкнутая гиперплоскость Н в X, для которой Н D L и Н П int U = 0. <[>
7.6. Принципы штрихования
151
7.5.13.	Замечание. При применении 7.5.12 полезно иметь в виду, что замкнутые гиперплоскости суть в точности множества уровня ненулевых непрерывных линейных функционалов. <[>
7.5.14.	Следствие. Пусть Xq — подпространство в X. Тогда
clX0 = n{ker/: f G X', ker/DX0}.
<1 Ясно, что (/ G X', ker/ D Xo) => ker / D clX0. Если же жо clA'o, то найдется открытая выпуклая окрестность жо, не содержащая точек cIXq. На основании 7.5.12 и 7.5.13 имеется функционал /о G (Xr)' такой, что ker/о с1Х0 и /о(жо) = 1- Из свойств комплексификатора выводим, что функционал Re 1/() обращается в нуль на Xq и не равен нулю в точке жо. Несомненно также, что этот функционал непрерывен. [>
7.6.	Принципы штрихования
7.6.1.	Пусть X, Y — (мупьти) нормированные векторные пространства (над одним и тем же основным полем F) и X', У' — сопряженные пространства. Пусть, далее, Т — непрерывный линейный оператор из X bY. Для у' G У' выполнено у' оТ G X' и отображение у' I—> у' о Т — линейный оператор. <[>
7.6.2.	Определение. Оператор Т' : У' —» X', построенный в 7.6.1, называют сопряженным к оператору Т : X —> У.
7.6.3.	Теорема. Отображение штрихования Т ь- Т' осуществляет линейную изометрию пространства В(Х, У) в пространство B(Y', X').
<1 То, что отображение штрихования — линейный оператор из В(Х, У) в TY(Y', X'), очевидно. Помимо этого, раз ||у|| = sup{|Z(y) :
ZG|3|(||.||)}, то
||T'||=sup{||7V||: \\у'\\ <1} =
= 8ир{|у'(Тж)|: \\у'\\ < 1, ||ж||<1} = = 8ир{||Тж||: ||ж|| < 1} = \\Т\\,
что и нужно. [>
152
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.6.4.	Примеры.
(1)	Пусть X, Y — гильбертовы пространства, и задан Т G В(Х, У). Отметим прежде всего, что в очевидном смысле Т G В(Х, У) о Т G В(Х*, У*). Обозначим теперь через (-)х : X* —> X' штрихование в X, т. е. х х' := (•, х) и (-)у : У* —> У' — штрихование в У, т. е. у » у' := (•, у).
Связь эрмитово сопряженного оператора Т* G B(Y, X) и сопряженного Г G В(У', X') задается коммутативной диаграммой:
(Ух I I С)'у
<1 В самом деле, надо убедиться, что для у G У выполнено Т'у' = (Т*у)'. Для х G X по определению имеем
Т'у'(х) = у'(Тх) = (Тх, у) = (х, Гу) = (Гу)'(х).
В силу произвольности х получаем требуемое. [>
(2)	Пусть l : А'о —> X — вложение Хо в X. Тогда d : X Xq, причем d(x')(xo) = x'(xq) для всех xq G Xq и х' Е X' и d — эпиморфизм, т. е. X' —> Х'(, 0 — точная последовательность. <[>
7.6.5.	Определение. Пусть дана некоторая элементарная диаграмма X —> У. Диаграмму У' —X' называют полученной штрихованием исходной диаграммы или сопряженной диаграммой. Если в произвольной диаграмме, составленной из ограниченных линейных отображений банаховых пространств, произведено штрихование всех элементарных поддиаграмм, то возникшую диаграмму называют сопряженной к исходной или полученной из исходной с помощью штрихования.
7.6.6.	Лемма о двойном штриховании. Пусть X" У" — т диаграмма, полученная двойным штрихованием диаграммы X —> У. Тогда коммутативна диаграмма
7.6. Принципы штрихования
153
где " : X X" и " : Y —> Y" — соответствующие двойные штрихования — канонические вложения X в X" и У в Y" (см. 5.1.10 (8)).
<1 Пусть х G X. Нужно показать, что Т"х" = (Тх)". Возьмем у' G Y'. Тогда
Т"Ж"(у') = х"(Т'у') = Т'у'(х) = у'(Тх) = (Тх)"(у').
В силу произвольности у' G Y' имеем требуемое. [>
7.6.7.	Принцип штрихования диаграмм. Диаграмма коммутативна в том и только в том случае, если коммутативна сопряженная диаграмма.
<1 Достаточно убедиться, что треугольники
X т ' Y X' Т ' Y'
R \ / S R1 \ / s'
Z	Z'
коммутативны или нет одновременно. Так как R = ST => R' = (ST)' = Т'S', то коммутативность левого треугольника влечет коммутативность правого. Если же правый треугольник коммутативен, то по уже доказанному R" = S"T". Привлекая 7.6.6, имеем (Rx)" = R"x" = S"T"x" = S"(T"x") = S"(Tx)" = (STx)" для всех x G X. Значит, R = ST. [>
7.6.8.	Определение. Пусть Xo — подпространство в X, а — подпространство в X'. Положим
Xox:={/GX': ker ./'Э АД } = |3|(5(X0));
•Ао := {ж G Az : ./' G => /(ж) = 0} = П {ker f : f G //
Подпространство A'o называют (прямой) полярой АД, а подпространство ,A0 — (обратной) полярой .ЗД. Используют также менее точный термин «аннулятор».
7.6.9.	Определение. Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор Т Е В (X, Y) называют нормально разрешимым, если im Т — замкнутое подпространство.
154
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.6.10.	Оператор Т G В(Х, У) нормально разрешим в том и только в том случае, если Т, рассматриваемый как оператор из X в im Т, является гомоморфизмом.
<1 =>: Теорема Банаха о гомоморфизме.
•<=: Следует сослаться на 7.4.2. [>
7.6.11.	Лемма о полярах. Пусть Т G В(Х, У). Тогда
(1)	(imT)x = кег(Т');
(2)	если Т нормально разрешим, то
imT = xker(T'), (кегТ)х = im(T').
< (1) у' G кег(Т') о Т'у' = О о (V® е X) Т'у'(ж) = О о (V® G X) у'(Тж) = О О у' G (imT)x.
(2) Равенство climT = хкег(Т') составляет содержание 7.5.13. Помимо этого, по условию imT замкнуто.
Если х' = Т'у' и Тх = 0, то ж'(ж) = Т'у'(х) = у'(Тх) = 0, т. е. х' G (кегТ)х. Значит, im(T') с (кегТ)х. Пусть теперь х' G (кегТ)х. Считая, что оператор Т действует в imT, по теореме Сарда, примененной к левой части диаграммы
Х^ imT —>У х' \ 1у'о /у' F
найдем у'о G (imT)', для которого у'о о Т = х'. По принципу непрерывного продолжения существует у' G У' такой, что у' D у'о. Стало быть, х' = Т'у', т. е. х' G im(T'). [>
7.6.12.	Теорема Хаусдорфа. Пусть X, У — банаховы пространства. Тогда оператор Т G В(Х, У) нормально разрешим в том и только в том случае, если нормально разрешим оператор Т' G В(У', X').
<1 =>: В силу 7.6.11 (2), im(T') = (kerT)x. Подпространство (кегТ)х, очевидно, является замкнутым.
•<=: Пусть сначала climT = У. Ясно, что 0 = Ух = (dim Т)х = (imT)x = кег(Т') в силу 7.6.11. По теореме Банаха об изоморфизме можно подыскать S G B(im(T'), У'), для которого ST' = ly-Случай г := ||S|| = 0 тривиален. Поэтому можно считать, что II^VH > 1/r q\\y'\\ при всех у' € Y'-
7.6. Принципы штрихования
155
Убедимся в том, что cl lilix) D l/2r Ву. Если это проделано, то ввиду идеальной выпуклости Т(Вх) выполнено включение Г(Вх') D 1/4гВу. Следовательно, Т — гомоморфизм.
Пусть у с1Т(Вх). Можно утверждать, что у не лежит и в некотором открытом выпуклом множестве, содержащем Т(Вх)- Переходя, если нужно, к вещественным основам пространств X и Y, будем считать, что F:= Ж. Применим теорему отделимости 7.5.12 и найдем ненулевой у' G Y’ такой, что
Ну'Н \\у\\ >у\у)> sup у\Тх) = \\Т'у'\\>-\\у'\\. ||ж||<1	г
Отсюда ||у|| > 1/г > 1/2г. Таким образом, требуемое включение установлено и оператор Т в наших предположениях нормально разрешим.
Рассмотрим теперь общий случай. Положим Y$ := cl imT, и пусть z, : То —> У — тождественное вложение. Тогда Т = lT, где Т : X То — оператор, действующий по правилу Тх = Тх для х е X. Кроме того, im(T') = im(T't') = T'(im(z/)) = T'(Yq), ибо i'(Y'') = Yo' (см. 7.6.4 (2)). Итак, T’ — нормально разрешимый оператор. Стало быть, по уже доказанному Т нормально разрешим. Осталось заметить, что imT = imT. [>
7.6.13.	Принцип штрихования последовательностей. Последовательность
тк v Tk+1
точна в том и только в том случае, если точна сопряженная последовательность
<1 =>: Так как im7}1+1 = кегТ^+2, то 'I'k+i нормально разрешим. Привлекая лемму о полярах, имеем
ker(Tfe) = (imTfe)x = (kerTfe+i)x = im(T^+1).
156
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
•<=: По теореме Хаусдорфа 7'a+i нормально разрешим. Вновь апеллируя к 7.6.11 (2), выводим
(imTfe)x = ker(T^) = im(T^+1) = (kerTfe+i)x.
Поскольку Tk нормально разрешим по теореме 7.6.12, то шг/'а — замкнутое подпространство. Привлекая 7.5.14, получаем
imTk = ±((imTfe)±) = ±((kerTfe+i)±) = kerTfe+i.
Здесь учтено, что ker 'I'k+i — это тоже замкнутое подпространство. [>
7.6.14.	Следствие. Для каждого нормально разрешимого оператора Т имеют место следующие изоморфизмы (кегТ/ ~ сокег(Т') и (coker Т)' ~ кег(Т').
<1 В силу 2.3.5 (6) последовательность
О ker Т X Y coker Т О
точна. Из 7.6.13 выводим, что последовательность
О -> (coker ТУ Y' X' (кегТ)' -> О
точна. О
7.6.15.	Следствие. Т — изоморфизм О Tf — изоморфизм. О
7.6.16.	Следствие. Sp(T) = Sp(Tz). о
Упражнения
7.1.	Выяснить, какие линейные операторы идеальны.
7.2.	Установить, что раздельно непрерывная билинейная форма на банаховом пространстве непрерывна по совокупности переменных.
7.3.	Будет ли равномерно ограниченным на шаре семейство полунепрерывных снизу сублинейных функционалов на банаховом пространстве?
7.4.	Пусть X, Y — банаховы пространства иТ : X Y. Доказать, что для некоторого t G R будет 11Тх11у > в том и только в том случае, если kerГ = 0 и imT — полное множество.
7.5.	Выяснить условия нормальной разрешимости оператора умножения на функцию в пространстве непрерывных на компакте функций.
Упражнения.157
7.6.	Пусть Т — ограниченный эпиморфизм банахова пространства X на Zi(c^). Установить дополняемость кегТ.
7.7.	Установить, что равномерно замкнутое подпространство в С*([а, Ь]), составленное из непрерывно дифференцируемых функций — элементов ([а, 6]), конечномерно.
7.8.	Пусть X и Y — различные банаховы пространства, причем X непрерывно вложено в Y. Установить, что X является тощим множеством в Y.
7.9.	Пусть Xi, Х2 — ненулевые замкнутые подпространства банахова пространства, причем Xi П _V2 = 0. Доказать, что сумма Xi + _V2 замкнута в том и только в том случае, если следующая величина
inf {||ад - Х21|/||^11| : ^1	0, ад G Xi, а?2 G Х2}
строго положительна.
7.10.	Пусть (опт) — счетная двойная последовательность, обладающая тем свойством, что имеется последовательность (а?(т)) элементов Zi, для которой ряды	не сходятся (абсолютно). Доказать, что найдется последовательность х из Zi, для которой ряды	атпхп не сходятся (абсолютно)
при всех m € N.
7.11.	Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве Н такой, что равенство (Та? | у} = (а? | Ту) имеет место для всех х, у G Н. Установить ограниченность Т.
7.12.	Пусть замкнутый конус X-*" в банаховом пространстве X является воспроизводящим: X = X-*" — X-*". Доказать, что найдется константа t > 0 такая, что для любого х G X и представления х = a?i — а?2, где ад, а?2 G X-*", выполнено: ||ад|| < t||a?||, ||а?2|| < ^IMI-
7.13.	Пусть полунепрерывные снизу сублинейные функционалы р, q в банаховом пространстве X таковы, что конусы domp и domq замкнуты и подпространство domp — domq = domq — domp дополняемо в X. Доказать, что для топологических субдифференциалов выполнено (ср. упражнение 3.10)
д(р + q) =др + dq.
7.14.	Пусть р — непрерывный сублинейный функционал, определенный на нормированном пространстве X, и Т — непрерывный эндоморфизм X. Допустим, что сопряженный оператор Т' переводит в себя субдифференциал др. Установить, что др содержит неподвижную точку Т'.
7.15.	Для функции / : X —> R' на нормированном пространстве X поло
жим
f*(x!) := sup{(a? I х) — f(x) : х Е dom f} (х Е Xх);
/** (а?) := sup{(a? | а/) — /* (а/) : х Е dom(f*)} (х Е X).
Выяснить, при каких условиях на f выполнено f = f**.
158
Гл. 7. Принципы банаховых пространств
7.16.	Установить, что loo дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве.
7.17.	Банахово пространство X называют примарным, если любое его бесконечномерное дополняемое подпространство изоморфно X. Убедиться, что со и 1Р (1 < р < +оо) примарны.
7.18.	Пусть X и Y — банаховы пространства и оператор Т € В(Х, Y) таков, что imT — нетощее множество. Тогда Т нормально разрешим.
7.19.	Пусть Хо — замкнутое подпространство нормированного пространства X, причем Xq и X/Xq — банаховы пространства. Тогда X также банахово пространство.
Глава 8
Операторы в банаховых
пространствах
8.1.	Голоморфные функции и контурные интегралы
8.1.1.	Определение. Пусть X — банахово пространство. Подмножество Л шара Вх' в сопряженном пространстве X' называют нормирующим (для X), если для каждого элемента х из X выполнено ||ж|| = sup{|Z(®)| : I G Л}. Если, помимо этого, для всякого U в X такого, что sup{|Z(u)| : и Е U} < +оо при Z G Л, справедливо sup ||Н|| < +оо, то Л называют вполне нормирующим множеством.
8.1.2.	Примеры.
(1)	Шар Вх> — вполне нормирующее множество в силу 5.1.10 (8) и 7.2.7.
(2)	Если Ло — (вполне) нормирующее множество и Ло С Л1 С Вх', то Л1 также (вполне) нормирующее множество.
(3)	Множество крайних точек ext(Bx') является нормирующим по теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов 3.6.5 и несомненного равенства Вх> = |9|(|| • ||х), которое уже неоднократно было использовано. Однако вполне нормирующим это множество быть не обязано (так, в частности, обстоит дело в пространстве С([0, 1], R)). <[>
(4)	Пусть X, Y — банаховы пространства (над одним и тем же полем F) и Л у — нормирующее множество для Y. Положим
Лв:= : у' G Лу, х G Вх},
160
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
где <5(уж)(Т):= у'(Тх') для у' G У, х Е X и Т Е В(Х, У). Ясно, что
1^;Ж)(Т)| = |У'(^)| <1Ы1 та < Нг/н \\Т\\ 1Ы1,
т. е. ё(у'х) G В(Х, У)'. Помимо этого, для Т G В(Х, У) выполнено
\\Т\\ = sup{||Т®|| : ||т|| < 1} = sup{\у'(Тх)| : у’ G Лу, ||т|| < 1} =
= sup{|5(?/;3:)(T)| : д(у,х) G Ав}.
Таким образом, Лв — нормирующее множество (для В(Х, У)). Если при этом Л у — вполне нормирующее множество, то Лв также вполне нормирующее множество. В самом деле, если U таково, что числовое множество {\у'(Тх) | : Т G U} ограничено при любых х G Вх и у' Е Лу, то по условию множество {Тх : Т Е U} ограничено в У для всякого х G X. В силу принципа равномерной ограниченности 7.2.5 это означает, что sup ||В|| < +оо.
8.1.3.	Теорема Данфорда — Хилле. Пусть X — комплексное банахово пространство и Л — вполне нормирующее множество для X. Пусть, далее, f : & X — отображение подмножества @ в С в пространство X, причем @ открыто (в Cr ~ >2). Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	для каждого zq е @ существует предел
lim №)-Ж).
z^z0 Z — Zq
(2)	для каждых z() G @ и I G Л существует предел
r I °	- l о f(zo)
lim ----------------,
z^zo	Z — Zq
t. e. функция I о f :	С голоморфна при I G Л.
<1 (1) => (2): Очевидно.
(2) => (1): Простоты ради будем считать, что zq = 0 и /(го) = 0. Рассмотрим шар радиуса 2е, целиком лежащий в (2>, т. е. 2eD с (2>, где D := Вс- Как принято в комплексном анализе, будем считать круг eD (ориентированным) компактным многообразием с краем еТ,
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы
161
где Т — (должным образом ориентированная) единичная окружность Т := {z G С : \z\ = 1}. При zi, z-_> G eD \ 0 для голоморфной функции I о f (функционал I лежит в Л) имеют место представления интегралом Коши:
l°f(zk) = 1 f Zof(z) dz zk 2m J z(z - zk) 2eT
(fc:= 1, 2).
Значит, при zk / Z2, учитывая, что для z G 2eT выполнено \z — zk \ > e (k:= 1, 2), а также что функция l о / непрерывна в
получаем
< М sup |Z о /(z) | < +оо
£G2eTT
для подходящего М > 0. Поскольку Л — вполне нормирующее множество, заключаем:
sup :-------------
,Z2^0 И1 г2 zil<e,|z2|<e
Ж) _ Ж)
Zl	’У
Последнее неравенство обеспечивает существование нужного предела. [>
8.1.4.	Определение. Отображение / :	> А-, удовлетворяю-
щее 8.1.3 (1) (или, что то же самое, 8.1.3 (2) для какого-либо вполне нормирующего множества Л), называют голоморфным.
162
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
8.1.5.	Замечание. Иногда используют излишне детальную терминологию. Именно, если f удовлетворяет 8.1.3 (1), то f называют сильно голоморфной функцией. В случае, если для f выполнено 8.1.3 (2) при Л := Вх>, говорят о слабой голоморфности f. В условиях 8.1.3 (2) и 8.1.2 (4), т. е. при / :	> В(Х, У), Лу:= By и соответ-
ствующем Л:= Л.в, говорят о слабо операторно голоморфных функциях. Учитывая приведенную терминологию, теорему Данфорда — Хилле часто называют теоремой о голоморфности и выражают словами: «слабо голоморфная функция сильно голоморфна».
8.1.6.	Замечание. В дальнейшем удобно использовать интегралы простейших гладких Х-значных форм f(z)dz по простейшим ориентированным многообразиям — по краям элементарных компактов в плоскости (см. 4.8.5), составленным из конечного числа непересекающихся простых петель. В такие интегралы вкладывают очевидный смысл. Именно, для петли 7 выбирают подходящую (гладкую) параметризацию Ф : Т —> 7 (с учетом ориентации) и полагают
У f(z)dz:= у /оФЙФ, 7	ТГ
где последний интеграл понимают, например, как подходящий пите-грал Бохнера (см. 5.5.9 (6)). Несомненна корректность этого определения, т. е. существование нужного интеграла Бохнера и его независимость от выбора параметризации Ф.
8.1.7.	Теорема Коши — Винера. Пусть @ — непустое открытое подмножество плоскости и f : @ X — голоморфное отображение в банахово пространство X. Пусть, далее, F — простая картина для пары (0, ^). Тогда
У f(z)dz = 0.
8F
При этом для zq G int F выполнено
2тгг J Z — Zq
dF
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы
163
<1 В силу 8.1.3 необходимые интегралы Бохнера существуют. Требуемые равенства, очевидно, следуют из справедливости их скалярных версий, составляющих содержание классической теоремы Коши, сказанного в 8.1.2 (1) и отмеченной в 5.5.9 (6) перестановочности интегралов Бохнера с ограниченными функционалами. [>
8.1.8.	Замечание. Теорема Коши — Винера позволяет по хорошо известным образцам выводить для Х-значных голоморфных функций аналоги теорем классического комплексного анализа.
8.1.9.	Теорема о разложении Тейлора. Пусть f : S) X — голоморфная функция и zq Е (2>. В любом круге U := {z G С : \z — zqI < £} таком, что сШ лежит в имеет место разложение Тейлора (в равномерно сходящийся степенной ряд)
/(г) = £Сп(г-г0)и,
п=0
где коэффициенты Сп вычисляют по формулам
С. = Х[, №)	=
2тгг J (г — zo)”+1 n- dzn
эи
<1 Доказательство основано на стандартном разложении ядра u ' (u — z)1 в формуле
/(г) =du (zedU)
2тп J и — z эи’
по степеням z — zq, т. е.
1 1
и “ 2 (и - г0) fl -
\	u~z0 J
_ (г — z0)n
Последний ряд сходится равномерно по и 6 dU'. (Здесь U' = U + q№> для какого-либо q > 0, такого что c\U' С ^.) Учитывая, что
164
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
sup || f(dU')|| < +оо, и производя интегрирование, приходим к требуемому представлению /(г) при z G cl Г. Применяя доказанное к U' и привлекая 8.1.7, видим, что исследуемый степенной ряд сходится в каждой точке U'. Отсюда вытекает его равномерная сходимость на компактных подмножествах U', а потому и на U. [>
8.1.10.	Теорема Лиувилля. Если функция f : С —> X голоморфна и sup ||/(С)|| < +оо, то f — постоянное отображение.
<1 Для е > 0, рассматривая диск eD и учитывая 8.1.9, имеем
1Ы| < sup ||/(г)||.£-” <sup||/(C)||.£-” z (EsT
при всех n G N и £ > 0. Таким образом, сп = 0 для n G N. 1>
8.1.11.	Каждый ограниченный эндоморфизм ненулевого комплексного банахова пространства имеет непустой спектр.
<1 Пусть Т — такой эндоморфизм. Если Sp(T) = 0, то резольвента R(T, ) голоморфна во всей плоскости С, например, по 5.6.21. Кроме того, на основании 5.6.15, ||Д(Т, А)|| —> 0 при |А| —> +оо. В силу 8.1.10 заключаем, что R(T, •) = 0. В то же время, привлекая 5.6.15, видим, что при |А| > ||Т|| выполнено R(T, А)(А — Т) = 1. Получается противоречие. [>
8.1.12.	Имеет место формула Бёрлинга — Гельфанда:
r(T) = sup{|A| : A G Sp(T)}
для любого оператора Т G В(Х), где X — комплексное банахово пространство, т. е. спектральный радиус оператора совпадает с радиусом его спектра.
<1 То, что спектральный радиус г(Т) больше радиуса спектра, отмечено в 5.6.16. Таким образом, при г(Т) = 0 доказывать ничего не надо. Пусть теперь г(Т) > 0. Возьмем А 6 С так, что |А| > sup{|/i| : р G Sp(T)}. Тогда круг радиуса |А| 1 целиком лежит в области голоморфности функции (см. 5.6.15)
R (Г, г-1), г 0, z~i G res(T),
0, z = Q.
Привлекая 8.1.9 и 5.6.17, заключаем, что |А| 1 < г(7') 1. Следовательно, |А| > г(Т). [>
8.1. Голоморфные функции и контурные интегралы
165
8.1.13.	Пусть К — непустой компакт в С и Н (К) — множество голоморфных в окрестности К функций, т. е. (J G И (К) о / : dom/ —> С — голоморфная функция, dom/ D К). Для Д, /, е Н(К) положим /1 ~ /2, если существует открытое подмножество @ в dom/1 Пdom/2 такое, что К С @ и /1= /21@. Тогда ~ является отношением эквивалентности в И (К). <[>
8.1.14.	Определение. В условиях 8.1.13 положим J^(K) := Н(К')/^. Элемент / G J^(K), содержащий функцию / G Н(К), называют ростком f на компакте К.
8.1.15.	Пусть f, g G J^(K). Пусть, кроме того, выделены /1, Ле /, 51, 52 е д. Положим
х Е dom /1 П dompi =>	(ж) := Д (ж) + дг (ж),
ж G dom /2 П domд2 => <£>2 (®) = /2 (®) + 52 (®)•
Тогда ipi, У2 е // (К), причем уД =
<1 Выбрав открытые множества А' С Л С dom Л (~ldom /2 и К С ^2 С dom <71 П dom д2, в которых совпадают /1 и /2 и соответственно <71 и <72, видим, что в®1 А^2 совпадают рз и у2. [>
8.1.16.	Определение. Класс, введенный в 8.1.15, называют суммой ростков Д и f2 и обозначают Л + f2. Аналогично вводят произведение ростков и умножение ростка на комплексное число.
8.1.17.	J^(K) с операциями, введенными в 8.1.16, является алгеброй. <[>
8.1.18.	Определение. Возникающую алгебру называют алгеброй ростков голоморфных функций на компакте К.
8.1.19.	Пусть К — компакт в С, aR : С\К X — голоморфная функция со значениями в банаховом пространстве X. Пусть, далее, f G J^(K) и /1, f2 G /. Если Fi — простая картина для пары {К, dom/i), a F2 —простая картина для пары (К, dom/2), то
f1(z)R(z)dz = У f2(z)R(z)dz.
dFt	9F2
166
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
<1 Пусть К С С intFi П intF2, где открыто и /1|@ = /г!©-Возьмем простую картину К С F С (2>. Учитывая голоморфность функции ДД на dom ./'i \ К и голоморфность ]'_> R на dom/2 \ К, выводим равенства
fi(z)R(z)dz = У Л(z)R(z)dz,
dF	8Ft
f2(z)R(z)dz = У f2(z)R(z)dz
dF	8F2
(из нетривиального факта справедливости их скалярных аналогов). Ввиду совпадения Д и f2 на @ имеем требуемое. [>
8.1.20.	Определение. Фиксируя h G J^(K), в условиях 8.1.19 контурным интегралом h с ядром R называют элемент
h(z)R(z)dz := /(z^Rtz^dz,
dF
где h = f и F — простая картина для пары (К, dom/).
8.1.21.	Замечание. Обозначение h(z) в 8.1.20 неслучайно. Оно объясняется тем, что для каждой точки z G К и любых двух представителей fi, f2 ростка h выполнено w := fi(z) = Д(г). В этой связи об элементе w говорят как о значении ростка h в точке z и пишут /i(z) = w. Отметим здесь же, что в 8.1.20 функцию R можно считать заданной лишь в U \ К, где int U D К.
8.2. Голоморфное функциональное исчисление
8.2.1.	Определение. Пусть X — (ненулевое) комплексное банахово пространство и Т — ограниченный эндоморфизм X, т. е. Т G В(Х). Для h G J^(Sp(T)) контурный интеграл с ядром R(T, ) — резольвентой оператора Т — обозначают
&тк'.= -—7 У htz^RfT, z)dz
8.2. Голоморфное функциональное исчисление
167
и называют интегралом Рисса — Данфорда (ростка /г). Если / — функция, голоморфная в окрестности Sp(T), то полагают f(T) := &Tf:= &Tf. Используют также более образные обозначения типа
Ж) = Ж / ^dz-
2тп J z — 1
8.2.2.	Замечание. В алгебре, в частности, изучают различные представления математических объектов. Нам удобно пользоваться некоторыми элементарными понятиями теории представлений наиболее «алгебраических» объектов — алгебр. Вспомним простейшие из них.
Пусть Ai, А2 — две алгебры (над одним и тем же полем). Морфизмом Ai в А2 или представлением алгебры Ai в алгебре А2 (реже говорят «в алгебру А2») называют мультипликативный линейный оператор 91, т. е. отображение 91 G Af\Ai, А2) такое, что 91(аЬ) = 91(а)91(Ь) для всех a, b G Ai. Представление 91 называют точным, если ker 91 = 0. Наличие точного представления 91: Ai А2 позволяет рассматривать как подалгебру Л2.
Если Л2 является (под) алгеброй эндоморфизмов Af\X) некоторого векторного пространства X (над тем же полем), то о морфизме Ai в А2 говорят как о (линейном) представлении Ai в пространстве X или об операторном представлении Ар Пространство X называют в этом случае пространством представления алгебры Ai.
Если в пространстве X представления 91 алгебры А есть подпространство Xi, инвариантное относительно всех операторов 91(a) при a G А, то естественным образом возникает представление 911 : А —> Af\Xi), действующее по правилу 911(a)®! = 91(a)®! для ®i G Xi и a G А, называемое подпредставлением 91 (порожденным Xi). Если X = Xi ф Х2 и это разложение приводит каждый оператор 91(a) для a G А, то говорят, что представление 91 приведено к прямой сумме {под) представлений 9ф и 912 (порожденных Xi и Х2 соответственно). Отметим важность задачи изучения произвольных неприводимых представлений (= представлений, не содержащих нетривиальных подпредставлений).
8.2.3.	Теорема Гельфанда — Данфорда. Интеграл Рисса — Данфорда Ду- служит представлением алгебры ростков голоморфных функций на спектре оператора Т в пространстве X — области
168
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
определения оператораТ. При этом если f (г) = ^^-ocnzn (в окрестности Sp(T)), то f(T) = У22=о cnTn (суммирование ведется относительно операторной нормы в В(Х)).
<1 То, что — линейный оператор, несомненно. Установим мультипликативность ё#т. Для этого возьмем Д, Д G J^(Sp(T)) и выберем простые картины F1; F2 такие, что Sp(T) с intFi С ДС intF2 С Г С Д причем функции Д G Д, Д G Д являются голоморфными на
Привлекая очевидные свойства интеграла Бохнера, классическую теорему Коши и тождество Гильберта 5.6.19, последовательно получаем
^тДо^тД = Д(Т)Д(Т) = ^^т /	f M^Ldz2 =
2тгг 2тгг J z\ — 1 J z% — 1
6Fi	qf2
l \ / Л(г1)Д(Т> zijdzt | Д(г2)Д(Т, z2)dz2 =
2тп 2тп J \ J	I
9F2 \ 9F-l	/
J 1
2тгг 2тгг
У У h(zi)h(z2)R(T, z\)R(T, z2)dz2dz\ = dFt 8F2
1 1 f f . /	/ А Ж ЖЖ, Ж ,
=	/ / fi(zi)h(z2)-------------------dz2dZ1 =
2тгг 2тгг J J	z2 ~ zi
dF1 dF2
1 f f( J 1 f a u
=	/ /1И1) 7Г- / --------dz2 R(T, zOdzi-
2тгг J	\ 2тгг J z2 ~ zi /
\ dF2	/
1 f f( d 1 f	a \a
/ /2И2)	/ -------dzr R(T, z2)dz2 =
2iFi J	\ 2тгг J z2 ~ zi I
dF2	\ dFx	/
=	[ fi(zi}h(zi}R(T, z^dzr - 0 = ДД(Т) = ^Т(Д Д).
2лг J
7
Выберем окружность 7:= еТ, лежащую как в res(T), так и внутри круга сходимости ряда f(z) = ^^=оспгп. Учитывая 5.6.16 и 5.5.9 (6), имеем
8.2. Голоморфное функциональное исчисление
169
= ^£ /лф--т”* = п=0
= V I — [ ^rdz I Тп = f спГ
I 2тгг J zn+1 I п=о \	/	«=о
в силу 8.1.9. [>
8.2.4.	Замечание. Теорему 8.2.3 часто называют основной теоремой голоморфного функционального исчисления.
8.2.5.	Теорема об отображении спектра. Для любой функции f G //(Sp(7')), голоморфной в окрестности спектра оператора Т из выполнено
/(Sp(T)) = Sp(/(T)).
<1 Пусть сначала дано, что A G Sp(/(T)) и ./' Х(Л) П Sp(T) = 0. Для точки г G (С\./' 1(Л))П<1от f положим д(Г) := (А—/(г))-1. Тогда д — голоморфная функция в окрестности Sp(T), причем р(А — /) = (А — f)g = 1с- Привлекая 8.2.3, видим, что A G res(/(T)). Последнее противоречит условию. Значит, 1(Л) Л8р(7’)	0, т. е. Sp(/(T)) С
/(Sp(T))-
Пусть теперь A G Sp(T). Положим
А / z =>g{z)=
Л — Z
Понятно, что д — голоморфная функция (особенность «устранена»). Из 8.2.3 получаем
S(T)(A - Т) = (А - T)S(T) = /(А) - /(Т).
Значит, если /(A) G res(/(T)), то оператор	f(X')')g(T') явля-
ется обратным к А — Т. Иными словами, A G res(T), что неверно. Итак, /(A) G С \ res(/(T)) = Sp(/(T)), т. е. /(Sp(T)) С Sp(/(T)). О
170
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
8.2.6.	Пуств К — непустой компакт; д : domp —> С — голоморфная функция, причем domp D К. Для f G //(р(/<)) положим р(/):= f ° 9- Тогда р — представление алгебры J^(p(K)) в алгебре ^(К). <[>
8.2.7.	Теорема Данфорда. Для всякой функции g : domp —> С, голоморфной в окрестности domp спектра Sp(T) оператора Т G В(Х), коммутативна следующая диаграмма представлений:
^(Sp(T))^-^(Sp(p(T)))
В(Х)
<1 Пусть f G J^(p(Sp(T))) и f : 3! С таковы, что f G f и 3 D p(Sp(T)) = Sp(p(T)). Пусть Fi — простая картина для пары (Sp(p(T)), 3) и /д — простая картина для пары (Sp(T), p-1(intFi)). Ясно, что при этом p(<9F2) С int/д и, кроме того, функция z2 (z, ~9(z2))~1 определена и голоморфна в intF2 для z, G dF,. Таким образом, по 8.2.3
Л(5(Т), z,) = ^- [ R(T’ dz2 (z, G dF,).
2m J Zi-g^)
9F2
Учитывая это соотношение, последовательно имеем
^g(T)f = /z [	=
2m J z, - g(T)
9F,
dF,	\ 9F2	/
= =
9F2 \ 9F,	/
8.2. Голоморфное функциональное исчисление
171
= 5-^ [ f(g(zz))R(T, z2)dz2 = ^Tg(f)
2т J
dF2
(так как g(z2) G intFi для z2 G dF2 по построению, то на основании классической теоремы Коши
/(5(^2)) = ^ [	,dzr. [>
2m J zr-g(z2)
dFt
8.2.8.	Замечание. Теорему Данфорда весьма часто называют теоремой о сложной функции и символически записывают так: f о д(Г) = №(Т)) для f е H(g(Sp(T))).
8.2.9.	Определение. Подмножество а в Sp(T) называют спектральным множеством или изолированной частью спектра Т, если как а, так и его дополнение а' := Sp (Т) \ а являются замкнутыми множествами.
8.2.10.	Пусть а — спектральное множество и — это (какая-нибудь) функция, равная единице в некоторой открытой окрестности а и нулю в некоторой открытой окрестности ст'. Пусть, далее,
Тогда Ра — проектор в X и (замкнутое) подпространство Ха := im Pa инвариантно относительно Т.
<1 Поскольку	то, по 8.2.3, хст(Т)2 = яа(Т). Помимо
этого, Т = ^т!с, где 1с  z z, откуда ТРСТ = Р^Т (ибо /с>77 = Хст Тс). Значит, в силу 2.2.9 (4), Ха инвариантно относительно Т. [>
8.2.11.	Определение. Оператор Рст из 8.2.10 называют проектором Рисса или же спектральным проектором, отвечающим спектральному множеству а.
8.2.12.	Теорема о разбиении спектра. Пусть a — спектральное множество оператора Т из В(X). Тогда имеет место разложение X в прямую сумму инвариантных подпространств X = Ха ф Ха>, приводящее Т к матричному виду
т С К 0 \
\ 0 J ’
172
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
где часть оператора Т в Ха и часть оператора Т в Ха> таковы, что
Sp(TCT) = a, Sp(7>) = a1.
<1 Поскольку Хст +	= xsp(T) = lc, то ввиду 8.2.3 и 8.2.10
следует установить только утверждение о спектре Та.
Из 8.2.5 и 8.2.3 получаем
<т U 0 = xCT7c(Sp(T)) = Sp (xcr7c(T)) = Sp /--J) =
= Sp(W^ ° WP) = Sp(PCTT).
При этом в матричном виде
рт Т° 0>1
о о J •
Пусть А — ненулевое комплексное число. Тогда
т. е. оператор А — РаТ необратим в том и только в том случае, если необратим оператор А — Та. Итак, Sp(TCT) \ 0 С Sp(PCTT) \ 0 = (<т U 0) \ 0 С <т.
Допустим, что 0 G Sp(TCT) и 0 а. Выберем открытые непересе-кающиеся множества и так, что а С 0 Жт и а' С и положим
, z .	1
z (Е	.— ,
z G => /г(г) := 0.
По 8.2.3, h(T)T = Th(T) = Ра. Более того, раз Лзр = то разложение X = Ха ф Ха> приводит h(T) и для части h(T)a оператора h(T) в Ха верно h(T)aTa = Tah(T)a = 1. Таким образом, Та обратим, т. е. 0 Sp(TCT). Получили противоречие, означающее, что 0 G а. Иными словами, выполнено Sp(TCT) С а.
Заметим теперь, что res(T) = res(TCT) П res(TCT'). Значит, по уже доказанному
Sp(T) = С \ res(T) = С \ (res(TCT) П res(7») =
= (С \ res(TCT)) U (С \ res(7») = Sp(TCT) U Sp(7>) C a U a’ = Sp(T).
Учитывая, что а П a' = 0, получаем требуемое. [>
8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации 173
8.2.13.	Теорема о разложении интеграла Рисса — Данфорда. Пусть a — спектральное множество оператора Т G В<Х). Разложение X = Ха ф Ха> приводит представление алгебры J^(Sp(T)) в X к прямой сумме представлений ДЗ и При этом коммутативны следующие диаграммы представлений:
J^(Sp(T))
J^(Sp(T))
Здесь жа (/) :=	хст'(/) := для f G Я(8р(Т)) — представле-
ния, порожденные сужениями f на а и п’ соответственно. <1 [>
8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации
8.3.1.	Пусть X, Y — банаховы пространства. Для линейного оператора К Е 3£(X, У) эквивалентны следующие утверждения:
(1)	оператор К компактен: К G JY(X, У);
(2)	существуют окрестность нуля U в X и компактное множество V в У такие, что K(U) С V;
(3)	образ при отображении К любого ограниченного множества в X относительно компактен в У;
(4)	образ любого ограниченного в X множества (при отображении К) вполне ограничен в У;
(5)	для каждой последовательности (тп)пек точек единичного шара Вх последовательность (Kxn)neN содержит некоторую фундаментальную подпоследовательность. <[>
8.3.2.	Теорема. Пусть X, У—банаховы пространства. Тогда (1) JY(X, У) —замкнутое подпространство В(X, У);
(2)	для любых банаховых пространств W и Z выполнено
B(Y, Z) о Jf(X, У) о B(W, X) С JY(W, Z),
174
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
т. е. если S G B(W, X), Т G B(Y, Z), а К G УУ(Х, У), то TKS & JK(W, zy
(3)	Г- G УУ(F) := 6У(IF, IF) для основного поля IF.
<1 To, что бУ(Х, У) — подпространство B(X, У), следует из 8.3.1. Если Kn G бУ(Х, У) и Кп —т К, то для £ > 0 при достаточно больших п имеем \\Кх — КпхЦ < \\К — Кп\\ ||т|| < £, как только х G Вх- Таким образом, КУВх) служит s-сетью (= Ве-сетью) для К(ВХУ Остается сослаться на 4.6.4, чтобы закончить доказательство замкнутости бУ(Х, У). Прочие утверждения теоремы ясны. [>
8.3.3.	Замечание. Теорему 8.3.2 часто выражают следующими словами: «класс всех компактных операторов представляет собой операторный идеал». При этом имеют в виду очевидную аналогию тому, что бУ(Х) := бУ(Х, X) представляет собой (двусторонний замкнутый) идеал в алгебре В(Х), т. е. Х(Х)оВ(Х) с ДГ(Х) и в(х) ojy(x) с jy(xy
8.3.4.	Теорема Калкина. Идеалы О, бУ(12), В(/г) составляют полный переченв замкнутвтх двусторонних идеалов алгебрвт В(12) ограниченных эндоморфизмов гильбертова пространства 12 
8.3.5.	Замечание. В связи с 8.3.4 ясно, что определенную роль в теории операторов должна играть алгебра В(Х) / бУ (X), называемая алгеброй Калкина (в X). Эту роль отчасти можно видеть в 8.5.
8.3.6.	Определение. Оператор Т G _$f(X, У) называют конечномерным, если Т G В(Х, У) и imT — конечномерное подпространство. При этом пишут Т G F(X, У).
8.3.7.	Конечномернвте операторы составляют линейную оболочку множества ограниченнвтх одномернвтх операторов:
Т G F(X, У) о
О (3a;i,.. . ,x'n G X', yi, .. . ,yn G У) Т = ^'к ® Ук- <И> к=1
8.3.8.	Определение. Пусть Q — (непустой) компакт в X. Для Т G В(Х, У) положим
\\T\\Q:= sup ||T(Q)||.
8.3. Идеал компактных операторов и проблема аппроксимации 175
Совокупность всех полунорм вида || • ||q в В(Х, У) называют мулъ-тинормой Аренса в В(Х, У) и обозначают kb(x,y)- Соответствующую топологию называют топологией равномерной сходимости на компактах.
8.3.9.	Теорема Гротендика. Пусть X — банахово пространство. Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	для каждых е > 0 и компактного множества Q в X найдется оператор Т G Т(Х) := F(X, X) такой, что ЦТ® — ®|| < £ для всех х е Q;
(2)	для любого банахова пространства W подпространство Т(1У, X) плотно в B(W, X) относительно мультинормы Аренса ^B(w,xy,
(3)	для любого банахова пространства У подпространство F(X, У) плотно в 11[Х, У) относительно мультинормы Аренса хв(х, Y) 
<1 Ясно, что (2) => (1) и (3) => (1). Поэтому установим, что (1) => (2) и (1) => (3).
(1)	=> (2): Если Т G B(W, X) и 0 / Q С W — компакт в W, то, по теореме Вейерштрасса 4.4.5, T(Q) — компакт в X и, стало быть, для £ > 0 по условию существует оператор Tq G Т(Х) такой, что ||Т0 - 7х||т(<?) = \\TqT - T\\q < е. Несомненно, что Т0Т G F(W, X).
(1)	=> (3): Пусть Т G В(Х, У). Если Т = 0, то доказывать ничего не надо. Пусть Т^О, £ > 0 и Q — непустой компакт в X. По условию существует оператор Tq G Т(Х) такой, что ||Tq — 7х||<? < еЦТЦ-1. Тогда ЦТТо - T\\Q < \\Т\\ ||Т0 - Ix\\q < е. Кроме того, ТТ0 G F(X, У). О
8.3.10.	Определение. Банахово пространство, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 8.3.9 (1)-8.3.9 (3), называют обладающим свойством аппроксимации.
8.3.11.	Критерий Гротендика. Банахово пространство X обладает свойством аппроксимации в том и только в том случае, если для каждого банахова пространства W выполнено clF(W, X) = JF(W, X), где замыкание вычислено относительно операторной нормы.
8.3.12.	Замечание. Долго считали (и, разумеется, не могли доказать), что все банаховы пространства обладают свойством ап
176
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
проксимации. Поэтому найденный П. Энфло на основе тонких рассуждений пример банахова пространства без свойства аппроксимации был воспринят в конце 70-х годов как сенсационный. В настоящее время известны многие контрпримеры такого рода.
8.3.13.	Контрпример Шанковского. Пространство В(12) не обладает свойством аппроксимации.
8.3.14.	Контрпримеры Дэви — Фигеля — Шанковского. Пространства 1р при р / 2 и с0 имеют замкнутые подпространства, не обладающие свойством аппроксимации.
8.4.	Теория Рисса — Шаудера
8.4.1.	Лемма об е-перпендикуляре. Пуств Xq — замкнутое подпространство банахова пространства X и X / Xq. Для любого е > Q в X имеется е-перпендикуляр к Xq, т. е. такой элемент xs G X, что ||же|| = 1 и d(xs, Хо):= inf ф|.ц({же} х Хо) > 1 - £.
<1 Пусть 1>еиж6Х\ Xq. Понятно, что d := d(x, Xq) > 0. В подпространстве Xq подыщем х', для которого ||т — т'|| < d/(l — е) (это возможно, ибо d/(l — е) > d). Положим хе := (х — х')||т — х'||“1. Тогда ||те|| = 1. Наконец, для х$ G Xq выполнено
8.4.2.	Критерий Рисса. Пуств X — банахово пространство. Тождественный оператор в X компактен в том и только в том случае, если X конечномерно.
<1 Нуждается в проверке лишь стрелка =>. Если известно, что X не является конечномерным пространством, то в X можно указать последовательность конечномерных подпространств Х± с Х2 С ... такую, что Xn+i У- Хп при всех n G N. На основании 8.4.1 существует последовательность (®„), для которой xn+i G Xn+i, ||®„+i|| = 1 и d(xn+i, Хп) > 1/2, т. е. последовательность 1/2-перпендикуляров к Хп в Xn+i. Ясно, что d(xm, х^) > 1/2 для m к. Иными словами, последовательность (хп) не содержит фундаментальной подпоследовательности. Значит, по 8.3.1 оператор 1х не является компактным. [>
8.4. Теория Рисса — Шаудера
177
8.4.3.	Пусть Т G JY(X, У), где X, Y — банаховы пространства. Оператор Т нормально разрешим в том и только в том случае, если Т конечномерен.
