Текст
                    Differential Geometry
of
Curves and Surfaces
Manlredo Р. do Carmo
lnstituto de Matematica Pura е Aplicada (IMPA}
Rio de Janeiro, Вrazi/
Prentice-Hall, /пс., Upper Saddle River, New Jersey 07458


Манфредо П. до Кармо ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ Перевод с английского Н. Г. Перловой Под научной редакцией Я. В. Базайкина ~ w=r 11осква • IЬкевск 2013
УДК 514.752.2 ББК 22.151.6 К243 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru Манфредо П. до Кармо •физика •математика •биология •нефтегазовые технологии Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. - М.-Ижевск: Ин­ ститут компьютерных исследований, 2013. - 608 с. В книге излагается дифференциальная геометрия кривых и поверхностей начиная с базовых понятий вплоть до тонких теорем о глобальном строении. Особенностью книги является ознакомление читателя с основными концеп­ циями современной римановой геометрии на примере дифференциальной гео­ метрии поверхностей. Изложение построено на многочисленных конкретных примерах, иллюстрирующих геометрические идеи. Будет полезна как для студентов и аспирантов физико-математических спе­ циальностей, так и для научных работников, желающих познакомиться с основ­ ными идеями дифференциальной геометрии. ISBN 978-5 -4344-0150 -0 Перевод оригинального англоязычного издания Differeпtial Geometry af Curves апd Surfaces, lst ed. Ьу Maпfreda da Carmo; ISBN Ol32125897, опубликованного издательством Preпtice Hall (Pearsoп Educatiaп, !пс.)© 1976 Ьу Prentice-Hall, lnc. Upper Saddle R.jver, New Jersey 07458. Все права защищены. Ни одна часть этой книги не может быть воспроизведена Ш!И быть пере­ дана в какой бы то ни было форме Ш!И какими бы то ни было средствами, электронными нли механическими, вкшочая фотокопирование, запись на магнитный носитель ми при помощи любой другой обрабатывающей системы хранения информации, если на то нет разрешения из­ дательства Pearsoп Educatiaп, !пс. Русскоязычное издание опубликовано АНО «Ижевский институт компьютерных исследова­ ний» ©2013 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ....................................................................................................... 7 Некоторые замечания об использовании этой книги ................................ 9 ГЛАВА 1. КРИВЫЕ ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ....... ....... ...... 11 1.1. Введение ...... ....... ...... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ...... ....... ....... ....... ...... . 11 1.2 . Параметризованные кривые ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ....... . 12 1.3 . Регулярные кривые, длина дуги ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ 16 1.4 . Векторное произведение в R 3 ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ... 23 1.5. Локальная теория кривых, параметризованных длиной дуги .. . . . .. 29 1.6 . Локальный канонический вид ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ 42 1. 7. Глобальные свойства плоских кривых ....... ....... ........ ....... ........ ....... 45 ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ...... .......... .......... .......... ........ 69 2.1 . Введение ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... 69 2.2. Регулярные поверхности. Прообразы реrулярных значений .. . . . . .. 70 2.3. Замена параметров. Дифференцируемые функции на поверхностях ................................................................................. 90 2.4 . Касательная плоскость. Дифференциал отображения . . .. . . . . . . . . . . . .. 105 2.5 . Первая основная форма. Площадь ....... ......... ........ ........ ........ ......... 117 2.6 . Ориентация поверхностей ...... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... 129 2.7 . Характеризация компактных ориентированных поверхностей .. . . . . .. 137 2.8 . Геометрическое определение площади ......... ........... ........... .......... 143 Приложение: краткий обзор понятий непрерывности и дифференцируемости .......................................................................... 147 ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ .................... 165 3.1 . Введение ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... " .................. 165 3.2 . Определение гауссова отображения и его основные свойства . .. 166 3.3. Гауссово отображение в локальных координатах ........................ 187 3.4 . Векторные поля ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... . 213
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 3.5 . Линейчатые поверхности и минимальные поверхности . . . . . . . . . .. . . 228 Приложение: самосопряжённые линейные отображения и квадратичные формы ........................................................................... 259 ГЛАВА 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ . . . . . . . . .. . . . 263 4.1 . Введение ..... ...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... ..... ...... ...... 263 4.2 . Изометрии. Конформные отображения ...... ....... ....... ....... ....... ....... 264 4.3 . Теорема Гаусса и условия совместности ....... ........ ........ ........ ........ 280 4.4. Параллельный перенос. Геодезические ...... ....... ....... ....... ....... ....... 286 4.5 . Теорема Гаусса-Бонне и её приложения ...... ...... ....... ....... ...... ....... 317 4.6 . Экспоненциальное отображение. Геодезические полярные координаты ....................................................................................... 338 4.7. Дополнительные свойства геодезических. Выпуклые окрестности .................................................................... 356 Приложение: доказательства основных теорем локальной теории кривых и поверхностей .............................................................. 371 ГЛАВА 5. ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ .... 377 5.1. Введение ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... .- .... 377 5.2. Неизгибаемость сферы ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... 379 5.3. Полные поверхности. Теорема Хопфа-Ринова ......... .......... .......... 388 5.4. Первая и вторая вариации длины дуги. Теорема Бонне .............. 405 5.5. Поля Якоби и сопряжённые точки ....... ......... ........ ........ ........ ......... 425 5.6. Накрывающие пространства. Теорема Адамара ........ .......... ......... 442 5.7. Глобальные теоремы о кривых. Теорема Фари-Милнора . .. . . . . . . .. 465 5.8. Поверхности нулевой гауссовой кривизны ........ ......... ......... ......... 486 5.9. Теоремы Якоби ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... . 495 5.1 О. Абстрактные поверхности. Дальнейшие обобщения ................. 506 5.11. Теорема Гильберта ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . 531 Прwюжение: топология точечных множеств евклидовых пространств .............................................................................................. 545 Библиография и комментарии ................................................................... 563 Указания и ответы ........................................................................................ 567 Предметный указатель ................................................................................. 595
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга является введением в дифференциальную геометрию кри­ вых и поверхностей как в локальном, так и в глобальном аспекте. Изложе­ ние отличается от традиционных более широким использованием элемен­ тарной линейной алгебры и несколько большим акцентом на основные геометрические факты, нежели на технику или случайные детали. Мы пытались выстроить каждую главу книги вокруг некоторого прос­ того и основного понятия. Так, глава 2 развивается вокруг понятия реrу­ лярной поверхности в R 3 ; когда это понятие развито в совершенстве, оно, возможно, является лучшей моделью дифференцируемых многообразий. Глава 3 строится на основе понятия гауссова нормального отображения и содержит большой материал по локальной геометрии поверхностей вR3 . Глава 4 объединяет внутреннюю геометрию поверхностей вокруг понятия ковариантной производной; вновь нашей целью была подготовка читателя к основному понятию связности в римановой геометрии. Нако­ нец, в главе 5 мы используем первую и вторую вариации длины дуги для получения некоторых глобальных свойств поверхностей. Ближе к концу главы 5 (раздел 5.10) мы показываем, как задачи теории поверхностей и опыт изучения глав 2 и 4 естественно ведут к рассмотрению дифферен­ цируемых многообразий и римановой метрики. Чтобы поддерживать правильное соотношение понятий и фактов, мы привели большое число примеров с подробными выкладками. Кроме того, обеспечен умеренный запас упражнений. Некоторый фактический матери­ ал классической дифференциальной геометрии нашёл своё место в этих упражнениях. Для упражнений, отмеченных звёздочкой, даны указания и ответы. Для чтения этой книги необходимо знание линейной алгебры и ана­ лиза. Из линейной алгебры требуются только самые основные понятия, и стандартный начальный курс по этому предмету должен быть достато­ чен. Из курса анализа предполагается некоторое знакомство с дифферен­ циальным исчислением функций нескольких переменных (включая фор­ мулировку теоремы о неявных функциях). Для удобства читателя мы ста­ рались ограничить наши ссылки книгой R. С. Buck, Advanced Calculus, New York: McGraw-Hill, 1965 (цитированной как Buck, Advaпced Calculus).
8 ПРЕДИСЛОВИЕ Некоторое знание курса дифференциальных уравнений будет полезным, но не является обязательным. Эта книга является свободным переводом, с дополнительным мате­ риалом, книги и серии статей, первоначально опубликованных на порту­ гальском языке. Если бы не энтузиазм и огромная помощь Блейна Лоусо­ на, эта книга не вышла бы английском языке. Большая часть перевода вы­ полнена Лени Кавальканти. Я также обязан моим коллегам и студентам IMPA за их замечания и поддержку. В частности, Элон Лима прочёл часть португальского варианта и сделал ценные замечания. Роберт Гарднер, Юрген Керн, Блейн Лоусон и Ноулен Валлах критиче­ ски прочли английскую рукопись и помогли мне избежать некоторых ошибок как в английском, так и в математике. Рой Огава готовил компью­ терные программы для некоторых превосходных рисунков, которые встре­ чаются в этой книге (рис. 1.3, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 3.45 и 4.4). Джерри Каздан щедро потратил своё время и внёс буквально сотни предложений по улуч­ шению рукописи. Книга в окончательном виде значительно выиграла от его советов. Всем этим людям - и Артуру Вестеру, издателю Mathematics at Prentice-Hall, и Вилсону Гоусу из IМРА - я выражаю мою искреннюю благодарность. Рио-де-Жанейро Манфредо П. до Кармо
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭТОЙ КНИГИ Мы старались подготовить эту книгу так, чтобы её можно было ис­ пользовать для курса дифференциальной геометрии более чем одного ти­ па. Каждая глава начинается введением, в котором описывается материал главы и объясняется, как этот материал будет использован далее в книге. Для удобства читателя мы использовали подстрочные замечания для ука­ зания разделов (или их частей), которые можно пропустить при первом чтении. Хотя в книге достаточно материала для годового курса (или спецкур­ са), мы старались сделать книгу соответствующей первоначальному курсу дифференциальной геометрии для студентов с некоторой начальной под­ готовкой по линейной алгебре и дополнительным главам анализа. Для краткого четвертного курса (10 недель) мы предлагаем использо­ вать следующий материал. Глава 1, разделы 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 и одна тема раздела 1.7 - 2 недели. Глава 2, разделы 2.2 и 2.3 (опустить доказательст­ ва), разделы 2.4, 2.5 - 3 недели. Глава 3, разделы 3.2 и 3.3 - 2 недели. Глава 4, разделы 4.2 (опустить конформные отображения и упражнения 4, 13-18, 20), 4.3 (до theorema egregium Гаусса), 4.4 (до предложения 4; опус­ тить упражнения 12, 13, Jб, 18-21), 4.5 (до локальной теоремы Гаусса­ Бонне, включая приложения (Ь) и (f), - 3 недели. 1О - недельная программа вверху является весьма компактным пла­ ном. Более мягкий вариант состоит в том, чтобы дать больше времени на первые три главы и представить обзорные лекции на последней неделе курса о геодезических, о theorema egregium Гаусса и теореме Гаусса-Бонне (геодезические можно тогда определить как кривые, соприкасающиеся плоскости которых содержат нормали к поверхности). В семестровом курсе первый вариант может быть более неторопли­ вым, и преподаватель может, возможно, включить дополнительный мате­ риал (например, разделы 5.2 и 5.10 (частично) или разделы 4.6, 5.3 и 5.4) . . Пожалуйста, заметьте также, что звёздочка, отмечающая упражнение, не означает, что упражнение лёгкое или трудное. Она означает только, что решение или указание приведены в конце книги. Во-вторых, мы использо­ вали для параметризации обозначение х жирным шрифтом, и это может
10 НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭТОЙ КНИГИ вызвать неудобство при написании на доске. Для этого мы предназначили букву Х как подходящую замену. Когда буквенные символы, которые по нормам должны быть курсив­ ными, появляются в курсивном контексте, они набраны прямым шрифтом. Это сделано, чтобы выделить эти символы из окружающего текста. 1 1 Данное замечание относится к оригинальному тексту па английском языке. - Прим. ред.
ГЛАВА 1 КРИВЫЕ 1.1. Введение Дифференциальная геометрия имеет несколько аспектов. Один, кото­ рый можно назвать классической дифференциальной геометрией, возник с зарождением дифференциального исчисления. Говоря упрощённо, диф­ ференциальная геометрия есть теория локальных свойств кривых и поверх­ ностей. Под локальными свойствами мы понимаем те свойства кривых и поверхностей, которые зависят только от поведения кривой или поверх­ ности в окрестности точки. Подходящими для исследования таких свойств оказались методы дифференциального исчисления. Вследствие этого кри­ вые и поверхности, рассматриваемые в дифференциальной геометрии, бу­ дут задаваться функциями, которые можно несколько раз дифферен­ цировать. Другой аспект - это так называемая дифференциальная геометрия в целом. Здесь изучается влияние локальных свойств на поведение кривой или поверхности в целом. Позже в книге мы вернёмся к этому аспекту дифференциальной геометрии. Возможно, наиболее интересным и содержательным разделом класси­ ческой дифференциальной геометрии является теория поверхностей. Од­ нако при изучении поверхностей естественным образом появляются неко­ торые локальные свойства кривых. Мы используем поэтому первую главу для краткого рассмотрения кривых. Глава будет построена таким образом, что читатель, интересующийся главным образом поверхностями, может прочесть только разделы от 1.2 до 1.5 . Разделы от 1.2 до 1.4 содержат, по существу, вводный материал (пара­ метризованные кривые, длина дуги, векторное произведение), который, возможно, известен из других курсов и включён сюда для полноты. Раз­ дел J .5 является сердцевиной главы и содержит материал о кривых, необ­ ходимый для изучения поверхностей. Для желающих продвинуться немно­ го дальше в изучении кривых мы включили разделы 1.6 и 1.7 .
12 ГЛАВА 1 1.2 . Параметризованные кривые Мы обозначаем символом R 3 множество упорядоченных троек (x,y,z) вещественных чисел. Наша цель состоит в том, чтобы описать не- которые подмножества R 3 (они будут называться кривыми), которые в некотором смысле одномерны и к которым применимы методы диффе­ ренциального исчисления. Естественным является способ описания таких подмножеств дифференцируемыми функциями. Мы говорим, что вещест­ венная функция вещественной переменной является дифференцируемой (или гладкой), если она имеет во всех точках производные всех порядков (которые автоматически непрерывны). Первое определение кривой, не вполне удовлетворительное, но достаточное для целей этой главы, сле­ дующее. Определение. Параметризованной дифференцируемой кривой назы­ вается дифференцируемое отображение а: 1 ~ R 3 интервала 1 = (а, Ь) ве­ щественной прямой R в R 3 • Слово дифференцируемое в этом определении означает, что а есть соответствие, которое отображает каждую точку t Е 1 в точку a(t) = = (x(t),y(t),z(t))E R 3 таким образом, что функции x(t), y(t), z(t) диф­ ференцируемы. Переменная t называется параиетром кривой. Слово ин­ тервал употребляется в обычном смысле, так что мы не исключаем случаи а=-оо, Ь=оо. Если обозначить символом x'(t) первую производную х в точке t и использовать аналогичные обозначения для функций у и z, то вектор (x'(t),y'(t),z'(t)) = a'(t) Е R 3 называется касательным вектором (или век­ тором скорости) кривой а в точке t. Образ a(t) с R 3 называется сле­ дом а. Как показано ниже, в примере 5, необходимо строго различать па­ раметризованную кривую, которая является отображением, и её след, ко- торый является подмножеством R 3 . Предостережение относительно терминологии. Многие употребляют термин «бесконечно дифференцируемая» для функций, которые имеют производные всех порядков, и оставляют термин «дифференцируемая» для обозначения того, что требуется существование только первой произ­ водной. Мы не будем придерживаться такого употребления. Пример 1. Параметризованная дифференцируемая кривая, заданная равенством a(t)=(acost,asint,bt), tER,
КРИВЫЕ 13 имеет в качестве следа в R 3 виmовую линию с шагом 2л:Ь на цилиндре х2+у 2 =а 2 . Параметр t здесь является величиной угла, который ось х образует с прямой, соединяющей начало координат О с проекцией точки a(t) на ху-плоскость (см. рис. 1.1). z у х Рисунок l.l Рисунок l.2 Пример 2. Отображение а: R-7R 2 , где a(t)=(t3 ,t 2 ), tER, является параметризованной дифференцируемой кривой, след которой показан на рисунок 1.2 . Заметьте, что а'(О) =(О, О), то есть вектор скорости при t =О равен нулю. Пример 3. Отображение а: R-7R 2 , где a(t)=(t3 -4t, t 2 -4), tER, является параметризованной дифференцируемой кривой (см. рис. 1.3). За­ метьте, что а(2) = а(-2) =(О, О), то есть отображение а не является взаимно однозначным. у •х Рисунок 1.3 Рисунок 1.4
14 ГЛАВАI Пример 4. Отображение а: R ~ R 2 , где a(t)=(t, 1t1), tЕR,неявля­ ется параметризованной дифференцируемой кривой, так как функция 1t1 не дифференцируема в точке t = О (рис. 1.4). Пример 5. Две различные параметризованные кривые a(t) = (cost, sin t), [J(t) = ( cos 2t, sin 2t), где tЕ(О-с:,2я+с:), t:>O, имеют один и тот же след, а именно окружность х2 +у 2 =1. Заметьте, что вектор скорости второй кривой является удвоен­ нь1м вектором скорости первой кривой (рис. 1.5). у о Рисунок 1.5 Сейчас мы кратко напомним некоторые свойства внутреннего (или скалярного) произведения векторов в R 3 . Положим и= (и1,и2,и3)ЕR3 и определим его норму (или длину) равенством Геометрически 1и1 является расстоянием от точки (и 1 ,и2 ,и3 ) до начала координат 0=(0,0,0). Пусть теперь и=(и1 ,и2 ,и3 ) и v=(v1,v2 ,v3 ) принад­ лежат R 3 , и пусть (), О $ () $ :тr, - угол, образованный отрезками Ои и Ov. Скалярное произведение и · v определяется равенством (рис. 1.6) и.v =1и11v1cos8.
КРИВЫЕ 15 z vcos fJ х Рисунок 1.6 Имеют место следующие свойства. 1. Предположим, что и и v - ненулевые векторы. Тогда и· v =О то- гда и только тогда, когда и ортогонален v. 2. и ·v =v·u. 3. A.(u·v)=Au·v=u·Av. 4. u-(v+w)=u·v+u·w . Полезное выражение скалярного произведения можно получить сле­ дующим образом. Пусть е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0) и е3 = (0,0,1). Легко про- верить,что е;·е1=1, если i=}, ие; ·е1=О, если i#:. }, где i,j =1,2,3. Та­ ким образом, выписывая и используя свойства 3 и 4, получаем Из предыдущего выражения следует, что если u(t) и v(t), tE !, - дифференцируемые кривые, то u(t) · v(t) есть дифференцируемая функ­ ция и !!_(u(t) · v(t)) = u'(t) · v(t) + u(t) · v'(t). dt
16 ГЛАВА 1 УПРАЖНЕНИЯ 1. Найдите такую параметризованную кривую a(t), следом которой явля­ ется окружность х2 + у 2 = 1, что a(t) пробегает окружность по часовой стрелке и а(О) = (0,1). 2. Пусть a(t) - параметризованная кривая, которая не проходит через нача­ ло координат. Покажите, что если a(t0 ) - точка следа а, ближайшая к началу координат, и a'(t0 ) :F- О, то радиус-вектор a(t0 ) ортогонален a'(t0 ). 3. Параметризованная кривая a(t) обладает тем свойством, что её вторая производная а"(t) тождественно равна нулю. Что можно сказать об а? 4.Пусть а:1~R3 - параметризованная кривая и v Е R 3 - фиксиро­ ванный вектор. Предположите, что a'(t) ортогонален v при любом tE 1 и что а(О) также ортогонален v. Докажите, что a(t) ортогонален v при любом tE 1. 5. Пусть а: 1 ~R 3 - параметризованная кривая с a'(t) :F- О при любом tE 1. Покажите, что 1a(t)1 есть ненулевая постоянная тогда и только тогда, когда a(t) ортогонален a'(t) при любом tE 1. 1.3. Реrулярные кривые, длина дуrи Пусть а : 1 ~ R 3 - параметризованная дифференцируемая кривая. При любом tE 1, где d(O)-:F-0, существует вполне определённая прямая, которая содержит точку a(t) и вектор a'(t). Эта прямая называется каса­ тельной к а в точке t. Для изучения дифференциальной геометрии кри­ вой важно, чтобы такая касательная существовала в каждой точке. Поэто­ му мы называем каждую точку t, где d(t) =О, особой точкой а и огра­ ничиваемся рассмотрением кривых без особых точек. Заметьте, что точка t = О в примере 2 раздела 1.2 является особой. Определение. Параметризованная дифференцируемая кривая а : J~ ~R 3 называется регулярной, если а' (t):F-0 при любом tE 1.
КРИВЫЕ 17 С этого момента мы будем рассматривать только регулярные парамет­ ризованные кривые (и для удобства будем обычно опускать слово диффе­ ренцируемая). Для данного t Е 1 длина дуги регулярной параметризованной кривой а: 1 ~ R 3 от точки t0 равна, по определению, t s(t)= f1a'(t)1 dt, fo где 1a'(t)1 = ~(x'(t)) 2 + (y'(t))2 + (z'(t)) 2 - длина вектора a'(t). Так как a'(t) *О, длина дуги s есть дифференци­ руемая функция t и ds/ dt =1 a'(t) j. В упражнении 8 мы дадим геометрическое обоснование предыдущего определения длины дуги. Может случиться, что параметр t уже является длиной, измеряемой от некоторой точки. В этом случае ds/dt = 1 = !d (t) j, то есть вектор скорости имеет постоянную длину, равную 1. Обратно, если 1a'(t)1=1, то t s=fdt=t-t0, fo то есть t является длиной дуги а, измеряемой от некоторой точки. Чтобы упростить изложение, мы ограничимся кривыми, парамет­ ризованными длиной дуги; позже мы увидим (см. раздел 1.5), что это огра­ ничение несущественно. В общем случае нет необходимости указывать начало отсчёта длины дуги s, поскольку большинство понятий опре­ деляется только в терминах производных a(s). Удобно принять ещё одно соглашение. Для данной кривой а, парамет­ ризованной длиной дуги sE (а, Ь), мы можем рассмотреть кривую /J, опре­ делённую на (-Ь,-а) равенством /J(-s) = a(s), которая имеет тот же самый след, что и первая кривая, но описывается в противоположном направлении. Мы говорим тогда, что эти две кривые отличаются ориентацией. УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что касательные регулярной параметризованной кривой a(t) = (Зt, 2t 2 , 2t3 ) образуют постоянный угол с прямой у=О, z=x.
18 ГЛАВА! 2. Круг радиуса 1 в ху-плоскости катится без скольжения вдоль оси х. Фи­ гура, описываемая точкой касания круга, называется циклоидой (рис. 1.7). у Рисунок 1.7. Циклоида а*. Получите параметризованную кривую а: R~R 2 , сл ед ом которой яв­ ляется циклоида, и найдите её особые точки. Ь. Вычислите длину дуги циклоиды, соответствующей полному обороту круга. 3. Пусть ОА = 2а - диаметр окружности S 1 , а ОУ и AV - касательные в точках О и А соответственно. Из точки О выходит луч r, который пере­ секает окружность в точке С и прямую AV в точке В. На ОВ отложим от­ резок Ор = СВ. Если вращать луч вокруг О, точка р опишет кривую, на­ зываемую циссоидой Диоклеса. Принимая ОА в качестве оси х и ОУ в ка­ честве оси у, докажите, что а) след кривой ( 2at 2 2at 3 J a(t)= -- 2 ,-- 2 , tER, l+t l+t есть циссоида Диоклеса ( t = tgO; см. рис. 1.8); Ь) начало координат (О, О) является особой точкой циссоиды; с) когда t ~ оо, a(t) приближается к прямой х = 2а и a'(t) ~ (2а, О). Та­ ким образом, при t ~ оо кривая и её касательная приближаются к прямой х = 2а; мы говорим, что прямая х = 2а есть асимптота циссоиды.
КРИВЫЕ 4. Пусть а: (О,п) -t R 2 задано равенством a(t)=(cost, cost+lntg~} 19 где t - угол, который образуется осью у и вектором a(t). След а назы­ вается трактрисой (рис. 1.9). Покажите, что а) а - дифференцируемая параметризованная кривая, регулярная всюду, 1t кроме точки t = - ; 2 Ь) длина отрезка касательной трактрисы между точкой касания и осью у постоянна и равна 1. у у v Рисунок 1.8. Циссоида Диоклеса Рисунок 1.9. Трактриса 5.Пусть а:(-1,+оо)-tR 2 задано равенством a(t)=( 3at , 3at 2 )• 1+! 3 1+t 3
20 ГЛАВА 1 Докажите, что а) при t =О кривая а касается оси х; Ь) когда t ~ оо, a(t) ~(О, О) и a'(t) ~(О, О); с) возьмите кривую с противоположной ориентацией. Тогда при t -t -1 кривая и её касательная приближаются к прямой х +у+ а= О. Фиrура, полученная таким пополнением следа а, что он становится симметричным относительно прямой у= х, называется листом Декарта (см. рис. 1.10). 6. Пусть a(t) = (aebt cost, аеь1 sint), t Е R, а и Ь - постоянные, а> О, Ь < О - параметризованная кривая. Рисунок 1.10. Лист Декарта а. Покажите, что при t ~ +оо a(t) приближается к началу координат О по спирали (поэтому след а называется логарифмической спиралью; см.рис.1.11). Ь. Покажите, что a'(t) ~(О, О) при t ~ +оо и 1 ,1!.IJ: f1d(t)1 dt ;'о конечен, то есть а имеет конечную длину дуги в промежутке [t0 , оо).
КРИВЫЕ 21 у Рисунок 1.11. Логарифмическая спираль 7. Отображение а: 1~R 3 называется кривой класса ck, если каждая ко­ ординатная функция в выражении a(t) = (x(t), y(t), z(t)) имеет непрерыв­ ные производные до порядка k. Если а только непрерывно, мы говорим, что а принадлежит классу с0 . Кривая а называется простой, если ото­ бражение а взаимно однозначно. Так, кривая в примере 3 раздела 1.2 не является простой. Пусть а:1~R3 - простая кривая класса с 0 . Мы говорим, что а имеет слабую касательную в точке t = t 0 Е /, если прямая, определяемая точками a(t0 + h) и a(t0 ), имеет предельное положение при h ~О. Мы го­ ворим, что а имеет сW1ьную касательную в точке t = t0 , если прямая, оп­ ределяемая точками a(t0 + h) и a(t0 + k ), имеет предельное положение при h, k ~О. Покажите, что а)a(t)=(t 3 ,t 2 ), t Е R, имеет слабую касательную, но не имеет сильной ка­ сательной в точке t = О; Ь*) если а : l ~ R 3 принадлежит классу С 1 ирегулярнавточкеt =t0, то она имеет сильную касательную в точке t = t0 ; с) кривая, заданная как { (t2' t2 ), a.(t) = (t2' -t2), t?: О, tsо,
22 ГЛАВА 1 принадлежит классу С1 , но не принадлежит классу С 2 . Сделайте эскиз кривой и её касательных векторов. 8*. Пусть а:! ~R 3 - дифференцируемая кривая и [а,Ь] с! - замкну­ тый промежуток. Для любого разбиения а=t0<t1<...<tп=Ь отрезка [а,Ь] рассмотрим сумму I:1 ia(t;)-a(tн)l=l(a,P), где Р обо­ значает данное разбиение. Норма 1 Р 1 разбиения Р определяется равен­ ством \Р\=max(t;- tн), i=1,...,п. Геометрически /(а, Р) есть длина ломаной, вписанной в а([а, Ь]), с вершинами в точках a(t;) (см. рис. 1.12). Цель упражнения - показать, что длина дуги а([ а, Ь]) есть в некотором смысле предел длины вписан­ ной ломаной. a(t,) Рисунок 1.12 Докажите, что для заданного е > О существует такое д > О , что если \Рl<д,то IJa'(t) 1 dt - l(a, P)I<s. 9.а.Пустьа:!~R3 - кривая класса с0 (ер. упр. 7). Используйте при­ ближение ломаными, описанное в упражнении 8, чтобы дать приемлемое определение длины дуги а. Ь. (Неспря.мляемая кривая.) Следующий пример показывает, что при любом приемлемом определении длина дуги кривой класса с0 , задан­ ной на отрезке, может быть неограниченной. Пусть а: [О, 1] ~ R 2 задано
КРИВЫЕ 23 равенством a(t) = (t, tsin(:rr/t)), если t =1 = О, и а(О) =(О, О). Покажите геометрически, что длина дуги отрезка кривой, соответствующего l/(n+l)'Sot'Sol/n, не меньше 2/(n+l/2). Используйте это, чтобы показать, что длина кривой на отрезке 1/N "5о t "5о 1 больше 2z::= 1l/( п + 1) и, следова­ тельно, стремится к бесконечности при N ~ оо. 10. (Прямая как кратчайшая.) Пусть а: 1~R 3 - параметризованная кривая. Пусть [а, Ь] с1 и а(а) =р, а(Ь) =q. а. Покажите, что для любого постоянного вектора v, 1v 1= 1, Ь. Положите и покажите, что ь ь (q-р) ·v = Ja'(t) ·vdt "5оfl a'(t)1dt. а v= q-p lq-pl ь а la(b)-a(a)l'So fla'(t)ldt; а то есть кривая наименьшей длины дуги от а(а) до а(Ь) есть прямая, со­ единяющая эти точки. 1.4. Векторное произведение в R 3 В этом разделе мы представим некоторые свойства векторного произ­ ведения. Они окажутся полезными в нашем дальнейшем исследовании кривых и поверхностей. Удобно начать с обзора понятия ориентации векторного пространства. Два упорядоченных базиса е = {ei} и f = {/;}, i = 1, ... , п, п-мерного векторно- го пространства V имеют одинаковую ориентацию, если матрица замены ба­ зиса имеет положительный детерминант. Мы обозначаем это отношение как е ~ f. Из элементарных свойств определителей следует, что е - f есть от­ ношение эквивалентности, то есть оно удовлетворяет следующим условиям: 1)е~е; 2)еслие-f,тоf-е; 3)еслие-f,f -g,тое~g.
24 ГЛАВА 1 Множество всех упорядоченных базисов разбивается, таким образом, на классы эквивалентности (элементы данного класса связаны отноше­ нием -). Так как детерминант замены базиса либо положителен, либо от­ рицателен, существуют только два таких класса. Каждый из классов эквивалентности, определённый введённым выше отношением, называется ориентацией V. Следовательно, V имеет две ори­ ентации, и если мы фиксируем одну из них произвольно, другая называет­ ся противоположной ориентацией. В случае V =R 3 существует естественный упорядоченный базис е1 = (1, О, О), е2 =(О, 1, О), е3 =(О, О, 1), и мы будем называть ориентацию, б - - Rз соответствующую этому азису, положительнои ориентациеи ,адру- гую - отрицательной ориентацией (конечно, это равным образом при­ менимо к любому R п ). Мы говорим также, что данный ориентированный базис R 3 положителен (или отрицателен), если он принадлежит по­ ложительной (или отрицательной) ориентации R 3 . Таким образом, ориен­ тированный базис е1 , е3 , е2 есть отрицательный базис, так как матрица пе­ рехода от этого базиса к базису е1 , е2 , е3 имеет детерминант, равный -1. Переходим теперь к векторному произведению. Пусть и, v Е R 3 . Век­ торным произведением и и v (в указанном порядке) называется единст­ венныйвекторилvЕR3 , определяемый равенством (илv)·w=det(и,v,w) для всех wER 3 . Здесь det(и, v, w) означает, что если мы разложим и, v и w по есте­ ственному базису { е; } : и=Lи;е;,v=Lv;e;, w =Lw;e;,i =1,2,3, то det(и,v,w)= v1 v2 v3 , WlWzW3 где 1 aij 1 обозначает детерминант матрицы (aij ). Из определения непо­ средственно следует, что иz илv= Vz (1) Vz
КРИВЫЕ 25 Замечание. Очень часто ил v обозначают символом их v и говорят об «умножении крестом». Следующие свойства можно легко проверить (фактически они в точ­ ности выражают обычные свойства определителей): 1) ил v = -v ли (антикоммутативность); 2) ил v линейно зависит от и и v, то есть для любых вещественных чисел а,Ь (аи+bw)лv=аилv+bwлv; 3) ил v =О тогда и только тогда, когда и и v линейно зависимы; 4) (илv)·и=О, (илv)·v=О. Из свойства 4 следует, что векторное произведение ил v *О пер­ пендикулярно плоскости, порождаемой и и v. Чтобы дать геометри­ ческую интерпретацию его длины и направления, поступим следующим образом. Во-первых, заметим, что (ил v)-(и л v) = J ил v 1 2 >О. Это означает, что детерминант векторов и, v, ил v положителен, то есть {и, v, ил v} - по­ ложительный базис. Далее, доказываем тождество И·Х V·X (илv)-(хлу)= и·у v·y где и, v, х, у - произвольные векторы. Это легко можно сделать, если за­ метить, что обе части равенства линейны относительно и, v, х, у. Таким образом, достаточно проверить, что e;·ek e1 ·ek (ei лej)·(ek ле1 )= е; ·е1 е1 ·е1 для любых i,j,k,l = 1, 2, 3. Это - прямое вычисление. Отсюда следует, что И·V V·V где В -угол между и и v, А - площадь параллелограмма, порождаемо­ гоииv. Короче говоря, векторное произведение и и v есть вектор и л v, пер­ пендикулярный плоскости, порождаемой и и v, с длиной, равной пло­ щади параллелограмма, порождаемого и и v, и направленный так, что {и, v, ил v} - положительный базис (рис. 1.13).
26 ГЛАВА 1 uf\v vsinP Рисунок 1.13 Векторное произведение не ассоциативно. Действительно, имеет ме­ сто тождество (ил v)л w= (и· w)v-(v· w)u, (2) которое можно доказать следующим образом. Прежде всего, заметим, что обе части линейны относительно u,v, w; следовательно, тождество будет верно, если оно выполняется для всех базисных векторов. Эта последняя проверка, однако, элементарна; например, (е1 ле2 )ле1 =е2 =(е1 ·е1 )е2 -(е2 ·е1 )е1 • Наконец, пусть u(t) == (и1 (t), и2 (t), и3 (t)) и v(t) == (v1(t), v2 (t), v3 (t)) дифференцируемые отображения интервала (а, Ь) в R 3 , tЕ(а,Ь).Изра­ венства (1) непосредственно следует, что u(t) л v(t) также дифферен­ цируемо и d du dv -(u(t)лv(t))= - л v(t) + u(t) л-. dt dt dt Векторное произведение естественно возникает во многих геометри­ ческих конструкциях. Фактически, большая часть геометрии плоскостей и прямых в R 3 может быть чётко изложена в терминах векторного произ­ ведения и определителей. Мы рассмотрим часть этого материала в следую­ щих упражнениях. УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверьте, являются ли следующие базисы положительными. а.Базис{(1,3),(4,2)}вR2 . Ь.Базис{(1,3,5),(2,3,7),(4,8,3)}вR3 •
КРИВЫЕ 27 2*. Плоскость Р в R 3 задана уравнением ax+by+cz+d=O. Покажите, что вектор v = (а, Ь, с) перпендикулярен плоскости и 1d 1/.Jа2 + Ь2 + с2 есть расстояние от плоскости до начала координат (О, О, О). 3*. Найдите угол, под которым пересекаются две плоскости: 5x+3y+2z- - 4=0 и 3x+4y-7z=O. 4*. Докажите, что необходимыми и достаточными условиями параллель­ ности двух данных плоскостей а;х + h;Y + c;z + d; =О, i = 1, 2, являются ра­ венства а1Ь1с1 -=-- а2Ь2с2 где принято следующее соглашение: если знаменатель равен нулю, то со­ ответствующий числитель также равен нулю (мы говорим, что две плоско­ сти параллельны, если они либо совпадают, либо не пересекаются). 5*. Покажите, что уравнение плоскости, проходящей через три точки р1 =(x1,y1,z1), р2 =(x2 ,y2 ,z2 ), р3 =(x3 ,y3 ,z3 ), не лежащие на одной прямой, имеет вид (р- Р1)л(р- Р2)·(р- Рз)=О, где р = (х, у, z) - произвольная точка плоскости, ар- р1 , например, обо­ значаетвектор(х- х1,у- у1,z- z1). 6*. Покажите, что если заданы две непараллельные плоскости G;X+Ь;у+C;Z+d; =0, i=1,2, то линия их пересечения может быть параметризована так: х-х0 =и1t, у-у0 =и2t, z-z 0 =и3t, где точка (x0 ,y0 ,z0 ) принадлежит пересечению, а и =(и 1 , и2 , и3 ) - век­ торноепроизведение,и=v1лv2, V; = (а;,Ь;,с;), i=1,2. 7*. Докажите, что есть необходимое и достаточное условие параллельности плоскости ax+by+cz+d=O
28 ГЛАВА 1 8*. Докажите, что расстояние р между непараллельными прямыми х-х0 =щt, y-y0 =u2 t, z-z0 =u3t, х-х1 =v1t, у-у1 =v2t, z-z1 =v3t находится по формуле 1(илv)·r1 р= ' 1ил vj гдеи=(и1,и2,u3), v = (v1,v2,v3), r = (х0-х1,у0- УРz0-z1). 9. Найдите угол, под которым пересекаются плоскость Зх + 4у+ 7 z + 8 = О ипрямаях-2=3t, у -3=5t, z - 5=9t. 10. Естественную ориентацию R 2 можно связать со знаком площади па­ раллелограмма, порождаемого двумя линейно независимыми векторами и,vЕR2 . Чтобы сделать это, выберем в R 2 естественный упорядоченный базис {е;}, i=l,2, ивыпишем и=и1 е1 +u2 e2 , v=v1e1 +v2 e2 • Рассмотрим матричное соотношение ( U·U U·V]=(ul Иz][И1 V1] v.и v.v V1VzUzV2 и получим из него, что Vl Vz Так как последний определитель имеет тот же знак, что и базис {и, v}, мы можем сказать, что А положителен или отрицателен в соответствии с тем, положительна или отрицательна ориентация {и, v}. Он называется ориен- тированной площадью в R 2 . 11. а. Докажите, что объём V параллелепипеда, порождаемого тремя линейно независимыми векторами и, v, wE R 3 , находится по формуле V = 1(ил v) · w 1, и введите ориентированный объём в R 3 . Ь. Докажите, что V2 = v.и v·v и·l V·W. w· И·И И·V w·и w·v
КРИВЫЕ 29 Докажите, что для данных векторов v # О и w существует такой вектор и, что ил v = w тогда и только тогда, когда v ортогонален w. Является ли вектор и однозначно определённым? Если нет, каково общее решение? 13. Пусть и(t) = (и1 (t), и2 (t), и3 (t)) и v(t) = (v1(t), v2 (t), v3 (t)) - дифферен­ цируемые отображения интервала (а, Ь) в R 3 . Покажите, что если произ­ водные u'(t) и v'(t) удовлетворяют условиям u'(t) =С1И(t) +CzV(t), v'(t) =С3И(t)- clv(t), где с1 , с2 и с3 - постоянные, то u(t) /\ v(t) - постоянный вектор. 14. Найдите все единичные векторы, (2, 2, 1) и параллельны плоскости, которые перпендикулярны вектору определяемой точками (О, О, О), (1, - 2,1),(-1,1,1). 1.5. Локальная теория кривых, параметризованных длиной дуги Этот раздел содержит главные результаты теории кривых, которые будут использованы в последующих частях книги. Пусть а:1=(а,Ь)~R3 - кривая, параметризованная длиной ду­ ги s. Так как касательный вектор a'(s) имеет длину 1, норма 1a"(s)1 вто­ рой производной является мерой скорости изменения угла, который сосед­ ние касательные образуют с касательной в точке s. 1a"(s)1 даёт, следова- тельно, меру скорости отклонения кривой в окрестности точки s от касательной в точке s (см. рис. 1.14). Это подсказывает следующее опре­ деление. Определение. Пусть а : 1~ R 3 - кривая, параметризованная длиной дуги s Е /.Число 1а" (s)I = k{s) называется кривизной а в точке s. Если а - прямая линия, a(s) = us + v, где и и v - постоянные век­ торы (lиl=l); тогда k=O. Обратно, если k=la...(s)l=O, то интегрировани­ ем получаем a(s) = us + v, и кривая является прямой линией. Заметьте, что при изменении ориентации касательный вектор меняет направление на противоположное, то есть если /3(-s) = a(s), то d/3 da - -( -s) =--(s). d(-s) ds
30 ГЛАВА 1 a'(s) a"(s) Рисунок 1.14 Следовательно, a"(s) и кривизна остаются неизменными при замене ори­ ентации. В точках, где k(s) -:t:. О, единичный вектор п(s), сонаправленный с век- тором a"(s), вполне определяется равенством a"(s) = k(s)п(s). Кроме того, a'(s) ортогонален a'(s), так как в результате дифференцирования тождест­ ва a'(s)·a'(s)=l получаем a'(s)·a'(s)=O. Таким образом, п(s) ортогона­ лен a'(s) и назьmается нормальным вектором в точке s. Плоскость, опре­ деляемая единичными касательным и нормальным векторами a'(s) и п(s), назьmается соприкасающейся rиюскостью в точке s (См. рис. 1.15.) В точках, где k(s) =О, нормальный вектор (и, следовательно, сопри- касающаяся плоскость) не определён (ер. упражнение 10). Чтобы работать с локально аналитическими кривыми, нам нужна, естественно, соприка­ сающаяся плоскость. Поэтому удобно говорить, что s Е I есть особая точ­ ка порядка 1, если a'(s) =О (в этом контексте точки, где a'(s) =О, называ- ются особыми точками порядка О). В дальнейшем мы будем ограничиваться кривыми, параметризован­ ными длиной дуги, без особых точек порядка 1. Будем обозначать t(s) = a'(s) единичный касательный вектор к а в точке s. Следовательно, t'(s) = k(s)п(s).
КРИВЫЕ 31 Рисунок 1.15 Единичный вектор b(s) = t(s) л n(s) перпендикулярен соприкасаю­ щейся плоскости и будет называться бинормальным вектором в точке s. Так как b(s) - единичный вектор, длина 1b'(s)1 является мерой скорости изменения соседних соприкасающихся плоскостей относительно соприка­ сающейся плоскости в точке s; то есть b'(s) является мерой скорости от­ клонения кривой от соприкасающейся плоскости в точке s в окрестности точки s (см. рис. 1.15). Чтобы вычислить b'(s), заметим, что, с одной стороны, b'(s) ортого- нален b(s) и, с другой стороны, b'(s) =t'(s) л n(s) + t(s) л n'(s) =t(s) л n'(s), то есть b'(s) ортогонален t(s). Отсюда следует, что b'(s) коллинеарен n(s), и мы можем записать равенство b'(s) = т(s)n(s) для некоторой функции -r(s). (Предостережение. Многие авторы пишут --r(s) вместо -r(s).) Определение. Пусть а : 1~ R 3 - такая кривая, параметризованная длиной дуги s, что а' (s);t: О, SE 1. Число - r(s), определяемое равенством Ь' (s) = т(s)n(s), называется кручением а в точке s. Если а - плоская кривая (то есть а(!) содержится в плоскости), то плоскость кривой совпадает с соприкасающейся плоскостью; следователь­ но, 'Z" =О. Обратно, если ' Z" =О (а k :;t: О), получаем, что b(s) =Ь0 =const, и потому (a(s) ·Ь0)'= a'(s) ·Ь0 =О.
32 ГЛАВА 1 Отсюда следует, что a(s) · Ь0 = const; следовательно, a(s) содержится в плоскости, перпендикулярной Ь0 . Условие, что всюду k *О, здесь суще­ ственно. В упражнении 10 мы дадим пример, где т можно определить так, что оно будет тождественным нулём, но кривая не является плоской. В отличие от кривизны, кручение может быть положительно или от­ рицательно. Знак кручения имеет геометрическую интерпретацию, которая будет дана позже (раздел 1.6). Заметьте, что при изменении ориентации вектор бинормали меняет знак, так как Ь = t л п. Отсюда следует, что b'(s) и, следовательно, круче­ ние остаются неизменными при замене ориентации. Подведём итог. Каждому значению параметра s мы сопоставили три ортогональных единичных вектора t(s), п(s), b(s). Репер, образованный таким образом, называется репером Френе в точке s. Производные t'(s) = k п, b'(s) = тп векторов t(s) и b(s), разложенные по базису {t, п, Ь}, порождают геометрические объекты (кривизна k и кручение т), которые дают нам информацию о поведении а в окрестности точки s. Поиск других локальных геометрических объектов должен привести нас к вычислению п'(s). Однако, поскольку п = Ь л t, п'(s) =b'(s) л t(s) + b(s) л t'(s) = -т b-kt, и мы получаем снова кривизну и кручение. Щrя дальнейшего использования назовём равенства t'=kп, п' =-kt-тb, Ь'=тп формулами Френе (для удобства мы опустили s). В этом изложении при­ нята следующая терминология. t, Ь-плоскость называется спрямляющей rиоскостью, а п, Ь-плоскость называется нормШ1ьной rиоскостью. Пря­ мые, которые содержат п(s) и b(s) и проходят через точку a(s), называ­ ются главной нормШ1ью и бинормШ1ью соответственно. Величина R = 1/k, обратная кривизне, называется радиусом кривизны. Конечно, окружность радиуса r имеет радиус кривизны, равный r, что можно легко проверить. С физической точки зрения мы можем представлять кривую в R 3 по­ лученной из прямой линии изгибанием (кривизна) и скручиванием (круче­ ние). Размышления об этой конструкции приводят нас к следующему ут­ верждению, которое, говоря упрощённо, показывает, что k и т полностью описывают локальное поведение кривой.
КРИВЫЕ 33 Основная теорема локальной теории кривых. Для заданных диф­ ференцируемых функций k(s) >О и т(s), sE !, существует такая регулярная параметризованная кривая а: 1~R 3 , что s является длиной дуги, k(s) - кривизной и т(s) - кручением а. Кроме того, любая другая кривая ii, удовлетворяющая тем же условиям, отличается от а дви:ж:ением, то есть существуют ортогональное линейное преобразование р простран- ства R 3 с положительным детерминантом и такой вектор с, что а=роа+с. Вышеприведенное утверждение верно. Полное доказательство ис­ пользует теорему существования и единственности решений обыкновен­ ных дифференциальных уравнений и будет дано в приложении к главе 4. Однако доказательство единственности, с точностью до движения, кривых, имеющих одни и те же s, k(s) и т(s), просто и может быть приведено здесь. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ в основной ТЕОРЕМЕ. Заметим, прежде всего, что длина дуги, кривизна и кручение инвариантны относи- тельно движений; это означает, например, что если М: R 3 ~ R 3 - дви­ жение и а= a(t) - параметризованная кривая, то Это не вызывает сомнения, поскольку эти понятия определены с помощью скалярного или векторного произведения некоторых производных (произ­ водные инвариантны относительно переносов, а скалярное и векторное произведения выражаются через длины и углы между векторами и, таким образом, также инвариантны относительно движений). Тщательную про­ верку можно предоставить в качестве упражнения (см. упражнение 6). Предположим теперь, что две кривые а= a(s) и а= a(s) удовлетво- ряют условиям k(s)==k(s) и т(s)=f(s), sEI. Пусть t 0,n0,b0 иfo,n0,Ь0- реперыФреневточке s=s0ЕI кривых а и'ii соответ­ ственно. Очевидно, существует движение, которое переводит 'ii(s0 ) в a(s0 ) и fo,n0 };0 в t0 ,п0 ,Ь0 . Таким образом, после применения этого движения к а получаем, что 'ii(so) = a(so), и реперы t(s), п(s), b(s) и t(s), n(s), b(s) кривых а и 'ii соответственно удовлетворяют уравнени­ ям Френе: dt =kn ds ' di k- -= п ds '
34 ГЛАВА 1 dn diik-_ -=-kt-тb -=- t- тп ds ' ds ' db -=тп ds ' db- -=тп ds при условиях t(so) = 7(so), n(so) = n(so), b(so) = b(so). Заметим теперь, используя уравнения Френе, что 1d -2 -2 -2 -- {lt-t 1 +ln-n 1 +lb-b 1}= 2ds =(t-7, t' -t')+(n-n, п' -n') +(Ь-Ь, Ь' -Ь') = =k(t-7, n-n)-k(n-n, t-7)-т(п-n, ь-ь)+т(Ь-Ь, п-n)=О для любого s Е /. Следовательно, рассматриваемое выражение постоянно, и, поскольку оно равно нулю при s = s 0 , оно тождественно равно нулю. Отсюда следует, что t(s)=7(s),n(s)=ii(s),b(s)=b(s) при любом sE /. Так как da - аа --t-t -- ds- - -ds' получаем (d/ds)(a-a)=O. Таким образом, a(s)=a(s)+a, где а - по­ стоянный вектор. Так как a(s0 ) = a(s0 ), то а= О; следовательно, a(s) = '(j_(s) ДЛЯ всех SE /,ЧТО И требовалось доказать. Замечание 1. В частном случае плоской кривой а : 1 ~ R 2 кривиз­ не k можно приписать знак. Для этого выберем естественный базис (см. раздел 1.4) R 2 и определим нормальный вектор n(s), sE /, требуя, чтобы базис {t(s), n(s)} имел такую же ориентацию, как базис {е1 , е2 }. То­ гда кривизна k определяется равенством dt =kn ds и может быть как положительной, так и отрицательной. Ясно, что 1 k 1 сов­ падает с предыдущим определением кривизны и что k меняет знак, когда мы изменяем ориентацию а или ориентацию R 2 (рис. 1.16). Следует также заметить, что в случае плоской кривой (т = О) доказа­ тельство основной теоремы, упомянутое выше, на самом деле очень про­ стое (см. упражнение 9).
КРИВЫЕ 35 Замечание 2. Если дана регулярная параметризованная кривая а: 1~R 3 (необязательно параметризованная длиной дуги), можно полу­ читькривую fЗ:J~R3 , параметризованную длиной дуги, которая имеет тот же самый след, что и а. В самом деле, пусть 1 s=s(t)= fid(t)ldt, t,t0 EI. ;, п ·ь_е, п Рисунок 1.16 Так как ds/dt = 1d(t)1 "#О, функция s = s(t) имеет дифференцируемую об­ ратную t = t(s), s Е s(/) = J, где t, с некоторой вольностью обозначений, также обозначает обратную функцию s- 1 от s. Положим теперь /З = =аоt:J~R3 . Очевидно, fJ(J) =а(/) и 1/J'(s)1=1 d(t) · ( dt/ds) 1=1. Это показывает, что fЗ имеет тот же след, что и а, и параметризована длиной дуги. Обычно говорят, что fЗ - натуральная параметрuзация а(/). Этот факт позволяет распространить все локальные понятия, введён­ ные прежде, на регулярные кривые с произвольным параметром. Так, мы говорим, что кривизна k(t) кривой а: 1 ~ R 3 в точке t Е 1 есть кривизна натуральной параметризации fЗ : J ~ R 3 кривой а в соответствующей точке s = s(t). Это определение, очевидно, не зависит от выбора fЗ и по­ казывает: то, что в конце раздела 1.3 мы ограничились рассмотрением только кривых, параметризованных длиной дуги, несущественно. Часто в приложениях бьmает удобно иметь явные выражения гео­ метрических объектов в терминах произвольной параметризации; мы при­ ведём некоторые из них в упражнении 12.
36 ГЛАВА 1 УПРАЖНЕНИЯ Если не оговорено иное, а: 1 ~ R 3 есть кривая, параметризованная длиной дуги s, с кривизной k(s) *О при любом s Е 1. 1. Для данной параметризованной кривой (винтовая линия) a(s) =(acos~. asin~, ь~). SE R, с с с где с2 =а 2 +Ь 2 ' а) покажите, что параметр s является длиной дуги; Ь) найдите кривизну и кручение а; с) найдите соприкасающуюся шюскость а; d) покажите, что прямые, содержащие п(s) и проходящие через a(s), пе­ л ресекают ось z под постоянным углом, равным l; е) покажите, что касательные к а образуют постоянный угол с осью z. 2*. Покажите, что кручение т кривой а находится по формуле т(s)= a'(s)лa'(s)-a...(s). 1k(s)1 2 3. Предположите, что a(J) cR 2 (т. е. а - плоская кривая) и припишите знак k, как в тексте. Перенесите векторы t(s) параллельно самим себе так, чтобы начала t(s) совпали с началом координат R 2 ; концы t(s) опишут тогда параметризованную кривую s ~ t(s), называемую индикатрисой ка- сательных а. Пусть fJ(s) -угол от е1 до t(s) в ориентации R 2 . Докажите (а) и (Ь) (заметьте, что предполагается k *О). а. Индикатриса касательных является регулярной параметризованной кривой. Ь. dt/ds=(dfJ/ds)п, то есть k=dfJ/ds.
КРИВЫЕ 37 4*. Предположите, что все нормали параметризованной кривой проходят через фиксированную точку. Докажите, что след кривой лежит на окруж­ ности. 5. Регулярная параметризованная кривая а обладает тем свойством, что все её касательные проходят через фиксированную точку. а. Докажите, что след а есть прямая или её отрезок. Ь. Сохраняется ли по-прежнему заключение части (а), если а не является регулярной? 6. Сдвигом на вектор v в R 3 называется отображение А: R 3 ~ R 3 , задан­ ноеравенством А(р)=р+v, рЕR3 . Линейное отображение р: R 3 ~ R 3 называется ортогональным преобразованием, если р и · р v = и · v для лю­ бых векторов и,vЕR3 . Дви:ж:ением в R 3 называется композиция сдвига и ортогонального преобразования с положительным детерминантом (это последнее условие включено для того, чтобы движение сохраняло ориен­ тацию). а. Покажите, что длина вектора и угол (} между двумя векторами, О:::::(}::::: л, инвариантны относительно ортогональных преобразований с по­ ложительным детерминантом. Ь. Покажите, что векторное произведение двух векторов инвариантно от­ носительно ортогональных преобразований с положительным детерминан­ том. Останется ли утверждение верным, если опустить условие, налагае­ мое на детерминант? с. Покажите, что длина дуги, кривизна и кручение параметризованной кри­ вой (когда они определены) инвариантны относительно движений. 7*. Пусть а:!~R2 - регулярная параметризованная кривая (параметр произвольный); определите п = n(t) и k = k(t), как в замечании 1. Предпо­ ложим, что k(t) *О, tE !. При этих условиях кривая 1 fJ(t)=a(t)+-n(t), tE !, k(t) называется эволютой а (рис. 1.17).
