Професор Б. Я. БУКРЕЄВ
ВСТУП
до
ВАРІЯШИНОГО ЧИСЛЕННЯ
Державний Науково-Методологічний Комітет
Наркомосвіти УСРР по секції професійної
освіти ухвалив до вжитку як посібник по
ВУЗ'ах
ДЕРЖАВНЕ ВИДАВНИЦТВО УКРАЇНИ
ХАРКІВ 19 3 0 КИЇВ

Укрголовліт№1260 (808) Зам. 1789—3000—63/4 арк. Ост. 364 А5

ПЕРЕДМОВА.
Варіаційне числення посідав центральне місце серед наук
фізико-матвматичних. Тут збираються промені, що йдуть від
цілої низки дисциплін: геометрії, механіки, фізики,
астрономії, техніки... Хто вивчав 6. Ч. той не тільки повторює та
засвоює аналізу нескінчено малих, але й пересвідчується, що
ця аналіза в могутнв знаряддя для розв'язання багатьох
питань, що мають суто практичне значіння. В передмові до курсу
математичної фізики (К. Соигап* ип<і Б. НіІЬегі, 1924)
читаємо: „Ідеї В. Ч. відограють переважну ролю, тобто намагання
характеризувати математичні величини екстремальними
властивостями. В цім розумінні В. Ч. дедалі виявляється могутнім
важелем математичної аналізи, важливим принципом
спрощувати та об'єднувати41.
Пропонований елементарний курс має своїм головним
предметом найпростішу задачу В.Ч. в декартових координатах.
Особливу увагу звернено на докладне розв'язання задач, як
клясичних так і ближчих до нас у часі. Розглянені всі
чотири конечні умови для випадку сталих меж. Зв'язаний
екстремум 1-го та 2-го роду викладено лише в головних рисах, так
само як і випадок змінних меж.
Перший розділ—після попередніх уваг—містить ос*
новні леми В. Ч. і першу варіяцію. Подається приклади.
Другий розділ присвячений другій варіяції, умовам
Ье§еп<іг-а та ^соЬі. Дано кілька важливих прикладів.
Третій розділ дає достатність умов Еиіег-а, Ье^епсіге-а
та ^соЬі для слабких варіяцій.
В четвертому розділі дано четверту конечну умову
^еіегбігавз-а.
з

В п'ятому розділі розглянені найпростіші випадки
змінних меж, дано умову трансверсальности, а також
приклади.
Шостий та сьомий розділи присвячені зв'язаному
екстремуму 1-го та 2-го роду. Дано приклади.
Восьмий розділ містить авторів вивід інтеґрала Веі-
*гаті та взагальнення деяких вислідів Кпезег-а та НіІЬегі-а.
В останньому, дев'ятому розділі виведено достатню
умову \Уеіег8іга88.а; Довід інших достатніх умов, як от Ілп-
<їеЬег£-а та Ьєуі складний настільки, що я обмежився лише
формулюванням цих умов.
На протязі всього курсу я даю літературні вказівки для
осіб, що бажають поглибити свої знання в тому чи іншому
питанні.
Щоб не збільшувати об'єму курсу, я розглядаю лише
суцільні розв'язки, нічого не кажу про параметричну методу
ЧАГеіегзІтавз-а, про методу СагаіЬеосІогу, про прямі методи, про
досліди Кіеія-а, С. Н. Бернштейна тощо. Всі ці питання дуже
важливі, але до їх вивчення треба братися, засвоївши основи.
При складанні курсу велику послугу зробили мені мої
вельмишановні учні, наукові робітники та аспіранти
дослідної катедри математики: Ахіезер Н. І., Ремез Є. Я.,
переглядали текст і формули, та Можар В. І. обробляв текст з боку
мови. Всім їм висловлюю мою щиру подяку.
Київ, 1930. Професор Б. Я. Вукреев.
ПОСІБНИКИ.
1. В о 12 а, О з к а г. Ьесімгез оп іЬе Саісиїиз оі уагіаііопз. СЬіса§о. 1904.
2. В о 12 а, О з к а г. Уогіезип^еп йЬег Уагіа1;іоп8гесЬпиіі£ іп 3 Ілеїегип-
£еп. Ьрг. ип<1. Вегііп. 2-іе Аий.
3. Р і с о п є. Согзо <1і апаїізі зирегіоге. Разсісоїо II; Саісоїо йеііе уагіа-
2іопі (ейі2. Шоет.) Саіапіа. 1922.
4. ВИ88, О. А. Саісиїиз о! уагіаиопз. СЬіса^о. 1925.
5. Р о г 8 у і Ь, А. К. ТЬе Саісиїиз о£ уагіаііопз. СатЬгісІ£Є. 1927.
6. Н а сі а т а г сі, І. Ьесопз 8иг їв Саісиі йез уагіаііопз. Тоте І, Рагіз. 1910.
7. Ооигзаі, Е. Соигз «Гапаїузе таіЬета^ие, Тоте III.
8. Кпезег, АйоИ. ЬепгЬисЬ сівг УагіаііопзгвсЬпип^ 2-іе АиЯаде.
Вгаип8сп^геі£. 1925.
9. ТопеШ. Роїкіатепй <1і Саісоїо йеііе уагіагіопі І—II. Во1о§па.
10. ^еіегзігазз, Кагі. МаіпетаіізсЬе Л¥егке, Вап<і VII Лгог1езип£Єп
йЬег Vагіа1;іоп8гесЬпип^. ВеагЬеііеі уоп Е. КоіЬе. 1927.
11. Єгоров, Д. Ф. Вариационное исчисление. Москва.
12. Г є р н є т, Н. Н. О простейшей задаче вариационного исяисления. С.П.Б

Історичний нарис.
Екстремальні питання завжди цікавили й мабуть і будуть
завжди цікавити людство. їх ми зустрічаємо вже в греків,
яким, напр., було відомо, що коло є лінія, що при даній
довжині охоплює найбільше поле. 1630 р. ОаШеі (1664 — 1642)
порівнює час сходу матеріяльної точки по дузі кола з
відповідним часом сходу по вписаних многокутниках і інших
лініях—зародок брахістохронної задачі. 1668 р. ИелИюп (1642—1727) в своїх
ггіпсіріа таіЬетаііса рЬіІ. паі. розглядав оборотове тіло, що
зустрічав найменший опір при русі в однорідній рідині в
напрямі осі обертання, припускаючи, що опір пропорційний до
квадрату швидкости. Ьислід був даний без доводу й тільки
порівнюючи недавно Вока встановив спосіб розв'язання (див.
ВіЬІіойїеса таіЬетаііса, XIII, р. 146; 1918) на підставі листа
1694 р. Ке^гіоп-а до Б. (дгедогу (див. також переклад Ргіпсіріа,
що його зробив акад. Олек. Мик. Крилов, у виданні Морського
Відомства Книга II, стор. 383—387).
Більш або менш систематичний розвиток теорії В. Ч.
починається з 1696 р., коли ІоЬапп ВегпоиШ (1667—] 748)
запропонував в Асіа егисіііогит задачу про брахістохрону (РгоЬІета
поуа, а<1 зоїиііопет сіциз таіЬетаіісі іпуііапіліг — „нова задача
до розв'язання якої запрошується математиків")- На виклик,
з'явилося розв'язання в РЬіІозорісаІ Ма^агіпе, що з нього
зразу впізнали Иечуіоп-а, як лева по пазурах (іапдиат
ех ип§ие іеопет). Інші розв'язки, крім самого автора та його
брата «ГасоЬ-а, дали ЬеіЬпііг, Ь'НоєрііаІ та інші.
Першу задачу ізопериметричну запропонував І. ВегпоиШ
(1654—1705) в Асіа егиаііогшп за 1701 р. (Апаїузіз тадпі рго-
Ьіешаііз ізорегітеігісі), при чім метода розв'язання дозволяє
ширші застосування, ніж те, що зробив І. В. для брахістохрони.
Еиіег (1707—1783) учень ІоЬ. ВегпоиШ обробляв методи
обох братів і у вельми зрозумілій формі виклав як їх досліди
так і свої власні (і744 р.). Особливо треба відзначити дифе-
ренційне рівнання, що тепер має його ім'я (це рівнання
помилково іноді називають Ьа§гап§е-овим). Еиіег ів спосіб, так
само як і братів ВегпоиШ значною мірою геометричний.
5

З 1762 р. з'являються блискучі досліди Ьа£гап§е-а (1736—
1813), що йому ми завдячуємо суто-аналітичні методи
розв'язувати варіяційні задачі. Ьа§гап§е-а треба вважати за
справжнього творця В. Ч., як наукової дисципліни. Його метода дав
змогу розв'язувати задачі найзагальнішого типу в механіці
та фізиці, не тільки при сталих межах, а й при змінних (умова
трансверсальности, зв'язаний екстремум другого роду, тощо).
Він запровадив символа і, що спричинився спочатку до
багатьох надій (з часом, одначе, вони не справдилися). Еиіег
дуже скоро засвоїв методу Ьа^гапде-а та його зазначення,
запропонував термінологію, іцо з неї ми користуємося й тепер*
Щх) — варіяція функції у(х), ЬІ (де / символ інтеґрала) —
варіяція інтеґрала / тощо. Відтоді теорія й дістала
назву В. Ч.
Питання про відміну шахіта від тіпіта вперше
поставив Ьаггапде (Лоуа ас*а егшііїогшп за 1772 р.) і Ьєйєшігє
(1752—1838) (Метоігез де ГАсасІетіе сіез 8сіепсев сіє гагіз).
Ще Ьа£гап£е (1815 р.) в своїй ТЬеогіе Лез їопсйопз апаїуй-
фіез завважив, що ознаки Ье£еп<1ге-а підлягають обмеженням
і правдиві тільки в окремих випадках. Ґрунтовне з'ясування
та взагальнення цього питання ми завдячуємо ^соЬі (1804—
1851), що встановив зв'язок між лінійним рівнанням, яке він
знайшов, і рівнанням Еиіег-а, та запровадив поняття про су-
пряжні точки (Сгеїіе'з «Іоигпаі за 1837 р. Т. XVII). Дані без
доводу висліди ^соЬі-єві з'ясували та коментували вчені:
Ьеіаипау, Незз, СІеЬзсЬ та інші.
Ще до ^соЬі варіяційне числення збагатилося на низку
праць Оаизз-а (1829) та Роіззоп-а (1833) про подвійні інтеґрали,
Остроградського (1835) про варіяції многократних інтеґралів.
8агпі8-а (1848) та інш.
До праць ^еіегз*га88-а (1815-1897), що утворили добу
в розвиткові В. Ч., в різних дослідах було багато неясного,
неточного й навіть помилкового. Він піддав суворій критиці
методи й висліди попередніх дослідників, дав нову (четверту)
конечну умову екстремуму, встановив поняття сильної
варіяції, а з допомогою поняття „поля44 дав критерій достатности.
Нарешті \Уеіегзігазз-ові ми завдячуємо розглядання задач В. Ч.
у параметричній формі.
Досліди \Уеіег84газ8-а стимулювали довгий ряд праць його
учнів і шанувателів, що доходять і до наших днів. Крім
8с1шаг2-а (мінімальні поверхні) тут треба відзначити: КоЬо-а,
Ні1Ьег*-а, ВоІ2-а, Кпезег-а, 2егте1о, Яайп-а, Віізз-а, Наіатагсі-а,
ТопеШ, МШіїетоге-а та ін. (Див. бібліографію Ьбсаі; в Епсу-
сІорМіе Лев Зсіепсез таіЬешаі^иез, II, 31).
6

Розділ перший.
НАЙПРОСТІША ЗАДАЧА В. Ч. ПЕРША В АРІЯ ЦІ Я.
Попередні відомості.
1. В диференціальнім численні задачу на МЖ. для
функції одного арґумента формулюється так: задано функцію
(суцільну) Д#) арґумента х; треба знайти таку вартість цього
останнього, х = а, що для нього приріст функції
Ґ(а + Ь)-№
при досить малих, абсолютною величиною, вартостях &,
зберігав знака (додатного для тіпіпшт, від'ємного для тахіпшт).
Якщо не тільки Д#), але й ?(х), ("(х) функції суцільні, то
потрібно, щоб х=а було коренем рівнання ?'{х) = 0. Якщо
при цім Г'(#)>0, то }(х) для х=а мав тіпітит; якщо ж
/"(я)<0, то тахітит. При ї"(а)=0 питання залишається
відкритим і треба вдаватися до похідних вищих порядків.
Інакше стоїть справа у В. Ч. Тут визначається не вартість
арґумента даної функції, а саму функцію, при чім умова, за
якої відбувається визначення, полягає звичайно в тім, що
якийсь інтеґрал під знаком якого входить невідома функція
(а також—може бути — й її арґумент, а також і похідні від
відшукуваної функції) повинен набувати екстремальної
вартосте (тобто тахітит або тіпітит) для відшукуваної
функції проти інших „суміжних" функцій, або „функцій
порівняння4" (див. далі). При цім можуть бути дані ще різні
додаткові умови („зв'язаний" екстремум). Якщо ж цих умов
немає, то мова йде про екстремум „вільний".
2. Передусім обізнаймося з одною, досить зручною
термінологією, що належить Воіга, авторові найпоширинішого
підручника В. Ч.
Нехай задано функцію ї(и,V...) одного або кількох арґу-
ментів: иУV)... Якщо в певнім обсягу вартостей цих арґумеитів
вона суцільна, то умовмося говорити, що функція* в цім об-
7

сягу в функція кляси О. Якщо не тільки сама функція, але
й всі її похідні частинні 1-го порядку суцільні, то будемо
казати, що вона в функція кляси С. Якщо, крім того, і всі
похідні 2-го порядку суцільні, то маємо функцію кляси С".
І т- д. Якщо обсяг вартостей арґументів суцільної функції
можна поділити на таке скінчене число частин, що в кожній
з них функція належить до кляси С, але, при переході
з одної частини в сусідню, принаймні одна з частинних
похідних вазнае розриву суцільности, маючи скінчену граничну
вартість, то кажемо, що функція /* належить до кляси В\
Подібно встановлюють поняття про функції кляси 2)" і т. д.
Нехай маємо дві функції від х кляси С
У(х); г{х)
на інтервалі змінности х від х = х0 до х = хг, (де #,>#о)>
або, як будемо коротко зазначати, на інтервалі {х0хг). Назвемо
ці функції „суміжними" або „сусідніми", якщо для всіх х на
інтервалі (««,): \8{х)-у{х)\<р
де р довільно фіксоване додатне число, тобто, якщо різниця:
%(х) — у{х), абсолютною своєю величиною, при зміні х від Хь
до хи залишається менша від довільно даного додатного числа.
Нарешті умовмося називати „відповідними" вартостями
двох функцій ті, що вони їх прибирають для одної й тої
самої вартости арґумента.
Звернімося тепер до формулювання найпростішої задачі В. Ч.
3. Нехай задано функцію і\хуу1) трьох арґументів: х,у,у'
кляси С" всередині будь-якого обсягу К цих арґументів,
і задано інтеґрала:
(1) П(хуу')ах
\ Нхуу1)
між даними сталими межами #0 і хг, де під у розуміємо якусь
функцію від х, а під у* її похідну. В дальшому ми
обмежимося припущенням, що у є функція кляси С. Треба
визначити у (х) так, щоб вона набувала заданих сталих вартостей
у0 = ґ(ХоУ> уі = ^(х1) на межах і щоб вищезгаданий інтеґрал
прибирав екстремальної вартости проти вартостей того самого
інтеґрала для функцій суміжних з у (я), тобто, щоб різниця
(2) Ґ1 Кх&) Лх — ГУ {хууГ) ах
зберігала знака для різних функцій г{х), суміжних з у (х):
(з) і*(*)-у(*)Кр
при зміні х від х0 до хх.
8

Така задача має назву „відносний екстремум". Якщо
згадана різниця, тобто приріст інтеґрала (і), при переході від
функції у(х) до функції гСг), зберігав знака й не став нулем,
то маємо „відносний екстремум у вузькому розумінні" або
„відносний властивий екстремум" (еі§епШсЬе8 Ехігетшп).
Якщо ж різниця (2), взагалі знака зберігав, але для деяких
г{х) може ставати нулем, то матимемо „відносний екстремум
у широкім розумінні, або „невластивий" (шіеі§епШсЬе8
Ехігетшп).
Шодо суміжних функцій, то, здебільша, ми будемо
припускати, що вони в також кляси &. Але в деяких випадках
ми розглядатимемо суміжні функції кляси В' і тоді під інте-
ґралом (1) в межах х0 і хх треба буде розуміти суму інтеґра-
лів, що з них кожний поширений лише на таку частину інтер-
вала (#0> %і\ всередині якої функція у (х) належить до
кляси С".
Якщо різниця (2) зберігав знака тільки за одної умови (3),
то такий екстремум за Кпезег-ом називатимемо „сильний"
(зіагк, іоті, 8ігоп£). Якщо, крім умови (3), повинна ще
справджуватися умова:
(4) {*(*)-ГҐ(*)\<Р
то відповідний екстремум називатимемо „слабкий" (зсІшасЬ,
&іЬ1е, чкгеак).
4. Значну частину цього курсу присвячено виводу, так
званих, конечних умов для існування екстремума (Еиіег-а,
Ье§еп<1ге-а, ^соЬі, ^еіегзігавз-а). З цією метою можна буде
обмежитися найпростішим припущенням щодо суміжних
функцій, а саме, що різниця:
2(Х)~У{Х)
шо її Ьа§гап§е зазначив символом
Ьу{х),
а Еиіег назвав варіяцівю функції у(х), має такий склад:
(5) 0—у = Ьу = г. г,(#)
Де ч (я) на інтервалі (ат0, хх) є довільна функція кляси С", або
# > а $ параметр, що не залежить від х, та набуває довільно
малих, абсолютною величиною, вартостей.
Увага І. Ще Ьа§гап£е розглядав варіяції трохи
загальнішого вигляду:
§г/ = о (х, $)
Де 8 параметр, що не залежить від #, а ю (х, $) для досить ма-

лих вартостей | є | і для всіх х на інтервалі (х0, хх) в функція
принаймні кляси С і крім того:
а>(#, 0)=0*); ш(а?0, е) = 0; §»(&,,*) = <)•
Увага П. Якщо <»(х,*) кляси (7, то варіяція буде**)
„слабка", якщо ж о> (х, є) належить тільки до кляси С, то
маємо варіяцію „сильну". \Уеіег8іга88 — перший вчений, що
встановив поняття сильної варіяції. За приклад сильної варіяції
може правити:
о ($, В) в $ 8ІП \ — (Х — Х0) (Хг — ХУ>
тим то функція ч (х) кляси С, але не <?', бо похідна від цієї
варіяції по х:
»*(*,*)= —ео8І±(х—х0)(х1-х)\{хо + Хі -
2х)
при досить малому |є|, може переступати яке попало задане
число.
Увага III. Виводячи достатні умови, ми не будемо
обмежуватися розгляданням варіяції такого простого вигляду як (5).
Геометрична Інтерпретація задачі.
5. Якщо х та. у розглядати як прямокутні декартові
координати, а у' як кутовий су чинник дотичної до кривої у = у(х)у
то задача про екстремум інте-
ґрала (1) зводиться на таку
(див. рис. 1). Задано дві
точки М(х0уо) і ІЇІХіУі) (при чім
#і>#о)« Треба між цими
точками повести таку криву МКИ
кляси (У (тобто ордината цієї
кривої в функція від х кляси
С на інтервалі (х0хг), що
криволінійний їнтеґрал:
Рис. і.
йх
*) Умову (і)(а?,0) = 0 можна замінити загальнішою Ііт со(а?, е) = 0
одностайно щодо х. • —* С
**) Тобто, якщо одночасно: Нт ю (х, ш) = О, Ііт ®х (х, є) = о.
б —»0 в—»0
10

взятий вдовж кривої Кії, матиме вартість не більшу (для
тіпітшп) або не меншу (для тахітит), ніж вартість цього
інтеґрала взятого вдовж будь-якої суміжної (сусідньої)
кривої МШ тої самої кляси С", абож кляси І)'. Різниця ординат
для якоїсь вартости х на інтервалі (а?о#і) на рисунку виобра-
жаеться відтинком ЬК. В найпростішім випадку:
ЬК = в. гі(х) = Ьу.
Для крайніх точок М та N функція г, (х) стає нулем, бо
суміжна крива переходить через ці точки: т{ (х0) = 0, і) (х}) = 0.
Якщо Г|(а?) в функція кляси С", то кут між дотичними в точці
К „екстремальної4* кривої МКІЇ і в точці Ь „околишньої*
кривої МШ повинен бути ввесь час (тобто при зміні х од х0 до хх)
як завгодно малий. Тільки таку варіяцію й розглядали автори-
попередники до ААГеіегзігазз-а. Нині їх за Кпезег-ом називають
„слабкими".
Далі, при розгляданні четвертої конечної умови (\Уеіег-
зігазз-а) в дослідження буде запроваджено „сильні" варіяції.
Основні леми В. Ч.
6. Перша лема. Якщо М$х) на інтервалі (#0#і)
в функція кляси С, якщо для будь-яких
функцій т)(я) кляси С, що стають нулем для х = х0 і
для х = хи повинен анулюватися інтеґрал
(6) 1 М(х)г{(х)йх х0^х^хг
то це можливо тільки в тім випадку, коли:
ДГ(#) = 0.
Ои Воіз Кеутошї довів цю лему так. Припустімо, що для
якоїсь вартости а? = £ на інтервалі (х^хх) м (£) ф 0. А що М (х)
кляси О, то навколо х = £ можна відмежувати настільки
малий інтервал (£ —Н, £+Л), де А>0, що він цілком лежатиме
всередині інтервала (х0хх) і що для всіх х на цім інтервалі
(2—Н, £+&) функція М(х) зберігатиме того самого знака,
якого вона має для х = 5. Доберімо тоді функцію і) (х) так:
і) і)(#)=о на інтервалах (х0,1—Н) та (£-}-Л, хх).
2) ц(а:)в(а?_$4-Л)2(л; — І— П)* на інтервалі (5-А, £+Л).
Таке припущення можливе, бо відповідав тим обмеженням,
її