<1 Нуждается в проверке лишь импликация =>.
Пусть Yo := imT — замкнутое подпространство в У. По теореме Банаха о гомоморфизме 7.4.4 образ единичного шара Т(Вх) — окрестность нуля в Уф Кроме того, в силу компактности Т множество Т(Вх) относительно компактно в Уф Остается применить 8.4.2 к Уо. [>
8.4.4.	Пусть X — банахово пространство и К G JY(X). Тогда оператор 1 — К нормально разрешим.
<1 Положим Т := 1 — К. Пусть Х± := kerT. Несомненно, что Xi конечномерно по 8.4.2. В соответствии с 7.4.11 (1) конечномерное подпространство дополняемо. Обозначим Х2 топологическое дополнение Хф Учитывая, что Х2 — банахово пространство и равенство Т(Х) = Т(Х2), следует установить, что для некоторого t > 0 выполнено ||Тж|| > 1||ж|| для всех х G Х2. В противном случае найдется последовательность (хп) таких элементов, что ||жп|| =1, xn G Х2 и Тхп 0. Используя компактность К, можно считать, что (_Кжп) сходится. Положим у := lim Кхп. Тогда последовательность (жп) сходится к у, ибо у = Пт(Тжп + Кхп) = Нтжп. При этом Ту = ПтТжп = 0, т. е. у Е Х±. Кроме того, несомненно, у Е Х2. Итак, у Е Xi П Х2, т. е. у = 0. Получили противоречие (\\у\\ = lim ||ж„|| = 1). [>
8.4.5.	Для всякого £ > 0 вне круга радиуса е с центром в нуле может лежать лишь конечное множество собственных чисел компактного оператора.
<1 Допустим, что вопреки утверждаемому есть последовательность (Ап)пек различных собственных чисел оператора К, таких что | Ап| > £ для всех n G N. Пусть, далее, 0 xn G ker(An — К) — собственный вектор, отвечающий собственному числу А„. Установим прежде всего, что множество {xn : n t Н} линейно независимо. В самом деле, пусть уже известно, что линейно независимо множество {ж1;... ,хп}. Предположим, что жп+1 = оух^. Тогда 0 = (A„+i - К)ж„+1 = 52k=i ak(An+i - Афжь Следовательно, од = 0 для k := 1,..., п. Отсюда вытекает заведомо ложное равенство жп+1 = 0.
178
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
Положим Хп :=	, жп}). По определению Хк с Х-_> С
..., причем, как уже доказано, Хп+1 Хп для ng N. В силу 8.4.1 имеется последовательность (хп) такая, что xr,+1 G Xn+k, ||жп+1|| = 1 и d(xn+k, Хп) > 1/2. При m > к прямой подсчет показывает, что z:= (Am+i - К)тт+1 G Xm и z + Кхк G Xm + Хк С Хт. Значит,
||7^тт_|_| Кхк^ = ||	Н- Kxm+i + Am_|_|Tm_|_| Кхк^ =
— ||Am-|-iTm_|_i (z + Кхк)|| > |Am+i|d(a;m+i, Хт) > —.
Иными словами, последовательность не содержит фундаментальной подпоследовательности. [>
8.4.6.	Теорема Шаудера. Пуств X, Y — банаховв! пространства (над одним и тем же основнвтм полем F). Тогда
К G JY(X, У) О К' G JY(Y', X').
<1 =>: Заметим прежде всего, что отображение сужения х' ь-т'|вх осуществляет изометрию X' в 1х_(Вх')- Поэтому для установления относительной компактности К'(By) следует доказать относительную компактность множества V := {К'у'\вх : у' G By/}. Ввиду того, что для х G Вх и у’ Е By выполнено К'у'\вх(х) = у' о К\вх(х) = у'(Кх), рассмотрим компакт Q:= ciK(Bx) и отображение К : C(Q, F) —> lco(Bx), определенное соотношением Кд : х д(Кх). Несомненно, что оператор К ограничен, а следовательно, и непрерывен. Пусть теперь S := {y'\Q : у' G By}. Ясно, что S — равностепенно непрерывное и в то же время ограниченное подмножество C(Q, F). Значит, по теореме Асколи — Арцела 4.6.10, S относительно компактно. По теореме Вейерштрасса 4.4.5 заключаем, что относительно компактно множество K(S). Осталось заметить, что для у' G Ву/ выполнено Ky'\Q = К'у'\вх, т. е. K(S) = V.
•<=: Если К' G JK(Y', X'), то по уже доказанному выполняется К" G JK(X", У"). В силу леммы о двойном штриховании 7.6.6, К"\х = К. Отсюда вытекает, что оператор К компактный. [>
8.4.7.	Ненулеввте точки спектра компактного оператора изоли-рованвт (т. е. всякая такая точка составляет спектралвное множество) .
8.4. Теория Рисса — Шаудера
179
<1 Учитывая 8.4.4 и принцип штрихования последовательностей 7.6.13, видим, что любая ненулевая точка спектра компактного оператора является либо его собственным числом, либо собственным числом сопряженного оператора. Привлекая 8.4.5 и 8.4.6, заключаем, что вне круга ненулевого радиуса может лежать лишь конечное число точек спектра рассматриваемого оператора. [>
8.4.8.	Теорема Рисса — Шаудера. Спектр компактного оператора, заданного в бесконечномерном пространстве, содержит нулв. Ненулевые точки спектра — собственные числа, каждому из которых отвечает конечномерное собственное подпространство. При этом вне любого круга ненулевого радиуса с центром в нуле лежит конечное множество точек спектра рассматриваемого оператора.
<1 Для оператора К G JC (X) следует установить только импликацию
О /А е Sp(K) => ker(A - К) / 0.
Разберем сначала случай F := С. Отметим, что {А} — спектральное множество. Полагая р(г):= 1/z в некоторой окрестности А и р(г) := 0 для z в подходящей окрестности {А}', видим: муху = glc-Стало быть, на основании 8.2.3 и 8.2.10, Руху = д(К)К. В силу 8.3.2 (2), Руху G JC(X). Из 8.4.3 вытекает, что imP{Aj — конечномерное пространство. Осталось привлечь теорему о разбиении спектра 8.2.12.
В случае F:= > следует провести процесс «комплексификации». Именно, нужно рассмотреть в пространстве X2 умножение на элемент С, порожденное правилом i(x, у):= {—у, ж). Полученное комплексное векторное пространство обозначают X ф iX. В пространстве X ®iX следует ввести оператор К(х, у):= (Кх, Ку). Наделяя X ф iX подходящей нормой (ср. 7.3.2), видим, что оператор К компактен, причем A G Sp( А ). Значит, А — собственное число К по уже доказанному. Отсюда вытекает, что А — собственное число оператора К. [>
8.4.9.	Теорема. Пусть X — комплексное банахово пространство, a f : С —> С — голоморфная функция, обращающаяся в нуль лишь в нуле и такая, что для некоторого Т G В(Х) выполнено f(T) G JC(X). Тогда любая отличная от нуля точка А спектра Т изолирована и проектор Рисса Руху компактен.
180
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
<1 Допустим противное, т. е. пусть найдется последовательность (^п)пек различных точек Sp(T) такая, что Xn X / 0 (в частности, X бесконечномерно). Тогда f(Xn)	причем /(А) / 0
по условию. По теореме об отображении спектра 8.2.5, Sp(/(T)) = /(Sp(T)). Таким образом, по 8.4.8 для всех достаточно больших п выполнено f(Xn) = /(А). Отсюда вытекает, что /(г) = /(А) для всех z G С и, стало быть, f(T) = /(А). По критерию 8.4.2 в этом случае X конечномерно. Получили противоречие, означающее, что А — изолированная точка Sp(T). Полагая p(z) := ,/'(z) 1 в некоторой не содержащей нуля окрестности А, имеем, что д f = Следовательно, по теореме Гельфанда — Данфорда 8.2.3, F{x} = g(T)f(T), т. е. в силу 8.3.2 (2) проектор Рисса F{x] компактен. [>
8.4.10.	Замечание. Теорему 8.4.9 иногда называют «обобщенной теоремой Рисса — Шаудера».
8.5.	Нётеровы и фредгольмовы операторы
8.5.1.	Определение. Пусть X, Y — банаховы пространства (над одним и тем же основным полем F). Оператор Т G В(Х, У) называют нётперовым и пишут Т G У), если его ядро kerT:= 7’ 1(0) и коядро coker Т := У/imT конечномерны, т. е. если конечны величины
а(Т) := dim ker Т; /3(Т) := dim coker Т.
Целое число ind Т := а(Т) — /3(Т) называют индексом оператора Т.
8.5.2.	Определение. Нётеров оператор нулевого индекса называют фредголъмовым.
8.5.3.	Каждвш нётеров оператор нормалвно разрешим.
<1 Следует из критерия Като 7.4.20. 1>
8.5.4.	Для оператора Т G В(Х, У) выполнено
Т G У) о Т' е -Г(У', Xх).
При этом ind Т = — ind Т'.
<1 В силу 2.3.5 (6), 8.5.3, 5.5.4 и принципа штрихования 7.6.13 следующие пары сопряженных последовательностей:
0 ker Г X X У coker Г 0;
8.5. Нётеровы и фредгольмовы операторы
181
О «- (кегТ)' «- X' Z Y' «- (coker Т)'«- 0;
0 -> ker(T') -> Y' Z X' сокег(Т') -> 0;
0 «- (ker(T'))'	(сокег(Т'))'«- 0
одновременно точны. При этом а(Т) = @(Т') и /3(Т) = о(Т') (ср. 7.6.14). О
8.5.5.	Оператор фредголвмов в том и только в том случае, если Фредгольмов сопряженный к нему оператор.
<1 Это частный случай 8.5.4. [>
8.5.6.	Альтернатива Фредгольма. Для фредгольмова оператора Т имеет место одна из следующих двух взаимоисключающих возможностей.
(1)	Однородное уравнение Тх = 0 имеет только нулевое
решение. Однородное сопряженное уравнение Т'у' = 0 имеет только нулевое решение. Неоднородное уравнение Тх = у имеет, и притом единственное, решение при любой правой части. Неоднородное сопряженное уравнение Т'у' = х' имеет, и притом единственное, решение при любой правой части.
(2) Однородное уравнение Тх = 0 имеет ненулевое решение. Однородное сопряженное уравнение Т'у' = 0 имеет ненулевое решение. Однородное уравнение Тх = 0 имеет конечное число линейно независимых решений xi,... ,хп. Однородное сопряженное уравнение Т'у' = 0 имеет конечное число линейно независимых решений у[,... ,у'п. Неоднородное уравнение Тх = у разрешимо в том и только в том случае, если у'1(у) = ... = Уп(у) = 0- При этом общее решение х есть сумма частного решения xq неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, т. е. имеет вид
x = xQ + '^Xkxk (AteF).
k=l
182
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
Неоднородное сопряженное уравнение Т'у' = х' разрешимо в том и только в том случае, если = ... = х'(хп) = 0. При этом общее решение у' есть сумма частного решения у'о неоднородного сопряженного уравнения и общего решения однородного сопряженного уравнения, т. е. имеет вид
у' = Уо + 12 ^кУ'к (№gF)-к=1
<1 Переформулировка 8.5.5 с учетом леммы о полярах 7.6.11. 1>
8.5.7.	Примеры.
(1)	Если Т обратим, то Т Фредгольмов.
(2)	Пусть Т G	Fm). Пусть rankT:= dim imT —
рангТ. Тогда а(Т) =n — rankT; /3(Т) = m — rankT. Следовательно, Т G +(F", Fm) и ind Т = п - т.
(3)	Пусть X = Xi ф Д'2 и Т G В(Х). Допустим, что указанное разложение X в прямую сумму приводит Т к матричному виду
гр (Тд 0 \ к 0 т2 J '
Несомненно, что Т нётеров тогда и только тогда, когда нётеровы его части. При этом а(Т) = a(Ti) + a(T2), /3(Т) = /3(ТХ)+/3(Т2), т. е. ind Т = ind Ti + ind Т2. <[>
8.5.8.	Теорема Фредгольма. Пусть К G Jf(X). Оператор 1 — К Фредгольмов.
<1 В самом деле, разберем сначала случай F := С. Если 1 Sp(K), то 1 — К обратим и ind(l — К) = 0. Если же 1 G Sp(K), то в силу теоремы Рисса — Шаудера 8.4.8 и теоремы о разбиении спектра 8.2.12 найдется разложение X = Х± ф Х2 такое, что Х± конечномерно, 1 Sp(K2), где /\2 — часть К в Х2, при этом
1-кЛ1-К1 ° 0	1 - К2 J
По 8.5.7 (2), ind (1 — К^) = 0. По 8.5.7 (3) выполнено ind(l — К) = ind (1 — Кф) + ind (1 — Л2) = 0.
8.5. Нётеровы и фредгольмовы операторы
183
В случае F:= R проведем процесс «комплексификации» так же, как и в доказательстве 8.4.8. Именно, в пространстве X ф iX рассмотрим оператор К (ж, у) := (Кх. Ку). По уже установленному ind (1 — К) = 0. Остается заметить, что с учетом различия R и С выполнено а(1 — К) = о(1 — К) и /3(1 — К) = /3(1 —К). Окончательно ind (1 - К) = 0. О
8.5.9.	Определение. Пусть задан Т G В(Х, У). Оператор L G В(У, X) называют левым регуляризатором Т, если LT — 1 G бК(X). Оператор R G B(Y, X) называют правым регуляризатором Т, если TR — 1 G JK(Y). Оператор S G B(Y, X) называют почти обратным к Т Е В(Х, У), если S является одновременно левым и правым регуляризатором Т. Если у оператора Т есть почти обратный, то Т называют почти обратимым.
8.5.10.	Пусть L и R — соответственно левый и правый регуляризаторы Т. Тогда L — /? G бК(У, X).
< LT = 1 + Кх (Кх G ДУ(Х)) => LTR = R + KXR-
TR=1 + Ky (Ky G ДУ(У)) => LTR = L + LKY >
8.5.11.	Если L — левый регуляризатор T и К Е 6K(Y, X), то L + К также левый регуляризатор Т.
< (L + К)Т — 1 = (LT -1)+КТ G JT(X) О
8.5.12.	Оператор почти обратим в том и только в том случае, если у него есть правый и левый регуляризаторы.
<1 Нуждается в проверке лишь импликация •<=. Пусть L, R — соответственно левый и правый регуляризаторы Т. По 8.5.10, К := L — R G ДУ(У, X). Значит, по 8.5.11, R = L — К — левый регуляризатор Т. Итак, R — почти обратный к Т. [>
8.5.13.	Замечание. Из приведенного видно, что при X = У оператор S является почти обратным для Т в том и только в том случае, если <p(S)<p(T) = <p(T)<p(S) = 1, где : В(Х) —> В(Х)/ДУ(Х) — каноническое отображение в алгебру Калкина. Иными словами, левые регуляризаторы — это прообразы левых обратных в алгебре Калкина и т. п.
184
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
8.5.14.	Критерий Нетера. Оператор является нётероввтм в том и только в том случае, если он почти обратим.
<1 =>: Пусть Т G ^Г(Х, У). Привлекая принцип дополняемости 7.4.10, рассмотрим разложения X = kerT ф и У = imT ф У1 и конечномерные проекторы Р G В(Х) на kerT параллельно Х± и Q G В(У) на У1 параллельно imT. Ясно, что сужение := Т^ — обратимый оператор Т) : Х± imT. Положим S := Т1-1(1 — Q). Оператор S можно считать элементом пространства В (У, X). При этом несомненно, что ST + P=1hTS + Q = 1.
•<=: Пусть S — почти обратный к Т, т. е. ST = 1 + Кх и TS = 1 + Ку для подходящих компактных операторов Кх и Ку. Значит, kerT с ker(l + /<x), т. е. kerT конечномерно в силу конечномерности ker(l + Кх), обеспеченной 8.5.8. Помимо этого, imT D im(l + Ку), т. е. из-за фредгольмовости 1 + Ку образ Т имеет конечную коразмерность. [>
8.5.15.	Следствие. Если Т G ^Г(Х, У) и S G В(У, X) — почти обратный для Т, то S G ЛДУ, X). <[>
8.5.16.	Следствие. Произведение нётеровых операторов— это нётеров оператор.
<1 Суперпозиция почти обратных операторов (в должном порядке) — почти обратный оператор к суперпозиции. [>
8.5.17.	Пуств задана точная последовательность
0 > Xi > Х2 > ... > Хп_1 > Хп > о
конечномерных векторных пространств. Тогда имеет место тождество Эйлера
п
52(-l)fedimXfe =0.
k=l
<1 При n = 1 точность последовательности 0 —> Х± 0 означает, что Xi = 0, а при п = 2 точность 0 —> Х± Х2 —> 0 эквивалентна изоморфности Xi и Х2 (см. 2.3.5 (4)). Таким образом, тождество Эйлера при n:= 1, 2 несомненно.
Допустим теперь, что для m < п — 1, где п > 2, требуемое уже установлено. Точную последовательность
0 Хх Х2 —
Хп—2
Хп — 1
— 0
8.5. Нётеровы и фредгольмовы операторы
185
можно сузить до точной последовательности
О Х1 Х2	Х„_2 Т"~2> кегТ„-1 0.
По допущению выполнено
l)fe dimXfe + ( — 1)” 1 dimkerTn-i = 0.
к=1
Помимо этого, поскольку Tn~i является эпиморфизмом, имеем
dimXn_1 = dim ker Tn-! + dimX„.
Окончательно получаем
0 = (-l)fe dim Хк + (-1)” 1 (dim Хп^ - dim Х„) = к=1
п
= y2(-l)fedimXfe. >
к=1
8.5.18.	Теорема Аткинсона. Индекс произведения нётеровых операторов равен сумме индексов сомножителей.
< Пусть Т G ^У(Х, У) и S G ^У(У, Z). В силу 8.5.16, ST G ^У(Х, Z). Привлекая лемму о снежинке 2.3.16, имеем точную последовательность конечномерных пространств
0 ker Т ker ST ker S coker Т coker ST coker S 0.
На основании 8.5.17
o(T) - o(ST) + o(S) - /3(T) + /3(ST) - /3(5) = 0,
откуда ind (ST) = ind S + ind T. [>
8.5.19.	Следствие. Пуств T — нётеров и S — почти обратный к Т. Тогда ind Т = — ind S.
<1 ind (ST) = ind (1 + К) для некоторого компактного оператора К. По теореме 8.5.8, 1 + К — Фредгольмов оператор. [>
186
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
8.5.20.	Теорема о компактных возмущениях. Нётеровоств и индекс сохраняются при компактных возмущениях: если даны Т G ^У(Х, У) и К G JY(X, У), то Г + К G ^У(Х, У) и ind (Т + К) = ind Т.
<1 Пусть S — почти обратный к Т, т. е. для Кх G JK(X) и Ку G SK(У) выполнено
ST=1 + KX; TS=1 + KY
(существование S обеспечивает 8.5.14). Ясно, что
S(T + К) = ST + SK = 1 + Кх + SK G 1 + JT(X);
(Т + K)S = TS + KS = 1 + KY + KS G 1 + ^Г(У),
т. e. S — почти обратный к Т + К. В силу 8.5.14, Т + К G У). При этом из 8.5.19 следуют равенства ind (Т+К) = — ind S и ind Т = — ind S. [>
8.5.21.	Теорема об ограниченных возмущениях. Нётеровоств и индекс сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях: множество ^Х(Х, У) открыто в пространстве ограниченнвтх операторов, причем индекс ind : ^Х(Х, У) —> Z — непрерывная функция.
<1 Пусть Т G ^Х(Х, У). По 8.5.14 найдутся операторы S G В(У, Х),Кх G JT(X) и Ку G JT(Y) такие, что
ST = 1+KX; TS=1 + KY.
Если S = 0, то пространства X и У конечномерны по критерию Рисса 8.4.2, т. е. доказывать нечего — достаточно сослаться на 8.5.7 (2). Если же S / 0, то при всех V G В(Х, У), для которых ||У|| < 1/||S||, из неравенства 5.6.1 вытекает: ||SV|| < 1 и ||VS|| < 1. Значит, в силу 5.6.10 операторы 1 + SV и 1 + VS обратимы в В(Х) и в В(У) соответственно.
Имеем
(1 + SV)~1S(T + V) = (l + SV^^l + Kx + SV) =
= 1 + (1 + SV)1KX G 1 + JY(X),
8.5. Нётеровы и фредгольмовы операторы
187
т. е. (1 + SVj^S — левый регуляризатор Т + V. Аналогично проверяется, что S(1 + VS) 1 — правый регуляризатор Т + V. В самом деле,
(Т + V)S(1 + VS) 1 = (1 + KY + VS)(1 + VS) 1 =
= 1 + KY(1 + VS) 1 G 1 + ЛУ(У).
По 8.5.12, T + V почти обратим. На основании 8.5.14, Т + V G <уУ(Х, У). Этим доказана открытость ^У(Х, У). Учитывая, что ре-гуляризаторы нётерова оператора почти обратны к нему (ср. 8.5.12), из 8.5.19 и 8.5.18 получаем
ind (Т + V) = - ind ((1 + SV) XS) =
= — ind (1 + SV) 1 — ind S = — ind S = ind T
(ибо (1 + SV) 1 Фредгольмов no 8.5.7 (1)). Последнее и означает непрерывность индекса. [>
8.5.22. Критерий Никольского. Оператор Фредгольмов в том и только в том случае, если он представляет собой сумму обратимого и компактного операторов.
<1 =>: Пусть Т G ^У(Х, У) и ind Т = 0. Рассмотрим разложения в прямые суммы банаховых пространств X = Х± ф ker Т и У = im Т ф У1. Несомненно, что оператор Т\ — след оператора Т на Xi — осуществляет изоморфизм Х± и imT. Помимо этого, в силу 8.5.5, dim У = /3(Т) = а(Т), т. е. существует естественный изоморфизм Id : kerT —> Yi. Таким образом, Т допускает матричное представление
гр	(Ti 0\_/Ti 0 \ /О 0	\
\0 0;\0 Id у	+ уО -Id	у	'
«=: Если	Т:= S + К, где К G JY(X,	У) и S 1 G	В(У,	X), то, по
8.5.20 и 8.5.7	(1),	ind Т = ind (S + К) = ind S = 0. О
8.5.23. Замечание. Пусть Inv(X, У) — множество обратимых операторов из X в У (это множество открыто по теореме Банаха об обратимых операторах 5.6.12). Обозначим ^(Х, У) множество
188
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
всех фредгольмовых операторов, действующих из X в Y. Критерий Никольского теперь можно переписать в следующей форме:
^(Х, У) = Inv(X, Y) + JT(X, У).
Как видно из доказательства 8.5.22, можно утверждать также, что
^(Х, У) = Inv(X, У) + F(X, У),
где, как обычно, F(X, У) — подпространство конечномерных операторов в пространстве В(Х, У). <[>
У пражнения
8.1.	Изучить интеграл Рисса — Данфорда в конечномерном пространстве.
8.2.	Описать ядро интеграла Рисса — Данфорда.
8.3.	Пусть (/п) — функции, голоморфные в окрестности U спектра оператора Т. Доказать, что из равномерной сходимости (/п) к нулю на U вытекает сходимость (fn(T)) к нулю в операторной норме.
8.4.	Пусть ст — изолированная часть спектра оператора Т. Допустим, что часть а' := Sp(T) \ <т отделяется от <т окружностью с центром в а и радиусом г таким образом, что ст С {z G С : \z — а| < г}. Доказать, что для проектора Рисса Ро- выполнено
P<7 = lim(l-^n(T-a)n)1;
72
х g im(FCT) О limsup ||(а — Т)"гс|| ~ < г. п
8.5.	Выяснить, при каких условиях компактен проектор.
8.6.	Доказать, что каждое замкнутое подпространство, содержащееся в области значения компактного оператора в банаховом пространстве, конечномерно.
8.7.	Доказать, что линейный оператор переводит каждое замкнутое линейное подпространство в замкнутое множество в том и только в том случае, если этот оператор нормально разрешим и его ядро конечномерно или коконечномерно (имеет конечномерное алгебраическое дополнение).
8.8.	Пусть 1 < р < г < +оо. Доказать, что каждый ограниченный оператор из 1Г в 1р и из со в 1р является компактным.
Упражнения
189
8.9.	Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Для оператора Т из В(Н) и гильбертова базиса (еп) норму Гильберта — Шмидта определяют соотношением
/ оо	\ 1/2
im|2:= £||Те„||2	.
\п=1	/
(Проверить корректность!) Операторы с конечной нормой Гильберта — Шмидта называют операторами Гильберта — Шмидта. Установить, что оператор Т является оператором Гильберта — Шмидта в том и только в том случае, если он компактен и при этом Е“=1 А2 < +<х>, где (А„) — собственные числа оператора (у* jrjl/2.
8.10.	Пусть Т — некоторый эндоморфизм. Тогда
im(T°) D im(Tx) D im(T2) D ... .
Если существует номер п такой, что im(Tn) = im(Tn+1), то говорят, что Т имеет конечный спуск. Наименьший номер п начала стабилизации называют спуском Т и обозначают d(T). Аналогично для ядер
ker(T°) С кеДТ1) С кег(Т2) С ...
вводят понятие подъема и обозначение а(Т). Установить, что у оператора Т с конечными спуском и подъемом величины а(Т) и d(T) совпадают.
8.11.	Оператор Т называют оператором Рисса — Шаудера, если Т нётеров и имеет конечные спуск и подъем. Доказать, что оператор Т является оператором Рисса — Шаудера в том и только в том случае, если его можно представить в виде Т = U + V, где U обратим, V конечномерен (или компактен) и коммутирует с U.
8.12.	Пусть Т — ограниченный эндоморфизм банахова пространства X с конечными спуском и подъемом г := а(Т) = d(T). Доказать, что подпространства im(Tr) и ker(Tr) замкнуты, разложение
X = ker(Tr) eim(Tr)
приводит Т и след оператора Т на im(Tr) обратим.
8.13.	Пусть Т — нормально разрешимый оператор. Если конечна одна из величин
ск(Т) := dim ker Г, (3(Т) := dim coker Г, то Т называют полуфредголъмовым (реже полунётеровым). Положим
Ф+(Х) := {Т Е В(Х) : im TG С1(Х), а(Т) < +оо};
Ф_(Х) := {Т Е В(Х) : imT € С1(Х), Д(Т) < +оо}.
Доказать, что
Т€Ф+(Х)^Т/ бФ-(Х');
Т € Ф_(Х)	€ Ф+(Х').
8.14.	Пусть Т — ограниченный эндоморфизм. Доказать, что Т входит в Ф_|_(Л’) в том и только в том случае, если для любого ограниченного, но не вполне ограниченного множества U его образ T(U) не будет вполне ограниченным множеством в X.
190
Гл. 8. Операторы в банаховых пространствах
8.15.	Ограниченный эндоморфизм Т банахова пространства называют оператором Рисса, если для каждого комплексного ненулевого А оператор (А — Т) нётеров. Доказать, что Т является оператором Рисса в том и только в том случае, если для любого A G С, А 0 выполнено:
(а)	оператор (А — Т) имеет конечные спуск и подъем;
(б)	ядро (А — Т)к конечномерно для каждого к G N;
(в)	образ (А — Т)к имеет конечный дефект при к G N,
и, кроме того, ненулевые точки спектра Т являются собственными числами, а нуль служит единственно возможной точкой накопления спектра Т (= вне каждого круга с центром в нуле лежит конечное число точек спектра).
8.16.	Установить изометрические изоморфизмы: (Х/Y)' ~ У^ и X'/Y1- ~ Y' для таких банаховых пространств X и У, что У вложено в X.
8.17.	Доказать, что для нормального оператора Т в гильбертовом пространстве и голоморфной функции f € H(Sp(T)) оператор f(T) нормален.
8.18.	Убедиться, что непрерывный эндоморфизм гильбертова пространства является оператором Рисса в том и только в том случае, если он представляет собой сумму компактного и квазинильпотентного операторов (квазинильпотентность означает тривиальность спектрального радиуса).
8.19.	Пусть А, В — два фредгольмовых оператора в В(Х, У). Если ind А = ind В, то имеется жорданова дуга, соединяющая А и В в пространстве В(Х, У).
Глава 9
Экскурс в общую топологию
9.1.	Предтопологии и топологии
9.1.1.	Определение. Пусть X — некоторое множество. Отображение т : X ^(^(Х)) называют предтопологией на X, если
(1)	х G X => т(ж) — фильтр в X;
(2)	х G X => т(х) С Й1{ж}.
Элементы т(х) называют (пред) окрестностями х. Пару (X, т) (а часто и множество X) называют предтопологическим пространством.
9.1.2.	Определение. Пусть ^(Х) — совокупность всех пред-топологий на X. Если т^, т--> G ^У(Х), то говорят, что т\ сильнее т--> (и пишут Ti > Т2) при выполнении условия: х G X => л (ж) D Т2(ж).
9.1.3.	Множество ^(Х) с отношением «сильнее» представляет собой полную решетку.
<1 Если X = 0, то ^7(Х) = {0} и доказывать ничего не надо. Если же X 0, то следует сослаться на 1.3.13. 1>
9.1.4.	Определение. Множество G в X называют открытым, если оно является (пред) окрестностью каждой своей точки (символически: G G Ор(т) О (\/ж G G)(G G т(ж))). Множество F в X называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически: FgC1(t)oX\FgOP(t)).
9.1.5.	Объединение любого семейства и пересечение конечного семейства открытых множеств суть множества открытые. Пересече
192
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
ние любого семейства и объединение конечного семейства замкнутых множеств суть множества замкнутые. <[>
9.1.6.	Пусть (X, г)—предтопологическое пространство. Если х Е X, то положим
U G «(т)(ж) О (3 V G Ор(т)) х G V & U D V.
Отображение t(r) : х t(r)(x) — предтопология на X. <[>
9.1.7.	Определение. Предтопологию т на X называют топологией, если т = t(r). Пару (X, г) (а часто и множество X) в этом случае называют топологическим пространством. Множество всех топологий на X обозначают символом Т(Х).
9.1.8.	Примеры.
(1)	Метрическая топология.
(2)	Топология мультинормированного пространства.
(3)	Пусть то := inf^(X). Ясно, что то(ж) = {X} для х G X. Значит, Ор(то) = {0, X} и, следовательно, то = t(ro), т. е. то — топология. Эту топологию называют тривиальной или антидискретной.
(4)	Пусть т° := sup ^(Х). Ясно, что т°(ж) = Й1{ж} для х G X. Значит, Ор(т°) = 2х и, следовательно, т° = tty0), т. е. т° — топология. Эту топологию называют дискретной.
(5)	Пусть Ор — совокупность подмножеств в X, выдерживающая образование объединения любого и пересечения конечного семейств. Тогда существует, и притом единственная, топология т на X такая, что Ор(т) = Ор.
<1 Положим т(ж) := fil {V’ G Op : х G V} для х G X (в случае X = 0 доказывать нечего). Отметим, что т(ж) G 0в силу того, что пересечение пустого семейства совпадает с X (ср.: inf 0 = +оо). Из построения выводим, что t(r) = т и при этом Ор С Ор(т). Если же G G Ор(т), то G = U{V : V G Op, V с G} и, стало быть, G G Ор по условию. Утверждение об единственности не вызывает сомнений. [>
9.1.9.	Пусть отображение t: ^(Х) —> ^(Х) определено правилом t: т \-^> t(r). Тогда
(1)	imt = Т(Х), т. е. г G ^(Х) => t(r) G Т(Х);
9.1. Пред топологии и топологии
193
(2)	П < тъ => t(n) < t(r2) (л, т2 G ^(Х));
(3)	tot = t;
(4)	т е ^(Х) t(r) < г;
(5)	Ор(т) = Ор(«(т)) (г G ^(Х)).
<1 Включение Ор(т) D Ор(1(т)) справедливо потому, что быть открытым множеством относительно т легче. Обратное включение Ор(т) С Ор(1(т)) следует из определения 4(т). Равенство Ор(т) = Ор(1(т)) делает все очевидным. [>
9.1.10.	Предтопология т является топологией в X в том и только в том случае, если для х Е X выполнено
(yU G т(т))(3 V G т(т) & V С U) (Vy)(y G V => V G т(у)).
<1 Вытекает из 9.1.9 (5). 1>
9.1.11.	Пусть т1; т2 G Т(Х). Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	И > т2;
(2)	Ор(л) D Ор(т2);
(3)	Cl(7i) D С1(т2).
9.1.12.	Замечание. Как видно из 9.1.8 (5) и 9.1.11, топология пространства однозначно определена совокупностью всех своих открытых множеств. Поэтому множество Ор(т) также называют топологией пространства X. В частности, совокупность открытых множеств предтопологического пространства (X, т) определяет в X структуру топологического пространства (X, 4(т)) с тем же запасом открытых множеств. В этой связи топологию 4(т) обычно называют топологией, ассоциированной с предтопологией т.
9.1.13.	Теорема. Множество Т(Х) топологий на X с отношением «сильнее» представляет собой полную решетку. При этом для любого множества S в Т(Х) выполнено
8ИрТ(х) & = SUP^(X) &
<1 Имеем
£(sup^(X) S) > SUP27(X) > snp^(x) & > ^(8иР27(Х)
Таким образом, т := sup^jq S входит в Т(Х). Ясно, что т > S. Помимо этого, если ть > S и ть G Т(Х), то ть > т и, стало быть, т = supT(-jq S. Осталось сослаться на 1.2.14. [>
194
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
9.1.14.	Замечание. Для точной нижней границы явная формула сложнее:
infT(x)	<=0-
В то же время, если в соответствии с 9.1.12 топологии заданы указанием систем открытых множеств, то ситуация упрощается:
U G Op(infT(x) <о) О (Vt G <f) Гб Ор(т).
Иными словами,
Op(infT(X) = П 0р(т)-
В этой связи часто говорят и о пересечении топологий (а не только об их точной нижней границе). <[>
9.2.	Непрерывность
9.2.1.	Замечание. Наличие топологии в пространстве, очевидно, позволяет говорить о таких вещах, как внутренность и замыкание множеств, сходимость фильтров и обобщенных последовательностей и т. и. Этим обстоятельством мы уже пользовались при знакомстве с мультинормированными пространствами. Отметим полноты ради, что в топологическом пространстве справедливы следующие аналоги 4.1.19 и 4.2.1.
9.2.2.	Теорема Биркгофа. Для непустого множества и точки топологического пространства эквивалентны утверждения:
(1)	данная точка есть точка прикосновения множества;
(2)	существует некоторый фильтр, содержащий множество и сходящийся к данной точке;
(3)	существует обобщенная последовательность элементов множества, сходящаяся к данной точке. <1 [>
9.2.3.	Для отображения f одного топологического пространства в другое эквивалентны утверждения:
(1)	прообраз открытого множества открыт;
(2)	прообраз замкнутого множества замкнут;
(3)	образ фильтра окрестностей произвольной точки х тоньше чем фильтр окрестностей точки f(x);
9.2. Непрерывность
195
(4)	для произвольной точки х каждый фильтр, сходящийся к х, отображение f переводит в фильтр, сходящийся к f(x);
(5)	обобщенные последовательности, сходящиеся к произвольной точке х, отображение f переводит в обобщенные последовательности, сходящиеся к /(ж). <[>
9.2.4.	Определение. Отображение, действующее из одного топологического пространства в другое, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 9.2.3 (1)-9.2.3 (5), называют непрерывным.
9.2.5.	Замечание. Если f : (X, тх) (Y, ту) и 9.2.3 (5) выполнено для фиксированной точки х G X, то иногда говорят, что f непрерывно в точке х (ср. 4.2.2). Нужно видеть, что отличие понятия непрерывности в точке от общего понятия непрерывности условно. Именно, если положить тж(ж) := тх(х) и тх(х) := fil {ж} для ж G X, х / ж, то непрерывность f в точке ж (относительно топологии тх в X) равносильна непрерывности f : (X, тх) (У, ту) (в каждой точке пространства X с топологией тх). <[>
9.2.6.	Пусть Ti, Т2 G Т(Х). Тогда т± > т--> в том и только в том случае, если lx : (X, л) —> (X, т%) непрерывно. <[>
9.2.7.	Пусть f : (X, т) (Y, ш) — непрерывное отображение и ti G Т(Х) и G Т(У) таковы, что т\ > т и <х> > Тогда / : (X, 71) —» (У, ж>1) непрерывно.
<1 Имеем коммутативную диаграмму
(Х,т)	X	(У,Ж>)
1х Т	Uy
(,Х,Т1)	М (y,W1)
Осталось отметить, что суперпозиция непрерывных отображений непрерывна. [>
9.2.8.	Теорема о прообразе топологии. Пусть f : X —> (У, ш). Положим
Tq:= {г G Т(Х) : f : (X, т) (У, w) непрерывно}.
Тогда топология J 1Ы) := inf То входит в То.
196
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
<1 Из 9.2.3 (1) вытекает
т G То О G X => /“^(/(ж))) С т(ж)).
Пусть т(ж) := ./'	Несомненно, что t(r) = т. Помимо
этого, /(т(ж)) = /(/"^(/(ж)))) D w(/(t)), т. е. т G То по 9.2.3 (3). Таким образом, выполнено:	= т. [>
9.2.9.	Определение. Топологию /Чш) называют прообразом топологии ш при отображении f.
9.2.10.	Замечание. Теорему 9.2.8 часто выражают словами: «прообраз топологии при данном отображении — это слабейшая топология в области определения, в которой отображение непрерывно». При этом, как видно, например, из 9.1.14, открытые множества в прообразе топологии — это прообразы открытых множеств. В частности, (ж^ —> ж в ./' О (/(ж^) —> /(ж) в w); аналогично
—> ж в I 1Ч)) О (/(^) —> /(ж) в w) для фильтра &. <[>
9.2.11.	Теорема об образе топологии. Пусть f : (X, г) —> Y. Положим CIq:= {ж G Т(У) : f : (X, г) —> (У, w) непрерывно}. Тогда топология f(r):= sup Q() входит в П().
<1 В силу 9.1.13 для у G У выполнено
Дт)(у) = (suPt(y) ^о)(у) = (sup^(y) П0)(у) = sup{w(y) : w G По}.
На основании 9.2.3 (3)
ш G По О (ж G X => /(т(ж)) D и?(/(ж))).
Сопоставляя приведенные формулы, видим, что f(r) G По- >
9.2.12.	Определение. Топологию /(т) называют образом топологии т при отображении f.
9.2.13.	Замечание. Теорему 9.2.11 часто выражают словами: «образ топологии при данном отображении — это сильнейшая топология в области прибытия, в которой отображение непрерывно».
9.2.14.	Теорема. Пусть (fa : X —> (1^, w^))^6S — семейство отображений. Пусть, далее, т := supc,-s	Тогда т — сла-
бейшая (= наименьшая) топология в X, в которой непрерывны все отображения fa (£ G S).
9.3. Типы топологических пространств	197
<1 Привлекая 9.2.8, имеем
(Л : (X, г) -> (Уе, we) непрерывно) О т >	>
9.2.15.	Теорема. Пусть (Д^ : (Х?, т?) —> У)?е5 — семейство отображений. Пусть, далее, ш := т1^6дД(т^). Тогда ш — сильнейшая (= наибольшая) топология в Y, в которой непрерывны все отображения fa (£ GS).
<1 Апеллируя к 9.2.11, заключаем:
(Л = (^е, те) -> (X, ^) непрерывно) о ш <	>
9.2.16.	Замечание. Утверждения 9.2.14 и 9.2.15 часто называют теоремами о задании топологии требованием непрерывности семейства отображений.
9.2.17.	Примеры.
(1)	Пусть (X, г) — топологическое пространство и Хо — подмножество в X. Обозначим / : Xq —> X вложение Xq в X. Пусть Tq := л1 (г). Топологию tq называют индуцированной (т в Xq), а пространство (Xq, tq) — подпространством (X, т).
(2)	Пусть (А'с,тс)сГд — это семейство топологических пространств. Пусть, далее, Х:= Х$ — произведение семейства множеств (A'c)cfg. Положим т:= sup^eS Рг^1 (т^), где Pi® : X —> АХ — координатный проектор, Pit® = зт (с t Е), Топологию т называют топологией произведения, или произведением топологий (Tf)fes, или тихоновской топологией. Пространство (X, т) называют тихоновским произведением рассматриваемых топологических пространств. В частности, если АА := [0, 1] для всех £ € Е, то Х:= [0, 1]= (с тихоновской топологией) называют тихоновским кубом. При S:= РГ говорят о гильбертовом кирпиче.
9.3.	Типы топологических пространств
9.3.1.	Для топологического пространства эквивалентны следующие утверждения:
(1)	одноточечные множества замкнуты;
(2)	пересечение всех окрестностей каждой точки пространства состоит только из этой точки;
(3)	у каждой из любых двух точек пространства есть окрестность, не содержащая другой точки.
198
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
<1 Для доказательства достаточно заметить, что
у G с1{ж} О (W G т(у)) х G V О х G П{Е : V G т(у)},
где х, у — точки топологического пространства (X, т). [>
9.3.2.	Определение. Топологическое пространство, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 9.3.1 (1)-9.3.1 (3), называют отделимым или Т^-пространством. Топологию Г)-пространства называют отделимой (реже — Т\-топологией, еще реже — достижимой топологией).
9.3.3.	Замечание. Часто образно говорят: «Т)-пространство — это пространство с замкнутыми точками».
9.3.4.	Для топологического пространства эквивалентны следующие утверждения:
(1)	каждый фильтр имеет не более одного предела;
(2)	пересечение всех замкнутых окрестностей произвольной точки пространства состоит только из этой точки;
(3)	у любых двух точек пространства имеются непересе-кающиеся окрестности.
<1 (1) => (2): Если у G ГЪет(ж) cl U, то для всякого V G т(у) будет, что U П V 0, как только U G т(ж). Таким образом, есть точная верхняя граница & := т(х) V т(у). Несомненно, .?^жи.?^у. По условию имеем х = у.
(2)	=> (3): Пусть х, у Е X, х / у (если таких точек нет, то либо X = 0, либо X состоит из одной точки и доказывать ничего не надо). Найдется окрестность U G т(ж) такая, что U = cl Г и у / U. Значит, дополнение V множества U до X открыто. Помимо этого, ГП V = 0.
(3)	=> (1): Пусть & — фильтр в X. Если ж и Г ^ у, то & D т(ж) и & D т(у). Стало быть, для U G т(ж) и V G т(у) выполнено U П V / 0. Последнее означает, что х = у. [>
9.3.5.	Определение. Топологическое пространство, удовлетворяющее одному (а потому и любому) из эквивалентных условий 9.3.4 (1)-9.3.4 (3), называют хаусдорфовым или Тъ-пространством. Естественный смысл вкладывают в термин «хаусдорфова топология».
9.3. Типы топологических пространств
199
9.3.6.	Замечание. Часто образно говорят: «72-пространство — это пространство, в котором предел единствен».
9.3.7.	Определение. Пусть U, V — множества в топологическом пространстве. Говорят, что V — окрестность U, если int V D U.
9.3.8.	Для топологического пространства эквивалентны следующие утверждения:
(1)	пересечение всех замкнутых окрестностей произвольного замкнутого множества состоит только из элементов этого множества;
(2)	фильтр окрестностей произвольной точки имеет базис, состоящий из замкнутых множеств;
(3)	у любой точки и у любого замкнутого множества, не содержащего этой точки, имеются непересекающиеся окрестности.
<1 (1) => (2): Если х G X и U G т(ж), то V:= X \ int U замкнуто и х V. По условию найдется множество F G С1(т), для которого х F и intF D V. Положим G:= X \ F. Ясно, что G G т(х). При этом G С X \ int F = cl(X \ int F) С X \ V С int U С U. Следовательно, cl G с U.
(2)	=> (3): Если х € X и F G С1(т), причем х F, то X\F G т(х). Стало быть, имеется окрестность U = dU G т(ж), содержащаяся в X\F. Таким образом, X\U — окрестность F, не пересекающаяся с U.
(3)	=> (1): Если F G С1(т) и int G D F => у G cl G, то для каждого U G т(у) и всякой окрестности G множества F выполнено UOG / 0. Последнее означает, что у G F. [>
9.3.9.	Определение. Топологическое пространство, удовлетворяющее одному (а значит, и любому) из эквивалентных условий 9.3.8 (1)-9.3.8 (3), называют Т3-пространством. Отделимое Тз-про-странство называют регулярным.
9.3.10.	Малая лемма Урысона. Для топологического пространства эквивалентны утверждения:
(1)	фильтр окрестностей каждого непустого замкнутого множества имеет базис, состоящий из замкнутых множеств;
200
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
(2)	у произвольных двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности.
<1 (1) => (2): Пусть Fi, F2 — замкнутые множества пространства X, причем Fi AF2 = 0. Пусть G:= X\F\. Очевидно, G открыто и G D F2. Если F2 = 0, то доказывать ничего не надо. Значит, можно считать, что F2 0. Тогда найдется замкнутое множество V2 такое, что G D V2 D int V2 D F2. Положим Ц := X \ V2. Ясно, что Vi открыто, Ц П V2 = 0. При этом Ц D X \ G = X \ (X \ Fi) = Fi.
(2)	=> (1): Пусть F = clF, G = int G и G D F. Положим Fi := X\ G. Тогда Fi = cl Fi и, стало быть, имеются открытые множества U и Г1, для которых U П Г1 =0, причем F С U и Fi С U\. Наконец, cl U С X \ Ti С X \ Fr = G. >
9.3.11.	Определение. Топологическое пространство, удовлетворяющее одному (а тогда и другому) из эквивалентных условий 9.3.10 (1), 9.3.10 (2), называют Т^-простпранстпвом. Отделимое Т4-пространство называют нормальным.
9.3.12.	Лемма о непрерывности функции, заданной лебеговыми множествами. Пусть множество Т плотно в & и t Ut (t G Т) — семейство подмножеств топологического пространства X. Существует, и притом единственная, непрерывная функция f : X Ж такая, что
{f<t}cutc{f<t} (teT)
в том и только в том случае, если
t, s еТ, t < s => cl Ut С int Us.
