ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
A QUALITATIVE APPROACH WITH APPLICATIONS
D. K. ARROWSMITH,
С. М. PLACE
Westfield College
University of London
Chapman and Hall
London New York
1982

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
ВВОДНЫЕ КУРСЫ
Д.ЭРРОУСМИТ
КПЛЕИС
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
КАЧЕСТВЕННАЯ
ТЕОРИЯ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
Перевод с английского
Т. Д. ВЕНТЦЕЛЬ
под редакцией
Н. X. РОЗОВА
МОСКВА
«МИР»
1986

ББК 22.161.6
Э81
УДК 517.9
Эрроусмит Д., Плейс К.
Э81 Обыкновенные дифференциальные уравне-
уравнения. Качественная теория с приложениями:
Пер. с англ. —М.: Мир, 1986.— 243 с.
Книга английских математиков, дающая краткое введение в
качественную теорию дифференциальных уравнений и ее приложе-
приложений к системам, зависящим от времени. Авторы знакомят читателей
с методами получения результатов и показывают, как их применять.
Помимо классических приложений в области механики и электро-
электротехники приведены примеры из области экологии, экономики,
медицины.
Для математиков-прикладников, преподавателей, аспирантов и
студентов вузов.
1702050000-152	ББК 22.161.6
Э 041 @1)-86 24 86> Ч- !
Редакция литературы по математическим наукам
1982 D. К. Arrowsmith and С. М. Place
перевод на русский язык, «Мир», 1986

НЕСКОЛЬКО СЛОВ К ЧИТАТЕЛЮ
Книги серий «Современная математика. Попу-
Популярная серия» (таких книг насчитывается шестнад-
шестнадцать) и «Современная математика. Вводные курсы»
(читатель держит в руках 11-й выпуск) знакомы
всем, кто хоть в какой-то мере интересуется мате-
математической литературой. Среди книг этих серий
еще не было ни одной, посвященной обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Книги по геомет-
геометрии и теории чисел, по логике и топологии, по
алгебре и теории вероятностей, даже по машинной
математике — были, а по дифференциальным урав-
уравнениям не было. Случайно ли это? Видимо, нет.
Причина здесь прежде всего заключается в том,
что «введение» в перечисленные разделы матема-
математики можно (хотя, конечно, далеко не просто!)
написать без громоздких аналитических вычисле-
вычислений и независимо от математических познаний
читателя и его уровня владения математической
техникой. Чтение и, главное, усвоение такой книги —
дело не легкое, но вполне посильное читателю
даже и с небольшим математическим багажом.
В дифференциальных уравнениях — разделе, прин-
принципиально аналитическом,—уже само первоначаль-
первоначальное'ознакомление с предметом представляется не-
невозможным без свободного владения результата-
результатами анализа и других глав математики, без сухих
и кропотливых цепочек преобразований. Во всяком
случае, именно такую мысль навевают многие из
имеющихся у нас книг и учебников, в том числе
и адресованные широкому кругу читателей.
Авторы настоящей книги предприняли попытку
разрушить это мнение. Они отошли от традицион-
традиционной манеры изложения, нестандартно отобрали
материал, нашли «изюминку», которая, бесспорно,
увлечет заинтересованного читателя. В результате
им действительно удалось интересно и в то же
время содержательно рассказать об обыкновенных

НЕСКОЛЬКО СЛОВ К ЧИТАТЕЛЮ
дифференциальных уравнениях на уровне, вполне
доступном младшекурсникам наших университетов
и инженерных вузов.
Поскольку речь идет не об учебнике, а о книге
для первого знакомства с предметом, авторы отка-
отказались от излишней общности, от воспроизведения
многих аналитических результатов, от скрупулез-
скрупулезных доказательств, требующих сложных преобразо-
преобразований и логических построений. Основное их вни-
внимание сконцентрировано на концептуальных воп-
вопросах. Фундаментальным понятиям, ведущим идеям
и. основополагающим результатам авторы постоян-
постоянно стараются дать не только (и не столько) фор-
формальное описание, но и интуитивные разъяснения,
геометрическую трактовку, реальные интерпрета-
интерпретации. Они не скупятся на разнообразные примеры,
многочисленные поясняющие чертежи. Множество
удачных и весьма полезных рисунков — большое
достоинство книги.
В наши дни в дифференциальных уравнениях
развивается новый стиль и язык изложения, все
чаще используются новые терминология и обозна-
обозначения, ведущую роль начинают играть понятия, еще
недавно мало популярные, — оператор сдвига вдоль
траектории (оператор эволюции), качественная эк-
эквивалентность, поток, грубость, бифуркация и др.
Ко всем таким нововведениям надо привыкать как
можно раньше. Важному делу их пропедевтики
с успехом послужит эта книга.
«Изюминка» рассматриваемой книги,, ее нетри-
нетривиальная отличительная особенность, — обстоятель-
обстоятельное описание разнообразных реальных проблем,
для изучения которых привлекаются обыкновенные
дифференциальные уравнения, и подробный каче-
качественный анализ соответствующих математических
моделей. Такая богатая коллекция прикладных
задач из самых разных областей в популярной
книге на русском языке появляется, по-видимому,
впервые.
Спора нет, все признают и ценят огромное зна-
значение дифференциальных уравнений как одного
из основных орудий исследования естественно-науч-
естественно-научных, научно-технических и даже многих социально-
экономических вопросов. Но присмотримся внима-
внимательнее к содержанию многих книг учебного харак-
характера по дифференциальным уравнениям, к содер-
содержанию программ для вузов и втузов. Что мы там

НЕСКОЛЬКО СЛОВ К ЧИТАТЕЛЮ
видим? Методы интегрирования нескольких клас-
классов уравнений, педантичное доказательство теоремы
существования и единственности, набор формул
для решения линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, фазовые портреты линейных
стационарных двумерных систем и (в лучшем слу-
случае) формальное определение устойчивости по Ля-
Ляпунову. А как же приложения? О их существова-
существовании, как правило, лишь упоминается, да приводятся
банальные примеры (вроде математического маят-
маятника, радиоактивного распада или бассейна с
двумя трубами — через одну вода вливается, через
другую выливается...).
Трактовка курса обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений просто как абстрактного раздела
«чистой» математики плоха не только тем, что уби-
убивает интерес студентов к прикладным задачам.
Протекающий на наших глазах процесс интенсив-
интенсивной математизации знаний все более настоятельно
требует от математиков умения не только прово-
проводить качественное или численное исследование
готовой модели, но и самому переходить от содер-
содержательного представления о явлении к его фор-
формально-математическому описанию. Иначе говоря,
студентов должно учить фактически осуществпять
математическое моделирование (или, как стали
говорить в последнее время, модельное обеспече-
обеспечение). И курс обыкновенных дифференциальных
уравнений — один из самых подходящих и удобных
поводов для ознакомления с этим искусством.
Заслуга авторов настоящей книги в том, что
они как раз и пытаются продемонстрировать чита-
читателю образцы . математического моделирования
ряда конкретных явлений.
Знакомство с обыкновенными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями часто традиционно связывают
с освоением техники интегрирования различных,
в том числе довольно экзотических, классов таких
уравнений. В настоящей книге о методах интегри-
интегрирования уравнений речь не идет вовсе (за исключе-
исключением нескольких упражнений), все внимание — как
в теории, так и в приложениях — сосредоточено
на качественных рассмотрениях, на алгебро-геомет-
рических подходах. Это в целом соответствует тому
смещению акцентов, которое сейчас наблюдается
в теории обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений.

НЕСКОЛЬКО СЛОВ К ЧИТАТЕЛЮ
В этой связи нельзя не упомянуть, что современ-
современные компьютеры все более успешно осваивают тон-
тонкости проведения аналитических преобразований.
Еще вчера многие были готовы биться об заклад,
что машина в принципе не сможет оперировать
с алгебраическими (буквенными) выражениями.
А уже сегодня известны результаты первых экспе-
экспериментов: компьютер успешно решил примерно
95 % уравнений, собранных в известном справоч-
справочнике Э. Камке, причем в нескольких случаях обна-
обнаружил там ошибки.
Отметим, что особенно педантичный читатель вы-
выскажет претензии по поводу точности некоторых
утверждений из этой книги — и он будет прав. Пе-
Переводчице Т. Д. Вентцель неоднократно приходи-
приходилось вносить исправления мелких неточностей, воз-
возникших, видимо, из-за торопливости авторов книги.
Но добиваться изысканной строгости абсолютно
всех фраз книги мы сочли нецелесообразным. Мел-
Мелкие внесенные в текст исправления, как правило,
не оговариваются, несколько содержащих ошибки
фрагментов были просто исключены.
Итак, серия «Современная математика. Ввод-
Вводные курсы» пополнилась еще одной книгой. Будем
надеяться, что многие начинающие математики,
познакомившись с ней, выберут дифференциальные
уравнения своей специальностью или по крайней
мере почувствуют вкус к прикладным задачам.
Н. Розов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является введением в качествен-
качественную теорию обыкновенных дифференциальных
уравнении и знакомит с их применением к модели-
моделированию зависящих от времени систем. Затрагива-
Затрагиваемые в ней математические идеи представляют
собой удивительное переплетение идей из анализа,
алгебры и геометрии, так что читателю придется
использовать весь набор приобретенных математи-
математических навыков. Разнообразность является также
характерной особенностью как областей примене-
применения, так и рассматриваемых типов динамических
систем — от более традиционных задач механики
и теории электричества до моделей, используемых
в экологии, экономике и онкологии.
Книга в первую очередь предназначена студен-
студентам второго года обучения; предполагается, что
читатель овладел начальными понятиями теории
функций многих переменных и линейной алгебры.
Конкретнее, считаются известными такие понятия,
как непрерывность, дифференцируемость, линии
уровня и критические точки функций двух перемен-
переменных. Читатель должен иметь опыт обращения
с некоторыми алгебраическими понятиями — бази-
базисами, линейными преобразованиями, их собствен-
собственными значениями и собственными векторами и их
подобием, однако знание жордановых форм матриц
не обязательно. Необходимые результаты из этой
последней области только формулируются и иллю-
иллюстрируются. Наша методическая установка на про-
протяжении всего изложения состоит в том, чтобы
всюду, где это возможно, разъяснять смысл изла-
излагаемых теорем на соответствующих примерах. Мы
стремимся убедить читателей, что эти теоремы
эффективны, и показываем, как они применяются.
Таким образом, мы надеемся не только передать
знания, необходимые для построения и анализа
конкретных моделей, но также пробудить интерес
к более глубокому пониманию математических ре-
результатов как таковых.

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга состоит из пяти глав. В гл. 1 развивается
подход к изучению пространства состояний диффе-
дифференциальных уравнений, содержащих только одну
действительную независимую переменную. Элемен-
Элементарные технические приемы из анализа для решения
таких дифференциальных уравнений отнесены
в упражнения, а основное внимание сосредоточено
на геометрической интерпретации решений. В этой
связи вводятся понятия автономного уравнения,
фазового портрета и качественной эквивалентности.
Далее в этой главе обсуждается, как эти понятия
можно распространить на системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений, и приводится краткий обзор со-
содержания последующих глав. Глава 2 посвящена
линейным системам, причем особое внимание уде-
уделено парам связанных дифференциальных уравне-
уравнений. Здесь же приводится независимое изложение
жордановых форм действительных матриц 2-го по-
порядка, рассчитанное на то, чтобы читатель увя-
увязал его со своими алгебраическими познаниями.
Глава 3 содержит некоторые основные результаты
о нелинейных системах. Материал этой главы был
отобран специально с учетом возможностей студен-
студентов второго года обучения. Здесь приводится тео-
теорема о линеаризации и обсуждается различие
между локальным и глобальным исследованием
решений. Глава заканчивается знакомством с пре-
предельными циклами и элементами теории Пуанка-
Пуанкаре — Бендиксона. В гл. 4 мы демонстрируем роль
качественных методов при исследовании моделей,
а в гл. 5 собраны некоторые избранные темы более
сложного характера. Эта последняя глава, веро-
вероятно, больше подходит для студентов третьего года
обучения, хотя идея функции Ляпунова могла бы
появиться и раньше. В конце каждой главы поме-
помещены упражнения, цель которых — закрепить раз-
развитые в тексте идеи и побудить читателя крити-
критически осмысливать то, что было изложено. Даются
также краткие советы по решению упражнений.
В заключение мы хотели бы выразить благо-
благодарность^ профессорам Брауну и Истэму, а также
докторам Ноулсу и Смиту за прочтение и обсужде-
обсуждение рукописи книги. Мы также благодарны миссис
Плейс за тщательное печатание рукописи и помощь
в выполнении рисунков.
Д. К- Эрроусмит, С. М. Плейс

1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы показываем, что такое качественный под-
подход к дифференциальным уравнениям, и вводим некоторые
ключевые понятия, такие как фазовый портрет и качествен-
качественная эквивалентность.
1.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИДЕИ
1.1.1. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
Определение 1.1.1. Пусть X(t,x) — действительнозначная
функция действительных переменных t и х с областью опре-
определения D^R2. Функция x(t), где t принадлежит некото-
некоторому интервалу /sR, для которой всюду на / выполняется
равенство
Ht) = % = X{t,x{t)),	A.1)
называется решением дифференциального уравнения A.1).
Чтобы функция x(t) была решением, необходимо выпол-
выполнение условия (t,x(t))^D для любого /е/; таким образом,
область D ограничивает как область определения, так и об-
область значений функции x(t).
Если функция x(t) с областью определения / есть реше-
решение A.1), то любое ее ограничение на интервал /с:/ также
является решением. Во избежание каких-либо неясностей
мы всегда будем брать в качестве / максимальный интервал,
на котором x(t) удовлетворяет уравнению A.1). Решения,
обладающие таким свойством, называются максимальными
решениями. Таким образом, если не оговорено противное, мы
будем употреблять слово «решение» в смысле «максимальное
решение»1). Рассмотрим несколько примеров уравнений вида
A.1) и их решений. В каждом случае мы задаем
x = X(t, x), D, x{t), I,
*) В русской литературе употребляется термин «непродолжимое ре-
решение». — Прим. перев.

12	1. ВВЕДЕНИЕ
а С и С обозначают некоторые действительные числа!
(a)	* = >: — t, R2, 1+t + Ce*, R;
(b)	x = x\ R2, (C-ty\ (-00, C);
0,	R;
(C-f)~\ (C, 00);
(c)	x = -x/t, {{t,x)\t?=O}, C/t, (-00,0);
C% @, 00);
0,	R;
(e)	x = 2xt, R\ Ce*', R;
(f)	x = - jj/thf, {(*, x)|^ 0}, C/sh^,	(- 00, 0);
C'/sh^,	@, 00).
Существование решений определяется свойствами функ-
функции X. Следующее предложение формулируется без доказа-
доказательства (см. Петровский, 1984).
Предложение 1.Ы. Если функция X непрерывна в откры-
открытой области D'^D, то для любой точки \to,xo)^D' суще-
существует решение x(t), t^I, уравнения x — X(t, x) такое, что
t0^ I и x(to) = хс.
Рассмотрим, например, уравнение
* = 2|х|1/2,	A.2)
где Z) = R2. Любую точку (to,xo), xo^O, можно представить
как (fa ^(^о)), где x(t)—решение:
О,	te=(— 00, С),
а С = ^о — Vxo • Точно так же можно найти решение и для
точек (^о, хо), Хо < 0.
Заметим, что предложение 1.1.1 не исключает случая,
когда x(to) = xo более чем для одного решения x(t). Напри-
Например, для A.2) бесконечно много решений x(t) удовлетво-
удовлетворяют условию x(to)=:O: именно ему удовлетворяет любое
решение вида A.3) с О ^о, а также решение x(t)^s 0.
Следующее предложение дает достаточное условие, при
котором каждой точке из D' соответствует только одно ре-
решение.

I.I ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИДЕИ	13
Предложение 1.1.2. Если X и дХ/дх непрерывны в неко-
некоторой открытой области D' s D, то для любой заданной
точки (to,x0)^D' существует единственное решение x(t)
уравнения х = X(t, х) такое, что x(t0) = х0.
Заметим, что, хотя функция X = 2
D(—R2), ее производная дХ/дх ( =
1/2 непрерывна в
-1'2 для х > О
и —|л;|-1/2 для х < 0) непрерывна только в области D' =
= {(^, х) |x=^= 0}; в нуле она не определена. Мы уже отме-
отмечали, что точка (^0, 0), t0^ R, принадлежит бесконечному
множеству решений уравнения х = 2\х\1'2.
С другой стороны, функция X(t,x) — x — t и дХ/дх—1
непрерывны на всей области D=R2. Любая точка (t0, х0}
принадлежит одному и только одному решению уравнения
х = х — t, а именно
f	A.4)
где С = (дго-^о-1)е-'о.
Имеются и более слабые достаточные условия существо-
существования и единственности (Петровский, 1984). Однако предло-
предложения 1.1.1 и 1.1.2 разъясняют характер условий, налагае-
налагаемых на X(t, x).
1.1.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Решение x(t) уравнения x = X(t,x) представляется гео-
геометрически графиком функции x(t). Этот график определяет
интегральную кривую на плоскости t, x.
Если X непрерывна в D, то предложение 1.1.1 утверждает,
что интегральные кривые заполняют область D плоскости t, x.
Это следует из того, что каждая точка D должна лежать по
крайней мере на одной интегральной кривой. Таким образом,
решения дифференциального уравнения представляются се-
семейством интегральных кривых в D (см. рис. 1.1—1.8).
Если обе функции X и дХ/дх непрерывны в D, то из пред-
предложения 1.1.2 следует, что существует единственная инте-
интегральная "кривая, проходящая через каждую точку D
(см. рис. 1.1—1.6).
Заметим, что семейства интегральных кривых на рис. 1.2
и 1.6 имеют между собой большое сходство. Любая инте-
интегральная кривая на одном рисунке имеет соответствующую
ей кривую на другом; они похожи по форме, у них те же
самые асимптоты, но они не идентичны. Соотношение между
этими двумя семействами интегральных кривых является
примером того, что мы будем называть качественной эквива-
эквивалентностью (см. п. 1.3, 2.4 и 3.3). Мы будем говорить, что
качественное поведение интегральных кривых на рис. 1.2 та-
такое же, как на рис. 1.6.

14
I. ВВЕДЕНИЕ
/М-
—ч
Рис. 1.1.
Рис. 1.2.
1 X
Рис 1.3. х = — t/x.
Рис. 1.4. х = ±-(х2—
^
^
	-^
f
^ч>
/7 /Iх
(if/
Рис. 1.5. x = 2xt.
Рис. 1.6. х = — x/th t, t ф 0.

1.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИДЕИ
15
Для определения качественного поведения интегральных
кривых не всегда обязательно их аккуратно вычерчивать;
часто бывает достаточно наброска. Иногда мы можем еде-
X
f
1J
/ /
/ г
J)
J
Рис. 1.8. * =
лать набросок интегральных кривых непосредственно по диф-
дифференциальному уравнению.
Пример 1.1.1. Сделать набросок интегральных кривых
уравнения
/x	A.5)
в области D плоскости t, x, где х ф 0.
Решение. Сделаем следующие замечания.
(а) Дифференциальное уравнение задает наклон инте-
интегральных кривых (т. е. угловой коэффициент касательных
к ним) во всех точках области D. Так, в частности, в точках
пересечения с кривой t + t/x = k (где k — некоторая постоян-
постоянная) интегральные кривые имеют наклон k. Такая кривая
называется изоклиной наклона k. Множество изоклин, кото-
которое получается, когда мы придаем k различные действитель-
действительные значений, — это семейство гипербол
A-6)
Л k-t
с асимптотами х = —1 и t = k. Некоторые из этих изоклин
изображены на рис. 1.9.
(Ь) Знак х определяет, в каких точках D интегральные
кривые выпуклы, а в каких вогнуты. Если х>0 (<0), то
функция х возрастает (убывает) при возрастании t и инте-
интегральная кривая вогнута (выпукла). Таким образом, область
D можно разбить на два подмножества, на каждом из кото-
которых интегральные кривые либо выпуклы, либо вогнуты; эти

16
I. ВВЕДЕНИЕ
множества разделяются кривой х = 0. Для уравнения A.5)
мы получаем
x = x-Hx+l)(x-t)(x + t),	A.7)
и D разбивается на области Р(х>0) и N{x<LQ), как это
локазано на риг,. 1.10.
t = -3 *=-l /f=i Л = 3
Л=0
Рис. 1.9. Некоторые изоклины для уравнения х = f + '/ж. Короткие от-'
резки на изоклинах имеют наклон k и показывают, как интегральные
кривые пересекают изоклины'.
(с) Изоклины расположены симметрично относительно
прямой t — 0, и, следовательно, интегральные кривые тоже
.должны быть относительно нее симметричны. Функция
Рис. 1.10. Области выпуклости (N)
и вогнутости (Р) интегральных
кривых уравнения х = t + t/x.
Рис. 1.11. Интегральные кривые
дифференциального уравиения х —
= t + t/x.
X(t,x)= t + t/x удовлетворяет соотношению Х(—t, x) =
= —X(t,x), из которого следует, что если x{t) — решение
уравнения x = X(t, х), то х(—t) тоже является решением
(см. упр. 6).
Эти три замечания позволяют нам сделать набросок инте-
интегральных кривых для уравнения A.5) (см. рис. 1.11). Мы

1.2 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ	17
«шшм что обе функции X(t, х) == t + t/x и dX/dx = —t/x2
непрерывны в D = {(t, х) \х Ф 0}, так что через каждую
точку проходит единственная интегральная кривая.
Решения
x=t + t/x	A.8)
можно найти с помощью разделения переменных (см. упр. 1.2).
Семейство интегральных кривых состоит из кривых, задан-
заданных уравнением
±	A.9)
где С — постоянная, и решения x(t) = — 1. Однако нарисовать
интегральные кривые непосредственно по уравнению A.9)
труднее, чем по самому дифференциальному уравнению A.5).
Сказанное выше приводит к двум важным идеям:
1.	Два различных дифференциальных уравнения могут
иметь решения с одинаковым качественным поведением.
2.	Качественное поведение решений определяется функ-
функцией X(t, x).
Теперь мы объединим эти две идеи и проиллюстрируем
качественный подход к дифференциальным уравнениям на
примере уравнений специального вида х = Х(х). Мы уви-
увидим, что эти уравнения можно расклассифицировать на каче-
качественно эквивалентные типы.
1.2. АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.2.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
Дифференциальное уравнение вида
х = Х(х), xeSsR, (D=RX5)	A.10)
называется автономным. Это название оправдано тем, что х
определяется одним только х, и, таким образом, решение
само управляет своим изменением.
Решения автономных уравнений обладают следующим
важным свойством. Если l{t)— решение уравнения A.10) с
областью определения / и областью значений g(/), то т](/) =
= l(t-{-C) при любом действительном С также является
решением с той же областью значений и с областью опреде-
определения, {ф + Се/}. Это следует из того, что
4	(l.ii)

18
I. ВВЕДЕНИЕ
Интегральная кривая x=?,(t) получается из интегральной
кривой х = т] (t) сдвигом по t в положительном направлении,
на величину С.
Кроме того, если через каждую точку полосы D' = R X 5 (/)
проходит только одна интегральная кривая, то все решения
в полосе D' получаются сдвигами x = l,(t). Таким образом,
/ х
/у
-. t
Рис. 1.12. х = х: полосы D —это
полуплоскости х < О ИОО.
о i = ±(xs_
6- х ~ 2 (х
. ПОГ1ОГН
>- полосы
2
D' имеют вид R X 1 (/), где 1 (/) =
= (-°°, -1), (-1, 1) и A, оо).
и
X 1
t
и
с
X
(\
Рис. 1.14. Иитегральные кривые Рис. 1.15. Иитегральные кривые
для уравнения х = х3.	для уравнения х = х2.
область D разделяется на полосы, в которых интегральные
кривые получаются из какой-нибудь одной кривой посред-
посредством сдвига вдоль оси / (см. рис. 1.12—1.15).
Например, уравнение
х = х	A.12)
имеет решения
6@ =
/ =
ж
/ =
R»
R,
R,
1A) =
6(/) =
IU) =
@,
{0}
(—
со);
;
оо, 0).
A
A
A
.13)
.14)
.15)

1.2 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ
19
Все интегральные кривые в полосе Z)' = {(t, х) \ х е @, <х>),
(?r} получаются сдвигами кривой х = е*. Аналогично
интегральные кривые в D' = {{t, х), хе(— оо, 0), /eR} по-
получаются сдвигами кривой х = —е*.
Для таких семейств интегральных кривых, в которых кри-
кривые получаются одна из другой сдвигами, качественное по-
поведение семейства определяется качественным поведением
каждого индивидуального решения, а оно в свою очередь
определяется функцией Х(х). Если Х(х)Ф 0, то решения либо
возрастают, либо убывают; если же Х(с) = 0, то существует
решение x(t) s с.
Х
х
-I
+1
Рис. 1.16. х = х, х--
движиая точка.
= 0 — непо-
Рис. 1.17 х=\(х*-\), х--
= ± 1 — неподвижные точки.
Эти свойства решений удобнее изображать на оси х, чем
на плоскости /, х. Если Х(х)фО для ie(a,i), то на этом
интервале рисуется стрелка, показывающая направление из-
изменения х. Если Х(с) = 0, то решение x(tf) = с изображается
точкой х = с. Такие решения называются неподвижными точ-
точками1) уравнения, так как х = с для всех значений t. Это
геометрическое изображение качественного поведения реше-
решений уравнения х = Х(х) называется фазовым портретом2).
Несколько фазовых портретов для конкретных функций X
изображено на рис. 1.16—1.19. Соответствующие семейства
интегральных .кривых изображены на рис. 1.12—1.15.
Если решение х нестационарное, то оно должно быть
либо возрастающим, либо убывающим; таким образом, если
число неподвижных точек конечно, то может существовать
') Употребляются и другие эквивалентные термины: «стационарная
точка», «особая точка», «положение равновесия». — Прим. перев.
2) Ось 'х называется при этом фазовой прямой, а точка x{t) — фазо-
фазовой точкой. — Прии. перев.

20
1. ВВЕДЕНИЕ
только конечное число «различных» фазовых портретов.
Под словом «различные» мы подразумеваем «отличающиеся
набором областей, в которых х возрастает или убывает». На-
Например, рассмотрим случай одной неподвижной точки х = с
(см. рис. 1.20). На каждой из получаемых полупрямых
х
х
Рис. 1.18. х =
движная точка.
= 0 — непо-
непоРис. 1.19.
движная точка.
х2, х = 0
непо-
непо(х <С с, х > с) функция X может быть либо положительной,
либо отрицательной. Следовательно фазовый портрет дол-
должен соответствовать одному из четырех случаев, изображен-
изображенных на рис. 1.20. Это значит, что качественное поведение
Рис. 1.20. Четыре возможных фазовых портрета для одной изолированной
неподвижной точки. Неподвижная точка называется аттрактором в слу-
случае (с), шунтом в случаях (Ь) и (с) и репеллером в случае (d).
любого автономного дифференциального уравнения с одной
неподвижной точкой должно соответствовать одному из фа-
фазовых портретов на рис. 1.20 при некотором значении с. На-
Например, фазовые портреты для уравнений х = х, х = хъ, х =
= х— а, х — (х— аK, х = shх, х = sh(x — а) соответствуют
случаю (d) с с = 0 или с = а.
Различные дифференциальные уравнения с одной непо-
неподвижной точкой, имеющие один и тот же фазовый портрет,
считаются качественно эквивалентными.

1.2 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ	2t
Заметим, что сображения, которые использовались при
получении рис. 1.20, сохраняют свою .силу, если точка х = с —
одна из многих неподвижных точек на фазовом портрете.
Другими словами, качественное поведение х в окрестности
любой неподвижной точки должно быть таким же, как в од-
одном из случаев на рис. 1.20. Говорят, что это поведение
определяет характер (вид, природу) неподвижной точки,,
и для его описания применяют термины, приведенные в под-
подписи к рис. 1.20.
Сейчас мы сделали важный шаг, так как из сказанного
следует вывод, что фазовый портрет любого автономного
уравнения полностью определяется видом его неподвижных
точек. Введем следующее определение.
Определение 1.2.1. Два дифференциальных уравнения вида
х = Х(х) качественно эквивалентны, если они имеют равное
количество неподвижных точек одинакового характера, рас-
расположенных в одинаковом порядке на фазовой прямой.
Например, уравнение х = (х + 2) (х + 1) эквивалентно
уравнению лг = -|-(л:2—1). Оба уравнения имеют по две не-
неподвижные точки, одна из которых аттрактор, а другая ре-
репеллер, причем аттрактору соответствует меньшее значение
х. Уравнение х = —(х + 2)(х+1) не является качественно
эквивалентным уравнению х = -тг(х2— 1), потому что аттрак-
аттрактор и репеллер идут в обратном порядке.
Пример 1.2.1. Распределить следующие дефференциальные
уравнения на группы качественно эквивалентных:
A) x = chx;	B) х = (х — аJ; C) jt = sin *;
D) х = cos х— 1; E) x = chx— 1; F) x = sin 2x;
G) x = ex;	(8) x = sh2 (x - b).
Решение. Уравнения A) и G) не имеют неподвижных,
точек; в обоих случаях Х(х)Х) для всех х. Оба они имеют
фазовый портрет, показанный на рис. 1.21 (а), и, следова-
следовательно, качественно эквивалентны.
Уравнение B) имеет единственную неподвижную точку —
шунт при х = а, причем X ^ 0 для всех х. Еще одно урав-
уравнение с единственной неподвижной точкой — это E); оно
имеет такой же шунт при х = 0. Уравнение (8) также имеет
единственный шунт при х = Ь, и опять X ^ 0 для всех х. Эти
уравнения образуют вторую группу качественно эквивалент-
эквивалентных уравнений с фазовым портретом, изображенным на
рис. 1.21F).

22	'¦ ВВЕДЕНИЕ
Остальные уравнения — C), D) и F)—имеют бесконечно
много неподвижных точек: для C) — это точки х = пп, для
D) — это х = 2пп и для F) — это х = пл/2, npnneZ. Од-
Однако для уравнения D) Х(х)^0 для всех х, так что все не-
неподвижные точки — шунты, а уравнения C) и F) имеют
чередующиеся аттракторы и репеллеры (см. рис. 1.21 (с) и
_2 С_| Сд С|	С—2
Рис. 1.21. Фазовые портреты для качественно эквивалентных групп урав-
уравнений в примере 1.2.1. В случае (Ь) с = а для B), е = 0 для E) и с —6
для (8). В случае (с) с„ = 2ия для D), а в случае (d) сп = пп для C) и
с„ = пя/2 для F).
(d)). Так что, из этих уравнений качественно эквивалентны
только C) и F).
Пример 1.2.1 обращает наше внимание на тот факт, что
«качественная эквивалентность» является отношением экви-
эквивалентности на множестве всех автономных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Следовательно, мы можем разбить это мно-
множество на непересекающиеся классы качественно эквивалент-
эквивалентных уравнений. Однако, если мы требуем только, чтобы
выполнялось условие единственности решений, проходящих
через определенную точку, таких классов будет бесконечно
много. Это так потому, что может быть сколь угодно много
неподвижных точек.
Если мы наложим на X некоторые дополнительные огра-
ограничения, то может оказаться, что существует лишь конечное
число классов. Например, предположим, что функция X ли-
линейная, т. е. Х(х) — ах с действительным а. Для любого
а =/= 0 имеется только одна неподвижная точка при х = 0.
Если а > 0, то эта точка — репеллер, а если а <С 0 — аттрак-
аттрактор. Для особого случая а = 0 все точки оси х являются
неподвижными. Таким образом, множество уравнений {х =
= Х(х) \Х(х)= ах} может быть разбито на три класса в со-
соответствии с качественным поведением решений.
Для нелинейных функций X каждая неподвижная точка
должна принадлежать одному из возможных типов, указан-
указанных на рис. 1.20. Таким образом, хотя может существовать
бесконечно много различных фазовых портретов, они содер-
содержат не более четырех различных видов неподвижных точек.

1.2 АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ	23
Это ограничение связано тем, что уравнение х = Х(х) со-
содержит только одну действительную переменную х. Поэтому
возникает одномерный фазовый портрет, на котором х в
каждой нестационарной точке может только возрастать или
убывать.
1.2.2. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА
В различных приложениях дифференциальное уравнение
Х — Х(х) моделирует изменение какого-нибудь параметра х
некоторой физической системы в зависимости от времени.
Мы говорим, что состояние системы определяется значением
величины х. Например, уравнение
р = ар; р, а>0,	A.16)
моделирует рост популяции р некоторого изолированного
вида. В рамках этой модели состояние вида в момент вре-
времени t задается количеством индивидуумов p(t), существую-
существующих в момент t. Другой пример — это закон Ньютона для
остывания тел. Температура Т тела, остывающего в среде
с температурой т, подчиняется уравнению
f=—a(T — т), а>0.	A.17)
Здесь считается, что состояние гела определяется его тем-
температурой.
Мы можем изобразить состояние x(t0) нашей модели
в любой момент времени t0 точкой на фазовой прямой урав-
уравнения х = Х(х). С увеличением времени состояние системы
изменяется, и изображающая это состояние точка движется
по фазовой прямой со скоростью х = Х(х). Таким образом,
динамика физической системы представляется движением
фазовой точки по фазовой прямой.
Фазовый портрет фиксирует только направление скорости
фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качествен-
качественную картину динамики. Такая качественная информация мо-
может оказаться полезной при построении моделей. Например,
рассмотрим A.16) — модель роста изолированной популяции.
Заметим, что р > 0 для всех р > 0, и фазовый портрет на
рис. 1.22 показывает, что популяция растет неограниченно.
Это свойство выглядит неправдоподобно: та среда, в которой
живет этот вид, имеет свои ограничения и не может обеспе-
обеспечить ресурсами неограниченно растущую популяцию.
Предположим, что окружающая среда может обеспечи-
обеспечивать существование популяции ре. Как надо изменить урав-
уравнение A.16) с учетом этого обстоятельства? Очевидно, не-
неограниченный рост р должен быть чем-то остановлен. Одна
из возможностей — ввести аттрактор ре, как показано на

24	1- ВВЕДЕНИЕ
рис. 1.22F). Это значит, что популяции, большие чем ре,
уменьшаются, меньшие чем ре, растут, а равновесие дости-
достигается при р = ре. Чтобы могли существовать две неподвиж-
неподвижные точки при р = 0 и р = ре, функция X(р) в A.16) должна
быть нелинейной.
Уравнение
(	)	A.18)
хорошо тем, что при 6 = 0 оно сводится к A.16); в против-
противном случае оно имеет неподвижную точку ре = а/Ь.
/7=0	/3 = 0 р = ре
а	Ь
Рис. 1.22. Фазовые портреты для уравнений: (а) р — ар; (Ь) р — р(а — Ьр),
ре = а/Ь. В обоих случаях нас интересует только поведение неотрицатель-
неотрицательных популяций (р^О). Уравнение (Ь) называется логистическим законом
роста популяции. [Слагаемое — Ьр в правой части (Ь) называется также
фактором тесноты. — Перев.]
Конечно, часто в моделях физических систем состояние
системы определяется более чем одной переменной. Если мы
хотим применять качественные идеи к исследованию и таких
систем, то мы должны изучить автономные уравнения с бо-
более чем одной переменной.
1.3. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим дифференциальное уравнение
х^-^ = Х(х),	A.19)
где хг=(х\,х2)—вектор в R2. Такое уравнение эквивалентно
системе двух связанных уравнений:
xi = X,(xi, x2), х2 = Х2(хихг),	A-20)'
причем X(х) = (Xi(xu х2), Х2{х1,хг)), так как х = (хи х2).
Решение уравнения A.19) является парой функций (xi(t),
X2(t)), /e/E R, удовлетворяющих системе уравнений A.20).
Вообще говоря, решение x\(t), x2{t) содержит две произ-
произвольные постоянные, так что возникает двупараметрическое
семейство решений.
Качественное поведение этого семейства определяется
тем, как ведут себя х\ и х2 с увеличением времени. Вместо
того чтобы просто указывать на фазовой прямой, увеличи-
увеличивается или уменьшается величина х, мы должны показать,

1.3 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
25-
как изменяется положение точки х на фазовой плоскости. По-
Поэтому фазовый портрет будет двумерным, а качественное по-
поведение определяется семейством кривых с указанием на-
направления движения по этим кривым при возрастании /.
Такие кривые называются траекториями или орбитами.
71
Рис. 1.23. xi = — хи хг — — х2. Рис. 1.24.
а?
Рис. 1.25.
— «1, х2
х2.
Рис. 1.26. хх = х2, х2 = — ж,.
Качественное исследование уравнений на плоскости мы
начнем (как и в п. 1.2) с изучения неподвижных точек урав-
уравнения A.19). Неподвижным точкам соответствуют решения
вида x(t) = с = (ci,c2), и они возникают в случае, когда
Х1(сис2) = 0, Х2(сис2)=0.
A.21)
Соответствующая траектория — это точка (с\, с2) на фазовой
плоскости. В п. 1.2 «характер» этой особой точки определял
фазовый портрет.
Рассмотрим некоторые примеры изолированных неподвиж-
неподвижных точек на плоскости с целью определения их характера.
На рис. 1.23—1.32 показаны некоторые из возникающих воз-
возможностей.

26
1. ВВЕДЕНИЕ
77/
Рис. 1.27. Х\ = —хи хг = —Х\ + х2. Рис. 1.28. jc, = Зл^ -f- Ax2, х2 ¦¦
= — Зд:, — Зх2-
г
J
Рис. 1.29.
Рис.
ТУ
Рис.
х2Bх1 — х2). Рис. 1.32. х, = — х1х2, х2 = х\ + х|

1.3 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ	27
Рассмотрим рис. 1.23; система
х\ = —хи х2 = —х2	A.22)
имеет неподвижную точку @,0) и решения
xl(t)=Cler', x2(t)=C2er-*,	A.23)
где Си С2 — некоторые действительные постоянные. Любое
решение из семейства A.23) при K = C2/Ci удовлетворяет
для всех t уравнению
x2(t)=Kxl(t).	A.24)
Таким образом, каждая траектория семейства A.23) лежит
на некоторой прямой, проходящей через начало координат1).
Из уравнений A.23) видно, что при любых ненулевых С\
и С2 значения |xi@l и |х2(/)| убывают при возрастании t
и стремятся к нулю при /->оо. На рисунке это показано
с помощью стрелок на траекториях; если {xi(t), x2(t)) пред-
представляет собой положение фазовой точки х в момент t, то
с ростом времени t она движется по направлению к началу-
координат. Чтобы изобразить это, достаточно нарисовать на-
направленный луч. На рис. 1.24
это изменяет форму траекторий. Однако они по-прежнему
направлены к неподвижной точке в начале координат.
На рис. 1.25 показана еще одна возможность. Здесь при
возрастании t величина |xi(/)| убывает, а |лг2@1 возрас-
возрастает. Действительно, система х\ = —х\, х2 — х2 имеет ре-
решения
x1(t)=Cle-t, x2(t)=C2e',	A.25)
где Сь С2 — действительные числа. Тогда
х2 = Кх~1	A.26)
с К= CiC2. В этом случае только две траектории стремятся
к неподвижной точке @, 0), а все остальные от нее рано или
поздно уходят, причем |х2|-^оо при |xi|-»-0, и наоборот.
Качественное поведение здесь сильно отличается от того, что
представлено на рис. 1.23 и 1.24.
На рис. 1.26 траектории замкнуты, поэтому одни и те же
точки плоскости t, х с возрастанием времени проходятся
снова и снова. В п. 1.4 мы покажем, что система
') Траектории с С± = 0 лежат на прямой xt — 0. — Прим. перев.

8	1- ВВЕДЕНИЕ
ямеет решения
x,@=C,cos(—t+Ca), x2{t)=Cls\n{~t + C2), A.28)
¦откуда следует, что
*? + *! = С?,	A.29)
так что траектории — это семейство концентрических окруж-
окружностей с центром в неподвижной точке @, 0). Это, очевидно,
еще один новый вид качественного поведения. Замкнутость
траекторий является отражением того факта, что х\ (t) и
x2(t)—периодические функции с одним и тем же периодом.
Эти примеры показывают, что качественно различные ре-
решения приводят к траекториям с различными геометриче-
геометрическими свойствами. Проблема выделения различных видов
неподвижных точек сводится к проблеме выделения различ-
различных геометрических конфигураций, составленных траекто-
траекториями. Как и в п. 1.2, мы должны принять решение относи-
относительно того, что следует подразумевать под словом «раз-
«различные». При этом мы можем по своему выбору применять
разные критерии.
Например, на рис. 1.23 и 1.24 все траектории направлены
к началу координат. Разумно было бы считать это опреде-
определяющим качественным свойством, а различие форм траекто-
траекторий полагать несущественным. Тогда мы могли бы утверж-
утверждать, что характер неподвижной точки в том и в другом слу-
случае одинаков. Конечно, ее характер радикально изменился
бы, если бы мы заменили Х\ на —х\ и х2 на —х2. В таком
случае все траектории были бы направлены от начала коор-
координат (см. упр. 22), и качественное поведение решений было
бы совсем другим.
Сопоставим рис. 1.25 и 1.27. Имеют ли неподвижные
точки на них одинаковый характер? В обоих случаях |*i(/)|
стремится к нулю, .когда |лг2(/)| стремится к бесконечности
и только две отдельные траектории приближаются к непо-
неподвижной точке. Да, можно считать, что неподвижные точки
одинаковы. Изменится ли характер неподвижной точки в этих
примерах, если обратить ориентацию траекторий как в пре-
предыдущем примере? Изменение ориентации означало бы, что
оси Х\ и х2 поменялись местами. Однако свойства, выделяю-
выделяющие рис. 1.25 и 1.27 из остальных, при этом сохраняются,
и можно заключить, что характер неподвижной точки не ме-
меняется. Аналогично можно сказать, что рис. 1.26, 1.28 и те,
что получаются из них при изменении ориентации траекто-
траекторий, все имеют в начале координат неподвижную точку од-
одного и того же вида.
Интуитивный подход, примененный нами при рассмотре-
рассмотрении этих примеров, позволил выделить семь различных типов

1.3 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
29
неподвижных точек на рис. 1.23—1.32. На самом деле суще-
существует бесконечно много различных фазовых портретов на
Рис. 1.33. Фазовый портрет для
системы Х\ = х\ (а — Ьх2), х2 =
= — х2 (с — dx\); а, Ь, с, d > 0.
Неподвижные
(eld, alb).
Рис. 1.34. Фазовый портрет для
системы х, = — Xi [ 1 — 3jc|'3 (I —
точки —@, 0) н — *i)/(l +*i)]. x2=x2—3xlxf3X
X (l + Xy); xi, x2 > 0. Неподвиж-
Неподвижные точки — @, 0) и (—, l\
плоскости, имеющих только одну неподвижную точку. Неко-
Некоторые примеры фазовых портретов с более чем одной непо-
Щ
0.
Рис. 1.35. Фазовый портрет для	Рис. 1.36. Фазовый портрет для
•системы Х\ = B — Х\ — 2х2) Х\,	системы xt = sin xt, х2 = — sin x2.
х2 = B — 2*1 — х2) х2. Неподвнж-	Неподвижные точки — (пп, тп);
ные точки — @, 0); B, 0); @, 2);	и, kieZ.
<2/3, 2/3).
движной точкой показаны на рис. 1.33—1.36. Как видно, до-
довольно легко можно получить достаточно сложные семей-
семейства траекторий.

30	1. ВВЕДЕНИЕ
1.4. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НА ПЛОСКОСТИ
Методы, применяющиеся для исследований траекторий
систем вида
xi = Xi (xt, х2); х2 = Х2 (хи х2), (хи х2) е S s R2,
являются прямым обобщением идей, которые использова-
использовались в п. 1.1.
1.4.1. ПОЛУЧЕНИЕ ЯВНЫХ ФОРМУЛ
В п. 1.3 нам удалось построить траектории, изображенные
на рис. 1.23—1.25, решая уравнения системы поодиночке. Это
оказалось возможным потому, что х\ зависело только от хи
а х2 — только от х2. Такая система, в которой каждое урав-
уравнение содержит только одну переменную, называется распа-
распадающейся. Как правило, системы этим свойством не обла-
обладают, и, чтобы свести систему к такому виду, приходится на-
находить новые переменные, в которых система распадается.
Пример 1.4.1. Рассмотреть систему
*1=*2, Х2 = 	Хи	A.30)
фазовый портрет которой изображен на рис. 1.26. Перейти
к полярным координатам на плоскости по формулам
xi = rcos0, x2 = rsin6,	A-31)
соответственно переписать A.30) и затем получить х\ и л*
как функции t.
Решение. Заметим, что
Г2 = Х2 + А.2> tge = XajXit Х1фОг	Aз2)
и продифференцируем эти выражения по t. Получим
2/т = 2x,jc, + 2x2x2, sec2 66 = х~2 (х2хг — i,Jt2). A.33)
Подставляя значения xi и х2 из A.30), мы видим, что
г = 0 и 6 = —1.	A.34)
Эти уравнения можно решать по отдельности и получить
r(t)=Ci и 6(/) = —t-\-C2, где С\ и С2 — некоторые действи-
действительные постоянные. Окончательно, согласно A.31), мы
имеем
xi{t)= С, cos(—t + C2), x2@=C,sin(—* + C2). A.35)

1.4 ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НА ПЛОСКОСТИ	31
Иногда решения удается найти и в случае, когда только одна
из переменных отделяется в одном из уравнений. Такие си-
системы называются частично распадающимися.
Пример 1.4.2. Найти решения системы
Х\ = Х\, Х2 = Х\ -}- Х2	A.36)
и изобразить ее фазовый портрет.
Решение. Систему A.36) можно решить, не вводя новых
переменных. Первое уравнение имеет решения
дс, @ = С,е*.	A.37)
где С\ — действительное число. Подстановка х\ во второе
уравнение дает
x2 = x2 + Clet,	A.38)
а решения A.38) имеют вид
jes@ = e'(Cif+C2)	A.39)
(см. упр. 1.1).
Чтобы нарисовать фазовый портрет, рассмотрим формулы
A.37) и A.39) и заметим следующее:
(a)	Для Ci = К> 0 функция Х\ (t) строго возрастает и
принимает все положительные значения при возрастании t
от —оо до -f-°°.
(b)	Для Ci = К > 0 функция x2(t)-*~0 при t-*	оо;
x2(t)<0 для С^ + С2<0; x2(t) = 0 при С,/ + С2 = О и
Xiilt)-*-оо при f-voo.
(c)	Для Ci = 0 мы получаем решение
xi(t)=O, x2(t)=C2et.	A.40)
(d)	Если Ci = —К < 0, то соответствующая траектория
симметрична одной из траекторий, соответствующих случаю
(а), (Ь), относительно начала координат.
Заметим, что изменение знака х2, приводящее к резуль-
результату (Ь), можно непосредственно увидеть из второй фор-
формулы A.36) — из нее следует, что х2 = 0, когда х2 = —х\.
Кроме того, симметрия, отмеченная в (d), также усматри-
усматривается из вида системы A.36), так как она инвариантна от-
относительно преобразования х«->-—хх, jc2->-—х2 (см. упр. 26)'.
Наконец, мы даем эскиз фазового портрета на рис. 1.37.
В п. 1.3 мы иногда исключаем t из уравнений для xi(t)
и x2(t) и получаем уравнение траектории в непараметриче-
непараметрической форме. Уравнения траекторий часто можно найти, ре-
решая уравнение
dx2 	 х2 	 Х2 (хи х2)	I. ...
dxt — *,•— X, (х,, х2) •	11Л1>

32
1. ВВЕДЕНИЕ
Пример 1.4.3. Рассмотреть систему
Х1=л:2, x2 = *i.	A.42)
Определить dx2/dxi, чтобы найти траектории, и нарисовать
затем фазовый портрет для системы.
Решение. Для системы A.42)
X,
х2
о,
откуда
X ^ ^^2 ^ >
A.43)
A.44)
где С действительное. Это семейство гипербол легко изобра-
изобразить и установить их ориентацию в соответствии с A.42). За-
Рис. 1.37. Фазовый портрет для	Рис. 1.38. Фазовый портрет для
системы x,=Xi, х2 = х1 + Х2.	системы *1=х2) jc2 = Xi. Начало
Пунктиром показана линия х2 =	координат — неподвижная точка.
= — Jti, на которой х2 = 0. На-	траектории являются гиперболами;
чало координат — неподвижная
точка.
метим, что xi(t) и x%(t) при х\, х% > 0 возрастают с ростом f.
Это позволяет установить направление всех траекторий при
Х2 > —Х\. Аналогично, если х\, х2 < 0, то и xi, X2 < 0, что
позволяет получить ориентацию в полуплоскости хг < —Х\.
Фазовый портрет изображен на рис. 1.38.
1.4.2. ИЗОКЛИНЫ
Как и в п. 1.1, иногда необходимо получить фазовый порт-
портрет, когда невозможно записать обозримые явные формулы
для решений. Это можно сделать, обобщив метод изоклин на
случай плоскости. Во всех точках плоскости, где задана век-
векторная функция X: S—»¦ R2, она задает вектор х (векторное

1.4 ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НА ПЛОСКОСТИ	33
поле). Для качественного исследования обычно достаточно
знать направление Х(х). Это направление постоянно на изо-
изоклинах уравнения A.41). Особенно интересны точки, где
dxi/dxi обращается в нуль или в бесконечность, т. е. изо-
изоклины, где х2 = 0 или xi = 0.
Если для любой точки х0е5 и любого /oeR существует
единственное решение x(t) уравнения A.19) такое, что
= xo,	A.45)
то через каждую точку Xo^S проходит в точности одна
траектория. Все примеры, которые мы до сих пор рассмат-
рассматривали в п. 1.3 и 1.4, были именно такими. Если же возни-
возникает неединственность, то обычно она бывает сосредоточена
на некоторых линиях в 5, и только в их окрестности пове-
поведение траекторий не сразу можно определить по виду
функции.
Пример 1.4.4. Найти решения системы
х, = 3жр, х2=1	A.46)
и показать, что через любую точку @, с) (с — произвольное
действительное число) проходит более чем одно решение.
Что означает этот результат для фазового портрета A.46)?
Решение. Система A.46) распадается. Находим явный вид
решений:
Xl{t) = (t+CiK, x2(t)=t + C2.	A.47)
Кроме того, функция Х\ (t) = 0 является решением первого
уравнения, так что система имеет еще решения вида
jci(O = O, x2(t) — t-\-C2.	A-48)
Если в A.47) мы положим С2 = 0, a Ct = —с, то (xt(c),
х2(с)) = @, с). Если же в A.48) С2 — 0, то снова (jci(c),
*2(с)) = @, с). Так как решения A.47) и A.48) различны, то
точка @, с) лежит более чем на одном решении.
Фазовый портрет получаем, изобразив траектории A.47)
и A.48) на рис. 1.39.
Заметим, что все траектории, заданные уравнениями
A.47), касаются оси х2, которая сама является траекторией,
соответствующей уравнениям A.48). Направление на ней
указано стрелками. Теперь уже неясно, что именно мы долж-
должны подразумевать под отдельной траекторией, так как
!(t-af, t<a,
О,	а</<6, x2 = t + C, A.49)
(f — bf, t > b,
также удовлетворяет системе A.46).
2 Зак. 687

34
I. ВВЕДЕНИЕ
В оставшейся части книги мы будем заниматься только
системами, обладающими свойством единственности. В п. 1.1.1
мы указали полезное достаточное условие для выполнения
теоремы существования и единственности — непрерывную
дифференцируемость функции Х(х).
Рис. 1.39. Фазовый портрет для
х, = 3xf3, x2=\. У этой систе-
системы нет неподвижных точек и
траектории касаются оси х2-
1
V
Пример 1.4.5. Нарисовать фазовый портрет системы
*, = х\, х2 = х2 Bх, - х2),	A.50)
не находя явных формул для траекторий.
Решение. Рассмотрим систему A.50) и заметим следую-
следующие ее особенности:
(a)	имеется единственная неподвижная точка — начало
координат;
(b)	векторное поле системы A.50), X {х) = {х\, х2 Bл:,—
— л;2)), удовлетворяет условию Х(х) = Х(—л:). Это значит,
что ее траектории инвариантны относительно преобразова-
преобразования xi-*—х\, Х2-*—хч (см. упр. 26). Поэтому мы сосредо-
сосредоточим свое внимание на полуплоскости х\ ^ 0;
(c)	изоклина к\ = 0 совпадает с осью х2, и для х2 Ф 0
на ней выполняется соотношение х2 = — х\ < 0. Поэтому су-
существует траектория, совпадающая с положительной полу-
полуосью х2 и направленная от начала координат.
Рассмотрим уравнение
— х2)
dx,
A.51)
Уравнение изоклины, соответствующей наклону С, имеет вид
х2 Bх, - х2) = х\- (х, - х2)* = Сх\
или
A.52)

1.5 ПОТОКИ И ЭВОЛЮЦИЯ
35
Это уравнение позволяет нам найти наклон на некоторых вы-
выбранных изоклинах. Например,
(a)	С = 0	на прямых лс2 = 0 и Xj = 2л;,;
(b)	С = 1	на х2 = %х,
(c)	С = 4-	на х2 = A ± 1/V2") *ь
(d)	С = — 3	на х2 = — ^! и х2 = 3jci;
(e)	С = —2	на *2 = (l ±
Рис. 1.40. Информация о системе
х1 = х\, х2 = х2 Bх1 — д;2). Заме-
Заметим, чтоС= 1 на Х2 = Х\\ отсюда
следует, что на этой прямой ле-
лежат траектории, как показано на
рисунке.
Рис. 1.41. Эскиз фазового nopi-
рета для системы A.50). Знак
кривизны траекторий между пря-
прямыми хг = 0 и х2 = Х\ следует
из того, что при Хг > 0 значение
С возрастает с ростом х,.
Ориентация траекторий определяется тем, что х\ > 0 при
xi Ф 0. Полученная информация позволяет изобразить изо-
изоклины на рис. 1.40 и нарисовать фазовый портрет (рис. 1.41).
1.5. ПОТОКИ И ЭВОЛЮЦИЯ
Уравнению
к = X (х),
A.53)
можно дать динамическую интерпретацию: считать х ско-
скоростью точки на фазовой прямой (см. п. 1.2.2). Это позволяет
взглянуть на дифференциальное уравнение и его решения
с новой точки зрения. Можно считать, что уравнение A.53)
задает поток фазовых точек на фазовой прямой. Функция X
задает скорость этого потока при каждом значении xeS.
Решение x(t) уравнения A.53), удовлетворяющее усло-
условию x(to) = xo, определяет эволюцию фазовой точки, которая
в момент t = ?о занимала положение х0} т. е. ее прошлые
2*

S6
1. ВВЕДЕНИЕ
(при t < to) и будущие (при t > t0) положения. Эту идею
можно формализовать, введя функцию ф*: S-+S. Такая функ-
функция называется фазовым потоком или оператором эволюции.
Термин «оператор эволюции» обычно употребляется в при-
приложениях, где ф( описывает изменение состояния некоторой
реальной физической системы во времени. Термин «поток»
чаще употребляется в случае, когда изучается динамика
в целом, а не эволюция данной конкретной точки.
Функция щ переводит точку х0 <= S в точку (ft (л:0), полу-
полученную из х0 за время t продвижением по интегральной кри-
кривой уравнения A.53), проходящей через х0. Ясно, что для
того, чтобы функция ф( была определена, необходимо, чтобы
х=х0 Рис. 1.42. Интегральные кривые
для х = — (х2 — 1). Заметим, что
* * ° решения Sj (t) и т] (<) удовлетво-
[ют условиям ? (<0 = п (<г) = ¦
У
/eR.
для уравнения была справедлива теорема существования
и единственности. Точка <pt(x0) для любого решения x(t)
уравнения A.53), обращающегося в х0 для t — t0, совпадает
с x(t-±-t0). Это свойство проиллюстрировано на рис. 1.42;
оно связано с тем, что решения автономного уравнения
можно получить одно из другого сдвигом вдоль оси t. Таким
образом, решение уравнения х = Х(х) такое, что x(to) = xo,
задается формулой
*@ = Ф»-|„Ы-	0-54)
Решение уравнения х = ах представляет собой простей-
простейший пример формулы A.54). В этом случае
x(t)=exp(a(t — to))xo,	A.55)
так что действие оператора <pt_( заключается просто в умно-
умножении на exp(a(f — rfo)). Однако такой простой вид опера-
оператор эволюции имеет только для линейных уравнений. Дей-
Действительно, знание оператора q>t эквивалентно умению ре-
решать уравнение A.53), и поэтому определение оператора
встречает такие же трудности.
Оператор ф< обладает следующими простыми свойствами,
вытекающими непосредственно из определения. Из свойства

1.5 ПОТОКИ И ЭВОЛЮЦИЯ	37
единственности мы получаем, что
ф5+,(х) = ф5(ф((х)); s, /eR,	A.56)
если только и левая, и правая части равенства определены.
В частности,
% (ф_* (*)) = Ф_, (ф, (*)) = Ф„М = х,	A.57)
ФГ' = Ф_г	(!-58)
Для потока, заданного формулой A.55), соотношения A.56)
и A.58) немедленно следуют из свойств экспоненты. Однако
бывает, что эти соотношения не столь очевидны.
Пример 1.5.1. Найти оператор эволюции ф* для уравнения
х = х — х2.	A.59)
Проверить для этого примера свойство A.56).
Решение. Решения уравнения A.59) задаются формулой
для х Ф 0, х ф 1. Тогда
где К = ±ес, и, таким образом,
x{t) =№/{№ — 1).	A.61)
Если мы положим х = х0 при t = 0, то из A.61) получим,
что К = хо/(х0— 1) и
)	A.62)
для всех действительных t и х0 ф 0, jco#=1. В формуле
A.60) точки х = 0их=1 исключаются, так как для интер-
интервалов, влючающих эти точки, интеграл не определен. Однако
из A.59) видно, что эти точки являются неподвижными точ-
точками уравнения, т. е. что
Ф,@) = 0, Ф<A) = 1	A.63)
нный в виде A.62), также
что мы можем положить
t — x+l)	A.64)
для всех ieR. Поток ф* записанный в виде A.62), также
обладает этими свойствами, так что мы можем положить
для всех действительных х я t.