що їх накладено в тексті леми на функцію ^(х). За теоремою
про середню вартість інтеґрала дістаємо:
М(х)г{{х)йх=М{х)\ їх -ї + Ь)Чх—1~пуах =
16
де ж число, проміжне між і — Н і £ + *• От^се наш інтеґрал
буде відмінний від нуля (маючи того самого знака що й М($))
супроти вимоги леми. А що $ є довільна вартість х на
інтервалі 0го#,), то висновуємо, що припущення: М(х) фо для будь-
якої вартости х на інтервалі (х0хг) неможливе, тобто конче
потрібно, щоб М(х) = 0.
Друга лема. Якщо на інтервалі (х0Хі) функція
М(х) КЛЯСИ С, ЯКЩО ДЛЯ буДЬ-ЯКИХ ФУНКЦІЙ Г,(#)
кляси С", що стають нулем при х = х0 та х = хи інтеґрал
(7) [ХіМ{х)гїІ(х)йх
анулюється, то це можливо тільки в тім випадку,
коли М(х) є величина стала.
А що
V \'(х)ах = тї (хг) — Г|(а?0) = 0,
то беручи під увагу, що інтеґрал (7) повинен ставати нулем
для всіх можливих функцій 7) (а;), ми можемо твердити, що
(8) [Хх\М(х) - А) V {х) йх=0
Лс0
яке б не було стале число А. Припустімо, що А в середня
вартість функції М(х) на інтервалі (х0Хі), тобто
За функцію т)(а) візьмемо функцію визначену так:
т) (х) = [Х{М{х) — А} ах.
Це можливо, бо очевидно щ (х0) = 0, а за (9) так само й г, (хі) = 0
Крім того вона є функція кляси С", бо її похідна: М(х) — А
за пропущенням, в кляси С.
12

Підставивши цю функцію ч(а?) у (8), дістанемо:
{М(х) — А}*ах = 0.
*/*0
що, очевидно, можливе тільки в тім випадку, коли М(х) = А.
З цих лем будемо користуватися не раз у дальшому
викладі.
Перша конечна умова Еиіег-а.
7. Припустімо, що якась функція у(х) кляси О екстре-
мізув інтеґрала:
ї(хуу')<іх.
Нехай у(х)^еті(х) буде суміжна функція, де г{{х) функція
кляси С9 що стає нулем для х — х^ і х = хг. Вартість
інтеґрала для суміжної функції буде:
г
ї{х9у-\-щ$у' + гг{)йх
Га?0
Приріст Д/ інтеґрала при переході від функції у (х) до
функції у(х)-{-щ(х) матиме вигляд:
(10) Д/= [*1{Г(х, у 4- «і, уГ + еУ)—{{хуу'} йх.
гхх
♦7*0
Для досить малих вартостей |е| цей приріст повинен
зберігати знака, які б не були функції г, (х) кляси С", що
анулюються для х = Хо і х = хг. Через те, що функція ї(хуу') за
нашим припущенням, належить до кляси <7", то, вживаючи
Тауіог-ової формули, дістанемо:
Де #3 залежить від похідних третього порядку, що в них
замість арґументів у та у' поставлені вартості проміжні між у
та у + щ9 між у' та у'+щ'. Тим то цілий приріст Д/
виглядатиме:
Де
(іі) ДІ= $1+ 4"Ьч+$3 Г^з (**)
2 М
13

(12) г*/=е« Г'іп'Л*Ш)+щ'ґ*(тї+ц*Ш*іпґ)}4»
^x0
і мають назву: Я—перша варіяція івтеґрала /, а ЬЧ—друга
варіяція.
Міркування, цілком подібне до того, з допомогою якого ми
встановляємо конечну умову екстремума в диференціяльному
численні, одразу покаже нам, що для того, щоб приріст М
зберігав знака потрібно, щоб:
8/= о; $4 > 0 (тіп.); ЬЧ < 0 (тах.).
Якщо інтеграл, що стоїть чинником при б в ІІ:
і
а?0
буде відмінний від нуля, то права частина в (11), при досить
малому є, матиме такого самого знака як і ЬІ і отже мінятиме
знака, якщо тільки змінить знака є. За 82/ мова йтиме далі.
Отже доходимо першої умови для існування екстремума інте-
ґрала:
(із) Г{ч/;+ч7л}*'-о.
Цього інтеґрала можна перетворити двома способами.
Перший спосіб перетворення *).
8. Припустімо, що екстремізна функція у (х) в функція
кляси &. Застосовуючи частинну інтеґрацію, дістанемо:
І \;{у, ох = \ %.агі=г/у, '— І г,.-^/-у..(їх.
Але
Г|(а?0) = о, т,(а?і) = 0
і тим то інтеґрала у (13) можна переписати у такому
вигляді
\(*){ЇЛХУУ') — -и^Г* (*№')) й***0-
і
сіх
«о
З огляду на припущення щодо функцій г,(#) та І(хуу%
вираз, що стоїть під знаком цього інтеґрала, є функція суцільна.
Тим то ми маємо право скористатися з першої леми й отже
*) Належить Ляґранжеві (див. його листа до Еиікег-а з 12/УІЦ 1755 р.)
14

доходимо наступної першої конечної умови для існування
екстремума.
(И) Г, (т1) - -§? Гу Ш) - 0 (Еиіег).
Ця умова може бути записана у вигляді оцього
диференціального рівнання другого порядку:
(15) Гу'у'іхуїїії'+Гу'уіху^у'+ГіґхШЧ-ІЛтї^о,
що його вперше знайшов Еиіег р. 1744 і яке помилково іноді
називають рівнанням Ьа§гап§е-овим *).
Ми бачимо отже, що відшукувану функцію, яка екстремі-
зув інтеґрала І, треба шукати серед інтеґралів рівнання <Д5),
якщо ця функція належить до кляси Сг. Повний інтеґрал
цього рівнання повинен містити дві довільні сталі: а, р
що. визначаються з граничних умов
Уо = ?(а?0а?); Уі = ^(х^).
Питання щодо інтеґрації рівнання (15) розглядятимемо далі.
Другий спосіб перетворення**).
9. В першому способі припускалося, що відшукувана
функція у (х) в кляси С", тобто — виражаючи це геометрично —
екстремізна крива мав суцільну кривину. Цим, звичайно, ми
звужуємо обсяг тих функцій, що здатні екстремізувати нашого
інтеґрала /. Існують, напр., так звані коробові криві, що в них
напрям дотичної міняється суцільно, але в такі точки, де ра-
діюс кривини мав стрибка. Якщо на відшукувану функцію
у(х) не накладати обмеження належати до кляси <7', то
переведеної вище частинної інтеґрації робити не можна.
Обмежмося ширшим припущенням, що ця функція в кляса (У і
переведімо разом з чР. <1и Воіз Кеутопсі-ом частинну інтеґрацію
першого додатника під знаком інтеґрала в (13):
(\ . ч. &>- (%. а\ |*/,.&Л-| ч(я) Г/;. ах\*1—
*) Рівнання (15) знаходимо в одному з листів Еиіег-а до Ьа£гап£в-а
(Оеиугез йе Ьа£гап£в, V. X. р. 397).
**) Би Воів Ееутопа (МаіЬет. Аті. XV, 1879).
15

але
*і(#о) = 0, *і(яі) = 0,
тим то:
І/, гї.ах=—\\\х)\\(,.ах\йх
після чого умова (13) перепишеться так:
(13)' Г%' (х) {/•„ (а^') — Г/, (а^') йг і (Ь = 0.
При зроблених припущеннях щодо 1{хуу% вираз, що стоїть
у дужках { }, в функція суцільна; можна застосувати другу
основну лему й ми доходимо конечної умови екстремума
в оцьому новому вигляді:
Об) (Уі (хуу1) - (*/; (хуу') ах+А
де А стала, що являє собою середню вартість функції:
1*(*УУ9)—\ ІАхУУ')ах
на інтервалі (х0хг). А що права частина в (16) в очевидно
функція кляси & (бо в неї існує суцільна похідна по х, а
саме (у(хуу% то й ліва частина в (16) в також суцільна
функція від х, похідна від якої повинна дорівнювати ГУ(хуу'), тобто:
-^ЇуЛхуу')=ЇЛхуу1)>
а це є не що інше, як Еиіег-ове рівнання. Отож ми маємо
право сказати, щой кожна розв'язка простішої
задачі В. Ч. кляси С (а не тільки С") повинна
справджувати Еиіег-ове рівнання.
НіІЬегі-ова увага щодо кривини екстремалі.
10. З тої обставини, що функція іу^хууі) має суцільну
похідну по х, НіІЬегІ зробив висновок*), що відшукувана
функція у(х) для всіх тих вартостей х, що для них
їуіу> (хуу1) ф о, повинна мати й другу похідну по х суцільну,
тобто бути функцією кляси С".
*) В своїх лекціях. Те саме можна знайти у \ШМетоге-а. Аттаїз оі
МаіЬ. (2), V. 11, 1901 р. стор. 132.
16

Нехай у = ер (х) відшукувана функція кдяси С", при чім на
інтервалі (х0хг):
(17) ІУ,у,{х, ер (ж), ?'(я))фо.
Зазначімо:
<р(#+й) — о(х) = к; у'іх+Н) — <р'(#) = і
тоді, за теоремою скінчених приростів:
ГУ,(х + П, <р+*, ер' 4^) —/*'(*<Р<р') -й^(^ + ЄА, <р + 6*, <р' 4-*0 +
+ */**(•••) + %'*'(•••)
звідки, з огляду на умову (17);
— /до ( ... ) ^-/у'у ( • • • ) }
де в дужках стоять арґументи:
я + ЄЛ, У4-в*і ф'+М; в>^
А що функція (уі (л?(р<рО мав похідну /*, (здоО і через те, що
к_
Н
к
1іт-г- = ер'(#); &—»0
а за умовою (17)
Ііт Гуу (х + 6&, ер 4- Ьк, ?' + 60 = іуіу* (афр') ф О
й->0
і функції іУіх, іуіу є суцільні, то права частина (18) дляЛ-^о
має своєю границею:
Г** И?') 1/у (^° ~ ^{ХП§) ~ Г<*(Ж<Р<р/))
а тому й ліва частина матиме ту саму границю.
Але
Ііт -і- Ііт *'(«+»>-?'(«> . „{х)
отож функція <р"(#) існує і, з огляду на умову (17), є
функція суцільна.
Інтеграція Еиіег-ового рівнання.
11. Базуючись на клясичній теоремі СаисЬу, ми можемо
твердити, що, п р и н а я в н о с т и у м о в и (17), рівнанням Еиіег-а
визначається єдина інтеґральна функція у (х) кляси С, що
пРоф. в. Я. Букревв-2. 17

разом зі своєю пофдною у'(х) для даної вартости х, прибирав
наперед задані довільно вартості, аби ці останні не
суперечили зробленому на початку припущенню, що 1(хуу') є кляси
&" в якомусь обсягу 91 арґументів: х, у, у'. Це випливав з того,
що рівнання (15) можна заступити системою рівнань першого
порядку щодо двох відшукуваних функцій у і з від х:
де праві частини, а також їх похідні по у та по є в функції
суцільні. Якщо отже
в повний інтеґрал рівнання (15), то прп даних вартостях х, у, у'
з обсягу Зі система:
<р(аюр) = у; <р'(жар) = у'
(де (р'=-^-) повинна розв'язуватися щодо а і р, тим то якобіян
(і»)
а
повинен бути відмінний від нуля. Ця обставина стане нам
у пригоді далі при вивченні Якобіввої умови.
Може трапитися, що рівнання (15) переходить у тотожність.
Залишаючи цей виключний випадок збоку, зупинімося на
двох інших випадках, найважливіших для застосувань, коли
можна знайти перший інтеґрал.
Перший випадок. Функція ї{хуу') не містить у, тим то
/у = 0. Рівнання (14) зводиться на таке:
Звідки знаходимо перший інтеґрал:
(20) /Иа^-С.
Нова інтеґрація впровадить, крім С, другу довільну сталу,
і ми дістанемо повний інтеґрал.
Другий випадок. Функція не мав в собі х. В такім
випадку:
18

А що <Іу = у'<Іх, а з (14) маємо /, = —/у, то:
аґ(уу')=у'. -^Гу. &Ч-Л*. ау' = а(у'ґу>)
Звідки, по інтеґрації, дістаємо перший інтеґрал
(21) Ґ=У'Ґу> + а.
ПРИКЛАДИ.
12. Найкоротша віддаль між двома точками
(х0уо) та {ххух), де а?!>а?о.
Питання зводиться до мінімізації інтеґрала
^x0
Підінтеґральна функція не мав ні х, ні у. Еиіег-ове рівнання
буде:
у" = 0
а Його повний інтеґрал:
Сталі інтеґрації а і р визначаються з системи:
а*о + Р = Уо; 00?! + ? = ^.
Відшукувана екстремаля в:
іа поверхня оберта
визначити криву, в
щ ., ___ „ точки (х0уо) і (я?і^і), я
ішній половині площі (уо>0, #,>0; #і>#0) та
поїдав ту властивість, що поле поверхні витворе-
« ої обертанням відповідної дуги навколо осі
абсцис буде тіпітит.
Питання очевидно, зводиться до мінімізації інтеґрала:
2*[ХіуУі + у'*<Іх
Підінтеґральна функція не мав в собі х, тим то першу інте-
ґрацію рівнання Еиіег-ового зробимо за формулою (21)
19

тобто в нашім випадку:
„ уу'2
або
Для наступної інтеґрації впровадьмо нову змінну за
формулою
У = аг; у' = аг'
і перший інтеґрал набував вигляду
Дат _ <7#
звідки, по інтеґрації:
1§(0+І^^гт) = ^=і
де р в нова стала інтеґрації. Отже
а? —р ж—Р
^4-Кі^гГ=в а ; г — Уїї~-=\ = е
Додаючи ці рівності та повертаючись до початкової змінної у
дістанемо рівнання екстремальної кривої:
або
а? —р х—Е\
1 / а і а )
у = — а[е +е )
(22) у = асП—^-
(сН — символ гіперболічного косинуса). Чи буде крива (22)
мінімізувати інтеґрала, чи ні, і за яких обставин, за це мова
йтиме далі.
Увага: Крива, виображена рівнанням (22), є, так звана,
ланцюгова лінія, по якій розташовується в стані рівноваги
важка однорідна нитка, закріплена в своїх кінцях А і В (див.
рис. 2). Легко збагнути, що вона знаходитиметься в
прямовисній площі, яка переходить через А та Б. Розгляньмо сили,
що діють на якийсь елемент <!$ нитки:
і) вага елемента рйз, якщо р є щільність, тобто вага по-
довжинної одиниці довжини, величина стала; 2) натяг Г,, що
залежить від куска нитки від А до розглядуваного елемента;
нехай він творить з віссю абсцис кут у; 3) натяг Т2, що
залежить від частини нитки, яка йде від розглядуваного еле-
20

мента до точки В завісу; він утворює з віссю х кут <р + <%
Для рівноваги потрібно, щоб сума складників на кожну вісь
дорівнювала нулеві. А що поземий складник ваги дорівнює
нулеві, то висновуємо, що по-
земі складники натягів
повинні бути рівні та мати
противні знаки:
Г1С0894-Г2С08((р + Й<р)= 0.
Зазначімо через Т аритме-
тичну вартість цього позе-
мого складника. Щодо
прямовисних складників, то для
натягу Т2 він він буде
напрямлений в сторону
додатних ординат, а для натягу Тг Рис. 2.
в сторону від'ємних і
дорівнюватиме:— Ї4§ср. Якщо покладемо і§ф = ^/ то, відкидаючи
малі вищих ступенів, можем прийняти: Ь^(^ + Ф^)^у' + Лу^.
Сума складників повинна дорівнювати нулеві, тобто
звідки:
або:
Т. (у' + ау') — Т у' — ?<І8 = 0
ТсРу' = рсіз
^¥=_ ах
Уі+у'*- т
де т = (27:р)>0.. Інтеґрація, подібна до попередньої, дасть:
сс+с х+ск
*-4{. - -
де с довільна стала. Інтегруючи та зазначаючи через с' нову
сталу дістанемо:
х+с х+с.
У + с>
рівнання, що відрізняється від (22) тільки положенням по-
чатка координат і зазначеннями.
14. Брахістохрона. (ІоЬаші ВегпоиШ, 1696). Треба
визначити криву, що переходить через дві дані
точки, по якій повинна падати важка точка так,
щоб час падання був тіпітит. Для спрощення при-
21

Рис. а.
пустімо, що рух відбувається в порожняві (немає опору
середовища) і що крива гладка (немає тертя).
Очевидно, що рух відбуватиметься на прямовисній площі,
що переходить через початкове та кінцеве положення. На-
пряммо вісь ординат у на цій
—^л площі прямовисно донизу, вісь
абсцис поземо. Зазначімо че-
рез &0 початкову швидкість
(рис. 3) в точці М. Через т
масу точки, через а віддаль
по кривій, на яку вона
пересунулась від 1Г, знаходячись
в якійсь точці Р (х, у) своєї
дороги за час і. Сила ваги
дорівнює тд (д — прискорення
сили ваги). Єдина сила, що
діє на нашу матеріальну
точку в напрямі свого руху (тоб-
ник на дотичну: щ він Ь якщо™ їутТтич^ Я&УЖ"
цис. З другого боку, тогі самого Плідника"якці навчає ме-"
ханіка, можна написати в оцій формі: ш% Отже рівнання
руху (по скороченні на т):
Але зіпт = ^. Помножаючи ліву частину на 2§-<й,аправу
на 24$, дістанемо
(<І8 \2
-ОТ/ =*(*99)
і по інтеґрації:
Сталу а, визначаємо з початкової умови: у = у0, і> =
і тоді одержимо: «*-**+*
<23) (4)-*<*-*>
%
22

де, для скорочення, покладено:
(24) Уо-^дVо2 = їс.
Із (23) знаходимо час падання:
1
(,5) т=-±=[Хіу}±ї:
Угд )щ Уу-к
Ось якого інтеґрала треба мінімізувати. Під знаком інтеґрала
немає х і тому перший інтеґрал Еиіег-ового рівнання, за
формулою (21) напишеться:
Уі+у'*ї у'*
г г ТУ = ч , + созпі.
Уу-к У\+у'*Уу-ь
або:
(26) (у-*) (і+ *'*)-2а
(а стала інтеґрації). Виберімо за арґумент кут ф дотичної до
кривої з віссю абсцис, так що і£Ф»у'; тоді з (26) дістанемо:
у — к = 2а соз2 ф
або
(27) у — Л = а(1-|-соз2ф)
Звідки:
йу = — 2«зіп2фйф = у'(1х = і§ф . (&г
отже:
сіх = — 4а С082 фйф = — 2а (1 -|- С08 2ф) гіф
а по інтеґрації
(28) х = (І — а (2ф + зіп 2ф).
Система (27), (28) дав рівнання відшукуваної кривої в
параметричній формі.
Увага: Відшукувана крива є циклоїда. Якщо замість ф
впровадимо новий параметр о> за формулою:
(о = іг — 2ф
то дістанемо:
# = р —аіг + а(а>— 8іпа>)
у=ік-\-а(1 — С08 0>)
дкість г;0 = 0, а точк;
при (5 = а* дістанемс
х = а(а>— 8Іп<о); у = а(1—созш).
Якщо початкова швидкість г;0 = 0, а точку М взято за початок
координат, то к = 0; при {І = а* дістанемо:
23

Елементарна форма рівнання циклоїди, витворюваної коченням
кола радігоса а, при чім а> кут поверту.
З (25) бачимо, що у не
♦« може бути менше ніж к, от-
й = 2асо8ф.
жеа>0, бо у-
А що а? повинно
то $!><0, бо
зростати,
йх = — 4а С082 $й ф.
При
Ф — -^-^ У-К х = $ ~ т;
приф = 0^ = *+2а, х=$
(див. рис. 4). .
Рис 4. До цієї задачі ми ще
повернемося нижче (§ 40).
15. Балістична задача (в порожняві). Розгляньмо
рух матеріяльної точки маси т, кинутої з початку координат
під якимсь кутом <р до позему, з початковою швидкістю г>0.
Якщо вісь ординат у напрямлена прямоїшсно вгору, то
рівнання руху будуть
гі2# . &у
аь*
ар
де д є прискорення сили ваги. По першій інреґрації
дістанемо складники швидкости
йх
аь
= і?0 сов о;
&У__
йі
— ю0$т<ї—дІ.
Інтеґруючи знову та. зазначаючи через V швидкість в довільний
момент, дістанемо інтеґрал живих сил:
А що ми маємо справу з консервативною системою, то, на
підставі принципу найменшої дії, інтеґрал (асііо):
Г шойв
вдовж фактичної дороги між початковим і кінцевим
положеннями, повинен набувати екстремума. Тим то розгляньмо
питання за екстремум інтеґрала
т
(Х\ __
У2д\ УЬ — уУі+у"*ах;у<к
^ о
24

де зазначено:
*-•*«*•
Підінтеґральна функція не містить у собі арґумента х, а тому
перший інтеґрал Еиіег-ового рівнання буде:
або
Ь-у = ПЦі-\-у'*).
(Тг = сопзі)
Нова інтеґрація (а — нова стала інтеґрації:) дасть:
х — а = — 2Л Ук — А2 — у
Зазначивши: Ь—2й2 = ($, одержимо остаточне рівнання
траєкторії:
(29) (х-ау + (у-№ = (к-у)*.
Це є параболя з фокусом у точці (а, Р) і директрисою у = к.
За умовою у = о при х — 09 отже
а2-}-р = &*.
Звідки висновуємо, що геометричним місцем фокусів різних
параболів, які переходять через початок координат під
різними кутами ф до позему, буде правити коло радіюса Тс з
осередком на початку координат.
Нижче, в зв'язку з Лкобіевою умовою, ми розглянемо різні
подробиці, що стосуються цієї
задачі; там буде наведено та-
кож відповідного рисунка.
16. Центральні
орбіти. Розгляньмо задачу того
самого порядку, що й
попередня. Припустімо (див. рис. 5),
що осередок притягання,
центральна маса (сонце)
знаходиться на початку координат,
площа руху взята за площу
хоу. Масу матеріяльної точки
візьмімо за одиницю. Нехай
в початковий момент віддаль
матеріяльної точки від
осередку дорівнює В, а кут
дотичної до орбіти з віссю абсцис дорівнює р, початкова
швидкість Vо. Зазначімо для довільного моменту часу через (х, у)
Рис. 5.
25