<1 =>: При t < s ввиду замкнутости {f < t} и открытости {f < s} справедливы включения
cl Ut C {f < t} C {f < s} C int Us.
•<=: Так как Ut c cl Ut c int Us C Us при t < s, то семейство 11—. Ut (t G T) возрастает. Поэтому существование f следует из 3.8.2 (а единственность — из 3.8.4). Рассмотрим семейства t 1— Vt := c[Ut и t 1—> Wt := intUt. Эти семейства возрастают. Значит, вновь применяя 3.8.2, найдем функции g, h : X R такие, что для всех t G Т выполнено
{д < t} с Vt с {д < t}, {h < t} с Wt с {h < t}.
9.3. Типы топологических пространств
201
Если t, s Е Т, t < s, то ввиду 3.8.3
wt = int гл с ut С us f < h-
Vt = dUt C int Us = Ws => h < g; UtCUsCdUs = Vs^g<f.
Окончательно f = g = h. Учитывая 3.8.4 и 9.1.5, для t G R имеем
{f < t} = {h < t} = U{WS : s <t, s GT} G Op(rx):
{f < t} = {g < t} = 0{K : t <s, s GT} g C1(tx).
Указанные вхождения очевидно обеспечивают непрерывность f. [>
9.3.13.	Большая лемма Урысона. Пусть X — некоторое '['^-пространство. Пусть, далее, F — замкнутое множество в X и G — его окрестность. Тогда существует непрерывная функция f : X [0, 1] такая, что /(ж) = 0 при х Е F и /(ж) = 1 при ж G.
<1 Положим Ut := 0 при t < 0 и Ut := X при t > 1. Следует определить Ut для точек из множества Т «двоично-рациональных точек отрезка [0, 1]», т. е. Т := ипекТп, где Tn := {A'2”+1 : к := 0, 1,..., 2” г}, так, чтобы для семейства t Ut (t G Т := Т U (R \ [0, 1])) были выполнены условия 9.3.12. Соответствующее построение проведем по индукции.
Если t G Ti, т. е. t G {0, 1}, то полагаем Uo := F, := G. Допустим теперь, что для t G Тп при n > 1 множество Ut построено, причем cl Ut С int U8, как только t, s ЕТП и t < s. Возьмем t G I'n+v и найдем ближайшие к t точки в Тп, т. е.
:= sup{s G Tn : s < t}; tr := inf{s G Tn : t < s}.
Если t = ti или t = tr, to Ut уже есть. Если же t ti и t tr, то ti < t < tr и по предположению cl Utl C int Utr. В силу 9.3.11 имеется замкнутое множество Ut такое, что
cl Utl С int Ut с Ut = cl Ut c int Utr.
Осталось показать, что возникающее семейство удовлетворяет требуемым условиям.
202
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
Итак, пусть £, s G Tn+i, причем t < s. Если tr = si, то при s > si по построению
cl Ut c cl Utr = cl USI C int Us.
Аналогично при t < tr = si выполнено
cl Ut c int Utr = inf USl C int Us.
Если же tr < si, то, учитывая сделанное допущение, выводим
cl Ut C cl Utr C int U8l c int Us, что и нужно. [>
9.3.14.	Теорема Урысона. Топологическое пространство X является '['^-пространством в том и только в том случае, если каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множества F\, IS в X, найдется непрерывная функция f : X [0, 1] такая, что /(ж) = 0 для х Е Fi и /(ж) = 1 для ж G /д.
<1 =>: Следует применить 9.3.13 при F :=	и G:= X \F2.
•<=: Если /ц Л At = 0 и Fi, /д замкнуты, то множества G± := {f < 1/2} и G2 := {f > 1/2} для соответствующей функции f открыты и не пересекаются; Gr D Fly G2 D F2. [>
9.3.15.	Определение. Топологическое пространство X называют T3i-пространством, если для произвольной точки ж G X и замкнутого множества F, не содержащего ж, имеется непрерывная функция f : X [0, 1] такая, что /(ж) = 1 и у G F => /(у) = 0. Отделимое T3i-пространство называют тихоновским или вполне регулярным.
9.3.16.	Нормальное пространство является тихоновским.
<1 Следствие 9.3.1 и 9.3.14. [>
9.4. Компактность
9.4.1.	Пусть S3 — базис фильтра в топологическом пространстве и cl S3 := П{с1 В : В G S3} — множество его точек прикосновения. Тогда
(1)	cW = clfiW;
(2)	S3 ж => ж G cl S3-,
(3)	{S3 — ультрафильтр, ж G cl S3) => S3 х.
9.4. Компактность
203
<1 Следует проверить только (3), так как справедливость (1) и (2) ясна. Для U G т(ж) и В G S3 выполнено U П В / 0. Иначе говоря, есть фильтр & := т(ж) V S3. Ясно, что & х. Помимо этого, & = S3, ибо S3 — ультрафильтр. [>
9.4.2.	Определение. Множество принято называть компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (ср. 4.4.1).
9.4.3.	Теорема. Пусть X — топологическое пространство и С — множество в X. Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	множество С компактно;
(2)	если базис фильтра S3 не имеет в С точек прикосновения, то найдется В G S3, для которого В П С = 0;
(3)	каждый базис фильтра, содержащий С, имеет в С точку прикосновения;
(4)	каждый ультрафильтр, содержащий С, имеет в С предел.
<1 (1) => (2): Раз с1$ПС = 0,тоСсХ\с1Ж Итак,
СсХ\П{с1В: В G S3} = U{X\clB : В G S3}.
Значит, можно выделить конечное множество S3q в S3, для которого
С С U{X \ cl Bq : Bq G S3q} = X \ П{с1 Bq : Bq G S3q}.
Пусть В G S3 таково, что В С П{В0 : Во G S30} С П{с1В0 : Во G S30}. Тогда
С П В С С П (П{с1В0 : Во G ^0}) = 0-
(2)	=> (3): Если С = 0, то доказывать ничего не надо. Если же С 0, то для В G S3 по условию В П С / 0, ибо С G S3. Таким образом, с1$ П С / 0.
(3)	=> (4): Следует привлечь 9.4.1.
(4)	=> (1): Можно считать, что С 0 (иначе нечего доказывать).
Допустим, что С некомпактно. Тогда найдется множество S открытых множеств такое, что С с U{G : Gg <f}, ивто же время
204
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
для любого конечного подмножества Sq в S не верно, что С с и{(7 : G G <oq}- Положим
X \ G : <oq — конечное подмножество S GG <£Ь
Ясно, что S3 — базис фильтра. Помимо этого,
сШ = П{с1В: Be^} = n{X\G: G G S} = = X \ U{(7 : GeS}cX\C.
Пусть теперь — ультрафильтр, содержащий S3 (его существование гарантировано 1.3.10). Так как по допущению каждое множество из S3 содержит некоторые точки из С, можно обеспечить, что С G 6У. Тогда .Г ж для некоторого з: 6 Си, стало быть, по 9.4.1 (2), cl^ П С 0. В то же время clJ^" С с1Ж Получили противоречие. [>
9.4.4.	Замечание. Эквивалентность (1) о (4) в теореме 9.4.3 называют критерием Бурбаки и выражают при X = С словами: «пространство компактно в том и только в том случае, если каждый ультрафильтр в нем сходится» (ср. 4.4.7).
Ультрасетью называют сеть, фильтр хвостов которой является ультрафильтром. Критерий Бурбаки можно высказать так: «компактность равносильна сходимости ультрасетей». На языке сетей можно получить и иные полезные признаки компактности. Например, «пространство компактно в том и только в том случае, если любая сеть его имеет сходящуюся подсеть».
9.4.5.	Теорема Вейерштрасса. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен (ср. 4.4.5). <11>
9.4.6.	Пусть Xq — подпространство топологического пространства X и С — подмножество Xq. Тогда С компактно в Xq в том и только в том случае, если С компактно в X.
<1 =>: Следует из 9.4.5 и 9.2.17 (1).
7=: Пусть S3 — базис фильтра в Xq. Пусть, далее, V := с1%0 S3 — множество точек прикосновения S3, найденное в Xq. Допустим, что V П С = 0. Так как S3 — это базис фильтра и в X, то имеет
9.4. Компактность
205
смысл говорить о множестве точек прикосновения W := с1% найденном в X. Ясно, что V = W П Хо и, значит, W П С = 0. Из-за компактности С в X на основании 9.4.3 можно найти В G для которого ВПС = 0. Вновь привлекая 9.4.3, видим, что С компактно в Хо. [>
9.4.7.	Замечание. Предложение 9.4.6 часто выражают словами: «компактность — это абсолютное понятие», т. е. свойство множества быть компактным зависит только от индуцированной в него топологии, а не от объемлющего пространства. В этой связи обычно ограничиваются рассмотрением компактных пространств, т. е. множеств, «компактных в себе».
9.4.8.	Теорема Тихонова. Тихоновское произведение компактных пространств компактно.
<1 Пусть X :=	— произведение рассматриваемого се-
мейства. Если хотя бы одно из Х^ пусто, то X = 0 и доказывать нечего. Пусть X / 0 и & — ультрафильтр в X. По 1.3.12 при каждом £ G S для координатного проектора Pic : X X выполнено, что Рге(^) — ультрафильтр в X. Значит, в силу 9.4.3 найдется х.с G Х^, для которого Рге(^) —> х^. Пусть х : £ ь-> х%. Понятно, что & х (ср. 9.2.10). Еще раз апеллируя к 9.4.3, выводим, что X компактно. [>
9.4.9.	Замкнутое подмножества компактного пространства компактно.
<1 Пусть X компактно и С G С1(Х). Пусть, далее, & — ультрафильтр в X и С Е &. По теореме 9.4.3 в X имеется предел: .X ж. По теореме Биркгофа 9.2.2, х G с1С = С. Вновь привлекая 9.4.3, заключаем, что С компактно. [>
9.4.10.	Компактное подмножество хаусдорфова топологического пространства замкнуто.
<1 Пусть С компактно в хаусдорфовом X. Если С = 0, то доказывать нечего. Пусть С / 0 и х G с1С. В силу 9.2.2 найдется фильтр Л, такой, что С G и ~» х- Пусть & — ультрафильтр, содержащий .Х(). Тогда J ,т и С t &. На основании 9.4.3 у & есть предел в С. Но по 9.3.4 этот предел единствен. Значит, х G С. [>
206
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
9.4.11.	Пусть f : (X, г) —> (У, w) — непрерывное взаимно однозначное отображение, причем f(X) = Y. Если т — компактная топология, аж — хаусдорфова топология, то f — гомеоморфизм.
<1 Следует установить, что J'1 непрерывно. Для этого необходимо убедиться, что F G С1(т) => f(F) G Cl(w). Возьмем F G С1(т). Тогда F компактно в силу 9.4.9. Применяя последовательно 9.4.5 и 9.4.10, видим, что f(F) замкнуто. [>
9.4.12.	Пусть Ti и т2 — две топологии на одном множестве X. Если пространство (X, ti) компактно, а (X, т2) хаусдорфово iitS> т2, ТО Т1 = т2. <[>
9.4.13.	Замечание. Утверждение 9.4.12 часто выражают словами «компактная топология минимальна».
9.4.14.	Теорема. Хаусдорфово компактное пространство нормально.
<1 Пусть X — рассматриваемое пространство и S3 — какой-нибудь базис фильтра в X. Пусть, далее, U — окрестность cl Ясно, что X \ int U компактно (см. 9.4.9), причем cl S3 П (X\int Г) = 0. По теореме 9.4.3 найдется В G S3 такое, что В П (X \ int Г) = 0, т. е. Вс U. Полагая, если нужно, ^ := {с1В : В G S3}, можно утверждать, что cl В с U.
Пусть для начала х G X и S3 := т(ж). В силу 9.3.4, cl.X = {ж} и, значит, фильтр т(ж) имеет базис, состоящий из замкнутых множеств. Стало быть, X регулярно.
Пусть теперь F — непустое замкнутое множество в X. В качестве S3 возьмем фильтр окрестностей F. По 9.3.8, cl S3 = F, и по уже установленному S3 имеет базис, состоящий из замкнутых множеств. В соответствии с 9.3.9, X — нормальное пространство. [>
9.4.15.	Следствие. С точностью до гомеоморфизма хаусдор-фовы компактные пространства суть замкнутые подмножества тихоновских кубов.
<1 То, что замкнутое подмножество тихоновского куба компактно, следует из 9.4.8 и 9.4.9. Хаусдорфовость куба, а потому и его подпространств бесспорна.
Пусть X — некоторое компактное хаусдорфово пространство. Пусть еще Q — совокупность непрерывных функций из X в [0, 1]. Определим отображение Ф : X —> [0, 1]® правилом Ф(ж)(/):= /(ж),
9.4. Компактность
207
где х G X и f G Q. Из 9.4.14 и 9.3.14 выводим, что Ф взаимно однозначно отображает X на Ф(Х). Помимо этого, Ф непрерывно. Осталось применить 9.4.11. [>
9.4.16.	Замечание. Следствие 9.4.15 представляет собой часть более общего утверждения. Именно, тихоновские пространства суть (с точностью до гомеоморфизма) подпространства тихоновских кубов. <[>
9.4.17.	Замечание. Хаусдорфовы компактные пространства, как правило, называют более коротко — компактами (ср. 4.5 и 4.6).
9.4.18.	Лемма Дьедонне. Пусть F — это замкнутое подмножество, a Gk,..., Gn — открытые подмножества нормального топологического пространства, причем F с Gk U ... U Gn. Найдутся замкнутые множества Fk,... ,Fn такие, что F = Fk U... U Fn и Fk С 6';: (fc:= 1,..., n).
<1 Достаточно рассмотреть случай п := 2. При к := 1,2 множество Uk := F \ Gk замкнуто и U\ П U2 = 0. С учетом 9.3.10 имеются открытые V'i и 17, для которых L4 С Ц, U2 С V2 и = 0- Положим /д := F\Vk. Ясно, что Fk замкнуто и l'\ С F\Uk = F\(F\Gk) С Gk для kt= 1, 2. При этом Fk U F2 = F \ (1ф U V2) = F. \>
9.4.19.	Замечание. По 9.3.14 заключаем, что в условиях 9.4.18 для рассматриваемого пространства X найдутся непрерывные функции hr,..., hn : X —> [0, 1] такие, что hk\c'k = 0 и йДт) = 1 для точек х из некоторой окрестности F. (Как обычно, G'k := X \ Gk.)
9.4.20.	Определение. Топологию, в которой каждая точка обладает компактной окрестностью, называют локально компактной. Локально компактным пространством называют множество, снабженное локально компактной хаусдорфовой топологией.
9.4.21.	Топологическое пространство локально компактно в том и только в том случае, если оно гомеоморфно проколотому компакту (= компакту с выколотой точкой), т. е. дополнению одноточечного подмножества компакта.
<1 •<=: С учетом теоремы Вейерштрасса 9.4.5 достаточно заметить, что каждая точка проколотого компакта обладает замкнутой (в силу регулярности компакта) окрестностью. Осталось привлечь утверждения 9.4.9 и 9.4.6.
208
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
=>: Поместим исходное пространство X в Х := X U {оо}, присоединив к X взятую со стороны точку оо. Базис окрестностей оо составим из дополнений в X' компактных подмножеств в X. Окрестностями точки из X в X' объявим надмножества ее окрестностей в X. Если 21 — ультрафильтр в X' и К — компакт в X, то 21 сходится к точке из К, как только К Е 21. Если же в 21 лежит дополнение любого компакта К с X, то 21 сходится к оо. [>
9.4.22.	Замечание. Если локально компактное пространство X не компактно, то пространство X', фигурирующее в 9.4.20, называют одноточечной или александровской компактификацией X.
9.5.	Равномерные и мультиметрические
пространства
9.5.1.	Определение. Пусть X — непустое множество и ?/х — фильтр в X2. Фильтр называют равномерностью в X, если
(1)	^kcfil{/x};
(2)	и е^х ^и-1 е^х;
(3)	(W G	G &х) Vo V С и.
Равномерностью пустого множества X называют '= {0}- Пару (X, &х) (а часто и множество X) называют равномерным пространством.
9.5.2.	Для равномерного пространства (X, положим
ж G X => т(ж) := {Г(ж) : U G %х}-
Отображение т : ж ь-> т(ж) — топология на X.
<1 То, что т — это предтопология, ясно. Если W G т(ж), то W = U(x) для некоторого U G &х- Выберем V G ^х так, чтобы V о V С U. Если у G Е(ж), то V(y) С Е(Е(ж)) = V о Е(ж) С Г(ж) С W. Иными словами, множество W является окрестностью у для всякого у G Е(ж). Следовательно, множество V(ж) лежит во внутренности int W. Значит, int W — окрестность ж. Осталось привлечь 9.1.6. О
9.5.3.	Определение. Топологию т, фигурирующую в 9.5.2, называют топологией равномерного пространства (X, &х) или равномерной топологией и обозначают т(&х), тх и т. п.
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства
209
9.5.4.	Определение. Топологическое пространство (X, т) называют равномеризуемым, если существует равномерность % в X такая, что т совпадает с равномерной топологией т(^<).
9.5.5.	Примеры.
(1)	Метрические пространства (со своими топологиями) равномеризуемы (своими равномерностями).
(2)	Мультинормированные пространства (со своими топологиями) равномеризуемы (своими равномерностями).
(3)	Пусть f : X -> (У, &у) и	—	где,
как обычно, /х(®1, х^) := (/(яд), /(яд)) Для (яд, х^) G X2. Ясно, что 1( ^/г) — равномерность в X. При этом
T(r1(^y)) = r1HW)).
Равномерность / 1(?/г) называют прообразом равномерности ^у при отображении f. Таким образом, прообраз равномерной топологии равномеризуем.
(4)	Пусть (Хе, ^)^е= — эт° некоторое семейство равномерных пространств. Пусть, далее, X := s — произведение этого семейства. Положим := sup^eSPr^1(<^). Равномерность называют тихоновской. Нет сомнений, что равномерная топология т(^х) — эт0 тихоновская топология произведения (Х5, т(^<5))5е=. <[>
(5)	Хаусдорфово компактное пространство равномеризу-емо, и притом единственным образом.
<1 В силу 9.4.15 такое пространство X можно рассматривать как подпространство тихоновского куба. Из 9.5.5 (3) и 9.5.5 (4) следует равномеризуемость X. Поскольку, как видно, каждое окружение диагонали в равномерном пространстве содержит замкнутое окружение, то из компактности множества 1х вытекает, что всякая его окрестность входит в &х- С другой стороны, любое окружение всегда окрестность диагонали. [>
(6)	Пусть X, У — непустые множества, S/y — равномерность в У и S3 — фильтрованное по возрастанию подмножество 2х. Для В G S3 и в е S/у положим
UB,e :={(/, 9)еУххУх: g ° 1В ° Г1 С0}.
210
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
Тогда % := fil {Гвд : В G &, в е 'W} — равномерность в Yx, имеющая неизящное (но точное) название: «равномерность равномерной сходимости на множествах из <^>. Такова, например, равномерность мультинормы Аренса (см. 8.3.8). В случае, если есть совокупность конечных подмножеств X, то % совпадает с тихоновской равномерностью в Yx. Эту равномерность в данной ситуации называют слабой, а соответствующую топологию — топологией поточечной сходимости (реже — простой сходимости). Если же S3 состоит из единственного элемента — из {X}, то равномерность S/ называют сильной, а соответствующую топологию т(^<) в Yx — топологией равномерной сходимости.
9.5.6.	Замечание. Ясно, что в равномерных (и равномеризуе-мых) пространствах имеют смысл такие понятия, как равномерная непрерывность, малость данного порядка, полнота и т. п. В этих пространствах, как видно, сохранены аналоги 4.2.4-4.2.9, 4.5.8, 4.5.9, 4.6.1-4.6.7. Полезными упражнениями являются осмысливание возможности пополнения равномерного пространства, доказательство критерия Хаусдорфа, анализ доказательства теоремы Асколи — Ар-цела и т. п.
9.5.7.	Определение. Пусть X — множество, >+ := {х G Ж' : х > 0}. Отображение d : X2 7+ называют полуметрикой или отклонением на X, если
(1)	d(x, ж) = 0 (ж G X);
(2)	d(x, у) = d(y, ж) (ж, у G X);
(3)	d(x, у) < d(x, z) + d(z, у) (ж, у, z G X).
Пару (X, d) называют полуметрическим пространством.
9.5.8.	Для полуметрического пространства (X, d) положим %:= fil {{d < s} : £ > 0}.
Тогда '//d —равномерность. <[>
9.5.9.	Определение. Пусть ЭЛ — (непустое) множество полуметрик на X. Тогда пару (X, ЭЛ) называют мультиметрическим пространством, а множество ЭЛ — мультиметрикой. Равномерность мультиметрического пространства определяют соотношением
:= sup { Ж/ : d G ЭЛ}.
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства
211
9.5.10.	Определение. Равномерное пространство принято называть мультиметризуемым, если его равномерность совпадает с равномерностью некоторого мультиметрического пространства. По аналогии определяют и мультиметризуемые топологические пространства.
9.5.11.	Пусть X, Y, Z — множества, Т — плотное подмножество Ж н (Ut)tET, (Vt)teT — возрастающие семейства множеств, лежащих соответственно bXxZhbZxY. Тогда существуют, и притом единственные, функции
f : X х Z R, g : Z х Y R, h:X xY такие, что
{f < t} с Ut с {f < t}, {g < t} C Vt c {g < t}, {h < t} C Ut о Vt C {h < t} (t G T).
При этом имеет место представление
h(x, у) = inf{f(x, z) V g(z, у) : z £ Z}.
<1 Существование требуемых функций обеспечено 3.8.2. Единственность — 3.8.4. Представление функции h через f и g бесспорно. [>
9.5.12.	Определение. Пусть f : X х Z R, g : Z х Y —> R. Функцию h, заданную с помощью 9.5.11, называют \/-конволюцией /иди обозначают
/□vp(®, у):=т£{/(ж, z)Vg(z, у): z G Z}.
Аналогично определяют +-конволюцию f и д по правилу
/□+у(ж, у):=т£{/(ж, z)+y(z, у): z & Z}.
9.5.13.	Определение. Отображение f : X2 >+ называют К-ультраметрикой {К GR, К > 1), если
(1)	/(ж, ж) = 0 (ж G X);
(2)	/(ж, у) = f(y, ж) (ж, у G X);
(3)	ы) - у) V Ж г) V ы) (ж’ z,ue X).
212
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
9.5.14.	Замечание. Условие 9.5.13 (3) иногда называют (сильным) ультраметрнческнм неравенством. Это неравенство можно в силу 9.5.12 переписать в виде < /Dv /Ov/-
9.5.15.	Лемма о 2-ультраметрике. Для каждой 2-ультра-метрики f : X2 >+ существует полуметрика d такая, что 1 /2/ < d<f.
<1 Пусть Л := f; fn+1 := /„□+/ (n G N). Тогда
Л+1(т, у) < fn(x, у) + f(y, у) = fn(x, у) (х, у G X).
Таким образом, (/„) — убывающая последовательность. Положим
с?(т, у) := lim/п(ж, у) = inf fn(x, у).
nGN
Поскольку для n t I I выполнено
d(x, у) < f2n(x, у) = fnD+fn(x, у) < fn(x, z) + fn(z, у),
то d(x, у) < d(x, z) + d(z, у). Справедливость 9.5.7 (1) и 9.5.7 (2) несомненна.
Осталось установить, что 1/2/ < d. Для этого убедимся, что fn > 1/2 f для n G N.
При п := 1,2 требуемые неравенства очевидны. Допустим теперь, что f > fi > ... > fn > 1/2 f и в то же время fn+i(x, у) < 1/2 f(x, у) для некоторых (ж, у) G X2 и п > 2. По построению при подходящих zi,... ,zn G X будет
О=/(ж, zi) + f(zi, z2) + .. . + f(zn-i, zn)+
+f(zn,y) <	у).
Если f(x, xi) > 1/2, то 1/2 > /(zi, z2) + ... + f(zn, у) > 1/2 f^, у). Получаем, что 1 > f(x, zi) и 1 > f(zi, у). На основании 9.5.13 (3), 1/2 f(x, у) < f(x, zi) V f(Z1, у) < t. Отсюда вытекает ложное
соотношение: 1/2/(ж, у) > 1 > 1/2/(ж, у).
Итак, /(ж, zi) < 1/2. Найдем m G N, m < п, для которого
/(ж, Z1) + . . . + /(zm —1, Znf) < 2>
9.5. Равномерные и мультиметрические пространства
213
/(ж, Z1) + . .. + f(zm, zm+1) >
Это осуществимо, ибо гипотеза m = п влечет неверное неравенство f(zn, у) > t/2. (В самом деле, было бы 1/2 > /(ж, zi) + ... + /(^n-1, zn) > 1/2/(ж, zn) и поэтому 1/2/(ж, у) > t > f(x, zn) V f(zn, у) > 1/2 Дж, у).)
Имеем
7(гт+1, zm+2) + ... + /(zn_i, zn) + f(zn, у) < -
Привлекая индукционное предположение, заключаем:
/(*^5	— 2(Дж, Z1) + . . . + fUm 1, zm)) < У
f(Zm, Zm+1) —
f(zm+l, У) < 2(/(zm_|-i, Zm_|_2) + • • • + f(zn, y)) _ t-
Следовательно, в силу определения 2-ультраметрики
|/(ж, у) < /(ж, zm) V f(zm, zm+1) V f(zm+1, у) <t < |/(ж, у).
Получили противоречие, завершающее доказательство. [>
9.5.16.	Теорема. Каждое равномерное пространство мульти-метризуемо.
<1 Пусть (X, %х) — рассматриваемое равномерное пространство. Возьмем V G ^х- Положим V/ := V П V’ С Если теперь Vn G &х, то найдем симметричное окружение V = V , V G &х такое, что V о V о V с Vn. Полагаем Vn+1 := V. Так как по построению Vn У) К+1 ° 1п+1 ° 1п+1	1п+1 ° Pf ° 1х У) ln+1, ТО (Vn)nCN
убывающее семейство.
Для t G R зададим множество Ut соотношением
' 0,	КО,
lx,	t = О,
\ Д1Г{пеК:4>2-"}’ 0 < 1 < 1,
к,	1 = 1,
х2,	t> 1.
214
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
По определению t Ut (t G Ж) — возрастающее семейство. Рассмотрим единственную функцию f : X2 R, удовлетворяющую соотношениям (ср. 3.8.2, 3.8.4)
{f <t}cUtc{f <t} (t G R).
Если Wt := U^t для t 6 R, то при s < t будет
Us о Us о Us C Wt.
Следовательно, в силу 3.8.3 и 9.2.1 отображение / является 2-ультра-метрикой.
Привлекая 9.5.15, найдем полуметрику dy такую, что 1/2/ < dy < f. Ясно, что ^dv = fil {Ki : n G N}. Несомненно также, что для мультиметрики ЭЛ := {dy : V G выполнено = %х- 1>
9.5.17.	Следствие. Пространство является равномеризуемым в том и только в том случае, если оно Т3±-пространство. <[>
9.5.18.	Следствие. Тихоновские пространства суть отделимые мультиметрические пространства. <[>
9.6.	Покрытия и разбиения единицы
9.6.1.	Определение. Пусть S, SF — два покрытия множества U в X, т. е. S, & С 2х и U С (U<f) П (U.F). Говорят, что S вписано в & или S измельчает &, если каждое множество из S попадает в один из элементов &, т. е. (V Е G S) (3 F G Е с F.
9.6.2.	Определение. Покрытие S множества X называют локально конечным (относительно топологии т в X), если у каждой точки из X имеется окрестность (в смысле г), пересекающаяся лишь с конечным числом элементов S. Такое покрытие в случае дискретной топологии называют точечно конечным. Наконец, если X рассматривают с предварительно выделенной топологией т, то под локальной конечностью его покрытия по умолчанию понимают связанный с т вариант.
9.6.3.	Лемма Лефшеца. Пусть S — точечно конечное открытое покрытие нормального пространства X. Существует такое от-крытое покрытие {Ge : Е G S}, что clG# с Е при всех Е G S.
9.6. Покрытия и разбиения единицы
215
<1 Составим множество S из отображений s : S Ор(Х), для которых Us(<f) = X и при Е G S будет s(E) = Е или cls(£/) С Е. Для подобных функций «1, «2 полагают: лу < -s-j : = (V Е G S) (si(E) Е => 82(E) = si(E)). Видно, что (S, <) — упорядоченное множество, причем Ig G S. Установим индуктивность S.
Для цепи Sq в S положим sq(E) := f~l{s(E) : s G Sq} (Е G S). Если so(E) = Е, то s(E) = Е при всех s G Sq. Если же so(E) Е, то з0(Е) = n{s(E) : з(Е) ^Е, se So}.
С учетом линейности порядка в So выводим: з0(Е) = з(Е) для s G So таких, что s(E) Е. Отсюда s0(S) с Ор(Х) и s0 > So. Осталось удостовериться, что sq — покрытие X (и, стало быть, sq G S). По условию точечной конечности для х G X имеются Ei,..., Еп в S такие, что х G Ei О... О Еп их Е для иных Е в S. Если s(Ek) = Ek для какого-либо из к, то доказывать нечего — х G Usq(S). В случае, когда при каждом к будет so(Ek) / Ek, найдутся si,... ,sn G Sq из условия Sk(Ek) / Ek (к:= 1,2,..., п). Раз Sq — цепь, можно считать, что sn > {si,..., sn~i}. При этом х G sn(E) С Е для подходящего Е G S. Ясно, что Е G {Ei,..., Еп} (ибо х £ Е для других Е). Раз s0(E) = зп(Е), то х G з0(Е).
По лемме Куратовского — Цорна 1.2.20 в S есть максимальный элемент s. Возьмем Е е S. Если F := X\Us(<f \ {£/}), то F замкнуто и з(Е) — окрестность F. На основании 9.3.10 при подходящем G G Ор(Х) будет F С G С cl G С з(Е). Положим s(E) := Си з(Е) := s(E) для Е / Е (Е G S). Ясно, что s G S. Если s(E) = Е, то з > з и, значит, s = з. При этом s(E) С cl G С з(Е) = Е, т. е. cl s(E) С Е. Если же s(E) / Е, то cl s(E) С Е по определению. Итак, s — искомое покрытие. [>
9.6.4.	Определение. Пусть / — скалярная (= числовая) функция на топологическом пространстве X, т. е. f : X F. Множество supp(/) := с1{ж G X : f(x) / 0} называют носителем f. Если supp(/) — компактное множество, то f называют финитной функцией. Иногда полагают spt (f) := supp(/).
9.6.5.	Пусть (/е)ее<? — некоторое семейство скалярных функций на X и S:= {supp(fe) : е G S} — семейство их носителей. Если S — точечно конечное покрытие U, то семейство (fe)ees поточечно суммируемо. Если к тому же S локально конечно, a (fe)ees непрерывны, то сумма fe также непрерывна.
216
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
<1 Достаточно заметить, что в подходящей окрестности точки из U лишь конечное число функций семейства (/е)еб<? не обращается в нуль. [>
9.6.6.	Определение. Семейство функций (/ : А- —> [0, 1])/ег представляет разбиение единицы на множестве U в X, если носители элементов этого семейства составляют точечно конечное покрытие U, и при этом 52/еЕ /(ж) = 1 для всех х Е U. Пустое семейство функций в подобном контексте считают суммируемым к единице. Естественным образом трактуют термин «непрерывное разбиение единицы» и его аналоги.
9.6.7.	Определение. Пусть S — покрытие множества U в топологическом пространстве, a F — непрерывное разбиение единицы на U. Если семейство носителей {supp(/) : f G F} вписано в S, то F называют разбиением единицы, подчиненным S. Наличие такого F для S выражают словами: «S допускает непрерывное разбиение единицы».
9.6.8.	Каждое локально конечное открытое покрытие нормального пространства допускает разбиение единицы.
<1 По теореме Лефшеца 9.6.3 в рассматриваемое покрытие {1.У : ? € S} можно вписать открытое покрытие {14 : $ t Е}, для которого cl V4 с Щ при всех По теореме Урысона 9.3.14 имеется непрерывная функция g^ : X [0, 1] такая, что дДж) = 1 при х G Vz и д$(х) = 0 при х G X \ U%. Значит, supp(gf) С U%. На основании 9.6.5 семейство (g^jes поточечно суммируемо к непрерывной функции д. При этом д(ж) > 0 для всех х G X по построению. Полагаем Д:= g^ig (£ G S). Семейство (Д)^е= — искомое. [>
9.6.9.	Определение. Топологическое пространство называют паракомпактпным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.
9.6.10.	Замечание. Теория паракомпактности содержит глубокие и нетривиальные факты.
9.6.11.	Теорема. Метрические пространства паракомпактны.
9.6.12.	Теорема. Хаусдорфово топологическое пространство паракомпактно в том и только в том случае, если каждое его открытое покрытие допускает непрерывное разбиение единицы.
9.6. Покрытия и разбиения единицы
217
9.6.13.	Замечание. Метрическое пространство В^ обладает рядом дополнительных структур, обеспечивающих запас квалифицированных — гладких (= бесконечно дифференцируемых) — функций (ср. 4.8.1).
9.6.14.	Определение. Усредняющим ядром в принято называть любую вещественную гладкую функцию а с единичным (лебеговым) интегралом и такую, что а(ж) > 0 при |ж| < 1 и а(ж) = О для |ж| > 1. При этом supp(a) = {х G : |ж| < 1} — единичный евклидов шар В:= Br«.
9.6.15.	Определение. Дельтообразной последовательностью называют такое семейство вещественных (гладких) функций (&е)е>о, что, во-первых, lim (sup | supp(6e)|) = 0 и, во-вторых, ( ; Л. Ье(ж) dx = 1 (е > 0). Используют также термины 5-последователъностъ и 6-образная последовательность. Часто ограничиваются счетными последовательностями.
9.6.16.	Пример. Популярное усредняющее ядро — это функция а(ж) := t ехр(—(|ж|2 — 1) 1), доопределенная нулем вне шара int В, где константа t задана условием JKN а(х) dx = 1. Всякое усредняющее ядро порождает дельтообразную последовательность ае(ж) := e~Na(x/e) (х G Kw).
9.6.17.	Определение. Пусть f € Lr ,ioc(®W), т. е. / — некоторая локально интегрируемая (= интегрируемая при сужении на любой компакт) функция. Для каждой финитной интегрируемой функции g определяют свёртку f * g соотношением
f*g(x):= У f(x - y)g(y) dy (ж G >W).
R"
9.6.18.	Замечание. Роль усредняющих ядер и дельтообразных последовательностей (ае)е>0 проясняется анализом процесса сглаживания f (J * ое)е>о функции f G Bi,ioc(KJV) и его последствий (ср. 10.10.7 (5)).
9.6.19.	Справедливы утверждения:
(1)	для каждого компактного множества К из пространства и какой-либо его окрестности U существует
218
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
срезыватель (= срезывающая функция) ф := фк,и, т. е. такое гладкое отображение ф : 7^ —> [О, 1], что К С int{-0 = 1} и supp(V>) С Г;
(2)	пусть Ui,... ,Un G Op(IR.JV), причем Ur U ... U Un — окрестность компакта К. Существуют гладкие функции ф±,... ,фп : 7^ —> [О, 1], удовлетворяющие условиям supp(V>k) С и Фк(Ф) = 1 Для х из некоторой окрестности К.
<1	(1) Пусть е:= d(K, Rn\U) := inf{|ж—у\ : х G К, у U}. Ясно, что е > 0. Для /3 > 0 обозначим х/з характеристическую функцию множества К + еВ. Возьмем дельтообразную последовательность положительных функций (Ь7)7>о и положим ф := хз * Ь7. При 7 < /3, /3 + 7 < £, где 7:= sup | supp(b7)|, функция ф — искомая.
(2)	По лемме Дьедонне 9.4.18 имеются замкнутые Fk С [Д, составляющие покрытие К. Положим Кф := l‘) ri К и рассмотрим срезыватели фк := Фкк,ик- Функции фк/Y^—k (к := определенные на {52Z=1 фк > 0}, после распространения нулем на {52Z=i Фк = 0} и умножения на срезыватель подходящей окрестности К становятся искомыми. [>
9.6.20.	Теорема о разбиении единицы в Пусть S' — семейство открытых множеств в 7^ и !!:= US. Существует счетное разбиение единицы, составленное гладкими финитными функциями на 7^ и подчиненное покрытию S множества Q.
<1 Впишем в S такое счетное локально конечное покрытие А из компактных множеств, что семейство (S:= int л также образует открытое покрытие Q. Подберем открытое покрытие (Ке)сеед из условия cl Va С а при a G А. На основании 9.6.19 (1) имеются срезыватели фа := ч/’дк.д- Полагая фа(х) := Фа(,х)/^аЕд Фа(ф) при х G Q и фа(х) := 0 для х G \ Q, приходим к требуемому разбиению. [>
9.6.21.	Замечание. Стоит подчеркнуть, что построенное разбиение единицы (V'a)aeA обладает тем свойством, что для каждого компакта К, лежащего в Q, имеются конечное подмножество Ао в А и окрестность U компакта К такие, что д0 Фа(х) = 1 для всех xeU (ср. 9.3.17, 9.6.19 (2)).
Упражнения 219
Упражнения
9.1.	Привести примеры предтопологических и топологических пространств и конструкции, к ним приводящие.
9.2.	Можно ли задать топологию, указывая сходящиеся фильтры или последовательности?
9.3.	Установить взаимные связи между топологиями и предпорядками на конечном множестве.
9.4.	Описать топологические пространства, в которых объединение любого семейства замкнутых множеств замкнуто. Каковы непрерывные отображения таких пространств?
9.5.	Пусть (Д : X (Y^,	— семейство отображений. Топологию
ст в X назовем допустимой (в данной ситуации), если для любого топологического пространства (Z, а>) и произвольного отображения д : Z —* X выполнено утверждение: д : (Z, ш) —* (X, ст) непрерывно в том и только в том случае, если непрерывно отображение Д од (£ G S). Доказать, что слабейшая топология X, в которой непрерывны все (С ЕЕ), представляет собой сильнейшую допустимую (в данной ситуации) топологию.
9.6.	Пусть (Д : (Х^, <т^)	У)^е= — семейство отображений. Топологию
т в Y назовем допустимой (в данной ситуации), если для любого топологического пространства (Z, а>) и произвольного отображения д : Y —* Z выполнено утверждение: д : (У, т) (Z, ш) непрерывно в том и только в том случае, если непрерывно отображение д о Д- (С € S). Доказать, что сильнейшая топология в У, в которой непрерывны все Д (£ ЕЕ), представляет собой слабейшую допустимую (в данной ситуации) топологию.
9.7.	Доказать, что в тихоновском произведении произвольных топологических пространств замыкание произведения множеств, лежащих в сомножителях, есть произведение замыканий:
с1 (ПА«)= Пс1А«-
\еев / «ев
9.8.	Проверить, что тихоновское произведение хаусдорфово в том и только в том случае, если хаусдорфов каждый сомножитель.
9.9.	Установить критерии компактности множеств в классических банаховых пространствах.
9.10.	Хаусдорфово пространство X называют /f-замкнутым, если X замкнуто в любом объемлющем X хаусдорфовом пространстве. Доказать, что регулярное /f-замкнутое пространство компактно.
9.11.	Изучить возможности компактификации топологического пространства.
9.12.	Доказать, что тихоновское произведение несчетного числа прямых не является нормальным пространством.
220
Гл. 9. Экскурс в общую топологию
9.13.	Доказать, что каждая непрерывная функция на произведении компактных пространств в очевидном смысле (каком?) зависит от не более чем счетного числа координат.
9.14.	Пусть А — компактное, а В — замкнутое множества в равномерном пространстве, причем А А В = 0. Доказать, что для некоторого окружения V будет V(A) A V(B) = 0.
9.15.	Доказать, что пополнение (в соответствующем смысле) произведения равномерных пространств изоморфно произведению пополнений сомножителей.
9.16.	Множество в отделимом равномерном пространстве назовем пред-компактным, если его пополнение компактно. Доказать, что множество является предкомпактным в том и только в том случае, если оно вполне ограничено.
9.17.	Какие топологические пространства метризуемы?
9.18.	Для равнометризуемого пространства описать сильнейшую равномерность, задающую исходную топологию.
9.19.	Убедиться, что произведение паракомпактного и компактного пространств паракомпактно. Сохраняется ли паракомпактность при общих произведениях?
Глава 10
Двойственность и ее
приложения
10.1.	Векторные топологии
10.1.1.	Определение. Пусть (X, F, +, •) — векторное пространство над основным полем F. Топологию т в X называют согласованной со структурой векторного пространства или, короче, векторной топологией, если непрерывны следующие отображения:
+ : (X х X, т х г) (X, г),
• : (F х X, тг х г) (X, г).
О пространстве (X, т) в этом случае говорят как о топологическом векторном пространстве.
10.1.2.	Пусть тх — векторная топология. Отображения
х х + жо, ж I—> ах (жо G X, а 6 F\0)
суть гомеоморфизмы (X, тх). <11>
10.1.3.	Замечание. Несомненно, что векторная топология т в пространстве X обладает следующим свойством «линейности»:
т(ах + (Зу) = ат(ж) + (Зт(у) (а, (3 G F \ 0; ж, у G X),
где в соответствии с общими соглашениями (ср. 1.3.5 (1))
Uax+I3y Е ат(х) + /Зт(у) О
О (з их е т(ж) & иу е т(у)) aUx + /зиу с Uax+/3y •
222
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
В этой связи векторную топологию часто называют линейной, а топологическое векторное пространство — линейным топологическим пространством. Эту терминологию следует употреблять лишь понимая, что топология может обладать свойством «линейности», но не быть линейной. Такова, например, дискретная топология ненулевого векторного пространства.
10.1.4.	Теорема о строении векторной топологии. Пусть X — векторное пространство и Д' — фильтр в X. Существует векторная топология т на X такая, что Д' = т(0), в том и только в том случае, если
(1)	д'+ д'= д';
(2)	Д' состоит из поглощающих множеств;
(3)	Д' имеет базис из уравновешенных множеств. При этом т(х) = х + Д' для всех х G X.
<1	=>: Пусть т — векторная топология и Д' = т(0). Из 10.1.2 получаем, что т(ж) = х + Д' для х G X. Ясно также, что (1) есть другая запись непрерывности сложения в нуле (пространства X2). Условие (2) можно записать в виде т.-(0)ж э Д' для каждого х G X, т. е. как условие непрерывности отображений a ах в нуле (пространства Ж) при каждом фиксированном х из X. Условие (3) с учетом (2), в свою очередь, можно записать в виде тг(0)х/ = Д', т. е. как условие непрерывности умножения на скаляр в нуле (пространства F х X).
•<=	: Пусть Д' — фильтр, удовлетворяющий (1)-(3). Видно, что Д' С fil{0}. Положим т(ж) := х + Д'. Тогда т — предтопология. Из определения т и (1) вытекает, что т — топология, причем сдвиги непрерывны, а сложение непрерывно в нуле. Таким образом, сложение непрерывно в каждой точке X2. Справедливость (2) и (3) означает, что отображение (А, х) ь- Хх непрерывно в нуле по совокупности переменных и непрерывно в нуле по первому переменному при фиксированном втором. В силу тождества
Хх - Аожо = А0(ж - ж0) + (А - А0)ж0 + (А - А0)(ж - ж0)
осталось установить непрерывность этого отображения в нуле по второму переменному при фиксированном первом. Иными словами, нужно установить, что ХД' D Д' для A t ;. Для проверки
10.1. Векторные топологии
223
найдем п G N, для которого |Л| < п. Пусть V G МТ и W G таковы, что W уравновешено и ^ + ... + Wn с V, где Wk := W. Тогда АЖ = п (Х/п Ж) С nW С Жх + ... + Wn С V. [>
10.1.5.	Теорема. Множество VT(X) всех векторных топологий на X является полной решеткой. При этом для любого множества £ в VT(X) выполнено
SUPvt(X) & — suPt(X) &
<1 Пусть т := supT(-jq £. Так как для т с <£ сдвиг х х + х$ есть гомеоморфизм (X, г) на (X, г), то это отображение — гомеоморфизм (X, т) на (X, г). Привлекая 9.1.13, убеждаемся в том, что для фильтра т(0) выполнены условия 10.1.4 (1)-10.1.4 (3), поскольку они выполнены для фильтров т(0) при т Е £. Остается сослаться на 1.2.14. О
10.1.6.	Теорема о прообразе векторной топологии. Прообраз векторной топологии при линейном отображении — векторная топология.
< Пусть Т G _2?(Х, У) и w G УТ(У). Положим т:= 7’ ЧЖ Ес-ли т7 —> х и у7 —> у в (X, г), то, в силу 9.2.8, Тт7 —> Тх, Ту-, Ту и, стало быть, Т(т7 +у7) —> Т(т + у). Последнее в силу 9.2.10 означает, что т7 + у7 —> х + у в (X, г). Таким образом, т(т) = х + т(0) для всех х G X и, кроме того, т(0) +т(0) = т(0). Применяя к линейному соответствию /' 1 последовательно предложения 3.4.10 и 3.1.8, получаем, что фильтр т(0) = /' ЧМО)) состоит из поглощающих множеств и имеет базис из уравновешенных множеств, так как по 10.1.4 такими свойствами обладает фильтр w(0). Вновь привлекая 10.1.4, заключаем: т G VT(X). [>
10.1.7.	Произведение векторных топологий — векторная топология.
<1 Следует из 10.1.5 и 10.1.6. 1>
10.1.8.	Определение. Пусть А, В — множества в векторном пространстве. Говорят, что А является В-устойчивым, если А + В с А.
224
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.1.9.	Для каждой векторной топологии т на X существует, и притом единственная, равномерность имеющая базис из 1х-устойчивых множеств и такая, что т = т(%т).
<1 Для U G т(0) положим Vu := {(ж, у) G X2 : у — х G U}. Отметим очевидные свойства:
lx С Vv- Vu + Ix = Vv- (14Д-1 = V v-.
