Курс дифференциальных уравнений

Автор: Степанов В.В.
Теги: математика интегралы дифференциальное исчисление геометрия уравнения дифференциальные уравнения задачи и ответы
Похожие
Дифференциальные уравнения: примеры и задачи
Сборник задач по дифференциальным уравнениям
Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям
Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Текст
                    Вячеслав Васильевич Степанов
КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию	5
От издательства	6
Глава I. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, 7
разрешённых относительно производной
§ 1.	Введение	7
§ 2.	Метод, разделения переменных	18
§ 3.	Однородные уравнения	27
§ 4.	Линейные уравнения	34
§ 5.	Уравнение Якоби	41
§ 6.	Уравнение Риккати	47
Глава II. Вопросы существования решений уравнения первого порядка, 57
разрешённого относительно производной
§ 1.	Теорема существования (Коши и Пеано)	57
§ 2.	Особые точки	76
§ 3.	Интегрирующий множитель	94
Глава III. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно	104
производной
§ 1.	Уравнения первого порядка n-й степени	104
§ 2.	Уравнения, не содержащие явно одного из переменных	110
§ 3.	Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро	113
§ 4.	Особые решения	120
§ 5.	Задача о траекториях	135
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков	140
§ 1.	Теорема существования	140
§ 2.	Типы уравнений n-го порядка, разрешаемые в квадратурах	154
§ 3.	Промежуточные интегралы. Уравнения, допускающие понижение	167
порядка
§ 4.	Уравнения, левая часть которых является точной производной	177
Глава V. Общая теория линейных дифференциальных уравнений	180
§ 1.	Определения и общие свойства	180
§ 2.	Общая теория линейного однородного уравнения	183
§ 3.	Неоднородные линейные уравнения	199
§ 4.	Сопряжённое уравнение	205
Глава VI. Частные виды линейных дифференциальных уравнений	214
§ 1.	Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и приводимые к 214
ним
§ 2.	Линейные уравнения второго порядка	241
Глава VII. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений	260
§ 1.	Нормальная форма системы дифференциальных уравнений	260
§ 2.	Системы линейных дифференциальных уравнений	270
§ 3.	Существование производных по начальным значениям от решений 298
системы
§ 4.	Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных	307
уравнений
§ 5.	Симметричная форма системы дифференциальных уравнений	312
§ 6.	Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по первому	317
приближению
Глава VIII. Уравнения с частными производными. Линейные уравнения в	330
частных производных первого порядка
§ 1.	Постановка задачи об интегрировании уравнений с частными	330
производными
§ 2.	Линейное однородное уравнение в частных производных первого	338
порядка
§ 3.	Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого 343
порядка
Глава IX. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка 355
§ 1. Система двух совместных уравнений первого порядка	355
§ 2.	Уравнение Пфаффа	360
§ 3.	Полный, общий и. особый интегралы уравнения в частных производных 370
первого порядка
§ 4.	Метод Лагранжа-Шарпи нахождения полного интеграла	381
§ 5.	Метод Коши для двух независимых переменных	393
§ 6.	Метод Коши для п независимых переменных	406
§ 7.	Геометрическая теория уравнений с частными производными первого 420
порядка
Глава X. Исторический очерк	428
Ответы	459
Алфавитный указатель	466
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
(Д. у. — дифференциальное уравнение)
Абель Н. 447
Александров П. С. 457
Амплитуда колебания 219
Аналитическая теория д. у. х) 108
Андронов А. А. 457
Арбог Л. 441
Арцела теорема 69
Аффинная группа 36
Барроу И. 430
Бендиксон И. 84, 92, 455
Бернулли Д. 433—436, 440, 449, 451,
452
Бернулли И. 38, 433
Бернулли Н. 435
Бернулли уравнение 38
Бернулли Я. 38, 433
Бернштейн С. Н. 456, 457
Бессель Ф. 451
Бесселевы функции 245, 250
Бессела уравнение 237, 238, 242, 244,
245, 250, 255
Билинейная форма 290
Биркгоф Д. 45В
Боголюбов Н. Н. 457, 458
Больцано Б. 440, 446
Брук И. С. 458
Вандермонда определитель 216
Ванцель П. 447
Вариации уравнения в вариациях
304, 320
Вариация постоянного 35, 201, 281
Вейерпгграсса теорема 166
Вековой член 231
Векуа И. И. 457
Винтнер А. 75
Возврата точки 130
Вполне интегрируемое уравнение
362
Вронский Г. 435
Вронского определитель 185
Второго порядка линейное уравнение
192,241
Высших порядков д. у. 140
Галеркин Б. В, 458
Галилей Г. 429, 439
Галуа Э, 447
Гамильтона функция 412
Гармоническое колебание 218
Гаусс К. 446, 451
Геометрическая теория уравнений в
частных
производных 420
Гершгорин С. А. 458
Гипергеометрический ряд 249
Гипергеометричеекое уравнение
247
Гиперповерхность 315, 336
Главные моменты инерции 312
Гомотетия 33
Грина функция 211
Группа преобразований 32
ГурсаЭ. 451
Гутенмахер Л. И. 458
Гюнтер И. М. 457
Давидов А. Ю. 452
Даламбер Ж. 434, 437, 439, 441, 442,
443, 445, 452
ДарбуГ. 54,449, 450
Дарбу уравнение 54
Движение 267, 317
— возмущённое 318
—невозмущённое 318
— стационарное 267
Дебон Ф. 429
Декарт Р. 429
Декремент логарифмический 220
Делители элементарные матрицы 291
Дикритический узел 84, 92
Динамика точки 162
Динамическая система 267
Дирихле формула 155
Дискриминантнаа кривая 126
Дифференциальное уравнение (см.
также соотв. название д. у.)
Дифференциальный оператор 183
Дифференциалы полные, точные 94
Егоров Д. Ф. 41, 450
Единственность решения я. у. 63,
120, 150
Ермаков В. П. 450
Живых сил интеграл 163
Задача Коши 140, ,152, 335, 339, 348,
352, 390, 401,411
Зернов И. Е. 453
Изогональные траектории 135
Изоклины 11
Имшенецкий В. Г. 451, 452, 453, 455
Инвариантный множитель 291
Инволюция 385
Инерции момент 312
Интеграл д. у. 22
— живых сил 163
—общий 151, 167, 375
— особый 374
—первый 168
— полный 414
— промежуточный 167
— системы д. у. 308
Интегральная гиперповерхность 338
—кривая 10, 32, 84, 423
— поверхность 378
Интегральный элемент 407
Интегрирование д. у. 7, 8
Интегрируемости условие 95
Интегрирующий множитель 97, 98,
363
Истечение жидкости из сосуда 25
Каменков Г. В. 457
Каналов поверхность 379
Каноническая система д. у. 260, 412
Канторович Л. В. 458
Квадратура 8, решение д. у. в
квадратурах 20, 154
Келдыш М. В. 458
Клейн ф. 153
Клеро А. 434, 435, 437
—уравнение 117, 130
----обобщённое 389
Кнезера теорема 256
Ковалевская С. В. 332, 335, 448, 455
Колебание гармоническое 218
— затухающее 220
—упругое 219, 230
Колеблющееся в интервале решение
251
Комплексная область (теорема
существования)74
Конус Т 420
Коркин А. Н. 450
Коши О. 440, 446, 447, 448, 452
— доказательство существования 57
— задача (см. задача Коши)
— метод 393, 406
— нормальная форма 262
— формула 156
Крейн М. Г. 457
Кривая дискриминантная 126
—интегральная 10, 32, 84, 423
— Монжа 423
— характеристическая 351
Кристаль Г. 449
Кристофель Э. 435
Крылов А. Н. 458
Крылов Н. М. 457, 458
Курно А. 449
Лаврентьев М. А. 457
Лагранж Ж. 434, 435, 437, 438, 441,
442, 443
Лагранжа уравнение 116
Лагранжа-Шарпи метод 381
Ламэ Г. 451
Лаплас П. 441, 442
Лаппо-Данилевский И. А. 457
Лежандр А. 451
Лежандра уравнение 247, 251
Лежен-Дирихле П. 446
Лейбниц Г. 430, 433
Лекселль А. И, 435, 438
Летников А. В.451
Ли С. 33, 444, 453, 454
Линейно зависимая система 278
—независимая система 277, 278
Линейные уравнения 100, 180
----второго порядка 192, 241
----в частных производных 338
----первого порядка 34
----с постоянными коэффициентами
214
----, системы 250
----, частные виды 214
Линейный дифференциальный
оператор 183
Линии погони 170
— тока 268
—характеристические 380
Липшиц Р. 448
Липшица условие 58
Лиувилль Ж. 53, 449, 450, 451
Лиувилля-Остроградского формула
192
Лобачевский Н. И. 446, 447, 453, 457
Логарифмический декремент 220
Лузин Н. Н. 488
Люстерник Л. А. 458
Ляпунов А. М. 453, 455
Майера скобка 385
Максимович В. П.
449
Малкин И. Г. 457
Марков А. А. 457
Маятник математический Юб
Мгновенная скорость 312
Метод (см. соответств. название)
Микеладзе Ш. Е. 458
Миндинг Ф. Г. 450, 455
Многочлен неприводимый 108
—приводимый 108
— характеристический 215
—Чебышева 237
Множитель инвариантный 291
— интегрирующий 97,- 98, 363
Моисеев Н. Д. 457
Моменты инерции главные 312
Монж Г. 443, 444, 445
Монжа кривые 423
— обозначения 351
— уравнения 260
Мордухай-Болтовской Д. Д.
449
Муаньо Ф. 448, 449
Мусхелишвили Н. И. 457
Мышкис А. Д. 457
Направлений поле 11
Начальная фаза 219
Начальные значения особые
314
— условия 9
Неколеблющееся в интервале
решение 251
Нелинейные уравнения в частных
производных 355
Немыцкий В. В. 457
Неоднородная линейная система 271
Неоднородное уравнение, формула
Коши 2Ц
----линейное 34, 180, 199, 224
Непер Д. 428, 429
Неприводимый многочлен 108
Неустойчивое положение равновесия
165
Нормальная форма Коши 262
----системы д. у. 260
Нормальной формы система 241
Ньютон И. 430, 431, 432
Общее решение 7,12,18
----уравнения в частных
производных 333
Общий интеграл 151, 167, 375
----системы д. у. 308
Огибающая 122, 132
Однородная линейная система 271
Однородные уравнения 27, 34
----линейные 34
-------в частных производных 338
-------с постоянными
коэффициентами 214
Оператор дифференциальный 183
— самосопряжённый 208
Определитель Вандермонда 216
— Вронского 185
Ортогональные траектории
135
Особые начальные значения
314
—решения 121, 131
—точки 76
Особый интеграл 374
Остроградский М. В. 450, 453
Остроградского-Лиувилля формула
192
Панов Д. Ю. 458
Пеано Д. 448
Первого порядка д. у. 9
-------линейные уравнения 34
—	— уравнения в частных
производных 99
----характеристика 395, 407, 409
—приближения система 320
Первый интеграл 168
----системы д. у. 308
Переменных разделение 23, 388
Перенос 32
Период колебания 219
Персидский К.П. 457
Петерсон К. М. 452
Петровский И. Г. 332, 457, 458
Пикар Э. 448, 449
Пикара доказательство
существования 57
— метод последовательных
приближений 142
Поверхность интегральная 378
Погони линии 170
Подобие ,33
Поле направлений 11
Полные дифференциалы 94
Полный интеграл 414
Полоса характеристическая 381
Понижение порядка д. у. 167, 173,
198, 200
Порядок д. у. 10
— уравнения с частными
производными 330
Последовательных приближений
метод 57 74, 144
Постоянная энергии 419
Постоянного вариация 35, 201, 281
Постоянные коэффициенты, д. у. с
постоянными коэффициентами
214
Преобразование переноса 32
— подобия 33
Преобразований группа 32
Приводимый многочлен
108
Прикосновения точки 130
— элемент 378
Продолжение решения д. у.
65
Производная точная 177
Производных существование
298
Промежуточный интеграл
167
Пространство фазовое 266
Пуанкаре А. 84, 455
Пуассон 453
Пуассона скобка 385
Пфафф И. 444, 451
Пфаффа уравнение 360, 387
Пфаффова форма 366
Пеано Д. 68, 448
Пеано теорема 68
Равновесия положение 165
Разделение переменных 23,
388
Решение д. у. 7, 8
—особое 121. 131
Риккати Д. 434, 436
Риккати уравнение 47, 50, 244
Рикье, теорема существования 332
Руффини П. 447
Ряд гипергеометрический 249
—степенной 245
Ряды тригонометрические 233
Самосопряжённое уравнение 208
Самосопряжённый оператор 208
Свободное гармоническое колебание
218
Седловина 79
Сила живая 163
Симметричная форма системы д. у.
313
Синцов Д. М. 452
Система динамическая 267
—д. у. 260
-------в частных производных 331
— каноническая 260, 412
----фундаментальная 187
Скобка Майера 385
— Пуассона 385
Скорость мгновенная 312
Смирнов В. И. 457
Соболев С. Л. 457
Совместности условия 332, 356
Совместные уравнения 355
Сонин Н. Я. 451,453
Сопряженное дифференциальное
выражение 206
— уравнение 206
Сравнения теорема 253
Стационарное движение 267
Стеклов В. А. 453, 455
Степанов В. В. 457
Степенной ряд 245
Существования теорема 57, 68, 140,
270
Т, конус 420
Тейлор Б. 437, 439
Теорема (см. соответств. название)
Тихонов А. Н. 457
Тока линии 268
Точки возврата 130
—	особые 76
—	прикосновения 130
Точная производная 177
Точные дифференциалы 94
Траектория движения 267
—	, задача о траекториях 135
Тривиальное решение 319, 321, 325,
326, 327
Тригонометрические ряды 233
Узел 79, 83, 92
Упругие колебания 219, 230
Условие (см. соответств. название)
Устойчивое положение равновесия
166
Устойчивость по Ляпунову 317
Фаза начальная 219
Фазовое пространство 266
Фокус 81, 91
Форма билинейная 290
—	нормальная Коши 262
Форма нормальная системы д. у. 141
—	Пфаффова 366
—	симметричная системы д, у. 313
Формула Лиувилля 192
Фроммера метод 84
Фукс Л. 435, 451
Фундаментальная система
187
Функция Бееселя 245, 250
—	Г амильтона 412
—	Грина 211
Фурье Ж. 452
Характеристика 336, 351, 405, 406
— первого порядка 395, 407, 409
Характеристическая полоса 361
Характеристические кривые 351
Характеристический многочлен 215
Характеристическое уравнение 284,
323
Хинчин А. Я. 457
Центр 81, 92
Чаплыгин С. А. 458
Частное решение д. у. 8, 12, 18
Частные производные, уравнения в
частных производных 99, 330
Частота колебания 219
Чебышев 11. Л. 237, 449, 455, 457
Чебышева многочлен 237
Четаев Н. Г. 457
Шарпи П. 442
Шарпи-Лагранжа метод 381
Шпета теорема 256
Штурм Ж. 450
Штурма теорема 252
Эйлер Л. П. 95, 431, 433^143, 445,
450—452, 455, 457
Эйлера уравнение 238,
256
Элемент интегральный
407
—	прикосновения 378
Элементарные делители матрицы 291
Энергии постоянная 419
Якоби К. 450, 457
—	метод 412, 416
—	теорема 414
—	уравнение 41, 93, 414
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Курс дифференциальных уравнений в объёме нашей универси-
тетской программы по необходимости слагается из глав, соответ-
ствующих различным отделам научной теории этой ветви матема-
тического анализа. Элементарные методы интеграции, теоремы суще-
ствования, особые решения, общая теория линейных уравнений —эти
главы в современном состоянии науки связаны с теорией групп Ли,
с применением методов теории функций действительного и комплекс-
ного переменного, с методами линейной алгебры и т. п.
Современное понятие о математической строгости, постепенно
внедряющейся в курсы анализа, не позволяет строить учебник диф-
ференциальных уравнений с невыясненной точки зрения на взаимную
связь отделов — например, элементарных методов интегрирования и
теорем существования. Далее, развитие самой теории и современных
её приложений требует введения в университетский курс новых
отделов, связанных, с одной стороны, с развитием качественных мето-
дов, с другой стороны, с теоремами колебания для линейных диф-
ференциальных уравнений.
Настоящий курс построен целиком в области действительного
переменного; это обусловливается как положением, курса в плане
университетского преподавания (он начинается раньше теории анали-
тических функций), так и указанной выше необходимостью дать курс,
объединённый общей идеей. Вопросы существования и единственности
решений ставятся уже при изложении элементарных методов инте-
грации. В связи с общей структурой курса теорема существования
решения уравнения первого порядка появляется близко от начала
курса. Классические понятия общего решения, интегрирующего мно-
жителя, первого интеграла удаётся, по нашему мнению, обосновать
достаточно строго и не слишком громоздко, если ограничиться
локальной точкой зрения. В связи с этим в курсе даётся (мелким
шрифтом) достаточно развёрнутая качественная теория распределения
интегральных кривых в окрестности особой точки и оставляется
в стороне исследование общего течения интегральных кривых.
К сожалению, отмеченная выше строгость основывается на теореме
о дифференцируемости решения по параметру; эта теорема ввиду
её сложности приведена лишь в мелком шрифте главы VII. С при-
нятой здесь точки зрения особое решение определяется как решение,
6
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
в каждой точке которого нарушается единственность; теория особых
решений для уравнений степени выше первой относительно произ-
водной, конечно, не может быть достаточно систематически изложена
в действительной Области. В связи с уравнениями второго порядка
дано механическое,приложение — периодические движения. В теории
линейных уравнений даны «нетрадиционные» теоремы — Штурма и
теорема сравнения. Краевые задачи не вошли в рассматриваемый
курс, их место — при изучении уравнений математической физики,
так как постановка задачи с параметром и его собственными значе-
ниями непонятна без обращения к первоисточнику — уравнению
с частными производными второго порядка. Параграф об интегри-
ровании с помощью степенных рядов, важный для приложений,
конечно, не может быть сколько-нибудь полным без обращения
к аналитическим функциям; он является в курсе эпизодическим и
не содержит^ например, уравнений Бесселя и Лежандра, относимых
нами к курсу уравнений математической физики. Новым является
параграф о применении тригонометрических рядов к линейным урав-
нениям.
Другие отступления от традиций легко обнаружатся при сравне-
нии настоящего курса с другими руководствами.
Вопросы, не входящие в университетскую программу, но тесно
примыкающие к её темам, даны мелким шрифтом.
От изучающего настоящий курс требуется знание университетского
курса анализа в достаточно строгом и углублённом изложении,
основные сведения из теории определителей, высшей алгебры и диф-
ференциальной геометрии.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
В. В. Степанов, автор учебника, скончался 22 июля 1950 года
в период подготовки пятого издания. В пятом издании к главе VII
добавлен § 6 об устойчивости по Ляпунову; в составлении этого па-
раграфа большое содействие автору по его просьбе оказал С. А. Галь-
перн. В качестве последней главы был помещён исторический очерк,
написанный для этой книги по просьбе автора А. П. Юшкевичем.
Для шестого издания были исправлены лишь замеченные опе-
чатки и частично переработан А. П. Юшкевичем исторический очерк
(глава X).
ГЛАВА I.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЁННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
§ 1. Введение.
1. С точки зрения формально-математической задача решения
(интегрирования) дифференциальных уравнений есть задача, обрат-
ная дифференцированию. Задача дифференциального исчисления со-
стоит в том, чтобы по заданной функции найти её производную.
Простейшая обратная задача уже встречается в интегральном исчис-
лении: дана функция f(x), найти её примитивную (неопределённый
интеграл). Если искомую примитивную функцию обозначить через у,
то указанная задача может быть записана в форме уравнения:

(1)
или
dy—f(x)dx.
(2)
Равносильные между собой уравнения (1) и (2) являются простей-
шими дифференциальными уравнениями. Мы уже умеем их решать;
в самом деле, из интегрального исчисления известно, что наиболее
общая функция у, удовлетворяющая уравнению (1), или, что то Же,
уравнению (2), имеет вид:
(3)
В решении (3) символ неопределённого интеграла обозначает какую-
нибудь примитивную, а С есть произвольное постоянное. Итак, ока-
зывается, что искомая функция у определяется из уравнения (1) или (2)
неоднозначно. Наше дифференциальное уравнение имеет бесчислен-
ное множество решений, каждое из которых получится, если произ-
вольному постоянному С придать определённое числовое значение.
Решение (3) уравнения (1), содержащее произвольное постоянное,
называется общим решением-, каждое решение, которое получается
8	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Г
из общего, если дать постоянному С определённое числовое значе-
ние, называется частным решением.
Следующий пример возьмём из механики. Исследуем движение
точки т по вертикальной прямой под действием силы земного при-
тяжения. Примем за ось Оу вертикальную прямую, по которой дви-
жется (падает) точка; начало поместим на поверхности земли, а поло-
жительное направление условимся отсчитывать вверх. Чтобы знать
движение, т. е. положение нашей точки в любой момент t после на-
чала движения (соответствующего значению /=0), надо знать выра-
жение единственной координаты этой точки у как функции t. Таким
образом, у нас независимым переменным является t, а искомой функ-
цией у. Составим уравнение для нахождения у. Из механического
смысла второй производной следует, что ускорение равно
с другой стороны, мы знаем, что ускорение силы тяжести в каждой
точке земной поверхности и вблизи неё постоянно и (приблизительно)
равно 981 см'уек1 2, оно обозначается буквой g, g^981 см/сек2; оно
направлено вниз, следовательно, в нашей, системе координат ему надо
придать знак—. Приравнивая два найденных выражения для уско-
рения точки, получаем уравнение, в котором известной является
функция у:
Здесь дано значение второй производной от у, требуется найти
функцию. Легко решить («проинтегрировать») это дифференциаль-
ное уравнение J)- Взяв два раза неопределённый интеграл от обеих
частей равенства (4) по t, мы получаем последовательно:
g = -^+C„	(5)
?=-^ + с>«+с»	<6>
Выражение (6) есть общее решение уравнения (4); оно. содержит
две произвольные постоянные Сх и С2. Выясним физический смыСл
этих постоянных. Полагая в уравнении (5) /=0, получаем:
— v0 (начальная скорость точки);
\“г/£ = 0
аналогично из уравнения (6):
C2 — (y)t=o — у0 (начальное положение точки).
1) Обыкновенно вместо выражения «решить дифференциальное уравне-
ние» говорят: «.интегрировать дифференциальное уравнение-». Чтобы из-
бежать путаницы, операцию взятия неопределённого интеграла называют
«квадратурой».
ВВЕДЕНИЕ
9
§ И
С э4ими новыми обозначениями произвольных постоянных мы напи-
шем общее решение (6) дифференциального уравнения (4) в виде:
У~ '^r + 'V+j'o-	(7)
Теперь ясно, какие дополнительные данные нужно иметь, чтобы
получить частное решение, описывающее одно вполне определён-
ное движение: нужно знать числовые значения начального положения
точки ,у0 и начальной скорости v0 (начальные условия).
ЗАДАЧИ.
1.	Найти уравнение движения точки, падающей с высоты 10 м без на-
чальной скорости. Через сколько секунд точка упадёт на землю?
2.	Найти уравнение движения точки, брошенной вверх со скоростью
1 м/сек. Через сколько времени точка достигнет наивысшего положения?
о и о	 dy л dy	д2у
3.	Наити общие решения уравнении: = 2; -yf- = — xs; = sin х.
ил	U Л	ил
2.	В уравнение (1) входила только первая производная от иско-
мой функции. Это — дифференциальное уравнение первого порядка.
Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
г(х,Л|)_0,	(8)
где F— заданная непрерывная функция трёх своих аргументов; в част-
ности, она может не зависеть от х или от у (или от обоих этих
аргументов), но непременно должн! содержать . Если уравнение (8)
определяет как неявную функцию двух остальных аргументов *)
(в дальнейшем мы всегда будем предполагать это условие выпол-
ненным), то его можно представить в виде, разрешённом- относи-
dy
тельно :
dx
d£x=ft*,y)-	(’)
Здесь /—непрерывная заданная функция от х, у [в частности, она
может не содержать одного или обоих аргументов: в уравнении (1)
/ не зависит .от у; в задаче 3, пример 1, правая часть не зависит
!) Чтобы существовала неявная функция у’ =f(x, у), определяемая
уравнением F(x,y,y )= 0 и принимающая значение _уц при х — х0 и у = у 0,
достаточно, чтобы выполнялось равенство F(xg, у0, у'о) = 0, существовала
непрерывная частная производная Fy, в окрестности значений х0, у0, у0
и чтобы было Fy, (х0, _у0, уд) ф 0; тогда соотношение (8) определяет непре-
рывную функцию (9) в окрестности значений х0, уд независимых перемен-
ных, причём /(х0, jg) =>ц.
10	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
ни от х, ни от j]. В дифференциальном уравнении (8) или (9) х
является независимым переменным, у—искомой функцией. Итак,
дифференциальное уравнение первого порядка есть соотношение)
связывающее искомую функцию, независимое переменное и первую
производную от искомой функции.
Решением дифференциального уравнения (8) или (9) называется
всякая функция _у = «(х), которая, будучи подставлена в уравне-
ние (8) или (9), обратит его в тождество.
Уравнение (4) содержало вторую производную от искомой функ-
ции; это было уравнение второго порядка. Общий вид дифферен-
циального уравнения второго порядка есть
F(x, У,=	(Ю)
или, предполагая его разрешённым относительно второй производной
(если это разрешение возможно),
/=/(м,У).	(10')
(Мы для краткости письма обозначаем производные от у по х штри-
хами.) Здесь Р и /—данные непрерывные функции своих аргумен-
тов, х—независимое переменное, у — искомая функция; некоторые
из аргументов х, у, у' (или все они) могут не входить в уравнение,
но у" непременно входит. Решением опять называется функция <р(х),
которая, будучи подставлена на место у в уравнение (10) [или (1О')[,
обратит его в тождество.
Вообще, порядком дифференциального уравнения называется
порядок наивысшей входящей в него производной от искомой функ-
ции. Так, уравнение и-го порядка имеет вид:
F(x, У> У'> У", • • • > Уп)) =
причём У”> непременно входит в уравнение;
3.	Дифференциальному уравнению первого порядка можно дать
геометрическое толкование, которое выяснит нам вопрос о характере
множественности решений такого уравнения. Пусть дано уравнение
в виде:
g=/(«, А	(9>
Примем х, у за декартовы прямоугольные координаты плоскости.
Каждой точке (х, у) той области, где определена функция /, урав-
нение (9) ставит в соответствие определённое значение Пусть
у — v(x) есть решение уравнения (9); тогда кривая, определяемая
уравнением у — у(х), называется интегральной кривой дифферен-
циального уравнения. Значение есть тангенс угла, образуемого
касательной к этой кривой с осью Ох. Таким образом, каждой
точке (х, у) рассматриваемой области уравнение (9) ставит в соот-
§ 1]
ВВЕДЕНИЕ
11
ветствие некоторое направление; мы получаем поле направлений. Это
поле можно изобразить, поместив в соответствующих точках области
стрелки, образующие с осью Ох углы arctgj^ (положительное на-
правление стрелки можно взять произвольным, так как арктангенс
определяет угол лишь с точностью до кратного л). Задача интегри-
рования дифференциального уравнения может быть теперь истолко-
вана так: найти такую
кривую, чтобы её каса-
тельная в каждой точке
имела направление, сов-
падающее с направлением
поля в этой точке. Гру-
бо говоря, нужно про-
вести кривую так, чтобы
расставленные на поле
стрелки показывали в
каждой точке направле-
ние касательной к иско-
мой кривой.
Рассмотрим подробнее
следующий пример:
(И)
Расставим стрелки, найдя
предварительно те ли-
нии, где наклон оди-
Черт. 1.
наков (изоклины). Так,
если у' — 0, мы имеем
х = у = 0 (начало коор-
динат), если у' = —, то
центром
в начале), у'на окружности х2-^-у2—1 и т. д. (черт. 1).
Чтобы начертить интегральную кривую уравнения (11), надо взять
некоторую точку (х0, у0) на плоскости и провести через неё кривую
так, чтобы она В каждой точке имела направление поля на чертеже
проведены
кривые через точки (0, 0), Го, —	, (У2, 0)1. Мы
видим, что получается не одна кривая, а целое семейство от одного
параметра (за параметр можно взять, например, отрезок, отсекаемый
кривою на оси Оу). Это же заключение будет при известных огра-
ничениях справедливо и для любого поля, т. е. любого дифферен-
циального уравнения. Таким образом, мы вправе ожидать такого
12	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
ответа на вопрос о множестве интегральных кривых дифференциаль-
ного уравнения: интегральные кривые дифференциального уравне-
ния первого порядка, образуют семейство, зависящее от одного
параметра:
у = <?(х,С).	(12)
Замечая, что функция <р(х, С) при любом С есть решение диффе-
ренциального уравнения, мы можем также ожидать следующего ре-
зультата.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка
даётся формулой (12), заключающей одно произвольное постоянное ’).
Наконец, вспомнив, что мы получаем каждую отдельную инте-
гральную кривую, задавая точку (х0, уф, через которую она про-
ходит, мы приходим к следующему заключению:
Чтобы однозначно определить частное решение дифференциаль-
ного уравнения первого порядка, надо задать то значение _у0, ко-
торое искомая функция принимает при заданном значении х0
независимого переменного (начальные значения).
В самом деле, если х0 и у0 даны, то, подставляя их в уравне-
ние (12), мы получим: _у0 = о(\х0, С) — одно уравнение для опреде-
ления одного неизвестного С; наши геометрические соображения
позволяют ожидать, что это уравнение имеет решение.
Примечание. Рассуждения настоящего раздела 3 не являются
строгими доказательствами существования решения дифференциаль-
ного уравнения и однозначного определения частного решения началь-
ными данными, так как они ссылаются на геометрическую картину;
все приведённые результаты справедливы лишь при определённых
ограничениях, наложенных на функцию /; строгие доказательства
будут даны в главе II. Наши рассуждения только показывают, каких
обстоятельств мы вправе ожидать в простейших случаях, и дают
практический приём для приближённого вычерчивания интегральных
кривых.
ЗАДАЧА.
4- Построить поле направлений для уравнения = х1 2—у2 (построить
изоклины у' = 0, у' = zt 1, + 2). Провести интегральные кривые через точки
(О, 0), (0, 1), (I, 0).
4.	Мы видели, что свойство общего решения дифференциального
уравнения первого порядка — зависеть от одного произвольного по-
стоянного, — выявленное на простейшем примере (1), подтверждается
соображениями предыдущего раздела и для более общих уравнений
первого порядка. Естественно ожидать, что, по аналогии с приме-
ром (4), решение общего дифференциального уравнения второго по-
1) Точное определение общего и частного решения мы сможем дать лишь
в дальнейшем.
§ 1]	ВВЕДЕНИЕ	13
рядка (10) или (10') будет заключать два произвольных постоянных,
а общее решение дифференциального уравнения п-го порядка будет
зависеть от п произвольных постоянных. Так оно и есть (при из-
вестных ограничениях); мы не будем здесь приводить геометрических
соображений, а подойдём к вопросу с другой стороны, благодаря
чему наши соображения по аналогии получат значительное подтвер-
ждение.
Поставим задачу, в некотором смысле обратную задаче интегри-
рования дифференциального уравнения. Пусть дано соотношение:
_у = а>(х, С),	(13)
где С есть параметр; дифференцируя по х *), получим:
У =	с)-	(и)
Если правая часть выражения (14) не содержит С, то мы уже произ-
вели исключение параметра С и получили дифференциальное урав-
нение:
У = ?*(*);	(14')
очевидно, что в этом случае соотношение (13) имеет вид:
.у = ?(*) +с
и является решением уравнения (14').
Пусть теперь правая часть равенства (14) содержит С; тогда и
правая часть равенства (13) содержит С, т. е. <?'0(х, С) 0, и в окрест-
ности значений х0, CQ, для которых (xQ, CjyO, мы можем опре-
делить С как функцию от х и у:
С = ^(х, у).	(15)
Очевидно, что имеет место тождество (по переменным х и С):
ф(х,<р(х,С)) = С.	(16)
Подставляя значение С, определённое формулой (15), в выражение (14),
мы получим дифференциальное уравнение первого порядка:
У =УУХ- Ж У)-	(17)
Легко убедиться в том, что (13) представляет его решение при любом
значении С; в самом деле, если мы подставим это выражение для у
в уравнение (17), то в левой части получим <э'.(х, С), а в правой
<?'х {х, ф [х, ®(х, С)]}, а это, в силу тождества (16), тоже даёт
с/ (х, С).
’) Мы предполагаем, что все входящие в рассуждения производные
с\ ществ} ют.
14
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Если соотношение между х, у, С дано в неявном виде:
Ф(х, у, С) = 0,	(13')
то, дифференцируя его по х, находим:
ф;+ф;у=о.	(14")
Исключая С из соотношений (13') и (14"), приходим, при выполне-
нии соответствующих условий из теории неявных функций, к урав-
нению
Р(х,у,у') = п.	(17')
Предыдущие рассуждения показывают, что (13') определяет его
решение.
Пусть теперь дано соотношение
Ф(*, у> Q> Q) = °>	(18)
связывающее функцию у и независимое переменное х и заключаю-
щее п параметров Ср С2, ..., Сп, Нельзя ли построить дифферен-
циальное уравнение, которому удовлетворяет функция у, определён-
ная соотношением (18), при любых постоянных значениях параметров?
Мы предположим, что Ф непрерывна по всем аргументам и диффе-
ренцируема по х и у достаточное число раз. Дифференцируем в ука-
занных предположениях равенство (18) я раз [оно является тождеством,
если вместо у подставить функцию у = <р (x, Си С2, ..., Сп), опре-
деляемую соотношением (18)]. Имеем:
дФ . дФ
д2Ф  2 а2Ф
дх2 ‘ дх ду'
д3Ф  ч д3Ф
дх3 "Т- " дх2 ду
<Э2Ф
=0,
дФ
ду
(19)
дпФ .
дхп <
Соотношения (18) и (19) образуют систему «4-1 уравнений; они
содержат п параметров С1г С2), ..., Сп. Вообще говоря !). из этой
системы можно исключить все параметры, т. е. найти их выражения
через х, у, у', ..., из п уравнений и вставить эти выражения
в («4-1)-е уравнение. Мы придём к соотношению вида:
F(x, У, у'> • • ч _У(п)) = 0»
(20)
’) Даже для случая линейных уравнений мы знаем, что не всегда из
п уравнений можно определить п неизвестных.
§ П
ВВЕДЕНИЕ
15
т. е. к дифференциальному уравнению и-го порядка. Мы уже отме-
тили, что при подстановке в уравнение (18) на место у его выражения
<р(лг, Ср С2, Сп) получается тождество, и то же справедливо
относительно уравнений (19); поэтому и уравнение (20), являющееся
следствием уравнений (18) и (19), обратится в тождество, если в него
подставить вместо у функцию <р {х, Си С2, ..., Сп), а это значит,
что у, определяемый из уравнения (18), есть решение уравнения (20).
Таким образом, эта функция, содержащая п произвольных постоян-
ных, является решением некоторого дифференциального уравнения
и-го порядка. Можно было бы провести и более точное рассуждение,
как мы это сделали для уравнения первого порядка. Теперь мы вправе
ожидать, что исходное решение является общим и что, обратно, общее
решение дифференциального уравнения «-го порядка содержит п про-
извольных постоянных.
ЗАДАЧИ.
5.	Найти дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости (взять
общую форму); проинтегрировать это уравнение.
6.	Найти дифференциальное уравнение софокусных эллипсов с данным
фокусным расстоянием 2с.
у*
Указание. У равнение семейства -f-	~ где а — произволь-
ный параметр, дифференцируем по х, считая у функцией х; по сокращении
имеем:
а2^а2—с2 и-
Исключив из этих двух уравнений а2, получим искомое уравнение первого
порядка.
Пример 1. Семейство всех кругов на плоскости
(х — а)2 4- (у — Р)2 = г2
содержит три параметра. Дифференцируем три раза:
х —а + —Р)/= 0, 1 +0 — Р)У'+У2 = 0,
(у-?)У"4-зу'У = о.
Параметры а и г исключились при дифференцировании; нам остаётся
исключить £ из двух последних уравнений, и мы получим (прирав-
нивая два выражения для у — р):
У"(1+У2)—зуу/2 = о.
Пример 2. В качестве последнего примера возьмём уравнение
всех конических сечений. Из аналитической геометрии известно,
что оно зависит от пяти параметров (отношения шести коэффициентов)
и имеет вид:
анх2 4- 2<?12ху 4- а22у 4- 2а13г 4- 2«28_у 4- й38 = 0.
16
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Предположим, что я22уо, и разрешим это уравнение относительно у.
__ __ аГ2Х + а23 •_)_ , Г! а\2х + а23 У_ а\\х~ + 2«13,с 4~
У	а22 V \	«22	)	а22	’
или
------------й12	а23 ,	1 / в12	а11а22	9 I пЙ13в23	а13а22	> в23	в23°33
у__________________________________________________________________—— X - 1/	--x^y-z - X~j -	.
^22	22 Г	Й22	^22
Обозначив постоянные новыми буквами, мы получим окончательно:
y = AxArB--'yVCx--\-2DxA-E.	(21)
В это уравнение входит пять параметров; надо их исключить из дан-
ного. уравнения и тех уравнений, которые из него получатся после
одного, двух, ..., пяти дифференцирований.
Итак, дифференцируем обе части уравнения (21) по X'.
У' = А +
Сх А-D
/CY24-2Px4-£ ’
„ = С (Сх* + 2Dx + £) — (Сх + Р)2 __
У	(Сх2 + 2Рх + £)“'>	~~
___СЕ—Р2
(Сх2 + 2Рх~+ Е)°'>
Постоянные А и В. исключились; мы имеем в числителе правой части
3
постоянные, в знаменателе — квадратный трёхчлен в степени у. Для
дальнейшего исключения постоянных выгодно возвести обе части
2
в степень------ ; тогда мы получим:
О
2	2
(у") 3 = (СЕ — О2Г7(Ct2 + 2Dx + Е),
т. е. в правой части квадратный трёхчлен относительно х; если его
продифференцировать три раза, то все постоянные исключатся, так.
как в правой части получится 0. Итак, искомое дифференциальное
уравнение сразу запишется в виде:
_ 2
(у" 7у" = 0.
Проведём это дифференцирование последовательно
(у~)' = --|У"7(У^7)" =^У'"7У"2 — ~у"~* Vv
и, наконец,
(У''7/" = -f7y"-Jy'^ + ^y"-Tyyw +
+ у y"'J у’" Уv — 4 у"~ yN = °-
Упростим последнее уравнение, приведя подобные члены и умножив
ВВЕДЕНИЕ
17
§ 11
И
обе части на у"3, чтобы не иметь отрицательных степеней; далее,
27
умножим все члены на числовой множитель — у. Мы получим окон-
чательно:
<ду"^ _ 45у"у'"у^ 4- 4 Оу"'3 = 0.
Примечание 1. Мы взяли в формуле (21) перед радикалом
знак 4~ ; легко проверить, что тот же окончательный результат полу-
чится, если взять знак — .
2
по	й13	Я11а22 .
Примечание 2. Заметим, что С=-------------5—:; в случае пара-
«22
болы мы имеем С = 0, и уравнение парабол (зависящее от четырёх
параметров) имеет вид:
у = Ах + В + V^Dx+E.
Примечание 3. Мы предположили а22 ф 0; разбор случая а22= О
отнесён к задачам.
ЗАДАЧИ.
7.	Вывести дифференциальное уравнение конических сечений, у которых
й32 = 0. Каково геометрическое свойство этих кривых, выделяющее их из
всех кривых второго порядка? (Рассмотреть два случая: a12^0, а13 = 0.)
8.	Вывести дифференциальное уравнение парабол, для которых а22^0,
и тех парабол, для которых = 0.
Примечание. Если мы имели соотношение между х и у, содержащее
п параметров, то мы утверждали, что, «вообще говоря», для исключения этих
параметров надо иметь п -f- 1 уравнений. В отдельных случаях параметры
могут исключиться из меньшего числа уравнений; например, из семейства
у — С2 (Сус -f- С3) получается после исключения параметров уравнение вто-
рого порядка у" = 0, так как на самом деле это семейство зависит от двух
параметров CtC2 и С]С3.
Труднее обнаружить этот факт на уравнении у2 = 2bxy + сх2, предста-
вляющем семейство распадающихся кривых второго порядка с двойной точкой
в начале координат. Как геометрический образ, это семейство действительно
зависит от двух параметров; но если разрешить уравнение относительно у,
мы получим:
у = (Ь ± У b2 -f- с) х;
с функциональной точки зрения у, рассматриваемый как одназначная функ-
ция от х, зависит от х и одной комбинации параметров:
k = b + Уб2_|_с.
И действительно, дифференцируя данное соотношение, находим:
у у' = b (ху’ 4- у) + сх;
исключая с из этого уравнения и из данного, получим:
ху_у' —у2 = b (х2у' — ху) или (у — Ьх) (ху' —у) = 0.
Второй множитель, приравненный нулю, даёт искомое дифференциальное
уравнение ху' —у = 0; легко видеть, что, приравняв нулю первый множитель,
мы получим частное решение того же дифференциального уравнения.
18	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
§ 2. Метод разделения переменных.
1.	Мы уже встретились в § 1 с простейшим дифференциальным
уравнением:
^=ГМ-	(!)
Мы можем также записать его при помощи дифференциалов:
dy==/(x)dx.	(2)
Уравнение вида (1) [или (2)] мы назовём дифференциальным
уравнением первого порядка, не содержащим (явно) искомой функ*
ции. Мы предполагаем, что функция / (х) определена в некотором
интервале а < х < b и непрерывна во всякой внутренней точке этого
интервала. В частности, может быть а = —оо или b — со, или одно-
временно а —— со, Ь = со.
В интегральном исчислении доказывается, что искомая функция у (х),
как примитивная по отношению к функции /(х), даётся неопреде-
лённым интегралом (или определённым интегралом с переменным верх-
ним пределом); доказывается также, что любая примитивная отличается
от какой-нибудь определённой примитивной только на постоянное
слагаемое. Таким образом, решение уравнения (1) [или (2)] есть
_у = j/(x)rfx4-C.	(3)
С есть произвольное постоянное, оно может принимать все значения,
— со<С<-ф-оо; давая ему всевозможные численные значения, мы
получим, согласно сказанному, все функции у, удовлетво-
ряющие данному уравнению. Таким образом, выражение (3)
представляет общее решение уравнения (1). Задаваясь определённым
численным значением С, мы получаем частное решение. Все частные
решения являются непрерывными и дифференцируемыми функциями
от х во всём интервале а < х < Ь.
Для выяснения смысла произвольной постоянной в формуле (3)
целесообразно написать неопределённый интеграл в виде определён-
ного с переменным верхним пределом:
X
y = ff(x)dx-j-C,	(3J
где х0—любая внутренняя точка интервала (а, Ь}. Если дать пере-
менному х значение х0, то мы получим:
У О0) = С.
Обозначая через уГ) значение искомой функции при х = х0, полу-
чаем вместо формулы (Зх):
X
У=Уо + f f(*)dx.	(32)
§ 2]	метод разделения переменны::	19
Таким образом, частное решение вполне определится, если задать
начальное значение искомой функции, т. е. то значение, которое
она должна принимать при некотором определённом (начальном) зна-
чении х0 независимого переменного.
Итак, начальные данные (Хо, _у0) определяют единственное
решение уравнения (1) во всём интервале непрерывности правой
части f(x). С геометрической точки зрения задание начальных зна-
чений есть задание некоторой точки плоскости хОу. Мы можем дать
такое истолкование полученному результату: через каждую точку
полосы а < х < #, —oo<_y<-j-oo плоскости хОу проходит
единственная интегральная кривая уравнения (1). Наконец, заме-
тим, что формулы (3j), (32) показывают, что любая интегральная
кривая может быть получена из одной определённой, например из
X
у~ J f(x}dx, путём переноса параллельно оси у на (положитель-
но
ный или отрицательный) отрезок C — yQ.
гт	о dy 1	„
Пример ^: = • Правая часть непрерывна в открытых интер-
валах (0, оо) и (— оо, 0). Для первого интервала имеем (при х0>0)
у= =
это решение определено для всех х в интервале 0 < х < оо. Для
второго интервала при начальном значении х0 < 0 получаем:
X
У = J ^+.Уо=1пИ —1п1*°1+.Уо = 1п^+л
— решение, определённое для значений—оо < х < 0.
Пример 4.	—х = 0. Разрешая относительно производной,
получим два уравнения:
-\-У~х уг~ ——0^х<оо.
dx 1 ' ’ dx ' ’
2 -	2 —
Интегрируем эти уравнения: у = -|-ух2 -ф- С, у — — уХа +
Первое уравнение определяет семейство (от одного параметра) вос-
ходящих ветвей полукубической параболы, получаемых из одной,
2	1
например у — у ха , переносом параллельно оси у (черт. 2, а);
аналогично второе уравнение определяет семейство нисходящих
20	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. [
ветвей (черт. 2, Ь). Очевидно, что через каждую точку полуплоскости
х О, — оо <^у < -{- оо проходит одна и только одна интегральная
кривая каждого уравнения.
Если бы мы интегрировали заданное уравнение, не разбивая его
на два уравнения с однозначными правыми частями, мы получили бы
семейство полных полукубических парабол; но тогда через каждую
точку рассматриваемой области проходило бы по две интегральные
кривые (черт. 2, с).
В очень многих случаях при заданной функции /(х) мы не сумеем
выразить входящий в решение (3) интеграл через элементарные функ-
ции. Тем не менее, мы будем считать, что задача интегрирования
уравнения (1) решена — «решение выражено в квадратурах». Эту
«формальную» точку зрения мы будем проводить в значительной
части настоящего курса — мы будем считать, что умеем решать
дифференциальное уравнение, если сумеем выразить общее решение
при помощи квадратур. Точно так же, если решение получается
в виде соотношения, определяющего у как неявную функцию х,
мы будем считать решение известным, хотя бы и не умела
в элементарных функциях явно выразить зависимость у от х.
Эта точка зрения, считающая задачу решённой, если она сведена
к задаче одного из предшествующих отделов математики, хотя бы
там не существовало элементарного решения соответствующей задачи,
имеет, кроме чисто формального характера, и практическое обоснова-
ние: если не удаётся найти общего решения дифференциального урав-
нения, выраженного в знакомых нам элементарных функциях, то
§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
21
приходится применять методы приближённого интегрирования этих
уравнений. И оказывается, что приближённое нахождение квадратуры
и приближённое решение конечного (т. е. не содержащего дифферен-
циалов) уравнения, хотя бы не алгебраического, а трансцендентного,
являются более лёгкими задачами, чем -приближённое решение диф-
ференциального уравнения.
2. Переходим ко второму типу уравнений первого порядка, тоже
интегрируемых в квадратурах:
*=/«	(22)
ИЛИ
dy=*f(y)dx.	(22J
Говорят, что этб уравнение первого порядка, не содержащее (явно)
независимого переменного.
Мы опять предполагаем функцию f(y) непрерывной в интервале
а<У<Ь, где а~^-— оо, #<^-|-оо. Для нахождения искомой функ-
ции у = <р (х) допускаем, что для неё существует обратная функция
х = <|> (у) (мы, далее, докажем законность этого допущения). Прини-
мая, таким образом, у за независимое переменное, а х— за искомую
функцию, мы по свойству производной от обратной функции имеем:
dx__ 1
~dy"~'fW'
(222)
Мы привели уравнение к уже рассмотренному типу. Но функция
в правой части перестаёт быть непрерывной для тех значений у,
которые обращают знаменатель в нуль. Поэтому ограничимся сначала
рассмотрением интервала а < у < [3, внутри которого / (у) не обра-
щается в нуль. Выписав уравнение (222) в виде:
<0
/О')
мы имеем внутри указанного интервала:
х=]’ж)+с-	(23)
Вводя начальные значения х0, у0 (— оо < х0 < -]~ оо, а <yQ < р),
мы решение (23) можем переписать в виде:
у
х = х°+1т&Г	(23'1
Формулы (23) или (23х) определяют х как функцию от у; теперь
легко убедиться, что эта функция допускает обратную. В самом деле,
в интервале (а, (3) непрерывная функция / {у) не обращается в нуль,
22
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
следовательно, сохраняет постоянный знак; тогда из формулы (23х)
видно, что х — х0 есть монотонная функция от у, а непрерывная
монотонная функция (не постоянная ни в каком интервале) всегда
имеет (непрерывную и однозначную) обратную функцию. Итак, сде-
ланное нами допущение оправдано.
Очевидно, что эта обратная функция у — <р (х — х0) удовлетворяет
исходному уравнению (22). В силу доказанного для уравнений, не
содержащих явно искомой функции, мы заключаем, что через каждую
точку полосы — оо < х < -f- оо, а < у < £ проходит одна и только
одна интегральная кривая.
Примечание. Если решение задаётся конечным уравнением,
определяющим у как неявную функцию х, то такое уравнение назы-
вается интегралом дифференциального уравнения. Итак, соотноше-
ние (23) есть интеграл уравнения (22) или (222). Интеграл, как и
решение, может быть общим и частным. Общий интеграл дифферен-
циального уравнения первого порядка может быть записан в виде:
F(x, у, С) = 0,
где С—произвольная постоянная.
Рассмотрим теперь значения у, обращающие в нуль правую часть
уравнения (22). Пусть уравнение
/Су) = О	(24)
имеет корень _у0.
Мы непосредственно убеждаемся, что, подставляя у~у0 в обе
части уравнения (22), мы обращаем его в тождество. Следовательно,
кроме решений, даваемых формулами (23) или (23j), имеются ещё
решения вида у=у0 (интегральные кривые здесь суть прямые, парал-
лельные оси Ох), где у0 — любое значение, удовлетворяющее уравне-
нию (24).
Через точки этих прямых х — х0, у—у0 иногда проходит только
одна интегральная кривая — сама прямая у = у0, иногда также и
отличные от этой прямой интегральные кривые, — в последнем случае
говорят, что в точке (х0, у0) нарушается свойство един-
ственности. Анализ этого вопроса мы проведём в главе III.
Пример 5. ~ ~У^- Имеем dx =	; далее, по формуле (23J
Уо и
Это — общее решение; кроме того, существует частное решение
У = 0. Его можно получить при у0 = 0 из преобразованной формулы
§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
23
Уо
общего решения: V = -j----------г-, но легко видеть, что при уо = О
промежуточные выкладки незаконны. Если применять формулу (23),
то получим: х = — у-|-С, у — — —. Частное решение у = 0 не
получается из этого общего решения ни при каком значении С; можно
было бы заметить, что это решение получается в пределе при С~>оо;
но С, как постоянная интеграции, есть определенное число; следова-
тельно, и в этой форме решение у == 0 не получается из формулы (23),
дающей общее решение.
3. Уравнения вида:
g=/w?w,
(25)
в которых правая часть есть произведение функции только от х на
функцию только от у, интегрируются следующим образом: мы «раз-
деляем переменные», т. е. при помощи умножения и деления приводим
уравнение к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция
от х и дифференциал х, а в другую часть — функция от у и dy.
В данном случае надо умножить обе части уравнения на dx и раз-
делить на ^{у)\ мы получим:
^=/(x)rfx.	(25,)
Переменные разделены. Теперь рассуждаем так: вообразим,
что нам известен у как функция х, являющаяся решением уравне-
ния (25); тогда в обеих частях уравнения (25j) стоят тождественно
равные между собой дифференциалы; только в правой части этот
дифференциал выражен непосредственно через независимое перемен-
ное х, а в левой части — через посредство у, являющегося функцией
от х. Если дифференциалы равны, то их неопределённые интегралы
могут различаться только постоянным слагаемым; мы можем интегри-
ровать левую часть по у, а правую по х. Получим:
dy
<Р (Л)
J / (х) dx	С,
(26)
где С — произвольная постоянная.
Итак, в предположении, что у есть решение уравнения (25), мы
получили соотношение (26), связывающее это решение у и независи-
мое переменное х, т. е. получили общий интеграл уравнения (25).
Если удаётся разрешить его относительно у, то получим (в явном
виде) общее решение данного уравнения.
Посмотрим, при каких условиях формула (26) действительно
определяет у как функцию (однозначную) от х в окрестности
24	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. I
точки х==х0, у—у0. Напишем интеграл в виде:
у	я
0 = J — / f W dx = Ф (х, у- х0, у0) «).
Уо
•Очевидно, Ф (х0, у0-, х0, у0) = 0. Далее
/<т	1
\<9_)'/ж = а-0	'fCXo)
Это выражение не обращается в 0; оно имеет смысл, если <а(_уо)фО,—
мы получили то же условие, что в разделе 2. Если для некоторого
значения у —у§ мы имеем ® (у0) = 0, то решением уравнения (25),
кроме решений, данных формулой (26), будет также у —у0.
Если уравнение задано в виде:
М (х) W(у) dx + P (х) Q (у) dy = 0,	(27)
то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (25),
а достаточно разделить обе части на произведение тех множителей,
которые содержат не то переменное, на дифференциал которого они
умножаются, именно на /V(_y)/J(x). Разделяем переменные:
М (х) dx	Q (у) dy __
Р(х) N (у)	’
откуда получится общий интеграл:
f М dx । f Q (у) dy _
J Р(х) f J N(y)
Примечание. К этому виду уравнения применимо то же ука-
зание относительно значений, обращающих в нуль А^(_у), что и
в конце п. 2 (стр. 22); кроме того, функции х — х0, соответствую-
щие значениям х0, обращающим в 0 функцию Р(х), удовлетворяют
уравнению, заданному в дифференциальной форме (27), так как
с7хо = О, Р(хо) = О. Если в уравнении (27) считать х и у равно-
правными, то прямые х = х0 тоже следует причислить к решениям;
если же строго придерживаться условия, что у есть искомая функция,
а х—-независимое переменное, то, конечно, равенство х = х0 не
даёт решения. В геометрических вопросах выгоднее считать х и у
равноправными, т. е. при случае считать за независимое переменное
то х, то у\ в исследованиях теоретико-функционального характера
(доказательство существования — см. в главе II), наоборот, всегда
надо рассматривать у как функцию от х.
!) Знаком тождества мы пользуемся для введения нового обозначения
цассматриваемой функции.
§ 2]
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
25
Пример 6. х(у2—1) dx (х2—l)dy = O. Разделяем пере-
менные, для чего делим обе части уравнения на (у2—1) (х2—1);
получаем:
xdx । у dy _____„
х2 — 1 "т" у2 — 1
Интегрируем сумму двух дифференциалов:
ln|x2—1 |-f-ln|j/2—1 | = 1п| С|,
или, потенцируя,
(Х2 — 1)(_у2— 1) = С
(для простоты записи окончательного результата нам было удобно
написать постоянную интеграции в виде 1п | С|). Общий вид семейства
кривых, представляемого общим интегралом, показан на черт. 3.
В частности, при С— О
получим 4 прямые:
X — z+zl, _у = ±1, о
которых шла речь в по-
следнем примечании (зна-
чения х = ±1 и у == rtl
обращают в 0 знамена-
тели после разделения
переменных); они не мог-
ли получиться из квад-
ратуры, так как в ней
получилась постоянная
интеграции 1п|С|, так
что С ^5:0.
Рассмотрим теперь
один пример на составле-
ние дифференциального
Черт. 3.
уравнения.
Пример 7. Истечение жидкости из сосуда. В гидра-
влике выводится закон, по которому скорость v истечения воды из
отверстия, находящегося на глубине h от свободной поверхности,
даётся формулой:
v = 0,6 }^2gh см/сек,
где g — ускорение силы тяжести.
Пусть мы имеем коническую воронку, наполненную водой, высо-
той 10 см, с углом при вершине а = 60°; внизу находится отверстие
площадью 0,5 см2 (черт. 4). Найти закон вытекания воды.
Искомая функция — высота воды h в любой момент времени t.
Скорость истечения т» всё время меняется вместе с h\ но если взять
бесконечно малый промежуток времени dt, то её можно считать
26	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
постоянной (мы отбрасываем бесконечно малое высшего порядка,
отношение которого к dt стремится к нулю при dt —> 0). Подсчитаем
двумя способами объём воды, вытекающей в промежуток времени
от t до t-\-dt. С одной стороны, через отвер-
стие вытечет объём, занимающий цилиндр с
основанием 0,5 см* и высотой vdt; таким обра-
зом, искомый объём есть
— dV = — 0,5vdt= — 0,3 V^ghdt.
С другой стороны, вследствие утечки воды
высота h получит отрицательное прираще-
ние dh, дифференциал объёма вытекшей воды
выразится так:
— dV = кг* dh = к (A tg 30°)2 dh = 4 h* dh.
О
Приравнивая оба найденных выражения для —dV, получим диффе-
ренциальное уравнение,, связывающее h и t'.
у
^h*dh = — 0,3/2g/г2 dt.
Это уравнение не содержит явно независимого переменного t, т. е.
оно принадлежит ко второму типу; переменные разделяются:
у
dt=--------— Id dh,
0,9 / 2g
«	9 -	A
t =--------± h*	0,0314 h2 -\-C.
0,9 /2g 5	1
Произвольное постоянное С определится из начальных условий: при
£
1=0 имеем h = 10, отсюда Ск0,0314 • 102 , и искомое частное
решение будет (разрешённое относительно Z):
А £
/«0,0314 (102 — й2).
Если требуется узнать время tt, в течение которого вытечет вся вода,
то надо положить h — О1, получим:
5,
/1== 10 2 • 0,0314	10 сек.
ЗАДАЧИ.
9.	Исследовать закон истечения воды из полусферического сосуда высо-
той 1 м, с отверстием внизу площадью 1 см2.
10.	То же для цилиндрического резервуара с горизонтальной осью диа-
метра 1,5 м, длины 2 м; отверстие внизу имеет площадь 10 см2.
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
27
§ 3]
11.	Закон распада радия состоит в том, что скорость распада пропорцио-
нальна наличному количеству /? радия. Найти зависимость /? от /; составить
дифференциальное уравнение и определить коэффициент пропорциональности
из опытных данных, утверждающих, что через 1600 лет останется половина
начального количества радия.
12.	Определить кривые, для которых площадь, ограниченная осью абсцисс,
дугою кривой от пересечения с осью абсцисс до переменной ординаты и этою
последней, пропорциональна n-й степени длины ординаты (и > 1). Каков
геометрический смысл произвольной постоянной?
13.	Найти кривые, у которых отрезок касательной от точки прикосно-
вения до пересечения с осью х равен постоянной величине а.
14.	Найти кривые, у которых отрезок нормали от точки кривой до оси х
есть постоянная величина а.
Проинтегрировать уравнения:
15.	х У1 +у2 -|-_у У1 + х2 = 0. Начальные условия: х = 0, у = 1.
16.	see2* tg_y dx + sec2 у tg x dy = 0.
17.	/1—x2 dy + У1 —у2 dx = 0.
§ 3. Однородные уравнения.
Основным методом настоящей главы является разделение пере-
менных; мы изучим несколько типов уравнений, которые искусствен-
ными приёмами можно привести к уравнениям с разделяющимися
переменными. Первым из этих типов будут однородные уравнения.
1. Уравнение первого порядка
называется однородным, если f(x,y) есть однородная функция своих
аргументов нулевого измерения, т. е. имеет место тождество:
/ (/х, ty) =f(x, у) *).	(28)
Полагая в (28) t — получаем тождество:
f(x, y)=f(l, -£)•
Замечая, что в правой части стоит функция только одного аргу-
мента и обозначая её через	мы видим, что однородное
уравнение всегда можно представить в виде:
г=?(£)	<29>
*) По определению, f(x, у) есть однородная функция n-го измерения,
если выполняется тождество:
/(?х, ty) = t™f(x, у);
при п — 0 имеем:
f{tx, ty) = tQf (х, у) =f(x, у).
28
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
При произвольно заданной непрерывной функции ® переменные не
разделяются. Но так как в правую часть переменные входят только
в комбинации , то можно ожидать, что уравнение упростится, если
ввести новую искомую функцию
откуда
у = их.	(30)
Вставляя выражение = и -ф- X в уравнение (29), получаем:
« ф-х ^-= («), или xdu = [w(u)— u]dx. (30t)
Переменные разделятся, если обе части разделить на х[®(и)—и[;
получим:
du ______ dx
<f («) —и	х
Интегрируя, находим:
du , I —.
——с------- = 1п х -ф- С.
<р («) — и	1
(31)
Если в этом выражении заменить и его значением , то получим
интеграл уравнения (29).
Примечание. При фактическом интегрировании однородного
уравнения не обязательно приводить его к виду (29); достаточно
убедиться в том, что уравнение принадлежит к рассматриваемому
типу, и непосредственно применить подстановку (30); пользоваться
готовой формулой (31) тоже нецелесообразно.
Если ф(и) — м = 0, то уравнение имеет вид ~ = —• и интегри-
руется разделением переменных (его общее решение: у ~ Сх).
Если («) — и обращается в 0 при значении и = и0, то кроме реше-
ний, даваемых формулой (31), существует также решение и— и0
или у = иох (прямая, проходящая через начало координат).
Пример 8.
становку: у s= их,
dy
dx '
dy
dx
‘2xy
xt—y'1 *
du
dx
Уравнение однородное. Делаем под-
; уравнение примет вид:
= и x
। du 2и
U 4- Х ~j— =: Т--5
1 dx 1 — и2
du  и + и3
dx	1 —/г-’
Переменные разделяются:
dx . и2 — 1
х * и )и~ -|- 1)
du = 0.
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
29
§ 3]
Разлагаем второе слагаемое на простые дроби и интегрируем обе
части:
In х-|-1п(я2+1) — In я = In С, или	= С.
у
Подставляя значение а — — и освобождаясь от знаменателя, нахо-
х
дим: х2 -\-у* = Су — семейство кругов, касающихся оси Ох в начале
координат. Кроме того, решением является у — О J).
Примечание. Иногда уравнение можно привести к однородному
заменой переменного у — г'1 (а— постоянное). Это имеет место в том слу-
чае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если
переменному х приписать измерение 1, переменному у — измерение а и
„ dy	,
производной — — измерение а — 1.
П р и м е р 9. 9у —18ху4-4х3 = 0. Уравнение станет однородным,
если положить у — Z-. Производя эту подстановку, получаем однородное
уравнение:
fi 2
9г3	— 9хг2 + 2х8 = 0.
Обычная подстановка z — их даёт:
9и3 (и dx + х du) — 9и2 dx 4- 2 dx = 0,
или
9и3 du , dx п
9ui — 9u2 + 2 + V ~ U;
ещё раз производим замену переменных и2 = v; имеем:
9v dv . 2dx _	6 dv 3 dv , 2 dx
^2_9F+-2- + —=0' или 3^Z2“3F^t + —=0’
(3v — 2)3 x2 n
откуда --------=7--== С, или, возвращаясь постепенно к начальным пере-
oz? —• 1
менным,
(Зи2 — 2)2 х2 _
3u2 — 1
(Зг2 —2х3)2 _
Зг2—х2
(Зу-2х2)2 = с
Зу — х2
1) Заметим, что в точках геометрического места х- —у2 — 0 правая часть
данного уравнения имеет разрыв; поскольку нас интересует геометрическая
задача — расположение на плоскости интегральных кривых, мы можем в этих
dx х^ —у2
точках рассматривать уравнение — —2ху * которого правая часть
обращается в 0 на паре прямых х2—у2 = 0. Таким образом, мы вправе
считать, что данное уравнение определяет поле направлений и на этих пря-
мых; направление касательных в точках этих прямых параллельно оси Оу.
Поле направлений является неопределённым лишь в точке х = 0, у — 0.
30
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
18.£У
dx х* + yz
19. ^ = ~Д1 + 1пу- 1пх).
20.	у2 + х2 = ху .
J 1 dx J dx
21.	(у + x) dy = (у— x) dx; начертить интегральные кривые.
22.	\x —у cos —) dx 4-x cos — dy = 0.
\ J X/	X
23.	Составить (в декартовых координатах) уравнение кривых, касатель-
ная к которым образует постоянный угол а с радиус-вектором из начала
координат; проинтегрировать это уравне-
ние, в интеграл ввести полярные коор-
динаты.
24.	Найти форму зеркала, собирающего
параллельные лучи в одну точку.
У Казани е. Пусть лучи падают парал-
лельно оси Ох справа (черт. 5); из со-
ображений симметрии легко убедиться, что
форма поверхности зеркала есть поверх-
ность вращения. Примем плоскость хОу
за меридианную плоскость этой поверх-
ности; в сечении находится искомая кри-
вая у — f(x); дифференциальное уравнение
получится, если приравняем тангенсы углов
SMT и Т'МО, выраженные через х, у, у'
(угол падения равен углу отражения).
2. Уравнения,
сначала уравнение:
приводимые к однородным. Рассмотрим
dy _ ах 4- by 4- с
dx агх + Ь1У + cY
(32)
{а, Ь, ..., с,—данные постоянные).
Если с = С] = 0, то уравнение является однородным, и мы умеем
его интегрировать. В общем случае постараемся свести это уравнение
к однородному. Вводим новые переменные:
х = $ + Л, у = т] -[- А,
где h и k — пока ещё неопределённые постоянные; мы имеем:
dx = dl, dy = d-q;
подставляем в уравнение (32):
dt] __ g; -|- fey; 4- ah bk 4- с
di a^i 4* bit] 4~ ejA 4- b]k 4- Ci
Если теперь выбрать h и k как решения системы линейных уравнений
ah -|- bk с = 0, )
bJ14~ ci — J	(зз)
§ 31	ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ	31
то мы получим однородное уравнение:
de   al + by
dl	atl 4- &jri'
В его интеграле надо заменить $ через х — h, к] через у — k, где h
и k имеют вышеуказанные значения, и мы получим интеграл уравне-
ния (32).
Система (33) не имеет решения, если определитель из коэффи-
циентов при неизвестных равен нулю: abr— а^ = 0. Тогда изло-
женный здесь метод неприменим. Но, замечая, что в этом случае
== А -в X и, следовательно, уравнение имеет вид:
dy __ ах-У by у-с	.
dx к (ах -J- by) +	'
мы легко приведём его к виду с разделяющимися переменными, если
введём новое переменное
z = ах + by',
тогда = a-j- b^ , и уравнение (34) примет вид:
1 dz	а   г Ч~ с
b dx	Ь	Хг + cj ’
т. е. мы получаем уравнение, не содержащее явно х,— переменные
разделяются.
ЗАДАЧА.
25.	Проинтегрировать это уравнение до конца с буквенными коэффи-
циентами.
Изложенный метод можно интерпретировать геометрически: в слу-
чае однородного уравнения числитель и знаменатель правой части
уравнения (32), приравненные нулю, представляют две прямые, про-
ходящие через начало координат; в общем случае эти прямые через
начало координат не проходят. Подстановка состоит в том, что мы
переносим начало координат в точку их пересечения; особый слу-
чай (34) соответствует параллельности этих прямых.
Примечание. Тот же метод, очевидно, применяется к значи-
тельно более общему классу уравнений:
dy _ ax + by-\-c X
dx J Xaix + btyy-cJ’
где f—некоторая непрерывная функция своего аргумента.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
26.	3> —7а + 7 = (Зл —7у —3)^-.
32
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
27.	U 4- 2у -I- 1)	= 2х + 4у + 3.
28.
Ф р/ У~У2 У
dx \ х +_у — 1 )
29. (x+y)'i^ = ai-
3. Геометрические
вых кривых. Рассмотрим
свойства семейства интеграль-
уравнение, не содержащее явно у;
^-=/{х).
dx J 4 1
(1)
Если в нём сделать замену переменного:
х, = х, у,= у-УС
(35)
(С—постоянное), то, так как dx = dxl, dy = dyv уравнение перей-
дёт само в себя. Следовательно, если F (х, у) = 0 есть частный
интеграл уравнения (1), то F (х^, j/J = 0, или
F{x, v-}-£) = О	(36)
тоже будет интегралом при любом С.
Легко видеть, что, обратно, если общий интеграл дифферен-
циального уравнения имеет вид (36), то исключение произвольного
постоянного приведёт к уравнению вида (1). Преобразование (35)
состоит геометрически в том, что все точки плоскости (х, у) пере-
носятся на равную величину С параллельно оси _у. {перенос). Диффе-
ренциальное уравнение (1) допускает преобразование (35),
т. е. поле направлений после такого переноса совпадает с перво-
начальным [так как линии х = х0, параллельные оси Оу, являются
изоклинами; в самом деле, угловой коэффициент ~ на такой прямой
имеет постоянное значение f (x0)J. Ясно, что и семейство интеграль-
ных кривых переходит при переносе (35) само в себя, причём,
однако, каждая отдельная кривая F (х, у, С') = 0 переходит в дру-
тую кривую:
Е(х, у, C'-\-C) = Gi).
’) Преобразования переноса образуют группу преобразований-, сово-
купность преобразований образует группу, если резуль-
татдвухпоследовательныхпреобразованийданнойсово-
купности представляет преобразование этой, же сово-
купности. В нашем случае пусть первое преобразование будет х, — х,
J'l = У + Ср второе преобразование х2 = Хр >2 = J'j + С2; их результат х2 = х,
Уз =У + Cj + С2 есть опять перенос на величину Сх-\-С* Указанный нами
в отношении уравнения (1) факт можно сформулировать в общем случае
так: если дифференциальное уравнение допускает группу преобразований,
то семейство интегральных кривых допускает ту же группу. Преобразования
переноса являются примером непрерывной однопараметрнческой группы
преобразований.
§ 3]	ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ	33
Аналогично обстоит дело с уравнением типа
S	(22)
Это уравнение допускает группу преобразований:
Xl = x-j-C, У1~У
(группа переносов параллельно оси х); ту же группу допускает
семейство интегральных кривых; общий интеграл получается из част-
ного заменой х на х С.
Рассмотрим с этой точки зрения однородное уравнение:
2 =/(£)	(23)
Оно допускает группу преобразований х, = Сх, уг = Су, так как,
очевидно,	=^- = i. Это — преобразования подобия (гомо-
тетия) с центром подобия в начале координат; таким образом, все
направления касательных поля одинаковы на каждой прямой, прохо-
дящей через начало; эти прямые являются изоклинами. Очевидно, что
если частным интегралом уравнения (29) является F {х, у) = 0, то
F {Сх, Су) = 0 тоже будет интегралом (общим). Семейство интеграль-
ных кривых состоит из подобных и подобно расположенных кривых.
Далее, мы можем с новой точки зрения подойти к уже получен-
ному методу интегрирования уравнения (29). Если за новые перемен-
у
ные взять й и х, то группа преооразований напишется так:
«j = и,
X] = Сх,
или, наконец, вводя ещё переменное £ = In х,
Uj — и,
(мы положили 1пС—С').
Мы получили в переменных и, $ группу переносов (35), а это
означает, что в новых переменных уравнение будет иметь вид:
оно не содержит явно 5.
Так как нашей задачей в п. 1 было только разделить переменные,
ю замена ; = 1пх нам не понадобилась мы в переменных х, а
34
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
привели однородное уравнение к виду:
с разделяющимися переменными.
Уравнения, приводимые к однородным, рассмотренные в п. 2,
тоже допускают группу преобразований подобия, и центр подобия
находится в точке пересечения прямых ах -ф- by -f- с = 0, а ус -f- Ьху-\-
Cj = 0. И во многих других случаях знание непрерывной группы,
допускаемой дифференциальным уравнением, позволяет привести это
уравнение к квадратурам.
§ 4.	Линейные уравнения.
1.	Линейным уравнением первого порядка называется уравнение,
линейное относительно искомой функции и её производной. Оно
имеет вид:
л^+Ву+с=о,
где коэффициенты А, В, С—заданные непрерывные функции от х.
Предполагая, что в некотором интервале изменения х коэффициент А
не обращается в нуль, мы можем разделить все члены уравнения на
этот коэффициент. Обыкновенно линейное уравнение пишут в виде:
S +	= Q	(37)
(Р, Q — заданные функции от х). Если, в частности, Q = 0, то урав-
нение имеет вид:
g + Pj, = 0.	(38)
Уравнение (38) называется линейным однородным (или без правой
части), уравнение (37) — неоднородным. Однородное линейное урав-
нение (38) легко интегрируется разделением переменных и одной
квадратурой:
— —— Pdx, In |_у | — —J Pdx -J- In । Cl;
его общее решение1) —
y=Ce~^Fdx.	(39)
’) Заметим, что частное решение у = 0, соответствующее нулевому зна-
чению постоянного С, не получается из квадратуры.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
35
§ 4]
Чтобы найти общее решение уравнения (37), в котором Р обозна-
чает ту же функцию, что и в уравнении (38), мы применим приём,
называемый вариацией постоянного. Мы будем пытаться удовлетво-
рить неоднородному уравнению (37) решением того же вида (39), но
будем в этой формуле считать С не постоянным, а неизвестной функ-
цией от х. Подставляя в этом предположении правую часть выраже-
ния (39) в уравнение (37), получаем:
e'SpСРе~$ Fda!-]-СРе~$Fdx = Q
ах	1
ИЛИ
^£ = QjPda’,
dx
С найдётся из этого уравнения квадратурой:
С= J Qe$Pdxdx-yCi
(С,—произвольное постоянное).
Подставляя найденное значение С в выражение (39), получаем
общее решение неоднородного линейного уравнения (37):
у = e~^Fdx[cx -ф- J Qe^^dx}.
(40)
Итак, общее решение линейного уравнения первого порядка на-
ходится двумя квадратурами.
Заметим, что решение (40) представляет сумму двух слагаемых:
Fdx есть общее решение однородного уравнения (38), соответ-
ствующего данному уравнению (37), т. е. получаемого из данного заме-
ной правой части нулём; второе слагаемое, e~$Fdx J* Qe$ Fdx dx, есть
частное решение неоднородного уравнения (оно получается из общего,
если положить С, — 0).
Покажем, что знание одного частного решения линейного неодно-
родного уравнения позволяет привести его к однородному. Пусть Y
есть известное нам частное решение уравнения (37); введём новую
искомую функцию z, связанную с у соотношением:
У = Y-\-z.
Подставляя в уравнение (37), находим:
Е+зт+рг+^=е-
36	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. I
Но так как У есть, по предположению, решение уравнения (37),
мы имеем тождество: -f- РУ = Q; в силу этого тождества послед-
нее уравнение примет вид:
dz
~ + Рг = 0.
dx 1
Это — однородное линейное уравнение относительно г.
Таким образом, если известно одно частное решение неоднород-
ного линейного уравнения, то общее решение находится одной
квадратурой.
Если известно одно частное решение уг однородного линейного
уравнения (38), то выражение Суг также будет решением', оно
содержит произвольное постоянное С, следовательно, это — общее
решение. Итак, общее решение в этом случае находится без квад-
ратур.
Посмотрим, что нам даёт знание двух частных решений неодно-
родного уравнения. Пусть эти решения будут У, и У2. Имеем тожде-
ства:
g-+pr, = Q. 4b+Pr2=Q.
Вычитая их почленно, получим:
Следовательно, У2— Уг является частным решением линейного урав-
нения без правой части. Из предыдущего вытекает, что общее реше-
ние уравнения (37) напишется так:
у=У,+С(У2-К1).
При знании двух частных решений линейного уравнения с пра-
вой частью общее решение находится без квадратур.
Примечание 1. Уравнение (38) допускает группу преобразований
хг = х, = Су (аффинная группа); все его интегральные кривые получаются
из одной какой-нибудь растяжением или сжатием всех ординат в одном и
том же отношении. Неоднородное уравнение (37) допускает преобразования
у±= у -\-Cz, где z— частное решение однородного линейного уравнения;
в самом деле,
+ Рух = d-L 4. Ру + с(^- + Pz\ =	+ Ру.
dx 1 dx	\dx / dx
Таким образом, если взять за новую функцию и = ~, то группа преобразо-
ваний уравнения (37) будет:
yi y-\-Cz
X] = х, щ = z-i- — -—-— =и у С.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
37
§ 41
Отсюда видно, что дифференциальное уравнение между и и х не будет содер-
жать явно и и, следовательно, интеграция его приведётся к квадратуре. Если
сравнить эту замену переменных с приведёнными выше выкладками, то ока-
жется, что новая искомая функция и есть не что иное, как С, рассматривае-
мое как функция от х.
П р и м е ч а н и е 2. К тем же вычислениям для интеграции линейного
неоднородного уравнения приводит такое рассуждение. Делаем в уравне-
нии (37) замену искомой функции:
_у = uv,
где и и V суть функции от х; получаем:
dv . (п . du\
«-у- -г f и ~Е щ— г' = Q-
dx \	dxJ
Определяем и таким образом, чтобы обратился в нуль коэффициент при V:
rfw in п	— \ Р dr,
—---Ри = 0, откуда и = е J
fuaM достаточно взять частное решение, поэтому мы положили 6 = 1). После
о	’ dv ,,
этого v определяется квадратурой из уравнения: и -j- = Q; полу чается
v = J" u~lQ dx -f- С.
Примечание 3. Общее решение линейного уравнения, как видно из
фтор-аулы (40), имеет вид:
y = C<f (х) + Ф (х),	(40,р
где С—произвольное постоянное, 9 и ф— определённые функции от х.
Легко показать, исключая постоянное С, что всякое уравнение имеющее
общее решение вида (40t), есть линейное.
Примечание 4. Линейное уравнение (37) сохраняет свой вид при
следующих преобразованиях переменных:
1) любое преобразование независимого переменного х = -f (?), где у —
дифференцируемая функция; в самом деле, подставляя в уравнение (37), полу-
чаем:
(;)] ч' (?)> = Q[?G)]'-f/(?)
— опять линейное уравнение;
2) любое линейное преобразование зависимого переменного у = а (х) z +
+ - (х), где а и 3 — произвольные дифференцируемые функции от х, а(х)=?=0,
в рассматриваемом интервале. В самом деле, совершив преобразование, полу-
чаем:
ах \ а /	а
т- е. снова линейное уравнение.
38	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. t
2. К линейному уравнению преобразованием искомой функции
легко приводится уравнение Бернулли ]):
^ + Py==Qyn,	(41)
Здесь Р, Q—заданные непрерывные функции х, а п — некоторое
постоянное число. При п = 0 имеем неоднородное линейное уравне-
ние, при п=1 имеем:
— однородное линейное дифференциальное уравнение. Итак, будем
предполагать н^О, фЛ. Разделив обе части уравнения (41) на ynti),
получим:
у~п ^ + Py~n+1 = Q-
Легко заметить, что первый член с точностью до постоянного коэф-
фициента равен производной от множителя при Р, т. е. от _y-n+1;
поэтому введём новую функцию:
Z —у-п + 1,
тогда
dz ,	। ,.	„ dy 1
—- = ( — в-J-
dx '	\	dx
Умножая обе части уравнения на (—п 1) и вводя значения z
и , получим для z линейное уравнение (неоднородное):
g + (-« + l)^ = (-«+l)Q.
Подставив в его общее решение вместо z выражение _y-n+I, полу-
чим общий интеграл уравнения Бернулли; он легко разрешается отно-
сительно у. При п > 0 мы имеем ещё решение у = 0.
ЗАДАЧА.
80. Написать формулы общего интеграла и общего решения уравнения
Бернулли.
Пример 10. Проинтегрировать уравнение Бернулли:
х^—^у = х2У~у-
]) Уравнение это предложено Яковом Бернулли в 1695 г., метод решения
опубликован Иваном Бернулли в 1697 г.
2) Мы предполагаем, что
§ 41	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	3£
Здесь п=-^. Делим обе части на хУ у:
уу dx х
Вводим новое переменное:
г = У~у,
dx 2 У у dx
Псдставляем в уравнение:
dz	2z	х
dx	х	2 ’
Решаем однородное линейное уравнение:
dz ‘2z dz 2dx	n i , z>
-y- = —, — —-------, In z = 2 In x 4- In C, z — Cx-.
dx x z x	'
Применяем вариацию постоянной:
4£=2Cx4-x2^;
dx	' dx
вставляем в неоднородное уравнение:
. о dC	2Сх2	х
2Сх 4- х- --------= ,
1 dx х	2
или
dx2x	2	11
Следовательно,
z = х- (С\ -j- -ту 1п х^
и, наконец,
у = X4 ( Cj -|- ту In X 1 .
Пример 11. В физике устанавливается следующая связь между
силой тока i и электродвижущей силой Е в цепи, имеющей сопро-
тивление R и самоиндукцию L (R и L — постоянные):
Если рассматривать Е как заданную функцию от t, то это — линей-
ное дифференциальное уравнение для силы тока i. Напишем его
в виде:
di . R . Е
dt‘ Ll~ L'
40	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Г
Проинтегрируем уравнение (42) в предположении £ = const., при
начальном условии i = 0 при t = 0 (включение в цепь, в которой
не было тока, постоянной электродвижущей силы). Интеграция одно-
родного линейного уравнения даёт:
r *
di	r\ j. .	г*
— = • -,dt, i = Ce ь .
i	L ’
Вместо вариации постоянной перейдём к общему решению уравне-
ния (42), угадав его частное решение в виде некоторой постоян-
ной Л; подставив её в уравнение, получим:
Итак, общее решение уравнения (42) в нашем предположении есть
р	- — t
i = -^-\-Ce L .
Определим С из начального условия при Z=0:
о = | + с, c =
Искомое частное решение будет:
При /=0 сила тока равна 0, а затем быстро приближается к по-
стоянному значению (процесс установления постоянного тока).
ЗАДАЧИ.
31.	Проинтегрировать уравнение (42) в случае периодически изменяю-
щейся электродвижущей силы:
£ = £osin<»/ (переменный ток).
Проинтегрировать уравнения:
32.	cos х ~~ = у sin х 4- cos2 х.
dx
33.	^+У^} = 'Р ^7 ('Р — данная функция X).
34.	= 2ху — Xs + х.
dx	1
35.	^У. -£ . у =------!_
dx ~ 1 -f- к2 х х (1 + х2)
36.	(х — 2ух — у2) dy + у- dx = 0.
37.	ху' -ру — ху2 In х.
УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ
41
38.	у' — -—~—pj — -44 = О. Найта интегральную кривую, проходящую
через точку х = 0, у = 1.
/7 v
39.	(х2уА + ху) = 1.
40.	!х — у2) dx + 2ху dy = 0.
§ 5. Уравнение Якоби.
К числу уравнений первого порядка, общее решение которых выражается
в элементарных функциях, относится уравнение Якоби. Оно имеет вид:
(Ах -ф- By С) dx	(А'х 4- В1 у 4- С') dy 4-
4- (А"х 4- В”у 4- С") (xdy—y dx) = 0,	(43)
где А, В, .... С"—постоянные.
Если его написать в форме:
М dx 4- N dy = 0,
то .И и N окажутся многочленами второго порядка по х, у, причём члены
второго порядка в выражении для Л1 имеют вид:
— А"ху — В"у2,
и в выражении N они будут:
А"к- 4- В"ху.
Для исследования ') уравнения Якоби удобно ввести новые переменные,
соответствующие однородным координатам аналитической геометрии:
Тогда
.	x-,dxf—Х\ dxv	,	x-.dx-,— x->dx.,	.	, x,dx., — x.,dx,
—---1, dy — —-—i , x dy — у dx = ——=—~—-
*3
Вставляя эти значения переменных и дифференциалов в уравнение (43), мы
можем написать его в виде:
	dx2	dx3	
*1	*2	*3	= 0,
ах	^х	Сх	
(41)
где
=	4-«2*2 4-«З-^з, Ьх — fejXt 4- b2x2 4- &3Х3> Сх = CjXj 4- с2х2 4- с3х3
суть линейные формы относительно однородных координат.
Чтобы возвратиться к декартовым координатам, достаточно положить
') Приводимый здесь метод исследования уравнения Якоби принадлежит
4>- Егорову, неоднократно излагавшему этот метод на своих лекциях
в Московском университете.
42
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Введём новые координаты xv х2, х8, связанные с первоначальными коор-
динатами линейными преобразованиями:
Р*{ = TfiiXjH- 712х3 -Н]3х3,
рх2 = 721xt + у2.,х., + у.,3х3, •
рх3 = 73 J Xi + 732 х2 + 733 х3, j
(451
где 7t-j. — постоянные с определителем =£0, а р — любая функция от х{.
Преобразование (45) эквивалентно дробно-линейному преобразованию
Z	/
•Г1	Х2
координат х и у в новые координаты х’ — ~, у' = — . Покажем, что при
хз	xs
таком преобразовании уравнение Якоби переходит в уравнение того же типа.
Положим сначала р = 1. Умножая определитель, стоящий в левой части урав-
нения (44), на определитель из -({]с (строки на строки), в первой строке опре-
делителя получим, очевидно, dxv dx'2, dx3, во второй х^, х2, х3, в третьей —
три линейные формы от хь х2, х3, которые преобразуются в линей-
ные формы ах,, Ьх,, сх, от хр х2, х3; в результате получаем:

dx4
dx'3
(44')
т. е. опять уравнение типа Якоби. Если теперь заменить xlt х2, х3 на рхг,
рх2, рх3, где р4=0 есть функция от х{, то во второй и третьей строках р
выйдет общим множителем, а в первой строке будем иметь:
р rfXj + х1 dp, р dx., -ф- х2 dp, р dx,, 4- х3 dp",
но если из членов первой строки вычесть члены второй, умноженные на dp,
то вторые слагаемые исчезнут; р выйдет общим множителем, и мы опять
получим уравнение (44'). Таким образом, уравнение (44z) связывает не самые
переменные х1( х2, х3, а их отношения, — оно эквивалентно уравнению (43).
Уравнение Якоби допускает частные линейные интегралы. Напишем
линейное соотношение в однородных координатах:
= иусг + и2х2 + zz3x3 = 0	(46)
и потребуем, чтобы оно удовлетворяло уравнению (44). Умножая первый и
второй столбцы определителя в левой части (44) на и2 и прибавляя
к третьему, умноженному на и3, получаем:
rfXj
Xi
ах
dx2
х2
Ьх
dxt
YiU(Xi
и1ах + u2bx 4- ti.cx
= 0.
Замечая ещё, что, в силу равенства (46), dxt = 0, мы приходим к условию:
(«1% + и2Ьх 4- и3сх) (х2 dxA — x-t dx2) = 0.
Но так как х^, х2, х2 совершенно равноправны, мы можем получить два та-
ких же равенства со вторыми множителями: x3dx2— x2dx3, ху dx,— x:ldx1.
Замечая, что все эти множители одновременно не равны нулю, мы приходим
УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ
43
к заключению, что всякий раз, когда выполняется (46),	+ и3Ьх + и3сх = О,
а тогда, как легко видеть, обе линейные формы пропорциональны, т, е. имеем
тождественно:
+ uibx + b (uixi +	+ «з*з)
(). — множитель пропорциональности).
Подставляя вместо ах, Ьх, сх их выражения через xt, х2, х:, и прирав-
нивая в получающемся тождестве коэффициенты при xlt х3, х3, получаем три
однородных уравнения для определения иь и.3, и3.
(Я1 — Z) U( 4- Ьхи3 + С\и3 — 0, )
Я-jZZj -f~ (А, — A) U3 4" C2ZZg =» 0, j>
aill\ + b3u3 + (сз — а) иа = 0. J
(47)
Чтобы система (47) имела отличные от нуля решения, определитель этой
системы должен быть равен нулю, т. е.
— к	Ь1		
«2	ь2 — ь	С2	= 0.
оз	Ьз	с3 —X	
Мы получили для к кубическое уравнение. Если оно имеет три различных
действительных корня Aj, А,, л3, то из уравнения (47) получится три различ-
ных решения zzt, иг, и-,. т. е. уравнение Якоби допускает в качестве инте-
гральных три прямые. Пусть их уравнения будут;
их =	+ Ч‘2.Х2 иЗхЗ = О’
vx = V\x\ + v.,x., + гмх, = 0,
•wx =w'tx1 + w3x2 + W3X3 = 0.
Возьмём эти прямые за оси новой трилинейной системы координат, новые
координаты опять будем обозначать через xb х2, xs. Уравнение (44) допу-
скает, по предположению, решения: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0. Подставляя в (44)
первое решение и требуя, чтобы оно обращало уравнение (44) в тождество,
найдём:
= Og = 0.
Аналогично учитывая, что х3 — 0 есть решение, получим bt = Ья — 0, а из
решения х3 = 0 получим Cj = с3 = 0 (здесь аг, ...,с3— соответствующие
коэффициенты в ноьш< координатах).
Уравнение Якоби приведётся тогда к виду:
					dxx	rf.v3	dxg
dxi	dx.2	dx3			xi	Xj	x3
Х1	X 0	хз	= 0,	или	1	f	1
а2хя	bixi	с3х3			«1	b-i	c3
или
,	, , dx-i , ,	. dx3 , ,,	, dx3
(сз — b3)	+ (a 1 — c3) ~ + (b2 — aj —5- = 0.
•*1
Общий его интеграл в однородных координатах, очевидно, есть
„С3—„01 — Са „dj—Oj —
л j *^2	*^3	—
44
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
или, переходя к старым трилинейным координатам,
+ и2х2 + fal-*! + v-ix-i + и‘-‘.х;>У‘	+ W-2x-> 4~ WgXg)1 = С,
причём
а + “ + 7 — (сз — ^2) 4" (а1 — сз) +	— f£i) = О-
Поэтому в декартовых координатах общее решение будет иметь вид:
(иАх + и.2у 4- и3)я (vtx + v2y 4- (wyc 4- w2y 4- wg)i = C.
Можно аналогично исследовать все остальные случаи — один действи-
тельный и два мнимых корня, и ряд случаев для кратных корней. Не оста-
навливаясь на этом, дадим метод, который позволяет всегда проинтегриро-
вать уравнение Якоби. Кубическое уравнение для л имеет всегда один дей-
ствительный корень; следовательно, уравнение Якоби имеет, по крайней
мере, одну интегральную прямую. Пусть её уравнение будет:
liyCy 4* ч.,х2 4- илх3 = 0.
Сделаем замену переменных:
хг = xv х.2 = xs.
х., = и1х14- я2х2’ 4- «Зх3;
если и3=4=0, то определитель этой подстановки не равен 0 (если бы было
и3 = 0, а, например и3#=0, то мы положили бы хг = иж, х2 = х„, х., = х.,).
Преобразуем уравнение (44), умножая первый и второй столбцы на г/1. и2
и складывая с третьим, умноженным на иу, новое уравнение будет иметь вид:
dxr
х'1
/
ах'
dx'2
А
dx'3
x's
У-'
= 0.
Подобно предыдущему, убеждаемся, что са,/=с3х3. Затем переходим к де-
картовым координатам, полагая х, = х , х2 = у , х., = 1; геометрически это
значит, что мы совершаем преобразование, переводящее интегральную
прямую их — 0 в бесконечно удалённую прямую плоскости х'у'. Уравнение
Якоби примет вид:
dx (с3у — Ьус — Ь2у' — Ь.А) — dy' (с3х — а'ус' — а2у' — а„) — 0,
т. е. мы получили уравнение, приводимое к однородному, которое интегри-
руется в квадратурах.
Если не переходить к однородным координатам, то правило интегриро-
вания уравнения Якоби можно сформулировать так: находим один линейный
интеграл уравнения (44):
п,х 4- и..у 4- и3 = 0;
вводим новые переменные:
х ______ , __ у
иус 4- и2у 4- и3’	“ «гх4- и2у 4~и3’
преобразованное уравнение в переменных у1 будет вида, приводимого
к однородному.
§ 51
УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ
45
Пример 12.
(14х + 13_у 4- 6) dx 4 (4х 4- 5у + 3) rfy + (^х + 5у) (у dx — xdy) = 0.
Вводим однородные координаты:
Уравнение в форме определителя напишется так:
Уравнение для определения К будет:
или
— 14
— 13 —X
7
5 =0,
X3 + эха 27). 4 27 = 0.
4 — X
5
3
Все его корни равны: X, = Х2 = Х3 = — 3.
У равнения (47) для определения иь и.,, и3 примут вид:
7zz, — 14u._> 4 7u3 — 0, 5«| — 10и3 4 5«3 = 0, 3ut — 6н3 4 Зи3 = 0,
т, е. все сводятся к одному:
til — 2«2 4 я? = 0.
Вместо одной интегральной прямой мы получаем целый пучок интеграль-
ных прямых, так как одного уравнения недостаточно для определения двух
... и-l U, _
отношении — , —. Выражая и3 через и и2 и вставляя в уравнение их = 0,
IZg JZg
мы получим уравнение пучка:
«1 (*1 — *з) + 4 (*2 + 2х3) = О
(z;b и2—однородные параметры пучка).
Здесь нет надобности делать дальнейшие подстановки, так как уравне-
ние пучка содержит одно (существенное) постоянное за которое можно
принять — S-) и, следовательно, является общим интегралом уравнения,
н М|'
с декартовых координатах этот интеграл имеет вид;
х-1 = С(у-4 2).
Пример 13.
(7л 4 Зу 4 5) dx — (7х 4 8у) dy 4 5 (х —у) (у dx — xdy) = 0.
46
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Вводим однородные координаты и приводим к виду:
dx-i	dx2
Xi	х2
— 7xf — 8х2 — 7х1 — 8х2 — 5х3
йхъ
5х, — 5х2
Уравнение для X будет:
— 7 — X
— 8
О
— 7
— 8 —X
— 5
5
— 5 =0,
или
ХЗ+15Х2 — 25Х —375 = 0.
Его корни Х1 = — 15, Х2 = — 5, Х3 = 5. Находим формы их, vx, wx. Имеем
для и2, и3 уравнения (соответствующие X,):
8ut—7и2 + 5и3 = 0,	—8«j + 7и2— 5и3 = 0,	—5и2 4- 15и3 = 0,
из которых только два независимых; одной из систем их решений будет
2, U2 = 3, ZZg = 1.
Аналогично для v2, vs имеем (корень Х2):
— 2wt — 7v2 + 5^3 = 0,	— 8z?j — 3z?2 — 5w3 = 0,	— 5u2 + 5v3 = 0;
система решений:
= — 1. v2 = 1, v3 = 1;
наконец, для wlt w2, w3 имеем:
— 12a>j — 7w2 + 5w3 = 0, —8®t — 13w2 — 5w3 = 0, —5w,— 5w3 = 0,
откуда решения:
wl = 1, w2 = — 1, ws = 1,
Итак,
"c = 2xt + 3x2 4- x3, vx = — x, 4- x2 + x3, wx = xA — x,-’-x...
Вводя в уравнение переменные и, v, w,
получаем:
определённые этими формулами,
du	dv	dw	
и	V	w	= 0,
— 15и	— 5v	5w	
или
(5 + 5) 4-15-5) 4-^ (-5+15) =0
и интегрируя:
uw = Cv2,
или, возвращаясь к первоначальным переменным,
(2x + 3j-+1)(x-> + 1) = C(-x+j + 1)2.
§ 6]
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
47
§ 6. Уравнение Риккати.
В заключение этой главы мы рассмотрим ещё один тип уравне-
ний первого порядка. В противоположность ранее разобранным типам,
в настоящем случае решение уравнения не может быть вообще
выражено в квадратурах. Тем не менее, мы будем говорить о реше-
ниях этого уравнения, как о существующих, так как в следующей
главе существование решений дифференциального уравнения будет
доказано.
1.	Общее уравнение Риккати имеет вид:
-^=P{x)y^-^Q{x)y^-R{x),	(48)
где Р, Q, R— непрерывные функции от х при изменении х в интер-
вале а<^х<^Ь{а^у> — оо, 6<^оо). Уравнение (48) заключает в себе
как частные случаи уже рассмотренные нами уравнения: при P=s=0
получаем линейное уравнение, при R = 0-—уравнение Бернулли.
Уравнение Риккати сохраняет свой вид при следующих преобра-
зованиях переменных:
1)	Произвольное преобразование независимого переменного:
X = <? (Xj)
(© — дифференцируемая функция). В самом деле, производя в урав-
нении (48) эту замену переменного, получим опять уравнение
Риккати:
= Р I® C-Vi)] <?' Oi)у2 + Q [<? (Xj)] <?' (Xi) у + R [<р (Xj)] ©' (xj).
2)	Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого
переменного:
У Vi + S ’
где а, р, у, 6 — произвольные дифференцируемые функции от х,
удовлетворяющие условию а8 — Ру =# 0 в рассматриваемом интервале.
В самом деле, дифференцируя, получаем (штрихи обозначают произ-
водные по х):
dy (а + а'Уг +	+ 5) — (т	+ 8')
dx	(7^1 ф- о)Э
(ао — ₽т)	+ (а'у—т'а)у2 ф- (а78 ф-	— Л' — ₽/)уг ф- (₽'В— 6ф)
~	(Vi +6)2
Подстановка же в правую часть уравнения (48) даёт дробь с тем же
знаменателем и с квадратным многочленом по у1 в числителе. Оче-
видно, получается уравнение типа Риккати.
48	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ггл. I
Этими преобразованиями можно воспользоваться для приведения
уравнения к наиболее простому (каноническому) виду.
1) Коэффициент при квадрате зависимого переменного можно
сделать равным уНЛ. Для этого в уравнении (48) произведём (линей-
ную) замену искомой функции:
у == со (х) z,
где со — пока неизвестная функция. Подставляя в уравнение (48),
получаем:
г/2	_
или
^1 = р<ог2 +f<Q — —	—•
dx	1	со /	1 Ц)
г-*	,	1
Если теперь взять ш = то уравнение примет вид:
£ = =^!+(<г~Яг-₽л
(Замена годится для интервала изменения х, в котором Р не обра-
щается в нуль.)
2) Не изменяя коэффициента при квадрате зависимого пере-
менного, можно коэффициент при первой степени зависимого
перем.енного сделать равным 0. Для этого введём в уравнение (48)
новое зависимое переменное и подстановкой:
у — и -ф-а (х).
Тогда преобразованное уравнение будет:
= Ри* [Q + 2Ра (х)1 и + R + Ра2 Д- Qa — а'.
Достаточно выбрать а (х) =--------, чтобы получить коэффициент
при и равным 0. Комбинируя обе подстановки, мы всегда можем
привести уравнение Риккати к виду:
Д = ±У+К(Т).
(48,)
2. Как уже упомянуто, решение уравнения Риккати не сводится
вообще говоря, к квадратурам. Но имеет место теорема:
Если известно одно частное решение уравнения Риккати, пол-
ное решение получается двумя квадратурами.
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
49
§ 61
В самом деле, пусть известное частное решение уравнения (48)
есть _У=_У1(х), т. е. мы имеем тождественно:
Х =	(48-J
Делая замену зависимого переменного:
где z — новая искомая функция, получаем:
> + W +Рг<1 +	+ р>
или, в силу тождества (482),
=	+	(49)
Получилось уравнение Бернулли, которое, как мы видели, интегри-
руется двумя квадратурами. Для приведения уравнения (49) к линей-
1 1 1
ному следует положить z = — , откуда и = — = ——— ; уравнение
(линейное) для и будет:
-g- + (2Py1+Q)M=-P.	(50)
Его общий интеграл имеет вид (§ 4, примечание 3):
и = С<р (х) ф (х),
где ф и ф— некоторые функции от х; отсюда мы выводим форму
общего решения уравнения (48):
= v I 1	= СУ& (х)+М (х) + 1
” У1~Г С'<?(х) + ф(х)	С<р(х) + '5(Х)
Итак, общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная
функция от произвольной постоянной.
Покажем, что и обратно, если общее решение уравнения есть
дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соот-
ветствующее дифференциальное уравнение есть уравнение Риккати.
Действительно, пусть общее решение дифференциального уравне-
ния есть
_	(х) +?2(х).
50	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. »
разрешаем ею относительно С и исключаем С дифференцированием:
С_ ?2~ Лг .
>4“ ?! ’
(?2 — У'^2 — X) С-У'?! ~ Т1) — (Л +М ~	(?2 — У^ = °>
или
У	—Уу) +У (У %—У У> 4-
+у (?'2 <?! — У У — У ?, Ч- У %) 4- (У —y®j) = о,
т. е, мы действительно получили уравнение типа Риккати.
Если известны два частных решения уравнения Риккати, то
общее решение находится одной квадратурой. В самом деле, если,
кроме решения у=уг, известно второе решение у2, то для уравне-
ния (50) известно одно частное решение щ = — 2_у, а в таком слу-
чае мы знаем, что решение его требует одной квадратуры.
Наконец, если известны три частных решения уравнения Рик-
кати, то общее решение находится без квадратур. Пусть эти
три решения уравнения (48) суть ух, у2, у.у, как и в предыдущем
случае, убеждаемся в том, что уравнение (50) имеет два известных
1 1
частных решения: ——— и -	; в таком случае общее решение
уравнения (50) напишется так:
Л~ Л \Л — У\ У-г~ УУ
или, заменяя и его значением	, перенося первый член правой
части влево, умножая обе части на у2—yt и разрешая относи-
тельно С:
у —л . л—У 2 __ q
у—Ух ’ Уз —У1
Это и есть общий интеграл уравнения Риккати.
Заметим, что если вместо у подставить какое-нибудь четвёртое
частное решение yit то получим:
Л~Л . Л.-Л — г
Л~ Ух ’ Уз — Ух
т. е. ангармоническое отношение любых четырёх частных реше-
ний уравнения Риккати равно постоянному.
3. Уравнение Риккати специальное есть частный слу-
чай уравнения (48); оно имеет вид:
ау* = Ьх\	(51)
§ 61
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
51
где а, Ъ и а — постоянные; для определённости мы будем рассма-
тривать интервал изменения для х: 0 < х < со. Легко усмотреть
два случая, когда это уравнение интегрируется в элементарных
функциях.
1) а = 0; аУ2 = Ь\ тогда переменные разделяются:
dy
Ь — ау2
dx.
2) а —— 2; уравнение имеет вид:
dy
(52)
Сделаем в (52) замену зависимого переменного:
Преобразованное уравнение будет:
I dz j а Ь
za dx I- х2 ’
dz	,
или -j—= а—b
dx
Получилось однородное уравнение; оно
турах.
интегрируется в квадра-
более общее уравнение:
b
х2
Примечание. К виду (52) приводится
dx 1 л А 1
(a, I, b — постоянные) разобранной выше подстановкой, уничтожающей член
с у в первой степени.
Кроме а = 0 и а « — 2, существует ещё бесконечное множество других
значений а, при которых уравнение Риккати (51) интегрируется в элемен-
тарных функциях. Для нахождения этих значений, преобразуя в уравне-
нии (51) зависимое переменное линейной подстановкой
у = иу -j- V,
подберём функции и и г? от х так, чтобы преобразованное уравнение не
содержало члена с первой степенью искомой функции и чтобы свободный
член не изменился. Имеем:
и и'у -|- v' + atfly1 -j- lauvy -ф av2 = bx\
Поставленные условия дают два уравнения для определения и и v:
и' -j- 2auv = 0, v' + av2 = (J.
Из второго уравнения находим:
dv ,	1 .
— — adx, v = — (частное решение).
52
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
После этого из первого уравнения получаем:
и' 2	1
— = — —,	и = (частное решение).
Искомая подстановка имеет вид: у —	-]——, и преобразованное ураз-
некие напишется так:
dy . а
dx ' х2
й.г’+2.
Далее, делаем подстановку (дробно-линейную):

при этом _У] связан с у соотношением:
>-=А+-Ь
у ус- ах
(53)
новое уравнение
будет:
dx	У1 X2’
Деля обе части
так, чтобы член
на xv+ , преобразуем, наконец, независимое переменное
с у2 имел постоянный коэффициент;
dy’1 + by* = ах -<а+Ч
xa+2dx 1
Очевидно, что для приведения уравнения к виду (51) достаточно
положить:
ахл = (а	3) х’ +2dx, х = Xi
(54)
и мы получаем окончательно:
?.У1 । b 2   £
dxl ' а -|- 3 У1 аф
(55)
Это есть уравнение вида (51), где новые коэффициенты
Ь
имеют
значение
ai =
и показа(ель а заменился через
Последнюю дробно-линейную подстановку, связывающую
к следующему «каноническому виду»:
1 ________1
“1 + 2 ~ 2  “
а + 3	1
—J-T. , ИЛИ -----|-к
а + 2 ctj 4- 2
а и ctj,
приводим
§ 61
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
53
Применяя к уравнению (55) с новыми а2, Ь3 и а2 те же преобразования (53),
(54), придём опять к уравнению того же типа, в котором показатель а2
при х связан с л-, и с а соотношениями:
___!__— 1 _|_ __1__= 24-_____1__
а24-2	aj + 2	' а + 2
В результате k подобных преобразований придём к показателю связан-
ному с исходным показателем а соотношением:
4 + 2	+	(* = 1,2,...).
Если, отправляясь от показателя а, мы проведём в обратном порядке
вышеуказанные последовательные преобразования переменных, мы придём
к уравнениям с показателями а-*, а_2,	связанными с а соотно-
шениями:
ТЩ+2 =~‘ + Ш	>
Если в результате преобразований мы придём к показателю, для кото-
рого уравнение Риккати интегрируется в квадратурах, то и начальное
уравнение обладает тем же свойством. Как легко видеть из первоначальной
формулы, связывающей а и аь при а = —2 мы имеем at = — 2, т. е. пока-
затель— 2 не изменяется при рассматриваемых преобразованиях и, следо-
вательно, не может произойти в результате этих преобразований от другого
показателя. Поэтому нас будут интересовать лишь те случаи, когда для
некоторого натурального k мы имеем: = 0 или а_д. — 0.
Предполагая теперь k любым целым числом (положительным или отри-
цательным). мы в обоих этих случаях имеем:
i	1	4/г
~7+2 = - * + у, откуда о, = _ ^-+ t (* = ±1, ±2...).
Мы получили две бесконечные
которых уравнение Риккати сводится
о. = 0; это будут:
последовательности показателей, для
путём ряда преобразований к случаю
k =	1,	2,
3,
а = — 4,
8_
3 ’
12
5 ’
k = — I —2
— 3.
4_
У’
__8
5“’
12
7 ’
Разрешая
имеют пределом — 2.
а
найденную для «
числу; это — при-
Обе 'последовательности
формулу относительно *, получаем: 2а д Равио целому
знак того, что а принадлежит к одной из указанных последовательностей.
При а = 0, как легко убедиться, у выражается через показательные и
тригонометрические функции от х; последовательные преобразования вводят
еще дробные степени х; в результате у выражается через х в элементар-
ных функциях.
Как показал Лиувилль (1841 г.), при всех других значениях а решение
специального уравнения Риккати не может быть выражено квадратурами от
элементарных функций.
54
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Уравнение Риккати имеет то общее свойство с линейными
уравнениями, что знание некоторого числа частных решений позво-
ляет найти общее решение или привести его отыскание к квадра-
турам. Дарбу исследовал широкий класс уравнений, обладающих тем
свойством, что, зная достаточное количество их частных решений,
можно получить общее решение без квадратур или с помощью
одной квадратуры; это—-так называемые «уравнения Дарбу»; част-
ным случаем этого класса является уравнение Якоби.
гт	,, dy „ , 1	,,	1
Пример 14. -у— = у2 ----- . Подстановка у — — дает:
ах zx*	z
= — 1 —
ах
Далее,
г = их.
£
2
ой _
dx
du _ dx
и2 2и 2 2х ’
dx
2х ’
11 + 1 = tg‘ ( С —

и, наконец.
У =
]___
(с-4
_ 4_
Пример 15. у2 = х 3 . Показатель соответствует значению
k — — 1, следовательно, надо все подстановки вести в обратном порядке.
Для удобства сравнения с соответствующими формулами обозначим исходные
переменные через xt, уу Итак, имеем:
ЙУ, ,	2
dxx У1 х'
4
Т
4
здесь at =---д-
менного; х3 = х±, dx^ = З.с'2 dx. Получаем:
ГЛ	-	1
Переходя к переменному у — —, находим;
У1
dy , 3	„
4—т У2, = За2.
dx 1 х-
, т. е. а = 0. Делаем замену независимого перв-
§ 61
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
5t>
Мы имеем а = 3, Ь — 3. Разрешая относительно у формулу преобразо-
у t 1
вания у =  +-=— . имеем:
х2 1 Зх
-	9 Х .
у = х-у — -;
О
подставляем в последнее уравнение:
х'3 + 2ху ~ V +	— 2-V + 4- = 3x3
ил	О	о
или, упрощая,
^4-з_у2 = з.
dx 1 х
Интегрируем, разделяя переменные:
Возвращаемся постепенно к первоначальным переменным:
- ,v-(C^iK— 1) х (Зх2 — х)Се^— (Зх2-р х)
У	~ Се^ + 1 У ~	3(Ce^-fT)
_	3(Се^+ 1)________
У1	(Зх2 — х) Се^ — (Зх2 х)
и, наконец,
% (Се +1)
У1----------------ба:73	’’
(Зх^3 — х^3) Се 1 — (Зх^3 + х1/3)
ЗАПАЧИ,
42.	у+у + 1_у_А = 0.
43.	ху' — Зу-j-y2 = 4х2—4х; угадать сначала частное решение.
44.	у' = у2 + х~4-
Мы изучили главнейшие типы уравнений первого порядка, кото-
рые в конечном счёте интегрируются методом разделения переменных.
Этими типами не исчерпываются все уравнения, которые могут быть
приведены к разделяющимся переменным. Во многих случаях соот-
ветственным образом подобранная подстановка приводит дифферен-
циальное уравнение к одному из известных типов. Ряд таких
«нешаблонных» уравнений приведён ниже.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ.
45.	Решить функциональное уравнение [У(х)—известная
/(x + j-) =
/(-г)+7Су)
1-/W/W
56	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ t
Указания. 1) Можно заранее предполагать функцию /дифференци-
руемой, и тогда способ решения: дифференцировать по у и затем положить
_у = 0. 2) Достаточно допустить существование /'(О); способ решения: вы-
числить (х) как Jim	f(x).
г/->0	у
46.	(у —х) УТ+^ ^ = (1+у2)Ч.
У к а з а н и е. Ввести переменные х = tg <р, у = tg ф.
47.	— (х- + у~ -р 3) — 2х \2у-у).
,,, d v	х — у2
48.	= —
<1л	2у(х-\~у-)
49.	[х (х + у) + а2]	= у(х+у) + Ь2.
Указание. Ввести новые переменные x — u-\-v, у = ku—v, где
постоянное k подобрать так, чтобы переменные разделялись. Можно заме-
тить также, что это уравнение-—типа Якоби.
50.	Дано уравнение: — = ky +/(х), где k—постоянное, a f(x)—перио-
дическая функция периода ш; доказать, что это уравнение имеет одно частное
решение, периодическое с тем же периодом, и найти это решение (Ляпунов).
ГЛАВА IL
ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
РАЗРЕШЁННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
§ 1.	Теорема существования (Коши и Пеано).
В главе I рассмотрены различные типы дифференциальных урав-
нений первого порядка, для которых мы умеем находить общий
интеграл; этот интеграл заключал одно произвольное постоянное.
С другой стороны, геометрические соображения (построение кривых
по данному полю направлений) давали нам основание ожидать, что
произвольное дифференциальное уравнение первого порядка имеет
бесконечное множество решений и что через каждую точку (х0, у0)
проходит одна интегральная кривая. В настоящем параграфе мы,
наложив определённые ограничения на правую часть дифференциаль-
ного уравнения (первого порядка), докажем существование и
единственность решения, определяемого начальными дан-
ными (х0, у0). Первое доказательство существования решения диф-
ференциальных уравнений принадлежит Коши; приводимое нами дока-
зательство дано Пикаром; оно производится при помощи метода
последовательных приближений, который не только устанавливает,
что решение существует, но и даёт возможность приближённо вычи-
слять это решение.
1.	Пусть дано дифференциальное уравнение
и даны начальные значения (х0, у0). Относительно функции f(x, у)
мы предположим следующее:
A)	f(x, у) есть непрерывная функция двух переменных в зам-
кнутой области ’) /?'
Xq а х	Xq —|— а, у0 — b у у(, —Ь,
) Областью определения функции f(x,y) может быть любая область
плоскости хОу, в частности вся плоскость; из этой области D мы выделяем
прямоугольную область R с центром в точке (х0, _у0).
58
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
где а и b — некоторые положительные числа. Так как непрерывная
функция является в замкнутой области ограниченной, то из
условия А) следует существование такого положительного числа М,
что неравенство
\f(x, у)\^М	(2)
выполняется для всех точек области R;
В)	функция f(x, у) удовлетворяет в области R относительно
переменного у условию Липшица', существует такое положительное
число N, что для любого значения х, | х— х01 и любых двух
значений у' и у" переменного у, \у'—у0\-^.Ь, \у"—_У01 "С
выполняется неравенство:
1Ж У)-Ж УОКЯУ-Л- (3)
Примечание 1. Неравенство (3) всегда выполнено, если функция
fix, у) имеет в каждой точке области частную производную fy(x, у), огра-
ниченную во всей области R, т. е. если \fy\^N\ в самом деле, тогда мы
имеем по теореме Лагранжа:
/(*, У) — f(x, у") = (у' —y"~)fy У, у' + 9 {у" — У)], 0 < 6 < 1.
Отсюда сразу получается неравенство (3); но неравенство (3) может выпол-
няться и тогда, когда
равная |_у|, не имеет
место неравенство:
df	а.
не существует всюду; например, функция от у,
производной при у — 0, а между тем всегда имеет
|1У I- \у" 1|<1У -У'1,
т.	е. выполнено условие (3), в котором N= 1.
Примечание 2. Для заданной функции f(x, у) значение постоян-
ного М, являющегося максимумом |/(х, _у)|, а также наименьшее значение
постоянного N, входящего в условие Липшица, зависят от рассматриваемой
области; если область Rt содержит R, то соответствующие первой области
величины Mi и связаны с величинами М и N, которые соответствуют
области R, неравенствами Мф^-М, Ыфу-N. Например, функция f(x, у) =
= х- + у, рассматриваемая во всей плоскости — оо<х<(оо, —оо<_у<оо,
является неограниченной и не удовлетворяет условию Липшица; если же мы
будем рассматривать её в области R, —афхфа, —ЬфуфЬ, то постоян-
ное М окажется равным я2 + Ь2; в качестве же постоянного N следует взять
I df I
максимальную величину в области R, т. е. 2Ь.
В этих предположениях мы докажем, что существует един-
ственное решение дифференциального уравнения (1) Д' = ф(х),
определённое и непрерывное для значений х в интервале х0 — йф
(где п есть наименьшее из двух чисел а и при-
нимающее при х — ха значение х0.
Доказательство существования решения. Построим
последовательность «приближений» к искомому решению. Легко
§ 1!
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО)
59
видеть, что уравнение (1) с начальными условиями эквивалентно следую-
щему интегральному уравнению, где у — опять неизвестная функция:
+ J/(*> y)dx-
(4)
Это интегральное уравнение мы и будем решать последовательными
приближениями.
За нулевое приближение возьмём постоянное число _у0. Определим
первое приближение уг (х) следующей формулой:
У1 =л+ J /(*. y0^dx-
(50
Так как функция под знаком интеграла известна, то у1 вычисляется
квадратурой; очевидно, при х = х0 имеем ух = у0, т. е. первое при-
ближение удовлетворяет начальному условию.
Если мы ограничим в формуле (50 изменение х, требуя, чтобы
|х— х0|<;Л (см. выше условия теоремы), то, так как h^a, значе-
ния аргументов функции /, т. е. х и у0, будут принадлежать обла-
сти R, в котсрэй \f(x,	следовательно, мы из формулы
(50 получим неравенство:
|Л— Joi <Л4|х— х0|<Л4Л;
, , Ь
но так как п , то последнее неравенство показывает, что, при
указанном ограничении изменения х, также и уг не выйдет из
области R.
Строим второе приближение у2(х):
У-2=УоЧ-/ f(x> yi)dx-
(50
Под знаком интеграла опять стоит известная функция (так как yt
уже определено); далее, очевидно, у2 (х0) = у0, т. е. выполняется
начальное условие; затем, так как при |х— х0|<(Л аргументы функ-
ции f(x, yt) не выходят из области R, где /(х, у) определена и
удовлетворяет условию (2), мы будем иметь неравенства:
Iу2 —yQ |	м |х—
которые показывают, что у2 также не выйдет из области R. Вообще,
после того как определено (л — 1)-е приближение, мы определим
л-е приближение формулой:
Уп=Уо + ff(x> yn-i)dx>
(5,0
60
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ И
откуда, допуская, что значения при изменении х в интервале
!х — х0| Л не выходят из области R и, следовательно, |/(х, уп_,) 1<ЛИ,
получим для уп неравенство:
1У» — УоК^х — х0|,
которое показывает, что если ]х— х0|-<Л, то ]уп—у0] ^Mh^b,
а. е. я-е приближение также не выходит из той же области. Таким
образом, методом полной индукции доказано, что нм одно из по-
следовательных приближений не выйдет из области R, если
х0 — h < х xQ Ц- h.
Теперь нужно показать, что существует предел последователь-
ности уп,
Y (х) — lim уп (х),
(6)
и что предельная функция удовлетворяет уравнению (1) и началь-
ным условиям. Для того чтобы показать существование предела (6)
последовательности {уп}, достаточно доказать сходимость ряда:
Л)-Ил——л)+ • • • Ч~Су»—Лг-1)+ •  • ;	(7)
в самом деле, и-я частная сумма этого ряда Sn — yn, и если мы
докажем, что ряд (7) сходится к функции У (х), то этим самым и
будет доказано соотношение (6).
Оценим абсолютные величины членов ряда (7):
bl ~Уо I = | J7 (*> Уо)<*х | < 7И I X — хэ|;
(8J
далее,
(Л—| f	<| J |/(х,_у,')— fix, v0)|rfx
На основании условия Липшица В) подинтегральная функция удо-
влетворяет неравенству |/(х, jyJ—f(x, у0) | <	—_у0|; под-
ставляя сюда только что найденную оценку для \у1—_у0|, находим:
Ь2—М\х— x0|dZxl =у^|х — х0|2.
§ 1]
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (кОШИ И ПЕАНО)
61
Аналогично получим:
X	X
1л —л I < | /1/ (х, у2) —/ (х, yj I dx | < j J 2V| у2 — у J | dx | <
x$	x}
MN~ I f i л
1 • 2 I J x^ dx |,
и, наконец,
Ьз — ЛI <~згI x — xo13.	(83)
Докажем, что для любого целого положительного п справедливо
неравенство:
1д»——[х— *0[”.	(8J
• S tb	S	1 ।	-у|	1	и I	' it'
Для этого применим метод полной индукции: допустив, что нера-
венство (8„) справедливо для п, докажем его справедливость для
/г —]— 1. Мы имеем:
X	X
\У,1^—Уп\< IJ	/(*>	Л/| J lyn— y„-ildxl
(последнее неравенство получаем на основании условия Липшица).
Подставив в последний интеграл вместо |дм—Хг-J выражение (8д
(отчего неравенство усилится), получаем:
lA+i—
и! |
f-'-'rrr+ui
т. e. неравенство (8„) справедливо и для n-J-1. А так как оно
оправдывается для п = 2 и и = 3, то оно верно для каждого нату-
рального числа п. Заменяя ещё | х — х01 его наибольшим допустимым
значением h, мы приходим к заключению, что каждый член ряда (7)
(если не обращать внимания на первый член _у0). меньше соответ-
ствующего члена числового ряда с положительными членами:
Л/Л2 , NW	, Nn-ihn ,
Mh-У- М ~ 4- М 4- .. . 4-ЛГ-—, J- ...
1	2!	1 о! 1	1	«1	1
(9)
Применяя к последнему ряду признак Даламбера, находим:
lim ц” -1- = Игл
п-»со 4/	п-><х>
MNnhnJri • п\
(п -|- 1)14^4-1/2/4
lim
П->оо
Nfi
п -р 1
0< 1.
Итак, ряд (9) сходится. Так как все члены ряда (7) по абсолютной
величине меньше членов числового ряда (9), то ряд (7) не
62	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	Г ГЛ. II
только сходится, но, в силу критерия Вейерш трасса, схо-
дится равномерно для всех х, удовлетворяющих условию
|,v —	Каждый член ряда (7) есть непрерывная функция от х,
потому что интеграл есть непрерывная функция верхнего предела.
Следовательно,
Y = lim ytl
П-><Х>
существует и является непрерывной функцией от х.
Докажем, что полученная таким образом функция Y (х) удовлетво-
ряет данному уравнению [очевидно, что начальное условие удовле-
творено, так как Y (х0) = lim _УП<ЛО) =_У01.
П->СО
Всзьмём равенство (5„):
X
Уп (х) = У о + f / <х, уп_') dx
и перейдём к пределу при п -> оо.
Благодаря равномерной непрерывности функции f(x, у) по у
в области R мы для любого наперёд заданного положительного
числа е можем найти такое 8 > 0, что неравенство
\f(x, y')—f(x, _у")| <е
будет выполнено для тех пар точек (х, у') и (х, у") области R, для
которых выполняется неравенство |у' —у" | <8 (в силу условия
Липшица достаточно взять 8 = -^. Далее, из равномерности стре-
мления последовательности уп к пределу вытекает возможность для
выбранного 8 так подобрать натуральное число л0, чтобы при
п—1 > п0 для всех значений х в интервале (х0— h, х0-|-Л) имело
место неравенство:
K-iW— Y (*)1 < 8-
Сопоставляя оба эти неравенства, мы получаем при п — 1 > п0:
\flx, yn_1(x)]—flx, K(x)J|<e.
Отсюда следует:
.е	х	х
|j f{x, Уп-Jdx — ff(x, KWx|<| J lf(x,yn_1)—f(x, У) I dx\< eh.
x.	x$	x0
Пользуясь произволом числа e, находим:
X	x
lim ff(x, y„.i)dx = f/(x, Y)dx.
П-^OO *	J
Xo	Xq
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНо)	63
Таким образом, переходя к пределу в равенстве (5„) при п —> оо,
получаем тождество:
X
¥=Уо + ^f(x, Y)dx,	(10)
т. е. функция Y(х) удовлетворяет интегральному уравнению (4).
Далее, функция Y допускает производную по х, так как в правой
части тождества (10) стоит интеграл от непрерывной функции, допу-
скающий производную по верхнему пределу. Дифференцируя (10),
получаем:
т. е. Y(х) удовлетворяет данному уравнению (1). Первая часть тео-
ремы доказана.
Примечание 1. В ходе доказательства мы заменили дифферен-
циальное уравнение (1) интегральным уравнением (4); очевидна цель
такой замены: условия равномерной сходимости для последователь-
ности интегралов значительно проще, чем для последовательности
производных.
Примечание 2. Доказательство существования решения диф-
ференциального уравнения (1) проведено нами методом последова-
тельных приближений в предположении, что правая часть уравнения
удовлетворяет условию Липшица по переменному у. При помощи
других методов можно доказать теорему существования в более
общих предположениях: именно, для существования решения доста-
точно потребовать только непрерывности функции f(х, у)
по обоим аргументам. Однако, если не подчинить f(x, у) добавочным
условиям, то начальные значения, вообще говоря, будут определять
не одно решение, т. е. теорема единственности не будет
иметь места (см. ниже п. 5, теорема Пеано).
2. Докажем теперь единственность найденного решения,
удовлетворяющего начальному условию: у —у0 при х = х0.
Допустим, что существует, кроме решения Y (х), ещё другое
решение Z (х), удовлетворяющее тому же начальному условию:
Zix0)=_y0. Без ограничения общности можно предположить, что зна-
чения х, для которых Y (х) ф- Z (х), находятся вправо от х0 в любой
близости от точки х0 [иначе за точку х0 мы взяли бы ту точку,
в любой близости которой значения Y (х) и Z (х) перестают быть
равными, или заменили бы х на —х].
Покажем, что наше допущение приводит к противоречию. Возьмём
некоторое малое постоянное число е > 0; по предположению, в замк-
нутом интервале х0х х0з не всюду / = Z; следовательно,
положительная функция | Y (х)— Z(x)| достигает в этом интервале
в некоторой точке ? своего наибольшего значения 0 > 0, причём не
64	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. II
может быть ; == х0, так как при х — х0 обе функции У и Z равны
между собой. Мы имеем;
X	СС
F(x)=j04- У/(х, Y)dx, Z(x)=j0 + J/(х, Z)dx.
й/о
Вычтем оба тождества одно из другого, придавая X значение $ и
используя при оценке разности условие Липшица:
i	t
|Г($) — ZC$)[ = в С У |/(х, Г) — /(x,Z)[<Zx<iVj [Y(x) — Z(x)jdx.
*®о	®о
Мы только усилим последнее неравенство, если под интегралом заме-
ним разность | У(х)— Z(x)| её наибольшим значением 0 и если инте-
грал распространим на промежуток (х0, х0 -f- s) вместо промежутка
(х0, с). Получим 6 < A's9, откуда, так как, по предложению, 9 фх О,
находим, что 1 < Ns, что противоречиво, так как s можно выбрать
сколь угодно малым, например е < ~. Следовательно, допущение
существования второго решения Z, удовлетворяющего тому же началь-
ному условию, что Y, приводит к противоречию.
Таким образом, при выполнении условий А) и В) существует
единственное решение дифференциального уравнения (1), прини-
мающее при х = х0 значение у(у Теорема Коши доказана нами пол-
ностью.
3. Мы доказали существование решения только для промежутка
/:	х0 — h	х С х0 h.
Однако, если при этом мы не вышли из той области D, где функ-
ция f(x, у) определена и непрерывна (и удовлетворяет условию Лип-
шица), найденное решение может быть продолжено. В самом деле,
пусть значение найденного решения при х — х0-[- h есть у№, причём
точка с координатами Хо’= Х0-\-h, у'г}1 лежит внутри области D,
тогда можно найти прямоугольник |х—|_у—
который еще целиком лежит в области D'). Обозначая через ДТ1
максимум |/(х, у) | в прямоугольнике Rlt примем за начальные зна-
чения Xgl> и jo1’; тогда мы можем, по доказанному, утверждать суще-
ствование решения дифференциального уравнения (1) в интервале
Хо' — х Хо* 4- Ар
1) По определению внутренней точки, она входит в область D вместе
с некоторой своей окрестностью; за эту окрестность может быть принят
достаточно малый прямоугольник.
§ 1]
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (кОШИ И ПЕАНО)
65
,(2)
(2)	«
ещё лежит внутри
где Aj = min (аи ; середина интервала /х совпадает с концом
интервала /; в этой точке оба построенных нами решения принимают
одно и то же значение следовательно, в силу свойства единствен-
ности, оба решения совпадают в общей части I и /Р Но половика
(хо\	интервала 11 лежит вне /; мы скажем, что найденное
решение в этой половине является продолжением ранее полученного
в интервале I решения. Если значение решения при	есть у^'
и точка с координатами x$ — hlt у®
области D, то мы можем определить решение по начальным данным
(xq2), ^’) в интервале /2, который одной своей половиной перекры-
вается с Zj, и в этой общей части новое решение совпадает с пре-
дыдущим; во второй половине интервала /2 мы получим продолжение
рассматриваемого решения. Аналогичное построение может быть про-
ведено и для убывающих значений х. Можно показать, что такими
продолжениями можно подойти как угодно близко к границе области D.
В самом деле, пусть D±— любая ограниченная замкнутая область, лежа-
щая вместе со своей границей внутри D. Мы покажем, что, применяя выше-
описанный процесс «продолжения решения», мы дойдём до границы
области Pj. В самом деле, так как Pi не имеет общих точек с границей Р,
то наименьшее расстояние между точками этих замкнутых множес-в >.d>0.
(Если Р совпадает со всей плоскостью хОу, то за d можно взять любое
положительное число.) Если около каждой точки границы области Pj опи-
d	,	„	„
шем круг радиуса и замкнутую область, составленную из Pt и площадей
этих кругов, обозначим через Р2, то, очевидно, Р2 будет содержаться в Р.
Квадрат со стороной —, и с центром в любой точке области Рх будет
лежать внутри Р2. В замкнутой области Р2 непрерывная функция /(х, у)
ограничена по абсолютной величине; пусть |/(х, у) |	М2. Итак, для всех
Л П	d , d /2
точек области мы можем принять а = ——, о = —, М = М2; тогда,
в силу доказанного, интегральная кривая, проходящая через любую
точку (х0, Уо)> лежащую в области Ph будет определена в интервале
,	. (dY^ d У2\ „
(х0 — Л2, Хо + Л2), где п2 = min [—\. В силу , ограниченности
области Plt мы, при продолжении интегральной кривой, путём конечного
числа шагов дойдём до границы этой области.
Строя области Ph Р2, ..., Ря,..., заключающие друг друга и стремя-
щиеся в пределе к области Р, мы, таким образом, достигаем любой близости
границы Р.
Пусть, в частности, область Р совпадает со всей плоскостью хОу. Тогда
в качестве областей Р1( Р2,..., Рп,... мы можем брать заключающие друг
друга прямоугольники со сторонами неограниченно увеличивающихся разме-
ров, параллельными координатным осям. При продолжении решения, опре-'
делённого начальными данными (х0, у0), в сторону возрастающих значений х
могут представиться два случая:
1) Как бы далеко вправо ни простирался прямоугольник Рп, можно взять
его размеры в направлении Оу столь большими, что рассматриваемая инте-
гральная кривая пересечёт при продолжении правую вертикальную сторону
66
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
прямоугольника Dn. Решение будет, таким образом, определено для сколь
угодно больших положительных значений х, т. е. интервал оси Ох, для
которого определено решение у — у (х), простирается до -ф- оо.
2) Найдутся такие значения х = х, что сколь бы большой в направлении
оси Оу прямоугольник Dn мы ни взяли (уравнение правой стороны которого
есть х — х), интегральная кривая при продолжении в направлении возраста-
ния х выйдет из Dn через верхнюю или нижнюю сторону. Пусть X есть
нижняя грань чисел х, обладающих указанным свойством. В силу определе-
ния нижней грани, для всякого е > О найдётся прямоугольник Dn достаточ-
ных размеров в направлении Оу, такой, что интегральная кривая пересечёт пря-
мую х = X — г, т. е. решение у — <р (лг) определено для всех значений х <^Х.
С другой стороны, для значений х>Х наше решение не может быть про-
должено; при этом при приближении х к X слева | ср (х) | не может оста-
ваться ограниченной. Мы докажем, что в этом случае
lim ср (х) = + оо или lim ср (х) = — оо.
а?<х	х<Х
В самом деле, если допустить обратное, то <р (х) не стремилось бы при
х-+Х ни к какому пределу, и нашлись бы два числа А, В (В^А) такие,
что <р (х) бесчисленное множество раз в интервале (X — г, X) принимала бы
значения, меньшие А, и значения, превышающие В (е>0— любое малое
число). В силу непрерывности <р(х) при x<Y (непрерывная функция при-
нимает все промежуточные значения), нашлась бы последовательность пар
чисел (xz, х^), х[ <x"t < х2 < х2 < ... < х'п < х"п < ..., таких, что
lim х'п = lim х"п = X,	(а)
п->оо п->со
И
ср(х'г) = Л, <р(х") = В, Л <ср(х)<В при х^<х<х".
По теореме конечных приращений имеем:
<р (х") — ср (х') В — Л
------7,---7	 = —----Г = ?' On),
хп хп-----------------------хп хп
(₽)
где 6 лежит между хп и х". Пусть ср (?и) — ц ; тогда Л < г) В, и точка
(?, -цп) лежит внутри прямоугольника R, ограниченного прямыми х = X — г,
х = Х-, у = Л, у — В. Согласно дифференциальному уравнению (1),
(’п) —У On, rin)-
(7)
В силу условий (а), мы можем выбрать п таким большим, чтобы было
/х г	В — А ..	~
х„ — х„< —гг— , М — сколь угодно большое положительное число; тогда
п п М
равенства (₽) и (7) дают:
У От г)п)
Таким образом, функция /(х, у») оказывается неограниченной в замкну-
том прямоугольнике /?, что противоречит предположению о её непрерыв-
ности во всей плоскости. Наше утверждение доказано.
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНо)	67
Резюмируя, мы можем высказать следующую теорему: если f(x,y) опре-
делена и непрерывна во всей плоскости и удовлетворяет условию Лип-
шица во всякой ограниченной области этой плоскости, то всякая инте-
гральная кривая при возрастании х или неограниченно продолжаема
до х = -{-са, или имеет вертикальную асимптоту при конечном зна-
чении х = х.
Аналогичное заключение справедливо для интегральной кривой при
убывании х.
Простейший пример, осуществляющий случай 2., представляет уравнение
у'=у2-\-\; его решение,^определённое начальными значениями (0, 0), есть
у = tgx; интегральная кривая имеет вертикальные асимптоты при х = + —.
4. Теорема Коши доказывает существование (и единственность)
частного решения, определённого начальными условиями. Но легко
получить из неё построение общего решения, по крайней мере в неко-
торой ограниченной области.
Возьмём, как и в предыдущих рассуждениях, область /?;
|х — х0а, |_у—у01 Ь. Предполагая попрежнему начальное
значение х0 постоянным, будем считать начальное значение yQ иско-
мой функции параметром, который может принимать всевоз-
можные значения в некотором промежутке, например в интервале
^у0 — _Уо~. Тогда, при любом выборе у0 в указанном интер-
вале, переменное у не выйдет из области /?, если ограничить его
изменение неравенствами:
•—	b '	- — । ь
Поэтому для всех рассматриваемых начальных значений (х0, J70) реше-
ния уравнения (1) будут существовать при изменении х в интервале
(х0— h', х0-ф-Л'), где h' — min (a,	. Таким образом, мы полу-
чили зависящее от одного параметра семейство реше-
ний:
_У = <рО, л),	(11)
т. е. общее решение.
Формулы, дающие последовательные приближения ylt у.2,_________
..., уп, ..., показывают, что эти приближения суть непрерывные
функции от начального значения, которое в рассматриваемом случае
есть у0- следовательно, и решение (11), как предел равномерно схо-
дящейся последовательности непрерывных функций, является непре-
рывной функцией параметра уй.
Будем далее рассматривать оба начальных значения х0, у0 как
переменные параметры, ограничив их изменение некоторой областью R',
68	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. И
расположенной внутри R, например |х0— х0 ] у > |Vo—Vol^y>
тогда совокупность решений уравнения (1), соответствующих началь-
ным данным х0, у0, будет определена, во всяком случае, для
|х—	Эти решения выразятся формулой:
у = Ф(х, х0, J^).	(12)
Из соображений, аналогичных предыдущим, следует, что функция
в правой части равенства (12) непрерывна по отношению к перемен-
ным х, х0, уй.
Если мы возьмём теперь, в качестве начальной, полученную по
формуле (12) точку (х, у), принадлежащую области /?', то придём
вдоль интегральной кривой, в силу единственности, обратно в точку
(х0, у о)- Так как в этой формуле функция Ф характеризует зависи-
мость значения функции от значения аргумента и от начальных пара-
метров для всей области R', то мы вправе написать:
Л = Ф(*о5 х> У)>
или, рассматривая в этом равенстве опять х0 как постоянное число,
а у0 как переменный параметр (произвольное постоянное), получим
соотношение вида:
у) = С,	(12,)
связывающее координаты (х, у) переменной точки интегральной кри-
вой-, т. е. получим общий интеграл уравнения (1), разрешённый
относительно произвольного постоянного.
Примечание. Нам придётся в дальнейшем дифференцировать левую
часть равенства (12j) по х и у; для законности этой операции достаточно
показать, что решение (12) дифференциального уравнения (1) есть диффе-
ренцируемая функция от начальных значений. Доказательство этого факта,
ввиду его сложности, мы дадим лишь в главе VII.
5. Доказательство существования решения диффе-
ренциального уравнения с непрерывной правой частью.
Если в дифференциальном уравнении
л	<1>
на функцию fix, у) наложено только требование непрерывности по отно-
шению к совокупности аргументов х, у, то можно доказать существование
по крайней мере одного решения с начальными данными х0, _у0. Первое дока-
зательство этой теоремы принадлежит Пеано.
теорема пеано. Пусть функция f(x,y) непрерывна в области
|х—х0|<а, \у—у0\<Ь. Обозначим через М максимум ]f(x, у) j в этой
области и через h наименьшее из чисел а, Тогда в интервале
|х— х01 < h существует по крайней мере одно решение уравнения (1),
у = f (х), удовлетворяющее начальному условию; (хо) =_Уо.
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО)	69
Для доказательства этой теоремы мы применим теорему Арцела. Введём
предварительно следующие определения. Последовательность функций
/1 (х),	(х), ...,fn (х), ...	(А)
называется равномерно ограниченной на замкнутом интервале (й, Ь), если
существует положительное постоянное М такое, что для всех натуральных п
и для й-^х-<6 имеет место неравенство:
1/nWKM
Последовательность (А) непрерывных в замкнутом интервале (й, Ь) функций
называется равностепенно непрерывной, если для всякого е>0 можно найти
такое 6 > 0, что при | х' — х" | < 8 выполняется для всех п неравенство
!/»(*')-/»(*") К
теорема АРЦЕЛА. Из всякой последовательности равномерно
ограниченных и равностепенно непрерывных функций можно выбрать
равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Возьмём на интервале (й, Ь) счётную, всюду плотную последовательность
точек {хп}, например по такому закону:
, b — а	, Ь — а	, „ Ь — а
= ------2“. х2 = йН------J—, х3 = й4~3	4	, ...
, b — а	. Jb — а
..., х^к — й+ 2ft+1 ,	х2к+1 — я -j- 3 2ft+1 ,
...,x2k+1_1 = a+ (2^1-1)^, ...
Рассмотрим теперь множество чисел {fn (xj)}. В силу равномерной ограни-
ченности последовательности (А), значения fn (xt) все расположены на ко-
нечном интервале (— М, + Л4) и, -следовательно, имеют по крайней мере
одну предельную точку. Поэтому из последовательности чисел {/n(xt)} можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность
fn, (xif fn, (*i)- • • •• fnk .1	< «1 < «2 < «з < • • •
Перенумеруем заново соответствующие функции, полагая fnk (х) =
= /^(х), k = 1, 2, 3, ... Заметим, что пк~^ k. Последовательность функций
//’(^./«(х)......f%(x),...	(Aj)
обладает тем свойством, что их значения в точке Xj образуют сходящуюся
последовательность.
Рассмотрим, далее, значения, принимаемые последовательностью (Aj)
в точке х.,, т. е. (х2),	(х2), ..., Др (х2), ... Числа этой последователь-
ности опять все заключены между — М и + М; следовательно, существует
сходящаяся подпоследовательность
•••
Перенумеруем заново подпоследовательность соответствующих функций,
полагая (х) = Д3)(х), k = 1, 2, 3, ... Итак, мы получим подпоследова-
тельность:
/<2)(х), ff(x).....48>(х), ...	(А2)
70
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. П
Заметим, что так как новая последовательность составляет часть последова-
тельности (Ai), а эта последняя — часть последовательности (А), то функция
(х) в первоначальной последовательности (А) имеет номер > k. Продол-
жая тот же процесс неограниченно, мы получим на m-м шаге подпоследова-
тельность:
.....4m)W........	(Am)
определённую тем свойством, что существует lim f^{xm). Заметим, что
п-*со
так как последовательность (А,п) является частью последовательностей
(Am_j), (Аш_2), ..., (АД то для неё существуют также пределы:
lim	(х(), i = 1, 2...т — 1.
П-»оо
Далее, так как последовательность (/гт) является частью последователь-
ности (А) и при перенумерации порядок членов не нарушается, то функция
/^(х) имеет в первоначальной нумерации (А) номер > k.
Составляем теперь из последовательностей (А,п) «диагональную» после-
довательность:
/W(x),/<22>(x).....Д”’(х),	...	(В)
Последовательность (В) сходится в любой точке хр(р = \,2, 3, ...), так
как все её члены, начиная с индекса р, принадлежат последовательности (А^),
которая сходится при х = хр. Номера индексов функций последователь-
ности (В) в первоначальной последовательности стремятся к оо, так как
функция f^(x) в первоначальной последовательности (А) имела номер >/г.
Утверждаем, что последовательность (В) сходится равномерно во всём
замкнутом интервале (а, Ь). В самом деле, зададим произвольное s>0. В силу
равностепенной непрерывности последовательности (В), существует такое
6 > 0, что для любой функции этой последовательности неравенство
\х' — х" К 8 влечёт за собой | (хг)—(x"j | <	. Далее, выбираем
такое натуральное Р, чтобы длина наибольшего интервала между точками
а, Ъ, Ху, х^, ..., хр была меньше найденного 8. Наконец, выбираем W так,
чтобы имели место неравенства:
* (xj) ~fn ’ I < -| для n > № m > 1, z = 1, 2......P.
Пусть теперь x — любая точка замкнутого интервала (а, Ь). В силу выбора
числа Р, найдётся точка хг, г^Р, такая, что | х — хг|<^6. Тогда мы по-
лучим:
I U) -fn^m (х) I (x) (xr) I + \f{n} (*r)	(xr) I +
+ l/n+m > (xr)	(X) | < -J- + 4 + | = 3.
Отсюда, по критерию Коши, следует равномерная сходимость последователь-
ности (В). Теорема Арцела доказана.
Возвращаемся к доказательству теоремы Пеано. Мы будем приближать
искомую интегральную кривую при помощи ломаных линий. Для дальнейшего
удобно выделить в виде леммы следующее, геометрически очевидное, пред-
ложение.
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО)	71
лемма. Если у = (р (х) есть функция, определённая на интервале
(х0, хп), график которой изображаете я ломаной линией, причём угловые
коэффициенты klt k2, ...,kn последовательных звеньев с проекциями (х0, хф
(xh х2), •	(хп_1( хп) все лежат между двумя числами хиК,
то для углового коэффициента k любой хорды, k = —*	, спра-
ведливо неравенство	К.
Доказательство. Пусть между точками х' и х" находятся точки
Xi, xi+i, .... xi+f, тогда мы имеем:
? (xl) — У (х') _ b	-и ) — ?(*,) _ .	у(х") — у (xi+;) _
xi~ х' b xi+1 — x{ i+1’ x" — xi+l
В силу свойства производных пропорций, отношение суммы предыдущих
членов к сумме последующих лежит между наибольшим и наименьшим из
чисел kit ki+1, ..., &г+г+1, т. е. между х и К, что и доказывает лемму.
При доказательстве теоремы Пеано ограничимся рассмотрением интер-
вала (х0, х0 /г); для интервала (х0 — h, х0) построение и доказательство
аналогичны. Обозначим через D замкнутую область хо^х<Схо+/г, || j—yQ | <^6.
Ломаную J = <f>n(x), представляющую n-е приближение интегральной кри-
вой, строим следующим образом. Делим отрезок (х0, х0 4- h) на п равных
частей точками хр х2, .... x„_j, хп = х0 -f- h. В интервале (х0, х() опреде-
лим <рге (х) как ординату прямой, проходящей через начальную точку (хй, уф
с угловым коэффициентом f (х0, j0):
У»(лг)=>'о + (^ — ХО)/(ХО, j0), x0<x<xh
Значение, принимаемое этой функцией при х = Xj, обозначим через jp
У1 — Уо + (хг — хоШхф Уо)-
Построенный отрезок весь лежит в области D, так как | у —j01	М (х—х0)<
Ь. В интервале (xh х2) определяем tpn(x) как ординату прямой, про-
ходящей через (xj, jj) с угловым коэффициентом / (xj, jj:
Чп (х) =J'l+(-V — Xl)/(Xj, jj, х3<х<х2.
Обозначаем
j2 =Уу (x2 — xi)f(xi, Ji).
Легко убедиться, что построенное звено лежит в области D. Вообще, если
при х = Xfc мы получили уп (х/£) = j?£, то в интервале (х,;, х&+1) функция <?„ (х)
определяется уравнением:
Чп(х) = Ук + (х~ хк)?(хк> Ук), хк<х<хЫ-ь
Построив, таким образом, ломаную у = <$п (х) во всём промежутке (х0, х0+Л),
мы убеждаемся в том, что она целиком лежит в области D, так как, в силу
леммы, мы имеем для х0^ х<: х0 h:
I Чп (х) —j01 = I <fn (х) — ч>п (х0) |< М (х — х0) < Mh.
Давая п значения 1, 2, 3, .... мы получаем последовательность функций:
Ti(*)> чЛх)> •••• Чп U)> •••	(Q
Эти функции равномерно ограничены в интервале (х0, х04-Л); в самом деле,
I?» (*)1<1.УоИ-Л№
72	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
для любого п. Далее, эти функции равностепенно непрерывны, так как все
угловые коэффициенты любой функции ограничены числами — Ми Д-М;
в силу леммы, имеем для любых х', х", содержащихся в интервале (х0, xq-(-/z),
I ¥» (х") — ¥п (*') | < М | х" — х' |;
следовательно, если для s > 0 взять 8 = К-, то из неравенства ] х' — x"|<i
для всякого п будем иметь:
I ¥ (х>) — f (х") | < s.
По теореме Арцела, из последовательности (С) можно выбрать равно-
мерно сходящуюся на интервале (х0, х0 + /г) подпоследовательность:
?„/*)’^(x)'•••’ч(х)’•••	(С/}
Пусть предельная функция подпоследовательности (С') будет tp (х). Мы дока-
жем, что у = ip (х) является искомым решением дифференциального уравне-
ния (1). В самом деле, во-первых, мы имеем по построению Чп(хо) = yf,
следовательно, ip (х0) = у0. Докажем затем, что при х — х, где х — любая точка
интервала (х0, х0Д-Л), <р (х) имеет производную, равную f(x,y), где_у=<р(х).
Пусть задано произвольное е>0. В силу непрерывности функции f(x,y)
в точке (х, у) найдётся область Dt, |х — х |	5, |_у—у | С 5, для каждой
точки (х, у) которой выполняется неравенство:
I/(х,у) ~f(x,y) Ку-
/В 6 \
Пусть Ai = minK, 2уиг Возьмём приращение Дх, удовлетворяющее не-
равенствам 0< | Дх |<ЛЪ и будем рассматривать его как постоянное. Выбе-
рем Ny таким, чтобы при	имело место неравенство:
I ¥ (*) — ъ1к (*) I < у
[этот выбор возможен вследствие равномерной сходимости последователь-
ности (С')] и чтобы расстояние между абсциссами угловых точек ломаных
у =	(х) было меньше ~ (это имеет место, если	Оценим отно-
шение
Чпк (х + Ьх) — чПк (х)
Дх
В силу наших предположений, при	все угловые точки ломаных
у =	(х), звенья которых своими проекциями покрывают интервал между
х и х Дх, лежат внутри области Df, в самом деле, ввиду выбора Дх,
имеем для названного интервала:
I ¥ (*) ~ ¥ (х) | = | ¥ (х) — у | < htM< j , I ¥,;A- (х) — J I < ~
[если приращение Дх <0, то левая часть интервала (x-f-Дх, х) покрыта
проекцией звена (хг, х$+1), где х( < х Дх <х<+р но так как xi+i —	,
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО)	73
то I Ъгк (xi) — Чпк (х + Дх) | < ^ М= 4 ’ таким обраэом’ I Чпк (xt) — у |<8,
\Х[ — х |<Aj+y<8]. Таким образом, все угловые коэффициенты отрезка
ломаной между х и х + Дх заключены между числами f (х, у )-------и
f (х, У) + у • Отсюда, в силу леммы, получаем:
----,	<?„к (* + Дх) — Tnft(x) ----.
/(*>)- у <----------------------</(*,»+ Т •
Дх
Находим, далее, такое число N.^N^ чтобы при было
|Ч>ИЛ(х) —<?(х)|<|Дх|-|-
(такой выбор возможен, так как последовательность (С) равномерно схо-
ч и	? (х 4- Дх) — ср (х) ,,	.
дится). Наконец, оцениваем разность ----!Имеем при « >
4(х4-Дх)—ср (х)
I Дх
Чпк (х+Дх)—<РП?[ (х)
Дх
?nfr(x+4x)— <p„ft(x)
Дх
f(x,y)
<р (х + Дх) — <fnjf (х 4- Ах)
Дх
Полученное неравенство
? (х) — чнк (х)
Дх
ср (х + Дх) — ср (х)
Дх
f(x,y) <е,
справедливое для достаточно малого Дх, показывает, что производная от <р (х)
в точке х существует и равна /(х, у). Так как х была произвольная точка
отрезка (х0, х0 + ft), мы имеем для всякого х, х0 < х < х0 Л,
ср/ (х) =f(X,y).
Теорема доказана.
Заметим ещё раз, что без дополнительных ограничений на функцию
f (х, у) (например, условия Липшица) нельзя доказать единственности полу-
ченного решения.
Пример 1. Уравнение ^ = х2+_у3.
Начальные значения: х = 0, у = 0; область /?: —1<х<1, —
В этой области 1/(х, _у)|<2, т. е. М == 2. За h надо взять наименьшее из
чисел >7=1,	= т' .е- ^==4• Последовательные приближения будут,
74
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
,	,	1 г-
во всяком случае, сходиться при ] х | у. Составляем их:
>о = О,
X
Г / 2 ।	2\ j
>1= ] (•*• + ya)dx = у,
6
X
>2=/(-V2+>12)</X=|3 + g,
о
>3= [ (*2 + >2) dx = J + +	+	=
о	о
3 “ 63 'г 2079 -59 535 ‘
При х = -^ имеем у2 = 0,04179, и в пределах пяти знаков >3 не даёт луч-
шей точности.
6. Метод последовательных приближений может быть применён и в ком-
плексной области. Пусть дано уравнение:
dy
dx
—f(x, У),
(1)
где / (х, у) теперь уже аналитическая функция двух комплексных пере-
менных в области
I* — х0|<г, |>— >о!<Р
и непрерывная, когда х и у находятся на соответствующих окружностях.
Пусть в этой области |/(х, у) |< М. Требуется найти решение уравне-
ния (1), в котором у есть аналитическая функция х, принимающая при х = ха
значение _у0. Обозначим:
7? = min | г, А ).
\ М,
Тогда мы можем утверждать: существует решение уравнения (1), голо-
морфное в круге-.
I X — х0 I < 7?.	(А)
Для доказательства заметим, что мы и в настоящем случае можем заме-
нять наше дифференциальное уравнение интегральным:
X
У (х) = >0 + j* f (х, у) dx,	(13)
«о
где интеграл (не зависящий от пути интеграции) может быть взят по любой
простой дуге, соединяющей точки х0 и и не выходящей из круга |х — х0|<7?,
§ 1]
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ (КОШИ И ПЕАНО)
75
в частности по прямолинейному отрезку хох, что мы и будем предполагать
в дальнейшем. Все оценки § 1, п. 1 остаются справедливыми (с заменой h
на R и b на р), причём Уо(х) будет оставаться при | х | < R и при любом п
в круге \уп—_у01 < р. Оценки (8) показывают, что ряд (7) из аналитических
функций от х равномерно сходится при | х | < R; следовательно, его сумма
у (.г) представляет решение уравнения (1), голоморфное, в силу теоремы
Вейерштрасса, в круге \х—x0\<R, что и требовалось доказать.
Вннтнер недавно заметил, что оценка (А) является наилучшей возмож-
ной для совокупности дифференциальных уравнений (1) в том смысле, что
можно построить последовательность дифференциальных уравнений, для
которых истинный радиус голоморфизма для решения будет сколь угодно
близок к числу, определяемому формулой (А). Дадим пример такой после-
довательности:
£ 1
^ = (_У4-2’”)тт1 (m = 1, 2, 3, ...),
начальные значения х = 0, у = 0.
Принимаем в правой части то значение радикала, которое при у = 0
даёт действительное значение 2,и(,и+1\ Так как х явно не входит в урав-
1 1
нения, можно считать, что г — со; далее, бином (_у -ф-2т)т+1 голоморфен
1	А	А
при |у j <;2т и непрерывен при |_у|=2*”; следовательно, р = 2т. Наконец,
максимум правой части при
1_	1 1 А
Л4 = (2’и+2В!)т+1 = 2ОТ,
откуда по формуле (A) R = 1 для всех уравнений последовательности. Фак-
тически решение с начальными значениями х — 0, у = 0,
1	1 т-И
> = _2’Й + Г—?-x + 2’n+1] т
J	1 [/Я + 1	J
1
голоморфно в круге | х | < 2т+1 •	— — Rm, причём lim Rm = \, то-есть
т	»и->со
при достаточно большом т истинный радиус круга голоморфизма сколь
Угодно близок к значению, которое даётся формулой (А).
ЗАДАЧА.
51.	Найти методом последовательных приближений приближённые реше-
ния уравнения:
(найти три приближения, не считая _у0), если:
а)	Начальная точка х=у — §, начальная область | х | С 1,
В каком интервале гарантирована сходимость?
б)	Начальные условия х = 0, у = 1; начальная область —
'	(Чему равно /г?) Найти три приближения.
76
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. П
§ 2. Особые точки.
1. Рассуждения предыдущего параграфа неприменимы, если усло-
вия А) и В) не выполнены. В этом параграфе мы рассмотрим слу-
чаи, когда не выполняется условие А). Допустим, что в окрестности
некоторой точки (х0, _у0) функция /(х, у) является неограниченной.
Могут представиться два случая:
Первый случай: /(х, у)-*оо, когда (х, у)-*(х0, у0). Тогда
функция -т стремится к нулю. Примем её значение равным О
j \х» У)
в точке (х0, у0).
Рассмотрим уравнение
dx______1
dy ^f(x, у)
и предположим, что для него условия теоремы Коши в окрестности
точки (х0, у0) выполнены; мы получим интегральную кривую, про-
ходящую через точку (х0, _у0); уравнение её будет иметь вид:
•* = ? (у)-
кри-
дру-
dx
при х = х0, у=у0 имеем ^==0; таким образом, интегральная
вая имеет в точке (х0, _у0) вертикальную касательную.
Для семейства интегральных кривых точка (х0, у0) никакими
гими геометрическими особенностями обладать не будет.
Пример 2.	j-! ПРИ х = х0, _у = 0 функция не ограничена,
„	dx
но в уравнении — =у правая часть при этих начальных данных
обращается в нуль.
Искомое решение: у2==2(х— х0) — парабола с вертикальной
касательной при х = х0.
Второй случай: /(х, у), являясь неограниченной в окрест-
ности точки (х0, у0), не имеет единственного предела оо, когда
точка (х, у) стремится к (х0, _у0), между тем как в остальных точ-
ках этой окрестности или /(х, у) или	непрерывна. Такова,
,	ах-У by	„	„ гч
например, функция — в окрестности точки х = 0, у = 0. В са-
мом деле, когда точка (х, у) стремится к (0, 0), оставаясь на пря-
мой ах -ф- by — 0, эта функция равна 0; если же точка (х, у) лежит
на прямой сх -ф- dy = 0, функция не определена (нуль в знаменателе),
но вблизи этой прямой она бесконечно велика; по другим направле-
ниям функция имеет другие предельные значения. Мы скажем, что
в точке (0, 0) наша функция имеет изолированную особую точку
О
типа -Q-.
§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
77
2. Разберём течение интегральных кривых в окрестности особой
точки только что указанного типа для простого уравнения *):
=	(и)
dx сх + dy	'
Мы предположим, что ad — Ьсф®. При помощи линейной подста-
новки с постоянными коэффициентами и определителем, отличным
от нуля,
5 = CLX -ф- |3у, 7] = ‘(X + 8у,	(15)
преобразуем уравнение, стараясь подобрать постоянные а, р, 7,
так, чтобы преобразованное уравнение имело наиболее простой вид,
именно, чтобы в числителе нового уравнения был одночлен Хт(,
а в знаменателе — одночлен у.? (X и р.— некоторые постоянные).
Из (15) мы получаем:
d; = a dx -ф-р dy, dfi — ^dx-^-bdy,
составляя производную заменяем в её выражении в числителе
и знаменателе dx и dy через пропорциональные им, согласно (14;,
величины cx-}-dy и ах-}-by. Получаем:
di]__7 (сх + dy) 8 (ах 4- by)
di	а (сх + dy) 4- р (ах 4- by) ’
Мы ставили целью преобразования (15), чтобы числитель имел вид Хт;,
т. е. чтобы имело место тождество:
7 (сх -ф- dy) -ф= 8 (ах -ф- by) — Xtj = X (ух -ф- 8_у).
Приравнивая в первой и последней частях этого тождества коэффи-
циенты при х и у, получаем для определения 7 и 8 два уравнения:
7 (с — X) -ф 8а — О, V
7</_|_8(£ — Х) = 0. /	(16)
Эти два однородных линейных уравнения будут иметь не равные
нулю решения только при условии, что определитель системы равен
нулю, т. е. что
I с — X а
I d b — \ = °’
или
Х2_(£_]_с)Х-|_£с_ ad—Q.	(17)
*) Уравнение (14) однородное, его можно проинтегрировать в элемен-
тарных функциях, но мы здесь дадим качественный анализ решений
этого уравнения, ставя вопрос о течении всех кривых вблизи особой точки
и не интересуясь конкретными численными значениями переменных вдоль
каждой интегральной кривой.
78	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Аналогично, приравнивая знаменатель правой части уравнения (15)
выражению р; и затем сравнивая в полученном тождестве коэффи-
циенты при х и у, получим для а и Р систему уравнений:
а(с — р) + 0а = О, 1
«rf-f-p(Z> — р) = 0. J	(	'
Чтобы из этой системы получить не равные нулю значения а и 3,
опять мы должны потребовать равенство нулю определителя, т. е.
р2 — (Ь с) р Ьс — ad = 0.	(17')
Мы видим, что Аир должны быть корнями одного и того же урав-
нения (17) или (17').
Предположим сначала, что это уравнение имеет различные корни
Подставляя один из них, например Ар в уравнения (16),
а другой, Л2, в уравнения (16'), мы найдём из первой системы (с точ-
ностью до множителя пропорциональности) у и 8, а из второй а и р.
Легко убедиться в том, что определитель
В самом деле, если, например, а^АО, то из первого из уравнений (16)
имеем — =----—i-, а из первого из уравнений (16'):	=----—
следовательно
1^1
у а ’
т. е. аб— Ру фО. Итак, уравнение (14), при помощи подстановки (15),
где а, р, у, о уже определены привелось к виду:
dV__
(18)
Как известно из аналитической геометрии, геометрический смысл под-
становки (15) (однородного аффинного преобразования) состоит в пе-
реходе от осей х, у к новым (вообще говоря, косоугольным) осям
£ и т] и в преобразовании масштаба на каждой оси. Но так как нам
важна общая качественная картина, мы не будем вычислять положе-
ния и масштабов новых осей и будем на наших чертежах изобра-
жать эти оси как прямоугольные.
Уравнение (18) легко интегрируется разделением переменных:
dr. ____________________________ di
*1 ~’ А2 ? ’
откуда
1л] т]| = Ь-1п )$| -f-Jn | С|,
7].= С| £ Р‘2.
(19)
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
79
§ 21
Исследуем решение (19) для разных случаев значений корней Ах
и Х2 уравнения (17).
1) Корни kj и Х2 действительны и одного знака.
Можно без ограничения общности предположить, что Xj > Х2 > 0.
Все интегральные кривые (19) проходят через начало координат
Е = т| = 0; все они касаются в начале оси Е, так как
^1 =±^с|е£-1 | =0.
1^ = 0 Л2	15 = о
Но, кроме семейства (19), существует ещё интегральная кривая,
проходящая через начало, которая соответствует решению Е — О
(как указано в § 2 главы I, в исследовании геометрической картины
такие решения надо принимать
во внимание).
Расположение кривых около
начала имеет вид, показанный
на черт. 6. Особая точка диф-
ференциального уравнения с та-
ким расположением интеграль-
ных кривых называется узлом.
Через узел проходит бесконеч-
ное множество интегральных кри-
вых.
Пример 3.	= т» 71==^2-
1	‘ di i 1
(Семейство парабол с вертикаль-
ными осями и с вершинами в
особой точке, ось ОЕ (vj = 0) и
решение Е = 0 — ось От;).
2	) Корни X] и Х2 действ:
Тогда ^- = — k < 0. Интегральные
Л2
dr.__
di
,тельны и разных знаков,
кривые даются уравнением
kT’
его решение
^ = £71$)-*.
Два решения этого уравнения, проходящие через начало, суть Е = 0,
V] = 0. Остальные интегральные кривые не проходят через особую
точку; течение кривых показано на черт. 7. Особая точка такого
типа называется седловиной.
Пример 4. ~ — — у . Общий интеграл Ет; = С (семейство
гипербол, отнесённых к осям, и две асимптоты).
3)	Корни Aj и Л2 комплексные сопряжённые:
xi=P + ?z'> Х2 = Р — <Р-
80
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
При определении коэффициентов у, 8 из уравнений (16) и а, £ из
уравнений (16') можно так распорядиться постоянным множителем,
который остаётся неопределённым, что f и 3 будут числа комплексные,
сопряжённые соответственно с а, ,3. Обозначая комплексное сопря-
жённое с числом z через г,
мы получим подстановку:
$ = 0.x 4- @у,
т) = ах ру.
Переменные t] неудобны,
так как принимают при
действительных х, у ком-
плексные (сопряжённые) зна-
чения; поэтому делаем ещё
одну линейную замену пе-
ременных (с определите-
лем у5 0):
или
$ = и -j- tv, vj — и — iv.
Легко видеть, что и и v связаны аффинным преобразованием с х, у
и что при действительных х, у переменные и, v также принимают
действительные значения. Внося переменные и, v в уравнение (18),
получим:
du — i dv__ (р +	(« — iv)
du -\-idv ' (p — qi) (a -f- iv) ’
или
du (pv — qu) — dv (pu qv).
(20)
Проще всего интегрировать уравнение (20) следующим образом:
переписываем его в виде:
q (и du + v dv) — р (у du — и dv);
если разделить обе части на и2 -|- v2,
udu-\-v dv _______________________ v du — udv
q и2	p u2+v2 ’
то мы, очевидно, будем иметь:
у d In (и2 -|- v2) -j-d arctg -- = 0,
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
81
§ 2]
откуда
In /и2 4-ц2 4~ arctg — 1н С
или
р , v
-	й.тр,тсг_
У и? + ц2 = Се Я ° и.
Наконец, вводя на плоскости и, v полярные координаты: и — г cos®,
V — г sin ®, находим:
г — Се ч\
Это — семейство логарифмических спиралей в плоскости и, v с асимп-
тотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но
без определённой предельной касательной, — они делают около точки (0,0)
бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется
фокусом. Вид кривых в
окрестности этой точки
дан на черт. 8.
4)	Корни	и Л.2
чисто мнимые (со-
пряжённые): = qi,
л0 = — qi. Теми же пре-
образованиями, как и в
случае 3), приходим к
уравнению (20), в кото-
ром, однако, р=0, т. е.
имеем:
a du-\-v dv = 0.
Интегрируем:
н2 4- v2 — С.	Черт. 8.
Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых
(кругов в координатах и, v), окружающих особую точку; через
самую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая
точка называется центром (черт. 9).
Рассмотрим теперь случай равных (действительных) корней:
Л] = Л2 = Л. Тогда из уравнения (17) имеем:
2Л = 6 4-с, х =
Подставляя это значение в систему (16'), получим:
— Ц^а4-а? = 0, адГ4-Ц^р = 0.	(16")
Могут представиться два случая:
82 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
5)	Не все коэффициенты при а и 3 в равенствах (16")
равны нулю. Тогда из уравнений (16") только одно независимое,
так как определитель равен [(5 — с)2	4ad], но выражение в квадрат-
ных скобках есть дискриминант уравнения (17), равный нулю, в силу
постоянного множителя),
условия равенства корней
этого уравнения. При этом,
согласно условию, хотя бы
одно из равенств (16") не
есть тождество; пусть это
будет первое; берём одно
из его решений, например
а —а, р = 6 2 с. Итак, мы
можем ввести новое пере-
менное
\ = ах-\-—^-у. (15)
Аналогичного преобразова-
ния для л; мы не можем
сделать, так как у нас по-
лучилось бы то же самое
выражение (с точностью до
и определитель подстановки был бы равен
нулю. Поэтому за второе переменное мы возьмём
4= Л
(15")
Определитель подстановки (15'), (15") есть а\ он не равен нулю.
В самом деле, дискриминант уравнения (17)
D == (b -j- с)2 — 4 (Ьс — ad) = (b — с)2 Ц- 4ad
равен нулю (условие равенства корней); если а = 0, то b — с = О,
и первое уравнение (16") есть тождество, против условия. Следо-
вательно, формулы (15'), (15") определяют аффинное преобразование.
Введём переменные $, vj в уравнение (14). В формуле
dr f (ex -|- dy) 4- 6 (ax -|- by)
di a (ex 4- dy) 4- p (ax 4- by) ’
в силу (15"), получаем 7 = 0, 6=1, т. е. числитель равен ах-у by.
Что касается знаменателя, то выражение $ в формуле (15') подо-
брано так, чтобы он имел тот же вид, что и в (18), т. е. был
равен Х$, где X в данном случае есть кратный корень уравнения (17).
Итак, получаем:
di]__ах 4- by
di ~~ Х5 ’
§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
83
Вводя в числитель переменные у, получим:
или, наконец,
di\
di
i 4-
или
drj _____£ 4- X-/]
di X5
Это — однородное уравнение (оно также является линейным); его
общее решение есть
7) = у £ 1П $ 4* Ci.
Кроме того, имеем в качестве интегральной кривой $ = 0. Опять все
кривые проходят через начало; угловой коэффициент их касательных
в начале есть
lim
Д5-»0
А;
lim In I Д? |= rt оо,
А£->0	>
где плюс или минус зависят от знака X; все кривые имеют опреде-
лённую касательную—ось Оу. Это опять узел [он отличается от
узла случая 1) тем, что там одна интегральная кривая имела каса-
тельную, отличную от
всех остальных]. Фор-
ма кривых вблизи осо-
бой точки показана на
черт. 10 (в предположе-
нии X > 0).
6) Все коэффи-
циенты уравнений
(16") равны нулю, т.е.
а — а — 0, b = c = X.
Уравнение (14) имеет
тогда следующий вид:
_ 4L.
dx х'
Его общее решение:
у = Сх.
Опять все кривые проходят через начало с определённым направле-
нием касательных, но, в противоположность предыдущим случаям,
угловые коэффициенты этих касательных могут иметь всевозможные
значения (черт. 11). Эта точка тоже называется узлом (дикрити-
ческий узел).

Ф>1 _ 2L_i_±
di — И ~t~ /. '
84	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
3. Те типы распределения интегральных кривых, которые мы устано-
вили в окрестности особой точки х = 0, у = 0 для уравнения (13), имеют
место для гораздо более широких классов уравнений. Исследование
интегральных кривых в окрест-
ности особой точки дифферен-
циального уравнения первого
порядка впервые проведено Пу-
анкаре (1881 г.), затем про-
должено Бендиксоном (1900 г.).
Мы изложим результаты, отно-
сящиеся к наиболее простым
случаям, следуя в основном мето-
ду Фроммера (F г о m m е г, Math.
Ann., т. 99, 1928).
Рассматриваем уравнение вида:
4У = Р(х, у)
dx Q(x, у)'
(21)
где Р и Q непрерывны в окрест-
ности точки (х0, _у0), причём
р (*о. у о) = Q (х0, >0) — 0.
Без ограничения общности можно предполагать особую точку расположенной
в начале координат, так как общий случай всегда можно привести к этому
путём введения новых переменных х', у':
х = ха + х', у=у0+у'.
Предполагая, что такая замена уже произведена, и обозначая переменные
снова через х, у, мы будем считать, что
Р (0, 0) = Q (0, 0) = 0.
(22)
Мы предположим, кроме того, что функции Р и Q не имеют других общих
нулей, кроме значения х = 0, у — 0, в некоторой окрестности начала и что
они в этой окрестности [включая точку (0, 0)] имеют непрерывные частные
производные по х и по у. В силу этих условий, в тех точках рассматривае-
мой окрестности, где Q (х,у) У~- 0, существует единственное решение у = ср (х)
уравнения (21), определяемое этой точкой как начальной; в тех точках, где
Q (х, у) = 0, но Р(х, у) 0, существует единственное решение х = ф (_у)
dx Q
уравнения — =	;
следовательно,
в окрестности начала через каждую
точку (кроме особой) проходит единственная интегральная
кривая.
Из предположения непрерывности частных производных от Р (х, у) и
Q (х, у) следует, что в окрестности точки (0, 0) функции Р и Q могут быть
представлены в виде:
Р (х, у) = ах + by -|- ср (х, у), Q (х, у) = сх + dy + ф (х, у),	(23)
§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
85
где ср и Ф, при бесконечно малых первого порядка х и у, являются беско-
нечно малыми высшего порядка, т. е.
Iim
®->о у х2 4-у2
у->о
нт	=
ЯС->0 ух'2 + у'2
у->о
(24)
Условия (23) и (24), очевидно, выражают то обстоятельство, что Р и Q допу-
скают в точке (0, 0) полный дифференциал. В простейшем случае, когда Р
и Q — многочлены, ср и Ф будут не ниже второго порядка малости. Заметим,
наконец, что из условия (24) следует, что все частные производные первого
порядка от ср и ф имеют в точке (0, 0) нулевые значения. В самом деле, мы
получаем, например,
ср' (0, 0) = lim Т (0, >) = 0, Ф' (0, 0) = 0.	(24')
у->о У
Предполагая, что ad — Ьс =£ 0, попытаемся применить к уравнению (21) преж-
нюю линейную подстановку (15) с целью привести линейные
члены в выражениях (23) к простейшему виду. Для опреде-
ления коэффициентов подстановки мы снова приходим к уравнению (17).
При этом мы можем пользоваться только подстановками с действитель-
ными коэффициентами, так как функции Р и Q вообще не опре-
делены для мнимых значений аргументов; Рассмотрим в связи с этим отдельно
различные случаи.
1) Корни" уравнения (17) действительны, отличны от нуля и различны;
пусть они будут Xt и Х2. При помощи подстановки (15) с действительными
коэффициентами и определителем, отличным от нуля, можно привести урав-
нение (21) к виду, где линейные члены функций Р и Q будут Х^ и л2?.
Вводя для новых переменных вместо В и т; прежние обозначения хну, мы
приводим, таким образом, уравнение (21) к виду:
= \У + (х, у)
dx Х2х 4- фт (х, уУ	1	'
тле ср, и ф1 получаются как линейные комбинации от ср и ф с постоянными
коэффициентами и с линейной заменой переменных, следовательно, также
удовлетворяют предельным соотношениям (24).
Предположим, что уравнение (21) имеет интегральные кривые, прибли-
жающиеся к особой точке С определённым направлением касательной; пусть
угловой коэффициент предельного положения этой касательной в начале
координат есть k. Переписываем уравнение (21) в виде:
dy
dx
, , v , ср (х, у)
а 4- Ь -—К т-~.
х х
Когда х стремится к нулю вдоль рассматриваемой интегральной кривой, то
угловой коэффициент секущей имеет пределом k\ в силу соотношений (24),
ср Ф	dy
— и — стремятся к нулю, -у-
хх	• dx
по условию, стремится к k. Таким образом,
мы получаем для возможных значений k квадратное уравнение:
или
. а 4- bk
k==7+dk‘
dk2 -|- (с — b) k — a = 0.
(25)
(26)
86 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Итак, в нашем случае для углового коэффициента k существует не более
двух возможных значений. Условие действительности этих значений k,
т. е. необходимое условие существования интегральных кривых, приближаю-
щихся к особой точке с определённой касательной, состоит в неотрицатель-
ности дискриминанта квадратного уравнения (26):
(Ь — с)2 + 4ad 0.
Но это — то же условие, при выполнении которого корни уравнения (7)
действительны. В нашем случае это условие выполнено со знаком >. Для
уравнения в форме (21'). корни квадратного уравнения (26) обращаются
соответственно в 0 и в со. Итак, интегральные кривые уравнения (21'), при-
ближающиеся к началу координат с определённой касательной, должны
касаться в начале или оси Ох или оси Оу.
Переходим к исследованию интегральных кривых сначала в окрестности
оси Ох. Построим равнобедренный треугольник ОАВ (черт. 12) с биссектри-
Черт. 12.
сой, совпадающей с положительным направлением Ох, углом при вершине 2а
и высотой h (числу а мы будем придавать значения между 0 и , а число Л
может быть выбрано сколь угодно малым). Рассмотрим направления поля
d v
определяемого уравнением (21'), на сторонах ОА и ОВ и сравним эти
направления с наклоном указанных сторон, который, очевидно, равен для
у
каждой из них —. Для этого составляем разность:
dy	>	У
dx	х	Х2х + х
(h _ Л У. _ь_	_ -УФА
= (А — Ч) У х + (x<pt — >Фт) _ \х2	)х^\'к.2х ).2х-}
V2 + Х^	1 , jh
В силу условий (24), вторые слагаемые в числителе и в знаменателе послед-
ней части равенств (27) могут быть сделаны сколь угодно малыми по абсолют-
ной величине при достаточно малом h, так что знак правой части равен-
ства (27) зависит от знака члена (3-— 1)—. Рассмотрим отдельно две воз-
\Л2	/ х
можности: а) — 1 > 0 и б) rl — 1 < 0 (знак равенства исключён, так как
Л«>	/-2
мы предполагаем корни уравнения (17) неравными).
§ 2]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
87
а) ~ — 1 > 0. В этом случае выражение, стоящее в левой части равен-
ства (27), положительно на стороне ОА (где > 0^ и отрицательно на сто-
роне ОВ; кроме того, очевидно, что на О А имеем —;>(), а на ОВ имеем
^<0. Следовательно, тангенс наклона касательных к интегральным кри-
вым на стороне ОА больше tg а, а на стороне ОВ меньше — tg а (черт. 12, а).
Интегральные кривые, проходящие через точки периметра ОАВ, не могут
из него выйти при убывании х, ибо, как это следует из направления поля
на сторонах ОА и ОВ, они не могут их пересечь, переходя изнутри тре-
угольника наружу. Оставаясь, таким образом, внутри ОАВ, они, в силу
доказанного в п. 3 предыдущего параграфа, могут быть продолжены до
любой близости границы области D, т. е. вплоть до особой точки О. При
этом тангенс угла наклона секущей, проведённой из точки О, к такой инте-
гральной кривой, равный , по абсолютной величине меньше tg а; так
как а может быть выбрано сколь угодно малым, то мы находим:
m =iimzw=0,
\ах/х=о а>->о х
т. е. все найденные интегральные
оси Ох.
б) — — 1 < 0. При достаточно
Ла
кривые
малом h
касаются
теперь мы
в начале координат
будем иметь:
< 0 на О А,	— > 0 на
dx х	dxx
ОВ;
соответствующее расположение направлений поля дифференциального урав-
нения показано на черт. 12, Ь. Интегральная кривая, проходящая через
точку А, очевидно, будет вся расположена вне треугольника ОАВ; кривые,
проходящие через точки стороны ОА, входя в ОАВ, при возрастающем х,
при дальнейшем его возрастании не могут пересечь сторон ОА и ОВ (что
противоречило бы найденному нами направлению поля на этих сторонах),
следовательно, они должны пересечь сторону АВ. При этом, благодаря
непрерывной и однозначной зависимости от начальных условий при переме-
щении начальной точки от Л к О точка выхода будет монотонно переме-
щаться по стороне АВ от А вниз. Пусть предельная точка для этих точек
будет А' с координатами (/г, у0); интегральная кривая через точку А' при
убывании х не может пересечь сторону АО между А и О, так как если бы
она пересекла её в некоторой точке С, то кривые, проходящие через точки
отрезка ОС, близкие к точке С, пересекали бы сторону АВ ниже А', и А'
не была бы предельной точкой; равным образом, интегральная кривая через
точку А' не может пересечь отрезок ОВ, так как иначе кривые, проходящие
через близкие к А' точки отрезка АА', тоже пересекали бы отрезок ОВ, а.
по определению точки А', они пересекают отрезок ОА и выходят при этом
(при убывающем х) из ОАВ. Итак, кривая через точку А’ не может при
убывании х выйти из треугольника ОАВ, следовательно, она может быть
продолжена вплоть до точки О; рассуждение, приведённое для случая а),
показывает, что эта кривая, входя в точку О, касается оси Ох. Аналогично
найдётся на той же стороне АВ точка В’ (h, у0) такая, что интегральные
кривые, проходящие через точки промежутка ВВ', пересекают при убыва-
нии х сторону ОВ и выходят при этом из треугольника ОАВ, а кривая
88	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
через точку В' входит в особую точку, касаясь оси Ох. При этом очевидно,
что_у0>>0.
Докажем, наконец, что точки А' и В' совпадают или что _у0=_у0, т- °-
в рассматриваемом случае только одна кривая входит в особую точку, касаясь
оси Ох. Для этого введём в уравнение (21') переменные х, и — ^; уравне-
ние примет вид:
(х, их) — utyt (х, их)
________м
, 'И (х, их)
"Г Х2х
= Ф (х, и).
(21")
При произведённом преобразовании треугольник ОАВ (черт. 12, Ь) переходит
в прямоугольник 0<ix^/z, —tg а и <itg а. Интегральной кривой, кото-
рая в координатах (х, у) входила в начало координат, касаясь оси Ох, в ко-
ординатах (х, и) соответствует кривая, примыкающая к точке (0, 0) [так как
lim — = lim и — 0]. Точкам А' и В' на стороне АВ треугольника ОАВ соот-
а?-»0	#->0
ветствуют точки Л', 5х на стороне х = h прямоугольника плоскости (х, и)]
их ординаты будут соответственно и0 = ^ и u0=^. Чтобы доказать, что
точки А' и В' совпадают, достаточно доказать, что и0 — и0.	_
Итак, допустим, что уравнение (21") имеет два решения и (х) и и (х),
такие, что
lim и= lim и = 0, и (h) = и0, u(h) — u0,	и0^> и0.	(А)
СГ->0	#->0
Мы имеем два тождества:
Хз— = Ф(х, и), X -у- = Ф (х, и),
dx v ’ dx v '
Вычитая их почленно, получаем:
х dи- = Ф(х, и) — Ф(х, и) —(и — «)Ф^(х, и), и>и>и. (28)
Производная Фм (х, и) имеет вид:
(-П и) = 1
(*. их)
'	^2-Г
xt , , ч'1у (*- их)
k2	х2
(х, их)	(X, их)
V	К .
!	(х, их)
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
89
§ 2]
В силу условий, наложенных на функции и ф [существование непрерыв-
ных производных и соотношений (24) и (24/)], эта производная есть непре-
рывная функция, в частности при х = 0, и мы находим:
Ф'„(О, и) = £-1<0
[последнее неравенство соответствует рассматриваемому случаю б)]. Если h
выбрать достаточно малым, то для всех значений х, О^х^/г, будет, в силу
непрерывности Ф'и, иметь место неравенство:
(*, и) < — р,
где р — постоянное число, 0 <( р <( 1—
^2
Итак, из тождества (28) получаем неравенство:
d (и — и) .	,	-. d (и — и) . dx
X i-------- < — р (и — и), или  i—=~ < — р —.
dx	и — и	х
(Знаменатель левой части не обращается в нуль, так как две интегральные
кривые уравнения (21") не могут иметь общих точек, кроме точки х — О,
и=0.) Интегрируем последнее неравенство между х и /г(О<х</г),
получаем:
,	Пп — ZZn ,	, h
In---У----=?— < _ р In—,
и (х) — и (х)	х
или
—	— (h\p
и (х) — и (х) > (иа— и0) ( — I .
Последнее неравенство показывает, что если и0 — то при стремлении
х к нулю разность в левой части неограниченно возрастает, вопреки первому
из предположений (А). Наше утверждение доказано.
Мы можем теперь легко выяснить расположение интегральных кривых
в разбираемом нами случае (когда корни уравнения (17) действительны и
различны). Существуют два типа расположения интегральных кривых около
особой точки, в зависимости от знаков Xt и Х2.
I тип. Xj и Х3 одинакового знака. Без ограничения общности можно
предположить, что
О-
Построим равнобедренный треугольник ОАВ, симметричный относительно
положительной полуоси Ох, с углом при вершине 2а =-^- (черт. 13). При
достаточно малой высоте h этого треугольника, в силу того, что — 1 > О,
Л2
все входящие в него интегральные кривые входят в особую точку, касаясь
положительной полуоси Ох. Аналогично, из рассмотрения симметричного
треугольника	расположенного в сторону отрицательной полуоси
абсцисс, мы заключаем, что все кривые, входящие в этот треугольник, войдут
в начало, касаясь оси абсцисс. Далее, перепишем уравнение (21х) в виде:
dx __ Х2х + ф; (х, у>)	(21'')
dy	Xjу + vi (х, у)
90
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
и рассмотрим треугольник ОААР Так как
1 < 0, то существует только
оси Оу; все остальные интегральные
кривые выйдут из OAAt через сто-
роны ОА и OAt и, попав в треуголь-
ники ОАВ и OAjBp тоже войдут
в начало, касаясь оси Ох. Аналогич-
ное положение имеет место в тре-
угольнике ОВВ}. Итак, все инте-
гральные кривые из достаточно
малой окрестности особой точки
входят в особую точку с определён-
ной касательной. Мы имеем узел
(черт. 13).
II т и п. Xt 11 *2 противополож-
ного знака. Предполагаем
>-!>0>Х2.
Опять строим треугольники ОАВ,
ОАХВЬ ОАА,, OBBt (черт. 14). Для
уравнения (21') имеем неравенство
— 1 < 0. Таким образом, в каждом
Л-2
из треугольников ОАВ и ОА^В1 ока-
жется только по одной интегральной
одна интегральная кривая, касающаяся
кривой, входящей в особую точку, касаясь оси Ох. Аналогично, для уравне-
ния (21"') имеем: — 1 < 0; поэтому в треугольниках OAAj и OBBV опять
имеем по одной интегральной
кривой, входящей в начало;
эти кривые касаются Оу. Итак,
в начало координат входят
только четыре интегральные
кривые. Особая точка есть сед-
ловина (черт. 14).
2) Корни уравнения (17) —
комплексные сопряжённые: Xj=
= Р + iq, ^2=Р — “В Д ¥= 0,
q > 0. Мы видели, что в соот-
ветствующем случае, при по-
мощи подстановки с дейст-
вительными коэффициентами,
уравнение (13) мо1ло быть при-
ведено к виду:
dvpv^qU'
dx pu-\-qv
Применяя ту же подстановку
к уравнению (21), мы приве-
дём линейные члены к той
же форме, какую они имеют
в правой части уравнения (20);
обозначая новые переменные попрежнему через х и у, мы можем рассматри-
вать в данном случае уравнение (21) в виде:
dy __РУ — дх + чг (х, у) _ Р, (х, у)
dx рх + ду + (х, у) (х, у) ’
(29)
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
91
§ 2]
где <р2 и ф, — опять бесконечно малые порядка выше первого при беско-
нечно" малых х и у. Для исследования интегральных кривых уравнения (29)
целесообразно ввести полярные координаты:
X = Г COS с?, у — Г Sin Ч>.
Мы получаем:
dr____г (Pt sin у 4- Qi cos ср)
dcp Pr cos <p — Qi sin <p
или, в раскрытом виде (деля числитель и знаменатель на г),
dr __ pr + <р2 sin ср + ф2 cos ср _ _ рг_ 1 + СО (л, ср)
dcp	ср., cos ср — ф-> sin ср	1 + <»1 (г, ср) ’
где
ср, Sin ср ср2 cos ср
(О = —--------------------------------
Рг
<f>, COS 9------4*2 sin ?
И соч = —-------------------------------—
— qr
в силу условий (24), стремятся к нулю вместе с г. Выберем г0 достаточно
малым, чтобы при г + г0 второй множитель последней части равенств (30)
заключался между границами 1 — а и 1 + а (а <( 1 — произвольное положи-
р
тельное число). Тогда знак правой части (30) будет совпадать со знаком —
положим для определённости — -у<(0 и рассмотрим при возрастаю-
щем у течение интегральной кривой, определяемой начальными значениями
dr „
(л0, <р0). Радиус-вектор будет монотонно убывать, так как — <0; при этом,
в силу выбора г0, будут иметь место неравенства:
р ,, । , dr	р
—-М1 + а)	+ 0 — аН,
q	dtf	q
откуда
— у (! 4~ a) «ty < ^ < — у (! — я)
Интегрируем последние неравенства от ср0 до <р > <р0; получаем:
— 4(1 +a) (t?_(po)<ln4<-4(l-a) ty-<?0),
Ч	ro Q
или
(1+а) (<р-<р0)
Г^е «	<r<roe q
Интегральная кривая при изменении ср от <р0 до 4* 03 заключена между
двумя логарифмическими спиралями; она приближается к особой точке,
совершая бесчисленное множество оборотов. Особая точка представляет
собой фокус.
Рассмотрим ещё случай равных корней = Х2. Линейные части после
приведения к простейшей форме пусть имеют вид такой же, как в случае (6)
предыдущего раздела. Итак, уравнение имеет вид:
> 4~ <Р (*, >).
dx х 4- ф (х, у)'
(31)
92
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Относительно и 4 мы сделаем более сильные предположения, чем до сих
пор: мы предположим, что функции
® (х, их)	_ ,	.	ф (х, их)	.
-Ш—= Ф (х, и)	И • -^2—~ — 1 (*• н)
являются непрерывными функциями своих аргументов при 0<х<^8, где
8 — положительное число1), и что они имеют в той же области непрерывные
производные по и [эти условия будут, в частности, выполнены, если_<р (х,_у)
имеет вид Ах2 -ф- 2Вху -ф- Су2 -ф- <? (х, у), где Л, В, С — постоянные и <р (х, _у)—
бесконечно малая порядка выше второго при бесконечно малых х, у,
у которой частная производная по у имеет порядок малости выше первого;
ф (х, их) дФ	ч>'„ (х, их)
тогда Ф (х, и) = Л + 2Ви + Си2 Ч------. -^ = 2В 4-2Си +;
легко видеть, что обе эти функции непрерывны для достаточно малых зна-
чений х, включая х = 0; аналогично для Ч" (х, _у)[. Делаем в уравнении (31)
замену переменного у ~ их', уравнение примет вид:
du___ их -ф- ср (х, их)
11 ' Х dx х -ф- ф (х, их) ’
.или
с? (х, их) ф (х, их)
du х2__________________х2 __ Ф (х, и) — иУ (х, и)
dx=	ф (х, их)	1 -ф- хЧг (х, и)	' )
Н X2
При достаточно малых значениях х знаменатель, очевидно, в нуль не обра-
щается; числитель является при х = 0 непрерывной функцией; правая часть,
ввиду непрерывности Фм и Чгы, удовлетворяют условию Липшица по и
в любой ограниченной области 0 < х 8, — М и «С М. Следовательно, все
точки оси и, х = 0, и = и0, являются обыкновенными для уравнения (32);
через каждую проходит единственная интегральная кривая. Возвращаясь
к уравнению (31), мы видим, что через точку х = 0, у — 0 проходит бес-
конечное множество интегральных кривых, причём для каждого значе-
ния Uq, —оо<Ио<(-|-со, существует единственная интегральная кривая,
имеющая в начале координат касательную, уравнение которой есть
у = ийх. Мы снова имеем дикритический узел.
Мы оставили здесь без рассмотрения тот случай равных корней Х( = Х3,
когда линейные члены приводятся к виду, соответствующему случаю 5) пре-
дыдущего раздела; можно показать, что и для уравнения (21) начало коор-
динат будет в таком случае узел. Далее, мы не рассматриваем случай чисто
мнимых Xt и Х2; здесь может иметь место как центр, так и фокус; члены
первого порядка уравнения (21) не определяют характера особой точки и
требуется дополнительное исследование. Также нами оставлен в стороне
случай нулевых корней, равно как и все случаи, когда главные члены Р и Q
в окрестности особой точки имеют порядок выше первого относительно х и у.
Все эти случаи рассмотрены Бендиксоном в предположении, что Р и Q раз-
лагаются в окрестности особой точки в степенные ряды по х и у, и Фром-
мером — в более общих предположениях.
*) Число 8 выбирается так, чтобы в полосу 0<х<8, —оо<и<(4-оэ
плоскости (х, и) не попало ни одной особой точки преобразованного урав-
нения.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
93
§ 2]
Пример 5. Найти расположение и характер особых точек для урав
пения Якоби
(— 6х 4- 9у) dx 4- (б.г — 6_у) rfy 4" (— 4х 4- 5_у) (х dy — у dx) = 0.
Разрешаем уравнение относительно производной:
dy ___6х — 9у — 4ху 4~ 5_у'-
dx 6х — 6_у — 4х- 4- 5ху'
Прежде всего, замечаем особую точку (0, 0); для определения её характера
составляем уравнение (17):
6 — X
— 6
6 1 = °’
— 9 — X
нлп X2 4- ЗХ — 18 = 0, откуда X ==
Черт. 15.
^ = 2,
Х1 = 4-3>0, Х2 = —6<0.
Корни действительные разных знаков; особая точка есть седло-
в и и а. Направления касатель-
ных к интегральным кривым
определяется из уравнения:
б — <4k
“ б — 66 ’
262—56 4-2 = 0,
»,-Х.
(На основании теории урав-
нения Якоби можно предви-
деть. что по этим направлениям
входят в начало координат две
из трёх интегральных прямых.)
Для нахождения остальных
особых точек приравниваем
нулю числитель и знаменатель
дроби в правой части уравне-
ния:
б.г — 9_у — 4ху -f- 5у2 = 0,
(>х — бу — 4х2 4~ 4ху = 0.
Решения этих уравнений, кроме
У = 1. Чтобы исследовать характер особой точки (1,2), вводим новые пере-
менные: х = лу 4- 1, У — Ух + 2; уравнение принимает' вид:
— 2xt + 1ух — 4x^t 4- 5yj.
dxy 8хг — у t — 4x1 4- 5Xj
х = 0, у — 0, будут: х  1, у = 2, х = 2,
Оно имеет особую точку Xj = 0, уг = 0.
Для определения характера этой точки пишем уравнение (17);
8 —X
— 1
0 =
2 I = X2 — 15Х -4- 54,
7 —X I	т
х1 = 9’ х* = 6-
94	СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Оба корня одного знака; особая точка — узел. Уравнение для угловых коэф-
фициентов касательных к интегральным кривым:
~-+^ А2 —А —2 = 0, й,=2, *,= —1.
8 — я	’1’1
Предоставляем читателю убедиться в том, что особая точка (2, 1) также
является узлом. Ход интегральных кривых приблизительно представлен на
черт. 15.
§ 3. Интегрирующий множитель.
1. Всякое уравнение первого порядка, разрешённое относительно
производной,
можно переписать в дифференциальной форме:
dy — f (х, _у) dx = О,
или, умножая обе части на некоторую функцию 7V(x, у), в более
симметричном виде:
М (х, у) dx N(x, у) dy = 0.	(33)
Рассмотрим частный случай, когда левая часть уравнения (33) пред-
ставляет полный дифференциал некоторой функции U(х, у):
Mdx-yNdy~dU = ^dx-yd-^dy.
В этом случае уравнение (33) называется уравнением в полных
(точных) дифференциалах. Последнее тождество равносильно двум:
М = ~, N=^.	(34)
дх	ду	v '
Если в уравнение (33) подставить вместо у решение уравнения (1),
то мы будем иметь dU = 0, откуда
Щх, у) = <?	(35)
для значений х и у, соответствующих этому решению (С—постоян-
ное); и обратно, для функции у, определяемой уравнением (35),
имеем dU = 0. Итак, уравнение (35), содержащее произвольное
постоянное, является интегралом уравнения (33) в полных диффе-
ренциалах.
Для существования решения _у(х) дифференциального уравне-
ния (1), принимающего при х = х0 значение у0, достаточно, чтобы
уравнение (35) определяло у как неявную функцию от х,
чтобы в точке (х0, уф мы имели	— АГ(х0, уф #= 0; в
т. е.
таком
§ 31
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
95
случае решение у{х), проходящее через точку (х0, _у0), определится
из уравнения:
U(.x, y)=U(x0, у0);
если N(x0, yQ) = 0, а М (х0, _у0) 7 0, то соотношение (35) определит
х как функцию от у, исключение в смысле существования и един-
ственности решения составляют только точки, в которых Л4 (х0, _у0) —
= 2У(х0, фо) = О; это — особые точки уравнения (33) (ср. преды-
дущий параграф).
Найдём признак, по которому для данного уравнения (33) можно
судить, принадлежит ли оно к классу уравнений в точных диффе-
ренциалах. Из равенств (34), предполагая существование соответ-
ствующих производных, получаем два выражения для
внивая их, получаем необходимое условие1):
З2 и
7^пРиРа'
дМ___
ду дх’
(36)
Покажем, что условие (36) является также достаточ-
н ы м, а именно, предполагая его выполненным, найдём функцию
U (х, у), удовлетворяющую соотношениям (34). Мы имеем -^- =
= М(х, у), откуда интегрируя по х от х0 до х и считая у постоян-
ным, получаем:
X
и (х, у) = J М (х, y)dx + <? О).	(34')
Построенная функция (34') при всяком ® удовлетворяет первому из
соотношений (34). Покажем, что при выполнении условия
интегрируемости (36) можно найти такую функцию <f>(y),
чтобы выполнялось и второе соотношение (34). Мы находим из фор-
мулы (34'), применяя правило дифференцирования интеграла по пара-
метру :
Используя тождество (36), получаем:
17 = J "д~дХх У)' dx +	= у) —N(х0, у) -I- <р' (у).
Uy	J	С*-V
Впервые это .условие получит знаменитый математик Леонард Эйлер
(1707— 1783) член Петербургской академии наук.
96
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
Это выражение окажется равным N(x, у), если положить
ср'(_у) = 7V(x0, у),
откуда одно из значений <р(у) есть
у
<?(у) = /л7(х0, y)dy.
Уо
Итак, функция U(x, у) найдена; приравнивая её произвольному
постоянному, получаем общий интеграл уравнения (33):
ж	у
U(x, y)s= J М(х, y)dx-{- J 7V(x0, y)dy — C. (37)
Д'»	у»
Примечание. На практике оказывается проще дифференци-
ровать равенство (34') по у и, заменяя известной функцией N(x, у),
определить из полученного равенства ср' (у), а затем найти ср квадра-
турой.
Пример 6. (Зх2 4- бху2) dx -j- (6х2у -j- 4у3) dy = 0. Здесь
Л4 = Зх2-j- бху2, 7V= 6х2у 4~ 4у3>	=-12^ =• Условие (36)
выполнено. = Зх2 4“ бху2, /7==х34~ Зх2у2 -j-?(y); вычисляем
<?' (у)-
4 (У) =	— 6х2у = 7V— 6х2у = 4у3, ср (у) =у« 4- С.
Полный интеграл U == х3 4" Зх2у2 -\-yi — C.
ЗАДАЧИ.
Проверить, что левая часть данных уравнений является полным диф-
ференциалом, и решить эти уравнения:
52	xdX-yydy ydx — xdy __ Q
'/1+х2+у2'1' х«+у2
2xdx уг —Зх2
53.	-J5- + —-----dy = 0.
54.	sin —----4" cos — + 4 dx 4- (— cos —	— Д, sin	— 4- -V) dy = 0.
\y	У X2 X ' J ' \x x	у2	у	у2)
55.	(------- ^2- A dx + ( - -x2- ; -1) dy	= 0.
^X	(X—у)2/ л \(x—y)2 yj
2. Если левая часть уравнения (33) не есть полный дифферен-
циал, возникает вопрос — нельзя ли найти такую функцию р.(х, у),
по умножении на которую левая часть уравнения (33) станет полным
дифференциалом некоторой функции (7(х, у). Такая функция [л назы-
§ 3]	ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ	97
вается интегрирующим множителем. Таким образом, если р— инте-
грирующий множитель, мы имеем:
. p(41dx + W) = d£7;	=	=	(38)
Первый вопрос: для всякого ли уравнения первого порядка
существует интегрирующий множитель? Из теоремы существования
мы знаем, что при известных условиях уравнение (1) имеет общий
интеграл J):
U (х, у) = С.
Дифференцируем это равенство по х, предполагая, что у есть функ-
ция х; таким образом, мы исключим С и придём к дифференциаль-
ному уравнению:
dU . , dU , п	dy dU\dU
-х-dx -4--T- dy = 0, или
дх 1 ду	dx ox I ду
Это уравнение должно быть тождественно с исходным уравнением (33),
которое мы напишем в виде:
dy _ М
dx~ N ’
Сравнивая эти оба вида одного и того же дифференциального урав-
нения, мы приходим к равенству:
dU dU
М	dU | dU	дх	ду
N	дх I ду ’	М	N	‘
(через р мы обозначили общую величину двух последних отношений).
Из последних равенств имеем:
dU .. dU
т. е. р является интегрирующим множителем. Итак, всякое диффе-
ренциальное уравнение первого порядка, удовлетворяющее некоторым
условиям, имеет интегрирующий множитель.
Число интегрирующих множителей данного уравнения беско-
нечно. В самом деле, пусть р есть какой-нибудь интегрирующий
множитель уравнения (33), a U (х, у) = С есть интеграл этого урав-
нения. Тогда pj—о(£7)р, где ср — произвольная дифференцируемая
функция, является также интегрирующим множителем. В самом деле,
выражение
p.j (41 dx -ф- N dy) = <р (17) р (41 dx -ф- N dy) = ср ([/) dU
') В п. 4 § 1 мы доказали существование общего интеграла, где пара-
щ jp С =уо есть начальная ордината интегральной кривой; вопрос о закон-
ности дифференцирования функции, приравниваемой С, отложен до главы VII.
98
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
является полным дифференциалом от функции
Ф (U) = f <5 (47) dU.
Следовательно,
Н = ?(^Н	(39)
есть интегрирующий множитель уравнения (33).
Докажем, что всякий интегрирующий множитель уравнения (33)
даётся формулой (39).
В самом деле, пусть, кроме интегрирующего множителя р, имеется
ещё какой-то интегрирующий множитель рр Мы имеем:
р (714 dx -ф- Ndy) — dU,
Pj (714 dx -ф- Ndy) = dV,
(38)
(38')
где V—некоторая функция от х,
имеем:
.. dU .. ди
р714 = -5-,	рД7=-5-.
г дх’ 1 ду ’
у; раскрывая
последние тождества,

p. N = -j—,
dy'
откуда
dU .dU_dV_ . dV_
dx ' dy dx ’ dy’
или
dU дЦ
дх ду
дУ ___
дх ду
V тождественно равен нулю,
дУ
= 0.
Таким образом, якобиан функций
dU , „	,
а так как ф 0, то между этими функциями существует зависи-
мость вида:
1/=ф(77).
Равенство (38') даёт тогда:
Р! (714 dx Ndy) = ¥(U)dU= <]/ (U) p (714 dx Ndy),
U и
откуда
р, == ф' (U) р,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если известны два существенно различных (т. е.
не различающихся только постоянным множителем) интегрирующих
множителя р и pj уравнения (33), то общий интеграл получается
без всякой квадратуры в виде-.
— — const.
I1
В самом деле, по доказанному, последнее равенство имеет вид:
Ф(Ц) = С, а это и есть общий интеграл уравнения (33).
§ 3]
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
99
3. Нахождение интегрирующего множителя. Из
определения интегрирующего множителя имеем;
_ д (y-N)
ду дх ’
пли
Л^4---М
дх ду
'дМ
.ду
дУ\
дх )
Р-,
(40)
или же, деля обе части равенства (40) на р,
.. dlnpi	Olii'j.	дМ	д'\г
N —-----------/И —= -----------------г—•
дх	ду	оу	дх
(40')
Мы получили в виде (40) или (40') уравнение в частных
производных для определения неизвестной функции р. Задача
интегрирования такого уравнения в общем случае не проще, чем за-
дача решения уравнения (33). Конечно, нам достаточно знать только
одно частное решение уравнения (40); иногда, по каким-нибудь осо-
бенностям уравнения (40), удаётся найти такое частное решение, и
тогда интеграция уравнения (33) сводится к квадратурам.
Рассмотрим, например, случай, когда существует интегрирующий
множитель, являющийся функцией одного только х. В этом случае
= 0, и уравнение (40х) обращается в такое:
dN
d In u._ ду дх
dx	N
Ясно, что для существования интегрирующего множителя, не
сящею от у, необходимо и достаточно, чтобы правая часть
функцией одного х; в таком случае In р найдётся квадратурой.
Пример 7.
( 2уу + х'2у 4- =0 dx -j- (х2 44) dy = 0.
Здесь
Р.-V д.М
ду дх ____2х + х- 4- у- — 2х _
N	х- -р у-
Слелователыю,
(41)
зави-
была
Уравнение
ех (%ху 4 х2у 4 у-) dx 4 еХ 42 4 У2) 4 =
100
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
есть уравнение в точных дифференциалах. Интегрируем его;
U= J e^2xy-tx2y-\-^dx-^(y)==
= У f ех (2л: -ф У2) dx -ф-	е'" -ф- ф (у) = уех х2 -ф-	-ф- а (у).
Для нахождения <?(у) вычисляем ~ и приравниваем его pwV;
еж (х2 -ф у2) 4- ср7 (у) ==	(л:2 -ф у2),
откуда
?'(д) = о,
и общий интеграл нашего уравнения есть
я-(^+^)-с.
Рассмотрим частный случай интегрирующего множителя, завися-
щего только от х, когда N = 1; в этом случае уравнение имеет вид:
dy—f (х, y)dx = 0.	(42)
,,	....	dlnp df (x, v)	or
Уравнение (41) примет вид: -	=---, с условием, что
есть функция одного х,
df(x. у) , .
. — = с? (х);
ду . \
в таком случае f (х, у) имеет вид:
/(х, у) = ф (х)у -ф ф (г),
т. е. уравнение, написанное в виде (42) и допускающее интегри-
рующий множитель, зависящий только от х, есть уравнение ли-
нейное.
Из уравнения (41) имеем:
= — срфг),
dx Т 4 ’
Переходя к обозначениям главы I для линейного уравнения, прихо-
дим к заключению:
Линейное уравнение ~ -ф- Ру — Q имеет интегрирующий множа-
J Р doc
телъ р- = е
Здесь мы имеем ещё один способ интегрирования линейного урав-
нения. Аналогично получим условие того, что дифференциальное
уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только
os у, и самое выражение этого множителя.
§ 3]	ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ	101
Пример 8. Уравнение —у tg х — cos х (задача 32 на стр. 40)
имеет интегрирующий множитель е—f = cos х; умножая на него
обе части уравнения, имеем:
cos х dy —у sin х dx — cos2 x dx = 0,
где левая часть есть полный дифференциал; интегрируя, находим:
у cos х — J cos-.v dx = С,
или
х 1 .	_
у COSX-------у sin X cos х — С
— общий интеграл.
Заметим, что разделение переменных сводится к умножению на
некоторый интегрирующий множитель.
В самом деле, если дано уравнение (ср. главу I, § 2, 3):
/И (х) /V(y) dx + Р (х) Q (у) dy = 0,
, 1
го для разделения переменных мы умножаем обе части на и —	;
ясно, что после умножения левая част:- уравнения становится полным
дифференциалом, т. е. ;л есть интегрирующий множитель.
Пользуясь этим замечанием, найдём интегрирующий множитель
однородного уравнения:
Л'1 <х, у) dx-\-N(x, y)dy — 0,	(43)
гл? 'VI и N — однородные функции одинакового измерения т. Мы
Зе. юм, что введением новой функции и — у переменные в уравнении
р юделяются; в самом деле, мы имеем:
/И (х, у) = Л'1 (х, хи) = хтЛ1 (1, и)
(в силу однородности) и аналогично:
Д/(х, y) = x”W(l, и).
Внося эти выражения, а также dy = х du -ф- и dx в уравнение (43).
' случаем:
х«![Л1(1, и) + ЛГ(1, и)‘u}dx + xN(l, u)du\—Q.
I'ля разделения переменных надо обе части умножить на интегрИ'
1ующий множитель:
____________1__________
И x™+1[M(l, «)+ЛГ(1, и).и] ’
102 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. II
или, возвращаясь к старым переменным х, у, на
__ 1
хМ ix, у) +yN(x\ у)'
Это есть интегрирующий множитель однородного уравнения (43).
Он не существует лишь в случае, если х/И 4~.yAf s= 0, или если
—, т. е. для уравнения у dx — xdy = Q.
Пример 9.
(х —у) dx -j- (х 4- у) dy — 0,
1 1
Ц _ ----------------- _=	--.
' X {X — У) + у (х -г у 1	х\ + у
Умножая обе части уравнения на этот множитель и группируя члены,
получаем:
xdx+y dy I xdy—y dx = 0
х2 + у2 1	х^+у‘‘
или
d In (х24~У2) d arctg^ --- О,
откуда
—------- —arete
|/,v- 4- у г = Се
(Ср. главу II, § 2, 2.)
На практике для нахождения интегрирующего множителя часто
применяется такой приём: все члены уравнения разбиваются на две
группы, для каждой из которых было бы легко усмотреть один
интегрирующий множитель; затем пишут выражения наиболее общего
интегрирующего множителя для каждой группы и смотрят-, нельзя ли
выбрать входящие в эти выражения произвольные функции так,
чтобы оба интегрирующих множителя оказались равными; если это
оказывается возможным, то интегрирующий множитель уравнения
найден.
Пример 10. (Задача 40 главы I, стр. 41).
(х —у2) dx 4- 2ху dy — 0.
Разбиваем на две группы:
(х dx) 4- (—у2 dx 4~ 2ху dy) = 0.
У первой скобки очевиден интегрирующий множитель 1, а общее
выражение интегрирующего множителя y.j =» и (х); у второй скобки
очевиден интегрирующий множитель — (переменные разделяются);
ХУ"
по умножении на него имеем:
dx . 2у dy __ q
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
103
§ 31
Общий интеграл:
и^^- = С.
& г
Общее выражение интегрирующего множителя второй скобки есть
1 1 /У3 \
Jlo = -х ф ( - )•
1 “ ху2 т \ X /
Теперь стараемся подобрать ф так, чтобы р..2 имело тот же вид,
что [хр т. е. было функцией только от х; очевидно, для этого
достаточно положить ф(£7а) = U2; итак, окончательно [х == —. Умно-
жаем данное уравнение на р.:
dx . 2ху dy —у2 dx ___
х ' х2	’
откуда
In х 4- — = С.
1 х
ЗАДАЧИ.
56.	у3 dx -|- 2 (х2 — ху2) dy ~ 0.
57.	(х3у2 — 1) dy -|- 2ху3 dx = 0.
58.	ах dy -|- by dx 4- хтуп (ах dy 4- °у dx) = 0.
59.	(2ху2 —у) dx + (у2 -|- х 4-у) dy — 0.
60.	Решить способом интегрирующего множителя задачу 34 на стр. 40:
dy „ ч ,
-у- = 2ху — х* 4- х.
dx J
61.	То же для задачи 37 (там же):
х dy	у dx — ху21п х dx = 0.
62.	Вывести выражение интегрирующего множителя для уравнения Бер-
нулли.
63.	Найти интегрирующий множитель уравнения
(2х3 4- Зх-у 4~ У3 — У3) dx 4- (2у3 4~ Злу2 + У — х3) dy = 0,
имеющий вид /'(л‘4~У)-
64.	Найти все уравнения
допускающие интегрирующий множитель вида ХУ, где X есть функция
только от х, a Y — только от у.
ГЛАВА III.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
§ 1. Уравнения первого порядка n-й степени.
1. Мы видели в главе I, что общий вид уравнения первого по-
рядка может быть записан так:
F(x,y, У') = 0.
О)
В настоящей главе мы часто будем предполагать, что левая часть
уравнения (1) является многочленом относительно у' степени п, при-
чём коэффициенты этого многочлена в некоторой области D пло-
скости ху суть непрерывные функции от х и от у, допускающие
но у непрерывные частные производные.
Г {х,у,у') --- Ап (х,у)у'п Ч- A„_j (х, ?)У,г-1+... +4 (х,у) = 0. (Г)
Уравнение вида (V) называется уравнением первого порядка n-й сте-
пени относительно у'. Затем допустим, что в области D коэффициент
при старшей степени у', т. е. Ап (х, у), нигде не обращается в нуль.
Тогда, но основной теореме высшей алгебры, уравнение (1') для
всякой пары значений х, у в рассматриваемой области имеет п реше-
ний у' (действительных или мнимых). Но теореме о неявных функ-
циях каждое из действительных решений является непрерывной функ-
цией от х и у и имеет конечную
для рассматриваемых значений х,
dv'
частную производную ,
у, у' имеем ф 0 (т. е.
если
если
для данных значений х и у уравнение (V) относительно у' не име-
ет кратного корня; этот последний случай будет нами разобран
дальше, в теории особых решений дифференциального уравнения':.
Т'жим образом,
во всякой области, в которой
§ 1|	УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И-Й СТЕПЕНИ	105
разрешённое относительно у' уравнение (1') удовлетворяет усло-
вию Липшица ').
Мнимые решения для у' нам неинтересны, так как во всём этом
курсе рассматриваются только такие дифференциальные уравнения,
в которых независимое переменное и функция (а следовательно, и
производная) принимают действительные значения. Заметим только,
что мнимые решения являются попарно сопряжёнными, что поэтому
число мнимых решений всегда чётное и что если при непрерывном
изменении х и у пара мнимых решений у' переходит в действитель-
ные, то в момент этого перехода два решения становятся равными
действительными; в самом деле, пусть эти мнимые решения бу аут:
У1 = « О, У) + г? (-V, У), y'i = a (х, у) — $ (х, у).
Если при непрерывном изменении х и у эти решения переходят
в действительные, то для некоторых значений х0, у0 мы будем иметь:
lim ,3 (х, у) — 0;
У~>У,\
для этих значений х0, у0, очевидно, имеем: у\ = у2 = а (х0, у0), т. е.
два равных действительных решения. Поэтому, если мы допустим,
что в области D ни для каких значений х и у уравнение (Iх) не
имеет кратных корней относительно у', то число действительных и
мнимых значений у', определяемых уравнением (Iх), для всех значе-
ний х, у в рассматриваемой области остаётся одно и то же.
'•) Чтобы доказать, что функция у', определённая уравнением (1л), удо-
влетворяет по у условию Липшица, достаточно допустить, что коэффи-
циенты At (ж, у) удовлетворяют по у условию Липшица в рассматриваемой
,	I dF I	lz,
соласти и что	а > 0. В самом деле, пусть значению yt уравнение (г)
при данном х ставит в соответствие значение у{, значению у., — значение у2.
Лы имеем: F(x,ylty^) = О, F (х,у2,у\) = 0. Вычитая эти равенства почленно,
прибавляя и вычитая F (х, ylt у2) и применяя к приращению по у' теорему
Лагранжа, находим:
0 = F (х,У1,Х) — Fix, yi,y2) + F(x,yby’j — F(x, у2,у2) =
,	. / с) F \	/	/
= О’। -л) (ayl,	+
Так как коэффициенты Аг удовлетворяют условию Липшица по у, то тем же
свойством обладает и функция Л, т. е. мы имеем: [F(x,yby2)— F (х,у2,у2)
I dF
cj L 'У)—у21. Поэтому последнее равенство вместе с оценкой для ||
даёт; |ух—у2 IУ1—У > I, т. е. условие Липшица для у' с постоянной
106 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. HI
Итак, пусть в области D уравнение (1) имеет А дей-
ствительных решений (&^п)
У=Л(х,у), У=Л(^У, •••. У =/*(*, у).	(2)
Каждое из уравнений (2) есть уравнение такого вида, для какого
в главе II доказано существование единственного решения (теорема
Коши), проходящего через точку (х0, у0); следовательно, уравне-
ние (1) допускает в точности k интегральных кривых, проходя-
щих через данную точку (х0, у0) области D.
Пример 1. у^-фуу'—— xy — Q. Разрешая относительно у'
(или разлагая левую часть на множители), получаем два уравнения:
1 yz = x, 2) у' = —у — х\ обе правые части однозначны и непре-
рывны во всей плоскости ху, соответственно имеем два решения
1) у=^~_{-С- 2) у =	— х-ф-1-
Пример 2. y'2-j-y2—1=0. Разрешая относительно у', имеем:
у'= + ]/г1—у2; в полосе —1<у<1 плоскости хОу оба рас-
сматриваемых значения у' действительны и различны, при |у|> 1
значения у' мнимы, и при у = st 1 два корня уравнения для у' со-
впадают. Рассмотрим полосу —1<у<-ф-1; через каждую точку
!
(х0, у0) проходят два решения у0: для одного из них значение прои i-
водной в этой точке у' == ф- ]/1 —у*, для другого у' = — УФ —уф
В данном случае в уравнении, разрешённом относительно у', пере-
менные разделяются, и мы имеем:
Получаем решения: 1) arcsinу = х -ф- С, 2) arcsiny =—х-]~С.
(Под символом arcsin мы понимаем главное значение многозначной
функции Arcsiny, т. е. однозначную ветвь этой функции, ограниченную
условиями--< arcsin у <. Мы получаем, таким образом, два
семейства решений:
у = sin (х -ф- С),	( —7 < Х + С< т)1
У = sin (— х-ф-С), ( —-j<—х-фС<^?
Возьмём начальные условия х = х0, у=у0; для определения
произвольного постоянного С получаем уравнения:
у0 = sin (st х0 -ф- С), st х0-ф-С— arcsin у0, С = дрх0-ф- arcsin у0.
§ 1]
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Я-Й СТЕПЕНИ
107
Решения, удовлетворяющие нашему начальному условию, суть
у = sin [(аг — х0) + arcsin v0],	— у < х— х0-]~ arcsin_y0 <
у — sin [ — (х— х0) -ф- arcsin у0], — V < — х4-х0-ф- arcsinуп < -у.
Первое семейство решений представляет семейство дуг синусоид,
взятых от точки минимума до точки максимума (исключая концы);
все кривые получаются из одной, например
у =-= sin х,
п
7’
х <
2
переносом параллельно оси Ох; аналогично, второе семейство есть
семейство дуг синусоид, взятых от максимума до минимума; они
получаются переносом параллельно оси Ох из кривой:
у = sin ( — X),
л
У
2
Через каждую точку полосы—1 <у< 1 проходит по одной кривой
каждого семейства — возрастающая кривая первого семейства и убы-
вающая — второго.
Расширим теперь область, в которой рассматриваются кривые,
добавив обе пограничные прямые y = ztl, на которых условия
Липшица не выполняются (у нас f(x, у) — ±	1—у2 ; производная
Л_ = —— - становится бесконечной при у—> ± 1), но правые
ду У1 — уа
части уравнений остаются непрерывными. Теперь нам нет необходи-
/ л п \ „
мости ограничивать изменение аргумента пределами ( —Заме-
чая, далее, что sin (— х -ф- С) = sin (х -ф- тс С), мы можем пред-
ставить общее решение
одной формулой:
у — sin (х -ф- С),
— со < х < -ф- оо.
Эго — семейство полных си-
нусоид, получаемых из одной
параллельным переносом
вдоль оси х; чтобы полу-
шть каждую один раз, надо
ограничить область изменения произвольного постоянного С, например
О у С < 2тс. В точках максимума одной полной синусоиды кривая
первого семейства переходит в кривую второго, в точке минимума
п :еет место обратный переход (см. пунктирные кривые на черт. 16).
Но эти переходы совершаются на прямых у = rt 1, где условия Лип-
!|;ица не выполнены; поэтому, применяя теорему Коши, мы не можем
108 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ (ГЛ. Ш
связать убывающую и возрастающую лугу синусоиды в одну инте-
гральную кривую; теорема существования даёт две отдельные ветви,
проходящие через каждую точку полосы (сплошные линии на черт. 16).
Между примерами 1 и 2 существует очевидное различие, если
расссматривать интегральные кривые не локально — в окрестности
каждой точки, где удовлетворяются условия теоремы существования,
а на всём их протяжении; в примере 1 дифференциальное уравнение
определяло два семейства линий, не имеющих ничего общего (одно
алгебраическое, другое трансцендентное); они как бы механически
соединены в одно уравнение; мы можем вообще исходить из двух
совершенно произвольных уравнений вида:
У—f(x,y)=--0, у' — <р(х, у) = 0
и, перемножив их левые части, получить уравнение первого порядка
второй степени относительно у':
У2 —!/(х,	y)]y'-\-f(x, уУ'л^х, у) = 0,
которое эквивалентно двум первоначально данным уравнениям; поле
его интегральных кривых получится в плоскости ху простым нало-
жением полей обоих уравнений, причём оба эти поля вообще незави-
симы одно от другого. Не то мы имеем во втором примере: через
каждую точку некоторой области опять проходят две интегральные
кривые, но они могут быть рассматриваемы как принадлежащие
одному и тому же семейству. Выяснить корни этой глубокой разницы
невозможно теми средствами, которыми мы здесь располагаем; надо
привлечь аппарат теории аналитических функций {аналитическая
теория дифференциальных уравнении). Отметим только окончатель-
ный результат: если левая часть уравнения (1), предполагаемая много-
членом по у' с коэффициентами, рациональными относительно у,
разлагается на множители низших степеней относительно у', рацио-
нальные по у и однозначные по х во всей области её определения
(мы скажем в этом случае, что левая часть уравнения (1) является
приводимым многочленом по у' в области рациональности перемен-
ного у), то уравнение (1) является механическим соединением урав-
нений, которые получим, приравнивая нулю каждый неприводимый
множитель; второй случай имеет место, когда у' является иррациональ-
ной (алгебраической) функцией от у, иначе говоря, когда F (х, у, у')
представляет неприводимый многочлен относительно у' в области
рациональности у.
2. Общий метод интегрирования уравнений первого порядка
н-й степени таков: стараемся разрешить уравнение (1) относительно_у';
в случае приводимости левой части получаем несколько уравнений
низших степеней; если все неприводимые множители окажутся первой
степени, то получаем п уравнений первой степени относительно у',
и задача свелась к п различным задачам, которые иногда могут быт ь
разрешены предыдущими методами; если имеем уравнение, неприви-
§ 1]	УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Я-Й СТЕПЕНИ	109
димое относительно у', то иногда его можно разрешить в радикалах;
если полученное иррациональное уравнение относительно у' интегри-
руется в явном виде, то общее решение обычно содержит те же
радикалы, что и исходное уравнение; давая в этом решении радика-
лам все их значения, получим все п решений исходного уравнения,
а если освободиться от радикалов, то получим одно семейство инте-
гральных кривых, к которому принадлежат все п кривых, проходя-
щих через любую точку.
Пример 3. ху'2— 2уу' Ц- 4х = 0. Разрешаем уравнение отно-
у ~+~ 1/
сительно у' : у = —--. Получились два уравнения, выра-
жаемых одной формулой с радикалом (левая часть данного уравнения
неприводима). Это уравнение однород-
ное, оно легко интегрируется подста-
новкой:
— = «,	и-4-х^-==и±]^а2 — 4,
х	1 dx	1
du dx
+	4 “ * ’
In (н Эд ]/м2-4) = In АГ— In С,
и=р Уй2 —4
Освобождаемся от радикала:
отсюда
пли, возвращаясь к начальным пере-
менным, х2=2С(_у— 2С). Легко ви-
деть, что мы получили семейство парабол, причём через каждую
точку той части плоскости, где у2— 4лга > 0 (т. е. где корни урав-
нения для у' действительные и различные), проходят две кривые
семейства (черт. 17).
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения ^здесь введено обозначение —
65.	р2у 4- р (х —у) — х = 0.
66.	х2р2 — 2хур + у2 = х2у2 + х1.
67.	р3 — (х- -j- ху ф-у2) р2 (х3у 4- xL(y- 4~ ХУ^} Р — х^у2 — 0.
68.	хр2 4- 2хр — у = 0.
Указание. В случае приводимой левой части решить каждое из полу-
чаю цится уравнений отдельно; в случае неприводимости найти формулу
общего решения, заключающую все интегральные кривые.
ПО УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
§ 2.	Уравнения, не содержащие явно одного из переменных.
1.	Если не разрешённое относительно производной у' == р урав-
нение не содержит явно искомой функции у, то оно имеет вид:
F(x, р) = 0.	(3)
Если левая часть уравнения (3) удовлетворяет условиям существо-
вания неявной функции, то в окрестности данного значения х() оно
определяет одно или несколько решений, выражающих р как функ-
цию от х:
p = ft(x), p=f2(x), ...	(4)
Уравнения (4), не содержащие у, интегрируются квадратурами:
У = J ft (И dx С,
у = J Д (х) dx -j- С,...
Однако фактическое разрешение уравнения (3) относительно р иногда
приводит к слишком сложным функциям, а часто при помощи эле-
ментарных функций и совсем невозможно; можно, однако, указать
несколько приёмов, которые в более широком классе случаев дают
возможность явно выразить решение уравнения (3).
А)	Уравнение (3) может быть разрешено (в элементарных функ-
циях) относительно х; пусть мы получили при этом уравнение:
х = <р (р).	(о)
Будем рассматривать р как параметр и постараемся выразить у через
ют же параметр. Мы имеем:
или
dy = pdx.	ffi)
Но из уравнения (5) dx = и' (р) dp\ подставляя это значение в вы-
ражение (6), получаем: dy == рэ' (р) dp, откуда
| р<?г (p)dp-\-C.	(7)
Уравнения (5) и (7) дают параметрическое уравнение семейства инте-
гральных кривых заданного уравнения, зависящих от одного произ-
вольного постоянного С. Иногда можно исключить р из этих урав-
нений и представить общее решение в виде:
Ф (х, у, С ) = 0.
§ 21 УРАВНЕНИЯ, НЕ СОДЕРЖАЩИЕ ЯВНО ОДНОГО ИЗ ПЕРЕМЕННЫХ 111
Пример 4. еи' у' = х. Уравнение не может быть разрешено
в элементарных функциях относительно у', но оно является разре-
шённым относительно х~. х — еР-\-р’, далее, имеем:
dy — р dx — р (еР -ф-1) dp
и, наконец,
_У= J р{ер 4-l)rfp = ep (р — 1) + у+ С.
Итак, мы выразили х и у в функции р.
В)	Может случиться, что х и р, связанные уравнением (3), выра-
жаются через вспомогательный параметр t при помощи элементарных
функций x — ^(f), p — -^(f). Мы имеем:
= Р = X (0, dy = х (7) dx = х (0 У (0 dt,
и у получается выраженным в функции того же параметра t".
у-f
Это последнее уравнение вместе с уравнением х = б (Z) даёт искомое
параметрическое представление семейства интегральных кривых.
Пример 5. Xsр3 — Зхр — 0. Чтобы получить параметриче-
ские выражения для х и р, полагаем р = tx\ подставляя это выра-
жение в данное уравнение, находим, сокращая на х-:
x(14-^ = 3Z, х = г-^;
31-
далее,
Пишем соотношение:
,	, ЗР 3(1— №) .,	_ f (1— 2/з) з/3 Л
dy = pdx = r^-^-^rdt, у = 3 J L-(1+;3—;
для интеграции вводим переменное и = 1 4*
„ f (3 — 2и) du д f du „ С du	9	,6	,
У ’ ’ J Ф1 J J ~йУ ° Ifl ~~~~ 2(1 4-/3Р “1" T+?i + С-
2.	Уравнение вида
Г(У> У) = 0	(8)
может быть приведено к рассмотренному типу, если считать у за
,	dy 1
независимое переменное, ат — за функцию, так как	. Если
иЛ С1Л
dy
уравнение разрешено относительно у, т. е. имеет вид j/— то
112 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
непосредственно ясно, что для получения х в функции р надо вос-
rfy
пользоваться соотношением:^ = у, откуда
/>	р
и х получается в функции параметра р квадратурой:
х = j* ±АЕ1^л_С.
Если нам удаётся заменить соотношение (8) двумя параметрическими
уравнениями: у = х (О, Р~ ’ИО» т0 опять х получается квадратурой:
= = +
д 4 (Z)	J 4- (О 1
Пример 6. j = p-|-lnp. Имеем:
, dy 1 (,  1 \ , dp . dp	,	1 , _
dx— — = — 1-4--------]dp =	x = lnp------EC.
p p \	1 p / ' p ' p2 '	p '
Пример 7. p3—y2(a—p) = 0. Полагаем у = pt\ из данного
aP	аР ,,
уравнения получаем: р = t ; далее., у = t • Из соотношения
. dy
dx—-^ получаем:
,	1 -f- Р a (3t- -р Р')
dx = —---------\ , '	 dt =
ар (1 4- Рр
— dt,
откуда
*= J	J л+2 J -1^==Z^2arc!S/ + C.
Уравнения
x==/4-2arctgZ4-C, у = ^~-^
представляют решение данного уравнения в параметрическом виде.
ЗАДАЧИ.
Найти общие интегралы уравнений:
69.	ху/8 = 1 У’
70.	pt — х3(1— р) =0.
71.	p^p-yi — 3py = ^.
72.	у = еУ'у'^.
73.	у2(У-1) = (2-у)з.
У казание. Подстановка 2—у' = yt позволяет выразить у и у' рацио-
нально через t,
74.	у (1 + у'2) = 2л. (Удобно ввести подстановку у' — tg <?.)
§ 3] МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО ИЗ
§ 3. Общий метод введения параметра.
Уравнения Лагранжа и Клеро.
1.	Пусть дано неразрешённое уравнение:
FO, ддр) = °.	(1)
Если мы будем рассматривать х, у, р как декартовы координаты
в пространстве, то уравнение (1) определит некоторую поверхность.
Известно, что координаты точек поверхности могут быть выражены
как функции двух параметров и, V, пусть нам известно такое пара-
метрическое представление поверхности (1):
х = ® (и, v), у = (и, v), р = (ti, к).	(9)
Система уравнений (9) эквивалентна уравнению (1). Теперь вспомним,
что уравнение (1) дифференциальное и что р = ~ , или dy — pdv.
Подставляя в это последнее равенство выражения р, dy, dx, взятые
из уравнений (9), получаем:
du. -ф- ~ dv = у (и, к) du -4- dv\.
ди 1 dv 7-' ’ ’ [ди 1 dv J
Это — дифференциальное уравнение первого порядка между и и v.
Принимая и за независимое переменное, а V за искомую функцию,
можем написать его в виде:
dv	'' ди	ди
du	д<Ь	ду
dv dv
Мы получили уравнение первого порядка, но уже разрешённое отно-
сительно производной; если мы найдём его общее решение в виде:
v = и {и, С),
то два первых уравнения (9) дадут:
х ='-2 { и, ш (и, С)}, _у = ф{и, ш(и, С)},
т. е. общее решение уравнения (1), выраженное в параметрической
форме (и — параметр, С—произвольное постоянное). Это преобра-
зование (9) обыкновенно применяется в случае, если уравнение (1)
легко разрешается относительно х или у; тогда в представлении (9)
за параметры естественно взять у и р или х и р.
Рассмотрим сначала уравнение:
V =/(-V, р).	(10)
114 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
Соотношение dy — pdx, если принять за параметры х и р, даст нам:
df , । df ,	,
dxdx ^dp dp^ pdx> или
df , df dp _
di + d^dJc-P-
Мы получили уравнение между х и р, разрешённое относительно ~;
пусть его общее решение будет:
р = 'л(х, С).	(12)
Внося это выражение в формулу (10), получим общее решение иско-
мого уравнения:
У=/\х, у(х, Q}.
Примечание 1. Уравнение (11) можно получить также из
уравнения (10), если дифференцировать обе его части по х, причём р
,	dy	_
рассматривается как функция х, и заменяется через р. Таким
образом, мы имеем здесь новый способ сведения уравнения (10)
к более простому уравнению (И) при помощи дифференци-
рования.
Примечание 2. Получив общий интеграл уравнения (И), мы
должны помнить, что р в выражении (12) есть вспомогатель-
ное переменное; исключив его из (11) и (10), мы получа.м
общее решение уравнения (10) без дальнейших интеграций.
Было бы ошибочным рассматривать равенство (12) как дифферен-
ту а
циальное уравнение, полагая в нем р =	, ибо при интеграции этого
уравнения вошло бы в решение второе произвольное постоянное,
и мы вместо данного уравнения (10) нашли бы решение уравнения
второго порядка:
которое получается из уравнения (11), если считать в нём
2.	Рассмотрим теперь уравнение:
р).	(13)
Можно воспользоваться соотношением dy — р dx, вводя в него в ка-
честве новых вспомогательных переменных у и р; можно также
получить уравнение, разрешённое относительно производной от иско-
§ 3] МЕТОЛ ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И К ТЕРО 115
мой функции, дифференцируя обе части уравнения (13) по у и при-
dy	dx 1
нимая во внимание, что -у- = р, или —	; при этом мы находим:
’ dx ' dy р
1	д/ । df dP
р ду ‘ др dy
Мы получили дифференциальное уравнение между у и р; найдя ого
общее решение p = ty(y, С) и внеся это выражение на место р
в данное уравнение (13), получим его общий интеграл: х = f\y, ф (у, С)|.
Впрочем, уравнение (13) переходит в уравнение вида (10), если по-
менять роль переменных х и у.
Пример 8. р3 — 'ixyp -J- 8у2 — 0. Это—уравнение первой сте-
пени относительно х; разрешаем его: х-~^-\--~. Дифференци-
,	.1	dy
по у, считая р функцией у и заменяя —через р.
руем обе части
Получаем:
1  / р	2у\ dp	р'1  2
р \2у р2 J dy 4у2 ' р
Преобразуем:
dp рз — 4_у2 _ рЗ —
dy 2ур2 4у’гр
Деля обе части на общий множитель р3 — 4у21), мы получаем урав-
dp	d у
пение с разделяющимися переменными	интегрируя находим:
1
р — Су2. Внося это выражение в данное уравнение, получаем:
2	_з
С3/- —4Сху3 4-8у2 = 0,
откуда, выделяя частное решение у = 0, находим:
64_у = (4Сх —С3)2,
„ С2
или, вводя новое постоянное =
у = Cj (х— Q)2.
Пример 9. у — р2 — рх-^--^—. Дифференцируем по х, считая р
,	dy	,	,
функцией х; заменяя через р, имеем: р =—р-\-х-\-(2р—
— х) = 2р— х. Оставляя пока в стороне множитель 2р— х,
]) Приравняв этот множитель нулю и исключив р из полученного урав-
нения и из первоначального, мы получим особое решение; см. далее § 4, 2,
примечание 4 (стр. 131).
116 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
имеем дифференциальное уравнение: ~=1, р—х-гС. Подставляя
в начальное уравнение, имеем: у = (х -ф С)2— х (х С) -ф- ~ , или
ха
_у-g--ф-Сх-ф-С3— общее решение. (Если бы мы рассматривали
равенство р — х-\-С как новое дифференциальное уравнение, мы
получили бы у = ~ -ф- Сх Сх—решение уравнения у"=1.)
3.	Уравнение Лагранжа. Изложенные преобразования при-
роды' уравнение, не разрешённое относительно производной, к новому
уравнению, которое является разрешённым относительно производной;
по это новое уравнение, вообще говоря, не интегрируется в квадра-
турах. Сейчас мы рассмотрим тип уравнений, не разрешённых отно-
сит. льно производных, в применении к которым метод дифференци-
рования всегда приводит к уравнению, интегрируемому в квадратурах.
Эы—уравнение Лагранжа. Так называется уравнение, линейное
относительно х и у, т. е. уравнение вида:
Л(р).у + В(р)х = С(р),
где коэффициенты А, В, С—данные дифференцируемые функции про-
„	d у ,,
взводной р = —. Разрешая это уравнение относительно у (мы пред-
полагаем, что А (р) ф- 0), приводим его к виду:
У = 9 (Л) х + ф (р).	(14)
Применяя к уравнению (14) метод дифференцирования [так как
это — уравнение вида (10)], приходим к уравнению:
Р = 9 (Р) + ['/ (Р) х -ф- У (р)1	•	(14')
Если в этом уравнении рассматривать х как искомую функцию,
р — как независимое переменное, то получаем линейное уравнение:
dp	Р-ч(рУ	1	’
Оно, как известно, интегрируется в квадратурах; решение имеет вид:
х = Сю (р) + Z (р),
_ f <?' (Д) dp
где, например, д>(р) = е ' <е(л)-р . Внося найденное выражение х
в данное уравнение, получим выражение вида:
Ф =	(Р) + X (/>)] 9 (Р) + Ф (Л)-
Таким обгазом, два переменных выражены в функции параметра р;
(ела исключи 1ь этот параметр, получим общий интеграл уравнения
Лшганжа в форме Ф(х, у, С) = 0.
§ 3] МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО
117
Примечание, Приведение к виду (14") невозможно, если
сз(р)— р = 0. Случай а(р) — p==Q будет рассмотрен в следующем
разделе. Допустим теперь, что для некоторого значения р = Сй мы
имеем ®(С0) — <?0 = 0. Тогда уравнение (14z), очевидно, допускает
решение р = Со; подставляя в уравнеьи; (14) эго значение р, полу-
чаем у == ср (Со) х 4- б (Со). Легко проверить, что это есть решение
уравнения (14J; можно также убедиться в том, что оно не содержится
в формуле общего решения.
Пример 10. у = 2рх-\-р2. Дифференцируем по х, считая р
,	dy
и у функциями х и заменяя через р- имеем:
р = 2р+2(х + р)^.
уравнения
„	dx	dx 2х п
Разрешая относительно находим = — —-------------2; решение этого
С 2р „
------д~- Вставляя это выражение в данное
уравнение, находим:
2С р-
У-у—з-
Итак, мы выразили х и у в функции параметра р и произвольного
пос:очиного С, т. е. получили общее решение в параметрической
форме. Кроме этого общего решения, имеется ещё решение у = 0.
4.	Уравнение Клеро является частным случаем уравнения
Лагранжа; оно имеет вид:
у = рХ 4- ср (р),	(15)
где ср— данная (дифференцируемая) функция. Применяя к этому
уравнению метод п. 3, дифференцируем обе части по х; получаем:
р = р4-!х4-4(р)] или ^[х-\-<?'=
Исследуем на этот раз оба множителя левой части последнего
уравнения; первый множитель даёт дифференциальное уравнение:
dp
dx
О,
откуда р—С, и общее решение уравнения (15) есть
у = Сх 4- ср (С).
(16)
Итак, общее решение уравнения Клеро получается заменой в уравне-
нии (15) р на произвольное постоянное С. Решение (16) геометри-
чески . представляет семейство прямых от одного параметра. Прирав-
няем i-еперь нулю второй множитель х 4~ 'У {У, = 0. Эю равенство
118 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [гл. III
определяет р как функцию от х; р = <а (х); если подставить это
значение р в уравнение (15), то получим:
у = ха> (х) -ф ® [“ (х)].	(17)
Можно также подставить значение х = — <?' (р) в уравнение (15) и
получить ту же кривую в параметрической форме:
х = — <?'(/?), у = — р®' (р)-ф®(р).	(17')
Легко проверить, что кривая (17) или (17') является интеграль-
ной кривой уравнения (15); в самом деле, пользуясь, например,
параметрическим представлением (17'), находим:
dx = — 9" (р) dp,
dy~\ — р'л" (р) -ф ®' (р) — ®' (р)] dp=— p<?" (/?) dp,
dy	/	/1 г.
откуда - -~ р. Вставляя значения х, у, у в уравнение (15), полу-
чаем тождество:
— Р®' (л)+® О) = — Р?' (р) + ? (/’)•
Решение (17) или (17') не содержит произвольного постоянного;. оно
не получается из общего решения (16) ни при каком постоянном
значении С. В самом деле, правая часть уравнения (16) при любом
постоянном С есть линейная функция от х; допустим, что хсе;х)-ф
ф- ® [си (х)] = ах -ф Ь {а и b — постоянные); дифференцируя, находим:
ш (х) -ф хо/ (х) ф- ®' [со (х)] <о' (х) = а.
Но по определению функции оз (х) имеем: ®'[ш(х)] —— х, и преды-
дущее равенство обращается в следующее:
со (х) = а,
что противоречит уравнению, определяющему со (х). Посмотрим, каково
I еометрическое значение решения (17), Оно получилось путём исклю-
чения р из двух уравнений:
_у = рх-ф»(р), 0 = х-ф®,(р),
или, заменяя р через С (от этого результат не изменится), — исклю-
чением С из двух уравнений:
у — Cr-ф ®(С), 0 = хф-®'(Сф
причём второе получается из первого дифференцированием по С. Но
из дифференциальной геометрии известно, что этот процесс даёт оги-
бающую семейства прямых (16), представляющего общее решение.
Мы скажем, что эта огибающая, т. е. решение (17), есть особое
решение уравнения Клеро (15).
Итак, общее решение уравнения Клеро представляет семейство
прямых, особое решение — огибающую.
§ 3] МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО 119
Примечание 1. Чтобы доказать, что особое решение удовле-
творяет уравнению Клеро, нам пришлось допустить, что функция ср(р)
два раза дифференцируема. Более сложное доказательство приводит
к тому же заключению в предположении, что о(р) дифференцируема
один раз.
Примечание 2. Рассуждение, приводящее к особому решению,
неприменимо, если (р) = const., т. е. если ® (р) = ар Ц- b (а и b —
постоянные); в этом случае уравнение имеет вид:
у = ху' Ц- ау‘ 4
откуда
, у — Ь dy dx
У x~j~ а ’ у — Ь	х + а'
Вместо особого решения мы имеем особую точку х = — а, у = А,
через которую проходят все интегральные прямые: у ~ & ф С (х -у-а).
Примечание 3. Всякое семейство прямых, зависящее от одного
параметра (кроме семейства параллельных прямых), при исключении
параметра приводит к уравнению Клеро. В самом деле, пусть дано
семейс гво:
у = k (/) X Ь (/).
dk
Так как ~ ф 0 (иначе было бы k = const., и мы имели бы семей-
ство параллельных прямых), то уравнение k(t) = C (где С — новый
параметр) можно разрешить относительно t, t=f(C). Уравнение
семейства примет вид:
у = Сх + b [f (QJ == Сх + Ф (С),
т. е. вид общего решения (16) уравнения Клеро.
К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в которых
требуется определить кривую по какому-нибудь свойству её ка-
сательной.
Пример 11. Найти кривую, касательные к которой образуют
вместе с прямоугольными осями координат треугольник постоянной
площади, равной 2. Пишем уравнение искомой касательной в отрез-
х v	4
ках: —--|-у = 1; по условию ab = 4, т. е. Ь = ~, и мы имеем семей-
ство прямых	= 1. Найдём дифференциальное уравнение этого
семейства; дифференцируем по х и исключаем а'.
1	। а у'	о — 4	л-./"	1
--г~ —г- = 0, а- = —7—, а = 2 1/-,
а 1	4	у' '	V у'
х У —у' . у
i ^‘0^7
П.'1И
У = ху'ф2У— у'.
120 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [гл. III
Это — уравнение Клеро; его общее решение есть у = Сх 2 У—С,
но нас интересует особое решение, которое даёт искомую кривую.
Находим его, дифференцируя последнее равенство но С и исключая С;
0 = х----С=-----------
1	।	2	1
откуда у =—	или, окончательно, ху = 1—равносторонняя
гипербола.
8АДАЧИ.
Найти общие, а для уравнений типа Клеро также особые решения
/	dy \
р ооозначает —р— .
\	dx )
75.	у‘ = 4у (хр — 2у)2.
Указ ание. Разрешить относительно х и дифференцировать поу (можно
упростить заменой искомой функции).
76.
у = 2рх +-?-+ р\
77	у =
/1+р2
78.	х — ру ф- ар2.
79.	у — хр2 ф- р3.
80.	у = ху' ф-у'—У'2-
81.	у = 2рх -фу2/А
У Казани е. Умножить на у и положить у2 = z.
82.	р2 (х2 — 1) — 2рху -фу2 — 1 =0.
(Разрешить относительно у или ввести полярные координаты.)
83.	у'2 ф- 2ху’ ф- 2у = 0.
84.	Найти кривую, у которой длина отрезка касательной между осями
координат имеет постоянную величину а.
§ 4. Особые решения.
1.	При исследовании уравнения Клеро мы встретились с особым
решением. В настоящем параграфе мы исследуем вопрос о существо-
вании особых решений для довольно широкого класса уравнений и
укажем два способа их нахождения.
Мы видели, что, по теореме Коши, если правая часть дифферен-
циального уравнения
(18)
непрерывна в некоторой области и имеет в ней ограниченную произ-
водную по у, то через каждую точку (х0, у0) области проходит
единственная интегральная кривая (свойство единственности);
эта кривая входит в семейство от одного параметра (за параметр мы
принимали величину у0) и получается из этого семейства, когда пара-
метр принимает определённое числовое значение. Семейство от одного
§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
121
параметра образует общее решение, каждая интегральная кривая пред-
ставляет частное решение, и, в силу теоремы единственности, никаких
дпугих решений, в частности особых решений, в этом случае не пред-
ставится. Например, если правая часть уравнения (18) есть многочлен
относительно у,
dy
= А„. (х)у» 4- Ап_1 (х) у"-1 4- .. . + А1 (х)у 4- Ао (х),
то в области непрерывности коэффициентов и при ограниченных зна-
чениях у (т. е. в прямоугольнике «-4 х С 4 —k 4У 4 4 где коэф-
фициенты непрерывны в интервале а фх ф б и k сколь угодно
df
большое положительное число) выражение тоже ограничено — это
уравнение не имеет особых решений (таковы, например,
линейное уравнение, п=\\ уравнение Риккати, п = 2). Далее, если
правая часть есть дробная рациональная функция от х и от у
Р (х, у)
У^0^’
где Р и Q суть многочлены по х и у без общего множителя, то
df
производная обращается в бесконечность только в тех точках х0,
у0, где Q(x0, уо) = О, т. е. где /=оо; но в таких точках для урав-
нения ^=-2- правая часть [если Р(х0, у0) ф 0] непрерывна вместе
с производной по х, и опять, в силу теоремы Коши, проходящая
через такую точку интегральная кривая х — б (у) удовлетворяет усло-
вию единственности и входит в семейство от одного параметра (т. е.
является обыкновенным частным решением). Наконец, если Р(х0, у0) =
= Q(XO, у0) = 0 (это может иметь место лишь в изолированных точ-
ках), мы имеем особые точки, различные типы которых были
исследованы в главе II; особых решений в этом случае
опять нет.
Особым решением мы назовём такое решение дифференциально?;)
уравнения, которое во всех своих точках не удовлетворяет свой-
ству единственности, т. е. в любой окрестности каждой точки (х, у)
особого решения существует по крайней мере две интегральные кри-
вые, проходящие через эту точку. Теорема Коши даёт достаточные
условия для того, чтобы в некоторой области не существовало осо-
бых решений; следовательно, обратно, для существования особого
решения необходимо, чтобы не выполнялась условия теоремы Коши.
Итак, мы можем искать особые решения только в тех точках пло-
скости хОу, где не выполнены условия теоремы Коши. В частности,
если правая часть уравнения (18) непрерывна во всей рассматриваемой
области (как мы будем предполагать всюду в настоящем параграфе),
то особые решения могут проходить только через те точки,
в которых не выполняете я условие Липшица. Если f (х, у) всюду
122 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
имеет
шица
конечную или бесконечную производную по у, то условие Лип-
df
не выполняется в тех точках, где становится бесконечной.
df
Случай, когда функция f непрерывна и бесконечна, может пред-
ставиться, например, для иррациональных функций.
Пример 12. Рассмотрим уравнение:
2
(19)
правая часть f = у3 определена и непрерывна для всех значений у,
df 2 -L
но производная = -^у	> обращается в бесконечность при у — О,
т. е. на оси Ох плоскости хОу, интегрируя данное уравнение, нахо-
дим общее решение: 27_у = (хС)3 — семейство кубических пара-
бол; кроме того, уравнение имеет очевидное решение у = 0, прохо-
дящее через те точки, где не выполнено условие Липшица; это
решение — особое, так
как через каждую точ-
ку оси Ох проходит
и кубическая парабола,
и эта прямая — единст-
венность не выполнена
(черт. 18).
Пример 13. Вер-
нёмся к уравнению
у/3 +у2=1
ИЛИ
(черт. 16). Оба значе-
ния у' представляют не-
прерывные функции в
области —1 Оу 1, где правая часть определена; производная
df У
__ —	-- ; условия теоремы Коши напутаются на поямыху = ± 1,
С’У У 1 —у-'
• •
где ^ = оо; эти прямые a priori могут быть особыми решениями.
Легко видеть, что у = I и у --- — 1 суть решения этого уравнения и что
эти прямые являются огибающими семейства синусоид у = sin (х С),
дающего общее решение, т. е. в точках прямых, изображающих реше-
ния у — ±1, единственность не выполнена: через каждую точку,
н ,пример прямой у = 1, проходят две интегральные кривые — сама
прямая у = 1 и касающаяся её (восходящая или нисходящая) ветвь
§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
123
синусоиды;__это будут особые решения для обоих уравнений:
у' = 4- [/ 1 —у- и у' — У1 —у2.
Примечание. Мы уже указали, что из теоремы Коши можно
вывести только необходимые условия для особого решения.
Место тех точек, где условие Липшица не выполнено, если оно
является кривой, может представлять особое решение, но может
и не представлять его уже потому, что эта кривая, вообще говоря,
не представляет решения уравнения. Если, например, вместо уравне-
ния (19) взять такое:
dv - ,
= у3 + а, а хЬ О,
dx''	'	’
то у = 0 попрежнему есть место точек, где не выполняется условие
Липшица, но эта прямая не является решением уравнения, что оче-
видно из непосредственной подстановки в заданное уравнение.
Итак, чтобы найти особые решения уравнения (18), надо найти
место точек, где нс выполнено условие Липшица (т. е. в случае
правой части, выраженной в элементарных Функциях, место тех точек,
df
где. бесконечна); если это место образует одну или несколько
кривых, надо проверить, являются ли эти кривые интегральными
кривыми уравнения (18) а нарушается ли в каждой их точке
свойство единственности', если оба эти условия выполнены, то
найденная кривая представляет особое решение.
3 А Д А Ч И.
На.ггн место точек, где не выполняется условие Липшица, и исследовать,
представляет ли оно особое решение (найти также общее решение).
dv _________
83.	-у-- = 1 г—-х.
ах
dy _________
86.	1 У — х + 1 [начертить поле интегральных кривы?:, принимая
п уравнении радикал: 1) как + Уу — х, 2) как ± У у— х].
„ аУ г--------- АУ г-
87.	dx =	' l-v'’ dr = “ ’ У (в °б°11Х случаях набросать поле кри-
вых).
dy
88.	— =_у!пу (_у>0; при у = 0 правая часть дополняется до непре-
рывной функции по правилу Лопиталя).
dy
89.	=_у (In_у)2 (с тем же условием о дополнении правой части).
dy	_______
90.	= —хУс Ух--у2у (начертить поле кривых).
Для уравнения
Д'=/(>’)	(А)
существует необходимый и достаточный признак особых решений. В § 2
главы 1 мы видели, что если /(уф)#-О, то начальные значения (л'о, ги)
124 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРО’ЛЗРОДНОЙ [ГЛ. III
определяю г единственную интегральную кривую, даже если не требовать, чтобы
правая часть удовлетворяла условию Липшица; соответствующие решения
будут обыкновенными частными решениями. Далее, если/(С') = 0, то
У = С	(В)
является решением уравнения (А). Исследуем, при каких условиях в точках
решения (В) выполняется единственность и при каких она не выполняется.
Возьмём начальные значения (x0, у0), уо<’. С, и допустим, что/(у)>0
при у,, С у <С (случай у ф> С приводится к этому заменой у на —у, а слу-
чай / (у) -ф 0 заменой х па — х). Мы будем исследовать единственность реше-
ния у — С лишь по отношению к интегральным кривым в полосе у0 <(у у) С.
Интегральная кривая, проходящая через точку (х0, у0), даётся формулой:
dy
f (.У) ’
(Q
Ьг.юм в фоомуле (С) стремить у к С; интеграл в правой части будет песоб-
С	с
f dy	[• dy
еженным; возможны два случая: 1°	 расходится: 2° -гт-^r сходится.
J /О')	J Z(j')
У,.	th
В случае 1° формула (С) показывает, что при неограниченном прибли-
х<шш у к С переменное х неограниченно увеличивается; интегральная
кривая асимптотически приближается к прямой у = С при неограниченном
Возрастании х и не имеет с пей общих точек ни при каком конечном зна-
чении х. Так как все интегральные кривые, лежащие в полосе у0 <(у <' С,
поручаются из кривой (С) переносом параллельно оси Ох, то ни одна из
шиз не имеет общих точек с поймой у = С; следовательно, во всех точках
с
р< шеиияу = С выполняется
единственность. Итак, если
dy
71s)
расходится.
то решение у = С обыкновенное.
не, у = 0 дтя уравнения у' у
условие Липшица не выполнено).
11 римера ми
?с. k > 1, и
этого случая являются неше-
для уравнения задачи 88 (где
г ol
.1 /от
Переходим к случаю 2°. Пусть
Ото. При зшнеиип х = iy+
-	У"
4- I ~ х кривая (С) приходит в точку М с координатами (х, С), лежащую
на решении у — С; таким образом, в этой точке единственность нарушается.
Путём изменения начальной точки лу (т. е. переносом кривой (С) парал-
лельно оси х) мы можем точку Л4 совместить с любой точкой прямой у = С;
таким образом, свойство единственности не выполнено пи идя одной точки
[и шения у — С.
О
Г dy
Итак, если
могут служить уравнения у’ — у1е, 0<й<(1, и уравнение задачи 89.
Аналогичный критерий можно вывести для решений вида у — С общего
ур’зпения с разделяющимися переменными и для решений вида у = Сх
однородного уравнения; несколько сложнее проводится исследование реше-
ний вида у = tf (Со) х 4- ф (Со) уравнения Лагранжа (§ 3, 3, стр. 116).
——- схооится. то решение у — С особое- Примерами
§ 4]
OCORbIF РЕШЮ'ИЯ
125
2. 1Мы видели, что простейший случай, когда правая часть уравне-
d v
ПИЯ -ф- =/ (у
dx ' v
является иррациональной функцией от у. Освобождаясь от этих
иррациональностей, мы получим алгебраическое уравнение степени
выше первой относительно у' с коэффициентами, являющимися рацио-
нальными функциями от у. Естественно поставить вопрос об отыска-
нии особых решений такого уравнения. Здесь можно получить
довольно общие результаты, к изложению которых мы сейчас при-
с гупаем.
Пусть дифференциальное уравнение
Л(х, у, у') = 0	fl)
будет алгебраическое, /г-й степени относительно у', т. е. имеет вид
у)у' 4-Д0(х. у) = О, (V)
ппичём левая часть представляет неприводимый многочлен по у'\
коэффициенты А1: (ус, у) мы предполагаем многочленами по у и но х
(достаточно было бы допустить, что Ак(х, у) непрерывны по пере-
менным х, у в некоторой области D и допускают в ней частные
производные по х г; по у). Как уже указывалось в начале настоящей
главы, уравнение (Г') определяет п ветвей многозначной функции:
Х.=/г(х, у) (/=1, 2,	/г);	(2)
у) непрерывна, а — бесконечна, встречается, когда f
мы будем рассматривать только действительные ветви (2). Все Э1и
ветви являются непрерывными функциями от х и у для тех значений
этих переменных, которые не обращают в нуль Ап(х, у) :).
Посмотрим, как для этих ветвей обстоит дело с условиями Лип-
df ду'
плща. Для вычисления производной
пнем (1)
воспользуемся уравне-
и правилом дифференцирования неявной функции; находим:
ду'	дЕ /дЕ
"Д—=-----i— dTT •	(20)
ду	ду / ду'	v '
Гак как все коэффициенты Ак(х, у) являются дифференцируемыми
по у, то производная (20) конечна и непрерывна всюду, где Ап ф О
и где знаменатель не равен нулю, т. е. те значения х, у, для кото-
рых может не выполняться условие Липшица, удовлетворяют уравнени о:
дЕ(х, у, у')
ду'
= 0,
(21)
!) В тех точках плоскости хОу, где Ап (х, у) = 0, одна или несколько
санкций (2) обращаются в бесконечность; если мы сделаем х искомой
Л; икцней, а у — независимым переменным, то в этих точках соответсгвую-
dx .
шие значения — будут обращаться в нуль; зато эта последняя прш.з юдц 1я
соращается в бесконечность в точках, где у) = 0,
126 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. Ill
где после выполнения дифференцирования в левой части вместо у'
надо взять одну из функций /4(х, у), определённую уравнением (1).
Иначе говоря, чтобы получить уравнение геометрического места тех
точек плоскости хОу, где условие Липшица не выполняется, надо
исключить у' из уравнений (1) и (21). В высшей алгебре даётся
процесс исключения одного переменного из двух алгебраических
уравнений при помощи рациональных операций — получение так назы-
ваемого результанта этих уравнений; равенство нулю результанта
есть условие существования общих корней двух уравнений. В нашем
случае левая часть уравнения (21) есть производная по у' от левой
части уравнения (1); результант этих уравнений есть дискриминант
уравнения. (1) относительно у'. Равенство нулю дискриминанта есть
условие существования общего нуля данного многочлена и его про-
изводной, т. е. кратного корня уравнения (1), где в качестве не-
известного рассматривается у'. Исключая у' из (1) и (21), мы при-
дём к уравнению:
Ф (х, у,) = 0,	(22)
которое, вообще говоря, определит одну или несколько кривых
[дискриминантная кривая уравнения (1)].
Дискриминантная кривая (или их совокупность) разделяет пло-
скость ху на некоторое количество областей. Внутри каждой такой
области G некоторое число k(k^y-O) из п ветвей (2) являются дей-
ствительными; это число одно и то же для всей области. Во всякой
области, лежащей вместе с границей внутри G, знаменатель в правой
части выражения (20) по абсолютной величине больше некоторого
ду'
положительного числа, следовательно, ограничена; условие Лип-
шица для всех k ветвей (2) выполнено; таким образом, через каж-
дую точку области G проходит k интегральных кривых, в согласии
с теоремой существования; для особых решений здесь нет
мест а. (Отметим, что все k интегральных кривых имеют в точке х, у
различные касательные, так как между значениями (2) для у' нет
равных.)
В точках дискриминантной кривой две или более ветвей функ-
ции у', определяемой уравнениями (2), становятся равными между
собой, по самому определению дискриминанта; кроме того, в силу
формулы (20), на дискриминантной кривой, вообще говоря, не удо-
влетворяются условия Липшица. Дополним теперь область G её гра-
ницей, состоящей из дискриминантных кривых или их частей; в полу-
ченной таким образом замкнутой области G каждая из ветвей (2)
попрежнему будет непрерывной функцией от х, у, но условия Лип-
шица не выполнены на границе. Мы находимся в таких условиях,
когда может существовать особое решение. Именно,
пусть у как функция х,
у = 'j (х),	(23)
§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
127
определённая из уравнения (22) дискриминант» ой
кривой, сама является решением дифференциального
уравнения (1), и пусть совокупность решений рассматриваемой
ветви (2), определённая внутри области G, может быть продолжена
до её границы, т. е. вплоть до всех точек кривой (23); тогда через
каждую точку кривой (23) проходят два решения, соответствующих
рассматриваемой ветви: во-первых, одна интегральная кривая, про-
долженная изнутри области G — обыкновенное решение, и, во-вто-
рых,— решение (23), которое является, таким образом, особым
решением.
Итак, особыми решениями уравнения (1) могут быть только
функции
У = ? (*),	(23)
определяемые уравнением (22). Вообще говоря, эти функции, однако,
не удовлетворяют данному дифференциальному уравнению, т. е. не
являются вовсе решениями уравнения (1); в том, какой из этих слу-
чаев имеет место, легко убедиться непосредственной проверкой.
Иногда может, далее, случиться, что вдоль такого решения (23)
удовлетворяется во всех его точках свойство единственности (для
данной ветви). Это будет в случае, если решения, определённые
внутри области G, не доходят до её границы: тогда мы имеем дело
с частным решением. Можно показать, что этот случай является
исключительным; в общем случае, если функция (23), полученная
из дискриминантной кривой (22), удовлетворяет дифференциальному
уравнению (Iх), она является особым решением. Итак, мы получаем
следующее правило нахождения особого решения:
Если дано уравнение:
г
Л (х, у, р) = 0, Р =	И)
где левая часть есть многочлен по р, то составляем уравнение:
дР (х, у, р)
др
= 0;
(21)
исключая р из уравнений (1) и (21), получаем уравнение (22),
определяющее дискриминантную кривую. Если определяемая этим
уравнением функция (23) является решением дифференциального
уравнения (1), то решение (вообще говоря) особое.
Рассмотрим несколько прежних и новых примеров с точки зре-
ния применения этого метода.
Пример 14. F=_y/2-фр/2—-1=0
Из этих двух уравнений получаем
дР
(пример 2);	= Чу' = 0.
у2=1, т. е. —Эд1. Обе
эти функции, очевидно, удовлетворяют данному дифференциальному
уравнению, т, е. это—-решения; они являются особыми решениями,
так как это — огибающие семейства синусоид, и в их точках
128 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. ПТ
нарушается свойство единственности по отношению к каждой из двух
ветвей уравнения; через каждую точку х — х0, у = 1 проходит,
например, для ветви уравнения у' ~	1 —у2 два решения: пря-
мая у = 1 и ветвь синусоиды

хо Ь 2
Пример 15. F =з хр'- — 2ур у-4х =
1 д?	с,
уравнение = хр — у = 0. Исключаем
2 др г s
О (пример 3). Составляем
/?, определяя его из вто-
рого уравнения и подставляя в первое:
р = -^-, х — 2у	-|-4х = 0 или у1—4х2=0;
1) у — 2х, 2) у = — 2х.
Из черт. 17 (стр. 109) видно, что эти две прямые — огибающие
семейства парабол, представляющего общее решение — являются особым
решением. Заметим ещё, что, решая в § 1 данное уравнение относи-
тельно у', мы получали выражение у2—4х2 под знаком радикала;
этого и следовало ожидать, так как в решении квадратного уравнения
подкоренное выражение есть
дискриминант.
Пример 16. х —у ~
4 о 8 о ,,
=	— — Р  Методом
дифференцирования по х
находим общий интеграл:
(у — С;2 = (х — С)3. Для по-
лучения дискриминантной
кривой дифференцируем дан-
ное уравнение по р:
^(р—р2) — °-
Вставляя значения р — G
и /? = 1 в уравнение, на-
ходим :
1) х— у = 0,
2) х-у = А.
Геометрическое истолкование: общий интеграл есть семейство
4
полукубических парабол (черт. 19); прямая х—у = есть огибаю-
щая— особое решение; прямая у = х есть геометрическое место
точек возврата и решением не является.
§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
129
Пример 17. р2—_у3 = 0. Общее решение: у = -,- J* жгу!
(х -f- С)-
дискриминант у5 = 0 даёт решение у — 0, которое является част-
н ы м, так как условие единственности выполнено во всех точках
оси Ох (решения, определённые в области О, у > 0, не доходят
до дискриминантной кривой).
Примечание 1. Для определения того, является ли функция (23),
получаемая из дискриминантной кривой, решением уравнения (1), мы реко-
мендовали непосредственно подставить найденное значение функции в урав-
нение (1). Можно дать другой способ этой проверки. Допустим, что функ-
ция у = '-р (х), полученная из дискриминантной кривой, есть решение уравне-
ния (1), т. е. по подстановке в это уравнение обращает его в тождество.
Дифференцируя это тождество по х, получаем:
dF . dF . , dF „	.
л---И "5—У Н~ л—У У —О’
дх ду ду'
dF
Но gp = 0 в силу уравнения (21), из которого вместе с (1) определялась
функция (23); следовательно, если (23) есть решение уравнения (1), то оно
удовлетворяет также уравнению:
dF dF
дх '-ду
(24)
Таким образом, особое решение должно удовлетворять одновременно трём
уравнениям: (1), (21), (24). Отсюда, между прочим, следует, что уравнение (1)
в «общем случае» не имеет особого решения: если эти три уравнения неза-
висимы, то они определяют отдельные системы значений (х, у, у'). Особое
решение может существовать лишь в том случае, если одно из этих уравне-
ний, например (24), есть следствие двух других. В этом случае напишем
уравнения (1) и (21) в форме:
„,	, п dF (х, у, р) _
F (х, у, р) = 0, —	= 0.
Из них определятся функции: у — (х), р — ф (х). Предполагая их подста-
вленными в уравнение (1), дифференцируем его по х;
dF dF	dF
+ W + ^'(x) = 0,
или, в силу уравнения (21),
dF । dF п
з---h з— Т (х) = 0.
дх 'ду
Третье уравнение (24), являющееся, по предположению, следствием двух
первых, в наших теперешних обозначениях напишется так:
dF dF _n
дх + ду ?
Сравнивая его с последним тождеством, находим:
Р =?'(х) = _у',
т. е. действительно, у = (х) есть решение уравнения (1).
130 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. П[
Применим этот критерий к уравнению Клеро. Это уравнение имеет вид;
У = рх + <р (р\,
уравнения (21) и (24), соответственно, будут таковы:
0 = х + (/>),	р — р = 0,
и, действительно, три уравнения сводятся к двум независимым.
Примечание 2. В § 1 было указано, что если два комплексно со-
пряженных решения у' уравнения (1) переходят при непрерывном измене-
нии х, у в действительные, то в момент перехода они становятся равными;
та часть дискриминантной кривой, на которой осуществляется это равен-
ство корней, отделяет, таким образом, область плоскости, где число дей-
ствительных ветвей (2) равно k, от области, где это число равно k ±2. Так,
например, для уравнения у'2 -j-y2 — 1 (черт. 16 на стр. 107) дискриминантные
прямые у = + 1 отделяют ту часть плоскости (|_у |< 1), где уравнение имеет
действительные значения у' = + У1—у2, от той части (|_у |	1), где оба
корня мнимые: у' = + г Уу2— 1- В примере 16 (черт. 19) мы видим, что две
о	— 4
ветви дискриминантном кривой у — х = 0 и у — х —разделяют пло-
скость на три полосы; в средней через каждую точку проходят три кривых
семейства, а в двух крайних — по одной.
Примечание 3. Если дискриминантная кривая является особым ре-
шением, то она есть огибающая обыкновенных решений (по определению,
огибающая касается в каждой своей точке одной из огибаемых кривых).
Обычно огибающая является также местом предельного положения точек
пересечения двух бесконечно близких кривых семейства; в таком случае
по одну её сторону в окрестности каждой её точки пересекаются две инте-
гральные кривые, которые в нашем изложении должны быть рассматриваемы
как относящиеся к двум различным ветвям (2) уравнения (1); по другую
сторону огибающей этих ветвей нет, т. е. число действительных ветвей
уравнения (1) при переходе через особое решение в этом случае умень-
шается на две единицы.
Но пример 16 показывает, что дискриминантная кривая может да-
вать также геометрическое место точек возврата', в аналитической тео-
рии дифференциальных уравнений показывается, что этот случай является
общим, если исходить из произвольного уравнения (1); так, например, для
ч равнения Лагранжа дискриминантная кривая, вообще, есть место точек
возврата; для частного случая — уравнения Клеро — она всегда является
сгибающей. Наконец, может случиться, что в выражении (20) для некоторых
ветвей (2) уравнения (1) на одной из дискриминантных кривых одновре-
менно со знаменателем обращается в нуль и числитель и притом так, что
6у/	..	„	„ ,
•ф— остается для этих ветвей непрерывной функцией от х, у; тогда каждая
из рассматриваемых ветвей не имеет на ней никаких особенностей. Дискри-
минантная кривая в этом случае оказывается геометрическим местом
точек прикосновения интегральных кривых, соответствующих различным
ветвям (2) уравнения (1).
Пример 18. Рассмотрим уравнение:
Рг [(х -уУ - 1] - 2р + [(х - у)2 - 1] = 0.
Решая относительно у и дифференцируя по х, находим общее решение
{х — С)2 + (у — С)2 = 1. Находим дискриминантную кривую; уравнение
Р[(х-у')2-1]-1=0;
§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
131
отсюда определяем р и вставляем в уравнение, умножив затем на знаме-
натель (приравненный нулю, он даёт место точек, где для одной из ветвей
dx
; получим:
ИЛИ
1-2 + [(л->)2-1]2 = 0,
[(д-_у)2_2] (Х_у)2 = 0.
Дискриминантная кривая распадается на три прямые: х—у = + V 2
дают решения (особые); прямая _у = х не даёт решения.
Геометрическое истолкование: общее решение есть семейство кругов
радиуса 1 с центрами на прямой у = х (черт. 20); прямые у = х + V 2
суть огиб'ающие семейст-
ва; прямая у — х есть
место точек прикоснове-
ния двух различных кри-
вых семейства; она тоже
даётся частью дискрими-
нантной кривой, так как
касательные к двум раз-
личным кривым совпа-
дают, следовательно,ура-
внение для р должно
иметь кратный корень
(заметим без доказатель-
ства, что местом точек
прикосновения может
служить только такая
кривая <р (х, у) — 0, ле-
вая часть уравнения ко-
торой <р (х, у) входит в
дискриминант в степени
не ниже второй; у нас
у — х входило в дискри-
минант в квадрате).
Итак, резюмируем:
для ур авнения вида (1)
особое решение может
состоять только из
точек дискриминант-
ной кривой, но дискри-
минантная кривая может являться также местом точек возврата
интегральных кривых и местом точек прикосновения различных инте-
гоальных кривых.
Примечание 4. В большинстве курсов особое решение опреде-
ляется формально — как такое, которое не получается из общего решения
ни при каком значении произвольного постоянного. Но мы умеем доказывать
существование общего решения (глава II, § 1) лишь для тех областей пло-
скости хОу, где выполнены условия теоремы Коши. Поэтому для того реше-
ния, вдоль которого эти условия не выполняются, мы не можем сослаться
без дальнейших пояснений на существование общего решения. С другой
стороны, формулой, дающей общее решение, иногда не охватываются те ре-
шения, вдоль которых выполнены условия теоремы Коши и которые со всех
точек зрения должны считаться обыкновенными (например, интегральные
прямые уравнения Лагранжа). Поэтому мы считаем обычное определение
недостаточно точным и заменяем его данным в тексте; при этом некоторые
132 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Ггл. Ill
решения, которые с формальной точки зрения представляются обыкновен-
ными, с нашей точки зрения окажутся особыми.
Пример 19. Рассмотрим уравнение примера 8:
р3 — 4хур + 8_у2 = 0.
Дифференцируем по р:3р2—4ху = 0. Исключаем из обоих уравнений р и,
освобождаясь от иррациональностей, получаем дискриминантные кривые:
4
4х3_у3 — 27_у4 = 0 или у = 0, у = у? х3. Общее решение: у = С (х — С)2; обе
дискриминантные кривые являются огибающими этого семейства парабол
и представляют особые решения, но первая из них получается из формулы,
дающей общее решение, при С = 0.
3. Изложенный в предыдущем разделе способ нахождения осо-
бых решений сводится к алгебраическим операциям—дифференци-
рованию (многочлена) и исключению; если данное уравнение алге-
браическое по х, у, у', то и особое решение является алгебраическим;
мы его всегда можем найти, даже если не умеем интегрировать урав-
нения (1). Второй метод нахождения особых решений, который
мы сейчас изложим, требует знания общего интеграла
дифференциального уравнения. Пусть общий интеграл урав-
нения (1) есть
Ф (х, у, С) = 0.	(25)
Если семейство кривых, изображаемое уравнением (25), имеет огибаю-
щую, то эта огибающая:
1) является решением дифференциального урав-
нения; в самом деле, в каждой точке огибающей элемент (х, у, у')
совпадает с элементом одной из интегральных кривых семейства (25);
а так как интегральные кривые семейства (25) суть решения уравне-
ния (1), то все элементы огибающей также удовлетворяют этому
уравнению, т. е. огибающая есть решение;
2) даёт особое решение; в самом деле, рассмотрим семей-
ство, состоящее из дуг интегральных кривых до точки прикосновения
с огибающей (например, семейство возрастающих ветвей синусоид
в примере 2); через каждую точку некоторой окрестности огибаю-
щей проходит одна такая кривая; эти кривые соответствуют полю,
определённому одной из ветвей (2) уравнения (1); в точках огибаю-
щей единственность нарушается, так как через каждую её точку
проходят две интегральные кривые с общей касательной — сама
огибающая и касающаяся её кривая семейства.
Отсюда правило нахождения особого решения, если
известен общий интеграл (25), таково же, как для нахо-
ждения огибающей: дифференцируем уравнение (25) по параметру С:
= 0.	(26)
§ 4]
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
133
Из' уравнений (25) и (26) исключаем С; полученное соотношение
® (х, у) = 0	(27)
(если оно представляет; решение) даёт особое решение.
Примечание 1. Из дифференциальной геометрии известно, что
уравнение (27) даёт не только огибающую, но и геометрическое
место кратных точек кривых семейства (25) (узловые точки, точки
возврата и пр.) — в том случае, когда вдоль кривой (27) мы имеем
также
дФ___„ 5Ф
дх ’ ду
(28)
Примечание 2. В конце предыдущего раздела мы указывали,
что существование особого решения для уравнения (1) является
исключительным случаем; из рассуждений настоящего раздела можно
было бы вывести противоречащее предыдущему заключение, что
«в общем случае» уравнение (1) имеет особое решение, так как при
наличии соответствующих производных и возможности исключения
постоянного С уравнения (25), (26) дают огибающую, кроме случая,
который является «исключительным», когда одновременно с уравне-
ниями (25), (26) выполняются уравнения -^5- = 0,	= 0; только
в этом случае мы получаем не огибающую, а геометрическое место
особых точек. Кажущееся противоречие объясняется тем, что «общему»
уравнению (1) соответствует частный класс семейств (25), именно
тот, где исключение С из равенств (25) и (26) даёт не огибающую,
а место точек возврата.
Примечание 3. Можно показать, что огибающая всегда является
частью дискриминантной кривой (22). В самом деле, пусть через точку (х0,_у0)
проходит кривая семейства (25) у = ф (х) и огибающая Y = Д’ (х). Если под-
ставить обе функции в уравнение (1), то, по доказанному, получим два
тождества:
F (х, у. У') = 0, F (х, У, У') = 0.	(29)
Дифференцируя эти тождества по х, получаем:
dF (х, у, у')
дх
dF
ду
dF
dF(x, У, У')
дх
— у -к — у" = о
дУ г ' дУ
(30)
Рассмотрим тождества (30) в точке (х0, _у0). По предположению, мы имеем
у'о = ф' (х0) = Уо = W (х0); из тождеств (30), после подстановки х = х0
получим:
'ЗДЛ
.ду')
/(Уо~У'о)=О.
®о> »о-
134 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ относительно производной [гл. III
-^=0;
ду'
Если Уо # К’ то имеем
это рассуждение справедливо для всех
элементов огибающей, т. е. мы получаем вдоль огибающей уравнение (21),
определяющее вместе с (1) дискриминантную кривую. Если бы было
Ув = у".........УоИ 11 = уо” П. но УоП} Ф
то, дифференцируя тождества (29) п — 1 раз и вычитая одно из другого,
, др п
мы опять получили бы = 0.
Пример 20. Вернемся к примеру 2; р2-[-_у2=1. Общее реше-
ние: у = sin (х С); огибающая получится из этого уравнения и
другого: 0 = cos (х Ц- С). Исключая С, находим огибающую _у2=1,
в согласии с решением примера 14.
Пример 21. Уравнение примера 18: общее решение есть
(х — С)24“(у — С)2=1; дифференцируем по С; х — С-\-у— 0=0,
С= ; подставляя в общее решение, находим: (х—_у)2 = 2,
две огибающие прямые.
Пример 22. Уравнение примера 16: общий интеграл (у— С)2=>
2
= (х — С)3. Находим логарифмическую производную по С:  _ =
з
= —_ , откуда С=3у—2х; под-
ставляя в общий интеграл, по-
лучаем:
4 (у — х)2 4- 27 (у — х)3 = 0.
Прямая у = х есть геометри-
ческое место точек возврата;
4	й
х — д/ = — есть огибающая
(черт. 19 на стр. 128).
Пример 23. '
(2хУ —у)2 — 4х3 = 0.
Черт. 21.	Разрешая относительно у', полу-
чаем линейное уравнение: у' =
1
= ^--]-х2; общее решение: _у2 = х(х — С)2; дифференцируем
это уравнение по С, х(х— С) = 0; подставляя значение С в общее
решение, находим: _у2 = 0. Мы получили не огибающую, т. е. не
особое решение, а геометрическое место особых точек (узловых;
изолированные точки х = С, у — 0 при С < 0 не идут в счёт, так
как уравнение не определено при х < 0) (рис. 21).
§ 5]
ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ
135
ЗАДАЧИ.
Найти особые решения, исходя из дифференциального уравнения и из
общего интеграла:
91.	хр2—2уру-4х — 0 (пример 3, стр. 109).
92.	—_у=0 (начертить поле кривых; задача 68, стр. 109).
93.	_у2(р— 1) = (2—р)2 (задача 73, стр. 112, начертить кривые).
94.	р* = 4у (хр — 2_у)2 (задача 75, стр. 120, исследовать решения у = 0).
95.	х-р~ — 2хур + 2ху = 0.
96.	у — р2—+ (пример 9, стр. 115).
jr2
97.	у = 2рх + -у -ЬP2 (задача 76, стр. 120).
98.	р2—ру-У 6х = 0 (общее и особое решение).
§ 5. Задача о траекториях.
Эта задача является важным геометрическим приложением диф-
ференциальных уравнений первого порядка.
1. Пусть дано семейство плоских кривых
F(x, у, «) = Э,
(31)
зависящее от одного параметра «; кривая, образующая в каждой
своей точке постоянный угол а с проходящей через эту точку кри-
вой семейства (31), назы-
вается изогональной траек- у
торией этого семейства', если,
п
в частности, а = ~, мы имеем
ортогональную траекторию.
Будем считать семейство (31)
данным и разыскивать его изо-
гональные траектории.
Обозначим текущие коор- —
динаты траектории через yt.
Пусть сначала а zfz • обозна-
чая tg а — k, имеем в любой
точке траектории: да,—<р = а, где
к кривой семейства,	—то же т
Черт. 22.
есть угол с осью х касательной
траектории (черт. 22), т. е.
tg (<f>j — <p) = k, или
dxi dx
~ dx-t dx
k.
(32)
Равенство (32) имеет место в любой точке (хр у,,) траектории;
но для проходящей через эту точку кривой семейства углевой

136 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ [ГЛ. III
коэффициент вычисляется из уравнения (31):
dF
дх
где вместо х, у надо подставить xv yt.
Подставляя найденное значение в уравнение (32), получаем:
dF(xj, У1, a) dyx , dF(xv уг, а)
fyt dxx_______________дхг	z33x
dF (X], у'р а)_dF(xx, J'i, a) dyx '	' '
ch'j	дх-, dx,
В это уравнение входит параметр а, который изменяется от точки
к точке траектории и характеризует ту кривую семейства, которую
траектория пересекает в данной точке; его значение для точки ух
получится из уравнения (31), если в нём положить х — хх, у—у^.
F(xlt У1, а) = 0.	(31')
Исключая а из двух уравнений (31') и (33), мы получим соотно-
шение
Ф(Х- £0=°’	(34)
связывающее координаты точки траектории и угловой коэффициент
касательной; следовательно, уравнение (34) есть дифференциальное
уравнение изогональных траекторий семейства (31). Общий инте-
грал уравнения (34):
Т(х1( ух, С) = 0
даёт семейство от одного параметра изогональных траекторий.
~	к
Если ct = — , то имеем;
тс
Ti — ^ = "2 >
tg?l = —ctg?>
dx-j dy ’
dx
следовательно, вместо уравнения (33) получим:
dy\ dF (xb уч, a) dF(xx, yb a) __ Q	/33,4
Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий получится
исключением параметра а из уравнений (31') и (33').
§ 5]
ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ
137
2. Рассуждения и выкладки упрощаются, если само исходное
семейство кривых задано дифференциальным уравнением:
‘J’lf-v, у, ^Л = 0.
1 \ ’	’ dx)
(34')
Уравнение (34') ставит в соответствие каждой точке (х, д<) одно
dv
и.щ несколько значений определяющих ноле направлений дан-
ного семейства. Мы можем положить x = xlt у=у1; направление
поля для изогональных траекторий связано с направлением поля для
данного семейства соотношением (32), откуда, разрешая относи-
dy
тельно -у-, имеем:
dx’
dy
dx
dyt
dx}
k
dx.
Вставляя это выражение в уравнение (34/), с заменой в нём -х, у
соответственно на ylt получаем уравнение поля для семейства
изогональных траекторий, т. е. их дифференциальное уравнение:
Ф1 х1, л>
p-k \
dxi | = 0>
(35)
В случае ортогональных
нием:
откуда дифференциальное
будет:
dxj
„ dy dy,
траекторий у?- и ~ связаны соотноше-
(IX (лХ]
dy___1
dx dyi '
dxj
уравнение для ортогональных траекторий
1 \ А
Х1> У1> т~ 1 = °-
11 dyi
dxil
(35')
Примечание. В дальнейшем мы будем отбрасывать индексы
и обозначать координаты точки траектории также через х, у там,
где это не может вызвать путаницы.
Ф
138 УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ (ГЛ. III
Пример 24. Найти изогональные траектории пучка прямых
с центром в начале координат: у — ах. Пусть угол пересечения
а ф. , tg а = k. Имеем:
	dyy _dy dy	dx, dx	, ~ = a, —S—-i— = k\ dx	’ j	dy,. dy	’ ‘ dxj dx
заменяя	dy	« его значением а, которое, в силу уравнения семейства,
равно получаем (опуская индексы):
xi
	dx х	,	dy у 4- kx 	з— = k, или = 	. 1 । Z. ^У	^х x — ky x dx
Это ПОМОЩИ	уравнение однородное, но оно проще интегрируется при интегрирующего множителя: х dy —у dx = k (х dx У dy), х dx -У у dy 	 1 х dy —у dx x2 у2	k x2 + У2 '
откуда	у In (x2 + JI2) = у arctg 4- In C,
или		4 arcts — /x2+j/2=Ceft
9
или, наконец, в полярных координатах: г=Сек (семейство логариф-
мических спиралей).
Если а = у, то имеем:
dy, 1	1	1	,	,	, п
-7^ = — -т- =----------=---------, или х, dx, 4- у, dy. — О,
dx, dy a _)'j ’	’	1 1
dx	х,
откуда x2-j-y2 = С, т. е. мы получили семейство окружностей.
Пример 25. Имеем семейство софокусных эллипсов с фокусами
в точках х = rt 1, у== 0:

§ 5]	ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИЯХ	139
Их дифференциальное уравнение будет (глава I, задача 6, стр. 15):
(*/ —у) (х +ХУ') = У>
или
хуУ2-|-(х2—>2—1)/— ху = 0.
Чтобы получить дифференциальное уравнение ортогональных
/ 1
траекторий, достаточно заменить в этом уравнении у на ——у,
мы получаем:
или
ху/2 (х2 —_у2 — 1) у' —
— ху = 0,
т. е. то же уравнение. Дело
объясняется тем, что данное
уравнение — второй степени от-
носительно у, через каждую точ-
ку проходят две кривые—одна
из них эллипс (соответст-
вует X > 0), а другая — софо-
кусная гипербола (—1< X < 0),	Черт. 23.
причём софокусные гипер-
болы нашего семейства суть ортогональные траектории софокусных
эллипсов (черт. 23).
ЗАДАЧИ.
99.	Найти ортогональные траектории семейства парабол у = ах2 (сде-
лать чертёж).
100.	Найти изогональные (под углом a, tg а = k) траектории семейства
кругов х2 + у2 = а2.
101.	Найти ортогональные траектории семейства подобных кривых вто-
рого порядка х2 + пу2 = а (п — постоянное).
102.	Найти ортогональные траектории семейства лемнискат
(х2 4- у2)2 — 2а2 (х2 —у2) = 0.
103.	Найти кривые, пересекающие под углом а семейство кардиоид
р = а (1 -|- cos 0).
У казаки е. Вывести уравнения изогональных траекторий для полярных
координат.
104.	Найти ортогональные траектории семейства софокусных парабол.
105.	Провести решение задачи 102 в полярных координатах.
ГЛАВА IV.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
§ 1. Теорема существования.
1. Мы будем попрежпему обозначать независимое переменное
через х, искомую функцию через у. Дифференциальное уравнение
/z-го порядка (п > 1) имеет вид:
F(x, у, у', .. _,у«)) = 0,	(1)
где F есть непрерывная функция всех своих аргументов, при этом
левая часть, во всяком случае, зависит от старшей производной ум.
Вблизи начальных значений х0, у , у', .... У">, удовлетворяющих
условиям:
F(X°’ У о’ Л’ • • • > X”’)	у г/п)
\uj'	у — у^ •••» у —У()
мы можем, по теореме о существовании неявной функции, разрешить
уравнение (1) относительно Уя) и представить его в виде:
y^—ffyc, у, у’, . ..,Уя-1)).	(1')
Мы докажем существование и единственность (при некоторых усло-
виях) решения уравнения (1'), определяемого начальными условиями:
при х = х0 имеем:
У = У0’ У' = У& • • • > У”"11 = УТ1’»	(2)
где у, у, у', ...,уге-1* — данные числа1).
Для доказательства существования целесообразно заменить урав-
нение (1') системой и дифференциальных уравнений
первого порядка с п искомыми функциями. Для осу-
’) Задачу отыскания решения уравнения (lz), удовлетворяющего усло-
виям (2), мы будем называть задачей Коши. Это замечание относится также
и к случаю п = 1 (уравнение первого порядка).
§ 1]
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
141
ществления этой замены мы, наряду с искомой функцией у,
ещё п — 1 вспомогательных искомых функций
Л> Уч, • • • > Уп-\1
связанных с у и между собой соотношениями:
dx У1’ dx У2’ dx Уп-f
Из соотношений (3) следует, что функция ук является
изводной от функции у,
Ук = ^=У(к> ^=1, 2’ •••’ п~1)-
Поэтому мы имеем: y(lt) =	, и уравнение (Iх) примет
вводим
(3)
/г-й про-
вид:
л л, •••,л1-1).	(3')
Уравнения (3) и (3х) представляют систему п дифференциальных
уравнений первого порядка с п искомыми функциями у, у1г . ..
  > Уп-2, Уп-i-В левых частях этих уравнений стоят произ-
водные от искомых функций, правые части зависят
от независимого переменного и искомых функций (и не зависят
от производных). Система такого вида называется системой п
дифференциальных уравнений нормальной формы.
Однако система (3) и (3х) имеет ту особенность, что только
в последнем уравнении правая часть есть функция от х, у, у1г ...
• • •> Уп-i наиболее общего вида; в уравнениях (3) правые части имеют
специальную форму. В целях наибольшей симметрии и имея в виду,
что системы дифференциальных уравнений будут самостоятельным
объектом нашего изучения (глава VII), мы проведём доказательство
существования для системы п дифференциальных уравнений первого
порядка нормальной формы в наиболее общем виде; при этом для
полной симметрии в обозначениях мы вместо обозначений у,
У1> •>Уп-1 для искомых функций введём обозначения:
У1> Уч, -•уУп-
Таким образом, мы будем рассматривать систему:
^ = Л(Л У» Л> • • •> Уп),
= Л(Л Л> Уч..............У Л
(4)
^==/»(Л Л- Учу ••уУп);
142	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
2. Для доказательства существования решения системы п диф-
ференциальных уравнений нормальной формы (4) мы применим метод
последовательных приближений Пикара, причём доказательство будет
непосредственным обобщением того, которое было дано в главе II
для одного уравнения первого порядка.
Пусть для системы (4) задана система начальных значений х0,
У10), Х0>’ • • • > У(п‘ Мы введём следующие предположения относи-
тельно правых частей уравнений (4):
1) Функции	2, ..., п) непрерывны по всем аргументам
в замкнутой области
D: х0 —аОО04-а, уф — b	(z = 1, 2, ..., я).
Из непрерывности функций Д в области D следует их ограничен-
ность, т. е. существование такого положительного числа М, что
|Д |< М (z = 1, 2, ..., п) для значений аргументов, принадлежа-
щих D.
2) В области D эти функции удовлетворяют условию Липшица
относительно аргументов yv у2, ..., уп: если при данном х зна-
чения у{, у'р ..., у'п и у", у", .у" суть две какие-нибудь
системы значений, принадлежащие области D, то имеют место нера-
венства:
1Л(*> X» Х> • • •• Уп)— fi(x’ Х> Уг> ’ ХОК
< *{1Х- XI + IX- XI + ••• + IX- XI}
(z’= 1, 2, ..., п),	(5)
где К есть некоторое постоянное положительное число.
Заметим, что если функции Д имеют в области D непрерывные
частные производные по у1г у2, ..., уп, то, по теореме о конечном
приращении, имеем:
/Ах> Х> Х> • • • X)—Л <*> Х> Х> • • > у',0 =
где знак ( )- показывает, что аргументы yk(k—l, 2, . .., п)
должны быть заменены через yk =ук -ф- 9 (ук—ук), 0 < 6 < 1. В силу
непрерывности, частные производные являются’ ограниченными. Мы
можем взять наибольшее значение абсолютных величин всех этих
производных (i, k=l, 2, ..., zz) в области D за постоянную К
и получить из (5) неравенство вида (5). Таким образом, условие
Липшица выполняется при существовании и непрерывности в D
частных производных (i, k — 1, 2, ..., п).
§ И
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
143
Мы докажем, что в указанных предположениях 1) и 2) суще-
ствует одна и только одна система решений уравнений (4):
Л=Л(Х)>	•••> Уп=Уп(*)>
определённая для значений х в отрезке xQ— h х х0 “j- h, где
h = min fa, дГ) и принимающая при x~xQ заданные начальные
значения:
л(хо)=ЛО)> а(^о)=У20)> •••> уМ=у{%-
(6)
Вычисляем последовательные приближения одновременно для всех
искомых функций. За приближения нулевого порядка берём постоян-
ные у^; далее, приближения первого порядка будут:
/4 (х) = У1°> + J Л (х, У»), ..., у«>) dx,
(Л)
У{п} W = Уп + J /« (*’ /10)> • • • > У») dx-
Очевидно, что построенные функции являются непрерывными. Пока-
жем, что первые приближения, при |х— х0 | У h, не выходят из
области D. В самом деле,
1ЛЦ—Уо>1 = |УЛ(*> У0)> • ••, уг0,)й^|<м|х—
(Z = 1, 2, . .п)
(в силу определения числа /г).
Далее, определяем вторые приближения:
уа) (х) = у») + J А (х, у<», .. ., У’>) dx,
(72)
уч (X) =у«) у- у fn (X, у<», ..., уч) dx-
вообще, т-е приближения определяются через приближения (т— 1)-го
порядка такими формулами:
уу)(х)=у°) + у/Дх, у™-1), ..., y^-^dx,
(7т)
yl^ (x) = ут +lfn (х>	dx_
144	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Допуская, что (т — 1)-е приближения оказались непрерывными функ-
циями от х, мы видим, что т-е. приближения, как неопределённые
интегралы от непрерывных функций, также оказываются непрерыв-
ными. Легко доказать, что если (т—1)-е приближения не выходят
из области D при |х— х0 | h, то это же имеет место для прибли-
жений порядка т. В самом деле, в силу предположения о (пг— 1)-х
приближениях, мы имеем:
]fi (х, у'™'1', .... У,”1-1’)! при Iх — А'о1 < h 1, 2, • • •, «)=
и формулы (7,в) в таком случае дают:
\уТ}—ур\ =
= | J Л (х, У?1-»,	у<^) dx | < М IX — х0 К Mh < б.
Так как неравенство доказано для тя=1, то оно справедливо для
любого натурального т. Таким образом, все последовательные при-
ближения (7,ге) принадлежат области D при изменении х в отрезке
х0 — h^x ^xa-\-h.
Докажем далее, что последовательные приближения образуют
сходящуюся последовательность, т. е. что lim у'1ц>(х) существует
tn->00
(7=1, 2, ..., я).
Для этого, как и в случае одной функции, рассмотрим ряды:
У/> + ^(1) (Х) _д,(0)] + [д,(2) (х) _ ^1) (Х)] + . . .
.••44Xm)(x)—Xwl"1)(*)] + ••• G=l, 2, ..., п). (8)
Оценим абсолютные величины членов этих рядов, начиная со второго,
пользуясь для этой оценки условием Липшица. Имеем:
X
И1’ w -y^l I = I / fi (*> л0’. • • • > Л0’)dx I < м ।х - *01,
далее,
X
= | J 1Л {X, У/), .... ур) -Л (X, у$\ ..., уо))] dx | <
а?0
х
< I f I л (*> л1’. • • • > л1’) -л Ж • • • > Л0)) I dx |, (8,)
«о
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ	145
и на основании условия Липшица и полученных оценок для
IX1’- Х0)1>
X
1Х2)СХ-X1* WI < IJ ~X'J I +  • • + \у% -у^ I} dx [ <
х0
< | J МпК | х — x0\dx\ — МпК ' r~’r° '~ (Z== 1, 2, .. .,/zj. (8О)
Хо
Допустим, что для члена Х”‘“1,(х)—_y(wl~2)(x) мы уже получили
оценку:
iX”1"1’ (х) _у»-3) (X) I < М (пК)т~*
(7=1, 2, . . ., «);
покажем, что аналогичная оценка, с заменой т—1 на т, справедлива
для следующего члена. В самом деле,
IXm,W—Х’л-1)(х)1 =
= | /	Х’й-1)> • • • > XT1J)—Л (*, Xm“2’>  • •, У“-2))] dx i <
x0	I
<| J1Л(*> ХГ-1)> • • •. XT-1’) —fi(*> y{™~2)> ’ X.’ra-2))l dx\^
X<j
X П	X
< к| J* 2 |X’”-1’-Xw-2) I dx | < M (nKf1-1 | f — ~2 i7 i dx =
Xq I — 1	Xq
«IV !>. iWl
= Af Г —^01-.	(8J
Таким образом, мы доказали, что оценка (8,п) справедлива для вся-
кого натурального т. Замечая далее, что \х — x0J<^/z, мы видим,
что все члены рядов (8), начиная со второго, соответственно не
больше по абсолютной величине, чем члены знакоположитель-
ного числового ряда
мг=1
Этот последний ряд, как легко проверить, сходится; следовательно,
ряды (8) сходятся равномерно для значений х в отрезке х0 — h
х х0-]~/г; так как их члены суть непрерывные функции, то и
146	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. TV
суммы их будут функциями непрерывными. Обозначим их через
¥((х) (Z=l, 2, .... п).
Мы имеем:
ОО
У (У=У0,4-2(Хг)— у{}~1У) = lim УГ’(х).
J=1	??z->co
Докажем, что функции Yt (х), У2 (х), ..., Уп (х) дают искомую
систему решений системы дифференциальных уравнений (4).
По самому определению у^(х) [см. (7т)] мы имеем: Д«»)(х ) =
= У?>; следовательно,
lim у«О(х0)= у(х0)=у°),
?га-»со
т. е. предельные функции }\(х) удовлетворяют начальным усло-
виям.
Докажем, что эти функции -удовлетворяют системе (4). В силу
равенств (7т), мы можем написать:
ос
у(Т} (х) = у? + J {ft (*. УГ-1) (*)> • • • > у{п~1') (*)) —
X
—fi (х, Y1 (Х)> • • • > Yn (*)) } dx •+ J/4 (х, Y! (х), .... Yn (х)) dx (9)
OSo
(Z = 1, 2, ..n).
Оценим абсолютную величину первого интеграла:
X
I/г1> •••> Yn)}dx\<
х0
X
< I J IЛ (* У”1"1’» • • •. УТ'^-fi {X, у, ..., Yn)\dx| <
X
«o
(последнее неравенство есть следствие условия Липшица). Так
как функции У”1-4 (х) (т= 1, 2, ...) сходятся в интервале
(х0—h, х04~й) равномерно к Yi (х) (Z = 1, 2, ..., и), то для лю-
бого наперёд заданного s можно найти такое N, что при т — 1 > ^
для всякого значения х в рассматриваемом интервале выполняются
неравенства:
1У/" ’) W- у (х) | < (Z = 1, 2, ..., /г),
§ И
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
147
и тогда для первого интеграла в формуле (9) получается, в силу
неравенства (9'), оценка при |х— х0|-СА:
X
I/..........................................
Следовательно, при т —> со предел этого интеграла равен нулю.
С другой стороны, по доказанному, lim у№> (х) = Y{ (х), и равен-
т-> оо
ства (9) дают в пределе:
Л?	•
ВД=Л0) + р(*> Г1> Yn}dx (г=1, 2, ..., я);
®0
дифференцируя обе части по х (производная левой части суще-
ствует, так как существует производная правой части — производная
интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу), мы полу-
чаем тождества:
(/=1, 2,	п),
т. е. функции У4(х), действительно, удовлетворяют системе (4) ’)•
Докажем далее, что полученное решение, удовлетворяющее дан-
ным начальным условиям, будет единственным. Допустим, что,
кроме системы решений (х), ..., Yn (х), существует ещё одна
система решений Zt (х), ..., Zn (х), причём У4 (х0) = Z4 (х0) =У<0)
(г = 1, 2, . .., п) и не все Z4 тождественно равны Y{. Таким обра-
зом, в силу нашего допущения (непрерывная) функция
Ф(х) = |т1(х)-г1(х)| +
+1	(х) - Z2 (х) I + ... +1 Y„ (х) - Zn (х) I (10)
не равна тождественно нулю в отрезке (х0 — h, xa-\-h). Без огра-
ничения общности мы можем допустить, что Ф(х)уДО при значе-
ниях х, сколь угодно близких к х0 и, например, больших, чем х0
(если бы при Xq^x-^Xj было Ф(х) = 0, а неравенство выполня-
лось бы впервые для значений х, больших, чем xt и сколь угодно
!) Условия Липшица в этой части доказательства введены лишь для
простоты оценки интеграла в формулах (9); стремление этого интеграла
к 0 при m -> оо следует из одной непрерывности функций /4 по аргументам
Д'1,	и из равномерного стремления У(Пг~1> (х) к предельным функ-
циям 1)(х); доказательство, не использующее условий Липшица, проведено
нами в главе II для случая одного дифференциального уравнения.
148	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [гл. IV
близких к нему, то мы заменили бы в последующих рассужде-
ниях х0 через Xj) 2).
Рассмотрим отрезок [х0, x0-j-/i1], где h,— любое положительное
число, меньшее или равное h. По допущению, Ф (х) принимает
отличные от нуля, следовательно, положительные значения в интер-
вале [х0, Xq-^-Aj] для значений х, сколь угодно близких к х0,
значит, при сколь угодно малом hx. В силу известного свойства
непрерывных функций функция (10) достигает своего положитель-
ного максимума 0 в отрезке [х0, Xq-J-AJ для некоторого значения
х==?, где х0 < $	х0-{- hv Так как наши функции Yi(x) и Z4(x),
по предположению, удовлетворяют системе (4), то мы имеем
тождества:
Г„..„ Г„),
откуда
^^=Д(х, Yv ..., У„)-/Дх, Z1( ...,Z„)	(11)
(z = 1, 2, ..., п).
Интегрируя тождества (И) в интервале (х0, х), где х — переменное,
принадлежащее отрезку [х0, х0—[—ZeJ, получаем:
X
Yt (х) - Z, (х) = J {А (х, У,, ..., Yn) Zp . .., Zn)} dx
(z'= 1, 2, ..., n).
Оценим разности в левых частях этих равенств, пользуясь условиями
Липшица и тем, что значение функции (10) в отрезке [х0, Xg-j-fiJ
меньше или равно 6. Находим:
I
X
< J /< {|	(X)-Z2 (х) 1+ ... + I (x)-Z„(х) I} dx <
а?0
< K§dx = Ю(х — х0)	(z=l, 2, .п).
!) Множество Е значений х в замкнутом интервале [xq — й, х0 -(- й],
при которых непрерывная функция Ф (х) равна нулю, есть замкнутое мно-
жество; за точку можно выбрать любую точку множества Ё, предельную
к дополнительному множеству; такая точка необходимо существует, если Е
не совпадает со всем интервалом [х0 — h, х0 + 7г], но в последнем случае
имеет место единственность.
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ	149
Складывая последние неравенства для z=l, 2, п, находим:
| Y, (x) — Zt (х)| + ... +1 Kn(x)-Z„ (х) | <
< /гК9 (х — х0) nKbh-, (12)
для всякого х, удовлетворяющего неравенствам:
ХоООоН-Л-
Если мы возьмём, в частности, значение х = Е, то левая часть (12)
будет равна 0, и мы получим неравенство: 0 < nKyhv Оно при-
быть взято сколь угодно
тогда правая часть ока-
водит к противоречию, так как может
малым, в частности можно взять h,^~\
1 пК
жется СО, и мы получаем 0 < 0. Это противоречие доказывает един-
ственность решения.
Полученное нами решение’ определено только для интер-
вала (х0 — А, х0 А). Пользуясь языком многомерной геометрии,
мы можем сказать, что область D есть параллелепипед (и-|-1)-мер-
ного пространства, прямоугольные координаты точек которого суть
х, У1> Уч> • • Уп'у решение^ =yt (х) (z= 1, 2, . . ., п) будем назы-
вать интегральной кривой в этом пространстве, проходящей через
точку (х0, уТ, д4°\ • • •, У^п) *)• Если хоть один из концов получен-
ного отрезка интегральной кривой, соответствующих значениям
х0 — А и х0-[-А, ещё является внутренним для области, в которой
функции f{ удовлетворяют условиям 1) и 2), например конец, соот-
ветствующий x = x0-j-A, то можно взять точку x<o> = x0-\-h, у^' =
— )’i	z=l, 2, ..., и за новую начальную точку и, исходя
из неё, определить дальнейший отрезок интегральной кривой при
значениях х в некотором интервале
(х^-АЧ х^ + А^).
В силу теоремы единственности эти кривые совпадают в . общей
части отрезков
[х0 — А, х0-рА] и [xq’ — А(1), Xq1’-ф-А(1>].
Таким образом, мы продолжили наше решение, определив
его на большом интервале; это продолжение возможно до тех пор,
пока мы не подойдём как угодно близко к границе той области,
в которой функции ft удовлетворяют условиям 1), и 2). Таким об-
разом, шаг за шагом, мы определим интегральную кривую.
*) При п = 2 мы имеем обычное трёхмерное пространство и обычную
пространственную кривую.
150
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. IV
Вспомним теперь, что одно дифференциальное уравнение «-го
порядка вида
сводится к системе (4) специального типа (3), (3'):
dy _ „ dyx _	dyn_2 _
dx У1’ dx -У'2’ dx У
y, yv yn_J.
Применяя к этой системе доказанную теорему существования и
вспоминая связь между функциями yt и производными от у, суще-
ствующую в данном случае, мы можем сформулировать следующую
теорему существования (и единственности) для уравне-
ния (1'):
Уравнение п-го порядка, разрешённое относительно старшей
производной, правая часть которого непрерывна по всем аргумен-
,	„	dy
там и удовлетворяет условию Липшица по аргументам у, ...
dn 1 у	,
..., ---у-, имеет единственное решение, удовлетворяющее на-
dx”
dy !
чальным данным: при х = х0 имеет место _у = _у0, ^ = _у0, •••
dn'
’ dx‘
у(оп (задача Коши)*)•
3. Теорема Коши утверждает существование частного реше-
ния системы обыкновенных дифференциальных уравнений, именно
решения, удовлетворяющего данным начальным условиям. Геометри-
чески это означает, что существует интегральная кривая, проходя-
щая через точку (x0, д40), у%\ . .., у'п).
Однако приведённое доказательство позволяет построить также
общее решение. Будем рассматривать х0 как данное число,
(0)	(0)	(0)
a >i > у-i, ..., уп —как переменные параметры, которые могут
принимать различные числовые значения, не выходящие, однако,
из области D.
Для каждой такой системы начальных значений получится своя
интегральная кривая. Через каждую точку (я 1)-мерного про-
странства, лежащую достаточно близко к «гиперплоскости» х — х0,
проходит интегральная кривая нашей системы; в самом деле, рас-
смотрим какую-нибудь точку Р(х0, у^\ ..., у^) и проходящую
Ч Если правая часть уравнения я-го порядка является в некоторой
области непрерывной функцией всех аргументов, но не удовлетворяет усло-
виям Липшица, то может быть доказано существование решения, но не его
единственность; ср. главу II, § 1, 5.
§ 1]	ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ	151
через неё интегральную кривую; если |х0— х0| достаточно мало, то
эта интегральная кривая может быть продолжена до значения х = х0,
причём ур	уп примут при х = х0 некоторые значения уУ,
^20), • •>Уп)- Тогда кривая, определённая начальными значениями
(х0, Д0’, У0), ..., уп^, пройдёт через точку Р. Итак, через каждую
точку некоторой области D', лежащей внутри области D, проходит
интегральная кривая, определяемая при x — xQ начальными зна-
(0)	(0)	(01
чениями д/i ,	, •••, Уп , в силу единственности через каждую
точку D1 проходит только одна такая интегральная кривая. Фор-
мулы (7,), (72),	(7Ш) показывают, что последовательные при-
ближения Ут) являются непрерывными функциями параметров УД
уг\ ••,Уп\ в силу равномерной сходимости Д”0 (х) к предель-
ным функциям у{(х) эти последние тоже являются непрерывными
функциями этих параметров:
,, __и (v „(0) ,/о)	.,(0) „(ох
У1 ?i (Л» У1 > У% > • • ч Уп ), У2 — % v*-> У1 > • •  > Уп ), • • •
,	(0)	(0),	(13)
• ••> Уп = <?п (х, у{ ..., Л);
формулы (13) дают выражение общего решения системы (4)
в области D'\ мы видим, что это решение непрерывно зависит от п
произвольных постоянных, каковыми в нашем выводе являются
параметры До).
Возвращаясь к интересующему нас в этой главе случаю одного
дифференциального уравнения п-го порядка, замечаем, что входящей
в задачу искомой функцией является у, а функции ylt у2, ..уп_,
являются вспомогательными; поэтому из совокупности формул вида (13)
нас интересует только та, которая даёт выражение для у; входящие
в неё начальные значения вспомогательных функций суть в нашем
случае начальные значения производных от у.
Таким образом, общее решение , уравнения (Iх) имеет
вид:
У = ® <х, Уь, у'о, • • Уо”-1)).	(14)
Замечая, что начальные значения уо, уо, , Уо”-1’являются параме-
трами, т. е. произвольными постоянными, мы приходим к выводу:
Общее решение уравнения п-го порядка содержит п произволь-
ных постоянных и имеет вид:
_у = ©(х, Ср С2, ..., С„).	(14')
Если соотношение, связывающее х, у и п произвольных постоян-
ных, дано в виде, не разрешённом относительно у.
Ф(х, у, С1Э' С2, ..., Сп) = 0,	(15)
то мы будем называть такое соотношение общим интегралом урав-
нения (1) или (1').
152
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[гл. IV
В теореме существования мы получили в качестве произвольных по-
стоянных начальные значения функции и её п — 1 последовательных про-
изводных; при фактической интеграции уравнения /г-го порядка мы
обыкновенно получаем другие произвольные постоянные; однако, если
их число равно п, то мы при выполнении некоторых условий сумеем
из формулы (14х) или (15) получить (в некоторой области) любое
частное решение, т. е. решение, удовлетворяющее начальным данным
Коши; при выполнении упомянутых условий мы также будем назы-
вать формулу (14х) общим решением, а формулу (15) — общим инте-
гралом уравнения (1) или (Iх). причём постоянные С,2, ... Сф уже
/	(п— 1)
не являются непременно начальными значениями для у, у у .. у
Покажем, как решить задачу Коши, если известно
общее решение (14х). Из соотношения (14') и тех, которые полу-
чаются из него дифференцированием по х, подставляя в них вместо х
начальное значение х0, а вместо у, у', ..., у(п~Ъ их начальные зна-
чения, мы получаем равенства:
9 (Х0> Cl’ Q, •••> Ql)---------_Уо>
Qo- Q> Q> • • - I Ql)=yo,
(16)
?(-D(x0, Q, c2, ...,сл)=уГ’;
рассматривая равенства (16), как п уравнений с п неизвестными,
С2, ..., Сп, мы получим, вообще говоря, числовые значения С\,
Q, . . ., Сп, соответствующие тому частному решению, которое отве-
чает данным начальным условиям (2). Точно так же, если дан общий
интеграл (15), то, подставляя в него вместо у решение (14х) уравне-
ния (1), полученное разрешением уравнения (15) относительно у,
мы получим тождество; дифференцируем его по х, помня, что у
является функцией х, и подставляем в полученные равенства началь-
ные значения (2); получаем:
ф Qoi Ув> Qi Qi • • • i Q) — Q
(16х)
.dx’1-1 /o'”’	W/0 Уй
[символ ( )0 указывает, что в данном выражении вместо х и у
следует подставить х0 и у0]. Мы опять получаем п уравнений для
§ 11
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
153
определения п неизвестных, Ср С2, Сп, т. е. мы и в этом слу-
чае можем, вообще говоря, решить задачу Коши.
Примечание 1. Разрешение системы (16) или (16') относи-
тельно Ct, С2, Сп заведомо возможно лишь для тех начальных
значений, при которых выполняются условия существования неявных
функций, т. е. вблизи такой системы х0, у0, у0, .. .,у^\ Ср С2 ... Сп,
которые удовлетворяют системе равенств (16) или (16z) и для кото-
рых якобиан от левых частей соответствующих уравнений по Ср
С„, .. ., Сп не обращается в нуль. Если этот якобиан тождественно
равен нулю, то определение Ср С2, ..., С„, т. е. решение задачи
Коши, невозможно для произвольных начальных значений _у0> .Уо, . • •
.. . (даже в малой области). Тогда мы скажем, что п постоянных
Ср С2, .. ., Сп в выражении (14') или (15) не являются существен-
ными, и эти выражения не представляют общего решения.
Примечание 2. Как и в уравнениях первого порядка, может
представиться случай, когда формула вида (14'), содержащая п про-
извольных постоянных, не даёт всех частных решений, определяемых
начальными данными Коши.
Пример 1. Уравнение _у(1—1п_у)У'-ф (1-ф 1п_у)_у'2 = О при
у ф 0, у ф е приводится к виду (1') с правой частью, непрерывной
и имеющей непрерывные производные по у и у'. Следовательно,
решение, определяемое начальными данными х0, у0, у о при условии
у0 Ф 0, ф: е, является обыкновенным. Решение, содержащее две произ-
вольные постоянные а, Ь, даётся (как легко проверить) формулой
,	Л. “j— L<
' г -A- h
Однако из этого решения нельзя получить частные ре-
шения, определяемые начальными условиями х = х0, у =у0 {ф 0> Ф е)>
у' = 0. Эти частные решения получаются из формулы у = С
(легко видеть, что постоянное значение у удовлетворяет уравнению).
В этом случае мы принуждены сказать, что общее решение уравне-
ния даётся двумя формулами: 1п у =
х + а
х + Ь’
у = С.
Примечание 3. Уравнение вида (1) может быть разрешено
относительно дХ’ф т. е. приведено к виду (1') вблизи любых началь-
ных значений х0, у0, у'о, . .., у1ф, удовлетворяющих условию:
FОф л>>	•••> Лп)) = °>
если только для этих значений аргументов производная
др
ду1,1>
Все последующие рассуждения имеют силу только в этом предполо-
жу?
жении. Рассмотрение тех значений, для которых производная ——:
ду{п)
обращается в нуль, привело бы к рассмотрению особых решений
уравнения w-го порядка; мы на этой теории останавливаться не будем.
154	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Дальнейшей целью настоящей главы будет — установить некоторые
случаи, когда уравнение (1) или (1') может быть проинтегрировано
до конца в квадратурах или, по крайней мере, когда задача его
интегрирования может быть сведена к интегрированию дифференциаль-
ного уравнения порядка, меньшего, чем п.
§ 2. Типы уравнений n-го порядка, разрешаемые в квадратурах.
1. Уравнение вида
У»)=/(л-)	(17)
легко интегрируется в квадратурах. В самом деле, из уравнения (17)
последовательными интеграциями получаем:
уя-1) — J* f (Х) ([х Q, у«-21 _ J dx J у’ (Х) dx	С1 (Д. С2,
Я-n	Xq
уя-з) = J у dx	с2(х — x0) + <73, ...
Д-’З	Xq
и. наконец,
XX	X
У = ( dx j dx ... ^	----h
Xf
n раз
+ _Cyx^pi + ...+cjl_](x-x0) + C„.	(18)
Формула (18) даёт общее решение уравнения (17); при этом из
промежуточных формул очевидно, что формула (18) представляет
решение такой задачи Коши — найти решение уравнения (17), удо-
влетворяющее начальным данным: при х = х0
v — с v' = С	v(n-2) _ q v(n-i) __ с
Уо п’ Уо ''п-1’	•••’ "о S’ У О	Н"
Следовательно, первый член правой части в формуле (18)
X X	X
y = ^dx$dx...$f(x)dx	(19)
ха	х1}
представляет частное решение уравнения (17), которое вместе со
своими производными до (и—1)-го порядка обращается в нуль при
х — х0.
§ 2]	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ	155
Это выражение (19), содержащее «-кратную квадратуру по х,
может быть преобразовано к такому виду, где содержится только
одна квадратура по параметру.
Начнём со случая п = 2; обозначая для большей ясности перемен-
ные интеграции в двух интегралах
различными буквами, имеем:
а> х
у = J dx У / (^) dz.
а'о
Рассматривая правую часть по-
следнего выражения как двойной
интеграл в плоскости хОг, мы ви-
дим, что он распространён на пло-
щадь заштрихованного треугольника
(черт. 24); мы можем переменить порядок интеграции, взяв пределы
по х от z до х, а по z от х0 до х (формула Дирихле); имеем:
г)/ (г) dz.
Рассмотрим далее случай л = 3:
По предыдущему, две внутренние интеграции мы можем заменить
одной по параметру z, т. е. написать:
X X
у = У dx j' (х — z)f (z)dz.
Хп Xq
Интеграция опять распространяется на тот же треугольник плоско-
сти хОг; меняя порядок интеграции и изменяя пределы, находим:
f dz f (x — z)f(z)dx=j’ /(z)dzj
x0 z	x0	г
= ff & • dz = 7 f& dz'
X'S
156
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. IV
Переходим к любому я; допустим, что для п — 1 справедлива
формула
X
(„ j-oji J (*— z)n-^f{z}dz.
Xq
Тогда получаем:
XXX	XX
J dx J dx ... J f (x) dx =	2)| J dx § (x — z)n~2f (z) dz =
Wg	Xq	Xq	Xq	Xq
n раз
XX	X
(-n~-2)1 J f(z)dz | (x —f <x~zy-'f^dz,
Л?л	Z	Xq
т. e. та же формула справедлива для п. Итак, окончательно имеем
для всякого натурального п:
X
Л =	(x-z)^f(z)dz
Xq
(19')
(формула Коши). Формула (19') представляет решение уравне-
ния (17), удовлетворяющее начальным условиям:
у — 0, у' = 0, ..., у»-1> = 0 при х = х0.
Легко, обратно, убедиться дифференцированием в справедливости
обоих этих утверждений.
d’&y
Пример 2.	= In х; начальные значения х0=1, yQ1
у" — любые числа. Имеем:
I (-« — 1) Z I
У=Уо+ —г^Уо^
(х-1у
1-2
Уо+Г.
где
У = 2 J (х — г)91п г <Уг.
1
§ 2]	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ	157
Интегрируя по частям, находим:
X
X
= 4- f (—---------Зх2 -4- Зхд — z2] dz ==
6 J \ z 1	)
i
= ± (Xй In х — Зх2 (х — 1) + пу- (х2 — 1)-х ~~ 1 =
О \	2	о /
--: -A. v-8 1 П V-11	.,1— -А V --— V —|— —J—
6 х 1Г1 х	36 X -у- 2 х	4 * Т 18 •
Мы получили, таким образом, частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям Y == О, Y' — О, У" = 0 при х=1. Чтобы полу-
чить искомое общее решение, связанное с задачей Коши, мы должны
прибавить квадратный трёхчлен относительно х—х0; получим:
У ~Уо +	+ ~'Х1~2)2 X +
4-уХй1пх —-gg-x34-2-x2—Y^ + -[g-^
Если мы просто желаем получить общее решение (содержащее три
произвольные постоянные), то достаточно заметить, что, в силу
произвола выбора значений уй, _у', коэффициенты при х2, х и
свободный член в последнем выражении являются совершенно произ-
вольными, и мы можем написать искомое общее решение в виде:
У = 4 х31п х — х3 -{- С2х2 + Сус 4- Со;
о	ои
Со, С\, С2 — произвольные постоянные.
Если дано уравнение вида:
f(yW, х) = 0,	(17')
то, разрешив его относительно у(п), мы приведём его к виду (17), и
все предыдущие рассуждения сохраняют силу. Но иногда удаётся
разрешить это уравнение в элементарных функциях лишь относи-
тельно х или, в более общем случае, выразить х и у в функции
параметра t\ тогда интеграция уравнения (17') может быть тоже
сведена к квадратурам, выраженным явно. Пусть параметрические
уравнения, эквивалентные уравнению (17'), суть

(17")
158	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. (V
По определению, dy'n~= у№ dx, или, в наших условиях, =
= ф (/) <р' (/) dt, откуда
yn-i) — J ф (t) dt-,
далее,
yn-2) = Jyii-i) dx _ J dt J (f)dt и т. д.
(Мы не пишем произвольных постоянных, включая их в знак не-
определённого интеграла; если написать их явно, то, например,
в выражении для у»-1) появится член Cv в выражении для у<п~%Ь—
члены (?2 и Сус или C^(t) и т. д.)
В результате получим:
х = ?(0> y = $(t, с„ с2,.... спу,
если из этих двух соотношений исключить t, получим общий инте-
грал уравнения (17').
Примечание. Формула, к которой мы приходим, содержит «-крат-
ную квадратуру; можно, аналогично формуле (19z), и в этом случае получить
частное решение, содержащее одну квадратуру и решающее задачу Коши
о нахождении решения уравнений (17') или (17"), обращающегося в нуль
вместе с п — 1 последовательными производными при х = ха. Для этого
заметим, что первая из формул (17") есть не что иное, как формула замены
независимого переменного; итак, мы должны в формуле (19х) заменить х
через tp(Z) и входившее в эту формулу z— через ту же функцию <?(«) от
нового параметра и. Мы имеем, далее, в формуле (17х)yW ^=f{x) =/[<р(ОЬ
а это выражение по второй из формул (17") равно ф (0- Наконец, пусть
начальному значению х0 соответствует значение Iq параметра t. Мы получим:
t
У — („J.-]), J [?(0 —	(«)<?'(«)du. (19")
to
Пример 3. еУ" -}-у" — х. Здесь разрешение относительно у"
в элементарных функциях невозможно; за параметр t естественно
взять у", и мы получаем параметрические уравнения: х = ed -|-t,
у" = t. Отсюда
dy' =у" dx = /(^ + 1) dt = (te* — f) dt,
y=J +	4-4+^;
далее,
dy=y'dx — J [((—	+
У — J y' dx C2 —
§ 2]
ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ
159
или
^ = (4-|)е2#+(4-1+С1) + т +
Последняя формула вместе с выражением для х, х — е*-]— t даёт
параметрическое представление общего решения данного уравнения.
2. Уравнение вида
/=(/»), yra-i)) _ о	(20)
приводится к квадратурам при любом натуральном п.
Предположим сначала, что уравнение (20) разрешено относи-
тельно У "С
у») = / (у »-D);	(20Л)
вводим новую функцию z: z=yLn~V' уравнение (20') примет вид:
гу=/(г).
Из этого уравнения получаем с помощью разделения переменных
его общий интеграл:
х4-с = f dz
1 J /(*) •
Допустим, что это соотношение разрешено относительно г:
г = ® (х, С\).
Заменяя z его значением У'г-1>, получим уравнение (/г — 1)-го по-
рядка :
у»-Ц = о(х, Су,
которое рассмотрено в п. 1 настоящего параграфа; при его интегра-
ции войдут ещё п—1 произвольных постоянных, и мы получим
общее решение уравнения (20) в виде:
у — J dx j" dx .
п—1 раз
.. J ® {х, Су dx -ф- С2х'г-3 -j-
+^^+...+0^
к + Сг
Если уравнение (20) неразрешимо в элементарных функциях относи-
тельно Уп\ но мы имеем выражения у№> и yin-V через параметр I:
у«) == о (/), у»-1) = ф (/),
ddn О
то соотношение dyt'n~r> — у^ dx, или dx=~—------------
ф/ (/) dt
dx~~—У—, откуда х получается квадратурой:
Р \t) ,
f ^(t)dt , ,
(20")
даёт нам
160
дифференциальные уравнения высших порядков
[гл. IV
Далее, находим последовательно:
dy(n-2) =y(n-i) dx =
z л	Т (0
v(n-2)_ f	,
dy(n-3) =y(n-2) dx>	, dy — y' dx
и, наконец,
У ~ J у' dx Cn,
t. e. опять представление у и х в функции параметра t и п про-
извольных постоянных Ср С2, ..., Сп, следовательно, общее
решение.
_з
Пример 4. ау'! = — (1-|-У2)2. Согласно, изложенной теории,
полагая У = г, получаем уравнение первого порядка:
а— — (У 1 У г'2)3> или dx =---------adz
dx	i / >	£ >
(1+Z2)a
откуда
z
x G = — a yr+z2 ’
Дальше удобно интегрировать в параметрическом виде:
2=y = tg?, х — у = — а—у-— a sin ср.
V1 + fg ?
Отсюда находим:
dy = У' dx = tg ср (— a cos ср d<o) = — a sin ср rfcp, у = a cos ср = С2.
Исключая параметр ср, получаем общий интеграл:
(X — СУ + ^-С2)2 = «2,
представляющий уравнение семейства всех окружностей радиуса а
на плоскости.
3. Уравнения вида
F(y<n\ у«-2)) = 0	(21)
также интегрируются в квадратурах. Введение нового переменного
2’ = у«-2) приводит уравнение (21) к уравнению второго порядка:
Р(з", е) = 0.	(22)
Если уравнение (22) разрешено относительно z"y т. е. имеет вид:
г"=/(г),	(22')
§ 2]	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ	161
то один из методов его интеграции таков: умножив обе части на 2г'>
получаем: 2z'z" = 2f (г) z', или в дифференциалах:
а!(г'2) = 2/(г)^г,
откуда
г'2 — 2 J/(г) dz-\-C\.
Последнее уравнение можно разрешить относительно производной
и разделить переменные:
\^2\f(z)dz + Ci
отсюда находим общий интеграл уравнения (22'):
J / 2^f(z)dz + Cl Х 1
Этот интеграл по замене z на ум~2) получает вид:
Ф(У™-2>, х, Ср С2) = 0,
т. е. уравнение вида (17/); оно интегрируется, как мы уже знаем,
квадратурами, причём эта интеграция даёт ещё п—2 произвольных
постоянных, и мы получим общее решение уравнения (21).
Если уравнение (21) дано в не разрешённом относительно у№
виде, но известно его параметрическое представление
у(п) = ? (/), у«-2) = * (t)t	(21')
то интеграция совершается следующим образом. Мы имеем два
равенства:
flfy(n-l) —	dy(n-2) —y(n-l) ^Х,
связывающих две неизвестные функции от t, именно х и у, исключая
делением dx, получаем дифференциальное уравнение для у»-*);
д,(П-1) ^(’>-1) = yW
или, в силу уравнений (21'),
rfytn-Г) — щ (^ у (f)
откуда квадратурой находим (У'1-1’)2; Далее получим:
уп-D = рЛ 2 J a (t) У (t) dt 4- С.
Имея параметрическое представление У”-1-’ и уп~2>, мы свели задачу
к типу (20"), рассмотренному в п. 2 настоящего параграфа. Даль-
нейшие квадратуры введут п — 1 новых произвольных постоянных.
162
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. IV
- о d^y d-y „	„
Пример 5. а2Полагая у =г, приходим к урав-
нению: a~z" = z\ умножим обе части на 2г':
2а2г'г" = Чгг', или 2а2г'dz' = 2г dz.
Интегрируя, находим:
а2г/2=г24-С1,
откуда
dz ____________________________ dx
ууус[~~~^'
Вторая интеграция даёт:
In (z-j- ]/г2 Су — In С2, или z у У z2 У Ct — Су “.
Чтобы разрешить последнее уравнение относительно г, выгодно
поступить следующим образом: делим 1 на обе части последнего
равенства:
1 1
г + У + ^1	£-2
в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе,
затем умножаем обе части на — получаем:
______ г _у_
z — У z2 -j- б?! = —	е а .
Складывая это уравнение с исходным и деля на 2, получаем:
Подставляя вместо г его значение у" и интегрируя два раза, находим;
у — Аеа У Be а У Сх У D,
где А, В, С, D — произвольные постоянные.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
106.	у"'2 + х« = 1.
Указание. Удобно ввести параметрическое представление.
107.	у" =
Уу
£
108.	аУ'у" = (1 + СУ У.
109.	у'" = У 1 + у"2.
4. Приложение к динамике точки. Уравнения второго по-
рядка, принадлежащие к рассмотренному типу, встречаются в задачах
динамики; они соответствуют движениям материальной точки, проис-
§ 2]	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ	163
ходящим в одном измерении под действием силы, зависящей
только от положения точки. Обозначая переменную координату
точки буквой х. а время буквой /, предполагая величину силы заданной
функцией f (х) и считая для простоты массу точки равной единице, мы
имеем уравнение движения:
z/2 v
(А)
которое принадлежит к типу (22х). Мы предполагаем функцию f (х) непре-
dx
рывной. Умножая обе части на dt — dx и интегрируя, мы получаем:
X
1 / dx\2 Г
= J f^dx + C	(В)
—соотношение, называемое в механике интегралом живых сил. Если
начальному моменту t = 0 соответствуют начальное положение х0 и началь-
пая скорость f0, то постоянная интеграции С = -% v$.
Для дальнейшей интеграции напишем уравнение (В) при данном зна-
чении постоянной С в форме:
/ d х \2
\~dt)==FM	(ВО
и исследуем характер функций, удовлетворяющих уравнению (В7). Рассмотрим
сначала решение х = х0 уравнения (А), соответствующее состоянию покоя;
dx
в этом случае—= 0; следовательно, в формуле (В) имеем С — 0; далее, так
dt
d^ х
как-^-=0, имеем /(хо) = О- Это заключение можно было предвидеть
a priori, так как положение равновесия может осуществляться лишь в тех
точках, где действующая сила равна нулю. Мы отметим другое следствие;
решению х — ха соответствует корень кратности^ 2 уравнения
F{x) = 0,	(С)
так как F(x0) = 2 j"f(x)dx — (), F' (x0) =f (x0) = 0; очевидно, что и об-
ратно, если Xj есть кратный корень уравнения (С), то х = xt есть решение
уравнения (А).
Действительные движения, не сводящиеся к покою, могут существовать
лишь при положительных значениях постоянной С; данному начальному
значению х0 при данном С''>0 соответствуют два движения, так как уравне-
ж	dx
ние (В') определяет двузначную функцию :
= + /т	(в")
Эти два движения соответствуют положительному или отрицательному напра-
влению начальной скорости. Рассмотрим, например, первое движение. Если
164
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Ггл. iv
F(x) не обращается в нуль при л'о<х<оо, то решение первого уравне-
ния (B/z) получится из формулы:
dx
+TW7
(D)
причём интеграл в левой части существует для сколь угодно больших зна-
чений х; следовательно, х как функция t неограниченно возрастает.
Пусть теперь для некоторого значения > лу мы имеем:
F(xr) = 0.
Здесь возможны два случая:
а)	ид есть простой корень уравнения (С), т. е. F(хх) == 0,
F7 (xt)<(0 (знак < имеет место потому, что при возрастании х функция F
переходит к нулю от положительных значений). Функция F имеет вид:
F (х) = (X! — х) ср (х),	(Xi) > 0.
Интеграл в формуле (D) в пределах от х0 до х} сходится:
dx
*’> (•*! —-V)3 ffW
Итак, по истечении промежутка времени точка дойдёт
до положения xt; х = xt есть решение уравнения (В7) (особое —
глава III, § 4, 1); но этому решению не соответствует никакого движения,
т. е. решения уравнения (А), так как движению х = const., по доказанному,
соответствует кратный корень уравнения (С). В момент tx скорость движе-
ния равна нулю:
Вычислим ускорение:
(44 \=/(xi)=4F'(х^=- i 'х,) <°-
Отрицательное ускорение сообщит точке при t. отрицательную скорость,
т. е. для значений движение будет управляться вторым уравнением (В"):
—ц- = — VF(х). Координата х движущейся точки станет
убывать при t > Д
б)	Xj есть кратный корень уравнения (С): F(xt) =
= F' (л'1) = 0. Функция F имеет вид:
F(x) = (х2 — х)-’<Ь (л ); ф(х)>0 при x0<ix<^xb ф(х1)>0.
Интеграл
dx _____ ?	dx
+ VF(x) J (xt —х) /ф (X)
Я/Q	(Eq
§ 2]	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШАЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ	1G5
расходится. Следовательно, из формулы (D) имеем: когда х, возрастая, стре-
мится к х3, t возрастает неограниченно. Отсюда следует, что при
точка стремится асимптотически к положению х = х?
которое [в силу ранее сделанного замечания, см. стр. 163] есть поло-
же ни е разновес и я. Уравнение = — У/•’(х) может быть получено
из предыдущего заменой t па — /; следовательно, движение, соответствующее
начальному положению х0, асимптотически приближается к положению
покоя хР когда t—со. Рассматривая ту же траекторию при t возрастаю-
щем, начиная с того момента, когда движущаяся точка находится в сколь
угодно малой окрестности положения xt, мы видим, что в некоторый момент
опа займёт положение х0, т. с. удалится от х, на расстояние, превышающее
некоторую положительную величину — положение равновесия
является неустойчивым (при данном постоянном С).
Пусть теперь х0 лежит между двумя корнями уравне-
ния (С):
х2<хо<х3, F (х3) = F (х3) = 0, F(x)>0 при х2<х<х3.
Наибольший интерес представляет случай, когда оба корня простые:
F' (х3) > О, F' (х3) < 0.
Мы уже видели, что движущаяся точка, движение которой определено
начальными данными х0,	= + УF (хф, по истечении времени б займёт
\dt Jo
положение х3, после чего х начнёт убывать. Это убывание будет иметь
место в течение промежутка времени
х.,	Т1
у,_ Г dx _ р dx
“ J - Ута" ~ J Ута ’
Ж,	X.,
по истечении которого точка займёт положение х2: рассуждение, подобное
вышеприведённому, показывает, что в момент t< + Т произойдёт опять изме-
нение знака скорости; х будет возрастать, пока не достигнет значения х(,
г. е. в течение времени
f — т-
J VF (х)
при этом точка займёт начальное положение х0 в момент
(* /7 у	(* /7 у
ЖЖ=-=^+2Г-	-7та- = ^ + 2Г-/1 = 2 7'.
УЛ(Х)	J VF(X)
В этот момент скорость опять будет -|- УF(хф. Рассматривая момент 27'
как начальный, мы, ввиду независимости правой части уравнения (В') от /,
получим повторение того же самого движения. Итак, в рассматриваемом
случае решение уравнения (А) есть периодическая функция времени t
е периодом
[ -Дта.
J У^(х)
166	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
Это предложение есть частный (одномерный) случай общей теоремы Вейер-
штрасса об «условно-периодических» движениях.
Другие случаи наличия двух корней уравнения (С) легко разрешаются
на основании предыдущего. Если x2<Jx0<Jx1 и оба корня xt и х2 крат-
ные, то движения асимптотически стремятся к Х] при /~>-|-со и к х2
,	/ dx\ .	..	( dx\ ~п
при t -> — со, если -г-	> 0, и lim х = х.,, lim х — Хл при —т- < 0.
\ dt Jo	г-»+оо	\dt Jo
Если Xj—кратный корень, а х2— простой, то всякое движение при
t -+ ± со имеет пределом xlt а в промежутке координата х один раз прини-
мает минимальное значение х2.
X
Отметим, наконец, что если 2 j" f(x) dx = (х— х0)2ф(х), где ф (х)< 0,
то при значении С = 0 возможным движением является только покой:
х = х0. При малых положительных значениях С правая часть уравнения (В)
х
2ff(x)dx + C = (х-х0)2 ф (х) + С
Ж0
будет положительной лишь при малых значениях |х — х0|; следовательно,
при малом изменении С возле нуля точка при своём движении может лишь
мало уклоняться от положения х = х0, которое оказывается, таким образом,
X
устойчивым положением равновесия. Называя функцию — J"/(x)dx — С =
1	х0
=— у F (х) потенциальной энергией, мы приходим к заключению: макси-
муму потенциальной энергии соответствует неустойчивое положение
равновесия, минимуму —устойчивое.
П р и м е р 6. Уравнение математического маятника: — — у sin ?•
Положения равновесия даются из условия: sin ср = 0, т. е. ср — 0, ср = я; потен-
0
циальная энергия V = —у- cos ср — С имеет минимум при ср = 0 — это устой-
чивое положение равновесия, и максимум при ср = л — неустойчивое равно-
весие. Пишем интеграл живых сил:
4 т->з,-1>+с.
—	2^
принимая для простоты за начальное положение ср0 = 0. Если С > у-, то
правая часть всегда положительна и угол ср монотонно возрастает или убы-
2р"
вает во время всего движения. Если С = -j-, то правая часть равна
р	2р ср
у (1 -j- cos ср) = -S- cos2 у; она имеет двойные корни ср = ± л, соответствую-
щие положению равновесия; движения асимптотически стремятся к (неустой-
чивому) равновесию при/->±со. Пусть, далее, 0<С<2у; мы можем
положить С = у(1 — cos epi), 0<ср]<п. Интеграл живых сил примет вид
§ 3]	УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА	167
\	= y (cos ? — cos ?1)- Правая часть имеет простые нули при <р = ±
маятник будет совершать колебательные периодические движения ампли-
туды	Период одного качания есть
____ чд
Г= т/~ 1 f
' ig -J? Vcos v —cos
Наконец, значению С= 0 соответствует устойчивое положение равновесия
= 0. При С < 0 движения невозможны.
§ 3. Промежуточные интегралы.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
1. Промежуточный интеграл. Если мы имеем уравнение
n-го порядка
Е(х, у, у', ... ,_у(п)) = 0,	(1)
то, как уже сказано, соотношение
Ф(х, у, С1( С2, Сп) = 0,	(15)
определяющее решение этого уравнения и связывающее у, х и
п существенных произвольных постоянных, называется общим
интегралом уравнения (1). Иначе, общий интеграл можно опре-
делить так: соотношение (15) называется общим интегралом уравне-
ния (1), если, исключая из него и из уравнений, получаемых диффе-
ренцированием его по х (причём у рассматривается как функция
от х), произвольные постоянные С1г С2, ..., Сп, мы приходим
к уравнению (1) (глава I, § 1).
Пусть теперь мы имеем соотношение:
Ф (х, у, у', ..., yW, Скл 1( Cft+2, ..., Сп) = О, (23)
в которое входят производные до й-го порядка (производная
входит непременно) и п — k произвольных постоянных.
Дифференцируем это уравнение п — k раз по х, считая у функ-
цией х; имеем:
^+1)^0,
дх 1 ду 1	1 дуд*"л	’
____i__L -4-Д— v(«) = О
дх»-* -г- •••
(23')
Если в результате исключения из п — /г —J— 1 уравнений (23) и (23')
п — k постоянных (?^(/ = &-}-1, ..., /г) мы получим уравнение (1),
то соотношение (23) называется промежуточным интегралом
168	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [гл. IV
уравнения (1). В частности, если соотношение (23) содержит только
одно произвольное постоянное, т. е. имеет вид:
(х, у, у', у", ..., у(п~’1\ С) = О,
то оно называется первым интегралом уравнения (1).
Промежуточный интеграл (23), если в нём рассматривать у как
искомую функцию, сам является дифференциальным уравнением по-
рядка k, где k < п. Легко видеть, что каждое решение уравнения (23)
является решением уравнения (1); в самом деле, если _у = <р(х) есть
решение уравнения (23), то, подставляя это значение у в уравнения
(23) и (23'), мы обратим их в тождества; а значит, и уравнение (1),
которое является следствием системы (23) и (23'), обратится в то-
ждество, что и требовалось доказать. Если мы найдём общее решение
уравнения (23), то оно должно содержать k новых произвольных
постоянных Q, CQ, ...,Ск сверх входящих в самое уравнение пара-
метров Q+1, . . ., Сп, и мы получим решение уравнения (1), содер-
жащее п произвольных постоянных, т. е. общее решение этого по-
следнего уравнения. Таким образом, знание промежуточного инте-
грала вида (23) позволяет свести задачу интеграции уравнения
п-го порядка к интеграции уравнения порядка k < п, т. е. к задаче,
теоретически говоря, более простой.
В предыдущем параграфе мы уже встречались с промежуточными
интегралами; так, в пункте 1, при решении уравнения (17), мы пи-
сали последовательно промежуточные интегралы с одним, двумя, ...
.. ., п—1 произвольными постоянными, пока не получили, наконец,
общий интеграл (18); в пункте 2 для уравнения (20') мы снова нахо-
дили промежуточный интеграл г = о(х, СД где г=у('*~:1), с одним
произвольным постоянным (первый интеграл); для уравнения (21)
мы имеем первый интеграл (у<«-0)2 = 2 J f(z)dz-\-Ct и, далее, про-
межуточный интеграл с двумя произвольными постоянными. И в на-
стоящем параграфе, в дальнейших разделах, интеграция дифферен-
циального уравнения п-го порядка будет распадаться на два шага:
1) нахождение промежуточного интеграла и 2) интеграция уравне-
ния, представляемого этим промежуточным интегралом.
Примечание. Если мы знаем два различных первых интеграла урав-
нения (1):
(х, у, у', ..., у(п~1\ Ср = 0, 62 (х, у, у', ..., у(п -1), Са) = 0,
то исключение из этих соотношений производной	приведёт к проме-
жуточному интегралу, содержащему две произвольные постоянные. Анало-
гичный результат получим для трёх, четырёх, ..., п—1 первых интегралов.
Наконец, если мы знаем п различных первых интегралов уравнения (1), то,
исключая из них у', у", ..., уй’»-1), мы придём к соотношению, связываю-
щему х, у, Сь С2, ..., С„, т. е. к общему интегралу данного уравнения. Та-
ким образом, если известны п (различных) первых интегралов, то общее
решение уравнения получается без интеграции, при помощи исключения.
§ 3]	УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА	169
2. Уравнения, не содержащие явно искомой функ-
ции или независимого переменного. Пусть уравнение
и-го порядка не содержит явно искомой функции у‘ для общности
предположим, что оно не содержит также её k—1 первых произ-
водных у', .. .,yl~Ji~1\ и низшая производная, явно входящая в урав-
нение, есть y(F)	—1).
Уравнение имеет вид:
F (х, у^\ у7,'+1), . . ., У”)) = 0.	(24)
Полагая у(к> — г, мы заменяем уравнение (24) уравнением
F (х, г, г', .. ., z^-V) = 0	(24х)
порядка п — k. В противоположность случаям, рассмотренным в §2,
здесь мы не можем утверждать, что уравнение (24') всегда инте-
грируется в квадратурах. Но вместо уравнения /г-го порядка мы
получили уравнение порядка п — k у п. Допустим, что мы сумели
найти общий интеграл уравнения (24'):
Ф(х, г, С1( С2, ..., <?„_,.) = 0,
ИЛИ
Ф(х, yW, Cv С2, ..., С(1_ь) = о.	(25)
Уравнение (25) есть промежуточный интеграл уравнения (24), содер-
жащий п — k постоянных. Само уравнение (25) принадлежит к типу
(17') § 2, т. е. заведомо интегрируется в квадратурах, и, решая
его, мы найдём общий интеграл уравнения (24). Если /г = п, мы не-
посредственно имеем уже рассмотренное нами уравнение (17').
Пусть, далее, уравнение (1) не содержит явно х, т. е. имеет
вид:
Л(_у, У, У', .. ,,У’г)) = 0.	(26)
Здесь мы проведём такую замену переменных: в качестве новой
искомой функции вводим р=~у, за независимое переменное при-
нимаем у. Вычисляем в этом предположении производные различных
порядков:
v" =	=	= vdP
У dx dy dx Р dy ’
./ dp \
,,, __ dy" __ dy j dy Г । УрУ] = 02d2p I
dx dy dx P [/ dy2 1 \dy / J dy2 ' \dy)
Таким образом, вторая производная от у по х выражается через р
и третья производная выражается через р и его производные
не выше второго порядка. Легко доказать методом полной индукции,
что выражается через р, ...,	Подставляя выражения
170	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
для у", у'", yW в новых переменных в уравнение (26), полу-
чим новое дифференциальное уравнение порядка п — 1:
р (	dp	dn-ipX
РЛУ' р' dj.......dy^) = Q-
Если его удастся проинтегрировать, то его общий интеграл
Ф(у, р, Cv ..С„_1) = 0, или ф(Л Ср..., Cn_i) = 0,
который является промежуточным для уравнения (26), даёт диф-
ференциальное уравнение первого порядка, интегрируемое в квад-
ратурах.
Пример 7. Линия погони. Рассмотрим такую кинематическую задачу.
На оси Ох в положительном направлении движется с постоянной ско-
ростью а точка Р; на плоскости хОу движется точка М с постоянной ско-
ростью v так, что вектор
скорости всегда направлен в
точку Р; найти траекторию
точки М (черт. 25).
Обозначим декартовы
прямоугольные координаты
точки М через (х, у) и
абсциссу точки Р через X,
Из условия задачи имеем:
X=XQ-\-at,
dx2 -|- dy2 = v2 dt2,
dy  У .
dx X—x'
Из уравнения (А) имеем:
X — x = A’o — x + at\ затем
из (С):
X0-x + «« = -i-. (D)
(В)
(С)
dx
Принимаем x за независимое переменное (обозначаем производные от у пол:
штрихами) и исключаем из уравнения (В) имеем:
А = 1 /1+у2;
dx v 1
из уравнения (D), дифференцируя по х, находим:
— 1 а
dt
dx
уу"-у'2
y!-Z
или
d/ _ уу"
dx ay'2'
Приравнивая оба найденных выражения для , получаем дифферен-
циал ь н о е у р а в н е н и е линии погони:
у" = — —
J V у
§ 3]	УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА	171
Уравнение не содержит независимого переменного; согласно изло-
женному нами общему методу вводим новое переменное: у' = р, откуда
dp
у" = р	; получаем :
dp	а Р2	„Г-.—;-х dp	а Р
р = — — У 1 +Р1, или	У 1 + р2 9.
dy	v у	dy	v у	1 г '
Переменные разделяются:
dp _ a dy
р "/1 +р2 v у
Интегрируя, находим (замечая, что р отрицательно):
dp
dp 	p'i
откуда
Чтобы ввести произвольные постоянные наиболее простым образом, пред-
положим, что в момент, когда точки Р и М находились на одной параллели
к оси у, ордината точки М была равна у0 (т. е. что погоня начинается с по-
ложения М0Р0): в этот момент, очевидно, — = 0, и мы находим С = —; про-
Р	Уо
.межуточный интеграл пишется так:
}+/£>=(/
Освобождаясь от радикала, как в примере 5, находим:
Р Г '	\>о/
откуда
а	д	а	а
V , нлп d ’ Шу-ЛУри.
Р \Уо/ \Уо/	2 \\Уо) \Уо) I
Предполагая a^=v (мы будем считать, что т. е. что точка М может
догнать точку Р), получаем искомое уравнение линии погони при помощи
второй квадратуры:
1+—	1 ——
гЛ+Дг-Уо/ 2fi —-г-Уо/
\ "И v)	\ v)
9 Решение р = 0 в силу уравнения (С) даёт у = 0, т. е. движение по
прямой — оси Ох.
172	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ГгЛ TV
где постоянное CL легко определится через начальную абсциссу при
J' =_у0. Окончательно имеем:
Абсциссу точки встречи получаем, полагая у = 0; её значение
, «Уо	। av
=	+	+ Л ; •
V 1----7, I
\	V-)
Наконец, продолжительность погони
.У; — .у,. ув&
a v- — а-'
ЗАДАЧИ.
ПО. Проинтегрировать до конца уравнение линии погони в случае v = а.
Проинтегрировать уравнения;
111.	2 (2а — у)у" = 1 +У2.
112.	у" — ху'" +>"/3 = 0.
113.	уу" + у/2 — у- 1п_у.
3. Понижение порядка в однородных уравнениях
различных типов.
А) Пусть левая часть уравнения (1) есть однородная функ-
ция аргументов у, у', у", ..., у(п\ т. е. пусть выполняется
тождественно
F (х, ky, ky', ..., kyW) = k"‘F (х, у, у', . .., yW) (27)
для любого k; т есть показатель однородности.
Заметим, что если у, (х) есть решение такого уравнения, то Су, (х)
есть также решение (С — произвольная постоянная). В самом деле,
результат подстановки в левую часть уравнения (1) на место у вы-
ражения Сут (х) даёт произведение из Ст на результат подстановки
в то же уравнение функции у1 (х), что, по условию, тождественно
равно нулю. Если мы введём новую искомую функцию
и = In у,
то, по предыдущему, если (х) будет решением преобразованного
уравнения, то и, —In С = и, (х) Cj будет также его решением.
Иначе говоря, уравнение допускает группу преобразований Xj = х,
и, = и-\-С. Рассуждения, аналогичные проведённым в главе I (§ 3, 3),
показывают, что в таком случае искомая функция и не входит явно
в преобразованное уравнение. А тогда, как мы знаем, замена зави-
симою переменного
и' - Z
§ 3]	УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА	173
приводит к уравнению порядка п—1. Исключая промежуточное пе-
ременное и, получаем такую зависимость между у и г:
Итак, порядок рассматриваемого уравнения может быть пони-
жен на единицу введением новой неизвестной функции г, связан-
ной с у соотношением (28).
Проверим это рассуждение непосредственным вычислением. После-
довательно дифференцируя равенство (28) по х, находим:
i Z dx	tl	„ J Z dX f ///Io Z I J s
у = Ze~ , у — (z-)-z2)e ,y — (z -)-3zz' -j-z3) e , ... ,
и, вообще, y(k> выразится как произведение e^ на выражение,
содержащее z и его производные до порядка k — 1 J). Вносим эти
выражения в уравнение и замечаем, что, в силу соотношения (27),
имеем:
f zdx f zdx z , , f zdx
F (x, e3 , ze3 , (z' 4- z2) e3 , .. .) =
in I z dx „
==e F{x, 1, z, z +-a2, . ..)
(w—показатель однородности). Множитель е,'1Уг<7ж в уравнении мо-
жет быть отброшен, и мы получаем уравнение порядка п—1:
F(x, 1, z, z'-\-z2, . ,.) = 0.
Если его удастся решить, мы получим промежуточный интеграл урав-
нения (1), зависящий от п — 1 постоянных, вида
Ф(г, х, Ср С2, ..., C„_j) = O, или ф(=у, х, С„ С2, ;.., Сп_^ — 0.
Когда выражение функции z известно, то у получится квадратурой
по формуле (28), причём войдёт новое постоянное Су.
Г г <ta+ln С
У= е	п = Спе'
Пример 8. х-уу" = (у — ху')2. Уравнение — однородное второй
степени относительно у, у , у . Подстановка y — eJ дает уравне-
ние х- (г' -{- z2) = (1—xz)2, или x2z' -\-2xz—1=0 — уравнение
линейное. Решаем его:
Отсюда

с,
или у = Сусе х,
!) Этот факт легко доказывается полной индукцией.
174
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. IV
ЗАДАЧИ.
Решить уравнения:
114. уу" — у2 = 0.
115. хуу" + ху'2 —уу' = 0.
В) Другим типом однородных дифференциальных уравнений, до-
пускающих понижение порядка, являются уравнения, однородные
относительно х, у, dx, dy, d'y, ..., dny. Для установления этой
однородности пишем уравнение (1) в форме:
Ф(х, у, dx, dy, d2y, ..., dny) — 0.	(29)
Уравнение принадлежит к рассматриваемому нами типу, если функ-
ция Ф в формуле (29) однородна (степени т) в отношении всех
своих аргументов, т. е. если имеет место тождество:
Ф (kx, ky, k dx, k dy, k d2y, .. ., k dny) =
s= йтФ (x, y, dx, dy, d2y, .. ., dny).
Вид уравнения показывает, что оно не изменяется, если заменить х
через Сх и у через Су (С—постоянное). Если мы введём перемен-
у
ные и = — и х, то преооразованное уравнение будет допускать
группу преобразований и1 — и, х1 = Сх. Наконец, если ввести новое
независимое переменное $ = In х, то уравнение, связывающее и и Е,
будет допускать группу преобразований:
— и, Ej —- $ —|— С’,
отсюда следует, что в последнее уравнение не входит явно $
(см. главу I, § 3, 3); поэтому, как показано в п. 2 настоящего пара-
графа, оно допускает понижение порядка на единицу. Выписываем
формулы непосредственного перехода от переменных х, у к пере-
менным и:
х = е5, у — ие\	(30)
Проверим непосредственным вычислением результат этой замены.
Последовательным дифференцированием находим:
dx = е; dz, dy = в2 (du -yudiy
dy	du .
—= -jr -j- u.
dx	dz 1
Далее,
d2y___rf ।	—____ -t(diu I
dx2	di \di~^~ )dx \ di2 ‘ di)’
d3y __ d Г . f'd-u . d«\ l di _ ^(d2u	du\
dx3	di [ \ dz2 di 7] dx e \dl3	di)
И т. д. Итак, мы получаем:
x == e^, у — ue2, dx = e2 di, dy — ef- (du и di), ]
d-y — e2 (d-и -ф- du di), dsy — e(-(diu — du di2), ... j )
§ 3]	УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА	175
(при этом сРу, d3y, ... взяты в предположении, что независимое
переменное есть х, a d2u, d3u, ...—в предположении, что незави-
симое переменное есть $). Внося выражения (30') в уравнение (29),
мы, в силу однородности, можем вынести за знак функции Ф мно-
житель е™5 и сократить на него уравнение; получим:
Ф(1, и, di, du -ф- и di, d2u-\-dtidi, ..., d’lu= 0.
Мы получили уравнение /z-го порядка, в которое явно не входит
независимое переменное это уравнение принадлежит к типу, рас-
смотренному в п. 2 настоящего параграфа, и допускает понижение по-
рядка на единицу.
Пример 9. Уравнение
-г''И ~(ЙУ + 3У2-!’ (ц?У — (Зл>'2 + 2х3) + 2х*У +^3 = 0
—однородное третьей степени относительно х, у, dx, dy, d?y, делаем
подстановку x — d-, у = иеу тогда
4У__ i „ d2y _ frd2u . dy\
dx d; '	’ dxs \ rf;- di
Подставляем в уравнение и сокращаем на е35:
и" -ф- и' — (и' -ф- «)3 -ф- 3« («' -ф- я)2 — (3«2 -ф- 2) («' -ф- и) -ф- 2и -ф- и3 = О,
или, раскрывая скобки и производя приведение,
и" — «' — и'3 — 0.
Новое уравнение не содержит явно ни ;, ни и; полагая и'==р и
вводя и в качестве независимого переменного, имеем:
Р^Г—Р —
1 du г г
Оставляя пока в стороне
p=tg(« + C1), т. е. £
In sin (и -ф- С1;) = £ -j- In Cg,
к начальным переменным,
уравнение р = 0, имеем: du = Y~~t
= tg(“ + C1)> откуда -tg-(/" G) =di,
sin (и -ф- С\) = С2е% или, возвращаясь
sin (— -ф- Cj) — Су, или у = — Сус -ф-
-ф- х arcsin (Сус). Решение р = 0 даёт и =-С или у~Сх; это реше-
ние получается из общего, если в нём положить <?2 = 0.
С) Можно рассмотреть несколько более общий класс однород-
ных уравнений, именно уравнения вида (29), в которых функция Ф
однородна относительно своих аргументов, если считать х и dx
первого измерения, а у, dy, d2y, ... —измерения m; тогда ~ будет
176
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ, IV
иметь измерение т—1,	--измерение т — 2 и т. д. Для пони-
жения порядка применяем подстановку:
х = в', у = иет^;
мы будем иметь:
=	ти\ = е^~ I) ти\
dx \	* J dx	\dz ' J
d2y___£F	, VI ds___
dx- dt L \ d; "* /J dx
2)5 Г d-и I /л ч \ dii * r	1 \ "I
= e	+	—+	—l)«j, ...
Каждая производная содержит множитель е'- в такой степени, каково
измерение этой производной в функции F; поэтому е- в некоторой
степени выйдет за знак функции Ф. Мы получим дифференциальное
уравнение между и и $, не содержащее явно $, т. е. допускающее
понижение порядка на единицу.
Пример Ю.
л4 — (х3 2ху) ~ 4- 4 у2 = 0.
dx1 v 1 dx 1
Если х и dx рассматривать как величины первого измерения и
у, dy, (Ру— как второго измерения, то данное уравнение является
однородным четвёртого измерения. Согласно нашей теории, делаем
замену переменных: х = е‘, у = ие2'*. Находим:
dx \d; 1	/ dx- dt2 1 dt 1
При подстановке в уравнение множитель сокращается, и мы по-
лучаем;
^ + 3^ + 2tt-(1 + 2«) (^ + 2«) + 4«2 = 0,
или
| П71	\ du
-^-4-2(1-И)^ = О.
_	С	,	du
Согласно сказанному в п. 2 настоящего параграфа, полагаем — = р,
d'-u dp „
откуда -^т-=2о-Щ-. Получаем:
§ 4]
УРАВНЕНИЯ В ТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
177
Оставляя пока в стороне уравнение р = 0, рассмотрим уравнение.
l 2(1— и) = 0;
du 1 v 7	’
имеем:
dp — 2 (u~l)du, р = и2 — 2и-\-С1, ц2_^+
Проведём до конца интеграцию последнего уравнения в случае, если
корни двучлена в знаменателе действительны и различны, т. е. если
С{ = 1—а2, где «фО—новая произвольная постоянная:
du	du	du Q j.
(u—xyi — ai ~ a'' и— 1 —a ~ И —1 + ; ~~ a' ’
возвращаясь к первоначальным переменным и потенцируя, находим:
у — (14- а) х2
у — (1 — а) х~
= С2х2’,
откуда
(1 4- я) х1 — С-, (1 — а) х2* + 2
У------------------------
Уравнение р = 0 даёт у = Сх2— семейство решений, получаемое
при С2 = 0.
Примечание. В некоторых случаях уравнение высшего порядка
удаётся проинтегрировать до конца, применяя к нему последовательно раз-
личные способы понижения порядка уравнения. Но надо помнить, что возмож-
ность понижения порядка, а тем более приведения к квадратурам является
исключительным случаем для общего уравнения порядка п. Если для практи-
ческих надобностей надо проинтегрировать уравнение /г-го порядка, неразре-
шимое в квадратурах, приходится прибегать к численным или графическим ме-
тодам; так как при этом задача, вообще говоря, является тем более трудной,
чем выше порядок уравнения, то представляющуюся возможность пониже-
ния порядка следует использовать перед численным интегрированием к в тех
случаях, когда она не даёт возможности довести уравнение до квадратур.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
116. пх3у" = (у — ху1)2.
117. _у3 (х'-у" — ху' -J- у) = х3.
118. труду" — Зху2у' 4~ 4у3 4- х6 = 0.
§ 4. Уравнения, левая часть которых
является точной производной.
Если нам удалось убедиться, что левая часть уравнения (1) есть
полная производная по х от некоторого дифференциального выра-
жения (п—1)-го порядка, т. е. что мы имеем тождественно по
х, У, у'> • • •> У^ соотношение
F (х> У, У' 1 • • • > У^) — Ф (х, у, у', . . .,
178	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IV
ИЛИ
Ь У.......УЯ)) = £! + ^У + • • •	(31)
то очевидно, что каждое решение уравнения (1) является решением
дифференциального уравнения:
Ф (х, у, у', ... , уДя-1)) = С,
(32)
и, обратно, каждое решение уравнения (32) является решением урав-
нения (1). Таким образом, соотношение (32) является первым инте-
гралом уравнения (1); нам удалось понизить порядок уравнения на
единицу.
Пример 11. у"—ху'—у=0. Левая часть есть, очевидно,
точная производная по х от дифференциального выражения у'—ху,
следовательно, имеем первый интеграл у' — ху = С,г В данном случае
легко получить в квадратурах общее решение, так как полученное
уравнение — линейное первого порядка. Мы находим:
= Je 2dx-j-CaJ.
В некоторых случаях левая часть уравнения (1) не есть точная
производная, но можно так преобразовать данное уравнение, чтобы
в новом уравнении левая часть оказалась точной производной. Не
останавливаясь на общей теории этого вопроса, покажем, как при-
меняется это замечание на практике. Один случай применения этого
метода мы имели при интеграции уравнения (22'), которое, по умно-
жении на производную искомой функции, обращалось в такое урав-
нение, обе части которого были точными производными. Рассмотрим
ещё примеры.
Пример 12. у"у	2_у2_у'2 +У2 =	. Разделив обе части
v"	у' 2
на уу’, имеем: ~ -ф- 2уу' -ф- — — — . Обе части суть точные произ-
У	ух
водные. Первый интеграл имеет вид: In j/= 2 In х
откуда уу'еу = Су2', обе части опять являются точными производ-
ными. Отсюда полный интеграл-^- еу‘ =	4- (?2, или у = Иln(Ciх3-фС2)
(С} и С2 — произвольные постоянные).
Пример 13. Уравнение уу"—2у'2 проще
следующим образом: делим обе части на у'у',
— в обеих частях точные производные. Далее,
всего интегрируется
у' 2у'
получаем:	= —
J У' У
1п/ = 21п у-ф1пС., =	=	у = _—J—
z	л 1	2’ dx	> yi 1	> х СуХ-уС.
§ 4]	УРАВНЕНИЯ В ТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ	179
ЗАДАЧИ.
119.	Найти первый интеграл уравнения
у'у" — х1уу' — ху2 = 0.
Проинтегрировать до конца уравнения:
120.	х (х2у' + 2ху)у" + 4ху'2 + 9>хуу' + 4у3 — 1=0.
121.	х {ху + 1)у" 4- х-у'2 + (4ху -f- 2) у' + у2 4-1=0.
Проинтегрировать уравнения :
122.	уу" — у'2— у'* = 0.
1
123.	а2у" = 2х (1 4-У2Л
124.	х2уу" х2у'2 — Ьхуу' 4- 4_у2 = 0.
125.	у (1—1п_у)_у" + (1 -Р 1п_у)у'2 = 0 (см. пример 1 на стр. 153).
126.	5у"'2 — 3y"yl'J = 0 (дифференциальное уравнение парабол).
127.	Найти дифференциальное уравнение кривых, у которых радиус
кривизны пропорционален отрезку нормали между её основанием М и пере-
сечением N с осью х (множитель пропорциональности р: разобрать случаи
р = 1, р = — 1, р = 2; постоянное р есть положительное или отрицательное
число, смотря по тому, совпадает ли направление от М к центру кривизны
с направлением MN или они противоположны).
128.	Проинтегрировать уравнение конических сечений:
40_у'"3 — V1y"y”’yv'J 4-9y/2j-v =0.
Проинтегрировать уравнения:
129.	у"2 + 2ху" —у' = 0.
130.	у"2 — 2ху" — у’ = 0.
ГЛАВА V.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
§ 1. Определения и общие свойства.
1. Дифференциальное, уравнение и-го порядка называется линей-
ным, если оно первой степени относительно совокупности величин у,
dy dny ,	.	,
clx ’ ' ‘’ dxF1 — искомая функция, х— независимое переменное).
Таким образом, линейное дифференциальное уравнение га-го порядка
имеет вид:
аоУЬг) + а1У('г_1)+ ... +«п-1У ±апу= F(x),	(1)
где «коэффициенты» а0, ait . . . , ап (так же как F) суть данные
непрерывные функции от х (в частности, они могут быть постоян-
ными или нулями). Если уравнение действительно имеет порядок п,
то коэффициент а0 не должен быть тождественно равен нулю. До-
пустим, что для значений х в интервале
а < х < b	(2)
<го(х)Д:О и что все остальные коэффициенты и F (х) непрерывны
в этом интервале. Разделив обе части уравнения на <?0(х) и введя
обозначения: щ = —(/=1, 2,..., и), f(x') = —x~!, мы приведём
я0	йо
уравнение (1) к виду:
+	• • • +Р«-1У JrPny=f(x), (V)
где р1; . .. , рп и f (х)— известные непрерывные функции от х.
В дальнейшем мы будем преимущественно рассматривать линейное
уравнение, приведённое к виду (1').
Уравнение (1) или (V) называется неоднородным линейным урав-
нением или уравнением с правой частью. Если же «правая часть»
(или «свободный член») уравнения, /Дх) или f (х), тождественно
равна нулю, то уравнение называется однородным линейным:
+ ~г ~¥ап_гу' + ану = Ъ	(3)
_j_ ... Рп_ху -\-РпУ = о. (3')
§ 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
181
Если уравнение (3) или (З7) имеет те же коэффициенты, как (1)
или (Е), то оно называется однородным уравнением, соответствую-
щим неоднородному уравнению (1) или (Е).
2. Отметим следующие общие свойства линейных дифференциаль-
ных уравнений:
1) Уравнение остаётся линейным при замене независимого
переменного. В самом деле, преобразуем независимое переменное
подстановкой
х = ®(£),	(4)
где о есть произвольная непрерывная дифференцируемая п раз
функция, производная которой ®' ($) не обращается в нуль в рас-
сматриваемом интервале а <4 < [3, причём этот интервал соответствует
изменению х в интервале (2) [это условие достаточно для суще-
ствования обратной функции $ = ^(х), определённой в интервале (2)],
Из равенства (4) имеем: dx —'У (у) dU. Вычисляя выражения произ-
водных от у по х через производные по новому независимому пере-
менному, находим:
dy____dy di ___ 1 dy
dx di dx ф (;) di ’
d2y 	1 d / 1 dy\__________ 1 d-у ч" (i) dy
Легко видеть, что вообще выразится линейно (и однородно)
</у d2v dhy	,,	,
через TT’tE7’'’'’	, с коэффициентами—непрерывными функ-
циям!! от вставляя эти выражения в уравнение (1) и производя
в коэффициентах й,- и в свободном члене F(x) замену (4), мы опять
получим линейное уравнение:
, dny . ,
• • • + t>n~\ Ч~ &пУ — Ф(£)»
причём
W-Й*»
в интервале а <
<3.
Примечание. Очевидно, подстановка (4) преобразует однород-
ное линейное уравнение снова в однородное.
2) Уравнение остаётся линейным при линейном преобразовании
зависимого переменного. Вводим новую функцию ц, связанную с у
уравнением:
у = V (х) 4- ч (х),
(5)
где v, ' допускают непрерывные производные до порядка п включи-
тельно и фффО в интервале (2). Мы имеем:
=
dx dx
Ч 4~ /»
d -y __
dx2
V УГг 4~ 21»' ~ -ф- v"rt -ф- 4-
dx1 1 dx 1
182 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Очевидно, что вообще производная fe-го порядка от у по х выра-
зится линейно (но неоднородно) через k первых производных от vj
по х; результат подстановки этих выражений в (1) даёт опять линей-
ное уравнение; его коэффициент при старшей производной
в силу сделанных предположений, не обращается в нуль в ин-
тервале (2).
Легко видеть, что подстановка:
У = v (х) т]	(5')
преобразует однородное линейное уравнение снова в однородное.
Преобразованием (5') часто пользуются, чтобы в преобразованном
уравнении обратился в 0 коэффициент при (п—1)-й производной.
В самом деле, из уравнения (5') получаем:
yW — 'V7pn)	. . . , y(n~l) =	.
Вставляя эти выражения в уравнение (3'), находим:
ц-ф")	pjti) т^п~О =0.
Для того чтобы отсутствовал член с достаточно выбрать v(x)
if.
п	---РМХ
так, чтобы было	—0, т. е. v = e п~
Примечание. Мы ограничиваемся рассмотрением интервала (2),
где коэффициент а0(х) не обращается в нуль, чтобы иметь возмож-
ность применять теорему о существовании и единственности решения;
эта теорема доказана в предшествующей главе для уравнения п-го
порядка, разрешённого относительно старшей производной. Заметим,
что условия Липшица для уравнения (1') выполнены во всяком замкну-
том интервале [а, [3], лежащем внутри (а, Ь). В самом деле, написав
уравнение (1') в виде:
у(п) = —Pi(x)y(n--l)— р^Х)у{п-2)_ . . . ~ Р„(х)^+/(х) =
— Fix, у, у', ... ,
мы имеем:
лд	dF
~ = -рп(х),	=	(/=1, 2, ..., ц-1).
В замкнутом интервале [a, j?J непрерывные функции Pi{x) ограничены
(i=l, 2, .. . , п), откуда и следует выполнение условий Липшица;
в том же интервале F(x, у, у', ... , у(п~1'>) непрерывна для любых
значений у, у', . . . ,	Следовательно, в силу теоремы Коши,
существует одно и только одно решение у (х) уравнения (V)
или (3'), которое при данном начальном значении х = х0 (<т < х0 < 6)
принимает значение yG, в то время как значения производных
у^ (х0) — у(0‘> (/=1, 2,..., п—1), причем _у0, у', ... ,	—
любые заданные числа.
§ 2] общая теория линейного однородного уравнения 183
В главе VII мы докажем, что определённое таким образом решение
у(х) линейного уравнения существует во всём интервале [а, А]; для
общего уравнения и-го порядка мы могли в предыдущей главе утвер-
ждать существование решения только в интервале [х0—А, .г0-|-А].
§ 2.	Общая теория линейного однородного уравнения.
I.	Рассмотрим линейное уравнение без правой части:
А, [у]	4- ... +р„_1У + ргеу = 0.	(3')
Через L [у] мы будем сокращённо обозначать результат применения
к функции у совокупности операций [дифференцирование, умножение
на функции Pi(x) и сложение], указываемых левой частью уравне-
ния (3'), и будем называть L [у] линейным дифференциальным
выражением или линейным дифференциальным оператором. Линей-
ный оператор обладает следующими двумя важными свойствами:
1)	^[У1+У2] =^[л]+^[л]>	(6)
где У] и у2— любые функции, имеющие п непрерывных производ-
ных. В самом деле, раскрывая значения символа оператора, имеем:
Мл -Ьуз)= (л +л)(п) +л (У1 +л)(”-1) + • • • +/7п-10'1+лУ+
Ч~Рп(У1 +л)= (У1",+/71Л"-1)4" • • • + Р»Л) +
+ (У2П) 4~	+ • • • 4~ РпУъ) = Myj + £ [лЬ
Оператор от суммы равен сумме операторов слагаемых. Это
свойство доказано для суммы двух слагаемых, но оно, очевидно,
распространяется на сумму любого числа слагаемых.
2)	L[Cy\=CL\y],	(7)
где у — любая п раз дифференцируемая функция, а С — постоянная,
т. е. постоянный множитель можно вынести за знак линейного
оператора. Доказательство легко проводится подобно тому как
в предыдущем случае. На основании свойств линейного оператора,
выражаемых тождествами (6) и (7), легко получаются следующие
теоремы о решениях однородного линейного уравнения.
теорема 1. Если j/j и у2 суть два (частных) решения урав-
нения (3'), то yt -{-у2 есть также решение этого уравнения.
Доказательство. Так как у1( у2 суть решения, то имеем
тождества: L [yj = О, L [у2] = 0. Но, в силу (6),
l [л 4~л1 — l [л] + [л] ’
что, в силу условия, равно нулю тождественно. Теорема доказана.
теорема 2. Если yt есть решение уравнения (3х), то Су{
есть также решение этого уравнения (С— любая постоянная).
184 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Доказательство. В силу свойства (7), L [CyJ = CL ij^],
а по условию А[_у1] = О, откуда и следует теорема.
Следствие 1. Если имеем частные решения уравнения (3Z)
Vp з'2, ... , ук, то выражение Сг у1 -j- C2,v.2 4“ • • • ~\~^кУк есть также
решение этого уравнения (Сп С2,	, Ск— любые постоянные).
Следствие 2. Если у1г у2, ... , уп суть частные решения
линейного однородного уравнения /г-го порядка, то выражение
У =	+ С2 Л'е'с • • • + ^пУп	(8)
есть решение, содержащее п произвольных постоянных; если все эти
постоянные существенны, то выражение (8) представляет общее
решение *)
2.	Вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять частные
решения, чтобы выражение (8) являлось общим решением однород-
ного уравнения, разрешается в связи с понятием линейной зависи-
мости функций. Функции <?! (-V), ®2(х),	, ®,t(x), определённые
в интервале (а, Ь), называются линейно зависимыми в этом интер-
вале, если существуют постоянные ctj, а2, . . . , ап, не все равные
нулю, такие, что для всех значений х в рассматриваемом интервале
выполняется тождественно соотношение:
ai?i 4) +	(*) + • • • + W = °-	(9)
Если не существует таких постоянных а1г а2, . . . , ап, чтобы равен-
ство (9) имело место для всех рассматриваемых значений х (причём
предполагается, что не все а,- равны нулю), то функции называются
линейно независимыми (в данном интервале). В последующем мы
часто будем иметь дело с интервалом (— оо, со).
Рассмотрим один частный случай и несколько примеров.
1)	Если одна из функций, например ©ге, равна в данном интер-
вале нулю, то все функции линейно зависимы, так как мы имеем
тождество:
“м?» (*) = о.
в котором можно взять ап -ф- 0.
2)	Функции
1, х, х2, ... , хп
линейно независимы в интервале (— оо, -j-оо), а также в любом
конечном интервале. Допустив противное, мы получили бы равенство
а0 -j- atx -J- a.2x2 -j- • • • 4~ anxn = 0
для всех рассматриваемых значений х (не все а равны нулю).
Между тем написанное равенство есть алгебраическое уравнение
!) Очевидно, всякое линейное однородное уравнение допускает частное
решение у = 0. Это решение называется тривиальным; в теории интеграции
мы его не будем принимать в расчёт.
§ 2]	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	185
степени не выше л; оно может быть справедливым не более как
для п значений х.
3)	Пусть jfej, k2, ..., kn — любые действительные не равные
между собой числа, < k2 <... < kn. Тогда функции, определён-
ные для х > О,
линейно независимы. Допустим противное; пусть имеет место тожде-
ство
a.-T*1 4~ ч.х^ -4- ... 4- ч хп = О
1	I а	I	1/6
для всех значений х > 0. Умножая предполагаемое тождество на х~\
получаем тождество:
,	кп — к1 .	, к — к<
otj 4- Ч2х 2 1 4- • . • + апх 1 = 0;
замечая, что все показатели > 0, получим переходом к пределу
при х—>-0, что необходимо otj = 0. Поэтому тождество может иметь
только такой вид:
a2x 2 4- а3л; 3 4- . .. 4- anx п = 0.
Повторяя последовательно то же рассуждение, получим а2 = О,
а3 = 0, . . ., ап = 0, т. е. противоречие с предположением, что не
все а{ равны пулю. Это противоречие доказывает наше утверждение
(такое же рассуждение можно было бы применить и к предыдущему
примеру).
4)	Примером линейно зависимой системы являются функции
©j = sin2 х, <р2 = cos2 х, о3=1. Действительно, полагая a1== 1,
а2=1, а3 = —1, получаем тождество (для —оо < х < со):
sin2 х 4~ cos2 х —1=0.
3. Пусть мы	имеем п функций от		х, имеющих непрерывные	
производные до Определитель	п — 1)-го порядка Ур л, •	’ • > Уп* У1	Уч	•••,Уп	
Уч, •	., yn] = !F(x)^	У1 уп-Ц	Уч	.... Уп дГ1’ ....уГ1’	.10)
называется определителем Вронского этих функций. Легко доказы-
вается следующая теорема:
теорема 3. Если срункции уп у2, ..., уп линейно зависимы,
то определитель Вронского тождественно равен нулю.
186 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1ГЛ. V
Пусть функции у1г у2, уп линейно зависимы, т. е. суще-
ствует тождественное соотношение:
+4~	(11)
где не все а4 равны нулю. Без ограничения общности мы можем
допустить, что ап ф 0 (иначе мы изменили бы нумерацию функций).
Разрешая соотношение (11) относительно уп, получаем тождество:
Уп~?1У1 + ?2Л+ • • • +₽я-1^п-1	(НО
(₽< = -?> /=1, 2, ...» л-1).
Из тождества (IV) дифференцированием по х получаем:
Л» —	4- ?2_У2+ • • • +₽п-1Лг-1>
(П")
Уп' —?1У1 -ГР2У2 +• • • -гРп-1.Уп-1 -1
Умножаем в выражении (10) первый столбец на — второй на
—[32, ..., (и—1)-й на —pn_j и прибавляем к последнему; вели-
чина определителя W не изменится, но, в силу соотношений (11')
и (11"), последний столбец нового определителя будет состоять из
нулей, откуда следует, что 17 = 0, а это и требовалось доказать.
Если yv у2, ..., уп суть частные решения однородного
уравнения (3'), то справедлива обратная, притом более сильная
теорема.
теорема 4. Если решения _ур у2, ..., уп линейно независимы
(в интервале (2)], то W [_ур у2, ..., уп] не обращается в нуль
ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Допустим противное: пусть W (х0) — О, а < х0 < Ь. Обозначим
величины _у1 при х = х$ через yi0 и значения у(® (х0) — через у$ и
составим систему уравнений:
С1УЮ	+ ^2?20 + • • • + СпУпО = °>
CjJio 4" С2у?й	Спуп0	= 0,
Oj^io 1)+С272о 1)-ф- • • • + Спу^по = 0-
(12)
Рассматривая в уравнениях (12) величины С\, С2, ..., Сп как не-
известные, мы получим для определителя системы (12) значение
17(х0) = 0. Следовательно, однородная система (12) из п уравнений
с п неизвестными имеет систему решений С1г С2, ..., Сп, причём
не все равны нулю. Составим функцию
у (х) == С,у, 4* С2у2	Спуп\	(8')
§ 2]	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	187
в силу следствия 1 теорем 1 и 2 она является решением уравне-
ния (3'); в силу условий (12), мы имеем при х = х0:
У (*0) = 0, у (х0) = 0, ..., у»-1) (х0) = 0.	(120
Начальные условия (12,)> по теореме существования, определяют
единственное решение уравнения (3'). Но таким решением, оче-
видно, является тривиальное решение у — 0, следовательно, у (х) = О
в интервале а < х < Ь), и мы получаем из равенства (8'):
С1Уг + СгУ-г +•••+ ^пУп — 0
для всякого х в интервале (2), причём не все Ci равны нулю, т, е.
функции у1г у2, . . ., у п линейно зависимы против предположения.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теоремы 3 и 4 можно объединить в следующей формулировке:
определитель Вронского, составленный для системы п решений
линейного уравнения п-го порядка (3х), или тождественно равен
нулю, или не обращается в нуль ни в одной точке того интер-
вала, где коэффициенты уравнения непрерывны.
Любая система из п линейно независимых частных решений
линейного однородного уравнения (3х) называется фундаментальной
системой.
Следствие теоремы 4. Функции, образующие фундамен-
тальную систему, линейно независимы во всяком частичном интер-
вале (а, р), содержащемся в (а, Ь). Это следует из необращения
в нуль определителя Вронского.
теорема 5. Для всякого линейного однородного дифферен-
циального уравнения существует фундаментальная система.
В самом деле, возьмём любую систему таких п2 чисел а,7£
(/, k—1, 2, ..., zz), чтобы составленный из них определитель
^11 ^12 • ' '
а21 а22    а2п	/<
&П1	• • * &пп
был отличен от нуля. Определим п частных решений у,, у2, ..., ylt
уравнения (3х) начальными условиями: при х—х0 имеем у{~аИ,
y'i==aio, ..., У”-1) = а{п(1 = 1, 2, ..., п). Согласно замечанию
в конце § 1, функции определены во всём интервале (2).
Определитель (13) представляет значение определителя Вронского
у2, ..., уп] при х=х0. Таким образом, W(х) заведомо
не равен нулю при х = х0, откуда, в силу теоремы 3, следует, что
_ур у2, ..., уп линейно независимы, т. е. образуют фундаментальную
систему. [Вспомним, что W(x) не равен нулю ни для какого х
в интервале (а, Ь).]
188 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Примечание. Матрицу aik с определителем (13), отличным
от нуля, часто бывает полезно выбрать по следующему закону:
aik = 0, когда 1фк,	при z = fe. Очевидно, определитель (13)
равен в этом случае единице. Соответствующую фундаментальную
систему ylt у2, ..., уп мы будем называть нормальной фундамен-
тальной системой; составляющие эту систему функции удовлетво-
ряют следующим начальным условиям: при х = .с0
л = 1, Л = о, .... ^га_1,=0.
у2 —0, уа=1, .... <-1)=0,
Лг=0, Уг==О, ..., _у)”-1)=1.
теорема 6. Если у1г у2, уп образуют фундаментальную
систему решений уравнения L [у] — 0, то общее решение даётся
формулой:
у = Cjyt -ф- С2у2 -ф- ... 4~ С„уп.	(8)
По определению, решение, содержащее п произвольных постоян-
ных, называется общим, если из него при определённых числовых
значениях постоянных получается любое частное решение. А как
было указано, в силу теоремы существования и единственности,
любое частное решение однозначно определяется начальными усло-
виями: при х = х0
У = У о, У == Уо, • • •,	= У(оП-1),	(14)
где у0, уо, .— любые числа, и а < х0 < Ь. Мы докажем,
что решение (8) есть общее, если покажем, что можно в формуле (8)
определить постоянные Ср С2, ..., Сп таким образом, чтобы удовле-
творялись начальные условия (14). Для определения постоянных Ct
мы получаем систему линейных уравнений:
Ч~ С^Ухо ~г • • • ф~СцУпо = Уо, |
Qj'io	+---+С;гб'по =Уо,	Ц5)
с1Ую ~г^оУчо ~Г • • • Ф~^пУпО =Уо • )
Здесь yi0 обозначает значение функции yt(x) при х — х0; у/о есть
значение производной ^(.г) при х = х0. Определитель системы (15)
есть определитель Вронского, в котором вместо х подставлено х0,
т. е. lF(x0); в силу теоремы 4, П7(хо)дАО; следовательно, система
уравнений (15) всегда допускает, и притом единственную, систему
решений Cj, С2, ..., Сп. Выражение (8), в котором С имеют полу-
ченные таким образом значения, очевидно, удовлетворяет начальным
условиям (14). Теорема доказана.
§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	189
Примечание. Если у1 (х), у2(х), •••> Уп(х) представляет
нормальную фундаментальную систему, то решение, удовлетворяющее
начальным условиям (14), получает особенно простую форму:
У = УоУ1 + У0У2 (х)	• • • +Уо1 1}Уп (-<)•
В справедливости этого утверждения убеждаемся, подставляя в это
выражение и в выражения, полученные из него последовательным
дифференцированием, значение х==х0.
Пример 1. Уравнение у"—_у = 0 имеет, как легко проверить,
два частных решения: у1 = ех, у2=е~х. Для выяснения вопроса
об их линейной зависимости или независимости составляем
литель Вронского:
опреде-
ех е~х
^[У], У21 =
ех — е~х
= — 2 =t0.
составляют фундаментальную
так: у = Cje®-j- С2е~х. Составим теперь
у2(х), удовлетво-
начальным условиям: _у1(0)= 1, у((0) = 0; у,(0) = 0,
Очевидно, у1 и _у2 представляются как линейные комби-
“: уг (х) == аех-У~Ье~х, у2(х) ~ сехde~x.
а, Ь, с, d пользуемся начальными
= а -ф* Ьу 0 = а — Ь} 0 = с —j— dt
Следовательно, ех и е~х
и общее решение напишется
нормальную фундаментальную систему yt (х),
ряющую
уЦ0)=1.
нации функций ех и е~х:
Для определения коэффициентов
условиями решений j/j и у2:
I = с— d\ отсюда
_ 1	1
а ~~ 2 , ’	2 ’
1 1
С 2’ d~ 2’
систему,
У1 (*) =------J
ch х,
У2 (*) =------2~---= sh х-
При помощи функций yt и у2 сразу напишем решение, удовлетво-
ряющее условиям Коши: при х = х0 у—у0, у'—уо- Эю решение
будет:
у = у0 ch х j>o sh х.
4. Мы видели, что формула (8) даёт любое решение линейного
однородного уравнения /г-го порядка, если функции у,, у2, . . ., уи
линейно независимы. Отсюда легко получается доказательство такой
теоремы:
теорема 7. Если мы имеем п -]-1 частных решений уравне-
ния (3')
У1> 3’2, .у11+1,
то между ними необходимо существует линейная зависимость.
190 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Для доказательства рассмотрим первые п функций: у2, ..., у
Возможны два случая:
1) Функции уг, у2, ..уп линейно зависимы; тогда теорема
справедлива, так как линейное соотношение между п функциями есть
частный случай линейного соотношения между п 1 функциями, где
постоянный множитель при уп+г равен нулю.
2) Функции _у2, уп линейно независимы; тогда они обра-
зуют фундаментальную систему, через которую выражается линейным
образом с постоянными коэффициентами любое частное решение;
в частности, для уп+1 получим:
Уп+\=^ А,у,У- А2у2Л-  • • ~\~Апуп.
Это и есть искомая линейная зависимость. Теорема доказана.
теорема 8. Если два линейных однородных уравнения
+ ••‘-JrPny = °- I
—	—	(	(16)
У”)+а^(”_1) + ---+рпЗ/ = о >
имеют общую фундаментальную систему решений, то они тожде-
ственны между собой, т. е. р{ (х) = р{ (х~) (/= 1, 2, ..., ц).
Доказательство. Вычитая почленно уравнения (16), полу-
чаем новое уравнение (7/— 1)-го порядка:
(Pl—Pi)j(n-1)+(P8—••• + (Pn —(17)
Если pt и pj не тождественно равны между собой, то найдётся,
в силу их непрерывности, интервал ?. < х < (3, в котором р{ —р1фО.
Разделив обе части уравнения (17) на рг—рх, мы получим в интер-
вале (ос, р) уравнение вида (3'), т. е. со старшим коэффициентом,
равным 1. Очевидно по самому построению уравнения (17), что оно
допускает те же решения, что уравнения (16), т. е. уравнение
(п—1)-го порядка со старшим коэффициентом, равным 1, допускает
(см. следствие теоремы 4) п независимых интегралов. Противоречие
с теоремой 7 показывает, что р2{х)^ рг{х)', таким образом, урав-
нение (17) имеет вид:
(Р2 —Ра)7(ге-2) +(Рз —Ai)Д(,1'3) -+••• +(рп— Рп)У = 0.
Рассуждение, подобное предыдущему, показывает, что р,2 = р2, и
далее, таким же образом докажем, что
Рз — Рз’ • • • > Рп— Рп-
Следствие. Фундаментальная система вполне определяет ли-
нейное однородное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1.
§ 2] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	191
Решим теперь такую задачу:
Дана фундаментальная система (в интервале а < х < Ь)‘.
д/р _у2, ..., _уп; п о с т р о и т ь соответствующее дифферен-
циальное уравнение.
Для этой цели приравниваем нулю следующий определитель, в ко-
тором у обозначает искомую функцию:
Л.
•> Уп>
У1 Л ---Уп У
у'1 У2 ... Уп у'
уГ у(2п> ...у(пп> у^
= 0.
(18)
Разлагая его по элементам последнего столбца, мы убеждаемся
в том, что равенство (18) представляет собой однородное диффе-
ренциальное уравнение л-го порядка относительно функции у. При
подстановке вместо у функций у{ (/= 1, 2, п) мы получаем
определитель с двумя равными столбцами. Он тождественно равен
нулю; следовательно, уравнение (18) допускает частные решения
Уп № • • •> Уп-
Коэффициент при у№ есть Wlylt у2, ..., уп]; он, как нам
известно, не обращается в нуль в интервале (а, Ь). Разделив на
него обе части уравнения (18), получим уравнение п-го порядка со
старшим коэффициентом, равным единице, а по доказанному такое
уравнение однозначно определяется фундаментальной системой. Задача,
таким образом, решена.
Напишем уравнение (18) в развёрнутом виде:
уЮ
У	1	Уч	• • • Уп
У	1	Уг	... у'п
(П-1)	(»-1)	„(я-1)
У	1	У2	. . . Уп
..•+(- 1Ъ
У1 ... у'п
И	И
У-1 ... у П
_У1 Уч . . . уп
192 0БШАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Если исходное уравнение было написано в виде:
_y(n)	Piy(n-i) 4- ... 4-Рпу = 0,	(3')
то сравнение коэффициентов даёт нам тождество:
У\	У г	• • • Уп
f	'	/
Л	У 2	•Уп
,,(П-2)	,,(П-2)	.,(П-2)
У1	Уз	••‘Уп
У^ ...у™
А	Уз....У„]
Легко убедиться в том, что определитель в числителе есть производ-
ная от определителя Вронского, стоящего в знаменателе; в самом
деле, производная по х определителя, составленного из функций
от х, равна сумме п определителей, из которых у первого в первой
строке функции заменены производными, а остальные не изменены,
у второго во второй строке функции заменены производными и т. д.,
у л-го в последней строке функции заменены производными. При-
меняя это правило дифференцирования к определителю Вронского,
мы получим п—1 первых слагаемых в виде определителей, имею-
щих две равные строки, т. е. обращающиеся в нуль, а последнее
слагаемое, не равное нулю, есть как раз числитель в выражении
для pv Итак, мы имеем:
_ W (х)
W (х) ’
X
откуда lF(.r)~O . Выражаем постоянное С через начальное
значение при ,г = х0; получаем окончательно:
X
IF (х) = IF (х0) е	.	(19)
Равенство (19), определяющее определитель Вронского (с точностью
до постоянного множителя) через коэффициент данного уравнения
при У"-1), носит название формулы Остроградского—Лиувилля.
Применим формулу Остроградского — Лиувилля к нахождению
общего решения уравнения второго порядка:
У" ~\~Р1У' ~}~РчУ ~ °>
у которого нам известно одно частное решение уГ
Пусть у есть любое решение этого уравнения, отличное от уг
§ 2]	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
Составляем	и пишем его значение по формуле (19):
193
У1 У
У^ у'
— Се~^Р>ах.
Получаем для у линейное уравнение первого порядка. Раскрывая
определитель, имеем:
yty' —у\у = Се-bi
деля обе части на у*, находим:
—	= Д- Ce-bt ах ,
dx \yt / y[
откуда у определяется квадратурой:
У=У1\ -----2—
(20)
Полученное решение содержит два произвольных постоянных и,
следовательно, является общим. Итак, если известно одно частное
решение линейного однородного уравнения второго порядка, общее
решение находится квадратурами.
Пример 2. Легко убедиться в том, что уравнение
(1 — х2) у" — Чху' 4- Чу = 0
допускает частное решение yt—x. В нашем случае р1—-—— , и
формула (20) даёт:
Г dx
.-{J	dx~\~c } — He J ^2(J __— 4-c| —
Это — общее решение данного уравнения.
Примечание 1. Всякое линейное дифференциальное урав-
нение (3Z) имеет бесконечное множество фундаментальных систем.
Пусть у1г у2, ..., уп— какая-нибудь фундаментальная система этого
194 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
уравнения. Составим новую систему частных решений:
yi = «ыJi + «12Л + • • • + Я1Л> '
^2 = «21У1+ «22^2+ • • • +«2н7и> .	(21)
Уп ~ Лп\У1 + «п2^2 + • • • + г1ппУп- 
Система Yu /2, Yn будет фундаментальной, если функции
линейно независимы, а для этого необходимо и достаточно, чтобы
определитель подстановки (21)
«И «12 • • • «1п
£) __ «21	«22 • • • «2»
«п! «п2 • • • «п»
был отличен от нуля. В самом деле, если система {Y{} есть фунда-
ментальная, то через неё, в частности, выражаются решения
У1, Уъ Ую т-е- система уравнений (21) должна быть разрешима
относительно у1г у2, ..., уп, т. е. должно быть	Обратно,
если D ф 0, то у$ выражаются линейно через Yt‘, так как любое
решение выражается через ylt у2, ..., уп, то оно выразится и через
Y2, ..., Y„, т. е. эти последние решения образуют фундамен-
тальную систему.
Составляя определитель Вронского W[YV Y2, ..., Уп], мы легко
убеждаемся в том, что он представляет собой произведение (по
правилу «строки на строки») определителей D и W [_ур у2, ..., уп],
т. е.
1Г[Ур У2, ..., yn]=OUZ[71, у2, .... yj.
Следовательно, при переходе от одной фундаментальной системы
данного уравнения к другой определитель Вронского изменяется
только на постоянный множитель — определитель линейной под-
становки.
Примечание 2. Пусть уг, у2, ..., уп — любая система п раз
дифференцируемых линейно независимых функций. Если определитель
Вронского не обращается в нуль в интервале а < х < Ь, то выра-
жение (18) даёт дифференциальное уравнение, имеющее данную
систему в качестве фундаментальной. Заметим, что так как функции
уи у2, ..., уп произвольны, то условие необращения в нуль опре-
делителя Вронского ни в одной точке рассматриваемого интервала
надо ввести как новое требование.
Примечание 3. Если составлять дифференциальное уравнение,
допускающее в качестве фундаментальной системы наперёд заданную
систему из п линейно независимых функций, то точки, в которых
§ 2]	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	195
определитель Вронского этой системы обращается в нуль, будут
особыми точками построенного уравнения; в них будет обра-
щаться в нуль коэффициент при Уя>.
Пример 3. Построить уравнение, имеющее в качестве фун-
даментальной системы функции х, х2, х9. Строим уравнение по
формуле (18):
X X2 х9 у
1 2х За-2 у
0 2 6х у"
0 0	6	у'"
Раскрывая определитель по элементам последнего столбца, получаем:
2х9у"' — 6х2у" + 12ху' — 12у = 0.
Здесь W(х) = 2х3 и не обращается в нуль в интервалах (— оо, 0)
и (0, оо). Для этих интервалов имеем дифференциальное урав-
нение:
т 3 п . 6 .	6	_
У ~хУ +ГаУ-^ = °-
ЗАДАЧИ.
Построить уравнения, имеющие фундаментальные системы:
131.	cos х, sin х.
132.	cos2 х, sin3 x.
В каких интервалах коэффициенты последнего уравнения являются не-
прерывными (если старший коэффициент = 1)? Показать, что другой фунда-
ментальной системой того же уравнения является 1, cos2x.
133.	Вычислить (с точностью до произвольного множителя) определитель
Вронского для уравнения Лежандра:
(1 — х2)у" — Чху' ф-и (п 4-1) у = 0.
2
134.	Проинтегрировать уравнение у" 4- — X 4_3' = 0, зная его частное
sin х
решение yt =  -.
135.	То же для уравнения у" sinax = 2_у; частное решение у — ctgx.
5. Понижение порядка линейного однородного
уравнения. Линейное однородное уравнение
L[y\ ^Уп) + р1У"-1) + ...+prej = 0	(3')
относится к классу уравнений, однородных относительно у, у', у”, . ..;
поэтому подстановка у — приводит его к уравнению порядка
п — 1 (глава IV, § 3, 3). Однако эта подстановка в большинстве
случаев нецелесообразна, так как преобразованное уравнение (отно-
сительно z) уже не является линейным и, следовательно, теряет те
простые свойства, которые характеризуют линейные уравнения. Мы
196 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
рассмотрим здесь метод понижения порядка, если известны
частные решения; при этом окажется, что каждое известное
частное решение позволяет понизить порядок уравнения на единицу,
причем преобразованное уравнение остаётся линейным. Таким образом,
каждое известное частное решение является шагом вперёд в нахо-
ждении общего решения.
Пусть у=Ух есть частное решение уравнения (3'). Вводим
новую искомую функцию z соотношением:
y=yrz.	(22)
Соотношение (22) разрешимо относительно z в тех интервалах,
где у{ не обращается в нуль; только такие интервалы мы будем
рассматривать. Вычисляем из соотношения (22) производные от у.
Мы имеем:
у' =*У^+У%
у" + Ъу'^ + у"г,
yW — у^П) J д,'Дп-1)	) y''z'n~2> + . . . -\~y(”>Z.
Подстановка в уравнение (3') даёт:
71г(п) + [( 1 ) X + Р1У1] г(п-1) + • • •
• • • + [У?’ + ЛЛ”"1’ + • • • + Рп-1У1 + z = °-
Для z мы получили опять уравнение порядка п\ но коэффициент
при z есть L [y/J, он тождественно равен нулю, так как yt есть
решение уравнения (3'). Следовательно, в полученном уравнении
порядок понижается, если ввести новую искомую функцию и —г'.
Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yv мы
приведём его к виду:
«(”-!) +==0	(23)
— линейному уравнению порядка п — 1. Выражение функции и
через у, очевидно, следующее:
dx\yj
Пусть для последнего уравнения получена фундаментальная система:
Up u2, ..., un-I.
§ 2]	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ	197
Тогда система п решений для z будет:
а соответствующая система для у будет:
У1>	uidx’ Уз=У1/ u2dx> •••> Уп=У1/ tin-^dx.
Покажем, что последние решения образуют фундаментальную систему
уравнения (3'). Допустим, что между ними существует линейная
зависимость:
С1У1 + ^2^2 + • • • + СпУп — °;
деля на уг (который, по условию, в рассматриваемых интервалах
отличен от нуля), получим:
dx —С.> ш, dx —. • • —J* dx — 0.
Дифференцируя последнее тождество по х, получаем:
C2Mj -ф- С3и2 + ... -ф- Спип_1 — 0,
что противоречит условию линейной независимости системы ult
и,, ..., ип_1. Следовательно, С2 == С3 = ... = Сп = 0; так как
у} zfz 0, то, очевидно, также имеем С] =0, и у2, ..,, уп образуют
фундаментальную систему.
Итак, если известно частное решение уравнения (3'), то задача
интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию
линейного однородного уравнения порядка п — 1.
Пусть теперь известно два линейно независимых частных решения
уравнения (3'), yt и у„. Вводя, как выше, новую искомую функцию
и =	) , мы получаем для и уравнение (23) порядка п — 1. Но
/ V2 V
теперь это уравнение имеет один известный интеграл и, = J ,
и поэтому оно, в свою очередь, допускает понижение порядка на
единицу * 2).
Итак, если известны два частных линейно независимых решения,
то порядок уравнения может быть понижен на две единицы.
’) Легко видеть, что если в линейном однородном уравнении коэффи-
циент при искомой функции равен нулю, то постоянная является частным
решением такого уравнения, и обратно, если уравнение допускает в качестве
решения постоянную, то коэффициент при искомой функции равен нулю.
2) Решение ( —) есть тривиальное; с другой стороны, zzt не есть три-
V У1 >
виальное решение, если уг и у2 линейно независимы; в самом деле, если
Ui = 0, то — = С (постоянной), откуда Су1—у., = 0, против условия.
У1
198 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Пусть вообще известно г линейно независимых частных решений
уравнения (3') (г<л):
№ •••> Ут-
Подстановка и — \^-) опять приводит к уравнению (23), причём
нам известно г — 1 его частных решений:
Эти решения линейно независимы; в самом деле, если мы допустим
существование соотношения:
a2Mi 4- а3и2 + ... + «Mr-i = °>
то, интегрируя его по х, получим:
(—«j есть постоянная интеграции), или
ai У1 + чуэ 4- • • • 4- агУт = о>
что противоречит предположению о линейной независимости функ-
ций ух, у.2...уг.
Уравнение (23) имеет, таким образом, г—1 известных линейно
независимых решений; вводя подстановку » = ( — ) (у— новая
искомая функция), мы получим для v линейное уравнение порядка
п— 2, имеющее г — 2 линейно независимых частных решений
«17’ \ «1 7 ’ ’ ’' ’ \ «!
. Мы можем применить к нему то же
рассуждение, и в результате подобных преобразований придём,
наконец, к уравнению порядка п— г. Следовательно, если известно г
частных линейно независимых решений линейного однородного
уравнения, то порядок уравнения может быть понижен на г
единиц.
Примечание. Если известно п — 1 частных решений, то
в результате понижения мы придём к уравнению первого порядка,
которое интегрируется в квадратурах; в этом случае общее решение
может быть получено в квадратурах.
ЗАДАЧИ.
136.	Найти общее решение уравнения х'-у"'— Зх2у" +	— бу = О,
зная частные решения yt = х, у2 = х2.
137.	Найти общее решение уравнения ху'" — у" + ху'—у = 0, зная его
частное решение yt = х (см. задачу 131).
138.	То же для уравнения (1—х-) у"' — ху" +у' = 0, частное реше-
ние у = Х-.
§ 3]	НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	199
§ 3. Неоднородные линейные уравнения.
1.	Общие свойства. Рассмотрим неоднородное линейное
дифференциальное уравнение вида:
L [j]	-\-pny=f(x),	(1')
где /	0.
Однородное линейное уравнение с теми же коэффициентами, но
с правой частью, равной нулю,
называется, как указано выше, однородным уравнением, соответ-
ствующим неоднородному уравнению (1'). Очевидно, уравнения (1')
и (3') не имеют общих решений.
теорема. Если известно какое-нибудь частное решение Y неод-
нородного уравнения (1')> т° общее его решение есть сумма этого
частного решения и общего решения соответствующего однород-
ного уравнения.
Так как Y есть решение уравнения (1'), то имеем тождество:
L\Y]=f(x);	(24)
введём новую искомую функцию z, полагая
y=Y-\-z.	(25)
Подставляя выражение (25) в уравнение (!'), имеем, в силу свой-
ства (6) линейного оператора L 1у],
£[У1 + £М=/(х);
принимая во внимание тождество (24), получаем отсюда:
L [г] = 0
— однородное уравнение, соответствующее (1').
Пусть фундаментальная система соответствующего уравнению (1')
однородного уравнения (3') будет:
Уч.....Уп-
Тогда общее решение уравнения (3') имеет вид (§ 2):
С1У1 + счУч + • • • + СпУп-
Подставляя это выражение вместо z в формулу (25), получаем общее
решение неоднородного уравнения (1'):
У — ^1У1 + счУч + • • • + СпУп + У •	(26)
Это уравнение содержит п произвольных постоянных; чтобы дока-
зать, что эти постоянные существенные, покажем, что из выраже-
ния (26) при надлежащем выборе значений постоянных Clt С2, ..., Сп
200 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
получится решение, удовлетворяющее любым начальным данным Коши,
т. е. при х — хй, где х0— любое значение из интервала (2), мы
будем иметь:
у=у0, у'=у'о, ..., y(n-1)=y'n-1),
где у0, у'о, ..., У”-1) — любая данная система п чисел. Последова-
тельным дифференцированием выражения (26) находим:
У' =	X	+ • • • + спУ'п	+ V,	)
у" = сгу[	+с2х	+...+СХ	+У",	I	(26/)
у«-1) = С1У«-0 +	+ ... + Спу^} + Ytn-V.
В выражениях (26) и (26') надо в левых частях вместо у, у', .. . ,у(п-1>
подставить соответственно у, у',	у(оп-1), а в правых частях во
всех функциях дать переменному х значение х0; получится система п
линейных уравнений с п неизвестными Сг, С.2, ..., Сп. Определитель
этой системы есть значение определителя Вронского W(х) прих = х0;
при этом W(хо)фО, так как система ур у2, ..., у„, по предполо-
жению, фундаментальная. Таким образом, для Си С2, ..., Сп получим
вполне определённые значения, и решение (26), действительно,
является общим. Теорема доказана.
Пример 4. Рассмотрим уравнение у"-ф-у = Зх. Легко видеть,
что частным решением будет у = Зх. Соответствующее однородное
уравнение у"-ф.у = 0 имеет два линейно независимых частных реше-
ния: yr = cosx, y2 = sinx. В силу изложенного общее решение будет:
у = С, cos х -ф- С2 sin х -ф- Зх. Решим теперь для данного уравнения
задачу Коши: найти решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у~1, у' — — 1 при х = 0. Имеем: у' = — С1 sin хС2cosх-ф- 3.
Подставляя начальные значения, находим: С, = 1, (?2-1-3 = —1,
откуда С2 =— 4; искомое решение есть y = cosx—4sinx-(-3x.
Пусть, далее, известно одно частное решение у\ однородного
уравнения (3'), соответствующего уравнению (1'). Подобно тому,
как в случае однородного уравнения, применяем подстановку у =у1г
и получаем уравнение, не содержащее явно искомой функции z\
после этого, полагая z' = и, получим линейное уравнение (неодно-
родное) порядка п—1. Итак, если известно одно частное решение
с< ответствующего однородного уравнения, преобразование перемен-
ного и = понижает порядок неоднородного уравнения на еди-
ницу. Аналогично § 2, 5, легко получается также следующий резуль-
тат: если известны г частных линейно независимых решений соот-
ветствующего однородного уравнения, то порядок неоднородного
уравнения может быть понижен на г единиц.
§ 3]	НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ	201
Предположим теперь, что известны т частных решений неод-
нородного уравнения (l7)	К>, ..., Ym. Введём новую иско-
мую функцию z, связанную с у уравнением:
y=Y1-j-z, или z=y—Ур
Как показано выше, z удовлетворяет однородному уравнению, кото-
рое соответствует неоднородному уравнению (1'). Подставляя вместо у
функции Кр У2, ..., Ут, мы, кроме тривиального решения z = Q,
получим т—1 решений однородного уравнения:
== ^2	^1»	^2 ==	• • • >	^т-1 ==
Таким образом, нам известны т— 1 решений однородного уравне-
ния (3'), и если они линейно независимы, то его порядок может быть
понижен на т — 1 единиц. Итак, если известны т частных реше-
ний неоднородного линейного уравнения, то при указанном условии
его интегрирование приводится к интегрированию линейного одно-
родного уравнения порядка п — zn—j— 1.
Пример 5. Уравнение (2х— х2) у"-f-2 (х—У)у' — 2у — — 2
имеет, как легко проверить, два частных решения: Kt=l, К2=.г;
следовательно, соответствующее однородное уравнение имеет реше-
ние — 1. Комбинируя обе подстановки (25) и (22), вводим
новую искомую функцию z при помощи уравнения:
y==l-f-(x—1)г,
откуда
у' = (x—l)z' -Yz, у" = (х — 1)г"4-2г'.
Подставляя полученные выражения в данное уравнение, находим:
(2х — х^ (х — 1) г" 4- 2 [(2х — х*) (х — I)2] z' = 0,
откуда
z"	2	.2 — 2*	,_г2х —С,
z'	х — 1	2х — х- ’ Z	1 (х — 1 )2	1	(х — 1 )2 ’
z = — Сус-----Су
1 х — 1 1	2’
подставляя в выражение для у, получаем: у = — Сус2 -f- С2(х — 1) -f-1
— общее решение.
ЗАДАЧА.
139. Решить уравнение х-у" — 2ху’ + 2у = 2х3, зная частное решение
у = х соответствующего однородного уравнения.
2. Метод вариации постоянных. Из изложенного в пре-
дыдущем разделе следует, что для решения неоднородного уравнения
достаточно знать фундаментальную систему решений соответствую-
щего однородного уравнения и одно частное решение неоднородного
202 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
уравнения; в рассматриваемых примерах это частное решение явля-
лось заданным.
Теперь мы докажем следующую теорему:
Если известна фундаментальная система соответствующего
однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравне-
ния может быть найдено при помощи квадратур.
Мы дадим способ решения неоднородного уравнения, принадле-
жащий Лагранжу и называемый методом вариации постоянных.
Пусть дано неоднородное линейное уравнение:
Уп) + аУ”-1,+р2Уп_2>+ • • • +Рп~гУ' +	О')
где f (х) не равно тождественно нулю, и пусть нам известна фунда-
ментальная система у2, ..уп соответствующего однородного
уравнения:
Уп)+Р1Уп_1) + ---+рп-1У+р»;у = о.	(3')
Общее решение уравнения (3') будет:
У ~ С1У1 + С-гУг 4" • • • 4" Спуп,	(8)
где С,, С2, ..., Сп — произвольные постоянные. Выражение (8) удо-
влетворяет уравнению (3') и, следовательно, не может удовлетво-
рять уравнению (1'), пока С{ остаются постоянными. Поставим себе
цель — получить решение уравнений (1') в той же форме (8), где,
однако, Ср С2, ..., Сп будут функциями независимого
переменного х. Мы получаем п новых неизвестных функций;
для их определения нужно иметь п уравнений,—одно из них полу-
чится из условия, что выражение (8) (с переменными С4) удовлетво-
ряет уравнению (Iх), остальные п — 1 уравнений мы можем задать
произвольно; мы их будем задавать таким образом, чтобы выражения
для производных от у имели наиболее простой вид.
Дифференцируем равенство (8) по х:
У' ~ с№ 4"	+ • • • +C’nJVn+>i-^+>2'^+ • • • ~\~Уп-^”
Мы записали члены, полученные от дифференцирования, в две строки;
в качестве первого из числа п — 1 дополнительных уравнений возьмём
уравнение, которое получится, если вторую строку приравнять нулю:
(27,)
В таком случае для у' получим выражение:
У' — Qyi 4" СаУз + • • • Ч- ^пУпг	(28х)
которое имеет такой же вид, как и в случае постоянных Ct.
§ 3]
НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
203
(282)
добавочное
,(»-2) dCn_____~
п ~d^~v,

(28»-!)
Для нахождения у" дифференцируем равенство (28j) по х; в по-
лученном результате опять приравниваем нулю члены, содержащие
производные функций Ct (это будет второе добавочное уравнение):
/ dCt . / dC2 .	. > dCn n
и для у" получится выражение:
>/ л гг . л ff I	, л гг
У = £ьУ1 4" съУ* 4- • • • 4- спуп.
Продолжая таким образом, мы в последний раз введём
условие на (п — 1)-м шаге:
(n-tydCi । ..(»-2)dC2 ।	।
yi	ZF+--- +
и выражение для у»-1) будет иметь вид:
у»-1> = Cjj'i”-11 + с^4Г1) 4- •  • 4-^У»
Вычисляем, наконец, y(n):
У я) = С1УГ 4- C2y™ + ... + Cny™ +
4->1 ~^+У2	йг4----4->» -йг* (28„)
Подставляя выражения (8), (28J,	(28„_1), (28?1) в уравнение (I'),
получаем:
п
С< (УГ} +лУ” + • • • +Pn-Л+ал) +
<=1
I .Sn~^dCi । ,,(n-i) dC2 ।	। ,/n-i) dCn .
Замечаем, что множители при С4 под знаком суммы все равны нулю,
так как они являются результатами подстановки в левую часть урав-
нения (3') его решений, и мы получаем последнее уравнение для
определения Q:
у»-1)^4 уп-1)^4...	=/(*).	(27„)
Мы получили систему п неоднородных линейных уравнений (27;),
(272),	(27n_j), (27„) с п неизвестными	2,	п).
Определитель этой линейной системы есть определитель Вронского для
фундаментальной системы; он не обращается в нуль; следовательно,
разрешая её, мы получим как известные непрерывные функции
(27^
от х:
g = <?!(•*).
204 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
откуда квадратурами находим:
с« = J*
(yi — новые произвольные постоянные).
Подставляя найденные значения С в выражение (8), мы найдём
общее решение уравнения (1'):
п
У = I: Ji + ТгЛ + • • • + ЧпУп + 2 Л J Ъ (*)dx-
i=l
Действительно, по самому его образованию это есть решение рас-
сматриваемого уравнения; сумма членов, содержащих множители
представляет, как мы знаем, общее решение однородного уравне-
ния (3Z), а выражение
п
%У<$ <?{(x)dx
i = l
есть частное решение неоднородного уравнения (V). Таким образом,
действительно, при знании фундаментальной системы однородного
уравнения мы получаем с помощью квадратур решение неоднородного
уравнения.
Пример 6. Рассмотрим уравнение ху"—у'= х\ Соответствую-
v" 1
щее однородное уравнение ху"—у = 0 легко интегрируется: у7=
у' — Ах, у = ~ х2 В-, его фундаментальная система есть 1, х2.
Полагаем теперь в неоднородном уравнении у —	-|~С2х2; для опре-
деления С2 имеем два уравнения:
1 .
dx 1 dx
_ dC< , „ dC2
0 • тг' + 2х^
dx 1 dx
[Формула (27„) выведена в предположении, что коэффициент при
старшей производной равен 1.] Последовательно получаем:
dC., 1	~ х . dC} х-	х3 .
—C2=2+l2,	Ч=--б+Тг
Подставляя в выражение для у, находим общее решение:
4' = Т1 + ъ*2 + :|-
(in Ъ — произвольные постоянные).
ЗАДАЧИ.
X	1
140.	Найти общее решение уравнения у" ф- _у’—~ХУ ~
зная, что одно частное решение однородного уравнения есть у = ех.
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
205
§ 4]
141.	(х2 + 2) у'" — 2ху" + (х2 + 2) у' — 2ху = х4 + 12.
Указание. Уравнения y'”-Jry, = Q ну"-фу = й имеют два общих
решения.
<Pv 1	/2	\
142.	-j-4-Н—21—у = е®1 |-1пх); частное решение однородного урав-
иХ	X 1П X	\\Х	)
нения есть yl = In х.
§ 4.	Сопряжённое уравнение.
1.	Множитель линейного выражения. Поставим себе
такую задачу: дано линейное дифференциальное выражение'.
L 1>] sапУ + «П-1У + ап-ъУ" + • • • + М'”'11 + «ОУП); (29)
найти такую функцию г(х), чтобы по умножении на неё выра-
жение (29) стало точной производной по х при любой (га раз диф-
ференцируемой) функции у. Эта функция z (х) называется множи-
телем дифференциального выражения L [у]. При этом мы предположим,
что а,- суть функции от х, непрерывные в рассматриваемом интервале
и имеющие непрерывные производные всех тех порядков, которые
войдут в наши формулы. Умножаем выражение (29) на искомую
функцию z и вычисляем неопределённый интеграл
J zL [у ] dx,
причём каждый член интегрируем по частям, понижая порядок произ-
водной от у до тех пор, пока под интегралом не останется множи-
тель у. Таким образом, будем иметь:
J a„yz dx= J anyz dx,
f ап-1У* dx = a„_! zy — f у (an_1zY dx,
J a^^'zdx = an_2zy' — J (ап_^)'y' dx =
= «n-2 zy' — (an-2zy У + J У {fln_2zY dx.
j" п1Уп-1>г dx = at zyl»-® — (а1г),угг-3> -f- (a1z)‘'y(n~i> — ...
...+( — I)”"2 (а^)(»-г>у + (— l)»-i J у (avz)^ dx,
J* raoy(n) z dx — a(fiy{n~v> — (ay)'Уп-2) -ф- y(n~v — ...
•••+(— I)"-1 Gv)”*"1’у -j- (— l)n P у {aQz)^ dx.
206 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Собирая отдельно члены, не содержащие интегралов, и под общим
знаком интеграла члены, содержащие квадратуру, получаем:
J zL |j] dx = an_lzy — {an_^)'y 4~... 4~ (— l)»-i (a^-Vy -f-
+ ап-^У' — (ап-йг)'у'	l)»-2 (aoz) y' +
4*	— (аог)'Уп_2> 4“ яогу(п-1) 4~
+ f У {апг — («»-!*)' 4" («»-2г)" — • • • 4- (— 1)n M(n)l dx>
или, перенося интеграл в левую часть и вводя новые обозначения,
J [zL[y] — уМ [z]} dx = Ф [у, z];	(30)
дифференциальное выражение
М [z] = anz - (an_1z)' +... 4- (- l)«-i (a^-D 4.
4-(-1)~(аог)(«) (31)
называется сопряжённым с L [у/] дифференциальным выражением
(или оператором), а Т[у, z] есть билинейная форма относи-
тельно у, у',..., уп-1), с одной стороны, и г, г', . . . , z{n~1),
с другой стороны, а именно:
V [у, z] =у la„_tz — (an_2z)' + • • • 4“	1)п-1 (М'п~1)} +
+ У К-2* — («П-8*У 4- • • • + (— 1)П~2 (М”-а J +
4-У”-2’ {^z — (аог)'} 4-у»-1)  аог. (31')
Дифференциальное уравнение я-го порядка
М [г] = 0.	(32А)
называется уравнением, сопряжённым с уравнением
£(У = 0.	(32)
Соотношение (30) есть тождество не только по х, — оно справедливо
при любых функциях у и z. Если мы теперь возьмём в качестве z
решение уравнения (32')> z = z, то формула (30) примет вид:
JzL [д/] dx = W [у, z],
или, дифференцируя,
г£[у] = ^Чг1у, г].
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
207
§ 4]
Таким образом, поставленная в начале настоящего параграфа задача
решена: если умножить данное дифференциальное выражение (29)
на любое решение z сопряжённого уравнения (32'), то оно стано-
вится полной производной от дифференциального выражения (л—1)-го
порядка V (у, г]. Обратно, для того чтобы функция z по умножении
на L [у] делала его точной производной при любой функции у, не-
обходимо, чтобы /И[г]==0.
В самом деле, если z есть- какой-нибудь множитель выражения
(29), то имеет место равенство:
=	(3°')
где, как легко видеть, есть линейное выражение относительно
у, у'.....Уи-1):
Фх W =	(У У”-1> + V2 МУ”'2» + • • • + \ (х)у' + Ьо (х)у.
С другой стороны, подставляя г вместо z в тождество (30) и
дифференцируя по х, находим:
м = h +УМ	(30")
Из (30х) и (30") получаем:
A{qriW_ ф|у £]}_yM[z] = 0.	(30"')
В левой части (30'") стоит линейное выражение л-го порядка отно-
сительно у\ так как равенство нулю выполняется тождественно для
любой функции у, то коэффициенты при у и всех его производных
тождественно равны нулю, иначе (30") было бы дифференциальным
уравнением для у. Из вида (31') билинейного выражения для Ф сле-
дует:	_
^n-i = «o2’> bn_^ = aiz — (aQz)',...,
b0 = an-~z — Оп-2г)' + ••• + (— i)”-1 Gv)(” “1).
т.	е. Ф, [у] = Ф [у, г], и равенство (30'") даёт: AJ[z] = 0.
Следовательно, мы можем сделать такой вывод:
Для того чтобы функция z при всякой функции у{х) обра-
щала произведение zL [у] в точную производную, необходимо и
достаточно, чтобы г являлось решением сопряжённого уравне-
ния (32').
Каждое решение сопряжённого уравнения (32') является множите-
лем уравнения (32'); по умножении на него левая часть уравнения (32)
208 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
становится точной производной ’). Таким образом, уравнение (32)
допускает первый интеграл:
Т [у, г] = С,	(33)
который сам является (неоднородным) уравнением порядка п—1.
Очевидно, если нам дано неоднородное уравнение L[y]—f(x), то
та же функция z является его множителем, и мы получим первый
интеграл:
[у, г] — Jf (х)z dx + С.
Если имеем линейное уравнение первого порядка в форме у' Ру = Q,
то уравнение, сопряжённое соответствующему однородному, будет:
— fPdx
Рг — z = 0; его решение z — е будет множителем данного
уравнения, в согласии со сказанным в главе II, § 3, 3.
Примечание 1. Чтобы левая часть данного дифференциаль-
ного уравнения сама была точной производной, необходимо и доста-
точно, чтобы сопряжённое уравнение допускало решение г=1,
т. е. чтобы коэффициент при z в уравнении (32') был равен нулю.
Раскрывая выражение (31) и подсчитывая в нём коэффициент при z,
находим условие того, чтобы левая часть уравнения (32) была точ-
ной производной, в виде:
d	d%	d^
ап ~йх an~i 4" dx- Яп~^ ' ’' 4" ( 1)” dxn ao = 0'	(A)
Легко видеть, что условие (А) есть частный случай условия (33}г)
главы IV для случая, когда уравнение оказывается линейным.
Примечание 2. Оператор чётного порядка п — 2т
называется самосопряжённым, если он совпадает с сопряжённым
оператором: L [у] =	[у]. Уравнение £[у] = 0 называется в таком
случае самосопряжённым уравнением. Для оператора второго по-
рядка
L [у] = а^у 4- аху' -j- аоу"
сопряжённый оператор есть
М [z\ =s а%г — (а^г)' -f- (аог)" =
= (а2 — 4“ йо)z + (— ai _г 2ао) z 4- aoz"-,
условия самосопряжённости
*) Новое уравнение, полученное умножением левой части на множитель,
приходится рассматривать лишь в тех интервалах, где этот множитель, так же
как и а0, не обращается в нуль (§ 1, 1).
§ 4]
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
299
сводятся к одному первому: аг = а'й. Итак, самосопряжённый опе-
ратор второго порядка имеет вид: (аоу')' 4~ а2У-
Пример 7. (1 -\-х)у"— ху' —у = 2х. Здесь а.-> = — 1, at — — х,
, d ~ d2
а0= 1 -f-х; условие (А) выполняется: —1	х-(- —т(1 -j-<1=0.
Lt х	U. х
Следовательно, левая часть уравнения является точной производной,
и оно допускает первый интеграл вида (33), где можно положить
г=1. Выражение 'Г [у, г] в нашем случае есть a}zy— (аог)'у-\-
4-^У;
получаем
У— У =
подставляя в него значения «0, и единицу вместо z,
первый интеграл (1 х)у' у (—х—1) = х--\- С\, или
; для левой части сопряженное выражение есть
•—z— z'; решение уравнения z -j- z' — О, т. е. z = e~x, может быть
принято в качестве множителя нового уравнения, и мы имеем:
I С
е~ху'— е~ху = е~х	; левая часть этого уравнения—-опять
полная производная, и общее решение данного уравнения получится
в квадратурах:
у — ех
'^^dx + C^.
2. Свойства сопряжённых уравнений. Заметим сначала, что
сопряжённость двух выражений L [у] и Л1 [z] есть свойство взаимное,
если М [z] есть дифференциальный оператор, сопряжённый с L [у], то и
обратно, L [у] сопряжён с Л1 [z] и определяется по М [z] однозначно. Это
следует из симметричности левой части формулы (30) относительно L и Л-Л
если у есть решение уравнения (32), то из формулы (30) имеем: уМ (z) =
— -^^[у, г1' т- е- любое решение уравнения (32) есть множитель урав-
нения (32'), а это и показывает, что L [у] есть оператор, сопряжённый
с М [z].
Мы уже видели, что знание одного частного решения сопряжённого
уравнения даёт возможность без квадратур найти первый интеграл данного
уравнения, т. е. понизить его порядок на единицу; зная р<^п линейно не-
зависимых частных решений уравнения (32'), мы получим р первых инте-
гралов уравнения (32); исключая из них yt7»-1), у(«~2),..., у(п-^>+1) (можно
показать, что такое исключение всегда возможно и приводит к одному соот-
ношению), мы получим уравнение порядка п —р, т. е. понизим порядок
уравнения на р единиц.
Пусть теперь нам и з в е с т н о полное решение уравнения
(32), т. е. его фундаментальная система:
>1- У 2..Уп-
В таком случае W[ylt У2,---> Уп!^®- Мы покажем, как найти общее реше-
ние сопряжённого уравнения (32'). Заменим в определителе Вронского у;
через неизвестную функцию у и составим линейное дифференциальное выра-
жение (и — 1)-го порядка относительно у:
8» [У1 =
W1У1, У2....У/~ъ У- Л+и Л>1
«7 (Л- У г,	J»]
210
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
Очевидно, мы имеем: вг- [_ул] = 0 при k =/= I, fy(_y/) = l. Следовательно, выра-
жение 0г [_у] представляет линейное дифференциальное выражение по-
рядка и, обращающееся в нуль при у =	у.,,...,уп. Значит, оно только
не зависящим от у множителем может отличаться от L [_у]. Чтобы найти
этот множитель, сравним в обоих выражениях L [у] и [_у] коэффи-
циенты при yW. В L [_у] этот коэффициент равен а0, а коэффициент
при _у<п) в0г-[_у] таков же, как коэффициент при^А»-!) в выражении вг-[>],
а именно, это минор, соответствующий элементу последней строки и z-ro
столбца определителя Вронского, делённый на самый определитель, т. е.
(_ пп+<	Л-+1. •••.Л,] dln W[y,i.....>.,г]
W[yb у2, ...,уп]
Итак,
[у]	. . .
-СШ = ZiL	(34)
где
г. = < — пп+< —	У2...Л-ъ Л+i........-У"]
Выражение z(, являясь множителем уравнения (32), представляет, по сказан-
ному выше, решение уравнения М [г] = 0. Давая I значения 1, 2, ...,я, мы
получим без всяких интеграций п частных решений уравнения (32')
при помощи фундаментальной системы уравнения (32). Остаётся показать,
что полученные выражения линейно независимы. В силу определения функ-
ций «j, г2, ...,гп, мы имеем:
г1У»-1) +	+ ... + ^У”"1’ = X •	(359
Действительно, левая часть (35х), согласно формулам (34х), равна дроби
—г, умноженной на разложение определителя W[^j, ...,_уп]
Уп!
a0W[yb...,
по элементам последней строки, т. е. равна —. Далее, если подставить
«о
в № [_у3, ..., _у„] на место последней его строки У”-1', Уап-1\ ..
последовательно первую строку, вторую,... (п — 2)-ю, то мы получим опре-
делитель с двумя равными строками, т. е. 0; деля каждый из этих определи-
телей на Д'[71......>„] и разлагая по элементам последней строки, мы
получим, в силу определения (34х) функций zt, следующие равенства:
г1У1 + г1Уч	+ • • • + ?пУп — 0,
г1У1 + г2У2 + • • • +	гпу' = 0,
(35)
^(r2)+v(2n-2) + ... + г„УГ2) =0.
Дифференцируя первое из равенств (35) по х и учитывая [второе, получим.
+ ЛЛ + • • • + znyn = 0.	(36х)
§ 41
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
211
Дифференцируя второе и принимая во внимание третье, дифференцируя
третье и принимая во внимание четвёртое и т, д. и, наконец, дифференцируя
последнее из равенств (35) и принимая во внимание (35'), получим;
*1У1 +	+ • • • + г'пУп = °.
\ У1 +	+ • • • + гпу" = О,
..................................
•4Л”-2’+4Лп-2)+ • • • + 4У» "8) = —•
(36)
Аналогично, дифференцируя каждое из равенств (36') и (36) и принимая во
внимание следующее, получим группу:
*"у{{) + ЧУ2> + • • • +	= 0 О' = 0, 1, 2, ..., л — 4),
4'Xn-s>+4УГ31 + • • • + «-8)=•
Продолжая те же операции, получим в итоге следующие равенства:
'	( 0, если I + k<in — 1,
,«) ,,(*) । ,(») v№ I л_ »(/) v(S) = < (______IV	6371
+ H	если i-\-k = n — 1.
I au
Составим теперь произведение определителей Д = W [yi, у2,	и Aj =
= Wlzly г2, . по правилу «строка на строку». Из соотношений (37)
следует, что мы получим определитель, у которого на побочной диагонали
(—	(—1)гг~1	1
стоят элементы ---— , ---'---,	—, а выше этой диагонали — нули.
Oq	<Zq	«о
Отсюда имеем: ДД1 =—; таким образом, Д1 О, и, значит, функции
“о
zb z2,. ..,гп действительно образуют фундаментальную систему сопряжённого
уравнения (32х). Итак, из фундаментальной, системы данного уравнения
по формулам (34х) без всяких интеграций может быть получена фунда-
ментальная система сопряжённого уравнения. Решения zi уравнения (32'),
даваемые формулами (34/), называются решениями, сопряжёнными с у(.
Таким образом, интегрирование данного уравнения и уравнения сопря-
жённого суть задачи эквивалентные.
3. Формула Коши для неоднородного уравнения.
Функция Грина. Пусть в уравнении (Iх) коэффициенты и правая часть
являются непрерывными функциями х в интервале	Считая фун-
даментальную систему однородного уравнения известною, составим реше-
ние К{х, £) однородного уравнения, зависящее от параметра 5, а именно,
решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:
К(Е, 5)=0, к'х (5, е)=0, ...,К^-гН^, ?)=о, <П"1)(С, е) = 1. (38)
Тогда частное решение уравнения (1) даётся формулой:
а?
У(х)= J к (X, ()/(!) di.
(38')
212 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. V
В самом деле, дифференцируем последовательно равенство (38’) п раз по х;
принимая во внимание условия (38), находим:
X	X
у (х) = J к'х (х, 8)/ (5) d8, ..., У(п-!\х) = J Л^"1' (х, 8)/(8) d8.
а	а
х
У(»)(Х) = J К™ (х, 0Z(5) di +/(Х).
а
Подставляя эти выражения в левую часть уравнения (!'), получаем:
х
J \К™ (X, 8) +Р1 (х) К$-'} (X, 6) + • • • +Рп м К (*• 5) } f (?) di +/ (X).
а
Но поскольку К (х, 8), как функция х, есть решение уравнения (3') при
любом 8, выражение в фигурных скобках равно нулю, и подстановка выра-
жения (38л) в уравнение (1') даёт тождество. Наше утверждение доказано.
Заметим, что полученное решение удовлетворяет начальным условиям:
У (а) = Y' («) = ... = Г(п-1) (л) = 0.
Формуле (38’) можно придать другой вид. Для этого определим функ-
цию Грина от двух переменных х, $ (аргумента и параметра):
Cl П _ / 0’	«<Х<$,
Х’ }	1 К(х, 8), 8<х<6.
Легко видеть, что О, как функция х, удовлетворяет однородному урав-
нению (3'), всюду кроме значения х — 8, где она остаётся непрерывной вместе
сп — 2 производными, тогда как производная (л— 1)-го порядка имеет в этой
точке скачок:
О^"1) (5 + 0, 8) — G^-1) (8 — 0, 8) = 1.
С помощью функции Грина решение (38) уравнения (1’) может быть
написано в форме определённого интеграла:
Ъ
Г(х) = У G(x, 8)/(8) di.
а
Исследуем функцию Грина в её зависимости от параметра 8. Для этого
построим функцию Грина G; (х, 8) уравнения (31), сопряжённого с уравне-
нием (Iх), в которой роли концов а и b переменены (коэффициент а пред-
полагается равным 1). Именно, строим решение Ку (х, 8) уравнения (31), удо-
влетворяющее условиям:
Ку а. О = о, К'1Х (8, 8) = 0, ..., С~2) (8, 8) = 0, К^-Ч (8, 8) = -1,
и полагаем:
г , „ (Ку (х, 8), «<х<8,
01 (х, 8) =
(	0,	8<^х<&.
Далее применяем формулу (30), в которой положено y=G(x, 8),
z= Gt (х, rt). Замечая, что в интервалах, не заключающих точек ; и т(, функ-
СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ
213
§ 4]
дни О и Gj от х удовлетворяют соответствующим линейным уравнениям,
в левой части мы имеем 0, в правой части все входящие функции непре-
рывны, кроме G(”-1), Gj”-11, претерпевающих разрыв соответственно при
х = s и при х = т]. Поэтому имеем, полагая для определённости i <Z vj:
ь
О = J [GyL (G) — ОМ (GJ] dx =
= ’I' [G, GJ |r=^° + 'Г [O, GJ Г=У° + Ф [G, G, ] |b
1	" l®=a	i > и la: = e+o 1	1	1 1 I® = ti+0
Так как G (x, (j) co всеми производными обращается в нуль при х = а,
а при х = Ь то же имеет место для Gj (х, т]), то имеем:
W[G, GJ +Т’ [G, GJ Г"11-'’ =0.
' u 1ж=5+0	1	“ i® = t]+0
Принимая во внимание формулу (3V) для ЧГ, а также непрерывность при
х = Е и х = т] всех производных до порядка п — 2 включительно, мы из
последнего равенства получаем, оставляя лишь члены, где есть разрыв:
+ =°’
или, в силу непрерывности G и G] при х — 5 и при х = т;,
0(4, 5) = (—I)»»- Gj (=, 71),
т. е. G (х, Е) как функция 5 есть функция Грина сопряжённого уравнения
с переменёнными ролями концов, в которой х является параметром.
Пример 8. Найти решение Y уравнения у" у-Р2У = /(х), удовлетво-
ряющее условиям Y (0) = Y' (0) = 0 (р— постоянное).
Функция К(х, 5), удовлетворяющая условиям KG, 5) =0, Кх (;, 5) = 1,
здесь будет sin р (х — Е). Итак, искомое решение есть
а
У(х) = J sinp(x — Е)/(Е) dE.
о
ЗАДАЧИ.
143.	Каким соотношением связаны коэффициенты уравнения у"
+Р2.У = 0, если два частных решения _У] и у2 удовлетворяют соотношению
У1У2 = 1? Найти при выполнении этого условия общее решение.
144.	Какая подстановка приводит сразу к уравнению (п—2)-го порядка,
если известны два частных решения yi и у2 линейного уравнения п-го
порядка?
145.	Найти общее решение уравнения (2v + l)yj-(4х— 2) у'— 8у~<\
зная, что его частное решение имеет вид етх, где т — постоянное.
146.	Проинтегрировать уравнение sin2x-у" -j- sin х • cos х-у' =у.
ГЛАВА VI.
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
В теории дифференциальных уравнений линейные уравнения
являются одним из наиболее интересных отделов. Это обусловли-
вается как тем, что они относятся к типу уравнений с хорошо раз-
работанной общей теорией, так и широкими возможностями их прило-
жений к физике, механике и т. д. Линейные уравнения содержат
несколько классов, для которых до конца решается задача о пред-
ставлении общего решения при помощи элементарных функций.
В тех же случаях, когда такая элементарная интеграция невозможна,
часто оказывается необходимым — ввиду важности данного уравне-
ния, теоретической или прикладной—-исследовать свойства его ре-
шений, вводя последние в математический обиход в качестве новых
трансцендентных функций. Для линейных урав< ен 1й такое исследо-
вание оказывается значительно проще, чем для нелинейных, так как
нам не приходится заботиться об изучении зависимости решения от
произвольных постоянных — оно известно из общей теории. Таким
образом, для изучения, например, общего решения линейного уравне-
ния второго порядка достаточно изучить две функции от одного
независимого переменного х— два частных решения.
Настоящая глава посвящена тем типам уравнений, для которых
задачи интеграции доводятся до конца, а также изложению некото-
рых свойств линейных уравнений второго порядка.
§ 1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
и приводимые к ним.
1. Однородное линейное уравнение с постоян-
ными коэффициентами. Рассмотрим дифференциальное урав-
нение, линейное однородное /г-го порядка с коэффициентом при
старшей производной, равным единице:
. r , dny rfn-iy . dn~2y .	.	dу ,	„
или
£ до ==у») яДОп-1) 4- а2уп-2) --4- ап^1у' -}- апу = 0. (1)
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 215
В этом параграфе мы будем считать коэффициенты а,,
«2, ап постоянными (действительными) числами. Мы
покажем, что в таком случае интеграция уравнения (1) всегда воз-
можна в элементарных функциях и сводится даже не к квадра-
турам, а к алгебраическим операциям.
Заметим, что, в силу общих свойств линейных уравнений, нам
достаточно найти п частных решений, образующих фундамен-
тальную систему, т. е. линейно независимых.
Постараемся выяснить, какие элементарные функции могли бы
обратить уравнение (1) в тождество. Для этого нужно, чтобы по
подстановке решения в левую часть уравнения там оказались подоб-
ные члены, которые в сумме могли бы дать нуль. Из дифферен-
циального исчисления мы знаем функцию, которая подобна со всеми
своими производными в смысле элементарной алгебры; этой функцией
является екх, где k — постоянное. Итак, попытаемся удовлетво-
рить нашему уравнению, полагая
ф =	(2)
где k — постоянное, которое мы можем выбирать произвольно. Диф-
ференцируя по х выражение (2) один раз, два раза, ... , п раз,
мы получим следующие функции:
у' = kekx, у" =	, y(n-i) = kn~1ek:e, у^ = knekx. (3)
Внося выражения (2) и (3) в левую часть уравнения (1), которую
мы обозначим символом оператора L, мы получим:
L [екх] = ekx(kn-j-a1kn-1-j~a2kn-2-[- ... an_xkап). (4)
В равенстве (4), в правой части, в скобках стоит многочлен п-й
степени относительно k с постоянными коэффициентами. Он назы-
вается характеристическим многочленом, соответствующим опера-
тору L; обозначим его через F (А):
F (k) = kn-\-alkn~1-ira2kn~2
В этих обозначениях равенство (4) кратко запишется так:
L[ekx] — ekxF(k).	(4Z)
Заметим, что характеристический многочлен получается из опера-
тора А[_у], если производные различных порядков в этом послед-
нем заменить равными степенями величины k. Если выражение (2)
есть решение дифференциального уравнения (1), то выражение (4)
должно тождественно обращаться в нуль. Но множитель екх ф 0;
следовательно, мы должны положить:
F(k) s kn + a.kn-i	a^n-2 + ... -j- an_ik -^-an = Q. (5)
Равенство (5) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно
216
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве
постоянного k в выражении (2) возьмём корень k,, характеристи-
ческого уравнения (5), то выражение (4) будет тождественно равно
нулю, т. е. екл> будет являться решением дифференциального урав-
нения (1).
Но характеристическое уравнение есть уравнение я-й степени;
следовательно, оно имеет п корней. В этом разделе мы рассмотрим
случай, когда все эти корни различны. Обозначим их через
^2. • • • , &п.	(6)
Каждому из корней (6) соответствует частное решение дифферен-
циального уравнения (1):
fr.a?	кйх	к.„х	/п\
Ух = е , 72 =е > ••• > Уп = е п •	(7)
Докажем, что эти решения образуют фундаментальную систему,
для этого составим определитель Вронского:
		7i	72	•• Уп	
		У1	72	•• Уп	
72. • •	• . 7 J =			V<™-1) • ' S n	—
e '	ek*x	knX .. . e n
	k.,ektX	... knek*x
t.n-1	*,n-l к*х ki e	k2 e 2			
	1	1	1
	fej		k
е(к, + к2+ ... +кп) х
,П-1 дП-1	fji —1
«I «2	. • •	&11
Последний определитель есть известный определитель Вандермонда;
он равен
— fe2) (&1 — fe3) • • • (kl — kn) X
X(/*2—Л) ••• (*2 —£JX
X (^Я-l
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 217
и, следовательно, не обращается в нуль, если все корни уравне-
ния (5) различны. Таким образом, система решений (7) является
фундаментальной, и общее решение уравнения (1) будет:
у = Су1;'х C2ek*x -j- ... -j- Cnek,lX,	(8)
где Ср С2, ... , Сп — произвольные постоянные.
Пример 1. у"—у — 0. Характеристическое уравнение есть
/г2—1=0. Его корни различны и равны соответственно kl — l,
k.> = — 1. Отсюда следует, что соответствующие частные решения
Су тут таковы: уу = ех, у2 = е~х. А тогда общее решение есть
у = С1са:4-С2с_а:.
Рассмотрим теперь случай комплексных корней. Формально выра-
жение (8) до конца решает поставленную нами задачу интегрирова-
ния линейного уравнения с постоянными коэффициентами в случае
отсутствия кратных корней характеристического уравнения. Но мы
в этой главе, как и во всём курсе, рассматриваем уравнения только
с действительными коэффициентами; между тем уравнение (5) может
допускать также комплексные корни. Заметим (этим замечанием мы
вскоре воспользуемся), что, в силу того, что коэффициенты уравне-
ний (5) действительны, комплексные корни входят попарно сопря-
женными, т. е. комплексному корню = а 4- соответствует другой
корень fe2 = а — $1. Если мы напишем решение уг, соответствующее
корню kt, то оно будет иметь вид:
(9)
Выражение (9) является, вообще говоря, комплексным числом; мы
имеем дело с комплексной функцией действительного
переменного х.
Всякая комплексная функция f(x) действительного переменного
может быть представлена в виде:
/ (х) = н(х)4~ iv(х),	(10)
где и(х) и v (х)— две действительные функции действительного
переменного; и, обратно, две произвольные действительные функции
и(х) и ®(х) дают по формуле (10) комплексную функцию действи-
тельного переменного.
Докажем следующую лемму:
лемма. Если мы имеем комплексное решение вида (10) линей-
ного дифференциального уравнения с действительными (не обяза-
тельно постоянными) коэффициентами
L[y\ = Q,	(И)
то функции и (х) и v (х) в отдельности являются решениями
(действительными) уравнения (11).
218 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VI
В самом деле, из свойств линейного дифференциального опера-
тора L[y\ следует:
L [а (х) -ф- iv (х)] = L [а (х)] -ф- IL [» (х)].	(12)
По условию леммы, выражение (12) тождественно равно нулю,
но оба выражения L[u\ и L [х>] суть действительные функции от х;
тождественное равенство нулю выражения (12) влечёт за собой, таким
образом, два тождества:
£[а(х)] —О, L [х» (х)] — О,
что и доказывает лемму.
Воспользуемся этой леммой для преобразования решения (9).
Отделяя в нём действительную часть от мнимой по формуле Эйлера,
получаем:
== е“® • е^х = е“® (cos fix -ф- i sin {Sx) = cos |3x -ф- tes® sin 0x.
Согласно лемме, мы получаем: комплексному корню kx — a-\-fii со-
ответствуют два действительных решения уравнения (1)J):
у, = e“®cos Рх; _у2 = еаж sin 8х.	(13)
Заметим, что сопряжённому корню k2 = а — р/ соответствует
комплексное решение
у 2 =
которое, очевидно, может быть написано в виде:
_у2 = е“® cos рх — ie»® sin рх,
т. е. является (комплексной) линейной комбинацией тех же действи-
тельных решений (13). Таким образом, мы можем сказать, что паре
сопряжённых комплексных корней характеристического уравне-
ния (5) соответствуют два действительных частных решения
уравнения (1) вида (13).
Пример 2. Уравнение свободного гармонического колебания
имеет вид:
-ф- аах = 0 (а — постоянное).
Следовательно, характеристическое уравнение будет: fea-J-aa = O,
а его корни будут: k = rt al. Мы находим отсюда, что частные
комплексные решения будут иметь вид: xt = e<at, ха = e~iat, в то
время как частные решения действительные будут: х1 = cos at,
ха = sin at.
Общее решение: х = Ct cos at-ф- Са sin at. Для большей нагляд-
ности полезно ввести новые постоянные, отказавшись от простей-
!) Легко убедиться в том, что эти решения линейно независимы.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 219
шего, с теоретической точки зрения, вида, когда общее решение
зависит от них линейно. Именно, введём постоянные А и 8, связан-
ные с Cj и Са соотношениями:
<4 = Л sin 8, Ca = Xcos8;
Л и 8 однозначно определяются, если мы введём добавочные ограни-
чения: А > 0 (равенство нулю означало бы тривиальное решение),
— к <6^71. Тогда решение представится в виде:
х = A sin (at 4- 8).
Геометрически ясно, что интегральные кривые в плоскости xOt пред-
ставляют семейство синусоид. Заданное в уравнении постоянное а
называется частотой колебания. Период колебания Т получается при
возрастании аргумента sin на 2к, т. е. при возрастании t на—,
Т=—. Число колебаний в единицу времени v = — ;оно отличается
от частоты множителем . Постоянная интеграции А характери-
зует наибольшее по абсолютной величине значение функции х—ампли-
туду колебания; наконец, постоянная интеграции 8 есть начальная
фаза (фазой, вообще, называется значение аргумента функции sin х
в колебательном движении).
Пример 3. Уравнение свободных упругих колебаний при нали-
чии сопротивления приводится к виду:
+	+	(»>0).
Рассмотрим случай, когда п — малое число, во всяком случае п <а.
Тогда корни характеристического уравнения будут:
kj — — п	I У а2 — и2,
= — п — z Ус? — п2,
соответствующие действительные решения:
Xj = e~nt cos У а2 — п21,
х2 = e~nt sin У а2 — л2t,
и общее решение будет:
х == e~nt (Cj cos У а2 — n21 -j- C2 sin У a2 — /z2 f),
или
x = Ae~nt sin (Уa2 — n2 / 4~ a)
(Л и a — произвольные постоянные).
220
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Можно рассматривать это движение, как колебательное с часто-
той ]/а?—п-— а }/~ 1------; эта частота, в случае если п мало
по отношению к а, весьма мало отличается от частоты а, которой
обладало бы движение при отсутствии сопротивления; а попрежнему
есть начальная фаза; но в качестве амплитуды приходится рассматри-
вать функцию от t, Ae~nt.
Эта функция убывает со временем, т. е. мы имеем дело с зату-
хающим колебанием.
Т	ТС
В течение одного колебания, т. е. полупериода — е=
пп
первоначальная амплитуда получает множитель е га2-па. логарифм
этого выражения с обратным знаком, т. е.  г_.. , называется лога-
/ а2 — я2
рифмическим декрементом колебания.
Пример 4. у"'^-у — 0. Характеристическое уравнение = 0,
1	1^3
ею корни /г, =—1, /г2 — у I . Следовательно, общее реше-
ние имеет вид:
у — С^е~х -ф- е - (с^ cos х -ф- Сй sin х Хр-).
Рассмотрим теперь случай кратных корней характеристического
уравнения. Если среди корней уравнения (5) существуют кратные,
то количество различных в ряду (6) чисел будет < п, и, соответ-
ственно, число линейно независимых частных решений вида (7) будет
меньше и; этих решений недостаточно для получения общего реше-
ния. Для получения недостающих решений изучим выражение линей-
ного оператора L от произведения двух функций uv.
По формуле Лейбница имеем:
(zzn)W = ибду ) «(«“От/ -ф-
-ф-("+ ...
(аг))(«-1) = м<п-1)п + Т1-ф-
-ф ( п~^ 1) м(”-3)п"-ф- ... -ф-итК”"1),
(мп)" = м"п -ф- 2м/чУ -ф- uv",
(uvY = u'v -ф- пи',
uv — uv.
§ и
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
221
Умножая первую строку на 1, вторую на alt ..., последнюю на ап
и складывая, получим:
ft/	trtff
L \uv\ = vL [и] “h~iT Л [и]	[м] -ф- ...
v(n-l)	v(n) .
| (п 1)! Лг-1]М1Ч п| 7,(1[м].	(14)
Здесь введены обозначения:
L [_у]=_у(«)+а1^(«-1)-|- ... + «и_2У' + «п-1У + «п.У,
Lj [_у] = пу<-п~1'> —(л—1) ary(п-2> -Н ... +2ап_2У+ ага_1Д/,
Е^у\ = п(п — 1)УИ~2) -ь
-(-(« —1) (л — 2) aj_y(n-s)... + 2. 1 ап_.1у,
(15)
[JU1 = «(« — 1) ••• 2/4-(л —1)(л —2) ... 1 -агу,
ЛИ?] = «(«—!) ••• 2- 1 -У-
Операторы Lr[y], г=1, 2, ..., п составлены из L[y] по правилу,
аналогичному правилу дифференцирования многочлена, только роль
показателей играют указатели порядка производной.
Формула (14) применима к любому линейному оператору. Если,
в частности, коэффициенты а„ а2, ..., ап суть постоянные, то
каждому оператору Lr[y] соответствует характеристический,
многочлен Fr(k), причём легко видеть, что Fr(k~) есть r-я произ-
водная по k многочлена F(k), соответствующего оператору L\y\:
Fr(k) = F<rt(k~).	(16)
Вычислим теперь выражение (14), если и — екх, v = Xм, где т —
целое неотрицательное число.
Мы получим:
L [xme>txi = xmL [ekxj -ф- у х”-^ [е*х] -ф- - У УТ-В х™~^ [е^]
или, так как, в силу формул (4х) и (16), мы имеем:
Lr = ekxFd") (й),
получим:
Z [хтекл] = е*х
| (fe) у	х>»~ 1F' (&) 4- ( 2 ) x^F" (k) +
•••+	(И)
222 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гЛ. VI
Пусть теперь k{ есть корень характеристического уравнения (5)
кратности тогда, как известно,
F(fe1) = 0, F'(fe1) = 0, ...,	=
Если в выражении (17) взять показатель т при х меньшим, чем т1г
то все члены в скобке правой части обратятся в нуль; следова-
тельно, мы получаем т1 частных решений дифференциального урав-
нения (1), соответствующих корню kjt
хек^ х2ек^, ...,	(18)
Аналогично, если имеются другие корни характеристического уравне-
ния, k2 кратности т.2, ..., kp кратности тр,	причём
тг -ф- т2-\- ... -ф- тр — п, и все kr уже различны *), то им будут соот-
ветствовать частные решения:
;-1 (faX

(18')
кпх кпХ
е хе ,
т„-1 к „х
н е г
Совокупность решений (18) и (18') даст в общем случае кратных
корней п частных решений. Остаётся доказать, что они образуют
фундаментальную систему.
Допустим, что между этими решениями существует тождественно
линейное соотношение:
*>	.	,, Р
2	+ ... +	У (х) ек^ = 0,	(19)
Г = 1	Г	Г = 1
где коэффициенты — постоянные. Без ограничения общности
можно предположить, что в многочлене Рр(х) по крайней мере один
коэффициент отличен от нуля. Разделим обе части этого соотноше-
ния на ек&'.
р
Pi (*)+2 pr w е{кг~к1) х = °-
Г = 2
Дифференцируя последнее (предполагаемое) тождество тх раз по х,
мы вместо первого многочлена получим нуль, а все многочлены, стоя-
щие множителями при показательных функциях, заменятся новыми много-
членами тех же степеней, и мы получим новое тождество:
р
2 Qr(x) А"*1)ж = 0.	(19')
Г=2
!) Конечно, некоторые корни kr могут быть простыми, тогда соответ-
ствующее число тг = 1.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 223
Очевидно, что Qp(x) не равно нулю тождественно. Сумма (19') со-
держит уже р—1 слагаемых; продолжая тот же процесс, мы придём,
наконец, к тождеству:
/?Дх)А"*Р-1)а,==0.	(19")
(к —к Ах
Но тождество (19") невозможно, так как е р Р~1 фО, а много-
член Rp(x), будучи той же степени, что Рр(х), имеет по крайней
мере один коэффициент отличным от нуля и не тождественно равен
нулю.
Примечание. То же рассуждение может быть применено и
к случаю различных корней; тогда все многочлены Рг имеют нуле-
вую степень; после деления обеих частей равенства (19) на ек^ доста-
точно одного дифференцирования, чтобы получить равенство вида (19х).
Доказав линейную независимость частных решений (18) и (18х),
мы можем написать общее решение уравнения (1) в случае кратных
корней в виде:
i>
y^^Gr(x)ek^,	(20)
r=l
где Gr (х) есть многочлен степени тг — 1 с произвольными
коэффициентами. Число произвольных постоянных в выраже-
нии (20) равно
OTi + OTa+ ••• +^ = «.
т. е. порядку уравнения, как и должно быть.
В случае комплексных кратных корней характеристического урав-
нения выражение (20) неудобно, так как оно окажется комплексной
функцией действительного переменного х. Заметим, что комплексные
корни войдут попарно сопряжёнными с одинаковой кратностью. Если
корень й1 = а-(-рг (Р ф 0] имеет кратность то сопряжённый
корень /г., = а — pz имеет ту же кратность. Соответствующая корню kr
совокупность решений (18) будет:
(18")
Пользуясь леммой, доказанной на стр. 217, мы отделим в выраже-
ниях (18хх) действительные части от мнимых и получим, таким обра-
зом, 2тх решений:
e^cos^x, хе*® cos fix, ..., xm^1exXcos^x,
e'x:Bsinpx, хе'1Х sin px, ..., xmi~1eax sin px.
Подобные решения могут быть построены для любого из остальных
корней. Таким образом, мы всегда получим действительные решения
в числе, равном порядку уравнения.
224 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. VI
Пример 5. у'"—у"—= Характеристическое уравне-
ние: /г3— /г2— k-}- 1 = 0, его корни: fe1 = fe2==l, /гй ——1. Общее
решение
у = ех (Q -ф- С2х) -ф- С3е~ж.
Пример 6. jIV-f-8y/-4-16j == 0. Характеристическое уравне-
ние; fe1 —j—8^'2 —16 = 0, или (й24-4)2 = 0. Его корни:
k. = k2 = 2г; k.A — ki = — 2i.
Общее решение:
у = (Cj -ф- C2x) cos 2jc -ф- (C3 -ф- CAx) sin 2x.
ЗАДАЧИ.
Найти общее решение уравнений:
147.	Уv — 2у" = 0.
148.	у'" — Зу" + Зу' — у = 0.
149.	Уv + 4у = 0.
150.	Уу— > = 0.
151.	2у"+у'~ у = 0.
152.	Уv + 2у" + Зу" + 2у +у = 0.
2. Неоднородные линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами. Если дано
линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициен-
тами:
L фу] = У(х),	(21)
то, так как мы всегда умеем решить соответствующее однородное
уравнение, изложенный в главе V метод вариации постоянных, во
всяком случае, позволяет найти квадратурами частное решение,
а следовательно, и написать общее решение. Мы в этом параграфе
остановимся главным образом на тех случаях, когда частное ре-
шение находится без квадратур.
Начнём с одного замечания, относящегося к любому линейному
уравнению с правой частью.
Если имеем уравнение
L\y}=
то, обозначая через Xj и Y2 соответственно частные решения
уравнений:
L[y]=V,(x), А[_у] = V2(x),
мы получим его частное решение в виде:
y=y^-y2.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 225
В самом деле, мы имеем:
Г2] = А[Г11 + А[У2].
Но, по условию,
L\Y,\^ V,(x), Z[/2]S V2(.t),
откуда
что и требовалось доказать.
Мы укажем способ нахождения частных решений линейного урав-
нения с постоянными коэффициентами вида
к
L [_у | — 2 Ру (х) е”гХ [Р>- W — многочлены]
» = 1
без квадратур, одними рациональными операциями.
На основании предыдущего замечания, достаточно уметь находить
частное решение уравнения вида
^1у\ = Рт(х)е'^,	(22)
где Рт (х) = ртхт -f- ... 4“ р0 есть многочлен степени т 0.
Нам придётся рассмотреть два случая.
1) а не является корнем характеристического
уравнения, F(a)^Q. Мы докажем, что в этом случае существует
частное решение того же вида, что и правая часть, именно:
Y=Qm(x)e™,	(23)
где
Qm W = Qmxm 4~ Vm-lX™-1 + • •  4~ <70-
Рассматривая коэффициенты qm, qm_1, ..., q0, как неизвестные,
покажем, что их можно определить так, чтобы выполнялось следую-
щее тождество по х:
L[Qm(x)e™] = Pm(x)e™,
ПЛИ
[Q,„ (х) е’4 = Рт (х).	(22')
Мы можем вычислить левую часть, применяя формулу (17); мы
найдём, обозначая попрежнему характеристический многочлен че-
рез F(a):
[Qm(x)e™] =
'1т {х^/Ла) + (^х™-’/7' (а) + ( 2 )(«) 4- • • • +	0)} 4-
4- qm-i { xm~lF (а) 4- ( т 7 х»-2^ (а) + .. . + F6»-1) (а) } + . ..
• •• 4-?1{^(а)4-^Ча)}4-^(а)- (24)
226 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Приравнивая выражение (24) многочлену Рт (х) и отождествляя
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим т 1 уравне-
ний с m-f-1 неизвестными q0, qlt ..., q^.
ЯщР (®) Puli
Ят-S («) + Ят (7) F' («) = Pm-v
Ят-2Р (a) + Ят-l 7 1 ) F' (“) + Ят (7)	= Pm-2>
?т-^(а) + ^-г + 1(т~1Г+1)/7'(«) +
+ ^-r+a('”~2'’ + 2)/7"<a)+ ••• +^(7)F(r)(a) = ^-n
?0F(a)+91F'(a)+^F"(a)+^F"'(a)+. • .+?/<“>(«) = P0-	.
Так как, по условию, а не является корнем характеристического
уравнения, то F(a)r^zO. Система (25) даёт возможность последо-
вательно вычислить qm, qm_r....q^.
Pm
Чт F(a) >
Ят-1 ~ р (а) (рт~1	Ят (1 ) F (я)^ =
___ Рт—1 (Pm pt / \
Л (а)	\17 [^(«)12 F	' Д‘
Таким образом, мы находим искомое частное решение (23) (разре-
шимость системы (25) относительно q0, qt, ..., qm можно сразу
усмотреть из того, что её определитель равен [F(a)]m+1 ф 0).
2) Пусть теперь а является корнем характери-
стического уравнения кратности 1. Тогда F(a) = F'(a) =
= ... — F(’"~1)(a) = 0, F<r) (a)=£0. Формула (17) показывает, что
в этом случае L [е’жхвд| есть произведение на многочлен сте-
пени т — г. Чтобы получить в результате подстановки в левую часть
уравнения е“®, умноженное на многочлен степени т, естественно
искать частное решение в этом случае в виде:
Y = xrQm (х) е™ = (qmx«^ + qm_1X^-1 ц_ ...	(26)
Подставляя это выражение в уравнение (22) и требуя, чтобы (26)
было решением уравнения, мы приходим к условию:
[x’ Qm (х) е^] = Рт (х).	(26')
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 227
Опять вычисляем левую часть, пользуясь формулой (17) и помня, что
F (а) = F' (а) — ... =	(а) = О, Яг) (а) -ф. 0. Имеем:
c~”-xL [xrQm(x) еаж] =
= qm {(т 19 xmp(r} (“)+(7 + 0 •rW~1 F(r+1) («)+••• +
+ F(m+r} («) } + qm-! { + rr - 9 X—1 FW(a) 4-
+ 9'7+7 9 •г’п-2Л’-+1>(а)4- .. ,_J-F(m+r-i)(a)J. 4-...4-
+«л {C19xF!r> (a)+F(r+1) H+%F(r) (a)-	(27j
Подставляя выражение (27) в равенство (26') и приравнивая после
этого коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях
равенства (26'), опять получаем систему т-|-1 уравнений для опре-
деления q0, qr, q.2, .... qm:
^n + r -0	(a)	+ (m + 0 Лг+1) (a)	=
+; - 9 («) qm-r + C” + ; 7 {+ 1) F^ ^qm-i^ +
+ • • • + (7+Г)F(r+l} w
ЛН (a) q0 + Mr+1) (a) ?I 4- ... 4-	(a) qm = pQ.
Определитель системы (28) равен
('" + ,)("+;-1)...(4P»(a))»«^0,
поэтому все неизвестные q{(i — ®, 1, 2, ..., т) определяются одно-
значно, и мы получаем решение вида (26).
Итак, мы приходим к следующему результату: частное решение
линейного уравнения с постоянными коэффициентами и с правой
частью вида Рт(х)еЛХ может быть найдено в виде xrQm(x) е™, где
гф-0 есть кратность корня а характеристического уравнения,
Qm есть многочлен той же степени, что Рт.
На практике для нахождения частного решения обыкновенно пишут
его в форме (23) или (26) с неопределёнными коэффициентами
у многочлена Qm (х). Подставляя это выражение частного решения
в заданное уравнение, сокращая на е*х и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х, получают систему линейных уравнений
228 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
для этих коэффициентов. По доказанному, эта система всегда имеет
определённые решения.
Пример 7. Решить уравнение у'" ф- у" — х- ф- 1 ф- Зхе®. Согласно
сказанному в начале этого п° (стр. 224), мы можем искать частные
решения двух уравнений: у'" у" = х2 ф-1 и у'" -\-у" = Зхех. Ха-
рактеристическое уравнение, очевидно, имеет вид: /г3 ф-/г‘-= О, его
корни: kt = k., = Q, ks = —1. Рассмотрим сначала первое уравнение;
в правой части нет показательного множителя, следовательно, а = 0;
но нуль есть двукратный корень характеристического уравнения;
поэтому мы, согласно изложенному выше, должны искать частное
решение в виде Y\ = x-Q2 (х) — а2х4 ф- ^х3 ф- а0х2. Находим:
= 12 й2х2-ф ф-2«0, Xi = 24я2хф- 6а1.
Подставляя в уравнение, получаем:
24а2хф- 6а1 ф- 12а2х2 ф- 6а t х ф- 2а0 = х2 ф- 1.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях х, находим систему
уравнений: 12гг.,= 1, 24п„ ф-бп, = О, 6а1ф-2а0=1. Из неё опре-
, .	“1	1	3
деляем коэффициенты: с.2 — — , а =-----, а0 = тг ; следовательно,
U	о	J
1	1	3
К, =-утуХ4 —-д-х3ф-уу х2. Переходим ко второму уравнению’; здесь
«= 1 не является корнем характеристического уравнения. Ищем
частное решение в виде У.2 = е® (<фх ф-£0). Находим: У2 = ех(Ьус ф-
ф-доф-дф, =е®(<51Хф-г'оф-2^1), К" = ех (Ьус ф- Ьо ф- 3^); под-
ставляя в уравнение и сокращая на ех, получаем: Ьус ф- Ьо ф- ЗЬ, ф-
ф- Ь,х ф- Ьо ф- 2Ь1 — Зх. Приравниваем коэффициенты: 2Ь, = 3,
3	15
2/?0 ф- SZ’j = 0, откуда Ьх = у , Ьо =-у- . Искомое частное реше-
„/3	15 \
ние: У2=е®1-^х------у-I. Общее решение данного уравнения есть
у = Cte'х ф- С2 ф- С3х ф- х2— 4 х3 + П	+ еХ (4 х ~ т):
Ср С2, С3 — произвольные постоянные.
Если правая часть уравнения (21) имеет вид:
еа® cos рх • Рт (х) или sin рх • Рт (х),
где Рт — многочлен степени иг, а а и (3 — действительные числа, то
этот случай легко привести к предыдущему, замечая, что cos [ix или
sin рх выражаются линейно через показательные функции е^х и е~^х.
Так как sin fix и cos [Зх выражаются через одни и те же пока-
зательные функции, то естественно рассматривать правую часть более
общего вида: еаяф/э»1) (х) cos рх ф- Рт (x)sinpxj. После замены трит-
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 229
неметрических функций показательными это выражение обратится
в такое:
Mi}.
По предыдущему, мы должны искать частное решение в виде:
e^xQ^ (х) + Оф (х),	(29)
если а ±р/ не являются корнями характеристического уравнения;
если же «±’( суть корни характеристического уравнения крат-
ности г, то выражение (29) должно быть умножено на хг. Легко
видеть, что из системы уравнений (25) или (28) для определения
коэффициентов многочлена Q™ соответствующая система для Q™
получается переходом к комплексным сопряжённым значениям коэф-
фициентов уравнений; следовательно, коэффициенты многочлена Q^
скажутся комплексными сопряжёнными с соответствующими коэффи-
циентами многочлена Q™ . Поэтому, отделяя действительную часть от
мнимой, мы получим: если (х) = Qm (х) iQm (х), то Q^(x} —
~Qm(x) — iQm(x). Вставляя эти многочлены в выражение (29) и
переходя снова от показательных функций к тригонометрическим,
находим искомое частное решение:
У = е*х { 2Q,„ (.г) cos ix — 2Q„* (х) sin Зх }.
Это выражение уже не содержит комплексных величин.
В случае, если а ± [Ц суть корни характеристического уравнения
кра 1 пости г, предыдущее выражение надо умножить на хг.
Итак, имеем окончательно: частное решение линейного уравнения
с постоянными коэффициентами и с правой частью вида
е"х { cos Зх • Р{м (х) -f- sin (Зх • Рф’ (х)}
можно найти в форме xr е'х (cos Зх • Qm(x) -ф- sin ,3х •Q™ (х)},
где Qm и Qm—многочлены той же степени, что Р™ и Рт (или
наибольшей, если эти степени не равны), а гОуЛ есть кратность
корня а ± (Эг характеристического уравнения.
На практике опять пишут многочлены и с неопределён-
ными коэффициентами, подставляют в уравнение и приравнивают
коэффициенты в обеих частях при выражениях вида хг cos $х и
х1 sin (Зх(/= г, г -]-1, ..., г -ф-эт). Впрочем, иногда удобно произво-
дить вычисления и с мнимыми показателями.
Пример 8. Проинтегрировать уравнение: у"—у — х cos х • ех.
Выражение а ± (3f = 1 ± i не является корнем характеристического
уравнения k-—1=0; поэтому частное решение, ищем следующим
образом: представляем правую часть в виде -^-xe(1+i>x
230 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
и ищем частное решение уравнения у"—у = у	в форме
Yt ?= (АхВ) х. Имеем:
Ki = [Л (1 + i)x + В (1 + г) + Л] e(1+i)x,
Y'i = [2iAx + 2Bi 4- 2Л (1 -f- i)] 4 +iJ x.
Подстановка в уравнение даёт:
,21 — 1) Ах + [(2i — 1) В 4- 2A (I 4- 1)] = 1 х,
.	— 1 — 21	„	7 — i
откуда Л =	]0--, В = -^. .
Итак, У1 = (—2~ Н~ ~25~)	, Решение У2 уравне-
ния у"—у = у хс(1~’')гс будет комплексным сопряжённым с Уу
Уд —(—х4~Цу~)<г(1~*>Ж’ Складывая и У2 и переходя
к тригонометрическим функциям, получаем частное решение заданного
уравнения в виде У = е®|^— 4-x-f-^Jcos -v4“^y)sirlA?y
Для нахождения общего решения достаточно прибавить к У выраже-
ние Су® 4“ ^2е~х — общее решение соответствующего однородного
уравнения.
Предлагаем читателю для сравнения найти это частное решение,
задавшись сразу его действительной формой:
У = ех {(Ах 4~ В) cos х 4- (Сх 4- D) sin х }.
Пример 9. Уравнение упругих колебаний без сопротивления
при наличии возмущающей периодической силы имеет вид (ср. при-
мер 2):
х > g	.	.	.	.
^2 4~ а х ~ Р sltl	(а> Р и ш— постоянные).
Корни характеристического уравнения здесь равны Ш ai, правая часть
содержит показательные функции е± u>it. Возможны два случая:
1)	тфа (частота возмущающей силы не равна частоте собствен-
ных колебаний системы). Тогда частное решение должно иметь вид:
х= acosw^-j-?sinподставляя его в уравнение, находим: а = 0,
р = д2~^_~2 > общее решение, х — A sin (at-\~ 8) 4- ~а ~ 2' sincoZ, пока-
зывает, что движение получается наложением собственного колебания
системы с частотой а и вынужденного колебания частоты со, совпа-
дающего по фазе с возмущающей силой, если а >• со, и отличаю-
щегося на тг, если а < со; амплитуда его пропорциональна амплитуде
возмущающей силы и величине	> она °чень велика, когда о>
мало отличается от а.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 231
2)	со = а. Частное решение надо искать в виде X — t(a cos а/ -ф
-ф ,3 sin at); тогда X" = —аН (a cos а/-ф- (3 sin а/)—2ад sin at-\- 2p« cos а/.
Подставляя в уравнение, находим а = —	{3 = 0. Общее решение
уравнения имеет вид: х — A sin (at-\- 8) — t zosat. Второй член
показывает, что амплитуда колебания неограниченно возрастает; это—
так называемое явление резонанса, имеющее место при совпадении
собственной частоты системы и частоты возмущающей силы. В астро-
номии член, имеющий вид произведения периодической функции на
степень переменного, называется «вековым членом».
Пример 10. Уравнение колебаний при наличии сопротивления и
возмущающей периодической силы (ср. пример 3) пишется так:
(Px . п dx , о .	,
-т-s- -ф 2п — -ф aix — р sin <s>t.
dp 1 dt 1
Предполагая n малым («<«), находим, что корни характеристического
уравнения равны «±/|Лг2— п2. Так как правая часть в показатель-
ной форме содержит функции e±iu,t, то частное решение надо искать
в форме
Х—М cos со/-ф Nsin <ot.
Тогда Л"' =—sin a>Z —f— Mo cos со/, X" ——Afco2 cos со/—Mco2sinco/.
Сравнение коэффициентов при sin со/ и cosco/ даёт два уравнения:
— 2лсо/И -ф (а2 — со2) ;V= р,
(а1 — со2) М -ф 2псоМ= 0,
откуда
ЛЛ — -2пш-р	дг (я2 — со2) р
(я2— ш2)2-ф 4п*<о2 ’	(я2 — со2)2	4п2ш2
Искомое частное решение:
v___ — 2пшр cos <о/ -ф (а2 — со2) р sin со/
(«2 — СО2)2. + 4п2со2
Вводя амплитуду ]/"Л42-ф-№ и начальную фазу 8 = arctg, или
. 2псо
о = —arctg ——, мы можем написать это решение в виде:
X — г.........	sin (со/ -4- 6).
У (а2 _ ш2)3	4П2Ш2	1
В примере 3 мы видели, что общее решение однородного уравнения
имеет вид: Ae~nt sin(]/а2— /г2/-фа)’> оно представляет свободное
затухающее колебание, и после значительного промежутка времени
его влияние на движение системы оказывается ничтожным; для
больших значений / главное значение имеет член, определяющий
232 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ дифференциальных УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
вынужденное колебание. Его частота равна частоте вынуждающей
силы, его амплитуда пропорциональна амплитуде р этой силы, и
велика, когда а близко к <в; знаменатель в этом случае мал, так
как п мало; это — явление резонанса. Заметим, чао, в противополож-
ность случаю отсутствия сопротивления, колебания хотя и велики,
но не возрастают неограниченно; практически, однако, эта разница
несущественна при очень малом п. Наконец, фаза 8 вынужденных
колебаний не совпадает с фазой силы при ифО; замечая, что sin 3
имеет знак М, т. е. всегда отрицательный, заключаем, что —~ <8<0,
т. е. фаза колебания всегда запаздывает сравнительно с фазой силы;
это запаздывание мало при малых частотах ш, оно заключено между О
и -—если со<«, равно — ~ при полном резонансе (а> = а) и за-
ключено между------- и —тс, если со > а .
Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффи-
циентами не имеет вида одной из рассмотренных форм, то остаётся
метод вариации постоянных для нахождения частного решения. Рас-
смотрим важный для приложений случай.
Пример И. Уравнение -ф- а‘х = о (/). Фундаментальная система
однородного уравнения есть xt = sin at, х2 = cos at. Согласно общей
теории предыдущей главы, ищем частное решение в форме X — С, sin at-\-
-C^cosat, где С,' и С2 — функции от t, подобранные так, чтобы
удовлетворялось заданное неоднородное уравнение. Для определения
их производных по t имеем два линейных уравнения [см. главу V,
уравнения (27), стр. 202 J:
sin at-\- С2 cos at = О,	cos at— C2 sin at—-^- a (/),
откуда получаем: C'[ == ~ a (t) cos at, C'2 —-(t) sin at. Отсюда
t	t
if	if
находим Q и C2: C{ = — о (т) cos az dz, C2 =— у о (т) sin azdz.
о	6
Внося их значения в выражение для X, находим:
t	1
Х= sin at- —	® (z) cos az dz — cos at-— о (z) sin az dz.
a J ‘ v '	a J • 4 7
о	о
Внося множители sin at и cos#/ под знаки интегралов и объединяя
оба интеграла, получаем окончательное выражение для частного
решения в виде:
t
X{f) = -i- J ср (т) sin a (t— т) dz.
о
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
233
§ И
Легко проверить, что это частное решение удовлетворяет началь-
ным условиям:
Аг(0) = 0, <¥'(0) = 0.
3. Применение тригонометрических рядов к на-
хождению частного решения. В приложениях часто встре-
чаются уравнения вида:
L[y\= V(x),
где Ь[у}— линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами, a V(x)— периодическая функция, период которой
предположим равным 2тт. Для простоты рассуждений мы предполо-
жим, что оператор L — второго порядка и не содержит члена с пер-
вой производной, т. е. L [у] s= у" -J- qy 1). Функцию V(х) мы будем
писать в виде разложения в тригонометрический ряд Фурье. Итак,
имеем уравнение:
L [у] =У' + qy=V(х) — -у- + V (ан cos пх + Ь,. sin пх)2), (30)
?i=l
где q — постоянное. Ищем частное решение Y(х) тоже в виде
тригонометрического ряда с неопределёнными коэффи-
циентами: '
Y (х) =	(Л„ cos пх Blt sin пх).	(31)
Подставляем ряд (31) в уравнение (30) и подбираем его коэффи-
циенты так, чтобы равенство (30) удовлетворялось формально (т. е.
мы пока не ставим вопроса о сходимости входящих в рассуждение
рядов). Приравнивая свободные члены, имеем:
т Г Ло 1_ «о	ylo__Д0
или q 2 — ~2’
!) Если L [у] ~у" ру' + qy, то подстановка у = е - г приводит L
р
х < г /р\2] |
к виду е - !?"+? — (ту) z >. Аналогично в линейном операторе
п-го порядка Y[y] =y(,l)+Piy(n~r>-)-Р2У^п~®с постоянными коэф-
X
фициентами подстановка у = е п z уничтожает член с Указанием,
что такая форма уравнения упрощает рассуждения, я обязан А. И. Плеснеру.
-’) Мы пишем вместо равенства знак^, так как пас не интересует сходи-
мость ряда в правой части.
234 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . [ГЛ. VI
откуда До = -^-. Сразу видно первое необходимое условие существо-
вания решения вида (31): если ao^tO, то необходимо q~pO (если
<7 = 0 и а0 = 0, то коэффициент Ло остаётся неопределённым).
Затем приравниваем в обеих частях члены, содержащие cosnx и
sin пх, т. е.
L ]Ап cos пх 4~ Вп sin пх] — ап cos пх bn sin пх. (32)
Раскрываем левую часть, замечая, что
L [cos пх] = (— п* -ф- q) cos пх, L [sin пх] = (— /г2 4~ q) sin пх.
Приравнивая, далее, коэффициенты при cos пх и sin пх в обеих
частях (32), находим:
Ьп
— n2 + q'
а
п~ + д ’
Вп =
(33)
Для того чтобы формулы (33) имели смысл, необходимо, чтобы
не было — к2 — (/= 0. Но равенство возможно только, если q = /г2,
т. е. для оператора L [у] ==_у"-|~ п2У- ® этом случае однородное
уравнение имеет периодическое решение с частотой /г, и член правой
части ап cos пх bn sin пх находится в резонансе с этим решением;
поэтому a priori нельзя ожидать периодического решения (если при
этом ап = Ьп = 0, то резонанса не будет, периодические же члены
Ап cos пх -ф- Вп sin пх с произвольными Ап, Вп входят в общее
решение однородного уравнения). Итак, предполагая, что резонанса
нет, мы получаем формальное решение уравнения (30) в виде три-
гонометрического ряда:
ОО
У(х) = ~4~ Vj f-------cosnx----------sinnxY (34)
7 2q ' XU \ n- — q	пг — q / v 7
n = l
Остаётся доказать, что ряд (34) действительно сходится и удовле-
творяет уравнению (30). Это легко вытекает из следующих сообра-
жений. Коэффициенты Фурье ап, Ьп функции V(x) по известному
свойству коэффициентов Фурье стремятся к 0; следовательно, начи-
ная с некоторого п, имеем |ага|<1,	с другой стороны,
множитель — для достаточно большого п положителен и не пре-
п2 — q	г
д
вышает —? (/1 > 0 — постоянное). Итак, члены ряда (34), начиная
с некоторого, не превышают по абсолютной величине соответствую-
ЧА
щих членов сходящегося числового ряда , т. е. ряд (34) схо-
дится равномерно. Докажем, наконец, что найденная функция ¥ (х)
удовлетворяет уравнению (30). Составим выражение:
— q¥+ И(х);
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 235
это — непрерывная функция х; её ряд Фурье, получаемый как линей-
ная комбинация рядов для Y и V, в силу формул (30) и (34),
будет:
--<7 [ ТГ' 4~	f----cos пх--------sin их)] -4-
L 2(7	\ я2 — Q п2 — Q	/ J
со
4" -у- 4- (ап C0S пх 4“ sin ях) —
п—1
со
2/ п2ап	. пгЬп .	\
——~ cos пх -4~ ——— sin пх .
'.п- — q	п- — q )
Н=1
Получившийся ряд Фурье есть дважды продифференцированный
ряд (34); следовательно, представляемая им непрерывная функция
есть вторая производная от Y(x)1), и мы имеем тождество:
Г(х) = -рУ+У(х),
т. е. Y (х) удовлетворяет уравнению (30).
Тот же метод и то же рассуждение применяется к уравнению
и-го порядка:
_У(ге) + РгУ^п~^ + • • • + РпУ = V (•*) ~
СО
~ ~ -ф-	(ат cos тх 4~ bm sin тх),
т — 1
с постоянными коэффициентами. Коэффициенты решения для п = 4
имеют значения:
. _ (от4 —/г.от2 +р4) ат +рятЬ,п
/	4	2 I \2 I 9	’
(т —руп +Р1У + Ррп~
В —Pawgm + (ffz4 —
(mi— р2т2+р^2+р23т2
Примечание 1. Если V(x), разлагаемая в ряд Фурье, не
является непрерывной функцией, то приведённое рассуждение пока-
зывает, что Y (х) удовлетворяет уравнению в каждом интервале
непрерывности V (х).
!) В этом факте проще всего убедиться, интегрируя полученный ряд
Фурье два раза.
236 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Пример 12. Найти периодическое решение уравнения у"—у —
— Щх), где
для 27г— < х < (2fe ~>
для (2й— 1)~ < х < 2йд (k = 0, ±1, ±2, ...).
4 Л,-п .. । sin3x I , sin (2n +1) лг , у
sinx-)--------у—+•	------ч----------1- • • •
Известно, что
v. х 4 sin
1 (Х) = ^|-----------.
V(x) =
4	1
Здесь у нас q = —1, ^ = 0, b2n — 0, Ь.2п +. = —	• Следова-
тельно, согласно формуле (34), искомое решение представляется
рядом:
х sin З.г	sin (2п -ф 1) х	1
W+l) ~	’ ~~ (2n + 1) [(2и-ф I)2-ф 1] ~‘ " Г
Этот ряд представляет непрерывную периодическую функцию и
удовлетворяет уравнению всюду, кроме точек 0, ±к, ± 2тг,
где правая часть уравнения имеет разрыв.
Примечание 2. Если характеристическое уравнение имеет
корни nl, то член ип(х) — ап cos пх bn sin пх тригонометриче-
ского ряда в правой части даёт резонанс; в соответствующем члене
ряда (34) коэффициенты имеют 0 в знаменателе. Чтобы найти част-
ное решение, напишем правую часть в виде (И(х)— ип (х))—[— ип (х).
Ряд Фурье для V(x)—ип(х) не содержит члена с частотой и, он
даёт начало частному решению вида (34); затем отдельно решаем
уравнение: L [у] = ип (х); его частное решение имеет вид:
x(Ancosnx-\-Вп5тпх)-, член же вида Ап cos пх -j- Вп sin пх с про-
извол ь н ы м и Ап и Вп войдёт в общее решение однородного
уравнения.
Итак, решение получится как сумма периодических и векового
членов.
ЗАДАЧИ.
Найти общее решение уравнений:
153.	у" — 4у' -ф 4у = х1.	,	ех_е-х
154.	у" — бу7 + 8у =	+ е-х.	159. у —у = е£Е ,
155.	у'" +у" +у' +У = хех-	160.	у" — 2у =	4аА?ж".
156.	yIV— 4у" -ф Gy"— 4у-фу=(.г-ф1) ех. 161.	у" у — sin х sin 2х.
157.	у" -ф 4у = х sin 2х.	,СГ1	,, , п	, I „ .	х I
?	х	162.	у" + 9у =	1п 2 sin	-х .
х уз	I z
158.	у" А-У' -ф> == е sin—.	Указание. Разложить
правую часть в ряд Фурье. 4 * *
2
4. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с по-
стоянными коэффициентами. Если с помощью замены пере-
менных мы сумеем линейное уравнение с переменными коэффициен-
§ 1]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
237
преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами, то
помощью обратного преобразования найдём в элементарных
тами
мы с
функциях решение данного уравнения.
Пример 13. (1—х2)^-у— х + п2У — 0* Делаем замену не-
(Z УС	U УС
зависимого переменного х = cos®; тогда
dy = dy dlf =
dx
1 dy .
sin <p dy ’
d'f dx
d-У
dx*
1 _£_/
Sin у dy \
1 dy
sin tj dy
1 d-у	cos t? dy
sin2 у dy*	sin3 if dy ’
получаем -{- n2y = 0. Следовательно
преобразованного уравнения будет: yr =
Подставляя в уравнение,
фундаментальная система
— cos и®, _у2 = sin/г®. Возвращаясь к переменному х, имеем:
y} = cos n arccosx, y2 == sin n arccos x.
Функция (x) при п целом является многочленом степени п, так
как cos тг® выражается в виде многочлена от cos®1). Это — так назы-
ваемый многочлен Чебышева /z-й степени2)
Тп (х) = cos п arccos х.
Пример 14. Уравнение Бесселя имеет вид:
*2 + х ~ П') у = °’
 г) В самом деле, по формуле Муавра имеем:
s	п
enw = cos пу z sin ntj = (cos tj -|- i sin <p)re =	** (й) cosn-ft<f • sinftt?.
k=0
Отделяем действительную часть:
Н]
cos пу =	cosra-2Jt? • з1п2гч> =
г=о
=	”z) cosn~2ly (1 — cos2<f)J.
l=o
2) Эти многочлены были изучены и применены к теории наилучшего
приближения функций знаменитым русским математиком П. Л. Чебы-
шевым (1821-1894).
238 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Здесь п есть любое постоянное число. Покажем, что при п = -^-
уравнение Бесселя интегрируется в элементарных функциях. Уравне-
ние в этом случае имеет вид:
ху' у ху> (х2 _	= о.
Сделаем замену искомой функции:
1
z
у = —= — X - Z.
У х
1	_2
Дифференцируем два раза: у'= х 2 г'— у х 2г,у" = х 2z"—
--	3 --
— х 2z'-\--^x 2 z. Подставляем в данное уравнение:
_з £	„	_£	2	1-1	1 i _1
х -zn — x2z'-\-^x 2z-\-x2zr — х 2 z 4- х2 z— -±-х 2z = 0,
или, после упрощений, г"-|-г = 0— уравнение с постоянными коэф-
фициентами; его фундаментальная система есть zt = cos х, z2 = sin х.
Возвращаясь к переменному у, находим:
В разобранных примерах нельзя усмотреть непосредственно, суще-
ствует ли замена переменных, приводящая данное уравнение к новому
с постоянными коэффициентами. Сейчас мы рассмотрим один тип
уравнений, где такая подстановка всегда может быть указана.
Уравнение Эйлера имеет вид:
+ ••• + = <35)
здесь av	ап — постоянные. Уравнение (35) не изменяется,
если заменить х через Сх. Следовательно, если ввести новое неза-
висимое переменное t формулой
/=1пх, х = ёь,	(36)
то уравнение в новом переменном t будет неизменным при замене t
на /-{-£> т- е- новое уравнение не содержит явно t (ср. главу I,
§ 3, 3). Так как от замены независимого переменного оно не пере-
станет быть линейным, то мы получим линейное уравнение с по-
стоянными коэффициентами *).
2) Уравнение (35) имеет точку х = 0 в качестве особой; формула (36) и
все последующие имеют в виду значения х > 0; при рассмотрении значе-
ний х<^0 надо всюду заменить х через | х |.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 239
Подтвердим это рассуждение непосредственными выкладками.
Вычислим выражения последовательных производных от у по х через
производные по t, где х и t связаны зависимостью (36). Имеем:
dy^dy & _t dy.	dy\ = e-&(&У
dx - dt dx dt ’ dx2 dt\ dt)	\ dt2	dt) ’
мы замечаем, что выражения первой и второй производной по х
содержат множители е~( и e-2if. Допустим, что /г-я производная
имеет вид:
dky	(dky . dk~l у i ,	dy\
dxk~~e \dt* +0(1 dt*~i + • • • +	m),
где ap otg,...,	— постоянные. Тогда производная (А4-1)-го по-
рядка будет равна:
dk+1y ____f d (dky\
dxk+r e dt \dxk) '
т. e. опять множитель е~^к+1^ впереди, а в скобке — линейная ком-
бинация производных от (A-f-l)-ro до первого порядков с постоян-
ными коэффициентами. Итак, это свойство доказано для всякого
натурального k. Когда мы будем вычисленные нами производные
подставлять в уравнение (35), нам придётся при всяком k умно-
жать на aftxft = акем', при этом показательные множители, со-
держащие /, сократятся, и мы получим линейное уравнение с постоян-
ными коэффициентами.
Пример 15.	4" Зх 4^- ~{-у = 0. Замена переменного х = ef
даёт -ф- 2 ~ -$-у = 0; характеристическое уравнение k2-j-2k-j-
—1 = 0 имеет равные корни: k1 = k2 = —1. Общее решение в
функции /:
У =	(С,C2t),
а в функции Х‘.
jV == у (Q 4-С21п х).
Примечание 1. Мы заранее знаем, что в преобразованном
уравнении, в случае отсутствия кратных корней характеристического
уравнения, частные решения имеют вид: еи=(ег),с; следовательно,
в исходном уравнении они имеют вид хк. Поэтому можно непосред-
ственно задаться этим видом частного решения и подставить его
в уравнение (35). Замечая, что
xm^~^~:==k(k — ^“^k—от4-1)^>
240 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
и внося эти выражения в уравнение (35), мы, по сокращении на хк,
получим алгебраическое уравнение ге-й степени для определения k;
k(k — 1).. .(k — п -ф- 1) 4" «4 — !)...(& — /г 4~2) 4~ • • •
• • • + 4-2 & — 1) + 4-1 & 4- ап = 0-	(37)
Из предыдущих рассуждений очевидно, что это уравнение (37)
совпадает с характеристическим уравнением для дифференциального
уравнения в переменном t. Каждому простому корню k уравне-
ния (37) соответствует частное решение хк уравнения (35), двой-
ному корню соответствуют два решения хк и хк In х и т. д. В случае
мнимых корней k надо иметь в виду, что, по определению,
хР = паре комплексных сопряжённых корней а д± pi уравне-
ния (37) будут, таким образом, соответствовать два решения урав-
нения (35): у = х': cos (3 In х) и у = х'1 sin (р In х).
Пример 16. х-у " Р-‘Аху'-РЬу = 0. Разыскивая частное реше-
ние в форме у = хк, приходим к квадратному уравнению для к,
именно: k (/г—1)-|-ЗА-ф-5 = 0, или k- 4- 2А-ф- 5 = 0. Отсюда
к — — 1 st 2z. Общее решение: у = у [С) cos (2 In х) -ф- С2 sin (2 In x)J.
Примечание 2. Подстановкой, подобной (36), приводится
к уравнению с постоянными коэффициентами несколько более общее
уравнение:
<ах	+ ai ^ах +	1	+
+ • • • +G«-i(«*4-£) ^х~\~апУ —°-
Здесь достаточно положить ах ф- b — Р, чтобы притти к уравнению
с постоянными коэффициентами.
Примечание 3. Подобно тому как для уравнений с постоян-
ными коэффициентами можно рациональными операциями найти част-
ное решение в случае правой части вида 2 e”xP{x\ так для
рассматриваемого класса уравнений такое нахождение, очевидно,
возможно, если правая часть имеет вид: 2 х"' Р (In х), где Р —
многочлен.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать уравнения:
163.	=
dr- 1 г dr	Р
164.	х-у" — 4ху' 4 бу = х.
165.	х3у" — ху' -ф 2 у = х In х.
166.	х-у" — 2у = х- 4 —.
167.	х3у'" — х’-у" 4 2ху' — 2у — х3 4 Зх.
168.	(1 х)- у" 4 (1 4 х) у' -у у — 4 cos in (1 4 х).
§ 2]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
41
§ 2. Линейные уравнения второго порядка.
1. Приведение к простейшим формам. Мы будем
рассматривать однородные линейные уравнения второго порядка
с переменными коэффициентами:
Z+P(.v)y + QWj;==0	(38)
иля же
РоМУ' + а (*)/+Ы*).У ==°-	(380
Коэффициенты Р, Q или р0, />1( р2 будем предполагать непрерыв-
ными функциями от х.
Рассмотрим некоторые упрощённые формы уравнения второго
порядка.
Как известно из главы V (стр. 209), самосопряжённое уравне-
ние второю порядка имеет вид:
s (? &>+«’ = °-	*39)
Докажем, что всякое уравнение второго порядка может быть
приведено к самосопряжённой форме умножением на некоторую
функцию от х.
Уравнение (39), написанное в раскрытом виде,
ру"+р'у' + =
показывает, что коэффициент при у' есть производная от коэффи-
циента при у". Умножим обе части уравнения (38') на некоторую
функцию у. (х) и постараемся подобрать эту функцию так, чтобы
для нового уравнения выполнялось условие:
= W-
Преобразуем это уравнение для у.:
РсУ-' +p'^ = РРёб v
Г
In у. =
Ри
Р1~ Рр
Ро
По умножении на у. уравнение (38') примет вид:
(46 ал р. (— dx р C — dx
е J 1>о у"Л-Р1е)р0 y'M-PlgJPo у = 0,
л 1 Ра	1 Ро '
или
242 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
f—aa>	( — dx
т. е., действительно, вид (39), где р — е' р« , q = ~ е Ро . Заме-
тим, что коэффициенты р, q непрерывны во всяком интервале, где
р0 не обращается в 0; кроме того, в этом интервале р > 0.
Пример 17. Привести к самосопряжённому виду уравнение
Бесселя: х-у" -ф- ху' -ф- (х2— п2)_у = 0. Здесь р0 = х2, /?1=х;
и = А-е / ® == А-. Искомый вид: ^-(ху'} + (х — у) j = 0.
Л-	л	ил	\ л /
Заменой независимого переменного можно привести линейное
уравнение второго порядка к виду.
У" + <?(-v)j = 0.	(40)
Пусть уравнение уже приведено к форме (39). Вводим новое'
.	„ dx . f dx
независимое переменное 5 уравнениями ач = —I
Р \Х) J Р (X)
$ как функция х определена во всяком интервале оси х, где р ф 0.
Так как ~ = у > 0, то, обратно, х определяется как непрерывная
и дифференцируемая функция от $ в соответствующих интервалах
оси 5, х = /($). Тогда	любой функции и. Подста-
вляя в уравнение (39), находим:
= °’ или 7/Ъ~}~@(£)У ~ °
р di\dij 1	’	di2 1
— уравнение вида (40), где Q (?) есть результат подстановки в р (х) q (х)
значения х —у($). Если вернуться к форме (38'), то мы получим:
- ( — dx	р,, z(—dx
di = e J ро dx, О= 1-2. е ' р°
Ро
Это преобразование, упрощая уравнение, приводит его иногда к виду,
для которого известно общее решение уравнения.
Пример 18. ху"-\--^у'—у = 0. Приводим к самосопряжён-
2
ному виду умножением на х 2:
-т-(х2^\ — х 2 у = 0, или х2 -т-(х2 у\—у = 0.
dx\ dxj	х «	dx\ dx')	•*
2	_
Вводим переменное В: х 2dx — d'i., 5 = 2]/х.
Преобразованное уравнение:	—_У = 0; его общее решение
у = Сф -ф С.^е~^. Возвращаясь к переменному х, находим:
у = СрФ^ф-С2е-2У*.
§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	243
Линейной, заменой искомой функции также можно уничтожить
член с первой производной, т. е. привести уравнение к виду (40).
Возьмём исходное уравнение с коэффициентом при второй производ-
ной, равным единице:
У' + Р(х)У + $(х)у = 0.	(38)
Введём новую искомую функцию г, связанную со старой соотноше-
нием
y=au(x)z,	(41)
и подберём функцию и так, чтобы в преобразованном уравнении
обратился в 0 коэффициент при z'. Дифференцируем (41) два раза:
у = uz1 -ф- и’г, у" = иг" -ф- Чи'г' -J- и!'г.
Подставляем в исходное уравнение:
иг" -ф- (2м' -ф- Ри) г' -ф- (и" -ф- Ри' -ф- <?«) г — 0.	(42)
Приравниваем нулю коэффицйент при г':
2и/у-Ри = 0.
Находим значение и и подставляем в уравнение (42), сокращая на
показательный множитель:
—7 f -Р <2® ,	1 _ —7 f Р dx	/1	1 \ f Р dx
и = е	;и=—тг Ре 2 J	•и^=(~Р^— -^Р)е	;
’	2	’	\4	2	/	'
г"+(-7^2 —=	(42')
Мы получили уравнение вида (40). Функция от х
l{x) = Q-^P^-~P'	(43)
называется инвариантом уравнения (38). Очевидно, эта функция
не изменяет своей величины при всех преобразованиях уравнения
помощью подстановок вида (41), так как все уравнения, в которых
искомые функции отличаются только множителем и (х), приводятся
к одному и тому же уравнению вида (42'). Равенство инвариантов
двух уравнений второго порядка есть необходимое и достаточное
условие того, чтобы одно из них могло быть преобразовано в другое
подстановкой вида (41).
Замечание. Следует отметить, что во всяком линейном урав-
нении без правой части можно произвести понижение порядка,
поскольку такое уравнение будет однородным относительно искомой
функции и её производных, однако при таком понижении порядка
мы получим нелинейное уравнение.
244
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
В применении к уравнению (38) после замены у =	'<и мы полу-
чим уравнение типа Рикатти:
У = — (z- Р(х) z -^-Q (х)).
Легко видеть, что каждое уравнение типа Рикатти:
У' = Р X) У2 X Я X) У + г (х)
1 и'
при помощи замены у—--------— сведется к линейному однород-
^Х/
ному уравнению 2-го порядка.
Пример 19. Доказать, что уравнение
у-|у+(1-5)д'=°
подстановкой вида (41) приводится к уравнению Бесселя нормального
1	/ гР\
вида г"— г -М 1—Хг = 0, и выразить п через т.
1 1
Для заданного уравнения имеем: А = 1-------------------тх— — =
Х“ 4Х“ 2xj
I 3
— 1------т—. Для уравнения Бесселя: /2=1---------------2— j-,— =—, =
X-	X" 4Х~	2,Х *
1
л--т
= 1-----------. Очевидно, равенство А = /2 удовлетворяется, если
т- Л- У = п----Отсюда /г2 = т- X 1 •
ЗАДАЧА.
169.	Какое преобразование вида (41) приводит уравнение примера 19
к нормальному виду Бесселя?
Преобразование линейного уравнения к виду (40) подстановкой (41)
иногда даёт возможность притти к одному из типов уравнений,
которые мы умеем интегрировать.
2
Пример 20. у1 -j-— у ~\~У = 0- Применяем преобразование
/	2 \	/	2	\
y = u(x)z-, uz" -j- (2и' -|- — и\ z' Х(— и' X и \z = 0. Прирав-
ниваем нулю коэффициент при z ; это дает нам и = —; далее,
и' =--р « ==_з- Подставляем в уравнение:
ixxAr-A+A^
X 1 \ X3 X3 1 X J	’
или z" X z = 0. Отсюда z — Cr cos х 4- С2 sin х, или у = Сх с0^ х X
X X См. также пример 14.
§ 2)
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
245
ЗАДА Ч И.
2р
170.	Привести к нормальном виду Бесселя уравнение у" +	+ _у = 0
Проинтегрировать уравнения:
171.	ху" — у' — х»У = 0.
172.	у" — 4ху' + (4.Г2 — 1) у = — Зех"' 5jn 2х.
173.	у"	у' +	(— 8 + х 2 + х) = 0.
V х 4х3
2. Интегрирование посредством степенных рядов.
Ввиду большой важности многих дифференциальных линейных урав-
нений второго порядка для приложений, в тех случаях, когда их
интегрирование при помощи элементарных функций не удаётся, их
решения вводятся в качестве новых трансцендентных функций.
Таковы, например, функции Бесселя первого и второго рода — два
линейно независимых решения уравнения Бесселя. Для определения
этих функций часто пользуются представлением решения уравнения
в виде степенного ряда по возрастающим степеням х — х0,
1 де х0 — начальное значение. В аналитической теории дифферен-
циальных уравнений доказывается, что если коэффициенты р0, pit
р., уравнения (38') являются многочленами или степенными рядами
из целых неотрицательных степеней X— х0, причём p0(-t0) не равно
нулю, то решения уравнения (38') тоже выражаются сходящимися
степенными рядами по целым неотрицательным степеням х — х0. Не
доказывая здесь этого общего положения, мы сумеем в каждом
отдельном случае доказать сходимость рядов, представляющих реше-
ния данного уравнения.
Пример 21. Найти общее решение уравнения _y"-f-xy = O.
Ищем это решение в виде степенного ряда по степеням х: у = Ао-\-
4- Аус А.2х2 -|- .. . Апхп	Формальным дифференцирова-
нием находим: у"—2 . 1 • А24~3 • 2 • Д3-£-(-... + п (п — 1) Апхп~2-{-. ..
Подставляем в уравнение и приравниваем коэффициенты при оди-
наковых степенях х:
2-1-А2 = 0, 3 • 2 • А, 4- 4 = 0,
4. 3.	4-4 = 0, .... л(л — 1)А„+А„_3 = 0, ...
Из этих уравнений находим:
д  о д —	Ао	д —. . 4 д  	А> о
—и> 4—	2-3’ А±~	3-4’ А°~~	4-5“°’
Л	Ар Ад д	4	_ Ад
8 —	5-6“"2-3-5-6’	1	6-7	3  4 • б • 7
и, вообще, 43A._j = 0, Ай1с = (—1)* 2.3.5.6 ...°(3й —1)3й ’ Afc-и =
= (~ ^'А-ЗА-У.^З/г (3^ + 1)~‘ коэффициенты А) и А не опРе-
246 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
У = Ао I1
+ •••} +
деляются этими уравнениями, это — два произвольных постоянных.
Общее решение имеет вид:
х3 । Xе	।	(—
2^3 “Г 2-3-5-6	2 • 3 • 5 • 6 ... (ЗА — 1) ЗА
I Л J	Л'4 I X7	.
+ М Х~ 3?4 + 3_-'4-6-7 “ • • • +
4- ( !) з. 4.6 - 7 ... ЗА (ЗА ф- 1) + • • • ) = АоУ1 (х) + А1Уг (*)•
С помощью элементарных признаков легко установить сходимость
рядов у} (х) и у2(х) для всех значений х; по общим свойствам сте-
пенных рядов эти ряды, так же как полученные из них формальным диф-
ференцированием, сходятся равномерно на любом конечном отрезке
оси х. Следовательно, формальное получение этих решений оправдано,
и они являются, в самом деле, решениями данного уравнения *).
ЗАДАЧА.
174. Проинтегрировать с помощью ряда, расположенного по степеням х,
уравнение у" ф- ху' ф-у = 0.
Метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений
рядами, расположенными по степеням х — х0, применим также в неко-
торых случаях, когда коэффициент р0(х) обращается в нуль при
х — х0. Однако получаемые при этом степенные ряды (сходящиеся)
содержат, вообще говоря, не целые степени х — х0, а имеют вид:
/40 (х — х0У + At (х — хоу+1 + ... + Ап (х — хоу+» + ..., (44)
где г—-некоторое число, вообще не целое. Уже из (44) ясно, что
полное значение такого разложения может обнаружиться лишь при
рассмотрении х как комплексного переменного, так как при х — х0<0
и дробном или иррациональном г выражение (х — х0)г в действи-
тельной области может не иметь смысла. Теория Фукса даёт условия,
при которых уравнение /г-го порядка имеет п частных решений вида (44)
или ещё более общего — произведения многочлена от 1п(х — х0) на
ряд этого вида. Мы опять ограничимся рассмотрением одного случая,
имеющего, однако, большой теоретический интерес,—так называе-
мого гипергеометрического уравнения.
Рассмотрим уравнение вида:
(х2 + Лх + 5)§ + (Сх4-/))^ + ^ = 0.	(45)
Корни многочлена второй степени, стоящего множителем при у", пусть
будут различны и действительны (однако последнее ограничение от-
*) Очевидно, описанный здесь приём применим к линейному дифферен-
циальному уравнению любого порядка.
§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	247
падёт, если рассматривать переменное х в комплексной области).
Чтобы не вводить мнимых величин,- мы предположим также, что А,
В, С, D, Е— действительные числа. В таком случае можно перепи-
сать уравнение (45) в виде:
(х— Xj)(x — х2) у"(СхD) у'Еу =0,	(45')
где хг и х2— корни многочлена xa-j-Ax-]-B. Это показывает, что
коэффициент при у" обращается в нуль При значениях х = хх и х — х2.
Преобразуем независимое переменное так, чтобы эти значения были
О и 1. Для этого вводим новое переменное г, связанное с х соотно-
шением:
х= хг — z(xt — х2).
Тогда
dy  dy 1	d2y  d2y 1
dx	dz Xi — x2 ’	dx2	dz2 (Xi — x2)2’
X---xt =---z(Xi — xa), X — x2 = (l—z)(xt—x2),
и мы получаем:
z(l-z^ + \^^—Cz]d/-Ey = 0.
Вводя обозначения	= 7, C’=“ + 3+l> E=a$ и обозначая
независимое переменное снова через х, мы получим гипергеометри*
ческое уравнение в обычном его виде:
х^~-v)S- + lT-<a + ?+1)-vl2-a^ = 0-	<46>
Пример 22. Привести к виду (46) уравнение Лежандра
(1—х2)^4—2z^—-ф-/г (п-\- 1) у = 0. Замена переменного х=
ил	ил
= 1 —2г даёт:
z (1 ~S+(1 “ 2г) £+п (п+1 У=°-
Здесь 7=1, а = /г-]-1, Р =— п.
Мы видим, что уравнение (46) зависит от трёх параметров: а,
Р, у, причём параметры а и |3 входят симметрично. Найдём решения
уравнения (46) в виде рядов по степеням х. Подставляем в уравне-
ние ряды:
= Дох’Ч-Д1х,'+14- ... -j- Апхг+п-\- ...,
у ==	+ (г + 1) Агхг + ... -у (г + п) Ап*г*п~1+ ...,
у" =. г (г — 1) А0хг~2 + (г + 1) MjX’-1 -j- ...
• • • + (г 4-я) (г+п — 0 Апхг+п~2 4-...
(47)
Последний из рядов (47) умножаем на 1—х2, второй ряд — на
248 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
у — (а +13 + 1) х, первый—на — а(Э, складываем, собираем коэффи-
циенты при одинаковых степенях X и приравниваем их нулю. Низшая
степень х в результате будет г—1; приравниваем нулю коэффи-
циент при хг-1:
г{г— 1)Д04-г4 = °-
Без ограничения общности можно положить До + 0. Тогда для г
получается квадратное уравнение:
г (г— 14-7) = 0,
откуда гг — 0, г2 - 1 — 7.
Исследуем решение, соответствующее значению = 0. Ряды (47)
перепишутся так:
у = А Н-	+ и2х2 + ++3 4~ •   4“ Ахп - + • • • - j
у1	4 4- 2А^х 4~ б+и*2—(— . . . —j—/гАпх11~1	—j— .... i (47')
у" =	2A, + дА3х 4- ... -4 n 4—1)Д,г^~24- ... J
Подстановка в уравнение (46) рядов (47') даёт свободный член
в виде 74 — 44) — 4 откуда, предполагая 7 ф 0,
А — 4 тту’
Собирая члены при х, получим:
244-274 —(«+^4-1)4—44 = 0,
2(7+l)4 = (a+l)(£+l)4;
следовательно (если 7 + —• 1),
д   (а -h 1) (? + О д   “ (» + 1) 3 (? + И д
2 “	2 (7 + 1)	А1 ~ . 1-2.7(7+1) А-
Вообще, члены, содержащие хп, дают:
(п + 1) nAtt+1 — п (п — 1)4-|-7 (/г+4 4+1 —
_ (а + р + 1) ПАП — а£4 = 0,
(/г + 1) (7 + /г) Anj. j — (а + п) (3 + «) Ап = О,
откуда (если 7 + 0, —1, —2, ..., —п)
А = <а+ »•)(? +я) « И + п) (« + я—1) (? + п) (Р + п—1) .	_
“ + 1 (л + 1) (( + я) 11 (я + 1)я(7 + «)(7 + я— 1)
__а(а + 1)---(а + ч)^,(34~<1)---(^~(-,г) л
•	1.2... (я + 1)7(7+ 1)... (7 + п)	Z°‘
Полагая произвольное постоянное 4=1, получаем, в предположе-
нии, что 7 не равно нулю или целому отрицательному числу, частное
§ 21	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ второго порядка	249
решение уравнения (46) — так называемый гипергеометрический ряд'..
г. .	<,	.	, । <Х 1 р , cl ( а -|- 1) 3 (8 -|- 1) q ।
FC-a Л 7; л-;=1+^х+^77Я^х^+...
?. (а 4~ !)-(« + ") О + В.  .(3 -|- /г1) „,г + 1 ।	,.„ч
1  2.. .(п + 1) у (7 т 1).. .(7 + и, v "Г'-- ,40i
Признак сходимости Даламбера показывает, что ряд (48) сходится
при |х!<1; как известно из теории степенных рядов, он сходится
равномерно в любом замкнутом интервале, внутреннем к (— 1, -ф- 1),
и допускает почленное дифференцирование любое число раз; следо-
вательно, он удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному
уравнению (46). Итак, первое частное решение уравнения (46) есть
У1 = Р(а, 3> 7! х) (7 + 0, — 1 — 2, ...).
Чтобы получить второе частное решение, можно было бы восполь-
зоваться рядами (47), полагая в них г = 1—7. Но мы скорее при-
дём к цели, если в уравнение (46) введём новую функцию -ау, связанную
с у соотношением:
у = x'-^w.
Тогда
у' = x1-W-|-(l —7)х_’(то,
у" = x!~W' -ф- 2 (1 — f) — у (1 — 7)
Подставляем в уравнение (46):
xi-Tx{l_x)g + .ri-7[Y-(a + 3-]-l)xH-2(l--f)(l-^)]-^ +
+	ао + у(1__ 7)л-1— (а р _ф_ 1) (1 — V) —
— 7 (1 — 7) х-1 + 7 (1 — у)] w = О,.
ИЛИ
-U—v)S+'2-^-(a + ‘S~^ + 3)'vi>-
— (« + 1—7)03 + 1—7)^ = 0,
т. е. мы получили опять гипергеометрическое уравнение, в которое
вместо параметров а, 3, у входят соответственно а —1 —7, 3+1 —7,
2 — 7. Его решение в виде ряда, начинающегося с члена, не содер-
жащего ‘X, есть F(«+l—7, 3+1—7, 2 — 7; х). Итак, второе
частное решение уравнения (46) есть
у2 = х1~^Р(а -ф-1—7, 3+1—7> 2 — 7! х).
Оно имеет смысл, если 2 — 7 не равно нулю или целому отрицатель-
ному числу. В частности, оно имеет смысл всегда, когда 7 равно
нулю или целому отрицательному числу, т. е. когда теряет смысл _ур
Мы не останавливаемся на нахождении второго частного решения
в указанных исключительных случаях.
250 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Гипергеометрический ряд, содержащий три параметра, а, °, 7,
даёт при частных значениях этих параметров весьма большое число
различных элементарных функций. Например, при а = 7 получаем:
Д(а, р, а; х) = 1 4~ х 4~ - х2 4~ • • •
...хп+ _
Далее, при а==р==1, 7 = 2, имеем:
e-z. ,	\	. । х , х1 ।	, хп ।	1 ,	1
1, 2, х) —14- 2 4- 3 4- ...4- „ + 1 4- ••• —
Заметим, наконец, что при а или |3, равном целому отрицательному
числу —п, ряд (48) обрывается на члене, содержащем хп, т. е. яв-
ляется многочленом относительно х. Так, например, при п целом одно
решение уравнения Лежандра (см. пример 22) является многочленом;
с точностью до постоянного множителя Ап этот так называемый много-
член Лежандра выражается так:
Рп(х) = Лпд(/г4-1,— п,
Метод, применённый нами для интегрирования гипергеометриче-
ского уравнения, применим к большому числу уравнений второго
порядка, встречающихся в физике и механике. Так, например, для
уравнения Бесселя:
х2_у" 4~ ХУ' 4- (*2 — п-)у = 0;
в случае, если п не равно целому числу, он даёт два ряда по возра-
стающим степеням х, начинающихся соответственно с хп и х~п; эти
ряды определяют функции Бесселя Jn(x) и /_„(х); общее решение
уравнения Бесселя есть C1Jn(x')-'rC2J_n(x).
Если п равно целому числу (можно принять п 0), то только
одно частное решение выражается степенным рядом: Jre(x) — функ-
ция Бесселя первого рода", второе частное решение содержит ещё
In х; оно называется функцией Бесселя второго рода.
Тот же способ без изменений может быть применён к нахожде-
нию решений уравнений порядка выше второго.
3.	Линейные уравнения второго порядка с коле-
блющимися решениями. Рассмотрение двух простейших урав-
нений второго порядка с постоянными коэффициентами
у” — а^у = 0,
у" 4-a2j = 0
(49,)
(4SQ
§ 21	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	251
показывает глубокую разницу между характером функций, являющихся
их частными решениями. Каждое решение уравнения (49J может на
всём интервале (— оо, -ф- со) обратиться в нуль не более одного
раза (это можно доказать непосредственным вычислением). Между тем
каждое решение уравнения (492), выражаемое формулой A sin {ах -ф- 8),
имеет бесчисленное множество нулей, расстояние между которыми
те	те
равно—; каждый интервал длины > — содержит, по крайней мере,
2я
один нуль любого решения уравнения (492), а интервал длины >-----
по крайней мере два нуля.
Если решение дифференциального уравнения имеет в данном интер-
вале не более одного нуля, оно называется неколеблющимся в этом
интервале, в противоположном случае — колеблющимся.
Итак, уравнение вида у" -ф- qy = 0 имеет неколеблющиеся в любом
интервале интегралы, если q 0, и колеблющиеся в достаточно
большом интервале, если </ > 0.
Мы обобщим этот результат на уравнения второго порядка
с переменными коэффициентами.
Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением урав-
нений вида:
У'+<2(х).у = 0,	(40)
так как к этому типу мы можем привести любое уравнение под-
становкой:
y = ti(x)z.	(41)
При этом, если первоначальное уравнение было вида:
РоУ" + Р1У' + РзУ = 0,	(38')
-1 f р±
то и{х') — е " J р’ . Мы будем рассматривать лишь те интервалы,
где р0 не обращается в 0. В этих интервалах и(х) остаётся непре-
рывным и не обращается в 0; поэтому функции у и z имеют одни
и те же нули.
теорема. Если в интервале {а, Ь) имеем всюду Q(x)^0,
то все решения уравнения
у" -\-Q{x)y = Q	(40)
суть неколеблющиеся.
Допустим, что некоторое решение у} (х) уравнения (40) имеет,
по крайней мере, два нуля; пусть нули будут х0, хи х0 < хг,
и пусть в интервале (х0, xj функция уг не имеет других
252 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
нулей ’). Тогда уДх), как непрерывная функция, сохраняет постоянный
знак в интервале (х0, xj; всегда можно допустить, что в этом интер-
вале _У] (х) > 0 [иначе мы взяли бы решение—ух (х)]. Мы
имеем у' (х(1) > 0 (так как у, возрастает вправо от х0; при этом
_у((х;1!уФ0, иначе было бы yt === 0).
Если Q (х) 0, то из уравнения (40) следует, что у" (х) 0 во
всём интервале (х0, хг). Следовательно, у'(х) не убывает в интер-
вале (х0, Xj), т. е. у' (х) О у' (х0) для х0<х<[х1; отсюда, в силу
теоремы о конечном приращении, имеем:
УАх1)>У^хо> + .Vi (хо) (-Д — хо) =У1 (хо) — *о) > °>
что противоречит условию у)(х]) = 0. Противоречие доказывает
теорему.
теорема штурма. Если х0 и Xj суть два последовательных
нуля решения уг (х) дифференциального уравнения второго порядка,
то всякое другое линейно независимое решение у2(х) того же
уравнения имеет в точности один нуль между х0 и х,.
Для доказательства нет нужды пользоваться приведённой фор-
мой уравнения (40). Будем рассматривать уравнение хотя бы
вида (387), причём, как всегда, предполагаем, что в нашем интер-
вале и на его концах р0(х) ф 0. Составляем определитель Вронского:
У1 (-0У2 (х) —J'2 (.V) У, (х) = W(х).	(50)
Допустим, что во всём интервале (х0, Xj) решение у2(х) не имеет
нулей. В силу линейной независимости решений р, и у2, последнее
не обращается в нуль также при х = х0 и х = х,; в самом деле,
если бы было, например, у.2(хо) = О, то мы имели бы W(х0) = 0,
что противоречит известному свойству определителя Вронского.
Так как 1Г(х) не обращается в нуль, то он сохраняет постоянный
знак; допустим для определённости IF(x)>0. Деля обе части
9 Все пули любого не тождественно равного нулю решения у, (х) диф-
ференциального уравнения в интервале, где коэффициенты р0, рь р% непре-
рывны и ро не обращается в нуль, являются изолированными, т. е. существует
окрестность (х0— 8, х04-3) каждого нуля х0, не содержащая других нулей.
В противном случае точка х0 была бы предельной точкой для нулей у-, (х),
т. е. существовала бы последовательность нулей Xi,x2,..хп,...; lim хп = хв.
п->оо
Тогда мы имели бы: —— о. фак как функция уА диффсрен-
цируема, то
lim	lim
П оо Хп Xq	/1 ->1	и
Итак, в точке х = х0 мы имели бы: yt (х0) = 0, ух (х0) = 0, т. е. по теореме Коши
У] = 0, против предположения. Из доказанного следует ещё, что функция
ух (х) имеет конечное число нулей во всяком отрезке [а, £], внутреннем к (а, Ь).
§ 2]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
253
тождества (50) на [_у2(х)]2> получаем:
_1\ (X) у2 (х) — у'2 (х) у} (х)	_ Г (х)
[_У2 (-V)]3	“ l>2 U)l'“ ’
dx \y2(x)J ~~ [J’3(x;j-
B силу допущения, что _y2(x) zfz 0, мы имеем в правой части не-
прерывную функцию от х; интегрируем последнее тождество в пре-
делах от х0 до хр Получаем:
Г J'i (х)	= / W(x)
1Л(х)	J ЬМх)р
Левая часть равна нулю в силу условий уг (х0) = уг (xj = 0,
а в правой части стоит интеграл от положительной функции, т. е.
положительная величина. Противоречие доказывает, что между двумя
последовательными нулями уг (х) существует, по крайней мере,
один нуль _у2(х). Если бы их было два, у2 (х0) = у.2 (xj = 0,
x0<x0<Xj<Xp то, переменяя роли уг и у2, мы доказали бы
существование нуля функции ух (х) между х0 и хр следовательно,
между х0 и Xj, а это противоречит условию, что уг (х) не имеет
пулей между х0 и хР Теорема доказана.
Теорему Штурма можно ещё сформулировать так: нули двух
линейно независимых решений взаимно разделяют друг друга.
Примером, иллюстрирующим теорему Штурма, является sin х
и cosx, два линейно независимых решения уравнения у"—_у = 0;
их нули действительно взаимно разделяют друг друга.
Следствие. Если в интервале (а, Ь) одно решение линейного
уравнения имеет более двух нулей, то все решения — колеблющиеся.
Теорема Штурма устанавливала, что все решения одного
и того же уравнения, вообще говоря, имеют одинаковый
характер колебания. Следующая теорема может служить для срав-
нения характера колебаний решений двух различных уравнений. Мы
будем предполагать уравнения данными в виде, не заключающем
члена с первой производной.
теорема сравнения. Если имеем два уравнения
=	г"+<22(х)г = 0	(51)
и если Q2(х) Qi (х) в интервале (а, Ь), то между каждыми
двумя нулями любого решения у (х) первого уравнения заключён, по
крайней мере, один нуль каждого решения z (х) второго уравнения.
Пусть х0 и Xj суть два последовательных нуля функции у (х);
допустим, что между ними нет ни одного нуля функции z (г). Без
ограничения общности мы можем предположить, что у (х) > 0,
z (х) > 0 в интервале (х0, xj. Тогда у (х) будет возрастать вправо
254 ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
от х0 и возрастать влево от хр, следовательно, в силу уже приме-
нённого рассуждения, у' (х0) > 0, у' (хх) < 0. Подставляем у (х) и
z(x) в соответствующие уравнения (51); первое из полученных тождеств
умножаем на z(x), второе — на у(х) и вычитаем второе из первого:
у" (х) z (х) — z" (х)у (х) = [Q2 (х) — Qj (х)]у (х) z (х).
Левая часть есть производная от выражения у/(х)г(х) —z’ (х')у (х).
Интегрируя обе части последнего тождества в пределах от х0 до хп
имеем:
(У (х)г(х) —2/(x)y/(x)f2a,'= f (Q2 — Qi)yzdx.	(52)
ОС — Д/0	J
В силу наших предположений интеграл в правой части (52) не
отрицателен (он строго > 0, если не везде Q2 = QJ. В левой части
(52) имеем: y'(x1)z(x1)—у' (Xq)z(x0); в силу допущения, что z > О,
принимая во внимание знаки у' (х0) и у' (х^, получаем в левой части
отрицательное число. Противоречие доказывает теорему. Мы скажем,
что решения' второго из уравнений (51) являются более колеблю-
щимися, чем решения первого уравнения.
Если, сохраняя условия теоремы, предположить, дополнительно,
что Q2 (х) > Qj (х) хотя бы для некоторых значений х интер-
вала (х0 xj и что г(хо) = О, то следующий вправо нуль г(х)
будет лежать леве.е хР Действительно, из обратного предполо-
жения вытекало бы, что левая часть (52) отрицательна, в то время
как правая положительна. Итак, мы получаем ещё теорему:
Если для уравнений (51) х0 является общим нулём двух каких-
либо частных решений у (х) и г (х) каждого из этих уравнений
и если в промежутке между х0 и следующим за х0 нулём xY ре-
шения у(х) существуют точки, где Qa(x)> Q1 (х), а всюду, кроме
них‘, Q2(x) — С?! У) не отрицательно, то ближайший справа к х0
нуль -е(х) расположен левее, чем xv
Теорему сравнения большей частью применяют, используя в ка-
честве одного из уравнений (51) уравнение с постоянными коэффи-
циентами
У + «2у = 0.	(4%)
Пусть нам дано уравнение:
У' + <2(х).у = 0,	(40)
в котором Q(x)>0 в замкнутом интервале [а, #], и пусть Л-f есть
максимум Q в этом интервале, а т—минимум. Предположим,
что 7И > т, т. е. что Q(x) не равно постоянному в рассматриваемом
интервале. Принимая за первое уравнение (51) уравнение у" -f- ту = 0,
а за второе — данное, получаем следующий результат: расстояние
между двумя последовательными нулями уравнения (40) меньше,
§ 2]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
255
Я	»-г
чем —=. Принимая затем данное уравнение за первое из уравне-
у т
ний (51), а в качестве второго принимая у"-\-Му — 0, получаем
второе предложение: расстояние между двумя последовательными
нулями уравнения (40) больше, чем
Эта теорема даёт оценку сверху и снизу расстояния между нулями
колеблющихся решений дифференциальных уравнений.
Пример 23. Рассмотрим уравнение Бесселя для х > 0:
х2_у" -ф- ху' + (х2 — п^)у = 0.
Чтобы уничтожить член с первой производной, надо применить
__i
подстановку у = х 22; получаем уравнение:
— 4ч
)г = 0.
Сравнивая с уравнением	— 0> заключаем: расстояние между
двумя последовательными нулями всякого решения уравнения Бесселя
больше it при п > х/2 и меньше it при 0 п < г/2. С другой стороны,
замечая, что при достаточно большом х выражение 1-----—— может
быть сделано сколь угодно близким к единице, находим: при доста-
точно больших значениях х расстояние между последовательными
нулями решений уравнения Бесселя как угодно близко к п.
Пример 24. Уравнение у"~\-ху = 0 при х > 0. Возьмём любое
малое число а > 0. Если взять х >	, то коэффициент при у
будет	сравнивая с уравнением У-)- —г = 0, находим, что
при рассматриваемых значениях х нули решений нашего уравнения
находятся на расстоянии <it:ys=a. Таким образом, при неограни-
ченном возрастании х последовательные нули всякого решения не-
ограниченно сближаются.
Мы видим, что если на неограниченном интервале нижняя граница
функции Q (х) равна некоторому положительному числу, то решения урав-
нения (40) имеют нули более частые, чем некоторая синусоида, т. е. каждое
решение имеет бесчисленное множество нулей. Рассмотрим теперь случай,
когда Q (х), оставаясь положительным, стремится к нулю при х-> со. За
уравнение сравнения возьмём уравнение Эйлера (для х>0):
„ , а2
У/ + ^Г4'=0.	(53)
Его решения имеют вид х* где k есть корень уравнения k (k — 1) а2 = 0.
Решаем это уравнение:
256
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Если а2 > — , то корни и k2 — комплексные; решения
J! = X2COS
4
л	а?---1пх)
имеют бесчисленное множество нулей в интервале (1, со).
Если а- <4 — , мы имеем решения неколеблющиеся:
а-
X
точно так же, если	, то
У1 = х2
1
У2 = V 2 In X.
Сравнивая с уравнением (53) уравнения вида (40), можем сказать: если,
начиная с некоторого х, постоянно имеем 0 < Q (х) < -у-—, то решение
уравнения (40) не может иметь бесконечного числа нулей-, если, начиная
с некоторого значения х, имеем Q (х) > ^.,а , где а > 0, то решение
уравнения (40) имеет бесчисленное множество нулей (теорема Кнезера).
Так, уравнение у" 4- —у = 0 не может иметь решений с бесконечным
числом нулей на интервале (1, со).
Заметим, что все приведённые условия являются только достаточными
для существования колеблющихся'или пеколеблющихся решений; они не дают
ответа па вопрос о колебаниях, если функция Q (х) меняет знак или если её
нижняя граница на интервале (я, со) равна нулю, а верхняя положительна.
4. Т е о р е м а Шпета. Если в уравнении (40) Q(x) = 0, то оно
имеет фундаментальную систему решений 1, х; теорема Шпета утверждает,
что если Q (х) достаточно быстро стремится к 0 при х -> оо, то, независимо
от знака Q, фундаментальная система соответствующего уравнения при
больших значениях х мало отличается от 1, х. Введём обозначение: если
ограниченным, мы будем писать
f(x)
при х->оо отношение -остается
/(х) = О(х«).	Х i
теорема. Если Q(x') = О (дддрс) , где k >
нение (40) обладает такой фундаментальной
J'i(-t) — 1 = °(тб); Уч(х)~х = о{-^~^ при
= О (1п х) при k — 1.
О (0 < х <
системой
k ^41, и
со), то урав-
ух, Уч, 'шпо
Уч (х) — х =
Для доказательства рассмотрим более общее
параметр X,
уравнение,
содержащее
У" = '-Q (х)у,
(54)
которое обращается в заданное при Х = — 1. Пусть Q(x) определено для
0-Сх<4оо. Ищем решение уравнения (54) в виде ряда по степеням X:
у =_у(») -|- Ху(1) Д- ... + Х’г_у(«) 4- ..,	(55)
§ 2]
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
257
Сначала построим у ; положим j'J0’ = 1; подставляя выражение (55) в урав-
нение (54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим
рекуррентные уравнения д;щ определения у^'\
y^y’ = Q{x), у^" =	У^^, и = 2, 3,...;
44 (х) = 1 + ky™ + ... +	+ ...	(550
Функции последовательно найдутся квадратурами, которые мы
возьмём в виде:
,(!) =
J dl J Q (/) dt; у™ = J dt J Q (f) dt, n = 2, 3, ...
X £	x (
(56)
Докажем, что несобственные интегралы в формулах (56) сходятся,
и оценим | у^ |.
Из условия Q (х) = О	следует существование такой положи-
тельной постоянной А, что при 0<Jx<co имеет место неравенство:
л
I W I < (1	•
Отсюда находим :
I г(1) I <" f d- f А dt — A f________________—____________=______-___________1 •
1 J J (l+0ft+2 J (£4-l)(l+ ?)'J+I k(k +1) (14-x)*’
X |	03
I (2) | Г J- f	1	1
P'1 'J ? J (! + k (k + 1) (1 +t)K A(*+1)2A (2^-f-l) (l-f-x)^’
x £
Полной индукцией легко доказывается оценка:
Д'»
1
Л (А-4-1) 2А: (2* + 1) ... nk(nk + 1) (1 + х),г* ‘
Из этих оценок следует, что ряд (55Д сходится абсолютно и равномерно
для 0<Jx<co при любом X (в частности при = — 1) и представляет ре-
шение уравнения (54).
Наконец, из неравенства
lv 11^	1 Ь । ______ИЛ 1	,
‘У1 k(k 4-1) (1+х)Ч	(26 + 1) (14-*)*
,	И2Л3	1
1 2k (2k 4-1) 3k (3k 4-1) (1 4- X)2*
где в фигурных скобках стоит сходящийся ряд, сумма которого стремится
к 1 при х -> ос, получаем:
41(*)-1 = 0(^г)-
Для решения ух (х) теорема доказана.
258
ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VI
Далее строим у2 (х); полагаем в ряде (55) _у^0) = х', для определения у%1)
имеем уравнения:
У?" = Q (х) х, у™" = Q (х) Xй-1», п = 2, 3,...
З'г (х) = х + Va4 + • • • +	+ ...	(55>)
Если k >1, то попрежнему берём квадратуры с бесконечными верх-
ними пределами:
оо оо	оо оо
УУ= J	Jc?(/)/*, У2И)= J <Z£ J С?(0^ге-1)(0Л. П = 2. 3,... (56')
х	Ё	х	$
Несобственные интегралы сходятся, и мы будем иметь оценки для
при 0<х<оо:
оо оо
Ь2П1< f f ——----------------------------------Ц—г;
1 2 1 J J (l + 0ft+2	k(k — 1) (1 +x)'C-1
Ivw । <______________^2___________________!___
I-72 1 k (k — 1) 2k (2k — \)...nk(nk — 1) (l + x)reft-1.
Ряд из правых частей сходится абсолютно и равномерно, и мы имеем
аналогично предыдущему:
уЛх)_Х==О(-^,
В этом случае теорема доказана полностью.
Пусть, наконец,	найдётся такое натуральное т, что tnk^l,
(тп + 1)Л>1. Тогда берём квадратуры следующим образом:
х оо
Уч = — J J Q(f)t dt,
о е
a> co
У? = — J & J Q (ОУ(2~ц W dt<
о ?
1 = 2, 3,
т\
,,(m+n)
Уч,
,(m+n-l)(z) dt<
п = 1, 2,...
X $
Теперь мы имеем оценки; если
го	оо	х
С	С А(1+/) лу ГД	dt____________
(l + /)ft+a “ J й (14-/)fc-/s(l-*)
л
(l + x)i-ft;
dt —

А _
(1 -f-/)ft + 2
________। Va-2S.
~£(1 —£)2й(1-2йГ "г '
(57)
1Лт)1< Ь7\---Д-Лт h ,,------rr (1 + Х)1-^ = В (1 +x)1-Btft,
1-^ I A(l—	— mky 1 '
§ 2]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	259
а если mk = 1, то
Ат
(57')
Мы можем обе оценки свести к одной. Выбираем положительное число
8<й и замечаем, что In (1 +-t)<j (1 + А')?' при 0<х<оэ; таким образом,
вместо (57) и (57х) можем написать одно неравенство:
|У,™’| <В (1 4-х)3,	В>0,	0<6<й.
Далее находим:
ВА
1
| Дз
ВАп+у-
A .t	BA	1
-----;—=—-at= ----------------------
+	(Л — 8)(Л —Б-|- 1) (1 4-х)®-5
iy»n+n) |	------------------1—	, л = 2, 3,...
1	1 (й —8)(А —8 4-1)(2й—8)...(лй—8 4-1) (1+х)’1*-8
Легко доказывается равномерная сходимость для 0<;х<оо ряда из пра-
вых частей неравенств, начиная с индекса т 4- 1. причём порядок _у2 (х)— х
равен порядку члена у^, т. е. он равен О (x4-fc) =	, если
н равен О (1пх) для k = 1, в силу оценки (57х) при т — 1.
Теорема доказана полностью,
Пример 25. Линейное уравнение у" 4- х~4у = 0 принадлежит к рас-
~ f £ ClX у!
сматриваемому типу, здесь т = 2. Подстановкой у = е J , — = — z оно
приводится к уравнению Риккати zx = г2 -f- z~4; решение этого последнего
(см. задачу 44) есть z ==	Итак, = 1—1 etgf-^c);
у = Ах sin	= Cjx sin — 4- С>х cos —.
Фундаментальная система;
yi=XSinl=l-^l24-ll4-... = 14-O(l2);
1 11,11 , ^/1\
^ = A'CoS- = x-2--4-4i-a-...=^4-OM.
ГЛАВА VII.
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
§ 1. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений.
1. Задача интегрирования системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений в общем случае ставится так: дано k уравнений
уГ’-.л./,• • •>УТ’;• • •	(1)
(z= 1, 2, ..k),
связывающих независимое переменное х, k искомых функций
у у2, ..., ук и их производные до порядков, соответственно,
тг, т2,..., тк. Требуется определить искомые функции. Заметим,
что всегда предполагается, что число уравнений равно числу неиз-
вестных функций !)• Теория уравнений, заданных в общем виде (1),
приводит к рассмотрению ряда случаев; мы рассмотрим лишь важ-
нейший случай и потому сразу введём ограничение: мы предполо-
жим, что система (1) может быть разрешена относительно старших
производных всех входящих в неё функций, т. е. относительно
(mJ (m2)	(»»ь)
yj , у2 , ..., уй , при выполнении этого допущения система (1)
в разрешённом виде будет:
/щ,) z /	z	1т,—1)	{т.л—1)	(Шт.—1)\
УГ	>->ук’71 )>
£ f	1	(1)1,— 1)	(ш, —1)	(Мт,-1)\
уГ’=/2У,у],У1,...,у1 1 ',у2,...,у2- ,...,yv...,yft * ),
(2)
du,}	/	z	(wi. —1)	(WL.—1)	(Шт, —1)\
. Укк = А У1’ -’А	>Д, —X ’ -’Ук’ ->Ук к )
Система вида (2) называется канонической.
1) Системы дифференциальных уравнений, в которых число уравнений
меньше числа искомых функций, называются уравнениями Монжа. В этом
курсе мы встретимся с уравнением Монжа и его частным видом — уравне-
нием Пфаффа — в главе IX.
§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 261
Каноническую систему из k уравнений высших порядков можно
заменить эквивалентною ей системою п = mi-f- т2 ... тк
уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных
всех п искомых функций. Для этого вводим новую систему искомых
функций, числом п — k, следующим образом: обозначим для симме-
трии у} — у10 и введём новые функции:
'	п	(Ш,—1)
Л=Л2””’	= А
Далее, аналогично:
Л =Ло> Л =Л1’ Уг =	• • •’ Х115'1' = Л, т,-р
/	(f	{_ j )
Л =Ло’ Л = Ук1> ук = Ум ’ Уьк =ук.
Мы имеем всего /и, -ф- пу -j- ... -ф- тк функций уц (/ = 1, 2, ..k,
j = 0, 1, 2,,.., /«i— 1); для них система (2) заменится следующею,
ей эквивалентною:
аУю _ аУп _	аУ1.т,-2
dx —Уи> их^У^’-’“‘ di ~ У1.т,-1,
—fl (Х> У1(Я У11> • • •> У1, Ш1-1> •  •> УкО>‘ • •> Ук, тк-1),
аУ^
dx

— >
— fn(x, У10’ У11У • • •> У1, т,-1’ • • •’ Уко>‘ • •> Ук-
(3)
ФУхо _ аУы _	аУк, >пк-2 _
dx Ук1> dx Ук»	dx Ук,тк-1>
z /
:--=Л(л:, У ю, У п, • • •, Уъ m,_p , Ум • • •, У к, нЧ-1)-
Каждая (например z-я) из k групп уравнений (3) содержит «гг — 1
уравнений, которые непосредственно следуют из определения функ-
ций уг-, и последнее уравнение, которое получается из i-ro уравне-
ния системы (2), если в его правой части входящие в пего произ-
водные заменить вновь введёнными функциями. Заменяя, в силу пер-
вых уравнений первой строки системы (3), последовательно ylt
dv}	dyn	^У^-т,-! dmyx
через , у10 через-j—=-тД,..., —з—* * 5— = □----и аналогично
dx	h dx dx2’ ’ dx dxm,
для других групп и внося эти значения в последние уравнения каж-
дой группы, мы, очевидно, возвращаемся к системе (2). Отвлекаясь
262
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. УП
от частного вида первых уравнений каждой группы системы (3) и от
разделения уравнений этой системы на группы, мы пронумеруем иско-
мые функции в виде одного простого ряда:
У1> Уз,---, Уп,
и будем рассматривать вместо системы (3) следующую:
§£=Л(Х> У1, У2, ...» Уп),
=	У1> У 2...Уп), .	(4)
У1> У2,---, У»)-
Система п уравнений первого порядка вида (4), т. е. разрешённых
относительно входящих в систему производных от искомых функций,
называется системой, имеющей нормальную форму Коши. Такими
системами мы будем преимущественно заниматься в дальнейшем. Оче-
видно, что система (3), как частный случай системы (4), имеет также
нормальную форму.
Примечание. Частным случаем канонической системы является
одно уравнение /г-го порядка, разрешённое относительно старшей
производной:
y'-'o—f^x, у, у', у", ..ул-1’).
Мы уже видели (глава IV), что введением новых функций:
У2 = У", •••> Лг-1=У”-1)
оно заменится следующей системой п уравнений:
^-=v	dyn'2- = у
dx У1’ dx У'2’	dx Уп-1,
.	(3')
У’ У1> У2,--; Уп — 1)'
2. Можно утверждать и обратно, что, вообще говоря, нор-
мальная система п уравнений первого порядка (4) эквивалентна од-
ному уравнению порядка п.
В самом деле, дифференцируем первое из уравнений (4) по х\
I I dfa ФУп .
dx2 дх "Г" дух dx • ду2 dx ' ' “ ' дуп dx ’
заменяем в результате через их выражения fi(xt yv ..., _у„);
получим:
tf27i _	I df!f ।	। d/i /
dx2 дх ‘ дух 1 dy2'2' ~r dyn^n>
§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 263
т. е. выражение вида:
® =	у1( у2, уге).	(42)
Полученное уравнение (42) снова • дифференцируем по х; принимая
во внимание уравнения (4), получим:
_Ц I dFi f
dx3 дх ""I- дуг '1'ду3 2‘ ‘ ’ * ду„п>
или
^•= F3(x, у}, у2, уп).	(43)
Продолжая этот же процесс, получим далее:
С /	X	/Л У
d$-=Fdx, У1> У2> •••. Уп),	(*4)
= Fn-1 (*, У1, Уп),	(V1)
^ = Fn(.x, У1, У2.......Уп)-	(4J
Из системы (А) п—1 уравнений, составленной из первого уравне-
ния группы (4) и из (42), (43), ..., (4)г_.[), можно, вообще го-
воря, определить п—1 величин у2, у3, ..., уп через х, У\,~^, •••>
dn~xyj	,, .
~dxn~F БН0СЯ эти выражения в (4п), мы получим уравнение вида:
= v ^Ук ап~1У1 \	/5)
dxH \ ’ У1’ dx ’ dx'll~l )’	'
т. е. одно уравнение га-го порядка. Из самого способа его получе-
ния следует, что если yt (х), у2 (х), уп (х) представляют реше-
ние системы (4), то у} удовлетворяет уравнению (5). Обратно, если
мы имеем решение у, (х) уравнения (5), то, дифференцируя это реше-
dy, dn~ly, D
ние, мы вычислим ...,  . „ / . Вставим эти значения, как из-
’	dx ’	’ dxn~l	’
вестные функции от х, в систему (А); мы, по предположению, можем
разрешить эту систему относительно у2, у.А, уп, т. е. получить
выражения у2, у3, ..., уп как функции от х. Остаётся доказать, что
функции
У1, У2> Уп
удовлетворяют системе (4).
В самом деле, условие разрешимости системы (А) относительно
Уо, Уо, . . ., у„ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО якобиан -	--si-----В--Ц. ОТЛИ-
-	Уп	£>(У1> уъ,---.уп)
чен от нуля при рассматриваемых значениях у2, у3, ..., уп.
2G4 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
В наших предположениях функции гр (X), у2(х), ..уп(х) обращают
в тождества все уравнения системы (А); в частности, имеем тождество
= Ун	УпУ Дифференцируя это тождество по х,
d-у, df, , df, dy, ,	, df, dy,,	,, .
получаем:	+ •  • +	, но, в силу (42),
имеем тождественно:
<X'i _ р _ Xi । X f ।	। dfx f
dx'~ ~ ‘‘ ~ dx + dyj1 +  • • + dyn *»•
Вычитая одно тождество из другого, находим:
<5/i fdу,	f \ , dfA fdy2 , \	। 5А fdyn , \
••• —
Аналогично, дифференцируя тождество (42) по л: и вычитая из полу-
ченного результата тождество (43), получим:
f >	f >_j_ I д!У (аУп / \_ о
ФУ! \dx ' V ' ду2 dx	~ <‘уп \ dx ’п)
и т. д., наконец,
dFn-x (dyx	, \	dFn_^ (dy2	, \ ,	, dFn_^ (dyn	, \
dj'j '\dx	1J	dy2 \dx	--J 1	’* ' dyn \dx	'nJ
Замечая, что, в силу тождества =/3, первые члены всех равенств
исчезают, и рассматривая оставшиеся 'равенства как систему п—1
уравнений с «—1 неизвестными	—f{, i—2, 3,..., п, заклю-
чаем, так как, по условию, определитель системы не равен нулю, что
имеют место тождества	=fn> т- е- У1 (х)> Уя (X), • • •
..., у„(х) действительно суть решения системы (4).
Таким образом, при сделанных допущениях интеграция одного
уравнения п-го порядка (5) дает возможность путём дифферен-
цирований и разрешений найти решение системы (4).
Примечание. Последнее доказательство содержало предполо-
жение о разрешимости системы уравнений (А) относительно у2,
у3, ..., уп. Если это условие не выполнено, то указанные выкладки
не приводят к одному уравнению и-го порядка, эквивалентному си-
стеме (4). Простейший случай этого рода представляет система:
Здесь невозможно заменить систему эквивалентным ей уравнением
второго порядка относительно ур, если /2 действительно зависит
от ylt то можно зато составить уравнение второго порядка относи-
тельно у2, эквивалентное этой системе.
§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 265
Если же второе уравнение имеет вид:
йУч
dx
= f2(x,
Уэ),
то нельзя составить также уравнения второго порядка относительно у2,
эквивалентного данной системе.
Пример 1.	= г, ——у. Дифференцируем первое уравне-
rf2y dz	d2y ,	„
ние: -р^ = —; используя второе, находим: -т-7-{-у = 0, откуда
ах	ах-
V = Cj cos х -ф- С.2 sin х; далее, из первого уравнения
z — ~ = — С. sin х -I- С:, cos х.
dx 1	12
ЗАДАЧИ.
Привести следующие системы к одному уравнению высшего порядка и
таким образом найти пх общие решения:
175.
dx а у
di-?- li = Z'
dz
dt
176.	+
dx л
177.— = —
dx z ’ dx
dz
Tx=y±z + x,
1
= 2-)'-
178.	= 1 — 1, ~ = —J—.
dx z dx у — x
3. В главе IV проведено доказательство теоремы существования
решений для канонической системы дифференциальных уравнений
первого порядка: если правые части уравнений (4) непрерывны в не-
которой области, заключающей точку (х0, у®, у®,..., у°) и удо-
влетворяют в этой области условиям Липшица по ур у2, ..., уп,
то существует одно и только одно решение системы (4), опреде-
лённое в некотором замкнутом интервале (х0 — h, x0-\~k) и удо-
влетворяющее начальным условиям: при х = х(}
У,=У?, У2 = У°> •••> Уп = Уп-
Замечая, что общая каноническая система (2) путём введения вспо-
могательных функций приводится к системе (4), мы можем непо-
средственно получить теорему существования для системы (2):
Если правые части уравнений (2) непрерывны в некоторой окрест-
ности начальных значений х^, (у^)0 й удовлетворяют в этой
окрестности условиям Липшица по у V (/ = 1,2, ...,	/==1,2, ...,
mt—1), то существует единственная система функций ys (х),
у2(х), ..., ук(х), определённая в интервале (х0 — h, xQ-\-h) и
удовлетворяющая начальным условиям:
У< = С>'Ро’ у< = (у^0> • • • ’ уТ^ = (У?Л
0 = 1, 2, ..	k).
266 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
В дальнейшем мы всегда будем рассматривать системы уравнений
первого порядка.
Мы имели геометрическую интерпретацию решений системы (4):
мы называли их кривыми в (л1)-м е р н о м пространстве
(х, yt, у2, .уп). Теорема существования и единственности полу-
чила такое истолкование: через каждую точку рассматриваемой
области (п-\-Х)-мерного пространства проходит единственная
интегральная кривая.
4. Можно дать ещё одну интерпретацию системы дифференциаль-
ных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений
к механике и физике. Будем обозначать независимое переменное бук-
вой t и рассматривать его как время; искомые функции обозначим
буквами хп х2, хп, причём систему значений этих переменных
будем рассматривать как координаты точки п-м ерного простран-
ства, которое обычно называют фазовым пространством Rn.
Система дифференциальных уравнений будет иметь вид:
dxy dt dx., dt	= X &	Xli x2> • Xj, X2, .	• • J -^n)» • •> ^n) >	(6)
dx ц dt		Xj, x2, .	• . , xn)-	
Мы скажем, что система (6) определяет в каждый момент вре-
мени t в данной точке фазового пространства (х1; х2, ..., хп)
компоненты скорости (А\, Х2, ..., Хп) движущейся точки1).
Можно представить всю рассматриваемую область пространства /?’
заполненной непрерывной движущейся средой, причём скорости
частиц этой среды в каждый момент заданы уравнениями (6).
Задача нахождения решения системы (6) состоит в определении
величин Xj,	х2, ..., хп в функции t,	если дано,	что	при	t — tQ
О 0	0	т-i	,.
координаты	имеют	начальные значения	xi9 х%,	хп.	В	нашей
интерпретации это значит: найти функции
(?; го- *?,•••> -4)> •••> Хп~'?п(^ *о>	х°п),	(7)
дающие для любого момента времени t положение движущейся
точки, которая в начальный момент t0 занимала начальное
положение х°, х°, ..., х„)-
х) Для обеспечения существования и единственности решения системы (6)
мы предполагаем все функции Xt в рассматриваемой ограниченной и
замкнутой области пространства Rn для рассматриваемого промежутка вре-
мени (обычно от —со до +сс) непрерывными и удовлетворяющими усло-
виям Липшица по xv х2,хп.
§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 267
Обычно при такой интерпретации система (6) называется дина-
мической системой, а каждое её решение (7) — движением. Кривая,
описываемая точкой при движении, называется траекторией дви-
жения. Уравнения траектории движения, определённого начальными
значениями (£0, х°, х°2, ..., х„), даются в параметрической форме
теми же уравнениями (7), причём параметром является время t.
Общее решение системы (6) зависит от п -произвольных постоян-
ных, например от начальных значений координат (х?, ..., х„) при
f=/0, и, следовательно, определяет оо” траекторий.
Наибольший интерес представляет частный случай системы (6),
когда правые части не зависят явно от I:
$ = (хр х2...........xn), ...,d~- = Xn (xt, х2.......хте). (6х)
Уравнения (6') определяют стационарное движение среды; скорость
в каждой точке пространства не зависит от времени и, следова-
тельно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.
Общее решение уравнения опять зависит от п произвольных постоян-
ных х°, х°, ..., х„ — координат начального положения точки, траек-
тория которой рассматривается. Мы опять имеем оо” движений. Но
заметим, что уравнения (6х) не изменяются, если заменить незави-
симое переменное t через —постоянное).
Пусть решение системы (6х), соответствующее начальным данным
Z=0, х1 = х°1, х2 = хг, .... хп = х“, будет:
=	•••» хп), •••, хп = <?п((', х°1> •••> 4)-	(7х)
В силу последнего замечания, решением будет также система
функций:
xi = ?i(^+x; xi> •••> х°п), •••, *n = <Pn<? + ’t; 4, •••, 4)> (7")
где т— произвольное постоянное. Уравнения (7ХХ) представляют ту
же траекторию, что и уравнения (7'), но при tz£O они пред-
ставляют, вообще, другое движение; в самом деле, в дви-
жении (7ХХ) начальное положение (при /=0) движущейся точки опре-
деляется координатами:
X] —(т, Xi, ..., хя), ..., xt1/ -—-Фп(т, Xj, ..., хп); (7 )
эта точка лежит на траектории (7х), но проходится в движении (7х)
не в момент t = 0, а в момент t = т. Движение (7ХХ) может быть
также записано в форме (7х) с начальными данными xi11, х^1’, ..., х„’:
=	xi1(, ..., Xn1’), ..., x„ = ®„(Z; xi1’, xiJ’). (71V)
Итак, в случае стационарного движения на каждой траектории
совершается оо1 движений; все частицы, лежащие в начальный
268 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
момент на данной траектории, описывают одну и ту же линию
в фазовом пространстве, следуя по этой линии одна за другой.
Подсчитаем, от скольких параметров зависит в стационарном слу-
чае семейство траекторий, рассматриваемых как кривые «-мерного
пространства. Предполагая, что в некоторой области функция
zVn(Xj, ..., хп) не обращается в нуль, мы можем в системе (6')
принять за независимое переменное хп и заменить эту систему сле-
дующей:
rfxj A} dx\	dX'i_, А ц__j dt 1
dх	X * dv \ 1	1 fir	x ’ dv X *
Система первых n—1 дифференциальных уравнений (6") опреде-
ляет те же кривые, что система (67); время в эту систему вовсе
не входит. Из предыдущего следует, что эта система п — 1 уравне-
ний определяет семейство кривых, зависящее от п — 1 параметров,
причём через каждую точку рассматриваемой области фазового
пространства проходит одна кривая семейства. Таким образом,
в случае стационарного движения семейство траекторий зави-
сит от п—1 параметров. Эти траектории часто называются ли-
ниями тока.
После того как система п—1 первых уравнений (6") проин-
тегрирована, для полной характеристики движения нужно ещё
определить связь между координатами и временем. Для этого берём
dx
последнее уравнение системы (6"): Л = —заменяя в выражении
X,. величины х,, х2, ..., xn_i найденными функциями от хп, полу-
чаем выражение вида:
ut — (хп, Ср С2, • • •» Cn_1) dxn,
где Cn Са, ..., Сп_1 — постоянные, вошедшие при интеграции
системы п — 1 первых уравнений; отсюда
Н-' = /!хп, сп ..., сй_,)
о
хп
(т — постоянное интеграции). Из полученного уравнения можно опре-
делить, обратно, хп через /-'-т, так как
rf'F ,, \ 1 , л.
dx — ^4 — у
W -Ф эд	** эд
получаем:
^ = ®;г (/ + ’)•
Отсюда и остальные координаты, найденные в функции хп, могут
быть выражены через время; мы получил: выражение всех движе-
ний в виде:
х,— ф. (Z -j- т, Ср ...,	(< — 1, 2, 3, ..., и);
§ 1] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 269
семейство движений зависит, таким образом, от п параметров:
ОС Ст
Рассмотрим, с точки зрения этой интерпретации, движение ма-
териальной точки в одном измерении; уравнение движения имеет
в общем случае вид:
d2x	, (,	dx \
Х’ ~~di)
(сила зависит от времени, положения и скорости точки). Преобра-
зуем это уравнение в систему; вводя вторую искомую функцию
ах
у = —- , получаем систему:
dt=y>	x’ »•
Каждая траектория этой системы на фазовой плоскости хОу будет
показывать в любой момент / положение точки (абсцисса х) и её
скорость (ордината у). Семейство траекторий зависит от двух пара-
метров: из каждой точки (лг0, у0) в момент t0 выходит одна траек-
тория.
Если же сила не зависит от времени, то система имеет вид:
dx	dv г, .
~dt=y, w=^x’^-
Чтобы определить траектории в этом случае, можно исключить dt;
dy f(x,y) ~
получаем: уравнение первого порядка	. Семейство траек-
торий зависит от одного параметра, через каждую точку фазовой
плоскости хОу, в которой функция / определена и где числитель и
знаменатель одновременно не обращаются в нуль, проходит един-
ственная траектория.
Пример 2. Уравнение упругих колебаний в одном измерении
имеет вид:
переходя к системе, получаем:
dx   _ dy
dt	У' at
Общее решение исходного уравнения можно написать в виде
х = A sin а (/-+- <?); по самому определению функции у имеем:
у =. аА cos а (r-ф- С;, где А и С—произвольные постоянные. Семей-
ство траектори.1 в фазовой плоскости мы получим, если исключим t;
будем иметь:
х2 4 = Л2.
1 а-
270 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ, VII
Это — семейство подобных эллипсов с полуосями А и аА, завися-
щих от одного параметра А; на каждой траектории происходит оо-
движений, которые мы получим все по одному разу, давая С, на-
пример, следующие значения:
0<С< —.
а
Система дифференциальных уравнений вида (6') обладает ещё
одним замечательным свойством: она определяет однопараметри~
ческую группу преобразований пространства (хр х2, ..., хп).
В самом деле, на равенства (7'), дающие решение системы (6'),
можно смотреть как на формулы, определяющие преобразование,
при котором точка (Xi, ..., хп) переходит в точку (xv хп).
Эти формулы определяют семейство преобразований, непрерывно
зависящее от параметра I. Значению /=0 соответствует тожде-
ственное "Преобразование. Покажем, что преобразования (7')
образуют группу. Если к точке (xj, ..., х„) применить преобра-
зование, соответствующее значению т параметра t, то преобразо-
ванная точка (xi11, ..., х^) будет дана формулами (7W); если затем
к точке (х!1’, ..., х„*) применить преобразование, соответствующее
параметру t, то мы получим точку (хр ..., хге), определяемую фор-
мулами (7IV); но она же даётся формулами (7"). Итак, два после-
довательных преобразования, соответствующих значениям пара-
метра т и Z, эквивалентны одному преобразованию со значением
параметра Z-f-x:
% (*; (т;	• • •» *»), • • • > <?п (т; х°> • • • >*»))s % (Н~т; х°> • • • > х°п)>
/== 1, 2, ..., п,
а эти равенства и выражают свойство группы. Легко видеть, что
эта группа коммутативна: тот же результат получится, если
сначала произвести преобразование I, а затем т. Преобразование (7')
допускает обратное преобразование, соответствующее значению
параметра — t. Все эти рассуждения справедливы для достаточно
малых значений 111, для которых существует решение (7') системы (6').
§ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений.
1. Теорема существования. Линейными дифференциаль-
ными уравнениями . мы называем уравнения, в которые производные
от искомых функций и сами эти функции входят линейно.
Мы будем рассматривать нормальные системы линейных
уравнений. Такая система имеет вид (ур _у2....Уп— искомые
§ 2]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	271
функции, х— независимое переменное):
^7 + а11У1 + «12^2 + • • • + а1пУп = К»
+ «21Л	^22^2 + • • • + а2пУп — ^2>
(8)
+ ап1У1 + ап2У2 + • •  + аппУп — Кг,
где aik и правые части V( суть данные непрерывные функции от х.
Если не все V{(x) тождественно равны нулю, линейная система
называется	неоднородной; если правые части	V{	равны	то-
ждественно	нулю, то линейная система однородна;	она	имеет
вид:
+ а^У1 + а12^ + • • • + а1пУп = О,
Н" Я21Л + а22^2 + • • • + а2пУп = °,	.	г™
+ ап\У1 + ап2У2 + • • • + аппУп = °-
Если системы (8) и (9) имеют одни и те же коэффициенты, то одно-
родная система (9) называется соответствующей неоднородной
системе (8).
Пусть функции aik и непрерывны (следовательно, ограни-
чены) на некотором замкнутом отрезке S, хг^х х2 (если эти
функции непрерывны при всех значениях х, то можно взять за хх
отрицательное число, сколь угодно большое по абсолютной вели-
чине, а в качестве х<± сколь угодно большое положительное число).
Пусть К—верхняя граница абсолютных величин Vt и а(кнаб>:
Iaik|	(z, k== 1, 2, ..., и), |	(г= 1, 2, ..., и).
Разрешая уравнения (9) относительно производных, мы видим,
что правые части непрерывны при хг х х2 и при
любых значениях у1г у.2, ..., у п (но не остаются ограниченными
при неограниченном возрастании этих последних переменных). Далее,
условия Липшица выполняются при xt х х2 и при
любых уг, у2, ..., уп, так как частные производные по у{ суть
коэффициенты aik, которые не зависят от _У15 _у2, ..., уп и, по
предположению, все ограничены на 5. Доказанная в главе IV тео-
рема существования позволяет утверждать, что система (8) [и (9),
как её частный случай] имеет единственное решение ^(х), у2(х),.. .
..., уп (х), принимающее при х = х0, где х2 < х0 < х2, любые
272 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
(0)	(0)	(0) -ч
начальные значения у\ , у'> , . . уп . Это решение определено
в некотором замкнутом интервале (х0 — h, х0 -4- h), концы которого,
однако, a priori могут не достигать концов отрезка [Хр х2].
Мы можем уточнить теорему существования для
линейной системы: решение, определяемое начальными дан-
ними (лг0, у! , .. ., уп), существует во всем отрезке S, х. < х
непрерывности коэффициентов и правых частей-, последователь-
ные приближения равномерно сходятся также во всём этом
отрезке.
Припомним, что ограничение h — min (а, в обозначениях главы IV
имело своей главной целью гарантировать, что ни одно приближение не
выйдет из границ (Уо)—Ь, у№ + Ь); в рассмотренном случае эта предосто-
рожность является излишней, так как область определения и непрерывности
относительно всех у( простирается от —со до 4- со. Могло бы составить
затруднение лишь то обстоятельство, что мы заранее не знаем, как сильно
возрастут т-ые последовательные приближения у^ (х) при изменении х во
всём отрезке S, и, следовательно, мы не можем ограничить абсолютные
величины правых частей уравнений, разрешённых относительно производ-
ных, числом М, которое входило в оценки.^), (82), ..., (8,я) главы IV.
Поэтому при доказательстве уточнённой теоремы существования для линей-
ных уравнений надо слегка изменить рассуждение.
Обозначим через L верхнюю грань абсолютных величин началь-
ных значений:
|yW|<Z. (г=1, 2, ..., п).
Последовательные приближения определяем так же, как и в главе IV.
Пусть х изменяется в отрезке	Мы будем иметь:
X
уТ (x) =j40) — |	+ <7йу10) + .. . + ainy^ — VJ dx
(7=1, 2, ..., /г),
откуда
X
^(х)—уо) к («АТ-+ Ю J dx = K(nL-\- 1)(х— х0)	(10J
(Z = 1, 2, . . ., n)
для любого значения х, х0 х <1 х2. Далее,
—yt —J	al2y-,	aiuytl — v^ax
Xi
{i — 1, 2, . . ., ri).
§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	273
Оценим абсолютную величину	—у^-.
\У{1} — уТ | = |J [ац (УУ —УУ) + . .. + al:l (У*’ — j-™)] dx | <
;Х‘о
V
f {I а<л I • У'У —yi1 i + •••+- I atn I  У У —У? I) dx.
Замечая, что \а№\^.К, и заменяя под интегралом уУ—УУ их
оценками (10J, получаем:
X
!У2>“У1,1<«;<^(^ + 1)/у—=	+ кю2)
(7=1, 2, . . ., п).
Далее, имеем подобным же образом при г == 1, 2, ..., п:
|УУ-У2,1 =
== I / [«<1 (УУ —У4) + at-i (УУ —УУ) -+-•+ ain (;У — УУ1 dx | <
а»
< J {| «л I  1УУ —УУI + • • • +1 аы I  УУ —дУ,} dx <
а;0
< (пК?К(пЬ +1) J У dx = (//К)2 K{nL Д- 1)	. (103)
а?0
Методом полной индукции легко докажем такую оценку:
У(у -УГ-1) I < (пКГ'1 к (nL+1)	.	(10„,)
Итак, все члены рядов
уо)+уу —Уо))+(У2>-yi})4- •  • + (>'У)-у^-11) +. • • (П)
(1=1, 2, . . ., п),
274 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
начиная со второго, меньше, по абсолютной величине, чем члены
сходящегося ряда
у К(nL + 1) [пК(х2—хф]^
пК	т\
т-Х
с постоянными положительными членами (мы заменили х — х0 его
наибольшим значением х2 — ,г0). Следовательно, ряды (11) сходятся
равномерно на интервале (х0, х2) и представляют непрерывные функ-
ции д/j (х), у2 (х), ..., уп (х). То, что эти функции удовлетворяют
системе уравнений (8) и являются единственными решениями этой
системы, доказывается так же, как в главе IV, §1,2. Аналогич-
ные рассуждения устанавливают существование решения в отрезке
•^1 х •^“2‘
Примечание 1. Если коэффициенты и правые части V{
непрерывны в открытом интервале (а, о) (где может быть
а — — со, b = 4* оо). то приведённое рассуждение доказывает суще-
ствование и единственность решения системы (8) в любом зам-
кнутом интервале [а, J3], лежащем внутри (а, д'). Беря после-
довательность замкнутых интервалов [ар J3J, [а2, (Э2], . . ., [ап, ^J,..
из которых каждый последующий заключает предыдущий, причём
lim ая = a, lim = Ь, мы определим решение в любом из этих
П->со	п -> со
интервалов [аге, |ЭИ], следовательно, в силу единственности решения,
и в их сумме, т. е. во всём открытом интервале (а, Ь). Очевидно,
функции, представляющие решение, будут непрерывными и удовле-
творяющими системе (8) во всём интервале (а, Ь)\ в любом замкну-
том интервале [а, |3], содержащемся в (а, д'), эти функции являются
равномерно непрерывными, а последовательные приближения у^1) (х)
(i= 1, 2, ..., и) — равномерно сходящимися при т —> оо.
Примечание 2. Линейное уравнение я-го порядка
У”’ + «1УП-1) + • • • + апУ = у(х)
эквивалентно нормальной системе линейных уравнений специального
вида;
“—у =0,	.	^^2—у	=о,
dx 1	’ dx 2	9	’ dx	i
£%г1 + «1Лг.-1 + а27»-з+ ••• +ап-1У1 + ^пУ= y(x)-
Применяя доказанную теорему, мы получаем следующий результат:
линейное уравнение п-го порядка с коэффициентом при старшей
производной, равным единице, имеет непрерывные и п раз диф-
ференцируемые решения во всём открытом интервале, в котором
коэффициенты, и правая часть уравнения непрерывны.
§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
275
2. Линейные однородные системы. Такая система
имеет вид:
^Н~йпЛ + я12_У2+ • • •= °,
7/7 4~ а21У1 4_fl22J’2 + • • • + а2пУп = О?
У	(9)
+ атУ1 + ап2У2 + • • • + аппуп = 0.
Мы предполагаем, что коэффициенты а1к непрерывны в интервале
а < х < Ь.
Пусть частным решением системы (9) является система
функций у^^х),	(х)> • • • ’ Уп'1 (х)’ так чт0 по подстановке
в уравнения (9) эти функции обращают их в тождества. Легко
видеть, что в таком случае система функций Су$\ Су^, .. ., Су^
также является решением системы (9). Далее, если уб), у£\ .. ., у<У>
« у®, у®, ...,yW суть два частных решения, то у(9 у^,
yW Д-у®, ..., yW -j-у^ также является решением системы (9).
Пусть мы имеем п частных решений:
хх). ••• Л1’-
,,(2)	„(2)	,,<2)
У1 , У2 , • • •, Уп ’
(12)
М v(n)	v(n)
Z1 ’ Z2 > * * *’ Уп *
Назовём систему решений (12) фундаментальной, если опреде-
литель
• -У^
(12Э
у№) у\р} • • ’У^
не равен тождественно нулю в интервале (а, Ь), Фундаментальные
системы существуют: достаточно взять пУ чисел Ь'У (z, k = 1, 2, . . ., п)
таких, чтобы их определитель Do был не равен нулю; затем опреде-
лим п частных решений y(Zi) (х), y(,f) (х), ..., у<й> (х), принимающих
при х = хй (где х0 — некоторая точка интервала а < х < Ь) началь-
ные значения yW (л:0) ==	у^> (х0) =	..., y<tfc> (х0) = 1№ (й = 1,
2, . . ., п). Тогда, в силу непрерывности функций у?, определитель D
276
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
будет отличен от нуля также в некотором интервале, окружающем
точку х0. Мы можем доказать больше.
теорема. Если D (х0) рЕО, то D[x) не обращается в 0 ни
в какой точке интервала (а, Ь).
Для доказательства вычислим производную D'(х)-, дифференци-
руем по столбцам:
D' (••<) -
dx	у<» 			yo	dx	Уп
dy1^					брУ	
dx	УУ 	• УУ	~r	У?	'ex' ’	УУ
dy'f	y(y' 	s и			rfy®	
dx					dx	•Уп’
УУ	yn ..	dy'n dx
УУ	УУ •	dx
yy		dy™ dx
Заменив в каждом определителе в правой части производные
их выражениями из уравнений (9), мы получим, например, для
вого слагаемого:
фу®
dx
пер-
X1’	УУ 	. . yW n		УУ уУ 	.. y(1} n
y2)	УУ •	. v’2) -- n	— ai2	yf УУ 	. y(i> 'll
	у'-'У 	уц		уУуУ 	. y{n> 4
Уп	УУ •	.. Д11 п
уУ	уУ •	. yv п
УУ	УУ 	. . V(,i)
= — -а,.О '.г),
так как все определители, кроме первого, имеют но два равных
столбца. Аналогично, второе слагаемое даёт —a^Dtx), . . ., »-е ела-
§ 2]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	277
гаемое даёт —anHD(x). Итак, имеем:
(у = — (вп оу	апп) D (х),
или
D' /II | X
ТУ =-(а11 I а22 Т •  • + УЧ
откуда
X
-J |О.1+О,1„+...тО	) Лх
D (х) = D^e	п"' .
Следовательно, если DoyO, то £)(х)4 0 во всём интервале,
где коэффициенты аи (а следовательно, и решения) непрерывны,
т. е. в интервале (а, Ь).
теорема. Если у'У\ у№, ..., у^ (k = 1, 2, ..., п) образуют
фундаментальную систему частных решений системы (9), то
общее решение будет'.
л-с1у11) + с2уР>+...+с>л
Ус = сЛг)++ • • • + Лг)’
(13)
у = суп + с,у2> +... + с уч
s Н	1	2' П 1	1 П'II
Из сказанного в начале этого раздела следует, что формулы (13)
представляют решение системы. Чтобы доказать, что это решение
общее, нужно показать, что постоянные Ср С2, ..., Сп можно опре-
делить так, что функции yt, у.2, уп будут при х = х0 удовле-
творять начальным условиям:
Ух ’Ч) = Л°’’ Ус (Ч>)	, Уп (у) = <'’>
где У(°\ У,0), ...,у^ — любые числа. Подставляя эти условия
в выражения (13), мы получим для определения Ср С2, ..., Сп
систему п линейных алгебраических уравнений:
С,У’> (у) + C2yf (у) 4- . .. + Спyf >(у) ==уу (/ = 1, 2, . .., //.). (14)
Так как, по доказанному, D (.у) У 0, то система (14) имеет опреде-
лённую систему решений Ср <?2, .... Сп. Подставляя в формулы (13)
найденные значения произвольных постоянных, мы и получим иско-
мое частное решение. Теорема доказана.
Примечание 1. Мы определили фундаментальную систему (12) по
формальном}' признаку — необращению в нуль определителя D (х).
Естественно ввести определение линейной независимости системы функ-
ций: систему функций вида (12) мы назовём линейно независимой, если
278
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
не существует, такой системы, постоянных чисел аг, а2, ..., ап (которые
не все равны нулю), что имели бы место в интервале (а, Ь)п тождеств-.
«1У14 + M'i2) + • • • + ьпу(1= О,
“1Л1 ’ + а23'(22) +  • • + ап№ = °-
(15)
а1Уп
В противном случае система функций (12) называется линейно зависимой.
Покажем, что для п функций, дающих решение системы, линейных
дифференциальных уравнений, понятия фундаментальной системы и
линейно независимой системы совпадают. В самом деле, если система (12)
линейно зависима, то, рассматривая равенства (15) как п алгебраи-
ческих уравнений с п неизвестными aj, а2, ав, мы находим, что так как
не все а{ тождественно равны нулю, то определитель этой системы равен
нулю, притом для всякого значения х, т. е. Z)(x) = 0. Обратно, если система
решений (12) дифференциальных уравнений линейно независима,
т. е. тождества (15) невозможны при постоянных аг, которые не все равны
нулю, то D (х) не обращается в нуль ни при каком значении х. Допустим,
в самом деле, что D (xuj = 0, a	Тогда система (15), если в функ-
ции yW (.г) подставить значение х = xq, имеет систему решений alt я2,..., ап,
которые не все равны нулю. Найдя эту систему, составим функции:
У1 = “iJ'i4 + “2>i2) + • • • +
У = “1-У21’ + а2У-Р + • • • +
(16)
Уп =	+ “2У{п +  • • +
Эти функции дают решение системы дифференциальных уравнений, так как
они составлены из линейных комбинаций частных решений. Далее, эти функ-
ции, согласно определению величин а{, удовлетворяют начальным условиям:
У1 = У 2 — ...= уп = 0 при х = х0.
В силу теоремы единственности, система (9) имеет только одно решение,
удовлетворяющее данным начальным условиям; но очевидное (тривиальное)
решение Vj = O, _у2 = 0, ..., _ум = 0 удовлетворяет начальным условиям —
обращению в нуль всех функций при х = Хд, следовательно, решение
Уь УУп совпадает с тривиальным, и равенства (16) дают:
“1У11’ +	+ • • • + “„УУ = о,
“1УР + «2У(п + ’  • +	= °
тождественно для всякого х в интервале (а, Ь). Таким образом, мы получили
линейную зависимость для системы (12), против предположения. Следова-
тельно, D (л')т^о ни для какого значения х в интервале (а, Ь).
§ 2J	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	279
Примечание 2. Задача построения системы линейных урав-
нений, имеющей заданную систему решений
(6=1, 2, 3, ..., д),	(12)
разрешается следующими формулами:
аУ{ dx	dy(}} dx	dyV dx	dy^ * ’ ‘ dx	
У1	У?	Л3)	... у Г	
У2	У?	(2) У 2	... У?	II О L
Уп У!’ У? ...
Заметим, что коэффициентом при производных является D(x),
определённый формулой (12'); если D(x) не обращается в нуль
в интервале (а, Ь), то, деля на D (л:), получаем линейную систему
уравнений в нормальной форме.
Пример 3. Найти линейную однородную систему второго по-
рядка :)> допускающую следующую систему решений:
= е® cos х, у^1’ = ех sin х;
(2)		(2)
у\ — — sin х, у2 = cos х.
Искомые уравнения будут:
dy! dx	e®(cos х— sin х)	— cosx	
У1	e®cosx	— sin x	= 0,
У'>	е® sin х	cos X	
Луч dx	е® (sin x-j- cos х)	— sin x	
Ух	е® cos х	— sin X	= 0,
У*	е® sin х	COS X	
или, развёртывая определители по первому столбцу и деля оба урав-
нения на £>(х) = е®, получаем искомую систему:
— cos2x • J'j + (1 — sin х • cosx)y2 = О,
— — (1 -j- sin х • cos x)yt — sin2 x  y2 = 0.
i) Система n дифференциальных уравнений первого порядка называется
системой л-го порядка, так как она может быть заменена одним уравне-
нием л-го порядка.
280
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
3. Неоднородные системы линейных уравнений.
Рассмотрим неоднородную систему:
+ а11У1 + «12У-2 + • • • + #1пУп — 4
+ «210'1 4- «2204 4- • • • + а^пУп = 4,
. .	.	(8)
4'««10'14 ««20'2 4’ • • • 4’«»гп0'п— 4
теорема 1. Если известно частное решение неоднородной
системы 4 (х), У2(х), Уп(х), то нахождение общею реше-
ния этой системы приводится к решению соответствуют,ей одно-
родной системы (9).
В самом деле, введём новые искомые функции zt соотношениями:
л = 44-^, о-2 = 44-^2- • • •> о'»= 44-^-
Внеся эти выражения в уравнения (8) и принимая во внимание
тождества
^r4-«ii4 4-«й44'•  • 4агя4~ "4	(* = 1, 2,	»),
мы получим для новых функций z. систему
^4'«Йг1 4" ai2z2~Y • • •	3	(г==1> 2, 3,	П). (9')
Теорема доказана.
Следствие. Общее решение системы (8) имеет вид:
О'! =	+ С2у? + ... + Спу™ + 4,
0'2 =	+ С,у^ + ... + СпуМ + 4,
Уп = ЗД1» 4- с,у<» + ... + CnyW + Уп.
где 4> 4> •••> 4—-какое-нибудь частное решение неоднородной
системы (8), а
.,(1) ,,(1)	„W. «<2)	„(2)-	 v(,l) v(n) Уп'> 0 91
У1 > У2, • • • 1 Уп , Ус ,У‘2 , • • •, Уп ,  • •; У1 1 Уз ,   ,Уп о
суть п независимых частных решений соответствующей однородной
системы (9); Ср С2, . . ., Сп — произвольные постоянные. Доказа-
§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
281
тельство аналогично доказательству соответствующей теоремы для
линейного уравнения п-го порядка (см. главу V, § 3, 1).
теорема 2. Если известна фундаментальная система соот-
ветствующей однородной линейной системы, то решение неодно-
родной системы сводится к квадратурам.
Если нам известны решения (12) системы (9), то её общее реше-
ние имеет вид:
>’1 = ci У(1}	4- С„у(11\
J2 = ^ + ^+--- +<^зг)>
................................ 
(13)
Уп — С1Уп} + С2у(п + • • . + СпУп\ j
где Ср С2,..., Сп — постоянные. Формулы (13) с постоянными С,,
очевидно, не дают решения неоднородной системы (8). Применим,
как и в случае одного линейного уравнения, метод вариации
постоянных. Будем рассматривать Ci как неизвестные функции
от х, причём подберём их таким, образом, чтобы выражения (13)
являлись решениями неоднородной системы (систему уравнений (13)
можно рассматривать как систему, вводящую п новых искомых функ-
ций от х: Ср С2,..., Ся; в силу линейности преобразования, новые
уравнения для Сг тоже будут линейными).
Дифференцируем равенства (13) по х:
dy. ау(У , ФуТ	dy'^ ,
3g* (< = 1,2.......»)	(17)
Подставим выражения (17) и (13) в уравнения (8). Первые строки
правых частей формул (17) имеют такой вид, как если бы С{ были
постоянными; так как у<У,..., представляют решения
однородной системы, то при подстановке эти члены дадут нули;
в самом деле, результат подстановки в г-е уравнение даёт:
п	?г
+ S СкУ^ + • • • + а<п S = Vp
ft = 1	ft == 1
или
v fdy№	\ dC.	dC
?; = 1
282
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
и для определения Q, С2,..., Сп остаются уравнения:
v(l) .jP’1	v(2) ,dCi Д_ I v(n) — у
”1	dx	‘"i	dx	।	' i-^i	dx	p
v(l) dCl _L v(2) ,dC2 I I v(re) dC™ — у _
•^2	dx	'Ун	dx ' 1^2	dx	2
V(D ^£1___[- v<2) -dC'2 -J-	4- yta).ri~n. — V .
'n dx 1 dx 1	‘ i dx n
Полученная система линейных уравнений относительно ,...,
их	их
разрешима, так как определитель системы D(x)qzG, в силу предпо-
ложения, что система п решений (12) является фундаментальной; мы
получаем:
------------------ OjjVj 4-O2i V24-... 4-£)nl Vn  	/ ,
dx_______________________________________Щ7)	—
dC2 __ Di2Vi 4" D-nVv + • • • 4- DivXn _
dx ~~	D(x)	— ?2W.
dCn _ DjnV1 -j- D2nV2 4- • • • + DnnVn  „ i.,x
~dx	D(x)	— ?nW>
где через Dik(i, k— 1, 2,..., «) обозначен минор определителя D,
соответствующий элементу Так как ®Дх) являются известными
функциями, то Ci получатся квадратурами:
ci=	+ ъ 0'= 1» 2,..., «)
(у,: — постоянные интеграции).
Подставляя найденные значения С{ в формулы (13), получаем
общее решение системы (8) в виде:
yi = Т1М1’ +	+ • • • + 1пУ?} + Yj
У^ = YiX1’ + ^УТ + • • • + ^пУТ + Г2>
Уп = ^Уп + Ч2у% + •  • + \У%} + у„.
где частное решение неоднородной системы Ylt К2..., Уп опре-
делено формулами:
Yi W = yff ?1 (*) dx +Х2) / ?2 (X) dx 4- ... J (х) dx =
п
1
§ 2]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	283
•у—	. dv	dz -	in	1
Пример 4. z = cos x, -\-y = 1. В примере 1 мы нашли
решение соответствующей однородной системы: у = Сх cos х -ф- С2 sin х,
z — — CjSin x-]-C2cosx. Подставляем эти значения в данные урав-
нения, считая Cj и С2 неизвестными функциями х. После приведе-
ния получим такую систему:
dC] । dCn •	dC у .	।	__1
—Н-cosxH—sin х = cos x,------------з-^-sinx-i—~cosx=l,
dx	dx	dx	' dx
dC, dC„
откуда, разрешая относительно и —и затем интегрируя, на-
ходим:
-^£1 = cos2 х — sin х, С, = -ф- sin х cos х -ф- cos х -ф-
dx	z z
= sin x cos x -4- cos x, C> = — cos2 x -ф- sin x -f- p2
(fi и Ye — произвольные постоянные).
Подставляя найденные значения С\ и С2 в выражения для у и z,
получаем общее решение заданной неоднородной системы:
у = pj cosx-ф- р2 sin х-ф- -у cosx-ф-1,
,	х .	1
Z — Р, Sin X -ф- р2 COS X —- у sin X Tj- COS X.
4. Линейные системы с постоянными коэффициен-
тами. Рассмотрим однородную линейную систему:
+ а11У1 + а12Л + • • • +	— °>
+ а21У1 + «22^2 + • • • + а2пУп = °>
+ атУ1 + ап2У2 + • •  + аппУп — °>
в которой будем предполагать коэффициенты ailt постоянными.
Если систему (18) привести к одному уравнению высшего порядка,
то, как легко видеть, получится линейное уравнение с постоянными
коэффициентами. Поэтому естественно искать решения системы (18)
в виде показательных функций. Будем искать частное решение в та-
ком виде:
Vi = 7^’*, У2 = Tf2eXa,> •••»)'» = Тпе>'ж>	(19)
284 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
где 7; , .. . , и X — постоянные, которые нужно определить так,
чтобы выражения (19) удовлетворяли системе (18). Подставляя
в систему (18) значения (19), сокращая на е'х и собирая коэф-
фициенты при ур "(2,..., получим систему алгебраических урав-
нений:
(«п -М)ъ+	«12Ъ +
«2171 4~ (а22~1Г	72+
+ «i»7n — °>
+ «2/17/1 = °>
(20)
«»171 +
«//272 + • • • 4“ (апп + 7/1 — О-
Рассматривая (20) как систему п линейных однородных уравнений
относительно у р *f9,..., у„, мы замечаем, что для получения нетри-
виального решения (19) мы должны потребовать равенства нулю
определителя системы (20), т. е. мы приходим к уравнению:
Д(Х)^
“Г &12	* ’ *
a-2i а.12 + А...
(21)
&п2	• • • ^нп Ч
Наряду с определителем Д (X) нам в дальнейшем придётся часто
рассматривать матрицу М (X), составленную из тех же элементов:
(21')
Придавая переменному X значение Хо, мы получим матрицу /И (Хо).
Уравнение (21) есть уравнение н-й степени относительно X; мы
будем называть его характеристическим уравнением. Итак, реше-
ние вида (19) системы (18) может существовать только в том слу-
чае, когда X есть корень характеристического уравнения. Могут
представиться два случая.
1) Все п корней характеристического уравнения различны. Пусть
эти корни будут Xj, Х2,..., Х„. Если один из этих корней X- под-
ставить в Д(Х), то мы получим Д(Х^) = О. Покажем, что по край-
ней мере один из миноров (я—1)-го порядка определителя Д(Х)
отличен от нуля при X — kj. В самом деле, так как Х^ есть простой
§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
285
корень уравнения (21), то	L х = Д'(Ху) 0. Вычисляем Д'(X):
а22	Я23	• • • а-2П
а32	аЗзЧ~^ • • • айп
Д'(Х) =
ап2	• • • апп Н~
ап1 ^п'Л • • • апп I ’
а11 Ч~ а12	• • • а1, п-1
а-21	«22 + ^ • • • а2, п-1
п —
(в правой части стоит сумма диагональных миноров (га — 1)-го
порядка).
Подставляя вместо X значение Ху и вспоминая, что Д' (Ху) ф О,
мы получаем в результате, что по крайней мере один из входящих
в последнюю сумму диагональных миноров (га—-1)-го порядка не
равен нулю при X = Х„-. Наше утверждение доказано.
Возвращаемся к системе (20), в которой вместо X подставим
Ху — один из корней характеристического уравнения. Определитель
системы равен нулю; следовательно, система имеет отличные от нуля
решения -ф, •$>, . .., Но, по доказанному, ранг матрицы М (Ху)
коэффициентов системы (20) равен п—-1; следовательно, неизвестные
•уру уйй, . . ., определяются с точностью до произвольного мно-
жителя пропорциональности (в качестве -р^, у)/, ..., можно
взять миноры любой строки определителя Д(Ху), для которой они
не все равны нулю).
Итак,- мы получим (обозначая этот множитель через С,);
v(J) = C.k'-П = С Щ>, ф> = С.k'-Л,
‘1	J 1 ’ ‘2	) 2 ’ ’Hi J п ’
где k\^ (z—1, 2, ..., га) суть известные числа. Итак, корню Х = Ху
соответствует частное решение системы (18) (мы полагаем Су= 1):
у™ =	у,Г =	(22)
286 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. Vlt
Ясно значение множителя Су мы знаем, что если систему частных
решений помножить на одно и то же произвольное постоянное, то
получаем опять решение системы однородных линейных уравнений.
Применяя приведённые рассуждения ко всем корням Ар А2, ..., кп
характеристического уравнения, мы получим п частных решений
вида (22) для J = l, 2, . .., п.
После этого мы можем написать полное решение системы (18)
в виде:
Примечание 1. Если коэффициенты уравнения действительны,
а некоторые корни характеристического уравнения окажутся мнимыми,
то они будут входить попарно сопряжёнными, например:
=== сс —р" р/, А2 — &	р/.
Соответствующие решения будут иметь вид:
= kfe™x, = W^i}x (/ = 1,2,..., и).
Коэффициенты и /г)2> тоже окажутся комплексными сопряжёнными,
если взять их равными минорам одной и той же строки определи-
телей Д («-ф- РО и Д (а — pi). Легко убедиться в том, что корням
А = а ± pi будут соответствовать две системы решений, соответ-
ствующих действительной и мнимой части у*У> и _у<2>, вида:
J,)1’ = (ij1) cos рх — /j2) sin рх),	у?1 = e® (tf sin px -ф- lji} cos Px),
где ij4 и — действительные числа, определяемые из равенств
fe(i) = Zy) + /Z®>
Пример 5.	—2 = 0,	-ф- 2у -ф- 5г = 0. Ищем реше-
ние в виде у = z = 72еХа5; подставляя в заданную систему,
получаем уравнения:
Ъ^ + 7)—f2=0, 2Т1 + (А + 5)72 = 0.
Условие их совместности даёт характеристическое уравнение:
2
= 0, или А2-ф- 12А -ф-37 = 0.
§ 2]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	287
Корни характеристического уравнения суть:	X2 =
= — 6 — i. Подставляя первый из этих корней в систему для опре-
деления и у2, получаем два уравнения:
11 О 4~ О— f2 = 0>	—1-]-z)72=0,
из которых одно является следствием другого. Мы можем взять
= 1,	Первая система частных решений есть
yi) = е(-й+Ъ х, уз1) = (1 4-Z)e(-6+*)®.
Аналогично, подставляя корень Х2 =— 6 — I, найдём вторую систему
частных решений:
уз) = е(-в-<)®, У/> = (1—
Беря в качестве новой фундаментальной системы решения
У1> + у(,2) ~	У/’-У2)
yi) =	, ^(2) = У-±-^~ (Z = 1, 2),
находим:
у1) = е~8ж cos х, у™ — е~'"х sin х-,
yi) == е-6® (cos х — sin х), у№ — е~йх (cos х sin х).
Общим решением будет:
yr = е~6х(С1 cos х-ф- С2 sin х),
_У2 = е~6х [((?i + С2) cos х 4- (С2 — С\) sin х].
Примечание 2. Полученные нами п решений (22) являются линейно
независимыми. В самом деле, рассмотрим таблицу (12). В нашем случае
yW =	Допустим, что в силу определения линейной зависимости,
выполняются соотношения (15), причём не все aj = 0. С другой стороны,
в каждой строке системы, например у'-й, найдётся коэффициент =/= 0, иначе
у-е частное решение было бы тривиальным.
В силу допущения, мы имеем:
+ ... +	+ • • • + ^}е)пХ = 0.
X
Так как, по доказанному в главе VI, функции е'з линейно независимы
(/ =1, 2, ..., и), то все коэффициенты в последнем соотношении равны нулю,
в частности = 0.
У ‘
В силу условия, не все (Z = 1, 2,..., я) равны нулю; следовательно,
оу = 0.
Это рассуждение применимо ко всем значениям /=1, 2,..., я; таким
образом, все aj равны нулю. Полученное противоречие доказывает линейную
независимость решений (22).
288
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
2) Среди корней уравнения (21) есть кратные. Пусть Aj есть
m-кратный корень характеристического уравнения. В таком случае
значение m-й производной от Л (А) при X = Aj ДО”) (Xj) О,
и рассуждение, аналогичное предыдущему, показывает, что среди
миноров порядка п— т определителя Л (X) по крайней мере один
отличен от нуля при X — Хр Отсюда следует, что для ранга г мат-
рицы Л1 (X) при X = Xj имеет место неравенство г~^-п — т. Система
линейных алгебраических уравнений (20) сводится к г независимым
уравнениям. Из теории линейных уравнений известно, что в этом
случае в общем решении системы (20) п — г неизвестных
остаются произвольными; пусть это будут = Ct,	•••
•••> Чп-г = Сп-г\ остальные г неизвестных 7п_У+1, ь_,.+2> .... Ь
выразятся в виде линейных форм относительно Clt С2, ..., Сп_г;
пусть эти выражения будут:
Ъ =	+ ... + k(rr)cn_r
(j = п — r-]-l, п—r-|-2, ..., я).
Мы получим такую систему решений, зависящую от п — г произволь-
ных постоянных Q, С2, ..., Сп_г‘.
АТ —	, _у2 — С.у , ..., уп_г — Сп_ге ,
yn_r+i = (^n-r+lCj	. .. -j- feV-r+iC;l_r)t 1Ж,
yn = (k^C, + k™C2 + ... + W~r}Cn^ e‘x.
Таким образом, одному корню А = Aj кратности т соответствует
п — г частных решений, которые мы получаем, полагая Q = 1
для /= 1, 2, ..., п — г, а все прочие Q равными нулю (С, = 0
при /#:/):
у(1) = уО) = 0, ..., yW г =
y(i> = ^(0	.. ., у(1) — k^eK'x,
у<*> = о, у№ =	.. ., у^_г = о,
v(2) , = fe'2) ,	. . ., у<3’ = №е^3),
У 71 — Г + 1	П —Г +1	’	’ -^71	tt 7
(22Э
у(»-г) — О, у(2га-г) = о, . . ., y'j'Zp —
Y 71— Г + 1	М-Г + 1	’	7 7 П	П
§ 21	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	289
Матрица из коэффициентов при е'-‘ж в правых частях этих равенств
имеет вид:
| 1 0	0	...	О	A<JLr+1	...	С
О 1	О	...	О	/г'2,.г1	...
О О	О	...	1	С-Лт	• ..	^-г)
Её ранг, очевидно, и равен п — г, т. е. между строками системы (22')
нет линейной зависимости; значит, мы получили систему п — г линейно
независимых решений, соответствующих корню А = А,. Если г = п—т,
т. е. если ранг матрицы М (Л) при к = Xj имеет наименьшее значе-
ние, то полученное число решений равно кратности т корня Ар и,
таким образом, получены все решения, соответствующие этому корню
(если т = 1, то г = п — 1, п — г=1, и мы возвращаемся к случаю
простого корня Aj, которому соответствует одно решение системы).
Если ранг г матрицы М (Xj) больше п — т, то число п—-г полу-
ченных указанным способом решений будет меньше кратности т
корня АР Чтобы найти недостающие решения, мы должны, как в слу-
чае одного уравнения n-го порядка, искать решения в виде линейных
комбинаций функций хе'^, ..., хт~}е’‘х.
г,	~ dx . dy , dz I тл
Пример 6.	2 +	У- Ищем реше-
ния в форме x=k,e'f, у == &.2eu, г = кйе,л. Для определения k2,
k.j имеем три уравнения:
Afej — k2 — k3 = О,
— ~Ь* А&2 — &3 = О,
—	+ ХА3 = 0.
Приравнивая их определитель нулю, получаем:
	X	— 1	— 1	
0 =	— 1	А	— 1	= А3 —ЗА —2.
	— 1	— 1	А	
Корни последнего уравнения суть Xj = 2, Х2 = Х3 =—1. Простому
корню Xj = 2 соответствует система двух независимых уравнений
для klt k.2, kA, например:
2fej—k.2— A3 = 0, —k1-1- 2k2 — &3 = 0,
откуда
• ^2 •’ Й3 =
— 1
: —1
Отсюда получаем первую систему
вольное постоянное:
х = C,e2t, у = Cxe2t, z = С^2'.
2
— 1 :
решений,
2 —1 I
-1 2 I = 1 : 1 : L
содержащую одно произ-
— 1 —1
2 —1
290
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Если в матрицу М (А) вставить А —— 1, то её ранг окажется рав-
ным 1, и три уравнения для определения k2, k3 сведутся к одному:
fej —kg —j— = 0.
Если мы положим k, == С2, k2 — С3, то й3 = — (С2 -|- С3), и мы
получим ещё систему решений с двумя произвольными постоянными.
Общим решением будет:
х = сге^ + С2е-\ у =	+ Сйе~\ z = С^ — (С2 + С3) е~*.
Мы получили фундаментальную систему решений, так как опре-
делитель
e2f	е2«	e™		1	1 1	
е~*	0	— e~f	=	1	0 —1	= 3 ^0.
0	е~*	— e~f		0	1 —1	
Анализ всех возможных случаев, которые могут представиться для линей-
ной системы с постоянными коэффициентами, проводится путём линейной
замены зависимых переменных, которая приводит систему к канонической
форме. Это приведение существенно связано с теорией элементарных дели-
телей Х-матрицы (21') !)•
Нам удобно теперь писать данную линейную систему в таком виде;
dy, ,	,
= «nJ'i + а12>2 + ... + ainyn.
dy2 ,	,	,
= a21yt + а22у2 + ... + а2пуп, ,
(23)
= ап\У\ + «яг + • • • + аппУп-
Для удобства введём ещё обозначения:	= Y( (i = 1, 2,	п). После этого
умножим уравнения (23) соответственно на систему вспомогательных пере-
менных иь и2, ип и сложим почленно. В левой части мы получим били-
нейную форму переменных иь и2, ..., ип, У3, У2, ...,
п
5 «Л	(24)
1 = 1
а справа — билинейную форму переменных zzh zz2» •••» ип> Уъ У2* ^^Уп-
п п
22 ацгЩУк-	(25)
i = l fc = l
Заметим, что матрица из коэффициентов формы (24) есть единичная матрица Е,
т. е. матрица, у которой диагональные элементы суть единицы, а все
прочие — нули; матрица формы (25),
А =
аП ••• а1п
ап1 • • * ®пп
!) См„ например, А, И. Мальцев, Основы линейной алгебры, гл. V,
Гостехиздат, 1948.
§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	291
есть матрица, составленная из коэффициентов правых частей дифференциаль-
ных уравнений (23). Таким образом, задание двух билинейных форм (24)
и (25), из которых первая — с единичной матрицей, равносильно заданию
системы дифференциальных уравнений (23).
Если мы, далее, подвергнем переменные yt линейному преобразованию
с постоянными коэффициентами:
У1 =	+ • • • + ainzn (* = t * 2..»).	(26)
то, ввиду значения переменных Yt как производных от у{, они подвергнутся
тому же преобразованию:
+ • • • + ain^n (i = 1> 2, ..., я),
где Zt - dx .
Составим матрицу А — ).Е, или, в раскрытом виде,
(260
а11 —	«12	
а21	(?22	• •	а2П
а»1		&пп
(27)
По теореме о парах билинейных форм г), две билинейные формы (25)
и (24) эквивалентны другой паре билинейных форм <f, ф тогда и только
тогда, когда матрица (27) и матрица формы ?— Хф имеют одни и
те же элементарные делители (при этом матрица ф должна быть не
особенной, т. е. её определитель 0) 2).
матрица ф должна быть не
п. 109.
(27), — а мы только с такими
9 А. И. Мальцев, цитированная книга,
2) Элементарные делители матрицы вида
матрицами встретимся в нашей теории, — могут быть определены следующим
образом. Обозначим через D( (X) (z= 1, 2, ..., я) общий наибольший дели-
тель всех определителей порядка I матрицы (27), рассматриваемых как много-
члены относительно X. Тогда доказывается, что: (А) многочлен Dt (X) делится
на ZXi_i(X) (Z>2). Введём обозначения 1 	(X)	(1 = 2, 3,	л),
Е^Х) — D} (X) и назовём (X) инвариантным множителем матрицы (27).
Очевидно, Dt (X) = fj (X) £2 (X) ... Et (X). Далее доказывается, что: (В) в ряде
инвариантных множителей Ех (X), Е2(К), ..., Еп(Е) каждый делится на все
предыдущие. Напишем разлсГжение инвариантных множителей на линейные
факторы: Е, (X) = (X — Xi)®»1 (X— Х2)®»2 ... (X — Х8)е<», где Хь Х2, ..., Х6.— раз-
личные корни уравнения, полученного приравниванием нулю определителя
матрицы (27); очевидно, e{j > О (z = 1, 2, ..., я; j = 1, 2, ..., s); кроме того,
в силу свойства (В), e{j^,ei'j, если i < i'. Те из двучленов
(X —Xj)en, (X —X])e2i, .... (X —Х/Ч
(X - Xs)eis, (X - Xs)4 ..., (X - Xs)®4
которые не равны постоянному (т. е. для которых e(j > 0), называются эле-
ментарными делителями матрицы (27). Делители из первой строки соот-
ветствуют корню Xj, ..., делители из последней соответствуют корню Х8.
Число etj называется степенью элементарного делителя. Для простоты в даль-
нейшем будем обозначать число элементарных делителей через k, а сами
делители — через (X — Хд)®1, ..., (X — Xft)% причём среди чисел Хг могут быть
и равные.
292
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Пусть элементарные делители матрицы (27) будут:
(Х-А/1, (Х-Х2)ез ... (X—Хк)е*,
(28)
где Х1( Х2, ..., Xft —корни детерминантного уравнения матрицы (27), т. е. харак-
теристического уравнении системы (23), может быть и равные, но соответ-
ствующие различным элементарным делителям, и
п
i = l
В качестве матрицы формы ф в новых переменных Zt мы возьмём
опять единичную матрицу Е (очевидно, неособенную), т. е. положим:
Ф = PjZj 4- &2Z2	vnZn.	(24')
В качестве билинейной формы tp мы возьмём такую форму переменных v(
и Z{, чтобы матрица формы обладала теми же элементарными делителями (28),
что и А — ХЕ, но чтобы эта матрица имела нормальную форму 1)
Ml
Af2
(27')
| Alft
где вне квадратов из следующих эле	Mt все элементы суть нули, а каждый ментов * 2): хг —х 1 о ... о о 0	X, —X	1	...	0	0 0	0	0	...	хг. —X	1 0	0	0	...	0	Xz —X	квадрат составлен (27")
ei столбцов
4 См. И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, § 21, Гостех-
издат, 1948.
2) Легко убедиться, используя данное в сноске на стр. 291 определение
элементарных делителей, в том, что матрица (27') имеет требуемые элемен-
тарные делители. В самом деле, выпишем частичные матрицы М{, принимая
во внимание возможные кратные корни, так что в новом обозначении мат-
рица M(j будет соответствовать корню Xf, иметь вид (27") и содержать по
строк и столбцов. Заметим, что минор определителя матрицы M(j, соот-
ветствующий левому нижнему элементу, равен 1, а все прочие или равны
нулю или содержат множитель X — Х(. Поэтому наименьшая степень, в какой
X—Х3 войдёт в миноры (п — 1)-го порядка матрицы (27), есть (X — Х^вм+ец-f-...;
в этой степени X — Х3 войдёт в DB_i(X); следовательно, он войдёт в Е^ (X)
в степени (X — Xj)ei. Далее, из миноров (п — 2)-го порядка наименьшая сте-
пень X — Xj будет у того, который получился вычёркиванием последней строки
и первого столбца у определителей матриц 7Иц и Jf32; эта степень равна
(X — Х1)е1з+‘", следовательно, Е2 (X) содержит степень двучлена (X — Xj)ez.
Продолжая это рассуждение, мы получаем указанный результат.
§ 2] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	293
Таким образом, форма <р имеет следующий вид:
т = (2	+ 2 vi-lzi) + ( 2 ^ViZi + 2	+ • • •
1	2	e, + l	e,+2
••'+( 2 )'kvizi + 2 Vi~lzl)- (29>
n-e^ + l	n-e^ + 2
В силу определения эквивалентных пар матриц, существует подстановка (26),
а также (26') с определителем, отличным от нуля, и другая линейная под-
становка с не равным нулю определителем, преобразующая вспомогательные
переменные it; в переменные v^, при которых формы (24) и (25) перейдут,
соответственно, в формы (24') и (29).
Но, в силу сделанного выше замечания, две билинейные формы такого
вида, как (24х) и (29), однозначно определяют систему линейных уравнений
с постоянными коэффициентами. Итак, после преобразования переменных (26)
исходная система дифференциальных уравнений (23) перейдёт в следующую
систему нормальной формы:
dzt
dx
AjZj + z,,
dz->
dx
^lz2 +
(30J
c!z“,
dx
(30s)
Каждая из систем (30j), ..., (30,;) интегрируется независимо; легко дать
формулы их общих решений. Так, например, если в системе (3(ф) ввести
новые функции С2, ...,Cei, связанные с функциями z^ z ,гв соот-
ношениями	1
г2- = Л% (/=1,2.......ер,
то преобразованная система примет вид:
dZ dC	d'„
___1 _ г ________2 _ Г	ei~
dx ’’2’ dx з’ ' •' ’ dx
r
*el
dx
= 0.
294
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Её интеграция даёт:
^-i = QX + ^ -
 с> + с-	с„.„
г^-1	гв1-2
' - с' + С= й=2)[ + • •  +	+ с-.-
Возвращаясь к переменным ziy будем иметь:
zei = С^х, zei_! = е^х (С,х + С,), ...
(ЛГЕ + с.^ +... + с,.).
(34)
Аналогичные формулы (312),..(34) получатся для групп уравнений (302), ...
. ..,(30ft). При интеграции войдёт е2 + е.>	. • • + ей = л произвольных
постоянных Q. Легко убедиться в том, что система частных решений, соот-
ветствующая системам значений произвольных постоянных
Cj = 1, С2 = С-А = ... = Сп = О,
С2 = 1, сх = ся= ... = Сп = 0,
г — 1
— *»
— Cn-i — о,
является линейно независимой. В
имеет вид:
самом деле, эта система частных решений
,И _ Р\Я> Х
1	41 - 1)!
х 1	2(1)
41-2)!’	г^-
z%> = 4-'

г(1),
= 41’ = о,
..81-2	vel-3
_(2) _ х	,(2) = /1® х
г1 е (еа —2)1’ 2	41—3)!’
.(2)
,(2) _ ,(2)
-- *<>.. -1
== г<3) = 0;
*п ’
гЫ=еМ, //•) = ?<«*’= ... =/^’ = 0,
z^ = e}'kx, г<«) = 2(»)= ... =4») = 0.
Подставляя эти значения в определитель (12z), мы получаем:
[) _ j_6,e?.1® + e2Xa®+ ••• +ек~>.кх q
§ 2]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
295
Так как искомые функции у{ выражаются через zt линейно при помощи фор-
мул (26) с определёнными коэффициентами и с определителем, отличным
от нуля, то, подставляя в эти формулы найденные для Zj значения (31J,
(312), ..., (31^), мы получим полное решение системы (23), содержащее п
произвольных ПОСТОЯННЫХ Cj, С-,, ..., Сп.
Примечание. Одно линейное уравнение n-го порядка с постоянными
коэффициентами
dny , dn-'y .	, dy .
d^ + aid^+---+a^ dl + any-°
эквивалентно системе
dy _ dyi _ dyn-2 _ v
dx~~y'' dx~y'2’"'’ dx
-^77— = — апУ —	— • • - — «Vn-i-
Для этой системы матрица (27) имеет вид:
— X	1	0	0	0	
0	— к	1	0	0	
					(2Т"
0	0	0	— X	1	
ап	ап-1	2	• *	— «2	— а2 — X	
Разлагая соответствующий определитель по последней строке и приравнивая
пулю, получаем:
Dn (X) = («1 + X) Х'г-14- а2Хге~2 + • • • + ап-^ + ап —
т. е. известное нам из главы VI характеристическое уравнение. Рассмотрим
элементарные делители матрицы (27"'). Минор определителя матрицы (27//z),
соответствующий элементу первого столбца и последней строки, есть 1; сле-
довательно, общий наибольший делитель всех миноров (п— 1)-го порядка
Е)п-1 Р1) — 1- Поэтому /ф = Dn (а), Е2 = Е3 ... = 1. Таким образом, эле-
ментарные делители матрицы ^1Т") будут:
(Х-Х/1, (Х-Х2)е\ ..„(Х-Х.А
где все Хг различны между собой: каждому корню соответствует только один
элементарный делитель. Из вышеизложенной теории следует, что каждому
корню Хг будет соответствовать группа решений вида ееХ, хеiX, ...
..., хв{ 1e iX, как мы уже видели в главе VI. Таким образом, система диффе-
ренциальных уравнений, в которой хоть одному корню уравнения Dn (\) = О
соответствует более одного элементарного делителя, не может быть сведена
к одному уравнению п-го порядка.
Из всей этой теории следует, что решения нормальной системы
уравнений с постоянными коэффициента.ми имеют вид:
=	(/=1,2, .... п),	(32)
296
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
где P{j(x)— многочлен степени, не большей, чем т<—1, где
— кратность корня \{ уравнения (21). Практический приём для
нахождения общего решения такого уравнения — составить для каж-
дого корня выражения вида (32) с неопределёнными коэффициентами.
Подставляя эти выражения в систему (18), мы получим для неопре-
делённых коэффициентов систему линейных уравнений. Число неиз-
вестных, остающихся произвольными при решении этой системы,
равно кратности корня.
Пример 7. Решить систему: ^--ф-х—_у = 0,	— 4г = 0,
dz i .	_
-77 -4- 4г — х = 0.
dt 1
Уравнение (21) имеет вид:
Решения, соответствующие простому корню X = 0, пишем в виде
х = а, у — b, z = c. Вставляя эти значения в данную систему, полу-
чаем для определения а, Ь, с три уравнения, которые, согласно общей
теории, сводятся к двум независимым, например к уравнениям:
а — Ь = 0,
b— 4с = 0.
Полагая с = С1 (произвольному постоянному), находим систему реше-
ний, соответствующую корню Х = 0:
х = 4СР
^ = 4СП
z = Ср
Корень X = — 3 двукратный, причём X -ф- 3 не является делителем
всех миноров второго порядка; поэтому ищем соответствующие этому
корню решения в виде:
х = е-^ («j -j-a2t),
у = е~м (Ьг + М.
г = е-3*(с1-ф-с2О-
Подставляя в заданную систему и сокращая на общий множитель е-34
получаем:
— За। — За</ а2 4~ aj 4~ ^2^— ^1 — ^1.4 ===
— ЗЬ1—	-ф-^-ф- ^4- b^t—4cj — 4с2£=0,
— 3cj — 3cJ 4~ £•> j 4cj —4с4 — й] — а,/ ттт: 0.
§ 2]	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	297
Приравнивая в обеих частях свободные члены и коэффициенты при t,
получаем шесть уравнений:
— 2<?j —j— а2—	О,
— 2b j -f- — 4ct = 0,
Cj-f-e.2— at = 0,
— 2a.2 — b2—0,
— 2b2 — 4c.2 = 0,
Cq •— 0*
Из трёх уравнений правого столбца получаем: а2=С2 (произволь-
ное постоянное), Ь2 — — 2С2, с2 = С2. После этого первые три урав-
нения дают:
Я1 = С3, d] = С2 2С3, Cj = Cg С2.
Таким образом, общее решение системы будет:
х = 4Cj -j- C2te~zt -j- Сйе~ы,
у = 4Cr -j- С2 (— 2/-j- 1) e-s< — 2Q?-3*,
z = Ct 4- С2 (t — 1) е-з/ 4- С3е-Ч
ЗАДАЧИ.
179.	Наити четвертые приближения для системы = — г, ^~Х~У при
начальных данных: у = 1, г = 0 при х = 0.
^2V
180.	Дано уравнение У1 ~4~ х- Найти третье приближение для у
при начальных условиях: _у0 = 0, _у0 = 1 при х = 0.
181.	Найти для решения уравнения у" + 2у' -ф-_у2 = 0 четвёртое прибли-
жение при начальных данных: _у0 = 1, у'о = 0 при х = 0.
Найти общие решения систем:
182.
dx	v dx	z
183.
dx	z dx	у
184-	= — -v+^ + г, = — v + г, d-^ = x-Yy — z.
<0= dx .	,	.-y dy .	,	dz ,
J85. - + x + y = fl, ^+> + г = 2Л ^ + г = /.
186.	+ 5x +y = 7У- — 27,	— 2x Д- 3y = — 3<?« 4-12.
dt	dt	1
187.	^ + ^_2, = ^(^4-2^_3j = 0.
dx* dx	dx dx
188,	1т=-)'’^== х + е* + е~К
189.	+	= 1, ?±+y = x.
dx x* dx
190,	——3> = A x + > = 0.
Указание. Чтобы привести к постоянным коэффициентам, надо
сделать замену независимого переменного.
298
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
191.	t + 6л- — у — Зг = 0, ta-£ + 23х — бу — 9г = О,
dt J	dt '
dz
«	+ * + y — 2г = О.
192.	~ + 5x + у = е\ ~	3_y — x = e^.
dt '	' J dt ' J
§ 3.	Существование производных по начальным значениям
от решений системы.
1.	Мы уже ссылались (глава II, § 1, 4) на теорему о возможности диффе-
ренцировать решение одного дифференциального уравнения (или их системы)
по начальным данным.
В настоящем разделе мы докажем эту теорему. Предварительно дока-
жем следующую лемму:
лемма. Если правые части системы дифференциальных уравнений
у2, •••>№ М (i = 1, 2, и)	(33)
являются непрерывными функциями переменных х, ур у2, ...,уп и па-
раметра с в области
\х — х0\^а, \У{—У°\<Ь (/= 1, 2,	и), Х0<Х<Хр (34)
и если в той же области непрерывны, частные производные
(I, k= 1, 2, ...,п),
дУк
то решение, определённое начальными данными (х0, у®, у2, .у^),
является непрерывной функцией параметра к при Xj^X<;X2.
Для доказательства заметим, что из условия непрерывности функций fa
в области (34) следует их ограниченность в этой области;
(/ = 1, 2, ...,п),
dft
а из непрерывности следует также их ограниченность:
дУк
(A k = 1, 2, ..., п).
I<W
Последние неравенства влекут за собой выполнение условий Липшица
для функций fa по отношению к аргументам у±, у2, •••<Уп-
\ft(х, y'lt...,у„; X) —fi (х, у".у"; ЦК
<К{ 1У1—у" I + • +1 уп—уп !>•
Следовательно, для всякого фиксированного значения параметра X между Xt
и Х2 и для значений х в интервале
Xq — ti	х xq -j- h., h== min (a, j
§ 3] СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ 299
последовательные приближения, получаемые по методу Пикара,
X
уЧ"Чх\ х0, >?,	Х)=^®+ f/(x, У”1'1’........У“_1); ^)dx
(Z = 1, 2, .... n; т = 1, 2, 3, ...)
будут сходиться равномерно как по отношению к х, так и по отноше-
нию к параметру X. Пределы этих последовательностей при т -> со
дадут, как мы знаем, решение системы (33):
У% = (*! х0, y°v ..., у°п\ X);	(35')
так как все члены последовательностей (35) являются, очевидно, непрерыв-
ными функциями от X, то то же справедливо, в силу равномерной сходи-
мости, и для предельных функций (35'), что и доказывает лемму.
2.	Переходим к основной теореме настоящего параграфа.
тео рема. Если правые части системы дифференциальных уравнений
^=fi(x, уь у2, ...,уп)	G'=l, 2, ...,п)	(4)
допускают в области D;
|х — х0|<в, \у{— У°|<&	(1 = 1, 2, .... п)
непрерывные частные производные
.....................п),
дУк
то решение, определённое начальными данными х0, У, y°v ...,у°п
[^принадлежащими области D', содержащейся в £); D' есть, например
IУ{— У<1 <у)] ’
У/, = Ч{ (*: х0, у°, у°2, ..., у°)	(36)
допускает непрерывные производные по начальным данным:
(г = 1, 2, ...,п-, k = l, 2,
дх0 ду»
Для доказательства допустим, что в формуле (36) величины х0,^полу-
чили некоторые определённые числовые значения, принадлежащие обла-
сти D' (jx0 — XoK-g-,lj'®—Подставив затем yi, из (36)
в уравнения (4), мы получим тождества. Далее, даём в формуле (36) одному
начальному значению у^ приращение Ду£ (так чтобы новое значение не
300
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VIJ
выходило из £)'); обозначим соответствующее решение через
х0, y°v..., Л- + ДЛ> ••••лб	(/ = 1,2,...,/?); (36')
составим для этого решения тождество, соответствующее (4) и вычтем оба
тождества почленно:
S'!, •••, лО—AU № •••> J'n) (1 = 1,2,...,//). (36")
Разности в правых частях равенства (36") путём последовательного приме-
нения теоремы о конечном приращении преобразуем так:
fi (х, Jj, у2,..., уп) —ft (х, ух, у2,..., уп) =
3=1
= Ы (х, уь у2,..., уп) —f{ (х, уь у2,..., уп)] +
+ [fi (х, № Уч, ..уп) —fi (х, уь у2, у3,..., уп)] + ...
• • • + [fi (X, J/j.>„_1, Уп) —fi (X, У!,..., У п-1, >„)] =
v dfi(x, J'l, , V,--!, y) + ®ij(yj— ytf Уз + 1,---) ,~
dyj	y>’’
0<&ij<l.
Множители при yj — yj во второй части последнего равенства [обозначим
их через а^(х, Д_у^)] являются непрерывными функциями от совокупности
переменных х, £^ук. В самом деле, хотя 8^. могут зависеть от х и &ук и не
непрерывно, но если при данных значениях этих аргументов —Уjf-0,
то непрерывность следует из равенства, определяющего ву:
, д 0, fi[x,y-L......y},yj^,...)—fi{x,yb...,y},~y^x....)
^ц[х, ^ук) =	---------------------
Уз~Уз
где числитель и знаменатель непрерывны и знаменатель =^0; если же раз-
ность у.—у, стремится к нулю при х->х, &ук-> &ук, то а., в силу нспре-
J dft
рывности по отношению к совокупности аргументов, стремится к зна-
' “Уз	~
.,У}-1,У), 3'yt-b---)
---------— ----------- . Заметим, что, в частности, ац
дУз
непрерывны при Ду,. = 0 и что (х, 0) =	‘"V.
Разделив, далее, обе части преобразованных указанным способом ра-
венств (36") на Дуд, мы получим следующие равенства:
чепию
У1___у± j
\ Ьуъ /V , . о, З'з — -
4=1	J к
(37)
dx
§ 31
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ
301
Мы рассматриваем теперь систему (37) как систему линейных уравнений,
в которой искомыми функциями являются: ————^2;
tyk *У°к
выражения (х, Ду^.) рассматриваем как известные функции х и пара-
метра Ду?. (мы имеем на это право, так как решения (36) и (36') предпо-
лагаются известными). По доказанному, эти коэффициенты непрерывно зави-
сят от параметра Д_у^ при достаточно малом | Ду^|. Начальные условия для
искомых функций, очевидно, таковы:
при i ft:
при i = k\
'yt-yt\ _У°<~У*
у ЬУь
'Ук-УЛ _ ЬУк ,
V *Ук к =
(А)
Мы вправе применить доказанную выше лемму: решения системы (37) также
непрерывно зависят от параметра Ду^, и, в частности, для них существуют
предельные значения:
s .................................. (38)
'>Ук
Мы доказали существование производных (38) в любой точке (х0, jyJ,у°)
области D', т. е. во всей этой области; эти производные удовлетворяют
системе однородных линейных уравнений:
п
....»). ™
У=1
причём вместо _yi,..., уп надо подставить в правые части их значения (36).
Система (39) — одна и та же для всех групп производных:
дУг ду.2
дУ°к' Эу°к.........
4^ (*=1,2,..., я);
дУк
чтобы получить производные для данного k, надо взять начальные условия:
при х — xoz° — 0, и 4 = 1- Очевидно, в силу однозначности решений
системы (39), этими начальными условиями соответствующие производные
вполне определяются; являясь решениями системы линейных уравнений,
ду^
производные —~г оказываются тем самым непрерывными функциями от
дУк
х, xQ, у"...у°п.
Для доказательства существования производных от решения (36) по xQ
поступаем аналогично: пусть
Л = ь(х’> хо + д*0> У1....Уп)-
302
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Тогда мы находим:
d У*~У{
dx Дх0
= {л (-V. У1. • •.. у*п) -fi (*• л- • ••< Уп) |	=
= 2 (-х' Дх°)
Дх0
где fyy(x, Дх0) определяются аналогично тому, как выше были определены
(х, Д_)4)- Опять Ь^{х, Дх0) оказываются непрерывными функциями от
параметра Дх0, при [Дх0| достаточно малом, причём lim (х, Дх0) =
Дх‘->0
= dfr(x, , уп)~ и м применяя лемму, доказываем существование
частных производных
дУ1 дУъ дУп
дх0 ’ дха ’''” дх0 ’
причём эти производные удовлетворяют той же системе линейных уравне-
ний (39). Выясним начальные условия, которым эти функции удовлетворяют.
Мы неоднократно уже заменяли систему дифференциальных уравнений (4)
вместе с начальными данными системой интегральных уравнений,
х
У1=у°+ //{(х>У1’---’Уп)ах	(2 = 1, 2,..., п).	(4х)
Если сюда подставить вместо уь ..., уп их значения (36), мы получим
тождества; дифференцируя эти тождества по х0 (по доказанному, эта опе-
рация законна), мы получаем:
дуг, = _ f (х v0 v0, , f у dft(x,yb...,y_n) dyj dx
dx0	o’№ •.->»)+J	dy}	dx0 ’12
j=i
откуда при x = xo
(dx^o= ~fi (x<” ...(l 11 2.........n)’
Таковы начальные значения функций zt при х = х0, которые надо взять
в системе (39), чтобы получить производные — Теорема доказана
(/ATq
ПОЛНОСТЬЮ.
Примечание 1. Систему линейных уравнений (39) можно получить
формально, подставив решения (36) в уравнения (4), дифференцируя полу-
ченные тождества по хоу°,...,у^ и обозначая частные производные от у
по одному из этих параметров через z{. Однако, для того чтобы иметь право
на такую операцию, надо предварительно доказать существование частных
производных от у,- по параметрам и возможность менять порядок дифферен-
д dyt d ду<
цирования: —т-	—-------.
дук dx dx ду°к
Примечание 2. Если правые части уравнений (4), кроме переменных,
зависят ещё от параметра X, т. е. имеют вид (33), причём эти правые части
§ 3]
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ
303
допускают непрерывные частные производные не только по yi,--.,yn,
но также по параметру X для X, < X Х2, то в таком случае решения (35')
допускают также частные производные по X.
В самом деле, этот случай легко сводится к разобранному в доказанной
теореме; для этого дополним систему (33) (п -ф- 1)-м уравнением — = 0 с на-
чальным значением X = Хо при х — хй. Тогда, в силу теоремы, решения этой
новой системы, даваемые формулами (35') и формулой X = Хо, допускают
производные по начальным значениям, в частности по Хо (при любом значе-
нии Хо в рассматриваемом интервале, т. е. по X, Xi X Х2). Система линей-
ных уравнений, соответствующая в этом случае системе (39), очевидно,
имеет вид:
п
+	(/ = 1, 2,..., я)	(39х)
dx ду .< 1 ‘ дк	7
/ = 1
/	ЗХ ЗХ0 _
I так как	= 1 • Здесь мы имеем систему неоднородных ли-
\	дл0 оХ0 )
н е й н ы х уравнений. Печальные значения, если у% являются численными
постоянными, суть: г° = г2 =...= г® = 0..Можно рассматривать ещё более
общий случай, когда у° являются (дифференцируемыми) функциями пара-
метра X, у? = ФДХ). В этом случае удовлетворяют той же системе (39х)
с начальными условиями: г® =	(X) при х = х0. Распространение этих
утверждений на случай любого числа параметров X, р.,... очевидно.
Примечание 3. Для случая одного уравнения
dy __
dx —’
fix, у)
с общим решением у = <р (х; х0, у о) вместо системы (39) получается одно
линейное уравнение:
da	df [х, (х; х0, _у0)]
dx	ду
Интегрируя его с начальными условиями л0 = 1 или z0 = —f(x0, _у0) при
ду ду
х = х0, мы получим явные выражения для и в виде:
Ж	X
f /и(ж't	г/»))	f fvix'> t vo>)
SC-г-	
ОУо	OX0
Примечание 4. Возьмём какое-нибудь частное решение системы (4),
полученное из формул (36) при определённых начальных значениях х = х0,
у°1=у[,.... Уп~Уп, и обозначим его через
У1 = <Р1 U). у2 — ?2 UX • • • - Уп = (*)•	(40)
304
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Назовём, как это принято в вариационном исчислении, вариациями функ-
ций _у2,..., уп значения их производных по параметру а, равному х0 или
или .у® [или X, в случае системы (33)], при начальном значении пара-
метра а = а0 [T. е. при лг0 = х0 или у° = у°, ..., у^ =~у9п (или X = л0)]. Вводя
для вариации символ 6, имеем:
®0=®0' у^у
о
Очевидно, вариации удовлетворяют системе (39), которая в этом слу-
чае напишется так:
п	_ _________
W£))s	(/=1,2,..., п).	(39")
dx	dv.-	!	'	’	’	'	'
Уравнения (39") [а также иногда уравнения (39)] называются уравне-
ниями в вариациях.
Если правые части зависят также от X и параметр а есть X, то уравне-
ния в вариациях принимают вид:
п
(/ = 1, 2,...,«).
dx 4*4 дул ' дк
i=i
Уравнения (39") позволяют вычислять вариации интегрированием системы (39"),
если известно одно частное решение (40). Решения системы (39") имеют про-
стое геометрическое значение. Если а0 — значение параметра, дающее реше-
ние (40), то решение, соответствующее значению параметра я0 + da с точностью
до бесконечно малых порядка выше первого относительно da, будет:
У^Х, +	da=yi(x)+Zyi(x)da (i = 1, 2, ..., n).
Таким образом, вариации Zyt (х), умноженные на дифференциал пара-
метра, дают главную часть приращения при переходе от решения (40),
к бесконечно близкому решению.
Примечание 5. Имеет место теорема:
Если функции fi(x, У1, у.2,..., уп) допускают т непрерывных част-
ных производных по совокупности переменных ylt у2, .... уп, то решения
имеют все частные производные т-го порядка по у°, _у°, ..., и те произ-
водные т-го порядка по х0, у[, ..., у°п, где дифференцирование по х0 вхо-
дит один раз-, если, кроме того, f( допускают р — 1 непрерывных произ-
водных по х(р^т), то решения имеют все производные т-го порядка
по xQ, у®, ..., y^i в которых дифференцирование по х0 производится не
более р раз.
Мы проведём доказательство для т = 2. Рассмотрим систему гп
уравнений:
п .
	л>.	(А)
м-л.......................ЛКЛ	U У j
/=1
§ 3]
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПО НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ
305
Эта система распадается на две: систему (4) и систему (39). Интегрируя сна-
чала первую при начальных значениях х0, у®, ._у°, а затем вторую, в кото-
рую подставлены решения первой, причём в качестве начальных значений при
х ~ х0 взяты zi = 0 при I Z, zi — 1, мы, в силу предыдущего, получим
решения:
Уг =	(х< хо> У°...J'»)- г< = р; (Z = !, 2...........п).	(В)
°У1
Предположим, что ft допускают вторые непрерывные производные noj/j ..., уп
так как, кроме того, гг входят линейно в систему (А), то, подставив
в неё значения (В), мы для всей системы (А) можем составить уравнения
в вариациях;
dlzj __ у df{(x, ?г,у»)
dx ZJl ду,
(С)
(i = 1, 2........п).
Чтобы получить из системы (С) в качестве решений частные производные
от функций yv по у9к, мы, в силу предыдущего, должны взя ть начальные
значения при х = хи: = 0, Z=# k, Ъук = 1,	= 0 (Z = 1, 2,..., и). Систему
(С) с этими начальными условиями мы интегрируем опять, разбивая её
на две системы. Сначала из п первых уравнений определяем функции
Ъу(=^ (Z = 1, 2,..., ri). Подставляя эти значения в остальные п урав-
ду1
нений (С), получим систему линейных неоднородных уравнений;
dbZj = у dfj (х, уь ..., уп) 5г
ах = Zj---------- j
/=1
। у у Ifi> •••’ Тп) ^у/ dys
ду1ду* ду°
(Z =1, 2, ..., и).
Эта система при начальных значениях х = ха, Ъг( = 0 определит нам функции
bzi — (Z = 1, 2,..п). Вспоминая, что z, = -^4 , мы видим, что доказано
ду°к
существование вторых производных:
д2г(
dyfdyl
(Z, k, I = 1, 2,
, ri).
306
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Для нахождения смешанных вторых производных по_у° и пох0 (Z = 1, 2, ..п)
допустим сначала, что эти производные существуют; дифференцируя в этом
предположении равенство (4") на стр. 302 по _у°, получаем:
д2у{
дх0
X п
С V dft (х,	...,уп) д~у,
' >1 дУз дуогдхо
dft (х0, у°,...,
f v V d*fi(x- Ук •••’ Уп) дУз дУ^ , о
У 7.----------------------------—ndx (; = 1.2. .... л).
j	дУ.)дУ, дхо дУ1
о-п — х а —1
Если в эти соотношения вместо у{ подставить найденные решения (В) и про-
дифференцировать их по х, то мы получим последние п уравнений системы (С:;
при этом г( = —а символ S обозначает дифференцирование по х0. При-
дУг
соединяя ещё первые п уравнений
систему, которая, по предыдущему,
=-----(/= 1, 2,..., л); при этом
(С) с тем же смыслом В, мы получим
ду,: дг<
определит производные:	д—5 =
uXq OXq
из предыдущих интегральных соотно-
шений следует, что нужно взять начальные условия:
(8Л)о = —fi (хй, У1, .... у°п), (Ч)о =--( °’ ^’0 ‘"Уп) (/ = 1,2....п).
иУ1
л	д2у$
Таким образом, существование производных ----доказано, причем но-
дходу<
вых предположений относительно дифференцируемости функций не по-
требовалось.
Чтобы доказать существование производных ^7-, надо потребовать до-
полнительно существования непрерывных производных Интегрируя си-
стему (А) при начальных условиях: у(=у°, z{ =—f{ (х0, у°,	при
х = х0, получим, по йредыдущему, у( = tfz, zt =	(/ = 1, 2,..., n).
охр
Вариация системы (А) даёт систему, в которой п уравнений тождественны
с соответствующими уравнениями (С), а последние п уравнений будут:
У <^(х,	?п) у у d^tx, срг ...,Уп)
dx	ду.	ду.дуя дхойуз-
j = l	j	a=l:	3
Понимая в этой системе 6 как дифференцирование по хй, мы из первых п
уравнений при начальных условиях (6yJ0 = — fi (х0, у\,...,Уполучим:
8у£=-^ = -^
дх§ дхй
(z= 1, 2,..., л).
§ 4]
ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ
307
После этого последние п уравнений дадут: cz; =
__д2У{
дха дх2й'
если за на-
чальные условия взять
&г()0 — —
dfi (*р, у°, 
дх0
•У°п)
у dfi (х0, у°, у°п) 0	0
Н~	, о	f j ('’"o’ -У 1’ • • • ’ Уп) (г	1 > 2, • • •, п)
i=i
(эти условия можно найти, дифференцируя формально соотношения (4") на
стр. 302 по х0).
Рассматривая системы из Зя, ..., kn уравнений, аналогичные системе (А),
т. е. вводя наряду с у£ в качестве искомых функций их первые, вторые, ...
..., k-e производные по начальным условиям, мы докажем высказанную
теорему для производных порядка k. Подобная теорема имеет место также
для производных по параметру К, от которого могут зависеть как правые
части уравнений, так и начальные условия.
§ 4. Первые интегралы системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
1.	Рассмотрим систему уравнений:
•••’ У^’
^=МХ’	••• Л)> .
Л> ?2>
Мы предположим, что в некоторой замкнутой области D функ-
ции /2, ..fn и все их частные производные по у., у2, ..., уп
непрерывно зависят . от всех аргументов. Тогда применима теорема
существования и единственности (см. главу IV, § 1). Если точка
с координатами х0, _у°, у°, ..., у°п лежит внутри некоторой обла-
сти D', содержащейся в D, то существует одна и только одна си-
стема решений уравнений (4), удовлетворяющих начальным условиям:
Л=_У° ПРИ х = хо (*= 1, 2.........п).
Пусть эти решения будут:
л х0, у0,, Л •••> ХЛ
л = ъ(х; х0, л°> л°> •••> л°Л
(36)
уп = ъЛх'> *о> у1..........О-
308
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
В этих формулах мы явно указываем зависимость решения от
начальных данных х0, у®, ..., у?, которые мы принимаем за пара-
метры, могущие принимать различные значения.
В предыдущем параграфе мы доказали, что правые части ра-
венств (36) допускают непрерывные производные по х0, ф®, . ..,ф® .
Рассмотрим теперь в области D начальную точку (х0, ф°, . ..,ф®,)
и некоторую точку (х, у1г ..уп), лежащую на интегральной кри-
вой, проходящей через начальную точку. Значения х0, ф®, ..., у°,
с одной стороны, и значения х, yt, уп, с другой стороны, свя-
заны соотношениями (36). Если теперь принять точку (х, фр ...,фм)
за начальную, то, в силу свойства единственности, определённая этими
начальными . значениями интегральная кривая пройдёт через точку
(х0,	•••> Уп^' пРичём> очевидно, будут иметь место соотношения:
= х, У1, у2, .... уп),
У, = Ъ(хо> х> У1’ У2> > Уп)'
= х> У у У у •••> yj-
(41)
Формулы (41) показывают, что система уравнений (36) может
быть разрешена {однозначно в области D') относительно началь-
0	0 -о
ных значении фт, у2, уп, причём правые части допускают не-
прерывные частные производные по х, у1г у2, ..., уп.
Заменяя, как мы это делаем в теореме существования, началь-
ные значения у1г у2, ..., уп, через произвольные постоянные
С2.....Сп и давая параметру х0 определённое числовое значение, мы
получим совокупность уравнений вида:
(*, У1, У2, •••>	=
Ых< У* Уп) = С2, 
(42)
фп(*,	•••» Уп) = Сп-
Совокупность равенств (42) называется общим интегралом си-
стемы (4), а каждое из равенств (42) называется первым инте-
гралом этой системы *). Заметим, что левая часть каждого из этих
1)	Сравнивая формулы (41) и (36), мы видим, что уравнения (41) могут
быть разрешены относительно фр ...,ф„, причём, очевидно, для этих величин
получатся выражения (36). Отсюда следует, что и уравнения (42) разрешимы
относительно фг, ...,ф„, так как пх левые части отличаются от правых частей
уравнений (41) только обозначением — отсутствием явно показанного Хъ
который не играет в разрешении никакой роли. Получатся'выражения вида:
ф; = %(х, С„ С2,Сп) (Z=l, 2,..., п),	(36"')
причём следует помнить, что Ci = ф®. Эти формулы выражают то решение,
в котором при х — х0 функции у{ принимают значения фг-=фр отметим
ещё, что это — лишь иная запись формул (36).
§ 4]	ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ	309
равенств есть функция от независимого переменного и искомых
функций; из самого происхождения формул (42) следует, что эта
функция обращается в некоторую постоянную величину, если вместо
у}, у.э, уп поставить их выражения (36), т. е. любое решение
системы (4) (причём, очевидно, для разных решений значение этой
постоянной будет, вообще говоря, различное). Мы можем, таким об-
разом, дать два определения первого интеграла:
1)	Первыми интегралами системы (4) называются соотноше-
ния, полученные разрешением уравнений, дающих общее решение
системы, относительно произвольных постоянных.
Предыдущее рассуждение показывает, что такое разрешение
всегда возможно, если за произвольные постоянные
взять начальные значения искомых функций.
Очевидно, что это определение применимо лишь ко всей системе
соотношений (42). Поэтому мы дадим второе определение, харак-
теризующее каждый первый интеграл в отдельности.
2)	Первым интегралом системы называется соотношение, не
тождественно равное постоянному, содержащее в левой части
независимое переменное и искомые функции и принимающее посто-
янное значение, если вместо искомых функций подставить какое-
нибудь решение системы (4).
Заметим, что из этого последнего определения очевидно суще-
ствование бесконечного множества систем первых интегралов. В самом
деле, соотношение
фУх, • • •,	• • •, Ых, Ух,  ,	= с, (42')
где С есть произвольное постоянное, а Ф — произвольная непрерыв-
ная функция своих аргументов, также является первым интегралом си-
стемы (4), так как, подставляя вместо ур у2, ..., уп решения системы,
мы обращаем функции ф2, ..., tyn, а следовательно и Ф, в посто-
янные величины.
2.	Исходя из второго определения первых интегралов, можно
дать аналитический признак, характеризующий левую часть первого
интеграла. Мы предположили, что правые части данных уравнений (4)
допускают . непрерывные частные производные по _ур у2, ... , уп;
тогда, как доказано выше, правые части равенств (41) допу-
скают непрерывные частные производные по х, ур
у2, уп; мы можем рассматривать более общие соотношения
вида (42), причём мы всегда будем предполагать, что их левые части
допускают производные по х, ур у2, .. ., уп; это будет иметь место
всегда, если левые части равенств (42) получены из правых частей
равенств (41) формулами вида (42'), где Ф — функция, имеющая
непрерывные производные по всем своим аргументам.
Предположим, что в одном из первых интегралов
Ж Ух, •••, Уп) = С	(42")
310 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
на место ylt .. ., уп подставлено какое-нибудь решение системы (4);
тогда левая часть обратится в функцию от х, тождественно рав-
ную постоянной. Дифференцируя обе части этого тождества по х,
получаем:
— о	(431
дх ду{ dx ' '' ‘ ' дуп dx '	' '
Так как у1} уп суть решения системы (4), то производные
можно заменить в равенстве (43) равными им пра-
выми частями уравнений (4), и мы получим:
•••>	•••+/„(*, у» •••>	= f44)
В равенстве (44) у}, уп суть функции от х, являющиеся неко-
торым решением системы (4); таким образом, значения (х, у1г ...,уп)
в этом равенстве суть координаты точки (н -j- 1)-мерного простран-
ства, через которую проходит рассматриваемое решение. Но так как
результат дифференцирования равенства (42") не зависит от С, то
равенство (44) выполняется для точки (х, у,, ..., уи), лежащей на
любой интегральной кривой в рассматриваемой области.
Так как, по теореме существования, через каждую точку (х0,у°, .. . ,_у°г)
этой области проходит интегральная кривая, то, следовательно, равен-
ство (44) имеет место для любой точки рассматриваемой области,
т. е. тождественно по х, ylt ..., уп. Итак, левая часть каж-
дого первого интеграла удовлетворяет тождественно соотношению (44).
Пусть, обратно, некоторая функция обращает уравнение (44)
в тождество; тогда вдоль любой интегральной кривой системы (4)
имеет место равенство (43), а следовательно, и равенство (42").
Таким образом, вдоль каждой интегральной кривой функция б при-
нимает постоянное значение.
Итак, равенство (44) есть необходимое и достаточное условие
для mow, чтобы уравнение (42") представляло первый интеграл.
Иногда свойство первого интеграла, выражаемое равенством (44),
формулируют так: производная от левой части первого интеграла
обращается в нуль в силу данной системы дифференциальных урав-
нений.
3.	Если нам удастся каким-нибудь способом найти п независимых
первых интегралов системы (4), т. е. таких, которые можно разре-
шить относительно уг, у2, ..., уп, то разрешение их даёт выражение
y)t у2, ..., уп через х и п произвольных постоянных С19 С2, ..., Сп.
Эти выражения дадут нам общее решение системы (4).
В самом деле, условие независимости интегралов (42) означает,
, D (4<, <Ь,,...
что якобиан т~---------не равен нулю тождественно; пусть
и (4'1, >2, •  Уп)
система значений х0, у®, ..., уп даёт ему отличное от нуля значе-
§ 4]	ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ	311
ние. Тогда в окрестности этих значений уг, у2, уп являются
однозначными непрерывными функциями от Ср С2, Сп и от х.
Задавая начальные значения лг0 и у°, у%, уп, в достаточной бли-
зости от yi, У2, ..у» и обозначая соответствующие значения по-
стоянных через Сп С2, ..., Сп, мы видим, что эти значения постоян-
ных определяют решение системы (4): yt — <pj (х, Сь С2,	С^),...
•••> Уп = ^п(х1	^2, •••> которое при х = х0 принимает
наперёд заданные начальные значения у[, уй>, ..у’п- А это и есть
критерий для общего решения.
Таким образом, знание п (независимых) первых интегралов рав-
носильно интеграции системы (4).
Если нам известен один первый интеграл системы:
уи ..уп) = С,
то из него можно выразить одну из искомых функций, например уп,
через х, остальные искомые функции и произвольное постоянное С:
у1г ..., y„_i; С);
внося это выражение в первое, второе, ..., (п—1)-е уравнение
системы (4), мы придём к системе п—1 уравнений с п—1 иско-
мыми функциями; таким образом, порядок системы понижается на
единицу. Производя интеграцию новой системы (п—1)-го порядка,
мы введём п — 1 произвольных постоянных, которые вместе с С дадут
систему п произвольных постоянных, т. е. мы получили общее реше-
ние системы (4). Аналогично, если нам известны k независимых пер-
вых интегралов, то порядок системы понижается на k единиц.
Пример 8. Рассмотрим систему:
Её общее решение есть: х = A cos (/-}-а), у = A sin (t-ф- а) (А и а —
произвольные постоянные). Очевидно, что соотношение х2-^-у2 = С
является первым интегралом этой системы. В самом деле, полная
производная по t от левой части, в силу уравнений системы, будет:
2х	+ 2у lit	2ху ~~ 2ух = °-
Первым интегралом будет также соотношение Ф (х2у2) — С, где
Ф — произвольная (дифференцируемая) функция.
Пример 9. В теории движения твёрдого тела встречается
система уравнений:
A^=(B-C)qr, B^==(C-A)rp, C^(A-B)pq,
312 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
где А~^> ВС > 0 — заданные постоянные (главные моменты инер-
ции тела), а искомые функции р, q, г — составляющие вектора мгно-
венной скорости.
Умножая уравнения соответственно на р, q, г и складывая, получим:
+ ^5+С/-£ = °-
Левая часть есть полный дифференциал; интеграция его даёт:
Ар2 4- Bq2 -f- Cr2 = т2
(т— произвольная постоянная) — один первый интеграл уравнения.
Умножая уравнения на Ар, Bq, Cr и складывая, находим:
откуда получаем другой первый интеграл:
^2p2-j-5V + ^2r2 = «2
(п— произвольная постоянная). Других интегралов,' не зависимых от
этих двух и не содержащих явно t, наша система, очевидно, не имеет.
По общей теории, мы можем воспользоваться этими интегралами,
чтобы понизить порядок системы до первого. Предполагая А > В > С,
разрешаем два полученных соотношения относительно р2, q2\ имеем:
/У- = ar2 -f- a, q2 — — $r2 -j- b,
С (В — С) . „ „ С (А — С) . п
где а = -—у---4	>0,	3 =	4 >	0,	и постоянные величины а
А (А —В) ’	1	В (А—В)	’
и Ь, завися от произвольных постоянных т2 и п2, сами являются
произвольными.
Внося значения р и q в третье уравнение системы, получаем:
•J- =	( ~	;
это —уравнение с разделяющимися переменными, и решение полу-
чается квадратурой в эллиптических функциях.
Метод, которым мы нашли первые интегралы для указанного при-
мера, заключается в том, что мы подбираем такие комбинации левых
частей уравнений, которые представляют полные производные по t,
причём правая часть обращается в нуль; приравнивая соответствующие
первообразные функции постоянным, мы получаем первые интегралы.
§ 5. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений.
1. Соотношения (42), дающие общий интеграл системы (4), имеют
ту особенность, что в них независимые и зависимые переменные
входят равноправно. Таким образом, эти соотношения сохраняют свою
силу, если мы выберем в качестве независимого переменного одну
§ 5]
СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ
313
из функций у{. Соответствующая замена переменных изменит форму
системы (4), так как в неё входят производные; но если написать
данные уравнения при помощи дифференциалов (первого порядка),
то, по известному их свойству, система в этой форме сохраняет свою
силу при любой замене переменных, в частности, вышеуказанного
типа. Итак, мы можем написать систему (4) в виде:
dx 	dyx	__
1 — Л (х, yv у2.....уп) —
____________фУз__________	____________dyn....,
(х, уь у.,.......................................уп) ' • ' fn (х,	у.,,	уф ’
Эта система останется равносильною первоначальной, если все зна-
менатели умножить на один и тот же множитель (при этом надо
ограничиться рассмотрением тех областей, где этот множитель не
обращается в нуль). Поэтому мы можем предположить, что и стоя-
щий вначале дифференциал dx имеет в знаменателе не единицу, а
некоторую функцию. Тогда несимметрия переменных останется только
в обозначениях. Делаем последний шаг: вместо переменных х, ylf
у2, уп пишем переменные х2, ..., хп (для простоты письма
число переменных мы будем обозначать через н, а не
Система дифференциальных уравнений в симметричной форме
имеет вид'.
dxy ___	dx.,___	__ ______________dxn_______ (46)
-Vj (хр X2, .  ., Хп) Х2	Х2* * • • » Хф	Хп (Xj, X'2t • • ., хф
Общий интеграл этой системы запишется в виде:
4*1 (xi> х2> •••> хп) ~ ^i> Фе (xi> х2> •••> хп) = С2,... I ("40)
•  • > Фп — 1 (-^1> Х:Х> • • •, хп)	>
Так как мы желаем иметь возможность принять любое из переменных
за независимое, а всё остальное—за искомые функции, то естественно
требовать от функции непрерывности и существования непрерыв-
ных частных производных по всем аргументам хр х2, .... хп.
Чтобы перейти от симметричной системы (45) к системе вида (4),
надо назначить одно из переменных, например хп, в качестве неза-
висимого. Систему перепишем в виде:
dxy __Ху (х-р х2...xn) dx2 ____Х2 dxn—y ____________ хп—i (45z)
dxft Xn (xt, x.j, ..., x,;) dxn Xn	dxn	Xn
При этом, чтобы не нарушалась непрерывность правых частей.,
необходимо при начальных значениях х°у, х2, ..., х„ иметь
Х„ (х?, х°, ..., х„) ф 0.
314 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Если же данные начальные значения обращают в нуль Хп, мы
можем взять за независимое переменное такое xit чтобы соответствую-
щая функция Xt не обращалась в нуль. Правые части системы вида
(45') могут оказаться разрывными при любом выборе независимого
0	0	о
переменного лишь в том случае, если начальные значения х,, х->, ..., хп
обращают в нуль все функции Х{:
Xj(xb х2,..., хп) = Х.2(х1, х2, ..., х,>)=...
vr , О О	О' п
... =Х,г (Х1, х2, ..., хп) = 0.
Такие начальные значения называются особыми начальными зна-
чениями-, они соответствуют особым точкам системы (45). Очевидно,
к особым начальным значениям неприменимо доказательство Пикара
существования и единственности решения. Мы будем исключать осо-
бые точки из рассматриваемой области.
Аналитическое условие того, чтобы каждый интеграл из числа
интегралов (46) или вообще любое соотношение вида
ф(х1( х2, ..., хп) = С	(46')
являлось первым интегралом системы, получается следующим образом.
Вдоль интегральной кривой системы функция ф сохраняет постоян-
ное значение; следовательно, её полный дифференциал, взятый вдоль
этой кривой, равен нулю:
5ф ,	. дЪ	। дф , п
dx, -4-s-i- dx2	dx„ = 0.
дх, 1 1 дх2 1 1	1 дхп п
Но вдоль интегральной кривой дифференциалы dx{, в силу урав-
нений (45), пропорциональны значениям функций Х{; следовательно,
вдоль каждой интегральной кривой имеем:
^1^1’ х2, •••,	•••+^3^ — °- (47)
Повторяя рассуждения предыдущего параграфа, мы заметим, что
соотношение (47) выведено для значений х„ х2, ..., хп, предста-
вляющих (переменную) точку некоторой интегральной кривой. Но
так как это равенство справедливо для любого значения постоян-
ного С в формуле (46'), то равенство (47) выполняется для точек
любой интегральной кривой. Отсюда следует, так как через каждую
точку рассматриваемой области проходит интегральная кривая, что
соотношение (47) для левой части первого интеграла выполняется
тождественно и что, обратно, всякая функция ф, удовлетворяю-
щая тождественно уравнению (47), даёт первый интеграл, если
её приравнять произвольному постоянному.
Геометрически решение системы (45), заданное общим интегра-
лом (46), можно рассматривать как многообразие одного измерения
§ 5]	СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ	315
(«интегральная кривая»), определённое пересечением п—1 много-
образий п — 1 измерений = С{ (z = 1, 2, ..., п—1) («гиперпо-
верхности п—1 измерений» в н-мерном пространстве х1г х.2, хп);
семейство интегральных кривых зависит от п — 1 параметров Q,
С2, ..., Сп_у, каждое семейство гиперповерхностей зависит от одного
параметра.
2. Приведение системы уравнений к симметричной форме часто
оказывается полезным для разыскания первых интегралов. Написав
уравнения в дифференциальной форме (45), мы ищем такие комбина-
ции членов равенств (45), линейные относительно дифференциалов,
чтобы в левой части стоял полный дифференциал, а в правой—нуль.
Интегрируя этот полный дифференциал и приравнивая результат
постоянному, получаем первый интеграл. Если таким путём найдено
п—1 интегралов, мы получаем общий интеграл, эквивалентный
общему решению; если найдено п — 2 интегралов, задача нахождения
общего решения сводится к интегрированию дифференциального урав-
нения первого порядка.
Пример 10. (г—y)2~^- = z, (z—у)2—у. Пишем систему
в симметричной форме:
dx dy _ dz
(z^yyi— z ~~ у '
Два последних члена этих равенств дают интегрируемую комбинацию:
у dy — zdz = Q,
откуда первый интеграл: у2 — z2=--Cs.
Далее, приравнивая первое отношение отношению разности пре-
дыдущих и последующих членов двух последних отношений, имеем:
(z-^y = ~^Zy > или dx-\-(z — у) {dz — dy) = 0,
откуда — другой первый интеграл
2x-\-{z—y)2 = Cv
Задача интегрирования закончена. Впрочем, благодаря делению на
{у — z)2, мы потеряли семейство решений, зависящее от одного
параметра: х=С, y — z] эти решения не существуют, если незави-
симым переменным назначить х.
т •	1. dy , I dz I
Пример И. -<-= I---------, —=--------. Пишем систему в виде:
1	1 dx	z dx у — х	J
,	, dx dx ,
dy — dx —-------, -----= dz\
z у — X ’
перемножая, получим интегрируемую комбинацию:
dy — dx । dz_____
у — x
z
316
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
откуда (у— x)z = C,. Для дальнейшей интеграции определяем г:
Ct	,
и вносим в первое уравнение; получаем: dy — dx —
dx(y— х) ,	, тт „ ~	,
=--------------, или (у — х) == С2. Отсюда находим общее реше-
ние: у = Спв-4-х, 2 = ^ес‘. Заметим, что соотношение, содержа-
щее С2, не является первым интегралом, так как оно содержит также
произвольное постоянное Су, чтобы получить из него первый инте-
грал, надо из первого соотношения выразить Ct через х, у, г и
подставить во второе; получим:
(у — х) ег(г/-^) = с2.
Примечание !. В п. 4 §
вали динамическую систему:
dx\ v /	\
(*], х2> • • • > Хп)> •
1 настоящей главы мы рассматри-
d х
= Xn(xv х2, ..хп), (6')
причём интерпретировали t как время. Для нахождения траек-
торий мы исключали dt из системы (6'); получаемую таким обра-
зом систему целесообразно написать в симметричной форме, так как
все величины хр х2, ..., хп, представляющие координаты точек,
в этой интерпретации равноправны. Полученная система вида
dx, dx-y	dx*}	.,
= Т‘ =	'' • =	x	<45)
Л1 л2	лп
имеет n — 1 первых интегралов (46), которые, очевидно, будут
также интегралами системы (6'). Таким образом, система (6'), в ко-
торой правые части не зависят от времени, допускает п—1 инте-
гралов, не зависящих от времени. В примере 9 мы нашли для системы
третьего порядка два интеграла, не зависящих от времени.
Обратно, если дана система вида (45), то вместо того, чтобы
назначать в качестве независимого переменного одну из величин xit
можно приравнять все равные между собой отношения дифферен-
циалу нового независимого переменного t:
dx-, dXr>	dx„ ,,
— = —- = = —- = dt-
Xi x.2 • • ‘ Xn
в результате мы получаем систему вида (6'). Если в формулах,
дающих решение системы (6'), мы выразим t через одну из пере-
менных хг-, например через хп, и вставим это выражение в значе-
ния функций Xj, х2, ..., xra_j, то получим решение системы (45).
Если такого исключения не производить, то мы получим интеграль-
ные кривые системы (45), выраженные в функции параметра t.
Примечание 2. Существование первых интегралов (однозначных и
непрерывных) мы доказываем только для достаточно малой области, в кото-
§ 61
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
317
рой определённые по теореме существования неявные функции остаются
однозначными. Для всей области, в которой определены интегральные кривые
системы, первые интегралы могут и не существовать. Рассмотрим следующий
простой пример. Система
dx dy
dt~x' ~di~y
имеет общее решение х = хйе1, у=уое*, в частности, при хо=у0 = О,
х =_у = 0. Интегральные кривые заполняют плоскость. Но эта система не
может иметь интеграла, не зависящего от времени и непрерывного во всей
плоскости. В самом деле, такой интеграл имеет постоянное значение вдоль
всякого решения, а так как каждое решение (не равное нулю тождественно)
имеет пределом при /-> — со значения х = 0, у = 0, то это же постоянное
значение интеграл должен принимать в силу непрерывности в точке (0, 0);
следовательно, в силу однозначности в точке (0,0), это постоянное значение
должно быть одно и то же для всех интегральных кривых, т. е. левая часть
интеграла была бы тождественно равна постоянной, что противоречит опре-
делению первого интеграла. Между тем во всякой области, не содержащей
точек оси Ох, система имеет первый интеграл (однозначный и непрерывный)
—- = С; если же взять интеграл	—С того же уравнения, то он будет
непрерывен в областях, не содержащих точки (0, 0).
ЗАДАЧИ.
Найти общее решение (или общий интеграл) систем:
193.
194.
195.
196.
dx _ dy _ dz
y-\-Z~ z+x X-}-y ’
dx _ dy ____________________ dz
x (.У2 + z2) ~~ — У (z2 z (x2 +y2) ’
dx _ dy _	dz_________
x(.x+y)~ —y(x+y)~(x — y)(2x+2y+z)'
dx x—у dy x—у dz	, ,
dt	z — t ’ dt	z — t ’ dt	~
§ 6. Устойчивость по Ляпунову.
Теорема об устойчивости по первому приближению *).
1. .Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений
Х1 > Х2> • • ч хп)>	(48)
где предположим непрерывными (Z, /= 1, 2, ..п). Будем интер-
претировать х1г х2, ..., хп как координаты движущейся точки,
a t, Zo Z < оо, как время.
Каждое частное решение системы (48) будем называть движением.
Рассмотрим движение, определённое начальными данными:
J=Z0> Xi = xl, т. е.	(49)
хг = х,.(Г; ta, х2, х°, .... х’)	(Z=l, 2, ..., и).
1) Для понимания этого параграфа требуется ознакомление с § 3 и
с материалом, напечатанным мелким шрифтом в § 2.
318 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Определение. Движение (49) называется устойчивым по
Ляпунову, если для любого е > 0 найдётся такое 6>0, что как
только lx? — х°. I < 8. i = 1, ..., п, то
^о> xi’ Х2> •••> Хп) xi^> xi> •••> •Vn)l<^ е (50)
(Z = 1, .. ., п)
для. всех значений Z0<^Z<-|-oo.
Всякое движение, не являющееся устойчивым, называется
неустойчивым-, это означает, что существует такое е0>0, что
какое бы малое 6>0 ни было выбрано, всегда найдутся значения
(х®, х®, ..., х®) и t— Т, что для некоторого i и этих Т будет
выполняться неравенство-.
I Xi. (Г> ^0> Л'1> • • • > О Xi (Т,	Х1’ • • • ’ *°) ।	Е0>
несмотря на то, что
| х® — X® I < 8 (k = 1, 2, ..., п).
Исследуемое движение, соответствующее начальным условиям /0,
х°, ..х„, Ляпунов называет невозмущённым, а движение с изме-
нёнными начальными условиями: /0, х®, х°—возмущённым дви-
жением. Таким образом, устойчивость невозмущённого движения
геометрически означает, что в любой данный момент времени t точка
траектории возмущённого движения находится в достаточно малой
окрестности соответствующей точки невозмущённого движения.
Перейдём теперь к координатам хр х2, ..., хп по формулам:
xt=	1» 2, .... и),	(51)
где для краткости мы положили хД/) = хД^, 10, х®, ..., х®); тогда
невозмущённое движение xi (г) перейдёт в невозмущённое движе-
ние в новых координатах x((^sO(i=l, 2, ..., п), т. е. в так
называемую точку покоя. Действительно, произведём замену пере-
менных (51) в уравнениях (48). Имеем:
+ 4 (** (0) = (Z; Xj +xt (0, ..., хп + х„ (0).
Разлагая правые части последних равенств в ряд Тейлора по х4
вплоть до членов первого порядка, получим:
(О) = ('; xi(0, ...,хп(0+
п
+ 2 х™ Х1 + Ml, ..., *„(/) + 9^ге).
Ш = 1
§ 6]	УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ	319
Так как хг(/) есть решение системы (48), то мы получаем:
_ П
(/) + й^1’ • • • ’ х-w <52>
т=1
Ранее было доказано (см. стр. 298), что коэффициенты при хт
в правой части равенства (52) являются непрерывными функциями.
Этой системе с начальными условиями х° = 0 (г = 1, 2, ..., п)
удовлетворяет решение x,;(Z)=O (z=l, 2, ..., ri), что и доказы-
вает наше утверждение.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что преобразование
уже совершилось, и будем рассматривать устойчивость по Ляпунову
тривиального решения'. xY(Z)=0 (z=l, 2, ..., и).
Условия (50), определяющие устойчивость, означают теперь, что
траектория возмущённого движения не выходит при Zo Z < со
из е-окрестности точки покоя.
В дальнейшем нас будут интересовать качественные критерии
устойчивости по Ляпунову: и теоретически и для практических при-
ложений важны лишь те случаи, когда мы, не умея интегрировать
систему (48), можем, тем не менее, делать заключения об устойчи-
вости невозмущённого движения.
2. Предположим, что функции Xt допускают непрерывные произ-
водные первого порядка по xt и что эти производные являются
постоянными вдоль тривиального решения, т. е.
dXt (Z, 0, 0, ..0)	,	/ .-	1 о	х
—		---’—± = ац = const. (z, / = 1, 2, ..., л).
В сделанных предположениях функции Xi могут быть представлены
в виде:
х1} ..., хи) = 2	+ АГр ..., хп),
3 = 1
где о,-— бесконечно малые порядка выше первого в окрестности
g точки Xj = х2 = ... = хп — 0. Система (48) примет вид:
п
+	*i> .... хп) (/=1, 2........./г).	(53)
J=i
Если в системе (53) отбросить члены порядка выше первого, го
полученная система линейных дифференциальных уравнений с посто-
янными коэффициентами:
п
^=^aijXj 0=1, 2, ...,«),	(54)
>=i
320
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VH
называется системой первого приближения для нелинейной си-
стемы (53), а значит, при сделанных предположениях, и для
системы (48).
Можно рассматривать уравнения (54) и как систему уравнений
в вариациях (см. § 3 настоящей главы, стр. 304) для системы (48)
в окрестности её тривиального решения.
До Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости огра-
ничивались в основном изучением устойчивости в первом приближе-
нии, считая полученный результат разрешающим вопрос об устой-
чивости и основной нелинейной системы (48).
Ляпунов первый показал, что в общем случае такое заключение
неверно; с другой стороны, он даёт ряд примеров нелинейных си-
стем (48), для которых вопрос об устойчивости разрешается до
конца по первому приближению.
3. Рассмотрим сначала случай, когда все корни характеристиче-
ского уравнения первого приближения, т. е. системы (54), простые,
или по крайней мере все элементарные делители матрицы коэффи-
циентов системы (54) простые. Тогда существует неособое линейное
преобразование:
У; = 2 aikxk ('=1,2...........п},	(55)
Й=1
приводящее систему (54) к диагональной форме. Применим теперь
это преобразование к системе (53), тогда эта система примет вид:
<^ = ^iyt+'?i(t, У„ Уз........Уп),
= ^зУз + (z> У1> Уз, Уп),
=	+	У1, Уз, •••» Уп),
где Л1? Л2, ..., Ап — корни характеристического уравнения си-
стемы (54), а <р*(/, 7; у2, уп) определяются равенствами:
п
У1, Уз, •••>yB)==S <Wk(l, *i> •••> хп) (57)
*	fc=i
(z= 1, 2,	п).
теорема. Если'. 1) все корни характеристического уравнения
первого приближения (54) отрицательны-,
2) все функции хи х2, хн) в системе (53)удовлетво-
ряют условию’
п 1
|»,(г, Хр х.2, ..., хи)|<Л1[2 *<]2+	(i=l, 2,	п), (А)
где М— некоторая постоянная, а а > 0;
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
321
§ 6]
3) все корни характеристического уравнения первого прибли-
жения (54) простые или по крайней мере элементарные делители
матрицы коэффициентов системы уравнений (54) простые, —
то тривиальное решение системы уравнений (53) устойчиво.
Доказательство. Условие 3) теоремы позволяет при помощи
неособого линейного преобразования (55) привести систему (53)
к виду (56).
Покажем предварительно, что функции уи у2, уп) из
системы (56) удовлетворяют условию (А). В самом деле, пусть а —
верхняя грань модулей коэффициентов ‘преобразования (55), т. е.
IMO (U = l, 2, ..., л).
Тогда, пользуясь равенством (57), получим:
I(Л У1> У* • • • > Уп) I = I 2 aik<?k*1, х2,  , Хп) I <
/Иа 2 (*1 “И • • • ~4* хп)1 ЛД (-V; -ф- х-j -ф- . . . -ф- ,v(t)2
к = 1
(г=1, 2, ..., П), (58)
где
= Man.
Но при всяком неособом преобразовании сумма квадратов старых
переменных не превосходит суммы квадратов новых переменных,
умноженных на некоторую постоянную. В самом деле, разрешим
равенства (55) относительно переменных ху.
п
•’Л = 2 $ыУк,	(59)
и пусть р — верхняя грань |рЛ|, т. е. |	| 7 ,3 (/, k = 1, 2, ..., п),
тогда
^ = (2 fWJ2<!2 1МлП2<?22 2
к=1	к—1	к = 1 j = 1
- п п	п
< т 2 2	=п?2 2^-
к = 1 7=1	к^1
Здесь мы воспользовались известным неравенством:
, Ц ।	У к
Ы1л1<—о	
322 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Следовательно,
п	п
'2ixiУк)	(60)
? = 1	к—1
где
L = //2^3,
Отметим попутно, что
п	11
S У к	2 хк->	(61)
fc=l	fc=l
где
A, = n2a2.
Из неравенств (58) и (60) получаем требуемое неравенство;
У1’ Л» • • •• Уп> К М* { 2 У1)3 +\	(62)
kai
где
—+а
М* = Мг1У .
Теперь умножим первое уравнение системы (56) на уг, второе — на у.2
и т. д. и сложим их, тогда получим:
п	п	н
.... (63)
г = 1	i = l	i = l
По условию, все числа отрицательны; обозначим наибольшее
из них через—св и пусть
Л,1<лга_1< ...	= — ®; “ >о.	(64)
Теперь оценим сверху выражение, стоящее справа в равенстве (63).
В силу неравенств (62) и (64), получи":
п	п	п	ч	1
i = l	i=i	i=l	к=1
п 1
или, так как |_у J < { 2 У2к}2, то
к=1
п	п	п
i=l	fc=l
или
n	n	n
i=i	k=.i
§ 6]	УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ	323
Будем считать, что ук настолько малы, что
п 1
Z У к < { "2 яЛ4* } •	(66)
к = 1
Такое предположение допустимо, потому что в начальный момент
t=t0 величины ук можно предполагать как угодно малыми, в част-
ности удовлетворяющими неравенству (66), а в силу непрерывной
зависимости решений нашей системы от начальных условий, нера-
венство (66) будет иметь место в некоторой окрестности значе-
ния t — tq.
Тогда неравенство (65) перепишется так:
п	п
к=1	к=1
откуда, разделяя переменные и интегрируя от 10 до t, получим:
п
in [5 л (ОЦ, <—(t—tQ)
ИЛИ
п	п
2 у2к (О <	2 Л %)•	(67)
к-1	к = 1
п
Из неравенства (67) видно, что 2 Л W монотонно убывает и стре-
к=1
мится к нулю при t-+co. Поэтому, если неравенство (66) выпол-
нено в начальный момент /0, то это неравенство будет выполнено
при всех значениях	Следовательно, и неравенство (67) спра-
ведливо при всех t>t0, если только при t=tQ неравенство (66)
имело место.
Из неравенств (60) и (61) следует, что 68
(68)
fc=l	S=1
—, то | хк (?) | < е, а это и означает,
что тривиальное решение системы (53) устойчиво. Отметим также,
что, как видно из неравенства (68), все xk(t) стремятся к нулю
при t—> оо.
Таким образом, теорема доказана.
4. Рассмотрим теперь случай, когда среди элементарных делителей
матрицы коэффициентов системы (54) будут встречаться кратные.
Тогда существует неособое линейное преобразование, которое при-
ведёт систему (54) к нормальной форме (30J, ..(80J (см. стр. 293).
поэтому, если |xft(?0)|
324
СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Сделаем ещё одно линейное неособое преобразование, а именно,
положим;
=	(69)
Уп~2П>
где у — произвольное, не равное нулю число. Это число у будем
считать положительным; в дальнейшем оно будет выбрано достаточно
малым.
Таким образом, мы имеем неособое линейное преобразование:
(70)
к=1
приводящее систему (53) к виду:
= Vi +	ТЛ +	(А У1> • • •. Уп\
+	7У3 + Ъ А’ • • • ’
dye	*
—‘	(/, У1, ..., Уя),
^Уп — e^+t	-с
Л	~ ^кУп-ек + 1 + ТЛ»-еч. + г + ?«-₽А.+1 (А • • •> Уп\
~iy = ^kyn-i-t?n(.h Л, • • Уп)-
Здесь
п
с? (Z, Ур ..., Л,) = 2 (А *р • • •, *п) (к = 1, 2, ..., /:). (72)
к — 1
Замечание. Равенства (72) определяют функции ®* (/, ур ..., у )
также и в том случае, когда некоторые из чисел Л,-, а следовательно,
и а.ц и величины у{ комплексны. В самом деле, каждой данной
системе значений величин у{, в силу неособенное™ преобразова-
ния (70), соответствует единственная система значений лг,- (мы рас-
сматриваем такие значения у,-, которые соответствуют действительным
значениям х{), а системе значений xit в силу равенств (72), соответ-,
стьует определённое значение функций ®*(/, yv у2, ..., у„). Таким
§ 6]	устойчивость по Ляпунову	325
образом, установлена зависимость »((/, yt, у.» у^ от своих
аргументов.
Если некоторое Хг— комплексное число, то ему соответствует
некоторое с ним комплексно сопряжённое Ху = Хг-; тогда коэффициенты
преобразования, соответствующие корню Ху, будут комплексно сопря-
жены с коэффициентами преобразования, соответствующими корню Хг,
но равенства
У1=	(73)
к = 1
показывают, что комплексно сопряжённым значениям коэффициентов
преобразования соответствуют комплексно сопряжённые значения пере-
менных у{, поэтому
^(А	•••> 7»)= 5а«-?й(Л *t,	*») =
к=1
= '?*((, У1, У-2, •••> У и)-	(74)
теорема. Если 1) все корни характеристического уравнения
первого приближения (54) отрицательны,
2) все функции х{, х2, xlt) в системе' (53) удовле-
творяют условию (А),
то тривиальное решение системы (53) устойчиво.
Доказательство. Пусть система уравнений (53) приведена
к виду (71). Поскольку функции »*(/, _ур .. ., у.р выражаются линейно
с помощью формул (72) через ?г-Д, хг, ..., хД, то оценка (62)
имеет место и в этом случае, где аО|а,д-|. Пусть X,t^X„_j Д( .. .
Xj = — со, где со > 0. Умножая первое уравнение системы (71)
на второе — на у2 и т. д. и складывая их и затем заменяя все XA
через — со, мы получим неравенство
п
2 ~dt 2^
/=1
п	п	п
<~<o2^+'r2-v/-yi+<+S-Vi?*k7, 'у>’ ’	(75)
> = 1	/ = Х	/ = 1
где штрих у знака средней суммы означает, что при суммировании
выпускаются значения i = e,, ej-|-e2, ..., п — ek, п. Применяя нера-
венство (62) для (t, уг....д/м) и замечая, ч то
/ ।	। - А? + ,’Д+1
У/Уг+i < 1Л-Ж11 <----------
2
326 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
мы, усиливая неравенство (75), получим:
п	п	н	П	п	у+а
4• (76)
з = 1	4 = 1	4 = 1	4 = 1	4г=1
Выберем теперь положительное число у так, чтобы —“-bl было
отрицательным, и положим:
— ш у = — coj, где Wj > 0.
Последнее слагаемое в неравенстве (76) оцениваем так же, как
это было сделано при получении неравенства (65), тогда
п	п	п
4 = 1	4 = 1	fc = l
Неравенство (77) совершенно такое же, как и неравенство (65),
только положительное число со заменено положительным числом
«j — ш — у, поэтому, поскольку из неравенства (65) следовала устой-
чивость тривиального решения системы (53), то и из неравенства (77)
будет следовать устойчивость этого решения.
Тем же методом, каким мы доказали первые две теоремы, можно
доказать и следующую, их обобщающую теорему.
теорема. Если 1) все корни характеристического уравнения
для . первого приближения (54) имеют отрицательную действи-
тельную часть,
2) все функции <?( (t, xlt ..., хп) в системе (53) удовлетворяют
условию (А),
то тривиальное решение системы (53) устойчиво.
Доказательство. Пусть система уравнений (53) приведена
к виду (71). Наряду с системой (71) рассмотрим также систему:
ф = Mi + 7Л + ?! (*> Л> • • • > Я)>
^ = Г1Л + тл+?2^> Л’•••> л)>	(78\
^г==\л + %;(^ л> •••> л>
Из замечания в п. 4 следует, что система (78), с точностью до
нумерации, совпадает с системой (71).
Пусть —оз — наибольшая действительная часть корней характе-
ристического уравнения системы (54), т. е.
—где « > 0 1).	(79)
’) R (z) обозначает действительную часть числа z: если z = х + iy, то
R (г) = х.
§ 6]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
327
п	п	п ______
Заметим, что V Ы2 = 4 S = 2 У* ЧГ
г = 1	i= 1	г = I
тогда, пользуясь системами (71) и (78), получим:
dt ’
/=1
п	п	П
^2 1у<12== 22/?^1л'12 + ^2 йю
i — 1	i=l	7 = 1
n
+ 2[^'^(Z’ ^1’ ••’ Л)4~У-?Ж Я, •••> yn)}, (80)
-1 = 1
но ЛЛ+1-г7<+1Л<2 1ЛЛ+1 K|^i24-iji+i I2- -Пользуясь этим
оценкой (62) для »*(Z, yt, .. ., yn) и <р®(/, уг, . . ., уга), которая, оче-
видно, имеет место в нашем случае, и неравенством (79), мы найдём.
п
i=l
п	п	П	П
<-2ш £ |л. [2-{- 2Т	\у< |2 4- 2/И* 2 \У< ; £ iУ а р}' • (81)
ial	г = 1	?' = 1	?с=1
Выбрав -у достаточно малым, положив —co-j-I = — «р где Wj > О,
получим:
.Ё^ф-ЭДМ‘]- <•»>
г = 1	4 = 1	Й=1
Последнее неравенство совпадает с неравенством (77), только
все у/; заменены через ]>'» I 11 положительная величина имеет новое
значение, но эти обстоятельства на паши заключения об устойчивости
тривиального решения системы (53) не повлияют. Тем самым теорема
доказана.
5. Отметим ещё одну теорему, устанавливающую некоторые доста-
точные условия неустойчивости решения системы (53).
теорема. Если 1) хотя бы один корень характеристического
уравнения первого приближения (54) имеет положительную дей-
ствительную часть,
2) все функции <рг- (7,	.. ., хф, входящие в систему (53), удо-
влетворяют условию (А),
то тривиальное решение системы (53) неустойчиво.
Теорему докажем для случая, когда среди корней характеристи-
ческого уравнения системы (54) нет корней с действительной частью,
равной нулю.
328 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. VII
Будем считать, что система (53) приведена к виду (71). Пусть
А1( Л2, кт (/п>1)— все корни характеристического уравнения
системы (54) с положительной действительной частью, тогда корни
\и+1, •••! будут иметь действительную отрицательную часть.
Обозначим через а наименьшую действительную часть чисел:
^1> ^2> • • •> ^и»>	^m + l>	^wi+2> • • •>	^п"
Число а будет положительным,
а > 0.
т	п
Вычислим производную от выражения К— 5 |У( |2— 2
i = l
пользуясь системами (71) и (78), получим:
w	п	т	п
2 aa] = 227?^I^I2“ £ W<)№+
г = 1	4=т+1	2 = 1	< =
т	п
+ 1[2 CW+i+A+iA) — 2 (AA+i+a + A)] +
2 = 1	2=ж-Ь1
ш
+2 й®*-^1’ • • • > л?+ж & л, • • • > а)] —
2 = 1
п
— 2 (Ж*Л ’ • • • > л») +Ж ft > Ж-
г = т +1
Заменяя R (Xf) (z — 1, .. ., tri) и — R (л/) при i = т 1, ..., п
через а, вычитая модули слагаемых всех остальных сумм, пользуясь
при этом оценками так же, как это делалось при доказательстве пре-
дыдущей теоремы, получим:
п	п	п
2|л,2~2'1' 2i2~2/И*н{2ь|3}1+а>
Z = 1	i = l	f=I
или, считая у достаточно малым и обозначая а— -[ = а1 (величина Oj
будет положительной), получим:
п	П
2 МЖЙМ}- <83>
2=1	2=1
Если бы тривиальное решение системы (53), а следовательно, и си-
стемы (71) было устойчивым, то для всякого е > 0, в частности
1 /с
для е=	’ сУЩествовало бы такое 8, что при |_уг-(/0)[ <8
§ 6]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
329
(/=1,
Тогда
.п) имели бы место неравенства <s(f= 1,
. ., п).
п
£ы2
г = 1
1 / С1 \
2 \пМ)
и неравенство (83) можно было бы, усиливая, переписать так:
п	т	п
2 1л1!]
i=l	<=1	/=ш+1
ИЛИ
^_аЛ>0.	(84)
Умножив неравенство (84) на	получим:
^(е-’« (*-<«)/<)> 0,	(85)
откуда, интегрируя от tQ до t и заменяя /((/) его выражением,
найдём:
иг	п	tn	п
moi2>(д-ад[]>.•%)I2-2 иш)18]-
<s=l	f = m +1	г = 1	4 = m +1
т	п
Мы всегда можем считать, что 5|У«(^о) I2— 2 (МгСЛэ)!2—вели-
«=1	> = т+1
чина положительная; в частности, можем положить все у/(/о)==О
при	. ., п.
Тогда из неравенства (85) мы можем заключить, что по крайней
мере одна из величин |^(Z)| сделается больше выбранного е, каким
бы малым ни было 8, что противоречит предположению об устойчи-
вости тривиального решения. Тем самым теорема доказана.
ГЛАВА VIII.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
§ 1. Постановка задачи об интегрировании уравнений
с частными производными.
1. Пусть искомая функция z зависит от нескольких неза-
висимых переменны х: хг, х^, .. ., хп (п dy- 2).
Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые пере-
менные и частные производные от искомой функции, называется
уравнением с частными производными. Оно имеет вид:
р (	dz д'-z dsz	dkz \ „
'	dxj dxn dx\ Dxj dx.,	ox} '
Здесь F— данная функция своих аргументов.
Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение,
..взывается порядком уравнения с частными производными.
Наиболее общее уравнение С частными производными первого
порядка с п независимыми переменными может быть написано в форме:
с (	dz dz	r)z \	„	....
г z, х,, xQ,	. . ., x„, —,	-7—,	.. .,	=— = 0.	(1)
\ ’ i> 2>	’ «’ dxj ’	ox.,’	’	dxn)	K '
Часто употребляются упрощённые обозначения для производных пер-
вого порядка:
dz ~ dz ~	dz __
dx} ’ дх.,	'1 дхп ^п’
с их помощью уравнение (1) перепишется так:
F (г, х1; х2, . . ., хп, pv р2, .. ., рп) = 0.	(Г)
В случае двух независимых переменных часто поль-
зуются такими обозначениями: искомая функция г, независимые пере-
§ 1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
331
dz	dz	, „
мерные х и у, частные производные ~^=р, -^==q (обозначения
Монжа); тогда уравнение первого порядка напишется так:
или
F (х, у, г,
dz dz\
дх ’ ду)
F(x, у, г, р, <7) = 0.
(2)
(2')
В уравнение (1) или (2) могут не входить явно искомая функция,
независимые переменные; но если это — уравнение с частными про-
изводными первого порядка, то должна входить по крайней мере
одна частная производная (первого порядка).
Аналогично, наиболее общее уравнение с частными
производными второго порядка имеет вид:
е./	dz dz	dz
x„ x2,
.......д2г	^ = 0.	(3)
дх^ dx^x.2	dx“n /
Для вторых производных иногда также вводят обозначения:
(А *=1, 2, ..., п).
В этих обозначениях уравнение (3) перепишется так:
F(z, х1г х2, хп, Р1, р2, ..., рп, рп, р12,	/>,„,) = 0.	(3')
Наконец, в случае двух независимых переменных х, у для част-
ных производных второго порядка часто вводят обозначения Монжа:
d-z___ d'-z _________ д2г _____
дх2 Г’ дхду S’ ду-
В этих обозначениях наиболее общее уравнение в частных произ-
водных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид:
F (х, у, г, р, q, г, s, f) — 0.
(4)
Можно поставить самую общую задачу об интегрировании
системы уравнений в частных производных: имеем т
искомых функций 2j, г2, ..., zm от п независимых переменных хп
х2, ..., хп; дана система т уравнений, связывающих эти искомые
функции, независимые переменные и частные производные от иско-
мых функций:
^2> • • •> гт, Х1> Х2>  • •> Хп> > • • •>	1
д^1 ........^ = о (z = 1,
dxf dxj^dx2 dxj '
., /и)-
332	УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[гл. VIII
В такой общей постановке на пути к решению задачи сделано очень
мало: для определенных форм заданных уравнений были доказаны
теоремы существования [С. Ковалевская, Рикье и др.]. Эти теоремы
предполагали данные функции зависящими аналитически от своих
аргументов, и решения тоже отыскивались аналитические, в виде
степенных рядов. В последние годы И. Г. Петровский полу-
чил ряд общих результатов для систем дифференциальных уравнений
в частных производных без предположения об аналитичности урав-
нений и начальных данных. В нашем курсе мы не будем касаться
этого круга вопросов.
Следует ещё упомянуть, что приходится также встречаться
с системами, где число уравнений больше числа искомых
функций; мы встретимся в настоящем курсе с двумя уравнениями,
содержащими одну искомую функцию. Такие системы, вообще говоря,
оказываются несовместными, т. е. не существует системы функций,
удовлетворяющей всем уравнениям одновременно. Для существования
общих решений такой системы необходимо выполнение добавочных
условий; если эти условия оказываются также достаточными, то их
называют условиями совместности.
2.	Задачу решения или интегрирования уравнения с частными
производными можно поставить таким образом: найти все решения
данного уравнения. Естественно ожидать, что решений будет беско-
нечное множество, исходя хотя бы из таких соображений: обыкно-
венные дифференциальные уравнения можно формально рассматривать
как частный случай уравнений в частных производных, когда число
нешгисимых переменных /г=1; но всякое обыкновенное дифферен-
циальное уравнение имеет бесконечное множество решений (соответ-
ствующих. различным значениям произвольных постоянных); мы и
подавно вправе ожидать бесконечного числа решений от уравнения,
содержащего более одного независимого переменного. Предваритель-
ные указания на 'характер произвольных элементов, могущих входить
в решение уравнения в частных производных, мы можем получить
из рассмотрения отдельных частных случаев, где легко найти общее
решение.
Рассмотрим любое уравнение в частных производных первого
порядка с двумя независимыми переменными х и у, не содержа-
щее производной по у.
f(x, у, z,-^\ = Q.	(5)
dz
В уравнение входит только частная производная , при вычисле-
нии которой у рассматривается как постоянное. При постоянном
значении у уравнение (5) можно рассматривать как обыкновенное
дифференциальное уравнение с искомой функцией z и независимым
переменным х. Если давать у различные значения, то это обыкно-
§ 1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
333
венное уравнение будет изменяться; оно содержит у как параметр.
Пусть общее решение этого обыкновенного уравнения есть
г= © (х, у, С).	(6)
Оно, очевидно, содержит параметр у и, как легко видеть, является
при постоянном С решением уравнения (5). Но, для того чтобы
выражение (6) было решением уравнения (5), необходимо и доста-
точно, чтобы С было постоянным относительно х; следовательно,
оно может быть любой функцией от у, и мы получим наиболее
общее решение уравнения в частных производных (5), если под-
ставим на место С произвольную функцию от у, ф (у):
г = ©(х, у, ф(у)).
(6')
Итак, общее решение уравнения в частных производных первого
порядка вида (5) содержит одну произвольную функцию1).
Пример 1. z — рх — х2_у2 = 0. Пишем уравнение в виде
dz z >
—— ХУ и рассматриваем у как параметр. Мы имеем для z
линейное уравнение; его общее решение есть z ~ Сх — х2у2. Общее
решение уравнения в частных производных есть г = хф(у)— Х~У2
(ф — произвольная функция).
Естественно ожидать для уравнения второго порядка ещё боль-
шей степени произвола. Обратимся опять в этом случае к исследо-
ванию примеров.
Пример 2. Рассмотрим уравнение в частных производных
второю порядка:
. t,2z . — о
дх ду
тт	д I дг \ п
Написав его в видеJ == О, убеждаемся
висит от х; мы можем положить его равным
dz
от у: —-
- ду
dz
в том, что -г— не за-
ду
произвольной функции
— ХОО- Интегрируем последнее равенство по у; замечая,
что постоянная интеграции есть постоянная по отношению к у, т. е.
может быть любой функцией от х, и что J* ~f.(y)dy есть опять про-
извольная (дифференцируемая) функция от у, получаем общее реше-
ние данного уравнения:
г = © (х) ф (у),
1) Вхождение в решение произвольной непрерывной и дифференцируе-
мой функции эквивалентно наличию счётного множества произвольных
постоянных (параметров). Это проще всего показать на частном случае,
когда произвольная функция аналитическая. В таком случае в окрестности
правильной точки у0 функция ф (у) разлагается в ряд Тейлора ф (у) = а0 4-
+ «1 (У — Jo) + ••• + ««(У —Уо)” + • •где коэффициенты аа, аь ап-~
произвольные числа, подчинённые лишь условиям, чтобы ряд имел отличный
от нуля радиус сходимости.
334
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
где © и ф— произвольные функции, которые, конечно, должны быть
дифференцируемы, чтобы имел смысл результат подстановки в дан-
ное уравнение. В этом случае общее решение зависит от двух
произвольных функций.
d^z
Пример 3. Уравнение = 0 (предполагается, что г зависит
от х йоту); две интеграции дают: -^-==©(y), z = © (у) х -j- 6 (у),
где© и ф— произвольные (непрерывные) функции.
Из этих частных примеров, казалось бы, можно вывести заключе-
ние, что общее решение уравнения в частных производных первого
порядка зависит от одной произвольной функции, второго порядка—
от двух произвольных функций и т. д. Однако такое заключение
в общем случае оказывается недостаточно точным.
3.	Вспомним, что в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений критерием общности решения была возможность
получить из него все частные решения (по крайней мере
в некоторой области). При этом частное решение было определено
как решение, удовлетворяющее начальным данным Коши; теорема
существования утверждала существование таких решений и их одно-
значную определённость начальными данными. Естественно и для
уравнений в частных производных ввести такие добавочные данные,
которые (при некоторых условиях) определяли бы однозначно част-
ное решение. Такие системы данных, выделяющих частное решение
для уравнений в частных производных, могут быть различного типа;
с ними мы встречаемся в теории уравнений второго порядка, так
называемых уравнений математической физики. Для общей формаль-
ной теории уравнений с частными производными, в частности для
уравнений первого порядка, которые рассматриваются в настоящем
курсе, этими дополнительными данными являются начальные данные
Коши. Для одного уравнения m-vo порядка, разрешённого относи-
тельно одной из старших производных, вида
т—f(xl' х2> •••>хп> г> Л ..Л т-1’
дх™ \	дх± дх\
dz d2z ff-z	dmz \
дх2 ’ дхфх2 ’ дх2 ’	’ дх™ )
начальные условия имеют вид: при — х®
г =	...,хп),
dm-!z	,	,
— ?1 \х2* • • • > xn)t •  • 1	-1	?т-1 \х2> • • • > хп)>
(7)
(8)
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
335
§ 1]
где »0, cpj, ...,<рто_1 — заданные функции. Нахождение решения
уравнения (7), удовлетворяющего условиям (8), есть задача Коши.
Для уравнения (7) с начальными условиями Коши (8) существование
единственного решения доказано выдающимся русским математиком
С. В. Ковалевской, в предположении, что правая часть уравнения (7)
и функции, входящие в условия (8), являются правильными аналити-
ческими функциями своих аргументов в окрестности некоторой системы
начальных значений этих аргументов; получаемое решение есть тоже
аналитическая функция и является единственным решением в классе
аналитических решений. Как мы видим, здесь и постановка вопроса
и результат относятся к аналитической теории дифференциальных
уравнений. Поэтому доказательства теоремы Ковалевской мы в этом
курсе не будем приводить.
Для уравнения первого порядка, предполагая его раз-
решённым относительно одной из частных производных, например^:
Pi =/(аг1, х2, ..., хп, г, р2, ..., рп),	(1")
задачу Коши формулируют так: найти решение г ~
= Ф(х1, х2, ..., хп) уравнения (1"), которое при данном начальном
значении xt обращается в заданную функцию остальных независи-
мых переменных'.
при х = z = ср(дс2, xz, хп).	(С)
Существование такого решения мы докажем тем, что дадим метод
его построения при помощи интеграции систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений.
4.	В случае двух независимых переменных задача интеграции
уравнения с частными производными, а также условия Коши допу-
скают простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим уравне-
ние первого порядка:
Д(х, у, г, р, <?) = О,	(2')
или, лучше, разрешённое относительно одной частной производной:
р = /(х, у, z, q).	(2")
Найти решение уравнения (2') или (2")—значит найти функцию
z г= Ф (х, у),	(9)
которая в координатном пространстве (х, у, г) изображает поверх-
ность; назовём её интегральной поверхностью уравнения (2Z) или
(2"). Итак, задача нахождения решений уравнения в частных произ-
водных есть задача нахождения интегральных поверхностей. Если
рассматривать уравнение (9) как определяющее поверхность, то
336	УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[гл. VIII
касательная плоскость к ней в точке (х, у, г) выражается уравнением:
_	дФ	ч , дФ ...	.
Z - г =	(Л- х) + ^- (У-у\
или
Z —г = р(х—х)4-7(У—7);
здесь X, Y, Z — текущие координаты, р и q — угловые коэффи-
циенты касательной плоскости. Таким образом, данное
уравнение в частных производных (2') выражает соотношение между
координатами х, у, z точки искомой интегральной поверхности и
угловыми коэффициентами р и q касательной плоскости к этой
поверхности в этой точке. Посмотрим, как интерпретируются данные
Коши для уравнения (2"); эти данные таковы:
х = х0, г = ф(у).	(С')
Уравнения (С') определяют кривую в пространстве. Итак, задача
Коши состоит в нахождении интегральной поверхности, проходя-
щей через кривую (С').
Заметим, что кривая (С') имеет весьма специальный вид: это плоская
кривая, лежащая в плоскости х = х0, параллельной уОг. Такое не-
равноправие переменных происходит, между прочим, оттого, что
в исходном уравнении (2") независимое переменное х играло особую
роль. Если уравнение дано в более симметричной форме (2'), то и
задачу Коши естественно сформулировать так, чтобы ни одну коорди-
нату не ставить в исключительное положение. Эта обобщённая
задача Коши такова: найти интегральную поверхность уравне-
ния (2'), проходящую через заданную кривую-.
x = ^(t\ у = ф(О, г==х(0- '	(С")
При такой постановке задача Коши становится неопределённей для
некоторых кривых (С") — через некоторые кривые проходит беско-
нечное множество интегральных поверхностей. Эти исключительные
кривые называются характеристиками и играют первостепенную
роль в теории интеграции уравнений в частных производных пер-
вого порядка.
Примечание. Тот же геометрический язык, который для урав-
нений с двумя независимыми переменными пользуется трёхмерным
пространством, применяется по аналогии к любому числу переменных,
причём используется понятие многомерного пространства. Совокуп-
ность числовых значений хр х2, ...,хп, z мы будем называть точ-
кой (я \)-мерного пространства-, решение уравнения (V) или
(1") вида
г = Ф(хр х2, ..., хп)
есть интегральная гиперповерхность (или просто поверхность) п
измерений в этом пространстве; данные Коши (С) представляют гинер-
§ 1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
337
поверхность п—1 измерений, через которую должна пройти искомая
интегральная поверхность х).
5.	Определив таким образом частное решение, мы можем сделать
некоторые заключения об общем решении уравнения в частных произ-
водных.
Прежде всего, исходя из задачи Коши, мы можем утверждать,
что совокупность всех частных решений уравнения в частных произ-
водных первого порядка получится, если давать всевозможные (допу-
стимые) виды той функции от п—-1 аргументов, которая входит
в условия Коши (С); в этом смысле можно сказать, что совокуп-
ность решений уравнения первого порядка зависит от ооной
произвольной функции — именно той, которая входит в данные Коши;
аналогичная совокупность частных решений уравнения m-го порядка
зависит от т произвольных функций п—1 аргументов, составляющих
условия Коши (8). Но этим не решается вопрос об общем решении,
т. е. о таком выражении искомого z в функции независимых перемен-
ных, произвольных постоянных и функций, из которого можно полу-
чить любое частное решение.
Для весьма многих уравнений самый вопрос о существовании
общего решения является нерешённым. Иногда (как в вышеприведён-
ных примерах) существует общее решение, в которое входят произ-
вольные функции и из которого получаются все частные решения,
удовлетворяющие условиям Коши, если на место произвольных под-
ставить некоторые определённые функции. Однако в большинстве
случаев представление общего решения, как явно зависящего от
произвольных функций, невозможно. В теории линейных уравнений
в частных производных второго порядка встречаются другие формы
решения, например в виде ряда, коэффициенты которого являются
произвольными постоянными; решение такой формы мы назовём общим,
если этими коэффициентами можно распорядиться так, чтобы удовл >-
творялись начальные условия. Однако для общего уравнения в част-
ных производных нельзя утверждать существования и такого рода
общего решения, кроме случая, когда уравнение и начальные дан-
ные являются аналитическими. Поэтому обычно для уравнений в част-
ных производных ищутся частные решения, удовлетворяющие
начальным данным Коши, или другим условиям, однозначно определяю-
щим решение (например, задача Дирихле для уравнения Лапласа).
Уравнения в частных производных первого порядка с одной не-
известной функцией обладают двумя простыми свойствами. Во-первых,
они обладают общим решением, зависящим от произвольной функ-
ции. Во-вторых, задача интегрирования уравнения в частных про-
изводных первого порядка сводится к интегрированию системы
1) Число измерений гиперповерхности или многообразия есть число не-
зависимых переменных, через которые взаимно однозначно и непрерывно,
по крайней мере в некоторой области, выражаются координаты точек, при-
надлежащих данному многообразию.
338
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
обыкновенных дифференциальных уравнений. В силу этой тесной
связи уравнений в частных производных первого порядка с обыкно-
венными дифференциальными уравнениями, естественно излагать их
теорию в том же курсе, что и теорию обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.
§ 2.	Линейное однородное уравнение в частных
производных первого порядка.
1.	Рассмотрим уравнение вида
Д +	••• + х»ж = °’	(10)
где Л), X.,, Хп— денные функции независимых переменных л-р
х2, хп (мы их будем предполагать непрерывными и непре-
рывно дифференцируемыми в рассматриваемой области),
а / обозначает искомую функцию. Мы назовём это уравнение линей-
ным однородным уравнением в частных производных. Решением
уравнения (10) будет (дифференцируемая) функция от х5, х2, . . ., хп,
которая по подстановке в уравнение (10) обращает его в тождество.
Мы уже встретились с этим уравнением в главе VII в связи с исследо-
ванием первых интегралов системы обыкновенных дифференциальных
уравнений симметричного вида. Пишем, наряду с дифференциальным
уравнением в частных производных (10), систему обыкновен-
ных д и ф ф е р е н ц и а.л ь н ы х уравнений [которую мы будем
называть соответствующей уравнению (10)]:
dx^ dx., 	 dxn	....
Задачи интегрирования уравнения (10) и системы уравнений (11) суть
задачи эквивалентные. В самом деле, мы доказали следующую тео-
рему (глава VII, § 5, 1):
Левая часть любого первого интеграла системы (11) есть
решение уравнения (10); обратно, всякое решение уравнения (10),
приравненное произвольной постоянной, даёт первый интеграл
системы (11).
Постараемся найти вид наиболее общей функции, удовлетворяю-
щей уравнению (10). Для этого заметим такое свойство оператора X [/].
Пусть Ф ('}п	..., '}й) есть некоторая дифференцируемая функция
своих аргументов, которые, в свою очередь, являются дифференци-
руемыми функциями независимых переменных х2, ..., хIL. Тогда
мелко видеть, что
Ж-
г)ф
= ж + ж +  • • + ж х (12)
§ 2]	ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	339
Пусть теперь
Y1 (,Х1> Х‘2> • • • ! х>1^ —	% (-'ц, Х2> • •  > Хц) —	1
• •  , Vre-1 (•'Т> х2> • • >, хп) ~ сч-1	J
есть некоторая определённая система (независимых) интегралов системы
уравнений (11), определённая в некоторой области D J).
По доказанной теореме фр ф2,	ф,{_1 являются частными ре-
шениями уравнений (10), т. е. мы имеем тождества:
Х[ф1] = 0,	Х[ф2! = 0, X[VJ = O.	(14)
Возьмём теперь произвольную (дифференцируемую) функцию Ф
от аргументов фр ф2, ..., ф,г_р
fe •••> W	(15)
В силу свойства (12), будем иметь тождественно:
Х[Ф] = 0,
т. е. выражение (15) является решением уравнения (10).
Таким образом, мы встречаемся при изучении уравнений в частных
производных с фактом, уже отмеченным в § 1: решение такого
уравнения может содержать произвольные функции, тогда
как решения обыкновенных дифференциальных уравнений заключали
лишь произвольные постоянные. Нашей ближайшей зада-
чей будет установить, что выражение (15) является общим решением
уравнения (10), а также выяснить, какие дополнительные данные
нужно ввести, чтобы из бесконечного множества решений, даваемых
выражением (15), выделить одно определённое решение (задача Коша).
2. Переходим к доказательству того, что формула
/ = Ф(Ф1, %,	(15)
где Ф есть произвольная дифференцируемая функция своих аргу-
ментов, даёт общее решение уравнения (10), т. е. что в этой фор-
муле содержится любое частное решение.
Пусть какое-нибудь решение уравнения (10) в области D
есть / = 'Т(.г1, х2, ..., хф. Тогда имеем тождественно •А’рГ] = О,
или, в раскрытой форме,
X1-^4-X2-^+...+X,f-P-==0.	(14')
1 dxt 1	2 дх2 1	1	11 дхп	v '
Так как фр ф2, ..., ф;1_1, по предположению, суть решения, то
имеют место тождества (14), которые в раскрытом виде перепишутся так:
...+X(J-^ = 0 (7=1, 2, ..., п— 1). (14")
1	1	2 дх2 1	1 п дхп 4	’	’	/ v /
1) Для теоретических рассуждений удобнее всего за систему (13) принять
систему (41) главы VII.
340
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
Система уравнений (14х) и (14") для определения п функций
Х2, .. Хп есть линейная однородная; она допускает не равные нулю
решения, и следовательно, определитель этой системы (тождественно)
равен нулю. Этот определитель есть якобиан от функций 47,
Фр Фэ> • • •> Фп-1-
Итак, мы имеем:
Д (чбФь ••• ФЯ-1) _0
D (хь х2,.... хп)
(16)
Отсюда, в силу основной теоремы о якобианах, следует, что между
функциями И1',	ф2, ..., существует функциональная зави-
симость, т. е. для всех значений X-,, х2, . хп в рассматривае-
мой области имеет, место равенство (тождественно относительно
-^2> • • • > ^п)'
F(Ф, фр ф2,	= 0.	(17)
Заметим, что в функциональном определителе, стоящем в левой
части равенства (16), заведомо один из миноров первой строки не
равен тождественно нулю; в самом деле, если система (11) имела
неособые начальные значения
у*	у*0 у» — । - у*0	у*	у-0
2’	Хп П>
причём X (х°, х®, ..., лФ)фО, то, в предположении, что в си-
стеме (И) хп взято за независимое переменное, и первые интегралы
имеют вид ф; = x°{(i = 1, 2, п—1) при значениях переменных,
близких к начальным,
Д(Фи Фа. Фи-t) Л о
D (xlt х2, ..., хп^)
Отсюда следует, в силу той же основной теоремы о якобианах,
что соотношение (17) может быть разрешено относительно функ-
ции Ф, и мы получаем:
ф- = ф(фр ф2......Фп —1)*
Итак, всякое решение уравнения (10) даётся (в окрестности точки
х", х°„ ..., х“) формулой (15). Теорема доказана. Можно сказать,
что формула (15) даёт общее решение уравнения (10).
Примечание. Из доказательства полученной теоремы можно
вывести такое следствие: между любыми и решениями <рр «2, ...
..., <sn уравнения (10) существует фукциональная зависимость
Ф (фр ф2> • ••>	= если Фи ?2> •••> Фга-i независимы, то функ-
ция Ф не обращается в рассматриваемой области в тождественный
нуль, так как уравнение может быть разрешено относительно срга.
§ 2]
ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
341
3.	Задача Коши для линейного уравнения в част-
ных производных первого порядка с п независимыми
переменными х,, х2, ..., хп. Для уравнения
+	4-Х1г-^- = 0	(10)
•	1 dxt 1	4 дх.> 1	1 п дхп	v
решим задачу Коши: найти решение уравнения f(xlt х2> xtl)
такое, чтобы
f(Xi, х.,, хп_1г xl) = '^(xv х2, xn_J, (18)
где хпп — заданное число, v(xv х2, х х) — заданная (диффе-
ренцируемая) функция своих аргументов.
Мы предположим, что ср определена для значений хг, х2, ..хп_г
в окрестности значений х®, х2, ..х^_±, причём точка (х®, х^, .,х®)
не является особой точкой для системы (И); далее, допустим, что
Хп(х^, х2,	х°) ф. 0 (это ограничение не является очень суще-
ственным, так как если бы при значениях х®, х®, ..., х® функция Хп
обращалась в пуль, мы дали бы постоянное значение тому хь кото-
рому соответствует Х;, не обращающееся в нуль, и задали бы на-
чальную функцию ср от всех остальных аргументов).
При этих предположениях система уравнений:
^(хр х2, .... xn_v х®) = ^, j
х2, xn_v Х®) = %,	(19)
Ф„-1(*Р Х2’ •••> Xn-v	.
где являются независимыми интегралами системы (И), a <plf
<р2, •••» Ф»-1—новые переменные, может быть в окрестности точки
х°, аг®, ..., х® разрешена относительно хр х2, хп_± 1).
Пусть соответствующие формулы будут:
*1 = “1(Фо %>•••> Ф»-1)>
<р2, ..c^-i),
Хп-1 = “п-1 (Фр Ф2> •••> Ф»-1)-
(20)
1) Если система (13) взята в виде (41) главы VII, то якобиан
D №, 4*2..........................Фа-:)
D (xt, х2,..х„_.)
при л,г = х° обращается в 1; следовательно, он отличен от нуля в окрест-
ности 1ОЧКИ (л-J, х2,	х°п).
342
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
При этом, когда принимают значения:
соответствующие функции <о{ принимают значения х? (/= 1, 2, ...
...,п—1). При наличии частных производных у функций функ-
ции оу также являются дифференцируемыми (существование этих
производных при дифференцируемости функций Х: доказано в § 3
главы VII). Я утверждаю, что искомое решение уравнения (10),
удовлетворяющее начальному условию (18), есть:
№1, • • - ,	• • •> “а-I • • •> 'К-1)- (21)
В самом деле, во-первых, выражение (21), являясь функцией от
частных решений <рг-, само является решением уравнения (10); далее,
если положить хп — х„, то величины обращаются в в силу
формул (19). Но, по формулам (20), ш<((р1, ..., 6„_j) равны вели-
чинам хг(г=1, 2, ..., п—1); поэтому из формулы (21) получаем:
при =
х2, ..., xn_t),
т. е. условие (18) выполнено.
Из построения решения очевидно, что оно однозначно определено
начальными данными (18).
Пример 4. Найти общее решение уравнения
df г df ।	, df n
x, тг~ + x2 + • • • + xn тг~ = °-
] dxt 1	2 dx2 1	1 n dxn
Пишем соответствующую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений:
dx\^__dx-i _	__ dx„
-И хГ“ '' ’
Независимая система её первых интегралов есть
— -С,, -^ = С,, ..= j (х„=£0).
у-	1 > у	>	у	/4—1 X it	/
ЛП	Лп
Общее решение данного уравнения есть
f__ YTf (	-^2	\
т. е. наиболее общая однородная функция п пере-
§ 3]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
343
менны х нулевого измерения (обращение теоремы Эйлера
об однородных функциях для функций нулевого измерения).
Пример 5. Проинтегрировать уравнение
(искомая функция обозначена буквой г).
Соответствующая система обыкновенных уравнений сводится
к одному уравнению:
dx  dy
у	X
и имеет интеграл х2-\-у2 = С. Общее решение данного уравнения
z = ® (х2 -j-у2), где v есть произвольная функция, геометрически пред-
ставляет любую поверхность вращения с осью вращения Ог. Задача
Коши: z = f (ус) при _у = 0, где / есть данная функция; её решение:
функция ф есть х'-у-у'-, следовательно, функция ф есть х2, откуда
х— V ф; искомое решение: г=/ (j/ф)	у-).
Геометрическое истолкование задачи Коши: если задано уравнение
меридиана, то поверхность вращения однозначно определяется.
ЗА ДАЧИ.
197.	Найти геометрическое свойство поверхностей, удовлетворяющих
уравнению:
дг , dz
X Да-Н? -3— = °-
дх J ду
Какая поверхность даёт решение задачи Коши: z = х при у — 1?
198.	Найти общее решение уравнения:
у--^+У7^+у^ = о
дх ду	dz
и решить задачу Коши: f=y — z при х = 1.
§ 3.	Линейные неоднородные уравнения с частными
производными первого порядка.
1.	Обозначим искомую функцию через г, независимые переменные
через х,, х2, . . ., хн.
Названные в заголовке уравнения имеют вид:
iLip ± ш Р ± =:
1 от,	2 дх2 • 1 « дхп
R,
(22)
где Г-\, Р2, ..., Рп, R — функции (непрерывные и непрерывно диф-
ференцируемые) от Xj, х2, . . ., хп, z. Линейные однородные урав-
нения (10) являются частным случаем уравнений типа (22), когда
правая часть ftsO и когда коэффициенты Рг, Р2, ..., Plt при
344
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[ГЛ. VIII
производных не зависят от искомой функции. В обозначениях
dz _________________ dz____________	dz____
a^==/’1’	•••’ dxn~Pn
уравнение (22) напишется так:
P1P1 + P2P2 +  • • + PnPn = P-	(22')
Уравнение вида (22) может быть приведено к однородному линей-
ному уравнению следующим приёмом. Мы будем искать удовле-
творяющую уравнению (22) функцию z от независимых перемен-
ных хр х2, . .., хп в неявном виде:
V(z, Хр х2, ..., х„) = 0,	(23)
так что искомой функцией будет V.
dz
Из формулы (23) получаются значения частных производных
dV / dV	. о
Pi —---з—/-5—	0= 1, 2, ..., и).
dxi / dz v	'
Внося эти выражения в данное уравнение (22), умножив обе
dV ,
части на (мы предполагаем, очевидно, этот множитель не равным
тождественно нулю и рассматриваем окрестность точки, где он не
обращается в нуль) и перенося все члены в левую часть, получаем
соотношение
+	•••+Лгт^ + ^-^- = 0.	(24)
1 <)лц 1	2 <>х., 1	1 п dxn 1 dz	' 1
Из вывода соотношения (24) следует: в предположении, что (23) опре-
деляет z как решение уравнения (22), соотношение (24) должно
удовлетворяться тождественно по хр х2, ..., хп, при условии, что
вместо г подставлено его значение, определённое формулой (23).
Если мы потребуем больше, а именно, чтобы искомая функ-
ция V удовлетворяла соотношению (24) тождествен-
но относительно хр х2, . .., хп и z [т. е. рассматривая в уравне-
нии (24), наряду с Хр х2, . . ., х„, также и z как независимое пере-
менное], то (24) окажется линейным однородным дифференциальным
уравнением первого порядка с искомой функцией V и п-\-1 неза-
висимыми переменными хр х2, ..., х„, г. Очевидно, каждое реше-
ние Этого уравнения (24), содержащее г, будучи приравнено нулю,
даёт соотношенйе вида (23), которое определит функцию z от хр
х2, . . ., х„, удовлетворяющую данному уравнению (22). Заметим, что
мы наложили дополнительное ограничение, потребовав, чтобы соот-
ношение (24) выполнялось тождественно относительно хр х2, . .., хп, z\
поэтому мы не можем утверждать a priori, что указанным приёмом
(25)
интегралов;
(26)
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 345
получим все решения уравнения (22). Мы ещё вернёмся к этому
вопросу.
Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
соответствующую линейному уравнению в частных производных (24):
dx, dx2	dxn dz
Эта система п уравнений имеет п независимых первых
пусть это будут:
% Х1' • • • > •*») = О»
(2, -Гр ..., x7i) = Ср
'^n-l (г> Х1 >•••> xn) ~ ^n-l' 
Общее решение уравнения (24) имеет вид:
1/=Ф(%,	..., V0-
где Ф— произвольная дифференцируемая функция. Из предыдущего
вывода следует, что уравнение
Ф(М1- •••, Vi) = °	(27)
определяет (если удовлетворяются условия теоремы существования
для неявных функций) z как функцию от х,, х2, ..., хп, причём
эта функция удовлетворяет данному уравнению (22).
Пример 6. Найти решение уравнения:
х iv	df — mf
1 dxx '	2 dx., + • • • + dxn ~
где m — постоянное. Система обыкновенных дифференциальных урав-
нений, соответствующая этому уравнению в частных производных,
есть
dxx __ dx., __	___ dxn _ df
xx x2 ’ • • • Xn mf >
система первых интегралов
XX___/П X‘2 _____ ry	Xn_ 1	f ___ «
^2> •••>	•—^n-l> m ^n-
xn	xn	xn	xn
Решение, содержащее произвольную функцию Ф, будет:
Ф 1-^-.
\ хп
х2
хп
0.
346
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. vin
Разрешая относительно последнего аргумента и затем относительно /,
получим:
х2
Хп ’ ’ '  ’
= Хт
п \ хп
где W — произвольная функция. Это — полное обращение теоремы
Эйлера об однородных функциях (ср. пример 4).
2. Формула (27) решения дифференциального уравнения (22)
выведена при дополнительном требовании, чтобы уравнение (24)
удовлетворялось функцией V тождественно по xlt х.2, ..., хп, г.
Посмотрим, насколько общей является эта формула, т. е. какие
частные решения в ней заключаются.
Пусть будет
г =	х2, .... х„)
(28)
какое-нибудь решение уравнения (22). Возьмём в системе первых
интегралов уравнений (25) в качестве произвольных постоянных
начальные значения г0, х®, ..., х®_1; эта’система имеет вид:
% (г, хр ..., хп) = г0,
^•(г, xt, ..., xn_lt x(l) =xt
(,=.!. 2.........„-!).}	<29'>
В главе VII, § 4, 1 доказаны существование и дифференцируемость
этих интегралов по г, хр ..., хп в некоторой окрестности
начальной точки (za, х°, x°f, ..., xfy, если это — обыкновенная точка
системы (25), в которой Рп(х°у, ..., х°п, го)у£:О1). Пусть значе-
ния х1г х.2, ..., хп и z для решения (26') принадлежат рассматри-
ваемой окрестности. Подставим в левые части равенств (26х) вместо г
его выражение (28); для получившихся функций от xt, х2, ..., хп
введём обозначения:
'Ы?(*р х2> •••> хя),х„ х2,	х„)==Ф7с(х,, х.2> ..., xj
(А: = 0, 1, 2, ..., п— 1).
Мы имеем:
дхj дх^ "T* dz дх^
ti— 1; /= 1, 2, ..., n\
Замечая, что функции %,	..., удовлетворяют уравнению
(24), мы получаем после подстановки в соответствующие тождества
*) Если Рп = 0 в рассматриваемой точке, a Pj 0, то рассуждения не изме-
нятся, стоит только за независимое переменное взять Xj вместо хп. К особым
точкам уравнения (24) следует причислить все точки, в которых Р1==Р3 =
= ...== Рп = 0, хотя бы было Р
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 347
на место z его выражения (28) систему тождеств:
п
Pj (? (A?l> • • • > Xl> • • • > хп)	(?> Xl> • • • > Хп) — О
J=i	3
(& = 0, 1, и—1).	(29)
Так как, по предположению, (28) есть решение уравнения (22), то
имеем тождество:
Е pj (?> xi’ • • • > хп) £—R (% xi....хп) = 0.
7=1	3
дфо d'Pi
Умножаем последнее равенство последовательно на	.
и пРибавляем к соответствующим равенствам (29). Вейлу
определения функций ЧГй и их производных по х^, получаем:
Л(?(*1> •••>*«)> х!......хп)^~ +•-+?»('?> xi,...,xn) -§-=0
(fe = 0, 1, 2, ..., п — 1).
Таким образом, Ф"о, Ч^, ..., Чг„_1 являются системой п решений
уравнения в частных производных с п независимыми переменными
*1> х2,
Л (% xi......+Лг(?> xi>	=
Отсюда, в силу примечания к § 2, 2, существует тождественная по
xlt х2, ...,хп зависимость между Ч'о, Ч^, .. .,ЧР„_1:
Ф(Ф0, ’Г1,...,Г„_1) = 0.	(27')
Следовательно, существует такая функция Ф(%,	..., Фп-О,
что по подстановке в неё вместо z выражения <f>(x1, хп) мы
получаем тождественно нуль. Таким образом, любое решение z
при указанных условиях относительно коэффи-
циентов Pi и R удовлетворяет соотношению вида (27). В этом
смысле (27) определяет общее решение.
Заметим, что в противоположность однородному линейному уравнению
в частных производных мы могли здесь доказать представимость при помощи
формулы (27) частных решений лишь при выполнении коэффициентами урав-
нения добавочных условий непрерывности частных производных от коэф-
фициентов и необращения в нуль одновременно всех коэффициентов Р^.
Если эти условия не выполнены, уравнение (22) может иметь решения, не
входящие в формулу (27), они соответствуют обращению в нуль левой части
(24) не тождественно, а лишь в силу соотношения V = 0. Такие решения
называются специальными.
348
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
(гл. VIII
Пример 7.	(1 + У? — х —_у) + ^ = 2. У равнение (24) имеет здесь
вид:
1 ,/--------! dv  ^dV п
(1 V z — х — У) д-—д----1- 2 -д— = 0.
1	дх 1 ду dz
Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений есть
_______________________dx________ dy _ dz
1 + Vz — x — y ~ ~1 Г’
Первые интегралы: 1) z— 2y — Су, 2) из интегрируемой комбинации
dy dz — dy — dx	, o --------- _
— =----- —	= имеем у 2y z— x—у = (У. Общее решение п'олу-
1	— у z — х—у
чается из соотношения
Ф (z— 2у, у-{-2Уг—х—_у) = 0.
Но данное уравнение имеет ещё решение z — x-\-y. Если выражение
V = z — х—у подставить в левую часть уравнения для V, мы получим
— Уг — х—у =—У V; это выражение обращается в нуль только в силу
равенства V = 0. В этом примере в точках специального решения производ-
ные от коэффициентов перестают быть ограниченными.
3. Пусть в начальной точке г0, xj, х°2, ...,х°п мы имеем:
pn(z0, х?, ...,х’) =^0.
Тогда в системе (25) можно взять хп за независимое переменное. Систему
первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений (25) возьмём
в виде, данном формулами (26'), причём начальные значения zQ, х°,... х®_х
изменяются в окрестности значений z, xj, ...,х®_1, а хп изменяется в ок-
рестности х°.
Решим для уравнения (22) задачу Коши: найти решение этого
уравнения, которое при х — х^ обращается в данную дифференцируемую
функцию [определённую в окрестности значений (х^ х±, ..
<? (Хь X,, ...,ХП_1).
Подставим в интегралы (26') вместо хп начальное значение х’, результат
обозначил! через фг-; имеем:
фДг, хр	(/= 0, 1, 2, ...,/г — 1).	(30)
Формулы (26') аналогичны формулам (42) главы VII; следовательно, их
можно разрешить относительно z, xlt х3, . ,,,хи_ь и результат будет анало-
гичен формулам (36'") в сноске на стр. 308 [это есть решение системы (25),
принимающее при хп = х® начальные значения zQ, х°,..
г = ?0(хге, zQ, х« ..„х^Д
xi = го- 4---x“_i) (г = 1, 2,
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 349
Подставим в эти формулы вместо хп числовое значение х^ и заменим
zQ, х°, ...,х^1_1 через ф0, 4'1>	Получим выражения вида:
,? = ®о(Фо. Фь •••.Ф»-1).	]
- -	—	[	(01)
= ®<(Фо. Ф1. •••-Фп-i) (z = 1, 2, ...,и —1). )
Легко видеть, что формулы (31) суть результат решения уравнений (30)
относительно г, Xi, .
Решение задачи Коши даётся формулой:
V (z, хь ..хп) = ®0 (фо, фь ..Фп-т) —
— ф[®1(Фо. Ф1. ••.Фп-1). (Фо. ф1, ...,Фп-1)] =о. (32)
Докажем прежде всего, что уравнение (32) определяет z как однозначную,
непрерывную и дифференцируемую функцию от	х2,..., хп в окрест-
ности значений Ж®,	Для этого достаточно показать, что
Вычисляем эту производную:
дУ____д<опОфр .	0ф1 .	. ди>0 дф„_-1 __
dz ~ Офо dz Оф] dz ' ’ • •	0ф,г_] dz
п—I
_ У /до^дфр , Эфг ,	,	^Фга-А
d<»i \дфо dz ' Оф] dz ‘	‘ ~г 0фп_] dz J
i=i
Согласно формулам (31), мы имеем:
аналогично fvr') =(^—} = 0 [в силу формул (А) и (38) главы VII, § 3],
\Оф]/о \ОХ{/0
/ U'Jif \	,	....
а также ( —-И = 1 или 0, смотря по тому, имеем ли i = j или i j.
Далее, мы имеем:
Итак,
0z /0
следовательно, эта производная не обращается в нуль в окрестности точки
(>0, Хр...,х“), и формула (32) определяет z как функцию от ..............
Так как формула (32) является специальным видом уравнения (27 ), то
полученная из неё функция z есть решение уравнения (22). Наконец, легко
350	УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[гл. VIII
видеть, что она решает поставленную задачу Кошп. В самом деле, при
хп = х° функции обратятся в (/ = 0,1, 2,..., я—1), в силу равенств
(30); функции <о0, шь ..., ы;г_] от этих аргументов ввиду равенств (31),
дадут соответственно г, xlt ..., х;г_ь и мы получим: z = ip (xj, х3, ..., x„_j)
при хп = х°.
Таким образом, формула (27) (при надлежащем выборе первых ин-
тегралов) даёт все частные решения, определяемые начальными дан-
ными Коши.
Самое построение показывает, что решение задачи Коши — единственное
в классе решений, удовлетворяющих условиям непрерывной дифференцируе-
мости и одновременного необращения в нуль коэффициентов уравнения
в точках решения.
Примечание. Для доказательства возможности решения задачи
Коши мы исходили из первых интегралов специальной формы. На практике
большей частью той же цели можно достигнуть, исходя из любой системы п
независимых первых интегралов;
% (г, X], ..., хп) = С0,	(г, хь ..., х„) = С{ (i = 1, 2, ..., п — 1).	(26")
Схема выкладок такова: пишем уравнения (30), разрешаем их относительно
г, Xj, ..., хга_ь получаем формулы (31) и находим искомое решение по фор-
муле (32).
Пример 8. Для уравнения примера 7 найти решение, удовлетворяющее
данным Коши:
z = 2х при у = 0.
Исходим из первых интегралов ф0 = г— 2_у = Clt ^^y-j-2	z—х—у—С.,.
Подставляя значение у = 0, получаем:
г_____ _	_ Ц
z = %- 2 V z — х = откуда z = ф0, х = %---------—.
Подставляя эти значения в данное начальное уравнение и заменяя через <1-,
получим искомое решение:
Фо - 2фо +	= 0,
или 2ф0 —	= 0. Иначе:
2г — 4у —у2 — 4у У? — х —у — 4г + 4х + 4у = 0,
или
4у У z — х — у = 4х — 2г — _уа,
откуда
г = 2х 4-у2 — 2_у	х —— У' + ур
(знак минус перед радикалом, как это следует из проверки, соответствует
знаку плюс перед радикалом в данном уравнении).
4. Линейное уравнение между тремя перемен-
ными; геометрическое истолкование. Для случая двух
независимых переменных (мы их будем обозначать х, у) система
трёх переменных х, у, z допускает простое истолкование — как
§ 3]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
351
. координаты точки трёхмерного пространства,
поможет нам глубже
уравнением в частных
частных производных:
Эта интерпретация
проникнуть в факты, связанные с линейным
производных. Введём обозначения Монжа для
dz дг
-у— == р, — == а
дх r оу v
и напишем уравнение в виде:
Pp-\-Qq = R,	(33)
где Р, Q, R — заданные (дифференцируемые) функции от х, у, г.
Искомое решение z — f (х, у) представляет собой уравнение по-
верхности (интегральная поверхность), р и q — угловые коэффи-
циенты её касательной плоскости в точке с координатами (х, у, г).
Уравнение этой плоскости есть
Z — z = p(X — x)-Yq(Y—y).	(Т)
Уравнение (33) относит каждой точке пространства вектор
(Л Q, R)-	(V)
Уравнение прямой, проходящей через точку (х, у, z) в направле-
нии, даваемом векторным полем, есть
Уравнение в частных производных (33) показывает, что прямая (D)
лежит в плоскости (Т).
Кривые в пространстве, которые в каждой точке касаются
соответствующего вектора (Р, Q, R) и вообще называются вектор-
ными кривыми, для уравнения (33) называются характеристи-
ческими кривыми или характеристиками. Их дифференциальные
уравнения суть:
dx dy dz
(34)
Мы покажем, что каждая интегральная поверхность составляется
из характеристик. В самом деле, поставим себе задачу: найти н а
данной интегральной поверхности г = /(х, у) такие
кривые, которые в каждой точке касаются вектора (V); очевидно,
для проекций этих кривых на плоскость (х, у) мы получаем урав-
dy Q	„	,
нение=-д, где в правой части надо заменить г через функ-
цию /(х, у). Но мы можем добавить ещё одно дифференциаль-
ное уравнение; в самом деле, при перемещении по поверхности
352
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[гл. VIII
дифференциалы связаны соотношением
dz — р dx -\-q dy,
или
dx	dx p\4p p
В силу уравнения (33), это даёт — = -р, т. е. мы пришли к диф-
ференциальным уравнениям характеристик (34). Заметим, что си-
стема (34) может быть проинтегрирована без знания интеграль-
ной поверхности, и мы получим семейство характеристик от
двух параметров, обладающее тем свойством, что через каждую
точку (х0, у0, г0) пространства (точнее: той области, где выполнены
условия существования и единственности решения) проходит одна
характеристическая кривая. Если взять два первых интеграла си-
стемы (34):
и(х, у, z) = a, v(x, у, z) = b,	(35)
то характеристики определятся как линии пересечения двух семейств
поверхностей (35). Обратно, если на некоторой поверхности с непре-
рывно .изменяющейся касательной плоскостью через каждую точку
поверхности проходит лежащая на ней характеристика, то эта
поверхность есть интегральная; в самом деле, в каждой её точке
вектор (V) лежит в плоскости (Т), т. е. удовлетворяется уравнение (33).
Теперь ясно, как построить интегральные поверхности; для
этого достаточно из семейства характеристик (35) от двух пара-
метров выделить семейство от одного параметра по некоторому
закону, притом так, чтобы полученная поверхность имела непрерывно
изменяющуюся касательную плоскость, а для этой цели достаточно
установить между параметрами а и b одно произвольное соотношение
Ф (а, Ь) — О,
где Ф — дифференцируемая функция.
Исключая из этого соотношения и из уравнений (35) а и Ь, мы
получаем уравнение интегральной поверхности:
Ф[и(х, у, г), v(x, у, г)] = 0.	(36)
Задача Коши может быть поставлена в обобщённой
форме (см. § 1, 4): дана пространственная кривая с непрерывно
изменяющейся касательной; найти проходящую через неё интегральную
поверхность. Геометрическое решение этой задачи очевидно: доста-
точно взять совокупность характеристик, проходящих через все
точки данной кривой, и они образуют искомую поверхность.
Аналитически, если линия задана уравнениями:
х=<?(0, y = ty(t), 2' = Х(0>	(С")
то искомая интегральная поверхность может быть получена следую-
§ 3]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
353
щим образом: подставляя эти заданные выражения х, у, z в функ-
ции t в левые части уравнений (35), мы получим выражения а и b
в функции /; исключая t, получим требуемое соотношение между а и Ь.
Для исключения t можно разрешить, например, уравнение
и [«(/), ф(/), ^ (/)]== а относительной, т. е. найти пересечение поверх-
ности и — а с кривой (С"); это невозможно, если кривая (С") лежит
на поверхности и = а0, где а0 есть постоянное; но тогда сама эта
поверхность и (х, у, z) = а0 есть искомая в задаче Коши интеграль-
ная поверхность. Наконец, если заданная кривая лежит на двух
поверхностях и = а0 и v = b0, то она сама есть характеристика, и
задача Коши становится неопределённой, так как каждая характе-
ристика принадлежит бесконечному множеству интегральных поверх-
ностей. Тогда уравнения этой характеристики суть:
« (х, у, г) = а0, v (х, у, г) = £0,
и любая поверхность Ф (и, v) = 0 проходит через эту характери-
стику, если только Ф (а0, Ьо) = 0.
Примечание. Можно a priori определить характеристики как
такие кривые, для которых задача Коши является неопределённой.
5. Мы видели, что общее решение уравнения (33) имеет вид:
Ф[®(х,	г), ф(х, у, г)] = 0,	(36х)
где <? и ф — некоторые определённые функции, а Ф — произвольная
функция.
Легко видеть, что, обратно, дифференцируя .равенство (36') и
исключая произвольную функцию Ф, мы придём к линейному урав-
нению в частных производных вида (33). В самом деле, дифферен-
цируя (36х) соответственно по х и по у, получаем:
d® / dtp , dtp \ . дФ / д& . dp \
w te + ^7 Р) + d7 ( dF + 77 Р) = °’
d® (дч) , dtp j d® (дф , dp п
dtp \ ду "й" дг Р) dp \ ду ' dz ‘
Исключая из этих		d® равенств		d® и -rr > dp ’	приходим к уравнению:
	dtp	1	„	dp	4- n	
	дх	 dz Р	дх	dz P	
	dtp		d<p		= o,
	d>	I dz	d>	1 dz	
или
	dtp	dp		dtp	dp		dtp	dp
	dz	dz		dx	dx		dx	dx
P	dtp	dp		dtp	dp	= ——	dtp	dp
	dy	dy		dz	dz		dy	dy
354	УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[гл. VIII
т. е. мы получим линейное неоднородное уравнение в частных про-
изводных первого порядка.
Пример 9. Уравнение всевозможных конических поверхностей
с вершиной в начале координат имеет вид:
Ф(А, JLA = 0,
или z — х<о где Ф и — произвольные функции.
Найдём соответствующее уравнение в частных производных.
Дифференцируя уравнение во второй форме сначала по х, затем
по у, получаем:
Исключая из данного уравнения и двух полученных соотноше-
ний « и У, приходим к уравнению:
г qy	,
р= ——или рхч-qy^z.
z	у
Характеристики уравнения даются соотношениями — = Ср -^-=С2;
это — связка прямых, проходящих через начало координат.
ЗАДАЧИ.
199.	Проинтегрировать уравнение (mz — пу) р + (пх — 1г) q — ly — тх.
Указать геометрический смысл характеристик и общего решения (/, т, п-—
постоянные числа).
Найти общее решение уравнений:
200.	(y + z + u) J^-±(z+u + x) -^- + (и + х+у)	+
ди , , ди , ди	..	,
201.	+ Ь с — хуг (Ь, с — постоянные).
202.	(увх — 2х4)р (2_у4 — xsy) q — 9г (л:3 —_у3).
203.	Для уравнения z(x-\-z)p—у (у ф- z) q = 0 решить задачу Коши:
z = У у при х = 1.
204.	Найти уравнение в частных производных поверхностей, описан-
ных прямою, которая движется, пересекая данную прямую под данным
углом.
Проинтегрировать это уравнение.
У к а з а н и е. Взять данную прямую за ось Oz.
ГЛАВА IX.
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения в частных
производных первого порядка с двумя независимыми пере-
менными; однако значительная часть результатов, которые мы
получим, может быть распространена на случай любого числа неза-
висимых переменных. Обозначая независимые переменные буквами х, у,
искомую функцию буквой z и пользуясь для частных производных
обозначениями Монжа:
мы ставим своей задачей разрешение уравнения
Л(х, у, z, р, <7) = 0,	(П
Оказывается более простой задачей решение не одного уравнениа
вида ;1), а системы двух совместных уравнений вида (1), т. •.
двух уравнений, допускающих общее им обоим решение z\x. у
Эту задачу мы и рассмотрим в первом параграфе. Решение мы буд
инг^рпретировагь как поверхность (интегральная поверхность).
§ 1. Система двух совместных уравнений первого порядка.
Пусть нам даны два уравнения:
F(x, у, z, р, д}=-У j
G(x, у, z, р, =
Мы предположим, что в некоторой области изменения неремш-
ных .г, у, z, р, q эти уравнения могут быть разрешены относ.
тельно р и q. Напишем результат разрешения в виде
356
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[гл. IX
(относительно дифференцируемости правых частей мы введём огра-
ничения в дальнейшем).
Два уравнения (2) или (3), содержащих только одну искомую
функцию z, не являются, вообще говоря, совместными, т. е. не
имеют общих решений.
Выведем необходимое условие совместности системы, написан-
ной в форме (3). Допустим, что существует общее решение обоих
уравнений г, имеющее непрерывные частные производные первого
порядка и непрерывную производную	Подставив это реше-
ние в уравнения (3), мы получим тождества. Из этих тождеств
d^z
выражения, для второй производной	Из
можно найти два
первого уравнения имеем:
й2г	_ дА , дА dz
dx ду ду ' dz ду ’
(	dz
или заменяя -v-,
\	ду
в силу второго уравнения, его значением
d2z	дА । дА
дх ду	ду ~т~ dz
Аналогично из второго уравнения (3) находим:
d-z __dB	,	дВ .
dy dx dx	'	dz
[Мы	предполагаем	существование	и	непрерывность	производных
^у~’	lz~'	IF’	Ijz	в окРестности начальной	точки	(х0,	у0,	г0).]	При-
равнивая друг другу оба значения второй смешанной производной
(ввиду её непрерывности, результат не зависит от порядка диффе-
ренцирования), получаем искомое необходимое условие:
=	(4)
ду 1 dz dx 1 dz	' '
В силу нашего вывода, равенство (4) должно удовлетворяться,
если вместо z подставим общее двум уравнениям решение z (х, у).
Если условие (4) не выполняется тождественно, то это есть
уравнение между тремя переменными х, у, г\ оно определит, вообще
говоря, z как неявную функцию от х и у, г — <р (х, у), и преды-
дущие рассуждения показывают, что решение системы (3), если оно
существует, не может быть иным, как этой функцией. Прямая под-
становка в систему (3) даст нам ответ на вопрос, является ли функ-
ция г-—'Их, у) решением системы (3) или нет.
Мы оставим этот случай в стороне. Нашей главной целью
является найти условия, при которых система (3) имеет
бесконечное множество решений, так чтобы через каждую
§ 1] СИСТЕМА ДВУХ СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 357
точку (хс, уГ), г0) рассматриваемой области пространства проходила
поверхность, соответствующая некоторому решению. В таком слу-
чае условие (4) должно выполняться во всякой точке этой области,
т. е. тождественно по х, у, г.
Итак, тождественное выполнение условия (4) необходимо для
того, чтобы система (3) имела множество решений, зависящее
хотя бы от одного произвольного постоянного.
Покажем, что тождественное выполнение условия (4) является
также достаточным для совместности системы (3). Именно, мы
покажем, что при выполнении этого условия нахождение совместных
решений (3) сводится к интегрированию двух обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.
Проинтегрируем сначала первое из уравнений (3), рассматривая
в нём у как параметр. Пока этот параметр не изменяется, мы вправе
рассматривать это уравнение как обыкновенное дифференциальное:
g = у, г).	(Зх)
Начальное условие для уравнения (3j) пусть будет z = t,(y) при
х = хСу где х0 — заданное число; таким образом, при х = хС) для
различных значений параметра у начальное значение С предпола-
гается различным: функцию £(у) пока оставляем неопределённой
(но дифференцируемой). Решение уравнений (3t) имеет вид:
г = ®(х, у, х0, С (у)),	(5)
причём, в силу начального условия,
<? (*о, У, х0, С (у) = С (У,	(5,)
откуда, дифференцируя, находим:
С Су) = 4+?^' Су).	(52)
Потребуем теперь, чтобы выражение (5) удовлетворяло второму из
уравнений (3); это условие даёт нам возможность определить функ-
цию С (у)- Подставляя, мы получим:
4+4 =вУ’®у; хо> ;О'))-	(6)
В силу существования и непрерывности производной А'у, производ-
ная у' существует и удовлетворяет уравнению в вариациях (глава VII,
§ 3, примечание 2):
4 = А'г {х, у, <2) <а'у 4- Ау (х, у, о).	(6J
358	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
В силу того же условия существует и производная от ® по началь-
ному значению С; она удовлетворяет уравнению:
^®'=л'(х, у, ®)?'.	(62)
Формулы (6J и (62) доказывают существование непрерывных про-
изводных и ®"ж. При этом ©', как решение однородного линей-
ного уравнения, нигде не обращается в нуль.
dr
Разрешаем уравнение (6) относительно
Л В (х, у, ?) — у
=-----------.---и,	(7)
Левая часть равенства (7) есть функция одного у; посмотрим, при
каких условиях то же имеет место для правой части (7). Вычисляя
производную правой части по х, мы в числителе получим выраже-
ние:
\Вх(х, у, ®)В'г(л-, у, ©)®ж —	— <s"x[B(x, у, ®)— ®^]. (7t)
В силу сделанного выше замечания, вторые производные ®^, и ®"л
существуют; мы заменяем в (7J vx через А(х, у, ®) и, далее, при
помощи уравнений (63), (6.2) заменяем ®"ж и ®"г через их выражения;
после упрощений получаем:
?Ж+^Л-^В-Л').	(72)
Выражение в скобках в (72) тождественно равно нулю по усло-
вию, т. е. правая часть равенства (7), действительно, ’не зависит
ст это есть обыкновенное дифференциальное уравнение с иско-
мой функцией С (у) и независимым переменным у. Чтобы выяснить,
что его правая часть в наших предположениях удовлетворяет усло-
вию Липшица, преобразуем его. Заметим, что, ввиду независимости
правой части от х, мы можем во всех выражениях в правой части
заменить х на .г0. А в этом случае, применяя тождества (5j) и (5.2)
г, ypaniie- ию (6), эквивалентному (7), находим:
яг
g=B(x0, у, ЦуУ).	(8)
Правая часть уравнения (8) удовлетворяет условию существования и
единственности решения вследствие существования непрерывной про-
изводной В,. Интегрируя (8), при начальном условии С(_у0) = z0, мы
получаем:
С = Ф(>; у0, г0), причём ^(у0;у0, z0) = z0.	(8')
§ 1] СИСТЕМА ДВУХ СОВМЕСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 359
Подставляя это решение в выражение (5), находим решение системы
уравнений (3):
г==®(х, у- х0, <р(_у; у0, <)),	(53)
которое при х = х0, у=у0 обращается в г0. В силу построения и
свойства единственности тех обыкновенных дифференциальных урав-
нений, которые мы интегрировали, мы приходим к выводу, при на-
личии непрерывных частных производных А', Д', В'х, В'г и при
выполнении условий интегрируемости система (3) имеет един-
ственное решение г = Ф(х, у), принимающее при х=х0,у=у0
заданное значение г0.
Примечание 1. Общее решение системы (3) представляет се-
мейство поверхностей от одного параметра. В самом деле, мы полу-
чим все решения в рассматриваемой области, если придадим х0 и у0
численные значения х0 и у() и будем рассматривать z0 как произволь-
ное постоянное С. Решение (53) будет иметь вид:
г = Ф (х, у, С).	(5J
Уравнение (54) разрешимо относительно C==z0. В самом деле, реше-
ние (8') уравнения (8) разрешимо относительно z0: меняя роли на-
чальных координат (у0, г0) и текущих координат (у, С), мы имеем:
го=^(.Уо’> У> О-
С другой стороны, решение (5) разрешимо относительно начального
значения С, и мы имеем:
" =	у0; х, z).
Подставляем последнее выражение на место С в предыдущее равен-
ство:
Ъ (ж У> ? (-v0> Уо’> х’ г>) = го-	(53)
Легко убедиться в том, что левая часть равенства (5й) допускает
непрерывные производные по х, у, г.
Примечание 2. В приведённых теоретических рассуждениях
мы при интегрировании уравнения (3J брали произвольное постоян-
ное С (у) как начальное значение z при х = х0 и любом у. На прак-
тике можно находить общее решение этого уравнения, содержащее
любое произвольное С, и затем заменять это постоянное через иско-
мую функцию и (у); уравнение вида (7) для определения этой функ-
ции, как легко убедиться (если все производные существуют), также
не зависит от х. Переменные х и у можно, конечно, поменять местами.
П‘р и м е р 1.
<lz . dz о I п
^ = zA~yz, -ry = z^2xz.
360
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Составляем выражение:
А'гВ — В'х —B'sA = z y)(z* ~\-2xz) — 2z —
— 2 (zх) (z-j- yz) = z [— 1 — z(l -f-y)].
Это выражение не равно нулю тождественно; приравнивая его нулю,
получаем для значения г: г = 0 и z— —	. Подстановкой убе-
ждаемся в том, что первое значение даёт решение нашей системы,
а второе — нет.
Пример 2. ^ = ау*,	— «у2 (Имшенецкий). Усло-
вие совместности
4 + А'В -В'х- В'А = 2ау-± ау* = 0
выполняется тождественно. Интегрируем указанным
способом. Из первого уравнения имеем:
|| = ау2, z = axy*-]-u(yy,
в примечании 2
2и Ь п
— <?У >
подставляем во второе:
2axyAru'W = ^^2axy^~_ ау^ или g__==__
линейное уравнение первого порядка относительно и. Написав его
в виде:
*	у
y~*du — 2y~*it dy = -^y-^dy — a dy,
находим
у-2и = — ау-уС, откуда и = =у- — ау* + Су*.
Подставляя это значение в найденное выражение для г, находим общее
решение системы:
г = —	+ Су* + ау* (х — у).
§ 2. Уравнение Пфаффа.
1. Этим именем называется уравнение:
Pdx Qrfy-]-/? dz = 0,
(9)
где Р, Q, R — данные в некоторой области D функции от х, у, г,
удовлетворяющие условиям непрерывности и дифференцируемости,
которые будут ясны из дальнейшего.
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
361
§ 2]
Сначала исследуем геометрическое значение уравнения (9). В ка-
ждой точке рассматриваемой области пространства задан некоторый
вектор (Р, Q, Р), т. е. задано векторное поле; так как уравне-
ние (9) переходит в равносильное при умножении на любой множи-
тель, отличный от нуля, то, в сущности, нам задано только напра-
вление вектора, или, иначе, задано поле направлений. Мы допускаем,
что ни в одной точке области не имеют места одновременно равен-
ства Р = Q = Р — 0 (точки обращения одновременно в нуль, Р, Q,
Р, являются особыми).
Уравнение (9) показывает, прежде всего, что х, у, z не могут
оставаться независимыми в области D, так как иначе dx, dy, dz
были бы независимыми приращениями, и в области D мы имели бы
Р==0, Q = 0, р==0, против условия. Следовательно, между этими
переменными существует по крайней мере одно соотношение, и сово-
купность значений х, у, z, удовлетворяющих уравнению (9), есть
(при некоторых естественных ограничениях) многообразие числа изме-
рений 2 (интегральное многообразие).
Очевидно, что уравнению (9) удовлетворяет_ решение х =
y=yQ, z = г0, (х0, у§, г0 — постоянные). Мы считаем это решение
тривиальным, и в дальнейшем не будем его рассматривать. Таким
образом, число измерений интегрального многообразия будет у нас 1.
Само уравнение (9) показывает, что бесконечно малое перемещение
dx, dy, dz вдоль интегрального многообразия из точки х, у, г
перпендикулярно к направлению векторного поля в этой точке (т. е.
всякая касательная прямая к многообразию перпендикулярна к соответ-
ствующему вектору). Ясно, что задача нахождения интегрального
многообразия уравнения (9) будет носить различный аналитический
характер, смотря по тому, ищем ли мы интегральное многообразие
двух измерений или одного измерения.
2. Предположим сначала, что искомое многообразие двумерное.
Допустим, что в окрестности некоторой точки (х0, _у0, z0) его можно
представить в форме: z — v(x,у). Тогда z будет искомой функцией,
ахи у — двумя независимыми переменными. Из формулы (9) мы
получим выражение для дифференциала г:
,	р	Q
dz =----„dx------p-dy
t\	t\
(мы должны предположить, что Р (х0, у0, г0) ф 0). С другой сто-
роны, для выражения полного дифференциала функции z мы имеем:
dz = dx -4- dy.
дх 1 ду л
Из этих двух равенств вытекает, в силу независимости дифферен-
циалов dx и dy, что
=	Л	НО)
дх R ’ ду R •
362	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Мы получаем систему двух уравнений вида (3). Как мы видели
в предыдущем параграфе, вообще говоря, эта система не имеет ре-
шения, т. е. уравнение Пфаффа (9) не допускает интегрального
многообразия двух измерений. На геометрическом языке это значит,
что векторное поле (Р, Q, R), вообще говоря, не допускает семей-
ства поверхностей, которые были бы в каждой точке ортогональны
к направлению соответствующего вектора. Если же такое семейство
существует, то говорят, что уравнение Пфаффа вполне интегрируемо
или интегрируемо одним соотношением. Для существования такого
семейства интегральных многообразий двух измерений необходимо и
достаточно выполнения условия (4), которое для уравнения (10)
напишется в виде:
_ A ( ~1_ ± Q ±	_ А р _ о
дуУР}^ dz\p) рР~дх\р} дДД/? ’
Производя дифференцирования, умножая на не равный нулю множи-
тель R3 и меняя знаки, получим:
Р&-— +	—Я = °-	(и)
. \dz dyj ^'.dx dz) 1	dxj	’
Условие (11) имеет вполне симметричную форму относительно Р,
Q, R и х, у, z. Если бы в начальной точке было R = 0, но, на-
пример, Р(х0, у0, z0) ф 0, то при выполнении условия (11) мы
нашли бы кусок интегрального многообразия двух измерений в форме
х = б (у, г).
При тождественном выполнении условия (11) уравнение Пфаффа
интегрируемо одним соотношением. Это условие является необ-
ходимым и достаточным.
Покажем, что, обратно, всякое семейство поверхностей от одного
параметра (при условии существования надлежащих производных)
является общим решением некоторого вполне интегрируемого
уравнения Пфаффа.
Напишем данное семейство в виде:
Ф(х, у, z) = C.	(12)
Дифференцируя соотношение (12), получаем:
<М> , . дФ , . дФ , п
з ~~ dx —I—5— dy “4— "г— dz — 0.
дх ‘ ду z 1 dz
Последнее уравнение допускает умножение на произвольную функ-
цию от х, у, г; таким образом, (12) является интегральным много-
образием для уравнения Пфаффа вида (9), причём необходимо имеют
место равенства:
дФ	дФ	дФ
дх	ду	dz	.	.
~р =	= Н Ф у, z).	(13)
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
363
§ 2]
Разрешая уравнение (54), дающее общее решение вполне инте-
грируемого уравнения Пфаффа, относительно постоянного С, мы
можем привести его к виду (5В) или (12); следовательно, всегда
имеют место соотношения (13). Иначе их можно переписать так:
„ дФ „ дФ о дФ	...
а само уравнение (9) по умножении на у. примет вид:
y.(Pdx-\-Qdy-\-Rdz) == ~ dx-\-^ydy-\-^-dz— О, (9')
или
</Ф = 0.
Таким образом, для вполне интегрируемого уравнения Пфаффа
всегда суш,ествует интегрирующий множитель у, по умножении
на который левая часть становится полным дифференциалом
некоторой функции от трёх переменных.
Из предыдущего очевидно, что и обратно, если существует инте-
грирующий множитель уравнения (9), то оно приводится к виду (9')
и интегрируется одним соотношением Ф = С. Можно проверить это
непосредственной выкладкой. По предположению, существует инте-
грирующий множитель у уравнения (9), т. е. имеют место соотно-
шения (14). Дифференцируем первое из них по у и приравниваем
результату дифференцирования второго по х; далее приравниваем
результаты дифференцирования второго по z и третьего по у\ нако-
нец, третьего по х и первого по г; получаем, перенося члены с у
в одну сторону, а члены с производными от у в другую:
,, (dP__ду	рду.
г\ду dxj Hix '*ду'
г \ dz	ду)	ду	dz
(dR___dy____________„ду
“ \дх	dz J	‘dz х дх'
Умножая полученные три уравнения, соответственно, на R, Р, Q,
складывая и деля на множитель у, не равный нулю (по крайней
мере там, где поверхность (12) не имеет особой точки), получаем
соотношение (И). Таким образом, если существует интегрирующий
множитель для уравнения (9), то условие полной интегрируемости
выполнено.
Примечание 1. Можно дать геометрическое истолкование
условию полной интегрируемости в форме (4). Пусть мы исходим
из точки (х, у, z) интегрального многообразия и продвигаемся по
этому многообразию в точку (x-]-dx, у); тогда получим значение:
z —dx = z —Д dx‘y
364	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
далее, переходим от точки (x-}-dx, у) к точке (x-\-dx, y-\-dy)t
не сходя с интегрального многообразия; соответствующее значение г
будет:
z A dx -ф-	A dx) dy = г -f- A dx -]- В dy -]- {А'у	А^В) dx dy.
Если мы продвинемся по интегральному многообразию сначала
до точки (х, y-\-dy), а затем до точки (x-rdx, y-\-dy), то соот-
ветствующее значение z будет:
z 4~ A dx —{— В dy —{— {Вх —j— В%А) dx dy.
Условия (4) выражают, что эти значения (с точностью до беско-
нечно малых порядка выше второго) равны, т. е. что значение функ-
ции г в бесконечно близкой точке не зависит от пути, по какому
мы пришли в эту точку,
Примечание 2. Если у. есть какой-нибудь интегрирующий
множитель уравнения (9), а Ф(х, у, z) = C—общее решение этого
уравнения, то легко видеть, что наиболее общий вид интегрирую-
щего множителя есть р.1=р./:'(ф), где F—произвольная функция.
Примечание 3. Ввиду симметрии относительно х, у, z урав-
нения Пфаффа в форме (9), его можно привести к любой из трёх
форм:
\)dz = —-pdx — rfy, 2) dx =— ~dy — -pdz;
3	) dy = — jydx — ~ dz.
Следовательно, в случае полной интегрируемости оно приводится
к любой из трёх систем двух уравнений в частных производных:
., dz ____Р dz ________ Q # „х dx__ Q dx______________В ,
^Зх- — ~ду— — р’ Z)~dy~~P’ dz ~~~р 'г
__Р	4L— Z?
> dx — Q ’	dz	Q’
Этим произволом можно пользоваться при решении задач, выбирая
наиболее простое уравнение для начального интегрирования.
3.	Рассмотрим теперь случай, когда для уравнения Пфаффа (9)
не выполняется условие полной интегрируемости (11). Из предыду-
щего следует, что в таком случае не существует интегральных много-
образий двух измерений. Будем тогда искать интегральные многообра-
зия одного измерения. В этом случае будет только одно независимое
переменное; примем за него х.
Уравнение (9) можно теперь написать в виде:
у, ^) + Q(x, у, г)^ + /?(х, у, г)~ = 0.	(15)
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
365
§ 2]
.Мы получили обыкновенное дифференциальное урав-
нение с двумя искомыми функциями. Задача его интегри-
рования заключает большую степень произвола. Мы можем задать
произвольно одну искомую функцию, например
(16)
тогда, вставляя в уравнение (15), получим:
Р(х, у, f(x» + R (х, у, /(x))/'(x) + Q(x, у, f(x))^ = O
— обыкновенное дифференциальное уравнение с одной искомой функ-
цией у; его общее решение пусть будет (мы предполагаем, что
выполнены условия теоремы Коши, например, что существуют про-
изводные Ру, Qy, Ry и что в начальной точке Qz£O):
y = g(x, С).	(17)
Совокупность уравнений (16) и (17) даёт интегральное многообразие
одного измерения для уравнения Пфаффа (9).
Можно дать первое соотношение в общей форме Ф (х, у, г) — О,
или
г==?(х, j).	(16J
Подставляя это значение г в уравнение (15), получаем:
Р(.х, У, <?(*>	+ У, <?(*, _У))|£ +
+ [<?(*» Л ?(*, y)) + R(x, у, ?(х, ^))^^ = о
— опять обыкновенное дифференциальное уравнение между х и у.
Вводя соответствующие предположения для того, чтобы выпол-
нялись условия теоремы Коши, и обозначая решение этого уравнения
через у = ф (х, С), мы получим уравнения интегрального многообра-
зия одного измерения в виде:
ЦГ(х, у, г) = 0, j = ^(x, С).	(17J
Таким образом, наиболее общее интегральное многообразие одного
измерения, удовлетворяющее уравнению Пфаффа, зависит от
одной произвольной функции и затем ещё от одного произволь-
ного постоянного.
Легко дать геометрическую интерпретацию полученному резуль-
тату. Произвольная функция в виде (16) представляет произвольный
цилиндр с образующими, параллельными оси Оу, а в виде (16J—
вообще произвольную поверхность. Совокупность уравнений (16t) и
(17) или (17J представляет семейство кривых от одного параметра,
лежащих на этой поверхности (решение обыкновенного дифферен-
циального уравнения между х и у даёт уравнение проекций кривых
366	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
этого семейства на плоскость xOz). Таким образом, интегральные
кривые уравнения Пфаффа на произвольной заданной поверхности
составляют семейство от одного параметра.
Примечание. Если уравнение Пфаффа вполне интегрируемо,
можно также методом настоящего раздела разыскивать для него
интегральные кривые. При этом мы получим следующий
результат. Уравнение (9) допускает • интегрирующий множитель
ч(.с, у, г); пусть у. (Р dx-Р- Q dy -ф- R dz) = <УФ i г, у, z)-t уравнение,
полученное подстановкой (16J, вида:
(₽+'гй>+Ф+'г$',‘-’“0’
очевидно, допускает интегрирующий множитель
у. = у(х, у, ®(х, у)),
так как по умножении на него левая часть этого уравнения обра-
тится в полный дифференциал d&(x, у, ®(х, у)).
Итак, интегральные кривые определяются двумя уравнениями:
z = ® (х, у), Ф (с, у, ® (х, у)) = С,
или, что то же,
Ф (х, у, z) = C, z = ср (х, у).
Мы приходим к заключению: в случае полной интегрируемости
уравнения Пфаффа, интегральными многообразиями одного измерения
являются произвольные кривые, расположенные на интегральных
поверхностях. Этот факт геометрически очевиден.
4.	Пфаффовы формы. Пфаффовой формой называется выраже-
ние вида:
п
Л; (X], ..., хп) dx-.
4	— 1
Теория пфаффовых форм представляет хорошо развитый отдел анализа!).
Мы приведём здесь некоторые результаты, касающиеся пфаффовых форм
от трёх переменных,
Рdx Q dy -f- R dz,	(A)
где P, Q, R — данные функции от x, у, z\ для дальнейших выводов мы их
предположим непрерывно дифференцируемыми два раза. Рассмотрим при-
ведение формы (А) к простейшему, каноническому виду.
Здесь могут представиться три случая:
1)	Форма (А) представляет точный дифференциал; следовательно, суще-
ствует такая функция и (х, у, г), что имеет место равенство:
Р dx Q dy R dz — du.	(AJ.
Э См., например, П. К. Рашевский, Геометрическая теория уравне-
ний с частными производными, Гостехиздат, 1947, и Э. К а р т а н, Интегральные
инварианты.
§ 2J
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
367
Замечая, что в таком случае Р = -ч— , О =-ч—, R = ж— . мы из сравнения
дх ‘ ду dz
различных выражений для вторых смешанных производных получаем три
необходимых условия для представления формы (А) в виде (AJ;
dP_dQ	dQ=dR	дР = ЭР
ду ~ дх’	dz ~~ ду ’	dx dz '	'
Легко убедиться в том, что эти условия также достаточны для представления
формы Пфаффа в виде (Aj), причём для а получаем значение:
х	у	Z
и = J Р(х, у, z)dx-\- j* Q (х0, у, z) dy + J P (x0, y0, z)dz^C,
Vo	го
где C — произвольная постоянная (ср, главу II, § 3, 1).
2)	Условия (BJ не выполняются, но имеет место тождество:
+	=	(В.,)
\dz ду / \дх dz) 1 \оу дх/	'
В таком случае, как мы видели, выражение (А) допускает интегрирующий
множитель; в силу соотношений (13), меняя обозначения = и, Ф = vj, мы
можем придать пфаффовой форме вид:
Pdx-}-.Q dy + Pdz — и dv.	(А2)
3)	Не выполнены ни условия (BJ, ни (В2). Покажем, что в этом случае
можно от формы (А) отнять полный дифференциал так, что для разности
будет выполнено условие (В2), Итак, ищем такую функцию и (х, у, z), что
если положить
Р dx -J- Q dy -f- R dz — du = P1dx dy 4- P, dz,
то будет выполнено соотношение
/ dQ± _ арц	fdR^ _ орл + Ж _	0. (Вд)
dz ду / 1	*\ дх dz / 1	\ ду дх)	67
Заменяя в соотношении (В3) Р^ пх выражениями;
^ = (2-^, R^R-^,
Л.с , L	ду ’	dz ’
мы после приведений получим для и уравнение:
/ dQ	дР\ди_ . f dR  дР\ ди , (дР	dQ\du_
\ dz	ду ) дх~^\ дх	dz ) ду ' \ ду	дх) dz
\dz ду)+^\дх дг) + Н\ду
dQ\
дх )'
(С)
Соответствующая этому линейному неоднородному уравнению в частных
производных система обыкновенных дифференциальных уравнений есть
dx _ dy_______________dz _
d-R'u~ R'x — p'~P'y — Q'x~
Z	У	•X'	Z	у	dj
p	-Py) + Q < - p'J + R <Py - Q j ’
368	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Все условия для существования решения (необращение в нуль некоторых
знаменателей, дифференцируемость) выполнены, и в качестве и мы можем
взять любое решение уравнения (С). Замечая, что форма PAdx + Q\dy -ф R\ dz
подходит под случай 2), мы в рассматриваемом случае получаем канониче-
ский вид пфаффовой формы:
Р dx Q dy R dz = du	v dw.	(Ag)
Итак, форма (А) приводится к одному из трёх канонических видов-,
du, и dv, du-\-v dw.
Наименьшее количество переменных, через которые может быть выра-
жена пфаффова форма, определяет её класс. Итак, пфаффова форма от трёх
переменных может принадлежать к I, II или III классу.
Приравнивая форму Пфаффа нулю, получаем уравнение Пфаффа. В пер-
вых двух случаях оно допускает интегральное соотношение двух измерений,
соответственно и = const. и v = const. В последнем случае мы уже знаем, что
существуют интегральные соотношения только одного измерения. Заметим,
что если форма приведена к виду (А3), эти соотношения будут содержать
только произвольную функцию и её производную, притом в явном виде и
не под знаком квадратуры. В самом деле, мы имеем уравнение:
du -\-vdw = 0.
Положим (первое соотношение) и = tp (w), где tp— произвольная функция;
тогда из уравнения получаем второе соотношение; v = — cpz (w).
Пример 3. yzdx-}-хг dy-\-xyzdz = 0. Уравнение допускает,
очевидно, интегрирующий множитель по умножении на него
переменные разделяются:
_L^ = 0,
X 1 у 1
Интегральное соотношение хуег = С.
Пример 4. (2x2-j-2xy-j-2xz'3-l- l)dx-f-dy-j-2zdz = 0. Усло-
вие интегрируемости
dR\ , (dR дР\ /дР dQ\
Р<17 - -д^) + Q<17 - -дГ) + R	=
= (2х2 4- 2ху 2xz2 4- 1) (0 — 0) —1 (0 — 4хг) -ф- 2z (2х — 0) = 0
выполняется. Считая х за постоянное, следовательно, dx = О,
ду
интегрируем уравнение между у и г:	—2г; получаем:
у 4- z2 — и (х). Согласно общей теории, в результате подстановки
в начальное уравнение мы должны получить обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение между х и и; и действительно, находим:
(2х24~ 2xu-\-V)dx -\-du = 0. Это — линейное уравнение относи-
тельно и\ его общее решение:
и = е~хЧС-\- I ex\—2x2—\)dx} = Ce-x‘ — x.
§ 2]
УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
369
Разрешая относительно С и заменяя и его значением, получаем:
Пример 5. Определить проекции на плоскость хОу семейства
кривых, определяемых на эллипсоиде	~ уравнением
Пфаффа:
1
/ r2	v2 \ *2
xdx-j-ydy-[-c(l —	rfe = 0.
Данное уравнение Пфаффа не удовлетворяет условию интегрируе-
мости. Поэтому определяем z из заданного. конечного уравнения и
вставляем полученное значение dz в уравнение Пфаффа;
откуда
О—
Пример 6. у dx + z dy -J- х dz «= 0. Условия (Bt) и (В2) настоящего
параграфа не выполнены; имеем случай 3). Составляем уравнение (С):
ди , ди . ди ,
д^ + -д^ + -д1==х+у + г-
Общее решение этого уравнения есть и = -g- (х -j-y г)2 -|- ф (х—у, у — г)
(6— произвольная функция). Нам удобно взять такое решение уравне-
ния (С):
И = -g-(x+y+ г)2 —^(х—у)2 —^(у — 2)2—1 {(х—у) + (у —г)}2 =
=(ху + yz + ZX).
Вычитаем из левой части уравнения du; получаем пфаффову форму:
у dx + z dy -f- х dz — du = у {(у — g)dz-\-(z — x) dy + (x — y) dz}.
Для этой формы условие (Вг) выполнено; легко убедиться в том, что она
допускает интегрирующий множитель и. = --~гг, причём
\х У г
ъ , г ---г {(У — г) dx + (z — х) dy + (х — у) dz}=~d •
А\х—уу	£ л у
370
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
1 2____X
Отсюда мы имеем; v = (х—у)2, ai=g- —-----------> и форма, стоящая в левой
части данного уравнения, допускает каноническое представление вида (А3);
у dx 4- z dy + х dz = d -i- (xy +yz + zx) + (x — у)2 d -A-	.
£	2 у —— X
Два соотношения, дающие интегральные многообразия одного измерения, мы
получаем в виде:
,	. (z—х\	(z—х\
xy+yz + zx = V^^—yj, (х— у)2 = —
где if — произвольная функция.
ЗАДАЧИ.
Проверить условия интегрируемости и найти интегральные многооб-
разия уравнений;
205.	(yz — z2) dx — xz dy 4- xy dz = 0.
206.	(z —уУ (z — 2x + y) dx + (x — г)3 (x — 2y z) dy -)-
+ (y — xy (y ~2z -j- x) dz = 0.
У Казани e. Ввести вместо x и у новые переменные: у — z = a, z — x—v.
207.	z (1 — z2) dx z dy — (x + у + хг2) dz = 0.
208.	(3x2 ~hyz) у dx — x2 dy + (x -|- 2z)y2 dz = 0.
209.	(1 —4x) dx + (1 + 4y) dy —4zdz = 0; начальные условия x=y =z— 1.
210.	dx (y -f- z) dy -|- z dz = 0.
§ 3.	Полный, общий и особый интегралы уравнения
в частных производных первого порядка.
1.	Прежде чем дать способ решения одного нелинейного уравне-
ния в частных производных первого порядка, постараемся изучить ту
форму, в которой целесообразно искать решение такого уравнения.
Для простоты рассуждений и для геометрической наглядности мы
остановимся на случае трёх переменных: независимые переменные х, у;
искомая функция г.
Мы будем систематически применять обозначения Монжа для
частных производных:
Общее уравнение в частных производных первого порядка может
быть записано в виде:
Д(х, у, z, р, ?) = 0,	(1)
где F— данная функция пяти аргументов; надо ввести определённые
ограничения относительно её дифференциальных свойств. Достаточно
потребовать существования и непрерывности вторых частных произ-
водных от F по всем аргументам. В левую часть уравнения (1), по
определению, непременно входит хоть одна из производных р, q\
предположим, что это есть р. Тогда уравнение (1) может быть раз-
решено относительно р (по крайней мере в окрестности тех значений
§ 3]
ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ
371
аргументов, которые обращают F в нуль и для которых фЪ].
Мы, наряду с уравнением (1), будем также рассматривать уравнение
в форме, разрешённой относительно р'.
P=f{x, у, z, q) 0-	(18)
Решение уравнения в частных производных первого порядка, зави-
сящее от двух произвольных постоянных (независимых), называется
полным интегралом. Мы будем записывать полный интеграл в неявной
форме:
V(x, у, z, а, 6) = 0,	(19)
или же в форме, разрешённой относительно z\
z = »(х, у, a, b).	(19,)
Можно также определить полный интеграл как такое соотношение
между тремя переменными и двумя произвольными постоянными, из
которого и из соотношений, получаемых его дифференцированием по
независимым переменным, получается, путём исключения постоянных,
данное уравнение.
Покажем, что два определения эквивалентны. При этом мы будем поль-
зоваться формой уравнения (18) и формой полного интеграла (19().
Пусть, во-первых, дано, что (19t) есть решение уравнения (18), то-есть
имеет место тождество (по х, у, а, Ь):
ф(х, у, а, Ь) = /(х, у, tf>(.v, у, а, &),	(х, у, а, &)).	(А)
Мы имеем равенства:
Z = =? (X, у, a, b),	(19J
р = ус(х, у, а, h),	(19_,)
q = ч'уФ у, а, Ь).	(1Э3)
Покажем, что в результате исключения параметров а, b из уравнений (19;),
(192), (193) мы придём к уравнению (18). Мы будем определять параметры
а и b из уравнений (19J и (193) и полученные выражения внесём в равенство
(19.,). Заметим, что это разрешение возможно по крайней мере в некоторой
области изменения переменных. В самом деле, если бы якобиан
° (? ?у)
£> (а, Ь)
*) Это разрешение невозможно, если правая часть (18) не содержит р-,
тогда она непременно содержит q, так как иначе мы не имели бы уравнения
в частных производных. Меняя в этом случае роль переменных, мы без огра-
ничения общности всегда можем представить уравнение (1) в виде (18), если
только оно вообще допускает действительное решение относительно р или q.
372	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
dtp
тождественно равнялся нулю, то, так как ^-^0 (ср действительно зависит
от а), уравнения (19х) и (192) дали бы
Я = X (*, х, у) 1).	(18J
Функция z удовлетворяет двум уравнениям (18) и (181), которые могут быть
разрешены относительно р, q, т. е. z удовлетворяет двум совместным урав-
нениям первого порядка. Мы исследовали такие системы в § 1 настоящей
главы и видели, что их общее решение не может содержать более одной
произвольной постоянной. Это противоречит нашему предположению, что
решение (19t) содержит две существенные произвольные постоянные.
Итак, якобиан (В) не равен тождественно нулю. Следовательно, уравне-
ния (19J и (193) в некоторой области могут быть разрешены относительно
а и Ь, и мы получим:
« =	(*, У, г, q), b = <]>2 (х, у, z, д).	(20)
Таким образом, мы имеем тождества:
ср (х, у, (х, У, z, q), i2 (х, у, z, д)) = г, )
,	1	(21)
Чи У' ’i'l У' г’ ЧУ ^2 (х' У' z' ЧУ) = 9- J
и из определения обратного преобразования тождества:
% (х, у, ср (х, у, а, Ь), ср' (х, у, a, b)) = а, )
,	}	(22)
Ф2 (х- ? (*’ У- а~ ЬУ Чу (х’ У' а' ЬУ> = Ь- J
Подставляя значения (20) в равенство (192), получаем:
Р = ЧХ (*. У* Ф1 (*>	*, ЧУ Ф2 (х’ У' z' Ч)У	(С)
Покажем, что правая часть равенства (С) тождественна с правой частью
уравнения (18). Подставив в тождество (А) вместо а и & их выражения (20),
мы получим в левой части:
<•*’ У> (х, У, z, q), ф2(х, у, z, д)),
а в правой части, принимая во внимание тождества (21),
/(х, у, z, q).
Таким образом, имеем:
^(х'	(х, у, z, q), ф2(х, у, z, q))=f(x,y, z, q),	(D)
что и требовалось доказать.
Пусть теперь, обратно, уравнение (18) получено исключением а и b из
соотношений (192), (192), (193), то-есть имеет место тождество (D). Подставим
в обе части этого тождества значения z, q, даваемые формулами (19J, (193).
В силу тождеств (22), получим тождество (А), т. е. (19д) есть решение урав-
нения.
Примечание. Если уравнение (19й) явно не содержит z, то, наряду
с решением z = ср (х, _у), решением является также z = ср (х, у) + С,
!) См., например, В. Немыцкий и др., Курс математического анализа,
т. II, гл. XII, теорема 1.
§ 31
ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ
37 з
но есть можно искать полный интеграл, содержащий один из пара-
метров аддитивно.
z = <f (х, у, а) 4- Ь.	(194)
Обратно, если полный интеграл имеет форму (194), то уравнения (192), (193)
содержат один параметр а, и в результате его исключения мы получим урав-
нение, связывающее р и q и не содержащее явно z.
Если брать уравнение в форме (1) и полный интеграл в нераз-
решённом виде (19), то мы можем сказать, что уравнение (1) экви-
валентно уравнению, получаемому исключением
а и b из системы:
V (х, у, г, а, Ь) = О,
dV , dV n
dV , dV n
(23)
от двух произволь-
видели, то уравне-
2. Полный интеграл, т. e. решение, зависящее
ных постоянных, однозначно определяет, как мы
ние в частных производных, которому он принадлежит. По аналогии
с линейными уравнениями в частных производных мы не вправе,
однако, ожидать, что получим все решения уравнения в частных про-
изводных, придавая произвольным постоянным всевозможные числовые
значения, ибо для названного частного типа уравнений мы убедились,
что общее решение зависело от произвольной функции.
Лагранж показал, однако, что все решения уравнения в частных
производных первого порядка могут быть получены из полного инте-
грала путём вариации постоянных; при этом требуются только
операции дифференцирования и исключения.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
p=f(x, у, z, q)
и его полный интеграл
z = <р (х, у, а, Ь).
(18}
(19J
Пусть теперь а и b будут некоторые функции от х и у.
Если мы определим в этих предположениях две функции р и q
равенствами:
Р = Ъ (х> Ь	6)>	(192)
7 =	У.	Ь),	(193)
не предрешая вопроса	о том, будут	ли р и	q частными	производ-
ными от z, то из первого определения полного интеграла следует,
что функции z, р, q, определённые формулами (194), (192), (193),
обращают уравнение (18) в тождество по х, у, а, Ь, т. е., в част-
ности, при любых функциях а и Ь. Подберём теперь функции а и b
374
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
от х и у таким образом, чтобы выражение (19;) было решением
дифференциального уравнения (18), т. е. чтобы выражения (192) и (193)
были частными производными от z соответственно по х и по у.
Дифференцируя (19J по х и по у в предположении, что а и b суть
функции х и у, мы получим:
dz
дх ‘ ®
dz
— = w
ду ‘ у
, да , , дЬ
а дх 1 1bдх
, да ।	, дЬ
ду "1~ ду'
(24)
Сравнивая формулы (192), (193) и (24), мы видим, что р и q из
формул (192) и (193) будут частными производными от z по х и у
при переменных а и Ь, если а и b удовлетворяют уравнениям:
да
, да .	, дЬ	_
z да ।	, дЬ	-
(25)
При выполнении условий (25) функция ® (х, у, а, Ь~) с пере-
менными а и b будет решением уравнения (18).
Рассмотрим вопрос о том, как удовлетворить уравнениям (25).
1)	Уравнения (25) удовлетворяются, если функции а и b удо-
влетворяют двум конечным (не дифференциальным) уравнениям:
?„(-£, у, а, #) = 0, ®'ь(х, у, а, 6) = 0.	(26)
Допуская, что эти уравнения разрешимы относительно а и Ь, мы
подставим полученные в результате этого разрешения функции от х
и у в выражение (19), которое окажется решением уравнения, не
содержащим ни произвольных постоянных, ни произвольных функций.
Это решение называется особым интегралом.
2)	Если функции и не обращаются-в нуль при подстановке
на место а и b соответствующих функций от х и у, то, рассматривая
уравнения (25) как систему двух алгебраических линейных уравнений
с двумя неизвестными, мы приходим к выводу, что определитель
да
дх
да
ду
дЬ
дх
дЬ
ду
= 0.
(27)
Если все элементы этого определителя равны нулю, то а — const.,
b = const., и мы возвращаемся к полному интегралу.
3)	Если не все элементы определителя (27) равны нулю, то его
тождественное обращение в нуль показывает, что между а и b
§ 3]
ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ
375
существует функциональная зависимость, не содержащая х и у; если,
да , г. да ,	,
например, ф 0 или ф 0, то эта зависимость может быть запи-
сана в виде:
b = ш (а),	(28)-
причём а> — произвольная функция. Подставляя значение (28) в урав-
[дЬ ,, . да
так как д- = ш («) з-,
О X	ох
дЬ , , . да!
— == ш (а)	;
ду v ’ ду J
<p„(x, у, а, <о(а))-|-о'(х, у, а, а>(а))а/(а) =0.
(29)
Если из этого уравнения можно определить а как функцию от х и у,
то затем из уравнения (28) мы находим b как функцию независимых
переменных; подставляя эти значения а и b в выражение (19J, мы,,
согласно предыдущему, получим решение. Совокупность таких реше«
ний при любом выборе дифференцируемой функции <о(а) называется
общим интегралом уравнения (1) или уравнения (18). Каждому
выбору произвольной функции ш (а) соответствует, вообще говоря,
некоторое частное решение, входящее в общий интеграл. В этом
смысле мы можем сказать, что общий интеграл зависит от произ-
вольной функции.
Мы провели все рассуждения для полного интеграла, представлен-
ного в разрешённой форме (19,). Соответствующие вычисления
можно провести и для полного интеграла, данного в неразрешённой
относительно z форме (19); только в соответствующих местах
придётся вводить производные от неявной функции и иногда вво-
дить дополнительные требования о разрешимости тех или иных
уравнений.
В самом деле, уравнение (1) является следствием уравнений (23)
как при постоянных, так и при переменных а и Ь. Если а и b
являются функциями от х, у, то соответствующие производные от z
по х и у, т. е. р, q, вычисляются из соотношений:
dV , dV	.dV да .dV db  
дх ‘ дг	г" да дх ' дЬ дх	’
, ^да_,дУдЬ__п
ду ' dz ' да ду ~Г дЬ ду
(24t)
Сравнивая формулы (24J и (23), мы получаем условия:
да дх ~ дЬ дх
да ду * дЬ ду
= 0, j
= 0. I
(25J
376	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Из этих условий, совместно с уравнением 7=0, нам надо опре-
делить функции а и Ь. Мы снова получаем три случая:
W A dV
1)	если положить -— = 0, -5-= 0, то. исключая из этих урав-
'	да ’ дЬ ’	’	71
нений и из уравнения (19) а и Ь, мы придём к особому интегралу,
вовсе не содержащему произвольных постоянных;
да да db дЬ п
2)	полагая ^ = ^-==^ = ^- = 0, мы возвращаемся к полному
интегралу,
3) в общем
о существовании
D (а, Ь) „
случае мы имеем: -=-Н—г = 0,
J	D (х, у)
соотношения между а и Ь,
b = о> (а),
откуда
заключаем
(28)
где ш означает произвольную функцию. В силу уравнения (28),
•система (25J приводится к одному соотношению:
дV , dv ,. .	,о .
3?+^“ (а)=°-	ТО
Исключая а и b из уравнений (19), (28) и (29г), мы приходим к
соотношению между х, у, г, входящему в общий интеграл; факти-
ческий вид этого решения зависит от выбора произвольной функ-
ции w (а). Итак, общий интеграл определяется соотношениями (19),
(28) и (29j) при произвольной (дифференцируемой) функции <в.
3.	Мы нашли три вида решения уравнения в частных производ-
ных. Сейчас мы покажем, что этими тремя видами исчерпываются все
решения уравнения (1) или (18): иначе говоря, всякое решение урав-
нения в частных производных входит или в полный, или в общий,
или в особый интеграл.
В самом деле, пусть
z = Ф (х, у)	(30)
будет какое-нибудь решение уравнения (18), т. е. имеет место
тождество:
y)=f(x, У, $(х,у), Ф'(х, ^)).	(С)
Пусть, с другой стороны,
z = <р(х, у, a, b)	(19J
есть полный интеграл того же уравнения. В силу предыдущей теории,
чтобы (если это возможно) получить решение (30) из полного инте-
грала, надо подобрать две функции а и b от х и у так, чтобы имели
место тождества:
Ф(х, _y) = ?(x, у, а, Ь),	(31)
у} = ч'Лх> У> а> *)»	(31i)
У) = <?'„(х> У> а, &)•	(31я)
§ 3]	ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ	377
Мы уже видели (п. 1), что уравнения (31) и (322) разрешимы
относительно а и Ь'
а == 41 (х, у, Ф, Ф'),
= у, Ф Фр;
44 и имеют то же значение, что в формулах (20). Внося найден-
ные значения а и b в правую часть уравнения (31^, мы получим:
<fa(x, у, 4JX, у, Ф, Ф'Д 42(х, у, Ф, Фр),
а это, в силу тождества (D) (п. 1), совпадает с выражением
/(*, у, Ф, Фр;
это же последнее выражение, в силу тождества (С), даёт Ф.с(х, у).
Таким образом, значения а и Ь, найденные из системы (31) и (312),
удовлетворяют также уравнению (31J. Итак, если Ф есть решение,
то определение а и Ь из уравнений (31), (31J, (312) всегда возможно.
Дифференцируя обе части уравнения (31), в которое вместо а и fr
подставлены найденные функции, соответственно по х и у, мы полу-
чаем;
- .	.	/  z да ;	' дЬ
ФЖ(Х, у) = ^ + «„^+?Ь51,
фу (х, у) =	4-
Сравнивая полученные тождества с равенствами (31 j) и(312), приходим
к заключению, что а и b удовлетворяют уравнениям:
, да .	, дЬ п , да ,	, дЬ п
"в дх 1 ‘ Ъ дх	‘а ду 1 ‘ 6 ду
Но в п. 2 мы исследовали эту систему и пришли к выводу, что она
приводит лишь к полному, общему или особому интегралу. Таким
образом, наше утверждение доказано.
Примечание. Легко убедиться в том, что одному дифферен-
циальному уравнению соответствует бесчисленное множество полных
интегралов.
В самом деле, пусть мы имеем один из них: г = ©(х, у, а, &).
При нахождении из него общего интеграла выберем функцию ф,
совершенно определённую, но зависящую от двух постоянных а', д',
b == ш (а; а', Ь')', полученное по правилу нахождения общего интеграла
исключением а и b решение- будет зависеть от двух новых пара-
метров а' и Ь', т. е. будет представлять полный интеграл данного
уравнения, отличный, вообще, от исходного.
4. Полученные результаты относительно интегралов диффе-
ренциального уравнения в частных производных допускают про-
стую геометрическую интерпретацию. Решение уравнения в частных
378	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
производных определяет в координатном пространстве (х, у, г)
поверхность, которую мы будем называть интегральной поверхностью.
Полный интеграл
V(x, у, г, а, £) = О	(19)
представляет семейство интегральных поверхностей от двух пара-
метров.
Назовём элементом прикосновения, или просто элементом, сово-
купность пяти величин (х, у, z, р, q), где х, у, z суть координаты
некоторой точки, а р и q—-угловые коэффициенты проходящей через
неё плоскости. Тогда задача нахождения решения уравнения (1) может
быть поставлена так: найти такую поверхность, чтобы совокупность
элементов, образованных точками этой поверхности и угловыми коэф-
фициентами касательных плоскостей, удовлетворяла соотношению:
F(x, у, z, р, q) = 0.	(1)
Полный интеграл представляет семейство интегральных поверхностей,
зависящее от двух параметров. Мы видели, что не все интегральные
поверхности получаются из полного интеграла при частных значениях
параметров. Посмотрим, что представляют геометрически общий и
особый интегралы. Для получения решения, входящего в общий
интеграл, мы брали произвольно соотношение:
д = ш(а),	(28)
подставляли это значение b в уравнение (19) и исключали параметр а
из соотношений:
V(x, у, z, a, b)==Q,	+	(а) = 0-	<19/)
Геометрически это значит следующее: мы, при помощи соотноше-
ния (28), из данного семейства (19) от двух параметров выделяем
некоторое семейство от одного параметра и затем находим огибающую
поверхность этого семейства. Так как огибающая поверхность в ка-
ждой своей точке касается одной из огибаемых поверхностей, т. е.
имеет с нею общий элемент соприкосновения, то является очевидным
тот факт, что эта огибающая также есть решение данного уравнения.
Наконец, особый интеграл получается исключением а и b из трёх
уравнений:
Но этот процесс, как известно, приводит к огибающей семейства
поверхностей от двух параметров, если она существует. Рассуждение,
подобное предыдущему, показывает, что все элементы этой огибающей
поверхности удовлетворяют данному уравнению, т. е. она является
ин 1 егральной поверхностью.
§ 31	ПОЛНЫЙ, ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЯ	379
Пример 7. Семейство шаровых поверхностей данного радиуса /?
с центрами в точках плоскости хОу
(х — «)2(у — £)2 + г2 —
есть семейство от двух параметров а и Ь. Чтобы найти уравнение
в частных производных, для которого это семейство является полным
интегралом, дифференцируем уравнение по х и по у в предположении,
что z есть функция х и у, из трёх полученных уравнений исклю-
чаем а и Ь. Имеем:
х — a-\-zp — Q, у — b-\-zq = Q",
отсюда х — а =—гр, у — Ь = —zq. Подставляя эти выражения
в исходное уравнение, получаем:
z2(l + /,2 q~) =-R2
— соответствующее уравнение в частных производных.
Чтобы получить решение, входящее в общий интеграл, вводим
соотношение b =о>(а), т. е. выделяем семейство шаров, центры
которых лежат на линии у = <n (х), z — 0. Всякая огибающая поверх-
ность такого семейства {поверхность каналов) является интегральной
поверхностью и входит в общий интеграл. Наконец, особый интеграл
получится исключением а, и b из трёх уравнений:
(х— а)*-\-(у —	= /?2, х— а = 0, у — Ь = 0,
откуда г = ±Д. Получим уравнения двух плоскостей, которые ка-
саются каждой шаровой поверхности в одной точке.
Возьмём, в частности, в качестве линий центров шаров семейство
всех прямых плоскости, зависящее от двух параметров а, >3:
b = ат. 4- р.
Нам следует исключить параметр а из двух соотношений:
(х — а''г-1-(у — a'j. —	х —	— (VJ — ?1~
получаем семейство (от двух параметров) круглых цилиндров ра-
диуса R, оси которых лежат в плоскости хОу, которое, в свою
очередь, может служить полным интегралом:
(V-xr-ft)2 , 2__ Q2
1 +	Г г —	.
Пример 8. Полный интеграл: z — ах-j- by-j-ab. Находим соот-
ветствующее уравнение: р = а, q — b; z — рх qy pq. Находим
особый интеграл: O = x-j-Z>, 0 =у + г — —ху. Особый интеграл
есть гиперболоид, а полный состоит из семейства от двух параметров
его касательных плоскостей. Для нахождения общего интеграла мы
380	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гЛ. IX
должны установить соотношение b = <и (а) и исключить а из урав-
нений:
г — ах “ («) У 4" (я), 0 =	4" («)(j + «)•
Получаем уравнение развёртывающейся поверхности (как оги-
бающей семейства плоскостей от одного параметра), касающейся гипер-
болоида вдоль кривой, проекция которой на плоскость z = 0 есть
Х= — <о(—у).
5. Характеристики. В дифференциальной геометрии при на-
хождении огибающей семейства поверхностей от одного параметра
характеристики определяются как линии, вдоль которых огибаемая
поверхность соприкасается с огибающей. Рассмотрим эти характери-
стики, или, точнее, характеристические линии, как они определяются
при нахождении общего интеграла при известном полном интеграле.
Пусть дан полный интеграл:
У(х, у, z, а, Ь) = 0.	(19)
Мы видели, что общий интеграл определяется как огибающая
семейства поверхностей от одного параметра,
V(x, у, г, а, о)(а)) = 0,
где <о (а) есть произвольная функция. Уравнения характеристических
линий для этого семейства имеют вид:
V(x, у, z, а, <о(а)) = 0, V'a 4- ¥ь°>' («) = 0,	(19х)
т. е. по виду — это те же уравнения, которые определяют общий
интеграл, но рассматриваемые при постоянном значении па-
раметра. Если придавать параметру а различные значения, то
уравнения (19') определяют семейство характеристических линий от
одного параметра, которые и образуют общий интеграл. Из опреде-
ления огибающей поверхности следует, что вдоль характеристики
огибающая и огибаемая имеют общие элементы прикосно-
вения, т. е. не только точки, но и касательные плоскости. Чтобы
получить угловые коэффициенты этой касательной плоскости, доста-
точно продифференцировать первое уравнение (19х) по х и по у
(мы вправе рассматривать а как постоянное, т. е. определить угловые
коэффициенты касательной плоскости к огибаемой поверхности):
V'x(x, у, г, а, <о(а)) 4-У'р = 0, ^+^ = 0.	(19хх)
Уравнения (19х) и (19хх) определяют при постоянном а характери-
стическую линию и в каждой точке её угловые коэффициенты р
и q некоторой плоскости; так как эта плоскость есть касательная
к интегральной поверхности и характеристика лежит на этой по-
верхности, то плоскость
Z—г = р(Х—х)4-7(У—у)
§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 381
есть одна из касательных плоскостей к характери-
стической линии (19') в точке (х, у, г).
Таким образом, уравнения (19') и (19") определяют при постоян-
ном а геометрический образ, составленный из кривой (19'), каждой
точке которой отнесена одна из касательных плоскостей к этой кри-
вой. Этот образ мы будем называть характеристикой первого по-
рядка или характеристической полосой. Вся характеристика первого
порядка принадлежит интегральной поверхности как полного, так и
общего интеграла — точки кривой лежат на интегральных поверх-
ностях, а касательные плоскости, определённые уравнениями (19"),
являются касательными плоскостями к интегральным поверхностям.
Мы провели наше рассмотрение, выбрав определённую функ-
цию ад («) и придавая затем параметру а постоянное значение. По-
ставим теперь вопрос об определении всех характеристик,
которые можно получить из полного интеграла (19). Заметим, что
при постоянном значении а0 параметра а значение произвольной
функции (а) есть произвольное число Ьо, а значение производ-
ной ш'(а) есть ещё одно произвольное число с0’). Итак, все воз-
можные характеристические линии определяются
уравнениями:
У(х, у, г, а, Ь) — 0, V'a (х, у, z, а, Ь) + Уъ(х, у, z, а, д)с = 0, (19'")
где а, Ь, с — три произвольные постоянные. Чтобы опре-
делить характеристики первого порядка, надо к уравнениям (19'")
присоединить ещё следующие:
v'x (х, у, г, а, Ь) v'zp = 0, v'y -ф и'# = 0.	(19fV)
Итак, характеристики (нелинейного) дифференциального уравнения
в частных производных образуют семейство от трёх параметров.
§ 4. Метод Лагранжа-Шарпи нахождения полного интеграла.
1. В предыдущем параграфе мы видели, что задача интеграции
уравнения в частных производных может считаться формально за-
конченной, если нам удалось найти полный интеграл, так как все
остальные решения получаются из него дифференцированием и исклю-
чением. Переходим к тем методам, которые дают возможность факти-
чески разыскивать этот интеграл. При этом мы будем придерживаться
формальной точки зрения, т. е. считать задачу разрешённой, если она
сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных
*) В самом деле, достаточно взять функцию ш (а) вида;
“ (а) — Ьо (а — а0) с0,
чтобы иметь
ш (а0) = Ьо, ш' (я0) = с0.
382	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
уравнений, а тем более к квадратурам. Мы будем опираться на ре-
зультаты § 1, а именно, там мы видели, как находить решение
двух совместных уравнений с частными производными. Теперь нам
дано одно такое уравнение. Идея метода Лагранжа-Шарли состоит
в том, что мы находим второе уравнение при условии, чтобы система
из двух полученных уравнений была вполне интегрируема. Второе
уравнение подбираем так, чтобы оно содержало одно произвольное
постоянное. При интеграции системы двух уравнений введётся ещё
одно произвольное постоянное. В результате мы получаем решение
данного уравнения, зависящее от двух произвольных постоянных,
т. е. полный интеграл.
Переходим к изложению метода. Дано дифференциальное урав-
нение в частных производных первого порядка:
F(x, у, z, р, q) — Q.	(1)
Постараемся найти второе уравнение:
Ф(х, у, z, р, q) = a,	(32)
содержащее произвольное постоянное а, так чтобы система уравне-
ний (1) и (32) удовлетворяла условию полной интегрируемости. Для
этого, прежде всего, необходимо, чтобы эта система была разрешима
относительно совокупности переменных р и q, в частности, чтобы
не обращался тождественно в нуль якобиан
D (£, Ф)
D (р, q) ‘
Предположим эти условия выполненными. Тогда мы можем при-
вести систему к виду:
р -= А (х, у, г); q — B(x, у, г),	(3)
и условие полной интегрируемости напишется так:
ду 1 dz дх 1 dz
Перепишем это условие 'для системы (1), (32), определяющей
Р и ,у как функции от х, у, г, пользуясь формулами производных
с: неявных функций. Замечаем, что для подстановки в уравнение (4)
нам достаточно вычислить следующие частные производные:
дА   др др дд дд
ду	ду ’ дг ' дх ’ dz
Дифференцируем равенства (1), (32), рассматривая р и q как
функции от х, __у, г, по г; получаем:
/Д +/ф4- Fg-^- = 0,
z 1	v dz 1	J dz	’
ф' + IT + ф« = °-
9 1 p dz 1	* dz	’
§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 383
откуда
< *ч
др
dz
р а
ф' ф'
р ч
дд
dz
(33)
Аналогично, дифференцирование по х даёт:
+	+	=	^ + $p-J- + $g-^- = O,
л 1	1 dx 1	4 dx ’	1 р dx 1	* dx ’
откуда
дд
дх
Ff Ff
р X
ф7 ф'
р х
(34)
Р ч.
ф' ф'
Р 0.
Дифференцирование по у даёт:
ф;+<<+ф;>=».
откуда
др
ду
ф' ф'
У ч
F' р'
Р Ч
ф' ф'
Р Ч
(35)
Вставляем выражения (3) для А и В и выражения (33), (34), (35)
для их производных в условие (4); освобождаясь от знаменателя,
который, по условию, не равен нулю, получаем:
Fy Fq
Ф» Фа
б
Фг Фу
Fp F х
Ф^ Ф®
Fp F'z
Фр Фг
р — О,
я +
или
Fp Р'х-^-р'гР
Фр Ф^ + ФгР
Fq F'y-\- Fzq
Фа ФуЬФг^
= 0.
(36)
Для производных от известной функции F вводим обозначения:
= Л Fy=Y, F'z = Z, F'p = P, Fy = Q.
384
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
Раскрывая определители в последнем равенстве, мы получим для не-
известной функции Ф линейное уравнение в частных про-
изводных первого порядка:
< + (рр + <?< - (*+ ^-(y+zq) = о. (37)
Это уравнение связано с системой обыкновенных дифференциальных
уравнений *):
dx __ dy _ dz ______ dp _ dq
P ~~ Q ~ Pp + Qq~~ X + Zp" Y+Zq'
Нам достаточно найти одно частное решение уравнения (37), со-
держащее произвольное постоянное; следовательно, достаточно
найти один первый интеграл системы (38):
Ф (х, у, z, р, q) = a,	(32)
удовлетворяющий тому условию, что уравнение (32) вместе с урав-
нением (1) разрешимы относительно р, q. Производя это разреше-
ние, мы найдём выражения р. и q через х, у, г и постоянное «:
Jo = <p1(x, у, z, a), q — 'i^fx, у, г, а). Подставляя эти выражения
в уравнение Пфаффа:
dz = р dx-\- qdy,	(39)
получаем, согласно предыдущим рассуждениям, вполне интегрируемое
выражение:
dz = 'p1(x, у, z, a) dx -ф- <р2 (х, у, z, a)dy.
В его общее решение войдёт постоянное Ь, и мы получим, таким
образом, полный интеграл уравнения (1):
V(x, у, г, а, Ь) = 0.
Примечание 1. Одним из первых интегралов системы (38)
является соотношение F(x, у, z, р, q)=C, что явствует из вида
уравнения (36); конечно, интеграл Ф должен быть отличен от F.
Но наличие известного интеграла, точнее, соотношения F — 0, позво-
ляет понизить порядок системы (37) на единицу, т. е. до третьего
порядка.
Примечание 2. Если данное уравнение не содержит явно
искомой функции, т. е. имеет вид:
F(x, у, р, </) = (),	(1J
!) Если предположить существование вторых непрерывных производных
функции F, то система (38) удовлетворяет условиям теоремы Коши; началь-
ные условия надо выбрать так, чтобы хотя бы один из знаменателей не был
равен нулю.
§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 385
то второе уравнение тоже можно искать в форме:			
	Ф(х, у,	Р, q) = a.	(32,)
Тогда уравнения (36)	и (37) примут вид:		
	Лр Рх I		(36,)
	ф^ Ф®	а» е е	
_ ЭФ	, дФ	ЭФ „ ЭФ	
Р~ дх	Ч- Q-ч	 1 ду	Yt	/-^ = 0, др	dq	’	(37,)
а вместо системы (38) будем иметь:			
dx dy Р - Q		dp  	dq X ~	У	(38,)
(систему третьего порядка с одним известным соотношением).
Из уравнений (1,) и (32,) мы определим:
р = ®i (х, У, a), q = ©2 (х, у, а),
и уравнение Пфаффа
dz — ®, (х, у, a) dx -|- <р2 (х, у, a) dy
интегрируется в квадратурах.
Примечание 3. Выражение в левой части формулы (36х) назы-
вается скобкой Пуассона и обозначается так:
(Л
dF
др
дФ
~др
dF
дх
дФ
дх
dF
dq
дФ
dq
dF
ду
дФ
ду

Выражение в левой части (36) называется скобкой Майера',
если ввести условные обозначения:
ЭГ _	ЭЛ , ЭГ	dF	__dF	,	dF
dx	dx dz	dy dy	‘	dz
и аналогично для Ф, то скобка Майера будет:
	dF	dF		dF	dF
[Л, Ф) =	др	dx		dq	dy
	дФ	ЭФ		dФ	
	др	dx		dq	dy
Говорят, что две функции, обращающие в нуль скобку Пуассона
или Майера, находятся в инволюции. Итак, первый шаг метода
Лагранжа состоит в том, что мы подыскиваем второе урав-
нение, находящееся в инволюции с первым.
386
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
Примечание 4. В методе Лагранжа-Шарпи мы использовали только
один первый интеграл системы (38). Докажем теперь, что если известны
два первых интеграла системы (38), находящиеся в инволюции, то (при
одном добавочном условии) полный интеграл уравнения (1) получается без.
всяких интеграций. Пусть нам известны два первых интеграла системы (38)<
Ф (х, у, z, р, q) = а, 'Г (х, у, z. р, q) = Ь.	(322)
Согласно известной зависимости между системой (38) и линейным уравнением
в частных производных (37), мы имеем тогда также [А, Ф] =0, [/•', W] = 0.
Кроме того, по условию теоремы [Ф, 47] = 0. Введём дополнительное
условие:
£> (г, р, q)
Тогда уравнения (1) и (322) можно разрешить относительно z, р, д. Пусть
результат разрешения будет:
z = (х, у, а, Ь), р = ф (х, у, a, b), g = i (х, у, а, &).	(А)
Чтобы доказать паше утверждение, достаточно показать, что р и q, опреде-
лённые формулами (А), являются частными производными от t? по х и по_у.
Подставляем выражение (А) в формулы (1) и (32J и дифференцируем полу-
ченные тождества по х и по у.
Фс +	Фж + Фд7..и = °>
< Чх + 4 » Ч ix = о,
iXz	й 1 »Az 1 р *	*	у * "cv
ру + Wу + Fp + Fq 7.у = 0,
фг/ + Фг + Фр Чу + фд 7.у — о,
’] >/ + ф! е Чу + Фр Фу + Чг' Zy = 0-
Чтобы составить скобки Майера, умножаем первое уравнение первого
столбца на —Фр, второе на Fp, первое уравнение второго столбца на — Ф',
второе на Fq и сложим полученные выражения; прибавляя и вычитая выра-
жения (/^ф'—ф'/7')/? и (Л'ф' — Ф^Л') получаем:
«Ч + (^Х - ФХ>	-Р) +	(?; -q) +
+(^х-фХ) (4-Чм
или, в силу равенства нулю скобки Майера,
р' Ff	,	F'
Р г	—п) i
ф' ф' Р'	ф'
р	2	$
(?;-?)+ 7	(х^-ф;)=о.
«	Р 9
Аналогично, комбинируя тождества второй и третьей строки, а также третьей
н первой, находим:
ф I ,	ф ф ,	ф фх
,/7^-/,)+ tiy-q)+ (^-ф;) = 0,
р z|	q е	^q
4 Z Ч/ ,	'Г' t	т' т'
J Р> (Чх-Р)+ J (4y-q)+ J J (Ъ- Фу) = 0.
J р £ г	q z	Р q
§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА
387
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Опре-
делитель этой системы имеет своими элементами миноры якобиана Д; следова-
тельно, он равен Д2#=0. Отсюда неизвестные тождественно равны нулю, т. е.
/	> да /	,/ др
Теорема доказана.
2. В некоторых частных случаях интеграция уравнения (1) упро-
щается; именно, для нахождения второго уравнения нет нужды
писать всю систему (38) или (38,). Рассмотрим эти случаи.
1)	Уравнение вида F(p, <?) = О. Здесь уравнение р = а нахо-
дится в инволюции с данным; определив из уравнения F (а, <?)'== О
значение q=f(a) и подставив эти выражения р и q в уравнение
Пфаффа (39), получаем после интеграции полный интеграл:
z — ах -|- / {а) у Ь.
Очевидно, к тому же результату мы могли бы притти, если бы
написали систему (38^ и, обратив внимание на то, что X = 0, полу-
чили одно уравнение вида dp = 0, откуда первый интеграл р — а.
Пример 9. р2-|~-<?2=1. Взяв дополнительное уравнение в виде
/>==соза (а — произвольное постоянное), найдём из данного урав-
нения р— sin а. Полный интеграл:
z = х cos а -\-у sin а -ф- Ь.
2)	Уравнение F (z, р, q) = 0. Два последних члена равенства (38)
dp dq	„	„	Q
дают:-у-=; соответствующий первый интеграл: — = а.
Внося значение q = ap ъ уравнение, имеем F (z, р, др) = 0; раз-
решаем относительно р: p = w(z, а), соответственно q — a'p(z, а).
Подстановка в уравнение Пфаффа даёг после разделения пере-
менных'
Пример 10. /22 = г2(1—pq). Полагая q — ap, находим:
z	az	az- j j ,
р — г ,	q = —г----------; -----!-- dz -- dx -ф- a dy,
/14-az-'	-/14-az2	z	‘
откуда
।	। i. f 4- az* ,
x-\-ay -\-b*=	J—--------dz.
Последний интеграл подстановкой ]/Т-ф-аг2 = а приводится к виду:
f ifldu	, 1 . и — 1
J и- — 1	1 2 и 4-1
388
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
Искомый полный интеграл:
/1 + аг2
V1 4- az2 — 1
У1 + az2 +7
х— ay — b = Q.
3)	Случай разделяющихся переменных. Уравнение
вида
?(*, р) = 'Р(у, Ч)
интегрируется следующим образом: вводим вспомогательное урав-
нение ®(х, /?) = «; тогда, заменяя данное уравнение уравнением
<р(у, q) = a, мы получаем два уравнения в инволюции; из одного
получим: p=f(x, а), из другого: q = g(y, а). Интеграция уравне-
ния Пфаффа приводится к квадратурам и даёт полный интеграл:
z=J/(at, a)dx-\- J g(y, a)dy-\-b.
Если решить это уравнение общим методом, то первый и третий
члены уравнений (38х) дадут:
dx dp дч> ,	। дч> ,	_
-д— =------5- или dx -4- -У- dp = О,
оу	оу	дх 1 др '	’
др	дх
откуда и получается дополнительное уравнение ®(х, р) — а.
Пример И. pq — xy. Разделяем переменные:
РУРУ	У
—	;	— = а; — =о; р — ах, —
х q х	q > f	4 а ’
dz= axdxz = ^-+^- + b.
Если бы мы написали систему (38J: -- =	то до-
полнительное уравнение получилось бы из уравнения — =. — , если
ах
в Нем, согласно заданному уравнению, отношение — заменить через —:
dx dp „	„	,,	,_n .
. Если же взять второй и третий члены равенств (SSj), то
вспомогательное уравнение будет: р2—у* = а, откуда р — Уу^-^-а;
ху
тогда из данного уравнения находим: q = -7-	, и уравнение
У_у2_|_а
Пфаффа, dz—1/j2-Ьа dx---------7 , = 0, даёт:г=лг Уу2-}-
— новую форму полного интеграла.
К рассмотренному типу относится уравнение p=f(x, q), если
его решить относительно q. Но можно непосредственно взять
§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА
389
в качестве дополнительного уравнения q — a. Тогда p—f(x, а), и мы
получаем новый интеграл:
z — j” / (х, a) dx -]- ay b.
4)	Обобщённое уравнение Клеро имеет вид:
2 = px-{-qy-yf(p, q).
Легко проверить, что его полным интегралом является *)
z = ах + by -\-f (а, b).
Пример такого уравнения рассмотрен в § 3 (пример 8).
В заключение рассмотрим пример, где необходимо приложить
общий метод Лагранжа-Шарпи для разыскания полного интеграла.
Пример 12. р"1q^pq — qx—ру— 2z-[-xy = 0. Система
(38) имеет вид:
dx______dy ________________dz___________
2р + ?—у 2q-\-p— х	2р2 4-2<?2 -\~2pq—РУ— qx '
__ dp _ dq
~~ q—У+ 2р~ p~x + 2q'
Непосредственно получаем интегрируемую комбинацию: dp — dx,
р = х-\-а. Вставляя это значение р в данное уравнение, получаем;
<72	aq — 2z — ay	(х -ф- «)2 — 0.
Определяем из этого уравнения q:
q = ~ у +]/~2z + ay — (-r-J-a)2-)-^-"
Подставляя значения p и q в уравнение Пфаффа, получаем после
простых преобразований:
dz -f- ~ dy — (х -ф a) dx
dy —	:	- -=— = 0,
Г	а2
у 2z + ay-(x + a)2 + -£
’) В системе (38) имеем два члена	, дающих два первых инте-
грала р = a, q — Ь. Согласно примечанию 4 п. 1 настоящего параграфа, пол-
ный интеграл получается без всяких интеграций.
390	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
откуда (вводя для простоты окончательного результата постоянную
интеграции в виде #4--^)
или
2г = (х	«)2 + (Л + ^)2 + а^-
Примечание. Часто для упрощения вычислений полезно пред-
варительно произвести в уравнении замену переменных; покажем это
на примере.
Пример 13. р24~72— (х2-]-у>2) z = 0. Переписываем уравне-
ние в виде:
/1 dz \2 . { 1	dz \2	о о п
Вводим новое переменное С =	> тогда переменные разделяются:
—х2 = —4	’У У2- Приравнивая обе части произвольной
постоянной а, находим:
2	= /х2 + а ,	2
дх г 1	’ ду г	’
откуда
2 ]/У = J Ух2 4~ a dx J )/у2— a dy,
или
2 ]/z =	х У х~	а + у In (х 4~ Ух2	а)
+	/У2 —а—^-1п(у+ Уу2-а^-уЬ.
3. Решение задачи Коши по известному полному
интегралу. Мы видим, что знание полного интеграла даёт воз-
можность получить все решения заданного уравнения в частных
производных методом вариации постоянных а и Ь. Поставим теперь
задачу Коши: найти определённое решение по заданным начальным
условиям. Для уравнения в частных производных первого порядка
начальная задача Коши ставится так: найти функцию г(х,у), кото-
рая при х = х0 обращается в заданную функцию / (у). На геометри-
ческом языке это значит: найти интегральную поверхность, проходя-
щую через данную кривую, лежащую в плоскости х = х0.
Мы поставим начальную задачу более общую:
Найти интегральную поверхность уравнения (1), проходящую
через заданную (пространственную) кривую-.
x — <?(f), _у = 4'(0» 2 = 7. (У	(4°)
§ 4] МЕТОД ЛАГРАНЖА-ШАРПИ НАХОЖДЕНИЯ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА 391
Пусть нам дан интеграл уравнения (1):
г = Ф(х, у, а, Ь).	(Л)
Возьмём уравнения, определяющие общий интеграл:
z — Ф (лг, у, а, ш («)),	(40t)
Фа (х, у, а, <о (а)) -ф- Ф' (*, У, а, <о (а)) ®' (а) = 0.	(402)
Нам надо определить функцию <о («) таким образом, чтобы поверх-
ность, определяемая уравнениями (40J и (402), проходила через
кривую (40). Если мы вставим выражения (40) на место х, у, г
в уравнение (40х), то получим одно условие, которому должна удовле-
творять функция <о(а):
— Х(О+Ф(?(О, Ф(0,	“ («)) = 0;	(41)
запишем это уравнение сокращённо:
U (t, а, ®(а)) = 0.	(41J
Равенство (402) даёт, по подстановке начальных данных (40), урав-
нение, левая часть которого получается дифференцированием левой
части равенства (41t) по а, если рассматривать t как постоянное:
U'a (t, а, ® (а)) + u'w (t, а, (а)) а/(«) = 0.	(412)
Соотношение (41J при известной функции ®(«) определяет а через
переменное t, т. е. выделяет в каждой точке кривой (40) поверх-
ность семейства (А), проходящую через эту точку, так что огибаю-
щая их совокупности есть искомая интегральная поверхность. Диф-
ференцируя в этом . предположении равенство (41J по /, получаем:
U't + tUa+u'^' (а)\^ = ъ,
или, в силу равенства (412),
U't (t, а, <о (а)) = 0.	(42)
Равенства (41г) и (42) дают нам, вообще говоря, возможность выра-
зить а и <о («) в функции /, или же, если из них исключить t, дают
соотношение b — ® (а) между b и а, т. е. в обоих случаях выделяют
семейство от одного параметра из семейства (А). Исключение этого
параметра из уравнений (40J и (402) даёт искомое решение. В самом
деле, сравнение уравнений (40J и (402) с равенствами (41J и (412)
показывает, что характеристики * семейства (40J получаемые при
данном значении t, проходят через соответствующую точку кривой (40).
Уравнение (42), являющееся следствием уравнений (41х) и (412),
в раскрытом виде пишется так:
—х' (0 + Ф^' (0+ФЙ-' Ю = °?
392
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
оно выражает тот факт, что касательная к кривой (40) с угловыми
коэффициентами ср' (/), ф' ((), /' (/) лежит в касательной плоскости
к полученной интегральной поверхности (угловые коэффициенты кото-
рой суть Фж, Фу—1) — факт, очевидный геометрически, так как
построенная интегральная поверхность проходит через кривую (40).
Примечание. Если исключить параметр t из уравнений (41]) и (412),
то мы придём к дифференциальному уравнению первого порядка
П (а, <о (а), «/ (а)) = 0,	(43)
которому удовлетворяет функция ш (а). Заметим, что его общим решением
является выражение (413) при постоянном t, так как уравнение (43) полу-
чается из (41]) дифференцированием по а и исключением /. Но, очевидно, это
общее решение не определяет нужной нам функции <о (а), так как в наших
рассуждениях t рассматривается как переменный параметр. Искомая функция
получилась присоединением уравнения (42) и исключением t. Но дифферен-
цирование общего решения по параметру и последующее исключение пара-
метра приводят к особому решению. Итак, искомая функция ы (а) является
особым решением уравнения (43).
Пример 14. Для уравнения г = рх-ф-qy-ф-pq найти решение,
проходящее через кривую:
х — 0, z — y2.
Полный интеграл уравнения есть г = ах -ф- by -ф- ab. Пишем началь-
ную кривую в параметрической форме: х=0, y — t, z = fl.
Вставляя это начальное значение в полный интеграл, получаем:
/2 = bt-]-ab.
Дифференцируем по t: 2t=b; подставляем это значение в уравнение
и получаем: а = — Вместо а вводим ^как параметр семейства оо1
интегралов; получаем:
z — — у х -ф- 2ty — fl.
Остаётся найти огибающую этого семейства поверхностей. Дифферен-
цируем по t-. —-^-\-2у— 2/=0, откуда t=y—~ и, наконец,
ху । х" , о „ ху 9 . ху х2	(х \2
г =----г + -8- + 2>’ “1--------^ + -/---16’	=
— искомое решение.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать следующие уравнения:
211.	рх 4- qy —pq = 0. Задача Коши при х = 0, z = у.
212.	p2y-zpq = A
213.	р2х2 + q2y2 = г.
214.	Р-—Я_ =
у X х 1 у
§ 5]
МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
393
216.	z—px — qy — Зр2 + q- = 0. Решить задачу Коши: z = у2 при х = 0;
найти особый интеграл.
217.	(г—рх—<7>)г = 1 + р2 + 73. Найти особый интеграл.
218.	р2 + q2 — 2рх — 2qy +1=0.
219.	p2-{-q+x + z = 0.
§ 5.	Метод Коши для двух независимых переменных.
Метод Коши интегрирования уравнений в частных производных
первого порядка состоит в том, что сначала отыскиваются характе-
ристики (точнее — характеристические полосы). Так как характери-
стическая полоса представляет многообразие одного измерения (вдоль
характеристической линии х, у, z выражаются функциями одного
параметра: отнесённые к каждой точке линии величины р и q тем
самым являются функциями того же параметра), то естественно ожи-
дать, что нахождение характеристических полос сведётся к интегри-
рованию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. После
того как характеристики найдены, возникает вторая задача — соста-
вить из этих характеристик интегральную поверхность.
1.	Определение характеристических линий на
интегральной поверхности. Дано дифференциальное урав-
нение:
Д(+ у, г, р, ?) = 0,	(1)
где функция F допускает в рассматриваемой области непрерывные
частные производные второго порядка.
В п. 5 § 3 настоящей главы мы определили характеристические
линии на поверхности, входящей в полный интеграл уравнения (1),
при помощи уравнений (19'")> которые в случае, если полный инте-
грал дан в форме (19J, разрешённой относительно г, имеют вид
г=ср(лг, у, а, Ь), 4>а(х, у, а, ^) + ?ь(+ у, + £)c = 0kl). (44)
Замечаем, что второе из уравнений (44) не содержит z и предста-
вляет уравнение проекций характеристических линий на плоскость хОу.
Найдём дифференциальное уравнение этих проекций. Дифференциро-
вание второго из уравнений (44) даёт для перемещения вдоль проек-
ции характеристической линии на плоскость хОу соотношение:
(С +	С) dx + &ay + v'by с) dy = °-	f45>
Оба выражения в скобках не равны тождественно нулю, ибо иначе,
в силу произвола с, и не зависели бы от а и Ь, и функция z
1)	Мы предполагаем, что допускает непрерывные первые производные,
а также непрерывные вторые смешанные производные по переменным х, у,
с одной стороны, и параметрам а, b — с другой.
394
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
удовлетворяла бы двум уравнениям в частных производных:
p =	(л:, у), q = <?'v(x, у),
следовательно, зависела бы только от одного существенного пара-
метра. Подставляя значение z из (44) в уравнение (1) и дифферен-
цируя полученное тождество по а и Ь, получим *):
Z®'-4-jO®" +Q®" =0, Z<+P®" +Q®" =0.
Умножаем второе из этих равенств на с и складываем с первым;
в силу второго из соотношений (44) члены, содержащие Z, уничто-
жатся, и останется
(46>
Рассматривая
отличные от
dx
Р
лителя:
(45) и (46) как два линейных уравнения, допускающих
нуля решения, приходим к равенству нулю их опреде-
4У '
Q
= 0, откуда
dx___dy
~P~~Q
— искомое дифференциальное уравнение.
Пусть теперь дана любая интегральная поверхность
для уравнения (1):
г = ®(х, у),	(47)
причём © доцускает непрерывные частные производные первого и
второго порядков. На поверхности (47) мы назовём характеристи-
ками (или характеристическими линиями) линии, проекции которых
на плоскость хОу удовлетворяют дифференциальному уравнению".
dx__dy
(48)
где на место входящих в Р и Q переменных z, р, q подставлены
соответственно ©(л:, у), «/., </. Уравнение (48) есть обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка между х и у; если Р
и Q одновременно не обращаются в нуль, оно, в силу предположе-
ния относительно F, определяет единственное решение, соответствую-
щее начальным данным х0, у0. Таким образом, через каждую точку
(х0, Уо> го — '-?(.хо> Уо)) поверхности (47) проходит единственная
характеристическая линия, лежащая на этой поверхности.
2.	Дифференциальные уравнения характеристик
первого порядка. Наше определение характеристик не подви-
нуло ещё вперёд решения задачи об интегрировании уравнения
!) Сохраняем введённые в § 4 обозначения.
МЕТОЛ КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
395
§ 5]
в частных производных первого порядка, так как мы умеем пока
определять характеристические линии только на данной интегральной
поверхности, а перед нами стоит задача — найти интегральные поверх-
ности. Решающий факт, благодаря которому в методе Коши оказы-
вается возможным сведение задачи об интегрировании уравнения
в частных производных первого порядка к интегрированию системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, заключается в переходе
к характеристикам первого порядка. Определим характеристику
первого порядка как характеристическую линию, лежащую на
интегральной поверхности, каждой точке которой отнесён соот-
ветствующий элемент прикосновения этой поверхности-, т. е.
угловые коэффициенты р и q касательной плоскости к поверхности.
Для удобства введём вдоль характеристической линии параметр и,
приравнивая дифференциалу от и отношения (48):
или
= Р, ~ = Q.	(480
du ’ du	\
К уравнениям (48j) мы можем непосредственно присоединить ещё
одно уравнение; в самом деле, при перемещении по поверхности
переменные х, у, z, р, q связаны соотношением dz — pdxd-gdp
(так как р и q являются угловыми коэффициентами касательной
плоскости), или
dz  dx ,	dy
du	P du'	du’
откуда, сопоставляя с уравнениями (48J, получим уравнение:
^Pp+Q,.	W
Вдоль характеристики первого порядка мы имеем пять неизвестных
функций х, у, z, р, q от и и всего только три уравнения (48,),
(482). Постараемся дополнить эту систему ещё двумя уравнениями.
Для всякого перемещения по интегральной поверхности мы имеем:
dp — г dx-j- $ dy, dq = s dx -|-1 dy >);
в частности, для перемещения вдоль характеристической линии имеем:
4’==гы8 I
du du' dii' du du' du’
д2г d~2 d~Z
9 Через r, s, t обозначены соответственно ч
дх- ox dy ду-
396
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[гл. IX
dx dy	,.п .
или, заменяя v~, -А их,значениями из (48.),
’	du’ du	v 17’
g = ₽A + <SS, 2 = ^+*
(49)
В добавленные уравнения (49) входят три новые неизвестные функ-
ции— значения вторых производных от г вдоль характеристической
линии (совокупность значений х, у, z, р, q, г, s, t вдоль этой линии
есть характеристика второго порядка). Но мы можем выразить пра-
вые части уравнений (49) только-через величины х, у, z, р, q. Для
этого обращаемся к уравнению (1), которое по подстановке в него
решения (47) обращается в тождество. Дифференцируя это тождество
по х и по у, получаем:
X-\-Zp-\-Pr +Qs = 0, Y-\-Zq-{-Ps-YQt=Q. (50)
Определяя из равенств (50) значения Pr-f-Qs, Ps-f-Qt и подста-
вляя их в уравнения (49), получаем два добавочных дифференциаль-
ных уравнения:
= — X—Zp, ~~ — Y — Zq.
du	11 du	7
Присоединяя
уравнений
dx
эти уравнения к системе (48J, (483), получим пять
с пятью неизвестными функциями:
_	— dz___________*Р________d(J _
Р Q Pp + Qq~ X + Zp-~	Y-\-Zq~uu"
(51)
Заметим, что с точностью до введённого нами вспомогательного пе-
ременного и (несущественного) система (51) совпадает с системой (38),
которая была получена в методе Лагранжа-Шарпи.
Если уравнение дано в виде, разрешённом относительно р:
p=f(x, у, z, q),
то система (51) напишется в виде:
dx = dy = dz = dp = dq
—fq f—qf'q f'x+ff'z f'y + qfz
(18)
(510
В системе (510 нет нужды вводить вспомогательное переменное «;
естественно взять х в качестве независимого переменного; кроме
того, в эту систему явно не входит р, так что достаточно проинте-
грировать систему из первого, второго и четвёртого уравнений и
затем определить р при помощи равенства (18).
Итак, всякая характеристика первого порядка удовлетворяет
системе (51). Эту систему, в которой число уравнений равно числу
искомых функций, можно интегрировать без предварительного зна-
ния интегральной поверхности (47).
§ 5]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	397
3.	Определение характеристик из дифферен-
циальных уравнений. Мы показали, что всякая характеристика
первого порядка уравнения в частных производных (1) или (18)
удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (51) или (51j). Пусть общее решение системы (51) при началь-
ных значениях и = 0, х0, у0, z0, pg, q0 будет:
X = ^f1(u;	х0,	у0,	z0,	р0,	q0),
у = 'Ъ (и;	х0,	у0,	г0,	р0,	q0),
г ~	(м>	Х0’	У О’	zo>	Ро>
=	Xq,	Уд,	Zg,	pg,	qg),
? =	Xq,	Уд,	Zg,	Pg,	qQ).
(52)
Однако не все эти решения являются характеристи-
ками. Чтобы выделить из функций (52) те, которые соответствуют
характеристикам, заметим, прежде всего, что система (51) допускает
первый интеграл:
F(x, у, z, р, q) = C.	(53)
В самом деле, дифференцируя левую часть этого равенства по а и
принимая во внимание уравнения (51), получаем:
du du 1 du 1 du 1 du 1 du
= XP + FQ4-Z (Pp + Qq) — P (M+ Zp) — Q(Y -J-Zq} = 0 «).
Следовательно, функция F имеет вдоль каждого решения системы (51)
постоянное значение—то самое, которое она имеет для начального
элемента; итак, вдоль решения (52) системы (51) мы имеем:
F(x, у, z, р, q) = F(xQ, уд, z0, р0, qQ}.	(53J
Заметим теперь, что характеристики первого порядка состоят из эле-
ментов интегральных поверхностей данного уравнения, так что эти
элементы удовлетворяют уравнению (1), т. е. функции (52), опре-
деляющие характеристики, должны быть связаны соотношением 5 = 0.
Равенство (53J показывает, что последнее соотношение будет выпол-
няться вдоль всей характеристики, если начальные значения связать
соотношением:
F (.х0, Уд, Zg, р0, Qg) = 0,	(54)
Итак, мы назовём характеристиками первого порядка решения (52)
системы (51), в которых начальные значения связаны соотноше-
нием (54).
!) См. также § 4, 1, примечание 1.
398	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
В случае уравнения в частных производных вида (18) и соответ-
ствующей системы обыкновенных уравнений (51J, с независимым
переменным х, решения этой системы имеют вид:
У =	(*; х0, у0, z0, qa\,
х0> Ув> г0> ?о)»
р = *! (х; х0, у0, г0, q0) -f-р0; 
q = h2(x; х0, у0, z0, q0);
P = f {x, gi, £2» he)-
(52J
Соотношению (54) в этом случае соответствует равенство:
Po^=f(xQ, уо, zQ, qa\	(54J
которое определяет начальное значение pQ.
Подсчитаем, от скольких параметров зависит семейство характе-
ристик. Если характеристики заданы уравнениями (52т) и усло-
вием (54Д то начальное значение независимого переменного х0 сле-
дует рассматривать как заданное число, и остаются три независимых
параметра _у0, г0, qc>, в полном согласии с числом параметров, от
которого зависят характеристики, получаемые из полного интеграла.
В случае системы (52) и соотношения (54) замечаем, что перемен-
ное и не является существенным; если, например, Р ф. О при началь-
ных условиях, то за независимое переменное можно опять выбрать х',
тогда, рассматривая х0 как данное число, мы получим опять три не-
зависимых параметра у0, z0, q0; р0 выражается через них с помощью
соотношения (54).
Из условий единственности решения системы (51) или (51J с за-
данными начальными данными (эта единственность следует из суще-
ствования у функции F или f непрерывных вторых производных)
следует, что характеристика однозначно определяется начальным
элементом. В частности, пусть две интегральные поверхности сопри-
касаются в некоторой точке (х0, _у0, г0); тогда они имеют в этой
точке общее значение частных производных, р0 и д0. Начальный
элемент (х0, _у0, гъ, р0, q0) определяет единственную характеристику
первого порядка, принадлежащую, очевидно, обеим интегральным
поверхностям. Следовательно, если две интегральные поверхности
соприкасаются в одной точке (причём соответствующий элемент не
является особой точкой для системы (51)), то они соприкасаются
вдоль всей характеристической линии, проходящей через эту
точку !).
4.	Построение интегральной поверхности из ха-
рактеристик. Так как всякая дважды дифференцируемая инте-
9 Отсюда, в частности, следует, что элементы, принадлежащие особому
интегралу, являются особыми для системы дифференциальных уравнений (51).
§ 5] МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	399
гральная поверхность, по доказанному, распадается на оо1 характе-
ристик, то естественно поставить задачу: зная характеристики, по-
строить из них интегральные поверхности. Для этого необходимо,
прежде всего, выделить семейство характеристик от одного пара-
метра, т. е. взять начальные значения (х0, у0, г0, р0, <?0) как (диф-
ференцируемые) функции одного параметра V. Эти функции, конечно,
должны быть связаны соотношением (54). Затем надо потребовать,
чтобы характеристики первого порядка были «прилажены», т. е.
чтобы определённые вдоль характеристики плоскости с угловыми
коэффициентами р, q стали касательными плоскостями поверхности,
образованной характеристическими линиями. Это равносильно требо-
ванию, чтобы, если представить интегральную поверхность в форме:
£ = <?(х, у),	(47)
имели место равенства:
____dz ______dz
Р дх ’_______ду'
Так как у нас независимыми переменными теперь являются и и v,
то последние условия целесообразно написать в дифференциальной
форме (справедливой при любом выборе независимых переменных):
dz~pdx-]-qdy.	(55)
Дифференциальное равенство (55) равносильно двум уравнениям:
дх । ду	,_с .
(55i)
dz дх . ду	,_с х
Равенство (55^, выражающее условие, что плоскость с угловыми
коэффициентами р, q касается характеристической линии, выполняется
в силу уравнений (48J, (482) (обыкновенные производные этих урав-
нений нужно заменить частными, так как мы ввели через начальные
условия второе переменное v). Равенство (552) представляет новое
условие; его геометрический смысл — тот, что линии на интеграль-
ной поверхности, соответствующие изменению v, т. е. переходу
с одной характеристической линии на другую (при постоянном и),
также должны касаться плоскости
Z — z = p{X~x)~\~q(Y—у).
Посмотрим, как можно удовлетворить этому условию.
Переносим все члены уравнения (552) в левую часть и обозна-
чаем полученную функцию через V:
,, dz дх	ду
V =л-----Р Д----
dv	г dv	dv
(56)
400	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Дифференцируя равенство (56) по и:
д V д2г	д2х	д2у др_'дх dq ду
ди^ dvdu Р dv ди dvdu ди dv ди dv
и вычитая из полученного равенства результат дифференцирования
тождества (55,) по v ’):
q__ d2z	д2х	д2и др дх dq ду
dv ди Р dv ди dv ди dv ди dv ди ’
получаем:
д V  др_дх_ ,dq ду др 'дх  dq ду
ди dv ди ' dv ди ди dv ди dv ’
или, в силу дифференциальных уравнений (51),
dYp^ + Q^ + X^ + y^ + Z(,
ди dv l dv 1 dv 1 dv 1 V dv ' 4 dv J
С другой стороны, дифференцируя по v тождество F = 0, в кото-
рое подставлены х, ..., q как функции и и г», получаем:
+ Y ? + Z ^-+р + Q = °-
dv 1 dv 1 dv 1 dv ‘ dv
Вычитая почленно два последних равенства, имеем:
dY-Z(^-p ^-q
ди	\dv ‘ ov ’ dvJ
или, в силу определения (57) функции V,
W = ~ZV-	W
Итак, функция V удовлетворяет обыкновенному линейному диффе-
ренциальному уравнению (57). Интеграция этого уравнения даёт:
и
J zau
Uo
V=VQe
где Vo есть значение V при и — и0. Из последнего равенства видно,
что для обращения V в нуль необходимо и достаточно, чтобы было
Уо = 0, т. е. чтобы х0, у0, z0, р0, q0, рассматриваемые как функ-
ции v, удовлетворяли соотношению:
dv dv dv	' '
i) Согласно теоремам, доказанным в главе VII, § 3, производные от ре-
шений системы (51) по начальным данным, а следовательно, и по параметру v,
существуют и являются непрерывными дифференцируемыми функциями неза-
висимого переменного и. Отсюда следует существование входящих в после-
дующее рассуждение производных и законность перестановки порядка диф-
ференцирования.
§ 5]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	401
Таким образом, чтобы построить из характеристик интеграль-
ную поверхность, необходимо, чтобы начальные условия, взятые
как функции параметра V, удовлетворяли условиям (54) [или
(54,)[ и (58). Геометрический смысл последнего условия таков: ха-
рактеристики первого порядка будут «прилажены» на всём своём
протяжении, если .«приладить» их начальные элементы.
5.	Задача Коши. Чтобы найти какое-нибудь эешение уравне-
ния (1), нужно найти пять функций xQ, у0, z0, р0, q0 параметра v,
удовлетворяющих двум соотношениям (54) [или (54,)] и (58). Задача,
очевидно, неопределённая: можно, вообще говоря, произвольно задать
три функции. Чтобы из бесконечного множества решений выделить
одно определённое, поставим задачу Коши в простейшей форме.
Пусть уравнение задано в форме:
p=f(x, у, z, q),	(18)
где /—непрерывная и дважды дифференцируемая функция в окрест-
ности значений х0, у0, z0, q0, причём соответствующее значение р
пусть будет р0, Требуется найти решение, удовлетворяющее на-
чальному условию'.
?о = (?(Уо) ПРИ х = х0,	(59)
где ® (у) имеет две непрерывные производные, причём пусть
<?(y0) = z0 и <р' О0) = ?о- Уравнения характеристик (52,) определены
для некоторого интервала |х —	и являются непрерывными
и дифференцируемыми функциями параметров х0, у0, г0, р0, q0
в некоторой окрестности точки (х0, у0, г0, р0, q0). За параметр ц
возьмём значение у0; имеем:
Уо = ®. г0 = <р(ц).
Тогда уравнение (58), ввиду того что х0 — х0 есть постоянное,
даёт:
Яо =
наконец, условие (54,) дает:
Ро = / Йо» ”, ? (*0, ?' Й)) = Ф (-»)•
Подставляя величины х0, у0, zQ, q0 в уравнения (52,), мы получим
из двух первых уравнений:
У = Si О; *о» V, <? (к), ?' (у)), 1
z = g^{x', х0, v, ®(ц), <р' (г»)), /
причём правые части определены для достаточно малых значений
]х — х0|, |©—у0|. Чтобы получить из уравнений (60) г как явную
402	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
функцию от х, у, достаточно разрешить первое из этих уравнений
относительно v и затем подставить полученное выражение во второе
уравнение (60). Для выяснения возможности такого разрешения
вычислим производную от у по х>:
dv ду0 1 дгй ~ v ’ 1 dq0 • 4 7
Но при х — х0 мы имеем (глава VIII, § 3):	== 1, &	— о-
«Уо dzo dq^ ’
—	dv
следовательно, при х = х0 производная -^-= 1, а значит, она отлична
от нуля при достаточно малой \х — х01, т. е. разрешение первого
уравнения (60) относительно v возможно, причём v оказывается
непрерывно дифференцируемой функцией от х, у; подставляя най-
денное значение v во второе уравнение (60), мы получим решение
уравнения (18), удовлетворяющее начальному условию (59), в виде:
г = Ф(х, у),
где Ф допускает непрерывные частные производные первого порядка.
Докажем, что Ф допускает также непрерывные произ-
водные второго порядка. Если в двух последних урав-
нениях (52,) выразить начальные значения через параметр v и затем
заменить v его выражением через х и у, то полученные функции р
и q будут частными производными от z соответственно по х и по у,
как это следует из равенства (55); мы знаем, что функции hx и Аа
допускают непрерывные производные по х и по начальным данным,
а следовательно, и по параметру ц; отсюда, в силу дифференцируе-
мости v по х и по у, следует существование непрерывных частных
производных от р и q по х и по у, т. е. вторых частных произ-
водных от z.
Единственность (среди дважды дифференцируемых функций)
найденного решения следует из того, что всякая интегральная по-
верхность в окрестности неособой точки уравнений (51,) образована
характеристиками, и эти характеристики должны иметь общий
элемент с начальной кривой (59). Но это кривая однозначно опре-
деляет в каждой своей точке, т. е. для каждого значения у0,
начальный элемент (х0, у0, г0, у0, <70); следовательно (в силу тео-
ремы Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений), харак-
теристики, проходящие через точки начальной кривой (59,) опре-
деляются однозначно; поэтому и сама интегральная поверхность
однозначно определяется начальными данными (59).
Общая задача Коши — найти интегральную поверхность
уравнения (1), проходящую через пространственную кривую
* = «(/), г = 3(у).	(59,)
§ 5]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	403
— может быть сведена к рассмотренной частной задаче Коши заме-
ной переменных. Вводим новые независимые переменные X, У,
полагая
х = Х-\- а (_у), У = У;
тогда получаем:
dz   dz	dz   dz , , . , dz
dX	dx ’ д Y	dx * W “Г >
откуда
после этой замены уравнение (1) принимает вид:
г(*+"(О. У,	=	(1')
а начальные условия будут:
Х=0, г = р(Г).
Надо ещё исследовать вопрос, можно ли разрешить (1') относи-
dz
тельно производной . Одно из условий для возможности непре-
рывного и однозначного разрешения вдоль кривой (59j): производная
от левой части уравнения (1') по должна быть не равна пулю.
Имеем:
F'(^. = F'p-F>'^
дх J
Замечая, что а' (У)
= -^— вдоль кривой (59!),
приходим к заключе-
нию, что приведение преобразованного уравнения к виду (18),
вообще говоря, невозможно, если вдоль кривой (59j) выполняется
соотношение:
dx  dy
(44)
В частности, если через кривую (59t) проходит интегральная по-
верхность, то последнее соотношение показывает, что кривая (59)
есть характеристика. А в таком случае однозначное решение задачи
Коши и фактически невозможно, так как через характеристики
проходит бесконечное множество интегральных поверхностей, и задача
Коши становится неопределённой.
Наконец, можно поставить задачу Коши в таком виде: найти
интегральную поверхность уравнения (1), проходящую через заданную
кривую, данную в параметрической форме:
х0 = £(ц), y0 = T](4), г0==Цц).
(592)
404	НЕЛИНЕЙНЫЕ уравнения в частных ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
Для определения р0 из q0 в функции параметра f имеем два
уравнения [полученных из (54) и (58)]:
Д(Цк), tq('v), С(ф), р0, %) = 0,
С' (v)=£pot' О) — ад' W = °-
Первое достаточное условие для того, чтобы из этих уравнений
можно было определить р0 и qQ, есть то, что якобиан этих урав-
нений по р0, д0 не обращается в нуль вдоль кривой (592), т. е.
mQo—(61)
где Ро и Qo означают производные от левой части уравнения (54)
соответственно по р0 и q0.
Если выполнено также второе условие существования, неявных
функций (уравнения удовлетворяются для некоторых начальных
условий), то при выполнении условия (61) мы определяем pQ = n(v),
qQ = v. (v). Найденные начальные значения достаточно подставить
в систему трёх уравнений (52), и мы получим уравнения искомой
интегральной поверхности в параметрической форме:
X =	(и, 1»), у = Ф2 (и, V), Z — Ф3 (я, и) *).
Если выражение (61) равно нулю во всех точках кривой (592) и эта
кривая лежит на интегральной поверхности, то, очевидно, она является
характеристикой.
Покажем, что задача Коши, действительно, допускает бесконечное число
решений, если за начальную кривую взята характеристическая кривая. Пусть
уравнения начальной кривой суть х0 = х0 (и), у0 = Уд (и), z0 = z0 (и), причём,
если определить ро (и) и q0 (и) из уравнений (54j) и (58), то получится харак-
теристика первого порядка. Пусть значению и = 0 соответствует элемент
Ло, J'o- -г"о> Ро, <7о- Выбираем произвольно три (дважды дифференцируемые)
функции х (»), у (v), z (и), подчинив их лишь следующим условиям:
1)	х (0) = х0, у (0) = j70, z (0) = z0;
2)	Х'(0)у'(0)-У(0)/О(0)^0;
3)	z'(0) = р<рс’ (0) + q^y’ (0).
Решаем задачу Коши для начальной кривой х, у, г. Эта задача возможна
и решается однозначно в окрестности точки (хй, у0, z0). В самом деле, опре-
делив из уравнений (54J и (58) вдоль начальной кривой р (v) и q (v), мы,
в силу условий 1)_ и 3), получим при v — 0 начальный элемент исходной ха-
рактеристики (л0, у0, z0, pQ, qQ); но, в силу условия 2), эта характеристика
О При начальных заданиях в форме (59j) и (592) мы не исследовали
до конца вопроса о возможности разрешения уравнения (1') относительно
dz
и уравнений (54) и (58) относительно р0 и ^0. Эта возможность требует
дополнительных ограничений изначальную кривую; см, ниже, и. 6, примечание.
§ 5]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	405
не касается начальной кривой, что достаточно для решения задачи Коши.
При любом выборе функций х, у, z, удовлетворяющих условиям 1) — 3), ин-
тегральная поверхность содержит заданную характеристику, так как содер-
жит её начальный элемент. Таким образом, мы построили бесчисленное мно-
жество поверхностей, содержащих данную характеристическую кривую.
Это свойство можно взять за определение характеристики: характери-
стика есть такая кривая, для которой задача Коши становится не-
определённой.
Пример 15. Применим метод Коши к интеграции уравнения:
px-^qy — pq==O.
Дифференциальные уравнения характеристик будут:
dx __	dy dz _________ dp______ dq_____&
~x — q ~"	y—p	~ —pq	' Р	~ q	~~
(мы упростили выражение Pp-\-Qq, пользуясь данным уравнением).
Интеграция этих уравнений с начальными данными х0, уй, г0, р0, q^
при и = 0 даёт сначала для двух последних уравнений:
= Я = Я^~и-
Подставляя эти значения в три оставшихся уравнения, находим:
dx	,, dy	,, dz	п„
~ = x_qoe-u, —=.у-рое-и,	^.^-Poq0e-2U)
откуда
х = (*о — -у-) еи + дг е~и> У = (Уо —	+ Т- е~“>
у— ?  РоЯв I РоЯо „-2и
‘z~ г0 2 I 2	’
причём начальные значения связаны соотношением:
Рохв Н~ ЯоУо РоЯо ~ О-
Для построения интегральной поверхности следует ещё связать
начальные значения, рассматриваемые как функции V, соотношением:
го (г») — р0 (ц) х'о (ц) — q0 (ц) у'о (») = 0.
Решим, в частности, такую задачу Коши: найти интегральную
поверхность, проходящую через прямую х==0, z—y. Здесь мы
имеем: хо = О, yQ = v, z0 — v. Уравнения для определения р0 и <у0
суть: qov—poqo = 0, 1—qo(v) = O, откуда 70=1, у0 = г». Три по-
следних из найденных уравнений характеристик дадут поверхность
в параметрической форме:
х = -4(еи - е~^ У = т + *"и>. г = J (! + г~2,() = I •
406	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
Для получения решения в явной форме исключаем параметры и и v:
z=ye~", е?" -ф- ‘2 хе"—1=0,
откуда
еи = — х -ф- У х2 4~ 1, е~и = х -ф- Ух? -J- 1,
и окончательно
z = ху -ф- у У ~ -ф— 1.
ЗАДАЧИ.
Проинтегрировать по методу Коши уравнения:
220.	z = pq\ начальные условия: х0 = и, у0 = и2, z0 = и3.
221.	р2 + <72 =1; х0 = cos и, уо = sin и, z0 = У и.
222.	z = рх + qy + pq-, xQ = 1, zQ = y30.
§ 6.	Метод Коши для п независимых переменных.
1. Характеристики; построение решения из харак-
теристик. Изложенный в предыдущем параграфе метод непо-
средственно распространяется на уравнение в частных производ-
ных первого порядка с п независимыми переменными. Мы будем по-
стоянно пользоваться следующими обозначениями: независимые пе-
ременные Xj, х2,..., х„; искомая функция г; частные производные
первого порядка	(z = 1, 2,..., /г); частные производные
0^2
второго порядка	= p{j (i, J = 1, 2, . .. , /г).
В этих обозначениях уравнение в частных производных первого
порядка имеет вид:
F(Xp х2,..., х„, z, ри  ........Дг) = 0.	(62)
Данную функцию F мы будем предполагать имеющей непрерывные
вторые частные производные; дальнейшие ограничения выяснятся
в ходе доказательств.
Применяя обычный язык многомерной геометрии, мы скажем, что
решение уравнения (62):
* = ?(*!, х2>..., х„)	(63)
представляет интегральную поверхность уравнения (62)
в пространстве п-ф-1 измерений (х(,
полагать, что функция <р допускает
ные второго порядка.
Введём ещё обозначения:
др v дР
-уу
х2,..., хп, z). Мьр будем пред-
непрерывные частные производ-
dF
(7 = 1, 2,..., и).
§ 6]
МЕТОЛ КОШИ ДЛЯ п НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
407
Характеристики (характеристические линии) на интеграль-
ной поверхности (63) мы определим как линии, проекции
которых на гиперплоскость z = 0 удовлетворяют системе обыкновен-
ных дифференциальных уравнений:
z/X] dx.,	dx,,	1,
7>Г = 7Г=---М)
или (приравнивая отношения (64) дифференциалу вспомогательной
независимой переменной и):
.... igt-P, (64,)
Если в правые части этих уравнений на место z, р{ подставить
функции «, -^-от xi>	хп< т0 система (64х), в силу сделан-
ных предположений о дифференцируемости, имеет решения, одно-
п о
значно определяемые начальными условиями: и = о,	...
..., хп = х„. Этот факт можно выразить такой теоремой: через каждую
точку [х®, х®,..., х®, г0 = <р(х1,..., х/;)] интегральной поверх-
ности проходит единственная характеристическая линия, лежа-
щая на этой поверхности (при этом сделано предположение, что
в этой точке не имеют места равенства Рх = Р2 = ... = Рп = 0).
Введём понятие интегрального элемента. Интегральным элемен-
том (первого порядка) или элементом прикосновения решения (63)
уравнения (62) назовём совокупность 2п-ф-1 чисел (координат ин-
тегрального элемента):
хР х2,..., хи, г = с?(х1,..., хп\ Pi = <?'a,g(.x1,..., хп)
(i=l, 2,..., и).
Совокупность интегральных элементов вдоль характеристической
линии называется характеристикой первого порядка.
Подобно тому как в § 5, дополним систему (64J дифферен-
циальными ' уравнениями для всех координат линейных элементов
характеристик.
Для всякого перемещения по интегральной поверхности, следо-
вательно, и для перемещения вдоль характеристической линии, имеет
место соотношение:
dz = 2 Pi dXj,
i = 1
откуда вдоль характеристики
п	п
!Я=1Г‘71Г=1Р<1’<-	W
i=l	i s= 1
408	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. IX
Далее, при перемещении по интегральной поверхности, имеем:
dpi = ^Ptj dXj (z = 1, 2, ..., я),
j-1
откуда вдоль характеристики 1
п	п
S=Si’«-S-“S'’<A ('=> 2............">•	<<ч.)
j=l	J=1
Для исключения вторых производных замечаем, что уравнение (62)
обращается в тождество при подстановке вместо z его значения (63),
а вместо pi — соответствующих частных производных. Дифференцируя
это тождество F=0 по xt (z=l, 2,	и), получаем:
п
+ ^Pi + 2 Р jPji =
j-1
п
откуда ^PjPji = —Xi — Zp{, и уравнения (643) обращаются в
j=i
g =	(z=l, 2,	я).	(644)
Собирая вместе уравнения (64t), (642), (644), получаем систему
2/г-|-1 уравнений с 2«-j-l функциями xit z, рр
dx\
Т\
dxn
Рп
dz
^PiPi
г = 1
dpi
Xi + Zpi
^=a,‘- <65>
Эти уравнения можно интегрировать, не зная решения (63). Решение
системы (65) (единственное), определённое начальными значениями
«о» х°1> •••> хп> го’ P°i...Р°п> имеет вид:
х< = ?г(«;	• • •> Хп, -г0, pl, ..., р°п) (z= 1, 2, ..., я),
Z . о	0	0	Оч
----- Ср (й ,	. J ХП) Zq, pl, . . . ,
Pi == X°i, Xn, Zo, p°i, Pn) (z = 1, 2..................................n).
(66)
§ 6]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	40&
Замечаем, что F (хг, ..., хп, г, pY, р^ = С является первым
интегралом системы (65). В самом деле, в силу уравнений (65),
имеем:
dF___ у dx$ । ™ dz . х i Q dpi____
ти —	—
»=i	i=i
n	n	n
= 2 XiPi + z 2 PiPi - 2 pi + Z-P^ = °-
i = l	4 = 1	4=1
Свяжем начальные значения соотношением:
f (х», ..., х», г0,	..., ^)=0.	(67}
Тогда, в силу определения первого интеграла, будем иметь тожде-
ство:
W==0»
то-есть при выполнении условия (67) все элементы, даваемые реше-
нием системы (65), удовлетворяют данному уравнению (62). Так как
координаты определённых на интегральной поверхности характери-
стик первого порядка должны удовлетворять данному уравнению, то,
наложив на начальные значения условие (67), мы среди соответ-
ствующих решений (66) системы (65) найдём все характеристики всех
интегральных поверхностей уравнения (62). Пока ещё не видно,
что все такие решения окажутся характеристиками на некоторой
интегральной поверхности. Принимая это положение (оно будет
доказано ниже), мы назовём характеристиками первого порядка
уравнения (62) решения (66) системы (65), в которых начальные
условия связаны соотношением (67).
Из теоремы единственности получается как следствие теорема:
если две интегральные поверхности имеют общий элемент первого
порядка (т. е. соприкасаются в одной точке), то они соприкасаются
вдоль целой характеристической линии, проходящей через эту
точку, в самом деле, обе интегральные поверхности имеют общую
характеристику, определённую общим начальным элементом.
Поставим теперь задачу — построить решение уравнения в частных
производных из характеристик. Так как характеристики являются
многообразиями одного измерения, а интегральная поверхность есть
многообразие п измерений, то для её построения необходимо ввести
(через начальные значения) ещё п—1 параметров vlt v2, • ••> ^-i»
т. е. положить:
xQi = xai(vv ...,	^0 = г0(ю1,
—	•••. vn_J ('==1, 2, ..., и),
(68)
410
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
причём, конечно, условие (67) должно выполняться для этих функ-
ций. Тогда уравнения
•••>	(*=1, 2,	«),
2= о(«;
(69)
определяют многообразие п измерений. Чтобы оно было интеграль-
ным [при условии, что исключение параметров и, ..., vn_x
даёт соотношение вида (63)[, необходимо выполнение условия
п
dz — 2 Pt dxi = 0»
которое равносильно п условиям:
п
dz vi дх,-
ди Л^ггди ’
i-X
п
(7=1-2' •'— ч-
г-1
(70)
Первое уравнение (70) выполняется в силу уравнения (64.2),
остальные требуют для своего выполнения особого выбора функ-
ций (68). Чтобы найти условия, которым должны удовлетворять эти
функции, обозначим:
п
(7=1, 2, ..., п — 1)	(71)
dvj	J v ’	1	’	7	v 7
и выясним, возможно ли подобрать функции (62) так, чтобы иметь
V—0.
Дифференцируем уравнение (71) по и, а первое равенство (70)
по Vj‘.
dVj du	d2z du dvj	n _ yi d“A'» ^4 P* du dv s 4 = 1	J	у dpi dxt ^4 du dvj’ i «1
0 =	d2z du dvj	n _ V diXl ^4^>i dudvj i=i	J	_ у ^Pi ^4 dVjdu 4 = 1
Вычитая почленно, находим, используя уравнения (65):
х Т 7	П	х х	п	х	п	-X	п
__ у (дЛ	_ V р ^! । V у д_ 7 V dXi
ди Z4\dv,du ди dvj 2л idv,' Л4 ldv,i jZti^dvP
4 = 1 J	7	4=1	1	4 = 1	J 4=1	3
§ 6]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ п НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	411
Дифференцируя по Vj тождество F — 0, в левой части которою
подставлены х{, z, pt как функции и, v(, vn_lt находим:
п	п
0 =	+
^dvj 1 dvj 1	1 dvj
i — 1	г с= 1
Вычитая почленно это равенство из предыдущего, получим, при-
нимая во внимание (71):
dVf
^=~ZVi (7=1, 2, ..., и—1).
Интегрируя полученное обыкновенное дифференциальное уравне-
ние для Vj, находим:
и
-f Z clu
Итак, дЛя выполнения тождества 1А = 0 необходимо и достаточно
иметь V^ = 0, или, в раскрытом виде,
— —	= 0	(/ = 1, 2, .... и—1),	(72)
dv:	dvj	v ’	п 4 7
J	i = l
ИЛИ
п
dz.-^pW.^Q.	(72')
i = l
Итак, чтобы уравнения (69) давали интегральную поверхность, необ-
ходимо и достаточно, чтобы функции х°, z0, р°{ от vlt .... Dn_1
удовлетворяли уравнениям (67) и (72). Нахождение этих функций
уже не требует дальнейших интеграций.
Рассмотрим, например, общую задачу Коши: найти инте-
гральную поверхность, проходящую через данное многообразие
п—1 измерений. Это начальное многообразие мы зададим в пара-
метрической форме:
=	..., vn_J (Z=l, 2, ..., n); z = ^(vv ..., г»,, 0.(73)
Тогда для нахождения и функций мы будем иметь п уравнений
(67) и (72); одно из условий их разрешимости есть неравенство
нулю определителя
Р\	Р%	•	•	•	Рц
дх®	дх°2	дх”
dvi	dz/|	’	‘	’	дс1
дх” дх” дх”
^п-1	‘ ‘ dvn-\
412
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
т. е. характеристическая линия не может лежать в касательной
(п—1)-мерной плоскости начального многообразия. Если в функ-
ции <*>,-, ш (73) ввести п параметров at, а2, , ап, мы получаем
решение уравнения (62), зависящее от п параметров, которое при
некоторых добавочных условиях в случае п независимых пере-
менных также называется полным интегралом.
2. Первый метод Якоби. Первый метод Якоби принци-
пиально тождествен с методом Коши; в нём лишь специализирована
форма уравнения, в целях приложения к задачам механики.
Искомую функцию обозначаем V, независимые переменные (чи-
слом и-ф-1) t, хр ..., хп, частные производные	(иногда
будем писать также =
Уравнение предполагается не содержащим искомой функции и
дУ
разрешённым относительно производной и пишется в форме:
~4-Н(<, хр ..., хп, pi, ..., р„) = 0,	(74)
где Н — заданная функция своих аргументов.
Пишем уравнения характеристик:
dt___ dx-t _	___dxn __ d V ___________
1 ~ ~д7[	~ dfT ~ ~	~
dp' dPn + P
i = l
_____dPi _	_ dpn _ dP
ЭЯ ~ dH'	( ’
dxt	dxn dt
Замечаем, что: 1) здесь нет нужды вводить вспомогательное
независимое переменное; его роль играет Z; 2) можно независимо
проинтегрировать систему из 2п уравнений (75), не содержащих
dV и dP,
dx,-	дН	dpi  дН
dt	др( ’	dt	dxf'	' '
Уравнения вида (76) часто встречаются в механике и носят назва-
ние канонической системы, а функция И называется функцией Га-
мильтона.
Пользуясь методом Коши, легко проинтегрировать уравнение (74),
если известно общее решение канонической системы (76). Пусть это
последнее будет (начальные значения /, х®, /??):
= ta, х®, .... х®, р«, .... р®),
=	t0>	> хп’ Pv •••> P°j	2, •••> «)• (77)
§ 6]
МЕТОД КОШИ ДЛЯ п НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
413
Чтобы найти значение V вдоль характеристик, заменим в соответ-
ствующем дифференциальном уравнении Р на — Н (в силу данного
уравнения), получим;
V дН_______
dt ' Р* dpt
i=i
Н-,
в правой части этого уравнения подставим на место х{, р{ их най-
денные выражения (77); получим функцию от /, и V найдётся квад-
ратурой:
л п
г=1
/0, 4,.... 4, 4 .... 4)+4 (78)
Для нахождения полного интеграла уравнения (74) достаточно выра-
зить 4, Рр 4 чеРез п параметров (аналогичных V. в п. 1 настоя-
щего параграфа) так, чтобы удовлетворялось соотношение:
dV — 24^4 = 0	(79)
(член с dtc> отсутствует, так как t принято за независимое перемен-
ное), и в начальные данные задачи Коши надо ещё ввести п -ф-1
параметров а1г а2, ..., ап+1.
Вместе с Гурса мы примем за параметры Vj начальные значе-
ния 4> -4 •••» 4> а задачУ Коши поставим так: при t=tQ должно
быть:
Vo = aixi + • • • + аЛ +
(80)
Из уравнений (79) и (80) следует:
дУ
дх°{ ~
= (i = 1, 2,
п).
Разрешаем и первых уравнений (77) относительно 4» •••> (эт0
возможно при /, достаточно близком к 10, так как якобиан от х{
по 4 ПРИ Равен !)• Заменив в них р2 через ар получим:
xi ~ (фр •  xtp la> aD • • • > ati) (z ~ X , п). (81)
414
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
Тогда выражение
п
Н]1 -j- V а.хЧ-4-а , ==
4 = 1
п
+	(78)
i = l
в котором рй. заменены через а х°— через их выражения (81),
есть решение уравнения (74), зависящее от п-у-1 произвольных
постоянных, то есть полный интеграл.
3. Интегрирование канонической системы. В ана-
литической механике требуется найти решение канонической си-
стемы:
dx,- дН dp, дН	ч
—гг = -д—,	~гг =------5—	(г=1,	2,	.... п),
dt dpi	dt	дх{	v	’	> />
(76)
а уравнение Якоби является вспомогательным орудием.
Напомним определение полного интеграла, сформулировав это
определение для любого числа независимых переменных. Соотношение,
связывающее искомую функцию, независимые переменные и пара-
метры в числе, равном числу независимых переменных, называется
полным интегралом уравнения в частных производных, если,
исключая параметры из этого соотношения и из соотношений,
получаемых его дифференцированием по независимым переменным,
мы получаем данное уравнение. Эквивалентно этому определению
другое: полным интегралом называется решение уравнения в част-
ных производных первого порядка, содержащее независимые пара-
метры в числе, равном числу независимых переменных’, при этом
критерием независимости как раз является тот факт, что после упо-
мянутого в первом определении исключения мы приходим к одному
данному уравнению. Заметим, что в случае, если данное уравнение
не содержит явно искомой функции, один из параметров в полном
интеграле можно взять аддитивно.
Пусть мы имеем какой-нибудь полный интеграл уравнения Якоби’.
V	V(t, х,, ..., хп, аг, ..., дге) -j— ап+ j.	(82)
Из полного интеграла в случае и-j-l независимых переменных,
как и в случае двух переменных, характеристики получаются диффе-
ренцированием. Не останавливаясь на развёрнутой теории полного
интеграла в общем случае, проведём это доказательство для полного
интеграла уравнения Якоби.
теорема якови. Если известен полный интеграл (82) урав-
нения (74), то 2п интегралов канонической системы (76) даются
§ 6]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	415
равенствами-.
<-»< <'=>•2...........»). <83>
где bt наряду с а{ суть произвольные постоянные.
Доказательство. Уравнение (74) получается из полного
интеграла (82) исключением параметров из уравнения (82) и п 1
следующих:
Vf(/, Xj, хя, «р яп),	(84j)
хр хд Яр...,ая)	(г=1, 2, ..., п). (842)
Чтобы получить уравнение вида (74), надо определить из си-
/ г. л \	д У ,
стемы (842) параметры а1г ..., ап через , t, xt и внести эти
выражения в уравнение (84J. Одно из условий разрешимости есть
неравенство пулю якобиана:
д2 V dxidai	d2V
	dxH da\
d2V	d2V
dxidan ’	д(1м
Ф 0.	(85)
Мы будем предполагать, что условие (85) выполнено. В таком
случае вторая группа из п уравнений (83) даёт возможность (в неко-
торой области значений постоянных ^) выразить xt через t и пара-
метры Яу, bj.
Затем, подставляя эти значения в выражения
Хр ..., х„, Яр ..., яя),
X * 1'	1 fl/' i.'	• lt>’>
определяем по первым п формулам (83) pt в функции t и парамет-
ров я4, bi. Докажем, что найденные значения х{, удовлетворяют,
как функции t, канонической системе обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (76). По подстановке найденных значений xjt(fe=l,
2, п) в уравнение	оно обратится в тождество; диф-
ференцируем это тождество по /:
д2 V
dt даг
0 =
п
V d2 V dxk
^2 dxk dai dt
416
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[гл. IX
С другой стороны, дифференцируя по параметру at уравнение (74),
в которое на место V подставлено его значение (82), находим:
п
0— д2у 4-V дН д*У
dt да{ Ли , д V дхк da( ‘
Вычитая почленно последние равенства, находим, принимая во
внимание первую группу уравнений (83):
п
— = ° (/=1> 2> •••’ ”)•
ли дхъдсц \ dt дръ/	'	’ ’	’ '
к=1
Так как определитель этой системы не равен нулю, то все скобки
равны нулю, и мы получаем первую группу из п канонических урав-
нений.
Аналогично, полученное после подстановки значений xt равенство
Pi —	..., хп, а1г ..., ап) дифференцируем по t:
dPi _ &V  у &V dxk
dt дх( dt ‘ 'ли dxj dxk dt
Из уравнения (74) дифференцированием по xt находим:
dW
ox pit
dH
dxi
О
у дН &V
Ли , dV dxkdxi’
к=1д^
Вычитая оба равенства почленно
dxk dH
ценные соотношения —— -т—,
dt dpk ’
dp{ _ dH
dt	dxt
и принимая во внимание уже полу-
находим:
(Z=l, 2, ..., п),
то-есть вторую группу уравнений (76). Теорема доказана.
4. Методы нахождения полного интеграла. Если
полный интеграл уравнения Якоби используется для интегрирования
канонической системы, то ясно, что к его нахождению нельзя при-
менять первый метод Якоби, который требует предварительного
нахождения характеристик. Однако в ряде случаев можно найти
полный интеграл из соображений, общая теория которых относится
ко «второму методу Якоби». Некоторые такие соображения, отно-
сящиеся к случаю «отделения переменных», мы здесь изложим.
Весьма важный в механике случай, — когда функция Гамильтона
не зависит явно от времени: /7 = Н{хх, ..., хп, plt ..., рп). В этом
случае каноническая система (76) допускает первый интеграл:
Н (*1.  •	Xw Pv • • •, Рп) = h	(8б)
§ 6]	МЕТОД КОШИ ДЛЯ П НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	417
(интеграл энергии). В самом деле, дифференцируя соотношение (86)
по t и принимая во внимание уравнения (76), находим:
yi дН dxi  yi дН dp(  у, дН дН у, дН дН 
dxi dt "т~ dpt dt дх( др{ др, дх{
г = 1	<=i	< = 1	i = l
В этом случае полный интеграл V можно искать в виде:
V = -ht+W(X1, .... xn) + an+11
где W— новая искомая функция. Подставляя в уравнение (74),
находим:
Н(х., ..., хп, -г—
\ р > »’ $Х1
(741)
п
уравнение для Wen независимыми переменными (вместо /г-ф-1),
причём в него уже входит один параметр h. Полный интеграл полу-
чится в виде:
V = — ht-^W^...........хп; h; alf ..., аи_!) + а!ге+1;
дифференцирование по параметрам h, at, an_t и приравнивание
новым постоянным [вторая группа (83)] дают п соотношений, из
которых можно получить xlt х2..........хп в функции t и 2п произ-
вольных постоянных:
Вообще, если в функцию Н в уравнении (74) и (74J явно не входит
какое-нибудь независимое переменное, например хг (циклическая
координата), можно искать полный интеграл [например, для (74j)]
в форме:
1Г=аЛ + и71(^, ..., Хп),
и для W мы имеем уравнение с п— 1 независимыми переменными:
„	dW	ow\ ь
п\х,. .... х„, а,, -з—, ..., -5— =«,
\ !’	’ J’ дх2 ’	’ dxnJ ’
в которое входят два параметра h и at. Если. найдём его полный
интеграл W1(x2, ..., хп; h, аг, а2, .... ап+1), то полный интеграл
первоначального уравнения будет:
[/== — W-j-«7,(^2, .... хп-, at; а2, .... а^) +	+ ап+1,
т. е. будет содержать нужное число п 1 параметров. Итак, можно
предполагать, что уравнение в частных производных (74J, где мы
418
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. IX
опять обозначим == ръ уже не содержит циклических
координат.
Предположим далее, что функция Н в уравнении (74t) имеет вид:
tf = tf(<p(Xp pj, х2, хп, р2,..., pH)~h (87)
(переменные хп рг отделены). Ищем решение соответствующего
уравнения Якоби в форме:
W =Г1(х1)+ W* (х2, ...,х,().
Имеем:
Pi = (xj, Pj = д-^-	(/ = 2,3,..., п).
Подставляя в уравнение (87), находим:
#(?(*!, W7! (*1)), *2> •••> Хп’ Р-2’ •••>	=
Если теперь подобрать IFj (xt) так, чтобы было
<?(Хр U71'(x1)) = a1,	(88)
где ах — произвольная постоянная, то нахождение IF, сведётся
к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (88),
а нахождение W сведётся к интеграции уравнения с п — 1 незави-
симыми переменными, причём вместо исключённого переменного xt
вошёл параметр аг. Отсюда правило: если в функции Га.чильтона
отделены переменные хр рг (87), то составляем обыкновенное диф-
ференциальное уравнение-.
?(Хр Л) = й1, Л =
квадратурой находим его решение:
Pi='Hxi,a), = J ^(Хр a)dxv
а затем находим полный интеграл U7* уравнения (с п—1 перемен-
ными):
и(	dW<' dW*\ ,	un.
тогда полный интеграл первоначального уравнения Якоби получится
в виде:
V = — ht-\- J ф(хр fli) dXi + W* (х2, ..., х„, й1; а2, ...,an)-f-cn+p
Может случиться, что в левой части уравнения (89) ещё какая-
нибудь пара аргументов хо pt окажется отделённой; тогда приме-
няем тот же процесс, уменьшающий число независимых переменных.
§ 6]
МЕТОЛ КОШИ ДЛЯ п НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
419
В механике и физике интеграция канонических систем при помощи
сведения к уравнению Якоби с успехом применяется только в тех
случаях, когда нахождение полного интеграла сводится при надле-
жащем выборе координат к последовательному отделению всех пар
переменных.
Пример (Якоби). Движение планеты в полярных координатах
приводит к уравнению в частных производных:
JL 1 (ЁЖ¥ _i_ 1 (ЁЖ\“ I 1 —Ж________________
2 \ \ дг ) ¥~~ г2 \ dtp ) ' г2 sin2 \ с>ф J | г
где а — произвольная постоянная {постоянная энергии). Якоби
выделяет уравнение:
2 v\ ду ) ’ sin2 \ дф / j °’
после чего остаётся
1 /dW Л2 9
2 {dr) ~' r	a f-
{	dW	\
(переменные г, отделены \; его интеграл:
U7= J 2^_2а-?|^ + Л(?) ф),
и для F получается дифференциальное уравнение:
J l/дН у ,___1 / <]AV-1 _ о
2 ду ) ’ sin2 ip \дф / ) Р’
о	1 /'Ж2	,,	\
Вводя соотношение	= Т(’г— циклическая координата), полу-
чаем:
1 <^¥ = 8_______у	•
2 \ ду / г	sin2 >
из этих уравнений находим:
Ф)= / /'+
и окончательно (без аддитивной постоянной):
j/'^-2a-^r+ J j/"2?-Д^ + -|/2^.
Решение канонической системы (нет нужды её выписывать) есть
,--- ----- V.-V. --------— -- U „	---г-
Са	0? г dt
420	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ производных [гл. IX
(а', Р', у' — произвольные постоянные) или, после выполнения диф-
ференцирования,
Очевидно, квадратуры вычисляются в элементарных функциях.
§ 7. Геометрическая теория уравнений
с частными производными первого порядка.
1. Конус Т, Рассмотрим уравнение:
F(x,y,z,p, q) = 0,	(1)
считая точку (х, у, г) данной, фиксированной. В таком случае
уравнение (1) устанавливает связь между угловыми коэффициен-
тами р и q всех элементов первого порядка (х, у, z, р, q), удовле-
творяющих данному уравнению в частных производных и имеющих
общую точку (х, у, г). Таким образом, из связки плоскостей, про-
ходящих через точку (х, у, z),
Z — z = p(X—x)-\-q{Y—у),	(90)
соотношение (1) выделяет семейство от одного параметра, за кото-
рый мы можем принять, например, q. Огибающая этого семейства
есть некоторый конус; назовём его конусом Т; его прямолинейные
образующие являются характеристиками (в смысле дифференциальной
геометрии) рассматриваемого семейства плоскостей. Найдём уравне-
ние образующих конуса Т; для этого дифференцируем уравнение (90)
по параметру q:
^(Х-х) + (У-у) = 0.
Производную находим из уравнения (1):
p^-4-Q = 0;
dq 1	’
подставляя её значение в предпоследнее уравнение, находим:
X—г_Y—y
Р Q ‘
(91;
(92)
усло-
через
част-
§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 421
Уравнения (90) и (91) при фиксированных р и q, связанных соотно-
шением (1), определяют образующие конуса Т; эти уравнения можно
написать в симметричной форме:
X— х  У—у  Z— z
~~Р	Рр + Qq'
Сопоставляя уравнения (92) с уравнениями (48Д (482) и
вием (54), мы видим, что каждая характеристика, проходящая
точку (х, у, г), касается одной из образующих конуса Т. В
ности, если дана интегральная поверхность, проходящая через дан-
ную точку, то её касательная плоскость, очевидно, принадлежит
семейству (90), (1); направление характеристической линии на этой
поверхности в точке (х, у, z) совпадает с направлением той обра-
зующей конуса Т, по которой этот конус касается касательной
плоскости к поверхности. Так как (х, у, г] есть произвольная точка
поверхности, то мы приходим к новому, геометрическому определе-
нию характеристических линий на интегральной поверхности:
это — линии, касающиеся в каждой точке (х, у, г) поверхности
той образующей соответствующего этой точке конуса Т, которая
t лежит в касательной плоскости к поверхности.
Чтобы получить уравнение конуса Т, надо исключить р и q из
уравнений (1) и (92); из системы (92) р и q определяются как
функции х, у, z,	подставляя их выражения в урав-
нение (1), получим уравнение конуса Т вида:
=	ТО
Если уравнение в частных производных дано в разрешённом виде:
p=f(x,y, z, q\	(18)
где f—дважды дифференцируемая функция своих аргументов, то
система (92) имеет вид:
Х-х = ^^ Z~z,-,
—fq f—qfq
ИЛИ
=	=f- Qf'e-	(92J
Первое из уравнений (92J может быть разрешено относительно q,
если. fqq ф 0 (тождественное обращение в нуль второй производной
соответствует случаю линейного уравнения, для которого конус Т
вырождается в прямую, см. ниже, п. 3). Подставляя найденное зна-
чение q в уравнение (18), а затем значения р и q во второе уравне-
ние (92J, найдём уравнение конуса Т в виде:
Z — z = (X— хф(х, у, z,	(S3.)
\	Л. — - А. '
422
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[гл. IX
Обратно, если дано уравнение (93) или (93J, относящее каждой
точке (х, у, z) конус с текущими координатами X, Y, Z, то, рас-
сматривая этот конус, как конус Т некоторого уравнения в частных
производных первого порядка, мы можем найти это последнее; а
именно, это будет уравнение, связывающее угловые коэффициенты р
и q касательных плоскостей к конусу. Будем исходить из уравне-
ния (93j) как более простого. Обозначим через ©, производную от ®
У—у
по аргументу _ х; тогда для угловых коэффициентов касательных
плоскостей к конусу (932) получаются выражения:
0Z	У — у dZ	/	у— у\
= (94)
у__ у
Из второго уравнения (94) можно выразить -%—~ через х, у, z, q
(если бы производная от по у—оказалась тождественным нулём,
это означало бы, что <р — линейная функция последнего аргумента,
т. е. конус вырождается в плоскость ). Подставляя найденное выра-
жение в первое из уравнений (94), мы получим уравнение в частных
производных вида (18).
Если конус задан уравнением (93), то уравнение в частных про-
изводных получится исключением отношений и из урав-
нений (93) и следующих:
. Р~~ Os X — x + х- х’ q~~	Ф2’
где Ф, и Ф2 обозначают частные производные от Ф соответственно
по предпоследнему и последнему аргументам. Получим уравнение
вида (1), соответствующее конусу (93).
Примечание. С точки зрения введённой нами геометрической интер-
претации является возможным истолковать упомянутое в сноске на стр. 404
дополнительное условие для возможности решения общей задачи Коши. Оно
состоит в существовании общего решения относительно р0 и д,, уравнений (54)
и (58). При заданных функциях хй (v), у0 (v), z0 (v) уравнение z0(v)—p0x'0(v) —
— ЧоУо (v)= 0 определяет при фиксированном v пучок плоскостей
Х—х0	У— уо	Z—го
с осью ---—= =----у-- =---; уравнение (54), как мы видели, опреде-
х0 >0 z0
ляет семейство плоскостей, касательных к конусу Т. Таким образом, усло-
вие, о котором идёт речь, сводится к тому, чтобы в числе плоскостей пучка
существовала плоскость, касательная к Т. Если, например, Т есть конус
второго порядка, то это условие равносильно требованию, чтобы через ось
пучка, т. е. касательную к начальной прямой, можно было провести действи-
тельную касательную к конусу Т.
§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 423
2. Кривые Монжа. Заменяя в уравнении (93) или (93J при-
ращения X—х, Y — у, Z — г соответственно дифференциалами dx,
dy, dz, мы получаем	уравнение Мон ж а:
т	!	dv	dz'\
Ф	X,	у,	г,	у-,	—
\	dx	dx/
(9й)
однородное относительно дифференциалов и нелинейное (линейное
уравнение — уравнение Пфаффа — соответствует вырождению конуса Т
в плоскость). Это уравнение определяет кривые в пространстве,
обладающие тем свойством, что в каждой точке такая кривая касается
одной из характеристических линий уравнения (1), проходящих через
данную точку (кривые Монжа, «интегральные кривые» по термино-
логии .Софуса Ли). В число этих кривых входят характеристические
кривые уравнения (1) (т. е. кривые, являющиеся носителями харак-
теристик первого порядка); геометрически это очевидно из опреде-
ления; это же можно усмотреть и из того факта, что вдоль характе-
ристик выполняются соотношения (1) и (48х), (48,), следствием которых
является уравнение (95). Но множество кривых Монжа значительно
обширнее, чем множество характеристик, так как эти последние обра-
зуют семейство от трёх параметров, а общее решение уравнения Монжа
(95) зависит от произвольной функции. В самом деле, уравнение (95)
есть обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя искомыми
функциями; для его интегрирования можно одну из функций задать
произвольно, например г — ф (х), и для определения у (х) останется
проинтегрировать уравнение первого порядка:
Ф (х, у, ф, (х),
Е- «) = »
Мы видели, что если в качестве начальной кривой взять характеристи-
ческую линию, задача Коши становится неопределённой; посмотрим, как
обстоит дело, если за начальную кривую взять одну из кривых Монжа (не
характеристических). Возьмём уравнение в частных производных в форме (18)
и соответствующее уравнение Монжа в виде, соответствующем уравнению
конуса Т (93i):
dz ( dy\	,
d7v = 4x'y'z’d^-
Пусть начальная кривая задана в параметрической форме:
х = х0 (у), у =y0(v), z = zQ (v),	(96)
причём имеет место тождество:
/ z	/	МА
го — xo<t	I хо*	Уо< го>	I I	•
\	Хо1
Формулы (94), с заменой приращений дифференциалами, однозначно опре-
деляют р0 (v) и q0 (у), причём легко проверить, что выполняется тождество
zo~Poxg — <}оУо = ^- Так как следствием формул (94) и уравнения (93t)
является уравнение (18), то х0, ..., q0 связаны также соотношением
424	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
р0 = f (.гс, у0, z0. <7о)- Подставляя начальные значения, как функции параметра и,
в уравнения характеристик (52), мы получаем семейство характеристик от
одного параметра, касающихся в каждой точке начальной кривой; соответ-
ствующие формулы имеют вид:
х = х (и, v), y = y(u,v), z=z(u,v), р — р (и, v), q — q(u,v), (97)
причём, ввиду выполнения условий (54t) и (58), имеем тождественно относи-
тельно и, v:
dz — pdx — qdy = 0.
Однако в окрестности кривой и = 0 первые два уравнения (97) не могут
быть однозначно разрешены относительно и, щ так как начальная кривая
D (х, у) I а и
касается характеристик, и, следовательно,	|	= 0. Но вне кри-
вой и = 0 первые три уравнения (97), вообще говоря, определяют интегральную
поверхность; эта поверхность содержит кривую Монжа (96), которая является
для поверхности особой линией (ребром возврата). Таким образом, если за
начальную кривую взята кривая Монжа, то не существует интегральной
поверхности, непрерывно дифференцируемой на этой кривой; однако суще-
ствует интегральная поверхность, составленная из характеристик,
касающихся кривой Монжа, причём эта кривая является ребром воз-
врата поверхности.
На этом замечании основан метод нахождения кривых Монжа, при кото-
ром в формулы, выражающие координаты кривой, произвольная функция
входит только под знаком производной (а не под знаком квадратуры, и тем
более не входит в подлежащее интегрированию дифференциальное уравнение).
Пусть дано уравнение Монжа (95) или (95f). Строим соответствующее
ему уравнение в частных производных (1) или (18), пользуясь формулами (94)
или (94t), и пусть его полный интеграл есть
z = ср (х, у, а, Ь).	(191)
Беря произвольную функцию Ь = ю (а), мы получаем общий интеграл, при-
соединяя к уравнению (190 уравнение:
+ 7'*“' (д) ~ °-	(2Э)
Для постоянных значений а уравнения (19t) и (29) дают характеристики на
поверхности, определённой общим интегралом; чтобы найти ребро возврата
этой поверхности — огибающую семейства характеристик, зависящего от пара-
метра а,— заметим, что уравнение (29) представляет проекцию семейства
характеристик на плоскость хОу; находим огибающую этого плоского семей-
ства, дифференцируя (29) по параметру:
Чаа + ^abw' И + Ш“'2 (в) + ?ь“" (а) = °-	(98)
Уравнения (19t), (29) и (98), будучи разрешены относительно х, у, г, пред-
ставят огибающую характеристик на интегральной поверхности, т. е. кривую
Монжа; её уравнения будут иметь вид:
х —	(а, ш (а), о/ (а), ш" (а)),
у = Ф2 {а, <о, о/, «/'),
z =	(а, т, о/, w");
они содержат, кроме произвольной функции (а), только её производные.
Так как всякая кривая Монжа является огибающей характеристик той инте-
гральной поверхности, которая даётся тремя первыми формулами (97), то мы
вправе ожидать, что полученное решение будет общим.
§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 425
Пример 16. Уравнение Монжа (dz 4- х dy -f- у dx)2 = 4 (г -Уу) dx dy.
„	dz	dy , „ _/•—:---~.ГЛу п .
Переписываем его в виде-т-= —у — х-^--)-2 yz + xyy -г-. По фор-
t/y	С1Х	* их
мулам (94) находим:
/, = _>,_xg + 2 Vz + xy у/~g +	Vz^-xy ]/~=
q = — х
исключая получаем: (p-f-y) (qх) — zху, или z — рх qy pq —
уравнение в частных производных, соответствующее данному уравнению
Монжа. Его полный интеграл z = ах by -f- ab. Безинтегральное выражение
общего решения уравнения Монжа получается из уравнений:
z = ах + ш (а) у аш (а), х ш'у 4* <"> 4~ аш' = О,
ш"у + а<°" 4~ 2ю' = 0, или у — — а —	,
2«/“	п а<У- 2<ооУ
х — —т,---<о, z — — ач> -4- 2 —т.----------л—.
ш"	со" to"
ЗАДАЧИ.
223.	Найти дифференциальное уравнение (Монжа) кривых, касательная
7t
которых образует в каждой точке угол с плоскостью хОу, найти безинте-
гральное выражение общего решения.
224.	Найти общее решение уравнения dz2 = -\dxdy.
225.	Найти уравнение Монжа, соответствующее уравнению в частных
производных pq = z, и написать общее решение.
3. Сравнение с теорией линейных уравнений
в частных производных. Изложенная нами теория полного
и общего интеграла нигде не зависела от предположения, что дан-
ное уравнение нелинейное. Она поэтому целиком прилагается и
к линейному уравнению:
Р(х, у, z)p~j-Q(x, у, г) q = R(x, у, z).	(99)
Заметим только, что мы в главе VIII строили общее решение из
двух первых интегралов вспомогательной системы двух обыкновен-
ных уравнений; пусть эти интегралы будут:
и(х, у, z)=Clt v (х, у, z) — C^.	(100)
Мы можем, в частности, построить полный интеграл, линейный
относительно двух произвольных постоянных а, Ь:
V=u(x, у, z)-\-av(x, у, z)-\-b = O.	(101)
Легко видеть, что, обратно, если полный интеграл линейно зависит
от произвольных постоянных,
V=/(x, у, z)a-\-g(x, у, г)Ь-\-й(х, у, г) — 0,
426	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [гл. IX
то полученное из него в результате исключения этих постоянных
уравнение в частных производных будет линейным.
Из полного интеграла (101) мы легко приходим к известному нам
общему решению уравнения (99).
В самом деле, согласно теории общего интеграла, полагаем b — <и (а);
равенство (101) перепишется так:
и av -ф- со (а) = 0.
Дифференцируем последнее равенство по а:
v -ф- со' (а) = 0,
откуда а получается как некоторая функция от подставляя эту
функцию в предпоследнее равенство, имеем общий интеграл:
Определение характеристических линий из полного интеграла (101)
даёт нам:
и -ф- av -ф- Ь = 0, v-!- с = 0,
или
и = ас — b, v =—с,
т. е. уравнения, эквивалентные системе (100), опять в согласии с тео-
рией линейных уравнений в частных производных.
Однако уже здесь можно отметить различие с теорией нелиней-
ных уравнений — семейство характеристических линий линейного
уравнения зависит только от двух (существенных) параметров.
При применении метода Коши обнаруживается более глубокое
различие между двумя типами уравнений.
В методе Коши конус Т определялся при постоянных х, у, z
как огибающая семейства плоскостей:
Z — z = p(X— x)-\-q(Y— у),	(90)
где р и q связаны данным уравнением, т. е. в случае линейного
уравнения, линейным соотношением:
Pp-\-Qq — R.	(99)
В этом случае семейство плоскостей есть пучок, а огибающая,
т. е. конус Т, вырождается в ось пучка с уравнениями (62) и
X — x_Y—y
Р Q ’
ИЛИ
Х—х Г — у Z—z
Р ~ Q ~~ R '
Таким образом, направление характеристической кривой одно-
значно определено в каждой точке рассматриваемой области про-
§ 7] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 427
странства. Соответствено этому, дифференциальные уравнения харак-
теристических кривых
dx	dy = dz	, „21
Р (х, у, z) Q (х, у, z) R (х, у, г)	'
не содержат величин р, q и могут быть проинтегрированы без пред-
варительного задания интегральной поверхности. Итак, в случае линей-
ного уравнения характеристические линии уже являются харак-
теристиками (нулевого порядка}. Семейство характеристик нулевого
порядка зависит от двух параметров. Для интеграции уравнения (99)
нет надобности дополнять систему (102) добавочными уравнениями.
Если всё же ввести эти добавочные уравнения, то при их интеграции
для получения характеристик первого порядка одно из начальных
значений р0, q0 остаётся произвольным, другое определится из урав-
нения:
р<хф Уф го) Po+Q(xo’ Уф ^о) Чо = Р <хо> Уф го>-
Таким образом, каждая характеристика нулевого порядка является
носителем со ’ характеристик первого порядка; семейство характери-
стик первого порядка и в случае линейного уравнения зависит от
трёх произвольных постоянных.
ЗАДАЧА.
226. Пусть уравнения характеристик нулевого порядка для (102) будут
у = g (х; уо, z0), z = h (х; у0, zo)> где начальные значенияу0, z0 соответствуют
х = х0. Найти характеристики первого порядка.
Указание. Воспользоваться соотношением dz = р dx + q dy-
ГЛАВА Xi).
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.
Настоящий очерк истории теории дифференциальных уравнений
не претендует на полноту. В нём содержатся лишь краткие сведения
о возникновении этой математической дисциплины и её развитии за
последние два с половиной века. При этом, естественным образом,
главное внимание обращено на те вопросы, которые были рассмотрены
в предыдущих главах.
С задачами, относящимися к теории дифференциальных уравне-
ний в собственном смысле этого слова, математики встретились на
рубеже XVI—XVII вв., — впервые, вероятно, в области вычислитель-
ной математики, при создании логарифмических таблиц. Стремясь
дать определение логарифма, пригодное для непрерывной величины —
по существу для всех действительных положительных чисел, Дж.
Непер (1550—1617) отправным пунктом избрал не сопоставление
двух дискретных прогрессий — арифметической и геометрической,
а кинематическое представление о двух связанных между собой непре-
рывных прямолинейных движениях.
Точка М, выходя из положения О, движется с постоянной ско-
ростью v, точка N, выходя со скоростью v из положения А на
отрезке АВ, равном 107, движется замедленно с переменной ско-
ростью, пропорциональной её расстоянию NB до конца В. Длина
отрезка ОМ и является неперовым логарифмом величины NB. Обо-
значив ОМ —у и NB = х, мы можем выразить скорости обеих точек
уравнениями:
rfy	dx	vx
~dt'~V' ~di	UP
а зависимость между числом x и
дифференциальным уравнением
его неперовым логарифмом у — Lx —
dy	IO?
dx	х
х0=Ю7, Хо = 0-
') Эта глава написана А. П. Юшкевичем.
гл. х]	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	429
Сам Непер ввёл логарифмическую функцию, определяемую этим урав-
/	Ю7 \
нением (т. е. у = Lx — 107 In ) только таблично; при этом его
приёмы вычисления таблиц логарифмов фактически давали приближён-
ное интегрирование указанного уравнения.
Отрезок АВ принят был Непером равным 101 потому, что такое
значение давали обычно в те времена синусу прямого угла; при этом
неперовы логарифмы синусов первой четверти, приведённые в его
таблицах с 8 знаками, представлялись положительными целыми
числами.
Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям, появля-
лись и в области математического естествознания, например в про-
блеме падения тяжёлого тела в среде без сопротивления, которую
решил Г. Галилей (1564—1642; опубл, в 1638 г.) ’) и в оптике.
Открытие закона преломления света позволило Р. Декарту (1596—1650)
около 1628 г. поставить и решить первую из так называемых «обрат-
ных задач на касательные». Речь шла об определении поверхностей
линз вращения, которые преломляют лучи, выходящие из одной дан-
ной точки в другую данную точку; другими словами, задача состоит
в том, чтобы найти плоскую кривую, для которой синусы углов
нормали в любой её точке М с прямыми, соединяющими точку М
с двумя данными точками, находились бы в постоянном отношении.
Применив бесконечно малые, Декарт открыл так называемые декар-
товы овалы, кривые четвёртого порядка, уравнения которых в бипо-
лярных координатах пишутся в виде
mr} -f- пг2 = const.
«Обратная задача на касательные», т. е. задача об определении
кривых, касательные к которым обладают заданным свойством, сыг-
рала видную роль в предистории интегрального исчисления и теории
дифференциальных уравнений. Несколько таких задач поставил перед
Декартом в 1638 г. Ф. Дебон (1601—1652); в частности он поставил
задачу об отыскании кривой, подкасательная которой удовлетво-
ряет уравнению
У ^х—у
st а
Или
dy  х—у
dx а ’
Путём преобразования координат, соответствующего подстановкам
X	X
х = -у=- и у = Y 4- —;=• — а, Декарт (говоря по-современному) свёл
1) Путь, проходимый телом при прямолинейном равномерно-ускоренном
движении, Галилей вычислял как площадь треугольника, образованного
отрезком оси t, прямой v = gt и какой-либо ординатой этой прямой.
430
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. X
последнее уравнение к виду
dY _ Y
dX	а У 2 ’
т. е. к той же задаче, которую решал за четверть века до него
Непер. Не располагая понятием логарифмической функции, Декарт
дал кинематический приём определения точек искомой кривой как
точек пересечения двух движущихся прямых. Он высказал также
мнение, что кривая трансцендентная,—по его терминологии — меха-
ническая,— а заодно и убеждение, что общего метода решения
подобных задач существовать не может. Довольно скоро, однако,
решение тех обратных задач на касательные, дифференциальные
уравнения которых непосредственно допускают разделение перемен-
ных, сведено было к задаче квадратур. Это удалось в 1669—1670 гг.
И. Барроу (1630—1677), который в геометрической форме показал,
что кривая, подкасательная которой определяется условием
st = /(У)
У	’
сама определяется уравнением, которое в наших обозначениях имеет
вид
J / О') dy = J ® (х) dx.
С работ И. Ньютона (1642—1727) и Г. В. Лейбница (1646—-1716)
начинается первый период истории дифференциальных уравнений,
охватывающий последнюю четверть XVII и весь XVIII век. Изучение
проблем динамики точки и твёрдого тела, а также некоторых гео-
метрических задач методами дифференциального и интегрального
исчислений вскоре привело к выделению простейших классов обык-
новенных уравнений первого и второго порядков.
В первой половине XVIII в. дифференциальные уравнения стано-
вятся основным орудием исследования не только в механике, но и
в дифференциальной геометрии и вариационном исчислении. К концу
этого времени задачи математической физики, прежде всего задача
о колебании струны, облекаются в форму дифференциальных уравне-
ний с частными производными, а во второй половине XVIII в. такие
уравнения получают широкое применение и в теории поверхностей.
И подобно тому, как математический анализ в XVIII в. развивался
как анализ отдельных классов (аналитических) функций, так и теория
дифференциальных уравнений разрабатывалась как учение о различ-
ных конкретных типах дифференциальных уравнений. Главные усилия
сосредоточены были на частных методах интегрирования и сведении
решения к элементарным функциям и их квадратурам, которое при
невозможности такого решения заменялось приближённым интегриро-
ванием. Общие проблемы теории—вопросы существования, поведе-
гл, х]	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	431
ния интегральных кривых, природы особых точек и т. д. — подобно
общим вопросам теории функций оставались в стороне. При этом,
как и ряд других дисциплин, теория дифференциальных уравнений
развивалась первоначально внутри математического анализа, и лишь
постепенно, по мере выяснения особенностей её проблем и установ-
ления её центральных понятий, выделилась в особую математическую
науку.
Ряд дифференциальных уравнений был проинтегрирован Ньютоном
в «Математических началах натуральной философии» (1686), второй
закон которых сам автор сформулировал словами: «Изменение коли-
чества движения пропорционально приложенной движущей силе и
происходит по направлению той прямой, по которой эта сила дей-
ствует», а мы записываем дифференциальным уравнением
d (mv) _ р
dt
Так, в задаче о прямолинейном движении точки под действием
силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения, Ньютон
решил уравнение
а в задаче о прямолинейном движении тяжёлой точки в среде, сопро-
тивление которой пропорционально квадрату скорости,—уравнение
В «Математических началах», которые были изложены с помощью
синтетико-геометрических построений, отсутствовала запись диффе-
ренциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме;
чисто аналитическую трактовку задач механики ввёл впервые Л. Эйлер.
В явном виде дифференциальные уравнения встречаются в «Методе
флюксий и бесконечных рядов» Ньютона, написанном около 1671 г.
и изданном в 1736 г.
Уже в самой формулировке двух взаимно обратных задач метода
флюксий, как именовалось у Ньютона исчисление бесконечно малых
(флюксия соответствовала нашей производной), поставлена была общая
проблема интегрирования обыкновенного дифференциального уравне-
ния. Первая задача Ньютона гласила: «по данному соотношению
между флюентами определить соотношение между флюксиями» ’),
а вторая: «по данному уравнению, содержащему флюксии, найти
соотношение между флюентами». Таким образом, для случая одной
независимой переменной во второй проблеме речь шла о решении
1) Флюенты, т. е. переменные величины, х, у рассматривались как функ-
ции параметра t — «времени».
432
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
уравнения
f(x, у, = 0.
\	’ dx J
В примерах на вторую проблему у Ньютона имеется частный случай
уравнения в полных дифференциалах:
М (х, у) dx N (х, у) dy — О,
где М и N—целые рациональные функции. Решение при этом даётся
в квадратурах. Но общим методом, который Ньютон применял
к линейным и некоторым другим уравнениям, являлся метод последо-
вательных приближений, дававший решение в виде бесконечного
степенного ряда по положительным или отрицательным степеням
аргумента. Представление решения в форме ряда было естественно
для Ньютона потому, что одни уравнения не интегрировались в ква-
дратурах, а во многих других квадратуры приводили к недостаточно
изученным трансцендентным функциям. Ньютон, видимо, не стре-
мился вообще к разысканию конечных аналитических выражений
интегралов уравнений. Например, уравнение
4L = 1+JL
dx 1 а — х
он преобразует к виду
dy _ . ,	, ху , х^у ,
dx 'а'&'сР''’"
и даёт (частное) решение в форме
у2 г3
Между тем это же решение такого уравнения можно, идя другим
путём, выразить функцией	*
_ 1 Г а'й	(а—х)* ~|
У а — х L 2	2 J"
Как правило, Ньютон ищет решение со свободным членом, равным
нулю, но вместе с тем указывает, что, произвольно выбирая свобод-
ный член, можно получить и бесконечное множество решений.
Ньютон рассматривал и уравнения с тремя и более переменными.
Для него было ясно, что при этом для интегрирования, вообще
говоря, следует вводить дополнительные соотношения между пере-
менными. Так, в случае уравнения
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
433
можно принять дополнительно
х=у или 2y = a-j-x, или у2 = х,
и вообще — в пределах известных в то время функций—произволь-
ное соотношение между х и у.
Иное направление получила разработка дифференциальных урав-
нений у Лейбница, который, между прочим, ввёл в употребление
самый термин «дифференциальное уравнение» *), и его ближайших
последователей Якова Бернулли (1654—1705) и Ивана Бернулли
(1667—1748). Лейбниц, а за ним братья Бернулли также применяли
для решения дифференциальных уравнений разложения в степенные
ряды. Наряду с этим, однако, они в процессе систематической раз-
работки алгоритма исчисления бесконечно малых положили начало
классификации обыкновенных дифференциальных уравнений и мето-
дам их решения посредством сведения к квадратурам.
Простейшим видом дифференциальных уравнений являются урав-
нения с разделяющимися переменными, и естественно, что усилия
были направлены, прежде всего, на приведение уравнений первого
порядка к этому виду. Так, Лейбниц уже в 1693 г. достиг этой
цели для однородных уравнений с помощью подстановки у — их,
а вскоре и для линейного уравнения, заменяя у произведением двух
искомых функций и, V. В 1696—1697 гг. Лейбниц и братья Бер-
нулли решили таким же путём предложенное старшим Бернулли
уравнение
вместе с тем Лейбниц и И. Бернулли показали, что при замене
_у1-п = и последнее уравнение переводится в линейное.
В нескольких случаях И. Бернулли употребил и интегрирующий
множитель. В частности, в 1700 г. он показал, как с помощью мно-
жителя вида хр можно последовательно понижать порядок линейного
уравнения
а^п Sr + ^п-1 £3 + • • • + апУ = 0,
позднее названного по имени Эйлера (который нашёл употребляемый
теперь приём решения с помощью подстановки х — е* в 1740 г.);
впрочем, решение Бернулли не было своевременно опубликовано авто-
ром. Незадолго перед тем (1697) И. Бернулли поставил и решил
важную задачу о траекториях, метод решения которой немедленно
дал также Лейбниц.
*) Впервые в письме к Ньютону от 1676 г., а затем в печати, начиная
с 1684 г.
434
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
Некоторые простые дифференциальные уравнения тогда же были
проинтегрированы при решении задачи о кривой быстрейшего спуска—
брахистохроне.
Для уравнений второго порядка, не содержащих явно одной из
переменных, Я. Бернулли предложил приём сведения к уравнениям
первого порядка с помощью введения параметра у' = р; однако ра-
бота Бернулли была напечатана много лет спустя после того, как
Дж. Риккати (1676—1754) в 1715 г. опубликовал тот же приём.
В дальнейшей разработке теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений приняли участие крупнейшие учёные XVIII в. Осо-
бенно велик был вклад знаменитого петербургского академика
Л. Эйлера (1707—1783), а затем французских математиков А. Клеро
(1713—1765), Ж. Даламбера (1717—1783) и Ж. Л. Лагранжа
(1736—1813).
Черпая материал из многочисленных задач механики, в том числе
небесной механики, баллистики, геометрии и самого математического
анализа, Эйлер обогатил теорию дифференциальных уравнений целым
рядом первоклассных открытий.
В мемуаре, напечатанном в 1743 г., Эйлер дал классический
метод решения линейного однородного уравнения любого порядка
с постоянными коэффициентами при помощи подстановки у = екх и
в случае действительных кратных корней — подстановки е^и. Анало-
гичная подстановка еахи в случае пары комплексных корней a [Зг
позволила ему свести вспрос к уравнению
тригонометрическое решение которого было ему известно J). В этом же
мемуаре Эйлер указал, что общим решением уравнения порядка п яв-
ляется линейная комбинация его п частных решений, впервые введя
попутно самые термины «частное решение» (valor particularis) и
«общее решение» (aequatio integralis completa, полное интегральное
уравнение)* 2). Через 10 лет Эйлер опубликовал способ решения не-
однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
путём последовательного понижения его порядка. Умножая, напри-
]) Рассматривая одно такое уравнение, Эйлер в 1740 г. получил его част-
ное решение в двух различных видах: 2 cos х и гс»- е~х* и убедился в их
тождестве с помощью разложений в ряды; это и привело его к открытию
знаменитой формулы, носящей его имя.
2) Одновременно линейное однородное уравнение с постоянными коэффи-
циентами решил Д. Бернулли (1700—1782), в 1725—1733 гг. бывший действи-
тельным, а затем почётным членом Петербургской Академии наук. Решение
Бернулли было обнародовано в 1751 г. Приём получения решения в случае
дКя__________________________________________________________eitx
кратных корней, например двойного корня k из выражения —- при
kt-> k, восходит к Даламберу (1748). В дальнейшем даты в скобках везде
означают год публикации работы.
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
435
мер, уравнение
Ау + В^-^-С^ = Х
‘ dx 1
на етх, он принимал, что решение возникающего уравнения имеет вид
= J Хетх dx,
где и Вг — неопределённые коэффициенты; дифференцируя обе
части последнего уравнения и почленно сравнивая результат с дан-
ным уравнением, он находил Аг, В., и т, Даламбер позднее устано-
вил, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма част-
ного решения его и общего решения однородного с теми же коэффи-
циентами (1766), а Лагранж в 1766—1777 гг. детально разработал
метод вариации постоянных’) и применил его к указанному типу
уравнений.
Вместе с тем Лагранж указал, что когда известно г частных ре-
шений однородного линейного уравнения, то его порядок можно
понизить на г единиц2).
Существенные успехи достигнуты были Л. Эйлером и А. Клеро
в исследовании условий интегрируемости дифференциальных выра-
жений, предпосылкой чего явилась открытая в 1721 г. Ник. 1 Бер-
нулли (1687—1759) и позднее доказанная Эйлером теорема о неза-
висимости результата дифференцирования от его порядка, и в теории
интегрирующего множителя. Условие интегрируемости выражения
Al dx N dy
установили Клеро (1740) и Эйлер; в следующем году Клеро указал
условие интегрируемости для
Mdx-\-Ndy-\-Pdz
и известный метод интегрирования полного дифференциала. Для не-
которых видов уравнений Ктеро нашёл и интегрирующий множитель.
Однако уравнения М dx -ф- Ndy -j- Р dz = 0, для которых условие
интегрируемости не выполнено, считали в то время лишёнными смысла,
упустив из виду правильные замечания по этому вопросу, сделанные
Ньютоном.
1) Метод вариации был известен ещё ранее Эйлеру, применившему его
в сочинении о приливах и отливах к уравнению второго порядка (1740),
а затем в некоторых работах о возмущениях планетных орбит. Этот же
приём независимо открыл Д. Бернулли (1740).
2) Понятие линейной независимости системы функций было точно сфор-
мулировано в середине Х1Х в. Условие линейной независимости, выражен-
ное с помощью определителя Г. Вронского (польский математик, 1775—1853,
введший этот определитель в 1821 г.), дали Л. Гессе (1811—1874) в 1857 г.
и Э. Кристофель (1829—1900) в 1858 г. Термин «фундаментальная систем.; >
ввёл Л. Фукс (1833—1902) в 1866 г.
436
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. X
Особенно широкое развитие метод интегрирующего множителя
получил в работах Эйлера 1768—1769 гг., в которых был установ-
лен ряд классов дифференциальных уравнений первого порядка, обла-
дающих множителем заданного вида. В следующем году Эйлер рас-
пространил метод интегрирующего множителя на уравнения высших
порядков. Он использовал при этом найденное им (1766) с помощью
вариационного исчисления условие, при котором F(x, у, у'.. ., yW)
является полной производной другой функции, содержащей производ-
ные до порядка п— 1. Это условие без посредства вариационного
исчисления вывел (1771) другой член Петербургской Академии наук
А. И. Лекселль (1740—1784).
Одним из наиболее важных применений теории интегрирующего
множителя явилось открытие Лагранжей (1766) уравнения, сопряжён-
ного с данным однородным линейным уравнением, и факта взаимной
сопряжённости обоих уравнений. С большей отчётливостью этот факт
был выражен позднее Эйлером (1778),
Перечислить открытия Эйлера в теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений здесь было бы невозможно. Отметим ещё его
исследования свойств общего уравнения РиккатиJ) (если известен
частный интеграл и этого уравнения, то подстановка у = и -ф- сво-
дит его к линейному, а если известны два интеграла, то для инте-
грирования требуется лишь одна квадратура). В связи с проблемой
колебаний растянутой круговой мембраны Эйлер пришёл к уравне-
нию
^«+-’-^ + -^- = 0,
\ г2 /	1 г dr 1 drz
позднее названному уравнением Бесселя, а решение его представил
в виде бесконечного ряда, лишь постоянным множителем отличаю-
щегося от цилиндрической функции /р(аг) (1766), частный случай
которой при р — 0 встретился ещё ранее Д. Бернулли при исследо-
вании колебаний тяжёлых цепей (опубл, в 1738 г.).
В 1768 г. Эйлер нашёл алгебраический интеграл уравнения
dx  dy _ n
где Р — целый многочлен четвёртой степени, тем самым получив
важную теорему сложения эллиптических интегралов.
*) Риккати рассматривал частные случаи уравнения, носящего, по пред-
ложению Даламбера, его имя. В случае уравнения
b = у® ахп
dx J
Д. Бернулли (1724) и сам Риккати одновременно показали, что оно допу-
скает разделение переменных в случае п = — gF^Fl ^где — любое целое
или k = со).
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
437
С особым решением уравнения первого порядка впервые встре-
тился Б. Тейлор (1685—1731) в 1715 г. Рассматривая уравнение
4х3_ 4х2 = (1+г,2)2^ г
Тейлор с
к виду
помощью подстановок х — -^, v = 1 z2 привёл его
у2 — Чгуу' + vy'2 = 1.
(А)
Далее он продифференцировал последнее уравнение:
2/' <уу' — zy) = О,
а затем, приравняв второй множитель нулю и подставив у ~
в уравнение (А), получил:
у2 = v и х — 1.
Это решение он назвал «некоторым особым (singularis) решением
задачи», не обратив, однако, внимания на его действительно особен-
ные свойства. Двадцать лет спустя (1736) А. Клеро, опять-таки
посредством дифференцирования, нашёл и определённо различил осо-
бое и общее решение уравнения
а Ж. Даламбер (1750, 1772) обобщил затем тот же приём на общее
уравнение:
иногда именуемое уравнением Лагранжа. Ряд уравнений с особыми
решениями встретился также Эйлеру; начиная с 1736 г., Эйлер 'заме-
тил также, что если уравнение имеет множитель р(х, у), то уравне-
1
ние (0 — Q может давать особое решение; так, например, в слу-
чае уравнения
х dx-yy dy — Ух2-}-у2— r2dy
с
__ 1___________
У + >2 — Z-2
особым решением будет х2-}-у2— г2 = 0 (пример принадлежит Ла-
гранжу). Более глубокое исследование характера особых решений
произвёл Лагранж (1776), который детальнее выяснил, как их полу-
чать— либо непосредственно из дифференциального уравнения, либо
из общего решения с помощью дифференцирования по постоянной;
Лагранж также дал геометрическое истолкование особого решения
4.38
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
как огибающей семейства частных интегральных кривых. Геометри-
ческие места особых точек, а также случаи, в которых особое реше-
ние одновременно является и частным, остались при этом Лагранжу
неизвестными. Лагранж занимался также особыми решениями уравне-
ний высших порядков и проблемой разыскания уравнений, обладаю-
щих заданными особыми решениями.
С разработкой систем обыкновенных дифференциальных уравнений
математическое естествознание встретилось при изучении основных
уравнений динамики. Более подробное 'исследование систем начал
Даламбер, применивший к линейным однородным системам с постоян-
ными коэффициентами метод неопределённых множителей (1750).
Подбирая множители так, чтобы линейная комбинация левых частей
уравнений сводилась к виду
du -ф- ku dt = 0,
Даламбер по существу получал для определения множителей так
называемое вековое уравнение. Даламбер занимался также частными
случаями систем уравнений второго порядка; эти исследования его
были продолжены А. И. Лекселлем (1778 и 1783).
Задачи небесной механики, в частности теория движения Луны,
интерес к -которой в то время особенно стимулировали потребности
ориентации при мореплавании, широко содействовали развитию при-
ближённых способов интегрирования дифференциальных уравнений.
Среди различных приёмов большое значение для дальнейшего имел
метод Эйлера (1768) для уравнения
(А)
с начальными условиями х = х0, у=у0. Определяя из (А) высшие
производные для у и подставляя в них х0, у0, Эйлер находил значе-
ние у1г соответствующее аргументу х, = ~ х0 /г, где h — весьма малое
число, с помощью нескольких первых членов строки Тейлора; затем
совершенно аналогично находились значения_у2, у?1, .. ., соответствую-
щие равноотстоящим значениям аргумента х0 -ф- 2h, х0 -ф- ЗА, ...
При ограничении членами первой степени относительно h полу-
чатся формулы:
Л =^o + V(-vo> Jo),
У»=Уп-1 + hf{xn_^, уп^}
И
K=To +У1) + • • • + V(-vn_lr У„_1А
которые и приводятся теперь в руководствах под названием «метода
Эйлера». Этот метол лёг позднее в основу одного из доказательств
теоремы существования решения уравнения у'==/;:, у). Теорети-
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
439
ческое исследование сходимости процесса, как это всегда имело место
в XVIII в., не производилось; Эйлер замечал только, что в конкрет-
ных случаях при достаточно малых h ряды сходятся быстро. Свой
метод Эйлер распространил и на уравнения второго порядка (1769).
Широко применялись и разложения в бесконечные степенные ряды,
а Лагранж (1779) с той же целью употребил разложения в непре-
рывные дроби.
Успехи математиков XVIII в, в теории уравнений с частными
производными были менее значительными, но и в этой области зало-
жены были основы дальнейшего развития. В первую очередь матема-
тики пришли к уравнениям с частными производными при изучении
практических задач математической физики (дифференциально-геоме-
трические проблемы в более широком плане поставлены были позд-
нее), и серьёзные работы в этой области начались с изучения уравне-
ний второго порядка.
Отправным пунктом явилась здесь одна из самых богатых след-
ствиями задач XVIII в. — задача о колебании струны. Ею интересо-
вался ещё Г. Галилей, но только Б. Тейлор положил начало её
математическому решению (1715). Если передать в символах диффе-
ренциального исчисления установленный им закон обратной пропор-
циональности ускорения точки струны при поперечном колебании
и радиуса кривизны струны в той же точке, то можно сказать, что
для малых колебаний он пришёл к знаменитому уравнению
д2У _ л. д'-у
dt2 дх2 ’
Принимая некоторые весьма ограничительные посылки, Тейлор свёл
задачу к двум простым линейным уравнениям второго порядка с по-
стоянными коэффициентами и для струны, закреплённой в двух
концах, нашёл, что в любой момент она имеет форму синусоиды.
Само уравнение колеблющейся струны в виде
д2у _ д-у
dt2 = дх2
записал Даламбер (1749), получивший впервые решение в виде суммы
двух произвольных функций:
v = /(х-Н)+?(-* —О-
Анализ Даламбера не был полным, ибо для него не были ясны усло-
вия, которые должны быть включены в саму формулировку проблемы.
Даламбер учёл только граничные условия х = 0, х — I, позволившие
ему представить решение в виде
У=/(! + *) —	х).
Эйлер в следующем году указал, что колебание струны будет пол-
ностью определено, когда наряду с граничными условиями будут
440
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
заданы ещё начальные, т. е. функции, определяющие в какой-либо
момент времени форму струны и скорость любой её точки. Тем
самым он завершил аналитическую разработку так называемого ме-
тода характеристик Даламбера, хотя геометрическая картина явления
оставлена была обоими учёными в стороне. С этого момента возни-
кает нашумевший в XVIII в. и чрезвычайно важный спор о природе
произвольных функций, входящих в интегралы уравнений с частными
производными.
Эйлер считал, что обычный анализ должен ограничиваться-только
непрерывными функциями. Понятие непрерывности у Эйлера было,
однако, отличным от того, которое вкладывается в этот термин со
времён О. Коши и Б. Больцано. Под непрерывной функцией Эйлер
понимал функцию, определяемую во всей области существования
единым аналитическим выражением, причём вопрос о характере до-
пустимых аналитических выражений поставлен отчётливо не был.
С точки зрения Эйлера, например, две ветви гиперболы ху — 1 обра-
зуют непрерывную кривую, а сходящиеся в начале координат лучи
биссектрис первых двух четвертей с уравнениями у==— х при х~<^0
и у — х при х > 0 — линию разрывную. «Непрерывность» Эйлер
усматривал в том, что благодаря единству аналитического выражения
«все части кривой соединены между собой теснейшим образом, так
что ни в одной из этих частей не может произойти изменения без
нарушения связи непрерывности».
Таким образом, непрерывность в смысле Эйлера была родственна
с тем свойством аналитических функций комплексного переменного,
что задание такой функции на любом участке определяет её в целом.
Функции непрерывные в современном смысле слова Эйлер именовал
связными. Связные кривые, проведённые свободным движением руки,
являлись для Эйлера разрывными, ибо он считал, что их нельзя вы-
разить с помощью единой формулы. Но если обыкновенный анализ
согласно Эйлеру имел своим предметом «непрерывные» функции, то
уравнения с частными производными составляли новую область ма-
тематики, с необходимостью применяющую функции «разрывные»,
поскольку начальная форма струны может быть задана произвольно.
Даламбер возражал против столь широкой постановки вопроса, счи-
тая, что функции, входящие в интегралы уравнений с частными про-
изводными, должны задаваться аналитически.
В это же время с новым замечательным решением вопроса высту-
пил Д. Бернулли (1753). Опираясь на существенно физические со-
ображения и исходя из того, что звук, издаваемый струной, обра-
зуется главным тоном и бесчисленным множеством обертонов, он
пришёл к заключению, что колебания струны как бы складываются
из бесчисленного множества колебаний различных её частей, соеди-
нённых между собой в узлах. Форма струны возникает поэтому путём
наложения соответствующих различным обертонам синусоид, периоды
которых уменьшаются обратно пропорционально натуральным числам,
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
441
а решение представляется уравнением
у — a sin
тех
а
-ф- 7 sin
Зг.х
а
{-(Э sin
2лх
а
Таким образом, Д. Бернулли пришёл к открытию фундаментального
в математической физике принципа наложения линейных колебаний
и метода решения уравнений с частными производными, впоследствии
названного методом Фурье, или методом стоячих волн.
Эйлер незадолго до Бернулли получил решение уравнения струны
для одного частного случая также в виде тригонометрического ряда.
Он, однако, высказал сомнение в общности решения такого вида,
ибо с его точки зрения даже произвольная алгебраическая функция
не может быть представлена суммой синусов, поскольку не является
обязательно нечётной и наверное не является периодической, а от
аналитического выражения требуется, чтобы оно определяло функцию
для любых значений аргумента. Д. Бернулли, напротив, высказывал
уверенность в том, что при подходящем выборе коэффициентов а, [3,
7, ... тригонометрический ряд может выразить любую кривую. Он
подчёркивал, что его теория «открывает возможность привести дви-
жения, существующие в природе, которые кажутся не подчинёнными
никакому закону, к простым изохронным движениям, которыми, ви-
димо, пользуется природа в большей части своих действий». Впослед-
ствии в споре о природе интегралов уравнений с частными производ-
ными и о представимости функций тригонометрическими рядами
приняли участие и другие крупные учёные, как Лагранж и П. Лаплас
(1749—1827). В 1787 г. Петербургская Академия наук объявила
конкурс на тему по этому вопросу и присудила премию Л. Арбога
(1759—1803), ставшему в целом на сторону Эйлера против Да-
ламбера.
Недостаточно отчётливые представления о самом понятии функ-
ции, непрерывности, аналитичности и пр. не позволили, впрочем,
математикам того времени дать точное решение вопроса, в том числе
вопроса о классе функций, представимых тригонометрическими ря-
дами. Как известно, эта проблема явилась предметом исследований
многих математиков XIX в.
Уравнения с частными производными высших порядков возникали
и в других задачах математического естествознания — в гидродинами-
ческих исследованиях (Эйлер; Даламбер, который в 1752 г. впервые
применил в этой области функции комплексного переменного), в задаче
о колебании мембран (Эйлер), теории потенциала (уравнение Лапласа,
1789) и т. д. В результате были выявлены важные типы линейных
уравнений с частными производными второго порядка. Но матема-
тики XVIII в. остались в целом далеки от постановки общих вопро-
сов теории таких уравнений. В этом направлении существенны были
прежде всего исследования Эйлера (1770) по преобразованию линей-
ных уравнений второго порядка к некоторым каноническим формам
442
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
с помощью замены переменных. Так, уравнение
d2z „ д2г
у-у = а Угг
ду1 дх1
посредством подстановок
t = х -j- ay, и — х — ay
Эйлер привёл к уравнению
откуда сразу получил общий интеграл в виде
Z = / (/) + ? (И) = / (Л- + ay) + а (х — ау).
Для уравнения
d2z , dz	, , dz	।	„
-ч—з—к а -----у- о -у-Р- cz —	О
дх ду 1 дх	1 ду	1
Лаплас (1777, 1782) предложил так называемый' метод каска-
дов, позволяющий иногда получить общий интеграл с помощью
квадратур.
Уравнения с частными производными первого порядка стали воз-
никать прежде всего в задачах геометрии. Отдельные простейшие
виды их [вроде f(p, <у) = 0] встречаются в работах Эйлера (1740 и
след.). Даламбер рассмотрел линейные относительно г, р, q уравне-
ния с постоянными коэффициентами (1768). Общее линейное урав-
нение
Рр -ф- Qq = R
решили почти одновременно Лаплас и Лагранж (1776), который
указал известный метод сведения интегрирования такого уравнения
к интегрированию системы
dx___dy___dz
Несколько лет спустя Лагранж распространил свой приём на линей-
ные уравнения с любым числом переменных (1781 и 1787), подчеркнув
в связи с этим, что искусство решения уравнений с частными произ-
водными заключается в их сведении к обыкновенным.
Вопросом о решении нелинейных уравнений первого порядка занима-
лись Эйлер, — который мимоходом заметил, что уравнение с тремя пере-
менными приводится к линейному с четырьмя переменными (1770), —
Лагранж и другие, но только П. Шарпи (1784, опубл, в 1814) довёл
до конца решение нелинейного уравнения первого порядка с двумя
независимыми переменными по методу, носящему имя Лагранжа-Шарпи.
Попытки распространения этого метода на случай более двух аргу-
ментов в XVIII в. успеха не имели.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
443
гл. х’
В работах 70-х годов Лагранж установил и взаимоотношения
между различными видами решений уравнений первого порядка и
современную терминологию. Решение
z — са (х, у, а, Ь),
зависящее от двух произвольных постоянных, он назвал полным.
Применение вариации постоянных, употреблённой Лагранжей тогда
же для обыкновенных неоднородных линейных уравнений, дало ему
общий и особый интегралы. Полагая b равным произвольной функ-
ции ф(а) и исключая параметр а из уравнений
dz
г = <?[*, у, а, <ф(а)] и = 0,
Лагранж находил общее решение, а исключение обоих параметров из
уравнений
,	гл дг п dz п
г — (и(х, у, а, о), з— = 0, ^- = 0
' v ’ 7 да ’ дЬ
доставляло особое решение. Лагранж ввёл также самый термин
«решение» дифференциального уравнения вместо «интеграла» в связи
с тем, что решение не всегда требует вычисления квадратур.
Мы видели, что в некоторых случаях аналитические факты теории
дифференциальных уравнений находили и геометрическое.истолкова-
ние. Так, Лагранж связал учение об особых решениях обыкновенных
уравнений с теорией огибающих. Однако в целом теория дифферен-
циальных уравнений развивалась Эйлером, Даламбером и Лагранжей
на аналитической и вычислительной основах. Геометрическая теория
дифференциальных уравнений получила развитие главным образом
в трудах Г. Монжа (1746—1818). В ряде работ, из которых важней-
шие появились на рубеже XVIII и XIX в в. (1795—1807), Монж в весьма
широком плане исследовал связи теории дифференциальных уравне-
ний и теории поверхностей и пространственных кривых. Процесс
интегрирования уравнений получил при этом весьма наглядную гео-
метрическую интерпретацию. В ряде случаев само отыскание инте-
гралов опиралось на геометрический способ образования поверхностей.
Рассматривая, например, цилиндрические поверхности, образующие
которых параллельны прямой
х = az, у — bz,
и выражая условие параллельности касательной плоскости
z — гг = р (х — xj	q (у — yj
с этой прямой, Монж находил дифференциальное уравнение цилиндри-
ческих поверхностей
яр 4-^7= 1.
444	исторический очерк	[гл. х
Общий интеграл этого уравнения Монж далее находит следующим
образом. Уравнения образующей должны иметь вид
х = az а, у = bz 3,
где а и Р постоянны для точек каждой определённой образующей и
одновременно меняются при переходе от одной образующей к дру-
гой. Из того, что а и |3 бывают одновременно постоянны и одно-
временно переменны, Монж пришёл к выводу, что они находятся
в некоторой зависимости друг от друга, £ = ® («), откуда следовало,
что конечное уравнение цилиндрических поверхностей, т. е. искомый
интеграл, есть
у — bz = y(x — az).
При дополнительных условиях, скажем, при задании уравнений на-
правляющей, определяется конкретный вид функции <р, дающий урав-
нение цилиндрической поверхности, проходящей через данную кривую.
Геометрическое истолкование уравнения
Р dx -J- Q dy -j- R dz — О	(А)
позволило Монжу внести ясность в вопрос, который, как упомина-
лось, долгое время оставался неразрешённым, хотя правильный путь
был указан ещё Ньютоном. В случае интегрируемости одним соотно-
шением уравнение (А) определяет семейство поверхностей f(x, у, z) = с,
на которых любые кривые ортогональны к кривым, определяемым
системой
dx dy dz
~P~
в точках пересечения последних кривых с поверхностями. В общем
случае, когда условие интегрируемости не выполняется, не суще-
ствует семейства поверхностей, ортогональных к кривым системы (В).
Однако, как выяснил Монж, и в этом случае уравнение (А) имеет
смысл: при задании дополнительной зависимости между перемен-
ными <?(х, у, z) = Q оно сводится к обыкновенному уравнению с
двумя переменными и определяет однопараметрическое семейство
кривых, лежащих на поверхности <s(x, у, г) = 0 и ортогональных
к кривым системы (В). Уравнение (А) впоследствии было названо
по имени Пфаффа, а нелинейные уравнения вида
F (х, у, г, dx, dy, dz) — О
С. Ли предложил именовать уравнениями Монжа, рассматривавшего
их отдельные случаи.
Монж дал геометрическую картину общей теории уравне-
ний с частными производными первого порядка. Полный интеграл
f{x, у, z, а, Ь) = 0 представляет собой двухпараметрическое се-
мейство поверхностей. Поверхности, принадлежащие к однопара-
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
445
метрическому семейству, возникающему, если положить b = '?(«),
Монж назвал огибаемыми. Поверхность, определяемая уравнениями
f(x, у, z, а, <р (я)) = 0 и ^ = 0 — огибающая поверхностей одно-
параметрического семейства, — оказывалась геометрическим образом
общего интеграла. Основное значение имело введение Монжем кри-
вых, по которым огибаемые поверхности соприкасаются с огибаю-
щей, т. е. кривых, определяемых уравнениями /=0 и ^ = 0 при
фиксированных значениях параметра а. Эти кривые Монж назвал
характеристиками, поскольку они определяют характерные свойства
образуемых ими огибающих интегральных поверхностей. Наконец,
огибающую семейства характеристик, определяемую уравнениями:
/=о, ^ = о, f$ = o,
7 ’да ’ да2 ’
Монж назвал ребром возврата огибающей поверхности, ибо точки
этой линии являются, вообще говоря, точками возврата для кривой,
по которой пересекается огибающая поверхность с плоскостью, не
проходящей через касательную к ребру. В недостаточно отчётливой
форме Монж распространил учение о характеристиках и на уравне-
ния высших порядков, возникавшие при изучении различных типов
поверхностей — развёртывающихся, линейчатых и др. Он, между про-
чим, ввёл и употребительные теперь сокращённые обозначения част-
ных производных.
К концу XVIII столетия теория дифференциальных уравнений
выросла в одну из важнейших математических дисциплин и стала
основным аппаратом математического естествознания. Были выявлены
основные классы обыкновенных уравнений, интегрируемых в квадра-
турах, созданы первые систематические приёмы приближённого реше-
ния, введён ряд новых фундаментальных понятий — особого и общего
решения, полного, общего и частного интегралов уравнений в част-
ных производных.
Было положено начало геометрической теории уравнений с част-
ными производными, выделены некоторые канонические типы уравне-
ний с частными производными высших порядков. Теория дифферен-
циальных уравнений была связана с вариационным исчислением J) и
г) Особенное значение имело известное уравнение Эйлера
которому должна удовлетворять функция, доставляющая экстремум инте-
ь
гралу J* F (х, у, у1) dx, и обобщение этого уравнения на случай экстремума
а	Ъ
j” F{x, у, у',..., y{n))dx.
а
446
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
дифференциальной геометрией, наметилась её связь с функциями ком-
плексного переменного, с тригонометрическими рядами, со специаль-
ными функциями и эллиптическими интегралами. Большая часть
результатов, достигнутых к 80-м годам XVIII в., была мастерски
изложена в классическом четырёхтомном «Интегральном исчислении»
(Спб., 1768—1770, 4-й том — 1794) Эйлера, которое долгое время
оставалось настольной книгой всех математиков и не утратило инте-
реса и поныне. Новые идеи в теорию дифференциальных уравнений
внесены были в первой половине XIX в., отчасти в связи с разработ-
кой новых проблем математической физики, отчасти в связи с общей
реформой математического анализа.
Первая четверть XIX в. явилась переломным периодом в развитии
всей математики. Прежде всего коренной перестройке подвергся самый
фундамент математического анализа: были точно сформулированы
в арифметических терминах понятия предела, бесконечно малой, непре-
рывности функции, дифференциала и пр.; определённый интеграл, под
которым в XVIII в. понимали обычно частное значение одной из перво-
образных, был определён как предел суммы; при пользовании беско-
нечными рядами стали требовать от них сходимости и был установлен
ряд критериев сходимости и т. д. Теоремам и формулам анализа
перестали приписывать, как то было ранее, общую значимость для
любых значений аргумента и для любых функций; в формулировках
математических предложений появились всем нам теперь привычные
ограничительные условия. Само понятие функции впервые приобрело
современный характер, и в 1834 г., за три года до П. Лежен-
Дирихле (1805—1859), великий русский геометр Н. И. Лобачев-
ский (1792—1856), разъясняя идею функциональной зависимости,
писал: «Обширный взгляд теории допускает существование зависи-
мости только в том смысле, чтобы числа, одни вместе с другими
в связи, принимать как бы данными вместе».
В результате этой реформы, главными деятелями которой явились
О. Коши (1789—1857), К. Гаусс (1777—1855) и чешский учёный
Б. Больцано (1781—1848), математический анализ из учения об отдель-
ных функциях или специальных классах функций начал перерастать в об-
щую теорию функций, что позволило с гораздо большей глубиной и раз-
махом изучать и частные функциональные зависимости. При этом на
передний план исследований выдвигается проблема арифметического
доказательства существования определяемых с помощью бесконечных
процессов объектов анализа: пределов последовательностей, опре-
делённного интеграла непрерывной функции (Коши, 1823), первообраз-
ной, различных несобственных интегралов, корня непрерывной функ-
ции, на концах интервала имеющей разные знаки, и т. д. Там, где
учёные XVIII в. опирались на геометрические иллюстрации или физи-
ческие аналогии (интеграл как площадь или путь, производная как
наклон касательной к непрерывной кривой и т. п.), или — как это
было в приближённых вычислениях — на «очевидное» из хода выкладок
гл. х]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
447
приближение к искомой величине, математики XIX в. правильно
усмотрели принципиальные проблемы существования.
Развитие математического анализа в направлении функций действи-
тельных переменных, особенно новое определение интеграла и учение
о сходимости рядов, создало предпосылки и для построения общей
теории функций комплексного переменного, основателями которой
были Коши и Гаусс. Не менее глубокие сдвиги произошли в указан-
ное время и в других областях математики. Так, в алгебре решены
были первые общие проблемы, связанные с представлением корней
уравнений с помощью радикалов. II. Руффини (1765—1822) и
В. Абель (1802—1829) доказали невозможность решения в радика-
лах произвольных уравнений выше четвёртой степени. Вслед за теги
Э. Галуа (1811—1832) установил условия, при выполнении которых
уравнения данной степени разрешимы в радикалах, и в связи с этил;
заложил основы теории групп, идеи которой некоторое время спустя
начали проникать решительно во все разделы математики, П. Ван-
цель (1814—1848) показал неразрешимость в общем случае с помощью
циркуля и линейки античной проблемы трисекции угла и задачи об
удвоении куба. Революционный переворот произвёл Н. И. Лоба-
чевский открытием неевклидовой геометрии (1826 и след.). Возникли
идеи многомерных геометрий.
Новые идеи и методы математического анализа оказали мощное
влияние и на развитие теории дифференциальных уравнений. Здесь
также была поставлена общая проблема существования—именно
существования решений дифференциальных уравнений. Точная фор-
мулировка и первое же решение этой задачи для весьма широкого
класса случаев принадлежали Коши.
Коши отмечал, что роль, которую играют интегралы (в том числе
дифференциальных уравнений) в физике и геометрии, показывает, что
входящие в них произвольные постоянные и функции всегда ио л лежа т
определению. Учёные XVIII в. между тем исходили из необоснованной
уверенности в существовании общих решений, начинали поэтому с их
разыскания, а определение констант и функций производили под
конец. Коши счёл необходимым обратить порядок, на первое место
поставить разыскание и доказательство существования частных реше-
ний, так чтобы определение постоянных или функций не было отде-
лено от нахождения интегралов. «Тогда, — писал он, — каждая задача
стала вполне определённой, а это обстоятельство позволило не только
упростить уже известные решения задач, но и приступить к реше-
нию новых проблем». Так возникли известные «задачи Коши».
В лекциях 1820—1830 гг. Коши дал доказательство существова-
ния и единственности решения обыкновенного уравнения первого
порядка y'=.f(x, у) при начальных условиях х = х0, у = у0
в области непрерывности f (х, у) и — (резюме опубл, в 1835 г.).
Он отправлялся от способа приближённого интегрирования Эйлера,
448
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
в котором искомая интегральная кривая, проходящая через точку
(х0, _у0), аппроксимируется многоугольником, вершины которого на
отрезке (хй, х) имеют абсциссы х0, х1( ..., хп — х, а ординаты
определяются формулами:
У1=Уо+/(хй>	*о)>
=	+ ЮО2 —*1),
так что
Уп=Уо + /(Х<Р Уо)(Х1 — *о) + ••• + /(*п-1> Уп-1)(хп — хп-1>-
Аналогия между последним выражением и так называемой инте-
гральной суммой для функции f(x) очевидна. Само доказательство
существования сводилось к установлению существования предельной
функции у — lim уп, удовлетворяющей как уравнению, так и началь-
п > ОО
ным условиям. Подробнее это доказательство было опубликовано по
записям лекций Коши его учеником Ф. Муаньо (1804—1884) в 1844 г.
Впоследствии это доказательство было усовершенствовано Р. Лип-
шицем (1832—1903), который заменил требование непрерывно-
сти более широким условием, носящим его имя (1876). Позднее
Дж. Пеано (1858—1932) доказал теорему существования по крайней
мере одного решения уравнения у'—f(x, у) с условиями х = х0,
_у = _у0 в области непрерывности f(x, у).
Коши принадлежит идея и другого приёма, так называемого ме-
тода последовательных приближений, в современной общей форме раз-
работанного в 1890 г. Э. Пикаром (1856—1941) и .основанного на
доказательстве сходимости приближений, определяемых формулами:
X	X
У1=УоЛ- Jf(x, Уо)Лх, .... ук=у0-± Jf(x, yk^)dx.
ха	ха
Доказательство существования Коши распространил и на уравне-
ния высших порядков посредством приведения их к системам уравне-
ний первого порядка. Наконец, Коши дал (при некоторых ограниче-
ниях) доказательство существования решения обыкновенного уравнения
и системы уравнений в частных производных первого порядка в ком-
плексной области, основанное на представлении решений в форме
степенных рядов и применении мажорирующих функций («метод
исчисления пределов»).
Проблема существования решения систем уравнений с частными
производными была глубоко изучена замечательным русским учёным
С. В. Ковалевской (1850—1891), которая доказала основную теорему
о существовании единственного аналитического решения для заданной
в так называемой нормальной форме системы уравнений с частными
гл. х]	исторический очерк	449
производными (1874). Ковалевская привела и неожиданный для её
современников пример уравнения, не удовлетворяющего условиям
основной тооремы и не имеющего аналитического решения.
Теоремы существования имели не только принципиальное значение,
гарантируя законность применения методов теории дифференциальных
уравнений к задачам математического естествознания. Самые приёмы
доказательства этих теорем позволяли как приближаться к искомому
решению с любой степенью точности, так и производить оценки
точности приближений. Таким образом, эти теоремы смогли быть
положены в основу различных методов численного интегрирования
дифференциальных уравнений, которые разрабатывались на протяжении
всего XIX в.
Более совершенные средства нового математического анализа по-
зволили с большей глубиной развить и теорию особых решений.
Муаньо в 1844 г. привёл данный Коши пример обыкновенного урав-
нения первого порядке, особое решение которого одновременно является
и частным, а А. Курно (1801—1874) показал, что дискриминантная
кривая дифференциального уравнения может и не быть огибающей
семейства интегральных кривых, но представлять собой место их точек
возврата (1841). Современная теория особых решений была затем
подробно разработана Г. Дарбу (1842—1917; работа 1870 г.), Пика-
ром (1886—1887), Г. Кристалем (1851—1911; работа 1896 г.) и др/
Серьёзный сдвиг произошёл в первой половине XIX в. и в про-
блеме интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах.
Новых типов обыкновенных уравнений такого рода добавлено было
немного. Зато, подобно тому как в алгебре был поставлен вопрос
о разрешимости уравнений в радикалах, в теории дифференциальных
уравнений был поставлен вопрос о возможности интегрирования
в квадратурах. Здесь, правда, не были достигнуты столь широкие
результаты, какие были получены в алгебре Абелем и Галуа, но во
всяком случае были получены первые результаты в исследовании
этой проблемы. Ж. Лиувилль (1809—1882), опираясь на некоторую
классификацию трансцендентностей, доказал, что специальное уравне-
ние Риккати интегрируется в квадратурах только в тех случаях, кото-
рые были найдены ещё Д. Бернулли (1841). К аналогичной области
проблем принадлежали классические исследования академика П. Л. Че-
бышева (1821—1894) об интегрируемости в конечном виде различных
видов иррациональных функций, в частности дифференциального
бинома (1853 и след.). Проблемой интегрируемости обыкновенных
дифференциальных уравнений в элементарных трансцендентных функ-
циях или в квадратурах занимались позднее казанский математик
В. II. Максимович (1850—1889; работа 1885 г.) и профессор Ро-
стовского университета Д. Д. Мордухай-Болговской (1876—1952;
работы 1907—1937 гг.). В результате многочисленных работ было
установлено, что дифференциальные уравнения являются, вообще
говоря, источником новых трансцендентностей, не выразимых в кзад-
450	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	[гл. X
ратурах элементарных функций, и что сводимость к квадратурам —
явление крайне редкое.
Впрочем, к интегрируемым в элементарных функциях или квадра-
турах уравнениям и в XIX в. были добавлены некоторые новые,
среди которых следует отметить уравнение К. Якоби (1804—1851;
работа 1842 г.):
(Ах	By —|— б?) dx —(?ljX —j—By —С)) dy —|—
+ (Atx + въУ + Q dy — у dx) == 0,
оригинальный приём решения которого дал впоследствии московский
профессор и почётный академик Д. Ф. Егоров (1869—1931). Урав-
нение Якоби есть частный вид уравнения Дарбу (1878):
L dx -ф- М dy -|- N (х dy —у dx) — 0,
где L, М, N суть целые многочлены. Зная некоторое число частных
<	гт *	т (т-4-1) , _
алгебраических интегралов уравнения Дарбу	—--]~2, -если
высшая степень многочленов есть , общее решение можно полу-
чить без квадратур, а интегрирующий множитель можно составить
с помощью т Ч~ 1 частных интегралов. Ещё до Дарбу (1862)
проблемой составления интегрирующего множителя по нескольким
частным решениям занимался профессор Юрьевского (Тартуского)
университета Ф. Г. Миндинг (1806—1885), в работе которого был
решён таким путём ряд отдельных задач. Труд Миндинга академик
М. В. Остроградский охарактеризовал как «самый важный шаг»,
сделанный в этой области после Эйлера, и метод Дарбу (разработан-
ный последним в более общем виде) следует называть по справед-
ливости методом Миндинга-Дарбу.
В этом же направлении работали профессор Петербургского уни-
верситета А. Н. Коркин (1837—1908; работа 1897 г.) и отчасти
киевский профессор В. П. Ермаков (1845—1922).
Ряд новых результатов был получен и в теории линейных диф-
ференциальных уравнений. Академик М. В. Остроградский (1801—
1861) одновременно с Лиувиллем (1838) получил важную формулу:
X
- J Рт ("'') d®
W (х) = const • е	,
несправедливо именуемую обычно только по фамилии французского
учёного. В это же время Ж. Штурм (1803—1855), которому при-
надлежит известная теорема алгебры, в связи с исследованиями по
теплопроводности ввёл понятие о колеблющихся решениях и доказал
теорему о взаимном чередовании нулей двух линейно независимых
решений линейного однородного уравнения второго порядка (1837).
гл. X]	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	451
Работы Штурма и Лиувилля положили начало исследованиям по теории
краевой задачи, носящей их имена и состоящей в решении уравнения
У” (*) + Р (*) У' (х) + >-У (х) = О
при заданных значениях некоторой линейной комбинации у (х) и у' (л-)
в двух точках оси х. Решение этой краевой задачи теснейшим обра-
зом связано с теорией интегральных уравнений, а также с теорией
разложения функций по фундаментальным функциям.
Большое число исследований было посвящено и специальным ли-
нейным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами —
уравнению Ф. В. Бесселя (1784—-1846), которым, как мы видели,
занимались ещё Д. Бернулли и Эйлер, уравнению гипергеометриче-
ского ряда:
х(1 —х)ф^-4- {с— (a-J-A-4- 1)х! — — abx — O,
v 7 dx- 11 v 1	1	7 ’ dx	’
которое изучал после Эйлера (1778, опубл, в 180Г г.) Гаусс (1812),
уравнениям А. Лежандра (1752—1833), Г. Ламэ (1795—1870) и др.
Профессор Московского высшего технического училища А. В. Лет-
ников (1837—1888) применил к интегрированию подобного рода
уравнений, в частности к уравнению
(х — а) (х — Ь)у" + (с + Ах) у' -ф- ky = 0,
разработанную им теорию производных произвольных порядков (1876
и след.). Изучение таких специальных уравнений, имеющих весьма
широкие приложения в математическом естествознании, содействовало
развитию теории специальных функций — цилиндрических, шаровых
и т. д. В теории цилиндрических функций особенное значение имели
многосторонние и обобщающие исследования академика Н. Я. Сонина
(1849—1915). Упомянем ещё исследования Лиувилля по пазысканию
рациональных дробных решений линейных уравнений с целыми раци-
ональными коэффициентами, продолженные академиком В. Г. Имше-
нецким (1837—1892). Мы не можем останавливаться на новой теории
линейных дифференциальных уравнений Л. Фукса (1833—1902), в ко-
торой эти уравнения рассматриваются в комплексной области.
Из открытий в теории уравнений с частными производными пер-
вого порядка наиболее ранними в XIX в. явились результаты
И. Ф. Пфаффа (1765—1825), который в 1814 г. подверг более
глубокому исследованию линейное уравнение в дифференциалах
Z7. dx. —I— Fп dx»—I—... —I— F dx = 0,
где Fv F2, ..., Fn суть данные функции n переменных xp x3, ..., xn,
и поставил задачу об интегрировании его с помощью возможно мень-
шего числа соотношений — задачу, которую Якоби назвал «проблемой
Пфаффа» и которой впоследствии успешно занимались многие мате-
матики, в частности Э. Гурса (1858—1936). Большое значение имели
452
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
разработанные Якоби в связи с работами по механике методы инте-
грирования нелинейного уравнения первого порядка со многими неза-
висимыми переменными. Так называемый второй метод Якоби был
детально изложен в его посмертном труде по механике (1866). Но
еще за два года до того этот метод был оригинально переработан
и упрощён в магистерской диссертации В. Г. Имшенецкого (1864).
Другой широко распространённый метод характеристик был разрабо-
тан Коши (1819 и след.). В России этим и родственным вопросам
были посвящены работа В. Г. Имшенецкого по уравнениям второго
порядка (1868), вскоре переведённая, как и первая его книга, па
французский язык, работа Н. Я. Сонина (1874), переведённая на
немецкий, а также исследования по теории характеристик для про-
извольных уравнений и-го порядка московского профессора А. Ю. Да-
видова (1823—1885; работа 1865 г.) и выдающегося геометра
К. М. Петерсона (1828—1881; работа 1876 г.), докторская диссер-
тация Д. Ф. Егорова по уравнениям второго порядка (1898), ряд
трудов харьковского профессора, позднее действительного члена Ака-
демии наук УССР Д. М. Синцова (1867—1946) и др.
В теории уравнений с частными производными высших порядков,
развивавшейся попрежнему в теснейшей связи с задачами математи-
ческой физики и теории упругости и все шире применявшей аппараты
теории тригонометрических рядов, теории функций комплексного пере-
менного и вариационного исчисления, первая половина XIX в. при-
несла много важных частных достижений в решении различных крае-
вых задач. Отправным пунктом многих исследований явилась класси-
ческая работа Ж. Б. Фурье (1768—1830) по теории теплопроводности
(1822). Для интегрирования уравнения теплопроводности
ди / д2п । д2и . д-и \
dt	\ дх2 ' ду2 дг2)
в различных граничных условиях Фурье впервые систематически пред-
ставлял искомое решение в форме тригонометрического ряда. При
атом он заново вывел найденные ещё Эйлером (опубл, в 1798 г.)
формулы коэффициентов такого ряда и показал, что функции весьма
широкого класса, в том числе определяемые на разных участках раз-
личными аналитическими выражениями, т. е. по Эйлеру «разрывные»,
могут быть представлены на произвольном конечном интервале три-
гонометрическим рядом, т. е. аналитически. Тем самым была показана
неправомерность эйлерова понимания «непрерывности» функции дей-
ствительного аргумента и в значительной мере оправдана точка зре-
ния Д. Бернулли. Вместе с тем, однако, подтверждено было оспорен-
ное Даламбером мнение Эйлера, что интегралы уравнений с частными
производными могут представляться функциями, выражающими сплош-
ные кривые, начертанные вольным движением руки: такие функции
па любом конечном участке представимы тригонометрическим рядом.
Работа Фурье, о которой он докладывал ещё в 1807 г., сыграла
ГЛ. х]	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	453
немалую роль в развитии проблем нового обоснования анализа. Публи-
кация её немедленно поставила вопрос о точных условиях предста-
вимости функции тригонометрическим рядом, который сам Фурье
исследовал весьма неполно. Первые достаточные условия разложимости
функции в такой ряд были в различном виде впервые строго уста-
новлены Дирихле (1829) и Н. И. Лобачевским (1834). Известно,
какое значение имела разработка теории тригонометрических рядов
в создании и развитии теории функций действительного переменного,
в частности общей теории интеграла, и теории множеств.
Отдельные типы линейных уравнений математической физики успешно
разрабатывали и другие учёные, как С. Пуассон (1781 —1840), однако
контуры общей теории стали складываться позднее. Достижения
в области теории уравнений с частными производными первого и вто-
рого порядков, имевшиеся к началу 30-х годов, были весьма обсто-
ятельно изложены профессором Московского университета Н. Е. Зер-
новым (1804—1862) в его докторской диссертации — первой матема-
тической диссертации, защищённой на эту степень в Москве (1837).
Выдающиеся исследования различных проблем математической физики
проводил в этот период М. В. Остроградский (1828 и след.). В част-
ности, в работах по теории теплопроводности Остроградский про-
двинулся значительно далее Фурье и Пуассона, допустивших ошибки
в случае распространения тепла в жидкости, и развил идеи метода,
получившего позднее широкое распространение. Исследования Остро-
градского по математической физике открывают целую серию работ
русских учёных XIX и начала XX вв. в этой области, из которых
особенно замечательны труды академика А. М. Ляпунова (1857—
1918) по теории потенциала и его ученика академика В. А. Стеклова
(1864—1926), по электростатике и гидродинамике, а также по теории
теплопроводности, где он применил носящий его имя метод зам-
кнутости.
В развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений
во второй половине XIX и начале XX вв. особого внимания заслужи-
вают два новых направления. Одно из них связано было с р icnpo-
странением понятий теории групп, другое — с изучением некоторых
задач небесной механики и астрономии.
Идеи теории групп, блестяще оправдавшие себя сначала в алгебре,
в 70-е годы проникли и в другие области математики. Так, Ф. Клейн
(1849—1925) в 1872 г. показал, что характер геометрии того или
иного вида—-метрической, проективной и т. д. — определяется свой-
ствами группы взаимно однозначных преобразований множества про-
странственных элементов на самого себя и инвариантами этой группы.
При этом Клейн опирался на понятие непрерывной группы преобра-
зований, преобразования которой определяются с помощью непре-
рывных функций. Такие преобразования были незадолго перед тем
введены Софусом Ли (1842—1899), который и применил их в целом
ряде работ по теории дифференциальных уравнений, начиная с 1873 г.
454
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[гл. х
Исследования Ли охватили широкий круг проблем этой теории.
Одной из целей Ли являлось установление единства в разнообразных
и даже как будто случайных приёмах приведения различных типов
обыкновенных уравнений к формам, интегрируемым в квадратурах.
Преобразования переменных х, у, определяемые равенствами
x'=fdx> У, а), У' = Л(-Д У, «)>
образуют непрерывную группу с одним параметром, если функции
/j и /2 непрерывны и последовательное выполнение двух таких пре-
образований равносильно одному преобразованию такого же вида.
Если дифференциальное уравнение при замене переменных по ука-
занным формулам остаётся неизменным для любых значений пара-
метра а, то говорят, что оно допускает соответствующую группу
преобразований. Каждой непрерывной группе преобразований с одним
параметром и обратными преобразованиями соответствует некоторое
так называемое бесконечно малое преобразование, и обратно, всякое
бесконечно малое преобразование определяет некоторую однопара-
метрическую группу. Ли показал, что если обыкновенное уравнение
первого порядка допускает группу преобразований, определяемую не-
которым бесконечно малым преобразованием, то оно интегрируется
в квадратурах, и рассмотрел ряд типов уравнений с заданными пре-
образованиями. В итоге Ли получил возможность классифицировать
дифференциальные уравнения в зависимости от соответствующих
бесконечно малых преобразований. Исследования С. Ли по группам
преобразований были продолжены в последние десятилетия XIX и
в XX вв. в различных направлениях, главным образом в алгебре и
топологии.
Другим важнейшим событием в истории дифференциальных урав-
нений в рассматриваемое время явилось создание качественной тео-
рии. К 70-м годам XIX в. проблема интегрирования обыкновенных
уравнений в квадратурах элементарных функций утратила прежнее
значение; работы С. Ли в известном смысле завершали этот фор-
мальный цикл исследований. Поскольку такие решения существуют
лишь для весьма небольшого круга уравнений, построение доста-
точно общей теории в этом направлении оказывалось невозможным.
Не открывали пути к общей теории и основанные на теоремах суще-
ствования приёмы численного решения уравнений. При всей своей
важности эти приёмы дают в каждой задаче только одно частное
решение, отвечающее на данном, хотя бы большом, но конечном
интервале выбранным начальным условиям, и не раскрывают общей
картины поведения интегральных кривых в целом. Между тем в раз-
личных областях небесной механики возникали проблемы, которые
требовали изучения природы функций, определяемых дифференциаль-
ными уравнениями, во всей области существования. Ещё к Ньютону
и Лапласу восходил, например, вопрос об устойчивости солнечной
системы или в частном случае о движении трёх тел, подчинённых
ГЛ. х]	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	455
законам механики. Старые методы принципиально не позволяли отве-
тить на вопрос о поведении такой системы в’ течение сколь угодно
больших отрезков времени, — скажем, на вопрос о том, будут ли
взаимные расстояния тел оставаться всегда ограниченными или же
некоторые из членов системы в конце концов неограниченно сбли-
жаются, или удаляются в бесконечность.
Качественная теория дифференциальных уравнений была одновре-
менно создана А. Пуанкаре (1854—1912) и А. М. Ляпуновым.
Задача, поставленная Пуанкаре, состояла в том, чтобы, не интегри-
руя дифференциальное уравнение, исследовать поведение семейства
dx
интегральных кривых уравнения у' =f (х, у) или системы =о1 (х, у),
~- = у2(х, у) на всей плоскости только по свойствам функций, стоя-
щих в правой части. В серии работ, начатых в 1878 г., Пуанкаре
значительно продвинул вперёд решение проблемы. Он дал классифи-
кацию и показал значение особых точек интегральных прямых, иссле-
довал поведение последних в окрестности особых точек, ввёл поня-
тие предельного цикла (замкнутой интегральной кривой, к которой
приближаются по спиралям достаточно близкие интегральные кривые).
Он изучил также ход интегральных кривых на торе. Исследования
эти имели по существу топологический характер, и отчасти с ними
были связаны и быстрое возрастание интереса к топологии, и её
успехи. Эти работы были непосредственно продолжены на основе
теоретико-множественных рассмотрений И. Бендиксоном (1901), обна-
ружившим новые типы особых точек. В дальнейшем Пуанкаре парал-
лельно с Ляпуновым занимался и общей проблемой устойчивости.
Изыскания другого творца качественных методов, великого рус-
ского математика А. М. Ляпунова, первоначально также были свя-
заны с конкретной задачей астрономии, — именно, с поставленной
перед ним П. Л'. Чебышевым задачей о возможности существования
фигур равновесия вращающейся жидкой массы, отличных от изве-
стной уже ранее фигуры равновесия эллипсоида.
Изучение этой задачи Ляпунов начал в 1882 г., но полное её
решение дал в ряде работ 1903—1918 гг. От задачи о фигурах
равновесия вращающейся жидкости Ляпунов перешёл к другой про-
блеме— об устойчивости равновесия и движения механической системы,
определяемой конечным числом параметров. Этой проблеме он посвя-
тил свою знаменитую докторскую диссертацию 1892 г. и несколько
последующих работ. Ляпунов рассматривал систему п обыкновенных
линейных уравнений
=	х2, ..., хп, f) (А=1, 2, ..., «),	(А)
где Хк разложимы при достаточно малых хк в сходящиеся ряды по
целым степеням хк и обращаются в нуль при х1 = х2= ... = хп=0;
коэффициенты при этом либо постоянны, либо зависят от t. Система
456
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
имеет, очевидно, нулевое решение х1 = х2 = ... — хп = 0. Это реше-
ние называется устойчивым (в смысле Ляпунова), если при любом
е>0 существует такое 8 > 0, что если начальные значения хк(/)
по абсолютной величине не более 8, то при всяком положительном t
будет | хк (/) | < а.
Ляпунов точно выяснил, в каких случаях вопрос об устойчивости
может быть решён по первому приближению, т. е. путём исследова-
ния системы, в которой функции Хк заменяются одними членами
разложения первой степени относительно хк. До Ляпунова матема-
тики изучали только такие первые приближения, и это нередко при-
водило к неверным заключениям. Он решил вопрос об устойчивости
и в ряде «сомнительных» случаев, в которых первого приближения
недостаточно для суждения об устойчивости системы (А), а также
целый ряд важных задач теории линейных и нелинейных обыкновен-
ных уравнений. Изучение системы (А) проводилось при этом каче-
ственными методами, т. е. без её непосредственного интегрирования.
Труды Ляпунова по устойчивости имели огромное значение для
всего последующего развития теории дифференциальных уравнений и
её приложений к изучению колебаний различных физических и меха-
нических систем.
Общая качественная теория так называемых динамических систем
разрабатывалась затем рядом авторов, в частности с 1912 г. Дж. Бирк-
гофом (1884—1944). Основными задачами теории являлись, с одной
стороны, изучение решений во всей области существования, а с дру-
гой— вблизи особых точек.
Из дореволюционных работ отметим ещё цепные исследования
С. Н. Бернштейна о существовании и аналитичности решений широ-
кого класса уравнений с частными производными эллиптического типа
(1904 и след.).
Мы видели, сколь значительны были достижения отечественных
математиков — Эйлера, Остроградского, Миндинга, Давидова, Имше-
нецкого, Сонина, Ковалевской, Ляпунова, Стеклова и др.—в разви-
тии теории дифференциальных уравнений на протяжении XVIII и
XIX вв. Новый бурный расцвет теория дифференциальных уравнений
в нашей стране испытала после Великой Октябрьской социалистиче-
ской революции. Достижения советских математиков в самых разно-
образных областях этой теории к настоящему времени настолько
велики, что мы здесь сможем указать только на направления иссле-
дований, тем более, что по характеру своему они далеко выходят за
пределы настоящего курса.
Развитие теории дифференциальных уравнений в Советском Союзе
определялось как глубокими связями исследований с проблемами мате-
матического естествознания и техники (задачи аэро- и гидродина-
мики, теории упругости, сейсмологии и пр.), на новом идейном уровне
продолжавшими славные традиции петербургской школы, так и при-
менением методов теории функций действительного переменного,
гл. х]	ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК	457
топологии и функционального анализа, с особенным блеском разви-
вавшихся уже в советский период в школе московских математиков.
Тесная связь с практикой особенно усилилась в последнее пятнадца-
тилетие благодаря всё более планомерной постановке проблем, акту-
альных для социалистического строительства.
В обшей теории интегральных кривых, определяемых обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями, II. С. Александров и В. В. Не-
мыцкий дали новое доказательство теоремы Пеано.
А. М. Лаврентьев построил пример уравнения первого порядка,
на правую часть которого наложено в некоторой области одно лишь
условие непрерывности и для которого ни одна точка области не
является точкой единственности решения. А. Н. Тихонов предложил
новый приём последовательных приближений, нашедший широкое
применение в доказательствах теорем существования.
И. Г. Петровский исследовал поведение около особых точек инте-
гральных кривых некоторых систем нелинейных дифференциальных
уравнений. А. А. Андронов (1901'— 1952) и его ученики разрабаты-
вали в г. Горьком математические задачи автоколебаний различных
физических систем, относящиеся к качественной теории уравнений,
в частности к теории предельных циклов.
Изучение проблем устойчивости по Ляпунову велось далее как
в Москве (Н. Д. Моисеев), так и, особенно, в Казани, К. П. Пер-
сидским, И. Г. Малкиным, Н. Г. Четаевым и Г. В. Каменковым.
Общая теория динамических систем явилась предметом дальней-
ших изысканий москвичей А. Я. Хинчина, В. В. Степанова,
А. Н. Тихонова, В. В. Немыцкого и ленинградца А. А. Маркова.
Новые идеи в этой области были выдвинуты также в Киеве
Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым.
Краевые задачи линейных дифференциальных уравнений разраба-
тывал в Одессе М. Г. Крейн.
Ленинградский учёный И. А. Лаппо-Данилевский (1896—1931)
применил к системам дифференциальных уравнений аппарат созданной
им теории аналитических функций от матриц.
Теорией дифференциальных уравнений с запаздывающим аргумен-
том, в которых искомая функция и её производные входят как
с аргументом t, так и с аргументом t—т (т — постоянное или пере-
менное «запаздывание»), занимался А. Д. Мышкис.
Весьма важные результаты были получены и в теории уравнений
в частных производных, особенно глубоко связанной с математиче-
ским естествознанием.
. Значительные работы в этой области принадлежат также
Н. М. Гюнтеру (1871—1941), В. И. Смирнову, М. А. Лаврентьеву,
А. Н. Тихонову и грузинским математикам Н. И. Мусхелишвили и
И. Н. Векуа.
Ряд новых задач математической физики и сейсмологии был
решён С. Л. Соболевым, создавшим новые сильные методы. Весьма
458
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
[ГЛ. X
значительные результаты в общей теории систем дифференциальных
уравнений получил И. Г. Петровский, который впервые выделил и
охарактеризовал классы систем гиперболического, параболического и
эллиптического типов, аналогичные по свойствам задач и решений
одноимённым классическим уравнениям.
Приближённые методы издавна привлекали внимание русских учё-
ных— Эйлера, Лобачевского (алгебраические уравнения) и, особенно,
Чебышева и его учеников. Оригинальное изложение приёмов числен-
ного интегрирования дифференциальных уравнений, разработанных
в XIX в., дал в 1917—1918 гг. акад. А. Н. Крылов (1863—1945).
В советское время и этот столь важный для практических приложе-
ний раздел этой теории был обогащён рядом крупных открытий.
Прежде всего отметим вариационные методы, частью развивавшие
метод академика Б. Г. Галеркина (1871—1945; работа 1915 г.) для
уравнений с частными производными (М. В. Келдыш, Д. Ю. Панов
и др.), частью — новые (Н. М. Крылов, Л. В. Канторович). Ряд
новых приёмов был получен и с помощью замены дифференциального
уравнения уравнением в конечных разностях, которой по существу
пользовался ещё Эйлер (Л. А. Люстерник, И. Г. Петровский,
Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов, С. А. Гершгорин, Д. Ю. Панов,
Ш. Е. Микеладзе и др.). Новый важный метод численного интегри-
рования обыкновенного уравнения у' = f(x, у) с помощью построе-
ния двух функций, приближающих решение снизу и сверху, был
предложен академиком С. А. Чаплыгиным (1869—1942); сходимость
приближений исследовал академик Н. Н. Лузин (1883—1950). Нако-
нец, в последние годы получили развитие теория и конструирование
различных машин для интегрирования дифференциальных уравнений,
которым, несомненно, принадлежит широкое будущее (И. С. Брук,
Л. И. Гутенмахер, Л. А. Люстерник и др.).
Этот краткий перечень, разумеется, не может дать представления
о всём богатстве содержания работ советских математиков в раз-
личных областях теории дифференциальных уравнений. Но и он
показывает всю широту размаха научного творчества советских учё-
ных в этой области, оригинальность их проблематики и значение их
открытий как для науки, так и для её практических приложений.
ОТВЕТЫ.
1. у = юоо — 490,5 f-, 1,43 сек. 2. у =у0 + 1001 — 490,5 f1', 0,1 сек. 3. у =
=2х -f- С; у = —	+ С; у = — sin х + Сгх + С2. 5.	= 0; у = kx + b.
6. xyy'^-j-y' (х2—у2—с2)—ху = 0. 7- 3ylVy"—4у'"2=0. Кривые: при л-].. = О
гиперболы с вертикальной асимптотой, при ау, = 0 — параболы. 8. ЗуГГу"—
— 5у'"2 = 0; у'" = 0. 9. Дифференциальное уравнение: г. (200 h — h2) dh —
—— 0,6 У 2^/г"2 df, приблизительно 18,4 мин. 19. Приблизительно 15 мин.
20 сек. II. R = Roe °'000433 /; время в годах. 12. у = К(х—х0)п \ К—опре-
делённое постоянное; х0— точка пересечения с осью х-ов (произвольное
постоянное). 13. х = aln(—~]~	-----1)-|~У«2—У2 + Трактриса.
14. (х—С)2-\-у2 = а2. Круги с центрами на оси Ох. 15. У1 + х2 +
+ У1 +У= У2 + 1- 1в. tg х tg_y = С. 17. arcsin х -|- arcsin_y = С. 18. х2 —
у	______ _arctgA
—yi= Су. 19. у = хеСх. 20- У —Су. 21.	х2-\-у2 = Се ° х или в поляр-
ных координатах r = Ce~'t. Логарифмические спирали. 22. sin — = In х + С.
23. ^- = —----SL; ffz = tga. 24- Уравнение: у' =
dx тх-\-у ь	г
У
х
( С\
решение у2 — 2б?(	); параболы с фокусом вначале. 25. к (ак + b) z +
+ &(<?! — Хс) In [(«к + b) z + aty + йс] = (ак^Ь)2 (х + с). 26. (> + х—I)5 (у —
_2arctg^
— х + 1)2 = С. 27. yO2Z-2to = C (5x+10> + 7)3. 28. е х~ 3 = С (у + 2).
1
29. х=—у+а tg	• 30. у=е~ J’P dx [с—(n-l) JQe~(п-1) JF dx dxj	1.
--t	I	С
31. z = Ce +Z£0sin(<o/-8): {R2 + v2L2Y\ tg6=-£. 32. > = -—- +
/у	Cvo Л
+ lsinx + T-£—. 33. > = C^W + <f(x)-l. 34. _у = Ож’ + 4*2-
351 y= -,AF-i—2 fc+ln—1 + l^1	36. X = уЪ + Су2е~У . 37.- =
У1+х2\	x J	J 1 J	у
= x(c — у in2 x). 38. у = /2У1—x2 + x2—1. 39. у = Ce~ 2 У‘ —у2 + 2.
460
ОТВЕТЫ
_ с г/’-J- 2 г	9 >-< — 2С
40. у'2 =—xlnxyCx. 41.v=------------2-.----. 42. у —-------------. 43. Частное
Сх' — х2	л'>4-Сл-
с1^л- + с) ।
решен не у = 2х. 44. v =---------5---------. 45. -у— — С (1 + /2); f = (g Сх.
•V"*	х	dx
46. arctgу + С =	~ л'2	• 47. (у2 — 2х2 — 34 = С (у2 —
— х2 — 1 )2. 48. у4 2ху2 — х2 -= С. 49. (х + J')3 + а2 4- Ь2 = С (Ь'2х — п'2уУ2,
„ПОх
50. у'(л-) = —------
е~кю _ j
и проверить, что при
52. У1 4-х2 4-_у2 4- arctg— —с. 53
— -= С. 55. у 1Ц£= С. 56. р =
х-у ' у
е м f (/) dt. Указание. Написать общее решение
надлежащем выборе постоянной у (х 4~ ®)—у (х) = О,
-----— = С. 54. sin — — cos — 4- х—
У' У „ х У
С. 55.-^ 4-In—= С. 56. и = Д-; 21пу —— = С. 57. х3у4- —=С-
х—у	у	х2у J X	У
Указание. Найти общее выражение интегрирующего множителя для х2у2 dy у
4- 2xy'2dx и подобрать произвольную функцию так, чтобы он не зависел от х.
58. у х>л'уа'к у	— с, где k и I — корни уравнений ak — al = — т,
bk — '{>1 = —г: в случае a'i — Ьо.уО; если <с>3 — йа = 0, то интеграл будет хьуп =
= С. Указание. Общее выражение интегрирующего множителя первых двух
членов есть —1- <р (хьуа); для последних —:J~ ф (х^у1)', подбираем
и ф как степени аргументов, чтобы оба множителя оказались равными.
59. х2— -- 4-_у Inyy = С. 60. р =	61. р = х'у'' ‘	=
1
-—, оощее решение
= С.
-п f Р dx __
=_у е J . 63. у =-------------
х2 -
64.	f (х, _у) = У	; ?, Ф. X — произвольные функции. 65. у =
= х 4- С; у — Ус2 — х2. 66. у = х sh (х 4- С). Указание. Разрешив уравне-
1 ,
।	— а?2
ние относительно р, положить — = и. 67. у = -5-х3 4~ С; у = Се~ ; у =
X	о
= yjy . 68. (у — С)2 = 4хС. 69. х = суе2; у = у I2 4-2^ 4- С. 70. х = у —
—у = 1 —	76. _у =	, X = — 14-ln — 1 z 4-
t 2	5	1 4- С	УЛ—tyt2
—1 „ 1
4-	arctg ——4. С. 72. у = е?р\ х = е^р 4-1) 4- С. 73. у = х— С---
уЗ	х — С
(_vu = 0 представляет, место точек прикосновения, особого решения нет),
74. у = a (l-|-cos 2'>f), х = а (—2'у—sin 2») 4- С (циклоиды). 75. у = С2(х—С)2;
Х^	Х“
особые решения у = 0, у = — . 76. у —-----у 4* Сх 4- С2, особое решение
._дт	2Сх I С2
у = —g— . 77. ky 1, х"Уу‘2 = у., — у ; k = 1, х2 4-У2 = Сх (удобно ввести по-
, __	С 4- a arcsin р	__	1 , С
лярные координаты). 78. у =------п_________-- — ар. 79. х = —р---------------
V1-P2	2	(\-p-y2
ОТВЕТЫ
461
(х I пг	32х'!
80. Особое решение у = -—. 81. Особое решение j'4 — —. 82. Осо-
бое решение х1 -f-_у3 = 1. 83. х = —. 84. Дифференциальное урав-
VP 3
2	£
. аР	I х'\' । (У V
пение у — рх ------ -, кривая—астроида. ( —) -М— ) = 1.
У 1 Д- р"	\ а /	\ а /
85< у — х нс есть решение. 86. у — х есть особое решение. 87. j'=0 есть особое
решение. 88. Выполнена единственность, у = 0 есть обыкновенное решение.
С3
89.	у = 0 есть особое решение. 90. Общее решение у = Сх -|—особое
у = — gj-. 91. у — ± 2х. 92. Огибающая у — —х; х = 0. 93. См. задачу 73.
94< См. задачу 75. 95. Общее решение 2Су = (хС)2, особые решения
у = 0; v == 2х. 96. у =	97. См. задачу 76. 98. у = 2<?а, у = Се* + -У.
99.	~ у^=1. 100. г = Се1'У 103. у = С | х \п. Ю2. (х3+У)2—2Сху = 0;
лемнискаты повёрнуты на . ЮЗ- р = л [1+*cos (9— 2а)]. 104- То же
семейство кривых линий. 105. р2 = с sin 20. 106. х — sin <р, у =-^-<р cos 2<р +
О
+	? + С2 sin ? + sin 2? — cos 2<Р — -уУ- sin У? + С3. 107. х + С2 =
= 4 ( УУ + <Л)'а - 2Ct (Уу +	108. у =	[С4	(X	+ Ctf - «6]’Л -
— 2^(ЛГ+С1)1П[С’:!(*4-С1) + 'УC’4(-v + ^i)2—ав1	+	— "° +
+ C.,.v + C3. 109. у = sh (х + Ci) + С2х + С3. 110. х = ^{(-^-)3-1 -
— 21п^-\-|-х0. 1И. у = 2а + Ci (1 — cos <р), х = Ct (<р — sin <?)-|-С2. Семей-
>о )
С.х3 С3х3
ство циклоид. 112. у = —g-------2----+ ИЗ- In у = Схех + С2е-* Х.
И4. у = CieQ>x. 115. у = Ci Ух2 + С2. U6. у = пх 1п —. П7. с'х°3 =
1 -|- С2л-
_____________________2аУуУеу-2т.	____ ___________
с Т -V 4~ У СУ — 2х_е {с--с)у+->х ид. с'хе _ С ' V + C-V — ^Х' X
с } у — Усу — 2х	с У у — У су -f- 2х2
X е	. ид. _ Х2у2 = С. 120. у = Уё+УдЫ . (2!. х2у2-<-
<jX~	Х~
+ 2ху 4- х2 = Cvx -ф. С2. 122. х = Сг ^ln tg 4~ cos + Q, у = СА sin tp. Се-
! . . У+С,
мейство трактрис. 123. у = С2 4—J [еа —е }dx.
462
ОТВЕТЫ
124. ^=ад/х2+С2. 125. 1п_у=1	126. j/=C1x+C2+ VC3x+Q,
Of	С	9	ОС	4С~
у = ах2 + Ьх + с. 129. х =----5" + "4 ’ y = — t3-------i-In t +	+ C2.
О	t~	Z/	U	oi
130. x= § + ~ t* у = -	- L* + ^- t3 + C2. 131. >"+> = 0- «32. y"—
I	O	*•	1V	I v
— 2 ctg2x_y'= 0; интервалы k <x< (k -f- 1) у, k = 0, ±1, ±2,...;
c
] = sin2 x 4- cos3 x, cos2x=cos2x— sin2x. 133. 1У (x) = __ x.  «34. у =
= Q + C2 . 135. у = C2+(Ct—C2x) ctg X. 136. y=C}x+C.,x2-'-C;>x3.
137. у = Ctx + C2 sinx+C3cosx. 138. у = Ct + C2x2+C3 (arcsin x-j-x Щ—x2)
139. у = Ctx + C2x2 + x3. 140. у = C4ex-\-C2x—(x2 + 1). 141. у =C1cosx +
142. ^ = lnx(Ct + C2J^ + ^.
4- C2 sin x + Csx2 + x3.
143. Cootho-
>1“
шение-----=—2р\ръ y4 найдётся из соотношения •—— = —р2. 144. v —
dx	~	у4
= ,У1У" W[У1, у2] у' W' [у,, у2]+у (у'^'-у^') и5 y=Cie_2x+C2 (4х2+1).
J'aD2
146. Частные решения: у4 =	, _y2 = ctgx. 147. у = С4-}~ С2х-j-
+ Csex У2 + С4е~хУ\ 148. у = е* (Ct + С2х + С3х2). 149. у = (G cos х +
4" С2 sin х) (Cycosx-|-C4sin л;). 150. у —	C3cos x+C4sin х.
а?	х
151. у-С^-^С^е-^. 152.у=е 2!(C’i+C2x) cos Х + (С3+С4х) sin ——>.
2	f
.-2 v ?	1	X
153. jr=^(Ct+C2x) +^-+ ± + 4.154. у=С^+С2е^
155. у = Су~х -f- С2 cos х C3ln’x -f-	156. у =	+ С2х +
+ С3х2 + С4х3 + 1х4+т4^5\ 157. _у = Ct cos2x + С2 sin 2х —4 cos 2-V +
2^г	12v /
+ jy sin 2х.
158. у = е 2
х/3 . „ . ху
cos —---Н С2 sin —-
2	2
159. у = Ct^+C2e-®+(e®+e-®)arctge®. 160. у =	+ С2е жГ2 + еа!’.
161. > = Ct cos х —С2 sin х 4~ “ух- cos Злг 4~ — x sin x* 162. Pяд	рье для
»	1 16	4
оо
о	vi cos тх	п
правой части:— V———; при т— 3 имеем резонанс. Общее решение
уравнения: у = (с4-----х\ cos Зх + С2 sin Зх — ~ cos х-----cos 2х +
ОТВЕТЫ
463
оо
4- У 1 . cos тх. 163. R = С^+СгГ-Сп+и. 164. у = С.х^С.х-'—
т (тг — 9)	i > *	1 1 "
тп=4
1	С
— -^-х. 165. у = х (Cj cos In х + Сч, sin In х) — x In x. 166. у = ~ + C2x2 4-
1 (/	1 \	1 д-2Ч	1
+ 4 И3-71па'-1Г-Т ' 167. > = х(С1 + С21пх) + С3х2+--х!-
О l\ X /	О Л	О f	‘i
—g- х (In x)2. 168. y= <?t cos In (1 4- x) + [<?2 + 2 In (1 4- x)] sin In (1 4- x).
-p+—	1
169. у = xz. 170. Подстановка у = x	-z,n=p——,t7l.y=Cle' 4-
X2	_
+ C2e 2 . 172. у =	(C1 cos x 4- C2 sin x4 sin 2x). 173. у = e*' x (CjX2 4-
174.
_ 1 x'/H	,	(-1/x2” ,
У1~~ 1	2	8	2 • 4... 2n +
Л" *
3'2=x--3-4
x2
v5	(__DV1"1	—
+ TOT - • • • + 1-3-5... (2« —1) + • • Легко видеть’ ЧТ0 Л = е J ’
у2 получаем квадратурами. 175, x = C1ef4-e 2 ^С2 cos 4-
t
4- С381пЦ^-); _у = С1^4-£_4Г( -с2 4-<?3 У3)сов-Цр +
t
4- ( - Cs - Сг У 3) sin -Ц-^|; z = С4-	[(-^-С? V 3) cos
4(С2/3 - С3) sin Ppj. 176. у = Сх 4-	- J; z = --Сх+Су^-У
X 1	1	1
““4 ~Т- ,77-3' = (С1х+<?2)2; Z==“ 2C1(C1x4-G) • ,78‘ >’ = А' +
+ z=- е~^-,7Э-	=1 - J+J; 2з=т - 5 •,8Э- =
= х + т + Й- ,8J- ^ = 1-у + т-5-ТТ)- ,82--у=
z = У c.t?2® — Cie-tx. (83. v =----------,z=--------—т;----.
г 1	. too. у	+ c^e_x , z _	+ c^_ c
184. x = Cxet 4- C2e-2«, у = Схе* 4- C3e~2t, z = Схе* — (C2 4- C3) e~2«. 185. x=
= e-{ (C^+C^+C^+t2 — З/4- 3; y=e~t ( — 2Cxt — C2) 4- f, z=2Cxe-f+t—\.
186. x = e~i1: (Л cos /4- В sin t) 4- ^ef — уу,’ у = e~u [(4 — B) sin t —
—(A 4- £) cos /] - -4^4-L 187. у = Cx^ 4- (C2 cos -v.f^4- C, 4-
io	1 /	\	z
X
+ sin + 1^; z =	4-	[(- 1C2- /23 C3) cos 4
464
ОТВЕТЫ
+(-7С3+С2 #23) sin	-1 е-'с. 188. у = (Д+у) + е~*(с., £-),
х = е^С1-1 + |) + е-^-С, + 1 + -|).	189. Z = C^-^-,
>=(l-2Cj) х-^ . 190. / = «; x = Cf + C^-~t, у=~С^_
—су-2—4/. 191. х^С^ + С^ + Сз/-1, y = Cd— C2fl+2C3t-K z=2Ctf +
О	“
4	1	17
4-ЗСУ2 + C,f-1. 192. х =	«Уф- е-« (<?j + C.J), у~ е* ф- У е* —
2.Z) иО	2-Э Ои
-е» (Q+C2+<?20.193. у—=С1; (х-_у)2 (х+Я«) = Q- «94,	= Сф
х24-У+22=У>- 195. ху = Ci, (хф-_у) (хф-3' + 2) = С2. 196. х = In (Сфф- С2),
г —. In (Cjf Я У) + Сл — С2; z = (Ct ф- 1) t Я С2. 197. Прямолинейные обра-
:г ющие поверхностей параллельны плоскости хОу и пересекают ось Oz
(коноиды). Указанная задача Коши определяет гиперболический парабо-
лоид. 198. Искомое частное решение: f—y—гф-2(Ух— 1)(У«— У.У).
199. Общее решение — поверхности вращения вокруг оси, проходящей через
начало, с угловыми коэффициентами cos а : cos t3 : cos у = I: tn-.n; характе-
ристики— окружности с центрами на этой оси, лежащие в перпендикуляр-
(	± у 2_\
пых к ней плоскостях. 200. Ф \(х — u)Sa , (y — u)Sa , (г—и)53/ = 0,
где S = х ф-у ф- г и. 201. u = ~x2yz--------1- х3 (bz ф- су) = -У- Ьсх1 4-
ф- т (У — bx, z — сх). 202. z = <р ф-	. 203. z — Уху (Гюптер).
204. Уравнение: px-\-qy = ~ У х2-}-у“', общее решение: г = у Ух2 +У +
А = тангенсу угла прямолинейных образующих с осью Oz,
tf — произвольная функция (Гурса). 205. —— = С. 206. — -----1-------Ь
-' ' у г	х —у ' у — г
-1-----= С. 207. —-----Z +-*' = С. 208. Условие интегрируемости
г— х	z
не выполнено.
209. х2—_у2 ф-г2 = -У (хф-у).
210.
Условие интегрируе-
мости не выполнено. Приводя уравнение к виду 0 = dx -j-y dy ф- 2 dz ф- z dy—
/ y2 z2 \	y2 2“
— У x +ny + z dy’ полагаем x + 2 4“ = 'f (J')	— произволь-
ная функция); тогда второе соотношение z = —у (у). 211. Полный инте-
грал z = — (х + ау)2 -|- Ь; решение задачи Коши г = ху -\-у Ух2 -j- 1.
-----т/"] I nz_______1
212. 2 У1-ф аг-Нп-У=У==-----= х + ау Ь. 213. Замена переменных
V 1 4- az + 1
/5	1	1
г — у, х = у-, у — —, или непосредственно — вспомогательное уравнение
Р — — +	. 214. г = х —_у4-2 Уаху 4- Ь. 215. г2 = —У— 4-А-Н 3 •
х х	J	cos2 a sin2 а
216. г = ~±ху+у2; г = —	217. х2 4-J'3 + z2 == 1. 218. 2г =
ОТВЕТЫ
465
= л-2 + У2 + х У х'2 + а + У VУ2 — а — 1 + о. In (х + Ух'2 + я)—(а+1)1п(,у+
+ Уу2 — а — 1) + ^- 2*9. У а2—2а—х—z-]-(a—1)1п(Уа2— 2а— х — z —
—а + 1) + у + ау = Ъ. 220. 1) z = ху, 2) х = у (е* + 1), у = и2 (2е* — 1);
z — ire-'-, to — O. 22t. х== cos и 4-#cos	у= sin и 4- t sin 4-
г = -j и +t; /0 = 0. 222. х = — Зи2+ (3u2 + 1) т; у = t	V
(Sz/5	——.3//5-4- и з
г — -=---—4-	,  -т; т0= 1. 223. Уравнение Монжа dz2 — dx2 dy2.
За2 + 1 1 Зи2 + 1
его решение Х= — <а' (a) sin а — <n" COS а, У = — иУ COS а 4- и:>" Sin а, Z = а>+<и".
224. Соответствующее уравнение в частных производных — х —
= —— “/> У = —-^-я3а>", z = —а2и>"—а»У225. Уравнение
2m'	, п <о/2	. о/’
az1 = 4z dx dy> решение z = — a — -— , у — — cd + 2 — , z = —4 —-
<£>и	(Jl"	(1)"“
226. =	; P = 8>xh^ ~ h'xg'y^ q° ~ h'^ .
4л ’	4o+4.?o
алфавитный указатель
Абель Н. 447
Александров П. С. 457
Амплитуда колебания 219
Аналитическая теория д. у. *) 108
Андронов А. А. 457
Арбог Л. 441
Арцела теорема 69
Аффинная группа 36
Барроу И. 430
Бендиксон И. 84, 92, 455
Бернулли Д. 433—436, 440, 449, 451, 452
Бернулли И. 38, 433
Бернулли Н. 435
Бернулли уравнение 38
Бернулли Я. 38, 433
Бернштейн С. И. 456, 457
Бессель Ф. 451
Бесселевы функции 245, 250
Бесселя уравнение 237, 238, 242, 244, 245, 250,
255
Билинейная форма 290
Биркгоф Д. 456
Боголюбов Н. И. 457, 458
Больцано Б. 440, 446
Брук И. С. 458
Вандермонда определитель 216
Ванцель П. 447
Вариации уравнения в вариациях 304, 320
Вариация постоянного 35, 201, 281
Вейерштрасса теорема 166
Вековой член 231
Векуа И. И. 457
Винтнер А. 75
Возврата точки 130
Вполне интегрируемое уравнение 362
Вронский Г. 435
Вронского определитель 185
Второго порядка линейное уравнение 192, 241
Высших порядков д. у. 140
Галеркин Б. В. 458
Галилей Г. 429, 439
Галуа Э. 447
Гамильтона функция 412
Гармоническое колебание 218
Гаусс К. 446, 451
Геометрическая теория уравнений в частных
производных 420
Гершгорин С. А. 458
Гипергеометрический ряд 249
Гнпергеометрическое уравнение 247
Гиперповерхность 315, 336
Главные моменты инерции 312
Гомотетия 33
Грина функция 211
1) Д« У» ~ дифференциальное уравнение.
Группа преобразований 32
Гурса Э. 451
Гутенмахер Л. И. 458
Гюнтер Н. М. 457
Давидов А. Ю. 452
Даламбер Ж. 434, 437, 439, 441, 442, 443, 445, 452
Дарбу Г. 54, 449, 450
Дарбу уравнение 54
Движение 257, 317
—	возмущенное 318
—	невозмущённое 318
— стационарное 267
Дебон Ф. 429
Декарт Р, 429
Декремент логарифмический 220
Делители элементарные матрицы 291
Дикритический узел 84, 92
Динамика точки 162
Динамическая система 267
Дирихле формула 155
Дискриминантная кривая 126
Дифференциальное уравнение (см. также соотв.
название д. у.)
Дифференциальный оператор 183
Дифференциалы полные, точные 94
Егоров Д. Ф. 41, 450
Единственность решения д. у. 63, 120, 150
Ермаков В. П. 450
Живых сил интеграл 163
Задача Коши 140, Д52, 335, 339, 348, 352, 390.
401, 411
Зернов Н. Е. 453
Изогональные траектории 135
Изоклины 11
Имшенецкий В. Г. 451, 452, 453, 455
Инвариантный множитель 291
Инволюция 385
Инерции момент 312
Интеграл д. у. 22
— живых сил 163
— общий 151, 167, 375
—	особый 374
—	первый 168
—	полный 414
—	промежуточный 167
—	системы д. у. 308
Интегральная гиперповерхность 336
—	кривая 10, 32, 84, 423
— поверхность 378
Интегральный элемент 407
Интегрирование д. у, 7, 8
Интегрируемости условие 95
Интегрирующий множитель 97, 98, 363
Истечение жидкости из сосуда 25
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
467
Каменков Г. В. 457
Каналов поверхность 379
Каноническая система д. у. 260, 412
Канторович Л. В. 458
Квадратура 8, решение д. у. в квадратурах 20, 154
Келдыш М. В. 458
Клейн Ф. 453
Клеро А. 434, 435, 437
— уравнение 117, 130
---обобщённое 389
Кнезера теорема 256
Ковалевская С. В. 332, 335, 448, 455
Колебание гармоническое 218
— затухающее 220
— упругое 219, 230
Колеблющееся в интервале решение 251
Комплексная область (теорема существования^
Конус Т 420
Коркин А. Н. 450
Коши О. 440, 446, 447, 448, 452
—	доказательство существования 57
—	задача (см. задача Коши)
—	метод 393, 406
—	нормальная форма 262
—	формула 156
Крейн М. Г. 457
Кривая дискриминантная 126
—	интегральная 10, 32, 84, 423
—	Монжа 423
—	характеристическая 351
Кристаль Г. 449
Кристофель Э. 435
Крылов А. Н. 458
Крылов Н. М. 457, 458
Курно А. 449
Лаврентьев М. А. 457
Лагранж Ж. 434, 435, 437, 438, 441, 442, 443
Лагранжа уравнение 116
Лагранжа-Шарпи метод 381
Ламэ Г. 451
Лаплас П. 441, 442
Лаппо-Данилевский И. А. 457
Лежандр А. 451
Лежандра уравнение 247, 251
Лежен-Дирихле П. 446
Лейбниц Г. 430, 433
Лекселль А. И, 435, 438
Летников А. В. 451
Ли С. 33, 444, 453, 454
Линейно зависимая система 278
— независимая система 277, 278
Линейные уравнения 100, 180
---второго порядка 192, 241
---в частных производных 338
---первого порядка 34
---с постоянными коэффициентами 214
---, системы 26о
---, частные виды 214
Линейный дифференциальный оператор 183
Линии погони 170
—	тока 268
—	характеристические 380
Липшиц Р. 448
Липшица условие 58
Лиувилль Ж. 53, 449, 450, 451
Лиувилля-Остроградского формула 192
Лобачевский п. И. 446, 447, 4оЗ, 457
Логарифмический декремент 220
Лузин Й. Й. 458
Люстерник Л. А. 458
Ляпунов А. М. 453, 455
Майера скобка 385
Максимович В. П. 449
Малкин И. Г. 457
Марков А. А, 457
Маятник математический 166
Мгновенная скорость 312
Метод (см. соответств. название)
Микеладзе Ш. Е. 458
Миндинг Ф. Г. 450, 455
Многочлен неприводимый 108
—	приводимый 108
—	характеристический 215
—	Чебышева 237
Множитель инвариантный 291
—	интегрирующий 97,- 98, 363
Моисеев Н. Д. 457
Моменты инерции главные 312
Монж Г. 443, 444, 445
Монжа кривые 423
—	обозначения 351
—	уравнения 260
Мордухай-Болтовской Д. Д. 449
Муаньо Ф. 448, 449
Мусхелишвили Н. И. 457
Мышкис А. Д. 457
Направлений поле 11
Начальная фаза 219
Начальные значения особые 314
—	условия 9
Неколеблющееся в интервале решение 251
Нелинейные уравнения в частных производ-
ных 355
Немыцкий В. В. 457
Неоднородная линейная система 271
Неоднородное уравнение, формула Коши 211
•--линейное 34, 180, 199, 224
Непер Д. 428, 429
Неприводимый многочлен 108
Неустойчивое положение равновесия 165
Нормальная форма Коши 262
---системы д. у. 260
Нормальной формы система 241
Ньютон И. 430, 431, 432
Общее решение 7, 12, 18
---уравнения в частных производных 333
Общий интеграл 151, 167, 375
—	— системы д. у. 308
Огибающая 122, 132
Однородная линейная система 271
Однородные уравнения 27, 34
---линейные 34
—	—— в частных производных 338
—	с постоянными коэффициентами 214
Оператор дифференциальный 183
—	самосопряжённый 208
Определитель Вандермонда 216
—	Вронского 185
Ортогональные траектории 135
Особые начальные значения 314
—	решения 121, 131
—	точки 76
Особый интеграл 374
Остроградский М. В. 450, 453
Остроградского-Лиувилля формула 192
Панов Д. Ю. 458
Пеано Д. 448
Первого порядка д. у. 9
---линейные уравнения 34
—	— уравнения в частных производных 99
—	— характеристика 395, 407, 409
—	приближения система 320
Первый интеграл 168
—	— системы д. у. 308
Переменных разделение 23, 388
Перенос 32
Период колебания 219
Персидский К. П. 457
Петерсон К. М. 452
468
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Петровский И. Г. 332, 457, 458
Пикар Э. 448, 449
Пикара доказательство существования 57
— метод последовательных приближений 142
Поверхность интегральная 378
Погони линии 170
Подобие 33
Поле направлений II
Полные дифференциалы 94
Полный интеграл 414
Полоса характеристическая 381
Понижение порядка д. у. 167, 173, 198, 200
Порядок д. у. 10
— уравнения с частными производными 330
Последовательных приближений метод 57, 74,
144
Постоянная энергии 419
Постоянного вариация 35, 201, 281
Постоянные коэффициенты, д. у, с постоян-
ными коэффициентами 214
Преобразование переноса 32
— подобия 33
Преобразований группа 32
Приводимый многочлен 108
Прикосновения точки 130
— элемент 378
Продолжение решения д. у, 65
Производная точная 177
Производных существование 298
Промежуточный интеграл 167
Пространство фазовое 266
Пуанкаре А. 84, 455
Пуассон 453
Пуассона скобка 385
Пфафф И. 444, 451
Пфаффа уравнение 360, 387
Пфаффова форма 366
Пеано Д. 68, 448
Пеано теорема 68
Равновесия положение 165
Разделение переменных 23, 388
Решение д. у. 7, 8
— особое 121, 131
Риккати Д. 434, 436
Риккати уравнение 47, 50, 244
Рикье, теорема существования 332
Руффини II. 447
Ряд гипергеометрический 249
— степенной 245
Ряды тригонометрические 233
Самосопряжённое уравнение 208
Самосопряжённый оператор 208
Свободное гармоническое колебание 218
Седловина 79
Сила живая 163
Симметричная форма системы д. у. 313
Синцов Д. М. 452
Система динамическая 267
— д. у. 260
------в частных производных 331
— каноническая 260, 412
—	фундаментальная 187
Скобка Майера 385
—	Пуассона 385
Скорость мгновенная 312
Смирнов В. И. 457
Соболев С. Л. 457
Совместности условия 332, 356
Совместные уравнения 355
Сонни Н. fl. 451, 453
Сопряжённое дифференциальное выражение 206
—	уравнение 206
Сравнения теорема 253
Стационарное движение 267
Стеклов В. А. 453, 455
Степанов В. В. 457
Степенной ряд 245
Существования теорема 57, 68, 140, 270
Т, конус 420
Тейлор Б. 437, 439
Теорема (см. соответств. название)
Тихонов А. И. 457
Тока линии 268
*	1 очки возврата 130
—	особые 76
—	прикосновения 130
Точная производная 177
Точные дифференциалы 94
Траектория движения 267
—	, задача о траекториях 135
Тривиальное решение 319, 321, 325, 326, 327
Тригонометрические ряды 233
Узел 79, 83, 92
Упругие колебания 219, 230
Условие (см. соответств. название)
Устойчивое положение равновесия 166
Устойчивость по Ляпунову 317
Фаза начальная 219
Фазовое пространство 266
Фокус 81, 91
Форма билинейная 290
—	нормальная Коши 262
Форма нормальная системы д. у. 141
—	Пфаффова 366
—	симметричная системы д, у, 313
Формула Лиувилля 192
Фроммера метод 84
Фукс Л. 435, 451
Фундаментальная система 187
Функция Бесселя 245, 250
—	Гамильтона 412
—	Грина 211
Фурье Ж. 452
Характеристика 336, 351, 405, 406
—	первого порядка Зэ5, 407, 409
Характеристическая полоса ЗЫ
Характеристические кривые 351
Характеристический мно:очлен 215
Характеристическое уравнение 284, 325
Хинчин А. Я. 457
Центр 81, 92
Чаплыгин С. А. 458
Частное решение д. у. 8, 12, 18
Частные производные, уравнения в частных
производных 99, 330
Частота колебания 219
Чебышев И. Л. 237, 449, 455, 457
Чебышева многочлен 237
Чстаев Н. Г. 457
Шарли II. 442
Шарпи-Ла1 ранжа метод 381
Шпета теорема 256
Штурм Ж. 450
Штурма теорема 252
Эйлер Л. П. 95, 431, 433—443, 445, 450—452
455, 457
Эйлера уравнение 238, 256
Элемент интегральный 407
— прикосновения 378
Элементарные делители матрицы 291
Энергии постоянная 419
Якоби К. 450, 457
— метод 412, 416
—	теорема 414
—	уравнение 41, 93, 414
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию ................................... 5
От издательства................................................. 6
Глава I. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений пер-
вого порядка, разрешённых относительно производной . .	7
§ 1.	Введение.............................................. 7
§ 2.	Метод, разделения переменных........................  18
§ 3.	Однородные уравнения................................. 27
§ 4.	Линейные уравнения................................... 34
§ 5.	Уравнение Якоби.......................•.............. 41
§ 6.	Уравнение Рикйати...................................  47
Глава II. Вопросы существования решений уравнения первого
порядка, разрешённого относительно	производной........	57
.§ 1. Теорема существования (Коши и Пеано)................ 57
§ 2.	Особые точки......................................... 7Q
§ 3.	Интегрирующий множитель.............................. 94
<9
Глава III. Уравнения первого порядка, не разрешённые отно-
сительно производной..................................... 104
§ 1.	Уравнения первого порядка л-й степени............... 104
§ 2.	Уравнения, не содержащие явно одного из переменных . . 110
§ 3.	Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и
Клеро...................................................  113
§ 4.	Особые решения...................................... 120
§ 5.	Задача о траекториях................................ 135
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков . . 140
§ 1.	Теорема существования............................ 140
§ 2.	Типы уравнений п-го порядка, разрешаемые в квадратурах 154
§ 3.	Промежуточные интегралы. Уравнения, допускающие пони-
жение порядка......................................... 167
§ 4.	Уравнения, левая часть которых является точной производ-
ной .................................................. 177
Глава V. Общая теория линейных дифференциальных урав-
нений ........................................... 1£0
§ 1.	Определения и общие свойства........................ 180
§ 2.	Общая теория линейного однородного уравнения........ 183
§ 3.	Неоднородные линейные уравнения..................... 199
§ 4.	Сопряжённое уравнение............................... 205
Глава VI. Частные виды линейных дифференциальных урав-
нений ................................................... .	. 214
§ 1.	Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и при-
водимые к ним.......................................... 214
§ 2.	Линейные уравнения второго порядка . . . . ;...... 241
Глава VII. Системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений ....................................................... 260
§ 1.	Нормальная форма системы дифференциальных уравнений 260
§ 2.	Системы линейных дифференциальных уравнений...... 270
§ 3.	Существование производных по начальным значениям от ре-
шений системы.......................................... 298
§ 4.	Первые интегралы системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений.......................................... 307
§ 5.	Симметричная форма системы дифференциальных уравнений 312
§ 6.	Устойчивость по Ляпунову. Теорема об устойчивости по
первому приближению.................................... 317
Глава VIII. Уравнения с частными производными. Линейные
уравнения в частных производных первого порядка .... 330
§ 1. Постановка задачи об интегрировании уравнений с частными
производными................................................ 330
§ 2.	Линейное однородное уравнение в частных производных
первого порядка........................................ 338
§ 3.	Линейные неоднородные уравнения с частными производ-
'	ными первого порядка.............................  343
Глава IX. Нелинейные уравнения в частных производных пер-
вого порядка................................................. 355
§ 1.	Система двух совместных уравнений первого порядка . . . 355
§ 2.	Уравнение Пфаффа................................. 360
§ 3.	Полный, общий и особый интегралы уравнения в частных
производных первого порядка............................ 370
§ 4.	Метод Лагранжа-Шарпи нахождения полного интеграла . . 381
§ 5.	Метод Коши для двух независимых переменных........ 393
§ .6.	Метод Коши для п независимых переменных.......... 406
§ 7.	Геометрическая теория уравнений с частными производ-
ными первого порядка................................  .	420
Глава X. Исторический очерк................................. 428
Ответы...................................................... 459
Алфавитный указатель........................................ 466