38 ГЛАВА 1 а. Покажите, что касательная в точке t эволюты а является нормалью к а в точке t. Ь. Рассмотрите нормали а в двух соседних точках t1, t2 , t 1 :Р t2 • Ус­ тремите t 1 к t2 и покажите, что точки пересечения нормалей сходятся к точке следа эволюты а. 8. След параметризованной кривой (параметр- произвольный) a(t)=(t, cht), tЕR, называется цепной линией. Рисунок 1.17 а. Покажите, что снабжённая знаком кривизна (см. замечание l) цепной линии равна l k(t)=-2. cht Ь. Покажите, что эволюта (см. упражнение 7) цепной линии есть кривая fJ(t) =(t- shtcht,2cht). 9. Покажите, что для заданной дифференцируемой функции k(s), SE !, па­ раметризованная плоская кривая, имеющая кривизну k(s) = k, задаётся ра­ венством а (s) = ~ cosO(s)ds+ а, j sinO(s)ds+b), где B(s) = fk(s)ds + tp,
КРИВЫЕ 39 и что кривая определена с точностью до сдвига на вектор (а, Ь) и поворота на угол rp. 1О. Рассмотрите отображение ! (t, О,е-111\ t >О, a(t) = (t, e- 1/t2, О), t <О, (О, О, О), t =О. а. Докажите, что а - дифференцируемая кривая. Ь. Докажите, что а регулярна при всех t, кривизна k(t) "#О при t "#О, t -т. ±.J2!3 и k(O) =О. с. Покажите, что предельное положение соприкасающейся плоскости при t ---+ О, t > О, есть плоскость у = О, но предельное положение соприкасаю- щейся плоскости при t---+ О, t <О, есть плоскость z =О (это означает, что нормальный вектор не является непрерывным в точке t =О, и показывает, почему мы исключили точки, где k =О). d. Покажите, что т можно определить так, что т =О, даже когда а не яв­ ляется плоской кривой. 11. Плоская кривая часто задаётся в полярных координатах уравнением р=р(В), а~В~Ь. а. Покажите, что длина дуги равна s:~р2 + (р')2 dB, где штрих означает производную по В. Ь. Покажите, что кривизна находится по формуле 2( ')2 " 2 k(B)= р -рр +р {(р')2 + р2} 3/2 12. Пусть а: 1---+ R 3 - регулярная параметризованная кривая (необяза­ тельно длиной дуги), и пусть fJ: J ---+ R 3 - параметризация a(J) длиной дуги s = s(t), измеряемой от точки t0 Е 1 (см. замечание 2). Пусть
40 ГЛАВА 1 t = t(s) - обратная функция s; положим da/dt =а', d 2а/ dt 2 =а" ит.д. Докажите, что Ь) кривизна а в точке t Е I равна k(t)=1а'ла"1. ldl3 ' с) кручение а в точке t Е I равно т(t)= (d ла")·а"'. la' лa"lz ' d)еслиа:I~R2 - IUiocкaя кривая, a(t) = (x(t), y(t)), то снабжённая зна­ ком кривизна (см. замечание 1) кривой а в точке t равна k() ху"-хУ 1 = ((х')2 +(у')2)з/2 · 13*. Предположим, что т(s);еО и k(s);eO для всех sE !. Покажите, что необходимое и достаточное условие того, что а(!) лежит на сфере, имеет вид R2 +(R') 2 T2 =const, гдеR=l/k,Т=1/т,иR' - производная R по s. 14.Пустьа:(а,Ь)~R2 - регулярная параметризованная кривая. Пред­ положим, что существует такая точка t0 , а< t0 < Ь, что расстояние 1a(t)1 от начала координат до точки следа а максимально в точке t0 . Дока­ жите, что кривизна k кривой а в точке t0 удовлетворяет условию 1k(to)1~1/1a(to)1- 15*. Покажите, что знание вектор-функции Ь = b(s) (вектор бинормали) кривой а с ненулевым всюду кручением определяет кривизну k(s) и абсо­ лютную величину кручения т(s) кривой а. 16*. Покажите, что знание вектор-функции п = n(s) (нормальный вектор) кривой а с ненулевым всюду кручением определяет кривизну k(s) икру­ чение т(s) кривой а.
КРИВЫЕ 41 17. Кривая а. называется обобщённой винтовой линией, если касатель­ ные а. образуют постоянный угол с фиксированным направлением. Пред­ положите, что т(s) *О, s Е 1, и докажите, что а*) а. является обобщённой винтовой линией тогда и только тогда, когда k/r=const; Ь*) а. есть обобщённая винтовая линия тогда и только тогда, когда пря­ мые, содержащие n(s) и проходящие через точку a.(s), параллельны фик­ сированной плоскости; с*) а. есть обобщённая винтовая линия тогда и только тогда, когда пря­ мые, содержащие b(s) и проходящие через точку a.(s), образуют постоян­ ный угол с фиксированным направлением; d) кривая а.(s) = (!!_fsin B(s)ds, !!_ fcos B(s)ds, E..s), с с с где а2 =Ь 2 +с 2 , есть обобщённая винтовая линия, и k/r = Ь/ а. 18*. Пусть а.: 1~R 3 - параметризованная кривая (необязательно длиной дуги) с k(t) *О, r(t) *О, t Е 1. Кривая а. называется кривой Бертрана, если существует такая кривая а : 1 ~ R 3 ' ЧТО нормали а. и а в точке tЕ1сов­ падают. В этом случае а называется парой Бертрана кривой а., и мы мо­ жем записать, что ii(t) = a.(t) + r n(t). Докажите, что а) r является константой; Ь) а. является кривой Бертрана тогда и только тогда, когда существует ли­ нейная зависимость Ak(t)+Br(t)=l, tE !, где А, В - ненулевые константы, а k и r - кривизна и кручение а. соот­ ветственно;
42 ГЛАВА 1 с) если а имеет более одной пары Бертрана, она имеет бесконечное мно­ жество пар Бертрана. Этот случай имеет место тогда и только тогда, ко­ гда а является цилиндрической винтовой линией. 1.6. Локальный канонический вид• Один из наиболее эффективных методов решения задач геометрии со­ стоит в отыскании системы координат, которая соответствует задаче. При исследовании локальных свойств кривой в окрестности точки s мы имеем естественную систему координат, а именно репер Френе в точке s. Поэто­ му удобно отнести кривую к этому реперу. Пусть а : 1 ~ R 3 - кривая, параметризованная длиной дуги, без осо­ бых точек порядка 1. Запишем уравнения кривой в окрестности точки s 0 , выбирая триэдр t(s0 ), n(s0 ), b(s0 ) в качестве базиса в R 3 . Мы можем пред­ полагать, не ограничивая общности, что s0 =О, и будем рассматривать разложение (конечное) по формуле Тейлора: , s2" sз ,,, a(s)=а(О)+sa(О)+-а (О)+-а (О)+R, 2 6 где lim R/s 3 =О.Таккака'(О)=t, а"(О) =kпи s-?0 d"'(O)=(kn)' = k'п+kп'=k'n-k 2 t-kтb, получаем, что a(s)-a(O)= s--- t+ -+- - n--kтb+R ( k 2 s 3 ) (s2k s 3 k') s 3 3! 2 3! З! ' где все функции вычислены в точке s =О. Выберем теперь систему координат Oxyz так, что начало координат совпадает с а(О) и t == (1, О, О), п ==(О, 1, О), Ь ==(О, О, 1). При этих условиях a(s) == (x(s),y(s),z(s)) задаётся уравнениями k2 sз x(s)=s---+R 6 Х' k k's 3 y(s) =-s 2 +--+ RY, 2 6 kт3 z(s)=--s +R 6 Z' ' Этот раздел может бытъ пропущен прн первом чтении. (1)
КРИВЫЕ 43 где R = (Rx, Ry, R,). Представление (1) называется локальным каноничес­ ким видом а в окрестности точки s =О. На рисунке 1.18 приведён упро­ щённый эскиз проекций следа а, при малых значениях s , на t п, t Ь и пЬ - плоскости. Ниже мы опишем некоторые геометрические приложения локального канонического вида. Дальнейшие приложения можно найти в упражнениях. Проекция на tп-плоскость ь ь Проекция на tЬ-плоскость Проекция на пЬ-плоскость Рисунок 1.18 Первым приложением является следующая интерпретация знака кру­ чения. Из третьего уравнения (1) следует, что если т <О и s достаточно ма­ ло, то z(s) возрастает вместе с s. Условимся называть «положительной сто­ роной» соприкасающейся плоскости ту сторону, куда направлен вектор Ь. Тогда, поскольку z(O) =О, когда мы описываем кривую в направлении воз­ растания длины дуги, кривая будет пересекать соприкасающуюся плоскость в точке s =О, направляясь в положительную сторону (см. рис. 1.19). Если, напротив, т > О, кривая (описываемая в направлении возрастания длины ду­ ги) будет пересекать соприкасающуюся плоскость, направляясь в сторону, противоположную положительной стороне.
44 ГЛАВА 1 -- Оrрицzгелъное кручение Положительное кручение Рисунок 1.19 Винтовая линия в упражнении 1 раздела 1.5 имеет отрицательное круче­ ние. Примером кривой с положительным кручением является винтовая линия a(s) =(а cos~, а sin~, -ь~), с с с получеIПiая из первой отражением относительно х z-плоскости (см. рис. 1.19). Замечание. Принято также определять кручение равенством Ь' == -т п. При таком определении кручение винтовой линии в упражнении 1 стано­ вится положительным. Другим следствием канонического вида является существование такой окрестности J с! точки s =О, что a(J) полностью находится с одной сто­ роны спрямляющей плоскости, куда направлен вектора п (см. рис. 1.18). Действительно, поскольку k >О, при достаточно малых s, мы получаем у~ О, у= О тогда и только тогда, когда s =О. Это доказывает наше утвер­ ждение. В качестве последнего приложения канонического вида упомянем сле­ дующее свойство соприкасающейся плоскости. Соприкасающаяся плос­ кость в точке s является предельным положением плоскости, определяемой касательной в точке s и точкой a(s + h), когда h ~О. Чтобы доказать это, предположим, что s =О. Таким образом, каждая плоскость, содержащая касательную в точке s =О, имеет вид z =су или у= О. Плоскость у= О есть спрямляющая плоскость, которая, как мы видели выше, не содержит ни одной точки вблизи а(О) (кроме самой а(О)) и потому может быть ис­ ключена из рассмотрения. Условием того, что плоскость z = су проходит через точку s + h, является равенство (s ==О) k3 z(h) -бтh + ... с= -- = --~---- y(h)k2k 2 3 ~h +-h +... 2 6
КРИВЫЕ 45 Устремляя h ~О, мы видим, что с~ О. Поэтому предельным положением плоскости z(s) = c(h)y(s) является плоскость z =О, то есть соприкасаю­ щаяся плоскость, что и требовалось. УПРАЖНЕНИЯ 1.Пусть а:I~R3 - кривая, параметризованная длиной дуги с кри­ визной k(s) #О, s Е I. Пусть Р - плоскость, удовлетворяющая следую­ щим условиям. 1) Р содержит касательную в точке s; 2) для любой заданной окрестности J с 1 точки s существуют точки a(J) по обе стороны Р. Докажите, что Р есть соприкасающаяся плоскость а в точке s. 2. Пусть а : 1 ~ R 3 - кривая, параметризованная длиной дуги, с кри- визной k(s) #О, s Е J. Покажите, что а*) соприкасающаяся плоскость в точке s является предельным положе­ нием плоскости, проходящей через точки a(s), a(s + h1), a(s + ~), при h,,~ ~О; Ь) предельным положением окружности, проходящей через a(s), a(s + h1), a(s + h2 ), при h1, ~~О является окружность в соприкасающейся плоско­ сти в точке s, центр которой лежит на прямой, содержащей n(s), а радиус равен радиусу кривизны Ijk(s); эта окружность называется соприкасаю­ щейся окруж:ностью в точке s. 3. Покажите, что кривизна k(t) if:. О регулярной параметризованной кривой а:1~R3 равна кривизне вточке t плоскойкривой 7fоа,где 7f - орто­ гональная проекция ана соприкасающуюся плоскость в точке t. 1.7. Глобальные свойства плоских кривых* В этом разделе мы хотим изложить некоторые результаты, которые принадлежат глобальной дифференциальной геометрии кривых. Даже ' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.
46 ГЛАВА! в простом случае rшоских кривых предмет уже предлагает примеры нетри­ виальных теорем и интересных задач. Чтобы изложить материал здесь, мы должны сообщить некоторые факты без доказательства; мы постараемся быть аккуратными, точно формулировать эти резуЛьтаты. Хотя мы намере­ ны позднее вернуться, в более систематической манере изложения, к гло­ бальной дифференциальной геометрии (глава 5), мы уверены, что это ран­ нее представление предмета является и стимулирующим, и обучающим. Этот раздел содержит три темы в порядке возрастания трудности: (А) изопериметрическое неравенство, (В) теорема о четырёх вершинах и (С) формула Коши-Крофтона. Темы совершенно независимы, и некоторые из них или все можно опустить при первом чтении. Дифференцируемой функцией на отрезке [а, Ь] называется ограниче­ ние дифференцируемой функции, определённой на интервале, содержащем [а,Ь]. Замкнутой плоской кривой называется такая регулярная параметризо­ ванная кривая а: [а, Ь] ~R 2 , что а и все её производные совпадают вточкахаиЬ,тоесть а(а) = а(Ь), а'(а) = а'(Ь), а"(а) = а"(Ь), ... Кривая а называется простой, если она не имеет самопересечений, то есть если t1, t2 Е [а,Ь), t1 * t2, то a(t1) *a(t2) (рис. 1.20). Обычно мы рассматриваем кривую а: [О, /] ~ R 2 , параметризован­ ную длиной дуги s; следовательно, / есть длина а. Иногда мы гово­ рим о простой замкнутой кривой, подразумевая след такой кривой. Кри­ визна а будет рассматриваться со знаком, как в замечании 1 раздела 1.5 (см. рис. 1.20). Простая замкнутая кривая Замкнутая (не простая) кривая Рисунок 1.20
КРИВЫЕ Внуrренность С \ (а) Простая замкнутая кривая С на торе Т. С не ограничивает никакой области на Т (Ь) С положительно ориентирована Рисунок 1.21 47 Мы предполагаем, что простая замкнутая кривая С в 1V1оскости огра­ ничивает область этой 1V1оскости, которая называется внутренностью С. Это часть так называемой теоремы о жордановой кривой (доказательство будет дано в разделе 5.6, теорема 1), которая не выполняется, например, для плоских кривых на торе (поверхность бублика; рис. 1.20, а). Всегда, когда мы говорим о площади, ограниченной простой замкнутой кривой С, мы подразумеваем площадь внутренности С. Мы предполагаем далее, что параметр простой замкнутой кривой можно выбрать так, что если идти вдоль кривой в направлении возрастания параметра, то внутренность кри­ вой останется слева (рис. 1.21, Ь). Такая кривая будет называться поло:жи­ тельно ориентированной. А. Изопериметрическое неравенство Это, возможно, старейшая глобальная теорема дифференциальной гео­ метрии, и связана она со следующей (изопериметрической) задачей. Какая из всех простых замкнутых кривых в плоскости с заданной длиной Z огра­ ничивает наибольшую lVIОЩадь? В этой формулировке задача была извест­ на грекам, которые знали также решение, а именно окружность. Дrrитель­ ное время потребовалось, однако, чтобы появилось удовлетворительное доказательство. Главной причиной кажется то, что первоначальные дока­ зательства предполагали существование решения. Только в 1870 году К. Вейерштрасс указал на то, что многие подобные задачи не имеют реше­ ния, и дал полное доказательство существования решения изопериметри­ ческой задачи. Доказательство Вейерштрасса было довольно трудным в том смысле, что оно было следствием теории, разработанной им для применения к задачам максимизации (или минимизации) некоторых инте­ гралов (эта теория называется вариационным исчислением, и изопе-
48 ГЛАВА 1 риметрическая задача является типичным примером задач, с которыми оно имеет дело). Позднее были найдены более непосредственные доказательст­ ва. Простое доказательство, которое мы приведём, принадлежит Е. Шмидту (J 939). О других прямых доказательствах и дополнительной библиографии по этой теме можно узнать из работы [10) в списке литературы. Мы будем использовать следующую формулу площади А, ограни­ ченной положительно ориентированной простой замкнутой кривой a(t) = (x(t),y(t)), где t Е [а, Ь] - произвольный параметр: ь ь ь А= -J y(t)x'(t) dt = Jx(t)y'(t) dt = ~J(х у'- ух') dt. (l) а а а Обратите внимание, что вторая формула получается из первой, если заме­ тить, что ь ь ь ь ь Jху' dt = J(ху)'dt- Jх'ydt =[ху(Ь)-ху(а)]- Jх' ydt =-J х' ydt, так как кривая замкнутая. Третья формула непосредственно следует из первых двух. Чтобы вывести первую формулу в (1), рассмотрим сначала показанный на рисунке 1.22 случай, когда кривая образована двумя прямолинейными отрезками, параллельными оси у, и двумя дугами, которые можно задать в виде у t=a,t=b t=t , t=t, Рисунок 1.22
КРИВЫЕ 49 Очевидно, площадь, ограниченная кривой, равна Xj Xj А= ffi(x)dx- ff 2 (x)dx. Хо Так как кривая положительно ориентирована, получаем, в обозначениях рис. 1.22, 11 13 ь А =-f y(t)x'(t)dt- fy(t)x'(t)dt =-f y(t)x'(t)dt, а lz а так как x'(t) =О вдоль отрезков, параллельных оси у. Это доказывает ра­ венство (1) в данном случае. Чтобы доказать равенство в общем случае, необходимо показать, что область, ограниченную кривой, можно разбить на конечное число областей рассмотренного выше типа. Очевидно, это возможно (рис. 1.23), если су­ ществует такая прямая Е в плоскости, что расстояние p(t) от a(t) до этой прямой является функцией с конечным числом критических точек (критическая точка - это точка, где p'(t) =О). Последнее утверждение верно, но мы не будем вникать в его доказательство. Заметим, однако, что (1) можно получить также с помощью теоремы Стокса (Грина) для плос­ кости (см. упражнение 15). у Е о Рисунок 1.23 Теорема 1 (Изопериметрическое неравенство). Пусть С - простая замкнутая плоская кривая длины l и А - площадь области, ограни­ ченной С. Тогда !2 - 4лА~о (2) и равенство выполняется тогда и только тогда, когда С есть окруж­ ность.
50 ГЛАВА 1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем две параллельные прямые Е и Е', кото­ рые не пересекают замкнутую кривую С, и будем перемещать обе до пер­ вого пересечения с С. Таким образом, мы получаем две параллельные ка­ сательные L и L' к С, так что кривая полностью содержится в полосе, ог- раниченной L и L'. Рассмотрим окружность S 1 , которая касается L и L' и не пересекает С. Обозначим буквой О центр окружности и выберем систему с началом в точке О и осью х, перпендикулярной L и L' (рис. 1.24). Параметризуем С длиной дуги, a(s) = (x(s),y(s)), так, чтобы она бьша положительно ориентирована и точками касания L и L' были точки s =О и s = sP соответственно. Е Е Рисунок 1.24 Мы можем считать, что уравнение S 1 есть ii(s) = (x(s),.Y(s)) = (x(s),y(s)), s Е (0,/); при этом диаметр 2 r - расстояние между L и L'. Используя равенство (1) и обозначая символом 1 площадь, ограниченную s 1, получаем 1 l A=fxy'ds, A=яr 2 =-f.Yx'ds. о о Таким образом, 1 1 А+ яr2 = J(ху'- yx')ds ~J~(ху'- ух')2 ds ~ о о 1 1 ~ J~(х2 + у2)((х')2 + (у')2) ds == J~i2 + у2 ds == lr. (3) о о
КРИВЫЕ 51 Заметим теперь, что среднее геометрическое двух положительных чи­ сел не превосходит их среднего арифметического и равенство выполняется тогда и только тогда, когда они равны. Отсюда следует, что (4) Предположим теперь, что в (2) выполняется равенство. Тогда равенст­ во должно выполняться в (3) и (4). Из равенства в (4) следует, что А= Jrr 2 . Таким образом, Z= 21rr и r не зависит от выбора направления L. Кроме того, равенство в (3) означает, что или (хх'+уу') 2 =О, то есть ~ =_1'_ =+-.=~==х=2=+=у=2=_ ±r. у' х' ~(у')2 + (х')2 Таким образом, х = ±rу'. Так как r не зависит от выбора направле­ ния L, мы можем переставить х и у в последнем соотношении и получить у= ±rх'. Следовательно, и С есть окружность, что и требовалось доказать. Замечание 1. Легко проверить, что предыдущее доказательство мож­ но применить к С1 -кривым, то есть, кривым a(t)=(x(t),y(t)), /Е [а,Ь], для которых требуется только, чтобы функции x(t), y(t) имели непрерывные производные первого порядка (которые, конечно, совпадают в точках а и Ь, если кривая замкнутая). Замечание 2. Изопериметрическое неравенство остаётся верным для широкого класса кривых. Найдены прямые доказательства, которые рабо­ тают, пока мы можем определить длину дуги и площадь для рассматри­ ваемых кривых. ,для приложений удобно заметить, что теорема сохраняет­ ся для кусочно гладких С1 -кривых, то есть для непрерывных кривых, кото-
52 ГЛАВА 1 рые составлены из конечного числа дуг класса С1 • Эти кривые могут иметь конечное число .угловых точек, где касательная. не я.вля.ется. непре­ рывной (рис. 1.25). Кусочно гладкая С' -кривая Рисунок 1.25 В. Теорема о четырех вершинах Нам потребуются дополнительные сведения о плоских замкнутых кривых. Пусть а: [О,/] ~R 2 - плоская замкнутая. кривая, заданная. равенст­ вом a(s) =(x(s),y(s)). Так как s - длина дуги, касательный вектор t(s) = = (x'(s),y'(s)) имеет длину, равную 1. Удобно ввести касательную индика- трису t: [O,/)~R 2 , то есть отображение t(s)=(x'(s),y'(s)); это диффе­ ренцируемая. кривая, след которой находится на окружности радиуса 1 (рис. 1.26). Заметим, что вектор скорости касательной индикатрисы равен dt "() " -=(х s ,у (s))= ds =a(s)=kn, где п - нормальный вектор, ориентированный как в замечании 2 разде­ ла 1.5, а k есть кривизна а. Пусть B(s), О< B(s) < 2л, - угол, который t(s) образует с осью х; это означает, что x'(s) =cosB(s), y'(s) =sinB(s). Так как B(s) = arctg у'(s) x'(s)' функция В= B(s) локально корректно определена (то есть она корректно определена в малом интервале, содержащем любое s) как дифференци­ руемая функция и dt =!!__(cosB, sinB) =В'(-sinB, cos В)= В'п. ds ds
КРИВЫЕ 53 Это означает, что B'(s) = k(s), и позволяет глобально определить диффе­ ренцируемую функцию В: [О, !] ~ R, полагая Так как s B(s) = Jk(s)ds. q , ()' =k =ху" -х"у' =( arctg ~:), глобально определённая функция совпадает, с точностью до константы, с предыдущей локально определённой функцией В. Интуитивно B(s) есть мера полного поворота касательного вектора, то есть полного угла, описы­ ваемого точкой t(s) касательной индикатрисы, когда мы проходим кривую от точки О до точки s. Так как а замкнутая, этот угол кратен 2л, то есть 1 fk(s) ds = fJ(l)- В(О) = 2я!. о Число I называется индексом вращения кривой а. Рисунок 1.26 На рисунке 1.27 показаны некоторые примеры кривых с их индексами вращения. Заметим, что индекс вращения меняет знак, когда мы меняем ориентацию кривой. Кроме того, определение введено так, что индекс вра­ щения положительно ориентированной замкнутой кривой положителен. Важный глобальный результат, относящийся к индексу вращения, даёт следующая теорема, которая будет доказана в этой книге позже (раздел 5.6, теорема2). Теорема о вращении касательных. Индекс вращения простой замк­ нутой кривой равен ± 1, где знак зависит от ориентации кривой.
54 ГЛАВА 1 Регулярная плоская (необязательно замкнутая) кривая а: [а, Ь] ~ R 2 называется выпуклой, если при всех !Е [а, Ь] след а([а, Ь]) кривой а лежит в одной замкнутой полуплоскости, границей которой является касательная в точке t (рис. 1.28). Вершиной плоской регулярной кривой а: [а, Ь] ~ R 2 называется точ­ ка tE [а, Ь], где k'(t) =О. Например, эллипс с неравными осями имеет точ­ но четыре вершины, а именно точки пересечения эллипса с осями (см. уп­ ражнение 3). Интересным глобальным фактом является то, что это наи­ меньшее число вершин для всех замкнутых выпуклых кривых. Теорема 2 (теорема о четырёх вершинах). Простая замкнутая вы­ пуклая кривая имеет по крайней мере четыре вершины. Для доказательства нам потребуется лемма. Лемма. Пусть а: [О,/] ~ R 3 - плоская замкнутая кривая, парамет­ ризованная длиной дуги, и пусть А, В и С - произвольные вещественные числа. Тогда 1 dk J(Ах+ By+C)-ds =0, 0 ds (5) где функции х =x(s), у= y(s) заданы равенством a(s) = (x(s), y(s)) и k - кривизна а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ. Напомним, что существует такая дифферен­ цируемая функция О: [O,/]~R, что x'(s)=cosB, y'(s)=sinB. Таким обра­ зом, k(s) = B'(s) и х" = -kу', у"'= kx'. Следовательно, так как функции совпадают в точках О и/, 1 fk' ds=O, о 1 1 1 Jхk'ds = -J kх'ds = -Jу"'ds =О, о о о 1 1 1 Jyk'ds =-J ky'ds =J x"ds =0. о о о
s=O КРИВЫЕ Кривая Касгrельпая :индикатриса КасательНЗJ1 :индикатриса Рисунок 1.27 Выпуклые кривые Невыпуклые кривые Рисунок 1.28 55 s=O
56 ГЛАВА 1 ДоклзАтЕльство ТЕОРЕМЫ. Параметризуем кривую длиной дуги, а: [О,/]~ R 2 . Так как k = k(s) - непрерывная функция на отрезке [О,/], она достигает на [О,/] своих наибольшего и наименьшего значений (это фундаментальный факт теории вещественных функций; доказательство можно найти, например, в приложении к главе 5, предложение 1О). Следо­ вательно, а имеет по крайней мере две вершины a(s1) =р и a(s2 ) =q. Пусть L - прямая, проходящая через р и q, и пусть /З и r - две ду­ ги С, определяемые точками р и q. Мы утверждаем, что каждая из этих дуг лежит по одну сторону L. В противном случае С пересекает L в точке r, отличной от р и q (рис. 1.29, а). В силу выпуклости и того, что р, q, r - различные точки С, касательная в промежуточной точке, скажем р, должна совпадать с L. Вновь в силу выпуклости отсюда следует, что L касается С в трёх точках р, q и r. Но тогда касательная в точке вблизир (промежуточная точка) будет разделять точки q и r, если не весь отрезок rq прямой L ле­ жит на С (рис. 1.29, Ь). Это означает, что k =О в точках р и q. Так как они являются точками максимума и минимума k, то k =О на С, что про­ тиворечит условию. Пусть Ах+ Ву+ С= О -уравнение L. Если больше вершин нет, k'(s) сохраняет знак на каждой из дуг /З и r. Мы можем тогда выбрать знак всех коэффициентов А, В, С так, что интеrрал в равенстве (5) будет поло­ жительным. Это противоречие показывает, что существует третья вершина и k'(s) меняет знак на /З или r; скажем, на /J. Так как р и q - точки максимума и минимума, k'(s) меняет знак на /З дважды. Таким образом, существует четвёртая вершина, что и требовалось доказать. (Ь) (а) Рисунок 1.29
КРИВЫЕ 57 Теорема о четырёх вершинах бьша темой многочисленных исследо­ ваний. Теорема выполняется также для простых замкнутых (необязательно выпуклых) кривых, но доказательство труднее. Дополнительную литера­ туру по этой теме можно найти в [10]. Позже (см. раздел 5.6, предложение 1) мы докажем, что rиюская зам­ кнутая кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда она про­ стая и мо:J1Сет быть ориентирована так, что её кривизна поло:J1Сительна или равна нулю. Отсюда и из данного выше доказательства мы видим, что утверждение теоремы о четырёх вершинах можно сформулировать сле­ дующим образом. Кривизна замкнутой выпуклой кривой неотрицательна и либо постоянна, либо имеет по крайней мере два максимума и два мини­ мума. Тогда естественно спросить о том, характеризуют ли такие функции плоские кривые. Более точно, мы можем поставить следующий вопрос. Пусть k: [а, Ь] ~ R - такая дифференцируемая неотрицательная функ­ ция, что k вместе со всеми её производными принимает одно и то J/Ce значение в точках а и Ь. Предположим, что k либо постоянна, либо име­ ет по крайней мере два максимума и два минимума. Существует ли такая простая замкнутая кривая а : [а, Ь] ~ R 2 , что кривизна а в точке t рав­ на k(t)? В случае когда k(s) строго положительна, Н. Gluck ответил на этот вопрос утвердительно (см. Н. Gluck, "The Converse to the Four Vertex Theo- rem", L' Епsеigпетепt Matheтatiqиe Т. XVII, fasc. 3-4 (1971), 295-309). Его методы, однако, неприменимы в случае k ~О. С. Формула Коmи-Крофтона Наша последняя тема в этом разделе посвящена отысканию теоремы, которая, говоря упрощённо, описывает следующую ситуацию. Пусть С - регулярная кривая в плоскости. Рассмотрим все прямые в этой плоскости, которые пересекают С, и припишем каждой такой прямой кратность, ко­ торая является числом точек пересечения с С (рис. 1.30). Мы, прежде всего, хотим найти способ описания данного подмноже­ ства прямых в плоскости. То, что это возможно, не должно быть слишком неожиданным. В конце концов, мы введем меру (площадь) множества то­ чек плоскости. Коль скоро мы понимаем, что прямая может быть опреде­ лена двумя параметрами (например, р и (} на рис. 1.31), то мы можем представлять прямые линии в плоскости точками некоторой плоскости. Таким образом, всё, что мы хотим, - это найти «разумный» способ изме­ рения «площадей» в такой плоскости.
58 ГЛАВА 1 n=3 с Рисунок 1.30 . п -кратность соответствую- Рисунок 1.31. L задаётся посредст- щей прямой вомриВ Выбрав эту меру, мы хотим использовать её и найти меру множества прямых (с учётом кратности), которые пересекают С. Результат очень ин­ тересен и может быть сформулирован следующим образом. Теорема 3 (формула Коши-Крофтона). Пусть С - регулярная пло­ ская кривая длины !. Мера мно:нсества прямых (с учётом кратности), ко­ торые пересекают С, равна 21. Прежде чем начать доказательство, мы должны определить, что пони­ мать под разумной мерой множества прямых в плоскости. Прежде всего, выберем подходящую для такого множества систему координат. Прямая линия L в плоскости определяется расстоянием р ~ О от прямой L до на­ чала координат О и углом В, О~ В~ 2я, который луч с началом в О, пер­ пендикулярный L, образует с осью х (рис. 1.31 ). Уравнение L в терминах этих параметров, как легко видеть, есть xcosB+ ysinB= р. Таким образом, мы можем заменить множество всех прямых линий в плоскости множеством J!, = {(р,В)Е R 2; р~О, О~В<2я}. Мы покажем, что, с точностью до выбора единицы, существует только од­ на приемлемая мера этого множества. Чтобы решить, что мы будем считать приемлемым, рассмотрим более внимательно обычное измерение площадей в R 2 . Нам требуется определение. Дви:нсением R 2 называется отображение F : R 2 ~R2 , заданное как (х,.У) ~ (х,у), где (рис. 1.32) х=а+хcostp- уsintp, у=Ь+хsintp+уcostp. (6)
КРИВЫЕ о Рисунок 1.32 р ~ (х,у) ь 59 Далее, для определения площади множества S с R 2 рассмотрим двойной интеграл ffsdxdy, то есть интегрируем юлемент площади» dx dy по S. Когда этот интеграл существует в некотором смысле, мы говорим, что S измеримо, и опреде­ ляем площадь S как значение интеграла вверху. Сейчас и в дальнейшем мы будем предполагать, что все интегралы, присутствующие в нашем из­ ложении, существуют. Заметим, что мы могли бы выбрать какой-то иной элемент площади, скажем х у2 dx dy. Обоснованием выбора dx dy является то, что, с точно­ стью до множителя, это единственный элемент площади, который инвари­ антен относительно движений. Более точно, имеет место следующее пред­ ложение. Предложение 1. Пусть f(x, у) - непрерывная функция, опреде­ лённаявR2 . Для любого мно:жества S cR 2 определим площадь А мно­ :жества S равенством А (S)= ffs f(x,y)dxdy (конечно, мы рассматриваем только те мно:жества, для которых инте­ грШI существует). Предполо:жим, что А инвариантна относительно дви:жений, то есть если S - любое мно:жество и S =F- 1 (S),гдеF- дви:жение (6), то A(S)= Jf8 f(x,Y)dXdy = ffs f(x,y)dxdy =A(S). Тогда f(x,y)=const.
60 ГЛАВА! ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним формулу замены переменной в кратных интегралах (Buck, Advanced Calculus, р. 301, или упражнение 15 этого раз­ дела): (7) Здесь х =х(х, У), у =у(х, У) - функции с непрерывными частными про­ изводными, которые задают преобразование переменных Т: R 2 -:> R 2 , S=Г1(S), и д(х,у) = ~ ; дх д(х,У) ду ~ есть якобиан преобразования Т. В нашем частном случае преобразование является движением (6) и якобиан равен д(х,у) costp -sin~ д(х,у) = sinq:i соs<рг 1 · Используя этот факт и равенство (7), получаем HS' f(x(x, у), у(х, у)) dX «У= ffs f(x, у) dX t{Y. Так как это верно для любого S, f(x(x,Ji),y(x,Y)) = f(x,Y). Используем теперь тот факт, что для любой пары точек (х,у), (x,Ji) в R 2 существует такое движение F, что F(x,y) = (х,у). Таким образом, f(x,y) = (f о F)(x,y) = f(x,y) и f(x,y) =const, что и требовалось доказать. Замечание 3. Приведённое выше доказательство опирается на два факта: во-первых, что якобиан движения равен 1 и, во-вторых, что группа движений шюскости транзитивна, то есть для двух данных точек шюс­ кости существует движение, переводящее одну точку в другую. После этой подготовки мы можем окончательно определить меру во множестве J!., . За ме ти м, что движение (6) индуцирует преобразование .е.
КРИВЫЕ 61 Действительно, движение (6) отображает прямую х cos fJ +у sin fJ = р в прямую .Xcos(fJ-q:i) + ysin(B-q:i) =р- acosB-bsinB. Это означает, что преобразование, индуцированное (6) на .е, есть р= p-acosB-bsinB, Легко проверить, что якобиан этого преобразования равен 1 и что мно­ жество таких преобразований также транзитивно на множестве прямых плоскости. Определим теперь меру множества S с .е как ffsdpdB. Тем же способом, что в предложении 1, можно тогда доказать, что это, с точностью до множителя, единственная мера на .е, которая инвариантна относительно движений. Эта мера, таким образом, обоснованна настолько, насколько возможно. Мы можем теперь набросать доказательство теоремы 3. Схема доказательства теоремы 3. Предположим сначала, что кривая С является отрезком прямой длины l. Так как наша мера инвариантна отно­ сительно движений, мы можем считать, что началом координат О является середина отрезка С и что ось х имеет направление С. Тогда мера мно­ жества прямых, которые пересекают С, равна (см. рис. 1.33) JJ dp dB = s:"(J~cos&l(Z/ 2 )dp)de = s:"~ 1coseidB==21. у х х Рисунок 1.33
62 ГЛАВА! Далее, пусть С - ломаная, составленная из конечного числа отрез­ ков С; длины l; (f); =!). Пусть п = п(р, 8) - число точек пересечения прямой (р,8) с С. Тогда, суммируя результаты для каждого отрезка С;, получаем равенство Jf пdpdB=2Lt; =2t, (8) i то есть формулу Коши-Крофтона для ломаной. В заключение предельным переходом можно распространить преды­ дущую формулу на любую регулярную кривую, и это докажет теорему 3. Следует заметить, что общие идеи, связанные с этой темой, принад­ лежат ветви геометрии, известной под именем интегральной геометрии. Обзор темы можно найти в работе L. А. Santalo "Integral Geometry", Studies in Global Geometry and Analisis, edited Ьу S. S . Chem, The Mathematical As- sociation of America, 1967, 147-193. Формула Коши-Крофтона может быть использована во многих слу­ чаях. Например, если кривая не является спрямляемой (см. упражнение 9, раздел 1.3), но левая часть равенства (8) имеет смысл, его можно приме­ нить для получения эффективного способа аппроксимации длин кривых.* Рассмотрим семейство таких параллельных прямых, что две соседние прямые находятся на расстоянии r. Повернём это семейство на углы к/4, 2к/4, 3к/4, чтобы получить четыре семейства прямых. Пусть п - число точек пересечения кривой С со всеми этими прямыми. Тогда 1Jr -n r- 24 является аппроксимацией интеграла ~JfпdрdВ=длинаС и потому даёт оценку длины С. Чтобы иметь представление, насколько хо­ роша может быть эта оценка, разберём пример. Пример. Рисунок 1.34 есть изображение электронной микрографии циклической ДНК-молекулы, и мы хотим оценить её длину. Четыре семей­ ства прямых с расстоянием 7 миллиметров и углами к/4 нанесены на ри­ сунок (более практично бьmо бы иметь это семейство нарисованным раз 'Я хочу поблагодарить Роберта Гарднера за сообщение этого прююжения и следующего примера.
КРИВЫЕ 63 и навсегда на миллиметровой бумаге). Число точек пересечения оказыва­ ется равным 153. Таким образом, 11l1 3,14 -п-""-·153·-""60. 242 4 Рисунок 1.34. Воспроизведено из работы Н. Ris, В. С. Chandler, Cold Spring Har- bor Symp. Quant. Вiol. 28, 2 (1963), с разрешения Так как базисный отрезок на рисунке представляет 1 микрометр (=1о-6 метра) и составляет в нашем масштабе 25 миллиметров, r = 7/25, таким образом, длина этой ДНК-молекулы, по нашим расчётам, прибли­ жённо равна 60·(; 5 ) = 16,8 микрометра. Истинное значение равно 16,3 микрометра. УПРАЖНЕНИЯ 1*. Существует ли простая, замкнутая кривая в плоскости с длиной 6 фу­ тов, ограничивающая площадь в 3 квадратных фута? 2*. Пусть АВ - отрезок прямой и l больше длины АВ. Покажите, что кривая С, соединяющая А и В, с длиной l и такая, что вместе с АВ она ограничивает наибольшую возможную площадь, есть дуга окружности, проходящей через А и В (рис. 1.35).
64 ГЛАВА 1 L А р Рисунок 1.35 Рисунок 1.36 3. Вычислите кривизну эллипса x=acost, y=bsint, tE[0,2ir], а-:1-Ь, и покажите, что он имеет точно четыре вершины, а именно точки (а, О), (-а, О), (О, Ь), (О, -Ь). 4*. Пусть С - плоская кривая и Т - касательная в точке рЕ С. Прове­ дите прямую L, параллельную нормали в точке р на расстоянии d от р (рис. 1.36). Пусть h - длина отрезка, отсекаемого на L кривой С и касательной Т (таким образом, h есть «высота>> С относительно Т). До­ кажите, что где k(p) - кривизна С в точке р. 5*. Докажите, что если замкнутая, плоская кривая С содержится в круге радиуса r, то существует такая точка рЕ С, что кривизна k кривой С в точке р удовлетворяет условию 1k1~ 1/r. 6. Пусть a(s), s Е [О,/], - замкнутая, плоская кривая, положительно ори­ ентированная. Кривая /J(s) = a(s)-r n(s), где r - положительная постоянная, а п - нормальный вектор, называет­ ся параллельной а. Покажите, что а) длина fJ равна длине а, сложенной с 2лr; Ь) A(/З)=A(a)+rl+лr 2 ; с) kp(s) = ka(s)/(1 +r).
КРИВЫЕ 65 /3 Рисунок 1.3 7 В (аНс) символ А( ) обозначает шющадь, ограниченную соответ­ ствующей кривой, ka, k fJ - соответственно кривизны а и fJ. 7.Пусть а:R~R2 - плоская кривая, определённая на всей вещественной прямой R. Предположите, что а не проходит через начало координат О= (О, О) и одновременно lim 1a(t) 1= оо и lim 1a(t)1= оо. t---?oo 1---?-оо а. Докажите, что существует такая точка t0 Е R, что 1a(t0 )1::; 1a(t) 1для лю­ бого tE R. Ь. Покажите на примере, что утверждение части (а) неверно, если не пред­ полагается, что одновременно lim 1a(t)1= оо и lim 1a(t)1= оо. t---?+oo t---Э--оо 8. а*. Пусть a(s), sE [О,/), - плоская, простая, замкнутая кривая. Предпо­ ложите, что кривизна k(s) удовлетворяет неравенствам О< k::; с, где с - постоянная (таким образом, а искривлена меньше, чем окружность радну- 2л са 1/с). Докажите, что длина а не меньше -. с Ь. В части (а) замените предположение о том, что кривая простая, требо­ ванием «а имеет индекс вращения N». Докажите, что длина а не меньше 2nN с 9*. Множество К с R 2 называется выпуклым, если для любых двух точек p,qE К отрезок pq содержится в К (рис. 1.38). Докажите, что простая, замкнутая, выпуклая кривая ограничивает выпуклое множество.
66 ГЛАВА 1 10. Пусть С - плоская, выпуклая кривая. Докажите геометрически, что С не имеет самопересечений. 11 *. Для данной невыпуклой, простой, замкнутой, плоской кривой С мы можем рассматривать её выпуклую оболочку Н (рис. 1.39), то есть гра­ ницу наименьшего выпуклого множества, содержащего внутренность С. Кривая Н образована дугами С и отрезками касательных к С, которые на­ водят мосты через «невыпуклые провалы» (рис. 1.39). Можно доказать, что Н является замкнутой, выпуклой кривой класса С 1 • Используйте это для доказательства того, что в изопериметрической задаче можно ограни­ читься выпуклыми кривыми. Рисунок 1.38 Рисунок 1.39 12*. Рассмотрите единичную окружность S 1 в плоскости. Покажите, что 1 отношение М1 /М2 =- , где М2 - мера множества прямых в плоскости, 3 которые пересекают S 1 , и М1 - мера множества всех таких прямых, кото- рые определяют хорды S 1 с длиной, большей .J3. Интуитивно, это отно­ шение есть вероятность того, что прямая, которая пересекает S 1 , задаёт хорду S', более длинную, чем сторона равностороннего треугольника, вписанного в S 1 (рис. 1.40). 13. Пусть С - ориентированная, плоская, замкнутая кривая с кривизной k >О. Предположите, что С имеет по крайней мере одну точку р самопе­ ресечения. Докажите, что а) существует такая точка р' Е С, что касательная Т' в точке р' парал­ лельна некоторой касательной в точке р;
КРИВЫЕ 67 Ь) угол поворота касательной на положительной дуге рр'р кривой С больше я (рис. 1.41); с) индекс вращения С не меньше 2. у Рисунок 1.40 Т' Рисунок 1.41 14. а. Покажите, что если прямая L пересекает замкнутую, плоскую кри­ вую С, то L либо является касательной к С, либо пересекает С точно в двух точках. Ь. Используйте часть (а), чтобы показать, что мера множества прямых, ко­ торые пересекают С (без учёта кратности), равна длине С. 15. Теорема Грина для плоскости является фундаментальным фактом диф­ ференциального исчисления и может быть сформулирована следующим образом. Пусть простая, замкнутая кривая задана параметризацией а = =(x(t),y(t)), tE [а, Ь]. Предположим, что а положительно ориентирована, С - её след и R - внутренность С. Пусть р:::: р(х,у), q = q(x,y) - ве­ щественные функции с непрерывными частными производными Рх, Ру' qx, qy- Тогда f (qx-Py)dxdy=r (pdx+qdyJdt, R Jcdtdt (9) где во втором интеграле функции р и q предполагаются ограниченными на а и интегрирование ведётся в границах от t =а до t = Ь. В частях (а) и (Ь) ниже мы предлагаем вывести из формулы Грина формулу площа­ ди R и формулу замены переменных в двойном интеграле (ер. равенства (1) и (7) в тексте).
68 ГЛАВА l а. Положите q = х и р =-у в равенстве (9) и заключите, что A(R)=fi dxdy= _!_f(x(t)dy- y(t)dx)dt. R 2 dt dt а Ь. Пусть f(x,y) -вещественная функция с непрерывными частными про­ изводнымииТ:R2 ~R2 - преобразование координат, заданное функ­ циями х = х(и, v), у= у(и, v), которые также имеют непрерывные частные производные. Положите в равенстве (9) р =О и q выберите так, что qx = f. Примените последовательно формулу Грина, отображение Т и снова формулу Грина, чтобы получить fJ f(x,y)dxdy= Jqdy= Ji 1 (qoT)(yuu'(t)+yvv'(t))dt= R С Г (С) = Нг'(R) {: И ((q 0 T)yv)- ;V ((q о Т)уи)} du dv. Покажите, что д д ди (q(x(u,v), y(u,v))yv)-дv (q(x(u,v), y(u,v))yu)= д(х,у) = f(x(u, v), у(и, v))(XuYv - XvYu) = f-д--. (и, v) Подставьте это выражение в предыдущее равенство и получите формулу замены переменных для двойных интегралов: ff f(x,y)dxdy= J, f(x(u,v),y(u,v))\д(x,y)\dиdv. R г (R) д(и, v)
ГЛАВА 2 РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 2.1 . Введение В этой главе мы начнём изучение поверхностей. В то время как в пер­ вой главе мы применяли, главным образом, элементарный анализ функций одной переменной, теперь нам понадобится некоторое знание анализа функций нескольких переменных. Точнее, нам нужны некоторые сведения о ш~прерывности и дифференцируемости функций и отображений в R 2 иR3 . То, что нам нужно, можно найти в любом стандартном руководстве по высшему анализу, например в Buck Advanced Calculus; мы включили краткий обзор части этого материала в приложение к главе 2. В разделе 2.2 мы введём основное понятие регулярной поверхности вR3 . В отличие от трактовки кривых в главе 1, регулярные поверхности определяются как множества, а не как отображения. Цель раздела 2.2 - описать некоторые критерии, которые помогают решить, является ли дан- ное подмножество R 3 регулярной поверхностью. В разделе 2.3 мы покажем, что можно определить понятие дифферен­ цируемости функции на регулярной поверхности, а в разделе 2.4 мы пока­ жем, что обычное понятие дифференциала в R 2 можно распространить на такие функции. Таким образом, регулярные поверхности в R 3 предостав­ ляют естественный материал для применения двумерного анализа. Конечно, кривые также можно трактовать с той же точки зрения, то есть как подмножества R 3 , кот ор ые явля ются естественным ма те р иа ло м для применения одномерного анализа. Мы кратко упомянем их в раз­ деле 2.3 . Разделы 2.2 и 2 .3 являются ключевыми для остальных частей книги. Начинающий может счесть доказательства в этих разделах довольно труд­ ными. Если так, при первом чтении доказательства можно опустить. В разделе 2.5 мы введём первую основную форму, естественный ин­ струмент для решения метрических задач (вычисление длин кривых, пло­ щадей областей и т. д.) на регулярной поверхности. Это даст очень важ­ ные результаты, когда мы дойдём до главы 4.
70 ГЛАВА2 Разделы с 2.6 по 2.8 оптимальны для первого чтения. В разделе 2.6 мы разработаем понятие ориентации регулярной поверхности. Оно потребу­ ется в главах 3 и 4. В помощь тем, кто пропускает этот раздел, мы дадим обзор понятия ориентации в начале главы 3. 2.2. Регулярные поверхности. Прообразы регулярных значений* В этом разделе мы введём понятие регулярной поверхности в R 3 . Го­ воря упрощённо, регулярная поверхность в R 3 получается деформирова­ нием кусков плоскости и склеиванием их таким образом, что полученная фигура не имеет точек заострения, рёбер или самопересечений, и потому имеет смысл говорить о касательной плоскости в точках этой фигуры. Идея состоит в определении множества, которое в некотором смысле дву­ мерно и достаточно гладко, так что на него можно распространить понятия анализа. К концу раздела 2.4 должно быть совершенно ясно, что следую­ щее определение корректно. Определение 1. Подмножество Sc R 3 называется регулярной по­ верхностью, если для каждой точки рЕ S существуют открытое мно­ жество V в R 3 и такое отображение х : И ~ V n S открытого множества UcR 2 на VnS c.R 3 , что (рис. 2.1) 1) х дифференцируемо, это означает, что в записи х (и, v) = (х (и, v),y(u, v), z(u, v)), (и, v)E И, функции х (и, v), у (и, v), z (и, v) имеют непрерывные частные производные всех порядков в И; 2) х есть гомеоморфизм; так как х непрерывно по условию 1, это озна­ чает, что отображение х имеет обратное отображение х-1 : VnS~ И, кото­ рое непрерывно, то есть х- 1 является ограничением непрерывного отобра­ женияF: WсR3~R2 , определённого на открытом множестве W, содер­ жащем VnS; 3) (условие регулярности) для любой точки q Е И дифференциал dx q: 2 3 б ** R ~ R является взаимно однозначным ото ражением. Вскоре мы разъясним условие 3. * Доказательства этого раздела можно опустить при первом чтении. ** В курсивном контексте буквенные символы набраны прямым шрифтом, чтобы они могли выделяться из окружающего текста.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 71 х Рисунок 2.1 Отображение х называется пара.метризацией или системой (локаль­ ных) координат в (окрестности) р. Окрестность V nS точки р на S на­ зывается координатной окрестностью. Чтобы придать условию 3 более знакомый вид, найдём матрицу ли­ нейного отображения dxq в канонических базисах е1 = (1, О), е2 =(О, 1) вR2 скоординатами (и,v) иfi=(1,О,О), /2=(О,1,О),/3=(О,О,1) вR3 с координатами (х, у, z). Пусть q = (и0 , v0 ). Вектор е1 является касательным к кривой и~ (и, v0 ), образ которой при отображении х есть кривая и~ (х(и,v0 ), у(и, v0 ), z(и, v0 )). Этот образ (называемый координатной линией v = v0 ) лежит на S и имеет в точке x(q) касательный вектор (рис. 2.2) где производные вычислены в точке (и0 , v0 ), а вектор задан своими коор­ динатами в базисе {fi, / 2 , / 3 }. По определению дифференциала (прможе­ ние к главе 2, определение 1), dx (ei)= (дх, ду' дz)= дх. q дидиди ди Аналогично, используя координатную линию и = и0 (образ кривой v ~ (и0 , v)) при отображении х), получаем dx(е)=(дхдудz)=дх. ч 2 дv'дv'дv дv
72 ГЛАВА2 v и=ио Рисунок 2.2 Таким образом, матрица линейного отображения dxq в соответствующих базисах имеет вид дх дх - ди дv dx == ду ду q ди дv дz дz - ди дv Условие 3 в определении 1 теперь может быть сформулировано как требование линейной независимости двух столбцов этой матрицы, или, что равносильно, условием, что векторное произведение дх/ди л дх/дv * О; или, ещё иначе, что один из миноров порядка 2 матрицы dxq, то есть один из якобианов дх д(х,у) - ди д(и,v) - ду ди отличен от нуля в q. дх дv ду' дv д(у,z) д(u,v)' д(х,z) д(u,v) Замечание 1. Определение 1 нуждается в двух пояснениях. Во-первых, в отличие от нашей трактовки кривых в главе 1, мы определили поверх­ ность как подмножество S в R 3 , а не как отображение. Это достигается покрытием S следами параметризаций, которые удовлетворяют услови­ ям1,2иЗ. Условие 1 вполне естественно, если мы намерены строить некоторую дифференциальную геометрию на S. Взаимная однозначность в условии 2
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 73 имеет целью исключение самопересечений регулярных поверхностей. Яс­ но, что зто необходимо, если мы собираемся говорить, скажем, об опреде­ лённой касательной плоскости в точке рЕ S (см. рис. 2.3, а). Непрерыв­ ность обратного отображения в условии 2 имеет более тонкую цель, кото­ рая может быть вполне понята только в следующем разделе. Позже мы покажем, что зто условие существенно для доказательства того, что неко­ торые объекты, определённые в терминах параметризации, не зависят от этой параметризации, а зависят только от самого множества S. Наконец, как мы покажем в разделе 2.4, условие 3 будет гарантировать существова­ ние «касательной плоскости» во всех точках S (см. рис. 2.3, Ь). Пример 1. Покажем, что единичная сфера S2 ={(x,y,z)E R 3 ;х 2 +у 2 +z 2 =1} является регулярной поверхностью. (Ъ) Рисунок 2.3 . Некоторые ситуации, которые исключаются в определении регу­ лярной поверхности Проверим сначала, что отображение х 1: И с R 2 ~ R 2 , заданное ра­ венством х1(х,у)= (х,у,+~1-(х2 +у2)), (х,у)Е И, гдеR2= {(x,y,z)ER 3; z =0} и И={(х,у)ЕR2; х2 +у2 <1}, является пара­ метризацией S 2 • Заметим, что х 1 (И) есть (открытая) часть S2 , располо­ женная выше :ху-плоскости. Так как х2 +у2 < 1, функция +~1-(х2 +у2) имеет непрерывные ча­ стные производные всех порядков. Таким образом, х 1 дифференцируемо, и условие 1 выполняется. Условие 3 легко проверяется, так как д(х,у)=I. д(х,у)
74 ГЛАВА2 Чтобы проверить условие 2, заметим, что х 1 взаимно однозначно ичтоxj 1 является ограничением на множество х 1 (И) (непрерывного) ото­ бражения проекции я(х,у,z)=(х,у). Таким образом, xj 1 непрерывно на x 1(U). Покроем теперь всю сферу аналогичными параметризациями следую­ щимобразом.Определимх2: И сR2~R3 , полагая х2(х,у)= (х,у,-~I-(x2 +у2)), проверим, что х 2 - параметризация, и заметим, что х 1 (И) u х 2 (И) покры­ вает82 , за исключением экватора {(x,y,z)ER3; x 2 +y 2 =I, z=O}. Затем, используя xz- и zу-плоскости, определим параметризации x3(x,z) = (х, +~1-(х2 +z 2 ), z), x4(x,z)=(х, -~1-(х2+z 2 ), z), X 5(y,z) = (+~1-(у2 + z 2 ), у, z), X5(y,z)=(-~l-(y2 +z 2 ),y,z), которые, вместе с х 1 и х 2 , полностью покрывают 8 2 (рис. 2.4) и показы­ вают, что 8 2 есть регулярная поверхность. Рисунок 2.4 Для большинства приложений удобно отнести параметризации к гео­ графическим координатам на 8 2 • Пусть V={(B,tp);О<В<я,О<tp<2я}, и пусть отображение х: V ~ R 3 задаётся равенством x(B,97)=(sinBcos97, sinBsin97, cosB).
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 75 z у Рисунок 2.5 Очевидно, x(V) с 3 2 • Докажем, что х есть параметризация 3 2 • {} обычно называется коширотой (дополнение широты), а rp - долготой (рис. 2.5). Очевидно, что функции sin {} cos rp, sin {} sin rp, cos rp имеют непрерыв­ ные частные производные всех порядков; следовательно, х дифференци­ руемо. Кроме того, для одновременного обращения в нуль всех якобианов д(х,у) =cos8sin8 д(8,rр) ' д(у,z) =sin 2 (Jcosrp д(В,rр) ' д(х,z) = -sin2 Bsinф д(8, rp) необходимо, чтобы cos 2 8sin 2 8+sin 4 8cos 2 rp+ sin 4 Bsin 2 rp=sin 2 8 =О. Этого не происходит в области V, и потому условия 1 и 3 определения выполняются. Далее, заметим, что для данной точки (x,y,z)E 3 2 -С, где С - по­ луокружность: С= {(x,y,z)E S 2; у= О, х:?: О}, угол 8 определяется однозначно равенством е = arccos z, так как О< 8 <те. Зная 8, мы находим sinrp и cosrp из равенств x=sinBcosrp, y=sinBsinrp, и это определяет rp однозначно (О< rp < 2п"). Отсюда следует, что отобра­ жение х имеет обратное х-1 . Чтобы завершить проверку условия 2, мы должны доказать, что х- 1 непрерывно. Однако, поскольку мы вскоре до­ кажем (предложение 4), что эта проверка необязательна, если мы уже зна­ ем, что множество S - регулярная поверхность, то делать проверку здесь мы не будем.
