Б. А. ФУКС
ТЕОРИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Б. А. ФУКС
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962

M /..'
АННОТАЦИЯ
Книга содержит изложение основ теории
аналитических функций многих комплексных пе-
переменных. В ней также рассматриваются: комп-
комплексные пространства, интегральные представле-
представления функций многих комплексных переменных,
мероморфные и голоморфные функции, заданные
во всем пространстве.
Книга может служить пособием для лиц,
желающих познакомиться с началами теории и
получить возможность читать относящуюся к ней
текущую журнальную литературу.
Книга предназначена для математиков, рабо-
работающих в области теории функций, аспирантов
и студентов старших курсов университетов и
педагогических институтов, изучающих теорию
функций. Она может быть полезна математикам
других специальностей и физикам-теоретикам,
использующим в своей работе методы теории
функций комплексных переменных.

ОГЛАВЛЕНИЕ
1lpc-дисловие 7
I) и о л и а я статья. Сведения из смежных математических
дисциплин. Обозначения. Названия 9
Г л л и а I. Основные свойства голоморфных функций в
пространстве п комплексных переменных. ... 27
§ 1. Функции п комплексных переменных. Их дифференцирова-
дифференцирование и интегрирование. Голоморфный функциональный эле-
элемент 27
§ 2. Интегральная формула Коши для полицилиндрической
области. Основные свойства голоморфного функциональ-
функционального элемента 42
§ 'Л. Представление голоморфного функционального элемента
степенным рядом 50
§ 1. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Аналитические
множества и поверхности 68
<j Г>. Расширение пространства. Понятие голоморфной функции
в бесконечно удаленных точках пространства 95
«S Г). Аналитическое продолжение функций и множеств 108
§ 7. Голоморфные отображения 122
I .1 а в а II. Основные свойства голоморфных функций в
плоских областях наложения. Особые точки. . 137
5} N. Плоские области наложения над пространством Рп . . . . 137
«i 'I. Голоморфные функции и аналитические множества в
плоских областях наложения. Области голоморфности
и особые точки голоморфной функции 151
§ И). Отображения областей над пространством Рп. Внутрираз-
нетвленные области 170
$ II. Плоские области, выпуклые относительно некоторого
класса голоморфных функций 181
§ 12. Аналитическая выпуклость 197
§ 1.4. Оболочки голоморфности. Области, обладающие автомор-
автоморфизмами 220

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Комплексные пространства 233
§ 14. Комплексно аналитические многообразия. Комплексно
аналитические наложения 233
§ 15. Голоморфные и мероморфные функции на комплексно
аналитическом наложении. Комплексные а-пространства
Беенке—Штейна 246
§ 16. Комплексные р-пространства Серра 258
§ 17. Нормальные пространства А. Картана 270
§ 18. Голоморфно полные пространства и многообразия .... 280
§ 19. Римановы области 290
Глава IV. Интегральные представления 300
§ 20. Основная теорема Коши—Пуанкаре. Теория вычетов на
комплексном многообразии 300
§ 21. Приложения методов теории потенциала к изучению голо-
голоморфных функций. Интегральная формула Бохнера—Мар-
тинелли 315
§ 22. Интегральная формула Бергмана—Вейля 328
§ 23. Интегральные представления в областях специального
типа 341
Г л а в а V. Функции, мероморфные во всем пространстве С".
Целые функции 366
§ 24. Функции, мероморфные в расширенном пространстве . . 366
§ 25. Теоремы Кузена 371
§ 26. Характеристики роста целой функции 384
Литература 406
Предметный указатель 415

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга состоит из пяти глав. Первая глава
посвящена основным свойствам аналитических функций
в пространстве многих комплексных переменных, вторая —
свойствам аналитических функций в областях наложения над
подобным пространством. Эти две главы могут служить
пособием для лиц, желающих получить первоначальные, по
возможности элементарные, сведения по теории функций
многих комплексных переменных.
В последующих трех главах рассматриваются: комплексные
пространства, интегральные представления функций многих
комплексных переменных, мероморфные и голоморфные
функции, заданные во всем пространстве. По своему содер-
содержанию они независимы друг от друга *), однако в них
постоянно используется материал первых двух глав. В отли-
отличие от них изложение в главах III, IV и V в значительной
степени носит обзорный характер. Эти главы могут служить
ннедением в текущую журнальную литературу, относящуюся
к перечисленным разделам теории функций.
Основному изложению предпослана вводная статья, содер-
содержащая наиболее часто употребляемые сведения из смежных
мтематических дисциплин. Читателю рекомендуется обра-
обратиться к ней по мере надобности.
Настоящая книга является первой частью второго, значи-
значительно дополненного и переработанного издания книги автора
«Теория аналитических функций многих комплексных пере-
переменных», вышедшей в 1948 г. Вторая часть, которая должна
иыйти вслед за первой, будет посвящена изложению ряда
специальных глав теории функций.
') Исключение составляет § 20 главы IV, в котором существенно
m пользуется материал п. 1 § 14 главы III.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
По просьбе автора, первоначальный текст пп. 1—3 § 23,
посвященных интегральным представлениям в л-круговых
областях, был написан Л. А. Айзенбергом, пп. 4—6 § 23,
посвященных интегральным представлениям в трубчатых об-
областях,— С. Г. Гиндикиным, § 26, посвященного характерис-
характеристике роста целых функций, — Л. И. Ронкиным. Эти параграфы
содержат ряд новых результатов; все они принадлежат ука-
указанным лицам и приведены там, как правило, без ссылок на
их работы.
Изложение ряда своих результатов, относящихся к инте-
интегральным представлениям, предоставил в мое распоряжение
А. А. Темляков.
Рядом существенных замечаний и советов я обязан
Л. А. Айзенбергу и Д. Б. Фуксу, просмотревшим весь подго-
подготовленный к печати текст книги.
Я приношу всем указанным лицам свою глубокую благо-
благодарность.
Многие части этой книги докладывались семинару по
теории аналитических функций Московского университета.
Я пользуюсь случаем поблагодарить членов семинара, а также
ряд других математиков, просмотревших отдельные части
книги и приславших мне свои замечания, за внимание к моей
работе.
Б. Фукс
Март 1961 г.

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
СВЕДЕНИЯ ИЗ СМЕЖНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ДИСЦИПЛИН.
ОБОЗНАЧЕНИЯ. НАЗВАНИЯ
В тексте мы пользуемся рядом понятий и предложений из
теории точечных множеств. Употребляемые нами названия и
обозначения в общем соответствуют принятым в книге
Н. Бурбаки «Общая топология. Основные структур'ы» (Физ-
матгиз, 1958 г.). Отклонения от терминологии Бурбаки мы
будем в тех случаях, когда они могут повести к недоразу-
недоразумениям, оговаривать. Границу некоторого множества А мы
обозначаем через дА. Через {...} мы обозначаем множество,
члсмспты которого удовлетворяют условиям, указанным в
скоГжпх.
1. Топологическое пространство. Далее мы постоянно
пользуемся понятием топологического пространства. Множе-
Множество X является топологическим пространством, если в нем
выделены подмножества, называемые открытыми множествами,
для которых имеет место следующая аксиома.
I. Соединение любого множества и пересечение конеч-
конечного множества открытых множеств есть снова откры-
открытое множество.
Для удобства формулировок постулируется, что все мно-
множество X и пустое множество являются открытыми множе-
множествами.
Эта совокупность открытых множеств определяет тополо-
топологическую структуру, или кратко, топологию пространства X.
Мы пользуемся далее понятием индуцированной топологии в
множестве Х'С^Х.В этой топологии открытые подмножества
множества X' определяются как пересечения X' с открытыми
множествами пространства X. В результате введения инду-

10
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
цированной топологии множество X' становится топологиче-
топологическим подпространством пространства X.
Открытое множество U, содержащее точку Р топологи-
топологического пространства, мы называем ее окрестностью.
II. Топологическое пространство X называется хаус-
дорфовым, если у каждых двух различных точек имеются
непересекающиеся окрестности.
Мы пользуемся понятием функции, в частности непре-
непрерывной функции, определенной на некотором топологическом
пространстве X, принимающей комплексные, в частном слу-
случае действительные значения. Такая функция устанавливает
соответствие между точками пространства X и пространства
комплексных чисел С или действительных чисел /?. Обобще-
Обобщением (непрерывной) функции является (непрерывное) отобра-
отображение т пространства X в топологическое пространство X*.
В этом случае пишут %:Х-*.Х*. Непрерывное отображение
х;Х—>Х* называется гомеоморфным, если обратное отобра-
отображение т~г:Х*->.Х также является непрерывным. Оно назы-
называется собственным, если прообраз каждого компактного
множества при этом отображении является компактным. Оно
называется нигде не исключительным, если множество про-
прообразов каждой точки при этом отображении дискретно.
Мы пользуемся далее понятием связного и локально связ-
связного топологического пространства, понятием связной соста-
составляющей (компоненты) топологического пространства. При
рассмотрении локально связных пространств мы обычно пони-
понимаем под окрестностью точки Р связное открытое множество
(область), содержащее эту точку. Непрерывное отображение
?: Т—>¦ X замкнутого интервала 7":= {0 «g: t =?S 1 } в тополо-
топологическое пространство X, или иначе непрерывная функция
x(t), заданная на этом замкнутом интервале, называется путем
или элементом линии, соединяющим начальную точку лг(О) ^ X
с конечной точкой хA)?Х. Пространство X называется
линейно связным, если каждые две точки хх, х%?Х соединимы
в нем некоторым путем {x=x(t)}. Пространство X назы-
называется локально линейно связным, если для каждой точки х(^Х
и каждой окрестности Ux точки х найдется линейно связная
окрестность Vх d Ux точки х. Можно показать, что линейно
связное пространство всегда связно, что связное, локально
линейно связное пространство всегда линейно связно. Тополо-
Топологическое пространство X называется односвязным, если, каковы

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ Ч
бы ни были точки а, Ъ ?jj X и пути \ и ?', соединяющие эти точ-
точки, существуют пути ?х, где О =S т =g: 1, непрерывно зависящие
от т, соединяющие точки а и b и такие, что ?0:=?> ?i = ?'.
Говорят, что нигде не плотное подмножество N тополо-
топологического пространства X не разлагает это пространство
в некоторой точке а ^ X, если каждая связная окрестность Ua
точки а содержит такую окрестность Va этой точки, что
множество Va\N оказывается открытым и связным. Множе-
Множество N нигде не разлагает пространства X, если оно не
разлагает его ни в одной точке а ^ X.
Если множество NC1X нигде не разлагает простран-
пространства X, то всякое множество N'ClN, замкнутое в множе-
множестве N (относительно индуцированной топологии), нигде не
разлагает пространство X.
В заключение настоящего пункта мы укажем используе-
используемые в дальнейшем условия продолжаемости непрерывных
отображений топологических пространств:
1) Пусть Х*-^- всюду плотное подмножество топологи-
топологического пространства X; пусть х:Х* —»-У непрерывное ото-
отображение X* в регулярное пространство Хаусдорфа Y. Если
lim хх*, где х* ?jj X*, существует всякий раз, когда точка х*,
оставаясь в X*, стремится к какой-либо точке х ?jj X, то
отображение х может быть продолжено и притом единствен-
единственным способом в качестве непрерывного отображения на все
пространство X.
2) Пусть X — локально связное топологическое прост-
пространство, NC1X—некоторое множество, нигде не разлагаю-
разлагающее это пространство, х : (X \ N)-». У— непрерывное отобра-
отображение множества X \ N в локально компактное топологиче-
топологическое пространство Y. Это отображение может быть непре-
непрерывно и притом единственным способом продолжено в каче-
стне отображения х:Х—>. У, если существует такое собст-
собственное, нигде не исключительное отображение y:Y-+Z, где
Z—некоторое топологическое локально компактное прост-
пространство, для которого отображение срОх: (X\N)-*-Z
может быть непрерывно продолжено на все пространство X1).
Здесь, как обычно, символом ср О t обозначена суперпо-
суперпозиция отображений х и <р.
') Доказательство этого предложения и его Значительное уси-
усиление можно найти в работе Штейн [2].

12 ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
2. Многообразия. Пространство Хаусдорфа X называется
многообразием со степенью гладкости / (в этом случае пишут:
многообразие X ?jj %1), если для него, помимо аксиом I и II,
справедлива следующая аксиома, определяющая характер его
топологической структуры.
III. Для пространства X существует полное семейство
{атлас) SV карт (Uj, фу), совместных между собой со
степенью гладкости /. Здесь j?J, где J—некоторое мно-
множество индексов; Uj — открытое подмножество, «эле-
«элемент» пространства X, причем IJ Uj = X; ^ — гомео-
J € J
морфное отображение элемента Uj на шар
( Р}
в пространстве вспомогательных переменных—«унифор-
мизирующих» параметров t[, ... , tJPf Эти параметры
иногда также называются локальными координатами
точек элемента Uj.flpu этом если пересечение Utf\Uj^:0,
то гомеоморфизм ф,- (Ut f\ Uj) -». фу (Ut f\ Uj) является
гладким степени I, т. е, задается с помощью функций
ik = fk(t\ tlp), k=l р}, обладающих всеми непре-
непрерывными производными до порядка I включительно (в этом
состоит свойство сов местности карт атласа SV). Пред-
Предполагается, что всякая карта (V, ср), совместная со
степенью гладкости I со всеми картами атласа SV, к
нему принадлежит (в этом состоит свойство полноты
атласа).
Степень гладкости / многообразия X может быть и беско-
бесконечной (тогда пишут: X ^ #°°). Если все fk (t\ tpt)—
аналитические функции действительных переменных t[, ... , tP.,
многообразие X называется действительно аналитическим
(тогда пишут: Х?%'0). Если степень гладкости 1=1, много-
многообразие X называется просто гладким. Если многообразие X
может быть разделено на конечное множество /-гладких
многообразий, то оно называется кусочно /-гладким. Если
степень гладкости /=0, то указание на гладкость много-
многообразия естественно отпадает.

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 13
В ряде случаев за область фу?/у оказывается удобным
"J
брать не шар \ \ DJ<^1 [» а другую область: открытый
правильный симплекс, открытый криволинейный симплекс
(определение см. в п. 3 введения), полицилиндр (определе-
(определение см. в § 2, гл. I).
Из аксиомы III вытекает, что каждая точка х многообра-
многообразия X обладает окрестностью, гомеоморфной некоторому
евклидовому пространству. Точка произвольного топологи-
топологического пространства, обладающая подобным свойством, назы-
называется униформизируемой. Таким образом, многообразие
целиком состоит из униформизируемых точек.
Пусть каждая точка многообразия х ^ Uj обладает окрест-
окрестностью, гомеоморфной евклидовому пространству размерно-
размерности рр Число Pj является топологической размерностью эле-
элемента U,, оно также называется топологической размерностью
карты (Uj, фу). Из аксиомы III вытекает, что если Ог Р\ U'у -ф ф,
то pi^pj,-таким образом, все карты, принадлежащие к одной
и той же связной составляющей Хг многообразия X, имеют
одну и ту же размерность Dim (Хг). Если (Хх, х ^ К), где
К— некоторое множество индексов — совокупность связных
составляющих, на которые распадается многообразие X, то
величина Dim(A!) = sup Dim(^Yx) называется топологической
х 6 К
размерностью многообразия X; эта размерность может быть
и бесконечно большой. Если все связные составляющие
многообразия X имеют одну и ту же размерность р, то оно
называется однородно или чисто размерным. В этом случае
пишут Х = Хр. Если все топологические размерности
Dim (Хх) четны, то числа -у Dim (Хх) = dim (Хх), yDim(^Y) =
= dim(Ar) называются комплексными размерностями соответ-
соответственно множеств Хх и X. Если многообразие X имеет чистую
четную топологическую размерность p = 2d, то мы будем
писать X=Xd.
Если YgdXp, где Yq — некоторое ^-мерное подмного-
подмногообразие многообразия Хр (определение подмногообразия в нуж-
нужном для нас случае см. в п. 3 введения), то число р — q назы-
называется топологической коразмерностью подмногообразия Yq в
многообразии Хр. Если p = 2d, q=2e, то число d—е —

14
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
комплексная коразмерность многообразия Vе в многооб-
многообразии Xd.
В дальнейшем рассматриваются топологические и комп-
комплексные размерности и коразмерности не только многообра-
многообразий, но и топологических пространств более общего вида.
Через RN мы далее обозначаем iV-мерное евклидово про-
пространство. Если N=2n и величины xk, yk(k = I, ... , п)
служат декартовыми координатами точек пространства Rin,
то оно называется пространством комплексных переменных
zk = xk -f- iyk (k = 1, ... , n) и обозначается символом С".
Далее мы обозначаем Я1 = Я, С* = С.
В дальнейшем, называя некоторое множество областью
(окрестностью точки), мы всегда предполагаем, что оно является
областью (окрестностью точки) в пространстве наибольшей,
из числа рассматриваемых, размерности. То обстоятельство,
что некоторое множество оказывается областью (окрест-
(окрестностью точки) в подпространстве, всегда оговаривается.
3. Подмногообразие. Поверхность.Отображениеp:Yk-*.XN
^-гладкого многообразия Yk в /2-гладкое многообразие
Xn (k-^N) называется /-гладким или принадлежащим к клас-
классу Ф, если для каждой точки у@) ?jj Yk можно указать такую
карту (V, ср), j/@) ?jj V, многообразия Yk и такую карту (?/, ф),
(vy(°) = х'-0'1 ?jj U, многообразия Хм, что локальные коорди-
координаты точек [vy=je?jj U, величины х1г ..., xN, рассматривае-
рассматриваемые как функции локальных координат ух, ... , yk точек у ?jj V
хр = хр(У1, ... , Л|УО)), />=1, ... , N, @.10
обладают всеми непрерывными производными первых / поряд-
порядков. Здесь /^min(/1, /a). При 1=оэ отображение \i назы-
называется неограниченно гладким или принадлежащим к классу <ёс°.
Соответственным образом определяется класс отображений {эю.
Эти определения, в частности, относятся к функциям, задан-
заданным на многообразии Y.
Если ранг матрицы, составленной из производных первого
порядка от функций @.11), всюду имеет наибольшее значе-
значение k, то отображение [а называется локально регулярным
вложением многообразия Yk в многообразие Xn. Это вложе-
вложение называется регулярным, если, сверх того, отображение
[a: Yk->-[aYkdХм взаимно однозначно.
Легко видеть, что все эти свойства отображения [а не зави-
зависят от выбора систем локальных координат.

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 15
В силу известных теорем о неявных функциях, в случае
локально регулярного вложения равенства @.11) можно заме-
заменить зависимостями
sp(xlt...,xN, уи ... , yk\y@)) = 0, р=\, ... ,N. (O.Ig)
Здесь функции sp удовлетворяют соответствующим условиям
гладкости, и матрицы, составленные из их частных производ-
производных первого порядка, имеют надлежащий ранг.
Заметим еще, что в рассматриваемом случае локально
регулярного вложения [a: Yk -». XN для каждой точки _у@) ? Yk
можно указать такую карту (V, ср), _у@) ^ V, и k индексов
1 ^Sii< ... <ift=sSM что функции xlq(y\y@)) из (O.lj), где
у ^ V, <7=1, ... , k, играют роль локальных координат на
элементе V. Тогда уравнения (O.li) и @.12) соответственно
принимают вид
хр = хр (xh, ... , xh | у@)), @.13)
sq(xb ... , xN\y{0)) = 0, g=l,...,N—k. (O.li)
Здесь индекс /> изменяется от 1 до N, пропуская значения
ц, ... , ik, и таким образом принимает N—k значений.
Если KftCI^iv, то мы будем в соответствующих случаях
говорить о локально регулярно или регулярно вложенном
подмногообразии Yk многообразия Х^.
В дальнейшем мы чаще всего будем иметь дело с вложе-
вложением некоторого многообразия Yk в пространство Ялг пере-
переменных хи ... , xN. Если, сверх того, Yk CZRn, to /-гладкое
локально регулярное вложение jj. : Yk ->- Rn сводится к
заданию каждого элемента V многообразия Yk с помощью
уравнений
(ср) xp = xp{tt, ... , tk/yW), p= 1, ... , N,
(t,,..., tk)?W. @.15)
Здесь cpV = W—шар или открытый симплекс в пространстве
локальных координат tlt ... , tk на элементе V. Далее мы
обычно предполагаем, что функции xp(tlt ... , tk) принад-
лежат к классу Ф, ранг матрицы
=k в замкнутой об-
ласти W. Тогда границу dV такого элемента V можно задать
с помощью уравнений @.18), где (tit ... , tk)?-dW. Здесь
dW—граница области W в пространстве локальных коор-
координат tlt ... , tk.

16 ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
В этом случае элемент V называется /-гладким ^-мерным
элементом поверхности или криволинейным симплексом в
пространстве Rn (если употребляется последнее название, то за
область W берется открытый правильный симплекс). Если
многообразие Yk связно и допускает покрытие счетным мно-
множеством {V} подобных поверхностных элементов, оно назы-
называется /-гладкой ^-мерной поверхностью в пространстве Rn.
При A = iV—1 оно называется гиперповерхностью.
Далее мы также пользуемся понятиями кусочно гладкой
поверхности, замкнутой поверхности, поверхности с краем,
самопересекающейся поверхности.
4. Ориентация многообразия. Пусть Xn—/-гладкое
(где /S&1) или действительно аналитическое iV-мерное, связ-
связное многообразие. Для каждой точки х ^ Xn мы рассмотрим
какую-то непустую совокупность Рх его карт (U, ф), для
которых х = ф @) ? U. Здесь точка 0 — начало в прост-
пространстве Rn соответствующих локальных координат tit ..., tN.
Рассмотрим случай, когда существует множество И = {РЖ,
х ? Xn} подобных совокупностей карт, обладающее следую-
следующим свойством: для любой пары карт (?/, $)?РХ, (?/*, ?
где х, x*?XN, при
где х, x*?XN, при UC\U*^0,t = {tx, ..., tN)^{UC\U*)—
, Ы* д (t* ..., tff)
якобиан-д-:=-д-7т г^: J> 0- Здесь t., ..., in—локаль-
Ot О (tu ..., tN) ^
ные координаты в пространстве R%H)ty* (^*)- Тогда гово-
говорят, что многообразие Xn ориентируемо.
Пусть 1Г+) = {Р#', x(^Xn} — одно из подобных множеств
совокупностей карт многообразия Xn- Каждой карте (f/, (j>(+))G
^Р?' мы поставим в соответствие карту (?/, ф1"), где (|)'-'=
= ф|+'О^> Здесь Е — отображение пространства Rn на себя,
определяемое условием: (tit tb ..., tN) —> (^> h> ••• > t^f).
Составим совокупность Рх} карт ({/, ф(-)) для каждой точки
x^XN и затем множество этих совокупностей 1Г~':=
= {Р'х', x?Xn}- Множество П(-) также удовлетворяет сфор-
сформулированному выше требованию. Сопоставим множеству П(+)
число е (П(+)) = -(- 1, множеству П(-) — число е(П(~'):=—1.
Будем называть эти числа ориентациями многообразия Х^,
определяемыми множествами П<+) и П'"', а многообразие Xn,
снабженное- ориентацией, — ориентированным '). Мы обозна-
*) Заметим, что если область b(U) — симплексе пространстве
локальных координат, то преобразованию Е отвечает перестановка

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 17
чаем положительно ориентированное многообразие Хм через
Х'м\ отрицательно ориентированное через Х'м\ Мы будем
также писать Хм'=— (Хм')- Через mXff, где т — некоторое
целое число, обычно обозначается совокупность \т\ многооб-
многообразий Х$\ ориентированных в соответствии со знаком числа т.
Само собой разумеется, что выбор множества П(+), исполь-
использованного нами для определения положительной ориентации
многообразия Хм, произволен. Для этой цели может служить
любое множество совокупностей карт, удовлетворяющее ука-
указанному выше условию. Очевидно также, что якобиан J пере-
перехода от локальных координат на картах, принадлежащих
к множеству П'+), к локальным координатам на картах, при-
принадлежащих к множеству П'~', всегда отрицателен. Поэтому
Рассмотрим два множества n(ft) = {Р^\ х(^ XN}, & = 1, 2,
определяющих некоторые ориентации многообразия XN- Если
P'x'ClP'x' для всех х(^Хм, то множество П'2) называется
расширением множества П11'. Мы образуем множество
П = { U Р^\ х^Хм), где К — множество индексов, соответ-
ствующее всем возможным расширениям некоторого исход-
исходного, множества П'0). Множество П совокупностей карт
называется максимальным. Все ориентации многообразия Хм,
определенные с помощью множеств 11^С1П, k ? К, счи-
считаются тождественными. Обычно ориентация многообразия Хм
задается с помощью максимального множества П.
Про ориентацию г (П) = ± 1 говорят, что она определена
с помощью систем локальных координат, заданных на картах
(?/, ф)^П. Ее также называют ориентацией этих систем
координат.
Мы пользуемся в дальнейшем изложении операцией три-
триангулирования многообразия Хм, тесно связанной с понятием
его ориентации.
б- Ориентация отображения. Рассмотрим отображение
(j. класса 'ё1 (где /^1) связного многообразия Y в много-
вершин этого симплекса. Таким образом, устанавливается соответ-
соответствие между ориентацией криволинейного симплекса U и порядком
следования его вершин. Переходу от положительной к отрицатель-
отрицательной ориентации симплекса U соответствует нечетная перестановка
его вершин.

18 ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
образие X. Отображение ц. называется ориентируемым, если
возможно так сопоставить ориентации e'(?/ft) и ?"(Vk) всех
пар ориентируемых областей UkCLX и Vkd_ Y, где \>-Vk(Z_Uk,
k^K (здесь К—некоторое множество индексов), что при
UblC\Uk, Ф Ф будет е' (Ukl) в' (f/ft2) = е" (Vftl) е" (П3).
Из последнего равенства вытекает, что величина г:=е'е"^
= ±1 постоянна для всех k^K. Мы дополним определение
отображения \х:У-*-Х: условимся, что оно сопоставляет
ориентации в' и е" областей Uk и Vft, и будем называть
величину е:=е'г" ориентацией отображения [*.
Если многообразия АГ и У ориентируемы, то ориентируемо
и отображение \ъ:У —> X. Если множество \ьУ имеет в много-
многообразии X ориентируемую окрестность (в частности, если
ориентируемо многообразие X), то ориентируемость много-
многообразия У и отображения [* равносильны друг другу. Зная
ориентацию отображения \х и одного из многообразий X и Y,
легко найти ориентацию другого многообразия.
Если рассматриваемое отображение \х,: У^ —*¦ Х^ является
гомеоморфизмом, tk(y) (k= I п) — локальные коорди-
координаты на некоторой карте (V, ср), где VCZ У> У (z;V, то функ-
функции tk(]x~1X) образуют систему локальных координат на
соответствующей карте (U, ф), где U(ZX, X^py^U.
Здесь (j.: X-*¦ У отображение, обратное ц. Если st и е2 —
ориентации этих систем локальных координат, то величина
е = ?1е2 называется канонической ориентацией гомеомор-
гомеоморфизма (а (отвечающей локальным координатам tb ..., tN).
6. Цепь. Группа гомологии. Под /-гладким (где 1^0)
ориентированным элементом /V-мерной цепи v в многообразии X
понимается пара (w, [*), где w — ориентированный откры-
открытый симплекс из пространства Rn переменных xit ..., х^,
a \x:w-*-X — /-гладкое ориентированное отображение. Пред-
Предполагается, что ориентация симплекса w совпадает с ориен-
ориентацией всего пространства Rn и определяется системой
координат хи ..., АГдт. Под (конечной) цепью gjv в многооб-
многообразии X мы обычно понимаем (конечную) линейную комби-
комбинацию ?ckvk элементов цепи vk = (wk, \xk) с целыми коэффи-
коэффициентами ck. В интегральном исчислении нам будут иногда
встречаться цепи с произвольными комплексными коэффи-
коэффициентами. Смысл рассмотрения подобной цепи будет указан
ниже. Цепь &# не изменится, если разобьем каждый из
симплексов wk на сумму нескольких соответственно ориенти-

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 19
рованных симплексов. Отсюда возникает возможность опре-
определять одну и ту же цепь g^ с помощью различных систем
симплексов wk.
Пусть (dw\ — (jV—1)-мерная грань симплекса w, рас-
расположенная так, что единичный вектор оси Art с началом
в некоторой точке x^(dw)t лежит целиком вне замкнутого
симплекса w. Тогда переменные лг2, ..., лг/v служат на грани
(dw)i локальными координатами и определяют на ней (при
рассмотрении в указанном выше порядке) индуцированную
или когерентную (по отношению к ориентации открытого
симплекса w) ориентацию. Аналогичным образом опреде-
определяется когерентная ориентация остальных граней симплекса w.
Их совокупность составляет всю когерентно ориентиро-
ориентированную границу dw симплекса w, пара dv = (dw, [*) — ориен-
ориентированную границу Af-мерного элемента цепи v. Эта граница
является (Л/— 1)-мерной цепью в многообразии X.
Граница цепи ^ckvk определяется формулой
@.2)
Цепь, граница которой равна нулю, называется циклом.
Можно показать, что граница любой цепи всегда является
циклом. Два цикла gt и g2, для которых цепь gt — g2 = d&,
где g — некоторая цепь, называются гомологичными друг дру-
другу; в этом случае пишут: gi^g*
Таким образом, вся совокупность циклов на многообра-
многообразии X разделяется на гомологические классы. Каждый из них
состоит из циклов, гомологических какому-то одному циклу.
Подобный класс обозначается символом h (X). Если цикл
v' ? ht (X), цикл v" (^ й2 (X), то класс h (X), содержащий
цикл v' ~\- v", рассматривается как сумма классов hx (X) и
h(X)
Благодаря введению действия сложения совокупность
гомологических классов становится абелевой группой гомоло-
гомологии на многообразии X. Эта группа обозначается симво-
символом Н{Х).
Мы используем в дальнейшем изложении некоторые свой-
свойства группы гомологии, а также некоторые родственные
понятия: группы компактных гомологии, группы компактных
гомологии многообразия X относительно его подмногообра-
подмногообразия Хо. С ними можно, например, познакомиться по книге
Ж. де Рама «Дифференцируемые многообразия», ИЛ., 1956 г.

20 ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
7. Внешние формы. Пусть XN— /-гладкое (/^=1) много-
многообразие, множество XCZXpj. Четный /?-ковектор, иначе, косо-
симметрический ковариантный тензор ранга р, определяется
на множестве X заданием его составляющих а-ч... ip, где
l^ift^A/, k = l, ..., р как, вообще говоря, комплексных
функций точки t (tu ..., tN) ? i|) (U f\ X) на каждой карте
ф, ф) данного многообразия с Ь(~\Х^ф. Эти составляю-
составляющие кососимметричны по индексам г'ь ..., ip; составляющие
ali...ip того же /'-ковектора на какой-либо другой карте
(?/*, ф*), где U f\U* f\X =? ф, являются функциями точки
t* (t*, ..., t%) ^ ф* (U* (~\ X) и связаны с составляющими
от
dt dt d(t ...t.)
N
Здесь и далее через 2, обозначается суммирование по всем
значениям индексов iu ..., ip = l, ..., N; через У, — по всем
р
значениям этих индексов, удовлетворяющих условиям ^
p
Определение нечетного /7-ковектора отличается от опре-
определения четного /7-ковектора лишь тем, что формулы пере-
перехода к его составляющим в новых локальных координатах
имеют вид
„ J \\' д (*!,. ¦ ¦ ¦ . V ,_ „ ч
р
Здесь
J=-
В частном случае при p = N мы получим
at...N=\J\ai...N- @.33)
Положив р^О, мы получаем 0-ковекторы или скаляры чет-
четного и нечетного рода. Очевидно, что ориентация многооб-

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 21
разия является скаляром нечетного рода. Многообразие ориен-
ориентируемо, 'если подобный непрерывный скаляр е (где еа = 1)
может быть на нем определен.
С каждым четным или нечетным /7-ковектором а«,.../р
непосредственно связана соответственно четная или нечетная
внешняя дифференциальная форма а степени р. В локальных
координатах tb ..., tn она записывается в виде
N
N
/р- (о-4)
Обозначаемая символом Д операция внешнего умножения
подчиняется обычным законам ассоциативности, дистрибутив-
дистрибутивности и следующим законам псевдокоммутативности:
dtt /\dtj= — dtjЛdt,\ dt, Лdtt = О,
dtt /\adtj = adtj /\dtj\ @.5)
Здесь а — некоторый скаляр, р — внешняя дифференциальная
форма степени q. Некоторый ковектор и соответствующая
ему форма называются принадлежащими к классу #'@=sS/«?loo),
если составляющие этого ковектора обладают непрерывными
частными производными первых / порядков по локальным
координатам на многообразии X. При этом тогда предпола-
предполагается, что степень гладкости многообразия X не меньше
числа /. При /=0 форма просто называется непрерывной и
указание на ее гладкость отпадает. Нечетная форма а, задан-
заданная на ориентированном многообразии, может быть всегда
представлена в виде а = еаи где at — четная форма, е —
ориентация многообразия.
8. Дифференциал формы а степени р класса й в локаль-
локальных координатах определяется равенством
Л

22 ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
Легко видеть, что do. — внешняя дифференциальная форма
р -f-1 степени. Имеют место равенства
d (at -f- a2) = do.! -f- do.^;
d*o. = 0. @.7)
Последнее равенство имеет место для форм a ^ йг (/;>= 2).
Форма а, для которой с?а = 0, называется замкнутой. Из
последнего равенства @.7) вытекает, что форма do. всегда
замкнута.
Две замкнутые формы а, р ^ й°° на многообразии X
называются когомологичными друг другу, если a — p = fi?f,
где форма f ? йот на многообразии ^; в этом случае пишут
a r^j p. Эти формы аир называются компактно когомологич-
когомологичными друг другу, если форма f имеет компактный носитель
(по поводу понятия компактного носителя см. следующий
пункт).
Таким образом, вся совокупность замкнутых форм a ? йот
на многообразии X разделяется на классы (компактных) кого-
мологий. Каждый из них состоит из форм (компактно) кого-
мологичных какой-то замкнутой форме a0 ^ й°°. Подобный
класс когомологий обозначается символом h* (X), класс ком-
компактных когомологий — символом h* (X).
Если форма at ^ h* (X), форма а2 ^ А| (X), то класс
h*(X), содержащий форму at-f-aj, рассматривается как сумма
классов ht{X) и h%(X).
Легко видеть, что при a1'-^a2, Pi'-^p2 и ai APi^
так как если а2 — at = с?а, р2 — Pi = <<Ф> то «а ЛРа — ai A
= d(o. ЛРа + (— !)PaiAP)> где Я — степень формы^.
Этот факт позволяет определить произведение классов
когомологий ftjf (X) и ftj(A) как класс h* (X), к которому
принадлежит форма at Д а2, если a.t ^ Af (^f), a2 ^ Aj (Л).
Благодаря введению действий сложения и умножения
совокупность классов когомологий h* (X) становится кольцом
когомологий замкнутых форм а ^ й3 на многообразии X.
Это кольцо обозначается символом Н* (X).
Аналогичным образом строится кольцо компактных кого-
когомологий этих форм, которое обозначается символом Н* (X).
Рассмотрим замкнутые формы a ? й03 на многообразии X,
обращающиеся в нуль на подмногообразии X0(ZX. Дей-
Действуя так, как выше, мы составим классы когомологий

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 23
h* (X, Хо), классы компактных когомологий h*(X, Xo) отно-
относительно подмногообразия Хо, а из них — кольца относитель-
относительных когомологий Н* (X, Хо) и Н* (X, Хо).
9. Дополнительные сведения из теории внешних форм.
При отображении \х: У-+Х, где как отображение [*, так и
многообразия X и У предполагаются гладкими, каждой фор-
форме а, заданной на многообразии X, соответствует ее прообраз
а О V- на многообразии У. Если четная форма а задана в ло-
локальных координатах tb ..., tN равенством @.4), то в соот-
соответствующих локальных координатах на многообразии У
N
оц). @.8)
Здесь tk О I* — выражение переменной tk через локальные
координаты на многообразии У.
Если многообразия X и У ориентированы, е'.и е" — их
ориентации (мы ограничиваемся этим случаем), прообраз
нечетной формы а определяется равенством
«Ор = '[(»'«)О|»]. @.9)
Носителем непрерывной формы а на многообразии X
(в частности, непрерывной функции на многообразии X) на-
называется наименьшее замкнутое множество ЗРС^Х, вне кото-
которого все ее коэффициенты равны нулю. Носитель формы а
называется ограниченным, если существует компактное под-
подмножество многообразия X, его содержащее. Если X = Rm
то форма (в частности, функция) а с ограниченным носи-
носителем называется финитной.
В дальнейшем изложении мы используем и некоторые
другие сведения из теории внешних дифференциальных форм.
Эти сведения можно, например, найти в книге Ж. де Рама
«Дифференцируемые многообразия».
10. Пучок над топологическим пространством. В даль-
дальнейшем изложении мы используем ряд алгебраических поня-
понятий. Мы придерживаемся определений и обозначений, приня-
принятых в книге Ван-дер Вардена «Современная алгебра», части
1 и 2 (Гостехиздат, 1947).
Важную роль играет, далее, понятие пучка над тополо-
топологическим пространством. Пучок абелевых групп {Fx, х ^ X]

24 ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
над топологическим пространством X состоит из: а) некото-
некоторого соответствия лг -»¦ Fх, относящего любой точке х ? X
абелеву группу Fx (которую мы далее записываем аддитивно);
б) некоторой топологии в объединении F множеств Fx (иначе
говоря, в множестве F определяется система открытых мно-
множеств, удовлетворяющих условиям аксиомы топологического
пространства). Для любого элемента f^Fx мы положим
iz(f)^x. Отображение тс: F-*-x, далее, называется проек-
проекцией пространства пучка F на пространство X. Подмножество
произведения Fy^F, образованное такими парами (/, g) (где
f?F, g?F), что Tz(f)^%(g), далее обозначается симво-
символом F-{-F.
Соответствие, определенное в а), и топология, указанная
в б), должны удовлетворять следующим аксиомам:
I. Отображение тс является локальным гомеоморфизмом
(т. е. любой элемент f^F обладает окрестностью V, кото-
которую проекция тс гомеоморфно отображает на некоторую
окрестность U точки тс(/)).
II. Соответствие /->—/ является непрерывным отобра-
отображением пространства F на себя; соответствие (/, g)-*-f-\-g
является непрерывным отображением множества F X F в про-
пространство F.
Пусть/7—пространство пучка {Fx, х ? X} и С: V-+F —
непрерывное отображение некоторого подмножества V про-
пространства X в пространство пучка F, причем композиция
С О те есть тождественное отображение V-*- V. Тогда множе-
множество C(V)d^7 называется сечением пучка {Fx, x ? X} над
множеством VC.X.
Пусть {Fx, х ? X} — произвольный пучок над про-
пространством X, F—пространство этого пучка, Q — такое
открытое подмножество в множестве F, что для любой
точки х(^Х пересечение Q (~\FX = QX является подгруппой
группы Fx. Тогда объединение {Qx, х ^ X} является пучком
с топологией индуцированной топологией пространства F
(т. е. открытые множества пространства Q определяются
как его пересечения с открытыми множествами простран-
пространства F). Пучок {Qx, х ? X) называется подпучком пучка
{Fx, хе*}.
Понятие пучка применимо не только к абелевым группам;
аналогичные определения можно строить и для других
алгебраических объектов.