декартові, а через (г, <р) полярні координати мат. точки. Окрім
того засвоймо зазначення:
и
Рівнання руху, як відомо, будуть
й2х ух &у \щ_
Ш2 ~ ~г*~; <ІР ~ г*
де )і стала притягання* Звідси добре знаним способом
одержимо інтеґрал полів:
(ЗО) т2 ^ — П {Ь = сопзі;)
та інтеґрал живих сил:
(31) -&_«.=* (*-■¥—«•»)
Згідно з принципом найменшої дії:
Г тхнів = Міпіт.
Розгляньмо питання за екстремум інтеґрала
, йи 1 .
де и = -г-; ** =— відшукувана екстремізуюча функція від <р.
Підінтеґральна функція не залежить від арґумента <р, а тому
одразу можна написати перший інтеґрал Еиіег-ового рівнання:
(32) у2р.и—к = П ]ґи*+и'*
Увага: Стала інтеґрації Н, що сюди входить, така сама,
як в інтеґралі полів (зо). Переконуємося в цьому так. З (Зі)
маємо V2 = 2]іи—* і тому (32) перепишеться у вигляді:
„_,Л/—4-—г'* = ——-—--^-
*-п у г2-г гіг Г2 а<9 — Г2 • аі
бо й8 = Vді. По скороченні на г>, дістанемо (ЗО), що й треба
було показати.
Розділяючи в (33) змінні та інтеґруючи, дійдемо повного
інтеґрала:
(33) и = -^|і+е.соз(9-а)}
26

(34) аР_ і__Л
Рівнання (33) являв собою канонічну форму конічного
перерізу з ексцентриситетом є. З нього висновуємо, що орбітою
буде:
еліпса, якщо. . ^о<-іег тобто &>0
гіперболя, якщо - > „ „ &<0
параболя, „ „ = „ „ & = 0
Увага: При 4>0 потрібно ще переконатися, що е<і.
Для цього визначмо Ь через початкові умови. Скористуймося
з формули:
ь аг
де а) кут радіюса-вектора з дотичною. Але йг = й8 . созш,
Г2<Іу = 11(ІІ, 0ТЖЄГ81П0> = —, бО ^^-ЗТ"
Тим то:
бо в початковий момент V = V^У т^Е. Тепер легко показати
що коли * = ~— VI,2 > 0, то —г < і, тобто }і2 — Ш > 0.
Справді
Д2 _ ДО = ^2 _ #2^2 8ІП2 £ ^ _^ = ^ _ Кщ2 вЩу +
+ К%* ВІГІ* $ СОВ2 $.
Звідки сказане стає очевидне. Нижче, в зв'язку з Якобі-
ввою умовою, ми зупинимося докладніше на випадку
еліптичного руху.
17. Геодезичні лінії на псевдосфері *). Псевдо-
сферою називають поверхню витворювану обертанням так
званої подовжинної лінії (трактриси) навколо її асимптоти. Основна
властивість трактриси полягав в тім, що відтинок дотичної
до неї—від точки дотику до точки зустрічі з асимптотою —
зберігав постійну величину. Якщо за параметр візьмемо кут
*) Шевдосферичні поверхні знайшов ВеИгаті. Він показав, що на цих
поверхнях можна конкретизувати пляніметрію Лобачевського (неевклідову).
27

між згаданим відтинком та асимптотою, то рівнання трактриси
в параметричній формі буде (див. рис. 6)
1 п
і = а8іпи; г = а(со$ю+І£і§ —м); -^-<юО
бо:
<і2 = соІ%и . йІ*=а . сови . соі£^ . йи
* = а(со8и + І£і§ —ю) + соп8і; якщо 2 = 0, и=~п
& 2
ОТЖе С0П8І = 0.
Рис. 6.
Рис. 7.
Щоб написати рівнання псевдосфери (див. рис. 7)
впровадьмо кут площі довільного мерндіяна з координатною
площею хз:
х = а . віпи . С08V
у = а . віп и . 8іп V
зг = а (С08 и +І£ Щ -5- и).
Лінійний елемент а$ поверхні вираховуємо за формулою.
а$2 = ах2 + йу2 + <&2 = я2(соі§2и.йФ-\-8Іп2ю* 6ю2)
Встановімо взаємно - однозначну відповідність між точками
псевдосфери (щ V), і точками площі (2, г,) за формулами:
* = **=ШЇ
V = $; ю = агс8іп—
— гс<ю<іг; О<0<2я; 0<$^2я; г,>і
28

тоді точкам поверхні (г>0) однозначно відповідатимуть точки
смуги 9 на площі ($, щ) і навпаки (див. рис. 8). А що ей) =
= — со*§2 иЛщ а$ = (IV, то в
координатах $, г, елемент
поверхні йз визначиться:
<&* =
а2
_(і+7)'')^
Довжина дуги між
будь-якими двома точками А і В
псевдосфери буде:
(35) а[%У^£^а\
де $0 і $і абсциси тих точок
смуги 2, що відповідають
точкам А і В псевдосфери.
А що підінтеґральна
функція не містить у собі арґу-
мента то перший інтеграл Еиіег-ового рівнання напишеться:
ч
1 л
0 і
гТі
с ._. Щ-Ц
Риса
■-Кі+ч»-*'. ,Л ,А
чКі+ч'а Р
(р = С0П8І)
або
чКГ+?5-».
(а — сопзі)
Розділімо змінні й знову зінтеґруймо:
і повний інтеґрал буде:
(36) (5_в)»+ч«-р
тобто коло з осередком на осі $. А що через дві якісь точки
смуги ^ можна повести лише одну дугу кола з осередком на
осі $, то висновуємо, що через дві точки на псевдосфері
переходить тільки одна єдина лінія здатна екстремізувати
інтеграла (35). Нижче ми побачимо, що вона справді мінімізує
інтеґрала (35) й легко було б показати, що вона являє собою
геодезичну лінію псевдосфери, тобто випростувальна площа
в площа дотична до поверхні. Отож на псевдосфері існує
лінія, цілком визначувана двома своїми точками — точна
аналогія простої на звичайній евклідовій площі.
29

18. Ие^іоп-ова задача. Треба визначити оборо-
тове тіло, що, при руху в однорідному середовищі
в напрямі осі обертання, зустрічав тіпітит опору,
при чім береться під увагу тільки нормальне
тиснення, яке, припускаємо, пропорціональне
до квадрата швидкости руху, сама ж швидкість
в стала.
Щоб утворити мінімізуваний інтеґрал, завважмо спочатку
таке. Якщо плоска платівка з полем а рухається в середовищі,
що його щільність р, в напрямі до неї нормальнім, з
постійною швидкістю V, то, за Ньютоновим припущенням, опір
визначиться формулою:
К. р . о . V2
де К сучинник пропорціональности (в Ньютона, для того
середовища, що він його розглядав, 1Г=ОД)35). Якщо платівка
рухається в напрямі, який ^
творить кут <р (див. рис. 9) 3А
з нормалею, то розкладаючи Т
тиснення на нормалю та на
дотичну й нехтуючи склад-
Рис. 9. Рис. 10.
ника на дотичній (тертя), дістанемо для опору вдовж нормалі:
К.р.о (гсоз<р)2
а опір у напрямі самого руху:
К . р . с . (і;со8<р)2 соз<р
Нехай <& елемент невідомого, відшукуваного, меридіяна (рис. 10)
і вісь обертання взято за вісь абсцис. Якщо « кут йв з віссю
абсцис, то
1 ,
а = ~2~я — 91 *?а=У'; С08<р*=$іпа = у' : у1-{-у'*
зо

Уявімо собі, що відшукуване тіло обертання (див. рис. її)
розбите на нескінчене число нескінчено тоненьких шарів
площами нормальними до осі обертання.
Поверхня кожного такого шару в по- . ^
верхня зрізаного стіжка. Бічні твірні
цього стіжка утворюватимуть той
самий кут з віссю абсцис. Сумуючи
тиснення окремих платівок, що творять
бічну поверхню стіжка, дістанемо:
БІГро2. а • С08*9 = Кр*)2соз89 • 2*
але бічна поверхня елементарного
зрізаного стіжка, як відомо дорівнює:
* Рис. 11.
і ми для елементарного опору, що
припадав на долю розглядуваного нескінчено тонкого шару,
одержимо вираз:
2пК$хі*. у . соа39 • Л.
А що
а$ = Уі+у'*ах, со89 = у' :Уі + У'2,
то дістанемо:
2яіГр02
УУ*
йх
1 + У'2
Отож питання зводиться на мінімізацію інтеґрала
(37)
(* уу'г
йх
де х0, *\ відповідають крайнім перерізам оборотового тіла.
Зі складу підінтеґрального виразу висновуємо про існування
першого інтеґрала Еиіег-ова рівнання:
1=У'їу< — 2с
(с— стала інтеґрації), що зводиться до:
(38)
А що
Але
у1 = йу : йх, то йх — йу :
31

отже
(—З
і тому
Інтеґруючи та зазначаючи через с' нову довільну сталу,
дістанемо:
(39) х^ + е^^+^+Ьї)
Отож рівнання шуканого меридіяну представляється
системою (38) і (39), при чім у' відограе ролю параметра. Для
дійсної кривої ми повинні мати у1 > 0, бо в (39) у'
входить під знак логаритма. Але тоді (38) показує, що с>0 (бо
у>0 за припущенням).
Щоб вивчити форму кривої, треба знайти вираз для -т-|.
Зазначаючи для зручности у' через г, обчисляємо:
-§|~у(і+*)<«,-»>; -&~7<1+*И,'-,>
і тоді
а*у _ /?а?<Яу— йуй2х з*
1Ї& ~ Ох* — с(1+^)(^2—3)
З усіх цих формул висновуємо, що для 0 а 4- V 3~>так # як
і у мають мінімум. При з >-}-КІТ обидві похідні-р і -^
додатні, тобто х та у зростають одночасно із я. А що -т-у >0
для тих самих вартостей я, то одержимо криву обернену в бік
додатних ординат своєю вгнутістю. При меншанні з від |/Т" до
.. . йх йгі , . . ,
нуля, похідні -=-, -*- обидві від'ємні, отже координати х та у
зростатимуть. Для #2 < 3 похідна -^ від'ємна, дістанемо
галузь кривої обернену в бік додатних ординат своєю
опуклістю.
32

Ье£еп<1ге-ова умова показує, що з цих двох галузей треба
зупинитися на тій, що обернена в бік додатних ординат своєю
опуклістю (* = #'< КІТ) *).
Увага. Дослід та спостереження показали, що тертя не
можна нехтувати, воно бо часто буває більше, ніж тиснення
по нормалі. Досліди англійського морського відомства
виявили, шо для нищителів (<1е8ігоуег8) опір тертя при
швидкості 12 вузлів доходить 80% загального опору, а при
швидкості 20 вузлів — 50и/0. Для крейсерів відповідні цифри: 90°/0
і 80%.
ПРИКЛАДИ ДЛЯ ВПРАВ.
1. Знайти рівнання екстремалей, якщо підінтеґральна
функція і(хуу') має вигляд:
Ї=ху* — Вуу'г.
2. Те саме для:
3. Для:
/•= ауг -|- ЬЬуу1 + су'2; (а, Ь,е—сталі).
4. Для:
ґ=УТУі+у'2; у>о.
Ь. Для:
6. Для:
7. Для:
8. Для:
*} Справді:
Ґ** = 2уу'(Ь-у*):(1 + уЧ)*
А що у>0; #' = з>0, то для тіпітит повинно мати 3 — у'2>0.
Г=уУі-у*; у>о; \у'\<і.
Відповідь: у = $ — -£а(х — а)г.
Відповідь: (окв+р).(оу+Р) + 1 = 0.
Проф. Е. Я. Букревв—3.
33

Розділ другий.
ДРУГА ВАРІЯЦІЯ. УМОВИ ЬЕСЕШКЕ-А та МСОВІ.
Друга варіяція та її різні форми.
19. Ми розглянули тільки першу конечну умову §7=0 для
існування екстремума. Припустімо, що нам відомий інтеґрал
Еиіег-ового рівнання, що в ньому довільні сталі а та р
визначені так, як цього вимагають умови на границях:
у = <ї(х)
так, що
Уо = ?(#о); Уі = 9ІР^і)
приріст (її) інтеґрала перейде в:
(11) Д7= 4"8^+«* Г Дзй*
де
*2І - «• [*'{ П%9 (Х99О + 244'/^ (*<РФ') + *)'%,„, (хф')} А»
Запровадьмо зазначення
(40) /*п*?<р')=Р(*); /*И*?<р') = <гИ; /*Ия?ф')=Я(*)
тоді:
(41) ЬЧ= є2 р(Лі* + 20г,г,' + Дг,'*) &с.
Знак приросту А7 залежатиме від знака другої варіяції 8*7*
Для існування напр. тіпітит'у треба, щоб:
(42) оа7^0
для будь-яких функцій г,(#) кляси С, що анулюються на
границях.
Перетворімо другу варіяцію (41).
34

Перша форма ^асоЬі). Зазначімо підінтеґрапьну
функцію в (41) через 20:
Рг,2 + 2фгл' + Яг,'* = 20.
А що вона однорідна щодо г^ і V, то за Еиіег-овою теоремою
маємо:
тобто
Тим то другу варіацію можна представити у вигляді:
Г,(чвч+ч'вп/
що цілком подібний до того, в якому була представлена перша
варіяція (див. 7 та 8). Міркуючи цілком так само, як і з
першою варіацією, одержимо:
або, через те, що
в^Лі + фі'; ^^>^ = ^^^ + I^^{
то
(44) 82/= б2 рЧ {(Р — <?') г, — (Яг/)'} Д*.
Друга форма. Звертаючи увагу на склад підінтеґраль-
ного виразу в (44), розгляньмо диференційне рівнання
(45) (Р—<?')*-(£*')' = О
або
(46) &Г+РУ + (<?' — Р) * = 0 ОІасоЬі)
що мав назву рівнання ДасоЬі й далі відограватиме вельми
важливу ролю*). Припустімо, що це рівнання посідав інте-
*) Сам Ьв£еп<іге перетворив другу варіяцію так. Нехай го(х) функція
кляси С на інтервалі (х0, хх). В такому випадкові інтеґрал:
§ІЬЩ' <Іх = 0.
Додаючи цього інтеґрала до (41), дістанемо:
ЬЧ= є* {Хі{{Р + п<) чр + 2 (<? + і?) гм' + Кгі'*} Ох
35

тобто
ґрал суцільний на інтервалі (г0, хх\ що не стає нулем для
жадної вартости х належній цьому інтервалові.
Увага. Чи існує такий інтеґрал чи ні й за яких умов,
про це мова буде далі.
Перепишімо підінтеґральний вираз в (44) так:
або, через те що з(х) є інтеґрал рівнання (45):
що своєю чергою, з огляду на очевидні рівності
можна переписати так:
Л.|(Ч2^у_(#л,0,1
Вважаючи на це, другу варіяцію (44) перепишемо:
А ЩО т, (х0) = г, (а^) = 0, то
Доберімо го (х) так, щоб вираз у дужках {...} перетворився на повний
квадрат:
(<? + и>)2 = (Р.+ ю'). В
дістанемо рівнання типу Шссаїї для визначення го. Якщо воно посідав
інтеґрал кляси С, то другу варіяцію можна буде написати в такім
вигляді:
ЬЧ=е* Г'Д(У+ <? + %)*(&?.
^Х0 В
Звідки Ьедепаге і зробив висновок про конечність В (х) ф 0. ЛасоЬі
впровадив підставлення: (($ + го): В=.—г': з і показав, що тоді рівнання Кіссаіі
переходить в (46).

або остаточно:
ву.Ир^К4'*
Г=£2Г-
(47) 8«/= еМ ^Г' ' <*я
Третя форма. Інтеґруючи частинами другого додатника
в (41), дістанемо
ргдчч'лв = Г1 (? й (т,2) = - (%2. <?'. ах
Зх0 о х0 Ох о
в наслідок чого (41) перейде в:
(48) 82/= з* р{ (Р— (Г)^-}-Яг/2 ) <&?.
Ье£Єіи1ге-ова умова (1786 р.).
20. Кожна з поданих форм дав привід зробити той чи той
висновок.
З форми (44) ^соЬі висновив, що коли його рівнання (45)
мав суцільний інтеґрал, який анулюється для будь-яких
вартостей х на інтервалі {х0} хх), то екстремума немає. Нехай ці
вартості будуть х = а> х = Ь, (г>>а). Доберімо функцію т^х)
так, щоб вона дорівнювала інтеґралові рівнання (45) на
інтервалі (а, і), а на решті ініервала (х0, хг) була б сталою
величиною рівною нулеві*).
Очевидно, що для такої функції друга варіяція (44) стала б
нулем. Одначе, звідси ще не можна висновити, що
екстремума немає. Можна було б лише сказати, що в такім
випадкові друга варіяція питання не розв'язує. Треба було б
продовжити розвивання приросту Д/ і розглядати третю варіяцію
§37 і четверту 84/, змінивши відповідно початкове припущення
щодо функції Цхуу*). Коли б для вищезгаданої функції і) (ж),
виявилося, що ЬЧф 0, то висновок ЛсоЬі був би правдивий.
Але, коли ЬЧфО> то треба вдатися до ЬЧ**).
Друга форма (47) наводить на думку, що питання про
знак другої варіяції зв'язане з питанням про знак функції
В(х). Справді, визначник, що його квадрат входить під знак
*) Така функція належала б до кляси І)', бо для х = а і для а?:=Ь
похідна V (х) переривалася б. Але можна, методою так званого заокруглення
(АЬгшісІші£) замінити цю функцію іншою функцією з кляси С". Про це
скажемо далі (§ 32).
•*) Питання це вивчав Егйтапп: ЗсЬІбтіїсЬ'з 2еШюЬгЩ, XXII (1877)
та інші.
37

інтеґрала (47), не може стати нулем на всім інтервалі (#0#і).
Якби це й трапилося, то:
де С стала. Але таке співвідношення неможливе, за
припущенням (зробленим при виводі форми (47)), що функція г
відмінна від нуля для всіх х, починаючи з х0 і кінчаючи хи
тим часом і)(#) повинна анулюватися як для х = х0$ так і
для х = хг.
Якщо отже В (х) зберігав знака на інтервалі (х0хг), то і ЬЧ
зберігатиме того самого знака й можна буде рахувати на
існування екстремума.
Увага. Ми не розглядаємо випадка, коли В(х) на
інтервалі мав корені.
Конечна умова Ь-е § є п <1 г е-о в а — зберігання знака
функції В(х) на інтервалі (#0#і) — дуясе просто доводиться з
допомогою третьої форми (48). Припустімо, що функція у від х
мінімізує інтеґрал І, але що в принаймні одна вартість х = 1
на інтервалі (х0хг), що для неї В(х) буде від'ємна
і?(5)<0,
А що В(х) функція суцільна, то навколо х = $ повинен
існувати такий, хоч і дуже малий, інтервал (2 — К, £ + *)> Де А > °>
що для всіх вартостей х на цім інтервалі В(х) буде від'ємна.
Доберімо тепер функцію г{(х) кляси І)' так:
гі(х) = 0, х0^х*^$ — А
гі(х) = 8іїі--г-(х — 5 +А)пі:; $ — А^#^5-|-Л
де п натуральне число, що є в нашім розпорядженні. В
такому випадкові (48) перетвориться на:
ЬЧ = є* ІННІ (Р— #)ч* + 2йГ*}л&
Де:
Г|(л)=8ІП-^(#— І + Ь)ПК
і отже:
38

За теоремою про середню вартість інтеґрала матимемо:
$,
1+Н В (х)гі'*(х)(1х= 4г В (І) п2*2
6—К 4А
І соз -=- {(х — $+Л)піс V (йг =
через те, що
• = зіп г1—-— = О
Число § проміжне між 2-й та £ -{- А.
Отже:
Але очевидно (функції бо Р і </ суцільні), що:
тобто величина скінчена. Тим то при досить великім п, знак
ЬЧ буде такий самий як знак В ($), тобто від'ємний, а це
суперечить припущенню, що функція у мінімізує інтеґрал.
Властивості інтегралів однорідного лінійного рівнання
2-го порядку.
21. Залишається вивчити умови, за яких ^соЬі-єве
рівнання посідає інтеґрал, відмінний від нуля для всіх
вартостей х$ починаючи від х0 і кінчаючи хх. Якщо В(х) зберігає
знака й не стає нулем на інтервалі, то рівнання (46) можна
переписати так:
(49) 0» + І^г'+(®-Р) 0 = 0.
Тут сучинники: В':В і ($' - Р): В — функції кляси О на
інтервалі (#о#і> Всі інтеґрали цього рівнання будуть функції
суцільні на тім самім інтервалі.
Зазначімо через и (х) і V (х) два інтеґрали рівнання (49)
лінійно незалежні (тобто вони не різняться один від одного
тільки сталим чинником). Тоді

Помножаючи першу рівність на г>, а другу на и і віднімаючи,
дістаємо
В1
иіґ—и"ю + -з- № — яЧО = О
к
або, через тещо и і і; лінійно незалежні й отже: ш/—и'юфа
иії' — и"ю . В' Л
ш —и^ ' В
Помножаючи на йх та інтеґругочи, дістанемо
(50) (иії — и^)В=С
де стала С не може бути нулем. З цього співвідношення
дістанемо низку вислідів:
і. На інтервалі суцільности су чинників рівнання (49) два
лінійно незалежні інтеґрали не можуть мати
одинакові корені.
2. Кожний корінь інтеґрала простий, тобто
напр. и{х) і ії(х) не можуть одночасно
анулюватися.
3. Між двома послідовними коренями одного
інтеґрала, напр., и(х), лежить корінь —і при тім
тільки один —всякого іншого інтеґрала у(х),
лінійно незалежного від и(х) (Штурм).
Щоб це довести» згадаймо, що всяка функція кляси (7,
безпосередньо перед анулюванням мав зі своєю похідною
протилежні знаки, а зараз же по анулюванні — знаки однакові.
Нехай х = а, х = Ь два послідовні корені (&>а) інтеґрала
и(х) на інтервалі (х0хі). Підставляючи в (50) один раз х = а,
а другий раз х = Ь дістанемо
— В(а)и'{а)V{а) = —В(Ь)и' (Ь)V(Ь).
Але, напр., для тіпітит'у, В (а) > О, Б (6) > 0; числа ж и' (а)
і и' (Ь) протилежних знаків, отже V{а) і ьф) також мають
протилежні знаки. Але функція *>(#) суцільна з простими
коренями, отже між а і Ь лежить корінь інтеґрала ю{х). Але
лежить тільки один корінь, через те що коли б між а і Ь лежало
два корені інтеґрала V (л), то, вважаючи на щойно доведену
властивість, на тім самім інтервалі повинен був би лежати
корінь інтеґрала и(х), а це неможливо, бо за припущенням,
а і Ь два послідовні корені інтеґралаи(х).
40