76 ГЛАВА2 Заметим, что x(V) не содержит только полуокружности на 8 2 (вклю­ чая два полюса) и что 8 2 можно покрыть координатными окрестностями двух параметризаций этого типа. В упражнении 16 мы укажем, как покрыть S 2 другими координатны­ ми окрестностями. Пример 1 показывает, что выяснение, является ли данное подмно­ жество R 3 регулярной поверхностью, непосредственно по определению может быть весьма утомительным. Прежде чем перейти к другим приме­ рам, приведём два предложения, которые упростят эту задачу. Предложе­ ние 1 показывает связь, которая существует между определением регуляр­ ной поверхности и графиком функции z = f(x,y). Предложение 2 исполь­ зует теорему об обратной функции и связывает определение регулярной поверхности с подмножества'vlu вида f(x,y,z) = const. Предложение 1. Если f: И~ R - дифференцируемая функция на множестве И в R 2 , то график f, то есть подмножество R3 вида (х, y,ftx, у)) при (х, у)Е И, является регулярной поверхностью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что отображение х: И~ R 3 , заданное равенством х(и, v) =(и, v, f(и, v)), является параметризацией графика, координатная окрестность которой со­ держит каждую точку графика. Условие 1, очевидно, выполняется, и проверка условия 2 не представляет никаких затруднений, поскольку д(х,у)/д(и,v)=1. Наконец, каждая точка (x,y,z) графика является обра­ зом при отображении х единственной точки (и, v) = (х,у)Е И. Следова- -1 тельно, х взаимно однозначно, и поскольку х есть ограничение на гра- фик/ (непрерывного) отображения проекции R 3 на ху-плоскость, то х- 1 непрерывно. о Прежде чем сформулировать предложение 2, нам потребуется опреде­ ление. Определение 2. Для данного дифференцируемого отображения F: Ис R п ~ R т , определённого на открытом множестве И в R п, точка рЕ И
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 77 называется критической точкой F, если дифференциал dFP : R" ~ ~ R т не является сюръективным отображением (отображением на). Образ F(p)E R т критической точки называется критическим значением F. Точ­ ка R т , которая не является критическим значением, называется ретуляр­ ным значением F. Терминология, очевидно, мотивирована частным случаем, когда f: И cR~R - вещественнозначная функция вещественной перемен­ ной. Точка х0 с И является критической, если f'(x 0 ) =О, то есть если дифференциал dfx0 переводит все векторы в нулевой вектор (рис. 2.6). За- метим, что любая точка а!/. f(U), очевидно, является регулярным значе­ нием/. Если f : И с R 3 ~ R - дифференцируемая функция, то результат применения dfР к вектору (1, О, О) получается вычислением касательного вектора в точке f(p) к кривой у Криrическое "х ) значеnие л: 0 df,,(v) о Отсюда следует, что и, аналогично, df"(v) х, Критическая точка Рисунок2.6 dfp(O,1,О)==fy, df/O,О,1)==/2• у= j{x) х
78 ГЛАВА2 Мы заключаем, что матрица dfp в базисе (1, О, О), (О, 1, О), (О, О, 1) име­ ет вид Заметим, что в этом случае утверждение, что dfР не является сюръек­ тивнь1м, равносильно высказыванию, что fx = fy = fz =О в точке р. Следо­ вательно, а Е f (И) есть регулярное значение отображения f: И с R 3 ~ R тогда и только тогда, когда fx, fy и fz не обращаются в нуль одновре­ менно в прообразе f- 1(a) = {(x,y,z)E И; f(x,y,z) =а}. Предложение 2. Если f: И с R 3 ~ R - дифференцируемая функция и а Е /(И) - регулярное значение/, то f- 1 (a) -регулярная поверхность вR3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть p=(x0 ,y0 ,z0 ) -точка f- 1 (a). Так как а - регулярное значение f, можно допустить, переименовав, если необходи- мо, ось, что fx :/:.О в точке р. Определим отображение F: И с R 3 ~ R 3 , полагая F(x,y,z) = (x,y,f(x,y,z)), и обозначим (и, v, t) координаты точки в R 3 , гд е F принимает свои значе­ ния. Дифференциал F в точке р задаётся матрицей о :], fz где det(dFP) = fz :/:.О. Мы можем поэтому применить теорему об обратной функции (ер. приложение к главе 2), которая гарантирует существование таких ок­ рестностей Vточки р и W точки F(p), что F: V ~ W обратимо и обратное отображение F- 1 : W ~ V дифференцируемо (рис. 2.7). Отсю­ да следует, что координатные функции отображения F- 1 , то ест ь функции х=и, y=v, z=g(и,v,t), (и,v,t)EW,
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 79 f'(a)ПV f~a z ~' ~w а F 1 1 1 1 1 1F(p)1 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : : : 1у 1 1 1 1 " 1 1 о 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v 1111 !/' i/v х и Рисунок2.7 дифференцируемы. В частности, z = g(u, v,a) = h(x,y) - дифференцируе­ мая функция, определённая в проекции V на ху-плоскость. Так как F(Г 1 (a)nV)=Wn{(u,v,t); t=a}, мы заключаем, что график h является пересечением f- 1 (a) п V. Согласно предложению 1, 1- 1 (а) n V есть координатная окрестность р. Следова­ тельно, каждая точка р Е 1- 1 (а) может быть покрыта координатной окре- стностью, и потому 1- 1 (а) - регулярная поверхность. D Замечание 2. Доказательство состоит, по существу, в использовании теоремы об обратной функции для «разрешения относительно z » уравне­ ния f(x,y,z) =а, что может быть сделано в окрестности точки р, если l 2 (p) #О. Этот факт является частным случаем общей теоремы о неявной функции, которая следует из теоремы об обратной функции и фактически ей эквивалентна. Пример 2. Эллипсоид х2у2z2 - +-+-=1 а2ь2с2 является регулярной поверхностью. Действительно, это есть множество Г1(0), где х2у222 f(x,y,z)=- 2 + 2+2 -1 аЬс
80 ГЛАВА2 есть дифференцируемая функция и О - регулярное значение f. Это сле­ дует из того факта, что частные производные fx = 2х/ а 2 ' fy =2у/Ь2 ' fz = 2z/с2 одновременно обращаются в нуль только в точке (О, О, О), кото­ рая не принадлежит /- 1 (0). Этот пример включает сферу как частный случай (a=b=c=l). Регулярные поверхности приведённых до сих пор примеров были связными подмножествами R 3 . Поверхность S с R 3 называется связной, если любые две её точки можно соединить непрерывной кривой на S. В определении регулярной поверхности мы не налагали никаких ограни­ чений на связность поверхностей, и следующий пример показывает, что регулярные поверхности, заданные предложением 2, могут не быть связ­ ными. Пример 3. Двуполостный гиперболоид -х 2 - у2 +z 2 = 1 является регу­ лярной поверхностью, так как он задаётся как S = f- 1 (0), где О - регу­ лярное значение функции f(x,y,z) =-х 2 - у 2 + z 2 - 1 (рис. 2.8). Заметьте, что поверхность S не является связной; а именно, две заданные точки раз­ личных полостей ( z > О и z < О) невозможно соединить непрерывной кри­ вой a(t) = (x(t),y(t),z(t)), лежащей на поверхности; в противном случае z меняет знак, и z(t0 ) ==О при некотором t0 , а это означает, что a(t0 ) е: S. Неожиданно рассуждения примера 3 можно использовать для дока­ зательства свойства связных поверхностей, которое мы будем неодно- кратно использовать. Если f: S с R 3 - t R - не обращающаяся в нуль не­ прерывная функция, определённая на связной поверхности S, то f не меня­ ет знака на S. Чтобы доказать это, используем теорему о промежуточном значении (приложение к главе 2, предложение 4). Предположим противное, то есть f(p) >О и f(q) <О в некоторых точках р, qE S. Так как S - связная по­ верхность, существует непрерывная кривая а: [а, b]-t S, где а(а) = р, а(Ь) = q. Применяя теорему о промежуточном значении к непрерывной функции f о а [а, Ь] -t R, получаем, что существует такая точка с Е (а, Ь), что f а а(с) =О, то есть f обращается в нуль в точке а(с), что противо­ речит условию.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 81 z у Рисунок 2.8. Несвязная поверхность -у 2 - х2+z 2 =r 2 Пример 4. Тор Т есть «поверхносты>, порождаемая вращением ок­ ружности радиуса r вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности на расстоянии а> r от центра окружности (рис. 2.9). Пусть S 1 - окружность в yz -плоскости с центром в точке (О, а, О). Тогда S 1 задаётся уравнением (у-а) 2 +z 2 =r 2 и точки фигуры Т, полу­ ченной вращением окружности вокруг оси z, удовлетворяют уравнению z 2 =r 2 -(~х2 + у 2 - а) 2 . Следовательно, Т есть прообраз значения r 2 при отображении, определяемом функцией f(x, у, z) = z 2 +(~х2+у2- а)2 . Эта функция дифференцируема при (х,у) =/. (0,0), и, поскольку дf_2х(~х2 +у2-а) дх- ~х2+У2 дf _2у(~х2+у2-а) ду- ~х2 +у2 дf -2 дz- z, r 2 - регулярное значение/. Отсюда следует, что тор Т - регулярная по­ верхность. Предложение 1 утверждает, что график дифференцируемой функции является регулярной поверхностью. Следующее предложение даёт локаль-
82 ГЛАВА2 ное обращение этого предложения, то есть любая регулярная поверхность локально является графиком дифференцируемой функции. z Рисунок2.9 Предложение 3. Пусть Sc R 3 - регулярная поверхность и рЕ S. То­ гда существует такая окрестность V точки р на S, что V является гра­ фиком дифференцируемой функции, которая имеет вид один из трёх сле­ дующих:z =j(x,у),у =g(x,z),х =h(y,z). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х: И с R 2 ~ S - параметризация S в точке р; запишем x(и,v)=(x(и,v),y(и,v),z(и,v)), (и,v)Е И. В силу условия 3 опре­ деления 1, один из якобианов д(х,у) д(и, v)' д(у,z) д(u,v)' не обращается в нуль в точке х- I (р) = q. д(z,х) д(u,v) Предположим сначала, что(д(х,у)/д(и, v))(q) ;t: О, и рассмотрим отобра­ жение яах: И~ R 2 , где я - проекция я(х,у,z) = (х,у). Тогда 7т: а х(и, v) = =(x(u,v),y(u,v)), и, поскольку (д(x,y)/д(u,v))(q);t:O, мы можем приме­ нить теорему об обратной функции, чтобы гарантировать существование таких окрестностей V1 точки q, V2 точки я ох (q) , что я ох отображает V] диффеоморфно на V2 (рис. 2.10). Отсюда следует, что я, ограниченное на x(v;) = V, взаимно однозначно и существует дифференцируемое обратное отображение (яах)-1 : V2 ~ V]. Заметьте, что, поскольку х есть гомео­ морфизм, V есть окрестность точки р на S. Далее, если мы составим
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 83 композицию отображения (яох)- 1 : (x,y)--;(u(x,y),v(x,y)) с функцией (и, v)--; z(и, v), мы получим, что V является графиком дифференциру­ емой функции z = z(u(x,y), v(x,y)) = f(x,y), и это доказывает предложе­ ние в первом случае. В остальных случаях можно действовать тем же способом, получая x=h(y,z) и y=g(x,z). О z v х и о х Рисунок 2.1 О Следующее предложение утверждает: если мы уже знаем, что S - регулярная поверхность, и имеем х как предполагаемую параметризацию, то мы не должны проверять, что х-1 непрерывно, при выполнении других условий. Это замечание было использовано в примере 1. Предложение 4. Пусть рЕ S - точка регулярной поверхности S, ипустьх:ИсR2 --;R 3 - такое отображение с ре х (И), что условия 1 и 3 определения 1 выполняются. Предположим, что х взаимно однозначно. Тогда х- 1 непрерывно. Доклзл твльство. Первая часть доказательства аналогична доказа­ тельству предложения 3. Запишем х(и, v) = (х(и, v), у(и, v),z(u, v)), (и, v) Е И, и пусть q Е И. В силу условий 1 и 3 можно считать, переобозначая в случае необходимости координатную ось в R 3 , что (д(х,у)/д(u, v))(q) "#О. Пусть я:R 3 --;R 2 - проекция я(х,у,z) = (х,у). По теореме об обратной функ­ ции, получаем такие окрестности V1 точки q в И и V2 точки я ох (q) в R 2 , что я ох отображает V1 диффеоморфно на V2 . Предположим теперь, что х взаимно однозначно. Тогда, при ограни­ чении на х (V1),
84 ГЛАВА2 (см. рис. 2.10). Таким образом, х- 1 непрерывно как композиция непре­ рывных отображений. Так как q - произвольная точка, х- 1 непрерывно на х(И). О Пример 5. Однополостный конус С, заданный уравнением z =+~х2+у2, (х,у)ЕR2 , не является регулярной поверхностью. Заметьте, что мы не можем за­ ключить это из одного только факта, что «естественная» параметризация (х,у)~(х,у,+~х2 +у2) не дифференцируема; могут быть другие параметризации, удовлетворяю­ щие условиям определения 1. Чтобы показать, что это не так, используем предложение 3. Если бы конус С бьш регулярной поверхностью, он был бы в окрестности точки (0,0,О)Е С графиком дифференцируемой функции, имеющей вид один из трёх: у= h(x,z), х = g(y,z), z = f(x,y). Первые два вида можно отбро­ сить в силу того простого факта, что проекции С на xz и уz-плоскости не являются взаимно однозначными. Последняя функция должна сов- падать в окрестности точки (О,О,О) с функцией z = ~х2 + у2 . Так как z = +~х 2 + у2 не дифференцируема в точке (О, О), это невозможно. Пример 6. Параметризацию тора Т примера 4 можно задать равенст­ вом (рис. 2.9) х(и, v) = ((rcosu + a)cos v, (r cosu + a)sin v, rsin и), гдеО<и<2я, О<v<2я. Условие 1 определения 2 легко проверяется, а проверка условия 3 сво­ дится к прямому вычислению, которое предоставлено в качестве упраж­ нения. Поскольку мы знаем, что Т - регулярная поверхность, условие 2, в силу предложения 4, равносильно тому факту, что х взаимно однозначно. Чтобы доказать, что х взаимно однозначно, заметим, во-первых, что sin и= z/r; далее, если ~х2 +у2 :о::;а, то п:/2:о::;и:о::;Зп:/2, иесли~х2 +у2 ~а, то либо О< и :о::; я/2, либо Зя/2 :о::; и< 2я. Таким образом, задание (x,y,z) определяет и, О< и < 2я, однозначно. Зная и, х и у, мы находим cos v и sin v. Это определяет v однозначно, О < v < 2я. Таким образом, х вза­ имно однозначно. Легко видеть, что тор можно покрыть тремя такими координатными окрестностями.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 85 УПРАЖНЕНИЯ* 1. Покажите, что цилиндр {(x,y,z)E R 3 ;х 2 +у2=1} - регулярная по­ верхность, и найдите параметризации, координатные окрестности которых его покрывают. 2. Является ли множество {(x,y,z)E R 3 ;z=О,х2+у 2 :s;1} регулярной по­ верхностью? Является ли множество {(x,y,z)E R 3 ;z=О,х 2 +у2 <1} ре­ гулярной поверхностью? 3. Покажите, что двуполостный конус с вершиной в начале координат, то есть множество {(x,y,z)E R 3 ; х2+у2-z 2 =О}, не является регулярной поверхностью. 4.Пусть f(x,y,z)=z 2 . Докажите, что О не является регулярным значе­ нием f и, несмотря на это, f- 1 (О) - регулярная поверхность. 5*.Пусть P={(x,y,z)ER 3 ; х=у} (плоскость) их: UcR 2 ~R 3 задано равенством x(u,v)=(u+v, и+v, uv), где И= {(и, v)E R 2 ; и> v}. Очевидно, x(U) с Р. Является лих параметри­ зацией Р? 6. Дайте другое доказательство предложения 1, применяя предложение 2 к функции h(x,y,z)=f(x,y)-z. 7. Пусть f(x,y,z) = (х+ у+ z-1)2 . а. Определите местоположение критических точек и критических значе­ ний/. Ь. При каких значениях с множество f(x,y,z) =с является регулярной поверхностью? с. Ответьте на вопросы частей (а) и (Ь) для функции f(x,y,z) =xyz 2 • ' Те . кто про пу ст ил док аз ат ель ст ва этого ра зд ел а, могут так же пропу стить упражнения 17-19.
86 ГЛАВА2 8. Пусть х(и, v)удовлетворяет условиям определения 1 . Проверьте, что отображение dxq : R 2 ---;R 3 взаимно однозначно тогда и только тогда, когда 9. Пусть V - открытое множество в ху-плоскости. Покажите, что мно­ жество {(x,y,z)ER2 ; z=O,(x,y)EV} является регулярной поверхностью. 10. Пусть С - фигура «8» в ху-плоскости, и пусть S - цилиндрическая поверхность с направляющей С (рис. 2.11 ), то есть S={(x,y,z)ER 3 ; (х,у)ЕС}. Является ли S регулярной поверхностью? s Рисунок 2. 11 11. Покажите, что множество S={(x,y,z)ER 3 ; z=x 2 -y 2 } является регу­ лярной поверхностью, и проверьте, что (а) и (Ь)- параметризации S: а) x(u,v)=(u+v,u-v,4uv), (u,v)ER 2 ; Ь*) x(u,v)=(uchv,ushv,u 2 ), (u,v)ER 2 , u#O. Какие части S покрывают эти параметризации?
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 87 12.Покажите,чтох: ИсR2~R3 , заданное равенством x(u,v)=(asinucosv, bsinusinv, ccosu), a,b,c=F-0, где О< и< ll, О< v < 2Jl, является параметризацией эллипсоида Опишите геометрически кривые и = const на эллипсоиде. 13*. Найдите параметризацию двуполостного гиперболоида {(x,y,z)E R 3; - х2-у2+z2=1}. 14. Луч [О,+ оо) перпендикулярен прямой Е и вращается вокруг Е из дан­ ного начального положения, в то время как его начало О перемещается вдоль Е. Перемещение таково, что, когда луч [О,оо) поворачивается на угол В, его начало находится на расстоянии d = sin 2 (B/2) от исходного положения на Е. Проверьте, что, удаляя прямую Е из фигуры, описанной вращающейся прямой, мы получаем регулярную поверхность. Если бы пе­ ремещение было таково, что d = sin(B/2), что ещё следовало исключить, чтобы получить регулярную поверхность? 15*. Пусть две точки p(t) и q(t) движутся с одной и той же скоростью, причём р выходит из (0,0,0) и движется вдоль оси z, а q выходит из (а, 0,0) и движется параллельно оси у. Покажите, что прямая, соединяю­ щая p(t) с q(t), описывает множество в R 3 , заданное уравнением у(х - а)+ z х =О. Является ли оно регулярной поверхностью? 16. Одним из способов определения системы координат на сфере S 2 , заданной уравнением х2 + у 2 + (z -1)2 = 1, является так называемая сте- реографическая проекция ll: S 2 -{N}~R2 , которая переводит точку р = (x,y,z) сферы S 2 без северного полюса в точку пересечения .ху-плоскости с прямой, соединяющей N с р (рис. 2.12). Пусть (u,v)=ll(x,y,z), где (x,y,z)ES 2 -{N} и(u,v) принадлежит ху-плос- кости.
88 ГЛАВА2 а. Покажите, что n- 1 :R 2 ~ S 2 задаётся равенствами ir-1 = 4и х=----- и2 +v2 +4' 4v у=-=---,-­ и2 +v2 +4' Ь. Покажите, что, используя стереографическую проекцию, можно по­ крыть сферу двумя координатными окрестностями. z N х Рис. 2.12 . Стереографическая проекция 17. Дайте определение регулярной кривой по аналогии с определением ре­ гулярной поверхности. Докажите, что а) прообраз регулярного значения дифференцируемой функции /: UcR 2 ~R является регулярной плоской кривой; приведите пример такой кривой, ко­ торая не является односвязной; Ь) прообраз регулярного значения дифференцируемого отображения F: UcR 3 ~R2 является регулярной кривой в R 3 ; Покажите связь между этим предложе­ нием и классическим способом задания кривой в R 3 как пересечения двух поверхностей;
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 89 с*) множество С ={(х, у) Е R 2 ;х 2 =у3} не является регулярной кривой. 18*. Предположите, что уравнения f(x,y,z)=u=coпst, g(x,y,z)=v= =coпst, h(x,y,z) = w = coпst описывают три семейства регулярных поверх­ ностей, и допустите, что в точке (x0 ,y0 ,z0 ) якобиан д(f,g,h) =FO. д(х,у,z) Докажите, что в окрестности точки (x0 ,y0 ,z0 ) три семейства будут заданы отображением F(u, v, w) = (x,y,z) открытого множества пространства R 3 вR3 , где локальная параметризация поверхности семейства f(x,y,z) =и, например, получается, если положить и = const в этом отображении. Опре­ делите F для случая, когда три семейства поверхностей таковы: f(x,y,z) = х 2 +у 2 +z 2 =и= const (сферы с центром (О, О, О)); g(x,y,z) = 2:. = v = const (плоскости, проходящие через ось z ); х х2+у2 h(x,y,z) =-- 2 -= w= const (конусы с вершиной в точке (О, О, О). z у Горизовта.ль.н:ый аl8Сmтаб отличен от вертикальвоrо масштаба Рисунок 2.13 х 19*. Пусть а: (-3, О)-* R 2 задано следующим образом (рис. 2.13): (О, -(t+2)), еслиtЕ (-3,-1), регулярной параметризованной кривой, соединяющей a(t)= р=(О,-1) с q=(~,O), еслиtЕ(-1,- ~}
90 ГЛАВА2 Можно задать кривую, соединяющую р с q, так, чтобы все произ­ водные а были непрерывны в соответствующих точках и а не имела са­ мопересечений. Пусть С - след а. а. Является ли а регулярной кривой? Ь. Пусть нормаль к плоскости R 2 пробегает С так, что описывает <щи­ линдр» S. Является ли S регулярной поверхностью? 2.3 . Замена параметров. Дифференцируемые функции на поверхностях* Дифференциальная геометрия интересуется теми свойствами поверх­ ностей, которые зависят от их поведения в окрестности точки. Определе­ ние регулярной поверхности, данное в разделе 2.2, соответствует этой це­ ли. Согласно этому определению, каждая точка р регулярной поверхности принадлежит координатной окрестности. Точки такой окрестности описы­ ваются их координатами, и мы можем, следовательно, определять локаль­ ные свойства, которые нас интересуют, в терминах этих координат. Например, важно, что мы можем определить, что означает дифферен­ цируемость функции f: S ~ R в точке р регулярной поверхности S. Ес- тественный способ это сделать - выбрать координатную окрестность р с координатами и, v и сказать, что f дифференцируема в р, если её вы­ ражение в координатах и и v имеет непрерывные частные производные всех порядков. Одна и та же точка S может, однако, принадлежать различным коор­ динатным окрестностям (на сфере примера 1 раздела 2.2 любая точка внутри первого октанта принадлежит трём координатным окрестностям). Кроме того, другие системы координат могут быть выбраны в окрестности точки р (упомянутые точки сферы можно также параметризовать геогра­ фическими координатами или с помощью стереографической проекции (ер. упражнение 16, раздел 2.2). Чтобы предыдущее определение имело смысл, необходимо, чтобы оно не зависело от выбора системы координат. Другими словами, следует показать, что, когда точка р принадлежит двум координатным окрестностям с параметрами (и, v) и (r;, 1J), можно перейти от одной из этих пар координат к другой посредством дифференцируемого преобразования. Следующее предложение показывает, что это верно. * Доказательства этого раздела могут быть пропущены при первом чтении.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 91 Предложение 1 (замена параметров). Пусть р - точка регулярной поверхности S и х: ИсR2~S, у: VсR2 ~S - две такие параметриза­ ции S, что рЕ х(И) ny(V)= W Тогда «замена координат» h = х- 1 оу: у-1 (W)~x- 1 (W) (рис. 2.14) есть диффеоморфизм, то есть h дифферен­ цируемо и имеет дифференцируемое обратное отображение h- 1 • z w у х и Рисунок 2.14 Другими словами, если х и у записаны в виде x(и,v)=(x(и,v),y(и,v),z(и,v)), (и,v)Е И, y(q,1]) = (x(q,1]),y(q,1]),z(q,1])), (q,l])E V, то замена координат h, заданная равенствами и= и(q,1]), v = v(q,1]), (q,1]) Е у- 1 (W), обладает тем свойством, что функции и и v имеют непрерывные частные производные всех порядков, и отображение h можно обратить, получая q=q(и,v), l]=l](и,v), (и,v)Ex- 1 (W), где функции q и 1J имеют частные производные всех порядков. Так как д(и, v) . д(q,1]) = 1 д(q,1]) д(и, v) ' то оба якобиана h и h-I всюду отличны от нуля.
92 ГЛАВА2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 1. Отображение h = х -l о у есть гомео­ морфизм как композиция гомеоморфизмов (ер. приложение к главе 2, предложение 3). Аналогичным рассуждением невозможно прийти к выво- ду, что h дифференцируемо, так как х- 1 определено на открытом подмно­ жестве S, а мы пока не знаем, что понимать под дифференцируемой функ­ цией на S. Мы поступим следующим образом. Пусть rE y- 1 (W), и положим q = h(r). Так как х(и, v) = (х(и, v), у(и, v), z(и, v)) - параметризация, можно считать, переименовав ось в случае необходимости, что д(х,у) (q) *О. д(и,v) Расширим х в отображение F: И xR ~ R 3 , полагая F(u,v,t)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)+t), (и,v)ЕИ, tER. Геометрически F отображает вертикальный цилиндр С над И на «верти­ кальный цилиндр» над x(U), переводя каждую часть С высоты t в по- верхность х (и, v) + te3 , где е3 - единичный вектор оси z (рис. 2.14). Очевидно, что F дифференцируемо и что ограничение F 1 Их {О} =х. Вычисляя детерминант дифференциала dFq , получаем дх дх о - ди дv ду ду о = д(х,у) (q) *-О. ди дv д(и,v) дz дz - - ди дv Можно поэтому применить теорему об обратной функции, которая гаран­ тирует существование такой окрестности М точки x(q) в R 3 , что p-l су­ ществует и дифференцируемо на М. В силу непрерывности у существует такая окрестность N точки r в V , что y(N) с М (приложение к главе 2, предложение 2). Заметьте, что огра- ниченное на N отображение h JN = F- 1 о yJ N есть композиция дифферен­ цируемых отображений. Таким образом, мы можем применить цепное пра­ вило для отображений (приложение к главе 2, предложение 8) и заклю­ чить, что h дифференцируемо в точке r. Так как r - произвольная точка, h дифференцируемо на y- 1 (W).
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 93 Точно такие же рассуждения можно применить для доказательства того, что отображение h- 1 дифференцируемо, и потому h есть диффео­ морфизм. О Теперь мы дадим точное определение, что понимается под дифферен­ цируемой функцией на регулярной поверхности. Определение 1. Пусть f : V с S ~ R - функция, определённая на открытом подмножестве Vрегулярной поверхности S. Говорят тогда, что/ дифференцируема в точке рЕ V, если для некоторой параметризации x:UcR 2 ~S с pEx(U)cV композиция/ох: UcR 2 ~R дифференци­ руема в точке х -I (р). f называется дифференцируемой на V, если она диф­ ференцируема во всех точках V. Из последнего предложения немедленно следует, что данное опреде­ ление не зависит от выбора параметризации х. Действительно, если у: VcR 2 ~S - другая параметризация с pEx(V) и h=x- 1 ay, то f ау= f аха h также дифференцируема, откуда следует утверждаемая не­ зависимость. Замечание 1. Мы часто будем допускать вольность обозначений, упо­ требляя один и тот же символ f(u, v) для f и f ах, и говорить, что f(u, v) есть выраж:ение f в системе координат х. Это равносильно отождествле­ нию х(И) с И и представлению об (и, v) равным образом как о точке И и точке х(И) с координатами (и, v). С этого момента подобные вольности речи будут допускаться без дальнейших комментариев. Пример 1. Пусть S - регулярная поверхность и V с R 3 - такое от­ крытоемножество, что SсV. Пусть f :VсR3~R - дифференцируе­ мая функция. Тогда ограничение f на S есть дифференцируемая функция на S . Действительно, для любой точки р Е S и любой параметризации х: И~R2~S в р функция f ах:И~R дифференцируема. В частно­ сти, дифференцируемы перечисленные ниже функции: 1. Функция высот относительно единичного вектора v Е R 3 , h:S~R,за­ данная равенством h(p) = р ·v, рЕ S, где точка обозначает обычное ска-
94 ГЛАВА2 лярное умножение в R 3 . h(p) есть расстояние от точки р Е S до плоско­ сти с нормальным вектором v, проходящей через начало координат в R 3 (рис. 2.15). 2. Квадрат расстояния до фиксированной точки р0 Е R 3 , f(р)=1р-р012 , р Е S. Необходимость рассматривать квадрат проистекает из того факта, что расстояние 1 р - р0 1 не дифференцируемо в точке р = р0 . Замечание 2. Доказательство предложения 1 существенно использует тот факт, что обращение параметризации непрерывно. Поскольку предло­ жение 1 нам нужно, чтобы определить дифференцируемые функции на по­ верхностях (насущное понятие), мы не можем избавиться от этого усло­ вия в определении регулярной поверхности (ер. замечание 1раздела2.2). Рисунок 2.15 Определение дифференцируемости можно легко распространить на отображения поверхностей. Говорят, что непрерывное отображение rp: V1 с S1 ~ S2 открытого множества V1 регулярной поверхности S1 на регулярную поверхность S2 дифференцируемо в точке р Е V1 , если для данных параметризаций х1: И1 cR2~S1, х2: И2 cR2~S2, дифференцируемо в точке q = х ] 1(р) (рис. 2.16). Другими словами, qJ дифференцируемо, если в его выражении в ло­ кальных координатах rp(и1 ,и2 )=((/)i(и1 ,v1 ),tpz(и1 ,v1 )) функции (/)\ и rp2 имеют непрерывные частные производные всех порядков. Доказательство, что это определение не зависит от выбора параметри­ заций, оставлено в качестве упражнения.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 95 v, и, Рисунок 2.16 Мы должны упомянуть, что естественным понятием эквивалентности, связанным с дифференцируемостью, является понятие диффеоморфизма. Две регулярные поверхности диффеоморфны, если существует дифферен­ цируемое отображение rp: S1 ~ S2 с дифференцируемым обратным ото- бражением rp- 1 : S2 ~ S1• Такое отображение rp называется диффеомор­ физмом S1 на S2 . Понятие диффеоморфизма играет ту же роль в теории регулярных поверхностей, которую играет понятие изоморфизма в теории векторных пространств или понятие конгруэнтности в евклидовой геомет­ рии. Другими словами, с точки зрения дифференцируемости две диффео­ морфные поверхности неразличимы. Пример 2. Если х: И с R 2 ~ S - параметризация, то отображение х -! : х (И) ~ R 2 дифференцируемо. Действительно, для любой точки рЕх(И) илюбой параметризации у: VсR2~S в р отображение х- 1 оу: y-1(w) ~x- 1 (W), где W =х(И) ny(V), дифференцируемо. Это показывает, что И и х(И) диффеоморфны (то есть каждая регулярная поверхность локально диффеоморфна шюскости), и обос­ новывает отождествление, выполненное в замечании 1. Пример 3. Пусть S1 и S 2 - регулярные поверхности. Предположим, чтоS1сVсR3 , где V - открытое множество в R 3 , и чтоrp:V~R3 -
96 ГЛАВА2 такое дифференцируемое отображение, что tp(S1) с S 2 . Тогда ограничение rp 1 S1 : S1 ~ S 2 есть дифференцируемое отображение. В самом деле, для данной точки рЕS1 ипараметризаций х1: И1~S1, х2: И2~S2, где рЕх1(И1) и tp(х1(И1))сх2(И2), отображение x21 otpox1:U1~U2 дифференцируемо. Далее следуют частные случаи этого общего примера. 1. Пусть S симметрична относительно ху-плоскости, то есть если (x,y,z)E S, то (x,y,-z)E S. Тогда отображение а: S ~ S, которое пере­ водит рЕ S в симметричную точку, дифференцируемо, так как оно явля- ется ограничением на S отображения а: R 3 ~R 3 , a(x,y,z)=(x,y,-z). Это утверждение, конечно, обобщается на поверхности, симметричные от­ носительно любой плоскости R 3 . 2.Пусть Rz8: R 3 ~R3 - поворот на угол В вокруг оси z, и пусть SсR3 - регулярная поверхность, инвариантная относительно этого по­ ворота, то есть, если р с S, то R2 , 8(p)E S. Тогда ограничение R2, 8 : S ~ S - дифференцируемое отображение. 3. Пусть отображение tp: R 3 ~R 3 задано равенством q>(x,y,z)= ==(ха, уЬ, zc), где а, Ь, с - вещественные числа, не равные нулю. Отобра­ жение tp, очевидно, дифференцируемо, и ограничение tp 1 S 2 есть диффе­ ренцируемое отображение сферы S2 ={(x,y,z)ER3; x 2 +y 2+z 2 =1} на эллипсоид (ер. пример 6 приложения к главе 2). Замечание 3. Предложение 1 означает (ер. пример 2), что параметри­ зация х: И cR 2 ~ S есть диффеоморфизм И на х(И). Фактически мы можем теперь охарактеризовать регулярные поверхности как такие под­ множества S cR 3 , которые локально диффеоморфны R 2 , то есть для ка­ ждой точки р Е S существуют окрестность V точки р на S, открытое множество И с R 2 и отображение х: И ~ V, которое является диффео-
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 97 морфизмом. Эту эффектную характеризацию можно взять в качестве ис­ ходной при рассмотрении поверхностей (см. упражнение 13). На этом этапе мы можем вернуться к теории кривых и трактовать их с точки зрения этой главы, то есть как подмножества R 3 . Мы упомянем только некоторые основные моменты и оставим детали читателю. Символ 1 будет обозначать интервал прямой R. Регулярной кривой в R 3 называется подмножество С с R 3 со следующим свойством: для каж­ дой точки р Е С существуют окрестность V точки р в R 3 и такой диффе­ ренцируемый гомеоморфизм а : 1 с R ~ V п С, что дифференциал da яв­ ляется взаимно однозначным отображением для каждого t Е 1 (рис. 2.17). Можно доказать (упражнение 15), что замена параметров задаётся (как для поверхностей) диффеоморфизмом. С помощью этого основного ре­ зультата можно определить, когда данное свойство, полученное средства­ ми параметризации, не зависит от этой параметризации. Такое свойство будет тогда локальным свойством множества С. Например, доказывается, что длина дуги, определённая в главе 1, не зависит от выбора параметризации (упражнение 15) и является, следова­ тельно, свойством С. Так как всегда возможно локально параметризовать кривую С длиной дуги, то свойства (кривизна, кручение и т. д.), опреде­ лённые посредством этой параметризации, являются локальными свой­ ствами С. Это показывает, что локальная теория кривых, изложенная в главе 1, остаётся в силе для регулярных кривых. Иногда поверхность задаётся перемещением некоторой регулярной кривой. Это имеет место в следующем примере. Рисунок 2.17. Реrулярная кривая Пример 4 (поверхности вращения). Пусть S cR 3 -- множество, полу­ ченное вращением регулярной плоской кривой С вокруг оси в плоскости,
98 ГЛАВА2 которая не пересекает кривую; выберем плоскость кривой в качестве xz -плоскости и ось вращения - в качестве оси z. Пусть x=f(v), z=g(v), a<v<b, f(v)>O, - параметризация С; обозначим и угол поворота вокруг оси z. Таким образом, мы получаем отображение х(и, v) = (f(v)cosи, f(v)sinи, g(v)) открытого множества И= {(и, v)E R 2; О< и< 2я, а< v < Ь} в S (рис. 2.18). Мы вскоре увидим, что х удовлетворяет требованиям к параметри­ зации в определении регулярной поверхности. Так как S можно пол­ ностью покрыть подобными параметризациями, то S есть регулярная по­ верхность, которая называется поверхностью вращения. Кривая С назы­ вается производящей кривой S, а ось z - осью вращения S. Окружности, описываемые точками С, называются параллелями S, а различные поло­ жения С на S - меридианами S. Чтобы показать, что х есть параметризация S, мы должны проверить условия 2 и 3 определения 1, раздел 2.2 . Условия 1 и 3 проверяются непо­ средственно, и мы оставляем их читателю. Чтобы доказать, что х есть го­ меоморфизм, покажем сначала, что х взаимно однозначно. В самом деле, так как (f(v), g(v)) - параметризация С, зная z и х 2 +у 2 = (f(v)) 2 ,мы можем однозначно определить v. Таким образом, х взаимно однозначно. z х Рисунок 2.18. Поверхность вращения Заметим что снова, потому что (/(v), g(v)) - параметризация С, v есть непрерывная функция z и ~х2 + у 2 и, следовательно, непрерывная функция (x,y,z).
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 99 Чтобы доказать, что х- 1 непрерывно, остаётся показать, что и - не­ прерывная функция (x,y,z). Чтобы это увидеть, заметим сначала, что при и =f . Л, поскольку f(v) =f . О, мы получаем следовательно, sin ~ 2sin ~cos~ tg~== __2_ == 2 2== sinи 2 cos~ 2cos2~ 1+cosи == 2 2 _L f(v) I+-x- f(v) у - у u-2arctg ~· х+'\[х2 +у2 Таким образом, если и"# те, и - непрерывная функция (x,y,z). Рассуждая так же, если и принадлежит малому интервалу, содержащему я, получаем и=2arcctg ~- -х+ х2 +у2 Таким образом, и есть непрерывная функция (x,y,z). Это показывает, что -1 х непрерывно, и завершает проверку. Замечание 4. Существует незначительная проблема в связи с нашим определением поверхности вращения. Если С с R 2 - замкнутая регуляр­ ная плоская кривая, которая симметрична относительно оси r в R 3 , то, вращая С вокруг r, мы получаем поверхность, регулярность которой можно доказать и которая также может быть названа поверхностью вра­ щения (когда С - окружность и r содержит диаметр С, поверхность яв­ ляется сферой). Чтобы подогнать эту поверхность под наше определение, мы должны исключить две её точки, а именно точки, где r пересекает С. По техническим соображениям мы хотим сохранить предыдущую терми­ нологию, будем называть последние поверхности обобщёнными поверхно­ стями вращения. Теперь следует дать заключительный комментарий относительно на­ шего определения поверхности. Мы предпочли определить (регулярную) поверхность как подмножество в R 3 . Если мы хотим рассматривать, кроме
100 ГЛАВА2 локальных, глобальные свойства поверхностей, это правильная установка. Читатель может удивиться, однако, тому, почему мы не определили по­ верхность просто как параметризованную поверхность, как в случае кри­ вых. Это можно сделать, и этот способ действительно был представлен в некотором массиве классической литературы по дифференциальной гео­ метрии. Не было никакого серьёзного ущерба, пока рассматривались толь­ ко локальные свойства. Однако при таком подходе основные глобальные понятия, подобные ориентации (будет рассмотрена в разделах 2.6 и 3.1), вынужденно опускаются или трактуются неадекватно. Во всяком случае иногда понятие параметризованной поверхности оказывается полезным и должно быть сюда включено. Определение 2. Параметризованной поверхностью х: Ис R 2 ~ R 3 на­ зывается дифференцируемое отображение х открытого множества Ис R 2 вR3 . Множество х( И) с R 3 называется следом х. Поверхность х называет­ ся регулярной, если дифференциал dxq : R 2 ~ R 3 является взаимно одно­ значным отображением при всех qE И (то есть векторы дх/ди, дх/дv ли­ нейно независимы при всех qE И). Точка рЕ И, где dxq не является вза­ имно однозначным, называется особой точкой х. Заметьте, что след параметризованной поверхности, даже регулярной, может иметь самопересечения. Пример5. Пусть а:1~R3 - регулярная параметризованная кри­ вая. Положим x(t,v)=a(t)+va'(t), (t,v)E /xR. х есть параметризованная поверхность, называемая поверхностью каса­ тельных а (рис. 2.19). Предположим теперь, что кривизна k(t), t Е 1, кривой а не равна нулю при любом t Е 1, и ограничим область определения х до И = ={(t,v)E/xR; v:FO}. Тогда и дх '() " -=а t +va (t), дt дх = a'(t) дv дх дх "() ') - л- =vatла(t*О, дt дv (t,v)EU,
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ так как при любом t кривизна (см. упражнение 12 раздела 1.5) k(t)= 1 a"(t)лa'(t)1 1a'(t) /3 101 не равна нулю. Отсюда следует, что ограничение х: И~ R 3 есть регуляр­ ная параметризованная поверхность, след которой состоит из двух связных кусков, общей границей которых является множество а(!). Следующее предложение показывает, что на регулярные параметри­ зованные поверхности можно распространить локальные понятия и факты дифференциальной геометрии. Рисунок 2 .19. Поверхность касательных Предложение 2. Пусть х: И cR 2 ~R 3 - регулярная параметризо­ ванная поверхность и qE И. Тогда существует такая окрестность V точкиqвR2 , чт о x(V) с R 3 есть регулярная поверхность. ДоКАЗАТЕЛЬСТВО. Это предложение опять является следствием теоре­ мы об обратной функции. Выпишем х(и, v) = (х(и, v),y(u, v),z(u, v)). В силу регулярности можно считать, что (д(х,у)/д(и, v))(q) ,с О. Опреде­ лимотображение F : ИхR~R3 , полагая F(u,v,t)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)+t), (u,v)EU, tER.
102 ГЛАВА2 Тогда det(dF ) = d(x,y) +'=О. q d(u,v) По теореме об обратной функции, существуют такие окрестности W1 точки q и W2 точки F(q), что F: W1 ~ W2 есть диффеоморфизм. Положим V = W1 n И и заметим, что ограничение F 1V=х1 V. Таким образом, x(V) диффеоморфно V и, следовательно, является регулярной поверхностью. D УПРАЖНЕНИЯ* 1*.Пусть S 2 ={(x,y,z)ER 3 ;x 2 +y 2 +z 2 =1} иА:S2~S2 - отображение (антиподш~ьное) Докажите, что А - диффеоморфизм. единичная сфера A(x,y,z) = (-x,-y,-z). 2.Пусть SсR3 - регулярная поверхность и ;r : S ~ R 2 - отображение, которое переводит каждую точку р Е S в её ортогональную проекцию на R 2= {(x,y,z)E R 3; z =О}. Является ли ;r дифференцируемым? 3. Покажите, что параболоид z = х 2 + у 2 диффеоморфен плоскости. 4. Постройте диффеоморфизм между эллипсоидом исферой х2+у 2 +z2 =1. х2у2z2 -+ -+-=1 а2ь2с2 5*. Пусть SсR3 - регулярная поверхность и d : S ~ R задано равен­ ством d(p)=lp-p0 I, где pES, p 0 ER 3, p0 ~S, то есть d -рассто­ яние от р до фиксированной точки р0 , не лежащей на S. Докажите, что функция d дифференцируема. 6. Докажите, что определение дифференцируемого отображения поверх­ ностей не зависит от выбора параметризаций. ' Те, кто опустил доказательства этого раздела, должны опустить также упражнения 13-16.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 103 7. Докажите, что отношение« S1 диффеоморфна S2 » есть отношение экви­ валентности на множестве регулярных поверхностей. 8*.Пусть S 2 ={(x,y,z)ER 3 ;x 2 +y 2 +z 2 =1} и H={(x,y,z)ER 3 ; х2+ +у 2 - z 2 = 1}. Обозначим N =(О, О, 1) и S =(О, О, -1) северный и южный полюсы S 2 соответственно и определим F: S 2 -{N}u{S}~Н следую­ щим образом. Пусть для каждой точки рЕ S 2 - {N}u{S} перпендикуляр из р на ось z пересекает Oz в точке q. Рассмотрим луч Z с началом в точке q, содержащий р. Тогда F(p) = Zn Н (рис. 2.20). Докажите, что F - диффеоморфизм. 9. а. Определите понятие дифференцируемой функции на регулярной кри­ вой. Что нужно доказать, чтобы определение имело смысл? Не доказывай­ те этого сейчас. Если вы опустили доказательства в этом разделе, вас по­ просят сделать это в упражнении 15. у Рисунок 2.20 Ь. Покажите, что отображение Е: R~ S1 = {(х,у)Е R 2 ; х 2 +у 2 =1}, где E(t)=(cost,sint), tER, дифференцируемо (геометрически Е «обёртывает» S 1 посредством R). 10. Пусть С - плоская регулярная кривая, которая лежит по одну сторону прямой r этой плоскости и пересекает r в точках p,q (рис. 2.21). Каким условиям должна удовлетворять С, чтобы гарантировать, что вращение С вокруг r порождает обобщённую (регулярную) поверхность вращения?
104 ГЛАВА2 r р q Рисунок 2.21 11. Докажите, что повороты поверхности вращения S вокруг её оси явля­ ются диффеоморфизмами S . 12. Параметризованные поверхности часто бывают полезны для описания множеств I:, которые являются регулярными поверхностями, за исклю­ чением конечного числа точек и конечного числа линий. Например, пусть С - след регулярной параметризованной кривой а : (а, Ь) ~ R 3 , которая не проходит через начало координат О= (О, О, О). Пусть I: - множество, образованное перемещением прямой !, проходящей через текущую точку р Е С и фиксированную точку О (конус с вершиной О; см. рис. 2.22). о Рисунок 2.22 а. Найдите параметризованную поверхность х, следом которой является I:. Ь. Найдите точки, где х не является регулярной. с. Что нужно исключить из I:, чтобы оставшееся множество было регу­ лярной поверхностью? 13*. Покажите, что определение дифференцируемости функции f: V с с S ~ R, данное в тексте (определение 1), равносильно следующему: f
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 105 дифференцируема в точке рЕ V, если она является ограничением на V дифференцируемой функции, определённой на открытом множестве R 3 , содержащем р. (Если бы мы исходили из этого определения дифферен­ цируемости, мы могли бы определить поверхность как множество, которое локально диффеоморфно R 2 ; см. замечание 3). 14. Пусть А с S - подмножество регулярной поверхности S. Докажите, что А само является регулярной поверхностью тогда и только тогда, когда А открытовS,тоесть А=ИпS,гдеИ - открытоемножествовR3 . 15.Пусть С - регулярнаякриваяиа:/сR~С, fЗ:JcR~С - две параметризации С в окрестности точки р Е а(/) п fJ(J) = W . Пусть h =а- 1 аfЗ: д-1(W)~ a- 1 (W) есть замена параметра. Докажите, что а) h есть диффеоморфизм; Ь) абсолютная величина длины дуги С в W не зависит от выбора парамет­ ризации, посредством которой она определена, то есть 1J;0 1a'(t)1dt1=1J;0 1/З'(т)dт1, t =h(т), tE /, 7:Е J. 16*.Пусть R 2={(x,y,z)ER3; z=-1} отождествляется с комплексной плоскостью С соглашением (х,у,-1)=х +iy =( Е С. Пусть Р: С~С комплексный многочлен Р(()=а0(п+a1(n-I +...+ап, а0*О, а1ЕС, i=1,...,п. Обозначим !lN стереографическую проекцию S 2 = ((x,y,z)E R 3; х2+у2 +z 2 = 1} изсеверногополюса N=(О,О,1) наR2 . Докажите, что отображение F : S 2 ~S2 , зад анн ое равенствами F(p)=trЛ? oPotrN(p), если РЕ S 2 -{N}, F(N)=N, дифференцируемо. 2.4. Касательная плоскость. Дифференциал отображения В этом разделе мы покажем, что условие 3 в определении регулярной поверхности S гарантирует, что для каждой точки р Е S множество каса-
106 ГЛАВА2 тельных векторов к параметризованным кривым на S, проходящим че­ рез р, образует плоскость. Под касательным вектором к S в точке р Е S мы подразумеваем ка­ сательный вектор а'(О) дифференцируемой параметризованной кривой а:(-е,е)~S,где а(О) =р. Предложение 1. Пусть х: UcR 2 ~S - параметрuзация регулярной поверхности S и qE И Векторное подпространство размерности 2 dxq(R2) cR 3 совпадает с мно;ж;еством касательных векторов к S в точке x(q). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть w - касательный вектор в точке x(q), то есть w=a'(O), где а: (-e,e)~x(U)cS дифференцируема и a(O)=x(q). Согласно примеру 2 раздела 2.3, кривая fJ =х- 1 оа: (-е,е) ~И дифферен­ цируема. По определению дифференциала (приложение к главе 2, опреде­ ление 1), dxq(fJ'(O)) = w . Следовательно, wE dxq(R 2 ) (рис. 2.23). С другой стороны, пусть w = dхq(v), где vЕR2 . Очевидно, что v есть вектор скорости кривой у : (-е, е) ~ И , заданной уравнением y(t)=tv+q, lE(-t:,t:). По определению дифференциала, w = а'(О), где а =хо у. Это показывает, что w есть касательный вектор. о В силу предыдущего предложения плоскость d х q ( R 2 ), которая про­ ходит через точку x(q) = р, не зависит от параметризации х. Эта плоскость будет называться касательной плоскостью к S в точке р и обозначаться TP(S). Выбор параметризации х определяет базис {(дх/ди)(q), (дх/дv)(q)} плоскости ТР (S), который называется присоединённым к х. Иногда удоб­ но записывать дх/ди = хи и дх/дv = xv . Координаты вектора wE Т /S) в базисе, присоединённом к параме­ тризации х, определяются следующим образом. w есть вектор скорости кривой а =хо fJ, где fJ: (-е, е) ~И задаётся равенством fJ(t) = (и(t), v(t)) при условии /J(O) = q =х- 1 (р). Таким образом, d d а(О) =-(хо /J)(O) =-х(и(t), v(t))(O) = dt dt =xu(q)и'(O) + xv(q)v'(O) = w .
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 107 Таким образом, в базисе {xu(q), xv(q)} вектор w имеет координаты (u'(O),v'(O)), где (и(t), v(t)) есть выражение в параметризации х кривой, вектор скорости которой в точке t = О равен w. Имея понятие касательной плоскости, мы можем говорить о диф­ ференциале (дифференцируемого) отображения поверхностей. Пусть S1 и S2 - две регулярные поверхности, и пусть rp: V с S1 -7 S2 - диффе­ ренцируемое отображение открытого множества V поверхности S1 в S2 . Если рЕ V, мы знаем, что каждый касательный вектор wE Tp(S1) равен вектору скорости а'(О) дифференцируемой параметризованной кривой а: (-Е:, Е:) -7 V, где а(О) =р. Кривая р =rp о а такова, что Д(О) =rp(p), и, следовательно, р'(О) есть вектор Trp(p)(S 2 ) (рис. 2.24). о "' -- / v (З'(О) и Рисунок 2.23 Предложение 2. В предыдущих рассуждениях, при заданном векто­ ре w, вектор fJ'(O) не зависит от выбора а. Отображение drpP: T/S1)-7 -7 Тrp(p)(S2 ), определённое равенством drpp(w)= fJ'(O), линейно.
108 ГЛАВА2 d<p,(w) 'Р - Рисунок 2.24 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство аналогично тому, которое дано для евклидовых пространств (см. предложение 7, приложение к главе 2). Пусть х(и, v), х (И, v) - параметризации в окрестностях р и rp(p) соответствен­ но. Предположим, что rp в этих координатах выражается равенством и а - равенством a(t)=(u(t), v(t)), tE (-ё,ё). Тогда /J(t) = (rp1(u(t), v(t)), rp2 (u(t), v(t))), и /3'(0) имеет следующее выраже­ ние в базисе {хи, xv- }: fЗ'(О) = (дtр1 u'(O) + дtр1 v'(O), дtр2 и'(О) + дtр2 v'(o)). ди дv дu дv Предыдущее выражение показывает, что fJ'(O) зависит только от ото­ бражения rp и координат (и'(О), v'(O)) вектора w в базисе {х и• xv}. Следо­ вательно, fЗ'(О) не зависит от а. Кроме того, это выражение показывает, что fJ'(O)=drp (w)=[: ~](u'(O)], Р дtр2 дtр2 v'(O) ди дv то есть drpp - линейное отображение Tp(S1) в Trp(p)(S2 ), матрица которо­ го в базисах {xu,xv} плоскости Tp(S1) и {х и' х v-} плоскости Trp(p)(S2 ) именно та, которая приведена выше. О
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ !09 Линейное отображение dqJP' определённое предложением 2, называ­ ется дифференциалом (jJ в точке р Е S1 . Аналогично, мы определяем диф­ ференциал (дифференцируемой) функции f: И с S ~ R в точке р Е И как линейное отображение dfp : ТР (S) ~ R. Детали мы оставляем читателю. Пример1. Пусть vЕR3 - единичный вектор и h: S ~ R, h(p) =v · р, рЕS, - функция высот, определённая в примере 1 раздела 2.3 . Чтобы вычислить dhp(w), wE Tp(S), выберем дифференцируемую кривую а: (-в,в) ~ S, где а(О) = р, а'(О) = w. Так как h(a(t)) = a(t) · v, получаем dhp(w) =:ih(a(t))lt=o= а'(О) ·v = w ·v. Пример2.ПустьS2сR2 - единичная сфера S2 ={(x,y,z)ER 3 ;x 2 +y2+z 2 =1} иRz,e:R 3 ~R3 - поворот на угол В вокруг оси z. Тогда Rz, 8 , ограни­ ченное на S 2 , есть дифференцируемое отображение S2 (ер. пример 3 раз­ дела 2.3). Вычислим (dRz,8)p(w), рЕ S 2 , WE Tp(S 2 ). Пусть а: (-в,в)~ ~S2 - дифференцируемая кривая, где а(О) =р, а'(О) = w. Тогда, по­ скольку Rz, 8 линейно, (dRz е)р(w) = !!._(Rz е а a(t))= R" 0(а'(О))= R2 0(w). ' dt' -, ' Заметим, что R2 , 8 оставляет неподвижным северный полюс N = =(О, О, 1) и что (dRz,e)н: Тн(S) ~ Тн(S) есть именно поворот на угол В в плоскости TN(S). Итогом сделанного к настоящему моменту является распространение понятий дифференциального исчисления в R 2 на регулярные поверхно­ сти. Поскольку дифференциальное исчисление является, по существу, ло­ кальной теорией, мы определили объект (регулярная поверхность), кото­ рый локально, с точностью до диффеоморфизма, является плоскостью, и это распространение стало тогда естественным. Можно ожидать поэто­ му, что основная теорема об обратной функции распространяется на диф­ ференцируемые отображения поверхностей. Будем говорить, что отображение ер: И с S1 ~ S2 локально диффео­ морфно в точке р Е И, если существует такая окрестность V с И точки р, что ограничение (jJ на V есть диффеоморфизм на открытое множество
110 ГЛАВА2 rp(V) с S2 . В этой терминологии вариант теоремы об обратной функции ДJIЯ поверхностей формулируется следующим образом. Предложение 3. Если S 1 и S 2 - регулярные поверхности и rp: Ис S 1~ ~s 2 - такое дифференцируемое отобра:ж:ение открытого мно:жества UcS1 , что дифференциал drpP отобра:жения rp в точке рЕ И есть изо­ морфизм, то rp есть локальный диффеоморфизм. Доказательство состоит в непосредственном применении теоремы об обратной функции в R 2 и будет оставлено в каqестве упражнения. Конеqно, все другие понятия дифференциального исqисления, подоб­ но понятиям критических тоqек, регулярных значений и т. д., естественно распространяются на функции и отображения, определённые на регуляр­ ных поверхностях. Понятие касательной плоскости позволяет также говорить об угле меду двум поверхностями в точке их пересечения. Для данной точки р на регулярной поверхности S существуют два единичных вектора R 3 , которые перпендикулярны касательной rшоскости ТР (S); каждый из них называется нормальным вектором в точке р. Пря- мая, которая проходит через точку р и содержит единичный нормальный вектор в р, называется нормалью в р. Угол между двумя пересекаю­ щимися поверхностями в точке пересечения р есть угол между их каса­ тельными плоскостями (или нормалями) в р (рис. 2.25). Фиксируя параметризацию х: И с R 2 ~ S в точке р Е S, мы можем .... -::.-::-; - ::::.- / 1 1 1 1 1 г----- ----- , / 1 1 / 1 1/ J------- ------\ / _.. , х - ~-=--=-~":о- .::- .::-:::.:::_\ 1 р / 1 1 / \ / l ______________ _, -- --- --- -- --- ---- Рисунок 2.25
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 111 сделать определённый выбор единичного нормального вектора в каждой точке q Е х (И) по правилу N(q)= хилxv (q). \XuЛХv\ Таким образом, мы получаем дифференцируемое отображение N : х(И) ~ ~R 3 . Мы увидим позднее (разделы 2.6 иЗ.1), что не всегда можно рас­ пространить это отображение дифференцируемым образом на всю поверх­ ность S. Прежде чем завершить этот раздел, сделаем некоторые замечания по вопросу дифференцируемости. Данное определение регулярной поверхности требует, чтобы парамет­ ризации были класса С"", то есть чтобы они обладали непрерывными ча­ стными производными всех порядков. В задачах дифференциальной гео­ метрии нам требуются, вообще говоря, существование и непрерывность частных производных только до некоторого порядка, который меняется в зависимости от характера задачи (очень редко требуется более четырёх производных). Например, существование и непрерывность касательной плоскости за­ висят только от существования и непрерывности первых частных произ­ водных. Может случиться поэтому, что график функции z = f(x,y) допус­ кает касательную плоскость в каждой точке, но функция не является дос­ таточное число раз дифференцируемой, чтобы удовлетворять определению регулярной поверхности. Это имеет место в следующем примере. Пример 3. Рассмотрим график функции z = '{} (х 2 + у2 ) 2 , порождаемый вращением кривой z = х 4 / 3 вокруг оси z. Так как кривая симметрична отно­ сительно оси z и функция имеет непрерывную производную, которая об­ ращается в нуль в начале координат, очевидно, что график функции z=V(x 2 +y 2 ) 2 имеет ху- плоскость в качестве касательной плоскости в начале координат. Однако частная производная zxx не существует в на­ чале координат и рассматриваемый график не является регулярной поверх­ ностью, как она была определена выше (см. предложение 3 раздела 2.2). Мы не намерены вникать в такого сорта проблемы. Предположение о классе С"" в определении было принято именно для того, чтобы избе­ жать исследования минимальных условий дифференцируемости, требуе­ мых в каждом частном случае. Эти тонкости представляют интерес, но они
112 ГЛАВА2 моrут в конечном итоге скрыть геометрическую природу задач, с которы­ ми мы здесь имеем дело. УПРАЖНЕНИЯ 1*.Покажите, что уравнение касательной плоскости в точке (x0 ,y0 ,z0 ) ре­ rулярной поверхности, заданной уравнением f(x,y,z)=O, где О является реrулярным значением/, имеет вид fx (xa,Ya,Zo)(X -хо)+ /v(Xo,Yo,Zo)(y- Уо) + J;.(xo,Yo,Zo)(z - Zo) =О. 2. Найдите касательные плоскости поверхности х 2 +у 2 - z 2 = 1вточках (х,у,О) и покажите, что они параллельны оси z. 3. Покажите, что уравнение касательной ruюскости поверхности, кото­ рая является графиком дифференцируемой функции z = f(x,y), в точке р0 =(х0 ,у0 ) имеет вид z == Лхо,Уо) + fx(xo,Yo)(x-xo) + f/xo,Yo)(y- Уо). Вспомните определение дифференциала df функции f : R 2 ~ R и покажите, что касательная плоскость является графиком дифференциала dfР • 4*. Покажите, что все касательные плоскости поверхности, заданной урав­ нением z == х f(y / х), х :;t: О, где f - дифференцируемая функция, прохо­ дят через начало координат {О, О, О). 5. Покажите, что если координатная окрестность реrулярной поверхности может быть параметризована в виде х(и,v) == а1(и)+a2(v), где а1 и а2 - реrулярные параметризованные кривые, то все касательные плоскости вдоль фиксированной координатной линии этой окрестности параллельны некоторой прямой. 6.Пустьа:I~R3 - реrулярная параметризованная кривая со всюду не равной нулю кривизной. Рассмотрите поверхность касательных а (при­ мер 5 раздела 2.3) x(u,v)==a(t)+va'(t), !Е l, v:;t:O.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 113 Покажите, что все касательные плоскости вдоль кривой x(t, const) совпа­ дают. 7.Пустьf:S~Rзаданаравенством f(p)= 1р-р01 2 , гдерЕSир0- фиксированная точка R 3 (см. пример 1 раздела 2.3). Покажите, что dfp(w) = 2w· (р- р0 ), WE Tp(S). 8. Докажите, что если L : R 3 ~R3 - линейное отображение и S с R 3 - регулярная поверхность, инвариантная относительно L, то есть L(S) с S, то ограничение L / S есть дифференцируемое отображение и dLp(w)=L(w), pES, wETp(S). 9. Покажите, что параметризованная поверхность х(и, v) = (vcosu, vsinи, аи), а=!= О, регулярна. Найдите её нормальный вектор N(и, v) и покажите, что вдоль координатной прямой и = и0 касательная плоскость х вращается вокруг этой прямой так, что тангенс угла, образуемого ею с осью z, пропор- ционален расстоянию v = ~х2 + у2 точки х(и0,v0 ) от оси z. 10. (Трубчатые поверхности.) Пусть а: 1 ~ R 3 - регулярная параметри­ зованная кривая со всюду не равной нулю кривизной и длиной дуги в ка­ честве параметра. Пусть x(s, v) = a(s) + r (n(s)cosv + b(s)sin v), r = const =!=О, s Е 1, - параметризованная поверхность (трубка радиуса r вокруг а), где п - нормальный, а Ь - бинормальный вектор а. Покажите, что, когда х регу­ лярна, её единичный нормальный вектор равен N(s, v) = - (n(s)cosv + b(s)sin v). 11. Покажите, что все нормали параметризованной поверхности, заданной уравнением х(и, v) = (f(и)cosv, f(и)sin v, g(и)), f(u) =!=О, g' =!=О, пересекают ось z. 12*. Покажите, что каждое из уравнений (а,Ь,с =/=О) х2+у2+z2 =ах,
114 ГЛАВА2 х2+у2 +z2=Ьу, х2 +у 2 +z 2=cz определяет регулярную поверхность и они пересекаются ортогонально. 13. Критическая точка дифференцируемой функции f : S ~ R, опреде­ лённой на регулярной поверхности S, есть такая точка р Е S , что dfp =О. а*. Пусть функция f: S ryR задана равенством /(р) =1 р- р0 1, рЕ S, р0 ~ S (ер. упражнение 5, раздел 2.3). Покажите, что рЕ S является кри­ тической точкой тогда и только тогда, когда прямая, соединяющая р с р0 , является нормалью к S в точке р. Ь.Пусть функция h:S ~R задана равенством h(p)=р ·v, где vЕR3 - единичный вектор (ер. пример 1, раздел 2.3). Покажите, что рЕ S явля­ ется критической точкой h тогда и только тогда, когда v - нормальный вектор S в точке р. 14*. Пусть Q - объединение трёх координатных rшоскостей х =О, у= О, z=O. Пусть p=(x,y,z)ER 3 -Q. а. Покажите, что уравнение относительно / х2у2z2 --+ --+ --=/(1)=1, а>Ь>с>О, а-1 b-t с-1 имеет три различных вещественных корня 11, 12 , 13. Ь. Покажите, что для каждой точки р Е R 3 - Q множества, заданные урав­ нениями /(!1)-1 =О, f(t2 )-1 =О, f(t3 )-1 =О, являются попарно ор­ тогональными регулярными поверхностями, проходящими через точку р. 15. Покажите, что если все нормали связной поверхности проходят через фиксированную точку, то поверхность лежит на сфере. 16. Пусть w - касательный вектор регулярной поверхности S в точке рЕ S и x(u, v) их (И, v) - две параметризации в точке р. Предположите, что выражения w в базисах, ассоциированных с х(и, v) и х (И, v), таковы:
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 115 и w= /31 хи+/32 Xv-. Покажите, что координаты w связаны соотношениями дu дu /31=а1ди+azдv, дv дv /32=aiди+а2дv, где И= U(u, v) и v = v(u, v) - выражения замены координат. 17*. Две регулярные поверхности S1 и S2 пересекаются транверсшtьно, если из условия рЕ S1 пS2 следует, что TP(S1)-/= TP(S2 ). Докажите, что если S1 пересекает S2 трансверсально, то S1 п S2 является регулярной кривой. 18. Докажите, что если регулярная поверхность S пересекает плоскость Р в единственной точке р, то эта ruюскость совпадает с касательной плоско- стьюsвр. 19.Пусть SсR3 - регулярная поверхность и Р с R 3 - плоскость. Дока­ жите, что если все точки S находятся по одну сторону плоскости Р, то Р касается S в каждой точке пересечения Р п S. 20*. Покажите, что ортогональные проекции центра (О, О, О) эллипсоида х2у2z2 -+-+-=1 а2ь2с2 на его касательные плоскости образуют регулярную поверхность, задан­ ную следующим образом: {(x,y,z)ER3 ;(х 2 +у 2 +z 2 )2 =а 2 х2 +Ъ2у2 +c 2 z 2 }-{(0,0,0)}. 21*. Пусть f: S ~R - дифференцируемая функция на связной регуляр­ ной поверхности. Предположите, что dfP =О для любой точки р Е S. До­ кажите, что f постоянна на S. 22*. Докажите, что если все нормали связной регулярной поверхности пе­ ресекают фиксированную прямую, то S есть поверхность вращения. 23. Докажите, что отображение F: S 2 ~S2 , опр еде лён ное в упражнении 16 раздела 2.3, имеет только конечное число критических точек (см. упражне­ ние 13).
116 ГЛАВА2 24. (Цепное правило.) Покажите, что если (j): S1 -4 S2 и lf/ : S2 -4 S1 - дифференцируемые отображения и рЕ S, то d(lf/ о rp) р = dlf/rp(p) о drpp. 25. Докажите, что если две регулярные кривые С1 и С2 на регулярной по­ верхности S касаются в точке р Е S и отображение rp: S -4 S есть диффе­ оморфизм, то ф(С1 ) и qJ(C2 ) - регулярные кривые, которые касаются в точке rp(p). 26. Покажите, что если р - точка регулярной поверхности S, то можно, при подходящем выборе координат (x,y,z), задать окрестность точки р на S уравнением вида z = f(x,y), где f(O, О)= О, fx(O, О)= О, fy(O, О)= О. (Это равносильно выбору касательной плоскости S в точке р в качестве х у-плоскости.) 27. (Теория касания.) Говорят, что две регулярные поверхности S и S, ко­ торые имеют общую точку р , имеют соприкосновение порядка ~ 1 в точ­ ке р, если существуют определённые в одной и той же области парамет­ ризации х (и, v), х(и,v) вточке р поверхностей S1 иS2 соответственно, такие, что х и= х и, х v = х v в точке р. Если, кроме того, некоторые из вто­ рых частных производных различны в точке р, говорят, что порядок со­ прикосновения в точности равен 1. Докажите, что а) касательная плоскость Tp(S) регулярной поверхности S в точке р име­ ет в точке р соприкосновение с поверхностью порядка ~ 1; Ь) если плоскость имеет соприкосновение порядка ~ 1 с поверхностью S в точке р , то эта плоскость совпадает с касательной плоскостью S в точке р; с) две регулярные поверхности имеют соприкосновение порядка ~ 1 тогда и только тогда, когда они имеют общую касательную плоскость в точке р, то есть касаются в р; d) если две регулярные поверхности S и S в R 3 имеют соприкосновение порядка~1вточкериF:R 3 -4R 3 - диффеоморфизм, то образы F(S)
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 117 и F(S) являются регулярными поверхностями, которые имеют соприкос­ новение порядка :2': 1 в точке F(p) (то есть свойство соприкосновения по­ рядка :2': 1 инвариантно относительно диффеоморфизмов); е) если две поверхности имеют соприкосновение порядка :2': 1 в точке р, то lime___, 0 (d/r) ==О, где d - длина отрезка, определяемого точками пере­ сечения с поверхностями некоторой прямой, параллельной их общей нор­ мали, на расстоянии r от этой нормали. 28. а. Определите регулярное значение дифференцируемой функции f: S ~ R на поверхности S. Ь. Покажите, что прообраз регулярного значения дифференцируемой функции на регулярной поверхности S является регулярной кривой на S. 2.5 . Первая основная форма. Площадь До сих пор мы рассматривали поверхности с точки зрения дифферен­ цируемости. В этом разделе мы начнём изучение дополнительных геомет­ рических структур, которые несёт поверхность. Наиболее важной из них является, видимо, первая основная форма, которую мы сейчас опишем. Естественное скалярное произведение R 3 :::J S индуцирует в каждой касательной плоскости Tp(S) регулярной поверхности S скалярное произ- ведение,обозначаемое ( , ) :если w1, w2 Е ТР(S)сR3 , то(w1,w2)Р равно скалярному произведению w1 и w2 как векторов в R 3 . Этому скалярному произведению, которое является симметрической билинейной формой (то есть (w1, w2 ) == (w2 , w1) и (w1, w2 ) линейно по w1 и w2 ), соответствует квад­ ратичная форма 1Р : ТР ( S) ~ R, заданная равенством (1) Определение 1. Квадратичная форма 1Р на Тp(S), определённая ра­ венством (1), называется первой основной формой регулярной поверхно­ стиScR 3 в точке рЕ S. Следовательно, первая основная форма является просто выражением того, как поверхность S наследует естественное скалярное произведение
118 ГЛАВА2 вR3 . Геометрически, как мы скоро увидим, первая основная форма позво­ ляет осуществлять измерения на поверхности (длин кривых, углов между касательными векторами, площадей областей) без обращения к вмещаю- щему пространству R 3 , где лежит поверхность. Выразим теперь первую основную форму в базисе {х и, х v}, присое­ динённом к параметризации х (и, v) в р. Так как касательный вектор wE Tp(S) является касательным вектором параметризованной кривой o:(t) = =x(u(t),v(t)), tE (-е,е), где p=o:(O)=x(u0 ,v0 ), получаем 1Р (о:'(О)) = (о:'(О), о:'(О)) Р = =(xиu'+xvv', xuu'+xvv') р= = (х и•хи)р(u') 2 +2(хи'хv)рu'v'+(хv'хv)р(v') 2 = = E(u') 2 + 2Fu'v' + G(v') 2 , где участвующие значения функций вычислены при t = О, и Е(u0 ,v0 )=(хи,хи)р' F(u0 ,v0 )=(xи,xv)p' G(u0,v0) = (х v•x v)Р - коэффициенты первой основной формы в базисе {х и, х v} плоскости Tp(S). Когда р пробегает координатную окрестность, соответствующую x(u, v), мы получаем функции E(u, v), F(u, v), G(u, v), которые дифферен­ цируемы в этой окрестности. С этого момента мы будем опускать индекс р в обозначении скаляр- ного произведения ( , ) Р или квадратичной формы 1Р, когда из контек­ ста ясно, о какой точке Идёт речь. Будет удобно также обозначать естест­ венное скалярное произведение в R 3 тем же символом ( , ) , предпочи­ тая это предыдущему обозначению точкой. Пример 1. Параметризация плоскости Р с R 3 , проходящей через точку р0 = (x0 ,y0 ,z0 ) и содержащей ортогональные единичные векторы w1 = (а1 ,а2 ,а3 ), w2 = (ЬрЬ2 ,Ь3 ), задаётся следующим равенством: x(u,v)=р0+uw1+vw2, (и,v)ER2.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 119 Чтобы вычислить первую основную форму в произвольной точке Р, заме­ тим, что х и= w1, х v = w2 ; так как w1 и w2 - единичные ортогональные векторы, функции Е, F,G постоянны и выражаются равенствами Е=1,F=О,G=1. В этом тривиальном случае первая основная форма выражает, по су­ ществу, теорему Пифагора в плоскости Р, то есть квадрат длины векто- ра w с координатами а, Ь в базисе {хи,хv} равен а2 +Ь 2 . Пример 2. Прямой цилиндр с направляющей х 2 +у 2 = 1 допускает параметризацию х: И~ R 3 , где (рис. 2.26) x(u, v) = (cosu, sinu, v), U={(u,v)ER3 ; 0<u<2Jr, -oo<v<oo}. Чтобы вычислить первую основную форму, заметим, что хи= ( -sinu, cosu, О), Xv= (О, О, 1), и потому E=sin 2 u+cos 2 u=l, F=O, G=l. р v х Рисунок 2.26 Отметим, что, хотя цилиндр и плоскость - различные поверхности, мы получаем один и тот же результат в обоих случаях. Позже мы вернёмся к этому предмету (раздел 4.2).
120 ГЛАВА2 Пример 3. Рассмотрим винтовую линию, заданную параметризацией (соsи, sinи, аи) (см. пример 1, раздел 1.2). Через каждую точку винтовой линии проведём прямую, параллельную ху-шюскости и пересекающую ось z. Поверхность, образованная этими прямыми, называется геликоидом и допускает следующую параметризацию: х(и, v) = (vcosи, vsin и, аи), О< и< 2:тr, -оо < v <ею. х налагает открытую полосу шириной 2:тr в и,v-плоскости на часть гели­ коида, которая соответствует повороту на угол 2:тr при движении вдоль винтовой линии (рис. 2.27). z Рисунок 2.27. Геликоид Проверка того, что геликоид является регулярной поверхностью, проста и оставлена читателю. Вычисление коэффициентов первой основной формы в вышеприве­ дённой параметризации даёт E(и,v)=v2 +a 2 , F(и,v)=O, G(и,v)=l. Как мы упомянули раньше, важность первой основной формы исходит из того факта, что, зная !, мы можем трактовать метрические задачи на ре­ гулярной поверхности без дополнительного обращения к вмещающему пространству R 3 . Так, длина дуги s параметризованной кривой а : / ~ S находится по формуле t t s(t) =f1a'(t)1 dt =f ,J!(a'(t)) dt. ,, ~
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 121 В частности, если a(t) =x(и(t),v(t)) расположена в координатной окрест­ ности, соответствующей параметризации х(и, v), мы можем вычислить длину а, скажем, между точками О и t по формуле t s(t)= J~Е(и')2 +2Fи'v' +G(v') 2 dt. ;(1 (2) Далее, угол () между двумя параметризованными регулярными кри­ выми а:I ~S, fJ: ! ~S,пересекающимисявточке t=t0, находится по формуле В •шстности, угол (jJ между координатными линиями параметризации х(и, v) даётся формулой отсюда следует, что координатные линии параметризации ортогоншtьны тогда и только тогда, когда F(и, v) =О для любой точки (и, v). Такая па­ раметризация называется ортогоншtьной. Замечание. Исходя из равенства (2), многие математики говорят об «элементе» длины дуги ds на поверхности S и пишут ds 2 =Edu 2 +2Fdиdv+Gdv 2 , подразумевая тем самым, что если a(t) =х (и(t), v(t)) - кривая на S иs= s(t)- еёдлинадуги,то (ds) 2 = в(dи) 2 +2Fdиdv +o(dv) 2 dt dt dt dt dt Пример 4. Вычислим первую основную форму сферы в точке коорди­ натной окрестности, заданной параметризацией (ер. пример 1, раздел 2.2) x(u, v) = (sin ()coS(jJ, sin()sin ф, cos()). Во-первых, заметим, что х е(В, ер)= (cos8cosep, cos Bsin ер, - sin 8), x\1'(8,ep)=(-sin8sinep, sin8cosep, О).
122 Следовательно, ГЛАВА2 E(B,(fJ) =\хе, хе)= 1, F(B,(fJ) =(хе, х\1') =О, G(B,rp) = (xqi, xqi) = sin 2 В. Таким образом, если w - касательный вектор сферы в точке x(B,rp), за­ данный в базисе, присоединённом к параметризации x(B,rp), равенством w= ахе +bxrp, то квадрат длины w находится по формуле 1w\ 2 = /(w)=Еа 2 +2Fab+Gb2=а 2 +Ь 2 sin 2 В. В качестве приложения найдём кривые в этой координатной окрестно­ сти на сфере, образующие постоянный угол /3 с меридианами rp = const Эти кривые называются локсодромами (линиями румба) на сфере. Можно считать, что искомая кривая a(t) является образом при отобра­ жении х кривой (B(t), rp(t)) в Вtр-плоскости. В точке x(B,tp), где кривая пе­ ресекает меридиан tp = const, /З (хе, a'(t)) cos = -'--'-------'- 1хе11a'(t)1 в' так как в базисе {x 8 ,xrp} вектор a'(t) имеет координаты (В', rp'), а век­ тор хе имеет координаты (1, О). Отсюда следует, что (В')2 tg2 /3-(rp')2 sin2 В= О или В' rp' --=+- sin В - tg/3' откуда, интегрируя, получаем уравнение локсодром Intg(i J= ±(rp + c)ctg/3, где постоянная интегрирования с определяется заданием одной точки х (()0 , rp0 ), через которую проходит кривая. Другая метрическая задача, которая может быть обработана с по­ мощью первой квадратичной формы, - это вычисление (или определение) площади ограниченной области регулярной поверхности S. (Регулярной) областью на S называется открытое и связное подмножество S, граница
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 123 которого является образом окружности при дифференцируемом гомео­ морфизме, который регулярен (то есть его дифференциал отличен от нуля) всюду, кроме конечного числа точек. Замкнутой областью на S на­ зывается объединение области с её границей (рис. 2.28). Замкнутая область на S с R 3 называется ограниченной, если она содержится в некотором ша­ ре пространства R 3 . Рисунок 2.28 Мы будем рассматривать замкнутые ограниченные области R, кото­ рые содержатся в координатной окрестности х (И) параметризации х:ИcR 2 ~ S. Другими словами, R есть образ при отображении х замк­ нутой ограниченной области Q с И. Функция 1хи А xvl, определённая на И, есть величина площади парал­ лелограмма, порождаемого векторами хи и xv. Покажем, во-первых, что интеграл fQI Xu/\Xvl du dv не зависит от выбора параметризации х. В самом деле, пусть х :[J с R 2 ~ S - другая параметризация сRсх(U);положимQ=Г 1 (R). Пусть д(u, v)/д(u,v) - якобиан заме­ ны параметров h =х- 1 о х. Тогда fJQI х и/\ х vldii dV =fJQIXu/\Xvll~i;: ~ldii dV = = fJQIXu/\Xvldudv, где последнее равенство следует из теоремы о замене переменных в крат­ ных интегралах (ер. Buck Advanced Calculus, р. 304). Утверждение о неза­ висимости, следовательно, доказано, и мы можем дать следующее опреде­ ление.
124 ГЛАВА2 Определение 2. Пусть RcS - замкнутая ограниченная область на регулярной поверхности, содер:ж:ащаяся в координатной окрестности па- раметризации х: Ис R 2 ~ S. Поло:ж:ительное число называется площадью R. Существуют некоторые геометрические обоснования такого определе­ ния, и одно из них будет приведено в разделе 2.8 . Полезно заметить, что 2( )2 2 2 fxuлxvf + Х и,х v =fxuf fxvf ' и это показывает, что подынтегральную функцию в A(R) можно записать в виде fxuлxvl =.JEG-F 2 . Следует также заметить, что в большинстве примеров требование, чтобы замкнутая область R содержалась в некоторой координатной окре­ стности, не очень важно, так как существуют координатные окрестности, которые покрывают всю поверхность, кроме некоторых кривых, которые не влияют на площадь. Пример 5. Вычислим площадь тора примера 6, раздел 2.2 . .Цr~я этого рассмотрим координатную окрестность, соответствующую параметризации х(и, v) =((а+ r cosи)cos, (а+ rcosи)sin v, rsinи), О<и<2к, О<v<2к, которая покрывает весь тор, кроме одного меридиана и одной параллели. Коэффициенты первой основной формы таковы: E=r 2 , F=O, G=(rcosи+a) 2 ; следовательно, .JEG-F 2 = r(rcosи +а). Рассмотрим теперь замкнутую область RE, полученную в качестве образа при отображении х замкнутой области Q (рис. 2.29), заданной ра­ венством ( t: > О и мало) Q={(и,v)ER 2 ; O+esиs2n-e, O+esvs2n-e}.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Используя определение 2, получаем A(RlJ=JL r(rcosи+а)du dv = QE l2Л:-Е 2 i2Л:-Е = (r cosu + ra)du dv= O+t: O+t: =r 2 (27r - 2е)(sin(2ir - е)- sin е) + ra(2ir - 2е) 2 . v z 2'11" е Q, ~ 2е х е и о е 27Г Рисунок 2.29 Устремляя t: ~ О в предыдущем выражении, получаем А(Т) = lim A(Rt:) = 4я 2 rа. Е--70 2е 125 Это совпадает с величиной, найденной элементарными вычислениями, ска­ жем, с использованием теоремы Паппа для площади поверхностей вра­ щения (ер. упражнение 11 ). УПРАЖНЕНИЯ 1. Вычислите первую основную форму следующих параметризованных поверхностей там, где они регулярны: а. x(u,v)=(asinucosv, bsinusinv, ccosu); эллипсоид; b.x(u,v)=(aucosv, businv, u 2 ); эллиптический параболоид; с. х(и, v) = (auchv, Ьи shv, и 2 ); гиперболический параболоид; d. х(и, v) = (ashucosv, bshusin v, cchu); двуполостный гиперболоид. 2. Пусть х(8, rp) = (sin8cosrp, sin Bsinrp, cos8) - параметризация единич­ ной сферы S 2 . Пусть Р - плоскость х = zctga, О< а< я, и /3 - острый угол, который кривая Р п S 2 образует с полумеридианом rp = Фо. Вычис­ лите cos/3.
126 ГЛАВА2 3. Найдите первую основную форму сферы в параметризации, определя­ емой стереографической проекцией (ер. упражнение 16, раздел 2.2). 4. Покажите, что для данной параметризованной поверхности х(и, v) = (ucosv, usin v, lncosv +и), _!! _ < v < 1r, 2 2 две кривые х(щ, v), х(и2 , v) отсекают отрезки одной и той же длины на всех кривых х(и, const). 5. Покажите, что площадь А замкнутой ограниченной области R на по­ верхности z = f(x,y) равна 6. Покажите, что А= ffQ~l + fx 2 + f} dxdy. х(и, v) = (usinacosv, usinasin v, ucosa), О<и<ех>, О<v<2я, а=const, есть параметризация конуса с углом 2а при вершине. Докажите, что в со­ ответствующей координатной окрестности кривая x(cevsinactgp, v), с= const, fЗ= const, пересекает образующие конуса (v = const) под постоянным углом fЗ. 7. Координатные линии параметризации х(и, v) образуют чебышевскую сеть, если длины противоположных сторон любого образованного ими че­ тырёхугольника равны. Покажите, что необходимыми и достаточными ус­ ловиями для этого являются равенства дЕ=дG=О. дv ди 8*. Докажите, что, когда координатные линии образуют чебышевскую сеть (см. упражнение 7), можно заново параметризовать координатную окрест­ ность таким образом, что новые коэффициенты квадратичной формы бу­ дут таковы: E=l, F=cosB, G=l, где В - угол между координатными линиями. 9*. Покажите, что поверхность вращения всегда можно параметризовать так, что E=E(v), F=O, G=l.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 127 10. Пусть Р = {(x,y,z)E R 3 ; z =О} - ху-плоскостьих:И~Р - пара­ метризация Р, заданная равенством х(р, В)= (pcosB, psinB), где И={(р,В)ЕR2 ; р>О,О<8<2я}. Вычислите коэффициеmы первой основной формы Р в этой параметри­ зации. 11. Пусть S - поверхность вращения и С - её производящая кривая (ер. пример 4, раздел 2.3). Пусть s - длина дуги С и р = p(s) - расстоя- ние до оси вращения от точки С, соответствующей s. а. (Теорема Паппа.) Покажите, что площадь S равна 2пJ~ p(s)ds, гдеl- длинаС. Ь. Примените часть (а) для вычисления площади тора вращения. 12. Покажите, что площадь регулярной трубчатой поверхности радиуса r вокруг кривой а (ер. упражнение 10, раздел 2.4) равна произведению 2лr на длину а. 13. (Обобщённые геликоиды.) Естественная параметризация как поверхно­ стей вращения, так и геликоидов получается следующим образом. Пусть регулярная плоская кривая С, которая не пересекает ось Е в плоскости, совершает винтовое движение вокруг Е, то есть каждая точка С описыва­ ет винтовую линию (или окружность) с осью Е. Множество S, порождае­ мое перемещением С, называется обобщённым геликоидом с осью Е и образующей С. Если винтовое движение есть чистое вращение во­ круг Е, то S - поверхность вращения; если С - прямая, перпендику­ лярная Е, то S - стандартный геликоид (или его часть) (ер. пример 3). Выберите координатные оси так, чтобы ось Е была осью z, а С ле­ жала в уz-плоскости. Докажите, что а)если (f(s),g(s)) - параметризация С длиной дуги s, a<s<b, f(s)>O, тох: И ~s, где И={(s,и)ЕR 2 ; a<s<b, 0<и<2Jr}
128 ГЛАВА2 и x(s, и)= (f(s)cosи, f(s)sinи, g(s) +си), с= const, есть параметризация S; заключите отсюда, что S - регулярная поверх­ ность; Ь) координатные линии предыдущей параметризации ортогональны (то есть F =О) тогда и только тогда, когда х (И) есть либо поверхность вра­ щения, либо стандартный геликоид (или его часть). 14. (Градиент на поверхностях.) Градиент дифференцируемой функции f : S ~ R есть дифференцируемое отображение grad f : S ~ R 3 , которое сопоставляет каждой точке р Е S такой вектор grad f (р) Е ТР (S) с R 3 , что (gradf(p), v) Р = dfp(v) для любого VE TP(S). Докажите, что а) если Е, F, G - коэффициенты первой основной формы в параметри­ зации х: И с R 2 ~ S, то grad/ на x(U) имеет следующее выражение: grad/= fиG-fvFХ +fvE-fuFХ ; EG-F2 и EG-F2 v в частности, если S =R 2 с координатами х, у, grad/ = fA + fye2, где {е1 , е2 } - канонический базис R 2 (таким образом, определение согла­ суется с обычным определением градиента в плоскости). Ь) если точка рЕ S фиксирована, а v описывает единичную окружность 1v1= 1 в Tp(S), то dfp(v) достигает максимума тогда и только тогда, когда v = grad f /1gradf1 (таким образом, grad f(p) задаёт направление макси­ мW1ьного изменения f в точке р ); с) если grad/ "#О во всех точках линии уровня С= {qE S; f(q) = const}, то С - регулярная кривая на S и grad/ ортогонален С во всех точках С. 15. (Ортогональные семейства кривых.) а. Пусть E,F,G - коэффициенты первой основной формы регулярной по­ верхности S впараметризации х: UcR 2 ~S. Пусть tp{и,v)=const
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 129 и lf/(и, v) = const - два семейства регулярных кривых на х (И) с S (ер. уп­ ражнение 28, раздел 2.4). Докажите, что эти два семейства ортогональны (то есть когда две кривые различных семейств пересекаются, их касатель­ ные ортогональны) тогда и только тогда, когда Ь. Примените часть (а), чтобы доказать, что в координатной окрестности х (И) геликоида примера 3 два семейства регулярных кривых vcosu = const, v 7' О, (v 2 +a 2 )sin 2 и=const, v 7'О, и*Jl, ортогональны. 2.6 . Ориентация поверхностей* В этом разделе мы обсудим, в каком смысле и когда можно ориенти­ ровать поверхность. Интуитивно, поскольку в каждой точке р регулярной поверхности суще,ствует касательная плоскость Tp(S), выбор ориентации TP(S) индуцирует ориентацию в окрестности р, то есть понятие положи­ тельного направления движения вдоль достаточно малых замкнутых кри­ вых вокруг каждой точки окрестности (рис. 2.30). Если можно сделать этот выбор для каждой точки р Е S так, что в пересечении двух окрестностей ориентации совпадают, говорят, что S ориентируема. Если это невозмож­ но, S называется неориентируемой. Сейчас мы уточним эти представления. Фиксируя параметризацию х(и, v) окрестности точки р регулярной поверхности S, мы определяем ориентацию касательной плоскости Tp(S), а именно ориентацию ассоци­ ированного упорядоченного базиса {xu,xv}. Если р принадлежит коор­ динатной окрестности другой параметризации х (И, v), новый базис выра­ жается через старый по формулам - ди дv х и=Хи дu +xv дu' - ди дv Хv=Хидv +xvдv' ' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении,
130 ГЛАВА2 T,(S) Рисунок 2.30 где и = и(И, v) и v = v(u, v) - выражения замены координат. Базисы {xu,xv} и {х "' х v} определяют, следовательно, одну и ту же ориентацию Tp(S) тогда и только тогда, когда якобиан замены координат положителен. д(и,v) д(u,v) Определение 1. Регулярная поверхность S называется ориентиру­ емой, если её можно покрыть координатными окрестностями таким обра­ зом, что если точка рЕ S принадлежит двум окрестностям этого семейства, то якобиан замены координат положителен в р. Выбор такого семейства называется ориентацией S, и S в этом случае называется ориентируемой. Если такой выбор невозможен, поверхность называется неориентируемой. Пример 1. Поверхность, которая является графиком дифференцируе­ мой функции (ер. раздел 2.2, предложение 1), является ориентируемой. В действительности все поверхности, которые могут быть покрыты одной координатной окрестностью, тривиально ориентируемы. Пример 2. Сфера является ориентируемой поверхностью. Вместо прямых вычислений прибегнем к общим рассуждениям. Сферу можно по­ крыть двумя координатными окрестностями (используя стереографиче­ скую проекцию; см. упражнение 16 раздела 2.2) с параметрами (и, v) и (И, v) таким образом, что пересечение W этих окрестностей (сфера без двух точек) является связным множеством. Фиксируем точку р в W. Если якобиан замены координат в р отрицателен, переставим и и v в первой системе, и якобиан станет положительным. Так как якобиан отличен от нуля в W и положителен в точке рЕ W, из связности W следует, что яко-
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 131 биан всюду положителен. Следовательно, существует семейство коорди­ натных окрестностей, удовлетворяющих определению 1, и потому сфера ориентируема. Из только что проведённых рассуждений ясно, что если регулярную поверхность можно покрыть двумя координатными окрестностями, пе­ ресечение которых связно, то поверхность ориентируема. Прежде чем привести пример неориентируемой поверхности, дадим геометрическое истолкование понятия ориентируемости регулярной по- верхности в R 3 . Как мы видели в разделе 2.4, для данной системы координат х(и, v) в р мы определённым образом выбираем единичный нормальный вектор N в р по правилу N=хилxv(р). 1Хи ЛХv 1 (1) Выбирая другую систему локальных координат х (И, v) в р, мы видим, что _ _ ( ) д(и, v) ХиЛХ;;= XuЛXv --= -:: -, д(и,v) (2) где д(и, v)/д(u, v) - якобиан замены координат. Следовательно, N сохра- нит знак или изменит его в зависимости от того, положителен или отри­ цателен соответственно якобиан д(и, v)/д(u, v). Под дифференцируемым полем единичных нормш1ьных векторов на открытом множестве И с S будем понимать дифференцируемое отобра- жениеN:И~R3 , кото рое сопоставляет ка жд ой точке q Е И единичный нормальныйкS вточке q вектор N(q)ЕR3 . Предложение 1. Регулярная поверхность Sc R 3 ориентируема то­ гда и только тогда, когда на S существует дифференцируемое поле еди­ ничных нормальных векторов N: S~ R 3 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если S ориентируема, её можно покрыть семейст­ вом координатных окрестностей так, что в пересечении любых двух из них замена координат имеет положительный якобиан. В точках р = х (и, v) ка­ ждой окрестности определим N(p) = N(и, v) с помощью равенства (1). N(p) определён корректно, так как если р принадлежит двум координат­ ным окрестностям с параметрами (и,v) и (u,v), то нормальные векторы N(и,v) и N(u,v) совпадают в силу равенства (1). Кроме того, в силу ра- венства (1) координаты N(и, v) в R 3 являются дифференцируемыми
132 ГЛАВА2 функциями (и, v) и, таким образом, отображение N : S --; R 3 диффе­ ренцируемо, что и требовалось. С другой стороны, пусть N: S --; R 3 - дифференцируемое поле еди­ ничных нормальных векторов; рассмотрим семейство связных коорди­ натных окрестностей, покрывающих S. Для точек р =х(и, v) каждой ко- ординатной окрестности х (И), И с R 2 , можно в силу непрерывности N, переставляя и и v в случае необходимости, считать, что N(p)= Xu/\Xv. 1хи/\xv1 В самом деле, скалярное произведение ( ХJ\X ) N(p)иv = f(p)=±1 Jхи /\ xvJ является непрерывной функцией на x(U). Так как х(И) связно, знак f по­ стоянен. Если f = - 1, переставим и и v в параметризации, и утверждение доказано. Поступая таким образом с каждой координатной окрестностью, полу­ чаем, что в пересечении любых двух из них, скажем х(и, v) и х (И, v), якобиан д(и,v) д(u,v)' несомненно, положителен; в противном случае мы имели бы хилх" = -N( )' 1 - - 1 р Хил х" что является противоречием. Следовательно, данное семейство коорди­ натных окрестностей, после некоторых перестановок и и v, удовлетворяет условиям определения 1, и потому S ориентируема. D Замечание. Как показывает доказательство, для ориентируемости S необходимо потребовать только существование непрерывного единичного векторного поля на S, чтобы S бьша ориентируемой. Такое векторное по­ ле автоматически будет дифференцируемо. Пример 3. Сейчас мы разберём пример неориентируемой поверх­ ности, так называемый лист (лента) Мёбиуса. Эта поверхность по- лучается (см. рис. 2.31) с помощью окружности S 1 , заданной уравнением
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 133 х2+у 2 = 4, и открытого отрезка АВ, заданного условиями х = О, у= 2, 1z 1< 1. Перемещаем середину с отрезка АВ вдоль S1 и вращаем АВ во­ круг с в сz-плоскости таким образом, что, когда с перемещается на угол и, АВ поворачивается на угол u/2. Когда с завершает один обход окружности, АВ возвращается в исходное положение с переставленными концами. z А~~~~~~~~~~~~~В В А 1Г А у х Рисунок 2.3 1 С точки зрения дифференцируемости это означает, что мы отождествили противоположные стороны прямоугольника, скручивая прямоугольник так, что каждая точка стороны АВ отождествляется с симметричной ей точкой (рис. 2.31 ). Геометрически очевидно, что лист Мёбиуса М является регулярной неориентируемой поверхностью. В самом деле, если бы поверхность М была ориентируемой, существовало бы дифференцируемое поле N : М ~ ~ R 3 единичных нормальных векторов. Рассматривая эти векторы вдоль окружности х2 +у 2 = 4, мы видим, что после совершения одного оборота, вектор N возвращается в исходное положение как - N , что является про­ тиворечием. Дадим теперь аналитическое доказательство указанных выше фактов. Система координат х: И ~ М для листа Мёбиуса задаётся следую­ щим образом: x(u,v)=((2-vsin~}inи,(2-vsin~}osu, vcos~} где О < и < 2л и -1 < v < 1. Соответствующая координатная окрестность не содержит точек интервала и =О. Затем, помещая начало отсчёта и
134 ГЛАВА2 на ось х, мы получаем другую параметризацию x(u, v), заданную урав­ нениями х ={2-vsin(1+~)}cosu, у=-{2-vsin(1+~)}sinu, z=vco{1+%} координатная окрестность которой не содержит интервала и= л/2. Две эти координатные окрестности покрывают лист Мёбиуса и могут быть ис­ пользованы для доказательства того, что он является регулярной поверх­ ностью. Заметим, что пересечение двух координатных окрестностей не явля­ ется связным, но состоит из двух связных компонент: W1 ={x(u,v): ~<и<2п} W2 ={x(u,v): О<и<~}· Замена координат задаётся равенствами и Отсюда следует, что и {- /[ и =_и-2, v=v { - Зtr и~2+и, v =-v д(u,v) =1>0 на W1 tЭ(u,v) д(u,v) =-1<0 на W 2 . д(и,v)
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 135 Чтобы показать, что лист Мёбиуса неориентируем, предположим, что можно определить дифференцируемое поле единичных нормальных векто- ровN:М~R 3 . Переставляя, если необходимо, и и v, мы можем счи­ тать, что в каждой точке координатной окрестности параметризации х(и, v). Анало­ гично, мы можем считать, что во всех точках координатной окрестности х (И, v). Однако якобиан замены координат должен быть равен -1 либо на Wi, либо на W2 (в зависимости от того, какого типа замену, и~ v или И~ v, нужно сделать). Если р - точка этой компоненты пересечения, то N (р) = - N (р), что является про­ тиворечием. Мы уже видели, что поверхность, которая является графиком диф­ ференцируемой функции, ориентируема. Мы покажем сейчас, что поверх­ ность, которая является прообразом регулярного значения дифферен­ цируемой функции, также ориентируема. Эта одна из причин того, что сравнительно трудно построить примеры неориентируемых регулярных поверхностей в R 3 . Предложение 2. Если регулярная поверхность задана как множество S={(x,y,z)ER3 ; f(x,y,z)=a}, где функция f:UcR 3 ~R дифферен­ цируема и а есть регулярное значениеf, то S ориентируема. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для данной точки р = (x0 ,y0 ,z0 )E S рассмотрим па­ раметризованную кривую (x(t),y(t),z(t)), tE !, на S, проходящую через точкурприt=t0.ТаккаккриваялежитнаS, f(x(t),y(t),z(t)) =а при любом t Е /. Дифференцируя обе части этого равенства по t, получаем приt=t0
136 ГЛАВА2 Это показывает, что касательный вектор кривой при t = t0 перпендикуля­ рен вектору (fx,fy,/z) в точке р. Так как кривая и точка произвольны, за­ ключаем, что N(x у z)=[ fx fy fz ) ' ' ~f;+f;+fz 2 ' ~f;+f;+fz 2 ' ~fx 2 +f;+fz 2 есть дифференцируемое поле единичных нормальных векторов на S. С учётом предложения 1 это означает, что S ориентируема, что и тре­ бовалось. Заключительное замечание. Ориентация, по определению, не явля­ ется локальным свойством реrулярной поверхности. Локально каждая ре­ rулярная поверхность диффеоморфна открытому множеству плоскости и, следовательно, ориентируема. Ориентация является глобальным свой­ ством в том смысле, что охватывает всю поверхность. Позже в этой книге мы будем иметь возможность сказать больше о глобальных свойствах (глава 5). УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть S - реrулярная поверхность, покрытая координатными окрестно­ стями Vj и V2 . Предположите, что V1 п V2 имеет две связные компоненты, Wi и W2 и якобиан замены координат положителен на Wi и отрицателен на W2 • Докажите, что S неориентируема. 2. Пусть S2 - ориентируемая реrулярная поверхность и rp: S1 ~ S2 - дифференцируемое отображение, которое является локальным диффео­ морфизмом в каждой точке р Е S 1• Докажите, что S1 ориентируема. 3. Можно ли придать смысл понятию площади для листа Мёбиуса? Если да, введите интеграл для её вычисления. 4. Пусть S- ориентируемая поверхность и {Иа}, {V,в} - два семейства координатных окрестностей, которые покрывают S (то есть u Иа = S = = uUfJ) и удовлетворяют условиям определения 1 (то есть в каждом се­ мействе замена координат имеет положительный якобиан). Мы говорим, что {Иа} и {V,в} определяют одну и ту же ориентацию S, если объе- динение двух семейств снова удовлетворяет условиям определения 1.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 137 Докажите, что регулярная связная ориентированная поверхность мо­ жет иметь только две различные ориентации. 5. Пусть rp: S1 ~ S2 - диффеоморфизм. а. Покажите, что S1 ориентируема тогда и только тогда, когда S2 ориенти­ руема (таким образом, ориентируемость сохраняется при диффеомор­ физмах). Ь. Пусть S1 и S2 ориентируемы и ориентированы. Докажите, что диф­ феоморфизм rp индуцирует ориентацию на S2 . Используйте антиподаль­ ное отображение сферы (упражнение 1, раздел 2.3), чтобы показать, что эта ориентация отлична от первоначальной (таким образом, сама ориен­ тация может не сохраняться при диффеоморфизмах; заметьте, однако, что, если S 1 и S 2 связны, диффеоморфизм либо сохраняет, либо «обраща­ ет,, ориентацию). 6. Определите понятие ориентации регулярной кривой С с R 3 и пока­ жите, что если С связна, то существует не более двух различных ориента­ ций в смысле упражнения 4 (фактически существуют точно две, но это труднее доказать). 7. Покажите, что если регулярная поверхность S содержит открытое мно­ жество, диффеоморфное листу Мёбиуса, то S неориентируема. 2.7 . Характеризация компактных ~· ориентированных поверхностен Предложение, обратное к 2 раздела 2.6, а именно ориентированная поверхность в R 3 является прообразом регулярного значения некоторой дифференцируемой функции, верно, и его доказательство нетривиально. Даже в частном случае компактных поверхностей (определяемых в этом разделе) доказательство поучительно и представляет интересный пример глобальной теоремы дифференциальной геометрии. Этот раздел будет полностью посвящён доказательству обратного утверждения. ПустьSсR3 - ориентируемая поверхность. Ключевой момент дока­ зательства состоит в том, чтобы показать, что на нормали, проходящей че­ рез точку р Е S, можно выбрать интервал I Р, содержащий р, длины, ска- ' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.
138 ГЛАВА2 жем, 2t:Р (ЕР зависит от р) таким образом, что если р * q ll. S, то IP nlq =ф. Таким образом, объединение uIP, рЕ S, составляет откры­ тое множество V в R 3 , которое содержит S и обладает тем свойством, что через каждую точку V проходит единственная нормаль к S; тогда V на­ зывается трубчатой окрестностью S (рис. 2.32). I, Рисунок 2.32. Трубчатая окрестность Временно допустим существование трубчатой окрестности ориенти­ рованной поверхности S. Мы можем тогда определить функцию g: V ~ R следующим образом. Фиксируем ориентацию S. Заметим, что никакие два интервала JР и I q, р '* q, трубчатой поверхности V не пересекаются. Та- ким образом, через каждую точку РЕ V проходит единственная нормаль к S, которая пересекает S в точке р; по определению, g(p) есть расстоя­ ние от р до Р со знаком, заданным направлением единичного нормально­ го вектора в р. Если мы сможем доказать, что g - дифференцируемая функция и О является регулярным значением g, то получим, что S = g -! (О), что и требовалось доказать. Начнём теперь доказательство существования трубчатой окрестности ориентированной поверхности. Докажем сначала локальный вариант этого утверждения, то есть что для каждой точки р регулярной поверхности существует окрестность р, которая имеет трубчатую окрестность. Предложение 1. Пусть S - регулярная поверхность и х: И ~ S - параметризация окрестности точки р = х(и0 , v0 )E S. Тогда существуют окрестность Wcx(U) точки р в S и такое число Е >О, что отрезки нор­ малей, проходящих через точки qE W, с серединой в q и длиной 2t: не пере­ секаются (то есть W имеет трубчатую окрестность).
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 139 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим отображение F : Их R ~ R 3 , зада нное равенством F(u,v;t)=x(u,v)+tN(u,v), (u,v)E И, tER, где N(u, v) = (Nx,Ny,Nz) - единичный нормальный вектор к х(и, v) = (х(и, v), у(и, v), z(u, v)). Геометрически F отображает точку (u,v;t) <щилиндра» UxR вточку нормали к S на расстоянии t от х(и, v). F, очевидно, дифференцируемо, и его якобиан в точке t = О имеет вид дхдудz дидиди дхдудz =fxu лxvf:;tO. дvдvдv NxNyNz По теореме об обратной функции, существует параллелепипед в Их R, скажем, и0-д<и<и0+д, v0- д<v<v0+д, -е<t<е, ограничение на который отображения F взаимно однозначно. Но это оз­ начает, что в образе W прямоугольника u0- д<и<и0+д, v0- д<v<v0+д при отображении посредством х отрезки нормалей с серединами q Е W и длиной < 2е не пересекаются. О Предложение 2. Предполо:ж:им существование трубчатой окрест­ ности Vс R 3 ориентированной поверхности Sс R 3 и выберем ориента­ цию S. Тогда функция g:V ~R3 , определённая как ориентированное рас­ стояние от точки V до основания единственной нормали, проходящей через эту точку, дифференцируема и нуль является её регулярным значением. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим снова отображение F: UxR~R 3 , оп­ ределённое в предложении 1, где мы теперь предполагаем параметриза­ цию х, согласованной с данной ориентацией. Обозначая через x,y,z коор­ динаты F(u, v,t) =х(и, v) +t N(u, v), можно записать F(u, v,t) = (х(и, v,t), у(и, v,t),z(u, v,t)).
140 ГЛАВА2 Так как якобиан д(х, у, z )/д(и, v, t) отличен от нуля при t =О, мы можем обратить F в некотором параллелепипеде Q, и0 -д<и<и0 +д, v0 -д<v<v0 +д, -E<t<E, и получить дифференцируемое отображение F-1(x,y,z) = (u(x,y,z), v(x,y,z), t(x,y,z)), где (x,y,z)E F(Q)=V. Но функция g: V ~R в утверждении предложе­ ния 2 есть в точности t = t(x,y,z). Таким образом, g дифференцируема. Кроме того, О является регулярным значением g; в противном случае дt=дt =дt =0 дхдудz в некоторой точке, где t =О; следовательно, дифференциал dF- 1 является вырожденным при t = О, что является противоречием. о Чтобы перейти от локального рассмотрения к глобальному, то есть доказать существование трубчатой окрестности ориентированной поверх­ ности в целом, требуются некоторые топологические соображения. Мы ог­ раничимся компактными поверхностями, которые сейчас определим. Пусть А - подмножество R 3 . Мы говорим, что р Е R 3 есть предель- НШl точка А, если каждая окрестность р в R 3 содержит точку А, отлич­ ную от р. Говорят, что А замкнуто, если оно содержит все свои предель­ ные точки. А называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре в R 3 . Если А замкнуто и ограничено, оно называется компактным множеством. Сфера и шар являются компактными множествами. Параболоид вра- щенияz=х 2 +у2,(х,у)ЕR2 , есть замкнутая поверхность, но, будучи не­ ограниченной, она не является компактной. Круг х2 + у 2 < 1 в плоскости и лист Мёбиуса являются ограниченными, но незамкнутыми, и потому они некомпактны. Нам потребуются некоторые свойства компактных подмножеств R 3 , которые мы сейчас сформулируем. Расстояние между двумя точками р, qER 3 будет обозначаться d(p, q). Свойство 1 (Больцано-Вейерштрасс). Пусть AcR 3 ~компактное множество. Тогда каждое бесконечное подмножество А имеет по край­ ней мере одну предельную точку в А.
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 141 Свойство 2 (Гейне-Борель). Пусть А с R 3 - компактное множество и {Ua} - семейство таких открытых подмножеств А, что uаИа:::А. Тогда можно выбрать конечное число таких подмножеств Иk,, U"'-, ... ,Ukп из Иа, что uUk;=A, i=I" .. ,п. Свойство 3 (Лебег). Пусть А с R 3 - компактное множество и {Иа} - такое семейство открытых подмножеств А, что Ua Иа=А. Тогда су­ ществует такое число д >О (число Лебега семейства {Иа}), что, когда две точки р, qE А находятся на расстоянии d(p,q) < д, тогда р и q при­ надлежат некоторому Иа. Свойства 1 и 2 обычно доказываются в дополнительных главах анализа. .Цля полноты мы докажем сейчас свойство 3. Позже в этой книге (приложе- ние к главе 5) мы будем рассматривать компактные множества в R п более систематическим образом и приведём доказательства свойств 1 и 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВА 3. Предположим, что не существует числа д >О, удовлетворяющего условиям утверждения, то есть для данного чис­ ла 1/п существуют такие точки Рп и qn, что d(pn, qn) < 1/п, но Рп и qп не принадлежат одному открытому множеству семейства {Иа}. Полагая п = 1,2"." мы получаем два бесконечных множества точек {Рп} и {qп}, которые, по свойству 1, имеют предельные точки р и q соответственно. Так как d(рп, qп) < 1/п, мы можем выбрать эти предельные точки таким образом, что р=q. Но рЕИа при некотором а, так как рЕА = = u а Иа, и, поскольку Иа - открытое множество, существует такой от­ крытый шар ВЕ(р) с центром в р, что ВЕ(р)сИа. Так как р - пре­ дельная точка {рп} и {qп}, при достаточно большом п существуют точки Рп и qп в ВЕ(р) с Иа' то есть Рп и qn принадлежат одному Иа' что явля- ется противоречием. о Используя свойства 2 и 3, мы сейчас докажем существование труб­ чатой окрестности ориентированной компактной поверхности. Предложение 3. Пусть Sc R 3 - регулярная, компактная, ориен­ тируемая поверхность. Тогда существует такое число Е' >О, что, когда р, qE S, отрезки нормалей длины 2Е с серединами в р и q не пересека­ ются (то есть S имеет трубчатую окрестность).
142 ГЛАВА2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. в силу предложения 1 для каждой точки р Е s су­ ществуют окрестность WP и такое число еР > О, что предложение выпол­ няется для точек WР при е = еР. Когда р пробегает S, мы получаем такое семейство {Wp}, что upes WP =S . В силу компактности (свойство 2) мож­ но выбрать конечное число таких окрестностей WP, скажем Wj, ... ,Wk (со­ ответствующих e1, • •• ,t:k), что u W; =S, i =l, ... ,k. Покажем, что искомое t: задаётся неравенством е<min(e1, ... ,ek, %J где д - число Лебега семейства {W;} (свойство 3). В самом деле, пусть две точки р, qE S. Если обе точки принадлежат некоторому W;, i = 1, ... , k, отрезки нормалей с серединами в р и q длины 2е не пересекаются, поскольку е < Е;. Если р и q не принадлежат одному W;, то d(p,q)??. д; если бы отрезки нормалей с серединами в р и q длины 2е пересекались в точке Q Е R 3 , мы имели бы 2t:??. d(p, Q) + d(Q, q)??. d(p, q)??. д' что противоречит определению е. о Объединяя предложения 1, 2 и 3, получаем следующую теорему, ко­ торая является главной целью этого раздела. Теорема. Пусть ScR 3 - регулярная, компактная, ориентируемая поверхность. Тогда существует дифференцируемая функция g: V ~ R, определённая на открытом множ:естве VcR 3 , где V::J S (в точности трубчатая поверхность S), для которой нуль является регулярным зна­ чением, и такая, чтоS=g- 1 (0). Замечание 1. Можно доказать существование трубчатой окрестности ориентированной поверхности, даже если поверхность некомпактна; по­ этому теорема верна без требования компактности. Доказательство, одна­ ко, более сложное. В этом общем случае е(р) > О не постоянно, как в случае компактности, но может зависеть от р. Замечание 2. Можно доказать, что регулярная компактная поверх­ ность в R 3 ориентируема; предположение об ориентируемости в теореме (в случае компактности) не является поэтому необходимым. Доказательст-
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 143 во этого факта можно найти в работе Н. Samelson, "OrientaЬility of Hyper- surfaces in R п", Proc. A.M .S . 22 (1969), 301-302. 2.8 . Геометрическое определение площади* В этом разделе мы представим геометрическое обоснование опреде­ ления площади, данного в разделе 2.5 . Точнее, мы дадим геометрическое определение площади и докажем, что в случае замкнутой ограниченной области регулярной поверхности такое определение приводит к формуле площади, данной в разделе 2.5 . Чтобы определить площадь замкнутой области R с S , начнём с раз­ биения [J области R на конечное число областей R; , то есть представим R = U;R;, где пересечение двух таких областей R; либо пусто, либо образо­ вано граничными точками двух областей (рис. 2.33). Диаметр R; есть точ- ная верхняя грань расстояний (в R 3 ) между любыми двумя точками R;; наибольший из диаметров R; данного разбиения [J называется нормой μ разбиения [J . Если мы теперь произведём разбиение каждого R;, мы полу­ чим второе разбиение R, которое называется измельчением [J . Для данного разбиения R=UR; l области R выберем произвольные точки Р; Е R; и спроецируем R; на ка­ сательную плоскость в точке Р; в направлении нормали в р;; эта проекция обозначается символом R;, а её площадь - A(R;). Сумма L;A(R;) являет­ ся аппроксимацией того, что мы понимаем интуитивно под площадью R. R; Рисунок 2.33 • Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.