Vu-L^Uz c Vu! П 1^2; VUi ° Vu2 G Vn1 + ;72
для любых U, 1Д, U2 G т(0). Привлекая 10.1.4, выводим, что
&T:=fH{Vu : U G т(0)}
— это равномерность, причем т = т(%т). Несомненно также, что '//-имеет базис из /^-устойчивых множеств.
Если теперь % еще одна равномерность такая, что t(^<) = т, и W — некоторое 1х-устойчивое окружение Д, то W = Ущ(о). Отсюда и вытекает требуемая единственность. [>
10.1.10.	Определение. Пусть (X, т) — топологическое векторное пространство. Равномерность построенную в 10.1.9, называют равномерностью рассматриваемого пространства X.
10.1.11.	Замечание. В дальнейшем при рассмотрении топологических векторных пространств будем считать их наделенными соответствующими равномерностями.
10.2.	Локально выпуклые топологии
10.2.1.	Определение. Векторную топологию принято называть локально выпуклой, если фильтр окрестностей каждой точки имеет базис, состоящий из выпуклых множеств.
10.2.2.	Теорема о строении локально выпуклой топологии. Пусть X — векторное пространство и Д' — фильтр в X. Существует локально выпуклая топология т на X такая, что Д' = т(0), в том и только в том случае, если
(1)	|.Ж = .Ж:
(2)	имеет базис, состоящий из абсолютно выпуклых поглощающих множеств.
10.2. Локально выпуклые топологии
225
<1 =>: В силу 10.1.2 отображение j — 2:г — гомеоморфизм. Это и означает, что 1/2 .Ж = .Ж. Возьмем теперь U G Ж. По условию имеется выпуклое множество V G Л'' такое, что V С U. Применяя 10.1.4, найдем уравновешенное множество W, для которого W С V. Привлекая формулу Моцкина 3.1.13 и 3.1.14, убеждаемся в том, что выпуклая оболочка co(Vl') абсолютно выпукла. При этом W С со(Ж) С V С и.
•<=: Абсолютно выпуклое множество уравновешено. Значит, Ж удовлетворяет 10.1.4 (2), 10.1.4 (3). Если V G Ж и W выпукло, W & Ж и W С V, то 1/2 ЕИ G ЛЛ Помимо этого, 1/2 W + 1/2 ЕИ С W С V из-за выпуклости W. Последнее означает, что Л/ у Л/ =	.
Остается сослаться на 10.1.4. [>
10.2.3.	Следствие. Множество LCT (X) всех локально выпуклых топологий на X представляет собой полную решетку. При этом для любого множества S в LCT (X) выполнено
suPlct (х) & = suPt(x) & <!!>
10.2.4.	Следствие. Прообраз локально выпуклой топологии при линейном отображении — локально выпуклая топология. <[>
10.2.5.	Следствие. Произведение локально выпуклых топологий — локально выпуклая топология. <[>
10.2.6.	Топология мультинормированного пространства является локально выпуклой. <[>
10.2.7.	Определение. Пусть т — локально выпуклая топология на X. Множество всех всюду определенных непрерывных полунорм на X называют зеркалом (реже спектром) топологии т и обозначают ЭЛТ. Мультинормированное пространство (X, ЭЛТ) называют ассоциированным с (X, г).
10.2.8.	Теорема. Локально выпуклая топология совпадает с топологией ассоциированного мультинормированного пространства.
<1 Пусть т — рассматриваемая локально выпуклая топология в X и ш := т(ЭЛт) — топология ассоциированного пространства (X, ЭЛТ). Возьмем V G т(0). В силу 10.2.2 найдется абсолютно выпуклая окрестность нуля В G т(0) такая, что В с V. На основании 3.8.7
{рв < 1} С В с {рв < !}•
226
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
Очевидно, что рв — непрерывный функционал (ср. 7.5.1), т. е. Рв £ ЯЯт и, стало быть, {рв < 1} G w(0). Следовательно, V G w(0). Таким образом, привлекая 5.2.10, имеем w(®) = х + w(0) D ж + т(0) = т(ж), т. е. ш > т. Помимо этого, т > по определению. [>
10.2.9.	Определение. Векторное пространство, наделенное отделимой локально выпуклой топологией, называют локально выпуклым пространством.
10.2.10.	Замечание. Теорему 10.2.8 в несколько суженном виде часто формулируют словами: «понятие локально выпуклого пространства и понятие отделимого мультинормированного пространства равнообъемны».
В этой связи при изучении локально выпуклых пространств используют по мере надобности терминологию, связанную с ассоциативным мультинормированным пространством (ср. 5.2.13).
10.2.11.	Определение. Пусть т — локально выпуклая топология в X. Символом (X, т)' (или, короче, X') обозначают подпространство Х&, состоящее из непрерывных линейных функционалов. Пространство (X, т)' называют сопряженным (или т-сопряженным) К (X, г).
10.2.12.	(X, т)' = и{|Э|(р) : рбЭЛт}.
10.2.13.	Теорема. Отображение штрихования т ь- (X, т)', действующее из LCT (X) в Lat(X*), сохраняет точные верхние границы, т. е. для любого множества S в LCT (X) выполнено
(X, sup S)' = sup{(X, т)' : т G <f}.
<1 Если S = 0, то sup S — это тривиальная топология щ в X и, стало быть, (X, т0)' = 0 = infLat(X#) = supLat(X#j 0. В силу 9.2.7 отображение штрихования возрастает. Учитывая 2.1.5, для непустого S имеем
(X, suptf)' > sup{(X, т)' : т G }.
Если / G (X, sup<f)', то ввиду 10.2.12 и 9.1.13 существуют топологии т1;... ,тп G S такие, что / G (X, тх V ... V тп)'. С помощью 10.2.12 и 5.3.7 найдем р± G ЭЛТ1,...,р„ G ЭЛТ„, для которых f G |9|(pi V ... V рп). Привлекая 3.5.7 и 3.7.9, убеждаемся, что |<Э|(Р1 + ... +рп) = |Э|(Р1) + ... + |<Э|(р„). Окончательно
f е (X, Т1у + .. . + (X, тпу = (X, л)' V ... V (X, тпу. О
10.3. Двойственность векторных пространств
227
10.3.	Двойственность векторных пространств
10.3.1.	Определение. Пусть X, Y — векторные пространства над одним и тем же основным полем F. Пусть, далее, задана билинейная форма (или, как иногда говорят, брикетирование) { | •) из X х Y в F, т. е. отображение, линейное по каждому переменному. Для х G X и у Е Y положим
(х\:у^ (х\у),	(-|:X^Fr,	(Х| С Y*-
\у)-х^{х\у\	|.):У^ЖХ,	|У)сХ#.
Возникающие отображения (• | и | •) называют соответственно бра-отображением и кет-отображением. Аналогично функционалы из (X | называют бра-функционалами, а из | У) — кет-функционалами.
10.3.2.	Бра-отображение и кет-отображение — линейные операторы. <[>
10.3.3.	Определение. Брикетирование X и У называют двойственностью, если бра-отображение и кет-отображение суть мономорфизмы. В этом случае говорят, что X и У приведены в двойственность, или составляют двойственную пару, или что У двойственно к X и т. п., и пишут X У. Бра-отображение и кет-отображение называют в этой ситуации дуализациями.
10.3.4.	Примеры.
(1)	Пусть X <-»У и (ф) — соответствующая двойственность. Для (у, х) Е У х X положим {у | х) := (х | у). Видно, что возникшее брикетирование — это двойственность У и X. При этом дуа-лизации в исходной и во вновь возникшей двойственностях одни и те же. В этой связи указанные двойственности, как правило, не различают (ср. 10.3.3). Таким образом, можно сказать, что У двойственно к X в том и только в том случае, если X двойственно к У. Отметим здесь же, что отображение (х | у)к := Re (ж | у) приводит в двойственность вещественные основы Xr и Yr. Допуская вольность, для обозначения возникающей двойственности Xr Yr изредка используют прежнее обозначение, т. е. полагают (ж | у) := (ж | у)и, имея в виду, что жну принадлежат вещественным основам рассматриваемых пространств.
228
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
(2)	Пусть Н — гильбертово пространство. Скалярное произведение приводит в двойственность Н и //*. Отображение штрихования при этом совпадает с кет-отображением.
(3)	Пусть (X, г) — локально выпуклое пространство и X' — сопряженное пространство. Бракетирование (ж, ж') ь- ж'(ж) приводит X и X' в двойственность.
(4)	Пусть X — векторное пространство и, как обычно, X# := ДДХ. F) — сопряженное пространство. Ясно, что отображение (ж, ж#) ' ж#(ж) приводит эти пространства в двойственность.
10.3.5.	Определение. Пусть X <-+ Y. Прообраз в X тихоновской топологии в при бра-отображении называют бра-топологией или слабой топологией в X, наведенной двойственностью с Y, и обозначают <т(Х, У). Бра-топологию <т(Х, У) для двойственности У X называют кет-топологией для двойственности X У или слабой топологией в У, наведенной двойственностью с X.
10.3.6.	Бра-топология — это слабейшая топология, в которой непрерывны все кет-функционалы. Кет-топология — это слабейшая топология, в которой непрерывны все бра-функционалы.
<1 ж7 ж (в <т(Х, У)) О (ж7 (ж | (в Fr) О (Vy G У) (ж7 | (у) (ж| (у) О (Vy G У) (ж7 |у)	(ж|у) О (Vy G У) |у)(ж7)	|у)(ж) О
(Vy G У) ж7 -> ж (в \у)~1(т1!у) [>
10.3.7.	Замечание. Обозначение <т(Х, У), как видно, согласовано с обозначением слабой мультинормы 5.1.10 (4). Именно <т(Х, У) есть топология мультинормы {|(- | у)| : у 6У}. Аналогично <т(У, X) есть топология мультинормы {|(ж | •) | : ж G X}. <[>
10.3.8.	Пространства (X, <т(Х, У)) и (У, <т(У, X)) локально выпуклы.
<1 Следует из 10.2.4 и 10.2.5. 1>
10.3.9.	Теорема о дуализациях. Дуализации суть изоморфизмы двойственных пространств на соответствующие слабо сопряженные пространства.
<1 Пусть X У. Нужно установить точность последовательностей
о -э хМ(У, п(у, X))' -Э о,
0	У-^(Х, <т(Х, У))'	0.
10.4. Топологии, согласованные с двойственностью
229
Поскольку кет-отображение для двойственности X Y есть бра-отображение для двойственности Y X, достаточно проверить точность первой последовательности. Бра-отображение — мономорфизм по определению 10.3.3. Помимо этого, из 10.2.13 и 10.3.6 вытекает, что
(У, <т(У, X))' = (У, зир{(ж |-1(rF) : х G X})' =
= 8ир{(У, (ж|-1(тг))': ж G X} =
= ^({(У,	/G (X|}) = (X|,
так как по 5.3.7 и 2.3.12 выполнено
(У, / 1(rF))/= {А/: AgF} (/ G У#). О
10.3.10.	Замечание. Теорему 10.3.9 часто называют «теоремой об общем виде слабо непрерывного функционала». В этом проявляется удобное общее правило — добавлять слово «слабо» при использовании объектов и свойств, связанных со слабыми топологиями. Отметим здесь же, что в силу 10.3.9 пример 10.3.4 (3) исчерпывает, по сути дела, все возможные двойственности. В этой связи в соответствии с 5.1.11 в дальнейшем (как и прежде) часто использовано обозначение (ж, у) : = (ж | у), поскольку это не должно привести к недоразумениям. По тем же причинам не различают двойственное и слабо сопряженное пространства. Другими словами, при рассмотрении фиксированной двойственности X У иногда не отличают X от (У, <т(У, X))', а У от (X, <т(Х, У))', что позволяет применять записи X' = У и У' = X.
10.4.	Топологии, согласованные с двойственностью
10.4.1.	Определение. Пусть X У и т — локально выпуклая топология в X. Говорят, что т согласована с двойственностью, если (X, г)' = | У). Говорят, что локально выпуклая топология в У согласована с двойственностью (X У, если ш согласована с двойственностью У X, т. е.) при выполнении равенства (У, ш)' = (Х|.
10.4.2.	Слабые топологии согласованы с наводящей их двойственностью.
<1 Следует из 10.3.9. 1>
230
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.4.3.	Пусть т(Х, Y) — точная верхняя граница множества всех локально выпуклых топологий в X, согласованных с двойственностью. Тогда топология т(Х, Y) также согласована с двойственностью.
<1 Пусть S — множество таких топологий. По теореме 10.2.13
(X, т(Х, У))' = (X, sup «Г)' =
= sup{(X, г)' : г G <f} = sup{| У) : г G <f} = | У), ибо S не пусто по 10.4.2. [>
10.4.4.	Определение. Топологию т(Х, У), фигурирующую в предложении 10.4.3, т. е. сильнейшую локально выпуклую топологию в X, согласованную с двойственностью X У, называют топологией Макки (в X, наведенной двойственностью X У).
10.4.5.	Теорема Макки — Аренса. Локально выпуклая топология т в X согласована с двойственностью X У в том и только в том случае, если
<т(Х, У) < т < т(Х, У).
<1 По 10.2.13 отображение т ь- (X, т)' сохраняет точные верхние границы и, следовательно, возрастает. Таким образом, для т, лежащей в рассматриваемом промежутке топологий, на основании 10.4.2 и 10.4.3 справедливо
|У) = (X, <т(Х, У)) С (X, т)' С (X, т(Х, У))' = |У).
Оставшаяся часть теоремы очевидна. [>
10.4.6.	Теорема Макки. Ограниченные множества во всех топологиях, согласованных с двойственностью, одни и те же.
<1 При усилении топологии количество ограниченных множеств уменьшается. Поэтому ввиду 10.4.5 нужно убедиться лишь в том, что если множество U слабо ограничено в X (= ограничено в бра-топологии), то U ограничено в топологии Макки.
Возьмем полунорму р из зеркала топологии Макки и покажем, что p(U) ограничено в Ж. Положим Xq := X/kerp и ро := Px/kerp-Учитывая 5.2.14, видим, что ро — это норма. Пусть р : X —> Хо — каноническое отображение. Бесспорно, что множество <p(U) слабо ограничено в (Xq, ро). Из 7.2.7 вытекает, что <p(U) ограничено ио норме ро- Поскольку р0 о р = р, то U ограничено в (X, р). [>
10.5. Поляры
231
10.4.7.	Следствие. Пусть X — нормированное пространство. Топология Макки т(Х, X') совпадает с исходной топологией, порожденной нормой в пространстве X.
<1 Достаточно сослаться на критерий Колмогорова 5.4.5, по которому топология т(Х, X'), содержащая исходную топологию, нормируема, и привлечь предложение 5.3.4. [>
10.4.8.	Теорема строгой отделимости. Пусть (X, г) — локально выпуклое пространство, К и V — непустые выпуклые множества в X, причем К компактно, V замкнуто и К О V = 0. Тогда существует функционал f G (X, г)' такой, что
sup Re f(K) <infRe/(V).
<1 Локально выпуклое пространство, конечно же, регулярно. Отсюда с учетом компактности К следует, что для подходящей выпуклой окрестности нуля W множество U := К + W не пересекается с V (достаточно рассмотреть базисы, порожденные множествами вида К + W и V + W, где W — замкнутая окрестность нуля). На основании 3.1.10 заключаем, что U выпукло. Помимо этого, К с intU = coreU. По теореме отделимости Эйдельгайта 3.8.14 найдется функционал I G (Xr)#, обладающий тем свойством, что гиперплоскость {I = 1} в Xr разделяет V и U и не содержит точек ядра U. Очевидно, что I ограничен сверху на W и, стало быть, I G (Xr, г)' по критерию 7.5.1. Если f := Re х/, то, в связи с 3.7.5, f G (X, г)'. Ясно, что функционал f — искомый. [>
10.4.9.	Теорема Мазура. Выпуклые замкнутые множества во всех согласованных с двойственностью топологиях одни и те же.
<1 При усилении топологии количество замкнутых множеств увеличивается. Значит, ввиду 10.4.5 нужно убедиться лишь в том, что если U выпукло и замкнуто в топологии Макки, то U слабо замкнуто. Последнее несомненно, ибо, по теореме 10.4.8, U есть пересечение слабо замкнутых множеств типа {Re f < t}, где f — (слабо) непрерывный линейный функционал, a t € R. >
10.5.	Поляры
10.5.1.	Определение. Пусть X, Y — некоторые множества
232
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
и F С X х У — соответствие. Для множеств U в X и V в У полагают
л(и):= tvf(U):= {у G У : F~r(y) D U};
7г-1(У):= 7г^1(У):= {х G X : F(u) D V}.
При этом ir(U) называют (прямой) полярой U, а множество тг 1(1/) — (обратной) полярой V.
10.5.2.	Имеют место утверждения:
(1)	л(и):= 7г({и}) = F(u), tt(U) = Пиеитг(и);
(2)	7r(UeeStle) = n€eS7r(ET€);
(3)	ttJ1 (V) = 7Tp-i (V);
(4)	Ur С U2 =» ДИг) D 7r(L72);
(5)	IUVqF=>Vq tv(U), U С 7Г-1(У);
(6)	U С тг 1 (тг(и)). <[>
10.5.3.	Критерий Акилова. Множество U в X является полярой некоторого множества в У в том и только в том случае, если для каждого х G X \ U найдется у 6 У, для которого
U СТГ Ду). Ж<^7Г Ду).
<1 =>: Если U = тг 1 (V'), то будет U = П,;Г г-тг 1(-г) на основании 10.5.2(1).
•<=: Включение U с тг Ду) означает, что у G tt(U). Итак, по условию U = Пг/ел.(;7)7г_1(у) = тг 1 (тг(и)). [>
10.5.4.	Следствие. Множество тг 1 (тг([Г)) — это наименьшая (по включению) поляра, содержащая множество //.<!!>
10.5.5.	Определение. Множество Лр1 (ttf(U)) называют биполярой множества U (относительно соответствия F).
10.5.6.	Примеры.
(1)	Пусть (X, а) — упорядоченное множество, a U — подмножество X. Тогда ira(U) — это совокупность всех верхних границ U (ср. 1.2.7).
(2)	Пусть (Н, (•, -)н) — гильбертово пространство и F := {(ж, у) G I/2 : (ж, у)н = 0}. Тогда для всех U в Н выполнено л(и) = ^^(U) = U2-. Биполяра U в этом случае совпадает с замыканием линейной оболочки U.
10.6. Слабо компактные выпуклые множества
233
(3)	Пусть X — нормированное пространство и X' — сопряженное пространство. Пусть F := {(ж, ж') : ж'(ж) = 0}. Тогда 7г(Х0) = Х^ и тг 1(.А(')) = .Aq для подпространства Хо в X и подпространства .%') в X' (см. 7.6.8). При этом тг 1(7г(Л''о)) = cIXq в силу 7.5.14.
10.5.7.	Определение. Пусть X Y. Положим
pol := {(ж, у) G X х Y : Ие(ж | у) < 1};
abspol := {(ж, у) G X х Y : |(ж | у)\ < 1}.
Для прямой и обратной поляр относительно соответствия pol используют единое название «поляры» и обозначения л(и) и 7r(V); в случае соответствия abs pol говорят об абсолютных полярах и пишут U° и V° (для U С X и V С Y).
10.5.8.	Теорема о биполяре. Биполяра 7г2(17) ;= 7г(тг(И)) — это наименьший слабо замкнутый конический отрезок, содержащий множество U.
<1 Следует из 10.4.8 и критерия Акилова. [>
10.5.9.	Теорема об абсолютной биполяре. Абсолютная биполяра U°° := (L7°)° — это наименьшее слабо замкнутое абсолютно выпуклое множество, содержащее множество U.
<1 Достаточно заметить, что поляра уравновешенного множества совпадает с его абсолютной полярой, и применить 10.5.8. 1>
10.6.	Слабо компактные выпуклые множества
10.6.1.	Пусть X — вещественное локально выпуклое пространство и р : X R — непрерывный сублинейный функционал на X. Тогда (топологический) субдифференциал д(р) компактен в топологии а(Х', X).
<1 Положим Q:= ПжеэЛ-Р(—ж)> 7'(ж)] и наделим Q тихоновской топологией. Ясно, что д(р) с Q и тихоновская топология в Q индуцирует в д(р) ту же топологию, что и <т(Х', X). Несомненно, что множество д(р) замкнуто в Q из-за непрерывности р. Учитывая теперь теорему Тихонова 9.4.8 и 9.4.9, заключаем, что д(р) является <т(Х', Д'(-компактным множеством. [>
234
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.6.2.	Субдифференциал любой непрерывной полунормы слабо компактен. <[>
10.6.3.	Теорема о строении субдифференциала. Пусть X — вещественное векторное пространство. Множество U в X# является субдифференциалом (всюду определенного и притом единственного) сублинейного функционала sy : X R в том и только в том случае, если U непусто, выпукло и a (X#, X)-компактно.
<1 =>: Пусть U = d(sy) для некоторого sy. Единственность sy обеспечена 3.6.6. В связи с 10.2.12 понятно, что зеркало топологии Макки т(Х, Х#) — это сильнейшая мультинорма в X (см. 5.1.10 (2)). Отсюда выводим, что функционал sy непрерывен в т(Х, X#). На основании 10.6.1 множество U компактно в a(X#, X). Выпуклость и непустота U очевидны.
•<=: Положим sy(x) := sup{Z(®) : I G U}. Бесспорно, что sy — сублинейный функционал и dom sy = X. По определению U с d(sy). Если же I G d(sy) и I £ U, то по теореме строгой отделимости 10.4.8 и теореме о дуализациях 10.3.9 для некоторого х G X будет sy(x) < 1(х). Получаем противоречие. [>
10.6.4.	Определение. Сублинейный функционал sy, построенный в теореме 10.6.3, называют опорной функцией множества U.
10.6.5.	Теорема Крейна — Мильмана. Каждое компактное выпуклое множество в локально выпуклом пространстве является замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек.
<1 Пусть U — такое множество в пространстве X. Можно считать, что пространство X — вещественное и что U / 0. В силу 9.4.12, U компактно в топологии <г(Х, X'). Поскольку ст(Х, X') индуцируется в X топологией сг(Х'#, X') в X'#, то U = d(sy). Здесь (см. 10.6.3) sy : X' R действует по правилу sy(x'):= sup®'(Ll). По теореме Крейна — Мильмана для субдифференциалов 3.6.5 множество крайних точек ext(Ll) не пусто. Замыкание выпуклой оболочки множества ext(Ll) является субдифференциалом по теореме 10.6.3. Кроме того, это множество имеет sy своей опорной функцией и, стало быть, совпадает с U (ср. 3.6.6). 1>
10.6.6.	Пусть X Y и S — конический отрезок в X. Пусть, далее, ps — функционал Минковского S. Поляра ir(S) служит прообразом при кет-отображении (алгебраического) субдифференциала
10.7. Рефлексивные пространства
235
dtps'), т. е.
7г(5) = |ЭЫ)к1.
Если S — абсолютно выпуклое множество, то абсолютная поляра S° является прообразом при кет-отображении (алгебраического) субдифференциала полунормы |<Э| (ps), т. е.
S^Wd^ps))-1.
<1 Если у G 1® таков, что у G | d(ps) то |y)R входит в d(ps). Значит, для х G S выполнено Re(® | у) = (х | y)R = | y)R(r) < Ps(x) < 1, ибо S С {ps < 1} по теореме о функционале Минковского 3.8.7. Следовательно, у G ir(S).
Если, в свою очередь, у G ir(S), то элемент | y)R входит в d(ps). В самом деле, для любого элемента х из А''- при a > ps(x) имеем 1 > psta^x), т. е. n'-x G {ps < 1} С 8. Отсюда (a-1®|y)R = Re (о 1ж|у) = о 1 Re(a’| у) < 1. Окончательно получаем |y)R(®) < а. Из-за произвольности выбора а последнее неравенство означает, что | y)R(r) < ps(x)- Иначе говоря, у G |	Тем самым равен-
ство 7r(S) = | dips')):1' установлено. Оставшаяся часть утверждения следует из свойств комплексификатора 3.7.3 и 3.7.9. 1>
10.6.7.	Теорема Алаоглу — Бурбаки. Поляра окрестности нуля любой согласованной с двойственностью топологии является слабо компактным выпуклым множеством.
<1 Пусть U — окрестность нуля в пространстве X и л(и) — поляра U (в двойственности X X’). Так как U D {р < 1} для некоторой непрерывной полунормы р, на основании 10.5.2 (4), л(и) С 7г({р < 1}) = л(Вр) = В°. Привлекая 10.6.6 и учитывая, что р есть функционал Минковского Вр, видим, что tt(U) С |<Э|(р). В силу 10.6.2 топологический субдифференциал полунормы |<Э|(р) является <г(Хг, Х)-компактным. По определению л(и) — слабо замкнутое множество. Остается сослаться на 9.4.9, чтобы убедиться в <г(Хг, Х)-компактности ir(U). Выпуклость л(и) несомненна. [>
10.7.	Рефлексивные пространства
10.7.1.	Критерий Какутани. Нормированное пространство рефлексивно в том и только в том случае, если единичный шар в нем слабо компактен.
236
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
<1 =>: Пусть X рефлексивно, т. е. "(X) = X". Иными словами, образ X при двойном штриховании совпадает с X". Так как шар Вх" — это поляра шара Вх> при двойственности X" X', то Вх" — это а(Х", Х')-компактное множество по теореме Алао-глу — Бурбаки 10.6.7. Остается заметить, что Вх» есть (образ при двойном штриховании) Вх, а <т(Х, X') есть (прообраз при двойном штриховании) <т(Х", X').
•<=: Рассмотрим двойственность X" X'. По определению шар Вх" представляет собой биполяру Вх (точнее говоря, биполяру множества (Вх)"). Привлекая теорему об абсолютной биполяре 10.5.9 и учитывая, что слабая топология <т(Х, X') индуцирована в X топологией <т(Х", X'), заключаем, что Вх" = Вх (из-за бесспорной абсолютной выпуклости и замкнутости этого множества, обеспеченной условием его компактности). Таким образом, X рефлексивно. [>
10.7.2.	Следствие. Нормированное пространство будет рефлексивным в том и только в том случае, если любое ограниченное замкнутое выпуклое множество в нем слабо компактно. <[>
10.7.3.	Следствие. Каждое замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.
<1 По теореме Мазура 10.4.9 рассматриваемое подпространство, а потому и шар в нем слабо замкнуты. Стало быть, достаточно дважды применить критерий Какутани. [>
10.7.4.	Теорема Петтиса. Банахово пространство и сопряженное к нему пространство рефлексивны (или не рефлексивны) одновременно.
<1 Если X рефлексивно, то <т(Х', X) совпадает с <т(Х', X"), стало быть, учитывая теорему Алаоглу — Бурбаки 10.6.7, заключаем, что Вх' — это а(Х', Х")-компактное множество. Значит, X' рефлексивно. Если же рефлексивно X', то по уже доказанному рефлексивно X". Но X, будучи банаховым пространством, является замкнутым подпространством X". Итак, X рефлексивно в силу 10.7.3. [>
10.7.5.	Теорема Джеймса. Банахово пространство рефлексивно в том и только в том случае, если любой непрерывный (вещественно) линейный функционал принимает наибольшее значение на единичном шаре этого пространства.
10.8. Пространство C(Q. R)
237
10.8.	Пространство C(Q, R)
10.8.1.	Замечание. Всюду в текущем параграфе Q — непустой компакт (= непустое компактное хаусдорфово пространство), a C(Q, R) — это множество непрерывных вещественных функций на Q. Множество C(Q, R) без особых на то указаний рассматривают с естественными «поточечными» алгебраическими операциями и отношением порядка, а также с топологией нормы || • || := || • ||оо, отвечающей метрике Чебышёва (см. 4.6.8). В этом смысле трактуют высказывания: «C(Q, R) — это векторная решетка», «C(Q, R) — это банахова алгебра» и им подобные. Если в C(Q, R) вводят какие-либо иные структуры, то это обязательно оговаривают явно.
10.8.2.	Определение. Подмножество L в C(Q, R) называют подрешеткой, если для Д, ,/2 G L выполнено Д V Д G L, Д А/2 G L, где, как обычно,
/1 V /2(д):= /1(g) V /2(д),
Д л Д(д):= Д(д) л д(д) (gGQ).
10.8.3.	Замечание. Следует иметь в виду, что быть подрешеткой в пространстве C(Q, R) — это больше, чем быть решеткой относительно порядка, индуцированного из C(Q, R).
10.8.4.	Примеры.
(1)	0; C(Q, R); замыкание подрешетки.
(2)	Пересечение любого множества подрешеток — снова подрешетка.
(3)	Пусть L — некоторая подрешетка и Qo — подмножество Q. Положим
Lq0 := {f G C(Q, R) : (3g G Z) g(g) = /(g) (g G Qo)}.
Тогда Lq0 — подрешетка. При этом L c Lq0 .
(4)	Пусть Qo — компактное подмножество Q. Для подрешетки L в C(Q, R) положим
238
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
Таким образом, выполнено
LQo = {f&C(Q, R): f\QoeL\Qo}.
Ясно, что Т| — подрешетка в C(Qo, К)- Если при этом L — векторная подрешетка в C(Q, R), т. е. векторное подпространство и одновременно подрешетка C(Q, R), то Ь| — векторная подрешетка в C(Qo, К) (разумеется, если Qo / 0).
(5)	Пусть Q := {1, 2}. Тогда C(Q, R) ~ >2. Любая ненулевая векторная подрешетка в Ж2 задается в виде
{(®1, ж2) G >2 :	= а2х2}
для некоторых од, а2 G R+.
(6)	Пусть L — векторная подрешетка C(Q, R). Если q Е Q, то возникает альтернатива: либо L[qy = C(Q, R), либо L[qy = {f G C(Q, R) : /(</) = 0}. Если же q±, q2 — две различные точки Q и i|{Qi 0, то в силу 10.8.4 (5) найдутся числа оц, а2 G >+ такие, что
= {f G C(Q-> R) : “1/(91) = “2/(92)}-
10.8.5.	Пусть L—подрешетка в пространстве C(Q, R). Функция f G <'<Q, R) входит в замыкание L в том и только в том случае, если для любых £ > 0 и (ж, у) t Q2 существует функция f := fx,y,e G L, удовлетворяющая условиям
7(т) - /(ж) < £, 7(у) - /(у) > -£•
<1 =>: Очевидно.
•<=: На основании 3.2.10 и 3.2.11 можно считать, что f = 0. Возьмем £ > 0. Зафиксируем ж G Q и рассмотрим функцию gy := fx,y,e G L. Пусть Vy := {у G Q : gy(q) > — £}. Тогда Vy — открытое множество и у Е Vy. В силу компактности Q найдутся yi,..., yn G Q, для которых Q = Vyi U ... U Vyn. Положим fx := дУ1 V ... V дУп. Ясно, что fx G L. Помимо этого, /Ж(ж) < £ и /ж(у) > —£ при всех у Е Q. Пусть теперь Ux := {q G Q : fx(q) < £}. Множество Ux открыто и ж G Ux. Вновь используя компактность Q, подыщем Ж1,... ,xm G Q такие, что Q = UX1 U...UUXm. Положим, наконец, I:= fX1 /\.. .AfXm. Несомненно, что I G L и ||Z|| < £. [>
10.8. Пространство C(Q. R)	239
10.8.6.	Замечание. Предложение 10.8.5 называют обобщенной теоремой Дини (ср. 7.2.10).
10.8.7.	Лемма Какутани. Для любой подрешетки L в С(Q, R) выполнено
clZ= Q cl(L{gi,g2}).
(9i.92)e<?2
<1 Включение cl Л в cl(T{Q1 g2j) для каждого (</i, <72) G Q2 бесспорно. Если же f G c1(^{qi,q2}) пРи всех таких <71, <72, то, в силу предложения 10.8.5, f G clE. [>
10.8.8.	Следствие. Для любой векторной подрешетки L в пространстве C(Q, R) справедливо представление
= А
(qi,Q2)eQ2
<1 В данном случае множество Ь{91192} замкнуто. [>
10.8.9.	Определение. Говорят, что множество U в Ж'З разделяет точки Q, если для любых точек <71, <72 G Q таких, что <71 7^ <72, существует функция и Е U, принимающая различные значения в этих точках: м(щ) / «.(<72).
10.8.10.	Теорема Стоуна. Содержащая постоянные функции, разделяющая точки векторная подрешетка в пространстве C(Q, R) плотна в C(Q, К).
<1 Если L — рассматриваемая подрешетка, то
= C(Q, ®){gi,g2}
для всякой пары (<71, <72) G Q2 (см. 10.8.4 (6)). Осталось привлечь 10.8.8. О
10.8.11.	Пусть р G C(Q, >)'. Положим
^(ц):= {f G C(Q, R) : [0, \f\] C ker/z}.
Тогда существует, и притом единственное, замкнутое подмножество supp(p) в Q такое, что
f G ^Е(д) 0/1	, . = 0.
•'	J Isupp(^)
240
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
<1 По лемме о сумме промежутков 3.2.15
[о, \f\] + [о, И = [0, \f\ + \g\].
Таким образом, f,g& Д^(р) => \f\ + |р| € ^/(д). Поскольку -'Е(д) — порядковый идеал, т. е. (/ G Д^р) & 0 < |р| < \ f\ => g G Д^р)), заключаем, что Д^р) — это векторное подпространство. Более того, Д^р) замкнуто. В самом деле, пусть fn > 0, fn f и fn G Д^р). Тогда для g G [0, f] выполнено g Л fn g и g Л fn G [0, fn\. Отсюда следует, что p(g) = 0, т. е. f G Д^р).
В силу 10.8.8, учитывая, что Д^р) — порядковый идеал, имеем
= П ДДрДРг qCQ
Определим множество supp(//j следующим образом:
q G supp(/i) О ДГ(p){q} / C(Q, R) О (/ G ДГ(р) => f(q) = 0).
Несомненно, что supp(/i) — замкнутое множество. При этом справедливы соотношения
-У(м)= П -Т(м){9} = gesuppt»
= {/ е С(<г, В) : /|,пввМ = 0}.
Утверждение об единственности вытекает из нормальности Q (см.
9.4.14) и теоремы Урысона 9.3.14. [>
10.8.12.	Определение. Множество зирр(д), фигурирующее в предложении 10.8.11, называют носителем р (ср. 10.9.4 (5)).
10.8.13.	Замечание. Если функционал р положителен, то
^W = {/£C(Q, R): ц(|/|)=0}.
Следовательно, если при этом p(fg) = 0 для всех g G C(Q, R), то
•^Isupp(m) = °’ Аналогично supp(M) = 0 -G> ,/lz(//.) = C(Q, R)
10.8. Пространство C(Q. R)
241
ц = 0. Таким образом, обращаться с носителями положительных функционалов удобнее.
Пусть F — замкнутое подмножество Q. Говорят, что F несёт // или что в X \ F нет //, если для всякой непрерывной функции f, у которой supp(/) С Q \ F, выполнено ц(|/|) = 0. Носитель supp(/i) несёт ц, при этом любое несущее // замкнутое множество в Q содержит siippf//). Иными словами, носитель // — это дополнение наибольшего открытого множества, в котором нет // (ср. 10.10.5 (6)).
Полезно уяснить, что в силу 3.2.14 и 3.2.15 с каждым ограниченным функционалом // можно связать положительные (а потому и ограниченные) функционалы ц+, ц_, |ц|, определенные для f G C(Q, R)+ очевидными равенствами:
М+(/) =sup/z[0, /]; ц_(/) = —inf/z[0, /]; |ц|=ц++ц_.
Более того, C(Q, >)' является /^-пространством (ср. 3.2.16). <[>
10.8.14.	Носители // и |ц| совпадают.
<1 По определению ^Г(ц) = ЛД|ц|). 1>
10.8.15.	Пусть 0 < а < 1 иа/i : / м p(af) при f G C(Q, R) и р, G C(Q, >)'. Тогда |ац| = а|ц|.
<1 Для f G C(Q, R)+ есть оценка
(ац)+(/) = 8ир{ц(ар) : 0 < д < f} < 8ирц[0, af] = = 14 (a Г) = <W+(f)-
Помимо этого,
/'+ = («//• + (1 - а)ц)+ < (ац)+ + ((1 - а)ц)+ < ац+ + (1 - а)ц+ = ц+.
Значит, (ац)+ = откуда и вытекает требуемое. [>
10.8.16.	Лемма де Бранжа. Пусть А — содержащая постоянные функции подалгебра C(Q, Ж) и ц G ext (Л П Bc(q,r)')- Тогда сужение любой функции из А на носитель // — постоянная функция.
<1 Если ц = 0, то supp(/i) = 0 и доказывать ничего не надо. Если же // / 0, то, конечно, ||ц|| = 1. Возьмем a G А. Поскольку подалгебра А содержит постоянные функции, достаточно рассмотреть случай, когда 0 < a < 1 и при этом
q G supp(/i) => 0 < a(g) < 1.
242
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
Положим /щ := ар и р2 := (1 — а)р. Ясно, что pi + Р2 = р, причем функционалы р± и Р2 ненулевые. Более того,
1Ы1<Ы1 + Ы1 =
= sup p(af) + sup ц((1-а)р) = sup p(af + (1 - a)g) < ||ц||, II/II<1 Й11<1	II/||<1,||з||<1
ибо очевидным образом выполнено
a-Bc(Q,R) + (1 - «)Sc(Q,R) С Bc(Q,R)-
Итак, ||/11| = ll/iiH + ||/i2 II- Следовательно, из представления
'‘ = ||"‘||Й + ||И||ЕЛ’
учитывая, что /ii, р2 G заключаем: р± = Ц/zi\\р. В силу 10.8.15, а|ц| = \ар\ = |щ| = П/Xi|| |/ф Значит, |ц|((а - ||щ||1)р) = 0 для всех д G C(Q, R). Используя 10.8.13 и 10.8.14, выводим, что функция а постоянна на носителе р. [>
10.8.17.	Теорема Стоуна — Вейерштрасса. Каждая содержащая постоянные функции и разделяющая точки подалгебра C(Q, R) плотна в алгебре C(Q, R).
<1 По теореме об абсолютной биполяре 10.5.9 в случае, если рассматриваемая подалгебра А не плотна в C(Q, R), подпространство А1- (оно же — А°) в C(Q, R)' ненулевое.
Привлекая теорему Алаоглу — Бурбаки 10.6.7, видим, что А1- П Bc(q,r)z — это непустое абсолютно выпуклое слабо компактное множество, а потому на основании теоремы Крейна — Мильмана 10.6.5 в нем имеется крайняя точка р.
Несомненно, что р — ненулевой функционал. В то же время по лемме де Бранжа носитель р не может содержать двух различных точек, ибо А разделяет точки Q. Носитель р не является одноточечным множеством, поскольку р обращается в нуль на постоянных функциях. Стало быть, supp(/i) — это пустое множество. Последнее означает (см. 10.8.13), что р — нулевой функционал. Получили противоречие, показывающее, что подпространство А плотно в C(Q, R). [>
10.8. Пространство C(Q, R)
243
10.8.18.	Следствие. Замыкание любой подалгебры в C(Q, R) — векторная подрешетка в C(Q, Ж).
<1 По теореме Стоуна — Вейерштрасса можно подыскать многочлен рп такой, что при всех t G [—1, 1] будет
2п
Тогда \рп (0) | < 1/2п. Поэтому для многочлена
Рп(^'-=Рп<3) -Pn(ty
выполнено |рп(£) — |£| | < 1/п при — 1 < t < 1. По построению у рп нет свободного члена. Если теперь функция а лежит в подалгебре А в C(Q, R) и ||а|| < 1, то
|Рп(а(?)) - 1а(?)11 < - (?eQ)-п
При этом элемент q pn(a(q)), конечно же, содержится в А. [>
10.8.19.	Замечание. Следствие 10.8.18 (вместе с 10.8.8) дает полное описание всех замкнутых подалгебр в C(Q, К). В свою очередь, как видно из доказательства, 10.8.18 легко установить, непосредственно предъявляя какую-либо последовательность многочленов, равномерно сходящуюся к функции t |t| на отрезке [—1, 1]. Вывести 10.8.17, опираясь на 10.8.18, не составляет труда.
10.8.20.	Теорема Титце — Урысона. Пусть Qo — компактное подмножество Q и fo G <'<Qo- R)- Тогда существует функция f G C(Q, R) такая, что f\ = f0.
1 SjO
<1 Пусть Qo 0 (иначе нечего доказывать). Рассмотрим вложение l : Qo -» Q и возникающий ограниченный линейный оператор / : C(Q, R) —> C(Qo, R), действующий по правилу if .= f о l. Требуется установить, что l — эпиморфизм. Поскольку несомненно, что im / — это разделяющая точки, содержащая постоянные функции подалгебра C(Qo, R), в силу 10.8.17 достаточно (и, разумеется, необходимо) проверить, что im / — замкнутое подпространство.
244
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
Рассмотрим снижение / оператора / на собственный кообраз coim/ := C(Q, R)/ker l и соответствующее каноническое отображение р. Для f G C(Q, R) положим
д:= (/Asup|/(Q0)|l) V (-sup |/(QO)|1).
По определению /|Qo = p|Qo, т. e. /:= p(f) = p(g). Значит, ||p|| > || f\\. Помимо этого,
II7II = inf{||/i||c(QiR) :	=0} =
= inf{R|c(Q,R) : ^|q0 =/|Qo} >
> inf{||^|Qo ||c-(Q,M) : ^|Qo =/|q0} =
= sup |/(Qo)| = IIpII > H7II-
Таким образом, выполнено
117/11 = ЙН = Й1|с(<50Д) =
= \\д ° t||c(Q0,K) = sup b(Qo) I = llsll = ll/ll,
t. e. T — изометрия. Применяя последовательно 5.5.4 и 4.5.15, выводим сначала, что coim / — банахово пространство, а затем — что im1 замкнуто в C(Qo, К)- Осталось заметить, что im l = im 1. [>
10.9.	Меры Радона
10.9.1.	Определение. Пусть Q — локально компактное топологическое пространство. Полагают K(Q) := K(Q, F) := {f G C(Q, F) : supp(/) — компакт}. Если Q — компакт в О, то считают K(Q) := Kq(Q) := {f G K(Q) : supp(/) C Q}. Пространство K(Q) наделяют нормой || • Ц^. При Е G Op (Q) полагают К(Е~) := U {K(Q) : Q <ё Е}. (Запись Q <s Е для подмножества Е в Q означает, что Q компактно и Q лежит во внутренности Е, вычисленной в пространстве Q.)
10.9.2.	Справедливы утверждения:
(1)	для Q и f G C(Q, F) верно
f\dQ = ^^geK(Q)g\Q = f)y
10.9. Меры Радона
245
При этом KiQ) — банахово пространство;
(2)	пусть Q, Qi, Q-_> — компактные множества и Q Qi х Qi- Линейная оболочка в ('(Q. F) следов на Q функций вида uk  u2(qi, q2) '= uk ® u2(gi, = Mi (91)^2(92) для us e K(QS) плотна в C(Q, IF);
(3)	если Q — компакт, то K(Q) = C(Q, F). Пусть Q не компактно. Тогда при естественном вложении в C(£l', F), где О,' := И U {оо} — александровская компактификация О,, пространство К<(Л) плотно в гиперплоскости {f еС((1, IF) : /(00) = 0};
(4)	отображение Е G Op (fl) ы К(Е) G Lat(K(fl)) сохраняет точные верхние границы;
(5)	для Е', Е" G Op (fi) точна следующая последовательность:
0 К(Е' П Е")	К(Е') х К(Е") ^Е'’Е”\ к(Е’ U Е")	0,
где L(E',E")f-= (J, -f), (pE',E")(f, g\-=f + g-
<1	(1) Граница dQ — это и граница внешности int(fl \ Q).
(2)	Исследуемое множество — подалгебра. Заключение следует из 9.3.13 и 10.8.17 (ср. 11.8.2).
(3)	Можно считать, что F = R. Учитывая, что К (О,) — порядковый идеал, в силу 10.8.8 заключаем требуемое (ибо К (О,) разделяет точки И') (ср. 10.8.11).
(4)	Ясно, что K(sup0) = К(0) = 0. Если <S С Ор (И) и <S фильтровано по возрастанию, то для / G К(и<о’) будет: supp(/) С Е для некоторого Е G S (в силу компактности siipp (./')). Отсюда K(U<?) = U{K(E) : Е G S’}. Пусть, наконец, Ек,..., En G Ор (И) и f G К(Е! U ... U Еп). В соответствии с 9.4.18 имеются ф>к G К(Ек) такие, что SLiV'fe = 1- При этом / = S=iW и supp(/V>fe) С Ek (k:= 1,... , n).
(5)	немедленно следует из (4). [>
10.9.3.	Определение. Функционал ц G K(Q, F)# называют мерой (более полно, Т-мерой) Радона на 9 и пишут р G ^#(П) := ^(Q, IF), если ц\ , . G K(Q)', как только Q И. Используют I А (Ч;)
246
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
обозначения
У fdp:= У f dp:= J f (х) dp(x) := p(f) (f G K(Q)). n
Величину /'(./') называют интегралом f no мере р. В этой связи меру р именуют интегралом.
10.9.4.	Примеры.
(1)	Для 7 G !! мера Дирака ёд : f f(q) (f G К(С1)) служит мерой Радона. Ее часто обозначают символом ёд и называют дельта-функцией в точке q.
Пусть Q дополнительно наделено структурой группы, причем обращение q Е Cl q l G !!и групповое умножение (s, (j t О х!! st G О! непрерывны, т. е. Q — локально компактная группа. Символом ё обозначают ёе, где е — единица Q. Для абелевых (коммутативных) групп используется также символика, связанная со сложением.