Зв'язок між рівняннями Еиіег-а та ЛасоЬі (1837 р.).
22. Для дальшого треба обізнатися з цікавою теоремою
^соЬі, яка показує, що для інтеґрації рівнання ^соЬі досить
знати повний інтеґрал Еиіег-ового рівнання.
Нехай цей повний інтеґрал буде
У = ?(*«(*)•
Щодо функції <р(#ар), то ми маємо право припустити, що ер
і <рх належать до кляси С в певному обсягу арґументів х, а, (З,
при чім щодо х, припустімо, що цей обсяг трохи ширший,
ніж від х0 до хг і охоплює інтервал (Х0, Хх), де
Х0<ягв<»і<^і.
В такім випадкові підінтеґральна функція ї{хуу') напевно
буде кляси С в цьому поширеному обсязі, якщо тільки
різниці х0—Х0, Х\—хх будуть досить малі.
Припустімо також, що Ье£еп<іге-ова умова для тіпітшп'у:
2Є(#)>0
справджується. В наслідок суцільности В(х) можна припу*
скати, що ця нерівність правдива £а всім інтервалі (Х0Хх).
Зробивши ці припущення, підставмо в Еиіег-ове рівнання
(у (хуу')—-^ ГУі {хуу*) = о
замість у та у' їх вартості з повного інтеґрала у = <р (#а(3).
Дістанемо тотожність:
/И*??')-^М*??') = о
Диференціюючи цю тотожність по параметру а, одержимо:
їуу С*Р?') ?« + МЯП*) <Ра— -^ і {**(*&')?«+ (** (ХП*) 4>'а } = °
Підставмо*)замість аір вартості, відповідні умовам на
границях: у о = <р (#о«Р); у і — ? (хха$) і зазначімо функцію **) сра (х) від
х через г.
Дістанемо:
Рг + (у — (ф+му = о
*) Див. початок § 19.
**) Через 9а(ж) ми зазначаємо <ра(а?ар), де а і р мають вартості,
визначувані з умов на границях. Подібно щодо <р* (х).
41

тобто ^соЬі-еве рівнання. Того самого висліду дійдемо,
диференціюючи по р. Отже частинні похідні від повного
інтеґрала у=<?(#оф) по довільних сталих а і (5 в
частинні інтеґрали ОасоЬі-ввого рівнання. Якщо
тепер згадаємо сказане в § її, то легко пересвідчимося, що
згадані допіру частинні інтеґрали ^соЬі, загалом кажучи, лінійно
незалежні й тому нам буде відомий і повний інтеграл цього
рівнання. Справді Якобіян (19):
I ?'« ?'р |
повинен бути відмінний від нуля, бо у = у(х*$) в повний інте-
ґрал Еиіег-ового рівнання. Але цей визначник можна
розглядати так само як і Вронскіян для функцій <ра {х) і <рр (х), отже
ці останні між собою лінійно незалежні. Виняток може бути
лише для якихось виключних вартостей сталих а і (5,
визначуваних з умов:
тобто для виключного положення точок (х0} у о) і (хі9 у і).
Конечна умова ЛасоЬі для екстремуму.
23. Якщо знайдені частинні, лінійно незалежні, інтеґрали
рівнання ^соЬі зазначимо через #і і я2:
*1 = <Ра(#); *2 = ?(*(*)
то повний інтеґрал цього рівнання буде:
8 = 0\гх -\- С2я2
де Ох і С2 довільні сталі. Це дав нам змогу втворити
інтеґрал, що мав корінь в будь-якій точці інтервала (ХоХг),
наприклад, в точці х — х0. Для цього досить підпорядкувати
Сх і С2 умові:
Сі21(х0)+С2г2{Хо) = 0
і отже, до довільної сталої, жаданий інтеґрал буде утворено.
Умовмося зазначити його через Д (х, х0):
0 = Д(аг,я?о); Д(*0,#о) = 0.
Дальший хід цівї функції вже упризначений. Може
трапитися, що при зростанні х од х = хо ця функція вже більше
42

ставати нулем не буде. Але припустімо обернене й нехай
х = х0' буде найближчий за х0 корінь інтеґрала Д(#, х0):
Д(#о>#о) = 0
А(х,х0)фО; х0<х<х0'
Д(^о'>^о) = 0; х0'<Хг.
Вартість х = а$о назвімо супряженоюз# = а?0* При чім може
бути два випадки.
Перший випадок. Нехай х0' не перевищує вищої
границі я,: зь'^хг.
В такім випадку, з огляду на 8ідігт-ову теорему (§ 21) будь-
який інтеґрал рівнання <ТасоЬі матиме кореня на інтервалі
(#о,#і), перетворення (47) другої варіяції буде неможливе.
Вище було з'ясовано, що в цьому випадкові друга варіяція
може бути зроблена рівна з нулем і екстремума, загалом
кажучи, НЄ буде (ЯКЩО ЬЧфО ДЛЯ ТОЇ фуНКЦІЇ Г|(#), ЩО ДЛЯ
неї 82/ дорівнює нулеві).
Другий випадок. Нехай х0' перевищує хг:
Зазначімо через х2 якусь вартість проміжну між хх і х0
і утворімо інтеґрал, що має корінь для х = х2:
* — Цх9 х2).
Легко збагнути, що в такім випадкові цей інтеґрал не матиме
коренів на всім замкненім інтервалі (х^хг). Справді якби це
трапилося, то, з огляду на 81дігт-ову теорему, будь-який
інтеґрал рівнання, між іншим і інтеґрал Д(#, х0) — повинен
був би мати корінь між х0 і х2, що неможливо, бо
найближчий за #0 корінь Хо інтеґрала Д(#, х0) перевищує хг. Ось цей
інтеґрал Д(#, х2) і можна взяти за функцію я, що входить
під знак другої варіяції (47). В такім випадку якщо умова
Ье£еп<1ге-ова справджується:
В(х)>0 (тіпіт.); В(#)<0 (тахіт.),
то друга варіяція ЬЧ зберігатиме знака (і це ставатиме
нулем) для всіляких функцій і) (х) кляси С", що анулюються на
границях.
^соЬі, а за ним і інші математики, вважали, що за таких
умов має місце екстремум, аж поки ^еіегеігазз (1879 р.) не
показав, що такий вислід помилковий. Умова ^соЬі-єва:
Хо > хх ОІасоЬі)
є конечна, але,як побачимо далі,недостатня для існування
екстремума.
43

Увага. Покажімо, що коли Хо<хи то другу варіацію
при додержанні умови В(х)>0 — можна зробити не тільки
рівною з нулем, але навіть від'ємною (\Уеіегзі;га88).
Розгляньмо два інтеґрали, лінійно незалежні, рівнання ^соЬі.
и = Д (х, хо); V = Д (х> х2)
де х2 вартість ху проміжна між х0' і хг.
Різниця: и — V також буде інтеґрал рівнання ЛсоЬі і за
8іигт-овою теоремою, ставатиме нулем для якоїсь вартости
х = хг між х0 і х0'. Доберімо тепер функцію г, (х) в (41) так:
г\(х) = и\ а?о<#^#з
Г| (X) =^, Хг^Х^Х2
їі(а?)=0; х2^х^хг.
Вона належатиме до кляси І)'. Крива (див. рис. 12):
у = ті{х)
матиме дві кутові точки: для х = хь і х = х2. Для х = хг
через те, що інтеґрал и — V9
маючи кореня х = а?я, не
може анулюватися одної
т і часно зі своєю похідною:
ії— і/ і через те
ії(хг)фії{Хг).
Для вартости ж х = х%
похідна Vі (х2) також
повинна бути відмінна від нуля, тим часом як щ' (х) = 0 на
інтервалі від х2 до хг.
Вирахуймо тепер ЬЧ для вказаної вище функції г4 (х).
Доведеться її розбити на дві частини: від х0 до хь та від хг до х2.
Третя частина, що стосується до інтервалу (х2хг) стане
нулем, бо там і)(#) = 0. Дістанемо:
ІЧ=& (*(Ри* + 20ииГ+Вії*)&є + ** {Х*№*+2<2ж'+В#*)(Іх.
Перший інтеґрал можна перетворити за допомогою клясично-
інтеґрації частинами:
Рис. 12.
(Ри2 + <2ии') ах + (фи + Ви') йи = «?и + Ви9) и
+
+ Г«*|Ри + <?и' — (<?и + Ви')'\ах = { ^(ж,)»(а?8) +
44

г
бо и (х) інтеґрал рівнання ^соЬі, що стає нулем при х = х0*
Подібно дістанемо:
(РгЯ+ 20т/+ Вії*)сІх = (Оо + В*)ь *' =
= —{ <2(хь)Нхь) + В(хг)ії(Хь) }г;(#8)
Отже, через те що: и(хг) = у(хг)
ЬЧ=е2В(хь){ и(хь) ії (хг)—*> (#з) *>'(*з)) =
= е*В (хг) | ії (хь) V (а?3) — и (хь) і/ (а?8) }
або, з огляду на співвідношення (50):
ЬЧ= б2 В (х2) | ії (х2) V {х2) — и {х2) г/ (х2) |
Але V(x2) = 0, отже остаточно
82/— - г2и (х2) ії(х2)В(х2) •
А що інтеґрал ь(х) з коренем х = х2 кизначений лише до
сталого чинника, якого довільно можна брати й додатним і
від'ємним, то висновуємо, що й друга варіяція ЬгІ, довільно може
бути як додатною так і від'ємною. Якщо інтеґрал и(х)
доберемо так, щоб и (х) > 0 на інтервалі (х0х0')9 а вартість х2
досить близько до Хо, то будемо мати: и(х2)<09 ії(х2)<0;
В(х)>0 (тіпіт.) і отже Й2/<0.
Отож умова X* > хг є справді конечна.
Геометричне значіння умови ЛасоЬі.
24. Припустімо, що Ье^епйге-ова умова В (х) > о для тіпі-
тит справджується й що
у = ф (ха$).
є загальний інтеґрал рівнання Еиіег-а. Зазначімо через <*0, ($о
вартості сталих, визначені з умов на границях: у0=<р(х0а$),
ух = у(хга$). Розгляньмо в'язку екстремалів, що переходять
через початкову точку:
Визначаючи з другого співвідношення одну сталу, напр. ($
через другу а (треба пам'ятати, що <ра і <рр лінійно незалежні)
і вставляючи в перше співвідношення, дістанемо громаду
екстремалів
У = <Н*> «); Уо = <К#о> «)
45

з одним параметром а. За ^соЬі-євою теоремою, частинна
похідна фа являв собою інтеґрал рівнання ^соЬі. Ми маємо:
<»/(^а)=<р(#,а, р)
де р визначена з у(*оа$) = Уо через а. Тим то
Фа (*> «) = <Рсс (Я«Р) + ?р (»Р) Ра
отже
Підставляючи сюди а = а0, р = р0, дістанемо (див. § 23).
тобто
і отже Ф»(£6> ао) — 0. Якщо хо є ближчий, що йде за х0,
корінь інтеграла фа (ж, а0), то ясно, що х0' буде абсциса точки,
що в ній екстремаля у = $(х$ а0) торкнеться обгортки системи
або в'язки екстремалів, які переходять через початкову точку
(*оУо)> бо з диференцій-
ного числення відомо, що
рівнання обгортки
представляються (в
параметричному вигляді)
системою:
у = $(х, а); $а(х,а) = 0.
На рисунку із для
екстремалі МК точка АГ,
су пряжена з Му лежить
за верхньою границею N.
Для екстремалі МЬ, що
сполучає М і Ии точка
Мі, супряжена з М, ле-
Для першої екстремалі
Рис. 13.
жить перед верхньою границею #і . .
умова ^соЬі справджується, а для другої ні"
ПРИКЛАДИ.
25. Найкоротша віддаль між двома точками
(хоУо) і (ЯіУі)- Рівнання в'язки екстремалів (в цьому випадкові,
простих ліній) через початкову точку (х0у0) буде:
у — Уо=а(х—х0).
46

Точок х0' супряжених з х0 не існує, обгортки немає. Умова
ЛасоЬі-ева виконується.
26. Найменша поверхня обертання. Повнвй інте-
ґрал Еиіег-ового рівнання (22) являв собою ланцюгову лінію:
(22)
Покладімо:
(5І)
^ = « •<*(«)
Яо-Р
■Т» Уо = «сАтг
де •( новий параметр. Визначаючи а і р через т.
(52)
■^■> >-*"
Уо
І
і встановляючи в (22), дістанемо рівнання в'язки ланцюгових
ліній, що переходять через початкову точку М(х0у0):
(53)
»-#л(* + І*—->*0
А що сЬ суцільна функція для всіх скінчених вартостей арґу-
мента, яка змінюється від +1 ^
до Н-оо, якщо М лежить (ми
це припустімо) на верхній пів-
площі, у0>0, то й всі точки
ланцюгової лінії (03)
знаходитимуться на тій самій півплощі.
З (22) видно, що ((}, а) є
координати вершка Р ланцюгової лінії
(рис. 14).
Систему (51) можна
розглядати як параметричну форму
рівнання геометричного місця
вершків різних ланцюгових
ліній, що переходять через точку
М(хоу0). Замінюючи зазначення
р і а звичайними х і у, дістанемо рівнання цього місця:
(а>>°)
Рис. 14.
(54)
х=*х0 — у
V
І
(Ж? '
У =
Уо
Коли 171 необмежено зростає, то у наближається до нуля, а
х до г0, тобто дістанемо точку зустрічі ординати точки М(х0у0)
з віссю абсцис. Двом вартостям т, рівним, але протилежним
знаками, відповідають точки симетрично розташовані щодо

згаданої вдойно ординати. При меншанні |т| від +°° Д° нуля,
різниця | х — х01 спочатку зростав, досягав певного тахітит,—
а потому спадав, наближаючись до нуля. Справді:
Для і визначуваного умовою
сУщ = т . $Л?, дістанемо крайні
точки кривої (54), найвіддаленіші від
ординати точки АГ*). Крива мав
форму овалу, при чім ордината
точки М в вісь симетрії (рис. 15).
В декартових координатах рів-
нання цього овалу напишеться
(54)
Уо
-**<?г)
Щоб визначити обгортку в'язки (53) ланцюгових ліній,
шукаємо похідну уг:
Уо
де:
<65> *--&** (1+£<*--«.)*0 ^
сНи. 8Ьгі
Ч + — (х — х0)сПі.
Уо
її можна представити в такім вигляді:
у о. 8ки . вЬгі [ ,,
або
(56) уг
х — р
= У'УоУо'[х-
сП2ч \ а
сік
а \ а а /|
Дв
Уо
/<*У'
)._.-«*'-*-
8^.
\ йх / ж=гг0
Припустімо, що початкова точка М(х0у0) знаходиться на
додільній гілці ланцюгової лінії, отож у0>0, у0'<0. Похідна
у* = $Ііи може ставати нулем лише в вершку ланцюгової, але,
як видно з (55), там уг не дорівнює нулеві (при т Ф 0). Звідси
*) Розглядаючи перетин кривих: у=—-; у — їїьх знайдемо, що
а? = =Ь1,2 (з точністю до 4 десятитисячних).
48

висновуємо, шо абсцису супряженої точки знайдемо з умови:
(57) <^-**•=*-(*=1-с»*=*)=0.
Ьіпсіеібї дав геометричне тлумачення цеї умови. Напишімо
рівнання дотичних до ланцюгової лінії в початковій точці
У—Уо=*у'0(Х—#о)
і в супряженій точці М'у що її абсциса визначається з (57):
У— у = у'(Х-х).
Абсциси точок зустрічі цих дотичних з віссю абсцис будуть:
Уо а У о.
і умова (57) каже, що ці точки збігаються: якщо з точки
зустрічі дотичної в М(х0уо) з віссю абсцис
поведемо другу дотичну до ланцюгової, то вона до-
тикне цю останню в
точці супряженій з
М(х0у0) (див. рис. 16).
Коли б початкова точка
була на догірній гілці, то
в бік ростучих абсцис у
неї не було б супряженої
точки. Умову ^соЬі-вву
отже буде виконано, якщо
верхня границя ІУ(#іУі)
знаходиться між М і Ж.
Повстав питання, чи можна й
скільки повести ланцюго- Рис. іб.
вих ліній між двома
даними точками М(х0Уо) та Щ#іУі)* Очевидно, що це
питання рівноважне з питанням про визначення точок зустрічі
овалів, що відповідають цим точкам:
(58) Уо = У^П^~^\ Уі=у. сЬ^~^
де:
хі>х0; Уі>0.
Щоб визначити у, виключмо звідси х.
Завваживши, що:
Х\ — Хь Х\ — х а?о—х
У~~~У У~
Проф. В. Я. Бувреев—4.
49

знаходимо, беручи під увагу (58) і застосовуючи теорему до*
давання:
і#1 #С і#1 Ф 1 Хл — X
У
У
,а?, — х0 %у<?Уіг л , Х\—х «х0 — х
2УоУг • 0П^^^^ф^-2У,у^8П^— . Л -^—
звідси:
(59) у» . вк* (Р^) ~ 2у0Уі • СП (^~-°) +Уо2+Уі2 = 0.
Зазначімо ліву частину цього рівнання через Р(у), і вивчимо
її зміни при зміні у від +оодо нуля (див. рис. 17). При
скінчених, відмінних від нуля, вартостях у вона, очевидно
Рис. 17.
скінчена. Коли у необмежено зростає, вона наближається до
додатної границі: (хг— #о)2-Н#і — У о)2* При нескінчено
малому додатному у вона більша від усякого даного додатного
числа. Щоб міркувати про хід функції для о <у<+.°°
розгляньмо похідну:
гад--» (*=*){»•*(*=*)-
-<*,-*„)сл(ї^)+(*,-*„> Мі}
50

Очевидно її 8нак залежить від знака виразу, що стоїть у
фігурних дужках. Замінюючи $к і сїь їх розвиненнями за Мас-
Ьаигіп-ом і залишаючи поза увагою додатний чинник:
2(хг-х0).8к (^~^°),
У
дістанемо, по.зведенні подібних членів:
(60)
/ УоУг Ц /а?і—а?0\2 4 /а?| — х0у
\ іхг—х^ 3 | \ у ) 5! V у )
1\\ у )
звідки зразу бачимо, що коли:
УоУі ^ 1
{хг — хо)* ^ З '
то 1"(|/)<о і тому початкова функція Р{у), при спаданні у
від +со до о, буде весь час зростати від {хг—х0)2-\-(Уі— Уо)*
до +со, рівнання (59) не матиме дійсних коренів, між
точками М{хцуь) і Н(хгуг) не можна повести жодної дійсної
ланцюгової лінії.
Але нехай , УоУі х2 >-^-* З (60) видно в такому випад-
кові, що для досить великих вартостей у похідна І* (у) буде
додатна. Одначе, вона стане від'ємною для у визначуваного з
рівнання:
УоУ,
(Хх—Хо)2
^ З б! V у )
отже для якоїсь вартости у, що перевищує корінь цього
рівнання, Р(у) повинна була анулюватися, міняючи (при
спаданні у) знака + на —.В цей момент початкова функція
Г(у) повинна була пройти через тіпітшп (див. рис. 17).
1. Якщо цей тіпітшп додатний, то дійсних коренів
рівнання (59) не матиме, дійсних ланцюгових ліній між точками
(х0Уо) і (Х\Уі) повести не можна.
2. Якщо цей тіпіпшт від'ємний, то рівнання (59) матиме
два дійсні додатні корені: через (х0уг) і {х^) переходять дві
дійсні ланцюгові лінії.
3. Якщо вказаний тіпітшп дорівнює нулеві, рівнання (59)
буде мати подвійний дійсний корінь, дві ланцюгові лінії
припадуть одна до одної. Овали (58) дотикатимуть один одного.
51

А що кутові сучинники дотичних до овалів (58)
визначаються 3 рІБНОСТеЙ
сіН
Хо —X
Хл
•X
1
У
У
V
., Хл—X Х«%—X
1
то для випадку з
ми повинні мати:
дотикання овалів для
У ' У
точки (х, у) дотику
Х\ —X
— сік
Х\
-X
\Хр—X
І У
•сік
х0 — х
У
= 0
звідки, порівнюючи з (56),
висновуємо, що точка
(х, у) знаходиться на
обгортці.
У випадкові 1. Точка
(хгуі) є зовні або поза
обгорткою.
У випадкові 2. Точка
(#іУі) лежить усередині
обгортки.
Випадок 2 (див.
рисунок 18).
З двох ланцюгових
МШЩ тьМВМ^
умові ЛасоЬі відповідає
тільки перша, на другій бо
точка Мі супряжена з
М, знаходиться між
границями М і N.
Щодо умови Ье§еп<1ге-ової, то для тіпітит'у вона
справджується, бо
Г = уУТ+^; /^-—і^
Тут радикал додатний й у > 0, через те що ланцюгова не
перетинає осі абсцис.
Увага: Якщо х0' = хи то, досліджуючи Ь*І можна
показати, що екстремума не буде, $3І>о.
27. Параболічний рух. Вище (§ 15) ми знайшли рів-
нання екстремалів у вигляді
(29) {х-а)*+(у — № = (к-у)*.
Фокуси всіх цих параболь, що переходять — за умовою
—через початок координат, лежать на колі
(29)' а2 + £2 = *2-
52

Щоб дослідити умову ІасоЬі, розгляньмо обгортку
громади (29).
Диференціюючи (29) і (29)' по а і р, дістанемо:
(х— а)Оа + (у — р)<гр = 0
Звідки
(61)
х — а, у—?
= 0 або $х—ау — 0,
а це показує, що проста, яка сполучав початок координат
(0,0) з фокусом (а, (і) переходить через точку, що в ній
відповідна параболя дотикав обгортки. Щоб знайти рівнання цеї
останньої виключаємо а і р з (29), (29)' та (61); дістанемо:
(62) ж*-|-у2 = (2& — у)К
З (61) маємо:
*—а_У-Р = + У(х — «)Ч^-№
тобто
х — а_у — $ _^ к—у
а ~ р ""- А: •
Звідки для верхнього знака дістанемо:
кх
Р—оІІ
ку
2к — у у г гк — у
Вставляючи ці вартості в (29)',
знайдемо (62).
Якщо ж узяти нижній знак,
то дістанемо х «* о, у = 0, тобто
початок координат, що й
зрозуміло, бо всі параболі
переходять через початок
координат. Обгортка (62) являє
також параболю, що її фокус
на початку координат, а
напрямна буде у = 2к. На (рис. 19)
виображені обидві параболі
громади (29): фокус одної в
точці Д, Другої в /*2- Про-
ста 0/,, зустрічає першу
параболю ООгРг В ТОЧЦІ 0і, ШО
в ній вона дотикає обгортку ХЮАф. Аналогічно, в точці 02
параболя 002Рг дотикає тої самої обгортки. Обидві параболі
53
Рис. 19.