ВВОДНАЯ СТАТЬЯ 25
В последующем мы пользуемся понятиями пучков комму-
коммутативных колец, пучков коммутативных колец с единицами,
пучков идеалов. Мы рассматриваем также пучки множеств.
В этом последнем случае соответствующим множествам Fx
не предписывается какая-либо алгебраическая структура; они
должны лишь удовлетворять аксиоме I из определения пучка.
Рассматриваемые далее пучки колец с единицами {Ох,
х ? X) представляют собой объединение коммутативных
колец Ьж с единицами, поставленных в соответствие точкам лг
некоторого топологического пространства X. Такой пучок
определяется как пучок абелевых групп Dx (каковыми явля-
являются все кольца Dx) над пространством X. При этом соот-
соответствии (/, g)-+fg (где /?= D, g(~D; тут О — простран-
пространство пучка) здесь является непрерывным отображением мно-
множества D-4-C в пространство D; дополнительно предпола-
предполагается, что единица кольца непрерывно меняется вместе
с точкой х ? X.
Важным примером пучка колец целостности является
пучок ®(D)={®X, x^D} колец ростков непрерывных
функций ®х над некоторой областью D B Rn. Здесь под
ростком (&Хо непрерывной функции в точке х0 ? D, пред-
представляемой функцией g(x), непрерывной в точке х0, пони-
понимается совокупность всех функций, непрерывных в точке х0
и совпадающих с функцией g(x) в некоторой окрестности
точки х0; для различных функций, принадлежащих к ростку
®хо, эти окрестности, вообще говоря, могут быть различными.
Само собой разумеется, что подобный росток может пред-
представляться с помощью любой функции, к нему принадле-
принадлежащей.
Арифметические действия над ростками ®х определяются
посредством действий над непрерывными функц.иями> их
представляющими. Очевидно, что is результате совокупность
подобных ростков, определенных в некоторой точке x(~D,
становится кольцом целостности с единицей; это кольцо мы
обозначаем через ®х.
Топология в множестве © ростков ®х вводится следую-
следующим образом: пусть UXo CLD — окрестности точки лг0 ^ D;
окрестность ростка ®Хо определяется как множество V рост-
ростков, представляемых в точках х ? UXo некоторой функцией
^¦(лг), непрерывной в окрестности UXo и представляющей
и точке х0 росток ©.Vo. Рассматривая различные непре-

26
ВВОДНАЯ СТАТЬЯ
рывные функции g(x), принадлежащие к ростку (&Хо, мы
получаем различные окрестности этого ростка. Множества V
составляют базис топологий в множестве ©; в результате
последнее становится топологическим пространством. Легко
проверяется, что в наших условиях требования аксиом I и II
из определения пучка оказываются выполненными.
Заметим еще, что топология, введенная в пространстве
пучка ©, вообше говоря, не является хаусдорфовой. Например,
рассмотрим непрерывные функции одного действительного
переменного х, и пусть D — ось ОХ; тогда ростки непре-
непрерывных функций, представляемых в точке лг = О функциями
jc —|— | лг | и —(х-\- \х\), не имеют отделимых окрестностей.
11. Дополнительные замечания. Мы не используем далее
каких-либо специальных глав теории аналитических функций
одного комплексного переменного. Поэтому «Введение в тео-
теорию функций комплексного переменного» И. И. Привалова
содержит в себе все здесь для нас необходимое. Само собой
разумеется, что эти сведения могут быть почерпнуты и из
других книг, посвященных этому предмету. В отдельных
местах нашей книги мы опираемся на факты и из других
математических дисциплин. Соответствующие ссылки в тексте
содержат в таких случаях необходимые литературные ука-
указания.

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ п КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Функции п комплексных переменных.
Их дифференцирование и интегрирование.
Голоморфный функциональный элемент
1. Непрерывные функции я комплексных переменных1).
Пусть D — подмножество пространства С1 комплексных пе-
переменных zk = xk-j-iyk (?=1, ..., n).
Если каждой точке z^D поставлены в соответствие
одно или несколько комплексных чисел /, то мы будем
говорить, что на множестве D определена функция /=/(z) =
=f(zlt ..., zn). Здесь zb ..., zn — координаты точки z. Если
каждой точке z ? D поставлено в соответствие одно число /,
то функция f(z) называется однозначной. В дальнейшем, если
обратное не оговорено, мы всегда рассматриваем однозначные
функции.
Если множество EdD, функция /t (z) определена на
множестве Е и f\(z)^f(z) при z ? Е, то эта функция fi(z)
называется ограничением или следом функции f(z) на Е;
в этом случае мы пишем f1=rf\E. Название «след функции»
обычно употребляется, когда множество ECLCn является
многообразием (или пространством) комплексной размер-
размерности <^ п. Функция f(z) называется непрерывной в точке
z(^-D, если каждому числу е^>0 соответствует такое
число 8 = 8(е, z), что при У\ Д^ |2 -f ... -\- \ /izn |a < 8 и
') Определения и теоремы, содержащиеся в настоящем пункте,
предполагаются известными читателю. Они приводятся здесь лишь
для удобства ссылок.

28 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
(*i + A^i. • • •. zn + bzn) ?= D функция/^ + A^i zn -f Дг„)
определена и
Если для каждого числа ? величина 8 (г, z) может быть взята
одинаковой для всех z^D, т. е. можно принять 8 = 8 (г),
то функция f(z) равномерно непрерывна на множестве D.
Как обычно, устанавливаются общие теоремы теории не-
непрерывных функций, принадлежащие Кантору и Вейерштрассу
(мы формулируем их для случая области).
Теорема 1.1. Функция, непрерывная во всех точках
ограниченной замкнутой области, равномерно непрерывна
в этой области. *
Теорема 1.2 х). Функция, непрерывная во всех точ-
точках ограниченной замкнутой области, ограничена в этой
области, т. е. существует такое число M"j>0, что для
всех точек z этой области \f(z) \<^M.
Теорема 1.3.х). Действительная функция, непрерывная
во всех точках ограниченной замкнутой области D, до-
достигает в ней своего наибольшего и своего наименьшего
значения.
В дальнейшем мы будем постоянно пользоваться как оди-
одинарными, так и кратными численными и функциональными
рядами, понятиями их абсолютной и равномерной сходимости.
Мы предполагаем их общие свойства известными читателю.
В частности, предполагается известным, что функциональный
со
ряд 2 /ft (z)' члены которого определены в точках z обла-
ft = i
сти D пространства С", равномерно сходится в этой обла-
области к функции g(z), если каждому числу е]>0 и каждому
компактному множеству М, содержащемуся в области D,
соответствует такое число N= Л/(е, М), что при n^>N для
всех z ^ М
ft = 1
Так же предполагаются известными теоремы:
По поводу этих теорем см. еще п. 2 § 5 и п. 3 § 8.

§ 1] ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 29
со
Теорема 1.4. Если численный ряд 2 ал> г^е ай!3=0,
сходится и неравенства |Л(г)|^аА имеют место для
со
всех k и во всех точках z ?D, то ряд 2 A (z) равно-
равномерно сходится в области D.
Теорема 1.5. Равномерно сходящийся ряд, состоя-
состоящий из непрерывных функций, сходится к непрерывной
функции.
2. Голоморфный функциональный элемент. Условия
Коши—Римана. Определение (голоморфный функцио-
функциональный элемент). Функция
f=f(z\, • •> zn) = u(zi, ..., zn)-{-iv(zlt ..., zn)
(где u^Ref, v^lmf), заданная в области D пространст-
пространства С", голоморфна в этой области, или, иначе, представляет
собой голоморфный функциональный элемент, если она обла-
обладает во всех точках z ? D частными производными
df___ j. /(Zi, ¦ ¦ ¦, zfe_i, zk+bzk, zk+1,..., zn)—f (г1г ...,zn)
где k^l, ..., п. Заметим, что в этом определении (см. п. 1
настоящего параграфа) функция / предполагается однознач-
однозначной. Говорят, что функция / голоморфна в точке z ? Cl, или,
иначе, является голоморфным функциональным элемен-
элементом в точке z, если она голоморфна в некоторой окрест-
окрестности Uz точки z. Совершенно тот же смысл имеет выраже-
выражение «функция / регулярна в точке z».
Говорят также, что каждая функция, голоморфная в точке z,
представляет в этой точке голоморфный функциональный
росток (подобный термин обычно употребляется в теории
пучков — см. пп. 2 и 5 § 4).
Функция f(z), голоморфная во всех точках некоторого
множества ECZC", называется голоморфной на этом множе-
множестве Е.
Рассмотрим в качестве окрестности некоторой точки
;<°> (zT, ..., 401) область U={ | zk — zf |< Rk, k = 1, ..., п).
Эта область далее называется круговым полицилиндром или

30 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
просто полицилиндром (при я = 2 круговым бицилиндром
или просто бицилиндром) с центром в точке 2^°' (по поводу
этих названий см. также п. 1 § 2). В силу данного опреде-
определения функция f(zt, ..., zn) называется голоморфной в обла-
области U, если каждая из функций f(z\°\ ..., z'kL\,zk, zle+u ...
..., Zn') является голоморфной функцией своего аргумента
zk в круге \zk — z'k'\<^Rk, т. е. другими словами, функция
f(zlt ..., гп) называется голоморфной в точке 2^°', как иног-
иногда говорят, по совокупности аргументов, если она голо-
голоморфна в этой точке по каждому из своих аргументов в
отдельности.
Для функции /(z) = и (z) ~\- iv (z) одного комплексного
переменного z, где « = Re/, г> = 1т/—дифференцируемые
функции действительных переменных л: и у (у нас z^x-\-
-j- iy), необходимыми и достаточными условиями существова-
существования производной y являются условия Коши—Римана.В нашем
случае они, соответственно, дадут условия существования
частных производных функции/^, ..., zn) и будут иметь вид
Ц± = Р-, р- = -р-; А=1 п. A.2)
dxk dyk' dyk dxk' v '
Эти условия удобно записываются с помощью так называе-
называемых формальных производных. Последние вводятся следую-
следующим образом: пусть функция f(xb yv ..., хп, уп) (возможно,
принимающая комплексные значения) обладает частными про-
производными по всем своим переменным. Рассмотрим ее диф-
дифференциал
Здесь, если f=u + iv, то g- = g_+la_ и т. д.
Мы положим
dzk = dxk + idyk\ dzk = dxk — ldyk
(как всегда zk = xk — iyk) и отсюда заменим (в 1.3)
dzk — dzk
Ш g

§ 1] ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 31
Тогда, если мы обозначим
dzk—2{dxk ldyj> dzk
то равенство A.3) примет вид
df = Wld^+W1^+--+&ndzn+§-/zn. A.5)
Определенные посредством A.4) величины —-, -Jr- носят
название формальных производных. Это название возникает
благодаря возможности их формального получения с помощью
теоремы о производной от сложной функции и равенств
v Zft + Zft Zft Zfe
ft— 2 ' Уь— 2г '
В формальных производных условия Коши — Римана A.2)
запишутся так:
^ = 0, А=1, ...,я. A.6)
Если функция f(zlt- ... , zn) голоморфна, то ее формальные
производные -J- совпадают с определенными в A.1) частными
производными функции /.
Теперь мы сформулируем следующее предложение.
Теорема 1.6. (Фундаментальная теорема Гартогса.)
Если функция f(zt zn) голоморфна в полицилиндре
то она непрерывна в этом полицилиндре.
Затруднения, которые возникают при доказательстве этого
предложения, связаны с тем, что из существования частных
производных функции f(zt zn) непосредственно вытекает
лишь ее непрерывность по каждому переменному в отдель-
отдельности. Преодолеть эти затруднения и доказать сформулиро-
сформулированную теорему удалось Ф. Гартогсу A874—1943) в 1905 г.
В своем доказательстве Гартогс [1] существенно использовал
результаты Осгуда, который еще в 1900 г. пришел к тому же
выводу, при дополнительном требовании ограниченности функ-
функции f(zit ..., zn) в полицилиндре U. До появления работы
Гартогса в определении голоморфной функции к требованию

32 голоморфные функции в пространстве С" [гл. i
существования частных производных приходилось присоеди-
присоединять требование непрерывности функции.
Непрерывность голоморфной функции по совокупности
переменных далее используется для получения ее представ-
представления в виде л-мерного интеграла Коши. Из интегрального
представления Коши для полицилиндрической области, кото-
которое рассматривается в следующем параграфе, мы выведем
представление голоморфной функции f(zit ..., zn) в виде
кратного степенного ряда. Таким образом, будет показано,
что данное нами определение голоморфного функционального
элемента равносильно его определению как суммы соответ-
соответствующего степенного ряда.
Следующие два пункта настоящего параграфа посвящены до-
доказательству теоремы 1.6. Мы проведем это доказательство
для функций двух комплексных переменных w и z, предпо-
предполагая •Шо^г'о^О.
3. Лемма Гартогса. Прежде всего мы докажем лемму,
лежащую в основе исследования Гартогса. Ее часто называют
главной теоремой Гартогса1). Она состоит в сле-
следующем:
Лемма. Пусть функция f(w, z) 1) голоморфна в би-
бицилиндре Uв, n{\w\^ В, \z\^R} и 2) ограничена в би-
би{| | }
{ }
цилиндре Щ, r {| w | sg; p, |z|«s;/?}. Тогда функция f(w, z)
непрерывна в бицилиндре Ов, ц.
Доказательство. Из первого предположения леммы
и определения голоморфной функции двух переменных сле-
следует, что в бицилиндре Ub, r данная функция представляется
рядом
A.7)
равномерно и абсолютно сходящимся в круге |о»|^В для
каждой точки z из круга |г|^/?.
Прежде всего докажем, что все функции f4{z) голоморфны
в круге |г|^/?. Для функции /0(,г) = /@, z) это непосред-
непосредственно вытекает из первого предположения леммы; поэтому
1) Обобщение главной теоремы Гартогса можно найти в работе
Ротштейна [1]. Ряд следствий из результата Ротштейна был получен
Сакаи [1].

§ 1]
ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
33
нам достаточно установить, что при
голоморфна в круге
ции /0(z), ..., fm_t(z).
Рассмотрим функцию
функция fm(z)
?, если там голоморфны функ-
функт-\
f{w, г)- ^ /Л*)»*
. A.8)
Очевидно, что для каждого w (где 0<^|яу|==??) функция
ф (а;, ^) голоморфна по zb круге | г | s=c R, причем
lira ф(да, г) =/„(«).
oi->0
Мы покажем, что этот предел достигается равномерно отно-
относительно z в круге | z
?. В силу второго предположе-
предположения леммы существует такое число
линдре Щ, r
10
0, что в бици-
бициНеравенства Коши для ряда A.7) нам дают, что в круге
\\
$- (v = 0, 1, 2, ...). A.9)
Теперь из A.8) и A.9) мы имеем (предполагается, что |
<p <<
, z)-fm(z)\ =
ft= 1
ft = 1
Последнее выражение не зависит от z; отсюда непосред-
непосредственно усматривается равномерность рассматриваемого пре-
предельного перехода, а следовательно, и голоморфность функ-
функции fm {z) в круге | z | =s? R.
Возьмем число r<^R. Проведем окружность |,г| = /?1
(где r<^Ri<^R) так, чтобы па пей не лежало ни одного
пуля функций /„(г) (v = 0, 1, 2, ...). Множество таких нулей
2 Б. А. Фуке

34 голоморфные функции в пространстве Сй [гл. 1
не более чем счетно, и поэтому проведение подобной окруж-
окружности всегда возможно. В силу A.9) в круге |
AЛ0)
Обозначим через Qv множество тех точек окружности |z| =
= Ri, в которых левая часть неравенства A.10) больше
единицы. Рассмотрим последовательность множеств Qv (v =
= 0, 1, 2, ...). Благодаря сходимости ряда A.7) при \z | = /?i
и \w\ = B на окружности \z\ = Ri не существует точки,
принадлежащей бесконечной совокупности множеств Qv.
Поэтому если av — мера1) множества Qv, то lim av = 0.
V -» 00
Рассмотрим в круге |^|^/?i функцию
В (v= 1, 2, ...). A.11)
Она гармонична в круге 121 =sj /?i всюду, за возможным
исключением конечного множества его точек, являющихся
нулями функции /v(z), ПРИ приближении к которым h^(z) —
—>— оо. Мы будем смотреть на —оо как на значение функ-
функции h^(z) в этих точках. Затем мы построим с помощью
интеграла Пуассона гармоническую функцию p^(z), равную
In -g- на множестве Qv и равную нулю на остальной части
окружности |z| = Ri*). В силу A.10) и A.11)
г) A-12)
1) Измеримость множества Qv очевидна; см., например, Валле-
Пуссен, Курс анализа, т. I, ГТТИ, 1933, стр. 67. Заключение о том, что
в наших условиях lim av = 0, можно сделать на основании тео-
V —у ОО
ремы VI (стр. 64). Для этого достаточно определить рассматривае-
00
мые в этой теореме множества Еь как V Qv
v = k
2) Как указывает Каратеодори (см. Caratheodory, Funktionen-
theorie, Band II, Basel, 1950, стр. 107), построение и использование
Гартогсом функции /»v(«) по ходу настоящего доказательства было
первым случаем применения понятия гармонической меры. В про-
процессе дальнейшего развития теории функций понятие гармониче-
гармонической меры было вновь найдено и широко использовано.

§ 1] ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 35
во всем круге |2|<^/?i. Применяя формулу Пуассона, мы
далее получим для точек z этого круга
-s \
па
__2R\z\cos(9—arg г) rf9 **
тAп s -1п р) а-AЛЗ)
Для получения неравенства A.13) надо разбить интеграл
Пуассона на два (по множеству Qv и по остальной части
окружности \z\:=Ri) и затем воспользоваться неравенством
\ v dx sc; M mes Е,
Е
где М~ верхняя граница функции v на множестве Е, ' а
mesi? — мера множества Е1). Так как lim av:^0, то из A.13)
вытекает, что в круге z\^r при
Л (*) О
(здесь е — произвольное положительное число, величина
подбирается по е), а следовательно, в силу A.12)
ftv (z) = — In ¦iil?i _[_ in б <^ е
или
Отсюда вытекает, что ряд A.7) равномерно сходится в би-
r ft \
цилиндре ||'0'|<С-т. I2'I*S''(. a следовательно, функция
f(w, z) является непрерывной в этом бицилиндре. Число е
может быть выбрано как угодно малым, число г — как угодно
близким к R. Отсюда следует, что функция f(w, z) непре-
непрерывна во всех внутренних точках замкнутого бицилиндра Ub, r-
По смыслу определения голоморфной функции в первом
предположении леммы замкнутый бицилиндр Ub, r может
быть заменен другим бицилиндром с центром в начале коорди-
координат, несколько большим по размерам, чем Ub, r- Отсюда
') См. по этому поводу Валле-Пуссен, Курс анализа, т. 1, стр. 272,
1* ¦

36 голоморфные функции в пространстве С" [гл. i
вытекает, что непрерывность функции f(w, z) имеет место
во всех точках замкнутого бицилиндра Us, я-
4. Лемма Осгуда. Завершение доказательства фунда-
фундаментальной теоремы Гартогса. Теперь мы докажем следую-
следующее предложение, принадлежащее Осгуду.
Лемма. Если функция f(w, z) голоморфна в бици-
бицилиндре U{\w\<iS, \z\<iR}, то в некоторой области
D d U функция /(щ z) ограничена.
Доказательство. Пусть wu—некоторая точка круга
\w\<^S. Мы рассмотрим функцию f(wu, z) при |г|^/?.
Мы обозначим M(wu) — верхнюю грань значений модуля
функции в этом круге. Далее обозначим через Рп множество
точек w в круге \w\<^S, для которых
М (w) ^ п.
Очевидно, что 1) Pn(ZPn+i, 2) всякая точка w круга
<^S принадлежит к множеству Рп, начиная с некоторого
номера п. Легко также видеть, что 3) множество Рп является
замкнутым. Действительно, для каждой фиксированной точки za,
где |го|^/?, функция f(w, zu) непрерывна в круге |uy|^
Поэтому, если \f{wb zn)\^n, где г^1, 2 lim
Г~*ОО
= w*, |tiy*|<^S, то и \f(w*, zo)\^n. Отсюда и вытекает
наше утверждение относительно множества Рп.
Теперь покажем, что существует множество Р^, содер-
содержащее некоторую область т, являющуюся частью круга |ffi>|<^S.
Действительно, в противном случае множества Рп были бы
нигде не плотными в круге |tiy|<^S, и во всякой области о,
являющейся частью этого круга, мы сумели бы найти круг olf
внутри и на границе которого нет точек множества Pt
(если бы этого нельзя было сделать, то вследствие замкну-
замкнутости Рх вся область о принадлежала бы Р^). В ах мы та-
таким же образом выделим круг оа, целиком (вместе с грани-
границей) свободный от точек множества Р2. Продолжая действо-
действовать таким образом, мы получим последовательность кругов
&i, ва, ...; каждый из этих кругов лежит внутри предыдущего;
поэтому они имеют по крайней мере одну общую точку, которая
оказывается не принадлежащей ни к одному из множеств Рп.
А так как это невозможно, то существует область х (часть
круга |ffi>|<^S), для точек которой при всяком |z|sg:/? будет
\f(w, z)\^N.

§ 1] ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 37
Пусть точка wu (^ т; тогда, так как z — область, существует
круг \\w — wa | sg; p j (^ т. Мы доказали, что функция f(w, z)
ограничена в бицилиндре D {\w — wu | -<= р, \z\^ R } d U.
Завершение доказательства теоремы 1.6.
Пусть бицилиндр U из формулировки теоремы 1.6 для
случая двух переменных w и z заменяется бицилиндром
?7 {| ffi> | «?S S, |,г| =<:/?}, в котором /(да, z) задается как голо-
голоморфная функция. Тогда эта функция будет, в частности,
голоморфной в бицилиндре ?/i j |и> | sg;-~-S, |г|^/?|. При-
Применяя лемму Осгуда, мы получим бицилиндр Vx {\ w — wu | < р,
|^|^/?}, в котором функция f(w, z) окажется ограниченной.
Так как \щ <Г " S, то функция f(w, z) голоморфна в би-
О
цилиндре V'=l \w — 'аУоI<C"S, \z\^R |, составляющем
часть бицилиндра U. Применяя лемму Гартогса к бицилинд-
бицилиндрам У, и У с центром в точке (тй, 0), мы найдем, что функ-
функция /(зу, г) непрерывна в бицилиндре V. Этот бицилиндр
замкнут. Следовательно, функция f(w, z) ограничена в нем,
а также и в бицилиндре U\CZV. Применяя лемму Гартогса
к бицилиндрам ?Д и U, мы завершим доказательство тео-
теоремы 1.6.
б. Интегрирование функций комплексных переменных.
Сначала мы рассмотрим ^-мерное /-гладкое (где /Э=1) мно-
многообразие V, сводящееся к одному элементу. Таким образом,
предполагается, что в структурном атласе многообразия V
имеется карта (V, ф), где <]>V=№ — шар (или симплекс)
в пространстве локальных координат tlt ..., tk. Областью
применения этой системы координат в разбираемом случае
является все многообразие V.
Пусть f(tb ..., tk) — интегрируемая функция (в смысле
Лебега), определенная на замкнутой области W. Мы составим
нечетную дифференциальную форму степени k
Интеграл нечетной формы а по многообразию V мы опреде-
определим равенством
i ... dtk. A.15,)

28 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
Очевидно, что значение i а не зависит от выбора локальной
V
системы координат. Это вытекает из правила преобразования
составляющих нечетного ковектора @.32) к новым координа-
координатам и формулы для замены переменных под знаком много-
многомерного интеграла.
Теперь рассмотрим ориентированный элемент многообра-
многообразия V; пусть е — его ориентация. Мы положим ориентацию
гомеоморфизма Ф равной единице; тогда число е одновре-
одновременно является ориентацией области W^ Ф V в пространстве
локальных координат tb ..., tk.
Мы будем далее рассматривать интегралы двух типов от
дифференциальной формы а по ориентированному элементу
многообразия V. В интеграле первого типа форма а, опреде-
определенная равенством A.14), предполагается нечетной и инте-
интеграл \ а определяется равенством A.15Х). В интеграле вто-
V
рого типа форма а, задаваемая равенством A.14), предпола-
предполагается четной (отличие между четной и нечетной формами
A.14) обнаруживается при переходе к другим системам ло-
локальных координат); интеграл i а в этом случае опреде-
Р
ляется равенством
kdti ••• dtk- 0-152)
И w W
Интеграл A.15!) можно вычислять и от четной, а интеграл
A.15а) и от нечетной формы. Однако эти интегралы счи-
считаются равными нулю (так как только в этом случае их
величина оказывается не зависящей от выбора локальной
системы координат).
В дальнейшем, при интегрировании, указания на четность
или нечетность формы а, наличие или отсутствие ориентации у
элемента V (а следовательно, и индекс е в обозначениях Vе, W*),
поскольку это не ведет к недоразумениям, опускаются. Сле-
Следует лишь помнить, что интеграл по неориентированному мно-
многообразию всегда берется от нечетной формы а.
Теперь предположим, что V—поверхностный элемент
(иначе — криволинейный симплекс), заданный уравнениями @.1в)

§ l'j ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 39
в пространстве Rn действительных переменных xv, ..., х^,
и а — четная или нечетная форма степени k, определенная
на множестве U(ZRn, где V(ZU, с помощью равенства
л-
где ¦aii ... ,- —функции координат xlt ..., Xn- В простран-
пространстве Rn мы рассмотрим ориентацию, вводимую с помощью
этой системы координат.
Равенства @.1) определяют вложение ja элемента много-
многообразия V в пространство R^. Используя формулы @.8) или
@.9), мы представим форму а на элементе V в виде
Это выражение называется следом или ограничением формы а
на элементе V. Мы пишем здесь а вместо а О р (так как
VCZRn)- Для получения выражения A.16') в случае нечетной
формы а надо положить ориентацию г элемента многообра-
многообразия V и ориентацию г' пространства Rn равными единице;
а*... г —результат замены в величинах at i переменных
xlt ..., Xn их выражениями через tb ..., tk, исходя из фор-
формул @.16).
Затем мы положим J)
N
\*=\ %% ...ikdxhЛ • • • Лdxtk =
V V ft
ft
N
') Знаки внешнего умножения дифференциалов под знаком ин-
интеграла по многообразию иногда не пишутся, но всегда подразу-
подразумеваются. 4

40 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
В случае интеграла по неориентированному элементу V надо
взять е = 1. Если элемент V ориентирован, то г — его ориен-
ориентация; в обоих случаях последний интеграл A.17) берется
по неориентированной области W.
Это определение интеграла легко распространяется на
случай ^-мерной кусочно гладкой поверхности eV, где *\Р=
т
= [J V(s) и V(s) — поверхностные элементы, криволинейные
симплексы описанной выше природы. Мы положим
а- AЛ8)
5
<s)
vjf s=l v
Интеграл по многообразию ^V3 более общей природы мы рас-
рассмотрим ниже, в гл. IV.
Вернемся к рассмотрению пространства C" = /?jv (где
N=2ri) комплексных переменных zp = хр -J- ixn{_p, р = 1,..., п.
Далее мы, как обычно, полагаем хп+р=ур. Мы заменим урав-
уравнения @.1), определяющие поверхностный элемент V, уравне-
уравнениями вида
zp = zp(tb ...,tk), p=l, ...,n. A.19)
Используя соотношения
dxp = 1 (dzp + ttzp\ dyp= — -i(dzp — d'zp),
мы получим для формы а, которая может быть сейчас как
четной, так и нечетной, следующее выражение (вместо A.16));
2л
«=2\*ЯиЛ---ЛЛ«*. A.20)
h
Здесь Ср —гр при lsgjPsgrc, Cp= 2р_„ при п<^р^'2п.
Соответствующее правило устанавливается для замены ин-
индексов у величин Аг ... ik. Так, например, при я = 6 будет:
Аш = А12Т, АШ=А232 и т. д.
Для получения величин Aj ••• jk из величин а1 ••• ik
следует применять формулу

§ 1] ГОЛОМОРФНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 41
Здесь 71=1 для четного ковектора и и] = 1л для нечетного
ковектора; формальные производные -кгр- должны вычисляться
по формулам A.4). Составляющие, ковектора Aj •¦¦jk при
переходе в пространстве С" от одних комплексных коорди-
координат Zi, ... zn к другим преобразуются по формулам (О.ЗО
или @.32). Однако производные, входящие в эти формулы,
должн'ы вычисляться по правилам формального дифференци-
дифференцирования A.4). Форма
где At ... i (г) — голоморфные функции в некоторой об-
области D G С", называется голоморфной в этой области D.
После этих видоизменений мы получим вместо формулы A.17):
2л
V k
In
V k
2я
= \ е(У A* ... {k d'(i'" !V) dt\ ... dtk. A-22)
V k
Формула A.18) остается без каких-либо изменений.
В дальнейшем мы чаще всего используем следующие
частные случаи интеграла A.22):
1) &=1; интеграл A.22) берется по кусочно гладкой
линии.
2) Все составляющие ковектора А{ ... {/!, у которых
хотя бы один индекс ip^>n, равны нулю. В этом случае
мы получим вместо A.20):

42 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
вместо A.22)
V k
W
-) *¦-*••
В частном случае, при k = n, мы, полагая Л1|||Я=/(г), при-
придадим формуле A.22j) следующий вид:
V
Теперь предположим, что уравнения A.19) имеют вид
и каждая из этих функций непрерывна, обладает непрерыв-
непрерывной производной на замкнутом интервале ap^sctp^cbp, осу-
осуществляет гомеоморфное отображение этого интервала на
линию Tp(ZClp. Тогда У=Г, X ••• X Г„, как говорят,
является декартовым произведением линий Г1(..., Г„. Для
этого случая, исходя из формулы A.23), в результате вы-
вычислений (которые опускаются) можно получить
Р„
fdzn, A.24)
гл
где ap = zp(ap), §p = zp{bp).
§ 2. Интегральная формула Коши
для полицилиндрической области. Основные свойства
голоморфного функционального элемента
1. Полицилиндрические области. Пусть Dk — некоторая
область плоскости переменного zk, k=l, ..., п. Совокуп-
Совокупность всех точек г^С" с координатами zit ..., zn, удовле-

§ i\ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 43
творяющими условию zk^Dk, k^\, ..., л, образует поли-
полицилиндрическую область пространства С переменных zu ... ,zn;
она является декартовым произведением областей Dk и обо-
обозначается символом Z) = Z)i X ••• X Dn. Если области
Dk={\zk— o.k\<^rk}, то, как уже отмечалось в предыду-
предыдущем параграфе, область D называется круговым полици-
полицилиндром с центром в точке (alt ... , ak) или просто поли-
полицилиндром. В случае, если все rk = r, соответствующий по-
полицилиндр называется полицилиндром радиуса г; если г= 1,
то он называется единичным. В пространстве двух перемен-
переменных w, z мы будем, соответственно, рассматривать бицилин-
дрическую область, бицилиндр, единичный бицилиндр.
Из общих топологических соображений следует, что ес-
если Dk — односвязные области, то область D гомеоморфна
шару соответствующего числа измерений.
Ясно далее, что граница полицилиндрической области D
состоит из точек (z1} ..., zn), одна координата которых
zk?dDk, а остальные zs^Ds (s ф k). Часть границы dD,
составленную из всех таких точек при фиксированном k, мы
п
обозначим через Z)(fe). Таким образом, dZ)=\.D(ft'. Особен-
но важное значение имеет та часть dD, точки которой одно-
одновременно принадлежат ко всем D(ft). Эту часть мы обозна-
обозначим через 5 и назовем остовом границы полицилиндри-
полицилиндрической области.
В случае, если границы dDk являются кусочно гладкими
линиями, границы Z)(ft) оказываются Bл — 1)-мерными поверх-
поверхностями, а остов границы 5 — совокупностью л-мерных по-
поверхностей их пересечений. В этом случае полицилиндри-
полицилиндрическая область D называется обыкновенной. Поверхности,
составляющие 5, образуют как бы л-мерные ребра границы.
Замечание. Остов границы 5 единичного бицилиндра
E{\w\<^\, |,г<^1} (а следовательно, и всякой другой би-
цилиндрической области, являющейся произведением одно-
связных областей) гомеоморфен тору. На поверхности
5 {|и>| = 1, |,г| = 1} можно произвести два разреза (напри-
(например, по окружностям \w=\, |z| = l} и {|и>|=1, ,г=1}),
после которых она все-таки остается связной.
2. Интегральная формула Коши. Теорема 2.1. Если
функция f(z) голоморфна в ограниченной обыкновенной

44 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [гл. 1
полицилиндрической области D, непрерывна в замкнутой
области D, то
\Jh^^dt^.-.^tn. A.25)
Замечание. Непрерывность функции /(г) внутри об-
области D вытекает из ее голоморфности в силу фундаменталь-
фундаментальной теоремы Гартогеа.
Доказательство. Мы для краткости ограничимся
случаем двух переменных w, z. Точки множеств ?)A' и Z)''2'
можно рассматривать как предельные для внутренних точек
области D. Пусть далее (w, z) означает точку области
А (А> z) — точку D(I), (w, ti) — точку D^K Тогда можно
принять, что
Hm f(w, z)=f(tb z), \\mf(w,z)=f(w, Q.
Функция f{w, z) является равномерно непрерывной в замкну-
замкнутой области D, и эти пределы достигаются равномерно
(первый относительно z, второй относительно w). Отсюда
на основании следствия теоремы Вейерштрасса') для случая
одного переменного f(ti,z) — голоморфная функция z в об-
области ZJ, a f(w,t^) — голоморфная функция w в области D\.
Применяя интегральную формулу Коши для одного перемен-
переменного, мы получим
A.26)
Здесь устанавливается обычное для интегральной формулы
Коши направление обхода dDi и dD%. Из этих равенств мы,
заменяя двухкратный интеграл двойным, согласно формуле
') Аналогичное следствие из теоремы Вейерштрасса для случая
функции двух переменных выведено нами в следующем пара-
фу
графе

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 45
A.24), находим:
Поверхность 5 предполагается ориентированной так, что при
замене двойного интеграла двухкратным интегралы A.26)
оказываются ориентированными указанным выше образом.
Аналогичным образом поверхность 5 предполагается ориен-
ориентированной в общем случае п переменных.
Замечание. При выводе интегральной формулы Коши
для полицилиндрической области можно было бы считать,
что области Dk ограничены произвольными спрямляемыми
кривыми; не изменяя сколько-нибудь существенно результа-
результатов, это в ряде случаев приводит к дополнительным вычис-
вычислительным осложнениям.
Из интегральной формулы Коши A.25) следует, что
функция f(z), голоморфная в обыкновенной полицилин-
дрияеской области D, определяется своими значениями
на остове ее границы S.
В п. 4 следующего параграфа устанавливается, что если
функция f(z) голоморфна в области D и непрерывна в
замкнутой области D, то 1/BI принимает свое наибольшее
значение на границе dD области D. В случае, если D — обы-
обыкновенная полицилиндрическая область, то |/| будет (если
функция f(z) отлична от постоянной) принимать свое наи-
наибольшее значение на остове границы 5. Это (для случая
двух переменных) следует из того, что функция / (w.t^) го-
голоморфна по и» в области D для каждого t^dD^, а функ-
функция f{tlt z) голоморфна по z в области ZJ для каждого
В дальнейшем мы познакомимся с другими классами об-
областей, на границе которых также выделяются части с ана-
аналогичными свойствами. Подобное подмножество границы
носит название границы области в смысле Шилова по
отношению к классу функций, голоморфных в этой области
и непрерывных в замкнутой области.
В заключение отметим, что, так же как в теории функ-
функций одного переменного, мы можем и здесь рассматривать

46 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ СЙ [гл. 1
интегралы «типа Коши». Если на остове границы 5 некото-
некоторой обыкновенной полицилиндрической области D задана не-
непрерывная функция <р (t), то интеграл
I ^kdtA л^т (L27)
определяет в области D голоморфный функциональный эле-
элемент f(z). Однако его значения, вообще говоря, не стре-
стремятся к значениям функции <p(t) при приближении точки z^D
к остову 5. Интеграл A.27) называется интегралом типа
Коши. Голоморфность функции f(z) в области D доказывается
так же, как аналогичное предложение в теории функций од-
одного переменного.
Интеграл типа Коши был подробно исследован В. А. Ка-
кичевым [1]. Укажем на один из его результатов, ограничи-
ограничиваясь для простоты случаем двух переменных w, z. Пусть
D = Dly^Di — обыкновенная бицилиндрическая область,
? (^i> h) — функция, определенная на остове 5 этой области
и удовлетворяющая условию Гельдера
где Ak — некоторые постоянные, 0^aft^l, k^\,2. Рас-
Рассмотрим интеграл типа Коши A.27), который определяет
функции j*+ (w, г), f~~(w, z), /+~ (w, z), f'+ (w, z) — голо-
голоморфные соответственно в областях Z)jXA> АХА7> АХА>
А X А и непрерывные в этих замкнутых областях. Здесь
Z)ft — область, дополняющая область Dk до плоскости ком-
комплексного переменного zk. Имеет место
Теорема 2.2. На остове S обыкновенной бицилин-
дрической области А X А имеют место равенства:

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 47
Здесь все значения функций, стоящих в левых частях
равенств, вычисляются в произвольной точке (tlt t%)(^S.
Теорема 2.2 является обобщением, известной теоремы
Сохоцкого из теории функций одного переменного. Ее дока-
доказательство мы опускаем.
3. Существование и непрерывность всех частных про-
производных голоморфного функционального элемента вы-
вытекает из интегральной теоремы Коши. Так же, как в случае
функций одного переменного, можно показать, что
dkl+---+knf_kl\...kn\ С f(t)du A...Adtn
Отсюда и вытекает наше утверждение.
Заметим, что из равенства A.28) следует теорема о воз-
возможности изменения порядка дифференцирования голоморф-
голоморфной функции многих переменных.
4. Дифференциал функции. Для краткости мы ограни-
ограничиваемся случаем двух переменных. Используя непрерывность
частных производных fw, f'z для голоморфного функциональ-
функционального Элемента, мы легко получим
hf(w, z)=f'w(w, z) кт-\-/'г(т, z) b.z-\- т]1Д'0У-|-т]2Д.г, A.29)
где Ппп]1 = Нтт]я=0 при До>, Д.г-»-0. Мы определим диф-
дифференциал функции f(w, г) с помощью равенства
df=fvdw-\-ftdz, A.30)
где dw = kw, dz = Lz. Из формул A.29) и A.30) следует,
что
Д/=
Заметим, что из формулы A.29), так же как в действитель-
действительном анализе, следует теорема о голоморфности сложной
функции и правило ее дифференцирования. Если F=F(w, z),
w^w(Q, z^z(Q — голоморфные функции своих перемен-
переменных, то F(w(Q, z (С)) — тоже голоморфная функция С и
dl^ dFdw , dF dz
«ft dw dr. T^z dr. '
Аналогичное правило для дифференцирования мы получим,
если f=F(w, z) — голоморфная функция комплексных пере-

48
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
менных w и z, a w = w(t), z = z(t) — дифференцируемые
функции действительного переменного t.
5. Неявные функции. В комплексном анализе имеют
место теоремы о неявных функциях, аналогичные соответ-
соответствующим теоремам действительного анализа.
Теорема 2.3j. Если функция F(w, z) = F(w, Zi,..., zn)
голоморфна в точке (b, a) = (b, alt ..., an), F(b, a) = 0,
F'w (b, а) Ф О, то существует одна и только одна функ-
функция w=;<f(z) = <f(zl, ..., zn), голоморфная в точке z = a,
удовлетворяющая в некоторой окрестности этой точки
соотношению F(<?(z), z) = 0.
Теорема 2.32. Если функции Fk (wlt..., wp, zb... ,zn) =
= Fk(w, z), k=l, ,.., p, голоморфны в точке (b, a) =
= (bv ..., V ab ..., an), Fk (b, a) = 0, [$^](>1в) Ф 0-
то существует одна и только одна система функций
Wk = <?k(z) = <?k(zi' .... zn) (k=l, ..., р), голоморфных
в точке z = a, удовлетворяющих в некоторой окрест-
окрестности этой точки соотношениям
^ft(<Pi00. ..., <op(z), zu ..., zk) = 0 (k=l, ..., p).
Доказательство этих теорем проводится путем перехода
от комплексных уравнений Fk(w, z)=L/k(u, v, x, y)-\-
-\-iVk(u, v, x, y)=0, где w = u-$-iv, z = x-\-iy, к действи-
действительным уравнениям i/k(u, v, x, y) = 0, Vk(u, v, x, y) = 0
(k^l, ..., р). К ним применяются теоремы существования
неявных функций действительного анализа. При этом исполь-
используется равенство
d(wb...,Wt))
i_d{UbVu .... Up, Vp)
d(uh vi, ..., Up, v ) •
A.31)
Затем проверяется выполнение для функций wk = yk(z)^
= uk(x, у) -\- ivk (х, у) условий Коши — Римана.
В комплексном анализе сохраняются обычные правила
дифференцирования неявных функций. »
6. Плюригармонические функции. Если f(z) = U{x,y) -\-
-\-iV(x, у) — голоморфная функция в области DCZC%>
f/^Re/, V^Im/, то, исходя из условий Коши — Рима-
Римана A.2) и факта существования последовательных произ-
производных от функции / (а значит, и от (/, и от V), легко

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 49
=а с1-32)
получим (zk = xk-f-iyk; k, l=\, ..., n)
dxkdxi '
или в формальных производных
-z^ = 0. A.32')
dzkdzt
Таким же уравнениям удовлетворяет и функция V{xu ylt ...
..., хп, уп). Функцию, удовлетворяющую этим уравнениям,
мы будем называть плюригармонической или полигармониче-
полигармонической функцией. Очевидно, что всякая плюригармоническая
функция является гармонической функцией своих перемен-
переменных. Две плюригармонические функции U и V называются
сопряженными, если U-\-iV представляет собой голоморф-
голоморфный функциональный элемент. В этом случае
р п
1
Ро *=1
где криволинейный интеграл берется по пути L, простираю-
простирающемся от некоторой фиксированной точки Ро до точки
P{zu ..., zn). Последний интеграл не зависит от пути ин-
интегрирования L, если D — односвязная область, вторые про-
производные от U непрерывны и выполняются условия A.32) *).
Отметим, что в случае двух переменных условия A.32) при-
принимают вид
^?л_ЁК — п д'и | д*и — с\
дх* "г ду* ~~ ' а«2 ~г-"аоз ~~ '
d*U , d*U _Q d'-U d*U =Q. ( ' '
дх да * ду dv ' дх &v ду ди '
U называется в этом случае бигармонической функцией 2).
') Интеграл \ Ridti +... -j- Rsdts в односвязной области В
не зависит от пути интегрирования, если /?ft, -~^ непрерывны
2) Ее не следует смешивать с бигармонической функцией,
удовлетворяющей уравнению ДД« = О, где Д — оператор Лапласа,

50
[ГЛ. I
7. Замечание. Из теоремы о дифференцировании слож-
сложной функции и определения криволинейного интеграла далее
следует, что если f(z)— голоморфный функциональный эле-
элемент в области D и L — кусочно гладкая кривая, лежащая
в Д то
(г) п
f(z)-f(z°) = \ 2Sdzk, A.34)
где интеграл берется вдоль кривой L.
§ 3. Представление голоморфного функционального
элемента степенным рядом
1. Общие предложения. Мы будем рассматривать (оди-
(одинарные и кратные) ряды, составленные из голоморфных функ-
функций. В основе их изучения лежит, как и в случае одного
переменного,
Теорема 3.1 {Вейерштрасса). Если ряд
Л (*)+/* (*) + ..•> A-35)
состоящий из функций, голоморфных в некоторой об-
области DC", равномерно сходится в этой области, то его
сумма голоморфна в этой области.
Частные производные всех порядков от f(z) могут быть
получены почленным дифференцированием первоначального
ряда. Получающиеся при этом ряды сходятся равномерно
в указанных выше областях.
Интегрирование функции f(z) по кривой L (где LCZ.D)
или поверхности Q (где Q (^ D) также может быть при огра-
ограниченности области D осуществлено путем почленного инте-
интегрирования ряда. Аналогичное предложение имеет место и
для л-кратных рядов, составленных из голоморфных функций.
Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в
случае одного переменного. Мы на нем не останавливаемся.
Укажем теперь на одно полезное обобщение теоремы
Вейерштрасса.
Теорема ЗЛ^ Пусть f (z, а) является голоморфной
функцией z в некоторой области DCZC" для всех значе-
значений комплексного параметра а, лежащих в некоторой

I 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ Si
окрестности а0, и предел
lim/Сг, а) = <р(г)
а->а0
достигается равномерно в области D.
Тогда y(z) — голоморфная функция в области D. При
нахождении от нее производных и интегралов можно
осуществлять эти действия под знаком предела.
Эта теорема легко получается из предыдущей, если
рассмотреть какую-нибудь последовательность а1г <х2)...;
Нт а„ = а0. Тогда
Нш/(г, о») = ?(г)
п —юо
достигается равномерно относительно г, и мы можем, рас-
рассматривая f(z, а„) как сумму членов ряда A.35), применить
теорему Вейерштрасса. Отсюда переход к утверждению на-
нашей теоремы легко получается использованием обычной фор-
формулировки определения предела Hm f(z, а).
а—>а0
Напомним, что подобная теорема имеет место и в слу-
случае одного переменного. Мы пользовались ею при выводе
интегральной формулы Коши в предыдущем параграфе.
2. Представление голоморфного функционального эле-
элемента степенным рядом. Сначала мы рассмотрим случай
функции двух переменных и докажем следующее основное
предложение:
Теорема 3.2. Если функция f(w, z) голоморфна в
бицилиндре
то во всех точках этого бицилиндра
f{w,z)= f; ckl(w-ai)k(z — aj, A.36)
Ряд A.36) сходится абсолютно и равномерно в бици-
бицилиндре g. Представление функции f(w, z) рядом A.36) яв-
является единственным.

52
голоморфные функции в пространстве С
[гл. i
Первая часть этой теоремы вытекает из интегральной
формулы Коши. Для произвольной точки (w, z) бицилиндра
§ можно построить подобно расположенные ¦бицилиндры gr- r>
и %гпгч, где r'k<Cr'k<Crk (? = 1> 2, ...) с центром в {а^, аа)>
содержащие точку (w, z). Если S"—остов границы соот-
соответствующего бицилиндра, то
• *>=
Далее имеем
а, г=о
На основании очевидного при (tu
I
неравенства
этот ряд сходится на S" равномерно, и мы вправе его по-
почленно интегрировать. Последнее приводит нас к разложе-
разложению A.36). Отсюда получаются и равенства A.37).
Равномерную сходимость ряда A.36) доказывает следующая
Теорема 3.3. (Абеля). Если в некоторой точке
(о), С) члены степенного ряда
ft. 1=0
— а.гI
удовлетворяют неравенствам
то этот ряд сходится абсолютно и равномерно в би-
би{ |^}
цилиндре {\w — а1\<^\ш — а11
Если в точке (ш, С) данный ряд расходится, то он
расходится и при \w — ^ | | \ \ ^ | \
\ z — аг \ ^> | С — аг\.
Доказательство этой теоремы проводится совершенно
так же, как в классическом анализе.
Пользуясь правом почленного дифференцирования равно-
равномерно сходящегося двойного ряда, мы легко покажем, что
у всякого другого ряда вида A.36), представляющего функ-

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 53
цию f{w, z), значения коэффициентов выражаются с помощью
тех же равенств A.37). Отсюда следует единственность раз-
разложения A,36). Этим теорема 3.2 полностью доказана.
Из теоремы Абеля, как обычно, следует, что всякий ряд
вида
представляет функцию, голоморфную в каждой внутренней
точке области сходимости этого ряда. Таким образом, мы
дополнили принятое нами выше определение голоморфной
функции ее определением в смысле Вейерштрасса. Мы можем
теперь понимать под функцией, голоморфной в точке (аи а2),
сумму двойного степенного ряда
2
It.1 = 0
сходящегося в некотором бицилиндре
{| w —
| z —
Ряд A.36) мы будем далее называть двойным рядом
Тейлора.
Заметим, что все функции, представляющие в точке (аъ а2)
один и тот же голоморфный росток (см. п. 2 § 1), рас-
раскладываются в окрестности этой точки в один и тот же
ряд A.36). Поэтому мы можем отождествить понятия го-
голоморфного функционального ростка в некоторой точ-
точке (аъ а2) и ряда Тейлора с центром в этой точке.
Двойной ряд A.36) сходится к f{w, z) абсолютно во
всех точках §. Отсюда следует, что и всякий одинарный
ряд, получающийся из A.36) в результате расположения всех
членов последнего в одну строку, будет сходиться к функ-
функции f(w, z). Таким образом, получается»следующая
Теорема 3.4. Всякая функция f(w, z), голоморфная
в точке (ah а.2), может быть в некоторой окрестности
этой точки представлена в виде суммы ряда Тейлора

54 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ.
Рассмотрение случая л^>2 переменных не вносит в наши
рассуждения каких-либо существенных усложнений. Мы бу-
будем в дальнейшем говорить о голоморфном функциональ-
функциональном элементе в точке Р{аъ ..., ап) или функции, голо-
голоморфной в точке Р(аи ..., ап), понимая под этим сумму
ряда
где для краткости мы положили {kb ..., kn) = k, (z— a)k =
= {z^ — al)kl...(zn — а„)кп. Вследствие единственности раз-
разложения голоморфной функции в степенной ряд мы можем
считать два голоморфных функциональных элемента в точ-
точке z тождественными, если совпадают значения коэффици-
коэффициентов их разложений. Само собой разумеется, что наш сте-
степенной ряд представляет голоморфную функцию во всех
внутренних точках множества точек его сходимости. С по-
помощью равенств A.37) этот ряд может быть преобразован
в степенной ряд с центром разложения в любой другой
подобной точке.
Условимся называть наибольший полицилиндр &p{\zk—ak\<^
<^R, k=\, ..., n) с центром в точке Р, в котором схо-
сходится ряд A.41), элементарной окрестностью точки Р
для этого ряда, радиус R такого полицилиндра gp — гра-
граничным расстоянием точки Р для ряда A.41). Соответствен-
Соответственно, при рассмотрении голоморфной функции в некоторой
области D мы будем называть наибольший полицилиндр
$p{\zk — а*|<С^> k = l, ..., п) с центром в точке
Р(аи ..., an)^-D, содержащийся в этой области, элемен-
элементарной окрестностью точки Р в области D, величину R —
граничным расстоянием точки Р в области D.
3. я-круговые области. Если функция f(z) голоморфна
в точке Р(а), она представляется в элементарной окрест-
окрестности этой точки — полицилиндре gp { | zk — ak | <^ R,
k = \, ..., п\ — степенным рядом A.41). Вообще говоря,
множество точек сходимости не исчерпывается полицилинд-
полицилиндром %р.
Мы установим сейчас некоторые общие свойства мно-
множеств точек сходимости подобных рядов. Сначала мы снова
рассмотрим случай двух переменных w, z.

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 55
Теорема 3.5. Множество точек сходимости двой-
двойного степенного ряда
A.42)
, /=о
или сводится к центру ряда, точке (av a2), или образу-
образует некоторую звездную') (четырехмерную) область, к
которой могут примыкать двумерные области сходи-
сходимости, расположенные в плоскостях, проходящих через
центр ряда параллельно координатным плоскостям, и
точки сходимости, расположенные на границе этой
области.
Доказательство. Не нарушая общности, мы поме-
поместим точку (аь а2) в начало координат, т. е. положим
а1 = а2 = 0. Если ряд сходится в некоторой точке (ЬЬ ?2),
не лежащей ни в одной из координатных плоскостей, то,
согласно теореме Абеля, он сходится и во всём бицилиндре
{| w |< | t>i |, | z |< [ ?2 |}. Пусть (q, с2), где сь с2 ф 0 —
внутренняя точка этого бицилиндра. Мы рассмотрим луч, ко-
координаты точек которого определяются равенствами w^tcb
z = tc%, и возьмем верхнюю границу х чисел t, для которых
в точке (w, z) ряд A.42) сходится. Если такой границы
нет, мы будем считать т^оо. Тогда, очевидно, ряд A.42)
будет сходиться для всех ^{0«g:^<^t}.
Мы рассмотрим точку ((Xo + e)ci. (^о + е)с2). 0г^0<^,
в которой ряд A.42) сходится. Тогда некоторая окрест-
окрестность точки (tucb toc^) принадлежит к бицилиндру
{|«>|<(*+e)|q|, |2|<^ + e)|c2|}, в котором ряд A.42)
сходится, и поэтому точка (tucb toc^) всегда является вну-
внутренней для множества точек сходимости. Точка (icu -zc2),
если х 9^ оо, принадлежит к границе области. Заметим, что
если ct = 0, то из теоремы Абеля следует только сходи-
сходимость ряда в круге {w = Q, |z|<^tc2}. В этом случае
нельзя непосредственно ничего сказать о поведении ряда
в четырехмерных окрестностях точек этого круга.
На каждом луче {z = tci}, лежащем в координатной
плоскости w=0, мы рассмотрим верхнюю границу it
J) Звездной областью называется область, содержащая вместе
с каждой точкой весь отрезок, соединяющий эту точку с началом
координат. Такая область всегда гомеоморфна гипершару.

56 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
чисел t, для которых 1) ряд сходится и 2) которым соответ-
соответствуют точки, обладающие четырехмерной окрестностью,
состоящей из точек сходимости ряда (такие точки во всяком
случае находятся внутри элементарной окрестности его
центра). Тогда все точки @, tc%), где Q^t<^ih обладают
такими окрестностями. Действительно, если точка @, tuc^),
обладает такой окрестностью, то ряд должен сходиться в
некоторой точке {гь (t0 -\- е2) с2), а значит, в бицилиндре
{| w | <^ гь | z \<d {tu -f- ч) C2}i содержащем окрестности всех
точек луча {w=0, z = tc%\, для 0^t<^^i. Ограничиваясь
рассмотрением только тех точек в координатных плоскостях,
для которых существуют четырехмерные окрестности схо-
сходимости, мы определим некоторую звездную область D, со-
состоящую из точек сходимости ряда A.42). Кроме нее, этот
ряд может оказаться сходящимся в точках границы этой
области и, возможно, в некоторых двумерных областях (они,
очевидно, оказываются кольцами), лежащих в координатных
плоскостях и йримыкающих к четырехмерной области схо-
сходимости D.
Замечание. Из теоремы Абеля 3.3 вытекает, что
ряд A.42) сходится в области D абсолютно и равномерно.
Примеры. 1) Ряд
к, 1=0
имеет областью сходимости D бицилиндр
В плоскости z = 0 он сходится всюду.
2) Ряд
\ zwk = -
1 — W
k=0
имеет своей областью сходимости область |щ»|<^1. В плос-
плоскости z=0 он сходится всюду.
Предложение, аналогичное теореме 3.5, имеет место
и для п переменных. Область D d С" из этой теоремы на-
называют областью равномерной сходимости (кратко, областью
сходимости) ряда A.41). Из теоремы Абеля вытекает, что
вместе с каждой (г'@), ..., z{n) E D к этой области принад-

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 57
лежат и все точки (zt zn), для которых
'jO) — aj\, j=l л.
Мы переходим к изучению областей, обладающих этим свой-
свойством.
Определение {п-круговая область). Область D про-
пространства С'1, обладающая тем свойством, что вместе с
каждой точкой z'0> (Z D и все точки
[fll_|_ (*<•> _fll) <.«),, „„ *„ + (*)•' —flB)e« С А
где Gj, ..., 0П — произвольные действительные числа, удо-
удовлетворяющие условиям 0^6у^2тс, называется л-круговой
областью с центром в точке (аи ..., ап). .
Таким образом, л-круговая область отображается на себя
преобразованиями группы
Zj = {zf — aj)еЩ + aJt 0<6;^2тг, j=\ л. A.43)
Говорят, что равенства A.44) определяют группу автомор-
автоморфизмов л-круговой области D.
Если вместе с каждой точкой z'0) к области D при-
принадлежат все точки z, для которых
zj — ai I *S I ZT — ai I' J=l ">
область D называется полной л-круговой областью. Мы уже
отметили, что область сходимости степенного ряда A.41)
в силу теоремы Абеля обладает этим свойством и,
следовательно, является полной п-круговой областью.
Можно показать, что всякая функция, голоморфная в неко-
некоторой л-круговой области D, содержащей свой центр, пред-
представляется в ней степенным рядом A.41). Однако подобный
ряд, вообще говоря, будет сходиться и за пределами этой
области. Он будет иметь своей областью сходимости неко-
некоторую полную л-круговую область, содержащую область D.
Можно далее показать, что не всякая полная л-круговая
область является такой областью сходимости. Специальные
свойства полных л-круговых областей, являющихся областя-
областями сходимости степенных рядов A.41), будут нами рассмо-
рассмотрены ниже. Из каждой плоскости
zx = const,..., Zj_! = const, *Zj+i = const, ..., zn = const,

5& голоморфные функЦии в пространстве С" [гл. i
с которой полная л-круговая область пересекается, она вы-
вырезает полный круг. Заметим еще, что полная л-круговая
область всегда является звездной.
Для характеристики л-круговой области D с центром в
нуле удобно рассматривать так называемый «абсолютный
октант» RX пространства Rn, в котором координатами
служат модули | zt j, ..., \zn\. В нем области D соответ-
соответствует ее образ — открытое множество D+, полностью ее
определяющее. Если область D — полная, то ее образ D+
тоже является областью. В этом случае вместе с каждой
точкой (| Zj011, ..., | z'n' |) ? D+ к этой области принадле-
принадлежит и вся призма, состоящая из точек (\zi\, ..., \zn\),
удовлетворяющих условию
\zj
; — 1 „
J *> • • • ! '»•
При рассмотрении двоякокруговой области D с центром в
нуле пространства С'2 комплексных переменных w и z роль
абсолютного октанта играет «абсолютная четверть-плоскость»,
в которой координатами служат величины | w | и \z\.
Определение {сопряженные радиусы сходимости).
Числа Г\, ..., г„^>0 называются сопряженными радиусами
сходимости степенного ряда A.41), если этот ряд сходится
в полицилиндре S {| Zj — aj \ <C_rj, j= 1, ..., л} и расходит-
расходится при \zj — a;|>r; G=1, ..., л).
Существование сопряженных радиусов сходимости выте-
вытекает из полноты л-круговой области, являющейся областью
сходимости ряда A.41).
Из определения сопряженных радиусов сходимости выте-
вытекает наличие функциональной зависимости ф(Гц ..., г„)=0.
Полагая в этом соотношении rj=\zj — aj\ G=rl. •••> п),
мы получим уравнение ty{.\zx — at\, ..., \zn — ап\)=0,
определяющее границу области D сходимости ряда A.41). В
октанте Rn это уравнение (при о,- = 0) определяет гиперпо-
гиперповерхность, ограничивающую наряду с соответствующими ча-
частями координатных гиперплоскостей образ D+ области D.
Верхние грани значений г; — величины Rj называются
максимальными радиусами сходимости ряда A.41). Оче-
Очевидно, что полицилиндр {\zj—aj | <^ Rj, j = 1, ...,л} явля-
является наименьшим, содержащим л-круговую область сходи-
сходимости ряда A.41).

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 59
Теперь предположим, что п = 2. Из определения сопря-
сопряженных радиусов сходимости следует, что функция г2 = <р (г{)
может быть постоянной на отдельных участках интервала
0<^ri<^Ru некоторым значениям гх из этого интервала
могут соответствовать целые отрезки интервала 0<^г2<^/?2.
Соответственно с этим линия r2 = <p(ri) может содержать
в себе отрезки прямых, параллельных координатным осям.
Из определения сопряженных радиусов сходимости, далее,
вытекает, что если ги г2 и г\, г'2 — две пары сопряженных
радиусов сходимости и г[^г[, то г^^г'2 (свойство моно-
монотонности функции r.2 = <p(ri))-
Оказывается справедливой:
Теорема 3.6. Если rt и г2 — сопряженные радиусы
сходимости двойного степенного ряда A.42), то сумма
этого ряда не может быть голоморфной во всех точ-
точках поверхности {\w — a1\ = rh \z — a2| = r2}.
Доказательство. Мы примем al^a2 = Q, что не
нарушит общности наших рассуждений. Из предположений
теоремы 3.6 вытекает, что сумма ряда A.42) функция f(w, z)
голоморфна в бицилиндре § {| w | <^ rlt |z|<^r2}. Эта функ-
функция не может быть голоморфной во всех точках границы д§
бицилиндра %. В противном случае, благодаря замкнутости
этой границы dg, функция f(w, z) была бы голоморфной
в некотором бицилиндре &i{\w\<^Rlt \z\<^ R2}, где /?! j> rb
/?2 ^> г2, и числа Г! и г2 не были бы сопряженными радиуса-
радиусами сходимости ряда A.42).
Допустим, что, вопреки утверждению теоремы, функция
f{w, z) голоморфна во всех точках поверхности {|щ;|^г1,
| z | = г2}. Тогда она в силу сказанного не должна быть го-
голоморфной во всех точках гиперповерхностей {| w \ = гь
| z | <^ г2}, {| та» | <d'"i» l2l^r2}- Мы покажем, что при нашем
допущении функция f(w, z) голоморфна на этих гиперпо-
гиперповерхностях.
Вследствие замкнутости поверхности {[ w \ = гь \z\^r$}
в нашем случае существуют такие два числа е и 8, что
функция f{w, z) голоморфна также во всех точках области G,
определяемой неравенствами | w — геЛ | <^ е, \z — г2е1<р | <^ 8
для каких-либо <р и 9. Пусть {wu, zu) — произвольная вну-
внутренняя точка бицилиндра g, причем | z01 «S г0 — 8. Тогда круг

60 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
лежит внутри бицилиндра §, и поэтому мы можем записать,
что
-i \
Но функция/(тс, ?) голоморфна в круге | \w\ «S rt — -^, z=
(так как этот круг лежит в бицилиндре g) и в кольце
•!.г = ?, ri—у «^ | w | sg Г! -\- ^Л (так как это кольцо лежит
в G). Она поэтому будет голоморфной в круге
•p = ?, | w | sg: rt -\- y>. Тогда в силу интегральной форму-
формулы Коши
и мы можем записать, что
|С|=га—-§-
Это означает, что функция f(w, z) голоморфна в бицилинд-
бицилиндре 11 и* |<C/i Н~ "К"» \z\<^r<2 o"f и> следовательно, посколь-
поскольку 8 — произвольно, голоморфна на гиперповерхности
{|и>| = г1, |z|<CV2}. Совершенно так же мы можем пока-
показать, что эта функция голоморфна и на гиперповерхности
{|и> |<CVi, |z| = ra}. Отсюда, как мы видели, следует наше
утверждение.
Из теоремы 3.6 легко вытекает, что сумма двойного
степенного ряда не может быть голоморфной во всех точ-
точках границы элементарной окрестности центра этого ряда.
Указанная окрестность {\w — ^i | <C^. | z — аг\<^Щ соот-
соответствует равным друг другу сопряженным радиусам сходи-
сходимости. Остову этой окрестности отвечает (при ах = а2 = 0)
на абсолютной четверть-плоскости точка пересечения биссек-
биссектрисы координатного угла с границей области, представляю-
представляющей область сходимости ряда A.42).

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 61
Теорема, аналогичная теореме 3.6, имеет место и в общем
случае п переменных.
Теорема 3.7. Сопряженные радиусы сходимости
гъ ..., гп степенного ряда A.41) удовлетворяют соотно-
соотношению
—— 'Ml/Г i—? 1
hm V\ck\r = I.
||*||-VOO
Здесь и далее rk = r\1... г*«, |) k [] = kx -f... + kn.
Доказательство теоремы 3.7, являющейся обобще-
обобщением классической формулы Коши — Адамара, мы проведем
для сопряженных радиусов сходимости гиг' двойного сте-
оэ
пенного ряда 2 cki wkz!. Мы рассмотрим точки с коорди-
*. 1=0
натами w=rt, z = r't(t~^>0). Из определения сопряженных
радиусов сходимости следует, что ряд
сходится при t<^l и расходится при t~^>\. Поэтому
lim
liml/ ,
tn—>со f j
Обозначим через jm такой индекс j, что
„ I rirtm-i
Тогда
Г V
C, m , I rJmr'm-Jm.
r'mr'-^
Отсюда и из соотношения A.44) мы получаем, что
*+г-.оо

6- голоморфные функции в пространстве С [гл. i
4. Оценки тейлоровых коэффициентов. Прежде всего
отметим, что для коэффициентов ряда A.41), так же как и
в случае одного переменного, имеют место неравенства
Коиш. Это значит, что если в полицилиндре S {| Zj — а;-1 <^
<CVy, j=\ п} функция f(z) голоморфна, удовлетворяет
условию \f{z)\<^M и представляется рядом A.41), то
Ы<$, О-45)
где снова k = (k1...kn), rk = r*i... r*n.
Для упрощения записей мы поместим центры рассматривае-
рассматриваемых рядов и «-круговых областей в начало координат. Да-
Далее мы для ограниченной я-круговой области D с центром
в начале координат положим
dk (D) = sup \z \k = sup |z|ft.
Имеет место')
Теорема 3.8. Если функция f{z) голоморфна в замкну-
замкнутой ограниченней полной п-круговой области D и пред-
представляется в ней рядом A.41), то
шах_|/(г)|
Доказательство. Для любого полицилиндра S|c| =
= {| Zj | <CI^/ I» j= 1) ¦•• . n] d D неравенства Коши A.45)
дают
max_|/(z)|
Переходя в правой части этого неравенства к нижней грани
стоящих там величин, по всем полицилиндрам с центром в
начале координат, лежащим в области D, мы получим не-
неравенства, выражающие теорему 3.8.
') Теоремы 3.8, 3.9 и 3.10 принадлежат Л. А. Айзенбергу и
Б. С. Митягину [1]. Приводимое далее доказательство теоремы 3.9
принадлежит Л. И. Ронкину. В частном случае теорема 3.8 была
ранее получена А. А. Темляковым. Оценки тейлоровских коэффи-
коэффициентов для различных классов функций см. в работах И. И. Бав-
рина, например, в его работе [1].

§ 3) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 63
5. Некоторые свойства голоморфного функционального
элемента. Теорема 3.9. Если ряд A.41) {где а; = 0)
сходится в ограниченной полной п-круговой области D,
то для всякой п-круговой области Du, Du (Z А сходится
ряд
Доказательство. Пусть область Dr состоит из точек
z = {zlt ... , zn), для которых точки Г-±, ... ,y
Здесь 0<^г<^оо. Мы возьмем числа rt и г2, где
<^ г2 <^ 1, так, чтобы ?)(, С Dri С Drs С D. Тогда сумма
ряда A.41) ограничена по модулю в области Dr3 некоторой
постоянной М. Учитывая, что
dk {DQ) < dk {Dn) = ri!* IWft {D)'t dk {Dr2) = rj.1 kUk {D),
мы получим
Теорема 3.10. Для сходимости ряда A.41) {где aj = 0)
в ограниченной полной п-круговой области D необходимо
и достаточно, чтобы ряд
^ckdk{D)zh A.46)
k
сходился в единичном полицилиндре Е. Здесь и далее
Доказательство. Достаточность. Рассмотрим
область Dr. Предположим, что ряд A.46) сходится в полици-
полицилиндре Е. Тогда ряд
A.47)

64 голоморфные функции в Пространстве С [гл. i
сходится для любого г<М. Но так как dk(Dr)=dk(D)r^kU,
то ряд A.41) сходится в области Dr при любом г<М. Зна-
Значит, ряд A.41) сходится в области D.
Необходимость. Пусть ряд A.41) сходится в обла-
области D. Тогда в силу теоремы 3.9 ряд ^ \ck \ dk(Dr)сходится
k
при любом г<^1. Отсюда вытекает, что и ряд A.47) сходится
при любом г<^1. Поэтому ряд A.46) сходится в поли-
полицилиндре Е.
Из теорем 3.7 и 3.10 вытекает
Следствие. Для сходимости ряда A.41) в области D
необходимо и достаточно, чтобы
Разложение голоморфного функционального элемента
в ряд Тейлора позволяет доказать ряд важных предложе-
предложений. Мы сейчас остановимся на некоторых из них.
Теорема 3.11. Если функция f(z) голоморфна в обла-
области D(ZCn и там не постоянна, то \f{z)\ не может
достигать своего наибольшего значения внутри области.
Если, кроме того, функция \f(z)\ непрерывна в замкну-
замкнутой области D, то она принимает свое наибольшее зна-
значение на границе dD области D.
Действительно, если окажется, что |/| принимает макси-
максимальное значение в точке Р(а) области D, то мы возьмем
окрестность точки Р, определенную условиями {| zk — ak\<^ r,
k=\, ... , л}, где г выбрано так, что взятая окрестность
принадлежит к области D. Тогда функции одного перемен-
переменного f{zv аъ ... , ап), f(alt zit ... , ап), ... голоморфны
в кругах \zx — «11 <С ri. I Z2 — аг I <С Г2> • • ¦ » принимают свои
наибольшие значения в центрах этих кругов, что может
иметь место только в том случае, если функция f{z) постоянна
относительно всех переменных zlt ... , zn в рассматриваемой
окрестности точки Р. Последнее следует из равенств A.36),
A.37)')¦ Если Q(b) — какая-либо другая точка области D,
то мы соединим точки Р и Q некоторой кривой, лежащей
*) Так как для этого должны обратиться в нуль все коэффициенты
ряда (!.36).

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 65
в области D, и покроем эту кривую окрестностями (рас-
(рассмотренного только что вида) конечного числа некоторых
ее точек. Окрестности мы выберем так, чтобы каждая выбран-
выбранная нами точка лежала в окрестности предыдущей. Пользуясь
уже доказанным, мы легко покажем, что функция f(z) по-
постоянна во всех выбранных окрестностях и, следовательно,
f(blt ... , bn)=f(alt ... , ап),
т. е. наша функция постоянна во всей области.
Последнее утверждение теоремы следует из теоремы
Вейерштрасса о максимуме непрерывной функции.
Теорема 3.12 (Лиувилля). Если функция f{z) голо-
голоморфна во всех точках пространства Сп и модуль ее
всюду ограничен одним и тем же числом, то эта функ-
функция постоянна.
Рассмотрим сначала" случай двух переменных. Пусть
{аъ а2) и {Ьъ ?2)— две произвольные точки. Рассмотрим
функции f(w, b%) и f(au z). При указанных в теореме
условиях, согласно теореме Лиувилля для случая одного
переменного, эти функции являются постоянными. Следова-
Следовательно, ./(?»!, bi)=f(al, ?2); f(alt ai)=f(a1, b2). Отсюда
f(blt ?a)=/(«i> а2)'> таким образом, наша теорема верна
при п = 2. Для случая трех переменных гъ z%, z3 мы рас-
рассмотрим две произвольные точки {аь аъ а3) и (blt bt, b3) и
возьмем функции f(zu zit b3), f(ab z2, z3).
По доказанному они постоянны во всех точках про-
пространств zlt z2 и z2, z3; отсюда следует, что f(blt b%, b3) =
=f{ab aa, b3) (мы полагаем во второй раз z1 = a1, z2^a2)
и /(«1, аа, а3)^/(а1; а2, Ь3) (мы полагаем во второй раз z2=:
= а2, z3 = b3). Таким образом, f{bb Ьъ b3) =f(ax, aa, а3).
Рассуждая аналогично далее, мы увидим, что наше утвер-
утверждение справедливо для любого числа переменных.
Из разложения A.41) далее следует такая теорема
единственности.
Теорема. 3.13. Если функция f(z) голоморфна в обла-
области Due некоторой точке а области D эта функция
и все ее частные производные обращаются в нуль, то
в области D функция f(z) = 0.
Доказательство. Из A.41) следует, что в некото-
некотором полицилиндре {[ zk — aft[<V, k=:\, ... , ri\ значения
3 Б. А. Фукс

66 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
этой функции равны нулю. Произвольную внутреннюю точ-
точку области, не принадлежащую к этому полицилиндру, мы
соединим с точкой а кривой L, целиком лежащей в области D.
Пусть с — ближайшая к точке а точка кривой L, в любой
окрестности которой f(z) ф 0. Тогда в ее окрестности можно
найти такую точку Ь, что в ней функция f(z) и все ее
частные производные исчезают и при этом точка с находится
в полицилиндре {\zk— bk\<^r>, k=l, ... , п}, лежащем
вместе со своей границей в области D. Тогда, вопреки
нашему допущению, существует такая окрестность точки с,
в которой f(z) = 0. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы вытекает далее 1).
Теорема 3.14. Если в области D функции f(z) и
9 (z) голоморфны и значения их и всех их последователь-
последовательных частных производных совпадают между собой
в некоторой точке Р этой области, то функции f и <р
совпадают между собой во всех точках D.
Заметим, что, обратно, для обращения в нуль всех част-
частных производных функций f(z) в точке Р излишне требо-
требовать равенства f(z) нулю всюду в окрестности точки Р.
Достаточно потребовать этого лишь в точках некоторой
серии последовательностей pW (lim P&) = Р), таких, что в виде
л->со
»m * » ••• (A=l, 2,...)
можно получить все частные производные любого порядка
(или линейные комбинации последних, из равенства нулю
которых вытекало бы обращение в нуль всех частных произ-
производных). Здесь г(Р?\ Р) — расстояние между точками Р, Р&\
6. Теоремы об интегралах от голоморфных функций.
В дальнейшем нам окажутся, полезными еще такие предложе-
предложения, примыкающие к теореме Вейерштрасса о функциональ-
функциональных рядах.
Теорема 3.15. Пусть f(w, z, a) — непрерывная функ-
функция переменных w, z, а, когда точка Р (w, z) находится в
некоторой области D пространства С2 переменных w, z, a
точка а—на кусочно гладкой кривой L в плоскости пе-
') Другие теоремы единственности см. в работах Айзенберга [5],
Карафа [1].

§ 3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГОЛОМОРФНОГО ЭЛЕМЕНТА РЯДОМ 67
ременного а {концы L включаются). Для всех а ? L
f(w, z, а) — голоморфная функция w, z в области D.
Тогда <?(w, z)= I f(w, z, a) da— голоморфная функция w,
L]
z в области D.
Покажем, что существует
iw = \ fw (w, z, a) da
(для фг—аналогично). Для этого оценим величину
w{w, z, a)da =
!iIiA_fw^ z, a)]da =
~Ъи J \ (со—w — АдаJ(«— w)
L Cr
Последнее выражение мы получаем, пользуясь формулой
Тейлора с остаточным членом после первой производной из
теории аналитических функций одного переменного. Сг — здесь
окружность {\w — («[ = /•}. Ее радиус г выбран так, чтобы
/(со, z, a), как функция ш, при фиксированных z, a была
голоморфной в круге [ <о — w\<^r. Очевидно, что при Ди> —> О
полученный двукратный интеграл остается ограниченным,
откуда и вытекает нужный нам результат.
Теорема 3.16. Если функция f(w, z) голоморфна
в бицилиндре
L
L\, L%— такие
ласти Е, что
L
L
то функции
F(w, z) =
кусочно
iC{|«> —
*C1{\Z~2
w
J /("), z)
0
<r> 1
гладкие
Щ\<г,
o\<r,
dm; Ф(
кривые, лежащие в об-
Z=: Const},
w = const},
г
w, z)= \ f(w, C)dC

68
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
голоморфны в бицилиндре Е, причем
F'w=f(w, z); Ф'г=/(т, z).
Доказательство. Голоморфность функции F(w, z)
по г и функции Ф(го, z) no w следует из только что дока-
доказанной теоремы. При движении по линии L\ не меняется z,
по линии Ц не меняется w. Мы можем поэтому при-
применить к функциям F(w, z), Ф(и», z) соответствующую
теорему интегрального исчисления теории функций одного
комплексного переменного. На ее основании мы заключим,
что F(w, z) — голоморфная функция w, F'w=f, а Ф(т, z) —
голоморфная функция z, Ф'г=/.
Таким образом, функции F(w. z) иФ (w, z) — голоморфны
в области Е по каждому переменному по отдельности.
Отсюда и вытекает наше утверждение.
§ 4. Подготовительная теорема Вейерштрасса.
Аналитические множества и поверхности
1. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Если функ-
функция одного переменного/(z) голоморфна в точке z0 и f(zo)=:
= а, то в окрестности этой точки f(z) = a -\- (z — zo)my(z),
где т — целое число, функция y{z) голоморфна в точке z0,
причем ср(г0)^О. Для случая z0 = a = 0 это представление
имеет вид: f(z) = zm<f(z), где <р @) ^ 0.
Соответствующее представление голоморфной функции
двух переменных в окрестности ее нулевой точки, которую
мы без ущерба для общности помещаем в начало координат,
указывается следующей теоремой:
Теорема 4.1 (подготовительная теорема Вейерш-
Вейерштрасса для функций двух переменных). Если функция
F(w, z) голоморфна в точке @, 0), причем F@, 0) = 0
и F(w, z) фО, то в некотором бицилиндре {\ w|<Гг,
М<А}
F(w, z) = z»[wm-{-A1(z)wm-1-t-...-t-Am(z)]Q(w,z). A.48)
Здесь целые числа т, jj.^0; функции Ak(z), Q(w, z)
голоморфны в начале координат, причем Лй@) = 0,
k=l, ..., т; й@, 0)^0. Функции Ak(z) и Q(w, z) одно-
однозначно определяются условиями теоремы.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 69
Доказательство. Мы рассмотрим функцию F(w, 0).
Если F(w, 0)^0, то мы будем выводить A.48), считая там
[а = 0. Если F(w, 0) = 0, то, оперируя с F(w, z) как с функ-
функцией одного переменного z, мы представим ее в некотором
круге | z | <^ т) для всех w, удовлетворяющих условию | w | <^ р,
в виде
F(w, z) = z*Fl(w, z). A.49)
Здесь целое число [а ^> 0, /^ (w, 0) ф. 0. Таким образом, в
обоих случаях нам достаточно рассмотреть функцию F(w, z),
для которой F(w, 0) ^е 0, и доказать, что в некотором бици-
бицилиндре {\w\<^r, \z\<^h} будет
F(w, z) = [nfl + Al{z)wm-l + ... + Am{z)]Q{w>z). A.50)
Для случая, когда F(w, 0) = 0, мы из равенства A.50) для
Fi(w, z), пользуясь A.49), получим представление A.48).
Итак, пусть функция F(w, z) (F(w, 0)^0) голоморфна
в бицилиндре Ц®»!^^, | z\<^hi}. 'Нам дано, что функция
F(w, 0) обращается в нуль при w=: 0. Пусть т — порядок
этого нуля. Тогда можно всегда указать такой круг | w \ «g r
@<!r<Cri)> что в этом круге w=0 — единственный нуль
функции F(w, 0). Мы можем, далее, так взять h^hlt что
F(w, z) ф 0 при |щ>| = г, \z\<^h. Из теоремы о логариф-
логарифмических вычетах следует, что число нулей функции F(w, z0)
(где \zo\<^h) в круге |и»|<^г определяется значением ин-
интеграла
1 Р ^«^^ Aб1)
r J
\w\~r
(Этот интеграл равен т при z0 = 0. Он непрерывен при
|.го|<^/г и должен всегда равняться целому числу. Отсюда
и следует A.51) для всех z0, удовлетворяющих условию
\zo\<^h-) Обозначим через wk(z), k=\, ..., in, корни
функции F(w, z), отвечающие некоторому значению z из
круга | z\<^_ h. Далее мы воспользуемся тем, что если y(w) —
некоторая функция, голоморфная в круге \w\<^r и непре-
непрерывная в замкнутом круге |?2>|^г, то (как это следует из
теоремы Коши о вычетах)
S %$$*". A.52)
\w\

70 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
Полагая последовательно y{w) = wi, где s=l, ..., т, мы
т
образуем функции Qs(z)= )«', Через Qs(z) мы, далее,
по известным формулам алгебры выразим коэффициенты
At(z) многочлена wm-\-Ах (z) xnf1'1-\- ... -\-Ат (г), имею-
имеющего wk(z) своими корнями. При z = 0 все wk = 0,
и поэтому все Л, @) = 0. Очевидно, что этот многочлен
определяется в наших условиях единственным образом.
Рассмотрим функцию й (w, z), равную частному от деле-
деления F(w, z) на этот многочлен. Для каждого z из круга
| z | <^ h она является голоморфной функцией w всюду в
круге \w\^r, кроме точек w^ В последних она по харак-
характеру своего определения имеет устранимые особенности. Мы
продолжим функцию Q в эти точки, полагая ее значения
равными соответственным предельным значениям. Тогда в
круге |a>|<V эта функция представится интегралом Коши
°<*г'>=ш [ Qw*>V=rs-- О-53)
Этот интеграл в силу теоремы 3.16 (надо учесть, что при
| w | = г, | z \<^h функция F(w, z) ф 0, и поэтому й (w, z) —
голоморфная функция z в круге |г|<^А для |щ»| = г) опре-
определяет голоморфную функцию w, z во всем бицилиндре
{|?iy|<>, |.г|<7г}. Очевидно, что в этом бицилиндре
Q (w, z)^z0. Отсюда мы получаем представление A.48) для
F(w, z).
Подготовительная теорема Вейерштрасса распространяется
на голоморфные функции любого числа переменных.
Теорема 4.2 (подготовительная теорема Вейерштрас-
Вейерштрасса для функций п-\- 1 переменных). Если F(w, zu ..., zn) —
голоморфная функция в начале координат, причем
F@, 0, ..., 0) = 0, F (w, 0, ..., 0) ф 0, то в некоторой ок-
окрестности начала координат
F(w,z1,...,zn)=(wm-{-A1wm-li-...-{-Am)Q(w,z1,...,zn).A.54)
Здесь Ak(zu ..,, zn), Q (w, zb..., zn), k = 1, ..., m, — функ-
функции, голоморфные в начале координат, причем Ak @,
..., 0) = 0, й@, ..., 0)^0; т — порядок нуля функции
F(w, 0, ..., 0) в точке w===Q,

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 71
Функции Ak и й — однозначно определяются услови-
условиями теоремы.
Доказательство этого предложения ведется дослов-
дословно так же, как и доказательство подготовительной теоремы
Вейерштрасса для двух переменных.
В случае, когда F (w, 0, ..., 0) = 0, непосредственное
обобщение равенства A.48) оказывается невозможным. Это
обстоятельство подтверждается соответствующими приме-
примерами 1). Впрочем, может быть доказана следующая
Теорема 4.3. Если функция Р(г)фО комплексных
переменных z0, zu ..., zn голоморфна в точке z=0,
то в результате некоторой подстановки вида
zk=Hiaks!ws, k = 0, 1, ..., п,
s=0
оказывается F(z0, zlt ..., zn) =; Ф («>„, wu ..., wn), где
Ф(и>о> 0, ,.., 0)^0. Тогда функция Ф может быть пред-
представлена в виде A.54).
Доказательство. Для упрощения записи мы рас-
рассмотрим случай двух переменных. Разложим функцию F(zn, zt)
в ряд Тейлора в окрестности начала. Пусть этот ряд начи-
начинается с отличных от нуля членов степени т
F(zn, Zl) = cl)zF + clz?-lzl-\-...-\-cmz? + ,.. A.55)
Здесь не все коэффициенты ck равны нулю.
Рассмотрим коэффициент при wf у функции Ф(и»0. ^О-
Легко сосчитать, что он будет равен соа™ ~\- с^а™-1 аи~\- ...
...~\-cmafa. Очевидно, что в наших условиях величины а00,
а10 всегда можно выбрать так, чтобы это выражение не
равнялось нулю при Det afts ^ 0. Этим наше утверждение
доказано.
Функцию F(zq, ..., zn), голоморфную в точке z = 0, для
которой F@, ..., 0) = 0, но F(z0, 0, ..., 0)^0, мы будем
называть правильной в точке z0 относительно переменного z0.
Аналогично вводится понятие функции правильной в про-
произвольной точке z = a относительно некоторого перемен-
переменного zk.
') См. Осгуд [1], стр. 90.

72 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
2. Кольцо функций, голоморфных в некоторой точке.
Псевдополиномы. Функции комплексных переменных zlt ...
..., zn, голоморфные в некоторой точке a (at, ..., ап),
очевидно, составляют коммутативное кольцо ?)?> с единичным
элементом. Это вытекает из того, что сумма, разность и про-
произведение двух подобных функций, образуемые nd обычным
правилам, снова являются функциями, голоморфными в этой
точке. Кольцо D(?> часто также называют кольцом сходя-
сходящихся степенных рядов с центром в точке z = a. Оно не
содержит делителей нуля (произведение двух голоморфных
функций равно нулю только в том случае, если один из
сомножителей равен нулю) и поэтому является областью
целостности («кольцом целостности»).
Кольцо DW содержит делители единицы; ими являются
обратимые функции /а??><,п), для которых и /"'^О^. Оче-
Очевидно, что эти функции / представляются степенными ря-
рядами с центром в точке z = a с отличными от нуля свобод-
свободными членами. Две функции ф, f^O^ мы будем называть
эквивалентными друг другу, если в некоторой окрестности
точки а оказывается ф = <рц, где функция "ц?О$ и является
делителем единицы.
Функцию р?О<?\ которую в окрестности точки z = a
можно представить в виде
zn) =
m, A.56)
где функции Ak^O^~^ (D(^-1) — кольцо функций перемен-
переменных zlt ..., zn_b голоморфных в точке z=d) называют
псевдополиномом с центром в точке (а1; ..., an_i). Кольцо
этих псевдополиномов мы далее обозначаем символом
D{?~l)[zn — ап]. Псевдополином р, у которого коэффициент
Ао является делителем единицы, называется отмеченным
или нормированным. Подготовительная теорема Вейерштрасса
4.2 устанавливает, что всякая функция Р?С?\ правильная
относительно переменного zn в точке z = a, эквивалентна
некоторому отмеченному псевдополиному из кольца

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 73
По своему определению отмеченный псевдополином —
это многочлен, расположенный по степеням (zn— ап) с коэф-
коэффициентами, являющимися голоморфными функциями пере-
переменных г1г ..., ?„_! в некоторой окружности точки z = a.
Его корни являются непрерывными функциями этих коэф-
коэффициентов и, следовательно, непрерывно зависят от пере-
переменных zlt ,,., zn^. Таким образом, из подготовительной
теоремы Вейерштрасса вытекает, что в отличие от случая
одного переменного в любой окрестности каждого нуля
голоморфной функции л комплексных переменных при л^>1
находится бесчисленное множество ее других нулевых точек.
Если для функций р, q, г^О^, в некоторой окрестности
точки а имеет место равенство p = qr, причем ни функция q,
ни функция г не являются делителями единицы, то функция р
называется приводимой в кольце &W (или в точке z = a).
Если функцию р нельзя представить в указанном виде, то
она называется неприводимой в. кольце ?М (или в точке
Теорема 4.4. Отмеченный псевдополином ?
[zn — ап], приводимый в кольце DW, приводим в кольце
O^~^[zn—an]; множители, на которые он разлагается,
являются отмеченными псевдополиномами из этого
кольца.
Доказательство. Если в некоторой окрестности
точки a p = qr, причем q, r^?^n), то функции q' и г, оче-
очевидно, правильны относительно переменного zn в точке z =a.
Поэтому в некоторой окрестности точки [а по теореме 4.2
q = q1(a, г = Г{г\, где qi и /^ — отмеченные псевдополиномы
из кольца D^-1)^,, — ап], ш ' и т) — делители единицы из
кольца О^>. Отсюда находим, что для рассматриваемых зна-
значений z p = qlrlo>ri; здесь q^r^ — отмеченный псевдополином
из кольца ?><^~l')[zn — ап], щ — делитель единицы из кольца
DM. Тогда (М]=1, p = q1r1, так как в силу теоремы 4.2
представление функции p^z&jf1 в виде произведения отме-
отмеченного псевдополинома и делителя единицы единственно.
Теорема 4.5. Каждая функция /??^п) (в некоторой
достаточно малой окрестности точки а) единственным
образом разлагается на произведение неприводимых

74 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
функций, принадлежащих к кольцу ?)?»> {единственность —
с точностью до эквивалентности множителей).
Для функций /^О^), правильных в точке z = a относи-
относительно одного из переменных, эта теорема вытекает из того,
что отмеченный псевдополином единственным образом разла-
разлагается на произведение неприводимых отмеченных псевдопо-
псевдополиномов с центром в той же точке, что и первоначальный.
Действительно, если произведение двух отмеченных псев-
псевдополиномов qr делится на отмеченный неприводимый псев-
псевдополином g, то по крайней мере один из сомножителей
должен делиться на g (центры этих псевдополиномов совпа-
совпадают). Последнее устанавливается применением к нашим
псевдополиномам алгорифма нахождения общего наибольшего
делителя1).
В случае, когда функция /??>М не является правильной
в точке а относительно какого-либо из переменных, мы при-
применим преобразование, указанное в теореме 4.3. После этого
утверждение теоремы 4.5 для этой функции будет следовать
из инвариантности разложения на множители при подобных
преобразованиях.
Теорема 4.6. Если в некоторой окрестности Ua
точки ¦ z = a нули неприводимого отмеченного псевдопо-
псевдополинома q^Jj^~\zn— ап] являются нулями отмеченного
псевдополинома ^G^anl)tzn — ап\> то псевдополином q
входит в качестве сомножителя в разложение псевдо-
псевдополинома р на неприводимые сомножители.
Доказательство. Предположим, что псевдополином
q не является множителем псевдополинома р. Тогда эти
псевдополиномы вообще не имеют общих множителей, так
как псевдополином q неприводим. Пользуясь процессом на-
нахождения общего наибольшего делителя, мы определим псев-
псевдополиномы X, [а^О^-1'^-^], для которых ~kp-\-\xq = r,
причем r^Q^"-1), г ф 0. Последнее, однако, противоречит
предположениям нашей теоремы.
Для всякой точки (z\, ..., z'n-.\) из некоторой достаточно
малой окрестности точки (ах ап^) в пространстве пере-
переменных zt ?„„! можно найти такое значение z'n перемен-
') Аналогичное рассуждение для многочленов см., например, в
книге: Бохер, Введение в высшую алгебру, ГТТИ, 1934, стр. 189 и ел.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 75
ного zm что точка (z'n, ..., z'n)?Ua, p(z\ z'n)=Q, a
следовательно, и q(z[ z'n) = 0, r(z\ z'n_\) = 0.
Полученное нами противоречие заставляет нас отбросить
сделанное допущение.
Из доказанной теоремы легко вытекает (ниже часто
используемое)
Следствие. Если функции /, д??(?\ причем f(a) =
= g(a) = 0 и в некоторой окрестности точки а 1) нули
этих функций совпадают; 2) f=qflt где q, /i^DM,
q(a)=0 и функция q неприводима, то в некоторой
окрестности точки а и g = qgi, где функция gi??>M.
Важное отличие случая я —|— 1 (где л^>1) переменных от
случая двух переменных обнаруживается при рассмотрении
дискриминантного множества псевдополинома. Как известно
из алгебры, многочлен имеет кратные корни, если его дис-
дискриминант равен нулю. Дискриминант многочлена, в нашем
случае псевдополинома, представляет собой результант самого
многочлена и производной от него. В случае псевдополинома
A.54) надо рассмотреть результант псевдополиномов:
f=vft + A1wm-1 + ... + Ат,
fw = mr^-1 + А,(т - 1К"-2 + ... + А т^.
Этот результант образуется из коэффициентов псевдополино-
псевдополиномов с помощью сложения, вычитания и умножения и поэтому
(так же, как и сами коэффициенты) представляет собой го-
голоморфную функцию D(zu ..., zn).
Если /— отмеченный псевдополином с центром в начале
координат /я^>1, то значение w=:0 является при zt =
= ... = zn=Q его кратным корнем, и поэтому дискрими-
дискриминант D@, ..., 0)=0. При л=1 дискриминант D(z) имеет
только изолированные корни. В этом случае в окрестности
начала координат дискриминант D(z)^0 и функция / имеют
там только простые корни. Этого нельзя сказать в общем
случае. Например, при п =:2 дискриминант представляет
собой голоморфную функцию двух переменных. Из подго-
подготовительной теоремы Вейерштрасса следует, что теперь в
любой близости к началу находятся точки, в которых ди-
дискриминант обращается в нуль.
Можно, однако, показать,- что, исключая из (достаточно
малой) окрестности (J центра отмеченного псевдополинома

76 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
точки, в которых его дискриминант обращается в нуль (мы
будем совокупность таких точек называть дискриминантным
множеством псевдополинома), мы получим некоторую область.
Это следует из общих топологических соображений; к та-
такому же выводу можно прийти и на основании следующей
теоремы (которую мы докажем для случая п = 2).
Теорема 4.7. Пусть координаты, точки P(w9, zn)
удовлетворяют уравнению q(w, z) = 0, где q(w, z) — голо-
голоморфная функция своих переменных. Если из окрестности
точки Р исключить все точки, координаты которых
удовлетворяют уравнению q(w, z) = 0, то оставшиеся
точки этой окрестности образуют область.
Доказательство. Мы предположим, что точка Р
является началом координат. Тогда, согласно подготовитель-
подготовительной теореме Вейерштрасса, в окрестности точки Р
q (w, z) = z* (w» + в1 (z) w-' +... + am (z)) Q (w, z); A.57)
здесь ak (z), Q (w, z) — голоморфные функции своих пере-
переменных при |z|<^A, \w\<^g; для этих же значений w, z
величина Q(w, z) не обращается в нуль. Число h мы выбе-
выберем так, что при | z | <^ h все корни wk (z) нашего псевдо-
псевдополинома будут удовлетворять условию | wk (z) \ <^ g\ где
0<ig'<^g- Пусть, далее, С — произвольная точка круга
\z\<^_k. Для каждого такого С мы исключим из бицилиндра
T{\w-\<Cg> I^I^M все замкнутые прямолинейные отрезки
1k (С), определяемые условиями z = С, w = wk (С) -\- it @ ^t^t9,
где ^о выбрано .так, что | w (С) -\- it<, \ = g^. Здесь k=\,...,m.
Кроме того, если [а^>0, мы исключим из бицилиндра Т
кусок плоскости z=:0, для точек которого \w\<^g. Обо-
Обозначим множество всех исключенных точек через 2'. очевидно,
что множество 2 содержит все точки бицилиндра Т, коор-
координаты которых удовлетворяют уравнению q(w, z) = 0. Мы
обозначим через Г* множество точек, остающихся от бици-
бицилиндра Т после удаления множества 2-
Докажем сначала, что множество Т* представляет собой
область. Действительно, любые две точки (и/, z') и (w", z")
множества Г* могут быть соединены линией, лежащей в Т*.
Очевидно, что z' ^Ь 0, z" у? 0 (если (а = 0, то нет надобности
исключать нулевые значения z). Если | хе/ |, | w" \ ^> g", то наше
утверждение очевидно, так как все точки бицилиндрической
области 7\{0<^|.г|<^Л, g'<i\w\<^g} принадлежат к Т*.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 77
Если одно или оба числа \vtf\, \w" \ меньше g', то из спо-
способа построения 2 следует, что вместе с точкой (wr, z')
(или (w", z")) в Т* остается и отрезок, параллельный коор-
координатной оси z = Re (w) = 0, направленный противоположно
lk (С) и соединяющий эту точку с 7\. Таким образом, Т* —
связное множество. Оно состоит из внутренних точек и по-
поэтому образует область.
К ней мы должны сейчас присоединить точки отрезков
7 (С), не удовлетворяющие уравнению q(w, z) = 0. В круге
\w\<^_g' на плоскости z = t нами проведено конечное число
m таких отрезков. Если М — какая-нибудь точка отрезка
/ft(C), отличная от точки {wk(Q, С), то, двигаясь от нее по
перпендикуляру к /ft(C) в плоскости z = C, обходя встречаю-
встречающиеся на пути точки (wk (С), С), мы соединим ее с множе-
множеством 7*. Учитывая еще, что множество точек Е { q(w, z)=:0}
замкнуто, мы можем считать установленным, что точки бици-
бицилиндра Т, для которых q(w, z) ф 0, образуют область. Наша
теорема доказана.
3. Пучки колец ростков голоморфных функций. Функ-
Функции f(z), голоморфные в некоторой области D(ZCn, обра-
образуют кольцо целостности 0D. С другой стороны, функции,
голоморфные в некотором открытом множестве ЙСЙ, со-
состоящем из нескольких не связных между собой компонент,
образуют коммутативное кольцо ?>о, которое не является
кольцом целостности. Например, если множество D состоит
из двух не связных между собой областей ГУ н D", мы, по-
положив
f /v>_/ 0 при
Ji(Z)—[
получим две отличные от тождественного нуля функции
fifi^Op, дающие в произведении нуль. Эти функции оказы-
оказываются делителями нуля и в разбираемом случае кольцо Dp
не будет областью целостности.
Для характеристики множества функций, голоморфных
в точках некоторой области или, в более общем случае, от-
открытого множества D, мы воспользуемся понятием пучка
(см. введение п. 10). Мы рассмотрим пучок колец ростков
голоморфных функций ?)(?)) ={Ог, z?D} над множеством
D d С". Росток /г голоморфной функции определяется так же,

78
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
как и росток непрерывной функции. Дело здесь, однако, упро-
упрощается тем, что голоморфная функция, совпадающая с голо-
голоморфной функцией f(z) в некоторой окрестности точки z0,
совпадает с ней во всей области сходимости степенного ряда
с центром в точке z0, представляющего функцию -f(z). По-
Поэтому понятие ростка голоморфной функции не отличается
от понятия голоморфного функционального элемента, что и
отмечалось в п. 2 § 1. Соответствующим образом упрощается
и понятие окрестности в пространстве пучка колец голоморф-
голоморфных функций O(D) = {OZ, z^D).
4. Аналитические множества1). Определение (ана-
(аналитическое множество). Пусть В — открытое множество в
пространстве (Тг комплексных переменных zu ..., zn. Подмно-
Подмножество т множества В называется аналитическим в точке
z(^B, если существует такая окрестность С/гС1В, что мно-
множество m(~]Uz совпадает с множеством общих нулевых точек
некоторого конечного множества функций, голоморфных
в этой окрестности Uz. Множество т называется аналитиче-
аналитическим в открытом множестве В, если оно аналитично во всех
его точках.
Если множество т аналитично в точке z^B, то совокуп-
совокупность голоморфных функциональных ростков (элементов),
обращающихся в нуль в точках множества т(~]С1г, является
идеалом 1цг в кольце целостности Оцг всех функциональных
ростков, голоморфных в окрестности Uz точки z. Действи-
Действительно, если на множестве m(~\Uz имеют место равенства
/i=:.. .=/р = 0, то там имеет место и равенство Х^ -)-...
...-)- ^Pfp = 0 (здесь все /, X ^ Оцг). Идеал, состоящий из функ-
функций вида X]/! -(-...-)- ^pfp, обозначается символом [Л, ...,/р].
Функции /i,..., fp называются базисом этого идеала, если
они линейно независимы.
Наоборот, общие нули голоморфных функций, принадле-
принадлежащих к некоторому идеалу 1ига&иг> всегда образуют
в окрестности иг аналитическое множество. Мы будем гово-
говорить, что оно определяется идеалом 1цг.
Рассматривая различные окрестности Uz точки z, мы по-
получим в кольце Ог функциональных ростков, голоморфных
') В пп. 4 и 5 излагаются простейшие свойства аналитических
множеств. Дальнейшие сведения об аналитических множествах см.
в §§ 14—16 гл. 111.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 79
в точке z, идеал /г, состоящий из всех ростков, каждый из
которых обращается в нуль во всех точках множества т,
в пределах соответствующей окрестности этой точки z. Идеал
/г называется собственным идеалом множества т в точке z
или, кратко, идеалом множества т в точке z. Следует заме-
заметить, что множество т может задаваться в окрестности точки z
не только своим собственным идеалом. Например, для множе-
множества, задаваемого идеалом [z\], собственным является идеал [zt].
Выше мы определили аналитическое множество в точке
z^B с помощью некоторого конечного множества функ-
функций, обращающихся на нем в нуль и голоморфных в некото-
некоторой окрестности точки z. Сейчас мы покажем, что требование
конечности этого множества является излишним.
Теорема 4.8. Каждый идеал /с в кольце О^ функций,
голоморфных в некоторой точке С ? С", обладает конеч-
конечным базисом.
Замечание. Кольцо, в котором каждый идеал обладает
конечным базисом, называется нетеровым кольцом. Теорема 4.8
утверждает, что кольцо D^ функций, голоморфных в неко-
некоторой точке С^С", является нетеровым.
Доказательство1). Обозначим через ?>^ или, кратко,
через С") кольцо функций, голоморфных в точке g ? С", через
/("> или, кратко, /<"> — некоторый идеал в этом кольце. Оче-
Очевидно, что при л = 0 кольцо ?)("> сведется к полю постоян-
постоянных ?"°>, очевидно, являющемуся нетеровым кольцом. Покажем,
что если кольца DJ.*) (А=1, ..., п—1) также являются не-
теровыми, то нетеровым будет и кольцо ?)М.
Поместим точки С в начало координат. Если идеал /(">
содержит ненулевой элемент, то можно предположить, что
он содержит и такую функцию /0 (zt zn), что /0 @, ...
..., 0, zn) ф 0. Если это не так, мы применим к переменным z
надлежащее линейное преобразование (см. теорему 4.3);
в результате мы получим идеал, содержащий хотя бы одну
функцию, обладающую указанным свойством. Очевидно, что
исходный идеал будет иметь конечный базис, если им обла-
обладает преобразованный идеал. Мы сохраним для последнего
') Идея этого доказательства принадлежит Гильберту. См.,
например, Ходж и Пидо, Методы алгебраической геометрии, т. I,
ИЛ, М., 1954, стр. 154 и ел.

80 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
прежнее обозначение /(п>. Рассмотрим отмеченный псевдо-
псевдополином, эквивалентный в окрестности точки С взятой нами
функции и сохраним для него обозначение /„. Очевидно, что
псевдополином /0 ^ /<">. Пусть zrn — его старший член, xs (zlt...
..., zn_1)(s=l, ...) — его корни, рассматриваемые в некото-
некоторой окрестности начала координат.
Любой элемент кольца С'"', в частности каждую функцию
f?J{n\ можно представить в виде f=fvF0 -\- /г*_ i, где F9 ? D(n>,
/*_, =/•_, (zn) = Ъг_ х/п-х +... + Ьо,
коэффициенты bk(^?>(n-l\ k = 0, ..., г—1. Здесь псевдопо-
псевдополином /*_ 1 (zn) определяется, и притом единственным образом,
условиями
/r*_i (Xs)=/(zi г„_ь хД s=l, 2, ...
(для кратных корней х« недостающие условия заменяются
требованием равенства соответствующих производных).
Действительно, возьмем функцию Fo= J~ ;в наших
/о
условиях она, очевидно, может быть так доопределена в точ-
точках zn = xs(zu ..., ^n-i)> чт0 окажется голоморфной в пол-
полной окрестности начала координат. Отсюда и следует наше
утверждение.
Рассмотрим множество Аг—\ псевдополиномов /*_], по-
построенных для различных функций /^/'"'. Легко проверить,
что множество их коэффициентов {?r_i} является идеалом
/(я— I) в кольце 0{п~1К Согласно нашему предположению,
этот идеал /(« —!> имеет базис <pi •••> <?г0- Обозначим через /5
псевдополином из множества Лг_1 со старшим коэффи-
коэффициентом 9« (s=l, ..., г0). Тогда имеет место представление
Ь21
где /*_2 — псевдополином степени не выше г—2 по пере-
переменному zn.
Продолжая таким образом, мы после некоторого числа
шагов действительно составим конечный базис в идеале /<">.
Возвратимся к рассмотрению аналитических множеств. Из
данного нами определения вытекает, что множество т, ана-

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 81
литическое в открытом множестве В, всегда замкнуто отно-
относительно этого множества.
Мы определим открытыеподмножества множестват как пере-
пересечения m(~\(J, где U—открытые множества пространства С".
В результате введения на множестве т такой индуцированной
топологии оно превратится в топологическое пространство.
Можно показать, что оно всегда локально компактно, локально
линейно связно и обладает счетным базисом открытых мно-
множеств.
Как мы видели, если множество т аналитично в точке
z(^B, то совокупность голоморфных функциональных ростков,
каждый из которых обращается в нуль в точках некоторого
множества m(~\Uz, образует идеал /г в кольце целостности Ог.
Если множество т аналитично во всем открытом множестве В,
то объединение {1г, z (^В} является пучком идеалов, соста-
составляющим в свою очередь подпучок пучка колец ростков
голоморфных функций D (В) = {Dz, z?B}.
Аналитическое множество т, определенное в открытом
множестве ВС^С1> обладает в каждой точке z^-m некоторой
топологической размерностью Dimz (т)*). Эта топологическая
размерность всегда является четным числом. Мы назовем
комплексной размерностью множества т в точке z вели-
величину dz (m) = -^-Dim* (т). Наконец, величину d (m) = max dz (m)
• l ?
мы будем называть максимальной комплексной размерно-
размерностью или просто комплексной размерностью множества т
в открытом множестве В. Следует отметить, что всегда
d (т) й^ п.
Во многих случаях оказывается удобным также рассма-
рассматривать комплексную коразмерность аналитического мно-
множества т в точке z, величину cz(m) = n — dz(m) и (мини-
(минимальную) комплексную коразмерность аналитического множе-
множества т в открытом множестве В, величину с (т) = min сг (т).
Аналитическое множество т называется однородно или
чисто размерным в открытом множестве В, если во всех
точках z(^B имеет место равенство ds:(m) = d(m).
Можно показать, что если т^ и /и2 — аналитические мно-
множества в открытом множестве В, причем т^С^т^ и
См. по этому поводу п. 2 введения.

82 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
для всех точек г(^ти то множество т^ нигде не
плотно в множестве /и2. В частности, если йг(/и2) = я и
ds:(mi)<^n, то множество т^ нигде не плотно в открытом
множестве В.
Указанным свойством обладают и так называемые тонкие
множества, играющие важную роль в теории функций.
Определение {тонкое, почти тонкое множество).
Множество N(ZB называется тонким в открытом множестве В,
если оно замкнуто в В и каждая точка z(^B обладает такой
окрестностью Uz, что множество N(~)UZ содержится в неко-
некотором аналитическом множестве Mz CZ. U*> нигде не плотном
в иг. Множество N(^B называется почти тонким в откры-
открытом множестве В, если оно является объединением счетного
множества тонких множеств.
Заметим, что свойство множества быть аналитическим
связано с выбором используемой в пространстве Rin = Cn
декартовой системы координат. Оно может теряться и при-
приобретаться при ее изменении. Однако очевидно, что оно
остается неизменным, если преобразование системы коорди-
координат осуществляется с помощью голоморфных функций:
zb =
Здесь величины akl подчинены условиям, выражающим неиз-
неизменность расстояния между двумя любыми точками при его
вычислении с помощью старой и новой систем координат 2).
5. Приводимые и неприводимые аналитические множе-
множества. Аналитические поверхности. Аналитическое множе-
множество т называется приводимым в открытом множестве В,
если оно может быть представлено как m-^Jm^, где mk(k =
= 1, 2) — непустое аналитическое множество в В, отличное
от множества т. В противном случае множество т назы-
называется неприводимым в множестве В.
1) Для получения этих условий можно положить &/г = 0 и вы-
выразить совпадение расстояний от начала координат до точек г и Z.
Например, при га = 2 мы получим, что для любых zi, г2 должно
быть | zt Is + I 2212 = | «nZi + «12^2121 + | astZj + a^Zi |2. Приравни-
Приравнивая коэффициенты При подобных членах, мы получим эти условия
в явном виде.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 83
Пусть т — некоторое множество, аналитическое в точке
z ? С". Условимся называть ростком аналитического мно-
множества в этой точке z и обозначать символом тг совокуп-
совокупность всех множеств, аналитических в точке z и совпадающих
с подобным множеством т в соответствующих (вообще говоря,
различных для различных множеств) окрестностях точки z.
Мы будем говорить, что каждое из этих множеств (в том
числе и исходное множество т) представляет росток тг
в точке z, а росток тг принадлежит к каждому из этих
множеств. Росток тг является пустым, если пересечение
т ("} иг, где Us — некоторая окрестность точки z, пусто.
Мы будем, далее, рассматривать совокупность Мг = { тг)
всех ростков аналитических множеств в точке z и затем
объединение М этих совокупностей для всех точек z^B.
Мы введем в объединении М топологию. Пусть UZo —
окрестность точки га?В, flt ..., /г — голоморфные функции
в окрестности UZo, причем /х{гй) = .. .=/гB0) = 0, множе-
множество {/1==0, ...,/,. = О} представляет росток mZo в точке z0.
Под окрестностью Vm мы будем понимать совокупность
ростков тг>, представляемых в точках z' (^ UZo множествами
{/iW-/i(«0 = 0 fr (z)— fr(^0 = 0}. Эти множества
Vmz составляют базис топологии в множестве М. Легко про-
проверить, что требования аксиомы I из определения пучка вы-
выполняются для этой топологии. Таким образом, мы получаем
пучок М(В) = {Мг, z^B}, состоящий из совокупностей Мг
ростков тг над открытым множеством В.
Росток аналитического множества рг в точке z называется
простым, если его нельзя разделить на два непустых, от-
отличных от рг ростка аналитических множеств в точке z.
Мы говорим, что росток рг разделяется на ростки p'z' и
p'z', если для каждых трех множеств т, тA\ mw, пред-
представляющих эти ростки в окрестности Vz точки z, можно
указать такую окрестность Uzd Vz, что m(~)Uz = (mw(~)Uz){J
Множество т, аналитическое в открытом множестве В,
называется неприводимым в точке z(^m, если оно пред-
представляет в этой точке простой росток аналитического мно-
множества. Это имеет место в том и только том случае, если
существует такой базис окрестностей { U(z\ v = l, 2, ...}
точки z, что для каждого v пересечение mf^U^ является

84 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
в этой окрестности неприводимым, аналитическим множе-
множеством.
Множество т называется локально неприводимым в точке
z(^m, если оно неприводимо во всех точках С? тС\иг, где
Us — некоторая окрестность точки г. Простой росток анали-
аналитического множества рг называется локально неприводимым,
если он представляется в точке z локально неприводимым
аналитическим множеством т.
Приведем несколько простых примеров. Рассмотрим в про-
пространстве С3 переменных w, Z\, z^. 1) Аналитическое множе-
множество /«! {оу4 — Ziz! = 0}; это множество приводимо в начале
координат, так как представляется в его окрестности как
объединение множеств /иA) {хе>*—zxz^= 0}, /иB) {wi-\-z1zi =
= 0}. 2) Аналитическое множество тг {w3 — г\г^ = 0} непри-
неприводимо в начале координат; однако оно не является там ло-
локально неприводимым, так как в окрестности любой своей
точки Р с координатами w = zl = 0, г%фО может быть
представлено в виде объединения множеств т^'{w — zt X
X(K^0i = 0}. »iil{«' + «i(Vr^i = 0}; здесь (Kij)i—одна
из голоморфных ветвей ]/г5 в окрестности точки Р. 3) Ана-
Аналитические множества тъ \w = 0}, mk {wb — z\ = 0}, тъ {и»2 —
— zlzi = 0} локально неприводимы в начале координат.
Теорема 4.9. Для того чтобы аналитическое мно-
множество т было неприводимым в точке z, необходимо и
достаточно, чтобы его собственный, идеал 1г был бы
простымх).
Доказательство. 1) Допустим, что собственный идеал
/г неприводимого множества т в точке z не является простым:
пусть cpt, ср2??>г"> Ti. 92^4. н0 919s G^- Покажем, что
тогда в некоторой окрестности U точки z должно быть
m(~\U=m(l)\Jmw, что противоречит предположению о не-
неприводимости множества т. Здесь /иA) и /иB) — аналитиче-
аналитические множества, определяемые в окрестности U идеалами
| 8)- В силу нашего допущения /яA) ф mf\U,
1) Идеал 1г называется простым, если при/§^/г и/#/г всегда
Iz-
2) Через /г + М (ГДе ? € ?>г) мы обозначаем идеал, состоящий
/|Х(р. З/^/ X й
) р г + М ( ? € г) ,
из всех элементов вида/-|-Х(р. Здесь/^/г, X — произвольный эле-
элемент кольца ?)г.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИе МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 85
Образуем пересечение идеалов 1г -\~ [cpt] и 1г -\~ [ср2]; пусть
А + «i<Pi =/s + «афз (где Л, /s G 4; «i. «a € Сг) — элемент
этого пересечения. Тогда а1ср1=/-|-а2ср2, где /=/2—/iG4»
aj<pj =а1ср1/+а1а2ср1ср2 G 4. так как /G h и <Pi<ps G 4- C ДРУ"
гой стороны, /г — собственный идеал множества /те; поэтому
наряду с элементом ajcpj к нему принадлежит и элемент а^,
а вместе с ним и элемент /i-j~aicPi=:=/2 "i~a8<P*'
Отсюда вытекает, что идеал /г = (/г-]-[91])ПD~Ь [Та])-
множество mf\U= m^\Jm^\ что, как уже отмечалось, про-
противоречит предположению теоремы.
2) Допустим, что аналитическое множество т с простым
собственным идеалом /г приводимо в точке г. Пусть m(~\U=
= /«A'iJ/«B', где U—некоторая окрестность точки z,
/и'1' ф m(~\U, /и'2' Ф mf\U—аналитические множества в этой
окрестности. Обозначим через Гг" и Г*' — собственные идеалы
этих множеств; тогда 1г = Г»(*\1™. Пусть /i G I?', но /i^/^2',
/s G ^г2), но /2 (?/г'; тогда произведение /t/j принадлежит
к этим обоим идеалам, а следовательно, и к идеалу /г, хотя
ни элемент /lt ни элемент /2 к нему не принадлежат. Этот
вывод противоречит предположению о том, что идеал /г
является простым.
Из алгебры известно1), что произвольный идеал нетерова
кольца (т. е. кольца, для которого имеет место теорема 4.8
о базисе идеалов) может быть представлен как пересечение
конечного множества примарных идеалов 2) {/}.
Пересечение двух примарных идеалов, которым соответ-
соответствует один и тот же простой идеал, снова представляет со-
собой примарный идеал, которому соответствует тот же простой
идеал. Поэтому примарные идеалы {/} могут быть выбраны
так, что ни один из них не может быть опущен, и все про-
простые идеалы, им соответствующие, являются различными.
Очевидно, что аналитические множества, определяемые при-
') См., например, Ван дер Варден, Современная алгебра, ч. 2,
Гостехиздат, 1947, § 87, стр. 40.
2) Идеал /называется примерным, если при fg? I и /(? / всегда
существует такое целое число к, что ?¦*? /. Простой идеал всегда
является примерным. Каждому примерному идеалу соответствует
простой идеал /, состоящий из тех элементов /, для которых /*?/.
Здесь k — некоторое целое число, определяемое для каждого эле-
элемента /. См. по этому поводу Ван дер Варден, Современная алгебра,
ч. 2, Гостехиздат, 1947, стр. 34 и ел.

86 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
марными идеалами, совпадают с аналитическими множествами,
определяемыми соответствующими им простыми идеалами.
В силу теоремы 4.9 аналитическое множество с простым соб-
собственным идеалом неприводимо. Можно показать, что простой
идеал всегда является собственным для определяемого им
аналитического множества1). Таким образом, мы приходим
к следующей теореме (учитывая дальнейшие применения, мы
формулируем ее в терминах ростков аналитических множеств).
Теорема 4.10. Каждый, росток аналитического мно-
множества тг может быть единственным образом (с точ-
точностью до порядка) представлен как объединение некото-
некоторого числа простых ростков аналитических множеств
Эти простые ростки рг' (k = l г) мы далее называем
принадлежащими к ростку тг и к тем аналитическим мно-
множествам, которые представляют росток тг в точке z.
Определение {обыкновенная точка аналитического
множества). Точка z некоторого множества т, аналитиче-
аналитического в открытом множестве В, называется его обыкновен-
обыкновенной точкой, если 1) существует такая окрестность UZC^B,
что множество т(~\иг совпадает с множеством общих нулей
некоторого числа г функций, голоморфных в этой точке z;
2) ранг якобиевой матрицы этих функций в точке z равен я — г.
Очевидно, что в этом случае dz(m) = n — г. Если z —
обыкновенная точка аналитического множества т, то это мно-
множество локально неприводимо в точке z.
Точки аналитического множества, не являющиеся его
обыкновенными точками, называются его исключительными
точками. Их не следует смешивать с особыми точками анали-
аналитического множества (см. их определение в п. 4 § 6).
Пусть т — некоторое аналитическое множество в откры-
открытом множестве В. Можно показать, что совокупность / исклю-
исключительных точек множества т сама является аналитическим
множеством в том же открытом множестве В, причем dz(l)<^
z (т) для всех точек z ? /.
Пусть mt — неприводимая составляющая множества т.
Тогда совокупность обыкновенных точек множества т^ о:<а-
') Обоснование этого утверждения см., например, у Бохнера—
Мартина [1], стр. 240 и ел.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 87
зывается связным множеством. Множество т тогда и только
тогда неприводимо в открытом множестве В, если множество
обыкновенных точек множества т связно.
Множество т тогда и только тогда является локально
неприводимым в открытом множестве В (является неприво-
неприводимым в точке z ? т), если множество / исключительных
точек множества т не разлагает пространства т (не разла-
разлагает пространства т в точке z).
Если множество т неприводимо в точке z ? т, то любое
аналитическое множество т'С^т, для которого dz(m')<^dz(m),
не разлагает пространства множества т в точке z.
Частным случаем аналитического множества является ана-
аналитическая поверхность.
Определение {аналитическая поверхность). Ком-
Комплексно r-мерный элемент поверхности Тг называется анали-
аналитическим, если для каждой его точки z можно указать такую
окрестность Uz, что Tr\J(Jz является аналитическим множе-
множеством, неприводимым в точке z.
Таким образом, рассмотренные нами выше аналитические
множества ma, ть ms являются комплексно двумерными ана-
аналитическими поверхностями в окрестности начала координат.
В частном случае, если комплексно r-мерный элемент по-
поверхности может быть определен я — г независимыми друг
от друга линейными уравнениями Л, akszs = 0, k=l, ...
s = l
..., я — г, он называется куском комплексно r-мерной анали-
аналитической плоскости. Если к этому куску принадлежат все
точки пространства С", координаты которых удовлетворяют
указанным уравнениям, он называется комплексно г-мерной
аналитической плоскостью.
Отметим, что во многих случаях вместо комплексной раз-
размерности аналитической поверхности указывается ее комлекс-
ная коразмерность.
В обыкновенной точке P(z\, ..., z%) комплексно г-мерная
аналитическая поверхность {/i = 0, ..., /п-г = 0} имеет ка-
касательную комплексно r-мерную аналитическую плоскость.
Она определяется уравнениями

88 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
Здесь flt ..., fn_r — голоморфные функции в точке г, удовле-
удовлетворяющие требованиям, указанным в определении обыкно-
обыкновенной точки поверхности.
Заметим, что для аналитических поверхностей /и4, Щ на-
начало координат является исключительной точкой, для поверх-
поверхности т3 — обыкновенной.
6. Некоторые свойства аналитических поверхностей и
множеств. Прежде всего мы докажем для случая двух пере-
переменных две теоремы, которыми мы пользуемся в дальнейшем
изложении.
Теорема 4.11. Две различные поверхности, являю-
являющиеся аналитическими во всех своих точках, принадле-
принадлежащих к некоторой замкнутой ограниченной области D,
могут в ней пересекаться только в конечном мно-
множестве точек.
Доказательство. В противном случае должна была
бы существовать точка пересечения этих поверхностей (tef, z'),
предельная для последовательности точек пересечения (wn, zn).
В некоторой окрестности (хе/, /) в силу подготовительной
теоремы Вейерштрасса уравнения наших аналитических по-
поверхностей могут быть заменены уравнениями h(w, z) = 0,
g(w, z) = 0, где h{w, z), g(w, z) — неприводимые отмечен-
отмеченные псевдополиномы с центром в точке z'. Так как поверх-
поверхности различны, мы, пользуясь алгорифмом нахождения об-
общего наибольшего делителя, найдем такие псевдополиномы
р (w, z), q(w, z) и функцию г (г), что в этой окрестности
р(w, z)h(w, z) + q(w, z)g(w, z) = r(z). A.59)
Отсюда следует, что r(zn) = 0, и поэтому, согласно теореме
единственности для функций одного переменного, вообще
г (г) = 0. Это противоречит нашему предположению о непри-
неприводимости и различии псевдополиномов h{w, z) и g(w, z).
Наша теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что в пространстве С2 две
аналитические поверхности, имеющие общими некоторую по-
последовательность точек вместе с их предельной точкой, сов-
совпадают между собой.
Теорема 4.12. В окрестности любой точки P(wa, za),
принадлежащей к аналитической поверхности f(w, z) = 0,

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 89
эта поверхность может быть задана уравнением
00 _*.
W = '
Здесь т — некоторое целое число.
Доказательство. Согласно подготовительной теореме
Вейерштрасса, в окрестности точки Р функция f(w, z) мо-
может быть представлена по формуле A-48) (мы берем
[х = 0, так как функция f(w, z) предполагается неприводимой):
f(w, z) = [(w — wo)m + A t (z) (w — WoI"-' +...
(w, z). A.60)
Отсюда следует, что уравнение f(w, z) = 0 в окрестности
точки Р эквивалентно уравнениям
w = wk(z); k=l, ..., т.
Функции wk (z) голоморфны в некоторой окрестности точки za,
кроме самой точки z = z0 (других точек разветвления этих
функций, в силу предыдущей теоремы, в указанной окрест-
окрестности нет).
Корни wt(z), ..., wm(z) могут рассматриваться как зна-
значения одной (однозначной) голоморфной функции нового пе-
переменного С Для этого надо положить z = C™ -\~z0. При
полном обходе точки в плоскости С вокруг начала точка z
обходит т раз точку z = z0. Рассматривая значения какого-
нибудь корня, например w^ (z), вдоль этого пути, мы в резуль-
результате каждого такого обхода в плоскости z получаем в исход-
исходной точке значение нового корня; после т обходов мы получим
первоначальный корень. В противном случае, если бы перво-
первоначальный корень получился после р обходов (р<^т), то
это означало бы, что wu ...,wp образуют замкнутую систему;
их симметрические функции были бы однозначными. Псевдо-
Псевдополином A.60) делился бы тогда по теореме 4.3 на псевдо-
псевдополином (w — Wi)...(w — wB) и не был бы неприводимым.
Отсюда следует, что корень Wx (z) = w1({.m), рассматриваемый
как функция С, представляет собой (однозначную) голоморф-
голоморфную функцию С и принимает последовательно, при полном
обходе С вокруг начала, значения всех корней wk (z) на
соответствующем замкнутом пути в плоскости z. Поэтому

90 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
в некоторой окрестности начала
w = w0 -\- <*¦? -\- <х<?2 + ...
Возвращаясь к прежнему переменному z путем замены С =
= (z — z0)m, мы получим, что
оо
— zo)m.
Этим наша теорема доказана.
Заметим, что если Р—обыкновенная точка поверхности,
то т = 1.
Для аналитических множеств общего вида имеет место
теорема, которую мы приведем без доказательства1).
Теорема 4.13. Пусть B'k" и Вп'-k — области, лежа-
лежащие, соответственно, в пространствах Ск .переменных
Zx, ..., zk и С~* переменных zk+1, ..., zn, m — комплекс-
комплексно чисто k-мерное аналитическое множество, лежащее в
произведении областей B^'X.B'n-k- Предполагается, что
замкнутая область Bn — k компактна в пространстве Cn~k,
а замыкание Ш множества т в пространстве Сп==СкУ(_
X Cn~k не имеет общих точек с множеством Bk 'X dBn-k
(где dB'nLk — граница области B'"^k).
Тогда существуют такие (не имеющие кратных кор-
корней) многочлены
V
q = k + \ п,
с коэффициентами А^(zu ..., zk), голоморфными в об-
области B'k\ что множество т может быть составлено
из неприводимых составляющих аналитического (в обла-
области B'ku y^B'n-k) множества
-1) См. Реммерт [1] и Реммерт — Штейн [1].

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 91
Если множество т неприводимо в области В%] X #«'-*>
то все многочлены о>д также могут быть взяты непри-
неприводимыми.
В случае, когда множество т чисто размерно (и k—его ком-
комплексная размерность), можно для каждой точки z ? т после
надлежащего линейного отображения указать такую полицилин-
полицилиндрическую окрестность §У> X &?-* (где §У = {\z'q\<^ rg,
q=l,..., k}\ gnlft = {|4l<Cr?> q = k-{-\, ..., n), zi, ...
...,z'n — координаты точек пространства после линейного преоб-
преобразования; для этих координат точка z является началом), что
в ней для аналитического множества т(~\(%и ' X Шп-k) оказы-
оказываются выполненными все предположения теоремы 4.13.
7. Следы функций и форм на аналитических множест-
множествах. Важную роль далее играют следы (ограничения) f\m
голоморфных функций f(z), где z ? С" на аналитических
множествах m<ZiCn. Они существенно используются в теории
комплексных пространств (см. § 16—17 гл. III).
Сейчас мы лишь отметим, что для подобных следов f\m
имеет место принцип максимума: если С ? т — обыкновенная
точка аналитического множества т d С", функция f(z) голо-
голоморфна в некоторой окрестности ?/е d С, то модуль функ-
функции /|т, если он не постоянен на U^(~\m, не может прини-
принимать свое наибольшее значение в точке С.
Действительно, в силу теоремы 2.3 функция f\m в окре-
окрестности точки С сведется к голоморфной функции q комп-
комплексных переменных в окрестности некоторой точки С ? Ся>
где q^d^m). Отсюда, согласно теореме ЗЛО, следует наше
утверждение.
Определение {множество, для которого имеет
силу принцип максимума). Рассмотрим подпространство т
пространства С" (т может не быть аналитическим множест-
множеством) с топологией, индуцированной топологией пространства
С". Пусть 1) Ь(^т — произвольная ограниченная область
в смысле топологии пространства т, 2) функция f(z) голо-
голоморфна в окрестности U{bo)dCn любой области Ьа, если
bo (Z Ь; 3) модуль функции f\m непрерывен в замкнутой
области Ь. Если в указанных условиях модуль функции f\m
достигает своего наибольшего значения в замкнутой области
b на ее границе, то говорят, что для множества т имеет
силу принцип максимума.

92 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
В дальнейшем мы также рассматриваем множества, для
которых принцип максимума имеет силу для некоторых клас-
классов голоморфных функций.
Из нашего предложения можно заключить, что принцип
максимума имеет силу для аналитического множества, состоя-
состоящего из обыкновенных точек. v
Теперь рассмотрим чисто размерную аналитическую по-
поверхность тС^Сп, d(m) = q. Предположим сначала, что эта
поверхность целиком состоит из обыкновенных точек. Тогда
в силу теоремы 2.3 на этой поверхности в окрестности каж-
каждой ее точки какие-то я — q из п дифференциалов dzlt...,dzn
выражаются линейно через остальные.
Теперь возьмем внешнюю дифференциальную форму сте-
степени k (где k^>q) вида (
заданную в некоторой области В^т, и найдем ее след на
поверхности т. В каждом произведении dztl Д... Adzlk,
рассматриваемом на этой поверхности k — q сомножителей,
линейно выражаются через остальные q сомножителей. В силу
правил внешнего умножения дифференциалов подобное про-
произведение равно нулю. Отсюда вытекает, что и весь след
формы а на поверхности т равен нулю.
Из сказанного, в частности, вытекает, что для интегралов
вида A.22!)
п
$ a=(j
т т k
так как в этом случае k = 2^-топологической размерности
поверхности, т.
Если поверхность mq обладает исключительными точками,
то последние, как мы видели выше, составляют аналитическое
множество комплексной размерности, меньшей чем q. Поэтому
полученный нами результат для интегралов вида A.22i) легко
распространяется на случай аналитической поверхности, имею-
имеющей исключительные точки, с помощью предельного перехода.
Он имеет место и для аналитических множеств, являющихся
объединением некоторого множества аналитических поверх-
поверхностей.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И ПОВЕРХНОСТИ 93
8. Кривизна аналитической поверхности. Теперь мы
рассмотрим некоторые дифференциально-геометрические свой-
свойства аналитических поверхностей. Мы начнем с вывода вспо-
вспомогательных формул.
Для всякого вектора и пространства С переменных
zk = xk-\-iyk (k=l, ..., я) можно наряду с его действи-
действительными составляющими xk, yk (k=l, ..., я) также рас-
рассматривать и его комплексные составляющие ик = хк-\-1ук,
uk = xk — iyh (k=l, ..., я). Каждый такой вектор опреде-
определяет аналитическую плоскость if1, в которой лежит пучок
векторов
wk = аи*, wk = аи*.
Здесь а — комплексное число. Через каждую точку z° (z\,...
¦ ¦¦> z°n) ? С" проходит только одна аналитическая плоскость U1,
содержащая вектор и". Уравнения этой плоскости имеют вид
и1 ¦" и"
При я =^2 плоскость U1 будет определяться уравнением
22 — 2j = o)B1 — zj), где <о = —, если и1 т^ 0, и уравнением
zt — z\ = 0, если ц1 = 0. Число со мы далее называем пара-
параметром плоскости U1 (плоскости zt — z\ = 0 у нас отве-
отвечает значение параметра со = оо), самую плоскость U1 кратко
называем «плоскостью со». Угол ф между векторами и*, vk
(k=l, ..., я, 1, ..., я), как легко видеть, можно вычислять
по формуле
A.61)
cos ф = . ft~' .—j—,
где |и|= B1ц/ТJ> |t»| = B I »*|')Т- Возьмем ана-
литические плоскости f/1, V\ определенные соответственно
векторами иа, v", и рассмотрим минимум углов между векто-
векторами аи* и fit;*, лежащими в этих плоскостях (здесь к и р —
произвольные комплексные числа). Это минимальное значение 0
-называется углом между плоскостями Ц1, V1. Далее возьмем

94 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. 1
в V1 вектор v так, чтобы Z. (и*> f' ) = 6. Тогда, если мы
положим Z. (pk, v'k) = <р, то
u\\v\ '
п
I ггрг>9 — u4v"
sin
Углы 0 и ср мы будем называть первым и вторым анали-
аналитическими углами между векторами и* и vk.
Теперь рассмотрим о пространстве С2 переменных zu г2
аналитический поверхностный элемент, определенный уравне-
уравнением 22=/(z1). Пусть M(zi, zi) и Mr (zt-\-dzt, 2s + d2s) —
две бесконечно близкие точки этого элемента и ds =
\_
= (I ^2i I2 +1 ^2 РJ — расстояние между ними. Пусть dO —
угол между касательными плоскостями к поверхности zS!==/B1)
в этих точках, вычисленный по второй формуле A.62). Тогда
непосредственное вычисление приводит нас к равенству
?,= -^Ц-. A.63)
A + 1/Ч2J
Величину A.63) естественно называть кривизной1) аналити-
аналитической поверхности zi=f(zl). Отметим еще, что элемент
аналитической поверхности характеризуется тем, что его пло-
площадь, заключенная внутри некоторого контура, лежащего на
элементе, меньше площади всех других поверхностей, огра-
ограниченных тем же контуром2). Отсюда следует, что средняя
кривизна такой поверхности равна нулю во всех ее точках.
I/" I
') См. Фукс [1]. Впервые выражение з—> как ха~
(l+l/'l2)
рактеризующее кривизну поверхности, было рассмотрено К. Ком-
Коммерелем [1]. Однако указанный здесь геометрический смысл этого
выражения не был выяснен Коммерелем.
*•) См. Коммерель [1].

§ 5] РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА С" 95
§ 5. Расширение пространства. Понятие голоморфной
функции в бесконечно удаленных точках
пространства
1. Расширение плоскости одного комплексного пере-
переменного. Как изнестно, дополнение плоскости С1 комплекс-
комплексного переменного z бесконечно удаленной точкой произво-
производится с помощью стереографической проекции. Последняя
является отображением единичной сферы Qj {(-v1J -f^ (лг2J -j-
-|-?s = l} пространства R3 действительных переменных х1,
л:2, t на эту плоскость С1.
Введем на плоскости С1 однородные координаты Ci, Cj,
положив
z = ?, где Idl' + ICI'^O. A.64)
Каждая пара значений однородных координат определяет на
плоскости С1 некоторую точку; исключение составляют зна-
значения Ci Ф О, С2 = 0: им не отвечает ни одна точка плоско-
плоскости С1.
С помощью однородных координат стереографическая
проекция задается равенствами
дг —l-g — |Z|»_|_1 '
=\^\, A-65)
где N=|Ci|2-]-|Cs!|2; последние члены формул A.65) при-
пригодны только при С2 Ф 0.
Как видно из равенств A.65), значениям однородных коор-
координат ^т^О, С2 = 0 на сфере Q2 отвечает ее северный по-
полюс— точка @, 0, 1). С другой стороны, этим значениям
координат Ci, Cj не отвечает никакая точка плоскости С1, ни-
никакое (конечное) комплексное число z. Тогда вводится новое
комплексное число z = co, рассматриваемое как координата
(аффикс) точки @, 0, 1) сферы Q2.
Образом плоскости С1 комплексных чисел z в соответ-
соответствии с A.65) служит сфера Q2 с исключенной точкой @, 0, 1).
Введение нового числа z = co. дополняет этот образ до со-

96
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С
[ГЛ. I
вершенного множества — полной сферы Qj. Это так назы-
называемая сфера Римана комплексного переменного г.
Затем вводится понятие функции, голоморфной в точке
z = co. Функция/(Z) называется голоморфной в точке Z=oo,
если функция f\ , .) (где а, Ъ, с, d — некоторые числа,
\cz-\~aj
взятые так, что с ф 0, ad— bc^Q) голоморфна в точке
z = ——. Здесь выбор чисел а, Ъ, с, d безразличен, так как
проективные преобразования
Z =
аг -\- Ь
cz-\-d
оо
при
при
A.66)
z = —
составляет группу конформных отображений сферы Римана
Q2 на себя.
Теперь рассмотрим пучок тс1 аналитических плоскостей
2={CiZ2 — CjZt^O}, проходящих через начало координат
в пространстве С2 переменных Z1; Z2. Введем в этом случае
топологию: под е-окрестностью плоскости Qq^tc1 будем по-
понимать совокупность плоскостей Q ^ it1, для которых угол
<? B0, Q) не превосходит числа г^>0. Пучок те1, наделен-
наделенный указанной топологией, мы будем называть комплексным
одномерным проективным пространством Р1. Соотноше-
Соотношения A.65), задающие стереографическую проекцию, устанав-
устанавливают некоторое соответствие между плоскостями Q пучка те1
(которые определяются своими коэффициентами Ci и Са) и
точками сферы Q4. Покажем, что оно определяет регулярное
вложение пространства Р1 в пространство R3, т. е. что оно
1) взаимно однозначно и 2) локально регулярно. Последнее
в нашем случае означает, что
Rang
дх* dt
дх>-
= 2
A.67)
всюду на щ. Здесь щ1г ^ — локальные координаты плоско-
плоскостей Q ^ те1. Эти локальные координаты вводятся в окрест-

§ 5] РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА СЛ 97
ностях нескольких плоскостей Q', Q", ... ? itt; в своей сово-
совокупности эти окрестности должны исчерпывать весь пучок i^.
Для проверки наличия свойства A.67) у соответствия
A.65) нам достаточно внести локальные координаты щи 1J в
окрестностях плоскостей Q' = {Z1 = 0} (для нее Ci = 0, С2 Ф 0)
и Q" = {Zsi = 0} (для нее Ci^O, С2 = 0), определенных
условиями <B', 2)<?, <B", 2X-J- (так как
3
-к^>-п, то эти окрестности исчерпывают весь пу-
пучок щ). В первой окрестности мы положим t\i-4-ii)s = ~—,
С
во второй "»)! -\- itfo = р. После этого равенство A.67) про-
проверяется непосредственно.
Однозначность соответствия A.65) усматривается непосред-
непосредственно, однозначность обратного соответствия вытекает из
однозначной разрешимости уравнений A.65) относительно
локальных координат ifo и тJ в соответствующих окрестно-
окрестностях.
Таким образом, мы показали, что соответствие A.65) дей-
действительно определяет регулярное вложение пространства Р1
в пространство R3 в виде сферы Q2.
Для геометрической интерпретации процесса дополнения
плоскости бесконечно удаленной точкой можно использовать
вместо сферы Римана Qj любое другое регулярное вложение
пространства Р1, в частности само пространство Р1. Так,
в пучке тс1 мы поставим в соответствие плоскости Z2 = 0,
которой не отвечает никакое (конечное) число г, число z = oo.
Рассмотрим плоскости 21; 24?ic1, соответствующие им
точки оI; o)j^Q2 и отвечающие им в силу равенств A.64),
A.65) комплексные числа z1 = ~lT, 2^ = —^ (при Сг11 = О,
21 = оо; при Сга> = 0, 22 = оо). Тогда, как показывает над-
надлежащее вычисление
1
~ V Ki1' I2 +1СТ I2 V Ki2) I2 +1 Vi> |2 ~~
^жИ^Теттг (L68)
4 Б. А. Фуке

98 Голоморфные функции в пространстве С [гл, i
(последнее выражение пригодно только при zu z% =fc об).
Здесь sin (zu z%) — синус угла между плоскостями 2t и й2
(см. формулу A.62)), %(zb 22) — длина хорды сферы С?2 между
точками о)! и оJ. Соотношение A.68) устанавливает наглядное
соответствие между окрестностями плоскостей 2^ тс1 и то-
точек co^Qj.
Величину xBi> zi) мы, следуя Каратеодори *), будем назы-
называть хордальным расстоянием между точками zu zs (пони-
(понимая под ними или соответствующие точки сферы Римана Q2,
или соответствующие плоскости те1, или соответствующие
элементы какой-либо другой реализации пространства Р1).
Условливаясь считать lim zn = А, если Нт х(^> гп) — ®> мы
л->оо л->оо
освобождаемся от необходимости рассматривать случай
бесконечного предела отдельно от случая конечного пре-
предела (что приходится делать при обычном определении
предела).
2. Расширение пространства п комплексных перемен-
переменных. Введем в пространстве С" комплексных переменных
zu ..., zn однородные координаты d, ..., С„, Сл+1, положив
** = -?-. A-69)
где k == 1, ..., п; | Ci |2 -(-•••+1 ^л+i I2 ^ 0. Каждая система
значений однородных координат определяет некоторую
точку z пространства С; исключение составляют значения
с Сл+1 = 0: им не отвечают какие-либо точки простран-
пространства С".
Равенства A.69) устанавливают соответствие между точ-
точками z^ Cn и пучком ¦кп комплексно одномерных плоскостей
2:={Zn+1CA — 2АС„+1 = 0, k=l, ..., п}, проходящих через
начало координат в пространстве С"+1 переменных Zx,..., Zn+1.
При этом плоскостям 2, лежащим в комплексно и-мерной
плоскости Z,,+1:=0 (для них Сл+1 = 0), не отвечают какие-либо
точки z (^ С".
Мы установим также соответствие между точками z? Cn
и точками со некоторого многообразия Qin пространства
Rn (л+2) действительных переменных лгрд,лгре (p,q= 1, ..., п-\~ 1,
') См. Caratheodory, Funktionentheorie, Band I, Basel 1950,
стр. 91 и ел.

"
§ 5] РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА С"
р<Ся)> h (^=1» •••> п) с помощью равенств1)
Xpq
P.q=l n+\(p<q)\ A.70)
{1
s=l
n+l
где N=2_, l^s?- ПРИ этом точкам со многообразия Qin, для
s=i . .
которых С„+1 :^ 0, не отвечают точки z ^ С".
Формулы A.70) при и=1 сводятся к формулам A.65).
Имеют также место следующие теоремы, проверяемые непо-
непосредственными вычислениями.
Теорема 5.1. Многообразие Qin лежит на единичной
сфере
р, q=l
Теорема 5.2. Если плоскости Qu 22 ^ it" и точки
«Н> % ^ Qte соответственно определяются с помощью
однородных координат Ci1', ..., Сл + i м Ci3), ..., Сл+i (коор-
(координаты точек «! и щ в пространстве Rn(n+2) находятся
из равенств A.70)), /ио
sin
=y 2 (Я + i) X К Ms!) =
P. q = l n + l
где jVA = Li |C|a> k=l, 2.
Здесь x («>ii ^a) — расстояние между точками wt и со2
в пространстве #„(„+2)> sinB!, 22) — синус угла между
1) См. Фукс [5].
4*

100 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
плоскостями Qt и 22. Из этой теоремы, в частности, следует,
что диаметр многообразия Qin равен!/ ^п """¦¦ ' ¦
Введем в пучке тс" топологию: под е-окрестностью плоско-
плоскости 20 (^ тс" будем понимать совокупность плоскостей 2 (^ %п,
для которых угол <? B0, 2) не превосходит числа е^>0.
Пучок тс", наделенный указанной топологией, мы будем называть
комплексным п-мерным проективным пространством.
Теорема 5.3. Равенства A.70) определяют регуляр-
регулярное вложение пространства Р" в пространство Rn(n+2).
Наличие у соответствия A.70) свойств, выражаемых по-
последними теоремами, служит основанием для того, чтобы его
назвать комплексно и-мерной стереографической проекцией.
При рассмотрении соответствий A.69) и A.70) мы будем
называть точки пространства Рп (т. е. плоскости со^тс" или
точки со ? QsjJ, которым отвечают точки z ^ С", конечными,
а точки пространства Р", которым не отвечают точки
z ? С", — бесконечно удаленными. Переход от рассмотрения
пространства С" к рассмотрению пространства Рп обычно
называется расширением пространства С". Как мы видим,
этот переход состоит в дополнении образа пространства С"
в пространстве Р" бесконечно удаленными точками. Заметим,
что в отличие от пространства С" пространство Рп является
совершенным множеством.
Совокупность точек С ? Рп, однородные координаты кото-
которых Сь ..., Сл-fi удовлетворяют уравнениям
л + 1
а*,С4 = 0,А = 11...,л—/я, A.73)
где Rang[|aAi|[:=/t — т мы будем называть комплексно
/и-мерной комплексной проективной плоскостью Рт. Такая пло-
плоскость сама является комплексно /и-мерным комплексным
проективным пространством. Заметим, что бесконечно удален-
удаленные точки пространства Рп (они определяются уравнением
Сл+1 = 0) составляют комплексно (п — 1)-мерную комплексную
проективную плоскость. Бесконечно удаленные точки, при-
принадлежащие к плоскости Рт, определенной уравнениями
*А-*Л,+1 = 0, k=\, ...,«, Х1.74)

§ 5] РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА С 101
где Rang |[aAj| = я— т (они составляют комплексно (т — 1)-
мерную комплексную проективную плоскость), мы будем
также называть бесконечно удаленными точками аналитической
плоскости Ст, определенной уравнениями
*Л —** = °> k=\,...,m. A.75)
Из сказанного, в частности, вытекает, что плоскость Р1 или
С1 всегда имеет одну бесконечно удаленную точку. Поэтому
бесконечно удаленные точки пространства Р" можно зада-
задавать, указывая те плоскости S^^O, ..., zv_i = 0, 2V+1 =
= av+12v, ..., zn=anzjf, которым они принадлежат. {Й}—
это пучок комплексно одномерных аналитических плоскостей
с вершиной в начале координат; zw — координата с наимень-
наименьшим индексом, принимающая в плоскости 2 значения, отлич-
отличные от нуля. Бесконечно удаленную точку такой плоскости
Q мы будем указывать или с помощью ее однородных коор-
координат, или с помощью символа @, ..., 0, со, av+1, ..., а„).
v — I раз
Области пространства Р", Содержащие бесконечно удален-
удаленные точки, далее называются бесконечными; области, их не
содержащие, называются конечными.
Если точки С '*', С'2' (^ Р" и щ, о>2 — соответствующие им
точки Qin, то величину x(^(l)> ?(i)) = x(a)i> ""а)» определен-
определенную равенством A.72), мы будем называть хордальным рассто-
расстоянием между точками СA\ С(й. Если С("\ где я = 1, 2,...,
— последовательность точек пространства Рп и точка
А ? Рп, то мы будем говорить, что ПтС(л) = Л, если
л-»оз
Нтх(Л, С("'):=0. Пусть нам дама функция и> =/(?), где
л-»со
С ^ Рп, w ^ Р\ определенная в некоторой окрестности точки
^ ^ Р", за возможным исключением самой точки С(о). Мы
будем говорить lim^(C) = % рде ffi'oG^1' если но каждому
числу е^>0 можно указать такое число § = §(е)^>0, что
при 0<^Х&> ^о)<С^(?) будет x(w> ^а)<С?- Аналогично,
с помощью хордального расстояния, определяется понятие
функции, непрерывной в некоторой точке С(о) ^ Рп, понятие
функции, равномерно непрерывной в некоторой области
Д dJ3". Как мы уже указывали для случая я= 1, пользование

102 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
этими определениями освобождает от необходимости от-
отдельно рассматривать бесконечные пределы и пределы, по-
получающиеся при приближении к бесконечно удаленным точкам.
Надлежит лишь указать, что теоремы Вейерштрасса 1.2 и 1.3
о функциях, непрерывных в замкнутой области, остаются
применимыми только к конечным непрерывным функциям.
Определение равномерной сходимости для пространства Р™
остается таким же, как и для пространства С".
3. Понятие функции, голоморфной в точках простран-
пространства Рп. Конечные точки пространства Р", которое содер-
содержит как свою часть образ пространства С", могут одновре-
одновременно рассматриваться как точки обоих пространств. По-
Поэтому мы можем дать следующее
Определение {голоморфность в конечной точке).
Функция г»=/(С) (где w ? С1, С ? Р") называется голо-
голоморфной в конечной точке С (Ci, ..., С„+0 ? Р", если эта
функция голоморфна в той точке z(zx, ..., zn) (^ С", для
которой числа Ci, ..., Cn+t являются однородными коорди-
координатами.
Для определения понятия функции, голоморфной в бес-
бесконечно удаленной точке т) (т\ь ..., t\n+i) ^ P", мы рассмот-
рассмотрим проективное отображение о) = ЛС, определяемое равен-
равенствами
л+1
о)А=Уа*А. О-76)
*=1
где k = l, ..., Я+1» Detaks^0, точки С (Ci, ... ,Cn+i).
00@)^ ..., о)л+1) ^ Р". При надлежащем подборе коэффици-
коэффициентов aks мы можем получить в этом отображении точку т\
в качестве образа некоторой конечной точки Е (?!, ...
•••> ^л+i) G^ Это позволяет нам дать следующее
Определение (голоморфность в бесконечно удален-
удаленной точке). Функция w=f(Z.) (где С ? Р", г» ? С1) назы-
называется голоморфной в бесконечно удаленной точке т\ (^ Р",
если функция /(ЛС) голоморфна в конечной точке Е ^ Р".
Здесь 1)з!= Л?, Л—отображение A.76).
Проективные преобразования A.76) составляют группу
взаимно однозначных отображений пространства Р" на себя
и выражаются через голоморфные функции. Поэтому, осно-
основываясь на теореме о голоморфности сложной функции,! мы

5]
РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА С"
103
можем утверждать, что произвольность выбора конечной
точки 5 ? Рп в нашем определении не является существен-
существенной. Обычно при проверке голоморфности функции / в бес-
бесконечно удаленной точке щ преобразованиям A.76) придают
возможно более простой вид. Так можно сказать, что голо-
голоморфность функции / в бесконечно удаленной точке ^(О, ...
..., 0, оо, av+1) ..., <х„) равносильна голоморфности функции
zv+i ¦
"v+1
в начале координат пространства С". Чтобы получить этот
результат, достаточно заменить общее проективное отобра-
отображение A.76) проективным отображением частного вида:
« 1, . . ., » L), l"v ^л+1»
t (при A = v-f-l» .... я). A-760
Мы предоставляем читателю проверить, что точка i) @, ...
..., 0, со, av+1, ..., а„) является образом начала координат
пространства С" переменных 21( ..., zn при этом отобра-
отображении.
Можно выразить условие голоморфности функции / в
бесконечно удаленной точке ~ц @, ..., 0, со, av+1, ..., а„)
с помощью степенного ряда. Используя преобразование, об-
обратное преобразованию A.760, мы придем к выводу, что
функция /(со) будет голоморфной в точке щ в том и только
в том случае, если равенство
/(»)= 2
X
v+l
X
(А„ ¦ Ct-tO.. \К.
Zf") "> A-7?)
имеет место для точек со (^ S^, где S^ — область простран-
пространства Рп, определяемое условиями
"у-1
Bv+1
av+l
A.78)

104
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СП [ГЛ. 1
Здесь R — некоторое положительное число. Заметим, что
к области Sr принадлежат (конечные) точки пространства
С" CI Рп> координаты которых удовлетворяют условиям (сей-
час 2*=
г,
г,
-*¦"¦" Г)
av+l
. . .,
г,
<--
N
A.78')
Область S& в которой ряд A.77) сходится при наибольшем
возможном R, мы будем называть элементарной окрестностью
сходимости этого ряда. Легко видеть, что на границе эле-
элементарной окрестности сходимости ряда A.77) обязательно
имеются точки, в которых голоморфность его суммы — функ-
функции /(со) нарушается.
Функция, голоморфная в какой-либо бесконечно удален-
удаленной точке пространства Рп, ограничена в некоторой окрест-
окрестности этой точки. Это обстоятельство позволяет так сфор-
сформулировать теорему 3.12 Лиувилля:
Функция, голоморфная во всех точках комплексного
проективного пространства Рп, постоянна.
Функции, голоморфные в некоторой точке С ? Р", обра-
образуют кольцо целостности О,.. Для него справедливы теоремы
4.5 и 4.8. Кольцо целостности составляют также функции,
голоморфные в некоторой области D d Pn. Функции, голо-
голоморфные на некотором открытом множестве В CZ Рп> также
образуют коммутативное кольцо; однако оно, вообще говоря,
не является областью целостности.
Совокупность колец О,, для различных точек С (^ D или
С ? В составляет пучок, который обозначается символом
D(D) или О (В).
Аналогичные замечания можно сделать о совокупностях
функций, голоморфных в точках пространства теории функ-
функций G". Это пространство мы рассматриваем в следующем
пункте.
4. Пространство теории функций. Описанный выше
способ расширения пространства С не является единственно
возможным. В теории функций находит себе применение еще
один способ расширения этого пространства, который мы
сейчас и изложим.

§ 5] РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА С" 105
Мы рассмотрим плоскость С* переменного zk и способом,
указанным выше, дополним ее до пространства Р^. "Затем мы
образуем произведение этих пространств Р\Х---ХРк- Как
известно, на каждое пространство Pi мы можем смотреть как
на сферу Q[k\ построенную для соответствующего перемен-
переменного zk. Произведение этих сфер представляет собой совер-
совершенное множество, содержащее в качестве своего подмно-
подмножества пространство С" переменных zx, ..., zn (точнее, оно
содержит подмножество, являющееся произведением сфер
Q(*) с выколотыми точками zk = oo, гомеоморфное этому
пространству). Мы будем называть пространство Р\ X.. -Х^л
пространством теории функции G". В нем каждая комп-
комплексно одномерная аналитическая плоскость zk = z% (? ^ v)
имеет одну бесконечно удаленную точку, которую мы обо-
обозначим символом {z\, ..., 2j_!, со, z°+\, ..., zn). Каждая комп-
комплексно двумерная аналитическая плоскость zk^z% (A ^ v, (i)
имеет, кроме указанных выше, еще одну бесконечно уда-
удаленную ТОЧКу, КОТОРУЮ МЫ при V:=l, JJ. = 2 обОЗНаЧИМ СИМ'
волом (со, со, z%, ..., zn) и т. д.
Для распространения понятия голоморфной функции на
бесконечно удаленные точки пространства G" мы восполь-
воспользуемся преобразованиями A.66) на сфере Q^> каждого пере-
переменного zk. В результате мы придем к следующему опре-
определению.
Определение {голоморфность в бесконечно удален-
удаленной точке пространства G"). Функция w =/(C) (где C^G",
w ^ С1) называется голоморфной в бесконечно удаленной
точке 1) ^ G", если функция
ft QiZi + bj апгп + Ьп'
(где akdk — ckbk^O для всех k=l, ..., п) голоморфна в
соответствующей конечной точке z (zlt ..., zn) ^ С.
В указанной точке все или часть знаменателей ckzk-\-dk
оказывается равной нулю. Заметим также, что и здесь нет
надобности рассматривать наиболее общие преобразования
A.66). Также, как и в предыдущем случае, здесь можно
ограничиться преобразованиями более частного вида. Мы
воспользуемся этим в следующем разделе.
5. Ряд Лорана. Для сокращения записи мы рассмотрим
далее случай двух переменных и», г. Для изучения поведения;

106 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
функции f(w, z) в бесконечно удаленных точках достаточно
рассмотреть преобразования вида A.66)
W=w, Z = —\ W = — , Z = z;
wi z
переводящие соответственно точки (а, 0), @, а) и @, 0)
в точки (а, со), (со, а) и (со, со) пространства G'2. В силу
сказанного функция f(w, z) будет голоморфной в этих точ-
точках, если функции f(w, \), /(-^ > z)> f (~ > ~) голо-
голоморфны соответственно в точках (а, 0), @, а), @, 0).
Применяя преобразования A.79) к разложению функции
f(w, z) в двойной ряд Тейлора в окрестности точек (а, 0),
@, а), @, 0), мы можем сформулировать условия голоморф-
голоморфности функции в бесконечно удаленных точках еще следую-
следующим образом.
Выражение «функция f(w, z) является голоморфной
в точке (а, со)» означает, что существует бицилиндрическая
область1) \\w — a\<"R, \z\^>-k\ > в которой f(w, z)
представляется рядом
f(w, 2) =
к, 1=0
Аналогично для точек (со, а) и (со, со) следует соответ-
соответственно рассматривать бицилиндрические области
z~а1<я}> {М> Jf> И>j?j и в них ряды
f(w, z) =
k, 1=0
oo
Cui —it' —т
A.8О0
1) Эта область составляет элементарную окрестность беско-
бесконечно удаленной точки при наибольшем возможном значении ./?,

§ 5] РАСШИРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА СЛ 107
Заметим, что ряд A.80) и ему аналогичные, так же как
и соответствующие разложения в классической теории функ-
функций, входят как часть в разложение типа Лорана.
Разложение Лорана в нашем случае может быть полу-
получено следующим образом. Пусть функция f(w, z) голоморфна
в точках бицилиндрической области D = Di X As> где Dit
Da — кругоиые кольца в плоскостях w и z, определенные
услопиями гх <^ | w | <^ Ri, r2 <^ | z | <^ ft?,, и непрерывна в зам-
замкнутой области D. Тогда если Си С2 — окружности, ограни-
ограничивающие кольцо D\, а Гъ Г2 — окружности, ограничиваю-
ограничивающие кольцо Db то для каждой точки (w, z) области D, мы
будем иметь
Г!
— 2
Г ^ tfJbMdt х- Г dtl [f{tl'h) dt -
J <! — да J <2— 2 2 4я2 J ^—да ,' t3 — 2 2
Ci Г2 C2 П
1 С dti f /C1' <2),w
ra
(направление обхода окружностей Сг, С2, Г^ Г2 таково, что
площади колецD\, D^ обходятся как треугольник с вершинами
(О, 0), A, 0), @, 1) при указанном порядке следования его
вершин). Полученные интегралы обычным путем приведут
нас к рядам по положительным и отрицательным степеням
w, z, и мы получим разложение Лорана функции f(w, z)
в области D:
f(w, z)= 2 сы™кг1- A.81)
k, l=- оэ
Ряд A.81) мы можем рассматривать как сумму разложений
A.36), A.80) и им аналогичных, представляющих f(w, z)
в общей части областей сходимости этих рядов.
Наряду с пространством теории функций G = P'X- • -1
п раз
можно рассматривать и пространства более общего вида
PmiX ...У,Рт1, где Svwv^w- Для всех этих пространств
имеет место теорема Лиувилля в формулировке, приведенной
выше для комплексного проективного пространства Рп.

108
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ Сй [ГЛ. 1
§ 6. Аналитическое продолжение функций и множеств
1» Аналитическое продолжение. Пусть D и Do — области
Пространства Рп или G", причем D0CLD. Если /0 и /—го-
/—голоморфные функциональные элементы в областях ?H и D,
причем /0=/для точек области Do, то функция / назы-
называется аналитическим продолжением функции /0 из обла-
области Do на область D.
Пусть области Do и Dx пересекаются по некоторой
области Go и в области D = D0[J Dt существует голоморф-
голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции /0, задан-
заданной в области Ц)> и одновременно продолжением функции /1;
заданной в области Dy. Тогда функция fx называется
непосредственным аналитическим продолжением функции
/0 на область Dx. В силу теоремы единственности непосред-
непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
Теперь мы рассмотрим области Do, .D\, ... , Dm. Пред-
Предположим, что области Dk и Dk+i пересекаются по непустой
области Gk (& = 0, 1, ..., т—1). Пусть /0, ..., fm —
голоморфные функциональные элементы, заданные в соот-
соответствующих областях Do, ... , Dm, причем элемент fk+l
является непосредственным аналитическим продолжением
элемента Д на область Dft+1. В этом случае мы будем на-
называть функцию fm аналитическим продолжением голо-
голоморфного функционального элемента /0 на область Dm,
элементы /0 и fm — соединимыми, элементы fk и fk+l (для
всех & = 0, 1, ...,т — 1) — соседними. Следует сразу под-
подчеркнуть, что в результате изменения даже части промежу-
промежуточных областей Dit ..., Dm^ мы можем получить в об-
области Dm в качестве аналитического продолжения элемента
/о другой, отличный от функции fm голоморфный функцио-
функциональный элемент. Таким образом, однозначный характер не-
непосредственного аналитического продолжения в общем случае
теряется.
2. Аналитическое продолжение вдоль кривой. Пусть
L — некоторая кусочно гладкая кривая в пространстве Р"
или G", соединяющая две точки Мо и М этого пространства.
Пусть /о — голоморфный функциональный элемент с центром
в точке Мо и So — элементарная окрестность сходимости
для степенного ряда с центром в этой точке, представляю-

§ 6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ W9
щего эту функцию (в случае бесконечно удаленной точки
соответственно рассматрипаются ряды A.77), A.80)). Точка Mi
выбирается на кривой Ь пнутри области So так, что отрезок
M0Mt кривой L целиком принадлежит к этой области.
Путем преобразопания степенного ряда, представляющего
функцию /0, к новому центру мы получим другой степенной
ряд с центром в точке Мь определяющий голоморфный
функциональный элемент fy Элемент /i является непосред-
непосредственным аналитическим продолжением голоморфного функ-
функционального элемента /0. Если оказывается возможным
выбрать точку М\ при соблюдении указанных выше условий
так, что внутрь ее элементарной окрестности Si попадают
точки нашей кривой, не принадлежащие к области So и
образующие с теми, которые находятся в области So, связ-
связную часть кривой L, то мы совершим эффективный шаг для
аналитического продолжения элемента /0 вдоль кривой L.
Затем мы возьмем в области Si на кривой Ь точку Ж2
(конечно, не на отрезке МйМх) и, преобразуя ряд, пред-
представляющий функцию /i, определим голоморфный функцио-
функциональный элемент /2 с центром в точке М% в соответствующей
области 52(где S2— элементарная окрестность точки М^).
При этом отрезок М^М^ кривой L должен целиком лежать
в области Si. В случае, если в результате некоторого ко-
конечного множества шагов мы получим голоморфные функцио-
функциональные элементы /0, ..., fm с центрами в точках Мо, ,..
..., Мт = М кривой L, то мы будем говорить, что тем самым
голоморфный функциональный элемент/0 продолжен из точки
Мо в М вдоль кривой L и функцию /==/„ будем называть
аналитическим продолжением элемента /0.
Заметим, что благодаря однозначности непосредствен-
непосредственного аналитического продолжения аналитическое продолже-
продолжение вдоль кривой Ь единственно и не зависит от выбора
точек Mi, ... , Mm_t. Если бы за промежуточные точки были
взяты точки М\, ... , М'т — \ кривой Ь, то в точке М мы
получили бы тот же функциональный элемент /. Это может
быть доказано, так же как и в случае одного переменного
путем рассмотрения системы точек, составленной из систем
точек Mk и M'k в том порядке, в каком они лежат на кри-
1ЮЙ между точками Мо и М.
Если точки Мо и М соединяются двумя различными
путями L и L', то результаты аналитического продолжения

И О ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. 1
функции /0 в точку М по путям Ь и U вообще оказываются
различными.
Можно, однако, так же как и в случае одного пере-
переменного, показать, что линия Ь может быть окружена такой
областью — окрестностью L'), что в результате продолже-
продолжения элемента /0 по всякому пути МйМ, лежащему в области Ь,
мы получаем в точке М один и тот же функциональный
элемент.
Вообще два пути L и U, соединяющих точки Мо и М,
мы будем называть эквивалентными, если в результате ана-
аналитического продолжения вдоль них функционального эле-
элемента /0 мы получаем в точке М один и тот же функцио-
функциональный элемент.
Из предыдущего далее легко выводится следующая
Теорема 6.1 (о монодромии). Если функциональ-
функциональный элемент f можно аналитически продолжить в
односвязной области D из некоторой ее точки вдоль
всякой целиком лежащей в D кривой, то построенная
таким образом функция будет однозначна в области D
{т. е. если ми продолжим ее вдоль любой замкнутой
кривой L, целиком лежащей в области D, то придем
к ее первоначальному значению).
Доказательство. Пусть Р — точка, в которой задан
функциональный элемент /, Q — любая другая точка области
D, L и U — две кривые, соединяющие точки PhQ, целиком
лежащие в области D. В силу предположения об односвяз-
односвязности области D существует семейство кривых {Lt, 0 s^t^l,
L9 = L, Ь.1 = Ь'}, непрерывно зависящее от параметра t (т. е.
lim r(Lt, Lt + &t) = O, где г — расстояние между соответ-
ствующими кривыми). Обозначим через х верхнюю грань тех
значений t, для которых совпадают функциональные эле-
элементы, полученные в точке Q продолжением функциональ-
s) Получающейся, например, в результате объединения точек
полицилиндрических областей { | ?ft — z^ \ •< е; fe = l, ..., п],
пристраиваемых к каждой точке R(zu ... , гп) кривой ? при
надлежащем выборе числа е. Если А — бесконечно удаленная точка
пространства Рп, то к ней пристраивается область, определенная
условием х(?. А)<:^, где х — хордальное расстояние, или условиями
вида A.78). Соответствующие области для пространства G" указаны
в п. 5 § 5.

§ 6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ Ш
ного элемента / по путям Lo и Lt. Путь Ьх, очевидно,
также обладает этим свойством. Согласно сказанному выше,
тот же результат должен иметь место для всех путей, ле-
лежащих в некоторой окрестности U пути Ьх. Если х<^1, то
найдется такое число е^>0, что при 0 =^a<^s все bt+aCZU.
Но в этом случае число т не может служить верхней гранью
указанных чисел t. Следовательно, t = l, и наше утверж-
утверждение доказано.
В § 2 мы установили, что если функция f{z) голоморфна
в области D и кусочно гладкая линия L(^_D, точки z,
z° ?= Ь, то
Ввиду однозначности функционального элемента / в области
D на это значение мы можем смотреть как на полученное
при аналитическом продолжении функции / из точки z°
в точку z по линии L (в пределах области D).
Однако при изменении пути Ь мы вообще получим другой
результат. Для односвязной области D из только что дока-
доказанной теоремы о монодромии следует, что это значение не
зависит от пути L и определяется однозначно. В этом случае
для всякого замкнутого пути
Обратно, теорема о монодромии может быть получена,
исходя из того, что криволинейный интеграл
в односвязной области (ввиду выполнения соответствующих
условий для его действительной и мнимой частей) не зависит
от пути интегрирования.
Замечание. Теорема о монодромии и независимость
интеграла от пути могут быть установлены для областей
более общей природы. Они верны для областей, в которых
всякий замкнутый контур лишь гомологичен нулю (а не гомото-
гомотопен нулю, как это требуется в нашем определении односвязной
области). К этому выводу приходят, рассматривая интегралы

И2 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
вдоль краев симплексов, на которые разбивается при триан-
триангуляции поверхность, натягиваемая на произвольный замкну-
замкнутый контур.
3. Понятие полной аналитической функции. Пусть /0 —
голоморфный функциональный элемент в точке Мо. Точка М
называется достижимой, если существует путь L, по кото-
которому элемент/0 может быть продолжен из точки Мо в точку М.
Совершенно очевидно, что если М — достижимая точка,
то в результате продолжения элемента /0 в точку М по
всем возможным, не эквивалентным путям мы получим в
точке М самое большое счетное множество функциональных
элементов. Это, как и в случае одного переменного, легко
обнаружить, если посредством малой деформации кривой L
(по доказанному, не меняющей значения функции / в точке М)
достичь того, что все промежуточные точки Mk будут иметь
рациональные координаты.
Рассмотрим область D, состоящую из точек, достижимых
при аналитическом продолжении голоморфного элемента /0.
Совокупность голоморфных элементов, получающихся в точках
области D в результате этого продолжения, называется
аналитической функцией переменных гъ ..., zn в области D.
Она является сечением пучка ?)(?)_). Голоморфные эле-
элементы, принадлежащие некоторой аналитической функции,
часто называются ее голоморфными ветвями. Аналитиче-
Аналитическая функция, вообще говоря, многозначна.
Если область D представляет собой совокупность всех
достижимых точек и берутся все голоморфные элементы, воз-
возникающие при продолжении по всем неэквивалентным путям,
то получающаяся аналитическая функция называется полной.
4. Продолжение аналитических множеств и поверх-
поверхностей. Рассмотрим некоторое аналитическое подмножество т
открытого множества B(ZCn. Если пг — аналитическое под-
подмножество открытого множества В^)В, причем fh f\ В^т,
т^- т, то аналитическое множество т называется продол-
продолжением аналитического множества т на открытое множест-
множество В. Если открытое множество В\ С В, то аналитическое мно-
множество т(~\В^ в рассматриваемом случае тоже носит на-
название продолжения аналитического т на открытое мно-
множество ??!. Беря различные открытые множества В, содер-
содержащие множества В и Bj, мы будем получать» вообще

§ 6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ ИЗ
говоря, различные продолжения аналитического множества т
на открытое множество В\.
Аналитическое множество MCZC, не допускающее про-
продолжения, называется полным, его граничные точки — его
особыми точками, аналитические множества mCZM — его
элементами.
Понятие продолжения применяется и к аналитическим
поверхностям любых размерностей. Аналитическая поверх-
поверхность, которая не может быть продолжена в качестве ана-
аналитической поверхности, называется полной аналитической
поверхностью. Заметим, что к числу граничных точек такой
полной поверхности мы должны отнести и точки пересечения
ее различных элементов, получающихся в процессе продол-
продолжения (в окрестности подобной точки полная аналитическая
поверхность не является неприводимым аналитическим
множеством).
Определения. 1 (точка самопересечения). Граничная
точка Р полной аналитической поверхности называется ее
точкой самопересечения, если эта поверхность в некоторой
окрестности точки Р, включая и ее граничные точки, попа-
попадающие в эту окрестность, представляет собой приводимое
аналитическое множество. 2 (особая точка). Остальные
граничные точки полной аналитической поверхности назы-
называются ее особыми точками.
Пример. Рассмотрим элемент аналитической поверх-
поверхности, определяемый в окрестности точки @, 0) уравнением
w = z }/\-\-z (где y/"l=-|-l). В результате продолжения
наш элемент войдет в состав полной аналитической поверх-
поверхности w'2— z'2(\ -|-.г) = 0. При этом через точку @, 0)
пройдет еще один элемент поверхности, определяемый
уравнением w= — z -\f\ -\-z (здесь опять \f\ = -f- 1). Сово-
Совокупность всех точек этой полной аналитической поверхности
в окрестности точки @, 0) определяется приводимым в
точке @, 0) уравнением, так как
W2 Z2 A -f- Z) = (W Z ]/~ 1 -\-Z)(W-\-Z У \ -\-Z).
5. Теорема Гартогса об аналитическом продолжении.
Из интегральной формулы Коши для полицилиндрической
области и подготовительной теоремы Вейерштрасса можно
получить ряд следствий, относящихся к аналитическому

114 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
продолжению голоморфных функций. В ряде случаев оказы-
оказывается возможным установить, что все функции, голоморфные
и ограниченные в некоторой области DCZ. С, можно аналити-
аналитически продолжить на область Dj 3 D. Заметим,, что подоб-
подобный факт встречается и в теории функций одного перемен-
переменного: там доказывается, что если функция f{z) голоморфна
и ограничена в окрестности некоторой точки z — z0, за
возможным исключением самой точки z = z0, то она после
доопределения или исправления ее значения в этой точке
будет голоморфной во всей окрестности точки z0 (так на-
называемая теорема Римана об устранимых особенностях голо-
голоморфной функции одного переменного).
Далее оказывается возможным установить, что в про-
пространстве С" (при л^>1) существуют- области D со сле-
следующим свойством: все функции, голоморфные в подобной
области, могут быть аналитически продолжены за ее пределы
на некоторую область Diy содержащую точки, лежащие вне
области D. Этот факт, как известно, не имеет себе аналога
в теории функции одного комплексного переменного.
Существование подобных областей D CZCn (при л^>1)
вытекает из доказываемой ниже теоремы.
Теорема 6.2 {Гартогс [2]). Пусть D и Е— такие
области на плоскостях w и г, что D X Е является
ограниченной обыкновенной бицилиндрической областью;
область KCZ.E. Пусть функция f(w, z) задана в точках
множества S {(?> X -Ю U (^ X Е)}, причем известно, что
она: 1) голоморфна в области D\K и непрерывна по
w в D для любого z ?j К; 2) непрерывна на остове
dD X дЕ по совокупности переменных; 3) голоморфна
в Е и непрерывна в Е по z для любого w ^ dD. Тогда
в области Z) X Е существует голоморфная функция
f(w, z), значения которой в точках области D X К
совпадают со значениями данной функции f(w, z). (Таким
образом, функция f{w, z) является аналитическим про-
продолжением функции f(w, z) на область D X Е).
Доказательство. Согласно предположению ^.функ-
^.функция f(w, z) может быть так представлена в области D X К:
(w, z) = -ft-г \ к ' dm.

§ 6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ 115
Согласно предположению 3), функцию /(to, z) можно пред-
представить в области Е так:
дЕ
Исходя из этих представлений, мы получим для значений
функции f{w, z) в области D X К
¦= 1 Г
—i И (^гЬу-лл A.82)
со — да
но в силу предположения 2) последний интеграл является
интегралом типа Коши и определяет функцию, голоморфную
во всей области D\ E. Приняв эту функцию за f(w, z),
мы получим результат, указанный в утверждении теоремы.
Добавление к теореме Гартогса. Если мы
заменим требования 1), 2), 3) теоремы Гартогса условием
голоморфности функции f(w, z) в точках замкнутого мно-
множества 5, то можно отказаться от предположения о кусоч-
кусочной гладкости границ областей D и Е. Тогда теорема Гар-
Гартогса будет формулироваться так:
Теорема 6.3. Пусть D и Е — ограниченные области
на плоскостях w и z, область KCZ.E. Если в некоторой
окрестности S множества S {(D\ K){J [dD X Щ } задана
некоторая голоморфная функция f(w, z), то в области
D X Е существует голоморфная функция f(w, z), значения
которой в точках D~X_K совпадают со значениями
данной функции f(w, z).
Доказательство. Так как множество 5 замкнуто,
то можно указать такое а ^> 0, что если точка (z% z0) ? 5,
то бицилиндр {\w — wo\<^a,\z — zo|<Ca}C5 и функция
f(w, z) в нем голоморфна. Мы покроем замкнутые области
D и Е квадратами со сторонами у и обозначим через D^
и Ei области, образованные всеми квадратами, которые имеют
внутри или на своей границе точки, принадлежащие к D
или Е. При этом стороны квадратов включаются в D1 или

Пб голоморфные функции в пространстве С" [гл. 1
??! только в том случае, если оба смежных с ней квадрата
включаются в эту область. Каждая точка А (или Е\), не
принадлежащая к D (или ?), отстоит от D (или Е), в ча-
частности от границы dD (или дЕ), не больше чем на а-~у— <^ а.
Поэтому в условиях нашей теоремы области D, Е могут
быть заменены областями А> Е^. Границы этих последних
областей являются кусочно гладкими, так как состоят из
конечного множества отрезков прямых линий. Таким образом,
сформулированное нами предложение может быть получено
из основной формулировки теоремы Гартогса.
Теорема 6.2 может быть легко распространена на случай
любого числа переменных. Избегая чрезмерного усложнения
формулировки, мы приведем ее еще для случая трех пере-
переменных.
Теорема 6.4. Пусть Dk — такие области в плоско-
плоскостях переменных zft(&=l, 2, 3), что АХАХ ^з
является ограниченной обыкновенной полицилиндрической
областью; области Kk С А (^= 2, 3). Пусть функция
f(zit z2, z3) задана в точках множества S {(А X Kt X #з) U
[J (дА X А X А)} > причем известно, что она 1) голо-
голоморфна в области А X Къ X Ka u непрерывна по z^ в А
для любых zk = z%(Z.Kk{k = 2, 3); 2) непрерывна на остове
дА X дА X дйъпо совокупности переменных; 3) для любых
Zfe(^dA(?=l. 2) функция f{z\, z\, z3) непрерывна по z3
в А и голоморфна в А'> 4) для любых г% ? дА (& = 1» 3)
функция f{z\, z2, 23) непрерывна по z2 e A u голоморфна
в А-
Тогда в области АХАХ А существует голоморфная
функция f{zi, ,г9, г3), значения которой в точках области
А X -^s X ^з совпадают со значениями данной функции
6. Ограниченные функции. Из доказанной выше теоремы
Гартогса 6.2 можно получить следующие теоремы, относя-
относящиеся к ограниченным функциям.
Теорема 6.5. Функция f{w,z) голоморфна во всех
точках замкнутого бицилиндра D {\w\^h, \z\^K} за
возможным исключением точек множества EaD. При
этом:

6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ
1) Для каждого а ? {\w\ =scft } существует не более
чем конечное множество точек Ps(a, $s) ? Е, причем
| J351 «\ /Ci <^ К (здесь К\ — некоторая постоянная величина).
2) Во всякой области Do, при Docz D функция f(w, z)
ограничена. __
Тогда в замкнутом бицилиндре D существует голо-
голоморфная функция f(w, z), совпадающая в точках D\E
с функцией f(w, z).
Доказательство. По условию теоремы функция
f(w, z) голоморфна в части замкнутой области D, опреде-
определяемой условиями
| w | ==S h, Ki *S | z | < K.
Поэтому за область К предыдущей теоремы мы можем взять
кольцо К\ <С Iz I <С К- Затем мы рассмотрим функцию/(ш, z)
одного переменного z в замкнутом круге \z\^K при
| о) | = h. По условию теоремы на нем может находиться не
более чем конечное множество особых точек этой функции.
Они благодаря ограниченности функции f(w, z) могут быть
только ее устранимыми особенностями. После надлежащего
исправления или доопределения значений функции f(w, z)
в этих точках мы построим функцию f(w, z), для которой
все предположения теоремы 6.3 будут выполнены. Применяя
эту теорему, мы и получим требуемый результат.
Теорема 6.5 имеет место и для случая п переменных.
Здесь следует требовать голоморфности функции f(Z\,...,z^)
во всем замкнутом полицилиндре D {\ zk \ sg: rk, k = 1,..., п),
за возможным исключением некоторого множества Е, отно-
относительно которого известно, что каждой точке (аь ..., ал-1)
замкнутого полицилиндра {\zk\s^rk, &=1; ..., п—1} со-
соответствует не более чем конечное множество точек
(<х1; .... а„^1; р5), где s=l, 2, ..., принадлежащих Е, причем
всегда | ps | <^ г'п <^ г„. Тогда если еще функция f(zlt ..., zn)
ограничена во всякой области ?H, лежащей вместе со своей
границей в полицилиндре Д то ее значения в точках мно-
множества Е могут быть так исправлены или доопределены,
что эта функция окажется голоморфной во всем замкнутом
полицилиндре D.
Очевидно также, что теорема 6.5 верна и для полици-
полицилиндра с центром в произвольной точке пространства С".