В К(С1) для a G О! имеются операторы (левого и правого) сдвигов
(aTf)(q) := af(q) := f(a^q), (Taf)(q)'-= fa(q)'-= /(qaT1)
(f G К (Cl), q & Cl) (сдвигается f в Q x F). Ясно, что ат, та G .С?(К(Cl)). Важным и глубоким обстоятельством является наличие нетривиальной инвариантной относительно левых (соответственно, правых) сдвигов меры из ^(С1, Ж). (Лево)инвариантные меры Радона пропорциональны. (Каждую) ненулевую (левоинвариантную) положительную меру Радона называют (левой) мерой Хаара (реже интегралом Хаара). В случае правых сдвигов используют термин (правая) мера Хаара. Для абелевых групп всегда говорят о мерах Хаара. В пространстве такой мерой служит обычная мера Лебега. В связи с этим для обозначения общих мер Хаара и интегралов по ним используют символику, аналогичную принятой для меры Лебега. В частности, условие левоинвариантности записывают в виде
У f(a~rx)dx = f(x)dx (f G K(Cl), a E Cl). n	n
(2)	Пусть M(Cl):= (K(Cl), || • Цоо)7- Элементы M(Cl) называют конечными или ограниченными мерами Радона. Ясно, что ограниченные меры взяты из пространства С(СГ, Ж/ (см. 10.9.2 (2)).
10.9. Меры Радона
247
(3)	Для р G полагают ц*(/) = ц(/*)*, гДе /*(<?):= f(q)* для q Е £1 и f G К(П). Меру р* называют эрмитово сопряженной к р. Различие р* и р возникает лишь при F = С. Если р = р*, то говорят о вещественной С-мере. Ясно, что р = р± + ip%, где pi, Р2 — единственным образом определенные вещественные С-меры. В свою очередь, вещественная С-мера порождается двумя R-мерами (вещественными мерами из ^(£1, Ж)), ибо K(£l, С) — это комплексификация K(£l, R) (QiK(£l, R). Вещественные Ж-меры, очевидно, составляют /^-пространство. При этом интеграл по мере служит (пред) интегралом и возникает возможность без особых оговорок рассматривать соответствующие лебеговы расширения и связанные с ними пространства суммируемых (в том числе векторнозначных) функций (ср. 5.5.9 (4), 5.5.9 (5)).
С каждой мерой Радона р связывают положительную меру \р\, определенную для f G K(£l, R), f > 0, соотношением
|ц|(/):= sup{|/i(p)| : g€K(£l, F), |р| < f}.
Часто под словом меры понимают положительные меры, прочие меры в этом случае называют зарядами.
Меры р и v называют дизъюнктными или независимыми, если \р\ А |г/| = 0. Меру v называют абсолютно непрерывной относительно р, если v не зависит от мер, независимых от р. Такую меру v можно задать в виде v = fp, где f G Ь1,1Ос(м) и мера fp (с плотностью f относительно р) действует по правилу (fp)(g) := p(fg) <g G K(£l)) (= теорема Радона — Никодима).
(4)	Если £1' G Op (Q) и р & ^(£1), то определено сужение р&' :=	Оператор ограничения р . р&' из ^£(£1)
в ^£(£1') удовлетворяет условию согласования: для 9" С 9' С (1 и р G ^£(£1) верно ра„ = (pq>)q". Эту ситуацию выражают словами: отображение : Е G Op (Q) ы• (Е) и оператор ограничения (= функтор задают предпучок (векторных пространств). Полезно убедиться, что отображение ограничения мер Радона не обязано быть эпиморфизмом.
(5)	Пусть Е G Op (Q) и р Е ^(£1). Говорят, что в Е нет р или что £1\Е несёт р, если рд = 0. На основании 10.9.2 (4) существует наименьшее замкнутое множество supp(//), несущее р, —
248
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
носитель меры р. Устанавливается, что supp(y) = supp(|/z|). Введенное определение согласовано с 10.8.12. Мера Дирака 6q — единственная с точностью до множителя мера Радона с носителем {<?}.
(6)	Пусть £lk — локально компактное пространство и Pk G	(fc := 1,2). На произведении Qi х П2 существует, и
притом единственная, мера р такая, что для Uk G КДГ) выполнено
У М1(ж)и2(у)сф(ж, у) = У кДж) сфДж) У u2(y) dp2(y).
Ql XQ2	Q1	^2
Используют обозначения р± х//2 :=	®р2 := у. Привлекая 10.9.2 (4),
видим, что для / G K(Qi х П2) значение р± х //2(./') можно вычислить повторным интегрированием (= теорема Фу бини для мер).
(7)	Пусть G — локально компактная группа и заданы р, v Е M(G). Для f G K(G) функция f(s, t):= f(st) непрерывна и |(/z х jz)(/)| < ||ц|| ||zx|| ||/||oo- Тем самым определена мера Радона р* (px.v)(J) (J G K(G)), называемая свёрткой pun. Используя векторные интегралы, получаем представления:
р* v = 6S * 6t dp(s)dv(t) =
GxG
= У 5g*vdp(s) = J p*6tdn(t).
G	G
Пространство ограниченных мер относительно свёртки представляет собой банахову алгебру — свёрточную алгебру M(G). Эта алгебра коммутативна в том и только в том случае, когда G — абелева группа. В названном случае пространство L\(G), построенное относительно меры Хаара т, также обладает естественной структурой свёрточной алгебры (подалгебры M(G)). Ее называют групповой алгеброй G. Таким образом, для f, д Е Li(G) определения свёрток функций и мер согласованы (ср. 9.6.17): (f*g)dm = fdm*gdm. Аналогично определяют свёртку р G M(G) uf€ Li(G) соотношением (р * f)dm := р * (/dm), т. е. как плотность свёртки относительно меры Хаара. При этом, в частности,
f*g = у crx*gf(x) dm(x) = f Tx(g)f(x) dm(x).
10.9. Меры Радона
249
Теорема Бенделя. Пусть Т G B(Li(G)). Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(i)	существует мера р G М (G) такая, что Tf = р* f при f G bi(G);
(ii)	Т перестановочен со сдвигами: Тта = таТ для a G G, где та — единственное ограниченное продолжение оператора сдвига с K(G) на L\(G)-,
(iii)	T(f * д') = (Tf)*g при f, g G L^G);
(iv)	T(f * //) = (Tf) *ндляне M(G), f G Li(G).
10.9.5.	Определение. Пространства К (Of и приведены в двойственность (индуцированную двойственностью К (О,) К(П)7’4). При этом пространство наделяют локально выпуклой топологией	К(£1)), которую обычно называют широ-
кой. Пространство К(Q) в свою очередь снабжают топологией Макки тк(а) := т(К(£1), ^#(П)) (поэтому, в частности, (К(£1), тк^)' = ^#(П)). Пространство ограниченных мер М(£1) рассматривают, как правило, с сопряженной нормой: |ф|| := sup{|/i(/)| : ||/||со < 1, f G К(П)} (р G М(П)).
10.9.6.	Топология — сильнейшая из таких локально выпуклых топологий, что вложение К(Q) в К (Q) непрерывно при всех Q, для которых Q <£ Q (т. е. — топология индуктивного предела (ср. 9.2.15)).
<1 Если т — топология индуктивного предела и р G (К(£1), т)', то по определению р G ^#(П), ибо р о lk(q) непрерывно при Q П. В свою очередь, для р G ^#(П) множество Vq := {f G K(Q) : ф(/)| < 1} — окрестность нуля в K(Q). Учитывая определение т, видим, что U {Eq : Q <s Q} = {f G K(tl) : \p(f)\ < 1} — окрестность нуля в т. Стало быть, р G (К(£1), т)' и т согласована с двойственностью. Поэтому т <
С другой стороны, если р — полунорма из зеркала топологии Макки, то р — опорная функция субдифференциала в ^#(П). Следовательно, ее сужение q:= р о tK(<?) на K(Q) во всяком случае полунепрерывно снизу. По теореме Гельфанда 7.2.2 (из-за бочечности K(Q)) полунорма q непрерывна. Значит, вложение lk(q) : K(Q) (К(О,), тх((2)) непрерывно и т >	по определению индуктивного
предела. [>
250
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.9.7.	Множество А в K(RN) ограничено (в топологии индуктивного предела), если sup ||А||< +оо и, кроме того, носители элементов А лежат в общем компакте.
<1 Пусть вопреки доказываемому для Q <<= Rw не верно, что А с K(Q). Иначе говоря, пусть для n G N имеются qn G Rw и an G А, для которых an(qn) ±0и \qn\ > п. Взяв В := {n|an('/nj^ёЧп : n G N}, видим, что это множество мер Радона широко ограничено и, стало быть, полунорма p(f) := sup{|/i|(|/|) : р G В} непрерывна. При этом p(an) > n|an(<7n)|_15Qri(|ап|) = п, что противоречит ограниченности А. [>
10.9.8.	Замечание. Пусть (/„) С K(RW). Пишут fn /<0, если (3Q (§ >w)(Vn) supp(/„) С Q & ||/п||оо —> 0. Из 10.9.7 немедленно следует, что р G	является мерой Радона, если p(fn) —» 0,
как только fn к0. Отметим также, что это сохраняется для любого локально компактного Q, счетного в бесконечности, т. е. представляющего собой объединение счетного семейства компактных пространств.
10.9.9.	Замечание. На R существуют последовательности вещественных положительных многочленов (рп) такие, что меры pndx широко сходятся к ё при п +оо. Рассматривая произведения мер, приходим к таким полиномам Рп на пространстве R^^, что Pndx широко сходятся к ё (здесь, как обычно, dx:= dx\ х ... х d.x,\; — мера Лебега на Rw).
Пусть теперь f G T^R^ и f принадлежит классу сА™-) в некоторой окрестности компакта Q (т. е. имеет там соответствующие непрерывные производные). Рассматривая свёртки (/ * Рп), видим, что это последовательность многочленов, равномерно аппроксимирующая на Q как f, так и ее производные до порядка т включительно.
Возможность подобной регуляризации принято называть обобщенной теоремой Вейерштрасса в Rw (ср 10.10.2 (4)).
10.9.10.	Теорема о локальном задании меры. Пусть S — открытое покрытие О, и (,ре)ее^ — семейство мер Радона: ре G .^(Е), причем для любой пары (Е', Е") элементов S сужения мер Ре' и ре" на Е' П Е" совпадают. Тогда существует, и притом единственная, мера р на £1, сужение которой на Е равно ре для любого
10.9. Меры Радона
251
<1 Привлекая 10.9.2 (5), построим последовательность
К(Е' П Е")	°’
{Е',Е"}	Ее£
Е',Е''е^Е'^Е''
где / порождено суммированием «координатных» вложений Ь(е’,е”), a a — обычное сложение. Прямые суммы по общему правилу топо-логизированы как индуктивные пределы (ср. 10.9.6).
Убедимся в точности построенной последовательности. Поскольку выполнено К(£Г) = Uq^qK(Q), с учетом 10.9.2 (4), можно ограничиться случаем конечного покрытия и установить точность во втором члене.
Итак, пусть для покрытий из п элементов {Е±,... ,Еп} (п > 2) доказано, что точна последовательность
п
кп П К{/^> К(Е' U • • • и Еп) 0,
к=1
где ьп — «сужение» / на Кп, а отображение <тп — суммирование и Кп:= П K(EkQEt).
k<l
k,lE{l,...,n}
По допущению шщ, = кег<т„. Если an+1(f, /n+i) = 0, где f := (/i> • • • > fn)y то ffnf = —fn+i и fn+i G K((Ek U ... U En) П En_|_i).
На основании эпиморфности an, обеспеченной 10.9.2 (5), существуют 0k G К(Ек П £/n+i) такие, что для 0 := (ф,... ,0n) будет On0 = — fn+i- Отсюда (f — 0) G ker<r„ и по допущению можно подобрать x G Kn, для которого = f — 0. Ясно, что
п
Кп+1 =	X	К(Ек П En+i)
к=1
(с точностью до изоморфизма), 5?:= (х, 0к,..., 0п) G Кп+к и = (f, /п+1)-
Переходя к сопряженной диаграмме (ср. 7.6.13), имеем точную последовательность
0	^(П) П ^(Е) PL П лк(е' п Е").
Ее£	{Е',Е"}
Е' ,Е" е£ ,Е'
Это и требовалось установить. [>
252
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.9.11.	Замечание. В топологии предпучки, допускающие такую возможность локального задания своих элементов, называют пучками. В этой связи утверждение 10.9.10 выражают словами: предпучок мер Радона fi ы• ^#(fi) — это пучок или, более категорично, функтор — пучок (ср. 10.9.4 (4)).
10.10.	Пространства @(Q) и
10.10.1.	Определение. Основной или пробной называют финитную гладкую функцию f :	IF. При этом пишут f G
:= @(RN, F). Для Q и fi G Op (Rw) полагают 0(Q) := {f &	: supp(/) C Q} и ^(fi) := U {^(Q) : Q <s fi}.
10.10.2.	Справедливы утверждения:
(1)	= О о int Q = 0;
(2)	пусть Q (£ и
II/IUq:= E \\daf\\c(Qy-= |cn|<n
:= E sup|(a^...3“"/)(Q)l
ae(Z+)N
для гладкой (в окрестности Q') функции f (как обычно, Z+ := NU {0}). Мультинорма ЭЛд := {|| • ||n,Q : п £ I '} превращает ^(Q) в пространство Фреше;
(3)	пространство гладких функций C^/fi) := to’(fi) на fi G Op (Rw) с мультинормой ЭЛ<2 := {|| • ||п д : п G N, Q <£ fi} — пространство Фреше. При этом ^(fi) плотно в C^/fi);
(4)	пусть Qi R^} Q2 RM и Q Qi х Q2. Линейная оболочка в 0(Q) следов на Q функций вида /1/2(91, 9г) := /1 ® /2(91, 92) := /1 (Q1)/2(Q2), где Qk G Qk, fk G ^(Qfe), плотна в ^(Q);
(5)	отображение E G Op (fi) ы• @(E) G Lat (^(fi)) сохраняет точные верхние границы:
@(Е' П Е”) = ^(Е') П ^(Б"),
@(Е' U Е”) = ^(Е') + ^(Б");
^(U<f) = ^(U {^(Б) : Е G <Г}) Op (fi)).
10.10. Пространства ^(П) и ^'(Q)
253
При этом точной является следующая последовательность (ср. 10.9.2 (5)):
0	^>(Е' П Е") L(e'e”\ @(е') х @(Е") ^Е'Е”\ @(Е' U Е")	0.
<1 (1) и (2) очевидны.
(3)	Выбираем последовательность (Qm)meN, для которой Qm <<= П, Qrn <S Qm+1, UmeNQm = Q. При этом мультинорма {|| • ||n,Qm : n G N, m G 11} счетна и эквивалентна Ссылка на 5.4.2 обосновывает метризуемость. Полнота сомнений не вызывает. Для установления плотности ^(П) в С/ДО) рассмотрим множество сре-зывателей Tr (Q) := {ф G ^(П) : 0 < ф < 1}. Превращаем Tr (Q) в направление, полагая V'l < Ф2 <=> supp(V'i) С 1ш{'02 = 1}- Ясно, что для f G Cqo (Я) сеть (V'/)v’6Tr (п) аппроксимирует f нужным образом.
(4)	Пусть a(q', q") := a'(q')a"(q"), где а', а" — усредняющие ядра в ВД и в соответственно, a q' G ВД и q" G хЛ4. Для f G ^(Q), mg Мне >0 подберем х из условия \\f — f * ах||тд < е/2. Учитывая равностепенную непрерывность семейства & := {da f (q)rq(ax) : |о| < т, q G Qi x Q2}, найдем конечные множества Д' С Qi, Д" С Q2 так, чтобы интеграл каждой функции из .У с точностью до 1/2 (N + 1) т£ аппроксимировался суммой Римана, отвечающей точкам из Д' х Д". Возникающая при этом функция f из ^(Q) требуемая, т. е. \\f - /||m,Q < е.
(5)	устанавливают как 10.9.2 (4) с заменой 9.4.18 на 9.6.19 (2). [>
10.10.3.	Замечание. Для проверки 10.10.2 (4) можно применить обобщенную теорему Вейерштрасса, соединенную со срезыванием, обеспечивающим финитность конструируемых приближений.
10.10.4.	Определение. Функционал и G ^(П, В)# называют обобщенной функцией или распределением (иногда добавляют ссылку на природу поля IF) и пишут и G ^'(Q) := ^'(Q, F), если и 1©(<?) @'(Q) '=	, как только Q Q. Используют обычные обо-
значения (и, f) := (f | и) := u(f), а иногда и наиболее выразительный единый символ
/(ж)ы(ж) dx:= u(f) (f G ^(П)).
254
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.10.5.	Примеры.
(1)	Пусть д G ^1,1ос(^ЛГ) — некоторая локально интегрируемая функция. Тогда отображение
ыз(/):= У f(x)g(x)dx (/G^(fi))
задает распределение ид. Обобщенные функции такого вида называют регулярными. Для обозначения регулярной обобщенной функции ид используют более удобный символ д. В этой связи, в частности, пишут: ^(Q) С ^'(П) и ид = \д).
(2)	Каждая мера Радона — распределение. Всякое положительное распределение и (т. е. такое, что f > 0 => и(/) > 0) задано положительной мерой.
(3)	Говорят, что распределение и обладает порядком не выше т, если для любого Q существует число 1g такое, что
I4f)| <MI/IU,Q (/G^(Q)).
Естественным образом вводят понятия порядка распределения и распределения конечного порядка. Разумеется, не каждое распределение обязано иметь конечный порядок.
(4)	Пусть а — мультииндекс: a G (^+)N ии — распределение: и G ^'(П). Для f G ^(П) полагают (Э“и)(/):= (—1)1“Ф(Э“/). Возникающее распределение даи называют производной и (порядка а). Говорят также об обобщенном дифференцировании, о производных в смысле теории распределения нт. п., применяя обычные символы.
Производная (ненулевого порядка) меры Дирака — это не мера. В то же время ё G ^'(R) служит производной функции Хевисайда ё^ := Н, где Н : R —> R — характеристическая функция R+. Если производная (регулярной) обобщенной функции и — регулярное распределение ид, то д называют производной и в смысле Соболева. Для основной функции такая производная совпадает с обычной.
(5)	Для и G ^'(П) полагают w*(/) := u(/*)*. Возникающее распределение и* называют (эрмитово) сопряженным к и. Наличие инволюции * позволяет, как обычно (ср. 10.9.3 (3)), говорить о вещественных распределениях и о порождении с их помощью комплексных обобщенных функций.
10.10. Пространства ^(П) и ^'(Q)
255
(6)	Пусть Е G Op (Q) и u G ^'(Q). Для f G 3t(E), очевидно, определен скаляр u(/). Тем самым возникает распределение ue Е 3'(Е), называемое сужением и на Е. Очевидно, что функтор 3 — это предпучок.
При и G 3'(О) и с Op (Q) говорят, что в Е нет и, если ue = 0. В силу 10.10.4 (5), распределения и нет и в объединении тех открытых подмножеств в Я, в которых и отсутствует. Дополнение (до наибольшего открытого множества, в котором нет и, называют носителем и и обозначают supp(u). Отметим, что supp(<9“u) С supp(u). Кроме того, распределение с компактным носителем имеет конечный порядок.
(7)	Пусть и G ^'(П) и f G (ДДИ). Для д G 3(0) будет fg G 3(0). Полагают (fu)(g):= u(fg). Возникающее распределение fu называют произведением f на и. Пусть теперь Tr (Q) — направление срезывателей. Если существует предел Пт^етг(^) и(/-ф), то говорят, что и применимо к функции f. Ясно, что распределение и с компактным носителем применимо к любой функции из Ссо(П). При этом и G S'*(О) := (ДДИ)'. В свою очередь, каждый элемент и G S'*(О) (см. 10.10.2 (3)), очевидно, однозначно определяет распределение и G 3'(О) с компактным носителем.
Если f G (ДДИ) и d“/|supp(u) = О ПРИ всех а, для которых |а| < т, где и — распределение с компактным носителем порядка не выше т, то, как можно удостовериться, u(f) = 0. В частности, отсюда следует, что точечный носитель имеют только линейные комбинации меры Дирака и ее производных. <[>
(8)	Пусть Qi, О2 G Ор (В^) и гц G 3'(Ok). На произведении Qi х П2 существует, и притом единственное, распределение и такое, что для Д G 3(Ok) выполнено м(ДД) = М1(Д)М2(Д)-Это распределение обозначают щ х и2 или же щ ®и2. Привлекая 10.10.2 (4), видим, что для / G 3(Ot х П2) значение u(f) можно найти последовательным применением щ и и2. Точнее говоря,
u(f) = и2(у еО2^ u1(f(-, у))) =
= щ(х	u2(f(x, ))).
В более образных обозначениях имеем теорему Фубини для распределений:
У! f(x, у)(иг х и2)(х, у) dxdy =
Qi XQ2
256
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
^2 (у) dy =
Полезно отметить, что
supp(ui х U2) = supp(ui) х supp(it2).
(9)	Пусть u, v е 3T(RN). Для f G ^(RN) положим + +
f ;= f о +. Ясно, что f G CooQ^ x Rw). Говорят, что распределения u и v свёртываемы, конволютивны или сворачиваемы, если произведение uxv применимо к любой функции f С <'Д_(хл/ х R^^) для f G ^(RN). Легко видеть (ср. 10.10.10), что возникающий линейный функционал / » (и х г>)(/) (/ G ^(Rw)) является распределением. Его называют свёрткой и и v н обозначают и * v. Несомненно, что свёртки функций (см. 9.6.17) и мер на Rw (см. 10.9.4 (7)) представляют частные случаи свёртки распределений. В некоторых множествах любая пара распределений сворачиваема. Например, пространство <o'(RN) распределений с компактными носителями с операцией свёртки в качестве умножения представляет собой (ассоциативную, коммутативную) алгебру с единицей — дельтафункцией 6. При этом даи = да6 * и, да(и * v) = даи * v = и * дап. Кроме того, имеет место замечательное равенство (= теорема Ли-онса о носителях):
со (supp(u * v)) = со (supp(u)) + со (supp(«)).
Подчеркнем, что попарная сворачиваемость распределений не обеспечивает, вообще говоря, ассоциативности свёртки ((1*<5')*<5(1) = 0 и 1 * (д' * А11-1) = 1, где 1 := 1К).
Каждое распределение и сворачиваемо с основной функцией f до регулярного распределения (и* /)(ж) = и(тж(/~)), где f~:= f — отражение f, т. е. f фж) := /(—ж) (ж G Rw). Оператор и* : J i-> u*f действует из ^(RN) в C^R^), непрерывен и перестановочен со сдвигами: (и*)тх = тхи* для ж G Rw. Легко видеть,
10.10. Пространства ^(П) и ^'(Q)
257
что названные свойства характеристические, т. е. если оператор Т из Af(^(RN), C00(Rn')') непрерывен и перестановочен со сдвигами, то существует, и притом единственное, распределение и такое, что Т = и* — именно u(f) := (T'6)(f) для f G !^(RN) (ср. с теоремой Венделя).
10.10.6.	Определение. Пространства ^(П) и ^'(П) считают приведенными в двойственность (индуцированную двойственностью ^(П)	^(Q)#). При этом пространство ^T(Q) наделяют топо-
логией пространства распределений — <т(^'(П), ^(П)), а ^(П) — топологией пространства основных функций — топологией Макки т@:=т@(п):=т(^(П), ^'(П)).
10.10.7.	Пусть Q G Op (R^). Тогда
(1)	топология ту — сильнейшая из таких локально выпуклых топологий, что вложение 0(Q) в ^(П) непрерывно при Q <£ Q (т. е. т^> — топология индуктивного предела);
(2)	множество А в ^(П) ограничено в том и только в том случае, если для некоторого Q О, множество А попадает в ^(Q) и ограничено в ^(Q);
(3)	последовательность (/„) сходится к f в (^(П), т@) в том и только в том случае, если имеется компакт Q Q такой, что supp(/„) С Q, supp(/) С Q и (dafn) равномерно на Q сходится к f для всех мультииндексов а (символически: fn f);
(4)	оператор Т е Af(^(fl), Y), где Y — локально выпуклое пространство, непрерывен в том и только в том случае, если Tfn —> 0, как только fn 0;
(5)	каждая дельтообразная последовательность (Ьп) служит (свёрточной) аппроксимативной единицей как в @(Rn), так и в @'(Rn), т. е. для f G @(RN) и u G @'(Rn) верно: Ьп * f f (в @(RN)) и bn * u u (в ®'(Rn)).
<1 (1) устанавливается как 10.9.6, а (2) — по аналогии с 10.9.7 с учетом представления Q в виде объединения Q = Une®Qn, где Qn Qn+i Для n e N.
(3)	Следует заметить, что сходящаяся последовательность ограничена, а затем привлечь 10.10.7 (2) (ср. 10.9.8).
258
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
(4)	В силу 10.10.7 (1) непрерывность Т равносильна непрерывности сужений для Q <s Я. В силу 10.10.2 (2) пространство 0(Q) метризуемо. Осталось сослаться на 10.10.7 (3).
(5)	Ясно, что носители supp(6„ * /) лежат в некоторой компактной окрестности supp(/). Помимо этого, для д G C^RA^) очевидно, что Ьп * д д равномерно на компактных подмножествах Rw. Применяя последнее утверждение к daf и учитывая (3), видим: bn* f f.
С учетом 10.10.6 (8) для f G @(RN) имеем
«(/) = (к * /)(0) = lim(u * (bn * /))(0) = п
= lim((u * 6„) * /)(0) = lim(bn * u)(J). [>
10.10.8.	Замечание. В связи с 10.10.7 (3) для Я G Op(Rw) и m G Z+ часто выделяют пространство ^т)(Я) := С',1 2,"'1 (Я), составленное из финитных функций f, все производные которых daf при |а| < m непрерывны. Пространство ^m\Q):= {f G ^т)(Я) : supp(/) С Q} для Q <£ Я снабжают нормой || • ||m,Q, превращая его в банахово. При этом	наделяют топологией индуктивного
предела. Таким образом, ^°)(Я) = К(Я) и ^(Я) = ПтоеК^(т)(Я). Сходимость в (Я) последовательности (/„) к нулю означает равномерную сходимость с производными до порядка m на Q Я, где supp(/„) С Q для всех достаточно больших п. Подчеркнем, что ^(т) (Я)' составлено распределениями порядка не выше тп. Соответственно
^(Я):= J ^(т)(Я)'

— пространство всех обобщенных функций, имеющих конечный порядок.
10.10.9. Пусть Я G Op (Rw). Тогда
(1) пространство ^(Я) бочечно, т. е. каждое абсолютно выпуклое замкнутое поглощающее множество (= бочка) в нем — окрестность нуля;
(2) любое ограниченное замкнутое подмножество ^(Я) компактно, т. е. ^(Я) — монтелево пространство;
10.10. Пространства ^(Н) и ^'(Q)
259
(3) всякое абсолютно выпуклое множество в ^(Н), поглощающее каждое ограниченное множество, является окрестностью нуля, т. е. ^(Н) — борнологическое пространство;
(4) основные функции плотны в пространстве обобщенных функций.
<1 (1) Бочка V в ^(П) такова, что Vq := V П ^(Q) — бочка в ^(Q) при Q <£ Q. Стало быть, Vq — окрестность нуля в ^(Q) (см. 7.1.8).
(2)	Такое множество лежит в ^(Q) для некоторого Q £1 в силу предложения 10.10.7 (2). На основании 10.10.2 (2), ^(Q) метризуемо. Учитывая 4.6.10 и 4.6.11, последовательно приходим к требуемому.
(3)	следует из борнологичности ^(Q) при Q £1.
(4)	Пусть g G | ^(П))°, где указанная поляра вычисляется для двойственности ^(П)	^'(Н). Ясно, что для f G ^(П) выполнено
=	0, т. е. J g(x)f(x) dx = 0. Итак, g = 0. Остается сослаться на 10.5.9. [>
10.10.10.	Теорема Шварца. Пусть (uk)kE^—последовательность распределений и для каждого f G ^(П) имеется сумма
u(jy-=^uk(JY
к=1
Тогда и — распределение, причем
dau = ^Tdauk к=1
для всякого мультииндекса а.
<1 Непрерывность и обеспечена 10.10.9 (1). Помимо этого, при f G ^(Н) по определению (см. 10.10.5 (4))
Э“п(/)=
= и ((-1)1“1Э“/) =	((-1)1“1Э“/) =
к=1
= ^Tdauk(f). О к=1
10.10.11.	Теорема. Функтор £&' —пучок.
<1 Очевидно (ср. 10.9.10 и 10.9.11). 1>
260
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.10.12.	замечание. Возможность задания распределения локальными данными, т. е. принцип локализации для обобщенных функций, констатированный 10.10.11, допускает уточнение ввиду паракомпактности Именно, если S — открытое покрытие И и и G З^'(П) — распределение с локальными данными (uE}E^g, то можно взять подчиненное S счетное (локально конечное) разбиение единицы (V'fe)feeN- Видно, что и = Фки-к, где ик := иЕк и supp(V>fe) С Ек (fc G N).
10.10.13.	Теорема. Обобщенная функция и на О, порядка не выше тп допускает представление в виде суммы производных мер Радона:
| си| <т
где Щ, G
<1 Пусть сначала и обладает компактным носителем supp(u) и Q <£ И — компактная окрестность supp(u). По условию (ср. 10.10.5 (7) и 10.10.8)
\4f)\<t £	(/еЭД))
| си| <т
при некотором t > 0.
Привлекая 3.5.7 и 3.5.3, с учетом 10.9.4 (2) имеем
u = t на о да = t	(—l)'“'5“z/a
|cn|<m	|cn|<m
для подходящего семейства (гсе)|се|<т, где va G |9|(|| • ||оо).
Переходя теперь к общему случаю, рассмотрим некоторое разбиение единицы (V'fe)feeN, образованное такими фк G ^(П), что окрестности Qk носителей suppf'ip/,) составляют локально конечное покрытие Q (см. 10.10.12). Для распределений (Д>ки)к<^ на основании уже доказанного имеем
Фки = дарк^а,
|си|<т
где цк а — меры Радона на Q, причем supp(/ifeiCe) С Qk.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений
261
Привлекая теорему Шварца 10.10.10, сразу видим, что определена сумма
Ма(/) := У }йк,а(/)
к=1
для f G К (О.) и возникающее распределение //„ — мера Радона. Вновь апеллируя к 10.10.10, получаем:
м = У? У? эайк,а = У2 f = У2да^-
к=1	к=1 |cn|<m	|си|<т \ к=1	/ |си|<т
Это и требовалось. [>
10.10.14.	Замечание. Утверждение 10.10.13 часто называют теоремой об общем виде распределений. Она допускает разнообразные обобщения и уточнения. Например, можно убедиться, что мера Радона с компактным носителем служит обобщенной производной (подходящего порядка) некоторой непрерывной функции, что позволяет локально рассматривать любую обобщенную функцию как результат обобщенного дифференцирования обычной функции.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений
10.11.1.	Пусть X — ненулевой функционал, заданный на пространстве Li (Rw) := Zi (аУ С). Эквивалентны утверждения:
(1)	х — характер групповой алгебры (Li(Rn), *), т. е. Х^0, х&Щ^Уи
х(/ * g} = x(/)x(s) (/, р е bi (>w))
(символически: х G X(Zi(Rw)), ср. 11.6.4);
(2)	существует, и притом единственный, вектор t G Rw такой, что для каждого f G Li (RA^) выполнено
X(f) = f(ty.= (/*et)(0):= У	dx.
RN
<1 (1) => (2): Пусть x(/)x(p) / 0. Если x G T0
x(4 * f * g) = x(4 * f}x(g} = x(4 * g}x(f}-
262
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
Положим Л(ж):= х(/)	* /)• Тем самым корректно определено
непрерывное отображение ф : BLW —> С. При этом для х, у G XX будет
Ф(х + у) =
= х(/ * д)~1х^х+У *(f* у)) =
= х(.Л М.Л 1 • Х^х * f *6у*д) =
= х(.Л МЛ. * ЛхЛ) МЛ, * д) =
= ЛСЛЛ(у),
т. е. Л — групповой (унитарный) характер: Л G Х(ХХА')- Анализ показывает, что Л = et для некоторого (очевидно, единственного) t G ВЛ. При этом с учетом свойств интеграла Бохнера
х(/)х(у) = x(f*g) = х
R"
R"
R"
Таким образом,
хСЛ = У /(хуф(х)<1х (Л G £i(ffiw)).
RN
(2)	=> (1): Рассматривая f, ди f * д как распределения, для t G выводим:
/*5(Л = м/*з(еЛ =
У У f(x)g(y)et(x + y) dxdy = f f(x)et(x) dx f g(y)et(y) dy =
RN RN
RN
= u/(et)K3(et) = Л(ЛЛ(Л- >
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений	263
10.11.2.	Замечание. Проведенные рассуждения в существенном сохраняются для любой локально компактной абелевой группы G. Характеры групповой алгебры из X(Zi(G)) однозначно связаны с (унитарными) групповыми характерами G, т. е. с непрерывными отображениями 'ф : G С, для которых
\Ф(х)\ = 1, Ф(х + у) = ф(х)ф(у) (x,y&G).
Относительно поточечного умножения множество G := X(G) таких характеров представляет коммутативную группу. Поскольку по теореме Алаоглу — Бурбаки X(Li(G)) локально компактно в слабой топологии a((Li(G))', Li(G)), то G можно рассматривать как локально компактную абелеву группу. Ее называют группой характеров G или двойственной к G группой. Каждый элемент q Е G определяет характер q : q Е G i—> q(q) G С двойственной группы G. Возникающее вложение G в G — изоморфизм локально компактных абелевых групп G и G (= теорема двойственности Понтрягина — ван Кампена).
10.11.3.	Определение. Для функции f G r(®w) отображение f :	—> С, определенное правилом
/(!):= ГД) := (/*et)(0),
называют преобразованием Фурье f.
10.11.4.	Замечание. Термин «преобразование Фурье» трактуют расширительно, допуская удобную вольностью. Во-первых, его сохраняют как для оператора & : ТД®^) ~» CR , действующего по правилу &f := f, так и для модификаций этого оператора (ср. 10.11.13). Во-вторых, преобразование & отождествляют с оператором := f о 0, где 0 — автоморфизм (= изоморфизм на себя) КГ Особенно часто используют функции: 0(х) := ^(ж):= —х, в(х) := 2тг(ж) := 2%® и в(х) := _2тг(ж):= —2%® (ж G 1Г)- Иными словами, преобразование Фурье вводят одной из следующих формул:
^ГД) = У f(x)e-^ dx,
R"
264
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
= j	dx,
RN
^-2.f(t) = J' f(x)e~2™^ dx.
R"
Поскольку группы характеров изоморфных групп изоморфны, есть основания, допуская вольность, применять единое обозначение f для, вообще говоря, различных функций ^f, •	. Выбор сим-
вола ~ для ^2тг (или -2%) диктует подходящее обозначение для ^-2тг (соответственно, для ^2%) (ср. 10.11.12).
10.11.5.	Примеры.
(1)	Пусть /(ж) = 1 при — 1 < х < 1 и /(ж) = 0 для иных ж 6 R. При этом f(t) = 2/1 sin/. Отметим, что при кл > t0 > 0 будет
j \№\dt> j |/(t)|rft=£ у |/(«)|<й>
[to, + co)	[&7Г,+ со)	П~к [птг, (п+1) 7г]
2|silU| <й = 4У______-____
(ПТ1)7Г	г^.'п + 1)7Г
Таким образом, f Li(R).
(2)	Для f G Л1( лл ) функция f непрерывна, причем выполнено неравенство ||/||оо < 11/111-
<1 Непрерывность обеспечена теоремой Лебега о предельном переходе, а ограниченность — очевидной оценкой
\Ш\< У \f(x)\dx =11/11, (1G>W). >
R"
(3)	Для f & £i(ffiw) при \t\ —> Too будет \f(t)\ —> 0 (= теорема Римана — Лебега).
<1 Требуемое очевидно для финитных ступенчатых функций. Остается сослаться на 5.5.9 (6) и то, что & G B(Z1(IR';v), /^(В^)). [>
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений
265
(4)	Пусть f G (Rw), £ > 0 и Л(ж) := /(еж) (ж G Rw). Тогда fE(t) = e-Nf(t/s) (t G >w).
<1 K(i) = У /(еж)е4(ж) dx = £ N f(ex')et/£(ex') dex =
RN	R«
\£ /
(5)	^(D = (^/)*, (rxff = exf, (exff = rxf.
(f G £i(>w), ж G >w.)
<1 Проверим только первое равенство. Поскольку a*b = (ab*)* для а, b G С, то, привлекая нужные свойства сопряжения и интеграла, для t G Rw выводим
(6)	Для f, g Е Li (Rw) выполнено
(/ * s) =fg; У fg= J fg-RN RN
<1 Первое равенство очевидно в связи с 10.11.1. Второе — «формула умножения» — обеспечено следующим применением теоремы Фубини:
У fg = У У /(ж)е4(ж) dxg(t)dt =
RN RN RN
(7)	Если f, f,g£ bi(Rw), то (fg) = f *g.
266
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
<1 При х G имеем
(/Ь) (®) = У P(i)/(i)et(®)di = J J g(t)f(y)et(y)et(x)dydt =
RN	RN RN
= У У /(y)s(i)et(® + y) dtdy =
RN RN
= У + y) dy = У f(y-x)g(y)dy = /~*р(ж). [>
RN	RN
(8)	Для f G &(Rn') и a G (Z+)N выполнено
^(daf) = га	da(&f) = №&(ха/У,
ДЖЛ =	da^f) = (2^)1“1^27Г(Ж“/)
(эти равенства используют широко распространенную вольность в обозначениях ха := 1а := (•)“ : у G 1Я^	у/1 • ... • у^").
<1 Достаточно (ср. 10.11.4) установить формулы из первой строки. Поскольку daet = i^taet, то
^(Э“/)(1)= (е4*Э“/)(0) =
= (Э“е4 * /)(0) = i^ta(et * /)(0) = zl“lt“/(t).
Аналогично, дифференцируя под знаком интеграла, выводим
±.(#Л(О = ^-Рие.<здй =
R"
= У /(жфаце2*-3^-1 dx = ^(ixif)(t). [>
R"
(9)	Если /n^x) := exp (—1/2 |ж|2) при х G то выполнено fN = (27г)м/2/м.
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений
267
<1 Ясно, что
N „
/y(t) = Ц / eitkXke^i''x''2 dxk (t G
Следовательно, дело сводится к случаю N = 1. При этом для у G Ж имеем
А(у) = у e-^x2eixydx = У e-^x-iyf-^ dx = R	R
= Ш У e-^x-iyf dx.
R
Для вычисления интересующего интеграла А рассмотрим в CR ~ >2 (одинаково ориентированные) параллельные вещественной оси прямые Ai и Аг- Применяя классическую теорему Коши к голоморфной функции/(г) := ехр (-г2/2) (zGC) и прямоугольникам с вершинами на Ах и А2 и производя подходящий предельный переход, заключаем: fA f(z) dz= fx f(z) dz. Отсюда выводим:
A = У e ±i:xcy) dx = e~^x dx = у/Ък. [> R	R
10.11.6.	Определение. Пространством Шварца принято называть множество быстро убывающих (иногда говорят умеренных, ср. 10.11.17 (2)) функций
JZ(>W):=
:= {f G	: (Vo,/3 G (Z+)';v) |ж| —> +oo => xad/3f(x') 0}
(рассматриваемое как элемент решетки функций из в С) с мультинормой {ра</3 : а, /Зе (Z+)w}, гдера,ц(/):=	(ср. с при-
мером 5.1.10 (6)).
10.11.7.	Справедливы утверждения:
(1)	Sfi(RN') —пространство Фреше;
(2)	операторы умножения на многочлен и дифференцирования — непрерывные эндоморфизмы
268
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
(3)	топологию	задает следующая (эквивалентная
исходной) мультинорма {pn : п с Г'}- где
Pn(jy.= £ ||(1 + | • |2гэ“/|и |си|<п
(как всегда, |ж| — евклидова длина вектора х G R^^);
(4)	пространство S>(RN) плотно в (R^^); помимо этого, вложение +('+v) в S^(RN) непрерывно и .+ ('+v)' с ^'(RN);
(5)	J+(RW) С+i(Rw).
<1 Установим (4), ибо прочие утверждения проще.
Пусть f G S^(RN) и ф — срезыватель из ^(RN) такой, что ж с {ф = 1}. Для х G Rw и £ > 0 положим
^е(т):= y(£x),
Очевидно, Д G @(RN). Возьмем е > 0 и а, /3 G (X+)N. Видно, что при 0 < £ < 1 выполнено sup{||<Э7(^ — 1)||оо : 7 А 7 (Z-f.^} < +оо. Учитывая, что xad/3f(x) —> 0 при |ж| —> +оо, найдем г > 1 такое, что |т“Э/3((^(т) — 1)/(ж))| < £, как только |т| > г. Кроме того, Д(ж) — f(x) = (ф>(Дх) — l)f(x) = 0 при |т| < i;1. Таким образом, при £ < г 1 будет
Ра,/з(Л - /) = sup |т“Э/3((^е(т) - 1)/(т))| < м>+
< sup |т“Э/3((^е(т) - 1)/(т))| < £. ж|>г
Стало быть, ра,1з(/^ - f) -> 0 при £	0, т. е. Д -> f в S^(RN).
Требуемая непрерывность вложения бесспорна. [>
10.11.8.	Преобразование Фурье — непрерывный эндоморфизм S^(RN).
<1 Для f G %>(RN) в силу 10.11.5 (8), 10.11.5 (2) и неравенства
Гёльдера 5.5.9 (4)
\\taf\\00 = \\(daff\\00<\\daf\\1<K\\daf\\00.
Стало быть,
= wt^ffWce < K'Wd^f)^.
Отсюда видно, что f G S^(RN) и сужение на S>(Q) при Q <ё Rw непрерывно. Остается сослаться на 10.10.7 (4) и 10.11.7 (4). [>
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений
269
10.11.9.	Теорема. Повторное преобразование Фурье, рассматриваемое в пространстве Шварца	пропорционально отраже-
нию.
<1 Пусть f G S^(RN) и р(®):= _/jv(a;) = exp (—1/2 |ж|2). С учетом 10.11.8 и 10.11.7 видим, что f, f, g & L1(RN') и, стало быть, на основании 10.11.5 (7), (fg) = f~*g. Положим ge(x) := g(ex) для х G и e > 0. Тогда при тех же х из-за 10.11.5 (4)
У S(ei)f(i)et(®) dt =
R"
= У? У f(y- x)g	dy=/ К£у ~	dy-
RN	RN
Используя 10.11.5 (9) и привлекая теорему Лебега о предельном переходе при £ — 0, получаем:
5(0) У 7(i)et(®) dt = f(-x) J g(y) dy = RN	R«
= (27г)-/(Ж) У c 5 7; dx = (2tt)n f(—®).
RN
Окончательно = (2ir)Nf~. [>
10.11.10.	Следствие, — отражение и (^2%) 1 = ^-2if
<1 Для f G S^(RN) nt G имеем
f(-t) = (2tt)w У e^x^f(x) dx — У е2™(Мд27ГЖ) dx = RN	R«
= (^r(^W))(*).
Учитывая, что ^27г/~=	получаем требуемое. [>
10.11.11.	Следствие. 5^(RN) — свёрточная алгебра (= алгебра относительно свёртки).
<1 Для f, g G 5^ (R^ произведение fg — элемент 5^ (R^ и, стало быть, fgE S^(Rn). С учетом 10.11.5 (6) видим, что ^2тг(/* й) G S^(Rn) и, значит, на основании 10.11.10, f * g = ^"-2%(^2%(/ * s)) € JZ(RW). [>
270
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.11.12.	Теорема обращения. Преобразование Фурье $ '= ^2тг служит топологическим автоморфизмом пространства Швар-на .Д(-Д). При этом свёртка переходит в произведение. Обратное преобразование 3 1 совпадает с и переводит произведение в свёртку. Кроме того, имеет место равенство Парсеваля:
Jfg* = Jfg* (J, ge^(RN)).
RN	R«
<1 В связи с 10.11.10 и 10.11.5 (5) нуждаются в проверке лишь искомые равенства. При этом, на основании 10.11.5 (7) и 10.11.7 (4), (/р)(0) = (/ * s)(0) для рассматриваемых f и д. Привлекая установленное в 10.11.5 (5), заключаем:
У fg* =	=
RN
= У3JW)~^ = У3/3~(<7*)<^ = УЗДЗрГ о
RN	RN	R«
10.11.13.	Замечание. В связи с теоремой 10.11.9 о повторном преобразовании Фурье, иногда наряду с 3 рассматривают следующие взаимнообратные операторы:
Ш	dx-,
(2тг) 2 J
(2%)2 J
RN
При этом имеет место аналог 10.11.12 при условии переопределения свёртки f*g := (2тг) ;V/'2./'* д (J, д & L1(RN')'). Удобства 3 и 3 связаны с небольшими упрощениями формул 10.11.5 (8). В случае 3 аналогичную цель достигают введением для a G (^+)N следующего дифференциального оператора: Da:= (2тгг)~1“1<Э“.
10.11.14.	Теорема Планшереля. Продолжение преобразования Фурье в /Д (R^V) до изометрического автоморфизма пространства L2(RN) существует, и притом единственно.
<1 Обеспечено 10.11.12, 4.5.10 и плотностью Sfi(RN') в L2(RN). 1>
10.11. Преобразование Фурье умеренных распределений	271
10.11.15.	Замечание. За продолжением, гарантированным теоремой 10.11.14, сохраняют прежние название и обозначения. Реже (при желании подчеркнуть различия и тонкости) говорят о преобразовании Фурье — Планшереля или же об /^-преобразовании Фурье и уточняют понимание интегральных формул для и при f G L2(RN) как результатов подходящего предельного перехода b£2(Rw).
10.11.16.	Определение. Пусть и G Sfi'(RN') := ^(RNy. Наименование и — медленно растущее распределение (варианты: обобщенная функция умеренного роста, умеренное распределение и т. п.). Пространство ^'(R^^), составленное из всех умеренных обобщенных функций, наделяют слабой топологией (R^^), Sfi(RN')') и иногда называют пространством Шварца (как и ^(R^).