144 ГЛАВА2 Если при выборе всё более мелких разбиений .'J\, ... , !Рп, ... , таких, что норма μп разбиения !Рп стремится к нулю, существует предел L;A(R;) и этот предел не зависит от выбора разбиений, то мы говорим, что R имеет площадь A(R), определяемую равенством A(R)= lim LA(R;). μп---'>0 i Поучительное обсуждение этого определения можно найти в книге R. Courant, Differeпtial апd Iпtegral Calcиlиs, Vol. П, Wiley-Interscience, New York, 1936, р. 311. Мы покажем, что замкнутая область регулярной поверхности имеет площадь. Мы будем рассматривать только замкнутые ограниченные облас­ ти, содержащиеся в координатной окрестности, и получим выражение пло­ щади через коэффициенты первой основной формы в соответствующей системе координат. Предложение. Пусть х: И -4 S - система координат на регулярной поверхности S и R = x(Q) - замкнутая ограниченная область S, содержа­ щаяся в х( И). Тогда R имеет площадь, которая вычисляется по формуле A(R)= JfQ\xuлxvl dи dv. ДоклзлТЕЛЬСТВО. Рассмотрим разбиение R = u; R; области R. Так как R ограниченна и замкнута (следовательно, компактна), можно считать раз­ биение настолько мелким, что любые две нормали к R; нигде не орто- гональны. В самом деле, так как нормали изменяются на S непрерывно, для каждой точки р Е R существует окрестность р на S, где любые две нормали нигде не ортогональны; эти окрестности составляют семейство открытых множеств, покрывающих R, и, рассматривая разбиение R, нор­ ма которого меньше числа Лебега этого покрытия (раздел 2.7, свойство 3 компактных множеств), мы выполним требуемое условие. Зафиксируем область R; разбиения и выберем точку Р; Е R; =x(Q;). Мы хотим вычислить площадь ортогональной проекции R; области R; на касательную плоскость в точке Р;. Чтобы сделать это, рассмотрим новую систему координат P;XYZ в R 3 , получаемую из Oxyz сдвигом на Ор; с последующим поворотом, который совмещает ось z с нормалью в точке Р; так, что обе системы имеют одну и ту же ориентацию (рис. 2.34). В новой системе параметризацию можно записать в виде х (и, v) = (х(и, v),.У(и, v),z(и, v)),
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 145 где явное выражение х (и, v) нас не интересует; достаточно знать, что век­ тор х (и, v) получается из вектора х(и, v) сдвигом с последующим орто­ гональным линейным преобразованием. Заметим, что д(х,у)/д(и, v) ;t О в Q;; в противном случае компо­ нента z некоторого нормального вектора в Ri равна нулю, и в R; сущест­ вуют две ортогональные нормали, что противоречит нашим предположе­ ниям. Выражение A(R1) имеет вид A(R;) = Л- dX dy. R; о у х Рисунок 2.34 Так как д(х,У)/д(и, v) ;t О, можно рассмотреть замену координат х = х(и, v), у= у(и, v) и привести предыдущее выражение к виду A(R;)=fГ д(х,У) dudv. JQ, д(и, v) Заметим теперь, что в точке Р; векторы х и и х v принадлежат х у­ плоскости; поэтому дz =дz =О дu дv вР;; следовательно, 1д(х,у)1=1 дх л дх 1вточке Р;· д(и,v) ди дv
146 ГЛАВА2 Отсюда следует, что 1 д(х,.У) 1-1 дх л дх 1= е;(и, v), (и, v)E Q;, д(и, v) ди дv где Е;(и, v) - непрерывная функция на Q; с Е;(х- 1 (р;)) =О. Так как длина вектора сохраняется при сдвигах и ортогональных линейных преобразо­ ваниях, получаем, что lдх л дхl=lдх л дх!=lд(х,у)l-г;(х,у). ди дv ди дv д(и,v) Пусть теперь М; и т; - максимум и минимум непрерывной в ком­ пактной области Q; функции Е; (и, v); таким образом, . <lд(x,.Y)l-lдx дхj<м.· т,- л- " д(и,v) ди дv следовательно, т; JSQ; dudv $ A(R;)- JSQ;I ~: л ~ 1 dudv $ M;JfQ; dudv. Выполняя то же самое для всех R; , получаем _Lт;A(Q;)$LA(R;)-fJ, lxuлxvl dudv::;;_LM;A(Q;). i i Q i Далее, будем измельчать всё более и более данное разбиение так, что норма μ ~О. Тогда М; ~ т;. Следовательно, существует предел L; A(R; ), равный который, очевидно, не зависит от выбора разбиения и точки Р; в каждом разбиении. D
ПРИЛОЖЕНИЕ КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ Символ R п будет обозначать множество всех упорядоченных наборов (х1 ,.",хп) п вещественных чисел. Хотя мы используем только случаи R1 =R,R 2 иR3 , более общее понятие R п унифицирует определения и не вносит никаких дополнительных трудностей; читатель может при жела­ нии представлять себе R 2 или R 3 . В этих частных случаях мы будем ис­ пользовать следующие более традиционные обозначения: х или t для точ­ ки R, (х,у) или (u,v) дляточкиR 2 и (x,y,z) дляточкиR 3 . А. Непрерывность в R n Мы начинаем с понятия t:- близости точки к данной точке р0 Е R п. Шар (или открытый шар) вRп с центром в точке р0 =(х?, ...,х~) радиуса t: > О есть множество Ве(Ро)={(х1, ... ,хп)Е R п; (х1 -х?) 2 + ... +(хп -х~) 2 <t:2}. Таким образом, шар Ве(р0 ) в R есть интервал с серединой р0 длины 2t:; в R 2 шар Ве(р0 ) есть внутренность круга с центром р0 радиуса t:; в R 3 шар Ве(р0 ) есть внутренность шара с центром р0 радиуса t: (см. рис. А2.1). Множество И с R п называется открытым множеством, если для каждой точки рЕ И существует шар Ве(Р) с И; интуитивно это означает, что точки в И со всех сторон окружены точками И или что точки, доста­ точно близкие к точкам И, всё ещё принадлежат И. Например, множество {(x,y)ER 2 ; а<х<Ь, c<y<d}, как легко видеть, является открытым множеством в R 2 . Однако, если одно из строгих неравенств, скажем х < Ь, заменить неравенством х ~ Ь,
148 ПРИЛОЖЕНИЕ множество не будет более открытым; никакой шар с центром в точке (b,(d + с)/2), которая принадлежит множеству, не может содержаться во множестве (рис. А2.2). R 0 е Ро R' @о R' Рисунок А2. 1 а ь а ь Рисунок А2.2 Удобно говорить, что открытое множество в R п, содержащее точку р Е R п, является окрестностью р. С этого момента И с R п будет обозначать открытое множество в R п. Напомним, что вещественная функция f : И с R ~ R вещественной переменной непрерывна в точке х0 Е И, если для заданного ё >О суще­ ствуеттакое д>О,чтоесли1х-х01<д, то 1 f(x)- Лхо) /< Е:.
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 149 Аналогично, вещественная функция f : И с R 2 . . .. . . ., R двух вещественных переменных непрерывна в точке (х0 ,у0 )Е И, если для заданного t: >О су- ществуеттакоед>О,чтоесли(х-х0)2 +(у-у0)2 <д2,то 1f(x,y)- Лхо,Уо) 1< Е:. Понятие шара объединяет эти определения как частные случаи следую­ щего общего понятия. Отображение F: И с R п ......., R т называется непрерывным в точке р Е И, если для заданного t: > О существует такое д > О, что F(B0 (p)) с B 8 (F(p)). Другими словами, F непрерывно в точке р, если точки, сколь угодно близкие к F(p), являются образами точек, достаточно близких кр. Легко видеть, что в частных случаях п =1, 2 и т =1 это согласуется с пре­ дыдущими определениями. Мы говорим, что F непрерывно на И, если F непрерывно в каждой точке р Е И (рис. А2.3). ~ ~ F __ ,/" Рисунок А2.З Для данного отображения F : И с R п......., R т мы можем определить т функций от п переменных следующим образом. Пусть р = (х1 , ... ,хп)Е И и f(p) = (у 1 ,••• ,ут). Тогда можно записать У1 = J;(xp···,xn), ... ,ym = fm(xp···,xn). Функции f; : И ......., R, i = 1, ... , т, называются координатными функциями F.
150 ПРИЛОЖЕНИЕ Пример 1 (симметрия). Пусть F : R 3 ~R3 - отображение, которое сопоставляет каждой точке р Е R 3 точку, симметричную р относительно начала координат 0ER3 . Тогда F(p)=-p или F(x,y,z) = (-x,-y,-z), и координатные функции F суть fj(x,y,z) =-х, f 2 (x,y,z) =-у, f(x,y,z) = - z. Пример 2 (инверсия). Пусть отображение F: R 2 -{О, О}~ R 2 опре­ делено следующим образом. Обозначим символом 1 р 1 расстояние от точ- ки р Е R 2 до начала координат (О, О) = О. По определению, точка F(p), р #-О, принадлежит лучу Ор и такова, что 1 F(p) 11р1= 1. Таким об- разом, F(p) = p/I р 1 2 или F(x,y)=( 2х 2' 2у 2)' (х,у)#-(0,0), х+ух+у а координатные функции F суть х у fi(x,y)= 2 2' f2(x,y)= 2 2· х+у х+у Пример 3 (проекция). Пусть п: R 3 ~ R 2 - проекция Ji(x,y,z) = (х,у). Тогда fi(x,y,z)=x, f 2(x,y,z)=y. Следующее предложение показывает, что непрерывность отображе­ ния F равносильна непрерывности его координатных функций. Предложение 1. F : И с R" ~ R т непрерывно тогда и только тогда, когда каждая координатная функция J;: И с R" ~ R, i = 1, ... , т, непре­ рывна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F непрерывно в точке р Е И. Тогда для заданного .е>О существует такое 8>0, что F(B0 (p))cBe(F(p)). Та­ ким образом, если q Е В0 (р), то F(q)E Be(F(p)), то есть
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 151 откуда следует, что для каждого i = 1, ... , т выполняется неравенство 1fi (q) - fi (р) 1< Е. Поэтому для заданного Е > О существует такое о > О, что если qE S 0 (p), то lfi(q)- f;(p)l<E. Следовательно, каждая функ­ ция fi непрерывна в точке р. Обратно, пусть/;, i =1, ... ,т,непрерывны в р. Тогда для заданного Е >О существует такое О; > О, что если q Е S0 (р), то 1fi(q) - fi(р) 1< е/Гт. Вы- , берем о< minд;, и пусть qE S0 (p). Тогда (Ji(q)- Ji(p)) 2 + ... +(fm(q)- fm(P)) 2 <Е 2 , откуда следует непрерывность F в точке р. D Пример4.ПустьF:ИсR~Rт.Тогда F(p) = (x1(t), ... ,xm(t)), tE И. Это отображение обычно называется вектор-функцией, и координатные функции F являются компонентами вектора F(t)E R т. Когда F непре­ рывно, или, что равносильно, функции x;(t), i = 1, ... ,т, непрерывны, мы говорим, что F есть непрерывная кривая в R т. В большинстве приложений удобно выражать непрерывность на языке окрестностей вместо шаров. Предложение 2. Отобра:ж:ение F : И ~ R п ~ R т непрерывно в точ­ ке рЕ И тогда и только тогда, когда для данной окрестности V точки F(p) в R т существует такая окрестность W точки р в R п, что F(W)c V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F непрерывно в р. Так как V- открытое множество, содержащее F(p), оно содержит шар Be(F(p)) при некотором Е >О. В силу непрерывности существует такой шар 80 (р) = W, что F(W) = F(B15(p)) с BE(F(p)) с v, и это доказывает необходимость. Обратно, предположим, что условие предложения выполнено. Пусть задано Е >О; положим V = BE(F(p)). Так как W открыто, существует шар ВЕ(р) с W. Таким образом, F(B15(p)) с F(W) с v = BE(F(p)), откуда следует непрерывность F в р. D
152 ПРИЛОЖЕНИЕ Композиция непрерывных отображений даёт непрерывное отображе­ ние. Точнее, имеет место следующее предложение. Предложение3. Пусть F:И~R"~Rт и G:VсRт~Rk- не­ прерывные отображения, где И и V - такие открытые множества, что F(U)c V. Тогда G а F: И с R" ~ R k - непрерывное отображение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р Е И и V - окрестность точки G о F(p) в R k_ В силу непрерывности G существует окрестность Q точки F(p) в R т с G(Q) с V. В силу непрерывности F, существует окрестность W точкир вRпс F(W)сQ. Такимобразом, GаF(W)сG(Q)сV, откуда следует непрерывность G о F. о Часто бывает необходимо иметь дело с отображениями, определён­ ными на произвольных (не обязательно открытых) множествах R п. Чтобы распространить предыдущие понятия на этот случай, поступим следую­ щим образом. Пусть F: АсRп~Rт - отображение,где А - произвольное мно- жество в R п. Мы говорим, что F непрерывно в точке А, если существуют открытое множество И с R п, И ::::> А, и такое непрерывное отображение F: И~ R т, что ограничение F 1 А= F. Другими словами, F непрерьш­ но на А, если оно является ограничением непрерывного отображения, оп­ ределённого на открытом множестве, содержащем А. Ясно, что если F : А с R п ~ R т непрерывно, то для данной окрестно- сти V точки F(p) в R т, р Е А, существует такая окрестность W точки р в R п, что F(W п А) с V. По этой причине удобно называть множество W п А окрестностью точки р в А (рис. А2.4). А w Рисунок А2.4
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 153 Пример 5. Пусть { 2 2 2 } 3х у z Е= (x,y,z)ER; 2 + 2 +2=1 аЬс - эллипсоид и 7r:: R 3 ~R 2 - проекция из примера 3. Тогда ограниче­ ние я на Е является непрерывным отображением Е в R 2 . Мы говорим, что непрерывное отображение F : А с R п ~ R п есть го­ меоморфизм на F(A), если F взаимно однозначно и обратное ото- бражение F- 1 : F(A) cR п ~R п непрерывно. В этом случае А и F(A) на­ зываются гомеоморфными множествами. Пример 6. Пусть F : R 3 ~ R 3 задано равенством F(x, у, z) =(ха, уЬ, zc). F, очевидно, непрерывно, и ограничение F на сферу S2 ={(x,y,z)ER 3 ;x 2 +y 2 +z 2 =1} есть непрерывное отображение F: S 2 ~ R 3 . Заметим, что F\S 2 ) = Е, где Е - эллипсоид примера 5. Ясно также, что F взаимно однозначно и F-1(x,y,z) = (~, ~'~\ аЬс) Таким образом, j-l = F -1 1 Е непрерывно. Следовательно, F есть гомео­ морфизм сферы S2 на эллипсоид Е. В завершение мы хотим описать два свойства вещественных непре­ рывных функций на замкнутом промежутке [а, Ь], [a,b]={xER; а$х$Ь}, (свойства 4 и 5 ниже) и важное свойство самого замкнутого промежутка [а, Ь]. Они будут неоднократно использоваться в этой книге. Предложение 4 (теорема о промежуточном значении). Пусть I [а, Ь] ~ R - непрерывная функция, определённая на замкнутом проме­ жутке [а, Ь]. Предположим, что fta) иftb) имеют разные знаки, то есть j{a)/(.b)<O. Тогда существует такая точка СЕ (а, Ь), чтоj{с) =О.
154 ПРИЛОЖЕНИЕ Предложение 5. Пусть f: [а, Ь] - непрерывная функция, определён­ ная в замкнутом проме:ж:утке [а, Ь]. Тогда f достигает своего максимума и своего минимума на [а, Ь], то есть существуют такие точки х 1, х2 Е [а, Ь], что f(x1) -5,. f(x) -5,. f(x2) для всех ХЕ [а, Ь]. Предложение 6 (Гейне-Борель). Пусть [а, Ь] - замкнутый проме­ :ж:уток и 1а, а Е А, - множество таких открытых промежутков в [а, Ь], что uala=[a,b]. Тогда можно выбрать из !а конечное число таких проме:ж:утков lk1 , lk, ,...,lk", что u/k,==/, i=1, .."п. Эти предложения являются стандартными теоремами дополнительных глав анализа, и мы не будем их доказывать здесь. Однако доказательства приводятся в приложении к главе 5 (свойства 6, 13 и 11 соответственно). В. Дифференцируем ость в R 0 Пусть f: И cR~R. Производная J'(x0 ) функции f в точке х0 Е И есть предел (если он существует) ! '( )-1· f(xo +h)- /(хо) hИ х0-nn ,х0+Е. h--tO h Когда f имеет производные во всех точках окрестности V точки х0 , мы можем рассматривать производную от f': V ~ R в точке х0 , которая на­ зывается второй производной f"(x0 ) функции f в точке х0 , и так далее. f дифференцируема в точке х0 , если она имеет непрерывные производ­ ные всех порядков в х0 . f дифференцируема в И, если она дифференци­ руема во всех точках И. Замечание. Мы используем термин «дифференцируемая» для обозна­ чения того, что иногда называют бесконечной дифференцируемостью (или дифференцируем остью класса с=). Наше употребление термина не следу­ ет смешивать с его употреблением в элементарном анализе, где функция называется дифференцируемой, если существует её первая производная. Пусть F: И cR2 ~R. Частная производная/по х в точке (х0 ,у0 )Е И, обозначаемая (дf/дх)(х0 ,у0 ), есть производная (если она существует) в точке х0 функции одной переменной х ~ f(x,y0 ). Аналогично, частная производная по у в точке (х0 ,у0 ), (дf /ду)(х0 ,у0 ), определяется как про-
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 155 изводная в точке у0 функции у--7 f(x0,y). Когда f имеет частные произ­ водные во всех точках окрестности V точки (х0 ,у0 ), мы можем рассмат­ ривать вторые частные производные в точке (х0 ,у0 ): j_(д!)= д2 f дхдх дх2' j_(дf)- д2f дх ду -дхду' и так далее. f дифференцируема в точке (х0 ,у0 ), если она имеет частные производные всех порядков в (х0 ,у0 ). f дифференцируема в И, если она дифференцируема во всех точках И. Иногда мы обозначаем частные про­ изводные так: дf дf д2f д2f д2f дх =fx, ду =fy, дх2 =fxx, дхду =fxy> ду2 =fyy· Важным фактом является то, что, когда f дифференцируема, частные производные f не зависят от порядка, в котором они находятся, то есть д2f - д2f дхду - дудх' Определения частных производных и дифференцируемости легко рас­ пространяются на функции f : И с R п -7 R. Например, (дf/дх3 )(х?, х~, х3 , х~, ".,х~) есть производная функции одной переменной f(оо о о) Х3--7 X1,Xz,X3,X4,".,xn. СледуюJЦИЙ важный факт состоит в том, что частные производные под­ чиняются так называемому цепному правW1у. Например, если х = х(и, v), у= у(и, v), z = z(и, v) - вещественные дифференцируемые функции на И с R 2 и f(x,y,z) - вещественная дифференцируемая функция в R 3 ,то композиция f(х(и, v),у(и, v),z(и, v)) есть дифференцируемая функция на И, и частная производная f по и, например, находится по формуле дf дfдх дfду дfдz -=--+--+--. ди дхди дуди дzди
156 ПРИЛОЖЕНИЕ Теперь мы заинтересованы в распространении понятия дифференци­ руемости на отображения F : И с R п ~ R т. Мы говорим, что F диффе­ ренцируемо в точке рЕ И, если его координатные функции дифференци­ руемы в р, то есть в выражении F(x1, ·· .,хп) =(Ji(х1"·.,хп), · · ., fm(х1' ··., Хп)) функции fi, i = l, ... ,т, имеют непрерывные частные производные всех по­ рядков в р. F дифференцируемо на И, если оно дифференцируемо во всех точках И. В случае т =J это повторяет предыдущее определение. В случае п =J мы получаем определение (параметризованной) дифференцируемой кривой вRт.Вглаве IмыужепоказалитакойобъектвR3 . Дrrя наших целей нужно распространить определение касательного вектора, данное в главе I, на рас­ сматриваемый случай. Касательный вектор к отображению а : И с R ~ R т вточкеt0ЕИестьвекторвRт a'(t0) == (х;(t0 ), .. . ,x~(t0)). Пример7. Пусть F : И сR 2~R 3 задано равенством F(и,v)=(cosиcosv,cosиsinv,cos 2 v), (и,v)Е И. Координатные функции F, а именно Ji(и,v)=cosиcosv, /2 (и,v)=cosusinv, / 3(u,v)=cos 2v, имеют непрерывные частные производные всех порядков в И. Таким обра­ зом, F дифференцируемо на И. Пример 8. Пусть а : И ~ R ~ R 4 задано равенством a(t) == (t4, t 3 ,t 2 , t), tEИ. Тогда а - дифференцируемая кривая в R 4 и касательный вектор к а в точке t есть a'(t) = (4t3 ,Зt 2 , 2t, 1). Пример 9. Дrrя заданных вектора WERт и точки р0ЕИсRт мы всегда можем найти дифференцируемую кривую а.: (-е,е) ~И, где а(О)= р и a'(O)=w. Достаточно положить a(t)= р0 +tw, tE (-t',t'). Если Ро =(х?, ...,х~) и w=(w1,.",wm), то координатные функции а суть x;(t) = х? + tw;, i = 1, ... , т. Таким образом, а дифференцируема, а(О) = р0 и а'(О) = (х~(О), ... ,х~(О)) = (w1" ." wm) = w.
__ __ К~РАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 157 Теперь мы введём понятие дифференциала дифференцируемого ото­ бражения. Оно будет играть в этой книге важную роль. Определение 1. Пусть F : И с R" ~ R т - дифференцируемое отобра­ жение. Каждой точке рЕ И сопоставим линейное отображение dFР: R "~ R т, которое называется дифференциалом F в р и определяется сле­ дующим образом. Пусть wER" и а: (-t:,t:)~U - такая дифферен­ цируемая кривая, что а(О)=р, d(O)=w. По цепному правилу, кривая /3 =Faa: (-t:,t:) ~ R т также дифференцируема. Тогда (рис. А2.5) dF /w) = fJ'(O). z dF,(w) -g о F F(p) и х Рисунок А2.5 Предложение 7. Предыдущее определение dFP не зависит от выбора кривой, которая проходит через р с касательным вектором w, и dFP в действительности является линейным отобр(l:JIСением. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Чтобы упростить обозначения, мы рассматриваем случай F: И cR 2 ~R 3 . Пусть (и,v)- координаты в R 2 и (x,y,z) - ко- ординаты в R 3 . Пусть е1 = (1, О), е2 = (О, 1) - канонический базис в R 2 иfi=(1, О,О), /2=(О,1,О), fз=(О,О,1) - каноническийбазисвR3 . Тогда мы можем записать: a(t)=(и(t),v(t)), tE (-t:,t:), а'(О)=w=и'(О)е1 +v'(O)e2 , F(и, v) = (х(и, v),у(и, v),z(и, v)), fJ(t) = F о a(t) == (х(и(t), v(t)), у(и(t), v(t)), z(и(t), v(t))).
158 ПРИЛОЖЕНИЕ Таким образом, используя цепное правило и вычисляя производные в точке t = О получаем /З'(О)=(дх dи + дх dvJf.. +(ду dи + ду dvJf +(дz dи + дz dvJf = диdt дvdt 1 диdt дvdt 2 диdt дvdt 3 дх ди ду ди дz ди дх дv ldи! ~ :v = dFP(w). дz dt дv Это показывает, что dFP задаётся в канонических базисах R 2 и R 3 матрицей, которая зависит только от частных производных в точке р ко­ ординатных функций x,y,z отображения F. Таким образом, dFP есть ли­ нейное отображение, и, очевидно, dFp(w) не зависит от выбора а. Читателя не затруднит распространение этих рассуждений на общий случай. О Матрица dFP:Rп~Rт вканоническихбазисах Rп и Rт,тоесть матрица (дf;/дх1), i = 1, ... , т, j = 1, ... , п, называется якобиевой матрицей F в точке р. Когда п = т, это квадратная матрица, и её детерминант на­ зывается якобианом; он обычно обозначается так: et . . d( дf;) = д(J;, ...Jn) дхl д(х1"."хп) Замечание. В литературе нет соглашения относительно обозначения дифференциала. Также широко используются для дифференциала название «производная F в точке р» и обозначение F'(p). Пример 10. Пусть F: R 2 ~ R 2 задано равенством F(x,y) = (х 2 - у2,2.ху), (х,у)Е R2. Легко проверить, что F дифференцируемо, и его дифференциал dFP в точке р = (х,у) задаётся матрицей [2х -2у)· dF= Р2у2х Например, dF(I, 1)(2, 3) = ( -2, 10).
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 159 Одно ИЗ достоинств понятия дифференциала состоит в том, ЧТО ОНО позволяет выразить многие факты анализа на геометрическом языке. Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Пусть F: И с R 2 ~ R 3 , G:VсR3~R2 - дифференцируемые отображения, где И и V - та­ кие открытые множества, что F(U) с V. Условимся о следующих обозна­ чениях координат: и выпишем Тогда F G UcR 2 ~VcR 3 ~R2 (и, v) (x,y ,z) (<?,ТJ) F(и, v) = (х(и, v),у(и, v),z(и, v)), G(x,y,z) = (q(x,y,z), 1](x,y,z)). G о F(и, v) = (q(х(и, v), у(и, v), z(и, v)), 1](х(и, v), у(и, v), z(и, v))), и, по цепному правилу, мы можем сказать, что G о F дифференцируемо, и вычислить частные производные его координатных функций. Например, дq=дqдх+дqду+дqдz. ди дхди дуди дzди Далее, простой способ записи предыдущего состоит в использовании следующего общего результата. Предложение 8 (цепное правило для отображений). Пусть F: И с R" ~ R"' и G: V с R"' ~ R k - дифференцируемые отображ:ения, где И и V - такие открытые множества, что F(U)c V. Тогда GoF: И ~ R k - дифференцируемое отображение и d(GoF)г=dGF(p)odFP, рЕИ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тот факт, что Go F дифференцируемо, является следствием цепного правила для функций. Пусть теперь задан вектор w1 ERn, ирассмотрим кривую а: (-в 2 ,в2 )~И, где а(О)=р, a'(O)=w1 • Положим dFP(w1)=w2 изаметим, что dGF(p)(w2 )=(djdt)(GoFoa)l1=o· Тогда о
160 ПРИЛОЖЕНИЕ Заметьте, что в частном случае, который мы рассматривали раньше, равен­ ство d(G а F)Р = dGF(p) а dFP равносильно следующему соотношению якобиевых матриц: [д~ ди д17 ди которое содержит выражения всех частных производных д~/ди, д~/дv, д17/ди, д17/дv. Таким образом, простая запись цепного правила для ото­ бражений включает в себя большую информацию о частных производных их координатных функций. Важное свойство дифференцируемой функции f: (а, Ь) с R ~ R, опре­ делённой в интервале (а, Ь), состоит в том, что если f'(х) = О на (а, Ь), то f постоянна на (а, Ь). Оно обобщается на дифференцируемые функций нескольких переменных следующим образом. Мы говорим, что открытое множество И с R п связно, если для двух данных точек р, q Е И существует такое непрерывное отображение а: [а, Ь] ~И, что а(а) = р и а(Ь) = q. Это означает, что две точки И мож­ но соединить непрерывной кривой в И или что И сделано из одного един­ ственного «куска». Предложение 9. Пусть f: И~ R" ~ R - дифференцируемая функ­ ция, определённая на связном открытом подмножестве И в R". Предпо­ ложим, что dfP :Rп ~R равно нулю в каждой точке рЕ U Тогдаf по­ стоянна на И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ И и В0 (р) с И - открытый шар с цент­ ром р, содержащийся в И. Каждую точку qE В8 (р) можно соединить с р «радиальным» отрезком fJ: [О, l] ~И, где JJ(t) = tq + (1-t)p, t Е [О, 1] (рис. А2.6). Так как И открыто, мы можем продолжить fJ на (О - д, 1+ д). Далее, f а /3: (О - д, 1+ д) ~ R есть функция, определённая в интервале, и d(f о /J)t =(df о d/J)1 =о,
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 161 так как df =О. Таким образом, ~(fоfJ) =0 для всех t Е (О - о, 1 +О), и потому (/о {J) = const Это означает, что f(/J(O)) = f(p) =f(/J(l)) = f(q), то есть f постоянна в шаре В3 (р). Таким образом, доказан локальный вариант предложения, то есть ка­ ждая точка И имеет такую окрестность, в которой f постоянна. Заметьте, что до сих пор мы не использовали связность И. Нам потребуется это сей­ час, чтобы доказать, что эти постоянные одни и те же. -а а Рисунок А2.6 Пусть r - произвольная точка И. Так как И связно, существует не­ прерывная кривая а: [а, Ь]-7 И, где а(а) = р, а(Ь) = r. Функция f о а: [а, Ь]-7 R непрерывна на [а, Ь]. По первой части доказательства, для каж­ дого t Е [а, Ь] существует такой интервал 11 , открытый в [а, Ь], что f о а постоянна на 11 • Так как U; 1; = [а, Ь], мы можем применить теорему Гей­ не-Бореля (предложение 6). Таким образом, мы можем выбрать конечное число ! 1" .. ,lk интервалов 11 так, что U; I; =[а,Ь], i=l, .. "k. Можно счи­ тать, изменив в случае необходимости нумерацию интервалов, что два по­ следовательных интервала имеют непустое пересечение. Таким образом, f о а постоянна в объединении двух последовательных интервалов. Отсю- да следует, что f постоянна на [а, Ь], то есть f(a(a)) = f(p) = f(a(b)) = f(r). Так как r - произвольная точка, f постоянна на И. Одной из наиболее важных теорем дифференциального исчисления является так называемая теорема об обратной функции, которая в наших обозначениях формулируется следующим образом (напомним, что линей­ ное отображение А является изоморфизмом, если матрица А обратима).
162 ПРИЛОЖЕНИЕ Теорема об обратной функции. Пусть F: И с R п ~ R п - диффе­ ренцируемое отображение, и пусть дифференциал dFP : R п ~ R п в точке рЕ И является изоморфизмом. Тогда существуют такие окрестности V точкирв ИиW точки F(p)вR", что отображениеF:V~W имеет дифференцируемое обратное F- 1 : W~V. Дифференцируемое отображение F :V сRп~W сRп, где V и W- открытые множества, называется диффеоморфизмом V и W, если F имеет дифференцируемое обратное. Теорема об обратной функции утверждает, что если в точке р Е И дифференциал dFP является изоморфизмом, то F есть диффеоморфизм в окрестности р. Другими словами, утверждение о дифференциале F в точке означает аналогичное утверждение о поведе­ нии F в окрестности точки. Эта теорема будет неоднократно использоваться в этой книге. Дока­ зательство можно найти, например, в книге Buck, Advanced Calcиlиs, р. 285. Пример 11. Пусть F : R 2 ~ R 2 задано равенством F(x,y)=(excosy,exsiny), (x,y)ER 2 . Координатные функции F, а именно и(х,у) = ех cos у, v(x,y) = ех siny, имеют непрерывные частные производные всех порядков. Таким образом, F дифференцируемо. Поучительно посмотреть с геометрической точки зрения, как F пре­ образует кривые в х у -плоскости. Например, вертикальная прямая х = х0 отображается в окружность и= ех0 cosy, v = ех0 siny радиуса ех0 , а гори­ зонтальная прямая у = у0 отображается на луч и = ех cos у0 , v = ех sin у0 с угловым коэффициентом tg у0 . Отсюда следует, что (рис. А2.7) dF(xo.Yo)(l, О)=~ (ех cosyo, ех sin Уо) lx=xo = =(ех0 cosy0 , ех0 sinyo), dF(xo.Yo)(O, 1) = ~ (ех0 cosy, ех0 siny) \у=уо =
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ 163 у х=х0 (0,1) 1-----1- - --t --(y =у,) (х"у,) (1,0) и о х Рисунок А 2. 7 Это легко можно проверить вычислением якобиевой матрицы F, то есть, -r~: ~j-[ex cosy -ех sin у) dF(x,y) - дv дv - . ' - - ех smy ех cosy дх ду и применением dF(x,y) к векторам (1, О) и (О, 1) в точке (х0 ,у0 ). Заметим, что якобиан det(dF(x,y)) = ех 7:- О, и, следовательно, в каждой точке р = ( х, у) Е R 2 отображение dFP невырождено (это ясно также из предыдущих геометрических соображений). Следовательно, мы можем применить теорему об обратной функции, чтобы заключить, что F являет­ ся локальным диффеоморфизмом. Заметим, что F(x,y) = F(x,y + 2л). Таким образом, отображение F не является взаимно однозначным и глобально не имеет обратного. Для каж­ дой точки р Е R 2 теорема об обратной функции даёт такие окрестности V точки р и W точки F(p), что ограничение F: V ~ W есть диффео­ морфизм. В нашем случае в качестве V можно выбрать полосу {-= < х < оо, О< у< 2п-} и в качестве W - множество R 2 -{(О,О)}. Одна­ ко, как показывает пример, даже если условия теоремы выполняются всю­ ду и область определения F очень проста, обратное отображение для F глобально может не существовать.
ГЛАВА 3 ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 3.1 . Введение Как мы видели в главе 1, рассмотрение скорости изменения каса­ тельной к кривой С привело нас к важному геометрическому объекту, а именно кривизне С. В этой главе мы распространим это понятие на регулярные поверхности, то есть попытаемся измерить, как быстро по­ верхность S отклоняется от касательной плоскости ТР (S) в окрестности точки р Е S. Это равносильно измерению скорости изменения в р единичного нормального векторного поля N в окрестности р. Как мы вскоре увидим, эта скорость изменения задаётся линейным преобра­ зованием Tp(S), которое оказывается самосопряжённым (см. приложение к главе 3). Неожиданно большое число локальных свойств S в р можно получить изучением этого линейного преобразования. В разделе 3.2 мы введём подходящие определения (гауссово ото­ бражение, главные кривизны и главные направления, гауссова и средняя кривизны и т. д.) без использования локальных координат. При таком подходе выясняется геометрическое содержание определений. Однако для вычислительных, так же как для геометрических целей, важно вы­ разить все понятия в локальных координатах. Это составляет содержание раздела 3.3 . Разделы 3.2 и 3.3 содержат большую часть материала главы 3, которая будет использована в остальных частях книги. Будут подробно рассмот­ рены некоторые исключения. Для полноты мы доказали основные свойства самосопряжённых линейных преобразований в приложении к главе 3. Кроме того, для тех, кто пропустил раздел 2.6, мы включили краткий обзор понятия ориентации поверхностей в начале раздела 3.2. Раздел 3.4 содержит доказательство того факта, что в каждой точке регулярной поверхности существует ортогональная параметризация, то есть такая параметризация, координатные линии которой пересекаются ортогонально. Технические приёмы, использованные здесь, интересны сами по себе и позволяют получить дальнейшие результаты. Однако в кратком курсе, может быть, удобно принять эти результаты без вывода и опустить раздел.
166 ГЛАВАЗ В разделе 3.5 мы займёмся двумя интересными случаями поверх­ ностей, линейчатыми и минимальными поверхностями. Они исследуются независимо, так что один из них (или оба) может быть опущен при первом чтении. 3.2. Определение гауссова отображения н его основные свойства Мы начнём с краткого обзора понятия ориентации поверхностей. Как мы видели в разделе 2.4, для данной параметризации х: И с сR2 - - 7 S регулярной поверхности S в точке р Е S можно выбрать единичный нормальный вектор в каждой точке х(И) по правилу хлх N(q)= и v (q), qE x(U). 1Хи ЛXv 1 Таким образом, мы имеем дифференцируемое отображение N : х(И) --7 R 3 , которое сопоставляет каждой точке qe х(И) единичный нормальный вектор N(q). Вообще, если VсS - открытое множество S и N :V --7R 3 - дифференцируемое отображение, которое сопоставляет каждой точке qE V единичный нормальный вектор в q, мы говорим, что N есть диффе­ ренцируемое поле единичных нормальных векторов на V. Неожиданным фактом является то, что не все поверхности допускают дифференцируемое поле единичных нормальных векторов, определённое на всей поверхности. Например, на листе Мёбиуса (рис. 3.1) такое поле определить нельзя. Это можно увидеть интуитивно, совершая один обход вдоль серединной окружности фигуры. После одного обхода нормальный вектор N вернётся в исходное положение как вектор - N, что проти­ воречит непрерывности N. Интуитивно, на листе Мёбиуса нельзя сделать постоянный выбор определённой «стороньI»; двигаясь по поверхности, мы можем непрерывно перейти на «другую сторону», оставаясь на по­ верхности. Мы будем говорить, что регулярная поверхность ориентируема, если она допускает дифференцируемое поле единичных нормальных векторов, определённое на всей поверхности; выбор такого поля N называется ори­ ентацией S. Например, лист Мёбиуса, упомянутый выше, не является ориен­ тируемой поверхностью. Конечно, каждая поверхность, покрытая одной
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 167 координатной окрестностью (например, поверхность, представляющая собой график дифференцируемой функции), тривиально ориентируема. Таким образом; каждая поверхность локально ориентируема, а ориентация яв­ ляется, по определению, глобальным свойством в том смысле, что она охватывает всю поверхность. Рисунок 3.1. Лист Мёбиуса Ориентация N на S индуцирует ориентацию в каждом касательном пространстве Tp(S), рЕ S, поверхности следующим образом. Назовём базис {v, w} Е Tp(S) поло:жительным, если положительно произведение (v л w, N). Легко видеть, что множество всех положительных базисов TP(S) есть ориентация Tp(S) (ер. раздел 1.4). Дальнейшие детали понятия ориентации даны в разделе 2.6. Однако для целей глав 3 и 4 приведённое определение будет достаточным. Во всей этой главе S будет обозначать регулярную ориентируемую поверхность, на которой ориентация (то есть дифференцируемое поле еди­ ничных нормальных векторов) выбрана; она будет называться просто по­ верхностью S с ориентацией N. Определение 1. Пусть SE R 3 - поверхность с ориентацией N. Отображение N: S ~ R 3 принимает свои значения на единичной сфере Отображение N : S ~ S2 , определённое таким образом, называется гаус­ совым отображением S (рис. 3.2).
168 ГЛАВАЗ Рисунок 3.2. Гауссово отображение Непосредственно проверяется, что гауссово отображение дифференци­ руемо. Дифференциал dNР отображения N в точке р Е S есть линейное отображение TP(S) в TN(p)(S 2 ). Так как Tp(S) и TN(p)(S 2 ) - парал­ лельные плоскости, dNР можно рассматривать как линейное преобразование TP(S) (ер. раздел 1.4). Линейное отображение dNР: TP(S) ~ Tp(S) действует следующим образом. Для каждой параметризованной кривой a(t) на S, где а(О) = р, рассмотрим параметризованную кривую N а a(t) = N(t) на сфере S 2 ; это равносильно ограничению нормального векторного поля N на кривую a(t). Касательный вектор N'(O) = dNр(а'(О)) есть вектор в Tp(S) (рис. 3.3). Он выражает скорость изменения нормального вектора N, ограниченного на кривую a(t), в точке t =О. Таким образом, dNР даёт величину отклонения N от N (р) в окрестности р. В случае кривых эта мера за­ даётся числом, а именно кривизной. В случае поверхностей эта мера ха­ рактеризуется линейным отображением. Рисунок 3.3
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 169 --------~ Пример 1. Для плоскости Р, заданной уравнением ах+ Ьу + cz + d =О, единичный нормальный вектор N = (а, Ь, с)/~ а 2 + Ь2 + с 2 постоянен, и по­ тому DN =О (рис. 3.4). N Рисунок 3.4 Пример 2. Рассмотрим единичную сферу S2 ={(x,y,z)ER 3 ;x 2 +y 2 +z 2 =1}. Если a(t) = (x(t), y(t), z(t)) - параметризованная кривая в S 2 ,то 2хх' + 2уу' + 2zz' =О, что означает ортогональность вектора (x,y,z) к сфере в точке (x,y,z). Таким образом, N=(x,y,z) и N=(-x,-y,-z) - поля единичных нор­ мальных векторов на S 2 . Фиксируем ориентацию на S 2 , выбирая N=(-х, -у, - z) в качестве нормального поля. Заметим, что N направлен к центру сферы. Ограниченный на кривую a(t) нормальный вектор N (t) = (-x(t), - y(t), - z(t)) является вектор-функцией t, и потому dN(x'(t),y'(t),z'(t)) = N'(t) = (-x'(t), - y'(t), - z'(t)), то есть dNP(v)=-v для всех рЕ S 2 и всех vE TP(S 2 ). Заметим, что при выборе N в качестве нормального поля (то есть при противоположной ориентации) мы получили бы dNP(v) = v (рис. 3.5).
170 ГЛАВАЗ Рисунок 3.5 . Единичная сфера: dN/v) = v Пример3. Рассмотрим цилиндр {(x,y,z)ER3; х 2 +у 2 =1}. Рассуждая подобно предыдущему, мы видим, что N = (х,у,О) и N = (-х, - у, О) - единичные нормальные векторы в точке (x,y,z). Фиксируем ориентацию, выбирая N = (-х, - у, О) в качестве нормального векторного поля. Рассматривая кривую (x(t),y(t),z(t)), лежащую на цилиндре, то есть . с условием (x(t))2 +(y(t))2 =1, мы можем видеть, что вдоль этой кривой N(t) = ( -x(t), - y(t), О), и потому dN(x'(t),y'(t), z'(t)) = N'(t) = (-x'(t), - y'(t), О). Мы приходим к выводу: если v - касательный вектор к цилиндру, параллельный оси z, то dN(v) =О= Ov; если w - касательный вектор к цилиндру, параллельный .:1}'-плоскости, то dN(w) = - w (рис. 3.6). Отсюда следует, что векторы v и w являются собственными векторами dN с собственными числами О и -1 соответ­ ственно (см. приложение к главе 3). z у х Рисунок 3.6
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 171 Пример 4. Исследуем точку р = (О, О, О) гиперболического парабо­ лоидаz=у 2 - х2 • Для этого рассмотрим параметризацию 22 х(и, v) =(и, v, v - и) и вычислим нормальный вектор N(u, v). Последовательно получаем хи= (1, О, -2и), Xv= (О, 1, 2v), -v N=[ и ~и2 +v2 +±' Заметим, что в точке р =(О, О, О) векторы х и и х v совпадают с единич­ ными векторами осей х и у соответственно. Следовательно, касательный вектор вточке р ккривой a(t)=x(u(t),v(t)), где а(О)=р, имеет вR 3 координаты (и'(О), v'(O), О) (рис. 3.7). Ограничивая N(u, v) на эту кривую и вычисляя N'(O), получаем N'(O) = (2u'(0),-2v'(O), О), и потому в точке р dNР(и'(О), v'(O), О)= (2и'(О),- 2v'(O), О). Отсюда следует, что векторы (1, О, О) и (О, 1, О) являются собственными векторами dNР с собственными числами 2 и -2 соответственно. z Рисунок 3.7 Пример 5. Метод предыдущего примера, применённый к точке р =(О, О, О) параболоида z = х 2 + ky2 , k >О, показывает, что единичные векторы оси х и оси у являются собственными векторами dN Р с собст­ венными числами 2 и 2k соответственно (в предположении, что N направлен вовне области, ограниченной параболоидом).
172 ГЛАВАЗ Важный факт относительно dN Р содержится в следующем пред­ ложении. Предложение 1. Дифференцишt dNР : T/S) ~ ТР (S) гауссова отобра­ :ж:енШ1 является самосопря:ж:ённым линейным преобразованием (ер. прwюже­ нuе к главе 3). ДоКАЗАтвльство. Так как dNР линейно, достаточно проверить, что (dNp(w1), w2 )=(w1,dNP(w2 )) для базиса {w1, w2 } пространства TP(S). Пусть х (и, v) - параметризация S в р и {х и, х v} - присоединённый базис TP(S). Если a(t) =x(u(t), v(t)) - параметризованная кривая на S, гдеа(О)=р,то dNр(а'(О))::: dNР ( хи и'(О) + xv v'(O)) = d = dt N(u(t), v(t)) li=o= = Nuu'(O) + Nvv'(O)); в частности, dNР (xu) = N и и dNР (xv) = N v. Следовательно, чтобы дока­ зать, что dNР является самосопряжённым преобразованием, достаточно показать, что (Nи, xv)=(xu, Nv)· Чтобы увидеть это, продифференцируем равенства (N, хи) =О и (N, xv) =О соответственно по v и по и и получим Таким образом, (Nv, хи) +(N, Xuv) =О, (Nu, xv) +(N, Хvи) =О. о Тот факт, что dNР: Tp(S) ~ Tp(S) есть самосопряжённое линейное отображение, позволяет сопоставить dNР квадратичную форму Q на Tp(S), полагая Q(v)=(dNP(v),v), vET/S) (ер. приложение кглаве 3). Чтобы получить геометрическое истолкование этой квадратичной формы, нам требуется несколько определений. По причинам, которые будут ясны вскоре, мы будем использовать квадратичную форму - Q.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 173 Определение 2. Квадратичная форма ПР' определённая на Т p(S) равенством II(v)=-(dN/v),v), называется второй основной формой S в точкер. Определение 3. Пусть С - регулярная кривая на S, проходящая через точку рЕ S, k - кривизна С в р и cosB=(n,N), где п - нормальный векторкС иN - нормальныйвекторкS вр. Число kn=kcosB называется тогда нормальной кривизной С с S в точке р. Другими словами, kn есть длина проекции вектора kn на нормаль к поверхности в точке р со знаком, определяемым ориентацией N на S в р (рис. 3.8). N с Рисунок 3.8 Замечание. Нормальная кривизна С не зависит от ориентации С, но меняет знак при изменении ориентации поверхности. Чтобы дать интерпретацию второй основной формы ПР, рассмотрим регулярную кривую С с S с параметризацией a(s), где s - длина дуги С и а(О) = р. Если обозначить N(s) ограничение нормального вектора N на кривую a(s), то (N(s), a'(s)) =О. Следовательно, Поэтому (N(s),a"(s)) = - (N'(s),a'(s)). lIр(а'(О)) = -(dNр(а'(О)), а'(О)) = = = -(N'(O),a'(O)) == (N(O),a"(O)) == = = (N,kn)(p) =kп(р).
174 ГЛАВАЗ Другими словами, значение второй основной формы JJ Р на единичном векторе v Е T/S) равно нормальной кривизне регулярной кривой, про­ ходящей через р и касающейся v. В частности, мы получаем следующий результат. Предложение 2 (Менье). Все кривые, лежащие на поверхности S и имеющие в данной точке рЕ S одну и ту же касательную, имеют в этой точке одну и ту же нормШ1ьную кривизну. Предыдущее предложение позволяет говорить о нормш~ьной кривизне в данном направлении в точке р. Удобно использовать следующую тер­ минологию. Для данного единичного вектора vE Tp(S) пересечение S с плоскостью, содержащей v и N(p), называется нормш~ьным сечением S в точке р в направлении v (рис. 3.9). В окрестности р нормальное сече­ ние S в р есть регулярная кривая на S, нормальный вектор которой п в точке р равен ± N(p) или нулю; её кривизна, следовательно, равна абсо­ лютной величине нормальной кривизны в направлении v в точке р. В этой терминологии предыдущее предложение утверждает, что абсолютная кривизна нормальной кривизны кривой a(s) равна кривизне нормального сечения S в точке р в направлении а'(О). Пример 6. Рассмотрим поверхность вращения, полученную вращением кривойz=у 4 вокруг оси z (рис. 3.10). Мы покажем, что в точке р = =(О, О, О) дифференциал dNР =О. Чтобы увидеть это, заметим, что кривизна кривойz=у 4 в точке р равна нулю. Кроме того, поскольку .ху-плоскость является касательной плоскостью поверхности в р, нормальный вектор N (р) в р в направлеmrn v Рисунок 3.9 . Теорема Менье: С и Сп имеют одну и ту же нормальную кривизну в р в направлении v
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 175 параллелен оси z. Поэтому любое нормальное сечение в р получается в результате поворота кривой z = у 4 ; следовательно, оно имеет нулевую кривизну. Отсюда следует, что все нормальные кривизны равны нулю в р и, таким образом, dNР =О. х Рисунок 3.10 Пример 7. В плоскости примера l все нормальные сечения являются прямыми; следовательно, все нормальные кривизны равны нулю. Таким образом, вторая основная форма тождественно равна нулю во всех точках. Это согласуется с тем фактом, что dN =О. ф2 - На с ере S примера 2, с N в качестве ориентации, нормальные сечения, проходящие через точку р Е S 2 , являются окружностями ра­ диуса 1 (рис. 3.11). Таким образом, все нормальные кривизны равны 1 и вторая основная форма llp(v)=l для любой точки рЕ S 2 и любого вектора v Е ТР (S). На цилиндре примера 3 нормальные сечения в точке р изменяются от окружности, перпендикулярной оси цилиндра, до прямой, параллельной оси цилиндра, проходя через семейство эллипсов (рис. 3.12). Таким образом, нормальные кривизны изменяются от 1 до О. Нетрудно видеть геометрически, что 1 есть максимум, а О - минимум нормальной кривизны в р. Однако применение теоремы о квадратичных формах из приложения к главе 3 даёт простое доказательство этого. В самом деле, как мы видели в примере 3, векторы w и v (соответствующие направлениям нормальных кривизн 1 и О соответственно) являются собственными векторами dNР с соответствующими собственными числами -1 и О. Таким образом, вторая основная форма принимает экстремальные значения на этих векторах, как мы утверждали. Отметим, что этот метод позволяет проверить, что этими экстремальными значениями являются 1 и О. Мы предоставляем читателю исследовать нормальные сечения в точке р =(О, О, О) гиперболического параболоида примера 4.
176 ГЛАВАЗ Рисунок 3.11 . Нормальные сечения сферы Рисунок 3.12 . Нормальные сечения цилиндра Вернёмся к линейному отображению dN р· Теорема из приложения к главе 3 показывает, что для каждой точки р Е S существует такой орто­ нормированный базис {е1 ,е2 } в TP(S), что dNP(e1)=-k1e1, dNp(e2 )= = -k2e2 • Кроме того, k 1 и k2 ( k 1 ::=:: k2 ) являются максимумом и минимумом второй основной формы IIР, ограниченной на единичную окружность ТР (S); это означает, что они являются экстремальными значениями нормШlьной кривизны в р. Определение 4. Максимальная нормальная кривизна k 1 и минималь­ ная нормальная кривизна k 2 называются главными кривизнами в точке р; соответствующие направления, то есть направления собственных век­ торов е 1 и е 2 , называются главными направлениями в р.
ГЕОМЕТРИЯГАУССОВАОТОБРАЖЕНИЯ 177 Например, в плоскости все направления во всех точках являются главными. То же имеет место на сфере. В обоих случаях это следует из того факта, что вторая основная форма в каждой точке постоянна (ер. пример 7); таким образом, все направления являются экстремальными для нормальной кривизны. На цилиндре примера 3 векторы v и w задают главные направления в точке р, соответствующие главным кривизнам О и 1 соответственно. На гиперболическом параболоиде примера 4 оси х и у имеют главные направления с соответствующими главными кривизнами -2 и 2. Определение 5. Если регулярная связная кривая С на S такова, что для любой точки рЕ С касательная С имеет главное направление в р, то С называется линией кривизны S. Предложение 3 (Олинд Родриг). Необходимое и достаточное условие того, что связная реzулярная кривая С на S является линией кривизны S, состоит в том, что N'(t) = Л(t)a'(t) для любой параметризации a(t) кривой С, где N(t) = N о a(t) и Л(t) - дифференцируемая функция t. В этом случае -Л(t) есть (главная) кривизна в направлении a'(t). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно заметить, что если a'(t) имеет главное направление, то a'(t) есть собственный вектор dN и dN(a'(t)) == N'(t) = A(t)a'(t). Обратное очевидно. о Знание главных кривизн в р позволяет легко вычислять нормальные кривизны в данном направлении в TP(S). В самом деле, пусть vE Tp(S) с 1v1=1. Поскольку el и е2 образуют ортонормированный базис тр (S), ТО v = е1 cosB+ е2 sinB, где В - угол от е1 до v в ориентации Tp(S). Нормальная кривизна kn в направлении v находится так: kn = 11p(v) = -(dNp(v), v) == = - (dNP(e1 cosO+ е2 sinO), е1 cosO+ е2 sinO) ==
178 ГЛАВАЗ =(е1k1cosB+е2k2sinB, е1cosB+е2sinB)= = k1cos 2 ()+k2sin 2 В. Последнее выражение известно в классической литературе под названием формула Эйлера; на самом деле это просто выражение второй основной формы в базисе {е1 , е2 }. Напомним, что для данного линейного преобразования А : V ~ V векторного пространства размерности 2 и данного базиса {v1, v2 } пространства V detA=alla22 -а12 а21 , trA=a11 +а22 , где (aij) -матрица А в базисе {v1, v2 }. Известно, что эти числа не зависят от выбора базиса {v1, v2 } и, следовательно, связаны с линейным преобра­ зованием А. В нашем случае детерминант dN равен произведению (-k1)(-k2 ) = k1k2 главных кривизн, а след dN есть сумма с противоположным знаком - (k1 + k 2 ) главных кривизн. Если мы изменяем ориентацию поверхности, то детерминант не изменяется (здесь важен тот факт, что размерность чётная); след, однако, меняет знак. Определение 6. Пусть рЕ S и dNP: TP(S) ~ T/S) - дифференциал гауссова отображения. Детерминант dNР называется гауссовой кривиз­ ной К поверхности S в точке р. Половина следа dNР с противоположным знаком называется средней кривизной Н поверхности S в р. В терминах главных кривизн можно записать К=k1k1' Н =k1 +kz . 2 Определение 7. Точка поверхности S называется 1) эллиптической, если det(dNP) >О; 2) гиперболической, если det(dNP) <О; 3) параболической, если det(dNP)=O при dNP ,сО; 4) точкой уплощения, если dNP =О. Ясно, что эта классификация не зависит от выбора ориентации. В эллиптической точке гауссова кривизна положительна. Обе главные кривизны имеют один и тот же знак, и потому нормальные векторы всех кривых, проходящих через эту точку, направлены в одну сторону от
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 179 касательной плоскости. Точки сферы являются эллиптическими. Точка (О, О, О) параболоида z = х 2 + k у2, k >О (ер. пример 5), также эллиmи­ ческая. В гиперболической точке гауссова кривизна отрицательна. Главные кривизны имеют разные знаки, и потому существуют кривые, проходящие через р, нормальные векторы которых в точке р направлены в любую сторону от касательной плоскости. Точка (О, О, О) гиперболического пара­ болоида z = у 2 - х2 (ер. пример 4) является гиперболической. В параболической точке гауссова кривизна равна нулю, но одна из главных кривизн отлична от нуля. Точки цилиндра (ер. пример 3) являются параболическими. Наконец, в точке уплощения все главные кривизны равны нулю. Точки плоскости удовлетворяют этому условию тривиально. Нетривиаль­ ный пример точки уплощения дан в примере 6. Определение 8. Если в точке рЕ S k 1=k 2 , то р называется омбили­ ческой точкой S; точки уплощения (k 1=k2 = О) считаются омбилическими. Все точки сферы и плоскости являются омбилическими. Применяя метод примера 6, можно проверить, что точка (О, О, О) параболоида z=х 2 +у 2 является омбилической точкой (не точкой уплощения). Докажем теперь интересный факт, что единственными поверхностями, полностью состоящими из омбилических точек, являются, в сущности, сферы и плоскости. Предложение 4. Если все точки связной поверхности S являются омбwщческими, то поверхность является частью сферы Wtи плоскости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ S и х(и, v) - такая параметризация S в р , что координатная окрестность V связна. Так как каждая точка q Е V является омбилической, то для любого вектора w=a1 xu+a2 xv в Tq(S) dN(w) = A.(q)w, где А.= A.(q) -вещественная дифференцируемая функция на V. Покажем, во-первых, что Л(t) постоянна на V. Для этого запишем предыдущее равенство в виде Nua1 +Nva2 =A(xual +xva2 );
180 ГЛАВАЗ следовательно, поскольку w произволен, Nu =Ахи, Nv=AXv. Дифференцируя первое равенство по v, второе - по и и учитывая предыдущие равенства, получаем Auxv-Avxu=O. Так как хи и xv линейно независимы, заключаем, что для всех q Е V. Так как окрестность V связна, Л постоянна на V, как мы утверждали. Если Л=О, то Nи=Nv=О, ипотому N=N0=const на V. Таким образом, (х (и, v), N 0 )и = (х (и, v), N 0 )v =О; следовательно, (х(и, v), N0 ) = const и все точки х(и, v) окрестности V принадлежат плоскости. Если А* О, то точка x(u,v)-(1/A)N(u,v) =у(и, v) фиксирована, так как Поскольку 1 1 (x(u,v)-~N(u,v))u =(x(u,v)-~N(u,v))v =0. 21 lx(u, v)-yl = А2 , все точки V лежат на сфере с центром у и радиусом 1/1 А 1· Это доказывает предложение локально, то есть для окрестности точки р Е S. Дrrn завершения доказательства заметим, что, поскольку S связна, для любой другой данной точки r Е S существует непрерывная кривая а: [О, 1] -7 S, где а(О) = р, a(l) = r. Для каждой точки a(t) Е S этой кривой существует окрестность Vi на S, лежащая на сфере или в плоскости и такая, что a- 1 (V1) есть открытый промежуток в [О, 1]. Объединение ua- 1 (V1), tE [О, 1], покрьmает [О, 1], и, поскольку [О, 1] есть замкнутый промежуток, он покрывается конечным множеством элементов семейства {a- 1 (Vi)} (ер. теорему Гейне-Бореля, предложение 6 приложения к главе 2). Таким образом, а([О, 1]) покрывается конечным числом окрестностей Vi. Если все точки одной из этих окрестностей лежат в плоскости, все другие точки будут лежать в той же плоскости. Так как точка r произ­ вольна, все точки S принадлежат этой плоскости.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 181 Если точки одной из этих окрестностей лежат на сфере, то же рассуж­ дение показывает, что все точки S принадлежат сфере, и это завершает доказательство. D Определение 9. Пусть р - точка поверхности S. Асимптотическим направлением S в р называется направление в T/S), в котором нормаль­ ная кривизна равна нулю. Асимптотической линией S в точке р на­ зывается такая регулярная связная кривая С с S, что для каждой точки р Е С касательная С в точке р имеет асимптотическое направление. Из определения сразу следует, что в эллиптической точке нет асим­ птотических направлений. Полезное геометрическое истолкование асимптотических направлений получается с помощью индикатрисы Дюпена, которую мы сейчас опишем. Пусть р - точка на S. Индикатрисой Дюпена в р называется такое множество векторов w пространства Tp(S), что /1 p(w) =±1. Чтобы записать уравнения индикатрисы Дюпена в более удобном виде, введём в Tp(S) декартовы координаты в ортонормированном базисе, {е1 , е2 }, где е1 и е2 - собственные векторы dNP. Для заданного вектора wE Tp(S) пусть р и О - «полярные координаты», определяемые равен­ ствами w=pv, где lvl=l, и v=e1 cosO+e2 sin0, если pof-0 . По формуле Эйлера, ±1=/1 p(w) =р 2 /1p(v) =k1p 2 cos 2 О+k2p 2 sin 2 О= k1q 2 +kЛ 2 , где w=qe1 +17е2 . Таким образом, координаты (q,17) точки индикатрисы Дюпена удовлетворяют уравнениям k1q 2 + k2172 = ±1; (1) следовательно, индикатриса Дюпена есть объединение двух конических сечений в Tp(S). Отметим, что нормальная кривизна в направлении, опре- деляемом вектором w, равна kn (v) = /1 рСv) = ±(1/ р 2 ). В эллиптической точке индикатриса Дюпена является эллипсом ( k1 и k2 имеют один и тот же знак); эллипс вырождается в окружность, если точка омбилическая, не являющаяся точкой уплощения ( k 1 = k 2 *О). В гиперболической точке k1 и k2 имеют разные знаки. Индикатриса Дюпена состоит поэтому из двух гипербол с общей парой асимптот (рис. 3.13). В направлениях этих асимптот нормальная кривизна равна нулю; следовательно, это асимптотические направления. Это обосновывает
182 ГЛАВАЗ терминологию и показывает, что в гиперболической точке имеется точно два асимптотических направления. е, Эллиптическая точка Гиперболическая точка Рисунок 3.13. Индикатриса Дюпена В параболической точке одна из главных кривизн равна нулю, и индикатриса Дюпена вырождается в пару параллельных прямых. Общее направление этих прямых есть единственное асимптотическое направле­ ние в данной точке. В примере 5 раздела 3.4 мы покажем интересное свойство инди­ катрисы Дюпена. С понятием асимптотического направления тесно связано понятие сопряжённых направлений, которое мы сейчас определим. Определение 10. Пусть р - точка на поверхности S. Два ненулевых вектора wl' w2 Е T/S) называются сопряжёнными, если ( dN/w1), w2 ) = =(wl'dNP(w2 ))=0. Два направления rl'r2 в р называютсясопряжёнными, если два ненулевых вектора w1, w2 , параллельные соответственно r 1 и r 2 , сопряжены. Непосредственно проверяется, что определение сопряжённых направ­ ленийнезависитотвыбораw1и w2 на r1 и r2• Из определения следует, что главные направления сопряжены, а асимптотическое направление сопряжено самому себе. Кроме того, в ом­ билической точке, не являющейся точкой уплощения, каждая ортого­ нальная пара направлений является парой сопряжённых направлений, а в точке уплощения каждое направление сопряжено любому другому направлению. Предположим, что точка р Е S не является омбилической, и пусть {е1 , е2 } - ортонормированный базис Tp(S), определяемый равенствами dNР(е1)= -k1е1, dNР(е2)= -k2е2• Пусть В и ({J - углы, которые пара на-
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 183 правлений r1 и r2 образует с е1 . Мы утверждаем, что r1 и r2 сопряжены тогда и только тогда, когда k1 cosBcos tp = -k2 sin Bsin tp. В самом деле, r1 и r2 сопряжены тогда и только тогда, когда векторы w1=е1cosВ+е2sinВ, w2 =е1costp+е2sintp сопряжены. Таким образом, О= (dN p(w 1), w2 ) = -k1 cosBcosrp- k2 sinBsintp. Отсюда следует условие (2). (2) Когда и k1 и k2 не равны нулю (то есть точка р эллиптическая или гиперболическая), условие (2) приводит к геометрическому построению сопряжённых направлений с помощью индикатрисы Дюпена в точке р. Мы опишем построение в эллиптической точке, случай гиперболической точки Рисунок 3.14 . Построение сопряжённых направлений аналогичен. Обозначим r прямую, проходящую через начало координат в ТР (S), и рассмотрим точки пересечения q 1, q2 прямой r с индикатрисой Дюпена (рис. 3.14). Касательные индикатрисы Дюпена в q1 и q 2 парал­ лельны, а их общее направление r' сопряжено с r. Мы оставим дока­ зательства этих утверждений в качестве упражнений (упражнение 12). УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что в гиперболической точке главные направления делят пополам углы между асимптотическими направлениями. 2. Покажите, что если поверхность касается плоскости вдоль кривой, то точки это кривой являются либо параболическими, либо точками упло­ щения поверхности.