перетинаються (крім початка координат) в точці М. Окрім
того ОІ) = Ш = к; VI) Ц Ох; ЕЕ \\ Ох.
Точки Оі і 02 є супряжені з початком координат на
відповідних параболях. Умова ЗасоЬі показує, що з двох
параболічних шляхів, які переходять через О та М, перший, тобто
ООгМ не може надавати інтеґралові екстремума, через те, що
між початковою точкою О шляху та кінцевою М лежить су-
пряжена точка Ог. Екстремум можливий лише на другім
шляху ОМ, на якому супряжена точка 02 лежить за верхньою
границею, тобто за точкою М. Якби вимагалося повести ек-
стремалю через точки (р,о) та (хг, уг), то треба було б з (29)
і (29)' визначити координати (ар) фокуса (замінивши,
звичайно, в (29) х та у на хг та уг). Виконуючи викладку,
дістанемо, напр. для а:
2(Хі* + Уі2)*=**Уі + Хг*±»і К(2* —Уі)1 —І^ + Уі1)
Склад підрадикального виразу показує, що коли точка (хиуг)
лежить по той самий бік від обгортки, що й початок
координат, то через (о,о) та (хг,ух) можна повести дві різні дійсні
параболі (бо тоді підрадикальний вираз додатний), коли ж
з протилежного боку, тобто поза обгорткою, то немає жодної
дійсної параболі, що сполучає (о, о) та (хи уі). Якщо {х%9ух)
лежить на самій обгортці, то обидві параболі збігаються.
Перевіримо ще умову Ье£еп<1ге-а. А що
Гу<у> = Ук=у:(1+У'2Уи
Тут радикали зі знаком +, умова тіпітшп'у справджується.
Увага: Розглянений випадок стосується до порожняви.
Якщо взяти під увагу опір середовища (що його вважають
звичайно за пропорційний до квадрату швидкости), то
формули ускладняються й хоча питання зводиться до квадратур,
проте одержувані при цім функції не можуть бути виражені
через елементарні. Доводиться користуватися з наближених
формул, або з графічного способу. По подробиці відсилаємо
читача до спеціяльних курсів балістики.
28. Планетний рух. В § 16 ми одержали центральну
орбіту (33). Щоб розглянути умову ^соЬі, зупинімося на
випадкові еліптичного руху. Уперед завважмо, що велика вісь
не залежить від напряму руху в початковий момент. Справді,
диференціюючи (33) по <р і виключаючи <р, дістанемо:
54

або, зважаючи на те, що
к
2ц
Н
(£)'+*-*-
V,?
»02 (*)
1 2{і
А2 Ь*В
<2ш
А що для перигелія та афелія т— = 0, то для визначення
маємо квадратове рівняння:
а 2|1 . 2|*
І«|
Л2
Якщо через а зазначимо велику піввісь, та корені цього
рівняння повинні бути:
1 :а(1
звідки висновуємо, що
•є); і:а(і + е)
або, з огляду на (X)
а{\—е*) = —
— = —
а В
і сказане стає очевидним.
Розгляньмо обгортку еліпс, що переходять через початкове
положення: х = В9 у = 0, а один з фокусів мають в осередку
притягання. Остання
формула показує, що велика
вісь всіх цих еліпс не
залежить від кута,
витворюваного дотичними до них у
початковій точці Р(В,о) з
віссю абсцис. Звідси
—подібно до параболічного
руху — буде випливати, що
за геометричне місце
другого фокуса правитиме коло
радіюсу 2а — В, описане з
початкової точки Р{В, о) як
із осередку (рис. 20),
Нехай М(#, у) довільна точка еліпси, що її другий фокус
знаходиться в Г. Зазначімо кут < РРх через <р. А що фокус
Рис. 20.
55

Р мав координати: В-\-(2а — В\ созср, (2а— і?)зіп<р, то рів-
нання еліпси (геометричного місця точки М) напишеться
(63) Ух* + у*+У{х — В — (2а — Д)С08<р}* +
+ {у — (2а— іг)8іп<р}а=2а
або
V х*+У*+УД— 2(2а—В){(х—5)соз(р + ^8іпс?}= 2а
де:
^ = (а; —іг)2 + ^ + (2а —ії)2.
Щоб одержати обгортку, диференціюємо по <р- Дістаємо:
(64) у соз <р = (я — і?) зіп (р.
Звідки
ЗІП? _ СОЗСр _ 1 _(#—Д)С08(р + у8ІП<р
—у х—л~±Уу2+(х-ву^ ~ у*+(х—В)*
і тим то
(х — В) соз <р + у зіп <р = т І^Н-0*—^
Підкоренева величина у другім з радикалів в (63) перейде
через це на таку:
(х — Л)2 + ^+(2а — Д)2 + 2(2а — В)У&+{х — В)*
що являв собою повний квадрат:
( Уу* + (х-В)* + (2а - В) }2
і рівнання обгортки напишеться:
Уяа + !/2 + К#2 + (# — ії)2 + (2а — Д) = 2а
Для нижнього знака -[-> як легко збагнути, дістанемо: х=В,
у=0, тобто початкову точку, що через неї переходять усі
еліпси громади. Для верхнього знака маємо рівнання обгортки:
(66) у х*-ї-уг -\-Уу*-{-(х — Д)2 = 4а — В
еліпса з фокусами на початку координат {о, о) і в
початковій точці (В, о) і з великою віссю 4а — В. З (64) бачимо, що
точка в якій еліпса (63) дотикає обгортки, лежить у другій
точці (? зустрічі радіюса вектора РР з еліпсою —вислід
цілком подібний до одержаного раніше для параболічного руху.
Точка О знаходиться відомим елементарним будуванням.
Вивчимо нарешті питання про число еліпс, що переходять
через початкову точку Р(В, о) і другу дану Рх {хи ух). Задача
зводиться на визначення фокусів шуканих еліпс. Фокуси всіх
56

еліпс, що переходять через Р, лежать на колі з осередком
в Р і з радіюсом 2а— В. Так само фокуси еліпс, що
переходять через Рі(а?ьуі), повинні лежати на колі з осередком
в Р, і з радіюсом 2а —г, якщо г є віддаль ОРг. Тим то задача
допускав дві, одну, або жодної розв'язки як до того, чи
перетинаються згадані кола Р(2а — В) і Р,(2а — г) в двох
дійсних різних точках, або дотикаються, або зовсім не
перетинаються. Це можна записати в такому вигляді:
РРг — (2а — г + 2а — В) 5:0
А що
то дістанемо
Ууі2 + (Хі-В)*-(*а-В)<0
Порівнюючи з (65) доходимо такої відповіді: задача допускав
одну, дві, або жодної розв'язки, як до того, чи лежить точка
Р\(я\>У\) всередині, на, або зовні обгортки (65).
Умова Ье£еп<1ге-ова справджується, бо в нашому випадкові
підінтеґральна функція може бути написана так:
Г(х,у,у')=^^-}с У 1+у*
де
г = У*#-\-у*,
отже для тіпітшп'у:
/^=у.£і_»(і+ **)-*> о.
Увага. З двох кривих, що переходять через Р(В, о) і
Рі(#і»!/і) Для випадку, коли Рг лежить усередині обгортки,
екстремум, звичайно, можливий на тій, на якій немає точки
супряженої з початковою.
29. Геодезичні лінії на псевдосфері, В § 17
показано, що через дві точки на псевдосфері переходить лише
єдина лінія, здатна екстремізувати інтеґрал
(35) І^т^1^^^
де (?, ч) координати точок площі (&ц), що відповідають точкам
псевдосфери (х,у) за формулами вказаними в § 17. Рівнання
згаданої лінії в координатах (5, г,) мав вигляд:
б-ар + ір-р.
57

Спочатку розгляньмо частинні випадки паралелей та мериді-
нів псевдосфери. Паралелям, тобто и = сопві. будуть
відповідати прямолінійні відтинки, рівнобіжні до осі $, тобто т) = сопзі.
Меридіянам відповідають прямолінійні відтинки, рівнобіжні до
осі ч (граничний випадок кіл, що їх осередок на
нескінченості). Але для таких відтинків 20 = £і і користатися з форми
інтеґрала (35) не можна. Розглядаючи $ яко функцію від ї)
дістанемо для того самого інтеґрала
де г,0 і га ординати точок смуги 2 (див. § 17), що
відповідають двом точкам одного й того самого меридіяна псевдосфери.
Якщо лінія, що сполучав ці точки псевдосфери не є лінія
меридіяна, то Ь'фО і тому:
р±КИ-Т5Л,>С"^=і^>о.
]щ ті ^щ Ч Чо
Звідки висновуємо, що зі всіх дуг, які сполучають на псевдо-
сфері дві точки одного й того самого меридіяна, дуга цього
самого меридіяна буде найкоротша. Тепер розгляньмо умову
^соЬі. З (36) маємо:
(знак + тому, що точкам псевдосфери відповідають точки
смуги 2, де т} > і). За основною теоремою ^соЬі, частинні
похідні по а та р правитимуть за частинні інтеґрали рівнання
іасоМ:
і повний інтеґрал буде:
*«-^{Сі + Сі(*-а)}
Доберімо інтеґрал, що став нулем для £ = $0> отже:
Сі + Са(5о —«) = 0.
Дістаємо:
Для всіх £>$о інтеґрал £(£) не мав нулів; точки су пряженої
з початковою не існує. ^соЬі-єва умова справджується. Ье§еп-
<іге-ова умова також справджується, що бачимо зі складу під-
інтеґральної функції в (35).
58

Увага І. Ми не зупинилися на доводі, що лінія псевдо-
сфери, яка відповідав лінії (36) смуги ^ в геодезична й
залишаю зробити це самому читачеві *)
Увага II. Можна було б показати, що для задачі Ке^іоп-а
умова ^соЬі-єва справджується, для тої самої гілки, для якої
справджується умова Ье§еп<1ге-ова**).
ЗО. Подовжнє гнуття пружного стрижня. (Еи-
Іег-ова задача). Нехай АВ тонкий пружний призматичний
стрижень, що його кінці, при русі,
залишаються на осі абсцис і який перебував
під чином двох сил Р, що прикладені до
його кінців і стискають його вдовж осі.
Початкове положення стрижня таке, що
його кінець А знаходиться на початку
координат. При певній величині Р може
статися подовжнє гнуття стрижня й треба
знайти нейменшу вартість вантажу Р
(критичну силу Еиіег-а), здатну спричинити
таке гнуття (рис. 20).
Зазначімо через І довжину стрижня,
Е модуль пружности матеріялу, І
найменший момент інерції попереччя.
Розгляньмо (рис. 21) будь-яку точку М(х, у)
скривленого стрижня. Дугу со АМ=$
візьмімо за арґумент, а ординату у = МN за
шукану функцію від в. Нехай р радіюс
кривини в точці М. Якщо <р($) кут дотичної
Рис. 21.
в М з віссю
*»-*-2-
абсцис, то
визначається формулою
Потенціяльна енерґія зігнуття
-и:
2
При спусканні кінця А на віддаль а, де:
С08 ер . &
потенціяльна енерґія зменшиться на Р .а. Якщо потенціяльну
енерґію недеформованого стрижня вважати за рівну нулеві,
то по деформації, вона дорівнюватиме:
*) Див. § 47.
**) Див. РогзуіЬ. Саісиїиз ої уагіаііопз, 1927 р.р. 342—343.
59

Для рівноваги вона повинна бути тіпітшп і визначення
функції зводиться на мінімізацію інтеґрала:
£{тиШ'+рсо8'}л
Р
бо е& = ргі<р; або, зазначивши через <** = -=—=, інтеґрала:
|>—+-Н£)>-
Обмежуючись випадком досить малих відхилень: у та кута ?„
можна прийняти:
£{■
со8ср = і —ер8; <& = ^і-і-і§2сР^#~ Лх9
і інтеґрал перепишеться у вигляді:
Рівнання Еиіег-а буде:
Звідки:
(р = ^а сов ах 4- С2а 8іп ах.
Але 1^=9,
отже
у = Сг зіп аж —- С2 С08 ах + <73
при а? = 0 маємо у = 0, отже:
С2 = 0, Св=0,
одержимо:
у = Сі 8іп а#
тобто синусоїду. Легко пересвідчитися, що рівнання ^соЬі
буде:
еГ + а*г = о.
Якщо візьмемо інтеґрал, що анулюється при х=о то з=4 зіп а#.
При зростанні х найближча за (о, о) супряжена точка буде
( —, о). Беручи під увагу, що Ье§ешїге-ова умова (/до>0)
справджується, висновуємо, що матимемо слабкий екстремум
за умови
60

я2
тобто Р<-^-Я/. Отже критична сила Рх визначиться з
формули
я2
Рг^^ЕІ.
Крива, якою зігнеться стрижень під
впливом вантажу буде:
у = А зіп — х
тобто виобразить півхвилі синусоїди
(рис, 22).
Дальший нуль буде при х = -у.
Рівнання кривої згину буде:
у = Авт-=-х
і складатиметься (рис. 22) з двох півхвиль. Сила, потрібна
для такої деформації, буде:
тт2
Р2=А^Е.І
тобто вчетверо більша від Рх. І так далі *).
*) Див. М. М. Філоненк о-Б о р о д и ч. О некоторьіх свойствах диффе-
ренциального уравнения Зйлеровой задачи (Известия Московского Висшего
Технического Училища, 1929, № і, стр. 45—56).
По дальші подробиці відсилаю читача до курсу В. Л. Кірпічева: Сопро-
тивление материалов, 11, стор. 352, вид. 1900 р.
61

Розділ третій.
ДЛЯ СЛАБКОГО ЕКСТРЕМУМУ УМОВИ ЕІЛ,ЕК-А, ЬЕОЕ№-
БКЕ-А та ЛАСОВІ НЕ ТІЛЬКИ КОНЕЧНІ, АЛЕ Й ДОСТАТНІ.
Довід №еіег8Іга$з-ової теореми.
31. Якщо у(х) екстремізаційиа функція, а г(х) функція
суміжна, то варіяція
*(#) — у(х) = а>(х)
буде слабка, якщо при зміні х від х0 до хх:
|«(«)1<р; К(*)|<р
де р довільно фіксоване додатне число. (В попередньому
викладі ми обмежувалися розглядом частинного вигляду
функції &(х), а саме: <о = є . ц (х)). Приріст Д/інтеґрала, при
переході від у (х) до я(х) виобразиться
ДІ= ГІЯ*> У + <»> У' + «>')-Ґ(х, У, у')\ах.
А що у (х) естремізаційна функція, то §7=0 і тому:
М = -і- р(Р<о2 + 2<>а>' + Я*»'2)** +
^ х„
+-уЦ- Г'СКю3 + Зі©V + ЗЖахо'2+Яв'») йх
де £, Ь, М, N відповідно зазначають частинні похідні:
Тууу >„ Тууу' > Ґуу'у' > іу'у'у'
що в них замість у та у' підставлені проміжні вартості:
у + ш, уЧЬ'; |Х|<1.
62

Перший з інтеґралів у М перетворив Ье§еп<іге (див. увагу
в § 19) у вигляді
або:
Г11 (р-|-я/)ш2+ 2 (0 + ю) •»' + &»'* іах
Якщо умови Ье£ешіге-а та ДасоЬі справджуються, то диферен-
ційне рівнання (ЕісаШ):
напевне мав інтеґрали кляси С в (#0#і)-
Розгляньмо рівнання:
(66) р+и/_-^-(ф+ІІ,)« = 41.
Якщо к параметр досить малий, то, на підставі теореми Роіп-
саге *), висновуємо, що це рівнання матиме інтеґрали типу С.
Будемо під V) розуміти один з таких інтеґралів. Якщо
тепер, для скорочення, запровадимо зазначення
-^-(Ф + я>) — &; »' + Л« = і;
то повний приріст М можна переписати в такім вигляді:
де
3[і = 3<о (М— Щ + VN.
А що, при досить малому р, числові вартості | о> |, | <о# | а
значить і 11; | залишаються як завгодно малі, бо для тіпітшп'у
і£(#)>0, то висновуємо, що знак АІ буде тикий самий, як
і знак:
\ («ДО + V2В) ах або Д/ > 0.
*) Див. Рісагй, ТгаНе Д'АпаІузе, III, р. 157.
63

Увага: для випадку тахітиш'у, в рівнанні (66) замість
№ треба взяти: —А;2. Тоді В(х)<0 і дістаємо попередній
результат, але зі знаком —.
Доведене твердження належить ^еіегвігаз^-ові й він його
вперше повідомив на лекціях 1879 р.
Недостатність умов Еиіег-а, Ье£еп<1ге-а та ЛасоЬі для
сильного екстремуму.
32. Розгляньмо оцей простий приклад, що його вказав
Воіяа:
І-Р^ + у'в)^
Зо
де шукана функція на границях повинна дорівнювати нулеві
у0 = 0, уі = 0. Рівнання Еиіег-ове зведеться на у"=0, що Його
повний інтеґрал у = ох + р. Щоб справдити граничні умови
треба взяти: а = 0, р = 0. Дістанемо для екстремізаційної лінії
відтинок осі абсцис між точками (0,0) і (1,0). Відповідна вартість
інтеґрала дорівнюватиме нулеві. А що /=у'*+у"* то іУ^ —
= 2 + 6^', отже В = 2 (бо на екстремалі: у = 0 і тому у' = 0),
умова Ье§епйге-ова для тіпітипґу справдилася. Щоб
дослідити умову «ІасоЬі, розгляньмо
| в'язку екстремалей* (простих)
через початкову точку (о,0):
у = ах.
І з*
^\ Обгортки не існує для #>0,
М ^^ |\ умова ^соЬі також справджу-
^^ д І \ вться. Отже, видно, нулева вар-
Ху^ ! \ тість інтеґрала є мінімальна. Од-
—« ? ' • *х наче це буде правдиве лише в
Рис. 23. тому випадкові, якщо для порів-
нання ми братимемо під увагу
тільки слабкі варіяції. Справді, розгляньмо околишній шлях
ОРИ, що складається з двох простих ОР і РИ з кутовою
точкою в Р{р, ф, при чім ордината % як завгодно мала, а
р < і і досить мало відрізняється від і (див. рис. 23).
Рівнання ОР і РИ будуть:
у = ±Х;у = -±і{х-1),
тим то на ОР:
64

НаРАГ:
отже вдовж ОРN:
Л0РМ,=р|(^)'+(і)*| + (1-Р»|(^) +
^\р—1)\ р~р2~1 — р (1 — р)2
Якщо різниця: 1—р досить мала, то знак цього виразу буде
однаковий зі знаком останнього числа, тобто І(ОРЩ буде
величина від'ємна. Простолінійний відтинок Оїї перестав отже
мінімізувати інтеґрал, якщо в число функцій порівняння
запровадимо функції кляси І)' (ламана лінія ОРЇЇ з кутовою
точкою в Р є лінія кляси І)').
Заокруглення кутів.
33. На прикладі Воіга ми пересвідчилися, що мінімума
може не існувати, якщо до громади кривих порівняння
запровадимо криві типу £>'. Покажімо, що в такім випадкові
тіпітит буде відсутний й за умови, що сусідні шляхи
складаються тільки з кривих типу С.
Припустімо, що якась функція у{х) кляси С мінімізує
інтеґрал надаючи йому вартости І(у), при чім взяті були під
увагу тільки сусідні шляхи кляси С", але вона перестає
мінімізувати І, якщо для порівняння візьмемо під увагу також
і функції кляси І)'; нехай #(х) одна з них, при чім
\*—у\<р\ щ<т.
Для спрощення припустімо, що околишній шлях у = % (х) має
тільки одну кутову точку Р для х = $. Окрім того нехай
\*\<Г,\ҐШ')\<Мі |£'|<«
де р та з обмежені додатні числа. Візьмімо на кривій у = 2 (х)
поблизу Р з одного та з другого боку сусідні точки: Рх з
абсцисою 2 — Ь і Р2 з абсцисою £-|-А де А, досить мале додатне
число. Через точки Рг і Р2 поведімо будь-яку лінію кляси С
так, щоб вона дотикнулася лінії у=а(х) в точках Рх і Р2.
Зазначімо через у = и(х) рівнання лінії, що відрізняється від
у = я(х) лише тим, що шматок РіРР2 Діб* останньої замінено
згаданою лінією кляси С. Отже лінія у = и (х) буде належати
до кляси С Легко показати, що при досить малому А, чи-
Проф В. Я. Буїреев—5. 65

слову вартість різниці: І(и) — І (о) можна зробити малою так,
як хочемо.
Справді, ми завжди можемо припускати, що \и'\<д. Далі
на інтервалі (2-А, £-|-й) функції г(х) і и(х) можна
представити у вигляді інтеґралів (якщо гх = щ = ординаті точки Рг):
Сен /*»в
з —*!=! г*(і)<Іі;и — #і=\ и'(і)<Іі.
Звідки видно, що:
І* —*іКї(я —$ + *); \и — *і|<д(#—Ь+Н)
а тому
\и—0|<2д(о:-5+Л)<23(5 + А-5 + Л).
Якщо Н досить мале, то будемо мати 4Лд<р, тим то |и—з|<р
отже
І* — У\<\и — *| + |0 — у\<2р
Отож крива у = ю(а?) буде сусідньою для у = у(х). Далі,
через те, що \Ї\<М, то
І [г+Н? (х, є, *') ах | ^ 2кМ; І (**НГ(х, и, и') йх
\л-ь іл-*
і значить:
|і(и) —7(0)|<4ЛМ.
А що за припущенням /(г)</(у), то можна добрати Ь так
малим, що їкМ<І(у) — 7(0). Але в такім випадкові
тобто
І(«)</(У)
отже існує й крива у = и{х) кляси С", сусідня з у = у(х) і
яка дав інтеґралові І вартість меншу, ніж крива у = у(х); ті-
пітит буде відсутній й в обсягу сусідніх кривих кляси С.
\2ЬМ
бб

Розділ четвертий.
ЧЕТВЕРТА КОНЕЧНА УМОВА \УЕІЕК8ТКА55-А.
Вивід умови.
34. Нехай мова йде за мінімум інтеґрала
1= і У (хуу') Ях
з умовами на границях (у)х=Хо = у<>; (»)«,«». Нехай мінімі-
заційна крива МИ справджує умови Еиіег-а, Ье#еп<іге-а та
^соЬі
Нехай Р довільна точка (Є, <р (Є)
дуги МИ (див. рис. 24). Поведімо
через Р довільну криву ЬЬ кля-
си Ох
у = <о(ж)
і візьмімо на ній точку ф (сусідню
до Р), отож її абсциса буде $ — А
коли о>'(5)<0, або 5 + й, коли
<°г (2) > 0 (додатне досить мале
число А). Поведімо через Мі(}
сусідню криву кляси С1: Рис. 24.
у —у + <4 —?И + *1і(*)-
Для точки <2 ми повинні мати:
(67) ?($-й) + егі(5-й) = о)(5-й).
Розгляньмо околишній шлях Мі^РИ, запроваджуючи цим в
дослідження сильну варіяцію. Нехай К точка зустрічі
екстремалі МИ з ординатою точки ф. Якщо крива МИ мінімізує
інтеґрал /, то ми повинні мати
7(Ж<?) + Д<2Р) + І(РН) ^ І (МЕРИ)
67

або
Звідки
І(Л/<?) - І(МК) + {І(<2Р) - І(КР) [ з* 0.
Маємо:
І(М<?) = (*"*/& у + егь у' + «,«) ах; 7(ВД = Р~НГ{хуу')Ох
І^Р) = (5 /Чайно') &с; /(#Р) =[* ГШ) <**
а тому
(68) £"* 11 (а, у + ю|, У + ег,') - Я*юО | Ас +
+ (6 І /"(ж©©') - /> (хуіґ) \ ах 5* 0.
Останній інтеґрал за теоремою про середню вартість
інтеграла можна написати в такім вигляді
де
* = « — ЄЛ;Є>°
або, через те що ми маємо справу з функціями суцільними
Л| Аі «(5), «>'(5))-А5,9($). ?'(£)) + •••}
де ненаписані члени містять у собі чинника й. Щодо першого
інтеґрала у вищенаведеній нерівності, то пишемо його
розвинення за Тауіог-ом:
11+^*1+...
тобто
де
«Г ^П+щ'Мах + гЦ ) + ...
\ ГІЇу,ах = г/у, — ч_.^чй;.
А що Г|(а?0) = 0, бо у = ф (х) е інтеґрал Еиіег-ового рівнання
то зважаючи на (67), дістанемо:
8/= {«.($ - Н) -<р (*-*) }/>(5 -Л, ?(*-*), фЧ6 —»)) + • ••
68

Завважаючи, що
• (? —*) —?(5—Л)—»(5)—»(5)—л{»'(б) —946)} + .- =
--л{«/(5)-?'(6)}+...
можемо написати (68) в такім вигляді
-л{о>Ч2)-?,(2)}{^(5,?а9Ч5)) + ...} +
+ /г{А5,(о($),о>/(5))-А$,9(£),?г(5))} + .-.^0.
Скорочуючи додатного чинника А, а в нерівності, що
залишиться примушуючи Ь йти до нуля, дістанемо (пам'ятаючи,
що <р($) = а>($)):
/^($,9(5),о>Ч2))--ДІ?(Є).9Г(5))-{а>Ч5)-?'(5) ] /і/(5, 9(^> 9 (5»0.
А що $ довільне число між х0 та х}, то зазначивши його
просто через х, а <р(2) тобто <р(&) через у, далі зазначивши ©'(я)
через і*, дістанемо шукану четверту конечну умову
^еіегзггазз-а для сильного мінімума:
(69) Е (*, у, |Л іО = ДаадО - /4^2/')—(р - у') /у, (аад/) > О
де (а:, у) координати точки дуги М#, а у1 кутовий сучинник
дотичної до цеї екстремалі в (х9 у) а ^ довільне число.
Умова Ье£Єпс1ге-ова випливає з умови \Уеіег$*газ$-ової.
35. Розглядатимемо ліву частину нерівности (69) яко
функцію від ц, яку зазначімо через ]?(\ь). Тоді
Г(\>)^0; Р(у') = о
тобто для у. = у' ця функція має шіпітит. Тим то І* (у1) = О,
І^ЧіУ')^0 (бо Р належить до кляси О"). Перша умова являв
собою тотожність, друга ж в не що інше, як Ье^епсіге-ова
умова, бо
Умова \¥еіег$іга$$-ова не в вислід перших трьох умов.
36. Це найкраще з'ясувати на прикладах.
1) Розгляньмо приклад Воіга (§ 32), де ї=уґг + у'г\ х0 = 0;
Х\ = і; у0 = 0; у і = 0. Рівнання мінімізаційної лінії при
слабких варіяціях (умови ^соЬі, Ье^епйге-а та Еиіег-а
справджуються) буде у = 0. Тим то функція Е = }х2 + »а3 ТУеіегзігазз-а
69

звідки видно, що при і + д < 0 умова (69) буде порушена,
сильного тіпітшп'а немає.
2) Нехай /"=у'2+5%', за тих самих початкових умов що
й у попередньому прикладі. Перші три умови справджуються
(рівнання екстремалі тобто мінімізаційної лінії: у — о). Функція
^еіег8іга88-а буде Е = іі2+$Л(а. А що Ііт $йц=— оо, коли
ц -»—оо, то починаючи з якоїсь від'ємної вартості ц буде Е < 0,
сильного мінімума немає.
Частинний випадок.
37. Припустімо, що і(хуу[) має такий склад
Ґ(*УУ') = <? (х, У) Уі + У'2
де О (х, у) зберігає знака вдовж екстремалі. Утворюючи
функцію Е9 одержимо
0(х, у) і , І
Е=уІ^г\У а+^)(і+»'2)-(і+^')|
Вираз у дужках не може бути від'ємний, бо з умови
випливало б поперше, що і + н#'>0 і далі, що:
(1+^(1+У,І)<(1+Р»0І
тобто (^ — у')2 < 0, що неможливо. Отже, якщо О (я, у)
зберігає додатного знака, то умова (69) для сильного мінімума буде
справджуватися. Під цей випадок підходять приклади,
розглянені в першому та другому розділі, крім №^іоп-ової
задачі. Якщо утворити функцію (69) для цеї задачі то дістанемо
Чинник у фігурних дужках лінійний щодо ^ і тому може
бути зроблений як додатним, так і від'ємним, сильного екстре-
мума немає.
Увага І. Якщо в задачі Ке\гіоп-а взято під увагу також
тертя, залишивши попереднє припущення щодо пропорційно-
сти опору до квадрату швидкости, то питання зведеться на
мінімізацію інтеґрала (якщо за вісь обертання взяти вісь х):
70

де а стала, визначувана з досліду. Відповідна функція Б
буде:
в - (і+^У^І * (« + *- ^'2>- (і -2^*-*'8) |
і вищевказане міркування покаже, що й в цьому випадкові
сильного екстремуму немає.
До того ж неґативного висліду приводить припущення, що
опір середовища пропорційний до третього або п'ятого
степеня швидкости.
Увага II. Сагайіеойогу дав простий приклад /*= у'2—у*у**
за умов х0 = 0, хх «* 1, у0 = 0, у і = 0, який вказує, що й ознака
\Уеіег8ігаз8-ова є тільки конечна. Всі чотири умови
справджуються для екстремалі у = 0. \Уеіег8іга88-ова функція Е = V?.
Тим часом мінімума немає. _
Розгляньмо сусідню криву: # = р8іп(шие) де п ціле число,
р досить мале додатне число. Вартість інтеграла вдовж
сусідньої кривої буде:
— р2п2*2 — -^г- р6п4к4
і, при досить великім п, буде число від'ємне, отже просто-
лінійний відтинок у=0, інтеґрала не мінімізує.
ПРИКЛАДИ ДЛЯ ВПРАВ.
1. ?=(і+у*) :у'2. Показати, що умова \Уеіегз*га88-ова не
виконується.
2. У=у :у'2. Умова Ж. не справджується.
3. /*= у2: у'. Умова Л\Г. не справджується.
4. ^= у'* (і 4-у')1. Функція ^Геіег8Іга88-ова буде:
(іі-ту{(р.+т+іу + 2т(т + і)}
де т кутовий сучинник екстремалі, що переходить через дані
точки (х0уо) та (ХхУг):
В{х}і —2(Шг-\-Ш + і); к(х,х0) = х—Хь.
71

Розділ п'ятий.
ЗМІННІ ГРАНИЦЬ
Умова трансверсальности.
38. Досі ми ввесь час припускали, що координати (х0уо)
і (ХгУх) крайніх точок екстремізаційної дуги задані. Але можна
поставити задачу загальнішу; згадані координати не дані, але
дані залежності між ними
* * (числом, звичайно, не більшим
І \ як три), як от сказано, шо
\ точка Щхіуг) повинна бути на
\ даній кривій у = ш{х), а точ-
^Н? ка М(х0у0) на другій кривій
/^ \ф у = о(х). В такім випадкові
ЯГ— ГіЧ треба буде знайти не тільки
N. екстремізаційну лінію, але й
N. положення точок (х0уо) та
>ч* (^)Уі) на згаданих кривих.
Розгляньмо спочатку випа-
0| І [_[ ^л док, коли початкова точка
& *,-* л *~* (див. рис. 25) М(х0уо) задана
І (нерухома), а кінцева іУ(#і#і)
Рис 25. повинна знаходитися на
даній кривій: # = а>(а?).
Припустімо, що Р в шукане положення точки #(#і#і) на
ЬЬ і що дуга МР екстремізуе інтеґрал /. Розгляньмо
сусідню дугу М<2, що її рівнання у = у + щу де у ордината
екстремалі МР і г, (х) функція кляси С, цілком довільна, але
яка анулюється для #«#0. Для точки ф ми повинні мати:
Уфі— Л) + 2Г|(х1 — А) = о)(х1— А); А^О
де хх — к абсциса точки ($. Число Ь може бути як додатним
так і від'ємним. Різниця:
І(МО)-І{МР)= р"Г(«,»+іг„у' + іГ|,)Ас- (ХіГ(хуу')<Іх
72

абож
Зх* І І Охг-Ь
повинна зберігати знака, незалежно від знака А. Ми
припускаємо, що умови Еиіег-а, Ьедепсіге-а та ДасоЬі справджуються.
Зробивши ті самі перетворення, що й вище з приводу умови
ДЛ/еіег8І;га88-ової (§ 34), дістанемо
+ ... — */(яіУіУі') + *--
*0
ьгіМґуііхуу')]
або, через те, що
щ(х1 — Ь)^іо(хі -к) — у{хг — А) =. — &{о'(яі) — Уі\ + ...
(де ух^уіхг); Уі=у'(хг)). Завважаючи, що Г|(а?0) = о
дістанемо
— Ь, {<*>'(аі) — Ух \?у' (*і — А> У (*і — *)> У1 (*і — Л) )—
— *Ґ(*іУіУі)+.'-
або, роввиваючи похідну /^ в ряд по степенях Л:
— * {К («і)—У/] и (хіУгУі) + /* (^іУі^іО } +. • •
де ненаписані члени порядку вищого ніж перший щодо Н.
Якщо вираз у дужках { } не нуль, то при досить малому | к |,
останній ввраз, тобто різниця І (МО)-І(ЛІР) мінятиме знака
одночасно зі зміною знака к, чого не повинно бути. Звідси
висновуємо про конечність умови:
(70) Л*і»і»і')+(^—УіОЛґ(«іУіУіО-о; »*=»'(*іЬ
щоії,від Кпезег-а,повелося називати:умова трансверсаль-
н о с т и. З цеї умови й визначається положення точки Р на ЬЬ.
Якби й початкова точка М(х0уо) повинна була б
знаходитися на заданій лінії у = а(х)у то для визначення її положення
одержали б:
НхоУоУо) -(V — у'о)и(хоУоУо) - 0; V = а'(х0).
Окремий випадок, коли умова трансверсальности
перетворюється на умову ортогональности.
39. Нехай підінтеґральна функція мав такий самий
вигляд, як у § 37. Тобто:
Г~0(х,у)УТТу*т
73

де 0(ху) не стає нулем. Умова (70) перетвориться на таку:
або, через те, що ОфО:
1 + ^ = 0
що являє умову ортогональности.
ПРИКЛАДИ.
40. Розгляньмо брахістохронну задачу (§ 14) за
припущенням, що кінцева точка N повинна лежати на даній
простій, (рис. 26).
ЬЬ :у = т(х—с)
Рівнання екстремалі знайдено у вигляді:
Я = Р — а(2ф4-8Іп2ф); у = а(1-|-С08 2^)
де Ф кут дотичної з віссю абсцис. Розгляньмо випадок, коли
проста ЬЬ творить тупий кут
з віссю абсцис:
Умова трансверсальности
перетвориться на умову
ортогональности, що видно зі складу
підінтеґральної функції інтеґра-
ла, що екстремізуеться.
Якщо початкова точка М(х0у0)
знаходиться на початку коорди-
Рис. 2б. нат і початкова швидкість
дорівнює нулеві, то для я = 0,
у = 0, ми повинні мати 2^ = гс: початкова точка повинна бути
точкою зворотною. Але тоді р = аіг. Для шуканої точки Р на
простій у = т(х — с) ми маємо умови:
^ = ш——к; а(і— С082а>) = (а?—с)ї%ш; а? = с + а8Іп2а>
# = а { 8ІП 2а> + 2(*— ш)}ї 2а(гс —ю) = С
Отже
_ С , С 8ІП 2<о
а-2(і:_(о); *і —с-^2(іс —•)•
74
= 0

Вирахуймо час витрачуваний матеріяльною точкою при
пересуванні від 0 до Р по циклоїді:
* СІ8
1^ ГР СІ8
З рівнання циклоїди знаходимо: (й2 = 16а2С082<|>.Ж|Л А що А,
при зростанні а, спадав, то беремо
<& = — 4а сов феїф.
А що: і+со8 2^ = 2со82ф, то Уу = У2оГсов^ і ми одержимо:
'=-2Уї(, ""*»-*—>уї.
Але 2а(гс—а>) = с, звідки: 2(іс — а>) |/а = V 2с(і: — а>) а тому
остаточно шуканий час буде:
/ (цикл.)
Цікаво порівняти цей
проміжок часу з тим
мінімумом Т часу, що його
вжив важка точка при
пересуванні від початку
координат до простої: у=
= (Х — С)І£® ВДОВЖ П р 0-
столінійного шляху:
ОР. Щоб вирахувати,
треба знайти кут <р,
витворюваний шуканим
простолінійним
відтинком ОР з віссю абсцис
(див. рис. 27). Для цього
в інтеґралі:
Рис. 27.
Уїд.
замість у треба підставити його вираз через 5, відповідний
відтинкові ОР, ТОбТО у=^.8ІПф (ДЄ в МІНЯЄТЬСЯ ВІД О ДО $ = ОР).
З ДОЯР мавмо (бо ОК=с):
С. 8ІП О)
0Р =
8Іп (а> — <р) *
75

1
]Ґ2д Кзт ер. 8іп(ш — 9)
Це й буде верхня межа інтеґрації по 5. Дістанемо:
1 Г0Р 0$ _2Ус.віаш
К"2^Л Ув.зіпер ""
Питання зводиться до визначення тахітшп функції м =
= 8іп ф. зіп (ю—<р) ВІД 9- А що и9 = 8іп(а>—2?) ;и" = — 2 С08(а>—2<р)
то <о = 2ср (не можна брати а> — 2<р = я, через те, що тоді и < 0)
і тим то шуканий час Т буде:
Г(простол,
,=у
4с . і
д ь 2
А що 0<іс — ш<і:, то соі§ — <о = і§ — (тс — ю)>~(іс — а>)
тобто 2 соі£—а) > тс — а>, а тому Т (простол.) > І (цикл.).
Сі
Увага І. Подібно можна було б розглядати випадбк
0О< —к
Увага II. Для брахістохрони ми докладно не розглядали
умови ЛасоЬі, але було б не трудно пересвідчитися в тому,
що ця умова вимагає, щоб дуга циклоїди, яка починається на
початку координат (в точці зворотній) не доходила до дальшої
зворотної точки. Якщо о) ф 0, о ф іг, то умова ^соЬі напевне
справдиться. Умова ЧДГеіег-
8іга88-ова для сильного
екстремуму, як це вже було
зауважено вище, також
виконується.
Увага III. Тут до речі
зупинитися на
циклоїдальнім маятникові й на
ізохронності циклоїдального руху.
Ще ГЮЙҐЄНС (1629—1695)
винайшов, що еволюта
циклоїди дорівнює подвійній
нормалі.
За Гюйґенсом візьмімо
нитку АВ довжиною 4а (див.
рис. 28), один кінець закріпімо непорушно (точка зачепу), до
другого почепімо тягара Б. Якщо ОВО' циклоїда, ОАО' її
еволюта й коли частину нитки, рахуючи від А, навернемо на
дугу АК, тримаючи решту КМ нитки натягненою, то тягар ли-
76

шатиметься на циклоїді ОВ. Нехай М(х0у0) початкове положення
тягара, що з нього він виходить в стані спокою (г>0 = 0).
Підрахуймо час, щоб перейти дугу МВ, де В найнижче
положення тягара, коли нитка перебуває в сторчовому положенні АВ.
За формулами (23) та (24) § 14:
* = У2д(у—Уо)
і визначуваний час буде:
1 Г* (із
~ \Ґ2д]м V у—Уо
Але
<і$ = — 4« соз <|>. а$; у — у о = 2а(сов2$ — соз2%) = 2а(8іп2<|>0 — зіп^)
. 4а Г*° йзіпф Л і/ а ; зіпф
і = -==—7=\ , ~ а 2 1/_агс8іп-——
• у 7= 1 /- := = £і 1 / аі ^ ОІІІ . .
Уїд Уі*) К8іп2%—зіп^ у 0 ап*в
Ут1
УО
="Ут
тобто не залежить від початкового положення, а в цьому й
полягав ізохронність.
41. Розгляньмо питання про найкоротшу віддаль
даної точки (напр.,початкакоординат) до даної кривої:
у = (о(х), тобто мінімізуючи інтеґрал
\-\-у'*йх
де Уі = (*>(хі). Умова трансверсальности знову зводиться на
умову ортогональности. Екстремальні лінії в прості. Мінімі-
заційна проста повинна бути нормальна до даної кривої. Легко
пересвідчитися, що всі розібрані для випадку сталих меж
чотири конечні умови екстремуму тут справджуються.
Одначе це ще не забезпечує мінімума. Розгляньмо еволюту кривої:
у = ій(х). Поведімо з О нормалю ОN до кривої у = ю(#) і
припустімо, що О лежить як раз на еволюті. Візьмімо на у = ш(х)
точку І\Г сусідню з N. Нормаля до _№ дотикнеться еволюти
в точці О'. За властивістю еволюти: ОN=^^>00'-\-1УМ'.
Сполучімо точки О та (У тятивою. Тоді очевидно сусідній шлях,
що складається з тятиви 00' та радіюса кривини 0'2\Г буде
коротший, аніж 02У, тобто ОДО не дав тіпітит-а. Аналогічного
висліду дійшли б в тім випадкові, коли б точка О лежала на
77

продовженні радігоса кривини для ІУ, тим то осередок
кривини К для точки N лежить між О та N. Шлях, що
складається 8 відтинка ОК, з тятиви КК' та 8 радіюса К'ІЇ' знову
буде коротший, ніж ОК1Я. Отже дійсний мінімум віддалі
точки О від кривої у — ш(х) настане лише в тім випадкові,
коли точка буде між N і осередком кривини К для точки N.
По подробиці відсилаємо до праць Віізв'а (МеСШет. Апп. 18
(1904) р. 70 та Егатапп-а (2еіі8сЬг. і. М. и РЬ. 23 (1878) р. 369).
Цей вислід узагальнив Кпезег на випадок екстремуму (при
змінних межах) будь-якого інтеґрала за допомогою особливої
криволінійної системи координат, яку він сам запровадив,
аналогічної до тої, що запровадив (Заизз у своїх дослідах
в теорії кривих поверхонь*).
ПРИКЛАДИ ДЛЯ ВПРАВ.
Мінімізувати інтеґрала
\у'*-у*)йх
і
'О
за умов #о = 0, у0 — 0; точка {хг уг) знаходиться на кривій
уг = а—х; а>0
Відповідь: у=-^—&іпх де хх справджує рівнання:
3(а?! —а) 8Іп2лг!.
Для тіпітилґа треба: -х-*0<іс.
Див. Кпезег. А. ЬеЬгЬисЬ <іег УагіаііопзгесЬпип^. Другу варіацію з
змінними границями вперше розглядав Егдтаїш (1. с. р. 132).
78

Розділ шостий.
І. ЗВ'ЯЗАНИЙ ЕКСТРЕМУМ 1-го РОДУ. ІЗОПЕРИМЕТРИЧНА
ЗАДАЧА.
Еиіег-ове правило.
42. Досі мова йшла про вільний екстремум, але може
трапитися, що на визначувану функцію, крім звичайних умов,
накладені ще додаткові обмеження. Вони бувають двох родів.
В найпростішому випадку питання про зв'язаний екстремум
першого роду може бути формульовано так: Дано інтеґрал
і Аосуу')йх зі сталими межами. Треба визначити у яко функцію
від х так, щоб на межах х0 і хи вона прибирала наперед
задані вартості уо і уг і крім того, щоб скількісь інтеґралів між
тими самими межами х0 та хг від даних функцій:
набували відповідно наперед задані числові вартости
•"•!> -"2> • • •
Зупинімося на випадкові однієї інтеґральної умови: інтеґрал
у(хуу')<1х повинен набувати вартість А. Щоб розв'язати за-
дачу, доцільно буде скористатися зі зложеної варіяції, залежної
від двох параметрів: вх та е2 (що самі від х не залежать)
*У = «Лі(») + аді(ж)
де іц і т,2 довільні функції кляси (У, що анулюються на межах.
Вставляючи в інтеґрали:
і:
і ({хуу')йх; \ у{хуу')0х
79

варйовану функцію: у + 8у, ми побачимо, що обидві вони
перетворяться в якісь функції від параметрів гх і г2:
І(*иЧ)і Я(Є!,82)
при чім для 8і = 0, б2 = 0 перша з них повинна мати екстремум
за умови:
Але в такім разі ми одержимо звичайну задачу диферепцій-
ного числення на Махіш. Мі піт. функції двох арґументів,
зв'язаних умовним рівнанням. За правилом будуємо функцію
де X сталий чинник (ізопериметричний чинник) і шукаємо
екстремум цієї функції. Запроваджуючи зазначення /Ч-Хср = Р
шукаємо у як функцію х так, щоб вона екстремізувала
інтеґрал
1?{куу')йх
іх0
і справджувала вищевказані умови на межах. Для цього
доведеться зінтеґрувати Еиіег'ове рівнання
Нехай інтеґрал цього рівнання буде:
у = ф(#<фХ)
(а і р сталі інтеґрації). Запроваджуємо умови на границях:
$(х0а$\) = у0; №і*№) = Уі
Звідси можна визначити а та р через X і тоді інтеґрал
у = $(ха$\) набуде вигляду
у = Є(х,\).
Вставляємо цю функцію замість у в інтеґралю І \(хуу')йх.
)х0
Для визначення X дістаємо рівнання:
г
Зх
Г%(х,6,в,)<Іх=А.
ь'х0
Визначивши звидси X і вставивши в у=Є(а;,Х), дістанемо
остаточну функцію, що справджує поставлені вимоги та може
80

Г*1
екстремізувати інтеґрал і ((хуу')йх при вказаних обмеженнях.
Увага. Коли б умовних інтеґралів було декілька, то
треба було б екстремізувати інтеґрал
і
(Л-Иі¥і+ **¥* + ...)**
Х0
розглядаючи зложену варіяцію:
$У = «Лі(*) + в2-п2(х) +...
ПРИКЛАДИ.
43. Клясична задача Еиіег-а про визначення
лінії даної довжини, що переходить через дві
д$ні точки й творить з тятивою, яка сполучає ці
точки, поле тахішиш.
Нехай А і В дані точки. Візьмімо тятиву ЛВ за вісь х-ів9
а середину цеї тятиви за початок координат. Віддаль АВ за-
значімо через 2а, а дану довжину шуканої кривої між А
та В через 21. Тоді задача зведеться на мінімізацію інтеґрала
і усіх, за умови, що для шуканої кривої інтеґрал \ Уг + у'^сЬс
^—а } — а
повинен дорівнювати 21. За виведеним правилом екстремі-
зувмо інтеґрал
{у-\Уі+у'*)<1х
/:
В підінтеґральну функцію не входить х і тому зразу
знаходимо перший інтеґрал вигляду:
Г=у,Ру1 — ^
де р=у-\у і-{-у'2, що в нашім випадкові зведеться на:
і=(у+1)Уі+у"
Звідки:
По новій інтеґрації одержимо повнив інтеґрал
Проф. В. Я. Букревв—в.
8!