10.11.17.	Примеры.
(1)	Lp(RN) С ^'(R^^) при 1 < р < +оо.
<1 Пусть f G LP(RN), G ^(R^), р < +оо и 1/</ + 1/р = 1. С помощью неравенства Гёльдера 5.5.9 (4) для подходящих К, К', К" > 0 последовательно выводим:
IK
< л-'НШ + ||(1 + | • |2)>|Ц( / (1 + ^г)„р
RN\B
< К"и(#
Вновь привлекая неравенство Гёльдера, имеем
bwi = i^mi =
У f-Ф q
R"
< \\f\\p IHlk < Кр^уу
Случай p = +oo не вызывает сомнений. [>
272
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
(2)	плотно в .Д'
< Следует из 10.11.7 (4), 10.11.17 (1), 10.11.7 (5) и 10.10.9 (4). О
(3)	Пусть // G	— мера Радона умеренного роста,
т. е. такая, что для некоторого n t I I выполнено
f <Ф1(ж)
J (1+И)"	'
Мера р — это, бесспорно, умеренное распределение.
(4)	Если u G	f G	и a G (Z+)'/v, то fu G
и dau G ^'(R^ в силу 10.11.7 (2). По похожим причинам, полагая Dau(f) := (—l)^uDaf при f G S^(RN), видим, что Dau G и Dau = (2m)-^dau.
(5)	Каждое распределение с компактным носителем умеренно.
<1 Такое u G S>'(RN') в соответствии с 10.10.5 (7) можно отождествить с элементом <o'(RN). Поскольку топология в пространстве сильнее индуцированной вложением в Cq^R^, заключаем: u е	[>
(6)	Пусть u G Sfi'(RN'). Если f G Sfi(RN'), то и сворачиваемо с f, причем и * f G	Можно проверить, что и сво-
рачиваемо также и с любым распределением v из <o'(RN), причем и * v G
(7)	Пусть и G 3P(Rn'), х G Rw и тхи := (т_ж)'и = и о т х — соответствующий сдвиг и. Распределение и называют периодическим (с периодом х), если тхи = и. Периодические распределения имеют умеренный рост. Периодичность сохраняется при дифференцировании и свёртывании.
(8)	Если ип G Sfi'(RN') (tiGN)n для каждого f G Sfi(RN') имеется сумма и(/) := EJEi. ип(Д), то u G	и при этом даи =
E“=i д"ип (ср. 10.10.10).
10.11.18.	Теорема. Любое умеренное распределение — сумма производных умеренных мер.
<1 Пусть u G .5‘"(№.N'). С учетом 10.11.7 (3) и 5.3.7 для некоторых n G N и К > 0 имеем
H/)l < £ IK1 +1 • IW/L (/ g ^(>w)).
I СК | <n
Упражнения 273
Привлекая 3.5.3 и 3.5.7, для некоторых /г, G	получаем
«(/) = мД(1 + I • |2)"9“/) (/ G ^(ffiw)).
I СК| <п
Пусть va:= (—1)1“1(1+| • 2jn//Yl:. Тогда/у,—умеренная мера, причем
и = dava. [>
I СК| <п
10.11.19.	Определение. Преобразованием Фурье (или, полнее, Фурье — Шварца) умеренного распределения и из 67" (RN) называют распределение $и, действующее по правилу
(f\3u) = (3f\u) (/G^(ffiW)).
10.11.20.	Теорема. Преобразование Фурье — Шварца $ — это единственное продолжение преобразования Фурье в 67(RN) до топологического автоморфизма 67"(RN). Обратное отображение 3 1 — единственное непрерывное продолжение обратного преобразования Фурье в .7T-N).
<1	Преобразование Фурье — Шварца представляет собой сопряженный оператор к преобразованию Фурье в пространстве Шварца. Остается только апеллировать к 10.11.7 (5), 10.11.12, 10.11.17 (2) и 4.5.10. О
У пражнения
10.1.	Привести примеры линейных топологических пространств и локально выпуклых пространств и конструкций, приводящих к ним.
10.2.	Доказать, что хаусдорфово топологическое векторное пространство конечномерно в том и только в том случае, если оно локально компактно.
10.3.	Охарактеризовать слабо непрерывные сублинейные функционалы.
10.4.	Доказать, что нормируемость или метризуемость слабой топологии локально выпуклого пространства равносильна его конечномерности.
10.5.	Выяснить смысл слабой сходимости в классических банаховых пространствах.
10.6.	Доказать, что нормированное пространство конечномерно в том и только в том случае, если слабо замкнута единичная сфера (= сильная граница единичного шара).
274
Гл. 10. Двойственность и ее приложения
10.7.	Пусть оператор Т переводит слабо сходящиеся сети в сети, сходящиеся по норме. Доказать, что Т конечномерен.
10.8.	Пусть X, Y — банаховы пространства и Т G (X, Y) — линейный оператор. Доказать, что Т ограничен в том и только в том случае, если Т слабо непрерывен (т. е. непрерывен как отображение (X, <т(Х, X')) в (Y, a(Y, Y'))).
10.9.	Пусть || • ||1 и || • ||2 — две нормы, превращающие X в банахово пространство, причем (X, || • Hi)7 П (X, || • ||2)z разделяет точки X. Доказать, что исходные нормы эквивалентны.
10.10.	Пусть S действует из Y' в Xх. Когда S служит сопряженным оператором к некоторому отображению X в У?
10.11.	Какова топология Макки т(Х, X#)?
10.12.	Пусть (Х^)^е= — некоторое семейство локально выпуклых пространств. Пусть, далее, X := Х^ — их произведение. Доказать, что справедливы представления
<7(Х, X') = JppQ, X');
«es
т(Х, =	Y)'
£GS
10.13.	Пусть X и У — банаховы пространства, Т — элемент В(Х, У) и imT = У. Доказать, что рефлексивность X обеспечивает рефлексивность У.
10.14.	Доказать, что пространства (Х,),/ и (Х,,)/ совпадают.
10.15.	Доказать, что в пространстве cq нет бесконечномерных рефлексивных подпространств.
10.16.	Пусть р — непрерывный сублинейный функционал на У, а Т G Jzf (X, У) — непрерывный линейный оператор. Установить, что для множеств крайних точек справедливо включение ext(Tz(др)) С T'(ext(dp)).
10.17.	Пусть р — непрерывная полунорма на X и &— подпространство X. Доказать, что / G ext(^° Пдр) в том и только в том случае, если справедливо равенство
х = ci х:+ {р - f < 1} - {р - f < 1}.
10.18.	Доказать, что абсолютно выпуклая оболочка вполне ограниченного подмножества локально выпуклого пространства также вполне ограничена.
10.19.	Установить, что борнологичность сохраняется при переходе к индуктивному пределу. Как обстоят дела с иными линейно топологическими свойствами?
Глава 11
Банаховы алгебры
11.1.	Каноническое операторное
представление
11.1.1.	Определение. Элемент е алгебры А называют единичным или единицей алгебры, если е 0 и при этом еа = ае = а для всех a G А.
11.1.2.	Замечание. Как правило, без особых на то указаний, мы будем рассматривать только алгебры с единицами над основным полем F. При этом простоты ради, если явно не оговорено противное, будем считать, что F := С. При изучении представлений таких алгебр естественно условиться, что единицы сохраняются. Иными словами, в дальнейшем представление алгебры А± в алгебре А_> — это такой морфизм (= мультипликативный линейный оператор) А1 в А_>, который единицу алгебры А± переводит в единицу алгебры А_>.
Для алгебры А без единицы проводят «процесс присоединения единицы». Именно, пространство '//,. := А х С превращают в алгебру с единицей, полагая (а, А)(Ь, р) := (аЬ+ра+Хр), где а, Ъ Е А и X, р G С. В нормированном случае дополнительно считают ||(а, А)||^/ := ll«h+|A|.
11.1.3.	Определение. Элемент ar Е А называют правым обратным к а, если ааг = е. Элемент ai G А называют левым обратным к а, если «/« = е.
11.1.4.	Если у элемента есть левые и правые обратные, то они совпадают.
<1 ar = (<ца)аг = <ц(ааг) = <це = а/ [>
276
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.1.5.	Определение. Элемент а алгебры А называют обратимым и пишут a G Inv(A), если у а имеется левый и правый обратный. Полагают а1 := ar = at. Элемент а1 называют обратным к а. Подалгебру (с единицей) В алгебры А называют сервантной (или чистой, или наполненной) в А, если Inv(B) = Inv(A) П В.
11.1.6.	Теорема. Пусть А — банахова алгебра. Для a G А положим La : х ax (х G А). Тогда отображение
L д	L : а ।—> La (a G А)
является точным операторным представлением. При этом Б (А) — сервантная замкнутая подалгебра В (А) и/. : А — ЦА) — топологический изоморфизм.
<1 Для х, а, Ъ Е А имеем
L(ab) : х i—> Lat>(x) = abx = a(bx) = La(Lbx) = (La)(Lb)x,
т. е. L — представление (ибо линейность L очевидна). Если La = О, то 0 = £а(е) = ае = а, так что L — точное представление. Для доказательства замкнутости образа £(А) рассмотрим алгебру Аг, совпадающую с А «как с векторным пространством» и с противоположным умножением ab:= ba (a, b G А).
Пусть R := /<д,, т. е. Ra := Ra : х ха для a G А. Проверим, что £(А) совпадает с централизатором образа Д(А) — с замкнутой подалгеброй
Z(im Д) := {Т G В(А) : TRa = RaT (a G А)}.
В самом деле, если Т G £(А), т. е. Т = La для некоторого a G А, то для каждого b G А будет LaRb(x) = axb = Rb(La(x)) = RbLa(x) иТЕ Z(R(Ay). Если, в свою очередь, Т G Z(7?(A)), то при а:= Те получаем
Lax = ах = (Те)х = Rx(Te) = (RxT)e = (TRx)e = = T(Rxe) = Тх
для всех х G А. Значит, Т = La Е Т(А). Таким образом, £(А) — банахова подалгебра В(А).
11.2. Спектр элемента алгебры
277
Пусть теперь для Т = La найдется 7' 1 в В(А). Для Ъ:= ТА имеем ab = Lab = ТЬ = ТТ~хе = е. Кроме того, ab = е => aba = а => T(ba) = Laba = aba = а = Lae = Те. Отсюда Ьа = е, ибо Т — мономорфизм. Итак, £(А) — сервантная подалгебра в А.
В силу определения банаховой алгебры 5.6.3 выполнено
\\L\\ = sup{||Za|| : ||«|| < 1} = sup{||ab\\ : ||а|| < 1, ||Ь|| < 1} < 1.
Привлекая теорему Банаха об изоморфизме 7.4.5, заключаем, что L — топологический изоморфизм (т. е. Л1 — непрерывный оператор из £(А) на А). [>
11.1.7.	Определение. Представление La, построенное в 11.1.6, называют каноническим (левым) операторным представлением алгебры А.
11.1.8.	Замечание. Каноническое операторное представление позволяет ограничиться в дальнейшем рассмотрением банаховых алгебр, в которых единичные элементы нормированы — имеют единичную форму.
Для алгебры А указанного типа каноническое операторное представление La осуществляет изометрическое вложение Ав В (А) или, короче говоря, изометрическое представление А в В (А). В этой же ситуации La часто называют изометрическим изоморфизмом алгебр А и L(A). Ту же естественную терминологию употребляют и при рассмотрении представлений произвольных банаховых алгебр. Отметим здесь же, что существование канонического операторного представления La, в частности, оправдывает использование обозначения А вместо Ле для А € С, где е — единица А (ср. 5.6.5). Иными словами, в дальнейшем С отождествлено с подалгеброй Се алгебры А посредством изометрического представления А ь- Ае.
11.2.	Спектр элемента алгебры
11.2.1.	Определение. Пусть А — банахова алгебра и a G А. Скаляр A G С называют резольвентным значением а (записывают: A G res(a)), если существует резольвента R(a, А) :=	:= (А — «) С
Множество Sp(a) := C\res(a) называют спектром элемента а, а точки из Sp(a) — спектральными значениями а. Если есть необходимость, используют более подробные обозначения типа Spj4(a).
278
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.2.2.	Для элемента a G А справедливо:
SpA(a) = SpL(A)(La) = Sp(£a);
LR(a, A) = R(La, A) (A G res(a) = res(£a)). <[>
11.2.3.	Теорема Гельфанда — Мазура. Поле комплексных чисел — это единственное (с точностью до изометрического изоморфизма) банахово тело (т. е. каждая комплексная банахова алгебра с нормированной единицей, в которой ненулевые элементы обратимы, имеет изометрическое представление в С).
<1 Пусть Ф : А I—> Ае, где е — единица А и A G С. Ясно, что Ф — представление Св А Возьмем a G А. В силу 11.2.2 и 8.1.11, Sp(a) 0. Значит, найдется число A t С такое, что элемент (А — а) необратим, т. е. по условию теоремы a = Хе. Следовательно, Ф — эпиморфизм. При этом ||Ф(А)|| = ||Ае|| = |А| ||е|| = |А|, так что Ф — изометрия. [>
11.2.4. Теорема Шилова. Пусть А — банахова алгебра и В — замкнутая подалгебра А (с единицей). Для элемента Ъ Е В выполнено:
SpB(6) D Sp,(b), d Sp,(b) D d SpB(b).
<1 Если b := A — b G Inv(B), то тем более b G Inv(A). Отсюда resв(Ь) С гезд(Ь), т. e.
SpB(6) = C \ res (6) D C \ res(fe) = SpA(b). Jd	A
Если же A G <9 SpB(£>), to b G cHnv(B). Поэтому найдется последовательность (bn), bn G Inv(B), сходящаяся к b. Положив t := suPnewll^ri11| > имеем соотношение
||M - M|| = ||V(1 -bnV)|| =
= ||V(K -MM|| < £2IK - Ml-
Иными словами, если t < +oo, то в В существует предел a:= lim Ь^1. Учитывая очевидную непрерывность умножения по совокупности переменных, выводим, что в этом случае ab = ba = 1, т. е. b G Inv(B).
11.3. Голоморфное функциональное исчисление валгебрах
279
Поскольку Inv(B) открыто по теореме Банаха об обратимых операторах и 11.1.6, приходим к противоречию с вхождением b G cHnv(B).
Таким образом, можно считать (переходя, если нужно, к последовательности), что ||^ri1|| —* +°°- Положим ап := Ц^1]] Ь^1. Тогда
||ba„|| = || (Ь - Ьп)ап + Ьпап || < < \\ь - ь„ц inn + nviriM-1!! - 0.
Отсюда вытекает, что элемент Ь необратим. В самом деле, в противном случае для а:= Ь получилось бы
1 = lla« II = 11aban 11 < ||а|| \\ban ||	0.
Окончательно заключаем, что элемент А — b не лежит в Inv(A), т. е. A G SpA(b). Поскольку А — граничная точка большего множества SpB(b), приходим к соотношению A G <3SpA(b). 1>
11.2.5.	Следствие. Если5рв(Ь) не имеет внутренних точек, то SpB(b) = Sp A(b).
< SpB(b) = dSpB(b) c <9SpB(b) C dSpA(b) c SpA(b) c SpB(b) >
11.2.6.	Замечание. Теорему Шилова часто называют теоремой о постоянстве границы спектра и выражают словами: «граничное спектральное значение — неустранимая спектральная точка».
11.3. Голоморфное функциональное исчисление в алгебрах
11.3.1.	Определение. Пусть а — элемент банаховой алгебры А и h G J^(Sp(a)) — росток голоморфной функции на спектре а. Положим
1 /дд*.
2тгг J z — а
Элемент &ah из А называют интегралом Рисса — Данфорда ростка h. Если, в частности, / G B(Sp(a)) — функция, голоморфная в окрестности спектра а, то полагают f(a):= &af-
280
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.3.2. Теорема Гельфанда — Данфорда для алгебр. Интеграл Рисса — Данфорда ё#а является представлением алгебры ростков голоморфных функций на спектре элемента а из А в алгебре А. При этом если f(z):= ЕЕо cnZn (в окрестности Sp(a)), то /(аУ= Е“=ос«а"-
<1 Из определений 11.2.3 и 8.2.1, привлекая 11.2.2, имеем
(L^a/i)(b) = L<%ahb =
Q%ah)b = -—7 У /г(г)Д(а, z) dzb = bdz = -—; У /г(г)Д(Га, г) bdz = = ^~f h(z)R(La, г) dzb = ^Lah(b)
для всех b G А. В частности, получаем, что образ ^lLa(J^’(Sp(a))) лежит в im£. Таким образом, из уже доказанной коммутативности диаграммы
J^(Sp(a))
^La
В (А) —------А
вытекает коммутативность диаграммы
J^(Sp(a))
£(А) >А
Остается привлечь 11.1.6 и теорему Гельфанда — Данфорда 8.2.3. 1>
11.3.3. Замечание. В дальнейшем в силу уже установленного в произвольных банаховых алгебрах можно использовать факты
11.4. Идеалы вкоммутативных алгебрах
281
голоморфного функционального исчисления, доказанные в 8.2 для алгебры ЩХ), где X — банахово пространство.
11.4.	Идеалы в коммутативных алгебрах
11.4.1.	Определение. Пусть А — некоторая коммутативная алгебра. Подпространство J в А называют идеалом А и пишут J <1 А, если A J с J.
11.4.2.	Множество -ЦА) всех идеалов в А, упорядоченное по включению, представляет собой полную решетку. При этом для любого множества S в J (А) выполнено
suPj(A) & = suPLat(A) &J inf J(A) = infbat(A) ,
т. е. -ЦА) вложено в полную решетку подпространств Lat(A) с сохранением точных верхних и точных нижних границ произволвных множеств.
<1 Ясно, что 0 — это наименьший, а А — это наибольший идеалы. Помимо этого, пересечение идеалов и сумма конечного множества идеалов — идеал. Остается сослаться на 2.1.5 и 2.1.6. 1>
11.4.3.	Пуств Jo <1 А. Пуств, далее, <р : А	А/ Jo — канониче-
ское отображение А на фактор-алгебру А:= А/Jq. Тогда
J <1 А => J) < А;
J < А =>	1 (77) <1 А.
<1 Поскольку по определению ab:= p(p L (a)p1 (b)) для a, b G A, то оператор p мультипликативен: ip(ab) = (p(a)(p(b) для a, b G A. Значит, получаем последовательно
С Ар(Т) = <р(А)<р(Т) c piAJ) c p(J);
y4J) c AipAj) с	= yAAJ) c [>
11.4.4.	Пуств J <1 А и J / 0. Эквивалентны утверждения:
(1)	А/J;
(2)	1 t J;
(3)	элементы из J не имеют левых обратных. <[>
282
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.4.5.	Определение. Идеал J в А называют собственным, если J отличен от А. Максимальные элементы в множестве собственных идеалов, упорядоченном по включению, называют максимальными идеалами.
11.4.6.	Коммутативная алгебра является полем в том и только в том случае, если в ней нет собственных идеалов кроме нулевого. <[>
11.4.7.	Пуств J — собственный идеал в А. Тогда < J — максимален) о (А/ .1 — поле).
<1 =>: Пусть J <1 А/J. Тогда, по 11.4.3, уз 1(./) <1 А. Так как, несомненно, J С pH-l), то либо J = у 1(J) и 0 = <p(J) = <p(<p-1(J)) = J, либо А = у 1(J) и J =	1 (./)) = 93(A) = А/ J в
силу 1.1.6. Значит, в А/ J нет отличных от нуля собственных идеалов. Осталось привлечь 11.4.6.
•<=: Пусть Jo <1 А и Jo С J. Тогда, по 11.4.3, <p(Jo) < А/J. На основании 11.4.6 либо <p(Jo) = 0, либо <p(Jo) = А/J. В первом случае Jq С у 1 о y>(J0) С у 1(0) = J и J = Jq. Во втором случае p(Jo) = г(А), т. е. А = Jo + J С Jq + Jo = Jo С А. Итак, J — максимальный идеал. [>
11.4.8.	Теорема Крулля. Каждый собственный идеал содержится в некотором максимальном идеале.
<1 Пусть Jq — собственный идеал алгебры А. Пусть, далее, S состоит из собственных идеалов J алгебры А таких, что Jq С J. Всякая цепь Sq в S имеет в силу 11.4.2 точную верхнюю границу: sup А = U {J : J G <oq}- По 11.4.4 идеал sup<£o собственный. Таким образом, S индуктивно и требуемое обеспечено леммой Куратовского — Цорна 1.2.20. [>
11.5.	Идеалы в алгебре C(Q, С)
11.5.1.	Теорема о минимальном идеале. Пусть J — произвольный идеал в алгебре C(Q, С) непрерывных комплекснозначных функций на компакте Q. Пусть, далее,
Q0:=A{f-\Q): f Е J};
Jo:= {f G C(Q, C) : int/"1^) D Qo}-
Тогда Jq <1 C(Q, С), причем Jq C J.
11.5. Идеалы в алгебре C(Q, С)
283
<1 Пусть Qi := cl(Q \	1(0)) для функции f G Jo- Привлекая
условия, видим, что Qi П Qo = 0- Для доказательства вхождения f G J необходимо (и, разумеется, достаточно) построить функцию J такую, что «.(</) = 1 для всех G Qi- Действительно, в этом случае uf = f.
Для построения функции и заметим сначала, что для q Е Qi найдется функция fq G J, для которой J'ql,q) 0. Полагая gq := fqfq, где, как обычно, f* : х ДДУ — комплексно сопряженная к fq функция, имеем gq > 0 и, кроме того, gq(q') > 0. Ясно также, что gq G j ДЛЯ q G Q1- Семейство (г7д)д6(51, где Uq:= {х G Qi : gq(x) > 0}, образует открытое покрытие Qi. Используя компактность Qi, выберем конечное множество {q±,..., qn} в Qi такое, что Qi С Uqi U ... U Uqn. Обозначим g:= gqi + ... + дЧп. Несомненно, д G J, причем g(q) > 0 для q G Qi. Положим /?o(<7) := g(fl) 1 Для 9 Qi- По теореме Титце — Урысона 10.8.20 найдется функция h G C(Q, R), для которой /г|	= ho- Пусть, наконец, и:= hg. Эта функция и —
искомая.
Итак, установлено, что Jq С J. Кроме того, Jq — идеал в C(Q, С) по очевидным обстоятельствам. [>
11.5.2.	Для каждого замкнутого идеала J в алгебре C(Q, С) найдется, и притом единственное, компактное подмножество Qo такое, что
J = J(Q0) ~ {f G C(Q, С) : q G Qo => f(q) = 0}.
<1 Единственность обеспечена теоремой Урысона 9.3.14. Определим Qo так же, как и 11.5.1. Тогда заведомо J С J(Qo)- Возьмем / G J(Qo) и для n G N положим
Un:=(\f\<±-}, Vn,= ||/| > 1).
Zn J	nJ
Вновь привлекая теорему Урысона 9.3.14, найдем hn Е C(Q, R) так, что 0 < hn < 1 и hn\v^ = о, /гп|у =1. Рассмотрим fn := fhn. Поскольку
int/^^O) D int Un D Qo,
то в силу 11.5.1 справедливо fn G J. Осталось заметить, что fn^f по построению. [>
284
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.5.3.	Теорема о максимальном идеале. Каждый максимальный идеал в алгебре C(Q, С) имеет вид
J(q):= j({q}) = {f е C(Q, С) : /(g) = 0},
где q — некоторая точка Q.
<1 Следует из 11.5.2, ибо замыкание идеала — идеал. [>
11.6.	Преобразование Гельфанда
11.6.1.	Пусть А — коммутативная банахова алгебра, a J <1 А — это замкнутый идеал, не равный А. Тогда фактор-алгебра А/ J, наделенная фактор-нормой, является банаховой алгеброй. Если при этом р : А А/ J — каноническое отображение, то 99(1) — единица в А/ J, оператор р мультипликативен и ||</?|| = 1.
<1 Для a, b е А имеем, учитывая 5.1.10 (5),
1ИаМь)\\a/j = inf{||a'y||A : р(а') = <р(а), <р(Ь') = <ДЬ)} <
< inf{||a'h||rh =	= Н4 г(Я =	=
= Hr(a)llA/j||r(b)llA/J-
Иными словами, норма в А/ J субмультипликативна. Следовательно, будет ||</?(1)|| > 1. Помимо этого,
1И1)\\a/j = inf{||a||А : р(а) =	< || 1||А = 1,
т. е. ||</?(1)|| = 1. Последнее, в частности, обеспечивает равенство ||</?|| = 1. Оставшиеся утверждения несомненны. [>
11.6.2.	Замечание. Предложение 11.6.1 сохраняется для некоммутативной банаховой алгебры А при дополнительном допущении, что J — двусторонний идеал А, т. е. J — подпространство А, удовлетворяющее условию A JA с J.
11.6.3.	Пусть х : А С — ненулевой мультипликативный линейный функционал на А. Тогда х непрерывен и ||х|| = х(1) = 1 (в частности, х — представление А в С).
<1 Поскольку х / 0, то для некоторого a G А выполнено 0 А х(а) = х(а1) = х(а)х(1)- Значит, х(1) = 1- Если теперь a G А и A G С таковы, что |Л| > ||а||, то А — a G Inv(A) (см. 5.6.15). Имеем 1 = х(1)х(А - а)х((А - «) 1). Отсюда х(А - а) / 0, т. е. х(а) / А. Стало быть, |х(а)| < ||а|| и ||х|| < 1- Учитывая, что ||х|| = ||х|| ||1|| > |х(1)| = 1, заключаем: ||х|| = 1. >
11.6. Преобразование Гельфанда
285
11.6.4.	Определение. Ненулевые мультипликативные линейные функционалы на алгебре А называют характерами А. Множество всех характеров А обозначают Х(А), снабжают топологией поточечной сходимости (индуцированной в Х(А) слабой топологией <т(А', А)) и называют пространством характеров алгебры А.
11.6.5.	Пространство характеров — компакт.
<1 Хаусдорфовость Х(А) не вызывает сомнений. В силу 11.6.3, Х(А) — это а(А', А)-замкнутое подмножество шара Вд/. Последний <т(А', А)-компактен по теореме Алаоглу — Бурбаки 10.6.7. Осталось сослаться на 9.4.9. 1>
11.6.6.	Теорема об идеалах и характерах. Максимальные идеалы коммутативной банаховой алгебры А суть в точности ядра ее характеров. При этом отображение у ы• ker у, действующее из пространства характеров Х(А) на множество М(А) всех максимальных идеалов А, является взаимно однозначным.
<1	Пусть у G Х(А) — характер алгебры А. Очевидно, что ker\- <1 А. Из 2.3.11 вытекает, что снижение у : A/kerx —> С — мономорфизм. В связи с 11.6.1, х(1) = х(1) = 1, т. е. X — изоморфизм A/kerx и С. Следовательно, A/kerx — это поле. Привлекая 11.4.7, делаем вывод, что идеал ker\- максимален, т. е. ker\- G М(А). Пусть теперь m G М (А) — какой-нибудь максимальный идеал алгебры А. Ясно, что m С elm, elm <1 А и при этом 1 elm (ибо 1 G Inv(A), а последнее множество открыто по теореме Банаха об обратимых операторах 5.6.12 и 11.1.6). Таким образом, идеал m замкнут. Рассмотрим фактор-алгебру А/т и каноническое отображение р : А —> А/т. На основании 11.4.7 и 11.6.1 фактор-алгебра А/т — это банахово поле. По теореме Гельфанда — Мазура 11.2.3 имеется изометрическое представление ф : А/т С. Положим у := фор. Видно, что у G Х(А) и при этом ker\- = У ЧО) = рЧС1 (0)) = р 1 (0) = т.
Для завершения доказательства осталось проверить взаимную однозначность отображения у ы ker \-. Итак, пусть ker^i = ker уд для xi, Х2 € Х(А). В силу 2.3.12 для некоторого A G С выполнено Х1 = АуД- Помимо этого, по 11.6.3, 1 = Х1(1) = Ах2(1) = А. Окончательно уд = уд. 1>
11.6.7.	Замечание. В связи с теоремой 11.6.6 множество М(А) часто наделяют топологией, перенесенной в М(А) из Х(А) указан
286
Гл. 11. Банаховы алгебры
ным отображением х кег \-, и говорят о компактном пространстве максимальных идеалов А. Иными словами, пространство характеров и пространство максимальных идеалов отождествляют так, как это сделано в 11.6.6.
11.6.8.	Определение. Пусть А — коммутативная банахова алгебра и Х(А) — ее пространство характеров. Для a G А и х G Х(А) положим а(х) := х(а)- Возникающую функцию а : х ®(х)» определенную на Х(А), называют преобразованием Гельфанда элемента а. Отображение а а, где a G А, называют преобразованием Гельфанда алгебры А и обозначают йд (или
11.6.9.	Теорема о преобразовании Гельфанда. Преобразование Гельфанда Ад : a а есть представление коммутативной банаховой алгебры А в алгебре С(Х(А), С). При этом
Sp(a) = Sp(a) = a(X(A)), ||a|| = r(a),
где r(a) — спектральный радиус элемента а алгебры А.
<1 То, что a G А => a G С(Х(А), С), 1 = 1 и а, 6 G А => ab = ab, обеспечено определениями и 11.6.3. Линейность йд не вызывает сомнений. Следовательно, отображение йд действительно является представлением.
Пусть A G Sp(a). Тогда элемент А — а необратим, а потому идеал -1 х a := А(А — а) — собственный в силу 11.4.4. По теореме Крулля 11.4.8 существует максимальный идеал m <1 А, удовлетворяющий условию m D Jx-a- По теореме 11.6.6 для подходящего характера х будет тп = кегд. В частности, ~ а) =0, т. е. А = лх(1) = Х(А) = х(«) = о(х). Значит, A G Sp(a).
Если, в свою очередь, A G Sp(a), то (А — а) — необратимый элемент пространства С(Х(Л), С), т. е. найдется характер х € Х(А), для которого А = а(д). Иными словами, — а) = 0. Стало быть, допущение А — a G Inv(A) приводит к противоречию:
1 = х(1) = Х((А - «(ЧА - а)) = х((А - а) 1)\-(А - а) = 0.
Итак, A G Sp(a). Окончательно Sp(a) = Sp(a).
11.6. Преобразование Гельфанда
287
Привлекая формулу Бёрлинга — Гельфанда (см. 11.3.3 и 8.1.12), видим:
r(a) = sup{|А| : A G Sp(a)} = sup{|А| : A G Sp(a)} = = sup{|A|: A G а(Х(А))} = sup{|a(x)| : X G Х(А)} = ||а||,
что и нужно. [>
11.6.10.	Преобразование Гельфанда коммутативной банаховой алгебры А является изометрическим вложением в том и только в том случае, если ||а21| = ||а||2 для всякого a G А.
<1 =>: Учитывая, что отображение t t2, рассматриваемое на Ж_|_, возрастает и имеет возрастающее обратное, определенное на R+, в силу 10.6.9 получаем
l|a2|| = II®211с(х(Д),с) = sup |a2(x)l= sup |д(а2)| = хех(Д)	хех(Д)
= sup |д(а)д(а)| = sup |д(а)|2 = хех(Д)	хех(Д)
= ( sup |x(a)|)2 = ||a||2 = ||a||2 •
хех(Д)
•<=: По формуле Гельфанда 5.6.8, r(a) = lim ||a”||1/”. Имеем, в частности, ||a2 || = ||a||2 , т. e. r(a) = ||a||. По 10.6.9, помимо этого, r(a) = ||a||. [>
11.6.11.	Замечание. Иногда интересуются не свойством изо-метричности преобразования Гельфанда, а его точностью. Ядро преобразования Гельфанда йд — это пересечение всех максимальных идеалов, т. е. радикал алгебры А. Таким образом, условие точности представления йд алгебры А в алгебре С(Х(А), С) можно формулировать словами: «алгебра А полупросгпа (т. е. радикал А тривиален)».
11.6.12.	Теорема. Для элемента а коммутативной банаховой алгебры А коммутативна следующая диаграмма представлений:
288
Гл. 11. Банаховы алгебры
J^(Sp(a)) = J^(Sp(a))
С(Х(А),С)
При этом f(a) = f о a = f(a) для f G U(Sp(a)).
<1 Возьмем x G X(A). Для каждого z G res (a) выполнено
1 _ 1
x(z - a) z - x(a) '
Иными словами,
Д(а, z)(X) = —(*) =---------= -ЛДх) = Д(«, z)(X).
z — a z — a[x) z — a
Таким образом, учитывая свойства интеграла Бохнера (см. 5.5.9 (6)), для f G H(Sp(a)) получаем
= -7- / /(г)^4(Л(о, г)) dz = 2тп J
Помимо этого, привлекая классическую теорему Коши, видим, что для х € Х(А) справедливы соотношения
f 0 a(x) = /(a(x)) = /(x(a)) =
= 77-zX (dz\ = f(a)(x) = f(a)(x). >
Ztti \J z — a J
11.7. Спектр элемента С*-алгебры
289
11.6.13.	Замечание. Теорию преобразования Гельфанда очевидным образом можно распространить на случай коммутативных банаховых алгебр А без единицы. Определения 11.6.4 и 11.6.8 сохраним дословно. Характер х G Х(А) порождает характер уе G Х(^) по правилу: Хе(«, А):= х(а) + А (а G A, A G С). Множество X(^z4) \ {Хе : X € Х(А)} состоит из единственного элемента Хсо(а, А) := А (a G A, A G С). Таким образом, пространство Х(А) локально компактно (ср. 9.4.19), ибо отображение х G Х(А) Хе £ Х(Х,) \ {хсо} является гомеоморфизмом. При этом kerxco = А х 0. Следовательно, преобразование Гельфанда коммутативной банаховой алгебры без единицы служит ее представлением в алгебре определенных на локально компактном пространстве непрерывных комплексных функций, «стремящихся к нулю на бесконечности». Для групповой алгебры (jDi(M7V), *) на основании 10.11.1 и 10.11.3 преобразование Фурье совпадает с преобразованием Гельфанда и приведенное утверждение содержит как теорему Римана — Лебега 10.11.5 (3), так и формулу умножения 10.11.6 (3).
11.7.	Спектр элемента С*-алгебры
11.7.1.	Определение. Элемент а инволютивной алгебры А называют эрмитовым, если а* = а. Элемент а из А называют нормальным, если а* а = аа*. Наконец, элемент а называют унитарным, если аа* = а*а = 1 (т. е. a, a* G Inv(A) и а1 * = а*, а*1 = а).
11.7.2.	Эрмитовы элементы инволютивной алгебры А образуют вещественное подпространство А. При этом для любого a G А существуют, и притом единственные, эрмитовы элементы х, у Е А такие, что a = х + iy. Именно,
1
2
1
2?
При этом а* = х — iy.
<1 Следует проверить только утверждение об единственности. Если а = xi+iyi, то в силу свойств инволюции (см. 6.4.13) выполнено а* =	+ (iyi)* =	— iy± = х± — iy±. Стало быть, яд = х и щ = у. [>
11.7.3. Единица — эрмитов элемент.
__ 1*1 _ •£*•£** _ ^1*1^* _ 1** _ 1 |>
290
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.7.4.	a G Inv(A) О а* G Inv(A). При этом инволюция и обращение — коммутирующие операции.
<1 Имеем «а1 = « 1« = 1 для а G Inv(A). Значит, а-1*а* = «*« 14 = 1*. Учитывая 11.7.3, видим, что а* G Inv(A) и а*1 = а1*. Повторяя приведенное рассуждение при а := а*, получаем требуемое. [>
11.7.5.	Sp(a*) = Sp(a)*. <[>
11.7.6.	Спектр унитарного элемента С*-алгебры — подмножество единичной окружности.
<1 В силу определения 6.4.13 для произвольного элемента а имеем ||а21| = ||а*а|| < ||а*|| ||а||. Иначе говоря, ||а|| < ||а*||. Таким образом, поскольку a = а**, заключаем: ||a|| = ||a*||. Если a* = a1, т. e. a — унитарный элемент, то ||a||2 = ||a*a|| = ||a"1«|| = 1. Следовательно, ||a|| = ||a*|| = ||a"11| = 1. Отсюда вытекает, что Sp(a) и Spfa1) лежат в единичном круге. Помимо этого, Spfa1) = Sp(a) -1. [>
11.7.7.	Спектр эрмитова элемента С*-алгебры веществен.
<1 Пусть a G А. По теореме Гельфанда — Данфорда для алгебр 11.3.2 выполнено
,п=О
п=О
п!
п=О
— = ехр(а*). п!
Если теперь h = h* — эрмитов элемент А, то для элемента а:= ехр(г/г), вновь привлекая голоморфное функциональное исчисление, получаем
= ехр(г/г)* = ехр((г/г)*) = ехр(—г/г*) = ехр(—г/г) = а 1
Значит, a — унитарный элемент С*-алгебры А, и по 11.7.6 спектр Sp(a) — это подмножество единичной окружности Т. Если A G Sp(/i), то по теореме об отображении спектра 8.2.5 (см. также 11.3.3) ехр(гА) G Sp(a) С Т. Итак, 1 = |ехр(гА)| = |ехр(гЛеА — ImA)| = ехр(— 1т А). Окончательно 1т А = 0, т. е. Абй. >
11.7.8.	Определение. Пусть А — некоторая С*-алгебра. Подалгебру В алгебры А называют С*-подалгеброй А, если b G В => Ъ* G В. При этом В рассматривают с нормой, индуцированной из А.
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка
291
11.7.9.	Теорема. Каждая замкнутая С* -подалгебра С*-алгебры сервантна.
<1 Пусть В — это замкнутая С*-подалгебра (с единицей) С*-алгебры А и b G В. Если b G Inv(B), то несомненно, что b G Inv(A). Пусть теперь b G Inv(A). На основании 11.7.4 имеем: b* G Inv(A). Значит, Ъ*Ъ G Inv(A) и при этом элемент (6*6) Ц* является левым обратным к 6. В силу 11.1.4 это означает, что 6 1 = (6*6) Ч*. Следовательно, для завершения доказательства нужно установить только, что элемент (6*6) 1 входит в В. Так как элемент 6*6 эрмитов в В, то выполнено соотношение SpB(6*6) с Ж (см. 11.7.7). Привлекая 11.2.5, видим, что 8р^(6*6) = SpB(6*6). Поскольку 0 8р^(6*6), то 6*6 G Inv(B). Окончательно 6 G Inv(B). [>
11.7.10.	Следствие. Пусть 6 — элемент С*-алгебры А и В — какая-нибудь замкнутая С* -подалгебра А, причем 6 G В. Тогда
SpB(6) = SpA(6). <[>
11.7.11.	Замечание. В связи с 11.7.10 теорему 11.7.9 часто называют теоремой «о постоянстве спектра в С*-алгебрах». Имеется в виду то, что понятие спектра элемента С*-алгебры «абсолютно», т. е. не зависит от выбора С*-подалгебры, содержащей данный элемент рассматриваемой С*-алгебры.
11.8. Коммутативная теорема
Гельфанда — Наймарка
11.8.1.	Банахова алгебра C(Q, С) с естественной инволюцией f f*, где f*(q) := f(q)* для q Е Q, является С*-алгеброй.
<1 \\f*f\\ = sup{|/(g)*/(g)| : q & Q} = 8ир{|/(^)|2 : q & Q} = (sup|/(Q)|)2 = H/Ц2 D>D>
11.8.2.	Теорема Стоуна — Вейерштрасса для C(Q, С). Любая С*-подалгебра (с единицей) в С*-алгебре C(Q, С), разделяющая точки Q, плотна в C(Q, С).
<1 Пусть А — такая подалгебра. Поскольку f G А => f* G А, то f G А => Re/ G А и, стало быть, множество Re А := {Re/ : f G А} представляет собой вещественную подалгебру в C(Q, R). Несомненно, что Re А содержит постоянные функции и разделяет точки Q. По теореме Стоуна — Вейерштрасса 10.8.17 подалгебра ReA плотна в C(Q, R). Осталось привлечь 11.7.2. [>
292
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.8.3.	Определение. Представление *-алгебр, согласованное с инволюцией *, называют ^представлением. Иными словами, если (А, *) и (В, *) — инволютивные алгебры и 91 : А В — мультипликативный линейный оператор, то 91 называют ^представлением в случае коммутативности диаграммы
А^В
* j, j, * А^В
Если при этом 91 — изоморфизм, то 91 называют *-изоморфизмом А и В. При наличии норм в рассматриваемых алгебрах используют также термины «изометрическое ^-представление^ и «изометрический ^-изоморфизма, вкладывая в них очевидное содержание.
11.8.4.	Коммутативная теорема Гельфанда — Наймар-ка. Преобразование Гельфанда коммутативной С*-алгебры А осуществляет изометрический *-изоморфизм А и С(Х(А), С).
<1 Для a G А имеем
1И1 = II (а2)*а2 |р2 = ||«*аа*«||1/2 = 11а*а11 = 1Ы12 
На основании 11.6.10 преобразование Гельфанда йд — это изометрия алгебры А и замкнутой подалгебры А в С(Х(А), С). Несомненно, что А разделяет точки Х(А) и содержит постоянные функции.
В силу 11.6.9 и 11.7.7 для эрмитова элемента h = h* в А имеем /г(Х(А)) = Sp(/i) С Ж. Пусть теперь a — произвольный элемент А. Привлекая 11.7.2, запишем: a = x + iy, где элементы х, у эрмитовы. Учитывая, что для произвольного характера х из Х(А) выполнено х(ж) G Ж, х(у) G Ж, последовательно получаем
^4(а)*(х) = а*(х) = ЦхУ = х(а)* =	+ Ч/)* =
= (х(®) + гх(у)У = Х(®) - гх(у) =	- гу) = х(«*) =
= а*(Х)=^4(а*)(Х)	(XGX(A)).
Таким образом, преобразование Гельфанда йд является ^представлением и, в частности, Л— это С*-подалгебра С(Х(А), С). Осталось привлечь 11.8.2, чтобы заключить: А = С(Х(А), С). [>
11.8. Коммутативная теорема Гельфанда — Наймарка
293
11.8.5.	Пусть 91: А В — это *-представление С*-алгебры А в С*-алгебре В. Тогда ||91а|| < ||а|| для a € А.
<1 Поскольку 91(1) = 1, то 91(Inv(A)) С Inv(B). Значит, для a G А справедливо включение SpB(91(a)) С 8р^(а). Отсюда в силу формулы Бёрлинга — Гельфанда для спектральных радиусов вытекает, что г а (а) > гв(9\.(а)). Если а — эрмитов элемент А, то 91(a) — эрмитов элемент В, ибо 93(a)* = 93(а*) = 91(a). Если теперь Aq — наименьшая замкнутая С*-подалгебра, содержащая а, и Bq — аналогичным образом построенная подалгебра, содержащая 91(a), то Ао и Bq — коммутативные С*-алгебры. Таким образом, из теорем 11.8.4 и 11.6.9 получаем
||91(а) || = ||91(а) ||Во = ||%0 (91(a)) || = rBo(91(a)) =
= гв(91(а)) < гА(а) = гДа) = Рд0(а)|| = ||а||.
Для произвольного элемента a G А видно, что элемент а* а эрмитов. Стало быть, с учетом уже доказанного имеем
1191(a)||2 = ||91(a)*91(a)|| = ||91(a*a)|| < ||a*a|| = ||a||2. >
11.8.6.	Теорема о непрерывном функциональном исчислении. Пусть a — нормальный элемент С*-алгебры А и Sp(a) его спектр. Существует, и притом единственное, изометрическое *-представление 91а алгебры C(Sp(a), С) в А такое, что a = 93a(/sP(a))-
<1 Пусть В — наименьшая замкнутая С*-подалгебра А, содержащая а. Ясно, что алгебра В коммутативна в силу нормальности a (эта алгебра представляет собой замыкание алгебры многочленов от а и а*). При этом на основании 11.7.10 выполнено Sp(a) = Sp^(a) = SpB(a). Преобразование Гельфанда a:= AB(a) элемента а действует из Х(В) на Sp(a) в силу 11.6.9 и, несомненно, взаимно однозначно. Поскольку Х(В) и Sp(a) — компакты, привлекая 9.4.11, заключаем, что a — это гомеоморфизм. Отсюда непосредственно вытекает, что отображение 91 : f f о а осуществляет изометрический *-изоморфизм алгебры C(Sp(a), С) и алгебры С(Х(В), С).
Используя теорему 11.3.2 и связь преобразования Гельфанда и интеграла Рисса — Данфорда, установленную в 11.6.12, для тождественного отображения получаем
a = fflalc = К ° Я = Ic | a(x(B)) ° ® =
= Msp(a) ° " = ^Sp(a) ° a = 91(/Sp(a)).
294
Гл. 11. Банаховы алгебры
Положим теперь
91а:=^1о91.
Видно, что 91а — это изометрическое вложение и ^представление. Кроме того,
?UlsP(a)) = &В1 о ^IsP(a)) =	= а.
Единственность такого представления 91а обеспечена 11.8.5 и тем, что, по теореме 11.8.2, С*-алгебра C(Sp(a), С) — это своя наименьшая замкнутая С*-подалгебра (с единицей), содержащая Isp(a)- >
11.8.7.	Определение. Представление 91a : C(Sp(a), С) —> А, построенное в 11.8.6, называют непрерывным функциональным исчислением (для нормального элемента а алгебры А).
Если при этом f G C(Sp(a), С), то элемент 91а(/) обозначают /(а).
11.8.8.	Замечание. Пусть f — голоморфная функция в окрестности спектра нормального элемента а некоторой С*-алгебры А, т. е. f G //(Sp(a)). Тогда с помощью голоморфного функционального исчисления определен элемент /(а) алгебры А.
