Текст
                    РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Институт Диффеотопии
СИММЕТРИИ
и законы сохранения
уравнений математической физики
Под редакцией
А. М. Виноградова и И. С. Красильщика
Москва „Факториал" 1997

ББК 22.151 С37 УДК 514.7 С37 Симметрии и законы сохранения уравнений математиче- ской физики/А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Ви- ноградов и др./Под ред. А. М. Виноградова и И. С. Кра- сильщика. — М.: Изд-во «Факториал», 1997. — 464 с. — ISBN 5-88688-019-4. В этой книге описывается геометрическая теория дифференциальных урав- нений. На многочисленных примерах авторы объясняют, что такое симметрии дифференциальных уравнении и законы сохранения. Книга предназначена как для математикиков-теоретиков, так и для специалистов в различных приклад- ных разделах математики, механики и физики. Библиогр. 157. Рфи Издание осуществлено при финансовой под- держке Российского фонда фундаментальных исследований. Проект № 95-01-02825. Научное издание Симметрии и законы сохранения уравнений математи- ческой физики. Формат 60 х 90/16. Усл. печ. л. 29. Бумага офсетная № 1. Гарнитура литературная. Подписано к печати 15.06.1997. Тираж 1000 экз. Заказ №1846 Издательство «Факториал», 117449, Москва, а/я 331; ЛР № 063537 от 22.07.1994. Орнгинал-макет подготовлен с использованием макропакета AP-TfeX. Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука». 121099, Москва Г-99, Шубин- ский пер., 6. ISBN 5-88688-019-4 © И. С. Красильщик, 1997. © Факториал, оформление.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие........................................................... 7 Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............. 13 § 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения с точки зрения геоме- трии .............................................................. 13 § 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного поряд- ка .............................................................. 19 § 3. Симметрии распределений .................................... 24 § 4. Некоторые приложения теории симметрий к интегрированию распре- делений ......................................................... 33 4.1. Распределения и характеристические симметрии.......... 33 4.2. Симметрии и динамические системы ..................... 35 4.3. Симметрии и нехарактеристические симметрии............ 37 4.4. Итерирование уравнений в квадратурах ................. 38 § 5. Производящие функции........................................ 49 § 6. Пример использования симметрий для описания уравнений, разреши- мых в квадратурах ............................................... 55 Глава 2. Уравнения первого порядка................................... 59 § 1. Контактные преобразования .................................. 59 1.1. Контактные элементы и распределение Картана .......... 59 1.2. Контактные преобразования ............................ 66 1.3. Уравнение Клеро и его интегралы....................... 73 1.4. Контактные многообразия в механике ................... 75 § 2. Инфинитезимальные контактные преобразования и характеристиче- ские поля ....................................................... 77 2.1. Инфинитезимальные контактные преобразования........... 77 2.2. Инфинитизимальные симметрии уравнений ................ 84 2.3. Характеристические векторные поля и интегрирование уравне- ний первого порядка........................................ 85 2.4. Симметрии н первые интегралы.......................... 91 § 3. Полный интеграл дифференциального уравнения первого порядка . . 93 3.1. Полный интеграл и его свойства ....................... 93 3.2. Построение полного интеграла при помощи алгебры симме- трий ...................................................... 94 3.3. Инвариантное определение полноТо интеграла ........... 97 3.4. Метод Лагранжа — Шарли............................... 100 Глава 3. Теория классических симметрий ............................. 105 § 1. Уравнения и распределение Картаиа ......................... 105 § 2. Многообразие джетов и распределение Картана................. ПО 2.1. Геометрическое определение пространства джетов........ НО 2.2. Распределение Картана................................ 113 2.3. Интегральные многообразия распределения Картана..... 117 § 3. Преобразования Ли ......................................... 123
4 ОГЛАВЛЕНИЕ 3.1. Конечные преобразования Ли .......................... 124 3.2. Поля Ли.............................................. 131 § 4. Классические симметрии уравнений............................ 135 4.1. Определяющие уравнения .............................. 135 4.2. Инвариантные решения и размножение решений........... 138 § 5. Примеры вычисления симметрий................................ 141 5.1. Уравнение Бюргерса................................... 141 5.2. Уравнение Кортевега — де Фриза....................... 144 5.3. Уравнение Хохлова — Заболотской...................... 144 5.3.1. «Физически осмысленные» симметрии ................... 145 5.3.2. Инвариантные решения................................. 147 5.4. Уравнения Кадомцева — Погуце......................... 148 5.4.1. Вычисление симметрий................................. 149 5.4.2. Инвариантные решения................................. 151 5.5. Размножение решений ................................. 154 § 6. Факторизация уравнения по симметриям....................... 156 6.1. Уравнения второго порядка от двух независисмых перемен- ных ...................................................... 159 § 7. Внешние и внутренние симметрии............................. 167 Глава 4. Высшие симметрии........................................... 176 § 1. Пространства бесконечных джетов и основные дифференциаль- но-геометрические структуры на них .............................. 177 1.1. Многообразия J°°(ir) ................................ 177 1.2. Гладкие функции на J°°(ir) .......................... 178 1.3. Продолжения дифференциальных операторов.............. 183 1.4. Векторные поля на У°°(?г) ........................... 186 1.5. Дифференциальные формы на J°°(ir).................... 191 1.6. Горизонтальный комплекс де Рама ..................... 193 1.7. Распределения на J°°(ir) и их автоморфизмы........... 194 § 2. Распределение Картана на J°°(ir) и его инфинитезимальные автомор- физмы ........................................................... 197 2.1. Распределение Картана................................ 197 2.2. Интегральные многообразия ........................... 200 2.3. Вычислительный эксперимент.......................... 202 2.4. Эволюционные дифференцирования....................... 203 2.5. Скобки Якоби......................................... 209 2.6. Сравнение с полями Ли................................ 210 2.7. Линеаризации......................................... 213 § 3. Бесконечно продолженные уравнения и теория высших симметрий .. 218 3.1. Продолжения.......................................... 218 3.2. Бесконечно продолженные уравнения ................... 220 3.3. Высшие симметрии .................................... 224 3.4. Внешние и внутренние высшие симметрии ............... 227 3.5. Определяющие уравнения для высших симметрий.......... 229 § 4. Примеры вычислений ........................................ 231 4.1. Подготовительные замечания .......................... 232 4.2. Уравнения Бюргерса и теплопроводности ............... 236 4.3. Уравнения пластичности .............................. 246 4.4. Преобразование симметрий при заменах переменных..... 249 4.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.............. 251
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава 5. Законы сохранения .......................................... 258 § 1. Элементарное понятие о законах сохранения .................. 258 § 2. С-спектральная последовательность .......................... 261 2.1. Определение С-спектральной последовательности ...... 261 2.2. Член Ео............................................... 262 2.3. Член Е{: подготовительные результаты ................. 264 2.4. Обобщения ............................................ 269 2.5. Член Е^. случай J°°(ir)............................... 270 2.6. Член общий случай..................................... 275 2.7. Законы сохранения и производящие функции.............. 280 2.8. Уравнения Эйлера — Лагранжа .......................... 281 2.9. Гамильтонов формализм на ............................. 282 § 3. Вычисление законов сохранения............................... 287 3.1. Общие сведения ....................................... 287 3.2. Примеры............................................... 289 § 4. Симметрии и законы сохранения............................... 298 4.1. Теорема Нётер ........................................ 298 4.2. Гамильтоновы уравнения................................ 302 Глава 6. Нелокальные симметрии....................................... 308 § 1. Накрытия ................................................... 308 1.1. Первые примеры........................................ 308 1.2. Определение накрытия ................................. 312 1.3. Накрытия в категории дифференциальных уравнений...... 313 1.4. Примеры накрытий ..................................... 314 1.5. Координаты............................................ 315 1.6. Основные понятия теории накрытий ..................... 316 1.7. Накрытия и связности.................................. 321 1.8. Горизонтальный комплекс де Рама накрытия и нелокальные за- коны сохранения........................................... 322 1.9. Накрывающие уравнения................................. 324 1.10. Горизонтальные когомологии де Рама и накрытия ........ 326 1.11. Преобразования Беклунда .............................. 329 § 2. Примеры вычислений*, накрытия............................... 331 2.1. Накрытия уравнения Бюргерса .......................... 332 2.2. Накрытия уравнения Кортевега — де Фриза............... 336 2.3. Накрытия уравнения ut = —(В(и)их)..................... 340 2.4. Накрытия уравнения /-Гордон........................... 341 2.5. Накрытия уравнения ихх + = <р(и) .................... 342 § 3. Нелокальные симметрии....................................... 345 3.1. Определение нелокальной симметрии .................... 345 3.2. Как искать нелокальные симметрии?..................... 346 § 4. Примеры вычислений: нелокальные симметрии уравнения Бюргер- са .............................................................. 349 § 5. Задача реконструкции симметрий ............................. 358 5.1. Универсальное абелево накрытие........................ 358 5.2. Симметрии в универсальном абелевом накрытии........... 359 5.3. Нелокальные симметрии уравнений, допускающих оператор ре- курсии ................................................... 360 5.4. Пример: нелокальные симметрии уравнения Кортевега — де Фриза.................................................. 360 5.5. Мастер-симметрия...................................... 362
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 5.6. Примеры................................................ 363 5.7. Общая проблема реконструкции нелокальных симметрий . . . 365 5.8. Конструкция Кисо....................................... 366 5.9. Конструкция накрытия rs ............................... 367 5.10. Универсальное свойство симметрии ST.................... 368 § 6. Симметрии интегро-дифференциальных уравнений................. 371 6.1. Преобразование интегро-дифференциальных уравнений в гра- нично-дифференциальную форму .............................. 371 6.2. Пространства (к, <7)-джетов............................ 378 6.3. Гранично-дифференциальные операторы.................... 383 6.4. Распределение Картана на J°°(ir; Q) ................... 388 6.5. (/-инвариантные симметрии распределения Картана HaJ°°(ir;(?)............................................... 395 6.6. Высшие симметрии гранично-дифференциальных уравне- ний ....................................................... 400 6.7. Примеры................................................ 403 Приложение. От симметрий дифференциальных уравнений к вторичному («квантованному») дифференциальному исчислению....................... 418 § 1. От симметрий к концепциям ................................... 419 § 2. «Смутное время» квантовой теории поля........................ 422 § 3. «Лингвинизация» принципа соответствия Бора .................. 423 § 4. Дифференциальные уравнения суть диффеотопы .................. 426 § 5. Вторичные («квантованные») функции .......................... 429 § 6. Вторичные («квантованные») скалярные дифференциальные операто- ры высших порядков................................................ 432 § 7. Вторичные («квантованные») дифференциальные формы............ 435 § 8. Квантование или распространение особенностей? Гейзенберг или Шрёдингер? ....................................................... 438 § 9. Геометрические особенности решений уравнений в частных производ- ных .............................................................. 441 § 10. Волновая и геометрическая оптика и другие примеры ........... 446 Список литературы..................................................... 451 Предметный указатель.................................................. 458
ПРЕДИСЛОВИЕ Классическая теория симметрий общих систем дифференциаль- ных уравнений в частных производных была создана Софусом Ли более ста лет тому назад. Концепции группы и алгебры Ли, столь фундаментальные для современной математики, были обнаружены С. Ли именно в ее контексте, хотя многие современные специалис- ты по теории групп и алгебр Ли, даже и не подозревают об этом. В то время как основополагающие идеи и результаты С. Ли, ка- сающиеся групп преобразований, были впоследствии разработаны в многочисленных работах, дифференциальные уравнения остались практически в стороне от этого развития. Первые после работ Ли систематические попытки применить теорию Ли к механике сплош- ной среды были сделаны Л. В. Овсянниковым и его сотрудниками в конце 50 и 60-х годах (см. [54]). Новая, нелиевская эпоха в теории симметрий дифференциаль- ных уравнений в частных производных началась с открытия «впол- не интегрируемых» систем и последующего развития метода обрат- ной задачи рассеяния [1, 31, 53, 104]. Как хорошо известно, каж- дое вполне интегрируемое уравнение порождает целую иерархию, состоящую из его «высших аналогов». Изучение этих аналогов поз- волило интерпретировать их как симметрии некоторого уравнения. Однако этот подход никак не вписывается в рамки лиевской тео- рии. Развитая к этому моменту геометрия пространств джетов бес- конечного порядка позволила разработать концепцию «высших сим- метрий». Нестрого говоря, классические, т. е. лиевские симметрии опи- сываются аналитически в терминах зависимых и независимых пе- ременных и их производных первого порядка, тогда как нелиевские симметрии могут зависеть от производных сколь угодно высокого порядка. Более существенно, однако, то, что классические инфини- тезимальные симметрии являются векторными полями на подмного- образии соответствующего пространства джетов, определяемом ис- ходным уравнением, в то время как «высшие», т. е. неклассические
8 ПРЕДИСЛОВИЕ симметрии являются классами когомологий некоторого естествен- ного дифференциального комплекса, определенного на так называе- мом бесконечном продолжении исходного уравнения. По этой при- чине высшая инфинитезимальная симметрия заданного уравнения, вообще говоря, не порождает однопараметрической группы (локаль- ных) диффеоморфизмов на пространстве его решений. Иными сло- вами, традиционная связь между группами и алгебрами Ли больше не имеет места в рассматриваемом контексте. Однако она продол- жает существовать «виртуально» и материализуется каждый раз, когда в задаче возникают надлежащие дополнительные условия (на- пример, при рассмотрении краевых задач). Этот неклассический, когомологический аспект оказывается гораздо более существенным при построении теории законов сохранения. Заметим, что a’priori было трудно даже предположить, что теория сохраняющихся вели- чин (интегралов, токов и т. п.), допускаемых заданной системой дифференциальных уравнений в частных производных, может опи- раться на гомологическую алгебру и использовать в качестве ос- новного аппарата теорию спектральных последовательностей и ок- ружающую ее гомологическую алгебру. Основы теории высших симметрий и законов сохранения бы- ли развиты одним из нас в 1975-77 гг. [23, 15, 18]. В последу- ющие годы было осуществлено ее вычислительное тестирование, в результате которого были установлены достаточно эффективные методы вычисления высших симметрий и законов сохранения для конкретных систем дифференциальных уравнений в частных произ- водных [22, 141]. Кроме того, были разработаны наиболее важные теоретические детали [19], позволившие обнаружить удивительный параллелизм между исчислением векторных полей и дифференциальных форм на гладких многообразиях, с одной стороны, и высших симметрий и законов сохранения, с другой. Это позволило предположить, что такой параллелизм имеет гораздо более широкие рамки и может быть распространен на все естественные понятия дифференциаль- ного исчисления. Исследование этой гипотезы привело к открытию вторичного дифференциального исчисления, являющегося, с одной стороны, мощным инструментом исследования общих систем диф- ференциальных уравнений в частных производных, а с другой — представляющегося тем естественным языком, на котором совре- менная квантовая теория поля может быть построена на непертур- бативной основе. Высшие симметрии и законы сохранения являются «локальны- ми» величинами, т. е. зависящими от неизвестных функций (в фи-
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 зике — «полей») и их производных сколь угодно высокого поряд- ка. Однако в этих рамках не оказывается места для таких важ- ных понятий, как, например, преобразование Беклунда и операто- ры рекурсии, по той причине, что в большинстве практически ин- тересных случаев они требуют привлечения «нелокальных» вели- чин, т. е. величин типа интегралов от локальных объектов. Кро- ме того, разработка теории симметрий и законов сохранения для интегро-дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, в которых нелокальные величины фигурируют с самого начала, представляет независимый интерес. Желаемое расширение теории нелокальными величинами естественным образом достигается после введения по- нятия накрытия (точнее, накрывающей системы дифференциальных уравнений) [113]. Основы теории высших симметрий *) и соответствующие вычи- слительные алгоритмы в настоящее время разработаны достаточно хорошо. Что касается последних, то здесь следует различать алго- ритмические методы, ориентированные на компьютерные приложе- ния (см., например, сборник [141]), и аналитическую технику иссле- дования различных модельных систем. Здесь нельзя не упомянуть работы «уфимской школы» ([50, 61, 64, 139] и многие другие). Ре- зультаты анализа конкретных уравнений и систем разбросаны по необозримому множеству публикаций. Наиболее представительную (но, к сожалению, постоянно устаревающую) сводку можно найти в энциклопедии [91, 92]. Сейчас существует немало книг, посвященных геометрическим аспектам дифференциальных уравнений и, в частности, их симме- триям (см. [86, 78, 157, 33, 54, 55, 140]). Наиболее последователь- ное изложение геометрических и алгебраических основ теории сим- метрий и законов сохранения нелинейных дифференциальных урав- нений содержится в монографиях [24, 111] и работе [148], однако отнести их к категории «user-friendly» при всем желании трудно. Частично недостатки этих текстов компенсируются статьей [147], а также работами [112, 113] по нелокальной теории. Но и они не компенсировали существующие пробелы в полной мере, к тому же оставаясь малодоступными для русскоязычных читателей. Поэтому идея написания более популярного, и в то же вре- мя математически строгого текста по симметриям и законам со- хранения возникла еще в 80-е годы, сразу после выхода в свет книг [24, 111]. Тогда же эта идея и была частично реализована и были написаны первые версии некоторых глав той книги, которую *) В современной литературе используется также термин «обобщенные симме- трии» (например, в [55]) и «преобразования Ли — Беклунда» (например, в [33]).
10 ПРЕДИСЛОВИЕ Вы держите сейчас в руках. Так, С. В. Дужиным был написан текст по симметриям обыкновенных уравнений и черновой вариант главы о классических симметриях, А. В. Бочаров написал главу об уравне- ниях первого порядка, а И. С. Красильщик — о высших симметриях. В силу целого ряда «объективно-исторических причин» этот проект не мог тогда реализоваться, и мы смогли вернуться к нему только через десять лет. За это время изменилось многое, включая наши взгляды на некоторые аспекты алгебро-геометрических основ теории симме- трий. В связи с этим часть старых текстов была значительно пе- реработана: основываясь на тексте А. В. Бочарова, Ю. Н. Торхов написал окончательный вариант гл. 2, А. В. Самохину принадлежит третья глава в ее нынешнем виде, а И. С. Красильщик подготовил обновленный текст гл. 4. Мы посчитали, что книга будет непол- ной, если не включить в нее материал о законах сохранения, и соответствующая глава была написана А. М. Вербовецким. Нако- нец, гл. 6 была написана Н. Г. Хорьковой и В. Н. Четвериковым (ему принадлежит параграф, посвященный симметриям интегро- дифференциальных уравнений). Мы также дополнили основной ма- териал книги приложением, содержащим сокращенный и адапти- рованный к общему контексту перевод статьи А. М. Виноградова о вторичном дифференциальном исчислении и открывающим более широкую перспективу геометрической теории уравнений в частных производных. В этой книге излагаются основы теории высших и нелокальных симметрий и законов сохранения для общих систем дифференци- альных и интегро-дифференциальных уравнений в частных произ- водных. Сюжет книги разворачивается вокруг следующих тем. Что такое высшие и нелокальные симметрии и законы сохра- нения, допускаемые заданной системой дифференциальных уравне- ний? Каковы методы их эффективного вычисления? Как можно использовать уже найденные симметрии и законы сохранения. Что касается последнего пункта, то мы вынуждены ограничить- ся лишь самыми простыми и непосредственными приложениями по- строенной теории. Более подробное их изложение потребовало бы написания еще пары томов, которые мы надеемся написать со вре- менем. В книге мы постарались учесть интересы двух групп наших воз- можных читателей: во-первых, тех, кто более интересуется теорети-
ПРЕДИСЛОВИЕ 11 ческими аспектами, и, во-вторых, тех, кого прежде всего интересует прикладная сторона. Последним, а среди них мы видим специали- стов по математической и теоретической физике, теории поля, меха- нике сплошных сред, рекомендуется при чтении пропускать доказа- тельства и обсуждение концептуальных тонкостей и непосредствен- но обращаться к описанию тех конкретных алгоритмов и методов, которые требуются при практических вычислениях. Мы надеемся, что они изложены достаточно ясно. С другой стороны, мы не соч- ли возможным сделать изложение более популярным, прибегнув к стандартному в математической физике языку локальных коорди- нат. Для понимания концептуальной стороны развиваемой теории, так же как и для эффективного использования соответствующих ал- горитмов, это было бы смертельно. Мы можем констатировать, что очень многие работы, написанные по тематике этой книги, являют- ся, по существу, скорее борьбой с координатами, чем с реальными проблемами. Мы надеемся, что, прочтя эту книгу, Вы не только по-иному сможете взглянуть на различные проблемы, относящиеся к нели- нейным дифференциальным уравнениям, но и, взяв в руки карандаш и бумагу (или подойдя к компьютеру и обратившись к одному из до- ступных пакетов для символьных вычислений), найти что-то новое и интересное в Ваших собственных задачах. Формально говоря, что- бы заняться поиском симметрий и законов сохранения, достаточно знания математики в рамках стандартного вузовского курса и вы- числительных формул, содержащихся в книге. Для настоящего же понимания необходимы более углубленные сведения из геометрии гладких многообразий и векторных расслоений над ними [3, 51, 56, 32, 66, 67], симплектической геометрии [25, 5], теории групп и алгебр Ли [11, 57, 63], коммутативной алгебры [6], гомологической алгебры [9, 27, 29, 46, 126]. Кроме того, из «идеологических» соображений мы рекомендуем также получить хотя бы предварительные представления об алгеб- раической геометрии [74] и теории категорий [27, 46]. Авторы этой книги — многолетние участники семинара по алгебро-геометрической теории нелинейных дифференциальных уравнений, работающего на механико-математическом факультете МГУ с конца 60-х годов. От лица всего авторского коллектива мы хотели бы поблагодарить других участников семинара, обще- ние с которыми было чрезвычайно полезно для формирования об-
12 ПРЕДИСЛОВИЕ щей концепции книги и прояснения некоторых частных вопросов. В особенности это относится к М. М. Виноградову, Д. М. Гесслеру, В. В. Лычагину, В. Е. Шемарулину и В. А. Юмагужину. Наша приятная обязанность — поблагодарить также Россий- ский фонд фундаментальных исследований, без финансовой под- держки которого эта книга не увидела бы свет на русском языке. При написании книги работа А. М. Вербовецкого, И. С. Красильщи- ка и А. В. Самохина (грант № 97-01-00462), а также Ю. Н. Торхо- ва (грант № 96-01-01360), частично поддерживалась Российским фондом фундаментальных исследований. В заключение отметим, что эта книга может рассматриваться как введение в серию монографий, посвященных изложению вто- ричного дифференциального исчисления, осуществляемой по про- грамме Института Диффеотопии Российской Академии Естествен- ных Наук. А. М. Виноградов И. С. Красильщик
ГЛАВА 1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Среди всех дифференциальных уравнений два класса — обык- новенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных про- изводных первого порядка с одной неизвестной функцией — выделя- ются целым рядом свойств, облегчающих их изучение и делающих их теорию более доступной с точки зрения приложений. В этой главе мы рассмотрим геометрический подход к обыкновенным диф- ференциальным уравнениям. Здесь, уже в простейших ситуациях, мы введем понятия, которые будут широко использоваться на про- тяжении всей книги. Мы покажем также, что геометрическая тео- рия симметрий позволяет понять и обобщить стандартные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и по- лучить новые результаты в этом направлении. § 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения с точки зрения геометрии Хорошо известно (см., например, [4]), что обыкновенное диф' ференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относитель- но производной, u=f(x,u) (1.1) геометрически можно представ- лять как векторное поле на пло- скости (х,и). Для этого в каж- дой точке (х0,и0) нужно рас- смотреть вектор с координатами (1, f (а:0, и0)), которому отвечает оператор дифференцирования по направлению этого вектора. Тра- а э ектории поля — 4- f(x0,u0) — U £ U U Рис. 1.1. Векторное поле X = д д = ——Ни-—, соответствующее дх ди дифференциальному уравнению и = и.
14 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ называются интегральными кривыми уравнения (1.1). Они пред- ставляют собой графики решений рассматриваемого уравнения (рис. 1.1). Для того, чтобы интерпретировать таким образом уравнение F(x, и,и') = О, (1-2) нужно разрешить его относительно производной и'. При этом воз- никает следующее затруднение: некоторым значениям перемен- ных х,и в силу уравнения (1.2) может соответствовать несколько, или ни одного значения переменной и. Кроме того, в окрестности 9F особой точки (т. е. точки, в которой 7—7 = 0, и поэтому теорема ои о неявной функции не применима) функция, выражающая и' че- рез х и и, даже если она определена, может не быть гладкой. Пример 1.1. Пусть F(х, и, и') = и'2 4- и2 + х2 — 1. Тогда и' = ±у/i -х2 — и2. Эта функция определена в круге о:2 + + u2 1, причем в его внутренних точках она принимает по два зна- чения, а на границе круга ее про- изводные обращаются в бесконеч- ность (рис. 1.2). Эти затруднения можно пре- одолеть следующим образом. Рас- смотрим пространство R3 с коор- Рис. 1.2 динатами (х,у,р) и поверхность £, заданную соотношением F(x,u,p) = Q. Всякому решению u = f(x) уравнения (1.2) отвечает лежащая на этой поверхности кривая Lf, задаваемая уравнениями «=7(®)> P = f'(x). (1.3) На этой кривой координата х может быть принята за параметр, т. е. проекция этой кривой на ось х есть диффеоморфизм. Кроме того, функции, выражающие координаты и и р через параметр х, не произвольны: одна из них есть производная от другой. Поэтому не всякая кривая в R3 может быть представлена в виде (1.3). Так какр0=/'(а:0), то касательный вектор к кривой (1.3) в точке
$ 1. УРАВНЕНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ 15 а = (®ь, и0, р0) представляется в виде + (1-4) ох ои ор Поэтому этот вектор лежит в плоскости, заданной уравнением (1.5) т. е. в данной точке а он аннулирует 1-форму u = du — pdx. (1-6) При этом очевидно, что линейная оболочка всевозможных векторов вида (1.4) заметает всю плоскость (1.5). Справедливо и обратное утверждение: всякая кривая в R3, яв- ляющаяся интегральной кривой для 1-формы и (или, что то же са- мое, для распределения С коразмерности 1, заданного формой и) и диффеоморфно проектирующаяся на ось х, может быть представле- на в виде (1.3). Итак, геометрическая структура, которую нужно задать на про- странстве R3 для того, чтобы в нем естественно выделялся класс кривых, соответствующих решениям обыкновенных дифференци- альных уравнений первого порядка, — это двумерное распределе- ние С, заданное 1-формой (1.6) и называемое распределением Картана. При помощи этого распределения понятие решения дифферен- циального уравнения переформулируется следующим образом: ре- шение уравнения 8 с R3 — это интегральная кривая распределе- ния С, лежащая на поверхности 8 и без особенностей проектирую- щаяся на ось х. Заметим, что 2-форма du = dx Л dp не может быть представ- лена в виде 7 Л и, где 7 — некоторая 1-форма, и поэтому по тео- реме Фробениуса (см., например, [66, 67]) распределение Картана не интегрируемо. Следовательно, его максимальные интегральные многообразия одномерны, а множество точек, в которых плоскости распределения С касаются поверхности 8, является замкнутым ни- где не плотным подмножеством 8. Точки этого множества назовем особыми. Таким образом, множество неособых точек поверхности 8 открыто и всюду плотно. Особые точки данного уравнения (1.2) можно найти из условия колинеарности дифференциала dF и формы и в искомой точке. Это условие можно записать в виде двух соотношений dF др =о, dF dF п ta+₽a?=0'
16 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Если точка а е 8 неособая, то пересечение касательной пло- скости к поверхности 8 в точке а и плоскости Са распределения С является некоторой прямой 1а, касающейся поверхности 8 в точке а. Тем самым на 8 возникает поле направлений (одномерное распре- деление) ai-»Za, которое мы будем обозначать через С£. Если неко- торая кривая Г является интегральной для поля направлений С£, то это эквивалентно тому, что Г является интегральной кривой рас- пределения С и лежит на 8 (если выбросить из рассмотрения осо- бые точки поверхности 8). Поэтому можно заключить, что решения уравнения 8 — это интегральные кривые поля направлений С£, без вырождения проектирующиеся на ось х. Заметим, что, рассматривая произвольные интегральные кри- вые распределения С£ как многозначные решения уравнения 8, мож- но отказаться от условия невырожденности проекции на ось х. Рис. 1.3. График поверхности (За; - 2и)р =и, при р > —1/2. Пример 1.2. Кри- вая, заданная уравнениями и3 — и + х = О, Зи2р — р + 1 = О, лежит на поверхности (Зш — 2и) р — и и является интегральной для распределения Кар- тана, но не имеет вида (1.3). Следовательно, она представляет собой мно- гозначное решение урав- нения (Зш — 2и)и' — и. Пример 1.3. С геометрической точки зрения уравнение является цилиндром 8 (рис. 1.4) в пространстве R3 переменных (х, и, р), определяемым соотношением р2+и2 = 1. На этом цилиндре можно ввести систему координат (х,<р), связанную с переменными (и,р) соотношениями u = siny>, p = cos^.
§ 1. УРАВНЕНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ 17 Тогда ограничение формы ш = du - р dx имеет вид ш£ = cos d - х). Распределение С касается цилиндра 8 в тех точках, где и>£ обраща- ется в нуль. Очевидно, эти точки образуют пару прямых, которые плоскостью р = 0 и которые Рис. 1.4 можно рассматривать как осо- бые решения и = ±1 данного уравнения. Интегральные кривые распределения^, которые можно найти из уравнения ш£ =0, сводящегося к уравнению d — х) = О, являются винтовыми линиями ф=х+с, сбй. Все они проектируются на ось х без особенностей и представ- ляют собой обычные решения уравнения 8. Выразив через и, мы можем записать эти решения в явном виде: и = sin(or + с). В проекции на плоскость (х, и) решения рассматриваемого уравне- ния заполняют полосу |u| 1 (рис. 1.5). Особые решения (прямые и = ±1) являются огибающими сину- соид. Пример 1.4. Рассмотрим уравнение Клеро du (du\ U Хdx yd®/’ где f — некоторая гладкая функция. Вид поверхности 8 = {и — хр = = f (р)} зависит от конкретного выбора функции /. В качестве ко- ординат на 8 можно взять переменные х,р. Форма ш в этих коор- динатах имеет вид ш£ = d(xp + f(p)) -pdx = (x + ftp)) dp. 2 Симметрии...
18 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Эта форма равна нулю в точках поверхности £, принадлежащих кривой х = — Проекция этой кривой на плоскость (ж, и) будет графиком осо- бого решения уравнения Клеро. Для то- го, чтобы указать его аналитический вид, из уравнения х = —/'(р) нужно найти р как функцию от х и затем подставить ее в уравнение и - хр = f(p). Например, если /(р) =р“, а <0, то а Отметим, что особое решение может быть Рис- 1-6 многозначным (например, и = ±2^/х при а — — 1, рис. 1.6). Интегральные кривые распределения С£ на множестве £0 нахо- дятся из уравнения ше =0 при условии, что х + f'(p) ^0. Отсюда получаем, что dp = О, р = с и и = сх + /(с), cgR. Как и в примере 1.3, мы видим, что особое решение является огиба- ющей однопараметрического семей- ства неособых решений. Однако отметим, что кривая, получаемая при формальном нахож- дении огибающей, т. е. исключе- нии р из системы уравнений F(x,u,p) = 0, dF(x,u,p) n (1.7) др может содержать также точки возврата и точки касания интеграль- ных кривых*). Рассмотрим, например, уравнение [60] . (du V\3 а/1 ( (г-“Ц,+Ы} =“(.1+Ы) “>0- *) Более подробно о нахождении огибающих см. [68, 58], об особых решениях дифференциальных уравнений см. [65, 60, 2].
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 19 Нетрудно проверить, что решениями этого уравнения являются функции, заданные соотношениями (х-с)2/3 + (у-С)2/3 = а2/3, а решения системы (1.7) имеют вид х — и = ±а или. х — u = ±a/V2. Это семейство кривых содержит как огибающие решений, так и точ- ки возврата и точки касания интегральных кривых (рис. 1.7). § 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения произвольного порядка Рассуждения, аналогичные тем, которые мы привели в § 1, поз- воляют построить геометрическую теорию обыкновенных дифферен- циальных уравнений любого порядка. Уравнение _/ du dku\ п FI х, и, — ,..., — к | — О \ dx dx ) можно рассматривать как гиперповерхность в (к 4- 2)-мерном про- странстве R*+2 с координатами (х,и,рг,.. .,рк), заданную соотно- шением F(x,u,pr,.. .,Рь) = 0. Рассмотрим на R*+2 распределение размерности 2, задаваемое набором 1-форм — du Р} dx, — dp^ p^ dx, uk_i=dpk_l-pkdx. При к = 1 это распределение совпадает с распределением, рассмо- тренным нами в § 1, поэтому мы также будем называть его распре- делением Картона и обозначать через С. Заметим, что кривая в пространстве R* + 2 имеет вид графика некоторой функции u = f(x) и ее производных Lf = {u = f(x), р{ = f'(x),.. .,pk=fk(x)} в том и только том случае, когда эта кривая без вырождения про- ектируется на ось х и является интегральной кривой для распреде- ления С (в § 1 мы доказали этот факт для к = 1). 2»
20 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В терминах распределения Картана С можно увидеть геометри- ческую интерпретацию известного приема интегрирования обыкно- венных дифференциальных уравнений, не содержащих явно незави- симую переменную. Пример 2.1 (см. также [55]). Рассмотрим уравнение 2-го (du d2u\ и, д ] =0 или, иначе говоря, гиперповерх- dx dx ) ность £, задаваемую в пространстве R4 уравнением ^(«,Pi,P2) = 0- На эту гиперповерхность ограничим распределение, задаваемое 1-формами = du — р^х, Wj = dpl — p2dx. (2-1) Гиперповерхность £ и формы ш0, <л:1 (а значит, и распределение С) инвариантны относительно преобразований параллельного перено- са пространства R4 вдоль оси х, т. е. относительно преобразований вида tc: (x,u,pl,p2)t-^(x + c,u,pl,p2), где с — некоторая постоян- ная. Это позволяет профакторизовать рассматриваемое уравнение по переменной х (точнее, по действию однопараметрической груп- пы Т параллельных переносов tc), от которой уравнение не зависит. Иными словами, рассмотрим отображение факторизации тг, ко- торое отображает пространство R4 на 3-мерное пространство R4/T, тг: (х,и,р1,р2)>-^(и,р1,р2). При этом отображении гиперповерхность £ отобразится на гипер- поверхность £]Т, причем образ гиперповерхности в пространстве R4/Т будет задаваться тем же уравнением F(u,pl,p2) = 0. Пло- скости распределения С при отображении факторизации проектиру- ются без вырождения на плоскости пространства R4/T, определяя в последнем двумерное фактор-распределение С/Т. Это распреде- ление может быть задано при помощи 1-формы на R4/Т, которую можно получить, рассматривая, например, следующую линейную комбинацию соотношений (2.1): ~ Р2 j Pi j (jj = ш,--- шп = dp,--- du. Pi Pi Итак, в результате факторизации мы получили 3-мерное про- странство R^/T, 2-мерную поверхность £/Т с R4/T и 2-мерное распределение, задаваемое уравнением ш = 0, т. е. обыкновенное
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 21 дифференциальное уравнение первого порядка. Для полного соот- ветствия с § 1 нам осталось отождествить форму ш с канонической формой ш. Для этого необходимо ввести в R4/T координаты х' = и, и=р<, р = —. (2.2) Pi Тогда получим, что u = du' — pdx'. В новых координатах уравнение поверхности £/Т имеет вид F'(x',u!,p') = Q, где F'{x ,и' ,p') = F(x' ,и' ,р'и). Таким образом, отображение факторизации тг отображает ис- ходное уравнение второго порядка в уравнение первого порядка — так называемое факторуравнение F'fz'X £0=0. \ dx J В этом и состоит геометрический смысл замены координат (2.2). Замечание 2.1. Распределение С/Т можно задать другой 1-формой. Рассмотрим, например, форму 2 _. р. р. 1 f р. \ 25 = ----- w,= du---L dp, =du---d I I. P2 P2 P2 \ 2 J Чтобы отождествить ее с канонической формой ш, мы должны сде- лать замену координат 2 = и =и, р' = —, 2 Р2 которая сведет исходное уравнение к уравнению первого порядка f(u',±V2^,^} =0. \ du ) Подобным образом можно на единицу понизить порядок любого уравнения, явно не зависящего от х. Факторизуя по х пространст- во R* + 2 с координатами x,u,pv...,pk, мы получим пространство Ra+2/T с координатами u,pv .. .,рк. При этом распределение Кар- тана С на R*+2 отобразится на двумерное фактор-распределение С/Т, задаваемое в R* + 2/T’ системой форм Р2 j Р2 j ш0 = ш1----ш0 = apj---- du, ~ Pt Pt Шк-2 = шк- 1 ~ — w0 = dPk- 1 - du-
22 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В пространстве Ri+2/T перейдем от координат и,ру,...,рк к координатам хуи,руу.. ,рк_1 таким образом, что в новых, ко- ординатах фактор’распределение С/Т задается формами — du ~ Ру dx , ..., _g —’ dpk g “’' рк ydx . Это построение проведем по индукции, полагая, что х, и и р1 = р'у определены по формулам (2.2). Так как dp[=d(—) = — dp2-^dpy, \PiJ Pi P2y то в качестве формы можно взять выражение Ч ~ Ц ^o = dp'y - du. Pi Pi \Pi Pi / П°ЭТ0МУ _ Рз _ Й P? ~ 2 31 Pl Pl Продолжая этот процесс, мы найдем искомую замену переменных. Если при этом F(u,py,...,pk) = Q — исходное уравнение порядка к, то, заменив в этой записи пере- менные и,...,рк на х'уи',...,р!к_у, мы получим факторуравнение, имеющее порядок к — t. Ранее уже отмечалось, что поскольку распределение Картана на R*+2 двумерно, его ограничение С£ на гиперповерхность £ од- номерно во всех точках, кроме нигде не плотного множества осо- бых точек, в которых касательная плоскость к поверхности £ содер- жит плоскость распределения С. Следовательно, распределение С£ можно задать при помощи одного векторного поля. Найдем явное выражение одного из таких полей в координатах (х,и,р[у.. .,рк), определив попутно условия, позволяющие отличить особые точки от неособых. Пусть Y = а ——I- /30-—|- /Зу—-1-----К /Зк — дх ди 1ару &Рк — поле, лежащее в распределении С и касающееся поверхности £. Условие принадлежности поля Y распределению Картана означает, что w.(y) = 0,
s 2. УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 23 т. е. для всех г кроме i = k, выполнено равенство /3,- =pi + ia. Условие касания полем Y поверхности £ равносильно тому, что У(£)\е = О, т. е. для некоторой функции А имеет место равенство (9F 9F 9F 9F \ а 9F а (to +Р' to +^ + ' • +Р‘в^) +Л8^=*F- Очевидно, что для выполнения этого равенства достаточно жить (2-3) поло- 9F 9F 9х 9и . n 9F а 9F 9F 9F А —0, а — — -—, (Зк — ——bPj-z—+ ---• 9Рк 9х 1 9и 9Рк-\ Итак, искомое векторное поле можно выбрать в виде 9F ( 9 > 9 9 \ г~~ёГк (to+P1to + "+p‘to^J + (8F 8F 8F + <to +Р,л7 + '"+А0Р^; д дРк В частности, для уравнения первого порядка F(x,u,p) = 0 по- ле Yf имеет вид 9F / 9 , 9 \ (9F 9F \ 9 ,п F~ 9р\9х+р9и) + \9х+Р9и)9р' (24) Если уравнение разрешено относительно производной, т. е. если F = — р + f{x, и), то £ = {р — f(x, и)} и ,,, # 5 z. .9 YF~di+pdu+{f*+pf"}dp Проекция этого поля на плоскость переменных (х, и) имеет вид 9 ^9 — +f(x,u)—. ох ои Траектории полученного поля, как хорошо известно, являются ин- тегральными кривыми данного уравнения. Точка Р уравнения £ является особой, если соотношение (2.3) в этой точке выполняется для любых значений а и вк. Поскольку правая часть этого соотношения обращается в нуль на уравнении £, то равенства 9F 9F 9F 9F п F = to+p>to+-+Aa^ = to;=0
24 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы рассматриваемая точка была особой. Таким образом, особые точки гиперповерхности £ — это те точ- ки, в которых поле YF обращается в нуль. Поле YF называется характеристическим полем уравне- ния £. Проекции его траекторий на плоскость переменных х, и пред- ставляют собой графики решений этого уравнения. Пример 2.2. Рассмотрим уравнение (3® - 2u)u' = и. Тогда F = (3х — 2и)и'—и и по формуле (2.4) —и мы получаем, что ---\ YF=(2u- 3x)~t-p(2u - Зх)^-+ х +^p~2p2^=^u~3x^~ui;+ 4___ \ +(2Р-2Р2^ \ ар (последнее равенство имеет место на Рис- 18 уравнении, т. е. на поверхности £ = = {(3® — 2и)р = «}), Считая ® и и ло- кальными координатами на £, найдем траектории поля YF из систе- мы уравнений (х = 2и — 3®, ( й = — и. Решив эту систему, получаем, что ® = С\ е+С2е 3t, и = С\ е "*. Отсюда следует, что ®=u + a'u3, а = const. Семейство траекторий поля Yf изображено на рис. 1.8. Заметим, что в точке (0,0,0) — особой точке рассматриваемого уравнения — нарушается теорема о единственности решений обыкновенных дифференциальных урав- нений. § 3. Симметрии распределений Так как решения обыкновенных дифференциальных уравнений (включая многозначные) — это интегральные кривые соответству- ющих распределений Картана, то изучение симметрий дифферен- циальных уравнений мы начнем с обсуждения симметрий объектов более общего характера — распределений. Напомним (см. [66, 67]), что р-мерным распределением на многообразии Мп называется сопоставление a*—>La, где а ЕМ, а La — p-мерное подпространство касательного пространства ТаМ.
$ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 25 Распределение Р называется гладким, если для каждой точки а е е М существует ее окрестность U и р гладких векторных полей XV...,X , которые порождают распределение Р в каждой точке точке окрестности U. Пусть М —гладкое многообразие и Р — распределение на М. Определение 3.1. Диффеоморфизм М -*М, сохра- няющий распределение Р, назовем симметрией этого распреде- ления. Пример 3.1. Рас- пределение Картана С на про- странстве R3 с координатами (х,и,р), определенное 1-фор- мой w = du — pdx, очевидно, инвариантно относительно пе- реносов по а: и по и, т. е. диф- феоморфизм = (® + а, и + + Ь,р) при любых а, b яв- ляется симметрией С. Заме- тим, что ^"(ю) = ш. Сдвиги <р2 = (®> и, р + с) вдоль оси р не являются симметриями С. Действительно, = du- — (р + c)dx, а эта форма не пропорциональна ш. Рассматриваемое распре- деление имеет и менее триви- альные симметрии. Рис. 1.9. Распределение Кар- тана на пространстве R3. Например, нетрудно проверить, что симметрией является так называемое преобразование Лежандра <р(х,и,р) = (р,и - хр, -х), которое также сохраняет форму ш. Близкое к нему по виду преобразование V»: R3 —>R3, 4jj(x,u,p) = (р, хр — и, х), уже не сохраняет форму ш, так как = —ш. Тем не менее, преобразование является симметрией распределения С. Совокупность всех симметрий распределения Р будем обозна- чать через SymP. Очевидно, что композиция двух симметрий снова является симметрией. Отображение, обратное к заданной симме- трии, также является симметрией. Поэтому Sym Р образует группу относительно операции композиции.
26 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Через PD обозначим С'°°(М)-модуль таких векторных по- лей X, что в каждой точке аеМ вектор Ха принадлежит Ра. . Если распределение Р порождено полями Xl,...,Xl &PD, то определение 3.1 равносильно тому, что y>#(Xf)ePZ> для всех i = = 1,..I, или, что эквивалентно, ¥>.(*,) = 52 Р.Л * = (3.1) i для некоторых функций на М. Если дифференциальные формы шк, где dx., 3 wi:j е С°°(М), задают распределение Р, то условие <р е SymP озна- чает, что ¥>*(<«0 = 52^’ i = (3.2) J для некоторых функций А*. на М, или, что эквивалентно, 52 Ч/М®))^1 dxs - 52 А<,(®)%»(®М®.» г = 1, • •А:, J, » 3 3,3 где з = 1,..., n = dim М. Поэтому симметрии р данного распреде- ления можно искать как решения следующей системы уравнений относительно функций 52 =52 <3-3) 3 3 3 где Аъ- — произвольные гладкие функции, i = 1,..., к; j — 1,..., п. Задача отыскания решений этих уравнений не проще исход- ной задачи отыскания интегральных многообразий данного распре- деления. Более того, для произвольного распределения Р описать множество SymP всех симметрий обычно не представляется воз- можным. Однако при переходе на инфинитезимальную точку зре- ния, т. е. при рассмотрении инфинитезимальных симметрий вместо определенных выше конечных симметрий, ситуация существенно упрощается. Определение 3.2. Векторное поле X G В(М) называ- ется инфинитезимальной симметрией распределения Р, если преобразования сдвига At вдоль траекторий поля X являются сим- метриями Р. Совокупность всех инфинитезимальных симметрий распределе- ния Р мы будем обозначать через Dp.
§ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 27 Как правило, для конкретных вычислений определение 3.2 неу- добно. Однако оно допускает более конструктивную переформули- ровку. Теорема 3.1. Пусть Р — распределение на многооб- разии М, Ху,.. ,,Х{ — поля, порождающие распределение Р, а Шу,.. .,шк — 1-формы, задающие Р. Тогда следующие условия равносильны: 1) ХеDp; 2) существуют такие гладкие функции р,^, что [X, Х, ] = = P'ijX\ для всех i = 1,..., I; У 3) существуют такие гладкие функции vt-, что Х(ш^ — = и,-ш. для всех г = . .,к. £-4 4 3 ’ ’ 3 Доказательство. 1) => 2). Так как при любом t диффео- морфизм Ау сохраняет распределение Р, то образ векторного поля Xi е PD также будет принадлежать PD. Если (дм*э=5>у(*)*у, где -(t) — гладкие функции на М, зависящие от параметра t е К, doc.(t) то [X, JQ] = »цхр гяе Рц ==-• j “* 4=0 2) => 3). Пусть поле X удовлетворяет условию 2). Тогда дока- жем, что если 1-форма ш обращается в нуль на полях Х(,..., Xt, то форма X(ш) также обладает этим свойством и, значит, может быть представлена в виде линейной комбинации форм ш-у,..шк. В самом деле, при любом i имеем t = s х(щмл->=-и*,ад==о. 3)=> 1). Во-первых, заметим, что из равенства А*+з = А^ о Д следует, что а dt Далее рассмотрим (к + 1)-формы, зависящие от параметра t, Q<(t) = 4t*(wf>Aw1A...Awii. Так как = ш{, то Ц(0) = 0. Докажем, что ПД<) = 0. В самом деле, л шуЛ...Ашк = ^
28 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Таким образом, набор (k + 1)-форм Ц(0,..ЦД0 является реше- нием линейной однородной системы обыкновенных дифференциаль- ных уравнений, причем его начальное значение нулевое. Следова- тельно, Of (0 = 0 при любом i. Таким образом, А^(ш,) при любом t является линейной комби- нацией форм .., изк , т. е. At —симметрия распределения Р. q Следствие 3.2. Если X,Y е Dp, то аХ + 0Y е Dp, (a,/?GlR). Кроме того, [X, У]6-Dp. Иначе говоря, Dp являет- ся ^.-алгеброй Ли относительно операции коммутирования. Доказательство. Воспользуемся условием (2) доказан- ной теоремы. Пусть [X, XJ = ^^уХу, [У,Х,.] = £ Ао-Ху. Тогда 3 3 [аХ +/ЗУ, Xi] = ^(a^tJ.+/ЗА^.)Ху. Это показывает, что аХ +flY Е EDp. i Далее, в силу тождества Якоби [[X, У], X.] = [[X, X.], У] - [[У, XJ, X] = У^зХз’у]- -[\ .х., X]) = $2(м0Ай - \ .р.к)Хк + J2(X(At..) - У(мо))Х.. з, к j Это доказывает, что [X, У] Е Dp. g При помощи теоремы 3.1 выпишем координатные условия того, что данное поле X = X17г— является симметрией распределе- дх- г г ния, заданного системой 1-форм ..., изк, где из^. = ьз^бхв. Справедливо равенство ’ Х(ы.) = V (х< Л dx„- J дх- дх. 3'J По условию 3) теоремы 3.1 1-форма Х(оь) должна иметь вид S vjiui> т- е- существуют такие гладкие функции и~, что i / .диз. дХг \ ч У Хг-^ + — из.. 1 =У и..из. , (3.4) дх. дх 31) 31 ,я’ ' i, s 4 9 3 ' i где j = 1,..., k; з = 1,.. .п. Заметим, что в отличие от (3.3) система уравнений (3.4) явля- ется линейной относительно полей X1,..., Хк. Она называется си- стемой линейных уравнений Ли, ассоциированной с системой
§ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 29 нелинейных уравнений Ли (3.3). Подобно тому, как нелинейные уравнения Ли служат для определения конечных симметрий данно- го распределения, линейные уравнения Ли служат для нахождения его инфинитезимальных симметрий. В дальнейшем мы будем в основном заниматься изучением именно инфинитезимальных симметрий, которые для краткости бу- дем называть просто симметриями. Пример 3.2. Симметрии одномерного распределения, по- рожденного векторным полем У, —это такие векторные поля X, что [X, У] = АУ для некоторой функции А. Пусть, например, У — векторное поле на сфере (рис. 1.10), имеющее в «географических» координа- тах вид У = —. Предположим, dtp что Х = a^Q + Тогда у1 = д о 9 ар де + д<р' Поле X является симметрией, если а =0. Итак, симметрии данного распре- 9 п9 деления — это поля вида а —— + 0 тг-, дв д<р где 0 — произвольная функция на сфе- ре, а а — функция, постоянная на параллелях. Конечные симметрии этого распределения задаются парой функций 0=/(0), <р=д(е,<р). Пример 3.3. Найдем локальную структуру алгебры симме- трий произвольного вполне интегрируемого распределения. В подходящей системе координат вполне интегрируемое рас- пределение Р можно задать при помощи базиса х-А х- — Л1~дх^ Al~dXi Пусть Х=УуС-^. Тогда [Х.,Х] = £ Условие i i i 3 i dXi [X,X ]ePD, j=l,...,l, равносильно тому, что ——=0, dXj Представляя поле X в виде суммы двух составляющих — про-
30 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ д д дольной Y' Хг ——, и трансверсальной, X*-—, мы можем сфор- ' Эх- i^i * i>i г мулировать ответ в следующем виде. Поле X является симметрией распределения Р в том и только том случае, ес- ли его трансверсальная составляющая имеет ко- эффициенты, постоянные на листах, т. е. на мак- симальных интегральных многообразиях xt + ,=С( t, ..., хп = Сп, где Ct = = const, распределения Р (рис. 1.11). Пример 3.4 Най- дем все (инфинитезималь- ные) симметрии распреде- ления Картана С на R3, за- Рис. 1.11 данного формой w = du — р dx. Если — симметрия, то X =(*?- + 0 дх ди др (3.5) X(ш) = (0х - рах - 7) dx + (Д, - раи) du + (J3p - рар) dp. Условие пропорциональности X (ш) и ш записывается в виде систе- мы уравнений Г /Эр-Р“р=О, , 0Х - - 7 = -Р - ?«„)• Из этой системы следует, что симметриями распределения С явля- ются векторные поля (3.5), где а,0 — любая пара функций, связан- ных соотношением /Зр =рар, а 7 выражается через эти функции по формуле 7 = 0х+р0и—рах—р2аи. Рассматривая функцию f=0—pa, мы видим, что а = -fp, 0 = f - pfp, 7 = fx + Pfu, т. e. X = + -Pfp^ + & +pf^- rdx v du dp Таким образом, симметрия распределения Картана X однознач- но определяется некоторой функцией f = f(x,u,p), которая может быть произвольной *). ’) В гл. 2 будет построена теория контактных векторных полей, в которой обоб- щается этот результат.
§ 3. СИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 31 Среди симметрий данного распределения Р можно выделить симметрии специального вида. Это те векторные поля X, которые сами лежат в распределении Р, т. е. X eDp C\PD. Они называ- ются характеристическими, или тривиальными. Симметрии, не принадлежащие PD, мы будем называть нетривиальными. Утверждение 3.3. Пусть X, Y € Dp, причем симме- трия Y тривиальна. Тогда симметрия [X, Y] также триви- альна. Иными словами, тривиальные симметрии образуют идеал алгебры Ли Dp. Доказательство. Пусть Хх,...,Х1 — векторные поля, по- рождающие распределение Р, и У = 12 ЛИз теоремы 3.1 следу- ет, что [X, Xi ] = ^Hij-X.. Поэтому J [X, г ]=[ х, Е /Л, 1 = £ + Е Лм, А- t i i,j Таким образом, поле [X, У] лежит в Р. В силу следствия 3.2 оно является симметрией распределения Р. q Обозначим через char Р с Dp идеал тривиальных (характери- стических) симметрий. По определению charP =DP C\PD. Доказанное утверждение позволяет рассматривать факторал- гебру Ли sym Р — DP! char Р, которую мы назовем алгеброй Ли нетривиальных симметрий рас- пределения Р. Отметим, что поскольку для вполне интегрируемых распределений charP =PD, в этом случае имеет место равенство symP =Dp/PD. Найдем характеристические поля вполне интегрируемого рас- пределения Р. По теореме Фробениуса любое поле, лежащее в Р, является для него характеристическим, так как при сдвигах вдоль траекторий этого поля каждый слой распределения Р скользит сам по себе. Напротив, если X — нетривиальная симметрия, то при сдвигах вдоль траекторий поля X слои распределения Р перехо- дят друг в друга. Замечание, сделанное нами выше о характеристических полях вполне интегрируемых распределений, справедливо и в более общей ситуации. Утверждение 3.4. Характеристическое поле распре- деления Р касается любого его максимального интегрального многообразия.
32 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Доказательство. Действительно, если характеристиче- ское поле X не касается интегрального многообразия L, то, раз- нося L по траекториям поля X, мы получим многообразие L = = |JAf(Z), содержащее L. t Полученное многообразие также будет интегральным. В самом деле, касательное пространство в произвольной точке х к многооб- разию L является линейной оболочкой вектора Хх и касательного пространства к подмногообразию АДЬ), проходящему через эту точ- ку. А так как и то, и другое лежат в Рх, то там же лежит и TX(L). □ Замечание 3.1. Таким образом, всякое максимальное ин- тегральное многообразие распределения Р «соткано» из его харак- теристик, т. е. траекторий любого из его характеристических полей. Аналогичная конструкция возникает в теории уравнений в частных производных первого порядка — отсюда и сходство терминологии. Как и в случае вполне интегрируемого распределения, нетри- виальные симметрии произвольного распределения, в отличие от характеристических, обладают тем свойством, что сдвиги вдоль их траекторий переводят максимальные интегральные подмногообра- зия друг в друга, переставляя их. Отметим, что действие элементов из sym Р на максимальных интегральных многообразиях определе- но корректно, так как согласно утверждению 3.4 каждое такое мно- гообразие при действии тривиальных симметрий переходит в себя. Утверждение 3.5. Характеристические поля обра- зуют модуль над кольцом функций, т. е. если X 6 charP и то fX 6 char Р. Доказательство. Действительно, в этом случае для про- извольного векторного поля Y ePD мы имеем [fX,Y] = f\X,Y}-Y(J)X EPD, поэтому fX е Dp. Кроме того, fX ePD, значит fXe charP. □ Следствие 3.6. Множество charP состоит из век- торных полей, касающихся некоторого распределения. Распределение, рассматривающееся в следствии 3.6 называется характеристическим. Размерность слоев этого распределения в отдельных точках может падать. Теорема 3.7. Характеристическое распределение впо- лне интегрируемо. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из того, что пространство векторных полей charP, будучи идеалом в алгебре Ли Dp, само является алгеброй Ли.
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 33 Проиллюстрируем теперь введенные понятия на материале при- меров 3.2-3.4. В примере 3.2 мы рассматривали одномерное распределение, заданное на сфере. Так как любое одномерное распределение вполне интегрируемо, то в этом случае характеристическое распределение совпадает с ним самим. Характеристическое распределение вполне интегрируемого распределения также совпадает с ним самим. Пусть, далее, X — характеристическая симметрия распределе- ния Картана, рассмотренного нами в примере 3.4. Поскольку X е € Dp, мы имеем Х = + + & + pf^’ у OX v OU op а так как X 6 charP, то w(X) = 0. Ho w(X) = X _l(du — pdx) = f. Поэтому У = 0 и, следовательно, X = 0. Таким образом, характери- стическое распределение в этом случае нульмерно. § 4. Некоторые приложения теории симметрий к интегрированию распределений В этом параграфе мы покажем, что знание симметрий распре- деления облегчает задачу нахождения его интегральных многообра- зий, а в некоторых случаях позволяет полностью ее решить. 4.1. Распределения и характеристические симметрии. Рассмотрим типичную ситуацию. Так как максимальные интеграль- ные многообразия сотканы из характеристик данного распределе- ния, то, зная некоторое характеристическое векторное поле X, мы можем по всякому интегральному многообразию L, трансверсально- му к траекториям поля X, построить интегральное многообразие N на единицу большей размерности, а именно, N =|J АДД), где At — t сдвиги по траекториям поля X. В частности, стартуя с многообра- зия L, состоящего из одной точки, мы получим одну из траекторий поля X, которая является одномерным интегральным многообрази- ем. Пример 4.1. В примере 2.2 мы рассматривали дифференци- альное уравнение (Зж —2it)u' = u. Для распределения С£, заданного ограничением формы du—pdx на £, было построено характеристи- ческое поле Yf. Траектория этого поля < x = (xq — и0)е +иое > и = иое~* 3 Симметрии...
34 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ представляет собой параметрическую запись решения данного урав- нения, проходящего через точку (ж0, и0, р0). Пример 4.2. Рассмотрим многообразие М всех единич- ных векторов, приложенных к точкам верхней полуплоскости R2 с координатами (х,у), и введем на этом многообразии локальные координаты (ж, у, и), где х — произвольное действительное число, у > 0, а и — угловая переменная, определенная по модулю 2тг. Далее рассмотрим распределение Р, заданное 1-формой . 1 — cos и , sin и , ш = du -|-------dx--------dy. У У Это распределение удовлетворяет условиям теоремы Фробениуса и, следовательно, оно вполне интегрируемо. Описанное распределение определяет так называемое орицик- лическое слоение, геометрический смысл которого заключается в следующем. Напомним, что верхняя полуплоскость с метрикой ds2 = dx2 + dy2 л =------=--- является моделью плоскости Лобачевского, геодези- У ческими («прямыми») в которой являются дуги окружностей с цен- тром на оси х, а также вертикальные лучи. Слой орициклического слоения состоит из всех таких векторов, что касающиеся их геодезические плоскости Лобачевского проходят через одну и ту же точку на прямой у = 0. Линии L = {и = тг, х =с}, где с — некоторая константа, являют- ся интегральными многообразиями Р, так Dx как ш обращается в нуль при ограничении на них. Поле _ Э 1 — cos и д / х Qx у Qu является характеристическим для Р, так [ как распределение Р вполне интегрируемо, а поле Dx обращает в нуль форму ш. Кроме (с,у0,л-)\ того, очевидно, что поле Dx трансверсаль- \ / 9 \ г но полю —, которое касается линии L. V 9у 1 Следовательно, рассматривая все тра- ектории поля Dx, проходящие через L, Рис. 1.12 можно построить двумерную интегральную поверхность распределения Р.
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 35 Для этого сначала, проинтегрировав систему уравнений ' х = 1, ( У = 0, . 1 — cos и и =---------, У найдем уравнения траекторий поля Dx: y = Cv ®-yctg^ = C2, где Ср С2 — постоянные. Если некоторая точка (х, у, и) лежит на одной траектории с точ- кой (с, у0, тг) е L, то у - у0, X - у ctg - = с - % ctg -. Отсюда следу- ет, что х — у ctg = с. Это и есть поверхность U (L), полученная «разнесением» линии L вдоль траекторий поля Dx. (см. рис. 1.12). Рис. 1.13 Геометрически эта поверхность представляет собой множество та- ких единичных векторов, что все окружности с центрами на оси х, которых они касаются, проходят через одну и ту же точку этой оси (рис. 1.13). 4.2. Симметрии и динамические системы. Многие стан- дартные способы решений дифференциальных уравнений использу- ют теорию симметрий. Вот один из примеров. Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, рассматривается как векторное поле X на многообразии (или, иначе говоря, как ди- намическая система). Симметрией поля X принято называть всякое векторное поле У, коммутирующее с X, т. е. такое, что [X, У] = 0. Легко понять, что в этом случае сдвиги по траекториям поля У 3*
36 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ переводят траектории поля X в себя, как-то при этом их «пере- мешивая». В случае, когда известна некоторая симметрия Y дина- мической системы X, обычно делается замена координат, выпрям- ляющая поле Y (т. е. выбираются такие координатные функции, которые все, кроме одной, постоянны на траекториях поля У), и за- тем система X переписывается в новых координатах. Если при этом в новых координатах yv..., уп поле У имеет вид -—, то условие &Уп [X, У] = 0 означает, что коэффициенты поля X в этих координатах не зависят от уп. Поэтому нахождение траекторий поля X сводит- ся к интегрированию (п— 1)-мерной динамической системы и одной квадратуре. Пример 4.3. Рассмотрим 3-мерную динамическую систему (х2 ж? X'=t(x+^X3 \х3 ®2 , *Ei З/о х2 = t —- +ж., ж2 £ _ *1*3. ' *2 _2 Ж1 х2 Векторное поле д д д „ 1 дх, Х2дх2 + Хз дх3 является симметрией этой системы. Действительно, нетрудно про- верить, что коммутатор векторных полей *? \ & /*1*ч \ д х.х, д \ \ж3 *2 / х2/ ®xl \ х2 / °х2 *2 дх3 и У равен нулю. Замена переменных х> - х2 ' х' - Ж2 - _ > х3 х', = 1П X, д приводит поле У к виду -^-у, а динамическую систему X к виду {ij = tx2, х2 = tx'l} А.' — г,! ®3 — .
$ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 37 Отсюда следует, что нахождение траекторий динамической системы X сводится к интегрированию 2-мерной динамической системы ж{ =t®2, и одной квадратуре Жз = I x[(t)dt. Перейдем теперь к обсуждению применения нетривиальных (т. е. нехарактеристических) симметрий к задаче интегрирования распределений. 4.3. Симметрии и нехарактеристические симметрии. Ес- ли поле X —симметрия распределения Р и {At} — соответству- ющая группа сдвигов, то, зная некоторое интегральное многообра- зие L распределения Р, мы можем построить целое однопараметриче- ское семейство {A((L)} таких мно- гообразий. Пример 4.4. Рассмо- трим уравнение (Зж—2u)u'=u, опи- санное в примере 2.2. Поле X = з = и —, записанное в локальных дх координатах (х,и) на Е, очевидно, коммутирует с полем YF (см. при- мер 2.2), ограниченным на 8 (про- верьте, что это ограничение пред- Q ставляется в виде (2и — Зя)---- а дх - и—). Поэтому X является сим- ии метрией одномерного распределе- ния С£ на Е. Сдвиги вдоль траекто- рий этого поля позволяют получить Рис. 1.14 любое решение этого уравнения (кроме и = 0) из одного решения {и = ж} = £. Действительно, диффеоморфизм сдвига по траекториям поля X за время t задается соотношениями ( X = Ugt + х0, Из этих формул очевидно, что образом прямой £ = {и=ж} является кривая АД£) = {tu3 + и = ж} (рис. 1.14).
38 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Упражнение 4.1. Найдите такую симметрию этого урав- нения, которая позволила бы получить любое (или почти любое) решение из нулевого. Замечание 4.1. Сдвиги по траекториям поля X, рас- смотренного в примере 4.4, переводят решение и = 0 в себя. Это решение называется инвариантным, или автомодельным. Упражнение 4.2. Найдите автомодельное решение урав- нения (Зх — 2u)u' = и относительно инфинитезимальной гомотетии д д xai+uai- 4.4. Интегрирование уравнений в квадратурах. Второй аспект, на который мы хотели бы обратить внимание при обсужде- нии применения нетривиальных симметрий, — это интегрирование уравнений в квадратурах. Дело в том, что если у вполне интегриру- емого распределения известна разрешимая алгебра Ли нетривиаль- ных симметрий, размерность которой равна коразмерности данного распределения, то интегральные многообразия этого распределения можно найти при помощи квадратур. Переходя к описанию этой процедуры, введем понятие первого интеграла распределения. Определение 4.1. Первым интегралом распределе- ния Р называется такая функция f е что Х(/) = 0 для любого поля X е PD. Очевидно, что если функция f является первым интегралом распределения Р, то она постоянна на любом интегральном много- образии этого распределения, или, иначе говоря, всякое интеграль- ное многообразие целиком лежит на некоторой поверхности уровня {/ =с} первого интеграла. Найдем первые интегралы распределений, рассмотренных нами в примерах 3.2-3.4. q Первые интегралы поля X = ——, заданного на сфере, — это, д<р очевидно, произвольные функции, постоянные на параллелях сфе- ры. Этот пример легко обобщается на случай произвольного одно- мерного распределения *). Первые интегралы вполне интегрируемого распределения Р, локально задаваемого полями Xi = • 1 дх{ . = д_ 1 дх,’ *) Отметим согласование принятой терминологии с терминологией теории урав- нений первого порядка в частных производных: если распределение Р задано вектор- ным полем X, то его первые интегралы — это первые интегралы уравнения Х(у>)=О, т. е. функции, постоянные на траекториях поля X. См. также гл. 2,
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 39 имеют вид .., я„), где / —произвольная функция. Наконец, пусть / — первый интеграл распределения Картана, . „ , , гг д д д задаваемого формой ш = аи — рах. Поскольку поля — и — +р— др дх ди л df df df п лежат в распределении С, мы имеем = л—hp-^~ =0, откуда др дх ди следует что f = const. Итак, распределение Картана не имеет нетри- виальных первых интегралов. Знание первого интеграла распределения Р сводит задачу на- хождения его интегральных многообразий к интегрированию рас- пределения, заданного на многообразии, размерность которого на единицу меньше размерности исходного многообразия. А именно, к интегрированию распределения Р, ограниченного на поверхность уровня функции у. Каждый новый независимый первый интеграл приводит к дальнейшему понижению размерности на единицу. В том случае, когда известны функционально независимые первые инте- гралы Ур.-чД, где к = codimP, рассматриваемое распределение можно задать набором точных 1-форм dfv ..., dfk. Тем самым это распределение оказывается вполне интегрируемым, и его слои суть совместные поверхности уровня функций ур .. .,fk, т. е. они имеют вид {х еМ I f{(x) = cf}, где Cj,..., ск — некоторые константы. Нахождение первых интегралов равносильно отысканию таких точных 1-форм u = df в идеале дифференциальных форм, которые обращаются в нуль на векторах, принадлежащих рассматриваемому распределению. Действительно, в этом случае ш(Х) = Х(/) = 0 для любого X е PD. В этих терминах полная интегрируемость распре- деления означает существование к = codim Р независимых точных 1-форм, принадлежащих рассматриваемому идеалу. Определение 4.2. Линейное подпространство У с sym Р называется невырожденным, если для любой точки х G М и любого поля X е У условие Хх е Рх равносильно тому, что X = 0. Пусть х е М и Ух = {Хх | X е Если подпространство У невы- рождено, то из определения 4.2 следует, что dim У = dim Ух codim Р. Пусть ..., шк — система форм, задающая распределение Р, и Х1,...,Х1 — базис невырожденного подпространства У с PD. Тогда f С к и функциональная матрица ЦшДХJ.)|| имеет ранг I в каждой точке многообразия М. Если I = к, то det ||ш,-(Ху)|| 0 и можно найти другую систему форм, задающую Р, скажем, ..., ш'к, что Для этого достаточно домножить столбец
40 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ на матрицу, обратную к ||ш£ (Х)||. Если пространство У замкнуто относительно коммутирования, то имеет место следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть Р — вполне интегрируемое распределение, заданное 1-формами ш1,...,шк, и У — невы- рожденная алгебра Ли симметрий этого распределения, ба- зис в которой образуют векторные поля Х{,.. .,Хк, причем <jJi(X,j) = 6ii. Тогда если 8 то J i,3 Доказательство. По теореме Фробениуса найдутся такие 1-формы 74., что 3 Поскольку Х{ е PD, 1-форма Xt(ws) = _ldwe + d(Xt _Jwa) на P обращается в нуль, а так как б(Х{ _1шя) = 0, то 1-форма Xf_ldws также аннулируется распределением Р. Из равенства 3 следует, что формы ^s- обращаются в нуль на Р, т. е. для некоторых а^. G С°°(М) имеют место соотношения 7(.. = 22 Значит, »<i С одной стороны, отсюда следует, что *.) = <., i<j. С другой стороны, <Ч(^> * ) = ХДш,(Х.)) - Х.(ч(Хг)) - X.]) = =-<• Поэтому a’j. = — с^ и <4 = “ 22 с^ц Л и. = 22 ciiui Л %- i<3 i,3
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 41 Следствие 4.2. Если выполнены условия теоремы 4.1 и У — коммутативная алгебра, то все формы замкнуты и, следовательно, локально представляются в виде щ =dhit где ht —гладкие в рассматриваемой окрестности функции. Локально первый интеграл можно найти по формуле а h{(a)= j wt, “о где Oq —некоторая фиксированная точка многообразия М. В частности, так как обыкновенное дифференциальное уравне- ние fc-ro порядка сводится к одномерному распределению на (к 4- 4- 1)-мерном многообразии, то непосредственно из следствия 4.2 вы- текает следующее утверждение. Следствие 4.3. Если распределение, соответству- ющее обыкновенному дифференциальному уравнению поряд- ка к, обладает к-мерной коммутативной невырожденной алгеброй Ли симметрий, то это уравнение интегрируется в квадратурах. Пример 4.4. Пусть задано уравнение 1-го порядка, разре- шенное относительно производной, правая часть которого не зави- сит от х: du ff \ Соответствующее этому уравнению распределение задается на по- верхности, определяемой уравнением р =f(u), при помощи 1-формы u> = du — f dx. Векторное поле Х = 4~ ох касается данной поверхности и является нетривиальной симметрией распределения С£. В силу теоремы 4.1 и следствия 4.2 форма u£/f точна. В самом деле, 11 /f du —шЕ =—(du —fdx) = d { I —— — х В домножении на 1 // нетрудно узнать известный способ решения уравнений указанного вида методом «разделения переменных». Та- ким образом, по существу этот метод интегрирования заключается в том, чтобы 1-форму, задающую распределение Картана на уравне- нии, превратить в точную.
42 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Упражнение 4.3. Докажите, что на уравнении £ поле X совпадает с полем q q J я— ди др Предыдущий пример иллюстрирует общее замечание: для инте- грируемых распределений коразмерности 1 (в частности, для обык- новенных дифференциальных уравнений первого порядка) знание одной нетривиальной симметрии позволяет описать слои этого рас- пределения (в частности, решения этого дифференциального урав- нения) в квадратурах. Если X — нетривиальная симметрия, а рас- пределение Р задается 1-формой и>, то форма fw, где f = 1/ш(Х), также задающая Р, будет замкнутой *). В этом случае слои распре- деления Р совпадают с поверхностями уровня интеграла от этой формы. Пример 4.5. Рассмотрим распределение Р из примера 4.2. Поскольку коэффициенты формы 1 — cos и sin и . u = du-l---------dx-------dy У У Q поле X = является его симметрией. Так как ОХ ^0, поле X является нетривиальной симметрий 1 на зависят от х, 1-cosu ЧХ) = ей. Следовательно, интегрирующий множитель равен f = —- = MX) = --------и 1 — cos и fa> = dx~ - - ? ^-~dy + -—-du = d(x-ycte-\ l-cos« l-cosu \ y й2/ и Соотношение x-yc.tg-=c,c = const, задает все слои данного рас- пределения, кроме слоя {« = 0} (при и = 0 функция / не определе- на). Пример 4.6. Всякое однородное уравнение £ первого по- рядка /и\ и ~ Ч>I ~ I / д д имеет симметрию X =хд^ Девствительно> если ® и и при- нять за координаты на £> то распределение Картана на £ задается *) Напомним, что функция f называется интегрирующим множителем.
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 43 формой /и\ = du — I — I dx. \х / Легко проверить, что Х(9?) = 0 и Х(ш£) = ш£, поэтому рассматрива- емое поле является симметрией. В качестве интегрирующего мно- жителя можно взять функцию u — xtp(—) х В частности, для уравнения (Зя—2и)и =и (см. пример 2.2), которое всюду, кроме линии Зх - 2и = 0, равносильно уравнению и Зх — 2и ’ мы имеем и поэтому ,л. f f Зх — 2и tfi^)~3^2^, f~2u(x-u)’ , Зх — 2и 1 , и3 Ш£ 2и(х—и)Ш£ 2 Пх —и Отсюда, как и раньше, находим решения данного уравнения в виде и3 -----= с, с = const. х — и Пример 4.7. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение апи<П> + • • • + a\U' +<1^4 = /, где ап, ...,ах,ацу/ — функции, зависящие от переменной х. Нетруд- но проверить, что поле „ д , д (к} д где р(Х) — произвольное решение соответствующего однородного уравнения апг№+.. ,+а}и +а^и—О, является симметрией распреде- ления, соответствующего рассматриваемому уравнению. Поля тако- го вида образуют fc-мерную коммутативную алгебру Ли, и поэтому применимо следствие 4.3. Так как ш^Х^) = (где, как и выше, Ч —dpy -pi + ldx), то матрица HwJX )||, которую по ходу реше- ния нужно обратить для нахождения интегрирующего множителя, представляет собой матрицу Вронского фундаментальной системы решений .., рк однородной системы.
44 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Предположим теперь, что известна невырожденная алгебра Ли У симметрий вполне интегрируемого распределения Р, которая не является коммутативной, и обозначим через 3^ ее коммутатор- ную подалгебру У1) = [ХУ] = {^[Х,У]|Х,Уеу}. Предположим, что З^1' / З7- Тогда в У можно так выбрать базис Хр..Хк, что Хг + 1,...,Хке У{1). В этом случае для любых по- лей Х{ и Xj коммутатор [Xf, XJ 6 3;(1) и, следовательно, если з < г, то с*у =0. Поэтому формы замкнуты. Пусть (локально) =dhlt..шт =dhr. Поверхности уровня = {/ii = Ср ..= сг} , c = (cp...,cr), ci € R, инвариантны относительно коммутаторной алгебры поскольку Xy(/it.) = шДХу) = 0 при « С г, У > г 4-1. Обозначим через Рс ограничение распределения Р на поверх- ность Нс. Тогда распределение Р. вполне интегрируемо. В самом деле, слоение многообразия М, соответствующее исходному рас- пределению Р, высекает слоение на поверхности Нс. Тот же факт можно доказать и аналитически. Выписывая диф- ференциал 1-формы з^г +1, и учитывая теорему 4.1, мы полу- чаем 1 <4 = -? 12 »,i>r Формы при i г обращаются на Нс в нуль. Следовательно, по теореме Фробениуса распределение Рс вполне интегрируемо. Заметим теперь, что 3^ представляет собой невырожденную алгебру Ли симметрий распределения Рс. В самом деле, сдвиги по траекториям произвольного поля X € во-первых, сохраняют многообразие Нс и, во-вторых, переставляют слои распределения Р. Следовательно, они переставляют и слои распределения Рс, по- лученного ограничением Р на Нс. Точнее, невырожденность алгеб- ры 3>(1) следует из того, что матрица юДХ), т < i < к, г <j ^к, единична и поэтому невырождена. Итак, мы вновь получили невырожденную подалгебру Ли, и потому вправе прибегнуть к проделанной процедуре еще один раз. А именно, рассмотрим коммутаторную подалгебру У^ алгебры З^1^ у2)
$ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 45 Если У^/У0, ТО некоторые из 1-форм шт +1 |dffc,..ока- жутся замкнутыми. Они порождают локальные интегралы распре- деления Р. Это распределение в свою очередь можно ограничить на совместную поверхность уровня этих интегралов и т. д. Продолжая этот процесс указанным образом, мы получим ряд подалгебр юУ^эУ^э... Если на некотором шаге в этом ряду подалгебр встретится коммута- тивная подалгебра (это равносильно тому, что на следующем шаге мы получим тривиальную подалгебру), наши рассуждения можно закончить применением теоремы 4.1, а точнее, следствия 4.3. Алгебра Ли У, обладающая тем свойством, что У® =0 при неко- тором I, называется разрешимой. Этот термин разъясняется в сле- дующих теоремах, доказательства которых следуют из приведенных рассуждений. Теорема 4.2. Если вполне интегрируемое распределе- ние Р коразмерности к обладает к-мерной невырожденной разрешимой алгеброй Ли симметрий У С symP, то полный набор его первых интегралов можно найти в квадратурах, т. е. вычислением интегралов от замкнутых 1-форм и ре- шением функциональных уравнений. Теорема 4.3 (Бьянки — Ли). Если обыкновенное диф- ференциальное уравнение порядка к имеет невырожденную к-мерную разрешимую алгебру симметрий, то оно интегри- руется в квадратурах. Именно в контексте этих теорем понятие разрешимости, воз- никшее в теории Галуа алгебраических уравнений, проникло в тео- рию групп и алгебр Ли. Отметим также, что вместо алгебр симме- трий можно использовать группы Ли конечных симметрий, ибо от группы Ли всегда можно перейти к соответствующей алгебре путем рассмотрения инфинитезимальных образующих группы. Пример 4.8. Рассмотрим уравнение аи?и"' + Ъии'и" + си/3 = 0. Оно обладает невырожденной трехмерной алгеброй симметрий, по- Q рожденной трансляцией по х (т. е. полем —) и произвольными ОХ д д масштабными преобразованиями (т. е. полями вида ах-—I- , где а и Ь константы), сохраняющими распределение Картана (можно
46 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ доказать, что эти масштабные преобразования образуют двумерное пространство). В качестве базиса этой алгебры удобно взять поля Х1~дх> v д 9 п д д л д Х^-Хд^ + ид^+2р^+3р^2+4Рз^ „ а а а а х^иа^+р'а^+Рг^+Рза^' Замечание 4.2. Интересно, что в справочнике Э. Камке по обыкновенным дифференциальным уравнениям для следующих двух уравнений (7.8 и 7.9): 4и2и" — 18иии" + 15и'3 =0, 9и2и" - 45иии" + 40и'3 = О, принадлежащих к типу, рассмотренному в примере 4.8, приведен свой рецепт решения. Упражнение 4.4. Докажите, что любое линейное про- странство, состоящее из инфинитезимальных трансляций и инфи- нитезимальных масштабных преобразований, образует разрешимую алгебру Ли. Для этого проверьте, что если У — алгебра Ли рассматрива- емого типа, то коммутаторная подалгебра состоит только из трансляций и, следовательно, она коммутативна. Заметим, что всякая алгебра Ли размерности 2 разрешима. Действительно, если Ху и Х2 — базис алгебры У, то подалгебра порождена элементами вида и, следовательно, У^ = = 0. Потому интегрирование любого распределения коразмерности 2, в частности, обыкновенного дифференциального уравнения вто- рого порядка, можно завершить в квадратурах, если известна дву- мерная алгебра Ли его симметрий. Пример 4.9. Рассмотрим уравнение второго порядка и" = и +ип —(4.1) (n + 3)2 V где — 3, пеК. Поскольку это уравнение не содержит явно х, поле 1 дх
§ 4. СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 47 1 — п является его симметрией. Нетрудно проверить, что поле ’ д к + \ д fk(k + \) 1—к \ д' дх+ 2 + t 2 U+ 2 Р) др\' где к~-—также является симметрией рассматриваемого уравне- п + 3 ния *). При рассмотрении этого примера мы будем далее обозначать и через р, а и" через q. Геометрический образ, связанный с данным уравнением, есть гиперповерхность £ в четырехмерном пространстве с координатами (x,u,p,q), заданная уравнением 2п + 2 (п+3) вместе с одномерным распределением на £, базисными формы ко- торого являются tUj = du — р dx и w2 = dp ~ q dx. Функции x,u,p можно принять за координаты на £. Рассмо- трим матрицу I ~Р е ( и-p \ "НЦ(Х,.)||= \ \ ~ч е (-L~2u + ~2~p~q) ' Обратная матрица имеет вид tx(k(k + l) 1 -к А кх(к + \ \\ (---2 Н—2~P~q) / I 9 -Р / где A = detM = екхТ, а через Т обозначено выражение _ к(к + 1) l-к 2 к + 1 т=----------------2-ир-----2~р +~2~uq' Умножая матрицу М-1 на столбец, составленный из 1-форм щ и ш2, получим новый базис форм, задающих распределение С£: 1 \Щк + \) 1 -к \ J fk + \ \ J 1 , — 1-------- 1—-p-qj du—I и-pj dp +dx, ш2 = ^[qdu-pdp]. ол = — 1 т 2 *) В отличие от предыдущих примеров, где все симметрии были видны «невоо- руженным глазом», найти поле Х2 не так просто. Способ, позволяющий это делать, — аппарат производящих функций для симметрий распределения Картана — будет опи- сан в § 5.
48 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ По теореме 4.1 форма должна быть замкнутой, поскольку [XvX2] — kX2. Чтобы найти первообразную этой формы, заметим, что дт i-fc2 Z1 ,v n (k + i)2(k-1) = — ?+(!-*)“+---------ts----- ST /1 M Поэтому при к / 1 форму можно переписать в виде 1 ГдТ J дТ J J ---:— — du 4- —— dp 4- dx = (fc-l)T[du dp т-Ц-Лп^е^"1^]. К 1 ш1 = Таким образом, функция / = Te(fc-1^ является первым интегралом рассматриваемого распределения. Заметим, что тем самым мы пони- зили порядок уравнения (4.1), так как оно равносильно семейству уравнений первого порядка вида к-l 2 1 - к2 к+1 n+i —Р2 + —j—«Р + —u + + _ се(1 - k)x = Oj (4 2) о где с — произвольная константа. Ограничим теперь распределение С£ на поверхность Нс, задан- ную соотношением (4.2). На этой поверхности переменную р можно выразить через х и и следующим образом: к 4- 1 , /1 4- fc n+i 2с (1 _ Кроме того, заметим, что на поверхности Нс выполняется равенство Д = сеа:. Поэтому Ле~хр2\ е~х( п к2 — 1 \ е~х 2j шг1яс=-^( ~2ГJ + — (р + « +~4—u\du- —р dx, (4-3) где р определяется соотношением (4.3). Из доказательства теоре- мы 4.2 следует, что эта форма замкнута. Следовательно, у нее есть интеграл, который задается формулой 9=-2г(—u±vr^“ —X к-\е )
§ 5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 49 е~кх e~x(un+l (Ь+1)2 2 к(к-1) с \п+1 8 Соотношение 5= Ср с, = const, в неявном виде задает все реше- ния рассматриваемого уравнения. По теореме Чебышева интеграл д представляет собой элементарную функцию тогда и только тогда, 2 когда число----- целое. п+ 1 Упражнение 4.5. 1. Проведите интегрирование до конца в случае n= -1. 2 2. Проинтегрируйте уравнение и" = и' + аеЬи — - при помощи О алгебры симметрий с образующими d v .да 2d , 2d Х} — х-> Х2 — е ——И ———Ь(р —• дх [дх о ди о др § 5. Производящие функции В этом параграфе мы опишем метод, позволяющий эффективно описывать симметрии распределения Картана. Пусть £ — обыкновенное дифференциальное уравнение поряд- ка к, разрешенное относительно старшей производной: uw=f(x,u,u™,...,u<k-l)). (5.1) Переменные x,pQ,pl,.. где р0 = и, мы будем рассматри- вать как координаты на поверхности £. В этих координатах ограни- чение всякого векторного поля X на £ = {рк = f(x,u,pl,.. .,рк_1)} записывается в виде д д д дж °dpb дрк-\ Заметим, что алгебра характеристических полей распределе- ния С£ состоит из всех полей вида АР, где А — произвольная функ- ция на £, a D — оператор полной производной по переменной х на уравнении £, записываемый в виде ~ а---------------------------Ь/л-----• (5.2) да; 1дро дрк_2 дрк_х 4 Симметрии...
50 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Заметим, что О(Р;)=р, + р i < к — 1, и, в соответствии с уравнением (5.1),Й(р,_1) = /. На факторпространстве всех полей по charCf имеет место ра- венство д _ д д д дх~ Pldp0 " Рк~1Эрк_2 &Рк-\ Следовательно, при нахождении нетривиальных симметрий уравне- ния £ можно ограничится рассмотрением полей вида Х=^ + ... + А.15£-. (5.3) В пространстве 1-форм, определенных на многообразии £, для удобства дальнейших вычислений введем операцию горизонтали- зации И, которая определяется своими значениями на образующих по формулам И dp{=pi + ldx, i<k — l, I dpk_j — f dx и далее продолжается на все пространство 1-форм по линейности над кольцом гладких функций. Лемма 5.1. Справедливы следующие утверждения. 1. При операции горизонтализации 1 -форма обращается в нуль в том и только том случае, если она аннулируется распределением Картана. 2. Для произвольной функции у 6 С°°(£) выполнено равен- ство _ ~1 dg = D(g)dx. Доказательство. 1) Пусть ш =-ydx + y^7tdpf. Тогда ра- венство 1 ш = 0 означает, что 7 + + j + yk _ Д = 0. Следова- тельно, * ш=- (12^Pi+1 + - J)dx+12 4dPi=12 ' i / i i 2) В самом деле, если g G C°°(£), то
$ 5, ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 51 Предположим теперь, что векторное поле X, имеющее вид (5.3), является симметрией распределения Картана С£. В силу тео- ремы 3.1 и леммы 5.1 это равносильно тому, что X(dp{-pi + ldx) = Q, i<k-l, (5.4) ~\X(dpk_l-fdx) = 0. (5.5) Из равенства (5.4) мы получаем, что (Ж)-/3<+1)^=о. Отсюда следует, что Pi + 1 = для всех i < к - 1. Обозначив /30 через р, мы можем записать поле X в виде i-1 _ о x = 'LD'Ma^ <5-в) Таким образом, если поле X — симметрия распределения Картана, то оно определяется одной функцией ip = X(и). Функция <р называ- ется производящей функцией поля X, определенного соотноше- нием (5.6). Симметрию с производящей функцией <р мы будем обо- значать через Х^ Разумеется, производящая функция симметрии не может быть произвольной. Из равенства (5.5) следует, что Линейный дифференциальный оператор, стоящий в левой части равенства (5.7), мы обозначим через lF, где F =рк- f (т. е. F — функция, нули которой определяют поверхность £), а черта обозна- чает ограничение рассматриваемого оператора на £. Оператор lF называется оператором универсальной линеаризации*), соот- ветствующим функции F (или нелинейному дифференциальному уравнению F = 0). Из приведенных рассуждений вытекает следующая теорема. Теорема 5.2. Если уравнение £ задано в виде F = 0, где F =рк — f(x,u,.. ^рк), то имеет место изоморфизм kerfF = sym£, определяемый формулой р i-> Х^. ц *) Общая теория этих операторов будет изложена в гл. 4. 4*
52 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Замечание 5.1. Требование разрешимости относительно старшей производной в теореме 5.2 несущественно. Из результатов гл. 4 вытекает, что эта теорема справедлива для «почти любой» функции F. В общем случае оператор lF определяется равенством EdF л—& ' OPi Нетрудно заметить, что эта формула согласуется с приведенным выше выражением для TF в случае, когда F = рк - f(x,u,.. .,рк). Так как поля вида (5.6) находятся во взаимно однозначном со- ответствии со своими производящими функциями, то при помощи поля можно восстановить его производящую функцию у>. Дей- ствительно, 99=Xlp_lw0 = w0(X(p), (5.8) где о>0 = dp0 — pj dx. Заметим, что выражение, стоящее в правой части (5.8), в факторпространстве по множеству всех характери- стических полей зависит только от класса элемента Хр, так как = 0. Таким образом, для того чтобы найти производящую функцию сим- метрии распределения Картана, совсем не обязательно приводить это поле к виду (5.6). Заметим еще, что поскольку форма о>0 содержит лишь члены с dx и du, производящая функция поля X полностью определяется двумя первыми коэффициентами выражения этого поля в коорди- натах х, Ро> • • •> Pi -1 • / д ад \ о Рассмотрим теперь такие симметрии X, коэффициенты а иЗ которых зависят только от х и у. Геометрически это означает, что соответствующее поле X согласовано с проекцией тг: R/c + 2^1R2, заданной формулой тг(х,и, р{,.. ,,рк) = (х,и). Векторное поле на плоскости К2, согласованное с X, обозначим через Хо. В координа- тах (х, и) оно имеет вид Хо = сЛ+0±. дх ди В рассматриваемом случае поле X однозначно определяется полем Хо и называется поднятием поля Хо. Векторные поля на плоско-
§ 5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 53 сти К2, представляющие собой такие инфинитезимальные преобра- зования, которые смешивают зависимую и независимую перемен- ные, в классической терминологии принято называть точечными преобразованиями *). Таким образом, точечные преобразования (точнее, поднятия то- чечных преобразований) — это в точности те симметрии распреде- ления Картана, производящие функции которых зависят лишь от х, и и pt, причем от рг — линейно. Если производящая функция явля- ется произвольной функцией от переменных х, и и то соответ- ствующее векторное поле называется контактным. Симметрии, производящая функция которых не имеет такого вида, называют- ся высшими; общая теория высших симметрий будет построена в гл. 4. Приведем примеры наиболее популярных в приложениях то- чечных преобразований вместе с их производящими функциями. 1. Трансляция по х; Хо = —. Производящая функция равна ОХ Хо — —. Производящая функция есть кон- ои -Pl- 2. Трансляция по и-. станта 1. 3. Масштабное преобразование: Хо = ах-^- 4- Ьи-^-, где а, Ь — __ ох он константы. Производящая функция этого преобразования равна bu — axpi. Рассмотрим теперь систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для простоты ограничимся случаем систем уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной: Ui=Vi(x,Uv...,Un), (5.9) йп = ^п(х,и1,...,ип). Геометрически система (5.9) описывается как многообразие £ с ко- ординатами x,Ui,...,ип, снабженное распределением Картана. Ба- зисные формы этого распределения имеют вид ' =dui — Vi dx, < .................. . шп = du — « dx. ' n n n ) Смысл этого термина прояснится в гл. 2 и 3 при рассмотрении более общих контактных преобразований.
54 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Распределение С£ в этом случае также одномерно и, значит, вполне интегрируемо (его интегральные многообразия являются графиками решений данной системы). Однако, в отличие от случая одного урав- нения, симметрия распределения Се описывается теперь не функци- ей, а набором п функций (производящим сечением). Теорема 5.2 имеет следующий вид. Теорема 5.3. Пространство нетривиальных инфи- нитезимальных симметрий системы (5.9) изоморфно ядру матричного оператора lF, действующего в пространстве вектор-функций переменных х,щ,.. .,ип. Оператор IF име- ет вид rF = (в-р- ии^ 9у2 дщ dvl ди2 — dv2 D~d^2 dv{ дип dv2 ди п где через D об dv dvn \ дщ ди2 д означен оператор -т- дх = dv ... D-—± дип д ч д - V —— п9ип При этом сечению <р = (/рх,..., tpn)€ker TF соответствует векторное поле V I | Так как симметрии распределения Картана удобно описывать при помощи производящих функций, то естественно перенести структуру алгебры Ли с пространства векторных полей на простран- ство производящих функций (а для уравнения fc-ro порядка — на пространство всех функций от u,pQ,.. .,pk_l). Для этого вычислим О д коммутатор полей Xv='^Di(<p)— и = ^DiW)-^: j i x r j / r j Полученное поле имеет производящую функцию которую можно найти, подставив это поле в 1-форму w0 = dp0 — pi du. Легко проверить, что fc — 1
$ 6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИММЕТРИЙ 55 Скобку на пространстве функций от х,рг,.. определен- ную этим равенством, мы будем называть высшей скобкой Якоби (на уравнении £). В случае системы уравнений вида (5.9) скобка Якоби на мно- жестве производящих сечений описывается следующим образом. Пусть 9? = (9?i,..., <рп) и гр = (^,..., грп). Тогда сечение % = {<р, гр} имеет компоненты У = 1,...,п. Эту формулу нетрудно получить, заметив, что поле с производящим д д сечением имеет вид . .,^п-—, а коммутатор сечений соответствует коммутатору полей. § 6. Пример использования симметрий для описания уравнений, разрешимых в квадратурах Найдем все уравнения вида u" = u' + /(u), (6.1) имеющие двумерную алгебру Ли точечных симметрий [123]. Как уже отмечалось, двумерные алгебры Ли разрешимы, и поэтому все такие уравнения будут интегрироваться в квадратурах. Так как уравнение (6.1) не содержит явно х, то одна симметрия очевидна — это трансляция по х. Поэтому задача сводится к тому, чтобы найти условия, при которых это уравнение имеет еще одну симметрию. Напомним, что производящая функция имеет вид (р = ар + /3, (6.2) где р = pj, а а и /3 — функции от х, и. При этом мы будем исключать из рассмотрения тривиальный частный случай линейной функции /. В качестве координат на поверхности 8, соответствующей урав- нению (6.1), можно выбрать функции х,и, р. Оператор полной про- изводной по х имеет вид D = ^-+p^- + (p + f)-^-. (6.3) дх ди др Тогда производящая функция симметрии должна быть решением уравнения P2(^)-P(^)-/V=0.
56 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учитывая равенства (6.2) и (6.3), это соотношение можно перепи- сать в виде V3 + (2«u + 2ахи + 0VV)P2 + (3<V + ах + ахх + 20хи)Р + + (2axf+(3uf+(3xx-(3x-/3f,) = Q, (6.4) где индексы х,и обозначают производные по этим переменным, а производная функция f по ее единственному аргументу обозначе- на штрихом. Полученное выражение представляет собой многочлен относительно р. Так как коэффициенты этого многочлена не зави- сят от р, то все они тождественно равны нулю. Таким образом, уравнение (6.4) равносильно системе 1а =0, UU ’ 2а + 2а + в =0, “ ™ Pmt ' (6.5) 3/au + ах + ахх + 2fixu = О, Из первого уравнения этой системы получаем, что а =7^ + 6, 7, ё Е С°°(х), где через С°°(х) обозначено кольцо гладких функций от перемен- ной х. Подставляя полученное выражение во второе уравнение си- стемы, получаем, что 0 = _(7' + 7)«2 + г« + С, е,СеС°°(х). Третье уравнение системы сводится к соотношению 3/7 = 3(7' + 7")и - S' - S” - 2е'. Ввиду нелинейности функции / полученное уравнение равносильно ft X - б - ё' соотношениям: 7 = 0, е =--------, где х = const. Нам осталось решить только последнее уравнение системы (6.5), которое можно записать в виде (eu + C)f'-Tif = eu + X, (6.6) где т} = 2ё’ + е, 0 = е" — е', А = С" - С' — функции, принадлежащие С°°(х).
§ 6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИММЕТРИЙ 57 Уравнение (6.6) представляет собой обыкновенное дифферен- циальное уравнение относительно функции f(u), в которое пере- менная х входит как параметр. При условии, что е / 0,ту/О, е / т), его общее решение дается формулой /(") = м("+|У+ (6.7) где д е С°°(х). Среди функций f вида (6.7) нам требуется выбрать функции, которые не зависят от х и нелинейно зависят от и. При - 2 функ- ция f имеет требуемый вид в том и только том случае, если -=ь, s 2=с £ ’ ОС-еХ — £7? д = а, е — т) (6-8) где a,b,c,d,e — некоторые константы. Учитывая связи между функциями 6, e,rj, О, А, из соотноше- ний (6.8) легко найти, что £ = Л(к + 1)екх, £ = Ье, т} = се, 0 = (к2-к)£, Х = ЪО, где к = -—, a h — произвольная постоянная. Отсюда получаем, с *{ о ЧТ° 2с+ 2 f(u) = а{и 4- Ъ)с - ———j(и + Ь). (6.9) (с 4-3) Из связей между б, е,г), С,, 6 и А следует также, что если ту = 2е и функция (6.7) не зависит от х, то она имеет вид (6.9) при с = 2. Рассмотрим теперь вырожденные случаи. Если ту = О, t] = s, то функция f(u) линейна. В случае же, когда £ = 0, уравнение (6.6) имеет следующие нелинейные решения, не зависящие от х: о /(и) = ась“--, а, Ь = const. Итак, нами доказана следующая теорема. Теорема 6.1. Среди нелинейных уравнений вида и" = и + f (и) двумерную алгебру точечных симметрий имеют лишь следующие: 1) и' — и 4-а(и4-Ь)с------—^(u-1-b), аДсЕШ, с/1,—3; (с 4-3) 2) и" = и' + аеь,,-1, а,ЬеШ, Ь^О. и
58 ГЛАВА 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В первом случае базис производящих функций симме- трий составляют функции ’ Ч>\=Р, кх( к 4-1, ,А , 1 — с ¥>2 = е --g— (u + b)j, k=—^, а во втором случае — функции <Р1 =Р, -х( 2\ *’2 = е и~ь)-
ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В данной главе мы распространяем геометрический подход к дифференциальным уравнениям и их решениям, рассмотренный в предыдущей главе для обыкновенных дифференциальных уравне- ний, на уравнения в частных производных первого порядка, содер- жащие одну зависимую переменную. При этом, как и в гл. 1, основные свойства дифференциальных уравнений первого порядка мы будем интерпретировать в терминах распределения Картана на этом уравнении. Это в первую очередь относится к таким свойствам уравнения, как симметрия и интегри- руемость. Геометрическая теория уравнений первого порядка тесно свя- зана с симплектической геометрией и, в частности, с гамильтоновой механикой. Эти вопросы также будут обсуждаться в этой главе. § 1. Контактные преобразования 1.1. Контактные элементы и распределение Картана. Пусть (хр..., хп) — координаты на пространстве R”. Дифференци- альное уравнение первого порядка относительно неизвестной функ- ции и в этих координатах имеет следующий вид: „ / ди ди\ где F —гладкая функция от 2п+ 1 переменной. ди ди Обозначая через р1 = -—,.. .,рп = -— частные производные неизвестной функции и, мы можем рассмотреть (2п + 1)-мерное линейное пространство J^R71) с координатами (xlt.. .,хп,и,р1,... • • ч Рп)> а затем интерпретировать дифференциальное уравнение как гиперповерхность f = {F(®p.. .. .,р„) =0} в этом про- странстве.
60 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Как правило, мы будем предполагать, что дифференциал dF = У -—dx- + -j—du + 5 ~—dp- dxt ди “J dpi отличен от нуля на некотором всюду плотном подмножестве гипер- поверхности £ = {F(xj,.. .,хп,и,р{,..рп)}. При выполнении этого предположения любая другая функ- ция G, также обращающаяся в нуль на гиперповерхности £, вблизи этой гиперповерхности имеет вид G — pF, где р — некоторая глад- кая функция от переменных (хр..хп,и, р{,.. .,рп). В приложениях часто возникают ситуации, когда дифференци- альное уравнение рассматривается на более сложном пространст- ве, чем R”, например, на торе. Поэтому мы дадим бескоординатную конструкцию многообразия Jl(M), где М — произвольное гладкое многообразие размерности п. Рассмотрим (п+1)-мерное многообразие = M xR, состо- ящее из пар (х, и), где х е М, и — вещественное число. Контакт- ным элементом в J°(M) называется пара (О, L), где 0eJ°(M) — произвольная точка, a L cTe(J°(M)) — n-мерная плоскость. Кон- тактный элемент (О, L) будем считать неособым, если плоскость L не содержит вертикального касательного вектора д/ди. Упражнение 1.1. Докажите, что множество всех неосо- бых контактных элементов в J°(M) является гладким многообра- зием. Определение 1.1. Многообразием 1-джетов гладких функций на М мы будем называть многообразие всех неособых кон- тактных элементов в J°(M). Это многообразие обозначается через Отметим, что определены проекции тг1>0: тг1О(0,Ь) = 0 (1.1) и 7Гр Jl(M)^>M, тгр тг((х, и), L) = х, (x,u)EJ°(M). (1.2) При этом Jl(M) является векторным расслоением как над базой так и над М. Модуль сечений расслоения (1.2) мы будем обозначать через Jl(M). Многообразие J*(Af) является основным объектом для гео- метрической интерпретации дифференциальных уравнений первого порядка.
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 61 Всякая гладкая функция / е С°°(М) обладает графиком Г(/) с С J°(M), состоящим из точек b = (a, где а — точка, принадле- жащая многообразию М. В каждой точке b = (а, f(a)) этого графика определен неособый контактный элемент (6, L), где L — плоскость, касательная к графику в этой точке. Наоборот, очевидно, что вся- кий неособый контактный элемент в =(Ь, L9) е J\M) является ка- сательным к графику некоторой функции. Опишем рассматриваемый контактный элемент в локальных ко- ординатах. Пусть гладкая функция / е С°°(М) в локальных коорди- натах (хр ..., хп, и) имеет вид и = /(хр ..х„). Если b = (а, /(а)), a ,п) — координаты пространства относитель- „ д д д но базиса -—,.., —, то касательная плоскость к графику дх{ дхп ди * функции задается уравнением + • • -+Рп£п’ О-3) df t ч df , ч гдер,=^(а), ...,p,= ^-(e). Тем самым на многообразии 1-джетов мы ввели специальные локальные координаты (хр ..хп, и, .. .,рп). Они имеют сле- дующий геометрический смысл. Если в = (b,Le)G.Jl(M), где Le — касательная плоскость к графику функции и — и(х{хп) в точке b = (а,/(а)), то контактный элемент (b,Le) имеет координаты ... Упражнение 1.2. Докажите, что Jl(M) = Т*(М) х R. Из упражнения 1.2 следует, что определена проекция -тг: Jl(M) —> Т*(М). В специальных локальных координатах она за- дается формулой 7r(a:p...,a:n,u,pp...,pn) = (xp...,a:n,pp...,pn). (1.4) Приведем геометрическую интерпретацию решения дифферен- циального уравнения. Любой гладкой функции / е C°°(M) соответ- ствует отображение Л(/): a^(b,Lf(a)), (1.5) которое каждой точке а е М ставит в соответствие неособый кон- тактный элемент, состоящий из точки Ь = (а,/(а)) и касательной плоскости к графику функции / в этой точке.
62 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Отображение jx(f) называется 1-джетом функции f, а его гра- фик является n-мерным многообразием: = ^(/)(ЛГ) с Jl(M). В специальных локальных координатах (xlt.. .,хп,и,р1,..рп) это многообразие, очевидно, описывается уравнениями ' и = f(xi,...,xn), „ . v ч Pl~ 9х^ 1’"” п)’ (1-6) Рп~ дх п Как и в случае одной независимой переменной, многообра- зие Nf имеет весьма специальный вид. Его геометрическую ха- рактеризацию мы дадим при помощи распределения Картана, к описанию которого мы сейчас присту- паем. Пусть в = (b,Le) — произвольный элемент из Jl(M) и £eC Tb(J°(M)). Рассмотрим в касательном простран- стве Te(Jl(M)) векторы, которые проек- тируются в плоскость Le при отображе- нии (7гг 0)ф: Гиперплоскость Св называется карта- новской плоскостью в точке в е Jl(M) Рис' 2,1 (рис. 2.1). Определение 1.2. Распределением Картана на мно- гообразии 1-джетов JX(M) называется соответствие 0»Св, 0eJl(M). Утверждение 1.1. Пусть f е С°°(М)—произвольная гладкая функция, а€М, 0 = jt(f )(а) 6 Nf. Тогда многообра- зие Nj касается плоскости Св. Доказательство. В самом деле, при отображении 0 многообразие Nf проектируется в график функции f. Поэтому ка- сательная плоскость Тв (Nf) проектируется в касательную плоскость к графику функции f в точке b = (a, f(a)), которая по определению совпадает с Le. Следовательно, Te(Nf ) С Св. □
$ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 63 Из доказанного утверждения легко вытекает следующее пред- ложение. Следствие 1.2. Образ отображения является интегральным многообразием распределения Кар- тана. Упражнение 1.3. а. Докажите, что слой проекции (1.1) над фиксированной точкой (х0, и0) является интегральным многооб- разием распределения Картана. б. Пусть V — произвольное А:-мерное подмногообразие 1 к п — dim М. Докажите, что многообразие Р С J\M), состав- ленное из таких контактных элементов (Ь, L), что b е V, LD ТЬ(Р'} является интегральным многообразием распределения Картана. Распределение Картана на многообразии Jl(M) можно задать при помощи некоторой дифференциальной формы. Напомним, что контактный элемент в состоит из пары (b,Le), где Ь е а Le с Tb(J°(M)). Образ произвольного касательного вектора £ е eTfl(J*(M)) при проекции тг, 0: тг, Q(0)=b, можно 0 однозначно представить в виде суммы ^0 = (тг, о)*(£)= ои где е Le. Определим форму 17, равенством 17,(£) = pf. Тогда оче- видно следующее утверждение. Утверждение 1.3. Вектор £ е Св в том и только том случае, если 17,(£) = 0. Следовательно, дифференциальная 1-форма 17, задает распре- деление Картана. Выпишем форму 17, в локальных координатах. Пусть (х,,..., хп, и, рх,..., рп) — специальные локальные ко- ординаты на Jl(M) в окрестности точки в. Так как пло- скость Lg С задается уравнением y—p^i + • • • + рп£„, где п) — соответствующие координаты в пространстве Tb(J°(M)), то мы имеем П Q / п \ с\ ь (1.7) п д д ” д 1 Пусть е= Е +т1я~ + Е <• д— &Te(J (М)). Следовательно, i = l ох{ du < = , dPi п д д (7ri,o).(0 = Е +Пд-- Тогда из (1.7) получаем, что г — 1 г / п \ д (wi,oMO = (п - + X’ 1 = 1 '
64 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА где xeLe. Поэтому из определения формы 17, следует, что 17, =du- £ Pidxr (1.8) i = i Замечание 1.1. Симплектическая и контактная геоме- трии обладают многими похожими свойствами. По существу, эта общность объясняется тем, что J1(M) = T*M х R. Многие сведе- ния о конактной геометрии можно найти в [97, 3, 5]. Так, например, на многообразии J 1(М) можно построить уни- версальный элемент, аналогичный универсальной форме pdq в сим- плектической геометрии [42]. Утверждение 1.4. На многообразии Jl(M) сущест- вует единственный элемент р E.Jl(Jl(M)), такой, что для любого сечения 0 € JX(M) имеем 0*(р) = 0. Доказательство. Прежде чем определить элемент р, сде- лаем следующее замечание. Каждую точку leJ'(M) можно ин- терпретировать как 1-джет некоторой функции / еС°°(М) в точке а = я1(х)е.М, где тг,: Jl(M) —> М, я^а, f (a), Le) = а. Определим теперь р следующим образом: pl,. =>!«(/))),., где х = у,(/)|а, а = = 7г1(х). Проверим, что так определенный элемент р удовлетворяет условию предложения. Пусть х и f таковы, как и выше, а сечение 0 выбрано так, что 0(a) = х. Тогда S*(P)la = ^O1«(/))|J - У1(^Х(/))1О = Л(/)1а = * = #(«)• Единственность элемента р следует из того, что если для неко- торого элемента р' и всех 0 е Jl(M) выполнено равенство (0)*(р) — — О, то р' = 0. □ Упражнение 1.4. Докажите, что локально элемент р записывается в виде 52 i = 1 Используя разложение пространства J1(M) = T*(M) х R, вве- дем оператор S: Jl(M)-> A*(M). Если ^(М) = А1(М)®С°°(М), то по определению S(f, u) — df — ш. *) *) Оператор S — это простейший оператор из серии операторов Спенсера Sk В общем случае Sk l: Jk«Л1 -+ Jk~ 1 ®Ai + 1, Sk l(ajk(j)®u) = jk_{(j)®(daK Aw). Cm. (24]. В данном случае рассматриваемый комплекс О -----> С°°(М) ——> ^(М) —* Д‘(М) ——> о аналогичен началу комплекса де Рама (хотя, в отличие от него, ацикличен), при этом оператор S играет роль оператора d, а форма 17, выступает в роли «симплектической структуры». Об операторах Спенсера см. [24].
§ i. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ии Упражнение 1.5. Докажите, что образ оператора j\: С°°(М) —> Jl(M) совпадает с ядром оператора S. Теперь нетрудно вычислить, что искомый элемент Z7( =S(p). Используя следствие 1.2, можно убедиться, что n-мерное ин- тегральное многообразие распределения Картана, «хорошо проек- тирующееся на М», является графиком 1-джета некоторой гладкой функции / е Утверждение 1.5. Произвольное подмногообразие N без особенностей проектирующееся на М при про- екции тгр Jl(M) М, является максимальным интеграль- ным многообразием распределения Картана тогда и только тогда, когда оно имеет вид для некоторой функции Доказательство. Действительно, если n-мерное много- образие N с JX(M) проектируется на М без вырождения, то оно описывается формулами ' U = f(xv...,xn), . Pl =51(яр---,яп), Pn = 9n(XV-,Xn)- Многообразие N является интегральным многообразием распреде- ления Картана тогда и только тогда, когда =0. Если (а^,..., хп) приняты за координаты на N, то ограничение Ut на N записывает- ся в виде -------g{ 1 dxt. Таким образом, N будет интегральным многообразием тогда и только тогда, когда д^х{,..., хп) =df/dxit i = 1,..., п, т. е. когда N является образом отображения (1.5) и, следовательно, имеет вид N}. р Таким образом, распределение Картана на Jl(M) — это та структура, которая позволяет выделить из всех n-мерных подмного- образий в Jl(M) графики 1-джетов. Рассмотрим произвольное подмногообразие £с J'(M). Для лю- бой точки 0 е £, положим С(£)в —Св Г\Те(£). Распределение С(£) называется индуцированным распределением Картана на под- многообразии £. Определение 1.3. 1. Дифференциальным уравнением первого порядка £ мы будем называть подмногообразие коразмер- ности один многообразия J1 (М) с индуцированным распределением Картана С(£). 5 Симметрии...
66 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Обобщенным решением уравнения £ называется п-мерное максимальное интегральное многообразие распределения Картана, лежащее на поверхности £ С Пример 1.1. Рассмотрим стационарное уравнение Гамиль- ( dS\2 тона — Якоби | —— I +q2 = C, С = const, описывающее одномерный \dqj гармонический осцилятор. Соответствующее уравнение р2 + q2 = С определяет цилиндр в трехмерном пространстве (q,u,p). Нули рас- пределения Картана за- дают поле направлений СЕ на этом цилинд- ре Интегральные кри- вые поля СЕ, лежащие на цилиндре (рис. 2.2), и есть обобщенные ре- шения этого уравнения. В данном случае оче- видно, что эти кривые проектируются на пря- мую q с особенностя- ми. На рис. 2.3 показа- на проекция этих кри- вых на плоскость (q,u). Если касательное пространство Тв(£) ни в какой точке 0 е £ не совпадает с картановской плоскостью Св, то индуцированное рас- пределение Картана С(£) будет распределением коразмерности 1 в Тв(£). Определение 1.4. Точка в е£ называется особой точкой уравнения £, если Тв(£) = Св. Упражнение 1.6. Докажите, что начало координат явля- ется особой точкой для уравнений df 9f r fdfv fdfv r x\-^~ + x2^~ = f и (p—) + ( Z— I = f- oxl dx2 \dxlJ \ax2J Далее, как правило, мы будем рассматривать дифференциаль- ные уравнения первого порядка в окрестности неособых точек. 1.2. Контактные преобразования. Гладкое преобразование Jl(M) —» переводящее распределение Картана в распреде- ление Картана, называется контактным преобразованием.
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 67 Таким образом, преобразование F является контактным, если выполнено одно из двух равносильных условий: О F,(Ce)с CF(e), Для любой точки в е 2) F*(Ul) = XUl, где Ае В координатах условие сохранения формы Ul записывается сле- дующим образом: (1.9) где Xi = F'(x.), U=F*(u), Pt =F'(Pi), A e Первоначально контактные преобразования возникли при опи- сании таких преобразований плоскости, при которых образы двух касающихся кривых с порядком 1 касаются друг друга с тем же порядком. Такие преобразования были названы преобразованиями прикосновения. Для описания таких преобразований рассмотрим кривую I, за- даваемую уравнением у — у(х) (рис. 2.4). Предположим, что иско- мое преобразование F имеет вид кривая I отображается на кривую L и F(p) = P, pel. Нетрудно проверить, что Рис. 2.4 Представим эту дробь в виде 5*
68 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Очевидно, что —— не зависит от у" (а это и есть условие того, аХ что преобразование F является преобразованием прикосновения), если выполняется равенство и in ду'\дх + дуУ) ду'\дх + дуУ)' > Как нетрудно проверить, равенство (1.11) в точности означает, что преобразование F; Лк1)-» Л®1), F(j1(y(x))\p = jl(Y(X))\p, сохраняет дифференциальную 1-форму dp — у dx. Обобщим этот пример. Пусть произвольное гладкое преобра- зование F многообразия J°(M) в локальных координатах (Xj,... ..., хп, и) имеет вид (xi,..., хп, и) >-» (а1(х, и),..., ап(х, и), Ь(х, и)). (1.12) Тогда это преобразование определяет преобразование пространства Нетрудно найти закон преобразования для величин р. = -—. ах. Упражнение (112) 1.7. Покажите, что при преобразовании х , дЪ дЬ ч д^+р'д^ дь ’ дь \дГп+Рпд^/ (113) . . да, dat где Д— это матрица с элементами Д.. = —— + гк дх{ 1 ди Упражнение 1.8. Докажите, что преобразование, зада- ваемое формулами (1.12) и (1.13), является контактным. Формулы (1.12), (1.13) определяют преобразование Jl(M) которое называется продолжением гладкого преобразования J°(M) на многообразие При этом отображении контактный элемент (b, Ьв), отвечающий точке в е Jl(M), переходит в элемент F(0)==(F(b),(Ft)b(Le)). Поскольку 7Tj 0oF —F ottj о, и {FJb{Le) = Lp{0), имеет место включение (Ft)b(Ce) С СР(еу
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 69 Итак, преобразование F переводит распределение Картана в се- бя и, в частности, переводит интегральные многообразия этого рас- пределения в интегральные многообразия *). Контактные преобразования, полученные продолжением преоб- разований называются точечными. Множество контактных преобразований не исчерпывается то- чечными преобразованиями. Пример 1.2. Рассмотрим преобразование Лежандра L: 71 j:=i —> Xv г = 1,...,п, (1.14) где (xj,..., xn, u,pv.. .,pn) — специальные локальные координаты. Упражнение 1.9. Докажите, что преобразование Лежанд- ра сохраняет распределение Картана. Упражнение 1.10. Пусть преобразование F имеет вид F(х,и) = (/(а:), и), где /: М —>М — некоторое гладкое преобразо- вание, х£М, ugR. Докажите, что продолжение F преобразова- ния F сохраняет форму U{, т. е. F (Ui) = Ul. Пример 1.3. Следующий вариант преобразования Лежанд- ра называется преобразованием Эйлера: Е: Pi > xi> к Г хяря - и, Pi %, . ।—> —р;, i = l,...,k; I = к + 1,..., п. Нетрудно проверить, что Е*^) — — Ц, поэтому преобразова- ние Эйлера является контактным. Приведем, следуя [97], еще некоторые примеры контактных преобразований. *) Строго говоря, отображение F продолжается на Л(М) не во всех точках, поскольку контактный элемент F{6) должен быть неособым. Аналитически это тре- бование означает, что матрица Д должна быть обратимой. Далее мы будем рассма- тривать только те точки, где выполнено это условие.
70 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пример 1.4. Рассмотрим преобразование, заданное форму- лами -г г । Ор _ в -i i /1 1 е\ х —х -| -------— , и = и р —р. (1-15) 1/1+ZA i/i+f я2 у k=l у k=l Упражнение 1.11. Докажите, что преобразование (1.15) контактно. Является ли оно точечным преобразованием? Пример 1.5. Преобразование R3, задаваемое формулами Ч = ——, й =----------—, р = --, (1.16) pq — и pq — и и является контактным. Оно имеет следующую геометрическую ин- терпретацию (рис. 2.5). Рассмотрим еди- у ничную окружность XxVT 92+u2=1- 'Х. / / Напомним, что полярой точки Р = (qQ, и0) [ Y/ относительно этой окружности называет- I ся пРямая задаваемая уравнением \ р Qo^ + uorl-l=0- Если точка Р лежит вне окружности, то / / ее поляра проходит через точки пересече- £-р / ния касательных, проходящих через точ- / ' ку Р, с окружностью. Рассмотрим проходящую через точ- Рис. 2.5 ку Р прямую Ср, имеющую наклон р0. Тогда на прямой Lp существует единст- венная точка Р, для которой прямая Ср является полярой относи- тельно окружности. _ Нетрудно проверить, что координаты точки Р задаются форму- лами (1.16). Аналогичные преобразования определены для произвольной кривой второго порядка. Пример 1.6. Рассмотрим преобразование R3, задаваемое формулами (хр — и)р _ хр — и _ хр2 — х — 2ир а: = -----у-, й = —~----р =—у---------------—. (1.17) 1+р 1+р up —и + 2хр
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 71 Это преобразование является контактным и называется подэрным преобразованием. Приведем его геометрическое описание. Пусть О — начало координат. Рассмотрим точку Q = (а:0, и0) и прямую L, проходящую через эту точку с наклоном р. Из точ- ки О опустим перпендикуляр на прямую L. В точке пересече- ния Q — (х0, й0) проведем каса- тельную L к окружности с ди- аметром OQ. Нетрудно прове- рить, что формулы (1.17) зада- ют координаты точки Q и нак- лон касательной L (рис. 2.6). Рассмотрим теперь дейст- вие контактных преобразова- ний на дифференциальные урав- нения. Преобразование F: Jl(M) преобразует гиперпо- верхность £, соответствующую Рис. 2.6 некоторому уравнению, в некоторую (возможно, ту же самую) ги- перповерхность. Так как распределение Картана сохраняется при этом преобразовании, то образ уравнения £ «почти всюду» также является дифференциальным уравнением. Заметим, что преобразо- вание F устанавливает взаимно однозначное соответствие между (обобщенными) решениями исходного и преобразованного уравне- ний. Определение 1.5. Уравнения £ и £' в J}(M) называ- ются (локально) эквивалентными, если существует контактное преобразование Jl(M), при котором образ уравнения £ (локально) совпадает с £'. Пример 1.7. Рассмотрим действие преобразования, полученного продолжением преобразования J°(M): (xvx2,u) (и, х2, Zj), на уравнение £х = {u = ~ Из формул (1.13) получаем: (rci, х2, u,pvp2)\—> (и, х2, ху, 1 /р,, -р2/рх). Преобразованное уравнение £\ = {а:1 = ^/pz/Pi _ и2} равносильно исходному в области х{ > 0, и > 0 и, как легко видеть, совпадает с ним.
72 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Рассмотрим теперь действие этого же преобразования на уравнение £2 = {4и — р2 — р2 = 0}. Так как (х1,х2,и,р1,р2) и-» и-» (и, х2, хр 1/рр —Р2/Р1)’ то уравнение £2 преобразуется в уравне- ние £2 — {4х1р2—1—р2=О}. График решения и=х2+х2 уравнения^ преобразуется в поверхность и2 = х{ — х2, являющуюся многознач- ным решением уравнения £2. Точки (xj = х2, и=0) этой поверхности являются особыми, поскольку в этих точках она касается вектора д /ди. В области х{ > х2 решения и = ±^/Xj — х2 однозначны и беско- нечно дифференцируемы. Определение 1.6. Пусть £ с Jl(M) — дифференци- альное уравнение первого порядка. Контактное преобразование F: Jl(M) —> Jl(M) называется конечной контактной симметри- ей уравнения £, если F (£) — £. Рассмотрим уравнение £, задаваемое гиперповерхностью Н =0, где Н е )) — гладкая функция с ненулевым дифференци- алом. Тогда очевидно, что контактное преобразование F являет- ся симметрией этого уравнения в том и только том случае, если ^*(Я) = АЯ, Очевидно также, что симметрия уравнения £ переводит его (обобщенные) решения в (обобщенные) решения этого же уравне- ния. Пример 1.8. Преобразование Лежандра является конечной контактной симметрией уравнения (1-18) Уравнение (1.18) допускает n-параметрическое семейство ре- п шений и = ^^Ь{х/, где Ь{ —числовые параметры, 1 i sC п. При i = 1 каждом значении параметров мы можем рассмотреть соответству- ющее решение — интегральное многообразие распределения Карта- на. Рассматриваемое семейство решений инвариантно относительно преобразования Лежандра в том смысле, что л(ЕМ))= ь)- \ = 1 7 7 \ = 1 г ' Рассмотрим теперь график 1-джета постоянной функции в
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 73 J1 (Rn). При преобразовании Лежандра и =с, Pi =0, х1 = 0, он переходит в интегральное многообразие, проекция которого на многообразие независимых переменных вырождается в точку (а:, = ... = а:п=0). Сейчас на примере общего уравнения Клеро мы увидим, что рассмотрение вырождающихся при проекции интегральных много- образий не только осмысленно, но и весьма полезно. 1.3. Уравнение Клеро и его интегралы. Общее уравнение Клеро имеет вид Е\У2хгР1 ~и’ Р1> •••>?«) =0> г = 1 ' (1.19) где F —гладкая функция (п+1)-й переменной. Преобразование Лежандра переводит это уравнение в уравнение F(u,xl,...,xn) = 0, (1.20) ' и — —с, которое не содержит производных. Уравнение (1.20) задает п-мер- ную поверхность в (п+ 1)-мерном линейном пространстве J°(Rn), а соответствующее дифференциальное уравнение первого порядка — это ее прообраз при проекции тг1 0: J*(Rn) —> J°(Rn). Рассмотрим такую точку (ар..., ап, b)eJ°(Rn), что F(b, а1(... ..., ап) =0. Тогда слой проекции 0: J*(R”) —» J°(Rn) над этой точкой является обобщенным решением уравнения (1.20). Применяя преобразование Лежандра к этим обобщенным реше- ниям, мы получим n-параметрическое семейство обычных решений уравнения (1.19), которое называется полным интегралом урав- нения Клеро. С другой стороны, в окрестности неособой точки (т. е. там, где -д— /0) существует единственное решение уравнения (1.20) u — f(xl,...,xn), (1-21) которое получается разрешением уравнения (1.20) относительно и.
74 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Выясним, во что переходит это решение при преобразовании Лежандра. Для этого заметим, что уравнение графика 1-джета функ- ции (1.21) имеет вид Of, » " "а/(.......... ( <L22> 71 , F(u,xx,...,xn)=O. При преобразовании Лежандра система (1.22) преобразуется в систему dft , , х‘ = а^....... х = Уц- (1.23) 71 Q МЯ 5 • * Ч /zTi./5 *^71 (П к =о i = 1 ' которая является совместной. Выражая из первых п уравнений элементы рх,.. ,,рп через пе- ременные хх,..., хп, подставляя их в уравнение (1.19) и выражая за- тем и через хх,..., хп в силу полученного соотношения, мы можем получить конечное число решений исходного уравнения, которые называются особыми интегралами уравнения Клеро. Пример 1.9. Рассмотрим уравнение Клеро с двумя незави- симыми переменными 1 . з 3. ГЕ1Р1 + Х2р2 - U = -(рх +р2). (1.24) Применяя преобразование Лежандра, получаем уравнение и — g (Х1 + х2 )> при помощи которого легко найти полный интеграл исходного урав- нения и = аххх + - ^(af + <4), О (Zj, О, = const.
§ 1. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 75 Для особых интегралов получаем совместную систему и = xlPl + ге2р2 - |(рЗ + р3), L -п2 о-25) — Pi, . х2 = р2. Отсюда следует, что особые интегралы существуют лишь в квадран- те > 0, х2 > 0 и имеют следующий вид: Р2~а2\/^2’ и — |(а1х13/2 + а2х212), (1.26) где а1 и а2 принимают независимо значения +1 или -1. Таким образом, формулы (1.26) определяет четыре специальных интегра- ла. Однако с геометрической точки зрения здесь имеется всего одно обобщенное особое решение, а именно — интегральная поверхность распределения Картана, задаваемая системой (1.25). Это поверх- ность четвертого порядка в 7*(1К2), которая проектируется на ко- ординатную плоскость (xvx2) с особенностями, и поэтому имеет четыре ветви, каждая из которых является графиком отображения для одной из гладких функций, определяемых формулой (1.26). 1.4. Контактные многообразия в механике. Аналогом сим- плектического многообразия в контактной геометрии является кон- тактное многообразие. Определение 1.7. Контактным многообразием на- зывается нечетномерное многообразие M2n+l с такой 1-формой в, что в A (d0)n является формой объема. Почти контактным многообразием мы будем называть нечетномерное многообразие М с заданной на нем замкнутой 2-фор- мой максимального ранга. Из результатов п. 1.1 следует, что многообразие 1-джетов J\M), конечно же, является контактным многообразием. Заметим, что если М — произвольное контактное многообра- зие, то ограничение формы d0 на нули формы в невырождено. Если ш— 2-форма на многообразии М, то множество таких векторов что £_1о>—0, называется характеристическим рас- пределением формы и>. Характеристическим векторным по- лем на почти контактном многообразии (М, ш) называется такое поле X, что X J ш = 0.
76 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В этом пункте, следуя [77], мы приведем некоторые примеры контактных многообразий, возникающие в механике. Пример 1.10. Пусть (М,ш,Н) — гамильтонова система (т. е. М — симплектическое многообразие с формой и>, Н — глад- кая функция на М) и Не — регулярная поверхность энергии. Тогда где i: Не-+М — включение, является почти контактным многообразием. Гамильтоново поле Хн, ограниченное на Не, явля- ется характеристическим полем на этом многообразии. В самом деле, так как di*w =i*dw =0, то форма i*w замкнута. Поскольку форма и> невырождена, а коразмерность Не равна 1, фор- ма to имеет максимальный ранг на поверхности Не. Так как поле Хн касается поверхности Не, то имеем Хн\н Ji*w = 0. Пример 1.11. Пусть (М,ш) — симплектическое многообра- зие. Рассмотрим произведение К х М и проекцию тг2: К х М -* М, Tr2(x,t) = x. Многообразие (К х М, тг2(о;)) является почти контакт- ным. В самом деле, ^тг2(ш)=0. Следовательно, форма а> = тг2(а>) замк- нута. Докажем, что ее ранг максимален. Для этого достаточно дока- зать, что характеристическое распределение этой формы одномерно. Если вектор ((£, г), vp) е p)(R х М) лежит в характеристическом пространстве, то r)> vp)> (G,«), %)) = 0 для любого вектора wp е ТрМ и s — Э/dt. В таком случае из опре- деления формы тг2(а>) следует, что wp(yp, wp) = 0 для любого векто- ра wp. Следовательно, t>p=0 и характеристическое распределение задается векторным полем = ((t, 1), 0) е T(t>p)(R х М) = TtR х трм. (4. р) Заметим, что если ш — d в и в — dt + тг2(0), где t: R х М -* R, t(x, t) = t, то ш = d в и (R х М, и>) — контактное многообразие. Гладкое отображение X: R х М —»ТМ называется векторным полем на М, зависящим от времени, если при любом t е R отобра- жение X: {t} х М ->ТМ является векторным полем на М. Для любого векторного поля X, зависящего от времени, можно опреде- лить векторное поле X на R х М, полагая X = — + X. Рассмотрим функцию Н G C°°(R х М). При каждом t е R мы можем рассмотреть гамильтоново векторное поле Хн , где Ht: М —> —>R, Ht(x) — H(t, х). Тогда Хн: RxAf->ТМ, XH(t, х) = Хн (х) — 9 dt
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 77 векторное поле, зависящее от времени и можно рассмотреть поле Хн на Rx М. Теорема 1.6 (Картан). Пусть (М, и>) — симплектиче- ское многообразие, и Н €Е C°°(R х М). На многообразии R х М рассмотрим 2-форму и положим и>н — + dH A dt. Тогда 1)(R х —почти контактное многообразие; 2) поле Хн порождает характеристическое распределе- ние формы и>н; 3) если u> = d в и вн = + Н dt, то =d вн; при этом если функция Н + нигде не равна нулю, то (R х х М, вн) — контактное многообразие. Упражнение 1.12. Докажите теорему 1.5. § 2. Инфинитезимальные контактные преобразования и характеристические поля В гл. 1 мы показали, что для теории обыкновенных дифферен- циальных уравнений чрезвычайно полезным оказывается переход на инфинитезимальную точку зрения. В этом параграфе мы рассмо- трим инфинитезимальные преобразования на многообразии 2.1. Инфинитезимальные контактные преобразования. Пусть At: Jl(M) — однопараметрическая группа конеч- ных контактных преобразований. Рассмотрим векторное поле X = = — А*. По определению контактного преобразования А*(Ц) = dt 4 = 0 = XtUl, где А( е )), поэтому X(Ul) = XU1, где А = ^ . (2.1) at 4=0 Определение 2.1. Векторное поле X на многообразии j'(Af) называется инфинитезимальным контактным преоб- разованием, или контактным векторным полем, если оно сохраняет форму Ux, т. е. X(Ul) = XUl, где ХеС°°(Т'(М)),
78 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Упражнение 2.1. Докажите, что множество контактных векторных полей замкнуто относительно коммутирования. Нетрудно проверить, что каждое контактное векторное поле порождает однопараметрическую группу конечных контактных пре- образований. Пример 2.1. Пусть (жр..., хп,и,рх,.. ,,рп)— специальные локальные координаты на Jl(M). Векторные поля ——, ..., —— и д , ®xi ®хп поле — являются инфинитезимальными контактными преобразо- ди э ваниями, а поля ------нет. dPi Q 2.2. Пусть п = 2. Векторное поле X — х1---- О Хл д — р9-х— является инфинитезимальным контактным Пример д д Х<2дх^Рхдр2 преобразованием. В самом деле, X (du — pldxi — p2dx2) = — p2dx{ + + р^х2 — ptdx2 +p2dxx = 0. Пример 2.3. Рассмотрим векторное поле X € D(Jl(M)), которое в специальных локальных координатах задается формулой Х = Ё - “<)Р, (2.2) где а1;...,ап,/? — константы. Нетрудно проверить, что X(Ul) = —/3Ult и поэтому X есть инфинитезимальное контактное преоб- разование. В§ 1 было определено продолжение A: Jl(M)—*Jl(M) произ- вольного гладкого преобразования A; J°(M)—> J°(M), которое, как мы показали, всегда будет контактным преобразованием многообра- зия Jl(M). В равной мере это относится и к инфинитезимальным преобразованиям. Если X eD(J°(M)) и At —однопараметрическая группа сдвигов вдоль траектории векторного поля X, то мы можем A* eDiJ^M)), которое бу- дет инфинитезимальным контактным преобразованием. Векторное поле X называется продолжением векторного поля X на многооб- разие 1-джетов Jl(M). Все рассмотренные в предыдущих примерах векторные поля яв- ляются продолжениями. Поля -—, — е D(Jl(M)) являются про- аге. ди рассмотреть векторное поле X = — dt
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 79 должениями векторных полей рассматриваемых на (J (J и Векторное поле из примера 2.2 является продолжением инфините- д д зимального вращения х{- х2——, а векторное поле из приме- ра 2.3 — продолжением инфинитезимального масштабного преобра- зования Д+ +“а Д+Дe В этом легко убедиться, выписав соответствующие формулы для поднятий преобразований At. Упражнение 2.2. Проверьте справедливость следующего утверждения: инфинитезимальное контактное преобразование X е 6 D(Jl(М)) является продолжением некоторого векторного поля Х(0) е в том и только том случае, когда в специальных локальных координатах (ж, ~ ” - ч «<> д но равенство X, -— = с функции на JX(M), 1 г, к п. " / д д \ Пример 2.4. Векторное поле X — у I 2р; -—\-р{ — ] явля- £ = ди ____ Г„ д 1 х ,u,pv .. .,р ) на J (М) выполне- 9 9 «и + • • • + где aik — гладкие ' д' д ется контактным (так как X(U,) = 0), однако X, -— = —2--- [ <ЭР;] dxt — 2р.— и поэтому X не может быть продолжением какого-либо ди векторного поля Х(0) е Приведем теперь эффективное описание контактных векторных полей [42]. Теорема 2.1. Каждое контактное векторное по- ле X на Jl(M) однозначно определяется функцией f = Ul(X). При этом каждой функции f G (М)) соответствует единственное контактное векторное поле Xj. Соответст- вие f Xj является R-линейным и обладает следующими свойствами: . ’dPi. f +g f "г д’
80 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА X}g=fXg + gX} + fgXx, x}{f) = xx(jyf. Доказательство. Рассмотрим дифференциальную 2-фор- му dU\. Докажем, что в любой точке в eJl(M) 2-форма невырождена на картановской плоскости Св. Действительно, запи- сывая 2-форму (dU\) в специальных координатах на нетруд- но проверить, что вырожденное подпространство 2-формы (dUx)g в пространстве Тд^*(М))— это прямая, порожденная вектором д Х]|в, где = —. Следовательно, эта 2-форма будет невырожде- на на любой гиперплоскости, не содержащей вектор Х]|й. Так как (?71)9(Л’1) = 1 /0, то Сд Очевидно также, что Xj|fl _ldU\ —0. Так как форма dUl невырождена на плоскостях распределения Картана, то отображение Y ь-> Y_idU{ является изоморфизмом меж- ду векторными полями, на которых Ц обращается в нуль, и 1-фор- мами, равными нулю на Хх. Пусть X — контактное векторное поле на X(Ul) = hUl, где he Представляя X в виде суммы двух полей X=f-Xx+Y, где f eC°°(Jl(M)), Ux{Y) = 0, (2.3) получаем, что Y _ldU\ =Х 3dUl=hUl-d(X -JZ7J. Таким образом Y _ldUx =hUx — df. (2.4) Подставляя в левую и правую части равенства (2.4) поле Хх, полу- чаем, что h = Xx(f). Поскольку Ц(У) = 0, при любом в е J{{M) вектор Ye лежит в картановской плоскости Св, а поскольку 2-форма dUx невырождена на пространстве Св, условие (2.4) позволяет однозначно восстано- вить вектор Yg. Следовательно, поле X однозначно определяется функцией / = Ux(X). Обратно, если / — произвольная гладкая функция на j\M), то определим поле Y равенством (2.4), где h = Xx(f), а поле X = = Xj — равенством (2.3). Остальные утверждения теоремы легко доказываются при по- мощи равенств (2.3) и (2.4) и свойств производной Ли. □ Определение 2.2. Производящей функцией контакт- ного векторного поля X на Jl(M) называется функция / = 171(Х).
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 81 Упражнение 2.3. Используя теорему 2.1, докажите, что для любых гладких функций Д,...,Д е С°°(^(МУ) и для любой гладкой функции ip е C,oo(Ri:) выполняется равенство к ..4> = £^Г/.' <2'5> v^Yj=Xs-fXv Вычислим в координатах поле X?. Из равенства (2.5) очевид- но следует, что достаточно построить базисные характеристические поля Y , Yu, Yp = п), используя при этом специальные локальные координаты (ж,,..., хп, и, pt,..., рп). Непосредственно из определений следует, что • = !...". (2-6) <2-7) i = 1 1 и, наконец, & а i = l,...,n. (2.8) их. ои г Из формулы (2.5) получаем, что y — + f , &Pi dpi) du ~'1\^xi du J dp{ По определению Xf=Yf +fXlt поэтому Замечание 2.1. Так как определена проекция тг: «71 (М) ->Т*(М), то каждой функции Н е С°°(Т*(М)) можно сопоставить 6 Симметрии...
82 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА гладкую функцию на Jl(M) при помощи отображения тг*. Рассмо- трим / = 7г*(Н) и построим контактное векторное поле Xf. Его про- екцией на Т‘(М) является гамильтоново векторное поле Хн, при- чем XH_idw = dH, где dw — симплектическая структура на Т*(М). Последнее утверждение следует из равенства Xj(U\) = X^f)^ и того факта, что dUl = —ir*(dp). Упражнение 2.4. Векторные поля (2.6), (2.7) и (2.8) об- разуют в совокупности набор из 2n+ 1 векторных полей, однако в каждой точке в они лежат в 2п-мерной картановской плоскости Сд. Найдите линейную (над зависимость между этими по- лями. Упражнение 2.5. Рассмотрим произвольное векторное поле Y е D(M) и продолжим его очевидным образом до поля в J°(M) = M xR. Найдите производящую функцию контактного поля Y — поднятия поля У. Упражнение 2.6. Рассмотрим произвольную функцию / eC°°(J0(M)) и 7r*(/)eC°°(J1(M)), где тг —проекция, определя- емая формулой (1.1). Докажите, что контактное поле Х^щ являет- ся поднятием некоторого поля У eD(J°(M)). Вычислите поле У в локальных координатах. Наличие изоморфизма между контактными векторными полями на Jl(M) и гладкими функциями позволяет определять различные спаривания между функциями. Пусть f,g€ а Х} и Хд —контактные векторные поля с производящими функциями f и д соответственно. Коммута- тор этих полей также является контактным векторным полем. Определение 2.3. Скобкой Якоби {f,g} функций f и д называется производящая функция контактного поля [Ху, X ], т. е. {/,5} = ^([XpXJ). Утверждение 2.2. Если f,д G )), mo спра- ведливо равенство {f,9} = Xf(g)-Xl(f)g. (2.11) Доказательство. Из тождества Xf(Ux) = Xf __ldUl + + d(Xf_lU\) = Xf_ldU\+df и формулы Ху(У1) = Х1(/)-У1 следует, что dl/1(X/,Xs) = pX1(/)-Xs(/). Следовательно, {/,p} = ^i([^)^D = x/(C71(Xff))-xff(C71(x/))-dc/1(x/)xff) = = Xf(g) - Xg(f) - gX^f) + Xg(f) = Xf(g) - Xtfjg. □
$ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 83 Теорема 2.3. Пространство функций на Jl(M) обра- зует ^-алгебру Ли относительно скобки Якоби. Доказательство. Кососимметричность и билинейность (над R) скобки Якоби очевидны. Тождество Якоби легко выводится при помощи формулы (2.11). □ Упражнение 2.7. Используя равенство (2.11), докажите, что в специальных координатах скобка Якоби записывается следую- щим образом: it ’ ~ aPi &Pi 9xi J V' \ au dPi &u dPi J + fdu 9 du Определение 2.4. Скобкой Майера [/,g] функций f и g G C°°(Jl(M)) называется функция [f,g] = dUl(Xf,Xg). Скобка Майера также билинейна (над R) и кососимметрична, но вместо тождества Якоби для нее выполняется равенство При помощи тождества легко найти выражение скобки Майера в координатах: f, fli=r/O.^ + ve 7,5 —J \ dxi aPi QPi dxi / Pi \du aPi du aPi J ' И, наконец, дадим определение скобки Пуассона. Определение 2.5. Скобкой Пуассона (f, д) функций f и дЕ C°°(Jl(M)) называется функция (/, д) = Xf(g) Упражнение 2.8. Докажите следующие свойства скобки Пуассона: 1) билинейность над R; 2) (f,g) + (g,f) = Xl(f)g + Xi(g)f; 3) (f,g) = [f,g] + xl(f)g; 4) (f,g) = {f,g} + xl(g)f. В координатах скобка Пуассона имеет вид ’ r^[\axiaPi aPi9xiJ * \dudpi dudpiJ du 6»
84 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Замечание 2.2. Если ограничиться рассмотрением функ- ций, которые являются поднятиями с Т*(М), то все три скобки совпадут со скобкой Пуассона на Т'(М), так как Х1(тг*(Я)) = О для любой функции Н. 2.2. Инфинитезимальные симметрии уравнений. Определение 2.6. Пусть £ с Jl(M) — дифференци- альное уравнение первого порядка. Контактное векторное поле XgD(J1(M)) называется инфинитезимальной контактной симметрией уравнения £, если в каждой точке 0 е £ вектор Хв касается подмногообразия £. В дальнейшем инфинитезимальные контактные симметрии мы будем называть просто симметриями уравнения £. Имея в виду вза- имно однозначное соответствие между контактными векторными по- лями и производящими функциями, мы будем также говорить, что / е )) — симметрия уравнения £, если его симметрией яв- ляется поле Xj. Очевидно, что множество симметрий уравнения £ образу- ет R-алгебру Ли относительно коммутирования векторных полей, а множество производящих функций — алгебру Ли относительно скобки Якоби. Если уравнение £ (локально) имеет вид £ = {F = 0}, F е е то векторное поле X является симметрией этого уравнения, если X(F)|f=0 или, что эквивалентно, X(F)=pF для некоторой функции де Заметим, что из равенства Xf(F)=Xj(F)-F следует, что урав- нение £ = {F =0} всегда имеет по крайней мере одну симметрию, а именно, поле XF. В качестве примера приведем ряд уравнений, обладающих неко- торыми стандартными симметриями. Пример 2.5. Уравнение £ = {F =0} будет иметь среди своих инфинитезимальных симметрий векторное поле X из примера 2.3, если функция F = F(хх,..., хп, и, р1,..., рп) квазиоднородна в сле- дующем смысле: набор чисел (ар..., ап, (3) можно дополнить таким числом 7, что для любого вещественного числа т выполнено тож- дество: F(raixv га”хп, т/}и,гр~а'р1,..., тр~п”рп) = = t'1F(x1,.. .,xn,u,pv.. .,рп). (2.12) В самом деле, пусть функция F удовлетворяет уравне- нию (2.12) и 0 = (ж^,..., х^\ u(0), pf0),..., р^) Е £. Траектория век-
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 85 торного поля X (см. (2.2)), проходящая через точку G, имеет вид X. =x/0)eQi‘, и =и^е?*, Полагая т = е‘, найдем значение функции F в произвольной точке (х{,..., хп, и,р1,..рп) рассматриваемой траектории: хп> u,pv..., рп) = T>F{xf\..., х^\ и(0\ р<0),..., р<0)) - 0. Итак, траектория векторного поля X, проходящая через точку О, целиком лежит в £, поэтому X{F) = 0 на £. Утверждение 2.4. Для того, чтобы контактное 9 ( 9 \ * векторное поле —— I соответственно — было симметри- dxi \ ди) ей уравнения £, необходимо и достаточно, чтобы уравне- ние £ в специальных локальных координатах имело вид {F = = 0}, где F G C°°{Jl{M)) —функция, не зависящая от xi. {соответственно от и). Доказательство. В самом деле, если £ = {G = 0} и -—G = pG, р G C°°{Jl{M)), то G — evF, где и— такая гладкая дх. ди функция, что -— = р, a F — функция, не зависящая от х{. По- скольку ev нигде не обращается в нуль, £ = {G =0} = {F =0}, что _ п 9 и требовалось доказать. Для поля — доказательство аналогично, п ди LJ Упражнение 2.9. Докажите, что векторное поле из при- мера 2.2 при п=2 является симметрией уравнения £ в том и только том случае, если уравнение имеет вид F{и, х* + x%,Pi +P2,xlpt+ х2р2) = 0. 2.3. Характеристические векторные поля и интегриро- вание уравнений первого порядка. Напомним (см. гл. 1, § 3), что характеристической симметрией некоторого распределения F называется векторное поле, принадлежащее этому распределению и сохраняющее его в результате действия производной Ли. Утверждение 2.5. Распределение Картана на J1 {М) не имеет ненулевых характеристических симметрий.
86 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Доказательство. В самом деле, характеристическая сим- метрия X — это, по определению, такое контактное векторное поле, что Ul(X) = 0. Следовательно, по теореме 2.1 X =0. □ Напомним, что переход на геометрическую точку зрения поз- воляет свести вопрос о нахождении (обобщенных) решений диффе- ренциальных уравнений к интегрированию распределения Картана, ограниченного на поверхность, соответствующую этому уравнению. Поэтому задачу нахождения всех обобщенных решений уравнения первого порядка можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим уравнение £ С Требуется найти все максимальные п-мерные интегральные многообразия инду- цированного распределения Картана С{£) на гладком много- образии £. Напомним, что индуцированное распределение Картана С(£) за- дается 1-формой 17, |^. Оказывается, несмотря на то, что распреде- ление Картана на Jl(M) не имеет характеристических симметрий, на любом уравнении первого порядка имеется выделенная нетриви- альная характеристическая симметрия индуцированного распреде- ления Картана С(£). Для любой точки в € Jl(M) дифференциальная 2-форма (dU^g невырождена на картановской плоскости Св. Если в — неособая точ- ка дифференциального уравнения £ = {F = 0}, то С(£)в =Св ПТд(£) является гиперплоскостью в пространстве Св. На этой гиперплоско- сти дифференциальная 2-форма (dU\)e имеет ранг 2п—2 и, следова- тельно, вырождена. Таким образом, на всюду плотном подмножест- ве, состоящем из точек общего положения уравнения £, возникает поле направлений 1в СТв(£), где 1е сС(£)в —прямая, на которой вырождается форма (dU^g. Утверждение 2.6. Поле направлений 19 касается любого обобщенного решения уравнения £. Доказательство. Напомним, что n-мерная плоскостьRС С Св называется лагранжевой относительно симплектической 2- формы (dU^g, если ограничение (dU^g^ равно нулю. При этом ес- ли R содержится в некоторой гиперплоскости S с Св, то плоскость R обязана содержать прямую вырождения формы (dUx)g на этой гиперплоскости. Пусть N — обобщенное решение уравнения £, т. е. максималь- ное n-мерное интегральное многообразие распределения Картана, содержащееся в £. Так как U{\N =0, то имеет место равенство
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 87 (dUi)N=Q, и поэтому при любом в е N плоскость Тв (N) с С(£)в С Св является лагранжевой относительно формы (dU^g. Следовательно, она содержит прямую 1в. Итак, 1в С Tg(N), что и требовалось дока- зать. g Направление 1в называется характеристическим в точке О е а поле {19} — полем характеристических направлений. Ин- тегральные кривые поля характеристических направлений называ- ются характеристиками уравнения £. Установим важное свойство характеристик. Пусть уравнение £ задается нулями гладкой функции F, F е Утверждение 2.7. Характеристики являются траекториями характеристического векторного поля YF. Доказательство. Из равенства UX(YF) = 0 следует, что (}р)9 еС9 для любой точки в е Из равенства Yf -ldUl=Xl(F)Ul—dF (2.13) (см. формулу (2.4)) получаем, что Yf(F) = dF(YF) = Xl(F)Ul(YF) - dUx(YF, YF) = 0, и поэтому поле YF касается каждой поверхности уровня функции F. Итак, (YF)g еС(£)9 при любом в е£. В силу равенства (2.13) форма YF _ldU\ тождественно равна нулю на (2п— 1)-мерной плоскости С(£)в. Следовательно, (У^.)в яв- ляется вектором вырождения 2-формы (dU\)e на указанной плоско- сти, т. е. при любом 0 е£, имеем (YF)e eZ9, и траектории поля YF на многообразии £ совпадают с характеристиками уравнения £, что и требовалось доказать, g Утверждение 2.8. Векторное поле YF является ин- финитезимальной симметрией распределения С(£). Доказательство. Поскольку YF = XF — FXV векторные поля Yf и Xf совпадают на многообразии £ = {F =0}. Осталось за- метить, что контактное поле XF является инфинитезимальной сим- метрией распределения Картана. g Перейдем к рассмотрению задачи Коши. Из утверждений 2.6- 2.7 следует, что решение нехарактеристической задачи Коши для уравнения £ = {F = 0} сводится к решению системы характеристи-
88 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ческих уравнений . дР Xi ~ dPi ’ n Qp " й = (2-14) i = 1 *» dF 9F р< = ах,+р,'ай' , = l....... описывающей траектории векторного поля YF. Далее данными Коши для уравнения £ будем называть (п— 1)-мерное интегральное многообразие распределения Картана, лежащее на £. Пример 2.6. Пусть Г с М — некоторая гладкая гиперпо- верхность, и0(х) — некоторая гладкая функция на ней и и0 — такое продолжение этой функции на окрестность гиперповерхности Г, что (п — 1 )-мерный график (й0)(Г) целиком лежит в уравнении £. Этот график представляет собой некоторые данные Коши. «Почти всегда» график У1(й0)(Г) зависит лишь от исходной функции и0, а не от выбора функции и0. Для того, чтобы убе- диться в этом, заметим, что для любой точки а е Г n-мерная ка- сательная плоскость к графику функции и0 в точке (а, и0(а)) обя- зана содержать (п— 1)-мерную касательную плоскость к поверхно- сти {(ж, Uq(x)) | х е Г}. Поэтому при выборе контактного элемента j1(u0)(a) мы имеем одну степень свободы, и, следовательно, все та- кие контактные элементы образуют одномерную кривую, которая в «хорошем» случае пересекает уравнение £ в одной точке. Рассмотрим частный случай этого утверждения. Предположим, что локальные координаты вблизи гиперповерхности Г С М выбра- ны таким образом, что Г = {жп = 0}, и уравнение £ приводится к виду рп = f(xx,...,xn,u,pl,...,pn_l). Тогда для любой функции и0 е С,0°(Г) и для любой точки a G Г искомый контактный элемент j'i(u0)(a) определяется однозначно и имеет координаты а1 > • • •> ап’ Uo(a)’ Qx > ди0 ’’ 5жп-1 . . дип ,/(a,u0(a), —, . 0а!1 а " ^„-1 Утверждение 2.9. Пусть £с Jl(M) — уравнение пер- вого порядка, и Rc£ —такие данные Коши, что характе- ристическое направление 1в не касается многообразия R ни в одной точке О ER. В этом случае в окрестности много- образия R существует обобщенное решение N уравнения £, содержащее R.
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 89 Доказательство. Действительно, для каждой точки в е R существует такой отрезок Хд характеристики уравнения £, проходя- щий через О, который (по условию) не пересекает R в других точках. Рассмотрим объединение этих отрезков N1 = IJ Хд С £. Сужая при е&R необходимости N', в силу теоремы о гладкой зависимости решений от начальных условий мы можем считать, что N' является гладким многообразием. Поскольку для в е R касательная плоскость Te(N') порожда- ется плоскостью Te(R) с Св{£) и характеристической прямой 1в с сСв(£), справедливо включение Te(N')cCe. Рассмотрим точку 0 е TV', не лежащую в подмногообразии R. Тогда при помощи сдвига по траекториям характеристического поля эту точку можно отобразить в некоторую точку 0О е R. Заметим, что многообразие N' можно считать инвариантным относительно это- го сдвига. Так как характеристическое поле принадлежит распре- делению Картана, а сдвиг вдоль его траекторий является контакт- ным преобразованием, плоскость Te(N') отображается в плоскость Тво(.ЛГ'), а пространство Се(£) — в пространство С^(£). Следователь- но, имеет место включение Te(N') сСд. Итак, сужая при необходимости многообразие N', мы получим n-мерное интегральное многообразие N распределения С(£), содер- жащее данные Коши R, которое и будет обобщенным решением уравнения £. □ Пример 2.7. Рассмотрим уравнение с двумя независимыми ди ди л „ _ _ переменными и — -—-—=0, т. е. £ = {и—р1р2 = 0}. Предположим, их^ что необходимо найти решение, которое на гиперповерхности Г = = {х2 = 0} совпадает с функцией и0(ж1) = ж12. График функции и0 однозначно достраивается до одномерных данных Коши х{=т, х2 = 0, и = Т2, рг=:2т, р2 = и/рх —т /2, где т — вещественный параметр. Из формулы (2.9) следует, что характеристическое векторное поле имеет вид „ д д п д д д Y' +р'а^+р'а^ +р^г Параметрические уравнения траектории этого векторного поля, пе-
90 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ресекающей данные Коши, имеют вид т(е‘ + 1)/2, х2 = 2т(е* — 1), ' и= r2e2t, Pi = 2те‘, . р2 = те‘/2, (2.15) где t — параметр вдоль траектории. Заметим, что соотношения (2.15) уже описывают график иско- мого решения в параметрической форме. Исключая т и t из первых двух соотношений и подставляя их в третье, мы получим решение задачи Коши в явной форме: и = (4х1 + х2)2/16. Пример 2.8. Рассмотрим уравнение Гамильтона — Яко- би*) n(q,^\=C, , . ди (ди ди\ ~ где q = (g(,..., qn), — = I —,С — константа, т. е. функ- ция Н не зависит от и. Заметим, что поверхность Я(д,р) = с , как и распределение Картана на J*(M), инвариантны относительно сдвигов вдоль тра- Q екторий поля —. В силу этого мы можем рассмотреть фактору- равнение Гамильтона — Якоби и фактор-распределение Картана на этом уравнении. Тогда образ формы —U{ совпадает с универсаль- ной формой pdq, образ ее дифференциала -dU\ задает на Т*М стандартную симплектическую структуру, а факторуравнение мож- но рассматривать как подмногообразие Т*М. Система (2.14), опи- сывающая уравнения характеристического поля, имеет вид й = дР • Эр<’ 5^ дР дР . , Р< = ~дГ » = *) Иногда уравнением Гамильтона — Якоби называют уравнение вида и( = = we ® = uI = (uI)...uIn). Если положить xt =qit t = gn+1 и H(q. ug) = ut - >p(x, ux), то уравнение приводится к указанному виду.
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 91 Заметим, что первое и третье уравнение этой системы определяют гамильтоново векторное поле на Т*М. Таким образом, уравнения характеристик описывается систе- мой уравнений Гамильтона. Инвариантная теория уравнений Гамильтона — Якоби (включая решение задачи Коши) подробно описано в [25]. 2.4. Симметрии и первые интегралы. Итак, вопрос о ре- шении нехарактеристической задачи Коши в окрестности неособой точки дифференциального уравнения первого порядка в частных производных сводится к вопросу об интегрировании поля характери- стических направлений 1в и, в конечном счете, к вопросу о решении системы характеристических уравнений (2.14). Напомним, что первым интегралом системы обыкновенных дифференциальных уравнений (векторного поля) называется функ- ция, постоянная на решениях этой системы (траекториях этого поля). Мы будем говорить, что функция <р е является пере ым интегралом уравнения £ — {F = 0} С J1 (М ), если она — первый интеграл его характеристической системы (2.14). Симме- трии уравнений и первые интегралы тесно связаны между собой. Утверждение 2.10. Пусть и Х& — линейно неза- висимые над (М)) симметрии уравнения £ = {F =0}. Тогда функция f = /2/fi является первым интегралом урав- нения £. Доказательство. Действительно, пусть A.F = X/{(F) = Yfi(F)+fiXl(F) = f{Xt(F) - YF&) для некоторых гладких функций А,, е )), i = 1,2. Тогда yF(fi) = mF)-\F и YftfM = ( ВД2)Л - YAfM/fi = =(fif2Xl(F)-X2flF-flf2Xl(F)+Xlf2F)/f^ = (A1/2~A2/1 ) F, \ Ji / что и требовалось доказать, ц Упражнение 2.10. Докажите, что контактные векторные поля Х^ и Xfi линейно независимы над тогда и только тогда, когда они линейно независимы над R или, что тоже самое, линейно независимы над R их производящие функции. Пример 2.9. Уравнение ди ди дх}дх2 X'X*U “°
92 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА при с /2 обладает контактными симметриями Хаи , где а = а+1 v b+l ри-х^ = 7^2’ И где = <7^2 ’ ПоэтомУ Функция f = ац2^ является первым интегралом этого уравнения. Утверждение 2.11. Если уравнение £ С Jl(M) име- ет (I + I)-мерную абелеву алгебру симметрий, то оно обла- дает I независимыми первыми интегралами, находящимися в инволюции относительно скобки Майера. Доказательство. Нетрудно проверить, что для любых функций f,g е C°°(J1(M)) выполнено равенство [f,g] = {f,g} + f'g-g'f, (2.16) где/' = *,(/), g^X^g). Пусть Х^,..., Xjt ( — симметрии уравнения £, коммутирую- щие между собой на £. Положим 5i + • • -,gt = ft/+ i и по- кажем, что первые интегралы д{ и дк находятся в инволюции на уравнении £. Действительно, по определению скобки Якоби {/£,Д} = = {/i + i> Al = {/( + i> А) = 0 на В СИЛУ ФОРМУЛЫ (2-16) на урав- нении £ имеем [Л,Л1=//Л-Л'Л- При помощи формулы (2.5) нетрудно установить, что ta.al=4~«+ ,(/.,/,! - Л1/.+1. 41 - 414. /,+,»= Л + 1 =4-Уи|//л-л+ 1/»+лл+14'-/.+1/,'л+л; 1w=o JI + 1 на уравнении £, что и требовалось доказать, g Итак, если Х&, Х^,..Х^ — базис абелевой алгебры симме- трий уравнения £, то первые интегралы д{ = fJfQt (г = 1,..., I) ха- рактеристического распределения независимы и находятся в инво- люции. Пример 2.10. Уравнение вида F(и,р{,.. .,рп) — 0 имеет n-мерную абелеву алгебру симметрий с образующими _L = r dxl pi’ dxn pn’ Отсюда непосредственно следует, что p2/Pi >•••> Рп/Pi — инволютив- ная система первых интегралов этого уравнения.
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 93 § 3. Полный интеграл дифференциального уравнения первого порядка В § 2 мы показали, что решение задачи Коши для уравнения первого порядка сводится к интегрированию характеристической системы рассматриваемого уравнения. Это наблюдение позволяет развить еще один метод решения уравнений первого порядка — ме- тод полного интеграла. О некоторых свойствах полных интегралов см. [40, 65]. При построении полных интегралов важную роль игра1 ют симметрии. ЗЛ. Полный интеграл и его свойства. Хорошо известно, что система обыкновенных дифференциальных уравнений с п уравне- ниями от п неизвестных в окрестности неособой точки имеет «-па- раметрическое семейство решений. По аналогии с этим решения уравнения £ в частных производных можно искать в виде (3-2) u = V(x1,...,a:n,a1,...)an). (3.1) Дифференцируя это соотношение по xi, мы получаем соотношения dv dv Pl~d^' •••’ Рп~&гп- Если из соотношений (3.1) и (3.2) можно исключить постоянные о1,...,ави в результате получить исходное уравнение £, то функ- ция V(xx,..., хп, ах,..., ап) называется полным интегралом. Запи- сывая аналитически условие исключения постоянных а1,...,ап из соотношений (3.1), (3.2), мы получаем следующее определение. Определение 3.1 (координатное). Полным интегра- лом уравнения £ в частных производных первого порядка с п неза- висимыми переменными называется «-параметрическое семейство решений этого уравнения u = V(a:1,...,a:n,a1,...,an), (3.3) где ах,..., ап — числовые параметры. Полный интеграл называется невырожденным, если матрица 9V 9V 1 дах 0an a2v d2v да1дх1 дапдх, 92V d2V \ дахдхп дапдхп / (3.4)
94 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА имеет максимальный ранг (равный п) почти во всех точках. Пример 3.1. Полным интегралом уравнения (ди \2 ди п ди \ дх{J 1 дх{ 2 дх2 является семейство и — 2at х^ х2 “|“ а?2 ”1” и2х2. Ранг матрицы (3.4) для этого полного интеграла падает на по- верхности {ж2 = 0}. Вне этой поверхности полный интеграл невы- рожден. Пример 3.2. Уравнение вида F(pj,.. ,,рп) = 0 имеет полный интеграл вида и - + .. ,ап_ lxn_ t 4- схп + ап, где ар ..., ап — произвольные постоянные, а с определяется из равенства F(ait... ...,an_vc) = O. Пример 3.3. Уравнение Клеро вида и = х1р1 + ...+ +/(рр • -,РП) имеет полный интеграл u = a1a:1-|-.. , + anxn+f(ai,... • • > ап)- 3.2. Построение полного интеграла при помощи алгебры симметрий. Рассматриваемый здесь метод интегрирования осно- вывается на «интегрировании» самой алгебры инфинитезимальных симметрий, т. е. на построении группы Ли конечных контактных преобразований, для которой данная алгебра является алгеброй об- разующих. Пусть М — n-мерное гладкое многообразие, £ с J\M) — урав- нение коразмерности один, а ,..., Хд — независимые инфините- зимальные симметрии этого уравнения, являющиеся базисом неко- торой алгебры Ли д. Предположим, что G — группа Ли с этой ал- геброй Ли, реализована как группа Ли конечных контактных преоб- разований. Это означает, что построено экспоненциальное соответ- ствие, которое определено по крайней мере для достаточно малых значений констант av...,an и которое каждому векторному полю + .. , + anXf ставит в соответствие конечное контактное пре- образование А(а) а у причем ................J’/ =(V......+ •+му/, для любой функции f
$ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 95 Пусть теперь N — «достаточно хорошее» обобщенное решение уравнения £. Точнее, предположим, что линейная оболочка плоско- сти Te(N), к которой добавлены векторы (Хд)9,..(Х} )9, имеет размерность 2п почти во всех точках в eN. Так как конечная кон- тактная симметрия А(01 > переводит обобщенные решения урав- нения £ в обобщенные решения этого же уравнения, то ..<ч)=Ав1..... есть n-параметрическое семейство обобщенных решений, т. е. пол- ный интеграл уравнения £. Выясним, какие частные решения можно использовать для по- строения полного интеграла. Пусть и = u(xlt..хп) — решение уравнения £. Касательная плоскость к графику N = порождается векторами _ _ д ди д у-к д2и д ’ дх. Эх. ди + " дх{дхк дрк' Таким образом, для построения полного интеграла требуется, чтобы матрица, составленная из коэффициентов полей Tv...,Tn,Xfi,...,Xfn (3.5) имела ранг 2п почти во всех точках многообразия N. Пример 3.4. Как мы видели в примере 2.10, уравнение F{nj pt,..., рп) = 0 имеет n-мерную алгебру контактных симметрий с базисом I дхг ’ ’ ‘ дхп ) ' Экспоненциальное соответствие для этой алгебры имеет вид ^(а1,..„ап): (Ж1> • • •! Хп) —* (®1 + aj, . . ., + ап). Поэтому если и = и(х1.,хп) — достаточно хорошее в указанном выше смысле решение, то V(xl>..., хп, а1;..., an) = — aj,..., хп — ап) — полный интеграл уравнения. Заметим, что для невырожденности матрицы (3.5) требуется, чтобы матрица / ди д2и д2и > дхх дх]дх1 ''' дх1дхп ди д2и д2и \ дхп дхпдх{ ' ’ ’ дхпдхп /
96 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА почти всюду имела ранг п. Приведем несколько частных случаев. а. Уравнение ди ди _ а дхх дх2 1 имеет решение й = ((2-а)2х1х2)2~а при а^2и решение w = e2v/5^ при а = 2. Поэтому полный интеграл этого уравнения можно запи- сать в виде и = [(2 — а)2(х1 — а1)(х2 — а2)],^2_“) в первом случае и и = _ в0 втором, п / фу \ ” б. Уравнение и = У^ \ ) имеет решение и = У^ х2/4Ь4, г=1 ' 1' i=l при помощи которого строится полный интеграл ~ь,)2 Ч- Пример 3.5. Нетрудно построить экспоненциальное соот- ветствие для абелевой алгебры контактных симметрий, состоящей из инфинитезимальных трансляций и масштабных преобразований (см. примеры 2.1 и 2.3). В этом случае каждое инфинитезимальное преобразование можно интегрировать отдельно. ,, ди ди ди Уравнение х{ -—-----и—— = аи метрий с базисом ^х2 °х2 д д Х1 дх{ дрх ’ дх2 ’ имеет абелеву алгебру сим- д Из частного решения этого уравнения, задаваемого формулой: и2 = = 2х2(х1 —а), заключаем, что полный интеграл этого уравнения мож- но задать формулой V (ajj, х2, at, а2) — 2(х2 a2)(alxi а). Рассмотрим пример построения полного интеграла при помощи неабелевой алгебры контактных симметрий. Пример 3.6. Пусть уравнение F (х3, и, pv р2, р3) = 0, поми- . д мо очевидных симметрии -— и метрию следующего вида: 1 3 3 <3-6) 1 = 1 * i = 1 Гг -—, имеет еще масштабную сим-
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 97 Рассматривая сдвиги вдоль траекторий этого поля, нетрудно полу- чить следующие формулы для экспоненциального соответствия: ^(ар^.аз)' (®1> Х2’ Х3> U> Р1< Р2> Рз) \(х + _5_V“1«3 _ а1 (х + °2 _ Q~2 А а1а3/ «1а3 \ а2а3/ а2а3 х3еа^,ие^,Р1е(р-а^,р2е^-^,р3е^-а^ . Например, для уравнения (\ 2 / ч 2 ^жзРз> Рз / \”з / которое допускает симметрию (3.6) с а3 = 1 и (3 = 0, мы при помощи частного решения u=xf+х2+х3 этого уравнения и найденного выше экспоненциального соответствия строим полный интеграл 02,03)- Х2’ х3’ и’Р1’Р2< Рз) _> [(х + _5_\е“1“з _ а1 (х + а2 Ае“2«з _ а~2 А а1а3/ а1а3 \ а2аЗУ а2а3 х3еа^,иераз,р1е{р-а1)^,р2е{13-^аз,р3е^-аз}аз . 3.3. Инвариантное определение полного интеграла. Определение 3.2 (геометрическое). Пусть £ с J*(M) — дифференциальное уравнение с одной зависимой переменной, п = = dimM. Говорят, что в области Ос£ определен полный инте- грал уравнения £, если эта область расслаивается на п-параметри- ческое семейство обобщенных решений уравнения (n-мерных ин- тегральных многообразий распределения С(£)), т. е. если имеются такое n-мерное гладкое многообразие N и такое регулярное глад- кое отображение irN: O—*N, что для каждой точки a&N гладкое многообразие Na = Tr^l(a) является n-мерным интегральным много- образием распределения С(£). Установим эквивалентность определений 3.1 и 3.2. Для этого заметим, что из координатного определения следует существование области О с £, расслаивающейся на решения уравнения £^ Действительно, рассмотрим область параметров N =~{а = = (ар ..., ап)} и определим отображение а: М хТТ -^> £ по фор- муле (b, a) t-> j\(V(x, а))(Ь). Так как матрица (3.4) невырождена, 7 Симметрии...
98 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА это отображение имеет ранг 2п в каждой точке и поэтому является локальным диффеоморфизмом. Следовательно, можно выбрать та- кие открытые области U CM, N CN, Ос8, что отображение а сузится до диффеоморфизма a:UxN->O, (3.7) причем при каждом aeN поверхность Wa — a(U х {а}) будет ре- шением уравнения 8, определенным над областью U. При помощи отображения а строится искомое расслаивающее отображение irN: если а~\0) = ((3х(0),(32(0)), то для любой точки 0 G О положим 7tn(0) = /32(0). Очевидно, что = (а). Применяя рассмотренную процедуру, мы получим в области О С 8 локальные координаты (aij,..., жп, Oj,..ап), (3.8) в которых интегральные поверхности, составляющие полный инте- грал, задаются уравнениями а1 = , где ..., Сп — некоторые постоянные. Упражнение 3.1. Докажите, что из геометрического опре- деления полного интеграла следует координатное. Зная полный интеграл, можно найти характеристическое рас- пределение, не решая в явном виде систему уравнений (2.14). Для этого заметим, что отображение а (см. (3.7)) задается сле- дующими уравнениями: и = V(x, а), Pi = И. (х, а), Рп = Кп(«»в), которые явным образом описывают связь между специальными ло- кальными координатами (ж, и, р) и координатами (3.8). В частности, форма Ux в координатах (3.8) имеет вид Ci = Ув1<Ц + .. .Vadan = Vej ( dax 4- -^-d^ + ... + ^dan \ *“1 “1
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 99 Таким образом, поскольку без ограничения общности можно считать, что локально V 0, распределение С(£) может быть за- дано дифференциальной 1 -формой V Va tv = dal + ^-da2 + ... + -^!-dan. ^“1 ^“1 Выбрав в качестве первых 2п — 1 координат на £ функции V V ап ап, У2=у~> •••, Уп=у- “1 “1 и дополнив их произвольной независимой функцией ух, мы получа- ем, что w = dax + y2da2 + ... + yndat Q Поэтому -— есть направление вырождения формы dw на С{£) (т. е. д д -—_!ш = 0 и -—_!dw = 0), а функции а,,..., а. у2,..., w являются ду, дух первыми интегралами характеристического распределения. Пример 3.7. Рассмотрим уравнение _ J ди ди _ 1 Х} дхг 2дх2 J Нетрудно проверить, что полный интеграл выражается формулой V(ajj, х2, й|, а^) — Ь а(. Для этого интеграла V = 1, рх = (х, + х2а2)/а2, р2—хх + х^, откуда а2 — р2/рх, ах = и — р1р2/2. Исключая ах и а2 из V , мы по- лучаем, что у2 — х — 2(ххрх + х2р2)/р2. Функции ах, а2, у2 являются первыми интегралами характеристического распределения. Пример 3.8. Рассмотрим уравнение ( ди ди ди ] £ = Hi — ------и--------аи = О> . I дхх дх2 дх2 ) Полный интеграл этого уравнения может быть найден из соотноше- ния и2 — V2 = 2(а1ж1 — а)(х2 — а^). 7*
100 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Нетрудно проверить, что u _ ISl = „ - х _ а1р2 2 К, xiPi’ 2 PliayXi-aY где ах — интеграл, определяемый из уравнения 2р1(а1х2 — а)2 = = и2р2а1. Функции а1,а2,у2 образуют набор первых интегралов ха- рактеристического распределения на уравнении £. 3.4. Метод Лагранжа — Шарли. В случае двух независимых переменных для построения полного интеграла уравнения достаточ- но знать один нетривиальный первый интеграл его характеристиче- ского распределения. Соответствующий метод построения полного интеграла называется методом Лагранжа — Шарли [65, 30]. Пусть £ = {F =0}, F е ^“^‘(R2)), a f е C°°(J *(К2)) — инте- грал характеристического векторного поля YF, т. е. YF(f) = 0. (3.10) Будем искать обобщенные решения уравнения £, удовлетворяющие условиям Г F(xi,x2,u,pl,p2) = 0, <311) I f(xl> х2> и> Pit Р2) = а1> где as — произвольная константа. Разрешая систему уравнений (3.11) относительно переменных р2, мы получим f Р1 — @1 (Х1 >х2,и> ®1 )> I ?2 = 92(х1 ’Х2’и> а1 )• Можно показать, что при выполнении условий (3.10) и (3.11) форма dU{ — du — px dx{ —p2dx2 замкнута, и поэтому система урав- нений {ди _ -- 9l\x\i X21U) а1» ди = х2> U> а1 )> совместна и имеет решение u = V(xt, х2, а19 а?), представляющее со- бой искомый полный интеграл уравнения £. гт г, „ г. п ди ди ди Пример 3.9. Рассмотрим уравнение 2х. -— ----------и----Ь ди п ,, +с—— =0, где а — некоторая константа, отличная от нуля. Нетруд-
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 101 но убедиться, что величина р2 является первым интегралом характе- ристического распределения уравнения £. Полагая р2 = а2, из урав- нения £ находим р{ — са2/(и — х2а2). Итак, уравнения ди/дх2 = а2 и ди/дхх =са2/(и — х2а2) совместны. Из первого уравнения получаем u = a2x2 + v(xl), а из второго vXi — ca2/v, откуда v = Чса^ + Oj. Поэтому и = V±(x1, х2, aj, Og) = а2х2 ±yjZca^x^ + а, представляет со- бой полный интеграл уравнения £ при любом выборе знака. Перед тем как изложить метод Лагранжа — Шарли в общем случае, рассмотрим вопрос о совместности переопределенной си- стемы уравнений: /1=с1> < ....................... (3.12) - fr — cr > Д 6 i = 1,.. .,г, ср .. .,сг — константы. Утверждение 3.1. Для совместности системы урав- нений (3.9) достаточно, чтобы при любых 1 i, к г скобка Якоби {/р fk} была равна нулю на поверхности (3.12). Доказательство. Прежде всего заметим, что характери- стические векторные поля ..., Yf касаются (2п — г + 1)-мерной поверхности в J*(M), задаваемой системой уравнений (3.12). В са- мом деле, = [/f, fk] = 0 на этой поверхности, так что каждое векторное поле Yf касается указанной поверхности. Воспользуемся теперь следующим свойством коммутатора ха- рактеристических векторных полей: 1У/> = yU,ff] + 9% - f'Yg + [/, g]Xp (3.13) где f'= dUl([Xl,Xf]), g'=dUl([Xl,Xg]). Упражнение 3.2. Докажите равенство (3.13). В силу равенства (3.13) на поверхности (3.12) имеем , Yf ] = По теореме Фробениуса отсюда следует, что векторные поля Y^,..., Yf образуют вполне интегрируемое распределение Y на поверхности (3.12). Заметим, далее, что любое n-мерное интегральное многообра- зие N распределения Картана имеет с поверхностью (3.12) пересе- чение, которое по меньшей мере (п—г)-мерно. Выберем (п — ^-мер- ное интегральное многообразие R распределения Картана, лежащее
102 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА на поверхности (3.12) и такое, что касательная плоскость Тв (R) имеет нулевое пересечение с плоскостью, натянутой на векторы (Yf)ei..., (Yf )в, при любом 0, принадлежащем R. Обозначим че- рез N объединение интегральных многообразий распределения У, проходящих через точки многообразия R. Тогда n-мерное многооб- разие N является обобщенным решением системы (3.12) вблизи R. Действительно, для каждой точки в ER пространство Тв (N) есть сумма пространств Тв (R) С Св и С Св. Таким образом, Тв (N) с Св для любой точки в G N вблизи R, что и требовалось доказать. □ Напомним, что функция F, задающая уравнение £ = {F = 0}, выбирается так, что форма dF\£ почти везде отлична от нуля, и что в этом случае любая функция / G COO(J1(M)), обращающаяся в нуль на £, имеет вид f '= vF, где v G C°°(Jl(M)). Если F удовлетворяет этому условию, то f G Coo(Ji(M)) тогда и только тогда будет интегралом характеристического распределе- ния для £ = {F = 0}, когда {F,f} = XF для некоторой А G C°°(Jl(M)). (3.14) Пример 3.10. Рассмотрим дифференциальное уравнение В этом уравнении F = (pf + P2)h(xf + xf) — (х^ + x2p2 — u)2. Для функции / = (x2Pi — х\Рг)1и имеем [F, /] = YF(f) = —4—-F = 0. X2Pi X1P2 Поэтому условие (3.14) выполняется, так что функцию / можно использовать для построения полного интеграла по методу Лагран- жа — Шарли. Система уравнений (3.12) называется системой в инволю- ции, если [Д, fk] = 0, 1 i, к г, в силу этой системы. Сформулируем теперь метод Лагранжа — Шарли в общем слу- чае. Теорема 3.2. Пусть £ — {Р = 0} с Jl(M) — дифферен- циальное уравнение первого порядка с п независимыми пе- ременными, и пусть f2,..fn — такие гладкие функции на Jl(M), что:
§ 3. ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 103 1) = \F, к = 2,...,п, XkeC°°(j'(M)), т. е. .. ,,Xj — симметрии уравнения £; 2)"lW = \*F, 2^i,k^n, XikeC°°(Jl(M)); 3) функции F, f2, . . fn функционально независимы. Тогда полный интеграл уравнения £ может быть найден из системы уравнений ( F =0, . f = а . Jn п Доказательство. В силу утверждения 3.1 система (3.15) определяет (п+1)-мерную поверхность Ра, а=(а2,..., ап), в £. Пусть С(Ра) — индуцированное распределение Картана на этой поверхно- сти, т. е. распределение, задаваемое дифференциальной 1-формой ша = Щр (равносильным образом, С(Ра)в = Св ПТв(Ра) для любого ^еРа). ° Распределение С(Ра) вполне интегрируемо. В самом деле, ли- нейно независимые векторы (YF)e, (Yj)e,..., (Yj )е образуют базис в пространстве С(Ра)е =Св ПТв(Ра). 1^ак мы показали при доказа- тельстве утверждения 3.1, векторные поля YF, Y&,.. .,Yf образуют интегрируемое распределение на Ра. Обозначим через Д интеграл этого распределения. Система уравнений F=0, Чп = Ъп задает некоторое обобщенное решение уравнения £ при любом вы- боре констант ..., Ьп. Тем самым мы построили полный интеграл уравнения £ (см. определение 3.2). Для доказательства регулярно- сти параметризующего отображения следует воспользоваться тео- ремой Фробениуса, g Пример 3.12. Рассмотрим следующее уравнение с п неза- висимыми переменными: ди ди ди п и-— • -— •... • —--х. xQ... ж = О. дх{ дх2 дхп 1 2
104 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Величины PiU1/n _ р2и1/' Рп являются первыми интегралами характеристического распределе- ния для уравнения £ = {ир1р2... рп — . хп = 0}. Нетрудно проверить, что интегралы /п находятся в ин- волюции, так что система уравнений Р114 / — > р и1/п = А х п п’ совместна для любых констант Ар..., Ап, причем она совместна с исходным уравнением Е при Аг •... • Ап = 1. Решение этой системы можно записать в виде и = иг(xj, а,) + и2(х2, а2) + ... + ип(хп, ап), где п /п + 1 . 2. \ п+1 . , иг = \-^TAiXi +ai) ’ l = 1’ — константы интегрирования. Выбирая А, = А2 = ... = Ап = 1, получаем, в частности, следующий полный интеграл уравнения £:
ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Методы гл. 2 основывались на представлении дифференциаль- ного уравнения первого порядка в виде подмногообразия в простран- стве Jl(M), рассматриваемого вместе с распределением Картана. В этой главе мы распространим этот подход на произвольные системы нелинейныех дифференциальных уравнений. Здесь рассматривает- ся пространство fc-джетов и важнейшие геометрические структуры, связанные с ним. Далее определяются классические симметрии диф- ференциальных уравнений и на примере некоторых уравнений мате- матической физики демонстрируются методы их вычисления. Кроме того, обсуждается применение классических симметрий уравнений к нахождению точных решений. § 1. Уравнения и распределение Картана Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравне- ний в частных производных порядка к: ’ Fl(x,u,p) = 0, .............. . Fr(x,t»,p) = O, (1.1) где Ft — некоторые гладкие функции, ® = (х{,..., хп) — независи- мые переменные, и = (и1,..., ит) — неизвестные функции, а через р обозначен набор частных производных р3 = —а = (г,,... дх{1 ... дх** ..г ) — мультииндекс, |<т | = +... + in к. Геометрический подход к изучению системы (1.1) заключает- ся в том, что уравнения ^.(®,u,p) = 0, 1 ^г, рассматриваются как условия, наложенные не на сами функции и, а на начальные (до степени к включительно) отрезки рядов Тейлора этих функ- ций. Это позволяет ввести некоторое конечномерное пространство, координаты в котором соответствуют значениям функций и и их производным.
106 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Итак, переменные xi,...,xn, и1,...,ит, р*а, |<т| < к, будем рассматривать как координаты в некотором пространстве Jk(n,m), размерность которого равна 1- \ х-'' (n+i — 1\ (п + к\ dimJ (п, т) — п + т> l=n+m| n-1 ) \ к J Соотношения (1.1) задают в пространстве Jk(n, т) поверх- ность £ коразмерности г, которая является геометрическим обра- зом, соответствующим данной системе нелинейных дифференциаль- ных уравнений. Эту поверхность в Jk(n, т) мы и будем называть дифференциальным уравнением порядка к с п независимыми и т зависимыми переменными. (Далее мы уточним это определе- ние.) Поверхность £ является инвариантным объектом, в отличие от ее записи в виде системы (1.1), так как аналитическая запись одного и того же уравнения может быть различной. Тот факт, что переменная р3а, а = (^,..., in), соответствует част- ной производной и3 по X],..., хп, геометрически выражается следу- ющим образом. Рассмотрим на Jk(n, т) распределение Картана С = Ск(п,т), задаваемое базисными 1-формами =dPa ~^Ра + 1{ dxn i = i | ст | Sj к — 1, (1.2) где lt = (0,..., 0,1,0,..., 0) и 1 стоит на г-м месте *). Непосредст- венное вычисление показывает, что общее число базисных 1-форм равно п+ к — 1 п — 1 Нетрудно проверить, что формы ш3а линейно независимы в каждой точке, и поэтому число N совпадает с коразмерностью распределе- ния С. Следовательно, размерность распределения Картана равна dim Ск(п, т) = dim Jk(n, т) — codim Ск(п, т) = п + т Рассмотрим проекцию 7rfc: J\n, т) -4 R”, 7гА(®,и,р)|х)=«. (1.3) *) Здесь и далее мы формально полагаем р^ 0; = “J.
$ 1. УРАВНЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 107 Ранее мы показали (см. § 2 гл. 1 и § 1 гл. 2), что распределе- ние Картана на многообразиях Jk(l, 1) и J*(n, 1) позволяет среди всех сечений отображения (1.3) выделять те, которые соответству- ют гладким функциям. В общем случае справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть Q С Jk(n,m) -п-мерная поверх- ность, которая в окрестности некоторой своей точки у G 6 Q проектируется на пространство независимых перемен- ных IRn без вырождения. В окрестности этой точки поверх- ность Q является интегральным многообразием распределе- ния Картана С в том и только том случае, когда локально ее можно задать соотношениями вида и — f (з-р • •> хп), Um = fm(xv...,xn), (1.4) i J р j =----------------- дх1\ ... дх1" для некоторых гладких функций f[,..., fm, где а = (гр ..., гп) и |ст| к. Доказательство. Действительно, условие невырожден- ности проекции в окрестности точки у означает, что локально урав- нение поверхности Q можно предста- вить в виде и3 ^f3^,...^), Ра = Н (®1, • - ’> j — 1,..., т, где /3, fj — некоторые гладкие функции. Поверхность Q яв- ляется интегральной для распределе- ния С, если базисные 1-формы распре- деления обращаются в нуль на этой поверхности, т. е. Рис. 3.1. Невырожденная проекция Q на R" Ша\а = dfa' ~ 12 f- + hdXi = 12 (foT ~ -АА-1.) dXi = °’
108 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ что эквивалентно выполнению равенств d^fj f j _ >___ ° дх\ ... для всех j = 1,..., т и |<т| к. q Определение 1.1. Поверхность Q, заданную соотно- шениями (1.4), будем обозначать через Гу и называть графиком к-джета вектор-функции / = (/1, Из теоремы 1.1 следует, что решение данного уравнения £ С J*(n, т) есть не что иное, как n-мерное интегральное многооб- разие распределения Картана Ск, без вырождения проектирующееся на пространство Rn и целиком лежащее на поверхности £. шЛс?=0> kerd7IJs =°> J/eQ, Qcf Решения уравнения £ можно определить, не апеллируя к тому, что £ — это поверхность в Jk(n, т). А именно, рассмотрим мно- гообразие £ вместе с распределением С(£), которое «высекается» распределением С на £. Плоскость распределения С(£) в каждой точке у е £ является пересечением плоскости Су с касательной пло- скостью Ту£ к поверхности £. Очевидно, что интегральные много- образия распределения С(£), без вырождения проектирующиеся на пространство независимых переменных Кп, совпадают с интеграль- ными многообразиями распределения С, лежащими на £ и облада- ющими тем же свойством. Поэтому можно сказать, что решения — это n-мерные интегральные многообразия распределения С(£), диф- феоморфно проектирующиеся на пространство Rn(®j,..хп). На- помним, что именно с такого подхода к решениям уравнений мы начинали гл. 1. Рассмотрение произвольных n-мерных максималь- ных интегральных многообразий приводит к обобщенным решениям уравнений. Пример 1.1 (уравнение Бюргерса). Рассмотрим уравнение Бюргерса ut — иих—ихх —0. В 8-мерном пространстве джетов J2(2,1) ему соответствует поверхность £, задаваемая в стандартных коор- динатах X = Xl, t = Х2, U, P(iiO)>P(0,1)’ Р(1,1)’ Л0.2)’ ^(2,0) соотношением Р(0,1) ~ «Р(1,0) — Р(2,0) = 0-
$ 1. УРАВНЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 109 Распределение Картана на J2(2,1) задается базисными 1-формами оу —du — P(i,Q)dxi — Р(0 jx2, ш(1,0) =C^P(l,0) ~P(2,0)^xl ~P(l,l)^x2> ш(0, i) = dP(o,i) — P(it i)dx{ — р^0 2ylx2. Решениями данного уравнения являются лежащие на £ двумерные интегральные многообразия этого распределения. Выбрав в качестве координат на поверхности Е функции х — =Хр t —х2, и, р(1 0), Р(о, 1), P(i, i)> Р(о,2) и заменяя всюду Р(2,о) наР(о,1)— -•up(i 0), мы получим распределение на 7-мерном пространстве, ко- торое задается базисными формами ш(0,0) = du — P(i Qjdxl — р^0 ^dx2, ^(1,0) ~ dP(i'O) ~ (P(0,i) ~ uP(i,O))dxi ~~ P(i,i)dx2> U-5) Ш(0,1) = dP(fii i) — P(i, i)^®! — P(Q'2)dx2- Двумерные интегральные многообразия этого распределения, на ко- торых и, р{ выражаются через х{, х2 (что равносильно невырожден- ности дифференциала проекции на R2(x, £)), соответствуют решени- ям данного уравнения. Например, двумерная поверхность U = —x/t, P(1Q) = — 1/t, Р(011) = x/t , Рр = 1/t , = —2x/t . соответствует решению u = —x/t. Отметим, что, в отличие от систем обыкновенных дифференци- альных уравнений (n= 1), распределение Картана С на многообра- зиях Jk(n,m), так же как и распределения С(£), получаемые при ограничении С на уравнение с частными производными £, вообще говоря, не является вполне интегрируемым. Тем не менее, для неко- торых переопределенных систем распределение С(£) может оказать- ся вполне интегрируемым. Упражнение 1.1. Пусть т — к=1, п = г = 2. Рассмотрим систему уравнений Г ux=f(x,y,u), I иу = д(х,у,и). Докажите, что если эта система совместна, то распределение Кар- тана, ограниченное на соответствующую поверхность, вполне инте- грируемо.
по ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ § 2. Многообразие джетов и распределение Картана В этом параграфе мы рассмотрим основные объекты, которые важны для геометрической теории дифференциальных уравнений. Это многообразие джетов и распределение Картана на нем. Мы уже встречались с этими объектами при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка. Здесь мы приведем наиболее общие определения и изучим основные свойства. 2.1. Геометрическое определение пространства джетов. До сих пор мы рассматривали уравнения на вектор-функцию и = (и1,..., ит), зависящую от пере- менных х = (хр ..., хп). С геометри- ческой точки зрения функция и — = /(®) представляет собой анали- тическую запись некоторого сече- ния проекции R”1 х R" -+ К”. В са- мом деле, задать функцию f(x) — это значит сопоставить каждой точ- ке х0 е К” точку /(г0) eR", кото- рую можно рассматривать как точку слоя R”*, расположенного над точкой х0 (рис. 3.2). Для того, чтобы рассматривать уравнения на произвольном многообразии, эту конструкцию следует обобщить. Рассмотрим про- извольное гладкое m-мерное локально-тривиальное расслоение тг: Е —* М над n-мерным многообразием М. Напомним, что сечением расслоения л- называется такое отображение з: М —>Е, что тгоа — тождественное отображение базы М. Иными словами, отображе- ние з переводит точку х е М в некоторую точку слоя Ех. В част- ном случае тривиального расслоения М х N —* М сечения — это отображения М N. Далее для простоты изложения мы всегда будем считать, что рассматриваемые расслоения являются вектор- ными расслоениями, т. е. их слоями являются векторные простран- ства, а функциями склейки — линейные преобразования. Однако большинство конструкций, которые мы будем рассматривать, спра- ведливы для произвольных расслоений [132, 24]. Пусть U СМ — некоторая окрестность, над которой рассло- ение я тривиально, т. е. 7r-1(W) = U х Rm. Если через е1,...,ет обозначить базис в слое расслоения тг — пространстве R”*, — то всякое сечение над U представляется в виде s = fleY +... + fmem, где /* — гладкие функции на U. Если U — координатная окрест-
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 111 ность на многообразии М с локальными координатами (хр ..хп), то любая точка слоя определяется своей проекцией на U и координа- тами (и1,.. .,ит) относительно выбранного базиса. Функции (xp... ..хп, и1,..., ит) являются координатами в и называются адаптированными координатами для данного расслоения. Таким образом, в адаптированных координатах сечение задается вектор- функцией /= (/*,..., /т) от переменных (хр..., хп). Определение 2.1. Сечения <£], <р2 расслоения тг, мы будем называть касающимися над точкой х0ЕМ с порядком к, если век- тор-функции и = f j(x),u=f 2(®), описывающие эти сечения, имеют в точке xQ одинаковые частные производные до порядка к включи- тельно. Очевидно, что это условие равносильно совпадению отрезков рядов Тейлора вектор-функций до порядка к включительно. По- скольку сами функции можно рассматривать как производные ну- левого порядка, при к = 0 условие касания сводится к совпадению значений f ^(х^) и /2(ж0), т. е. графики сечений з1 и з2 должны пере- секать слой EXq в одной и той же точке (рис. 3.3 а)). На рис. 3.3 б) и в) показаны типичные случаи касания сечений с порядками 1 и 2: прямая, касающиеся кривой, и дуга соприкасающейся окружности. Упражнение 2.1. 1. Докажите, что определение 2.1 инвариантно, т. е. не зависит от выбора адаптированных координат в расслоении я. 2. Докажите, что два сечения имеют касание порядка к, если их графики (см. определение 1.1) касаются с тем же порядком. Касание сечений с порядком к задает отношение эквивалент- ности, которое мы будем обозначать следующим образом: st з2. Множество классов эквивалентных сечений, т. е. множество Рис. 3.3 всевозможных рядов Тейлора длины к, будем обозначать через Jx и называть пространств ом к-джетов расслоения тг в точке х. Точку этого пространства, которая есть класс эквивалентности се- чения з, будем обозначать [з]*. Таким образом, если st ~ з2, то
112 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ [sj* = кгЙ- Пространство к-джетов расслоения тг— это объе- динение Jx по всем точкам х G М: я е м Для любой точки в = [s]* G Jk(ir) положим тгк(0) = х. Тем самым определена проекция тгА: М, причем тг^1^) = Jk При к = 0 получаем, что J°(tt) = (J Ех = Е, т. е. «7°(тг) совпа- хеЛ/ дает с тотальным пространством расслоения тг. В качестве локальных координат на пространстве fc-джетов рас- слоения тг можно рассматривать функции х{,и3 и р/, соответст- вующие зависимым и независимым переменным и частным произ- водным первых по вторым. Действительно, пусть (xt...хп, и1,... ..ит) — адаптированная система координат на расслоении тг над некоторой окрестностью U точки хеМ. Рассмотрим множество tt-1(W) С 7*(тг). Локальные координаты (хр ..., хп, и1,..., ит) до- полним функциями р3а, которые определяются по формуле лИ-/ Pa([s£) = -T7---J = ах/ ...дх” Далее координаты р3а мы будем называть каноническими ко- ординатами, ассоциированными с адаптированной системой коор- динат (х^и3). Для данного расслоения тг можно рассматривать всевозможные многообразия джетов 7*(тг), к =0,1,..., представляя их располо- женными одно над другим в виде башни: Джеты и проекции /* + 1(тг) Координаты в джетах xvuJ,pt 1'ьо 7°(тг) = Е 1' М xitu3
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 113 Проекции 7rt + j t определяются по формуле ^ + 1,Г + "t + 1,t([a£+1) = [sL 2=0,..., к. Так как класс эквивалентности [s£+1 6 Jt + l(ir) од- нозначно определяет класс [з£ G «7*(тг), то определение проекций 7rt + 1 t корректно. Упражнение 2.2. 1. Докажите, что набор окрестностей ^(W) с координатны- ми функциями х{,и3 ,р° задает структуру гладкого многообразия на Лтг). 2. Докажите, что проекция тг*.: Jk(ir) —> М является гладким локально тривиальным расслоением. Упражнение 2.3. Докажите, что проекции irt + 1 f яв- ляются гладкими локально тривиальными расслоениями. Докажите также, что тг, о тг. . . = тг.. .. 2.2. Распределение Картана. Введем теперь на многообра- зии Jfc(7r) основную геометрическую структуру — распределение Картана. Прежде всего заметим, что если s — сечение рассло- ения тг, то для любой точки х G М можно определить элемент jk(s)(x) = е Jk(тг). Очевидно, что отображение jk(s): М -> —> Jk (тг) — гладкое сечение расслоения 7rfc: Jk(ir) —»М. Оно назы- вается к-джетпом сечения s. График fc-джета в пространстве Jk(ir) обозначается через Г*. Назовем R-плоскостъюв касательном пространстве Te(Jk(ir)), 0 G Jk(ir), n-мерную плоскость, которая касается графика fc-джета некоторого сечения расслоения тг. Очевидно, что 72-плоскость гори- зонтальна относительно проекции тг: Jk(M)~* М. Заметим, что точку О'еЛк + {(тг) можно рассматривать как пару, состоящую из точки 0 = тгА + 1 к(в') е Jk(ir) и /2-плоскости /2в, cTe(Jk(ir)), которая определяется как плоскость, касательная к графику fc-джета некоторого сечения з, определенного условием [s]* + 1 = 6'. (Легко видеть, что эта плоскость однозначно определя- ется джетом [з]* +1.) Говоря иначе, О' — это набор значений произ- водных до порядка к + 1, а плоскость Rei с Тв«7*(тг) определяется значениями первых производных от к-х производных. Упражнение 2.4. Выпишите в координатах условие того, что n-мерная плоскость в Te(Jk(тг)) является /2-плоскостью. 8 Симметрии...
114 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Зафиксируем точку в G /*(я) и будем рассматривать различные точ- ки О' е J* + 1(ir), проектирующиеся в О при отображении тг4 + 1 к. Эти точ- ки образуют слой расслоения тг4+1 к; Jfe + 1(7r) Jk(n) над точкой О, кото- рый мы будем обозначать через Fk+, к(в) или Fe. Иначе говоря, мы фиксиру- ем значение некоторой вектор-функции и ее производных до порядка к, а остальным производным порядка к + 1 Рис. 3.4. Слой проекции т4 + 1 к позволяем меняться произвольным образом. Когда точка О' переме- щается вдоль слоя Fg, соответствующая ей n-мерная плоскость Re> с СТв(/*(тг)) как-то поворачивается вокруг точки О', оставаясь при этом всегда горизонтальной относительно проекции irk. Jk(ir)—*M. Определение 2.2. Плоскостью Картана Св = С$ в точке О G 7*(тг) называется линейная оболочка всех плоскостей Re> при О' eFe, т. е. линейная оболочка всех касательных плоскостей к графикам FJ fc-джетов сечений расслоения тг, для которых [а]* = 0, Соответствие С: 0^Ск называется распределением Картана на Jk(ir). Рис. 3.5. Базис плоскости Ret. Приведем теперь координатное описание распределения Карта- на. Для этого, используя адаптированную систему координат (xj,... ..., хп,и*,.. .,ит), выпишем в явном виде базис плоскости Re>, которая соответствует точке О' g Jk + Координаты точки О' будем обозначать через (х<(0'),и40'),р’(0')). Рассматривая плоскость Re как ка- сательную к графику С Jk(n) неко- торого сечения з, такого что [з]*+1 = состо- проек- С «! = . Из соотношений = О', выберем в ней базис, ящий из векторов ции которых на М д дхх совпадают д ''“,Vn~dxn о п (1.4), задающих поверхность rj, легко вывести следующие формулы
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 115 для базисных векторов у?: * |<r|<fc У = 1 (2.1) Нетрудно видеть, что часть суммы, соответствующая значени- ям ст, |ст| < к, определяется точкой 0 и не зависит от выбора точ- ки в', расположенной над 0. Таким образом, любая плоскость R^, соответствующая т/ G Fe, может быть получена из данной плоско- сти Re поворотом в «вертикальном направлении». Точнее говоря, положение R^ относительно Re можно задать набором из п векто- ров смещения 6{ = v? — v? (рис. 3.6), вертикальных относительно проекции тг'=1гк к _ i. Обозначим пространство вертикальных векто- ' д ров в точке 0 через Ve = Te(Fen), где в" = пк к_{(0); векторы —г, ’ °Р„ |ст| = к, образуют базис в этом пространстве. Заметим, что любой вертикальный касательный век- тор v е Ve можно рассматривать как вектор смещения: для базис- д , , , ного вектора ----г, |<т| = к, до- дР„ статочно взять точку т) е Fe, все координаты которой, кроме од- ной, совпадают с соответствую- щими координатами точки О’, а Ра + 1(^) = Р/+1.(0') +1- Тогда 6{ = у?-у* = °Р« Из соотношений (2.1) следует, что распределение Картана на J (тг) задается набором 1-форм =dp3a - ^2 Р3а + \ 1СТ1 • = 1 ‘ к — 1, которые называются формами Картана. Геометрическая структура плоскостей Картана характеризует- ся следующей теоремой. Теорема 2. 1 Пусть С — распределение Карта- на на многообразии Тогда справедливы следующие утверждения: 1) плоскость Картана Св С Te(Jk(ir)) является прямой сум мой вертикального и горизонтального подпространств Св — Vg ®Rg, (2.2) 8*
116 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ где Ve — касательное Рис. 3.7. Структура картановской плоскости пространство к слою проекции irk к_1, a Rg — R-плоскость, соответст- вующая некоторой точке О, при- надлежащей слою Fg над точкой в; 2) плоскость Картана Св со- стоит в точности из таких каса- тельных векторов в точке в, ко- торые попадают в Re при проек- ции кк k_v т. е. (2.з) Доказательство. Первое утверждение вытекает из пре- дыдущих рассуждений. Заметим только, что в прямом разложении (2.2) первое слагаемое, в отличие от второго, определено точкой О однозначно. Для доказательства второго утверждения заметим, что проек- ция (тгк к _ j )„ отображает подпространство Ve в нуль, а плоскость Rg взаимно однозначно отображает на Re. Поэтому Св С (7rfc к _ , )~l(Re). Обратное включение следует из того, что полный прообраз точки есть в точности Ve сСв. п Следствие 2.2. Горизонтальное (относительно про- екции як fcl) подпространство картановской плоскости Св не может иметь размерность, превосходящую n = dimM. Следствие 2.3. Плоскость Р С Св является гори- зонтальной относительно проекции кк к_ j тогда и толь- ко тогда, когда она горизонтальна относительно проекции кк: Jk(ir) М (т. е. вырождение при проекции картановской плоскости при отображениях Jk(^) —> Jk — 1 (тг) 7°(тг) —> ~^> M может происходить только на первом шаге). Найдем координатную запись векторного поля X, лежащего в распределении Картана Ск на многообразии 7к(тг). Для этого ис- пользуем разложение (2.2). Базис вертикального пространства Ve образует набор вертикальных векторных полей -г, j = 1,..т, дРа |<т| = к, в точке в. Базис горизонтального подпространства можно выбрать в виде набора усеченных операторов полной производной 1 у = 1И<*
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 117 Таким образом, всякое векторное поле X, лежащее в распределении Картана, можно разложить по указанному базису: m _ X=2>D<‘>+£ Уст <2-5> i = l |<r| = fc Распределение Ск не является вполне интегрируемым, так как, например, при |<т| = к — 1 коммутатор 9 D(k) = д 9Р>+li’ ' Ы не имеет вида (2.5). Поэтому максимальные интегральные многооб- разия распределения Ск имеют размерность меньше, чем dimC*. Теперь мы наконец можем сформулировать определение диф- ференциального уравнения порядка к, которое аналогично опреде- лению дифференциального уравнения первого порядка. Определение 2.3. Дифференциальным уравнением порядка к в расслоении тг: Е—>М называется подмногообразие £ с С Jk(ir), снабженное распределением Картана С(£): 0>->Ce(£)=Cj:n Г\Тв(8), в G £. Максимальное интегральное многообразие распре- деления Картана (размерности dimM) называется (обобщенным) решением уравнения £. Упражнение 2.5. Пусть тг: Е -+М — расслоение и тг, 0: Jx(tt)-*E. Покажите, что сечения расслоения тг, 0 являются связ- ностями на расслоении тг, а условие нулевой кривизны некоторой связности определяет в расслоении тг, 0 уравнение первого порядка. 2.3. Интегральные многообразия распределения Карта- на. В теореме 1.1 мы показали, что графики А:-джетов сечений Г, являются интегральными многообразиями распределения Картана. Здесь мы опишем локальное строение произвольных максимальных интегральных многообразий. Определение 2.4. Пусть Р с С£ “1 — некоторая пло- скость размерности s, з dim М. Подмножество i(p) = {eeFe\R^P} слоя над точкой в называется лучевым подмногообразием (лучом), соответствующим плоскости Р. Если N с Jk~ 1(тг) — некоторое подмногообразие, то множество L(M)= J l(TqN) qeN
118 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Рис. 3.8. Лучевое многообразие называется продолжением (или поднятием) многообразия N. Упражнение 2.6. Докажите, что если Гу“1 сN, то Гу С CL(N). Пример 2.1. Рассмотрим многообразие 1-джетов скалярных функций /‘(2,1) от двух аргументов с координатами (x,y,z,p,q), где z — функция переменных х, у, a p,q — ее производные по х, у соответственно. Зафиксируем точку 0 е J°(R2) с координатами (х, у, z). Слой Fe расслоения J*(R2) —» J°(R2) над этой точкой является плоскостью д д д с координатами (р, q). Пусть £ = Х-—\-Y — + Z -ненулевой ах ay az вектор в точке 0 и Р — порожденная им прямая. Найдем уравнения соответствующего лучевого многообразия 1(Р). Пусть точка 0 G Fe имеет координаты р0, q0. Тогда соответствующая ей пло- скость Rg описывается уравнением dz — р0 dx — qQ dy — О, а условие RgZ)P, т. е. £ имеет вид Xp0 + Yq0 = Z. Следовательно, если ве- личины X, Y, Z фиксированы, а р, q — переменные, то подмногообразие ЦР) С С Fe задается уравнением Хр + Yq = Z. В общем положении ЦР) представ- ляет собой прямую в плоскости Fg. Это и есть уравнение подмногообразия ЦР)с С Fg. Здесь р, q — переменные координа- ты в Fg, а величины X, Y, Z фиксирова- ны. Таким образом, в общем случае ЦР) представляет собой прямую на плоскости Fg. Заметим, что направ- ление этой прямой определяется проекцией (X, Y) вектора £ на плоскость R2 , а положение ее начальной точки зависит также от координаты Z. В исключительном случае, когда вектор £ вертика- лен (т. е. X =У = 0, Z ^0), ЦР) пусто, так как Я-плоскость не содержит вертикальных направлений. Теперь рассмотрим подмногообразие N с J°(R2), которое про- ектируется на R2 у без вырождения. В зависимости от размерно- сти X его продолжение L(X) описывается следующим образом. 1. Подмногообразие АГ состоит из одной точки 0. Тогда L(N) = = Fg — слой над точкой в.
$ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 119 2. Подмногообразие N — кривая, заданная параметрически: /3(t),7(t)). Тогда L(N) — двумерная поверхность в пятимер- ном пространстве J1, заданная уравнениями x = a(t), y = 0(t), z=y(t), . a'(t)p + /3'(t)q = z. (2.6) Кривую N c J°(R2) можно рассматривать как график некоторой функции z(x, у), заданной вдоль некоторой лежащей в плоско- сти R2 кривой х = a(t),y = 0(t). Последнее из уравнений систе- мы (2.6) показывает, как связаны между собой частные производные р = zx, q = zy данной функции на этой кривой. 3. Подмногообразие N — поверхность вида z = f(x, у). Тогда каждая точка 0 eN однозначно определяет такую точку О gFe, что R$ = Te(N). В самом деле, координаты p,q точки в должны совпа- дать с угловыми коэффициентами касательной плоскости Te(N). Таким образом, в = [/]^ и L(N) = — график 1-джета функции /. Пример 2.2. Рассмотрим интегральную кривую N рас- пределения Картана на J*(2,1) и ее поднятие в J2(2,1). Из следствий 2.2 и 2.3 вытекает, что подня- тие непусто только в том случае, ес- ли кривая N горизонтальна относитель- но проекции д-р J^R2) —>R2. В этом слу- чае на R2 можно выбрать такие коорди- наты (х, у), что проекция S кривой N Рис 3 9 в окрестности некоторой ее точки имеет вид у = 0 (рис. 3.9). Сама кривая в этом случае может быть описана соотношениями вида У = 0, z = a(x), Р = 0(х), 9=7(®)- (2-7) Так как эта кривая — интегральное многообразие распределения Картана, задаваемого уравнением (dz —pdx — qdy)\N =0, то /3 = а'. Условия (2.7) означают, что нам известны значения функции z(x, у) и значения производной z (х,у) при у = 0. Мы получили стандарт- ный вид данных Коши для уравнений второго порядка. В этой ситу-
120 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ ации задачу поднятия можно интерпретировать как описание гра- фиков джетов тех функций, которые удовлетворяют данным Коши. Пусть 0(х, у, z,р, q) — точка кривой W и = (X, Y,Z,P,Q) — касательный вектор. Опишем множество 1(£) в слое Fe. Обозначим координаты в слое проекции J2(R2) —> J^R2) через r,s,t (они от- вечают соответственно производным zxx, zxy, zyy). Тогда уравнения Xr + Ys=P, Xs + Yt=Q описывают прямую /(£). Заметим, что классическое понятие характеристик для уравне- ний второго порядка основывается на рассмотрении системы (2.8) совместно с исследуемым уравнением 8 с J2(R2). Заметим теперь, что для любого невырожденного относительно проекции на базу интегрального многообразия N с Jk (далее такие подмногообразия мы будем называть «горизонтальными») со- ответствующее многообразие L(N)cJk(ir) также будет интеграль- ным. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, применяя тео- рему 2.1, что в любой точке 0 е L(N) образ касательного простран- ства Tg(L(N)) при проекции кк к _ 1 содержится в R#. В силу опреде- лений и построения L(N) имеем (кк k_l)t g(L(N))=T^(ir'(L(N))) = — Te(N)cR^. Таким образом, L(N)— интегральное многообразие. Тем самым мы получили способ построения интегральных многооб- разий в 7к(тг), исходя из интегральных многообразий в 7*-1(тг). Как мы докажем в теореме 2.7, описанная конструкция имеет универсальный характер. Сейчас мы опишем локальную структуру горизонтальных интегральных многообразий N и выведем формулу, выражающую размерность L(X) через размерность N. Утверждение 2.4. Всякое горизонтальное интеграль- ное многообразие N распределения Картана в Jk(ir) локально совпадает с графиком k-джета Гу некоторого сечения f. Доказательство. Пусть г = dimN ^п. Введем в окрест- ности точки a=irk(0), OeN, координаты xv ..., хп, в которых 7rfc(TV) задается соотношениями + , = ... = = 0. Так как многообразие N горизонтально, то оно не вырождено относительно проекции 7rfe: Jk(ir) —>М. Следовательно, N задано уравнениями х,.=0, 2>r, P^=//(xP...,xr), Ограничивая формы Картана на N, получаем (ср. с доказательством
§ 2. МНОГООБРАЗИЕ ДЖЕТОВ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА 121 теоремы 1.1), что + дх{ ’ |<т| к — 1, i = 1,..п. Поэтому Цх) = (f1,..., fm), задает требуемое сечение. □ Утверждение 2.5. Пусть тг: Е —> М — т-мерное рас- слоение над п-мерным многообразием М и N С Jk(ir) — гори- зонтальное интегральное многообразие распределения Кар- тана размерности г ^.п. Тогда*) .. г/яг\ . (п — г + к\ dim L(7V) = г + ml , . \п — г — 1/ Доказательство. Зафиксируем некоторую точку в е N. Через Р№ обозначим касательное пространство Te(N). В окрестно- сти точки тгк(в) введем такую систему координат х1,...,хп, что irk(N) задается в ней уравнениями хт + 1 =.. . — хп = 0. Тогда базис плоскости Рв образуют векторы (г\ Л \ (2-9) где а3 { = ——-— для сечения / = (/’,.. .,fm), построенного в ’ охаох{ утверждении 2.4. Условие принадлежности точки в, имеющей координаты р^ и лежащей в слое над в, многообразию 1(Р), можно записать в виде Р^+1. = al,i 1 < г> 1 < J С т. Эта система линейных неоднородных уравнений относительно неиз- вестных р3 совместна, т. е. для всех г, I, j, р выполняются соотноше- ния ( = ej + 1 {. Следовательно, соотношения (2.9) позволяют однозначно определить такие координаты р?, мультииндекс т кото- рых, |т| = к 4- 1, отличен от нуля в первых г компонентах. На другие координаты соотношений нет; число этих координат при каждом фиксированном j = 1,..., т равно количеству всевоз- можных мультииндексов т, |т| = к + 1, отличных от нуля только в , f п — г + к\ п— г компонентах г + 1,..., п, т. е. , 1. \п —г — 1 / 0= *) При р < 0 мы полагаем 0.
122 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Итак dim ЦР) = т(П Г + , и так как многообразие L(N) \п — г — 1) расслаивается над W со слоем 1(Р9) над точкой в G N, то dim L(N) = (n — r + k\ п — г — 1/ ° Следствие 2.6. Если = dim< r2 = dimN2, mo dimL(^)^ dimZ>(.AF2), причеши равенство достигается лишь в следующих случаях: а) т = п = 1; б) к = 0, т = 1. Рис. 3.10. Регулярные и особые точки проекции Описание всех максимальных интегральных многообразий рас- пределения Картана приводится в следующей теореме. Теорема 2.7. Всякое интегральное многообразие Q рас- пределения Картана на Jk(n) является максимальным то- гда и только тогда, когда оно всюду, кроме, быть может, подмногообразия меньшей размерности, в окрестности лю- бой точки имеет вид L(N) для некоторого горизонтального интегрального многообразия N С Jfc-1(7r). Доказательство. Пусть Q — максимальное интегральное мно- гообразие в J*(tt). Докажем утвер- ждение теоремы для любой точки в € Q, в окрестности которой ранг отображения 'т'= k-i- ^*(7Г) —* —» Jfc — 1(тг) постоянен (очевидно, что эти точки образуют открытое всю- ду плотное подмножество Q, см. рис. 3.10). В дальнейшем нам понадобится лемма, которая вытекает из теоремы о неявной функции и приводится нами без доказательства. Лемма 2.8. Пусть f: А—* В —гладкое отображение многообразий, имеющее в окрестности точки a G А посто- янный ранг р. Тогда множество f(A) является многообрази- ем в окрестности точки b = f (а), причем его касательное пространство есть образ касательного пространства к А: Ть(ЦА)) = ЦТа(А)). Вернемся к доказательству теоремы. Пусть в е Q и N = = ir'(U) — проекция соответствующей окрестности U С Q на По лемме 2.8, N —подмногообразие в Пусть в' = 7г'(в). По той же лемме и теореме 2.1 Tei(N) = Tei(ir'(Q)) = = tt'(T9(Q)c тг'(Св) =.Rfl. Отсюда следует, что N —горизонтальное
$ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 123 многообразие и dim N ^п, т. е. применимо утверждение 2.1. Вклю- чение Rg по определению означает, что в е L(N). Таким образом, U С L(N), т. е. локально Q с L(N). В силу максимально- сти Q = L(N). Обратно, рассмотрим многообразие вида L(N). Как только что было установлено, оно содержится в максимальном интегральном многообразии А(АГ1) и dim L(N) dim(^). Но N = n'lLfN)), N\ = = n'(L(Niy). Следовательно, N c и dimN dim АГ,. Отсюда, по следствию 2.6, dimZ(^) dimL(TV), т. е. £(#) = £(#,). □ Отметим, что если N — график (к — 1 )-джета некоторого сече- ния расслоения тг, то многообразие L(N) является графиком fc-дже- та того же сечения. Отсюда следует, что графики джетов являют- ся максимальными интегральными многообразиями распределения Картана. Из доказанной теоремы и следствия 2.6 вытекает следующее утверждение. Следствие 2.9. Исключая случаи т = п=1, к = т—1, среди всех интегральных многообразий распределения Карта- на на Jk(ir) наибольшую размерность имеют слои проекции k-i> т- е' многообразия вида L(N), где N нульмерно. Этот факт имеет фундаментальное значение для описания пре- образований, сохраняющих распределение Картана. Этим преобра- зованиям посвящен следующий параграф. § 3. Преобразования Ли Говоря неформально, преобразование Ли — это такое преобра- зование совокупности зависимых и независимых переменных и про- изводных первым по вторым, при котором сохраняются дифференци- альные связи между этими переменными. С геометрической точки зрения, преобразования Ли являются диффеоморфизмами многооб- разия джетов Jfc(w), сохраняющими распределение Картана, т. е. ту геометрическую структуру, которая содержит информацию об этих связях. Таким образом, преобразования Ли — это симметрии распределения Картана. Симметрии многообразия т. е. кон- тактные преобразования, были рассмотрены в гл. 2. По аналогии с этим, преобразования Ли многообразия Jfc(w) уместно назвать кон- тактными преобразованиями порядка к. Однако мы покажем, что для одной зависимой переменной такие преобразования сводятся
124 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ к обычным контактным преобразованиям, а для нескольких зави- симых переменных — к точечным преобразованиям, т. е. заменам зависимых и независимых переменных. 3.1. Конечные преобразования Ли. Допустим, что имеет- ся п независимых переменных xt,..хп и т зависимых переменных и1,..ит. Пусть заданы формулы замены переменных й3 = д3(х,и) (3-1) т Тогда мы можем выразить частные производные р3 = через d\r\ui Эх х.,и3 ир3г = „ _ . г Т ОХ' Примеры. 3.1. Рассмотрим масштабное преобразование х{ = а,жР и3 —/Зм3. Производные р3. = при этом преобразуется следующим обра- зом: dxi -i Ъ i Pi = — Pi ai Можно выписать действие продолжения этого преобразования на производные любого порядка Ра где о/*1.= aj1 ... ар* 3.2. Трансляция (параллельный перенос) на постоянный вектор в пространстве зависимых и независимых переменных описывается формулами Xi = Xi + —и* + rf- Его действие тождественно на переменных р3а Ра=Р1 3.3. Преобразование Галилея (переход в движущуюся с посто- янной скоростью систему отсчета) задается формулами t=t, х = х — vt, й = и.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 125 Продолжение этого преобразования на производные первого поряд- ка имеет вид Ut=ut+vu, й=и. 3.4. Произвольный диффеоморфизм плоскости х, и (т. е. замена одного зависимого и одного независимого переменного) х = А(х, и), и — р(х, и) (3-2) порождает преобразование трехмерного пространства х,и,р, кото- рое дробно-линейно по переменной р. Нетрудно проверить, что р = = du/dx как отношение дифференциалов, и мы получаем, что -=du = + pudu = рх + рир dx Xxdx + Audu Ax + Aup Упражнение 3.1. Пусть m = n, т. e. число независимых переменных совпадает с числом зависимых. Рассмотрим замену пе- ременных х{=иг, и? =Xj, i, j = 1,.. ,,п=т. Это преобразование называется преобразованием годографа. Вы- ведите формулы для действия продолжения этого преобразования на первые производные. Рассмотрим теперь общую геометрическую конструкцию, соот- ветствующую заменам переменных и продолжению действия этих замен на производные по независимым переменным. Пусть тг: Е —>М — некоторое расслоение. Тогда формулы (3.1) можно интерпретировать как координатную запись некоторого диф- феоморфизма пространства Е. Напомним, что такие преобразова- ния называются точечными преобразованиями. Диффеоморфизм А: Е —> Е для любого к 1 порождает диф- феоморфизм АУ1’: Jfc(?r) —> определяемый следующим обра- зом. Пусть в — некоторая точка многообразия 7к(тг), Ь и а — ее проекции в Е и М соответственно. Выберем такое сечение <р, что 0 — и рассмотрим его график Г.СЕ. Под действием преобра- зования А точка Ь переходит в некоторую точку Ь' € Е, а график в подмногообразие -4(1^) с £. Если это подмногообразие в окрест- ности точки Ь' будет имеет вид графика некоторого сечения <р', то положим в' = где а — тг(Ь'), и Д(А)(0) = в'.
126 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Упражнение 3.2. Докажите, что точка в' не зависит от выбора сечения <р; она однозначно определяется fc-джетом сече- ния <р в точке а, т. е. точкой в. Преобразование называется к-м поднятием точечного преобразования А. Вообще говоря, оно определено не на всем мно- гообразии Jk(ir), а (как это будет видно из дальнейшего) только в некоторой открытой всюду плотной области J*(tt). Этот геометри- ческий факт соответствует тому «формульному» наблюдению, что в процессе преобразований производных могут появляться «члены в знаменателе», обращение которых в нуль задает множество значе- ний переменных, где преобразование не определено (ср. с равенст- вом (3.3)). Пример 3.5. Рассмотрим преобразование годографа одной независимой и одной зависимой переменной х = и, и = х. du _ du Пусть р = р = Тогда, как это следует из упражнения 3.1, dx dx р=\/р. Заметим, что хотя исходное преобразование А было всюду определенным диффеоморфизмом пространства R3 = J’(R), преоб- разование А(1) определено в пространстве R3 = J’(R) везде, кроме плоскости р = 0. Из приведенной конструкции преобразования видно, что в области своего определения оно является симметрией распределе- ния Картана С*. В самом деле, подпространства Ск являются линей- ной оболочкой Я-плоскостей R$, в е Jfc + 1, а касательное отображе- ние А^ переводит такие плоскости друг в друга. В самом деле, если A(i;)=i> а*=м*+1 и 0'=kt+I> то а<;>(л9~)=я9~,. Определение 3.1. Диффеоморфизм F: —> Jk(ir) называется преобразованием Ли, если Ftg(Ck) = Cpe для любой точки в G Jk(n). Поскольку распределение Картана локально задается набором формул (1.2), диффеоморфизм F является преобразованием Ли в том и только том случае, если для всех j = 1,..., т и |<т| к — 1 локально выполнены равенства т 1=1 где A£J —гладкие функции на У*(тг).
$ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 127 Пример 3.6. Выведем еще раз формулы поднятия в точечного преобразования плоскости (3.2), пользуясь толь- ко что сформулированным свойством преобразований Ли. Функ- цию р(х,и,р) будем искать из условия, что образ распределения du - pdx = 0 при отображении (3.2) совпадает с распределением du — pdx = 0. Это требование означает, что, заменяя в выраже- нии du —pdx все переменные на соответствующие функции х,и,р, мы должны получить дифференциальную форму, пропорциональную du —pdx. Вычисляя, получаем du — pdx = uxdx + uudu — p(xxdx + xudu = = (“u ~Pxa)du + (ux — pxx)dx = A(du -pdx), откуда йх — p xx = — р(йи — pxu), и, значит, в соответствии с формулой (3.3). Рассуждая аналогично, мы получим формулы поднятия в 7*(тг) произвольного точечного преобразования (3.1). А именно, функ- ции *) Pf, t = l,...,n, j = 1,..., т, определяются из т систем ли- нейных уравнений (для j = 1,..., т) D^) ... D^xJX/p’X fD^)\ ............... • .• = • • • > (34) Dn(xn)/ \Pn' \Dn(u])J где D. — оператор полной производной no переменной x-, дей- ствующий на функции /(Хр..., хп, и1,..., ит) по формуле ’ J = 1 Определитель матрицы, стоящей в левой части равенства (3.4), уместно назвать «полным якобианом» системы функций . ,,хп. Отметим, что обращение в нуль этого якобиана на некотором откры- том множестве влечет функциональную зависимость функций х,-. Поскольку замена (3.1) является локальным диффеоморфизмом, *) В следующей формуле, и далее в аналогичных случаях, мы будем для кратко- сти писать р{ вместо рг
128 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ функции х{ независимы и уравнения (3.4) почти всюду однознач- но определяют значения р? . Упражнение 3.3. Докажите, что если поднятие А(,) точеч- ного преобразования А: У0(тг) —> У°(тг) определено в окрестности точки в g то поднятие определено в окрестности любой точки в', проектирующейся в 0 при отображении тгк Jfc(?r) -» ^J*(7r). Преобразование поднятия применимо не только к диффеомор- физмам многообразия зависимых и независимых переменных Е — = <7°(тг), но и к преобразованиям Ли произвольного многообра- зия джетов J*(tt). В самом деле, пусть дано преобразование Ли A: Jk(ir)-+ Как мы знаем, многообразие J* + 1(tt) контакт- ных элементов порядка к + 1 можно представлять себе как множе- ство всех горизонтальных n-мерных интегральных плоскостей (R- плоскостей) в Jk(n). Плоскости, которые «не опрокидываются» пре- образованием А (т. е. такие плоскости L, что AJL) горизонтальна) образуют в этом многообразии открытое всюду плотное множество. На множестве этих плоскостей определено преобразование подня- тия А^1, которое плоскость L отображает в At(L). Пример 3.7. Рассмотрим в пятимерном пространстве J*(2,1) преобразование Лежандра (см. также § 2 гл. 2) ' х = —р, У = -Ч, < й _ и — хр — yq, (3.5) р = . Я = У- Как мы уже показали в гл. 2, это преобразование контактно, и, следовательно, оно является преобразованием Ли. Для того, чтобы описать поднятие этого преобразования в восьмимерное про- странство J2(2,1), необходимо выразить вторые производные _ д2й _ д2й - д2й дх2’ 3 дхду' 4 ду2 через х, у, и, р, q, г, з, t. Так как распределение Картана инвариант- но, то 1-формы dp — rdx — sdy — dx + rdp + sdq, _______ — — (3.6) dq — sdx — tdy = dy + sdp + tdq
$ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 129 представляются в виде линейных комбинаций 1-форм du — pdx — qdy, dp — rdx — ady, dq — sdx — tdy. Поэтому выражение (3.6) тождественно обращается в нуль при за- мене dp на rdx + sdy и dq на adx + tdy. Отсюда мы получаем систему уравнений (г з \ (г з X _ ( -1 ОХ \ a t / \а t ) \ О — 1 / ’ из которой следует, что t 8 т_ г rt—a2> rt — з2’ rt — з2 (3-7) Упражнение 3.4. Пусть Л: Jk(ir)-* Jk(ir)— преобра- зование Ли. Докажите, что всюду, где определено поднятие А(г+я): Ji + i+ '’(тг)—» Jfc + / + *(7r), I, s е N, имеет место равенство = = А(, + а). Мы закончим этот параграф полным описанием преобразований Ли. Теорема 3.1. Всякое преобразование Ли X многообра- зия джетов Jk(ir), k 1, описывается следующим образом: 1) при dim тг = 1 преобразование X является (к — ^-крат- ным поднятием некоторого (произвольного) контактного преобразования пространства ^(тг); 2) при т = dim тг > 1 преобразование X является к- кратным поднятием некоторого (произвольного) диффео- морфизма пространства зависимых и независимых перемен- ных У°(тг) (т. е. точечным преобразованием). Замечание 3.1. Из теоремы следует, что в случае т = 1 контактная геометрия порядка к содержательнее, так как среди кон- тактных преобразований J1 (тг) имеются как поднятия произвольных диффеоморфизмов J°(ir), так и преобразования, не имеющие тако- го вида. Примером контактного, но не точечного преобразования может служить преобразование Лежандра (3.5). Доказательство. Доказательство этой теоремы основы- вается на установленном выше факте: среди всех максимальных ин- тегральных многообразий распределения Картана на J*(tt) наиболь- шую размерность имеют слои проекции ?rfc к _ j (см. следствие 2.9). Случай т = п = 1 будет рассмотрен особо. 9 Симметрии...
130 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Предположим, что тп> 1. Пусть A: Jk(7r)—> Jk(ir) преобразо- вание Ли, причем к 2, если т= 1, и к 1, если т> 1, Поскольку преобразование А сохраняет распределение Картана, оно переводит его максимальные интегральные многообразия в максимальные ин- тегральные многообразия. При этом, так как А — диффеоморфизм, сохраняется размерность этих многообразий. Следовательно, А пе- реводит слои проекции тг4 к _, друг в друга. Таким образом, А порождает некоторое преобразование А1 мно- гообразия J*-1(7t): если A(nk'k_l(0)) = nklk_i(T]), то А1(0) = г]. Так как А{ является проекцией преобразования Ли А, то А{ само является преобразованием Ли. Рассмотрим преобразование А и поднятие (Aj)(1) преобразования At. Оба они являются сим- метриями распределения Картана Ск, сохраняют слои проекции 7r**-i: Jk(^) Jk и индуцируют одно и то же преобразо- вание J*-1(7r). Поэтому диффеоморфизм А' = А(1)оА-1 является преобразованием Ли, тождественным на Jk~l(n). Упражнение 3.5. Докажите, что преобразования Ли про- странства J*(tt), проекция которых индуцирует тождественное пре- образование Jk 1(тг), являются тождественными. Следовательно А = А^. К преобразованию А, можно приме- нить те же рассуждения, что и к исходному преобразованию А, и так продолжать до тех пор, пока мы не получим некоторое преоб- разование пространства Jl(n) (в случае т = 1) или J°(tt) (в случае т> 1). Для завершения доказательства теперь следует воспользо- ваться упражнением 3.4. В случае т = п = 1, доказательство теоремы вытекает из следующих рассуждений. Рассмотрим канонические координаты x^Po>Pi> • ’Рк на ^(1, О- Распределение Картана С на J*(l, 1) двумерно, оно д «=п порождено векторными полями Z = -— и D = -—I- дрк дх Достаточно доказать, что всякое преобразование Ли А переводит поле Z в себя, т. е. является симметрией одномерного распределения V, порожденного полем Z; дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным ранее для общего случая. Лемма 3.2. Пусть С' = [С, С] — распределение на мно- гообразии Jk(l, 1), к 2, порожденное коммутаторами век- торных полей, лежащих в некотором распределении Карта- на С. Тогда, если через £>(Р) обозначить совокупность всех векторных полей, лежащих в распределении Р, а через 'PD —
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 131 совокупность всех таких полей X, что [X,D('P)]C.D(T>), то D(V) = D(C)nC'D. Доказательство леммы. Очевидно, что распределение С трехмерно. Оно порождено полями Z, D и [Z, D1 = --= Y. Лег- д ^Pk — 1 ко видеть, что [Z, У] = О, [У, £)] — X = --. Пусть поле S — °Рк-2 = aZ + PD является симметрией распределения С'. Тогда [У, S]G е D(C), т. е. [У, S] представляется в виде линейной комбинации полей Z, D, У. Но так как [У, $] = [У, aZ + PD] = У(a)Z + Y(p)D + рХ и поскольку поля X, D, Z линейно независимы в каждой точке мно- гообразия Jk, отсюда следует, что р = 0. Таким образом S е D(V), что и доказывает лемму. Пусть теперь A: J*(l, 1) —> J*(l, 1). Тогда очевидно, что A*D(C) — D(C), AtC' = С' и А,Ср —C'D. Поэтому в силу доказанной леммы AtD(V) = D(V). Теорема доказана, q 3.2. Поля Ли. Определение 3.2. Векторное поле X на многообразии Jk(n) называется полем Ли, если сдвиги по его траекториям явля- ются преобразованиями Ли. Пусть X — поле Ли на Jk(n) и {АД — соответствующая этому полю (локальная) группа преобразований многообразия Jfc(w). По определению, At — преобразования Ли, и, следовательно, определе- ны их поднятия АД на многообразие 7*+/(тг), также являющиеся контактными преобразованиями Ли. Поле Х^1\ соответствующее од- нопараметрической группе {АД} называется поднятием поля X. Как и в случае поднятий преобразований Ли, для любых натураль- ных чисел I и s имеет место равенство = Х(/ + я). Теорема 3.3. Всякое поле Ли на к 1, имеет вид-. а) X® при dim тг > 1, где X — некоторое векторное поле на пространстве б) X<k при dim?r= 1, где X —некоторое контактное векторное поле на пространстве Заметим, что в силу обсуждавшихся выше свойств преобразо- ваний Ли, всякое векторное поле на J°(tt), как и всякое контактное поле на могут быть продолжены до поля Ли на 9*
132 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Переход на инфинитезимальную точку зрения имеет два преи- мущества. Первое заключается в том, что поднятие поля Ли, в отли- чие от поднятия конечного преобразования Ли, всегда определено на всем многообразии. Действительно, для того, чтобы вычислить вектор поля Х(1) в некоторой точке в € J* + 1(tt), нужно знать сколь угодно малый участок траектории, проходящей через эту точку при действии соответствующей однопараметрической группы контакт- ных преобразований. Точке в соответствует Я-плоскость Le в 7*(тг), без вырождения проектирующаяся на базу М. Остается заметить, что при достаточно малых преобразованиях образ этой плоскости также будет проектироваться на базу без вырождения, т. е. задавать некоторую точку в 7* + 1(тг). Вторым преимуществом использования полей Ли вместо конеч- ных преобразований является то, что существуют явные вычисли- тельные формулы, выражающие компоненты векторного поля через компоненты поля X. При этом возникает возможность ис- пользования производящих функций (см. ниже). Рассмотрим расслоение тг: Е -»М и канонические координа- ты в окрестности точки в е Заметим, что поле X на Jk(ir) является полем Ли в том и только том случае, если для любой фор- п k мы Картана ш3а = dp3a — $2 Р3а + 1. на и1") локально выполнено равенство »= i п’ Е ед- 1 = 1 |г|«*-1 Теорема 3.4. Если П t т (3-8) 3 — поле Ли, то коэффициенты Ь3 вычисляются по рекур- рентным формулам п <4. и О-») где 0^ lai к — 1, а 3 = 1 i & * ” дх{ + • (Г — оператор полной производной по х{. Доказательство. Пусть X — поле Ли вида (3.8). Тогда в силу инвариантности распределения Картана формы п X(^) = dbi - £(^ + 1> dx, +p3ff + ii da,) (3.10)
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 133 являются линейными комбинациями форм Картана. Упражнение 3.6. Покажите, что любая 1-форма на J*(tt) однозначно представима в виде п “ = +шс, (3.11) « = 1 где —функция на Jk + l(ir), а шс — линейная комбинация форм Картана. В частности, для любой гладкой функции р на Jfc(w) имеет место равенство d<P = £ + (3.12) *7^ OTr 1 j, <r Заметим, что форма ш, представленная в виде (3.11), обраща- ется в нуль на распределении Картана тогда и только тогда, когда коэффициенты тривиальны. Применяя это утверждение к равен- ству (3.10), получаем +S \ ‘,D‘M dx‘ + “Ь i з откуда следует (3.9). □ Упражнение 3.7. Проверьте, что равенства (3.9) согла- сованы с представлением контактных полей на Jl(M) в виде “ др{ dxt \ "др( ди) \ дх{ * ди ) др{ Введем теперь понятие производящего сечения поля Ли. Для этого рассмотрим эволюцию графиков сечений расслоения тг под действием соответствующих однопараметрических групп сдвигов по траекториям. Пусть X = а,- — 1- Ь3+ • • • — поле Ли на ^(я") и {А) — соответствующая ем^ однопараметрическая группа локальных пре- образований многообразия J*(tt). Рассмотрим некоторое сечение / расслоения тг. График его fc-джета Гу с Jfc(?r) является п-мерным интегральным многообразием распределения Картана на J*(tt), без вырождения проектирующимся на базу М. Как уже отмечалось, при достаточно малых t многообразие АДГу) также имеет вид графика &-джета некоторого сечения, которое мы обозначим ft: Д4(Гу) = Гд.
134 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Таким образом, преобразования семейства А* порождают эво- люцию ft сечения /. Найдем скорость — ft этой эволюции t=o в начальный момент времени. Чтобы вычислить эту производную, представим поле X в виде суммы двух полей, одно из которых вер- тикальное, а второе касается многообразия Гу. Если сечение / локально задается функциями и3'= f3(xl,... ..., ®), j — 1,.. ,,тп, то векторные поля, касающиеся многообра- зия Гу, можно записать в следующем виде (заметим, что на поверх- d^f3 ности Гу имеют место равенства р3а = & 1СТ1 к): D^ = — ’ дх,. y-fy- j д ул dM + xf3 д \ + ^Л,LPa + l'dp3;+,, дх°дх. др3)' j = 1 |<т| <к l0*!^ * Следовательно, поле, касающееся графика Гу, имеет вид 4 = 1 а вертикальная компонента поля Ли X равна х, = х - £ a(D/> = £(Ь’ - ад/) ® +... « = 1 i,3 Так как поле Х2 сдвигает многообразие Гу по себе, то оно не влияет на эволюцию. Что же касается поля Хр то его коэффициенты при у-j в точности равны скоростям изменения компонент сечения f t = = (ft> • • •> Л”*) П°Д действием рассматриваемого потока: Вектор-функцию = (уз1,..<^т), где = Ь3 ~ У <^iPi » = i (3.13) (3.14) назовем производящим сечением (или, в случае т= 1, произво- дящей функцией) поля Ли п я т я + + - (3-15) 1=1 1 j=l
§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ 135 Упражнение 3.8. Покажите, что в случае тривиального расслоения тг: йхМ->М данное определение производящей функ- ции совпадает с определением производящей функции контактного векторного поля, приведенным в гл. 2. Из этого упражнения, а также из теоремы 3.3 вытекает следу- ющее Утверждение 3.5. Поле Ли X на Jk(ir) однозначно определяется своим производящим сечением <р — (<р1,..., <рт). При этом компоненты производящего сечения вычисляются по формулам „)0), где ш(р,.. „о)=du3 - Е Pi dxi Заметим, что в случае т> 1 производящее сечение <р = (ч>1, .. ..., рт) линейно зависит от переменных р/, причем для любых i, j,l имеют место равенства др- др! ’ др' Рассмотрение произвольных производящих сечений приводит к теории высших симметрий, которая будет рассмотрена в гл. 4. § 4. Классические симметрии уравнений 4.1. Определяющие уравнения. Пусть £ С Jk(n)— уравне- ние порядка к. Определение 4.1. Классической (конечной) симме- трией уравнения £ С Jk(^) называется такое преобразование Ли А-. Jk(ir) -> 7*(тг), что А(£) с £. Определение 4.2. Классической инфинитезимальной симметрией уравнения £ С Jk(n) называется поле Ли, касающе- еся £. Очевидно, что эти определения являются естественным обоб- щением основных конструкций, рассматриваемых в гл. 1 и 2. Непосредственным следствием определений и рассуждений § 1-3 является*) *) Далее в этой главе, говоря о симметриях мы будем всегда подразумевать классические симметрии.
136 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Утверждение 4.1. 1. Пусть A: Jk(ir) —» Jk(ir) — симметрия уравнения 8 С С J*(?r) и f — решение этого уравнения, т. е. такое сече- ние расслоения к, что его график Г* содержится в 8. Тогда А(Г*) — обобщенное решение уравнения 8. В частности, ес- ли многообразие А(Г^) имеет вид Г*/ для некоторого сечения f = A*f, то f' —также решение уравнения 8. 2. Если X — инфинитезимальная симметрия уравне- ния 8 и f — его решение, то для любой точки в € Г* най- дется такая окрестность U Эб и такое £ >0, что при лю- бом t 6 [—е, е] многообразие А^ЦЛ) локально имеет вид т. е. X определяет поток на множестве решений уравне- ния 8. □ С практической точки зрения конечные симметрии, разумеет- ся, предпочтительнее; однако искать их нелегко. Общих алгорит- мов поиска таких симметрий в сущности нет, и, кроме очевидных соображений, найти их можно лишь случайно или используя «фи- зические» соображения. Напротив, поиск инфинитезимальных сим- метрий происходит по вполне определенному алгоритму, приводя- щему, с технической точки зрения, к решению (как правило, силь- но переопределенных) систем линейных дифференциальных урав- нений. Это объясняется тем, что поля Ли можно эффективно опи- сать при помощи производящих функций. Поэтому далее обычно мы будем употреблять термин «симметрия», имея в виду инфините- зимальную симметрию, а чаще всего — даже производящее сечение инфинитезимальной симметрии. Последнее отождествление не мо- жет вызвать недоразумений, поскольку соответствие между полями Ли и их производящими функциями взаимно однозначно. Пусть v? и — симметрии уравнения 8 С Jfc(?r), т. е. поля Ли Х^ и Х^ касаются многообразия 8 (s = к при т > 1 и з = к — 1 при т= 1). Тогда, очевидно, коммутатор [X^s), также является симметрией уравнения 8 и, следовательно, имеет вид Х^ для неко- торого производящего сечения р. Это сечение называется скобкой Якоби производящих сечений и V’ и обозначается через Очевидно, множество симметрий образует R-алгебру Ли отно- сительно скобки Якоби. Если х1(..., хп, и1,..., ит, ...,р3а — канонические координаты на *7*(тг), то из определения коммутатора векторных полей и ра-
$ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ 137 венств (3.9) следует, что j-я компонента скобки Якоби имеет вид i=la=l v ^а\д^ дх{ Р* дир ) др“ 9^а A Bdil>a\d<pj\ (4.1) Выведем теперь локальные условия того, что поле Ли X явля- ется симметрией уравнений 8 С Jfc(?r). Для этого выберем в J*(tt) канонические координаты и предположим, что подмногообразие 8 задается в этих координатах соотношениями Г“=0, а = 1,...,г, (4.2) где Fa — гладкие функции на Jfc(7r). Предположим, что система (4.2) локально имеет максимальный ранг. Тогда условие касания полем X многообразия 8 = {F = 0}, где F = (F ,..., FT), имеет вид X(F“)=£a“F“, а = 1..........г, (4.3) д = 1 для некоторых гладких функций А^, или, что эквивалентно, Х(Г“)|£ = 0, а = 1,...,г. (4.4) Представляя поле X в виде Х<*\ где з=к или з = к— 1 в зависимости от размерности расслоения тг, и выражая коэффициенты поднятия поля Ху через производящие функции с помощью равенств (3.9), из соотношений (4.2) или (4.3) мы получим систему уравнений на <р. Эти уравнения называются определяющими уравнениями. Пример 4.1. Рассмотрим в J2(2,1) общее уравнение вто- рого порядка от двух независимых и одной зависимой переменной: F(®j, Х2, U, р^, р2, Р(2,0)> Р(1,1)> Р(0,2))— О* Пусть Хр — контактное векторное поле в J!(2,1), Тогда коэффициенты при д <4-5) i + j = 2, поднятия поля
138 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ в J2(2,1) имеют следующий вид: ь(2,0) =Р(2,0)¥’„ + ¥>S|I) + 2p!<pXiU + 2р(2О)РХ1Р1 + 2р(1>1)^1Р2 + Pi2V’ua+ +2PiP(2,o)^P1 +2p1P(1>1)^ +P(2,o)¥’P1P1 +2p(210)P(i, +?£, b(l, 1) =P(1 .l^u+V’^+Pi^u+Pl^u+Pil, 1)^1Р1+Р(0,2)<PXlp2+P(2,0)‘PX2pi+ +P(1, 1)<PX2P2+P1P2<Puu+(P1P(1, l)+P2P(2,0))V’«P1 +(P1P(O,2)+P2P(1,1))^ + +P(2,0)P(l,l)¥’P1P1 + (P(2,0)P(0,2) +P(2l,l))(Pp1P2 +P(l,l)P(012)V’p2p2> Ь(0,2) =P(0,2)<Pu + + 2Р2ФХ2и + 2P(1,1)^P1 + 2^0,2)^ +P22<P«u+ +2p2P(l, 1)<PUP1 +2p2P(0,2)PUP2++P(21,1)^P1P1 +2p(l, l)P(0,2)Ppip2+Pto,2)'Pp2p2- Тогда X^F = XF, где коэффициенты поля X^\ вычисленные по приведенным выше формулам, являются определяющими в рассма- триваемой ситуации. Упражнение 4.1. Выведите аналогичные формулы для системы двух уравнений второго порядка от двух зависимых пере- менных. 4.2. Инвариантные решения и размножение решений. Пусть X — инфинитезимальная симметрия уравнения £ с J*(tt), /0 — его решение, Гуо = с £. Пусть, далее, {AJ — одно- параметрическая подгруппа диффеоморфизмов векторного поля X. Тогда подмногообразие At(Tyo)c Jfc(w) является интегральным для распределения Картана; если же АДГуо), как и Гуо, горизонтально относительно проекции на базу М, то А(Г)0) = 1д для некоторого сечения ft. Кроме того, в силу определения симметрии, АДГу )с£. Таким образом, по крайней мере локально, ft является однопараме- трическим семейством решений уравнения £; jk(f t)(M) = Гу с£. Переход от исходного решения f к семейству ft называется разм- ножением решения / при помощи симметрии X. Если <р — производящая функция поля X =XV, то поиск ft сводится к решению системы уравнений ^(х, t) = <р (х, t), Цх, 0) = f0(x), (4-6) или, покомпонентно, что следует из (3.13).
§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ 139 Если v?|rt(x, t) = 0, то f(x,t)=f(x,O) для всех допустимых значений t, т. е. /0 является неподвижной точкой для однопараме- трической группы преобразований {А} при ее действии на сече- ниях. Иными словами, многообразие инвариантно относительно поля Xv. Определение 4.3. Если Гуо инвариантно относительно поля то /0 называется р-инвариантным решением уравне- ния £. Введенные понятия имеют следующее естественное обобщение. Пусть G — группа Ли, алгебра Ли g которой реализована как по- далгебра в алгебре инфинитезимальных симметрий (или, что то же самое, в алгебре производящих функций симметрий) уравнения £. Тогда, начиная с любого решения /0, мы получим (dim д)-параме- трическое семейство решений {fg 15(1уо) = Гу , geG} уравнения £ (при условии горизонтальности многообразий <?(Гуо) относительно проекции на базу М). Определение 4.4. Если f д =f0 для всех д е G, то f0 называется G -инвариантным решением уравнения £ (или g-ин- вариантным, если мы рассматриваем соответствующую алгебру Ли). Пусть угр ..., рв — производящие сечения, являющиеся обра- зующими алгебры Ли g. Тогда отыскание g-инвариантных решений сводится к решению переопределенной системы дифференциальных уравнений fW) = 0, Fr(0) = O, ^(0) = О, (4.7) U,(0) = 0, где в е J*(tt), Fp ..., FT — функции, задающие уравнение £. В част- ности, Xv -инвариантные решения находятся из системы (4.7) с единственным добавочным по отношению к £ уравнением = 0. Отметим одно важное обстоятельство. Наличие у уравнения одной классической симметрии X позволяет на единицу понизить количество независимых переменных при поиске инвариантных для этой симметрии решений. Действительно, рассмотрим для просто- ты случай dim7r = l. Тогда уравнения <pi = 0,..., рв = 0 можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных
140 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ pv...,pn. Естественно рассматривать случай, когда эта система имеет максимальный ранг. Тогда без ограничения общности мож- но считать, что она имеет вид ( Pn-s + l=?i(X>U'Pl’---’Pn-3)’ ( РП=№,«,Р1>-. Подставляя эти равенства в исходное уравнение, мы получим урав- нение, не содержащее производных по первым п — з переменным. Очевидно, что в случае нескольких зависимых переменных редук- ция числа независимых переменных осуществляется так же. Наличие двух симметрий позволяет снизить число независимых переменных на два и т. д. В частности, при dim g = п— 1, где п-1 — число независимых переменных, поиск инвариантных решений сво- дится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, а при dim g = п получаемые уравнения будут «алгебраическими», т. е. не содержащими производных. Ниже будут приведены соответству- ющие примеры. Мы закончим этот раздел несколькими замечаниями. 1. Вообще говоря, даже при малых t нельзя ожидать, что мно- гообразия А(Г/0) будут горизонтальны. Поэтому при размножении регулярного решения мы, вообще говоря, будем получать интеграль- ные многообразия распределения Картана размерности dim М об- щего вида, т. е. «обобщенные решения» или «решения с особеннос- тями». В некоторых точках касательная плоскость к таким решени- ям при проектировании на базу вырождается (что соответствует об- ращению в бесконечность некоторых производных /t(®)), поэтому однозначность решения может нарушаться. Подобные обобщенные решения вполне обычны при анализе распространения разрывов, ударных волн, в теории катастроф и т. д. Физический смысл таких решений обусловливается содержательным контекстом задачи. 2. Для многих нелинейных уравнений бывает удобно сначала найти инвариантное решение для какой-нибудь симметрии, а затем размножать его при помощи других симметрий. Нередко это един- ственная возможность получать явные формулы. 3. Понятие инвариантного решения включает в себя как част- ный случай понятие автомодельного решения: автомодельными называются решения, инвариантные относительно так называемых масштабных симметрий, т. е. симметрий вида j д а-х{—---1- в-и3—г. * 'дх. >3 ди3
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 141 § 5. Примеры вычисления симметрий Многие примеры вычисления симметрий, построения инвари- антных решений и другие вопросы можно найти в [55, 140, 141, 91, 92, 86]. 5.1. Уравнение Бюргерса. Уравнение Бюргерса имеет вид и. = ии + и (5.1) Это уравнение описывает движение слабо нелинейных волн в газах, в ситуации когда достаточно учитывать эффекты диссипации только в первом приближении. При стремящейся к нулю диссипации это уравнение дает адекватную интерпретацию решения для невязкой среды. Первоначально предложенное Бюргерсом для описания одно- мерной турбулентности, впоследствии оно использовалось для изу- чения волновых явлений. Уравнение Бюргерса линеаризуется (при- водится к уравнению теплопроводности) подстановкой и=ух/у. Это указывает на наличие большого запаса симметрий. Переписывая уравнение (5.1) в канонических координатах на У2(2,1): Xj = X, Х2 = t, Pq = и, pl =UX, p2—Ut, 0) = Uxx’ имеем Рг = РоР1 ~^Р(2,0)- Тогда определяющие уравнения, полученные в примере 4.1, принимают вид - Рг^Р! + Ро&х, + PiV’po) + ^2,0)^ + <Рх,х, + + 2Р1^1Р0 + 2Р(2,0)<Рх1Р1 + 2р(1> 1)¥>1]Р2 + р2^ + 2р1р(2>0)<рПР1 + + 2p1p(i)1)¥?W2 +Р(22,о)¥’р1Р1 +2p(2,o)P(i,i)¥’p1p2 + P(2i, “ “ “ Рг^ = А(РоР1 + Р(2,0) - Рг)> (5-2) где А — гладкая функция на J2(2,1). Анализ этого уравнения пока- зывает, что функция должна иметь вид 93 ~ > х2’ Po)Pl 4" &(х1 > х2> Ро)Р2 <-'(х1 > х2’Ро)' Отсюда, с учетом (5.2) получаем, что функции А, В, С удов- летворяют уравнению PlMpo + Pl А*2 + В^Р2 + Сх2 + СкР2 ~ PoPl(А, + Р1 Ао) ~ - р№хх + Р1Чо) -PiC~ 2^М)Р(2,0) - Dx(Ax{ + ApJPl - -^+^) = 0, (5.3)
142 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ где Dx — оператор полной производной по переменной х — хх. Последнее уравнение полиномиально по рх и р(20). Поэтому коэффициент при Р(2,0)> равный -4Арор1 + - 2AX|, должен обра- титься в нуль. В свою очередь этот коэффициент полиномиален по рх, и коэффициенты этого полинома также тривиальны*). Итак, А^ = 0 и BXi~2AXi =0. Подставив эти равенства в (5.3), получим Р1Л2 +POPiAxl+Cx2~PoCxi -Pic-PiAx,x, “ -С —2р. С -р2.С =0 (5.4) Х1Х1 fl х1Ро fl Яо₽0 К / Последнее равенство квадратично по р1, откуда следует, что \ + Ро Ах, -С- АХ1Х1 - 2СХ1Р0 = 0; (5.5) ^-Ро^-^х^О. Дифференцируя второе уравнение (5.5) по р0, получим **) Ах = (5.6) Из первого уравнения системы (5.5) следует, что С линейно по Pq. С = г(хх,х2)р0 + з(хх,х2). Подставляя это выражение в последнее уравнение системы (5.5), получим квадратичное по р0 равенство Гх,Ро + % - РоГх, - Ро9хх - РоГхххх - Sx,x, = °- Приравнивая нулю коэффициенты при степенях р0, получим соот- ношения г = О, г. — = 0, s — sT _ = 0. (5.7) ’ а?2 I| ^2 ' ' Первое из них означает, что С =0. Учитывая (5.6), получаем, что Ахх =0- Х1Х1 *) Такое рекурсивное рассуждение с понижением рассматриваемых порядков старших производных весьма характерно для первого этапа решения определяющего уравнения. **) Вообще говоря, на втором этапе нахождения симметрий типичным является извлечение дифференциальных следствий и использование условий совместности си- стемы уравнений на коэффициенты симметрии, полученной за счет полиномиально- сти определяющих уравнений по старшим производным.
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 143 Дифференцируя второе уравнение (5.7) по переменной и учиты- вая первое уравнение, получаем з = 0, т. е. s — w(x2)xl + v(x2). С учетом третьего уравнения (5.7), имеем соотношение sl2 =0, т. е. s = wxl -|- v, w, v € R. (5-8) Если продифференцировать второе уравнение (5.7) по х2 при усло- вии (5.8), получим г = 0, и, значит, г = тх2 + п, (напомним, что г не зависит от х{ в силу первого из уравнений (5.7)). Поэтому из второго уравнения (5.7) получаем m = w. В результате получаем соотношения (w, v, п,к,1 е К) А = (wx2 + v)xx + nx2 + к, В = wx2 + 2wx2 +1, С = (WX2 + v)p0 + VXj + n. Отсюда следует, что базис (над R) пространства симметрий уравнения Бюргерса образуют функции xix2Pi Х2Р2 ”1” хгРо ”1” xi> xiPi + ^х2р2 + Pq, (5.9) Х2Р1 "Ь ?Р Р2' Если вернуться к «физическим обозначениям», эти функции можно представить в виде xtu + t2u. + tu + х, хи +2tu. +u, 1 x t > (5.10) tux + l, Ux, Ut. Выпишем наконец поля Ли на J°(2,1), соответствующие пере- численным производящим функциям <р: 9 9 2 9 (tu + x)---tx-----1 —, ои ox at 9 9 n Э и7Г~хя ou ox at (масштабная симметрия), д d ou ox (галилеевская симметрия), (5.11) d dx (трансляция вдоль оси х), 9 9t (трансляция вдоль оси t).
144 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ 5.2. Уравнение Кортевега — де Фриза. Другим известным уравнением, широко применяемым при изучении нелинейных про- цессов, является уравнение Кортевега — де Фриза и. — 6uur + = О t X XXX Слагаемые иих и иххх отвечают, соответственно, диссипативным и дисперсионным явлениям при описании нелинейных волновых про- цессов. Оно было предложено Кортевегом и де Фризом в 1895 г. для моделирования волн малой, но конечной амплитуды для боль- ших отрезков времени. Другие приложения этого весьма популярно- го уравнения включают описание вращающегося потока жидкости в трубе, теорию ионно-звуковых или магнитогидродинамических волн в низкотемпературной плазме, продольных волн в упругих стержнях и др. С точки зрения математики интерес к уравнению Кортевега — де Фриза вызван особыми свойствами как самого уравнения, так и его решений. В частности, оно обладает решениями в виде уединен- ных волн (солитонов), обладает бесконечным набором коммутиру- ющих законов сохранения и бесконечномерной алгеброй (высших) симметрий (см. гл. 4). Опуская выкладки, которые отличаются от проделанных для уравнения Бюргерса лишь деталями, мы сразу приведем ответ. Ба- зис (над R) алгебры симметрий образуют следующие производящие функции хих + 3tut + 2и, 6tux + 1, их, ut, которым соответствуют поля Ли д д д 2и~---х------3t — (масштабная симметрия), ди дх dt ди дх д дх д dt 5.3. Уравнение Хохлова — Заболотской. Процесс распро- странения ограниченного трехмерного звукового пучка в нелиней- ной среде описывается уравнением, безразмерная форма которого имеет вид (галилеевская симметрия), (трансляция вдоль оси х), (трансляция вдоль оси t). (5.12) (5.13) д2и 1 д\и2) д2и д2и g1,g2>0> -оо < g3, g4 <+оо. (5-14)
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 145 В этом уравнении величина и пропорциональна отклонению плот- ности среды от равновесной плотности, а безразмерные переменные 91>9г>9з>94 выражаются через время t и пространственные коорди- наты х, у, z следующим образом: t — xlcn ____ 2и 2и 91 = - г=-гх/Ро^^ 92 = М*> <h = \~y, q4 = \ —z, у 7 + 1 у со V с° где с0 — скорость звука в среде, 7 — показатель адиабаты, х — коор- дината в направлении распространения пучка, у — малый параметр, р0 — равновесная плотность среды. В координатах qi, ра уравнение (5.14) принимает вид —Р(1,1,0,0) + иР(2,0,0,0) 4" Р1 + Р(0,0,2,0) "* Р(0,0,0,2) = 0- (5.15) Это уравнение и называется уравнением Хохлова — Заболотской. Теорема 5.1. Алгебра всех классических симметрий уравнения Хохлова — Заболотской (5.15) порождена следую- щими симметриями*): ' f (4) = A'(hPi + 2ЛРз + ^'9з> g(B) = B'q4pt + 2Вр4 + B"q4, h(C) = cP1+c, < Т2 = р2, (5.16) В = 9i Pi + q2p2 + q3p3 + q4p4, М = 291р, + 4g2p2 + Зд3р3 + 3q4p4 + 2u, . м34 ==94Рз-9зР4> где А, В, С — произвольные гладкие функции от q2. 5.3.1. «Физически осмысленные» симметрии. Выделим из алгебры всех классических симметрий уравнения (5.15) «физически осмысленные» симметрии, т. е. сохраняющие условие убывания ре- шения на бесконечности. Рассмотрим симметрию f(A). Тогда Xf(A} = A'<h-X- ~ 2АТГ~ + Л"9з^-- Я*) dqt dq3 Лди *) Отметим, что вычисления, доказывающие эту теорему, крайне трудоемки. По- этому при вычислении симметрий полезно пользоваться программами символьных вычислений. Детальный анализ этих и последующих выкладок см. в [137, 43, 122] 10 Симметрии...
146 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Легко видеть, что поток этого поля задается системой уравнений 91 = AA'r2 + A'g^r+gJ>) 9г = 9г > д3 = 2Ат+д3, > ?4 = 94 > и = -АА"т2-А"д°т+и0,. (5.17) где w°, д?, ?2 > 9з ’ ?4 — начальные данные. Рассмотрим произвольное решение и° = u°(g°, g° > 9° > 9°) УРав" нения (5.15), убывающее на бесконечности, т. е. удовлетворяющее условию и° —> 0 при ||(g°, д2, g3, gj)|| —»оо. Тогда поток (5.17) пере- ведет его в решение и = - АА"т2 - А!'д3т + u°(g°, , д°, д4) = = и(АА'т2 + А!д3т + д°, д°, 2 Ат + д£, д°). Пусть ||АА'т2+Л'дзТ-|-д°, 2Ат+д°, д4||-юо при фиксированном значении параметра т. При А!' 0 условие убывания и на бесконеч- ности не будет выполняться, так как в этом случае при д3 —> оо полу- чим и—юо. Следовательно, А" = 0. Очевидно, это условие является также достаточным для убывания решения на бесконечности. Из условия А!' = 0 следует, что А = Схд2 + С2, где СХ,С2 — константы. Таким образом, из бесконечного множества симметрий вида / (А) физически осмысленными являются только две: 71з=Рз> лз = g3pi + 2д2р3, Точно так же симметрии вида д(В) дают две физически осмы- сленные симметрии: Т4 = р4 R4 = д4рх + 2д2р4, а симметрии вида h(C) дают одну физически осмысленную симме- трию = Pi- Легко проверить, что симметрии 7j, Т2, М, М34 сохраняют условие убывания решения на бесконечности, а симметрия L — нет.
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 147 Однако нетрудно проверить, что следующие линейные комби- нации L и М физически осмысленны: Mj = 2(М + 2L) = 2q{p{ + ад + ад - 2и, М2 = (М -L) = 2q2p2 + q3p3 + q4p4 + 2u. Таким образом, подалгебра физически осмысленных симметрий порождена следующими производящими функциями: = рг-, i = 1,2,3,4 (трансляции); М34 = g4p3 - q - Зр4 (вращения); Afj = 2qjPi + q3p3 + q4p4 - 2u, (масштабные M2 = 2q2p2 + q3p3 + q4p4 + 2u; симметрии); ^з = 9зР1 + 2д2Рз." R4 = Я4Р1 + 2?2P4- Трансляции Т\ =p{, i = 1, 2,3,4, отвечают за однородность четырех- мерного пространства-времени, вращение соответствует изо- тропности пространства в плоскости, перпендикулярной направле- нию распространения пучка, М2 соответствуют инвариантно- сти уравнения Хохлова — Заболотской относительно преобразова- ний подобия 4$°: u(q)^e-2Tu(e2Tqv q2, eTq3, eTq4), A$2): u(q)^e2Tu(qlt e2rq2, eTq3, eTq4). Наконец, R3 и R4 соответствуют инвариантности уравнений отно- сительно преобразований А$3): u(q) u(ql + rq3 + r2q2, q2, q3 + 2rq2, q4), u(q) u(9j + rq4 + T2q2, q2, q3, q4 + 2тq2). 5.3.2. Инвариантные решения. Найдем решения, инвари- антные относительно некоторых подалгебр алгебры всех классиче- ских симметрий уравнения Хохлова — Заболотской (5.15). Рассмотрим подалгебру симметрий Q, порожденную М{, М2, R3, R4. Структура алгебры Ли в <7 относительно скобки Якоби в базисе е, =(Ml+M2)/2, e2 = (—M2+Ml)/2, e3=R3, e4—R4 задается соотношениями [е2>ез]:=е3’ le2’e4) = e4> [еЗ’е41~0> [в1,е,] = 0, г =2,3,4. ю*
148 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Таким образом, Q — разрешимая алгебра с коммутантом G2 = [д, д] = ®е3 © йе4. Рассмотрим произвольную трехмерную подалгебру Н С д, со- держащую д2. Каждая такая подалгебра порождена элементами в3, е4’ "\е1 ^2^2' Опишем W-инвариантные решения уравнения (5.15). Если At + + А2 0, то Ti-инвариантные решения и(д) имеют вид u(q) = xXv(x 2 Ху), где х = q2, y = 4qlq2-ql~ql, А = - Подставляя это выра- Aj + А2 жение в уравнение Хохлова — Заболотской, получаем уравнение на u(t): vv" + (у')2 + atv = О, (5.18) . —2 — A A9 — A. где!=х = Замечая, что левая часть уравнения (5.18) имеет вид (vv1 + + atv' — av)1, приходим к уравнению vv' + atv' — av — const. В случае const = 0 это уравнение имеет решение v In v + av = at, где а — некоторая постоянная. 5.4. Уравнения Кадомцева — Погуце. Это уравнение яв- ляется упрощением общей системы уравнений магнитогидродина- мики (МГД), в котором опущены некоторые детали, несуществен- ные с точки зрения задачи удержания высокотемпературной плаз- мы в установках типа «Токамак». Авторы статьи [34] исходили из идеальных МГД-уравнений, поскольку характеристические време- на наиболее интересных в этом контексте физических процессов значительно меньше характерного времени диссипации, вызванной вязкостью и электрическим сопротивлением плазмы. Кроме того, было учтено, что для устойчивости плазмы необходимо, во-первых, чтобы давление плазмы и поперечная компонента давления магнит- ного поля были много меньше давления, создаваемого продольной компонентой магнитного поля; во-вторых, желательно, чтобы мень- ший радиус токамака был бы много меньше внешнего радиуса.
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 149 В результате была получена система двух скалярных уравне- ний, которые при подходящей нормировке имеют вид dz э (5.19) + [Vxу?, V±A±¥>]z = тттД^ + V±A±V»]Z, * ОТ/ ( д д 'l где = (ai' ajp “ a? + a? 34 = eCTb 2-компонента векторного произведения [u, v] векторов и и v. Здесь функции <р и ip суть потенциалы скорости и попереч- ной компоненты магнитного поля соответственно (их можно также понимать как потенциал электрического поля и z-компоненту век- торного потенциала магнитного поля). Система координат выбрана так, что ось z направлена вдоль оси токамака. Мы будем называть (5.19) уравнениями Кадомцева — Погу- це. В литературе также встречается название «редуцированные МГД-уравнения». Относительная простота уравнений Кадомцева — Погуце дала возможность построить на их основе теорию кинк-нестабильности, получившую экспериментальное подтверждение; эти уравнения так- же использовались при численном анализе нестабильности [156]. 5.4.1. Вычисление симметрий. Мы отступим здесь от общих обозначений координат в пространствах джетов в пользу индивиду- альных, что сделает формулы более доступными для чтения. Для координат в базе мы оставим обозначения независимых координат х, у, z, t, а для обозначения координат в слое «7°(4, 2) будем исполь- зовать обозначения <р и ip. Вместо символов pj, р2 будем писать соответственно, где a = к,Г), |а| = г +j + k + + 1. В этих обозначениях уравнения (5.19) приобретают форму + (5-20) F2 = + Wy + <Рх<Ру3 ~ ^x3 - ^^3,2- - ipx2z - ipyiz - ipxipxy2 - ipxipy3 + 1py1px3 + ipyipxyi =0. (5.21) Система уравнений Кадомцева — Погуце содержит две зависи- мые переменные <р и ip, поэтому производящая функция для нее является двухкомпонентной: <S — S + Арх + В<ру AClpzA E<pt, Т = Т + Aipx + Bipy + Cipz + Eipt. (5.22)
150 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Здесь A,B,C,E,S,T — функции на J°(4,2), т. е. функции коор- динат X, у, z, t. Теорема 5.2 [59]. Алгебра классических симметрий системы уравнений Кадомцева — Погуце порождена как ли- нейное пространство над R симметриями с производящими функциями вида к -г -г j и = ( -W+P&z-Vt) \ с = ( Y(x2 + у2)+ 2-у (yipx-хру)\ у \Y(x2 + у2) + 2у(уфх-хфу) ) ' р =( -б'(х2 + у2) + 26(у<рх - х<ру) \ 6 \ 6'(х2 + у2) + 26(уфх - х-фу) ) a _(yGt+G<px\ н _( -xHt+H<p \ У° -\yGz + G^x)' Пн~\ -хНг+Нфу) ’ £ = / ip + zipz+tipt\ M=fx>px + y>py + 2z<pz+2t>pt\ \ф + zipz+tipt) ’ \xipx + yipy + 2zipz + 2tipt J ' Здесь a=a(z+t), (3—(3(z—t), у =y(z+t), 6 — 6(z—t), G — G(z,t), H =H(z,t), К =K(z,t) —произвольные функции и «н=^. №>=^. ««л dQ di] d£ du Векторные поля на J°(4, 2), соответствующие перечисленным выше производящим функциям, имеют вид: ХАа = а'(^ + ( ' д_ д_\ _ (д_ 9_\ \э а_\ _ (д__ з_\ ^dtp дф) dt) ’ хс7 =7/(з;2 + у2) f э d \ п f d d \dtp dфJ \ dx dy XV(=6\x2+y2) (A. 9s( 9 _ 9 ' dф) ydx xdy>
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 151 ХНн~ xHtQtp ХН*дф Нду' Х,ск=к*д^+К^ v & > & & & Х‘ = ^ + Фаф~га1 аё хм*-*г*ъ* м дх Уду dz dt Перечисленные симметрии имеют следующий физический смысл: £ и At — масштабные симметрии; С7 и Р{ — обобщенные повороты в плоскости х, у (повороты в случае 7 = 6 = const); Aa и Вр — обобщенные трансляции (переносы) по z и t (в случае a = = /3 = 1 обычные трансляции являются их линейной комбинацией); симметрии Qe и "Нн — обобщенные трансляции по х и у соответст- венно (обычные трансляции при G =Н = 1); наконец, К,к —калиб- ровка на тривиальное решение. О структуре алгебры симметрий дает представление таблица коммутационных соотношений (см. табл. 1). 5.4.2. Инвариантные решения. Ла-инвариантные решения. Условия инвариантно- сти имеют вид «'(¥> + ‘Ф) + + <pt) = 0, а'(<р + ф) + а(фг + i/jt) = 0. Решая эту систему, получим <р = (a(z + t))~lA(x, y,z-t) + В(х, y,z-t); ф = (a(z + t))~lA(x, y,z-t) + B(x, y,z-1), причем функции А а В подчиняются следующим соотношениям, вытекающим из (5.20) и (5.21): А„ = В А - АВ. Г} х у X у> Д.А =В Д.А +А Д.В -АД,В -ВД,А, ± т] xLy ‘ х ± у х у 1 х> (5.23) где г) = z — t. Отметим, что уравнения (5.23) одинаковы для всех а.
152 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Таблица 1 Коммутационные соотношения в алгебре классических симметрий уравнения Кадомцева — Погуце [,] ^7 а» •^а 2j^aa'-a'a 0 -2^7 7 а 0 ^a(Gt + Gx) Вв 0 20 , > 0 “Ч? ^P<Gt-Gs) С, 2С ,~ Ya 0 0 0 -2«~ 01» T>t 0 Ч'д 0 0 -2G?„ oil QG ^(Gt+GJ -С~ y?(Gt-Gz) 24g 2И7„ 01я 0 Мн ~^н -2^ 0 Л -К.яа (jil ~сК»(к^кг) СЛ/3(^-Кг) 0 0 0 1С -гА‘ + г)?-а -If "‘'(z+t'ff - *)? + zGz тМ 0 0 0 0 mHH Таблица 1 (продолжение) [,] ~Kk IC mM •^a ^(Kt+K.) ^(t+x)af -a 0 П0(Н1-Нг') Ка(ъ-кг) lB(z-W-a 0 C, 0 fclt+tyr' 0 Чя 0 0 Gg ^5 Oil 0 lGzGz + tGt -ff^G Hh 0 0 l^tHt+zHz —mHg 0 0 TX-tKt+zKz —2mK.K IC ~г%я4 + гя2 ~lKtKt+zKz 0 0 mM mMg. 2тК.-л Л 0 0
§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 153 ^-инвариантные решения. Условия инвариантности даю\> = -(Gt/G)xy + А(у, z, £); = -(GjG)xy + В(у, z,t), причем А и В удовлетворяют линейной системе -Bt+Az = (y/G)[GzA-GtB]y, (At — Bz)y2— (y/G)[GtA —GzB]y3. С-инвариантные решения. Условия инвариантности дают „ „ Ч> = г20^'/2^ + A(r, z, £); = г2 6 у' /2^ + B(r, z, t), где г и 0 — полярные координаты на плоскости х, у. При этом функ- ции А п В удовлетворяют линейной системе -Bt+Az = (r1'/21)(A-B)r ^(At - Bz) = [(г7'/27)Д± + (27'/r7)](A - B)r. Интересно, что Cy -инвариантные решения однозначно опреде- лены лишь в секторе |0 — 0О| < тг для некоторого 0о. Из таких «кусков» можно строить разрывные решения. Приведем примеры решений, инвариантных относительно неко- торых двумерных подалгебр. Аа, Вр-и н в а р и а н т н ы е решения. Эти решения имеют вид Ч> = (a(z + t))~lA(x, у) + (0(z - i))_1B(x, у), (5.24) il>='(a(z + t)) 1 А(х,у) — (/3(z — t)) lB(x,y). Таким образом, эти решения представляют собой произвольную (так называемую альфвеновскую) волну, распространяющуюся вдоль оси z со скоростью сА — 1 с амплитудой, зависящей от х, у. При этом А В - А В = О, х у ух ’ А ДВ - АДВТ + В ДА, - В ДА = 0. \ х у у X х у ух Из первого уравнения системы следует, что В = f(A). Из второго уравнения имеем /'(А)(АХ ДАу - Ау ДАЖ) + f"(A)[Axy(A2 -A2)- Аху(Ах2 - А^)] = 0. В частности, при В — А имеем ДА = Г(А). (5.25)
154 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Другие примеры инвариантных решений для системы уравне- ний Кадомцева — Погуце, в том числе для подалгебр размерности три, можно найти в статье [99]. 5.5. Размножение решений. Пусть (<р0, ^0) — решение си- стемы (5.20), (5.21), a Q = (Q1, Q2) — его симметрия. Напомним, что решение системы дт \Ф) \Q ) с начальным условием (ip, Ф)\т = 0 = (р0, Фо) Дает зависящее от т как от параметра семейство решений уравнения (5.20), (5.21). Таким образом решение (</>о,^о) оказывается «размноженным» или «де- формированным» при помощи симметрии Q. Приведем несколько примеров. -размножение. В этом случае следует решать уравне- ния ¥>т=7'г2/2+7¥>9 , ¥’|т=0 = ¥’0(г,^,«,*), (5 26) Фт ='г'г2/2 + ’уф№, Ф\т=0 = ^0(.г,е,г,1). Решениями являются tpT=y'r2T/2+tp0(r, О+т-у, z, t), фт =^'г2т/2+ + фо(г,0 +ry,z,t). Можно заметить, что решение получается од- нозначным, в то время как инвариантные решения этой симметрии неоднозначны (см. выше). Вид формул для семейства <р и ф показывает, что фазу в мож- но отклонить вдоль оси z при помощи бегущей с альфвеновской скоростью волны 7(2: + t), но при этом возникает поправка 7Г2т к решению. Заметим, что -размножение приводит к аналогичным формулам (и к отклонению t6(z — t) в фазе). Если решение перио- дично по z (например, ось z токамака замкнута и имеет длину I), то возникает условие «квантования» параметра т. Например, взяв отк- лонение фазы равным тz = r[(z+t)+(z-t)]/2, получим требование т1 = 2irn, т = 2itn/l. Однако этот эффект может и не проявиться, если отклонение периодично (например, если имеется «дрожание фазы» вида 7 = sin[7rN(z + £)//]). ^-размножение. В этом случае <Р = yrGt + ¥>0(аг + tG, у, z, t); ф = yrGg + ф0(х + rG,y, z,t). Здесь решение отклоняется вдоль оси х и возникает поправка к исходному решению, равная (yrG^yrG*). Вполне аналогично, Нн-размножение представляет собой сдвиг по оси у на тН. Ком- бинируя сдвиги, можно, скажем, изогнуть решение по спирали.
$ 5. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СИММЕТРИЙ 155 Следует, однако, отметить, что указанная свобода в выборе де- формаций несколько иллюзорна: с физической точки зрения сильная деформация приводит, по-видимому, к необходимости учета давле- ния плазмы, и, следовательно, к добавлению соответствующих сла- гаемых в исходные уравнения. Аа-размножение. Для решения системы <РТ = <*(</>*+4>t)+ <*'&+ •Фт = а(-фг + V»t) + «'(т3 + V») вычтем и сложим ее уравнения: & + V0T = <*[(¥> + VOz + (</> + VOJ + 2а'(^ + V») (т3 - = «[(т3 - + (т3 - VOJ- Преобразованную систему нетрудно решить относительно но- вых неизвестных функций +‘Ф), — ф). Приведем ответ: a(S) + a(z +1) a(S) — a(z + t) 75 “ 2a(z + t) ^Х’У’Z,T}+ 2a(z + t) ^о(Ж’У’Z,T)’ a(S) — a(z + t) . „ a(S) + oAz +1) „ “ 2a(z + t) 7’о(ж’ У’ Z'T) + 2a(z + t) У’ Z'T}' Здесь z + t ^ = V-\T + V(z + t)), r(z+t) = l j ,Z = i(z-t+S), r = |(t-^ + E), а Г1 — обратная функция. Для конкретных значений а получаются явные формулы. Например, при tpo = O и a = z+t имеем «сминание» решения: V? = (l +eT)<p0(x,y,eT(z + t),z -t)/2. Интересно отметить, что если взять разрывную симметрию, изначально гладкое решение включается в семейство разрывных. Так, если t/>0 = 0, a=£~l, £ = z + t, то 73 = 5(1 + |^|(т + £2)~1/2)р0(х, у, sgn(£)\/T+£2> z ~f)/2- При £ = 0, т 0 возникает бегущий разрыв, пропорциональный ве- личине У’оС®- У, z ~ О “ У’оС33’ У> ~z ~ О-
156 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Хотя разрыв потенциала <р и не допускает непосредственной физи- ческой интерпретации, при четности у>0 возникает разрыв градиен- та, что уже физически осмысленно. Приведем еще один пример использования инвариантных реше- ний для размножения [99]. Выберем Аа, Bfj-инвариантное решение (5.24), взяв а =2, /3 =-2 и такие функции А и В, что А = В и выполнено равенство ДА = ехр А (ср. (5.25)). А именно, в качестве решения возьмем функцию , [г4 .2/cos б» А’ A(z, 0) = - In — shz I-----bl). L 2 \ r J Тогда соответствующее инвариантное решение имеет вид {у> =0, V» — А. Полученное таким образом решение статично (т. е. не зависит от времени) и постоянно вдоль оси z. Подвергнем его (^-дефор- мации, где a(z + t) = - ехр(—(z + t)). При т = 1 из формул (5.26) получим, что _2 г2 . (г4 2[cos0 — e-(z + t) 11 Ф = (2 + t)-ln{ — shz ------------+ 1 k 2 I 2 [_ r J J На рис. 3.11 изображена магнитная поверхность уровня ф(х, у, z, 0) = 5. Стрелкой показано направление альфвеновской ско- рости вдоль оси z. Таким образом, после деформации решение утра- тило статичность и стало неоднородным вдоль оси z. На рис. 3.12 представлен результат деформации того же част- ного решения при последовательном применении £G- и Нн -дефор- маций, где G = (sin20z)/20 и Н = (cos 20z)/20. § 6. Факторизация уравнения по симметриям Группа симметрий уравнения состоит из диффеоморфизмов пространства джетов, не меняющих самого уравнения и переводя- щих каждое решение этого уравнения в некоторое другое решение. Что получится, если рассмотреть факторобъект такого действия,
§ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ 157 Рис. 3.12 т. е. пространство орбит? Или, более общо, рассмотреть простран- ство орбит по действию какой-либо подгруппы полной группы сим- метрий? Рассмотрим уравнение £ с 7к(тг), для которого полной группой
158 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ симметрий является группа Ли G, и пустьHcG — подгруппа Ли HcG. Распределение Картана С = Ск инвариантно относительно симметрий, и решения уравнения являются n-мерными максималь- ными интегральными многообразиями распределения Ск(£). Рассмо- трим пространство орбит по действию Н и обозначим через д отоб- ражение факторизации *): £ ------> Jk(Rn) £' -----> 7*(КП)/Я На £' определено фактор-распределение С', имеющее почти всюду ту же размерность. Действительно, положим С'а = Для € Jk(n)/H. Определение корректно ввиду того, что С инвариантно относительно Н. Кроме того, касательные векторы к орбитам Н почти всюду не лежат в распределении С. Действительно, пусть Ъ € е <7*(тг) и Нь — орбита точкам Ъ под действием группы Н. Тогда отображение Н —> Нь, h(b) е Нь, порождает эндоморфизм алгебры Ли Я группы Ли Н на касательное пространство ТЬ(НЬ). Потому всякий вектор Хь еТь(Нь) имеет вид |ь, где — некото- рое производящее сечение из алгебры инфинитезимальных симме- трий 7Y. Пусть ХьеСь. В частности, это означает, что п J(du> - £ pi dXi))b = ^(Ь) = 0. г — 1 Поэтому почти для всех Ь € <7*(тг) имеем Сь П ker |6 — 0 и, следо- вательно, dim С = dim С'. Решения уравнения £ — максимальные интегральные п-мерные многообразия распределения С — проектируются, вообще говоря, в n-мерные интегральные многообразия распределения С', лежащие в £'. Подчеркнем, что нас интересуют не все интегральные много- образия С', а именно те, которые являются образами решений ис- ходного уравнения (поскольку оно и является, в конечном итоге, объектом изучения). Поэтому условие, выделяющее нужные нам интегральные многообразия распределения С' в £', и будет фактор- уравнением **). *) Мы предполагаем, что пространство орбит является гладким многообразием, а проекция р — гладким расслоением. “) Если, конечно, его удастся реализовать (хотя бы локально) как некоторое подмногообразие в J*(7r').
$ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ 159 Пусть L' с 8' является образом некоторого решения L уравне- ния 8. Тогда <*(£') = Я(£)= (J h(L). (6.1) Аен Обозначим через iL> вложение д-1(1/) <-> «7*(тг). Тогда ограничение распределения Картана на задается дифференциальной си- стемой T>Ll=iltT>, где 2>cA1(J*:(7r)) — дифференциальная система, порожденная формами Картана и задающая С. Легко видеть, что распределение T>Li вполне интегрируемо: каждое из h(L) является его интегральным многообразием, а их объединение составляет все д-1(£'). Условия Фробениуса dT>L, с полной интегрируемости распределения T>Li и оказываются условиями, выделяющими те L', которые являются образами решений исходного уравнения при фак- торизации по Н. Таким образом, именно эти условия и являются факторуравнением. В разобранных ниже частных ситуациях такие факгоруравне- ния удается явно выписать в координатах за счет удачного соотно- шения размерностей участвующих в них объектов; в более общих ситуациях явную координатную форму получить затруднительно. 6.1. Уравнения второго порядка от двух независи- мых переменных. Рассмотрим уравнение второго порядка от двух независимых и одной зависимой переменных, на кото- ром действует без неподвижных точек двумерная группа Ли Н. Точнее, пусть 8 с J2(2,1) с каноническими координатами 91,92> u> Р1> Р2> Р(2,0)> Р(1,1)> Р(0,2)- ТогДа dim £ = 7, dim 8/Н = Ь. В этих же координатах базис дифференциальной системы Р, задающей рас- пределение Картана, есть uQ = du-pldq1 — p2dq2, cUj =dpi “P(2,o)d?i — P(i,i)d?jj u2 = dp2 ~P(iti)dql — P(o,2)^^2> и, следовательно, в точках общего положения размерность карта- новских плоскостей равна 4. Как уже объяснялось, векторные поля, образующие алгебру Ли 7Y группы Н, почти всюду не пересекаются с распределением Картана, и поэтому фактор-распределение Картана С' на пятимер- ном многообразии 8/Н также четырехмерно. Следовательно, задаю- щая его дифференциальная система Р' одномерна и (по крайней ме- ре локально) распределение С' можно задать одной дифференциаль- ной формой w. В ситуации общего положения одна форма на нечет-
160 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ номерном многообразии задает контактную структуру и, в соответ- ствии с леммой Дарбу, в подходящих координатах xltx2, v, ylfy2 на £/Н ее можно записана в виде w = dv — yxdx{ — y2dx2. Таким образом, само фактормногообразие £/Н может быть (локаль- но) отождествлено с J*(R2). В этих координатах (опять-таки локально) «почти все» макси- мальные интегральные многообразия формы w могут быть заданы как 1-джеты графиков функции двух переменных: t \ д9 д9 w = s(xt,x2), = у2 = -^. Обозначим это многообразие через V. Условия Фробениуса dDv с С Dv полной интегрируемости являются уравнениями в частных производных первого порядка на функции, задающие график 1-дже- та и, следовательно, уравнениями второго порядка на саму функцию д. Фактически же в разобранных примерах возникает од- но уравнение второго порядка, которое и будет являться искомым факторуравнением. Его решениям, как это следует из самой кон- струкции, соответствуют двупараметрические семейства решений исходного уравнения. Пример 6.1. Рассмотрим уравнение Лапласа £ = {р(2 Oj + + Р(о,2) = О}. Группа Н порождена трансляциями вдоль ql,q2; ее алгебра Ли Н соответственно имеет базис Э<11 dq2 Форма w, задающая контактную структуру на £/Н, определяет- ся в этой ситуации однозначно с точностью до пропорциональности условиями д * п д * л — _J/zw = 0, —_1дш = 0, oqi oq2 ^-(yw) = Q, ^-(/w) = 0, </^1 oq2 причем y*w = aowQ + + а2ш2. С учетом последнего условия, (6.2) приводит к системе (6.2) (а0Р1 "Г “1Р(2,0) + а2Р(1, i))lf ~ 6, (а0Р2 + aiP(i, 1) + “2Р(0,2))Ь = °>
$ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ 161 откуда, с точностью до пропорциональности, «о = (Рц, 1) “ Р(2,о)Р(о,2))1г> ai = (Р1Р(о,2) ~ РгР(1, q2 = (РгР(2,О) — Р1Р(1,1))1г Вторая пара условий (6.2) означает, что P*w не зависит от qvq2. Поэтому рассматриваемое отображение факторизации ц можно отождествлять с проекцией на плоскость {gj = q2 = 0} С J2(R). Та- ким образом, Р w = f • [(P(i 1) — P(2,o)P(o,2))^u ~ (Р1Р(0,2) — РгР(1,1))б^Р1 ~ “ (РгР(2,0) ~ P1P(1, l))^P2Hf где f — некоторая функция (коэффициент пропорциональности). Положим f =(P(2i>t) - Р(2,о)Р(о, 2))-1 • Так как на уравнении вы- полнено равенство Р(0,’2) = — Р(2,о)> имеем W=du - Р(2,0)+Р(1,1) Р(2,0)+Р(1,1) где С обозначает ограничение £ на уравнение. Учитывая, что w = = dv — yldxl — y2dx2, получим v-u x - n w _РгР(1,1)+Р1Р(2,о) _Р1Р(1,1)-РгР(2,о) v ~ u> xi ~ Pit У1 — _2 . _ > «2— —2 P(2,0)+P(l,l) P(2,0)+P(1,1) Отсюда, в свою очередь, можно найти, что __ __ _ *^[У\ &2У2 _ *^\У2~^~ Х%У\ U = V, Pi=x., Р(2,0) = ~~2 _|~2~~ ’ P(l,l)= • У[ +2/2 У1 ' «2 В этих новых координатах ограничение форм Картана на урав- нение имеет вид u/q ~~ dv ~~ xtdqt x2dq2j У1 + У2 Vi + 2/г _ Z1P2+:e2P1j Х\У\ ~Х2У2^ ш2 = dx2 - 1 2 i ldqx + -f <dq2. У1 + 2/г 2/i + 2/г Рассмотрим теперь в £/Н многообразие вида Vg, являющееся 1-джетом функции д(хх,х2)\ (6.3) _ , ч _ дд V — У> ~ Qx ' 11 Симметрии...
162 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Этими же уравнениями задается и многообразие Vg — у. 1 Vg с С J2(K2). Обозначим ш- = . Поскольку =0, имеем а0ш0 + а1 + а2ш2 = 0’ т. е. формы {ш?} линейно зависимы*). Поэтому можно, например, считать, что в области а2 = —у2^0 ограничение распределения Кар- тана на Vg задается формами wf. Следовательно, условия инте- грируемости этого распределения имеют вид: dwfi A А ш® = О, dwf A wjj А ш’ = 0. (6.4) С другой стороны, используя (6.3), можно получить следующие выражения для базисных форм Wq,w®: —ff^dx^ + ffX2dx2 — xtdqt — x2dq2, ^=dx, - dg2. УI + У2 Vi + У2 Довольно трудоемкая выкладка показывает, что при подстанов- ке этих выражений в (6.4) первое из условий (6.4) выполняется тождественно, а второе равносильно уравнению у2(5Х1Х1 + — 0. Однако, в выбранной нами области у2 0, поэтому равенство о + о - О и есть условие, выделяющее нужные функции. Иными словами, это и есть факторуравнение для уравнения Лапласа **). Итак, факторизация снова приводит к уравнению Лапласа (от- метим, что уравнение Лапласа линейно, и полная группа его сим- метрий, следовательно, бесконечна). В соответствии с изложенной выше теорией из совпадения исходного уравнения и факторуравне- ния следует, что с каждым решением уравнения Лапласа связано двумерное семейство решений этого же уравнения. В самом деле, если д(х1,х2) — решение уравнения Лапласа, то многообразие Vg является интегральным многообразием для распре- деления Картана и ограничения Р® полных производных Dg на Vg *) Легко заметить, что а0 = 1, а1 = —j/p а2 = — так как v>=dv-yl dxl—y2dx2. **) Отметим, что этот результат не зависит, разумеется, от выбора удобной для выкладок области у2 ф 0: при иных предположениях факторуравнение получается тем же.
§ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ 163 имеют вид _ / д 9 9 9 \ Dqi ~ + Pl9u + P^9Pl + p^9pJ 9 Ж1У1 - Д2Уг 9 , х1У2 + х2У1 9 9(h У1+У2 9xi У1+У2 дх2 (6-5) Г д 9 9 9 \ “ Ug2 +P1a« +P(1’2)5P1 +pWdPJ 0 xly2 + x2yl 9 992 У1 + J/2 ^«1 Х1У1~Х2У2 9 . У1+У2 9x2 99 здесЬ = 9^. искать в виде* . Уравнения интегральных многообразий на V будем qx=<p(xvx2), д2^ф(х1,х2). Функции </> и ф находятся из условий Dl(qi-<p) = O, PJfo-^) = O, г = 1,2. Последнюю систему можно записать явно, используя формулы 9ip 9ф (6.5). Разрешив ее относительно -—, -—, получим следующие фор- oxi ох- мулы (где г = (х2 + х2)~1): 9ц> 9хг дд 99 \ 19хх Х29х2)Г (г dg дд V Эх2 \ гдх2 2дх{} дф _.( 9д 9д \ 9хх \ l9x2 Xi9xl) 9ф 9х2 (9g 9g \ \29x2 Xl9xJr х Таким образом, при заданной g функции <р,ф определяются прос- тым интегрированием. Например, если g = х2, то <р = arctg(x1/a:2) + Clt ф = 1п(х2 + + х2)/2 + С2. Возвращаясь к стандартным координатам на J2(K2), получим следующие соотношения, справедливые на Vg, где g = х2: и—Р2> Р(2,0)— Р(0,2): Р(2,0) — Р2’’ Рр ci + 91 = arctg^/p,); С2 + q2 = Info2 + р2)/2 Ц, С2 G R. Выражая р2 =и через qit получим искомое двупараметрическое се- мейство решений уравнения Лапласа: u = eft + C2sinfo 4-Cj). 11*
164 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Пример 6.2. Рассмотрим уравнение Лапласа £ = {р(2 0) + + Р(0 2):=0}- Группа Н соответствует алгебра Ли Н, порожденной ' д д v д д полями Л = -------h q, —, X = -----Н q2^~. 91 dpt 1ди Ъ др2 гди Действуя по аналогии с примером 6.1, получим, что фактору- равнение снова совпадает с уравнением Лапласа. Каждому реше- нию g факторуравнения соответствует двупараметрическое семей- ство решений исходного, которое можно найти явно из соотношений « = p(9i,92) + 9iPi+92Р2, Р(0,2) = “Р(2,0)> _ 9i9qi ~ 9г9й Р<2,0) - 2 , 2 ’ 91 +9г 919^ + 919^ Р(М) =-------л2 -2 > 91 +92 Pi =¥>(91,92) +Ср . Р2 = V>(9i, 92) + С2, где Cj и С2 — произвольные вещественные константы. В свою оче- редь, функции <р, ф определяются из соотношений 9qdqi + 9^92 + 9i <iPi + 92dp2 = = 9i(9? + 9г)^(Р1 ~ ¥>) + 92(9? + 922)d(P2 “ V>), (9i2 + 92)dPi + (9gi9i ~ 9ft92)^9i + (9,^1 + 99192)^92 = = (9i2 + 9г)^(Р1 ~ ¥>)• В частности, для g=q{ получим следующее двупараметрическое семейство решений уравнения Лапласа: « = 91(С1 - ln(qf + q2)/2) + q2(C2 + arctg(g, /q2)), Пример 6.3. Волновое уравнение р^2 0> — р^ 2) = 0. Рассмо- трим группу Н трансляций по независимым переменным; ее алгебра д д Ли Н порождена полями -—, -—. 091 dq2 В этом случае факторуравнение также совпадает с исходным волновым уравнением. Каждое решение g факторуравнения соот- ветствует двупараметрическому семейству решений исходного, ко-
$ 6. ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ПО СИММЕТРИЯМ 165 торое можно явно найти из соотношений ' u = g(pvp2), Р(2,0) =Р(0,2)> Pi9Pt -РъРъ Р<2'°>- 52 _ 2 ’ ( ЭР1 аР2 Рг5Р1 -Р13р2 2 2 > УР2 91 =С1 -+-¥>(РрР2)> . q2 = C2 + ^(pvp2), где Ц и С2 — произвольные вещественные константы. В свою оче- редь, функции определяются из соотношений , - Pi 9Pl Р29Р1 -Р^, d<P = —------2~^dPi +-----2----г^Р» Р2-Р1 Р2-Р1 , . Р25Р1 “ Pi% , РгРр, ~ PiffP1 , d4> =----2---2 dPi + —---------2~^Р2- Р2-Р1 Р2-Р1 В частности, для g=q{ получим следующее двупараметрическое семейство решений волнового уравнения: u = e9l+Cl ch(q2 + C2). Пример 6.4. Рассмотрим уравнение теплопроводности р1 = = Р(0 2>- Выберем группу Н трансляций по независимым перемен- ’ Q Q ным; ее алгебра Ли “Н порождена полями —, -—. 04i 0Ч2 В подходящих координатах х,у, v факторуравнение является квазилинейным уравнением параболического типа: “ 2(г^)(г/ - xvy)vxy + (у - xvy)vyy = 0. Упражнение 6.1. Покажите, что факторуравнение урав- нения теплопроводности по группе масштабных симметрий и w ти совпадает с уравнением Бюргерса. Пример 6.5. У равнение Бюргерса р2 + ирх + р(2 0) = 0. Рас- смотрим группу Н, алгебра Ли которой Н порождена полями -— oqx „ п д , д и ~42~q^ + ~q~ т- е- трансляцией по qx и галилеевой симметрией.
166 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ В подходящих координатах х, у, v факторуравнение имеет вид „,2 _2 ,, v ~^- + v — + —— Зге=0. хх 2v x2v 2v Пример 6.6 (эволюционные уравнения с одной пространст- венной переменной). Здесь изложены некоторые из результатов статьи [61], относящейся к эволюционным уравнениям с одной про- странственной переменной. Большая часть примеров, приведенных в этой статье является частным случаем ситуации, разобранной в этом параграфе. Однако, в силу специального вида уравнения ut = = F(t, х,и,их,ихх,...), почти на все вопросы, связанные с проце- дурой факторизации, можно ответить более или менее исчерпыва- ющим образом. Функции, постоянные на орбитах группы Н или продолжения ее действия, на джеты более высокого порядка, называются скаляр- ными дифференциальными инвариантами этой группы [10, 152, 3]. В статье [61] доказано, что если dim Н — т, то в ситуации общего положения число независимых дифференциальных инвариантов на Jm(R2) равно трем. Эти три инварианта выбираются в качестве одной зависимой и двух независимых координат (т. е. координат в J°(R2)) на фак- торуравнении. В качестве полных производных по новым коорди- натам выбираются «инвариантные дифференцирования», т. е. такие линейные комбинации pDt + qDx, что [pZ)t 4- qDx, Л] = О для любой производящей функции h е Н. Выбор как самих инвариантов, так и инвариантных дифференцирований, естественно, неоднозначен, и в статье приводятся рациональные правила, приводящие к возмож- но более простому виду факторуравнения. На этом пути удается получить, например, следующие результаты. 1. Пусть алгебра Ли <70, состоящая из симметрий уравнения £, содержит идеал Если обозначает факторизацию, опреде- ляемую алгеброй и — соответствующее факторуравнение, то алгебра всех симметрий уравнения £0 содержит подалгебру Ли U ~Qa/Qx. При факторизации р по подалгебре U справедливо равен- ство р0 = р о р^. 2. Результатом факторизации эволюционного уравнения вто- рого порядка является либо снова эволюционное уравнение, либо уравнение, приводящиеся точечным преобразованием к уравнению вида Vtt + 2vVxt + V\x + $(wt ,Vx,V,X,t)=0. В частности, оно всегда имеет параболический тип.
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ 167 3. Для уравнений вида ut = ихх + h(t,x)u в число симметрий . . д , . входят поля a(t,x)—, где a(t,x) есть решение этого уравнения ои (сдвиг на решение). Факторизация его по любой конечномерной ал- гебре, составленной из таких симметрий, приводит снова к линей- ному уравнению того же вида, но, вообще говоря, с другим потен- циалом h. В частности, для одномерной алгебры факторуравнение имеет вид Vt = Vxx +(/l + 2(lna)xa>- Оказывается, что факторизация в этом случае совпадает с процеду- рой «одевания», применяемой в обратной задаче рассеивания. При этом переход от Л к Д + 2(1п а)хх — это ни что иное, как преобразо- вание Дарбу. § 7. Внешние и внутренние симметрии До настоящего момента под симметриями уравнения мы по- нимали преобразования Ли в <7к(тг). Такой подход соответствует изучению уравнения как бы «извне». Однако концептуально более оправдан другой подход, основанный на рассмотрении ограничения С(£) распределения Картана на уравнение £ с Jfc(?r) и диффеомор- физмов £, сохраняющих С(£). Такая точка зрения соответствует изучению внутренней геометрии уравнения и представляется бо- лее адекватной задаче изучения индивидуального уравнения, хотя, с вычислительной точки зрения, является значительно менее удоб- ной. По счастью, для весьма широкого класса уравнений оба под- хода оказываются эквивалентными. В этом параграфе описываются достаточные для этого условия; уравнения, для которых такая эк- вивалентность имеет место, мы называем ниже жесткими. Наше изложение основано на результатах [24, 19]. Введем несколько основных понятий, необходимых для даль- нейшего. Напомним, что распределение С(£) определяется в каждой точке следующим образом: С(£)в =Ск ПТ9(£). Определение 7.1. Диффеоморфизм многообразия £ назы- вается внутренней симметрией, если он сохраняет распределение С{£). Векторное поле на £ называется внутренней инфинитези- мальной симметрией, если сдвиги вдоль траекторий этого поля сохраняют распределение С(£). Обозначим через Syme(£) группу внешних симметрий, опре- деленных в § 3.6, а через Symjf) — группу внутренних симме- трий уравнения £. Операция ограничения приводит к естественному
168 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ отображению Syme 8 — Symt. £. Уравнения, для которых это отображение эпиморфно, будем назы- вать ординарными. Жесткость уравнения соответствует биектив- ности этого отображения. Разумеется, жесткие уравнения ординар- ны, однако обратное неверно (например, для уравнений первого по- рядка от одной зависимой переменной, см. ниже). Определение 7.2. Уравнение 8 с J*(?r) называется С- общим, если: 1) множество ^к k_i(8) всюду плотно в <7* ~1 (л-); 2) слои отображения = 7rfc к _ i : 8 —> тгк к _ t (£) связны, при- чем они и только они являются интегральными многообразиями мак- симальной размерности распределения С(8). Оказывается, всякая внутренняя симметрия С-общего уравне- ния 8 С Jk(n) определяет некоторое преобразование пространства Jk -1(тг). А именно, справедливо Утверждение 7.1. Если 8 С Jk(n)—С-общее урав- нение и А — его симметрия, то найдется такой диффео- морфизм А1 пространства J*-1(7r), что коммутативна ди- аграмма 8 > 8 Доказательство. Пусть вк_j G кк к_j(£). Тогда по опре- делению является интегральным многообразием мак- симальной размерности распределения С(8). Поскольку А — авто- морфизм распределения С(8), то ^(тг^^_1(0к_1)) — тоже интеграль- ное многообразие максимальной размерности, и, следовательно, оно имеет вид мя некоторой точки 0к_{ Етгк к_{(8). По- ложим Az(0fc_ j) = ^_j. Коммутативность диаграммы при этом оче- видна. п Выясним теперь, когда отображение А' будет преобразованием Ли пространства Для этого понадобится еще два понятия. Определение 7.3. Уравнение 8 с Jk(?r) называется С- полным, если для любой точки 0к _ t G irk к _ j (8) линейная оболочка
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ 169 множества *) U Я..СТ,, j‘-'« Е 1 (fy - 1) совпадает с картановской плоскостью • Таким образом, уравнение С-полно, если оно целиком опреде- ляет картановские плоскости в точках пк Обозначим через £® С У* + /(тг) l-е продолжение уравнения £, т. е. уравнение, состоящее из всех дифференциальных следствий порядка I уравнения £ **). Определение 7.4. Уравнение £c.Jk(ir) называется 1-раз- решимым (в точке 0к G £), если 7г1 + к к: £т —> £ — сюръекция (в точке 0к G £), т. е. £(,) П 7г,"+\ к(0к) / 0. Утверждение 7.2. Если С-общее уравнение 1 -разреши- мо и С-полно, то отображение А', построенное выше, явля- ется преобразованием Ли. Более того, 1 -поднятие А', огра- ниченное на £, совпадает с А. Доказательство. Уравнение £ является С-полным, поэ- тому для доказательства первого утверждения достаточно показать, что если v G R9k, 0к G 1 (0к _ t), 0к _ j G irk к _ j (£), то A't(v) G CA,(gk_ j>. Пусть точка 0j. + 1g£(1) такова, что тг4+ 1к(6к + J = 0к. Тогда Я^ + 1 СТ^(£) и (7г*|1к_1),(Я^+1) = Явк. Поэтому найдется такой вектор ViCR^, что (ттД^) = и. Тогда А'Ди) = ^((тгД^)) = = (тг^),(-4,(^1)). Но А — автоморфизм распределения С(£), поэтому 4»(ul) е С ^А(вку С другой стороны, = Raw, так что A't(v) G еЛА(«*)ССЛ'№_1)- Диффеоморфизм А совпадает с ограничением на £ поднятия преобразования Ли А!. Это означает, что A't(Rgk) = R^gy, ^кЕ£. Но предыдущими рассуждениями показано, что A'*(Rgk) С RA(gky, а так как А' — диффеоморфизм и dim Rgk = dim RA(gky = n, то и это утверждение доказано, g Уравнения, удовлетворяющие требованиям утверждения 7.2, мы будем называть нормальными. *) Напомним, что RSk — это Я-плоскость в Jk ~1 (тг), определяемая точкой 0к е G Jk(ir); см. § 3.2. **) Геометрическое определение см. в § 3 гл. 4.
170 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Поясним, почему нормальности уравнения достаточно для его ' жесткости. Условие С-полноты в случае 1-разрешимости мож- но заменить на следующее: линейная оболочка подпространств К,k -1 )АСвк(£)) С Сйк_ (, где 6к G тг"1 (0к_1), совпадает с Свк_,. Дей- ствительно, в этом случае имеем Re сСв (£) для вк + 1 е £(1) и i)*(^0t+1)= = (^м-Поэтому (irk к_j)»(£$ (£)) = = Ra . Последнее замечание показывает, что понятие нормальности ‘ является «внутренним» в том смысле, что его можно сформулиро- < вать, зная только многообразие £ и распределение С(£) на нем. ' Действительно, интегральные многообразия максимальной размер- ; ности распределения С(£) зададут в этом случае расслоение и, базу ; которого В можно снабдить распределением (ВэЬ)ь->(С6= линейная оболочка плоскостей {i',(Cy(^))|!/Gi'_1(b)}). В рассматриваемом контексте B = и описанное распреде- ление есть распределение Картана на J*-1(7r). Если, далее, рас- смотреть многообразие В1 всех n-мерных максимальных интеграль- ных подпространств построенного на В распределения, то £ С В1 и В1 = Jfc(?r). Эта процедура показывает, что условия нормальности > позволяют восстановить «внешнее окружение» уравнения £, т. е. восстановить вложение £ с /к(тг), исходя только из распределения С(£) на £. Тем самым доказана следующая теорема. Теорема 7.3. Нормальные уравнения являются жест- кими. (~| Выпишем теперь в явном виде условия 1-разрешимости и С-общности, входящие в требования нормальности. Пусть уравнение £ задано как множество нулей вектор- функции: y = F(0,u,p<r'), или £ = {^(в,«,ро.) = 0| 1 ^г}. Тогда локально F можно рассматривать как отображение F: —> /°(тг'), где тг' — некоторое г-мерное расслоение над той же ба- зой. Пусть точка 0к + 1 е /к + 1(тг) представлена в виде пары (О, L), где L — некоторая R-плоскость в точке ^ = тгк + 1 к(0к + 1)е Тогда для почти всех 0к + 1 плоскость F,(L) будет Л-плоскостью в точке G(6k). Следовательно, полагая F(l\0k + i) = (F(ek),FJL)), мы получаем отображение /к + 1(тг) —>/’(тг'). В силу определений
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ 171 следующая диаграмма коммутативна: + ^±1^ J‘(tt) М F (7.2) 7°(тг') м. Из коммутативности этой диаграммы следует, что пересечение £(1)П П7ГГ+1 k№k) непусто, если ограничение на слой, <1,*(**)->(<o)"W)), сюръективно. Однако это ограничение есть не что иное, как стар- ший символ отображения F: в координатах он представляется ма- 9G трицей —т, |сг| = к. Таким образом, уравнение 1-разрешимо, если др3а старший символ задающей его вектор-функции сюръективен. Если уравнение является определенным (число уравнений со- впадает с числом зависимых переменных), то размерность слоев проекции <7* + 1(тг) —► Jfc(?r) больше размерности слоев проекции *71 (тг') —► *7°(тг'). Поэтому в ситуации общего положения требуе- мая сюръективность всегда имеет место. Если, например, dim тг = =dim тг' — 1 и £ = {д=0}, то символ сюръективен при условии / 9Ра ^0 хотя бы для одного а, |сг| = к. Таким образом, 1-разрешимость — весьма слабое требование. Условие С-общности связано с простыми соображениями раз- мерности. Утверждение 7.4. Если £ с. Jk(n), dimTr = m, dim Л/ — п и слои проекции тг£ связны, то уравнение £ является С-общим при условии „ (п+к- 2)! codim С т ' ---у- - 2. (к — 1)!(п — 1)! Доказательство. Действительно, число (п + *-2)! , (fc — 1)! (п—1)! 1 равно разности размерностей интегральных многообразий, проек- ции которых на Jk “1 (тг) имеют размерности г = 0 и 1 (см. утвер- ждение 2.5). Поэтому при ограничении распределения Картана на
172 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ £ размерность максимальных (г = 0) интегральных многообразий упадет не менее чем на A. q Если £ — определенное уравнение, то условия последнего пред- ложения выполняются во всех случаях, кроме: а) к = 1, б) п = 1, в) т = 1, к = п — 2. Приведем примеры уравнений, для которых внешние и внутрен- ние симметрии не совпадают. Пример 7.1. Пусть вк G Jk(ir), где к 0 при dimтг > 1 или к 1 при dim тг = 1. Пусть, далее, £ = тг^|, к(0к). Тогда £ — не жесткое и даже не ординарное уравнение. Действительно, для каждой точки 0fc + 1 е£ касательная пло- скость Твк j (£) лежит в распределении Картана и поэтому ((£)= = Тдк t (£). Поэтому множество внутренних симметрий этого урав- нения совпадает с группой всех его диффеоморфизмов. Однако, каж- дая внешняя симметрия £ определяется некоторым преобразовани- ем Ли пространства Jk(ir), оставляющим на месте точку 0к. Пример 7.2. Уравнения первого порядка с одной зависимой переменной являются ординарными, но не жесткими. Пусть к = dim тг = 1. Мы ограничимся случаем определенных уравнений, т. е. codim £ = 1. Сначала напомним некоторые сведения из гл. 2. Контактная структура на J1 (тг) определяется любой из форм вида шх = XU^ir), где функция A G нигде не обращается в нуль. В дальнейшем, чтобы избежать топологических рассмотре- ний, мы будем предполагать, что найдется функция А, для которой форма </шл|£ невырождена. Локально это всегда выполнено. Далее, мы полагаем ш — шх, ш = шл|£. Теперь нетрудно описать структуру внутренних инфинитези- мальных симметрий уравнения £. Очевидно, что X G Symt. £ тогда и только тогда, когда Х(а>)=цш, цеС°°^£). Так как X(a>)=X_ldo5+ + d(X Jw), то, обозначая X Jw через /, легко проверить, что X G е Sym{ £ тогда и только тогда, когда цш = Х -lduj + df (7.3) Форма du> невырождена, поэтому отображение Г: D(£)—>Al(£), Г: Y^-YJdw, является изоморфизмом С'°°(£)-модулей векторных полей и 1-форм на £. Применив отображение Г-1 к равенству (7.3), найдем, что X G Symf £ тогда и только тогда, когда
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ 173 где Ye=rl(0),eeAl(£). Заметим теперь, что Ye _10 = —Ye _1(У^ Jdo?) = 0. Поэтому (м*Ь)(с) = (М^~) + d(jiY~ _l w) = -p,w, т. е. pY~ & Symt £ (нетрудно видеть, что поля вида pY~ направлены по характеристикам уравнения £). Поэтому X е Sym,. £ в том и только том случае, если Ydft Symf £. Но yrf/(S5)=yd/~jd2+d(yd/~js)=d((x+/zys)JS)-d7=d(xjS)-d/=o. Поэтому У^-€ Sym£ £ тогда и только тогда, когда У^_1ш = /. Перепишем последнее условие в более наглядном виде: Y.r _JS = -Уг_1 Y~ _Jd2 = У- _l У = У- _l(-d/) = -Y~(f\. Тем самым доказано следующее предложение. Утверждение 7.5. Поле X G D(£) тогда и только тогда является внутренней симметрией уравнения £, когда оно имеет вид где р — некоторая, функция и Y~(f) = —f. При этом Х(и>) = = рш. Заметим, что поле Ydh, h е С°°(£), является гамильтоновым с гамильтонианом h относительно той симплектической структуры на уравнении £, которая задается 2-формой dw. Поэтому внутренними симметриями уравнения £ являются только те гамильтоновы поля на £, гамильтонианы h которых удовлетворяют условию Y~(h) = —h. Выясним теперь, как связаны между собой Symf £ и Syme £. Напомним, что контактное поле X на У^тг) однозначно определяет- ся своей производящей функцией f = Х _1ш, являясь единственным решением системы двух следующих уравнений X Jda> +df=Xx(f)u, f=XAu, (1A) v d где поле X, = -— однозначно определяется условиями О X1_lw = l, Xj_ldw = 0. Теорема 7.6. Контактное поле Xj тогда и только тогда является внешней симметрией уравнения^ первого порядка с одной зависимой переменной, когда Y~(f) = f.
174 ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СИММЕТРИЙ Доказательство. Из (7.4) следует, что Xg(f) + Хд АХ} _ldw = Xg(df + Xf _1<М = Xg_lXx(f)w = gXt(f). Аналогично, Xf(g) + Xj _1Хд_ldu) = fXi(g). Так как X? _JXg_ldu> + X____l-Xy_idw = 0, to X}{g) + Xg(j) = fXx (5) + gXx(J) = Xx(Jg). Пусть локально 8 — {g = 0}, dge / 0, 0 G 8. Тогда из последнего равенства следует, что X}{g)\£ = -Xg{J) + fXx{g)\£, (7.5) где X обозначает ограничение поля X на 8, если X касается 8 (напомним, что поле Хд всегда касается гиперповерхности {<7 = 0}). Ограничивая равенство — Xg_ldw = dg — Хх(д)ш на 8, получаем —Xg_idw = aw, а — —Хх(д)\£. Поэтому, в соответствии с введенными выше обозначениями, X =aY~, д w и, значит, (7.5) можно переписать в виде X}(g)\£ = aY~(f)-af. Таким образом, равенство ХДд)\£ = 0 (т. е. условие касания поля Xj многообразия 8) будет выполнено тогда и только тогда, когда >-(/) = /, так как а = —Хх(д)\£ /0. Последнее следует из того, что Xjlj Тв(8), так как Хх G kerdw|e, a du\£ — 0. g Следствие 7.7. Для уравнения первого порядка с одной зависимой переменной отображение Syme 8 —»Symt. 8 являет- ся эпиморфизмом. Доказательство. Рассмотрим функцию h — f + Xg, A G G C'°°(J1(7r)), A/0, и постараемся подобрать функцию А так, чтобы выполнялось равенство Xh = pYtw + Ydj. Согласно доказанной те- ореме, поле Х^ является внутренней симметрией уравнения 8, и поэтому, согласно утверждению 7.5, выполнено равенство Xf = vY~ + Ydf, иеС^(8).
$ 7. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ 175 Далее, как было показано в гл. 2, Х^ — (рХ11)+'фХ1р-^'фХ1. Отсюда и из (7.5) следует, что X.=XX=aXY~, A = AL. лд д ш1 lb Поэтому, выбрав в качестве А такую функцию, что a = ~xi(9)\£, мы можем считать, что Xh = pY~ + Ydj-. q Пусть Xj — pY~ + Ydp Тогда, ограничивая равенство Xf (w) = Xf _l dw + df - Xt (f )w на уравнение £ и учитывая, что Xf касается £, получаем Xj(w) = Xf -idu + df (3 = Xx(f)\£. С другой стороны, как показывает утверждение 7.5, если Y = = /j.Y~ + Уф то У(о5) = /Зи>. Поэтому (3 = ц. Таким образом, справед- ливо следующее предложение. Следствие 7.8. Пусть Y=pY~+Ydf-e Sym,. £. Тогда Xf = = Y в том и только в том случае, когда f\£=f и Xl(f)\£ = р. Из двух последних следствий непосредственно выводится глав- ное утверждение. Следствие 7.9. Уравнения первого порядка относи- тельно одной зависимой переменной являются ординарны- ми, но не жесткими.
ГЛАВА 4 ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ В гл. 3 мы рассматривали нелинейные дифференциальные урав- нения в частных производных как подмногообразия в пространствах снабженные распределением Картана, и на основе этого под- хода построили теорию симметрий. Оказывается, что при рассмо- трении дифференциального уравнения не «самого по себе», а вме- сте со всеми его дифференциальными следствиями *) теория симме- трий допускает естественное обобщение. При этом дифференциаль- ные следствия образуют так называемое бесконечное продолжение уравнения, а «естественной средой», в которую эти продолжения помещаются, являются пространства бесконечных джетов. На них также существует распределение Картана, которое, в отличие от рассматривавшихся ранее, вполне интегрируемо. Изучение авто- морфизмов этого распределения приводит к понятию высшей сим- метрии дифференциального уравнения. Широко известный при- мер таких симметрий — это серия высших уравнений Кортевега — де Фриза, а также аналогичные серии для других интегрируемых нелинейных систем (см. например, [31]). Пространства бесконечных джетов, как и бесконечные продол- жения большинства уравнений, являются бесконечномерными мно- гообразиями, и поэтому мы начинаем изложение с описания основ- ных дифференциально-геометрических конструкций (гладких функ- ций, векторных полей, дифференциальных форм и т. д.) на этих мно- гообразиях (§ 4.1). В § 4.2 вводится распределение Картана на про- странстве бесконечных джетов и изучаются его инфинитезимальные автоморфизмы. Приводится полное описание этих автоморфизмов в терминах эволюционных дифференцирований (обобщений полей Ли) и их производящих функций. Следующий параграф посвящен геометрическому определению бесконечных продолжений и выводу определяющих уравнений на высшие симметрии. Наконец, в § 4.4 рассматриваются некоторые примеры вычислений. *) Отметим, что при рассмотрении внешних и внутренних симметрий (§ 7 гл. 3) мы уже сталкивались с необходимостью рассмотрения дифференциальных следствий уравнения.
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 177 § 1. Пространства бесконечных джетов и основные дифференциально-геометрические структуры на них Пространство бесконечных джетов сечений расслоения тг: Р —> —> М — это обратный предел башни конечных джетов относительно проекций тгк j к: 7* + 1(тг)—>7*(тг). Задача настоящего параграфа — определить основные элементы анализа и дифференциальной геоме- трии на 7°°(тг) (гладкие функции, векторные поля, формы и т. д.), необходимые для построения теории высших симметрий. Решение этой задачи наталкивается на некоторые методологические труд- ности, источник которых — бесконечная размерность 7°°(тг). Для преодоления этих трудностей мы переходим к двойственному алгеб- раическому языку колец гладких функций на этих многообразиях. Алгебро-геометрический дуализм значительно упрощает определе- ние необходимых понятий и позволяет сделать все рассмотрения достаточно прозрачными. Чтобы убедиться в этом, достаточно отка- заться от использования локальных координат и попытаться после- довательно изложить этот материал, пользуясь только инвариант- ными алгебро-геометрическими средствами. 1.1. Многообразия 7°°(тг). Пусть М — гладкое многообразие размерности п и тг: Р —»М — гладкое векторное локально триви- альное расслоение над М, слой которого имеет размерность т. Рассмотрим цепочку проекций (см. гл. 3) M^-P^s- 7‘(тг) <---...<---+ <-- ... (1.1) и для каждой точки х & М выберем последовательность точек G /'(тг), I = 0,1,..., k,..., так, чтобы имели место равенства тг1 + 1 ((01 + 1) =01г тг(0о) = х. В силу этих равенств, определения про- странств 7г(тг) и леммы Бореля [48] можно выбрать такое локальное сечение s расслоения тг, что вк = [з]^ при любом I. Таким образом, каждая точка 0г определяется производными сечения з в точке х вплоть до порядка I, а вся последовательность точек {0,} содержит информацию о всех производных сечения з в точке х. Обозначим через 7°°(тг) множество последовательностей указанного вида. Оче- видно, что точки пространства 7°°(тг) можно интерпретировать как классы сечений расслоения тг, имеющие касание бесконечного по- рядка, или, что то же самое, как бесконечные ряды Тейлора этих сечений. 12 Симметрии...
178 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Для каждой точки ^оо = {х, 0k}keriE положим 7r00j*;(^00) = = вк и 7^(0^) = х. Тогда для всех к > I > 0 имеют место коммута- тивные диаграммы J°°(7r) Jfc(7T) J*(7T) М j'(Tr) (1-2) т. e. выполнены равенства тгк о тг^ к = тг^ и тгк 1 о тг^ к = тг^ г. Кроме того, если з — сечение расслоения тг, то определено отображение Ло(з): М -> J°°(7r), задаваемое равенством joo(s)(x) = {x, [s]*}fc6N. При этом справедливы соотношения тг^ к о j^s) = jk(s) и тГоо 0 = idM> W idM—тождественный диффеоморфизм мно- гообразия М. Определение 1.1. Сечение ^(з) расслоения тг^: J°°-» —>Л/ называется бесконечным джетом сечения з еГ(тг). Как и пространства 7*(тг), к оо, множество J°°(ir) наделяется естественной структурой гладкого многообразия, однако, в отличие от первых, оно является бесконечномерным. Координаты в 7“(тг), возникающие над окрестностью U С М, — это xv.. .,хп и всевоз- можные функции вида р^, где |<т| имеет произвольное (но конечное) значение. Определение 1.2. Расслоение тг^: J°°(7r) —»М называ- ется расслоением бесконечных джетов, а пространство J°°(7r) — многообразием бесконечных джетов расслоения тг. Нашей ближайшей целью будет построение аналогов основных дифференциально-геометрических понятий, встречающихся в диф- ференциальном исчислении на конечномерных многообразиях. При этом мы будем руководствоваться следующим, пока неформальным, но крайне важным принципом: любая естественная конструкция, возникающая на J°°(7r), должна «помнить» о том, что многообразие бесконечных джетов является пределом башни проекций конечно- мерных многообразий (1.1). Начнем с понятия гладкой функции на J°°(7r). 1.2. Гладкие функции на J°°(7r). Пусть М — гладкое мно- гообразие и С°°(М) — множество гладких функций на нем. Ес- ли М' — некоторое гладкое многообразие и G: М' —> М —глад- кое отображение, то оно порождает отображение G*: —> действующее по правилу G*(f)(x') = f(G(x')), fe е R, х1 е М1, и удовлетворяющее соотношениям G*(/j + /2) = = С’(/1) + СШ G'*(/i/2) = G*(/i)G!*(/2) и G*(a/) = aG*(/) для
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 179 любых fiff2ifER и a G R. Иными словами, G* — гомоморфизм R-алгебр. Если G — субмерсия, то, как легко видеть, G* — моно- морфизм, т. е. kerG* = O. Рассмотрим теперь последовательность субмерсий (1.1) и обозначим через ^(тг) кольцо гладких функций на многообразии к^О, а через Т’-оДтг)— кольцо Тогда в соответствии с (1.1) определена цепочка вложений R-алгебр -> ^о(тг) J-Дтг)----> Л + 100 -> • • •> где 1/ = тг* и + = Определим теперь Т = J’(tt) — алгебру гладких функций на J°°(7r). Из существования проекций тг^ fc: J°°(7r)—»7*(тг) следует, что каждая из алгебр ?к =7^(0 с помощью некоторого гомоморфиз- ма ик должна вкладываться в алгебру Из равенств тг, о тгк , — тгк, к > I (см. гл. 3), и коммутативности диаграммы (1.2) вытекает, что диаграмма также коммутативна. Поэтому алгебра Т должна содержать в себе объединение всех алгебр Ук, к = — оо,0,1... С другой стороны, по- скольку 7°°(тг) полностью определяется всеми своими проекциями на многообразия 7*(тг), естественно предположить, что 7 исчер- пывается этим объединением. Итак, положим J’(tt) = |J ^(тг). Из к этого определения следует, что каждая из функций <р на однозначно определяется своим ограничением на какое-то многооб- разие 7*(тг) с достаточно большим номером к. Это число называ- ется фильтрацией функции <р и обозначается deg(y>). Очевидно, что множество F является коммутативной R-алгеброй, операции в которой следующим образом связаны с фильтрацией: deg(y>1 + ч>2) max(deg(y>1), deg(y>2)), deg( 9?2) = max(deg(9?!), deg(y>2)), (1.3) deg(ay>) = a deg(y>), <p G J’, a G R, a/0. Алгебры Тк являются подалгебрами в T, определяемыми усло- виями 7^ = {у> g Т | deg(y>) fc}. Алгебра Т вместе с функцией deg: Т —»Z, принимающей целочисленные значения (а также, если это необходимо, значения ±оо) и обладающей свойствами (1.3), назы- 12*
180 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ вается фильтрованной, или алгеброй с фильтраций. Фильтрация на алгебре F является алгебраическим соответствием башни про- екций (1.1). Теперь мы можем уточнить сформулированный выше неформальный принцип. Все естественные дифференциально-геометрические конструкции на должны быть согласованы со струк- турой фильтрованной алгебры в Пример 1.1. Пусть G: 7*(тг)—► <7к(тг) — преобразование Ли пространства к-х джетов. Тогда, как было показано в предыдущей главе, G является к-м поднятием некоторого диффеоморфизма Go пространства 7°(тг), если dim(7r)> 1, и (к — 1)-м поднятием неко- торого контактного преобразования G{ многообразия J^tt), если dim(ir) = 1. При этом совокупность всех поднятий отображе- ния Ge (е равно 0 или 1 в зависимости от размерности тг) согласо- вана с проекциями тг; г1 и определяет автоморфизм G* алгебры Г. При этом если 9? G У и deg(y>) > е, то degG(p) = deg(<p). Поэтому можно считать, что всякое преобразование Ли (рассма- триваемое вместе со всеми его поднятиями) определяет диффео- морфизм пространства J°°(7r). Определение 1.3. Отображение G: где тг: Е —>V и £: Q М —векторные расслоения, называется глад- ким, если для всякой функции Gэлемент G*(<p) — <poGe & ^(тг) является гладкой функцией на пространстве J°°(7r) и най- дутся такие целые числа 4 и 10, что degG*(y>) = deg(y>) + / для всех <р е Д<), deg(^) 10. Ниже мы опишем широкий класс гладких отображений, кото- рые в отличие от отображений, построенных в примере 1.1, повы- шают фильтрацию. Для этого нам понадобится следующая интер- претация элементов <р е J’(Tr). Пусть <р е Т = ^(тг) и deg(y>) = fc, т. е. G 7^. Рассмотрим про- извольное сечение s расслоения тг. Тогда, как мы знаем, ему соот- ветствует сечение jk(s) расслоения тгк, а композиция p°jk(s) = <p(s) является гладкой функцией на многообразии М. Иными словами, функция сопоставляет гладким сечениям расслоения тг элементы С°°(М) и, поскольку точки, лежащие на графике сечения jk(s), суть отрезки длины к ряда Тейлора этого сечения, значения функции у>(з) определяются производными сечения з до порядка к включи-
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 181 тельно. Таким образом, функция <р каноническим образом определя- ет нелинейный скалярный дифференциальный оператор на множест- ве сечений расслоения тг, причем порядок этого оператора совпадает с фильтрацией элемента р. Это соответствие становится еще более наглядным при переходе к координатным рассмотрениям: если U — окрестность в М и (хх,..хп,.. .,р3а,...) — соответствующие ло- кальные координаты в 7°°(тг), то р является функцией аргументов г = 1,..n, j = 1,..., тп, |сг| к, и если з = (з\х),..sm(x)), то p(s) = р I Xj,..хп,..... ). Иногда удобно разли- \ дх^ ... дх1” / чать функции р е У и соответствующие им дифференциальные опе- раторы. В этих случаях оператор, определяемый функцией р, будет обозначаться через Д^, а функция, соответствующая оператору Д, через <рд. Построим теперь аналогичное соответствие для матричных диф- ференциальных операторов. Локально, над некоторой окрестностью UcM, всякий матричный оператор, определенный на сечениях рас- слоения 7г|м, должен принимать свои значения в вектор-функциях, т. е. в сечениях прямого произведения тг'|м: U х Rm —>U, и на пе- ресечении И Г) И' двух таких окрестностей эти значения должны быть согласованы. Переход на глобальную точку зрения, т. е. изу- чение операторов, определенных над всем многообразием М, тре- бует рассмотрения некоторого расслоения тг', ограничение которого на U совпадает с расслоениями 7г'|м: И х R'—Иными словами, глобальным аналогом матричных дифференциальных операторов яв- ляются операторы, действующие из сечений локально тривиального расслоения тг в сечения локально тривиального расслоения тг' над тем же многообразием М. Пусть Д — матричный дифференциальный оператор порядка к, з — сечение расслоения тг и х е М. Тогда значение сечения Д(з) в точке х определяется значениями частных производных вплоть до порядка к сечения з в той же точке или, что то же самое, к-м джетом сечения з в точке х. Иначе говоря, оператор Д позволяет сопоставить каждой точке 0к е 74(тг) точку слоя расслоения тг', ра- стущего над х — тгк(вк). Последнее можно интерпретировать двояко. Во-первых, это означает, что Д определяет некоторое сече- ние <рд расслоения тг£(тг') над Это расслоение индуцированно из расслоения тг' с помощью проекции тгк. Действительно, тотальное пространство индуцированного расслоения тгк(тг') состоит из таких точек (вк, е 7*(тг) х 7°(тг'), что пк(0к) = тг'(0о), и мы можем по- ложить Фд(^) = (0к, (Д(з))(х)), где 0к = [s]*, з е Г(тг), рис. 4.1.
182 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Рис. 4.1. Построение сечения у>д Во-вторых, из сказанного следует, что оператору Д соответст- вует отображение пространств Фд: 74(тг) —> 7°(тг'), согласованное с их проекциями на многообразие М, т. е. обладающее тем свойст- вом, что 7г'офд = тгк. Если 0fc = [s]* е <7*(7г), s еГ(тг), то мы полагаем ф(0д.) = [Д(з)£ = (Д(з))(х). Тем самым определена следующая ком- мутативная диаграмма: (1-4) т. е. Фд является морфизмом расслоения 7rfc в расслоение тг'. Заме- тим, что для любого оператора Д: Г(тг) —>Г(тг') порядка к выполнено тождество д = фд°Л> которое можно принять за определение. Здесь Фд: Г(тгк)—>Г(тг') — отображение, порожденное морфизмом Фд.
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 183 Пример 1.2. Построенный выше оператор jk является оператором порядка к, действующим из расслоения тг в расслоение 7rfc: Ja(tt) —>М. Соответствующее ему сечение сопоставляет каждой точке 0к е 7к(тг) ту же самую точку, но рассматриваемую как элемент слоя индуцированного расслоения Tr£(Trfc), растущего над 9к. Иными словами, является диагональю. Легко также ви- деть, что отображение Ф^: 7к(тг) —> 74(тг) = 7°(тгА.) является тож- дественным. 1.3. Продолжения дифференциальных операторов. Пусть Д: Г(тг) —> Г(тг') и Д': Г(тг')—>Г(тг")—два дифференциальных опе- ратора порядков к и к' соответственно. Тогда их композиция Д' о Д является дифференциальным оператором порядка не более к + к'. Чтобы установить этот (локально очевидный) факт, заметим следу- ющее. Во-первых, для всякого морфизма Ф расслоений тг: Р —> М и Q —> М определены его поднятия Ф<‘>: Jfc(7r)^Jfc(O, Ф(*)([з]‘) = [Фоз]‘ При этом справедливы соотношения ф(О) = ф, фСОотг, . = £, .оФ<*>, Аоф^тг,, к^1. Во-вторых, для любых к, к' > 0 можно построить отображение где 9к = [а]*. Тогда пк — Фк к, о (irk)ki и, как легко видеть, фк,к'(Л+к'(«))=Л'(Л(в))> т- е-> таким образом, &kklOjk+kl = jk>o jk. Иными словами, Фк к> =^^0,к> и это доказывает, что композиция Л' ° Зк является дифференциальным оператором порядка к + к'. Вернемся к случаю произвольных операторов Д, Д' и рассмо- трим диаграмму
184 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Из коммутативности этой диаграммы следует, что для любого сече- ния в 6 Г(7г) выполняется равенство Д'(Д(а)) = Фд,(Ф(2')(Фк,к'и + .'(в))))) т. е. ФД'оД=ФД'ОФд)оФМ'’ что и доказывает искомый результат. В частности, для любого оператора Д определена его компо- зиция Дг с оператором jt: Г(тг') —> Г(тг,)> 0- Пусть Фд = Фд : Jfc+,(ir) —> — соответствующее отображение многообразий джетов. Тогда, как легко видеть, диаграмма (1.4) достраивается до следующей коммутативной диаграммы: Совокупность отображений Фд = {Фд}1>0 определяет гомоморфизм Фд: ^(тг') -* ^(тг), который обладает свойством deg®^(<p) = deg(y>) + А:, </> G Дтг'). Таким образом, Фд является гладким отображением многообразия J°°(7r) в многообразие J°°(7r'). Определение 1.4. Оператор Д; называется l-м продол- жением нелинейного дифференциального оператора Д. Как мы увидим ниже, это понятие играет чрезвычайно важную роль в исследовании дифференциальных уравнений. Пусть UC.M — координатная окрестность в М, (хр..., хп, и1,..., ит, — соответствующие координаты в а (®р.. .,хп, v1,..., vm,... ..., qi ,...) — координаты в |у. Если ip ..., хп, з*(а:),..., зго(х),..., —-—г,... I , дх.1 .. .дх" / 3 е Г(тг|м), (1-5)
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 185 — координатное представление оператора Д и Л(«)(®1» (1.6) xt..... х ..... —. " дх'^.. .дх%£ — координатное представление операторов Д и jk соответственно, то, как легко проверить, первое продолжение оператора Д описы- вается соотношением (1.5), а также соотношениями I д / ( \ (Д(а))'=—' oxi dtp3 х л v а , = —----1-> . -----.-----1 = 1,..., п; дх{ др3 дх{ дхг.1... дх1п или, эквивалентно, — соотношениями Г v3' = p3\x,...,p3tr,...), I q3' = Вур3', г = 1,..., п, q к т q где D{ = -—h ^2 Р3а + г —J — операторы полных производных. Xi |<r| = Oj = l ®P<r Аналогично Z-е продолжение оператора Д определяется систе- мой соотношений q^=DT<p3\ = где DT = D1/ о... о D1”, если т = (/р..I Пример 1.3. Пусть Д — оператор, определяющий уравне- ние Бюргерса (см. гл. 3) и в координатах представленный в виде V = Р(0,1) _ иЛ1.0) — Р(2,оу (1-8) Тогда его первое продолжение имеет вид V ~P(Q,l) ~ иР(1,0) — Р(2,0)’ 9(1,0) =P(l, 1) “Лио) - UP(2,0) ~Лз,О)> 9(0,1) =Ло,2) -Л1.0)Р(0,1) — иР(\,\) — Р(2,\у a Z-e продолжение представляется в виде 9(., j) = 7?i7?2(P(o, i) _ P(0,0)P(i,0) — P(2,o))= ‘ /.\ i / л\ P(a,P)P(i + \-a,j-Py д<р3' д д^з3 I, (1-7) P(i + 2J)
186 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Упражнение 1.1. Опишите 1-е продолжение оператора jk. Рассмотрение матричных дифференциальных операторов при- водит к отображениям объектов, имеющих более общий характер, чем алгебры вида ^(тг). Напомним, что всякий дифференциаль- ный оператор V: Г(тг)—►Г(0 порядка к отождествляется с сечени- ем расслоения л£(0. Обозначим множество таких сечений через ^(тг, £). Как и для алгебр ^(тг), имеет место цепочка вложений ^_«>к о=по о -.. • - о л+1 (*, о • • • оо и, следовательно, определено множество ^(тг, 0 = U ^.(тг, 0, к = —оо фильтрованное подмножествами ^.(тг,0. Элементы ^(тг, 0 мож- но складывать друг с другом и умножать на элементы из ^(тг), причем эти операции согласованы с фильтрацией, т. е. -/-"(тг, 0— фильтрованный модуль над фильтрованной алгеброй ./’(тг). Если теперь рассмотреть некоторый оператор Д: Птг) -> Г(тг') по- рядка I и его композицию с другим оператором V. Г(тг') —> Г(0 порядка к, то мы получим оператор, действующий из Г(тг) в Г(0 и имеющий порядок к+l. Таким образом, мы имеем систему отображе- ний Фд ^(тг', 0-*<Ft+J0r, 0 или, что то же самое, отображение Фд,е С) —* F(ir, 0> повышающее фильтрацию на I. При этом выполнены равенства фд,^1 + ^2) = фд,е(9М + фд,«(9’9’1) = фд(9’)фк,«(9’1)> ¥>i,¥>2€^«0, <pe^(ir). Иными словами, для любого расслоения £ отображение Фд( яв- ляется гомоморфизмом фильтрованных модулей, действующим над гомоморфизмом Фд фильтрованных алгебр. Упражнение 1.2. Постройте гомоморфизм Фд , исходя из гладкого отображения Фд: J°°(7r) —> 1.4. Векторные поля на Перейдем теперь к анализу понятия векторного поля на многообразии J°°(7r). Пусть Хв — каса- тельный вектор в точке 0 6 J°°(7r). Тогда по естественным соображе- ниям проекции тГдр к и тг^ должны определять последовательность касательных векторов (тг^ k)t(Xg) в точках 0к = тг^ к(0), а также касательный вектор е ТХ(М), х = 7^(0). Теперь, следуя уже знакомой читателю логике, мы определим касательный век- тор Хд к многообразию J°°(7r) в точке 0 как совокупность (Хх, Х^}
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 187 таких касательных векторов к многообразиям М и 7к(тг) в точ- ках х = 7^(0) и 0к = 1гж t(0) соответственно, что (я\+1,Л(^+1)= =ХвкЛч)АХвк)=Хх; см. рис. 4.2. Если U сМ — координатная ок- рестность точки х G М и (х{,..., хп, ... • • • • •) — канонические координа- ты в то всякий касательный к J°°(7r) вектор Хв в точке 0 представля- ется в виде бесконечной суммы Рис. 4.2. Касательный вектор к многообразию J°°(7r) в которой коэффициенты суть действительные числа. При этом 71 к 771 i=l * |<r|=0 j'=l 1=1 1 Пусть Хв — касательный вектор к J°°(7r) в точке 0 и Xg* — его проекция в TeJj‘(7ij). Тогда вектор Xg* можно по- нимать как дифференцирование алгеб- ры гладких функций на Jfc(?r) в поле констант R, т. е. как отображение Xej Fk —> R, обладающее свойством где 99j, </?2 е 7^. Условие согласованности системы векторов Х^, Хх с проекциями тг^ k, irk означает, что Х%+1 °vk + i,k=Xgk,Xgoov = Xx, т. е. что диаграмма
188 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ коммутативна. Иными словами, как и в случае конечномерных мно- гообразий, касательный вектор Хв интерпретируется как дифферен- цирование алгебры Т со значениями в поле действительных чисел: W2)^1(W + ^)W, (1.Ю) где , <р2 е У. Если теперь рассмотреть семейство X = {Хв} касательных век- торов на J°°(7r), параметризованных точками в е J°°(7r), т. е. вектор- ное поле на j°°(7r), то формула (1.10) преобразуется в соотношение Х(^^2) = ^Х(^2) + ^2Х(^), (1.11) справедливое для всех гладких функций <р2 на ^°°(7Г). Чтобы за- вершить наши рассуждения, осталось вспомнить о наличии фильтра- ции в алгебре ^(тг) и определить векторное поле на многообразии J°°(7r) как такое дифференцирование алгебры ^(тг) (т. е. R-линей- ное отображение X: У —> Т, удовлетворяющее тождеству Лейбни- ца (1.11)), что deg X(ip} = deg(y>) + к, где к — некоторое не зависящее от р целое число, которое мы обо- значим deg(X). Через Р(тг) обозначим множество векторных полей на J°°(7r). Определение 1.5. Поле X е D(ir) называется верти- кальным (или к-вертикальным), если Х(тг^(<р)) = 0 для любой функции р е С°°(М) с Т7. Множество вертикальных полей обозначается через £>”(тг). Упражнение 1.3. Покажите, что если X,Y е Р(тг) и р 6 Т, то X + У, ч>Х и [X, Y] = X oY — Y о X также являются векторными полями на /“(тг), причем выполняются тождества [Х,У] + [У,Х] = 0, [X,tpY] = X(<p)Y + p[X,Y], [X, У + Z] = [X, У] + [X, Z], Z е 2?(тг), [X, [У, Z]] + [У, [Z, X]] + [Z, [X, У]] = о, т. е. множество векторных полей на У°°(7г) обладает теми же ал- гебраическими свойствами, что и поля на конечномерных многооб- разиях, и, в частности, образует R-алгебру Ли. При этом Dv(ir) — ее подалгебра. Пример 1.4 (поднятия векторных полей). Пусть X — век- торное поле на многообразии М, <р — гладкая функция на для которой deg(y>) = к, и А = Д : Г(тг) —> С°°(М) — соответствую-
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 189 щий ей дифференциальный оператор. Тогда, поскольку X является дифференциальным оператором первого порядка, действующим из С°°(М) в С°°(М), определена композиция X о Д: Г(тг) —> являющаяся дифференциальным оператором порядка к +1. Обозна- чим через Х(р) функцию на X, соответствующую оператору X о Д. Упражнение 1.4. Покажите, что соответствие X: р •-> ь->Х(<р) является векторным полем на У°°(тг) с deg(X) = 1. Дадим геометрический вариант определения поля X. Пусть х е 6 М и 0к — точка в Jfc(7r), лежащая в слое расслоения 7rfc над х. Тогда 0к = [в]* для некоторого сечения з Е Г(тг). Если — глад- кая функция на Jfc(?r) в окрестности точки 0к, положим Хвк(р) = = Хх(з*(<р)). Очевидно, правая часть последнего выражения не за- висит от представителя з точки 0к. Таким образом, Хвк — касатель- ный вектор к Jk(ir) в точке 0к. Если теперь {ж, — последователь- ность точек, определяющая точку 0 е J°°(7r), то, как легко видеть, К + 1,Л(*в*+1) = -Ч и ^к)АХек) = ХХ’ т- е- последовательность векторов определяет касательный вектор к многообра- зию У°°(7г) в точке 0. Определение 1.6. Поле X на J°°(7r) называется подня- тием векторного поля X Е D(M) на пространство бесконечных джетов. Непосредственно из определения вытекают следующие свойст- ва операции поднятия: fX+^Y = fX+gY, (1.12а) [X?Y] = [X,Y], (1.126) X(f<p) = X(f\p + fX&), (1.12в) где f, g E ^f,X,Ye D(M). Равенства (1.12a) — (1.126) означают, что операция поднятия является гомоморфизмом алгебры Ли векторных полей на М в алгебру Ли 2?(тг), а из равенства (1.12в) следует, что проекция на М поднятия в J°°(7r) всякого поля X Е Е D(M) совпадает с исходным полем. Иными словами, соответствие X w X есть плоская (интегрируемая) связность в расслоении тг^. Этот факт играет фундаментальную роль в геометрии многообра- зий J°°(7r), и мы будем неоднократно обращаться к нему при после- дующем изложении. По причинам, которые станут понятны в § 2, эта связность называется связностью Картана. Если (хх,.. ^х^и1,.. ,,ит,.. .,pi,...) — координаты в над некоторой координатной окрестностью UсМ, то всякое поле
190 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ X е D(M) представляется в виде бесконечной суммы Х-Х,£ + ...+*.£ + ...+Х'Д + .., (1.13) 9х1 °Хп ор3а где XitX3 е^(тг м), причем, начиная с некоторого к0 >0, для всех j и таких а, что |а >fc0, выполняются равенства deg(X/) = |сг|+к, к = = deg(X). Вертикальные поля характеризуются тем, что для них все коэффициенты при Х{ равны нулю. Отметим, что бесконечность чи- сла слагаемых в правой части выражения (1.13) не вызывает вычис- лительных трудностей типа проверки сходимости и т. п., поскольку в силу определения алгебры Л(тг) каждая функция р G ^(тг) может зависеть только от конечного числа аргументов и, следовательно, количество слагаемых в выражениях Х(<р) для конкретной функ- ции р также всегда конечно. Приведем координатное представление поднятий векторных по- лей из D(M). Как показывает равенство (1.12а), это достаточно Q сделать для полей вида -—. Пусть р = p(xv ..., хп,..., р3а,...) е Т ОХ^ и з = (з1,..., sm) G Г(тг). Тогда ( д л \ . х 9 ( \ _ др + др дх. + “ дх-дха др3 * j,<r * “<г Поэтому п ос т q СИ) 1 1 |сг|—0 J —1 Q Таким образом, поднятия базисных векторных полей -— совпадают дх. с операторами полных производных по направлению х.. Равенст- во (1.126) показывает, что [Df , Р^]=0 для всех ivi2 = 1,..., п. От- метим, что поля Dt переводят функции на fc-x джетах в функции на (к + 1)-х джетах, и потому не определяют никаких векторных полей на многообразиях джетов конечного порядка. Поэтому трактовка «усеченных» полных производных как векторных полей, использо- вавшаяся в предыдущей главе, некорректна (хотя обманчивый вид их координатной записи может привести к противоположным выво- дам). Сказанное является одной из иллюстраций пользы перехода к бесконечным джетам.
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 191 Замечание 1.1. Конструкция поднятия имеет место в бо- лее общей ситуации. Пусть V: Г(£) —> Г(£') — линейный диффе- ренциальный оператор, <^> £). Рассмотрим оператор Д = Ду>: Г(тг)—>Г(£) и композицию VoA: Тогда, полагая V(y>) = = “Pvoд> получим отображение V = V,: ^(тг, —> ^(тг, £'), являю- щееся R-линейным оператором. Упражнение 1.5. Дайте точечное определение операто- ра V аналогично тому, как выше было сделано для поднятий век- торных полей, и выпишите оператор V в координатах. 1.5. Дифференциальные формы на Обсудим понятие дифференциальной формы на J°°(7r). Пусть Л‘(7г*.) = = Д,(УА:(7г)) — модульг-х форм на Проекции тг и тгк+1 к по- рождают бесконечную последовательность вложений Л’(М) А ЛЦтго) М . - Л*(гг4) Д‘(^ +1} _... Не вдаваясь в уже знакомые читателю мотивировки, опреде- 00 лим модуль Л*(тг) г-х форм на J°°(7r), полагая Л’(тг)= (J Л’^). 4 = 0 В частности, Л°(7г) = 5’(гг). Положим также Л*(гг) = ф^=0Л’(гг). Как и выше, модули Л’(тг) и Л*(тг) фильтрованы своими подмодулями A^ttj.) и Л*(тгд.) соответственно*). В силу данного определения лю- бой элемент из Л*(тг) на самом деле является формой на некото- ром многообразии конечных джетов, поэтому для таких элементов определены операция Л внешнего умножения и дифференциал d, обладающие обычными свойствами. Пусть X е D(ir) — векторное поле и ш G Л’(тг) — дифферен- циальная форма на /°°(7г). Определим операцию подстановки _1, сопоставляющую этим двум объектам форму X 6 Л* ~1 (тг). Пусть в = {х, G — точка в J°°(7r) и Хв = {Хх, Хвк} — вектор поля X в этой точке. Рассмотрим такое число к, что ш G Л’^); оно все- гда существует по определению модуля Л’(тг). Положим (X -1^)й = =Хвк-1шв . Для любого к'^к имеет место равенство 4),(-Х^,) = = Xeh< поэтому имеем Xe^_J(7r^fcu>)^z =Хвк-1швк, так что данное нами определение корректно. Если при этом deg(X) = l, то вектор Хвк *) Точнее говоря, вложения vk + l к являются гомоморфизмами модулей над соот- ветствующими вложениями алгебр Fk -+ Тк +!. Чтобы получить фильтрацию модуля A*(ir) системой ^-подмодулей, следует рассмотреть подмодули в Л*(тг), порожден- ные элементами из A*(irt), т. е. состоящие из дифференциальных форм на коэффициенты которых могут быть произвольными функциями из
192 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ определяется точкой вк+1 е Jk+l(ir), так что X _1о> е А* С сЛ’-1(7г). В частности, операция подстановки векторного поля в 1-форму определят изоморфизм Р(7Г)^ЬОШОМ(Л1(7Г),^(7Г)), (1.15) где horn® обозначает множество -^(^-гомоморфизмов, сохраняю- щих фильтрацию. При этом изоморфизме каждому полю X Е D(ir) сопоставляется гомоморфизм fx: Л^тг) —>^(тг), действующий по правилу fx(d<p) = X(<p), ^еДтг). Теперь мы можем определить производную Ли Lxw формы ш е Л*(тг) вдоль векторного поля X е О(тг). Для этого, воспользо- вавшись инфинитезимальной формулой Стокса, положим Lxw = X + Jw). (1.16) Очевидно, если а>еЛ‘(тгд.) и deg(X) — I, то Lxw Е Л.г(тгк + 1). Для производной формы ш вдоль поля X мы будем также использовать обозначение Х(ш). Введенные нами на множестве Л*(тг) операции (внешнее умно- жение, дифференциал де Рама, подстановка и производная Ли) об- ладают всеми свойствами, которые характерны для их прототипов в конечномерном случае. То же относится и к их координатному пред- ставлению. Если U — координатная окрестность в многообразии М и (®j,..хп,.. .,р3а,...) — соответствующие координаты в ^(W), то всякую форму ш £ Л1 (тг) можно представить в виде о> = У' ’Лл iAxi ^•••Adxi Adp3} Л... Adp3f>, (1.17) Z—< • •-,’a, Jl>- *1 га rapl \ / a + P = i где |<7jI,..., |<73| < k, a ~ гладкие функции на ^(W). Тогда координатная запись дифференциала имеет вид du> = V d(Pil’"’iP , ,• Adxt A...Adx. A dp3' Л ... A dp3/, Z—< •••># ‘1 la Г<г1 a+fi = i где . „.............................*. ......................«., ...<!.),..if =E —+L — Упражнение 1.6. Выпишите координатные формулы для операции подстановки и для производной Ли на У°°(7г).
$ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 193 1.6. Горизонтальный комплекс де Рама. Среди всех форм на J°°(7r) мы выделим специальный класс Л^(тг), элементы которого будут называться горизонтальными формами. Определение 1.7. Форма 6 Л*(тг) называется горизон- тальной, если X _1о> = 0 для любого вертикального поля X eDv(ir). Поскольку всякое вертикальное поле локально имеет вид из представления (1.17) следует, что форма горизонтальна тогда и только тогда, когда в координатном представлении она имеет вид w = ...<„% еЛ’г)- (1.18) Таким образом, локально всякая горизонтальная форма является линейной комбинацией форм на многообразии М с коэффициен- тами из Т‘. ш = +... + <р1щ, где <р1, ^(u), w1(..cu, G Е А*(М). Пусть Д»,..Д' — нелинейные дифференциальные опе- раторы, соответствующие функциям и действующие из сечений расслоения тг в С°°(М). Тогда форме можно сопоставить оператор Ды, действующий по правилу Аш(з) = Д1^)^ +... + Д'(з)^, s е Г(тг), и сопоставляющий сечениям расслоения тг дифференциальные фор- мы на многообразии М. Обратно, всякому такому оператору со- ответствует форма вида (1.18). Итак, горизонтальные формы на •/“(тг) — это нелинейные дифференциальные операторы на рассло- ении тг со значениями в дифференциальных формах на многооб- разии М. Модуль горизонтальных г-форм на /“(тг) обозначается через А^(тг). Если через <*: Т*(М)—>М обозначить кокасательное рассло- ение многообразия М, а через A*(t*) — расслоение фА‘(£*), то из сказанного выше вытекают отождествления , = 1 Д’(тг) = Л*’(О), Щ*) = Л*(О)- Заметим теперь, что оператор d = dM внешнего дифференцирования форм на многообразии М — это линейный дифференциальный опе- ратор первого порядка, действующий из сечений расслоения Л*(£*) в сечения Л*+ *(<*), г =0,..., п. Используя определение поднятия 13 Симметрии...
194 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ линейного оператора (см. замечание 1.1), мы получим оператор d: ^(тг, A*(t*))—A’ + ,(t*)). При этом поскольку d оd = 0, то и d2(w) = 0 для любой горизонтальной формы сиеА^тг). Действитель- но, <Р(а>) = (d о d)(o>) = (d о d)(o>) = 0. Таким образом, определена последовательность О^^Д^тг)-^... ... - А^(тг) X Л’+ Чтг) ... - Л^(тг) -0, (1.19) в которой композиция любых двух соседних операторов тривиальна. Определение 1.8. Последовательность (1.19) называется горизонтальным комплексом де Рама расслоения тг. Выпишем оператор d в координатах. Это достаточно сделать для горизонтальных 0-форм, т. е. для функций на 7°°(тг). Пусть ip — <p(xv ..., хп,.. ,,р^,...) е ^(тг|м), где U — координатная окрест- ность в М, и s G Г(тг). Тогда - / d|,7|sJ \ (<M(s) = d(<p(s)) = dtp I xt,..., rrn,..., ... I = ^fd<p dip\, ., = ПаГ +S a^ap)ix° = E ct = 1 4 a а ' a = 1 Таким образом, п d(ip)^Da{ip)dxa, (1.20) a = l где Da, a = 1,..., n, — введенные выше операторы полных произ- водных. 1.7. Распределения на J°°(ir) и их автоморфизмы. Послед- ний вопрос, который нам предстоит обсудить в настоящем парагра- фе, — это распределения на многообразиях По аналогии с конечномерным случаем (см. § 1.3) под распределением Р на следует понимать соответствие Р: в >->Рв cTe(J°°(7r)), сопоставля- ющее каждой точке 0 6 касательное подпространство, «глад- ко зависящее от 0*. Однако, в силу специфических особенностей многообразия J°°(7r), связанных с его бесконечномерностью, это определение нуждается в уточнении. Пусть для каждого к > 0 на многообразии 7*(тг) задано распределение Рк: 0k^PgkCTek(Jk (к)), причем (^+1,Ж++!)с^+1,^+1) о-21) для всех к 0 и точек 0к+, 6 Jfc + 1(7T).
§ 1. ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ ДЖЕТОВ 195 Определение 1.9. Систему распределений Р = {Рк}, удовлетворяющую условию (1.21), мы будем называть прёдраспре- делением на Скажем, что два предраспределения Р и Р эквивалентны, если найдется такое fc0 > 0, что Рк = Рк для всех к к0, и класс эквивалентных предраспределений будем называть распределением на Будем говорить, что вектор Хв е лежит в распреде- лении, если k)t(Xe) *(в) Д’451 всех и какого-то предста- вителя Р этого распределения. Упражнение 1.7. Покажите, что отношение принадлеж- ности вектора распределению не зависит от выбора представителя. Рассмотрим в модуле А^тгд.) подмножество Р^А1, состоящее из 1-форм, аннулируемых векторами из распределения Рк\ положим также РкА* = А* (тгк) /\Рк А'. Элементы последнего множества име- ют вид и — 52 А ш где е А*(тг.) и w € РкА1. Множество РкА* замкнутое относительно сложения и умножения на произвольную форму из A*(7ri;), называется идеалом распределения Рк. Из вло- жений (1.21) следует существование цепочки вложений Р°Л* сР’Л* с ... сРкА* cPfc + 1A* с ..., которая определяет идеал РА* = |J РкА* в Л*(тг). Этот идеал на- к^О зывается идеалом распределения Р. Очевидно и обратное: всякий идеал в Л*(тг) указанного вида определяет распределение на J°°(7r). Воспользовавшись теперь изоморфизмом (1.15), мы можем дать двойственное определение распределения на J°°(7r) как множест- ва РИ(тг) таких векторных полей X на J°°(7r), что Х_1ш = 0 для любой формы ш еРЛ^тг). Упражнение 1.8. Докажите, что РА* и PD(rr) не зависят от выбора представителя распределения Р. Напомним, что подмногообразие N конечномерного подмного- образия М с распределением Р' называется интегральным, если для любой точки х eN имеет место вложение Tx(N)dPx. Оно макси- мально, если локально не содержится ни в каком другом интеграль- ном многообразии. Распределение Р' называется вполне интегриру- емым, если через любую его точку проходит единственное макси- мальное интегральное многообразие этого распределения. Класси- ческая теорема Фробениуса [66] утверждает, что распределение Р' вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда для любой формы ш G Р'A1 (N) имеет место равенство du = QAo/, где и ЕР'Л1 (N), 13*
196 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ a Q — некоторая форма на М. Иными словами, при действии опе- ратора d идеал Р'А* переходит в себя, т. е. является дифференци- ально замкнутым. Исходя из этого, мы будем говорить, что распре- деление Р на J°°(7r) вполне интегрируемо, если его идеал РД* дифференциально замкнут. Упражнение 1.9. Покажите, что распределение Р на /°°(7г) вполне интегрируемо в том и только том случае, если мно- жество Р£>(тг) замкнуто относительно операции коммутирования векторных полей, т. е. является подалгеброй Ли в D(ir). Пример 1.5. Пусть Р7 — распределение в М. Рассмотрим в D(ir) подмодуль Р'Р(тг), состоящий из линейных комбинаций (с коэффициентами из JF(tt)) полей вида Х,Х e'P'D(M). Тогда множество Р'Р(тг) определяет в J°°(7r) некоторое распределение Р = Р'. Если Р7 вполне интегрируемо, то вполне интегрируемо и распределение Р. Действительно, [<рХ, j>Y] = v>XW)Y - 1>Y(V)X + У]. Но [X, У] = [X, У] в силу (1.12), так что правая часть последнего равенства лежит в Р£>(тг), если X, У е Р'Р(М) и 6 Р. Пусть теперь Р — вполне интегрируемое распределение на /°°(7г). В соответствии с результатами п. 1.3 векторное поле X е Е D(n) назовем (инфинитезимальным) автоморфизмом рас- пределения Р, если ЬХРД*(7Г)СРД*(7Г). Двойственным образом автоморфизмы распределения Р можно оп- ределить условием [Х,РЯ(7г)]сРР(тг). (1.22) Обозначим через DP(ir) множество автоморфизмов распределе- ния Р. Упражнение 1.10. Докажите, что DP(ir) — алгебра Ли, a P-D(tt) с DP(ir) — ее идеал. Элементы факторалгебры Ли sym(P) = Dp(7r)/PZJ(7r) будем называть (инфинитезимальными) симметриями распределе- ния Р.
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 197 § 2. Распределение Картана на J°°(») его инфинитезимальные автоморфизмы. В этом параграфе мы определим распределение Картана на J°°(7r). Исследуем его максимальные интегральные многообразия, инфинитезимальные автоморфизмы и симметрии. Это приведет нас к понятию эволюционного дифференцирования на играюще- му ключевую роль в теории симметрий нелинейных дифференци- альных уравнений. 2.1. Распределение Картана. Пусть, как и выше, тг: Р —> М — гладкое векторное расслоение и J°°(tt) — многообразие его бесконечных джетов. Рассмотрим точку 0 = {я, 0к} в 7°°(тг) и карта- новские плоскости в каждой точке 0к е /*(тг). Тогда, если точку 0 представить как бесконечный джет [з]^° некоторого сечения з 6 Г(тг) в точке х е М, плоскость при проекции тгА + j к спроектирует- ся в Я-плоскость Le^ с С* С (7*(тг)), где f — касательная плоскость к графику джета jk(s) в точке 0к. Таким образом, мы ви- дим, что для всех к имеют место вложения (7rfc + 1 fc)*(C£+})С т. е. система распределений Ск определяет распределение С = С(тг) на 7°°(тг). Определение 2.1. Распределением Картана на мно- гообразии бесконечных джетов называется распределение С(тг). Из сказанного следует, что каса- тельный вектор Хв к многообразию J°°(7r) тогда и только тогда лежит в плоскости Cg, когда его проекция ^ек = касается многооб- разия Le*. Воспользовавшись этим замечанием, дадим более эффектив- ное описание распределения Карта- на на 7°°(тг). Именно, если Хв = = j — произвольный каса- тельный вектор и р е ^(тг) — глад- кая функция на J°°(7r), то рассмо- трим проекции Xgk каждого из век- торов Хвк на слой расслоения пкк_х: Jk(ir) Jk~{(ir) над точкой 0к_х вдоль плоскости Lgk ( (рис. 4.3). То- гда Xg = /о, Xg* j — также касатель- Рис. 4.3. Построение элемента Ux
198 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ ный вектор в точке 0 и, применяя его к функции <р, можно по- лучить некоторое число. Если теперь X е D{k) — векторное поле, то, повторяя описанную конструкцию в каждой точке 0 е У°°(7г), мы вначале получим вертикальное поле X” е £>”(тг), которое затем применяется к функции tp 6 Т. Таким образом, для каждой функции е Т мы получаем 1-форму на J°°(7r), обозначаемую через ^(у?) и определенную равенством Х_|С71(¥>) = Х», ХеР(тг), (2.1) Из (2.1) видно, что соответствие Ц: ^(тг)—►А^тг) является диф- ференцированием алгебры Т со значениями в ^-модуле А^тг), т. е. 1^1(у>,<^2) = ipJJx(ip^ + Д'151 любых функций iplt е Возвращаясь к началу наших рассуждений, мы видим, что спра- ведливо следующее утверждение. Утверждение 2.1. Поле X е Р(тг) тогда и только тогда лежит в распределении Картана С на J°°(k), когда X _л\(ч>)= О для всех функций ip G ^(тг). Иными словами, идеал СА*(тг) с С Л*(7г) распределения Картана порожден формами ви- да Ux(tp). Формы вида Ux(ip) мы будем называть формами Картана*). Далее нам понадобится более удобное с вычислительной точки зрения описание оператора Ux и, следовательно, форм Картана. Что- бы получить такое описание, заметим следующее. Из проведенных выше построений вытекает, что каждое векторное поле X 6 D(k) допускает каноническое разложение Х=Х°+Х\ (2.2) где, как уже отмечалось, поле Xv вертикально, а поле Xh = X — — Xv обладает тем свойством, что касается всех подмногообра- зий вида j^s^M), т. е. графиков бесконечных джетов сечений з расслоения тг. Поэтому равенство (2.1) можно переписать в виде X -lU^tp^iX -Xh)(<p) = X(ip)-Xh(ip). Заметим, что первое сла- гаемое в правой части полученного равенства есть X -idtp. Чтобы переписать в требуемом виде второе слагаемое, сравним выражение Xk(tp) с определением формы dtp. В силу точечного определения операции поднятия (см. п. 1.4) ограничение формы dtp на график бесконечного джета сечения s G Г(тг) имеет вид X Av(s). Поскольку *) Ниже мы уввдим, что это определение обобщает координатное представление форм Картана, рассматривавшееся в предыдущих главах.
$ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА J°°(?r) 199 форма dtp горизонтальна, имеет место равенство X _ldp = Xh-ldp. Наконец, в силу того, что поле Xh касается каждого подмногообра- зия joc(s)(M), а через каждую точку в G /°°(тг) проходит хотя бы одно такое многообразие*), выполняется равенство Xhdp = Xh(p). Итак, мы приходим к следующему важному равенству U{=d-d. (2-3) Таким образом, оператор [7, «измеряет», насколько полный диффе- ренциал функции р 6 Т отличается от горизонтального. Теперь мы опишем множество СР(тг), т. е. такие векторные поля X е Z?(tt), которые аннулируют формы Картана на J°°(7r), или, иными словами, которые удовлетворяют равенствам Х{р} = = Х _1 dp для всех гладких функций р Рассмотрим поле X 6 6 Р(тг) и его ограничение Хм = X(т): С°°(М) —> ^.(тг), которое является дифференцированием кольца С°°(М) со значениями в ал- гебре ^.(тг) (существование такого к обеспечивается тем, что X — дифференцирование, согласованное с фильтрацией в ^(тг)). Нефор- мально дифференцирование Хм можно понимать как поле на М, ко- эффициентами которого являются функции из Точнее, поле Хм, по крайней мере локально, может быть представлено в виде + • • + (2-4) где Xv..Х{ е D(M) — «настоящие» векторные поля на многооб- разии М, a pv.. .pt 6^(тг). Пользуясь представлением (2.4), опре- делим поле Хм е D(ir), полагая Хм — <р1Х1 +... + р{Х{. Поскольку в силу точечного определения операции поднятия в каждой точке 0 = [s]“ G <7°°(тг) векторы вида (Х{)е касаются графика бесконеч- ного джета сечения s G Г(тг), тем же свойством обладает и вектор (^м)е = +•• + Поэтому Хгм = 0 и, значит, Хм _1 U\(p) = Х^(р) = 0 для любой функции р е Т. Рассмотрим (также локально) поле X' — X —Хм. Так как по определению Хм= Хм =Х^ поле X' вертикально и, следовательно, X'Л7х(р)=Х\р) для любой функции р С дру- гой стороны, как только что было установлено, Хм .AU^p) — ®, и если X eCD(tt), то и X _lt7j(9s) = O. Таким образом, Х'(р)—0 для любой функции р e!F. Значит, X' = 0 и, следовательно, X = ХМ. Резюмируя сказанное выше, мы получаем следующий результат. *) Это следует из леммы Бореля [48].
200 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Утверждение 2.2. Множество CD(ir) векторных по- лей, лежащих в распределении Картана, порождено подняти- ями на полей с многообразия М: CD{K)=^Xx+...+<plXl\vi^), X^D(M), 1=1,2,...J. 2.2. Интегральные многообразия. Из утверждения 2.2 и примера 1.5 предыдущего параграфа следует, что распределение Картана на J°°(7r) является вполне интегрируемым. Изучим его мак- симальные интегральные многообразия. Для этого прежде всего от- метим два факта: а) картановская плоскость Св в точке в G У°°(7г) не содержит ненулевых вертикальных векторов — это следует из построений, которые в начале настоящего параграфа мы использо- вали для определения форм Ux(tp)\ б) размерность пространства Св совпадает с размерностью многообразия М — это вытекает из толь- ко что доказанного утверждения. Пусть Н°° — максимальное инте- гральное многообразие распределения Картана. Тогда из а) следует, что проекции тг^д^оо: П°° —>7^ = 7^ (ft00) С k = Q, 1,..., и TTooIr00' *ft = С M суть локальные диффеоморфизмы. С другой стороны, как это видно из б), dim TZk = dim К°° п. Рассмо- трим проекцию 7t|r0: »К,. Поскольку она является локальным диффеоморфизмом, существует такое отображение s': И —> ft0, что тг|яо os' — тождественное на ft отображение. Иными словами, s' — частично определенное сечение расслоения тг. Очевидно, что можно выбрать такое сечение в 6 Г(тг), что а|я = s'. Предположим теперь, что вложение ft с М строгое, т. е. dim Hk < п. Тогда условия того, что многообразия Г* = jk(s)(M)с Jk(ir), k=0,1,..., оо, содержат в себе многообразия TZk для соответствующих к, являются условиями на нормальные относительно И производные сечения s. Из теоре- мы Уитни о продолжении [48] следует, что всегда можно построить сечение, удовлетворяющее этим условиям, что противоречит мак- симальности Н°°. Поэтому справедливо следующее утверждение. Утверждение 2.3. Всякое максимальное интеграль- ное многообразие распределения Картана на J°°(Tr) локально имеет вид графика бесконечного джета некоторого сечения расслоения тг. Таким образом, через каждую точку 0 е проходит хо- тя бы одно максимальное интегральное многообразие распределе- ния Картана, и у нас имеется полное описание этих многообразий. Конечно, такое многообразие определено неоднозначно. Например,
$ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА J°°(ir) 201 если тг: Ж х Ж -> Ж — тривиальное расслоение, то через начало коор- динат в 7°°(тг) наряду с графиком бесконечного джета нулевого се- чения проходит и график бесконечного джета функции и=ехр(—х2). Вообще, если тг — произвольное расслоение и 9 = [s]“ е то через точку в проходят графики бесконечных джетов сечений рас- слоения тг, отличающихся от а на плоское в точке х 6 М сечение. Полученные здесь результаты полез- но сравнить с тем, что известно о мак- симальных интегральных многообразиях распределения Картана на пространствах конечных джетов. Как отмечалось в пре- дыдущей главе, распределение Картана на Jk(ir), k < оо, содержит вертикальные векторы, а именно, любой вектор, каса- тельный к слою расслоения тг^^.р ле- жит в картановской плоскости C# . Это приводит к тому, что множество инте- гральных многообразий, проходящих че- рез точку 9к € <7*(тг), можно разбить на различные типы, причем тип многообра- Рис. 4.4. «Раздувание» Я-плоскости зия характеризует степень его вырожде- ния при проекции на 7к-1(тг) (или размерность пространства вер- тикальных векторов, касающихся в данной точке рассматриваемого интегрального многообразия). В частности, графики джетов сече- ний расслоения тг являются многообразиями типа 0 и характеризу- ются тем, что проектируются на 7*_1(тг) локально диффеоморфно. Причины различий между случаями конечных и бесконечных дже- тов становятся весьма наглядными, если встать на аналитическую точку зрения. Действительно, зафиксировав точку 9к е при k < оо, мы получаем информацию о всех частных производных се- чений а е Г(тг) в точке х = тгк(0А) € М вплоть до порядка k. Проводя через точку 9к графики джетов различных сечений, мы располагаем свободой выбора, которая инфинитезимально измеряется вектора- ми, касательными к слою проекции 1гк к _ j (рис. 4.4). Это приво- дит к тому, что jR-плоскость в точке 9к «раздувается» на множество тгк fc_j -вертикальных векторов. В противоположность описанной си- туации выбор точки 9 Е 7°°(тг) фиксирует все частные производные сечения а е Г(тг) в точке х, и в силу очевидных соображений наша свобода ограничивается теперь классом плоских функций. Отметим, что наблюдаемая на <7°°(тг) картина связана с наличием в расслое- нии тг^ связности Картана и ее интегрируемостью.
202 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Теперь мы начинаем исследование автоморфизмов и симметрий распределения Картана на многообразиях 7°°(тг). Прежде чем пере- ходить к обсуждению фактов общего характера, проделаем неслож- ные координатные вычисления, которые полезны для выработки ин- туитивных представлений о том, какого рода результаты нас ожи- дают. 2.3. Вычислительный эксперимент. Здесь, как впрочем и в дальнейшем, нам понадобится координатное представление кар- тановских форм Пусть х G.M и U Эх — координатная ок- рестность. Рассмотрим, как обычно, локальные координаты (а^,... ..., хп,.. .,р3а,...) в окрестности тг^1. Тогда, пользуясь формулами (1.20) и (2.3), а также тем, что оператор Ux: J’(tt) —>Л1 (тг) является дифференцированием, легко убедиться в том, что модуль Картана £4*001,-100 порожден формами вида п ^ = Ul(Pa) = dPJa-Y,P<r + ladxa’ (2-5) где j = 1,..т, |<т| — 0,1,..., т. е. формами Картана, определенны- ми в гл. 3. В частности, п ш30 = Ul(u3) = du3 - Pladxa- (2-6) а — 1 Рассмотрим одномерное расслоение тг: над прямой. Пусть х = aij — координата в базе и = и,..., р^ =рк,... — координаты в 7°°(тг). В силу (2.5) модуль Картана СЛ*(тг) в этом случае порож- ден формами вида “k = dPk ~Pk + \dx, (2-7) д °° д где к =0,1,.... Пусть поле X = а-—Ьк -— е а, Ък е^(тг), дх к = 0 °Рк является автоморфизмом распределения Картана. Это равносильно тому, что Х(шк) = ^^кш{ Для всех или> чт0 т0 же самое> i dbk~bk + idx - Pk + ida = ^2Xk(dPt- Pi + \dx}- (2-8) Выписывая входящие в левую часть (2.8) дифференциалы в явном виде и приводя подобные члены, мы получаем следующую систему: ( dbk t . v* (®bk да\ , (к + E «<я =
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 7°°(тг) 203 которая равносильна системе дЪ. да d^-bk+l-Pk+lQ^^ дък _ да _ • . dPi Pk + VdPi~ Лк,г,‘ (2-9) Подставляя полученные выражения для Хк в первое уравнение (2.9), мы видим, что = D(bk) - pk + lD(a), (2.10) где D = Dl —оператор полной производной по х. Как и выше, раз- ложим поле X на горизонтальную и вертикальную составляющие, положив Xh = a-^- = aD иХ“=Х -Xh. Пусть Xю — то- ож к дрк гда Ък = Ък + арк + j для всех к 0. Подставляя полученные выраже- ния в (2.10) и учитывая, что D(pk)—pk + i, мы получаем следующие выражения для коэффициентов Ьк: bk+l=D(W, * = 0,1,..., или bvk=Dk(bv0)> к = 0,1,... Таким образом, всякий инфинитезимальный автоморфизм распреде- ления Картана на представим в виде X=aD + YlDkWy£-, (2.11) fc = 0 где Ь^=Ь0 — арр и, следовательно, однозначно определяется сво- им ограничением на подалгебру С°°(М) с P(ir) (первое слагаемое в представлении (2.11)) и некоторой функцией Ь£ б^тт) (второе слагаемое). Оказывается, полученный результат носит общий ха- рактер. 2.4. Эволюционные дифференцирования. Вновь вернемся к произвольному векторному расслоению тг: Р —>М и рассмотрим инфинитезимальный автоморфизм X 6 Dc(ir) распределения Карта- на на 7°°(тг).
204 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Утверждение 2.4. Всякое векторное поле X Е Dc(ir) однозначно определяется своим ограничением на подалгебру ^0(7Г) = С00(7°(7Г))С^(7Г). Доказательство. Поскольку для любых двух полей X, X' е Dc(k) их разность также лежит в Dc(n), нам достаточно показать, что если X | _ = 0, то и XI _ =0 для всех fc > 0. Докажем это индукцией по к. Первый шаг индукции (к = 0) — это условия утверждения. Пусть теперь к > 0 и X |^. = 0. Нам нужно показать, что тогда дифференцирование ХЦ ( также тривиально. Пусть р Тогда X(Ul(p)) = X(dp-dp) = dX(p)-X(dp), или, в силу предположения индукции, Х(Ц(^)) = -Х(^). С другой стороны, поскольку X 6 2?с(тг), найдутся такие функции fa,ga Е а = I,.. „I, что Х(Ц(<р)) = Е/вСГ1(^), т. е. а x(d<p) = ~XfMga)- (2-12) а Форма, стоящая в правой части равенства (2.12), принадлежит мо- дулю Картана, и, значит, ее ограничение на график джета любого сечения s е Г(тг) равно нулю. Воспользуемся теперь тем, что для любой функции р Е ^(тг) форма dp горизонтальна, т. е. ее можно представить в виде dp = = ^pidhi, где Pi Е Т и \ G С°°(М) с^0. Следовательно, i X{dp) = Yj{X(pi)dhi+p.dX(hi)') ^x{Pi)dhi, i i так как в силу предположения индукции Х(Л,) = 0. Таким образом, X(dp) — также горизонтальная форма, причем из (2.12) и сказан- ного выше следует, что ее ограничения на графики джетов сечений тривиальны. Поскольку горизонтальные формы определяются свои- ми ограничениями на графики джетов (см. § I), мы получаем, что X(dp)=0 (2.13) для любой функции Р Е^..
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 7°°(тг) 205 Рассмотрим в М произвольную координатную окрестность и соответствующие локальные координаты (®р..хп,.. .,р^,...). Вы- берем в качестве одну из координатных функций р£, где |ст| к. Тогда в силу (2.13) имеем Х(&.)=X (£Р'+= Е X W+!, = о- 4 = 1 ' i=1 Значит, Х(р^ + 1.) = 0 для всех ст, |ст| к, i = 1,..п и j = 1,... ..т. Иными словами, действие поля на все координатные функции многообразия Jk + l(ir) тривиально, т. е. X | =0. Это доказывает шаг индукции, а вместе с ним и все утверждение. □ ЦМ) Рис. 4.5. Вертикальное поле Пусть по-прежнему X G Dc(ir) — автоморфизм распределения Картана на Рассмотрим ограничение Хм поля X на под- алгебру С°°(М) с У и соответствующее поднятие Хм 6 2?(тг). По- скольку, как мы уже знаем, Хм 6 CD(n) с Dc(ir), поле Xv = X - —Хм также является автоморфизмом и, кроме того, оно вертикаль- но. Тогда ограничение Х^ = Хи|>. является дифференцированием алгебры Jo со значениями в алгебре для некоторого конечно- го к. Так как поле Xv вертикально, дифференцирование Х% можно отождествить с семейством векторов, параметризованных точками пространства Jk(ir) и направленных вдоль слоев индуцированного расслоения тг£ (тг) (рис. 4.5). С другой стороны, поскольку тг — ли- нейное расслоение, касательные векторы к его слоям можно отож- дествить с точками самих слоев. Сводя воедино проделанные выше
206 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ построения, мы получим отображение £>с(7г)-^^(7Г,ТГ), (2.14) причем, как показывают утверждения 2.2 и 2.4, поле X при этом отображении переходит в нуль тогда и только тогда, когда X 6 еС2?(тг). Изучим образ отображения (2.14). Пусть — некоторое сечение расслоения тг£(тг). Рассмотрим координатную окрестность U С М и окрестность 1Лк = (W) С С По аналогии с результатами, полученными выше в вычис- лительном эксперименте, определим в окрестности 1Лк поле Э,.« = ЕС>')Д. (2.15) у, о- где tpi — j-я компонента ограничения сечения на окрестность 1Лк, a Da — композиция полных производных, соответствующая мульти- индексу ст. Покажем, что дифференцирование (2.15) в рассматрива- емой окрестности является автоморфизмом распределения Картана. Действительно, пусть фЕР. Тогда - Й) = Л(Э^и(ф)) - Э^ф). (2.16) В силу соотношений (1.20) и (2.15) имеем Э^и(Аф) = X °р« Но, как легко видеть, /7Z>iW = 4(i,»)-2—« + 0,(^4). (2-17) др3а дРа-1{ \dp3aJ где . ( 1, если i-я компонента ст отлична от О, 6(г,а) — < п (О, в противном случае. Поэтому Э„,и(^) = 52 = г, j, а = 12 dA<p j) (S(i >°) + Di ( dx, = V’ >др1"_к \dpJ) • =2(о.(/)«(«>)^-+л(о.(«’,)^)-1>,+1,(«>’)^х‘.
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 207 В полученном выражении первое и последнее слагаемые аннулиру- ют друг друга, и поэтому ^,«(^)= Е Di =d(9v^)). \ OP„ / i,3,a Возвращаясь к равенству (2.16), мы видим, что ^,w(^1(V’)) = d(3^(V’))-d(3ViW(^)) = t/13ViW(^). (2.18) Равенство (2.18) показывает, что дифференцирования вида Э м коммутируют с оператором Ux и, стало быть, являются ин- финитезимальными автоморфизмами распределения Картана. При этом ограничение Э и на подалгебру ,F0(Tr|w) отождествляется с сечением у>. Итак, мы научились (пока локально) строить по сече- нию некоторый автоморфизм распределения Картана. Пусть те- перь U, И' сМ — две координатные окрестности в М. Тогда ограни- чения полей U и Эр у/ на алгебру ^о(7Гкпм') совпадают, откуда, в силу утверждения 2.4 следует, что над пересечением Ur\U' совпа- дают и сами эти поля. Итак, наши построения корректным образом определяют некоторое вертикальное векторное поле на всем про- странстве 7°°(тг), являющееся инфинитезимальным автоморфизмом распределения Картана. Иными словами, отображение (2.14) эпи- морфно и, значит, доказана следующая теорема. Теорема 2.5. Всякий инфинитезимальный автомор- физм X распределения Картана на однозначно пред- ставляется в виде X=3V+XM, где <р — некоторое сечение из тг). При этом алгебра s,ymC(ir) = Dc(tt)/CD(tt) симметрий распределения Картана отождествляется с модулем тг) сечений индуцированно- го расслоения тг^(тг): зутС(тг)с± ^(тг, тг). Остановимся более подробно на полях вида Э^. В предыдущей главе мы видели, что поля Ли, будучи автоморфизмами распределе- ния Картана на многообразиях конечных джетов <7*(тг), порождают потоки на множестве сечений расслоения тг. Тем же свойством об- ладают и поля вида хотя они, вообще говоря, не порождают (см. ниже) однопараметрических групп преобразований на беско- нечномерном многообразии 7°°(тг). Действительно, пусть з е Г(тг) —
208 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ некоторое сечение и е^,(тг, тг). Ограничим поле Э* на график fc-ro джета сечения з. Тогда при отождествлении касательных про- странств к слоям тг с самими слоями компоненты этого ограничения будут иметь вид а = 1,..т. Поэтому движение сече- ния з вдоль траекторий Эр, если бы эти траектории существовали, должно было бы управляться уравнениями -дГ = <Лх' = |а| к, где t — параметр вдоль траектории. Иными словами, дифференци- рование задает эволюцию сечений расслоения тг, а «поток», соот- ветствующий Эу, определяется эволюционными уравнениями вида ( д^и1 \ — = = |a|O- (2.19) ot \ ox 1 Определение 2.2. Поля называются эволто^ионкы- ми дифференцированиями; соответствующее сечение <р 6 ^(тг, тг) называется производящим сечением эволюционного дифференци- рования. Заметим, что специальный вид коэффициентов эволюционного дифференцирования (см. формулу (2.15)) обеспечивает согласован- ность эволюций всех производных функций 9 дми dt дхТ =(DT^)(®,..,O-? V их (2.20) Равенство (2.20) является координатным выражением того, что Э — автоморфизм распределения Картана. Интересно отметить, что при трактовке эволюционных диффе- ренцирований как векторных полей на «многообразии» Г(тг) сечений расслоения тг оператор Ц: ^(тг)—^(тг) играет роль, аналогичную той, которую внешний дифференциал d: С°°(М) —> Л.1(М) играет в классической дифференциальной геометрии. Действительно, ес- ли X — эволюционное дифференцирование, то для него (см. разло- жение (2.2)) Xv = Х, и поэтому в силу определения оператора U\ X JCZ1(^) = X(^). (2.21) Равенство (2.21) является точным аналогом равенства y_id/ = y(/),
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 209 справедливого для полей Y и функций f, определенных на неко- тором конечномерном многообразии. Таким образом, оператор Ux можно назвать универсальным эволюционным дифференциалом. 2.5. Скобки Якоби. Выше мы показали, что соответствие Э: ^(тг, тг) —► sym(Tr) = Рс(тг)/С1?(тг), сопоставляющее каждому сечению <р G /*(тг, тг) эволюционное диф- ференцирование Э?, является взаимно однозначным. С другой стороны, поскольку множество эволюционных дифференцирований отождествляется с факторалгеброй Ли эут(тг), коммутатор двух эволюционных дифференцирований вновь является эволюционным дифференцированием. Поэтому для любых двух элементов <р,ф & G /’(тг, тг) можно определить их коммутатор {у>, 6 ^(тг, тг), пола- гая (2.22) или 3{^} = [^,ЭД (2.23) Определение 2.3. Элемент {<р, ^}, определенный равен- ством (2.22), называется высшей скобкой Якоби сечений <р и ip. Поскольку эволюционные дифференцирования вертикальны и образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования век- торных полей, модуль ^(тг, тг) является С°°(М)-алгеброй Ли от- носительно скобки Якоби. Действительно, покажем, например, что скобка {•, •} удовлетворяет тождеству Якоби. В силу (2.23) имеем Э{р,{^х}} = = = =[P„, эд эх]+[Э^, [Э„, эд=э{Ь,Лх}+Э{Му>х}} = ~ Ф},х} + т. е. {<£, {Ф, х}} + {Ф, {х, Y’}} + {х, {</’, Ф}} = 0 для любых сечений <р,ф,х^ •^г(7Г, п). Аналогичным образом прове- ряются остальные свойства алгебр Ли. В локальных координатах скобка Якоби двух сечений (риф, как это следует из (2.15) и (2.23), имеет вид / = 1,...,т. (2.24) rr.а ' 'о’ ' 14 Симметрии...
210 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 2.6. Сравнение с полями Ли. В предыдущей главе мы опре- делили поля Ли как такие дифференцирования Y бР(7к(тг)), кото- рые сохраняют распределение Картана на Поскольку каждое поле Ли может быть каноническим образом поднято в любое про- странство <7к+,(тг), где оно вновь будет полем Ли, мы получаем поле Y* е Р(тг). Условие того, что все поднятия поля Ли сохраняют рас- пределение Картана на соответствующих пространствах конечных джетов, означает, что Y* G Рс(тг), т. е. бесконечное поднятие поля Ли является автоморфизмом распределения Картана на 7“(тг). Ха- рактерной особенностью дифференцирования Y* является то, что оно сохраняет фильтрацию элементов из ^(тг): deg(y*) = O. Обрат- но, пусть некоторый автоморфизм X е Dc(ir) обладает этим свойст- вом. Тогда найдется такое число 1%, что при всех k^k0 ограничения Хк —Х\^ являются дифференцированиями алгебр Гк в себя и, зна- чит, определяют поля Ли на «7*(тг), причем -^* + 1 0 = + (2.25) т. е. эти поля согласованы с проекциями тгк + 1 fc: <7*+1(тг)—> <7*(тг). В силу теоремы о характеризации полей Ли, доказанной в преды- дущей главе, для каждого поля Хк существует и единственным об- разом определено поле Ли Хк е D(J*(*)), для которого Хк явля- ется (k — е)-поднятием *). Используя равенства (2.25), мы видим, что Хк+1 есть поднятие поля Хк на Jfc+1(?r) и, таким образом, X имеет вид У*, где У — поле Ли. Итак, справедливо следующее предложение. Утверждение 2.6. Автоморфизм X Е Dc(ir) тогда и только тогда имеет вид X = Y*, где У — поле Ли, когда deg(X) = O. Определение 2.4. Автоморфизмы распределения Карта- на, удовлетворяющие условиям утверждения 2.6, мы будем назы- вать полями Ли на многообразии Пусть X — такое поле. Тогда в силу теоремы 2.5 имеет место каноническое разложение Х = Э_р+Хм. (2.26) Заметим, что в силу координатного представления для эволюцион- ных дифференцирований (см. равенство (2.15)) поле повышает фильтрацию элементов из ^(тг) на величину, равную deg(^). С дру- *) Напомним, что е = 0 при dim тг > I и е = I при dim it = 1, причем в первом случае Хк — вообще говоря, произвольное поле на J°(?r), а во втором — является контактным полем на 7*(тг).
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА J°°(?r) 211 гой стороны, deg(XM) = 1 для любого поля Хм eCD(ir). Поэтому из утверждения 2.6 следует, что если X — поле Ли, то сечение <р, фигурирующее в разложении (2.26), лежит в модуле ^(тг, тг), т. е. deg(^) = 1. Вспомним теперь, что всякое поле Ли на <7*(тг) определя- ется своим производящим сечением, и сопоставим выражение полей Ли через производящие сечения, полученное в предыдущей главе (см. § 5 гл. 3), с определением дифференцирования (см. (2.15)). Тогда нетрудно видеть, что равенство (2.26) можно записать как (2.27) где X* — поднятие поля Ли Х^ с производящим сечением G G^(тг,тг) в 7°°(тг), а <р*,.. .,<рт — компоненты этого сечения. При этом, как мы знаем, если dim7r= 1, то сечение произвольно, а при dim тг > 1 оно должно иметь вид п ^ = ао + £р1.а<’ J = %,..., апе J’o(Tr). . = 1 Таким образом, производящие сечения полей Ли, определенные в главе 3, совпадают с рассматриваемыми здесь. Упражнение 2.1. Покажите, что если Xv и Х^—два поля Ли, то и;, =1^- v=э<».л - Ё №< i = 1 Иными словами, если и — производящие сечения полей Ли, то скобка Якоби этих двух сечений, определенная раньше, совпада- ет со скобкой Якоби, введенной в настоящем параграфе. Учитывая, кроме того, что в силу (2.27) Xv =0 в том и только том случае, если соответствующее эволюционное дифференцирование также триви- ально, мы можем сформулировать следующее утверждение. Утверждение 2.7. Отображение, сопоставляющее полям Ли соответствующие им эволюционные дифферен- цирования, является мономорфизмом алгебр Ли. При этом множество производящих сечений полей Ли является подал- геброй Ли в алгебре Ли ^(тг, тг) относительно скобки Якоби. Таким образом, теория симметрий распределения Картана на 7°°(тг) является естественным обобщением теории полей Ли на мно- гообразиях конечных джетов. Пусть X — поле Ли на 7°°(тг). Тогда, рассматривая однопараме- трические группы сдвигов, соответствующие полям jlt^y мы 14*
212 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ убедимся, что полю X также соответствует однопараметрическая группа сдвигов, действующая на многообразии Оказывает- ся, что любой автоморфизм распределения Картана на J°°(7r), обла- дающий однопараметрической группой сдвигов, может быть пред- ставлен как поле Ли, возможно, действующее в некотором новом расслоении; [88]. Поясним сказанное, пользуясь не вполне формаль- ными рассуждениями. Пусть тг: Р -»М — расслоение, X 6 Dc(ir) — интегрируемое поле и At — соответствующая однопараметрическая группа. Тогда tk At = exp(tX) = id +tX + ...+ —Xk +... (2.28) Из (2.28) следует, что найдется такое I, что Хк(Р0)сР1 для всех к. Действительно, если бы это было не так, то преобразование А* не могло бы перевести многообразие <7°(тг) ни в какое конечное много- образие Jk(ir), что противоречит определению гладкого отображе- ния многообразия 7°°(тг). Рассмотрим в кольце подкольцо Р(Х), порожденное элементами вида Х(у>), <р е т. е. множество сумм вида X(y3j) •... • Х(узг), <р.е Ро. Из сказанного следует, что подколь- цо Р(Х) инвариантно относительно действия поля X: Х(Р(Х))с С Р(Х). Перейдем на двойственную точку зрения и рассмотрим мак- симальный вещественный спектр кольца Р(Х), т. е. пространство, точками которого являются ядра гомоморфизмов Р(Х) —Обо- значим это пространство через Рх. Тогда локально, в окрестности точки общего положения, имеет место коммутативная диаграмма Л*) Рх М где <рх —отображение, двойственное вложению Р(Х)^Р. В силу инвариантности Р(Х) относительно X поле X определяет на Рх некоторое поле Хо. Совокупность всевозможных продолжений отображения у>х определяет гладкое отображение ip*x. —► —»J°°(7rx), для которого диаграмма и* Г°(тГх)
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 213 также коммутативна. Пусть X — поднятие поля Ли Хо в J°°(nx). Тогда в силу конструкции поднятия и того, что X — интегрируе- мый автоморфизм распределения Картана в отображение <рх переводит X в ограничение поля X на подмногообразие £х = = ipx(J°°(ir)) с 700(тгх). Таким образом, поля X и локально «устроены одинаково», что и требовалось показать. 2.7. Линеаризации. Заметим, что соответствие между эво- люционными дифференцированиями и производящими сечениями позволяет сопоставить паре (у>, ^>), 6 ^(тг, тг), V’ ^(тг), новое сечение Э^ф) е ^(тг). При этом, если фиксировано, а ф произ- вольно, мы получаем эволюционное дифференцирование в алгебре ^(тг). Переходя теперь на «сопряженную» точку зрения, т. е. фик- сируя сечение ф и оставляя «свободным», мы получим некоторый оператор действующий из модуля ^(тг, тг) в алгебру ^(тг) по правилу ^<Р) = Э^ф). (2.29) Что это за оператор? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к равенствам (2.15) и с их помощью перепишем определение (2.29) в виде J, а ИЛИ 4 = У'-^РУ), (2.30) j,<r где символ означает, что оператор Da применяется к j-й компо- ненте соответствующего сечения. Проанализируем равенство (2.30) более подробно. Пусть з — некоторое сечение расслоения тг. Поскольку каждое из полей касается всех максимальных интегральных многообра- зий распределения Картана на <7°°(тг) и, значит, допускает ограни- чение на графики бесконечных джетов, такое ограничение, в силу (2.30), допускает и оператор Точнее, это означает, что для лю- бого з G Г(тг) имеет место коммутативная диаграмма ^(тг, тг) —^(тг) Дл- Цтг) (2.31)
214 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ где — рассматриваемое ограничение. Объединяя диаграм- му (2.31) с равенством (2.30), мы видим, что для любого сечения Ч> G Г(тг) имеет место равенство V4 — 3,<т а дмуз3' ~д^-‘ (2.32) Формула (2.32) показывает, что оператор s есть линеаризация оператора Д^, соответствующего функции ф, на сечении з G Г(тг). Все такие линеаризации получаются путем ограничения операто- ра I* на соответствующее сечение. Определение 2.5. Оператор называется операто- ром универсальной линеаризации нелинейного дифференциально- го оператора Д^. Перечислим еще раз основные свойства универсальной линеа- ризации: 1) оператор 1^. ^(тг, тг) -»^(тг), ф е ^(тг), линеен; 2) он допускает ограничение на графики бесконечных джетов; 3) оператор является двойственным к эволюционным диф- ференцированиям: (ф('р) = Эч)(‘ф). Заметим также, что если ф — линейная по всем переменным р3а функция (т. е. оператор Д^ линеен), то имеет место равенство ^ = ДГ (2.33) Построенный выше оператор был определен для нелиней- ных дифференциальных операторов вида Д^: Г(тг) —> С°°(М). Обоб- щим конструкцию универсальной линеаризации на произвольные операторы Д: Г(тг) —> Г(тг'), где тг', как и тг, — некоторое локально тривиальное векторное расслоение над многообразием М, dim(7r') = = т'. Пусть ф е ^(тг, тг') — представляющее сечение оператора Д. Рассмотрим произвольный элемент <р G ^(тг, тг) и такое гладко зави- сящее от t 6 Ж семейство элементов 6 ^(тг, тг), что -=-* = t=o Пусть Vt = V^: Г(тг) —»Г(тг) — соответствующее семейство опера- торов И ipt Положим t = 0 (2-34)
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 7°°(тг) 215 Упражнение 2.2. Покажите, что определение (2.34) кор- ректно, т. е. не зависит от выбора семейства ^t, удовлетворяющего dy>t условию =<р. ot t=0 Оператор ^(тг, тг)—>^(тг, тг') называется универсальной ли- неаризацией нелинейного дифференциального оператора и в ло- кальных координатах имеет вид ||, где \\1фР || — (т х ^-ма- трица, элементы которой суть = а = 1,...,т, /3 = 1....т. (2.35) Очевидно, что при т = 1 этот оператор совпадает с оператором, введенным выше. Более того, он обладает перечисленными выше свойствами (1) — (3), с той лишь разницей, что оператор , опре- деленный равенством Э’ (V’)=^(¥’)> действует теперь не на алгебре Дтг), а в модуле ^(тг, тг'). При этом если £ ^(^> я') и f е ^(тг), то операторы Э’ и Э связаны между собой равенствами +/э;'(^). (2.зб) Таким образом, мы видим, что каждое сечение <р тг) определя- ет семейство дифференцирований : ^(тг, тг') -♦ ^(тг, тг'), причем, как это следует из (2.36), каждый оператор Э’ является диффе- ренцированием модуля ^(тг, тг) над дифференцированием 9V алгеб- ры ^(тг). Замечание 2.1. Связь между эволюционными дифферен- цированиями и линеаризациями становится более наглядной, если вновь обратиться к аналогии с классической дифференциальной гео- метрией. Действительно, если М и М' — гладкие конечномерные многообразия и G: М —> М' — гладкое отображение, то линеари- зация (дифференциал) G* отображения G в точке х е М строит- ся следующим образом: берется кривая xt в М, проходящая через ы dxi точку х, xQ = x, рассматривается касательный вектор v = к этой кривой в точке х и показывается, что равенство Gt(v) = = — G(xt) определяет касательный вектор к М' в точке G(x), за- висящий только от выбора v. Если X — векторное поле на М, то t=o
216 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ эта конструкция, вообще говоря, не позволяет построить соответ- ствующее векторное поле GJX) на М'. Понимая, однако, вектор- ные поля как сечения касательного расслоения, мы можем каждому полю X &D(M) каноническим образом сопоставить сечение GJX) расслоения над М, индуцированного из касательного расслоения над М' с помощью отображения G. В нашей ситуации роль точек рассматриваемых «многообразий» играют сечения расслоений л- и тг' соответственно, а роль отобра- жения G — нелинейный дифференциальный оператор Д = Д^ (а точнее, отображение Фд: 7°°(тг) —> 7°°(тг'), см. п. 1.3). Взяв кри- вую в Г(тг), мы должны рассмотреть семейство сечений s(t) G Г(тг). Как мы знаем, «касательные векторы» к таким кривым определяют- ся эволюционными дифференцированиями в ^(тг), выполняющими роль векторных полей на Г(тг), т. е. сечениями у> 6 ^(тг, тг). Если V — оператор, соответствующий сечению у>, то кривая s(t) задает- ся эволюционным уравнением й—* а «касательный вектор» к ее образу находится из равенства иь Таким образом, как и в конечномерном случае, линеаризация опре- делена на векторных полях, т. е. на эволюционных дифференци- рованиях, причем возникающая неоднозначность устраняется, если расслоение (7г^0)*(тг/) (аналог касательного расслоения) индуциро- вать на 7°°(тг) с помощью отображения G = ФД: J°°(7r'), определяемого всеми продолжениями оператора Д (см. рис. 4.6). При этом, как легко видеть, (фд)* «)*(7Г') = « 0 фдГ (7Г') = С(7Г')- Операторы и эволюционные дифференцирования вида позволяют в удобном виде переписать некоторые из полученных в настоящем параграфе соотношений. Прежде всего заметим, что если id: Г(тг)—>Г(тг) — тождественный оператор, то его линеариза- ция /’(тг, тг)—>/’(тг, тг) также является тождественным операто- ром. Поэтому для любого сечения G /’(тг, тг) выполнено равенство 9vM = lid(v>) = V>- (2.37)
§ 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАРТАНА НА 217 Рис. 4.6. Действие линеаризацией на эволюционные поля Сопоставляя (2.37) с определением скобки Якоби, мы видим, что [э;> э;] ш=э; (э>,а)) -э; (э;^)) т. е. = (2.38) Другое выражение для скобки Якоби, непосредственно следующее из (2.38), имеет вид {^,^} = Э’(^)-^(^) или = (2.39) Сопоставляя равенство (2.27) с координатным представлением уни- версальной линеаризации, можно убедиться также, что если л- — тривиальное одномерное расслоение, то поле Ли X* на 7°°(тг) мо- жет быть представлено в виде К = 9V - tv + у 1) = {¥>,.} + ^(1), (2.40) где 1 — сечение расслоения ^(тг): J°°(7r) х R —> J°°(7r), тождест- венно равное 1 в каждой точке многообразия Эволюционные дифференцирования и универсальные линеари- зации играют важную роль в теории высших симметрий нелинейных дифференциальных уравнений, к изучению которой мы приступаем.
218 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ § 3. Бесконечно продолженные уравнения и теория высших симметрий В предыдущем параграфе, исследуя инфинитезимальные авто- морфизмы распределения Картана на <7°°(тг)> мы пришли к понятию эволюционного дифференцирования, которое неформально можно понимать как векторное поле на «многообразии» сечений Г(тг). Наш следующий шаг состоит в распространении этого подхода на про- извольные дифференциальные уравнения 8 с <7к(тг). Пытаясь выяс- нить, что есть векторное поле на «многообразии» Sol 8 решений уравнения 8, мы придем к теории высших симметрий нелинейных дифференциальных уравнений, которая естественным образом обоб- щает теорию классических симметрий, развитую ранее. Поскольку решения уравнения 8 — это такие сечения з G Г(тг), что Г* = jk(s)(M) с 8, естественно предположить, что по крайней мере некоторые из искомых полей на Sol 8 должны получаться пу- тем ограничения полей, определенных на объемлющем простран- стве Г(тг), т. е. эволюционных дифференцирований. Однако если мы возьмем произвольное эволюционное дифференцирование на J°°(7r) и попытаемся ограничить его на 8, т. е. применить к функ- циям из С°°(5), то если deg(^)^O, наша попытка окажется неудач- ной — функция V’ С°°(8), уже не будет являться элемен- том алгебры С°°(8). Если же использовать поправки к на поля вида Хм, то в этом случае получаемые «поля» на Sol 8 будут ис- черпываться уже известными классическими симметриями уравне- ния 8. Причины происходящего понятны — вспомним, что эволюци- онные дифференцирования возникли при переходе от пространств конечных джетов <7*(тг) к башне ...«- Jk(ir)«- Jk + l(ir)«- ... и рассмотрении распределения Картана на J°°(7r). Аналогом этой конструкции для уравнения 8 служит цепочка его продолжений 8{l\ 1=0,1... , приводящая к бесконечно продолженному уравне- нию 8°° с J°°(7r). Заметим, что понятие продолжения играет важ- ную роль в таких вопросах, как теория формальной разрешимости дифференциальных уравнений, особенности их решений (разрывы, ударные фронты) и т. д. 3.1. Продолжения. Пусть 8 С <7*(тг) — уравнение порядка к, локально задаваемое условиями 8 = {еке Jk(ir) \Fl(0k) = ...= Fr(0k) = О, Fv ..., Fr G Л(тг)} . Если з сГ(тг) — некоторое решение уравнения 8, т. е. если / \
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 219 то з должно удовлетворять и всем дифференциальным следствиям системы (3.1)*). В частности, 9Fa ypdFadM + 1sj 9х{ + 99х{9ха для всех i = 1,..., п, или ;Г, j = (3.2) Ok + 1(S))*A(-Fa) = °> » = a = l,...,r, (3.3) где Di — операторы полных производных. Объединение систем (3.1) и (3.2), возникающее как дифференциальное следствие системы (3.1) порядка 1, определяет некоторое уравнение С 7к+1(тг) порядка к + 1 и называется первым продолжением уравнения £. Чтобы определить понятие первого продолжения инвариантным образом, выясним, при каких условиях точка 0к+1 е Jk + ^тг) принад- лежит множеству 8Во-первых, очевидно, для этого необходимо, чтобы точка 0к = 7rfc+1 fc(0fc+i) лежала на уравнении 8. Далее, пред- ставим точку 0к^х е£(1) в виде 6k+l = [s]* + 1, з бГ(тг), и подставим отрезок ряда Тейлора длины fc+1 сечения з в уравнение (3.1). Раск- ладывая результат подстановки в ряд Тейлора и сопоставляя полу- ченное выражение с равенствами (3.2), мы убеждаемся, что точка 0к + 1 лежит в 8^ тогда и только тогда, когда соответствующее се- чение з е Г(тг) удовлетворяет уравнению 8 в точке 0к с точностью до бесконечно малых второго порядка. Иначе говоря, точка 0t + 1 = = [s]* + 1 в том и только в том случае лежит в £(1), если многообразие jk(s)(M) касается уравнения £ в точке 0к = [з]*. Это и есть искомое инвариантное определение первого продолжения. Естественным об- разом обобщая его, мы приходим к следующему определению. Определение 3.1. Множество £с Jk+i(7r), состоящее из таких точек ^+j=[s]*+,I что график ук(з)(М) fc-ro джета сечения з G Г(тг) касается уравнения £ в точке 0к = [з]* с порядком > I, называется l-м продолжением уравнения 8 С <7* (тг). Очевидно, условия, задающие Ге продолжение уравнения £, являются дифференциальными следствиями условий (3.1) вплоть до порядка I включительно, т. е. имеют вид DT(Fa) = 0, И С/, а = 1,...,г, (3.4) *) Т. е. всем уравнениям, полученным в результате дифференцирования рассма- триваемой системы.
220 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ где т — мультииндекс, a DT — соответствующая композиция опера- торов полных производных. Пусть теперь £ — некоторое расслоение размерности г над М и Д: Г(тг)—>Г(£)— оператор порядка к, определяющий уравнение, т. е. обладающий тем свойством, что 0к G £ тогда и только тогда, ко- гда <^д(0к) = О. Сопоставляя выражения (1.7), полученные в § 1 для продолжений нелинейных дифференциальных операторов, с уравне- ниями (3.4), мы получаем следующий результат. Утверждение 3.1. Если уравнение £cJk(ir) зада- но дифференциальным оператором Д: Г(тг)—>Г(£), то его 1-е продолжение £® С Jfc+Z(7r) задается оператором Д{ = о Д: Упражнение 3.1. Пусть уравнение £ таково, что его 1-е продолжение является гладким подмногообразием в J* + z(tt). Пока- жите, что в этом случае справедливо равенство (£(Z))(f) =£</+‘) для всех t ^0. Это, в частности, означает, что в такой ситуации (/ + 1)-е продолжение можно определить индуктивно: £(, + 1) = (£(Z))(1). Упражнение 3.2. Приведите примеры уравнений, для которых £^ не является гладким подмногообразием в 7к + 1(тг). 3.2. Бесконечно продолженные уравнения. Итак, для каж- дого к 0 мы построили множество £(Z) с Jk+l(ir) — l-е продолже- ние уравнения £. Поскольку касание порядка I + 1 влечет за собой касание со всеми меньшими порядками, имеют место естественные отображения £<z+1) —► £(/), согласованные с проекциями объемлю- щих пространств джетов: Jfc + Z+1(7r)D£<, + 1> "*+1+1,*+<^ | (3.5) Jfc + Z(7r) D f(Z) и также обозначаемые через 7rfc+z + 1 к + 1. Однако, в отличие от про- екций джетов, отображение 7rfc + z+1 k + l: £(Z + 1) —»£(Z) может не яв- ляться сюръективным. Упражнение 3.3. Приведите примеры уравнений, для которых отображение 7гк + 1 к: £^ -*£ не сюръективно. Цепочка отображений £ = £(Р) + £(1) f (0 ,’г* + ' + 1’* + 1 (3.6)
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 221 позволяет определить обратный предел £°° = lim ind 8® продолже- I —> 00 ний уравнения 8, называемый бесконечным продолжением это- го уравнения. Множество 8°° лежит в многообразии бесконечных джетов J°°(7r), и его точкам можно дать следующую наглядную ин- терпретацию. Как мы знаем, точка, лежащая на £(/), — это отрезок ряда Тей- лора сечения расслоения тг длины k + l, удовлетворяющий 8 с точ- ностью до бесконечно малых порядка Z +1. С другой стороны, точки многообразия 7°°(тг) — это полные ряды Тейлора сечений расслое- ния тг. Поэтому точка 0 = [s]~ е тогда и только тогда принад- лежит множеству 8°°, когда ряд Тейлора сечения з в точке х G М удовлетворяет уравнению 8. Иными словами, точки 8°° суть фор- мальные решения уравнения £. Отсюда, в частности, видно, что необходимым условием разрешимости уравнения 8 в точке х е М является непустота множества 8°° П Определим алгебру гладких функций на 8® как совокупность ограничений гладких функций, определенных на объемлющем мно- гообразии 7* + г(тг): W) = {v>- —К|3$5 е^+/(тг): = В случае, когда 8®— гладкое подмногообразие в Jk + l(ir), имеет место равенство J7l(8) = C°°(8^). Наличие коммутативной диаграм- мы (3.5) позволяет по цепочке отображений (3.6) построить цепочку гомоморфизмов коммутативных алгебр Го(8) = С°°(8) ^(£) ^... ^ ^(8) Г1+ г(8) ..., прямой предел которой ^(8) = lim dir Я(8) называется алгеб- I ~» 00 рой гладких функций на бесконечно продолженном уравнении 8°°. Для всякого I 0 определены естественные гомоморфизмы алгебр поскольку Im«>Jfe+/) dm я* +z + 1, алгебра F(8) фильтрована образами этих гомоморфизмов. Образ гомомор- физма тг^ k+i в F(8) можно отождествить с кольцом гладких функ- ций на множестве 8t = тгто k + l(£°°) С 8® С 7*+г(тг). Поэтому если все отображения 8°° —► 8^ сюръективны, можно считать, что алгеб- ра F(8) фильтрована подалгебрами Ft(8). Как легко видеть, урав- нения, для которых сказанное справедливо, обладают следующим важным свойством: любое решение такого уравнения, построенное с точностью до бесконечно малых порядка I, может быть достроено до формального решения.
222 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Если У: Р' ->М —другое расслоение над М, то можно также ввести 5’;(^)-модули W, тг') = {у> 6 ЦеДтг')) I 3£ 6 Г(<+г(7г')): = ¥>} , где е, : £V^Jk+l(v) — каноническое вложение, и построить филь- трованный ^(^)-модуль Р(£, тг') = lim dir Р,(£, тг'). I-+0O Из определения алгебр Pt(£) следует, что при всех I 0 име- ют место эпиморфизмы Л+/(7Г) Полагая £(,) = £. = = 7Г* k+i(£) ПРИ <0 и соответствующим образом определяя алгебры Jj(£), мы приходим к коммутативной диаграмме - - - Л -100 - ЛЮ -... - Л+1Ю - Ъ+1+1Ю -... ♦ -00 * -1 е0 (3.7) е ЛЮ- ЛЮ Л+1Ю-- где Л^Ю = С,о“(7гоо(^ос))- Обозначим через It(£) ядро эпиморфиз- ма Ег*. Тогда Ij(£) — идеал алгебры Рк+1(£), обладающий тем свой- ством, что функция <р в том и только том случае лежит в этом идеале, если у>(0) = О для всех точек в е£^1\ Из коммутативности диаграммы (3.7) следует, что для всех I е Z определены вложения ЛЮ С Л+1Ю- Поэтому система идеалов {ЛЮ} определяет идеал /(£) = U ЛЮ фильтрованной алгебры Р(£), называемый идеалом 1ег уравнения £. Пусть X eD(ic)— векторное поле на 7°°(тг), обладающее тем свойством, что идеал Ц£) замкнут относительно дифференцирова- ния X: X (I(£)) с I(£). Тогда X порождает дифференцирование Х\£ факторалгебры Р(тг)/1(£), т. е. векторное поле на £°°. В этом случае мы говорим, что поле X касается многообразия £°° или до- пускает ограничение на это многообразие. Заметим, что без ограничения общности мы можем считать, что гомоморфизм является изоморфизмом, т. е. £<-оо) = ^(f00) = = М. Действительно, если проекция тг^^х,: £°° —>М не является сюръекцией, мы можем ограничить расслоение тг на подмногообра- зие ^(f00) с М (или, если это необходимо, на его неособую часть) и в дальнейшем рассматривать все необходимые конструкции в этом ограничении. Более того, по аналогичным соображениям можно счи- тать также, что £^ = тг0о 0(£°°) = 7°(тг). Поэтому в дальнейшем мы полагаем, что £°° сюръективно проектируется на многообразие ну- левых джетов J°(tt).
$ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 223 Пусть Fa =0, а = 1,..., г, — соотношения, определяющие урав- нение £. Тогда идеал 1Л£) порожден образующими Fa е Fk(n), т. е. любой элемент <р е/0(с) имеет вид р = <plFl +.. .+<ргГг, ipa еFk(£). Добавляя к этим образующим элементы вида i = I,..п, мы получим, как это следует из (3.2), идеал 1Х(£) и т. д. Наконец, идеал 1(£) порожден всеми элементами вида DT(Fa), |т| >0, а = 1,..г, причем Il(£) — I(£)nFk+l(ir). В частности, идеал 10(£) тривиален (а его тривиальность эквивалентна сюръективности отображения Лоо, о | £«>) в том и только том случае, если среди следствий условий Рт(Га) = 0 нет равенств вида /(г,«) = 0, т. е. если в уравнение £ не входят (может быть, неявным образом) функциональные соот- ношения. Если же такие соотношения существуют, мы можем ло- кально выбрать в них подсистему максимального ранга и выразить с ее помощью часть переменных через оставшиеся перемен- ные. Эта операция является координатным эквивалентом описанной выше процедуры редукции произвольного уравнения £ к такому уравнению, для которого 0(£°°) = 7°(тг). Данное описание идеалов It(£) показывает, что идеал 1(E) урав- нения £ обладает следующими двумя важными свойствами: а) он является идеалом фильтрованной алгебры, т. е. адп^+^)=/Д£), /(о= U МО; IeZ б) для любого векторного поля X е D(M) идеал 1(£) замкнут относительно поднятия X G -О(тг): Х1(£) с 1(£). (Свойство б) идеала 1(£) называется дифференциальной замк- нутостью.) Обратно, пусть в алгебре F(ir) задан фильтрованный диффе- ренциально замкнутый идеал I, дифференциально порожденный*) конечным числом образующих-Г,,..., Fr е^(тг), являющихся функ- циями Яр.. ,,хп,.. .,р£,..., |ff| к. Определим множество £т г С С Jk+l(n) как многообразие нулей идеала Л — п •^*+г(7Г): £л( = {0 6 7а+'(7г) М0) = OV<pGl;}. Тогда, как легко видеть, £I t =£f\ где I > 0 и £t = 0, а I = Итак, существует взаимно однозначное соответствие между подмно- гообразиями вида £°° в /“(тг) и конечно порожденными дифферен- *) Мы говорим, что идеал I дифференциально порожден образующими F{l... ..., Fr, если он алгебраически порожден элементами DTF^ |т| > 0, j = 1,..., г.
224 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ циально замкнутыми фильтрованными идеалами алгебры J’(tt). От- метим параллель этого соответствия с известной в алгебраической геометрии двойственностью между алгебраическими многообразия- ми и идеалами коммутативных алгебр (см., например, [74]). 3.3. Высшие симметрии. Пусть £ С «7*(тг) — уравнение, 7Гоо о(^°°) = ^°(7Г) И Д£)с^г(7Г) — идеал этого уравнения. Тогда фак- торалгебра ^(тг)//^) = !F(£} является фильтрованной алгеброй и отождествляется с алгеброй гладких функций на многообразии £°°. Теория дифференциальных объектов (полей, форм и др.) на £°° стро- ится точно так же, как это было сделано в § 1 для случая J°°(7r). Так, векторное поле на £°° — это дифференцирование алгебры ?(£), согласованное с фильтрацией, модуль Л1 (8) = A‘(£°°) г-х внешних форм является прямым пределом модулей А’(£^) и т. п. Определим распределение Картана С(£) на £°°, полагая *) СД£) = Тв(£°°)пСв, 0е£°°, где Св — соответствующий элемент распределения Картана на мно- гообразии J°°(7r). В силу определения бесконечного продолжения распределение С(£) нетривиально. Из описания максимальных инте- гральных многообразий распределения Картана на 7°°(тг), данного в § 2, и определения распределения С(£) следует, что максималь- ными интегральными многообразиями последнего являются много- образия вида Г^° = j^o(s)(Af), s е Г(тг), лежащие в £°°, и только они. Заметим, что если Г£° с£°°, то многообразие тг0о*(П°) = Г* лежит в 8, т. е. s является решением уравнения 8. Обратно, для всякого решения s уравнения £ соответствующее многообразие Г^° лежит в £°° и, естественно, является максимальным интегральным много- образием распределения С(£). Таким образом, максимальные инте- гральные многообразия распределения Картана на £°° суть решения уравнения 8. Замечание 3.1. Кажется более естественным определить картановскую плоскость Св(£) в точке 0 6 £°° как линейную оболоч- ку касательных плоскостей к решениям уравнения £, проходящим через эту точку. Однако этот путь обладает рядом существенных недостатков: во-первых, для его реализации необходимо знание ре- шений уравнения £ и, во-вторых, он приводит к теории, значитель- но более бедной, чем излагаемая нами. Подход, описываемый нами, *) Мы используем для распределения Картана на £°° то же обозначение, что и для распределения Картана на £. Это не приведет к двусмысленности, поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело только с бесконечными продолжениями.
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 225 состоит, если так можно выразиться, в построении распределения Картана на £°°, исходя из «касательных плоскостей к формальным решениям уравнения». Определим модуль картановских форм на £°° как совокупность СА1^00) с А1^00) таких 1-форм, которые в каждой точке 0 е£°° аннулируются векторами распределения С(£). Упражнение 3.4. Покажите, что имеет место равенство CAl(£°°) = CA1(7r)|f00, т. е. всякая форма weCA1^00) может быть представлена в виде ограничения на £°° некоторой картановской формы на J°°(7r). Из § 2 и сказанного выше следует, что идеал СЛ1(£00)лЛ*(£00) дифференциально замкнут относительно дифференциала де Рама d: A*(£°°)—>Л*(£“), т. е. d (СЛ1^00) Л Л*(£°°)) с CA‘(£“) Л А*(£°°). (3.8) Далее, следуя уже знакомым из предыдущего параграфа мотивиров- кам, введем множества CD(£°°) = {х е Р(£°°) | X _lw = 0, Vw G СЛ1^00)} и Dc(£°°) = {Хе D(£°°) I [X, CD(£°°)] С CP(£°°)}. Из определения следует, что множество Dc(£°°) является подалгеб- рой Ли в алгебре Ли векторных полей на £°°, a CD(£°°) — идеал в D-(£°°). Дословно повторяя рассуждения § 2, мы вводим R-алгеб- ру Ли sym£ = Pc(£“)/CZ>(£“) симметрий распределения Картана на £°°, неформально отождеств- ляя ее элементы с векторными полями на множестве максимальных интегральных многообразий этого распределения, т. е. на «многооб- разии» Sol £ решений уравнения £. Определение 3.2. Элементы алгебры Ли sym£ называ- ются высшиуии (инфинитезимальными) симметриями урав- нения £. Наша ближайшая цель — описание алгебры sym £. Для этого прежде всего заметим следующее. Пусть X G D(M) — векторное поле на многообразии М. То- гда, поскольку идеал 1(£) уравнения £ дифференциально замкнут, т. е. имеет место вложение X(!(£)) С 1(£), дифференцирование X: ^(тг)-» ^(тг) определяет некоторое дифференцирование Х^ филь- трованной алгебры Jr(£) = J:(‘ir)/I(£), т. е. векторное поле на £°°. Иначе говоря, любое поле вида Х,Х G D(M), допускает ограни- чение на £°°. Сказанное, очевидно, справедливо и для всех опе- 15 Симметрии...
226 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ раторов, порожденных такими полями, т. е. операторов вида Д = В частности, как видно из геометрического определения полей X, это справед- ливо для полей из С-О(тг). Иначе говоря, имеет место гомоморфизм алгебр Ли CD(ir)CD(£°°). (3.9) Далее нам понадобится следующая лемма. Лемма 3.2. Пусть уравнение £cJk(ir) таково, что £°° сюръективно проектируется на некоторое многообразие 7г°(тг), lQ < к. Тогда для любого I и любого дифференциро- вания X: ^j_fc(7r)—найдется такое дифференцирование Х'\ что диаграмма W Д’г) коммутативна. Доказательство. Условия I 10 отображение Представим (локально) дифференцирование X в п г\ 7П Г\ леммы означают, что при — изоморфизм, т. е. ^(тг) = Д£). ' ' ” виде X = д _ ЗА, ~ / / . / . ° этом представлении <р; — функ- др’ ции на некотором конечном продолжении £^ уравнения £, и их можно продолжить до гладких функций на объемлющем многообра- зии 7* + Г(7г). |-| Напомним, что выше мы свели рассмотрение произвольных уравнений £ С Jk(ir) к таким, для которых £°° сюръективно проек- тируется на 7°(тг). В этой ситуации из доказанной леммы следует, что отображение (3.9) эпиморфно, т. е. всякое поле X е CD(£°°) является ограничением на £°° некоторого поля X' tCD(Tr). Исполь- зуя утверждение 2.2, мы видим, что тогда X представляется в виде х = Е ViX{, где <р{ е ?(£), а X, е D(M). Пусть теперь X е Dc(£°°). Ограничивая X на ^(f00) = М, мы получим дифференцирование Хм: С°°(М) —> .F(£), которое в силу эпиморфности (3.9) продолжается до дифференцирования Х'м: С°°(М)!Г(тг). Рассматривая его поднятие Х'м'. ^(тг) —>^(тг), Х'м eCD(n), и ограничивая последнее на £°°, мы получим дифференцирование СХ, лежащее в CD(£°°).
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 227 Упражнение 3.5. Покажите, что СХ однозначно опреде- ляется полем X е Dc(£°°), т. е. не зависит от способа расширения дифференцирования Хм ЛР Х*м. Обозначим через Dvc(£x) с Dc(£°°) множество вертикальных автоморфизмов распределения Картана на £°°, т. е. таких элементов X е Dc(£'x>), что А-)соо =0. Из построения поля СХ следует, что соответствие v: X wXv =Х - Xv определяет отображение v. DC(£~)^D”C(£°°). (3.10) Лемма 3.3. Отображение (3.10) — проектор, т. е. Xv = = Х для всех XeDc(£°°). Доказательство. Действительно, если X — вертикаль- ное поле, дифференцирование Хм = X |c<x>(Af) тривиально. Поэтому из определения поля СХ следует, что оно также тривиально. □ Из доказанной леммы вытекает, что имеет место прямое разло- жение Рс(£~) = ^°°)®кег(и). Очевидно также, что ker(v) = C£>(£°°). Поэтому справедливо следу- ющее утверждение. Утверждение 3.4. Если проекция многообразия £°° на М сюръективна, то алгебра Ли Dc(£°°) раскладывается в полупрямое произведение подалгебры D^(£°°) вертикальных полей и идеала CD(£°°): Dc(£x) = Dvc(Ex)QCD(Ex). (3.11) Следствие 3.5. Разложение (3.11) индуцирует изо- морфизм алгебр Ли sym£~Z>”(£°°). 3.4. Внешние и внутренние высшие симметрии. Вернемся теперь к алгебре symC(7r) = Dc(n)/CD(ir) симметрий распределе- ния Картана на У°°(тг) и заметим следующее. Поскольку элементы класса смежности % G symC(7r) отличаются друг от друга на диф- ференцирования из СР(тг), то либо ни один из них не касается многообразия £°°, либо, наоборот, все они касаются этого многооб- разия. В последнем случае элемент % порождает некоторую симме- трию уравнения £ и называется внешней (высшей) симметрией этого уравнения. Поэтому, как и в случае классических симметрий (§ 7 гл. 3), встает проблема сравнения внешнего и внутреннего под- хода к определению высших симметрий. 15*
228 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Обозначим множество внешних симметрий через syme £. Оче- видно, имеет место гомоморфизм алгебр Ли syme £ —> sym £, (3.12) определяемый операцией ограничения. Из результатов § 2 нам из- вестно, что в каждом классе смежности у е зушС(тг) имеется кано- нический представитель — вертикальное поле, являющееся эволю- ционным дифференцированием. Поэтому для того, чтобы проверить, является ли некоторый элемент у Е sym С(тг) внешней симметрией уравнения £, достаточно убедиться, что соответствующий предста- витель касается £°°. Основываясь на этих замечаниях, мы сейчас покажем, что отображение (3.12) эпиморфно. Для этого понадобит- ся следующая лемма. Лемма 3.6. Высшие симметрии коммутируют со все- ми полями вида Y, Y Е D(M). Точнее, для любого элемента X eDq{£°°) справедливо равенство [X, У] = 0. Доказательство. Поскольку поле Y (точнее, его ограни- чение на £°°) лежит в множестве CD(£°°), которое является идеа- лом алгебры Ли Dc(£°°), коммутатор [X, У] также лежит в CD(£°°). Пусть теперь f Е С°°(М) — функция на многообразии М. Тогда У(/) = У(/) также принадлежит Поэтому в силу верти- кальности поля X имеют место равенства Х(/) = 0 и Х(У(/)) = 0. Это означает, что [X, У](/) = X(Y(f)) — Y(X(f)) = 0, т. е. поле [X, У] вертикально. Отсюда, используя разложение (3.11), можно сделать вывод, что [X, У] = 0. □ Рассмотрим симметрию X е D^(£°°) уравнения £ и ограничим ее на многообразие тг^ 0(£°°) = J°(tt). В силу леммы 3.2 получен- ное дифференцирование Хо: ^0(тг) -»Т{£) может быть продолжено до дифференцирования Х'ц. ^0(тг) —> ^(тг). Далее, из результатов, полученных в предыдущем параграфе, следует, что существует и единственным образом определен такой вертикальный автоморфизм X' eD^,(k) распределения Картана на J°°(7r), что X'I^^^Xq. При этом Х'1^. (jr) = Х|^. (jr), т. е. Х'(<р) = Х(у>) для любой функции <р Е е-^оС71’)- Пусть Yl,...,Yl — произвольные поля на М и Y* = Yr о.. ,oYt — композиция их поднятий на Тогда в силу леммы 3.6 имеет место равенство i [x,yj=£y;o...o[x, Эдо...оу^=о, «=i
§ 3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ И ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 229 откуда следует, что = £(*(?)) = = X’fyp»- (3-13) Итак, мы показали, что Х\ф) = Х(ф) для любой функции V’ ви- да V1 — К.(У’), <Р €F0(7t). Выберем локально в качестве <р коорди- натные функции Pq = uj, а в качестве У* — композицию полных производных Da. Поскольку Da(u?) = р]а, из (3.13) следует, что Х'(р1) = ^(Pa|foo) для всех а и j = 1,.. .,т. Так как любая глад- кая функция на J°°(7r) локально является функцией аргументов xt,..zn,pJ, отсюда вытекает равенство X'= X(^|f00) для всех •ф 6 F(tt). Иными словами, доказана следующая терема. Теорема 3.7. Если уравнение £ С 7*(тг) таково, что ’’’со 0^°°) ~ •^°(7Г), то отображение (3.12) эпиморфно, т. е. всякая внутренняя высшая симметрия уравнения £ может быть представлена в виде ограничения на £°° некоторой его внешней симметрии. Точнее, для любого поля X 6 D^(£°°) найдется такое поле X' Е что _Х’/|£.ОО =Х. Напомним, что в классической теории аналогичное утвержде- ние, вообще говоря, несправедливо (см. § 7 гл. 3). 3.5. Определяющие уравнения для высших симметрий. Теперь, используя теорему 3.7, мы дадим аналитическое описа- ние алгебры symf, необходимое для конкретных вычислительных применений. Пусть £ с Jk(n) — произвольное уравнение поряд- ка к, бесконечное продолжение которого сюръективно проектиру- ется на «7°(тг). В силу полученных выше результатов любая выс- шая симметрия уравнения £ может быть получена путем ограни- чения на £00 некоторого эволюционного дифференцирования е е (тг), <р е я). В свою очередь все эволюционные дифферен- цирования, допускающие ограничение на £°°, определяются услови- ем Э^1(£))С1(£), (3.14) где I(£) с — идеал уравнения £. Пусть уравнение £ задается соотношениями Fa =0, Fa eFk(ir), а = 1,..., г, причем в каждой точке в е £ дифференциалы <LeFa линейно независимы. Это означа- ет, что множество {Fp...,Fr} является системой дифференциаль- ных образующих идеала 1(f): l(£) = L е Iф = £ Фа,МРа), К е Дтг)|. ' а, о '
230 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Поэтому условия (3.14) равносильны тому, что для любых функций Vv 6 Л7Г) найдутся такие функции ip'r е ^(тг), что ^fe*..A<F.)) = E<A<F«>- <315> 'а,<7 ' а,а Но —дифференцирование, коммутирующее с операторами пол- ных производных, и поэтому э, fe = Е ШЛИ+Е ' а,<7 а,<7 Значит, условие (3.15) достаточно проверить только на образующих идеала 1(£), т. е. равенство (3.14) равносильно системе уравнений а, <т . э,(^)=Е<ЛДГ.). (31в) а, <т а, (г относительно неизвестного сечения <р G ^(тг, тг), где €,^^(4 а,/3 = 1,...,г, |ст| O + deg(y>). Применяя определение оператора универсальной линеариза- ции, которое было дано в § 2, перепишем систему (3.16) в виде = = (3-17) а, (7 Среди решений системы (3.17) имеются тривиальные, соответст- вующие ядру эпиморфизма (3.12) и характеризующиеся тем, что ограничение дифференцирования на 8°° для этих решений дает нулевое векторное поле на 8°°. Упражнение 3.6. Покажите, что множество тривиальных решений системы (3.17) совпадает с идеалом 1(8) уравнения £. Чтобы исключить из рассмотрения тривиальные решения, вспомним, что в силу представления (2.23) оператор универсальной линеаризации выражается через операторы полных производных и, следовательно, допускает ограничение на многообразия вида 8°°. Положим и ограничим уравнение (3.17) на 8°°. Тогда,
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 231 поскольку в правой части стоят элементы идеала 1(£), мы придем к системе уравнений 4а(^) = 0, $ = Ч>\£^ решения которой находятся во взаимно однозначном соответствии с высшими симметриями уравнения £. Более того, при этом соот- ветствии коммутатор двух симметрий переходит в элемент {<£, Я}£ = (V>) = {ф, V’Jlgoo, = V’lgoo. Сводя воедино полученные результаты, мы видим, что имеет место следующая теорема. Теорема 3.8. Если £ С Jk(ir) — такое уравнение, что = J°(7r), и Flf...,Fr —образующие идеала 1(£), то алгебра Ли sym£ изоморфна алгебре Ли решений системы уравнений ££J>p) = Q, а = 1,...,г, ipeF(£,K), (3.18) в которой структура алгебры задана скобкой {•, *}£. Легко видеть, что если Д: Г(тг) —► Г(тг') — оператор, определяю- щий уравнение £ и выбранный таким образом, что соответствующее ему сечение F = у>д е F(ir, тг') трансверсально к базе расслоения 7г*(тг') (точнее, образы нулевого сечения и сечения F трансверсаль- ны в точках их пересечений), то систему (3.18) можно переписать в виде ££F(<p) = 0, <p&F(£,k), FeF(ir,4 (3.19) Уравнения (3.18) и (3.19) называются определяющими для нахож- дения высших симметрий. § 4. Примеры вычислений В этом параграфе мы демонстрируем технику вычисления выс- ших симметрий на примере некоторых уравнений математической физики. Другие иллюстрации можно найти, например, в сборни- ке [141]. Теоретической базой приводимых ниже расчетов служит теорема 3.8, причем обе части ее утверждения оказываются суще- ственными в технике вычислений: представление симметрий (точ- нее, их производящих функций) в виде решений линейной системы (3.18) позволяет получить «верхнюю и нижнюю оценки» для алгеб- ры Ли sym£, а замкнутость относительно высшей скобки Якоби
232 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ {•, *}г дает возможность уточнить полученные оценки и в некото- рых случаях прийти к точному описанию алгебры симметрий. Мы опираемся также на факт совпадения внешних и внутренних симме- трий, используя в вычислениях внутренние, координаты на мно- гообразии £°°. Упражнение 4.1. Для получения «верхней оценки» ал- гебры sym£ полезно также использовать коммутаторное тож- дество [^-^,^] = Ро4, (4.1) где р — симметрия, и I — ограничения соответствующих опе- раторов на £°°, а 2? — оператор вида 2> = J2a0.P(r. Докажите это тождество. ° Начнем со спецификации общих конструкций применительно к скалярным эволюционным уравнениям второго порядка. 4.1. Подготовительные замечания. Рассмотрим уравнение вида ut = $(x,t,u,ux,uxx). (4.2) Бесконечное продолжение £°° этого уравнения является подмного- образием в пространстве J°°(7r) бесконечных джетов тривиального одномерного расслоения над плоскостью М = R2 независимых пере- менных х — х{ и t = ж2, а координатой в слое расслоения я служит зависимая переменная (неизвестная функция) и. В J°°(7r) возника- ют стандартные координаты а, /3 0, однозначно определяе- мые равенствами да+03 Л“,0)1ло(«)— Qxadt^ ’ (4.3) где s = s(x,t) — произвольное сечение расслоения я, т. е. гладкая функция на R2. Из (4.3), в силу определения полной производной, следует, что p{a fj) = D“D$(u), где „ "д' д д д D‘-^=ъ+•''+р^>а^+'' _ д д д д +-+•• • Поэтому в силу (4.2) на £°° имеют место равенства Р(а,Д+1)=^^(Ф)>
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 233 и в качестве внутренних координат на £°° можно выбрать функ- ции х, t и P(a,o)|f” В этих координатах ограничения полных производных на £°° имеют вид n def п | д v-ч Э a>0 Иа а система (3.18), определяющая высшие симметрии уравнения £, сведется к уравнению 04<Р=Фо¥’+Ф1-0^+Ф2-0®¥’> (4-5) где tp = tp(x, t,p0,.. ,,рк) — ограничение производящей функции def искомой симметрии на £°°, а Ф. = -—. Максимальное число к, для dtp dPi которого <рк = /О, назовем порядком симметрии и обозначим deg 9р. дРк Далее нам требуется: а) определить, для каких Ф (в пределах некоторого класса) (4.5) имеет решения сколь угодно высокого порядка; б) по возможности описать все такие решения. Оказывается, что для получения ответов на эти вопросы технически более удоб- но перейти от уравнения (4.5) к вытекающей из него системе урав- u , „ def dtp нении относительно функции <z>. = где tp — решение системы dPi (4.5). С этой целью введем операторы т^-оР“, если а, /в^О, Рр , 0 в противном случае, действующие в кольце функций на £°°. Лемма 4.1. Для любой функции tp = tp(x,t,p0,.. .,рк) и любых целых а,/3 имеет место равенство < др. к , \ (4.6) где по определению отрицательно. если хотя бы одно из чисел а, Ь
234 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Доказательство. Проведем индукцию по а. При а=0 утверждение очевидно. Пусть а > 0 и при а — 1 тождество (4.6) доказано. Заметим, что из (4.4) и (2.17) следует, что Rap=Rap~A+DxORap~x. Поэтому я^)=^:11(^)+РЛГ1^) = = Vf “ ” 1 >\Da~p+i(<p.) + D V( “-1 ^P“_^+l-1(<p.) = v"-/3+V * W, xf^Q~?+ix ' J = V f “ 1 " 1 ) Da~p+i((p.) = ^[Да-/3+г7 Va-/3 + i-i;j x = V ( ° (<₽•)• □ ^-'\a—/3+i) x a = 0 ' ' Замечание 4.1. Из равенства (4.6) следует «асимпто- тическое разложение» величин Dx<p по старшим перемен- ным , полезное при конкретных вычислениях. Именно, поскольку deg 25“^.а — /3 + г +к, порядок правой части (4.6) не пре- восходит а - /3 + 2к. Поэтому при четных а справедлива оценка к 2r + t 2r '\D2r~p+i<p.+ „.о*. ,.о ' i = 0 ' 7 а при нечетных — 2r+t+l к z п । 1 \ D^'v= £ «’«ЁВ, й1+1)Г.!’^+<+'»’.+О(г+«:-1), р 1 \1г—р-Н + 1 / Д—J_l. .’—П \ Л" 1 1 / где О (г) — функция на Е°°, не зависящая от р0 при /3 >i. Продолжим рассмотрение уравнения £F(<p) = 0 и применим к Q этому уравнению операторы -—, /3 > 2. В силу (4.4) имеем Ау’/з + 12 Ra^ =фо(Рр +ф1л^ +^Rp<P- а О
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 235 Используя результаты доказанной леммы и учитывая принятое вы- ше соглашение о значениях биномиальных коэффициентов, это со- отношение можно привести к виду k г/ • \ / • \ М^) + Е L \)^(ф.) + (i _ * J )D^ '(Ф,)+ i \Di-P+\ i-/3 + 2j х (ф2) +(/3- 1)^(Ф2)^_1 = 2<f>2Dx^_{). Итак, мы можем сформулировать следующее утверждение. Утверждение 4.2. Если функция <р— <p(x,t,p0,.. .,рк), к 3, является решением уравнения £F(<p) = Dt(ip) — Ф0<р — — Ф1Рх(у>) — Ф21)2(у>) = 0, т. е. высшей симметрией уравнения ut =$(x,t,u, их, ихх) порядка к, то функция /3 = 2,... &Р/з .. .,к, удовлетворяет следующей системе уравнений: kDx($2ypk=2$2Dx(<pk), фо+^-°а!(ф1)+ +(к-1)В1(Ф2)^_1=2Ф2В,(^_1), + С-,3+2)О"Л+!(Ф1)] —2ф2.Ра.(у>0_1), Система (4.7) имеет диагональный вид, и, по сравнению с ис- ходным уравнением tF(<p) — O, ее исследовать удобнее. Рассмотрим подробно такое исследование на примере одного класса эволюцион- ных уравнений.
236 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ 4.2. Уравнения Бюргерса и теплопроводности. Опишем уравнения вида Ut= uxx+f(u’ux)’ (4-8) имеющие симметрии сколь угодно высокого порядка, и вычислим соответствующие алгебры симметрий. В случае уравнения (4.8) система (4.7) преобразуется к виду 2-Dx(^-l)=^(^)+ /о+ , Ч(/1) Из вида системы (4.9) ясно, что может препятствовать наличию у уравнения (4.8) высших симметрий: предположим, что нам удалось решить первые i уравнений системы (4.9); тогда условием разре- шимости (г 4- 1)-го уравнения является принадлежность его правой части (которая выражается через ранее полученные решения) обра- зу оператора Dx, что, в конечном счете, определяется видом функ- ции f. Продемонстрируем, как работает этот механизм, сделав для упрощения выкладок замену <ра = 2a~ki/>a. Из первого уравнения системы (4.9) следует, что = ak(t). (4.Ю) Подставляя чрк во второе уравнение, получаем ^k = ilk + kDx(f^k, da, где ак = —*. Отсюда следует, что UI ^k-l =itkx + kflak + ak-l(t)- (4.Н)
§ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 237 Подставив выражения (4.10) и (4.11) в третье уравнение системы (4.9) и произведя необходимые преобразования, получим = акх + (к - 1)аА [/1 + xDx(fl)] + +4 [2Dx(f0) + (k-2)flDx(f1) + (k-2)Dix(fl) + Dt(fl)] + +DX ^*®2+(A:-l)aAa:/1+fca^2/0+l(fc-2)/12+(fc-2)PI(/1)) + + (*-!)«*_ i/i + *а*Д(/1)- Таким образом, если deg(y>) = fc, то для разрешимости третьего урав- нения необходимо и достаточно выполнения условия (4-12) (заметим, что это означает, что Д является законом сохранения уравнения (4.8), см. гл. 5). Рассмотрим, при каких / условие (4.12) выполнено. Имеем*) Д (Л) = (?2 + /)/о1 + (Рз + Д (/))Л1 = = (Р2 + /)(/01 - Д (А1» + °Л<Р2 + /)/11 )• Иными словами, £>t(/j) G в том и только том случае, если (Р2 + /Х/01 _ Д(Л1))е1тД- (4.13) Из (4.4) очевидно, что любой элемент, принадлежащий образу опе- ратора Dx, линеен относительно старшей входящей в него перемен- ной ра; с другой стороны, выражение (4.13) имеет вид/н^2+0(1). Таким образом, для выполнения условий (4.12) необходимо равен- ство нулю третьей производной /ш. Итак, f=Ap2l+BPl+C, (4.14) где А, В, С — функции р0. Подставляя полученное выражение в (4.13) и производя аналогичные вычисления, можно убедиться, что условие (4.12) выполнено тогда и только тогда, когда функции А, В и С в (4.14) удовлетворяют уравнениям АВ0 = Вт, С Во = const. (4.15) *) Ниже через обозначена частная производная имеют символы -—7—. Аналогичный смысл др{др]
238 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Заметим теперь, что любое уравнение ut = ихх + + В(и)их + С(и) заменой переменных и (->Ф(и), где функция Ф, Фа/0, удовлетворяет дифференциальному уравнению Фаа + А(Ф)Ф* = О, может быть приведено к виду ut=uxx + B(u)ux + C(u). Следовательно, без ограничения общности в (4.15) можно положить А=0 и считать, что В = /31и-|-/30, /30, =const и = const. Теперь имеются две возможности: /3j /0 и /3{ =0. В первом случае исходное уравнение приводится к виду ut = ихх +(/?!«+ А)К + 7 > 7 = const, /3t / О, во втором — к виду Ч=ихх+0оих + С(и). Первое из этих уравнений заменой Х'~>Х 2 , (4.16) M+7t-/30 приводится к виду (4.17) ut = ti + ии , t XX X3 т. е. эквивалентно уравнению Бюргерса. Если теперь вернуться к системе (4.9), то можно убедиться в том (мы опускаем соответствующие выкладки, которые просты и теперь уже мало поучительны), что для (4.17) четвертое уравнение этой системы разрешимо, а в случае (4.16) для разрешимости необ- ходима линейность функции С (и). Иначе говоря, уравнение (4.16) должно иметь вид Щ^ихх+13оих+Ъи+'Уо- Последнее уравнение заменой и w и ехр 71 4 Г 2Х 'О’
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 239 где и0 — произвольное решение соответствующего однородного ура- внения, приводится к виду uf = и„. t XX Таким образом, доказан следующий результат. Утверждение 4.3. Всякое уравнение ut =uzx +f(u,ux), имеющее симметрии сколь угодно высокого порядка, эквива- лентно либо уравнению Бюргерса и, — и + ии. либо уравнению теплопроводности и. — и. t XX Наша следующая цель — показать, что эти уравнения дейст- вительно обладают бесконечными алгебрами высших симметрий, и описать эти алгебры. При этом мы следуем работе [21]. Нам пона- добятся некоторые сведения об алгебраической структуре искомого множества симметрий. Из равенств (4.10) и (4.11) следует, что любая симметрия по- рядка к, если она существует, имеет вид /1 к \ ¥>Да] = ар* + ^ax + -^fla + a'\pk_l + O(k-2), (4.18) где а, о! — функции t, и, как легко видеть, однозначно, с точностью до симметрии более низкого порядка, определяется функцией а (здесь fl=p0 в случае уравнения Бюргерса и /] = 0 для уравне- ния теплопроводности). Пусть у>г[Ь] — также функция вида (4.18). Вычислим скобку Якоби функций <^Да] и у>ДЬ]. Для любых функций ip е !F(E), deg(y>) = к, deg(V>) = I, имеем (см. (2.24)) i к {*>, =52 - 52 ^(Wr t = 0 j = о Среди слагаемых, входящих в правую часть этого равенства, мак- симальный (равный к +1) порядок имеют слагаемые ^(у>)^ и —Dx(i/>)<pk. Но в силу замечания к доказанной выше лемме = &kPk + i + +1 ~ Wp 5‘(Ж = (^А+1 + °(нг-1))¥>г
240 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Поэтому deg{y>, i/>}e = к +1 — 1. В частности, для функций у>Да] и у>г[Ь] с точностью до порядка к +1 - 3 справедливы равенства -Dk X {¥>*[«], = {«Pi, bPi}£ + |apA, Qbx + ^b + b'^p^ J f /1 k \ "] + | (ja® + 2^a + a)Pk-1,bpiJ£ + °(k+l~3) = = Dlx(apk)b - Dk(bPl)a + Dl~\apk)(Ux + Ub + H - ( 2aa:+2^a + a )p*-i ^x + ~flb + b'^pl_l -Dkx-\bPl)(^ + a + Dlx Ь- = g (lab - kba)pk+{_ 2 + О (к +1 - 3). Таким образом, в силу замкнутости алгебры высших симметрий от- носительно скобки Якоби, из того, что функции у>Да] и явля- ются симметриями, следует, что функция ^+(_2[с]> где с = ± (lab — kba), (4.19) также является симметрией уравнения £. Напомним, что в предыдущей главе мы вычислили классиче- ские симметрии уравнения Бюргерса; они имеют вид: < Р? = Р1, < Pi1=<Pi + l, < Р° =Рг+РоР1> < Р2 = *Р2 + (*Ро + 2х)р1 + 2Ро’ у>2 = t2p2 + (t2pQ + tx)Pl + tp0 + X. Аналогичные вычисления показывают, что для уравнения теплопро- водности классические симметрии таковы: «Р-оо = У’-оДя, <)> гДе У’-» — произвольное решение уравнения теплопроводности,
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 241 <Ро=Ро’ <P?=PI, ¥>l=tPi + |®Po> о ^2 — ₽2’ <Р2 =tP2+2XPl’ <Рг = f2P2 + txPl + ( I®2 + У)ро- Пусть 9?fc[a], k > 2, — симметрия; тогда — также симметрия, которая, в силу проделанных выше вычислений, имеет вид {¥»*[<*]> Ч^е = 2йр*-1 + °<к ~ 2>‘ Применив к—2 раза оператор {•, ^}е к функции у>Да], мы получим классическую симметрию вида .к-2„ 2-‘+г^?й+О(1). at Но у классических симметрий рассматриваемых уравнений коэф- фициент при р2 является полиномом по t степени не выше, чем 2. Поэтому а также является полиномом по t, степень которого не превосходит к. Покажем, что всякий такой полином определяет некоторую симметрию. С этой целью заметим, что рассматриваемые уравнения обладают симметрией вида y>3[t ]. А именно, прямыми вычислениями можно установить, что уравнение Бюргерса имеет симметрию <Рз = *Рз + \(х + 3*А))Р2 + 1tPi + (|® + РоР1 + \р& а уравнение теплопроводности — симметрию ¥»з =*Рз + ^®Р2- В силу равенства (4.19) симметрия следующим образом дейст- вует на функции <рДа]: {¥»*[<*]» У’зЬ = |(3й* - ка)Рк+1 +О(к). 16 Симметрии...
242 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ В частности, применяя к функции = рх оператор {•, у>$}е к раз, мы получим симметрию вида (-2)kk\Pk + i+O(k), что доказывает существование симметрий ^[1] = ^=% + O(fc- 1), fc = l,2,... Наконец, рассмотрим симметрию которая следующим образом действует на функции у’Да]: {¥>*[<»]» РгУе = t(ta- ка)рк + О (к - 1). Следовательно, применение i раз оператора {•, <р%}£ к симме- трии <рк, i к, даст, с точностью до постоянного множителя, сим- метрию вида rf]=4=6>*+o(fc-i). Все сказанное в равной степени относится как к уравнению Бюргерса, так и к уравнению теплопроводности. Сделаем ряд за- мечаний, специфичных для последнего уравнения. Во-первых, отме- тим, что любая симметрия уравнения теплопроводности линейна по всем входящим в нее переменным р0,р{,.. .,рк, т. е. имеет вид к <р = А(х, t) + * )Р<, дА д2А Q * ° к причем — = —у. Это легко следует либо из непосредственного дх‘ анализа уравнения tF = 0, либо из рассмотрения системы (4.7). Следовательно, А(х, t) — тоже симметрия, и величины <р£ можно считать линейными однородными функциями координат р0,.. .,рк. Поэтому {Ро. vlh== (г А -1)ri=О, 'а > 0 Уа ' а величина {<Pk> У’-ооЪ = Э^-оо) - = -^(ЧР-оо) = к Е а = 0 др а=0 Уа 9^9а<р_х дра дха зависит только от х и t и, следовательно, является решением урав- нения теплопроводности. Заметим также, что {Ро><Р-оо}£ = <Р-0о>
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 243 Итогом всех проведенных здесь рассуждений является следую- щая теорема. Теорема 4.4. 1. Любое уравнение видаut =uxx+f(u,их), имеющее симметрии сколь угодно высокого порядка, эквива- лентно либо уравнению Бюргерса ut =ихх + иих, либо уравне- нию теплопроводности ut = ихх. 2. При каждом к > 0 эти уравнения имеют ровно по к + 1 симметрии порядка к вида + 9, г = к. 3. Симметрии <р'к образуют ^.-алгебру Ли А+(£), причем fak’ Pl^e = 2^г ~ кЗ)Рк + 1 -2 + *^< к +1 - 2’ где <S<t+I_2 — симметрии порядка < к + 1 — 2. Алгебра А+(£) имеет три образующие и где — plt а <р2 = t2p2 + (*2Ро + М + Pi + <Ро + Ж’ Рз = 1Рз + |(ж + 30>о)?2 + РоР1 + |ро для уравнения Бюргерса и pi=*2р2+txPi+Q®2+1 ¥>з=*% + ^ для уравнения теплопроводности. 4. В случае уравнения Бюргерса алгебра высших симме- трий sym£ совпадает с алгеброй А+(£). Для уравнения теп- лопроводности алгебра symf является полупрямым произ- ведением А+(£) и идеала Aq(£), состоящего из функций ви- да ар0 + «Р-ооС®, t), где а = const и — произвольное решение уравнения теплопроводности. При этом функции <рк линей- ны по всем входящим в них переменным ра, а =0,1,..., к, {'Рк’НРо + 'Р-хУе zl др дха а = 1 U {а'р0 + е-оо, а"Ро + V’-oole «'VLoo - “V-oo- 16*
244 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Замечание 4.2. Каждая из построенных выше симме- трий определена с точностью до симметрий более низкого поряд- ка; соответствующая неопределенность возникает и в коммутацион- ных соотношениях между <рк (см. п. 3 предыдущей теоремы). Для уравнения Бюргерса степень этой неопределенности может быть значительно уменьшена с помощью следующего приема. Припишем переменным х, t и и веса следующим образом: grx=l, grt = 2, gru = —1. Относительно этой системы весов уравнение Бюргерса становится однородным. Положим также grpt = — к — 1, а для любого монома вида М = ха^р^°р]1. ..Pkk определим его вес как сумму весов вхо- дящих в него сомножителей: k gr М = а + 2/3 - 7»(i + 1 )• »=о Рассмотрим в кольце F(£) функций на бесконечно продолженном уравнении Бюргерса подкольцо Р(£), состоящее из функций, по- линомиальных по всем переменным. Тогда, как легко видеть, Р{£) замкнуто относительно операторов lEF и {•, , причем их ограниче- ния на Р{£} являются однородными относительно введенных нами весов. При этом если — однородные полиномы, то gr^(y>) = gr^-2, gr{p,^}£ = grp + gr^ + l. Следовательно, если <р е Р(£) является решением уравнения £^(<р) = 0, то и любая однородная компонента полинома также является решением этого уравнения. Далее, симметрии ip®, р% и р$ полиномиальны и являются об- разующими алгебры Ли sym £; следовательно, sym £ с Р(£). Таким образом, из сказанного вытекает, что функции р'к можно считать однородными, причем gr^ = 2i - к - 1. Отсюда видно, что усло- вие однородности однозначно определяет классические симметрии уравнения Бюргерса, а также симметрии вида рк и рк. Пусть рк, <р(0 — две однородные симметрии. Тогда, поскольку порядок симметрии {<р°, р^}£ меньше к +1 — 2, ее вес, не больше к +1 - 3 и не меньше 1 — к — I (если она отлична от нуля). Но, с другой стороны, grfrfc> = gr Р° + gr = -1 - к -I.
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 245 Полученное противоречие показывает, что {99°, = 0, т. е. сим- метрии вида 99°, к = 1,2,..попарно коммутируют. Рассмотрим подробнее действие операторов {99°, »}£ и {99°) *}£. Имеем + Dx- Qx а>0 {‘/’г > *)г = — = а>0 Da(p2 + Р0Р1)^~ -Pi- PoDx -£>*=%--fi- Поскольку действие {99°, рассматривается на симметриях урав- нения Бюргерса, т. е. на решениях уравнения £р (</?) = О, в итоге имеем г о х — ® 9t- Следовательно, симметрии вида 9? ° не зависят от ж и t. Далее, для однородных компонент, очевидно, имеют место равенства {‘Pif<Pk}£ = ~2^k-i> {‘P2>(Pk}e = -,Pk- Поэтому симметрии 99* линейны по х и t. Таким же образом эле- ментарной индукцией доказывается, что 99'к является полиномом г-й степени по t их. Замечание 4.3. Вернемся к уравнению теплопроводности и укажем для него простой способ построения высших симметрий. В этом случае оператор £F имеет вид Dt — Dx и, следовательно, коммутирует с оператором Dx. Поэтому если 99 — симметрия, то = Вх(£р‘Р) = О» т. е. Dxip — тоже симметрия уравнения теплопроводности. Этот факт является проявлением более общего результата. Пусть 8 = {F = 0} — линейное уравнение и Д = — соответ- ствующий линейный дифференциальный оператор. Тогда (см. фор- мулу (2.33)) £р = Д. Пусть д — другой линейный оператор, для ко- торого Д од = д' о Д, где д' — также линейный дифференциальный оператор. Положим Т1 = д. Тогда £ро7^ = До5 = До5=5'оД = 5'о£р 2* Г
246 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ и, таким образом, оператор И действует в алгебре sym £. Такие опе- раторы называются операторами рекурсии и широко используют- ся для построения высших симметрий [ПО]. В частности, использо- вание оператора рекурсии будет продемонстрировано в следующем примере. Однако, для нелинейных уравнений ситуация оказывается более сложной, и мы вернемся к ее обсуждению в гл. 5. 4.3. Уравнения пластичности. Рассмотрим систему £ урав- нений Г ax = 2k(0xcos20 +0ysin20), ( try = 2k(0x sin 20 — 0y cos 20), описывающую плоское напряженное состояние пластичной среды Мизеса, где а — гидростатическое давление, 0 — угол между осью абсцисс и главным направлением тензора напряжений, к 0 — постоянная пластичности. При описании симметрий этого уравне- ния*) мы следуем работе [134]. Заменой = fc(f + 77), «=|(ч-е)> x=ucos -(7} - О - V sin -(7} - О, 2 2 (4.21) у = usin -(j?-£) + v cos ~{т] - О, где и, v — новые зависимые, а £, т] — новые независимые перемен- ные, система (4.20) приводится к системе u, + |v = 0, < [ (4.22) . ^+2“ = °’ которую мы также обозначим через £, и оператор универсальной линеаризации для которой имеет вид D( 1/2 \ 1/2 Dj- Выберем на £°° внутренние координаты £, р, ик, vk таким образом, „ дки „ дки что ик соответствует производной —к a vk — производной —к. дт} д£ *) В последующем мы не останавливаемся подробно на технических деталях вычислений и акцентируем внимание на структуре доказательств и наиболее инте- ресных специфических моментах. Восстановление опущенных деталей — полезное упражнение в практическом вычислении симметрий.
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 247 Тогда ограничения полных производных на £°° запишутся в этих координатах в виде « = 2v°a^ + 4^u*-1a^ + ^v*+1a^’ 4 ° fc>l * *>0 к _ д 1 d ' д 1 д ” = “ 2и°д^ + ^nUk + 1dirk + 4 Vk~ld^k ' ° t>o « *>i * и если Ф = — симметрия порядка к, то определяющие ее урав- нения будут иметь вид dtp 1 dtp dtp /1 dtp dtp\ \ ~dl~2Vod^+V1 d^+^ d^+Va+1 dv~a)+2 “T1 (4.23) dip dip 1 dip ( д'Ф 1 \ 1 л d^+Ul&^~2u°d^+^l v“+1a^+4v“-1a^;+2v’-0‘ Решая систему (4.23) при к 1, мы получим классические сим- метрии уравнения (4.22), любая из которых является линейной ком- бинацией следующих симметрий: о _ (~vo/2\ 9l~\ Ч J 77U1 + и0/3 + £v0/2 \ ~ «о/2 “ ’/“о/2/ ’ а также симметрии вида Н = I I, где и = /, v = g — произвольное решение уравнения (4.22). '9' Исследование (4.23) «при больших fc» дает следующее «асим- птотическое разложение» ее решений, если таковые существуют: f Аик~2Вvk-i+auk-\ + 2(B>^^-2+^-4^ )Ч-2+О(к~3^ k Bvk-^A4-i+bvk-i+^(A'-a)4-2+h-^BJvk-2+O(k-3) у где А, а, а — функции у, В,Ъ,@ — функции а «штрих» обозначает производную по £ или г]. Обозначим это решение через Фк(А,В).
248 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ (4.24) Следуя замечанию 4.3, построим для уравнения (4.22) операто- ры рекурсии первого порядка. Как нетрудно убедиться, такие опе- раторы существуют и имеют вид +сп +с12 \ “21^4 + С21 а‘2зР^ 4" ^22^\ + с22 / ' где ап,сп, &22,с22 — произвольные функции £ и г/, а21=2с11+а1, Ь12 = 2с22 + а2, , а2 = const, °22 ~ — а2)£ 4- ^11 = 2^а2 ~ 4" /?2> /^1 > /^2 = const> с12 = 2^ОП ~ “22)» С21 = 2^22 — &11)- В частности, среди операторов вида (4.24) имеется оператор тг-Ре Н применение которого к функциям вида Фа(А, В) дает следующее уравнение: И1Фк(А,В) = Фк + 1(0,В) + Фк(0,В') + ^Фк_х(А,0) + 0(Ь~2). С другой стороны, если на функцию Фк(А, В) подействовать симме- триеи fi, мы получим {Ф4(ДВ),/’}е=Дф,(ДВ)=*,(Л',0)-1ф,.2(0,В')+0(к-3). Поэтому W, В), /?}е = |ф4_ t(A', -В') + О (fc - 2). (4.25) Теперь индукцией по к (основанием индукции служит данное вы- ше представление классических симметрий уравнения (4.22), а шаг индукции состоит в использовании равенства (4.25)) легко показы- вается, что всякая симметрия порядка к > 0, если она существует, является линейной комбинацией следующих симметрий: /;=*fcO7‘',o), р’=фдо,г), оо'О. Для доказательства существования этих симметрий заметим, что среди операторов рекурсии вида (4.24) есть оператор / -т?В€ + t]D7i + | |(£ - ту) \ = 1 1 ’
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 249 применение которого к раз к симметрии So дает, с точностью до постоянного множителя, симметрию Sk. Далее, применение к - i раз оператора {•, f°}£ к симметрии Sk приводит к симметрии fk. Наконец, применив к — i раз оператор {•,к симметрии Sk, мы докажем существование д*к. Приведенные здесь сведения можно объединить в следующий результат. Теорема 4.5. Алгебра высших симметрий систе- мы (4.22) является полупрямым произведением коммута- тивного идеала sym0£, состоящего из симметрий Н = где f,g — произвольное решение (4.22), и алгебры sym+ S, ко- торая как векторное пространство порождена элементами Sk,fk,g'k, 0i < fc, к = 0,1,..., а как алгебра Ли — элемента- ми /j°, SQ, 5j,..., Sk,... При этом симметрия Sk имеет вид Sk=T^(S0). 4.4. Преобразование симметрий при заменах перемен- ных. Чтобы переформулировать полученные результаты в терминах исходного уравнения (4.20), необходимо выяснить, как при заме- нах переменных преобразуются производящие сечения симметрий и операторы рекурсии. Для этого заметим следующее. Пусть в j‘(ir) локально задана каноническая система коорди- нат S = ит, р},..р™), где р/ = р?.. Рассмотрим в той же окрестности другую каноническую систему координат S = s= (£j,..., хп, и1,..., 2™, р},..., fff), согласованную с имеющейся в j'(ir) контактной структурой *). Распределение Картана в Jl(ir) за- дается системой картановских форм = du1 - ^Pladxa, шт = dun - ^J?^dxa, а а которые мы будем представлять в виде столбца Q = (w1,..., о>т)‘. С другой стороны, в системе S набор форм Q определяет, в си- лу сказанного, то же самое распределение, и поэтому имеет место равенство П = (4.26) где Л = ||Ад|| — невырожденная матрица перехода £ Л?;аА Р *) Это означает, что преобразование замены координат х = х(х,и), й = = й(х,и),р = р(х,и,р) является преобразованием Ли (см. гл. 3).
250 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Пусть X —поле Ли на J^tt). Тогда его производящее сечение в системе координат S, также представленное в виде вектор-столбца ip = (<р1,..определяется равенством <р =Х_JQ = (X Jw1,... ...,Х (см. гл. 3). По той же причине производящее сечение поля X в новой системе координат представляется в виде ip =Х JQ. Поэтому, используя (4.26), получаем ip=X _JQ = X jAQ = A¥>, (4.27) что и дает искомое правило преобразования производящих сечений при заменах координат. Пусть теперь Л — некоторый оператор, действующий в про- странстве производящих сечений и записанный в системе коорди- нат <$. Тогда из (4.27) следует, что его запись в системе S имеет вид 7г = лтгл-1. (4.28) Поскольку в обсуждаемом контексте нас интересуют операторы ре- курсии, имеющие вид Л= || $2 aijDa + \JI> необходимо также вы- а яснить, каким образом при заменах координат преобразуются опе- раторы полных производных. Пусть Dt. =DX и D.=D~ , i = 1,..., п. Поскольку поля , рав- но как и поля D., образуют базис распределения Картана в J°°(7r), должны выполняться равенства =52 а так как О{(ха) = 6{а, а где 6ia —символы Кронекера, то =О{(ха) и, следовательно, п Д = ЕД(Ж«)Р«’ i = 1> •••>”• (4-29) а = 1 Вернемся к уравнению (4.20). Для преобразования (4.21) ма- трица перехода имеет вид / -axcosO -crysin0, ах sin 0 - ау cos 0 \ \ -0х cos 0 - 0у sin 0, 0х sin 9 - Оу cos 6 J ’ а операторы полных производных — Ь Г <7 /т °, = 7 ’
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 251 где I = ахву — сгувх. Поэтому симметриям H,S0,f° и д® преобразо- ванного уравнения соответствуют симметрии fi = D( cos в “ ау sin 0)/, (ах sin 0 - ау cos 6)д \ \ (-0Х cos 0 - 0у sin 0)/, (0Х sin 0 - ву cos 0 )д J ’ С _ / ~хах - У°у ) Т)_ ( к + 2^У<Тх~ХаУ^\ ^(к~2^~х^ “ I 1 1 I ’ 91 = I 1 1 V - 2 + М - Ч) / к 5 - “ Ч) Lt Lt Lt Lt исходного уравнения, а оператору рекурсии 7£2 — оператор £-(%> Г12) 'г21> г22>' где гп = £Д + ^(02 + 0у2 + сД(<£) - <£Д(с)) - r12 = 2fc20 Д + у (с2 - d2 - Д(1)) 4- 4fc(c Д(й) - </Д(с)), r2i = 7ГД + |(сД(<0 “ d&(c) + с2 “ d2) + т> *хК 1 *х Г22 = у д + ^(СA(d) - d Д(с) - е2 - 62) - К л J. с = -6 cos 0 - 0„ sin 0, d = 0, sin 0 - 0 cos 0, Д = ст D„ — a„D^.. * у * Ji у ' л у у ж Применяя оператор 7^ к симметрии Sq, мы получим симметрии Sk, а применяя (к - г) раз операторы {•,и {•, к Sk, мы полу- чим (с точностью до постоянных множителей) соответственно сим- метрии fk и д'),. Таким образом, имеется возможность эффективно вычислить любую симметрию уравнения (4.20) (хотя, конечно, по- лучаемые при этом явные выражения будут весьма громоздки). 4.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мы завершаем эту главу исследованием высших симметрий обыкновен- ных дифференциальных уравнений. Помимо фактов, касающихся высших симметрий, мы приводим также результаты, связанные с классическими симметриями этих уравнений.
252 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Пусть М = R и тг: Rm х R —> R — тривиальное расслоение. Рас- смотрим определенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений £ с 7*(тг), т. е. такую систему, для которой codim £ = = dim тг = т. Поскольку база расслоения тг одномерна, это означа- ет, что размерность многообразия £ совпадает с размерностью про- странства Jk ~1 (тг), равной т(к -1)4-1. Назовем точку в е £ точкой общего положения, если проекция тгА к _ j |£ в ней имеет максималь- ный ранг т(к-1)4-1, и ограничимся рассмотрением уравнений, все точки которых находятся в общем положении (в противном случае все последующие рассуждения будут справедливы в окрестности такой точки). Это означает, что £ диффеоморфно проектируется на 7*-1(тг), или, что то же самое, рассматриваемое уравнение раз- решимо относительно всех входящих в него старших производных дЧ1 дкит —г,. •------ir> где х — х, — единственная независимая перемен- дат дхк ная. Следовательно, £ можно представить в виде £ = 3(7*-*^)), (4.30) где s = s0: -> Jk(ir)— сечение расслоения тгАА_Р Пред- ставление (4.30) позволяет получить удобное описание многообра- зия £“ и распределения Картана на нем. Именно, рассмотрим произвольную точку 0 6 £ и некоторую 72-плоскость L (в нашем случае L является прямой), лежащую в пространстве Тв(£). Пусть L' — другая такая плоскость и v € L, v' € е L1 — такие векторы, что тгк к _ i (v) = тгк к _ j («'). Тогда v — v1 явля- ется 7rifc_1-вертикальным вектором, лежащим в Тв(£). Но в силу (4.30) пересечение Тв(£) и касательного пространства к слою рас- слоения 7rt к _ j в точке 0 тривиально. Значит, v = v и L = L1, т. е. распределение Картана на £ в каждой точке содержит не более одной 72-плоскости. Покажем, что такая плоскость всегда сущест- вует. Действительно, представим точку 0 е£ в виде пары (0',Le), где 0' = тгк к _, (0) и Le — 72-плоскость в точке 0', определяемая точ- кой 0. Тогда, очевидно, 72-плоскость Lg =st(Le) лежит в Тв(£). Та- ким образом, распределение Картана на £ совпадает с полем на- правлений £° = {Lg | 0 € £}. Заметим, что сечение з осуществляет изоморфизм между многообразием 7*-1(тг), оснащенным полем на- правлений С = {Lg 10 е £}, и парой (£, 4°). Далее, пара (0, L°g), 0е£, определяет точку 0t е Jk+1 (тг), и мно- жество таких точек заполняет многообразие £<’\ При этом, очевид- но, £^ представляется в виде s^J1*“’(тг)), где Sj — сечение рассло-
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 253 ения 7rfc + 1 а распределение Картана на £(1) совпадает с полем направлений £(1) = | = (S1)XL9), в. = S1(0), в е £}. Продолжая этот процесс, мы придем к следующему утверждению. Утверждение 4.6. Пусть £ С dim(M) = = 1, codim(£) = dim(7r), обыкновенное дифференциальное урав- нение, разрешимое относительно старшей производной. То- гда при любом I = 0, 1,..., оо многообразие £^ представимо в виде £^ = Sl(Jk~l(тг)), где з1еГ(кк + Цк_1) и 31 = тгк + 1 + 1 к + 1оз1 + 1, а распределение Картана на £® совпадает с полем направ- JlG'HiUU = {L\ I L\ = (Sl)t(Le), et = 3t(0), e e £}. Таким образом, все £® (включая £°°) как многообразия с рас- пределениями попарно изоморфны и изоморфны многообра- зию Jfc-1(7r), оснащенному полем направлений Предположим, что уравнение £ удовлетворяет условиям утвер- ждения 4.6, и рассмотрим некоторую его высшую симметрию X 6 е sym £. В силу утверждения 4.6 для всякого I поле X однознач- но проектируется в векторное поле Xt на £^1\ причем последнее сохраняет соответствующее распределение Картана. В частности, Хо е D(£) является классической внутренней симметрией уравне- ния £. Рассматривая множество Sym(. £ таких симметрий, мы, таким образом, получаем гомоморфизм алгебр Ли sL: sym £ -»Symt. £. (4.31) Изучим его более подробно, для чего заметим следующее. Посколь- ку в рассматриваемой ситуации £°° является конечномерным мно- гообразием, симметрия X определяет на нем однопараметрическую группу сдвигов {At}. Применяя преобразование At к некоторому ре- шению f е Г(тг) уравнения £, мы вновь получим решение ft = A^(f) этого уравнения. В силу теоремы о гладкой зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных данных, множество Sol £ решений уравнения £ является гладким (возмож- но, с особенностями) многообразием, a At — однопараметрической группой. Обозначая через X* соответствующее векторное поле, мы получаем отображение X определяющее гомоморфизм алгебр Ли sD: sym £ —> D(Sol £). (4.32) Совершенно аналогично строится гомоморфизм LD: Symt.(£)->D(Sol£). (4.33)
254 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ Обратно, пусть Y e-D(Solf) и {Bt} — соответствующая однопара- метрическая группа преобразований. Рассмотрим точку 0 е£°° и ре- шение , проходящее через нее (такое решение существует и един- ственно). Сопоставим точке в точку = [Bt(/e)]“, х = тгоо(0). Тогда {Bt'}— однопараметрическая группа преобразований много- образия £ , элементы которой сохраняют распределение Картана. Соответствующее векторное поле вертикально и определяет выс- шую симметрию уравнения 8. Таким образом, мы построили гомо- морфизм Da: В (Sol 5) —»sym£, (4.34) очевидно, являющийся обратным к гомоморфизму (4.32). Легко ви- деть, что построенные нами гомоморфизмы согласованы друг с дру- гом в следующем смысле. Утверждение 4.7. Пусть 8 — уравнение, удовлетво- ряющее условиям утверждения 4.6. Тогда построенные отоб- ражения sD,Ds,sL и LD являются изоморфизмами алгебр Ли, причем sD о Da = id и LD о sL = sD. Иными словами, в рассматриваемой ситуации алгебры Ли высших симметрий, внутренних классических симметрий и диффеоморфизмов многообразия решений изоморфны. Доказательство. Равенства sD о Ds = id и LD osL = sD вытекают из построений. Поэтому sL — мономорфизм, a LD — эпи- морфизм. Следовательно, для заверше- ния доказательства достаточно, напри- мер, показать, что LD не имеет ядра. Из определения гомоморфизма LD сле- дует, что его ядро состоит из симметрий, для которых все решения являются ин- вариантными, а из данного выше описа- ния распределения Картана на 8 мы ви- дим, что эти симметрии должны лежать в распределении Картана. Но распреде- ление Картана на 8°° не содержит вер- тикальных полей. □ Итак, в рассмотренной ситуации ис- пользованная аналогия между симме- триями и полями на многообразии Sol 8 приобретает точный смысл. Заметим, что утверждение 4.6 поз- Рис. 4.7. Поле направлений Le на 7*-1(тг) воляет наглядно проиллюстрировать не- совпадение алгебр внешних и внутрен- них классических симметрий обыкно-
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 255 венных дифференциальных уравнений (см. § 9 гл. 3). Действитель- но, внутренние симметрии отождествляются с полями на J*-1(ir), сохраняющими поле направлений £ = {Le}, которое содержится в распределении Картана на (рис. 4.7). С другой стороны, внешние симметрии должны сохранять как это поле направлений, так и само распределение Картана на Поэтому если поря- док уравнения больше 1, внешние симметрии образуют собственную подалгебру в алгебре Ли внутренних симметрий. Перейдем теперь к координатным вычислениям и рассмотрим уравнение вида w,s[(s) +E4W’(£)]/w-»w L \ Z 0 \ Z J (4.35) где А{ суть тх т матрицы и f ,д — тп-векторы. Ниже «симметрия» означает высшую инфинитезимальную симметрию. Уравнение (4.35) эквивалентно уравнению / J \ п 1 ✓ т \ L X / Q X Z J (4.36) Эквивалентность задается преобразованием где f*(x) — некоторое решение (4.35). Уравнение (4.36) определяет подмногообразие £ в J"(R, Rm) вида £ = Продолжения £, обозначаемые £^ с J"+JV(R, Rm) задаются урав- нениями О к N <оо, где — полная производная по х. Пространство решений (4.36) изо- морфно Rd, d = т- п, так как п начальных условий на тп-вектора /(0\.. однозначно определяют решение. Зафиксируем неко-
256 ГЛАВА 4. ВЫСШИЕ СИММЕТРИИ торый базис {R. j 1 ^г^т-п} в пространстве Kerb решений (4.36). Тогда для любого решения f уравнения (4.36) мы получим d 4 = 1 (4-37) где константы ct. = c(/)eR. Зависимость c от / явно задается при помощи вронскианов: C_W) *“ W (4.38) 3necbW = W(Rl,...,Ri,...,Rd), / Ri R, Д» \ W = det r{ ... я; ... R'd (4.39) ... Я,*”-0 ... я***-1*/ и Wi(f) = W(Rv ( R. ... №) . •• \ Wi(f) = det я; ... f(x) . и1 1 d . (4.40) (я***-0 ... . .. R<*-»/ Соответствия f i-> И<(/) или / суть дифференциальные линейные операторы порядка n— 1. Будем интерпретировать их как функции на пространстве джетов Jn-1(R, Rm). Определим / Ъ ••• = det I ••• ХЯ^-1’ ... Р° ••• Rd X р1 ... Я' р0*-1* ... я<п-1)> (4.41) Тогда W;.(/) = W|.n i(/). Определяющее уравнение в этой ситуации имеет вид Л— 1 (4.42) д\£^=о, 4 — 0 где D — ограничение оператора Dx на £°°.
$ 4. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ 257 При этом любая точечная симметрия должна иметь вид /З^УЖ^-р1 (4.43) и удовлетворять (4.42). Здесь х, £ — скаляры, р°, Ьр1 и /3 суть т-векторы. Координатным аналогом утверждения 3.4 является следующее утверждение. Утверждение 4.8. Полная алгебра симметрий sym£ изоморфна алгебре векторных полей на пространстве Sol £ решений (4.36). Изоморфизм задается формулой 2_^^i(ci> • 4cd) qc w J i = 1 * «= 1 ' ' Имеет место также следующий факт, уточняющий структуру алгебры Ли sym £. Теорема 4.9. Пусть d = dim Sol £. Тогда набором функ- ций W, W л Ро> ^*> W? ’ l,k = l,...,d и W ^Rk, = порождают в sym £ подалгебры, изоморфные gl(d + 1, R) и gl(d,R) соотв етств енно. Следующий результат описывает подалгебру точечных симме- трий в symf *). Теорема 4.10. Любая точечная симметрия уравнения (4.36) имеет вид 9= (-+ м}р° + ^х)-р1+Ь(х), (4.44) где £ — скалярная функция, Ъ — некоторое решение (4.36) и М —постоянная тхт-матрица, коммутирующая со все- ми коэффициентными матрицами At(x) в уравнении (4.36). Следствие 4.11. Размерность N алгебры точечных симметрий уравнения (4.35) удовлетворяет неравенству т-п+1 .У (тп + п) • m + 3. *) Подробные вычисления приведены в статье Samokhin А. V. Symmetries of ordinary differential equations // AMS Transl. 2.— 1995.—V. 167. 17 Симметрии...
ГЛАВА 5 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В этой главе рассматривается теория законов сохранения диф- ференциальных уравнений. Мы начинаем с исследования концеп- ции закона сохранения. Оказывается, что наиболее естественный и в то же время эффективный подход к законам сохранения состоит в отождествлении их с элементами одного из членов С-спектралъ- ной последовательности [14, 15, 148]. Эта последовательность возникает из рассмотрения в комплексе де Рама на £°° фильтра- ции, образованной степенями идеала картановских форм. Теория С-спектральной последовательности, изложенная в § 2, позволяет каждому закону сохранения сопоставить некоторую производящую функцию. В § 3 на различных примерах мы иллюстрируем техни- ку вычисления законов сохранения, основанную на производящих функциях. В § 4 обсуждается связь между симметриями и закона- ми сохранения дифференциальных уравнений, а также рассматри- вается теорема Нётер и гамильтонов формализм на пространстве бесконечных джетов. Отметим, что теория С-спектральной последовательности изло- жена в § 2 довольно лаконично и многие вычисления вынесены в упражнения. С другой стороны, читатель, интересующийся в боль- шей степени результатами и примерами, а не доказательствами, мо- жет читать § 3 и § 4 сразу после § 1. § 1. Элементарное понятие о законах сохранения Прототипом закона сохранения может служить закон неразрыв- ности движущейся жидкости. Если р(х, t) — плотность жидкости, а v(x, t) = (v1 (х, t), v\x, t), v3(x, t)) — скорость в точке x = (xj, x2, x3) в момент времени t, то это уравнение имеет вид дР d(pv') . д(ру2) д(ру3) dt дхх дх2 дх3
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ПОНЯТИЕ О ЗАКОНАХ СОХРАНЕНИЯ 259 Воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, можно пере- писать уравнение неразрывности в интегральной форме —f р(х,t)dx= [(pv-n)dcr. (1.2) CIC J J V 9V Здесь V — некоторая фиксированная область пространства, 9V — ее граница, п — единичная внешняя нормаль к 9V, da — элемент поверхности. Интеграл по поверхности представляет собой поток жидкости из области V, и уравнение (1.2), таким образом, гласит, что масса жидкости внутри V уменьшается на массу вытекшей жид- кости. В частности, если нормальная компонента скорости «п равна нулю, получаем уравнение сохранения массы j p(x,t)dx — const. v Сходным образом описываются многие другие сохраняющиеся величины. Пусть S — плотность некоторой сохраняющейся величи- ны, например плотность энергии, компонента плотности импульса или момента и т. п.; в только что рассмотренном примере S = р. Плотности S сопоставляется вектор S = (Sl,..Sn_r) — плотность потока величины S, где_(п— 1) — число пространственных перемен- ных. В нашем примере S = pv. Уравнение сохранения, обобщающее (1.1), будет иметь вид 9S 9St i = 1 * (1.3) или, в интегральной форме, ~"ТГ 1 Sdx= I S-nda. dt J J v dv Сохраняющимся током называется n-мерный вектор S = (S{,... ..., Sn_,, S), удовлетворяющий соотношениям (1.3). Рассмотрим теперь уравнение (1.3) с точки зрения теории диф- ференциальных уравнений. Предположим, что мы изучаем физиче- скую систему, описываемую уравнением £ = {F =0} С Jk(ir). Тогда S и можно считать функциями на £°°, и уравнение (1.3) записы- вается в виде («,)=«. (1-4> » = 1 17*
260 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ где Sn = S, — ограничения операторов полной производной D{ на уравнение £°°, п — число независимых переменных. Это замеча- ние позволяет определить сохраняющийся ток для уравнения £ как вектор-функцию S = (Sp ..Sn) на £°°, Si е ?(£), удовлетворя- ющую на £°° уравнению (1.4). В том случае, когда одна из независимых переменных выде- ляется как время t = хп, а остальные переменные (а:,,.. ,,жп_1) рассматриваются как пространственные, компоненту Sn называют плотностью сохраняющейся величины, а вектор-функцию (Sl,... • • •> Sn_ J — плотностью потока (или просто потоком). Существует один очень простой способ построения сохраня- ющихся токов. Возьмем произвольный набор функций 6 ^(тг), 1 г У п, и положим j<i i<j Разумеется, такие сохраняющиеся токи, называемые тривиальны- ми, никак не связаны с интересующей нас системой уравнений *). Чтобы избавиться от них, отождествим все токи, отличающиеся друг от друга на тривиальный ток. Полученные таким образом клас- сы эквивалентности назовем законами сохранения уравнения £. (В качестве синонима используется также термин интеграл дви- жения.) Упражнение 1.1. Пусть £ — система обыкновенных диф- ференциальных уравнений. Убедитесь, что понятие закона сохране- ния в этом случае эквивалентно понятию первого интеграла. Замечание 1.1. В отличие от обыкновенных дифферен- циальных уравнений, нелинейные уравнения в частных производ- ных, как правило, не обладают (даже в малой окрестности) пол- ным набором законов сохранения**). Вопрос о том, можно ли обоб- щить определение закона сохранения таким образом, чтобы испра- вить эту ситуацию, остается интересной и интригующей задачей. *) Это не означает, что такие токи обязательно неинтересны с физической точ- ки зрения. Например, в калибровочных теориях большую роль играют так называе- мые несобственные токи, которые получаются с помощью теоремы Нётер из ка- либровочных симметрий (см., например, [52, 37, 85, 84]). Такие токи всегда триви- альны и, следовательно, не зависят от уравнений теории, однако они содержат ин- формацию о структуре калибровочной группы, относительно которой эти уравнения инвариантны. **) Набор называется полным, если всякое решение рассматриваемого уравне- ния полностью определяется отвечающими ему значениями сохраняющихся величин.
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 261 Здесь мы ограничимся тем, что сформулируем гипотезу, высказан- ную в [20, 151]: любое регулярное уравнение обладает полным на- бором нелокальных законов сохранения по крайней мере в доста- точно малой окрестности (о нелокальных законах сохранения см. п. 1.8 гл. 6). Определение закона сохранения (в той форме, как мы его сфор- мулировали), конечно, нельзя использовать для практического на- хождения всех законов сохранения заданного уравнения. Для это- го следует научиться описывать целые классы сохраняющихся то- ков. Решение этой задачи достигается переформулировкой опреде- ления закона сохранения в терминах горизонтальных когомоло- гий де Рама (т. е. когомологий горизонтального комплекса де Рама, см. п. 1.6 гл. 4), что позволяет воспользоваться средствами гомоло- гической алгебры. В § 2 мы рассмотрим эту когомологическую те- орию. (Читатели, интересующиеся главным образом практической стороной поиска законов сохранения, могут перейти сразу к § 3.) § 2. С-спектральная последовательность С-спектральная последовательность, впервые рассмотренная в работах [14, 15], имеет фундаментальное значение в теории за- конов сохранения. Подробности и обсуждение близких вопросов можно найти, например, в [148, 152, 153, 16, 81, 142, 144, 145, 96, 146, 125, 87, 78, 79, 157, 93, 95, 47, 114, 55]. 2.1. Определение С-спектральной последовательности. Пусть £°° с J°°(7r) — бесконечно продолженное уравнение и А*(£) — = ^Al(£) — алгебра дифференциальных форм на £°°. Рассмотрим i >0 идеал СА*(£) = ^2СЛ‘(£) в алгебре Л*(£), состоящий из карта- во новских форм (т. е. форм, обращающихся в нуль при ограничении на распределение Картана: шеСЛ1(£) тогда и только тогда, когда cu(Xt,..., XJ = 0 для любого набора Xt,.. ,,Xi G CD(£)\ см. п. 2.1 гл. 4). Через CfcA*(£) обозначим fc-ю степень идеала СА*(£), т. е. подмодуль в А*(£), порожденный формами вида Л ... A где щ е СХ*(£). Очевидно, что идеал СА*(£) (а следовательно, и все идеалы СкК*(£)) устойчив относительно действия внешнего диффе- ренциала d, т. е. d(CkA*(£))cCkA*(£).
262 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Поэтому можно рассмотреть фильтрацию AV) Э СА*(£) D C2A*(£) d ... D СкА*(£) D... (2.1) комплекса де Рама на £°° его подкомплексами (СкА*(£), d). Спек- тральная последовательность*) (Ер’9(£), dp’9), построенная по этой фильтрации, называется С-спектральной последовательностью уравнения £. Исходная фильтрация конечна в каждой размерности, т. е. Ак(£) D ClAk(£) D С2Ак{£) D... D СкАк(£) DCk +1 Ак(£) = О, поэтому спектральная последовательность сходится к когомологиям де Рама Н*(£°°) уравнения £°°. Как обычно, число р называется фильтрационной степенью, а р + q — полной степенью. 2.2. Член Е$. Рассмотрим член Ео(£) = Е^’9(£) С-спек- тральной последовательности. Р,ч По определению СрАр + 9(£) р°,2 кэ ... й7 Ло, 1 Г Л 1,0 Ео . . . ЕР,0 Дифференциал d^9: Е^’9(£) —> Е%’9 + 1(£) индуцирован внешним дифференциалом d. Представим себе, как это обычно приня- то, что член спектральной последовательности Ер’9 расположен в вершине (р, ц) решетки на плоско- сти (рис. 5.1). Тогда дифференциал d0 можно изобразить стрелкой, направлен- ной вертикально вверх. Таким образом, Ео(£) является прямой суммой ком- плексов 0—>Ец°(£)—*Ец*(£)—>... ...-+Ер’9(£)^Е%’9 + 1(£)^..., которые изображаются на плоскости Рис- 5-1 вертикальными столбцами. Нулевой столбец члена Ео образует горизонтальный комплекс де Рама (см. п. 1.6 гл. 4): Еоч(£) = АЧ£>7сА9(£Г d^=^ *) О теории спектральных последовательностей можно прочитать, например, в [46, 126, 27, 29].
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 263 Когомологии Нч{£) горизонтального комплекса де Рама на £°° тесно связаны с законами сохранения уравнения £. Действитель- но, пусть S = (5Р..., Sn) — сохраняющийся ток. Сопоставим ему горизонтальную (п — 1)-форму п ws = У^(—dxt А... Adxi + l Л.. .Adxn. i = l -ч Тогда условие (1.4) означает, что dws =0, причем ток S тривиален тогда и только тогда, когда форма ws точна: = dw'. Определение 2.1. Законом сохранения для уравне- ния £ называется (п— 1)-й класс когомологий горизонтального ком- плекса де Рама на £°°. Таким образом, Нп~\£) — группа законов сохранения урав- нения £. Иногда законами сохранения называют элементы группы Нч(8) при q < п— 1. Однако для большинства уравнений, встречаю- щихся в приложениях, такие группы имеют чисто топологическую природу *). Наконец, группу Нп(£) следует рассматривать как сово- купность лагранжианов (см. пп. 2.5,4.1) в лагранжевом формализме со связями, выражаемыми уравнением £ **). Чтобы завершить описание члена £?0(£), заметим, что из очевидного разложения Л’(£) = СЛ!(£) ® Л^(£) следует .Eq’?(£) = = С?Л?(£)® Л£(£). При этом дифференциал dj’’ совпадает с компо- зицией СРКР (£) ® А1(£) 4 Ср +1 Лр +1 (£) ® Л’(£) ф СРКР(£) ® Д’+1 (£) 4 ЛСрЛр(£)®Л’+1(£), где а — проекция на второе слагаемое. В частности, все ненулевые члены Ер,9(£) расположены в полосе 0 < q п. Упражнение 2.1. Покажите, что имеет место вложение d(C”Ap(O ® Щ£)) с Ср+1 Лр +1 (£) ® Л*(£) ф СРЛР(£) ® Л’+1 (£). Воспользуйтесь для этого прямым разложением d = d + Ul и свой- ствами оператора Ul (см. п. 2,1 гл. 4). *) Содержательные «законы сохранения», принадлежащие Й*(£), ? < п-1, мож- но найти, например, в калибровочных теориях (см. [85, 84, I03J я пр.). **) Существуют различные неэквивалентные формулировки лагранжева форма- лизма со связями. Мы имеем в виду задачу Лагранжа о стационарном значении функционала действия в классе сечений расслоения я, являющихся решениями урав- нения £. В этом случае уравнения Эйлера — Лагранжа определяются ограничением соответствующего лагранжиана на £°°.
264 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 2.3. Член Е1: подготовительные результаты. Здесь мы до- кажем несколько важных утверждений, необходимых для описания члена jEj С-спектральной последовательности. Начнем со следующего определения. Р(£)-модуль Р называется горизонтальным, если он изоморфен модулю сечений Р(£, £) на £ для некоторого конечномерного векторного расслоения £: ->М. Упражнение 2.2. Покажите, что Р =Г(£) Горизонтальный модуль Р фильтрован своими подмодулями РЬ=^,О=Г(О®СКак было показано в п. 2.1 гл. 4, Ag(£) является горизонтальным модулем. Рассмотрим теперь два векторных расслоения, £: и р: Пусть Р = F(£,£), Q = F(£,rf). Дифференциальный оператор Д: Р —называется С-дифференциальным (или гори- зонтальным), если он имеет вид Д = Oj + /2d2 +... + frПр, где —поднятия (см. замечание 1.1 гл. 4) некоторых линейных диф- ференциальных операторов Г(£) —> Г(т]), /• G ?(£), г = 1,..., г. Например, С-дифференциальными операторами являются все опе- раторы вида (универсальные линеаризации). Будем обозначать Р(£)-модуль всех С-дифференциальных операторов из Р в Q через CDiff(P, Q), а его подмодули, состоящие из операторов порядка не более к, — через CDifffc(P, Q). Упражнение 2.3. Проверьте, что в локальных координа- тах скалярные С-дифференциальные операторы порядка не более к записываются в виде k л- Е Н=о где Da = о... о D^, о = (стр..., стп), аа € Р(£). Упражнение 2.4. Покажите, что CDiff(P,Q) — горизон- тальный модуль. Пусть Pj, Р2,..., Рг, Q — произвольные горизонтальные модули. Положим CDiff(P!, Р2,..., Pz; Q) = CDiff(Pj, CDiff(P2,..., CDiff(P„ Q)...)) и рассмотрим комплекс О CDiff(P1, Р2)..., />; ?{£)) A CDiff(Pj, Р2,..., Pz; А*(£)) А... ... A CDiff(Pj, Р2,..., Pz; Л$(£)) -> 0, (2.2) где w(V) = d о V, V 6 CDiff(Pp Р2, ...,Pt-, Ag(£)).
$ 2. C-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 265 Теорема 2.1. Когомологии комплекса (2.2) равны нулю в членах CDiff(P1,P2,.. ,,Pt; Aq(£)) при q<n, а его груп- па когомологий в члене CDiff(P1,P2,.. .,Pt;A%(£)) изоморфна CDiff^, Р2,..., Рг_ j; Рг), где Р( = НотЯ(£)(Р1,Л%(£)). Доказательство. Обозначим через CDifffc(P1,Р2,... ...,PpQ) подмодуль в CDtfi(PvPi,...,Pi;Q), состоящий из таких операторов V, что при любых pj G Р{, р2 6 Р2, ..., р1_1еР1_1 опе- ратор V(p1,p2, • • •iPi-i): Pi —> Q имеет порядок не более к (здесь и всюду ниже V(p1,p2,.. обозначает V(pj)(p2)... (р,_1)). Та- ким образом, CDifffc(Pp Q) =CDiff(P!,..., Pt_ t; СТВД, Q)) и вложения CDifft(P„ Q)cCDifft+1(P„ Q) индуцируют гомоморфиз- мы подкомплексов (через • обозначено выражение Рр.. .,fj) | | (2.3) ->сия,..+,-1(«;Л4(е)) -^см,..+((.;Л<+1О - Поэтому определен факторкомплекс О - CDiff(.; S,_.(P,)) -t CDiff( •; S4_„+ ,(Р,) ® Л"(г)) Л... ... Л CDIfff.; S,(P,) ® AJ(f)) О, (2.4) где • обозначает Р1,...,Р1_1 и с zpv CDiffr(P,P(£)), sAp)- /CDiffr _ j (Р, Р(£)). Если мы докажем, что комплекс (2.4) точен при к > 0, то это будет означать, что комплексы (2.3) при к > 0 имеют одинаковые когомо- логии и, следовательно, когомологии комплекса (2.2) совпадают с когомологиями комплекса O-*CDiffo(P1,.. .,Р1;Л^(£)) —>0. Тем самым теорема будет доказана. Дифференциалы 6 в комплексе (2.4) являются Р(£)-гомомор- физмами. Поэтому точность (2.4) достаточно проверить в каждой
266 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ точке в е£. Поскольку функтор CDiff(P, •) точен, можно считать, что I = 1. Таким образом, мы должны доказать ацикличность ком- плексов >, ^.„+1(п®важ -.. т, при к > 0. В качестве базиса в пространстве 5г(Р)0 выберем эле- менты |сг[ = г, где —базис в (Рв)*, а в пространстве Ао(£)е — элементы dx^ А... /\dxt |0, 1 <»,<...<» ^ п. Тогда диф- ференциал 8 запишется следующим образом: п ^e^D^dx^.. .Ndx* |9) = Adrr А.. ,\dxi |fl. i = 1 Тем самым комплекс (2.4) является комплексом Кошуля алгебры многочленов (см., например, [9]), и поэтому точен при к > 0. □ Упражнение 2.5. Покажите, что вложение if. CDiff (^ j; Я) - CDiff(P1,..., Pf, AJ(£)), порожденное вложением Pt --- Нот^£)(/^,Ло(£)) —►CDifffF^, Aq(£)), расщепляет естественную проекцию Дг: СЕЖ^,...^;^))- -> CDiff(Pj,..., Pf Л£(£))/ im w = CDiH(Pj,..Ptj; Pt). Тем самым CDtff(Pp.. = оказывается прямым слага- емым в модуле CDiff(Pp.. .tPt;J^{£)). Рассмотрим произвольный С-дифференциальный оператор А: Р —► Q. Он индуцирует цепное отображение комплексов (2.2) 0 СВ1П(Р. ?(£)) -^СШ(Р, Л*(£)) . ~^CDiff(P, Л£(£)) 0 д'| д'| д'| 0 CDiff(Q, Р{£))^CDiff(Q, A^(f ))-^... -^CDiff(Q, A"(f ))-> 0, где Д'(V) = V о Д, V е CDiff(Q г К${£)). Применяя теорему 2.1, мы видам, что отображение Д' порождает отображение когомологий A*: Q—>Р. Оператор А* называется сопряженным к оператору А. Упражнение 2.6. Покажите, что
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 267 а) если Д = У — скалярный С-дифференциальный опера- тор, то Д* — ° (Г б) если С-дифференциальный оператор Д в локальных коорди- натах записывается в виде матрицы Д= || Д^.Ц, то Д* = ||Д*г. ||. В частности, из этого упражнения следует, что Д* — С-диф- ференциальный оператор, порядок которого совпадает с порядком оператора Д. Упражнение 2.7. Докажите, что для любого Д € G CDiff(P, Q) и любых р G Р и q G Q существует такая форма ^1?<Д)е^-5(^, что $<Д(р)) - (Д‘(«))(Р) = Н>?(Д). (2.5) Упражнение 2.8. Убедитесь в том, что для любых двух С-дифференциальных операторов Д,: Р —> Q и Д2: Q —> R выпол- няется равенство (Д2 о Д,)‘ — Д, о Д2. Упражнение 2.9. Пусть X G CDiffj(.P(£),A£(£)). Покажи- те, что X + Х* еЛ$(£), т. е. X + Х* — оператор нулевого порядка. Упражнение 2.10. Покажите, что естественная проекция Мг: CWfffPp..,^;^))^ CDiff(Р>,..., Pi, A£(£))/ im w = CDiff^,...,Pt_»; Pt) задается формулой: Мг(V)(P!,..Pt _!) = (Vfpj,..., pt _!))*( 1). Обозначим через CDifiy^P; Q) модуль CDiff(P,.. .,P; Q), a i через СМдо(Р;Q)— подмодуль в CWff(l)(P;Q), состоящий из всех кососимметрических операторов, т. е. таких операторов V 6 6 CDiff(/)(P; Q), что V(pj,..Pi, Pi +!,..Pt) = - V(P1,..., Pi +1, Pi,...,p^ для любых элементов ..., pt G P, » = 1,— 1. Рассмотрим комплекс (2.2) для Pt = P2 =... = Pt — P: W , w 0 ->CDiffw(P; P(£))) CDiff(J)(P; A^(£)) ... ...-^CDiffw(P;AS(P))^O. (2.6)
268 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ На этом комплексе действует симметрическая группа 5t: т(У)(Р1 = V(pT(1),..., рт(/)), т 6 S,. Действие этой группы, очевидно, коммутирует с дифференциа- лом w. Поэтому из теоремы 2.1 следует, что кососимметрическая часть комплекса (2.6), т. е. подкомплекс О - СОИ$(Р; Р(£))) CDif$(P; Л&)) -^ ... ...^СШ$(Р;Лда)-О, (2.7) ацикличен во всех размерностях, отличных от п, а его n-я группа когомологий изоморфна некоторому подмодулю в j)(P;P), который мы будем обозначать через К^Р). Явное описание модуля Kt(P) может быть получено следую- щим образом. Прежде всего заметим, что вложение (см. упр. 2.5) ¥ CDiff(Pp .. ->CDtff(Pv .. ,Рг;Л^-)) коммутирует с действием подгруппы Sl_lc St, оставляющей непод- вижным l-й аргумент. Поэтому определено вложение ^(PJcCDiff^^PjP). Рассмотрим теперь действие транспозиции т € St, меняющей местами j-й и l-й аргументы, j < I, на произвольный опера- тор Д € CDiff(/_jj(P,P). Зафиксируем некоторые элементы рр... • • •> Pj -1, Pj +1, • • ч Pi _ i 6 Р и рассмотрим оператор □(р) = Д(рр...,ру_1, p,pj+v.. ;Pl_l). Из формулы (2.5) следует, что n(p)(p')-n*(p')(p)eimd для любых р,р' еР. Поэтому оператор т(Д) может быть записан в виде т(Д)(Р1,..., pl _ j) = □*(₽,). Тем самым мы доказали следующую теорему. Теорема 2.2. Комплекс (2.7) ацикличен в чле- нах CDiff^(P; Л^(£)) при q < п. Группа когомологий в чле- не CDiff^ (Р; Л£(£)) изоморфна модулю Kt(P) С CDiff^L у(Р; Р), состоящему из всех таких операторов V, что для любых эле- ментов Pj,..., _ 2 € Р выполнены равенства (V(Pj,. ..,Рг_2)Г = -V(Pj,...,pz_2).
§ 2. С-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 269 2.4. Обобщения. Приведем полезное обобщение теорем 2.1 и 2.2. Для этого нам понадобится следующее утверждение. Упражнение 2.11. ПроизвольномуС-дифференциальному оператору Д: —>Р2 сопоставим семейство операторов /Цр^р^Е eCDiff(P(£),P(£)), где Д(РрРг)(/) = Рг(А(/Р1))’ Pl^Pf Рг ^отЯ(£)(^2» Докажите, что семейство Д^^р,) определяет оператор Д однознач- но, и что для любого семейства A[pt, р2] Е CDiff(P(£), Р(£)), pt Е Рг, р2 Е Нот^(£)(Р2,Р(£)), удовлетворяющего условиям =ЕЛД[Р1,^], ^Y^fiPvPl =£Д[рЬрЛ% L i i f найдется такой оператор Д eCDiff^,/^)- что Д[РрР2] = Д(РрРг)- Пусть Q —левый модуль над кольцом CDiti(F(£),P(£)). Так как Р(£) = CD1HO(P(£), Р(£)) с CDiff(P(£), ?(£)), модуль Q является также Р(^)-модулем. Предположим, что как Р(^)-модуль он горизонтален. При помощи упражнения 2.11 опе- ратору Д eCDiff(PpP2) сопоставим такой оператор До eCDiff(Pj ® ® Q,P2® Q). что Aq[Pi ® Ч, Pz ® 9*] = 9*(Д(РрРг)«)- Таким образом, любой комплекс С-дифференциальных операторов Д* ...-РА—Pfc+1-... можно умножить на Q и затем рассмотреть комплекс (Afc)Q • • • ~® Q * Рк+1 ® Q ~* • • • В частности, умножая комплекс (2.2) на Q, мы получаем комплекс О -> CDiff(Pj,..., Р,; Р(£)) ® Q -> CDiff(Pj,..., Р,; Л^(£)) ® Q ->... ... -»CDiff(Pj,..Рр AJ(£)) ® Q -> 0. (2.8) Повторяя дословно доказательство теоремы 2.1, получаем следую- щую теорему.
270 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Теорема 2.3. Когомологии комплекса (2.8) равны нулю в членах CDiff(Pp Р2,..., Рг; Л^(£)) ® Q при i < п. Группа когомологий в члене CDiff(Pj, Р2,..., Р{; Л£(£)) ® Q изоморфна CDiff(P[,^2’ • • -1 >-fj) ® Q• Теорема 2.2 также допускает аналогичное обобщение. Упражнение 2.12. Покажите, что на модуле СРЛ.Р(£) су- ществует ровно одна такая структура левого CDiff(P(£), Р(£))-мо- дуля, что X-u=Lx(w), XeCD(£). 2.5. Член Et'. случай J°°(tt). Рассмотрим теперь член Ех С-спектральной последовательности для «пустого» уравнения £°° = = В этой ситуации мы будем использовать обозначения п. 2.1, заменяя символ £ на тг; например, САЛ’(тг) и т. п. По определению первый член Ех спектральной последователь- ности — когомология ее нулевого члена Ео. Таким образом, нулевой столбец состоит из групп горизонтальных когомологий пространст- ва 7°°(тг): Е°’’(тг) = Я’(тг). Чтобы описать члены Ер,ч(к) при р >0, мы должны вычислить когомологии комплексов (см. п. 2.3) 0-»• СрЛр(тг)-Л СрАр(тг)®Л£(тг)-^ ... ...^СрЛр(тг)®Л*(тг)-»О. (2.9) Пусть х(тг) = Р(тг, тг) — Р(тг)-модуль эволюционных дифферен- цирований. Каждой форме ш е СрЛр(тг) сопоставим оператор Vw е eCDiff^(z(Tr); J’(tt)), полагая V„(Xp • •Хр) = ЭХр _1(.. ,(ЭХ1 _1 от)...), (2.10) где е х(тг). Лемма 2.4. Соответствие (2.10) является изомор- физмом Г(£)-модулей СрЛ.р(л) и CDiff^(z(Tr); J’(tt)). Доказательство. Построим отображение, обратное к за- данному отображению ш Vw. Пусть V е CDiff^(х(тг); !F(£)). Каж- дый вертикальный вектор (, в точке в е можно представить в виде 3Je для некоторого х (это следует, например, из коорди- натного выражения для Эх (см. равенство (2.15 гл. 4))). Зададим форму tuv е СрЛр(тг) условием ^vb(e1,...,Q = V(x1,...>xp)(0),
§ 2. C-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 271 где = Эх |0. Очевидно, что отображение V есть требуемое обратное отображение. Остальные детали доказательства мы остав- ляем читателю в качестве упражнения. □ Таким образом, комплекс (2.9) можно переписать в виде О - CDiff^(z(7r); Дтг)) -Л СМ$(х(тг); (тг)) -Л ... W tx ...—►CDiff^t)(5t(7r);A£(7r))^O. (2.11) Упражнение 2.13. Докажите, что дифференциалу w со- ответствует дифференциал d в комплексе (2.9). Когомологии комплекса (2.11) известны из теоремы 2.2. В ре- зультате мы приходим к следующему описанию члена Ех на У°°(тг). Теорема 2.5. Пусть тг — гладкое локально триви- альное расслоение над гладким многообразием М, dimM —п. Тогда'. _ 1) Е?'ч(7г) —Нд(к) для всех q ^0; 2) Е[’’(тг) = О npup>0, q^n; 3) Ер’п(к) = Кр(х(к)), р>0. Поскольку в рассматриваемом случае С-спектральная последо- вательность сходится к когомологиям де Рама многообразия У°°(тг), теорема 2.5 имеет очевидное следствие. Следствие 2.6. 1) £^’’(тг) =0, 1 г оо, еслир>0, q^n или р = 0, q > п; 2) Ер’’(тг) = ^’(7г) = Я’(7оо(7г))^Я’(/0(7г)), q<n-, 3) Ep’n(K) = E^n(K) = Hp + n(J!X>(K)) = Hp + n(J0(Tr)), р^О. Упражнение 2.14. Докажите равенство = = Я’(/(тг)). Обратимся теперь к дифференциалам dp’n. Упражнение 2.15. а. Покажите, что оператор Е10’п(тг) = Яп(тг)^и Е11’"(тг) = х(тг) задается формулой d°’n([w]) = ^*(1), где шеЛ^(тг), [ш]— горизон- тальный когомологический класс формы ш. (Выражение £ш имеет смысл, поскольку ш — горизонтальная n-форма, т. е. нелинейный дифференциальный оператор, действующий из Г(тг) в ЛП(М).) б. Записав оператор d®'n в координатах, убедитесь, что он со- впадает со стандартным оператором Эйлера (т. е. оператором, ставя-
272 ГЛАВА 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ щим в соответствие каждому лагранжиану соответствующее урав- нение Эйлера — Лагранжа (см. ниже и п. 4.1)). Вычислим оператор df ’п, р > 0. Пусть оператор □ G CDiff^ + ^(«(тг), А£(тг)) определен равенст- вом р+1 □(Х1, • •Хр + j) = Е<“1)’’+19Xi (V(X1,..Х{, • • , Хр +1))+ 4 = 1 + Е (-1)< + ^({х1>хД,Х1,...,Х<,...,Хр...,Хр + 1). (2.12) 1 <з<р + 1 Упражнение 2.16. Докажите, что если Vе2Ср(«(тг)), то <*Г’п(Я = Мр+1(п). Замечание 2.1. Формула (2.12) следует, разумеется, из стандартной формулы внешнего дифференциала. Необходимо, одна- ко, убедиться, что мы действ