38	1- ВВЕДЕНИЕ
Для проверки основного свойства A.56) оператора эво-
эволюции заметим, что
A-65),
где х\ = (pt(x). Таким образом,
4>s (Ф* (х)) = ххе*/ (Xles — xi 4- 1),	A -66)
причем
*/(' +1).	A.67)
Подстановка A.67) в A.66) дает
. A-68)
В п. 1.1 мы видели, что решения уравнения х = Х(х) мо-
могут быть не определены для всех действительных t. Следую-
Следующий пример показывает, как это сказывается на области onj
ределения cpt(x).
Пример 1.5.2. Найти оператор эволюции ф< для уравнения
х = х2	A.69)
и для всех действительных х указать интервал изменения t,
на котором он определен.
Решение. Решения A.69) даются формулой
A.70)
где С—постоянная; это равенство выполняется на любом
интервале, не содержащем х = 0. Если х = х0 при t = 0, го
С= — х~\ и мы получаем
х (t) = xQ/( 1 - X(f), t ф х-К	A.71)
В терминах оператора эволюции равенство A.71) означает,
что
Ф,(*) = х/A—*0,	A-72)
для ненулевых значений х. Как и в примере 1.5.1, оператор
(ft(x), заданный формулой A.72), действует также при
х = 0, т. е.
ф(@)= 0 для всех действительных t.	A.73)
Справедливость выражения A.73) видна из уравнения A.69),
для которого х = 0 — неподвижная точка. Таким образом,
формула A.72) справедлива для всех действительных х.

1.5 ПОТОКИ И ЭВОЛЮЦИЯ	39
Однако оператор (pt(x) определен не для всех t\ рассмотрим,
например, A.72) для t=.x~x. На самом деле интервал, где
определен оператор (pt(x), следующим образом определяется
по значению х:
(a)	х > 0: вся эволюция точки х определяется формулой
A.72) для —оо < t < х-1;
(b)	х = 0: из A.73) видно, что ф?@) существует для
— оо < t < оо;
(c)	х < 0: снова эволюция описывается формулой A.72),
НО ДЛЯ ХГ1 <. t <. ОО.
В случае (a) cpt(x) возрастает от сколь угодно малых
значений при больших отрицательных t; принимает значе-
значение х при ( = 0 и стремится к бесконечности при t-*-xrx.
Аналогично в случае (с) (pt(x) принимает сколь угодно боль-
большие отрицательные значения при t, близких к х~1; с ростом t
величина (pt(x) строго возрастает и стремится к нулю при
t-+cx> '(см. рис. 1.15).
Такую же роль играет оператор эволюции на плоскости.
Из автономности уравнения A.19) и в этом случае следует,
что решения можно получить одно из другого сдвигом вдоль
оси t\ оператор cpt(x) переводит точку х в точку, полученную
движением по траекториям уравнения A.19) за время t, т. е.
ф(: R2—>-R2. С этой точки зрения траектория, проходящая че-
через точку х, есть множество точек {ф( (ж): t e R}, ориентиро-
ориентированное по возрастающим t. Как мы увидим в гл. 3 и 5, такое
описание решений может оказаться более целесообразным.
В п. 2.5 дадим общий метод получения оператора эволю-
эволюции для, линейных систем на плоскости; этот оператор за-
задается 2Х2-матрицей. Например, решения системы xi = —xit
х2 = —2*2, которые имеют вид
х,(*) = С,е-', x2(t) = C2e-*,	A.74)
можно записать как
Г xt (t) 1 Г е-' 0 I Г С, 1
UwHJ r-JUJ-	A75)
откуда следует, что
е* 0
является оператором эволюции для данной системы.

40	1. ВВЕДЕНИЕ
УПРАЖНЕНИЯ
К п. 1.1
1. Показать, что дифференциальное уравнение
можно записать в виде
где Р (<) = \ р (t) dt. Функция е ' ' называется интегрирующим множите-
множителем для этого уравнения.
Применить это преобразование для решения следующих уравнений:
(а) х = х — t; (b) x = х + el\
(с) х= — х ctg < + 5<?cos',
2 Дифференциальное уравнение
называется уравнением с разделяющимися переменными, так как реше-
решение, проходящее через точку (to, x0) плоскости t, x, задается формулой
(если только эти интегралы существуют). В этом соотношении перемен-
переменные х п t разделены. Применить эту формулу к решению уравнений:
(а) х = xt\	(b) x = — x/t, t ф 0;
(с) x=— t/x. хФО, (d) x = — x/tht, t=?0.
3. Дифференциальное уравнение вида
M(t, x) + N(t, x)x = 0
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функ-
функция F(t, х) с непрерывными производными до второго порядка такая, что
dF/dt з= M(t, x), dF/dx з= N(t, x). Показать, что для существования та-
такой функции необходимо, чтобы
дМ _ 3N
дх ~ dt '
и что любое решение дифференциального уравнения удовлетворяет соот-
соотношению
F (t. х) = const.
Показать, что уравнение
+
= 0, t,x>0.
является уравнением в полных дифференциалах. Найти F(t, x) и начер-
начертить несколько интегральных кривых.

УПРАЖНЕНИЯ	41
4 Найти путем интегрирования решения следующих дифференциальных
уравнений:
(а) * = х2:	<Ь> * = Т*3;
(e) x = Vl —¦ *2 • 1*1^1: Ш x"
Уравнения (е) и (f) определены в замкнутцх областях D =
= {(.t, x) | \x\ ^ 1} и D = f(/, x) | л: 5s 0} соответственно. В силу пред-
предложения 1.1.1 их решения обязаны существовать в открытых областях
D' = {(t, х) | \х\ < 1} и ?>' = {(/, ж) | х > 0}. Существуют ли решения,
которые вы нашли, на границе областей D?
5.	Показать, как можно построить бесконечно много решений, удовлетво-
удовлетворяющих начальному условию х@) = 0, для уравнений (d) и (f) упр. 4.
Можно ли сделать то же самое для решений упр. 4(е), удовлетворяющих
начальным условиям: (а) х@) = 1, F) х@) = —1? Объясните ваш ответ.
6.	Пусть дифференциальное уравнение х = X(t, x) обладает свойством
X(t, х) = Х(—/, —х). Доказать, что если х = |(/)—решение, то л =
= —!;(—t)—также решение. Получить аналогичные результаты о сим-
симметрии решений для случаев: (a) X(t, х)=—Х(—/, х), (b) X(t, x) =
= —X(t, —х). Какие из указанных видов симметрии встречаются на
рис. 1.1—18?
7.	Дифференциальное уравнение вида
x = h(t, x)	A)
называется однородным, если для функции h(t, x) выполняется тождество
h(at, ax) = h(t, x) при всех действительных а. Показать, что изоклинами
такого уравнения всегда являются прямые, проходящие через начало ко-
координат на плоскости t, x. Использовать этот результат для изображения
интегральных кривых уравнения
х = ex/t, t Ф 0,	B)
Показать, что замена переменных х = ut позволяет свести A) к
уравнению с разделяющимися переменными (упр. 2) относительно функ-
функции (/ при t Ф 0. Можно ли с помощью этого результата получить семей-
семейство интегральных кривых для B)?
8.	Нарисовать семейство интегральных кривых решений
х = ах — bx2, x>0, a, b > 0.
Определить вид интегральных кривых непосредственно из дифференциаль-
дифференциального уравнения. Доказать, что х возрастает при 0 < х < а/2Ь и убывает
при а12Ь < х < alb. Как ведет себя х при alb < х < оо?
9.	Показать, что подстановка у = х~\ х Ф 0, позволяет привести урав-
уравнение
х = ах — Ьх2
к виду, описанному в упр. 1. Решить это уравнение и показать, что
х (t) = ахо/{Ьхо + (а — bx0) exp (— a {t — t0))},
где х (to) = x0. Проверить, согласуется ли чертеж, полученный в упр. 8,
с этой формулой. Можно ли из нее получить какие-нибудь качественные

42	1- ВВЕДЕНИЕ
свойства решений, которые ие получаются непосредственно из вида диф-
дифференциального уравнения?
10.	Начертить интегральные кривые для дифференциальных уравнений:
(а) х = х2 — t2 — I;	(b) x = t — t/x, хфО;
(c)	х = B/ + x)/(t — 2х), t ф 2х. (d) х = х2 + t2-
пользуясь изоклинами и областями выпуклости и вогнутости.
11.	Не находя явного вида решений, построить изоклины и нарисовать
семейство решений следующих дифференциальных уравнений:
(а) х = х + U (Ь) х = х3 — х;
с) х = xt2; (d) x = х In x, x> 0;
е) х = sh x; {f) x = t(x+ l)/(t2 + 1).
Какие общие геометрические свойства имеют решения уравнений (b), (d)
и (е)? Наконец, проверить полученные результаты, найдя явный вид ре-
решений.
К п. 1.2
12.	Найти неподвижные, точки следующих автономных дифференциальных
уравнений:
(а) х = х + 1;	(Ь) х — х — х3; (с) х = sh (x2);
(d)	х = х4 — х3 — 2х2; (е)х = л;2+1.
Определить характер этих неподвижных точек (аттрактор, репеллер,
шунт) и построить фазовый портрет для каждого уравнения.
13.	Какие дифференциальные уравнения из приведенного ниже списка
имеют одинаковый фазовый портрет?
a > 0; (с) * {
@,
(d) х = sin х\ (е) х = х3 — х;	(f) л: = th x.
Объяснить своими словами, что значит, что два дифференциальных урав-
уравнения имеют одинаковый фазовый портрет.
14.	Рассмотреть дифференциальное уравнение, зависящее от параметра X:
х = (х — К) (х2 — К), Xe=R.
Найти все возможные фазовые портреты, которые можно получить для
этого уравнения, а также интервалы изменения параметра X, соответ-
соответствующие каждому из портретов.
15.	Сколько различных качественных типов фазовых портретов существует
на фазовой прямой для дифференциального уравнения с тремя неподвиж-
неподвижными точками? Какова формула для числа различных фазовых портретов
в случае п неподвижных точек?
16.	Показать, что фазовый портрет уравнения
х = (а - х) (Ь - х)
качественно такой же, как и для уравнения
У = У (V — с)

УПРАЖНЕНИЯ	43
для всех действительных а, Ь, с, а Ф Ъ, с Ф 0. Показать, что тем ие менее
преобразование вида у = kx + /, переводящее первое уравнение во второе,
существует, только если с — Ъ — а или с — а — Ъ.
17.	Рассмотреть дифференциальное уравнение
х = х3 + ах — Ь.
Показать, что на плоскости a, b существует кривая С, разделяющая пло-
плоскость на две области А и В такие, что при (а, 6)еД фазовый портрет
имеет один репеллер, а если (а, Ъ) е В, то он имеет два репеллера и один
аттрактор между ними. Пусть зафиксировано некоторое а < 0; описать
изменения в конфигурации неподвижных точек, когда Ъ меняется от —оо
до +оо.
18.	Вещество у образуется в результате химической реакции между ве-
веществами а и р. В этой реакции один грамм вещества у возникает при
соединении р граммов а и q = 1 — р граммов р. Скорость образования у
в любой момент времени t равна произведению масс а и р, ие вступивших
еще в этот момент в реакцию. Показать, что если в момент / = 0 соеди-
соединить а граммов а к Ъ граммов р, то количество x(t) вещества у при />0
будет удовлетворять уравнению
х = (а — рх) (b —qx).
В предположении, что а/р > b/q, построить фазовый портрет для этого
уравнения. Какое наибольшее количество вещества y может возникнуть в
результате этого эксперимента?
К п. 1.3
19.	Найти неподвижные точки следующих систем дифференциальных урав-
уравнений на плоскости:
(a)
(с)
(e)
20.
*>
a.
Xi
x2
XX
*2
= xx (a — bx2).
= - x2 (c - dxx).
b, c, d> 0:
= *2,
= sin x\.
= cos x2.
Нарисовать следующие
метрически:
(a)
(с)
(e)
(X
(*
(X
,, X2) = (a cos /, a sin
1. *г) = \ae , be * );
ь X2) = (ae' + fce2'. 6
(b)
(d)
Xx 	 ^2,
х2 — — sin xx'.
Xx — Xx B — Xi — 2x2),
i" —^ y /0 —^ 9 v —^ v \"
2 2 \ 1 2/'
семейства кривых на плоскости
0;
(b) (xi, x2) = (a cos t, 2a
(d) (x,, x2)=(ae' + fce-
, заданные пара-
sin 0;
, ae — be );
где a, fc e R. Найти системы дифференциальных уравнений на плоскости,
для которых эти семейства дают фазовый портрет.
21. По чертежам, сделанным для упр. 20, расклассифицировать семейства
кривых (а)—(е) по группам, имеющим в начале координат иа плоскости
Xt, х2 неподвижные точки одинакового типа.

44	•• ВВЕДЕНИЕ
22.	Рассмотреть фазовый портрет для системы
xt = X, (xi, х2), Хг = Х2(хи х2).	A)
Показать, что система вида
$\— — Х\ (У\, Уг), У2 = — Х2 (#,, у?)
имеет в качестве траекторий те же самые кривые, но с противоположной
ориентацией. Проверить этот результат, построив решения для
(a) X|=x,, (b) xi=x,,
Xi = х2,	Xi = 2лг2
и сравнить чертежи с рис. 1.23 и 1.24.
К п. 1.4
23.	Показать, что система
Х\ — Х%, Х2 === Х\
превращается в распадающуюся, если сделать замену переменных
*1 = У\ + У2, Х2 = У\— У2-
Построить фазовый портрет для этой системы.
24.	Показать, что решение системы дифференциальных уравнений
Xi = — 2х\, Xi = Xi — 2xit
удовлетворяющее начальным условиям Xi@) = 1, х2@) =2, дается фор-
формулами
Xl(t) = e-2t, x2(t) = e~2t(t + 2).
Доказать единственность этого решения.
25.	Рассмотреть систему нелинейных дифференциальных уравнений перво-
первого порядка.
х1 = — x2 + x{(l — х2 — xl), х2 = х{ +x2(l — х\ — л|). A)
Сделать замену переменных xt = г cos 6, хг = г sin 6 и показать, что си-
система A) эквивалентна системе
r = r(l-r2), ё=1.	B)
Решить систему B) с начальными условиями г@) = г0, 6@) = во и по-
получить решения
г U) = ro/[r2 +(l-r2) e~2t\l\ B(t) = t + e0.
26.	(а) Пусть автономная система
x = X(x)	A)
инвариантна относительно преобразования х -*¦ —х. Показать, что если
|(/) удовлетворяет A), то и r\{t) =—1@ также удовлетворяет этой си-
системе.
(Ь) Пусть теперь X удовлетворяет условию Х(х) = Х(—х). Пока-
Показать, что в этом случае, если |(/) является решением A), то ч(/) =

УПРАЖНЕНИЯ
= —^(—t) —также решение. Проиллюстрировать результаты для случаев
(а) и (Ь) иа примере траекторий %(t) и r\(t) для систем;
(i) л:, = л;1, х2 = хх + х2; (\i)x{=x\, х2 — х%
27. (а) Рассмотреть неавтономное уравнение
* = X(t,x),	A)
которое уже встречалось в п. 1.1. Сделать замену х\ = t, хг = х и по-
показать, что A) эквивалентно автономной системе
(Ь) Сделать замену переменных Xi = х, х2 = х и показать, что любое
уравнение второго порядка х = F(x, х) эквивалентно автономной системе
Воспользоваться этими соображениями и привести следующие урав*
нения к эквивалентным автономным системам первого порядка:
(i) x = x — t;	(ii) x = xt: (iii) Je+ sin x = 0:
(iv) x + lax + bx = 0; (v) JE + /(«)* + g (*) = 0.
Показать, что в случае (Ь) указанная замена не единственно возмож-
возможная, сведя уравнения (iv) и (v) к системам заменой
28.	Привести следующие уравнения к автономным системам первого по-
порядка с соответствующим числом переменных:
(а) х + х = 1, у + у + у = О; (Ь) * + < = *, y + y^ = t;
(с) ic + tx + 1 = 0, # + /2х2 + * + у = 0.
29.	С помощью метода изоклин нарисовать фазовые портреты следующих
систем:
(а) *, = х, + х2, х2 = х\; (b)i{=x% x2 = xv—x\,
(С) Xi = ltl Xi, Xi — Xiy Xi > 0.
30.	Каждая из приведенных ниже систем дифференциальных уравнений
на плоскости имеет одну неподвижную точку. Найти эту неподвижную
точку и с помощью метода изоклин определить, какие из этих систем не
имеют замкнутых траекторий на своем фазовом портрете:
(а) х, = х2 — 1,	(b) xi = Xi + xit (с) xi = х, — х2,
is — — (Xi — 2)	х2 = х,:	i2 = Xi + Xi
Проверить полученные результаты, решив уравнения dx^/dxi = х^/х,.
31.	Рассмотреть дифференциальное уравнение
х + х2 + х = 0.	A)
Применить результаты упр. 27 (Ь) и свести его к системе первого поряд-
порядка. Показать, что изоклина наклона /;
S'k = U*i. х2) | х2 = кх,}

46	1. ВВЕДЕНИЕ
является параболой с вершиной (ft2/4, —ft/2) и эти вершины лежат иа
параболе х| = *,. Сделать замену x\ = w и найти х2 как функцию хи а
затем нарисовать фазовый портрет уравнения A).
К п. 1.5
32. Показать, что оператор эволюции дифференциального уравнения х =
= х — хз при х > 1 дается формулой
щ (х) = xe'/V*2^' — x2+l.
Проверить свойство <ps («р^ (х)) = <ps+< (х).
33.	Найти операторы эволюции для дифференциальных уравнений:
(а) х = th х\ (Ь) х = х In х, х > 0.
34.	Найти операторы эволюции для следующих систем:
(a) xl=xl, х2 — х1—х2', (fc) xl=xix2, x2 = x\.
Найти интервалы времени, на которых эти операторы определены, и про-
проверить свойство ф,+г(лг) = Ф((ф»(д:)), если i, s и t + s принадлежат од-
одному и тому же интервалу определенности.
35.	Пусть оператор <р< описывает некоторый поток на плоскости. Изобра-
Изобразить фазовые портреты на плоскости, имеющие не более двух неподвиж-
неподвижных точек и удовлетворяющие следующим условиям:
{a) lim ф< (х) — 0 для всех точек х на плоскости;
(b)	существует точка х0 такая, что lim ф* (*0) = lim ф^ (х0) = 0;
<-*оо	t->— оо
(c)	lim Ф< (*) = 0 для всех точек х на плоскости;
<-»-<х>
(d)	существует траектория, проходящая через некоторую точку хв такая,
что lim <р/ (*о) = 0, и траектория, проходящая через точку *0 такая, что
lim <pt(x'0)=0.
Х-> — оо
36.	Пусть задано дифференциальное уравнение х = xt, x, t ^ 0; доказать,
что в этом случае эволюция точки, находящейся в положении х0 в мо-
момент tQ, зависит не только от х0 и / — to, как в автономном случае, а за-
задается формулой

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Система х = X (х), х е R", называется линейной систе-
системой размерности я, если отображение X: Rn—>R" линейно.
Мы покажем, что для линейных систем существует только
конечное число качественно различных фазовых портретов.
Чтобы установить это, мы сначала изучим, как на такую си-
систему влияет линейная замена переменных.
2.1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Линейное отображение X: R"->R", где R" = {(xb ...,xn)\
xfe R, /= 1, ... п], можно записать в матричной форме:
Х1(х1, ..., хп)
Х(х) =
_Хп(х1, ..., хп) _
а1п
an
B.1)
Соответственно дифференциальное уравнение х = Х(х) при-
принимает вид
х = Х(х) = Ах,	B.2)
где А — матрица коэффициентов. Каждая компонента Xi
(i=l, ..., п) производной х является линейной функцией
леременных х\, ..., хп. Эти переменные, конечно, являются
просто координатами точки х = (xlt ..., хп) относительно
канонического базиса в R", т. е. {е/}"=1, где е, = @, ..., 0,1,
О, ..., 0) с единицей на i-u месте. Следовательно,
х = ? xtet и AT (х) =
X
B.3)
Чтобы сделать замену переменных, мы должны каждую
координату Xi (i = 1, ..., п) представить как функцию новых
переменных. Посмотрим, какое влияние на уравнение B.2)
окажет линейная замена переменных
в
х, =
(« = 1> - • •> «) или
Му,
B.4)

48	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
где тц e R для всех i и /. Конечно, одному набору старых
координат (х\, ..., хп) должен соответствовать один набор
новых координат (у1г ..., уп) и наоборот. Это значит, чго
отображение B.4) должно быть взаимно однозначным, и, сле-
следовательно, М должна быть обратимой матрицей. Отсюда
следует, что столбцы т;, /= 1, .... п, матрицы М должны
быть линейно независимы. Из формулы B.4) вытекает, что
п
х = ? у mi,	B.5)
и мы видим, что ух, ..., уп — это координаты точки xeR"
относительно нового базиса {пгг}"=1- Уравнение B.2) легко
можно записать через новые переменные;
получим
х = My = AMy,	B.6)
так что
У = Ву,	B.7)
где
В = М~1АМ.	B.8)
Таким образом, матрица коэффициентов В подобна А.
Пример 2.1.1. Система
xi = х2, хч = xi	B.9)
преобразуется в распадающуюся систему
У\ = Уи h = —f/2	B-10i
заменой переменных
х2 = у1—у2.	B.11)
Проверить на этом примере уравнение B.8).
Решение. Запишем системы в матричной форме:
Таким образом,
ГО 11	Г! !1	Г 1
Из равенства AM = MB следует B.8).

2.1. ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ	49
Пример 2.1.2. Найти матричную форму системы
х, = xi + 2х2, х2 = 2х2	B.12)
в результате замены переменных
xi=yi + 2y2, x2 = y2.	B.13)
В каком базисе уи у2 являются координатами точки х?
Решение. Замену переменных B.13) можно записать
в виде
[х\ 1 Г * 2 1 Г ух 1
х \= 0 1 \\и\'	B14)
¦*2J LU i л\- У2 л
так что
Г 1 21
М=|о х\.	B.15)
Система B.12) имеет матричную форму
2
Уравнения B.7), B.8) дают-
1 ]у = Ву;	B.17)
это и является искомой матричной формой. Базис, в котором
yi и у2 являются координатами, состоит из столбцов матрицы
М, т. е. из векторов {A, 0); B,1)}.
Подобие является отношением эквивалентности между
я X «-матрицами (см. упр. 2); отсюда следует, что множе-
множество таких матриц по этому отношению распадается на классы
эквивалентности. Для любых двух матриц Л и В, принадле-
принадлежащих одному классу эквивалентности, системы х = Ах
и у = By связаны соотношением х = My, где М~1АМ = В.
Таким образом, если одна из этих систем решена, то можно
получить решения для любой системы с матрицей того же
класса.
В п. 1.4.1 мы видели, что можно легко решить распадаю-
распадающиеся и полураспадающиеся системы; естественно поставить
вопрос, каждый ли класс эквивалентности содержит по край-
крайней мере одну относительно простую, т. е. диагональную или
треугольную, матрицу. Ответ на этот алгебраический вопрос
известен; в следующем параграфе мы его проиллюстрируем
для п = 2.

50	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
2.2. КЛАССЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ 2 X 2-МАТРИЦ
Для каждого целого положительного числа п существует
бесконечно много классов подобия. Эти классы можно сгруп-
сгруппировать в конечное число типов. В следующем предложении
мы укажем эти типы для п = 2.
Предложение 2.2.1. Пусть А — действительная 2Х2-мат-г
рица. Тогда существует действительная неособая матрица М
такая, что / = М~*АМ принадлежит одному из нижеперечис-
нижеперечисленных типов:
"An 0 1
B.18)
Г А, 0 1	Г Яо
«По «.W* (b)Lo
гяо11	Г«—PI
(с>[о J'	(Пе «j-
где Аэ, Ки к2, а> PeR.
Матрица / называется жордановой формой матрицы А.
Собственные значения матрицы А (и J) — это значения К,
для которых
Здесь tr А = аи+ ci22 — след матрицы A, a det А = аца22 —
— «12^21 — ее определитель. Таким образом, собственными
значениями являются
B.20)
где
A = (trAJ — Met A.	B.21)
Именно характер собственных значений определяет тип, к ко-
которому относится матрица /. Жорданова форма / зависит от
вида собственных значений, являются ли они действитель-
действительными различными (Д>0), действительными совпадающими
(Д = 0) ') или комплексными (Д < 0).
(а) Действительные различные собственные значения (Д >
>0)
Собственные векторы щ, и2 матрицы А определяются из
уравнений
Ah (i =1,2),	B.22)
где Ль %2 G-1 > Яг) — различные собственные значения. Пусть
М = [щ\щ{	B.23)
') При Д = 0 возможны две разные жордановы формы: (Ь) и (с).—
Прим. перев.

2.2. КЛАССЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ 2Х2-МАТРИЦ	51
— матрица, столбцами которой являются собственные век-
векторы. Тогда
AM = [Aax j Аи2] = [мщ \ К2щ\ == Ml,	B.24)
где
L о a,J
В случае различных действительных собственных значений
собственные векторы щ и и2 линейно независимы и, следова-
следовательно, матрица М неособая. Так что
ГА,. 01
=М=[* J.	B.25)
J
(Ь) Совпадающие собственные значения (А = 0)
Из уравнения B.20) получаем, что ^ = Л2 = -5-tr А = %й.
В этом случае мы должны рассмотреть две возможности.
(/) Матрица А диагональная
что соответствует случаю B.18(Ь)). Здесь для любой неосо-
неособой матрицы М мы имеем М-1 AM = А. Следовательно, А
подобна только самой себе и является единственной в своем
классе эквивалентности.
(и) Матрица А недиагональная
В этом случае, так как Я,1 = Я,2 = Яо, rank (А — %J) = 1
и не существует двух линейно независимых собственных
векторов. Пусть и0 — некоторый собственный вектор А. Если
мы положим Ш\ = щ и выберем /п2 так, чтобы матрица
М = [и0 i Щ] была неособой, то
AM = [Яоио | Апц] = М [Лов! i M~l Am2],	B.27)
где е\ — первый столбец единичной матрицы /.
Матрицы А и М~1АМ имеют одинаковые собственные зна-
значения, так что
о J-	B-28)
где С ф 0. Однако простой переход от М к
Г 1 0 1
ЛГ, = Л* [ 0 C_,J	B.29)

52	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
дает
что соответствует случаю B.18(с)).
(с) Комплексные собственные значения (А < 0)
Мы можем обозначить А,] = а + Ф, А,2 = а — ф, где
<x = -|-trA, P = -|-V—А. Мы хотим показать, что существует
неособая матрица М[т.]\1щ\ такая, что М~]АМ имеет вид
B.18(d)), или, что равносильно,
a ]'	*20*
Записав матрицу М через ее столбцы, получим
\АШ\I Ат2] = [шщ -|- pm2 i — pmi + am^,
или
[(А — a/) m, — р/т8! р/т, + (А — а/) т2] = [О \ О]. B.31)
Это матричное уравнение можно записать как систему четы-
четырех линейных однородных уравнений относительно неизвест-
неизвестных элементов матрицы М:
[А — a/ i — р/ 1 Г oi!  Г О 1
	!	 - = - -	B32)
р/ lA-a/JLmaJ LOJ
Пусть Р — матрица коэффициентов в B.32), а
Г А - а/ ! р/ 1
<?=	•	B-33)
L - р/ { А - a/ J
Заметим, что
Г
=
L
О \рА(АI
B.34)
где рл (Я,) = Я,2 — 2аЯ, + (а2 + р2) — характеристический поли-
полином матрицы А. По теореме Кэли — Гамильтона (Хартли,
Хокс, 1970) (см. также (Кострикин, 1977*).—Перев.) рд{А)= О
(см. упр. 7), так что
PQ = О;	B.35)
здесь О — нулевая 4Х4-матрица. Таким образом, столбцы
матрицы Q являются решениями уравнения B.32). Первый

2.2. КЛАССЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ 2Х2-МАТРИЦ	53
столбец Q дает
pi
0}
Заметим, что дискриминант Д уравнения рд(%) = О имеет вид
Д = (ац — а22J + 4а12а21.	B.37)
Если Д < О, то ai2«2i ?= 0 и, следовательно, G21 =И= 0. Тогда
и Р = -?- д/~ Д т^ 0, и мы получаем, что det Af = pa2i =# 0.
Таким образом B.36) дает неособую матрицу Af такую, что
М-1 AM имеет вид B.18(d)).
Любая действительная 2 X 2-матрица А попадает в один,
и только один, из указанных в B.18) классов (см. упр. 6),
и предложение 2.2.1 доказано.
Рассмотрим некоторые простые примеры, иллюстрирую-
иллюстрирующие этот результат.
Пример 2.2.1. Найти жорданову форму для каждой иэ
следующих матриц:
121	Г 211	Г 3 —
j ( } (l
Решение. Собственные значения Я-i, Х2 для матриц (а) —
(с) равны A+V2, 1 —V2)» C + t,3 — t) и B,2) соответ-
соответственно. Это значит, что жордановы формы имеют вид
14, 0 1 T1+V2
(аЧо кГ[ о i
fa — Р"| ГЗ — 1 1
(ьЧр «Hi 3J:
Заметим, что для B.38(с)) мы взяли вид B.18(с)), так как
исходная матрица — недиагональная.
Пример 2.2.2. Найти матрицу М, которая каждую матрицу
из примера 2.2.1 приводит к соответствующей ей жордановой
форме.
Решение. Матрица (а) имеет различные действительные
собственные значения, так что в качестве столбцов М можна
взять два соответствующих им собственных вектора. Вектор
Ui = {u\\U2\)T (T — знак транспонирования) удовлетворяет

54	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
уравнению [А — A + -\/2) I] щ = О, откуда ии ^2 = 2«2i Мы
можем взять Mi = (V2, 1)г- Аналогично в качестве вектора,
соответствующего А2 = 1 — л/2, можно выбрать ( — л/2,
\)т. Таким образом,
Г л/2 - л/21	Г 1 21	Г 1+ л/2 О 1
i 1 и Li iJ L о 1-V2J
Матрица (b) имеет комплексно сопряженные собственные
значения 3 + t, 3 — i и уравнение B.36) дает явный вид М.
В нашем случае
о]'
M = L-2
и можно проверить, что
Г 2 П .	ГЗ -1
L-2
Наконец, матрица (с) имеет равные собственные значения,
и единственный собственный вектор A, 1)г можно получить
из уравнения
Это дает нам первый столбец матрицы М. Если второй стол-
столбец М выбран так, что она неособая, то с ее помощью мат-
матрицу (с) можно привести к треугольному виду. Например,
положим
-1
11
Л'
в этом случае det M = 1 и
3 — 11	Г 2 — 1
2
]
Эта матрица не является жордановой формой, указанной
в B.38(с)); однако, если мы заменим Af на Мь как это сде-
сделано в B.29), т. е.
01 П — П
j [
то мы получим нужный результат с /
Г2 1]

2.3. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ	55
Жорданову форму матриц размерности, большей чем 2У
мы рассмотрим в п. 2.7, но сначала постараемся понять зна-
значение полученных результатов для систем на плоскости. Мы
можем сделать следующие выводы:
(a)	любую двумерную линейную систему
х = Ах	B.39)
можно свести к эквивалентной ей канонической системе
y=Jy,	B.40)
где / = Мг^АМ — жорданова форма матрицы А и
х = Му;	B.41)
(b)	жорданова матрица J должна принадлежать одному
из четырех типов, указанных в предложении 2.2.1.
Теперь мы можем найти решения для любой системы вида
B.39), если мы решим соответствующую каноническую си-
систему B.40) и применим преобразование B.41).
2.3. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ПЛОСКОСТИ
Линейная система х = Ах называется простой, если мат-
матрица А неособая, т. е. detA=?O и Л не имеет нулевых соб-
собственных значений. Тогда единственным решением уравнения
Ах=О	B.42)
является х = О и система имеет единственную изолирован-
изолированную неподвижную точку в начале координат фазовой пло-
плоскости. Каноническая система, соответствующая простой ли-
линейной системе, также является простой, так как А и Т
имеют одинаковые собственные значения.
2.3.1. ПРОСТЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
(а) Различные действительные собственные значения
В этом случае J задается формулой B.18(а)) с ненуле-
ненулевыми К\ и h2- Тогда
У\ = hyu Уч — ^2У2,	B.43)
и, следовательно,
yl{t) = CleM, ya{t) = C*V,	B.44>
где Си С2 е R.

56
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Если Xi и Я,2 одного знака, то фазовые портреты имеют
вид, изображенный на рис. 2.1 (а) и (Ь). Неподвижная точка
в начале координат плоскости у\, у2 называется узлом. Если
все траектории направлены к началу координат (от него), то
Уг /
\
Рис. 2.1. Различные действительные собственные значения одного знака
порождают узлы' (с) — неустойчивый (Xi > Я2 > 0); (Ь) — устойчивый
<Л2 < Я, < 0).
Рис. 2.2. Действительные собственные значения противоположных знаков
(Л2 < 0 < К\) порождают седло.
узел называется устойчивым {неустойчивым). Форма траек-
траекторий определяется отношением у = A,2/Xi. Заметим, что из
B.43), B.44) следует уравнение
B.45)
йуъ	 „ v-i
где /С = уС2/С\. Следовательно, при г/i —>- О
dy2 ГО, если y> 1»
dyi \ оо, если у < 1.
Если %\ и fa имеют противоположные знаки, то возникает
фазовый портрет, изображенный на рис. 2.2. На осях коорди-
B.46)

2.3. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
57
нат (исключая начало) лежат особые траектории, которые
называются сепаратрисами. Это единственные траектории,
имеющие вид радиальных лучей. На одной координатной оси
лежат две сепаратрисы (напомним, что начало координат
также является отдельной траекторией). Эти сепаратрисы на-
направлены к началу координат (от него), если соответствую-
соответствующее собственное значение отрицательно (положительно).
Остальные траектории имеют сепаратрисы в качестве асимп-
асимптот; сначала онн подходят к некоторой фиксированной точке
при возрастании t от —оо; проходят через точку, лежащую
ближе всего к началу координат, и наконец снова удаляются.
В таком случае начало координат называется седлом или
седловой точкой.
(Ь) Равные собственные значения
Если матрица J диагональная, то каноническая система
задается формулой B.44) с hi = Я,2 = Я,о ф 0. Таким обра-
образом, случай B.18(Ь)) соответствует узлу специального вида,.
\
У
а	Ъ
Рис. 2.3. Равные собственные значения Ki = Я2 = Яо в случае диагональ-
диагональной матрицы А порождают звездные узлы: (с) — неустойчивый; (Ь) —
устойчивый.
который называется звездным узлом1). Этот узел устойчив
при Ко < 0, неустойчив при Ко > 0; все его нетривиальные
траектории являются радиальными лучами (см. рис. 2.3).
Если матрица J недиагональная, т. е. имеет вид B.18(с)),
то мы должны решить систему
Уч = КУъ КФЪ.	B.47)
Эта система имеет решения
Ух @ = (Ci + tC2
; y2 (t) =
B.48)
') В русской литературе принят термин «днкрнтическии узел».— Прим.
перев.

58
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
и фазовый портрет имеет вид, указанный на рис. 2.4 (см. при-
пример 1.4.2).
В этом случае начало координат называется вырожден-
вырожденным узлом (improper node); он устойчив при к0 < 0 и не-
неустойчив при Ко > 0 Кривая, на которой траектории меняют
Рис. 2.4. В случае недиагональной матрицы А собственные значения
Я] = Яг = Яо порождают вырожденный узел; (с) — неустойчивый (Яо > 0);
(Ь) — устойчивый (Яо < 0).
свое направление, — геометрическое место точек экстремума
для у\. Оно задается уравнением у\ — 0, т. е.
Уч = —hiyi.	B.49)
(с) Комплексные собственные значения
Жорданова матрица задается в этом случае формулой
B.18 (d)), так что каноническая система имеет вид
Ух = ау1 — ру2; у2 — Pf/i + ау2-	B.50)
Систему такого вида можно решить, перейдя к полярным ко-
координатам на плоскости: yi = r cos 6, yz = r sin 6. Как и в
примере 1.4.1, мы получим
= ar, G = P,
и решениями будут
B.51)
B.52)
Возможные типы фазовых портретов даны на рис. 2.5.
Если а ф 0, то начало координат называется фокусом
(устойчивым при а < 0, неустойчивым при а > 0). Иногда
говорят, что фазовый портрет состоит из притягивающей
(attracting) (или отталкивающей (repelling)) спирали. Па-
Параметр р > 0 определяет угловую скорость точки на спирали.

2.3. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
Если а = 0, то начало координат называется центром
и фазовый портрет состоит из континуума концентрических
кругов. Это единственный случай, когда в линейных системах
возникает повторяющееся, или периодическое, движение.
Каждая точка (за исключением начала координат) снова
(Тс
Рис. 2.5. Комплексные собственные значения порождают: (с) — неустой-
неустойчивый фокус (а > 0); F) — центр (а = 0); (с) — устойчивый фокус (а < 0)..
проходится через время Т = 2я/р. Координаты периодичны
по t с периодом Т и определяются формулами
ух = r0 cos (р* + 60), у2 = r0 sin (р/ + 0О).	B.53)
Другой, тривиальный случай периодических решений для
линейных систем — это неподвижные точки. В некотором
смысле это предельный случай периодического решения;
точка снова проходится мгновенно с периодом, равным нулю.
2.3.2. НЕПРОСТЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Линейная система х = Ах называется непростой, если
А — сингулярная матрица, т. е. detA — O, и, следовательно,
хотя бы одно из собственных значений А равно нулю. Отсюда
следует, что существуют нетривиальные решения уравнения
Ах = О и что кроме х = О система имеет и другие неподвиж-
неподвижные точки. Для линейных систем на плоскости существуют
только две возможности: или ранг А равен единице, или
А — нулевая матрица. В первом случае имеется прямая, со-
состоящая из неподвижных точек, проходящая через начало
координат; во втором случае все точки плоскости являются
неподвижными точками. Ранг А равен рангу /, так что то
же самое справедливо для канонической системы. На рис. 2.6
показаны два примера, когда ранг J равен единице.
В остальной части этой главы мы сосредоточим свое вни-
внимание на простых линейных системах. Эти системы играют
основную роль для понимания характера неподвижных точек
для нелинейных систем (см. п. 3.3),

60
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Результаты, полученные в настоящем параграфе, щ
рис. 2.7 сведены в систему; каждому типу фазового портрета
Уг
2/1
Рис. 2.6. (а)
У2
все точки оси ух являются неподвижными точками; это предельный слу-
случай рис. 2.4 (а) при Ло->0.
F)
все точки оси у2 являются неподвижными точками; это предельный слу-
случай рис 2.1 (с) при Л2-»-0.
Л
9
м
*
detA
/\
У^
1
5^
^^
trA
Рис. 2.7. Характер зависимости фазовых портретов системы х = Ах от
следа и определителя матрицы А.
соответствует некоторое множество точек на плоскости
\хА — detA Каждой точке этой плоскости соответствует
определенная пара собственных значений А и, следовательно,
определенная каноническая система.

2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ	61
2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НА ПЛОСКОСТИ
2.4.1. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ПРОСТОИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Фазовый портрет произвольной линейной системы х = Ах
можно получить из фазового портрета для канонической си-
системы у = Jy с помощью преобразования х = My. Рассмот-
Рассмотрим, как меняется фазовый портрет в результате такого пре-
преобразования. Например, каноническая система
У\=У\\ У2 = —у2	B.54)
имеет фазовый портрет, изображенный на рис. 2.8(а). На
рис. 2.8F) — (/) показаны фазовые портреты для некоторых
систем, каноническая система которых совпадает с B.54).
Как видно из формулы B.6), у\ и у2 являются координа-
координатами точки х относительно базиса {т\,т2}, составленного
из столбцов матрицы М. Таким образом, оси r/i и у2— это
прямые, проходящие через начало координат на плоскости
х\, х2 и имеющие соответственно направления векторов т\
и т2.
Направления векторов т\ и т2 называются главными на-
направлениями. Рассматриваемое отображение является вза-
взаимно однозначным, так что каждая точка плоскости у\, у^
имеет единственный образ на плоскости х\, х2 и обратно.
Кроме того, х является непрерывной функцией у, поэтому
траектории переходят в траектории. Ориентация на траекто-
траекториях также сохраняется. В частности, направления сепарат-
сепаратрис на плоскости х\, х2 создаются собственными векторами А.
Из этих свойств преобразования х = My следует, что,
хотя фазовый портрет искажен, начало координат по-преж-
по-прежнему является седловой точкой. Фазовые портреты на
рис. 2.8 (а) — (/) типичны для любых систем х = Ах, для ко-
которых матрица А имеет собственные значения +1 и —1'. все
они имеют седло в начале координат. Другими словами, ли-
линейные преобразования сохраняют качественное поведение
решений.
Пример 2.4.1. Нарисовать фазовый портрет системы
yi = 2уь у2 = у2	B.55)
и соответствующие фазовые портреты на плоскости х\, х%, где
*i = #1 + У2, x2 = yi+ 2у2	B.56)
и
Xi = yi, х2 == — у 1 _+ у2	B.57}
соответственно.