Если сохранить символ f за сужением функции f на множество Sp(a), то с помощью непрерывного функционального исчисления определен элемент 91a(/) := ^a(/|Sp(a)) алгебры А. Последний элемент, как отмечено в 11.8.7, обозначают f(a). Использование одинаковых обозначений здесь не случайно и корректно в силу 11.6.12 и 11.8.6. В самом деле, странно было бы обязательно обозначать разными символами один и тот же элемент. Указанное обстоятельство можно выразить в наглядной форме. Именно, пусть • |Sp(-a) — отображение, сопоставляющее ростку h из J^(Sp(a)) его сужение на Sp(a), т. е. пусть /i|Sp(-a) в точке z — это значение ростка h в точке z (см. 8.1.21). Ясно, что • |Sp(a) : ^(Sp(a)) —> C(Sp(a), С).
Отмеченную выше связь непрерывного и голоморфного функциональных исчислений для нормального элемента а рассматриваемой С*-алгебры а можно выразить так: «следующая диаграмма
11.9. Операторные ^-представления С*-алгебр
295
J^(Sp(a)) ' *Sp(a) ► C(Sp(a),C)
коммутативна».
11.9. Операторные *-представления С*-алгебр
11.9.1.	Определение. Пусть А — банахова алгебра (с единицей). Элемент s Е А' называют состоянием А (пишут s G 5(A)), если ||s|| = s(l) = 1. Для элемента a G А множество -ZV(a) := {«(a) : s G S(А)} называют числовым образом а.
11.9.2.	Числовой образ положительной функции из C(Q, С) лежит в >+.
<1 Пусть а > 0 и ||s|| = s(l) = 1. Нужно показать, что s(a) > 0. Возьмем z G С и £ > 0 такие, что круг Be(z) := z + eD содержит a(Q). Тогда ||a — z\\ < e и, следовательно, |s(a — z)| < £. Значит, |s(a) — z\ = |s(a) — s(z)| < £, t. e. s(a) G Be(z).
Заметим, что
n{Be(z) : Belz) D a(Q)} = clco(a(Q)) C R+.
Таким образом, s(a) G R+. I>
11.9.3.	Лемма о числовом образе эрмитова элемента. Для эрмитова элемента а в любой С*-алгебре имеют место утверждения:
(1) Sp(a) С 7V(a);
(2) Sp(a) С R+ О N(a) С R+.
<1 Пусть В — наименьшая замкнутая С*-подалгебра рассматриваемой алгебры А, содержащая элемент а. Видно, что алгебра В коммутативна. В силу 11.6.9 для преобразования Гельфанда а := А/,>(«) выполнено a(X(B)) = SpB(a). На основании 11.7.10, SpB(a) = Sp(a). Иначе говоря, для A G Sp(a) имеется характер х алгебры В, удовлетворяющий условию х(«) = А. По 11.6.3, ||х|| = х(1) = 1- Привлекая 7.5.11, найдем продолжение s функционала па Л с сохранением нормы. Тогда s — состояние А и при этом s(a) = А. Окончательно Sp(a) С N(a) (в частности, если -ZV(a) С R+, то Sp(a) С
296
Гл. 11. Банаховы алгебры
>+). Пусть теперь s — произвольное состояние алгебры А. Ясно, что сужение s| — состояние алгебры В. Несложно установить, что а взаимно однозначно отображает Х(В) на Sp(a). Следовательно, алгебру В можно рассматривать как алгебру С (Sp (а), С). Из 11.9.2 выводим: s(a) = s| (а) >0 при a > 0. Итак, Sp(a) С R+ => N(a) С R+, что и завершает доказательство. [>
11.9.4.	Определение. Элемент а в С*-алгебре А называют положительным, если а эрмитов и Sp(a) С R+- Множество всех положительных элементов в А обозначают А+.
11.9.5.	Множество А+ — это упорядочивающий конус в С*-алгебре А.
<1 Понятно, что N(a + b) С N(a) + N(ti) и N(aa) = aN(a) при а, Ъ Е А и a G R+- Поэтому 11.9.3 обеспечивает включение aiA+ + аг А+ С А+ для оц, «2 G R+- Стало быть, А+ — конус. Если a G А+ П (—А+), то Sp(a) = 0. Учитывая, что элемент а эрмитов, по теореме 11.8.6 заключаем: ||а|| = 0. 1>
11.9.6.	Для любого эрмитова элемента а из С*-алгебры А существуют элементы а+, а_ из А+ такие, что
a = а_|_ — а_;	а_|_а_ = а_а_|_ = 0.
<1 Все немедленно следует из теоремы о непрерывном функциональном исчислении 11.8.6. 1>
11.9.7.	Лемма Капланского — Фукамия. Элемент а произвольной С*-алгебры А положителен в том и только в том случае, если а = Ъ*Ъ для некоторого Ъ G А.
<1 =>: Пусть a G А+, т. е. a = а* и Sp(a) С R+. Тогда (см. 11.8.6) имеется корень Ъ:= у/a. При этом b = Ь* и Ъ*Ъ = а.
•<=: Если а = Ъ*Ъ, то элемент а эрмитов и с помощью 11.9.6 можно записать: Ь*Ь = u — г, где uv = ги = 0 и и > 0, г > 0 (в упорядоченном векторном пространстве (Ar, А+)). Простой подсчет показывает:
(Ьг)*Ьг = v*b*bv = rb*br = v(u — v)v = (vu — v2\v = —г3.
Поскольку г > 0, то г3 > 0, т. е. (bv)*bv < 0. По теореме о спектре произведения 5.6.22 множества Sp((bv)*bv) и Sp(br(br)*) могут отличаться лишь нулем. Поэтому Ьг(Ьг)* < 0.
11.9. Операторные ^-представления С*-алгебр
297
На основании 11.7.2, bv = aL + za-j для подходящих эрмитовых элементов и Я2- Очевидно, что а3, а| G А+ и (bv)* = ср — гаг-Дважды используя 11.9.5, приходим к оценкам:
О > (bv)*bv + bv(bv)* = 2 (а| + а|) > 0.
По 11.9.5, ai = а2 = 0, т. е. bv = 0. Значит, — v3 = (bv)*bv = 0. Вторичная апелляция к 11.9.5 дает v = 0. Наконец, а = Ь*Ь = u — v = и > 0, т. е. a G А+. [>
11.9.8.	В С*-алгебре А каждое состояние s эрмитово, т. е.
s(a*) = s(a)* (a Е А).
< По леммам 11.9.7 и 11.9.3 при всех a Е А будет s(a*a) > 0. Полагая a:=a + l и a:= a + i, последовательно получаем
0 < s((a + l)*(a + 1)) = s(a*a + а + а* + 1) =>
=> s(a) + s(a*) Е Ж;
0 < s((a + i)*(a + г)) = s(a*a — ia + ia* + 1) =>
=> г(—s(a) + s(a*)) E Ж.
Иными словами, Im s(a) + Im s(a*) = 0;
Re(—s(a)) + Re s(a*) = 0.
Отсюда вытекает
s(a*) = Re s(a*) + i Im s(a*) = Re s(a) — i Im s(a) = s(a)*. [>
11.9.9.	Пусть s — состояние С*-алгебры А. Для a, b E А обозначим (a, b)g := s(b*a). Тогда (•, -)s — скалярное произведение в A.
<1 Из 11.9.8 выводим
(a, b)s = s(b*a) = s((a*b)*) = s(a*b)* = (b, a)*.
Следовательно, (•, -)s — это эрмитова форма. Так как для a Е А, в силу 11.9.7, a*a > 0, то, по 11.9.3, (a, a)s = s(a*a) > 0. Значит, (•, -)s — положительная эрмитова форма. [>
298
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.9.10.	Теорема о состоянии С*-алгебры. Для каждого состояния s произвольной С*-алгебры А имеются гильбертово пространство (ffs, (•, •)«), элемент xs G Hs и *-представление 91. : А —> B(HS) такие, что s(a) = (93s(a)a;s, a;s)s для всех a G А и множество {91s(a)®s : a G А} плотно в Hs.
<1 На основании 11.9.9, полагая (a, b)s := s(b*a) для a, b G А, получаем предгильбертово пространство (А, (•, -)s). Пусть ps(a) := д/(а, a)s — полунорма в этом пространстве, а <ps : А —> A/kerps — каноническое отображение А на хаусдорфово предгильбертово пространство A/kerps, ассоциированное с А. Пусть, далее, ь8 : A/kerps —> И, — вложение (например, с помощью двойного штрихования) пространства A/kerps в качестве всюду плотного подпространства в гильбертово пространство Hs, ассоциированное с пространством (А, (•, -)s) (см. пример 6.1.10 (4)). Скалярное произведение в пространстве Hs обозначим прежним символом (•, -)s. Таким образом, в частности,
(tspsa, L-stpstys = (a, b)s = s(b*a) (a, b G A).
Для элемента a G А рассмотрим (образ при каноническом операторном представлении) La : b ь- ab (b G А). Установим прежде всего, что существуют, и притом единственные, ограниченные операторы La и 91s(a), превращающие в коммутативную следующую диаграмму:
А^АА/ kerps-^Aifs Lal IK 193s(a)
А^АА/ kerps-^AHs
Искомый оператор La служит решением уравнения Xps = psLa-Привлекая 2.3.8, видим, что необходимое и достаточное условие разрешимости указанного уравнения в классе линейных операторов состоит в инвариантности подпространства ker/с относительно La.
Итак, проверим включение /.„(ker/г.) С kerps. Для этого возьмем элемент b из kerps, т. е. ps(b) = 0. Используя определения и неравенство Коши — Буняковского 6.1.5, получаем
0 < (Lab, Lab)s = (ab, ab)s = s((ab)*ab) = = s(b* a* ab) = (a* ab, b)s < ps(b)ps(a*ab) = 0,
t. e. Lab G kerps. Единственность La обеспечена 2.3.9, ибо ps — эпиморфизм. Отметим также, что <ps — это открытое отображение
11.9. Операторные ^-представления С*-алгебр
299
(ср. 5.1.3). Отсюда немедленно следует непрерывность оператора La. Таким образом, в силу 5.3.8 соответствие ls о La о (/,) 1 можно рассматривать как ограниченный линейный оператор из ts(A/ ker/с) в банахово пространство Hs. В связи с 4.5.10 такой оператор допускает, и притом единственное, продолжение до оператора 91s(a) из В(Я8).
Установим теперь, что 91, : a $Hs(a) — это требуемое представление. В силу 11.1.6 выполнено: Lab = ГаГь для а, b С А. Значит,	__ ___________
— ^sLa-Lb — LaSPsLb — Га Lpps.
Поскольку Ьаъ — единственное решение уравнения Xye = приходим к соотношению Lab = La Lb, обеспечивающему мультипликативность 91,. То, что 91, — линейный оператор, проверяется аналогично. Помимо этого,
C'l^s — Ге-^1 — L’sA-A — L’s — IА/ ker
T. e. $HS(1) = 1.
Обозначим для удобства ips '= i.-a.-.- Тогда с учетом определений скалярного произведения в И, (см. 6.1.10 (4)) и инволюции в /1(7/,) (см. 6.4.14 и 6.4.5) для элементов а, Ъ, у Е А имеем
(938(а*)^8®, ipsy)s = (pl)sLa»x, -фву)в =
= (La,x, y)s = (a*®, y)s = s(y*a*x) = s(\ay)*x) = (®, ay)s =
= (®, Lay)s = (V>s®, ^sLay)s = (V)s®, 938(а)^8у)8 =
= ($Н8(а)*^8®, ^sy)s.
Отсюда из-за плотности imV's в //, вытекает, что 91s(a*) = 91s(a)* для каждого a G А, т. е. 91, — это ^представление.
Положим теперь xs := 'фА- Тогда
91s(a)®s = 938(а)^Л = ^sLal = -ф8а (a G А).
Следовательно, множество {91s(a)®s : a G А} плотно в //,. Помимо этого,
(91s(a)®s, ®s)s = фф8а, V)sl)s = (a, l)s = s(l*a) = s(a). [>
11.9.11.	Замечание. Построение из доказательства теоремы 11.9.10 называют ТИС-конструкцией (или развернуто: конструкцией Гельфанда — Наймарка — Сигала).
300
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.9.12.	Теорема Гельфанда — Наймарка. Каждая ( '‘ -алгебра имеет изометрическое *-представление в С*-алгебре эндоморфизмов подходящего гильбертова пространства.
<1 Пусть А — рассматриваемая С*-алгебра. Следует найти гильбертово пространство Н и изометрическое ^представление 91 алгебры А в С*-алгебре В(Н). С этой целью рассмотрим гильбертову сумму Н семейства гильбертовых пространств (Hs)ses(A), существование который гарантировано теоремой о состоянии С*-алгебры, т. е.
Н- ф Hs =
ses(A)
= < h:= (hs')ses(A) G Hs :	IIMIh, < +°° / •
[	ses(A) ses(A)	J
Отметим, что скалярное произведение семейств h := (hs)ses(A) и g:= (gs)ses(A) в H вычисляется по правилу (ср. 6.1.10 (5) и 6.1.9):
(/г, 9) = Е (h8, gs)s.
sES(A)
Пусть, далее, 91s — это ^представление А в пространстве соответствующее состоянию s из S(A). Так как в силу 11.8.5 для каждого a G А выполнена оценка ||91s(a) ||b(hs) < ||а||, т0 Для h Е Н справедливо
£ нздык< Е m<B(Hs)iiuk < и2 Е ник-ses(A)	ses(A)	ses(A)
Отсюда вытекает, что соотношение 91(a)/i : s y\.s(a)hs определяет элемент 91(a) h из Н. Возникающий оператор 91(a) : h y\.(a)h — элемент пространства В(Н). Более того, отображение 91: a 91(a) (a G А) — это искомое изометрическое *-представление алгебры А.
В самом деле, из определения 91 и свойств 91s для s G А'(Л) легко вывести, что 91 — это ^представление А в //(//). Убедимся, например, что 91 согласовано с инволюцией. Для этого возьмем элементы a Е А и h, g G Н. Тогда
(91(а*)/г, 5) = Е	9s}s =
sES(A)
Упражнения 301
= У (fHs(a)*/is, щ), = У (hs, ^s(a)gs)s = ses(A)	ses(A)
= (7i, fR(a)p) = (fH(a)*/i, g).
Из-за произвольности h, geH получаем fR(a*) = 91(a)*, что и нужно.
Осталось проверить только изометричность *-представления 91, т. е. равенства ||91(a)|| = ||a|| при всех a G А. Пусть для начала a — это положительный элемент. Из непрерывного функционального исчисления и теоремы Вейерштрасса 9.4.5 следует: ||a|| G Sp(a). На основании 11.9.3 (1) существует состояние s G S(A), для которого s(a) = ||a||. Учитывая свойства вектора х8, соответствующего ♦-представлению 91, (см. 11.9.10), и привлекая неравенство Коши — Буняковского 6.1.5, получаем
||a|| = s(a) = (91s(a)®s,®s)s < ||fRs(a)®s||Hs ||®s||hs <
— ||938(а)||щд-з) ||®s||jjs = ||91s(a) || b(hs) xs)s =
= ||ЗД||В(на)аМ1И, x8)8 = ||JHS(«)Hb(hs)s(1) = НЗДНщн,).
Используя оценки ||91(a)|| > ||SHs(a)||B(Bs) и ||a|| > ||91(a)||, первая из которых очевидна, а вторая указана в 11.8.5, выводим:
||«|| > ||91(а)|| > \Ща)\\в(Нз) > ||<
Возьмем, наконец, произвольный элемент а из А. По лемме Каплан-ского — Фукамия 11.9.7 элемент а*а положителен. Таким образом, можно заключить:
||91(a)||2 =	|| =	|| =	|| = ||а*а|| = ||а||2.
Дальнейшее не требует особых разъяснений. [>
У пражнения
11.1.	Привести примеры банаховых алгебр и не банаховых алгебр.
11.2.	Пусть А — банахова алгебра и у G A# таков, что у(1) = 1 и при этом x(Inv(A)) С Inv(C). Доказать, что х мультипликативен и непрерывен.
11.3.	Пусть спектр Sp(a) элемента а банаховой алгебры А лежит в открытом множестве U. Доказать, что имеется число £ > 0 такое, что Sp(a + b) С U при всех b G А, для которых ||6|| < £.
302
Гл. 11. Банаховы алгебры
11.4.	Описать пространства максимальных идеалов в алгебрах C(Q, С), cWQO, 1], С) с поточечным умножением, в алгебре двусторонних суммируемых последовательностей Zi(Z) со свёрточным умножением
(a*b)(n):= an_kbk.
к=-оо
11.5.	Установить, что в банаховой алгебре В(Х) элемент Т имеет левый обратный в том и только в том случае, когда Т — мономорфизм и образ Т дополняем в X.
11.6.	Установить, что в банаховой алгебре В(Х) элемент Т имеет правый обратный в том и только в том случае, если Т — эпиморфизм и ядро Т дополняемо в X.
11.7.	В банаховой алгебре А есть элемент с несвязным спектром. Доказать, что в А найдется нетривиальный идемпотент.
11.8.	Пусть А — коммутативная банахова алгебра с единицей и Е — некоторое множество ее максимальных идеалов. Множество Е называют границей А, если для всякого a G А выполнено
||а-||оо = sup |.
Доказать, что пересечение всех замкнутых границ А также служит границей А. Ее называют границей Шилова алгебры А.
11.9.	Пусть А, В — коммутативные банаховы алгебры с единицей, причем В С А и 1в — Доказать, что всякий максимальный идеал границы Шилова алгебры В содержится в некотором максимальном идеале А.
11.10.	Пусть А и В — две С**-алгебры (с единицей) и Т — морфизм А в В. Пусть, далее, а — нормальный элемент А и f — непрерывная функция на Эр^(а). Установить, что Sps(Ta) С Зр^(а) и Tf(a) = f(Ta).
11.11.	Пусть f G А7, где А — коммутативная С**-алгебра. Установить, что f — положительная форма, т. е. f(a*а) > 0 для а € А, в том и только в том случае, если ||/|| = /(1).
11.12.	Описать крайние лучи множества положительных форм в коммутативной С**-алгебре.
11.13.	Доказать, что алгебры C(Qi, С) и C(Qz, С) изоморфны в том и только в том случае, если компакты Qi и Q% гомеоморфны.
11.14.	Пусть некоторый нормальный элемент С**-алгебры имеет вещественный спектр. Доказать, что он эрмитов.
11.15.	Развить спектральную теорию нормальных операторов в гильбертовом пространстве с помощью непрерывного функционального исчисления. Описать компактные нормальные операторы.
Упражнения
303
11.16.	Пусть Т — алгебраический морфизм С**-алгебр, причем ||Т|| < 1. Тогда Т(а*) = (Та)* для всех а.
11.17.	Пусть Т — нормальный оператор на гильбертовом пространстве Н. Убедиться, что существуют эрмитов оператор S на Н и непрерывная функция f : Sp(S) С такие, что Т = f(S). Справедливо ли аналогичное утверждение в С*-алгебрах?
11.18.	Пусть А, В — две С**-алгебры и р — это *-мономорфизм из Ав В. Доказать, что р — изометрическое вложение А в В.
11.19.	Пусть а, b — эрмитовы элементы С**-алгебры А, причем ab = Ьа и, кроме того, а < Ь. Доказать, что f(a) < f(b) для подходящих сужений любой возрастающей непрерывной скалярной функции f на R.
Литература
1.	Акилов Г. П., Дятлов В. Н. Основы математического анализа. —Новосибирск: Наука, 1980.—336 с.
2.	Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства.—Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.
3.	Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. —М.: Наука, 1977.—367 с.
4.	Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.—М.: Наука, 1979.—429 с.
5.	Антоневич А. Б., Радыно Я. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения.—Минск: Изд-во «Университетское», 1984.—352 с.
6.	Антоневич А. Б., Князев П. Н., Радыно Я. Б. Задачи и упражнения по функциональному анализу.—Минск: Вышейшая школа, 1978.—205 с.
7.	Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход.—М.: Мир, 1976.— 311 с.
8.	Архангельский А. В. Топологические пространства функций.— М.: Изд-во МГУ, 1989.—222 с.
9.	Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях.—М.: Наука, 1974.—423 с.
10.	Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.—М.: Наука, 1965.—407 с.
11.	Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях.— Харьков: Выща школа, 1984.—120 с.
12.	Ахиезер Н. И., Гпазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовых пространствах. — Харьков: Выща школа, 1977-1978. — Т. 1-2.
Литература
305
13.	Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства.—М.: Наука, 1988.—448 с.
14.	Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ.— М.: Наука, 1980.—384 с.
15.	Берг И., Лёфстрём И. Интерполяционные пространства. Введение.—М.: Мир, 1980.—264 с.
16.	Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе.—Киев: Наукова думка.—1988.— 680 с.
17.	Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель 3. Г. Функциональный анализ. Курс лекций.—Киев: Выща школа, 1990.—600 с.
18.	Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. —М.: Наука, 1996.—480 с.
19.	Биркгоф Г. Теория решёток.—М.: Наука, 1984.—565 с.
20.	Бирман М. Ш. и др. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1972.—544 с.—(Справочная математическая библиотека.)
21.	Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.—264 с.
22.	Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля.—М.: Наука, 1987.— 615 с.
23.	Булдырев В. С., Павлов П. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—496 с.
24.	Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. —М.: Мир, 1982.—511 с.
25.	Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье.—М.: Мир, 1968.—276 с.
26.	Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: Изд-во иностр, лит., 1959.—410 с.
27.	Бурбаки Н. Теория множеств.—М.: Мир, 1965.—455 с.
28.	Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.—М.: Наука, 1968.—272 с.
29.	Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.—М.: Мир, 1971.—707 с.
30.	Бурбаки Н. Спектральная теория.—М.: Мир, 1972.—183 с.
306
Литература
31.	Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов.—М.: Наука, 1975.—408 с.
32.	Бурбаки Н. Интегрирование. Мера на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Мера на отдельных пространствах.—М.: Наука, 1977.—600 с.
33.	Бухвалов А. В. и др. Векторные решётки и интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1991.—212 с.
34.	Вайнберг М. М. Функциональный анализ.—М.: Просвещение, 1979.—128 с.
35.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1988.—512 с.
36.	Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике.—М.: Наука, 1976.—280 с.
37.	Владимиров В. С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики.—М.: Наука, 1982.—256 с.
38.	Воеводин В. В. Линейная алгебра.—М.: Наука, 1980.—400 с.
39.	Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1982.—304 с.
40.	Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ.—М.: Наука, 1967.—415 с.
41.	Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физматгиз, 1961.—407 с.
42.	Гамелин Т. Равномерные алгебры.—М.: Мир, 1973.—334 с.
43.	Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.—М.: Мир, 1967.—251 с.
44.	Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.—М.: Наука, 1966. —280 с.
45.	Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца.—М.: Физматгиз, 1960.—316 с.
46.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.—М.: Физматгиз, 1958.—438 с.—(Обобщённые функции. Вып. 1.)
47.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщённых функций.—М.: Физматгиз, 1958.—307 с.—(Обобщённые функции. Вып. 2.)
48.	Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащённые гильбертовы пространства.
Литература
307
— М.: Физматгиз, 1961. — 472 с. — (Обобщённые функции.
Вып. 4.)
49.	Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ.—М.: Наука, 1969.—475 с.
50.	Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.—М.: Изд-во иностр, лит., 1961.—319 с.
51.	Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщёнными производными и квазиконформные отображения.—М.: Наука, 1983.—284 с.
52.	Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.— М.: Изд-во иностр, лит., 1963.—311 с.
53.	Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных самосопряжённых операторов.—М.: Наука, 1965.—448 с.
54.	Гурарий В. П. Групповые методы коммутативного гармонического анализа.—М.: ВИНИТИ, 1988.—311 с.—(Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 25.)
55.	Данфорд И., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1: Общая теория.—М.: Изд-во иностр, лит., 1962.—898 с. Т. 2: Спектральная теория. Самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве.—М.: Мир, 1966.—1063 с. Т. 3: Спектральные операторы.—М.: Мир, 1974.—661 с.
56.	Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. — М.: Наука, 1974.—399 с.
57.	Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств.—Киев: Выща школа, 1980.—215 с.
58.	Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Изд-во иностр, лит., 1961.—232 с.
59.	Дэй М. Нормированные линейные пространства.—М.: Изд-во иностр, лит., 1961.—232 с.
60.	Ефимов А. В., Золотарёв Ю. Г., Терпигорев В. М. Математический анализ (специальные разделы). Т. 2. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. —М.: Высшая школа, 1980.—295 с.
61.	Зорич В. А. Математический анализ. Часть II.—М.: Наука, 1998.—640 с.
62.	Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.—624 с.
63.	Иосида К. Операционное исчисление. Теория гиперфункций. — Минск: Изд-во «Университетское», 1989.—168 с.
308
Литература
64.	Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.— М.: Наука, 1974.—479 с.
65.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.—752 с.
66.	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.—М.: Физматгиз, 1959.—684 с.
67.	Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.-Л.: Го-стехиздат, 1950.—548 с.
68.	Картан А. Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. — М.: Изд-во иностр, лит., 1963.—296 с.
69.	Като Т. Теория возмущений линейных операторов.—М.: Мир, 1972.—740 с.
70.	Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье.—М.: Мир, 1976.—204 с.
71.	Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.—М.: Наука, 1984.—495 с.
72.	Келли Дж. Общая топология.—М.: Наука, 1981.—431 с.
73.	Кириллов А. А. Элементы теории представлений.—М.: Наука, 1978.—343 с.
74.	Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.—М.: Наука, 1988.—396 с.
75.	Кисляков С. В. Правильные равномерные алгебры недополня-емы // Докл. АН СССР.—1989.—Т. 304, № 4.—С. 795-798.
76.	Князев П. Н. Функциональный анализ.—Минск: Вышейшая школа, 1985.—208 с.
77.	Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. —М.: Наука, 1985.—470 с.
78.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1989.—623 с.
79.	Коротков В. Б. Интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1983.—224 с.
80.	Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. —М.: Изд-во МГУ, 1986.—303 с.
81.	Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. Главы нелинейного анализа.—М.: Физматгиз, 1962. —394 с.
Литература
309
82.	Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—М.: Наука, 1966.—499 с.
83.	Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа.—М.: Наука, 1975.—511 с.
84.	Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича.—М.: Физматгиз, 1958.—271 с.
85.	Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов.— М.: Наука, 1985.—255 с.
86.	Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.—М.: Наука, 1967.—464 с.
87.	Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1971.—104 с.
88.	Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.—400 с.
89.	Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 2.—М.: Высшая школа, 1981.—584 с.
90.	Кусраев А. Г. Векторная двойственность и её приложения.— Новосибирск: Наука, 1985.—256 с.
91.	Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения.—Новосибирск: Наука, 1992.—270 с.
92.	Кусраев А. Г., Тибилов К. Т. Бесконечномерные банаховы пространства.—Владикавказ: Изд-во Северо-Осетинского университета, 1994.—118 р.
93.	Кутателадзе С. С., Рубинов А. М. Двойственность Минковского и её приложения.—Новосибирск: Наука, 1976.—254 с.
94.	Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. —М.: Наука, 1973.—407 с.
95.	Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа.— М.: Наука, 1967.—510 с.
96.	Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике.—М.: Наука, 1985.—351 с.
97.	Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий.
—М.: Мир, 1967.—203 с.
98.	Ленг С. Алгебра.—М.: Мир, 1968.—564 с.
99.	Ленг С. SL(2,R).— М.: Мир, 1977.—430 с.
310
Литература
100.	Любич Ю. И. Введение в теорию банаховых представлений групп.—Харьков: Выща школа, 1985.—143 с.
101.	Любич Ю. И. Линейный функциональный анализ.—М.: ВИНИТИ, 1988.—316 с.—(Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 19.)
102.	Люмис Л. Введение в абстрактный гармонический анализ.— М.: Изд-во иностр, лит., 1956.—251 с.
103.	Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.—М.: Высшая школа, 1982.—271 с.
104.	Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева.—Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.—415 с.
105.	Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.—131 с.
106.	Маслов В. И. Операторные методы.—М.: Наука, 1973.—544 с.
107.	Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.— М.: Мир, 1977.—504 с.
108.	Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных.— М.: Высшая школа, 1977.—431 с.
109.	Морен К. Методы гильбертова пространства.—М.: Мир, 1965. —570 с.
110.	Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп.—М.: Мир, 1980.—102 с.
111.	Напалков В. В. Уравнения свёртки в многомерных пространствах.—М.: Наука, 1982.—240 с.
112.	Наймарк М. А. Нормированные кольца.—М.: Наука, 1968.— 664 с.
113.	Невё Ж. Математические основы теории вероятностей.—М.: Мир, 1969.—309 с.
114.	Нейман Дж. фон. Математические основы квантовой механики.—М.: Наука, 1964.—367 с.
115.	Нейман Дж. фон. Избранные труды по функциональному анализу.—М.: Наука, 1987.—Т. 1, 2.
116.	Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига.—М.: Наука, 1980.—383 с.
117.	Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.—М.: Наука, 1977.—455 с.
118.	Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.—М.: Мир, 1977.—232 с.
Литература
311
119.	Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения.—М.: Мир, 1988.—264 с.
120.	Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ.—М.: Мир, 1988.—510 с.
121.	Паламодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.—М.: Наука, 1967.—487 с.
122.	Пале Р. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе.—М.: Мир, 1970.—359 с.
123.	Петунии Ю. И., Пличко А. Н. Теория характеристик подпространств и её приложения.—Киев: Выща школа, 1980.—216 с.
124.	Пич А. Операторные идеалы.—М.: Мир, 1982.—536 с.
125.	Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1967.—256 с.
126.	Плеснер А. И. Спектральная теория линейных операторов.— М.: Наука, 1965.—624 с.
127.	Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.—М.: Мир, 1979.—493 с.
128.	Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология.—М.: Изд-во БГУ, 1982.—199 с.
129.	Райков Д. А. Векторные пространства.—М.: Физматгиз, 1962. —211 с.
130.	Решетняк Ю. Г. Векторные меры и некоторые вопросы теории функций вещественной переменной.—Новосибирск: Изд-во ИГУ, 1982.—91 с.
131.	Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.—М.: Мир, 1977-1982.—Т. 1: Функциональный анализ. —1977.—357 с. Т. 2: Гармонический анализ. Самосопряженность. — 1978.—395 с. Т. 3: Теория рассеяния.—1982.—443 с. Т. 4: Анализ операторов.—1982.—428 с.
132.	Рисе Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.—М.: Мир, 1979.—587 с.
133.	Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. —М.: Мир, 1982.—486 с.
134.	Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1967.—257 с.
135.	Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.—М.: Мир, 1973.—470 с.
136.	Рудин У. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1975.—443 с.
312
Литература
137.	Садовничий В. А. Теория операторов.—М.: Высшая школа, 1999.—368 с.
138.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5.—М.: ГИФМЛ, 1959.—635 с.
139.	Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974.—808 с.
140.	Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.—М.: Наука, 1988.—334 с.
141.	Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций.—М.: Наука, 1989. — 254 с.
142.	Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.—342 с.
143.	Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.—М.: Мир, 1974.—333 с.
144.	Талдыкин А. Т. Элементы прикладного функционального анализа.—М.: Высшая школа, 1982.—383 с.
145.	Тихомиров В. М. Выпуклый анализ. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14.— М.: ВИНИТИ, 1987.—С. 5-101.
146.	Треногин В. А. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1980.— 496 с.
147.	Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. — М.: Наука, 1984.—256 с.
148.	Трибель X. Теория функциональных пространств.—М.: Мир, 1986.—447 с.
149.	Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепёлкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям.— Новосибирск: Наука, 1984.—223 с.
150.	Хавин В. П. Методы и структура коммутативного гармонического анализа. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 15.—М.: ВИНИТИ, 1987.—С. 6-133.
151.	Халмош П. Теория меры.—М.: Изд-во иностр, лит.—1953.— 291 с.
152.	Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963.—264 с.
Литература
313
153.	Халмош П. Гильбертово пространство в задачах.—М.: Мир, 1970.—352 с.
154.	Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2.—М.: Наука, 1985.—158 с.
155.	Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов.—М.: Мир, 1983.—431 с.
156.	Хейер X. Вероятностные меры на локально компактных группах.—М.: Мир, 1981.—701 с.
157.	Хелемский А. Я. Банаховы и полунормированные алгебры. Общая теория, представление, гомотопии.—М.: Наука, 1989.— 464 с.
158.	Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. —М.: Изд-во иностр, лит., 1962.—829 с.
159.	Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.—М.: Мир, 1989.— 655 с.
160.	Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1: Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представление групп.—М.: Наука, 1975.—656 с. Т. 2: Структура и анализ компактных групп. Анализ на локально компактных абелевых группах.—М.: Мир, 1975.—902 с.
161.	Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных.—М.: Мир, 1968.—279 с.
162.	Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1: Теория распределений и анализ Фурье.—М.: Мир, 1986.—462 с.
163.	Шапира П. Теория гиперфункций.—М.: Мир, 1972.—142 с.
164.	Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры.—М.: ВИНИТИ, 1986.—288 с.—(Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11.)
165.	Шварц Л. Анализ. Т. 1.—М.: Мир, 1972.—824 с.
166.	Шварц Л. Математические методы для физических наук.—М.: Мир, 1965.—412 с.
167.	Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—359 с.
168.	Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс.—М.: Наука, 1965.—327 с.
169.	Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная.— М.: Наука, 1967.—219 с.
314
Литература
170.	Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении.—М.: Мир, 1985.—Т. 1, 2.
171.	Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.— М.: Мир, 1969.—1072 с.
172.	Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.—М.: Мир, 1979.—400 с.
173.	Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля.—М.: Мир, 1976.—423 с.
174.	Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—751 с.
175.	Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.—М.: Мир, 1974.—488 с.
176.	Adams R. Sobolev Spaces.—New York etc.: Academic Press, 1975. —275 p.
177.	Adasch N., Ernst B., and Keim D. Topological Vector Spaces. The Theory Without Convexity Conditions.—Berlin etc.: Springer, 1978.—125 p.
178.	Aliprantis Ch. and Burkinshaw O. Positive Operators.—Orlando etc.: Academic Press, 1985.—367 p.
179.	Aliprantis Ch. and Border Kim C. Infinite-Dimensional Analysis. A Hitchhiker’s Guide. —Berlin etc.: Springer, 1999. —xx+672 p.
180.	Amir D. Characterizations of Inner Product Spaces.—Basel etc.: Birkhauser, 1986.—200 p.
181.	Antosik P. and Swartz Ch. Matrix Methods in Analysis.—Berlin etc.: Springer, 1985.—114 p.
182.	Approximation of Hilbert Space Operators.—Boston etc.: Pitman. Vol. 1: Herrero D. A.—1982.—255 p. Vol. 2: Apostol C. et al.— 1984.—524 p.
183.	Arveson W. An Invitation to C*-Algebras.—Berlin etc.: Springer, 1976.—106 p.
184.	Baggett L. W. Functional Analysis. A Primer.—New York etc.: Dekker, 1991.—288 p.
185.	Baggett L. W. Functional Analysis.—New York: Marsel Dekker, Inc., 1992.—267 p.
186.	Banach S. Theorie des Operationes Lineaires.—Warszawa: Mono-grafje Mat., 1932.—254 p. (English transl.: Theory of Linear Operations.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1987.—237 p.)
187.	Bauer H. Probability Theory.—Berlin: Walter de Gruyter, 1996.— xv+523 p.
Литература
315
188.	Beauzamy В. Introduction to Banach Spaces and Their Geometry. —Amsterdam etc.: North-Holland, 1985.—338 p.
189.	Beauzamy B. Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1988.—xiv+358 p.
190.	Berberian St. Lectures in Functional Analysis and Operator Theory.—Berlin etc.: Springer, 1974.—345 p.
191.	Bessaga Cz. and Pelczynski A. Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology.—Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1975.— 313 p.
192.	Birkhoff G. and Kreyszig E. The establishment of functional analysis U Historia Math.—1984.—Vol. 11, No. 3.—P. 258-321.
193.	Boccara N. Functional Analysis. An Introduction for Physicists-New York etc.: Academic Press, 1990.—344 p.
194.	Bollobas B. Linear Analysis. An Introductory Course.—Cambridge: Cambridge University Press, 1990.—240 p.
195.	Bonsall F. F. and Duncan J. Complete Normed Algebras.—Berlin etc.: Springer, 1973.—299 p.
196.	Boos B. and Bleecker D. Topology and Analysis. The Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics.—Berlin etc.: Springer, 1985.—451 p.
197.	Bourgain J. New Classes of Л'^-Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1981.—143 p.
198.	Bourgin R . D. Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym Property.—Berlin etc.: Springer, 1983.—474 p.
199.	Brezis H. Analyse Fonctionelle. Theorie et Applications.—Paris etc.: Masson, 1983.—233 p.
200.	Brown A. and Pearcy C. Introduction to Operator Theory. I. Elements of Functional Analysis. — Berlin etc.: Springer, 1977.— 474 p.
201.	Burckel R. Characterization of C'(A') Among Its Subalgebras.— New York: Dekker, 1972.—159 p.
202.	Caradus S., Plaffenberger W., and Yood B. Calkin Algebras of Operators on Banach Spaces.—New York: Dekker, 1974.—146 p.
203.	Carreras P. P. and Bonet J. Barrelled Locally Convex Spaces.— Amsterdam etc.: North-Holland, 1987.—512 p.
204.	Casazza P. G. and Shura Th. Tsirelson’s Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1989.—204 p.
316
Литература
205.	Chandrasekharan Р. S. Classical Fourier Transform.—Berlin etc.: Springer, 1980.—172 p.
206.	Choquet G. Lectures on Analysis. Vol. 1: Integration and Topological Vector Spaces.—361 p. Vol. 2: Representation Theory.— 317 p. Vol. 3: Infinite Dimensional Measures and Problem Solutions.—321 p.—New York and Amsterdam: Benjamin, 1976.
207.	Colombeau J.-F. Elementary Introduction to New Generalized Functions.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1985.—281 p.
208.	Constantinescu C., Weber K., and Sontag A. Integration Theory. Vol. 1: Measure and Integration.—New York etc.: Wiley, 1985.— 520 p.
209.	Conway J. B. A Course in Functional Analysis.—New York etc.: Springer, 1990.—399 p.
210.	Conway J. B. A Course in Operator Theory.—Providence: Amer. Math. Soc., 2000.—xvi+372 p.
211.	Conway J. B., Herrero D., and Morrel B. Completing the Riesz-Dunford Functional Calculus. — Providence: Amer. Math. Soc., 1989.—104 p.
212.	Cryer C. Numerical Functional Analysis.—New York: Clarendon Press, 1982.—568 p.
213.	Dautray R. and Lions J.-L. Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Vol. 2: Functional and Variational Methods.—Berlin etc.: Springer, 1988.—561 p. Vol. 3: Spectral Theory and Applications.—Berlin e tc.: Springer, 1990.—515 p.
214.	DeVito C. L. Functional Analysis.—New York and London: Academic Press, 1978.—ix+166 p.
215.	DeVito C. L. Functional Analysis and Linear Operator Theory.— Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1990.—x+358 p.
216.	Diestel J. Sequences and Series in Banach Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1984.—261 p.
217.	Diestel J. and Uhl J. J. Vector Measures.—Providence: Amer. Math. Soc., 1977.—322 p.
218.	Dieudonne J. Treatise on Analysis. Vol. 7.—Boston: Academic Press, 1988.—366 p.
219.	Dieudonne J. History of Functional Analysis.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.—312 p.
Литература
317
220.	Dieudonne J. A Panorama of Pure Mathematics. As Seen by N. Bourbaki.—New York etc.: Academic Press, 1982.—289 p.
221.	Dinculeanu N. Vector Measures.—Berlin: Verlag der Wissenschaf-ten, 1966.—432 p.
222.	Dixmier J. Les Algebres d’Operators dans 1’Espace Hilbertien (Algebras de von Neumann).—Paris: Gauthier-Villars, 1969.—367 p.
223.	Donoghue W. F. Jr. Distributions and Fourier Transforms.—New York etc.: Academic Press, 1969.—316 p.
224.	Doran R. and Belfi V. Characterizations of C*-Algebras. The Gel-fand-Naimark Theorem.—New York and Basel: Dekker, 1986.— 426 p.
225.	Dowson H. R. Spectral Theory of Linear Operators.—London etc.: Academic Press, 1978.—422 p.
226.	Edmunds D. E. and Evans W. D. Spectral Theory and Differential Operators.—Oxford: Clarendon Press, 1987.—574 p.
227.	Enflo P. A counterexample to the approximation property in Banach spaces // Acta Math.—1979.—Vol. 130, No. 3-4.— P. 309-317.
228.	Erdelyi I. and Shengwang W. A Local Spectral Theory for Closed Operators.—Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1985.— 178 p.
229.	Fenchel W. Convexity Through Ages.—In: Convexity and Its Applications.—Basel etc.: Birkhauser, 1983.—P. 120-130.
230.	Friedlander F. G., Introduction to the Theory of Distributions.— Cambridge: Cambridge University Press, 1998.—x+175 p.
231.	Folland G. B. Fourier Analysis and Its Applications.—Wadsworth and Brooks: Pacific Grove, 1992.—433 p.
232.	Functional Analysis, Optimization and Mathematical Economics. —New York and Oxford: Oxford University Press, 1990.—341 p.
233.	Gillman L. and Jerison M. Rings of Continuous Functions.—Berlin etc.: Springer, 1976.—283 p.
234.	Gohberg I. and Goldberg S. Basic Operator Theory. — Boston: Birkhauser, 1981.—285 p.
235.	Goldberg S. Unbounded Linear Operators.—New York: Dover, 1985.—199 p.
236.	Griffel P. H. Applied Functional Analysis.—New York: Wiley, 1981.—386 p.
318
Литература
237.	Grothendieck A. Topological Vector Spaces.—New York etc.: Gordon and Breach, 1973.—245 p.
238.	Guerre-Delabriere S. Classical Sequences in Banach Spaces.—New York: Dekker, 1992.—232 p.
239.	Halmos P. Selecta: Expository Writing.—Berlin etc.: Springer, 1983.—304 p.
240.	Halmos P. Has Progress in Mathematics Slowed Down.—Amer. Math. Monthly.—1990.—Vol. 97, No. 7.—P. 561-588.
241.	Harte R. Invertibility and Singularity for Bounded Linear Operators.—New York and Basel: Dekker, 1988.—590 p.
242.	Helmberg G. Introduction to Spectral Theory in Hilbert Space.— Amsterdam etc.: North-Holland, 1969.—346 p.
243.	Herve M. Transformation de Fourier et Distributions. — Paris: Presses Universitaires de France, 1986.—182 p.
244.	Heuser H. Functional Analysis.—New York: Wiley, 1982.—408 p.
245.	Heuser H. Funktionalanalysis.—Stuttgart: Teubner, 1986.—696 p.
246.	Hewitt E. and Stromberg K. Real and Abstract Analysis—Berlin etc.: Springer, 1975.—476 p.
247.	Hochstadt H. Edward Helly, father of the Hahn-Banach theorem// The Mathematical Intelligencer.—1980.—1. 2, No. 3.—P. 123-125.
248.	Hoffman K. Fundamentals of Banach Algebras.—Curitaba: University do Parana, 1962.—116 p.
249.	Hog-Nlend H. Bornologies and Functional Analysis.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1977.
250.	Holmes R. B. Geometric Functional Analysis and Its Applications.
—Berlin etc.: Springer, 1975.—246 p.
251.	Hormander L. Notions of Convexity.—Boston etc.: Birkhauser, 1994.—414 p.
252.	Husain T. and Khaleelulla S. M. Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1978.—257 p.
253.	Istratescu V. I. Inner Product Structures.—Dordrecht and Boston: Reidel, 1987.—895 p.
254.	James R. C. Some Interesting Banach Spaces//Rocky Mountain J. Math.—1993.— Vol. 23, No. 2.—P. 911-937.
255.	Jarchow H. Locally Convex Spaces.—Stuttgart: Teubner, 1981.— 548 p.
256.	Jorgens K. Linear Integral Operators. —Boston etc.: Pitman, 1982.—379 p.
Литература
319
257.	Kadison R. V. and Ringrose J. R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. 1, 2. — New York etc.: Academic Press, 1983-1986.
258.	Kamthan P. K. and Gupta M. Sequence Spaces and Series.—New York and Basel: Dekker, 1981.—368 p.
259.	Kelly J. L. and Namioka I. Linear Topological Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1976.—256 p.
260.	Kelly J. L. and Srinivasan T. P. Measure and Integral. Vol. 1.— New York etc.: Springer, 1988.—150 p.
261.	Kesavan S. Topics in Functional Analysis and Applications.—New York etc.: Wiley, 1989.—267 p.
262.	Khaleelulla S M. Counterexamples in Topological Vector Spaces.— Berlin etc.: Springer, 1982.—179 p.
263.	Korner T. W. Fourier Analysis.—Cambridge: Cambridge University Press, 1988.—591 p.
264.	Kothe G. Topological Vector Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1969-1979.—Vol. 1, 2.
265.	Kreyszig E. Introductory Functional Analysis with Applications.— New York: Wiley, 1989.—688 p.
266.	Kusraev A. G. Dominated Operators.—Dordrecht: Kluwer, 2000.
267.	Lacey H. The Isometric Theory of Classical Banach Spaces.— Berlin etc.: Springer, 1973.—243 p.
268.	Lang S. Real Analysis.—Reading: Addison-Wesley, 1983.—533 p.
269.	Larsen R. Banach Algebras, an Introduction.—New York: Dekker, 1973.—345 p.
270.	Larsen R. Functional Analysis, an Introduction. —New York: Dekker, 1973.—497 p.
271.	Levy A. Basic Set Theory.—Berlin etc.: Springer, 1979.—351 p.
272.	Lindenstrauss J. and Tzafriri L. Classical Banach Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1977. Vol. 1: Sequence Spaces.—1977.—190 p. Vol. 2: Function Spaces.—1979.—243 p.
273.	Linear and Complex Analysis Problem Book. 199 Research Problems.—Berlin etc.: 1984.—720 p.
274.	Llavona J. G. Approximation of Continuously Differentiable Functions. —Amsterdam etc.: North-Holland, 1986.—241 p.
275.	Luecking D. H. and Rubel L. A. Complex Analysis. A Functional Analysis Approach.—Berlin etc.: Springer, 1984.—176 p.
320
Литература
276.	Luxemburg W. A. J. and Zaanen A. C. Riesz Spaces. I.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1971.—514 p.