тобто коло радіюсу X. Запроваджуємо умови на межах
(_а_а)2 + р2 = Х2; (а —а)2 + рз = Х2
Звідки а = 0, Ї^Уї* — а2 Отже (для у>0):
у = /х« —я«- /X* — а2; V 1-И'2 = X: Кх*-ж2
а щоб визначити X маємо
С+<1 Ш = *7
або, що на одно виходить:
(71)
X. агс 8іп -г- = І
А що, очевидно, 1>а, то поклавши 1 = ак, а=Х£, дістанемо:
агс8іп£=г,. Звідси видно, що за корені рів-
нання (71) правитимуть абсциси точок
перетину простої та синусоїди (рис. 29)
г, = й£; £ = 8Іпг,; і>1.
Очевидно, що точок зустрічі буде три:
О, М, М', з яких треба взяти Му тобто
додатний корінь, бо тільки тоді буде
справджуватися Ье£еп<іге - ова умова для Махіт.:
►5 /уу--Ці+у*)-*<о.
Умова ^соЬі-єва справджується, бо хоч
громада кіл радіюсу X, які переходять
через 4, і має обгортку, проте на дузі кола АВ
точки, супряженої з А, не буде, ^еіег-
вігазз-ова умова також справджується, бо
для Г=у — Х|/*1 + ^/2 дістанемо:
Рио. 29.
Е~у=£^\і+&-У&+*№+у*)
що є число від'ємне (порів. § 37). Отож маємо конечну умову
для сильного екстремуму.
44. Знайти форму (меридіян) однорідного
твердого тіла обертання даного об'єму, що чинить
максимальне притягання на матеріяльну точку
з масою 1, яка перебуває на осі обертання (Ие^-
іоп-ів закон притягання).
Щільність тіла приймаємо за одиницю. Крім того,
припустімо, що притягувана точка є на початку координат. Абсо-
82

лютну міру притягнання також приймімо за одиницю. Тут
зручно буде скористатися з полярної системи координат.
Вісь обертання візьмімо за полярну (рис. ЗО). Нехай КЬ
шуканий меридіян. Розгляньмо
елементарну площинку: рфЖр
(зарисовану). За теоремою
Рарриз-а об'єм оборотового
тіла, витворюваного обертанням
цеї площинки — до нескінчено
малих вищих ступенів
—буде: 2тс(р віп (р)рйрй(р. Склад- і^ііс. зо.
ник притягання цим
елементарним об'ємом нашої матеріяльної точки на полярну
вісь виобразиться 2язіп<рй^йрсов<р.
На вказані елементарні об'єми може бути розбите все при-
тяжне тіло обертання. Складник всього притягання на осі
обертання визначиться подвійним інтеґралом:
Р = 2я//8ІП ер С08 (рйрйср
об'єм тіла, —даний, за умовою —буде:
а* = 2тг // р2 зіп «йрейр
Межі інтеґрації треба взяти так, щоб вичерпати всі елементи
тіла. Залишивши тим часом питання про межі, зінтеґруймо
по р у наших інтеґралах.
дістанемо:
р = 2т. І р зіп <р сов <р с?ср; а3 = — т, і р3 8іп <р^р
де р шукана функція від ф і а* дана величина. Щоб макси-
мізувати інтеґрал Г, згідно з правилом, треба максимізу-
вати інтеґрал
Г (р 8ІП (р С08 ер — Хр3 8ІП <р) <?<р
де X ізопериметрична стала. В підінтеґральну функцію не
входить похідна від шуканої функції й тому Ешег-ове рів-
нання напишеться:
ЗІП (р С08 ер — ЗХр* 8ІП (р = О
звідки
р2=&2со8<р; й2 = 1 :ЗХ
—рівнання меридіяна в полярних координатах. При <р = 0,
р = 1с тим то & є довжина діяметра вдовж осі обертання. При
ср=—іс, р = 0, тобто меридіян переходить через притягувану
83

точку, перетинаючи вісь під прямим кутом. Вставляючи
вартість р в інтеґрал для об'єму, дістанемо:
ісА?3 І С08 ф 8ІП <р Ау = тт"^*3 = Я3
Звідки знайдемо І, а значить і X.
Дослідимо ще зміну радіюсу паралелі, тобто рвіїкр. Легко
завважити, що при 8іп<р = Д/—, тобто приблизно при ? =
= 54°47' дістанемо максимальну паралелю. Меридіяльний
переріз мав форму овалу.
Знайдена розв'язка не дав математичного максимуму,
розв'язуючи бо задачу в параметричній формі (за \Уеіег8Іга88-ом)
можна пересвідчитися, що вже Ье§епаге-ова умова не
справджується. Знайдена розв'язка дав найбільшу вартість для
притягання. Якщо підрахувати величину притягання такої
самої маси як наше тіло, але сферичної форми (відомо, що
тахітшп такого притягання досягається на поверхні сфери),
то відношення максимального притягання сферичної маси до
4 1 з/—
знайденого притягання (Р=—Щвиявилося б рівне: —-у 25 ,
о з
що трохи менше від одиниці*).
ПРИКЛАДИ ДЛЯ ВПРАВ.
1. Знайти криву даної довжини, що від її обертання
навколо осі х повстав тіло екстремального об'єму.
Відп. Пружна лінія р = Х:2у.
2. Знайти криву, що від її обертання навколо осі х повстав
тіло, об'єм якого екстремальний, а поверхня мав дану величину.
Відп. Геометричне місце фокуса еліпси (або гіперболі),
що котиться по осі х без ковзання (див. Курс вар. числ. Са-
бініна).
*) Див. Рог8у*Ь, р. 415.
84

Розділ сьомий.
ЗВ'ЯЗАНИЙ ЕКСТРЕМУМ 2-го РОДУ.
Ьа£гап£Є-ова задача.
45. Розгляньмо спочатку частинний випадок, що його
потім нетрудно буде взагальнити. Ми вище бачили, у випадкові
ізопериметричної задачі, що зв'язок дається в інтеґральній
формі. В задачах 2-го роду цей зв'язок мав форму диферен-
ційних рівнань. Цей випадок загальніший й далі ми
покажемо, що всяку задачу 1-го роду можна звести на задачу
2-го роду.
Нехай треба між двома точками М(хоуо0о)і М(хіУі2і)
нерухомими абож підданими умові —
перебувати на даних лініях, або на даних поверхнях,
повести лінію так, щоб уподовж її інтеґрал:
(72) 1= ГУ(0У*У'*#) ах
(у і з шукані функції від а?) мав екстремумі, крім того
щоб справджувалося диференційне
співвідношення:
(73) ф(ж^У) = 0.
Коли б цеї додаткової умови не було дано, то треба було б,
щоб знайти екстремум інтеґрала (72),— робити так, як це ми
зробили в § 8 і § 9 для випадку одної шуканої функції від х.
Піддаючи функції у і з варіяціям: ег,(х) і г.ї>{х) де г, і С
довільні функції кляси С", ми для першої варіяції інтеґрала (72)
одержимо:
и-.£|* (*-£*) + '('•-•£■«■ )|*+
+ (&+&)"■'■
85

Вираз, що стоїть поза інтеґралом, зведеться на нуль, якщо М
і N нерухомі, тоді бо г,(#) і С(#) будуть нулі на границях.
Але в нас в додаткова умова (73). Вона повинна мати місце
й для варйованих функцій тобто
¥(*>» + «»• * + «Сі У' + *П'> • + ««') —0.
Розвиваючи по степенях $ дістанемо (з огляду на (73)):
(74) 8 (іир, + С<р* + Ч V + -'<?*') + Г2 = О.
З допомогою цього співвідношення можна перетворити й/ так
(г2 —2-го ступеня щодо $, тим то його можна відкинути при
вивченні першої варіяції).
Нехай \(х) невідома тим часом функція кляси С.
А що:
/Ті І /і
-^ І * (Ч¥* + **») [ — х (ч'<РУ + С'?*)+Ч -Ц£ (Х(РУ) +
+с^(^)=Кч<р,+&р*+ч'<р»'+',<р*')— ч х<р»—^-(Ч') —
-^«-ж^**
то, 8 огляду на (74)
ч|*ч>»—
Доберімо тепер функцію X так, щоб:
(75) ^-£<^)-/;_-*-/-,
тоді перша варіяція може бути представлена в такім вигляді:
+1 ч(&-х<іу)+с(&-х^) Г.«.
Зважаючи на довільність функції С(ж) ми—для того, щоб
справдити умову 81=0, повинні мати:
(76) І*--^)^-^
88

і крім того
{ *і (/*'—%')+С (/*/ — Ц*>) }* = о.
Остання умова сама собою справджуватиметься, якщо точки
(хо,Уо,2о) та (хиуи*г) будуть нерухомі.
Для визначення трьох невідомих функцій: у, г, X маємо три
рівнання (73), (75) і (76), а щоб визначити сталі інтеґрації
маємо умови на межах. Придивляючись до складу рівнань,
(75) і (76) і завважаючи, що їх можна переписати у вигляді:
(77) *;--*.*.,,.о; Л-^.Л-о
де Р=?—'ку, ми бачимо, що їх можна було б дійти, екстре-
мізуючи інтеґрал:
ГХі(ї-\9)<їх.
Узагальняючи розібраний випадок, доходимо наступної
задачі: треба визначити п функцій: уху%—уп від х
так, щоб інтеґрал:
Ґ{хУіУ2• •.УпУхУг •.-Угп)<ІХ
набував екстремум і крім того, щоб
справджувалися диференційні співвідношення:
<Рі (хУіУ2... УпУхУг . • • У») = О
<р2( )-0
<р*( )—о
(*<п)
і щоб на границях х = х0 і *■«!, шукані функції
одержували задані вартості абож
справджували якісь інші граничні умови.
Щоб розв'язати задачу, шукаємо екстремум інтеґрала:
і
х„
де
а X,...X* функції від х. Дістаємо Еиіегові рівнання
87

до яких долучаємо Тс умовних рівнань для визначення п-\-Тс
функцій: уг...УпЬг..Лк. Сталі інтеґрації знайдемо з умов на
границях *).
Увага І. В умовні рівнання похідні почасти можуть і не
входити.
Увага П. Задачу 1-го роду можна звести на задачу 2-го
роду. Нехай треба екстремізувати інтеґрал.
/= ^{хуу")йх
так щоб інтеґрал
І Ід\^уу9)йх
Зх0
одержував наперед задану вартість А і щоб у=у0 приа? = а?о
і у = уї9 при х = хг. Розгляньмо функцію від х:
г= 1 9(хуу')йх-
Ця функція при х = х0 дорівнює нулеві, а при х = хи
повинна набувати вартість А, тим то задачі можна надати такої
форми:
Треба визначити дві функції у і з від х так, щоб інтеґрал
І-\ Ії(хуу*)ах
набував екстремум, щоб справджувалося диференційне
співвідношення: д{хуу')—^ = 0 і щоб при х = х0 ми мали у = у0>
з = о, а при х = хІ9 у — Уг, 2 = А. Повстає задача 2-го роду.
Увага III. Коли б треба було екстремізувати інтеґрал,
під знаком якого входить одна або декілька шуканих функцій
й похідні від них не тільки першого, але й вищих порядків,
то, збільшуючи число шуканих функцій, можна звести
питання на той випадок, коли входять похущі тільки першого
порядку й коли долучаються ще умовні рівнання з похідними
порядку також не вище, як перший. Нехай от треба
екстремізувати інтеґрал
і-[ХіГ{*уіґіґ)**
)х0
при чім на границях даються вартості у та у'. Покладаючи
•) Щоб глибше обґрунтувати правило, див. Воіга , Кар. XI.
88

у' = 0, дістанемо задачу 2-го роду з двома шуканими фукціями
у і 0 що повинні екстремізувати інтеґрал:
і:
Цхую1) Ох
за умови: у' — е = 0. Діючи, як і вище, зведемо питання на
екстремізацію інтеґрала
г
Ох
рах,
ДЄ
У = /-Х(у»-0).
Складаємо систему (77), що в нашому випадкові буде:
'.+Іг=0; л+і-£-«,-о.
Прилучаючи сюди ^' — 0 = 0, маємо все потрібне для
визначення у, є, X. А в тім виключаючи X, зразу одержуємо
рівнання (Биіег-ове) для визначення у:
(78) ,,-^/Н.^-о.
Повний інтеґрал цього рівнання містить у собі чотири довільні
сталі, визначувані з умов на границях. Його порядок можна
знизити в тих випадках, як і в § 11. Якщо в функцію { не
входить у, то перший інтеґрал очевидно буде:
(а) Ґіґ— 7/аГ^"=а*
Якщо ж не входить х9 то, як це легко перевірити, перший
інтеґрал буде:
(Ь) Ґ=с + У/Ґу> + УУу>>-У'-^Ґу>>-
Якщо немає ні х, ні у> то виключаючи (уІ з (а) та (Ь), дійдемо
до рівнання 2-го порядку.
(79) ґ^е + ау' + іГГ,"-
Увага IV. Певна річ, вивчати екстремум інтеґрала
можна було б і безпосередньо, не зводячи цього питання на
задачу 2-го роду. Можна було б з приводу цього питання

розглядати умови Ье^ецсігва, ^соЬі та АйГеіегзІгазз-а. Як от
для другої варіяції можна було б одержати такий вираз:
і р/*л і "• •• ••
ЬЧ--
] (т'—ії*)*
ч ч ч
и у! и"
V Vі V"
йх
де
В(х)=-
(при чім в цю похідну замість у, у' та уґ вставлені їх
вартості через х з інтеґрала рівнання (78); припускається, що
довільні сталі визначені з умов на границях). Функція г{(х)
кляси С входить до варіяції Ьу = г.т{(х)\ и, V два різні інте-
ґрали рівнання (лінійного, однорідного) 4-го порядку,
аналогічного до рівнання &соЬі для найпростішої задачі.
Ье§еп<іге-ова умова виобразиться так:
По дальші подробиці відсилаємо читача до курсу РогзуіЬ-а,
сЬ. III.
ПРИКЛАДИ.
46.Визначити криву, що переходить через дві
дані точки та мав в кожній з цих точок заданий
напрям, і при тім таку, що поле, обмежене
кривою, двома радіюсами кривини в даних точках
і відповідною дугою еволюти, буде тіпітипі
(Еиіег).
Якщо йв елемент дуги шуканої кривої, р радіюс кривини,
то елементарну частину поля, що його мінімізуємо, можна
і
представити у вигляді:
цію інтеґрала
р<і$. Задача зводиться на мініміза-
Ц^ЦМ^у^^
1-
тим то
(і+з^)2
Тут немає н х, ні у. Еиіег-ове рівнання зведеться на рівнання
(79) другого порядку:
ЇІІ$£К -.+*
90

Поділивши обидві частини на V і-\-у'2 і запровадивши кут <р
дотичної з віссю абсцис, з огляду на формули:
у': V 1 + ^'2 =зіп<р; і : V і+#'2 = со8<р; й$ = $йо
дістанемо (змінюючи зазначення довільних сталих):
р=г4аС08(«4"ї)
звідки видно, що р мав нескінчене число Мах. та Мій.: О і 4а-
Приймімо за початкову точку кривої ту, де р = 0. Повернімо
систему координат так, щоб для цеї точки мати:
1
Тоді можна покласти:
р = 4а 008 <р.
А що:
(ІХ = Й5С08 (р = р С08(р$р
то:
йх ■» 4а сов2 <р#?.
Аналогічно:
ву = 4а 8ІП ер С08 <р(?ф.
Інтеґруючя, замінюючи ер на—Ф, дістанемо
Х=$ — а(2ф-|-8т2ф); у = * + а(1—С082(р)
знайому форму рівнання циклоїди.
47. Геодезична лінія на поверхні. В § 17 ми вже
розглянули частинний випадок цього питання для псевдо-
сфери. Зупинімося трохи на загальнім випадкові. Нехай
спочатку рівнання поверхні дано в декартових координатах
Ф(хуя) = 0, а на ній дається дві точки М(х0у^о) і АГ(#іДОі).
Треба повести на поверхні між цими точками таку лінію:
що інтеґрал:
буде шіпітиш (£0 і її в вартості параметра в точках М і ІУ).
Ми мавмо тут задачу 2-го роду, при чім ролю умовного
рівнання відограв рівнання поверхні Ф = 0, що в нього похідні
не входять. За правилом екстремізувмо інтеґрал:
Дв °
91

де X, загалом кажучи, функція від і. Утворюючи систему,
аналогічну до (77), дістанемо (завважаючи, що
д п^ і дф
дхх дх
і т. д., X бо в функція від і):
.дФ а х' _п дФ _й_і1_л ч ьф а *' _
к~дх~Ж $'—и' ду йі в1 -и> дг йЬ в1
Xі у1 г
де 5і = у х'2 + у'2+я'2. Відомо, що —г, Л-, -т-е косинуси ку-
о о о
тів дотичної з осями координат і рівнання можна написати
в такім вигляді:
. дФ й_йх_ > дФ ^_^__0 % дФ Д (й_
~дх ~ОІ (& ' ду 1ЇЇ йв ~~ ' дя йі йв ~
або, якщо за параметр і взяти дугу 5 кривої:
, дФ а2х Л ч дФ а^у л , дФ ач л
Лг йв2 ду сівг дя йв2
а це дав основну властивість шуканої лінії: в кожній точці
мінімізаційної лінії осередок кривини цеї лінії знаходиться на
нормалі до поверхні в тій самій точці. Отже лінія, що її
довжина між двома точками тіпітит, повинна бути
геодезичною.
Звідси, звичайно, не випливав, що й навпаки лінія
геодезична буде лінія мінімальної довжини.
По подробиці, що стосуються до геодезичних ліній,
відсилаємо читача до праць БагЬоих, РогзуШ-а, Еіп8епЬаг<И>а та
ін. Обмежимося завваженням, що для розглядуваної задачі
справджується ^еіегзігавз-ова умова. Це буде зручно
зробити, розглядаючи рівнання поверхні в Оаизз-ових
координатах и і V*);
х = у(и^); у = Ь{и,ь)\ я = г{и^)
коли елемент поверхні визначиться у вигляді:
йв2 = Ейи2 + 2Рйийу + Ойь2
де
0 = х*2+у^+^*
*) Див., напр., мій курс: Злементн теории поверхностей. Киев. 1901.
92

тим то за тотожністю Еиіег-а:
ЕО — Р>>0.
Розглядаючи ю як шукану функцію, що мінімізує інтеґрал:
і"
і утворюючи функцію Е \\Геіег8іга88-а, дістанемо:
Е = \ҐЕ + 2*> + С?л2 - УЕ + 2Ео' + Оії* —
р+ О»' = 1
— (Р- — «0 уг£ + 2*У + (??* Уе + 2ЕІЇ + £і>'2'
• { /СЕ + 2І?> + ад (е + 2*У + <?і/2 - (# + Ох + г/)^+»*(?*') )
Радикали додатні й вираз в дужках не може бути від'ємний
в противнім бо разі:
{Е + 2Гіі + ві*)(к + 2№ + 0^*)<{Е + {її ±ІЇ)Р+№У
або, по зведенні:
{1^-VУ(Е^ — Р2)<0
шо неможливо.
Зупинімося на двох простих випадках.
і. Поверхня обертання. її рівнання в циліндричних
координатах можна написати так:
х = р соз <?, у шш р зіп ф, г = Р (р)
де р радіюс паралелі. В такім випадкові
і Еиіег-ове рівнання зведеться на:
0_ рУ =
<?р іЛ+і^рї+рУ2
якщо <р розглядати, як невідому функцію від р, що екстремі-
зуе інтеґрал:
і= (РУі+^2(Р) + рУ"Ч
Перший інтеґрал отже буде:
С0П8І =&,
РУ
Кі+^,2(р) + рУ2
93

або:
Нехай Р точка геодезичної (рис. 31), що творить кут ш з па-
ралелею ЬЬ. Нехай ($ точка,
сусідня з Р на геодезичній, Рф = (1$.
Тоді й$.С08ш ^ йа, де До елемент
дуги паралелі (й = рсГ<р. В такому
випадкові перший інтеґрал (Сіаі-
гаиі) можна переписати так:
р С08 а) = Ь.
співвідношення, що має значіння
Рис. зі. ^ не тільки в теорії, але й в
практиці мореплавства.
2. Сфера. Якщо: х2+у2-\-$2 = Іі2, то Еиіег-ові рівнання
для геодезичної напишуться:
/ллЧ . <Рх л . б^у л , йЧ
(8°) ^-^2- = °> ^-^1 = 0> х*"
А що вдовж геодезичної х, у, з є функції дуги в, то
(їх . йу . й#
диференціюючи знову й завважаючи, що
дістанемо
^Ж + ^ + ^^т^-1-
Тим то, помножаючи (80) відповідно на х. у, я і додаючи,
дістанемо: ХК2 + 1 = 0, отож X буде сталою величиною, а
рівнання (80) будуть лінійні однорідні зі сталими сучинниками.
Інтеґруючи їх, дістанемо:
і , о . і
X = аг С08 -т- 5 + ?! 81П -^- 8
у = а2 С08 -р- в 4" Ра 81П "дГ «
0 = а3 С08 -п- $ + Рз 31П -д 8
94

ЗВІДКИ
х гх ^
У *2 ?2
% «з Рз
= 0,
що являв собою площу, яка переходить через осередок сфери:
геодезична являв собою дугу великого кола. Легко було б
пересвідчитися, що ЛсоЬі-вва умова зводиться на те, щоб точка
кінцева не доходила до точки діяметрально протилежної до
початкої.