62
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
СА
G
E
J
V
EG
И В
nil
Ш
Рис. 2?. Влияние различных линейных преобразований вида х = Му
на фазовый портрет канонической системы у\=У\, Уг^—Уг- (а) Кано-
Каноническая система yl=yl, у2 = — У г, (Ь) М =	; (с) М =	I;
L 1 о J	L 1 и J
Г1О-1	Г1	1-1	Г 1	1-1

2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ
63
Решение. Фазовый портрет системы B.55) изображен на
рис. 2.9(а).
Заметим, что замены переменных, заданные формулами
B.56) и B.57), можно записать в матричной форме х = Мус
i
0
соответственно. Базисы, в которых у\ и у2 являются коорди-
координатами,—это {A,1)г A,2)г,} для B.56) и {A,— 1)г, @,1)г}
*2
У у
х2
Рис. 2.9 Фазовый портрет для канонической системы B.55): (а) — на
плоскости у\, у2; F), (с) — на плоскости Х[, xf, где х связано с у фор-
формулами B.56) и B.57) соответственно.
для B.57). Направления координатных осей yi и у2 указаны
на рис. 2.9 (Ь) и (с) вместе с соответствующим образом
трансформированным фазовым портретом из. рис. 2.9 (а).
2.4.2. ТИПЫ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И КАЧЕСТВЕННАЯ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Две жордановы матрицы с разными собственными значе-
значениями друг другу не эквивалентны, и, следовательно, их ре-
решения не связаны друг с другом линейным преобразованием.
Однако особая точка в начале координат для любой простой
нелинейной системы принадлежит одному из небольшого
числа типов, а именно она может быть узлом, фокусом, сед-
седлом и т. д.
Как связаны друг с другом системы с особыми точками
одного типа? Рассмотрим, например, каноническую систему
B.58)
= ayi — руг, У2 =
где а, р > 0, и систему
Z\ =
Z2 = Z\ + Z2.
B.59)

64
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Фазовые портреты для обеих систем — неустойчивые фокусы
(см. рис. 2.10). Траектории даются уравнениями
B.60)
B.61)
г = roe0", е = р/ + е0
R = Roe\ Ф = t + ф0
соответственно; здесь (г, 0) и (/?, ф) — полярные координаты
на плоскостях ух, у2 и z\, z%. Траекторию, проходящую через
У
тс. 2.10. Соотношение между фазовыми портретами канонических систем:
(а) — иа плоскости уи у2 траектория системы B.60), проходящая через
точку г0, 60; (Ь) — на плоскости zu z2 траектория системы B.61), прохо-
проходящая через точку /?0, фо-
точку (г0, Go), /"о ф 0, на плоскости уи у2, можно отобразить
на траекторию, проходящую через (/?0, Фо) на плоскости
zi, z2) с помощью преобразования
е — е0
B.62)
Это преобразование позволяет отобразить фазовый портрет
на рис. 2.10(а) — траекторию за траекторией — на фазовый
портрет рис. 2.10 F). Преобразование B.62) взаимно одно-
однозначно, непрерывно и сохраняет ориентацию траекторий. Од-
Однако оно не является линейным преобразованием плоскости
ух, f/2 на плоскость zx, z2, за исключением случая а = р = 1.
В пп. 2.4.1 и 2.4.2 мы более подробно рассмотрели соот-
соотношение между системами, имеющими одинаковое качествен-
качественное поведение (см. также упр. 17). Мы уточним интуитивные
идеи п. 1.3 в следующем определении.
Определение 2.4.1. Две системы дифференциальных урав-
уравнений первого порядка называются качественно эквивалент-
эквивалентными, если существует непрерывное взаимно однозначное пре-

2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ
65
образование, которое переводит фазовый портрет одной си-
системы в фазовый портрет другой, так что сохраняется ориен-
ориентация траектории •).
2.4.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В этой главе мы проиллюстрировали тот факт, что любая
(простая. — Перев.) линейная система на плоскости каче-
качественно эквивалентна одной из систем, фазовые портреты
которых изображены на рис. 2.11. Десять изображенных там
Рис. 2.11. Различные качественные типы фазовых портретов для линей-
линейных систем: (а) — устойчивые; F) — центр; (с) — седло; (d) — неустойчи-
неустойчивые. Показано, как они объединяют алгебраические типы, рассмотренные
в п. 2.3.
фазовых портретов представляют алгебраические типы2)
линейных систем.
Качественная эквивалентность дает менее подробную
классификацию. Можно показать, что все устойчивые (не-
(неустойчивые) узлы, вырожденные узлы, фокусы эквивалентны
друг другу в смысле определения 2.4.1. Это означает, что
классы алгебраически эквивалентных систем можно далее
группировать в классы качественно {или топологически) эк-
эквивалентных. В таком смысле существует только четыре
типа качественного поведения: устойчивость, центр, седло и
неустойчивость.
*) Качественная эквивалентность, введенная в определение 2.4.1, на-
называется также топологической эквивалентностью. См., например, Ар-
Арнольд A975), § 22. В § 21 того же учебника рассматриваются и другие
виды эквивалентности; см. также (Арнольд, 1978*), гл. 3, разд. 10, Б. —
Прим. перев.
2) Алгебраически эквивалентные системы — это линейно эквивалентные
системы в смысле книги (Арнольд, 1975), § 22. — Прим. перев.
3 Зак. 687

66	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
2.5. ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ
В п. 1.5 мы говорили, что траектории линейной системы
на плоскости можно описать с помощью матрицы эволюции.
Теперь мы остановимся на этом более подробно.
Для любой действительной п X n-матрицы Р мы опреде-
определим экспоненту ер формулой
k=0
здесь Р° = 1п — единичная пХ «-матрица. Пусть Q — дей-
действительная п X «-матрица такая, что PQ = QP; тогда из
B.63) следует, что
(см. упр. 24). Этот результат позволяет заключить, что
ере-р = е-рер = ё° = Гп,	B.65)
так что
(еру1 = е~р.	B.66)
Если мы положим Р — At и продифференцируем B.63) по /,
то получим')
¦~r(eAt) = AeAt = eAtA.	B.67)
Это значит, что
¦ju {e~Atx) = e-Atx - e~AtAx = e~At (x — Ax) = O, B.68)
где x удовлетворяет системе х = Ax. Если нам задано на-
начальное значение x(ta) = Xo, то, интегрируя B.68) от /0 ДО t.
получаем
e-Atx(t) = e-At°x0,	B.69)
и, следовательно,
ж @ = е-*»-*-»Хо = ф«-«. (ль)	B.70)
(здесь применено равенство B.66)). Таким образом, оператор
эволюции для системы х = Ах задается матрицей еЛ('~*°).
Конечно, чтобы воспользоваться формулой B.70), мы
должны знать еЛ('~*о). Для простых канонических систем на
J) Доказательство сходимости р,яда B.63) и возможность его диффе-
дифференцирования при Р = At см., например, в книге (Арнольд, 1975), с. 72,
73. — Прим. перев.

2.5. ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ	67
плоскости мы можем получить ел из явного вида решений,
выписанных в п. 2.3.1. Получаем из B.44)
[e%xt 0 ]	Г А, 0 
(включая случай Ai = %2 = Ао); из B.48)
w Г 1 t 1	Г Ао 1 1
ел = еы	для / = „ . ;	B.72)
L 0 1 J	L 0 Ао J
из B.52)
cos P* — sin P
Эти результаты можно получить непосредственно из B.63)
(см. упр. 25).
Из формул B.71) — B.73) можно получить eAt для любой
неособой 2 X 2-матрицы А, используя соотношение между А
и ее жордановой формой /. Напомним, что
х (t) = My{t) = MeJty @) = (Ме-"М->) х @), B.74)
поэтому
е** = Ме М-1.	B.75)
Это дает вполне обозримый способ получения eAt, но приме-
применять его на практике не всегда удобно. Можно также исполь-
использовать общий метод Сильвестра (Барнетт, 1975) вычисления
функций от матриц (см. также: Гантмахер Ф. Р. Теория мат-
матриц.— М.: Наука, 1966. — Перев.). Мы рассмотрим этот ме-
метод для п = 2.
Пусть действительная 2 X 2-матрица А имеет два раз-
различных действительных или комплексных собственных зна-
значения %\, %2. Определим матрицы Q\, Q2 (может быть, ком-
комплексные) следующим образом:
Q\=Ak _^f , Q2= fZ^x	B-76)
и заметим, что A = KlQi -\-XjQr Можно показать, что QlQ2==
— Q2Q1 = O,Qf = Qi, Ql = Q2\cm. упр. 26), и, следователь-
следовательно, для любого положительного целого k
Ak = (KlQl + A2Q2)fc = KklQl + X%Q2.	B.77)
Тогда
B.78)
з*

68	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Если собственные значения Ki, K2 матрицы А совпадают,
положим Q = А — Aq/, где ' Ai = A2 = Ао. В этом случае
Ak = (Ао/ + Qf = A*/ + ktf-tQ,	B.79)
так как Q" = О для & ^ 2. Тогда
г == <** (/ 4- f (A - Ао/)). B.80)
k=0
Пример 2.5.1. Найти eAt, где
(а) методом приведения к каноническому виду, (Ь) с по-
помощью формул B.78) или B.80).
Решение, (а) Собственные значения матрицы А совпа-
совпадают и Ао = 2. Собственный вектор «о = A,1)г. Пусть
Г 1 — 11
М == I j 0 I:	B.82)
тогда
M-'AiH=[0 2J==/;	B.83)
т. е. мы получили жорданову форму. Экспонента жордановой
формы
согласно B.72), и
1 ЧГ ° 4=
о iJL-i и
= e2t\ I . \ ,1. B.
L — t 1 +< J
(b) Собственные значения А уже найдены в (а). Подста-
Подставим А и Я-о = 2 в формулу B.80) и получим
B.85)

2.6. АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ	69
2.6. АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ
В этом параграфе мы рассмотрим системы, для которых
векторное поле имеет вид
X(x) = Ax + h,	B.86)
где h e R". Такое отображение X называется аффинным.
В строго алгебраическом смысле Ax-\-h не является линей-
линейной функцией от х, но ясно, что она тесио связана с линей-
линейными функциями. Действительно, системы х = Х(х), где
функция X имеет вид B.86), часто называются линейными
неоднородными системами в противоположность линейным
однородным системам х = Ах. Замена переменных
х = у — х0,	B.87)
где х0 — решение уравнения Ахо = h, позволяет записать
B.86) как
Y(y) = X(y-xo) = A(y-xo) + h=:Ay.	B.88)
Тем самым замена переменных B.87) сводит аффинную си-
систему
х = Ах + h	B.89)
к линейной системе
У = Лу.	B.90)
Но что будет, если h не принадлежит области значений
оператора А или если Л в формуле B.89) заменить на век-
вектор h(t), зависящий от времени? Неавтономные системы та-
такого вида часто возникают на практике (см. п. 4.2). Обе эти
задачи можно решить с помощью оператора эволюции.
Изложенный ниже способ решения является матричным
эквивалентом метода «интегрирующего множителя», рассмот-
рассмотренного в упр. 1 (гл. 1). Умножим уравнение B.89) на е~м
и перепишем в виде
-^(e-Atx) = e-Ath{t).	B.91)
Здесь оператор эволюции играет роль «матричного интегри-
интегрирующего множителя». Пусть задано начальное условие
хуо) = хо; тогда можно проинтегрировать B.91) от ^о До t
и получить
t
e~Atx (t) — е~Аих0 = ^ eAsh (s) ds.
и
Так как eAte~At — I, мы можем найти отсюда x{t):
*@ = *P.o.@ + *-i.p.@»	B.92)

70	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
где
*p.o.@ = ^(f"fc)«b.	B.93)
а
t
Хч. р. (О == ел< ^ e~Ash (s) ds.	B.94)
Формула B.92) дает решение аффинной системы независимо
от того, зависит ли ft от t.
Первый член, xp.o.(t), является решением линейной одно-
однородной системы х = Ах и удовлетворяет начальному условию
xP.o.{to)— х0. Второй член, хч.Р.@. является некоторым част-
частным решением неоднородной системы. Легко проверить,
что хч.P.(t) является решением, удовлетворяющим условию
хч р @) = 0, так что x(t) в формуле B.92) удовлетворяет
уравнению B.89) и условию х(/0) = *о.
Пример 2.6.1. Рассмотреть уравнение второго порядка
2х = u(t).	B.95)
Переписать его как систему первого порядка и найти реше-
решение, удовлетворяющее начальным условиям х@) = х@) = 0.
Решение. Пусть х\ = х и х2 = х, тогда B.95) перепи-
перепишется как
xi = х2, х2 = — 2*1 — 2х2 + и (t).	B.96)
В матричных обозначениях B.96) принимает вид х = Ах +
Н-ft('), где
[0 11	Г 0
-2 -2]и*<Н«<
Собственные значения матрицы А — это %i = —1+t, X2 =
= —1 —i, и, согласно B.78), получаем
^_e-J^Lr1+i ] l-^r1-1' l 11-
B/ L-2 -l+i'J 2i 1-2 -\-i\)~
t Г cos t + sin / sin t 1
= e I -2 sin/ ccs/-sin/J-	B'98)
Заданное начальное значение — x@)=O, так что в B.92)
Xp.o.(t)== О, x(t) = x4.p.(t) и равно
_t Г cos ^ + sin ^ sin t 1 г	Г — sin s 
L -2sin^ cos/-sin/J JeS"(s)Lcoss-T-sinsJrfs"
B.99)

2.7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ >2 71
Отсюда
с, (t) = x(t) = e~* \ sin t \ esu (s) cos sds —
^ о
— cos t \ esu (s) sin sds\.
о	J
B.100)
2.7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ,
БОЛЬШЕ ЧЕМ ДВА
2.7.1. ТРЕХМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Действительные жордановы формы для ЗХЗ-матриц
имеют вид .
ГЯ0	0 0 1 Га — р	0 I
0	Я, 0 , р а	0 ,
L0 0Я2-1 L0 О	V
ГЯ0 1 01 ГЯ0 1	0 1
О	Яэ О I и I О Я,	1 ,
L о	о a, -I L о о	а0 J
B.101)
где а, Р, Ко, fa, fa e R (см. Хирш и Смейл, 1974I), Заметим,
что все формы в B.101), кроме последней, можно разбить на
диагональные блоки размерности 1 или 2. Например, рас-
рассмотрим
Га -Р! 0-
р а i О
о
О!
B.102)
! А,_
где fa <. а < О, Р > 0. Блочная структура матрицы позволяет
отделить уравнение для уъ от первых двух. Действительно,
система B.102) эквивалентна двум системам:
у2
а\1у2
B.103)
B.104)
Такой процесс позволяет нам вйяснить основные качествен-
качественные черты трехмерного фазового портрета.
') См. также (Кострикин, 1977*). — Прим. перев.

72
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Уравнение B.103) показывает, что проекции траекторий;
на плоскость уз = const дают устойчивый (так как а, < 0)
фокус; притягивающаяся спираль пробегается против часо-
часовой стрелки (Р>0). Так как Ai < 0, то |#з@| эспоненци-
ально убывает при возрастании t. Типичная траектория си-
системы B.102) изображена на рис. 2.12. Спираль, получаю-
получающаяся при проекции на уг = const, разворачивается в нечто
вроде винтовой линии с убывающим радиусом и ходом.
Ча,Ь,с)
1
Уз
Рис. 2.12. Траектория системы B.102), проходящая через точку (а, Ь, с).
Каждая траектория лежит на некоторой поверхности вида #3 =
Вернемся к жордановым формам B.101). Последняя
форма, не распадающаяся на блоки дает систему у — Jy,
которую можно решить, найдя е-". Оператор эволюции
можно найти с помощью разложения B.63). Заметим, что
ГАо 1 ОН ГЯ0 0 0 1 ГО 1 01
= 0 Яо 1 = О К 0 + 0 0 1 ,
L О О A0J L О О A0J U 0 0-1
B.105)
Как и в упр. 24, проверяем, что DC = CD и соотношение
B.64) сводит задачу к определению ect. В нашем случае
С3 = Ои еа =/ + tC +\РС?, Так что
1
0 1
0 0
Пример 2.7.1. Для системы
х = Jx,
t -t2
B.106)
B.107)

2.7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ >2 73
где матрица / задана формулой B.105) с Хо > 0 нарисовать
траекторию, удовлетворяющую начальному условию д?@)=*
= @,6, с), Ъ, с>0.
Решение. Заметим, что проекция B.107) на плоскость
хг, ха, т. е. система
не зависит от хи Значит, каждая траектория B.107) проек-
проектируется на одну из траекторий B.108) на плоскости х2, х3.
Система B.108) имеет в начале координат неустойчивый (так
ц
л
Рис. 2.ГЗ. Проекции траекторий
системы B.107) на плоскость х%, Хз
такие, как на фазовом портрете
системы B.109); это неустойчивый
вырожденный узел в начале коор-
координат. Прямая Хз = — Яо^г, иа ко-
которой х<ь «= 0, показана пунктиром.
xz^K &\
Рис. 2.14. Поверхность S, иа кото-
которой лежит траектория {(ft @, b, с) 11 e
е R} системы B.107); поверхность
получается параллельным переносом
кривой B.109) вдоль оси х\.
как Ко > 0) вырожденный узел, поэтому ее траектории имеют
вид, показанный на рис. 2.13. Пусть ф< — оператор эволюции
для системы B.107); тогда траектория {ф,@, 6, c)|feR}
лежит на цилиндре S с осью, параллельной оси х\, проходя-
проходящем через траекторию
UwMo iJU	<21Ов)
(см. рис. 2.14).
Заметим, что B.109) есть проекция кривой
.@,6, c) = <
1 f i
0 1
0 0
f
t
1
0
b
с
B.110)
на плоскость х2, х3 (см. вид ем в формуле B.106)).

74
2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим теперь проекцию той же траектории на пло-
плоскость Х\, Х2. Из первого уравнения системы получаем х\ = О
при х2 = —K0Xi и Х2 = 0 для хз = —кох2. Эта плоскость пе-
пересекает линию складки поверхности S (см. рис. 2.14). Про-
Проекция линии складки на плоскость х\, х2 — прямая Х2 = К,
Рис. 2.IS. Проекция траектории
{ф( (О, Ь, с) 11 e Щ на плоскость xv х2.
Через А, В, С обозначены точки, где
Xi = 0 или хг = 0. Точка поворота
на прямой х2 = К лежит на проекции
линии складкн поверхности S, пока-
показанной иа рис. 2.14.
Рис. 2.16. Траектория {q>f @, b, с) |
|(eR) системы B.107). Точки
экстремума отдельных коорди-
координат — А, В, С; их проекции ука-
указаны иа рис. 2.15. Кривая B.109)
иа плоскости х%, xs обозначена
пунктиром.
где К — значение х2, при котором х2 = 0 в B.109). Мы мо-
можем теперь нарисовать проекцию на плоскость х\, х?, она по-
показана на рис. 2.15.
Наконец, мы можем изобразить требуемую траекторию на
поверхности S (см. рис. 2.16).
2.7.2. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Жорданова форма 4 X 4-матрицы / принадлежит одному
из следующих типов:
(а)
1О\С J
(Ь)
о
0	I 0"
1	(О
[
О 0 Ко | О
О О 0 ! А,
B.111)
B.112)

2.7. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ РАЗМЕРНОСТИ >2
75
(с)
Лэ	1	0	0 '
О	Ко	1	О
о	о	л0	1
_ о	о	о	л0
B.113)
В варианте (а) матрицы В и С являются жордановыми мат-
матрицами размером 2X2, нулевые внедиагональные эле-
элементы — также 2 X 2-матрицы. В случаях (Ь) и (с) Яо> A-i e R-
В случаях (а) и (Ь) система у = Jy распадается на си-
системы меньшего числа измерений. Для (а) мы имеем
а для (Ь)
Гхх1 Г10
\х2 = О
L x3 J L 0
0
— Л 1
B.115)
Интегральные кривые всех подсистем уже исследовались.
Единственная новая система, которую мы еще не рассмат-
рассматривали,— это система типа (с). Ее траектории можно полу-
получить, обобщив метод, которым мы решали B.106). Получим
B.116)
Таким образом, для четырехмерной системы можно найти
решения теми же способами, которые мы использовали в слу-
случае п = 2, 3.
1
0
0
0
t
1
0
0
2 '
t
1
0
t
1
2.7.3. п-МЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Идея разложения системы на блоки, которую мы исполь-
использовали для жордановых форм 3X3- и 4 X 4-матриц, приме-
применима и для произвольного п. Это значит, что соответствую-
соответствующая каноническая система у = Jy с / = М~ХАМ распадается
на подсистемы. Эти системы могут иметь
размерность 1
Ui = ^iHi> hi s R;

76
1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
или размерность 2
или размерность /, 2
ill
_»*+/-!_ _
< / < л,
Я 1 0 ... О'
О Я 1 ... О
О О О ..Я 1
) О ..О Я
R.
Однако, как мы видели в случаях п = 3 и п = 4, все эти
системы можно решить и, следовательно, можно решить всю
каноническую систему. Конечно, это значит, что можно с по-
помощью преобразования х = My найти решение для любой
системы х = Ах.
УПРАЖНЕНИЯ
К п. 2.1 и 2.2
1. Показать, как действует каждое из приведенных ниже линейных пре-
преобразований, заштриховав образ квадрата {0 ^ xi, х% ^ 1}:
—1
—7 3
Г —
—2
Знание образа квадрата поможет нарисовать образы следующих мно-
множеств:
(а) окружности х\ -\- х\ = 1; (Ь) кривой xix2 = 1, Xi, x2 > 0.
2. Доказать, что отношение подобия «'
А, В, определенное как
действительных п X «-матриц
где М — некоторая неособая матрица, есть отношение эквивалентности.
Кроме того, показать, что все матрицы, принадлежащие одному классу
эквивалентности, имеют одинаковые собственные значения. Сгруппировать
в классы по этому отношению эквивалентности следующие системы:
4 2
7—2
2 2

УПРАЖНЕНИЯ	77
3.	Показать, что каждая из заданных систем приводится соответствующим
преобразованием к каноническому виду:
(a)	Xi = 4л:, + л, хг = — л", + 2л:2,
i/i= 2Х[ +хи, у2 = х1 + х2;
(b)	Xi = 12л:, + 4л:2, х2 = — 26л"! — 8л:2,
1/, = 2л:! + х2, У2 = 3х, + х2;
(c)	xi = 10x, + 2л:2, х2 = — 28л:1 — 5л:2,
У[ = 7л"! + 2л:2, у2 = \хх + л:2.
Выписать для этих систем матрицы коэффициентов А, жордановы фор-
формы J и матрицы преобразования переменных М. Проверить, что выпол-
выполняется равенство / = М~1АМ.
4.	Для каждой из заданных ниже матриц
Г О М Г41 — 29] Г 9 41
L-2 3j' LS8 — 41 J' L— 9 -3j
найти жорданову форму / и матрицу М, для которой / = М~ХАМ.
5.	Как преобразует систему
Xi = — 7л:[ — 4л:2 — 6х3,
л:2 = — Зл:1 — 2л:2 — Зх3,
кг = Ъх\ + 2л:2 + 2л:3,
замена переменных //< = Х\ + 2л:з, уг = Хг, уз = Xt + Хз? Поможет ли
введение этих новых переменных получить интегральные кривые системы?
6.	Доказать, что никакие две различные жордановы 2 X 2-матрицы не
могут быть подобными. Показать, что вследствие этого существует одна
и только одна жорданова матрица, подобная заданной 2Х 2-матрице.
7.	Найти характеристические полиномы для матриц
[2 П Г 3 М Г8 -4-1
Lo 2J' L-'2 7j' L6 -3J
и проиллюстрировать на этих примерах теорему Кэли — Гамильтона1).
К п. 2.3
8.	Найти интегральную кривую x(t) x= Ax, удовлетворяющую условию
х@) = жо, где в качестве А берутся матрицы из упр. 4.
9.	Нарисовать фазовый портрет линейной системы
[И
С заданными ниже матрицами А
_; J)
-з
*) Теорема гласит: каждая матрица обращает в нуль свой характери-
характеристический полином. — Прим. перев.

78	2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
; a
10. Показать, как влияет преобразование координат
на каждую из систем упр. 9, изобразив фазовый портрет на плоскости
11.	Найдите 2 X 2-матрицу А такую, чтобы система х—Ах имела инте-
интегральную кривую
Г *-'(«/+2.Ы 01
L	e-rcos <	J
12.	Пусть
• Г-1 -11
*4 2 -ЛХ
iij/=Xi + Зл:2. Тогда система называется «наблюдаемой», если, зная y{t),
мы можем получить интегральную кривую x(t). Доказать, что при y(t) =
= 4e~2t система «наблюдаема»; для этого определите х@).
К п. 2.4
13.	Найти точку на плоскости Tr — Det, соответствующую заданным си-
системам, и в соответствии с этим определить характер их фазовых порт-
портретов:
(a)	х1 — 2хх + х2, x2 — Xi+ 2хг;
(b)	ii = 2Хх + xit x2 = x, — Зх2;
(c)	ii = Xi — 4л:2> x2 = 2«! — л:2:
(d)	ii — 2xit	x2 = — 3xi — x2;
(e)	Л, = — X\ + 8л:2, x2 = — 2a:i + 7x2.
14.	Преобразовать систему
xi = —7xl + 3%; JC2 = —8л:1
к координатам yt, г/г, которые являются кординатами точки х в базисе
{A, 2), C, 4)}. Затем нарисовать фазовый портрет на плоскости xi, хг.
IE. Пусть х(/)—траектория линейной системы х = Ах, и пусть
lim х (t) = О. Воспользоваться непрерывностью линейного преобразова-
ния «/ = Л^ж, где Л^ — неособая матрица, и показать, что траектория y(t) =
= Nx(t) системы
у = NAN-Hj
также обладает свойством
lim j/(<) = O.
Вывести из этого утверждения следующее: если система х = Ах имеет
устойчивый узел, вырожденный узел или фокус, то то же самое справед-
справедливо и для у = NAN~ly.

УПРАЖНЕНИЯ	79
16.	Получить результат, аналогичный указанному в упр. 15, если траею
тория x(t) системы х = Ах удовлетворяет условию lim x(t) = O. При-
t-> -оо
меняя результаты упр. 15 и 16, показать, что если система х = Ах имеет
седло в начале координат, то и система у = NAN~ly также будет иметь
седло.
17.	Показать, что существует линейное преобразование семейства кривых
х2 = Сх^ на семейство кривых у2 = С у^ (|х, ц' — постоянные) тогда и
только тогда, когда |х = |х' или ц. = 1/ц'. Исходя из этого, показать, что
линейное отображение траекторий системы
Xi = 'kyXu Хг = hzX2, А1А2 ?= О,
на фазовый портрет системы
i/i = Viyi, уг = Угуг
существует тогда и только тогда, когда
Х1А2 = V1/V2 или А1/А2 = v2/vi.
18.	Показать, что существует действительное положительное число k та-
такое, что непрерывное взаимно однозначное преобразование плоскости
Л2'
— ( — xu)k x2 < О,
переводит траектории узла Х\ = Ъ.\Х\, x<l = Аг#2 в траектории звездного
узла i/i = еу±, уг = еуг, г = +1 или —1, причем ориентация сохраняется.
19.	Показать, что результаты упр. 18 можно применить к построению ото-
отображения, которое переводит траектории произвольного седла в траекто-
траектории седла xi = Ху, хг = —Хг-
20.	Нарисовать фазовый портрет системы
Ху — 2Xi -|- X'l, Хч т^=- 3X2
и фазовые портреты, полученные из него:
(a)	отображением относительно оси дгг,
(b)	поворотом плоскости Ху, Хг на угол л;
(c)	поворотом на я/2 против часовой стрелки;
(d)	переменой осей Х\ и л:2.
Написать для каждого из этих случаев матрицу преобразования и пре-
преобразованную систему. Проверить, соответствуют ли нарисованные фазо-
фазовые портреты полученным системам.
К п. 2.5
21.	Вычислить eAt для следующих матриц Ai
. . Г2 01 ... Г 1 21 . . Г2 А
{а> U з]; <По Л (сЧз з
— 2 21 . . Г —4 11
._4 _2J; ^L-i -Л-

80	2- ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
22.	Вычислить е ', если Л равно
Г2 —71	Г 2 41
<а) I 3 — 8J ^ 1 — 2 6 I'
Применить полученные результаты к вычислению е с Л, равным
-	} <d> 0 0 2 4'
и	'J Lo о -2 6-1
23.	Изменить порядок переменных X; в системе
[2 0 1 ОТ
0—509
О 0 2 0х
0—408-1
так, чтобы матрица коэффициентов приняла такой вид, как в упр. 22 (d).
Этим способом или иначе найги траекторию, проходящую через B, 1, 0, 1)
при t = 1.
24.	Доказать, что если Р и Q — коммутирующие п X я-матрицы, то
PrQs = Qs.Pr для любых неотрицательных целых г и s.
Вывести отсюда индукцией по п или иначе соотношение
у (p + Q)k (у fl\( yQL
L, k\	\Lik\)\Lik;
ft=o	Ч=о ' ч fe=o
и, следовательно, ер+'° = epeQ.
25. Применить формулу B.63) к вычислению eAt, если
(Э) Л = [о° яо} полагая Л=Х„/+С, С = [° J]:
(Ь) Л = Г" ~М, полагая А = al + РД ^>
26. Написать характеристическое уравнение для 2 X 2-матрицы А. Приме-
Применить теорему Кэли — Гамильтона, чтобы выразить Л2 через Ли/. Ис-
Использовать этот результат для доказательства следующего факта: если
?и, Аг (Ai ф 7.г) — собственные значения Л, то
.2 — Ai ) I Я| — Яг )
f Д-Я.,112 = [ Л-Я,Г|
\ Я2 — Я1 ) I Лг — Я1 J
(см. п. 2.5).
27. Пусть Л — 3 X 3-матрица с собственными значениями Ai = Яг =
(=Ао). Показать, что
где Q = А — Ко/. Обобщить этот результат на п X гс-матрицы,

УПРАЖНЕНИЯ	81
К п. 2.6
28. Там, где это возможно, найтн замену переменных, переводящую за-
заданную аффинную систему в соответствующую линейную систему:
(a) xi
(b) х{
(C) Xi
(d) Jti
(e) Xi
(f) xx
=== %1 ~l
= *2 +
= 2x( -
= 2*i-
= 2х, +
= *i +
*2 + 2,
1,
-3*2 +
-X2 + 1
^2+1,
^2 ~Ь ^3
1,
+ 1,
*2 = хх + 2x2 + 3;
x2 = 3;
jc2 == 6*! — 9x2;
X2 — 6*1 + ЗХг".
X2 = Xi+ Xi, Xi --
X2 = — Xs, *3 =
= х2 + xs + 2;
Для аффинных систем, которые эквивалентны линейным, определить их
алгебраический тип.
29.	Найти интегральную кривую (xi(t), Хг{1))_ удовлетворяющую системе
Xl — Xi + Хг + 1, Хг — Xi + Хг
н начальным условиям .ti @) = fl, x:2 @) = b.
30.	Какая получится система, если применить преобразование х =
= My, х, у е R", к аффинной системе х = Ах + й? Показать при « == 2,
что любую аффинную систему можно свести к аффинной системе с жорда-
новой матрицей коэффициентов. В случае, когда А имеет два действитель-
действительных различных собственных значения, систему х = Ах + h можно сделать
распадающейся.
Можно ли с помощью линейного преобразования превратить аффинную
систему в линейную?
31.	Нарисовать фазовый портрет аффинной системы
(a) xi = 2ж2 + 1, *2 = —xi + 1; (b)xl=xi+2, *2==3.
К п. 2.7
32.	Показать, что систему
можно преобразовать в систему
ух = аг/i — Ьу2;
y2 — byi+ ау2,
Уз = суя,
где с, Ь, с — некоторые постоянные. Каковы их значения? Найти матри-
матрицу М вида
[171ц ftllz 0 
0 m22 0 I
0 m32 ma J
"J32 "J33.
такую, что * = My.

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Какой вид имеет проекция фазового портрета на плоскость yi, г/2 и
на ось г/з? Нарисовать какие-нибудь траектории преобразованной системы.
33. Найти интегральную кривую системы
удовлетворяющую начальным условиям
= x$(Q) = 0, Хз@) = 1.
34. Найти вид интегральных кривых системы х = Ах, х <
равно:
: R4, если А
(а)
[Я 1	0	От	га	—р 0 От	Го	—Р 0 От
О Я	1	0	р а О О	Р	а О О
О 0	%	1 •	(Ь) О О Я 1 '	(СЧ О	О V	-6 Г
о о	о	я-J	Lo о о я-J	Lo	об vJ
35. Рассмотреть шестимерную систему
X\
x2
Х5
2
0
0
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
— 1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
I
I
x2
Xi
xb
Разбить ее на подсистемы и изобразить на фазовой плоскости поведение
каждой подсистемы.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
НА ПЛОСКОСТИ
В этой главе мы рассматриваем фазовые портреты систем
х = Х(х), х — S ^ R2, где X — непрерывно дифференцируемая
нелинейная функция. В отличие от пп. 1.2 и 2.3 эти фазовые
портреты не всегда определяются характером неподвижных
точек системы.
3.1. ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Определение 3.1.1. Окрестностью N точки je0eR2 назы-
называется любое подмножество R2, содержащее круг {х\\х —
— хо\<. г} с некоторым г > 0.
Определение 3.1.2. Часть фазового портрета системы, на-
находящаяся в окрестности N точки х0, называется сужением
фазового портрета на N.
Эти определения иллюстрируются на рис. 3.1 для простой
линейной системы. При исследовании нелинейных систем нам
часто приходится встречаться с сужениями полных, или гло-
глобальных фазовых портретов на некоторую окрестность точки
х0, которую мы можем выбирать сколь угодно малой (см.
п. 3.3). Такое сужение мы будем называть локальным фазо-
фазовым портретом в точке дг0.
Рассмотрим сужение простой линейной системы на неко-
некоторую окрестность N начала координат. Существует окрест-
окрестность WeJV такая, что сужение этого фазового портрета на
N' качественно эквивалентно глобальному фазовому портрету
данной простой линейной системы. Другими словами, суще-
существует непрерывное взаимно однозначное соответствие между
N' и R2, отображающее сужение фазового портрета на N' на
полный фазовый портрет. Этот результат проиллюстрирован
на рис. 3.2. В качестве окрестности N взят прямоугольник
{(х\,х2) \а <Zxi < b, c<Zx2<Zd; а, с < 0; b, d>0}. Пусть
N' — внутренность критической траектории Т, обозначенной
на рис. 3.2F) пунктиром. Каждую траекторию на глобаль-
глобальном фазовом портрете, изображенном на рис. 3.2(о), можно
поставить в соответствие некоторой траектории сужения на

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
N\ и наоборот. Если мы рассмотрим сужение устойчивого
узла, показанное на рис. 3.1F), то результат не изменится,
но в этом случае N' = N.
Именно эту качественную эквивалентность фазового порт-
портрета и его сужение мы подразумеваем, когда говорим, что фа-
фазовый портрет простой линейной системы определяется ха-
d
с
ш
\
а \ b
Рис. 3.1. (а) — фазовый портрет системы xi = — Xi, х2 — —2x2; (Ь) — су-
сужение (а) на окрестность начала координат N = {х, \ \ х \ < а}, а > 0;
(с) — сужение (а) на окрестность N = {х | а < xi < b, с < x2 < d}, a, b, с,
d > 0 некоторой точки х0, где х Ф 0. Показан заштрихованный круг
с центром в ж0, лежащий в этой окрестности.
рактером особой точки. Другими словами, локальный фазо-
фазовый портрет в начале координат качественно эквивалентен
глобальному фазовому портрету системы.
Нелинейные системы могут иметь более одной неподвиж-
неподвижной точки, и часто мы можем для каждой из них построить
локальный фазовый портрет. Однако, как показывает рис. 3.3,
локальные фазовые портреты не всегда определяют глобаль-
глобальный фазовый портрет. На рисунке изображены три каче-
качественно различных глобальных фазовых портрета, каждый
из которых содержит три неподвижные точки. Локальные фа-
фазовые портреты в этих фиксированных точках во всех слу-
случаях одинаковы.

S.T. ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Рис. 3.2. (а) — фазовый портрет системы xi = 3xi + 4х2, х2 — — Здгг — Здг2;
(Ь) ~ сужение (а) на окрестность N = {(xi, х2) | а < х\ < Ь, с < дг2 < d,
а, с < О, Ь, d > 0}. Критическая траектория 7" показана пунктиром,
"(с) — сужение на заштрихованную окрестность N' = {х | х внутри 7"}.
Это сужение качественно эквивалентно (а).
Рис. 3.3. Качественно различные фазовые портреты, совместные с заданным
локальным поведением в трех неподвижных точках.

86	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Такие фазовые портреты действительно возникают для не-
нелинейной системы
- А - 4) - х2
при соответствующем выборе параметров аир.
На рис. 3.3 (с) показано еще одно глобальное свойство
фазовых портретов, которое не вытекает из исследования не-
неподвижных точек. Изолированная замкнутая орбита вокруг
одной из неподвижных точек называется предельным цик-
циклом. Нахождение предельных циклов требует глобального
подхода (см. п. 3.9).
Таким образом, рассмотрение нелинейных систем требует
техники, пригодной для исследования как локального, так
и глобального поведения. Локальное поведение изучается
в пп. 3.2—3.6.1 включительно, а дальнейшие п. 3.6.2—3.9 по-
посвящены глобальным вопросам.
3.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Мы начнем с изучения нелинейных систем, имеющих не-
неподвижную точку в начале координат.
Определение 3.2.1. Допустим, что систему у = Y(y) можно
записать в виде
Уг = аух + Ьу2 + gi (yu у2);
Уч. = СУ\ + dy2 + ё2(Уи У2)>
где |"g(.(г/,, г/2)/г]-*-0 при г == (t/j + ^1)!/2"^- Линейная си-
система
г/i = аух + Ьу2, у2 = су\ + dy2	C.3)
называется линеаризацией системы C.2) (или линеаризован-
линеаризованной системой, соответствующей C.2)) в начале координат.
Компоненты линейного векторного поля системы C.3) назы-
называются линейной частью C.2).
Пример 3.2.1. Найти линеаризацию следующих систем:
(a)	&1 = У{+ У\ + УХУ% У2 = У2 + yf\
(b)	Ух = У\, yi = yi + yis\nyl\
(c)	Ух=у]еУ*, у2 = у2(еУ> - I).
Решение. Для каждой системы составим таблицу действи-
действительных чисел а, Ь, с, а и функций gi и g2. Функции gi

3.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ В ОКРЕСТНОСТИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ	87
(i=l, 2) задаются в полярных координатах, чтобы легче
было проверять условие
lim fei (Уи УгУг] = О, /=1,2.	C.4)
0
Система а в с d	g(
(a)	10 0 1 г2 (cos2 6 + г cos 6 sin2 6)	r3/2sin3/26
(b)	0 0 0 1	r3 cos36	г sin 6 sin (r cos 6)
(c)	0 0 0 0	r2 cos2 6er sln e	r sin 6 (r cos 6 +
Следовательно, линеаризация имеет вид
(О) У\ = У\, У2 = У2',
(b)	у у = 0, г/2 = у2;
(c)	ух = 0, ^2 = 0.
Определение 3.2.1 можно также применить к неподвижным
точкам, отличным от начала координат, введя локальные ко-
координаты. Пусть (?, т])—неподвижная точка нелинейной си-
системы х = Х(х), х = (х\, х%). При замене переменных
У1=Х1 — 1, У2 = Х2 — Г)	C.5)
начало координат перейдет в точку плоскости х\, х% с коорди-
координатами (|, т)). Координаты уи у2 называются локальными
координатами в точке (?, ц). В этих координатах система
имеет вид
yt = xt = Xt(yl+h у2 + 'Л), i = 1, 2,	C.6)
где Zi, ^2 — компоненты вектора X. Если мы положим
Yt(yu y2) = Xl(yl + %, & + Ч).	C.7)
то C.6) превратится в
У1 = УЛУ1, .%), '=1. 2, или у = К(у).	C.8)
Для системы C.8) интересующая нас неподвижная точка на-
находится в начале координат, и в ней можно строить линеа-
линеаризацию в соответствии с определением 3.2.1.
Пример 3.2.2. Показать, что система
хх = eXl+Xa — х2, х2 = — Х\ + ххх2	C.9)
имеет только одну неподвижную точку. Найти линеаризацию
системы C.9) в этой точке.

83	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Решение. Неподвижные точки системы удовлетворяют
уравнениям
ех1+х, _ Х2 _ о	C.10)
и
*i(*s—1) = 0.	C.11)
Уравнение C.11) удовлетворяется только при х\ = 0 или
Х2=1- Если Xi = 0, то C.10) превращается в уравнение
е*2 = х2 не имеющее действительных решений (так как е*2 >
> х2 для всех действительных х2). Поэтому при Х\ = 0
нет неподвижных точек. Если же х2=1, то C.10) дает
ex,+i __ i^ a эт0 уравнение имеет одно действительное реше-
решение Xi = —1. Таким образом, (хих2) = (—1, 1), и это един-
единственная неподвижная точка системы C.9).
Чтобы найти линеаризованную систему в точке (—1,1),
введем локальные координаты yl = xi-\- \, у2 — х2—1. По-
Получим
C.12)
Эту систему можно записать в виде C.2), разложив eyi+y*
в степенной ряд:
C.13)
Отсюда видно, что линеаризация имеет вид
У\ =¦ У\- h = —Уг-	C.14)
Пример 3.2.2 подсказывает стандартный способ получе-
получения линеаризации при помощи разложения в ряд Тейлора.
Если компоненты вектора X, Xt(x\,x2), i=\, 2, непрерывно
дифференцируемы в некоторой окрестности точки (g, т]), то
для каждого i
Xt{xu xJ = X,fc	^
+ (х2 - r])-|g- (|, г]) + Rt (х„ х2).	C.15)
Остаточные члены Ri(xi,x2) удовлетворяют условию
Шп [/?,(*„ х2)/г] = 0;	C.16)
здесь г = д/(* — SJ + (У — TlJ- Если (g, т])— неподвижная
точка системы х=^Х(х), то Х,(|,т]) = 0 (t=l, 2); вводя

3.3. ТЕОРЕМА О ЛИНЕАРИЗАЦИИ	Й9
локальные координаты A3.5), мы получим
C17)
Из соотношения C.16) следует, что система C.17) имеет вид
C.2), где gj(г/ь у2)= /?,(«л + Ь,,У2 + ц), i= 1, 2, а для линеа-
линеаризованной системы в точке (g, г]) имеем
причем значения всех производных берутся в точке (g, т]).
Таким образом, линеаризованная система имеет вид у = Ау,
где
fOA\	OA\ -i
дх{	дх2 I
ЯУ	ЯУ
Яг.	AV» J
C.19)
Пример 3.2.3. Получить линеаризацию системы C.9) с по-
помощью разложения Xi и Х2 в ряд Тейлора в окрестности
(-1.1)-
Решение. Вспомним, что
¦"¦1 *Л1» Л2' — *^	*^2* ¦"¦2 \*^1> Л2/ — "^1 "Т" -Л-1Л2»
Матрица Л из C.19) имеет вид
L — 1 ~Г Х2	Х\	J |(Хь х2)=(-1, 1) L" —1J
Следовательно, линеаризация в точке (—1, 1) есть
У\ = Уч, Уч = —уч\
результат получился тот же.
3.3. ТЕОРЕМА О ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Эта теорема устанавливает связь фазового портрета нели-
нелинейной системы в окрестности некоторой неподвижной точки
с фазовым портретом ее линеаризации.
Определение 3.3.1. Говорят, что начало координат яв-
является простой неподвижной точкой системы у = Х (у), у е
gS^R2, если соответствующая линеаризованная система
проста.

90	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Это определение распространяет понятие простоты (см.
п. 2.3) на неподвижные точки нелинейных систем. Его можно
применять и в том случае, когда интересующая нас особая
точка не находится в начале координат; тогда надо ввести
локальные координаты, как в п. 3.2.
Теорема 3.3.1 (теорема о линеаризации). Пусть нелиней-
нелинейная система
У = ?{у)	C.20)
имеет простую неподвижную точку у = 0. Тогда в окрестно-
окрестности начала координат фазовые портреты этой системы и ее
линеаризации качественно эквивалентны, если только непо-
неподвижная точка линеаризованной системы не является
центром.
Эта важная теорема в настоящей книге не доказывается.
Заинтересованный читатель может найти ее доказательство
в книге (Хартман, 1964).
Теорема о линеаризации лежит в основе одного из основ-
основных методов исследования нелинейных систем — метода ис-
исследования устойчивости по линейному приближению. Однако
иногда путают саму теорему и технику ее применения и по-
поэтому недооценивают значение теоремы.
Например, можно сделать следующее ошибочное заключе-
заключение: так как из определения линеаризованной системы видно,
что в достаточно малой окрестности начала координат ли-
линейная часть векторного поля Y служит количественным при-
приближением для самого поля Y, то, очевидно, качественное по-
поведение обоих полей должно быть одинаковым. Приведенное
рассуждение неправильно; в этом можно убедиться на при-
примере системы, линеаризация которой имеет центр (именно
этот случай исключается из формулировки теоремы).
Пример 3.3.1. Показать, что две системы:
*, = -*2-*,(*? +4), *2 = *1-*2(X? + *2)
имеют одну и ту же линеаризацию в начале координат, но их
фазовые портреты качественно различны.
Решение. Обе системы C.21) и C.22) уже представлены
в виде C.2), так как
lira [xt {x\ + ж|)/г] = 0, Km [х2 {х\ + х*)/г] =. 0.

3.3. ТЕОРЕМА О ЛИНЕАРИЗАЦИИ
91
Таким образом, линеаризация обеих систем имеет вид
Х\ — —х2, х2 = х\,	C.23)
эта система имеет центр в точке х\ = х2 = 0. Однако в по-
полярных координатах система C.21) принимает вид
f = r3, ё = +1	C.24)
а система C.22) — вид
f = —r3, ё = +1.	C.25)
Из уравнения C.24) видно, что г > 0 для всех г>0 и что
траектории C.21)—спирали, раскручивающиеся при возрас-
возрастании t. С другой стороны, C.25) дает г < 0 при г > 0
Рис. 3.4. Фазовые портреты для систем C.21) (а) и C.22) (Ь); (с) — их
линеаризации C.23).
и траектории системы C.22) — спирали, закручивающиеся во-
вокруг начала координат при возрастании / (см. рис. 3.4). Та-
Таким образом, неподвижная точка неустойчива для C.21),
а для C.22) устойчива. (Определение устойчивости и не-
неустойчивости см. на с. 97, 99. — Перев.) Однако векторные
поля как той, так и другой системы в достаточно малой
окрестности начала координат с любой заданной точностью
приближаются линейным векторным полем C.23).
Пример 3.3.1 показывает, что количественная близость
векторного поля Y и его линейной части не гарантирует ка-
качественной эквивалентности нелинейной системы и ее линеа-
линеаризации. Теорема о линеаризации заключается в том, что
центр является единственным исключением. Иначе говоря,
если собственные значения линеаризованной системы имеют
действительную часть, отличную от нуля, то фазовые порт-
портреты нелинейной системы и ее линеаризации качественно
эквивалентны в окрестности неподвижной точки. Такие непо-
неподвижные точки называются гиперболическими. Некоторые
примеры даны на рис. 3.5,

92
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
V
VV /
е	f
Рыс. 3.5. Нелинейные фазовые портреты и их линеаризация в начале
координат: (а) — нелинейная система Х\ = sin хи х2 — — sin x2; (b) линеа-
линеаризованная система для (а): х\ = Х\, хг = — х2, седло; (с) — нелинейная
система кх=хх — х\, х2 = х2 + х\; (d) — линеаризация системы (с): хх = х{,
хг = х2, неустойчивый звездный узел; (е) — нелинейная система х\ =
= Т (*1 + хг)
для (е): Х\ = -у (*i +
гиперболические.
х% *2
ездный узел; (е) нел	\
=Т C*2 ~ х[) : @ ~ линеаризованная система
-^- Cjc2 — xi). Все эти неподвижные точки

3.3. ТЕОРЕМА О ЛИНЕАРИЗАЦИИ	93
Заметим, что аналогия между неподвижными точками не-
нелинейных систем и их линеаризацией более тонкая, чем про-
просто качественная эквивалентность, и не сводится к оконча-
окончательной классификации неподвижных точек на устойчивые,
седловые и неустойчивые, приведенной на рис. 2.11. Внутри
устойчивых и неустойчивых классов для неподвижных точек
нелинейных систем также можно определить узлы, вырож-
вырожденные узлы и фокусы1) таким образом, что если неподвиж-
неподвижная точка линеаризации является узлом, вырожденным узлом
или фокусом, то такой же характер имеет неподвижная точка
исходной нелинейной системы.
Это общее свойство гиперболических неподвижных точек
связано со специальным видом непрерывного взаимно одно-
однозначного преобразования, связывающего нелинейную систему
и ее линеаризацию. Такое отображение должно отражать ко-
количественное соотношение между Y и его линейной частью
в данной неподвижной точке. В достаточно малой окрестно-
окрестности неподвижной точки оно должно быть в некотором смысле
близко к тождественному отображению. Это свойство ука-
указанного непрерывного взаимно однозначного отображения
позволяет использовать некоторую дополнительную инфор-
информацию о линеаризованной системе.
Сепаратрисой называется траектория, которая входит в
неподвижную точку (или выходит из нее), касаясь некото-
некоторого фиксированного направления. Из этого определения сле-
следует, что касательные к сепаратрисам линеаризованной си-
системы в некоторой неподвижной точке являются касатель-
касательными и к сепаратрисам нелинейной системы.
Пример 3.3.2. Применить теорему о линеаризации и на-
нарисовать фазовый портрет системы
Х\ = *\ + 4х2 + eXl — I, х2 = — лг2 — х^е C.26)
в начале координат.
Решение. Компоненты векторного поля системы C.26)
дважды непрерывно дифференцируемы, и, следовательно,
применима формула C.19). Получаем при (xitх2) — (О,0)
C.27)
') См. (Баутин Н. Н., Леонтович Е. А., 1976*). — Прим. перев.

94
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
откуда ясно, что линеаризация имеет вид
Х\ = 2х\ -+- 4х2, х2 = —2
C.28).
Это простая линейная система с седлом в начале координат
(ЫД0)
Направления сепаратрис задаются собственными векто-
векторами A,0)г и A,— \)т матрицы А. Они соответствуют соб-
собственным значениям -\-2 и —2. Движение по сепаратрисе пер-
первого направления идет от начала координат (сепаратриса не-
неустойчива), а по сепаратрисе второго направления — к на-
1
Рис. 3.6. (а) — фазовый портрет системы C.26); F) — ее линеаризации C.28).
Заметим, что. ось Х\ является неустойчивой сепаратрисой для обеих си-
систем, так как и для системы C.26), и для системы C.28) к?. = 0 при хг = 0.
Но устойчивые сепаратрисы систем C.26) и C.28) только касаются друг
друга в начале координат.
чалу (сепаратриса устойчива). Итак, неустойчивые сепарат-
сепаратрисы лежат на прямой х2 = 0, а устойчивые — на прямой
х2 — —х (см. рис. 3.6F)).
Для системы C.26) существует некоторая окрестность
начала координат, в которой нелинейные сепаратрисы имеют
вид, указанный на рис. 3.6(а). Это следует из того, что на
прямой х2 = —х\ справедливо dx2ldxx ^ — 1 при хх ;? 0.
Другие примеры касания сепаратрис нелинейных систем
и сепаратрис их линеаризации можно найти на рис. 3.5. Осо-
Особенно интересен звездный узел на рис. 3.5(с) и (d), потому
что как для линейной, так и для нелинейной системы каж-
каждая траектория является сепаратрисой1), т. е. каждая траек-
траектория нелинейной системы при приближении к началу коор-
координат касается соответствующей ей траектории линейной
системы.
') Тот факт, что для нелинейной системы (с) получается звездный
узел, здесь не доказан. — Прим, перев, ,

3.4. НЕПРОСТЫЕ НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ	95
Наши примеры показывают, что при исследовании нели-
нелинейных систем существенны направления сепаратрис соответ-
соответствующих линеаризации. Они дают нам направления нели-
нелинейных сепаратрис в неподвижной точке. Эти направления
называются главными направлениями в данной неподвижной
точке и обычно (как в примере 3.3.2) получаются из линей-
линейного преобразования, связывающего линеаризованную си-
систему с ее канонической системой.
3.4. НЕПРОСТЫЕ НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
Говорят, что неподвижная точка нелинейной системы не-
непростая, если соответствующая линеаризованная система
является непростой. Напомним, что такие линейные системы
имеют целую прямую, а иногда и целую плоскость, непо-
неподвижных точек. Нелинейные члены gi и g2 могут существенно
изменить это поведение; см., например, рис. 3.7.
а	Ь
Рис. 3.7. Фазовые портреты: (а) — для системы х1 = х^, х2 = х2 и №) — для
линеаризации этой системы в точке @, 0): к\ = 0, х2 = х2; здесь ось Xi
состоит из неподвижных точек.
Характер локального фазового портрета определяется те-
теперь нелинейными членами. Поэтому в отличие от простых
неподвижных точек, рассмотренных в п. 3.3, существует бес-
бесконечно много различных типов локальных фазовых портре-
портретов. Некоторые примеры, показывающие, что может проис-
происходить даже для полиномов небольшой степени по Х\ и х2,
изображены на рис. 3.8—3.10. Линеаризации всех систем, при-
приведенных на этих рисунках, имеют на своих фазовых порт-
портретах по крайней мере одну прямую, состоящую из неподвиж-
неподвижных точек. Эти рисунКи показывают сравнительно простые
нелинейные векторные поля.
Линии, состоящие из неподвижных точек, могут возникать
и в нелинейных системах; они не обязаны быть прямыми

96
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
и всегда состоят из непростых неподвижных точек. Рассмот-
Рассмотрим, например, систему
хх = хх—х\, *2 = *2 (*,—*§).	C.29)
Неподвижные точки C.29) лежат на параболе х\ = х^, В про-
/У
Рис. 3.8. х\ = Х\ (xi + 2х2), Хг -
= х2 B*1 + Xi); линеаризация xi =
= 0, х2 = 0.
Рис. 3.9. к\ = Х\ (х\ — 2х2), Х2 —
= х2 Bх\ — х2): линеаризация
х, =0, х2 = 0.
х\ х = х, + 4" Р"С' ЗЛ.L Фазов™
линеаризация х\ =0, х2
Рис. 3.10. Х[ = - х\, х2
Р"С .РР Для си-
стемы Х[ = х, —х2, х2 = х2 (*[— x2j;
непростые неподвижные точки ле-
лежат на параболе х\ = ху
извольной точке (k2, k), ieR, линеаризация имеет вид
у = Ду, где
Ясно, что сЫ;Л —0 для всех k, так что неподвижные точки
непростые. Фазовый портрет C.29) показан на рис. 3.11,

3.5. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК	97
В силу сделанных выше замечаний неудивительно, что не
существует подробной классификации непростых неподвиж-
неподвижных точек. Однако приведенные ниже определения устойчи-
устойчивости (применимые как к простым, так и к непростым непо-
неподвижным точкам) позволяют дать грубую классификацию
качественного поведения.
3.5. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Можно показать, что локальный фазовый портрет в окре-
окрестности произвольной неподвижной точки принадлежит од-
одному и только одному из указанных трех типов: асимптоти-
асимптотически устойчивому, нейтрально устойчивому или неустой-
неустойчивому.
Определение 3.5.1. Неподвижная точка х0 системы х =
= Х(х) называется устойчивой, если для любой окрестности
N точки х0 существует некоторая меньшая окрестность этой
точки N' Е N такая, что любая траектория, проходящая че-
через N', остается в N при возрастании t.
Определение 3.5.2. Неподвижная точка х0 системы х =
= Х(х) называется асимптотически устойчивой, если она
устойчива и, кроме того, существует окрестность N точки х0
такая, что любая траектория, проходящая через N, стремится
к хо при стремлении t к бесконечности.
Этот последний тип устойчивости встречался при изуче-
изучении узла, вырожденного узла и фокуса в п. 2.3. Конечно,
определение 3.5.2 можно применять к простым нелинейным
точкам, рассматривая соответствующую линеаризованную си-
систему. Например, нелинейная система
хх = — х1 + х2 — х\, х2 = — хх—х2-\-х1 C.31)
имеет в начале координат асимптотически устойчивую непо-
неподвижную точку. Это следует из того, что линеаризованная си-
система
х\ — —xi -+- х2, х2 = —Хх — х2	C.32)
имеет собственные значения —1 ± i, так что начало коор-
координат является устойчивым фокусо.м. Существование такой
окрестности начала координат на фазовой плоскости системы
C.3.1), которая требуется в определении 3.5.1, вытекает из
теоремы о линеаризации.
Заметим, что любая асимптотически устойчивая непо-
неподвижная точка устойчива. Но обратное неверно.
4 Зак. 687

98
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Пример 3.5.1. Показать, что для системы
C.33)
начало координат устойчиво, но не асимптотически устойчиво.
Решение. Неподвижная точка в начале координат для си-
системы C.3.4) непростая (линеаризованная система имеет вид
jc, = Х2, Х2 — 0), так что нельзя описывать фазовый портрет
с помощью теоремы о линеаризации.
Однако траектории удовлетворяют уравнению
dx2
x2
для решений которого справедливо равенство
J_ y4 -1- Y2 	Г
2 1 *^ 2
C.34)
C.35)
где Се R. Фазовый портрет изображен на рис. 3.12.
Ни одна из траектории не стремится к началу координат
при t-^-oo; следовательно, неподвижная точка не является
Рис. 3.12. Фазовый портрет для
системы C.34). Траектории удо-
удовлетворяют уравнению-— х* + х* =
= С. Ориентация такова, что Х\ > 0
при х2 > 0.
Рис. 3.13. Типичные окрестности N
и N' (последняя заштрихована)
из определения 3.5.2. Заметим, что
все траектории, проходящие че-
через N', остаются в W.
асимптотически устойчивой. Однако, как показано на рис. 3.13,
для любого круга N с центром в начале координат суще-
существует меньший круг N' такой, что любая траектория, прохо-
проходящая через N', остается в TV. Таким образом, начало коор-
координат устойчиво.
Определение 3.5.3. Неподвижная точка системы х = Х(х)
которая устойчива, но не асимптотически устойчива, назы-
называется нейтрально устойчивой.