277.	Maddox I. J. Elements of Functional Analysis.—Cambridge: Cambridge University Press, 1988.—242 p.
278.	Malliavin P. Integration of Probabilites. Analyse de Fourier et Analyse Spectrale.—Paris etc.: Masson, 1982.—200 p.
279.	Marek I. and ZitnyK. Matrix Analysis for Applied Sciences. Vol. 1. —Leipzig: Teubner, 1983.—196 p.
280.	Mascioni V. Topics in the Theory of Complemented Subspaces in Banach Spaces // Expositiones Math.—1989.—Vol. 7, No. 1.— P. 3-47.
281.	Maurin K. Analysis. II. Integration, Distributions, Holomorphic Functions, Tensor and Harmonic Analysis.—Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1980.—829 p.
282.	Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer, 1991.— 395 p.
283.	Michor P. W. Functors and Categories of Banach Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1978.—99 p.
284.	Milman V. D. and Schechtman G. Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1986.—156 p.
285.	Miranda C. Istituzioni di Analisi Funzionale Lineare.—Bologna: Pitagora Editrice.—Vol. 1: 1978.—596 p. Vol. 2: 1979.—748 p.
286.	Misra О. P. and Lavoine J. L. Transform Analysis of Generalized Functions.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1986.—332 p.
287.	Moore R. Computational Functional Analysis.—New York: Wiley, 1985.—156 p.
288.	Narici L. and Beckenstein E. Topological Vector Spaces—New York: Dekker, 1985.—408 p.
289.	Naylor A. and Sell G. Linear Operator Theory in Engineering and Science.—Berlin etc.: Springer, 1982.—624 p.
290.	Oden J. T. Applied Functional Analysis. A First Course for Students of Mechanics and Engineering Science.—Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1979.—426 p.
291.	Pedersen G. K. Analysis Now.—New York etc.: Springer, 1989.— 277 p.
292.	Phelps R. Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability. —Berlin etc.: 1989.—115 p.
Литература
321
293.	Pietsch A. Eigenvalues and S-Numbers.—Leipzig, Akademish Verlag, 1987.—360 p.
294.	Pisier G. Factorization of Linear Operators and Geometry of Banach Spaces.—Providence: Amer. Math. Soc., 1986.—154 p.
295.	Radjavi H. and Rosenthal P. Invariant Subspaces.—Berlin etc.: Springer, 1973.—219 p.
296.	Richards J. Ian and Joun H. K. Theory of Distributions: a Non-Technical Introduction. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.—147 p.
297.	Rickart Ch. General Theory of Banach Algebras.—Princeton: Van Nostrand, 1960.—394 p.
298.	Rolewicz S. Metric Linear Spaces.—Dordrecht etc.: Reidel, 1984. —459 p.
299.	Rolewicz S. Analiza Funkcjonalua i Teoria Sterowania.—Warszawa, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.—393 p.
300.	Roman St. Advanced Linear Algebra.— Berlin etc.: Springer, 1992.
301.	Rudin W. Fourier Analysis on Groups.—New York: Interscience, 1962.—285 p.
302.	Sakai S. C*-Algebras and W*-Algebras.—Berlin etc.: Springer, 1971.—256 p.
303.	Samuelides M. and Touzillier L. Analyse Fonctionelle. Cepadues Editions.—Toulouse, 1983.—289 p.
304.	Sard A. Linear Approximation.— Providence: Amer. Math. Soc., 1963.
305.	Schaefer H. H. Banach Lattices and Positive Operators.—Berlin etc.: Springer, 1974.—376 p.
306.	Schechter M. Principles of Functional Analysis.—New York etc.: Academic Press, 1971.
307.	Schwartz L. Theorie des Distributions [in French].—Paris: Hermann, 1998.—xii+420 p.
308.	Schwartz L. Analyse. Topologie Generale et Analyse Fonction-nelle. —Paris: Hermann, 1986.—436 p.
309.	Schwartz L. Hilbertian Analysis [in French].—Paris: Hermann, 1979.
310.	Schwartz L. Geometry and Probability in Banach Spaces.—Berlin etc.: Springer, 1981.—x+101 p.—(Lecture Notes in Math., 852.)
322
Литература
311.	Schwarz H.-U. Banach Lattices and Operators.—Leipzig: Teubner, 1984.—208 p.
312.	Seeger Al. Direct and inverse addition in convex analysis and applications //J. Math. Anal. Appl.—1990.—Vol. 148, No. 2.— P. 317-349.
313.	Segal I. and Kunze R. Integrals and Operators. —Berlin etc.: Springer.—1978.—371 p.
314.	Semadeni Zb. Banach Spaces of Continuous Functions.—Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1971.—584 p.
315.	Sinclair A. Automatic Continuity of Linear Operators. — Cambridge: Cambridge University Press, 1976.—92 p.
316.	Singer I. Bases in Banach Spaces. Vol. 1—Berlin etc.: Springer, 1970.—668 p.
317.	Singer I. Bases in Banach Spaces. Vol. 2.—Berlin etc.: Springer, 1981.—880 p.
318.	Singer I. Abstract Convex Analysis.—New York: John Wiley & Sons, 1997.—xix+491 p.
319.	Steen L. A. Highlights in the history of spectral theory // Amer. Math. Monthly.—1973.—Vol. 80, No. 4.—P. 359—381.
320.	Steen L. A. and Seebach J. A. Counterexamples in Topology.— Berlin etc.: Springer, 1978.—244 p.
321.	Stein E. M. Harmonic Analysis, Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals.—Princeton Princeton University Press, 1993.
322.	Stone M. Linear Transformations in Hilbert Space and Their Application to Analysis.—New York: Amer. Math. Soc., 1932.— 622 p.
323.	Sundaresan K. and Swaminathan Sz. Geometry and Nonlinear Analysis in Banach Spaces.—Berlin etc.: 1985.—113 p.
324.	Sunder V. S. An Invitation to von Neumann Algebras.—New York etc.: Springer, 1987.—171 p.
325.	Swartz Ch. An Introduction to Functional Analysis.—New York: Dekker, 1992.—600 p.
326.	Szankowski A. B(H') does not have the approximation property II Acta Math.—1981.—Vol. 147, No. 1-2.—P. 89-108.
327.	Takeuti G. and Zaring W. Introduction to Axiomatic Set Theory. —New York etc.: Springer, 1982.—246 p.
Литература
323
328.	Taylor А. Е. and Lay D. C. Introduction to Functional Analysis.— New York: Wiley, 1980.—467 p.
329.	Taylor J. L. Measure Algebras.—Providence: Amer. Math. Soc., 1973.—108 p.
330.	Tiel J. van. Convex Analysis. An Introductory Theory.—Chichester: Wiley, 1984.—125 p.
331.	Treves F. Locally Convex Spaces and Linear Partial Differential Equations.—Berlin etc.: Springer, 1967.—120 p.
332.	Waelbroeck L. Topological Vector Spaces and Algebras.—Berlin etc.: Springer, 1971.
333.	Wagon S. The Banach-Tarski Paradox.—Cambridge: Cambridge University Press, 1985.—251 p.
334.	Weidmann J. Linear Operators in Hilbert Spaces.—New York etc.: Springer, 1980.—402 p.
335.	Wells J. H. and Williams L. R. Embeddings and Extensions in Analysis.—Berlin etc.: Springer, 1975.—107 p.
336.	Wermer J. Banach Algebras and Several Convex Variables. — Berlin etc.: Springer, 1976.—161 p.
337.	Wilanski A. Functional Analysis.— New York: Blaisdell, 1964.
338.	Wilanski A. Topology for Analysis.— New York: John Wiley, 1970.
339.	Wilanski A. Modern Methods in Topological Vector Spaces.—New York: McGraw-Hill, 1980.—298 p.
340.	Wojtaszczyk P. Banach Spaces for Analysis.—Cambridge: Cambridge University Press, 1991.—382 p.
341.	Wong Yau-Chuen. Introductory Theory of Topological Vector Spaces.—New York: Dekker, 1992.—440 p.
342.	Yood B. Banach Algebras—An Introduction.—Ottawa: Carleton University, 1988.—174 p.
343.	Zaanen A. C. Riesz Spaces. II.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.—702 p.
344.	Zemanian A. H. Distribution Theory and Transform Analysis.— New York: Dover, 1987.—371 p.
345.	Ziemer W. P. Weakly Differentiable Functions. Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation.—Berlin etc.: Springer, 1989.
346.	Zimmer R. J. Essential Results of Functional Analysis.—Chicago and London: The University of Chicago Press, 1990.—152 p.
347.	Zuily C. Problems in Distributions and Partial Differential Equations. —Amsterdam etc.: North-Holland, 1988.—245 p.
Указатель обозначений
Аг, 11.1.6
Ах В, 1.1.1
Вр, 5.1.1, 5.2.11
Вр, 5.1.1
Вт, 5.1.3
Вх, 5.1.10, 5.2.11
В(Х), 5.6.4,
В(£, F), 5.5.9 (2)
В(Х, У), 5.1.10 (7)
C(Q, F), 4.6.8
C(m), 10.9.9 Соо(П), 10.10.2 (3) Da, 10.11.13
F"1, 1.1.3 (1)
F(^), 1.3.5 (1)
Fp, 5.5.9 (6)
F\u, 1.1.3 (5)
F(U), 1.1.3 (5)
F(ai, • )> 1.1.3 (6) F( •, a2), 1.1.3 (6) F(-, •), 1-1.3 (6)
F(X, Y), 8.3.6
G, 10.11.2
G, 10.11.2
G о F, 1.1.4
Я*, 6.1.10 (3)
H(K), 8.1.13
Hr(U), 3.1.11
Ic, 8.2.10 lu, 1.1.3 (3)
J(g), 11.5.3
J(Qo), 11.5.2
J <1 A, 11.4.1
K(E), 10.9.1
K(Q), 10.9.1 10.9.1
La, 11.1.6
Lp, 5.5.9 (4), 5.5.9 (6)
Lp(X), 5.5.9
LQo, 10.8.4 (3)
L| , 10.8.4(4)
Loo, 5.5.9 (5)
M(fl), 10.9.4 (2)
N(a), 11.9.1
Np, 5.5.9 (6)
PHo, 6-2-7
PCT, 8.2.10
РХ1цх2, 2.2.9 (4)
Pi ± P2, 6.2.12
R(a, A), 11.2.1
R(T, A), 5.6.13
S(A), 11.9.1
T', 7.6.2
T*, 6.4.4 ||T||, 5.1.10(7)
U°, 10.5.7
U\ 6.2.5 и e (r), 3.1.1 (X|, 10.3.1 x', 5.1.10 (8), 10.2.11 X", 5.1.10 (8)
2.1.4 (2)
XJ-, 7.6.8
Xa, 8.2.10
XN, 2.1.4 (4)
X*, 2.2.4
X«, 3.7.1
X~, 2.1.4 (4)
Указатель обозначений
325
X = Xi © Х2, 2.1.7
X © iX, 8.4.8
Х± х Х2 х ... х XN, 2.1.4 (4)
(X, т)', 10.2.11
X/Xq, 2.1.4 (6)
(X/Xq, рх/х0)> 5.1.10(5)
X Y, 10.3.3
X ~ Y, 2.2.6
|У>, 10.3.1
В, 9.6.14
С, 2.1.2
D, 8.1.3
F, 2.1.2
N, 1.2.16
Q, 7.4.11
R, 2.1.2
R', 3.4.1
R+, 3.1.2 (4)
R, 3.8.1
Re, 3.7.3
Re х, 3.7.4
Т, 8.1.3
Z, 8.5.1
Z+, 10.10.2 (2)
^е, 11.1.2
©(Q), 10.10.1
@(П), 10.10.1
@'(П), 10.10.4
@'F(Q), 10.10.8
®(m)(Q), 10.10.8
@(m)(Q), 10.10.8
@(m)(Q)', 10.10.8
4Q), 10.10.2 (3)
У(^), 10.10.5 (9)
SoT, 2.2.8
J? 10.11.4
&p, 5.5.9 (6)
&r(X, Y), 8.5.1
&(X), 1.3.6
0A, H.6.8
jtfK), 8.1.14
X/X), 8.3.3
X\X, Y), 6.6.1
X(X), 2.2.8
£f(X, Y), 2.2.3
^r(X, Y), 3.2.6 (3)
X’oa, 5.5.9 (5)
^#(f2), 10.9.3
X/ji), 10.8.11
X/(f), 5.5.9 (4)
5.5.9 (5) .&(X), 1.2.3 (4)
XT, 8.2.1
Xah, 11.3.1
X(RN), 10.11.6 j^(R^), 10.11.16
S\X), 9.1.2 %, 5.2.2
5.2.4
<&x, 4.1.5, 5.2.4
-*-«-0, 7.6.8 &u, 10.11.19
®i, 5.3.9
®i ~ 91, 5.3.1
®i >- 91, 5.3.1
®ix, 5.1.6
®iT, 10.2.7
91 о T, 5.1.10 (3) 91т, 5.1.10 (3) 91a, 11.8.7
Cl(-r), 4.1.15, 9.1.4
Imf, 5.5.9 (4)
Inv(A), 11.1.5
Inv(X, У), 5.6.12
As, 8.1.2 (4)
Lat(A'), 2.1.5
LCT(A'), 10.2.3
M(A), 11.6.6 Op(-r), 4.1.11, 9.1.4
Re, 2.1.2
Ref, 5.5.9 (4)
Sp(a), 11.2.1
SpA(a), 11.2.1
Sp(T), 5.6.13
Ti, 9.3.2
T2, 9.3.5
T3, 9.3.9
T,i , 9.3.15
T4, 9.3.11
T(X), 9.1.7
Tr(fi), 10.10.2
VT(X), 10.1.5
X(A), 11.6.4
<5, 10.9.4 (1) «Jt"1), 10.10.5 (4)
Sq, 10.9.4 (1) fi*, 10.9.4 (3) fi+, 10.8.13 fi-, 10.8.13 |/z|, 10.8.13, 10.9.4 (3)
326
Указатель обозначений
1Ы1, 10.9.5 рп/, 10.9.4 (4) А*1 ® А*2, 10.9.4 (6) ;/1 X /'2 , 10.9.4 (6) fi*f, 10.9.4(7) fi * v, 10.9.4 (7) тг(А/), 10.5.1, 10.5.7
тг-1(V), 10.5.1 тг 1 (тг2?([7)), 10.5.5 2тг, 10.11.4
<т', 8.2.9
<т(Т), 5.6.13
<т(Х, У), 10.3.5
т(Х, У), 10.4.4 Taf, Ю.9.4 (1) тц, 5.2.8 Хг, 8.2.10 abspol, 10.5.7 сШ, 4.1.13 со(17), 3.1.14
codim X, 2.2.9 (5) coimT, 2.3.1 coker Т, 2.3.1 core У, 3.4.11 diamt/, 4.5.3 dimX, 2.2.9 (5) domf, 3.4.2 domF, 1.1.2 epi f, 3.4.2 ext V, 3.6.1
fil.®, 1.3.3
frt7, 4.1.13 imF, 1.1.2 inf U, 1.2.9 int U, 4.1.13 kerT, 2.3.1 lin(LZ), 3.1.14 pol, 10.5.7 rankT, 8.5.7 (2) res(a), 11.2.1
res(T), 5.6.13 seg, 3.6.1 sup U, 1.2.9 supp(f), 9.6.4 supp(p), 10.8.11, 10.9.4 (5) supp(-u), 10.10.5 (6) a, 11.6.8 ap, 10.8.15
aTf, 10.9.4(1) (a, b)s, 11.9.9
c, 3.3.1 (2), 5.5.9 (3) c(<?, J?), 5.5.9 (3) c0, 5.5.9 (3) co(<?), 5.5.9 c0(<?, ^), 5.5.9 (3) d"u, 10.10.5 (4) a(p), 3.5.2 (1) |d|(p), 3.7.8 au, 4.1.13 ax(f), 3.5.1 dp, 5.2.1 dx, 10.9.9 e, 10.9.4 (1), 11.1.1 f, 10.11.3 f(«), 11.3.1 {f <t}, 3.8.1 {f = t}, 3.8.1 {f<t}, 3.8.1 f(T), 8.2.1 f , 10.10.5 (9) ffi, 10.9.4 (3) f*, 10.9.4 (3) fu, 10.10.5 (7) f„ — f, 10.10.7 (3) f„ 0, 10.9.8
g, 10.11.2 9(7), 8.2.6 (h), 6.3.5 lp, lp(£), 5.5.9 (4) Zoo, l^S), 5.5.9 (2) m, 5.5.9 (2) p >- q, 5.3.3 Pe, 5.5.9 (5) Ps, 3.8.6
PT, 5.1.3 Px/x0, 5.1.10 (5) r(T), 5.6.6 s, Упр. 1.19 ta, 10.11.5 (8) ug, 10.10.5 (1) u*, 10.10.5 (5) u* f, 10.10.5 (9) ui 0 U2, 10.10.5 (8) И1 x U2, 10.10.5 (8) {x I, 10.3.1 x', 6.4.1 x", 5.1.10 (8) xa, 10.11.5 (8) x+, 3.2.12
Указатель обозначений
327
х_, 3.2.12
|х|, 3.2.12
|И|Р, 5.5.9 (4)
|И|оо, 5.5.9 (2)
~(х), 10.11.4
~х0> 2.1.4 (6)
х:= хе, 5.5.9 (7) ее«
х i—> х', 6.4.1
а?1 Va?2?a;l 1-2.12
(я?1, а?2), 1.2.12
ИГ), 5.1.11
х <ст У> 1-2.2
х' 0 У, 5.5.6
х ± у, 6.2.5
\у), 10.3.1
|ВР, 5.5.9 (6)
11-11, 5.1.9
II-IUq, ю.10.2 (2)
ll-lloo, 5.5.9 (5)
Н-Нх, 5.1.9
|| -|Х||, 5.1.9
1, 5.3.10, 10.8.4 (6)
2х, 1.2.3 (4)
*, 6.4.13
(Ё, 10.9.1
J, 5.5.9 (6)
| •), 10.3.1
ю.3.1
(• I, 10.3.1
2.1.4 (5)
«es
П ^,2.1.4 (4)
«es
h(z)R(z)dz) 8.1.20
11.6.8
Предметный указатель
Автоморфизм 10.11.4
Алгебра 5.6.2
—	банахова 5.6.3
—	групповая 10.9.4 (7)
—	инволютивная 6.4.13
—	Калкина 8.3.5
—	нормированная 5.6.3
—	полупростая 11.6.11
—	ростков голоморфных функций
8.1.18
—	свёрточная 10.11.11
С**-алгебра 6.4.13
Альтернатива Фредгольма 8.5.6
Аннулятор 7.6.8
Базис Гамеля 2.2.9 (5)
—	гильбертов 6.3.8
—	фильтра 1.3.1
Биполяра 10.5.5, 10.5.7
Бочка 10.10.9 (1)
Бракетирование 10.3.1
Бра-отображение 10.3.1
---топология 10.3.5
---функционал 10.3.1
Вещественная основа 3.7.1
Вложение во второе сопряженное
5.1.10 (8)
—	изометрическое 4.5.11
Внешность 4.1.13
Внутренность 4.1.13
Вычет 4.7.4
Г-множество 3.1.1
Г-оболочка 3.1.11
Г-соответствие 3.1.6
ГНС-конструкция 11.9.11
Гиперплоскость 3.8.9
Гомеоморфизм 4.8.2
Гомоморфизм 7.4.1
Граница верхняя 1.2.4
---точная 1.2.9
—	множества 4.1.13
—	нижняя 1.2.4
---точная 1.2.9
Группа двойственная 10.11.2
—	локально-компактная 10.9.4 (1)
—	характеров 10.11.2
Двойственность 10.3.3
— формальная 2.3.15, 7.4.16
Диаграмма коммутативная 2.3.3
—	сопряженная 7.6.5
---эрмитово 6.4.8
Диаметр 4.5.3
Дополнение алгебраическое 2.1.7
—	ортогональное 6.2.5
—	топологическое 7.4.9
Дуализации 10.3.3
Дуга 4.8.2
Единица алгебры 11.1.1
—	аппроксимативная 10.10.7 (5)
Закон параллелограмма 6.1.8
Замыкание 4.1.13
Заряд 10.9.4 (3)
Зеркало топологии 10.2.7
Идеал 11.4.1
—	двусторонний 11.6.2
—	максимальный 11.4.5
—	операторный 8.3.3
Предметный указатель
329
—	собственный 11.4.5
Изометрия 4.5.11
Изоморфизм 2.2.5
—	гильбертов 6.3.17
—	топологический 7.4.6
^-изоморфизм 11.8.3
Инволюция 6.4.13
Индекс 8.5.1
Интеграл 5.5.9 (4), 10.9.3
—	Бохнера 5.5.9 (6)
—	контурный 8.1.20
—	Лебега 10.9.4 (1)
—	по мере 10.9.3
—	Рисса — Данфорда 8.2.1
----------для алгебр 11.3.1
—	Хаара 10.9.4 (1)
Кет-отображение 10.3.1
---топология 10.3.5
---функционал 10.3.1
Компакт 9.4.17
—	проколотый 9.4.21
—	элементарный 4.8.5
Компактификация 9.4.22
Комплексификатор 3.7.4
Комплексификация 8.4.8
Композиция 1.1.4
Конволюция 9.5.12
Конический отрезок 3.1.2 (9)
Конус 3.1.2 (4)
— острый 3.2.4
— положительных элементов 3.2.5
— упорядочивающий 3.2.4
Кообраз 2.3.1
Коядро 2.3.1
Критерий Акилова 10.5.3
— Бурбаки 4.4.7, 9.4.4
—	Вейля 6.5.4
—	Гротендика 8.3.11
—	Какутани 10.7.1
—	Кантора 4.5.6
—	Като 7.4.20
—	Колмогорова 5.4.5
—	метризуемости 5.4.2
—	непрерывности выпуклой функции 7.5.1
—	Нётера 8.5.14
—	Никольского 8.5.22
—	ортогональности конечного множества ортопроекторов 6.2.14
—	Рисса 8.4.2
—	Хаусдорфа 4.6.7
Куб тихоновский 9.2.17 (2)
Лемма де Бранжа 10.8.16
—	Дьедонне 9.4.18
—	Какутани 10.8.7
—	Капланского — Фукамия 11.9.7
—	Куратовского — Цорна 1.2.20
—	Лефшеца 9.6.3
—	о 2-ультраметрике 9.5.15
—	о двойном штриховании 7.6.6
—	о задании функции 3.8.2
—	о крайней точке 3.6.4
—	о непрерывности функции
9.3.12
—	о полярах 7.6.11
—	о разбиении спектра 6.6.6
—	о снежинке 2.3.16
—	о сравнении функций 3.8.3
—	о субдифференциале полунормы 3.7.9
—	о сумме промежутков 3.2.15
—	о топологическом строении 7.1.1
—	о числовом образе 11.9.3
—	об идеальном соответствии 7.3.4
—	об е-перпендикуляре 8.4.1
—	Пифагора 6.2.8
—	Урысона малая 9.3.10
---большая 9.3.13
Мера 10.9.3
—	абсолютно непрерывная
10.9.4 (3)
—	вещественная 10.9.4 (3)
—	Дирака 10.9.4 (1)
—	конечная 10.9.4 (2)
—	Лебега 10.9.4 (1)
—	независимая 10.9.4 (3)
—	ограниченная 10.9.4 (2)
—	Радона 10.9.1
—	умеренного роста 10.11.17 (3)
—	Хаара 10.9.4 (1)
—	эрмитово сопряженная
10.9.4 (3)
F-мера 10.9.3
Метрика 4.1.1
— Чебышёва 4.6.8
Многообразие аффинное 3.1.2 (5)
Множество второй категории 4.7.1 — выпуклое 3.1.2 (8)
330
Предметный указатель
---абсолютно 3.1.2 (6)
---идеально 7.1.3
— индуктивное 1.2.19
— замкнутое 9.1.4, 4.1.11
— компактное 9.4.2, 4.4.1
---относительно 4.4.4
—	крайнее 3.6.1
—	лебегово 3.8.1
—	линейное 3.1.2 (2)
—	линейно независимое 2.2.9 (5)
---упорядоченное 1.2.19
—	малое 4.5.3
—	направленное 1.2.15
—	нетощее 4.7.1
—	нигде не плотное 4.7.1
—	нормирующее 8.1.1
---вполне 8.1.1
—	ограниченное 5.4.3
---вполне 4.6.3
—	ортогональное 6.3.1
—	остаточное 4.7.4
—	открытое 9.1.4, 4.1.11
—	первой категории 4.7.1
—	плотное 4.5.10
—	поглощающее 3.4.9
—	предупорядоченное 1.2.2
—	равностепенно непрерывное 4.2.8
—	разделяющие точки 10.8.9
—	разреженное 4.7.1
—	спектральное 8.2.9
—	тощее 4.7.1
—	упорядоченное 1.2.2
—	уравновешенное 3.1.2 (7)
—	фильтрованное 1.2.15
Модуль над кольцом 2.1.1
—	элемента 3.2.12
Мономорфизм 2.3.1
Морфизм 8.2.2
Мультиметрика 9.5.9
Мультинорма 5.1.6
—	Аренса 8.3.8
—	сильнейшая 5.1.10 (2)
—	слабая 5.1.10 (4)
—	фильтрованная 5.3.9
—	хаусдорфова 5.1.8
Надграфик 3.4.2
Направление 1.2.15
—	срезывателей 10.10.2 (3)
Неравенство Бесселя 6.3.7
—	Гёльдера 5.5.9 (4)
—	Йенсена 3.4.5
—	Коши — Буняковского 6.1.5
—	Минковского 5.5.9 (4)
—	нормативное 5.1.10 (7)
— треугольника 4.1.1 (3), 9.5.7 (3)
Норма 5.1.9
—	сопряженная 5.1.10 (8)
—	субмультипликативная 5.6.1
—	операторная 5.1.10 (7)
Носитель меры 10.8.12, 10.9.4 (5)
—	распределения 10.10.5 (6)
—	функции 9.6.4
Область значений 1.1.2
—	определения 1.1.2
---эффективная 3.4.2
—	отправления 1.1.1
—	прибытия 1.1.1
Оболочка выпуклая 3.1.14
—	линейная 3.1.14
Образ банахов 7.4.19
—	множества 1.1.3 (5)
—	топологии 9.2.12
—	фильтра 1.3.5 (1)
—	числовой 11.9.1
Овеществление 3.7.2
Окрестность множества 9.3.7
—	точки 4.1.9, 9.1.1
Окружение 4.1.5
Оператор 2.2.1
—	аффинный 3.1.7
—	вложения 2.3.5 (5)
—	идемпотентный 2.2.9 (4)
—	компактный 6.6.1
—	конечномерный 8.3.6
—	линейный 2.2.1
---всюду определенный 2.2.1
—	мультипликативный 8.2.2
—	нётеров 8.5.1
—	нормально разрешимый 7.6.9
—	обратимый 5.6.10
—	ограничения 10.9.4 (4)
—	ограниченный 5.1.10 (7)
—	положительный 3.2.6 (3)
—	почти обратимый 8.5.9
---обратный 8.5.9
—	регулярный 3.2.6 (3)
—	самосопряженный 6.5.1
—	сдвига 10.9.4 (1)
—	сопряженный 7.6.2
Предметный указатель
331
-----эрмитово 6.4.5 — унитарный 6.3.17 — Фредгольмов 8.5.2 — эрмитов 6.5.1 Ортогонализация Грама —
Шмидта 6.3.14 Ортопроектор 6.2.7 — ортогональный 6.2.12 Отношение 1.1.3 (2) — антисимметричное 1.2.1 — порядка 1.2.2 — предпорядка 1.2.2 -----согласованное с векторной структурой 3.2.1 — рефлексивное 1.2.1 — симметричное 1.2.1 — тождественное 1.1.3 (3) — эквивалентности 1.2.2 Отображение 1.1.3 (3) — возрастающее 1.2.3 (5) — каноническое 1.2.3 (4) — непрерывное 9.2.4, 4.2.2 — равномерно непрерывное 4.2.5 Отражение 10.10.5 (9)
Петля 4.8.2
Подалгебра сервантная 11.1.5
С*-подалгебра 11.7.8 Подпокрытие 4.4.2 Подпространство векторного пространства 2.1.4 (3)
-------упорядоченного 3.2.6 (2) -------массивное 3.3.2 — топологического пространства
9.2.17 (1)
Подсеть 1.3.5 (2)
Покрытие 9.6.1
—	локально конечное 9.6.2
—	открытое 4.4.2
—	точечно конечное 9.6.2
Полуметрика 9.5.7
Полунорма 3.7.6
Поля основные 2.1.2
Поляра подпространства 7.6.8 — обратная 10.5.1 — прямая 10.5.1
Пополнение 4.5.13
Порядок 1.2.2
—	противоположный 1.2.3 (2) — распределения 10.10.5 (3) Последовательность 1.2.16
— дельтообразная 9.6.15
—	каноническая 2.3.5 (6)
—	короткая 2.3.5 (5)
—	полуточная 2.3.5 (1)
—	счетная 1.2.16
—	точная 2.3.4
—	фундаментальная 4.5.2
Предел базиса фильтра 4.1.16
—	последовательности 4.1.17
Прединтеграл 5.5.9 (4)
Предокрестность 9.1.1
Предпорядок 1.2.2
—	противоположный 1.2.3 (2)
Предпучок 10.9.4 (4)
Представление 8.2.2
—	каноническое 11.1.7
—	операторное 8.2.2
—	точное 8.2.2
^-представление 11.8.3
Предтопология 9.1.1
Преобразование Гельфанда 11.6.8
—	Фурье 10.11.3
---относительно базиса 6.3.16
-------Планшереля 10.11.15
-------Шварца 10.11.19
Принцип автоматической непрерывности 7.5.5
—	Банаха основной 7.1.5
—	двух норм 7.4.17
—	дополняемости 7.4.10
—	идеального соответствия 7.3.5
—	корректности 7.4.6
—	локализации мер 10.9.10
---распределений 10.10.11
—	непрерывного продолжения 7.5.11
—	нормы графика 7.4.18
—	открытости 7.3.13
—	равномерной ограниченности 7.2.5
—	равностепенной непрерывности 7.2.4
—	сгущения особенностей 7.2.12
—	фиксации особенности 7.2.11
— штрихования диаграмм 7.6.7
---последовательностей 7.6.13
— эрмитова сопряжения диаграмм 6.4.9
------- последовательностей
6.4.12
Присоединение единицы 11.1.2
332
Предметный указатель
Проектор 2.2.9 (4)
—	координатный 2.2.9 (3)
—	Рисса 8.2.11
Проекция на множество 6.2.3
Произведение векторных пространств 2.1.4 (4) — равномерных пространств 9.5.5 (4)
—	скалярное 6.1.4
—	тихоновское 9.2.17 (2)
—	топологий 9.3.2, 9.2.17 (2)
Производная распределения
10.10.5 (4)
—	в смысле Соболева 10.10.5 (4)
Прообраз полунормы 5.1.4
—	предпорядка 1.2.3 (3)
—	равномерности 9.5.5 (3)
—	топологии 9.2.9
Простая картина 4.8.8
Пространство банахово 5.5.1 ---классическое 5.5.9 (5) — борнологическое 10.10.9 (3) — бочечное 7.1.8
—	бэровское 4.7.2
—	векторное 2.1.3
---упорядоченное 3.2.2
—	гильбертово 6.1.7
---ассоциированное 6.1.10 (4)
—	дуальное 2.1.4 (2)
—	Канторовича 3.2.8
—	компактное 9.4.4
—	Линденштраусса 5.5.9 (5)
—	локально выпуклое 10.2.9
—	максимальных идеалов 11.6.7
—	метрическое 4.1.1
---полное 4.5.5
—	монтелево 10.10.9 (2)
—	мультиметризуемое 9.5.10
—	мультиметрическое 9.5.9
—	мультинормированное 5.1.6
---ассоциированное 10.2.7
---метризуемое 5.4.1
---полное 5.2.13
—	нормированное 5.1.9 	рефлексивное 5.1.10 (8) 	сопряженное 5.1.10 (8)
—	нормируемое 5.4.1
—	паракомпактное 9.6.9
—	полунормированное 5.1.5
—	предгильбертово 6.1.7 	дуальное 6.1.10 (3)
—	предтопологическое 9.1.1
—	равномерное 9.5.1
—	сепарабельное 6.3.14
—	сопряженное 10.2.11
—	со свойством аппроксимации
8.3.10
— счетнонормируемое 5.4.1
— топологическое 9.1.7
---векторное 10.1.1
---вполне регулярное 9.3.15
---линейное 10.1.3
---локально компактное 9.4.20
---нормальное 9.3.11
---отделимое 9.3.2
---регулярное 9.3.9
---тихоновское 9.3.15
---хаусдорфово 9.3.5
—	характеров 11.6.5
—	Фреше 5.5.2
—	Шварца распределений 10.11.16
---функций 10.11.6
К-пространство 3.2.8
Пучок 10.9.11
Равенство Парсеваля 6.3.16,
10.11.12
Равномерность 9.5.1
—	метрическая 4.1.5
—	мультиметрического пространства 9.5.9
—	мультинормированного пространства 5.2.4
—	полунормированного пространства 5.2.2
—	равномерной сходимости
9.5.5 (6)
—	сильная 9.5.5 (6)
—	слабая 9.5.5 (6)
—	тихоновская 9.5.5 (4)
—	топологического векторного пространства 10.1.10
Радикал 11.6.11
Радиус спектра 5.6.16
Разбиение единицы 9.6.6
Распределение 10.10.4
—	конечного порядка 10.10.5 (3)
—	медленно растущее 10.11.16
—	периодическое 10.11.17 (7)
—	положительное 10.10.5 (2)
—	регулярное 10.10.5 (1)
Предметный указатель
333
— с компактным носителем 10.10.5 (9)
— умеренное 10.11.16 — эрмитово сопряженное 10.10.5 (5)
Регуляризатор левый 8.5.9 — правый 8.5.9
Резольвента оператора 5.6.13 — элемента алгебры 11.2.1 Решетка 1.2.12
—	векторная 3.2.7
—	полная 1.2.13
Ряд Неймана 5.6.9 (1)
Свёртка мер 10.9.4 (7) — распределений 10.10.5 (9) — функций 9.6.17 -----и мер 10.9.4 (7)
-------распределений 10.10.5 (9)
Семейство 1.1.3 (4)
—	суммируемое 5.5.9 (7) 	абсолютно 5.5.9 (7) 	неупорядоченно 5.5.9 (7) Сеть 1.2.16
—	Коши 4.5.2
—	фундаментальная 4.5.2 1'-сеть 4.6.2
е-сеть 8.3.2
Система с интегрированием
5.5.9 (4)
Снижение 1.2.3 (4)
Собственное число 6.6.3
Соответствие 1.1.1
—	выпуклое 3.1.7
—	замкнутое 7.3.8
—	идеальное 7.3.3
—	линейное 2.2.1
—	обратное 1.1.3 (1)
—	однозначное 1.1.3 (3)
Состояние 11.9.1
Спектр оператора 5.6.13 — элемента алгебры 11.2.1 Спектральный радиус 5.6.6
Срезыватель 9.6.19 (1) Субдифференциал 3.5.1 — полунормы 3.7.8 — топологический 7.5.8
Сужение 1.1.3 (5)
Сумма векторных пространств 2.1.4 (5)
—	гильбертова 6.1.10 (5)
—	неупорядоченная 5.5.9 (7)
—	по типу р 5.5.9 (6)
—	ряда 5.5.9 (7)
Суммирование обыкновенное
5.5.9 (4)
Теорема Алаоглу — Бурбаки
10.6.7
—	Асколи — Арцела 4.6.10
—	Аткинсона 8.5.18
— Банаха о гомоморфизме 7.4.4
---о замкнутом графике 7.4.7
---об изоморфизме 7.4.5
---об обратимых операторах
5.6.12
— Банаха — Штейнгауза 7.2.9
— Биркгофа 9.2.2, 4.1.19
— Бэра 4.7.6
— Вейерштрасса 4.4.5, 9.4.5
---обобщенная 10.9.9
— Бенделя 10.9.4 (7)
— Гельфанда 7.2.2
— Гельфанда — Данфорда 8.2.3
----------для алгебр 11.3.2
— Гельфанда — Мазура 11.2.3
— Гельфанда — Наймарка 11.9.12
----------коммутативная 11.8.4
—	Гильберта — Шмидта 6.6.7
—	Гротендика 8.3.9
—	Данфорда о сложной функции
8.2.7
—	Данфорда — Хилле 8.1.3
—	двойственности Понтрягина — ван Кампена 10.11.2
—	Дворецкого — Роджерса
5.5.9 (7)
—	Джеймса 10.7.5
—	Дини 7.2.10
---обобщенная 10.8.6
—	Жордана 4.8.3
—	Какутани 7.4.11 (2)
—	Калкина 8.3.4
—	Кантора 4.4.9
—	Канторовича 3.3.4
—	Коши — Винера 8.1.7
—	Крейна — Мильмана 10.6.5
----------для субдифференциалов
3.6.5
—	Крейна — Рутмана 3.3.8
—	Крулля 11.4.8
—	Леви о проекции 6.2.2
334
Предметный указатель
—	Линденштраусса — Цафрири
7.4.11
— Лионса о носителях 10.10.5 (9)
—	Лиувилля 8.1.10
—	Мазура 10.4.9
—	Макки 10.4.6
—	Макки — Аренса 10.4.5
—	Минковского — Асколи —
Мазура 3.8.11
—	о биполяре 10.5.8
—	о границах спектра 6.5.5
—	о дуализациях 10.3.9
—	о компактных возмущениях
8.5.20
—	о локальном задании меры
10.9.10
----------распределения 10.10.11
—	о максимальном идеале 11.5.3
—	о минимальном идеале 11.5.1
—	о непрерывном
функциональном исчислении
11.8.6
— о повторном преобразовании Фурье 10.11.9
— о постоянстве спектра 11.7.9
— о преобразовании Гельфанда
11.6.9
—	о прообразе топологии 9.2.8
----------векторной 10.1.6
—	о разбиении спектра 8.2.12
—	о разбиении единицы 9.6.20
— о разложении интеграла
Рисса — Данфорда 8.2.13
-------Тейлора 8.1.9
— о разрешимости уравнения
АЖ = В 2.3.13
----------ЖА = В 2.3.8
— о состоянии С*-алгебры 11.9.10
— о спектре произведения 5.6.22
— о строении векторной топологии
10.1.4
------- локально выпуклой топологии 10.2.2
-------субдифференциала 10.6.3
— о сравнении мультинорм 5.3.2
— о суммировании ортопроекторов 6.3.3
— о сходимости ряда Неймана
5.6.9
— о функционале Минковского
3.8.7
— об абсолютной биполяре 10.5.9
— об идеалах и характерах 11.6.6
— об образе топологии 9.2.11
— об общем виде компактного оператора 6.6.9
— об общем виде распределений
10.10.13
-------------умеренных 10.11.18
— об ограниченных возмущениях
8.5.21
— об ортопроекторе 6.2.10
— об отображении спектра 8.2.5
— обращения 10.11.12
— Осгуда 4.7.5
— отделимости 3.8.11
--- в топологическом варианте
7.5.12
---строгой 10.4.8
---Эйдельгайта 3.8.14
— Петтиса 10.7.4
— Пифагора 6.3.2
— Планшереля 10.11.14
— Радона — Никодима 10.9.4 (3)
— Римана — Лебега 10.11.5 (3)
— Римана о рядах 5.5.9 (7)
— Рисса 5.3.5
---о штриховании 6.4.1
— Рисса — Канторовича 3.2.16
— Рисса — Фишера 5.5.9 (4)
----------об изоморфизме 6.3.16
—	Рисса — Шаудера 8.4.8
—	Рэлея 6.5.2
—	спектральная 11.8.6
—	Сарда об уравнении ЖА= В
7.4.12
—	Стеклова 6.3.11
—	Стоуна 10.8.10
—	Стоуна — Вейерштрасса 10.8.17
----------для C(Q, С) 11.8.2
—	Сухомлинова — Боненблюста
— Собчика 3.7.11
—	Титце — Урысона 10.8.20
—	Тихонова 9.4.8
—	умножения 10.11.5 (6)
—	Урысона 9.3.14
—	Филлипса об уравнении
АЖ = В 7.4.14
—	фон Неймана — Йордана 6.1.9
—	Фредгольма 8.5.8
—	Фубини для мер 10.9.4 (6)
-------распределений 10.10.5 (8)
Предметный указатель
335
— Хана — Банаха 3.5.3 ---------- в аналитической форме 3.5.4 ----------в геометрической
форме 3.8.12
----------в субдифференциальной
форме 3.5.3
----------для банаховых
пространств 7.5.9
----------для полунормы 3.7.13
---------------непрерывной
7.5.10
— Хаусдорфа 7.6.12
---о пополнении 4.5.12
— Шаудера 8.4.6
— Шварца 10.10.10
—	Шилова 11.2.4
Тождество Гильберта 5.6.19
—	поляризационное 6.1.3
—	Эйлера 8.5.17
Топология 9.1.7
—	антидискретная 9.1.8 (3)
—	векторная 10.1.11
—	дискретная 9.1.8 (4)
—	индуктивного предела 10.9.6
—	линейная 10.1.3
—	локально выпуклая 10.2.1
—	Макки 10.4.4
—	метрическая 4.1.9
—	мультинормированного пространства 5.2.8
—	поточечной сходимости 9.5.5 (6)
—	пространства основных
функций 10.10.6
---распределений 10.10.6
-------умеренных 10.11.6
---функций умеренных 10.11.6
—	равномерная 9.5.3
—	равномерной сходимости
9.5.5 (6)
—	слабая 10.3.5
—	согласованная с двойственностью 10.4.1
—	широкая 10.9.5
—	Т1 9.3.2
—	Т2 9.3.5
—	Т3 9.3.9
-T3i/2 9.3.15
—	Т4 9.3.11
Точка внешняя 4.1.13
—	внутренняя 4.1.13
---алгебраически 3.4.11
—	граничная 4.1.13
—	крайняя 3.6.1
—	прикосновения множества 4.1.13
---фильтра 9.4.1
Ультраметрика 9.5.13
Ультрафильтр 1.3.9
Условие Стеклова 6.3.10
Фактор-алгебра 11.4.3
Фактор-множество 1.2.3 (4)
Фактор-мультинорма 5.3.11
Фактор-полунорма 5.1.10 (5)
Фактор-пространство 2.1.4 (6)
Фильтр 1.3.3
—	Коши 4.5.2
—	хвостов 1.3.5 (2)
Форма билинейная 6.1.2
—	положительная 6.1.4
—	полуторалинейная 6.1.2
—	эрмитова 6.1.1
Формула Бёрлинга — Гельфанда
8.1.12
—	Гельфанда 5.6.8
—	Моцкина 3.1.13
—	Хана — Банаха 3.5.5
----------для полунормы 3.7.10
Функтор 10.9.4 (4)
Функционал линейный 2.2.4
—	*-линейный 2.2.4
—	Минковского 3.8.6
— положительно однородный
3.4.7 (2)
—	положительный 3.2.6 (3)
—	субаддитивный 3.4.7 (4)
—	сублинейный 3.4.6
Функциональное исчисление
голоморфное 8.2, 11.3
---непрерывное 11.8.7
Функция аффинная 3.1.7
—	быстро убывающая 10.11.6
—	выпуклая 3.4.4
—	гладкая 9.6.13
—	голоморфная 8.1.4
—	индикаторная 3.4.8 (2)
—	интегрируемая 5.5.9 (4)
---локально 9.6.17
—	обобщенная 10.10.4
---конечного порядка 10.10.5 (3)
336
Предметный указатель
---медленно растущая 10.11.16
---периодическая 10.11.17 (7)
---положительная 10.10.5 (2)
---регулярная 10.10.5 (1)
---с компактным носителем
10.10.5 (9)
—	опорная 10.6.4
—	основная 10.10.1
—	полунепрерывная 4.3.3
—	пробная 10.10.1
—	простая 5.5.9 (6)
—	скалярная 9.6.4
—	срезывающая 9.6.19 (1)
—	умеренная 10.11.6
—	финитная 9.6.4
—	Хевисайда 10.10.5 (4)
—	числовая 9.6.4
Характер 11.6.4
—	групповой 10.11.1
Цепь 1.2.19
Цилиндр 4.1.3
Часть оператора 2.2.9 (4)
—	элемента отрицательная 3.2.12
---положительная 3.2.12
Шапка 3.6.3 (4)
Шар 4.1.3
—	единичный 5.2.11
Штрихование двойное 5.1.10 (8)
—	диаграммы 7.6.5
—	оператора 7.6.3
—	топологии 10.2.13
—	элемента 6.4.1
Элемент дискретный 3.3.6
—	единичный 11.1.1
—	левый обратный 11.1.3
—	максимальный 1.2.10
—	минимальный 1.2.10
—	наибольший 1.2.6
—	наименьший 1.2.6
—	нормальный 11.7.1
—	обратимый 11.1.5
—	ортогональный 6.2.5
—	положительный 3.2.5, 11.9.4
—	правый обратный 11.1.3
—	унитарный 11.7.1
—	эрмитов 11.7.1
Эндоморфизм 5.6.4, 8.2.1
Эпиморфизм 2.3.1
Ядро множества 3.4.11
—	оператора 2.3.1
—	полунормы 5.1.1 (3)
—	усредняющее 9.6.14
Кутателадзе Семён Самсонович
ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Ответственный редактор Иванов Владимир Вениаминович
Редактор издательства И. И. Кожанова
Издание подготовлено с использованием макро-пакета Лад^-ТеХ, разработанного Американским математическим обществом.
This publication was typeset using ЛадХ-ТеХ, the American Mathematical Society’s TeX macro package.
Подписано в печать 09.03.2000. Формат 60 х 84 Ухе. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 20,5. Уч.-изд. л. 19,3. Тираж 300 экз. Заказ Xs 17.
Лицензия ЛР № 065614 от 8 января 1998 г.
Издательство Института математики, пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск.
Лицензия ПЛД № 57-43 от 22 апреля 1998 г.
Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск.