Геометрия пространств джетов и ее приложения к теории симметрий и законов сохранения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных - Виноградов А.М.

Автор: Виноградов А.М.
Теги: математика геометрия топология диссертация
Год: 1984
Похожие
Дифференциальные уравнения в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных.
Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики
Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
Текст
                    МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА
ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи
ВИНОГРАДОВ Александр Михайлович
ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ ДЖЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К
ТЕОРИЙ СИММЕТРИИ И ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
01.01.04 - Геометрия и топология
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени
доктора физико-математических наук
Москва 198$

2
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 4-
ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В КОММУТАТИВНЫХ
АЛГЕБРАХ И ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
§ I. Обозначения и сведения из
дифференциального исчисления в коммутативных алгебрах 30
§ 2. Сопряженные операторы 37
§ 3. Комплексы Спенсера и формула Грина. ... 45
§ 4. Квадратичные лагранжианы и оператор
Эйлера 53
§ 5. Законы сохранения в линейной теории ... 57
§ б. Автоморфизмы и линейная теорема Нётер . . 64
ГЛАВА П. АВТОМОРФИЗМЫ КОНТАКТНОЙ ГЕОМЕТРИИ КОНЕЧНОГО
ПОРЯДКА И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7. Необходимые сведения из геометрии
пространств дкетов • • • . 70
§ 8. Структура V* - преобразований 83
§ 9. Инфинитезимальные автоморфизмы
распределения Картана на Jfo"V#) 92
§ 10. Строение автоморфизмов распределения
Картана на л/^ » к<оо. ........ ЮЗ
§ II. Классическая теория симметрии
дифференциальных уравнений. . . ........ 112
ГЛАВА Ш. КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА БЕСКОНЕЧНО
ПРОДОЛЖЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ И ТЕОРИЯ ВЫСШИХ СИММЕТРИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 12. Геометрия бесконечно продолженных
уравнений и связанное с ней дифференциальное

3
Стр.
исчисление 125
§ 13. Операция горизонтализации и структура
подмодулей Картана 133
§ 14. Высшие инфияитезимальные симметрии
нелинейных дифференциальных уравнений .... 143
§ 15. Структура С- - преобразований. ..... 154
ГЛАВА ЕГ. ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ, ТЕОРИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
И ^-СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
§ 16. Комплексы Спенсера и формула Грина в
С- теории. 169
§ 17. Нелинейный лагранжев формализм 178
§ 18. С- спектральная последовательность. . . 184
§ 19. С- - спектральная последовательность
бесконечно проложенных уравнений. . . . 214
§ 20. Приложения к лагранжеву формализму со
связями и теория законов сохранения . . . 251
ЛИТЕРАТУРА 278

ВВЕДЕНИЕ
В этой работе в систематическом виде представлена та часть
исследований автора по геометрии пространств джетов (струй)
конечного и бесконечного порядков, которая приводит к
последовательной общей теории локальных симметрии и законов сохранения
нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.
По этой причине в ней представлены два сорта результатов. Одни
относятся н теории пространств джетов, как таковой, другие из
них, выводимые, принадлежат теории симметрии и законов
сохранения. Первая группа результатов является основной и имеет другие
полезные приложения к теории дифференциальных уравнений,
которых мы за недостатком места здесь не касаемся.
Применяемые нами методы заимствованы из дифференциальной
геометрии и топологии, гомологической алгебры и теории
дифференциальных операторов в коммутативных алгебрах и не являются
традиционными в теории нелинейных дифференциальных уравнений, тогда
как основные результаты второй группы касаются проблем, издавна
привлекавших внимание специалистов по математической физике и
теории дифференциальных уравнений.
Ниже описывается содержание диссертации параллельно со
сведениями исторического характера.
Вся диссертация содержит двадцать параграфов, разбитых на
четыре главы. Каждый параграф разбит на пункты, занумерованные
парой чисел, первое из которых обозначает номер параграфа, а
второе - номер пункта внутри параграфа. Теоремы, предложения,
следствия и другие утверждения при ссылках имеют номер того
пункта, в котором они приведены. Формулы нумеруются внутри каждого
пункта и имеют "трехзначный" номер, первые два числа которого
являются номером пункта, в котором приведена формула, а третье -
номером формулы внутри пунвта.

Первая глава, включающая §§ I - б, имеет чисто
алгебраическую природу. В ней описываются и исследуются основные
конструкции теории линейных дифференциальных операторов в
коммутативных алгебрах, используемые в главах П - 1У. Внутри этой
главы они применяются для построения линейного Лагранжева
формализма и теории линейных законов сохранения. Более подробно
содержание первой главы состоит в следующем.
В § I вводится понятие К -линейного дифференциального
оператора (д.о.) над некоторой коммутативной К -алгеброй А .
Если Ks|R (или С ), а А есть К -алгебра ) всех гладких
функций на гладком многообразии М , то введенное понятие д*о.
совпадает с обычным. Алгебраическое, а, значит, и бесноординат-
ное по природе это понятие позволяет построить теорию
дифференциальных операторов в таких ситуациях, когда неприменимы
стандартные средства анализа, и выделить и исследовать основные
функторы возникающего таким образом дифференциального
исчисления над коммутативными алгебрами. В § I описаны основные для
наших целей функторы Sbijf K и Ф; и их представляющие
объекты, обозначаемые + и Д соответственно, элементы которых
называются к -джетами и L -мерными дифференциальными формами
над А « В случае А =С (М)эти объекты при надлежащем выборе
рассматриваемой категории А -модулей совпадают с
классическими. Параграф заканчивается описанием ^р - комплекса Спенсера.
Общий алгебраический подход к теории дифференциальных
операторов, описанный в первом параграфе, принадлежит автору (см.
[5J и более подробное изложение в [161 ). Помимо вопросов,
затрагиваемых в диссертации, он оказался удобным и полезным в
целом ряде других аспектов. Например, мы показали, что
алгебраические когомологии Спенсера тривиальны в неособых точках
алгебраического многообразия (см. [123 ). Это вместе с некоторыми

6
другими соображениями приводят к гипотезе о том, что в особых
точках ногомологии Спенсера нетривиальны и несут исчерпывающую
информацию об этих точках. Дальнейшие результаты,
подтверждающие эту гипотезу^ получены А.Б.Бочаровым (см. [13, [2} ). На этом
пути автор также обнаружил естественные высшие' аналоги
комплексов де Рама и Спенсера и целый ряд других интересных комплексов
(см. [12] ). В.В.Лычагин, используя этот подход, построил общую
теорию особых решений линейных дифференциальных уравнений (см.
[323 ) и, в частности, теорию распространения разрывов. В связи
с этим отметим также работы ЯСБраконьера 1441 и И.С.
Красильщика [29] , в которых построены и введены в коммутативную алгебру
"гамильтоновы когомологии", и М.М. Виноградова, обобщившего на
широкий класс алгебр теорию вычетов Лере (см. [20Ь [21] ).
Другое общеалгебраическое построение теории
дифференциальных операторов в рамках теории схем предложено .А.Гротендиком в
его фундаментальной работе [47] • Им. во главу угла поставлено
понятие модуля джетов, определяемое а' р»иог£ . Это
позволило перенести в коммутативную алгебру основные концепции теории
дифференциальных операторов. Однако, на этом пути, по-видимому
не было получено существенно новых результатов или обобщений,
хотя отдельные попытки и были сделаны (см., например, £42],[43]).
Естественная трактовка модуля джетов как представляющего
объекта для функтора $bij$ в теории Гротендика обращена, что,
во-первых, делает этот подход гораздо более громоздким, и,
во-вторых, в целом ряде ключевых моментов приводит к
необходимости принятия не всегда адекватно отражающих ситуацию априорных
решений.
Л. Габриэль в t45] * комментируя работу
Гротендикауказывает такое же, что и у нас, алгебраическое определение д.о.,
которое, однако, в дальнейшем не развивается. Это определение,

повидимоу, независимо переоткрыто Виге и использовано для
локального изучения алгебры дифференциальных операторов в особых
точках алгебраических кривых и поверхностей (см. [71] ).
Действие "сналярнозначных" дифференциальных операторов на
irv -мерные: дифференциальные формы на к -мерном многообразии
введено в § 2. Здесь же приведены основные свойства этой
операции и на ее основе дано чисто алгебраическое построение теории
сопряженного оператора. В конце параграфа установлены
трансформационные свойства основных компонентов построенного
формализма, которые нужны для проводимого в дальнейшем алгебраического
анализа теоремы Нётер и некоторых других утверждений, связанных
с законами сохранения.
В § 3 прежде всего в общей алгебраической ситуации
определяются £>ij-f - Комплексы Спенсера и § - комплексы
дифференциальных операторов. Операция сопряжения д.о., введенная в § 2,
позволяет установить связь между этими комплексами, одним из
аспектов которой является глобальная формула Грина. Другим
следствием этой связи является ацикличность 3 -Комплексов. Для тех
же целей, что и в § 2, затем устанавливаются трансформационные
свойства элементов формулы Грина.
В § Ц- рассмотрены алгебраические элементы теории
полидифференциальных операторов, необходимые для построения линейного
лагранжева формализма. Прежде #сего в нем доказана ацикличность
комплексов SkPQ бидифференциальных операторов, а также
симметрической и кососимметрической частей комплекса с>РР ,
обозначаемых §Sj|lnr и §^0. соответственно.
Квадратичные лагранжианы на Р , приводящие к линейным уравнениям Эйле-
ра-Лагранжа суть 0-мерные цепи комплекса SjumP » а
аугментация jm этого комплекса как оказывается совпадает с
оператором Эйлера (т.е. с оператором, сопоставляющим лагранжиан со-

8
ответствующие им уравнения Эйлера-Лагранжа). Установленная выше
ацикличность комплекса bs^r может быть интерпретирована как
решение обратной задачи вариационного исчисления и проблемы
тривиальности лагранжиана в контексте линейной теории.
§ 5 посвящен линейной теории законов сохранения. Начав с
необходимых определений и мотивировок, мы, далее, показываем,
что группа линейных законов сохранения линейного уравнения
да=0 совпадает с (*v- Л)-мерной группой когомологий
комплекса сокеъ Sa ♦ где §!д " отображение « - комплексов,
порождаемое оператором & • Доказывается, что в регулярном
случае эта группа когомологий совпадает с kefc Д*" • Подчеркнем,
что эти результаты касаются сразу законов сохранения ( т.е.
классов сохраняющихся плотностей, рассматриваемых с точностью
до тривиальных), а не сохраняющихся плотностей, как это обычно
делается в математичесной физике. Тем самым с самого начала
решается задача о тривиальности сохраняющихся плотностей.
В этом же параграфе конструктивно описано естественное
отображение J": кеъд*-* 3(Д) » где ЗсД) - группа линейных
законов сохранения уравнения Д&гО » полезное для
практического нахождения законов сохранения, а также один весьма общий
способ построения нелинейных законов сохранения (теорема 5.6).
Следует подчеркнуть, что теорема 5.6 с точки зрения развитой
выше дифференциальной алгебры является весьма простым и
естественным утверждением, которое, однако, непросто усмотреть на
языке обычного "координатного" анализа. Повидимому этим
объясняется то, что оно не было найдено ранее. В 1980 г. в локальном
виде некоторые результаты этого параграфа были на базе более
классических рассуждений независимо найдены в работе Владими-
рова-Жаринова (22] .
Линейная глобальная теорема Нётер на многообразиях доназа-

9
на в § б как следствие трансформационных свойств, установленных
в §§ 2,3 и формулы Грина. При этом проанализирована возможность
расширения классического понятия симметрии лагранжиана,
фигурирующего в теореме Нётер, и получен положительный ответ на этот
вопрос (теорема 6.3). Далее показано, что теорема Нётер
представляет собой весьма частный случай теоремы 5.6. Более того,
мы устанавливаем, что если симметрия некоторого уравнения Эйле-
ра-Лагранжа такова, что соответствующий ей нётеровский ток
сохраняется, то на самом деле эта симметрия является симметрией
исходного лагранжиана.
Обратим внимание на то, что все результаты главы I
остаются справедливыми без каких-либо изменений в доказательствах для
произвольной "гладкой ситуации", т.е. для такой категории
/\-модулей над основной алгеброй А, для которой представляющий
объект для функтора Ш является проективным модулем конечного
типа. Следует также подчеркнуть, что по модулю общих фактов
дифференциального исчисления в коммутативных алгебрах основным
в этой главе является установление связей теории законов
сохранения и линейного лагранжева формализма с алгебраичесвим
вариантом теории комплексов Спенсера. Напомним, что последние были
обнаружены при исследовании деформаций G - структур (см.[6$1,
|S5] ) и затем использовались Гольдшмидтом в более общих рамках
теории формальной разрешимости дифференциальных уравнений. В
рассматриваемом контексте они используются впервые.
Глава П, включающая §§7 - II, посвящена изучению конечных
и инфинитезимальных автоморфизмов контактной геометрии порядка
к<°° . Здесь мы получаем исчерпывающее описание структуры
таких преобразований и на этом основании строим теорию симметрии
нелинейных дифференциальных уравнений, которые понимаются как
подмногообразия многообразий джетов К -ого порядка. Особое
место во второй главе занимает § 9 по существу относящийся к гла-

10
ве Ш, где описываются инфинитезимальные преобразования
пространства джетов бесконечного порядка. Это сделано по той причине,
что результаты этого параграфа позволяют более рационально
доказать некоторые факты из геометрии джетов конечного порядка и,
сверх того, продемонстрировать ограниченность классического
подхода к теории симметрии нелинейных дифференциальных
уравнений.
В § 7 собраны основные сведения о геометрии пространств
джетов и специфика дифференциального исчисления, возникающего
на них. В частности, тут приведены необходимые факты,
связывающие эту геометрию с теорией дифференциальных уравнений, описаны
два рода высшей контактной геометрии ( ТГ - геометрия и
распределение Картана) и структура интегральных многообразий в этих
геометриях* Описание интегральных многообразий распределения
Картана и интегральных многообразий в ЛГ - геометрии, а также,
все новые конструкции и результаты, приведенные в § 7
принадлежат автору (ом* [б] s бв! s Jill f [13] \щ Соответствующие
доказательства приведены в [18] • Т.к. здесь они опущены,
соответствующий материал можно не включать в состав основных
результатов диссертации.
Классическая контактная геометрия С. Ли (т.е. контактная
геометрия первого порядка) задается дифференциальной формой
ЛГ— c(u ^i^pidxi на пространстве джетов первого порядка. В
§ 8 мы строим высшие аналоги 1/^ формы Ъ^ , которые суть
джет-значные формы на пространстве джетов порядка к ♦ и -
геометрия - это геометрия, отвечающая группе преобразований
пространства джетов, при которых сохраняются подмногообразия, на
которых аннулируется форма I/fc • Эта группа нами полностью
описана» Она оказывается слишком узкой для того, чтобы ее положить в
основание классической теории симметрии дифференциальных уравнений

II
Этот фант приводит н необходимости использовать в этих целях
группу автоморфизмов распределения Картана.
йнфинитезимальные преобразования распределения Картана на
пространстве бесконечных джетов, называемые нами (р - йолями,
введены в § 9, где доказана основная теорема об их структуре.
Эта теорема в другой форме была найдена Б.Купершмидтом (см.[зо] ).
В этом же параграфе также вводятся важные для дальнейшего
понятия универсальной линеаризации и эволюционного
дифференцирования и установлены их основные свойства. Эволюционные
дифференцирования представляют собой & - поля специального вида, при
помощи которых можно определить далеко идущее обобщение нонтан-
ных скобок Якоби-Ли, характеристик Ли и т.п.
В § 10 доказаны основные результаты о структуре
преобразований Ли (полей Ли), т.е. автоморфизмов (инфинитезимальных)
контактной геометрии конечного порядна K^i • Оказывается, что
они суть поднятия на пространства джетов порядка к точечных
преобразований или контактных преобразований при к = 1в
зависимости от того больше ли единицы число "зависимых" переменных
или нет. В локальной форме это было предположено еще Ли и
доказано Бэнлундом [41]. Найденное нами в [б) общее глобальное
доказательство по существу повторяет доказательство теоремы о
структуре V* - преобразований из § 8 и основано на существовании
разных типов интегральных многообразий у распределения Картана.
Оно, во-первых, вносит необходимые уточнения в глобальную
версию упомянутого результата Ли-Бэнлунда, а, во-вторых, на
классическом материале демонстрирует метод, с помощью которого ниже
устанавливается "теорема жесткости".
Если уравнение а/ (вместо "система уравнений" ниже мы
говорим - уравнение") понимается как подмногообразие в
пространстве 3~ джетов порядна к , то под его внешней симметрией еле-

12
дует понимать преобразование Ли , преобразующее О в
<|/ . Ввиду основного результата § 10 такие преобразования Ли
сводятся н точечным или классическим контактным преобразованиям,
которые в этих целях рассматривались еще С. Ли. Поэтому
подобные симметрии мы называем классическими. В теории Ли - Овсянни-
кова (Л ряьоМ' в качестве преобразований симметрии
используются точечные и контактные преобразования. Таким образом,
приведенная теорема о структуре преобразований Ли &'р#4%24им*и'
оправдывает классическую точку зрения.
Тот факт, что группа контактных преобразований не растет
при увеличении числа К , - наводит на мысль о том, что понятие
симметрии следует расширить» Простейщий способ сделать это
состоит в переходе на внутреннюю точку зрения. Точнее, внутренней
классической симметрией уравнения У/сг J назовем такой
диффеоморфизм J/ -=*" v , который сохраняет ограничение
распределения Картана с J на <а • В § II исследуется вопрос о структуре
таного рода симметрии. Основной результат, к которому мы
приходим, состоит в том, что, нан правило, для "не очень
переопределенных уравнений" внутренние симметрии являются ограничениями
на %)- внешних симметрии. Более того, оназывается, что "не очень
переопределенные уравнения", нан правило, являются жесткими,
т.е*а их внутренняя геометрия полностью определяет внешнюю.
Более точно это означает, что задание многообразия о/ и
распределение Картана на нем позволяет однозначно восстановить
вложение <У с J • Таним образом, переход на "внутреннюю" точку
зрения, вообще говоря, не приводит н расширению понятия симметрии.
Важнейшим примером нежестких уравнений являются уравнения от
одной зависимой или независимой переменной, т.е. именно те нлассы
уравнений, интегрирование которых сводится к обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Из результатов § II следует, что ере-

13
ди определенных систем дифференциальных уравнений имеется, нроме
этих нлассов, лишь неснольно типов нежестних уравнений. Их
грубая оценна сверху, например, дается предложением II.5.
В п.п. II.8 - II.9 для полноты нартины мы полностью
выясняем вопрос о связи внутренних и внешних симметрии для важнейшего
типа нежестних уравнений, а, именно, для уравнений первого
порядна с одной зависимой переменной.
Два уравнения <£/^ и Ф^ согласно нлассичесвой точне зрения
называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм F' &£?
"-*- %,» переводящий распределение Картана на уi в
распределение Картана на $% ♦ В п. 11*10 обсуждена соответствующая
задача классификации и показано, что она трансцендентна (=
бессодержательна) для жестких уравнений. Таким образом,
устанавливается, что классическая задача локальной классификации для
определенных систем уравнений, нроме одного уравнения первого
порядка с одной зависимой переменной, исчерпывающе исследованного
ИЛ*. ТТиоя-пниым IrVT _. w em« at*r\itmtT.uvrr пштяр.в ггпг»тятптАна n»ns-
л*ЩА0*9 0Л.ЛМ ~avtx жлмллляа ^waJ f лл ъ/дЦъг i*v ъ>*< varus*? яли*. Wtfjyy imvj/| uv^AMi^tfiwuiii juw£/w*
зумно.
Резюмируем сказанное. В классической теории симметрии
дифференциальных уравнений, основы которой заложены С. Ли [59] и
его учениками и ноторая в наши дни была развита и применена н
разнообразным задачам математической физики Л.В. Овсянниковым и
его школой (см. [35] , [60] ) а р&<Ш' в качестве
преобразований симметрии рассматриваются диффеоморфизмы пространства 0 -
джетов при уть >1 и соответственно контактные преобразования
пространства I - джетов при т=1. Однако, более обоснованной
является восходящая н Э. Картану внутренняя точна зрения (см.
выше). Основные результаты главы П устанавливают, что
I) классическая точна зрения совпадает с "внутренней" для
почти всех типов уравнений, которые обычно встречаются на
практике, нроме нескольких, ноторые описываются;

14
2) ненлассичесная точна зрения, допускающая б качестве
симметрии инфинитезимальные контактные преобразования пространства
бесконечных джетов, приводит к существенному расширению класса
преобразований симметрии. Этот класс преобразований полностью
описан;
3) классическая задача классификации (локальной)
нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, за
исключением нескольких типов нежестких уравнений, является
бессодержательной.
Ограниченность нлассичесной теории симметрии, вытекающая
с очевидностью из сказанного, видна и с операторной точки
зрения. Для этого заметим, что всякое инфинитезимальное контактное
преобразование пространства к- джетов некоторого расслоения
порождает виртуальный поток на множестве локальных сечений
этого расслоения, поле скоростей которого описывается эволюционным
уравнением вида u^syc-x^u^u^ ...) , где % - координата на
базе расслоения ft , ц, - "текущее" сечение этого расслоения, а
ц,х , ttxx и т.п. - первые, вторые, и т.п. производные этого
сечения. В частности, поток отвечающий эволюционному
дифференцированию Э^ (см. § 9), задается именно этим уравнением.
Эволюционные уравнения, отвечающие классическим преобразованиям
симметрии^ соответствуют функциям Ц>= fC'XjUjUjj.) специального
вида. Т.е. в нлассичесной теории в качестве симметрии с самого
начала допускаются только специальные операторы первого порядка.
Из результатов § 9 следует, что в качестве тановых можно
рассматривать произвольные дифференциальные операторы любого
порядна. То, что тавовые существуют и могут играть важную роль
экспериментально подтверждается открытиями последних лет, насающих
уравнений, обладающих многосолитонными решениями (см., например,
Е383 ). Таким образом, эти обстоятельства показывают, что есте-

15
ственная теория симметрии дифференциальных уравнений
равносильна изучению контактных преобразований пространства J°" джетов
бесконечного порядка и их "подмногообразий", отвечающих
дифференциальным уравнениям. Такие подмногообразия суть бесконечные
продолжения У^Т00 дифференциальных уравнений ^^J ,
к < оо . Исследованию структуры таких преобразований и техники
работы с ними посвящена глава Ш, внлючащая §§ 12 - 15. В этой
главе также строится аппарат, существенно используемый и в
главе 1У.
В § 12 определяются бесконечно-продолженные уравнения
У с J°° и контактная структура на них, называемая также
распределением Картана. Локально максимальные интегральные
многообразия распределения Картана на %* сУ^ь решения уравнения с/
и обратно, тан что высшие симметрии уравнения^/ следует
определить как контактные преобразования "многообразия" %, .
Переход от ^ к doo составляет содержание формальной теории
дифференциальных уравнений (см. [63], [64] ). Построение
дифференциального исчисления на бесконечномерных образованиях типа o(^
обычными средствами оказывается весьма нерентабельным, а в
некоторых аспектах и невозможным. В этих целях мы используем общий
алгебраический подход § I, имеющий, однако, в рассматриваемой
ситуации некоторую специфику. Именно, алгебра гладких функций
§--С°°(^Л) естественным образом фильтрована подалгебрами £-
= С°°(*Ус) ' где ^s " Вонечные продолжения уравнения *У .
Ряд соображений показывает, что полезное дифференциальное
исчисление на е^оо получается при рассмотрении дифференциальных
операторов, согласованных с этой фильтрацией. Формализация этой
точки зрения достигается в рамках тан называемой FG -
категории, которая описывается в п.п. 12.3 - 12.6.
Наличие контактной структуры на ч£о позволяет ввести на

16
&)[.естественны!! образом операцию 6 . Именно, если Ф -
представляющий объект для функтора $э дифференциального
исчисления в FG - категории на ^, то (?Ф состоит из тех
элементов уеф , которые аннулируются на формальных решениях
уравнения ty . В связи с этим в дифференциальном исчислении на
'efc возникают две подтеории. Первая из них, называемая @ -
теорией, состоит из таких "подфуннторов" дифференциального
исчисления §Э»с & , элементы которых аннулируют подмодуль (рф
соответствующего представляющего объекта Ф . Иначе говоря,
представляющим объектом для б Ц=> служит % = ^/(£ф • Бто"
рая подтеория состоит в изучении "фанторфуннторов" ф> » пРеД~
ставляющие объекты для которых суть (?ф
6 - объекты на
в^оо 1 т.е. элементы f €. ,
однозначно характеризуются тем, что допускают ограничение на решения
(формальные) уравнения ^ , трактуемые как интегральные
многообразия распределения Картана на ^Jfc . Важнейшими из них явля-
тптлег (л ят тгпМопаптгпсптг ичо ппопотппч in о cm о то тли пптгнтштюй
влил v ,ц£11{У1{Уо^(1^пц^а^и7иски i/nupw j-и^од , х .1/. оииииала uu^mu^j muju
Необходимые для дальнейшего элементы описанных выше двух
"подтеории" составляют содержание второй половины § 12.
Задача описания б - объектов решается в § 13. Ввиду ее
локальности можно ограничиться случаем ty&c J est) , где tfi -
некоторое расслоение. В этой ситуации для любого
представляющего объекта Ф (см, выше) существует операция горизонтализации
1 -Чф,: ф —* Ф , 1 =1 , обладающая тем свойством, что
Q§ = кеъ Тф = *-»^ С id- - 1 £ > . Последнее дает
конструктивное описание модулей 63? , тогда как itn 1^ » ф . Эти
общие конструкции затем применяются для более детального
описания Q - дифференциальных операторов, модуля Q $ и т.п.
Заканчивается § 13 описанием Q - гамильтонова формализма.

17
В § 14 определяется алгебра Ли s^m^S/ высших внутренних
инфинитезимальных симметрии уравнения ^ нан фанторалгебра
^nv^^^C^,)^^ } » где Ф^с^) - алгебра Ли
всех инфинитезимальных автоморфизмов (б - полей) распределения
Картана на - функтор дифференцирования.
Факторизация здесь мотивирована тем, что (р - поля, порождающие
тривиальный поток (см, выше) в пространстве решений уравнения е/ »
и только они образуют идеал в - дифференцирований SQityao) .
Основной результат § 14 утверждает, что всякая высшая
внутренняя инфинитезимальная симметрия интегрируемого уравнения
является ограничением некоторой внешней на ^^ , т.е. порождается
(8 - полем на J°° , касающимся ^с J°°, Это вместе с
результатами § 9 приводит к полному описанию алгебры stjiu. ^ ,
которая оказывается изоморфной ядру оператора ty , где <*£/;=
-14=0} » vtf- оператор универсальной линеаризации
нелинейного дифференциального оператора у и t^ - его ограничение на «С.
Б п. 14.6 описывается естественный гомоморфизм lity-—>
-♦Suntс/» где uj - алгебра Ли всех внутренних
инфинитезимальных Классических симметрии уравнения с/ , и показано, что при
весьма слабых ограничениях на \$/ типа формальной
интегрируемости этот гомоморфизм не имеет ядра.
§ 14 заканчивается доказательством того, что л^С^) U
U QS)i^{ af- является нормализатором подалгебры Ли (с<$Ща?
в алгебре Ли &Lji <^ , ©f-Cc6^) , где 3)tj-f<J
понимается как алгебра Ли относительно операции коммутирования д.о.
Этот фант, интересный и сам по себе, важен при построении
дифференциального исчисления на функциональных многообразиях вида
ГУ.С&) • Последнее, однако, в диссертации не рассматривается.
Структура отображений областей пространства J ,
сохраняющих распределение^Картана исследуется в § 15. Здесь, прежде

18
всего, показано, что такие отображения однозначно
характеризуются соответствующим отображением подалгебры ^9с-% (см, выше)
при выполнении некоторых условий невырожденности, и приведено
описание вырожденных отображений. Эти факты используются далее
для доказательства основного результата этого параграфа,
утверждающего, что все контактные автоморфизмы пространства
бесконечных джетов для случая одного зависимого переменного
исчерпываются классическими. Этот результат формулируется Бэклундом [41/,
однако приводимая им аргументация не является доказательной.
Таким образом, запас возможных конечных преобразований симметрии
в этом случае по сравнению с классической точной зрения не
увеличивается.
Указанный эффент мы увязываем с фактом существования
обратимых (нелинейных) дифференциальных операторов порядка >0 .
Это позволяет для случая большего, чем один, числа зависимых
J со
не сводящихся с классическим. Таким образом, в этом случае
происходит некоторое увеличение запаса контактных автоморфизмов
по сравнению с классическим случаем, однако, в гораздо меньших
масштабах, чем это имеет место для инфинитезшальных
автоморфизмов.
Заканчивается § 15 кратким описанием категории £>£
дифференциальных уравнений,в рамках которой полученные выше
результаты приобретают естественное истолкование.
Основное соотношение -Stf**1 o/=to ^вместе с элементарными
свойствами операторов £<р , установленными выше, приводят к
эффективному алгоритму вычисления алгебры s^m У для
конкретных уравнений. При этом, например, снимается проблема
практического нахождения "определяющих уравнений" в смысле [35 ] .
Проведенные в последнее время расчеты на этой основе, как правило,
быстро приводили к полному ответу после простых рутинных вычис-

19
лений (см., например, [17] ). Надо, однако, подчеркнуть, что их
объем заметно возрастает при увеличении числа независимых
переменных»
Необходимость изучения высших симметрии дифференциальных
уравнений была ясно понята еще Ли и Бэнлундом, однако, в этом
направлении практически ничего не было сделано примерно до 1970 г.,
когда были открыты замечательные свойства уравнения Кортевега-де
Фриза и ему подобных» Одно из этих свойств - наличие
бесконечномерной группы высших симметрии» С тех пор для уравнений "похожих"
на kdV были разработаны частные приемы нахождения высших
симметрии (см» [38] ) и выполнены конкретные расчеты для нескольких
конкретных уравнений, в основном эволюционных» При этом концепция
высшей симметрии даже не была четко сформулирована» Описанные
выше результаты, касающиеся высших инфинитезшальных симметрии,
впервые полученные автором в 1975-76 г.г., частично были
опубликованы в [18] , а частично содержатся в рукописи, представленной
в 1976 г. в редакционно-издательский совет Московского института
радиоэлектроники для опубликования. В связи с задержкой
публикации этой рукописи (она вышла в свет в 1982 г.), содержащиеся в
ней результаты автора, касающиеся высших симметрии, были
опубликованы в 1978 г. в [7] и в 1979 г. в [9] и повторены в обзоре
[13] • В 1976 г. в этом направлении появилась работа Ибрагимова-
Андерсона [25] , в которой была выписана бесконечная система
уравнений, служащая для нахождения G3 - полей и приведены примеры
ее решений. В ряде работ (см» например, [52] ) была сделана nor
пытка построить теорию \0 - полей на основе классического
соответствия между алгебрами и группами Ли. Такой подход, однако, в'
рассматриваемой бесконечномерной ситуации некорректен, т.к. Ь -
полям,как правило, не соответствуют даже локально однопараметри-
ческие группы сдвигов. Этот факт следует из того, что для
эволюционных уравнений задача Коши, нак правило, имеет неединственное

20
однопараметричесние группы сдвигов. Этот фант следует из того,
что для эволюционных уравнений задача Коши, нан правило, имеет
неединственное решение. В 1979 г. в работе Ибрагимова [27^не-
ноторые вопросы теории высших симметрии были рассмотрены в рам-
нах теории формальных преобразований. Строго говоря, такой
подход соответствует рассмотрению ситуации в насательном простран-
т ©о
стве н одной точне в J . Тем не менее, на этом пути
Ибрагимов устанавливает ряд соотношений, полезных для нахождения
высших симметрии конкретных уравнений математической физики.
Упомянем также работу Купершмидта [58] , где в других терминах
получено описание (Ь - полей на J , и работу Оттерсона-Свет-
личного [б2] » где сделана интересная попытка расширить
классический подход, рассматривая уравнение <У как подмногообразие в
редуцированном многообразии джетов конечного порядка. Ее
результаты, однако, полностью охватываются построенной нами теорией.
Заключая обсуждение теории симметрии заметим, что
построенная нами теория является локальной в том смысле, что отвечающий
высшей симметрии "поток" (см. выше) на множестве решений
рассматриваемого уравнения описывается эволюционным
дифференциальным (т.е. локальным) оператором. По этой причине полученные нами
результаты можно рассматривать как решение проблемы 20 из
списка Л.В. Овсянникова L34] в классе преобразований, задаваемых
дифференциальным оператором. В последнее время выяснилось, что
важную роль играют нелокальные симметрии, т.е. такие, для
которых соответствующий "поток" задается интегро-дифференциальным
уравнением. Общая теория таких симметрии пока не развита (см.
например, [17] , [39] ).
Последняя четвертая глава, включающая §§ 16-20, посвящена
разработке специальной когомологической техники на многооб-

21
разиях з«> и ее приложениям я лагранжеву формализму в теории
поля и теории законов сохранения» Основу этой техники
составляет 6■- спектральная последовательность { S.% fllj } » член
Ei которой является аналогом в категории Ф£
дифференциальных уравнений комплекса де Рама гладкого многообразия. В связи
с этим подчеркнем, что категория гладких многообразий
совпадает с7 подкатегорией нульмерных объектов в #)£ ♦ Более
подробно содержание главы 1У таково.
В § 16 теория сопряженного оператора, формула Грина,
комплексы Спенсера, S - комплексы и другие построения главы
I'переносятся в б - теорию на %* . Дополнительно здесь
показывается, что теория преобразований, аналогичная теории
преобразований главы I, обогащается за счет морфизмов вложения У с*
с2-* *в/о0 » где е) есть следствие уравнения с/ .
Первая половина § 17 посвящена когомологической
интерпретации основных элементов лагранжева формализма в теории поля,
что необходимо для их дальнейшего осмысления в рамках @ -
спектральной последовательности. Здесь, в частности, показано,
что если и? - плотность лагранжиана, то соответствующее ей
уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид vw(>l) = 0 , где С-
оператор универсальной линеаризации плотности со ,
Вторая половина этого параграфа содержит когомологическое
определение законов сохранения и доказательство обобщенной
теоремы Нётер, в которой в отличие от классического оригинала в
качестве преобразований используются высшие симметрии.
Основное понятие главы 1У - # - спектральная
последовательность определяется в § 18 и здесь же устанавливаются ее
простейшие свойства. Если А (^Уоо) - комплекс де Рама в F6 -
категории на ^^ (см. выше), то б - спектральная
последовательность {Е^С^4о> 4 г } есть спектральная последователь-

22
ность, порождаемая фильтрацией этого комплекса степенями идеала
6Л С с/оо) (см. выше). Если rv - число независимых переменных
в уравнении */ , то £*,"с(3/вв) есть группа всех лагранжианов тех
вариационных задач, для которых v является уравнением связей,
&+ есть оператор Эйлера, а Е ^ ('с/со) - группа законов
сохранения уравнения с/ . Сказанное объясняет значение 6 -
спектральной последовательности для лагранжева формализма и
теории законов сохранения.
Первая половина § 18 посвящена разработке алгебраического
аппарата, обслуживающего 6 - спектральную последовательность.
Здесь удается обнаружить полезные изоморфизмы
комплексов-столбцов из члена Е^^) с некоторыми комплексами дифференциальных
операторов, являющихся полианалогами § - комплексов в б -
теории на tyo . В "абсолютном" случае, например, когда 'У^!*',
когомологии этих комплексов вычисляются, что приводит к явному
описанию члена E^c^Jfc) . Оказывается, что EJ С^^)- О ,
если <^>yv или <j,< к , р#С? . Это позволяет
а) построить в максимальной общности "резольвенту" для
оператора Эйлера; эта задача в последнее время привлекала многих
авторов, в связи с чем упомянем работы Хорндески [55] , Тульчие-
ва 169'] , Купершмидта 158 3 и Олвера-Шанибана [6Il , построивших
ее при тех или иных органичениях;
б) вычислить когомологии этой "резольвенты", что между
прочим приводит к общему глобальному решению проблемы
тривиальности лагранжиана и обратной задачи вариационного исчисления.
Проблема тривиальности рассматривалась многими авторами.
Ее локальное решение для лагранжианов первого порядна получено,
например, Крупной £56.] , а для любых - Купершмидтом [58] . Ее
глобальное решение независимо от автора найдено Таненсом [66J .
Обратная задача вариационного исчисления является старой

23
проблемой и ей посвящены многочисленные работы. Упомянем работы
Вайнберга [3} , Дугласа 1531> Хаваша 1541 » Тонти 1671 , Хорн-
десни С553 » Тульчиева С693 и Купершмидта 1581 » в которых
дается ее локальное решение с разных точек зрения. Глобальное
решение этой задачи одновременно и независимо от автора получено
Такенсом [66] . Позднее этот результат повторен Андерсоном и
Дачемпом [40] ,
Во второй половине § 18 показывается, что в члене £it(H0c>)
справедлива "инфинитезимальная формула Стонса", в которой в
качестве инфинитезимальных преобразований фигурируют элементы
алгебры *дт.*У . Это весьма важное обстоятельство, т.к.
позволяет вычислять член Б^с^) гомотопическими методами и, кроме
того, дает возможность явно указать решения в обратной задаче
вариационного исчисления и "потенциалы" тривиальных
лагранжианов,
П. Дедекер, пытаясь обобщить симплектическую геометрию на
теорию поля, пришел к некоторой спектральной последовательности,
построенной по той же схеме, что и б - спектральная
последовательность (см, C5IJ ), т.е. по фильтрации неноторой алгебры
дифференциальных форм степенями некоторого ее дифференциально
замкнутого идеала. Однако, связать свою спектральную
последовательность с основными компонентами лагранжева формализма и
получить какие-либо общие результаты о ее структуре ему не удалось.
Через год после выхода нашей работы [9] В, Тульчиев
17QJинтерпретировал свой локальный результат (см, выше) в терминах
спектральной последовательности двойного комплекса, эквивалентного
тому, который описан в п, 18,2 для случая тривиального
расслоения lit . Наконец, этот двойной комплекс изучал на языке
формальной дифференциальной геометрии Т, Цудзисита [681 » Который
возпроизвел опять-таки в локальной форме некоторые наши резуль-

24
таты,
В § 19 развивается некоторая гомологическая техника,
позволяющая вычислять член Е^с^) . С ее помощью удается
установить один из наиболее важных результатов диссертации -
"теорему о двух строчках", которая утверждает, что для непереопре-
деленных уравнений при соблюдении некоторых слабых условий
регулярности все ненулевые члены Е^*" (^У^) сосредоточены в
строчках с^-ъ-А и с^.» *v и на "отрезке" р*0 , O^t^iv .
Все основные результаты этой работы, собранные в § 20, и
касающиеся законов сохранения и лагранжева формализма со связями,
получаются из этой теоремы при помощи гомотопической техники
§ 18. В § 19, кроме того, указываются оценки сверху члена
В с с/оо) » и°ходя из одного варианта о - когомологий
Спенсера оператора 1^ , где ty-ziy^o}
Первая группа результатов, полученных в § 20 касается
теории законов сохранения. Прежде всего мы устанавливаем точность
следующей последовательности для определенных уравнений,
удовлетворяющих некоторым слабым условиям регулярности,
совокупность которых мы называем "нормальностью":
Здесь Н i^oo) - (и-Ъ- группа когомологий i -
комплекса де Рама (см, § 16), отождествляемая с группой законов
сохранения уравнения - ограничение
Подчеркнем, что под законом сохранения мы понимаем не саму
сохраняющуюся плотность, а класс смежности таких плотностей по модулю
тривиальных. Подчеркнем, что проблема выяснения
нетривиальности сохраняющихся плотностей стояла весьма остро. Это объясня- ,
ется тем, что теорема Нётер и некоторые другие частные приемы,
до сих пор использовавшиеся для нахождения законов сохранения,

25
дают ноне трупции именно сохраняющихся плотностей. При этом, пан
правило, неочевидно, что получаемые таним образом плотности
нетривиальны.
В качестве примера укажем на работу t57] известного
специалиста по математической физике Кумеи, где "доказывается" бесно-
нечномерность пространства законов сохранения для уравнения[$1ле.~ i
O&tdofi путем предъявления бесконечной серии сохраняющихся плот- \.;,
ностей. На самом же деле, они являются тривиальными (см, £74] ),
Ранее в этой проблеме не было известно сколь-нибудь общих
результатов. Приведенная выше точная последовательность сразу
убивает двух зайцев. Во-первых, она дает решение указанной
проблемы, т.к. с самого начала в ней фигурируют классы эквивалентных
сохраняющихся величин, т.е. законы сохранения. Во-вторых, она
немедленно приводит к эффективному алгоритму вычисления законов
сохранения. Уточним это.
Законы сохранения, принадлежащие tm, <L , неинтересны, т.н.
они отражают иснлючительно топологию самого уравнения ^/ и
одинаковы для всех его решений. Поэтому уместно ввести группу
И*"1 (*2/<*>)« кег t% собственных законов сохранения,
которая ввиду приведенной точной последовательности совпадает с
кег d1,a' с кег IZ • Т.н. оператор &] явно
выписывается, непосредственно исходя из сохраняющихся плотностей
(соответствующая формула приводится в § 20),и он мономорфно
вкладывает И*1'4^^) в кег ty , то это дает решение проблемы
тривиальности. Вычисляя далее ядро оператора vtf , мы получаем
"оценну сверху" для группы собственных законов сохранения, лиш-
ние элементы из ноторои отсеиваются при помощи оператора <ц ,
явное описание ноторого также находится. Подчеркнем, что ядро
оператора 1у находится при помощи вычислений точно такой же
природы, что и нахождение высших симметрии уравнения е/ » т»н.

26
последнее сводится (см. выше) н нахождению ядра оператора £у •
Если уравнение tyxJ^sO} самосопряжено, т.е. 6y = -(L
(таковыми являются все уравнения Эйлера-Лагранжа), или нососоп-
ряжено, т.е. v^ = -Vy , то из сказанного выше следует, что
в этих случаях оператор cl^*11* заноны сохранения уравнения
^ отображает в его симметрии. Тем самым, мы обнаруживаем
весьма общий механизм типа обратной теоремы Нётер,
справедливый для более широкого нласса уравнений, нежели уравнения
Эйлера-Лагранжа. Более того, для случая уравнений Эйлера-Лагранжа
это приводит н обобщению обратной теоремы Нётер на высшие
симметрии.
Высшие симметрии естественным образом действуют в группе
занонов сохранения. Это позволяет размножать заноны сохранения,
что является весьма полезным инструментом при их прантичесном
вычислении. Механизм этого действия таняе подробно описан в §
20.
Вторая половина § 20 посвящена лагранжеву формализму со
связями. Пусть У - уравнение связей в вариационной проблеме
с лагранжианом обе И i^^s Е^с^.) . Прежде всего мы
показываем, что <L* lj£) -0 есть уравнение Эйлера-Лагранжа
этой задачи и интерпретируем этот результат нак общую
глобальную версию теоремы о множителях Лагранжа. В последние 10-15
лет появился ряд работ, посвященных проблеме инвариантной тран-
товни лагранжева формализма со связями (например, см. с 4-1 )»
что было вызвано неноторыми принципиальными вопросами лагранже-
вой теории поля. Приведенный выше результат в определенном
смысле полностью решает эту задачу.
Далее, мы рассматриваем обратную задачу вариационного
исчисления при наличии связей и замечаем, что если £<£ I с/<х>)«0 ,
то оператор DfeE'^CeL) является оператором Эйлера-Лагранжа
1 эо

27
вариационной проблемы со связями У тогда и тольно тогда,
когда cLflQI-O . Если, сверх того, уравнение в/ однородно
по производным, то из гомотопичесной технини § 18 следует, что
Е У* t Усо) - 0 • Таким образом, в этом случае мы получаем
А/
полное решение этой проблемы в целом. Каких-либо общих
результатов в обратной задаче вариационного исчисления при наличии
связей до сих пор, наснолько нам известно, получено не было.
Наконец, мы рассматриваем вопрос о нахождении обобщенной
"формулы Шварца" для лагранжиана «Cs J<*> в задаче без связей,
т.е. такой формы 0е ЛаН1%о) » где ^ - отвечающее с£
уравнение Эйлера-Лагранка, что для веяной энстремали у ,
определенной на области ^ ,
£№*» яХ*с*1м/в
Начилие таной формулы П. Деденер считает аналогом понятия
полной интегрируемости соответствующей вариационной проблемы для
уравнений в частных производных. В цинле работ £48J - (50] он
аннонсировал ряд интересных результатов, посвященных этой теме,
используя развитый им "гамильтонов формализм" для задач с
частными производными. Интерпретировав вопрос о "формуле Шварца" в
терминах (В - спентральной последовательности,мы легно
получаем, например, что эта формула существует для однородных по
производным уравнений с) и уназываем явное выражение для нее.
Описанные выше результаты, насающиеся теории законов
сохранения и лагранжева формализма, по существу являются
следствиями теории @ - спентральной последовательности,
относящимися н ее членам Ej , где р-0^ , а, «и, И , п .
Отметим, что и другие члены имеют важное значение. Например,
изучение члена Е*' тесно связано с гамильтоновым формализмом
в теории поля (см. £10] ), члены EJ , р>0 , являются то-

28
пологичесними препятствиями Ботта. С? - спектральная
последовательность для уравнений интегрируемости 6" - структур
приводит н теории характеристических классов (первичных и вторичных)
и характеристических классов деформаций* "Левоинвариантный"
вариант G - спентральной последовательности немедленно приводит
к теории когомологий Гельфанда-фунса и т.п. В связи с этимиза-
мечанияыи см. Гб8] • Глобальные аспенты лагранжева формализма
в теории поля могут иметь, нан выяснилось недавно после работ
СП. Новикова о многозначных фуннционалах Гзз!» важное
значение для ряда вопросов математичеовой физини.
Таким образом, развитый в последней главе аппарат может
быть применен к гораздо более широному нругу проблем
алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и теории
дифференциальных уравнений. Кан выяснилось в последнее время этот
аппарат непосредственно обобщается и на интегро-дифференциальные
уравнения. Подчерняем танже, что полученные в диссертации
результаты дают общее решение проблемы 13 из известного списка
Л.В. Овсянникова [34/ , а танже в известной мере продвигают
проблему 12 из этого списна.
Завершая это введение, подчерняем, что ограничения на
объем не позволили нам носнуться "прикладных" аспектов, так
что эта работа в том, что насается дифференциальных уравнений
носит общетеоретический характер. В связи с этим подчеркнем,
что имеющиеся к настоящему времени вычисления позволяют
надеяться на то, что методы этой работы позволят существенно
расширить имеющиеся возможности нахождения точных решений
конкретных дифференциальных уравнений, качественного анализа поведения
решений в терминах сохраняющихся величин, исследования
поведения разрывов и некоторых других вопросах практического
характера.

29
Результаты этой диссертации опубликованы в [5]-[i9] и
[7.2]- L74] • Сообщения о них были сделаны на заседаниях
Московского математического общества в 1976-1980 гг. и Ленинградского
математического общества в 1982 г., на Всесоюзной
топологической конференции в Минове (1977 г.), на Всесоюзной школе по
геометрическим методам в математической физике $1979 г.), на
Международных топологических конференциях в Москве (1979 г.) и
Ленинграде (1982 г.), на Всесоюзной конференции в целом в
Новосибирске (1982 г.), на Международном симпозиуме по теоретико-
групповым методам в физике в Звенигороде (1982 г»), на ХШ-ХУ1
Воронежских математических школах (I98I-I984 г.), на
Международной конференции по глобальной дифференциальной геометрии в
Чехословакии (1983 г.). Эти результаты также докладывались на
ведущих математических семинарах в МГУ, МИАНе, ЛОМИ и Институте
математики СО АН СССР, в частности, на семинарах академика
B.C. Владимирова, чл.-норр. Н.В. Ефимова и чл»-корр. Л.В.
Овсянникова» Результаты диссертации вошли в состав монографии,
написанной автором совместно с И.С. Красильщиком и В.В. Лычагиным
и принятой к опубликованию в издательстве "Наука".
В заключение автор выражает свою признательность академику
B.C. Владимирову за внимание и поддержку исследований,
составивших настоящую диссертацию.

30
ГЛАВА I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Б КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ
И ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
§ I. Обозначения и сведения из дифференциального
исчисления в коммутативных алгебрах
В этом параграфе приводятся основные необходимые для
дальнейшего сведения из теории дифференциальных операторов над
коммутативными алгебрами. Основные идеи этой теории изложены
автором в [5] , [12] . Доказательства приводимых ниже фактов см. в
[18] •
1.1. Пусть М - гладкое (^ С ^/многообразие, /F**/R или
€ щ Г - алгебра гладких /^-значных функций на М
обозначается CF (М) или просто С (М). С (М)- модуль гладких
дифференциальных форм степени 1 на м обозначается
К(М) = ЕХ(М) ; D(M)-%№- £7**)- мо»ль глад~
них векторных полей на М , которые мы отождествляем с
дифференцированиями алгебры С/р (М). Б дальнейшем без особых огоео-
рок используются стандартные обозначения исчисления
дифференциальных форм и векторных полей на многообразиях (см., например,
t2sl * [37] ). Исключение составляет производная Ли, Именно,
производная Ли некоторого объекта со вдоль поля боз-
начается Xfa). На протяжении всей работы всевозможные
конструкции и операции, связанные с гладкими многообразиями предпо-
лагаются гладкими, т.е. класса С
1.2. Пусть А - коммутативное кольцо с единицей и И -
унитарная коммутативная А- алгебра. Пара (&jA) , Я-^А,
Ь^НотФО,), где Я и Q суть А - модули, порождает
элемент <£ (А)€.Нот (Р} й)\
^(А)(р) « А-(*р)- *&(Р), />ъР.

. 31
rr /z>/?j—
к
Оператор J^: Нот (Pf Q.) —■ Нот>к (Р,й), А*-~ с£ (д), яьляет-
ся К - гомоморфизмом и ^£°Л **°4°°л, • Положим Оа а ... а~
Определение. Де Нотп(Р90] называется А. -
дифференциальным оператором (д.о.) порядна £-3 над A i если для любых
Пусть K=F,A = C£(M), Р-Г($ив=Г(?), где ^ , ? -
гладние расслоения над М и /7^ означает совокупность всех
гладких сечений расслоения d . Эта ситуация в дальнейшем
называется классической.
Предложение. Б классической ситуации "обычное" понятие
дифференциального оператора совпадает с введенным выше.
1.3. Совокупность всех д.о. порядна *-d из Р в U можно
снабдить левой (соотв. правой) структурой А ~ модуля, полагая
аД = а°Д, т.е. (ад)(р)=аф)(ооотв. Да=Д°а, *.ъ.(До)(ру
= Д((Щ). Возникающий таким образом модуль обозначается
дЩ(Р,а) (M№.Difl£(P,&)), D*&t}(PA) обозначает
соответствующий бимодуль. Очевидно,$г#у (PQ.)^Dt^ (P&),*?*f.
п5=Ть VitfM№)-& d'ff/te V ■
ЕслиР, U vl R - некоторые А - модули и ^^Нопьк(^0)^
\^Нотк$,Ц^ &(tyAj)*&fo)°Affy4ifa[)' отн^а сле'
дует, ™Ь£Д?1Щ^(Р,К)* *™^$Щ(рЛ> ***%£/&&
Операция композиции д.о. превращает D^'ff(P>P)'£> ассоциативную
А - алгебру и позволяет рассматривать i/z^^ <2) как левый
Dtff(Q>,Gty~ модуль и правый Dif/(PP)~ модуль.
пусть Ш?&-1)ФУ(АА), Di¥*&=DiftM(A ,01
jf-jf№2tftHl, где £%)-Ц±) , а «шже Д<*> ш
fj,)\
Л л-*/^ Оператор Д. является гомоморфизмом .А- модулей, тог-
да как Д4 является д.о. порядна -^-о также нан и операторы

32
i+:2)ifa(-Pa)~I)itfJ-(P,Q.), **Фф1(РА)~ЯЩф***г-
денные тождественным отображением несущих множеств.
Всякому A^Dt/^(^d) отвечает гомоморфизм АА €
НотА (P,Di#l Щ, hJ?>)H =A (afi).
Предложение. Соответствия А*-*- /г^ и /г «-*• Д* к являются
взаимно обратными изоморфизмам А - модулей Di-fif (Р, GL) и
Нот* (РDt'& Q-) •> где "точна" означает, что совокупность
всех А - гомоморфизмов из Р в Di-f-f. Q> снабжается
структурой А - модуля при помощи левой А - модульной структуре в
—»Dtff. t& . "Переходя к пределу" при -в-*- °° получим
гомоморфизм А - модулей являющийся,
кроме того, .гомоморфизмом Dtf-fA - модулей. Если А-Д. гомо-
морфизм Ад '-Dtffj (&*$t P/*&*£6i / Р назовем склеивающим
оператором и обозначим С^ .
Отметим, что Diff^P^Homfaa) и 0*У£Р- Р .
Ввиду последнего представление определяет
разложение А- модуля Dtf-f.P в прямую сумму: D^Y/^P —
=2%/>© Р , где 1ЩР={А*1>ЦР | А /^}.
Аналогично, bi#P~lfyfP®P.
1.4. Модуль D(P)=Diff^P состоит из всех К-
дифференцирований К - алгебры Л в А- модуль Р , так что в
классической ситуации D(C°°(M))= D(M). Функцию (a±i ... 9 О-^)*-»
*~*(Р(^,-,^р)^ Р назовем косым мультидифференцированием,
если она кососимметрична и является К- дифференцированием по
каждому аргументу. Совокупность всех таких мультидифференциро-
ваний является Л- модулем, обозначаемым D* (Р) . Очевидно,
DJP) = D(P) . Положим также 2>С(Р)-Р .

33
Фуннториально значащее определение модулей D. (Р) состоит
в следующем. ^wb(Di#*f(P)=J)i$*((Ditftf~(P)) и для любого
подмножества^ А- модуля & D(^a)^^D(A)\tmVc^
Тогда модули D-fP) определены индуктивно равенством
4 (Р) - D(j>t..± (Р)=(z><#;) £~лср)) ■
При этом вложение D- (P) ^CD+ffj) (Р) ч не являющееся
гомоморфизмом А " модулей, есть композиция следующих естественных
вложений:
*
В дальнейшем символ QiD'fflj.A) означает ту же совокупность
мультидифференцирований, что и /л(D*ff*u), снабженную, одна-
но, структурой А - модуля при помощи левой модульной
структуры в Dtfifj. Q. , т.е. если A^-D-(Diff* &) , то для
сие А (а^Са^.-.а^^а-А^,...,^).
1.5. Пусть Л1А - категория всех .Л - модулей и %£& — Dt-,
JJtff.^'Cff Dtff j и т.п. или композиция этих символов,
например, Dt'(Drffo) • Тогда соответствие P*—*§b(PJ является
функтором на категории ь^ч. со значениями в ней самой или в
категории JIL А- полимодулей (например,D*ff Р^-Оь М^ ).
Если Ф - такой А- модуль, что функторР^-^Иот^ф^ Р)
изоморфен функтору р-~ #ср) , то ^Р называется
представляющим объектом для
Функторы чрв описанного вида суть примеры функторов
дифференциального исчисления. Все они обладают представляющими
объектами. Отвечающий функтору Gfr^D- (соотв., J^ ^Z)^^ )
представляющий объект назовем модулем I - мерных дифференциальных форм
(соотв., -rf- джетов) над А и обозначим А =Л {AJ (соотв. У =
ujf Щ)> Представляющий объект для функтора Q^^-^Dt'/^j fP,6L)

34-
обозначим i (Р) и назовем модулем -6 - джетов модуля Р .
Оператор порядна <ь-д J.-ij(P;^' Р~*Jf (Р) » отвечающий
в силу изоморфизма 1Щ (Р,^(Р))*У°тА(^(Р),$*(Р))
тождественному гомоморфизму tot i назовем оператором взятия
•6 - джета. Если при естественном изоморфизме Dtf^CPfQ.) ~
=НотА%(Р\(тъ%щъъ№ □ соответствует гомоморфизм^: ¥ (Р)*&
(далее он обозначается (ри ), то n — Cf°J .
Подчеркнем, что, как и обычно, Л =ЛА---ЛЛ (*раз).
1.6. Естественные преобразования фуннторов
дифференциального исчисления по двойственности определяют операторы между
соответствующими представляющими объектами. Бот три нужных для
дальнейшего примера.
1. Естественному вложению -Diffl, 0~*-^%: отвечают
гомоморфизм %> '-% (РУ*У' (Р) ограничения порядна д - джета.
2. Представляющий объект для функтора D> D: есть А ®Л .
Тогда естественное вложение D- • <=—>D>D- порождает гомоморфизм
Л®Л'~~Л , определяющий операцию внешнего умножения
дифференциальных форм над Л .
3. Представляющий объект для функтора IX (1){//*)есч!ъ
% (Л)» Естественное вложение функторов Dg <=—*> ZK^ 0*ff^)
индуктивно строящееся исходя из данного выше индуктивного
определения 7). , начиная с вложения J)c—*-Dt:f^£ , приводит к
гомоморфизму %1(Л J""* А . Оператор С1:А -*-Л? являющийся
композицией Л —*^*-%£(Л )*Лесть д.о. порядка < / й
называется оператором внешнего дифференцирования. Последователь-
ность и—*-АвА —*■ А —*\Л—"••• является комплексом и
называется комплексом де Рама алгебры А •
1.7. Пусть \/С некоторая подкатегория категории *ЛСА обла-

35
дающая тем свойством, что вместе со всяким своим объектом/3 она
содержит объекты вида &(PJ, где J6 - один из упоминавшихся
выше функторов дифференциального исчисления, так же как и
гомоморфизмы ^1(Р)~^Щ(Р) » отвечающие преобразованиям^*^
этих функторов, В этой ситуации можно поставить вопрос о
существовании представляющих объектов для функторов дифференциального
исчисления, рассматриваемых только наа/^ • Если таковые
существуют, то их мы обозначаем так же, как и в п. 1,4, но с
добавлением индекса *К . Например, *% или Я^. .'Л^.—' Л^. .
Важнейшим примером подобной категории является категория
геометрических модулей . Модуль мы называем
г* А А
геометрическим, если $= (\-pO-zsO> p= SpecA • Определен
функтор геометризации
Предложение. Функторы ifi дифференциального исчисления
представимы в <AL%/A при этом операция геометризации переводит
представляющие объекты в Л*-, в соответствующие представляющие
объекты над ^^/А •
Рассмотрим классический случай (см. п. 1.2). Пусть
Тогда -H^lC(M) и £(P)=P(ty> где %J*fy-*M- Рао"
слоение к- джетов, соответствующее расслоению j» над /У.
Аналогичные утверждения могут быть сделаны и по поводу других
стандартных конструкций, связанных с дифференциальным исчислением
на многообразиях.
Категорию СгС назовем гладкой, если модуль Л.^. имеет
конечный тип и проективен. Категория ^^A в классической
ситуации является гладкой.
1.8. Рассмотрим фактормодули
и положим мы пишем

36
. Sm&C, & и 4тМ& вместо 4тб€.(А,&)ъ -trnStfJ^) соответ-
ственно. Для оператора Л^Dtf^, (Р, GL) соответствующий ему
элемент в -^т&^^обозначается -irnSt л .
Операция композиции д.о. порождает в -3mb£(I^P)структуру
ассоциативной алгебры. Эта алгебра коммутативна, если Р—А #
По этой же причине ^nSCf^Ci)является левым '#rno€(Uiu) _
модулем и правым 'ftnv£(PiP)- модулем. Б частности, -#tnv€P
есть '$т&£А - модуль.
Гомоморфизмы К. (см. п. 1.3) при переходе к факторам
порождают гомоморфизмы *$*n&t'F^-^-frn&t* М^^й\ прямую сумму
которых обозначим >#т£Сд :jtn6tP-*>f#i6£,6l. При этом -$m6£(v<>ty-
= 4т61ч *4т&1&.
Обозначим Д- модуль всех симметрических мультидифферен-
цирований от к аргументов со значениями в модуле Р через
D5t£m(P) • Всякий £&01$[(Р,&) определяет мультидифферен-
цироГание ^/4)е4^г(HomJPA>)> *V4V^, ->**)-
= 0а^ л (Л) . Если Ь^ЭЩ^Р^) , ы4тА(А)-0 и
соответствие Л*-+"$т (&} порождает гомоморфизм А- модулей
^ :**ММ(Р, О.) — D*vm (ffomA (Р, й)к
Пусть мультидифференцирование [^.,..., ^k\^^jt/m. ( ' »
V-^DfA)определено правилом
(сумма берется по всем перестановкам 6" множества чисел/... ^).
Тогда определен гомоморфизм
Гк ■■ S k(D)®ИотА(Р, &)-*D^m (ИотА ср, а)),
где $ C/)J л-ая симметрическая степень А - модуля D=D(4)
Предложение. Если категория -гладкая, А^-ОбХ и
Р - проективный А - модуль конечного типа, то /t^ и <£*
изоморфизмы.

4
37
Ввиду этого в классичесной ситуации модули ■&mv'6(Р, &) »
Djy^(^0тА (Р,&)и S (D)®Ho/nA{PQ,)можно отождествишь.
-гут
При сделанных предположениях можно отождествить к&г\>. ,
и S (A.J®P , где S (&) - ><-ая симметрическая степень
А - модуля (X .
1.9. Всякому Д - модулю ^ и /е/1/ можно сопоставить
комплекс, обозначаемый т Р и называемый а -ым f£* -
комплексом Спенсера ^4 - модуля Р :
Операторы L, ~ Ъ.^. определяются по правилу
Очевидно, ZJ есть оператор порядка •£/ . Мы допускаем случай
1.10. В дальнейшем теория дифференциальных операторов на
гладких многообразиях понимается как дифференциальное исчисление
в описанном выше смысле над А~ С frf/в категории Л— Jli у .
§ 2. Сопряженные операторы
В этом параграфе теория сопряженного оператора на гладких
многообразиях строится таким образом, чтобы ее можно было
перенести на те ситуации, в которых обычный координатный подход
неоправдан. Внутри него мы фиксируем многообразие «=#• и
для кратности пишем Л*= Л* (М), А^С^ fiy»
2.1. Действие операторов на А • Определим действие
оператора &G.])tf/A на форму сОе Л}обозначаемое Л (с*>]е Л }
следующими аксиомами:
I) fa *AJИ = Д, И*ДЛ[*>3 t 4, Ate DWA ■

38
4)(д/лА)Н=дг[д,М].
Предложение. Действие, удовлетворяющее приведенным
аксиомам, существует и единственно.
4 Всякий оператор h&DtffA можно представить в виде
суммы "скаляра" -f- A(l) и выражений вида
Но (X/..*Xj)[co] = (-l)1Xj(..(XjM)-..) ввиду аксиом 3) и 4).
Таким образом, А&)=fa +£(-*)* Х^ (■ (X/00))...) , что
доказывает единственность.
Для доказательства существования убедимся сначала, что
D (Щсл]-(х.'0[*>Ы(/№* г) (Х?У)Н-(Г'Х)Н*№фь
Для проверки первого утверждения заметим сначала, что %(<*>)=■
Z->dco +d(Z^ «>)-ct(Z-b со), т.к. ctco=0, и ^-yjf^cj;-
= Y(<f)*>-dfi\(¥M)* т.е. Y(f)*> =<*/*№«>). Поэтому(93T/ft»;-
- ^УХ-J *>)в/^Д-1 t*)+cfyAfaco)mff(co)iX(tfd4 так что/^Г;М=
-/Xfc»)-Xtf)co . С другой стороны, (Z"/JH-Jfr/JH-/rXM]-
~X(f)ffls~£X(ti>)-X(f)c£ . Второе утверждение непосредственно
следует из хорошо известного свойства производной Ли:XfYf00))^
Представим оператор Л в виде zS^yLX£°...°X\^\ , где
J^e 2)^ и положим ЬЩ-fn+ZH)*0^
Чтобы эта формула определила нужное нам действие необходимо
доказать ее корректность. Иначе говоря, нужно показать, что
выписанное выражение равно нулю, если /\=0 ♦ Рассмотрим "моном" А =
SX£*...°X.. Из I) и 2) следует, что данное выше определение
д[&)] корректно относительно следующих элементарных операций:
а) считая, ччоХг>+1=/У заменяем фрагмент монома на
<fX,°Y-Xtff)Y , в) заменяем ХГХ-^ на^^-Д*].
Но, как нетрудно видеть, выражение /^ЕХ^-^Х.,^ -О можно
привести при помощи этих элементарных преобразований к нулю.*

39
2.2. Сопряженный оператор. Предположим сначала, что А е
^■Diffl^ 'и М ориентируемо. Пусть со€./[ - форма объема (т.е.
°Ъ^О , И»е/У ), Оператор A^DiffA определим, полагая
Определение. Оператор А :А~*Л назовем сопряженным к
AeDtffA1, если A*ffJ = Aa}[fco].
Пусть сд -Qti>- другая форма объема. Тогда А^ ^QA^/ и
A^[/o)]=^<>A^/J[/^J-A^/^J=^,^]h, значит, данное
выше определение корректно.
Если многообразие М неориентируемо, используя сказанное,
л*
можно построить сопряженный оператор А на всякой
ориентируемой области С/сМ ♦ При этом, ввиду единственности действия
А^> A*v\vnv~A*wv~ ^v\unv ' тан ча?0 сиса?ема опеРато"
ров Д*_ определяет единый оператор <ZT на /v .
Предложение. I) если А& D^^f^-A » то A G-Jjif^/^ ;
2) о>*-а>, со*Ап=ЗЩЛп\
3) если X^DfA"-) , то^ХЧ^И^Л";
4) ^^^ Д*={-1)**гг6£ Л3Ае. £ЩЛ\
5)(А*)*=А .
Таким образом, 0= [<L л fA)]*e (~tffa ~ (А) .
2) Очевидно.
3) Пустое 2)|0\") . Тогда X^DM* Х*(/)-%ЛЬ).
=i№A^- 0To^a x'--x-JLH и.л*2*—^;.
4) Пусть сначала Л танов, что Д^Хв...*^,Хе2)^% /£^tf •
. Тогда £(*)Ч-*)%(...(1г(№)'-НЩ'"1№-**!&

40
где Дс2>«/£,ЛЛ. Далее, Х^Х^Х^Х;..^**' ,
&"eDi$. А » так что -^nU^^Sm^A^O , если ^<tf и
если /<W . Общий случай вытекает из сказанного^ ввиду разложе-
5) Пояаяем сначала, что (Ь'Х)*Ш-Х'& и(2С°0)*=-0*°Х ,
где b,V*Difftf,X*D(M),X*Di$l(tf,A'1), причемJ^j=i$
J>^fC* Заметим, во-первых, что (А°Х)с0=Л °Х .Поэтому
(!• п)W -2 GWKH=№ о«> 7 п«) <W' - 'где ^ "-^ •
Поэтому (Х° а)и)=[К+9]'Ои) и, значит, (X'tif(f)=
Пусть теперь Д = Ов-Х, Д, О е/Ь//Л* Jfei) (^Vj . Тогда
из доказанных соотношений следует, что Л =Q**"°X • Так как
Vb,G.J)i-ff Л можно представить в виде А^/^П^Х; ■+А(1)>
0.^7)Ш. А,Х-€ D(М) , последнее равенство позволяет уста-
новить нужны!! нам факт индукцией по deaA . ►
Замечание. Если -Л<= D(A?) , то форму oUv-X^X+X =»
-~Х ^*^€Л естественно назвать дивергенцией "поля" X .
2,5. Пусть О^ИопгЖ/С) , где $ - -^ - модуль.
Построим теперь сопряженный оператор в общем случае, а, именно, когда
Ae.D*ffl fP,Q,)i гдеР и & суть Л - модули. Для этого
рассмотрим семейство операторов A(p,fy)G. 7)iffA ,/b€P, <p^&,
полонив &(рЛ)('£)=&($Ь)(с},))£€. А . Очевидно, что оператор
Д определяется семейством Affia) . Также очевидна следующая
Лемма. Для семейства операторов А[р,^Je Dtf£,jf , fieP,
#/€#, тогда и только тогда найдется такой оператор
йеЩр>&), что ti&$*L(p,f,) , яогда &foE/,-%]-

41
Ввиду этой леммы семейство операторов А fy,ft)=A(p,Q,)
однозначно определяет оператор A f^jPJ , который будет
называться сопряженным к А .
Предложение. I) Для всякого A^Dt-ff (Р^^^А -А.
2) Если А- модуль GL проективен и конечно порожден, то
для любых A^D^(PA) i\^#(&A)(*io^*=K0bt
(здесь d отождествлено с № ),
L(p9(})*d*ffJi\ то в силу предложения 2.2, 5),Afcff*-Afa%).
2) Ниже всегда отождествляются/5 vlP для проективного Р
конечного типа. Рассмотрим сначала частный случай А-^А-^ Л* .
Представляя А± в виде A^t^i^ZTi^^X^y Xj^-Df^) ,
и используя равенство (^U0Xj --Jf°D*", доказанное выше,
получаем (А^А^А/А*, где ^:ЛЛ-»»ЛА, 2^^==^[cj] .
Непосредственно из определения также следует, что П=П* ^^Di/fA*
так что в рассматриваемом случае (A^Ajf's А^°А^ •
Если /бе .Р , то гомоморфизм А~*Р , ^-*^6 , будем также
обозначать ^6. В этих обозначениях Afpyfyz=fy**A0fim (*р-**Ав/Ьр.
=/6*Л°#. • Из последнего равенства видно, что требуемая Формула
верна, если А или А9 - гомоморфизм. Отсюда следует, что если
Q, = ®(A.dt:Q,->Q,. (jb.\ Q,.-* GL\ - соответствующая
проекция (в ложе ние) и (A°J>.« о£ ° АУ*= /&£• ° А Л • (&££)* то (А° AaJL
= А*° А? • Это позволяет установить справедливость формулы в
ситуации A—^Q,—^- АЛ сначала, когда Д свободен, а
затем, - когда проективен. Наконец, общий случай сводится к этому,
так как (&1°А£)*(г)р)= (г*° А^ А/р)*= (Ах°р)*° {?**ая)*=
= p**A?*A£ot. ►
2Л. Координаты. Пусть A^Di&A и А'-А—*ЛПтаков, что
Д^>^М. Тогда ^^;^4^) откуда видно, чтоА^Щ(АплАл).
В частности, оператор А локален и, значит, (А\ Yti>\ )=Afa>)\
coo?

42
где (7е М - открытое подмногообразие. Иначе говоря, (^L)f^|v]B
= ДМ\ » ?»е. действие операторов А& Dtf/A на л - формы
локально. Ввиду этого также (2iJГ)***А ( • Это позволяет
вычислять в локальных координатах выражения ^f°]|r7^ ^\г/ ваК
(А\г)[с<)1 ]^^| )* i соответственно, если U - координатная
окрестность.
Пусть Х1у. Яц - координаты в U , сь>=йЦл .~*Ыял ,
д /dXJBd/fx.-...-?a. , где S^/^,-,^)- неупорядоченный
набор целых чисел /^*'. ^п , |^) = /^ • Так как Т~№и^яас**
*"\r, /.0^3
/^(Г| ' * fef- #£
Л. „ л ^ Т\ -а* л1
то f# ——)И-^у) ~э ^ • Поэтому для A^-Dif/A тано-
го, что A^L^ — имеем (А)^1(-£) — • ^ .
б" б"
Пусть ctj^Er+M- векторные расслоения, t=£fjL , J?=-r/ty,
GL=P(ctjA'm Предположим, что координатная окрестность С/^М
такова, что расслоения Ы • обладают над С/ базисом из гладких
сечений, скажем, б ...^ 6^ *t*->"%>t4 * соответственно. Пусть
4-с4> ?fс ^ таяга' Ч1° *<■ (•$)•§*>' -&Ш =f<y * •
Тогда для />€^Р имеем /6 =Z;6. ei и Л/^>/ = £ А\.(рл^- =
=5^'V^ •где \шлк>& '\--ty)» •
Тогда согласно определению A*f$J= ^(К°А/,)(%) =
~L (Atjjnfy )jb, где ^ —<£#£?£ • Иначе говоря, если оператор
Л задается операторной матрицей ^ICAl/LI » действующей на
столбцы^,..., р%\ , то оператор А* задается матрицей И ^11,
где с^(А^к)2, ; ' действующей на столбцы f^±,^,f^
2.5. Преобразования. Заключая этот параграф опишем
трансформационные свойства описанных выше операций в двух вариантах -
Конечном и инфинитезимальном. Под последним понимается следующее.

43
Пусть в классической ситуации /^ - однопараметрическое
семейство преобразований. Тогда инфинитезимальным преобразованием
некоего объекта % естественно назвать Х/%)*-т;к^ФА^о
Б общей алгебраической ситуации под инфинитезимальным
преобразованием объекта % будет пониматься операция, которая формально
имеет указанный выше тип. Например, пусть F- А?* А,- изоморфизм
двух коммутативных А- алгебр, F (или просто/^) - соответ-
к
ствующее отображение дифференциальных форм и A^Di-fifA. (АЛ*
Тогда положим F(a) = Fj{&cF'<z.T)itfA (АЛ . Если At-AJL-A и
Хс 2) (А) , то выражение Х(А) следует определить,
"дифференцируя" формулу (Р{)д Д° F". и считая, что-ТГ^-т^ \. q . Таким
образом, мы придем н определению X(l) — X* А ~А*Х , или,
упрощая запись, X (Д) = [л, &] . Здесь ХА(°*) обозначает
производную Ли формы сд . С тем, чтобы подчеркнуть, если надо,
природу отображаемых объектов, при отображениях, индуцированных
изоморфизмом F~ мы будем снабжать букву F соответствующим ин-
дексом. Например, F^.jjд* : Di$A (Al) -+ Dtff A (А^) -
обозначение рассмотренного выше отображения. Аналогичная система
записи будет использоваться и в инфинитезимальном варианте.
Например, Xп.^.к(Д)-]Х,д\ . Подчеркнем, наконец, что в
классической ситуации роль алгебр А- играют алгебры С (М) , a F=f*
где -<£: Mt-+Mi - гладкое отображение.
Преобразование действия [*] , заданного над Ах , в
действие над А-, обозначаемое [•] , определяется формулой
Д1"3р = ^л (Г "(&)I F 1 fi>M
а его инфините зима льный аналог, обозначаемый ['] Д6 &(А)
формулой
Д Мх =ХА (л И)- а, л] Н - д [ Хл м].
Ввиду предложения 2.1, утверждающего единственность действия,
имеем:

44
(2.5.1) Д[<4 = FJF"(А){Р^ (а>1\) .
Инфинитезимальный аналог этой формулы имеет вид
(2.5.2) Д[*о]х = 0 , штХ(Д[ь>])=[Х,А][с<>] + Д[ХСсо)] .
Для доказательства достаточно раскрыть коммутатор РЦ-Д] и
воспользоваться аксиомами действия.
Покажем теперь, что
(2.5.3) -^«-^-•» , ™ Г(Ь)*-Р(1?),Ь*2Ь#ЛЛ.
Убедимся сначала, что ffa) - Ffu^) щ Действительно,
(Fft)n*t(л)) F(»)-F(b)(a)lFfa fF-Ya)))=F(AjF-fa))«>) =
= (F'hjF'y^v.fm^, F(Affa) = (F(b)F(u) [a.Ff>)J =
= F(&A\F(F~(a.)-t$\. Ввиду (2.5.1) для F'1 последнее
выражение равно F(Act[F~tr*-)atyF{A'(F-1(a.)))-F(£)(a.).
Инфинитезимальный аналог (2.5.3) имеет вид
(2.5.4) "Xj^hiffA**' ""ФА*- а'А^
и очевидным образом верен.
Скажем, что /Г- линейное отображение ^ •' ^-> P^jV&eP
есть А-- модуль, накрывает ^-'А^—* А^ , если /р^/0)-
= fr(a-)Fp{p)> Я€А,/ьеР. Аналогично, X^-Di^ (PtP)
накрывает JfeZ)/C4j , если Xp(Qjb)=X(a*)p +a,Xp{f>J . Положим
D*iPnl(Xp9X)\X*DCA),X*J)f№l накрывает X).
Очевидным образом $егР превращается в А - модуль, а формула
^лР^р)~ХСл) показывает, что х однозначно определяется
Хр и DerPa D*$£(PtP) . ЕслиР-/?Ч^в обозначениях
предыдущего пункта, то
где 1Г - единичная, а В-\\^--\ - (Ъх%) - матрицы, St- =•
Если заданы биекции /р 'Рх ~*Q , /^ • ^-* й^ t накрывающие

45
F , то можно определить/^ : J)t '//(!>, Q*)-'&*ft(PzAg) >
полагая ^ *,(£§-F^ 6* F"1 . Аналогично, если Хре£еъР ,
Zae D*i4;% положим Хщ/й) -X/ A-AoXp=%&Diff(P,<l).
В этой ситуации также справедливы формулы
Для доказательства первой из них (вторая опять-таки очевидна)
заметим, 4^Ffu)(Fpf?1>fA)=Ffa(p£J F$\lfr*Px,f^ &л -
Поэтому Wtffc^-W
а это выражение ввиду (2.5.3) равно \F(&(Fp fijL>F:£ £я))1 "
<F(*)MXmF®*(h'b)* %*&* • ^eii- Таким
образом, Ffb*) = F{b)* .
§ 3. Комплексы Спенсера и формула Грина
Цель этого параграфа - установить взаимосвязь оператора #
с Di-f4 - комплексами Спенсера. Классическая формула Грина
оказывается одним из аспектов этой связи.
3.1. J)i*№ - комплексы Спенсера. Напомним схему
построения Dt-f-f - комплекса Спенсера (подробнее см. [5] , а также
[13] , [К] ). Рассмотрим композицию:
где ос порождено преобразованием функторов^- ~*Q.£ (^е//х) »
см. п. 1.5, a fi - склеивающим гомоморфизмом % jDtffx (£*//£Р)*1
~*Е>Щ1ХР . Операторы А* *. ^ ~^** : 4 (&/£**)-*
-*D. (Dt'fffP)i называемые Z)tj^ - операторами Спенсера,
порождают Dtff - комплекс Спенсера, обозначаемый Р^Р :

46
или при л» °° - его "стабильный" вариант $Р :
0~P^z>^p&£p;tf'Pj£...&.£.(&tf'p)&...,
т.е. прямой предел цепочки комплексов -^SР<^ р^^Рс ...
Подчеркнем, что операторы $г* : суть А - гомоморфизмы.
Ниже нам понадобится более прямое описание операторов
Спенсера, основанное на интерпретации элементов из Dt-fP) как муль-
шидифференцирований. Мульшидифференцирование (^, •••,?£) н~*
принадлежащее >Z). (^обозначим j^A ••• ЛХГ®,6 . ЪътР=£*у%?й%
то через A®XfA- А Х-обозначается мультидифференцирование
A^Di-ff. & . Б этих обозначениях
где X -Хл ••• АХ.Л—АХ. и мультидифференцирование Л°.Х ®X
действует по правилу: (?5,-,^. J*-*2^ (%,->K^t)Xj -
Подчеркнем, что мультидифференцирования вида A®XA,AXt-
аддитивно порождают Di(Di-ffj P) .
Нам понадобится также естественны!! изоморфизм П-Л^ :
D.fAy-*A (двойственность Пуанкаре), определяемый следующим
образом. Пусть 2=ХЛЛ'- ЛХ".®^^. (А?) , где oOsz/C -
(локальная) форма объема. Тогда ПYn) -Xt~* (• •• (Х-Лсо)~0 •
Это определение, очевидно, не зависит от выбора W и по
линейности продолжается на все Dt- ( YL ),
3.2. Рассмотрим диаграмму
О*- лл^ Di#; Ал^~ Dc#lt Л""^ --£- Jbjfc А-О

47
верхняя строчка которой представляет собой комплекс Спенсера.
А - гомоморфизмы, фигурирующие в ней определяются следующим
образом S(v)=d*VG. Diff^/F1, Ч^ПЩ'Л*, ж/и{Д)=А*(1),
Ae.Dtf/J[.n . A ft является композицией следующих изоморфиз-
мов
где средний гомоморфизм порожден перестановкой функторов
Теорема. Каждый квадрат этой диаграммы антикоммутативен
(допускается л-0^ ).
4 Антикоммутативность левого квадрата очевидна»" Пусть
l = A<8XiA---AXf€<fy(Dtf/''An). т°гда согласно п. 3.1,
%**QX_f(*)*£)(%) есть следующее мультидифференцирование
=ZHfyx%, ...4J- f-p-fuPfa-S+Jx, •&+
где' Хп''ЧХ,;Х/УХ,'-*Х.-л- -% - - 'Z. . Операция
перестановки функторов iA . IX//. —*Ik№ Д.переводит % в
дифференциальный оператор
^L(-lfX(/)®X. (A*tf)) +Z(-1){VX^J®A* tf) , так
что в итоге для П=(У* ^)Суь)^Dtff Д.
имеем:
& J ту \Т* т
где W-*jo , если W=Y£*-~A У, , означает ^(•■•("i^/^'-J
С другой стороны, fflty-X^O'-CXj-*^($)•••) 1 так

48
™а'(/)-и(х^...->($^&*(4))...) , vw a'-S(frt)) .
Поэтому нужное нам утверждение вытекает из приводимой ниже леммы
с учетом того, что с(£(4)=>0ж Х- (&({)) mctftT. _j A¥(^))>
Лемма. Если j>cA,X-eDfM) , то
d(xt -«■ ■ • -• х<-> г)=vm (-*х<ь *(Ъ -v°) *
4 Для -rf*./ утверждение тавтологично. Воспользуемся
формулой i «[££.,] , где L - производная Ли, a U(jo)=~
-X-Jjo , уеД* (см., например, [20] ):
[X,Y]-i/>-Х(У-*/>)-У-*ХОО-Х-ч*№/)+<'0г-'Y^j°) -
и а(х->у^)=г->х-> ы/> +Y->c((x^f>)-x^cfy)tyyyj>,
что есть утверждение леммы для ^в<£. Далее лемма очевидным
образом доказывается по индукции с использованием этой формулы. ►
Поскольку Jyt^ - комплексы Спенсера точны для любого
геометрического модуля (см, [1б] ), из доказанной теоремы
вытекает следующее
Следствие. Следующий комплекс S, (допускается £=<*> )
0-Л~ 'Wilt**- Z>q£x Лп~^ ...*&- 2>t//^A*-0
точен.
Применим теперь к комплексу Sk функтор .
Учитывая, что noin(P>])iffl£Gl)=])i-fjfc(Pf&) получаем комплекс &,Р'-
Мы здесь для простоты по-прежнему пишем /И и о вместо
соответственно. Если Р проективен, то
комплекс £,Р, очевидно, точен.
Наконец, применив к &,Р функтор Dt'flfpfQ',') (допускает-

49
ся-^=ос )f придем к комплексу §,,PGL :
где M^Di-ff*(&,!*), $sDi-ffj,(&,$)• Этот комплекс точен,
если -/«©» , ai5 и й проективны. Это будет доказано ниже,
3.3. В этом пункте описываются комплексы, сопряженные
комплексам де Рама и $.Р , Пусть ...-^3 ~~^^i -*"" некоторый
комплекс проективных /4 - модулей конечного типа. Тогда Р. -Р
и можно считать, что А- действует из Р% вР , Тан как
Д* °Дг- =.(At.°Aj_±\**=0 , мы приходим к комплексу...^^i^--
который будет называться сопряженным к исходному.
Ниже мы отождествляем А и Л путем соответствия
А-*т в.— А0. Нот (£*г Ап), he(f) = e*j, j>s А*.
Следующее предложение непосредственно вытекает из определений и
указанного отождествления.
Предложение. I) Если ft четно, то комплекс де Рама кососоп-
ряжен, 2) Если ft нечетно, то комплекс де Рама сопряжен
комплексу \Л,(~1) &(Л * ^ Комплекс &JL.P сопряжен
"подкрученному" jet - комплексу Спенсера: {2 (Р)<£)Л,(-2) ЕЛ.
3.4. Формула Грина. Рассмотрим "квадрат", антикоммутативный
в силу теоремы 3.2 (допускается /«©«):
0ЩЛл *-^— Г> (Dtftlt Лп)
Заметим, что гт g=В^ЩА* ={&<£йЩ/С\А(1)= 0} .
Так как модуль DiYf.A'1 проентивен, существует такой
гомоморфизм Я- Dift\An-+D(Diff*Л"), ™$°Л=1 . Равенство

50
,**£+&°*l> —0f примененное к элементу Л (и) , Q e Di-f-f, А*
дает П*+&Жл(а)*Оч где ЖЛ=¥*Л. В^ частности,
+Л(Жя(и)(1))=0 . Полагая X^A^X^V , U^fA), где
^(U)=A-A(i) 1 А*7)ЩЛп , и учитывая, что d* At^/JF)*
=J[f(An)°d » последнее равенство можно переписать в виде
(формула Грина для оператора Д ):
Подчеркнем, что так как Ж^ - гомоморфизм,
является оператором порядка *-.z • Если
где скобки <•, •> означают естественное спаривание U^GL-^A .
Поэтому формулу Грина для оператора А[р?а) можно записать в
виде (общая формула Грина):
< А(р), f>-</b} A*ff)> =^ХЯ (A fa fj) .
3.5. Рассмотрим выражение &№,$)=■ Жл(А(рЛ)^ . Оно
является бидифференциальным оператором, а точнее, всегда
С^ЩЫ(&,ЛП'*)> * а ^ &Щ-± (^А^) при приводкой
ниже условии однородности на Я , где 4* {/&)=■&№,$=£ (f). В
самом деле, оператор £ есть композиция Д, °Ж^°У°Я * где
k(fy)-<p** A*f> , причем А, »> и Хд - гомоморфизмы, а ЛГ
оператор порядка л-^ .
Назовем расщепление А:Dtff Л—'D(Di& .Aj однородным,
если A (Di-ff. ЛУ<^ЩГ)1#* Ап), *■* -> ^ . Ввиду проективности
модулей Dtff A/Diff А однородные расщепления существуют и
легко строятся индуктивно по А •
Без требования однородности Я "можно лишь утверждать, что
£• Л// (Р,А""%

где
51
Замечание. В следующих двух случаях расщепление А
определено однозначно: к-1 или ditnrf=/тан Ван при этом
оператор S jl , является изоморфизмом.
5»6» Координаты. Для того, чтобы записать формулу Грина в
координатах, необходимо ввиду 2.4 описать только операторЖл .
В обозначениях п. 2.4 одно из возможных однородных расщеплений
Л может быть описано формулой:
д\ё\ д
g\<r\ * t(<r) __
при условии, что индексы *• упорядочены по возрастанию. Иначе,
Л(&)('£)Ж1!>(&(Г2— ° я )°^ • В:вВД точности комплекса
Спенсера и проективности модуля Jf^iA для двух любых
расщеплений Л,Л :Dt'/f/A^ —**D(Dtf£ A) » найдется такой
гомоморфизм A: 6iftMJf-~ QCD*fi£xA)% чюЛ'-Л-^^'Л ,
и обратно. Поэтому любое расщепление может быть получено из
приведенного выше добавлением слагаемого р , с к , h - произ-
ВОЛЬНО.
Положив сО^ =£-sod = (-l)l~tfzg *••• Ad#t- *••• dxn 9
непосредственно из определения найдем:
л \<г\>о дъ^ гг<г>
С учетом сказанного выше , где
ъ ~~&ц-.£ </,0^°i> \D<ff ЛЛ-*Л - гомоморфизм, который
можно выбирать произвольно.
3.7. Преобразования. В обозначениях п. 2.5 положим

52
X (Жл) =ХЛ°ЖЛ-ХЛ° X , »*»
х(х^ух(хл(4-хл([х,л]),
Отметим, что / f/^J'J11 и J^f/4)**". Действительно,
-Х(д*(£)) -[Х^Л] (±) = О . Следствием сказанного
являются-равенства
/?4 [/<))=4 />; , X(D. fr*)) = * г
где Di(^)-Di(DiffjlA'i)^DiCA')'jri , поскольку^
-\7^,Х^]-0 из соображений функториальности.
В дальнейшем нам понадобится следующее
Предложение. X ()£)-& ^ , где ***1){&(Л%Л*Л*'*)
< В обозначениях п. ЗЛ Жл вД *^c^eV . Полагая
.л'-Л-V ,j7-4V. имеем: Х(Жл)-Х(р)*я!+&'Х{л^.
Тан как $-JI»D(/k)vL Х(П)=0 , то Х(Ф)-Х(Л)<>Df/*)+
+ Л°Х(&М)-0'и, значит, Х(ЖЯ) **<р*Х(А') . Покажем
теперь, что ътХ(Л )<=.t/nS9 ££• Ввиду точности комплекса
Спенсера достаточно показать, что fXi^y°X(AJ=0 . Hoig*_^-
■* "Р , а Х(£ £ )=О;Х($)-0 ввиду естественности операторов
& / ^ и ^ '. Поэтому
* i
Далее, т.к. im$^k_J[ptrnA=D(Dt#£At)<> модуль г/?г/^-

53
проентивен. Поэтому существует расщепление °^ ' tm К р.£^
^QlJ{D$f/k-*/^)> ^V^r^ • ЪшМ теоремы 3.2
cC*fi+f*jL% Поэтому, если **•«- ф^^Х^) , то
§ 4. Квадратичные лагранжианы и оператор Эйлера
Ниже рассматривается линейный лагранжев формализм,
приводящий н линейным уравнениям Эйлера - Лагранжа. Комплекс S.PU-
в<й PU (см« п» 3.2) играет здесь основную роль.
jkoo
4.1. Комплекс QkPQ, Донажем ацинличность этого
комплекса. Для этого нам понадобится следующая элементарная
Лемма. Пусть ацикличный компленс вида
состоит из проективных А - модулей, а дифференциалы 9 суть
А - гомоморфизмы. Тогда модули t/ndt- проентивны.
А Если imfy проентивен, то существует расщепление Жшд^-*
~>^\¥£ и К, .=*°L{imdj)fSimd> откуда вытекает
проективность imd . А тан нан *'гпд=К. , то лемма доказана по
индукции. ►
Рассмотрим комплекс S. JP , получающийся из комплекса S
применением функтора Но*п(]^*)\
0-Р-^Ъ^(Р,Ал)'^- £<#&(РА"'')"^ ■ ■ ■
Если модуль Р проентивен, то проентивны и все члены этого
комплекса. Кроме того, М* и *>k-^ £ - гомоморфизмы. Поэтому
имеем:
Следствие. Если Р - проентивен, то ът S^_^ ^ также
проентивен. ►
Пусть б: S,P~*S. P - цепное отображение, являющееся

54
тождественным нан отображение соответствующих множеств, и
об.: im «У . .—*"\Z)*j4£ • . (Р/С* ) - расщепление эпиморфизма
Di/A . (Р9/С~%~) *'%х г ы t/n^£-ij * существующее ввиду проен-
тивности t'mSf. . . Тан HaH<5.=*c5L , *.-• - оператор поряд-
на^/^-г' (см. п. 1.3) танже, нан и 6~? , отображение
А- =<5. *е1.*(ёЛ • о ) есть дифференциальный оператор поряд-
на < З.(к-г) % таной, что S. . .•j&.-tM . Тан им образом, если
ие!Уе#(&,1к#Аш{(Р,Л"~*)!) и £(и)-0 , то t'mUc&nJ^ .
в силу ацикличности чР и, значит Q — S(ft. ° о) , где
fii'^e.Zfyf&DtYfa^ffjC'*)). Тем самым доназана
Теорема. Комплекс 3J?& ацикличен, если модуль Р про-
ентивен. ►
4.2. Инволюция <uh . Имеется естественное отождествление
**•- «£, -zw* f^$ (р,1®~Щ P,z>w9 (р, *))■
Именно, если Ае2>#/г(Р,£>Щ(Р,й)) , то оператор v=^/2^)on-
ределяется формулой VffiJfp'j-Afp'jCjb)» Очевидно, что tit* =tcC.
Операция tth порождает инволюцию (танже обозначаемую t*>~) в ном-
пленсе vPP являющемся прямым пределом йомпленсов S.PP при
к—.оо . на элементах А из Dif£i(P,D*ffa@}A?)) она действует
описанным выше образом. Если U^Dt//'(Р,Р\ , то положим
Предложение. Операция и>~ является автоморфизмом номпленса
spp .
* Очевидно. ►
Рассмотрим номпленсы S^mP^A'ez/^-u^vi S # Р ** *&г(&г$.
Из теоремы 4.1, тогда вытекает следующее
Следствие. Комплексы ^тР и ^^Р ацикличны. >

55
Назовем полидифференциальным оператором из А - модуля/5
в А - модуль Q F- полилинейную функцию (Р1У->р^\ н""**
•—*Д^А,...,А)е^Де/5, обладающую тем свойством, что для
любого t , f41^-5 и любого набора P^y>Pjg^€^
соответствие fiy~^^(p£.)''f>t-.£}f>>pti'-,p,^) является дифференциальным
оператором, порядок которого ограничен сверху при изменении
fa -••>&-S • верхняя грань этих порядков называется порядном по
t-му аргументу. Модуль полидифференциальных операторов,
имеющих по t-му аргументу порядок <л- , отождествляется с моду-
лен 1>Щ^..,)к/Ра)~1>Щг (P,2>tf/A>fP,-DWk/P,a)-)) .
если каждому A ^DtfAt, pX-P,^) сопоставить полидифференци-
альный оператор V-'fPj, ...,р^) ь* (-- (А(Р±)(Рх))-СР*))-)
Можно рассмотреть все, или симметрические, или нососиммет-
ричесние 6 - дифференциальные $ - значные операторы порядна
-£" к , совокупности которых образуют А - модули, обозначаемые
ооотвеютвенно 2>Щ/Р,а), JX/ffflZtyi &#£?&,&
В частности, t- мерные цепи комплекса У$цт-Р (соотв., ^^Р)
можно отождествить с Dt'ff^fl^A. ) (соотв., Dt'f/^^ (Р,Л )),
г>0 , а (-1) - мерные - с модулемZtt-ff^^fP^P) (соотв.,
самосопряженных (соотв., нососопряженных) one-
раторов из Р в Р . Символы Dtf/ . , Z)-tff7% и D-ifS ,
обозначают "прямые пределы" символов DtfAr i &*ff± и
l/ifffej при л-*^. Заметим, что симметрический
полидифференциальный оператор А однозначно определяется своим значением
на диагонали, т.е. нелинейным дифференциальным оператором вида
р*-* Afp,.-,ft>) . При ■£=<€. такие операторы будут называться
квадратичными. Таким образом, цепи комплекса ^^т-Р\ кроме
(-1) - мерных, можно отождествить с квадратичными операторами

56
из Р в А 9 0^ ik п.
4.3. Линейный лагранжев формализм описывается в этом
пените.
Определение. Оператор ^е 2)*/#^у /РЛубудем называть
плотностью нвадратичесного лагранжиана порядна £*ва Р , а
класс смежности оператора L по fnod, S(Diff^j*(P,A ))ъ
DiffJz, f^-^j " квадратичным лагранжианом, отвечающим
плотности L .
Обозначив множество всех квадратичных лагранжианов на./3
через®//fPJ мы видим, что, ввиду ацикличности комплекса «-U*^0
оператор м индуцирует изоморфизм А- модуля оЛ(Р) на
подмодуль модуля Diff(P, Р ) , состоящий из всех
самосопряженных операторов. Обозначим этот изоморфизм через 6 и назовем
его оператором Эйлера.
Определение. Уравнением Эйлера-Лагранжа, отвечающим
лагранжиану аС^о/7(Р) назовем уравнение ё(^)-0 .
Если L - плотность лагранжиана Х- , то, очевидно,
eCX)-JH(L).
То что введенные выше нвадратичные плотности совпадают с
"обычными" видно, например, из их записи в координатах.
Мотивировка данного определения лагранжиана станет ясной в дальнейшем
при рассмотрении нелинейного лагранжева формализма. Наконец, то,
что введенные наши уравнения Эйлера-Лагранжа совпадают в
пределах локальной системы координат с "обычными" можно было бы
установить, записав их в координатах. Вместо этого мы покажем
непосредственно, что решения этих уравнений являются
экстремалями соответствующей вариационной задачи.
им, пусть L<*Dtfffi£(&L)* LfoytyXfrrP.
Рассмотрим вариацию формы L fP3fi) (= значение плотности на/бе/3),
соответствующую изменению аргументаубь^^/i , Sg-jF , АеР.

57
Тогда Lfp+eb,fb+&A:)=LCpj/b)+X>eL{/b>A)+^'L(A9Q.
Экстремальность^ означает, что \Lfp,h)-0 для всех А^Р , А\„ =0,
где V^M - область, в которой решается вариационная задача.
Формула Грина для оператора Д ^У^ввиду того, что ^^fA^Jfiy
=Lp(h)=L[pjk) , может быть записана в виде
Таким образом, \Цр,к) = Ц<^^Х^>^а^л (L. (А31))] .
v V
Пусть вариация /ь имеет носитель W . Тогда носитель формы
Ж (L.(k?lf) содержится в W , так как А^*Ж (L.(hj)}-
дифференциальный оператор (см. п. 3.5). Если 3VO VTm $ , то
J LfpfA)- \<L*(l)7A>'. Так как выражение <L, (±)Л/С> А-
v \
линейно по Д, на основании леммы Дюбуа-Реймона из равенства
\<b,(L))k>=0 для всех А с компактным носителем, лежа-
щим внутри V" можно заключить, что L.fej-v. Осталось заметить,
Вводя обозначение At fL) =& } приведенную выше формулу
можно переписать в виде:
L (р, А)-<&£ ft), А>=*ХЯ (Lp (A, J)).
Далее она будет называться с£? - формулой Грина. Заметим, что
л £ /t *
Ol , будучи композицией i°—*D*fA(PA!1)-*'P* операторов
порядна ^ А , есть оператор порядка ^%А.
§ 5. Законы сохранения в линейной теории
Опять-таки используя аппарат последовательностей Спенсера,
мы рассмотрим сейчас теорию линейных законов сохранения и
позднее установим ее взаимоотношения с линейной теоремой Нётер.
5.1. Пусть A^De/^^(Zh Е**1А{гс)=(?1-
соответствующее уравнение.

58
п-4
Определение ("наивное""). Оператор V e.Diff (fi>An~ )
назовем плотностью линейного закона сохранения или С - плотно-
стью, если форма V(p)s.A "замкнута веяний раз, когда реР\и
есть решение уравнения Е на открытом множестве #с/7.
Интеграл формы V(p) по некоторому (Л-1)- мерному
подмногообразию JY^M есть "сохраняющаяся величина" в том смысле,
что она не меняется при замене Ж гомологичным ему
подмногообразием. Классически в роли Jf выступают подмногообразия вида
t-COW#t ъ R *^{(я,*)} и Б этом случае Jv(р) не зависит
от времени £, , что оправдывает введенную терминологию.
Предположим теперь, что уравнение ^таково, что всякое
его формальное решение некоторого порядна л во всякой точке
Х€М продолжается до настоящего в неноторой окрестности oC^ci>
Такие уравнения будем называть FP - уравнениями и заметим, что
практически все интересные уравнения являются таковыми.
Предложение. Если Е есть Fp _ уравнение, то для
всякого оператора U^-Diffi* (F$P*)% такого, что О (ft)** 0 всякий раз,
когда A(ft)»0 , найдется такой оператор Q.G.Diff@,P')i что
o=d*a.
,£+4,
4 Пусть £,<=• £ (Р)- подмодуль, порожденный формальными
решениями уравнения ^"порядка К+6 . Он совпадает с подмодулем,
порожденным в # /^элементами вида JjL..(ft) гДе ft ~
локальное решение, ввиду того, что Е есть РР - уравнение. Если
EG&t/^j (Р,Р() я(/> :¥ (Р)->Р>/ - соответствующий
гомоморфизм, чо^егу^эЕ, . Тан нан ^=^вг(^г^ » гДе А в
-JL°^'-P^>^ (&) i то (р можно представить в виде композиции
ы + fpj-±*y f£J.*p # осталось положить пЦ*у' • *
Следствие. Если £ есть F"P - уравнение, а V - линейная
с- - плотность для него, то V=a»A , где UG.Dif#(&,An')
и обратное

59
5.2. Следствие 5.1 позволяет для FP - уравнений понятию
С - плотности придать следующий гомологический смысл. Рассмот-
рим комплекс SP (допускается ^ e°° ) ^~m"^ff^nC^^)—"""
...£+№# (Р>£')^1)Щ£А')~~0> П0ЛУчаемый из $Р
отбрасыванием фрагмента ,.г*Р~* О . Гомологии этого комплекса
ввиду ацикличности S.P тривиальны в отличных от п размерно-
стях, а п- мерные совпадают с Р . Оператор Ае Dtf^ fP, й)
порождает цепное отображение о '^.^"^^ -^ • ^MeHHOi e°-
ли П*.Щ{ы(а,А™} ™£д(а)=Ъ-Аъ£Щ^(1>,Л'"'). оче-
видно, можно считать, что комплекс фильтрован под-
комплексами vLP, k^.0 , а отображение ^~*^д повышает
фильтрацию на -3 .
Рассмотрим комплекс C&k&lo и естественную проекцию
Ор-* слкёхдд обозначим ^-^ • Тогда следствие 5.1,
очевидно, равносильно эквивалентности следующих двух утверждений:
V есть С- плотность РР - уравнения А-О и ^f'T)-
коцикл комплекса Сокег S. . Определение 5.1 неудовлетворительно
своей неконструктивностью, так как требует знания решений
уравнения А-0 . В частности, по этой причине невозможно, вообще
говоря, описать множество с— плотностей конкретного уравнения.
Поэтому мы примем в дальнейшем следующее определение,
мотивированное предыдущими рассуждениями.
Определение. Оператор ^ ^ D*W(Р?Л. ) назовем с-
плотностью уравнения Дв^, еслис^^У^)- коцикл комплекса со/гего^л
Замечание. Можно также сказать, что определение 5.1
перейдет в определение 5.2, если понятие решения расширить таким
образом, чтобы в него включались и формальные решения.
5.3. Если/6е/£*гД , то Vfp) = 4r(pJ , если V и v'la-
Кие С- плотности, что V^V^DoA . Кроме того, y7(p)'ss-

60
= $v/>J для любых Жл~сМц ръкеъд , если v = V^D
\3^Diff(PfA J. Таким образом, интеграл \V(P) зависит
только от класса когомологий цикла <X/VJ комплекса Сокег &л .
Это мотивирует следующее.
Определение. Линейным законом сохранения для уравнениями^
назовем класс (ft -lj- мерных когомологий комплекса cvfcei <S^ .
Вычислим когомологий комплекса Собеъ Зд , предполагая,
что кег§А=0 . Ввиду того, что H*(SP) = Н (£&)-& ,*'^л,
точная последовательность когомологий, отвечающая короткой точ-
ной последовательности комплексов О~+$0г^ ®Р—**ьоЛеъ£-*-0 ,
имеет вид
Как уже отмечалось, Н(£&)=*&ЬН (SP)-P . При этом
отображению Н (SO,)-*H^CSPj соответствует отображение
п А* ^
01—*• Р . Это вытекает из коммутативности диаграммы
Dift(Gl,An) -А* &,•##=>, а»)
Si А* is
а р
которая проверяется непосредственно.-Поэтому // (cefcetS\=.
Выясним теперь смысл условия . Для этого рас-
смотрим градуированные комплексы <&^L и ^^а% »
ассоциированные фильтрованным комплексам SP и S& , и отображение
Off ^^^P ^\J* JJL
^ '^%^ ^^9i, ' порождаемое ^ . Если k&t с^ *=*0 , ю,
очевидно, кёъ&л*=.0л
Заметим далее, что для проективного модуля /? 4mi€,(i^T)=
= Йотл(£,4т4€Т)ж что S^^mM n) =4msUM fa°A) =

61
Поэтому k&tS^O , если - гомоморфизм
при котором -$?п8€и переходит в -вт4-£&<>4'п&£& э не имеет
ядра. Это заведомо так, если X^Y=X, где X и У - носители
- модулей , соответственно, а
модули Р и & - геометрические. В том случае, когда £ , £ -
векторные расслоения над /V и Р=Г(&), ^П^?)» отображение/3
реализуется посредством элемента^ G./Jo/nfe*^)^^^)) , где
Ж:Т (М)^>М *• естественная проекция. Тогда, если 0ti/nig>O ,
то Xs Т(М), а 1=аколА совпадает с множеством ^#е
е T'T^l^^ji ^} » состоящим из характеристических ковекторов,
Поэтому, собирая все сказанное вместе, имеем:
Теорема. Если множество c/tG/tA нигде не плотно в / (М),
то /£ег$д=0 и, значит, группа р(д) линейных законов
сохранения для уравнения Д-0 изоморфна fcetA . ►
Замечание. Предпосылка этой теоремы "почти" эквивалентна
непереопределенности уравнения А-0 .
5.4-. Формула Грина для оператора А позволяет в явном
виде указать изоморфизм Действительно, пусть
£?($)~Otfe&,teDitf(P,&)m Тогда формула Грина для /t>e.P ,
^е Q принимает вид <&(Р), ^> ~°^^%i(^CP> ?)) • Поэтому,
если А(р) -О <, то с(Ж^(Д(р;$))=*0 ь т.е. оператор^'—*•
•—>Ж. М[ЪQ)) является С- плотностью. Таким образом, мы
получаем отображение J«лег4*-*<ЗМ) , где \(%) есть закон
сохранения, отвечающий С - плотности f>*-+ЖЛ (&(/>,<р))
Покажем, что J есть изоморфизм теоремы 5.3.
Если V - С- плотность, а [V] - соответствующий закон
сохранения, то элемент £ из АегА* , соответствующий ему на
основании конструкции п. 5.3, находится следующим образом:

62
0, = /и(и) , где оператор QG.Diff(&}jf) определяется из со-
отношения #°V = neA . Понимая элемент # как оператор \лъи>в
Л » равенство <Afft)j $> =dX~(&(p,fy)) можно переписать в
операторной форме: CL°A=c£°V , где гЗ(р)=Ж.(А(рЛ)) .
Л А, Л Л '
Отсюда видно, что П = ^ и /*fy)* *$,•
Отнаяемся теперь от предположения, что Кего^О .
Тогда из точных последовательностей ногомологии, отвечающих точным
последовательностям комплексов О-*£еъ§--+3&-+-г/П0д—*О и
О-*- гт §' -*• SP-^coMetS^O , найдем
причем ^' ° t>ff*A . Отсюда видно, что t^ индуцирует изоморфизм
причем композиция
кеъ>А*-~к&1А*/ш^ -*//Л"/£*/£*г^~Д£>овпадает с Y.
Таким образом, мы получили
Предложение. Следующая последовательность точна
5.5. В связи с теоремой Нётер будет полезна другая
реализация отображения J для уравнений Эйлера-Лагранжа. Пусть
и Д~&£ . Беря разносчъоб - формул
Грина (см. 4.3) для пар (fify) ^С%^) * f> » #€-^'» и
учитывая, что L(p}fy) = Lf<pffi)b получим <.A(i),)Jp±-<&CP),fy>~
= dK^LpfyJj-L^ff?,!)) , откуда следует, что форма cfof)*
= %9х(Р>$)шХлСЬр(%1)-£р(р,*))- замкнута, если A(p)=A(f)=0.
Говоря иначе, оператор 7Ь:Р-*Л% \ СЪ)e 2/fo fj является
линейной С- плотностью для уравнения А- О . Если &{£>)=■ О ,
то (р**А)(%) «= и V f<^J . Это вместе с рассуждением п.5.3 пока-

63
зывает, что закон сохранения, отвечающий С- плотности V. сов-
р
падает с $(р) .
5.6. Развитая выше "линейная алгебра" позволяет легко
конструировать и нелинейные заноны сохранения для линейных
уравнений.
Определение ("наивное"). Нелинейный оператор
называется С- плотностью (нелинейной) для уравнения Л^О ,
если Uv(p)**0 для всех локальных решений этого уравнения.
Две £- плотности Чх и V^ естественно назвать
эквивалентными, если найдется такой оператор О-Р-* Л , что ^&
в7/^вО на уравнении А** О , а класс эквивалентных
плотностей - законом сохранения.
Замечание. Ненаивный вариант этих определений будет дан в
дальнейшем при построении нелинейного лагранжева формализма.
Пусть А- :7% -*&£, t=l,%s . Нелинейный дифференциальный
оператор П:Р±-*Ра назовем морфизмом уравнения Лх-0 з
уравнение Аа~=0 , если он отображает формальные решения первого
уравнения в формальные решения второго. В частности, Х1(кв%А^=.
скег^ • Если I* в Ро , то мы будем говорить об эндоморфизме.
Следующий важный факт непосредственно вытекает из п.п. 2.6, 4.4
и определений
Теорема. I) Пусть AG.Di'f#(P,&) ъ Пх - эндоморфизм
уравнения А-0 ь aD- - морфизм уравнения А—О в А*—Ол Тогда
оператор р *~-*Хд(А(ил(р); CL(р))) является с- плотностью
уравнения А —О , класс эквивалентности которой не зависит от 3L .
2) Если А =& , а О . - эндоморфизмы уравнения Л=0 ,
то оператор ft*—* С (П (р), Е /> Л является С- плотностью
уравнения А** О , класс эквивалентности которой не зависит от Д.
3) Описанные в I) и 2) С - плотности эквивалентны для
л-6 •►

64-
Замечание 2. Допуская многозначные законы сохранения можно
б качестве Q^ i=£,% , брать соответствующие преобразования Бэк-
лунда.
Замечание 3. Если [д,п] , то □ - эндоморфизм
уравнения Л - О и, стало быть, определяет С- плотность
рь*Ж^(й(и(р)}1^л если Л~0 - уравнение Эйлера-Лагранжа.
Заметим, что инфинитезимальная симметрия лагранжиана
является и симметрией уравнения <oL = О ^ т.е. его автоморфизмом
(см; ниже). Таким образом, сформулированная выше теорема
указывает способ построения законов сохранения более общий (и, как
нам кажется, более прозрачный), чем классическая теорема Нётер.
Нике связь этой теоремы с теоремой Нётер будет уточнена.
Подчеркнем в заключение, что мы получили способ построения
законов сохранения из симметрии для произвольных линейных
уравнений, а не только для уравнений Эйлера-Лагранка.
§ 6. Автоморфизмы и линейная теорема Нётер
В этом параграфе в алгебраической форме будет рассмотрена
линейная теорема Нётер с тем, чтобы в дальнейшем ее сравнить с
теоремой 5.6* Для этого необходимо дать алгебраическое описание
законов преобразования тех объектов, о которых идет речь в этой
теореме. Этому посвящена первая половина параграфа.
6.1. Пусть F'-A^*A^и 'р^-*"-^ - такие же, как и в п.
2.5. Если Le.Dif£j>(?*,A{Ajj) , то FifL) определим
требованием коммутативности следующей диаграммы:
L
Р F fD ***#

65
= F ,°L°F~ . По этой причине для fXpjX)^Z>€tP
следует положить Хр (Q=XDty/L~L°Xp 1 где Х^у*^)"^й"
-Д°Хр. В частности, если Z - плотность лагранжиана (т.е.
1*&#%Г(Р„А*(АЛ)) ) . ™ FP №&#%?(%АЛ(\)
называется преобразованием плотности L , zXpfL)&
e^f$>£ C^yA-*) " ее БаРиаЦиеи ПРИ инфинитезимальном
автоморфизме . Поскольку очевидным образом F^°S =
= S°Fp и Xp°S =S°Xp , а также Ffyu)^ Xf/"J=0(cu.
морфизмы цепных комплексов, порождающие отображения ^f-Pt)~*'
-+-gJ7(Ij>)i *fl(P)-*t/7(P) , соответственно, которые будут
обозначаться по-прежнему
Полагая для краткости h~Xp(L) имеем: L, *»
(6.1.1) V?,/>X^/&^ A? ejD
Далее, fyf,*)«%>• f -#^^-£-Jf/0 "4: ^Л •
Замечая, что ^а°Х0<}^^.0^0Х^^0Х fy) i последнее
выражение можно привести к виду Х°L. (%l)-Lpfyl)'X~Ljb(X.Cp)A)~
" Lr ($>£)• Таким образом,
(6.1.2) L^c%A)<xM^]'h^w^'%rPjГ*Л'
Формулы (6,1,1) и (6.1.2) будут нужны при выводе теоремы
Нётер. Члены первой из них следующим образом преобразуем,
используя ££ - формулу Грина:

66
7.(L(p,f))-d(X^L(f>,<t)),
L(fiXP ($)) - *XA(P>Xp W) *<Sl fP)> Xp W> •
где У£л(рЛ)~У€д(1,р(уу1)) . Таким образом, мы получаем
следующую формулу первой вариации в линейной теории:
(6.1.3) - <el(P), Xp(%)>-<&b Cf), *p(P)>■
6.2. Линейная теорема Нетер. В классическом вариационном
исчислении лагранжиан %=: [L называют инвариантным
относительно некоторого преобразования, если действие ] L не меняется
для произвольной компактной области V . Ввиду леммы Дюбуа-Рей-
. мона это эквивалентно инвариантности плотности лагранжиана L
относительно этого преобразования. По этой причине F (соответ-
ственноХ- ) мы назовем симметрией (соответственно, инфинитези-
мальной) плотности лагранжиана L , если F(L)=L
(соответственно, Хр(Ц~0 ). Так как отображение Fp (при ij-^ ) ж X
суть эндоморфизмы комплекса Ч^/тР* ^0/р(Ц^)~^ иДэ^^в^ i
если Fp и Хр - симметрии плотности £ . В частности, X /pje
€/&i€£ , если ре кег%£ . Это замечание вместе с формулой
вариации приводит к следующему результату.
Теорема Нетер. Если X симметрия плотности лагранжиана^
то (nrl)- форма ">л(р^) = Х->Ь(р,<р)-Жх(р,ХрГ$,))-
~~ЩсС%Хр(р)) замкнута, еслиД^е/^(^ и ее класс когомоло-
гий не зависит от выбора Я. .
Форма ftifp^n fp}р) является классическим нетеровсвим то-
ком.
Замечание. Как классический вывод теоремы Нетер, так и

67
здесь приведенный, показывают, что ее предпосылку можно ослабить,
потребовав сохранения действия только на экстремалях, т.е. что-
бы \1{р,ф)**0 или, эквивалентно, ]£ (fr,p)=0 при ^«е
v у
€.ftei£r для любой области интегрирования V . Практически это
ослабление - кажущееся. Пусть, например, A-oL}LGD^i^n(2^A/tJ.
Тогда kei(j><z*l (Р) , TJ& фА: jf(P)-~P - гомоморфизм,
соответствующий Л . В том случае, когда"^, , (Магу>А )=¥ (Р) i
где ^а&' $ (P)~*f(P) " естественная проекция, нетрудно
убедиться, что это ослабленное требование влечет за собой инвариан-
тность плотности L . Требование &/ (кеп.<£}—4 {PJ по
существу означает, что уравнение(5.= ^ не вырождается до уравнения
порядка ^ к .
6.5. Реального усиления теоремы Нетер можно добиться
расширяя класс операторов X . Действительно, пусть X(L)=-
£ fayf}= &fo)($,fo4&P i и из формулы первой вариации тогда
вытекает, что форма
замкнута, Как и выше показывается, что ее класс когомологий не
зависит от выбора *Л . Вследствие точности комплекса ^Lj^.P°^
не зависит от выбора L i удовлетворяющего условию Х- fL) -
Т - *1\
=-Sf£j . Это условие, опять-таки, ввиду точности S^mP
эквивалентно условию уй'(X fL)) =-0 . Но ,44 (X (Ь))=Х-(/1(1))=-
-Хр(^^) . Поэтому из него следует, что Хр - инфинитезималь-
ная симметрия оператора SL . Очевидно, верно и обратное. Итак,
доказана
Теорема. Если X - симметрия оператора §L , т.е.
[X ,&г]=0 и модуль Р - проективен, то форма K^pf)
замкнута, если р}а^кег&£ , причем ее класс когомологий не за-

68
висит от выбора расщепления Я и выбора решения о уравнения
Хр(L)-S(L) . В частности, отображение ;6н-*/гд (ptp)
является С- плотностью для уравнения ^=^ и соответствующий
закон сохранения не зависит от выбора Я и L . ►
Замечание I. Подчеркнем, что **х эффективно вычисляется по
X • Для этого рассмотрим гомоморфизм Л£: keiyn^tm о—*-
-^Diff* Л , А^-^оЛ'* * где im>S понимается как подмодуль
в Dt'f/SЛп . Тогда Hom{PtimS) совпадает с образом
гомоморфизма £Mo=S:D*ft£_£ (^/^Д^Л*^ поэтому
- правый
обратный для S^Q , так же, как и X^Dtft'(Р,'Л%)•'trn$ "*"
-+Diff(P,Diff, .(PAn~*j) , - для tf . Поэтому можно
положить L = Я (Хр (L)) .
Замечание 2. Более слабое требование, которое можно было
бы наложить на Хр » а» именно, чтобы
Lfp,^)-C^Lfp^только на экстремалях, по существу не дает ничего нового, так как
при условиях замечания п. 6.2 оно оказывается эквивалентным
условию Хр (L)= S(L).
6Л. Теперь мы покажем, что линейная теорема Нетер
является весьма частным случаем теоремы 5.6.
Предложение. Замкнутые формы ^fpyf) и С-л(Хр(Р)> %) »
где XpC-DetP - симметрия плотности лагранжиана L , когомо-
логичны для всех^^е^^Ог . В частности, закон
сохранения, отвечающий нетеровой с- плотности плСр) совпадает с
законом сохранения, отвечающим С - плотности сл(Хр{р),р).
4 Пусть t+fc t)*nA(fi.f)-CA(Xpfp),f)-X-* Lffrf) -
~Жх{р>Хр fyty-^CXpfp), $) . Если &^р) =0 , то в силу
X - формулы ^щъъХ^ 1{р^)=Х^ЖЖхСР4)=Х(Жл(р?$))-

69.
-d(X-*)Kx(p:)%)) • С другой стороны, ббиду (3.7.1),
Используя предложение 3.7, отсюда получаем Х(УСл^/ьа))ш
Таким образом, t^fp.f) - d{fffi,f,)-X-,XJL fib, f)} +
+х* №, 4. #, 4J) -Л ft. ^ r«i 4)- -^ aXp w *, ./;>
где u(p,p) = &ffaf)№XJfrf)' Выражение, стоящее под знакомЖх
б последнем равенстве, на основании (6.1.2) равно hfa-ljvi
значит, равно нулю, так как X - симметрия L . ►
Отметим следующее равенство, полученное в процессе
доказательства
Из него выводится следующее
Следствие. Если симметрия Хр уравнения &. =0 такова,
что форма n*ffa4) замкнута для всех;^ &е£е%&д (т.е. нетеров
ток "сохраняется"), то при предположениях замечания 6.2 Х„
является на самом деле симметрией плотности L .
4 Так как Хр - симметрия уравнения L , тоЛС r/)Je./m$L ,
если^Ье^г^. , и, значит, ^^(Х-яь),^) = & » е°ли
р?Й€./<е%&- . Поэтому из (6.4.1) следует, что в этом случае
dni fa t)=c(X* (h fa *» m *&> 1) ~ <ezw * * *• -
rtyfc$)T-<X-p@Lyfi),p=l>fpJt), Таким образом, L(fof,)=0 ^ если
fc^cfce.%&- . Отсюда при предположениях замечания 6.2 следует,
••V
что L=X' (L) = 0. ►
Таким образом нетеров ток перестает быть сохраняющейся
величиной при естественном расширении класса инфинитезимальных
преобразований.

70
ГЛАВА II
АВТОМОРФИЗМЫ КОНТАКТНОЙ ГЕОМЕТРИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 7. Необходимые сведения из геометрии пространств джетов
В этом параграфе мы соберем необходимые для дальнейшего
сведения из геометрии пространств джетов конечного порядка и
геометрии нелинейных дифференциальных уравнений. Доказательства
приводимых в нем результатов можно найти в [18] . В дальнейшем
мы работаем в категории гладких (* С - ) многообразий и все
конструкции и объекты, связанные с гладкими многообразиями без
дальнейших оговорок предполагаются гладкими.
7.1. Пространства джетов. Пусть Jv - гладкое многообразие
размерности п+т . Класс касающих друг друга в точке X&JV"
с порядком к /*- мерных подмногообразий многообразия ЛР
назовем к- джетом 7v- мерного подмногообразия и А- джет
подмногообразия L в точке cc-eZ обозначим [£jL • Пусть
<V*>№&\L»*, cUml-n) f ЛГпкш и^Ос) .
Множества J/]^ естественным образом снабжаются структурой
гладкого многообразия (локальные системы координат специального ви-
да на у/]Г будут описаны ниже) и называются пространствами (или
многообразиями) джетов. Подчеркнем, что Угп = Уг.
При к&Л определена проекция ^^ : ^Кп'^'^п^/^х)"
я • Если L "с/Г , то определено отображение
Л га) ••<&-<£,•; сою- w«.
Очевидно, ^/(/.(^)~Л(^У Положим и ^tmi, (lj)^ ^гп.
Обратим внимание на то, что сказанное выше имеет смысл и
при к = &> , исключая то, что касается гладкой структуры на <^,.

71
Нам удобно также будет писать j(&) вместо i(L).
Пусть Я-' £=£-*■ М - гладкая субмерсия, UtmM^fb ,
d,imE = n-f-m . Тогда совокупность к- джетов образов локаль-
ных сечений этой субмерсии образует открытое множество J (ft) в
£ . Если 7С - расслоение, то J /Ж) называется многообразием
к - джетов расслоения ft • Совокупность всех (локальных)
сечений субмерсии Ж обозначим Г(ж) {/Z Ж" ). Если te-QbcCx) %
то ol^ обозначает область определения -6 . Положим
% = x-s , f>;= c~(JAr*)h % - c-r*).
к Л ski
Будем также писать [A!L i -J^e/V, вместо [^ С^)} и/£
вместо ttnj (■&).
Если и л - гладкое векторное расслоение над
М ,'чо /*У^)~р (^ft?)) , где 7 - представляющий объект
для функтора D*ffk в геометрической категории над А •
Пусть it- Vn*Wm, где V (соотв. W^) - область ъЯп
(соответ. вЛ }, ас«/%,...,ау (соотв. ^ш(49*лу^тЦ) -
эвклидовы координаты в V (соотв. Wm) и fa^lt) - соответствующая
система координат в (Л . Пусть также oL:ti —*• К - проекция
на второй сомножитель. Тогда на е/~ fit) возникает система
координат (&j,f>c&) , *V^ n , f**4*n , \&\3 к , где (Г
обозначает неупорядоченную последовательность целых чисел
(*ху->*} )i -** гм^:1г 1 и 1^1=^ • Функции^ однозначно
определяются следующим свойством:
где T№)*Blfi(:x)i---,'finfa)) • Часто мы будем писать ^- вместо

72
Для всякого диффеоморфизма есте-
ственным образом определены диффеоморфизмы^ \:^^~^ /?
Именно, fcffy') = [L]^ , где rfe/^н L-ft*(tQ).
Очевидно, множества ?/#/,.. открыты в Лт и на них при помощи
•f/. можно перенести описанные выше координаты (be, jb J .
Область ^/fo)c *"/п » снабженная этими координатами в
дальнейшем называется специальной картой, а сами координаты (Ьь, f>)-
специальными.
10°
Множество Jv,- , очевидно, отождествляется с обратным пре-
7t 5l Ik. 5F
делом цепочки отображений УК=Л^<*-^...<*^^^ "* ***' •
Пусть J} С^%п)= С (УРт). Прямой предел цепочки отображений
с уж)- %Wn)& -^%м»)^• ■
обозначим 5fy/V^n) и отождествим алгебру *#(УКп) с ее
образом при Яоок Б ^г^Сп) • т»к» гомоморфизмы fioofc не имеют
ядра, то можно считать, что алгебра J(y%n>) фильтрована подалгеб-
рами -••o^£/V?n)ajf /yi£/ija... • Аналогично, определим &~(я:)
как прямой предел алгебр v£ (fr) относительно цепочки гомоморфиз-
мов &£ а у и будем считать, что У <^ фильтрована
подалгебрами ^f$)*
4*2» Нелинейные дифференциальные операторы. СимволомF (Ш)
далее обозначается расслоение над М2 индуцированное
расслоением Ц:Е^>М при помощи отображения /^'/^-*vV. Если tPW-*
-»• /^ таково, что F°-6 ==_/ и ^е Q^C^f^j) 1 т° полагаем
fW-F'f-der^Cfy , vwF;F*(f)-*f -канонический
морфизм.
Если f^: с^-*Уг - некоторое расслоение, то через V, . .
будем обозначать расслоение ТС,^ (??) над Л^ • Зафиксируем

73
^P^.r'fy/i.)) • Обобщая принятое словоупотребление назовем
(нелинейным) дифференциальным оператором порядна *£ , действующим
на п - мерные подмногообразия многообразия ЛГ операцию
Если $£' £ -+М - некоторое расслоение, Уу=Е ж V9ff(f)>
где ё:£г-*М - другое расслоение над /У, то для веяного
<5е Q, (7с) j (4) (Ч/'^ГЧ • в частности, если
L-^(tC^^ то ^1 =& . Очевидно, операция A '-^^^J-C^fc^)^
еП (fej , tJe/J ffi) , является нелинейным
дифференциальным оператором в обычном смысле, действующим из /^ (Ж) в
77 fpj . Соответствие 9**-* А* устанавливает биенцию между
rfty^Ffft*Cf)) и совокупностью всех нелинейных
дифференциальных операторов порядна ^ & , действующих из Q, (Х)ъ Q^ ($) ,
Которая в дальнейшем обозначается dty (я^ф)* Сечение
уе/Ж (к)), соответствующее при этой биенции оператору
Д€. dif (яму обозначается О? , Ниже принимаются обозначения:
%Wn)-rfy)* %&JJ= r&?f$>) Операторы^
индуцируют вложения ^ (^7)CZ^(^K?)'> *0? fef)*"%№,$) »
которым при описанной биенции соответствуют естественные вложения
cd<Lm3f)^oU-fk(yc,^) . положим 7'(Jfi<?2)=-&motit 7М(^%),
Заметим, что ^Г/ЗГ, f„) ~ ^ $Г^ » т.е. алгебра гладких
функций на J &) отождествляется с алгеброй сналярнозначных
д.о, на П№) 1 умножение в которых задается формулой:
(Д;лл)(-*)'А/4алСУ, где At**t%fcfM), **%с&)-
Аналогично; если £ (соотв. Ш ) есть векторное расслоение, то
Щ(^1*1) (С00ТБ» ^№9$)) является <f, (fl1,**) - (соотв.

74
•j£ W ) - модулем. Более того, *?^/^J(cootb. ?№,&) )
является фильтрованным ^fyY?п)- (соотв. &"&) ) - модулем.
Веяному оператору &&с(г-/,(£ q) , где Ц и # -
некоторые расслоения над А/ , можно сопоставить оператор
Если Ле2)^(Гф;, /?»#, то A*D^(Ffr$,Wt,y)) .
Кроме того, Д ^ ^ft) с^j(%, £j) и
где . Заметим, что последнее свойство может
служить определением А *
Пусть специальная нарта (см. выше)-^.'^—*j/=£ тавова,
что 'f является морфизмом расслоения с^ в расслоении & . Тогда
в соответствующих специальных координатах на ът,-£( имеем:
где ft'-ft \,..., *\) , если 6—(\%...7 *'j).
Композицию отображений
где t - естественное вложение, обозначим & . Очевидно, что
Этим равенством элементе*' (<f) определяется однозначно.
Если расслоение ft линейно, полезно ввести элементы
joffi)-j>(y>\ <Cct :/*(%)-* fftr)- тождественное отображение.
Тогда из предыдущего следует, что
Наконец, через U, обозначим композицию

75
где И - оператор Спенсера (см. 1.9)
Нетрудно видеть, что при^^-^ следующая диаграмма
коммутативна
Это позволяет "переходя к пределу" при -£-*•°° определить one-
Из определений непосредственно следует, что Р и Uсушь
д.о. порядна ^>£ .
Предложение, a) j(4) ('Ус?))=&> ^€ £ /^ »
в) Если для fc£ffi}J » ^>^ » &*ЦГя:) = 0 , *о0уА(4)
для некоторого tfe /7, ^) .
Приведенное предложение показывает, что для линейного
расслоения S" и любого fc>0 элемент U {&) позволяет сечения
вида л' ^ расслоения ft :JT СЖ)-*-Мотличать от прочих. По
поводу нелинейных Я см. ниже.
Пример. Пусть ЯГ - одномерное тривиальное расслоение.
Тогда Ux(fi)e f(^CK,*))®At(JW))= A*(J*fr)) -Тогда
в описанных выше специальных координатах 6£ (Я)*С*и-1ир.сЬ£ь
U ~f>$ . Таким образом, форма U£ /Ж) задает классическую
контактную структуру на У/^(см., например, /26J ). Тем самым
можно считать, что элементы U (Ж) определяют "обобщенные" кон-
А
тантные структуры.
В заключение этого пункта отметим, что всякому сечению
уе^^в) (или, что то же, оператору Ле*Я% ^>9) ) соот_

76
ветствует морфизм расслоений
у> •• J*rx) - JYf)~£f, <p(l*£)=г^ (s>e*)
Если <f =j [<fj , то для^>' имеет место коммутативная
диаграмма
J (ж) J*($)
J***<x) ——- J*(f)
Это позволяет "перейти к пределу при <£-~°° " и получить отоб-
ражение ср* , такое, что следующая диаграмма коммутативна
%оо N.
/_ М
Очеивдно, что <P.Jj ^ ft)—fa (&y ft))* °^s " • В
частности, if* ^ ft) **Д ft).
7.3. Нелинейные дифференциальные уравнения. Системой
(нелинейных дифференциальных уравнений порядна ^к , наложенной
на Я -мерные подмногообразия многообразия УК (соотв., сечения
расслоения X ) называется подмногообразие (с особенностями)
^ус^т (соотв., и<^-Т {№)). далее мы говорим просто
"уравнение" вместо "система дифференциальных" уравнений.
Подмногообразие L^УК (соотв., J^Q> №) ) называется решением
(обычным) уравнения и , если (соотв.,
Выписав эти определения в специальных координатах
нетрудно убедиться, что они соответствуют обычным. С другой стороны
это указывает на фундаментальную роль многообразий У*^ (соотв.,
J (&)) в теории дифференциальных уравнений, поскольку они
являются "универсальными вместилищами" всевозможных уравнений
порядна •<к . Наш подход к теории дифференциальных уравнений,

77
грубо говоря, состоит в изучении "универсальных операций
(функторов)" на "универсальных объектах" JV^ (соотв., J(%)) и
ограничения этих операций на конкретные подмногообразия (т.е.
уравнения) в J)f (соотв., Т №))•
Всякое уравнение У можно представить в виде cf>=0 , где
^е &{*/¥???) (соотв., ^Р^-^С^Л)) для соответствующих п
(соотв., е ). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что
сечение (р трансверсально пересекает базу. р
Определим -С -ое продолжение а уравнения (ТсЖ*
(соотв., vcjffcj)^ полагая
Z касается V в точке J^l)fx)o, порядом -€
(соотв., Mj^ ^f *ф"а касается ^в точке У ^/Ц; с поряд-
ном *£).
Очевидно, что *V^» k-ftC^ Jc^ » если *£>t , и
что уравнение у обладает тем же запасом решений, что и <^.
Если y^J^fTT) , *У={<р=0\ ж 7V - линейно, то *УС *
—\р((р)-0\ . Если в пределах специальной нарты (x J fi&)
уравнение и задается в виде Cf.^-О , *«-/, '>fi » то
уравнение J в пределах соответствующей координатной системы
задается системой
где Dq- -D^o .. ..оЦ , если с** f**>..>, *#)•
Уравнение \/ называется формально интегрируемым в слабом
смысле, если $Ьок \<у • *%©—*" ^ есть сюръенция. Уравнение
V сильно формально интегрируемо, если отображения
% „ I ы'У —*У являются расслоениями. За подроб-
ным изложением современной теории формальной интегрируемости мы
отсылаем к книге [бз] .

ференциального уравнения У^Уу^ внутренним образом,
необходимо ваУ^т ввести такую структуру» при помощи которой можно
78
Наконец, уравнение и назовем -6 - разрешимым, если
. v -+' У есть сюръенция.
7Л, Распределение Картана. Распределение Картана является
той единственной дополнительной структурой, которой надо
снабдить многообразия для того, чтобы иметь
возможность внутренним образом построить полную теорию
дифференциальных уравнений.
Для того, чтобы можно было определить понятие решения диф-
к
f, при
было бы п,- мерные подмногообразия в «/^вида отличать
от прочих. С этой целью R - плоскостью в точке ff^^Tm
назовем подпространство в £ (W^J » имек>Щее БИД ^ (& ) для
некоторого £<= /У . Рассмотрим линейную оболочку С с: *ГС^]пг)
всех R - плоскостей в точке & . Распределение ^*-* ^
называется распределением Картана.
Если в том, что было сказано, заменить У*т на
на мы получим определение распределения Картана на J~ffi).
Очевидно, что подмногообразия вида L '(соотв.,/^ )
являются интегральными многообразиями распределения Картана.
Обратно, имеет место следующая основной результат
Теорема. Пусть Vc«/V^ (соотв., VеJ~ (Ж)) - /*-- мерное
Гинтегральное многообразие распределение Картана. Тогда, если
тк>£ (соотв., к'0£('тЯ>£}) V локально (соотв., локально и
за исключением подмногообразия меньшей размерности) имеет вид
Z^COOTB.,/^).
Случай wk—I (соотв., л-Л/я^), называется далее
исключительным. Распределение Картана на <ЛГ± (соотв., JP?))
определяет контааную структуру, приводящую к Классической теории
одного дифференциального уравнения с частными производными пер-

79
вого порядна (см., например [SI] ).
Приведенная теорема и сназанное выше показывают, что рас-
пределение Картана является нужной нам структурой на <4^(соотв.,
Пусть&*[ЦХ ^SYrn » &>0 . Тогда R- плосность
норрентно определена точной & , причем ^^^t , если^в^'.
Предложение I. С& = С^^^_£ |^) (L$) .
Иначе говоря, проекция Ж отображает нартановсную
плосность С в "- плоскость Z .
к
Распределение Картана на J"(X) полезно описать
двойственным образом. Если ф^КЛЯ)* wtftyjep ~^f&))®Jf(j1fy
Будем понимать элементы LL(c/j%b& джет-значные 1'- формы и
соответственно этому рассмотрим операцию подстановки
$*-*f-> Vj(?)e ?*'*(<%W))\ ,}*£($. Положим
Для .-линейного расслоения %#"положим также
Предложение 2. Для любого •£, ./«£< ^ > #~ в • Если
7С- линейно, то С - С? .
В том частном случае, когда -^/ , приведенное
предложение показывает, что система форм (/£(Ч) » 9^€ ^-* ^^ »
порождает аннулятор^лл С распределения Картана на J~(Ж). Тан
нан оператор Ux является дифференцированием, то -а/*/* " в
пределах специальной системы координат порождается формами
Пусть, нан и выше, 0&</~ fjr) , ^=^ /c.J^JЖ~Х (&J ,
*>(?. Фиксация точки $ определяет прямое разложение
А

80
Т- (Т (Ю/-Е>ФТ-(Я С*)) и тем самым проекцию
при помощи которой можно определить линейное отображение
Если расслоение Ж линейно, то слой Ж" (х) линейного рас-
слоения Ж . можно отождествить с 7jr №~^fa)i
Предложение 5. Если расслоение J2T линейно, то при
указанном отождествлении LT. ffsj « fe-j U^Cfi), Ы е Т (J &ь))\
Пусть dCf/T)" V^ • Тогда ^^J^f^) являет-
ся линейным подрасслоением касательного расслоения Tfy/r^Ji
Рассмотрим факторрасслоение -ъ^. : ^Л/^у/Ъ.^*У~**/Кг' Из пРеД~
ложений I и 3 следует тогда, что операция^д *-*• U^(X)^- ^(^) »
где , является обобщением джет-значной
/.
±- формы Ц^ря) на случай любых многообразий джетов
7.5. Два рода высшей контактной геометрии. Классическая
теория одного дифференциального уравнения первого порядка
геометрически формулируется как контактная.геометрия на
многообразии Л^ (или J(SJ', Я&г-^Ч^). С другой стороны, в случае
линейного расслоения #" контактная структура на J~ (Уг)
определяется нулями формы U£№)\ Но, как мы видели выше, высшими
аналогами формы U£(Jo) следует считать джет-формы ^^). Поэтому
высшую контактную геометрию следует определить как геометрию
"нулей" формы С/{Х) на 7~(7Г). Однако, что такое "нули" формы
Ц^рт) можно понимать двояко. Во-первых, ими можно считать такие
подмногообразия V^/"^, что Ut^)\v^O . Возникающую
отсюда геометрию будем называть V - геометрией. Во-вторых,

81
Ufcffi) является джет-значной /- формой и под ее "нулями"
можно понимать такие векторные поля,Х , что Х.-л\1{^)'яОт Из
Предложения 7.2 следует, что такие векторные поля принадлежат
распределению Картана и обратно. Поэтому распределение Картана
определяет второй род высшей контактной геометрии.
Оба описанных вида высшей контактной геометрии будут
исследованы выше. Пока же отметим, что, как это видно из определений,
первая из них "жестче" второй, которая, однако, играет гораздо
более важную роль в теории дифференциальных уравнений.
7.6. Структура интегральных многообразий в и - геометрии.
Б пределах этого пункта расслоение Я предполагается
линейным.
Подмногообразие Zs/~ ffi) называется (/ - многообразием,
если локально максимально в классе многообразий
удовлетворяющих этому условию. Ниже описывается структура U-
многообразий. Для этого нам понадобится следующая конструкция.
Пусть е£; некоторое -с- мерное подмногообразие,
v-^^/k (У) i^/k'-f (К)~>7' (&)- естественное вложение, $с =
e"^"L-i/"Vi и <Д; J~v №)~*J~№v)~ естественная проекция.
Предложение. оС*(Ц&)) ** J^ffy. С&г)) .
Пусть -de 7{ №р) и W**/^ {V^'J. Из приведенного
предложения и предложения 7.2, а) следует, что ^\ит)~ ^ •
/С
Оказывается, что "почти" верно и обратное.
Теорема. Локально, исключая, возможно, подмногообразие
меньшей размерности всякое U - многообразие представляет
собой область Otzjf*' (VC%), где V-Я}, С0) и ^^Qec^r) .
Если oUm V=*g% то d*inO=<e+ni.(62+A:-Cj^)~
* Х(/г9/п^С) Функция ^Cn,mJkJ€J строго убывает по if во
всех случаях, кроме trv=-fc^£ , когда Afk^lj^-Cj^n. Б этом

82
исключительном случае мы имеем обычную контактную геометрию на
J0)-> 0Umfc~£* В остальных случаях монотонность Я по -^
показывает, что число *ь , фигурирующее в теореме не зависит от
выбора области О в рассматриваемом U - многообразии. Оно будет
далее называться типом этого многообразия.
Итак, если тк>£^ то С/- многообразиями типа О
являются слои проекции Ж или их открытые подмногообразия, а б7" -
многообразия типа п локально, за исключением подмногообразия
меньшей размерности имеют вид
В дальнейшем U- многообразие ъщ& fiM f V^ %-d^.7^ (Л^ ,
обозначается V^ .
7«7« Структура интегральных многообразий распределения
Картана.
Интегральное многообразие распределения Картана будем
называть локально максимальным, если никакое его открытое
подмногообразие не содержится в интегральном многообразии большей
размерности. Нике мы описываем структуру локально максимальных
интегральных многообразий нартановсного распределения.
Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть интегральное много-
образие L распределения Картана на S*m (соотв., 7" &$),£>#,
таково, что Ж jg I _ - иммерсия (соотв., 2Г /, - иммерсия).
Положим
Нетрудно подсчитать, что
dim WfL) = т Cfc„/n ~fi 1 где п -р = Ж'м& ,
Число Шт L далее называется типом Непосредственно
проверяется, что за исключением случаев (ot) /г~/ъ—4 ъ(р)кш
= т=£ , titm WfL) > dim WfC)^ bbmdun,L<c&/n L .
Ситуацию, когда пт>£ и кт>з. будем называть неисключи-

83
тельной.
Теорема. Б неисключительной ситуации всякое локально
максимальное интегральное многообразие распределения Картана на Л~т
т М
(соотв., J (Ж)) за исключением, возможно, подмногообразия
меньшей размерности, локально имеет вид области 'некоторого
подмногообразия вида WfL).
Из сказанного выше следует, что в неисключительном случае
тип многообразия W(L) не зависит от выбора области V
рассматриваемого интегрального многообразия Z и называется типом
этого многообразия. Обозначение - Ttfjb Z .
Обратим внимание на то, что локально максимальные
интегральные многообразия типа О в неисключительном случае имеют
вид слоев проекции Ж . ^ или открытых подмногообразий этих
слоев. Кроме того, интегральные многообразия максимально
возможного типа, а, именно, типа Н , локально, за исключением
подмногообразия меньшей размерности, имеют вид L ' (соотв.,//^ ).
Такие интегральные многообразия мы называем /^- многообразиями.
Исключительный случай /п=А =£ хорошо изучен - это
контактная геометрия. В случае /rt-n-i локально максимальные
многообразия суть кривые, состоящие из кусков типов £?и £ .
В дальнейшем особую роль играют интегральные многообразия
распределения Картана типа п . Они выступают в роли обобщенных
решений дифференциальных уравнений и называются R-
многообразиями.
§ 8. Структура U - преобразований
В этом параграфе будет установлена структура автоморфизмов
i/ - геометрии, называемых далее U-- преобразованиями и тем
самым выяснена общая структура этого рода высшей контактной гео-

84
метрии б духе "эрлангенсной программы" Ф. Клейна.
Проблема обобщения классической контактной геометрии как
теории одного дифференциального уравнения первого порядка на
общие системы дифференциальных уравнений произвольного порядка
естественным образом привело как к одной из альтернатив к
необходимости изучения U - геометрии (см. п. 7.5). Оказалось, что
этот род геометрии играет второстепенную роль в теории
дифференциальных уравнений. Это следует из результатов этого параграфа.
Поэтому мы ограничиваемся здесь рассмотрением случая линейных
расслоений и опускаем достигаемые стандартными методами
обобщения на нелинейные расслоения. Кроме того, для функториальных
расслоений мы находим структуру преобразований, сохраняющих
элементы U$ C%) и /^ fit) ♦
В этом параграфе основное расслоение Зь предполагается
линейным.
8«1« Определение. Диффеоморфизм Ц>; ]£-*• К областей
!£<= T {Ж) называется С/- преобразованием, если Ц^^)\и>/ТР
всякий раз, когда ^^)\i ~0 » L<=V^
Можно было бы определить I/ - преобразования, используя
в качестве L только U' - многообразия. Однако, как показывает
следующее предложение, ничего нового мы не получим.
Предложение. Диффеоморфизм Cf: "!£-*• Т£ , переводящий V -
многообразия, лежащие в Уа , в V - многообразия, является
U'- преобразованием.
< Пусть ZCV^ и Ц/^)\т в^ • Выберем некоторую область
0^ V± , где ранг ^|^ - постоянен, a V-^fCP) -
подмногообразие в М . Тогда, О лежит в некотором многообразии вида
V^ и тем самым Ц^^\(ргл) ^^ • Далее, поскольку все L
(исключая, быть может, нигде не плотное множество) можно покрыть
подобными областями, то U.(fi)\, , х&0. Ъ>

85
Замечание, Очевидно, верно обратное утверждение: веяное
V - преобразование переводит U- многообразия в С/-
многообразия.
Структура U- преобразований в исключительном случае
хорошо известна. Они, как это следует из определения, являются
вонтактными преобразованиями в J" ^относительно структуры,
задаваемой формой . По этому поводу см. [3IJ,
Поэтому ниже мы рассмотрим только неисключительный случай.
8.2. Из результатов п. 7.6 следует, что среди тех
многообразий Z"c J" (7£) , для которых (/{fr)\zl =-0 , максимальную
размерность имеют U- многообразия типа О и только они. Но
многообразиями типа О , как отмечалось в п. 7.6 являются слои
отображения Фп : J f?t)~*J~ftz) или открытые подмножества этих
слоев. Таким образом, V - преобразования должны перевозить
связные компоненты слоев ^ в
связные компоненты слоев ^л(^)^%, ^е^Л~ • Прежде чем
формулировать основной результат этого пункта дадим следующее
Определение. Пусть задано отображение многообразий £.'/£-♦
-*/%• Тогда область Wb/^будем называть «.- связной, если
все слои Я (Х)П W, ^-e/A£,i сеязны.
Таким образом имеет место
Предложение. Всякое U - преобразование Я^р - связной
области К* с J (ft) переводит слои проекции ^о\у ъ слои пР°еН-
8.3. Итак, всякое (/ - преобразование л^р - связной
области </'• *£""*'^£. является послойным, и следовательно, порож-
дает диффеоморфизм <f •' **""*■ v^ , где V^ ^^дСУ;) ~
области в /"Д0, и <^ay- %40 Сф&ъ)), <?{**) =я0.
Диффеоморфизм <f в свою очередь сохраняет связные компоненты

86
слоев отображения 7l
***
так, то нашлась бы такая кривая CQ<^ I£ , диффеоморфно
проектирующаяся при VT в кривую и с: /V , что Л^^ф)еотъ точка,
скажем X . Тогда ^ можно представить в виде: ^=-^7^у, для
некоторого сечения (Яе/J ^L) . При этом, очевидно, кривую
Цр можно выбрать так, чтобы пересечение С^. ш @& Я v£
(см. п. 7.6) было непусто.
Далее, ^ ^ (f^J = (&. Ж^ГХ??) "
Но с другой стороны, из теоремы 7.6 вытекает, что всякое
подмногообразие Left\ (х,) у для которого (/.(ТтЛ- =0 , лежит в
одном из слоев &l0(ty) \ где $г'(у)-=:ЗС.
~ ~
Таким образом, Cf(C~- ) лежит в слое проекции ^.^ » тог-
И (к) '
да как ь-^- - нет. Это противоречит «^^ - послойноети
отображения Lf . Итак, мы доказали следующее ^
Предложение. Диффеоморфизм Cf ' V^ """*' IV » порожденный
- преобразованием Ср: Y,—*VL » при условии, что область
Т£ #" - связна, порождает такой диффеоморфизм cf*: ^—*-Vgi
где Ff- =£?Vj) » что 7Г°у> = у/о&. ►
8.4. Пусть теперь <^.' HJ—*■ Т^ - диффеоморфизм областей
"И^с>7"?^/, ^""^А» сохраняющий связные компоненты слоев
проекции Щит • Тогда для всякого г< >0 диффеоморфизм <f
порождает диффеоморфизм Cf^ : П^0 С^л)"^^0 (Ч)'
где *£М %flx)eWs , и ^ = (7Г« cf*^) (tyeXCVf*).
Отметим, что из определения Ф? следует, что

87
Предложение. СО является U' - диффеоморфизмом.
4 В силу предложения 8.1 нам достаточно доказать, что О?
переводит С/- многообразия в U - многообразия. Но это очевид-
но для многообразий вида V . , и следовательно (см. теорему
7.6), - справедливо для всех С/ - многообразий.k
8.5. Теорема. Всякое V - преобразование ^ -У^^* \о ~
связной области I£<^ J f7C) в неисключительном случае (Jc-Cu/n7i>j^
имеет вид Q, , для некоторого диффеоморфизма £ •' У~* К^ ,
сохраняющего связные компоненты слоев отображения %\у , где
•4 Покажем сначала, что U - преобразование F-Vf-V^y
такое, что F'- *&>, является тождественным. Для этого рассмотрим
действие F на подмногообразиях вида М ^ = L .Из
предложения 7.2 следует, что Ц^Щг **" • Кроме того, из теоремы 7.6
поскольку UjpO FrLcO и FfL) диффеоморфно проектируется в /^ ,
следует, что FfQ9 M^' , ^>'~ *7« Для некоторого
сечения ^€/£с^ . Ъъ-З'(и^= £&(%))=■•*Щ) , т.е. ^--Г и,
следовательно, ^1, -2Д^ . А поскольку через каждую точку
области Vs проходит многообразие рассмотренного вида, то, стало
быть, F = id . ►
Рассмотрим теперь преобразование / s т* ^Л . Ввиду
предложения 8.4.1 это - W - преобразование области К и кроме то-
го, F~tcL'% Поэтому F^icCvl за л. можно принять диффеоморфизм
Замечание. Требование ^^ - связности в формулировке
теоремы существенно. Это показывает следующий пример. Пусть У и У"
непересекающиеся <^? - связные области и ^0(У)~^(о(*/*

88
Если #. и Q два разных Л- - послойных диффеоморфизма области
, то диффеоморфизм £f области Vv V такой, что Ч\^9^
и <А ,-Й. будет с/ - преобразованием, вообще говоря, не
сохраняющим слои проекции Щ^ @ .
8.6. Предположим теперь, что расслоение ft имеет ъшдФ/Ту,
где ф некоторый контрвариантный функтор на категории гладких
многообразий. Тогда можно говорить о 6£^и J°.№)- преобразо-
ваниях, как о таких диффеоморфизмах Cf>. J №)-*,/ №), для
которых, соответственно ¥Щ.&))= Ц,(я)или cf*(f/i:M),Bf}<№). Из
Предложения 7.2 следует, что в этом случае V.fli)-
преобразования являются U - преобразованиями. Кроме того, очевидно, что
ft/Яг/- преобразования являются Ци&)~ преобразованиями.
Исходя из этого замечания, можно получить описание С£№)-
преобразований и р.(Я)- преобразований. С этой целью нам будет полез-
но следующее утверждение.
Предложение. Пусть оператор A^wifpffi,^) таков, что R(&)s
-/^Cff/i ^e^€^j ?) ' £>^i или, что эквивалентно ££/%)=
- О . Тогда Л - постоянный оператор, т.е. ^/^/не зависит от
/е Г С/с) .
4 Рассмотрим гладкое отображение (см. п. 7.2)
Оператор Д постоянен тогда и только тогда, когда
для некоторого ^^^f%)» Поэтому, если оператор Л не
постоянен, то ранг отображения F больше ^в^/7/Ухотя бы в
некоторых точках.
Пусть del rff/одна из них и L^&fAf) л ^е^ж^е) •

89
Т.к. ранг отображения &?&, больше /г- , то найдется такой
вектор Je TL(J д. ffZjc'fcf*'^ что ограничение ^/^ на линейную
оболочку $ вектора J и T^fL) является мономорфизмом.
Очевидно, ®<z7l~(fi's+£0C^t+f0{£))) • Теперь малой
деформацией подмногообразия L в ^^/^ ^^£л {&)) »
сохраняющей точку Я , модно построить такое подмногообразие Z^^ /^*у,
в**г(*м) •что 7ia)^(ij и ^/zjctf.
Тогда сечения U=F90 и 1t= F* в± , #, ^"€/"/£)»
различны, поскольку различны их дифференциалы в точке ^~*^^^У»
1/.Ф1?-. Но с другой стороны, &(%)=</. (9) » тан что
*=«Г$ ^=^ £* ^=* ft? ^;;^^'^>//^.
Здесь мы воспользовались непосредственно вытекающим из определе-
ний равенством: T^/^J^^i i/iCf))* Из приведенной выкладки
видно, что и и^ J * {***)• Аналогично находим, что
V-=.L(if), т. е. "#-£>". Противоречие. ►
Следствие. Оператор Де^/С^^не является постоянным
тогда и только тогда, когда справедливо одно из двух
эквивалентных условий:
(а) ранг <J>( 'Фп , для некоторого а^ <? ;
(б) существует такой а - джет ^eJ^ C^ty)* чт0
£((9>*7(Ф0, где £ - оператор Спенсера. ►
Замечание. Доказанное предложение и следствие из него,
очевидно, останутся в силе для любой ^//? ~ связной области
V^J (fC), в которой выполняется равенство JO(</>)=*J ()i/J .
8.7. Определение. Диффеоморфизм <f: \~**V* » где V± , ?£-

90
L
области в J" fff), назовем сдвигом на т€'^7^'|^)» если ®с ^k^hy
Рассмотрим теперь U.(ft)- преобразование <f:Vj-* V^ ,' где
область V. - предполагается Ж,- связной. Т.к. последовательт-
ность Спенсера точна, то
Если к- cttm'7i>I , то у будучи U- преобразованием
сохраняет связные компоненты слоев проекции Ж. (теорема 8,5),
Поэтому джет у*Лзд^)горизонтален тан же, как и^ (д)\ но
he*) *(? ГА м) =Jm &*(я & *<£ ^ "& ел*-*,*-*)) ■
Поэтому в силу характеристического свойства элементов jo (Я)
(см. п. 7.2) Ч>*(^{Я))=/%№а) . где П^^щ+Ду , т.е.
(JktV^fK^'fkty^^C&p) • йз предложения 8.6 теперь
следует, что оператор Л^ постоянен.
Пусть -f^rfTTj- образ оператора Ау, • Тогда, очевидно,
^-^kf/J и' если^/З - сдвиг на (~#J , то fi*(fA СЮ+^сф
-Я(^)> Тем самым, доказана следующая
Теорема. Всякое Uk&h преобразование «^ - связной
области в J f/r) разлагается в композицию Rfflh преобразования и
сдвига, если KcLtmS&d* ►
Для к-я-cUmff^i эта теорема неверна. Пусть Ж~^м . Тогда
Us(fl) - преобразования F многообразия J~ fir) суть преобразова-
ния, сохраняющие слои естественной проекции T:J(ft)-*-T fA7)
и тем самым индуцирующие каноническое преобразование Г:ТfM}*
-*>Т*fM) , которое должно обладать производящей функцией.
Обратно, всякое каноническое преобразование F , обладающее
производящей функцией, порождает С/^/й)- преобразование F ,
определенное однозначно с точностью до сдвига на -^^canjt . Дока-

91
зательство этого см. в {з^ теорема 1.3,3. Б то же время f>f&)-
преобразования в этом случае представляют собой преобразования
функториально соответствующие диффеоморфизмам многообразия /V.
8.8. Рассмотрим теперь более подробно Р J&)- преобразова-
ния.
Теорема. Веяное Р,№)~ преобразование ^ - связной обла-
сти Vc T ОС) порождено фуннториальным преобразованием расслое-
ния#| =Ф(Ц)при некотором диффеоморфизме области ^fVJ^fC*
4 Пусть СР: Vr* Vo некоторый у> (Ж)- диффеоморфизм.
Согласно предложению 8.3 диффеоморфизм (J> является «^ - послойным и
порождает диффеоморфизм <-f ' V-* V* , такой, что (/> °7£,= £° У \
Диффеоморфизм if1 порождает (ввиду функториальности расслоения^)
отображение ^-Ф(У>/):Щу">^\у . При этом следующая диаграмма
< ■-*— к
коммутативна.
Из характеристического свойства элементов J> /Ж)- немедлен-
но следует, что (<jj>) 0°A^)hj°A^) , т.е. <f^ является Rfll}-
преобразованием.
Рассмотрим теперь ^к№)~ преобразование ^^У^ ° ¥ • Для
этого преобразования <ft = %ct . Если <^ не тождественно, то
найдется такое (локальное) сечение yfe ^^t)» что ~^*£9* » г#е
a,=.(ft<>-/ t Это, очевидно, противоречит тому, что ^ является
J°(ft)- преобразованием. Таким образом, Ф-tW • ^
М

92
§ 9. Инфинитезимальные автоморфизмы распределения
Картана
Материал этого параграфа по существу относится в главе III.
Мы помещаем его здесь по методическим соображениям, т.н. прово-
димое в дальнейшем изучение автоморфизмов распределения Картана
на J (&), а < **> , упрощается и делается более прозрачным в
результате использования излагаемых ниже техники и результатов,
относящихся в J°°(Jr)*
Описание инфинитезимальных автоморфизмов распределения
Картана на Т°°(ж)% называемых далее £ - полями, воторое дается в
этом параграфе, играет важную роль во всем дальнейшем изложении.
В этом параграфе основное расслоение #Г считается линейным,
если не оговорено противное;
9.1. В этом пунвте мы считаем, что задача Коми для уравнения
(9.I.I) jf^vfu) , иеГ/ф, 'Vetft£ftJ#
разрешима (разумеется, неоднозначно) для любых начальных данных.
Пусть uftjerfaj - неноторое решение этого уравнения, /е^Ь^?
и Aevtyf^f) , где fe - неноторое венторное расслоение над
М (базой расслоения^" ). Определим отображение
полагая
(9.i.2) /^мГ(4г%)Нйл^^\-^ ■
Это определение прозрачно по форме, т.н. имеет вид производнвй
фунвции ty^W вдоль "кривой" Kftfe Г/5г)ъ "точве" -U^Je/Щ
Оно, однаво, неудобно, т.в. основано на сделанном выше
предположении разрешимости уравнения 9.I.I и нуждается в проверив вор-
ревтности. Временно предположив его ворревтность, заметим, что
операторы -€. /R - линейны и, вроме того,

93
«^*^°< •/***
так что набор операторов определяет оператор
-^ •' ^с^я)-^ fFc*,f)
повышающий на А фильтрацию фильтрованного модуля t7?^ ft) •
Оператор -^ далее называется оператором универсальной
линеаризации (для Л ). Мы также будем писать-^L вместо -tf.
9,2. Дадим строгое определение операторов *£* . Пусть
VGrftg-ffift) - гладкое по t семейство операторов,
/е#с|Я ,и V= ct4t/tit\i„o-
Определение. ^ (%> V; ' **• ЛМ~а?(Л' V V*'
Очевидно, Afv) зависит тольно от Л и V , т.е. это
определение норрентно. Сравним его с 9.1.2, Для этого рассмотрим
семейство -id + ?v , где tcC •.Г'{я;)-+Пя) - тождественное
отображение. Если и{{) решение 9,1.1 и ufo)-% ъъ(£<€&)шАл*
Это означает «Определение 9,1,1 совпадает
определением 9.2 в том случае, яогда оно имеет смысл. Поэтому
в дальнейшем мы принимаем 9,2 за определение оператора
универсальной линеаризации.
Заметим, что
Поэтому, если оператор Л линеен, то "тг°Д~Д°'5г ♦ *вн что
Таким образом, eGjmAeDtfflfrfr) » ^Cf))t ™-€A(c/>)=&Cy>) ,
т.е
•
(9,2,1) -^ - К , если Д линеен.

94
9.3. Определение. Для заданного •#€ Г (ж) оператор
называется линеаризацией оператора А на сечении и •
Очевидно, -£(д/и)ъ2)г{{ (Г{л),Г{%) . Из 9.2.1 следует,
что -{fauJ^A, VtCG ГС*)* если Д<еDiff^ra? , Г($)).
Важное свойство оператора •€ дает следующее
Предложение. Если jfu)*(¥)=-J{uf(<fty% *bjfU)*<fA(if>J =
■■/{«Же/)-
"JF^^V^U*'Но *vMm№'WvwW-v^
Это свойство можно интерпретировать тан: операторы-^ до-
пускают ограничения на подмногообразия вида /v ^ с у ^.
9.4. Исследуем теперь "зависимость" -€А от оператора А .
Чтобы подчеркнуть, что А действует в сечениях расслоения jf ,
мы вместо -£д будем иногда писать •£? . Предположим, что А
является д.о. порядна «£ к . Пусть далее о является дифференци-
альным оператором порядна ^1 , действующим из ГСЛ) в С (At)m
Тогда определен д.о. о- А порядна ^maotfk^iffiAjM^/ty&fy.
Тогда в силу определения 9.2 имеем
Иначе говоря,
(9.*. I) ^ -#р * у*£ , /е Я&? , ?>е W^ f)
где
Для веяного <f/€0Uf(3r,JC) введем отображение Э=Э£''7&$)-»
-*T(JZ£)i положив 9^((p)--^^Cf) • Таним образом, 9.4.1
доказывает следующее
Предложение. Пусть (р^Т'^Ж)', $#£«?^|?]и -^G.Jffitf^).

95
Тогда
(9.4.2) Э* (Н) ' &$&) ' Э^Г/J- V.
Последнее вместе с (9.1.2) являются основанием для
следующего определения.
Определение. Оператор 3Z: &(&,&)"-' ?fc$) называется
эволюционным дифференцированием, отвечающим ^е ^{З^Я).
В частности, если Ш— ^, то Э^м является
дифференцированием кольца 5/Х/, повышающим фильтрацию не более, чем на к ,
если (£е tKfcfi).
9.5. Укажем теперь невоторые элементарные свойства эволю-
ционных дифференцирований. Рассмотрим вложение 4^ •'rff)"~%&k)*
Тогда для всяяих v'^rffl#*?-%; в силу определения 9.2 имеем
т.е. 5/^z — О . Таним образом, SL - вертикальное
дифференцирование.
Пусть теперь ft=k и &=.td^dtff%#). Тогда, поскольку
•/у=^, имеет место равенство
(9.5.D ^ ^; - ^
из чего следует, что всякое эволюционное дифференцирование одно-
значно задается своим значением на элементе <jp,, =^£ {ж).
Пусть £^D*ff(rff)/lQ$. Тогда для всех ^ € Ffafi) и
%е ^ £) справедливо равенство^^f[^%\^fjfP9** V^L
Поэтому ввиду определения 9.2 и определения операции /\
(9.5.2) $'Э*-Э{-£ .
Предложение. Всякий набор /? - линейных непрерывных
отображений Э*: ffi%£)~*!#%£)i Удовлетворяющий соотношениям (9.4.2)
и (9.5.2), имеет вид 3$ , где 3 *№#)*¥•
4 Рассмотрим отображение 3*—*$ ~ У (¥--/)&.£•*?&&) %

96
из множества семейств id*л« Э , удовлетворяющих условиям
предложения, в кольцо &"fft,fi) . Это отображение, очевидно, ^-
линейно. Если мы доважем, что оно не имеет ядра, то тем самым
доважем и наше предложение. Пусть ^э-0 и ое£г//(Т1гж);Г(ру.
Тогда ^^J-^VsSwJ- Э*@&ыЪ * Н° БВВД (9#5#2)
Э №f%'ff))-d'('3'(</>jt())='0 . Тавим образом, для всявого
линейного д.о. <?, Э (Wji)9^ • Отсюда в силу (9Л.2) следует, что
если ^^^eD^ffCr^C^l ToS*ffy...-<fy)-Sr
Но элементы вида 2?<Л'-•% образуют в вольце «/?^/всюду
плотное множество и поэтому &» = О ♦ отвуда в виду того же
соотношения (9.4.2) следует, что Э г является эндоморфизмом &щ-
модуля &ffi,f) • Посвольву элементы вида2^ 9J. »/*у € ^<^У »
f'€D*ff(Pfr) » /"??yj образуют в tFfc,$) всюду плотное множест-
во, то последнее утверждение вместе с тем, что «^4 9gi^e^ Для
линейных а , довазывают тривиальность 9 г для всех расслоений
Из довазанного утверждения следует, что воммутатор^ Э^]
для эволюционных дифференцирований oL и SL тавже является
эволюционным дифференцированием и сововупность эволюционных
дифференцирований образует алгебру Ли над
9.6. Введенные выше эволюционные дифференцирования
позволяют ввести в С°YA/J- модуль ¥{&,&) струвтуру н\ -
алгебры Ли.
Определение. "Высшей" свобвой Явоби сечений<£<fie.£jfyT)
называется сечение \^f>^/f\ * 9*(<р)-9у, f</>J'.
Предложение. Операция {' ,Л задает в Щл,Х) струвтуру
R - алгебры Ли.
4 С (Mj - линейность "высших" свобов Явоби, а тавже их во-
сосимметричность очевидны. Доважем теперь, что для них справед-

97
либо тождество Яноби, то есть
Действительно, {9f> Э^ЩД - ^fV£^)_ V^<%4)"
Поэтому
(9.6.1) Г^,^Ь^ •
Но Щ^\ЭХЩЭ^ %}9 B9V[{SX> Э91, Эу1 - 0.
Это, в силу (9.6.1) означает, что Э{{%9и{ЭЦ%%},ч>\ ~*
+ Э.. =>0 . Применяя обе части последнего равенства в
элементу ср. , получаем искомое. ►
Воспользовавшись данным выше определением можно ввести
операторы Хр: Ф(Я,Ю~*^&$* положив
(9.6.2) Lf(v)-l9M*l3f-fy)M> % pe?%&) •
По причинам, которые станут ясны из следующей главы, оператор^
можно назвать характеристическим для уравнения ££=#• Очевидно,
Х<р является д.о. порядна ^-б , если ^б^1)и Х^^^,
9.7. Пусть в окрестности ttcM заданы локальные
координаты B^fa^...,**); пусть далее €£)£^ •-.,£„ ъ&Ж»-У*Г
локальные базисы сечений соответственно расслоений & и £над?<£,
Тогда в «^е«^ CUJ возникают локальные координаты C^t'j/^rJ •
ь = 4у..3п% ^-±г~,тл\е\$ к , а сечения^ и срл (см. п. 9.2)
запишутся в виде
Поэтому
I / *ЧI
Имея в виду, что V, , *га и тг L = v* получаем
t\t=o at W"0

98
df4
AoVif
''Jrjfe&M ^Srs^V*-
Таким образом,
(9.7.1) /„ = £ Т^-/Лг>/
-Г т^-<А
Здесь и далее символ Z?T означает, что оператор ^
применяется в J — ой вомпоненте сечения ^ •
Если сечение <ft'е fFftrpr) ловально имеет вид j^—ZV-^»
то
<?
/5*;
Отсюда следует, что если cf = ZV^^^to
Если Я~$м > то ffftiXj^Pffi)'. Если <f>><p^3j{%~) » го из (9.7.3)
следует, что^у, ^j совпадает с вонтавтной свобвой Пуассона ^
и^ вав фунвций на Tt(f ){щ* 1>б] ).
9.8. Приведем теперь центральное для этого параграфа
определение инфинитезимального автоморфизма распределения Картана
на <Г°*(Ю% или С - поля. Расслоение & в этом п. может быть
нелинейным.
Рассмотрим цепочву мономорфизмов внешних алгебр
Прямой предел этой цепочви обозначим А - A fir) и будем
называть алгеброй дифференциальных форм *&J'00fJc')\ Однородные вом-
поненты этой алгебры обозначаются Al=A (Ж). Ниже мы
отождествляем А*[<Г (Л)) (соотв.,Л (М)) с^!/^1^/"г^(соотв., с

99
В п. 7.2 был построен оператор C£:7/fcJ-*A • <f fitj-
подмодуль в Л* » порожденный подмножеством itn U£ , назовем
подмодулем Картана и обозначим Л1"*» Пусть С А*шСЛ /Ifffjfip)).
Тогда из предложения 2 п. 7.2 следует, что QA* есть аннуля-
тор распределения Картана на J CJ0. По этой причине мы примем,
что СЛ есть аннулятор распределения Картана на У Сх).
Определение. Дифференцирование X^Dffiu')) называется С -
полем, если Х(СЛ)абЛ.
Совокупность всех С -полей, обозначаемая далее2?=^^,
очевидно, является подалгеброй Ли алгебры Dffffi).
Лемма. Всякое С - поле X » аннулирующее поднольцо ^^с
с Sfr?) тривиально.
4 Докажем по индукции, что X аннулирует все кольца t^/C^,
къ-0* Первый шаг индукции есть условие нашей леммы. Пусть
теперь .ЭДГ (Я))=0. Тогда,для всякого /€ 1ГСХ),ЩЦ(£))-
-<tt$-X(d(f)) , т.к. tZ(f}*tf-df • В частности, если
/€<?~/ &0 • то по предположению индукции 2L(U(£)) —
= ~Х(&(/))• Поскольку X является С - полем, то Х(Ц(/))Ш
- TjQ . U(-ft) » %i » fy е е//Й^• Поэтому для всякого сечения
ф^Г(Я) , /(9f(X(Vjf)) • Таким образом,/^Х/Ц^^.
Но д^ является горизонтальной формой, т.е. представима в виде
df^T,^ Ah: , где к: €.C°°fM)y O.J е 1F&). по условиям
леммы X(fy) ~0 , так что
также является горизонтальной формой. Но для всякой
горизонтальной формы с<о -Yjejdfi- равенство 0i(<?)*(&>)**0 для всех <//
означает, что оО-О . Таким образом, Xfrf'f) ^@ • Рассмотрим
теперь локальные координаты и в качестве -^выберем координат-
ные функции Д. , (<г/</£. Тогда ар = Т,^. #%• и,
следовательно, X(dp^)^ZXfp^.J^-CP l Таким образом,Xf^j=0

100
для всех t 9J ъ V 9\&\<6 . Поэтому Х-0 на ^ /%j . ►
9.9. В этом пункте поназывается, что эволюционные
дифференцирования являются С - полями.
Предложение. 3^°J>^/>M°9^ , Vy € &(%&).
4 Пусть у=Аф. Используя определение 9.2 имеем:
Т.н. сечение UG.J7 /Ж) произвольно, а джеты Эф(/^С%)) и
^°м(^ф(Ф&)) горизонтальны, из полученного равенства следует,
Следствие. ^° ££« ££в^ » V? е *№&) .
4 Следует из доказанного предложения ввиду того, что Cfe-
в»?вА , где 8 - оператор Спенсера, а операторы Спенсера
перестановочны ввиду их естественности с производными Ли. ►
При а =/ имеем: 3(f,((/1(f)=Ui(9<ptf)) , что показывает,
что Эф есть б - поле.
Отметим также следующее полезное соотношение
(9.9.1) k'J>M-f>k-X, X&Dfrt).
Оно доказывается дословно так же, как и предложение 9.9. Из него
(см. доказательство следствия 9.9) следует
(9.9.2) X' Uk = Ц.Л
Поэтому операторы вида X также являются С - полями. Более того,
(9.9.3) 2С-" Ut tf)~0 , Vfefify. л л
Это следует из того, что и того, что Хг* ot^Xtf).
9.10. Пусть теперь Y' С°°(М)^^СЯ) - произвольное
дифференцирование кольца С"(М) со значениями в - модуле
Jfc(fi) . Определим отображение У',^^^/^следующим
образом. Для произвольных -и^П {X) и с/>е $Ж/попо%т

101
Оператор / , очевидно, является дифференцированием алгебры$№).
Лемма. Для любого дифференцирования
оператор У является 6 - полем.
< Пусть YeDfM)) т.е./=-/ . Тогда, очевидно, Хш Y .
Поэтому, как поназано в предыдущем пункте, Y является в этом
случае С - полем. При ^">-У веяное дифференцирование ~Y:C (М)~
-*%(*)% по крайней мере локально, представляется в виде У~
-E&Y- » где y.G&CJi) , Y- €-D(M). Отсюда следует, что
У=4-у.У. • Воспользуемся теперь соотношением, справедливым
над любой алгеброй А:(лХ)(сО)=С1Х(а>)+сО(Х)с1бь , где
аеЛ f a>€>lxMJ. ЪшТ(иЛЯ)~Щ%(Ц(/)) +
+(Y<-*U1(fj)d<p.'] . Но, как показано в предыдущем пункте
9.II. Пусть Xi^f&^ffitfJ- некоторое 6 - поле.
Рассмотрим дифференцирование X^Xj •'£ (М)-*£(%)'т Тогда
Х~Х_^.' *¥(%)—></№) является вертикальным дифференцированием.
Лемма. Всякое вертикальное дифференцирование*'•%&)—ZK(%)
однозначно продолжается до такого эволюционного
дифференцирования Эу, , что 5^^|^яг; •
4 Рассмотрим отображение, сопоставляющее всякому
эволюционному дифференцированию Э^ 9 ^^^С/А^/, вертикальное
дифференцирование Y~ЭуХя-~у Yt/fc)-*rf.(k)'. Это отображение»
очевидно, /?- линейно и, как следует из формулы (9.5.1), не
имеет ядра. С другой стороны, то же соотношение (9.5.1)
показывает, что лонально всякое дифференцирование, удовлетворяющее
условиям леммы, продолжается до некоторого эволюционного.
Действительно, компоненты {р.. в специальной системе координат суть

102
U- . Поэтому требуемое продолжение можно задать полагая
t
ft-(0>->0J' где Я* =Yft<i)• Из ЭТ0Г0 Фанта и того, что
построенное вше отображение является мономорфизмом, следует, что
У можно продолжить до эволюционного дифференцирования и
глобально. ►
9.12. Пусть X - некоторое С - поле. Рассмотрим
ограничение (5 - поля К-Х± на алгебру *%(%) и в силу леммы 9.II
продолжим последнее до эволюционного дифференцирования, воторое мы
обозначим через Эф • Тогда ограничение дифференцирования Х~
-Х~дф на ^(я) тривиально. Это вместе с доназанными выше
леммами влечет за собой следующую теорему.
Теорема. Веяное С - поле имеет вид Xs3& + Y » где
невоторое дифференцирование. ►
Следствие. Существует взаимно-однозначное соответствие
между & - полями и дифференцированиями из ^№) а &*№).
•4 Действительно, ограничение веявого ^ - поля X на %№•)
определяет дифференцирования этого нольца со значениями в ЙЦ?,
причем ввиду леммы 9.8 тавое соответствие инъевтивно. С другой
стороны, если - невоторое дифференцирование,
то отображение У- У f | F тл , где Y±= Y\c-(m)
продолжается в силу леммы 9.II до невоторого эволюционного
дифференцирования Эу • Тогда (Т^ + Sv)\<F(fiff*V
9.13. Уважем интерпретацию теоремы 9.12. Из формулы 9.9.3
следует, что С - поля вида У , а, значит, и вида У касаются
подмногообразий М-* , -6^-7} /Ж). Тавим образом, оператор сдви-
га по траекториям поля х , если бы он существовал, оставлял
бы на месте многообразия М^ . С другой стороны, оператор
сдвига по траевториям невоторого Q - поля X , если бы он
существовал, сдвигал бы М£ в М£°* порождая тем самым "потов" 3,
в "многообразии" П (я) (на самом деле, строго можно говорить

103
лишь о скорости этого потока). Нетрудно видеть, что -^-|^ =
-}(-6)Ф и в этом состоит смысл сечения ^ • Поэтому этот "поток"
тривиален, тогда и только тогда, когда Xs У • Поэтому С -
поля вида У мы будем называть тривиальными и обозначать их
совокупность
Заметив, что (2D есть подалгебра Ли в . Кроме того,
т.к.[9^,Х"]- 0 (формула 9.5.2) и веяное поле Y представимо в
видеТ^Г^Х- , то[9^,Т]€^ • Таким образом, CD есть
идеал алгебры Ли Л , причем фанторалгебра ^-^^=^<^§т>^
изоморфна алгебре Ли всех эволюционных дифференцирований или
алгебре Ли fffcfi) относительно высших скобок Якоби^* , • }• «Тем
самым теорема 9.12 устанавливает каноническое разложение
всякого и - поля на "тривиальную" и "эволюционную" части.
§ 10. Строение автоморфизмов распределения Картана
В этом параграфе дается полное описание автоморфизмов
высшей контактной геометрии второго рода (см. 7.5), а, именно,
распределения Картана на И^ , £<°°* Мы рассматриваем здесь
как нонечные тан и инфинитезимальные автоморфизмы, которые
лежат в основе классической теории симметрии дифференциальных
уравнений.
Автоморфизмы (инфинитезимальные автоморфизмы)
распределения Картана на ^т* ^<0° , мы называем преобразованиями Ли
(соотв., полями Ли).
10.1. Определение. Диффеоморфизм F области 2£ct/^ в
область 11£ч//*т назовем преобразованием Ли, если ^^(^)с^(л
Всякое преобразование Ли F! ^£"*^» где ^•с«/^г » порож-

104
дает преобразования Ли
Именно, всякою точку %% F-^m. можно понимать (см. пп. 7.3,
7.7) как класс С^^н) касающихся друг друга о порядком ^ /f -
многообразий в точке ^^^.+4kf^Z+s) • При преобразовании Ли
такие классы переходят друг в друга, т.н. R - многообразия
переходят в R - многообразия. Поэтому F •'можно определить
равенством:
(I0.I.I) <r<, (F "}(«м)) = F(e*4 («*+,))
Следует, однако, иметь в виду, что данное определение имеет
смысл только для таких точек %-км » чз?о ^fc^jfyt**)) состоит
из R- многообразий, которые вблизи точки Ffx ^ имеют вид
для некоторогоZc/^ . Это равносильно тому, что их общая
касательная плоскость, а, именно, cCF(l>x J, где ^.^ =
~^кН k+tfek+i) • без выР°жДения проектируется в /£ .
Множество точек 3LM+j » где г не определено, является,
очевидно, замкнутым подмногообразием в ^^^ С™*) • Тем не менее,
ради краткости, мы будем говорить, что F определено в
^~*Н к C^i) • 0™емп| также, что
3 с (4)
Предложение, г является преобразованием Ли.
А Заметим, что для всех 49t&0 F —(F( J . Поэтому
это утверждение достаточно доказать для -^=У.
Пусть ^€^m и х*9*А+*Ухы) • Тогда из С10-1-1)
следует, что
Отсюда, т.к. £L ^СбСЯ'м аГ*(L<r ) (см« предложение I из п.
7.4), следует, что ^CFr£J(C ) = Сг'*){х У*
10.2. Рассмотрим инфинитезимальный аналог преобразований

105
Ли.
Определение. Полем Ли (=инфинитезимальным преобразованием
Ли) на j/\^ назовем такое векторное поле, операторы сдвига вдоль
траекторий которого суть преобразования Ли.
Непосредственно из определения вытекает
Предложение. Поле Х^ЪС^ю) является полем Ли тогда и
только тогда, когда Х(Ск)^С^ . ►
Поле Ли X на Жт следующим образом поднимается до полей
Ли X на iA/^J , % >, 0 .
Пусть {А } - однопараметричесная (локальная) группа
сдвигов вдоль траекторий поля А • Тогда lA^ } - однопараметриче-
/*kt$
сная группа преобразований Ли на Л , порождающее поле
которой мы и назовем поднятием А • Из сказанного ранее вытекает,
Из предложения 10.I отсюда следует, что дифференцирование
X'^D&X))* определенное равенствами Х<°")\^ ~Х"Ь) •
является С - полем. Таким образом, имеет место
Предложение. С- поле У тогда и только тогда является
полем Ли (т.е. имеет вид X , где X - поле Ли на некотором
/"к с~"
И/ ъ , когда оно сохраняет фильтрацию в &<$:)• ►
Обратим внимание на следующий очевидный факт: V -
преобразования (конечные или инфинитезимальные) являются
преобразованиями Ли.
10.3. Описание полей Ли базируется на следующей лемме.
Лемма. Пусть X - поле Ли на J (Я). Тогда Х= 0 в том и
только том случае, когда Xj1^№)*0.
4 Рассмотрим С- поле Х'***» соответствующее А . Тогда
X^ViSt^X^V^h Представим X °° ъ видеХ^Эу+У , где
Y* С^(М)-»<^(^; • *Ьгда X(°!i IJcflt) = 3{JlftK)-f • Поэто-

106
му» X ф0 , если /V 0 .
Предположим теперь, что -£=0 • Тогда X«У ♦ Но
ненулевые операторы вида Y повышают фильтрацию в J (л) * по
меньшей мере, на единицу. Поэтому, ввиду предложения 10,2 можно за-
влючить, что У= 0 . ►
Предложение. Пусть X - поле Ли на J (Я) и -/=Х-* l^fo) •
Тогда /е <^(Ж,Ф) .
* Воспользуемся соотношением .X-J i^^j -^^(f) (см* Il8'3i
стр.93). Но, если фильтрация элемента ^s 3p£,7l) равна ^, то
фильтрация джета f> (<f) равна /6у-Л-^ • Поэтому /•£•
(фильтрация Х-1 К^ =р+к-1л отвуда f>$i .*>
Лемма 10,3 и предложение 10,3 повазывают, что всявое поле
Ли X однозначно определяется сечением f—X~*Ut(&)&Vi(X>tX) .
В связи с этим естественно спросить, вавие сечения =*?<е Ъ£(х,я:)
имеют вид XJ UjfitJ , где X - поле Ли? Полное описание тавих
сечений, воторые естественно назвать производящими, будет дано
ниже. В этом параграфе мы ограничимся тольво нлассичесвим
случаем тривиального одномерного вевторного расслоения .Т- Им . В
этом случае на J (1?м) форма ££ (Я) задает вонтавтную струвтуру
(см. fsX] ) и преобразования Ли в этом случае суть ни что иное,
вав вонтавтные преобразования, Кав хорошо известно (см. f3l] )
имеется взаимно-однозначное соответствие между вонтавтными
полями на ? (fM) и фунвциями -feC (J*^)9^^)* задаваемое
отображением X'—"X-^Uj/W) , тав что любая фунвция на J" (Я„) -
производящая. Пусть вонтавтное поле Y/ яавово, что j>j ^^~/«
Тогда свазанное выше приводит нас в следующему утверждению.
Теорема. Пусть Х- влассифицирующее поле на J (#м)*
причем /-X-I JJ/jrJ. Тогда X=Yf*} . ►
Следствие. Сдвиги по траевториям всявого поля Ли на J" (JZ),
Ыгт7{**1л суть ^^ - послойные преобразования, если/£^^./.

107
4 Действительно, для Я~АМ это непосредственно вытевает
из доказанной теоремы. Случай произвольного одномерного
расслоения сводится к ^"в/^ , посвольву локально всявое тавое
расслоение тривиально. ►
10.4. ПустьХу=У/ • т°гда согласно теореме 9.12
X.j-dJ-'Zn где Ъл - поле вида W , Опишем ILo • Для этого
воспользуемся следующим свойством поля Y '• Yp^dC^pz) =
*X(f)ll-dficu. [si]). но Ww~2ctq, (W;3f) tdcifyty
= OtV£fi (см. [18] , § 3.4). Поэтому
%(*) " **£ <*)(fy ty(Y^dVt(X))fy)-
Таким образом, имеем
(ю.4.1) l^-X^f]-^ ,
(10.4.2) Х^ - 5, - £ *Х, ^ ^^ Г//
Напомним, что траектории поля Xj являются
харавтеристиками уравнения первого порядна ^=^ , Ввиду(Ю.4.2) построенные
в п. 9.6 операторы X*, •/<& f?ify£)* являются обобщением этого
понятия на уравнения высших поряднов.
10.5. Опишем теперь структуру преобразований Ли.
Теорема. Пусть F: U£ -*"&£ - преобразование Ли, Я£сЛ^ ,
к>£ , ъб-0 или I соответственно тому тп>1 или m=l\
Тогда, если область и. -&,* - связна, £<*<£ , то
а) преобразование F Жк - послойно и, значит,
порождает такой диффеоморфизм f}'^* №*)"*&£ £ С^л) » что /f • "J =
в) £; ^г^^*/"*^,* Г *t/ " преобразование Ли;
4 а) Случай /тг>/ или n=Ui/n n>£\ Рассматриваемая
ситуация неисключительна и поэтому слои проекции Ж, . ^
Ъ
и

108
только они являются, в силу теоремы 7.7 интегральными
подмногообразиями распределения Картана максимально возможной
размерности. Поэтому при преобразовании Ли их связные компоненты
обязаны переходить друг в друга. Заметим, что <^ ^ - связность
влечет за собой Щ*~ связность, k&t>& . Слои проекции
\k-Av связны' и» значИ1» F есть ^ А_£ - послойной
преобразование. Пусть ^.jr-'^/fc-jr^J-"-^ /-/ С^а)~ инДУНиР°ванное
F преобразование, т.е^ ^t°^/t-i = %Г ° F* . Тогда /%.£ -
преобразование Ли. Действительно, в силу предложения I, п. 7.4
С другой стороны, если I/rc^\^(%) открыто, то
L(Wj*((/Lj)*4- открыто в б и линейная оболочка X(W)
множества L(W) совпадает с 6» . Поэтому, если W** ^£-
Итак, /jT^ - преобразование Ли. Как при доказательстве теоремы
8.5 убедимся, что F^F* Л , •
Далее, отображение /£ •• Ж , (VQ-+& ^^удовлетворяет
предпосылкам теоремы, если £-!>€. , и мы можем повторяя
проделанное рассуждение, последовательно построить£" и т.д. до/Т.
в) Случай m=n = i . Согласно п. 7.7 интегральные
многообразия распределения Картана в этом случае всегда одномерны.
Поэтому ^£^ - послойность преобразований Ли приходится
доказывать из других , нежели в а) соображений. Оставшаяся часть
рассуждений п. а) остается без изменений.
Итак, установим $LA„X- послойность преобразований Ли &>1\
Ввиду локальности этого фанта его достаточно доказать для

109
Пусть JC,<e J (71) и Ьж. - интегральная кривая, без вырождения
проектирующаяся на J ^вблизи точки ^ . Тогда существует
поле Ли X ъ ? (%)* сдвиги вдоль которого оставляют точку -^
на месте, но поворачивают /£ (£). В качестве такого поля можно,
например, взять любое поле вида Э» }^ГС%) , где [/J -0 , а
W& *0 * Xs%(%/J # пРеДполояим теперь, что F не^^-
послойно и, значит, найдется такая точка я^е ъС^ , что £~
= F(ft/?!c-i(K-i)n ^t) • ZL*m^*-/**)ч без выР°жДения
проектируется на /" ^- вблизи точки ■^-/С?%/)» Поле FfXj-
=F *1L°F , очевидно, является полем Ли. Сдвиги вдоль него
составляют СЕ. на месте и поворачивают 71,(F~JLJ)=7^'(^^(x^Ji
что противоречит тому, что сдвиги вдоль полей Ли & .-
послойны (следствие 10.3).
Таким образом, преобразования Ли (поля Ли) в Угт , к>1 ,
являются в случае fn^d поднятиями преобразований Ли (полей
Ли) из x/vm , а в случае /п>£- из <" ■=«/Vt • Распределение
Картана на ^т задает контактную структуру при т -/ , так
что преобразования Ли (поля Ли) на Уг^ суть контактные
преобразования (поля). Кроме того, всякий диффеоморфизм (векторное
поле) области есть преобразование Ли (поле Ли). Ввиду
сказанного, теория преобразований Ли сводится к теории
контактных преобразований при т=1 на /)Гт или обычных
диффеоморфизмов на при 7п>1 и теории их поднятия в У^щ»
10.б. В заключение опишем сечения -f , отвечающие полям Ли
на J (Ж). При этом можно считать (см. п. 10.3), что Ытг&>1. .
Определение. Сечение -fe.jF(ft?7Z) , отвечающее полю Ли
X &D(J (Я)) , j?mX -*UX№) i мы назовем производящими.
Пусть 2&D(E) , Е=Г(Ж) , - таное векторное поле,
поднятие которого в J*(fi) совпадает сХ^, Тогда, согласно
предложению
3, п. 7.4, 'fCxg)ss'X. -» UgfX) совпадает с проекцией векто-

но
pa Х# на £л вдоль Lx , где &ош^0 ^J, ^'^ f#J .
Вычислим, -f(*t+0)-ffa) \ где ^€^*«2J* .
Пусть ^е/Т^/таново, что ОТ^ ~^ • ТогДа» ввиду
предложения 4.2.5 из £18] имеем:
J - оператор 0 - последовательности Спенсера.
В частности, если 0=с*)®е ,сое7^ (М), ее£ , то0у£Л£)е)«
в софе , а следовательно
(ю.6.1) f{xt + t4<z>e)-ffa) = -<0fa(XxJ,cA>>e .
Итак, производящее сечение -f , в каждой точке многообразияТ(%)
должно удовлетворять (I0.6.I).
Обратно, предположим, что сечение -/^Ух (7ГЯ) удовлетворяет
условию:
(ю.6.2) //-#, ^ cj ® е) - #й^ - - Л^ fay e
для некоторого функционала Але (Тх(^)) =Т(М)'. Покажем,
как в этом сяучае, по сечению -f восстановить векторное поле
Х*Щ*в&% чтобы -f^X^qgL
Положим
(ю.6.3) X^ftxJ+dhfA^),
где к^П (Я)* [к] **Я1% а ^^понимается в силу линейности
£л как вектор из T^JE^.
Покажем, что из 10.6.2 следует, что вектор Х^ зависит
только от точки ^ег ,а не от точки VC^J(л). Для этого
сравним правые части 10.6.3 в точке а^ и <£±+со®е . Получим
где ^е С~(м)% ее Г (л) \ £&,) =0, ^х=^ , е = ё{я) .
Итак, в случае, когда Uim fi>I, мы доказали следующее утвер-
+
ждение
.

Ill
Теорема. Сечение ^е ^ (ЩЖ) является производящим в том
и тольно том случае, когда
(10*6.4) (O+*><iHif(f)m0*ff)-<A(i>^ ($))> сд>4
для произвольных и некоторого
гомоморфизма Щ0 (&))<=. Нот^^ (Л*(М), С~(М)) = D(M) .
Приэтом поле Ли X =Ха » соответствующее у , удовлетворяет
соотношению
< *-(*р (&)), «>>=\о (в)*<*:°>, хр> >
Определение. Векторное поле X s G.D(J(kj) группа сдвигов
вдоль ноторых состоит из С/ - преобразований, называется С/-
полем.
Следствие. Поле Ли Хр является U - полем в том и
только том случае, когда ^(^^(^£))=Я(^0(6^))^ для любых ^.^е
e/J^Jn следовательно, определяет векторное поле Я на М .
4 Согласно теореме 8.5 векторное поле -Х- должно порождать
_ г
автоморфизмы расслоения w , т.е. должно накрывать некоторое
поле У=ЗГ (Х*у* Осталось заметить, что Я SY . ►
10.7. Укажем запись в локальных координатах полей Ли
Выберем локальные ноординаты СС1У...,С€п в М и базис
е*г>ет в сечениях Г (ж) над рассматриваемой координатной
онрестностью О • Базис в ^(Яр?) над 71~± (У), порожденный
е*>-,&т • обозначим е/,..., е£ ,е*=^* fej •
Тогда сечение -fe^^Ti) , удовлетворяющее (10.6.4)
запишется в виде:
где 4 - 4- ^,..., *л , ^. .., ^;, *, -%/%,-&,*„-•&,}.
Соответственно, из (9.6.2) получаем, что

112
§ II. Классическая теория симметрии дифференциальных
уравнений
Аналогия с классической теорией одного дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка так же, как и
целый ряд других соображений, приводят к целесообразности
обобщить обычное понятие решения дифференциального уравнения ^^т
и таковым считать R- многообразия (см, п, 7,7), лежащие на$^.
По этой причине симметрией (внутренней) уравнения У
естественно назвать такой диффеоморфизм у в себя, который обобщенные
решения уравнения У снова переводит в обобщенные решения. Нетруд-
во видеть, что диффеоморфизм У в себя тогда и только тогда яв-
ляется симметрией уравнения ^, когда он является
автоморфизмом распределения Картана на *(/ , Всякое преобразование Ли
F:^m-^J^m » такое, чтом?/-^ , очевидно, является
симметрией (внешней) уравнения
Классическая теория симметрии Софуса Ли, развитая в наши
дни Л .В.Овсянниковым и его ученинами (см, [35] ), представляет
собой с точки зрения введенной терминологии теорию внешних
симметрии. Полученные в предыдущем параграфе результаты показывают,
что группа внешних симметрии уравнения ^с */¥^ является
подгруппой группы диффеоморфизмов области 3^ (У/)<: у\Г , если/тг>/,
и подгруппа группы всех контантных преобразований области
^ J^jc/f^y если /?*-/. Если {/<=-7 /#?, то в
неисключительном случае, U - преобразования, сохраняющие </ , суть те
внешние симметрии, которые сохраняют класс обычных решений <; . В
этом состоит значение теории преобразований Ли и (/ -
преобразований для теории симметрии дифференциальных уравнений.

из
В связи со сказанным вознинает вопрос о вычислении
внутренних симметрии дифференциальных уравнений и, вообще, о
выяснении соотношения внутренней и внешней теорий. Ясно, что
"внутренняя" точка зрения является правильной, тогда как "внешняя" -
удобной.
Б этом параграфе даются ответы на поставленные вопросы и,
в частности, показывается, что для большинства уравнений,
встречающихся на практике, внутренняя точка зрения совпадает с
внешней. Тем самым для таних уравнений классическая теория не может
быть обобщена за счет перехода на "внутреннюю" точку зрения,
11,1, Пусть cr^i/r/n^ дифференциальное уравнение.
Определение. I) Преобразование Ли F: /\/>п^дт называется
внешней симметрией уравнения если F(W)C У.
2) Поле Ли y^D (^т) называется внешней инфинитезималь-
ной симметрией уравнения У , если оно касается этого уравнения.
Легко видеть, что эти понятия имеют и локальные аналоги.
Очевидно, внешние симметрии уравнения J образуют группу
преобразований, которую мы обозначим через &Сь0 (*щ
соответствующая ей алгебра Ли состоит из всех внешних инфинитезимальных
симметрии и обозначается через •& (У)'.
Пусть -
ограничение распределения Картана на уравнение ^7.
Определение. Диффеоморфизм на ^/ (векторное поле на
называется его внутренней (инфинитезиадальной) симметрией, если
он (оно) сохраняет распределение саг).
Как и выше, множество внутренних симметрии образует группу,
обозначаемую через с алгеброй Ли состоящей из
всех инфинитезимальных внутренних симметрии,
В дальнейшем, если из контекста будет ясен смысл, инфини-
тезимальные симметрии будут называться симметриями.

114
Очевидно, ограничение внешней симметрии на уравнение
определяет его внутреннюю симметрию, тан что имеют место
гомоморфизмы
&.№-&№), А (*) ~Ь{У)
Уравнение У называется ординарным, если эти отображения суть
эпиморфизмы. Т.е. ординарное уравнение 1/обладает тем
свойством, что для всякой его внутренней симметрии F найдется такая
внешняя симметрия (преобразование Ли) F , что г yy-F • При
этом сразу же возникает вопрос, сколь неоднозначно определена
подобная внешняя симметрия F . Этот вопрос, в свою очередь,
тесно связан с тем, насколько внутренняя геометрия уравнения У,
т.е. многообразие с заданным на нем распределением С (У) ,
определяет его внешнюю геометрию, т.е. объемлющее пространство
кПт , снабженное распределением Картана О , и вложение i-^°-*
<=~ /rf, при котором Ш(СЛ(^)'Т^У)П Сл , ^еУ, Урав.
нения, для которых внутренняя геометрия в указанном смысле
определяет внешнюю, мы будем называть жесткими. Ясно, что жесткое
уравнение является ординарным. Обратное, разумеется, неверно.
Примером этому служат уравнения первого порядка от одной
зависимой переменной.
Заметим, что всякая внутренняя инфинитезимальная симметрия
жесткого уравнения однозначно продолжается до его внешней инфи-
нитезимальной симметрии. Это сразу следует из того, что
операторы сдвига по траекториям внутренней симметрии в силу
жесткости уравнения однозначно продолжаются до преобразований Ли
многообразия У^т.
II.2. Нашей целью теперь является установление достаточных
условий жесткости уравнения \/ . Для этого нам будут полезны
вводимые ниже понятия.
Напомним, что приводившееся в § 10 доказательство теоремы

115
о структуре преобразований Ли в неисвлгочительном случае основы-
вается на том, что слои проекции ^^-/•'•^""V^. и только они
являются интегральными многообразиями максимальной размерности
распределения Картана на пространстве ^m. Это мотивирует
следующее
Определение. Уравнение называется С- - общим,
если выполнены следующие два условия:
1) множество ^кк (*// всюду плотно в некоторой области
2) слои отображения ^"«^ М-А<у '• ^">"5 к-± С^) связны и
они и тольно они являются интегральными многообразиями
максимальной размерности распределения С (*У).
Оказывается, что всякая внутренняя симметрия G - общего
уравнения %f/^L определяет некоторое преобразование области
^ус ^т • А именно, справедливо
Предложение. Если - общее уравнение и
то найдется такой диффеоморфизм F области %^ , что диаграмма
х*
коммутативна,
4 Пусть Я. ^Я .^ (*У) . Тогда, в силу определения П.2
множество &L (Я%_4) является максимальным интегральным
многообразием распределения б(ъ) • Если F*Xi У , то F -
автоморфизм распределения С (У) и, значит, Ff&y Глк-±]) - также
интегральное многообразие максимальной размерности этого
распределения, т.е./т^^яг ))=^у/я? J Для некоторой точки ^.J2
^ Itgy # Положим Ffx^j^x/^ . Очевидно, «^(^v^.JJ^^ .►
II.3. Выясним условия, при которых построенное в предыдущем
пункте отображение /^'является преобразованием Ли области *4^ .

116
Для этого нам понадобится еще одно
Определение. Уравнение называется и - полным,
если для любой точки ^.^€^ю.С'У) линейная оболочка
множества (J . L„<z7L f/V*£.) совпадает с нартановской
плоскостью g
Таким образом, уравнение б - полно, если оно целиком
определяет картановские плоскости в точках из ^ ^л ("У).
Предложение. Если С - общее уравнение 1 - разрешимо и d -
г-/
полно, то отображение г , построенное в предложении II.2
являет'
ется преобразованием Ли. Более того, поднятие г будучи
ограниченным на совпадает с симметрией
4 Поскольку уравнение \f- С- полно, то для доказательства
первого утверждения достаточно показать, что если векторJ&ZL »
Пусть З^е^^ такова, что &м £.(хк+*) в^• ТогДа
Lx a Tx (У) и ^^ye-i^c- J"4r • Поэ!РОМУ найдется
такой вектор Y e Lx , что d^fYj^f. Тогда ^'(Y)^
- автоморфизм
распределения С (У). Поэтому dFfj^J е £^, ^ /^с (^_^ # с другой
стороны, /#fe.k-i( РФ ))~^/?/х ) ^ои' пРеДложение *» п-
7.4), тан 4*oJdF'(Y)*LF( } ^Ср>(х .
То, что диффеоморфизм А совпадает с ограничением на ^/
поднятия преобразования Ли F означает, что dF fLx \-L^^x » ,
#,€*У . но предыдущими рассуждениями показано, чтоC^FfL^J^-
с ^Ffx • а тав нан ^ " диффеоморфизм YL^mL^n-oUmL^^
то и это утверждение доказано. ►
Уравнения, удовлетворяющие требованиям доказанного
предложения мы будем называть нормальными.

117
Условие С - полноты в присутствии условия I -
разрешимости можно заменить следующим: линейная оболочка подпространств
Л*к*.± (бхк ( ^с CX/ii , Xt « Я£(ХЫ) , порождает^., .
Действительно, в этом случае Z^ СС^ С^)с^х ^k+f' " и
<•
Это замечание показывает, что понятие нормальности
является "внутренним" в том смысле, что его можно сформулировать зная
только многообразие \7 и распределение C(JJ^a нем (т.е.
рассмотрев согласно Э. Картану пфаффову систему, соответствующую
5^)* Действительно, интегральные многообразия максимальной
размерности распределения ^/^зададут нам в этом случае
расслоение 9 , базу которого В мы можем снабдить распределением:
Зэ£*—* С* в < линейная оболочка подпространств
В рассматриваемом контексте В- Zly и у. описанное
распределение есть распределение Картана на tCcy •
Если далее мы рассмотрим многообразнее /г- мерных
максимальных интегральных подпространств построенного на В
распределения, то 1УСВ*Ги В=&м *-±№ф' •
Эта процедура показывает, что условие нормальности
позволяет восстановить "внешнее окружение" уравнения Т/ , т.е.
восстановить вложение J с У/*т исходя только из задания
распределения . Тем самым доказана следующая
Теорема. Нормальные уравнения являются жесткими. ►
II.4. Выпишем теперь в более эффективных терминах условия
нормальности уравнения Ц/ , начав с I - разрешимости.
Пусть Ус J (Я) задано как множество нулей некоторого
оператора Д&я*/^^р) » где^-ч?-*/^- векторное расслоение,
т.е.

118
Т.к. & '= (Ум "jrCOJlCM) , то из коммутативности следующей
диаграммы
1 (То) ^ J (Ж) М
</>
-i э^.о
<е
Л
о
1 Jt-i. ° т Г"'
следует, что множество Ип^ы**, (®) непусто, если
отображение УА«) :%s£4dfJC (&J^Xj0(f& (6)) сюръективно. Но У^-^фсть
первое продолжение символа оператора а в точке $ . Этот
символ представляет собой семейство аффинных отображений,
коэффициенты которых зависят от точки ^ • Если уравнение и является
определенным, т.е. ol^m, 71 - М™ J t то размерность слоя про-
екции J №) -^ J (Я) много больше размерности слоя проекции
J (\) -J J (Ц) • Поэтому в ситуации "общего положения" первое
продолжение символа оператора А сюръентивно. Например, если
dor* Ти -cti™ f = I и Jsfpsol% то требуемая сгоръектив-
ность имеет место, если ty/ (&) -ф о. хотя бы для одного
d , Ы1=к .
Эти соображения показывают, что -£■ - разрешимость есть
весьма слабое условие, всегда выполняющееся для уравнений,
встречающихся на практике.
II.5. Условие О - общности также связаны с простыми
соображениями размерности. Именно, справедливо
Предложение. Если <2/<с 7 №) } <&™ %- = rn-, ^^ М=п.
и слои проекции Ху связаны, то при
йц ^- м + к-Х,) !
уравнение V ЯВЛЯ6.0Я d - общиМ.

119
* _ m-f-м-я)! j
А Действительно, число л-/^., - / - есть
разность размерностей максимальных интегральных многообразий типа
О и типа L (см. п. 7.7). Поэтому при ограничении распределения
Картана на У размерность интегральных многообразий
максимальной размерности (т.е. типа 0) изменится менее, чем на X • ►
Если *з - определенное уравнение, то условия предложения
выполняются во всех случаях, кроме:
1) к = 4 или п ^ 4. , т - любое
2) /W-/ , >*-Х, •- ■ . ■'■-.'-
II.6. Изучим условия о - полноты уравнения \/ . Пусть
вектор У^^^^^с СУ))^Сх >**€^ . Тогда для
любого другого вектора Y" ^ С » такого, что #Cf /YJ^dfc (Y1
имеем: У -Ув ^£._^ ^9^ *V
(см. предложение 4.2.5 из [1б]), где 0 - оператор 0 -
последовательности Спенсера и ^е^ 7£(М)®£Х, Я-^^^к)* Из этого
же предложения следует, что вектор 1 лежит в линейной оболочке
некоторой системы подпространств {^.Л , где У°^^^./^-i)
в том и только в том случае, когда Ф является линейной комби-
нацией элементов вида у^-Х^З ^/^^^с» гДе точка ^
такова, что l^-L^ . Поскольку С - полнота уравнения У означает,
что линейная оболочка системы подпространств L„*. , ^*e
**"*£« (*3kJ> ****%**&' совпадает о ^ , то
из сказанного вытекает
Предложение. Пусть А (^Л^) " аффинная оболочка
множества 'УПЯ^/Х^ъ пространстве «^"^^ J **ZC%*,J)
aS ^(M)® Ел - соответствующее линейное пространство. Тогда
уравнение ^/ С - полно в точке X. в том и только в том
случае, если для каждого Х^^^А^ <,ХфО,

120
II.7. Полученные выше результаты нетрудно обобщить. Пусть,
как и прежде, ^crfn~ уравнение >£- го порядка, Предполо-
жим, что множество ^=&*i?^c^m (возможно, после исключения
подмножеств меры нуль) является нормальным уравнением в ^„^ •
Тогда, если уравнение У 1-разрешимо, слои проекции %у ■' У-* %.
и только они являются максимальными интегральными
многообразиями распределения С(У) и для каждой точкиX ъ*У плоскость
X №*) лежит в линейной оболочке системы подпространств
<С » ^£&*У/171~ fa,\ то, дословно повторяя рассуждение п.п.
П.2 - П.З можно заключить, что уравнение zf является жестким,
По тем же причинам справедлива следующая
Теорема. Пусть ^^^d - такое уравнение, что множество
А. • .
% ~®к k-iffi^m • *,ш0>'~> *. ч***'* ч возможно,
после исключения подмножеств меры нуль являются подмногообразиями
в УУ"т1* Пусть, далее, уравнение 'У 1-разрешимо, а для каждого
i = Ofl,..-,-i-2 слои проекции ^_^_^ J^ • %~* %^£ и
только они являются максимальными интегральными многообразиями
распределения wX/и для каждой точки Я£. у € *К'+1
плоскость лежит в линейной оболочке системы подпро-
страной* 4г . .^€^-/7^; .^..^J. Тогда, если % -
нормальное уравнение, то уравнение \j - жесткое.
Л Как уже было сказано, доказательство повторяет
рассуждения п.п. П.2 - II.3. Следует только отметить, что если
уравнение Ц i*v разрешимо, то 1 - разрешимо и о^ .►
.II.8. Рассмотрим теперь подробнее наиболее важный случай
нежесткости к^/п =/ , не охваченный предыдущими рассуждениями.
Для того, чтобы избежать банальных топологических рассмотрений
мы предположим при этом, что '■'с~'7(^м) •
Контактная структура на Т (tf^) определяется любой из форм

121
вида Сдл = Л С£ (#м), где функция Де С (J(//„)) нигде не
обращается в нуль. Б дальнейшем мы будем предполагать, что найдется
такая функция Л » для которой форма #^ |*у невырождена. Ло-
кально это всегда так. Далее мы полагаем Ct)si6t^l » °°~ луУ •
При сделанных предположениях нетрудно описать структуру
внутренних инфинитезимальных симметрии уравнения У .
Очевидно, что тогда и только тогда, когда Х(оО)уии> ,
^е С"(У). Так какХ/^вХ^^*^^-|<£) , то
обозначая X.-JCO через •/ , убеждаемся, что
Введем отображение положив
Так кан форма dcS невырождена, то есть
изоморфизм модулей. Применив отображение Г" к
полученному выше равенству, найдем, что Л&и^у тогда и только тогда,
ногда .
Заметим теперь, что L^v^iQ-iQf-idcOj—O . Поэтому
(нетрудно видеть, что поля вида А*У% суть поля,
направленные по характеристикам уравнения */). ПоэтомуХей'У
в том и только том случае, если ма/7'^'^ * Но
Поэтому Yj7&'6cfy4*>Y^g-icdsfm
. Перепишем последнее условие в более наглядном виде:
Собирая теперь все сказанное вместе, получаем:

122
Теорема. Поле X^Df^J тогда и тольно тогда является
внутренней симметрией уравнения *S^, ногда оно имеет вид
При этом X(%)-/*&. k
Заметим, что поле YV, ,fi^C (^/является, гамильтоновым
с гамильтонианом h относительно той симплентичесной структуры
на уравнении ^у , ноторая задается 2-формой оСсО . Поэтому
тольно те гамильтоновы поля на ^являются внутренними симмет-
риями уравнения *У , ноторые отвечают гамильтонианам А ,
удовлетворяющим условию Y'x(h)&~™'»
II.9. Опишем теперь %\i *У • С этой целью напомним, что
поля Ли на T*{1I J суть нонтантные поля относительно
распределения Картана на J*(fM)'* Эти нонтантные поля описываются еле- -
дующим образом (см. [26J )• Пусть полеД^ на J /^есть
(единственное) решение системы: i-Jo) =/ %Х-*АсдтО . Тогда
веяное нонтантное поле однозначно определяется своей производящей
функцией <£**ХЛ<А из условия:
причем веяная функция f является производящей для неноторого
контактного поля, которое обозначается X* •
Следующая теорема доказана в [26] (в других терминах).
Теорема. Х^е^У^У-^Я-/. гм/-/\ш.>
Сравнивая эту теорему с теоремой II.8, находим
Следствие. Пусть Yy^Y^ +YjS * & %Xj e^i ^
Тогда Xj\<y =У«> /j^ **f И ХЛ Щу =yi. ^
Таким образом, при сделанных предположениях
эпиморфизм, т.е. уравнение \j является нежестким, но
ординарным.
Б заключение отметим, что "обыкновенные дифференциальные

123
уравнения11 уравнений (случай к -£ ), как правило неординарны
(и нежестки).
II.10. Рассмотрим теперь проблему Классификации
дифференциальных уравнений. Два уравнения естественно назвать
эквивалентными, если существует диффеоморфизм •^.•^-^ v , переводящий^/^
в С(у). Аналогично определяется лональная эквивалентность
уравнений вблизи заданных точек. Такая постановка задачи является
обобщением на произвольные уравнения проблемы классификации
уравнений первого порядна с одной зависимой переменной и
уравнений произвольного порядка от одной независимой переменной
(="обыкновенных дифференциальных уравнений") восходящей к Софу-
су Ли. Разумна ли она?
Полученные выше результаты показывают, что, вообще говоря,
нет. Если уравнения являются жесткими, то
преобразование -£ , осуществляющее их эквивалентность (даже локально),
сохраняют слои проекции ^<г ^"^^^^у » ^€ '"т, • Но слои
проекции ^ £_х t к> I , если т>1 , и к>& , если т**0% обладают
естественной аффинной структурой. Проекции *^ , если т >1,
и ^ , если гп=>1 , обладают естественной проективной
структурой. Поэтому поставленная задача классификации включает в
себя задачу классификаций относительно группы аффинных
(проективных) преобразований гладких подмногообразий аффинного
(проективного) пространства, которая даже в локальном своем варианте,
очевидно, трансцендентна.
Пусть, впрочем, эта последняя задача решена и, например,
слои проекций Щу и J^/ являются аффинными подпространствами.
Тогда для различения уравнений *У и *У можно построить
инварианты типа струнтурной функции в теории & - структур, откуда
видна трансцендентность этой задачи даже в этом случае.
Таким образом, разумность поставленной задачи классифина-

124
ции можно ожидать, тольво в влассах нежествих уравнений. Под-
червнем, что влассичесвий результат влассифивации уравнений
первого порядва с одной зависимой переменной ("лемма Дарбу")
возможен, именно, в силу нежествости тавих уравнений. Возможные
случаи нежествости для определенных уравнений приведены в вонце
п. II.5.

125
ГЛАВА III
КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА БЕСКОНЕЧНО ПРОДОЛЖЕННЫХ УРАВНЕНИЯХ
И ТЕОРИЯ ВЫСШИХ СИММЕТРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 12, Геометрия бесконечно продолженных уравнений и
связанное с ней дифференциальное исчисление
В этом параграфе приводятся необходимые фанты, касающиеся
бесконечно продолженных уравнений,и построение на них
приемлемого дифференциального исчисления,
12.1. Ниже мы предполагаем, что ^сУ^т или J {л)т Положим
<4^*> г № ) ^^°° » Б частности, *2£,- s~ и для
простоты будем предполагать, что ^ - замкнутые подмногообразия
(возможно, с особенностями) в У^ или J (Ж)* Если vc/ /yz\ зд
дополнительно будем считать, что *ЙУ =-М=%00(г*!/Гао))* Положим
также %(%f)= Ъ(^$)\у (или %fltf)\<y ). Очевидно, что
^5 J-4 (%)~Ч-1 и *«» есть обратный предел цепочки отображений
''^<%-1~~~~'У-$*~ " ' • Прямой предел цепочни мономорфизмов
•W*
•'^^-ifttJ^J* C%t) - обозначим Tftj) и будем
отождествлять
?*(%$) с его образом в </•(% pj . Аналогично,
полагаем и считаем,
что алгебра &"(^0 фильтрована подалгебрами 0%(*У) и ^(°У) =
если
Для того, чтобы все последующие конструкции имели смысл,
мы предположим уравнение 1У квазиинтегрируемым, т.е. таким, что
для We*^ найдется такое л- мерное подмногообразие Vе2£, и
такое (соотв.,Jefecfij )» 4toZ**^ (соотв.%Mj )
касается V в точке в . Последнее означает, 4toZ =^, (Lc°*')
касается ^"^ СУ)ъ точке Я^^ (0) для всех «^<0,> . Формально

126
интегрируемые уравнения, очевидно, являются нвазиинтегрируемы-
ми. Фигурирующее в определении нвазиинтегрируемости
многообразие V* далее будет называться в - интегральным.
В дальнейшем на *%<, рассматривается топология Зариссного
относительно kFCVj , т.е. S^ рассматривается как
подмножество в Sf>£,C *?№)•
12.2» Определим теперь распределение Картана на 5£> . Кан
и обычно, под касательным вектором в точке в^. ^ будем
понимать такой R - линейный оператор %: ¥{s)-+R , что
Очевидно, оператор & sfef^y^i есть касательный вектор к 6^
» * * •
причем «^г-*<? )-f. • Таким образом, в геометрической форме
Ё есть обратный предел сие темы fe.€^/^^"- ^(f-)m ?•
* •
где в, -fiL v (&) . Линейное пространство всех касательных вен-
торов к **ЬС ь точке 0 будем обозначать 7# f^C>J* Из
сказанного следует, что T^fV^o) есть обратный предел следующей цепочки
линейных пространств
Определение. Обратный предел цепочки
i
нартановених плоскостей назовем картановской плоскостью С —
= е§(Уо.)* %> ь точке в .
Очевидно, CLf^oojcTlf^oo) есть линейное подпространство.
Теорема. Если \/ квазиинтегрируемо, то ^eCXJ^TpfV) %
где V"- некоторое 6 - интегральное многообразие. В
частности, все О - интегральные многообразия касаются друг друга,
dtfn Cpft^J =/ь и dTt^A всегда мономорфизмы.

127
4 Из предложения 1 п. 7Л следует, что d^j (%(%*)) **
=d%Hi /<*.,& К (%№ **«£, (%, )-&*„ • с
другой стороны, если V касается С в точке 0 , то
с Д^ь. г(%»))^ С f^*'J * ПоэтомУ обратный предел цепочки
изоморфизмов -.'*-L~ *• Z -*-•••, совпадающий с *^СУ) лежит
в ^f^J • А т.н. к*^((£(Ъ>)с[.в.^ , то ^ ^ не
превосходит Се (*%<,) • ►
Следствие. Если в=\£\х (соотв., 0=[^]°^ i^e-Q^ffi-)) 1 то
с9 (?„)=тв (lc~>) (.oon. ^ ^у-г/и/Л). ►
Пусть *Jk </* ^«^/ и, значит, ^сгу/* ^^. Тогда из
приведенного следствия вытекает, что #^ отображает изоморфно
0^^<>JHa ^х (М) » ^"^о ^ • Иначе говоря, в этом
случае 0>е представляет собой набор горизонтальных подпространств
проекции й^.' ^"^ А/ и, значит, определяет связность на этом
расслоении (если это расслоение). Ниже будет показано, что эта
связность интегрируема.
Заметим, что если [f/T (соотв.,tJe^d (Ж)} есть решение
уравнения *У , то Z*00* (соотв. М^ °°) есть интегральное
многообразие распределения Еартана на ^ . Обратно, если V -
такое интегральное многообразие, то Vl=^к(Ю^^м ° <• яв-
ляется интегральным многообразием распределения Картана на *4^
(соотв., 7" /#^) и, значит, решением уравнения v . Поскольку
1^. имеет тип »v , то K = Z '(локально) и, значит, V-L°°^
(локально) (соотв., V-MJ°; для некоторого "^€/^с/^ •
Из сказанного, в частности, следует, что п> - мерные
интегральные многообразия распределения Картана на ^^ (соотв.,
Т"7я)) локально имеют вид [?** (соотв.,A£f ). Т.к.
распределение Картана на /Ут (соотв., /°}%)) п- мерно, то такие ин-

128
тегральные многообразия и тольно они являются локально
максимальными (см. п.7.7). Аналогично п. 7,7 мы их будем называть
& - многообразиями*
Для дальнейшего, удобно дать двойственное описание
распределения Картана, к чему мы и переходим,
12,3. Опишем теперь общую алгебраическую схему теории
фильтрованных д.о* Пусть А - некоторая К- алгебра, фильтрованная
К - алгебрами А.^А^А.-.,, (УА.-А . Структура фильтрованно-
го А- модуля в А - модуле # задается фиксацией А- - подмо-
дулей Q. с Q , причем #. с &^нf (JQ. =Q. Запись: й={^{] ,
Определение. Оператор AGDiffffQ)* где/>«[./?} %й={&Л-
фильтрованные А - модули, называется фильтрованным, если
найдется такое ^eZ , что A(Pt) с& Vi .
Замечание. Если А - фильтрованный д.о., то ^1р.;^"*^^.
есть д.о. над гомоморфизмом вложения А-с-^А- в» е°ли -6>0 .
В частности, фильтрованные д.о, порядка нуль далее
называются фильтрованными гомоморфизмами."'
Определение; Фильтрованный А- модуль А-{ЯЛ назовем
геометрическим, если для любого г А-- модуль &• геометричен.
Категория, объекты которой суть фильтрованные
геометрические А - модули, а морфизмы - фильтрованные гомоморфизмы,
будет называться FG - категорией над А • Построение
дифференциального исчисления в FS - категории над А протенает
дословно тан же, что и в ситуации § 1. Точнее, вместо "простых"
основных функторов Diff» и J) надо рассмотреть фуннторы^^?
<£
и D , "составленные" из фильтрованных д.о. и
дифференцирований соответственно, и с их помощью породить "сложные" (например,
определить ). После этого все
соответствующие построения § I остаются, нак это проверяется
непосредственно, в силе. Подчеркнем, что до этого места геометрич-

129
ность рассматриваемых модулей никак не влияет на построение
общей теории, Кан и в главе 1, она сказывается лишь при
построении представляющих объектов, к рассмотрении которых мы
переходим.
12.4. Пусть b*Di{f*(PA) и &;=А\р}Ц-*й^^>0.
Тогда А. есть д.о. порядка ^ к из Af. - модуля Р$ в -А^ -
модуль d . над гомоморфизмом вложения At- ^А^.. Иначе говоря,
Д-€Ау£(^#. J, где й. понимается как А^- модуль в
силу вложения At- <=-А^.. При этом, если Pi и й^-
геометрические модули, следующая диаграмма определена и коммутативна:
ъ —- *<**
/A- l <r d
1 - гомоморфизм А . - модулей, ао. - геометризация
модуля р • Более того, диаграммы
\*<j \ .. \
Л
где ?V-£ и с£ * j- естественное отображение джетов при опера-
ции расширения колец, также коммутативны. Если теперь прямой
предел* цепочки отображений
г к
обозначить [^ (Р)]оф и фильтровать образами естественных
отображений [Ч (Р)]а*[% (Р)"\$фч т° непосредственно из сказанного
и определения прямого предела будет вытекать

130
Предложение. [*Y (Р]\а£> является представляющим объектом
для функтора Л/з£ (Р3 •) в F& - категории.
4 Обозначив прямые пределы отображений j '-Pt-'~*,\% (FcJ\§~
и У *'£$ (^$Ъ~*^"+а черезЛ и/ соответственно, мы придем
к коммутативной диаграмме
Р -^а
4 N /Г
где ^ е^0/пу/1^Ю (т»е» гомоморфизм фильтрованных модулей).
Очевидно, что при этом соответствие &—-? устанавливает
изоморфизм I)*Yff(PQ)^tfom*(lyA(P)1p,a). ►
12.5. Доказанное предложение есть частный случай следующей
общей ситуации. Пусть &> есть некоторый функтор
дифференциального исчисления (например, Dif-fk , ZJ- vumZ^fDz/^ % а Ф^~
представляющий его объект в геометрической категории над Аг- .
Тогда естественным образом определены отображения<^у :Фг-—&,
t^J , причем с^^°^- / -^/, i^J$&» Если Ф - прямой пре-
дел цепочки »• Фг _£ »■ Ф^ *■ ^>^~^ '"
фильтрованный образами канонических отображений Ф^-*Ф, то справедливо
следующее утверждение
Предложение, ф есть представляющий объект для функтора
w в F& - категории, т.е. функторы &> и norri ^^)изоморф-
'Л
ны.
4 Доказательство с точностью до конструкции отображений
Ы. ■ совпадает с доказательством предыдущего предложения. ►
Следствие. В r & - категории определены комплексы
Спенсера и де Рама. Они являются прямыми пределами соответствующих

131
Комплексов в категориях геометрических модулей над А ••
12.6. В дальнейшем мы будем работать в F& - категории
над фильтрованным кольцом Ф(У) • Типичными фильтрованными
модулями при этом будут модули вида ^С%^)* Избегая
громоздкости обозначений, функторы дифференциального исчисления и их
представляющие объекты в F& - категории над ^"(^)~{^(^)}
будут обозначаться без дополнительных индексов (например,2)*#£
вместо Diff. или % (Р) вместо [^ (Р)Ъ). Это не повлечет
двусмысленностей, так как начиная с этого места без дальнейших
оговорок все д.о, над 7(^) будут предполагаться фильтрованными,
а все $(У)~ модули - геометрическими.
Сказанное выше, разумеется, относится также и к Рв-
категории над фильтрованными алгебрами </{УК)т //%) .
В главе I из [ТВ] показано, что обычные операции (например,
& или "производная Ли") исчисления дифференциальных форм и
векторных полей имеют чисто алгебро-категорную природу. Поэтому
они, ввиду сказанного выше, непосредственно вместе с "обычными"
формулами их связывающими переносятся в фильтрованную теорию.
Этим обстоятельством мы далее пользуемся без особых оговорок.
Подчеркнем в связи с этим роль языка § 1, благодаря которому мы
можем ограничиться этим замечанием, не потеряв при этом точности
и строгости. Стандартный дифференциально-геометрический язык
при работе с "многообразиями" вида J^ становится громоздким
и маловыразительным, а в ситуации с особенностями и вообще
теряет силу.
12.7. Пусть @> - некоторый функтор дифференциального
исчисления в FG - категории над fFC^Jy. Ф-Ф^^) его
представляющий объект. Положим, если

132
Заменяя здесь L^jf на -4G.Q fit) , мы получим определение £Ф
для
рчевидно, есть подмодуль в • - Ф , фильтрованный
подмодулями СФ. = £ФПф- , где Фг- - представляющий объевт
для $> в геометричесвой категории над C,°T^J)-^{^J • й?да-
лее называется вартановсним подмодулем ъф \
ПустьЛ-$5-*^ неноторый естественный оператор, связываю-
щий представляющие?^ и %> в рассматриваемой теории. Тогда из
(12.7.1) следует, что А(&Фх)^£Фь , т.е. нласс
подмодулей Картана инвариантен относительно естественных операторов.
Рассмотрим фавтормозу ль Ф =Ф/вФ • В-виду сназанного
естественный оператор А определяет фавтороператор
А: Ф±-~Фл , 1((р™с*еф±у(А(<р)поиеф^с/><в.ф1,
Ниже этот фавт нам понадобится, вогда А—и , ^ или оператор
Спенсера. В частности, важную роль будет играть & - вомплевс
де Рама .Л/?ЛХ«Л-... ,А*'-Лу^
Операция £? позволяет рассмотреть в дифференциальном
исчислении на v^ следующую подтеорию. Пусть, например, вав и
выше SP - одноместный фунвтор дифференциального исчисления и
Ф - его представляющий объевт. Положим £&?=Annb&
Точнее, если отождествить &>(Р)с M0mr/qi\(&>-Р) » то
"Подтеория", о воторой идет речь, состоит в изучении фунвторов
вместо , при этом представляющим объевтом для
является Ф •
Пусть, сважем, &>:Р*—*£*'%{%Р), где & - фивсированный,
а Р - "переменный" &ТУ)- модули. Тогда элементы модуля.
^ЩР)~^Цг^(й^) мы будем называть £ - дифференциальными

133
операторами. С - дифференциальные операторы, как, впрочем, и
-во
т.
другие £ - объевты на Ж£(соотв.,J"°&?)) (т.е. элементы
модулей вида Q&fp) ) однозначно характеризуются тем, что для
них можно определить ограничение на любое подмногообразие вида
1?*} (соотв., М., ). Именно, если положить
то это определение окажется корректным. Обратно, всякий
оператор на Ж™(соотв., J°?%T)i обладающий указанным свойством,
является & - дифференциальным. Операторы универсальной
линеаризации (см. 9.2) и дифференцирования вида У (см. 9.10) ввиду
(9.9.3) являются & - дифференциальными.
Двойственным образом в дифференциальном исчислении на 5^
(или в любой его области) можно рассмотреть "фактортеорию",
которая определена тем, что представляющий объектом для функтора
Jk считается модуль Сф . Таким образом, объект fefPj,
сопоставляющийся в этой "подтеории" модулю Р функтором &> , есть
&(Р)=Могп (®Ф,Р) . Если модуль Ф проективен, то,
очевидно» fi(P)'=z'fc(P)/&9s(P)* Ниже будет показано, в частности, что
модули /i и ¥ |<?^)проентивны, если проективен модуль J°.
Поэтому, например, элемент D^Dt/fCjf&,PJ представляет собой класс
дифференциальных операторов по mod & Dtf^ (&, Р)*
§ 13. Операция горизонтализации, структура подмодулей
Картана и (5 - дифференциальных операторов .
В том случае, когда *2/с J (%)<1 т.е. когда %рс^*^>|
на предотавляющих объектах Ф=Ф(Я) возникает операция
горизонтализации Ч*"]^ Ф~*Ф0 » щеф0=ф(М)ф^ JF&)-
"горизонтальная часть" объекта Ф . Операция 1- может быть эффективно
описана для интересующих нас Ф • Ее значение состоит в том, что

13*
СФ-*п@-Т)*1*я.']** $=£>, = гт1ф=£еъ(1-1ф) . Эти
соотношения позволяют установить ряд полезных фантов
относительно и, в частности, показать, что ел1 является аннулято-
ром распределения Картана на *3£> •
13.1. Для определения операции горизонтализации нам
понадобится понятие степени deo ft функтора дифференциального
исчисления $> • Не давая ему здесь общего определения, положим
<**?(*! ' ■ ■ ■' &м)= "?*& , Цг -&% "М £#% ■
Для нас будет важно следующее свойство степени, могущее служить
его определением в натегории гладких многообразий: для любой
пары многообразий М <zM значение модуля Ф{М) в точне ХеА?±
однозначно определяется f/^J^ , если/» #&£ ^ (здесь Ф(/У)
обозначает представляющий объект для &> в геометрической
натегории над iff ).
Очевидно, это выполняется для рассмотренных выше частных случаев.
13.2. Пусть теперь %•' Ejf~M - некоторая субмерсия,
- некоторый функтор дифференциального исчисления
и Ф-Ф(%о) представляющий его объект в F& - натегории над
• Положим
где Ф^Л/)- представляющий объект для &> в геометрической
натегории над М'. Очевидно, 5% есть подмодуль в ф ,
порожденный образом мономорфизма Я£ :фСМ)-*Ф(*!/09) . Элементы
подмодуля ф„ далее называются горизонтальными. Пусть оСеа^х^,
Операцию 1-\ф:Ф —* Ф определим соотношением
(I3.2.D 1 we) •(*J[^vfMMHflZ>*m*~0)-

135
Корректность этого определения следует из того, что вСе&рх*0 .
Действительно, если[^]^=[^^ , ус^ и к^/пяя(^4ер&1
то согласно свойству степени функтора, приведенному в предыдущем
пункте
где в^Ж^Св)/ >
Непосредственно из определения имеем
Предложение. Операция П обладает следующими свойствами:
1) 1 есть гомоморфизм J СУ) - модулей,
2) Ч|ф= <i<t ,
3) Т* -Ч ,
4) П сохраняет естественные мультипликативные структуры. V
Свойство 4) в, частности, означает, что
Свойство 2) поназывает, что 1 - эпиморфизм, а свойство 3)
приводит к прямому разложению
(13.2.2) ф = гт 1ф ®<1т(Мф - \)=Ф © tmf-td - 1 )
Подчеркнем, также, что
(13.2.3) &r-t>»\-toty-ty iWiVf-\)-*etl^ .
Теорема. Для квазиинтегрируеното уравнения "fc J~ C&)
< Следует из того, что JmfioL'ф'"!-) с £ф {<%£,,) ,
прямого разложения (13.2.2) и того, что Ф /1£Ф-0 .
Последнее же вытекает из того, что если у€^„р<х-Щ)Йу\ )(&)* где
Ус 1!£,- график какого-либо локального сечения проекции 3^,;
^У^М% проходящего через 0- , в качестве которого можно взять
в - интегральное многообразие.►

136
Сопоставляя эту теорему и (13.2.2) получаем:
(13.2.4) Ф(У„)=ФГ(У„)®£ФГ?„).
Тавим образом, имеет место единственное разложение
Следствие. Если л/сТУ^нвазиинтегрируемо, то
13.3. ПустьД.ф-*Ф' - естественный дифференциальный
оператор, связывающий представляющие объекты функторов
соответственно (например, A-d или j^ ). Если расслоения fe/ и ^''
над м таковы, что то на
У°7^/имеем канонические изоморфизмы:
Поэтому оператор A'J (&,&') —*■ ^№&") можно понимать как опе-
ратор A^'<Pr^m'<Pr, • С другой стороны, определен оператор
^°^|<57 :^»~> ^п ^мы слеДУем 3Десь правилу обозначать
естественные операторы над разными алгебрами одной и той же
буквой)
Предложение. Л- \° (А\ф/) .
4 Достаточно проверить, что оператор D= 1°(Д|ф<) удов-
летворяет соотношению Ау (•£)*=/f-J) • D , V:5^ ^ (л) (см.
п.7.2). Пусть <ре#г' . Тогда jtff(^(b(4>)))-j(*f(&(4>)) по
определению 1 , a j(-6)*(Д{<р)) =Д{/?~3)*{Ц>)У ввиду
естественности ^ . ►
Заметим, что при ответвлении объектов # о $ на /&
описанном в предыдущем пункте, оператор Л :ф-*£>"
отождествляется с оператором r/^U') и , стало быть с оператором А' Ф'-*
-** 2^ • Поэтому имеем

137
Следствие. Операторы вида Л & - дифференциальны.
4 Действительно, на 7*^или ^с-/<7^оператор A G -
дифференциален, поскольку таковым является А • Т.н. свойство
С - дифференциальности локально, то это справедливо и в общем
случае. ►
Пример. Учитывая мультипликативные свойства операции ^ (см.
п. 7.2) из всех операторов Сс-'/1-*Л„ достаточно вычислить
оператор А -Л =?№)*АГ* Но в локальной системе координат X ааЛ/
U^Zd/JxfedXj . Поэтому
тан что в специальных координатах на
Эти соотношения вместе с утверждением 4-) предложения 12.2
позволяют немедленно вычислить Ч/^для любой ^еЛ^» если
иметь еще в виду, что ""Ц^у^ * ^г^Н •
13.4. Данные выше определения операций С- и \ являются
"внешними", т.е. амелируют к вложению ^с^ или i/"°^.
Для нвазиинтегрируемых уравнений мы дадим теперь эквивалентные
"внутренние" определения.
Пусть ^/0^ylTfn . Тогда, если Ф - представляющий объект
для функтора $> , то Ф(Уоо)=Ф(УУ£)\ ^^ . Это еде
дует из того, что ФС^) ^Ф^УУ^да/, • В свою очередь, это
влечет за собой, что
Аналогичные факты, разумеется справедливы, если
Это замечание вместе с теоремой 12.2 показывают, что
справедливо следующее
Предложение. Если oleo $b< <*> и ^/- квазиинтегрируемо,
то

138
$ - интегрально^}
2) (^<f)(Q)=(4>\w){9), W - 0- интегрально, k
13.5. Операция 1 обладает следующим важным свойством,
состоящем в том, что диаграмма
Ф(^) ^— ФГУ-)
коммутативна. Это следует сразу из определения. Это
обстоятельство вместе с теоремой 13.2 доказывают следующее
Предложение. Если уравнения У и \/ нвазиинтегрируемы и
Как уже отмечалось в п. 9.8 (?Л (7 **(%]) ыжь аннулятор
распределения Картана на 7 0t)\ Поэтому, считая, что \/ =7 Cfy
и учитывая только что установленное предложение, мы видим, что
есть аннулятор распределения Картана на ^©о #
Следствие. Если Ц^ ввазиинтегрируемо, то ffA ^С^есть
аннулятор распределения Картана на v&o •
4 Если *%£: 7°°(fc) » то все уже доказано. Ввиду
локальности этого утверждения, оно справедливо и в общем случае. *
13.6. Пусть P^TtyfJtJj-^flZf)* Тогда на fltymeeu
ввиду (I3.2.A-) прямое разложение
(I3.6.I) ?k(P)=ZfCP)®?*CP)r ■
Разложение (13.6.1) в свою очередь приводит для любого fT/JfJ -
модуля (к в прямому разложению
(13.6.2) Di#k{p,ej'ej>wM{p,e)®Dt#tYf:a),
где &*/£ (Р)&) ПРИ отождествлении Т^^У^^Р^) и

139
^^Zfaffi (tyfi) состоит из гомоморфизмов из %*(Р) в # , ан-
нулирующих % (PL • Нашей целью теперь является явное описание
разложения (13.6.2). Для этого нам будет полезно следующее
Предложение. Модуль (?р^^(соотв., *1 (Р)) порождается об-
разом оператора j^rj^ -P~*J (Р) (соотв., f>. :P-+$ £Р))*
4 Заметим, прежде всего, что л> =■ '*А • Это
непосредственно следует из определения оператора А , данного в п. 7.2.
Далее, т.к. !({)={,fe&0t) % то ^(fjk(fi))^fj°M(P)* п°этому
разложение 4jk(p)=[f/k(p)-^(f/k(p)J\ +^(fjk(pj) e
~4(fk(P)~f>k(P))4"fj!>k('P) ' 0ТБечаюЩее (I3.6.I), доказывает
нужное нам утверждение, т.н. модуль ^г ^Ээддитивно порожден
элементами вида -f J (р) . ►
Всякому A^Diff.^fi,) сопоставим оператор 'R^Dif/.fPfi)
(п.6.3) Ъ(Р)-(&,л.(1ь)), Р*Р,
где скобки (•, • ) означают естественное спаривание модулей
■D*Yfkffl)m $М(р)> ?•*• изоморфизм тжт /Som tyk(P),CL) и
Dtfffr^d) устанавливается соответствием /£ )—*/(у, ,
к е. Нот (*£(Р);0,) , то изоморфизм между /9W~ /%*£Р)А)'1*
=Мотг(Х)Ф СР)Г> &) ъ С£)<iff/j>@) , устанавливается
соответствием ft i—-^ор. • Таким образом, если A^hy. , то проекция
Д на (^Di/^(^^.) ввиду разложения (13.6.2) равна /t°J%=Z! ,
т.е. отображение А*-* 2? есть проекция на первое слагаемое в
(13.6.2). Тем самым доказана
Теорема. Представление вида А=%+{Д~%) дает прямое
разложение (13.6.2). Б частности,

140
GDW(2a)-ffl&*Dyf(/>a)}. ►
/P
ak:
Следствие I. Если Д =V _ , to£=-V , тФе. one-
\ttt \Jrtj_
ратор .Л однозначно определен Л\р .
4 Достаточно показать, что {^,Р^(Р))^^ » если ОГ=0 ,
Действительно, fyffih горизонтальный джет и поэтому jo^fpj**
^fiJtffii)4*^**) »Ae^f .Поэтому
Оператор U€.Dtff{J^£) назовем вертикальным, если
=0. Из только что установленной теоремы, ее следствия теперь
вытекает
Следствие 2. Т(7с)~ модуль Dtffk ^<£J(cm. (I3.6.2))
состоит из всех вертикальных операторов. ►
13.7. Пусть UG.Dxff(P±> &) , где & понимается как
5£ (7U) - модуль. Следствие I из предыдущего пункта показывает,
что следующее определение корректно:
(I3.7.D Тэ-З, b*Dt#(P,a)} л
Заметим, что (13.7.1) обобщает определение операторов У из
п. 9.10.
Пусть &=<FCfc,v) • Тогда всякий оператор V-Г(^)-+Г(*1)
можно понимать как оператор V-'J%-* d , т.к. ^^)S=-P± ,^WS
= Й_1СЙ . Поэтому определен оператор 'v' .
Предложение. Если Де Вь#(Г(ф)7Г(72)) , тоЛ = 2Г .
4 Оператор К С - дифференциален. Действительно,
соотношение /0*)** & = A°/ft) * » ^€/yLf^ ♦ могущее служить его
определением, означает, что А допускает ограничение на
подмногообразия вида М ^ и, значит, Q. - дифференциален. Поэтому
в силу теоремы 13.6 и первого следствия из него, достаточно по-
р.:и-

141
*,-*u •
вазать, что Л р = Д \р . Но Д
Довазанное предложение позволяет дать следующее полезное
описание операторов вида 2 » т«е« Бсех & ~ дифференциальных
операторов; Заметим для этого, что веяний #ed£ ловально
представим в виде - ловальный базис
сечений, ъ й;€.7?&)• Поэтому ловально веявий оператор
&*!)*#(£*,&>) представим в виде &=%£• At- »^€ ?&?)*
Следствие. Модуль ^DifhCP, 6L) состоит из операторов вида
4 Ловально это утверждение уже довазано. Стандартная тех-
нива разбиения единицы довазывает его в целом.*
13.8. Пусть ввазиинтегрируемые уравнения
. гично для Q, . Из предложения 13.5 для Ф=$(Р) еле дует, что
веявий оператор допусвает ограничение на
%. , т.е. определение
ворревтно. Более того, вознивающее тавим образом отображение
является эпиморфизмом. По этой причине, в частности, операторы
А , 'К , ^ допусвают ограничение с J" <%Уна *%« , где %>
ввазиинтегрируемо, при этом остаются справедливыми все
результаты, полученные в предыдущих двух пунвтах (следует помнить при
этом, сделанное в начале § 12 предположение о том, y^~/V).
В дальнейшем ограничения операторов у>л , А , Z и т.п.
на *%© часто обозначаем теми же символами.
13.9. В завлючение этого параграфа опишем гамильтонов
формализм в я (^ - теориип.

142
йтав, пусть 5*=5^?7 , а Р и А - 7"- модули.
Положим
- e*rnti(pa) *£&мщра), 6*n6ep=z &ш*,р.
Операция вомпозиции & - дифференциальных операторов
индуцирует операцию умножения в в*тбг{р,р) , превращая его в
ассоциативную алгебру. При этом, нан и обычно, алгебра (Z-frnS^'F
номмутативна, тав нан для U^Dtf^T % A^Dtff^f номмута-
t°p[A*.>AJ имеет порядок gfc+t-4 • Более того, У- модуль
&-fm66{I$Q,) получает структуру левого модуля и
правого £<4твЩ(1}- модуля. В частности, есть Lsffndtr-
модуль.
ЕслиД€ ££*%{£$&)% то образ А при естественной проен-
ции £DiYfM(Pya)^£m6€k(%u)lKT!!to обозначаться в&п^л.
Операция коммутирования операторов из индуцирует в
£. - скобку Пуассона £• , -I :
где А^бОЩ^ ^etfi?^.^4^^^<-4^"^^4-04e-
видно, при этом, что снобна h , • j превращает &6т6£Уъ
алгебру Ли.
Пусть ^.c/0^ . Тогда гомоморфизм фильтрованных
алгебр DiffC^fM^CDitfK при котором A^DitfC*?/*)
отображается в A^£j)t//!/", порождает мономорфизм алгебр Ли
Таним образом, гамильтонов формализм на J //^вкладывается
в б - гамильтонов формализм.
13.10. Применим следствие 13.7 к описанию алгебры

143
Ув &"(V) и скобок|* ,'\а • Оно показывает, что алгебра CDtffi
порождена В пределах специальной
координатной окрестности (Ut^ L Y (Щ , где %с//- координатная
окрестность в /Y модуль в сбою очередь порождается
операторами D- -х— . Отсюда следует, что алгебра (З-З/г&в'З"
порождена Я S>Jtn&Pcg" и элементами П- e &<4m£CxQ , которые
независимы над с/= £i?ne€^* Таким образом, Q^/nei^s, пределах
рассматриваемой окрестности изоморфно кольцу полиномов от перемен-
hhxMs коэффициентами в */ , причем Gd/n6*,*f
отождествляется с однородными полиномами степени А .
Тав вак [D, , Dj]°0 и Щ, /]-£,-&) , если /е Т, т
Далее заметим, что из коммутаторного равенства fA/°At.>4d~
в[Лх>^вА+^/[^4з] Бытекает соотношение
Поэтому, если условиться, что J)j (jTjj^O , то стандартным
образом из этого соотношения следует:
§ 14. Высшие инфинитезимальные симметрии нелинейных
дифференциальных уравнений
Опираясь на результаты §§ 9 и 13 ниже мы устанавливаем
основные факты относительно высших инфинитезимальных симметрии
систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных. Грубо говоря, всякая такая симметрия однозначно
определяется некоторой "вектор-функцией" ft на %о , при этом
классическим симметриям уравнения ^ отвечают специального вида
"вектор-функции" (// на 5£ .По этой причине и употреблено прилага-

144
тельное "высшие". Мы показываем, что алгебра Ли £ут У всех
высших инфинитезималъных симметрии уравнения Щ—^у>~0\
совпадает с ядром оператора *£<р , где -£<р - ограничение
оператора «t^ на *%о . Это приводит н наиболее эффективному общему
методу вычисления подобных симметрии уравнения ^/ , даже если
ограничиться классическим случаем.
В этом параграфе без дальнейших оговорок принимаются
предположения п. 12.I
14.I. Определение. Дифференцирование
называется инфинитезимальным автоморфизмом распределения Картана на
^Со 1 или £ - полем, если или,
эквивалентно,
Заметим, что совокупность полей, принадлежащих
распределению Картана на совпадает с
согласно следствию 13.5 является аннулятором распределения
Картана на *%> • Поэтому оба варианта данного определения
действительно эквивалентны.
Совокупность всех @ - полей на ^о обозначим Zj, (%,) и
будем также писать €D(%>) вместо £D(&(*%>)). Если бС"
= ЛС, *° полагаем 4 ^=4^-)' ^СО^^С^-
Очевидно,^ ^?£у)есть подалгебра алгебры Ли
c-Dflf^CJ • Очевидно, что более того, QD(*&&>) есть идеал
алгебры Ли I) (^оо) • Положим
Определение. Элементы алгебры Ли -Щ/п <J мы называем
высшими (внутренними) инфинитезимальными симметриями уравнения
Далее, как правило, мы говорим просто "симметрия" вместо
"высшая инфинитезимальная симметрия".

145
Наглядная интерпретация введенных понятий такова (ср. с п.
9.13). Во-первых, оператор сдвига по траекториям & - поля X ,
если бы он существовал, переводил бы п - мерные интегральные
многообразия распределения Картана на v^, , т.е. решения
уравнения У , друг в друга* Если X^^Df^J» то Л" касается
любого п - мерного интегрального многообразия и упоминавшийся
выше гипотетический операюр сдвига заставлял бы скользить
всякое такое интегральное многообразие, т.е. решение уравнения V/,
само по себе. Иначе говоря, поля и тольно они
определяли бы тривиальные потоки на"многообразии решений уравнения
У " Поэтому алгебру Ли Jtyn У можно понимать как алгебру Ли
векторных полей на этом "многообразии решений".
1#.2. Опишем, прежде всего, & - поля на У^т .Т.н. У^
можно покрыть специальными картами вида J Сж)% то лемма 9.8
показывает, что верна
Лемма. С - поле A^-D (fl^J однозначно определяется
ZM*)
>
своим ограничением на
Следствие 9.12 показывает, что в пределах каждой
специальной нарты неноторое дифференцирование ./у ^(^^-^^[Ж^/г.)
продолжается до Q. - поля на этой карте. Приведенная выше
лемма в свою очередь показывает, что такое продолжение не зависит
от выбора нарты. Поэтому набор подобных локальных продолжений
приводит корректным образом в & - полю на Л^Г» Тем самым
доказано
Предложение. Операция Х.*-*Х\j"(jfп) устанавливает
взаимно однозначное соответствие между - модулем
всех дифференцирований алгебры ^ (У^п) со значениями в
T(fT9n). ►
Снабдим^ (УУу структурой \F(</Kn)~ модуля на основании
этого соответствия. Тогда есть подмодуль ъ£>& (JT).

146
Тем самым алгебра Ли
дополнительно несет в себе структуру J {УК i) - модуля.
Подчеркнем, что, вообще говоря, если Х^-Dq ^y» ^е
. Это, например, так, если
fy conlt и Х= Эу .
14.3. Опишем теперь структуру £• - полей на <2£0се/" /3^.
Прежде всего, отметим следующее обобщение леммы 9.8.
Лемма. Если J£e J)q, С^оо) и X $-sy\а & » тоX- # .
^ Доказательство этого обобщения полностью повторяет
доказательство леммы 9.8 за одним исключением. Вывод того, что
X(^f)=0 (см. п. 9.8) следует из того, что
-&Л*(Ут)®Л'Р(Чл) .►
Следствие. Если ^СД т , Xе Dg /"5£, J aXL-^p
4 Согласно лемме -это утверждение справедливо в пределах
любой специальной карты на 'У^ , т.е. в областях вида
г%т$*о)Л%* Ввиду своей локальности оно справедливо и в целом. ►
Вернемся снова к случаю б^с Т ffijw. рассмотрим прямое
разложение
(I4.3.I) D@ (%.) = &D(ym) ®$l [Ю >
где ^C^J-j^I^fXoJ'Xl^ /<y\~0\ ♦ индуцированное
прямым разложением' теоремы 13.6. Структура модуля &Э(%>)
описывается этой же теоремой:
или, иначе, (следствие 13.7) состоит из таких полей
X, которые представши в виде Х^Е^Х^ »^е ^?^й
д-eZ)/^/. Таким образом, нам осталось исследовать структуру
полей X&DqCX,). Очевидно, что *ф*У=1)*(fy.)1. Отме-

147
тим следующее важное свойство полей Л^ Dq (?C) •
Предложение. [Х,&]=0 , A* D-iffC"^).
4 Так как веяний &€.&ЩС°*(М)ттъ представить в виде
суммы операторов вида Y9— ° Y, » У g-D(M)yl функции £« С {М)у
то достаточно показать, 4to[^C,YJ=^ , Уе-^/^у. С одной
стороны, так как л есть С- - поле, то
т.е. TXjYje HD(%)» с ДРУГОЙ стороны, поле [a, YJ
вертикально. Действительно, отождествляя С f^yvi £j ^Зушыеем У L- ^\ =
-у, «я wxtffcpo))-хсгсъ су)Ух& {у&ш
YiXfaftyj-O так как поле Х- вертикально. Поэтому KYJr
= О в силу прямого разложения (I4.3.I).*
14,4, Будем в дальнейшем предполагать, что %=? {Я)у так
как в противном случае мы можем рассмотреть отображение Я'=Ж\си
и тогда естественным образом <%ос</" (&')^ f*Tfy Если 5Г -
субмерсия, то мы ничего не теряем при этой процедуре. Это
предположение эквивалентно тому, что t*: %&*)'-*' ^(^У) -
изоморфизм, где i: <3£0С-* T°°ffi) - отображение вложения. Пусть, далее,
таное дифференцирование алгебры j;$),
что
(I4.4.D ^-К'-Цг.ау** > **%(Ю-
Такое продолжение поляХ|«г™., » очевидно, возможно. Рассмотрим
\гвСЯ)
вертикальное & - поле Х.€-&6(%) % однозначно определяющееся
согласно следствию 9,12 тем, что X = X т ^^ .Мы утвержда-
ем тогда, что
(14.4.2) <t*'X'-X'i*.
Действительно, пусть y>G.^ffi) » A<z.J)if/C (Af). Тогда,
используя предложение 14,3 и то, что* °А=А°1'*' (см, п, 13,8),
имеем:

148
г*(Х'(АСЧ>))У<*(А(хЫ°*(**(Х'(У)))-
Но Г^Х-Х^'^на %(У) ввиду (I4.4.I). Тавим образом 1*(хЬ?))ш
=%(гЩ и, значит, ^'/ЯЛ^
*Х{?*{&№) • Тавим образом (14.4.2) справедливо для фунвций
<ft=L(<-f\i где ^>€'^^. Но всявая фунвция ^eS^/^ecTb гладвая
фунвция от фунвций вида Д^^е^^Кэто, например, тав,
потому что воординатные фунвций f>^, суть D {иЛ = -— ty)) • По""
этому (14.4.2) справедливо в полной общности.
Итав, довазана следующая
Теорема. Пусть уравнение и тавово, что отображение ^\а/ *
где ^-^oof^C) является субмерсией. Тогда для всявого Xе-
ZL (%о) найдется тавое вертивальное £ - поле X на J С%)л что
Посвольву ^a/^^CJ-^^^i эту теорему можно
переформулировать в следующем виде: всявая внутренняя симметрия уравнения
^ является ограничением невоторой его внешней симметрии, если
под этим понимать следующее.
Заметим, что согласно п. 13.8 всявое поле Y^(SD(\T°?^))
допускает ограничение на ^ , т.е. васается 5^ . Поэтому власе
смежности $X*6D(J~°7&)}€2e(fi) (см« п» 9.13) состоит из полей,
которые либо все одновременно насаются 5^,, либо нет. Поэтому
имеет смысл говорить, что элемент Xе ^С^) васается 3^, •
Определение. Элемент ^ ТвС^с) , васающийся 3«, ,
называется высшей внешней инфинитезимальной симметрией уравнения
Отметим в завлючение этого пунвта частный случай
разложения (13.6.2)
(14.4.3) £е (я) = <iD&)<&D£ee)

ш
где GDfi) = ed(J^S)\ ££р) = 2)q (J°°(фм& Если Xе *9#
то через 5^ J) pi) будем обозначать с - поле, соответствующее
X при описанном изоморфизме &№)*&* (Щ) '• Такая же система
обозначений будет применяться и на ^ с «/" ^%1
14.5. Интерпретируем результаты предыдущего пункта в случае,
когда расслоение Я линейно. Б этом случае э€(&)~ Ц»№)тто
отождествить с совокупностью всех эволюционных
дифференцирований согласно правилу jC*-+ dj , где уР-Х-*(//Т)ъ "X^fX*
+ 6Dfi))e&(X) (см. п. 9.II). Если X^D^ (У~)ъ
f~X~* **{{№)& Щ?)% то, выбирая/е?/^ так, чтобы i*ft?)»
ж <f , мы получим:
(I4.5.I) Х°**= **"-Л .
Действительно, это равенство достаточно проверить, как это
следует из доказательства теоремы 14.4, на элементах подалгебры
SJ/KJJL Если ^iy- ,^п, j^y^nr стандартные координаты в Jfit\
то равенство -£- i* (-£) эквивалентно тому, что
(14.5.2) £ = X (*;) = i*( 9f («,)) - i*(fyJ f
где -£-Zl-f.e. , ^=27^6- и &£)..-,ё-т,- локальный базис сечений
расслоения Ul , при помощи которого построена рассматриваемая
система координат. Но (14.5.2) эквивалентно тому, что (14.5.1)
справедливо на координатных функциях пространства t/"^, чего
достаточно, чтобы оно было справедливо для всех функций на Т°(л).
Алгебраически то обстоятельство, что поле df касается
означает, что 9sfI('y„)jc-I('5ie) , где
Если система F~> ■= О ,z»^...,-£, F-^^fo)fзадает подмногообразие
t/c У /35^, то идеал 7(%>), как это следует из п. 7.3,
аддитивно порождается функциями вида Л A (F(-) • Равенство

150
поэтому поназывает, что 9j (IC^jj^IflC) тогда и только
тогда, когда 3^(Fi)eI(%) .
Вообще говоря, подмногообразие УСТ С%)ъ целом не всегда
можно задать системой F.- =0 . Однано, его всегда можно
представить в виде <^» 0, где <р<ё ^ (Ж, р) . Аналогичное
рассуждение в этом случае показывает, что Эа насается 5о* тогда и
только тогда, когда сечение Эр(<р) = 0 на %<, . Итан, учитывая, что
3jftf)~€f(f)% имеем
Теорема. Поле $s является внешней симметрией уравнения %» ,
где H/^ftf^OJc J°brJ, тогда и только тогда, когда i*(£y (Ф)=От
В частности, если подмногообразие Vе/" Cfi") задается системой
уравнений ^У в^,/в^, >-, 4 » то ^~ внешняя симметрия для У,
если i-(-ef/(f)hoju^..,4.l
Пусть iy - ограничение оператора ^ на ^© • Оно
существует в силу 13.8, так нан-^L- £? -_ дифференциальный оператор (см.
п. 9.2). Учитывая, что г*в-ф^= ^у? , изоморфизм 'ftffn™=D*(%>)>
теоремы 14.4 и 14.5, мы получаем
Следствие. В предположениях теоремы 14.5
(14.5.3) <*ftn, У~ кеъ €у. ►
Подчеркнем, что в отличие от .^абсолютного" случая ^<*>-Т
^алгебра Ли 4ym°j уже не является J (У)- модулем. Отметим также,
что (14.5.3) сводит нахождение высших симметрии уравнения J к
решению дифференциального уравнения £o>(-f)sO на %, •
Замечание. Пусть У-^ср-О^с Jf m . Тогда, например,
прямыми выкладками можно показать, что оператор -^ ,
построенный в некоторой специальной системе координат vmoi^J ^)c«/^,
не зависит от выбора системы координат. Поэтому на %> существует
такой С - дифференциальный оператор Q , что П-*у во веяной
специальной системе ноординат. Таним образом, на основании ска-

151
занного выше мы можем заключить, что **J/to -^~ кег О.
14.6. Разумеется, классическая теория инфинитезимальных
симметрии дифференциальных уравнений, рассмотренная в § 10,
вкладывается в развитую выше теорию "высших" симметрии.
Действительно, для любого Л к поле Ли-Х" касается
продолжения </ и, значит, поднятие X поля Ли X на ^У^п
(или J №)) касается %«, , т.е. является внешней
инфинитезшальной симметрией уравнения. Таким образом, операция X t~~*' X
порождает отображение с£0; -€гс (У)—"ф*У» Так ван fX,Y] =
«PHY"4], это отображение является гомоморфизмом алгебр Ли.
В этом случае, когда ^с^, (или JCZf) и 5£ всюду плотно в У ,
гомоморфизм с£ не имеет ядра.
Рассуждая аналогичным образом, можно построить гомоморфизм
ЯЛ
алгебры Ли внутренних симметрии уравнения^ алгебру Ли
<9ФпУ\ Для этого достаточно " внутренним" образом определить
продолжения v уравнения \j . Это можно сделать следующим
образом.
Назовем п - мерное многообразие -
интегральным в точке 0^. *J f если для любой формы ^e^V^^^|*r)]/&
Тогда веяная точка #е *У однозначно определяется классом
I J0 касающихся друг друга в точке в с порядком(4~&) fi-ty-
интегральных многообразий ( W обозначает одно из них).
Действительно, пусть ЛУ и в- LA'Jjfc » где ОС-fi^fPJ =.&(&).
Тогда подмногообразие L са/^п касается уравнения 5^ с порядном
-4-к '. Если Р/С<У любое подмногообразие, имеющее с L в
точке д касание порядка *3-к , то оно {4~к ) - интегрально. Это,
очевидно, следует из того, что степень функтора D равна 1 и
ел*
(к) = 0 . Обратно, из того, что подмногообразие Vf^V
(<£-к ) - интегрально в точке и , следует, что найдется такое

152
.Zc Jv , что L касается Wo порядком Таким
образом, соответствие jV^\a *"-*■ ГЦ* есть биенция множества
uf VVj 0 на J и мы отождествим их.
Пусть теперь Xg.*u fj - классическая внутренняя инфините-
зимальная симметрия уравнения *if и А^. ' У~*У-
соответствующие операторы сдвига (локальные); Тан как А^суть
преобразования, сохраняющие распределение Картана, они также сохраняют и
понятие *С- интегрального многообразия. Поэтому следующее
"внутреннее" определение поднятия А ^ преобразования А^ на
j ^норрентно:
если ^в/^7^ • Очевидно при этом, что Я^ °А . -А, в^^«
Поднятием А поля назовем поле
d ,ЛН)\* m уф
~'nft\rLt) +=0 ' Тогда полеА сохраняет распределение Картана
на t/ и ^/Х SX *&£4 • Таким образом система полейХ*
порождает б - поле X на j^ и соответствие Х)г^' Х!°°К как
и выше, порождает гомоморфизм алгебр Ли с£.: «А* \У —>^т ^у ,
причем кег с£-0^ если 3£ всюду плотно в
Непосредственно из определения гомоморфизмов ^ и
^следует, что следующая диаграмма коммутативна:
•& у —► г* у
о
Замечание. Поля Ли, лежащие в ядрах гомоморфизмов сЛ и с£0,
бесполезны с точки зрения использования соображений симметрии
при исследовании многообразия решений уравнения, так кан они
порождают тривиальное "векторное поле" на этом "многообразии"
(см; конец п. I4.I).
14.7. Согласно определению, D* (^С) есть нормализатор под-

153
алгебры в алгебре Ли Это понятие
естественно обобщить и рассмотреть нормализатор Jt(jJ подалгебры Ли
GDif-fTCV) в алгебре Ли D^ftFC^) (относительно операции
коммутирования [A^Aj^/AfAt'A* ). Так как, очевидно,
, то интересно изучить фанторалгебру
Так как то каноническим образом
определен гомоморфизм алгебр Ли _
В этом пункте мы покажем, что при сделанных общих
предположениях р - изоморфизм. Это утверждение достаточно доказать в
пределах каждой аффинной карты на и^ • Поэтому ниже мы можем
ограничиться рассмотрением случая, когда <3^0<ri/e^S
Прямое разложение теоремы 13.6 в этом случае приводит к
разложению
где
л •(?)=/гпргщ'усу/, так что наша задача
свелась к описанию
Имея в виду эту цель, предварительно рассмотрим следующую
алгебраическую ситуацию. Пусть Af- A - некоторая подалгебра
основной алгебры А и Afl* Обозначим через
Л$^^,^совокупность всех дифференциальных операторов, действующих из
алгебры Ахв Ал- модуль А , а через i*' D<Y/A —>J)tYJ7(A„/§-
операцию ограничения: г(А)=А\^ , A^DiYYA. Наконец, положим для
всякого подмрдуля I^D^YYA
Лемма-. Пусть подмодуль I^D'tYYA танов, что I^D^YY^A-A
и (ke?ii)nl=0 . Тогда, если ДеУ^/^и *(А)=0 , wA^DtA).
4 Пусть а',а"<вАх. Тогда, <£/#/<)-^fe>*V*?-<?,

154
тан как i(&)*0'. Иначе говоря, ^0^/(А)\-О. Но для л^Ае^(л)=
=\&}щ€.1 , тан как Ас1. Поэтому из того, что г(<^г(Л^Ож
(ke,ti)n[=0% следует, что (^ (А)~0 % т.е. что операторе Д*-
линеен.
Пусть, далее, л€А,л4Лх. Тогда [^ {A)~Afc)~\ (<*')*
линейности оператора А • По этой причине ]ра(&)-ЫлЫа') ~&
для всех сь'еА , т.е. ifJ^^-A{*))-(?. Но <£^-Л^е/,
тан накс£/д)е/и г^^)€^4с/ • Таким образом, мы опять-таки
заключаем, что ^{Aj-^frLj = 0 .Но равенство (%С(А)=Д&)'для
всех ^еЛкан раз и означает, что Д& &(А) .^
Теорема. v/K^-y- tym™.
А Кан мы уже отмечали, достаточно доназать это в случае,
когда JJ^J00^) • В этом случае <Af(\/J- JlT/ty* Положив ъ>
этой ситуации А-7^{У) , Л ^FfVj , -Г- еХ>*#&(У)ъ
A^JfY^J мы удовлетворили предпосылкам тольно что
доказанной леммы, тан Как из результатов пп. 13.6 - 13.8 следует, что
С - дифференциальный оператор V на ^ равен нулю тогда и
тольно тогда, когда V
а, значит, и Де01(£) = УГ}'(У)'>1)(Щ&).*
<~ ,*ч\ ~ О • Таким обРазом» A^DC^{^)%
§ 15. Структура С - преобразований
Под С - преобразованием мы имеем в виду диффеоморфизм
области ££с Jrm , сохраняющий распределение Картана. Это
понятие аналогично в теории бесконечных пространств дкетов понятию
преобразования Ли. Б §§ 9 и 14 мы видели, что б - полей, т.е.
инфинитезимальных & - преобразований гораздо больше, чем
преобразований Ли. Поэтому теория высших инфинитезимальных
симметрии гораздо богаче классической. В этом параграфе мы выясняем,

155
наснолько запасы (3 - преобразований более обширны, чем запасы
преобразований Ли* Грубо говоря, ответ на этот вопрос танов:
вообще говоря, Q - преобразований больше, но не на много. Более
того, бывают ситуации, когда б - преобразования исчерпываются
преобразованиями Ли. Подчеркнем, что в теории дифференциальных
уравнений роль нонечных (? - преобразований гораздо более
скромна, чем инфинитезимальных.
Этот параграф начинается изложением ряда вспомогательных
понятий и нонструнций.
15.I. Рассмотрим сначала отображение, сохраняющее
распределение Картана.
Определение. Фуннния, определенная на области <^с-/^п
(или / (Я)) называется гладкой, если лонально она представима
в виде ^^ /УУ , где -fefTflc) для некоторого фиксированного л.
Ниже кольцо гладких функций на м, обозначается ^= Tf^X
Поднольцо в 1F(^)% составленное из функций, локально представи-
мых в виде 0*£, {^) i-feffftCn) (илиуе^^)), обозначим
^=^Г/^у ф это превращает ^*в нольцо с фильтрацией.
Пусть ^сЖ^ >сйтУ=я+т{ти<гТ<?я))> где Я.:£~-+/У-
гладное расслоение, dimM =/г)и г:$4-*14> - гладное
отображение, сохраняющее распределение Картана, т.е. F (fflWjc-
(здесь модуль,
порожденный СА lay ).
Отображение F назовем невырожденным, Qcmdi/ndFfC'^n
для всех #€ <М. • Очевидно, что это энвивалентно тому, что
образ всякого R- многообразия, лежащего в Ж , есть R -
многообразие, лежащее в 4L .
Предложение. Отображение F (а, значит, и само F) - одно-
значно задается своим ограничением г
sv.
F
ет /*/\ t если г не вы-

156
рожденно.
< Пусть Ot{ у u^ , Д. f tmjj ...,n, cL-ly..,m 0*\б\<ооf - one-
циальные локальные координаты ъ U и 3£,-, U ^p£^j, =■!,..., /& ,
fi=lf... , Яг ,0$\Г\<о°- специальные локальные координаты в % •
Ввиду ловального характера доказываемого утверждения нам
достаточно его доказать для рассматриваемых координатных оврестностей.
Более того, достаточно показать, что функции/J. =/r (pt)одно-
значно определяются функциями %'~^*(Яу) » ^ =F (w). Докажем
это индукцией |Т| , начиная Ас |£"| = 0 .
Пусть/^ ^уи Дя,~ # Тогда
Ь
также ле-
жит в £?Л f#y. Но эта форма горизонтальна, так что она равна
нулю, т.е.
(кал) 2).ГО^^Г^-Г^, w<-■■>**•
V
В частности, если ^Д_ , то Z7 (U(/J)s=F'(р*\ ~Р . , тан что
из (I5.I.I) следует
и при фиксированных^ и Т по правилу Крамера получаем
(15.1,3) ^.. _
если DftyfO , где/)/^=^^[Д/#.| , а числитель есть
определитель матрицы, j - ая строка которой при /£? есть2УЙ/=
=(Ш-.%.(%)).а *- м**»*ф£)-&р?),-л№).
Таким образом, если показать, что В(&)фО , то нужное нам ут-

157
верждение будет следовать из (15.1.3).
Пусть Vcft^ R -многообразие. Тогда/Y^ - У есть ^"
многообразие в U ввиду невырожденности F" . Поэтому из теоремы
12.2 следует, что функции Sc-\ri являются локальными координата-
ми на V • Поэтому таковыми являются и й.= &/ у на V. С
другой стороны, X-=#t- I,, - другие координатные функции на V ,
aDf&JIt очевидно, есть якобиан \В&:/дх^ || • ►
Замечание. Условие невырожденности F здесь существенно.
Однако, его можно ослабить предполагая, что множество, на
котором не имеет внутренних точек.
Следствие. Если F невырождено, то найдется такое ^е /V ,
что F*(3i(ft))c'%+'l(W) Для всех ^ » т«е» F согласовано с
фильтрацией.
4 Из (15.1.3) следует, что фильтрация функции .rL- может
превосходить фильтрацию функции/^, не более, чем на единицу.
Поэтому в качестве Х- можно взять максимум фильтраций функций
15.2. Б этом пункте мы покажем, указав целый класс
примеров, что вырожденные отображения, сохраняющие распределение Кар-
тана, существуют. Мы будем пользоваться обозначениями,
принятыми при доказательстве предложения 15.I, ограничившись для про-
с то ты случаем пг-т=хт
Как мы видели в предыдущем пункте, вырожденность
отображения F эквивалентна тому, что2)/#^~# или, что то же самое,
тому что формы сШ£У-, й@п линейно зависимы. На любом R -
многообразии V выполняется равенство , так что
формы
us.
i
у,-Ж
-г линейно зависимы, откуда следует, что
существует функциональная зависимость между функциями 4£|у,...,
unLr • Поскольку это справедливо для всех V , функциональная

158
зависимость существует между функциями «^,—, #л • Мы
предположим, что такая зависимость по существу одна, что эквивалентно
Л Л
тому, что ранг системы форм dQ1?...9 U&n равен #-/ • Итак, мы
примем, что &г^9'(^'*->~>®'п~£) •
При доказательстве предложения 15.I мы видели, что форма
cb+* UF*(f)-ZF(&$)<£&; равна нулю для любой -f \ Повторяя
только что проведенное рассуждение и учитывая сделанное
предположение, находим, что функции F (f)i@z.,- , Ч*-у функционально
зависимы, В ситуации "общего положения" можно считать, что^^У/
есть функция отй^..., 0>п~± • В частности, можно считать, что
Р. = Рг суть функции от 6L9 .-,&Лш4 • Заметим теперь, что спра-
ведливость соотношений со• » О эквивалентна тому, что F сох-
раняет распределения Картана и для задания отображения F кроме
функций б*,..-, 0-н достаточно задать функции J£ • Задав
произвольные функции Р ^%(^±,-fin-xf n берется А раз,
£> О ) мы удовлетворим этим соотношениям, если положим
Эти формулы позволяют индуктивно по \t\ выразить Р~ как
функции от Ult.,,9 ttn_± через Q, и $£, £?,... • Этим описана
локальная структура вырожденных отображений, обладающих тем свойством,
что ранг системы форм &&1У~, с(йп равен п-1 и т=т=*£
Указанным способом нетрудно исследовать и общую ситуацию,
15.3. При изучении С - преобразований нам понадобятся
приводимые в этом пункте сведения о Ч^р полях.
Пусть^=^ЛУ/?^.^Л^^У^"^(см. п. 12.7) и
C^jA - J(Jl)- подмодуль в 6А , порожденный б. Л*'.
Очевидно, что (SfcxA как подмодуль порождается формами вида Q(-f) »

159
Определение. Х&D(?(%)) называется &,.* - полем, если
Очевидно, что поле Ли является С/к* - полем, Если i^Zty^wy
таково, что Ц?т = 0 Kri^(J°h))=tf(JM№) , то ЪМ=0.
Т.к. U± (-f)G.Л^ (J№)) % если^е(£^^, T0 отсюда следует, что
Z также является C^j - полем. Подобные С{А\ - поля будем
называть звривиальными. Иначе говоря, совокупность всех тривиальных
(?/%) - полей идентична совокупности всех Я^ ^ - вертикальных
полей на J (Я).
Лемма. Всякое С^. - поле .л однозначно представимо в виде
Х-Y* Ъ » гДе У есть £ - поле, a Z - тривиальное tftj-
поле.
4 Пусть /- такое С - поле, которое согласно следствию
9.12 однозначно определяется ограничением Л \^^\ • Повторяя
доказательство леммы 9.8 мы убеждаемся, что/Х~}9|__ =0 , т.е.
x=y*z ,v*eZ=x-Y , z\^-o:> '*"*
Предложение. cL- поле X тривиально тогда и только тогда,
когда Х->ещЛ*=0 .
4 Представим полеХ на основании леммы в виде Y+Z . Т.к.
формы из S/k\A являются ^о £_j - горизонтальными, toJ?*-icO =
= i-J^), <»<=(Вл\Л . Если X^&faA -О , то, в частности,
0=X-*Ut(%)=У-*Ц№) » откуда следует, что (тео-
реыа 9.12). Покажем, чю V=0 . Пусть локально V^TLfi^i ,
Аг. е ?(Х) . Тогда T(y,VjJ = Zh{ Dt- ССГ (?)) +Щл@.Щф
-ZbD,W/J)-Z$fyr0) . Если /-£, *Щ(К)}*
^f%t^ifp6'i)^^fk)'^i * С ДРУГ0Й С5?°Роны, если |<г| = /-./ , то
VtiPeiftQfoA** кР°ме того' Ф°РМЫ QffeJy^VfffJлинейно
независимы. Это показывает, что ^ » О , т.е. V~ О . Этим

160
предложение доказано в одну сторону. Обратное же очевидно. ►
Очевидно, результаты этого пункта имеют место и для области
15.4. Ниже нам понадобится следующая конструкция. Пусть
^={X+€D&)}e эе (Я) , X^De (х) и сдсвЛ'бгЪф так как
для Yg(2Z)(m) имеет место равенство У-><^ = ^, ю корректно
определена операция подстановки ^-^еУ СЯ) ;
рС^од =Х->с<> .
Рассмотрим отображение L^: dt(Jt)-*^^ji)^ L^foj^pC-bco#
Лемма. L^ - дифференциальный оператор. Его порядок равен
такому числу * , что
^ В специальных локальных координатах на J (Я) имеем:
UJy^Z^UJp*). Так как^е^Л1 , то *>вГ*,^^;и,
значит, в локальных координатах со однозначно представима в
виде» ^ * ^-
При этом k=rri,a&^\v\\J!~±0\ . Отождествляя далее ЭС(Я) с
Jfif>fi)% мы видим, что если Xе А> » то
4» W - 4. ^;=3. ^ < ##;=г jC э? (К) -
где J) (<P)=D (if) и ^=Zy\. (см. п. 9.7). Таким образом,
Предложение. 1) v/ - модуль Ц^.Л » fe^&o* ,
порождается формами ввдаХ^^^...^^^)..^ » гдеХей£> ,$ИЕсЯ~
и ^/-/ .
2) Если X* вЗ , а £*)€ ftli , то L^ =X* L„ .
4 Ввиду локальности утверждения I) достаточно его доказать

161
в пределах локальной системы ноординат. Но (см. п. 15.3),
очевидно, что бл.\А порождается формами ЦСр*) , \*\ <к • Кроме
того, в силу следствия 9.9 Д/^/>^)) = ^б4/>^)= Ц(г*>$г) •
Из этого индукцией по к сразу доказывается первое утверждение.
Далее, если <^ = ^^, то ^cco/^)"^^^ ' Ho
ХМ=d(X.-*od)+Xudo>=X-bcla>, ^.t.X^&D . Поэтому Э^Хгф
=dl/I(fi)(X, Э<р) i Но последнее выражение согласно предложению
3.4.15 из [16] , стр. 94, равно Х(Э^(<р))=Х(£р(Ч>)) -
=(X*L>y( .) ((f) . Тем самым второе утверждение доказано для форм
вида Ц(р). В общем случае <*)=* Х>^^и^Г^-ДХ^^^у-
+ Ъ% (!£(%))• Поэтому
15.5. Перейдем теперь к изучению преобразований,
сохраняющих распределение Картана. Ввиду бесконечномерности
"многообразия" Уг^ (или/^прежде всего следует уточнить само понятие
диффеоморфизма. ^ ^ „
Рассмотрим области
Определение. I) Диффеоморфизмом области на область
называется такая биекция F':%->%^ что/г-'еЯ/^/-*еЯ?'^/-
изоморфизм.
2) Диффеоморфизм называется £? -
преобразованием, если
Заметим, что всякое (Z - преобразование является невырож-
денным отображением. ^
Пусть задан диффеоморфизм\F •' V~*W f где f- область
в УК!» а /У- область в сохраняющий распределение Карта-

162
на. Отсюда, учитывая структуру интегральных многообразий
распределения Картана (см. п. 7,7) можно заключить, что ^=* ,
т=т , т.е. F является преобразованием Ли, Как мы уже видели
в п. 10.1 Г порождает цепочку преобразований Ли г :^k(VJ-*
"*^/t(W) %•£&&% причем fi,jF ~F •&£ ,-£*"д9-А »
которая тем самым порождает преобразование / :^^( !//*%„ ^(Wl
Очевидно, что F~~ является & - преобразованием. Такого рода О -
преобразования мы попрежнему будем называть преобразованиями Ли,
Лемма. С - преобразование F-W.-^fl является локальным
преобразованием Ли тогда и только тогда, когда существует такое
, если/^-/, , т.е.
F^сохраняет фильтрацию,
4 То, что преобразование Ли сохраняет фильтрацию,
очевидно. Пусть, далее, для некоторого
Это означает, при условии, что области ft и ft ^^- связны,
что отображение F переводит слои отображения ^, z , в себя и
индуцирует тем самым отображение Г :^ео^ (fty~**%•>&№)*
такое, что^ ) —F \?(<%) • ПРИ этом отображение F
^распределение Картана на ^ ^/'^переводит в распределение Картана
на^^(^/и» если-£^/£ , то F Ф^^~^е/С • Покажем те-
перь, что преобразование F слои проекции ^ tf^0~^U /k C^O
** 1-у- 1 ■*
отображает на слои проекции ^ ^СЦ^*^ а(^у* Действительно,
поскольку F сохраняет распределение Картана оно представляет
fA) /"£)
собой поднятие отображения F . В частности, F есть £€-6)-ое
/А])
поднятие отображения F . ► ^
В том случае, когда области f( и ff не являются ^» ^ -
связными, предыдущие рассуждения остаются, очевидно,
справедливыми локально.

163
15,6, В этом пункте мы опишем структуру (5 - преобразований
F: vi-* 11 в том случае, ногда Ш или ^ равно единице. Ниже
мы считаем, что тп^±% Это не уменьшает общности, тан как слу-
чай т~1 сводится н этому рассмотрением преобразования г •
Теорема. Пусть F- %-*% £ - преобразование и m »/ ,
Тогда локально F есть преобразование Ли,
А Мы покажем, что Z1" (^(^jj^^f^) • Ввиду леммы 15,5
этого достаточно.
Следствие 15,1 показывает, что для всякого £-
преобразования гомоморфизмы F и (F J согласованы с фильтрацией. Ввиду
этого отображение F позволяет отождествлять F& - натегорию
над ■а о Fa - категорией над ^7(см. п, 12,3), В частности,
соответствие &*-*££ ~(F~X)*A°F является биекцией совокупности
всех фильтрованных дифференциальных операторов над ifrUJ и
аналогичной совокупности над , Тан нан, сверх того, F
сохраняет распределение Еартана, это соответствие осуществляет
изоморфизм алгебры Ли ZL (WjBcex £ - полей на иС на алгебру Ли
-Zi^JBcex 6 - полей на V- , причемLDCU)изоморфно
отображается на Отсюда, в силу предложения 15.4 следует, что
Форш ът.аХ/..(Х^с4)...)^^С/1^)), ye%rf), Xt.e6DfU)
порождают ?(%)- модуль Тан кан 771=2 , то локально
в пределах нарты /°?&)<^//*;~ Ц(¥)=ЯЦ$)* Поэтому выше в
качестве набора необходимого форм со достаточно взять лишь од-
ну.форму Р*(и±(Ж))^(л% Если i?= ЕХ*(...(Х^(*>))-)%
X19..-9X^£D(^J , то согласно второму утверждению
предложения 15.4 Z#~ Д° Е>£о » где А^-ЪХ/.'Х^ • Тан нан в спе"
циальных локальных координатах поле имеет вид
ХаТ*йк2) , то оператор Л имеет ъщ-.А-Е^-д ,£~^ &(%) •
Поэтому порядок оператора L^A* 1^(11 faZ)^o(S^(rJ)(r) ,

164
?j& L^E-f D# (см. лемму 15,4), не меньше, если Аф 0 ,
порядна оператора L^ • Поэтому если deoL^O, то либоДр"^,
либо oL&lLa >0 • В этом случае среди форм, полученных из форм
&> описанным выше процессом, отсутствуют формы вида l^C^f) ,
(^е«/^"^^ • (Б любой специальной системе ноординат), тан нан
согласно лемме 15,4 d&QL = О .Но это невозможно. Поэтому
deaL^O и, значит, сд**Г*(1£(!Я:))е.в(^($1) (лемма 15.4).
Тем самым доказано, что F (C^A. (W)c-*(tA> (w* Из пР°ве"
денного рассуждения танже следует, что £# - оператор порядна
нуль тогда и тольно тогда, ногда А - оператор порядна нуль,
т.е. ногда L^-JLL^ %Я^^(^1)'т Отсюда следует, что^?в^^>
и, значит, ввиду леммы 15.4 Поэтому
F (CfriAffflj^SAfadftJ и» значит F индуцирует изоморфизм
В итоге мы можем заключить, что соот-
ветствие А1-* А осуществляет биенцию множества £? - полей
на и- и множества полей на , при этом, нан это
следует из предложения 15.3, тривиальные О■ - поля на tc
переходят в тривиальные £?,,- поля на U • Поено льну и те и другие
состоят из всех ^ у - вертикальных полей, мы видим, что ^слои
проекции ^ео j переводит в слои проекции ^.^ или, что
эквивалентно, F4fJjn))^(^ ►
15.7. В этом пункте мы покажем, почему только что
доказанная теорема неверна, если *т =di/nJi>l4 Предположим сейчас, что
#*, $t - гладкие расслоения над М , А*'Г№)-*Ш)- оператор
порядна к , и напомним, что для любого -rfe/V следующая
диаграмма коммутативна:
J т) _=_ ^ J*C*)
**5 А/

165
где^к/С (Я) , (р=<А (см* п. 7.2). Отсюда следует, что
отображение а?^переводит распределение Картана на J (Ж) в рас-
пределение Картана на Т (я). Поскольку сверх того у7 °Х &
=31 °<р , г^<5 , система отображений ^ определяет отобра-
жение
сохраняющее распределение Картана и однозначно определяемое тем
условием, что для любого У^^ (Ж)
(15.7.1) <fS/ff)-j(*lf))-
Оператор &^-Dt{f(PtGL') назовем обратимым, если найдется
такой V*z. DtffffyPj, что Vе&=*'dp , A'V=tda . Очевидно,
что оператор V , если он существует, определен единственным
образом. В дальнейшем он обозначается Л .
Предложение. Отображение F- У^'T^Wj^J(&), где Л -
обратимый оператор, является & - преобразованием. Если порядок
оператора А больше нуля, то F не является преобразованием Ли.
4 Так как для любых D иД ^0#дв%* % и (j?.у -z#,
то отображение /обратимо и /^ -9^-.* • А так как отображения
вида Cf сохраняют распределение Картана, то F - б -
преобразование. Заметим, далее, что ^^ф (£^(Ч^)*'• ПоэтомУ ^*ЙЭД)С
$^№) и F (^^))^-^_х(Ж) , где Л - порядок оператора Л .
Кроме того, для отображений вида <f справедливо соотношение
(15.7.2) ^.V«V-^, V*Zkiy6~PfJ.
В самом деле, для любых -3^/7 /^ нУе^/Сг/ с учетом (15.7.1)
иуоперации w л*" (см. п. 7.2) имеем:
тем самым (15.7.2) доказано. В частности, если

166
У. (ft) , то найдется такое векторное полете DfAf) , что
Х(^*С/))Ф&(&) и X(F (/))e<?/$• Для этого достаточно,
чтобы на некоторой области Vе /V , обладающей тем свойством, что
F (^Ji^-i Л7^^(^ (V)) , X не обращалось в нуль ни в одной
точке. Тогда, ввиду (15.7.2) F^(X(fj)^^) и Р*(Х({))ЩФ
Поэтому, если
к> О , то F не может быть преобразованием Ли, так как для
преобразований Ли F С% №))с%. №) • ^
Если то обратимые операторы
произвольного порядка действительно существуют. Один класс примеров мы
немедленно получим, взяв P-D^/A & , & =-ЗД4£ ^« где ^~
-//У» а А=г+,& = t* (см. п. 1.3). Вот еще один класс таких
примеров для
Пусть |?; - тривиальное расслоение над
^ь-;^' ^±,—»^тГ соответствующие декартовы координаты/Rnx/R7'
Тогда всякое сечение -deFff) можно задать полагая Я£ *£•(&)•
Операторы b£.Diff(PP)при этом, как обычно, зададим матрицами
вида |Д*у| » гДе A^^DifAC^C^)* В этих обозначениях
заведомо обратимыми будут следующие операторы треугольного вида,
т.е. такие, что Д.-"^, *'</ , ^£ "Д*/^ t где^ ^нигде
не обращаются в нуль.
Подчеркнем, что если oUmtf=£, то обратимые операторы,
действующие на P^TfeJ % всегда имеют порядок нуль и этим, в
конечном итоге, объясняется справедливость теоремы 15.6.
15.8. Полезно отметить, что, как правило, ^ - поля не
обладают локальными операторами сдвига и в этом их существенное
отличие от полей Ли. Однако, как это следует из сказанного,
существуют £ - поля, отличные от полей Ли, которые обладают ло-

167
кальными операторами сдвига. Такие & - поля мы будем.называть
интегрируемыми. Примеры отличных от полей Ли интегрируемых & -
полей нетрудно построить, указав однопараметрические группы
обратимых операторов. Пусть, скажем, V=|^y|( , где ^y-^^-V »
V^-^Diff, (C"(Rn)l Тогда однопараметрическая группа т>-+А^
^exhfil) состоит из обратимых операторов,
15,9, Категория DE. Полученные выше результаты наводят
на мысль придать теории нелинейных дифференциальных уравнений
теоретино-категорные рамки. Если придерживаться аналогии с
алгебраической геометрией, т.е. теорией алгебраических уравнений,
сформулированной категорно, то необходимьш и важнейшим моментом
при построении категории дифференциальных уравнений (далее,
категория DE) является требование, чтобы морфизмами в этой
категории были нелинейные дифференциальные операторы. Предложение
15,1 показывает, что эта цель будет достигнута, если в качестве
объектовDE рассматривать "многообразия" вида Л^» J ^или,
более общо, 3^ , снабженные распределением Картана, а
морфизмами в DE считать отображения, сохраняющие распределение
Картана, Эту точку зрения мы примем за основу, заметив, однако, что
ввиду бесконечномерности "многообразий" ^£, , следовать ей
прямо было бы затруднительно и, что важнее, неконструктивно.
Анализ основных моментов этой главы показывает, что
полезно принять следующий алгебраический подход,
А, Объект категории DE есть фильтрованная F - алгебра^в/Д.},
дифференциальное исчисление в FG - категории над которой
снабжено естественной операцией , причем ел*-
Б, Морфизм^'Л -*А' в <£}£"есть гомоморфизм алгебр у.'Л —+А ,
согласованный с фильтрациями (т.е.^й^сЛ\.,Л , для
некоторого /С*)) и перестановочный с операцией б ,

168
Замечание I. Т.к. нас интересует не сама фильтрация ъА , а
порожденная ею F& - категория, естественно объявить две
фильтрации эквивалентными, если они приводят к одной и той же F& -
категории над А » а при определении объекта DE фиксировать
класс эквивалентных фильтраций (см. в связи с этим теорему 15.6
и п.п. 15.7, 15,8).
Замечание 2, Условие (?Л=£Л *i/£% интерпретируемое как
условие "бесконечной продолженное ти", более правильно было бы
формулировать в виде дифференциальной замкнутости идеала(?Л СЛ ,
где Л алгебра высших дифференциальных форм в F6 - категории
над А » отвечающая последовательности <г=(^о,ов,...) (см. [12] )•
Поскольку в квазиинтегрируемом случае эта формулировка
эквивалентна данной ранее, мы ограничимся последней с целью избежать
изложения теории высших комплексов де Рама,
Геометрический образ, связанный с фильтрованной алгеброй
А={А\ 1 представляет собой обратный предел Speo^ А
цепочки отображений ...—-^/becA^^S/becA^ -*— ••• Его вместе с
заданным на нем распределением Картана можно рассматривать как
геометрический образ объекта J)£ . Разумеется образования вида
*S/6ec А весьма неудобны для того, чтобы работать
непосредственно с ними. Для целей теории дифференциальных уравнений и ее
естественных обобщений достаточно ограничиться рассмотрением
алгебр As[А^} , гдеД-*^ (/%•)% Aff- - гладкое многообразие
(возможно, с особенностями). Тогда Л?/ с SjbecA^ и вложению
Aj^Aj+i соответствует "проекция"А^-^ А^- . Если/^-
обратный предел цепочки ..*-А%**"^>/*- • • • » тоЛСс*$5бес^А
и /%,- fyec^A • Поенольку /%<, содержит все "хорошие" точки
из/fyec^A в дальнейшем в качестве геометрического образа,
связанного с объектом^, будет использоваться &-/%о*

169
ГЛАВА 1У
ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ, ТЕОРИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ И
С - СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
§ 16, Комплексы Спенсера и формула Грина в О - теории
Для построения нелинейного лагранжева формализма и
нелинейных законов сохранения точно так же, как и в линейной ситуации,
нам понадобится теория сопряженного оператора, увязанная
соответствующим образом с теорией комплексов Спенсера, Ниже
показывается, что в рамках б? - теории на 3^ это можно сделать
практически теми же средствами, что иб гл. 1, благодаря "фуннтори-
альной значимости" использованного в ней языка.
16,1, Действие операторов на формы в С - теории. Пусть А~
= У(Цп)кж 5%%). В этом случае Ап (см, п, 12,7) является
одномерным локально свободным А - модулем, "Локально" означает "в
пределах всякой специальной карты". Действительно на 7*°(У1)Л
можно отождествить с Л*вА®r(AJ?(M) (следствие 13.2),
Если .А*^^, ю модульЛ^-уГУЗ^ также является
локально свободным, так как АС есть ограничение -Л'7^С*у(или Л (J°bi))
на %«, , если fif^/fm{yim. *%ос</яг)). В частности, Л'- 0 ,
если <i>n , и, значит, сС(Лп^=0 ,
Предложение. Пусть А-Щ/У^п)^ У&тт ^У^у. Тогда
существует и единственно действие операторов ^€&9*#б4на формы
сое Л , обозначаемое А\&J и удовлетворяющее аксиомам 1)-4)
п. 2.1.
4 Доказательство этого утверждения повторяет полностью
доказательство предложения 2.1, тан как согласно следствию 13.7
CDiffA порождается CDfA)^. A • Единственное, что при этом
нужно добавить, - понятие производной Ли Х(&)^А ,Х<=&9(A) i

170
- -к -
c^G-A , удовлетворяющей $o$MyneXfcfy=afp{-J<£)-'-X-*d<£ ф %ш
этого заметим, во-первых, что корректно определена операция
подстановки
и черз?а означает факторизацию по тооСбЛ • Это очевидно ввиду
равенства <?Л*=£ЛАЛ*, так какХ-^Л-^и, значит,
I*-*
<=-£А ". Так как £D(J)cJ^(A)% то определение A^J-JJ&fc^
корректно, и d(X-*bd)+X-*dod =d(X^cb)+X^cfo=UQL^u)+X*clZ>.*>
16.2, Сопряженный оператор в & - теории. Ниже
предполагается, что A=<f(yy?nJ, &(я)% или В любом из этих случаев
теория сопряженного оператора строится дословно так же, как и в
§ 2. Точнее, пусть Д«= 6Dt?fAn. Тогда оператор £?€ (SDttf'A"'
определяется формулой ^f/)-A^^/co), где сЬ^Л - локальная
"форма объема", т.е. локальная образующая А - модуля Л , а
A(-f\ =&-(-£)од ; Корректность этого определения проверяется так
же, как и в п. 2.2. Единственное, в чем дополнительно
необходимо убедиться, - это то, что так определенный оператор А*
является 6 - дифференциальным. Это, очевидно, если A-f » 'f^A*
ЕслиЛ^Х ^^£Dt//An %X*eDfA)% *^&№X)Jf®>
-rtfa-X)[t®]-Xra5[va]> -X(u*tf)) , т.е. *V2fr a*,
где Ха(£>) -Хс^>) . Но композиция операторов 4/4ь ^ *"
дифференциальна, если в - дифференциальные операторы Л . . Поэтому
й - дифференциальность оператора Л доказывается индукцией по
#^Д, исходя из представления Д^> =
Как и в § 2, пусть и для всякого 4€
^6Dif/{Pf (£) определили сопряженный оператор Л G.@Dtfff&^P)%
полагая £?С%/Ь)-Д(А}^Р^-Р » £€<^ • Та* нан операторы
Л (%fo) & - дифференциальны для всех />, #. , то £? -
дифференциален и сам Д*.

171
Предложение. Предложения 2.2 и 2.3 останутся справедливыми,
если фигурирующие в их формулировке операторы заменить на £ -
дифференциальные, модуль Л* на Л* и ^й£на £W|.
4 Доказательство полностью повторяет доказательство
предложений 2.2 и 2.3>
Пусть Выбрав тогда в некоторой
специальной нарте в качестве образующей в Л" формуй #%*•••*#%
и заметив (следствие 13.7), что всякий Ae.@DiffA записывается в
ъще Еа^^а^А» найдем, как и в 2.4, что
Если же A&GDtff (P^ й) , как и в п. 2.4, задается матрицей
№ihJi>btj^toffA*' , то Д* задается матрицей |^| ,
16.Ъ\ SDtW - комплексы Спенсера. Докажем теперь точность
комплексов Спенсера в & - теории. Избегая излишней громоздкости
обозначений, далее композицию функторов дифференциального
исчисления ^в--.*^. в £ - теории будем обозначать<^£в ••••<£*
вместо в$>/...°вёЬ.. Например в&'&///= &D* С&>*#£).
Доказательство точности - комплексов Спенсера
основано на следующем общем соображении. Пусть/5*-*^\Р (соотв.,
$Р ) - функтор, сопоставляющий модулю Р комплекс Спенсера
S.P (соотв.,$Р ) в некоторой категории дифференциальных
операторов. Пусть этот функтор представим. Представляющим объектом
для него является комплекс, составленный из представляющих объек-
тов для функторов D-Dt'//: • Тан как последними являются мо-
дули $(А) « эгот комплекс, обозначаемый у^ , имеет вид:
Из явной формулы для операторов /£. • (см. п. 3.1) непосредст-
W

172
венно следует, что
(см. тавже [18] ). Следующая лемма очевидна.
Лемма. Если вомплевс (%\ точен, а модули If {/?)проевтивны,
то вомплевсы Спенсера $ Р (соотв., £>Р ) в рассматриваемой ва-
тегории точны. ►
Применим эту лемму в 6 - теории. Dtff- вомплевс
Спенсера в этой теории, обозначаемый в^Р (или вЯР^в^Р ) имеет
Т.в. представляющим объектом для £D-(Dtfflj) является %*(Лг) ,
достаточно повазать, что вомплевс ($Л
o-A^f-^fW)-^- ■&-* fW) -*■■■
удовлетворяет предпосылвам леммы.
Если А=5^или«?7^, где 5С,С7"^, то модули £Г*(Л)
проевтивны ввиду изоморфизма &~&r~tyM)b^A (см. п, 13.2).
Если А=?(/Р,п) или А**&(*!/) , где %Зг-УУ*~» то приведенный
изоморфизм имеет место в пределах важдой варты, и, значит, У*(Л*)
тавже проевтивен.
Навонец, Ч - вомплевс точен ввиду того, что операторы *S*
суть А - гомоморфизмы, а ловально Ч, - вомплевс преставим
согласно свазанному в виде: &~<%k %°°fAf)-A-» где ^^ес^ь
Н - вомплевс Спенсера в категории геометричесвих модулей над
С*°(М). Напомним, что £ /У- точный вомплевс, см. [18] , [64] .
Итав, довазана
Теорема. Если А = ^?^, то % - вомплевсы над А точны,
Ы <*> , тав же, как и комплексы &&Р » SSP . ►
16.4. & - аналог теории § 3. Все результаты и конструкции
§ 3, надлежащим образом уточненные, сохраняют свою силу и в £ -

173
теории. Ниже это прослеживается с добавлением необходимых
комментариев.
Конструкции и формулы п. 3.1 переносятся в и - теорию
дословно, если фигурирующие там операторы считать б -
дифференциальными и, соответственно, встречающиеся там функторы
дифференциального исчисления у заменить на
Двойственность Пуанкаре в С - теории, необходимая для
придания смысла конструкциям п. 3.2, представляет собой изоморфизм
, определяемый равенством
ЪпеоъХг-^вЗСА) ,сд^Л , - локальная форма объема, а
операция YJft »У£(?ОД *J°eA » понимается в смысле п. 16.1,
Изоморфность гомоморфизма /7 вытекает из того, что в пределах
специальной карты А -А (М)®со,,мА.
Комплекс
определяется точно так же:
Необходимо только заметить, что оператор d*v также &_ -
дифференциален. Но это следует из & дифференциальное ти ^(следствие 13.3).
После этих замечаний аналоги изоморфизма^-' D€0iffj$ Ап)-+
вместе с формулировками и доказательствами
теоремы 3.2 и следствия 3.2 дословно переносятся в (В - теорию тан
же, как и конструкции комплексов З.Рж *S РЯ. Ради кратко-
сти мы сохраним для (Z - аналогов этих комплексов те же
обозначения. Теорема 4.1 вместе с доказательством также
непосредственно переносится в £ - теорию.
Предложение 3.3 справедливо для d - комплекса де Рама
-"-*'A —*vl —♦••• и^Р - комплекса Спенсера.
Q - формула Грина (= аналоге формулы Грина в Q - теории) с

174
учетом сказанного выше требует для своего доказательства лишь
существования расщепления
Проективность А - модулей 6дг//^А , достаточная для этого, видна
из того, что в пределах специальной карты dDitf^A*''=-
SA® о* P*ff-ti(М) . Этот изоморфизм устанавливается отображе-
нием а®А*-+&Д , где аеА lAG-Dt/faAfw) (следствие 13.7).
Приведем отдельно б - формулу Грина ввиду ее важности:
П. 3.5 в С - теории повторяется без изменений.
Координатная запись оператора JKTa и расщепления Л ъ пределах специаль-
л _
ной карты при условии, что <й=С&£*-лй£глеЛп точно по тем же
соображениям, что и в п. З.б, дается формулами:
*fafe-|44® Q(*i •если д =£0a<rD<r' a*-eA'
В дальнейшем при ссылке на (§ - аналоги обычных результатов
и конструкций, обсужденных выше, мы к "обычной ссылке прибавляем
букву & ; Например, теорема 3.2 Q..
16.5. Преобразования. Всякий морфизм/ч^-лА* в DE (см.
п. 15.9) естественным образом порождает гомоморфизм ^ = F'A (A^-*
-+А (Ag)» Если F'- изоморфизм в DE , то, сверх того, он
порождает при тех же предпосылках и по тем же формулами, что и в
п. 2.5, преобразования^s^ff(I>fi^'-*Dif/(IjLjCi^) • При
этом, o4Qmmo^//6Dt^(^M)^^I)ty/CPjl,CljL) , так что
можно положить f^Q-eJ^Foa*\£&шгра )* ПоэтомУ» если Б Формулах
п.п. 2.5 и 3.7, касающихся конечных преобразований, сделать за-
мены Л*~*Л*, Ditf-*6Dift ,%-% , %#*'&#. *>

175
они останутся справедливыми. Интересно, однако, что в
рассматриваемой ситуации в качестве F можно брать также и отображения
ограничения,, а не только изоморфизмы. Точнее, пусть уравнение У
есть следствие уравнения У , т.е. «£<=**3., ЪотьА-WM
A'-FWJ, fci^A—A' , /у ,!*,, - идеалы уравнений Х.иЗо'
соответственно ъЗЦУРп) (илиЯ^). т.к. идеал-Г'^л^г, ,
устойчив относительно действия (HDifflA , то из ^_^) e ^ »
£>e/f(A) , следует, ч^о ^(Хсс*>)) - О для любогоX^-^^^J*
Кроме того, определено отображение ограничения ^л^'' ®DtffA~*
-*• &Di$A, являющееся эпиморфизмом (см. п. 13.8). Из этих двух
фактов следует, что на v"^ операция
корректно определена и удовлетворяет аксиомам действия. Ввиду
единственности действия, [*]0Ш [•] » т.е. операция [• ]
согласована с отображениями ограничения. Отсюда в свою очередь следует,
что
Гомоморфизм/1", как это следует из очевидных соображений
функториальности, порождает гомоморфизмы £Di// - комплксов
Спенсера над А в &D^// - комплексы Спенсера над А , а
также гомоморфизмы комплексов -
теории, тдеР=Р\у' '^"^lyio * в частности» ввиду теоремы
3.2С формула Грина для оператора U.^.3Dif^fPJGi) над б^>
допускает ограничение на у^ и это ограничение есть формула Грина
для A«>^j/qt / k k
Рассмотрим в качестве 'У^/У^ (соотв.,t7"&j)
подмногообразие вида L =гтУ{1Хооохв.1 Мд\ ^е-Г^СЛ) )• Тогда,
независимо от к , ^=Zr^(соотв., *УосгМсТ?). По этой причине в

176
качестве А можно взять ^*?2^(соотв.,£"*№)), где f£ - область
определения б )» а за F принять ^У^*(соотв.,^УЧ)*). Таким
образом, теория сопряженного оператора в связанные с ней формулы,
обсуждавшиеся выше, согласованы с гомоморфизмами вида f=/YQ\m
Jfv)*. Подчеркнем, что в этом случае &Ф = 0для ъъъиФ'ФС^о*)
и поэтому Ф-Ф . Ввиду этого гомоморфизм F индуцирует
гомоморфизм РЛ>К(А)-*£(Е>) (соотв.,^.vlW^AY^ ). Говоря
иначе [><=■ УУ (соотв., ^сМ ) можно считать объектом DE , если
положить 6s О . При этом^/Vzy (соотв., J С*)} есть морфизм в^Л
Теория инфинитезимальных преобразований в рассматриваемой
ситуации также несколько богаче, чем в "обычной" случае.
Действительно, все определения и формулы п.п. 2.5 и 3.7 вместе с их
доказательствами останутся в силе, если в качестве инфинитези-
мального преобразования взять ппопеп Х& £7) {А) . Однако,
возможно расширить класс инфинитезимальных преобразований, беря
"поля" из J) (А) » сохранив при этом соответствующие формулы.
Доказательства этих формул требуют уже иных аргументов, чем в
п.п. 2.5 и 3.7 и приводятся ниже^ Например, если X^-D (А)\@1Щ
то равенство [Х,Д] -[¥-,& ] нельзя доказывать, раскрывая левый
коммутатор и используя свойства операции #■ , так как оператор
X* в этом случае не имеет смысла. Итак, ниже мы считаем, что
Xе Т)& (А.) » а определения инфинитезимальных преобразований
соответствующих объектов оставляем теми же, что и в п.п. 2.5 и
3.7. Подчеркнем при этом, что согласно определению ZJL (А) ра-
венство Х&) в Х(">) » °°€ Л , од = (ьо ™>оо£вЛ)еЛ , вор-
рентно определяет "производную Ли" форм из /\ вдоль "полей"
**% (А) .
I. Доказательство формулы Al^lx^Oиди X(д[сЬЛ) =
4 Если b£.A=-6Diff9A% ю [Х.,Д]=Х(А)еА и нужное нам

177
равенство становится очевидным. Пусть A^&DfA) • Тогда
[ХМ*1 = -1Х>*]&)=а(Х(*))-Х(а{Я)),
A[X(cb)h - Д(ХСй)) « Х(А\«>])- -X (А(й)$) .
Подставляя эти выражения в доназнваемую формулу убеждаемся в ее
справедливости. Пусть, навонец, A=DeV и предположим, что дляП
и V доназываемая формула справедлива! Покажем, что она
справедлива и для Д . Во-первых, X&[#]-X((D-yH<^J)-X^[a[#Jl),
A[X(&)h(o<>v)lX(u>)]=v[nlX(<z)]}.
Во-вторых, используя paBeHCTBo[X,QeV]~De[X,v]+[X,n]" V ,
получим: [X,A][coJ-pC,vJ[a[«)]]+\7[[X,a]MJ •
Тан нан доназываемая формула справедлива для операторов V и a,
то [X,4)[Q[&U-X(*[nl&iy)-v[X(nl*W*
откуда rX,A][wJ-X^[Q[cD]j;- v[nlXru>)]J .
Собирая полученные равенства вместе, получим нужный результат.
Наконец, учитывая, что &Dif^A порождается А и ^^^убежда-
емся, что установленные выше фанты доказывают требуемую формулу
индукцией по OXOLA.
г. Формула ИГ. А]'- ЦТ, Л*] . Ае.еЯг#>Л".
-к
А Пусть а>€ Л - локальная форма объема. Непосредственно
проверяется, что
где Х{й))=Ыг1>--Хсд. Тогда ГХ,А]7/>ГХ,д]^ Г/^=
-[X А-]М&>]+А-[Ж'г>'-Х,-/&>] • Но согласно уже доказанному
ГХ^-]Г^=ХГА-[^]ЬД-[Х/У^)], тан что fX,A]V>
=X^_[/£Jj-A^[X#j^J . Тан как Х{Дя&Д1)шХ0Г#))ж
А£[Х(/)й)]=А?(Х(-/)) , отсюда получаем требуемое. ►
3. Формула IX А]*-К. А]* . A<=.£Di&(P, i).
Напомним, что здесь предполагаются заданными операторы

178
Xp^Det-P и X^-DeiA , наврывающие X , и [X,A] =
=Ха*Д-Д< Хр , [X, Д*>Х/ A^-A*% , где для Y* DetRл
Y^DezR обозначает оператор Y^fy'lY^i-ft—A*. Ниже
индексы Р и Q. у X опускаются.
Воспользуемся следующим очевидным равенством
[X, }»• А°/Ь] -[X, £ *]• А'/Ь * f.[l,&f>+f'A' [X, jb>
= Z<^J*. &°p+f*° [Х,&У £-/■$,*•> A-X(p) ■
Отсюда 2*. [Х,Д]"/'=[^^*''Д'А)-^в/-Д'^-^'л^^Л
а гая вая 4*° A'f>eSD*f/A и, значит, по jse доназанному
[X^''A'/bJ'-K/^А*»^ , то
( £ * а, Д] '/ь/- [X, ^ Д*. ? ] -^Д*• XfyJ-Xfib) '&}-
4. Формулы ХО»)=0 .Х(Жл)=е(°1>- ,
n>^.^Dt/-f(ej)if/(A , Л )) с учетом уже доказанных
устанавливаются точно тан же, как и в п. 3.7.
§ 17. Нелинейный лагранжев формализм
В этом параграфе прежде всего описываются в нужных нам
терминах основные понятия нелинейного лагранжева формализма. Это
позволит в дальнейшем ввести лагранжев формализм в рамки б -
спектральной последовательности, а в этом параграфе - установить
наиболее общую версию теоремы Нетер.
17.1. Плотности лагранжианов. Сечения из /^»^или п-
мерные подмногообразия в /V=Jf будут называться допустимыми для
рассматриваемой вариационной проблемы, если они удовлетворяют
всевозможным дополнительным условиям, фигурирующим в постановке

179
этой проблемы, например, граничные условия или связи. Их совонуп-
ность обозначим Коп(Щ(соответственно Л%,п(^)*) и положим
&. М*n(Jf)>z*>intVY» Граничные условия выделяют в /°^(соот-
ветственно JV* ) "подмногообразие" граничных условий дВ ,
характеризующееся тем свойством, что J{oJC0%r)c-vB9 ^"^Q0/7 6%)
(соответственно, j.(V),(dV)^dB,Ve.M?JSV) ). Пусть B-B'vdB
и A*(B,d3)*lb>eff(8)\co\d&=o}.
Обычно называют лагранжианом выражение вида ^~)Lc^'X'..'^
а функцию L , зависящую от функций iiti..., Um и их производных,-
плотностью лагранжиана. Поскольку, однако, объектом
интегрирования должна быть п- мерная форма, а не функция, инвариантнее
под плотностью лагранжиана понимать форму LoC^Cs^ ••• *d&n ,
которую можно интерпретировать как горизонтальную форму на УЗД.
Сказанное, с учетом того, что Лг естественно отождествляется
с Л (см. п. 13.2) мотивирует следующее
Определение. Плотностью лагранжиана называется форма
17.2. Лагранжианы. Задание плотности лагранжиана сО
определяет функционал на Г^оп /^(соответственно, на <М2оп (<^~)):
£н-- \ (/(^ТСоЬ^еьГ^фг]* или, соответственно V'—•"
\у}(У)*(*>) » У*М*„(АГ)Щ гдеу^(соответственно,/^1Х^)
понимается как гомоморфизм из А (В) в Л (^д-) (соответственно,
Л (V)) (ом. п. 16.5). Здесь предполагается, что область
^(соответственно, многообразие V) ориентированы.
Плотность оде. А (В) назовем тривиальной, если
определяемый ею функционал - нулевой. В частности, если (1>&А (3, д£>) ,
то плотность сСф в силу формулы Стокса тривиальна. Таким обра-

180
зом, функционал, отвечающий плотности со зависит'на самом деле
от класса когомологий <<ч»е - обозначает
когомологий сС - комплекса де Рама), Имея в виду то общее
соображение, что интегрирование есть операция сопоставления форме
старшей размерности ее класса когомологий, естественно принять
следующее
Определение. Лагранжианом вариационной задачи называется
класс когомологий
Поскольку, как это уже отмечалось в п. 16.5 гомоморфизмJ^T
(соответственно, У ^)) есть морфизм в &Е он индуцирует
гомоморфизм соответственно, в
обозначаемый также J ^"(соответственно, j0^) )» тан что
обсуждавшийся выше функционал представляется в виде:
<o*---j(0~)* (с£) , соответственно, V*—* J (V) (%)•
Вариационная проблема состоит в нахождении экстремума этого
функционала.
17.3. Формула первой вариации и оператор Эйлера. В этом
пункте мы предположим, что 5 е Т ^открыто. Это, в частности,
означает, что на варьируемые сечения не налагаются условия типа
дифференциальных уравнений; Пусть &£ ГАоп ($?) , <££ = <ьд> ,
сО€.Л (3). Рассмотрим некоторое вертикальное S - поле Э* ,
отвечающее Х€ ^ &) • Тогда скорость изменения лагранжиана с£
при эволюции, определяемой этим полем равна Э^(о£) =<$?£№)} ~
-^coft)^* a скорость ^^ изменения соответствующего
функционала на «г раБна j (<г)*<Э^(о£)>=\^' J(trfftafr))* Согласно (?-
формуле Грина ^(^^^(ip+u^^tf,!)), тан что

181
"V
где &(.<г)ч'С'сдгг('£>Ч~ преобразование расщепления Л и операто-
ра ^ /^,/J соответственно при морфизме VY6^в &Е (см. 16.5).
В случае линейного ^"для52Г=^ y>=fi-*Uxfo), полученное
равенство, называемое далее формулой первой вариации, можно
переписать в виде
Любое сечение ^ расслоения ft над Йу , имеющее
компактный носитель, содержащийся в intvC^.^ можно представить в
виде Ф = аМ, где носитель оператора Д также лежит ъш^Щ^,
В этом случае <,^^=<,у/^^=г'С(гоД^^^ на <^ •
где 9?=% и , значит, ^= J <ft/fi)*fi£,7*))> • Отсюда, ввиду
леммы Дюбуа-Реймона, условие экстремальности Ь?г - ^ влечет за
собой, что jft") (^ fl)) - 0 . Иначе говоря, о0 есть решение
уравнения -^^ (i)-0m
Если расслоение %Я" нелинейно, то этот вывод остается в
силе, так как всякое сечение ©'е^с (X) можно окружить подрассло-
ением с линейной структурой. Таким образом, мы пришли к
следующему.
Теорема. Необходимым условием экстремальности сечения
ffe V $)rhr оагранжиана , где 3 открыто ъТся)
является равенство//^ \^соС^))^^ » т»е» ^ есть решение
уравнения -ь^ (l-J~Q . ►
Подчеркнем, что форма -i^fi^AfB) однозначно
определяется лагранжианом с£> . Действительно, ^J^^'ft • Поэтому

182
тан вав согласно предложению 3.3 £ CL =±ci,
Уравнение ^^Cf/aOбудем называть уравнением
Эйлера-Лагранжа исходной вариационной задачи. Будучи записано в локальных во-
ординатах, оно, вак это непосредственно проверяется на основавии
воординатных формул для -^ и сопряженного оператора (см. п.п.
9.7, 16.2), совпадает с влассичесвим уравнением Эйлера-Лагранжа.
Тавим образом, приведенная теорема является инвариантной
глобальной версией влассичесвой теоремы Эйлера-Лагранжа. Оператор
&Н*(В,9В)-* *&а , где £#><, а)\ ,%-«», и *№)=
= Я.(л)\ , назовем оператором Эйлера.
17.4. Завоны сохранения и теорема Нётер. Пусть 3е ^°°(^) ,
#=<сО>, cu€./fr(B) = 7f(3) . Поле Хе£в (3) назовем (ин-
финитезимальной) симметрией плотности to , если Xf^-O на
^Со э где ^/=^ё?(^) = О j . ниже мы считаем, что ^/ ввази-
интегрируемо и, значит, X-X\R , Х^ D (&) .
Пусть ^Я^У (см. п. 14.4). ТогдаXC^^B^coJ+YM^
=^cofy)+d (Y-*^) . Используя б - формулу Грина для -^ (?) и
тот фавт, что ^edf-)~^ * отсюда получаем
где С-Л(">,Щ=ХХ('6^Я^-Х.-Л ^ • Та»им образом, если Х-
симметрия плотности со , то на и мы приходим
в влассу вогомологий <^лС^о,Х)>^Н (^Q. Здесь
обозначает *~ -ую группу вогомологий d - вомплевсаьде Рама на
©« •

183
Определение. Класс когомологий Де будем называть
законом сохранения (локальным) для уравнения v . Если А-</^,
j°gA (%0)ч т° /> будем называть С - плотностью.
Из этого определения видно, что для всякого решения V^Jf
(соотв., б"€/д^ ^т)) уравнения *У форма j(V)*(j>){соотв., jCrfOty
замкнута на V (ти^) и ее класс когомологий bvsbj(V)*(h)
(соотв., fCrfft)). Поэтому величина (^'(У)^Я),\КЛ' ])=
= 5 ^'^Р^соо^^ для
всякого ориентированного подмногообразия соотв.,
c-1/tf) есть сохраняющаяся величина в том смысле, что она не
меняется при замене W ~ ему гомологичным многообразием. Если
одна из независимых переменных уравнения \7 есть время t , то
поверхности| £**ьЛ иг ^ ~*х} гомологичны и выписанные выше
интегралы по ним совпадают, если они имеют смысл. Это мотивирует
данное выше определение с "физической" точки зрения.
Из сказанного выше непосредственно вытекает следующий
результат, который уместно назвать обобщенной теоремой Нетер.
Теорема. Если X - симметрия плотности лагранжиана <^=<<<»,
п?о С^&),Х)есть с- плотность для соответствующего уравнения
Эйлера-Лагранжа, а < сд№), Х)>- его закон сохранения, не
зависящий от выбора 2 •
Если Х(^) =#р, то, очевидно, форма ^fi^X)-^ явля-
ется с - плотностью для уравнения Эйлера-Лагранжа <7\ Этот
фант бывает полезен при практическом нахождении законов
сохранения. Однако, он сводится к предыдущей теореме.
Именно, если поле Ye£Zty3) таково, что (Y-*6**)]^- ^ ,
Преобразования симметрии, фигурирующие в классической теоре-

184
ме Нётер, являются полями Ли. Тем самым доказанная выше теорема
существенно расширяет Класс преобразований симметрии.
§18 С-
спектральная последовательность
В этом параграфе строится (? - спектральная
последовательность j/f^9 d £ \ » устанавливаются ее некоторые свойства и
даются первые приложения. В частности, показывается, что оператор
Эйлера совпадает с дифференциалом CL± этой спектральной
последовательности, что приводит к решению "в целом" проблемы
тривиальности лагранжианов и обратной задачи вариационного исчисления
в ситуации, когда неголономные связи отсутствуют. Кроме того,
выведена "инфинитезимальная формула Стокса" для члена £z ,
которая лежит в основе гомотопических методов вычисления членаЕ*
и помимо прочего позволяет указать явные формулы в обратной
задаче вариационного исчисления и проблеме тривиальности
лагранжианов. С- - спектральная последовательность естественно в
категории Х)Е• Это, в частности, доказывает перестановочность
оператора Эйлера с морфизмами DE, что существенно обобщает хорошо
известное свойство инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа при
заменах зависимых и независимых переменных.
18.1, u - спектральная последовательность. Пусть (9-
некоторый объект категории ££{сы. п. 15.9), Л* =^Y^, ■/!*=
Очевидно, что является идеалом внешней
алгебры Л , устойчивым относительно оператора d . По этой
причине таковыми являются и все его степени
Таким образом, в комплексе де Рама^Л^} на О возникает
фильтрация

185
Рассмотрим спектральную последовательность]^'; ^е J ~
-j^V (Р){ъ ' (Р)\* определяемую этой фильтрацией и называемую
далее &- спектральной последовательностью для О . Как и
обычно, ^эесть фильтрационный индекс, a ft+f- степень.
Умножение в yl* обычным образом индуцирует умножение в членах Е^ ,
причем tr ^Е % ^г и
Предложение. 1) Если /v Q~*» О. морфизм в DE , то /^
порождает гомоморфизм С - спектральной последовательности для
0^ в С - спектральную последовательность для ^ .
3) 4А*« <? . если } < О .
4) Если для некоторого £ ъ О , Л = О , то ^ "* в^
при ^>^ .
5) (? - спектральная последовательность сходится и ее член
•7-^во \ присоединен К // (&) .
4 I) и Z) непосредственно следуют из определений. Далее,
. Поэтому , если /О z • Это
доказывает 3), Если Л " О , то. иЛ =-Л и вообще #1*-.Л/'
при 1>Я , так как с другой стороны,
л л-5*/ /*"rf--/ /Ч л*'*'*- и *
U/1 */1 =Л л/1 -/j, . Кроме того, из соотношения
ЛГ*£1'лЛ~- следует, что£%"**&?* -^>Л"
( ^ раз). Поэтому при *>■* б^Л^^^^-лб^л^
К * ■■» '
/Ь раз

186
. Наконец, 5) следует из того, что
согласно 3) рассматриваемая спектральная последовательность
расположена в первой четверти. ►
Следствие, Если
если # < О или а>п.
4 Действительно, в этом случае число -5 из п. 4 предыдущего
предложения можно положить равным n = d.im Ж~т или cUmA/%
где М - база расслоения 55" . w
18.2. Двойной комплекс A (J~ (&))• Для нужного нам
описания членов Еq полезно в Л - А*(Щ ввести структуру
двойного комплекса. Это достигается при помощи операции 1 (см,
13,2), которая приводит к прямому разложению л-ел*л'
и, значит, в прямому разложению
= ел'л~лел*лл*: .
t у. f
Поскольку (ЗЛ = £ЛЛ ••• л6/£л/г , то Е0 '* отождествляется
с У1 , Для описания оператора ее в этих терминах нам будет
нужна следующая
Лемма. d(cLy)Gj[£r л в А1 , <?еА.
4 д^А d(dcf)=B^(dcp)-d(d^d(p)^(d^
is? л
^A^,{p^cCf^O , -гак как Э^ - вертикальное поле, a d<? -
горизонтальная форма). Поэтому
для Vue^W jW*(d(d*y))=rt(/M*(d4>)) =
= cf(J(uf(cp)yO, так что а<£уеС£-<^л/{-бА*/£®

с
"Г
187
Следствие dA^tf"'*®/i'*" .
^ Во-первых, и, очевидно, «/Ц
с Л ©Л • Из последнего видно ввиду равенстваЛ^Л^"'Л/1Г
( О, раз), что dA^fi' <Э А .С другой стороны, элементы
вида/>-6^^)А...А^^А^ a)«sA^,?;-eA ,
аддитивно порождают Л J , а из сказанного следует, что й£/°^
Композиции Л*** Л'4 W*-Л**'
, где вторая
стрелка означает естественную проекцию, обозначим fif ~ ^ъ * и
положим ct. а~&~~Я- '•/1 —*Л. . Тогда при описанном
А?
£\ и А оператор д£.
отождествлении zr и /L оператор ССЛ г отождествляется с
dp 0 • Отметим также следующие формулы, непосредственно
вытекающие из подсчета биградуировок:
(I8.2.I) d'(CT (%)«... Л %(<%)**>}) -
Замечание 1. Результаты этого пункта вместе с
доказательствами остаются справедливыми и для 5£,с./" *V«#,) , тан как one-
раторы &L ч oL ч (/^ъ I , а также Q - спектральная
последовательность перестановочны с операцией ограничения на ^£ .
Замечание 2. Рассмотрим спектральную последовательность ко-
гомологий де Рама расслоения $£,." ^£-*"/У . Тогда комплекс^Л,^"]
естественно отождествляется с членом £ этой спектральной
последовательности.

188
18.3. Члены Е ^ в абсолютном случае. Опишем члены £™
для О-Т^СЯ) или ^ш . Для этого нам будет нужна следующая
Лемма. На открытой области О в 7*°{я) или И^ всякой
форме сд^С^А сопоставим оператор
V (jL\=jCAot> , У€ а? ♦ Это соответствие является
изоморфизмом /1- модулей
4 Во-первых, V ^^V, , &^А , т.е. операция а)'~*Чс>
есть гомоморфизм А- модулей. Если CO-L^fd) , То ^ (г)а
=Х-^ ^Са)-'С(/) » т»е»^1)~1С. • Таним образом, если ^~
*Щ U£ (<г{) . то V^-r^4. • Так как &>W*.P)
как Л - модуль порождается операторами вида "*С , ^> е^° , а
формы , порождают ел1 , то рассматриваемое
отображение - эпиморфизм. Если ^-'Ч^Е^.^ » то Ze?-Z^Y#-,)
также есть нуль. Действительно, в этом случае ^С0(У^)Ш
s/^^(SS^C^(ciJ)-^ , УрС^.?е . Но так как любой
вертикальный касательный вектор в точке 9^ Т (№) может быть
реализован в виде ЭЛ для некоторого % (это видно, например, из ко-
ординатной записи (см. п. 9.7)), то последнее означает, что
форма Z^- U£ (й-j) - горизонтальна и, значит, равна нулю, так как
(см. п. 13.5).
Таким образом, лемма доказана для областей в J №). Ввиду
того, что <Wm покрывается картами вида J" №)i она справедлива
и в этом случае. ►
Пусть j><=E , /^еэе .Тогда, так как Х-± С Л*с:
с:бР'\\ еслиХе^ , aX->C*/fc<!'A* , если Х& &D ,
корректно определена операция подстановки jt-bjoct >J/ ;

189
Для p^c' определим полидифференциальный оператор
4<^£l>Lff*e*(2e,Af) • полагая:
(I8.3.D ^^,.--^;e^j6--%^>"M^6^
Нужное нам описание членов С дает следующее
Предложение. Для открытой области О в J" ffi) или Jrm
операция^»-* V устанавливает изоморфизм А- модулей Е0 ' и
^ Рассмотрим сначала случай ^с/ ^^ « /^в-^. Заметим,
что
Я^-вА , сое . Ввиду этого, в рассматриваемой ситуации
нужное нам утверждение следует из приведенной выше леммы. Из
того, что /г покрывается картами вида </(&), следует также
его справедливость для *6~/ , О^У\Гпг.
Для доказательства общего случая введем биградуированные
ассоциативные алгебры

190
умножение в которых определяется согласно правилу
(\*\)(А,~>?>ы) =
=^г Г(ЧД (Р^г-^ЦЪшг-Ъь^
где
Л&,ъ 7Ф\ ~~ -.*&
Тогда операцияу°*~*"^о определяет, очевидно, гомоморфизм
алгебры в алгебру • Кроме того,
Ввиду уже доказанной изоморфности CDtff . (д£,Л J и £ '%
t-Ofl , доказываемое предложение отсюда вытекает по индукции.^
18.4. Структура двойного комплекса в
Ниже при определении операторов "w ^ мы работаем на J" <х)жж
в пределах некоторой аффинной карты на </гт • При этом Л
отождествляется с Л . Это предположение не нужно при определении
Г
операторов ci. . Таким образом, вводимая ниже структура двойно-
го комплекса на определена на или в аф-

191
финно
ate 7 £)
й карте. Операторы 'Ь-^р q, : CD*ff ь (W>A )
—-(ZU'iff ,(?£,•& J, определяемые "стандартной" формулой:
us.*.!) Щ(ь, -л^)=?Мг%. Ыъ,...,%,...
как это непосредственно проверяется, обладают свойствами:
WV7- ^*/^>^>4*'
Рассмотрим также операторы
Ввиду того, что производная Ли вдоль ^€Я^ перестановочна с
операторами , непосредственно из определений
следует, что при ^2—9^
Иначе говоря, системы операторов 7'W, «jH/^^ f
превращают в двойной комплекс.
Отметим следующее очевидное свойство операторов ^>*

192
(18X3) d^k> (A^AjL)= aL A<>4*
+
Предложение. При изоморфизме предложения 18.3 оператор
отождествляется с d. . Если при этом отождествить согласно
18.2 А ''с GDift9 (#,/&) * то операторы ^ра.ж ^р а^
отождествляются с ^ ~ и d^ * соответственно.
4 Тан нан d=[dQ *j и ^^{^4, а.\ ~ дифференцирования
алгебр Е и uD'tf/ f^\ соответственно, достаточно первое
утверждение проверить для fi=*0 , где_оно очевидно, и ^—1 .
В последнем случае, поскольку d0 и d - дифференцирования А-
модулей ^Ер *' и LiCTkff . (?С^Л ) соответственно,
достаточно его проверить в пределах аффинной нарты на элементах вида
а
d U£(c<5)~0 согласно (18.2.1). Поэтому d 1/^00)=dl£(c<))=
= d(d-d)(cA)=-(d-d)(c£c6) = -££ (dco) . А мн нан ^ .
А Л Х
я<л| V a ^j^d*^, , то V,. =-d°V
Аналогично, совпадение операторов d. и -£,„ достаточно про-
верить на элементах ъида^=1£#0л со , у?е А , о)е А . Но
4jo(3s)=3j>(y>)c<> ,/еэе. Поэтому, тан нан [Э/,Эа,]=-
ЩфЕ** , о>еЛ* .Но на Л; ££-*-/ ,

195
С другой стороны, согласно (18.2.1) d."jo= - ££(</>)* Ц (ч>) и
очеввднш образом V, (p-f,B<A-9-(<f)3f(<4-z^(<fl9.(0) . ►
pi
Замечание.Комплекс^)^ {х}£\ на J (^можно отождествить
с членом £ спектральной последовательности ногомологий де
Рама расслоения %„'Т(Ж)—*М. Это следует из замечания 2 в
п. 19.2 и предложения 18.5.
18.5. Члены^ '* в абсолютном случае. Используя
изоморфизм предложения 18.5 и предложение 18.4, мы вычислим член £t
С- спектральной последовательности как ногомологий комплекса
)GDi$ {#}&• Тан нан комплекс [GDiff {2t),d} представ-
ляет собой прямую сумму комплексов iCDtff,^ (2С),с1> j , где
.£DW*^(?e)=Ee2)iff*e'(?e,Af) , достаточно ограни-
читься рассмотрением комплекса j^-^^y*,) №■)> ^ Г •
Ногомологий этого номплевса вычисляются из следующих общих соображений.
Пусть Ci' v d -некоторые А- модули,иЛ/^7^.-.^ &i-
<?1>^(АЛ,-ЛА>Р)), а С2)Щй;Р) = (»£г/№,?). Превра-

194
тим (sls'tffi@'£>..., UЛ в комплекс, снабдив его
дифференциалом d :
где V(fc,..., fA)=(((V(fj)(fJ- (%)) • Старщя ° onePal°-
п. 3.2), индуктивно
определим операторы Л* =At, ; @Diff(&£>..., U^ ; Л. )-**
-fia#7%,...,<£,- 4) •полагая для V: ^^г/^.-АЛ),
Предложение. Пусть Аж7(*У) ж А- модули ^ проектив-
ны, Х^г^к. Тогда когомологии комплекса ^иЛ)4*£#х,..., ^J »
# j тривиальны в отличных от ?г размерностях, а в П -ой изо-
л .
морфны CDift'(&£,..., Q>£-£> &J»
•4 Для л-/ это утверждение эквивалентно точности
комплекса Спенсера (см. п. IG.4). Продолжим комплекс (?2)г//Ш1у..} Ц, \
оператором д/ . Тогда доказываемое утверждение, равносильное
ацикличности этого продолженного комплекса, устанавливается
индукцией по к дословно теми же аргументами, что и ацикличность
комплекса spa в п. 4.1. w
Группа перестановок Si. действует в комплексе j&bfy&Mji
раз). Именно,
всякий A^@J)if//zjfG'Y можно понимать как полидифференциальный
оператор (см. п. 4.2) (%,.^^к)^Н%^%)^^Ш"
..)=Л*^<е# . Тогда для Г«е^ тС*)(%,->%) =
=Л/^ ,..., Cf ) . Поскольку операция альтернирования выде-

195
ляет
комплекс ^Qifffk) \2£\,cLy прямым слагаемьш б
j&j , мы видим, что его когомологии тривиальны
б отличных от Т1 размерностях, а б п -ой изоморфны кососим-
метрической части А- модуля SDtf^ ^ {&; эе) (см. п. 4.2),
обозначаемой Z/ (?£)* относительно индуцированного действия
группы/5/ , которое описывается ниже.
18.6. Действие о, в ^Л/^^^Со'/У. Вложение
порождает вложения
При этом /K^zC — *ML и ^"^а инвариантно относительно
действия подгруппы О <^-£!, , оставляющей А -ый индекс на
К-tL А
месте. По этой причине LL(P)<=-SDt/^ji:^(I^'P)-
Опишем теперь действие транспозиции ^~е/5^ »
переставляющей t -ый и М -ый индексы, 1<кщ
Зафиксировав элементы fy, • • •, Ф--j » ^^'^А y€i° ♦
рассмотрим оператор QC^/tzz^: ^(рЛ(рЛ = A fp ..., Ф^) ,
где A<z.i/n t . ItycvbQfcXfy-QfaJffe) • ТогДа из

196
С - формулы Грина следует, что t\(pt)(PfA**(&(P&)> ft%) =
-(р., ^(Р$+<£$(р£У..9р£ ) , где \> - некоторый
полидифференциальный оператор. Подидифференциальный оператор А.'(Р^-^р)**
*•+(£>k,tf(fi{f) принадлежит образу 1, . Т.к. Т(Ьь)(р19...?/Ь\ =
sfypf)(fa)z£et/u ~Jrn U , то Д = bk(T(v)) , если
A^-t/ft?)» Это доказывает следующее
Предложение. Пусть Т^ £ -транспозиция, переставляющая
t -ый и А -ый элементы, l'< А и V€ 6Dtf^ £-*(•?><&)•
Тогда
Следствие. L.(JP) состоит из всех таких Vg
e.CDitf (P;P), что Ui(p1,...3f>_Jm.ni^.^^)K№
всех /^<\</-У, fat — 'At-jt^-*
18.7* Описание ч£ * (Х% \ в абсолютном случае. Соберем
вместе полученные выше результаты.
Теорема. Если О^-Т (Я) или «"^ - открыто, то
* ^ =£ /^v , ft > ^ (мы считаем, что Zi ^у'= Р£ );

197
, & ^ г ^ оо ? еСЛИ f>>0 ,аф п или ^ - ^ , ^> ^.
^ Доказательство непосредственно следует из данного выше
описания членов Е0 и Ех. ►
Положим Z ^Й - // /W и введем операторы £.; £/#)-*-
—*■/.. №)* которые сводятся К #> при описанном выше
отождествлении £ ' с L (эс).
Следствие. I) Если #</*- , то Н (®)=№'/[&) ; если
<1^П , то Н (&)-Е? f или, что то же, /-/'(&)
изоморфна (fy"^) ~°й группе когомологий комплекса j L^Sl .
2) Если ff-ffitj , то Н^~<%)УН*(?Щ , если
А I) непосредственно следует из приведенной выше теоремы,
а 2) - из того, что слои проекции Л. ' «/ ^) ->»/" ^стяги-
ваемыо при /с^- _/, ^йроекции ^ / /""т"**" ^г ~ приЛ>£
(см., например [l8] ), поскольку .Л есть прямой предел
возрастающей цепочки комплексов ТГ^ ^(Л. \®lj) » где ^" «/ ^/
или У/ ^ , причем Ж^ £. - мономорфизмы. ►
Замечание. Многообразие JV представляет собой, очевидно,
многообразие всех касательных к -мерных подпространств в
многообразию <п. Поэтому слоем проекции fi. rt : /f —*-</^L —jY*
является грмоссманово многообразие dm когомологий

198
многообразия Ji^ могут быть вычислены на основании теоремы'
Лере-Хирша (см. [зб] )•
18.8. Связь с вариационным исчислением и вычисление
операторов *Qj . В этом пункте явно описываются дифференциалы ^' ,
или, что эквивалентно, дифференциалы (5* • Связь О - спектраль-
г
ной последовательности с вариационным исчислением состоит прежде
всего в том,
[, что дифференциал CL^ 'с£' ^п (jj-^t^ *=■?€
во веяной аффинной нарте совпадает, кан это показывается ниже,с
оператором Эйлера о (см, п. 17.3). Таким образом, cl±*
можно считать "глобальным" оператором Эйлера (см^ л. Г7;3);
Следующее предложение является непосредственным следствием сказанного
и естественности & - спектральной последовательности в DE .
Предложение. Оператор Эйлера естественен в категории
Замечание. Пусть Д - нелинейный дифференциальный оператор
из /T^jJ в/"7^J, где ^l'E^-^М , i^l^Zs- гладкие
расслоения. Он порождает естественным образом отображение
Г:
\Г CK)—* J"°°(7tA , причем F : S~ ffit) "^v fify} естъ морфизм
в DE . Аналогично нелинейный дифференциальный оператор Л ,
заданный на л.- мерных подмногообразиях многообразия JY^ и,
принимающий значения на ft - мерных подмногообразиях
многообразия /f порождает морфизм F : 7^ 0^)^^^г/%,)ъ категории
DE , где oL-CmAf' » пч-т * . Тогда предложение 18.8 означа-
ет, что
<^/=/^
где F •' Н (7Г±у*Н ffi}^ (соответственно ^7 •" (('"jtjm )'

199
9t
~*M (L^jl) m ) ) ш^л :7t$y~*^^J (соответственно
^ •'^ (С^Д^ )~*^(Г"^/^ь,//" индуцированные / отображения.
Отсюда видно, что оно является усилением хорошо известного
фанга инвариантности уравнения Эйлера при заменах зависимых и
независимых переменных, которые соответствуют операторам А
нулевого порядна в описанной выше ситуации.
Из предложений 18.3 и 18.4 и общей теории двойных
комплексов (см. [24] ) следует, что композиция^' -А-*-Е^Н (&)~*
—*- С = рс совпадает при сделанных выше отождествлениях
V4* • а din~ 6fi - о/^9^;^ , где
г. - композиция if, с операцией альтернирования (см. п.
18.5).
Ниже мы работаем на J" (JZ) или, что то же, в пределах
аффинной карты на N^. Согласно п. 14.5 отождествим 3l=?£ftz)
с 7(&>№) и для полидифференциальных операторов V на Р£
будем писать V(^...,yij вместо ^(3^у..., 9s) .
Как уже отмечалось выше ^рь(°У = од * co^./l
Поэтому (/И* <£ )№)=*'£со №)**&&) » ^= <<^> , и тем са-
мым установлено совпадение Ct и <о . Для вычисления
операторов U^' , Ь>0 мы воспользуемся следующей леммой;
Лемма* Пусть Qe CDtf^ , fa, А) , тогда

200
где операторы определяются равен-
^ Согласно (18.4.1)

201
Если ввести оператор
то результат проведенной вынладни можно представить в виде
+ ct3IC.(V* ^ ). А тан Нан полидифференциальный оператор
(ft ">$4> ^^(^fy'^ib+l) есть Г0М0М0РФИЗМ по последнему ар-
гументу, то он принадлежит образу t и, значит,
Пусть теперь ^€^> ^^ » ]Ьъ>£ • Если □ = ? ^J ,
Для вычисления eL ^Д) воспользуемся доназанной леммой,
выразив агрегаты U^fi), ^'/(-O^nts / Y-Z/через А#

202
Введем операторы Д . <= 6Dif^(96> ?e\ , полагая A^f-/^) »
л
= &(fxyj'f',-', fb) * ТогДа» кав это непосредственно следует из
определений,
Так кан Д€ £$ ^Я^ » то Л. = "Ал согласно следствию
18.6 и поэтому
Аналогично D*^^^,^},^,--^-»^', ...^^ • Далее,
поснолъву оператор (^^-^ "^ - дифференцирование (см. п. 9.4),
10 4 *7^# **И 'где ^6 ^ • ^е £ •и С^-
= -С ^ (Ц>) +<£у ((f) . Применяя это к (18.7.2), найдем, что
г
Подставляя найденные выражения в (18.8.1), получаем для
f»0.

203
4^р
+L (-1) а(&4И>-Л-4>->^) +
+?ЕМ< ((^'(Ati,...,^..,/,))
-г
4
При -f>=l эта формула дает: <о£ C^P)(f)= ^sCty'^ytf)**
(18.8.4) 4^*^"^-
18.9. Резольвента для оператора Эйлера. Если О открыто
Б Ж (или J~ (Ш))ч то описание £ - спектральной последова-
тельности для О , данное в 18.7, может быть резюмировано
следующим образом. Рассмотрим следующий комплекс, называемый далее
вариационным,
-Ой d т* d т $l r &
(18.9.1) 1/-+А=Л-+ "A—^L^Lj^
где 6> - композиция естественной проекции
<о — Ы • Ввиду теоремы 18.7 а~- мерные когомологии это-
го комплекса, если считать слева, совпадают с п ((?)• Поэтому
его фрагмент, лежащий правее А , равно как и комплексМ.Й,

204
является резольвентой для оператора Эйлера & , если
Н (О) - О при * > п- . Локально это всегда так. Отметим
следующий важный частный случай.
Следствие. Если St -векторное расслоение, то i Z^. ,&A-
резольвента для оператора Эйлера на J* (Ж) . ►
Назовем лагранжиан тривиальным, если
^>(^t)-0 . Векторное пространство тривиальных лагранжианов,
очевидно, совпадает сГ. и поэтому в силу теоремы 18.7

нем
Предложение. Векторное пространство тривиальных
лагранжианов изоморфно . В частности, если , то
лагранжиан тривиален тогда и только тогда, когда его плотность
тривиальна. ►
Простейшее приложение вариационного комплекса состоит в
том, что он дает способ проверки, является ли заданная
определенная система уравнений системой Эйлера-Лагранжа для
некоторого лагранжиана. Всякая такая система, по крайней мере, в гомото-
пически тривиальной ситуации, может быть представлена в виде
(D- 0 , где LP€.2€ . Поэтому с точностью до легко проверяемых
топологических условий такая система является системой Эйлера-
Лагранжа, если &х ((f) -0 . Отметим следующий важный частный
случай.
Теорема. Пусть Я'•€_-*• М - такое расслоение, что
П (Е J-0 . Тогда система уравнений <р=0у у>€.ъС (Ж) ,
является системой Эйлера-Лагранжа, если "С^ =^^>.
4 Следует из сказанного выше и 18.8.4. ►
Нелинейную систему уравнений естественно назвать самосопря-

205
женной, если она имеет вид Ф- 0 , причем "^L,55^ • Приняв
такое словоупотребление, мы обнаружим прямую связь приведенной
теоремы и п. 4.3.
Если система (^- 0 , ^с ££ , есть система Эйлера-Лаг-
ранжа, то Ffy)** &(&) » где F& Aid Эб . Поэтому
локально и при условиях предыдущей теоремы равенство *^L, T^rr
для некоторого F^-Aut it является необходимым и достаточным
условием того, чтобы система (р=0 была системой Эйлера-Лагран-
жа. Это дает практически удобный способ решения этого вопроса
для конкретных систем.
Замечание. Своеобразная резольвента оператора £> для
случая полиномиальных лагранживанов на прямой построена Олвером и
Шакибаном [61] . Она отлична от нашей. В частности, . построенный
ими оператор, "разрешающий" оператор & , имеет в наших обозна-
чениях вид а> н-*. -£<р(И) - -ч^ (11) , где U-p. - координатная
функция на Т (ft) » а #" - тривиальное одномерное расслоение
над /\ . Это означает, что в классе полиномиальных </ условие
<Р~^Ч> эКБИБалентно условию -£^(11)= €ф(41)% хотя вообще
говоря, это не тан (например, для^=^.^ ).
18.10. Инфинитезимальная формула Стонса в Е± . Если^е^".
и &^{А)= 0 , то при отсутствии топологических препятствий,
т.е. когда п (0)=0 » &=ё>. j(&)* Наша цель состоит теперь
в том, чтобы дать явные формулы ("формулы обращения") для
нахождения А по Д . Эта формула является следствием "инфините-
зимельной формулы Стокса", которая, как показывается ниже, может
быть редуцирована до члена Е£ & - спектральной последователь-

206
ности.
Пусть алгебра Д - объект . Тогда веяний оператор
производной Ли вдоль поля X^D& (А) сохраняет идеалы t, A
и поэтому порождает эндоморфизм соответствующей С -
спектральной последовательности. Назовем его тавже производной Ли (на
£^*). Обозначение: е«-*Х[е} , te£%* .
ПустьХ<г CD (А) . Тогда Х^ ЙЛ'-XJ (ИЛ** А*) е
и, значит X-J^-ЛГ <=- С /£. Аналогично, для
Л«Z)(5fyХ-» С*Л*е £^Л*. Если o»*LC*/C*du>*e*"*Л*
то из формулы XfcoJ-X-idte+rffX-l^J следует, 4i:oX(^>)-
= <Ж/>тОс(в Л* Tjj,ejOe£ Л , если X^£D(A). Иначе
говоря, Jffej = 0 при к > 0 , где элемент бе£
представляется формой СО . Таким образом, производная Ли вдоль
X^-GD(A) ъ & - спектральной последовательности всегда
тривиальна при к> 0 . Тем самым определено действие элементов
фантопространства D (A)/£D fA) на ^\^ » %>0 . Это
действие мы также будем называть производной Ли. Итак, если
А-^(^оо) » ^/Ж^тж ^(Ж)% то определена производная Ли
Х[е} , где е<Е.Е*>Ъ , а/€^ б' , ж(л£) или ае<ф
соответственно.
Для X^-D (А) определена также операция подстановки
. В самом деле, пусть
- представляющий Классе ^ - коцикл, т.е.

207
и 40С^сЛ)-ХМ-Х^4">е£№** i.e.X-i^ есть ol0 -
ноцинл. Еслиуэе
зом, власе d0 - вогомологий о(ф - воцивла Хл <^ ворревт-
но определен классом е . Обозначим его Х-^В .
Если в предыдущих рассуждениях считать, что Х& &&(А)с.
а]) (А) , то ввиду того, чтоХ-^&А^б А , из них будет
следовать, что XJe в 0 . Это дает возможность определить
операцию подстановви уС-^Ъ^Е *г% где в€^ *' , а
?Cg.D (A)/&D(A) . Беря теперь в инфинитезимальной формуле
Стовса влассы d0 - вогомологий важ-
дого из слагаемых, мы придем в следующей инфинитезимальной
формуле Стовса в £ :
Когда О отнрыто в J" ftzjvum УК , операции производной
Ли и подстановви элементов %^-Э€ (О) можно перенести из
в £j (Н.) , пользуясь описанным в п. 18,6 отождествлением.
Обозначения для таним образом перенесенных операций оотавим
прежними. Тогда из (I8.I0.I) следует
(I8.I0.2) 4&}=&fi-/^A)+tjSfi(ty, Ь*£рС*) ■
Вычислим теперь операции ^J и/^f'} явным образом.

208
.„„*#
Пусть А^Ь.(эС) и оператор U^6Dt/f^. (dt^A*) определен
формулой (18.8.2). Тогда из (18.3.I) и способа отождествления
Z,. о £ у непосредственно следует, что
где х->n^eDw^-x(*A*h (?-* щ.ъ,-*Ъч)~
где
Используя, далее, С- формулу Грина и следствие 18.6, найдем:
f-^v^^W^ w*
где *ъ&)г#*(&,,Ап ) и, аналогично,
Поэтому
(ю.10.3) fya A)fc,.., ^; -4 #,^,..., ^,.J.

209
Явная формула для /-[&} теперь получается
непосредственно из (18.10.2), (18.10.3) и (18.8.3):
(I8.I0.4) /{A}^,..,^J=^^^,-^^J>
+
г
$Ы*„-.\?„А.~.*^'
Поскольку приведенная формула предполагает, что р>>1 ,
Л _
случай р-£ рассмотрим отдельно. Пусть <р^- д£ -LI (Ж) .
Тогда jt-i(f>~ (У,у£) и, как мы уже видели выше (см. п. 18.8),
^(¥'ъТ^'^Х*^*?lV * Поэтом^ из (18.10.2), (18.8.4) и того,
что З^6*») = ^со (l) i<?6>e^/t 1 следует
Ci8.io.5J t{yytv(7Q+*r(7Q-9%(<f)+**{%).
Следует отметить, что естественное действие элементов^"5^
на L- (э£) как на полидифференциальные операторы, которое
нетрудно определить, пользуясь соображениями п. 2.5, отличается от
рассмотренного выше.
18.II» Формулы обращения. Пусть - гладкое
семейство автоморфизмов некоторого объекта из DE , ^e[^i] и
X^ZlfO) - отвечающее ему семейство & - полей, т.е.
£(„;)-%-х,.

210
Если <£ *V(e) = 0 и ^=^ mod6D(&) , то ввиду (I8.I0.I),
Интегрируя это равенство по t , получим, если G-o= ъ& :
(18.П.1) e=eJ(e)-dxfc;fyJe)dj, e е£**
или, отождествляя £ ^ и L.(9cJ^
(I8.II.2) Д = £//д) -£J J <£fe-"4<#] , Ле ^ fit).
где <%{а)-Г1(<%(-{(а))) , а*^ ^; , а *..Lp-~ f/-n-
отображение отождествления. Формулы (I8.II.I) и (18.П.2)
остаются, очевидно, в силе, если G, - автоморфизмы объекта О
.«Л ™ /«.Г/7 Л а<-п л'
такой подобъект объекта С/ , что эти формулы
дают искомое обращение.
Пусть ^ £.-»// - векторное расслоение и *>/ •' t^C -
его послойная гомотопия с коэффициентом /-^ . Тогда QrQ. -
суть преобразования Ли (см. п. 15,5) при £е \0,j) и im^-
=*№J(0)% 0<a Г(&). Из последнего следует, что £*, (£*'ty**0л
. ;€>># .
В специальных координатах имеем:
(18.П.З) в*(я) = ^ , ^7^;-(±-t)fii ,**\р,ц.

211
можно
t l-l tf* fy^ t-JL " Sfi ( J '
Отождествляя согласно п. 14,5 ?e(ft) и \rffiJ&)
считать, что Х*= 7~7 ^ и» ввиду (18.10.5),
(I8.II.4) (?^Ш,--->-/р-*)т£А(11>4,---Ур-х)>
Лемма. Если As.L*,f9i) , то £,}А} =
-(i-t) +(е*) -*. *а*ш (t-t)% га).
Л Поскольку (*£ - автоморфизм расслоения Ж , (х (dj}=
' - (&+У ° $j°&£ ~ Зу для некоторого ■/ или ^ ° Эг =$s °^
Применив это равенство в ^-J° (Я) и учтя, что d^f-u)=^ и
Gt (ll)=(£-t) и , найдем, что /= С4-£)((х%)~±С?) • Тавим
образом,
(18.П.6) -г = ^-# л;-4 ftf/;-*.
или, эквивалентно,
Отсюда, ввиду п. 2.5,
(иль?) <%. -v-9<?;-ty кг'-

212
Поскольку А- модуль Lp(?t) порождается ^>г&_^ ,
нужное нам утверждение следует из того, что&_у((^) °Дв&;))ш
*=fi-£)6?f&(6-)) . Последнее равенство, иначе говоря, означа-
е., ™■%.ырН*-Щ(С(*)) . где h = <«» , **Лп ,
и немедленно вытекает из (18.II.7). Для <jb>£ надо
воспользоваться (18.8.3), (I8.II.5) - (18.П.7), а также тем, что
Но Э^ (dt fy)) ввиду (I8.II.5) равно (4-t)&t ^#У »
тан что осталось воспользоваться (9.6.2). ►
Собирая сказанное выше вместе для семейства гомотетий из
(I8.II.4), получаем для A^.Lp(9t) , ft >/ , £р(д)=0 :
(
I8.II.8) ^_,^^ •
Случай f>-i несколько отличается по форме от общего,
так как &£{<*}=&*(*),<**//* , и ^А-<iiCyC)^H n,
где Лере=- Lt(d£) . Поэтому в этом случае (18.П.2) дает:
18.12. "Потенциалы" тривиальных лагранжианов. Если лагран-

213
Г/ Л,
жиан #=// (В) тривиален и , то согласно
предложению 18.9 со - df> , где ыеЛ** (В) и #=<^>> . В этом
п. будет указана явная формула для "потенциала" J& формы со .
Для веяного поля Ли X* справедливо разложение
Поэтому для ьо € А в силу п. 17.4 имеем:
Если О<<я>> = ъ^(1) =■ О , то в силу С- - формулы Грина
Если (*, - семейство автоморфизмов области В нан
объекта из DE и й? ~ t^ , a X,^Xj - соответствующее
семейство С - полей, то
о * о
Тавим образом, если о^сс)) =# , то

214-
Если G (сл))^ 0 , эта формула дает искомое выражение для^ .
В частности, для семейства гомотетий, описанного в предыдущем
п., имеем, так как <x*(co)^(j(Of&))-*Zft*\M)
(18.12.2) *-Xl(bi\MYJ/>'tJ>'-ytJL(*tjU)-££- ■
Значит, при условии ] со\ =-0<°^со\ -^,^еЛ r^v »
формула (18.12.2) дает искомую формулу для потенциала J> :
(18.12.3) /> = JO '^-Tlt (f>0) ■
§19. б -
спектральная последовательность
бесконечно продолженных уравнений.
В этом параграфе исследуется & - спектральная
последовательность бесконечно продолженных уравнений; Основное внимание
уделено методам описания члена ££, роль которого в категории
DE полностью аналогична роли комплексов де Рама в категории
гладких многообразий. С этой целью комплексы £
.представляются в виде коядра отображения некоторых вспомогательных
комплексов, являющихся поли-аналогами комплексов Спенсера. Для
расчета этих коядер в свою очередь отроится другая спектральная
последовательность, член Е0 которой аналогичен о- комплексам
Спенсера. В результате оказывается возможным получить
удовлетворительное описание С - спектральной последовательности для не-

215
переопределенных уравнений. Методы этого параграфа позволяют
получать полезные оценки и в переопределенном случае.
"Теорема гомотопии", являющаяся аналогом в DE "теоремы
гомотопии" для когомологий де Рама, доказана в конце этого
параграфа. Она позволяет во многих случаях эффенгивно вычислять член
£ С - спектральной последовательности. В этой работе
приводится только простейшее ее следствие, являющееся аналогом в DE
леммы Пуанкаре.
19.1. Пусть у<2 JVm - некоторое уравнение, £-*L-' ^*
-*/¥т отображение вложения, и- спектральную
последовательность на JV (соответственно У^ ) будем обозначать i£t ,
CL У \ (соответственно |£ м Зу* ^i j )• Тан как i -мор-
физм в DE , он индуцирует гомоморфизмы С - спектральных по-
следовательностей, т.е. такую систему гомоморфизмов Ъ =■
шф£**~£*?(У)% что %*-(£'ш4*К** . очевидно, что
собеь+ *'*** О . Для описания [Ё**(У), df*] нам
необходимо прежде всего описать лет t .
Будем сначала работать в пределах аффинной карты, или,
эквивалентно, предположим, что
Согласно п. 18.2 £?'-ЛЛ*, ЕР;*(У) = #'*(?-) и
отображение И * Лл *-* Ар' * (V
можно понимать как
естественное отображение ограничения форм. Но ядро отображения
ограничения , как это показывается в общей теории

216
дифференциальных форм, совпадает о Ц^'Л +Л л %%у , где
У^ - идеал уравнения ^^ J (&) . Беря у этого
С ft » £ ) ~ компоненту, видим, что
+£Л'л... л ел4 л <* £ лл*"* ^= ^?^).
Но, очевидно, Я^ 3L <= ^L '/\. . Поэтому Лс^'-Л^
и
В частности, у£ет г' ' = У^'СЛ. ~ff ££Л^уу . Из этого
равенства следует, что, несмотря на то, что оператор и± зависит от
выбора аффинной карты, образ подмодуля
определен однозначно. Тем самым, обозначая
ограничение модуля Р на %. , имеем:
где[у *££ ("м)\ обозначает подмодуль в [СЛ J , порожденный
в пределах некоторой аффинной карты множеством [£' С^еч) > а
оператор (J± берется в смысле этой карты. Подчеркнем, что

217
19.2. Теперь мы хотим получить описание члена ^ '"(1/) ,
аналогичное описанию члена F *" из п. 18.2. С этой целью каж-
дому "
<f€\h0 J J сопоставим оператор V ^CDz//^ .
([*]', Л* (%.)) , полагая
(I9.2.I)V^f[XA..^^lJ=[V^'^J^''^^
T&fyex и[^0 - образX/ в [it] , a <^-[/>J .
Следует обратить также внимание на то, что правая часть (19.2.1)
принадлежит ' ^ '" ■ /l
J^f ' ]=[Л J . Однако, очевидно, что [A^j =
■f
=Л (*3у • Дословно так же, как и предложение 3.7, доказывается
Предложение. Соответствие 9^""*^ устанавливает изомор-
Подчеркнем, что если J°^-f' ' , то V- 7=1^У • где
[Д] означает ограничение С - полидифференциального оператора
А с У^(Ш1И 7'°}%)) на б£, (см. п. 13.8).
Биградуированная алгебра uDtff \[эЩ~И ££*№##
■(№ ■> Л*СУ„)) над ?(*/) в опта* of Й5^Г ^ X}
уже не является бикомплексом. Дифференциалы
в него вводятся при помощи формулы (18.4.2). Однако, формула

218
(18.4.1), вводящая дифференциалы -£,Q , в рассматриваемой си-
туации уже смысла не имеет.
19.3. Рассмотрим - подмодули
Из (I9.I.I) и предложения 19.2 следует, что £. является би-
градуированным идеалом алгебры C-Dlff il^Vx < п°Р°яден-
ным А > т.е.
Очевидно, (*■£ 0(К J )^JC0' . Это вместе с (19.3.1) и
(18.4.3) показывает, что ^ (^0)с:Ко .
Рассмотрим биградуированную фактор-алгебру
Ввиду сказанного выше эта фактор-алгебра наследует дифференциа-
ш ^v> a • Соответствующие фактор-дийференциалы по-прежнему
будут обозначаться #L # :

219
Изоморфизм предложения 19.2, ввиду того, что Е0 ' Cty~
s\ro \/[ketl о J » индуцирует изоморфизмы И~У1 -А -*■
-*Е '' №) iM'fc~*EoC^) » а предложение 18.4 показывает,
что при этом дифференциалы Сь. отождествляются с с£ J -
Если ^^иТ" (&) , то согласно конструкции п. 18.2
Е ' (У) отождествляется с А ' ('%/ . Поэтому, используя
изоморфизмы , можно отождествить
. При этом дифференциалы отождествля-
ются с &£ q . Опишем дифференциалы А —**А г , но-
, //
торые при указанном отождествлении переходят в & & о,
Заметим сначала, что если ^€ Л ,Х^£е ъХ*0 на
Действительно, если Эу> , ТО
Ф^) = Че> (У) и ъш№ того» что идеал ^ дифференциально
замкнут, ^(У) в ^ на ^ • Если же -«Уе ^^ » ToJir^j"
= й(Хлойу%А1об -.ЪъХлсй\=0 ъХ-ь<£со\^ш 0 ,
еслиуГ=# на J^ , a d(XJbO) = ^ ввиду дифферен-
циальной замкнутости идеала ^ •
Из сказанного следует, что корректно определено действие
модуля [?■€] на J- - модулях Л со значениями в
[Л*]:

220
При этом оператор Qe 6Dif/([9t] ,А*)> О ( hty'tyM] ,
ввиду того, что ?£(&>) =ХJ ^ ^у'« принадлежит идеалу А^ ,
если с<Я .. - 0 .
'о«
Дифференциальная замкнутость идеала *Х показывает, что
М=^Н#^на ^> •если %j ^ =° •и что
&(^19-> ^ь)~® на ^о* » если ^ ~* ^ -
полидифференциальный оператор, а /^ • 1 = 0 .
Все это вместе показывает, что формула (18.4.I) индуцирует
операторы "^~"^е> а в А . Тем самым установлено
Предложение. Алгебра /Г , снабженная дифференциалом сб ,
изоморфна^E0(V), d0^ . Если же то алгебра К
с дифференциалами d ж £ превращается в биномплекс,
изоморфный бикомплексу |А ("К*), d, cL j . ►
Замечание. Если , то алгебра с
дифференциалом </ изоморфна члену £д спектральной
последовательности когомологий де Рама отображения (см. замечание 2
п. 18.2).
19.4. В "регулярной" ситуации, которая описывается нине,
комплексы
f
(относительно дифференциала PL ) можно представить в виде коядра

221
отображения комплексов спенсеровского типа. Это дает подход к
вычислению членов С £ ( J J , поскольку п (А у~^ (~у*
Уравнение назовем регулярным, если
= fcf-0j , где(^е5Г(^ Ш) для некоторого p :£/-^//,
причем
где . Для регулярного уравнения оказывается
справедливой следующая простая, но важная лемма, приводящая к тре-
ггР»*-
буемой интерпретации комплексов А
Лемма. Если У - регулярно, 1оХ0'={пе-1?1)1#([Х] ,
(где скобки [ ] означают ограничения L - дифференциального
оператора с J (Я) на ?/£«, ).
-4 Согласно п. 19.1 К1'" нан 5W - модуль порожден
операторами \ур\ » 7 ^ <Ч • ^БВД регулярности уравнения &
, и согласно п. 13.7
V=2j<2. V. , <2 • е «-^ . Но -£* = D° w , хан что учитывая,
что операция 0 н* ^ является дифференцированием, имеем
Тан пая, V. (<р)е %, , то [€f] = Efa V.] • [-rf^] . ►
Ввиду проективности v (\f)- модулей \Р] и [э£]

222
и аналогично для£р£]. Отсюда и из леммы следует, что
К?Ца~(У>ф(М,А*(Ъ.))\ п- д.[^,
Сказанное означает, что йомпленс К''~ЕК/ является об-
0 f w
разом отображения
(см. п. 5.2), тан что
19.5. Пусть теперь ^^т^ ^ =\<f~0}9<peP
Р~^(Угт , !р) . Данное в предыдущем пункте определение
регулярности уравнения !/ дословно переносится на рассматриваемый
случай. Однако, лемма 19.4 уже смысла не имеет, тан нан не
определен оператор "w^ • Сконструируем ее замену. С этой целью введем
следующее словоупотребление. ,
Определение. I) Уравнение назовем локально
регулярным, если найдется такое покрытие £ ^*J пространства
аффинными картами, что уравнение J регулярно в пределах
каждой из них. ,
2) Уравнение ^<=-^'т назовем регулярным относительно
оператора 4^6Dtf/([^],[P]) , если
/п.

223
KJ"={n^eDitf(№,Z~(y))\ п-д- v,
Замечание. Из леммы 19.4- следует, что регулярное уравнение
ff*UpmO^ Т (Я) регулярно относительно оператора \^<р\.
Предложение, I) Если уравнение *У регулярно относительно
оператора V , то А - C&fc&l о^ .
2) Если уравнение v/ локально регулярно, то найдется
такой оператор V , относительно которого оно регулярно.
4 Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго
приведем формулу преобразования оператора Ту? при замене
аффинной карты. Эта формула является немедленным следствием
трансформационных свойств операции C/J (см. [13], [l8j ) и связи этой
операции с операцией "С. Итак, имеем
у * Я^чъ.ф
к
где (0С-л f> )- координаты в первой карте, ^. - базис модуля
Р в этой же карте, D. =■ :— и *£ - операция универсаль-
ной линеаризации в смысле второй карты. Из этой формулы сразу
следует, что[^] - l^cp] (в пересечении этих карт). Поэтому
корректно определен такой оператор V , что его ограничение на
любую локальную карту имеет вид \,^J\ , где операция *б
рассматривается в смысле этой карты. Далее, стандартная техника,
связанная с разбиением единицы, и лемма 19.4- показывают, что
уравнение ^/регулярно относительно так построенного оператора
V .►

224
ту *»*
19,6. Представление комплекса Л в виде ноядра
отображения Sv является ключевым моментом, тан как сводит вычисле-
ние членов Е^ к вычислению гомологии Спенсера оператора V.
Последнее же является во многих случаях эффентивной процедурой.
По этой причине желательно иметь аналогичное представление и для
номпленсов К * , fi>l . Оно определяется в этом пункте.
Пусть
CDitf(it) (а, а ';А*(%))=ерг&(а,.-,а> &'■> а*&4-
сэщ*) {&; a )=z cwfa (aA'; А*(%.)),
где Q, и R некоторые модули. Согласно п. 18.5
№
Ща,а'\
гтгй.\ jvC.C* у является комплексом относительно
дифференциала U , в котором естественным образом действует группа
перестановок tSj , переставляющая первые Ж "аргументов".
Следующий подкомплекс инвариантен относительно этого действия:
Отметим естественные изоморфизмы, в дальнейшем используемые без
особых оговорок:
(I9.6.I) C&tigftWiA'flC))-

225
По поводу SQ> см. п. 5.2. Разумеется, в (19.6.1) индекс
u£t можно опустить.
Рассмотрим теперь композицию 1г следующих отображений:
По поводу отображений с> см.п. 5.2. Напомним также, что сог-
п.п. 19.4 и 19.5 К09 =**тoLсS [#]. Очевидно, что
ласно
V - эпиморфизм.
Таким образом, имеем.
Предложение. Если уравнение </ регулярно относительно
оператора V , то К -^е%^7 , f>>/ . ►
Полезно заметить, что композиция V" и вложения А0 с
<=-6Diff, . j[^JV совпадает с композицией
(19.6.2)
И— саяС/И

226
19.7. Перейдем теперь н исследованию ногомологий номплен-
сов А ' » Фъ> 1• Прежде всего напомним (см. п. 18.5), что
номпленс (ZDtffr,)i®'>Q' \ ацикличен в размерностях I ф- и и
Hn{ei>itffk){&-> И'\У ££*&*,£ (Я; &') .по этой при-
чине номпленс LDiffs,} j й; U > , будучи инвариантным
относительно действия группы перестановок р, ^(?I)if4,\(l>Q>[
и выделяясь там прямым слагаемым, танже ацикличен в размерностях
гфп и
(I9.7.D нХ<ии#%{№'}) - №tfZ*(ai d').
Рассмотрим следующие короткие точные последовательности
комплексов:
Из соответствующих точных последовательностей ногомологий,
учитывая п. 18.5 и (19.7.1), находим:
(в.7.2) "Г£П--^Ж'>"'>^Л ****
Hn-*(Kp>*) = Hn~i(K'',*r) .

227
Напомним, что вогомологий рассматриваемых здесь вомплевсов
тривиальны в размерностях ^<0 и 4 > П .
Из (19.7.2) следует, что вычисление вогомологий вомплевса
К сводится в принципе в вычислению вогомологий вомплевса
Jcext^ . в частности, если этот вомплевс ацикличен в
размерностях 1ф п и отображение 1^'-Н* (£&•&"? )~~
—*CDtff Цре);[РЗ) является мономорфизмом, то/У (а ')-
-О, i ф. п-1 , /г. Кроме того, всегда
где V(fb) : CDift^ р_£ ([ЭС]; [P])->L ([#]) - находимое
из нижеследующей диаграммы отображение /г-- мерных вогомологий
комплекса бПг^_х)[[ф[Р]} в Н^Щ^ф
= Lj. (C^O) » соответствующее отображению ^ :

228
^%^/[^^[PLAW-%<tc-MT^J)
/гтсС /tmd
Л I-
Непосредственно из определений и п. 18.5 следует, что S7, . яв-
(Р)
ляется композицией отображений
где, отождествляя ClH-ff (fa]j $>) с К о со симметричными
$,- значными полидифференциальными операторами,
а отображение j8 является отображением альтернирования
относительно описанного в п. 18.6 действия группы перестановок Jk в
СВг$(Щ) [#]) • Подчеркнем, что %j = V* .
*,рн
Тан как V, представляет собой композицию (см. (19.7.2))
(fej

229
то имеет место точная последовательность
^л^о*нп'\кр;унл(ксг^р)^игч(р^п'^уа
Собирая сказанное выше вместе и учитывая предложение 19.3,
получаем следующий результат.
Теорема ("о двух строчках"). Пусть уравнение \у регулярно
относительно оператора V и а) комплексы А, ' при jb^-1
*
ацикличны в размерностях t^n или, эквивалентно, в)
комплексы 'k&i V^ ' при f>^-1 ацикличны в размерностях 1фп и
1р - мономорфизмы. Тогда
1) Е*'*(У)=0 , если^/ и <£ФП-± или П ,
2) £*>*(<!/) = Се*« V^; ,
3) следующая последовательность точна:
Напомним, что (предложение 18.I).
Поэтому при сделанных предположениях ненулевые члены ^ (f!/J ,
если не считать "отрезка" О^о,^ п столбца jb — O , могут
располагаться в двух строчках Q-^-l и ^ = /г, образуя
комплексы
* *-/

230
d°'n in <*?>* c(*n
(19.7.5) 0+Ht%)-*» 4 '=^Vur~--^r^f-
Следующее непосредственно вытекает из теоремы "о двух
строчках".
Следствие. При предположениях теоремы "о двух строчках"
имеем:
T)E^("f)=0 для/*>/ и i^1<°~ , если
<Р*П-1 или П ,
если
Как видно из приведенного следствия, для вычисления С -
спектральной последовательности необходимо знание групп Н (%,)•
Их описание, как правило, не вызывает трудностей и в связи с
этим см. п. 20.1.
Значение теоремы "о двух строчках" обусловлено тем, что ее
предпосылки, как правило, выполняются для непереопределеиных
уравнений (см. ниже). Тем самым она описывает структуру Q -
спектральной последовательности в этом случае.
Замечание. Предпосылками теоремы о двух строчках в форме в)
удобно пользоваться на практике в тех случаях, когда ядро

231
JcetpW Умало", т.е. когда уравнение "не слишком переоп-
7
ределено". Наши дальнейшие общие рассуждения будут использовать
ее предпосылки в форме а).
19.8. Покажем прежде всего, что у непереопределенных
уравнений почти всегда кег1/^ 9*LO . Так как V^1^^
Ч
следует выяснить условия, при которых
. KeiS =0 . С этой целью мы воспользуемся в £ - теории на
^оо по существу теми же рассуждениями, что и в п. 5»3.
Если ^(J12 J" f&) » то максимальный спектр алгебры
@<*>/пё£»/'(У) (см. п. 13.9) содержит пространство расслоения
Т*(МЩ^)-*^/^, индуцированного проекцией ^4o"~*"/v из кока-
сательного расслоения и всякий элемент из
можно понимать как функцию на
Пусть % 'ffg —*- М , 1=£JL - линейные расслоения,
&-^(^Ч-) и § : Е'-^Т (М, ^оо) - расслоение, инду-
цированное естественной проекцией из
расслоения Ш . Тогда, поскольку
(см. п. 13.9), всякий элемент ^^-C-^nS-i (&£> й^ J можно ин-
терпретировать как гомоморфизм h(i5): % —*- Щ0 .
Напомним, что модуль C^me*£f&t> (2Л является градуиро-

232
ванным модулем, ассоциированным с фильтрованным модулем
порождает гомоморфизм
Очевидно, что , если . Поэтому
достаточно указать условия того, что KClS^ —О .
Пусть f '•£*-*" М , ^ =.^,а>^_ такие линейные расслое-
ния, что
=ЛР(^. тогда.
у Я***
Поэтому KevSI. =0 , если множество
имеем
нигде не плотно в Итак,
Предложение. Пусть уравнение *v регулярно относительно
оператора V и множество сЛйЯ* V нигде не плотно, тогда

233
4 Предыдущие рассуждения доказывают это утверждение в
пределах произвольной аффинной карты, откуда оно следует в целом.».
Если размерность проективного модуля [Р] не превосходит
размерности проективного модуля [дб] , а это равносильно непе-
реопределенноети уравнения *У , то в ситуации "общего положения"
предпосылки предложения 10.8 выполнены. Действительно, если ТП-
- cLttn Гtt] и -^—dtonfP], то в локальных координатах
оператор V задается
Поэтому гомоморфизм П задается матрицей \б-?П1&£, V..U^fv)
и, если -^4 № » то условие 9^. ofiQ/l V означает, что все
миноры порядка -€ матрицы ^fv) равны нулю в точке & . Таким
образом, в этой ситуации COOlim сЛ&П?^!.
Сказанное указывает простой способ нахождения множества
сАв/t V. Для этого надо записать элементы матрицы rffv) в
координатах, введенных в п. 13.10, и выписать условия того, что ее
ранг £*С .
19.9. Начиная с этого места, мы рассмотрим некоторые
способы, позволяющие оценивать или вычислять когомологии комплексов
А » f>>2 • В частности, на этом пути будут указаны
необременительные условия, при которых справедлива теорема о двух
строчках. Предлагаемые способы также могут быть эффентивны и
при исследовании конкретных уравнений. В этом пункте будет
рассмотрен подготовительный вопрос о когомологиях комплексов
описываемого ниже вида. Все рассуждения проводятся над некоторым
объектом категории DE ,алгебра функций которого обозначается
через S2".
Пусть $• , 't=*Y>..., 4: - некоторые проективные <г~~
модули. Отождествим 7- модуль ^^ifflfti, •• -? ™и> Л.') с

234-
тензорным произведением (над i/ )
и, зафиксировав число I , £^ ъ ^ к , введем в комплекс
LDiff\&±>...> Q/ V (см. п. 18.5) возрастающую фильтрацию номера
i , объявив коцепями фильтрации 4-f> тензорные произведения
вида
В том случае, когда £=•/£ =■ / , эта фильтрация совпадает с
фильтрацией комплекса подкомплексами £Ар (см«
п. 5.2). Рассмотрим спектральную последовательность,
порождение Я?
ную этой фильтрацией. Тогда компоненты В0 ** фильтрации р и
степени Й, нулевого члена этой спектральной последовательности
имеют вид:
а нулевой дифференциал, отображающий В J ъ &0 » имеет
вид , где
представляет собой аналогичный дифференциал в спектральной после-

235
довательности для комплекса S&= СЕ>Щ1}\0<), &Ш&4 •
относительно описанной выше фильтрации. Операторы ^~^рл
приставляют собой один из вариантов операторов Спенсера (см.
fe3j , [б4] ) и, очевидно, являются гомоморфизмами ч/-
модулей. При этом комплексы
ацикличны при jb>-n (мы считаем, что если
р<0 ) и, значит, первый член описанной выше спектральной
последовательности состоит из нулевых компонент, кроме
компоненты нулевой фильтрации и степени п , которая равна
ei>iff(at,...>a^,u^,-,^(UmSi(a.,AH)'
Для дальнейшего представляют интерес подкомплексы
комплекса GflvPf ?&£,—)&%]• » имеющие следующий вид. Пусть
t?l<=6D^(u1,7p-®ei>iff(ai.1)T), 0cez>wcat.t ?),
такие подмодули, что являются
подкомплексами соответственно в &&//{&£>■••>&_x)>LDi/£jp,lj
и eDi&lCL+j,...,^. Тогда &к>0®0'®/Г является
подкомплексом в £DiffW,JL>...,Q,A , который обозначим \09 &} 0*\ .

236
Если подмодули Of^CDtfffy,?) тановы, что О'-Ц&Щ^ ,
0^04 и 0"=(%Ф1®~ ®0+ , то комплекс ^, О, &»}
будем обозначать \ Ох }..., Oz. I .
Фильтрация номера z в комплексе CDtf^) Qj.y*®£\
индуцирует фильтрацию (номера £ ) в подкомплексе j 07 С/} О |
(соответственно, в)^,..., &Л) и можно рассмотреть спентральную
последовательность, отвечающую этой фильтрации. Если модули £?
и (^''(соответственно, (D. , -$Ф t ) проентивны, то, нак и выше,
компоненты 30 ? —&Г(®, &,$ ) (соответственно, В0 '' =.
=*4> \Piy""> fy) ^ фильтрации^ и степени # нулевого члена
этой спектральной последовательности имеют вид
в*»^,*?)-0***»**** &<> Л*)>
где
-л
*~p,t (&'A) *«?®Мп CDi#p+p (^Р)/
Отметим, что 4т-- (&,Лг)<= 6-fmS£;(<3{jA?) и
левом члене рассматриваемой спектральной последовательности ото-

237
бражает Ь0 в В^ и имеет вид i& , „® °р~
(соответственно id ,. 0 <t „ ). По этой причине компонента
Ъ*4~5**(</Л ^(соответственно З^В*'*(&1У; <%))
первого члена спентральной последовательности, имеющая фильтрацию
-р и степень # , имеет вид:
(19.9.1)3/'?(<^> С®О"® А*'*(0) , ооответотъен-
но,
где п J* (О) - модуль # -ых когомологий комплекса &т (0)\
0^mp(O,Aofe- ■ ■ ^™p^A*h^^S°A><>-
Отметим следующее непосредственное следствие введенной
спентральной последовательности.
Предложение. Пусть модули О , О проентивны, а Номплен-
сы *5W (&) ацинличны в размерностях <•$ . Тогда номпленс
Wf &,&"} ацикличен в этих же размерностях.
4 Предпосылка утверждаемого означает, что h ' (О)—О ,
если ^<t5 . Поэтому из (19.9.1) вытенает, что^ (&> €%<?") =0,
если 4,<4 . В свою очередь отсюда следует, что компоненты
фильтрации -р и степени #, предельного члена рассматриваемой
спектральной последовательности также тривиальны, если ty<~3 .►
Следствие. Если модули О и &" проентивны и существует
таное число-% , что h. J*((9) - О , если (^ f) *£(ч, п) ,

238
то комплекс \0J 0} О J ацинличен в размерностях, отличных от п
и
н\{0\о, о")) = е?;®о"®А*"п(е>). ►
Замечание. Предпосылки этого следствия, очевидно,
выполнены, если О = CDttfC&;, Т) .
19.10. В дальнейшем в качестве подмодулейOs(%c.eDtff(&.p-j
будут фигурировать образы отображений вида CDtff(V} id*) :
Ve6Dift(GL,Л^ n*.CDiff(Q!} T) . В этом случае
подкомплекс можно снабдить фильтрацией, ноторую бу-
дем называть левой, отличающейся от введенной в предыдущем пунн-
те, ноторую будем называть правой. С этой целью заметим, что
является образом номпленса при отображении t)_
(см. п. 5.2). Поэтому фильтрация комплекса ой . подкомплекса-
ми Sjl GL. переносится отображением «3 на О®Л. .
Очевидно, при этом элементы степени # и фильтрации ^ р образуют
в О® А. подмодуль вида
если autvk, тс^^ЛЦСА^^(%,W)n&Y^>
причем этот последний модуль состоит из элементов степени, Q, и
правой фильтрации £ f>+k , т.е. левая фильтрация вписана в

239
правую с повышением индекса фильтрации на М .
Рассмотрим спектральную последовательность, порожденную
левой фильтрацией в 0<8>Л. . Тогда компонента ее нулевого
члена, состоящая из элементов степени О, и фильтрации ft , имеет
вид
' Wo
Нулевой дифференциал этой спектральной последовательности,
обозначаемый далее </= д. л , отображает I) ъ X) и
тем самым ее нулевой член распадается на номплексы ^т-в f@) •
о
о
Очевидно, v. является гомоморфизмом \/ - модулей. Когомоло-
гии комплекса отъ.(0)ъ члене D0 *' обозначим Н ''(&).
Тем самым есть компонента
степени # и фильтрации р первого члена рассматриваемой
спектральной последовательности.
— )(■
Левая фильтрация в номпленсе (9®Л. индуцирует
фильтрацию, называемую левой и номера * , в комплексе
(соответственно,Щ,у~, б I )» относительно ноторой элементы
степени о и фильтрации < р образуют подмодуль
I соответственно,
Рассмотрим порождаемую этой фильтрацией спектральную
последовательность. Компоненты ее нулевого члена, имеющие степень # и

240
фильтрацию f> при условии, что модули & , С/ (соответственно
О» 1 -д^г ) проентивны, имеют вид:
Е£*(0'Л О') =0'® O%lf4(0) , соответственно,
Кан и раньше, дифференциалы нулевого члена этой спентральной
последовательности, имеют вид id , ® д. (соответственно
td ф® д ), ввиду чего номпоненты ее первого члена,
имеющие степень в, и фильтрацию jb , имеют вид Л ' (0,0,(9")-
= 0'®(D"®Hf'J1'(&), ооответотБенно, £>?'Щ,-,&*) =
= О<%НРЛ(0) .
Аналогично предыдущему пункту имеем:
Предложение. Пусть модули О , 0 проентивны, а номпленсы
о/ъ-с (в?)ацикличны в размерностях <3 . Тогда комплекс
1@,&,&"\ также ацикличен в размерностях <<$ • ►
Следствие. Если модули О и О проентивны и существует
такое число 4в , что И '*(&)- 0 , если (-t,f)*(S„n) , ю
{<#,#"}
комплекс т СЛ, с/?с/ > ацикличен в размерностях, отличных от п ,
HX{G',V>&"\)~V'®0"<s>H'e"n(О). ►
Замечание. Предпосылки этого следствия, очевидно,
выполнены, если ket S ~ О .В этом случае % = "^ .