3.5. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
99
Существует много примеров нейтрально устойчивых не-
неподвижных точек, аналогичных примеру 3.5.1. Например, не-
нетривиальная неподвижная точка системы уравнений Воль-
терра — Лотка
xi = xi(a — bx2), x2 = —x2(c —
C.36)
где a, b, с, d> О, нейтрально устойчива. Фазовый портрет
этих уравнений изображен на рис. 1.33. Нейтральна^ устой-
устойчивость неподвижной точки (c/d, a/b) следует из существо-
существования окрестностей N и N', удовлетворяющих требованиям
определения 3.5.2, как это показано на рис. 3.14. Ясно, что
эта неподвижная точка не является асимптотически устой-
устойчивой.
Рис. 3.14. Типичные окрестности N
и N' для системы Лотка — Воль-
терра, показывающие случаи ней-
нейтральной устойчивости.
Рис. 3.15. Нейтральная устойчи-
устойчивость точки А для системы Х\ — О,
Х2 = — *2 получается с N = N'.
Другой пример — это непростая линейная неподвижная
точка, показанная на рис. 3.15. Выделенная неподвижная
точка А не является асимптотически устойчивой, так как
существуют траектории, проходящие через окрестность N
(см. рис. 3.15), которые не стремятся к А при f-»-oo. Однако,
если N' = N, то всякая траектория, проходящая через N',
остается в N, так что точка А устойчива.
Определение 3.5.4. Неподвижная точка системых = X(х),
которая не является устойчивой, называется неустойчивой.
Это значит, что существует такая окрестность N непо-
неподвижной точки, что для любой окрестности N' S N имеется
по крайней мере одна траектория, которая проходит через
W и не остается в N. Например, седло неустойчиво, так как
существует сепаратриса, содержащая точки, сколь угодно
близкие к началу координат, причем при движении по этой

100	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
сепаратрисе точка стремится к бесконечности при возраста-
возрастании времени.
Пример 3.5.2. Каковы типы устойчивости простых линей-
линейных неподвижных точек, изученных в п. 2.3?
Решение, (а) Устойчивый узел, вырожденный узел и фо-
фокус обладают следующим свойством: при t-+oo траектории
стремятся к началу координат. Таким образом, N=R2 удов-
удовлетворяет требованиям определения 3.5.1, и эти неподвижные
точки асимптотически устойчивы.
(b)	Центр не является асимптотически устойчивым, но он
устойчив. Это следует из определения 3.5.2 с
N' = N = {(*,, х2) | (х\ + х*I12 < 8, 8 > 0}. C.37)
Таким образом, центр нейтрально устойчив.
(c)	Неустойчивые узел, вырожденный узел и фокус, а так-
также седло неустойчивы в смысле определения 3.5.4.
3.6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
3.6.1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ
Любая точка фазовой плоскости, которая не является не-
неподвижной точкой системы х = Х(х), называется обыкно-
обыкновенной точкой этой системы. Таким образом, если х0 — обык-
обыкновенная точка, то Х{хо)ФО, и в силу непрерывности функ-
функции X существует некоторая окрестность точки х0, содержа-
содержащая только обыкновенные точки. Это означает, что локаль-
локальный фазовый портрет в обыкновенной точке не содержит не-
неподвижных точек. Существует важный результат относи-
относительно качественной эквивалентности таких локальных фазо-
фазовых портретов-—теорема о выпрямлении векторного поля
или теорема о трубке траекторий (см. Хирш и Смейл, 1974)').
Рассмотрим локальные фазовые портреты в типичных
обыкновенных точках х0; эти портреты показаны на рис. 3.16—
3.19. Для каждой из рассмотренных точек х0 выделена неко-
некоторая специальная окрестность, называемая трубкой траек-
траекторий. Траектории системы входят в окрестность на одном
ее конце и выходят на другом; ни одна траектория не может
покинуть эту окрестность через ее боковые стороны. Для
каждого из фазовых портретов, изображенных на рисунках,
мы можем найти такие новые координаты на плоскости, что
трубка траекторий примет вид, показанный на рис. 3.16. На-
Например, на рис. 3.17 мы перейдем к полярным координатам
См. также (Арнольд, 1978*), с. 78. — Прим. перев.

3.6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ И ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ
101
г, 6. На плоскости г, в окружности (г = const) превратятся
в прямые, параллельные оси 6, а радиальные прямые (в =
= const) станут прямыми, параллельными оси г. Таким об-
образом, трубка траекторий на рис. 3.17 примет в полярных ко-
координатах такой вид, как на рис. 3.16.
А
D
-
-
В
С
Рис. 3.16. Система xt => О, х2 =» 1
с типичной трубкой траекторий.
Рис. 3.18. Система ii = xi, x2 —
= — хг. При замене переменных
yi = *i*2 н «/г = In «I, Xi > 0, она
имеет внд Сц =0, у2= 1.
Рис. 3.17. Система х\ = — д(ц,
?3*=xi. В полярных координатах
это г = 0, ё—1.
Рис. 3./9. Теорема о трубке траек-
траекторий гарантирует существование
системы координат, в которых
локальный фазовый портрет в точ-
точке х0 принимает вид, изображенный
на рнс. 3.16.
На рис. 3.18 траектории в окрестности точки х0 лежат на
гиперболах xix2 = К> 0. Если мы введем переменные у\ =
= х\Хч и tj2 = \nx\, то трубка траекторий будет ограничена
координатными линиями у\ = const, y2 = const и на плоско-
плоскости у\, у2 локальный фазовый портрет снова имеет такой
вид, как на рис. 3.16.
Теорема 3.6.1 (Теорема о трубке траекторий или о вы-
выпрямлении векторного поля). В достаточно малой окрестно-

102	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
сти обыкновенной точки х0 системы х = Х(х) существует
дифференцируемая взаимно однозначная замена переменных
у = у(х), переводящая исходную систему в систему у =
= @,1)г.
Теорема о трубке траекторий гарантирует существование
новых координат, обладающих указанным выше свойством,
по крайней мере в некоторой окрестности произвольной обык-
обыкновенной точки любой системы. Таким образом, все локаль-
локальные фазовые портреты в обыкновенных точках качественно
эквивалентны.
3.6.2. ГЛОБАЛЬНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
С помощью теорем о линеаризации и о выпрямлении век-
векторного поля можно установить вид локального фазового
портрета в простейших неподвижных точках и во всех обык-
обыкновенных точках. Однако этой информации не всегда бывает
достаточно для того, чтобы определить полный фазовый порт-
портрет системы.
Пример 3.6.1. Найти и расклассифицировать неподвижные
точки системы
х, = 2х, -х\, х2=-х2 + хххг	C.38)
Попытаться выяснить, какие фазовые портреты для нее воз-
возможны.
Решение. Система имеет неподвижные точки Л =@,0)
и В = B,0). Линеаризация системы в этих точках дает
х, = 2х,, х2= — х2 в А;	C.39)
и
у, = —2у„ у2 = у2вВ.	C.40)
Из теоремы о линеаризации следует, что система C.38)
имеет в А и В седла. Кроме того, нелинейные сепаратрисы
этих седел касаются главных направлений, которые в обеих
точках совпадают с направлениями локальных координатных
осей.
Этой информации недостаточно, чтобы определить каче-
качественный тип глобального фазового портрета. Например, на
рис. 3.20 изображены два фазовых портрета, согласующихся
с локальным поведением траекторий. Эти фазовые портреты
не являются качественно эквивалентными, потому что сед-
ловые точки на рис. 3.20(а) имеют общую сепаратрису, а на
рис. 3.20(Ь) не имеют. Это качественная разница, не суще-

3.7. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
103
ствует взаимно однозначного непрерывного преобразования,
переводящего такие портреты друг в друга.
Возвращаясь к системе C.38), заметим, что Xi 5= 0 на
прямых Х\ — 0 и Х\ = 2, так что на этих линиях лежат траек-
траектории. Кроме того, кг = 0 при х2 — 0. Эти замечания позво-
У
Рис. 3.20. Два качественно различных фазовых портрета, совместных
с локальными фазовыми портретами, полученными с помощью теоремы
о линеаризации.
ляют установить, что рис. 3.20(а) дает качественно правиль-
правильный фазовый портрет.
3.7. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 3.7.1. Непрерывно дифференцируемая функ-
функция f:fl(eR2)->R называется первым интегралом системы
jc=X(jc), xgSeR2 в области D^S, если f(x(t)) постоян-
постоянна на любом решении x(t) системы.
Когда первый интеграл существует, он не является един-
единственным. Ясно, что если f(x)—первый интеграл, то f(x)-\-C
или Cf(x), где Се R тоже первые интегралы. Постоянная С
в этом случае часто выбирается так, чтобы первый интеграл
принимал нужное значение при х = 0. Тривиальные первые
интегралы, тождественно равные постоянной, мы рассматри-
рассматривать не будем.
Тот факт, что f является первым интегралом для системы
х = Х(х), можно выразить в терминах условий на первые
производные:
fx=dfldxv fXl
(предполагается, что они существуют и непрерывны). Так
как f(x) постоянна на любом решении x(t) = (xi(i),x2(t)),

104	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
имеем
-|- / (ж @) = 0 = xjx, (х (t)) + x2U (x (/)) =	C.41)
= X, (х (t)) U (x (t)) + X2 (x «)) U (x @) =	C.42)
= lim{"* + A*i*»-/<*>il .	C.43)
й->сД	h	fix-At)	V '
Уравнение C.43) выполняется во всех точках области D,
т. е: производная функции f по направлению векторного
поля X тождественно равна нулю в D.
Первые интегралы полезны в силу соотношения, которое
существует между их линиями уровня (линии уровня опре-
определяются уравнениями f (x) = const) и траекториями систе-
системы. Рассмотрим какую-либо линию уровня Lc= {x\f(x) =
==С}. Пусть xoeJLc, и пусть %(t) — траектория, проходящая
через точку х0 фазовой плоскости. Так как / — первый инте-
интеграл, f(%{t)) постоянна, т. е. /(?(*)) = /(¦*о)= С. Следова-
Следовательно, траектория, проходящая через точку ха, лежит на ли-
линии уровня Lc.
Если / — первый интеграл, то f постоянна на любой траек-
траектории, лежащей в D, т. е. любая траектория является частью
некоторой линии уровня функции f. Отсюда следует, что
каждая линия уровня есть объединение траекторий. Из един-
единственности решений х — Х(х) следует, что это объединение
непересекающихся множеств.
Первый интеграл называется так потому, что обычно он
получается путем однократного интегрирования дифферен-
дифференциального уравнения
Ж = ^гёг&- ^¦¦^eD'sS.	C.44)
Если решения этого уравнения удовлетворяют равенству
f(xux2)=C,	C.45)
где / : Df -> R, то функция / является первым интегралом
системы х — Х(х) на D'. Это получается дифференцирова-
дифференцированием равенства C.45):
df 	п	f , dx2 f
— =U —/x.-l--^-/*,,
где dxi/dxi подставляется из C.44), затем умножением на
X\(x\,Xi), что дает формулу C.42). Конечно, функция Х\ не
должна при этом обращаться в нуль на D'; иначе C.44) не
имеет смысла и не определяет производную dx2/dx\. Однако
в виде C.42) нули функции Xi не вызывают никаких затруд-
затруднений. Таким образом, если функция f(x) непрерывно диф-

3.7. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	Ю5
ференцируема в некоторой более широкой области D гэ Г/
и там выполняется равенство C.42), то / — первый интеграл
системы х = Х(х) на D'.
Определение 3.7.2. Если система имеет первый интеграл
(нетривиальный. — Перев.) на всей плоскости R2 (т. е. D =
= R2), то она называется консервативной.
Пример 3.7.1. Показать, что система
Х\ = 	Х2, Х2 = Х\	C.46)
консервативна, а система
х\ ==¦ хи х2 = х2	C.47)
не консервативна.
Решение. Из дифференциального уравнения C.44) для
х2 ф 0 получаем
это уравнение имеет решения, удовлетворяющие равенству
ж»+ 4=С, х2ф0,	C.49)
где С — положительная постоянная. Однако равенство C.42)
при
/(*) = *? + **	C.50)
удовлетворяется для всех хи х2 е R2, т. е. C.50) является
первым интегралом системы C.46) на всей плоскости и си-
система C.46) консервативна.
Рассмотрим теперь систему C.47); дифференциальное
уравнение
-g—g-. *.*0.	C.51)
имеет решения
х2 = Сдсь	C.52)
где CeR. В этом случае C.42) выполнено при
f(x) = x2/xu хх = 0,	C.53)
так что D' — это плоскость R2, из которой исключена ось хг.
Не существует никакого способа расширить область опре-
определения функции f.
Если некоторая непрерывная функция удовлетворяет сле-
следующим условиям:
(а) она определена на всей плоскости xi, хъ\

106	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
(Ь) она постоянна на любой траектории системы C.47)
(т. е. на любом радиальном луче и в самом начале коор-
координат) ,
то она — тождественная постоянная. Это следует из того, что
на любом радиальном луче мы легко можем найти последо-
последовательность точек {**}?!, такую, что Нт х. — 0. Тогда по не-
I -»<х>
прерывности f(Xi) — f(O) для всех i и функция f принимает
одно и то же значение во всех точках всех радиальных лу-
лучей. Другими словами,, условиям (а) и (Ь) может удовле-
удовлетворять только функция, постоянная на всей плоскости R2,
т. е. не существует нетривиального первого интеграла на всей
плоскости и C.47) — не консервативная система.
Консервативные системы играют важную роль в задачах
механики. Уравнения движения в таких задачах выражаются
через их гамильтониан. Например, частица, которая дви-
движется в одномерном пространстве с координатой х, момен-
моментом р и гамильтонианом Н(х,р), удовлетворяет уравнениям
движения
^^|iL, р = -д"?».	C.54)
В этом случае Н(х,р) является первым интегралом системы
C.54), так как
дх ' н dp	dt
(ср. с C.42)), и, следовательно, гамильтониан Н постоянен
на траекториях. Другими словами, Н является сохраняемой
величиной, или константой движения.
Пример 3.7.2. Найти гамильтониан для системы
х = р, р = —х + хъ	C.55)
и нарисовать фазовый портрет.
Решение. Дифференциальное уравнение
-5Г= ~*+*3
5Г
имеет решения, удовлетворяющие равенству
x2-i-xi + p2 = C, рфО,	C.57)
где С — постоянная. Из C.42) следует, что первым интегра-
интегралом, определенным на всей плоскости, является
Н(х, р) = х2-±

3.7. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
107
Линии уровня первого интеграла являются объедине-
объединениями траекторий системы C.55),так что мы можем получить
глобальный фазовый портрет C.55), изобразив линии уровня
Н(х,р). Эти кривые показаны на рис. 3.21 (а), а фазовый
портрет — на рис. 3.21 (Ь).
Мы можем показать, что любая линия уровня является
объединением нескольких траекторий. Для этого мы рас-
рассмотрим линию уровня Z-i/2 == {ж | jc2—|- х4 + р2 = y) функции
Н(х,р). Это множество точек показано жирной линией на
рис. 3.21 (а). На рис. 3.21 (Ь) видно, что эта линия состоит из
восьми траекторий.
Рис 3.21. (а) — линии уровня функции Н (х, р) = х'1	1- х4 + рг. Линия L, .„
отмечена жирным шрифтом. (Ь) — траектории системы C.55). Ориентацию
можно установить, если заметить, что х > 0 при р > 0 и х < 0 при р < 0.
Заметим еще, что линеаризованная система для C.55)
имеет центр в начале координат, так что теорема о линеари-
линеаризации не позволяет получить локальный фазовый портрет
в этой точке. На самом деле рассмотрение первых интегра-
интегралов— один из основных способов определения центров для
нелинейных систем1).
Пример 3.7.3. Показать, что неподвижная точка A,1) для
системы
x2 — — х2-\-х{х2	C.58)'
C.59)
является центром.
Решение. Дифференциальное уравнение
dx,
Х\ —
') О других способах см. (Арнольд, 1978*) или (Брюно, 1979*).—
Прим. перев.

108
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
является уравнением с разделяющимися переменными, и его
решения удовлетворяют равенству
g(xi)g(x2) = К,	C.60)
где g(x) = хе~х, и К — некоторая положительная постоянная.
Функция g изображена на рис. 3.22 для х ^ 0; она имеет
единственный максимум при х= 1 cg(l) = r'. Отсюда сле-
следует, что точка (хи х2) = A, 1) есть точка максимума для
первого интеграла g(xi)g(x2). Это значит, что существует
1
Рис. 3.22. График функции хе~* при
такая окрестность точки A,1), в которой линии уровня функ-
функции g(xi)g(x2) замкнуты. Следовательно, линии уровня сов-
совпадают с траекториями (они совпадают с траекториями, так
как замкнуты и не содержат неподвижных точек. — Перев.),
и мы можем-сделать вывод, что точка A,1) — центр.
Важно отдавать себе отчет в том, что первые интегралы
еще не дают решений x(t) для системы; они позволяют только
найти вид траекторий.
Пример 3.7.4. Показать, что системы
Х\ = Хи Х2 = —Х2	C.61)
и
ж, = ж, A — х2), х2 = — х2 {1 — х2)	C.62)
имеют один и тот же первый интеграл, и нарисовать их фа-
фазовые портреты.
Решение. Траектории обеих систем лежат на графиках ре-
решений уравнения
и обе системы имеют первый интеграл
C.64)

3.8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
109
на плоскости R2. Линии уровня функции / являются гипер-
гиперболами, которые для системы C.61) могут быть ориентиро-
ориентированы в силу того, что на координатных осях направление х
известно. Получается просто линейное седло, хорошо извест-
известное по п. 2.3.
. У 1
(г
Рис. 3.23. Фазовый портрет системы C.62). Эта система имеет тот же
первый интеграл, что и линейное седло.
Система C.62) имеет неподвижные точки в начале коор-
координат и всюду на прямой х2 = 1. Кроме того, х2 > 0 для
х2 > 1 и х2 < 0 и х2 < 0 для 0 < х2 < 1. Следовательно, фа-
фазовый портрет имеет вид, изображенный на рис. 3.23.
3.8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
Определение 3.8.1. Замкнутая траектория С на фазовом
портрете называется предельным циклом, если она изолиро-
изолирована от всех остальных замкнутых траекторий; точнее, если
существует трубчатая окрестность С, не содержащая других
замкнутых траекторий.
Мы можем проиллюстрировать это определение, сравнив
предельный цикл с центром (см. рис. 3.24). Можно легко по-
построить примеры предельных циклов в полярных коорди-
координатах.
Пример 3.8.1. Показать, что система
C.65)
имеет предельный цикл х\-\-х\= 1.
Решение. Введем полярные координаты хг = г cos 6, Хз =
= г sin 6; тогда система C.65) примет вид
/=гA— г), 6=1.
C.66)

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Ясно, что /"@— 1. 0@= 1 — решение, задающее замкнутую
траекторию — окружность х\-\-х\=\, пробегаемую против
часовой стрелки с постоянной угловой скоростью 6=1. Для
0 <С г < 1 величина г положительна, и траектории в этой об-
области— раскручивающиеся спирали (вспомним, что 6=1),
приближающиеся к г= 1. При г> 1 имеем /<0и траек-
траектории скручиваются при возрастании t. Фазовый портрет ка-
с
Рис. 3.24. Иллюстрация трубчатой (в двумерном случае — кольцевой)
окрестности (заштрихована). Заметим, что для центра, изображенного
на рис. (а), замкнутые орбиты ие изолированы. Но на рис. (Ь) предельный
цикл является единственной замкнутой орбитой, заключенной в трубчатой
окрестности.
чественно эквивалентен портрету, изображенному на
рис. 3.24(Ь), причем предельный цикл задается уравнением
*? + **= 1.
Не все предельные циклы ведут себя так же, как цикл
из примера 3.8.1. Существует три типа предельных циклов:
(a)	устойчивый (притягивающий) предельный цикл, или
аттрактор,- где траектории навиваются на предельный цикл
с обеих сторон при t-^-oo; см., например, рис. 3.24(Ь).
(b)	неустойчивый (отталкивающий) предельный цикл, или
репеллер, где траектории — спирали, удаляющиеся от пре-
предельного цикла с обеих сторон при ^-»-оо;
(c)	полуустойчивый предельный цикл, где траектории
с одной стороны навиваются на замкнутую траекторию и уда-
удаляются от нее с другой стороны.
Пример 3.8.2. Найти предельные циклы для следующих
систем и определить их тип:
(a)	f = r(r-l)(r-2), 6=1;	C.67)
(b)	r = r(r-lJ, 6=1.	C.68)

3.9. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА	111
Решение.
(а) Существуют замкнутые траектории, заданные уравне-
уравнениями
r(t)= 1, 6 = t и r@=2, e = f.	C.69)
Кроме того,
С>0, 0<г<1,
C.70)
Следовательно, система имеет два предельных цикла, имею-
имеющих вид окружностей: один устойчивый (г=1) и один не-
неустойчивый (г = 2).
(Ь) Система C.68) имеет один предельный цикл в виде
окружности единичного радиуса. Однако здесь г положитель-
положительно для 0 < г < 1 и для г > 1, так что этот предельный цикл
полуустойчивый.
Предельные циклы не всегда имеют вид окружностей,
и не всегда их можно обнаружить, просто перейдя к поляр-
полярным координатам. Например, рассмотрим уравнение Ван-дер-
Поля
х — х(\ — х2) + х = 0,	C.71)
эквивалентное системе первого порядка
х{=х2, х2 = х2{\ — xfj — ху	C.72)
В полярных координатах система принимает вид
r = rsin2e(l — r2cos2G\
C.73)
6 = -1+cosGsine(l-r2cos26).
Эти уравнения не позволяют сразу непосредственно опре-
определить характер фазового портрета. Этот портрет имеет один
притягивающий предельный цикл (см. пп. 4.3 и 5.1). В дей-
действительности задача о нахождении предельных циклов для
нелинейных систем может быть трудной, и сейчас мы зай-
займемся ею подробнее.
3.9. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ —БЕНДИКСОНА
Что характеризует фазовые портреты, содержащие пре-
предельные циклы? Например, для наличия устойчивого пре-
предельного цикла необходимо, чтобы существовала трубчатая
окрестность (в двумерном случае — кольцо) такая, что все
траектории, пересекающие ее границу, стремились к пре-
предельному циклу при t-^oo. Предположим, что на фазовой

112
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
плоскости имеется кольцевая область, обладающая следую-
следующим свойством: все траектории, пересекающие границу, вхо-
входят в эту окрестность. Достаточно ли этого для того, чтобы
в этом кольце существовал предельный цикл? Рис. 3.25 по-
показывает, что не достаточно: в случае, когда имеются седло
и узел, может возникнуть фазовый портрет с указанными
свойствами, но без предельного цикла. Однако теория, кото-
ш
у!
/ ^
/
ч
ч
Рис. 3.25. Фазовый портрет системы г = гA—г), в= sine.
рая излагается в этом параграфе, является развитием именно
такого подхода. Мы начнем с того, что сформулируем основ-
основную теорему без доказательства.
Сейчас мы укажем одно свойство фазового портрета, поз-
позволяющее получать определенные результаты относительно
предельных циклов.
Определение 3.9.1. Пусть задана система х = Х(х) с по-
потоком ф/; множество fleR2 называется положительно ин-
инвариантным множеством для этой системы, если для любой
точки Xo^D траектория ф*(лс0) остается в D для всех поло-
положительных t.
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 3.9.1. Если замкнутая ограниченная область D
является положительно инвариантным множеством, не со-
содержащим неподвижных точек, то в О существует предель-
предельный цикл.
Пример 3.9.1. Показать, что фазовый портрет уравнения
содержит предельный цикл.

3.9. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА	ИЗ
Решение. Соответствующая система первого порядка
имеет вид
х2 = х, + х2 A — Эх* - 2x1);
х2 = — х, + х2
в полярных координатах она превращается в
r = r sin2e(l — 3r2 cos26 — 2r2 sin26),	C.75)
6 = — 1 + 4- si" 26 A — 3r2 cos2 6 — 2г2 sin2 6). C.76)
Заметим, что
(а) Если в уравнении C.75) положить г = -|-, получим
C.77)
причем равенство достигается только при 0 = 0, 0 = п. Та-
Таким образом, множество {х \ г > у} положительно инва-
инвариантно.
(Ь) Из уравнения C.75) следует, что
г sS rsin2 6A— 2г2).
Иначе говоря, для г < l/-\/2 получается г <: 0, причем ра-
равенство достигается только при 0 = 0, 8 = п, т. е. множе-
множество {x\r < l/V^}положительно инвариантно.
Но из (а) и (Ь) следует, что кольцо {*1т <г<
является положительно инвариантным множеством, и так
как единственная неподвижная точка системы — это начало
координат, то мы можем сделать вывод, что в кольце
имеется предельный цикл.
Следующий результат позволяет получить условие, при
котором в области D нет предельных циклов.
Теорема 3.9.2. Пусть D — односвязная область фазовой
плоскости, в которой задано векторное поле X(x) = (Xt(xi,
Х2), X2{xi,X2)), и пусть выражение1)
-|^- + 4г^-	C-78)
dxi ' дх2	'
имеет постоянный знак. Тогда система х = Х(х) не имеет
замкнутых траекторий, целиком лежащих в D.
Для наших целей достаточно вспомнить, что односвязная
область на плоскости — это область, не имеющая «дыр»
*) Выражение C.78) называется дивергенцией векторного поля X.—
Прим. перев.

114	з. нелинейные системы на плоскости
(см. рис. 3.26). Теорема 3.9.2 следует из теоремы Грина для
плоскости, которая формулируется следующим образом.
Пусть действительнозначные функции Р(хих2) и Q{xux2)
имеют непрерывные частные производные первого порядка
в некоторой односвязной области 5? плоскости х\, х2, ограни-
ограниченной простой замкнутой кривой W. Тогда
§PdXl+Qdx2=\\(^---?-)dXldx2, C-79)
%	я
где ф означает интегрирование по кривой ft против часовой
стрелки.
Рис. 3.26. Заштрихованные области (а) и F) не имеют «дыр» и являются
односвязными, а (с) и (d) имеют «дыры» и поэтому не односвязны.
Чтобы доказать теорему 3.9.2, предположим, что для рас-
рассматриваемой системы существует предельный цикл С пе-
периода Т. В C.79) положим Р — —Х2, Q = Х\ и получим
(=0)	C.80)
Равенство C.80) справедливо, так как С — интегральная
кривая, а равенство C.81) следует из C.78). Следовательно,
замкнутая траектория С не может существовать.
Пример 3.9.2. Доказать, что если система
*i = -*2+*i0-*?-*!)> *2=*, + *2A-*i-*D + *.
C.82)
где К — некоторая постоянная, имеет замкнутую траекто-
траекторию, то
(a)	либо эта траектория окружает начало координат;
(b)	либо она пересекает окружность х\ -J- х\ = \.

УПРАЖНЕНИЯ	115
Решение. Выражение
llrL + 4r~ = 2~4(JCi+JC2)	<3-83)
положительно в круге х\ + х\ < ~ и отрицательно вне его.
Таким образом, замкнутая кривая не может находиться це-
целиком в односвязной области {*,, х21 х\ + х\ < у}. Следова-
Следовательно, если замкнутая траектория существует, то она либо
целиком лежит в области {я,, х21 xj + х\ > -~}> либо пересе-
пересекает окружностьх2-\- х\ = \. Если замкнутая орбита содер-
содержится в \xv х21 х\ + х\ > ~}, то она должна окружать на-
начало координат, так как иначе она содержала бы односвяз-
ную область, где выражение C.83) отрицательно.
УПРАЖНЕНИЯ
К пп. 3.1—3.3
1.	Применить метод изоклин и нарисовать глобальные фазовые портреты
следующих систем:
(а) Х\ = Х\Хг, х? = In Х\, Х\ > 0;
/эд х =4х (х. — l) х =х (х + х2\
(с\ х __ х х х — Х2	Х2
2.	Показать, что отображение (Xi, x2) -*¦ (f(r)cosQ. f(r)sir\Q), где xt =
= rcos6, x2 = rsin6, a f(r)= tg(rtr/Br0)), является непрерывной биек-
цией области N = {(xi, х2) | г < г0} на R2. Переводит ли это отображе-
отображение множество концентрических окружностей с центром в 0 в области N
на множество окружностей с центром 0 в R2? Какое свойство локальных
фазовых портретов линейных систем иллюстрирует этот пример?
3.	Нарисовать локальные фазовые портреты в неподвижных точках на
рис. 3.5 (а), 3.21 F) и 3.25.
4.	Найти линеаризации следующих систем в указанных неподвижных точ-
точках. При этом
(a)	либо ввести в неподвижной точке локальные координаты;
(b)	либо применить теорему Тейлора.
(i) i, = X, + хххЦ{\. -f xff, x2 = 2*, — 3*2, @, 0);
(ii) xl-=x\ + s\nx2—\, *2 = sh (я, — l), A,0);
1	I	f	2	2 \	2/1 \	*	/"
Выбрать в каждом случае наиболее предпочтительный метод (если он су-
существует) .

— Х2 ~г X *т" ХХ Х2 == ^ — ^ — ^
П6	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
5.	Применить теорему о линеаризации и расклассифицировать, где это
возможно, неподвижные точки следующих систем:
(a)	х1 = х\ — Зх, +2. х2 = х\ — х\,
(b)	х ==xv x2 = -Xl + x\;
(c)	хх = sin ( *, + х2), х2 = х2;
(d)	х, = ж, — х2 — е*\ х2 — х1 — х2—1;
Х2
(f)	х{ = х2, 2 ( tffJ l
(g)	*,= — Ъх2 + ХуХ2 — 4, х2 = jc| — jff.
6.	Линеаризовать систему
•?[ — x2> •*:2==-'ci — *1
в начале координат. Каков тип неподвижной точки линеаризованной си-
системы? Показать, что траектории нелинейной системы лежат на семействе
кривых
Xj "f~ Х2 — X^jo — С,
где С — постоянная. Нарисовать эти кривые и показать, что нелинейная
система и ее линеаризация имеют качественно эквивалентные локальные
фазовые портреты в начале координат. Почему этот вывод нельзя сделать
непосредственно из теоремы о линеаризации?
7.	Найти главные направления в начале координат, которое является не-
неподвижной точкой всех следующих систем:
(a)	*,=
(b)	xl = — sin xx + x2, x2 = sin x2;
(c)	xt = ln (x, +x2+ 1), Jt2 = — X!+x^, x,+x2>—1.
Зная главные направления, нарисовать фазовые портреты.
К пп. 3.4—3.6
8. Найти семейство интегральных кривых уравнения
dx2 x| — х\
йхх = 2х,х2 ' Хи *sgt0;
сделать замену х\ = и. Нарисовать это семейство решений и с его по-
помощью (или как-нибудь иначе) изобразить локальный фазовый портрет
системы
в непростой неподвижной точке @, 0).

УПРАЖНЕНИЯ	П7
9.	Являются ли фазовые портреты систем i*i = Х\вх', х2 = x2eXl и xi =
= xt, x2 — х2 качественно эквивалентными? Если это так, указать непре-
непрерывное взаимно однозначное отображение, устанавливающее эту эквива-
эквивалентность.
10.	Показать, что «прямолинейные» сепаратрисы в непростой неподвижной
точке системы
Х| = Х2 ( ЗХ| — ^2/* 2 ==s ^l V^l — ^^2/
удовлетворяют уравнению х2 = kxt, где
Пользуясь этим соотношением (или иначе) найти эти сепаратрисы и с
помощью изоклин нарисовать фазовый портрет.
П. Показать, что система
*, = *?—4. *2 = *?(*i!-*2)
имеет целую кривую, составленную из неподвижных точек. Кроме того,
показать, что любая точка этой линии непростая. Можно ли сделать этот
вывод непосредственно из георемы о линеаризации? Справедливо ли это
утверждение для любой системы, имеющей кривую, составленную из не-
неподвижных точек?
12.	Доказать, что неподвижная точка, окруженная континуумом замкну-
замкнутых траекторий, устойчива, но не асимптотически устойчива.
13.	Показать, что для системы
х, = —
+ 2х2 '
преобразование координат
выпрямляет векторное поле в окрестности любой точки (*t, *г) сх2ф—у-
14. Доказать, что следующие системы не имеют неподвижных точек и на-
нарисовать их фазовые портреты:
(a)	x,=
(b)	xt = xt + x2 + 2, х2 = Xt + х2 + 1;
(c)	х, = х2 + 2х\, х2 =¦ 1 + jc|.
15.	Нарисовать фазовые портреты, если известно, что оии имеют
(a)	две неподвижные точки: седло и устойчивый узел;
(b)	три неподвижные точки: седло и два устойчивых узла.
16.	Найти локальные фазовые портреты в неподвижных точках системы
С помощью полученных результатов нарисовать глобальный фазовый порт-
портрет. Проверить правильность своих предположений с помощью метода
изоклин.

^ 18	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
К п. 3.7
17.	Найти первые интегралы для следующих систем и указать области их
определения:
(a)	хх=х2, х2 = х[+1;
(b)	х, =х, (*2+1), *г= — *2(*i + l);
(c)	*,=secx,, x2 = — х\, |ж1|<я/2;
(d)	хх = х, {ххеКг — cos х2), х2 = sin *2 — 2ххеХг.
18.	Найти первый интеграл системы
Х Х^ ЗЯ Л^ ^ ^
(сделать замену дс2 = цж^). Нарисовать фазовый портрет.
19. Чем различаются фазовые портреты следующих двух систем:
20.	Найти первый интеграл системы
id = Х\Хг, Х2 = In Xi
в области Xi > 1. С его помощью (или иначе) нарисовать фазовый порт-
портрет.
21.	Найти первые интегралы для линейной системы х = /дг, где / — жор-
данова 2 X 2-матрица, для узла, центра или фокуса. Указать максималь-
максимальные области существования этих первых интегралов.
22.	Найти гамильтониан Н для частицы, движущейся на прямой по закону
х = — х + ах2,
где а > 0, х — координата. Нарисовать линии уровня гамильтониана Н
на фазовой плоскости. Указать области на фазовой плоскости, в которых
движение не колебательное.
К пп. 3.8, 3.9
23.	Нарисовать фазовые портреты, согласующиеся со следующей информа-
информацией:
(a)	имеются неустойчивый предельный цикл и три неподвижные точки:
одно седло и два устойчивых узла;
(b)	имеются устойчивый фокус и два предельных цикла: одни устойчи-
устойчивый и один неустойчивый.
24.	Для всех следующих систем покажите, что данные области R положи-
положительно инвариантные:
(a) xf=2x1x2, х2 = х% # = {(*,, Х2)\ *2>0};
<Ь) х, = — а*! + xt, х2 = (Р — а) х2, а, Р — const,
R = {(*ь х2) |*2 = рдг,};

УПРАЖНЕНИЯ	11»
(c)	*i= — *i + *2 + *i (*? + *!)• *> = — х\ — Х2
«={(*,. *2)| ж?+*|< 1};
(d)	*i=*l(*|-*l). ^2 = — *i(*2-*l).
25. Найти замкнутые траектории следующих дифференциальных уравне-
уравнений:
(a)
(Ъ)
(с) it + Bх? + х* — 1) а;3 = 0.
26. Показать, что нелинейная система
в полярных координатах имеет вид
г = гA— #¦*), 6=1.
Решить эту задачу с начальными условиями г@) = г0, 6@) = 60 при
( = 0 и показать, что
Изобразить график функции г(<) для
(а) 0 < го < 1; (Ь) г(| = 1; (с) п > 1
и нарисовать фазовый портрет системы. Можно ли более просто получить
фазовый портрет непосредственно из дифференциальных уравнений в по-
полярных координатах?
27.	Доказать, что существует область R = {(#[, х2) \х\ + х2 ^ г } такая,
что все траектории системы
X, == — wx2 + xl (l — jef — л|). jc2 == te»xt Ч-^С1 — x\~x\^ — F
с постоянными я »f входят в эту область. Показать, что при F = 0 эта
система имеет предельный цикл.
28.	Доказать, что система
Xi = 1 — х,хг, Хг = *t
не имеет предельных циклов.
29.	Рассмотреть систему
х, = — wx2 + Ху A — х\ — xl) — х2 {х\ + *|),
х2 = шж, + х2 (l — ж? — .»4) + ж, (дг? + л|) — F,
где ш и F—постоянные. Доказать, что если этэ система имеет предельный
цикл, все точки которого отстоят от начала координат на расстояние,.

120	3. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
большее чем 1/V2, то этот предельный цикл должен окружать начало
координат.
30. Пусть область R = {(хи х2) \ хи хг > 0} положительно инвариантна
для системы х, = X,(xi, хг), х2 = X2(Xi, x2) и пусть
х1 -~ 0 при х2	х\ + Здг, + 1,
«2^-0 при х2 -- х,
соответственно. В предположении, что в R нет замкнутых орбит, доказать,
что единственная неподвижная точка, содержащаяся в R, асимптотически
устойчива.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ
Результаты, полученные в гл. 2 и 3, играют важную
роль в построении и исследовании моделей реальных систем,
зависящих от времени. В этой главе мы продемонстрируем их
возможные приложения на примере построения моделей из
различных областей науки.
В каждой из этих моделей зависящий от времени вектор
x(t) задает состояние системы в момент времени t (см.
п. 1.2.2). Изменение состояний со временем определяется
динамическими уравнениями (или уравнениями движения)
вида х = Х(х), а качественный характер этого изменения —
соответствующим фазовым портретом.
4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
Говорят, что модель линейна, если ее динамические урав-
уравнения линейны. Как мы видели в гл. 2, такие уравнения
могут иметь только вполне определенное качественное по-
поведение. Например, на плоскости качественное поведение
принадлежит одному из типов, указанных в п. 2.4.
4.1.1. МЕХАНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Рассмотрим массу т, поддерживаемую вертикально рас-
расположенной пружиной, как это показано на рис. 4.1. Масса
может смещаться только вдоль оси пружины. Кроме того,
она связана с поршнем, который движется в цилиндре, на-
наполненном жидкостью и помещенном внутри пружины. Пор-
Поршень создает сопротивление движению массы. Это устрой-
устройство представляет собой идеализацию амортизаторов, кото-
которые стоят на большинстве мотоциклов.
Пусть х — смещение массы m вниз от ее положения рав-
равновесия. Предположим, что:
(а) пружина подчиняется закону Гука, так что на массу
действует сила Кх, К> 0, направленная в сторону положе-
положения равновесия;

122
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
(b) сила, с которой поршень действует на массу и кото-
которая препятствует ее движению, пропорциональна кинетиче-
кинетическому моменту р с коэффициентом 2k, k~^0.
В этих предположениях уравнения движения массы ли-
линейны. Их можно записать, воспользовавшись следующими
соображениями:
(a)	момент р массы т за-
задается уравнением р = тх;
(b)	скорость изменения
кинетического момента данной
массы равна приложенной к
ней силе (второй закон Нью-
Ньютона).
Учитывая (Ь), имеем
Рис. 4.1. Масса т находится на
вертикально свернутой пружине S,
неподвижно закрепленной на своем
нижнем конце. Масса соединена
также с поршнем Р. Он движется
в цилиндре, наполненном жид-
жидкостью, и оказывает сопротивление
движению массы т.
где wl = К/т > 0 и k ^ 0.
порядка можно получить,
упр. 28 гл. 1):
D.1)
где / — длина пружины в по-
положении равновесия. Однако
в положении равновесия р =
= р = х = 0, так что К1 =
= mg, и уравнение D.1) мож-
можно переписать в виде
р = тх= —Кх — 2kmx.
Таким образом, координата
массы удовлетворяет линейно-
линейному уравнению второго порядка
x + 2kx + afyc = 0, D.2)
Эквивалентную систему первого
ПОЛОЖИВ Х\ = X И Х2 = X (СМ.
= х2,
= — alxi — 2kx2.
D.3)
Линейная система D.3) имеет матрицу коэффициентов
D.4)
причем tr Л = —2k ^ 0 и det А = со^ > 0. Отсюда следует,
что неподвижная точка в начале координат на фазовом
портрете системы D.3) всегда устойчива (асимптотически
устойчива при k > 0). Как показано на рис. 4.2, для каждого

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
123
фиксированного значения «2 (т. е. коэффициента упругости
пружины К) фазовый портрет при возрастании коэффи-
коэффициента k в пределах 0 ^ k < оо проходит через следующие
стадии: центр, фокус, вырожденный узел, узел. Каждый из
указанных типов фазовых портретов дает движение массы
Фокусы
. det А
Узлы
trA =-2A
Рис. 4.2. Левый верхний квадрант на плоскости tr A — det А, где находятся-
матрицы вида D.4). Из того, что tr A <J 0, следует устойчивость всех
фазовых портретов (см. рис. 2.7).
т, качественно отличное от остальных. Существует четыре
случая:
(a) k = 0
Тогда tr А = 0 и собственные значения матрицы А чисто
мнимые: К\ = —К2 = коо- Соответствующая каноническая си-
система y = Jy имеет решения B.53) с Р = coo, a x = Ах имеет
траектории
(*,(/), х2 (t))=--{R cos (со,,/ +6), — со0Я sin (co0/ + 6)) D.5)
(см. упр. 1). Заметим, что в нашей задаче x2(t)= x\{t). Сле-
Следовательно, фазовый портрет имеет вид, изображенный на
рис. 4.3. На этом рисунке также отражена связь между ко-
колебаниями величины х\ и траекториями.
Итак, движение массы является колебанием; координата
и скорость колеблются с одинаковым периодом То = 2л/о>о-
Говорят, что масса совершает свободные (нет воздействия
внешних сил) незатухающие (k = 0) колебания и что соб-
собственная частота системы равна соо = К/т.
(Ь) 0 < k
coo

124
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
В этом случае собственные значения матрицы А равны
— k ± i(<ag — /г2I72; из B.52) следует, что
х, @ = /?е-** cos (p/ + 6),	D.6)
где р = (со2 - k?)m (см. упр. 1).
Движение характеризуется следующими свойствами:
(a)	амплитуда колебаний уменьшается при возраста-
возрастании t;
(b)	период колебаний равен Т = 2я/р > То.
Говорят, что система совершает затухающие, или демп-
демпфированные, свободные колебания. Эти колебания, а также
Рис. 4.3. (а) — фазовый портрет системы хх = *2, х2 = — со^лг, имеет вид
континуума концентрических эллипсов. Траектория D.5), проходящая через
точку х @) = (R cos 6, — юо# sin 6) соответствует колебаниям, изображен-
изображенным на рисунке (Ь).
соответствующий фазовый портрет изображены на рис. 4.4.
(с) k = «о
Когда /г-э-соо, период Т = 2я/(со2 — /г2) стремится к беско-
бесконечности, и, наконец, при /г ^= сэ0 колебания прекращаются.
Собственные значения матрицы А становятся действитель-
действительными и равными —k. Мы достигли кривой на рис. 4.2, на ко-
которой расположены вырожденные узлы. Такая система на-
называется критически демпфированной (затухающие колеба-
колебания слабо демпфированного случая с 0 <С k <C соо исчезли).
В этом случае из B.48) мы получаем
x(t)=e-kt{a + bt, b — k(a + bt)),	D.7)
где a, b^R (см. упр. 4.1). Характер зависимости x(t) от
начальных условий показан на рис. 4.5(с).

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
126
Предположим, что масса получает начальную скорость
х2 = —«о (so>O), а начальное отклонение хх = х0 > 0. На
фазовом портрете видно, что если s0 > kx0 (т. е. мы нахо-
находимся в точке А при ? = 0), то масса проходит положение
равновесия и только после этого х\-+0. Если же s0 <С kx0
Рис. 4.4. (а) — фазовый портрет системы xi = х2, х2 = — WqACj — 2kx2,
0 < к < ш0; (Ь) — график функции" Х\ (t). Фазовый портрет представляет
собой устойчивый фокус. На (Ь) пунктирной линией показаиы огибающие
колебаний Х\ (t) — кривая Re
-kt
(т. е. при t = 0 мы находимся в точке В), то масса не про-
проходит положение равновесия. Поведение функции xi{t)
в обоих случаях показано на рис. 4.5F).
(d) /г>соо
Собственные значения матрицы А в этом случае уже не
равны, но оба отрицательны: Кх = — k + (/г2—со^I'2, Я2 =
= — k — (k2 — со2)|/2» так что начало координат является
устойчивым узлом. Можно показать, что
Xl(t) = aeM + beM, Xa(Q = Xi(Q,	D.8)
и фазовый портрет имеет вид, изображенный на рис. 4.6.
Если fe->-oo, то X,i —>-0, fa-»—оо; следовательно, главные
направления приближаются к координатным осям, как это
показано на рис. 4.6. Траектории становятся все более кру-
крутыми, и скорость |jc2 | очень быстро убывает. Такая система
называется сильно демпфированной.
Различные движения массы, описанные для случаев
(а)—(d), легко отличить друг от друга в системе подвесок
автомобиля. Сильно демпфированный случай — это «очень
жесткая» подвеска, передающая толчки почти непосред-

126
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
ственно на кузов. Слабо демпфированный случай — автомо-
автомобиль может «переваливаться с боку на бок». Оба крайних
случая неудовлетворительны. Очевидно, самым разумным яв-
,Наклон=-кх,
Рис. 4.5. (а) — фазовый портрет системы Х\ = хг, хц = —
начало координат является вырожденным узлом. Траектория, проходящая
через точку А, дает Х\ (t), что соответствует кривой 1 на рисунке F),
а траектория, проходящая через точку В, дает кривую 2.
ляется критическое демпфирование, допускающее не более
одного перехода через положение равновесия. Читатель мо-
Рис 4.6. (а) — фазовый портрет системы *, =*2, *2== ~ too*i ~ 2Алг2
с k = k\ > ю0; (Ь) — то же с k = k-i > k\ > соо. Главные направления
задаются векторами A, A,i), A Л2) (см. упр. 2).
жет убедиться, что при расчете подвески мотоцикла или авто-
автомобиля обычно выбирается именно этот вариант.
Уравнения D.2) и D.3)—наиболее часто встречающиеся
линейные уравнения движения. Они возникают во всевоз-

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	127
можных моделях для системы, зависящей от времени (см.
п. 4.1.2 и 4.1.3). Для их решений характерны тригонометри-
тригонометрические (или гармонические) колебания, демпфированные (за-
(затухающие) при k > 0. Поэтому уравнения D.2) и D.3) назы-
называются уравнениями демпфированного гармонического осцил-
осциллятора.
4.1.2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Теория электрических цепей является богатым источником
линейных и нелинейных динамических уравнений. Мы кратко
напомним эту теорию для читателей, чьи познания в этой об-
области не достаточно глубоки.
Электрическая цепь — это набор «элементов цепи», обра-
образующих замкнутую схему. Обозначения для некоторых ти-
типичных элементов электрических цепей приведены на рис. 4.7
с указанием единиц измерения.
ИнЭуктив-
Сопротивлеше ность Конденсатор Батарея Генератор
(омы)	^генри) (фарады) (вольты) (вольты)
R	L	С	Е	E(t)
Рис. 4.7. Величины R, L и С — это сопротивление, индуктивность и емкость;
они всегда неотрицательны (если явно не оговорено противное) и ие
зависят от t. Батареи и генераторы — источники разности потенциалов.
Разность электрических потенциалов (измеряется в воль-
вольтах) вызывает движение зарядов по цепи. Это движение
зарядов называется током, измеряется в амперах и обозна-
обозначается /. Мы можем представить себе электрическую цепь
как множество «узлов», между которыми вмонтированы эле-
элементы цепи. Если элемент цепи находится между узлами п
и m цепи, то мы связываем с ним
(a)	разность потенциалов, нли напряжение, vnm;
(b)	СИЛУ ТОКа ]пт.
Напряжение vnm есть разность потенциалов между узлом
п и узлом т, так что vnm = —vmn. Аналогично ]пт — это сила
тока между узлами п и т, и, следовательно, }пт = —]тп.
Разности потенциалов и силы тока в различных элементах
цепи связаны между собой.
Разности потенциалов удовлетворяют закону Кирхгофа
для потенциалов:
Сумма разностей потенциалов для любого замкнутого кон-
контура цепи равна нулю;	D.9)

128	4- ПРИЛОЖЕНИЯ
а токи удовлетворяют закону Кирхгофа для токов:
Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, выте-
вытекающих из него.	D.10)
Кроме этих фундаментальных законов есть законы, свя-
связывающие ток, протекающий через сопротивление, индуктив-
индуктивность или емкость, с напряжением на соответствующем эле-
элементе. Если между узлами пит находится сопротивление, то
Vnm = jnmR.	D.11)
Это закон Ома, и такое сопротивление называется омическим.
Вообще говоря, эта связь нелинейна и
Опт = /Опт).	D.12)
Если не оговорено противное, мы будем считать выполненным
закон D.11),
С
m
а	Ь
Рис.4.8. В формулах D.13) и D.14) / = /nm> v = vnm; разность потенциалов
берется по направлению у.
В случае индуктивности или емкости соответствующие со-
соотношения содержат производные по времени, что и приводит
к динамическим уравнениям. Ниже мы выпишем эти соотно-
шения, используя обозначения, приве-
приведенные на рис. 4.8:
v = L4L	D.13)
и
с-^- = /.	D.14)
,	3	Пример 4.1.1. Найти динамические
LCR	уравнения для ?С/?-цепи (колебатель-
. . «-цепь.	ного КОНТураI изображенной на
рис. 4.9. Показать, что если положить х\ = 1>2з и х2= Огз, то
эти уравнения можно записать в виде D.3).
Решение. Если задать ток / в единственной замкнутой
петле так, как показано на рисунке, то автоматически будет
выполнен закон Кирхгофа для токов; из закона для напряже-

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	129
ний следует
V12 + t>23 + t>31 = 0.	D.15)
Законы для отдельных элементов цепи дают
v12 = }R,	D.16)
f31 = i-§	D.17)
Подставив D.15) и D.16) в D.17) и положив t»2з = f, по-
получим
dt —с"' If — —Г' I-	D19>
Пусть х\ = f, X2 = v = j/C; тогда система D.19) примет вид
*l=Xv Х2 = — а1Х1 — 2kX2>	D20>
где «2 = 1/LC > 0 и 2k = R/L > 0. Система D.20) в точности
совпадает с системой D.3) для механического осциллятора.
Тот факт, что системы D.20) и D.3) одинаковы, означает,
что LC^-цепь является электрическим аналогом механиче-
механического осциллятора. Разность потенциалов на конденсаторе
(функция v = Х\) ведет себя как функция времени в точно-
точности так же, как смещение массы на пружине.
Очевидным образом система D.20) сводится к уравнению
v + 1Ы + (о2о = 0.	D.21)
Фазовые портреты на рис. 4.3—4.6 можно переосмыслить
в терминах х\ = v, xi = j/C. При заданных L и С напряже-
напряжение на конденсаторе может колебаться без затухания (R=0),
осуществлять затухающие (демпфированные) колебания
[0 <С R < 2(L/CI/2], быть критически демпфированным [/? =
= 2(Z,/CI/2] или сильно демпфированным [R > 2 (L/CI/2].
Заметим, что знак функции / определяет направление
тока в цепи. Если / > 0, то ток течет по направлению часо-
часовой стрелки; если / < 0, то против часовой стрелки (см.
рис. 4.9). Рассмотрим, например, случай, когда R = 0, и пред-
предположим, что v@)= v0 > 0, /@) = 0. Из уравнения D.5)
следует, что
(.т. ^М
5 Зак. 687

130	*¦ ПРИЛОЖЕНИЯ
Ток течет против часовой стрелки до момента t = я л]ЬС,
когда
v (я -у/Тс) = — v0 и / (я VIC) = 0.	D.23)
При дальнейшем возрастании ? величина v(t) увеличивается
и j(t) становится положительным. Заряды перемещаются те-
теперь по часовой стрелке до момента I = 2я -yfLC, когда
v Bя V^C) = »о и / Bя УЩ = 0.	D.24)
Состояние цепи при этом может быть точно такое же, каким
оно было при t — 0, и колебания продолжаются. Здесь мы
легко узнаем эллиптические траектории рис. 4.3(а).
4.1.3. ЭКОНОМИКА
Говорят, что экономическая система является замкнутой,
если весь произведенный продукт либо потребляется, либо
вкладывается в рамках этой же экономической системы.
В этом случае отсутствуют экспорт, импорт и приток капи-
капитала извне. Таким образом, если У, С и / являются соответ-
соответственно объемом производства, потреблением и капиталовло-
капиталовложением для некоторой замкнутой экономической системы
в момент времени t, то Y = С + /. В случае наличия притока
капитала (например, правительственные расходы G) эконо-
экономика уЗке перестает быть замкнутой и объем производства
увеличивается на величину G:
.	D.25)
Далее, потребление возрастает с увеличением объема произ-
производства:
C = dY = (l—s)Y,	D.26)
где d, s > 0 — предельные склонности к потреблению и сбе-
сбережению (см. Хэйс, 1975).
Рассмотрим экономическую систему, в которой правитель-
правительственные расходы Go постоянны. В каждый момент t в эко-
экономике существует спрос D(t), определяющий желаемый уро-
уровень потребления и капиталовложений. Задача состоит в том,
чтобы сбалансировать экономику таким образом, чтобы объем
производства совпадал со спросом, т. е. D(t)^ Y(t). Однако
на практике производство не может мгновенно реагировать
на изменение спроса. Существует запаздывание т, которое
связано со временем, необходимым для постройки нового за-
завода и т. п.
Чтобы сбалансировать экономику при наличии запазды-
запаздывания, мы должны составлять планы на будущее и строить

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	131
производство так, чтобы удовлетворять прогнозируемый
спрос, полагая
0.	D.27)
В уравнении D.27) мы полагаем, что за время т капита-
капиталовложения существенно не меняются, т. е. I(t — i) = I(t).
Теперь, если мы учтем, что
2),	D.28)
то увидим, что уравнение D.27) означает достижение баланса
с точностью до величины первого порядка относительно т
при
A - s)тУ (t) = - sY (t) + I(t) + Go	D.29)
для всех (eR.
Хотя величина I(t) за время порядка т существенно не
меняется, она не является постоянной. Капиталовложения
зависят от общей тенденции развития производства. Одна из
возможных стратегий в области капиталовложения — «прин-
«принцип акселератора», согласно которому желательно выполне-
выполнение соотношения I(t) = aY(t), a > 0. Это равенство не может
точно выполняться в силу запаздывания, но мы можем при-
приближаться к нему, если будем брать
i(t) = b(aY(t)-I(t)), b>0.	D.30)
Уравнения D.29) и D.30) служат основой динамической мо-
модели экономики. Их можно привести к более привычному
виду, продифференцировав D.29):
I).	D.31)
Окончательный вид уравнения получим, подставив / из D.29):
A — s) ху + (s — Ъа + A — s) ib) у + sby = 0, D.32>
где у = У — (Go/s). Таким образом, разность между объемом
производства и постоянной величиной G0/s удовлетворяет
уравнению D.2) с
k = (s - Ъа + A - s)x6)/Bx A - s)), cog = s6/(x A - s)) > 0.
D.33)
Если величина k неотрицательна, то можно воспользо-
воспользоваться приведенным в п. 4.1.1 анализом фазового портрета,
предварительно интерпретировав переменные в соответствии
с их экономическим смыслом. В частности, колебания вели-
величины У около Go/s соответствуют периодам подъема и спада.
Новые явления в этой модели возникают, если «коэффи-
«коэффициент затухания» k, заданный формулой D.33), становится.
5*

132
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
отрицательным. Это значит, что соответствующая система
первого порядка
х, = х2, х2 = —togx, + 2 | k | х2	D.34)
имеет в начале координат неустойчивую неподвижную точку.
Качественное поведение в этой точке соответствует поведе-
поведению систем, расположенных в первом квадранте плоскости
tr A— detA, как это изображено на рис. 2.7. В таком случае
пики подъемов увеличиваются с возрастанием t так же, как
и глубина спадов. В этих случаях необходимо внешнее вме-
вмешательство.
4.1.4. СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
Разбиение линейных систем размерности п>2 на подси-
подсистемы меньшей размерности (см. п. 2.7) служит основой рас-
рассмотрения некоторых моделей, в которых имеются связанные
осцилляторы. Обычно предполагается, что рассматриваемые
колебания малы, для того чтобы обеспечить линейность со-
соответствующих уравнений.
Рис. 4.10. Два одинаковых маятника длиной а (Л и В) подвешены в точ-
точках О и О' и связаны друг с другом пружиной естественной длины
1 = 00' с коэффициентом упругости тк. Углы отклонения от вертикали
обозначены 6 и <р, как показано на чертеже.
Рассмотрим два одинаковых простых маятника, соединен-
соединенных легкой пружиной, как это показано на рис. 4.10. Мы ис-
исследуем движение этой системы в вертикальной плоскости,
проходящей через прямую 00'.
Динамические уравнения можно получить, рассматривая
компоненты сил, перпендикулярные стержням маятников.
Для малых колебаний мы получим
D.36)

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
133
Если единицу времени изменить так, что / л/g/a перейдет в t,
и взять
Х\ = 6, х2 = 6, х3 = ф, х4 = ф,	D.36)
то уравнения D.35) можно представить как систему первого
порядка:
Х\ = х2, х2 = — Xi — a (xj — х3),
х3 = х4, х4 = — х3 + а (xj — х3),
где а = U/g > 0.
После линейной замены переменных
Xj —- Xj -f- Xg, ¦^2== ^2 ' ^V
D.37)
x3 —
x
3,
4	2	4
D.38)
система D.37) распадается на две двумерные системы. Матри-
Матрица преобразованной системы имеет вид
О 1
— 1 О
6	о
о о
о
о
"о"
0'
о
Г
о
D.39)
Здесь диагональные блоки соответствуют двум незатухаю-
незатухающим гармоническим осцилляторам, причем один имеет
<оо=1, а другой coo = Vl + 2a- Конечно, матрица D.39) не
является жордановой; чтобы привести ее к жордановой
форме, надо сделать еще одну замену переменных!
, = и„ х'
D.40)
В переменных у система имеет вид у = Jy, где
О
О
—VI + 2а
О
D.41)
Решения системы D.37) являются линейными комбинациями
решений системы у = Jy, и для разных начальных условий
возникают различные интересные эффекты. Например:
(а) 6 = ф = 0, 6 = ф= v.
Из уравнений D.36), D.38) и D.40) следует, что у\ =
= у3 = yi =. 0, у2 = —2v или t = 0; тогда по формулам
B.53)
yi = 2v sin t, г/2 = —2v cos t, y3s= y^ss 0. D.42}

134
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
+ 2аt.
Переходя к естественным переменным, получаем
6 = v sin t, ф = v sin t.	D.43)
Таким образом, 6 == ф, и маятники качаются в одной фазе
с периодом 2я; пружина все время остается нерастянутой.
(Ь) 6 = ф = 0, ё = — ф = v.
В этом случае
D.44)
D.45)
При этом маятники качаются с периодом 2я/у1 + 2а, а раз-
разность фаз составляет я. Они все время симметричны относи-
относительно вертикальной оси, проходящей через середину от-
отрезка 00'.
Эти два специальных колебательных режима называются
нормальными модами для связанных маятников. Они соот-
соответствуют тем решениям канонической системы D.41), для
которых колебания имеются только в одной из подсистем,
в то время как решения другой подсистемы тождественно
равны нулю. В случае (а) одна нормальная координата
[yl = G -f- ф) колеблется, в то время как другая (уз = 6 — ф)
тождественно равна 0. В случае (Ь) координаты меняются
ролями и у\ = 0.
Мы получим другой характер движения, если в начальный
момент 6 = <р=6 = 0, а ф = а при ^ = 0, так что #i@) =
= ?/з@) = 0, у2@) = —v и i/4@) = a/Vl +2a. В этом случае
y1 = vs'mt и у3= ,~-—sinyi + 2afr D.46)
следовательно,
D.47)
Предположим теперь, что коэффициент упругости пру-
пружины % достаточно мал, т. е. 0 <1 а <С 1, так что связь ела-

4.1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
135
бая. Так как для любого р ф О
sin t ± J5LEL = Sin f ± sin p/ ± (-^— l) si
sin
D.48)
то G и ф, определяемые формулами D.47), равномерно
близки к
G = — {sin / — sin Vl + 2а t),
Ф = -|-{sin t + sin Vl + 2<x/},
причем ошибка по модулю не превышает величины
1 -
¦ = а + О (а2).
D.49)
D.50)
Наконец, 6 и ф из D.49) можно приблизить выражениями
6 = — v cos I sin (ctf/2),	D.51)
ф = v sin t cos (at/2).	D.52)
Зависимость G и ф от времени показана на рис. 4.11. Для t,
близких к нулю, маятник В колеблется сильно, а маятник А
Рис. 4.11. Зависимость от времени угловых отклонений 6 и ф для связан-
связанных маятников (формулы D.51) и D.52)). Огибающие (a) sin (at/2) для 6
и F) cos (at/2) для ср расходятся по фазе на л/2, так что амплитуда
колебаний величины в достигает максимума, когда <р близко к нулю.
испытывает колебания малой амплитуды. По мере увеличе-
увеличения t амплитуда колебаний В уменьшается, а А начинает
колебаться все более энергично. При t = я/а маятник В
останавливается, а А колеблется с максимальной амплитудой.
Теперь роли маятников А и В переменились, и колебания А

136	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
затухают, а колебания В усиливаются до момента t = 2п/а.
Это явление, соответствующее периодическому обмену энер-
энергией между двумя маятниками через посредство пружины,
называется биениями. Оно характерно для движения слабо
связанных систем.
4.2. АФФИННЫЕ МОДЕЛИ
В этом параграфе мы рассмотрим модели, описываемые
уравнениями вида
x = Ax + h(t).	D.53)
Такие модели могут описывать те же системы, что и в п. 4.1,
но с внешними воздействиями, зависящими от времени.
Рис. 4.12. Введение в цепь источника тока, как показано выше, приводит
линейную систему D.20) к аффинной форме.
Внешнее воздействие сказывается в присутствии вынуж-
вынуждающего члена h(t); его физическая природа зависит от рас-
рассматриваемой системы. Например, если к массе, находящейся
на пружине (см. п. 4.1.1), приложена направленная вниз
внешняя сила F(t), отнесенная к единице массы, то вместо
уравнений D.3) мы получим
х]=х2, *2= — «ogx, — 2kx2 + F{t)	D.54)
Аналогично, если в LCR-иепъ из п. 4.1.2 включен источник
напряжения (см. рис. 4.12), то

4.2. АФФИННЫЕ МОДЕЛИ	137
Изучим влияние периодического вынуждающего члена
. ° ,1	D-57)
ho cos at]
на затухающий гармонический осциллятор, рассмотренный
в пп. 4.1.1 и 4.1.2.
4.2.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ВНЕШНИМ
ВОЗДЕЙСТВИЕМ
Согласно уравнению B.92), получаем
t
х (t) = eAtx0 + eAt jj e~Ash (s) ds.	D.58)
О
Эта формула дает решение уравнения D.53), при t = 0 об-
обращающееся в х0.
Если член h(t) задан формулой D.57), то интеграл в
D.58) можно вычислить с помощью интегрирования по час-
частям (см. упр. 12). В результате получим
t
(со2/ + A2) J e~Ash (s) ds = Ah @) - e~At {ft (t) + Ah (fj\. D.59)
о
Таким образом,
x(t) = xT{t) + xs{t),	D.60)
где
xT (t) = eA(t) {x0 + (v?! + A2)'1 Ah@)},
*s @ = ~ (»2/ + A2)'1 {h @ + Ah (*)}.
Первое слагаемое xT(t) в D.60) является частным решением
системы уравнений свободного гармонического осциллятора
(без вынуждающего члена)
г П	1-1
D.61)
В п. 4.1.1 мы заметили, что для D.61) неподвижная точка
в начале координат асимптотически устойчива для всех k > 0,
так что xT{t)^-0 при <->-оо. Мы говорим, что xT(t)-^-0 есть
затухающая компонента решения. Второе слагаемое Xs{t)
является установившейся компонентой решения и определяет
главную часть решения, когда колебания xT(t) уже затухли.

J38	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
4.2.2. РЕЗОНАНС
Если частота вынуждающего члена близка к некоторой
специальной частоте, определяемой величинами соо и к, то-
возникает явление резонанса. Чтобы понять его природу, мы
более подробно рассмотрим xs{t). Легко показать, что
— со2 — 2k
Заметим, что
det (а>4 + Л2) = (со2 - со2J + №<&Ф0	D.63>
для k >0; следовательно, существует обратная матрица. Она
задается формулой
D.64>
Наконец, мы можем вычислить
*s@ =
L*S2 W J
((Bq — (B2) COS (B/ ¦
1
Заметим, что xs2@ = JCsi (О; так и должно быть, потому что
x(t)->xs(t) при t-yоо. Ограничимся тем, что рассмотрим
одну лишь функцию xsi(t). Она является линейной комбина-
комбинацией cos &t и sin at, и, следовательно, ее можно записать
в виде
xSi(t)= G(co)cos(co< — л(ю)).	D.66J
где
0("-[УО'+<лг-	D67)
Л (со) - arctg Г^^! + -п [ 1 - sign (со2 - со2)]. D.68)
L w0 — w J 2
Для заданной физической системы (т. е. для заданных соо
и k) величина G (со) имеет максимум при со = сок, где
,	D.69>
D-70)
если только соо > 2fe2. Кроме того,

4.2. АФФИННЫЕ МОДЕЛИ
139
и G((x>R)/h0—>-oo при &—>-0. Это значит, что если затухание
в рассматриваемой физической системе достаточно слабо, то
амплитуда вынужденного колебания G(to«) велика по сравне-
сравнению с амплитудой /г0 вынуждающего члена (см. рис. 4.13).
Говорят, что в системе возникает резонанс или система резо-
резонирует в ответ на вынуждающее воздействие; a>R называется
резонансной частотой.
Рис. 4.13. Графики функций G (со) для различных значений к (a) k = Ьл
где Юр < 2^q; F) k = Ар где Mq > 1k\\ максимум достигается при и =
«= м^ < и0; (с) fe = А2 < Aj', максимум достигается при w = ш^2, причем
<о^ < и^2 < w0. Обратите внимание на заострение пика и его сдвиг вправо
при уменьшении k.
Явление резонанса имеет многочисленные применения,
особенно в электронике, где часто используются настраиваю-
настраивающиеся устройства. Мы проиллюстрируем эту идею на примере
LCft-цепи, показанной на рис. 4.12, с E(t) = focosco^. Мы
уже видели в формулах D.20) и D.56), что в этом случае
cog = 1/LC, 2k = R/L и h (t) = Г
0
{EJLC) cos orf
]• D.71)
Ток, соответствующий стационарной компоненте решения, ра-
равен CxS2(t), т. е.
/ (t) = — CcoG (со) sin (со* — т] (со)) = /0 cos (со/ + [л/2 — г\ (со)]).
D.72)
Его амплитуда
/о = CcoG (со) —
/. {[со2 - (l/LC)]2 + (Z?2//.2) и2}1/2
?
[и/. - A/соС)]2}1/2 '
D.73)

140	*¦ ПРИЛОЖЕНИЯ
Отношение Z = Eo/jo называется импедансом цепи. Для
LCR-цепп
Z == {R2 + [toL — A /соС) ]2} V2.	D.74>
В этом случае резонансная частота определяется соотно-
соотношением
aRL-i^c-=0 или <4=-ш-
¦Г?
При этой частоте импеданс цепи минимален и принимает
значение R, а для частот, близких к резонансной, импеданс
мал, если мало сопротивление R. Для других частот импе-
импеданс возрастает по мере их удаления от частоты со«, и ам-
амплитуды соответствующих токов уменьшаются. В этом случае
говорят, что контур селективный, сильнее всего отвечающий
на воздействие с частотой, близкой к со«.
Если, например, емкость С варьируется, то можно менять
и резонансную частоту. Поэтому можно настраивать контур,
чтобы получать сильный ответ на воздействие заранее за-
заданной частоты.
4.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
Несмотря на несомненные успехи, которые приносит изуче-
изучение простых линейных моделей, они имеют свои ограничения.
Например, качественное поведение линейной модели на пло-
плоскости должно относиться к ограниченному числу типов. Ли-
Линейные модели могут иметь только одну изолированную не-
неподвижную точку; если в них возникают незатухающие коле-
колебания, то только гармонические (т. е. тригонометрические);
такие колебания возможны лишь вокруг положения равнове-
равновесия в начале координат фазовой плоскости и т. д. Если каче-
качественное поведение моделируемой физической системы не под-
подчиняется этим ограничениям, то для такой системы линейная
модель не годится.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые задачи из
области динамики популяций и теории электрических цепей,
для которых необходимо построение нелинейных моделей.
4.31. КОНКУРИРУЮЩИЕ ВИДЫ
Два сходных вида животных конкурируют друг с другом
на некоторой территории с ограниченными запасами пищи.
Возможны различные исходы их конкурентной борьбы:
(a)	вид 1 выживает, а вид 2 вымирает;
(b)	вид 2 выживает, а вид 1 вымирает;
(c)	оба вида сосуществуют;
(d)	оба вида вымирают.

4.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ	141
Каждый из этих исходов соответствует некоторому поло-
положению равновесия для популяций х\ и х2 двух рассматривае-
рассматриваемых видов. Поэтому дифференциальные уравнения, модели-
моделирующие динамику популяций х\ и х2, должны иметь четыре
изолированные особые точки.
Рассмотрим следующие нелинейные динамические урав-
уравнения:
xi — (a — Ъх\ — ах2)хи х2 = (с— vxi — dx2)x2, D.76)
где а, Ъ, с, d, a, v > 0. Заметим, что прирост на особь
х\/х\ = а — Ъх\ — ах2 состоит из трех слагаемых: скорости
размножения изолированной популяции а; члена, соответ-
соответствующего внутривидовой конкуренции —Ъх\\ члена, соответ-
соответствующего межвидовой конкуренции —ох2. Аналогично ин-
интерпретируются члены с, —dx2 и —vxt в уравнении для
х2/х2. Необходимое условие для возможности выживания
обоих видов состоит в том, что должна существовать непо-
неподвижная точка уравнений D.76), обе координаты которой по-
положительны. Такая неподвижная точка для уравнений D.76)
существует тогда и только тогда, когда линейные уравнения
Ъх\ + ох2 = a, vxi + dx2 = с	D.77)
имеют решение с положительными координатами. Мы будем
предполагать, что система D.77) имеет единственное решение
в первом квадранте плоскости х\, х2. В этом случае непо-
неподвижная точка имеет координаты
(ad-ас be - av \	.
\bd-va ' bd-va )'	к*ш/0'
причем либо
bd < vo, ad<.ac и be < av,	D.79)
либо
bd > vo, ad> ас и bc> av.	D.80)
Геометрический смысл этих неравенств проиллюстрирован на
рис. 4.14.
Сейчас мы рассмотрим характер изменения величин х\, х2
при условиях D.79); в упр. 16 предлагается рассмотреть
некоторые другие возможности.
Мы начнем с того, что произведем линеаризацию системы
во всех четырех неподвижных точках. Каждую из линеари-
линеаризованных систем мы обозначим у = Wy, где у — локальные
координаты в окрестности соответствующей неподвижной
точки. Ниже для каждой из неподвижных точек указана ее

142
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
матрица W:
[a 01
[a — oc/d 0 1
-veld -c\>
[—a — oa/b 1
0 с — va/b J
D.81)
D.82)
D.83)
/ ас - ad av - be \	I Г Ь (ос — ad ст(стс — ad) Л
Kvo-bd' va-bd)' bd-va [v(av — be) d(av — 6c) J
Все неподвижные точки простые, a их вид определяется
собственными значениями соответствующих матриц W. Для
c/d
a/ff
Ф 0/6 Xf
а/b с/у
a
Рис. 4.14. Геометрический смысл условий D.79) (а) и D.80) (Ь). Непод-
Неподвижные точки системы D.76) отмечены жирной точкой.
D.81) это числа а > 0 и с > 0, и по теореме о линеаризации
начало координат — неустойчивый узел. Собственные значе-
значения W из D.82) тоже легко усматриваются, так как матрица
W треугольная, и оба значения отрицательны (см. D.79)).
То же справедливо относительно W из D.83), и в каждом из
этих случаев теорема о линеаризации позволяет сделать вы-
вывод, что эти точки — устойчивые или вырожденные узлы (за-
(заметим, что возможны равенства а — oc/d = —с или с —
— va/b = —а). Наконец, неподвижная точка D.84) является
седлом, поскольку
<0
D.85)
(по условиям D.79)), и собственные значения W должны об-
обладать противоположными знаками (см. рис. 2.7).
Теперь видно, что сосуществование является чрезвычайно
маловероятным, так как при t-^-oo в седло входят только две

4.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
143
сепаратрисы. Неподвижные точки @, c/d) и (а/Ь, 0) устой-
устойчивы и соответствуют вымиранию видов 1 и 2. Начало коор-
координат является неустойчивым узлом, так что возможность
вымирания обоих видов исключена, поскольку все траекто-
траектории удаляются от точки @, 0). Предполагая, что все началь-
начальные положения в первом квадранте равновероятны, мы ви-
видим, что наиболее вероятным исходом является вымирание
одного из видов. Полученный нами результат находится в со-
соответствии с «принципом конкурентного исключения», со-
согласно которому в таких ситуациях конкурентной борьбы
один из видов вымирает.
c/d
а/в
хг
с/у
а/Ь
Рис. 4.15. Показаны знаки, которые
величины х\, Хг, заданные уравне-
уравнениями D.76), принимают в первом
квадранте. Обозначения следую-
следующие: i > означает, что xi, Xz> 0:
Г^ означает, что xi > 0, лг2 < 0;
<J соответствует х\ < 0, л:2 > О
и "* соответствует ii, лг2 < 0.
c/v	a/b f
Рис. 4.16. Фазовый портрет системы
для конкурирующих видов D.76)
для случая bd < va, ad < ас,
be < av.
Дальнейшие подробности относительно эволюции этих
двух видов можно получить, нарисовав фазовый портрет рас-
рассмотренной модели. Заметим, что прямые из уравнений
D.77) — это изоклины направлений хх = 0 и х2 = 0 соответ-
соответственно. Направление векторного поля ((о — Ъх\ — ох2)хи
(с — vxi — йх2)х2) можно получить, исследуя знаки к\ и x2l
как это показано на рис. 4.15. Этой информации вместе со
сведениями о характере неподвижных точек достаточно для
того, чтобы построить фазовый портрет, изображенный на
рис. 4.16. Различные детали, например какой оси касаются
траектории, выходящие из начала координат, зависят уже от
величин собственных значений. Например, на рис. 4.16 пред-
предполагается, что с < а и поэтому траектории на рисунке ка-
касаются оси х2. Относительно аналогичных деталей см. упр. 15.

144	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
4.3.2 УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА — ЛОТКА
Самые общие колебания, которые могут возникнуть при
рассмотрении автономных линейных уравнений на плоскости,
имеют вид
х, (/) = Я, cos {fit + 8,), х2 @ = R2 cos (p* + 62); D.86)
им соответствуют замкнутые эллиптические траектории на
фазовом портрете. Кривые, заданные уравнениями D.86),
сильно симметричны, и, хотя изменение параметров Rt и 6,-
(t=l, 2) допускает изменение амплитуды и сдвиг началь-
начального положения точки, форма траекторий остается неиз-
неизменной.
В динамике популяций существует много примеров, когда
изменение численности популяций во времени носит колеба-
колебательный характер.. Однако эти колебания заметно отличаются
от гармонических, и для того, чтобы их промоделировать, не-
необходимы нелинейные уравнения. Одним из самых известных
примеров уравнений описания динамики взаимодействующих
популяций являются уравнения Вольтерра — Лотка.
Рассмотрим модель, содержащую два вида, один вид —
хищники, а другой — их добыча. Пусть х\ и д:2 — популяции
жертв и хищников соответственно. Предположим, что между
особями одного вида нет соперничества. Пусть прирост на
особь xi/jti для жертв составляет а — Ъх2, а, Ъ > 0, где а —
скорость размножения жертв в отсутствие хищников, а —Ъх2
есть член, учитывающий потери от хищников. Популяция
хищников уменьшалась бы в отсутствие их пищи (т. е.
жертв), так что х2/х2 = —с, с > 0 при хх — 0. Однако нали-
наличие жертв в случае удачной охоты на них компенсирует это
уменьшение, так что при х\ > 0 имеем х%/х2 = —с + dxu
d > 0. Таким образом, система имеет вид
Xi = (а — Ьх2) х\, Х2 = (—c-\-dx\)x2,	D.87)
где а, Ь, с, d > 0. Это и есть уравнения Вольтерра — Лотка.
Система D.87) имеет две неподвижные точки: @,0) и (c/d,
afb). Первая из этих точек — седло, для которого оси Х\ и х2
являются сепаратрисами, причем ось х2 устойчивая. Линеари-
Линеаризованная система в нетривиальной неподвижной точке {c/d,
а/Ь) имеет центр, и, следовательно, теорема о линеаризации
не дает возможности определить характер этой точки для ис-
исходной системы.
Система D.87) имеет первый интеграл
f (xv x2) = x\e-dx^e-b^ = g(xx)h(*2)	D.88)
(см. пример 3.7.3). Здесь функции g{xi) и h(x2) одного и того
же вида: обе они положительны на полуоси @, оо) и имеют

4.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
145
на ней один максимум. Типичные графики этих функций изо-
изображены на рис. 4.17.
Функции g(xi) и h(xz) принимают максимальные зна-
значения при х\ = c/d и Х2 = а/Ъ соответственно, и, таким об-
образом, функция }(х\,Х2) принимает максимальное значение
д(ф) -
h(a/b) -/->
a/b c/d
Рис. 4.17. Графики функций g (x)	Рис. 4.18. Фазовый портрет для
и h (х) для а = 4,0; b = 2,5; с = 2,0;	системы уравнений Вольтерра —
d= 1,0. Максимумы принимаются	Лотка: х\ =(а — Ьх2) х\, лг2 =
при x = c/d и х = а/Ь соответ-	=(—с + dx\)x2 с а = 4,0; b = 2,5;
ственио.	с = 2,0; d=l,0.
g(c/d)h(a/b) в точке (хи д:2) = (c/d, a/b). Следовательно, ли-
линии уровня функции f(xi,x2) являются замкнутыми кривыми,
окружающими точку (c/d, a/b). Траектории системы D.87)
совпадают с этими линиями уровня, и точка (c/d, a/b) яв-
является центром.
Рис. 4.19. Колебания функций Х\ и х2, полученные из фазового портрета
на рис. 4.18.
Функции g(x\) и h(x2) не симметричны относительно
своих максимальных значений и, следовательно, замкнутые
траектории не являются эллипсами. Обе функции g и h имеют
крутой подъем и относительно пологий спуск (см. рис. 4.17);
это значит, что траектории имеют форму, указанную на

146	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
рис. 4.18. Неэллиптическая форма траекторий этого нелиней-
нелинейного центра отражает негармонический характер колебаний
численности популяций (см. рис. 4.19).
4.3.3. МОДЕЛЬ ХОЛДИНГА — ТЭИНЕРА
Хотя незатухающие негармонические колебания встре-
встречаются для нелинейных систем с центрами на фазовых порт-
портретах, неизвестно, являются ли такие колебания устойчивыми
относительно возмущений самой модели. Мы видели в п. 4.1,
что для гармонического осциллятора центр может быть раз-
разрушен даже самыми слабыми демпфирующими воздействия-
воздействиями; при этом он превращается в фокус, то же можно сказать
о колебаниях простого маятника (см. упр. 25). Аналогичная
вещь происходит с уравнениями Вольтерра — Лотка D.87):
предположим мы модифицировали их таким образом, чтобы
учитывалась внутривидовая конкуренция. На фазовом порт-
портрете измененной таким образом системы уже не будет центра,
и колебания популяции затухают. Способность к легкому раз-
разрушению вообще является характерным свойством центров;
говорят, что они структурно неустойчивы •).
Другая возможность, при которой в нелинейных системах
возникают незатухающие колебания, — это наличие предель-
предельных циклов на их фазовых портретах (см. п. 3.8). Предельные
циклы являются структурно устойчивыми и, следовательно,
представляют собой более «постоянную» характерную черту
фазового портрета системы: они не имеют тенденции исчезать
при относительно малых возмущениях модели. Модели, не
чувствительные к малым возмущениям, называются грубыми*
Поскольку большинство моделей являются идеализациями,
в которых внимание сосредоточено только на некоторых
основных переменных и соотношениях между ними, такой вид
устойчивости чрезвычайно важен.
Система «хищник — жертва» для двух видов является,
конечно, именно такой идеализацией, и модель Вольтерра —
Лотка не является грубой. Поэтому возникает сомнение, от-
отражает ли система D.87) настоящий механизм колебаний
численности популяций. Модель, в которой возникают струк-
структурно устойчивые колебания численности популяций для си-
системы «хищник — жертва», — это модель Холлинга — Тэннера.
Динамические уравнения этой модели имеют вид
х, = г A - х,/е-')*1 - висл (D + ДО.	D.89)
где г, s, К, А / > 0.
*) Определение структурной устойчивости и неустойчивости см. в кни-
книге (Арнольд, 1979), с. 85. — Прим. перев.

4.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
147
Скоростью роста популяции жертв х\ является разность
двух членов:
(a)	r(l—xiK~l)xi, задающего скорость размножения
жертв в отсутствие хищников. Сюда включен член, соответ-
соответствующий межвидовой конкуренции в условиях ограничен-
ограниченных ресурсов (см. п. 1.2.2);
(b)	wxiX2(D -\- xi)~\ описывающего влияние хищников.
Чтобы объяснить вид члена (Ь), надо понять влияние хищ-
хищников в терминах «коэффициента хищничества». Это — коли-
количество жертв, убиваемых одним хищником в единицу вре-
времени. В уравнениях D.87) коэффициент хищничества равен
bxi. Это значит, что количество жертв, убиваемых одним хищ-
хищником в единицу времени, неограниченно растет вместе с по-
популяцией жертв.
ш
Рис. 4.20. Интенсивность хищничества для модели Холдинга — Тэинера
Наклон в точке х\ = 0 есть w/D, величина насыщения — w.
Более разумным представляется предположение, что су-
существует верхний предел коэффициента хищничества, т. е.
что хищник перестает убивать, когда насыщается. Это учи-
учитывается видом члена (Ь), в котором коэффициент хищниче-
хищничества равен wx\(D -\-х{)~1 (см. рис. 4.20).
Скорость роста популяции хищников кч такая же, как
в D.89), в предположении, что жертвы достаточно редки. До-
Допустим, что количество жертв, необходимых для поддержания
жизни одного хищника, равно /. Таким образом, популяция
из х\ жертв может поддерживать не более чем X\/J хищни-
хищников. Мы должны построить модель таким образом, чтобы
количество хищников не превышало критическую величину
x/J; это достигается при
¦ _ (	sJ \
Х2 — Х2 ys ~^ X2J •
Именно это уравнение задано в D.89). Изоклины направле-
направлений xi = 0 и Х2 = 0 для уравнений D.89) показаны на

148
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
рис. 4.21. Как видно из чертежа, существует неподвижная
точка с положительными значениями х\ и х2\ обозначим ее
{ху л:2) = (х*, х*2). Чтобы определить характер этой неподвиж-
неподвижной точки, удобно в уравнениях D.89) изменить масштаб
К х%
-arz=0
х.
Рис. 4.21. Изоклины для системы D.89): Xi = 0 на хг = rw '(l,— xiK ') X
y.(D + xi); эта кривая имеет максимум при х\ = (/С — ?>)/2, х2 = Оиа
хг = ]~хх\. Пересечение этих кривых может происходить (а) при
Xl >(К - D)/2 или (fc) при хх < (К - D)/2.
переменных, разделив их нах*: yl=xjx\, У2 = х2/х\. Получим
уравнения
^i==r(l — ylk~l)yl — wy1y2(d + y1yl,
y2 = s(l-Jy2y^)y2,	D90>
где k = K/x*, a d — Dlx\. Кроме того, на плоскости уи у2 не-
неподвижная точка имеет координаты
(^'^) = A' rw-'(l-k-i)(l+d)) = (l,J-i). D.91)
Матрица коэффициентов линеаризованной в точке (у*, у*Л
системы имеет вид
si
, о
1
Заметим, что
det W =
wd (rJ)
D.92)
D.93)
так что (г/*, г/*) никогда не может быть седлом. Однако,
подставив да (г/)-1 из D.91), получим, что
tr W = г (ш {rjy1 A + d)~2 - k~l) ~s =
==r(k-d-2)(k(l+d))i-s,
D.94)

4.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
149*
а это выражение может быть как положительным, так и от-
отрицательным.
Пусть ф( — оператор эволюции для системы D.90). Рас-
Рассмотрим fft(k, 0+) при t > 0. Как показано на рис. 4.22, эта
Уг
2/2
Vi
Рис. 4.22. Положительно нивариаитиые множества S, содержащие непод-
неподвижную точку (#*, j/g) и ограниченные траекторией {(pt (ft, 0+) 11 > 0} в
частью изоклины х1 = 0: (а) х\ > (К — D)/2; (fc) x\ < (К — D)/2.
траектория должна обойти вокруг неподвижной точки и пе-
пересечь изоклину к\ = 0 в точке А. Множество S, заключенное
между этой траекторией и участком изоклины х\ = 0 между;
точками А и (k, 0), положительно инвариантно.
Vt
Рис. 4.23. Фазовый портрет системы D.90) при г = A, 0); s = 0,2; k = 7,0;
d — 1,0; виден устойчивый предельный цикл модели Холлнига — Тэннера.
Если tr W > 0, то (у*, у*Л является неустойчивой непо-
неподвижной точкой, и из теоремы о линеаризации следует, что
существует некоторая окрестность Af неподвижной точки, со-
содержащаяся в S и такая, что S\Af — положительно инва-
инвариантное множество. Однако в S\// нет неподвижных точек,
и в силу теоремы 3.9.1 в этом множестве должна содержаться

150
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
замкнутая орбита. Таким образом, если набор параметров
(г, s, k, d) удовлетворяет условию
г (k - d - 2)
S <
k A + d)
D.95)
то на фазовом портрете системы D.90) имеется устойчивый
предельный цикл (см. рис. 4.23). В упр. 19 показано, что это
может случиться только тогда, когда точка (#*, у'Л лежит
левее максимума на нулевой изоклине х\ = 0. То есть фа-
фазовый портрет, соответствующий рис. 4.22(а), не имеет пре-
предельного цикла; точка (#*, у*Л является здесь просто устой-
устойчивым фокусом.
4.4. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
4.4.1. ОСЦИЛЛЯТОР ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
Рассмотрим модификацию последовательной LCR-цепи,
показанную на рис. 4.24. Предположим, что «черный ящик»/?
является элементом цепи (или объединением нескольких эле-
элементов цепи) с вольт-амперной характеристикой, изображен-
Jnm JB
Jb
т
В	а	Ъ
Рис. 4.24. Модификация последовательной LCR-цепи (рис. слева).
Рис. 4.25. (а) — вольт-амперные характеристики для черного ящика на
рис. 4.24. С помощью величии, введенных на рис. (Ь), можно записать
уравнение этой кривой: VB— f (/д) = /д (fj"'в — ')'
ной на рис. 4.25(а). Такой черный ящик называется нели-
нелинейным резистором с кубической вольт-амперной характери-
характеристикой:
Пусть vL, vb и —vc суть разности потенциалов на элементах
цепи на рис. 4.24 в направлении тока /. Динамические урав-
уравнения цепи имеют вид
«- C^L—Л	D.97)

4.4. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
151
Мы применили здесь закон Кирхгофа для напряжений и исклю-
исключили vl. Теперь сделаем замену LrH-^t, Х\ = /, х2 = vc,
L/C = tj, и получим
xi = x2 — f(xi), х2 — —трсь	D.98)
Система D.98) имеет неподвижную точку при Х\ = а2 = О
и изоклины, показанные на рис. 4.26. Предположим теперь,
/
f*-*—//-*
Рис. 4.26. Изоклины для системы D.98): *i=0 на кривой хг=1(х,);
х2 = 0 на оси х2. Направление векторного поля вне этих изоклин указано
для малых rj (рис. слева).
Рис. 4.27. Фазовый портрет для системы D.98) при rj -> 0. Все траектории
быстро выходят на предельный цикл ABCD.
что ri настолько мало (это значит, что L мало по сравнению
с С), что во всех точках плоскости, кроме непосредственной
окрестности изоклины х.\ = 0, величиной х2 можно пренебречь
по сравнению с х\. Это означает, что векторное поле (х2 —
— f(xi), —f\xi)T имеет почти горизонтальное направление,
кроме непосредственной окрестности кривой
3
D.99)
Отсюда следует, что фазовый портрет должен быть таким, как
это показано на рис. 4.27. Как легко видеть, все начальные
условия порождают траектории, которые при первой возмож-
возможности выходят на предельный цикл ABCD. В точках, далеких
от кубической параболы D.99), х\ относительно велико, так
что фазовая точка быстро приходит в близкую окрестность
этой кривой и затем медленно передвигается вдоль кривой.
Быстрое движение на участках АВ, CD и медленное на
участках ВС, DA порождают незатухающие колебания

152
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
величины xi{t) «почти разрывной» формы (см. рис. 4.28). Ко-
Колебания такого вида называются релаксационными колеба-
колебаниями.
Система D.98) имеет предельный цикл не только при
т}->-0. Например, при г\ = 1 эта система является частным
случаем уравнения Ван-дер-Поля:
х + s(x2—l)x + x = 0, е>0,
с е = 1. Это уравнение имеет вид
D.100)
D.101);
D.102)
(см. упр. 27 гл. 1). Уравнения вида D.101) иногда назы-
называются уравнениями Льенара (см. п. 5.1), а координаты
последнее в свою очередь эквивалентно системе
L
1
С
1
3
* i
1
с
3,
/
i
с
л
в
f
Рис. 4.28. Релаксационные колебания для траектории, выходящей из точ-
точки F на рис. 4.27. Участки, обозначенные CD и АВ почти вертикальны;
они описывают быстрое движение между соответствующими точками фа-
фазовой плоскости.
Х\, Х2 в D.102) определяют плоскость Льенара. Представле-
Представление Льенара для уравнения Ван-дер-Поля имеет вид
Х\ — х<? е
X\
D.103)
что совпадает с D.98) при е = г\ — 1.
Уравнение Ван-дер-Поля можно рассматривать как неко-
некоторое обобщение гармонического осциллятора D.2). Разница
состоит в том, что оно имеет нелинейный коэффициент зату-
затухания г(х2— 1) вместо коэффициента 2k в D.2).
Осциллятор Ван-дер-Поля имеет единственный устойчи-
устойчивый предельный цикл для всех значений е. Когда е->-оо,
предельный цикл принимает вид, указанный на рис. 4.27,

4.4. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
15$
и возникают релаксационные колебания (см. упр. 28). При
е—>-0 предельный цикл приближается к окружности радиуса2
(см. упр. 27). При увеличении е от нуля до бесконечности
/с
4.2Я Предельный цикл осциллятора Ван-дер-ПОля на плоскости-
Льенара: 8= 1,0.
предельный цикл гладко деформируется из одного крайнего
положения в другое (см. рис. 4.29).
4.4.2. СКАЧКИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
Если мы положим L = 0 в уравнениях электрической цепи
D.97), то дифференциальное уравнение
D.104)
заменяется на алгебраическое уравнение
D.105)
Тогда система двух динамических уравнений D.97) с (/, ос) е
е R2 заменяется одним динамическим уравнением
D.106)
определенным на {(/, ос) | vc = /(/)}•
Геометрически уравнение D.106) означает, что движение
точки (/,0с) происходит только по кривой D.105) на плоско-
плоскости /, Ос. Из уравнения D.106) следует, что
vc ^ 0 для / ^ 0,
D.107)

154
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
и состояния цепи должны следовать друг за другом так, как
указано на рис. 4.30. Из любой начальной точки, лежащей на
кривой vc = f(j), состояние цепи переходит в одну из двух
точек: А или С. Эти точки не являются неподвижными, так
как в них 6с = —j/C ф 0; однако они являются особыми
в том смысле, что производная в них
L
dj
D.108)
не определена, поскольку df/dj обращается в нуль.
Если бы мы не проанализировали уравнения D.97) в
п. 4.4.1, то нам было бы трудно догадаться, что происходит
Рис. 4.30. Уравнение D.107) означает, что vc возрастает при / < 0 и убы-
убывает при / > 0. Таким образом, от любой начальной точки vc=f (у) состоя-
состояние цепи приходит либо к точке А, либо к точке С.
с фазовой точкой после достижения положений А и С. Но
теперь мы можем с большим основанием предположить, что
величина / изменяется разрывным образом и происходит
мгновенный «скачок» в точки В и D соответственно, при этом
величина vc остается постоянной. Таким образом, происхо-
происходят релаксационные колебания величины j(t),no теперь она
изменяется действительно разрывным образом.
Если система динамических уравнений со связями яв-
является предельным случаем некоторой системы без связей,
то последняя называется регуляризацией системы со связями.
Таким образом, D.97) есть регуляризация системы ¦ D.106).
Иногда динамические уравнения с ограничениями и пред-
предположения о возможности «скачков» некоторых переменных
содержатся уже в естественной формулировке задачи. Ниже
мы проиллюстрируем это на примере электрической цепи,
содержащей «неоновую трубку».

4.4. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ	155.
Неоновая трубка — это стеклянная колба, заполненная
инертным газом (неоном) и снабженная двумя электродами.
Когда разность потенциалов между электродами начинает
возрастать от нуля, ток не возникает до тех пор, пока раз-
разность потенциалов не достигнет некоторой пороговой вели-
величины v\. При напряжении v\ трубка сразу становится провод-
проводником (произошла ионизация инертного газа) и ток скачком
поднимается до некоторого значения. После этого ток возрас-
возрастает почти линейно с ростом напряжения. Для неоновой
трубки, изображенной на рис. 4.31, вольт-амперная характе-
характеристика в этой части имеет вид 0 -*- А -*- В -*- Е.
ut A
vz D
0
Рис. 431. Идеализированная вольт-амперная характеристика неоновой-
трубки. Заметим аналогию между этим случаем и кубической характе-
характеристикой: обе кривые немонотонны (с горбами).
Если теперь разность потенциалов уменьшается от значе-
значения, которое она имела в точке Е, то трубка не перестает
быть проводником электрического тока при достижении на-
напряжения оь Ток продолжает уменьшаться по мере падения
напряжения, пока оно не достигает величины v2 (<fi); тогда
ток резко падает до нуля. Эта часть вольт-амперной характе-
характеристики соответствует пути E-+B-+C-+D на рис. 4.31. Если
напряжение снова повышается, то поведение трубки в точ-
точности повторяется.
Некоторые физические опыты свидетельствуют о возмож-
возможности прохождения пути СА, обозначенного на рис. 4.31 точ-
точками. Но эта возможность не реализуется в случае плавного
повышения и понижения напряжения, которое было описано
выше, и в дальнейшем мы не будем заниматься этим
вопросом. Однако это должно помочь подчеркнуть немоно-
немонотонный характер вольт-амперной характеристики.
Пример 4.4.1. Показать, что цепь, показанная на рис. 4.32,
моделируется динамическими уравнениями с ограниченияма
для величины напряжения vc на конденсаторе.

156	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
Предположим, что между узлами 2 и 3 цепи находится не-
небольшая индуктивность L. Какое влияние это окажет на ди-
динамические уравнения?
Решение. Пусть v\2 = vN, vn = vc и v& = vR. Тогда, поль-
пользуясь обозначениями рис. 4.32, мы можем написать
. од + vc = 8 = jR + vс	D.109)
Vc = vN = f(i),	D.110)
.где f(i) — вольт-амперная характеристика неоновой трубки.
Кроме того,
Cvc = j — L	D.111)
Поведение цепи определяется уравнением
Cvc = ?^<L - i, где vc = / @,	D.112)
¦что как раз и дает динамическое уравнение с ограничением.
г
R
4
Рис. 4.32. Простейшая схема временной развертки (см. п. 4.5.1).
Если между узлами 2 и 3 поместить индуктивность, то
вместо D.110) мы получим
vL = vc — vtr,	D.113)
где Vl = V23- Тогда ограничение vc = f[i) заменяется новым
динамическим уравнением
L-S- = °c-f@.	D.114)
Это уравнение вместе с дифференциальным уравнением
D.112) составляет систему, уже не имеющую ограничений; она
является регуляризацией для D.112).