184 ГЛАВАЗ 3. Пусть С с S - регулярная кривая на поверхности S с гауссовой кривизной К> О. Покажите, что кривизна k кривой С в точке р удовлет­ воряет условию k;:::min(Jk1J, 1k2J), где k1 и k2 - главные кривизны S в точке р. 4. Предположите, что поверхность S обладает тем свойством, что всюду J k1 \ ~ 1, J k2 1~1. Верно ли, что кривизна k кривой S также удовлетворяет неравенству 1 k 1~ 1? 5. Покажите, что средняя кривизна Н в точке р Е S выражается равен­ ством Н =_!_ rл kп(O)dO, кJo где kn(O) - нормальная кривизна в точке р в направлении, состав­ ляющем угол (} с фиксированным направлением. 6. Покажите, что сумма нормальных кривизн в любых двух ортогональных направлениях в точке р Е S постоянна. 7. Покажите, что если средняя кривизна равна нулю в точке, не являющейся точкой уплощения, то в этой точке существуют два ортогональных асим­ птотических направления. 8. Опишите замкнутую область на единичной сфере, покрываемую обра­ зом при гауссовом отображении следующих поверхностей: а) параболоид вращения z = х 2 + у2; Ь) гиперболоид вращения х2 +у2-z 2 =1; с) катеноид х2 +у2=ch 2 z. 9. Докажите, что а) образ N о а при гауссовом отображении N: S ~ S 2 параметризованной регулярной кривой а: I ~ S, не содержащий точек уплощения или пара­ болических точек, является регулярной параметризованной кривой на сфе­ ре S 2 (называемой сферическим образом а). Ь) если С =а(!) - линия кривизны и k - её кривизна в точке р , то k=JkJN J,
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 185 где kn - нормальная кривизна в точке р в направлении касательной С, а kN - кривизна сферического образа N(C) с S 2 в точке N(p). 1О. Предположите, что соприкасающаяся плоскость линии кривизны С с S, которая нигде не касается асимптотического направления, образует постоянный угол с касательной плоскостью S вдоль С. Докажите, что С - плоская кривая. 11. Пусть р - эллиптическая точка S, r и r' - сопряжённые направ­ ления в р. Пусть r изменяется в ТР (S); покажите, что минимум угла между r и r' достигается для единственной пары направлений в Tp(S), которые симметричны относительно главных направлений. 12. Пусть р - гиперболическая точка поверхности S и r - направление в ТР (S). Опишите и обоснуйте геометрическое построение для отыскания сопряжённого r направления r' с помощью индикатрисы Дюпена (ер. по­ строение в конце раздела 3.2). 13*. (Теорема Бельтрами-Эннепера.) Докажите, что абсолютная величина кручения r в каждой точке асимптотической линии, кривизна которой нигде не равна нулю, выражается равенством где К - гауссова кривизна поверхности в данной точке. 14*. Если поверхность S1 пересекает поверхность S2 по регулярной кри­ вой С, то кривизна k кривой С в точке рЕ С задаётся уравнением k2 sin 2 (}=А,~+~ - 2.А.1~ cosB, где Л1 и ~ - нормальные кривизны в точке р в направлении касатель­ ной С поверхностей S1 и S2 соответственно, а (} - угол, образованный нормальными векторами S1 и S2 в точке р. 15. (Теорема Иоахимсталя.) Предположите, что S1 и S2 пересекаются по кривой С и составляют угол В(р), р Е С. Пусть С - линия кривизны S1. Докажите, что угол (}(р) постоянен тогда и только тогда, когда С есть линия кривизны S2 • 16*. Докажите, что меридианы тора являются линиями кривизны.
186 ГЛАВАЗ 17. Покажите, что если Н =О на S и S не имеет точек уrшощения, то гауссово отображение N : S ~ S 2 обладает следующим свойством: (dN p(w1), dNp(w2 )) =-K(p)(w1, w2 ) для любых рЕ S и w1, w2 Е Tp(S). Покажите, что предыдущее условие означает, что угол между двумя пересекающимися кривыми на S 2 , с точностью до знака, равен углу между двумя их сферическими образами (ер. упражнение 9). 18*. Пусть 11.1 , . .. ,/lm - нормальные кривизны в точке рЕ S в направ­ лениях, составляющих углы О, 2п:/т, ...,(т-1)2п:/т с главным направле­ нием. Докажите, что 11.1 + ... +llm =mH, где Н - средняя кривизна в точке р. 19*. Пусть С с S - регулярная кривая на S. Пусть рЕ С и a(s) - такая параметризация С в р длиной дуги, что а(О) = р. Выберем в ТР (S) ортонормированный положительный базис {t, h}, где t = а'(О). Геодези­ ческое кручение 7 g кривой С с S определяется равенством 7g =(: (O),h). Докажите, что а) 7g =(k1 -k2 )cosq:isinq:i, где q:~-уголот е1 до t; Ь) если 7 - кручение С, п- единичный вектор (главной) нормали С иcosfJ=(N,п),то d(J -=7-7. ds g' с) линии кривизны S характеризуются тождественным равенством нулю геодезического кручения. 20*. (ТеоремаДюпена.) Говорят, что три семейства поверхностей образуют триортогональную систему в открытом множестве И с R 3 , если через каждую точку р Е И проходит единственная поверхность каждого
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 187 семейства и три поверхности, проходящие через точку р, попарно орто­ гональны. Используйте часть (с) упражнения 19, чтобы доказать теорему Дюпена: поверхности триортогонШlьной системы пересекаются друг с другом по линиям кривизны. 3.3 . Гауссово отображение в локальных координатах В предыдущем разделе мы ввели некоторые понятия, относящиеся к локальному поведению гауссова отображения. Чтобы подчеркнуть геометрическую сторону, определения были даны без использования системы координат. Некоторые простые примеры были затем обработаны непосредственно с помощью определений; этот метод, однако, неэф­ фективен в общем случае. В этом разделе мы получим выражения второй основной формы и дифференциала гауссова отображения в системе координат. Это даст нам систематический метод вычислений в конкретных примерах. Кроме того, общие выражения, полученные таким образом, важны для более детального исследования введённых выше понятий. Все параметризации х: И с R 2 ~ S, рассматриваемые в этом разделе, предполагаются совместимыми с ориентацией N поверхности S, то есть в параметризации х (И): N= Хи ЛХv . 1Хи ЛХv 1 Пусть х(и,v)- параметризация в точке рЕ S поверхности S, и пусть a(t) =x(u(t), v(t)) - параметризованная кривая на S, где а(О) = р. Для упрощения обозначений примем соглашение, что под всеми функциями, встречающимися ниже, подразумеваются их значения в точке р. Касательный вектор к a(t) в р есть а'= х и и'+ х vv', и dN(a') = N'(u(t), v(t)) = Nии' + Nvv'. Поскольку Nu и Nv принадлежат Tp(S), можно записать (1) и потому
188 ГЛАВАЗ следовательно, Это показывает, что в базисе {xu,xv} дифференциал dN задаётся матрицей (aii ), i = 1,2. Отметим, что эта матрица не обязательно симме­ трическая, если только базис {хи, xv} не является ортонормированным. С другой стороны, выражение второй основной формы в базисе {хи,хv} имеет вид Ilр(а') = -(dN(a'),a') = -(Nи и'+ Nvv', х и и'+ xv v') = = e(u') 2 +2fu'v' + g(v') 2 , где, поскольку (N,x и) =(N,x v) =О, е=-(Nи,х и) =(N,x ии), f =-(Nv,X и)= (N,x uv) = (N,x vи) =-(Nи,Х v), g =-(Nv,X v) = (N, Х vv)· Найдём теперь выражения (aii) через коэффициенты e,f,g. Из равен­ ства (1) получаем - f =(Nu,xv)= a11F+a21G, - f =(Nv,Xи)= а12Е+a22F, (2) -е=(Nu,x и)= а11Е+a21F, - g=(Nv,xv)=a12F+a22G, где E,F,G - коэффициенты первой основной формы в базисе {xu,xv} (ер. раздел 2.5). Соотношения (2) можно записать в матричной форме: -(е f)=(а11 а21)(Е F); fgа12а22FG (3) следовательно,
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 189 где символ ( )- 1 обозначает обратную матрицу для ( ). Легко проверить, что F]-l 1 (G G -EG-F2-F -;} откуда получаются следующие выражения для коэффициентов (aij) мат­ рицы dN в базисе {xu,xv}: fF-eG а= 11 EG-F2' gF-fG а= 12 EG-F2 , eF-fE а= 21 EG-F2, f F-gE EG-F2 • Для полноты изложения следует указать, что соотношения (1), с учётом предыдущих выражений, называются формулами Вайнгартена. Из равенства (3) непосредственно получаем 2 K=det(a )= eg-f . (4) u EG-F 2 Чтобы вычислить среднюю кривизну, напомним, что - k1, - k2 являются собственными значениями dN. Следовательно, k1 и k2 удовлетворяют уравнению dN(v) =-k v =-k Jv при некотором VE Tp(S), v #О, где 1 - тождественное отображение. Отсюда следует, что линейное ото­ бражение dN + k 1 необратимо, а потому его детерминант равен нулю. Таким образом, или
190 ГЛАВАЗ Так как k1 и k 2 являются корнями предыдущего квадратного урав­ нения, получаем, что 1 1 1 eG-2fF+gE H=-(k1 +k2 )=--(a11 +а22)=- 2 ; 2 2 2 EG-F (5) следовательно, k2-2Hk+К=О, и потому k=H±.Jн 2 -К. (6) Из этого соотношения следует, что если выбрать k1(q)"C.k2 (q), qE S, то функции k1 и k2 непрерывны на S. Кроме того, k1 и k2 дифферен­ цируемы на S, кроме, быть может, омбилических точек (Н 2 =К) на S. В вычислениях этой главы удобно будет обозначать для краткости (и/\v, w) =(и,v, w) длялюбых и,v, wE R 3. Напомним, что это просто детерминант матрицы 3 х 3 , столбцы (или стро­ ки) которой являются координатами векторов и, v, w в каноническом базисе R 3 . Пример 1. Вычислим гауссову кривизну в точках тора, покрытого параметризацией (ер. пример 6 раздела 2.2) х(и, v) =((а+ rcos и)соs v, (а+ r cosu)sin v, r sin и), О<и<2я, О<v<2я. Для вычисления коэффициентов e,f,g нужно знать N (и, следова­ тельно, хи и xv), хии' xuv и xvv: хи= (-rsin ucosv, -rsinusin v, rcosu), xv= (-(а+ rcosu)sin v, (а+ rcosu)cosv, О), хии= (-rcosucosv, -rcosusin v, -rsin и), хиv==(rsinusinv, - r sinиcosv, О), xw= (-(а+ rcosu)cosv, -(а+ rcosu)sin v, О). Отсюда получаем Е=(хи,хи)=r 2 , F=(xи,xv)=O, G = (xv, xv) =(а+ rcosu) 2 •
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 191 Вводя полученные выражения в равенство е = ( N, х ии) и учитывая, что \хи лxv[=-JEG-F 2 , находим = (xu,xv,xuu) = r 2 (a+rcosu) =r - JEG-F2 r(a+rcosu) · Аналогично получаем f=(xu,Xv,xuv) О, r(a+rcosu) g = (xu, Xv,xvv) = cosu(a + rcosu). r(a + rcosu) Наконец, поскольку К= (eg- f 2 )/(EG-F 2 ), получаем, что К = __с_о_s_и __ r(a+rcosu) Из этого выражения следует, что К= О вдоль параллелей и= tc/2 и и= З:тr/2; точки этих параллелей являются, следовательно, параболичес­ кими. В области тора, заданной неравенствами :тr/2 <и < Зtс/2, кривизна К отрицательна (отметим, что r >О и а> r); точки этой области, следова­ тельно, гиперболические. В области, заданной неравенствами О< и< :тr/2 или Зtс/2 <и< 2tc, кривизна положительна и точки являются эллипти­ ческими (рис. 3.15). Ось вращения Производящая окружность hК<~ UK>O К=О Рисунок 3 .15
192 ГЛАВАЗ В качестве приложения выражения второй основной формы в ко­ ординатах мы докажем предложение, которое даёт информацию о распо­ ложении поверхности в окрестности эллиптической или гиперболической точки относительно касательной плоскости в этой точке. Например, если мы посмотрим на эллиптическую точку тора примера 1, то обнаружим, что поверхность лежит по одну сторону касательной плоскости в этой точке (см. рис. 3.15). С другой стороны, если р - гиперболическая точка тора Т и V с Т - любая окрестность р, мы можем найти точки V по обе стороны ТР (S), однако окрестность V может быть мала. Этот пример отражает общий локальный факт, который описывается в следующем предложении. Предложение 1. Пусть рЕ S - эллиптическая точка поверхности S. Тогда существует такая окрестность V точки р в S, что все точки V ле:жат по одну сторону касателыюй плоскости T/S). Пусть р Е S - гиперболическая точка. Тогда в ка:ждой окрестности точки р существу­ ют точки S по обе стороны TP(S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x(u,v) - параметризация в р с х(О,О) = р. Расстояние d от точки q =х(и, v) до касательной плоскости TP(S) нахо­ дится по формуле (рис. 3.16) d =(x(u,v)-x(O,O),N(p)). Рисунок 3.16
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 193 Так как вектор-функция х(и, v) дифференцируема, имеет место фор­ мула Тейлора 1 2 2 - x(u,v)=x(O,O)+xuu+xvv+2(xuuu +2xuvuv+xvvv )+R, где производные вычислены в точке (О, О), а остаточный член R удов­ летворяет условию lim _!!_=О. (u,v)-;(0,0) u2 + v2 Отсюда следует, что d = (х (и, v)-x(O,O), N(p)) = = _l{ (х ии• N(p))u 2 + 2 (х uv• N(p))uv + (х vv• N(p))v2 }+R= 2 12 2 1 =="2(еи +2fuv+gv ) +R = 2пр(w) + R, где w==xuu+xvv, R=(R,N(p)) и lirn(R/iwi 2 )=0. w-;O В эллиптической точке р вторая форма JIP(w) имеет постоянный знак. Следовательно, для всех (и, v), достаточно близких кр, d имеет тот же знак, что и JIp(w), то есть все такие точки (и, v) лежат по одну сторону ТР (S). В каждой окрестности гиперболической точки р существуют такие точки (u,v) и (u,v), что IIP(w/lwl) и //P(w/lwl) имеют разные знаки (здесь w ==хи И +xv v); такие точки лежат, следовательно, по разные сторо­ ны TP(S). Никакого утверждения, подобного предложению 1, нельзя сделать для окрестности параболической точки или точки уплощения. В рассмотрен­ ных выше примерах параболической точки и точки уплощения (ер. при­ меры 3 и 6 раздела 3.1) поверхность лежит по одну сторону касательной плоскости и может иметь с этой плоскостью общую прямую. В следующих примерах мы покажем, что положение может оказаться совершенно иным. Пример 2. «Обезьянье седло» (см. рис. 3.17) задаётся уравнениями 3 2 х=и, y=v, z==u -Зv и. Непосредственное вычисление показывает, что в точке (О, О) коэффи­ циенты второй основной формы е = f = g =О; точка (О, О) является поэтому точкой уплощения. В любой окрестности этой точки, однако, существуют точки, лежащие по разные стороны касательной плоскости в этой точке.
194 ГЛАВАЗ z z=l у х Рисунок 3.17 Рисунок 3.18 Пример 3. Рассмотрим поверхность, полученную вращением кривой z = у3, -1 < z < 1, вокруг прямой z = 1 (см. рис. 3.18). Простое вычисле­ ние показывает, что точки, порождаемые вращением начала координат О, являются параболическими. Мы опустим эти вычисления, так как вскоре докажем (пример 4), что параллели и меридианы поверхности вращения являются линиями кривизны; отсюда, с учётом того факта, что в рас­ сматриваемых точках меридианы (кривые вида у= х3 ) имеют нулевую кривизну, а параллель является нормальным сечением, будет следовать предыдущее утверждение. Отметим, что в любой окрестности такой параболической точки суще­ ствуют точки, лежащие по обе стороны касательной плоскости. Выражение второй основной формы в локальных координатах полезно для изучения асимптотических и главных направлений. Рассмотрим снача­ ла асимптотические направления. Пусть х(и,v) - параметризация в точке pES сх(О,О)=р, и пусть е(и,v)=е, f(и,v)=f, g(и,v)=g - коэффициенты второй основной формы в этой параметризации. Напомним, что (см. определение 9 раздела 3.2) связная регулярная кривая С в координатной окрестности параметризации х является асимптотической линией тогда и только тогда, когда для параметризации a(t)=x(и(t),v(t)), tE !, кривой С имеет место равенство JJ(a'(t))=O для всех t Е I, то есть тогда и только тогда, когда е(и')2 +2/и'v' + g(v') 2 =0, !Е !. (7) По этой причине уравнение (7) называется дифференциШiьным уравнение.м асимптотических линий. В следующем разделе мы придадим более точный смысл этому выражению. В данный момент мы хотим извлечь из уравнения (7) лишь следующий полезный вывод: необходимое и дос-
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 195 таточное условие того, что координатные линии параметризации в окрестности гиперболической точки (eg - f 2 <О) являются асимпто­ тическими линиями, состоит в том, что е = g =О. Действительно, если обе кривые и= const, v = v(t) и и = и(t), v = const удовлетворяют уравнению (7), получаем, что е = g =О. Обратно, если по­ следнее условие выполняется и f "# О, уравнение (7) принимает вид fи'v' =О, и ему, очевидно, удовлетворяют координатные линии. Рассмотрим теперь главные направления, сохраняя уже принятые обо­ значения. Связная регулярная кривая С в координатной окрестности х является линией кривизны тогда и только тогда, когда для тобой параметризации a(t) =х(и(t), v(t)) кривой С, tE !, имеет место равенство (ер. предложение 3 раздела 3.2) dN(d(t)) = A.(t)a'(t). Отсюда следует, что функции и'(t), v'(t) удовлетворяют системе урав­ нений jF-eG, gF-fG, 1' ----и+ v =л.и, EG-F 2 EG-F 2 eF-fE,fF-gE ' 1' --~-и+ v =л.v. EG-F 2 EG-F 2 Исключая А. из предыдущей системы, получаем дифференциальное урав­ нение линий кривизны (JE - еF)(и') 2 + (gE - eG)и'v' + (gF - fG)(v') 2 =О, которое можно записать в более симметричной форме: (v') 2 - u'v' (и') 2 Е F G =0. е fg (8) С использованием того факта, что главные направления ортогональны между собой, из равенства (8) легко получается, что равенства F =f =О являются необходимыми и достаточными условиями того, что коорди­ натные линии параметризации в окрестности неомбWlической точки яв­ ляются линиями кривизны.
196 ГЛАВАЗ Пример 4 (поверхности вращения). Рассмотрим поверхность враще­ ния с параметризацией (ер. пример 4 раздела 2.3; мы заменили f и g на q; и 1f1 соответственно) х(и, v) = (q;(v)cosu, q;(v)sin и, 1f(v)), О<и<2;r, а<v<Ь, q;(v),сО. Коэффициенты первой основной формы имеют следующие выра­ жения: Удобно считать, что меридиан параметризован длиной дуги, то есть что (q;')2 +(ry')2 =G =1. Непосредственное вычисление коэффициентов второй основной фор­ мы даёт - q;sinu q;' cosu -q;cosu e=(xu,xv,xu,J= 1 JEG-F 2 JEG-F 2 q;cosu q;'sinи - q;sinи = о ry' о = -q;lf', f=O, g = 'l''q;" - '1'"q;'. Так как F = f = О, заключаем, что параллели ( v = const ) и меридианы (и = const) поверхности вращения являются линиями кривизны такой по­ верхности (этот факт использовался в примере 3). Из того, что eg- 12 к=--"--'----- EG-F2 ljl'( ljl'q;" - ljl"q;') (jJ и q; всегда положительно, следует, что параболические точки задаются либо равенством '1'' =О (касательная к производящей кривой перпенди­ кулярна оси вращения), либо равенством q;'lf" -'l''q;" =О (кривизна произ­ водящей кривой равна нулю). Точка, в которой выполняются оба условия, является точкой уплощения, так как эти условия означают, что e=f=g=O.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 197 Удоб но записать выражение гауссовой кривизны ещё в другой форме. Дифференцируя равенство (rp') 2 +(1;/)2 ==1, получаем rp'q/' == -1j/1;/'. Таким образом, к == v/сv/rp" - lf/"rp') == сlf/')2 rp" +с rp')2 rp" == - rp" (9) rp rp rp Равенство (9) является удобным выражением гауссовой кривизны поверх­ ности вращения. Оно может быть использовано, например, для отыскания поверхностей вращения постоянной гауссовой кривизны (ер. упраж­ нение 7). Чтобы вычислить главные кривизны, сделаем сначала следующее общее замечание: если параметризация поверхности вращения такова, что F == f ==О, то главные кривизны равны е/Е и g/G. В самом деле, в этом случае гауссова и средняя кривизны имеют выражения (ер. ра­ венства (4) и (5)) К==!!К_ Н==1eG+gE. EG' 2EG Так как К - произведение и 2Н - сумма главных кривизн, отсюда сразу следует наше утверждение. Таким образом, главные кривизны поверхности вращения задаются равенствами (10) следовательно, средняя кривизна такой поверхности равна н == }___ - 1/f' + rp(lfl'rp" _ l/f"rp'). 2 rp (11) Пример 5. Очень часто поверхность задаётся как график дифферен­ цируемой функции (ер. предложение 1 раздела 2.2) z == h(x,y), где (х,у) принадлежит открытому множеству И с R 2 . Удобно поэтому иметь н распоряжении формулы для соответствующих понятий в этом случае. Чтобы получить такие формулы, параметризуем поверхность, полагая x(и,v)==(и,v,h(и,v)), (и,v)Е И, где и== х, v ==у. Простое вычисление показывает, что xu=(1,0,hu), Xv=(O,l,h,,), Xuu=(O,O,huu), Xuv= (О, О, huv), Xvv= (О, О, hvv).
198 Таким образом, ГЛАВАЗ (-hx,-hy,l) N(x,y)= (l+h;+h~)v2 есть поле единичных нормалей, а коэффициенты второй формы в этой ориентации находятся по формулам h е= хх (l+h; +h;)l/2' h f= ;iy (1 + h; + h;)1/2' hyy g= (l+h; +h;)1! 2 • С помощью выражений вверху, легко получить любую нужную фор­ мулу. Например, из равенств (4) и (5) получаем гауссову и среднюю кри­ визны: К= hxxhyy - h~ (1 +h; +h;)2 ' (1+h;)hyy- 2hxhyh;iy +(1+h;)hxx н ------'-'-------"~~~---=----- - (1+h;+h;)з/2 Есть ещё другое, возможно, более важное основание для изучения поверхностей, заданных уравнением z = h(x,y). Оно исходит из того факта, что локально любая поверхность является графиком дифферен­ цируемой функции (ер. предложение 3 раздела 2.2). Для данной точки р поверхности S можно выбрать координатные оси в R 3 так, чтобы начало координат О совпало с точкой р, а ось z была направлена вдоль поло­ жительной нормали S в точке р (таким образом, касательная плоскость совпадает с ТР (S)). Отсюда следует, что окрестность точки р на S может быть представлена ввиде z=h(x,y),(x,y)EUcR 2 ,гдe И- открытое множество и h - дифференцируемая функция (ер. предложение 3 раз­ дела 2.2), удовлетворяющая условиям h(O, О)= р, hx (О, О)= О, hy (О, О)= О (рис. 3.19). Вторая основная форма S в р, применённая к вектору (х, у) Е R 2 , принимает в этом случае вид hxx(O,O)x 2 + 2hxy(O,O)xy + hyy(O,O)y 2.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 199 z z Рисунок 3.19. Каждая точка поверхности S имеет окрестность, которая может быть задана уравнением z = j(x, у) В элементарном дифференциальном исчислении функций двух перемен­ ных предыдущая квадратичная форма называется гессианом h в точке (О, О). Таким образом, гессиан h в точке (О, О) является второй основной формой S в точке р. Применим предыдущие соображения для геометрического истолкова­ ния индикатрисы Дюпена. В прежних обозначениях: пусть Е > О - такое малое число, что C={(x,y)ETP(S); h(x,y)=t:} есть регулярная кривая (быть может, мы должны изменить ориентацию по­ верхности, чтобы добиться положительности с:). Мы хотим показать, что, если р не является точкой уплощения, кривая С «приближённо» подобна индикатрисе Дюпена поверхности S в точке р (рис. 3.20). Чтобы это увидеть, будем предполагать далее, что оси х и у имеют главные направления, причём ось х имеет главное направление с макси­ мальной главной кривизной. Таким образом, f = hxy (О, О)= О и k 1(р) = ! __ = hxx(O,O), k 2 (p) =К= h»'(O,O). Е G Представляя h(x,y) по формуле Тейлора в окрестности точки (О, О) и учитывая, что hx (О, О)= О= hy (О, О), получаем 1 2 2 h(x,y) =l(hxx(O, О)х + 2hx/O, О)ху + hyv(O, О)у ) + R = 1 2 2 =-(k1x +kzy )+R, 2
200 ГЛАВАЗ где 1 . R lffi (х,у)-+(0,0) х2 + у2 о. Таким образом, кривая С задаётся уравнением k1x 2 +k2y 2 +2R = 2t:. --,ьр " / Плос1<0сть, параллельная T,(S) Рисунок 3.20 Далее, если р не является точкой уruющения, можно рассматривать кривую k 1x 2 +k2y 2 = 2t: как приближение первого порядка кривой С. Применяя преобразование подобия х = x.fli, у= y../2i, получим, что кривая k 1x 2 +k2y 2 = 2t: преобразуется в кривую k-2 k-2 1 1Х+2У=' которая является индикатрисой Дюпена в точке р. Это означает, что если р не является точкой уwющения, пересечение S - плоскостью, параллельной плоскости TP(S) и близкой к TP(S), есть, с точностью первого порядка, кривая, подобная индикатрисе Дюпена в р. Если р - точка уплощения, это истолкование не имеет силы (ер. упражнение 11 ).
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 201 В завершение этого раздела мы дадим геометрическое истолкование гауссовой кривизны в терминах гауссова отображения N: S ~ S 2 . Факти­ чески сам Эйлер ввёл эту кривизну таким образом. Чтобы сделать это, нам, во-первых, необходимо определение. Пусть S и S - две ориентированные поверхности. Пусть qJ: S ~ S - дифференцируемое отображение, и пусть в некоторой точке р Е S отображение dqJP невырождено. Мы называем qJ сохраняющим ориента­ цию в р, если для данного положительного базиса {w1, w2 } в TP(S) базис {dФp(w1 ), dqJP(w2 )} - положительный базис в Trp(p)(S). Если базис {dФp(w1 ), dtpp(w2 )} не является положительным, мы называем qJ изменя­ ющим ориентацию в р. Заметим теперь, что и S, и единичная сфера S 2 вложены в R 3 . Таким образом, ориентация N на S индуцирует ориентацию N на S 2 . Пусть рЕ S такова, что dNP невырождено. Так как в базисе {w1, w2 } в Tp(S) dNp(w1)лdNp(w2) =det(dNp)(w1лw2) =Kw1лw2, гауссово отображение N будет сохраняющим ориентацию в точке рЕ S, если К(р)>О, и изменяющим ориентацию в рЕ S, если К(р)<О. Инту­ итивно это означает следующее (рис. 3.21): ориентация TP(S) индуцирует ориентацию малых замкнутых кривых вокруг р; образ каждой из этих кривых при отображении N будет иметь ту же или противоположную исходной ориентацию в зависимости от того, является точка р эл­ липтической или гиперболической соответственно. Чтобы принять во внимание этот факт, условимся считать, что площадь замкнутой области, содержащейся в связной окрестности V, где К * О, и площадь её образа при отображении N имеют один и тот же знак, еслиК>ОвV, иразныезнаки,еслиК<ОвV(таккакVсвязна, Кне меняет знака в V). Теперь мы можем сформулировать обещанное геометрическое истол­ кование кривизны К при К *О. Предложение 2. Пусть р - такая точка поверхности S, что кривизна К(р)*О, и V - связная окрестность р, где К не меняет шака. Тогда . А' K(p)=Iim-, А-;0 А
202 ГЛАВАЗ где А - тющадь замкнутой области В с V, содержащей р, А' - площадь образа В при гауссовом отображении N : S ~ S 2 , а предел находится по последовательности областей Вп, стягивающихся кр в том смысле, что любая сфера вокруг р содержит все Вп при дос­ таточно большом п. - N Рисунок 3.21 . Гауссово отображение сохраняет ориентацию в эллиптической точке и изменяет её в гиперболической точке ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Площадь А области В находится по формуле (ер. раздел 2.5) где х(и, v) - параметризация в р, координатная окрестность которой содержит V ( V можно считать достаточно малой), а R - область и, v- rшоскости, соответствующая В. Площадь А' области N(B) равна Используя равенство (1), определение К и принятое выше согла­ шение, можно записать
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 203 Переходя к пределу и обозначая площадь области R тем же символом R, получаем l . А'1 . A'/R llll-= IШ--= А-+0 А А-+0 А/R lim(llR)ff К 1хи лхv 1du dv 1 1 =R-+0 f R =КХиЛXv=К lim(IIR)ff lxuлxvldudv lxuлxvl R-+0 f R (обратите внимание, что мы использовали теорему о среднем для двойных интегралов), и это доказывает предложение. D Замечание. Сопоставляя предложение с выражением кривизны k=limа s->0 S плоской кривой С в точке р (здесь s - длина дуги малого отрезка С, содержащего р, а а - длина дуги его образа на индикатрисе касательных; ер. упражнение 3 раздела 1.5), мы видим, что гауссова кривизна К является аналогом для поверхностей кривизны k плоской кривой. УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что в начале координат (О, О, О) на параболоиде z = аху К=-а2 и Н=О. 2*. Найдите асимптотические линии и линии кривизны геликоида х = = vcosu, у= vsin и, z =си и покажите, что его средняя кривизна равна нулю. 3*. Найдите асимптотические линии катеноида х(и, v) = (chvcosu, chvsinu, v). 4. Найдите асимптотические линии и линии кривизны поверхности z = ху. 5. Рассмотрите параметризованную поверхность (поверхность Эннепера) [ u 3 2v3222J х(иv)=и--+uv v--+vu и-v ' 3 ' 3 '
204 ГЛАВА3 и покажите, что а) коэффициенты первой основной формы таковы: E=G=(l+u 2 +v 2) 2, F=O; Ь) коэффициенты второй основной формы таковы: е==2, g ==-2, f =О; с) главные кривизны имеют выражения 2 2 k1= kz= (l+u2+v2)2' (l+u2+v2)2' d) линиями кривизны являются координатные линии; е) асимптотическими линиями являются кривые и+v =const, и - v =const 6. (Поверхность с К =-1, псевдосфера.) а*. Найдите уравнение такой плоской кривой С, длина отрезка касатель­ ной которой между точкой касания и некоторой прямой r в плоскости, которая не пересекает прямую, постоянна и равна 1 (эта кривая называется трактрисой; см. рис. 1.9). Ь. Вращайте трактрису С вокруг прямой r; определите, является ли «поверхность» вращения, полученная таким образом (псевдосфера; см. рис. 3.22), регулярной, и найдите параметризацию в окрестности регулярной точки. Рисунок 3.22 . Псевдосфера Рисунок 3.23
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 205 с. Покажите, что гауссова кривизна в тобой реrулярной точке псевдо­ сферы равна -1. 7. (Поверхности вращения постоянной кривизны.) Поверхность вращения постоянной кривизны задана параметризацией (qi(v)cosu, qi(v)sinи, lfl(v)). Найдите функции rp и lJI , выберите параметр v таким образом, чтобы выполнялось равенство (rp') 2 + (1J1') 2 =1 (геометрически это означает, что v есть длина дуги производящей кривой (qi(v), l{l(v)). Покажите, что а) rp удовлетворяет уравнению rp" + Krp =О, а 1f1 задаётся формулой lJI = f~1- (rp') 2 dv; таким образом, О< и < 2я, а область значений v тако­ ва, что последний интеграл имеет смысл; Ь) все поверхности вращения постоянной кривизны К = 1, которые пере­ секают ортогонально плоскость хру, задаются функциями где С - постоянная (С= rp(O)); найдите область значений v и нарисуйте эскиз профиля поверхности в xz -плоскости для случаев С= 1, С > 1, С< 1; заметьте, что С= 1 задаёт сферу (рис. 3.23); с) все поверхности вращения постоянной кривизны К = - 1 моrут быть заданы функциями одного из следующих типов: 1) qi(v) =С chv, 2) <p(v) = Cshv, 3) rp(v) = ех, <p(v) = J: .J1-e 2 x dv;
206 ГЛАВАЗ найдите область значений v и нарисуйте эскиз профиля поверхности в xz - плоскости; d) поверхность типа 3 в части (с) есть псевдосфера упражнения 6; е) единственными поверхностями вращения с К = О являются прямой кру­ говой цилиндр, прямой круговой конус и плоскость. 8. (Соприкосновение порядка ~2 поверхностей.) Две поверхности S и S с общей точкой р имеют соприкосновение порядка ~ 2 в р, если суще­ ствуют такие параметризации х(и,v) их (u,v) в р поверхностей S и S соответственно, что в р. Докажите следующее: а*) пусть S и S имеют соприкосновение порядка ~ 2 в р; х: И --t S и х : И --t S - произвольные параметризации S и S соответственно в р ; f:VсR3 -- t R - дифференцируемая функция в окрестности V точки р вR3 ; частные производные порядка ~2 функции f ох : И --t R равны нулю в х-1 (р) тогда и только тогда, когда частные производные порядка ~2 функцииf ох:И --tR равны нулювточкех-1(р); Ь*) пусть S и S имеют соприкосновение порядка ~ 2 в р; пусть z =f(x,y), z =](х,у) - уравнения S и S соответственно в окрестности р, где ху-плоскость является общей касательной плоскостью в точке р =(О, О); тогда все частные производные порядка ~ 2 функции f(x,y)- f(x,y) в точке (О, О) равны нулю; с) пусть р - точка поверхности S с R 3 ; пусть Oxyz - такая декартова система координат в R 3 , что О= р и .ху-плоскость является касательной плоскостью поверхности S в р; покажите, что параболоид (*)
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 207 полученный пренебрежением членами не ниже третьего порядка в тейло­ ровском разложении в окрестности р =(О, О), имеет соприкосновение по­ рядка 2 2 с поверхностью S в р (поверхность (*) называется соприкаса­ ющимся параболоидом S в р ); d*) если параболоид (случаи вырождения в плоскость и параболический цилиндр исключаются) имеет соприкосновение порядка 2 2 с поверхно­ стью S в точке р , то он является соприкасающимся параболоидом S в р; е) если две поверхности имеют соприкосновение порядка 2 2 в р, то со­ прикасающиеся параболоиды S и S совпадают; заключите отсюда, что гауссовы и средние кривизны поверхностей S и S равны; t) понятие соприкосновения порядка 2 2 инвариантно относительно диф­ феоморфизмов R 3 , то есть если S и S имеют соприкосновение порядка 22ври~:R3 ----* R 3 - диффеоморфизм, то rp(S) и rp(S) имеют сопри­ косновение порядка 2 2 в rp(p ); g) если S и S имеют соприкосновение порядка 2 2 в р, то lim ~ =0, r---70 r где d - длина отрезка, отсекаемого поверхностями на прямой, перпен­ дикулярной к Тp(S) = TP(S), которая находится на расстоянии r от р. 9. (Соприкосновение кривых.) Определите понятие соприкосновения по­ рядка 2 п ( п 21 - целое число) регулярных кривых в R 3 в общей точке р и докажите, что а) понятие соприкосновения порядка 2 п инвариантно относительно диф­ феоморфизмов; Ь) две кривые имеют соприкосновение порядка 2 1 в р тогда и только тогда, когда они имеют в р общую касательную. 10. (Соприкосновение кривых и поверхностей.) Кривая С и поверхность S с общей точкой р имеют соприкосновение порядка 2 п (п 21 - целое
208 ГЛАВАЗ число) в р, если существует такая кривая С с S, проходящая через р, что С и С имеют соприкосновение порядка ~ п в р. Докажите, что а) если f(x,y,z) =О - уравнение окрестности р на S и a(t) = = (x(t),y(t),z(t)) - параметризация С в р, где а(О) = р, то С и S имеют соприкосновение порядка ~ п тогда и только тогда, когда dj dnj f(x(O),y(O),z(O)) =О, - = 0, ...,-=О, dt dtn где производные вычислены в точке t = О; Ь) если плоскость имеет соприкосновение порядка ~ 2 с кривой С в точке р, то она является соприкасающейся плоскостью С в р; с) если сфера имеет соприкосновение порядка ~ 3 с кривой С в р и a(t) - параметризация длиной дуги этой кривой, где а(О) = р, то центр сферы имеет выражение 1 k' а(О)+-п+-2-Ь. k k1: такая сфера называется соприкасающейся сферой С в р. 11. Рассмотрите «обезьянье седло» S примера 2. Постройте индикатрису Дюпена в точке р = (0,0,0), используя определение раздела 3.2, и сравните её с кривой, получаемой как пересечение S плоскостью, параллельной Т p(S) и близкой к р. Почему они не являются «приближённо подобными» (ер. пример 5 раздела 3.3)? Просмотрите рассуждения в примере 5 и ука­ жите, где они прерываются. 12. Рассмотрите параметризованную поверхность х(и, v) = (sin vcos и, sin usin v, cos и+ lntg~ + tp(v)), 2 где tp - дифференцируемая функция. Докажите, что а) кривые v = const лежат в плоскости, которая проходит через ось z и пересекает поверхность под постоянным углом В, определяемым ра­ венством cosB= qf · ~1 + (tp')2 , заключите отсюда, что кривые v = const являются линиями кривизны по­ верхности;
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 209 Ь) длина отрезка касательной к кривой v = const , определяемого её точкой касания и осью z, постоянна и равна 1; заключите отсюда, что кривые v = const являются трактрисами (ер. упражнение 6). 13. Пусть F: R 3 ~R3 - отображение (подобие), определяемое равен­ ством F(p)=cp, pER 3 , с -положительная константа. Пусть ScR 3 - регулярная поверхность, и пусть F(S) = S. Покажите, что S - регулярная поверхность, и найдите формулы, связывающие гауссову и среднюю кривизны К и Н поверхности S с гауссовой и средней кривизнами К и П поверхности S. 14. Рассмотрите поверхность, полученную вращением кривой у= х 3 , -1 < х < 1, вокруг прямой х = 1. Покажите, что точки, полученные враще­ нием точки кривой (О, О), являются точками уплощения поверхности. 15*. Приведите пример поверхности, которая имеет изолированную пара­ болическую точку р (то есть нет других параболических точек, содержа- щихся в некоторой окрестности р ). 16*. Покажите, что поверхность, которая является компактной (то есть ограниченной и замкнутой в R 3 ), имеет эллиптическую точку. 17. Дайте определение гауссовой кривизны для неориентируемой поверх­ ности. Можно ли определить среднюю кривизну для неориентируемой по­ верхности? 18. Покажите, что лист Мёбиуса (рис. 3.1) можно параметризовать, полагая х(и,v) = ( ( 2-vsin ~)sin и, ( 2-vsin ~)cosu, vcos~), и его гауссова кривизна равна 2. Hv 2 +(2-vsin(u/2))2 } К= 19*. Найдите асимптотические линии однополостного гиперболоида х 2 + +у2 -z2 =1. 20*. Найдите омбилические точки эллипсоида х2у2z2 2+2+2= 1 . аЬс
210 ГЛАВАЗ 21 *. Пусть S - поверхность с ориентацией N. Пусть V с S - открытое множество в S и f : V с S ~ R - любая дифференцируемая функция, нигде не обращающаяся в нуль на V. Пусть v1 и v2 - такие два диффе­ ренцируемых (касательных) векторных поля на V, что в каждой точке V векторыv1иv2 иv1лv2=N. а. Докажите, что гауссова кривизна К области V имеет выражение _ ( d(fN)(v1 )л d(fN)(v2 ),fNJ К- з . f Преимуществом этой формулы является то, что часто подходЯщим выбором f можно упростить вычисление К, что проиллюстрировано в части (Ь). Ь. Примените предыдущий результат, чтобы показать, что если f - ограничение функции на эллипсоид х2у2z2 - +-+- а4ь4с4 х2у2z2 - 2 +----т+2==l, аЬс то гауссова кривизна эллипсоида равна 11 K==l22"-4 · аЬсf 22. (Гессuан.) Пусть h: S ~ R - дифференцируемая функция на поверх­ ности S и р -критическая точка h (то есть dhP ==О). Пусть wE Tp(S) и a:(-e,e)~S - параметризованная кривая с а(О) = р, а'(О) = w. Положим а. Обозначьте х: И~ S параметризацию S в р и покажите, что (здесь существенно, что р есть критическая точка h) НPh(u' Хи +v' xv) = huu (р )(и')2 + 2huv(P )u'v' + hvv(P)(v') 2 .
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 211 Заключите отсюда, что НPh: Т p(S) ~ R есть корректно определённая (то есть не зависящая от выбора а) квадратичная форма на TP(S). НPh называется гессианом h в р. Ь. Пусть h: S ~R - функция высот S относительно TP(S), то есть h(q) =(q- р, N(p)), qE S. Проверьте, что р - критическая точка h и, следовательно, гессиан НPh корректно определён. Покажите, что если wET/S), jwj=1, то HPh(w) равно нормальной кривизне вточке р в направлении w. Заключите, что гессиан в точке р функции высот S относительно т;, (S) есть вторая основная форма S в р. 23. (Функции Морса на поверхностях.) Критическая точка рЕ S диф­ ференцируемой функции h: S ~ R называется невыро:ж:денной, если самосопряжённое линейное преобразование Aph, ассоциированное с ква­ дратичной формой Н Ph (ер. приложение к главе 3), невырождено (здесь НPh есть гессиан h в р; ер. упражнение 22). В противном случае р называется выро:ж:денной критической точкой. Дифференцируемая функ­ ция на S называется функцией Морса, если все её критические точки являются невырожденными. Пусть h, : S с R 3 ~ R - функция расстояний отSдоr,тоесть а. Покажите, что рЕ S - критическая точка h, тогда и только тогда, когда прямая pr является нормалью к S в точке р. ь. Пусть р - критическая точка hr : s ~ R. Пусть WE тр (S), 1w1= 1 и а: (-е,е) ~ S - кривая, параметризованная длиной дуги, где а(О) = р, а'(О) = w . Докажите, что где kn - нормальная кривизна в р в направлении w. Выведите отсюда, что ортонормированный базис {е1 , е2 }, где е1 и е2 имеют главные направления Tp(S), диагонализирует самосопряжённое линейное преоб­ разование Aphr. Заключите далее, что р есть вырожденная критическая
212 ГЛАВАЗ точка тогда и только тогда, когда h,(p)=1/k1 или h,(p)=1/k2 , где k 1 и k2 - главные кривизны в р. с. Покажите, что множество В={rЕR3 ; h,. является функцией Морса} есть открытое и всюду плотное множество в R 3 ; здесь плотность в R 3 означает, что в каждой окрестности данной точки R 3 существует точка В (это показывает, что на любой регулярной поверхности существует «много» функций Морса). 24. (Локальная выпуклость и кривизна.) Поверхность S cR 3 называется локально выпуклой в точке р Е S , если существует такая окрестность V с S точки р , что V содержится в одном из замкнутых полупрост- ранств, определяемых T/S) в R 3 . Если, кроме того, V имеет только одну общую точку с TP(S), то S называется строго выпуклой в р. а. Докажите, что S строго локально выпукла в р, если главные кри­ визны S в р не равны нулю и имеют одинаковые знаки (то есть гауссова кривизна К(р) >О). Ь. Докажите, что если S локально выпукла в р, то главные кривизны в р не имеют разных знаков (следовательно, К(р)?: О). с. Чтобы показать, что условие К ?: О не означает локальной выпуклости, рассмотрите поверхность f(x,y) = х3(1 + у 2 ), определённую в открытом множестве И={(х,у)ЕR3 ; у2 < ~} Покажите, что гауссова кривизна этой поверхности неотрицательна на И и тем не менее поверхность не является локально выпуклой в точке (О, О) (глубокая теорема, принадле­ жащая Р. Сакстедеру, означает, что такой пример нельзя распространить навсёR2 , если мы хотим сохранить кривизну неотрицательной; ер. заме­ чание 3 раздела 5.6). d*. Пример части (с) является очень специальным также в следующем локальном смысле. Пусть - точка поверхности S; допустим, что существует такая окрестность V с S точки р, что главные кривизны на V не имеют разных знаков (этого нет в примере части (с)). Докажите, что S локально выпукла в р.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 213 3.4. Векторные поля* В этом разделе мы будем использовать основные теоремы курса обыкновенных дифференциальных уравнений (существования решения, единственности решения и зависимости решения от начальных условий) для доказательства существования некоторых систем координат на по­ верхностях. Если читатель желает принять готовыми результаты следствий 2, 3 и 4 в конце этого раздела (которые можно понять без чтения раздела), этот ма­ териал можно пропустить при первом чтении. Мы начнём с геометрического истолкования материала по дифферен­ циальным уравнениям, который мы намерены использовать. Векторным полем в открытом множестве И с R 2 называется отобра­ жение, которое сопоставляет каждой точке qE И вектор w(q)E R 2 . Гово­ рят, что векторное поле w дифференцируемо, если в записи q = (х,у) и w(q) = (а(х,у), Ь(х,у)) функции а и Ь являются дифференцируемыми функциями на И. Геометрически определение означает, что каждой точке (х,у)Е И со­ поставляется вектор с координатами а(х,у) и Ь(х,у), которые дифферен­ цируемо зависят от (х,у) (рис. 3.24). у х о Рисунок 3.24 ' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.
214 ГЛАВАЗ В дальнейшем мы будем рассматривать только дифференцируемые векторные поля. На рисунке 3.25 показаны некоторые примеры векторных полей. w = (у,-х) w = (х,у) Рисунок 3.25 Естественно спросить: существует ли для данного векторного поля w траектория этого поля, то есть существует ли такая дифференцируемая параметризованная кривая a(t) =(x(t),y(t)), t Е J, что a'(t) =w(a(t))? Например, траектория, проходящая через точку (х0 ,у0 ) векторного поля w(x,y) = (х,у), есть прямая a(t) = (х0е' ,у0е'), tE R, а траектория по­ ля w(x,y)=(y,-x), проходящая через точку (х0 ,у0 ), есть окружность j](t) = (rsint, rcost), tE R, r 2 = хб +Уб. На языке теории обыкновенных дифференциальных уравнений гово­ рят, что w определяет систему дифференциальных уравнений dx -=а(х,у), dt : =Ь(х,у) и что траектория поля w является решением уравнений (1). (1) Основная теорема (локального) существования решения и единствен­ ности решения уравнений (1) равносильна следующему утверждению о траекториях (ниже буквы 1 и J будут обозначать открытые промежутки прямой R, содержащие начало ОЕ R).
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 215 Теорема 1. Пусть w - векторное поле в открытом множестве ИсR2 • Для данной точки р Е И существует траектория а: l ~ И поля w (то есть d(t) = w(a(t)), tE /), где а(О) = р. Эта траектория единственна в следующем смысле: любая другая траектория /3: J ~И, где/3(0)=р,совпадаетсана JtlJ. Важным дополнением к теореме 1 является тот факт, что траектория, проходящая через р, «дифференцируемым образом зависит от р ». Это понятие можно уточнить следующим образом. Теорема 2. Пусть w - векторное поле в открытом множестве ИсR2 . Для каждой точки р Е И существуют окрестность V с И точ­ ки р,интервшt J итакоеотображение а: Vх1~И, что 1) для фиксированной точки qE V кривая a(q,t), tE !, является тра­ екторией w, проходящей через q, то есть, да a(q,O) =q, дt(q,t) = w(a(q,t)); 2) а дифференцируемо. Геометрически теорема 2 означает, что все траектории, которые про­ ходят при t =О через некоторую окрестность V точки р, можно «собрать» в одно дифференцируемое отображение. Именно этот смысл имеет выска­ зывание, что траектории дифференцируемо зависят от р (рис. 3.26). Рисунок 3.26
216 ГЛАВАЗ Отображение а называется (локШtьным) потоком w в р. Теоремы 1 и 2 будут приняты без доказательства в этой книге; за дока­ зательством можно обратиться, например, к книге W. Hurewicz, Lectиres оп Ordinary Dijferential Eqиations, М.1.Т. Press, Cambridge, Mass., 1958, Chap. 2. Для наших целей требуется приведённое ниже следствие этих теорем. Лемма. Пусть w - векторное поле в открытом множестве И с R 2 , и пусть р Е И таково, что w(p) i:- О. Тогда существуют окрестность W с И точки р и такая дифференцируемая функция f: W ~ R, что f постоянна вдоль каждой траектории w и dfч i:- О для всех qE W. ~ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем такую декартову систему координат в R ~, что р=(О,О), а вектор w(p) имеет направление оси х. Пусть а: VхI~U­ локальный поток в р, V с И, tE 1, и пусть а - ограничение а на прямо­ угольник (Vxl)n{(x,y,t)ER 3 ; х=О} (см. рис. 3.27). По определению локального потока, dа'Ротображает еди­ ничный вектор оси t в w и единичный вектор оси у в себя. Поэтому ааР невырождено. Отсюда следует, что существует окрестность W с И точки р, где а:-1 определено и дифференцируемо. Проекция а:- 1 (х,у) на ось у есть дифференцируемая функция t? = f(x,y), которая принимает одно и то же значение t? во всех точках траектории, проходящей через (О,.;). Так как аар невырождено, можно выбрать W настолько малой, что dfч i:- О для всех qE W. Следовательно, f -искомая функция. О Рисунок 3.27
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 217 Функция f в предыдущей лемме называется (локальным) первым ин­ тегршzом w в окрестности р. Например, если w(x,y) =(у, -х) опреде­ леновR2 , то первый интеграл f: R 2 -{(О, О)} ~ R есть функция f(x,y)=x2 + у2. Тесно связанным с понятием векторного поля является понятие поля направлений. Полем направлений r в открытом множестве И с R 2 называется соот­ ветствие, которое сопоставляет каждой точке р Е И прямую r(p) в R 2 , проходящую через р. Говорят, что r дифференцируемо в р Е И, если су­ ществует такое ненулевое дифференцируемое векторное поле w, опреде­ лённое в окрестности V с И точки р, что для каждой точки q Е V, w(q) *-О есть базис r(q); r дифференцируемо в И, если оно дифферен­ цируемо в каждой точке рЕ И. Каждому ненулевому дифференцируемому векторному полю w в И с R 2 соответствует дифференцируемое поле направлений r , где r(p) - прямая, определяемая вектором w(p), р Е И. По определению, по каждому дифференцируемому полю направлений локально можно восстановить ненулевое дифференцируемое векторное поле. Это, однако, неверно глобально, как показывает поле направлений в R 2 -{(О, О)}, заданное касательными к кривым на рисунке 3.28; любая попытка ориентировать эти кривые, чтобы получить дифференцируемое ненулевое векторное поле, приводит к противоречию. Рисунок 3.28. Неориентируемое поле направлений в R2 -{ (0, О)}
218 ГЛАВАЗ Регулярная связная кривая С с И называется интегральной кривой поля направлений r , определённого в И с R 2 , если r(q) есть касательная кСвточкеqдлялюбойточкиqEС. Из предыдущего ясно, что для данного дифференцируемого поля на­ правлений r в открытом множестве И с R 2 через каждую точку q Е И проходит интегральная кривая С поля r; С локально совпадает со следом проходящей через q траектории векторного поля, определяемого в И по­ лем r. Далее мы будем рассматривать только дифференцируемые поля на­ правлений и, в общем случае, опускать слово «дифференцируемое». Естественный способ описания поля направлений состоит в следую­ щем. Мы говорим, что два ненулевых вектора w1 и w2 в точке q Е R 2 эк­ вивалентны, если w1 = Лw2 при некотором А Е R, А=/= О. Два таких вектора задают одну и ту же прямую, проходящую через q, и, обратно, если два ненулевых вектора лежат на одной прямой, проходящей через q, они экви­ валентны. Таким образом, поле направлений r на открытом множестве И с R 2 можно задать, приписывая каждой точке q Е И пару веществен­ ных чисел (r1, r2 ) (координаты ненулевого вектора, принадлежащего r), где пары (r1 , r2 ) и (No1 , Аг2 ), А=/= О, считаются эквивалентными. На языке дифференциальных уравнений поле направлений r обычно задаётся уравнением a(x,y)dx +Ь(х,у)4У =0, dt dt (2) которое означает просто, что точке q = (х,у) мы сопоставляем прямую, про­ ходящую через q и содержащую вектор (Ь, - а) или его произведение на любое ненулевое число (рис. 3.29). След траектории векторного поля (Ь, - а) есть интегральная кривая поля r. Так как в предыдущих рассуждениях пара­ метризация роли не играет, часто вместо (2) используют уравнение adx+b4Jl=O с тем же значением, что и прежде. Введённые выше понятия относятся к области локальных свойств R 2 , которые зависят только от «дифференциальной структуры» R 2 . Их мож­ но, следовательно, перенести без дальнейших затруднений на регулярную поверхность, что следует ниже.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 219 у Рисунок 3.29. Дифференциальное уравнение а dx + bdy =О Определение 1. Векторным полем w на открытом множестве И с S регулярной поверхности S называется соответствие, которое сопоставляет каждой точке рЕ И вектор w(p)E T/S). Векторное поле w называется дифференцируемым в точке рЕ И, если для некоторой параметризации х(и, v) в р функции а(и, v) и Ь(и, v), определяемые равенством w(p) = а(и, v)x. +Ь(и, v)xv, дифференцируемы в р; очевидно, это определение не зависит от выбора х. Аналогично мы можем определить траектории, поле направлений и интегральные кривые. Теоремы 1 и 2 и предыдущая лемма легко распро­ страняются на рассматриваемый случай; с точностью до замены R 2 на S утверждения точно такие же. Пример 1. Векторное поле на обычном торе Т получается параметри­ зацией меридианов Т длиной дуги и определением w(p) как вектора ско­ рости меридиана, проходящего через р (рис. 3.30). Заметим, что 1w(p)1= 1 для всех р Е Т. Оставим в качестве упражнения (упражнение 2) проверку того, что w дифференцируемо. Пример 2. Аналогичная процедура, теперь на сфере S 2 и с исполь­ зованием полумеридианов S 2 , порождает векторное поле w, определённое на сфере без двух полюсов N и S. Чтобы получить векторное поле, опреде-
220 ГЛАВАЗ лённое на всей сфере, параметризуем все полумеридианы одним и тем же па­ раметром t, -1<t<1, и положим v(p) = (1-t 2 )w(p) длярЕ82 -{N} u {S} и v(N) = v(S) =О (рис. 3.31 ). Рисунок 3.30 Рисунок 3.31 Пример 3. Пусть S ={(х,у,z)ЕR 3 ; z=х 2 - у2 } - гиперболический параболоид. Пересечение с S плоскостей z = const "'1:- О определяет такое семейство кривых {Са}, что через каждую точку S-{(0,0,0)} проходит одна кривая Са. Касательные к таким кривым задают дифференцируемое поле направлений r на S - {(О, О, О)}. Мы хотим найти поле направле­ ний r' на S-{(0,0,0)}, которое ортогонально к r в каждой точке, и инте­ гральные кривые r'. Поле r' называется ортогональным к r полем, а его интегральные кривые называются ортогональным семейством поля r (ер. упражнение 15 раздела 2.5).
