МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ПОРАДИ ДО ВИВЧЕННЯ
СПЕЦКУРСУ "СПЕЦІАЛЬНІ ФУНКЦІЇ'
С-ФУНКЦІЯ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ
"ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА”
ДОНЕЦЬК ДонДУ 1999


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
ДОНЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ПОРАДИ ДО ВИВЧЕННЯ
СПЕЦКУРСУ "СПЕЦІАЛЬНІ ФУНКЦІЇ"
С-ФУНКЦІЯ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ СПЕЦІАЛЬНОСТІ
"ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА"
Схвалено на засіданні
математичного факультету
Протокол № 40
Від 23.11.99 р.
ДОНЕЦЬК ДонДУ 1999
УДК
Методичні поради до вивчення спецкурсу “Спеціальні функції” /
Склали: А.С.Гольцев, В.К.Хижняк. - Донецьк, ДонДУ, 1999. -7 с.
Склали:
Відповідний за випуск
АС.Гольцев, доц.
В.К.Хижняк, доц
В. П. Шевченко
При розв’язанні задач теорії пружності з допомогою інтегрального
перетворення Фур’є часто виникає необхідність знаходження інтегралів
виду
о р2+г2
де ^,(2) - функція Беселя першого роду порядку V [1].
Використаємо результати, одержані в роботі [2|. Будемо виходити із
співвідношення [1]
(1)
0 р
з
г>0, Кел>0, -1<Кес< ,
2
А\,(д) - модифікована функція Беселя третього роду порядку V [1].
Помножимо ліву та праву частини виразу (1) на г' +1 та візьмемо інте-
грал від 0 до г. При цьому використаємо значення інтегралів [1]
І (гр> = -—Л+І(гр),
о	Р
(2)
г '+1^ (	^+1	, ч 2'Т(у + 1)
К\,(г2> =-----К¥+і(гс)+---
о	г	д
Тут Г(у) - гамма-функція [3].
Одержимо
(„) • г(^РЇРГ
о р +2	2	<Г7)^г)
Після п -кратного інтегрування маємо формулу
= (_!)" 2' -”Кх.+„ (/•_’)-
0 Р +2
(3)
2*=і І {п-к + 1)\г2) у2у
З
г>0, Кед>0, -1<Кєу<н +
2
Введемо до розгляду спеціальну функцію Сп к.(д), виходячи з форму-
ли (3), тобто з допомогою інтегрального зображення
(4)
З
з
г>0, Кег>0, -1<Кеу<«+ .
2
Так що (7„ Де) можна записати так
2к
2*=і	[п-к]. 12
Кег>0, V*-1,-2,-З,...
(5)
М*)=[I) К^)> Ке“>0’ ^-1,-2,-3,...
Вирази (5) можна вважати визначенням функції (7Л л.(е) в явному вигляді.
При V = т, де т - ціле число, [3]
г \іп+п+2к
оо І *7 І	ті	1
...
. і і	і іЬ / ^\т+п~ 2к
1 "*£~ (-і)А V” +
2 т-=о	/<!	1-7
»г + и>0,
/-\2А'
°о І 9 ) Г 7
^ой=-Е^- Іп?-Ф(^ + 1)
*=о (к'.) Ь 4
В зв’язку з цим
Г+"+1 Е,
А=0'
1 т-\
+ -Е
2а~о
2)
1
-	------- ці----
к\(т +п + к).\_ 2 2
(т-к-1)
+ 1)-1
’ 2
1к
(н + к)
(6)
2к
1п - - - у(А: +1) - - ц/(л + к +1) .
Л!(и + О[ 2 2У ’ Iх ']
к=О
Тут[3]
* і
»|/(1)=-С,	ч/(£ + 1)=ф(*)+|,	у(* + 1)=
„ Л 1 1	1 . )
С= Ііт 11+ - + +... +-----Іпт ,
т-»а>у 2 3 т )
С = 1пу = 0,577215664901532860606512... - константа Ейлера.
Використовуючи формули [1]
4
^+й(^)=(-і)и+й+,Л«+л(^)ь|+
/- \ т+п+2к
м
( ,у«+н х І п І
+ і—<— £	[ч/(/и + п + к +1)+у(А +1)]+
2 і^пк\\т + п + ку
+	^(пг + п-к-Щ1Г+п-2к
і & к\ и;
/Г0(г)=-/0(г)1п|+І^±^|Л
2 л=о \к\) 12;
одержимо
' уіп-п
^.лХ’)=(-іГ"+,[|] іп|/и+„(2)+
х ч2(т+А)
+ - — ^777“------Тг[ч/(т + и + А+1)+ч/(Л + і)]+
2 ^к^т + п + к).