4.5. КУСОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ	157
В примере 4.4.1 скачки вводятся в динамику емкостного
напряжения vc через вольт-амперную характеристику неоно-
неоновой трубки. Предположим, что в начальный момент напряже-
напряжение vc = 0; батарея & заряжает конденсатор С через сопро-
сопротивление R. Напряжение на неоновой трубке vN равно vc-
Ток i, проходящий через трубку, равен нулю до тех пор, пока
не достигнуто значение vN = vc = v\ (Q~*-D-*-A на рис. 4.31).
Тогда трубка начинает проводить, т. е. происходит скачок ве-
величины i. Если сопротивление R достаточно велико, то путь
через неоновую трубку является путем наименьшего сопро-
сопротивления и конденсатор разряжается через него. Это значит,
что напряжение vc падает, но неоновая трубка продолжает
проводить до тех пор, пока не достигается значение vc =
= vh = t>2, когда величина i скачком падает до нуля (В-*-
-+C-+D на рис. 4.31). Тогда батарея снова заряжает кон-
конденсатор. Скачки возникают потому, что должно выполняться
ограничение vc = f(i).
Введение небольшой индуктивности все меняет. Динами-
Динамические уравнения действуют на всей фазовой плоскости i, vc,
скачки сглаживаются, ABCD (на рис. 4.31) становится пре-
предельным циклом.
4.5. КУСОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В п. 4.4 мы рассматривали модели, в которых динамиче-
динамические уравнения и ограничения содержали некоторые функ-
функциональные зависимости между переменными. Другой, на
первый взгляд отличный от предыдущего, тип ограничений
возникает в моделях, в которых действуют разные динамиче-
динамические уравнения на разных интервалах времени или в разных
областях изменения динамических переменных. Такие модели
часто можно трактовать как составленные из кусков; в них,
как правило, возникают кусочно-непрерывные или кусочно-
дифференцируемые функции времени.
4.5.1. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ О СКАЧКАХ В КУСОЧНЫХ МОДЕЛЯХ
На первый взгляд может показаться, что нет ничего об-
общего между такими моделями и моделями с ограничениями,
которые мы рассматривали в п. 4.4. Однако, как показывает
следующий пример, это не всегда так.
Пример 4.5.1. Показать, что динамические уравнения с
ограничениями D.112), а именно

158	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
полученные в примере 4.4.1, эквивалентны модели, содержа-
содержащей два разных динамических уравнения на разных интерва-
интервалах времени. Рассмотреть вольт-амперную характеристику
неоновой трубки, показанной на рис. 4.31, предполагая, что
на СЕ выполнено соотношение vN = rjN. Применить полу-
полученные ранее динамические уравнения и найти колебатель-
колебательные решения для vc (t), если vc = v2 и i = 0 при t = 0.
Решение. Рассмотрим смысл предположения о скачке, свя-
связанного с динамическими уравнениями D.112). На части СЕ
вольт-амперной характеристики, показанной на рис. 4.31,
/„ = ф@„);	D.115)
значит, в силу предположения о скачке мы должны положить
0 на ОА,
(vc) на СЕ.	DИ6>
Таким образом, если состояние цепи соответствует точке на
ОА, то динамическое уравнение имеет вид
Cvc=^p^.	D.117)
Но если состояние соответствует точке на СЕ, то динамиче-
динамическое уравнение превращается в
Cvc= ~ц°С — Ф(рс)-	D.118)
Если vc@)=v2 и i@) = 0, то начальное состояние соот-
соответствует точке D на отрезке ОА и динамика задается урав-
уравнением D.117). Это — линейное (точнее, аффинное) уравне-
уравнение, и его решение имеет вид
vc @ = S [ 1 - ехр (- t/CR)] + v2 ехр (- t/CR). D.119)
Поэтому напряжение возрастает и стремится к <g.
Чтобы возникли колебания, должно выполняться соотно-
соотношение & > v\ так, чтобы через некоторое время, скажем Т\,
трубка стала проводником. Состояние цепи перескакивает
в точку В е СЕ, и начинает действовать динамическое урав-
уравнение D.118). Если мы возьмем ф(ус)=УсД, то уравнение
D.118) примет вид
л +_^L=—,	D.120)
С ^ CR CR	V	'
где R-1 = R-1 + г-1. Это линейное дифференциальное уравне-
уравнение имеет решение
«с = -тг [1 - ехр (- x/CR)] + о, ехр (- t/CR), D.121)

4.5. КУСОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
159
где % — t— Т\. Чтобы возникли колебания, величина e>R/R
должна быть меньше, чем v2, так, чтобы vc (емкостное напря-
напряжение теперь уменьшается с ростом времени) достигло зна-
значения v2 при т = Т2 (см. рис. 4.33). При этом значении на-
напряжения неоновая трубка перестает быть проводником, и
состояние снова переходит скачком в точку D, где начинает
Рис. 4.33. Нелинейные «пилообразные» колебания, полученные из линейных
дифференциальных уравнений D.117) и D.118).
действовать уравнение D.117), и vc снова начинает воз-
возрастать.
Напряжение на конденсаторе в примере 4.5.1 возрастает
до значения vi со скоростью, определяемой сопротивлением Я
(см. D.119)) и возвращается обратно (релаксирует) к v2 со
скоростью, определяемой R (см. D.121)). Если R 2> г, то
R^r, и релаксация происходит гораздо быстрее, чем воз-
возрастание vc- Если Т2 достаточно мало по сравнению с 7*1, то
возвращение значения напряжения к v2 происходит практи-
практически мгновенно. Кроме того, если величина v\ — v2 доста-
достаточно мала по сравнению с <§, то рост vc от v2 до v\ проис-
происходит почти линейно.
Именно такие свойства необходимы для временной раз-
развертки в осциллографе. Пластины оси х соединены друг с дру-
другом через конденсатор, а развертываемый сигнал подается на
пластины оси у. Поэтому электронный луч равномерно ве-
ведется вдоль экрана и быстро возвращается к своему исход-
исходному положению, а затем цикл снова повторяется. Синхро-
Синхронизация периода колебаний vc и сигнала позволяет получать
изображение сигнала в виде стационарной волны.

160	*¦ ПРИЛОЖЕНИЯ
Этот пример особенно интересен, так как нелинейные «пи-
«пилообразные» колебания, очевидно, представляют собой не-
нелинейное явление, которое тем не менее успешно модели-
моделируется с помощью линейных уравнений D.117) и D.118);
каждое из них выполняется на своем временном интервале.
Два типа решений непрерывно соединяются друг с дру-
другом при t = 7\ и t = Т\ + Т2 и т. д., хотя наклон Ьс в этих
точках не является непрерывным. Эта потеря непрерывности
возникает в силу скачков точек на фазовой плоскости, как
это показано на рис. 4.31. Уравнения D.117) и D.118) опре-
определены на отделенных друг от друга множествах DA и ВС
этого рисунка, и именно это вызывает скачки и, следова-
следовательно, разрывы функции vc-
4.5.2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Существует много моделей, в которых нелинейные явле-
явления воспроизводятся путем сращивания решений линейных
динамических уравнений. Может быть, самым поучительным
примером конструкции такого рода является составление пре-
предельного цикла из решений двух линейных уравнений, опи-
описывающих затухающие гармонические колебания (Андро-
(Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., 1959).
Система состоит из уравнений
х>0,	D.122)
x + 2kx + cogx = 0, х < 0,	D.123)
где geR. Мы уже изучали решения уравнения D.123) в
п. 4.1. Теперь нам достаточно будет рассмотреть уравнение
в предположении, что 0 < k < юо, когда система испытывает
свободные затухающие колебания вида
Q),	D.124)
где р = (со^ — k2y12. На фазовой плоскости переменных xi=x,
х2 = х фазовый портрет в начале координат имеет устойчивый
фокус. Решения уравнения D.122) легко можно получить,
сделав замену у = х — g\ уравнение для у будет иметь вид
0.	D.125)
Отсюда получим, что уравнение D.122) имеет решения вида
f + 8)	D.126)
и фазовый портрет для D.122) имеет на плоскости х\,
устойчивый фокус в точке (g, 0).

4.5. КУСОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
161
Чтобы показать, что система, составленная из уравнений
D 122) и D.123), имеет в своем фазовом портрете предель-
предельный цикл, мы покажем, что для нее существует замкнутая
траектория. Предположим, что в некоторый момент времени
t = /i фазовая точка занимает положение (xi(/i),0) с Xi{h)>
> 0; она движется в соответствие с уравнением D.123) но
спирали, закручивающейся вокруг начала координат. При
значении времени t\ + п/|3 она снова пересекает ось х\, но
Рис. 4.34. Фазовая плоскость системы, определяемой уравнениями D.122)
и D.123), с х\ = х и х2 = х. Показана траектория, выходящая из точки
(х\ (t), 0). При х2=С0 эта траектория закручивается вокруг точки @, 0)'
при х2 > 0 она закручивается вокруг точки (g, 0).
с другой стороны от начала координат (т. е. точка пробегает
отрезок траектории от Р до Q в нижней полуплоскости
рис. 4.34). Из уравнения D.124) получаем
JM,)cos(p*i + 6)	D.127)
(h + f) = ^exp[- k (tx + |
Таким образом,
я +в)
(- -^
cos
< 1.
+6).
D.128)
D.129)
где р = ехр(/$)
При t > t\ + л/р фазовая точка движется в верхней по-
полуплоскости рис. 4.34 и движением ее управляет уравнение
D.122). Точка пробегает отрезок спирали с центром в точке
6 Зак. 687

162	*• ПРИЛОЖЕНИЯ
(g, 0) до тех пор, пока при / = U + 2л/р она не пересечет
положительную полуось х\ в точке N. Из уравнения D.126)
имеем
-g = - tfexpf- k [и + j)]p cos (p/, + я+ 8).
D.130)
Применяя D.129), получим
g = -[-P*i(ti)-g]p. D-131)
Если существует замкнутая траектория, то должно суще-
существовать такое значение *i(?i)> при котором точка N совпа-
совпадает с Р. Это произойдет, если существует положительное
решение уравнения D.131), для которого Xi(ti + 2я/|3) =
= xi(ti). Легко видеть, что существует только одно такое ре-
решение, а именно
В силу этого существует единственная замкнутая траектория.
Мы можем убедиться в том, что эта замкнутая траектория
является устойчивым предельным циклом, с помощью сле-
следующего рассуждения. Рассмотрим траекторию, выходящую
из произвольной точки плоскости х\, Х2, и пусть х{ Ф х<с)
есть xi-координата первого пересечения этой траектории с по-
положительной полуосью х\. Из уравнения D.131) тогда сле-
следует, что xi-координаты точек пересечения с положительной
полуосью Х\ задаются последовательностью
+ Р) + Р% gA + Р + Р2 + Р3) + P4*i
2m^l> . . . }>	D.133)
где т — число полных оборотов траектории вокруг начала
координат. Так как р < 1, предел последовательности D.133)
существует и равен сумме геометрической прогрессии

4.S. КУСОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
163
Таким образом, все траектории навиваются на найденную
ранее замкнутую траекторию, и мы можем сделать вывод, что
система имеет единственный устойчивый предельный цикл.
Пример 4.5.2. Рассмотрим электрическую цепь, показан-
показанную на рис. 4.35 (Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э.,
1959). В ней содержатся два ранее не встречавшихся нам
элемента. Триод Т состоит из стеклянной вакуумной колбы
с тремя электродами, присоединенными к узлам 1, 2 и 3 цепи.
Когда возникает разность потенциалов между узлами 2 и 1,
Рис. 4.35. Электрический контур, реализующий уравиения D.122) и D.123).
через триод течет ток, но величина этого тока является функ-
функцией (обозначим ее f) от разности потенциалов между уз-
узлами 3 и 1. Эта функция называется сеточной характеристи-
характеристикой триода. Так как токи / и i, указанные на рис. 4.35, подчи-
подчиняются закону Кирхгофа, имеем
t + / = f(i/8i).	D.135);
Источником напряжения v3i служит новый элемент цепи —
взаимоиндуктивность М. Этот элемент состоит из двух кату-
катушек L и U, соединенных вместе. Изменение тока i в катушке
L вызывает напряжение Mdi/dt на катушке U, т. е.
v 31 = Mdi/dt,
D.136)
где М — положительная постоянная. Надо найти динамиче-
динамические уравнения, управляющие током, проходящим через со-
сопротивление R.
Решение. Если Vl, Vr и vc — разности потенциалов на со-
соответствующих элементах в том направлении, в котором идут
6*

164	*¦ ПРИЛОЖЕНИЯ
токи i и /, то закон Кирхгофа для напряжений, а также свой-
свойства элементов L, С, R дают
vL + vR = vc; L-^ = vL; C-^- = j; vR = iR.	D.137)
Из уравнений D.135) и D.136) следует, что
после чего из D.137) получаем
dvc j dvL dvR	d2i	di
~dT=~c==~dT^~~dT = L~di* +^1п
Таким образом
dH , R di , i	1
Предположим теперь, что Ду) — ступенчатая функция,
а именно
О, v
Тогда, полагая 2k = R/L и й^= l/LC, получим
»*/n, di/dt > 0,
00	D.139)
0, di/dt <0.
Отсюда можно заключить, что триод с разрывной сеточной
характеристикой может реализовать динамические уравне-
уравнения D.122) и D.123).
УПРАЖНЕНИЯ
К п. 4.1
1. Написать каноническую систему у =¦ Jy для уравнений гармонического
осциллятора
ч2„
при
(а) к = 0, F) 0 < fe < ш0. (с) fe = соо> (d) k > со0.
Найти также решения канонической системы. Не находя явно матрицу пе-
перехода М, показать, что решения на плоскости xi, x2 имеют вид, заданный
уравнениями D.5) — D.8).
2. Нарисовать фазовый портрет для канонической системы у = Jy, соот-
соответствующей критически демпфированному гармоническому осциллятору:
Xi — хг, х-2 = — k2xt — 2кх2.

УПРАЖНЕНИЯ	165
Показать, что х = My, где
и найти главные направления в начале координат. С помощью найденных
направлений и метода изоклин нарисовать фазовый портрет на плоскости
Xi, хг. Совпадает ли он с фазовым портретом на рис. 4.5 (а)?
3.	Рассмотреть сильно демпфированный гармонический осциллятор
Написать каноническую систему у = 1у. Найти главные направления в
начале координат и исследовать их поведение при к-*-оо. Показать, что
для больших k траектории на плоскости х\, хг почти вертикальны всюду,
кроме непосредственной окрестности оси xi.
4.	Рассмотреть электрическую цепь, содержащую три элемента: индуктив-
индуктивность L, конденсатор С и линейное сопротивление R, которые включены
параллельно между двумя узлами. Показать, что ток, идущий через ин-
индуктивность, удовлетворяет уравнению демпфированного гармонического
осциллятора. Найти коэффициент демпфирования к и естественную часто-
частоту too. В предположении, что величины L и R фиксированы, найти условие
на С, при котором ток через индуктивность испытывает затухающие коле-
колебания.
5.	Рассмотреть электрическую цепь, изображенную ниже.
2
55!
Показать, что ток, идущий через сопротивление R, при t > 0 задается
формулой
6.	Электрическая цепь состоит из конденсатора С и линейного сопротив-
сопротивления R, включенных параллельно между двумя узлами. Доказать, что
разность потенциалов на сопротивлении экспоненциально стремится к нулю
независимо от ее начального значения.
7.	Можно дать следующую модель выравнивания цен по уровню актива.
Предполагается, что изменение актива (q) пропорционально разности ме-
между предложением (s) и спросом (и), г. е.
q = k(s — u). k>0.
Изменение цены (р) считается пропорциональным отклонению актива q
от некоторого фиксированного уровня ^о, так что
p = — m(q — q0), m > 0.

166	4. ПРИЛОЖЕНИЯ
Полагая, что обе фупкции s и и являются аффинными функциями рц
получить дифференциальное уравнение второго порядка для р. Показать];
us du	:
что если u>s при р — 1 и —;—> —;—, то р испытывает колеоания &
ар ар
зависимости от времени.
8. Некоторая популяция клеток содержит клетки с двумя и четырьмя хро*
мосомами. Динамика этой популяции моделируется уравнениями
Ь = (Я — ц) A U = \iD + vU,
где D и U — количества клеток с двумя и четырьмя хромосомами соот-
соответственно. Пусть при < = О D = Do и U = ?Л>; найти долю двухромот
сомных клеток в популяции как функцию времени. Показать, что при
t -*¦ оо эта доля стремится к некоторому уровню насыщения, не завися-
зависящему от Do и t/0) если К > ц + v.
9.. Движение частицы Р по плоскости с координатами х и у задается диф-
дифференциальными уравнениями
х = — со2х, у = — у.
Нарисовать график параметрически заданной кривой (x(t), y(t)) на пло-
плоскости х, у, если .v@) == 0, х@) = 1, у{0) = 0, у@) = 0 для ю = 1, 2, 3.
[Эти динамические уравнения реализуются в бигармоническом осциллято-
осцилляторе, (см. Арнольд A979)).]
10. Три пружины (каждая имеет естественную длину / и постоянную упру-
упругость k) и две массы т соединены указанным ниже способом на гладком
горизонтальном столе. Концы А к В фиксированы, а массы смещены по
прямой, соединяющей А и В, а затем отпущены.
1*-/
Пусть Xi и xz — отклонения от положения равновесия первой и второй
масс соответственно (положительные направления отклонений совпадают).
Показать, что уравнения движения масс имеют вид
k(— 2x\ + х2), тхй == k (Xi — 2х2).
Записать эти уравнения в матричной форме: х = Ах, где х = (хь лг2) >
и найти линейную замену переменных, х = My, такую, что система
у = Dy имеет диагональную матрицу D. Затем найти нормальные коор-
координаты и описать нормальные моды колебаний двух масс.
К п. 4.2
11. В простейшей модели национальной экономики / = / — аС, С —
= Р(/ — С — С?), где / — национальный доход, С — размер потребитель-
потребительских расходов, a G — размер правительственных расходов. Модель отно-
относится только к области естественного изменения переменных, т. е. / ^ 0,
С ^ 0, G Ss 0, а постоянные аир удовлетворяют условиям 1 < а < оо;
1 < Р < со.
(а) Показать, что если уровень правительственных расходов постоя-
постоянен, G = Go, то существует состояние равновесия. Определить характер
неподвижной точки при р = 1 л показать, что тогда экономика испыты-
испытывает колебания.

УПРАЖНЕНИЙ	167
(b) Пусть правительственные расходы связаны с национальным до-
доходом соотношением G = Gc + kl, где к > 0. Найти верхнюю границу А
для коэффициента k, ниже которой существует положение равновесия в
естественной области изменения переменных. Описать положение и харак-
характер этой неподвижной точки для Р > 1 при приближении k к критиче-
критическому значению А.
12. Пусть V(s) и V(s)—матрицы с элементами «,;(s) и о,-/(*) (U / =
= !,...,«). Проверить формулу
и показать, что
¦ (s) ds =* [V (s) V (a)]l - J V (s) V (s) ds.	A)
Пусть
. cos (v>s)
sin (cos) I
о
Воспользоваться формулой A) и получить формулы!
Затем показать, что
[01	и (Т 0 1 ГОТ)
1 J	IL со sin (ш) J L cos (to<) JJ
и получить уравнение D.59).
13. Рассмотреть электрическую цепь, показанную ниже, где u(t)—напри»
жение на «входе», в точке Л, a y(t) —напряжение на «выходе», измеряв*
мое на меньшем конденсаторе в точке В.
2П	ь
"С	X'
Получить динамическое уравнение
R2C Ц @ + -I RCy @ + » @ - и (*)

168	*¦ ПРИЛОЖЕНИЯ
и свести его к эквивалентной системе первого порядка
dxx	dx2	5
где RCr = t, a xi = у. Затем показать, что установившееся напряжение
на выходе равно
\ VS~')l2liC ™-<Мс] и (s) ds
при любых начальных значениях y(to) и y(to).
14. Рассмотреть электрическую цепь, изображенную ниже.
3
Получить дифференциальные уравнения для токов ?i и i2 и найти затем
их установившиеся значения. Вычислить амплитуду /о для тока /. Пока-
Показать, что импеданс Z(=?o//o) LCR-up™ (колебательного контура) между
точками А и В дается формулой
,._	L/C
{R2+(v>L-l/wC)]42'
где R мало по сравнению с со/.. Нарисовать график Z как функции от ш
и найти резонансную частоту контура.
К п. 4.3
15.	Исследовать характер неподвижных Точек модели, описывающей кон-
конкуренцию видов
xi = B — *, — 2х2) х\, х2 — B — 2*1 — х2) х2,
указать их положение, найти изоклины х\ = 0, хг = 0 на плоскости Xi, x2.
Найти главные направления в неподвижных точках, нарисовать фазовый
портрет и интерпретировать его в терминах поведения видов.
16.	Исследовать поведение особых точек системы, описывающей конкурен-
конкуренцию видов
Х\ = A — Х\ — х2) х\, х2 = (v — х2 — 4v2Xi) x2, Xi, x2 > О,
при изменении параметра v для всех v > 0. Показать, что число и харак-
характер неподвижных точек меняются при v = — и v = 1. Нарисовать типич-
типичные фазовые портреты для v в интервалах Го, — J, f-т-, П и A, оо).
17.	Рассмотреть уравнения типа «хищник — жертва» с «логистической» по-
поправкой

УПРАЖНЕНИЯ	169
для 0 =?^ а < 1. Показать, что нетривиальная неподвижная точка, которая
является центром при а = 0, при 0 < а < 1 переходит в устойчивый
фокус. Нарисовать фазовый портрет.
18.	Пусть (xt(t), x2(t))—периодическое решение уравнений типа «хищ-
«хищник — жертва»:
Х\ — Х\ (а — Ьх2), х2 = — х2 (с — dx\).
Определить среднее значение xi переменной х-,, как
Т
xt = -~ J х. (О dt,
о
где Т — период решения. Показать, что
xi = c/d, xi = alb.
Предположим, что динамические уравнения модифицированы: добав-
добавлены члены, соответствующие изъятию части популяции («сбору урожая»):
к xi добавляется член — exi, e > 0. Такие члены возникают, например, при
описании влияния рыболовства на популяции рыб или инсектицидов при
изучении популяций насекомых. Какое влияние эти члены оказывают на
средние значения Xi и хг?
19.	Показать, что неподвижная точка A, /-1) модели Холдинга—Тэннера
D.90) устойчива, если изоклина #2 = 0 пересекает параболу r/i = 0 пра-
правее ее максимума. Затем показать, что если фазовый портрет этой модели
содержит только один предельный цикл и этот цикл устойчив, то изоклина
у2 = 0 должна пересекать параболу левее максимума.
20.	Модель популяции, зависящей от возраста, задается уравнениями
Р = — 1^ (Р) Р + В, В = [у — ц (Р)] В, Y > 0,
где Р — размер популяции, а В — коэффициент рождаемости. Доказать,
что все траектории лежат на прямой В = уР независимо от выбора функ-
функции ц(Р). Исследовать фазовый портрет для случая ц(Р)=6+с.Р, где
b < 0, с > 0. Показать, что для всех положительных начальных значений
переменных популяция и уровень рождаемости стабилизируются при неко-
некоторых ненулевых значениях.
21.	Найти первый интеграл для общей модели эпидемий
х = — 2ху, у = 2ху — у,
где х—число восприимчивых к болезни, а у — число заболевших, в соот-
соответствующих масштабах. Нарисовать фазовый портрет для области
х, у ^ 0. Показать, что число заболевших достигает максимума, равного
сс — -^-A + In 2), при х = —, где с0— общее число больных и восприим-
восприимчивых к болезни при х = 1. Как развивается эпидемия?
22.	Пусть в упр. 21 число восприимчивых к болезни растет с постоянной
скоростью, так что
х = —2ху+1, у=2ху — у.
Показать, что эта новая система имеет устойчивую неподвижную точку в
области х, у > 0. Как добавочный член влияет на развитие эпидемии?

170	*¦ ПРИЛОЖЕНИЯ
23.	Система
S = — rIS, I = rlS — \I R= I —S — [
(r, \ > 0) описывает, как среди некоторой популяции распространяется
болезнь, оставляющая после себя стойкий иммунитет. Пусть S, / и R —
доли популяции, которые соответственно здоровы, но подвержены инфек-
инфекции, заражены и обладают иммунитетом. Пусть а = г/у, и предположим,
что S = So, / = /с и R = 0 при t — 0. Доказать, что:
(a)	если aSo =SS 1, то l(t) убывает и стремится к нулю;
(b)	если oSq > 1, то l{t) возрастает до максимального значения
1 — A + In(aSo))/a, а затем убывает до нуля.
Показать, что как в случае (а), так и в случае (Ь) количество небо-
левших S(t) при г-»-оо стремится к значению SL, где SL — единственный
корень уравнения SL = (l/a)ln(St/So)+ I иа интервале @, 1/сг).
24.	Простейшая модель управления молекулярными процессами в клетке
описывает X — количество транспортной рибонуклеиновой кислоты и У —
количество соответствующего фермента. Динамические уравнения имеют
вид
*	CL
X =	— Ъ, Y — аХ — р, а > ЬА,
где A, k, а, Ь, а, р — положительные постоянные. Доказать, что обе вели-
величины X и Y испытывают незатухающие колебания, зависящие от времени.
25.	Исследовать неподвижные точки уравнений движения простого маят-
маятника
х1 = х2> х2 = — cup sin Xj,
где ©Q = g/l. Здесь g — ускорение силы тяжести, а / — длина маятника.
Найти первый интеграл и нарисовать фазовый портрет. Предполагая, что
к Х2 добавлен демпфирующий член —2кхг, определить характер неподвиж-
неподвижных точек системы при малом k > 0 и нарисовать фазовый портрет. Ис-
Истолковать оба фазовых портрета в терминах движения маятника.
26.	Поведение простейшей дисковой динамомашины описывается системой
уравнений
х = — цх + ху, у = 1 — \у — х2, ц, v > 1.
Здесь х—выходной ток машины, а у — угловая скорость вращающегося
диска. Доказать, что для ц\> > 1 имеется одна устойчивая неподвижная
точка А в @, v~l), а для ц\ < 1 точка А становится седлом; устойчивые
неподвижные точки — это (± V(l — Hv)> n)-
К п. 4.4
27.	Проверить, что система
?" ^^ V	V ¦¦	V .. civ — I 1 Г	С '"^ С\	A \
«] ~~~" АО) An ~~"	Л|	О 1 А|	*/2*	^^	\ )
эквивалентна:
(a)	уравнению Ван-дер-Поля при е > 0;
(b)	незатухающему гармоническому осциллятору при е = 0.
Получить систему в полярных координатах, эквивалентную системе A),
где xi = г cos 6, хг == г sin 6, и найти выражение для dr/dQ,

УПРАЖНЕНИЯ	1?1
Пусть е мало по сравнению с единицей,- и пусть траектория, выходя-
выходящая из точки (л, G) = (/•(!, 0), приходит в точку (rj, —2я). Показать, что
2л
Дл = Л[ — л0 = \ ел0 sin2 6 (l — г2cos2 G) rfG
о
является величиной первого порядка малости относительно е. Оценить этот
интеграл и объяснить, почему из этого результата следует, что существует
устойчивый предельный цикл с радиусом, приблизительно равным 2.
28.	(а) Показать, что уравнение Ван-дер-Поля можно получить дифферен-
дифференцированием по времени уравнения Рэлея:
~х3 - к) + х = 0,
если положить у = к. Показать также, что оба уравнения можно свести
к одной и той же системе первого порядка.
(Ь) Рассмотреть представление Льенара
у. _ „ ,Л ,3_
Л(	Л2	Ь ^— А,
для уравнения Ван-дер-Поля. Показать, что можно сделать характеристи-
характеристику независимой от параметра е, выбрав новый масштаб для переменной Хг
и полагая Хг = ем. Нарисовать фазовый портрет осциллятора Ван-дер-
Поля на плоскости хи м при е -»- °о.
29.	Пусть сопротивление R с вольт-амперной характеристикой / = v3 — v
соединено с индуктивностью L так, что оии образуют отдельный контур.
Воспользовавшись обозначениями на рисунке, показать, что динамика цепи
определяется уравнением
dt
где //. = «/. —"л.
Регуляризовать этот контур, поместив надлежащим образом конденсатор
малой емкости, и показать, что в регуляризованных уравнениях могут воз-
возникать колебания.
К п. 4.5
30. Модель популяции, в которой могут возникать эпидемии, можно по-
построить следующим образом. Первоначально популяция развивается в со-
соответствии с уравнением
р = ар — Ьр2,	A)

172
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
и ее численность растет до величины Q < а/b. Когда популяция достигает
такого размера, в ней возникает эпидемия, и развитие популяции проис-
происходит согласно другому уравнению
р = Ар-Вр*,	B)
где Q > А/В. Численность популяции уменьшается до уровня q, где
А/В < q < a/b; при достижении этого уровня эпидемия прекращается,
рост популяции снова управляется уравнением A) и т. д. Нарисовать гра-
график функции p(t), иллюстрирующий флюктуации популяции в зависимости
от времени. Показать, что время 7\, за которое популяция возрастает от
q до Q, задается формулой
Найти время Тг, которое необходимо, чтобы численность популяции сокра-
сократилась от Q до q под действием уравнения B), и найти период цикла
изменения популяции.
31. Модель экономического цикла задается уравнением
У — ф (У) + kY = 0, 0 < k < 2,
где У—объем производства. Функция ф удовлетворяет условию ф@)=0,
<р(д:) —»-Z. при «-i-oo и ф(х) -*¦—М при х-*-—°о, где М — интенсивность
выбытия основного капитала, а /- — сумма превышения объема торговли
капитальными товарами над М. При идеализации задачи функция ф удо-
удовлетворяет условиям
ф@)=0; «p(j/) = Z., у>0; <р (») = - Af, У < 0.
Нарисовать фазовый портрет дифференциального уравнения. Показать, что
У со временем колеблется с постоянными амплитудой и периодом.
32. Модель экономического развития задана уравнением + +
= G(t), где Y(t) —объем производства, a G(t) —правительственные рас-
расходы. Функция G(t) имеет следующий вид: G(t)= 0, 0^ t < 1 и G(t) =
= Go, t &s I. Показать, что существует кривая Y=Yt(t), обладающая
следующими свойствами:
[0, 1] до максимального значения Go, где
(a)	Ь@) = 0;
(b)	Yi(t) возрастает при t<
Yt =0;
(c)	У, (9 =G0, <> 1.
Исследовать влияние долгосрочного воздействия на У(9 при тех же на-
начальных условиях (а) и (Ь), которым удовлетворяет Yi(t), если прави-
правительственные расходы начнутся в момент более поздний, чем t = 1.
33. Рассмотреть груз массой т, передвижение которого по конвейерной
ленте ограничено легкой пружиной, как показано на рисунке. Предполо-
1
I
(У
"D

УПРАЖНЕНИЯ	173
жим, что лента передвигается с постоянной скоростью v0. Пусть хA) —
растяжение пружины в момент t. Сила трения F, которая действует на
груз, задается формулой
x<v0,
*>v0.
т. е. мы имеем «сухое», или кулоновское, трение. Показать, что уравнение
движения груза имеет вил
mx + kx = — F.
и нарисовать фазовый портрет на плоскости х, х. Описать возможный
характер движения груза.

5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
В этой главе мы рассмотрим ряд отдельных теоретиче-
теоретических проблем и связанных с ними моделей, которые показы-
показывают, какое развитие могут получить основные идеи предыду-
предыдущих глав. Наша цель состоит в том, чтобы заполнить некото-
некоторые теоретические пробелы и пробудить интерес к современ-
современным приложениям.
5.1. УРАВНЕНИЕ ЛЬЕНАРА
В этом параграфе мы докажем, что система
xl=x2 — x3l + xl, х2 = — х1	E.1)
имеет единственный устойчивый предельный цикл. Метод до-
доказательства подходит также для систем вида
х}=х2 — G(Xl), x2 = —h(Xl),	E.2)
где функция G(jci) ведет себя как кубическая парабола
х^— xv а функция h{x\) нечетная (см. теорему 5.1.2). Такие
системы соответствуют уравнениям второго порядка вида
x + h(x) = 0, g(x) = dG(x)/dx,	E.3)
которые называются уравнениями Льенара. Например, урав-
уравнение Ван-дер-Поля
х + г(х2—1)х + х = 0, е>0,	E.4)
имеет кубическую характеристику G(x1) = e(-^-jcJ — х\ От-
Отсюда следует, что оно обладает единственным устойчивым
предельным циклом для любого е > 0.
Теорема 5.1.1. Фазовый портрет системы
*, = л:2 — х\ + х{, х,2-=~х1	E.5)
имеет один устойчивый предельный цикл, окружающий не-
неустойчивый фокус.

5.1. УРАВНЕНИЕ ЛЬЕНАРА
175
Доказательство. Разделим доказательство на две части.
(а) Рассмотрим траекторию, проходящую через точку Хо,
находящуюся на положительной полуоси х2 (эта точка на
рис. 5.1 обозначена буквой Р). В точке Р х\ > 0, а х2 = О,
и траектория <p<(*o) (через <р< обозначен фазовый поток си-
системы E.5)) при t > О переходит в полуплоскость Х\ > 0.
хг
р
AC
L s
^—
V
f/
/7/ xi
7?
Лыс. 5./. Изоклины i[=0, x2 = 0, djr2/dA:i = l, а также траектории, про-
проходящие через точки Р и S*, для которой OS* = OS.
При JCi > 0 имеем х2 <. 0, так что траектория идет вниз
и вправо до некоторой точки Q (= q>tQ (дс0)) на изоклине на-
направления xi = 0. Когда t становится больше tQ, траектория
входит в область, где х\ ¦< 0 и х2 ¦< 0, и, следовательно, она
обязательно пересекает кривую, на которой dx2/dx\ == 1, в не-
некоторой точке R (= <ptR (дс0))- При / > tR траектория входит
в область, где х,2< х\ — 2х1 (т. е. dx2/dx\ < 1). Поэтому пря-
прямая наклона 1, проходящая через точку R, лежит ниже тра-
траектории. В области, где х,2<х\ — 2лгр обе производные ki
и Х2 отрицательны, так что траектория, выходящая из точки Р,
должна пересечь отрицательную полуось х2 в некоторой
точке S.
Заметим, что система E.5) не меняется при отражении
относительно начала координат: (х\, х2)-+(—х\,х2). Это зна-
значит, что траектория, проходящая через точку S, симметрична
относительно начала координат траектории, проходящей че-
через точку S* на оси х2 такую, что OS*= OS (см. рис. 5.1).
Мы можем заключить, что траектория, проходящая через
точку Р, образует спираль, закручивающуюся вокруг начала
координат по часовой стрелке, и бесконечное число раз пере-
пересекает ось х2, если точка S* не совпадает с Р (тогда траекто-
траектория является замкнутой).

176
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(Ь) Вторая часть доказательства состоит в том, чтобы
установить существование одной и только одной замкнутой
траектории, которая и является устойчивым предельным
циклом.
Пусть А — некоторая точка на положительной полуоси xz.
Пусть А'— первая точка, в которой траектория, исходящая
из Л, снова пересекает положительную полуось лг2. Пусть
ОА' = а'; введем функцию /: R+->-R, полагая f(a) =
= а' — а1). Заметим, что траектория, проходящая через точ-
точку А, будет замкнутой (периодической) тогда и только тогда,
dx,
/
/
1
!
^^
s—
f
= 0
A,
A
\
4
K	.
	.
4
'1в I
0 i
i
Рис. 5.2. Траектории, проходящие через точки А и А\, расположенные
на положительной полуоси х3, и точки их пересечения с прямой хх = 1.
когда f(a) = 0, т. е. когда А = А'. Отображение f определяет
изменение радиального расстояния г до начала координат за
один полный оборот.
Если через г обозначить радиальное расстояние до на-
начала координат на плоскости х\, х2, то гг = Х\Х\ + х$Х2, и для
системы E.1) имеем
rr = jcf(l—jcf).	E.6)
Пусть
о. Л) = \" dt = \ х\ 0 - *?)dL
п	п
E-7)
Тогда значение A(P0,Pi) пропорционально изменению вели-
величины r2(t) для траектории x(t) {=X\ (t), x2(t)} между точкой
Ро, соответствующей t = t0, и точкой Р\, соответствующей
t = t\. Пусть x(t), x*(t) — решения, которым соответствуют
траектории, проходящие через точки А и А\, где ОА < ОА\
(см. рис. 5.2). Предположим, что эти траектории пересекают
рее.
') а' (а) = f(a) -(- а называется функцией последовання^—Прим. «е-

5.1. УРАВНЕНИЕ ЛЬЕНАРА
177
отрицательную полуось х2 в точках D и D\ соответственно.
Мы покажем, что
0).	E.8)
Интегральные кривые разбиваются на три отрезка (см.
рис. 5.2):
(а) АВ и AiBi
Приращение имеет вид
*,=о	о х2-х\ + х{
здесь сделана замена dxl/dt = x2 — x3-{- xv Аналогично
Но для JCj^fO, 1] имеем х*2> х2> х\ —хх, где (лгр л:2) и (л:,,
л:*) — точки на кривых АВ и /4i?i соответственно, и, таким
образом,
A(A1Bi)<A(A,B).	E.11)
(b) ВС и
На отрезках ВС и BiCi величину х-2 можно считать независи-
независимой переменной и полагать, что уравнения их хх = Х\ (х2)

с^ с 0	b bt xz
Рис. 5.З. Отрезки ВС и B\Ci двух интегральных кривых, проходящих
через точки А к А\.
и хх — х\(х2) соответственно (см. рис. 5.3). Употребляя обо-
обозначения рис. 5.3, можем написать
A(fi, C)=
— ~ \ *1 (^2) К*1 (Х2)J ~ 1] rfA,	E.12)
Q

178	Б. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
так как х2 = —хх. Приращение A{BU d) задается таким же
выражением, как E.12), но с функцией х\(х^ вместо Xi(лг2).
а отрезок интегрирования равен [ci,6i]. Для любого фикси-
фиксированного Х2 е [с, Ь] имеем х* (x2) > х1 (хЛ ^ 1, так что
так как в правой части равенства E.12) стоит знак минус,
имеем
Д(В1,С1)<А(В,С).	E.14)
(с) CD и CiDi
Из тех же соображений, что и в случае (а), находим
A(C,,D1)<A(C,D).	E.15)
Сложив все три полученных выше неравенства, получаем
Д(Л1,О1)<А(Л,О).	E.16)
Из свойства симметрии уравнения Льенара E.5) можно сде-
сделать вывод, что и в области хх < 0 радиальное приращение
для «внешних» кривых меньше, чем для «внутренних» кри-
кривых. Следовательно, если Л' и Л, — точки возвращения на
положительную ось х2 траекторий, проходящих через точки Л
и Ль то
Д(Лр Л[)<Д(Л,М').
Отсюда следует, что f — убывающая функция, т. е. если
О < а < а\, то f{ai) < f (а). Функция f обладает также сле-
следующими свойствами:
1.	Начало координат является для системы E.5) неустой-
неустойчивым фокусом (по теореме о линеаризации), так что f(a)
положительна для малых а, когда точка Л близка к началу
координат.
2.	Для больших а функция f(a) отрицательна. При уве-
увеличении а траектория, выходящая из точки Л и идущая
в точку D, перемещается вправо на рис. 5.2, так как а = ОА.
В формуле E.12) и промежуток интегрирования, и подынте-
подынтегральная функция строго возрастают с увеличением а. От-
Отсюда следует, что А (В, С) и, следовательно, Д(Л,Л') стре-
стремятся к —оо при а~+оо.
3.	Функция / непрерывна, так как интегральные кривые
непрерывно зависят от начальных условий на любых конеч-
конечных интервалах изменения t.
Следовательно, существует значение CoGR такое, что
f(ao) = O, а это означает, что существует замкнутая траек-
траектория, проходящая через некоторую точку Ло на положитель-

S.2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 1?9
ной полуоси Х2, где ОАо — uq. Кроме того, траектории с каж-
каждой стороны стремятся к замкнутой траектории при t-^-oo,
поскольку f(a) ^ 0 при а ~з! а0.
Рассмотрим теперь обобщенное уравнение Ван-дер-Поля
E.3). Предположения, сделанные в теореме 5.1.2, относи-
относительно функций G(x) и h(х) обобщают основные свойства со-
соответствующих коэффициентов в E.4). Это позволяет утвер-
утверждать, что существует предельный цикл и что доказать это
можно теми же методами, которыми была доказана тео-
теорема 5.1.1.
Теорема 5.1.2. Пусть для уравнения
x + g(x)x + h(x) = 0,	E.17)
где
X
(a)	G (x)= \ g (и) du — четная функция, обращающаяся в
о
нуль при х = 0и при х = ±ц, и > 0;
(b)	G(jc)-»-oo при x->-oo монотонно возрастает при x~>\i;
(c)	h(х)—нечетная функция и h(x)>0 при х > 0. Тогда
фазовый портрет E.17) содержит один устойчивый предель-
предельный цикл, окружающий неустойчивый фокус в начале коор-
координат.
Если выполнены условия теоремы 5.1.2, то уравнение E.3)
называется уравнением Льенара. Эти условия являются до-
достаточными, но не необходимыми для того, чтобы существо-
существовал предельный цикл.
6.2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Идея, что динамические уравнения с ограничениями можно
иногда регуляризовать (см. п. 4.4), привлекала внимание уче-
ученых, занятых построением математических моделей. В на-
настоящем параграфе мы опишем ряд интересных моделей цик-
цикла капиталистической экономики, построенных Гудвином (см.
Гудвин, 1951). Сначала будет изложена грубая модель, содер-
содержащая ограничения и предположения о скачках. На ее при-
примере мы разберем существенно нелинейный характер задачи.
Затем как уточнения будут введены механизмы, приводящие
к регуляризации; в качестве главного результата для окон-
окончательной модели будет получено уравнение типа Рэлея (см.
упр. 28). Сам процесс уточнения поучителен с точки зрения
математического моделирования, причем интересно, как воз-
возникает характеристика со «складкой».

180	5- БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Мы рассмотрим экономические модели, причем нас будут
интересовать флюктуации, соответствующие подъемам и спа-
спадам. Начнем с того, что введем интересующие нас перемен-
переменные и определим основные зависимости между ними.
Будем считать, что в любой момент t экономика распо-
располагает основным капиталом К, который включает заводы,
оборудование и т. д.; его объем меняется со скоростью R,
равной отношению чистых капиталовложений к общему из-
износу за данный период. Источником экономического дохода
является объем производства Y и потребление С. Эти вели-
величины связаны между собой соотношениями
С = аУ + р,	E.18)
Y = C + K,	E.19)
где а и р — действительные постоянные такие, что а<1,
Р < С. Из уравнения E.18) видно, что между объемом про-
производства и потреблением существует линейная зависимость.
Уравнение E.19) показывает, что вся выпускаемая продукция
либо потребляется, либо идет на расширение производства.
Далее предполагается, что основным капиталом К управляют
так, чтобы поддерживать его на уровне, пропорциональном
объему производства. Если R — желательный уровень основ-
основного капитала в момент времени t, то
R = уУ,	E.20)
де veR.
(а) Модель 1
Теперь мы предложим модель, объясняющую, как в эко-
экономической системе могут возникать циклы. Из основных
уравнений E.18) и E.19) следует, что
Из соотношения E.21) видно, что периодическое поведение
величины Y (или К) может возникнуть как следствие коле-
колебаний в капиталовложении К. Эти колебания в свою очередь
возникают из стремления уравнять величины К и R (жела-
(желательный уровень основного капитала).
Предположим, что проводится экстремальная политика
капиталовложений:
?,>0, K<R,
0,	K = R,	E.22)
?2<0, K>R,

S.2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 181
где k\. &2 не зависят от /. Это соответствует максимальному
уровню капиталовложений, если основной капитал меньше
желательного уровня, и нулевому вложению, если этот уро-
уровень превышен; при этом основной капитал амортизируется
со скоростью &2- Обычно мы можем предполагать, что при
максимальном уровне капиталовложений скорость, с которой
могут строиться новые предприятия, больше скорости амор-
амортизации и старения, т. е.
ki > k2.	E.23)
Из уравнений E.20) —E.22) следует, что
R = \ Ro = yP/O ~ °).	K = R,	E.24)
U	62)/(l-a). K>R.
Пусть R2< К < /?i, так что при t — 0 R = Rx. Поэтому
уровень капиталовложений равен &i > 0, величина К увели-
увеличивается, а У остается постоянной, как показано на рис. 5.4,
и это происходит до тех пор, пока не достигается равенство
К. — Ri. Здесь R принимает значение Ro, так как К = R; те-
теперь К = /?i > R = ^?о, и величина /? мгновенно становится
равной /?2- Другими словами, фактически /< мгновенно ме-
меняется от величины k\ до —/г2, а /? — от Ry до /?2. В тот же
самый момент в силу формулы E.21) резко падает объем
производства. Теперь К убывает до величины R2. Аналогич-
Аналогичное рассуждение показывает, что R становится при этом рав-
равным Ri, так что К = R2< R — R\, и величина R опять ста-
становится равной ki. Основной капитал К снова возрастает до
R\, и гикл замыкается. Таким образом, обе величины /(и У
испытывают колебания, как показано на рис. 5.4.
Можно подчеркнуть связь этой модели со скачкообразной
моделью в п. 4.4, изобразив характер изменения рассматри-
рассматриваемых величин на плоскости К, К (см. рис. 5.5). Движение
происходит по прямолинейным отрезкам ВС и DA, где R=ki
и К = —&г соответственно. Скачки отЛкВиотСкЬ со-
соответствуют разрывам функции Y, показанным на рис. 5.4.
Эта первая модель довольно успешно описывает экономи-
экономический цикл. Во время периодов капиталовложения объем
производства высок и экономика находится в периоде подъ-
подъема. Когда капиталовложения отсутствуют, объем производ-
производства падает и экономика находится в состоянии депрессии.
Однако эта модель имеет много недостатков. Например,
скачки в капиталовложении и мгновенная реакция на них со
стороны объема производства Y (что следует из формулы
E.21)) не соответствуют действительности. Кроме того, из
условия ki > &2 вытекает, что периоды спада значительно

1S2	5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
превышают периоды подъема; но на самом деле эта законо-
закономерность не наблюдается. В такой модели отсутствует общий
рост экономики, так как объем производства, основной капи-
капитал к т. п. периодически принимают прежние значения.
Объем книги не дает возможности подробно остановиться
на всех этих вопросах; наша цель — установить соответствие
К, У
*1
ч
в
i
i
i
i
i
д
с
1
1
1
¦
D
t
Рис. 5.4. Колебания величин К (—)	Рис. 5.5. Представление состояния
и Y (—) со временем для политики	экономики на фазовой плоскости,
капиталовложений вида «стой —	Скачки показаны пунктиром,
иди».
между новой моделью и нашими прежними рассуждениями.
Поэтому мы остановимся только на двух пунктах:
1.	влияние капиталовложении на рост объема производ-
производства;
2.	скачкообразные изменения в капиталовложении.
F) Модель 2
Учитывая пункт 1, нам надо изменить уравнение E.21)
таким образом, чтобы у функции У не было скачков даже
в том случае, когда величина ^ их имеет. Это можно сде-
сделать, заменяя E.21) на
Y = r±-(fi + k~*Y),	E.25)
где е — некоторая положительная постоянная.
Легко показать, что новый член, введенный в E.25), по-
порождает задержку в реакции функции У на изменение К-
Заметим, что в силу E.25)
K<R,
K>R.
E.26)
E.27)
Предположим теперь, что в момент t = t\ депрессия заканчи-
заканчивается и происходит мгновенный переход от уравнения E.27)

5.2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 183
к E.26). Тогда решение Y{t) во время следующего периода
подъема имеет вид
-«]¦ E.28)
Отсюда следует, что величина Y не возрастает мгновенно до
(P + &i)/(l—а); она стремится к этому значению при t->oa.
Конечно, с практической точки зрения время, которое тре-
требуется для того, чтобы функция Y(t) с заданной точностью
стала равна этой величине, целиком зависит от параметра е.
Аналогичным образом уравнение E.27) сглаживает скачко-
скачкообразное падение Y(t) (см. рис. 5.4) в конце периода
подъема.
Добившись того, что объем производства Y(t) реагирует
на изменения в капиталовложении с запаздыванием, мы мо-
можем обратиться к пункту 2 и ликвидировать разрывы в капи-
капиталовложении. Нашей целью будет смягчение внезапного пе-
перехода от R = kx к R — — k2 (и наоборот), возникающего
когда К становится равным /?.
Чтобы добиться этого, мы рассмотрим ту часть капитало-
капиталовложений, которая возникает с изменением объема производ-
производства. Изменения в капиталовложении происходят от того, что
мы хотим поддерживать основной капитал на уровень основ-
основного капитала. Изменение величины Y вызывает изменение
R, что в свою очередь влечет изменение К. Ясно, что если
бы нам удалось постоянно поддерживать R = yY, то было
бы справедливо соотношение K—R.K сожалению, это ра-
равенство не может выполняться при всех значениях t, так как
величина К имеет верхнюю границу k\ и нижнюю гра-
границу —&2.
Поэтому мы предположим, что K = ty(Y), где вид функ-
функции г|э(У) изображен на рис. 5.6. Для достаточно малых Y
вложения могут соответствовать требованию К = yY. Нако-
Наконец, капиталовложения достигают своего максимального зна-
значения, и основной капитал перестает удовлетворять этому
требованию.
Это означает, что К надо взять в виде
E.29)
где ty{Y) — индуцированные капиталовложения вызванные из-
изменением объема производства, L — влияние прочих капита-
капиталовложений. Тогда уравнение E.25) надо заменить на
^	еК].	E.30)

184
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Вид функции ty{Y)—eY при е < у показан на рис. 5.6; видно,
что эта функция немонотонна (т. е. имеет горбы) и похожа
на кубическую параболу.
Чтобы получить график функции Y в зависимости от к,
мы должны сдвинуть функцию ty(Y) — eY, изображенную на
Рис. 5.6. Вынужденное капиталовложение со (К) близко к идеальному
уровню \Y для величин Y, близких к нулю, но при больших | Y | оно огра-
ограничено величинами М- k2. Показаны также функции eY и ф (Y) — eY.
Заметим немонотонность этой последней функции.
рис. 5.6, вверх на величину p-fL и разделить на 1 — а. Если
величина р -J- L достаточно велика, то мы получим график,
Рис. 5.7. Изображение модели 2 на фазовой плоскости. Движение проис-
происходит только по немонотонной характеристике.
подобный приведенному на рис. 5.7. Эта кривая вместе
с предположением о скачках полностью описывает поведение
второй модели.
Точки, соответствующие всем возможным состояниям мо-
модели, лежат на этой кривой, и знак Y показывает, возрастает
или убывает величина Y. Таким образом, движение точки,
определяющей состояние системы, должно происходить в на-
направлении, указанном стрелками. Точка (Р -\- L, 0) является,

8.2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 185
следовательно, неустойчивой неподвижной точкой системы.
Из точек С и А по аналогии с рис. 4.30 должны происходить
скачки. Предположив, что скачки происходят из Л в В и из
С в D, получим релаксационные колебания для У.
(с) Модель 3
Перейдя к двумерной системе с предельным циклом, мож-
можно избавиться от предположения о скачках. Соответствую-
Соответствующую систему можно получить, учитывая запаздывание реаль-
реальных капиталовложений относительно принятия решения о их
необходимости. Это значит, что индуцированные вложения
B
к
7 Т
Рис. 5.8. Фазовы! портрет для уравнения E.34) при к = 0,5, 6=1,0,
а = 0,6, у = 2,0, ft, = 9,0 + 109, k2 = 3,0 X Ю9. Подробности о том, почег
му возникают такие численные значения параметров, даны в книге (Гуд-
вин, 1951).
в момент t в действительности зависят не от Y(t), а от
Y(t — 6), где 6 — запаздывание.
Итак, мы заменяем E.30) на
или, положив т = t — 6, на
еК(т + 6)+A — а)К(т+6) — г|э(У(т)) = р -f L. E.32)
Разложив левую часть уравнения по степеням 6 и сохранив
лишь члены первого порядка по 6, получим
ебУ (т) + [в + A - аN] Y (т) - ф (К (т)) + A - а) Y (т) = р + L.
E.33)
Если мы предположим, что р + Z. постоянно, и выбе-
выберем у = Y — (P + L)/(l—а), то E.33) можно записать в

186	6. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
однородной форме:
гву+[г + (\-аЩу-^(у) + A-а)у = 0.
Кроме того, Гудвин полагает х = л/{\ — а)/(е9)#, I =
У
E.34)
X (JC) = {[е + A - а) 6] jc - ф (х)}/УA-а)е8
и получает
()	0
Если [е + A—аN]<т, то функция %(л;) похожа на куби-
кубическую параболу, уравнение E.34) есть уравнение типа Рэ-
лея и для него существует устойчивый предельный цикл. На
рис. 5.8 показан фазовый портрет уравнения E.34) для ти-
типичных значений параметров.
5.3. МОДЕЛИ ЗИМАНА ПУЛЬСАЦИИ СЕРДЦА
И НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА
Эти модели (Зиман, 1973) являются примерами геометри-
геометрического подхода к моделированию с помощью дифференци-
дифференциальных уравнений. Они построены на основе чисто качествен-
качественного описания динамики соответствующих биологических
механизмов. Дифференциальные уравнения, которые выби-
выбираются для описания модели, являются просто наиболее эле-
элементарными уравнениями с требуемым поведением. К ним
не предъявляется никаких особых требований, так как не
уточняются механизмы возникновения той или иной дина-
динамики. Речь идет только о некоторых качественных признаках
фазовых портретов, которые можно принять за математиче-
математическое описание пульсации сердца и прохождения нервного им-
импульса. Такой подход является полной противоположностью
моделирования, описанного в п. 5.6, где предположения, сде-
сделанные относительно механизмов изучаемых явлений, пол-
полностью определяют вид динамических уравнений.
Сердце может в большинстве случаев находиться в одном
из двух состояний: расслабленном (диастола) и сокращен-
сокращенном (систола). Коротко говоря, в ответ на электрохимическое
воздействие каждое мышечное волокно быстро сокращается,
остается некоторое время в сокращенном состоянии и затем
быстро возвращается к своему прежнему, расслабленному со-
состоянию и т. д.
В противоположность этому прохождение нервных им-
импульсов имеет совершенно иную динамику. Часть нервной
клетки, передающая импульс, называется аксоном. Состояние
аксона определяется электрохимически управляемым потен-

5.3. МОДЕЛИ ЗИМАНА ПУЛЬСАЦИИ СЕРДЦА И НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА 187
циалом между внутренней и внешней частями аксона. В от-
отсутствии возбуждения потенциал аксона остается на уровне
покоя — некотором определенном постоянном уровне. Если
передается импульс, то потенциал аксона резко меняется,
а затем медленно возвращается к потенциалу покоя.
Эти процессы имеют три общие качественные черты, ко-
которые и служат основой для модели. Эти черты таковы:
(a)	существование устойчивого состояния равновесия, к
которому система периодически возвращается;
(b)	наличие некоторого механизма, включающего дей-
действие;
(c)	возвращение к состоянию равновесия после окончания
действия.
В этом контексте основная разница между механизмами
работы сердца и прохождения нервного импульса состоит
в том, как осуществляется пункт (с). Чтобы построить мо-
модель работы сердца с указанными выше свойствами, мы
Должны понять, что означают эти свойства в терминах фазо-
фазового портрета. Свойство (а) состоит в том, что на фазовом
портрете имеется устойчивая неподвижная точка. Свойство
(Ь) означает, что существует некоторый механизм, периоди-
периодически переводящий состояние системы из неподвижной точки
в точку, соответствующую некоторому другому состоянию си-
системы. Траектория, проходящая через это новое «пороговое»
состояние, совершает некоторое быстрое действие, за которым
следует быстрое возвращение в положение равновесия, как
это требуется в (с). Чтобы показать, как это можно осуще-
осуществить, мы рассмотрим последовательный ряд моделей воз-
возрастающей сложности.
Воспользуемся обозначениями из работы (Зиман, 1973)
и рассмотрим систему
х = —Кх, 6 = —Ь,	E.35)
где К много больше единицы (см. рис. 5.9). Все траектории,
кроме тех, которые расположены на оси Ь, почти параллельны
главному направлению, соответствующему собственному зна-
значению —К, т. е. «быстрому» собственному значению, а затем
идут почти параллельно главному направлению для «мед-
«медленного» собственного значения —1. Уравнения х = —Кх,
Ь = —Ъ называются быстрым и медленным уравнением соот-
соответственно. Другой пример поведения такого же типа дает
система
гх = х — Ь, 6 = х,	E.36)
где постоянная е положительна и много меньше единицы.
Собственные значения этой системы равны приблизительно
1/е и 1, а их главные направления почти параллельны

188
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
прямым Ь — О и fc = A — е)х. Быстрое уравнение здесь имеет
вид гх = х—Ь, так как оно содержит малый параметр е,
порождающий быстрое собственное значение 1/е. Фазовый
портрет системы изображен на рис. 5.10. Как и в предыду-
предыдущем примере, быстрое и медленное движения почти парал-
параллельны главным направлениям узла.
Рассмотрим теперь систему
гх = х — х3 —
6 = х
E.37)
для положительных и малых по сравнению с единицей е.
Уравнения E.37) можно рассматривать как некоторую моди-
V—
1
X
Ь
/
(
/
X
/
/
/
и
¦¦/
Ь
Рис. 5.9. Устойчивый узел систе-
системы E.35) с «быстрым» (—Я) и
«медленным» (—1) собственными
значениями.
Рис. 5.10. Устойчивый узел для
системы ех = х — Ь,Ь = х с быс-
быстрым движением, параллельным
оси х, и медленным движением,
близким к направлению Ь = A —
-е)х.
фикацию уравнений E.36), где линейный член х заменен ку-
кубической функцией х — х3. Линеаризацией системы E.37)
в начале координат является как раз система E.36). Изо-
Изоклина направления х = 0 для нелинейной системы E.37) —
кубическая парабола Ь — х — Xs, как это показано на
рис. 5.11. Быстрое движение почти параллельно направлению
оси х, а медленное движение происходит в близкой окрест-
окрестности характеристической кривой b — х — х3. Система E.37)
является системой типа Льенара, которая уже рассматрива-
рассматривалась в пп. 4.4 и 5.1. Форма предельного цикла и некоторых
близких к нему траекторий указана на рис. 5.11.
В работе (Зиман, 1973) рассматривается следующая мо-
модификация системы E.37), описывающая работу сердца:
ЕХ = Х-^Х3-—Ь, Ь = Х — Хо,
E.38)

5.3. МОДЕЛИ ЗИМАНА ПУЛЬСАЦИИ СЕРДЦА И НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА 189
Величина х0 выбирается больше l/V^» т. е. больше значения
х в точке А (см. рис. 5.12). Система E.38) имеет единствен-
единственную неподвижную точку Е — {х0, Ьо), где Ьо = х0 — х3и. Эта
точка находится на верхней части характеристики Ь = х—х3.
Линеаризация системы E.38) в точке Е есть
Itl
и, следовательно, точка Е устойчива.
Переменная х — это длина мышечного волокна, а Ь — пе-
переменная, осуществляющая электрохимическое управление.
1
1
1
г
1
V
X,
т
т
Рис. 5.12. Фазовый портрет системы
ех = х — хг — b, b = х — хо для 0<
Рис. 5.11 Фазовый портрет сис-
системы Льенара ех = х — х3 — Ь,
Ъ = х для 0<е<1.
Механизм переключения переводит сердечную мышцу из
состояния равновесия Е в близкое состояние А (см. рис. 5.12).
Мышечное волокно быстро сокращается, и при этом х убы-
убывает вдоль траектории от А до В. Быстрая релаксация мы-
мышечного волокна происходит на части траектории CD, после
чего происходит возвращение к положению равновесия Е. За-
Затем это периодически повторяется под влиянием включаю-
включающего механизма, имитируя поведение мышечных волокон при
работе сердца.
Чтобы получить медленное возвращение, характерное для
прохождения нервного импульса, требуется рассмотреть не-
некоторую модель в пространстве R3. Необходимость рассмат-
рассматривать систему дифференциальных уравнений большей раз-
размерности вызвана следующими обстоятельствами. Быстрое
действие в модели, аналогичной E.38), возникает из-за
складки характеристической кривой (т, е. из-за ее немонотон-
немонотонности). Это означает, что периодическая траектория может
существовать только в том случае, когда имеется вторая

190
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
складка и, следовательно, быстрое возвращение. Введение
дополнительного измерения позволяет обойти эту трудность,
потому что возвращение не обязательно должно происходить
в окрестности складки. Итак, мы будем рассматривать мо-
модели с характеристической поверхностью в R3.
Рис. 5.13. Поверхность, имеющая складку: х3 + ах + b = 0.
Поверхность со складкой М, определяющая динамику мо-
модели, в пространстве (х, а,Ь) задается уравнением
(см. рис. 5.13).
' х • х
ь

с
>
—
хъ + ах + Ь = 0
E.39)
X
a=-Z	а=-\	?7=0	о = 1	а=г
Рис. 5.14. Различные сечения поверхности М плоскостими с = const.
Чтобы понять, почему уравнение E.39) описывает именно
такую поверхность, полезно рассмотреть графики пересече-
пересечения этой поверхности с плоскостями о = const при различ-
различных значениях а. Пусть а возрастает, начиная от отрица-
отрицательных значений, принимает нулевое значение и затем ста-
становится положительным. При о = const уравнение л:3 +
+ ах + Ь — 0 на плоскости х, Ь является кубической пара-
параболой. На рис. 5.14 показано, как складка, существующая
при о <?0, исчезает для а > 0.

5.3. МОДЕЛИ ЗИМАНА ПУЛЬСАЦИЙ СЕРДЦА И НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА 1Q1
Дифференциальные уравнения, моделирующие быстрое
действие с медленным возвращением, имеют вид
ех = — (х3 + ах + Ъ),
а = - 2х - 2а,	E.40)
Ъ = — а- 1,
где е — малая положительная постоянная. Как обычно, быст-
быстрое уравнение Дает большие значения для величины к для
точек, далеких от поверхности М. Это порождает быстрое
движение в направлении оси х (см. рис. 5.16). Для того
чтобы возвращение было медленным, мы должны иметь воз-
возможность перехода с нижнего на верхний кусок поверхности
М так, чтобы рассматриваемые переменные не испытывали
скачков.
Система E.40) имеет единственную неподвижную точку Е
при х = 1, а = —1, 6 = 0; она лежит на поверхности М. Ли-
Линеаризация системы в этой точке имеет вид
[а:-| г — 2/е — 1 — 1/е-|гх-|
«U -2 -2 0 \\а\.	E.41)
й-1 L 0 -1 0 JUJ
Собственные значения этой линейной системы с точностью
до величин первого порядка относительно е равны
•|-(— 1 ± I л/3) и —2/е, так что Е является устойчивой непо-
неподвижной точкой. Быстрое собственное значение порождает
быстрое движение по направлению к Е всюду, кроме окрест-
окрестности поверхности М, а медленные собственные значения по-
порождают спиралеобразное закручивание вокруг Е в окрест-
окрестности М. Набросок фазового портрета E.40) (как он виден
из некоторой точки, расположенной выше М) сделан на
рис. 5.15: линия OF— складка поверхности М, видная сверху.
С помощью рис. 5.16 мы можем теперь описать динамику
системы E.40): быстрое действие — медленный возврат. Пред-
Предположим, что механизм включения заставляет величину Ъ уве-
увеличиваться от нулевого значения, соответствующего положе-
положению равновесия Е, до некоторого значения Ьс ^ 2/C д/§)' при-
причем величины х и а остаются постоянными. Ограничение вели-
величины Ьс означает, что точка ЛA,—1,ЬС) расположена пра-
правее линии складки OF (см. рис. 5.16). В силу уравнений
E.40) происходит быстрое изменение величины хот 1 в точке
А до значения, соответствующего точке В, расположенной
почти вертикально под А на нижней части поверхности М.
Далее траектория, проходящая через В, идет близко к по-
поверхности М, что дает сравнительно медленное возвращение

192
6. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
на верхнюю часть поверхности перед закручиванием вокруг
положения равновесия Е. Затем весь цикл повторяется снова.
Чтобы построить модель прохождения нервного импульса,
переменные х, а, Ъ надо соответствующим образом интерпре-
интерпретировать. Во время прохождения нервного импульса способ-
способность ионов натрия проникать через клеточную мембрану су-
существенно и быстро возрастает. Натриевая проницаемость
Рис. 5.15. Набросок фазового пор-
портрета системы E.40) вблизи по-
поверхности М (вид из точки на
положительной полуоси х).
Рис. 5.16. Основные черты динамики
системы E.40) на М.
соответствует величине —л: (л: быстро убывает). Возбуждаю-
Возбуждающим воздействием для этого перехода служит малое измене-
изменение величины Ь. Если Ь придать смысл потенциала на кле-
клеточной мембране, то небольшое увеличение этого потенциала
и является возбуждающим механизмом для прохождения
нервного импульса. Наконец, переменная а соответствует ка-
калиевой проницаемости. После прохождения импульса изме-
изменение калиевой проницаемости со временем, по-видимому,
согласуется с поведением траектории, проходящей через точ-
точку В. За медленным повышением величины а следует мед-
медленное уменьшение до величины а = —1, соответствующей
отрезку траектории от Л до ? с поворотом вокруг точки О.
5.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
5АЛ. ТЕОРИЯ
В гл. 3 основным способом исследования поведения не-
нелинейной системы в окрестности одной из ее неподвижных
точек было применение теоремы о линеаризации. Эта тео-
теорема дает убедительные результаты только в том случае,

Б.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА	193
когда неподвижная точка простая и не является центром. Но
в п. 3.5 было показано, как можно расклассифицировать все
неподвижные точки на асимптотически устойчивые, ней-
нейтрально устойчивые и неустойчивые. В этом параграфе рас-
рассматривается метод, позволяющий выяснить, когда имеют
место эти типы устойчивости.
Предположим, например, что мы хотим исследовать ха-
характер неподвижной точки в начале координат для системы
*, = -*?, *2 = -4	F-42)
Здесь нельзя применять теорему о линеаризации, так как
ясно, что линеаризованная система не является простой. Од-
Однако мы можем показать, что начало координат асимптоти-
асимптотически устойчиво, если рассмотреть поведение функции
V (ху, х2) = х2 + xf иа траекториях системы E.42).
Пусть x{t) = {xy{f),Xz{t)) — произвольная интегральная
кривая системы E.42). Тогда
V (х @) = -|?- *, + ^ х2 - - 2 (х? + х\)- (Б.43)
Поэтому производная V(x(t)) отрицательна во всех точках
плоскости х\, х2, кроме начала координат, так что функция
V(x(t)) убывает при возрастании t. Действительно, из того,
что V(x(t))<.0 при x(t)=/=0, следует, что V(x(t))^>-0 при
?->-оо, и, следовательно, x(t)-+0 при t-+oo. Таким образом,
начало координат — асимптотически устойчивая неподвижная
точка системы E.42).
Приведенное выше исследование системы E.42) является
простейшим примером применения функции Ляпуиова. Чтобы
развить эти идеи далее, нам понадобятся следующие опреде-
определения.
Определение 5.4.1. Действительнозначная функция V:
N ^ R2 -> R, где N — некоторая окрестность точки 0 е R2,
называется положительно (отрицательно) определенной в N,
если V{x)>0 {V(x)<0) для xe=N\{0} и У@)=«0.
Определение 5.4.2. Действительнозначная функция V:
N ^ R2 -> R, где N — некоторая окрестность точки 0 eR2 назы-
называется положительно (отрицательно) полуопределенной в W,
если V(x)^0 {V(x)^Q) для xeJV\{0} и 1/@) = О1).
Определение 5.4.3. Производная функции V: WsR2->R
вдоль параметрически заданной кривой x(t) = (x\(t),xz(t))
•) Употребляется также термин «неотрицательно (неположительно)
определенная функция». — Прим. перев,
1/27 Зак. 687

194
б. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
определяется как
хх (t) +
дх2
х2 (I).
F.44)
Функция V (*,, *2) = х\ + л|> рассмотренная во вводном
примере, положительно определена в R2. Поведение этой
функции типично для положительно определенных функций,
применяемых в этом параграфе. Любая положительно опре-
определенная непрерывно дифференцируемая функция имеет кон-
континуум замкнутых линий уровня, окружающих начало коор-
координат. Конечно, эти кривые не обязаны быть окружностями
(см. рис. 5.17). При этом если производная V отрицательна
Рис. Б.17. Линии уровня функции V (х\, х2) — С для положительно опре-
определенной функции V(xv jc2) = jc, — In (l + лс,) + лс| для С =0,5; 1,0; 1,5»
на некоторой траектории, то эта траектория должна все
время двигаться к началу координат, так как функция V
вдоль траектории убывает. Заметим, что для любой системы
E.45)
зависит только от Х\ и х2 и поэтому часто обозначается про-
просто V(x).
Теорема 5.4.1. (Теорема Ляпунова об устойчивости).
Пусть система х = Х(х), xeS^R2, имеет неподвижную
точку в начале координат. Если в некоторой окрестности N
начала координат существует действительнозначная функция
V такая, что
(a)	частные производные dV/dxi, dV/dx2 существуют и
непрерывны;
(b)	V положительно определенная;
(c)	V отрицательно полуопределенная,
то начало координат является устойчивой неподвижной точ-
точкой системы.

6.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА	195
Если вместо (с) предполагается, что
(с') V отрицательно определенная,
то начало координат — асимптотически устойчивая неподвиж-
неподвижная точка.
Доказательство. Из свойств (а) и (Ь) следует, что линии
уровня функции V представляют собой континуум замкнутых
кривых, окружающих начало координат. Поэтому существует
положительное число k такое, что окрестность начала коор-
координат N\= {x\V(x)<. k) содержится в окрестности N. Если
х0еЛ^\{0}, то в силу предположения (с) Р(ф< (*о))=?^ 0 дл»
всех /^0 и У(ф((*о)) является невозрастающей функцией t.
Поэтому для всех / ^ 0 справедливо неравенство V(q>t(xo))<Z
< k и N\ является положительным инвариантным множе-
множеством. Следовательно, согласно определению 3.5.2, неподвиж-
неподвижная точка устойчива.
Для случая (с') асимптотическая устойчивость устанав-
устанавливается с помощью следующего рассуждения. Функция
У(ф<(*о)) убывает и ограничена снизу нулем, так что оиа
обязана иметь предел при t-^-oo. Тогда должно выполняться
равенство lim V (ф( (ж0)) =? 0, но для отрицательно определен-
ной функции 9 это может произойти только тогда, когда
ф((*о)->-О при t^-oo.
Определение 5.4.4. Функция V, удовлетворяющая предпо-
предположениям' (а), (Ь), (с) теоремы 5.4.1, называется слабой
функцией Ляпунова. Если (с) заменено иа (с'), то V назы-
называется сильной функцией Ляпунова.
Пример 5.4.1. Доказать, что функция
(S^sjeR2,	E.46>,
является сильной функцией Ляпунова для системы
*, = 1 - а*, + з*?+2х\ - х\ - 2*,4
2 —* 2	12 ~* 1*^2 *^2
в неподвижной точке A,0).
Решение. Введем локальные координаты у\, у% в окрестно-
окрестности точки A,0); система E.47) примет вид
¦/27*

596	Б. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
•Функция V, заданная формулой (Б.46), положительно опре-
определена, и
•есть отрицательно определенная функция. Следовательно, V
является сильной функцией Ляпунова для (Б.47).
Пример 5.4.2. Исследовать устойчивость уравнения вто-
второго порядка
+ * + х = 0	E.49)
в окрестности начала координат на фазовой плоскости.
Решение. Если Х\ = х и х% = х, то
*, = х2, х2=-х1-х\	(б. 50)
есть система первого порядка, соответствующая уравнению
E.49). Производная функция V (xv хг\=х\-\-х\вдоль траекто-
траекторий E.50) равна
так что V отрицательно полуопределениая. Тогда по тео-
теореме 5.4.1 получаем, что начало координат является устойчи-
устойчивой точкой системы E.50).
На самом деле для систем, обладающих функцией Ляпу-
Ляпунова, аналогичной только что построенной в примере 5.4.2,
можно доказать асимптотическую устойчивость. Заметим, что
функция V(x) не является строго отрицательной только на
прямой #2 — 0. На этой прямой компоненты, векторного поля
системы E.50) равны Xi = 0, jc2 = —хх. Поэтому все траекто-
траектории (кроме начала координат) пересекают прямую х2 = 0
и функция V обращается в нуль только для отдельных значе-
значений t. Во всех других точках плоскости V отрицательно. В та-
таком случае следующая теорема позволяет установить асим-
асимптотическую устойчивость.
Теорема 5.4.2. Пусть начало координат является изолиро-
изолированной неподвижной точкой системы х = Х(х) и в некоторой
окрестности этой точки существует слабая функция Ляпу-
Ляпунова. Тогда, если V(x) ие обращается тождественно в нуль
ни на какой траектории, кроме траектории, состоящей из не-
неподвижной точки, то начало координат асимптотически
устойчиво.

5.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА	197
Пример 5.4.3. Показать, что все траектории системы
xl = x2, x2 = — xl — (l~xf)x2,	E.51)
проходящие через точки (*,, х2) с х\ + х\<\, стремятся
к началу координат при t-*-oo.
Решение. Функция V (хг х^ = х\ + х\ является слабой
функцией Ляпунова в области х\-\-х\<\ (V(хх, х2) =
*= — 2x^A — *?)). Функция V обращается в нуль только на
прямых лг2 = 0 и х\ = ±1. Однако не существует траекторий
системы E.51), лежащих на этих прямых, так как на х2 = О
справедливо х2 = —х\ ФО, а на хх = ±1 выполняется к\ =
= х2 Ф 0. Следовательно, по теореме 5.4.2 начало координат
асимптотически устойчиво. Кроме того, с помощью рассуж-
рассуждений, аналогичных тем, которые применялись при доказа-
доказательстве этой теоремы, можно установить, что любая траек-
траектория ф<(де0), |*о|< 1, имеет предел lim <p( (жо) = О.
Тот факт, что начало координат — асимптотически устой-
устойчивая неподвижная точка системы E.51), можно также по-
получить с помощью теоремы о линеаризации. Однако приве-
приведенное доказательство отличается тем, что оно дает явное
выражение для «области устойчивости» N = ^xv х^\х\-\-
-\-х^< П. Все траектории, проходящие через точки области N,
стремятся к началу координат при возрастании времени. Тео-
Теорема о линеаризации утверждает, что область устойчивости
существует, но не дает понятия о ее размере.
Теорема 5.4.3. Пусть система х — Х(х) имеет неподвиж-
неподвижную точку в начале координат. Если существует действитель-
действительнозначная непрерывная функция V такая, что
(a)	область определения V содержит некоторую окрест-
окрестность видаЛ^{де| |де| ^ г}, г > 0;
(b)	сколь угодно близко к началу координат существуют
точки, где V >¦ 0;
(c)	функция V положительно определенная;
(d)	V@) = 0,
то начало координат неустойчиво.
Доказательство. Мы покажем, что для любой точки дс»
из N, для которой V(*o)>O, траектория q>t(x0) покидает
окрестность N при достаточно больших положительных t. По
предположению такие точки можно найти сколь угодно
близко к началу координат, и, следовательно, начало коорди-
координат неустойчиво.

198	5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Пусть 0 < п < г; тогда существует точка хо^0с |х0| <
<rin такая, что V(x0) > 0. Функция V положительно опре-
определена на N, так что V(q>t(x0)) является возрастающей функ-
функцией t.t Следовательно, траектория ф/ (дс0) при всех t остается
вне некоторой окрестности начала координат. Поэтому функ-
функция V(q>t(xo)) отделена от нуля снизу, т. е. существует такая
положительная постоянная К, что 1/(ф<(лео))^ К для всех
положительных t. Если мы предположим, что траектория
Ф<(лсо) остается в окрестности N, то
VD>t(x0))— V(xo)^Kt	E.52)
для всех положительных t. Это означает, что функция
V(ft(xo)) принимает сколь угодно большие значения на замк-
замкнутом и ограниченном множестве N. Таким образом, траек-
траектория ф*(л?о) должна покинуть N при возрастании t.
Пример 5.4.4. Показать, что начало координат — неустой-
неустойчивая неподвижная точка для системы
*, = *?, х2 = 2х\ — х1х2	F.53)
с помощью функции
V (*,, х2) = ах\ + р*?х2 + уххх\ + 6*|	E.54)
при подходящем выборе констаит а, р, у, б.
Решение. Производная функции V вдоль траекторий си-
системы E.53) равна
V (*,, х2) = Зах*{ + $х*х2 + Bр - y) х\х\ +
+ DY - 36) ххх\ + 66^.	E.55)
Заметим, что если выбрать а = у, р = 4, у = 2, 6=-|-,
то отдельные слагаемые функции 9 можно сгруппировать
следующим образом:
V (дс,, ха) = х*+, Ах\х2 + %х\х\ + \ххх\ + Щ =
E.56)
откуда видно, что V положительно определенная. Функция
V имеет вид
у (xv Х2) = тх* + К*2 + 2*А + f 4 F-67)
Эта функция такова, что V(*,, ^"^T-^i ПРИ Х2~®'
так что сколь угодно близко к началу координат на оси хх
имеются точки, для которых V > 0. Из этого, согласно тео-
теореме 5.4.3, следует, что начало координат — неустойчивая не-
неподвижная точка системы.

6.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА	199
6.4.2. МОДЕЛЬ КОНФЛИКТНОГО ПОВЕДЕНИЯ ЖИВОТНЫХ
Предположим, что мы хотим построить модель ритуальных
конфликтов, которые возникают среди особей одного вида,
например при соперничестве на самку (самца), за террито-
территорию или за доминантное положение. Конфликты возникают,
когда животные сталкиваются друг с другом, и мы будем
предполагать, что при этом возможны три вида поведения:
(a)	демонстрация;
(b)	драка;
(c)	убегание.
Предположим, что индивидуумы популяции, которую мы
моделируем, реагируют на конфронтацию ограниченным чис-
числом способов. Пусть каждый индивидуум действует по одной
из стратегий, заданных следующей таблицей:
Номер ?	Стратегия	.„_	в ^^
1	«Ястреб»	Драка	Драка
2	«Голубь»	Демонстрация	Убегание
3	«Агрессивный	Драка	Убегание
трус»
Индивидуум, применяющий стратегию i по отношению
к противнику, применяющему стратегию /, получает «выиг-
«выигрыш» ац. Считается, что этот выигрыш влияет на возмож-
возможность размножения животного (чем больше выигрыш, тем
больше потомства оставляет животное). Предположим, что
применяются только чистые стратегии, т. е. каждый индиви-
индивидуум всегда принадлежит одному и тому же типу и приме-
применяет одну и ту же стратегию, и что потомство наследует
стратегию родителя. Тогда наша модель может описывать
эволюцию всех трех типов популяции.
Пусть Xi — доля особей в популяции, применяющих /-ю
стратегию. Тогда
з
xt=l	E.58)
х,^0, i=l,2,3.	E.59)
Выигрыш для особей, применяющих стратегию i против всех
остальных особей популяции, составляет
F.60)

200
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
где А— платежная матрица. Средний выигрыш члена попу-
популяции составляет
Y	E.61)
Поэтому «выгода» от применения стратегии i равна
(Ax)i - xTAx.	F.62)
Скорость размножения на особь популяции для группы, при-
применяющей стратегию i, считается пропорциональной преиму-
преимуществу данной стратегии, что дает
i, = х{ {(Ax)i — хтАх),	E.63)
( = 1, 2, 3. Эти уравнения имеют смысл только для тех точек
пространства R3, которые удовлетворяют условиям E.58)
Рис. 5.18. Динамика модели, описывающей конфликтное поведение жи-
животных (уравнение F.63)); Х\, х2, х3 изменяются только в области
1, Х{^0, » = 1, 2, 3>. Это плоская треугольная
(ур
<л:ь xit
х3
Х{
Х{^0, » = 1, 2, 3>.
«поверхность возможных значений».
и E.59). т. е. для области Д на рис. 5.18. Мы можем полу-
получить платежную матрицу, задав «очки» за результат каждого
столкновения, например: победа = 6, поражение = 0, трав-
травма = —10, потеря времени = —1. Те конкретные значения,
которые заданы здесь, несущественны; важны их знак и по-
порядок абсолютных величин. Если «ястреб» встречается с «го-
«голубем» или «агрессивным трусом», то он побеждает, так что
й\2 = ац = 6. Если встречаются два «ястреба», то они де-
дерутся до тех пор, пока один из них не получает травму. Оба
«ястреба» выигрывают с равной вероятностью, и выигрыш
равен an = -g-F—10) = — 2. Если «голубь» встречает «яст-
«ястреба» или «агрессивного труса», то он проигрывает, поэтому

6.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА	201
«21 = а.23 = 0, но два «голубя» продолжают свои демонстра-
демонстрации друг перед другом, пока один из них не сдастся, так что
а22 = 4" F + 0) — 1 = 2. Наконец, «агрессивные трусы» проиг-
проигрывают «ястребам» (аз1 = 0), выигрывают у «голубей»
(а32 = 6) и имеют 50 %-ный шанс выигрыша у себе подоб-
подобных [а33 = -j F + 0) = 3]. Таким образом,
[-2 6 61
0 2 0.
0 6 3J
А= 0 2 0.	F.64)
Полезно также заметить, что преимущество стратегии не ме-
меняется, если к любому столбцу матрицы А добавить постоян-
постоянную величину. С помощью такого преобразования матрицу Л
можно упростить, сделав ее диагональные элементы равными
нулю. Динамические уравнения E.63) при этом не изме-
изменятся. Поэтому мы можем положить
0 4
А = I 2 0 —3 1.	E.65)
Г	1
2 0 —3 .
L2 4 oJ
На самом деле динамические уравнения E.63) являются
только частью фундаментальной модели, составленной Зи-
маном A979); в этой работе можно найти подробное изложе-
изложение модели и ее динамики. Наша цель состоит в том, чтобы
привлечь внимание читателя к моделям такого рода и одно-
одновременно проиллюстрировать подход Ляпунова к определе-
определению областей устойчивости.
Пример 5.4.5. Показать, что динамические уравнения
E.63), где матрица А задана формулой E.65), имеют не-
неподвижную точку (jci, х2, х3) = (-|, 0, -§-). Применить функ-
функцию «типа Ляпунова»
E.66)
и доказать, что эта неподвижная точка асимптотически
устойчива и область устойчивости есть
о
А = {(х1г Х2, xs) | х, + х2 + хг == 1; хх, x2> x3 > 0}.
Найти остальные неподвижные точки E.63), определить
их характер и нарисовать фазовый портрет на А. Что про-
произойдет с популяцией, состоящей исключительно из «ястре-
«ястребов» и«голубей»,если появится мутант — «агрессивный трус»?
8 Зек. 687

202
6. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Решение. Чтобы проверить, является ли точка х = (-§-, О,
-§-) неподвижной точкой для системы E.63), мы заметим,
что хтАх = 5 (¦?)(¦?•) = -§-. Для i=l и i = 3 (Ax)t = { и,
следовательно, х\ = ?3 = 0, а для i = 2 х2 = 0, так как
Покажем, что точка (-§-, 0, -§•) асимптотически устойчива
о
на А, с помощью рассуждений «типа Ляпунова». Поверхности
Рис. S.19. Поверхности уровня функции V (хи х2, ха) = xf5x%5 поро-
порождаются параллельным переносом гипербол хг ¦= С *|'2 (С в R) вдоль
оси х2.
уровня функции V{xi,X2,xa) инвариантны относительно сдви-
tа вдоль оси х2 и пересекают плоскость х% = 0 по гиперболам
(см. рис. 5.19). Треугольник А пересекает эти поверхности
уровня по системе кривых, изображенных на рис. 5.20. На А
производная V вдоль траекторий E.63) определяется как
= V (х) [A - Xl - х3) (f - х, - x,) + 5 (х, -1-J]. F.67)
о
Следовательно, производная 1/(дс) положительна на А и V
увеличивается вдоль траекторий до своего максимума в точке
Q. (Аналогично в доказательстве теоремы 6.4.1 функция V
убывает до своего минимума.)
о
Таким образом, все траектории в А при возрастании t
о	(
приближаются к точке Q. Отсюда следует, что А является
подмножеством области устойчивости и не может содержать

6.4. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
203
неподвижных точек. Следовательно, все неподвижные точки
системы (Б.63) должны находиться на границе А. На НВ
(х2 = 0) уравнения х\ = 0, ?3 = 0 превращаются в х\ (Зл:3 —
— Ъх\Хг) = 0, хг B*1 — Ъх\Хг) = 0 соответственно. Таким об-
образом, кроме Q существуют неподвижные точки Н = A,0,0)
Рис. 5.20. Линии уровня функции Рис. 5.21. Фазовый портрет системы
V = xfъх%ъ на А получаются пере- E.63) на А; матрица А задана
фй E6Б)
сечением поверхностей уровня V
о
и А. Функция V принимает свое
единственное наибольшее значение
на А в точке Q, так что C3>Ci>Cl.
()	;
формулой E.6Б).
и В ==@,0,1). Аналогично на BD (ху = 0) и HD (дс3 = 0)
находятся неподвижные точки D = @,1,0) и Р ==(-§-» Т» О);
других неподвижных точек на А нет.
Мы можем определить поведение траекторий на границе,
заметив, что
(a)	на НВ, хл > 0 при *i < -§• и х^ < 0 при хх > -f-;
(b)	на BD, д:3>0;
(c)	на HD, x2 > 0 при х2 < -§¦ и х2 < 0 при х2 > -j .
Эти замечания позволяют получить фазовый портрет, изобра-
изображенный на рис. 5.21. Предположим, что в популяции, состоя-
состоящей из «ястребов» и «голубей», появляется мутант — «агрес-
«агрессивный трус». Новому состоянию популяции соответствует фа-
о
зовая точка в А, близкая к прямой HD. Так как все траекто-
О
рии в А стремятся к точке Q при возрастании t, мы можем
заключить, что состояние популяции стремится kx —(-f-i 0,-§•)
и что «голуби» вымрут.
8*

204
Б. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
5.5. БИФУРКАЦИЯ В СИСТЕМАХ
6.5.1. НЕСКОЛЬКО ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ
В динамические уравнения часто входят кроме динамиче-
динамических переменных также параметры или «константы». Напри-
Например,
(a)	скорость размножения на особь популяции а в урав-
уравнении, описывающем рост популяции,
х = ах;	E.68)
(b)	естественная или собственная частота <оо и постоян-
постоянная демпфирования k в уравнении гармонического осцилля-
осциллятора
х + 2kx -\- в>1х = 0;
(с) величина е в уравнении Ван-дер-Поля
х+е(х2 — 1)х + х = 0
это всё параметры.
Мы имеем дело с бифуркацией дифференциального урав-
уравнения, если качественное поведение его фазового портрета
1
i
1
4-
г?
Рис. 6.22. Фазовые портреты для системы с параметром: х1 = jixb
ж2= -х2; (а) ц<0; F) ц==0; (с) ц>0.
меняется при изменении параметра (или параметров). На-
Например, для уравнения E.68) точка х = 0 — аттрактор при
а<0 и репеллер при а > 0. Когда а возрастает, проходя
через нулевое значение, то решения из убывающих превра-
превращаются в возрастающие функции от t. Говорят, что это диф-
дифференциальное уравнение имеет точку бифуркации при
а = 0. Аналогично система
= ЦХи Х2 = —Х2,
E.69)
где (isR, испытывает бифуркацию при р. = 0. Здесь возни-
возникают качественно различные фазовые портреты при fx < 0,
ц = 0 и fi > 0, как это показано на рис. 5.22. Для любого

5.5. БИФУРКАЦИЯ В СИСТЕМАХ
205
[i < 0 фазовый портрет является устойчивым узлом; для
ц = 0 — это фазовый портрет непростой неподвижной точки
(см. рис. 2.6(&)); для любого ц > 0 фазовый портрет — седло.
Пример 5.5.1. Найти различные качественные типы фазо-
фазовых портретов для однопараметрической системы
при изменении [i от —с» до +оо.
Решение. Систему E.70) можно упростить, введя поляр-
полярные координаты г, 6. Получим
г = г(ц — г2), 9=1.	E.71)'
При [д. < 0, г = 0 при г = 0; в противном случае г < 0. Та-
Таким образом, все фазовые портреты — это закручивающиеся
(
хг
) у
г
хг
JJ
Л
п	Ь	с
Рис. 5.23. Фазовые портреты системы с параметром E.70): (а) и. < 0;
F)ц = 0; (с) о
вокруг начала координат спирали. При |л = 0, г = —г3, так
что портрет качественно такой же. Спирали закручиваются
вокруг начала с малой скоростью (в линеаризованной си-
системе при [д. = 0 мы имеем центр). Но при ц > 0 начало коор-
координат уже неустойчиво, так как г > 0 при 0 < г < -у/р. Фун-
Функции r(t)^=-yj[i, Q(t) = t дают решение системы E.71), так
что окружность г = л/\И является замкнутой орбитой. При
г > -у/ц, г < 0; следовательно, эта замкнутая орбита —
устойчивый предельный цикл, и траектории закручиваются во-
вокруг него с обеих сторон.
Различные качественные типы фазовых портретов пока-
показаны на рис. 5.23. Мы заключаем, что система E.70) претер-
претерпевает бифуркацию при (х = 0.
Заметим, что собственные значения линеаризации системы
E.70) в начале координат равны ц±! и становятся чисто
мнимыми при критическом значении ц = 0. При ц > 0 си-
система E.70) имеет предельный цикл, который возникает из
неподвижной точки и постепенно увеличивается в размерах

206	8. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
при возрастании ц. Это пример так называемой бифуркации
Хопфа '). Сейчас мы укажем достаточные условия для такого
появления цикла.
Ы5Л. БИФУРКАЦИЯ ХОПФА
Теорема 5.5.1. Пусть система с параметром
xi = Хх (хи х2, ц), х2 = Х2 (xi, x2, [i)	E.72)
имеет неподвижную точку в начале координат при всех зна-
значениях действительного параметра \i. Кроме того, предполо-
предположим, что собственные значения линеаризованной системы
^i(H-), ^(ц) являются чисто мнимыми при |д, = р,о- Если для
действительной части собственных значений Re[Xi(fi)]
{=Re [Я2 (м-) ]} выполняется условие (d/d[i) {Re [А,, (ц)] } ^„^ > 0
и начало координат — асимптотически устойчивая неподвиж-
неподвижная точка при [I = цо, то
(a)	|а = |Ло является точкой бифуркации для системы;
(b)	существует интервал (fii.no), \ч < Но, такой, что при
це(ц,],(ло) начало координат является устойчивым фокусом;
(c)	существует интервал (цо, ц.2), ц2 > щ, такой, что при
[i e (|jfl, ц2) начало координат — неустойчивый фокус, окру-
окруженный предельным циклом, размер которого растет с воз-
возрастанием ц.
Отличительной чертой бифуркации Хопфа является изме-
изменение характера устойчивости неподвижной точки, сопровож-
сопровождаемое возникновением предельного цикла. Теорема 5.5.1 ука-
указывает явные условия для того, чтобы при (х = jxo возникла
подобная бифуркация. Математические методы, необходимые
для доказательства теоремы, превышают возможности этой
книги (см. Марсден и Мак-Кракен, 1976). В противопо-
противоположность этому технику применения теоремы мы здесь об-
обсудим.
Теорема 6.5.2. Доказать, что система с параметром
xi = цх1 — 2х2 — 2х1 [х\ + х%J,
х2 = 2х, + »х2 - х2 (ж? + х\у	{5J3)
испытывает в начале координат бифуркацию при \х = 0.
') Такую бифуркацию называют также бифуркацией рождения цикла;
см. название книги (Марсден, Мак-Кракен, 1976) в русском переводе. —
Прим. перев.

5.5. БИФУРКАЦИЯ В СИСТЕМАХ	207
Решение. Начало координат есть неподвижная точка си-
системы при всех |1. Линеаризованные уравнения имеют вид
х, = цхх — 2x2, Xz = 2*i + vx2;	E.74)
собственные значения Ki ([i) = Я2 (ц) = fi ± 2i, и, следова-
следовательно, Ki @) ¦= К2 @) = ±2i при (х = 0, как это требуется
в условии теоремы.
Система E.73) имеет сильную функцию Ляпунова
V(xv x2) = x\
причем
V (х,, *2) =¦ - 2 Bх? + х|) (х* + х|J,	E.7В)
так что начало координат асимптотически устойчиво. Тогда
по теореме 5.5.1 система при ц = 0 претерпевает бифурка-
бифуркацию, и в ней при fi > 0 возникает устойчивый предельный
цикл, окружающий начало координат.
Если не удается найти сильную функцию Ляпунова, бы-
бывает трудно установить асимптотическую устойчивость на-
начала координат, когда ц принимает бифуркационное значение
цо- Линеаризованная система никогда не позволяет определить
характер этой нелинейной неподвижной точки, потому что
линеаризованная система имеет в ней центр. Однако суще-
существует индекс, который иногда может все же дать возмож-
возможность установить устойчивость при |х = цо- Этот индекс вы-
вычисляется следующим образом:
(a)	находят линеаризацию х = Ах в начале координат
при [I = \ю;
(b)	находят неособую матрицу М такую, что
[0 | <о011
-К, oj	<Б'76>
(собственные значения матрицы А равны ±?соо);
(c)	систему xi = Xi (хи х2, цо), х2 = Х2(хи х2, Цо) с по-
помощью замены переменных х = My преобразуют к виду у\ —
= ^1 {Уи №), Уг = У2 (Уи У2);
(d)	вычисляют величину

208	6. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Если индекс / отрицателен, то начало координат асимптоти-
асимптотически устойчиво1).
Пример 5.5.8. Показать, что уравнение
х + (х2 — у.)х + 2х + х? = 0	F.78).
имеет точку бифуркации при ц = 0 и имеет колеблющиеся
решения при fi > 0.
Решение. Соответствующая система первого порядка
имеет вид
х{ — х2, х2 = — {х\ — ц) хг — 2xi — х*.	E.79)
Она имеет неподвижную точку в начале координат. Собствен-
Собственные значения линеаризованной системы К = [\i ± -vV2 — 8]/2;
при ц = 0 они чисто мнимые и (d/dji) [Re Л]й=0 = -|-. Линеа-
Линеаризация системы E.79) имеет вид
так что матрица коэффициентов еще не подготовлена к вы-
вычислению индекса /.
Г1 11
Матрица М = I ._ I обладает следующим свойством}
L 0 V^ J
L-2 Oj	L-V2 0 J'
так что пункт (Ь) выполнен. Замена переменных х—Му при
(j, = 0 преобразует систему E.79) в
и по E.77) получаем / = — 2 У 2.
Таким образом, для системы E.79) при [i > 0 возникает
устойчивый предельный цикл, окружающий неустойчивую не-
неподвижную точку в начале координат. Система E.79) дает
представление решений E.78) на фазовой плоскости, и из
существования замкнутой траектории следует колебательный
характер х (/) при некоторых ц > 0.
') Доказательство этого факта, а также более подробные сведения
о характере устойчивости неподвижной точки, в которой линеаризация
имеет центр,— см. в книге (Брюно, 1979*). — Прим. перев.

5.5. БИФУРКАЦИЯ В СИСТЕМАХ	209
5.5.3. ОЦНО ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О БИФУРКАЦИИ ХОПФА
Лефевер и Николис A971) рассмотрели простую модель
колебательных процессов в химических системах.
Они исследуют последовательность химических реакций
А-*Х,
B + X-+Y + D,
2X + Y-+3X,	E>82)
Х-+Е,
причем считается, что обратными реакциями можно прене-
пренебречь и что концентрации веществ А, В, D, Е постоянны.
Уравнения химической кинетики имеют вид
Х=а — (Ь+ l)X + X2Y, Y = bX — X2Y, E.83)
где а и Ь — некоторые положительные постоянные. Суще-
Существует единственная неподвижная точка Р с координатами
(а,Ь/а). Линеаризация системы E.83) в точке Р имеет мат-
матрицу коэффициентов
2XY-b-l Х2~\\	[b-l а2
b-2XY -JPJL.»4 -* ~
Определитель этой матрицы равен а2, так что устойчивость
точки Р определяется следом. Неподвижная точка устойчива
при а2 + 1 > Ъ и неустойчива при а2 + 1 < Ъ.
Чтобы применить теорему о бифуркации Хопфа, мы вве-
введем локальные координаты Х\ = Х — а, х2 = Y — Ь/а и по-
получим
*, = (&- 1) х, + а\ + 2ах{х2 + ^х\ + х
х2
\х2,
ъ	E.85)
х2 = — Ьх{ — а2х2 — 2ахух2 — —х2 — х2х2.
Мы можем рассматривать (Б.85) как систему с параметром Ь,
считая а фиксированным. Действительная часть собственных
значений равна -|-(Ь — а2— 1) для (а— IJ < Ь < (а+ IJ, так
что
при критическом значении Ъ = а2 + I.
Единственное, что осталось проверить, — это устойчивость
неподвижной точки Р при Ь = а2 -\-\. Матрица
. а2
М
¦А-* I]

210	6. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
удовлетворяет равенству
_.Г&—1 аП	Г 0 a
и преобразование х = My приводит систему E.85) к виду
У, = ау2 + A - а2) ау\ + 2а\у2 - а*у\
E.87)
$2 = — Щ-
Теперь можно вычислить индекс устойчивости для системы
E.87), и, так как только У{ц и Y\iY\2 не равны нулю, / =
= —2а5 — 4а3. Отсюда следует, что при бифуркации, когда
X
Рис. 5.24. Предельный цикл системы E.83) при а = 1, 6=3.
величина Ъ проходит, возрастая, через критическое значение
\ -\- а2, в системе E.83) возникает устойчивый предельный
цикл, окружающий точку Р. Пример типичного фазового
портрета дан на рис. 5.24.
5.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ОПУХОЛИ
В последнее время теория бифуркации дифференциальных
уравнений привлекает большой интерес и дает новые возмож-
возможности для построения математических моделей. В этом пара-
параграфе мы рассмотрим одну модель, которая особенно хорошо
иллюстрирует характер таких моделей. Она касается реакции
иммунной системы животного на постороннюю ткань (в на-
нашем случае — опухоль). Эта модель, построенная Решиньо
и Де Лизи A977), подробно представлена в обзоре Свана
A977); мы здесь дадим только ее краткое описание.
6.6.1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ
Клетки опухоли содержат особые вещества (антигены),
которые вызывают резкую иммунную реакцию у больного жи-
животного. Эта реакция состоит в том, что производятся клет-

5.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ОПУХОЛИ	21Г
ки — лимфоциты, которые атакуют и уничтожают клетки
опухоли.
Модель оперирует следующими переменными (во всех слу-
случаях имеется в виду размер названной популяции клеток):
(a)	L — свободные лимфоциты на поверхности опухоли;
(b)	С — опухолевые клетки внутри опухоли и на ее по-
поверхности;
(c)	Cs — опухолевые клетки на поверхности опухоли;
(d)	С — опухолевые клетки на поверхности опухоли, не
связанные лимфоцитами;
(e)	Cf — опухолевые клетки внутри опухоли и на ее по-
поверхности, не связанные лимфоцитами.
Из этих определений немедленно следует, что
С = Cf — С + Cs.	E.88>
Предполагается, что шарообразная форма опухоли не ме-
меняется, так что
Cs = КхС2>\	E.89)
где К\ — постоянная, и что взаимодействие, опухолевых кле-
клеток с лимфоцитами происходит только на поверхности опухо-
опухоли. Не все опухолевые клетки подвержены действию лимфо-
лимфоцитов, поэтому только в части случаев, когда встречаются
опухолевая клетка и свободный лимфоцит, происходит свя-
связывание. Будем считать, что между количеством свободных
и связанных лимфоцитов выполняется соотношение
CS — C = K2CL,	F.90)
где Кг — некоторая постоянная. Из F.88) и F.89) следует,,
что
С, = С — Я, tf2LC2'3/ A + K2L)	F.91)
6 = tf,C2/3/(l-|-tf2L).	F.92)
Из этих равенств следует, что переменные L и С можно>
взять за основные переменные модели.
Предполагается, что величина C/L для популяции лимфо-
лимфоцитов состоит из двух слагаемых:
(a)	постоянного уровня смертности A,i;
(b)	уровня стимуляции а[С(\ — L/LM).
Выражение (Ь) показывает, что, когда L мало, стимуляция?
свободных лейкоцитов возрастает линейно с ростом С и что-
существует максимальный размер популяции Lm, при котором
уровень стимуляции обращается в нуль. Таким образом, L
удовлетворяет уравнению
1 = -^ + axCL{\ — L/LM).	E.93)

212	Б. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
¦Скорость роста популяции опухолевых клеток дается урав-
уравнением
C=A2Cf —ctsCL.	E.94)
Первый член правой части уравнения E.94) описывает рост
опухоли, не подвергающейся атакам лимфоцитов, а второй
член учитывает взамодеиствие свободных лимфоцитов с опу-
опухолевыми клетками на поверхности опухоли.
Подсчитывая значения С и С/ из уравнений E.91) и E.92),
мы можем переписать E.93) и E.94) в виде
? = Л2г/-а2%^/з/A + х),
где
х = K2L, с == КъЬм, У = К2С,
я Я,1, Ая, аь аг — положительные параметры. Так как хну —
размеры популяций, они должны быть неотрицательными, а х
не может превышать с, поскольку L ограничено сверху вели-
величиной LM-
Теперь мы перейдем к изучению качественных следствий
из динамических уравнений E.95) и постараемся построить
для этой системы фазовые портреты, возникающие для раз-
разных областей изменения параметров.
5.6.2. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ
Легко видеть, что система E.95) имеет седло в начале
координат при всех значениях параметров; это следует из
теоремы о линеаризации. Положительные полуоси хну —
траектории системы; они являются сепаратрисами седла.
Чтобы исследовать нетривиальные неподвижные точки, мы
запишем систему E.95) в виде
x = xf(x,y), y = y2/3g(x,y),	E.96)
где
f(*.У) = -*1 + «1У2/3 (l —f)/A + х),	E.97)
g {х, у) = W3 — а2х/ A+х).	F.98)
Уравнения для неподвижных точек имеют вид
f(x, у) = 0, g(x,y)=Q,
из них следует, что
* ' а, V 1 - (х/с) ) — Ua \ + х) •

Б.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ОПУХОЛИ
21»
так что х — координаты нетривиальных неподвижных то-
точек — удовлетворяют уравнению
E.99)
A 4- *K
а,а|
Функция 1р(л:) имеет единственный глобальный максимум
при х* = 2с/{с + 3), причем г|>(х*) = 4с?/27(с + IJ. Поло-
Положим теперь
Hi =	г -
а,а% 27 (с + \у
E.100)
Уравнение E.99)
(a)	не имеет действительных корней при щ > 0;
(b)	имеет ровно один корень х = х* при ц\ = 0;
(c)	имеет ровно два корня х' и x*cO<xj< 2с/(с + 3) <
< х\ < с при ц, < 0.
Геометрически случаи (а), (Ь), (с) соответствуют харак-
характеру пересечения кривых f (х, у) = 0 и g (х, у) = 0, показан-
показанному на рис. 5.25.
Рис. 5.25. Уравнение f (x, y)=*Q определяет кривую, выпуклую вниз.
И имеющую асимптоту х = с; кривая g (я, {/) = 0 имеет асимптоту
# = (аа/Л2K. Возможные взаимные расположения этих кривых показаны
на рисунках: (а) щ > 0; (i>) jj,i = 0; (с) \Х\ < 0.
Рассмотрим теперь фазовый портрет для каждого из этих
случаев:
(с) и>0
Не существует нетривиальных неподвижных точек. Если
вспомнить, что начало координат — седло, и учесть знаки х
и у, то можно нарисовать фазовый портрет (см. рис. 5.26).

•214
Б. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Заметим, что у-^-оо при <->оо для всех начальных со-'
¦стояний популяций. Это соответствует неконтролируемому
росту опухоли.
F) Щ=0
Существует единственная нетривиальная неподвижная
точка {х*,у*)г где х* = 2с/ (с + 3). Матрица коэффициентов
Рис. 5.26. Фазовый портрет E.95) при jxi > 0. Все траектории асимптоти-
асимптотически стремятся к х = с при / -> со.
линеаризованной системы равна
AIL,- <
так как f(x", у") = g (х*, у*) = 0. Мы здесь пользуемся обо-
обозначениями
Получаем
df
дх '
det W =
	 Ж И Ви
~ fygx) |(х., у.у
E.102)
Но на рис. 5.25F) видно, что при т=0 наклоны кривых
/(*> У) = 0 и в1 (дс, ?/) = 0 в точке {х*,у*) одинаковы. Отсюда
¦следует, что
fy
Яг/ '(ж», у*)'
E.103)
так что det W = 0. В этом случае (я*, у*) — непростая непо-
неподвижная точка, и мы не можем определить ее характера с по-
помощью линеаризации.
Мы вернемся к исследованию точного характера этой не-
неподвижной точки позднее. Однако глобальный характер фа-

5.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ОПУХОЛИ
215
зового портрета при ц = 0, очевидно, таков, что для боль-
большинства начальных состояний (площадь области устойчиво-
устойчивости для точки (х*, у*) конечна) возникнет неконтролируемый
рост опухоли.
(с) ш<0
Существуют две нетривиальные неподвижные точки
Р, = (x*v у\) и Р2 (х*2, у*2), причем 0 < х\ < х* < х\ < с, где
)
Если Wi (i ss 1,2)—матрицы коэффициентов линеаризо-
линеаризованной системы в точках (х*, у*Л, то формулы E.97), E.98)
и E.102) дают
del Wt = {a{K2xyW (-f- - с - 3)/Cc A + xf)} ^ y]). E.104)
Отсюда следует, что detWi положителен, a detW2 отрицате-
отрицателен. Мы можем сразу заключить, что точка Р2 является сед-
Рис. 5.27. Возможные графики функции т] (х). Заметим, что tr (IF,) = t) (x*)
положительно для кривых (а) — (с), равно нулю для (d) н отрицательно
для (е).
лом, а устойчивость или неустойчивость Pi определяется зна-
знаком tr W\. Если вычислить матрицу F.101) в точке (х*, у*},
получим
_ Л2 f, o(hx
х/с)
здесь для исключения у мы использовали равенство E.97).
Функция л:{A + л;) A—х/с)}-1 строго возрастает на интер-
интервале @, с), и, следовательно, т) (х) является строго убываю-
убывающей функцией переменной х на интервале @, д;*) (напомним,

216	5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
что 0 < х* < с). Для tr W) — т) (**) могут возникать разные
возможности, как это видно на рис. 5.27.
Заметим, что из r\(x*)^sO следует, т) (**) > 0 (кривые (а)
и F)), в то время как в случае т) (%*) < 0 значение г\ (%*) мо-
может быть положительным (кривая (с)), нулевым (кривая
(d)) или отрицательным (кривая (е)). Мы можем следую-
следующим образом истолковать полученный результат в терминах
параметров изучаемой модели. Если х = х* = 2е/(е + 3), то
Величина E.106) обращается в нуль (кривая F) на
рис. 5.27) при A,i/A,2 = (c+ l)/B(c + 3)). Положим теперь
Тогда получим, что
(a)	если ц2 < 0, то т) (%") > 0 и tr №, = т) (х*) > 0, и, следо-
следовательно, точка Pi неустойчива;
(b)	если Ц2 > 0, то знак tr W\ не определен.
Если ц2 > 0, то мы можем утверждать, что кривая ц (х)
имеет характер кривых (с), (d) и (е) при последовательном
увеличении параметра \j®, начиная от нуля. Соответственно
tr Wx — tj (x°) сначала положителен, затем равен нулю и, на-
наконец, отрицателен. Таким образом, при увеличении ц2 от 0
до оо (при постоянном значении |xi) точка Р\, неустойчивая
при Ц2 = 0, при достаточно больших значениях ц2 становится
устойчивой.
Мы подытожим полученные результаты на рис. 5.28. На
нем показана плоскость щ, ц2, разделенная на следующие
области: область А, где имеется только одна неподвижная
точка в начале координат; В, где точка Pi неустойчива, и С,
где точка Рг устойчива. Мы не определили форму границы
между областями В и С на рис. 5.28; поэтому она показана
схематически пунктирной линией.
Локальное поведение, показанное на рис. 5.28, качественно
эквивалентно поведению более простой двухпараметрической
системы
E.107)
Эту систему исследовал Такенс A974). Основные результаты
глобального исследования системы E.107) приведены на
рис. 5.29 и 5.30. Заметим, что локальные фазовые портреты
в неподвижных точках на рис. 5.30F) и (с) совпадают. Та-
Таким образом, с точки зрения локального поведения области

5.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ОПУХОЛИ
217
jBi и Z?2 эквивалентны, и мы можем установить аналогию
между А и А', В и В = в\ U в'2, С и С".
Аналогия между системами E.95) и E.107) распростра-
распространяется не только на локальное поведение; действительно, все
глобальные фазовые портреты для E.95), полученные Сва-
Сваном A977), имеют качественные аналоги в исследовании Та-
кенса для системы E.107). Конечно, это не доказывает, что
системы E.95) и E.107) качественно эквивалентны, так как
Нет нетривиальных
непоЭвыжных точек
Рис. 5.28. Итоги исследования ус-
устойчивости по линейному прибли-
приближению для системы E.95) Харак-
Характер особой точки на прямой jxi =
= 0 и границы между областями
В и С не могут быть определены
с помощью линеаризации.
Рис. 5.29. Итоги глобального ис-
исследования системы E.107). Пло-
Плоскость Дь Д2 разбита на четыре
области А, Bv B2, С'; фазовые
портреты в каждой из этих обла-
областей изображены на рис. 5.30.
исследование Свана не исчерпывает всех возможных фазовых
портретов системы E.95). Однако такая качественная экви-
эквивалентность представляется вполне возможной.
Предположение о том, что системы E.95) и E.107) каче-
качественно эквивалентны, влечет за собой важное следствие для
системы E.95). Такенс дал полный анализ системы E.107),
и он может послужить образцом для анализа E.95). Напри-
Например, мы могли бы предположить, что граница между С а В
на рис. 5.28 определяется бифуркацией Хопфа, как это и есть
для границы между С и В' на рис. 5.29. Напомним, что ли-
линеаризация системы E.95) имеет чисто мнимые собственные
значения на границе между С и В (tr W\ = 0) и имеет место
резкое изменение устойчивости точки Pi. Это как раз «сим-
«симптомы» бифуркации Хопфа. Предельный цикл, характерный
для этой бифуркации, также возникает в исследовании Свана.
В работе Свана не упомянуто, какая бифуркация проис-
происходит на границе между областями В2 и В\ на рис. 5.29, но
9 Зак. 687

218
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
из гипотезы о качественной эквивалентности вытекает ее су-
существование. При убывании Ц2 (при фиксированном щ < 0)
мы можем ожидать возникновения предельного цикла на гра-
границе между В и С обусловленного бифуркацией Хопфа; за-
затем предельный цикл должен увеличиваться до тех пор, пока
он не дойдет до седла Р2. Тогда должна произойти следую-
Рчс. 5.30. Фазовые портреты для системы E.107), когда точка (pi, pa) на-
находится в областях: (а) С ; (Ь) В2; (с) Вх\ (d) A .
щая бифуркация и ограниченные колебания, возникающие
при наличии цикла, должны смениться неконтролируемым
ростом опухоли (см. рис. 5.30(с)). Наконец, качественная
эквивалентность систем E.95) и E.107) позволила бы нам
исследовать характер неподвижной точки в начале координат
для системы E.95), jxi = 0. Классификация Такенса содер-
содержит все такие «вырожденные» случаи для системы E.107).
Например, при Д1 =Д2 = О непростая неподвижная точка си-
системы E.107) в начале координат имеет фазовый портрет,
изображенный на рис. 5.31. Этот портрет эквивалентен порт-

5.6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ОПУХОЛИ
219
рету, полученному Сваном для нетривиальной неподвижной
точки (х*, у*) системы E.95).
Все четыре фазовых портрета, показанных на рис. 5.30,
реализуются и для системы E.95) при некоторых значениях
параметров (щ, ц2). Можно убедиться в том, что чаще всего
имеет место неконтролируемый рост опухоли. Для остальных
областей (ць цг), где фазовые портреты аналогичны
рис. 5.30(а) или (Ь), неконтролируемый рост все-таки может
возникать, если начальное состояние популяций принадлежит
определенным ограниченным областям плоскости х, у.
'Ш
I) \"\
ж
X
Рис, 5.31. Непростая неподвижная Рис. 5.32 Фазовый портрет для систе-
точка системы E.107) при ^ = мы E.108) с источником лимфоцитов.
= д2 = 0.	Область устойчивости для точки
(х0, 0) заштрихована.
Ключевой идеей здесь является поиск каких-либо реаль-
реальных возможностей для расширения областей устойчивости.
Например, Решиньо и Де Лизи A977) рассматривают модель
с источником лимфоцитов, с постоянной скоростью поступаю-
поступающих в систему. В этом случае динамические уравнения E.95)
заменяются уравнениями
х = - Я, {х - х0)
у = 12у-а2у2'3х/A-\-х),
х),
E.108)
где член "к\Х0, х0 > 0, соответствует источнику лимфоцитов.
Система E.108) имеет устойчивую неподвижную точку с ко-
координатами {х0,0), которая соответствует полной ремиссии
опухоли. Один из возможных фазовых портретов изображен
на рис. 5.32. Размер области устойчивости неподвижной точки
{хо, 0) увеличивается при убывании величины К^Ца^. Даль-
Дальнейшие подробности читатель может найти в отличном об-
обзоре Свана A977).
9*

220	5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
К п. 5.4
1.	Показать, что функция V (ж,, х2) = х\ + х\ является сильной функцией
Ляпунова в начале координат для каждой из следующих систем:
(a)	хх = — х2 — х\, х2 = х1—х2\
(b)	xi = — х\ + х2sinж,, х2 = — хг— х\хг — Ху sinХу\
(c)	хх = — хх — 2*2. *2 — 2ххх2 — ж|;
(d)	х, = — Xj sin2 Ху, х2 — — х2 — х\,
(e)	к1 = — A — х2) xv х2 = — A — *,) х2.
2.	Найти области устойчивости в начале координат для всех систем упр. 1
3.	Показать, что функция V (х,, х2) = х\ + х\ является слабой функцией
Ляпунова в начале коордииат для следующих систем:
(а) *1=ж2, х2= — х, — д4A— х2J;
(D) Xj — Xj "г Xg, ^2=== *\*2 ^'
(c)	Xt === — Xi, Xq ==: ~~" Xj^2J
(d)	Xj = — Xj + 2X[X2, x2 = — x\x\.
Для каких из этих систем начало координат асимптотически устойчиво'
4.	Доказать, что если V является сильной функцией Ляпунова для урав
нения х=—Х(х) в некоторой окрестности начала координат, то х = Х(х)
имеет в начале координат- неустойчивую неподвижную точку. Используя
этот результат, показать, что системы
(a)	х^ — х\, х2=х\\
(b)	х, = sin хх, х2 = sin х2;
(c)	х, = — х\ + 2х\ sin Ху, х2 = х2 sin2 x2
в начале координат неустойчивы.
5.	Доказать, что уравнения
(а) х + х — *3/3 + х = 0; (Ь) х + х sin (х2) + х = 0;
(с) х + х + х3 = 0;	(d) х + х3 + х3 = 0
имеют асимптотически устойчивые нулевые решения.
6.	Доказать, что функция V (xj, x2) = ax\ + 2Ъххх2-\- сх\ положительно
определенна тогда и только тогда, когда а > 0 н ас > Ь2. С помощью
этого критерия (или иначе) доказать, что система
асимптотически устойчива в начале координат. Рассмотреть область
|ха| < I. Найти область устойчивости,

УПРАЖНЕНИЯ	221
7. Найти области устойчивости для следующих систем, построив соответ-
соответствующие функции Ляпунова:
(а) *,-*8-*,(l-xf-xf) (*? + *|+О-
(b) X1=X2, X2= — Xj+Xg — x\.
8. Использовать функцию V(xi, x2) — (xi/aJ-\-(xz/bJ и показать, что
система
Xl = Xl (Xi — Q), JCa = X2 (л2 — О), fl, fc ^ 0,
имеет асимптотически устойчивое начало координат. Показать, что все
траектории стремятся к началу координат при /-+оо в области
Xi _ Хп
9.	Пусть задана система
i — V	Г — V _ V3-
Л1 Л2> Л2 -*2 XV
показать, что можно подобрать положительно определенную функцию
вида
V (х{, х2) = ах\ + Ьх\ + сххх2 + dx\
так, что 9 (*ь а:2) также будет положительно определенной. Вывести из
этого, что начало координат неустойчиво.
10.	Показать, что для системы
•	2 2 • о
начало координат неустойчиво; использовать функцию
11.	Показать, что неподвижная точка в начале координат для системы
4 • о 2 2 2
неустойчива, применив функцию ^(хь х2) = a*! + Р*2 и подобрав соот-
соответствующим образом постоянные а и р. Проверить неустойчивость на-
начала, исследуя поведение сепаратрис.
К п. 5.5
12. Рассмотреть различные типы фазовых портретов, которые получаются,
когда параметр ц изменяется от —оо до +°°i Для следующих систем;
(а) г = -г2(г+ц), ё = 1;	(Ь) г = цг (г + цJ, 6 = 1;
(с) г = г(ц-г)(ц-2г), ё=^1; (d) г = /-(ц-г2), 6 = 1;
(е) г = г2ц, ё = ц,	(f) r = r2, ё=1-ц2

222	5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
13.	Вычислить индекс устойчивости и показать, что приведенные ниже си-
системы являются устойчивыми в начале координат:
(a)	хх = х.2 — х\ + х х\, х2 = — Х[ — j^xf;
(b)	х{=хг — x^sinxi, х2 = — хх + х1хг + 2х21;
(c)	хх — х2 — х\ + 2x^2 + х\, х2— — х1+ххх2 + х\.
14.	Доказать, что при ц = О все написанные ниже однопараметрические
системы испытывают бифуркацию Хопфа, так что возникает устойчивый
предельный цикл, окружающий начало координат при ц > 0:
(a)	хх = хг — х\, х2 = — х, + цх2 — х\х?
(b)	ij = цхх + х2 — xf cos хх, х2 = — хх + цдг2;
(c)	х, = ц*! + х2 + \ис\ — х^ — x,x| x2= — xx + x].
152. Показать, что уравнение Рэлея
при ц = 0 испытывает бифуркацию Хопфа. Описать фазовые портреты
при ц = 0 и в окрестности ц = 0.
16.	Доказать, что линеаризация системы
хх = (ц - 3) х, + E + 2ц) х2 - 2 (х, - х2K,
х2 = — 2х, + C + ц) х2 — (х, — х2K
в начале координат при ц = 0 имеет чисто мнимые собственные значения.
Найти новые координаты ylt y2, в которых линеаризация системы имеет
форму, удобную для проверки устойчивости. С помощью этой формы (или
иначе) показать, что при ц = 0 система испытывает бифуркацию Хопфа и
возникает устойчивый предельный цикл при ц > 0.
17.	Доказать, что однопараметрическая система
хх = — \i,xx — х2, х2 = хх + х1
испытывает бифуркацию Хопфа при ц = 0 и при "ц > 0 возникает не-
неустойчивый предельный цикл вокруг начала координат.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
К ГЛ. 1.
1. (a) x=l
(b)	x^te'
(c)	х = — 5ecos' cosec / + С cosec t, («—1) я < / < «it,
2. (a)
x > 0.
(b) д; = С//, / < 0.
x = C'/t, />0.
'>a
3.	F (/, ж) = д; In (fл:).
4.	(а) л:= с^ ,
1
—Т
(b)	* = (C-0~l/2. t<C: х-
(c)	*, = (|+Св*УA-С*')>
- (С - 0~I/2. / < С:
< — 1. / > - In С, С <= R+.
С s R+.
ж = A + Ce')/(l -Се'), л: > 1, / < — lnC,
CsR+.
Ж=— 1 X&z + l.

224	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
(d)	x = (t-Cf, t<C- х = 0,
x = (t-C')\ С <t.
x = (t-C)\ t<C; x = 0,
jt = O, t<C; x=(< — C)s,
x = 0.
(e)	x=—1, <<C —л/2;
x = sin (/ — С), С — л/2 < / < С + л/2;
*E=I, <>С + л/2;
(f) х = 0, /<С; х = (/-СJ, / > С.
д; = 0.
На последний вопрос ответ «да» как в случае (е), так и в случае "(f).
Б. 4(d) x = (t-C)\ /<C;
х^О, />С,
удовлетворяет условию х@) =0 для всех отрицательных С.
4(f) x = 0, t<C;
x = (t-CJ, t>C,
удовлетворяет условию х@) = 0 для всех положительных С.
f -I,	t<C- л/2,
4(е) х=\ sin(<-C), С-л/2<<<С + л/2,
I 1,	ОС + л/2,
удовлетворяет условию х@) = 1 для С < —л/2 и х@) = —1 для
С > л/2.
в. (а) | (— t) является решением.
(Ь) — | (/) является решением.
7.	Если С=Л(<0, х0), то С = Л(а<0, ах0), Va Ф 0. В уравнении x = exlt
подстановка и = xft дает \ х _— = In t + С; этот интеграл не вычи-
вычисляется в элементарных функциях.
8.	Выражение х = х -т— (х) = (a — 2bx) x(a — bx) позволяет найти обла-
области выпуклости и вогнутости на плоскости /, х.
9.у = -ау + Ь; у=>— +Се~а*.
11.	(b), (d) и (е) — автономные уравнения; изоклины — прямые х — const.
12.	(а) 1 (/?); (Ь) - 1 (А), 0 (/?), 1 (А); (с) 0 (S):
(d)-lH); 0(S); 2(/?); (e) - нет.
((Л) — аттрактор, {R) — репеллер, (S) — шунт.)
13.	{(а), (b), (f)}, {(с), (е)}, {(d)}.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ	225
14.	% < 0 <-->; % > О (Я ф 1) <—>-—<—>; Л = 1 <—>—->.
15.	16; 2"+'.
16.	Уравнение у== у (у — с) переходит в kx = (fex + /) (fex +. С — с)); fe = 1,
/— с= —а, 1 = — Ь или I — с = — Ь, f = —а.
17.	Пусть # = х3 + я*—Ь. Количество действительных корней уравнения
# = 0 определяется следующим образом:
а > 0 =ф- -j=i- > О =ф- 1 корень;
П аЛ
(О г/тах < 0 =*¦ 1 корень;
(и) {/min>0=^l корень-
(iii) J/max > 0 > ут1„ =Ф- 3 корня.
18.	Ь/д.
19.	(а) @. 0), (eld, a/b); (b) (пя, 0), n e Z;
(с) @, 0); (d) @,-0), B, 0), @, 2), B/3, 2/3);
(е) (ия, Bт + 1) я/2), т, n e Z.
20.	(a) *i = — х2, хг = *i; (b) ж, = -i- х2, х2 = 2*i;
(с) xi = *i, х2 = — 2х2; (d) Xi = х2, х2 = х^
(е) *, = х, + х2, х2 = 2х2.
21.	{(а), (Ь)}, {(с), (d)}, {(e)}.
22.	Траектории обеих систем удовлетворяют одному и тому же дифферен-
дифференциальному уравнению
dx2 X2 (Xi, x2)
dxi Xi (x,, x2) '
23.	yi = у и у2 = — J/2.
24.	Предположите, что существует другое решение: (х[ (t), x'2 (/)), и рас-
рассмотрите разность Х[ — х[, х2 — Xj.
25.	См. упр. 9.
26.	Из инвариантности системы относительно преобразования ж-> — х
следует, что — х = X (— х). Таким образом, X (х) = — X (— х)
(см. упр. 6).
30. (а) Все изоклины—прямые, проходящие через точку B, 1). Кроме
того, направление поля всегда перпендикулярно изоклине; замкну-
замкнутые траектории существуют.
(Ь) Определите области, пте xi, Хг имеют определенный знак, и рас-
рассмотрите направление траекторий. Замкнутых траекторий нет.

226	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
(с) Изоклины — прямые, проходящие через начало координат, а каса-
касательные к траекториям всегда образуют острый угол с направле-
направлениями этих прямых от начала координат Замкнутых траекторий
нет.
81. Изоклина наклона k имеет уравнение кхг + х± = — xv Решения
Z2.T?L? = Ce».
33.	(a) «pt(x)==sh~'(e'sh^),
(b) q>, (*)-*<•*>.
34.	(a) xt (t) = efxi @), *2 @ = -?-?lM. + e-' j"^2 (o) _ ^iM-l для
всех t.
(b) *j (') = YTi—7rn\	Г> это значение х2 надо подставить в уравне-
иие
i <	< >
Ж2|
36. Для х0 > 0, In ( —J =~2	2~:
здесь использованы начальные условия. Для хо = 0, х == 0.
К ГЛ. 2
2. «a», {(b), (f)}, {(с), (d)}, {(e)}.
1 —
гз 1-1 Г-^2 -1/3-1
LO 3J' L 3 0 J*
5.	yi = — J/i, y2 = — 2j/2 — 3j/a, ^з = — 2j/2 — 4j/3.
6.	Подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения. Про-
Проверьте, что жордановы матрицы предложения 2.2.1 однозначно опреде-
определяются своими собственными значениями в случаях (а) и (Ь). Подоб-
Подобt% \Л \% 0.1
I и I	I?
0 л J L 0 л J
8. Примените результаты упр. 4, получите канонические системы, решите
их и сделайте преобразование х = My.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ	227
11.	*i = — -f- х, + -jx2; *2 = — YXi ~~ ТХг'
12.	*, (/) = B^-2* - е~ы) Xl @) + (e~3t - e~2t) х2 @);
Xl (t) = fee' - 2e~3t) x, @) + (- e~2t + 2e~3') *2 @).
Имеем у = 4e~2' = x, + Зх2. Приравняем друг другу коэффициенты
при е~2'и е~3' в левой и правой частях и получим совместные урав-
уравнения для Х]@) и х2@) [х,@) = х2@) = 1].
13.	(а) неустойчивый узел; (Ь) седло; (с) центр; (d) устойчивый фокус;
(е) неустойчивый вырожденный узел.
и. х, = у, + з#2, *г = 2«/i + 4у2; т = — г/i, у2 = — з#2.
15.	Линейные преобразования непрерывны, так что
lim (ЛГж(/)) = ЛГ( lim ж (О).
t->oo	t-*oo
lim у (/) = lim ЛГд; (/) = N ( lim д: (/)) = NO = 0.
Если система д; = Лх имеет устойчивую неподвижную точку в О, то
lim х(<) = 0 для всех траекторий х (t) и, следовательно, limy(/)=0 для
всех траекторий системы у = NAN~xy.
16.	Если у (/) = ЛГд; (/), то lim у (/) = lim Nx (t) = 0. Если точка О —
t-?— oo	(->—оо
седло, то ' существуют две траектории х (/) и х' (t) такие, что-
lim х (t) = lim x' (t) = 0. Соответствующие траектории у (t) = Nx (<)»
у' (/) = Nx' (t) удовлетворяют условиям lim у (t) = lim у' (/) = 0.
t->oo	f->oo
Из всех неподвижных точек линейных систем только седло обладаег
таким свойством.
17.	Линейное преобразование сохраняет прямые; поэтому либо yi = axi,
у2 = dx2, либо i/i = 6х2. {/2 = cxi. Далее
/-.' ц'	С/ и'	/
18. Если "Kjk = Хь то yi — Xtyi, уг = "к\уг\ эта система качественно экви-
эквивалентна системе у\ = eyit уг = е^г, где е = sign(Xi).
o e2
4 -4
3 4J+ 7 L-3 3

228	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
I
fit J
'
— 2 sin p/ V2 cos
[ _ t t 1
-/ И-*}
Г 7 —71 e-5« Г—З 7Т
is -3J + —[-3 7J:
4< Г cos 2< — sin It 2 sin 2/ 
e L —sin 2/ cos2<+sin2<J"
»
25. (a) C2 = 0; «j1*' = Л' (/ + <C).
(b) eatl = eatl:
n=0
26. Характеристическое уравнение матрицы Л имеет вид
где Xi, Яг — собственные значения. Теорема Кэли — Гамильтона утвер-
утверждает, что
Л2-(А,, + Я2)Л + А,,Я2/ = О,	A)
так что
Величину (Л — Я,/J можно найти, раскрывая скобки и подставляя Аг
из A).
27. Покажите, что eAt = ел°'е*' и Q =о. Воспользуйтесь при этом фор-
формулой
eAt-
28.	(а) у, = х, + 1, {/г = «2+1; (d) у, = *, +-j-,
(е) г/, =*, — 1/3, j/2==x2 + 5/3, г/3 = ха + 1/3.
29.	*(*) = {|-(«-6)+4-

Ответы и указания к упражнениям
229
30. Если х = My, то х = Ах + Л переходит в у (I) = М АМу (t) +
-\-M~lh(t). Если А имеет действительные различные собственные зна-
значения Xi, fa, то матрицу М надо выбрать так, чтобы
J
Нет; если А (t) Ф О, то M~lh (t) Ф 0.
31.	(а) Сведите к линейной системе; (Ь) используйте изоклины.
32.	Например,
—2 0~j
—1 0 н с=1,
-1 1 I
= 1, 6=2,
= 3.
На плоскости уи Уг неустойчивый фокус. На оси уз репеллер.
33.	х2 = 5e2t — (At + 5) е\ х2 = 2e2t — 2е\ х3 = e2t.
34.	ем =
(a)
(b)
1
0
0
.0
V[
1
0
0
cos
sin
cos
sin
t2
2
t
1
0
I
0
p<
0
ts -
6
/2
2
<
i
•
— sin P<
cosP<
— sin p/
cosp<
]
]
0
j 0
! yt Г cos Ы
\e I sin Ы
— sin 6t
cos 6<
35. Подсистемы получаются для следующих подмножеств координат: {xt};
[Х2, xs}; {Xi}; {x5, Хв}; фазовые портреты подсистем соответственно:
репеллер, центр, репеллер, неустойчивый вырожденный узел.
К ГЛ. 3
2. Пусть j/i = f(r)cosO, j/2 = f (r j sin в. Покажите, что окружность
х\-\- х\ = т преобразуется в окружность у2 + у\ = f (r). Этот результат
показывает качественную эквивалентность глобального фазового пор-
портрета и локального портрета в начале координат.
4- @ h = Уь h = 2j/i — Ъу2\
(ii) yi = Чух + У Л Уг = У\;
_
2yi—e~ly2, Уг= —

230	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.	(а) (], —1), седло; A, 1), устойчивый узел; B, —2), неустойчивый
фокус; B, 2), седло.
(b)	(±1, 0), седло; @, 0), центр.
(c)	(тя, 0), неусгойчивый вырожденный узел при четном т, седло при
нечетном т.
(d)	@, —1), устойчивый фокус.
(e)	@, 0), непростая точка; B, —2), седло.
(f)	@, 0), устойчивый фокус.
(g)	(—1. —1)> устойчивый фокус; D, 4), неустойчивый фокус.
?? X	X ~"~ X
6.	Решите уравнение -— = ———-. Функция { (х1? х2) = 3 (.*! + х2) — х^
имеет минимум в начале координат, и, следовательно, в окрестности
начала линии уровня функции f замкнуты. Теорема о линеаризации
здесь неприменима, так как линеаризованная система имеет центр.
du	х\
7. (а) A, 0); (Ь) A, 2), A, 0); (с) (Уг, l), (_ Уг, 1).
8- хх
1 dxf	''	' 2
9. Да; для установления эквивалентости достаточно тождественного пре-
преобразования. Траектории обеих систем удовлетворяют уравнению
dx2 x2
——=—, и обе системы имеют единственную неподвижную точку в
пХ\	Х\
10.
начале координат.
йхг
Если траектория лежит на прямой Хг = fexi, то -;— = k.
l. Неподвижные точки лежат на кривой х\ = х\ Линеаризация в непо-
неподвижной точке (ks, k2), SeR, имеет матрицу
[2k3 —3k4 I
3fe9 -3feI0J"
Да; предположите, что неподвижная точка простая, и с помощью тео-
теоремы о линеаризации придите к противоречию. Да.
12. Пусть N — окрестность неподвижной точки, ограниченная замкнутой
траекторией. Тогда для %eff <p/(xo)e N для всех t ^ 0, и, следова-
следовательно, неподвижная точка устойчива. Если xoeN\{0}, Jto = <p7(xo)
для некоторого Т > 0, так как все траектории в N периодические; по-
поэтому (fy (х0) -/* 0 при / -> оо.
13. г/, =х1 + Зх|х2 = 0, у2 = х2+ 2х2х2=1. Функции j/i, y2 зависят от xt и
х2 дифференцируемым образом; обратное преобразование
xi=yi — x\,
также дифференцируемо по yi, у2 при у2 > —j- (это условие обяза-
обязательно выполняется, если у2 = х2 + х|).

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ	231
16.	(—1, 0) —седло; @, 0) —неустойчивый узел; A, 0) —седло. Заметим,
что прямые xi = 0, ±1 и х2 = 0 являются объединением траекторий.
х3	к'
17.	(а) -^- + ж, - -j-, D = R*
(b)	xx + In | ж,.| + х2 + In | x21, D = {(*,, хг) | xtx2 Ф 0};
(c)	-^- - sin xI; D = {(*,, x2) | | jc, |< я/2, x2 =? 0};
*2
(d)	*2e*! — ж, sin x2, D = R2.
fly		 1ц2 	 J\
18.-;—=	rr	r-; (X| — x2) = С (ж, + x2J- Надо ввести новые
uX	X (о — U)
координаты t/j = jci + хг и j/з = X\ — хг и изобразить графики инте-
интегральных кривых при С = 0, ±1, ±2, +3.
19. Траектории обеих систем лежат на интегральных кривых уравнения
dx2	хг -.
•—- =	. Первая система имеет целую кривую из неподвижных
ахх	х,
точек (jfj = дс2)> а вторая — седло в начале координат.
[о" я2]'
20. 4
21-/
1, «	р?0, D R2\{0}.
p ct J
Пусть траектория x(t) стремится к некоторой фиксированной точке Хо
при t-*-oo. Для периого интеграла / имеем f(x(t)) = f(x0) в силу не-
непрерывности f. Если точка х0 асимптотически устойчива, то f(x) =
= f(x0) для всех х из некоторой окрестности точки хц.
¦ „ х1 ах,	. .
22. H = yx2 + ~o	з~5 в точке @,0)—центр, в точке (а , 0)—
седло.
24.	(а) Пусть х3@) ^ 0; тогда из того, что Хг |> 0, следует хг(<) ^> ж2@)
для всех положительных t.
(b)	При хг == $xt имеем xi = (Р — а)х, и х2 = (Р — а)х:2. Таким об-
образом, Хг = fixi.
(c)	В полярных координатах л = —лA—л2), и, следовательно, л<0
для г < 1.
(d)	Траектории лежат на семействе гипербол х^ = С. Покажите, что
границей указанной области является парабола, состоящая из не-
неподвижных точек.
25.	(а) 2х* + х* = 1; (Ь) х1 + хг = 5; (с) 2х2 + х< = 2.
26.	Да.

232	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
27.	Если г —полярный радиус, то г = гA — гг) — FsinG. При F = 0 пре-
предельный цикл задается равенством г == 1.
28.	Эта система не имеет неподвижных точек. Если существует по край-
крайней мере один предельный цикл, то можно выбрать область R, огра-
ограниченную предельным циклом и не содержащую внутри себя других
предельных циклов. С помощью теоремы Пуанкаре — Бендиксона при-
придите к противоречию, показав, что в R должна содержаться хотя бы
одна неподвижная точка.
С9. ——- +	=2 — 4 (к, + хЛ. Предельный цикл либо пересекает кри-
вую х^ + ^2 = — , либо окружает ее.
60. Найдите, в каких подобластях R производные Xi и х2 имеют опреде-
определенный знак. Рассмотрите поведение траекторий, проходящих через
точки параболы х2 == — х\ + 3*j + 1> и покажите, что они не накру-
накручиваются на неподвижную точку против часовой стрелки.
К ГЛ. 4
3. Главные направления—A, ЯО, A, Яг), где A,i, Яг {hi > Яг)—соб-
Яг)—собственные значения. Покажите, что при й->то, Я1->-0 и Кг->-—то.
. dH , 1 di I ._
dvr vr
dt ~ R ¦
D	kD0
{k+ix)DB+{kUB-ixDB)e-
k	.
k + ц
= Я — V — Ц.
9. x = — sin at, у = cos t.
@
— k/m 0
Нормальные моды колебаний: yi = 0, частицы испытывают симметрич-
симметричные колебания вокруг середины отрезка АВ; уг == 0, колебания проис-
происходят так, что между частицами сохраняется расстояние I.
11. (а) Положение чравновесия есть (——~, —irfjj наД° ввести ло-
локальные координаты и воспользоваться классификацией на плоско-
плоскости tr — det.
(b) Положение равновесия есть (— ° , — °	J с
fe<a— l/a(—А). Устойчивая неподвижная точка стремится к
бесконечности при k -*¦ А,

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ	233
-—т	~L
4e	— e	2e
.-2."* +8.-»* -e"\
14. Установившиеся решения имеют вид
/i = —.		cos (wt — ф), где tg ф =
j2 = — ЕвС<й sin со/.
Ток ii + B имеет амплитуду
cocj J •
15.	Неподвижные точки — это: (а) @,0)—неустойчивый узел; F) B,0)—
устойчивый вырожденный узел; (с) @, 2) — устойчивый вырожденный
узел; (d) B/3, 2/3)—седло. Главные направления: (а) A, 0) и @, 1);
(Ь) A,0); (с) @, 1); (d) A, 1) и (I, -1).
16.	Неподвижные точки — это: 0= @, 0), А= @, v), В— A, 0) и
С— (A — v)/(l — 4v2), v(l — 4v)/(l — 4v2)); их характер следующим
образом зависит от v:
( седло, 0 < v < 1,
устойчивый узел v > 1;
седло, v < —,
1
устойчивый узел, v > —;
устойчивый узел, v < —,
С:
(. седло v > 1..
(Точка С не находится в первом квадранте при -^ < v < 1). О: не-
неустойчивый узел, v > 0.
17.	Неподвижные точки: 0 = @, 0), Л = @, —1/а), В = A/а, 0),
С = f . , ,, . , д )• Линеаризация в точке С имеет след
—2а/A +а2), определитель <1 — а2)/A + а2) и, следовательно,
Д<0.
18.	хх =
х, (Г)
S-—2- = 0, так как х2 @) = ж2 (J), х2 = а/6.
С учетом «сбора урожая» к\ = хх [(а — е) — Ьх2],
¦ +
х2 =

234	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
19.	Вершина параболы имеет координату у\ =—-—, что больше 1.
Применяя этот результат, докажите, что tr W- (см. D.94)) отрицате-
отрицателен. Фазовый портрет с единственным устойчивым предельным циклом
должен содержать неустойчивую неподвижную точку.
20.	В = уР, так как В = \Р. При ц(Р) = Ь + сР неподвижные точки:
0 = @, 0) — неустойчивый узел; S = (—Ь/с, 0) — седло; Т =
= (—	, 	J — устойчивый узел или фокус. Неподвижная
точка Т имеет областью устойчивости первый квадрант.
21.	у = — х + — In х — с0 (ориентация определяется тем, что к убывает
при х, у > 0). Число восприимчивых к болезни (х) убывает, а число
заболевших (у) достигает некоторого максимального значения перед
тем, как упасть до нуля.
22.	Неподвижная точка (-я- , П является устойчивым фокусом. При эпи-
эпидемии обычно имеется ненулевое, количество больных.
23.	/ = 1 - S + -1 log (S/So) (при / = 0, /0 + S0=I, Яо = 0).
(a)	aSB <: 1; тогда aS(t) < 1 для всех положительных t (S < 0).
Отсюда l = yI(aS—1) отрицательно и / = 0 тогда и только
тогда, когда / = 0.
(b)	aSo > 1; тогда S убывает. Пусть при t = t0, aS{t0) = 1. Тогда /
положительно для t < t0 и отрицательно для t > to. Заметим, что
S = Sl при / = 0. Чтобы доказать единственность корня Si, до-
докажем, что / — возрастающая функция S на @, 1/о), если /@)<
< 0 и /A/о) > 0.
24.	Первый интеграл имеет вид / (X, Y) = h (X) + g (К), где h (X) =
^±.аХг—$Х, a g(K) = 6K — -?-In (Л + feK). Функции h(X) и g(Y)
*•	к
обе имеют глобальный минимум при положительных значениях X и У
соответственно.
х2
26. Первый интеграл имеет вид f{x{, х2) = ~о~+ юо 0 — cos *i) Линеари-
Линеаризованная система в неподвижных точках Bяя, 0), neZ, имеет центр,
а в неподвижных точках (Bя + 1) я, 0), «eZ,-седло.
26.	В неподвижной точке @,' v-1) собственные значения равны
(—|х-1	, —vj; в неподвижной точке (± V1 — l*v, м) след равен
—V, а определитель 2A — |xv).
27.	rr = я,*, + *2*2, гЧ = х{х2- х2хх, г = ел0 sin2 в (l-rj; cos2 в) -f О (е2I
ё = - 1 + e(rj;cos28- l) + O(e2).
Дг = еягоA-л2/4).
Ar > 0, л0 < 2, Аг < 0, го > 2 с точностью до величин первого по-
порядка по е, так что для га = 2 верно Дг = 0.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ	235
28.	(а) Получите уравнения второго порядка для х и у, заданных систе-
системой х = у — е f-g- х3 — х), у — — х.
(b) Если х2 = еш, то хх = еГю—-х^ + хЛ, <в =	—. При е->оо,
х,->-оо, кроме близкой окрестности со = — х\ — xv
29.	Введите конденсатор С, подключив его параллельно; уравнения цепи
примут вид
Эти уравнения типа Льенара, поэтому возникают колебания.
Q	я
j ар — bp*	J (Ар — Вр3)
я	Q
Цикл изменения популяции имеет период 7"i + Т2.
31. Получите систему уравнений
Y + kY + У = - М (К < 0).
Сделайте замену Y' = Y — L в обоих уравнениях, чтобы можно было
воспользоваться аналогией с системой, рассмотренной в п. 4.5.2.
32. К, @ = 00^'-',
Общее решеиие дифференциальиого уравнения для t > 1 есть Y(t) =
= (At + В) е~' -\- Go, где А и В — постоянные. Независимо от выбора
Аи В, Y(t) -*¦ Go при <-> то.
к гл. б
1.	(d) V(xlt x2) = — 2x^(sinx:1) —2к\ — 2х\ отрицательно определена
если х\ + х\ < я2.
(е) У (ж,, х2) = — 2х\ A — х2) ~ 2*2 A — х^ отрицательно определена
при х\ + х\ < 1.
2.	Область устойчивости — R2 для (а), (Ь), (с); •[(«,, х2) | х2 + *1 < г2}
при л = я для (d) и г = 1 для (е).
3.	Асимптотически устойчивы (а) и (Ь). Нейтрально устойчивы (с) и (d).
4.	Система х = —Х(х) имеет асимптотически устойчивую точку в начале
координат. Пусть х0 таково, что Iim Ф, (*0) = 0. Выберем окрест-
ность N точки 0, не содержащую х0. Траектория системы х = Х(х),
проходящая через точку Хо, удовлетворяет условию Iim q^ (хЛ = 0.
Пользуясь этим свойством, докажите неустойчивость иачала координат
В случаях (а) и (с) воспользуйтесь функцией V (xv, х2) = х2 + х\.

236	ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.	Воспользуйтесь функцией V (ж,, х2) = х\ -\- х\ к случаях (а) и (Ь) и.
функцией V (жр ж2) = х\ + 2ж| в случаях (с) и (d).
6.	Если V положительно определенная, то значение ^(l.O) положительно
и, следовательно, а положительно; кроме того,
V (ж,, х2) = а (ж, + - ж2) + (с	-) 4
и, таким образом, положительны величины а и с	. Возьмите, на-
например, я = 5, 6=1, с = 2; тогда
Если У(Ж|, ж2) *^ ?/^> Ж2 *~ "> так что имеется область устойчивости,
определенная неравенством 25дс^+ \0xtx2+ Юх] < 9.
7.	(а) V(*„ jtj) = х\ + 4 *¦ (*|. Х2) = - 2л2(l - л2) A + л2); *J + х| < 1.
(b) F (ж,, х2) = х\ + Ъх\, V = — x\{\ — xf); x\ + Ъх\ < 3.
2х\ 2х\
8.	F (*!, х2) =—г" (*' — а) + ~Тз~ (х? ~ Ь) — отрицательно определенная
9	9
X	X
9. Функция F (жр ж2) == -4- *1 + 4- *? ~ *i*2 + Ж2 удовлетворяет условиям
теоремы 5.4.3.
10.	^(ж„ж2) = 3 (ж2+ ж!J.
11.	V (хи ж2) = ж, — ж2.
Одна сепаратриса — х2 = 0; на ней х, = х\. Таким образом, фазовый
портрет на оси xi — шунт, и неподвижная точка неустойчива.
12.	(а) |х < 0: неустойчивый фокус, устойчивый предельный цикл г =
= — и;
ц^О: устойчивый фокус.
(-Ь) [х < 0: устойчивый фокус, полуустойчивый предельный цикл
Л = — Ц.
[X = 0: центр;
|х > 0: неустойчивый фокус.
(c)	|х ^ 0: неустойчивый фокус;
|х > 0: неустойчивый фокус; устойчивый предельный цикл г = ц/2
и неустойчивый предельный цикл г = (х.
(d)	|x <: 0: устойчивый фокус;
|х > 0: неустойчивый фокус, окруженный устойчивым предельным
циклом г = Vl* ¦
(e)	ц < 0: устойчивый фокус (по часовой стрелке);
|х = 0: плоскость, заполненная •неподвижными точками;
[х > 0: неустойчивый фокус (против часовой стрелки).

(О
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ	237
<	1: неустойчивый фокус (против часовой стрелки):
= 1: неустойчивый звездный узел"
<	1: неустойчивый фокус (по часовой стрелке).
13. (а) /=-4; (Ь) / = -2; (с) / = -2.
15. Пусть ?[ = х2, х2 = — ж, + М.*2 ~ *§¦ Когда ц проходит нулевое зна-
значение, возрастая, система испытывает бифуркацию от устойчивой не-
неподвижной точки к устойчивому предельному циклу, окружающему не-
неустойчивую неподвижную точку.
[1 —21
I
[1 21
I у н получите систему \)\
17. Рассмотрите систему с теми же траекториями, но обратной ориента-
ориентации. Покажите, что- эта система испытывает при |х = 0 бифуркацию
Хопфа к устойчивым предельным циклам.

ЛИТЕРАТУРА
Монографии
Аидроиов А. А., Витт А. А., Хайкнн С. Э. Теория колебаний. — М.: Физ-
A959)	матгиз, 1959.
Ариольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука,
A975)	1975.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Нау-
A979)	ка, 1979.
Барнетт (Barnett S.) Introduction to Mathematical Control Theory, O. U. P.,
A975)	Oxford.
Брауи (Braun M.) Differential Equations and Their Applications: an lntro-
A975)	duction to Applied Mathematics, Applied Mathematical Scien-
Sciences, Vol. 15, Springer Verlag, New York, NY.
Джордан, Смит (Jordan D. W., Smith P.) Non-linear Ordinary Differential
A977)	Equations, Clarendon Press, Oxford.
Марсдеи, Мак-Кракен (Marsden J. E., McCracken M.) The Hopf Bifurcation
A976)	and its Applications, Applied Mathematical Sciences, Vol. Г9,
Springer-Verlag, New York, NY. [Имеется перевод: Марс-
ден Дж., Мак-Кракеи М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. — М.: Мир, 1980.]
Мэй (May R. M.) Stability and Complexity in Model Ecosystems, Mono-
A974)	graphs in Population Biology, Princeton University Press, Prin-
Princeton, NJ.
Мэйнард-Смит (Maynard-Smith J.) Models in Ecology, C. U. P., London.
A974)
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
A984)	уравнений. — М.: МГУ, 1984.
Пиелоу (Pielou E. С.) Mathematical Ecology, Wiley, New York, NY.
A977)
Сваи (Swan G. W.) Some Current Mathematical Topics in Cancer Research,
A977)	Xerox University Microfilms, Ann Arbor, Michigan, MI.
Такенс (Takens F.) Applications of Global Analysis 1, Comm. Math. Inst.
A974)	Rijksuniversitiet Utrecht, 3.
Хаберман (Haberman R) Mathematical Models, Prentice-Hall, Englewood
A977)	Cliffs, NJ.
Хартли, Хоукс (Hartley В., Hawkes Т. О.) Rings, Modules and4 Linear Al-
A970)	gebra, Chapman and Hall, London.
Хартман (Hartman P.) Ordinary Differential Equations, Wiley, New York,
A964)	NY. [Имеется перевод: Хартман Ф. Обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.]
Хирш, Смейл (Hirsch M. W., Smale S.) Differential Equations, Dynamical
A974)	Systems and Linear Algebra, Academic Press, London.
Хэйс (Hayes P.) Mathematical Methods in the Social and Managerial Sci-
A975)	ences, Wiley, New York, NY.

ЛИТЕРАТУРА	239
Статьи
Гудвин (Goodwin R. М.) The non-linear accelerator and the persistence of
A951)	business cycles, Econ., 19, 1—17.
Зиман (Zeeman E. C.) Differential Equations for the Heartbeat and Nerve
A973)	Impulse, Salvador Symposium on Dynamical Systems, Acade-
Academic Press, 683—741.
Зимаи (Zeeman E. C.) Population Dynamics from Game Theory, Int. Conf.
A979)	Global Theory of Dynamical Systems, Northwestern-University,
Evanston, IL.
Лефевер, Николис (Lefever R., Nicolis G.) Chemical instabilities and sus-
A971)	tained oscillations J. Theor. Biol., 30, 267—284.
Решииьо, Де Лизи (Rescigno A., De Lisi C.) Immune surveillance and neo-
A977)	plasia II, Bull. Math. Biol., 39, 487-497.
Сваи (Swan G. W.) Immunological surveillance and neoplastic development,
A979)	Rocky Mountain J. Math., 9, 143^-148.
Тэннер (Tanner J. T.) The stability and intrinsic growth rate of prey and
A968)	predator populations, Ecol., 56, 855—867.
Литература, добавленная при переводе
Арнольд В. И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных
A978)	* уравнений. — М.: Наука, 1978.
Баутии Н. Н., Леоитович Е. А. Методы и приемы качественного исследова-
A976)* ния динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1976.
Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных
A979)* уравнений. — М.: Наука, 1979.
Кострикии А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
A977)*

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая эквивалентность 65
Аттрактор 20
Аффинное отображение 69
Биения 136
Бифуркация 204
—	Хопфа 206
Векторное поле 32
Вольт-амперная характеристика 150
Гамильтониан 106
Главные направления 61, 95
Динамические уравнения 121
Дифференциальное уравнение 11
	автономное 17
	в полных дифференциалах 40
	 однородное 41
	с разделяющимися перемен-
переменными 40
Жорданова форма матрицы 50
Закон Кирхгофа для потенциалов
127
	 для токов 128
Изоклина 15, 32
Импеданс 140
Интегральная кривая 13
Качественная эквивалентность 13,
20, 21, 64
Колебания затухающие демпфиро-
демпфированные 124
—	релаксационные 152
—	свободные незатухающие 123
—	сильно демпфированные 124
—	слабо демпфированные 124
Компонента решения затухающая
137
	установившаяся 137
Линеаризация системы 86
Локальные координаты 87
Матрица коэффициентов 47
Модели грубые 146
Неподвижная точка 19
	асимптотически устойчивая
97
	 гиперболическая 91
	 нейтрально устойчивая 98
	 неустойчивая 99
	 простая 89
	 устойчивая 97
Нормальная мода 134
Обыкновенная точка1 100
Окрестность 83
Оператор эволюции 36
Орбита 25
Первый интеграл 103
Плоскость Льенара 152
Предельный цикл 86, 109
	неустойчивый НО
	полуустойчивый ПО
	устойчивый ПО
Регуляризация системы 154
Репеллер 20
Решение дифференциального урав-
уравнения 11
—	— — максимальное 11
Седло 57
Сепаратриса 57, 93
Система каноническая 55
¦ — консервативная 105
—	линеаризованная 86
—	линейная 47
	 простая 55
—	распадающаяся 30
	 частично 31
Состояние системы 23, 121
Спираль отталкивающая 58
—	притягивающая 58
Теорема о трубке траекторий 100,
101

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
241
Точка бифуркации 204
Траектория 25
Узел вырожденный 58
—	звездный 57
—	неустойчивый 56
—	устойчивый 56
Уравнение Ван-дер-Поля 111,
—	Вольтерра — Лотка 144
—	Льенара 152, 174, 179
Фазовый портрет 19
	сужение 83
—	поток 36
152
	глобальный 83, 84
	локальный 83, 84
Фокус 58
Функция Ляпунова 195
— положительно (отрицательно)
определенная 193
	(—) полуопределеиная 193
Центр 59
Частота резонансная 139
Шунт 20
Экспонента матрицы 66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Несколько слов к читателю	5
Предисловие	9
1. ВВЕДЕНИЕ	11
1.1.	Предварительные идеи		И
1.2.	Автономные уравнения		17
1.3.	Автономные системы на плоскости		24
1.4.	Построение фазовых портретов на плоскости		30
1.5.	Потоки и эволюция		35
Упражнения		40
2 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ	47
2.1.	Линейная замена переменных		47
2.2.	Классы подобия для действительных 2 X 2-матриц ....	50
2.3.	Фазовые портреты для канонических систем иа плоскости . .	55
2.4.	Классификация простых линейных фазовых портретов на пло-
плоскости 		61
2.5 Оператор эволюции	66
2.6.	Аффинные системы	69
2.7.	Линейные системы в пространствах размерности, большей
чем два	71
Упражнения	76
3.	НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ	83
3 !. Локальное и глобальное поведение	83
3.2. Линеаризация в окрестности неподвижной точки	86
3-3. Теорема о линеаризации	89
3.4.	Непростые неподвижные точки	95
3.5.	Устойчивость неподвижных точек	97
3.6.	Обыкновенные точки н глобальное поведение	100
3.7.	Первые интегралы	103
3.8.	Предельные циклы	109
3.9.	Теория Пуанкаре—Бендиксона	111
Упражнения	115
4.	ПРИЛОЖЕНИЯ	121
4.1.	Линейные модели	121
4.2.	Аффинные модели	136
4.3.	Нелинейные модели	140
4.4.	Релаксационные колебания	150
4.5.	Кусочное моделирование	157
Упражнения	164

ОГЛАВЛЕНИЕ	243
5. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ МЕТОДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ	174
5.1.	Уравнение Льенара	174
5.2.	Регуляризация и некоторые экономические модели	179
5.3.	Модели Зимана пульсации сердца и нервного импульса . . . 186
5.4.	Функции Ляпунова	 . 192
5.5.	Бифуркация в системах	204
5.6.	Математическая модель роста опухоли	210
Упражнения	220
Ответы и указания к упражнениям	223
Литература	238
Предметный указатель	240