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 221 Начнём с параметризации S вида х(и, v) =(и, v, и 2 -v 2 ), и=х, v=у. Семейство {Са} задаётся уравнением и 2 -v 2 = const 7:- О (или, вернее, обра­ зом этого множества при параметризации х). Если u'xu+v'xv - касатель­ ный вектор регулярной параметризации некоторой кривой Са, дифферен­ цируя равенство и 2 -v 2 = const , получаем 2ии' - 2w' =О. Таким образом, (и', v') = ( -v, -и). Это означает, что r задаётся в параме­ тризации х парой (v, и) или её произведением на любое число, не равное нулю. Пусть теперь (а(и, v), Ь(и, v)) - выражение ортогонального поля r' в параметризации х. Поскольку Е=1+4и 2 , F=-4uv, G=l+4v 2 и r' ортогонально r в каждой точке, получаем Eav+F(bv+аи)+GЬи=О или (1+4и 2 )av-4uv(bv +аи)+ (1+4v 2 )Ьи ==О. Отсюда следует, что vа+иЬ=О. (3) Это определяет в каждой точке пару (а, Ь), с точностью до ненулевого множества, и, следовательно, поле r'. Чтобы найти интегральные кривые r', введём касательный вектор и' х и +v' х v некоторой регулярной параметризации интегральной кривой r'. Тогда (и', v') удовлетворяет уравнению (3), то есть vи' +uv' =О или uv=const Отсюда следует, что ортогональное семейство {Са} задаётся пересечени­ ем S гиперболическими цилиндрами ху = const *О. Главным результатом этого раздела является следующая теорема. Теорема. Пусть w1 и w2 ~ два векторных поля в открытом множе­ стве И с S, линейно независимые в некоторой точке рЕ И. Тогда можно параметризовать окрестность V с И точки р таким образом, что для
222 ГЛАВАЗ каж:дой точки qE V координатные линии этой параметрuзации, прохо­ дящие через q, касаются прямых, определяемых векторами w1(q) и w2 (q). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть W - окрестность р, где определены первые интегралы fi и / 2 полей w1 и w2 соответственно. Определим отображение rp: W~R2 , полагая rp(q) == (fj (q), f2(q)), qE ff'. Так как fi постоянна на траекториях w 1 и (dfi) * О, то в точке р drpp(w1) = ((dfi) p(w1), (d/2 ) p(w1)) =(О, а), где а= (4(2 ) p(w1) *О, так как w1 и w 2 линейно независимы. Аналогично, где b=(q/jJp(w2 )7'0. Отсюда следует, что dq>P невырождено и, следовательно, q> есть ло- ~ 2 кальный диффеоморфизм. Поэтому существует окрестность И с R точки rp(p), которая диффеоморфно отображается посредством х= rp- 1 на окрест­ ность V точки р, то есть х есть параметризация S в р, координатные ли­ нии которой J;(q)=const, J;(q)=const касаются в точке q прямых, определяемых векторами w1(q), w2 (q) соот- ветственно. о Следует заметить, что из теоремы не следует, что координатные ли­ нии можно параметризовать так, что их векторы скорости будут равны w1(q) и w2 (q). Утверждение теоремы относится к координатным линиям как к реrулярным (точечное множество) кривым; более точно, имеет место следующая теорема. Следствие 1. Для двух заданных полей направлений r и r' на откры­ том множ:естве И с S, таких, что r(p) * r'(р) в точке р Е И, существу­ ет такая параметрuзация х в окрестности р, что координатные линии х являются интегральными кривыми r и r'. Первым приложением предыдущей теоремы является доказательство существования ортогональной параметризации в любой точке реrулярной поверхности.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 223 Следствие 2. Для любой точки р Е S существует такая парамет­ ризация х(и,v) в окрестности V точки р, что координатные линии и = const, v = const пересекаются ортогонально в ка:ж:дой точке q Е V (такая параметризация х называется ортогональной). ДОКАЗАТЕЛЬС1ВО. Рассмотрим произвольную параметризацию х: [] ~ S в р иопределимдвавекторных поля w1= х и, w2 = -('i/Е)хи+хv на х (й), где Е, F, G - коэффициенты первой основной формы в х. Так как w 1( q), w2 ( q) - ортогональные векторы в каждой точке q Е х (U), приме­ нение теоремы даёт искомую параметризацшо. О Вторым применением теоремы (точнее, следствия 1) является доказа­ тельство существования систем координат, определяемых асимптотичес­ кими и главными направлениями. Как мы видели в разделе 3.3, асимmотические линии являются реше­ ниями уравнения е(и')2 + 2fи'v' + g(v') 2 =О. В окрестности гиперболической точки р имеет место неравенство eg-f 2 <О, и левую часть предыдущего уравнения можно разложить на два различных линейных множителя, получая (Аи'+ Вv')(Аи' + Dv') =О, (4) где коэффициенты определяются равенствами А2 =е, A(B+D)=2f, BD=g. Предыдущая система уравнений имеет вещественные решения, так как eg- f 2 <О. Таким образом, (4) распадается на два уравнения: Аи'+ Bv' =0, Аи' +Dv' =0. (4а) (4Ь) Каждое из этих уравнений определяет дифференцируемое поле направле­ ний (например, уравнение (4а) определяет направление r, которое содер­ жит ненулевой вектор (В, -А)), и в каждой точке рассматриваемой окре­ стности направления, задаваемые уравнениями (4а) и (4Ь), различны. При­ меняя следствие 1, мы видим, что можно параметризовать окрестность р таким образом, что координатные линии будут интегральными кривыми уравнений (4а) и (4Ь). Другими словами,
224 ГЛАВАЗ Следствие 3. Пусть рЕ S - гиперболическая точка S. Тогда мо:ж:но параметризовать окрестность р таким образом, что координатные ли­ нии этой пара.метризации являются асимптотическими линиями S. Пример 4. Почти тривиальный, но иллюстрирующий механизм пре­ дыдущего метода пример даёт гиперболический параболоид z = х 2 - у 2 . Как обычно, параметризуем поверхность в целом, полагая х(и, v) =(и, v, и 2 -v 2 ). Простое вычисление показывает, что 2 е=------- (1+4и2 +4v2)1/2' f=O, 2 g= Таким образом, уравнение асимптотических линий можно записать в виде 2 ,2 ')2 ( 42 21/2((и)-(v )=о' 1+и +4v) разложить на два линейных уравнения и получить два поля направлений: r1: и'+v'= О, r2:и'-v'=О. Интегральными кривыми этих полей направлений являются два семейства кривых: 'i: и+v=const, r2: и-v=const Далее, функции fi(и,v)=и+v,f2 (и,v)=и-v являются, очевидно, первыми интегралами векторных полей, соответствующих r1 и r2 . Таким образом, полагая ii =и+v, v = и-v, получаем новую параметризацию всей поверхности z = х 2 - у2 , коорди­ натные линии которой являются асимптотическими линиями поверхности. В этом частном случае замена параметров выполняется на поверхности в целом. Вообще, может нарушаться глобальная взаимная однозначность, даже если вся поверхность состоит только из гиперболических точек. Аналогично, в окрестности неомбилической точки S можно разло­ жить дифференциальное уравнение линий кривизны на различные линей­ ные множители. Аналогично рассуждая, получаем
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 225 Следствие 4. Пусть рЕ S - неомбuлическая точка S. Тогда можно параметризовать окрестность точки р таким образом, что координат­ ные линии этой параметризации являются линиями кривизны S. УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что дифференцируемость векторного поля не зависит от вы­ бора системы координат. 2. Докажите, что векторное поле, полученное на торе параметризацией его меридианов длиной дуги и выбором их касательных векторов (пример 1), дифференцируемо. 3. Докажите, что векторное поле w, определённое на регулярной поверх­ ностиSсR3 , дифференцируемо тогда и только тогда, когда оно диффе­ ренцируемо как отображение w: S ~ R 3 . 4. Пусть S - поверхность и х: И~ S - параметризация S. Тогда урав­ нение а(и, v)и' + Ь(и, v)v' =О, где а и Ь - дифференцируемые функции, определяет поле направлений r на х (И), а именно соответствие, которое сопоставляет каждой точке х(и,v) прямую, содержащую вектор Ьхи-ахv. Покажите, что необхо­ димь1м и достаточным условием существования ортогонального поля r' на x(U) (см. пример 3) является то, что обе функции Eb-Fa, Fb-Ga нигде не обращаются в нуль одновременно (здесь Е, F, G - коэффициен­ ты первой основной формы в параметризации х), и r' тогда задаётся урав­ нением (ЕЬ- Fа)и' + (Fb-Ga)v' =О. 5. Пусть S - поверхность и х: И ~ S - параметризация S. Покажите, ЧТО если ас - Ь2 < О, то уравнение а(и, v)(и')2 + 2Ь(и, v)и'v' + с(и, v)(v') 2 =О можно разложить на два различных уравнения, каждое из которых опре­ деляет поле направлений на х(И) с S. Докажите, что эти два поля направ­ лений ортогональны тогда и только тогда, когда Ec-2Fb+Ga=O.
226 ГЛАВАЗ 6. Прямая r пересекает ось z и перемещается таким образом, что образует постоянный угол а * О с осью z и каждая её точка описывает винтовую линию с шагом с* О вокруг оси z. Фигура, описываемая r, является сле­ дом параметризованной поверхности (см. рис. 3.32) х{и, v) = (vsinacosu, vsinasinu, vcosa +си). Нетрудно видеть, что х - регулярная параметризованная поверхность (ер. упражнение 13 раздела 2.5). Ограничьте параметры (и, v) на открытое множество И так, чтобы х (И) = S было регулярной поверхностью (ер. свойство 2 раздела 2.3). а. Найдите ортогональное семейство (ер. пример 3) к семейству координат­ ных линий и = const Ь. Используйте линии и = const и их ортогональное семейство, чтобы по­ лучить ортогональную параметризацию S. Покажите, что в новых пара­ метрах (u, v) коэффициенты первой основной формы таковы: G=l, F=O, E={c 2 +(v-c'iicosa) 2 }sin 2 a. z "' r о у х Рисунок 3.32 7. Определим производную w(/) дифференцируемой функции f: И с S -* -* R в направлении векторного поля w на И, полагая d w(f)(q)= dt(fаа)11~0· qEИ,
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 227 где а: ! ~ S -такая кривая, что а(О) = q, а'(О) = w(q). Докажите, что а) w дифференцируемо на И тогда и только тогда, когда w(f) дифферен­ цируема для всех дифференцируемых на И функций f; Ь) пусть Л. и μ - вещественные числа и g: И с S ~ R - дифференци­ руемая функция на И; тогда w(Л.f + μf) = Aw(f) + μw(f), w(fg) = w(f)g + .fiv(g). 8. Покажите, что если w - дифференцируемое векторное поле на поверх­ ности S и w(p) #О в некоторой точке рЕ S, то можно параметризовать окрестность р посредством х (и, v) таким образом, что х и= w. 9. а. Пусть А : V ~ W - невырожденное линейное отображение вектор­ ных пространств V и W размерности 2, снабжённых скалярными произве­ дениями \ , ) и ( , ), соответственно. А называется подобием, если су- ществует такое вещественное число А# О, что (Av1, Av2 ) = Л.(v1 , v2 ) для любых векторов v 1, v2 Е V. Предположите, что А не является подобием, и докажите, что существует единственная пара ортонормированных векто­ ров е1 и е2 в V, такая, что Ае1 , Ае2 ортогональны в W. Ь. Используйте часть (а), чтобы доказать теорему Тисса. Пусть rp: И1 с с S1 ~ S2 - диффеоморфизм окрестности И1 точки р поверхности S1 в по­ верхность S2 . Предположим, что линейное отображение drp нигде не является подобием. Тогда можно параметризовать окрестность р на S1 ортогональной параметризацией х 1: И ~ S1 таким образом, что rp ох 1= = х 2 : И~ S2 есть также ортогональная параметризация окрестности rp(p)E S2. 10. Пусть Т - тор примера 6 из раздела 2.2; определим отображение rp: R 2 ~ Т, полагая rp(u,v) =((rcosu+a)cosv, (rсоsи+a)sinv, r sinи), где и и v - декартовы координаты в R 2 • Предположим, что и= at, v=bt- прямаявR2 , проходящая через точку (О, О)Е R 2 , и рассмотрим кривую a(t) = (at, Ы) на Т. Докажите, что а) rp есть локальный диффеоморфизм;
228 ГЛАВАЗ Ь) кривая a(t) является регулярной кривой; a(t) замкнута тогда и только тогда, когда Ь/ а есть рациональное число; с*) если Ь/ а иррационально, кривая a(t) всюду IШотна в Т, то есть в каждой окрестности точки р Е Т существует точка a(t). 11 *. Используйте локальную единственность траекторий векторного поля w на И с S, чтобы доказать следующее утверждение. Для данной точки р Е И существует единственная траектория а: I ~И поля w с а(О) = р, которая максимальна в следующем смысле: любая другая траектория fJ: J~И с /J(O)=р является ограничением а на J (то есть JсJ иа1J =fJ). 12*. Докажите, что если w - дифференцируемое векторное поле на ком­ пактной поверхности S и a(t) - максимальная траектория w, где w(O)=рЕS, то a(t) определенадлявсех tЕR. 13. Постройте такое дифференцируемое векторное поле на открытом круге IШОскости (который не компактен), что максимальная траектория a(t) не определена для всех tE R (это показывает, что условие компактности в упражнении 12 существенно). 3.5 . Линейчатые поверхности • и минимальные поверхности В дифференциальной геометрии можно найти весьма много частных случаев (поверхности вращения, параллельные поверхности, линейчатые поверхности, минимальные поверхности и т. д.), которые сами по себе ин­ тересны (подобно минимальным поверхностям) или дают прекрасный пример силы и ограниченности дифференциальных методов в геометрии. В соответствии с духом этой книги мы до сих пор рассматривали эти част­ ные случаи в примерах и задачах. Полезно, однако, представить некоторые из этих тем в деталях. Мы намерены сделать это сейчас. Мы используем этот раздел, чтобы изложить теорию линейчатых поверхностей и дать введение в теорию минимальных поверхностей. В этом разделе будет удобно использовать понятие параме­ тризованной поверхности, введённое в разделе 2.3. Если читатель желает, весь раздел или одна из его тем могут быть пропущены. За исключением ссылки на раздел А в примере 6 раздела В, 'Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 229 две темы независимы, и их результаты не будут существенно исполь­ зованы в этой книге. А. Линейчатые поверхности (Дифференцируемым) однопара.метрическuм семейством прямых {a(t), w(t)} называется соответствие, которое сопоставляет каждому !Е l точку a(t)ЕR3 и вектор w(t)ЕR3 , w(t) *О, так, что a(t) и w(t) диффе­ ренцируемо зависят от t. Для каждого t Е 1 прямая Lt> которая проходит через a(t) и параллельна w(t), называется прямой семейства в точке t. Для данного однопараметрического семейства прямых {a(t), w(t)} па­ раметризованная поверхность х(t,v)= a(t)+vw(t), tЕ!, vER, называется линейчатой поверхностью, порождаемой семейством {a(t), w(t)}. Прямые Lt называются образующими, а кривая a(t) называется направляю­ щей поверхности х. Иногда мы используем выражение линейчатая поверх­ ность, подразумевая след х . Следует заметить, что мы допускаем также наличие на х особых точек, то есть, точек (t, v), где XrAXv= О. Пример 1. Простейшими примерами линейчатых поверхностей явля­ ются поверхности касательных к регулярной кривой (ер. пример 4, раз­ дел 2.3), цилиндры и конусы. Цилиндр есть линейчатая поверхность, поро­ ждаемая однопараметрическим семейством прямых {a(t), w(t)}, t Е /, где а(!) лежит в плоскости Р, а w(t) параллелен фиксированному направле­ нию в R 3 (рис. 3.33(а)). Конус есть линейчатая поверхность, образованная семейством {a(t), w(t)}, tE !, где а(!) с Р, а все образующие L1 проходят через точку р!!. Р (рис. 3.33(Ь)). w а(!) а(!) (а) (Ь) Рисунок 3.33
230 ГЛАВАЗ Пример 2. Пусть S 1 - единичная окружность х2 +у 2 =1в-')'- плоскости, и пусть a(s) - параметризация S 1 длиной дуги. Для любого s положим w(s)=a'(s)+e3 , где е3 -единичный вектор оси z (рис. 3.34). Тогда x(s,v) = a(s)+v(a'(s)+е3) есть линейчатая поверхносц" Её можно задать в более простом виде, если записать x(s,v) = (coss -vsins, sins + vcoss, v) и заметить, что х2 + у 2 - z 2 = 1+v 2 - v 2 = 1. Это показывает, что следом х является гиперболоид вращения. z х х2 +у 2 -z2 =1 Рисунок 3.34. х 2 +у 2 - z 2 =1 как линейчатая поверхность Интересно отметить, что если мы выберем w(s)=-a'(s)+e3 , то полу­ чим снова ту же поверхность. Это показывает, что гиперболоид вращения имеет два семейства образующих. Мы определили линейчатые поверхности таким способом, который допускает появление особенностей. Это необходимо, если мы хотим вклю­ чить поверхности касательных и конусы. Скоро мы увидим, по крайней мере для линейчатых поверхностей, удовлетворяющих некоторому разум­ ному условию, что особенности такой поверхности (если они есть) будут сконцентрированы на некоторой кривой этой поверхности. Начнём теперь изучение линейчатых поверхностей общего вида. Мы можем предположить, не теряя общности, что [w(t) [= 1, t Е /. Чтобы мож­ но было развить теорию, нам требуется нетривиальное допущение, что
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 231 w'(t) :/:-О для любого tE !. Если нули w'(t) изолированы, мы можем раз­ бить нашу поверхность на два таких куска, что теорию можно применить к каждому из них. Однако если нули w'(t) имеют предельную точку, си­ туация может усложниться и не будет здесь рассматриваться. Предположение, что w' :/:-О, t Е /, обычно выражают высказыванием, что линейчатая поверхность х нецwщндрическая. Если не оговорено другое, мы будем предполагать, что x(t, v) = a(t) + vw(t) (1) есть нецилиндрическая линейчатая поверхность, где 1w(t) 1= 1, t Е /. Заметь­ те, что допущение 1w(t)1= 1 означает, что (w(t), w'(t)) =О для всех tE !. Мы хотим сначала найти такую параметризованную кривую fJ(t), что (fJ'(t), w'(t)) =О, tE !, и /J(t) лежит на следе х, то есть fJ(t) == a(t) + и(t)w(t), (2) для некоторой вещественнозначной функции и = и(t). Предполагая суще­ ствование такой кривой jJ , получаем jJ' =а'+ и'w + иw'; следовательно, поскольку (w, w') =О, О = (/З', w') = (а', w') +и(w', w'). Отсюда следует, что и= и(t) задаётся равенством _ (а', w') и--(w',w') · (3) Таким образом, если определить /J(t) равенствами (2) и (3), мы получаем искомую кривую. Покажем теперь, что кривая fJ не зависит от выбора направляющей а регулярной поверхности. Тогда fJ будет названа стрикционной линией, а её точки - горловыми (центральными) точками линейчатой поверхности. Чтобы доказать наше утверждение, предположим, что а ~ другая на­ правляющая линейчатой поверхности, то есть для всех (t, v) x(t, v) = a(t) + vw(t) == a(t) + sw(t) (4) для некоторой функции s == s(t). Тогда из равенств (2) и (3) получаем (_, , ') - а-аw jJ-fJ==(a-a)+ (, ',) w, w,w
232 ГЛАВАЗ где "fJ - стрикционная линия, соответствующая а. С другой стороны, из равенства(4)следует, что а -а= (s -v)w(t). Таким образом, f3- р = { (s -v) +((v(:~::)w')}w=О, поскольку (w, w') =О. Это доказывает наше утверждение. Возьмём теперь стрикционную линию в качестве направляющей ли­ нейчатой поверхности и зададим её следующим образом: x(u,v)=/3(t)+uw(t). (5) При таком выборе x 1=/3'+uw', хи=w и х1лхи=/3 1 лw+uw'лw. Так как (w', w) =О и (w', р') =О, заключаем, что [3' л w = A-w' для неко­ торой функции Л = Л(t). Таким образом, jx1лxul2=1Лw'+uw'л wi2 = =i lw'l 2 +и 2 lw'l 2 =(i +u 2 )lw'l 2 . Отсюда следует, что особые точки линейчатой поверхности могут нахо­ дится только на стрикционной линии и = О, и они появятся в том и только в том случае, если Л(t) =О. Заметим также, что 2=(/3',w,w') 1w'l 2 ' где, как обычно, (/3', w, w') есть сокращённая запись (/3' л w, w'). Вычислим гауссову кривизну поверхности (5) в её регулярных точках. Так как Xtt=P"+uw", X1u=w', хии=О, получаем коэффициенты второй основной формы g=O, f= (х,,х",х",) (jJ,w,w'). 1х,лхи1 1х,лхи1 2 ' следовательно (так как g =О, значение е для вычисления К не требуется), К= _e~g_-~!_2_ EG-F 2 i\w'\ 4 (6)
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 233 Это показывает, что в регулярных точках гауссова кривизна К линейчатой поверхности К ~О и К равна нулю только вдоль тех образующих, кото­ рые пересекают стрикционную линию в особой точке. Равенство (6) позволяет дать геометрическое истолкование (регуляр­ ных) горловых точек линейчатой поверхности. Действительно, точки обра­ зующей, кроме, быть может, горловой точки, являются регулярными точ­ ками поверхности. Если А :f::. О, функция 1К(и)1 непрерывна на образую- щей и, в силу равенства (6), горловая точка характеризуется тем, что 1К(и)1 имеет там максимум. Другое геометрическое истолкование стрикционной линии смотрите в упражнении 4. Отметим также, что кривизна К принимает одно и то же значение в точках образующей, симметричных относительно горловой точки (это объясняет название «центральная»). Функция A(t) называется параметром распределения х. Так как стрикционная линия не зависит от выбора направляющей, то это верно и для А. Если х регулярна, получаем следующую интерпретацию А. Нор­ мальный вектор поверхности в точке (t, и) есть 1, , N(t,и)= х1 лхи = лw +иw лw_ 1Х1лХи1 .J;?+u2 1w'1 С другой стороны (А * О), , w N(t,0)=-, . lw1 Следовательно, если (}-угол, образованный N(t, и) и N(t, О), то и tg(} =- л.· (7) Таким образом, если (} - угол, который нормШ1ьный вектор в точке ли­ нейчатой поверхности образует с нормшtьным вектором в горловой точ­ ке этой образующей, то tg(J пропорционШ1ен расстоянию между этими двумя точками, и коэффициент пропорционшtьности обратен параметру распределения. Пример 3. Пусть S - гиперболический параболоид z = k ху, k *О. Чтобы показать, что S - линейчатая поверхность, заметим, что прямые у= z/tk, х =t, при любом t *О принадлежат S. Если взять пересечение этого семейства прямых с плоскостью z =О, получаем прямую х = t,
234 ГЛАВАЗ у= О, z =О. Выбирая эту прямую в качестве направляющей"и векторы w(t), параллельные прямым у= z/tk, х =t, получаем a(t) = (t,0,0), w(t) = (О,*' t} Это даёт линейчатую поверхность (рис. 3.35) x(t,v)=a(t)+vw(t)=(t,f,vt} tER, vER, след которой, очевидно, совпадает с S. z х Рисунок 3.35. z =.IJ' как линейчатая поверхность у Поскольку a'(t) = (1, О, О), мы получаем, что стрикционной линией яв­ ляется сама прямая а. Параметр распределения равен 1+k 2 t 2 IL=--- k2 Отметим также, что тангенс угла 8, который w(t) образует с w(O), ра­ вен tg8=tk. Последнее замечание приводит к интересному общему свойству ли­ нейчатой поверхности. Если рассмотреть семейство нормальных векторов вдоль образующей регулярной линейной поверхности, это семейство по­ рождает другую линейчатую поверхность. В силу равенства (7) и преды­ дущего замечания, последняя поверхность является именно гиперболиче­ ским параболоидом ( х = -k yz , где 1/k есть значение параметра распреде­ ления на выбранной образующей х =О, z = О).
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 235 Среди линейчатых поверхностей особую роль играют развёртываю­ щиеся поверхности. Начнём опять с произвольной линейчатой поверхно­ сти (необязательно нецилиндрической) х(и, v) = a(t) + vw(t), (8) порождаемой семейством {a(t), w(t)}, где 1w(t)1= 1. Поверхность (8) назы­ вается развёртывающейся, если (w, w', а')= О. (9) Чтобы найти геометрическое истолкование условия (9), вычислим га­ уссову кривизну развёртывающейся поверхности в регулярной точке. Вы­ числение, совершенно аналогичное проделанному для получения равенст­ ва (6), даёт = 0 f=(w,w',а') g' 2. lx1лхv1 В силу условия (9), f =О; следовательно, К= eg-/2 =О. EG-F 2 Это означает, что в регулярных точках гауссова кривизна развёртыва­ ющейся поверхности тождественно равна нулю. Другую геометрическую интерпретацию развёртывающейся поверх­ ности смотрите в упражнении 6. Мы можем теперь выделить два типа развёртывающихся поверхно­ стей, не исчерпывающие всех случаев. 1. w(t)лw'(t)=O. Это означает, что w'=O. Таким образом, w(t) есть по­ стоянный вектор и развёртывающаяся поверхность является цилиндри­ ческой поверхностью над кривой, полученной пересечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной w(t). 2. w(t) л w'(t) =/:.О при всех tE 1. В этом случае w'(t) =/:.О для любого tE 1. Таким образом, поверхность нецилиндрическая и можно применить то, что сделано выше. Так, можно определить стрикционную линию (2) и прове­ рить, что параметр распределения Л=(/J',w,w') -О. lw'l 2 (10)
236 ГЛАВАЗ Поэтому стрикционная линия будет геометрическим местом особых точек развёртывающейся поверхности. Если [J'(t) #О для любого !Е 1, из равен- ства (1 О) и того факта, что (fJ', w') =О, следует, что w параллелен [J'. Та­ ким образом, линейчатая поверхность является поверхностью касатель­ ных кривой fJ. Если [J'(t)=O для любого tE 1, то стрикционная линия яв­ ляется точкой, а линейчатая поверхность есть конус с вершиной в этой точке. Конечно, предыдущие случаи не исчерпывают всех возможностей. Обычно, если существует предельная точка нулей рассматриваемых функ­ ций, анализ может стать довольно сложным. Во всяком случае, вне этих предельных точек развёртывающаяся поверхность является объединением кусков цилиндров, конусов и поверхностей касательных. Как мы видели, в регулярных точках гауссова кривизна развёртыва­ ющейся поверхности тождественно равна нулю. В разделе 5.8 мы докажем некоторое глобальное обращение этого результата, которое означает, что регулярная поверхность S cR 3 , замкнутая как подмножество R 3 и имею­ щая нулевую гауссову кривизну, является цилиндром. Пример 4. (Огибающая семейства касательных плоскостей вдоль кривой на поверхности.) Пусть S - регулярная поверхность и а= a(s) - кривая на S, параметризованная длиной дуги. Предположим, что а нигде не касается асимптотического направления. Рассмотрим линейчатую по­ верхность N(s)лN'(s) x(s,v)=a(s)+v , , . \N (s)j (11) где символом N(s) обозначается единичный нормальный вектор S, огра­ ниченный на кривую a(s) (так как направление a'(s) не является асимпто­ тическим, N'(s) =1 = О для любого s). Мы покажем, что х есть развёртыва­ ющаяся поверхность, которая регулярна в окрестности v = О и касается S вдоль v::::: О. Перед этим, однако, дадим геометрическую интерпретацию поверхности х. Рассмотрим семейство {Ta(sJ (S)} касательных плоскостей поверхно- сти S вдоль кривой a(s). Если Лs мало, две JШоскости Ta(sJ(S) и Ta(s+дs) (S) семейства будут пересекаться по прямой, параллельной вектору N(s)л N(s+Лs) Лs
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 237 Если мы устремим Лs к нулю, эта прямая будет стремиться к предельному положению, параллельному вектору 1. N(s)лN(s+Лs) 1. N() N(s+Лs)-N(s) N() N'() Iill =Im S/\ = S/\ S. Лs-70 Лs Лs-70 Лs Интуитивно это означает, что образующие х являются предельными поло­ жениями пересечения соседних шюскостей семейства {Ta(s)(S)}. х называ- ется огибающей семейства касательных wюскостей S вдоль a(s) (рис. 3.36). т".• ",(S) Рисунок 3.36 Например, если а - параметризация параллели сферы 8 2 , то оги­ бающая касательных плоскостей 8 2 вдоль а есть либо цилиндр, если па­ раллель является экватором, либо конус, если параллель не является эква­ тором (рис. 3.37). Рисунок 3.37. Огибающие семейств касательных плоскостей вдоль параллелей сферы
238 ГЛАВАЗ Чтобы показать, что х есть развёртывающаяся поверхность, проверим, что условие (9) выполняется для х. В самом деле, непосредственным вычи­ слением получаем NАN'/\ N/\N' а' _ N/\N'/\(NАN')' а' _ 1N' 1 ( \N'\)' -( 1N'1 1N' 1 ' )- \,) =- 1 - 2 ((NАN', N")N, а')=О. JN'J Это доказывает наше утверждение. Докажем теперь, что х регулярна в окрестности v = О и касается S вдоль а. Действительно, при v =О х /\Х =а'/\ (N /\ N') = (N' а')_!!_= -(N а").!!_= 1 v 1N' 1 ' 1N' 1 ' 1N' 1 =-(kпN) JN'J, где kn =kn(s) - нормальная кривизна а. Так как kп(s) нигде не обраща­ ется в нуль, это показывает, что х регулярна в окрестности v =О и что еди­ ничный нормальный вектор х в точке x(s, О) совпадает с N(s). Таким об- разом, х касается S вдоль v = О, и это завершает доказательство наших ут­ верждений. Суммируем наши выводы следующим образом. Пусть a(s)- кривая, параметризованная длиной дуги на поверхности S, и а нигде не касается асимптотического направления. Тогда огибающая (9) семейства каса­ тельных плоскостей к S вдоль a(s) есть развёртывающаяся поверхность, регулярная в окрестности a(s) и касающаяся S вдоль a(s). В. Минимальные поверхности Регулярная параметризованная поверхность называется минимальной, если её средняя кривизна всюду равна нулю. Регулярная поверхность S с R 3 называется минимальной, если любая её параметризация мини­ мальна. Чтобы объяснить, почему мы используем термин «минимальная» для таких поверхностей, нужно ввести понятие вариации. Пусть х:И~R2~R3 - регулярная параметризованная поверхность. Выберем ограниченную область D с И (ер. раздел 2.5) и дифференцируемую функ­ цию h : l5 ~ R, где l5 - объединение области D и её границы дD. Нор-
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 239 мальная вариация x(D), определяемая функцией h, есть отображение (рис. 3.38) ер: Dх(-е, е) ~R 3 , заданное равенством rp(u,v,t) =x(u,v)+th(u,v)N(u,v), (u,v)E D, tE (-&,&). Для любого фиксированного t Е (-е, е) отображение х 1 :D~R3 , где х1(и, v) = rp(u, v,t), является параметризованной поверхностью, где дхt -=Хи +thNu +thuN, ди дхt д;=хv +thNv +tfivN. hN thN о - thN (х + thN)(D) (x-thN)ф) Рисунок 3.38. Нормальная вариациях(D) Таким образом, если мы обозначаем Е1 , F 1 ,G 1 коэффициенты первой ос­ новной формы х 1 , то получаем Е1 = Е +th((xu,Nu)+(xu,Nu))+t 2 h 2 (Nu,Nu)+t 2 huhu, F 1 = F +th((xu, Nv) +(xv,Nu))+t 2 h 2 (Nu,Nv) +t 2 hufiv, G' = G + th((xv,Nv) + (xv,Nv)) +t 2 h 2 (Nv,Nv) + t 2 h.h,. Используя тот факт, что (хи,Nи)=-е, (xu,Nv)+(xv,Nи)=-2/, (xv,Nv)=-g
240 ГЛАВАЗ и что средняя кривизна Н равна (раздел 3.3, равенство (5)) Н= 1 Eg-2jF+Ge 2 EG-F 2 ' получаем E1G 1 -(F1) 2 = EG-F 2 - 2th(Eg-2Ff +Ge)+ R= = (EG-F 2 )(1-4thH)+ R, где lim(R/t) =О. t---70 Отсюда следует, что, если ё достаточно мало, х 1 есть реrулярная пара­ метризованная поверхность. Кроме того, площадь A(t) области х 1 (D) равна A(t)= J15 ~E1G1 -(F 1 ) 2 dudv= =f 15 -J1-4thH+R-JEG- F 2 du dv, где R =R/(EG-F 2 ). Отсюда следует, что, если ё мало, А есть диффе­ ренцируемая функция и её производная в точке t = О равна А'(О) =-f 15 2hH-J EG-F 2 du dv. (12) Теперь мы готовы обосновать использование термина «минимальная» в связи с поверхностями нулевой средней кривизны. Предложение 1. Пусть х: И~ R 3 - регулярная параметризованная поверхность и Dc И - ограниченная область в И. Тогда х минимальна тогда и только тогда, когда А'(О) =О для любой такой области D и всех нормальных вариаций x(D). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если х минимальна, Н =О и условие, очевидно, вы­ полняется. Обратно, допустим, что условие выполняется и H(q) *О внекоторой точке qЕ D. Выберем такое h:l5 ~R, что h(q)= Н(q) и h тождественно равно нулю вне малой окрестности q. Тогда А'(О) <О для вариации, определяемой этим h, что противоречит условию. о Таким образом, любая замкнутая ограниченная область x(D) мини­ мальной поверхности х является критической точкой функции, выража­ ющей площадь любой нормальной вариации x(D). Следует заметить, что эта критическая точка может не быть точкой минимума, и это делает тер­ мин «минимальная» отчасти неудобным. Это, однако, освящённая време­ нем терминология, введённая Лагранжем (который первым определил ми­ нимальную поверхность) в 1760 году.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 241 Минимальные поверхности обычно ассоциируются с мыльной плён­ кой, которую можно получить, погружая проволочную рамку в мыльный раствор и осторожно её вынимая. Если эксперимент выполнен удачно, по­ лученная мыльная плёнка будет иметь границей эту рамку. Можно пока­ зать физическим исследованием, что плёнка примет положение, при кото­ ром в её регулярных точках средняя кривизна равна нулю. Таким способом мы можем «производить» превосходные минимальные поверхности, такие как на рисунке 3.39. Рисунок 3.39 Замечание 1. Следует указать, что не все мьmьные плёнки являются минимальными поверхностями, согласно нашему определению. Мы пред­ по-ложили, что минимальные поверхности регулярны (можно было допус­ тить несколько изолированных особых точек, но идти дальше этого - значит, сделать исследование намного менее элементарным). Однако мьmьные плёнки можно образовать, например, используя куб в качестве каркаса (рис. 3.40), который имеет особенности на рёбрах. Рисунок 3.40
242 ГЛАВАЗ Замечание 2. Связь между минимальными поверхностями и мыль­ ными плёнками послужила мотивировкой для знаменитой задачи Плато (Плато - бельгийский физик, который выполнил тщательные экспе­ рименты с мыльной плёнкой приблизительно в 1850 году). Задача может быть упрощённо сформулирована следующим образом: доказать, что для ка:ждой замкнутой кривой Сс R 3 существует поверхность S мини­ мальной wющади с С в качестве границы. Уточнение задачи (какие кривые и поверхности допускаются и что означает, что С - граница S) само яв­ ляется нетривиальной частью задачи. Вариант задачи Плато был решён одновременно Дугласом и Радо в 1930 году. Дальнейшие варианты (обоб­ щение задачи на большее число измерений) привели к созданию матема­ тических объектов, которые охватывают по крайней мере многочисленные предметы, подобные мьmьным плёнкам. Мы отсьmаем читателя к главе 2 книги [20] (список литературы находится в конце книги) за дополнитель­ нъ1ми деталями и современной библиографией по проблеме Плато. Будет удобно ввести для произвольной параметризованной поверхно­ сти вектор средней кривизны, определяемый равенством Н = HN . Геомет­ рический смысл направления Н можно извлечь из равенства (12). В самом деле, если выбрать h = Н, то для этой конкретной вариации А'(О)= -2fv(н, н).JEG - F 2 dи dv <О. Это означает, что, если мы деформируем x(D) в направлении вектора Н, площадь в начальный момент уменьшается. Вектор средней кривизны имеет ещё одну интерпретацию, которую мы сейчас разъясним, поскольку она имеет важное значение для теории минимальных поверхностей. Регулярная параметризованная поверхность х=х(и, v) называется изо- термической, если (хи,хи)=(хv,хv) и (x 11 ,xv)=O. Предложение 2. Пусть х = x(u, v) регулярная параметризованная по­ верхность; предполо:J1Сuм, что х изотермическая. Тогда х1111 + xvv = 2л,2н, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как параметризация х изотермическая, (хи,хи)= =(xv,xv) И (x 11 ,xv)=O.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 243 В результате дифференцирования получаем (xuu' Хи) = (хvи' xv) = -(хи ,xw ). Таким образом, Аналогично получаем (хии +xw,xv)=O. Отсюда следует, что вектор х ии + х w кшmинеарен N. Так как параметри­ зация х изотермическая, Таким образом, следовательно, Н =_l _g+e 2л?· 2iH=g+e=(N,xuu +xw); Xuu +xw =2А 2 Н. Лапласиан Л/ дифференцируемой функции f : И с R 2 ~ R опреде­ ляется равенством Лf=(д 2J/ди 2 )+(д 2J/дv 2 ), (и,v)ЕИ. Говорят, что функция f является гармонической на И, если !if =О. Из предложения 2 получаем Следствие. Пусть х(и,v) = (х(и,v), у(и,v), z(и,v))- параметризованная поверхность и параметризация х изотермическая. х минимальна тогда и только тогда, когда координатные функции х, у, z являются гармони­ ческими. Пример 5. Катеноид задан параметризацией х(и, v) = (achvcosи, achvsin и, av), 0<и<2Л", -oo<v<oo. Это поверхность, порождаемая вращением цепной линии у= ach(z/a) во­ круг оси z (рис. 3.41 ). Легко проверить, что Е = G =а 2 ch 2 v, F=О и хии+хw= О. Таким образом, катеноид есть минимальная поверхность. Его можно характеризовать как единственную поверхность вращения, ко­ торая является минимальной. Последнее утверждение можно доказать следующим образом. Мы хо­ гим найти такую кривую у= f(x), которая при вращении вокруг оси х описывает минимальную поверхность. Так как параллели и меридианы по­ верхности вращения являются линиями кривизны поверхности (раздел 3.3,
244 ГЛАВА3 пример 4), кривизна кривой у= f(x) должна отличаться знаком от нор­ мальной кривизны окружности, образованной вращением точки f(x) (обе являются главными кривизнами). Так как кривизна у= f(x) равна у"' (1 + (у')2 )3/2 ' z у= ach (z/a) х Рисунок 3.41 а нормальная кривизна окружности есть проекция её обычной кривизны (= 1/у) на нормаль N поверхности (см. рис. 3.42), получаем у"'-1 (1+(у')2)3/2 - -уcostp. Но -costp = cos(J (см. рис. 3.42), и, поскольку tg(J =у', получаем уравнение У6 - 1 1 (1+(у')2)3/2 - у(1+(у')2)1/2 ' которому удовлетворяет кривая у= f(x). у у =j{x) Рисунок 3.42
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 245 Очевидно, существует точках, где f'(x)-:/:. О. Будем работать с окрест­ ностью этой точки, где f'-:/:. О. Умножая обе части предыдущего уравне­ ния на 2у', получаем 2у"у' 2у' 1+ (у')2 у Полагая 1 + (у') 2 = z (следовательно, 2у"у' = z'), получаем уравнение z' 2у' z у которое даёт в результате интегрирования (k - постоянная) lnz=lny 2 +lnk 2 =ln(yk)2 или l+(y') 2 =z=(yk)2 • Последнее уравнение можно записать в виде kdy = kdx ~(yk)2 -1 ' что, в результате интегрирования, даёт (с - постоянная) arcch(yk) = kx + с или 1 у =-ch(kx +с). k Таким образом, в окрестности точки, где f'-:/:. О, кривая у= f(x) явля­ ется цепной линией. Но тогда у' может быть нулём только при х =О, и, если поверхность связная, она, по непрерывности, будет катеноидом, что и утверждалось. Пример 6 (геликоид) (ер. пример 3 раздела 2.5). х(и, v) = (ashvcosи, ashvsin и, аи). Легко проверить, что Е = G = a 2 ch 2 v, F =О и xuu+xvv= О. Таким обра­ зом, геликоид есть минимальная поверхность. Он обладает тем дополни­ тельным свойством, что является единственной минимальной поверхно­ стью, отличной от плоскости, которая является также линейчатой поверх­ ностью. Мы можем дать доказательство последнего утверждения, если предпо­ ложим, что нули гауссовой кривизны минимальной поверхности изолирова-
246 ГЛАВАЗ ны (доказательство смотрите, например, в обзоре Оссермана, цитированном в конце этого раздела, стр. 280). Допустив это, проделаем следующее. Предположим, что поверхность не является плоскостью. Тогда в неко­ торой окрестности W на поверхности гауссова кривизна К строго отри­ цательна. Так как средняя кривизна равна нулю, W покрывается двумя се­ мействами асимптотических линий, которые пересекаются ортогонально. Так как образующие являются асимптотическими линиями и поверхность не является частью плоскости, мы можем выбрать такую точку q Е W , что асимптотическая линия, отличная от образующей, проходящая через q, имеет ненулевое кручение в q. Поскольку соприкасающаяся плоскость асимптотической линии является касательной плоскостью поверхности, существует такая окрестность V с W , что образующие на V являются главными нормалями семейства неплоских асимптотических линий (рис. 3.43). Интересное упражнение на кривые - доказать, что это может иметь место тогда и только тогда, когда неплоские асимптотические линии являются цилиндрическими винтовыми линиями (ер. упражнение 18, раз­ дел 1.5). Таким образом, V есть часть геликоида. Так как кручение цилин­ дрической винтовой линии постоянно, легко видеть, что вся поверхность является частью геликоида, как мы утверждали. Рисунок 3.43
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 247 Геликоид и катеноид были открыты в 1776 году Менье, который дока­ зал также, что определение Лагранжа минимальных поверхностей как кри­ тических точек вариационной задачи эквивалентно утверждению о равен­ стве средней кривизны нулю. В течение долгого времени они были един­ ственными известными примерами минимальных поверхностей. Только в 1835 году Шерк нашёл другие примеры, один из которых описан в при­ мере 8. В упражнении 14 мы опишем интересную связь между гели­ коидом и катеноидом. Пример 7 (минимальная поверхность Эннепера). Поверхность Эннепера есть параметризованная поверхность ( и3 2 v 3 22 2) 2 x(u,v)= u- 3 +uv ,v- 3+vu ,и -v , (u,v)ER, которая, легко видеть, является минимальной (рис. 3.44). Заметьте, что за­ меной (и, v) на (-v, и) мы заменяем на поверхности (x,y,z) на (-y,x,-z). Таким образом, если совершить положительный поворот на угол :тr/2 во­ круг оси z с последующей симметрией относительно .rу-плоскости, по­ верхность не изменится. z Рисунок 3.44 . Поверхность Эннепера (репродуцировано, с изменениями, из ра­ боты К. Leichtweiss, "im Grossen". Math. 2(1969), рис. 4, с разрешения)
248 ГЛАВА3 Интересной особенностью поверхности Эннепера является наличие самопересечений. Это можно показать, полагая и= pcos8, v = psin8 и за­ писывая х(р,8) = (pcos8- ~ 3 cos38, psin8 + ~ 3 sin38, р2 cos28) Таким образом, если х (р1 , 81) = х (р2 , 82 ), непосредственное вычисление показывает, что рб 2р4 х2 +у2 = pf +-1 -cos48--l = 9 3 = (р1 + PI J-~(pf cos281) 2 = =(р2 +~iJ-~(Pi oos202 ) 2 . Отсюда, поскольку pf cos 2 281= р'#_ cos 2 282, получаем 3 3 р +ll=p +Р2 ]3 2 3' а это означает, что р1 = р2 • Отсюда следует, что cos281 = cos282 . Если, например, р1 = р2 и 81 = 2к - 82 , получаем из равенства У(Р1 А) = y(pz, 82 ), что у=-у. Следовательно, у=О, то есть точки (р1 ,82 ) и (р2 ,82 ) при­ надлежат кривой sin 8 + (р 2 /3) sin 38 =О. Очевидно, для любой точки (р, 8), принадлежащей этой кривой, точка (р, 2к - 8) также ей принадлежит, и х(р,())=х(р,2п- -()), z(p,()) =z(p,2п- - 8). Таким образом, пересечение поверхности с плоскостью у = О есть кривая, вдоль которой поверхность самопересекается. Аналогично можно показать, что пересечение поверхности с плоско­ стью х =О также является кривой самопересечения (это соответствует случаю р1 = р2 , 81 = л - 82 ). Легко видеть, что это единственные самопе­ ресечения поверхности Эннепера. Я хочу поблагодарить Alcides Lins Neto за обработку этого примера, чтобы сделать первый набросок рисунка 3.44 . Прежде чем перейти к следующему примеру, установим полезное со­ отношение между минимальными поверхностями и аналитическими функ­ циями комплексной переменной. Пусть С обозначает комплексную плос-
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 249 кость, которая, как обычно, отождествляется с R 2 посредством соответст­ вия (=и+iv, (ЕС, (и,v)ER 2 . Напомним, ЧТО функция/: исс~с является аншrитической, когда в записи /(()= J;(и,v)+i/2(и,v) вещественные функции J; и / 2 имеют непрерывные частные производ­ ные первого порядка, которые удовлетворяют так называемым уравнениям Коши-Римана дJ; д/2 -=-, ди дv дJ; =- д/2 дv ди Пусть теперь х: И cR 2 ~R 3 - регулярная параметризованная поверх­ ность и комплексные функции rp1, rp2 , Фз определены равенствами (r)- дх .дх qJI <, - ди-lдv' где х, у и z - координатные функции х. (r)_дz .дz qJ3" ---1- ди дv' Лемма. Пара.метризация х является изотермической тогда и только тогда, когда (/Ji 2 + rpi_ + rpff =О. Если это последнее условие выполняется, хминимшrьна тогда и только тогда, когда (/Ji, rp2 и rp3 являются аншrити­ ческими функциями. ДоКАЗА ТЕЛЬСТВО. Простым вычислением получаем, что ФJ2 +Фi+rp;=Е -G+2iF, откуда следует первая часть леммы. Кроме того, хии+хw=О тогда и толь­ ко тогда, когда д (дх) д (дх) диди=- дv дv' :и(~)=-:v(~} д (дz) д (дz) ди ди ==-дv дv' что даёт половину уравнений Коши-Римана для Ф~, rp2 , rp3 • Поскольку дру­ гая половина удовлетворяется автоматически, заключаем, что х ии + х w = О тогда и только тогда, когда ФJ, rp2 и Фз - аналитические функции.
250 ГЛАВАЗ Пример 8 (минимшrьная поверхность Шерка). Она задаётся парамет­ ризацией х(и,v) =[arg( +~'arg~+ 1 , lnl(~ + 1 1), (-1 ~-1 (-1 (*±1, ( *±i, где ( =и+ iv, а arg ( есть угол, который вещественная ось образует с { Легко вычисляется, что следовательно, (+i 2и arg--_ = arctg 2 2 , (-1 u+v-1 (+1 -2v arg-- = arctg 2 2 , (-1 и+v-1 1n\(2 +l\=.! _ln (и2 -v2 +1)2 +4u2v2. (2 -1 2 (и2 -v2 -1)2 +4u2v2' дх .дх 2 2i 4( (/)1 = --1-= --- ди дv 1+(2 ' (/)2 =-1 -(2' tp3 = 1-(4. Так как (/Ji2 + rpi_ + rp~ =О и fPJ, rp2 и rp3 - аналитические, х есть изотерми­ ческая параметризация минимальной поверхности. Легко увидеть из выражений х,у и z, что z=lncosy_ cosx Это представление показывает, что поверхность Шерка определена на шахматной доске (рис. 3.45) (кроме вершин квадратов, где поверхность яв­ ляется фактически вертикальной прямой). Минимальные поверхности являются, возможно, наиболее изучен­ ными поверхностями в дифференциальной геометрии, а мы лишь косну­ лись этой темы. Легко читаемое введение можно найти в работе R. Osserman, А Survey of Minimal Surfaces, Van Nostrand Reinhold, New York, 1969. Теория развилась в богатую ветвь дифференциальной геомет­ рии, в которой всё ещё исследуются интересные и нетривиальные пробле­ мы. Как правило, результаты теории обладают тем прельщающим качест­ вом, что их легко увидеть, но трудно доказать. Чтобы передать читателю некоторый вкус предмета, мы завершим это краткое изложение формули­ ровкой без доказательства одного поразительного результата.
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 251 (а) (с) Рисунок 3.45. Поверхность Шерка Теорема (Оссерман). Пусть S с R 3 - регулярная, замкнутая (как подмножество R 3 ) минимш1ьная поверхность в R 3 , не являющаяся плос­ костью. Тогда её образ при гауссовом отображении N: S ~ S 2 есть всю­ ду плотное множество на сфере S 2 (то есть сколь угодно близко к точ­ ке S 2 существует точка N(S) с S 2 ). Доказательство этой теоремы можно найти в обзоре Оссермана, на ко­ торый мы ссьшались выше. Фактически эта теорема несколько сильнее в том, что касается полных поверхностей, понятие которых будет введено в разделе 5.3.