(7)
+ ’і\-іг+а(77^-¥|Ї\
2а=о	\п + к).
т>0.
При пі = 0 остання сума відсутня. У формулі (7) /,7(д) - модифікована
функція Беселя першого роду [1].
Рекурентні співвідношення. Вони можуть бути одержані із співвідно-
шень для функцій 7ч,(д) або Ку(г) і перевіряються безпосередньою під-
становкою. Приведемо деякі з них:
6'„л.(д)= (и + V- 1Х?„А_1(--)+ О„_1л ..(с),	(8)
, х „ м (-1)"Г(у-ь1)	ґ0.
І з І	{-'/?-і.у+і(2)+	•	(9)
<2;	2(н-Ц
с„л.(^)=[-2Ґо0.У+„и)-| е(-і)л+а У"» (]°)
(11)
\2;	2(л-І/
Похідні
|^Ои.Дг)=у<7й.¥(г)-О„.¥+1(г),	(12)
2 а2
^Сп^)=-гіСп^)-Сп_^	(13)
2 аг
5
(14)
(15)
Диференціальне рівняння.
гЧ’з^)+(2«-2у + 1)2О;л,(.’)-(г2 + 4иу)ґ;й г(2)=(16)
Загальне рішення відповідного однорідного рівняння
г2уг" + (2и-2у + 1)ли''-(-2 +4«ц)и' = 0	(17)
буде
* = С1_-'’-п/г+й(;)+ С2=^пКу+п(=).	(18)
Теорема множення.
О„ ДМ = Х2'' І -1(1 - Х2)"б„л,+га(г), іі- А2! < 1.	(19)
т=от!
Її справедливість виникає з теореми множення для функції Л\. ,,,(>./) [3]:
хУ~Л	зр І /	\	/ ХУ+Л/-Л
<2;	„,=ол«!	<2;
та розкладення
И(-іг^;‘У-Г=
2а-=і	(п-к)\кг)
т=о >”'	[2а.=і	\п-к} \г)
Визначені інтеграли.
Виходячи з формули (4), згідно з якою
о Р +-	Ш
після т -кратного диференціювання по параметру г, одержуємо
0 (р2+г2У"+1
= (~1)"'+"Г(у + 1) /_	_______Сп ^к(г2) ,	Г г у
22"' а-=о (м - к).к\Г(у - т + к + 1Д2,)
(20)
(21)
6
г>0, Кел>0,
-1 < Ке V < п + 2т + —
Невизначені інтеграли.
Розглянемо інтеграл [4]:
г	2 00
рч.(рх)с&= ЕЛ.+2А-+і(ф)-
0	Ра=о
Його можна записати у вигляді:
г	2 х
= ЕЛ+п+2А-+1(ф)-
о	Ра=о
Помножимо ліву і праву частини цього виразу на р' ”^*(р2 +’2) та ві-
зьмемо інтеграл по р від 0 до со. Одержимо
Іґ|ї '’с„.Лгг)Л = 2ҐЛ" 'ИХ(-1)А+ІО,ї+,+1л.+Л(/т).
(Д2/	V2/	А-0
(22)
При малих значеннях модуля аргументу
^п.О (2)~
1 п П
ї-
2^/;
- «і,
(23)
2 пі
Асимптотичні розкладення при великих значеннях аргументу
(«-1/ ’
(24)
О0Л’> -Не’2-
.2А2)
Список літератури
1.	Бейтмен Г., Ордени А. Вьісшие трансцендентньїе функнми. Т.2. - М.:
Наука, 1974. - 296 с.
2.	Величко П.М., Шевченко В.П. О действии сосредоточенньїх сил и мо-
ментов на оболонку положительной кривизни // Изв. АН СССР. Меха-
никатвердого тела. - 1969 -№2.-С. 147-151.
3.	Градштейн И.С., Рьіжик И.М. Таблицьі интегралов, сумм. рядов и про-
изведений. - М_: Наука, 1971. - 1108 с.
4.	Справочник по специальньїм функциям / Под ред. М. Абрамовица, И.
Стиган. - М.: Наука, 1979. 832 с.
7
Підписано до друку 28.12.99 р. Формат 60x90/16. Папір типографський.
Офсетний друк. Умови, друк. арк. 0,4. Тираж 50 прим. Замовлення № ЗО.
Видавництво Донецького державного університету,
340055, м Донецьк, вуя. Університетська, 24
Надруковано: Лабораторія комп’ютерних технологій Донецького державного університету,
340055, м Донецьк, вуя. Університетська, 24