Розділ восьмий*
ДЕЯКІ ВЗАГАЛЬНЕННЯ. КОДЗЕК-ОоІ ТЕОРЕМИ.
ІНТЕГРАЛ ВЕЬТКАМІ-ЇВ.
Вивід загальної формули та її частинні випадки.
48. Розгляньмо громаду кривих з параметром а:
(80) У = <?{я,а)
де ер всередині якогось обсягу х та а в функція кляси С".
Крім того припустімо, що в середині якоїсь частини ЗІ площі
ху через кожну точку переходить тільки одна крива громади,
отже %(х,а)фо. Якщо (80) розв'яжемо щодо а, то
припустимо, що ф (х% у) = а кляси 0і. Таку частину обсягу В
назвімо поле громади (80), а кутовий сучинник дотичної до
кривої (80), що переходить через (х, у) поля —нахилом
поля в цій точці*).
Поведімо в полі будь які криві кляси С.
у = Р(х) (К)
у=Ф(х) (Ц
при чім кожна крива (80)
зустрічав кожну з кривих (К)
та (Ь) не більш, як в одній
точці (див. рис. 32). Умовмося
вирази, що залежать від
координат точок лінії (К),
зазначати нижнім індексом 0, а ті,
що стосуються до лінії {Ц
індексом 1. Нехай якійсь вар-
Рис. 32. тості параметра а відповідав
*) Викладувані міркування я вперше опублікував в III томі Записок
Математичного Кабінету Тавричного Університету за 1920 р. в трохи інакшій
формі.
96

крива МИ громади (80), що зустрічав лінію (К) у точці М (х0у<>),
а лінію (Ц в точці N (#іУі), отож
(81) ? (х0а) —Г (х0) = 0; <р (хга) — Ф (хх) = 0,
Якщо функція ї(гуу') трьох арґументів буде кляси <7", в
якомусь обсягу, що містить у собі обсяг 91, то інтеґрал
І (а)=¥1ї(ху*')йх
^x0
взятий вдовж Л/# і де <р' = — ер (ха) напевне буде суцільною
диференціювальною функцією від параметра а, що входить як
у границі, з огляду на (81)— так і в підінтеґральний вираз
в <р та <р'. Зазначаючи через Т{а) похідну по а від інтеґрала
й зробивши диференціяцію за відомим правилом (при чім
член їу'іхуу^у^.сіх інтеґрувмо частинами), дістанемо:
і'<Н'£+*-*ігі'іг+а'-4+
ґ*' І б, І
де напр.,
а похідну —^ знаходимо з (81):
(82) *' (х0а) ^+?а (х0а) = РМ^ії •
Навпаки, з (82)можна визначити <?« (х0а):
(82)' *а(х0а) = ІГ(х0)-ч\х0а)\^.
Тут ?' (х0а) зазначав нахил поля в точці Іа І" (х0) кутовий
сучинник дотичної до (К) в точці М.
Припустімо, що у=у(ха) в інтеґрал рівнання Еиіег-а, тоді
(83) Г(а) = Тх-Т09ДЄ Т=Г^+Г**Ча
Розгляньмо поступінно такі окремі припущення.
Проф Б. Я. Букреев-7. 97

1. Крива (К) такої властивости, що для всіх вартостей а
від аг до а2 маємо Гв в 0, тобто зважаючи на (82):
(84) (^)о І Г&оУоУо') + (Уо -И>')/>' (*ДОо9) ] = О
де
у0 = ср(а?0а); Уо—ч'(х0а);уо = Г{х0); у'0=Г'(х0)
Дістаємо умову (70) трансверсальности. Криву (К) в такім
випадкові називають трансверсалею громади (80) (Кпезег).
2. Поведімо з кожної точки дуги Рф кривої (К) (Р—точка
зустрічі (К) з екстремалею у = у(х, а^ а ф точка зустрічі (£)
з екстремалею у = <р (а?, а2) таку дугу кривої громади (80), що
вдовж її інтеґрал І (а) задержує сталу вартість, отож Ґ(а) = о.
Якщо (К) € трансверсаля тобто їо = 0, то з (83) знайдемо
Г1 = 0, тобто і (Іг) буде трансверсаля.
3. Навпаки, коли як (К) так і (Ь) є трансверсалі, тобто
Г0 = 0, їт1 = 0, то з (83) висновуємо, що /(а) = 0, тобто:
І(а) — оопві. (Кпезег).
4. В окремому випадкові крива (К) може звестися на точку
(х0уо), що її можна розглядати також наче екстремалю в'язки
(80) екстремалей, які виходять з (#0Уо) (умова (84)
справджуватиметься, бо а? = соп8І. =#0, отже <р«(а?а) = 0, бо у{х0а) = у0
при всякім а). Цей випадок треба розглядати яко граничний
(коли (х0уо) наближається до границі обсягу 91), бо через (х0у0)
переходить безліч екстремалей. Ми дістаємо частинний
випадок припущення і. при чім крива (£) являє собою аналогію
геодезичного кола й тим то її можна було б назвати трансвер-
сальним колом з осередком в (х0Уо)-
5. Припустімо, що (К) знову є трансверсаля громади (80),
крива ж (£) наближається до границі обсягу 91, являючи
собою обгортку громади (80), вдовж якої <рл (х, а) = 0. Тоді
рівність (83) перейде в оцю
'«•>-(£•').
де хи як функція від а визначається другим із
співвідношень (81). Інтеґруючи в межах від ах до а2, дістанемо
Інтеґрал, що стоїть тут, є ні що інше, як перетворення до
змінного а інтеґрала Г ?(хуу') <іх. взятого вдовж обгортки (Ь) від
точки, що в ній екстремаля у = у(хаг) дотикає обгортки, до
98

точки де екстремаля у = у(ха2) дотикав тої самої обгортки
(Кпезег).
6. Якщо в попереднім випадкові припустимо, що (К)
стягається в точку, то дістанемо теорему 2егте1о (Біззегіаііоп,
р. 96), за якою, коли хх є точка супряжена з х0, то загалом
кажучи, екстремаля, що сполучав ці точки, не екстремізуе
інтеґрал в узькому розумінні (еі£епШсЬез Ех*гетшп).
Інтеграл ВеИгаті-їв.
49. Нарешті припустімо, що лінії (К) і (Ь) перетинаються
в точках Р і д. Нехай ах
та а2 вартості параметра
на екстремалях, що
переходять відповідно через Р
і ф (рис. 33).
В такім випадкові
/(«і) = 0, 7(а2) = 0,
довжина бо шляху інте-
ґрації в точках Р та ф
дорівнює нулеві.
Зінтеґрувавши (83) від
а = ах до а = а2, дістанемо:
0=1 ТхЯа — І Т0йа.
Звідки висновуємо, що інтеґрал:
Рис. 33.
(85)
Я-
йх
йа
•<Ра(ха)/'у' \ йа
взятий вдовж (К) між Р і <2 мав таку саму вартість як і вдовж
(Ь) між тими самими точками, тобто в функція координат
точок Р і (?, але не залежить від шляху інтеґрації. Цей
інтеґрал (в іншій формі) знайшов уперше Веіігаті в своїх
дослідах з диференційної геометрії*). НіШегі досить вдало
скористався з цього інтеґрала, щоб довести достатню умову \Уеіег-
зігазз-ову, про що мова буде в наступному розділі.
В інтеґралі (85) похідну <р„ (х, а) можна замінити її
виразом з (82):
<Р«(яа) = (У— Р)~£;
*) Кеп<іісоп1;і йеіі Із*. ЬотЬагДо (2); І (1868) р. 708.
Проф. Б. Я. Букреев.
99

де у1 кутовий сучинник дотичної до шляху інтеґрації, а
р = <р'(ха) нахил поля в точці дотику. Якщо з (80) визначимо
а через х та у і встановимо в ф' {ха), то знайдемо р у
функції від х та у. Після цього ВеНгаті-їв інтеґрал, завва-
йх , ,
живши, що -г-йа = йх, можна переписати так:
Якщо шлях інтеґрації являє собою трансверсалю, то, з огляду
на умови (84), інтеґрал дорівнюватиме нулеві. Якщо шлях
інтеґрації в екстремаля, то на ньому у' = р і інтеґрал
перетвориться на Г ї{хуу*) йх, де х, уу у' стосуються до цієї
екстремалі.
100

Розділ дев'ятий.
ДОСТАТНЯ УМОВА ЕКСТРЕМУМУ ШЕІЕК5ТКА58-А.
НИЬегИв довід \Уеіег$їга5$ ової умови.
50. Подібно до того, як у теорії рядів розглядаються ознаки
збіжиости або тільки конечні, або тільки достатні, так у В. Ч.
повстав питання про достатні умови екстремуму, хоч і не
конечні. Чотири конечні умови ми досить докладно розглянули
в перших чотирьох розділах.
Одначе тут справа значно складніша й обсяг застосування
тої чи іншої достатньої умови вельми обмежений, в наслідок
аналітичних труднощів, що при цім повстають.
З різних достатніх умов (переважно ^еіегзіхазз-а, Ілпйе-
Ьег£-а та Ьєуі) ми зупинимося лише на ^Геіегзігазз-овій умові,
застосування бо інтеґрала Веіігаті дозволяв вивести її дуже
просто.
Як ми бачили,- цей інтеґрал має вигляд:
7= С (іхур) + (у- р)^, (Хур) йх.
Він залежить тільки від координат точок М і N поля, але
не від того шляху, що сполучав ці точки; р (х, у) нахил поля
в точці (х, у). Нехай ми
шукаємо тіпітшп інтеґрала:
і:
/
за умови, що дані вартості \
у на границях, і хочемо пе- \ч
ресвідчитися, що екстрема- ч\%%
ля, яка сполучає точки А ^-^^ ^^'
{г0у0) і ВіхгУх) справді на- р^сГзіГ
дав інтеґралові тіпітит.
Припустімо, що навколо екстремалі АЕВ існув поле й ми
101

знаємо його нахил. Поведімо між А і В сусідній (околишній)
шлях АРВ (див. рис. 34).
Для того, щоб вдовж АЕВ інтеґрал мав тіпітит,
досить і потрібно, щоб для будь-якого околишнього шляху, що
лежить на полі, ми мали:
І(АРВ)—І(АЕВ)^0.
Беручи під увагу говорене наприкінці попереднього розділу,
ми інтеґрал І (АЕВ), взятий вдовж екстремалі, можемо
замінити інтеґралом І (АРВ) взятим удовж околишнього шляху
АРВ, бо
І (АРВ) » І {АЕВ) = І (АЕВ)
і повний приріст Д/ інтеґрала, при переході від
екстремального шляху АЕВ до околишнього АРВ можна буде
представити так: _
М^І(АРВ)—І(АРВ)
або
(86) Д/=1 і(хуу')йх —
- | Ґ(ХУР) + (У' — Р)ГУ (ЩР) \й*
З (АРВ) І І
де під (х, у) розуміємо координати точки околишнього шляху
АРВ, під у1 кутовий сучинник дотичної до цього шляху в тій
самій точці, а під р (х, у) нахил поля в тій самій точці.
Згадуючи зазначення (69) функції Е в § 34 (розділ IV) ми
можемо підінтеґральну функцію в інтеґралі, що виражав ДІ,
написати так:
Е (х, у, р(х, у,), у9)
і умова для тіпітит-а (сильного) виобразиться
(87) ІЕ(х,у,р,у')<Іх^О.
(на окол. шляху).
Достатня умова \¥еіег$(га$$-а.
51. Для того, щоб умова (87) здійснилася,
очевидно досить, щоб у будь-якій точці поля ми
мали:
(88) Щх,у,р(х,у),і>)^0.
яка б не була скінчена вартість ц.
102

Мінімум буде „властивий" чи „не властивий" в залежносте
від того, чи маємо Е>0, чи Е>0.
Труднощі застосування умови (88) полягають головне в
установленні факту існування поля, та у зазначенні функції р (х, у),
що виображув нахил поля.
З цього приводу завважмо, що, коли для екстремальної
дуги АЕВ (рис. 34) справджуються умови Ье^епсіге-а та ^соЬі,
то навколо АЕВ напевне існує екстремальне поле (див.
початок § 48).
Справді, нехай у = у{ха) громада екстремалів з одним
параметром, при чім для а = а0 дістаємо екстремалю АЕВ, а
функції ? та фх кляси О в обсягу: (Х0, Хг) для х і для
вартостей а, відмінних досить мало (абсолютною вартістю) від а0.
Задля означености припустімо, що у = ер (ха) є в'язка
екстремалів, що виходять з будь-якої точки екстремалі АЕВ, якої
абсциса лежить всередині інтервалу (Х0, хо). ЛасоЬі-єва умова
вимагає, щоб <р« (х, а0) ф 0 для всіх х на інтервалі (а?о#і). З огляду
на суцільність будемо мати <?(х,а)фО для всіх вартостей,
досить мало відмінних—абсолютною величиною — від а0 і для
всіх х на (х^сх). Але в такім випадкові, для даної вартости х
на (хоХі), функція у = у(ха) при зростанні а, мінятиметься
завжди в тому самому напрямі (напр., зростатиме, коли
?а (#> а) > 0), отож кожній парі вартостей {х, у), тобто кожній
точці, досить близькій до екстремалі АЕВ, буде відповідати
єдина екстремаля, що переходить через цю точку, тобто
матимемо поле.
З властивостей функції <р (х, а) = у випливає, що а буде
функція від х та у кляси С\ а тим і нахил полу у — <ох (ха)
буде функцією від о? та у тої самої кляси.
Приклад.
І=(Хіу'*(і + у'У<Іх
за умов: у=*у0 при х = х0, у = уіпри х = хи Громада
екстремалів буде у = тх-\-а де ш = (уі—у0) :(хг—х0). Поле
складається з системи простих з одним і тим самим кутовим су-
чинником т. При цім а = у — тх, р [х> у) = т.
Утворімо ^еіег8ігав8-ову функцію:
Е = (рі—ш)2{ |х2+2(ш-}-1)»і-|-Зш2Н-4т + 1 }
Якщо: (ш+і)2 — (Зт2+4ш+і)<0, тобто коли т>0 або
т < — 1, то Е > 0. Відтинок простої, що сполучає точки (х0у0)
і (ХіУх) мінімізуватиме запропонований інтеґрал (сильний
екстремум).
юз

Спрощена достатня умова.
52. Розвиваючи різницю ї{хуу')—ї{хур) за Тауіог-ом,
дістанемо:
Ґ(*Ю') —ҐІХУР) = (У1—Р) і* (хур) + ~2(У' — Р)2 І У У (ХУР)
де р (х, у) нахил поля, р число, проміжне між у' та р. Отже:
Е (ауру9) = ~ (у' — рУ Гу'у> {ХУР)>
що дає змогу зформулювати простішу, хоч і менш загальну,
умову, достатню для сильного екстремуму, як от для ті-
пітіші:
Якщо екстремаля АЕВ не містить супряжених
точок (#о'>#і) якщо в кожній точці (х,у) поблизу
екстремалі (в досить близькому сусідстві) і при всякій
скінченій в артості ц маємо:
(у>у'{™М>Ь>
то ЛЕВ надає інтеґралові / сильний властивий
мінімум.
Напр., це матиме місце для дуги ланцюгової лінії, що не
містить супряжених точок.
Достатні умови Ьіпс1еЬег£-а та Ьєуі.
53. Згадаймо ще врешті про умови ЬіпсІеЬег^-а та Ьєуі.
Зважаючи на складність їх доводу, обмежуємося лише
формулюванням цих умов.
Ілп<1еЬег2-ова умова. Нехай маємо екстремалю
АЕВ: у = у{х\ при чім справджується умова ^со-
Ьі-єва у формі: а?0'>#і- Якщо на інтервалі (х0Хі):
В(я?,у,у/,р)>0
Дв: #, уУ у1 стосуються до екстремалі й |р — #'|<>
(V—досить мале додатне число), то у = у(х) буде давати
інтеґралові абсолютний мінімум щодо сусідніх кривих:
У = У(Х) + 2(Х)
за умови: |г'(а;)|^у.
Умова Ьєуі. Нехай маємо екстремалю у~у{х)
і справджується умова: х<І>Хі. Якщо на
інтервалі (хцХі):
Е(*,г,а,р)>0
104

де $фа і досить малі абсолютні вартості
різниць:
\г(х)-у(х)\; !*—•(*)|
то у=*у(х) надаватиме мінімум інтеґралові і
щодо всяких сусідніх кривих типу С
По довід відсилаємо читача до оригінальних мемуарів, або
до курсу проф. Рісопе.
105

ЗМІСТ.
Передмова З
Історичний нарис * 5
Розділ перший.
Найпростіша задача В. Ч. Перша варіяція.
Попередні відомості 7
Геометрична інтерпретація задачі 10
Основні леми В. Ч 11
Перша конечна умова Еиіег-а 13
Другий спосіб перетворення 15
НіІЬегігОва увага щодо кривини екстремалі. . . . • 16
Інтеґрація Еиіег-ового рівнання 17
Приклади • > 19
Приклади для вправ • • 33
Розділ другий.
Друга варіяція. Умови Ье£еш1га-а та Ласові.
Друга варіяція та її різні форми 34
Ье£еп<1ге-ова умова 1786 р • • • 37
Властивості інтеґралів однорідного лінійного рівнання 2-го порядку . 39
Зв'язок між рівняннями Биіег-а та іасові (1837 р.) 41
Конечна умова ^сові для екстремуму • 42
Геометричне значіння умови Ласові 45
Приклади 46
Розділ третій.
Для слабкого екстремуму умови Еиіег-а, Ье£еп<Іге-а та Ласові
не тільки конечні але й достатні.
Довід ^еіегзігазз-ової теореми 62
Недостатність умов Еиіег-а, Ье&епсіге-а та ^сові для сильного
екстремуму 64
Заокруглення кутів 65
Розділ Четвертий.
Четверта конечна умова №еіег$іга8$-а.
Вивід умови ♦ * . 67
Умова Ье&епйге-ова випливає з умови ^Уеіегзігазз-ової 69
Умова ^еіегзігазз-ова не є вислід перших трьох умов 69
Частинний випадок 70
Приклади для вправ , 71

Розділ п'ятий.
Змінні границі.
Умова трансверсальнооти* . . . 72
Окремий випадок» коли умова трансверсальнооти перетворюється на
умову ортогональности 73
Приклади 74
Приклади для вправ 78
Розділ шостий.
Зв'язаний екстремум 1-го роду. Ізопериметрична задача.
Еиіег'ове правило 79
Приклади 81
Приклади для вправ > 84
Розділ сьомий.
Зв'язаний екстремум 2-го роду.
Ьа£гап£в-ова задача ♦ 85
Приклади • . . . , 90
Розділ восьмий.
Деякі взагальнення. Кпезег-ові теореми. Інтеграл ВеИгаті-їв.
Вивід загальної формули та її частинні випадки 96
Інтеґрал Ве1і;гаті-їв 99
Розділ дев'ятий.
Достатня умова екстремуму \Уеіег$іга$$-а.
Ні1Ьег*-ів довід ^еіегзігавз-ової умови 101
Достатня умова ^еіегзігазв-а 102
Спрощена достатня умова 104
Достатні умови ІлпйеЬег£-а та Ьєуі 104
№
107

Стор.
8
14
37
»
39
40
43
44
45
46
п
47
49
50
52
п
»
54
56
57
0
59
63
»
п
65
п
68
70
70
73
75
76
77
п
80
81
83
84
86
87
89
92
93
96
Рядок
14 знизу
1 знизу
10 знизу
12 згори
7 зг.
12 зг.
20 зг.
рис. 12
14 зн.
рис. 13
п
10 зг.
9 зг.
рис. 17
4 зг.
рис. 18
5 зн.
16 зн.
1 8Г.
15 зг.
13 зг.
17 зг.
7 зг.
4 зн.
3 зн.
7 зг.
9 зн.
3 зн.
13, 14, 24 зг.
2 зн.
6 зн.
4 зг.
8, 9 зн.
8 зг.
6 зн.
5 зн.
7 зн.
1 зг.
5 зг.
5 зг.
1 зн.
11 зг.
20 зг.
8 8Г.
11 зг.
Надруковано
В
Еиікег
ЬЧфО
ЯКИХ
зіп
одинакові
а?0
хі
значіння
Л/,
на продовженні ММ'
треба поставити літеру і^
після М*
встановляючи
Уо
3
М'
екстремалів
Ук-у:
(2а — В), Соз9
одну, дві
УУі*+-.
нейменшу
КісаШ
бо
тикий
числа
р
бо
Е
X
-(*-Уо)
а
циклоіди
2У
ДО
інтеґралю
у'Гу'-р
притягнання
дослідимо
У+ Щ-
уі ах уі
в тім
ЕіпвепЬатсИ;
6У*
В
Треба
!»
Еиіег
ьч=о
ЯКИХ ДВОХ
8іп2
однакові
х0'
хг
значення
М'
вставляючи
„ уо „
х0 - —, = х0 —
Уо
—>у
3.
их'
екстремалей
Ук-У
(2а — В)Соз<р
дві, одну
г + Ууі2 +..
найменшу
Кіссаії
та
такий
члена
м
та
Е
У
+ (*-#о')
Ф
циклоїди Є також цик-
лоїда,тцо радіюс кривини
циклоїди
В
в
інтеґрал
2/'*У-іЗ
притягання
дослідімо
У+ *Ц>
г-4-'
Уі ах У'і
втім
ЕізепЬаИ
<&>")
ЗІ