118 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. 1
Теорема 6.6. Если функция f(w, z) ограничена и го-
голоморфна всюду в некоторой окрестности точки Р(а,Ь),
за возможным исключением точек аналитического мно-
множества R{g(w, z) = 0}, содержащего эту точку Р, то
в какойтто полной окрестности Up точки Р существует
голоморфная функция f(w, z), совпадающая в точках
Up\TL с функцией f(w, z). Здесь g(w, z) — некоторая
функция, голоморфная в точке Р.
Доказательство. Согласно подготовительной теореме
Вейерштрасса, функция g(w, z) в окрестности точки Р (ко-
(которую мы помещаем в начало координат) может быть заме-
заменена отмеченным псевдополиномом с центром в этой точке.
Отсюда вытекает, что может существовать только конечное
множество плоскостей ада-{-р.г = 0, то которых функция
g(w, z) = 0.
Всегда можно допустить, что плоскость w^O не при-
принадлежит к этому множеству. В противном случае мы, с по-
помощью соответствующего линейного отображения простран-
пространства С" на себя, перейдем к новым переменным (которые
мы снова обозначим через w и z), после чего указанное
условие будет соблюдено.
Теперь, применяя подготовительную теорему Вейерштрасса
к функции g(w, z), мы представим уравнение множества П
в некоторой окрестности точки Р в виде
*m + ai (w) zm^ +... + aIB (w) = 0.
Пусть корни этого уравнения будут z = gk(w), где gk@) = 0
(k=\, ..., т). Тогда, в силу условия нашей теоремы, в не-
некоторой окрестности точки Р, например в бицилиндре
Up {\w\<^h, | z | <^ /}, голоморфность функции f(w, z) мо-
может нарушаться только на поверхностях z^=gk(w) (k =
= 1, ..., т). Для каждого положительного числа 1\<^1
найдется такое положительное число ft1 = ft1(/1)<^/, что при
\w\<^hi будет | ?а (и>) |<^/i (&=1, ..., пг). Тогда в бици-
бицилиндре {| w\<CJib | z | <У} на любой аналитической плоскости
w = w0 лежит только т точек (дао> gk(wo)) (k= I, ..., т),
в которых может нарушиться голоморфность функции f(w, z),
причем для всех этих точек | gk (w0) | <^ ly Таким образом,
для данной функции f(w, z) в бицилиндре UP выполняются
все условия предыдущей теоремы. Отсюда и следует наше
утверждение.

§ 6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ П9
Доказанная теорема имеет место и для п переменных.
В этом случае множества П будут определяться уравнениями
вида g(zb ..., zn) = 0.
Получающаяся таким образом теорема в свою очередь
является частным случаем более общего предложения, кото-
которое (по аналогии с соответствующей теоремой теории функ-
функций одного переменного) носит название теоремы Римана
о продолжении голоморфных функций.
Теорема 6.7 (теорема Римана о продолжении голо-
голоморфных функций). Пусть D cz С — некоторая область,
E<ziD— некоторое тонкое множество. Если функция f
голоморфна в точках множества D\E и каждая точка
z ? D обладает такой окрестностью Vz, что функция f
оказывается ограниченной на множестве Vzf\(D\E),
то в области D существует единственная голоморфная
функция f, совпадающая на множестве D\E с функцией /.
Теорема 6.7 является следствием из теоремы 6.6 (для п
переменных); из этой теоремы также вытекает важное свой-
свойство корней псевдополиномов.
Теорема 6.8. Пусть
F(w, zb ..., zn) = wm + A1wm^-\-... + Am A.83)
— неприводимый отмеченный псевдополином с центром
в начале координат. Пусть Q(alt ..., ап) — точка неко-
некоторой (достаточно малой) окрестности [/начала коорди-
координат, не принадлежащая к дискриминантному множеству
этого псевдополинома (множество таких точек этой
окрестности мы обозначим через U*). Тогда, продолжая из
точки Q кореньwi(z) псевдополинома по надлежащим об-
образом взятому замкнутому пути, мы можем получить
в точке Q значение любого другого корня этого псевдо-
псевдополинома.
Доказательство. Прежде всего очевидно, что (так
как по условию теоремы дискриминант D(aiy ..., ап) -ф 0)
будет существовать окрестность V точки Q, целиком при-
принадлежащая к U*; это следует из непрерывности дискрими-
дискриминанта D(z). Поэтому будет существовать бесчисленное мно-
множество линий, принадлежащих U* и проходящих через
точку Q. Продолжая корень Wi (z) вдоль этих линий, мы
получим в U* некоторое множество функций wk (z), где
k= I,...,/. Все они являются корнями псевдополинома A.83),

ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
120
и поэтому liS^m. Мы рассмотрим функцию
.(w — wt). A.84)
Здесь коэффициенты pk(z), k=l, ..., /, являются симме-
симметричными функциями корней wk; поэтому они будут одно-
однозначными аналитическими, а следовательно голоморфными,
функциями переменных zlt ..., zn в точках U*. В точках
окрестности U, где дискриминант D(z) = 0, функции pk(z)
остаются конечными. Это вытекает из того, что обратные
величины для наших корней хе/ = — удовлетворяют урав-
уравнению 1 -f- Aixe/-\-.. .-j- Anw'n = 0 и, следовательно, не мо-
могут быть как угодно малыми. Отсюда на основании тео-
теоремы 6.6 можно заключить, что функции pk (z) аналитически
продолжаются в точки дискриминантного множества, нахо-
находящиеся в окрестности U. Таким образом, выражение A.84)
определяет в этой окрестности некоторый псевдополином,
все корни которого являются корнями псевдополинома F(w, z).
Отсюда следует, что псевдополином F(w, z) делится на
псевдополином Ф(да, z). Последнее противоречит предполо-
предположению о его неприводимости. Следовательно, псевдополи-
псевдополиномы F и Ф должны совпадать между собой, 1^т, и наша
теорема доказана.
Мы будем говорить, что корни wb ..., ws псевдополи-
псевдополинома образуют замкнутую систему в окрестности центра,
если все они получаются из одного аналитическим продол-
продолжением в этой окрестности. Мы доказали, что все корни
неприводимого псевдополинома образуют в окрестности
центра одну замкнутую систему.
Легко указать геометрический смысл доказанной теоремы.
Рассмотрим пространство Сл+1 переменных w, zb ..., zn.
Элемент аналитической поверхности Г" в окрестности неко-
некоторой его точки Р определяется с помощью уравнения
f(w, zb ..., zn) = 0. Здесь /—голоморфная, неприводимая в
этой точке функция. Уравнение /=0 может быть заменено
уравнением вида A.83). То обстоятельство, что все корни
псевдополинома A.83) в силу доказанной теоремы образуют
замкнутую систему, означает: пусть А — совокупность точек
поверхности Г", проектирующихся на дискриминантное мно-
множество псе.вдрполинома (U83), определяемое в пространстве.

§ 6] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ 121
С" переменных zt, ..., zn ураннением D(zb ..., ,г„) = 0.
Тогда все точки поверхности Г" в некоторой окрестно-
окрестности ее точки Р? А могут быть соединены между собой
на Г", минуя Д.
7. Теорема об эквивалентности непрерывного и анали-
аналитического продолжения. Теорема 6.9. Если известно,
что функция f(w, z) 1) непрерывна в некоторой окрест-
окрестности U точки Р{а, Ь); 2) голоморфна во всех точках
окрестности U, не принадлежащих некоторой непрерыв-
непрерывно дифференцируемой гиперповерхности 2> содержа-
содержащей Р в качестве своей обыкновенной точки, то эта
функция голоморфна в полной окрестности точки Р.
Доказательство. Мы перенесем начало координат
в точку Р. В силу наших предположений уравнение гипер-
гиперповерхности 2 может быть в окрестности точки Р пред-
представлено так (w=u-\-iv, z = х -\- iy):
у = Ч{ц, v, х) A.85)
(Р—обыкновенная точка гиперповерхности, поэтому урав-
уравнение последней может быть разрешено в окрестности точки
Р относительно одного из переменных: пусть этим перемен-
переменным является у). Предположим далее, что окрестность U
определяется нераненстпами \w\<^k, \x\<^h, \у\<^,1. Из
непрерывности функции tp (и, v, х) следует, что для | w \ ^
^k!<^k, \x\s^hi<^h будет |<р(н, v, jc)|<^/1; где числа
kb ^ выбраны так, что 1\<^1 (надо иметь в виду, что
ср(О, 0, 0) = 0). Таким образом, все точки бицилиндрической
области
где функция f(w, z) по условиям теоремы не предположена
голоморфной, лежат в части Ult определяемой неравенствами
l^l^^b \x\^:h, \y\*^ti, а в части Uu определяемой не-
неравенствами \w\^klt | х | s=chi, Л ^ |у | sc;/, функция f{w, z)
голоморфна. Мы опять применим теорему 6.2, приняв за об-
область D круг \w\<^ki, а за область К—один из прямо-
прямоугольников, определяемых неравенствами |лг|<^Л1, Л<С1.у|<СУ-
Очевидно, что предположение 1) цитированной теоремы в
нашем случае выполняется. Для того чтобы убедиться в вы-
выполнении предположения 3), мы должны рассмотреть f(w, z)

122 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. t
как функцию z в прямоугольнике \x\<CJi\> Л<С1.У|<С ПРИ
фиксированном да0 = и0-{-^о (причем \wo\ — k). Функция
f(wa, z) по условию нашей теоремы голоморфна в этом
прямоугольнике, за возможным исключением точек, принад-
принадлежащих одновременно к гиперповерхности 2- Эти точки
образуют в этом прямоугольнике гладкую кривую _у =
= ср(гг0, v0, х). Кроме того, известно, что f(w0, z) — непре-
непрерывная функция во всем прямоугольнике. Отсюда следует'),
что функция f(wa, z) голоморфна во всем прямоугольнике.
Таким образом, и предположение 3) применяемой теоремы
оказывается удовлетворенным. Выполнение же условия 2)
очевидно в силу предположений доказываемой теоремы. Наша
теорема доказана.
Доказанная теорема верна и в общем случае п перемен-
переменных. В этом случае следует только заменить трехмерную
гиперповерхность, о которой идет речь в формулировке тео-
теоремы, Bл — 1)-мерной гиперповерхностью и уравнение A.85)—
уравнением
У\> •••> *«)• A-86)
§ 7. Голоморфные отображения
1. Основные определения. Отображения с отличным
от нуля якобианом. Пусть даны т функций
(Т) wk = wk{Zb ..., zn), k=\, ..., m, A.87)
голоморфных на некотором множестве DcziP^. Они ставят
в соответствие каждой точке z ?D некоторую точку w (^ С^.
Множество точек w, соответствующих различным точкам
множества D, мы обозначим через А. Будем говорить, что
соотношения A.87) определяют голоморфное отображение
множества DaPz на множество ДсиСщ (обозначения*. z—*-w,
w=Tz, ?>-*Д, Д=7Ю). Если ДсиФсиС^, где 2) —снова
некоторое множество точек w ? CS, то мы будем говорить,
что Т является голоморфным отображением множества D в
множество 2) cz CZ (обозначение D —>- Ф). Отображение D —> Д
иногда называют сюръективным голоморфным отображением.
J) См., например, Курант, Геометрическая теория функций,
ГТТИ, 1934, стр. 152.

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 123
Если множество EczD, то соотношения A.87) определяют
голоморфное отображение множества Е в множество А. Это
отображение называется ограничением отображения Т на
множестве Е и обозначается символом Т/р.
Рассмотрим случай, когда множества D и Д являются
открытыми. Тогда в силу правил дифференцирования отобра-
отображение A.87) будет обладать следующим свойством: Если
функция <? = (p(wl, ..., wm) голоморфна на некотором от-
открытом множестве Ai cz А, то функция
<?OT=<?(wl(z), ..., wm(z))
будет голоморфной на открытом множестве Dt. Здесь о —
знак композиции, множество D^ является полным прообразом
открытого множества At при отображении A.87). Это свой-
свойство отображения A.87), очевидно, охватывает свойство го-
голоморфности функций wk(z), поскольку всегда можно по-
положить <f(Wi, ..., wm) = wk (k=l, ..., tri). Оно может
быть положено в основу определения голоморфного отобра-
отображения.
В дальнейшем мы обычно рассматриваем случай, когда
множества D и А являются областями.
В случае, когда /п = п, мы рассмотрим голоморфное ото-
отображение открытого множества D в открытое множество А
(Т) wk = wk(zl, ..., zn), k=\, ..., п. A.88)
Если не только оно само, но и обратное ему отображение
zk = zk(wl, ..., wn), k=\, ..., п. A.89)
(Обозначения w-*z, z=T~lw, T(D)-*-D, D= T~lT(D).)
является голоморфным, то подобное отображение называется
биголоморфним или псевдоконформным. Очевидно, что
биголоморфное отображение всегда является гомеоморфизмом.
Если точка z° (^ Р", точка яу° = TzQ ? C^, и существует
окрестность точки z°, которую отображение Т биголоморфно
отображает на некоторую окрестность точки w", то отобра-
отображение Т называется биголоморфним или псевдоконформ-
псевдоконформным в точке z°. Название «псевдоконформное» объясняется
тем, что при л^>1 биголоморфное отображение, вообще го-
норя, не сохраняет углов между направлениями (см. по этому
поводу п. 3 настоящего параграфа).

124 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
Из общих теорем анализа о неявных функциях (см. п. 5
§ 2 настоящей главы) вытекает следующая
Теорема 7.1. Если якобиан dJ = J^-,<L г0,
ломорфного отображения 7 (определяемого уравнени-
уравнениями A.88)) отличен от нуля в точке zQ ?_Сп, то это
отображение биголоморфно в этой, точке z*.
Теорема, обратная теореме 7.1, доказывается в следующем
пункте настоящего параграфа.
Замечание 1. Отметим еще, что в рассматриваемом
случае имеет место равенство
д (ги .,., гп) n Q_.
d{zu...,zn)
Это соотношение вытекает из того, что для голоморфных
функций комплексных переменных сохраняются обычные
правила дифференцирования.
Замечание 2. Из обычных правил дифференцирова-
дифференцирования также следует, что при биголоморфных отображениях
внешняя дифференциальная форма A.200 сохраняет свой вид.
2. Алгебраическое исследование уравнений A.88)
основывается на следующей теореме Осгуда1). Мы сформу-
сформулируем ее для случая п переменных, а доказательство про-
проведем для случая двух переменных.
Теорема 7.2 (Осгуда). Пусть функции fk (zb ..., zn)
голоморфны в точке (at о.„)^Сп и fk(<*i an)==^k
(здесь и далее ft = l, ..., п). Тогда если в некоторой
окрестности точки (а1г ..., ап) нет больше точек, где бы
удовлетворялись уравнения'2)
/*(*!. ...,2n) — bk = 0, A.91)
то функции zk = zk(wl, ..., wn), удовлетворяющие урав-
уравнениям
/*(*!,...,*„) = «>* О-9'2)
и условиям zk (bx, ..., bn) = ak, обладают (возможно после
некоторой линейной замены, переменных) следующими
свойствами:
1) См. Осгуд [1], стр. 135.
2) Противоположный случай, например, имеет место, если
функции fk(Zi, •••, zn)—bk приводимы и имеют общий множитель,
обращающийся в нуль в точке (Zj = ai, ..., г„ = ал).

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 125
1) функция zn удовлетворяет уравнению
Н{гт wb ..., wn) = (е„ — ап)т +
-f он (w,,..., wn) (гп-апГ-1 +... + ajwt wn) = 0, A.93)
где H—отмеченный псевдополином с центром в точ-
точке (bi bn).
2) Значения величин zu ...,zn_v соответствующие не-
некоторому корню zn, определяются по формулам
u •••> wn)
z j j п 94
Zi — rZn(zn,wu..., wn)' 9—i>-'-,n '• U-y^j
Здесь T(zmwl, ...,wn) — тот неприводимый делитель
псевдополинома Н, к которому принадлежит рассмат-
рассматриваемый корень zn, gqiz^Wb ...,wn) —отмеченный
псевдополином с центром в той же точке (Ьъ ..., Ьп).
Этот псевдополином одинаков для всех корней zn, при-
принадлежащих к одному и тому же неприводимому дели-
делителю псевдополинома Н (zn, wb ..., wn).
Доказательство. Прежде всего мы перенесем начала
координат в пространствах zb гг и wit w^ соответственно в
точки (alt а2) и (bu b%). После этого у нас будут ax = a% =
= bi = bi = O. Мы рассмотрим функции fi(zu 22), fi{zlt 2a).
Из подготовительной теоремы Вейерштрасса следует, что эти
функции могут тождественно обращаться в нуль только на ко-
конечном множестве аналитических плоскостей вида Azt —
— Дг2=0. Поэтому существует бесчисленное множество таких
плоскостей, в точках которых (в пределах некоторой окрест-
окрестности начала координат) ни одна из функций /i (zlt z^),
fi (zi> zi) не обращается в нуль нигде, кроме начала. Пусть
a2t — J3z<j = 0 — одна из этих плоскостей.
Если можно здесь взять <х = 0, J3 Ф 0, то это значит, что
/i C^ii 0) Ф 0, /2 (zlt 0) ф 0. В противном случае мы произве-
произведем замену переменных zx = $их-\- f??2, z^ = аи^ -\- Ьщ (вы-
(выбор y» S здесь подчинен только требованию a-f — р8 ф 0).
Тогда
/ft (^1, 2j) =fk

126 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
так как из равенств г1 = рн1, z^ = aul, очевидно, следует,
что a.zx— $г% = 0, а в этом случае fk {zb z2) ф 0. Затем мы
возвращаемся к первоначальным обозначениям. Таким обра-
образом, всегда можем считать, что
После этого мы применим к функциям Wi—fi(Zi>z*)>
w^—fi(Zi, 22) подготовительную теорему Вейерштрасса и
разложим их по степеням zx. Это мы можем сделать, так
как теперь /i (г1( 0) ф 0, /jB1( 0)^= 0. Тогда система урав-
уравнений A.87) заменится (поскольку мы рассматриваем только
те решения zk(wlt хе>%), для которых zk@, 0) = 0) следую-
следующей:
= 0,\
=0. j ( '
Здесь //lf /fcj — отмеченные псевдополиномы с центрами в
начале координат. Мы исключим отсюда zl (составим ре-
результант этих двух уравнений); это приведет нас к уравнению
R(zt,wl,wd = 0. A.96)
Здесь R(zitWi,w^)—-голоморфная функция своих перемен-
переменных, так как она образуется путем сложения, вычитания и
умножения из коэффициентов уравнений A.95). Далее
R(ziy 0, 0)ф0.
Действительно, если бы оказалось R(zit 0, 0) = 0, то это
означало бы, что оба уравнения A.91) (где л = 2, ?1=?9=0)
имеют по крайней мере один общий корень вида zl = (p(zi)
(где <р@) = 0; возможные общие корни этих уравнений, для
которых tp @) ф 0, отброшены нами при переходе от урав-
уравнений A.92) к уравнениям A.95I). Но в этом случае урав-
уравнения A.91) (рассматриваемые для случая я = 2) имели бы
') Например, если система A.92) имеет вид t»i = (l+Zi+z2) zt;
ii>2 = A + Zi -f- z2) z2, то система A.91) будет выглядеть так:
A + Zi-\- z3)Zi = Q; A + Zj-|-гг) = 0. Эти уравнения имеют общий
множитель \ -\-2t-\-Zn, не обращающийся, однако, в нуль в точке
@, 0). Благодаря наличию этого множителя результант этих уравне-

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 127
бесчисленное множество общих решений в любой окрестности
(О, 0), что противоречит предположению теоремы. Мы приме-
применим к функции. R (z2, wlt w$) подготовительную теорему
Вейерштрасса и получим, что каждая функция z2 (w\, w^),
удовлетворяющая системе A.92) и условию z2@, 0) = 0, яв-
является корнем уравнения
Н (zb Wi, Wi) =
Щ) — 0. A-93')
Здесь H{zbwbw^)— отмеченный псевдополином с центром
в начале координат. Этим первое из утверждений теоремы
доказано.
Далее мы разложим псевдополином H(zb wlt w%) на не-
неприводимые множители. Пусть Г (,?а, wl% w%) — один из них,
а г'*' (ш(, И)а) — один из корней псевдополинома A.98'),
удовлетворяющий уравнению
(wu wa) zP~l +... + чр (wlt Wi) = 0. A.97)
Мы подставим его в уравнения A.95) и, для того чтобы
найти значения zlt соответствующие этому значению z2, най-
найдем наибольший делитель псевдополиномов, получающихся
из A.95) после этой подстановки.
ний равен нулю. Тем не менее,
A + Zj + 2») Z1--Wi =
Первый из двух множителей не обращается в нуль в начале
координат, и поэтому псевдополином Hi равен второму мно-
множителю. Псевдополином Я2 совпадает с левой частью второго
уравнения, которое линейно относительно zt. Результант R (г2, wit w2)
для этих уравнений уже обладает укаванным в тексте свойством,
т. е. R(z2, 0, 0)^0. Дело обстояло бы иначе, если бы уравнения
A.92) имели, например, вид Wj = (zt -f- г2) zt; w2 = (zt + г2) г2. Здесь
не выполняется предположение об отсутствии у системы A.91) реше-
решений (кроме Z! = z2 = 0), лежащих в окрестности точки Z{=0, z2:=0,
так как оба уравнения A.91) удовлетворяются всеми значениями гь
г2, для которых Zj-|-22 = 0. В этом случае Д (г2, 0, 0) = 0.

128 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ СП [ГЛ. 1
Пусть dk (zb zf], Wi, w%) — этот общий наибольший дели-
делитель. Мы составим уравнение
hk C*i. 4*1, wh w^ =
. A.98)
Оно получается из уравнения dk {zx, г<*>, wlt w%) = 0 в ре-
результате замены, возможно, имеющихся у него кратных кор-
корней простыми. Таким образом, оно имеет те же самые корни,
что и уравнение dk (zb z[k^, wlt w%) = 0, и дает значения не-
неизвестного гь соответствующие значению г% = г<?) (wlt w^).
При продолжении функции z<A> {wb w%) из некоторой точки Q
по всевозможным замкнутым путям (эти пути находятся в
некоторой окрестности начала и не имеют общих точек с
дискриминантным множеством уравнения Г (г2, wb w%) = 0)
мы получим в Q значения всех других корней уравнения
A.97). Это следует из теоремы 6.8. При этом продолжении
уравнение A.98) будет одновременно переходить в уравне-
уравнение для корня Zi, соответствующего другим корням z[k^.
Отсюда прежде всего следует, что q (которое должно не-
непрерывно меняться и оставаться целым числом) имеет одно
и то же значение для всех k.
Мы образуем далее уравнение
р
F{zb wb w,) = JJК (Zi, z[k), wu te-2) = 0. A.99)
Функция F (Zi, Wi, Wz) является однозначной аналитической,
а следовательно, голоморфной функцией переменных wu w%
в окрестности начала, так как при переходе от одного кор-
корня z<*> к другому (в результате продолжения) сомножители
A.98) только переставляются, а все произведение не ме-
меняется. Далее очевидно, что F(Zi, 0, 0)ф. 0. Таким образом,
все предположения подготовительной теоремы Вейерштрасса
выполнены, и мы можем в силу этой теоремы заменить
уравнение A.99) (поскольку нас интересуют только такие
функции Zi (wb шД для которых Zi @, 0) = 0) уравнением
Р (Zi, Wi, W^ = Z[ 4- pt (Wi, W^ Zf-1 + . . . +
= 0. A.100)
Здесь P (zu wu w^) — отмеченный псевдополином с цен-
центром в начале координат. Как было указано, значению zf>

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 129
отвечает вообще q значений zx. Мы заменим z% в уравне-
уравнениях A.95) новым переменным z% -\- -цг^ Величину -ц мы
возьмем так, чтобы все ?<*> -(- vi4) (здесь z^k)—произволь-
z^k)—произвольный корень уравнения A.93'), a z<5) —произвольный корень
уравнения F=0 или аналогичного ему, получающегося при
выборе вместо Г другого неприводимого множителя псевдо-
псевдополинома A.93')) были в некоторой точке Q из малой
окрестности начала отличны друг от друга. Для этого при
назначении ~ц мы должны избегать только некоторого конеч-
конечного множества значений, определяемых равенствами zf^ -\-
-|~T\plsi) = zf*>-f-z\s'*>. Полагая в уравнениях A.95) ,г1 = г>1,
z^^Vq — ipi, мы получим взамен уравнений A.97) и р:=0
новую систему, причем каждому корню т;2 будет отвечать
только один корень vt. Заметим, что обе замены, использо-
использованные в нашем рассуждении, —переход от переменных zlt
z% к переменным щ, гг2 и затем к переменным vlt v% — можно
объединить в одну. Итак, уравнение A.98) или сразу ока-
окажется линейным относительно zlt или будет сводиться к ли-
линейному уравнению. Произведя указанную замену, мы затем
снова возвращаемся к прежним обозначениям для перемен-
переменных и будем считать, что записанная выше система уравне-
уравнений для zlt г% уже обладает требуемым свойством: каждому
корню z% уравнения (\.%У) отвечает только один корень zt.
В этом случае, очевидно, q=l, r = p.
Нам осталось только показать, что значение zlt соответ-
соответствующее некоторому корню z%, может быть представлено
в виде A.94). Для этой цели мы рассмотрим выражения
A.101)
Величины Qk являются симметрическими функциями корней
псевдополиномов A.97) и A.100). Поэтому они однозначны
и аналитичны, а следовательно, голоморфны в точках неко-
некоторой окрестности точки @, 0), не принадлежащих к дискри-
минантным множествам этих псевдополиномов. Они конечны
(как и функции z[s\ z%\ из которых они составлены) во
всей этой окрестности. Согласно теореме 6.6, они будут
б Б. А. Фукс

130 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
голоморфными функциями переменных wlt w^ во всей этой
окрестности.
Далее очевидно, что
Г (*»wlt wj = (г, —z?») ...(z,-z<f)),
W, wlt wj = (*0> - af)... (z«) - z<f)) J ° Л J)
Положим
I (za, о>ь ^) = (г, — 2<2)) ... (г, — 4">) =
=«r1+^i«r2+.--+vi- о-103)
Очевидно, что
где vft — коэффициенты уравнения A.97); cn_k оказываются
многочленами степени р — k относительно z^\ Умножая урав-
уравнения A.101) соответственно на ср_1( ср_2 со=1, затем
складывая их и пользуясь тем, что при k^% ..., р выра-
выражение L{zf\ wu г&ъ) = О, a L (z$\ wlt ¦wi) = T'tl!(zQ\w1,wJ,
мы получим
2(')Г;2 («<», wlt w,) = г DD, Wl, o>0. A.105)
Здесь g(z^\wi, w%) — псевдополином, расположенный по
степеням гф (как это следует из голоморфности функций
Qk (wlt Wq) и равенств A.104)).
В результате продолжения по различным путям, выходя-
выходящим из некоторой точки R. окрестности начала координат,
мы обнаружим, что соотношение A.105) имеет силу и для
всех остальных пар значений переменных zu z^. Таким обра-
образом, установлено, что корень zlt соответствующий некото-
некоторому корню zit выражается с помощью равенства A.94)
z g ( )
1
2 (г2, wu wt) •
Наша теорема полностью доказана.
Замечание. Из конечности Z\, очевидно, следует, что
псевдополином g (zit wb w^) обращается в нуль в точках
дискриминантного множества псевдополинома Г (zit Wy, w^).
Отметим некоторые следствия, вытекающие из теоремы
Осгуда и относящиеся к отображению, определяемому урав-
уравнениями A.88).

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 131
Если в точке а{аъ ..., ап)(^Сп якобиан ^ ^Ь 0, то, как
мы знаем из теоремы 7.1, уравнения A.88) определяют биго-
ломорфное отображение некоторой окрестности Ua этой
точки а на некоторую окрестность Vb точки Ь{ЬЪ ..., Ьа)?Сп,
где bk = wk{alt ..., ап), ?=1, ..., п. В этом случае пред-
предположение теоремы Осгуда о системе уравнений A.91) вы-
выполняется, а следовательно, имеет место и ее утверждение.
При этом степень псевдополинома A.93) тут равняется еди-
единице, ибо в противном случае отображение Т, определяемое
уравнениями A.88), не могло быть взаимно однозначным.
Если в точке а?Сп якобиан -^- = 0, то возможны два
случая: 1) Предположение теоремы Осгуда о системе урав-
уравнений A.91) не выполняется; в этом случае отображение Т
заведомо не будет взаимно однозначным. 2) Предположение
теоремы Осгуда о системе уравнений A.91) выполняется.
Мы покажем, что в этом случае степень псевдополинома
A.93) всегда будет больше единицы и, следовательно, ото-
отображение Т в любой окрестности точки а также не будет
взаимно однозначным.
Действительно, если эта степень окажется равной еди-
единице, то из уравнений A.93) и A.94) определится система
функций zk(wl, ..., wn) (& = 1, ..., п), голоморфных в
точке Ь. В некоторой окрестности этой точки якобиан ^~
будет голоморфной функцией своих переменных; при этом
там будут выполняться тождества
Wkiziiw) •zn(a>)) = ^A» k=l, ..., п. A.106)
Из равенств A.106) по обычным правилам вытекает тожде-
тождество A.90). Однако оно невозможно, так как, по предполо-
предположению, якобиан f-^j =0, а якобиан ^- голоморфен в точ-
точке Ъ. Таким образом, мы приходим к следующей важной
теореме.
Теорема 7.3. Если голоморфное отображение Т
{определяемое уравнениями A.88)) является биголоморф-
ным в точке z = a?Cn, то его якобиан -^ отличен в
этой точке от нуля.
5*

132 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С [ГЛ. I
Иначе говоря: если якобиан f-^-j =0, то во всякой
окрестности точки а найдутся различные точки, кото-
которые отображение Т переводит в одну.
Голоморфные отображения с равным нулю якобианом мы
рассмотрим более подробно в следующей главе (см. п. 2 § 10).
3. Искажения при псевдоконформных отображениях.
Мы ограничимся случаем двух переменных w, z и рассмотрим
псевдоконформное отображение
W=W(w, z), Z = Z(w, z) A.107)
некоторой окрестности точки P(wu,z0) на некоторую окрест-
окрестность точки P*(W0, Zo), где W0~W(w0, z0), Zo = Z (w0, z0).
При отображении A.107) углы поворота, равно как и
коэффициенты линейного искажения для линий, проходящих
через точку Р в разных направлениях, оказываются, вообще
говоря, различными.
Это обстоятельство определяет самое название отображе-
отображения, именуемого «псевдоконформным», в отличие от кон-
конформного отображения Z=/B), где f(z) — голоморфная
функция одного комплексного переменного z. Наша цель —
указать, как изменяются направления и длины при отображе-
отображении A.107) и каким образом связаны с этими изменениями
аргумент и модуль якобиана (-^) =J(w0» zo) = J.
Очевидно, что для этого достаточно рассмотреть линей-
линейное отображение
W=aw-\-bz, Z — cw-\-dz, A.108)
называемое дифференциалом отображения A.107). Здесь
а = W'w (w0, z0), b^W'z (w0, z0), c = Z'w (w0, z0), d = Z'z (w0, z0).
Мы примем, далее, wu = zu = Wo = Zo = 0, что не нару-
нарушит общности наших выводов. Будем сравнивать направле-
направления и длины векторов с комплексными составляющими w, z
и W, Z.
Отличие длины вектора {W, Z} от длины вектора {w, z)
характеризуется коэффициентом линейного искажения х, где
xa=-L—'_у ' . Отклонение вектора {W, Z) от векто-
вектора {w, z} мы будем выражать с помощью аналитических
углов б и ер между этими векторами.

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 133
Пусть далее со =—, Q^-y- (при 2:= 0 мы возьмем
о>:=оо, при Z=0 положим 2 = со) — параметры комплексно
одномерных аналитических плоскостей, содержащих соответ-
соответственно векторы [w, z) и {W, Z} (см. п. 8 § 4; там нашему
переменному w соответствует переменное га, переменному z
соответствует переменное zt). Тогда из равенств A.108) вы-
вытекает, что
2
Си>
Далее легко видеть, что
v '
= оо,х2=|а|2 + кР). A.110)
(«¦* + »)*+ («* + <*) AЛ11)
) Ь\* + \с + d\* У | |2 + 1
ПРИ С0:=ОО, COS0ry==-
| (аи> -\- Ь) — (см -)- d) i
Iе0!
а
= |Ц —«I A.П2)
(п и со— с'пб — |с| — * ^
Из формул A.110) и A.111), очевидно, следует, что для
всех векторов [w, z}, содержащихся в одной и той же
плоскости со (т. е. плоскости с параметром со), величины
х, б и <р имеют одно и то же значение. Поэтому при ото-
отображении A.108): 1) каждая аналитическая плоскость со пере-
переводится в некоторую другую аналитическую плоскость 2,
составляющую с исходной плоскостью угол 9; 2) все векторы,
лежащие в плоскости 2 и исходящие из точки Р, затем
поворачиваются на угол ер; 3) длины всех этих векторов
затем удлиняются в ¦/. раз (если *;э=1) или уменьшаются в
— раз (если х=^1). Когда угол первого поворота 9 = -^-,
У*
то угол второго поворота ср (как это вытекает из формулы
A.111)) становится-неопределенным.

134 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ С" [ГЛ. I
Рассмотрим сферу Римана комплексного переменного со.
Тогда, как мы видели (см. формулу A.68)), .sin 9 оказы-
оказывается равным половине длины хорды этой сферы, соединяю-
соединяющей ее точки со и 2. При 9:=-тг- соответствующие точки со
и Q диаметрально противоположны друг другу; тогда
2ш-|-1:=0, или, иначе, acow -\- b<o -j- ceo -|~ d = 0 (для пло-
плоскости co = oo угол G = y, если а = 0). Рассмотрение этого
уравнения приводит к следующему предложению.
Теорема 7.4. Пусть
2\ad — bc\ ¦ v '
Тогда при A^l существуют плоскости со, для которых
угол первого поворота в = -?. /7/щ — 1 ^ А <^ 1 для
всех плоскостей со угол первого поворота В<^-^. Случай
А <^ — 1 невозможен.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой
теоремы. Его, так же как и доказательство других теорем
настоящего пункта, можно найти в соответствующей работе 1).
Будем искать наибольшее значение угла первого пово-
поворота 9 и плоскость со, которая его испытывает. Очевидно,
что этой плоскости отвечает точка (сферы) со, испытывающая
наибольшее смещение при отображении A.109). Если A^=l,
то наибольшее смещение испытывают точки со, имеющие при
отображении A.109) диаметрально противоположные образы.
Для случая -— 1 :^с А <С^ 1 оказывается справедливой следующая
Теорема 7.5. Если —1^А<^1, то при отобра-
отображении A.108) углы первого поворота 9 плоскостей со
удовлетворяют неравенству
tg
2
\—Vk
ctg-J при о^О, A.114)
») См. Фукс [3], [4].