252 ГЛАВАЗ УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что геликоид (ер. пример 3 раздела 2.5) есть линейчатая по­ верхность, его стрикционная линия - ось z, а параметр распределения по­ стоянен. 2. Покажите, что на гиперболоиде вращения х 2 +у 2 - z 2 = 1 параллель наименьшего радиуса является стрикционной линией, образующие пересе­ кают её под постоянным углом, а параметр распределения постоянен. 3.Пусть а:/~SсR3 - кривая на регулярной поверхности S; рас­ смотрим поверхность, образованную семейством {a(t),N(t)}, где N(t) - нормаль к поверхности в точке a(t). Докажите, что а(!) с S есть линия кривизны S тогда и только тогда, когда эта линейчатая поверхность явля­ ется развёртывающейся. 4. Предположим, что нецилиндрическая линейчатая поверхность x(t,v)=a(t)+vw(t), lwl=l, регулярна. Пусть w(t1), w(t2 ) - направления двух образующих х и x(t1, v1), x(t2 , v2 ) - основания общего перпендикуляра этих двух образующих. При t 2 ~ t1 эти точки стремятся к точке х (t1, v). Чтобы найти (t1, v), докажите следующее. а. Единичный вектор общего перпендикуляра стремится к единичному ка­ сательному вектору поверхности в точке (t1, v). Заключите отсюда, что в точке (tl 'v) (w'лw,N)=O. Ь. v =-((а', w')!(w', w')). Таким образом, (t1, v) есть горловая точка образующей, проходящей через t1, и зто даёт другую интерпретацию стрикционной линии (предпо­ лагаемой невырожденной). 5. Прямой коноид есть линейчатая поверхность, образующие которой L1 ортогонально пересекают фиксированную ось r, которая не пересекает на­ правляющую а: / ~R 3•
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 253 а. Найдите параметризацию прямого коноида и условие, при выполнении которого он является нецилиндрической поверхностью. Ь. Для данного нецилиндрического прямого коноида найдите стрикцион­ ную линию и параметр распределения. 6. Пусть х(t, v)= a(t)+vw(t) - развёртывающаяся поверхность. Докажите, что в регулярной точке Заключите отсюда, что касательная плоскость развёртывающейся поверх­ ности постоянна вдоль (регулярных точек) фиксированной образующей. 7. Пусть S - регулярная поверхность и С с S - регулярная кривая на S, нигде не касающаяся асимптотического направления. Рассмотрите оги­ бающую семейства касательных плоскостей S вдоль С. Докажите, что на­ правление образующей, которая проходит через точку рЕ С, сопряжено направлению касательной С в точке р. 8. Докажите, что если с с S 2 - параллель единичной сферы S 2 ' то оги­ бающая касательных плоскостей S 2 вдоль С есть либо цилиндр, если С - экватор, либо конус, если С не является экватором. 9. (Фокальные поверхности.) Пусть S - регулярная поверхность без пара­ болических или омбилических точек. Пусть х: И......; S - такая парамет- ризация S, что координатные линии являются линиями кривизны (если И мала, ограничения нет, ер. следствие 4 раздела 3.4). Параметризованные поверхности у(и,v) = х(и, v) + р1N(и,v), z (и, v) =х(и,v) +р2N(и,v), где Р! = 1/k1 , р2 = 1/k 2 , называются фокальными поверхностями х (И) (или поверхностями центров х(И); эта терминология происходит от того фак­ та, что у(и, v), например, есть центр соприкасающейся окружности
254 ГЛАВАЗ (ер. раздел 1.6, упражнение 2) нормального сечения x(u,v), соответствую­ щего главной кривизне k1). Докажите, что а) если (k1)u и (k2 )v нигде не равны нулю, то у и z - регулярные пара­ метризованные поверхности; Ь) в регулярных точках направления на фокальных поверхностях, ~оответ­ ствующие главным направлениям на х(И), сопряжены; это означает, на­ пример, что У и и Yv являются сопряжёнными векторами на у(И) для лю­ бых (u,v)E И; с) фокальная поверхность, скажем у, может быть построена следующим образом: рассмотрите линию кривизны х(и, const) на х(И) и постройте развёртывающуюся поверхность, порождаемую нормалями х (И) вдоль кривой х(и, const) (ер. упражнение 3); стрикционная линия такой развёр­ тывающейся поверхности лежит на у(И), и, подобно тому как x(u,const) описывает х (И), эта линия описывает у (И) (рис. 3.46). Рисунок 3.46. Построение фокальной поверхности
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 255 10. Пример 4 можно обобщить следующим образом: однопараметричес­ кое дифференцируемое семейство плоскостей {a(t),N(t)} есть соответ- ствие, которое сопоставляет каждому t Е 1, t Е 1, точку a(t) Е R 3 таким образом, что и а, и N суть дифференцируемые отображения. Говорят, что семейство {a(t), N(t)}, tE !, есть семейство касательных плоскостей, ес- ли a'(t);t:O, N'(t);t:O и (a'(t),N(t))=O для всех tE 1. а. Дайте доказательство того, что дифференцируемое однопараметрическое семейство касательных плоскостей {a(t), N(t)}, tE 1, определяет диффе- ренцируемое однопараметрическое семейство прямых {a(t),(N лN')/IN'i}, которое порождает развёртывающуюся поверхность N лN' x(t, v) = a(t) +v--, -. IN1 Поверхность(*) называется огибающей семейства {a(t), N(t)}. (*) Ь. Докажите, что если a'(t) л (N(t) л N'(t)) ;t: О для любого t Е /, то огиба­ ющая(*) регулярна в окрестности v =О и единичный нормальный вектор х в точке (t, О) равен N(t). с.Пусть а=a(s) - криваяв R3 , параметризованная длиной дуги. Пред­ положим, что кривизна k(s) и кручение т(s) кривой а нигде не равны ну­ лю. Докажите, что семейство соприкасающихся плоскостей {a(s), b(s)} яв­ ляется однопараметрическим дифференцируемым семейством касательных плоскостей и огибающая этого семейства есть поверхность касательных к a(s) (ер. пример 5 раздела 2.3). 11. Пусть х=х(и, v) - регулярная параметризованная поверхность. Парал­ лельная к х поверхность есть параметризованная поверхность у(и, v) =х(и, v) + aN(u, v), где а - постоянная. а. Докажите, что YuЛYv=(1-2Ha+Ka2 )(xuлxv), где К и Н- соответ­ ственно гауссова и средняя кривизны х. Ь. Докажите, что в регулярных точках гауссова кривизна у равна к 1-2На+Ка 2 '
256 ГЛАВАЭ а средняя кривизна у равна Н-Ка 1-2На+Ка 2 . с. Пусть поверхность х имеет постоянную среднюю кривизну, равную с * О; рассмотрите параллельную к х поверхность на расстоянии 1/2с. До­ кажите, что эта параллельная поверхность имеет постоянную гауссову кри­ визну, равную 4с2 . 12. Докажите, что не существует компактных (то есть ограниченных и замкнутых в R 3 ) минимальных поверхностей. 13. а. Пусть S - регулярная поверхность без омбилических точек. Дока­ жите, что S является минимальной тогда и только тогда, когда гауссово отображение N: S ~ S 2 удовлетворяет условию (dN p(w1), dNp(w2 ))N(p) = A(p)(w1, w2 ) Р длялюбойточки рЕs илюбых W1, W2 Е тр(S),где Цр) ::j; о - число, за­ висящее только от р. Ь. Пусть х: И~S2 - параметризация единичной сферы S 2 посредством (8, qi)E U, где 8 - коширота (ер. пример 1 раздела 2.2), а q5 - длина дуги параллели, определяемой В. Рассмотрите окрестность V точки р та­ кой части минимальной поверхности S, что N : S ~ S 2 , ограниченное на V, есть диффеоморфизм (поскольку К(р) = det(dNР) *О, такая окрест­ ность V существует, по теореме об обратной функции). Докажите, что па­ раметризация y=N 1 ох: И ~s является изотермической (это даёт спо­ соб введения изотермических параметрuзаций на минuмШtьных поверхно­ стях без точек уплощения). 14. Когда две дифференцируемые функции /, g: И cR 2 ~R удовлетво­ ряют уравнениям Коши-Римана дf _дg ди-дv' они, как легко проверить, являются гармоническими; в таком случае гово­ рят, что f и g гармонически сопряжены. Пусть х и у - такие изотер­ мические параметризации минимальных поверхностей, что их координат­ ные функции попарно гармонически сопряжены; тогда х и у называются сопряжёнными минuмШtьными поверхностями. Докажите, что
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ 257 а) геликоид и катеноид являются гармонически сопряжёнными минималь­ ными поверхностями; Ь) для двух сопряжённых минимальных поверхностей х и у поверхность z =(cost)x+(sint)y (*) также минимальная при любом t Е R; с) все поверхности однопараметрического семейства(*) имеют одну и ту же первую основную форму: Е=(хи,хи)=(уv,Уv), F=O, G=(xv,xv)= = (Yu,Уи)· Таким образом, любые две сопряжённые минимальные поверхности можно включить в однопараметрическое семейство минимальных поверх­ ностей и первая основная форма этого семейства не зависит от t.
ПРИЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЁННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В этом приложении V будет обозначать векторное пространство раз­ мерности 2, снабжённое скалярным произведением ( , ). Всё дальнейшее легко можно распространить на конечномерное векторное пространство, но ради простоты мы будем вести изложение только для случая п = 2 . Мы говорим, что линейное отображение А : V ~ V является само- сопряжённым, если (Av, w) = (v, Aw) для любых v, wE V. Заметим, что если {е1 , е2 } - ортонормированный базис V и (aii), i,j =1,2, - матрица А, соответствующая этому базису, то (Aei,e1 )=aij =(e;,Ae1 )=(Ae1 ,ei)=aJi; то есть матрица (aii) симметрическая. Каждому самосопряжённому линейному преобразованию мы сопос­ тавляем отображение В : V х V ~ R, определяемое равенством B(v, w) = (Av, w). В, очевидно, билинейно, то есть линейно и по v, и по w. Кроме того, са­ мосопряжённость А означает, что B(v, w) = B(w, v), то есть В - билиней­ ная симметрическая форма на V. Обратно, если В - билинейная симметрическая форма на V, мы мо- жем определить линейное отображение А: V ~ V, полагая (Av, w) = = B(v, w), и симметрия В влечёт за собой самосопряжённость А. С другой стороны, каждой симметрической билинейной форме В на V соответствует квадратичная форма Q на V , определяемая равенством Q(v)=B(v,v), VEV, и знание Q вполне определяет В, так как 1 В(и, v) =-[Q(u + v)-Q(u)-Q(v)]. 2
260 ПРИЛОЖЕНИЕ Таким образом, между квадратичными формами на V и самосопря­ жёнными линейными преобразованиями V устанавливается взаимно одно­ значное соответствие. Цель этого приложения - доказать, что (см. теорему ниже) для дан­ ного самосопряжённого линейного преобразования А : V -t V существует такой ортонормированный базис V, что в этом базисе матрица А является диагональной. Кроме того, элементы диагональной матрицы суть макси­ мум и минимум соответствующей квадратичной формы, ограниченной на единичную окружность V. Лемма. Если функция Q(x,y) = ах 2 +2Ьху +су 2 , ограниченная на еди­ ничную окружность х2 + у 2 = 1, имеет максимум в точке (1, О), то Ь =О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Параметризуем окружностьх2 +у 2 =1, полагая x=cost, y=sint, tE (0-е, 2п-+е). Таким образом, Q, ограниченная на эту окружность, становится функцией t : Q(t) = acos 2 t + 2bsintcost + csin 2 t. Поскольку Q имеет максимум в точке (1, О), ( dQ) =2Ь=О. dt t=O Следовательно, Ь = О, что и требовалось. о Предложение. Для данной квадратичной формы Q на V существует такой ортонормированный базис {ер е2 } пространства V, что если век­ торVEVзаданввидеv=хе1+уе2,то Q(v) = Aix2 + ~у2' где Ai и ~ суть максимум и минимум соответственно формы Q на еди­ ничной окружности 1v != 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 21 -максимум Q на единичной окружности 1v 1= 1, и пусть е1 - единичный вектор с Q( е1 ) =21• Такой вектор е1 суще­ ствует, в силу непрерывности Q, на компактном множестве 1v1= 1. Пусть е2 - единичный вектор, ортогональный е1 и такой, что 2z = Q( е2 ). Пока­ жем, что базис {е1 , е2 } удовлетворяет условиям предложения.
САМОСОПРЯЖЁННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 261 Пусть В - симметрическая билинейная форма, соответствующая Q, ипусть v = хе1+уе2• Тогда Q(v) =B(v, v) =В(хе1 +уе2,хе1 +уе2)= = А.1х2 + 2Ьху +А.2у2, где Ь = В(е1 , е2 ). В силу леммы Ь =О, и остаётся только доказать, что А-2 есть минимум Q на окружности 1v 1= 1. Это непосредственно следует из того, что для любого v =хе1 +уе2 , где х2 +у 2 =1, D Говорят, что вектор v *О является собственным вектором линейного преобразования А: V ~ V, если Av = A.v для некоторого вещественного числа А.; А называется тогда собственным числом А. Теорема. Пусть А: V ~ V - самосопряж:ённое линейное отображ:е­ нuе. Тогда существует такой ортонормированный базис {ер е2 } прост­ ранства V, что А(е1 ) = /4еР А(е2 ) = ~е2 (то есть е, и е2 - собственные векторы, а /4, ~ - собственные числа А). В базисе {еР е2 } матрица А, очевидно, диагональная и диагональные элементы /4, ~' /4 ~~,суть мак­ симум и минимум соответственно квадратичной формы Q(v) = (Av, v) на единичной окружности V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим квадратичную форму Q(v) = (Av, v). В силу предыдущего предложения существует такой ортонормированный базис {е1,е2} пространства V, что Q(е1)=А-1, Q(е2)=А-2 ~А-1, где А-1,А-2 - максимум и минимум соответственно формы Q на единичной окружности. Остаётся,следовательно,доказать, что А(е1)=А.1е1, А(е2)=А.2е2. Так как В(е1 ,е2 )=(Ае1 ,е2 )=0 (по лемме) и е2 *О, то либо вектор Ае1 коллинеарен е1 , либо Ае1 =0. Если Ае1 коллинеарен е1 , то Ае1 =ае1 , и, поскольку (Ае1 ,е1 )=А-1 =(ае1 ,е1 )=а, мы заключаем, что Ае1 =А-1 е1 ; если Ае1 =0, то )01 =(Ае1 ,е1 )=0 и Ае1 =0=А.1 е1 • Таким образом, в любом слу­ чае Ае1 =А1е1•
262 ПРИЛОЖЕНИЕ Используя теперь тот факт, что В(е1,е2)=(Ае2,е1)=О и можно доказать таким же образом, что Ае2 = Л.2 е2 • о Замечание. Распространение предыдущих результатов на п -мерное векторное пространство, п > 2, требует только следующего предостереже­ ния. В предыдущем предложении мы выбираем максимум Q, )01 = Q(е1 ), на единичной сфере, а затем показываем, что Q порождает квадратичную форму Q1 на подпространстве V1, ортогональном е1 . В качестве Л.2 = Q(е2 ) мы выбираем максимум Q1 на единичной сфере Vi и так далее.
ГЛАВА 4 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 4.1. Введение В главе 2 мы ввели первую основную форму поверхности S и показа­ ли, как её можно применять для вычисления простых метрических понятий на S (длина, угол, площадь и т. д.). Важно, что такие вычисления можно выполнить, «не покидая» поверхности, зная одну только первую основную форму. Поэтому говорят, что эти понятия принадлежат внутренней гео­ метрии поверхности S. Геометрия первой основной формы, однако, не исчерпывается упомя­ нутыми выше простыми понятиями. Как мы увидим в этой главе, многие важные локальные свойства поверхности могут быть выражены только в терминах первой основной формы. Теория таких свойств называется внутренней геометрией поверхности. Эта глава посвящена внутренней геометрии. В разделе 4.2 мы определим понятие изометрии, которое существенно уточняет интуитивное представление о двух поверхностях с «одной и той же» первой квадратичной формой. В разделе 4.3 мы выведем знаменитую формулу Гаусса, которая пред­ ставляет гауссову кривизну К в виде функции коэффициентов первой ос­ новной формы и её производные. Это означает, что К является внутрен­ ним понятием - поразительный факт, если принять во внимание, что К определена с использованием второй основной формы. В разделе 4.4 мы начнём систематическое изучение внутренней гео­ метрии. Оказывается, материал может быть унифицирован с помощью по­ нятия ковариантной производной векторного поля на поверхности. Это обобщение обычной производной векторного поля на плоскости играет основную роль на протяжении всей главы. Раздел 4.5 посвящён теореме Гаусса-Бонне и в локальном, и в гло­ бальном вариантах. Это, возможно, наиболее важная теорема данной кни­ ги. Даже в кратком курсе следует постараться дойти до раздела 4.5 . В разделе 4.6 мы определим экспоненциальное отображение и исполь­ зуем его для введения специальных систем координат, а именно нормаль­ ных и полярных геодезических координат.
264 ГЛАВА4 В разделе 4. 7 мы обратимся к некоторым тонким моментам теории геодезических, которые обойдены в предыдущих разделах. Например, мы докажем существование для каждой точки р поверхности S такой окре­ стности р на S, которая является нормальной во всех своих точках (опре­ деление нормальной окрестности дано в разделе 4.6). Этот результат и связанный с ним используются в главе 5; возможно, однако, что удобно принять их готовыми и пропустить раздел 4.7 при первом чтении. Мы до­ кажем также существование выпуклых окрестностей, но это нигде в книге использовано не будет. 4.2 . Изометрии. Конформные отображения Примеры 1 и 2 раздела 2.5 обнаруживают интересные особенности. Хотя цилиндр и плоскость - различные поверхности, их первые основные формы «равны» (по крайней мере в координатных окрестностях, которые мы рассматривали). Это означает, что, пока речь о внутренних метриче­ ских задачах (длина, угол, площадь), плоскость и цилиндр локально ведут себя одинаково. (Интуитивно это ясно, поскольку, разрезав цилиндр вдоль образующей, можно развернуть его на часть плоскости.) В этой главе мы увидим, что многие важные понятия, связанные с регулярной поверхно­ стью, зависят только от первой основной формы и должны быть отнесены к категории внутренних понятий. Удобно поэтому точно сформулировать, что понимается под двумя регулярными поверхностями, имеющими рав­ ные первые основные формы. Символы S и S будут всегда обозначать регулярные поверхности. Определение 1. Диффеоморфизм rp: S ~ S называется изометрией, еслидлявсехрЕSивсехпарwPw 2ЕT/S) Говорят тогда, что поверхности S и S изометричны. Другими словами, диффеоморфизм rp является изометрией, если дифференциал drp сохраняет скалярное произведение. Отсюда следует, по­ скольку drp есть изометрия, что
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 265 для любого wE Tp(S). Обратно, если диффеоморфизм ер сохраняет первую основную форму, то есть I p(w) = Irp(p/depp(w)) для всех WE Tp(S), то 2(w1,W2)=Jр(W1 +w2)- Jр(W1)- Jр(W2)= = l 'f'(p)(depp(w1 + w2 ))- I q>(p)(depp(w1))- I 'f'(p)(depp(w2 )) = =2(drpP(w 1), drpP(w2 )) и, следовательно, ер - изометрия. Определение 2. Отображение rp: V --t S окрестности V точки р Е S называется локальной изометрией в р, если существует такая окрест­ ность V точки rp(p) Е S, что rp: V --t V есть изометрия. Если существует локальная изометрия на S в каждой точке рЕ S, говорят, что поверх­ ность S локально изометрична S. Поверхности S и S называются ло­ кально изометричными, если S локально изометрична S и S локально изометрична S. Очевидно, что если ер : S --t S - диффеоморфизм и локальная изо­ метрия для каждой точки р Е S, то ер есть изометрия (в целом). Может случиться, однако, что две поверхности локально изометричны, не будучи изометричными в целом, как показывает следующий пример. Пример 1. Пусть ер - отображение координатной окрестности х(И) цилиндра, заданного в примере 2 раздела 2.5, на плоскость x(R 2 ) приме­ ра 1 раздела 2.5, определяемое равенством ер= хо х:- 1 (мы заменили х на х в параметризации цилиндра). Тогда ер - локальная изометрия. В самом деле, каждый вектор w, касательный к цилиндру в точке р Е х(И), является касательным к кривой х (u(t), v(t)), где (и(t), v(t)) - кривая в И с R 3 . Таким образом, w можно записать в виде С другой стороны, dep(w) есть касательный вектор кривой ер(х (и(t), v(t)) = x(u(t), v(t)).
266 ГЛАВА4 Таким образом, drp(w) =хии' + xvv'. Так как Е =Е, F = F, G =G, получаем ()-(')22- ,, 0-( ')2 !Рw=Еи +Fиv+ v = = Е(и') 2 + 2Fи'v' + G(v') 2 = Irp(p) (drpP (w)), что и требовалось. Отсюда следует, что цилиндр х2 + у 2 = 1 локально изо­ метричен плоскости. Изометрия не может быть распространена на весь цилиндр, так как цилиндр даже не гомеоморфен плоскости. Строгое доказательство послед­ него утверждения увело бы нас далеко в сторону, но следующее интуитив­ ное рассуждение может дать идею доказательства. Каждую простую замк­ нутую кривую в плоскости можно стянуть непрерывно в точку, оставаясь в плоскости (рис. 4.1). Такое свойство, несомненно, должно сохраняться при гомеоморфизме. Но параллель цилиндра (рис. 4.1) таким свойством не обладает, и это противоречит существованию гомеоморфизма между плос­ костью и цилиндром. Прежде чем привести следующие примеры, обобщим проведённые выше рассуждения, чтобы получить критерий локальной изометрии в тер­ минах локальных координат. р s С' р Рисунок 4.1 . С с Р можно стянуть в р, оставаясь в Р; это не выполняется для c'cs Предложение 1. Предположим, что существуют такие параметри­ зации х:И ~s и х:И ~s, что Е=Е, F=F, G=G на И. Тогда ото­ бражение ф: ха х·1 : х(И) ~ S является локальной изометрией. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ х(И) и wE Tp(S). Тогда w есть касатель­ ный вектор кривой x(a(t)) при t =О, где a(t) = (и(t), v(t)) - кривая в И; таким образом, w можно записать так (t =О) :
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ По определению, вектор drpp(w) есть касательный вектор кривой хо х- 1 о x(a(t)), то есть кривой x(a(t)) при t =О (рис. 4.2). Таким образом, Поскольку I/w) = Е(и') 2 + 2Fu'v' + G(v') 2 , -,2 -,,-,2 Irp(p)(drpp(w))=E(u) +2Fuv+G(v), заключаем, что IР(w) = Irp(p)(drpР(w)) для любой точки рЕх(И) и любого вектора wE Tp(S); следовательно, ер есть локальная изометрия. О Пример 2. Пусть S - поверхность вращения и х(и, v) = (f(v)cosu, f(v)sinu, g(v)), a"5,v5,.b, 0<u<2ir, f(v)>O, параметризация S (ер. пример 4 раздела 2.3). Коэффициенты первой ос­ новной формы S в параметризации х имеют выражения Е = (f(v)) 2 , F =О, G = (f'(v)) 2 + g'(v)) 2 . Рисунок 4.2
268 ГЛАВА4 В частности, поверхность вращения цепной линии x=achv, z=av, - oo<v<oo, имеет следующую параметризацию: х(и, v) = (achvcosи, ashvsin и, av), о<и<27', - 00<v<оо, соответствующие которой коэффициенты первой основной формы таковы: E=a 2 ch 2 v, F=O, G=a 2 (1+sh 2 v)=a 2 ch 2 v. Эта поверхность вращения называется катеноидом (см. рис. 4.3). Мы по­ кажем, что катеноид локально изометричен геликоиду примера 3 разде­ ла2.5. Параметризация геликоида имеет вид х x(u, v) = (vcosu, vsinu, au), 0<И<27f, -oo<v<oo. z Рисунок 4.3 . Катеноид Совершим следующую замену параметров: u=и, v=ashv, 0<и<27f, -o o<v<oo, у которая допустима, так как отображение, очевидно, взаимно однозначно и якобиан д(u, v) = achv д(и,v)
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 269 нигде не равен нулю. Таким образом, новая параметризация геликоида имеет вид х(и, v) = (ashvcosu, ashvsin и, аи), соответствующие которой коэффициенты первой основной формы таковы: E=a 2 ch 2 v, F=O, G=a 2 ch 2 v. Используя предложение 1, заключаем, что катеноид и геликоид ло­ кально изометричны. Рисунок 4.4 даёт геометрическое представление, как эта изометрия осуществляется; она отображает «один оборот» геликоида (координатную окрестность, соответствующую О< и< 2ir) на катеноид без одного мери­ диана. Замечание 1. Изометрия между геликоидом и катеноидом уже появ­ лялась в главе 3 в связи с минимальными поверхностями (ер. упражне­ ние 14 раздела 3.5). Пример 3. Докажем, что однополостный конус (без вершины) z = +k~x2 +у2, (х,у)-::/:-(О, О), локально изометричен плоскости. Идея состоит в том, чтобы показать, что конус без одной образующей может быть «развёрнут» на кусок плоскости. ПустьИсR2 - открытое множество, заданное в полярных коорди­ натах (р, В) неравенствами о<р<оо, о<е<2irsina, где 2а (О< 2а < ir) -угол при вершине конуса (то есть ctga= k); и пусть F:И~R3 - отображение (рис. 4.5), определяемое равенством F(p,B) = (р sina соs(---Д-), psina sin(---Д-), pcosa). sша sша Ясно, что F(U) содержится в конусе, потому что k~x2 +у2 =ctga~р2 sin 2 а= pcosa =z. Кроме того, когда О описывает интервал (О, 2irsina), то B/sina описывает интервал (О, 2ir). Таким образом, все точки конуса, кроме одной образую­ щей, покрываются F(U). Легко проверить, что F и dF взаимно однозначны на И; следова­ тельно, F - диффеоморфизм И на конус без образующей.
270 ГЛАВА4 (а) (Ь) (с) (d) Рисунок 4.4 . Изометрическая деформация геликоида в катеноид: (а) фаза 1, (Ь) фаза 2, (с) фаза 3, (d) фаза 4 Покажем теперь, что F - изометрия. В самом деле, И можно пред­ ставлять как регулярную поверхность, заданную параметризацией х(р,В)=(pcose,psinе,О), О<р<=, О<е<2л:. Коэффициенты первой основной формы И в этой параметризации суть - - - 2 Е=1, F =О, G=р .
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 271 (g) Рисунок 4.4 . (продолжение): (е) фаза 5, (t) фаза 6, (g) фаза 7 С другой стороны, коэффициенты первой основной формы конуса в пара­ метризации F о х таковы: E=l, F=O, G=p 2 . Из предложения 1 следует, что F есть локальная изометрия, что и требо­ валось. Замечание 2. Тот факт, что мы можем вычислять длины кривых на поверхности S, используя только её первую основную форму, позволяет ввести понятие «внутреннего» расстояния для точек на S. Говоря упро­ щённо, мы определяем (внутреннее) расстояние d(p, q) между двумя точ-
272 ГЛАВА4 ками S как минимум длин кривых на S, соединяющих р и q. (Мы рас­ смотрим это более детально в разделе 5.3 .) Это расстояние, очевидно, больше или равно расстоянию 11 р - q 11 между р и q как точками R 3 (рис. 4.6). Мы покажем в упражнении 3, что расстояние инвариантно относительно изометрий, то есть если <р : S ~ S - изометрия, то d(p, q) = d(rp(p), <p(q)), р, qE S. х z (} sin а 27Г sin а и Рисунок4.5 Рисунок4.6 Понятие изометрии является естественным понятием эквивалентности регулярных поверхностей по метрическим свойствам. Так же как диффео­ морфные поверхности эквивалентны с точки зрения дифференцируемости, изометричные поверхности эквивалентны с точки зрения метрики. В теории поверхностей можно определить другие виды эквивалентно­ сти. С нашей точки зрения, диффеоморфизмы и изометрии являются наи­ более важными. Однако, когда мы имеем дело с задачами, связанными с аналитическими функциями комrшексной переменной, важно ввести конформную эквивалентность, которую мы сейчас кратко обсудим.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 273 Определение 3. Диффеоморфизм rp: S ~ S называется конформным отображением, если для любой точки рЕ S и любых векторов v" v2 Е ET/S) (drp/v,), dqJ/vJ)=Л 2 (p)(v" v2)P, где Л2 - всюду ненулевая дифференцируемая функция на S; поверхно­ сти S и S тогда называются конформно эквивалентными. Отображение qJ: V ~ S окрестности V точки р в S называется локально конформным в р, если существует такая окрестность V точки qJ(p), что qJ: V ~ V- конформное отображение. Если для каждой точки рЕ S существует ло­ кально конформное в р отображение, говорят, что поверхность S локаль­ но конформно эквивалентна S. Геометрическое значение предыдущего определения состоит в том, что при конформных отображениях сохраняются углы (но необязательно длины).Всамомделе,пустьа:1~S иfJ: 1~S- двекривыенаS,пе­ ресекающиеся, скажем, в точке t =О. Угол между ними В в точке t =О на­ ходится по формуле (,fJ') cosе=а ' о<е<7т:. la'llP'I' Конформное отображение ер : S ~ S отображает эти кривые в кривые ероа:! ~S и ероfJ:! ~S, которые пересекаются при t= О, образуя угол е' заданный равенством е- _ (dep( а'), dep(fJ')) cos - , , 1dep(a)11dep(fJ)1 ;? (а', fJ') -~-~=cose, iJa'llP'I как мы утверждали. Нетрудно проверить, что это свойство характеризует локально конформные отображения (упражнение 14). Следующее предложение аналогично предложению 1 для конформ­ ных отображений, и его доказательство также оставлено в качестве упраж­ нения. Предложение 2. Пусть х: И~ S и х: И~ S- такие параметриза­ ции, что Е=А2Е, F=}., 2 ]", G=A 2 G на И, где Л?-всюдуненулеваядиф­ ференцируемая функция на И. Тогда отображ:ение qJ =хо х- 1 :х(И)~S является локшtыю конформным.
274 ГЛАВА4 Локальная конформная эквивалентность, как легко видеть, действи­ тельно является отношением эквивалентности, то есть если S1 локально конформно эквивалентна S2 , а S2 локально конформно эквивалентна S3 , то S1 локально конформно эквивалентна S3 • Наиболее важное свойство конформных отображений даёт следующая теорема, доказывать которую мы не будем. Теорема. Любые две регулярные поверхности локштьно конформно эк­ вивштентны. Доказательство основано на возможности параметризовать окрест­ ность любой точки регулярной поверхности таким образом, что коэффици­ енты первой основной формы будут иметь вид E=i(и,v)>O, F=O, G=i(и,v). Такая система координат называется изотермической. Если предположить существование изотермической системы координат на регулярной поверх­ ности S, становится очевидно, что S локально конформно эквивалентна плоскости и, посредством композиции, локально конформно эквивалентна любой другой поверхности. Доказательство существования изотермической координатной систе­ мы на любой регулярной поверхности тонкое и здесь приведено не будет. Интересующийся читатель может обратиться к книге L. Bers, Rieтann Sиr­ faces, New Уork University, Institute of Mathematical Sciences, New Уork, 1957-1958,рр. 15-35. Замечание 3. Изотермические параметризации уже появлялись в гла­ ве 3 в связи с минимальными поверхностями (ер. предложение 2 и упраж­ нение 13 раздела 3.5). УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть F : ИсR2~R3 заданоравенством F(и, v) = (иsinacosv, иsinasin v, исоsа), (и,v)ЕИ={(и,v)ЕR 2 ; и>О}, a=const а. Докажите, что F - локальный диффеоморфизм И на конус С с вер­ шиной в начале координат и углом 2а при вершине. Ь. Является ли F локальной изометрией?
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 275 2. Докажите следующее «обращение» предложения 1. Пусть ер: S ~ S - изометрия их: И~ S- параметризация в точке рЕ S; тогда х =ерах - параметризация в точке ер(р) и Е =Е, F = F, G =G. 3*. Покажите, что диффеоморфизм ер: S ~ S является изометрией тогда и только тогда, когда длина дуги любой параметризованной кривой на S равна длине дуги образа этой кривой при отображении ер. 4. Используйте стереографическую проекцию (ер. упражнение 16 разде­ ла 2.2), чтобы показать, что сфера локально конформно эквивалентна плоскости. 5.Пусть а1:!~R3 , а2:!~R3 - регулярные параметризованные кри­ вые, где параметр является длиной дуги. Предположим, что кривизны k1 кривой а1 и k2 кривой а2 удовлетворяют условию k1(s)=k2 (s),t0, sEl. Пусть х1(s,v) = а1(s)+va~(s), х2(s,v) = а2(s)+va;(s) - (регулярные) поверхности касательных к этим кривым (ер. пример 5 раздела 2.3), и пусть V - такая окрестность точки {t0 , s0 ), что х1 (V)сR 3 , х2(V)сR3 - регулярные поверхности (ер. предложение 2 раздела 2.3). Докажите, что х1 а х;.1 : х2(V) ~ х1(V) есть изометрия. 6*. Пусть а:!~R3 - регулярная параметризованная кривая с k(t)-:#- О, tE l. Пусть х(и,v) - её поверхность касательных. Докажите, что для каж­ дой точки (t0 ,v0 )E /x(R-{O}) существует такая окрестность V точки (t0,s0), что x(V) изометрична открытому множеству плоскости (таким образом, поверхности касательных локШlьно изометричны плоскости). 7. Пусть V и W (конечномерные) - векторные пространства со скаляр­ ными произведениями, обозначаемыми ( , ), и пусть F : V ~ W - ли­ нейное отображение. Докажите, что следующие условия эквивалентны: Ь) 1F(v)1=1v1 для любого VE V;
276 ГЛАВА4 с) если {v 1" • • , vп} - ортонормированный базис в V, то {F(v1), .• . ,F(vп)} - ортонормированный базис в W; d) существует такой ортонормированный базис {v1" .. , vп} вV, что {F(v1)"•• ,F(vп)} -ортонормированный базис в W. Если любое из этих условий выполняется, F называется линейной изомет­ рией V на W. (Когда W = V, линейная изометрия часто называется орто­ гональным преобразованием.) 8*. ПустьG:R 3 -7R 3 - такое отображение, что IG(p)-G(q)l=lp-ql для любых p,qER 3 (то есть G - отображение, сохраняющее расстояния). Докажите, что су­ ществуют точка р0 Е R 3 и такая линейная изометрия (ер. упражне­ ние 7) F векторного пространства R 3 , что G(p)=F(p)+ р0 для всех pER 3 . 9. Пусть S1, S2 и S3 - регулярные поверхности. Докажите, что а) если ер: S1 -7 S2 - изометрия, то ер- 1 : S2 -7 S1 также изометрия; Ь)если ер:S1-7S2, l/f:S2 -7S3 - изометрии, то l/fоер:S1-7S3естьизо­ метрия. Это означает, что изометрии регулярной поверхности S образуют естест­ венным образом группу, называемую группой изометрий S. 1О. Пусть S - поверхность вращения. Докажите, что повороты вокруг её оси являются изометриями S. 11*. а. Пусть SсR3 - регулярная поверхность и F : R 3 -7R 3 - сохра­ няющее расстояния преобразование R 3 (см. упражнение 8), такое, что F(S) с S. Докажите, что ограничение F на S есть изометрия S. Ь. Используйте часть (а), чтобы доказать, что группа изометрий (см. уп­ ражнение 1О) единичной сферы х 2 + у 2 +z 2 = 1 содержится в группе орто­ гональных линейных преобразований R 3 (фактически совпадает с ней; см. упражнение 23 раздела 4.4).
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 277 с. Приведите пример, показывающий, что существуют изометрии f{I : S 1 ~ S2 , которые не могут быть продолжены в сохраняющие расстоя- ния отображения F : R 3 ~R3 . 12*. Пусть C={(x,y,z)ER3 ; х 2 +у 2 =1} - цилиндр. Постройте такую изометрию f{I : С ~ С, что множество неподвижных точек f/I, то есть мно­ жество {рЕ С; f{l(p) = р}, состоит точно из двух точек. 13. Пусть V и W - (конечномерные) векторные пространства со скаляр­ ными произведениями ( , ). Пусть G: V ~ W - линейное отображение. Докажите, что следующие условия равносильны. а. Существует такая вещественная постоянная Л #О, что (G(v1), G(v2)) = л2(v1,v2) для любых v1, v2 Е V. Ь. Существует такая вещественная постоянная А. > О , что IG(v)l=Лlvl длявсехvЕV. с. Существует такой ортонормированный базис {v1" . . , vn} пространства V, что {G(v1), • •• ,G(vn)} есть ортонормированный базис W, а также векторы G(v;), i = 1, ... ,п, имеют одну и ту же (ненулевую) длину. Если любое из этих условий выполняется, G называется линейньиw кон­ формным отображ:ением (или подобием). 14. Мы говорим, что дифференцируемое отображение f{I: S 1 ~ S 2 сохраня­ ет углы, если для любой точки р Е S 1 и любых пар векторов v1, v2 Е ТР (S1) cos(v1, v2 ) = cos(df/lp(v1), df/lp(v2 )). Докажите, что f{I является локально конформным отображением тогда и только тогда, когда оно сохраняет углы. 15. Пусть f{I: R 2 ~R 2 задаётсяравенством f{l(x,y)=(u(x,y),v(x,y)), где и и v - дифференцируемые функции, которые удовлетворяют уравнениям Коши-Римана Покажите, что f/I - локально конформное отображение R 2 - QвR2 , где Q={(x,y)ER 2 ; и~ +и; =0}.
278 ГЛАВА4 16. Пусть х: И cR 2 -7R 3 , где И={(8,<р)ЕR 2 ; 0<8<7r, 0<<p<27r}, х(8,1р) = (sin 8cos1p, sin 8sin1p, cos 8), - параметризация единичной сферы S 2 . Положите е Intg-=u, <p=v 2 и покажите, что новая параметризация координатной окрестности х(И) = V может быть записана в виде y(u,v)=(sechu cosv,sechu sinv,thи). Докажите, что в параметризации у коэффициенты первой основной формы таковы: Е=G =sech 2 u, F=О. Таким образом, у-1: V сS2 -7R 2 - конформное отображение, которое переводит меридианы и параллели S 2 в прямые линии плоскости. Оно на­ зывается проекцией Меркатора. 17*. Рассмотрите треугольник на единичной сфере, стороны которого об­ разованы отрезками локсодром (то есть кривых, которые составляют по­ стоянный угол с меридианами; ер. пример 4 раздела 2.5) и не содержат по­ люсов. Докажите, что сумма внутренних углов такого треугольника рав­ на 7r. 18. Диффеоморфизм <р: S -7 S называется сохраняющи.м площади, если площадь замкнутой области R с S равна площади 1p(R). Докажите, что ес­ ли <р сохраняет площади и конформно, то <р является изометрией. 19.Пусть S 2 ={(x,y,z)ER 3 ;x 2 +y2+z 2 =1} единичная сфера и С= {(x,y,z)E R 3 ;х 2 +у2 =1} -описанный цилиндр. Пусть 1р:S2-{(О,о,l)u(O,О, -1)}=м -7с - отображение, определяемое следующим образом. Для каждой точки рЕ М прямая, проходящая через р и перпендикулярная Oz, пересекает Oz в точке q. Пусть l - луч с началом в q, содержащий q (рис. 4.7). По определению, <р(р) =Сп!. Докажите, что <р есть диффеоморфизм, сохраняющий площади.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 20. Пусть х: И с R 2 4 S - параметризация поверхности вращения S: х(и, v) = (f(v)cosu, f(v)sinu, g(v)), f(v) >О, И={(u,v)ER 2 ; 0<и<27r, a<v<b}. а. Покажите, что отображение rp : И 4 R 2 , определяемое равенством ( )=( J~(f'(v))2+(g'(v))2dv] rp и,v и, ' f(v) есть локальный диффеоморфизм. z <р(р) Рисунок 4.7 279 Ь. Используйте часть (а), чтобы доказать, что поверхность вращения S ло­ кально конформно эквивалентна плоскости так, что каждое локально кон­ формное отображение В : V с S 4 R 2 переводит параллели и меридианы окрестности V в ортогональную систему прямых в B(V) cR 2 • (Заметьте, что это обобщает проекцию Меркатора упражнения 16.) с. Покажите, что отображение 1f1 : И 4 R 2 , определяемое равенством ljf(u, v) = (и, Jf(v)~(f'(v))2 + (g'(v)) 2 dv ), есть локальный диффеоморфизм. d. Используйте часть (с), чтобы доказать, что для каждой точки р поверх­ ности вращения S существует окрестность V с S и отображение В : V ~ R 2 окрестности V в плоскость, которое сохраняет площади.
280 ГЛАВА4 4.3 . Теорема Гаусса и условия совместности Свойства в главе 3 бьши получены исследованием изменения каса­ тельной плоскости в окрестности точки. По аналогии с кривыми, мы соби­ раемся приписать каждой точке поверхности репер (аналогия репера Фре­ не) и исследовать производные этих векторов. S будет обозначать, как обычно, регулярную, ориентируемую и ори- ентированную поверхность. Пусть х: И с R 2 -t S - параметризация, со­ гласованная с ориентацией S. Можно приписать каждой точке x(U) есте­ ственный репер, определяемый векторами хи,хv и N. Изучение этого ре­ пера будет предметом данного раздела. Разлагая производные векторов хи, xv и N по базису {хи, xv, N}, по­ лучаем Хии=Г1\хи +Гf1xv +LrN, 1 2 Xuv= Г1zХи + Г12Хv + LzN, 1 2 ~ Xvu= Г21Хu + Г21Хv + LzN, Xvv= Гizхи + Гi2xv + LзN, Nu = a11Xu + Gz1Xv, Nv = а12Хи + GzzXv, (1) где aii, i,j = 1, 2, бьши получены в главе 3, а другие коэффициенты долж­ ны быть определены. Коэффициенты Гj, i,j,k=1,2, называются симво­ лами Кристоффеля S в параметризации х. Так как xuv=xvu• заключаем, что Г112 = rJ 1 и Г122 = Гi1 , то есть символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам. Умножая скалярно первые четыре равенства в (1) на N, немедленно получаем,что Li=е, Lz=l2 = f, Lз =g, где е,f,g - коэффициенты второй основной формы S. Чтобы найти символы Кристоффеля, умножаем скалярно первые че­ тыре равенства на х и и х v, получая систему
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 281 (2) Заметьте, что предыдущие уравнения сгруппированы в три пары урав­ нений и для каждой пары определитель системы равен EG - F 2 ::Р О. Таким образом, можно решить каждую систему и выразить символы Кристоф­ феля через коэффициенты первой основной формы E,F,G и их производ- ные. Мы не будем получать явные выражения rj, так как с системой (2) легче работать в каждом конкретном случае. (См. ниже пример 1.) Однако очень важно следствие того факта, что мы можем решить систему (2): все геометрические понятия и свойства, выра:ж:енные через символы Кри­ стоффеля, инвариантны относительно изометрий. Пример 1. Вычислим символы Кристоффеля для поверхности, задан­ ной параметризацией (ер. пример 4 раздела 2.3) Так как получаем х(и, v) = (/(v)cosи, f(v)sinи, g(v)), f(v) ::Р О. Е = (f(v)) 2 , F =О, G = (/'(v)) 2 + (g'(v)) 2 , Eu =0, Ev =2jJ', Fu =Fv =О, Gu =0, Gv = 2(/'/"+ g'g"), где штрих обозначает производную по v. Первые два уравнения системы (2) дают тогда г1=Ог2= ff' 11'11 (/')2+(g')2· Далее, вторая пара уравнений системы (2) даёт 1 ff' Г12= / 2 , Г1~=0.
282 ГЛАВА4 Наконец, из последних двух уравнений системы (2) получаем г~=О г2=f'f"+g'g" 22 ' 22 (/')2 + (g')2 Как мы только что видели, выражения производных хи, xv и N в базисе {xu, xv, N} включают в себя только коэффициенты первой и вто­ рой основных форм S. Способ получения связи между этими коэффициен­ тами состоит в рассмотрении уравнений (xuu)v -(xuv)u =О, (xvv)u -(xvu)v =0, (З) Nuv -Nvu =О. Вводя выражения (1 ), мы можем записать предыдущие уравнения в виде А1хи +B1xv +C1N=O, А2хи +B2xv +C2N =О, A3xu +B3xv +C3N =О, (За) где А;,В;,С;, i=l,2,З, - функции E,F,G,e,f,g и их производных. Так как векторы хи, xv, N линейно независимы, (За) означает, что суще- ствуют девять соотношений: А;=О, В;=О, С;=О, i=1,2,З. Дrrя примера найдём соотношения А1 =О, В1 =О, С1 =О. С использо­ ванием выражения (1) первое из уравнений (З) можно записать в виде Г/1хиv + r?1xvv + eNV + (Г1\)vхи + cг?1)vxv + evN = =Г1 1 2Хuи + Г1~Xvu + f Nu +(Г/2)uхи +(Гi22)uxv + fuN. Снова используя (1) и приравнивая коэффициенты при xv, получаем Г1\Г1~ + Г1 2 1Гf2 + еа22 + (Г1 2 1)v = =Гi2Г121 +Г1~Г1~ + fa21 +(Г1~)и. Вводя уже найденные выражения aiJ (ер. раздел З.З), заключаем, что (Г?2)u -(Г?1)v +Г112Г?1 +Г1 2 2Г1~ -Г?1Гi2 -Г1\Г1~ = =-Е eg-f2 =-ЕК. EG-F 2 (4) (5) В этот момент удобно прервать наши выкладки, чтобы привлечь вни­ мание к тому факту, что предыдущее уравнение доказывает следующую теорему, принадлежащую К. Ф. Гауссу.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 283 Theoreмa egregium (Гаусс). Гауссова кривизна К поверхности инва­ риантна относительно локальных изометрий. Всамомделе,еслих:ИсR2~S - параметризация вточке рЕS и ер: V с S ~ S, где V сх(И) - окрестность р, есть локальная изометрия в р, то у=хоер - параметризация S в ер(р). Так как ер - изометрия, ко­ эффициенты первой основной формы в параметризациях х и у совпадают в соответствующих точках q и ep(q), qE V; таким образом, соответствую­ щие символы Кристоффеля также совпадают. В силу уравнения (5) значе­ ние К в точке можно найти как функцию символов Кристоффеля в данной параметризации в этой точке. Отсюда следует, что K(q) = K(ep(q)) для лю­ бой точки qE V. Предыдущее уравнение, которое даёт выражение К через коэффици­ енты первой основной формы и их производные, известно как уравнение Гаусса. Оно было впервые выведено Гауссом в знаменитой работе [1]. Теорема Гаусса считается по обширности её следствий одним из наи­ более важных результатов дифференциальной геометрии. В данный мо­ мент мы укажем только одно следствие. Как мы доказали в разделе 4.2, катеноид локально изометричен гели­ коиду. Из теоремы Гаусса следует, что их гауссовы кривизны равны в соответствующих точках - факт, геометрически нетривиальный. Действительно, это замечательный факт, что такое понятие, как гаус­ сова кривизна, определение которой существенно использовало располо­ жение поверхности в пространстве, зависит не от этого расположения, а только от метрической структуры (первая основная форма) поверхности. Мы увидим в следующем разделе, что многие другие понятия диффе­ ренциальной геометрии устроены так же, как гауссова кривизна, то есть зависят только от первой основной формы поверхности. Таким образом, имеет смысл говорить о геометрии первой основной формы, которую мы называем внутренней геометрией, так как она может быть развита без вся­ кого обращения к пространству, которое содержит поверхность (стоит только задать первую основную форму). *Имея в виду получение следующего геометрического результата, воз­ вратимся к нашим выкладкам. Приравнивая коэффициенты при хи в (4), мы видим, что уравнение А1 =О можно записать в виде (5а) * Оставшаяся часть этого раздела не будет использоваться до главы 5. Если она пропускается, упражне­ ния 7 и 8 должны быть также пропущены.
284 ГЛАВА4 Приравнивая также коэффициенты при N в (4), получаем уравнение С1=0ввиде (б) Отметим, что уравнение (5а) (при F *О) является просто другой фор­ мой записи уравнения Гаусса. Применяя те же операции ко второму уравнению (3), получаем, что оба уравнения А2 =О и В2 =О дают снова уравнение Гаусса (5). Далее, С2 =О даёт уравнение (ба) Наконец, те же операции можно применить к последнему уравнению (3), получая, что С3 =О есть тождество, а А3 =О и В3 =О суть снова уравне­ ния (б) и (ба). Уравнения (б) и (ба) называются уравнениями Майнарди­ Кодацци. Уравнения Гаусса и Майнарди-Кодацци известны в теории поверхно­ стей под названием условий совместности. Естественный вопрос: существуют ли дополнительные условия совме­ стности коэффициентов первой и второй основных форм, кроме уже полу­ ченных? Теорема, сформулированная ниже, показывает, что ответ отрица­ тельный. Другими словами, последующим дифференцированием или ка­ кой-либо другой операцией мы не получили бы никаких дополнительных соотношений между коэффициентами Е, F, G, e,f,g и их производными. На самом деле теорема является более содержательной и утверждает, что знание первой и второй основных форм локально определяет поверхность. Более точно, Теорема (Бонне). Пусть Е, F, G, е, f, g - дифференцируемые функ­ ции в открытом множестве V с R 2 , где Е >О и G >О. Предположим, что данные функции формально удовлетворяют уравнениям Гаусса и Майнарди-Кодацци и что EG - F 2 >О. Тогда для каждой точки qE V существуют окрестность И с V точки q и такой диффеоморфизм х:И~х(И)сR3 , что регулярная поверхность x(U) с R 3 и:меет Е, F, G и е, f, g в качестве коэффициентов первой и второй основных форм со­ ответственно. Кроме того, если И связна и х:И ~x(U)cR 3 - другой диффеоморфизм, удовлетворяющий тем же условиям, то суще­ ствуют сдвиг Т и собственное линейное ортогональное преобразование р пространства R 3 , такие, что х =Тара х.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 285 Доказательство этой теоремы можно найти в приложении к главе 4. Для дальнейшего использования полезно заметить, как упрощаются уравнения Майнарди-Кодацци, когда координатная окрестность не содер­ жит омбилических точек, а координатные линии являются линиями кри­ визны (F =О= f). Уравнения (6) и (ба) можно записать в виде 1 2 ev = еГ12 - gГ11' Учитывая, что F =О, получаем, что Г2- _ _!_ Ev 11- 2G' Г1-_ _!_Gи 22 -2Е' г2 1 gu =g 12 -еГ22. гt__!_Ev 12-2Е' Г2_ _!_G" 12-2G, заключаем, что уравнения Майнарди-Кодацци принимают вид е=Ev(~+К) (7) v 2ЕG' g" =~и(~+~J (7а) УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажиrе, что если х - ортогональная параметризация, то есть F =О, то K=-2k{(ka1 +(~)J· 2. Покажите, что если х - изотермическая параметризация, то есть E=G= =Ци,v), F=O, то 1 К =--Л(InЛ.) 2Л. ' где Лrр обозначает лапласиан (д 2rр/ди 2 )+(д 2rр!аv 2 ) функции rp. Заключи~ те,что,когдаЕ=G =(и2+v 2 + с)- 2 иF=О,К=const=4с. 3. Проверьте, что поверхности х(и, v) = (ucosv, usin v, lnu), х(и, v) = (ucosv, и sin v, v) имеют равные гауссовы кривизны в точках х(и, v) и х(и, v), но отображе­ ние хо х- 1 не является изометрией. Это показывает, что «обращение» тео­ ремы Гаусса неверно.
286 ГЛАВА4 4. Покажите, что никакая окрестность точки сферы не может быть изомет­ рически отображена в плоскость. 5. Если координатные линии образуют чебышевскую сеть (ер. упражнения 7 и8раздела2.5),тоЕ =G =1иF= cosО. Покажите, что вэтомслучае к=- euv . sinfJ 6. Используйте теорему Бонне, чтобы показать, что не существует такой поверхностих(и,v),что E=G=l, F=O и е=1, g=-1, f=O. 7.Существует ли поверхность x=x(u,v), для которой E=l, F=O, G= =cos 2 u и e=cos 2 u,f=O, g=l? 8. Найдите символы Кристоффеля для открытого множества плоскости а) в декартовых координатах; Ь) в полярных координатах. Используйте формулу Гаусса для вычисления К в обоих случаях. 9. Объясните, почему следующие поверхности не являются попарно ло­ кально изометричными: а) сфера; Ь) цилиндр; с)седлоz=х 2 - у2. 4.4 . Параллельный перенос. Геодезические Приступим теперь к систематическому изложению внутренней гео­ метрии. Чтобы показать интуитивный смысл этих понятий, мы часто будем давать определения и интерпретации, включающие в себя вид поверхности в пространстве. Однако в каждом случае мы будем доказывать, что вве­ дённые понятия зависят только от первой основной формы. Начнём с определения ковариантной производной векторного поля, которая является для поверхностей аналогом обычной производной векто­ ров в плоскости. Напомним, что (касательное) векторное поле на откры-
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 287 том множестве И с S регулярной поверхности S есть соответствие w, ко­ торое сопоставляет каждой точке рЕ И вектор w(p)E Tp(S). Векторное поле w называется дифференцируемым в точке р, если для некоторой па­ раметризации х(и,v) в р компоненты а и Ь в разложении w=ахи +bxv по базису {хи, xv} являются дифференцируемыми в р функциями. Поле w дифференцируемо на И, если оно дифференцируемо в каждой точке р Е И. Определение 1. Пусть w- дифференцируемое векторное поле на от­ крытом множестве И с S и рЕ И. Пусть уЕ T/S). Рассмотрим па- раметризованную кривую a:(-&,&)~U, гдеа(О)=ри d(O)=у, ипустьw(t), tЕ(-&,&), - оrраничение вектор­ ного поля w на кривую а. Вектор, полученный ортогональным проециро­ ванием (dw / dt)(O) на плоскость T/S), называется ковариантной произ- водной в точке р векторного поля w по направлению вектора у. Эта ко­ вариантная производная обозначается (Dw/ dt)(O) или (Dyw)(p) (рис. 4.8). / / / // // / w ---- ...... -- .................. Т,(S) s Рисунок 4.8. Ковариантная производная Предыдущее определение использует нормальный вектор S и в осо­ бенности кривую а, касающуюся у в точке р. Чтобы показать, что кова­ риантное дифференцирование есть понятие внутренней геометрии и его результат не зависит от выбора кривой а, получим выражение ковари­ антной производной в терминах параметризации х(и, v) поверхности S в точкер.
288 ГЛАВА4 Пусть x(u(t), v(t)) = a(t) - выражение кривой а и w(t) = a(u(t), v(t))xu + b(u(t), v(t))xv = = a(t)xu + b(t)xv - выражение w(t) в параметризации х(и, v). Тогда где штрих обозначает производную по t. Так как Dw/ dt есть касательная составляющая dw/ dt, используем выражения (1) раздела 4.1 для хии' xuv и xvv и, отбрасывая нормальную компоненту, получим Dw('г1'г1'г1ь'г1ь') --= а+11аи+12av+12и+22vХи+ dt (l) + (Ь' +Гf1аи' +Г122аv' +Г122Ьи'+Гi2bv')xv. Выражение (1) показывает, что Dw/ dt зависит только от вектора (и', v') и не зависит от кривой а. Кроме того, поверхность участвует в (1) посредством символов Кристоффеля, то есть через посредство первой ос­ новной формы. Наши утверждения, таким образом, доказаны. Если, в частности, S - плоскость, мы знаем, что можно найти такую параметризацшо, что Е = G = 1 и F =О. Беглый просмотр уравнений, ко- торые дают символы Кристоффеля, показывает, что в этом случае rt ста­ новятся нулями. Тогда из равенства (1) следует, что ковариантная про­ изводная совпадает с обычной производной векторов в плоскости (это можно увидеть также геометрически из определения 1). Ковариантная производная является, следовательно, обобщением обычной производной векторов в плоскости. Другим следствием равенства (1) является то, что определение ковари­ антной производной можно распространить на векторное поле, которое определено только в точках параметризованной кривой. Чтобы уяснить этот подход, требуются некоторые определения. Определение 2. Параметризованной кривой а: [О,/]~ S называется ограничение на [О,/] дифференцируемого отображения (0-ё, l + ё), t" >О, вS.Еслиа(О) =ри a(l)=q, мыговорим,чтоасоединяетр сq. ана­ зывается регулярной, если d(t) *О при t Е [О,/]. В дальнейшем будет удобно использовать обозначение [О,/]= I всякий раз, когда нет необходимости указывать конец /.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 289 Определение 3. Пусть а; 1 -с> S - параметризованная кривая на S. Векторным полем w вдоль а называется соответствие, которое сопо­ ставляет каждому t Е ! вектор w(t)E Ta(t)(S). Векторное поле w называется дифференцируемым в точке t0 Е l, если для некоторой параметризации х(и, v) в a(t0 ) компоненты a(t), b(t) поля w(t) =ахи + bxv суть дифференцируемые в точке t0 функции t. Поле w на­ зывается дифференцируемым на отрезке [, если I дифференцируемо в каждой точке t Е /. Пример (дифференцируемого) векторного поля вдоль а даёт поле a'(t) касательных векторов а (рис. 4.9). Рисунок 4.9. Поле касательных векторов вдоль кривой а Определение 4. Пусть w- дифференцируемое векторное поле вдоль а: I ~s. Выражение (1) (Dw/ dt)(t), tE ! , корректно определённое, на­ зывается ковариантной производной w в точке t. С внешней точки зрения на поверхность, чтобы получить ковариант­ ную производную поля w вдоль а : ! -с> S в точке t Е 1, мы находим обычную производную (dw/ dt)(t) от w по t и проецируем этот вектор ор­ тогонально на касательную плоскость Ta(t) (S). Отсюда следует, что, когда две поверхности касаются вдоль параметризованной кривой а, ковариант­ ная производная поля w вдоль а одна и та же для обеих поверхностей. Если a(t) - кривая на S, можно представлять её как траекторию точ­ ки, которая движется по поверхности. а' тогда есть скорость, а a"(t) - ускорение а. Ковариантная производная Da'(t)/ dt поля a'(t) является ка­ сательной составляющей ускорения a"(t). Интуитивно, Da'(t) - это уско­ рение точки a(t) «с точки зрения обитателя поверхности S ».
290 ГЛАВА4 Определение 5. Векторное поле w вдоль параметризованной кривой а: I ~ S называется параллельным, если Dw / dt = О для любого t Е /. В частном случае плоскости понятие параллельного поля вдоль пара­ метризованной кривой сводится к понятию постоянного векторного поля вдоль кривой, то есть длина вектора и угол, образуемый им с фиксирован­ ным направлением, остаются постоянными (рис. 4.10). Эти свойства час­ тичн