241
Как будет видно из дальнейшего, левую (соответственно,
правую) фильтрацию удобно использовать в том случае, когда просто
устроено ядро (соответственно образ) отображения о__ .
19.II. Возвращаясь к интересующей нас, ситуации положим
%=К/ и напомним, что модуль К1 является образом
отображения @Dtff(V, lu-q-j (СМф п; 19»5)* ВвеДем также следующие
обозначения.
Пусть П - множество последовательностей конечной длины,
состоящих из нулей и единиц. "Пустая" последовательность,
имеющая нулевую длину, также считается элементом множества /7 •
Будем говорить, что последовательность 0<£/7 тривиальна, если
она пуста или состоит из одних нулей. Если б^Т <= П ,
^=(fey,--,<^)i 2"я (%',..., £j )i то положим: |<Г| = к, 0>Г«
-^>->£*Л-•>%)** *м<л-\*\>**т(б*К>->бА • eD •
Всякой последовательности &-(£j,3 ''>^£ )е^ поставим в
соответствие подкомплекс SfcrJ-GfiTj ft) комплекса @&t/f/i,\[ \р^У\i
полагая С(б)^{Ои • •, ^j, где 0{=С1)г{/(1э$,?) , если
<5-=/i и d?- = # , если V-^ . Если подмодуль /^с
^(?Dif/([&■], &") обладает дополнением и \б~\ -\°U\ , то,
очевидно, С'(С) П С'(Г) =■ C(efy
Пусть последовательность &. =(^1У-> £е>)6/7 такова, что
с^=У, если •€ f-1 и <£. ^-0 . Рассмотрим подкомплекс С(R)-
'^ТлС(б\ Л комплекса £>Dif/, ([Ж]). Он, очевидно, ин-
1-1 >' '
вариантен относительно действия группы перестановок $ в

242
.CDiff,, ))Г^j и его образ при операции альтернирования сов-
ъгР>* • i^Pj*
A Q .По этой причине комплекс /\тЛ
Cfi(R)прямым слагаемым и
падает с A Q .По этой причине комплекс J\ выделяется в
(19.П.1) н4(Кр;*) = н*а (С (я),
где cLti\b(^) ~ кососимметРичесная часть группы// (с7//^)/
относительно индуцированного действия группы
В частности, ацинличность комплекса А. 0 в некоторой
размерности вытекает из аналогичного свойства комплекса С. (R) , По
этой причине мы изучим когомологии этого комплекса. Ниже под
комплексом типа -3 i -З^П понимается комплекс, ацикличный в
размерностях меньших tf и больших п *
Предложение. I) Пусть А (А^ )-(/ (соответственно,
когда f^-i и Ка' обладает дополнением в
6£tff([x],?W)) . Тогда комплексы Ср(К%°) , ?»1 ,
имеют тип -6 •
2) Пусть кг оладает дополнением в
существует такое число -^ , что п (JCff J =^(соответствен-
и естественное
вложение С^0}0))—*- С((£90)) индуцирует мономорфизм

243
• НЛ(С({0,0%*Н П(Ф, 0))) . Тогда комплексы £ (X?) ,
Л>>£ , имеют тип п •
Мы проведем доказательство, исходя из предпосылок, касаю-
/ Рз %
щихся п • Заменяя в нем в соответствующих местах ссылки на
предложения 19.9 (соответственно, следствие 19.9) ссылками на
предложение 19.10 (соответственно, следствие 19.10) получаем
доказательство для случая предпосылок, касающихся
4 Рассмотрим комплексы C.^-C.^fRj-L^^^f^)^
с еЩР+щ {№} •Тогда ср,т№= ср (R) •еоли
£"==• ф . Условимся через [*£\ обозначать последовательность
длины -£ , состоящую из одних единиц, и при d-О или / и
^£" 77 писать <5 +Т вместо (€>) +*£ . Б этих обозначениях
имеем:
(19.П.2) Ср+£^Ср^С([РуО^\ Ср^тпС(ы+о+<гУ
Все фигурирующие в этих равенствах комплексы рассматриваются как
подкомплексы в ^^/А. , |<7-|ч \\Р^\ • Второе из них
справедливо в силу того, что К— К. ' обладает прямым дополнением
в £l>i{f(i*b,V)TL% значит, C(e-)f\e(v') = C(G4ry.
Комплекс или 1, имеет вид
где

2/|4
Aj-eiktfditwy)),
V
Tne3- = ££fff(№l, F("/)) , если ^/и^-^ если
б-—0 . При этом О равно £Dt//([%l9 7(^j) (соответствен-
но, R ), если (5 =/ (соответственно, £в^ ). По этой причине из
предложения 19.9 и следствия из него мокно заключить, что
комплекс С л _ имеет тип 4+£ , если выполнено предположение
I), а комплекс ^ ±+*ц имеет тип ^ • Комплекс
такие имеет тип п. . Заметим теперь, что
(
При вшолнении предположений 1) из точной когомологической
последовательности пары £ ^ Cl\fi)+0+T) следует, что
фактор-комплекс С. ~ имеет тип <f , а из последовательности пары
г*1
С, j^S-C '-" ввиду (19.II.3) в свою очередь вытекает, что
6+1 Т имеет тип *& • Это доказывает утверждение I).
Утверждение 2) докажем индукцией по J&&-/ .
Учитывая (I0.II.3) рассмотрим следующую коммутативную диаг-

245
рамму комплексов с точными строками
(19.ИЛ) Г Г ' /%1+Т fyjfi*
где et'< С,+£с.с-+-С([р+1У'Т)- естественное вложение. Следующая
последовательность также точна:
л С([4&+огг) С(№)+т) C(№Q n
(I9.II.5)^--^f — — » .^<?•
Покажем по индукции, что комплексы £ . имеют тип ^ и гомо-
морфизмы //f^7 )-*Н fC({p\t(5') (\<г\>0 , если <^в-0, по-
рожденные вложениями С S-C~*'^(^P^<S)^инъентивны.
Прежде всего, О - С(0+с^ , а комплексы £?У^ , \%\>0 ,
ввиду утверждения 2) теоремы 10.9 имеют тип /г . Далее, инъек-
тивность гомоморфизмов
влечет, как показывает следствие 10.9, инъевтивность
гомоморфизмов НП(С(0+е+Т))-+Нп(С(1+£.+Т)) , Те Я .Тем самым,
индукцию можно начать.
Предполагая выполненными предположения индукции для числа
f> , рассмотрим точную последовательность когомологий пары
W x+ef Cfcfd+G+fy&^OjJ . Из нее следует, что
фактор-комплекс Cftpl+l+TyC g имеет тип п . В свою очередь, это "и
точная когомологическая последовательность, отвечающая верхней

246
строке диаграммы (19.II.4) показывает, что комплекс С^ т
имеет тип п .
Точные когомологические последовательности, отвечающие
строкам диаграммы (19.II.4) с учетом сказанного приводят к
коммутативной диаграмме:
7>,
строки которой точны. Интересующая нас инъективность
отображения Н fed) , нак следует из этой диаграммы, вытекает из инъентив-
ности отображения Н (ft). Последнее же, как показывает точная
когомологическая последовательность, отвечающая (19.П.5)
следует из того, что комплекс C(tf>+i]+T)/C([p]+0+T) имеет тип
1% • Но это есть следствие точной когомологической пары
C(lp)+0+T)<zC(ip + ty6yC(lf}+i+£)Yi утверждений,
составляющих начало индукции. V
Замечание. Как следует из приведенного доказательства,
предложение 19.II остается справедливым и для комплексов
Сопоставляя доказанное предложение с (I9.II.I) и (19.7.2),
мы получаем следующий результат, оценивающий вогомологии
комплексов значит, и Е£ (У).
Теорема. I) Пусть п (К.0 j " О (соответственно,
Н ' (К^ ) = 0) , ногда %<J (-д*п) , тК/ обладает

247
дополнением в Я>4//(М,7(У)) . Тогда Е*'*(У)-
шН*(К*>*)-0 , если Cp<S , a £f4ry)S(X*W
если <2<~3-£ , fi>i .
2) Пусть К' обладает дополнением в CDif/([pt\ ¥СУ)),
существует такое число -€ф , что А "* (А*')=0
(соответственно // * (^V /s^)> е°ли (*£;%)*£(^а, п) 1 и естественное
вложение С(^0^0)) —*• C(^i,0)) индуцирует мономорфизм
НЩ0М-* Hn(C((i,0))) . тогда при ^ ^AV^-
19.12. Рассмотрим теперь один важный частный случай, почти
всегда реализующийся у непереопределенных уравнений. А, именно,
предположим, что fc&iS,_-ле%#" =0 (см. п. 19.8). В этом
случае комплекс изоморфен комплексу и левая
фильтрация в нем является образом стандартной фильтрации j 0>.Pj в
вр . Поэтому в качестве числа ^6 , фигурирующего в теореме
19.II можно взять *- -/г (см. замечание 19.10).
Далее, так как , то
С((0,0)) - СдЩР,Р} -£Dttf(P, SP), С((1,0)) =
= &D£ff{W,P} - С1Х#(Ш,£Р)
и естественное вложение С((О;0))-^С((1.,0)) отождествляется

248
с отображением О»-*D0 V , где Qe CDi#(P,£P). Ввиду
этого соответствующее отображение
отождествляется с отображением иЛ/^у, г#^)(см. п. 18.5).
= C!kff(№,p),
т.е.Д>-*Д0 V , &£.6Dtff (Р,Р) . Убедимся, что оно есть
мономорфизм. Тан ван
то достаточно убедиться в мономорфности отображения
CDiffh, itu\
Последнее же очевидно, тан нан CD iff( V, ^jT/ ^
Итак, мы получили следующий результат.
Теорема. Пусть К.Q обладает дополнением в LDzff\\dt\ f
(это тан, если cha>%V нигде не плотно)
Тогда при /»£ £**(*/)= H*(JC**)=0 , если $ * п , или
fl-i'. Кроме того,
~ £0/(et V*.
(это тан, если CrldtV нигде не пл>
^>У Е**С/)-Н*(К**)~0 , если ^ ^ я ,
Сроме того, £f'"^ffl-AetV*, E^fl/J-
4 Первая часть теоремы следует ввиду сказанного выше из
утверждения 2) теоремы 19.II, а вторая из (19.7.3) и
утверждения 2) теоремы 19.7. ►

249
19.13. Укажем в заключение этого параграфа один метод
вычисления члена Е„ (sj. Для этого нам понадобится понятие го-
мотопии в категории
пусть 0*04 DE ж1-[0,£\ . Алгебру
определим как алгебру функций f^^Cty » гладко зависящих от
параметра Ы1 . Положим 7. (^I)'^ е ^ь№)\у>(&)
фильтрация в 7(0)у. Тем самым определена F6 - категория
над ЩО*1).
Рассмотрим I как объект DE , считая, что для всякого
представляющего объекта Ф(Т)
вФ(Г)={у*Ф\у({) = 0} Wj.
Иначе говоря, точки fe I и только они являются интегральными
многообразиями определенного таким образом "распределения Карта-
на" на /. Пусть ^ , ^ - естественные проекции &*1 на
О и/ соответственно* Операцию С на 0*7 введем, считая,
что подмодули порождены 7Г
Я СФ (I) . Очевидно, введенная таким образом операция S
превращает 0*1 в объект DE ф При этом проекции Ж. , i*£Jb
тан же, как и отображения d ,:0~* 0*1 ^^ (&)=(&;()> Я>^-&}
являются морфизмами в DE .
Замечание. Заменяя выше I любым объектом DE , мы
получим определение прямого произведения в DE .
Определение. Морфизмы F09 Ft • О^-*- (9^ в DE гомотопны,
если найдется такой морфизм F'O^*!-^ 0^ , что E0-F° oiQ ,
Ft -F*cL±.

250
Поскольку член Е£ о - спектральной последовательности
обладает инфинитезимальной формулой Стокса, а морфизмы в DE
индуцируют гомоморфизмы соответствующих б- спектральных
последовательностей, то те же рассуждения, что и в категории гладких
многообразий, доказывают следующий результат.
Теорема. Если морфизмы FQ и ^'О^О^ объектов DE
гомотопны, то гомоморфизмы /д :Е» i^t/"'*'£/,' (Ut)> ^ >-С
совпадают. ►
Этот факт можно использовать для вычисления члена Е» (О) по
той же схеме, которая используется при вычислении когомологий
де Рама гладких многообразий. Приведем в этом направлении один
результат, являющийся аналогом леммы Пуанкаре в категории DE .
Пусть J<^J (Ж) , расслоение Ж- линейно и группа
послойных гомотетий расслоения Ж является группой симметрии
уравнения j . Подобное уравнение j будем называть коническим.
Предложение. Если уравнение конично, то
f»0, и £^(^)'Н (М), где М - база расслоения Л ф
4 Если & - нулевое сечение расслоения VC, то J (с) •
является гомотопической эквивалентностью в DE >
Следствие. Если уравнение V конично, то комплексы (19.7.4)
и (19.7.5) ацикличны в положительных размерностях. ►

251
§ 20. Приложения к лагранжеву формализму со связями
и теория законов сохранения
Ниже собраны следствия, вытекающие из результатов §§ 18 и
eC,/t
19. Они получаются путем более детального описания членов^ ,
Е± и дифференциалов CL t , CLt , С ■ С/ или I.
20.1. Для приложений (? - спектральной последовательности
необходима информация о группе н* (%) , к которой она
сходится. Сделаем в этой связи ряд замечаний, ограничившись для ,
простоты случаем, когда . Общий случай при помощи
стандартной топологической техники сводится к этому и не
содержит принципиально ничего нового.
Прежде всего отметим, что проекция &* £ •' %, ""*" ^ »
вообще говоря, не является сюръекцией и, тем более, расслоением.
Беря заведомо несовместное уравнение (это, напри-
пер, будет так, если Г^Ж'к (М') , где М' -
подмногообразие в М и cCimM<ettmM) и "подклеивая" его к "хорошему"
*£ J (я) , можно получить сколь угодно патологические
примеры подобного рода. Тем самым когомологии "многообразий" ty и
^С в общей ситуации разумным образом не связаны друг с другом.
С другой стороны, в том случае, когда естественные проекции
\f —*~\f сюръективны, при некоторых условиях регулярности
можно утверждать, что • и У имеют один и тот же
гомотопический тип. При этом разумеется, .
Точные формулировки соответствующих условий читатель найдет в [4б] »

252
[63J • Здесь мы приведем один результат Гольдшмидта, см. [46] ,
[63] .
Предложение. Пусть v^ J (Л) является подрасслоением
расслоения %Lj: Т (К)-** М , ^ ~~*" У - V - сюръекция и
символ уравнения \у Я - ацикличен. Тогда для V -Зъ- 0 про-
енции У -*~ 7 являются аффинными расслоениями и, значит,
В частности, если уравнение V непереопределено и
является подрасслоением расслоения Л* , то п (^оо) = П ( "J•
Следствие. Пусть для уравнения <у выполнены предположения
теоремы 19.П. 2) и предложения 20.1. Тогда
4 Действительно, из теоремы 19.II вытекает ввиду следствия
19.7, то £/'"-'- Н*"'М- ►
Таким образом, при сделанных предпосылках имеет место
точная последовательность.
0,n-JL
(20.1.1)0-// (*j)+H (%)"fx -£'-/**V?
-.n-i.
Напомним, что группа интерпретируется как группа
законов сохранения для уравнения v . Тогда закон сохранения
сое. естественно назвать грубым, так как
он обусловлен лишь топологией уравнения \У , но не спецификой
его решений. Б частности, если V<=- jV - решение уравнения ^,

253
то класс когомологий ^(V) С00) не меняется при деформациях
этого решения!
Определение. Факторгруппу
(определенную при сделанных предпосылках) назовем группой
собственных законов сохранения уравнения *У •
Для дальнейшего будет важен класс уравнений, описываемый
следующим определением.
Определение. I) Уравнение <j , удовлетворяющее
предпосылкам теоремы I9.II.2) и предложения 20.1, назовем нормальным
относительно V .
Уравнение <y-\(f-0j , нормальное относительно V=^L,
назовем нормальным.
Теорема. Пусть уравнение \/ нормально относительно V .
Тогда H^^kexV* . Если, сверх того,//Т^/?^
(в частности, Н*(У)' = 0 ), то Н*~'(У)- кег it*'""* .
< Первая часть теоремы следует из точности (20.I.I), в
вторая из того, что
4 ' ^-£'Л"79Ло"Ь следствие 19.7). ►
Сказанное дает эффективный метод вычисления законов
сохранения (или оценки их числа). Действительно, оценка сверху
дается вычислением ядра оператора V* , что во многих случаях яв-
ляется довольно простой процедурой. Оператор и£ также
допускает эффективное описание (см. п. 20.6). С его помощью из
kt% \7* можно удалить "лишние" элементы и получить
Например, описанная схема сравнительно легко приводит к
вычислению законов сохранения таких уравнений, как уравнения Кортевега-

254
де Фриза, Бюргерса, уравнения типа Клейна-Гордона и целого
ряда других. Один из методов проведения подобного рода вычислений
описан в [17] .
Замечание 1. Полезно иметь в виду, что
так что fact?" =н"-1гу) по модулю легко
учитываемых топологических условий.
Замечание 2. Пусть . Тогда, если
20.2, Пусть теперь уравнение </ct/" {Я) само (косо)-соп-
ряжено, (Это(см, п, 9,8) означает, что x/~ty=-Oj ъ€ =±Ъу),
Предположим также, что оно нормально. Тогда ввиду теоремы 14,5
(20.2.1) 4ут У- £e%<t9 - беъЛ^ - £±
Это приводит нас к следующему важному результату, который можно
интерпретировать как общую обратную теорему Нётер.
Теорема. Пусть нормальное уравнение
является само (косо) - сопряженным. Тогда оператор OLх
вкладывает группу
н (У) собственных законов сохранения
уравнения j в алгебру -ЯУт V его симметрии. Иначе
говоря, каждому закону сохранения уравнения J соответствует его
симметрия и ядро этого соответствия совпадает с п (У) .►

255
L
Следствие. Если нормальное уравнение Vе-J {&) является,
сверх того, системой уравнений Эйлера-Лагранжа, а// (&)~ »
,0tn-4
то оператор CL± вкладывает группу собственных законов
сохранения уравнения j в алгебру 4г^пь w его симметрии.
А Для доказательства следует сравнить теоремы 18.9 и 20.2 >
Замечание I. Вопросу об обратной теореме Нетер для
уравнений Эйлера-Лагранжа посвящена обширная литература. Вопрос же о
справедливости обратной теоремы Нетер для кососопряженных
уравнений, по-видимому, не поднимался.
Замечание 2. Подчеркнем^; что результаты этого и
предыдущего пунктов как правило справедливы для непереопределенных
уравнений, встречающихся в геометрии и математической физике, т.е.
условия нормальности отнюдь не обременительны и, сверх того,
легко проверяемы.
20.3. Операции подстановки и производной Ли, описанные в
п. 18.10, позволяют определить в членах £^ ' своеобразные
структуры над алгеброй Ли 4"Ут У • Именно, положим
Тогда, как показывает инфинитезимальная формула Стокса (I8.I0.I),
Стандартные правила, регулирующие взаимоотношения операций
подстановки векторных полей в дифференциальные формы и внешнего
дифференцирования, позволяют указать аксиомы (А) , описывающие
общие правила поведения введенных операций. Сказанное мотивиру-

256
ет следующее определение.
Определение. Модуль Е над алгеброй Ли £ , снабженный
операциями \'-Sx£-*'£ и t•*$*Е—- Е , которые удовлетворяют
аксиомам (А) и для которых tffej = t?|re+?ft в , назовем ( -
структурой над £ .
Заметим, что D(M) - модули естественным
образом являются ( - структурами над так же как и Е± ' -
над ■4/Чт^•
Нашей целью является лишь указание возможной роли этой
структуры при изучении члена Е^ & - спектральной
последовательности. Поэтому мы не выписываем (А.) явно. Эта цель состоит в
следующем,
Композицируя операции \ и I , исходя из некоторого
набора элементов jt.G. #Um \у и В- ^Е ' , можно последова-
тельно получать новые элементы в С± . Поскольку явное вы-
числение членов с возможно лишь в очень редких случаях,
нахождение алгебраических условий для [ - структур, при которых,
например, описанная операция размножения приводит к
бесконечному числу различных элементов, очень важно, особенно для членов
0,п-£ р1>п'£
Е£ и й± ввиду их непосредственной связи с теорией
законов сохранения.
Если уравнение J нормально и, сверх того, само- или ко-
сосопряжено, то Е± &. #UmJи указанная процедура позволяет
размножать не только элементы из С, (а, значит, и законы

257
сохранения), но и элементы алгебры -&фп^ • Это в свою
очередь открывает новые возможности для процедуры размножения и
т.п. Следует подчеркнуть, что присоединенное действие алгебры
Ли 4tfW' v на себе не совпадает с ее действием на Е£
при отождествлении Ё± и -i^fniE , указываемом
изоморфизмами (20.2.1).
Таким образом, изучение { - структур может оказаться
очень важным с точки зрения оценки запасов симметрии и законов
сохранения конкретных дифференциальных уравнений.
20.4. Укажем явное описание дифференциала ^£ и
изоморфизма £"_£ =. лet V ввиду их важности для теории
законов сохранения. Помимо прочего, из него станет ясно, почему
теорема 20.2 является обратной для классической теоремы Нетер.
Будем работать в пределах аффинной карты или, эквивалентно,
предположим, что t/^ J" (Ж) , Ограничения на 5^ тех или
иных объектов, заданных на Т (ft) » обозначаются, как и в
§ 19, добавлением скобок [ ] в их исходным обозначениям. Примем
так же обозначения п. 19.1 и положим для ее^ ''ж
представляющего его OL-коцикла
^-нопинла аеЕ/ е = <а>
Отождествим С0 (соответственно, l0 (*У/ ) с бикомплексом
6ditfae\-se} (ооопеюяешю, &)*&"*{[xty/X0 )
(см. п. 19.3), а Е± (соответственно, Et(jJ} - с ОС - вогомо-

258
логиями этих комплексов. Тогда, если 6 « < #> , Яе/^ ' ,
то
(20.4.1) <AVe;-<-£,,f4>-
С учетом предложения 19.3 отсюда следует, что
(20.4.2) я£А'([еэ)=[<-£,, (-«•)>]wa;
Согласно (ЙЛ!)^.^*^, CeJ€^-<? » поэтому
(20.4.3) *£*'*< [»]> = [-4)1 ^^ Л, -
Это есть нужная нам формула.
Пусть, далее, ееВ^ф) н ^=°rnodK0> De
€^/(W,/tl|. Поэтому cl*U=0trwclK6 , т.е. ^D=
= A°V (напомним, что уравнение \/ регулярно относительно V).
Поскольку изоморфизм между
осуществляется кограничным оператором
точной когомологической последовательности, отвечающей точной
.последовательности комплексов
&±a=—d. (см. п. 18.4), то элементу € при этом изоморфизме

259
соответствует элемент -Д
Обратно, пусть
ToT№/u(ftoV)=V*(y)=0 (см. п. 18.5), поэтому ft0 V=
-do D % Где, например, согласно формуле Грина D(X/ =
-J^C^(^°V0^), и элементу ^е /£ег V* при
рассматриваемом изоморфизме соответствует элемент Q--Ot7bOoLjC0 e
Если е = ^ ' <0>]> и Vе [-^J (см. п. 19.5), то
для нахождения соответствующего е элемента из кеч V
необходимо ввиду (20.4.3) оператор А найти из равенства
^£4J=A'KJ. НойГ-KH^J «<&-' на 61.
Поэтоад flk>-Q(cp) , Q€ eiHff (P,An) . Тан яан, сверх
Тем самым доказано следующее утверждение, описывающее образ опе-
ратора СЬ£
Предложение. Пусть уравнение
нормально. Оаюддесгвим Е^ с кегъу,. Тогда, если у4 «<[*#]>€

260
' n^QDiff (P, An) - такой оператор, для которого #<&)=■
-□ft»; .►
Следствие. Пусть /€ -&frn \/ . Тогда при предпосылках
предложения 20.4 имеем:
?/1А} = (Э>/*1л'])(А),А*^г1^],А-[АЬ
где оператор Де (tDif{(P?P) таков, что Э#(у)= A(<f) .
Иначе говоря, производная Ли элемента , понимав-
р *>*-* о
мого как элемент из Сх , вдоль поля ^ равна "обычной"
производной Эу (h) этого элемента плюс [£?](h) •
А Заметим сначала, что оператор Д существует ввиду того,
что ^^^Фп v и уравнение ^нормально. Найдем оператор
О , такой, что ct9f(«>)—U(<f) . Но U9f(c6)=Sj(dc*>)=
=~2s(и ((f)) . Воспользовавшись формулой Грина для П(у) ,
найдем:
но 9j(<<?}£>)-<9fC¥),A>+<<p,9f{A)>-<Afr),h>+
t<9,9f (h)> = f/f"• * + 9j(h~)*) (<f) ■
С другой стороны, используя формулу инфинитезимального
преобразования для jfC вдоль поля Эр (см. 3.7) и учитывая

16.5.4, получаем:
261
= d<>v-(n°<p)+ Ж^(п* э* (</>)+Э j (o)° y>) =
Отсюда ввиду 16.5.4 видно, что оператор V: (f>*~*fy(^x(^09v)
С - дифференциален. Таким образом,
Э*(П(ч))~(к*о h + djfkfi d'V) (cf) , т.е.
20.5. Установим связь между теоремами 17.4 и 20.2 (а,
точнее, следствия 20.2), т.е. между обобщенными "прямой" и
"обратной" теоремами Нетер. С этой целью переформулируем теорему 17.4
более приемлемо с концептуальной точки зрения.
Определение. I) Элемент ^^ "Н(Я) называем симметрией
лагранжиана
Я*НХ?~(*)) . если/{£>} = £ на ЗС ,
где \j - отвечающее S? уравнение Эйлера-Лагранжа,
2) Если в предыдущем определении j£\ £ч ** 0 , то /^
назовем нетеровой симметрией лагранжиана & •
Обозначим совокупность всех симметрии лагранжиана £? через
Sym Ь? , а всех его нетеровых симметрии -Jysn Q ,
Очевидно, -*утЯ <=. fymQ

262
Если % - симметрия лагранжиана S? , а р - его плот-
ность, то
Пусть поле таново, что v=-l-}f> . Тогда
ё - поле Х=5/ **/ является симметрией плотности J> (см.
п. 17,4) и согласно теореме 17,4 ей отвечает ё - плотность
Ci(P,X)=Xif£p°^)~'^ • Таним образом, возникает отобра-
тенив №:$<утЯ — НП~*(У), *>—<Klfytfl>,
которое мы назовем отображением Нетер. Выясним зависимость этого
отображения от выбора J° и >> •
Пусть J° -j>4-d^ • Тогда, как показывает формула Грина,
и, значит,
Xzftfy'tHffr) + *<* . если /Г (ГгфО
(или локально). С другой стороныГ^о7^?0JeF^oO^J"^f^^^lH
—\&'$у\<1'£ф (j£)J » тан что в качестве элемента Р для Р
можно взять ^д+'Рф (l^) • Отсюда следует, что отображение Нетер
не зависит от выбора J> локально, но, вообще говоря,
многозначно и степень этой многозначности совпадает с образом гомоморфиз-

263
ма
Н (J (Я))-* Н (*%,)• Произвол в выборе \> ,
очевидно, приводит н этой же многозначности. Итак, имеем
Предложение. Отображение Нетер определено однозначно по
модулю образа естественного гомоморфизма
=нл''(?°°(т)-~нп-*(У~) +
Если же уС - нетерова симметрия, то ^(/^^^
назначит, ввиду формулы Грина
+(ё(Я), *)- dcx(j>,X)+ (6(9), тс) .
Согласно предложению 20.4 элемент из кег^^ « лбг-zf^ , где
(f-e>(Q) , отвечающий закону сохранения /4= <[<#]>, а> =
= -сл(Р'Х)' раБен П* (1) t где с£сЛ =П(ср) . Но dc<> =
~-(&(Q)t Лу **""(?? X) и Б качестве оператора □ мы можем
взять элемент рС , понимаемый нав элемент Hom(dtf Л J с
ziGDiftfejA ). Таким образом, отождествляя/^ "* cAetiZ*
получаем
(20.5.1) ^'"'^(АХ»-*?'"*^*))-*-

264
Тем самым доказана следующая
Теорема» Пусть нормальное уравнение

является уравнением Эйлера-Яагранна, отвечающее Лагранжиану 5?е
,Н (Jfty.Тогда отображение Нетер, рассматриваемое на множестве
нетеровых симметрии лагранжиана, в качестве обратного имеет диф-
ференциал CL , . ►
Замечание I. Из проведенных рассуждений следует, что эта
up
теорема неверна, вообще говоря, для^нетеровых симметрии и
соответствующая поправка равна О (7J, где -€р (%) -CL"р ■ D (yj.
Замечание 2. Нахождение нетеровых симметрии лагранжиана
является конструктивной процедурой, тан как ввиду описанных в
п. 18,8 свойств вариационного комплекса сводится при выполнении
соответствующих топологических условий или локально к решению
уравнения &(^(/°))~^ » <з?-<к/>> • В общем же случае
требуется информация о нульмерных ногомологиях комплекса (19,7,5)
или, что то же, о члене и^ (\7) ,
1%п-1
20,6, В связи с особой важностью оператора Ct J , занлю-
чающейся в соотношении (теорема 20.1),
опишем его подробнее. Для этого необходимо сначала привести до-
полнительные сведения о члене с± . В этом пункте
предполагаются выполненными предпосылки теоремы 19.II.2),
Воспользовавшись (19.6*2) для f>-^ и заметив, что ядро
fix
отображения альтернирования^^fff±mp^> №\j ^*$Л^Щ

265
есть CDiff,*} 7 L^Jj » нетрудно убедиться в том, ч^кегТГ
•fym
совпадает с образом комплекса 6хЛ$£*. | [р] j при
композиции отображений
&Щ^Щ-Щ^Щ^^ <Щ$Щ
которая, очевидно, мономорфна при сделанных предположениях.
Учитывая, что в рассматриваемом случае,
и установленный изоморфизм лег^" - Q^IH^f^ /1/J j из
(19.7.3) при ft=%* , получаем:
(20.6.1) о~ mf"m([p\ w) -*« ^//Л 'Ы*'Н*'-о,
где обозначает совокупность всех самосопря-
л
женных операторов, действующих из й в U , и согласно п. 18.6
Так как кег У^Н^СЩ^^Щ) - &Ditf([9t\ [Р])
.Л.л-1
то ввиду (20.6.1) группу Z\ ' можно считать подгруппой в

266
., GDiff([X], [P})/& , где в - образ вложения
Предложение. Пусть уравнение нормально
и [-ffeketl'iy,] if&P . Тогда, отождествляя £х' СЗу с
^е Ч"^ ] » имеем
«i' fMj-^-A*]*^^
где
А Сразу же заметим, что и поэтому
ввиду нормальности, а, значит, и регулярности уравнения - ,
найдется такой оператор А * что -w> (-fj =* A (<f) .
Запишем формулу Грина для оператора^f°'^^SI^^(di9/il)
в следующем виде
(20.6.2)С/.4,)&)+(£}(/), tHafr), /*#&).
Тогда при изоморфизме элементу [-£] соот-
ветствует <LaJ>er и ввиду (20.4.2)

267
*/•""< [ о] > = [<-4,„»>]= [4^ (и)) п^Кв.
Образ элемента d^ <[П]> при вложении Ё± =// (К j*
—*//*(K/*)iw. (I9.7.2)) равен <е> , где е«Я^ Л__^
•£L ^jf/€ # понимается как оператор из Э£ в /1 и
последнее из приведенных равенств вытекает из (20.6.2).
Но из (18.4.1) следует, ™^п(/°^ = (^^</>)-(^^/}
M£{><r) fifty*мф*ас*>А") ЩА)(ъл)=
~ftj№J^f&tu) ^и аналогично Для №/ >^s) )» з скобки
■('>') в правой части последнего равенства означают естествен-
Л — jx
ное спаривание Рх Р —*• Л.
Опять-таки из (18.4.1) следует, что для /t^'peci вЛг/^^/С),
^nCty*^,*^)'^,^) . Если при мои6--££&J =&{?),
некоторый оператор.
Собирая все сказанное вместе, находим:

268
Поэтому прообраз 6 элемента в при естественной проекции
очевидно, равен^^, j'^J-^^, Д) . Отсюда следует, что
соответствующий класс когомологий <е>е вDtf/([?€], [Pi) равен
(см. п. 18.5) у^се;=-у-д* . ►
Замечание. Полезно иметь в виду, что в состоит из
всевозможных операторов вида Q°[«^J , где
Следствие. Если при условиях доказанного предложения f=.
e(^U ) (?) ' Т° ^ ' (М) = ^ » т'е' W определяет
закон сохранения уравнения *У •
4 Действительно, в этом случае *£* ■* 0 , А=»0 .►
Это следствие показывает, что для нормального линейного
уравнения v всякое решение сопряженного уравнения определяет
некоторый занон сохранения и подобные заноны сохранения
независимы (ср. с п. 5.4).
20.7. Лагранжев формализм со связями. Установленная в п.
18.8 тождественность дифференциала OL^ и оператора Эйлера в ,
лагранжевом формализме без связей с учетом того, что она вполне

269
удовлетворительна с функториальной точки зрения, позволяет
надеяться на то, что и в формализме со связями это обстоятельство
попреннему имеет место. Ниже будет показано, что это
действительно так. Точнее, мы рассмотрим ситуацию, когда варьируемые
"величины" подчиняются "уравнению связей", которое-представляет
собой некоторое дифференциальное уравнение ^/^М • З^о
означает в обозначениях п. 17.I, что область В , определяемая
подобного рода вариационной задачей, представляет собой открытое
множество в *%, •
Напомним, что согласно п.п. 17.I и 17.2 под плотностью лаг-
- п-£
ранжиана следует понимать форму сО& А (В, 93) , а под
лагранжианом - класс когомологий Х=:<с0>^: И (В, дВ) .
В отличие от § 17, в котором все рассуждения базировались
на формуле для первой вариации - "наивной" форма рассмотрения
вариационных задач, сейчас мы воспользуемся инфинитезимальной
формулой Стонса (18.10.1), редуцированной на ^^^-Aon(^J
(соответственно &^ПпП(Я-) )• Специфика вариационных задач со
связями помимо прочего состоит в том, что инфинитезимальная
вариация решения L уравнений связей, т.е. "касательный вектор"
к "пространству решений уравнения связей" в "точке L ", как
правило, не является значением в L глобального векторного поля,
т.е. элементы алгебры -Л^т " на этом "пространстве решений".
Поэтому пржде всего уточним понятие подобного "касательного
вектора". С этой целью, считая, что и в
пределах некоторой аффинной карты рассмотрим ограничение "^6" опе~

270
ратора-^L на сечение £*eZ? (7t)'-'tife.Diff(r(n)>]Qi ,
Ре */(*)*(Р) • Когда Р-?(Я, f) , м £ " ГФ » V"
~(/С^Г^(Р° ffto • Если ПРИ этом ^ " решение уравнения */ , то
веяное решение j£ уравнения ^ g-/5Cj ^ ^ следует
интерпретировать нан насательный вектор в "точке" <5" (или инфинитези-
мальную вариацию решения С ) в пространству решений уравнения
♦ В общем случае элемент
/^€/<^/Г*0 . *т*№т) 1
назовем насательным вектором в £ н пространству решений уравнения
v » если ^ в пределах произвольной аффинной нарты является
решением уравнения -tfL — в 0 , где сечение б" таново, что
графини отображений J(&) kJ(£) совпадают в пределах
рассматриваемой нарты. Совокупность таких "векторов" обозначим %№)
ъш%(4) , если 'Ус/0^,
Нужная нам форма "инфинитезимальной формулы Стонса"
соответствует значению формулы (I8.I0.I) при f> -0 на Е>
(соответственно б* ) и имеет вид
(20.7.1) ^{e}=^J^ Л(е), ^TLf^J »
соответственно

271
Элементы обеих частей этих формул лежат в п
^/(соответственно, в Н (">)}, где fyL - область определения б" ), и
определяются очевидным образом. Например,у£-Ле} s <y>9ff (l^)^ ' где
е=<[/°3>, РеА(J^Cft)) • Доказательство формул (20.7.1)-
такое же, что и (I8.I0.I), и поэтому опускается.
Изучая некоторую вариационную задачу в качестве "инфините-
зимальных вариаций" многообразия ^^-А0Г1 (^)
(соответственно && Поп №) ) допустимо брать тание элементы 7^е ^(^У
(соответственно /Z^-e %-С^) )» ноторые согласованы с
фигурирующими в задаче граничными или наними-либо другими условиями.
Иными слогами в %(*f) (соответственно в Тр("У) ) необходимо
выделить подпространство "касательных венторов" в М>доп (АС)
(соответственно Г (&) ). Подобные подпространства будем обозна-
чать Adm(L) ( соответственно Adm(<r) ). Их точное описание
зависит от типа рассматриваемой задачи и, нан правило, не
представляет труда. Например, граничные условия исходной
вариационной задачи очевидным образом приводят н граничным условиям,
которым должны удовлетворять решения уравнения^? =# для того,
чтобы они принадлежали
Для вывода уравнений Эйлера-Лагранжа нам осталось заметить,
что скорость изменения рассматриваемого фуннционала при инфини-
тезимальной вариации Xr^ AUm(L) (соответственно JC-. £
G.Adm(G~) ) равна по определению ^ ^«^(соответственно

272
/. № У-
Определение. Вариационную задачу назовем регулярной, если
условие XJ &£ (Ю~@ (соответственно, Я^"1^ ' (Ю~* )i
соответственно, ) влечет,
что j(L)*d^ (£)=0 (соответственно J№)*^£* (&)=0 ).
Следует подчеркнуть, что, строго говоря, операторы и£ ,
фигурирующие в этом определении должны рассматриваться как
дифференциалы ё - спектральной последовательности пары ( В9 д& ).
Имея в виду это определение, сназанное выше и формулу
(20.7.1) мы немедленно приходим к следующему выводу.
Теорема. Необходимым условием экстремальности многообразия
£ (соответственно сечения & ) в регулярной вариационной зада-
0 н
че является равенство J(L) (cCt (c£)J =■ О ( соответственно,
j «О* (*!'*№)-<>•>
Иными словами, уравнение является аналогом
уравнений Эйлера-Лагранва в задаче со связями. Следует, однано,
при этом заметить, что члены не являются
модулями над основной алгеброй Поэтому необходимо при-
дать смысл выражениям типа J (L) (е) , б€£^ ^5/,
фигурирующим выше. Это сделано в следующем пункте. Там же показано, что

273
теорему 20.7 можно понимать нав общий результат типа теоремы о
множителях Лагранжа.
20.8. Члены Е = Е (Oj С- спентральной
последовательности неноторого объента О натегории Jjc , очевидно,
являются J(®)- модулями, а дифференциалы CL ' нан следует из
(18.2.1), Q- дифференциальными операторами. Поэтому член
\Е0, %) L - спентральной последовательности допуснает
ограничение на графин отображения J (Lj (соответственно, JС°") )•
Точнее, следует рассмотреть ограничения Е ' -JCQ \Е0 )
(соответственно, Е ' =</C(fft'(£ ) )» на ноторых операторы
d0 ' ввиду их с? - дифференциальноети порождают операторы
d.P>?:E!>?~E*:f+i (соо^ственно, £*:£**—
г-**Е '* ). Очевидно, что ^/ °^С * - @ (соответствен-
но, CL «# в ^' тан что \^от > о П J (С00ТБе!РСТ~
венно, j t , «--. г ) суть номпленсы, ногомологии
ноторых в члене £ _ (соответственно ^-0<х ) обозначим
£ . ' (соответственно, С, ). Поснольну означенные номплен-
7 L ■Z.0"

274
{fM nfM\
сы являются фанторномпленсами комплексов- С0 , <^ Г ^,,
определены естественные отображения их ногомологии и * ~*^v/
(соответственно,^ '—^Е. '* ), которые обозначимJ(Q
(соответственно, 1(<Г) ). В этом смысле эти обозначения
употреблены в определении и теореме из предыдущего пуннта.
Уясним теперь смысл уравнения • С этой
целью, считая уравнение связей Ф регулярным относительно one-
ратора V , воспользуемся соотношением £. ' *=C#fc€.*tV
(теорема 19.7) и естественными отображениями ограничения
£**(ЛГ~)-~Е.М(В)* som3=%~jrZ (соогаетствев
но £f4 &"<*))-•£?*(&), eon3<=%.cS~flr) ). Оююда,
в частности, следует, что если Х=<сс>ж °^ - 0°] , 1/>е
^Л (^"^ ) (соответственно, />еЛ (J*°*ffi) )» то
Если яе v-i<f=Ojc:J' ^, то
Поэтому, если через V^ обозначить ограничение оператора

275
On
на сечение & , то равенство JCtf &£ (<£) ~ " эквивален-
Гно юн;, ^jc^ffe*fi)yV(A) ~° • **№&*&)*
—[(^ *^W rvJ L Y<fc i/^/J • Таним образом, условие
экстремальности сечения С принимает вид
Тая нав •%*(£#/*)-&(%) . где %'</>+(£9>)>,
то полученное равенство доказывает следующее.
Теорема. Экстремаль С исходной вариационной проблемы
является одновременно экстремалью "свободного" лагранжиана а€ -
=■ <£(р )при некотором ^6 с Р .
Это и есть интерпретация теоремы 20.7 как "теоремы о
множителях лагранжа". Действительно, в вачестве Я- множителя Лаг-
ранжа здесь фигурирует элемент -fb e P .
Метод дальнейшего решения исходной вариационной проблемы
состоит в следующем» Необходимо рассмотреть систему уравнений

276
(20.8.1)
ё(£(р))=0.
л
Эта система, вообще говоря, несовместна при произвольном зб .
Поэтому следует выписать для нее условия совместности и, решая
их, найти допустимые "множители Лагранна" Л . Далее, экстремали
исходной задачи ищутся как решения системы (20.8.1) для
допустимых <& , удовлетворяющие соответствующим дополнительным
условиям (например, граничным и т.п.).
20.9. Полученные выше результаты позволяют поставить
обратную задачу вариационного исчисления в задачах со связями и
указать критерии их разрешимости. Именно, нелинейный оператор,
задаваемый элементом &(%) , где <Я - такое же, что и в
предыдущих двух пунктах, назовем оператором Эйлера-Лагранжа в задачах
со связями. Тогда имеем:
Теорема. Для того, чтобы некоторый элемент 6s£ J (В)
был оператором Эйлера-Лагранжа некоторой вариационной задачи,
необходимо, чтобы <£' (в) ^-0 . Это условие достаточно, если
уравнение связей является коническим.
4 Следует из того, что комплекс (19.7.5) точен и следствия
19.13. ►
Разумеется этот факт полезен и для анализа более тонкого
вопроса: является ли заданное уравнение е=с/ , ее^ ,
уравнением Эйлера-Лагранжа (ср. с п. 18.9).
Точность комплекса (19.7.5) для конических уравнений
приводить также к следующему результату

277
Предложение. Пусть ££ - лагранжиан в задаче без связей и
. Если уравнение нормально и конично, а
ННШ, *> *\*,^ о •►
Следствие. "Обобщенная формула Шварца" (см. введение)
существует для экстремалей лагранжианов, обладающих нормальным
коническим уравнением Эйлера-Лагранжа.
^ Действительно, если <£:=<#>> , то равенство ^[^ ~0
означает, что со =-и@ на ^ , т.е. если &•' ^<бг-*'Е^г
экстремаль, то
Заметим, что обобщенная формула Шварца существует тогда и
только тогда, когда X ^ =* О , где ч/ = [О(JCJ = V г . кро-
ме того, форма 6 явным образом находится при помощи инфините-
зимальной формулы Стокса в Е£ (%*> Например, если уравнение
нонично, то ответ дается формулой (18.12.3).

278
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочаров А.В. О ногомологиях Спенсера аффинных алгебраичесвих
многообразий. ДАН СССР, 1980, т. 252, М» 6, 1296-1299.
2. Бочаров А.В. Когомологии Спенсера алгебраичесвой вривой с
воэффициентами в нормализации. ДАН СССР, 1981, т. 261 , №5
3. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных
операторов. М., Гоетехиздат, 1956, 344 с.
4. Вершив A.M., Фаддеев Л.д. Лагранжева механива в инвариантном
изложении, в сб. "Теоретическая и математичесвая физива", т.
П, Изд. ОТ, 1974, I29-I4I.
5. Виноградов A.M. Алгебра логиви теории линейных
дифференциальных операторов. ДАН СССР, 1972, т. 205, Ш 5, 1025-1028.
6. Виноградов A.M. Многозначные решения и принцип влассифивации
нелинейных дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1973, т.210,
Ш I, II-I4.
7. Виноградов A.M. Теория симметрии нелинейных дифференциальных
уравнений с частными производными. МГУ, М., рукопись деп. в
ВИНИТИ, 1974, №> 2855-74 Деп., I-I6,
8. Виноградов A.M. К алгебро-геометричесвим основаниям лагранже-
вой теории поля. ДАН СССР, 1977, т. 236, й 2, 284-287.
9. Виноградов A.M. Одна спевтральная последовательность,
связанная с нелинейным дифференциальным уравнением и
алгебро-геометрические основания лагранжевой теории поля со связями. ДАН
СССР, 1978, т. 238, № 5, I028-I03I.
10. Виноградов A.M. Гамильтоновы струвтуры в теории поля. ДАН
СССР, 1978, т. 241, to I, I8-2I.
11. Виноградов A.M. Теория высших инфинитезимальных симметрии
нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными. ДАН СССР, 1979, Т. 248 , К» 2, 174-178.
12. Виноградов A.M. Невоторые гомологические системы, связанные
с дифференциальным исчислением в коммутативных алгебрах.
УМН, 1979, Т. 34, Ш 6, 145-150.
131 Виноградов A.M. Геометрия нелинейных дифференциальных
уравнений, ВИНИТИ. Итоги науви и техниви. Проблемы геометрии, т.И,

279
М.э 1980, 89-134.
14. Виноградов A.M. Категория нелинейных дифференциальных
уравнений, в сб. "Уравнения на многообразиях", Воронеж, Воро-
нежсн. Гос. университет, 1982, 26-51.
15. Виноградов A.M. Высшие симметрии и законы сохранения, в
книге "Теоретико-групповые методы в физике", М., "Наука", 1983,
т. 2, 414-421.
16. Виноградов A.M., Воробьев Е.М. Применение симметрии для
нахождения точных решений уравнения Заболотсной-Хохлова. Ануст.
ж., 1976, т. 22, № I, 23-27.
17. Виноградов A.M., Красильщик И.О. Один метод вычисления высших
симметрии нелинейных эволюционных уравнений и нелокальные
симметрии, ДАН СССР, 1980, т. 253, № 6, 235-239.
18. Виноградов A.M., Красильщик И.С, Лычагин В.В. Применение
нелинейных уравнений в гражданской авиации. М., Мосн. инст.
инж. гражд. авиации, 1977, 123 с.
19. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Геометрия
нелинейных дифференциальных уравнений., М., Моск.инст.
радиоэлектроники, 1982, 84 с.
20. Виноградов М.М. Об алгебраических когомологиях Спенсера и де
Рама. ДАН СССР, 1978, 242, Ш 5, 989-992.
21. Виноградов М.М. Теория вычетов в коммутативных алгебрах. УМН,
1980, т. 35, №> 2, 203-204.
22. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Замкнутые формы,
ассоциированные с линейными дифференциальными операторами. Диф. уравн.,
1980, т. 16, № 5, 844-867.
23. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая
механика. М., "Мир", 1973, 188 с.
24. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М., ЙЛ,
1961, 319 с.
25. Ибрагимов Н.Х., Андерсон Р.Д. Группы касательных
преобразований Ли-Бэнлунда, ДАН СССР, 1976, т. 227, № 3, 539-542.
26. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли-Бэнлунда и законы сохранения, ДАН
СССР, 1976, т. 230, № I, 26-29.

280
27. Ибрагимов Н.Х. К теории групп преобразований Ли-Бэклунда,
Мат. сб., 1979, т. 109, № 2, 229-253.
28. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике,
М., ?НаунаУ 1983, 280 с.
29. Красильщик И.О. Гамильтоновы когомологии канонических алгебр,
ДАН СССР, 1980, т. 251, № 6, 1306-1309.
30. Куперпшидт Б.А. О геометрии многообразий джетов, УМН, 1975,
т. 30, № 5, 2II-2I2.
31. Лычагин В.В. Локальная классификация нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, УМН,
1975, т. 30, № I, I0I-I7I.
32. Лычагин В.В. Об особенностях решений дифференциальных
уравнений. ДАН СССР, 1980, т. 251, № 4, 794-799.
33. Новиков СП. Гамильтонов формализм и многозначный аналог
теории Морса, УМН, 1982, т. 37, № 5, 3-49.
34. Овсянников Л.В. Некоторые задачи, возникающие в групповом
анализе дифференциальных уравнений, в сб. "Динамика сплошной
среды", Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1974, вып. 12, 211-238.
35. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.
М., "Наука", 1978, 399 с.
36. Спеньер Э. Алгебраическая топология..М., "Мир", 1971, 680 с.
37. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М., "Мир",
1970, 412 с.
38. Теория солитонов. М., "Наука", 1980, 319 с.
39. Фущич В.И., Владимиров В.А. О дополнительной инвариантности
для векторных полей, ДАН СССР, 1981, т. 257, № 5, II05-II09.
40. Anderson I., Duchamp Т., On the existence of global variational
principles, Amer. J. Math., 1980, v.102, N 5, 781-868.
/fl# Backlund A.V., Zur Theorie der Flachentransformationen, Math.
Ank., 1882, Bd.19, 387-422
42. Bcouche R., L'algebre differentielle associee a une algebre
commutative, C.R.Acad.Sci., t. 260, N 12, 3245-3247.

281
43. Bcouche R., Operateurs differentiels et complexede Spencer associe
a une algebre commutative, C.R. Acad. Sci., t. 263, N 25, 891-894.
44. Braconnier, Sur les cohomologies des algebres de Lie gradues
Fubl. Dept. Math. Lyon, 1978, v. 15
45. Gabriel P., Froprietes generales des schemas en groupes, Lect.
notes in Math., 1970, v. 151, expose VIIA, 409-473.
4 6. Goldschmidt H.,Integrability criteria for systems of nonlinear
partial differential equations, J.Diff.Geom., 1967, v.l, N 3,
269-307.
47. Grothendieck A., Elements de geometrie algebrique IV Etude locale
des schemas et des morphismes schemas, Inst. Hautes Etude Sci.
Fubl. Math., 1967, v. 32, 361 p.
48. Dedecker F., Generalisation d*une formule de H.A.Schwartz
relative aux surfaces minima, C.R.Acad.Sci., 1977, v. 285, 23-26.
49. Dedecker F., Generalisation d'une formule de H.A.Schwartz aux
integrales multiples du calcul des variations, C.R. Acad.Sci.,
1977, v. 285, 59-61.
50. Dedecker F., Integrales completes de 1'equation aux derivees
partielles de Hamilton-Jacobi d'une integrale multiple, C.R.
Acad. Sci., 1977, v. 285, 123-126.
51. Dedecker F., On the generalisation of symplectic geometry to
multiple integrals in the calculus of variations, Lect. notes
. in Math., 1977, v. 570, 394-456.
52. Dhoghe F., Les transformation de contact sur un espace fibre
des jets d'applications, C.R. Acad. Sci., 1978, t. 287, N 16,
A1125-A1128.
53. Douglas J., Solution of inverse problem for the calculus of
variations, Trans. Amer. Math. Soc, 194l, v. 50, 71-128.
54. Havas F., The range of application of Lagrange formalism. I.,
Nuovo Cimento (Suppl.), 1957, v.5, 363-388.
55. Horndeski G.W., Differential operators associated with Euler-
Lagrange operator, Tensor, 1974, y.28, 303-318.
56. Krupka D., On the structure of Euler-mapping, Archivum Math.
Univ. Furkine Brunesis, 1974, v.10, N 1, 55-62.
57. Kumei S., Invariance transformations, invariance group
transformations and invariance groups of the sine-Gordon equations, J.
Math. Fhys., 1975, v. 16, N 12, 2461-2468.

282
58. Kuperschmidt В., Geometry of jet bundles and the structure of
Lagranglan and Hamlltonlan formalism, Lect. Notes In Math.,
1980, v. 775, 162-217.
59. Lie S., Gesamelt Abhandlungen, Bd.4, 1929, Leipzig, Teubner;
Kristiania, Aschehoug.
60. Olver P., Symmetry groups and group Invariant solutions of
partial differential equations, J. Dif. Geom., 1979, v.l4,
497-542.
61. Olver P., Shakiban C, A resolution of the Euler operator,
Proc. Amer. Math. Soc, 1978, v.69, N 2, 223-229.
62. Otterson P., Svetlichny G., On derivative-depended infinitesimal
deformation of differential maps, J. Dif. Eq., 1980, v.36, 270-
294.
63. Pommaret F., Systems of partial differential equations' and Lie
pseudogroups, Gordon and Breach, New York, 1978, 1-426.
64. Spencer D., Overdetermined systems of linear partial differen-
• tial equations, Bull. Amer. Math. Soc, 1965* v. 75, N 1, 1-114.
65. Spencer D., Deformation of structures on manifolds defined by
transitive continuous pseudogroups 1, II, Ann. of Math., 1962,
v.70, 306-446; III, item, 1965, v.8l, 389-450.
66. Takens F., A global version of the inverse problem for the
calculus of variations, J. Diff. Geom., 1979, v.l4, N 9, 543-562.
67. Tonti E., Variational formulation of non-linear differential
equations, I, Acad. Roy, Belg, Bull. CI. Sci., 1969, v.55* 137-
I65, II, item, 1969, v.55, 262-278.
68. Tsujishita Т., On variation bicomplexes associated to
differential equations, preprint, Osaka Univ., I98O.
69. Tulczyiev W., The Lagrange complex, Bull. Soc. Math. France,
1977, v. 105, 419-431.
70. Tulczyiew W., The Euler-Lagrange resolution, Lect. Notes in
Math., 1980, v. 836, 22-48.
71. Vigue J.-P., Operateurs differentiels sur les espaces analytiques,
Invent. Math., 1973, v. 20, N 4, 313-336.
72. Vinogradov A.M., Local symmetries and conservation laws, Acta
applicandae mathematical, 1984, N 1.

283
73. Vinogradov A.M., The C-spectral sequence, Lagrangean formalism
and conservation laws. I. The linear Theory., J.Math. Anal.
Appl., 1984, v. 99, N 2, 1-40.
74. Vinogradov A.M., The C-spectral sequence, Lagrangean formalism
and conservation laws. II. The nonlinear theory., J. Math.
Anal. Appl., 1984, v. 99, N 2, 41-129.