§ 7] ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
135
Здесь о—угол между плоскостями, остающимися непо-
неподвижными при отображении A.108), k — множитель
дробно-линейного отображения A.109), У^к=\У~к\е2 >
I — параметр отображения A.109), если оно является
параболическим.
Замечание 1. Неравенства A.114) и A.115) являются
точными. Для экстремальной плоскости угол первого пово-
поворота 9 = 60) причем tg —• =
1—уТ
Ctgy, ИЛИ tgy =
угол второго поворота ср0 = х° , коэффициент линейного
искажения ieo=j/"j~7"|; здесь J=ad — be — якобиан отобра-
отображения A.108) (или, что все равно, якобиан отображения
A.107) в точке Р).
Замечание 2. Если Д^1, то свойствами, указанными
в предыдущем замечании, отображение A.108) обладает для
плоскости а> = а>0, соответствующей стационарному значению
угла первого поворота 0о- Для этой плоскости формальная
д . ¦> о д
I
Ь
производная ^- tg' 0 = ¦%- , . ^. :^ 0 где м = г1—¦.-
0@ в Осо 1 —|— Ум \ СМ -|- а
Однако в отличие от случая — 1 ^ А <^ 1 это стационарное
значение 0О угла первого поворота не является экстремаль-
экстремальным. Экстремальным в этом случае является значение угла
первого поворота 0 = ~.
Теперь мы остановимся на границах для изменения угла
второго поворота ср. Оказывается, что существование подоб-
подобных границ также зависит от значения величины Д. Имеет
место
Теорема 7.6. Если А^>1, угол второго поворота <р
для различных плоскостей со принимает все значения из
интервала —тс <^ со =^ тс. Если —L<^A<^1. то величина
угла второго поворота ф для любой плоскости со заклю-
заключена между экстремальными значениями срA) и <рB). Эти
значения удовлетворяют условию
ср^1' _|_<pfo) = arg J(mod 2тс). A.116)
Здесь J=ad — be — якобиан отображения A.108).
Замечание. Заметим, что равенство A.116) имеет
также место для углов второго поворота, отвечающих пло-

136 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ПРОСТРАНСТВ?. С" [ГЛ. I
скостям с»! и а>2, остающихся неподвижными при отображе-
отображении A.108). Если дробнолинейное отображение A.109) оказы-
оказывается параболическим и а>1 = а>2, то ср1 = ср2 = ^|-.
Li
Указанное в этом замечании соотношение дает геометри-
геометрическую интерпретацию аргумента якобиана псевдоконформного
отображения A.107), справедливую при любом значении А.
Теорема 7.6 дает такую интерпретацию только при
<Д<
<<
Теоремы 7.4—7.6 показывают, что в зависимости от зна-
значения величины А псевдоконформные отображения существен-
существенно различаются по своим свойствам. Мы будем псевдокон-
псевдоконформные отображения при | А | <^ 1 называть отображениями
ограниченного размаха, при Д^> 1 —отображениями произ-
произвольного размаха.
В заключение отметим, что коэффициенты линейного иска-
искажения, отвечающие различным плоскостям со, всегда заклю-
заключены между двумя экстремальными значениями %х и х2. По-
Последние удовлетворяют условию х1ха ^= j У |3. Это вытекает из
того, что коэффициент объемного искажения отображения
A.107) равен |J|2. Соотношение X!ic2:=|j|a также имеет
место и для коэффициентов линейного искажения, отвечаю-
отвечающих плоскостям а^ и а>2, остающихся неподвижными при
отображении A.108).

ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Для изучения полных аналитических функций многих
комплексных переменных и областей, где они определяются
в качестве объединения голоморфных функциональных эле-
элементов, оказывается удобным рассматривать особые геомет-
геометрические образы, аналогичные римановым поверхностям. Эти
образы носят название римановых областей. В своем общем
виде подобная область определяется как топологическое про-
пространство Хаусдорфа, для которого задано его голоморфное
отображение на некоторую область пространства С (или
комплексного проективного пространства Р" или простран-
пространства теории функций Оп). Однако во многих разделах теории
функций нескольких комплексных переменных можно огра-
ограничиться, так же как и в случае одного переменного, рас-
рассмотрением римановых областей частного вида — плоских
областей наложения над пространством Рп или простран-
пространством Gn. Они определенным образом составляются из областей
этих пространств (в случае одного переменного из областей
расширенной плоскости комплексного переменного).
Настоящая глава посвящена изучению плоских областей
наложения. В следующей главе мы рассмотрим римановы
области общего вида.
§ 8. Плоские области наложения
над пространством Рп
1. Основные определения. Мы рассмотрим комплексное
проективное пространство Рп, содержащее как свою часть
пространство С" переменных zt zn. Будем называть точки

138
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
пространства Рп геометрическими точками и обозначать под-
подчеркнутыми снизу буквами. В этом пространстве мы возьмем
конечную или счетную последовательность областей Si,
1 = 0, 1, 2, ... одного из следующих двух видов:
I)Последовательность состоит из областейSi^{x(My Mi)<C^
<CRi\- Здесь хОИ Mt) — хордальное расстояние точки М
от фиксированной точки Мг, которая называется центром
области St. Число Rt ^> 0 называется радиусом области St.
Обычно мы пишем 5,==5(Л1г, Rt).
II) Последовательность состоит из областей двух типов.
Области Si первого типа — это полицилиндры {| zk — z$ \ <^
<^/?W), k=\ я}; точка (z[l\ ..., z^>) называется цент-
центром области Si', предполагается, что все числа R^^>0
(k=\ я). Области St второго типа определяются усло-
условиями вида A.78)
Здесь Cl ..., Cn+1 -^-однородные координаты в простран-
пространстве Рп, точка Mi@ О, оо, аЩ_х, ..., а^>) является цен-
V—1 раз
тром области St. Заметим, что взятая нами последовательность
областей может состоять как из областей St обоих типов
второго вида, так из областей одного типа.
В частном случае, когда /?(/)= ... ^R^^Ri, число
Ri ^> 0 называется радиусом области St; тогда мы пишем
St = S (Mit fit). Заметим, что в дальнейшем мы обычно рас-
рассматриваем именно области S(Mt, Rt). Областями Si второго
вида общего характера мы пользуемся только при образова-
образовании произведений областей наложения.
Аналогичная последовательность областей S,- может быть
образована и для пространства теории функций Q". В этом
случае вместо областей S,- второго типа мы должны брать
образы полицилиндров при соответствующих преобразова-
преобразованиях zt = ***b + bdkk (где Л = 1 я, akdk—bkck^0). За-
метим.'что подобный способ определения областей St второго

§ 8] ПЛОСКИЕ ОБЛАСТИ НАЛОЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ Р" 139
типа пригоден и для пространства Рп; однако определение,
данное нами выше, оказывается более удобным.
В дальнейшем, если обратное не оговорено, мы рассмат-
рассматриваем области Sit построенные для комплексного проектив-
проективного пространства Р". Области S,- называются плоскими
наложениями или плоскими накрытиями или элементами;
здесь слово «плоское», если это не ведет к недоразумениям,
опускается.
Далее, каждой паре наложений S,- и S} нашей последова-
последовательности мы поставим в соответствие числа ?,-у:=?уг. Выбор
величин ?у мы подчиним следующим условиям:
1. Если наложения St и Sj не имеют общих геометриче-
геометрических точек, то &ij = 0.
2. Все е,-,.= 1.
3. Если наложения St и Sj имеют общие геометрические
точки, Егу может быть взято равным 0 или 1. Единственное
ограничение, налагаемое на выбор между этими значениями,
состоит в следующем: если существуют геометрические точки,
одновременно принадлежащие наложениям Slt Sj и Sft, то
при ?гу=1 обязательно должно быть sJft:=?yft.
Множество плоских наложений St и чисел ?гу мы будем
обозначать {Si, e^y} и называть системой плоских наложений.
Совокупность геометрической точки М и одного из нало-
наложений Sit которому она принадлежит, будем называть ана-
аналитической точкой М. Будем говорить, что геометрическая
точка М является фундаментальной по отношению к ана-
аналитической точке М или, короче, ее проекцией и что точка М
лежит над точкой М.
Аналитическая точка М называется конечной или беско-
бесконечно удаленной в зависимости от того, лежит ли она над
конечной или бесконечно удаленной точкой М.
В случаях, когда это не может вызвать недоразумений,
мы будем геометрические и аналитические точки называть
просто точками и обозначать их буквами без подчеркивания.
Аналогичным образом мы будем поступать с различными
множествами, состоящими из этих точек.
Две аналитические точки М и М" из системы наложений
{Si, e^y} будем считать тождественными, если 1) их проек-
проекции совпадают, 2) для принадлежащих им соответственно на-
наложений Si, Sj коэффициент е4у=1.

140 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Определение {плоская область наложения). Мно-
Множество D точек из системы наложений {Sit егу} называется
плоской областью наложения или плоской областью над
пространством Рп (если это не может вызвать недоразуме-
недоразумений, то слово «плоская» опускается), если наложения St
могут быть занумерованы так, что для всякого S,- при г^>0
в системе {Sj} может быть найдено наложение Sj, для кото-
которого j<^i и е^у = 1.
Элементы S,- образуют в таком случае покрытие области
наложения D над пространством Р". Мы условимся всегда
(если обратное не будет оговорено) нумеровать составляю-
составляющие покрытие наложения S; в указанном в нашем определе-
определении порядке. Очевидно, что если D — некоторая область на-
наложения над пространством Рп, то множество ее фундамен-
фундаментальных точек также образует область D в пространстве пе-
переменных zb ..., zn. Область D называется фундаментальной
областью D. ~~
Области наложения над пространством Рп, содержащие
бесконечно удаленные аналитические точки, называются бес-
бесконечными; области, их не содержащие, называются конеч-
конечными. Если все фундаментальные точки области D имеют
координаты, удовлетворяющие условию | Z\ |2 -j- ... -j- Ип |2<\R2
(где R — некоторое положительное число), то область D на-
называется ограниченной.
Определение (конечнолистная область наложения).
Область наложения D над пространством Рп называется р-лист-
ной над геометрической точкой М, если ей принадлежат/»раз-
принадлежат/»различных аналитических точек, для которых точка М является
проекцией. Если существует число р0 — максимум чисел р
для всех точек М из фундаментальной области D, то область D
называется конечнолистной (/улистной) над областью />
если /?0=1, она называется однолистной. ~
Если такого числа р0 не существует, то плоская область нало-
наложения над пространством Рп называется бесконечнолистной.
Теперь предположим, что нам даны область D над про-
пространством С" переменных zx zm определенная системой
наложений {S;, е^}, и область Е над пространством С" пере-
переменных wx wm, определенная системой наложений
{Тр, ep'q}. Мы определим произведение областей D и Е—
область D\E над пространством С"Х^™ переменных z, w

§ 8] ПЛОСКИЕ ОБЛАСТИ НАЛОЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РП 141
следующим образом, с помощью системы наложений {2Я, е„8}:
наложение 2L мы определим равенством ?а = 2(гр) = S{ X Тр;
число е предполагается равным нулю, если наложения ?а
и 28 не имеют общих геометрических точек; в противопо-
противоположном случае e(ip), (у?) — ^у6??- В этом построении мы ис-
используем наложения второго вида.
Если каждой аналитической точке M^D поставлено в
соответствие одно или несколько комплексных чисел, то мы
будем говорить, что в области D определена одно- или мно-
многозначная функция f(M). Если между аналитическими точ-
точками двух областей наложения каким-либо образом установ-
установлено соответствие, то мы будем говорить, что задано ото-
отображение Т одной области А на другую А (обозначения:
А—-А. А=7А).
2. Отношения между плоскими областями наложений
над пространством Рп. Определение {предел последо-
последовательности). Последовательность аналитических точек Мт
сходится к аналитической точке М, являющейся пределом
этой последовательности (мы будем в этом случае писать Нш
/л-»со
Мт = М), если 1) Нш Мт = М, 2) начиная с некоторого
m-*co
m = N, e =l,rfleSa — наложение, принадлежащее аналити-
аналитической точке М, a Spm — наложение, принадлежащее анали-
аналитической точке Мт.
Это понятие сходящейся последовательности аналитических
точек мы используем в дальнейших определениях настоящего
раздела.
Прежде всего: две области А и А наД пространством Рп
называются тождественными, если между точками этих
областей можно установить взаимно однозначное соответствие,
обладающее следующими свойствами:
1) Две соответствующие друг другу точки имеют одина-
одинаковые проекции.
2) Если некоторая последовательность точек Мт одной
области сходится к точке М этой области, то последова-
последовательность соответствующих точек Рт другой области схо-
сходится к точке Р, соответствующей точке М.
В этом случае мы будем писать А = А-
Заметим, что в силу нашего определения однолистная
область может рассматриваться как тождественная своей фун-
фундаментальной. Мы будем их обозначать одной буквой.

142 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Далее, будем говорить, что область или открытое мно-
множество ?>! (последнее, вообще говоря, является совокупно-
совокупностью несвязных между собой областей наложения) лежит
внутри области Д если можно установить однозначное со-
соответствие между точками Д и некоторой частью точек Д
обладающее следующими свойствами:
1) Две соответствующие друг другу точки имеют одина-
одинаковые проекции.
2) Если некоторая последовательность точек Ml обла-
области Dx сходится к точке М' этой области, то последователь-
последовательность соответствующих точек Mi области D сходится к
точке М области Д соответствующей точке М'1).
В этом случае мы будем писать: D1<C^D.
Из нашего определения следует, что область Dt может
быть более разветвлена, чем область Д и как бы проекти-
проектируется внутрь области Д
Очевидно, что если Д^Д, /52<^Д, то /51 = Д>
Если соответствие между точками области Д и частью
точек области Д о котором идет речь в нашем определе-
определении, является взаимно однозначным, то говорят, что область Д
составляет подобласть области Д или, иначе, что область D
содержит область Dt в качестве своей подобласти.
Если мы отождествим соответствующие точки подобла-
подобласти Di и области Д то мы сможем, как обычно, смотреть
на эту подобласть Д как на связное открытое подмноже-
подмножество области Д
Наконец, будем говорить, что область D\ лежит строго
внутри области Д если 1) Dx<^D и 2) если М{ — неко-
некоторая последовательность точек области Dlt то из последо-
последовательности соответствующих точек Mt области D всегда
может быть выделена подпоследовательность, сходящаяся в
некоторой точке М области Д (Это значит, что граничным
точкам /?! соответствуют внутренние точки области Д Опре-
Определение граничных точек области см. ниже, в п. 6.) В этом
случае будем писать, что Di^D2).
1) Заметим, что вторые условия двух последних определений
выражают непрерывность наших соответствий (см. следующий
пункт настоящего параграфа).
2) Если не только Di<ZD, но DtCzD (тогда Di—подобласть
области/)), то обычно пишут: DD

§ 8] ПЛОСКИЕ ОБЛАСТИ НАЛОЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ Рп ,143
В аналогичном смысле далее употребляется выражение
«подмножество Q точек области D лежит строго внутри
этой области» и обозначение Q<^D.
3. Окрестности в области наложения над пространст-
пространством Р". Определение (окрестность аналитической
точки). Любая однолистная область, содержащая точку Р и
являющаяся подобластью Д называется окрестностью точки
Р в области D. Такие окрестности мы будем обозначать
символом Vb(-P).
Среди различных окрестностей точки Р в области D
особо важное значение играет так называемая «элементар-
«элементарная окрестность точки Р в области D». Элементарная
окрестность точки Р в области D — мы ее обозначим So (P) —
определяется так: 1)область5д (Р) является окрестностью точки/5
в области D; 2) ее проекция So (Я) задается: а) при поль-
пользовании элементами первого вида условием: точка z
если хB) P)<^R, где число R^>0 выбирается максималь-
максимальным; б) при пользовании элементами второго вида для конеч-
конечной точки Р условием: точка z?Sd(P), если \zk— z% \
&=1 я, где число R^>0 выбирается максимальным,
z\ г„ — координаты точки Р, zt zn — координаты
точки z. Если Р — бесконечно удаленная точка, то за про-
проекцию So (P) берется область, задаваемая неравенствами
типа A.78), где ячисло R^>0 снова выбирается макси-
максимальным.
Определенное таким образом число R = ro(P) называ-
называется граничным расстоянием точки Р в области D. Заме-
Заметим, что случай /? = оо (при пользовании наложениями вто-
второго вида) не исключается из рассмотрения.
Если множество ?>t лежит внутри области D и точка
Mi^Di, то под граничным расстоянием точки Mi в области
D мы будем понимать граничное расстояние в области D
точки М этой области, соответствующей точке М\. Если мно-
множество Dt лежит внутри области D и граничные расстояния
его точек М (его конечных точек при пользовании наложе-
наложениями второго вида) в области D имеют отличную от нуля
нижнюю границу р, то это число р называется минималь-
минимальным граничным расстоянием множества Dt в области D.
Такое число р всегда, очевидно, существует и не равно О,
если множество Dt лежит строго внутри области D.

144 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ. II
Заметим, что нельзя сделать обратное заключение. Из
того, что Di<^D и существует отличное от нуля минималь-
минимальное граничное расстояние р множества Dl в области D, не
следует1) вообще, что Dx-k^D. Подобное заключение может
быть сделано только для конечнолистных областей.
Данное нами определение окрестности точки Р в об-
области наложения D над пространством Рп позволяет рас-
рассматривать для таких точек «сколь угодно малые» окрест-
окрестности, именно: пусть V—некоторая окрестность точки М,
V—ее проекция, Vo — некоторая область, содержащаяся
внутри области V и заключающая в себе точку М. Тогда,
какой бы ни была область Vo (например, она может быть
полицилиндром радиуса s с центром в точке М, где ?•—как
угодно малое число), мы всегда может указать такую окре-
окрестность Ud (М), что Ud (М) содержится в области Vo.
Построение окрестностей аналитических точек позволяет
сформулировать обычным образом понятия предела последо-
последовательности аналитических точек, непрерывной функции в
области наложения над пространством Рп, непрерывного
отображения одной такой области на другую. При этом,
как обычно, мы рассматриваем понятие непрерывности только
применительно к однозначным функциям и отображениям.
Вместе с тем полезно специально отметить, что мы относим
это понятие как к конечным, так и к бесконечно удаленным
точкам областей над пространством Рп. В частности, обра-
образом конечной (или бесконечно удаленной) точки при непре-
непрерывном отображении может быть бесконечно удаленная точка.
При этом теоремы Вейерштрасса 1.2 и 1.3 о функциях,
непрерывных в замкнутой области, мы вправе применять
только к конечным непрерывным функциям. Определение
равномерной сходимости остается тс^чно таким же, как для
пространства Сп. \
Так же, как это сделано во введении, здесь далее вво-
вводится понятие многообразия, поверхности (приведенное там
1) Такой же факт имеет место и в случае одного переменного.
На римановой поверхности Ln z минимальное граничное расстоя-
расстояние области 1 < | г | < 2 в области 0 < | z | < 3 равно 1, но первая
из этих областей не лежит целиком внутри второй области, так
как в этом случае не будет выполняться второе условие опреде-
определения области, лежащей строго внутри другой области.

§ 8] ПЛОСКИЕ ОБЛАСТИ НАЛОЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РП 145
определение здесь полностью применимо) и, в частности,
кривой линии. С помощью понятия окрестности мы можем
обычным путем ввести понятие внутренней точки множества
точек области наложения над пространством Рп, с помощью
понятия кривой — определить линейно связное множество.
В заключение настоящего раздела мы остановимся на пе-
переносе на наши области леммы Бореля о покрытиях.
Пусть множество точек В области D обладает тем
свойством, что всякое бесконечное его подмножество
имеет предельную точку, принадлежащую к множеству
В (далее такое множество В называется компактным в се-
себе или просто компактным).
Если каждой точке Р этого множества В постав-
поставлена в соответствие некоторая ее окрестность Vd (P),
то из системы таких окрестностей всегда можно вы-
выделить конечную их совокупность так, чтобы выделен-
выделенные окрестности покрывали все множество В.
Допустим, что это предложение неверно. Тогда мы рас-
рассмотрим множество геометрических точек В и сейчас' же
найдем в нем такую точку Р, что совокупность всех точек
множества В, лежащих над любой как угодно малой окре-
окрестностью V этой точки, не может быть покрыта конечным
множеством окрестностей нашей системы.
С другой стороны, из предположения о компактности
в себе множества В следует, что над геометрической точкой
Р лежит только конечная совокупность различных аналитиче-
аналитических точек множества В. Действительно, если их бесконечное
множество,то предельные точки последнего должны бы принад-
принадлежать множеству В. Однако из определения предельной
точки следует, что если она принадлежит множеству В, то
в нашем случае с ней совпадают все точки сходящейся к ней
последовательности, за возможным исключением конечного
их множества (ибо у всех ее точек одинаковые координаты).
В такой последовательности будет поэтому только конечное
число различных аналитических точек. Отсюда легко следует
наше утверждение.
Если число этих точек равно s, то для покрытия рас-
рассматриваемой части множества В, очевидно, достаточно 5
окрестностей. Таким образом, мы приходим к противоречию,
и наше предложение оказывается доказанным.

146 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
4. Каноническое покрытие и накрывающие области.
Дана некоторая область наложения D над пространством
Рп, отличная от всего пространства. Пусть Мо — некоторая
фиксированная конечная точка этой области. Мы рассмотрим
элементарную окрестность So точки Мй в области D. Затем
мы возьмем счетную последовательность точек Мч (v1 = 0,
1, 2, ...), всюду плотную в наложении So, и рассмотрим об-
области S4 — элементарные окрестности точек М^1 в области D.
В каждом наложении SVl мы снова возьмем всюду плотную
последовательность точек M»lV3 (vt фиксировано, v2 = 0, I,
2, ...; AfVlo = AfVl) и определим для них элементарные окре-
окрестности Sviv2 в области D. Повторяя этот процесс, мы полу-
получим счетную последовательность точек 'Яо, Рь ... и счетную
последовательность элементарных окрестностей То, 7\, ...
Мы определим число s,-y для каждой пары Tit Tj этих нало-
наложений равным 1 или 0 в зависимости от того, существует
или нет хотя бы одна точка D, принадлежащая обоим нало-
наложениям Tt и Tj. Мы занумеруем эти наложения в соответ-
соответствии с требованием, указанным в определении области (см.
раздел 1 настоящего параграфа). Тогда мы будем говорить,
что наложения из системы {7^, е,у} образуют каноническое
покрытие области D. Очевидно, что все точки области бу-
будут покрыты наложениями этой системы.
Определение (накрывающая область). Пусть система
наложений (Sit sy) определяет каноническое покрытие обла-
области D. Всякая область наложения, определенная посредством
системы {Sit e};}, где еу*^е?у (но хотя бы один раз имеет
место знак<^), называется накрывающей областью для обла-
области D.
Область Д, являющаяся накрывающей для всех областей,
накрывающих область D, называется ее универсальной на-
накрывающей.
Из нашего определения следует, что накрывающая область
D лежит внутри накрываемой области. Заменяя некоторые
из егу=1 числами еу=0, мы усиливаем разветвленность
области (разводим ранее 'склеенные листы, образующие об-
область), делая различными точки, бывшие до этого тождест-
тождественными.
6. Пересечение областей. Пусть нам дано конечное или
бесконечное множество областей Ek (& = 0, 1, 2, ...), кото-
которые соответственно содержат точки />№ с их окрестностями

§ 8] ПЛОСКИЕ ОБЛАСТИ НАЛОЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РП 147
U(k\ Последние имеют одну и ту же геометрическую точку
Я и ее окрестность U в качестве проекции. Мы рассмотрим
элемент наибольшего радиуса /?0 с центром в точке Р (назо-
(назовем его So), который оказывается фундаментальной областью
для окрестностей S<*> аналитических точек />(*> во всех обла-
областях Ek. Далее мы выбираем, как это уже было проделано
выше, лежащую всюду плотно в области So счетную после-
последовательность точек PVl. Для каждой точки Рч мы рассмот-
рассмотрим элемент S4 наибольшего радиуса, оказывающееся
фундаментальной областью для окрестностей S<*> аналитиче-
аналитических точек во всех областях Ek.
Рассуждая далее уже известным нам образом, мы полу-
получим последовательность элементов St. Мы положим ?t-y=l,
если наложения Sf> и SW имеют общую часть для всех k'),
в противном случае положим е,-у = О. Построенное таким об-
образом покрытие {Slt E,-y} определяет область наложения D,
которую мы назовем пересечением областей Ek относи-
относительно точек P(k\
Из нашего построения следует, что область D лежит
внутри всех областей Ek.
Из соображений непрерывности далее вытекает: если
существует область О, лежащая пнутри всех областей Ek,
то пересечения областей Ek относительно каких-нибудь двух
точек Р и Q области Q (точнее, относительно точек />(*) и QW
областей Ek, соответствующих точкам^ Р и Q; они всегда
существуют, ибо область Q лежит внутри всех областей Ek)
оказываются тождественными.
Действительно, соединим точки Р и Q ломаной линией
с настолько малыми звеньями, чтобы тождественность областей
пересечения относительно соседних ее вершин усматривалась
непосредственно. Мы придем к указанному выводу, последова-
последовательно переходя от точки Р к точке Q через эти вершины.
Получаемая в пересечении область в этом случае называ-
называется пересечением областей Ek относительно области О.
1) Поэтому область, получающаяся в пересечении, оказывается
разветвленной в степени, соответствующей наиболее разветвленной
из пересекающихся областей. Аналогично для случая одного пере-
переменного; пересечением областей Dt {0<С | г \ <с 1} на римановой
поверхности У7 и ?J {0 < | г | < 2} на плоскости г оказывается Dx.

148 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ, II
6. Граничные точки. Определение {граничные точ-
точки области наложения над пространством Р"). Бесконеч-
Бесконечная последовательность точек {Pk, k=l, 2, ,..} некоторой
области D, не имеющая предельных точек в этой области,
называется (достижимой) граничной точкой области D, если
1) последовательность фундаментальных точек Pk сходится
к некоторой точке R; 2) для каждой окрестности Ur
существует такое число N^>0, что при mlt т%^>Ы точки
Pmi, Pmi можно соединить п области D кривой, проекция
которой лежит в окрестности Ur.
Мы будем считать граничные точки Rt и Rit определяе-
определяемые последовательностями {Pk} и {Qk},' тождественными,
если lim Pk = lim Qk = R и для каждой окрестности Ur су-
существует такое число N^>0, что при т, п^>N точки Рт
и Qn могут быть соединены в области D кривой, проекция
которой лежит в окрестности Ur.
Другое, равносильное, определение граничной точки об-
области наложения можно дать, используя понятие фильтра
областей: граничной точкой области D над пространством Рп
называется фильтр1) R подобластей { U} области D со сле-
следующими свойствами: 1) области U^R не имеют общей
точки; 2) замыкания фундаментальных областей U имеют
одну и только одну общую точку R ? Рп и 3) каждая (до-
(достаточно малая в смысле хордального расстояния) окрест-
окрестность Ur точки R служит проекцией для одной и только
одной области U^R; каждая область U^R имеет своей
проекцией подобную окрестность.
Множество всех граничных точек области D мы будем
называть границей этой области и обозначать символом дЪ.
Множество D\JdD мы называем расширенной областью D-
Всякую подобласть области D, содержащую бесконечное
множество точек Pk, использованные для определения гра-
граничной точки R, мы будем называть примыкающей к точке R.
1) Под фильтром Ф на некотором непустом множестве М пони-
понимается такое непустое множество непустых подмножеств множе-
множества М, что для каждых двух множеств Wit W2f Ф существует
такое множество №„?<*>, что (Wtf] Ws)zd We.

§ 8] ПЛОСКИЕ ОБЛАСТИ НАЛОЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ Рп 149
Пусть R — граничная точка области D. Примыкающая к
точке R подобласть Vd (R) области D называется окрестностью
граничной точки R в области D, если: 1) замыкание ее
фундаментальной области Vr содержит окрестность точки R;
2) ее пересечение с любой примыкающей к точке R под-
подобластью области D содержит непустую подобласть области D,
примыкающую к точке R.
Присоединим к окрестности Vp(R) граничные точки
области D, которые 1) могут быть образованы с помощью
последовательностей точек области D, принадлежащих к окре-
окрестности Vd(R)\ 2) имеют проекции, лежащие в замкнутой
области Vd(R). Тогда мы получим расширенную окрестность
Vd(R) граничной точки R области D.
Определение (точка ветвления области). Если каж-
каждая окрестность граничной точки R области D неоднолистна,
то точка R называется точкой ветвления области D. Если
существует такая окрестность Vd(R), что в любой окрест-
окрестности WD(R)B Vd(R), всегда находятся т точек, накры-
накрывающих одну и ту же точку P^Wd(R), и, с другой сто-
стороны, больше чем т точек не лежат над одной геометриче-
геометрической точкой, то число т называется порядком точки ветвле-
ветвления R (здесь 1 sg m *s; oo).
Очевидно, что таким образом порядок ветвления точки R
определен однозначно.
Ниже, в п, 4 § 10 мы рассмотрим важный класс унифор-
мизируемых граничных точек области наложения.
Мы будем говорить, что последовательность точек
Pk(zD (k = 1,2,,,.) сходится к граничной точке R (lim Pn = R),
если вне любой окрестности Vd(R) точки R оказывается
только конечное множество точек Рп из области D и толь-
только конечное множество граничных точек, принадлежащих
к последовательности Рт не может быть образовано с по-
помощью точек окрестности Vd(R)- Далее с помощью понятия
окрестности граничной точки R можно очевидным образом
определить предельное множество So d D -j- dD для последо-
последовательности точечных множеств S,(Z.D(v:=l, 2, ..,), дать
определение непрерывной в точке R функции, отображе-
отображения множества D\JdD на другое, надлежащим образом

150
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ, II
определенное множество. Как обычно, в подобном случае
мы рассматриваем только однозначные функции и ото-
отображения.
Граничные точки области D будут конечными или бес-
бесконечными, в зависимости от того, являются конечными или
бесконечными точками их проекции.
Пусть наложения из системы {St, e,y } определяют кано-
каноническое покрытие области D. Тогда на границе каждого
наложения S; имеется по крайней мере одна точка, не при-
принадлежащая к области D. Если таких точек на границе нало-
наложения S{ конечное или счетное множество, мы включим их
все в образуемую нами систему. Если они образуют множе-
множество континуальной мощности, то мы включим в нашу систему,
только некоторое счетное подмножество этого множества,
всюду в нем плотное. Такие точки мы отберем на границах
всех наложений St. При этом мы будем считать две такие
точки, взятые на границах наложений S,- и Sj, тождествен-
тождественными, если они имеют равные координаты и е,-у = 1.
Полученное таким образом множество точек называется
канонической системой граничных точек области D. Оче-
Очевидно, что эта каноническая система состоит из конечного
или счетного множества точек.
Если данная область D является подобластью некоторой
области Д и точка R ? Д служит граничной точкой для обла-
области D, то окрестность Vd(R) является подобластью соответ-
соответствующей окрестности ?/д (/?).
Если область /5<^Д, то мы можем говорить о границе
области D как о множестве dD точек области Д, являющихся
предельными для последовательностей точек области D и не
принадлежащих к этой области. Множество точек D -\- dD
является замкнутым; мы будем это множество обозначать D
и называть замкнутой областью. При этом еШ = д/5, если
граница dD состоит из достижимых точек. Далее мы огра-
ограничиваемся этим случаем. Заметим, что конечнолистная
(в частности, однолистная) ограниченная область с присоеди-
присоединенной к ней границей всегда оказывается замкнутой. В общем
случае это не имеет места (так обстоит дело и для одного
переменного: например, область {1 <^ | z |<^ 2 } на римановой
поверхности Ln z конечна, но она не делается замкнутой после
присоединения к ней ее граничных точек).

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
§ 9. Голоморфные функции и аналитические множества
в плоских областях наложения. Области голоморфности
и особые точки голоморфной функции
1. Голоморфные функции и области голоморфности.
Определение {функция, голоморфная в области на-
наложения над пространством Я"). Функция f(z), опреде-
определенная в плоской области D над пространством Я", заданной
системой наложения { St, &tj }, называется голоморфной в этой
области, если в каждом наложении S{ может быть так опре-
определена голоморфная функция fi(z), что 1)/Сг)=/г(г) при
z ? Sf, 2) при ец = 1 значения функций ft и fj в общей
части областей Sj и St совпадают.
Функция f(z) называется голоморфной в аналитической
точке 2°, если она голоморфна в некоторой области D,
к которой принадлежит эта точка z". Очевидно, что функ-
функция /, голоморфная в некоторой области D, обязательно
непрерывна, в частности, однозначна в этой области.
Если область Dt лежит внутри области D и /—голоморф-
/—голоморфная функция, определенная в области D с помощью системы
голоморфных элементов {ft}, то эти элементы определяют
голоморфную функцию и в области Dv Эту функцию обычно
обозначают тем же символом f.
Обратно, если голоморфная функция /0 задана в области
D0<^D, то в области D может не существовать голоморф-
голоморфной функции f; совпадающей с функцией /0 в соответствую-
соответствующих точках. Случай, когда это имеет место, рассматривается
в следующем определении:
Определение (аналитическое продолжение). Если
1) область /50 лежит внутри области D; 2) /0 и /—голо-
/—голоморфные функции в областях 50 и D, причем fo=f для
соответствующих точек этих областей, то функция / назы-
называется аналитическим продолжением функции /0 из области
Do на область D.
Если область Do является подобластью области D, точка
R?D служит граничной точкой области /H и функция /0
может быть аналитически продолжена на область Z)ty Ud (R)>
где Ud (R) — какая-то окрестность точки R в области D, то
говорят, что функция /0 может быть аналитически про-
продолжена в точку R. Иногда подобную граничную точку R

152 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
области D9, в которой была первоначально задана функция /0,
называют устранимой особой точкой функции /0.
Выше мы указали, что накрывающая область всегда яв-
является внутренней для накрываемой области (см. п. 4 § 8).
Это обстоятельство вполне согласуется с тем, что всякая
функция, голоморфная в области D, остается голоморфной
в любой области, накрывающей область D. Например, функ-
функция f(z) = z голоморфна не только в кольце 1<^|.г|<^2 на
плоскости z, но и в части римановой поверхности У~г, ле-
лежащей под этим кольцом. Обратное имеет место не всегда.
Например, функция f(z)=--~[fzголоморфна в указанном кольце
на своей римановой поверхности, но не голоморфна в этом
кольце на плоскости z (она там даже не однозначна). С дру-
другой стороны, функция f(z) = z голоморфна в обеих взятых
нами кольцевых областях. Мы должны смотреть на функцию
f(z) = z, определенную в кольце на плоскости z как на ана-
аналитическое продолжение функции / (z) = z, определенной
в кольце на римановой поверхности j/Т.
Так же, как для областей пространства Рп (см. § 6 пре-
предыдущей главы), мы введем для плоских областей наложения
понятие аналитического продолжения функции /0 из одной
подобласти Д> области D на другую.
Рассмотренный нами в § 6 предыдущей главы процесс
аналитического продолжения голоморфного функционального
элемента /0 порождает, вообще говоря, многозначную анали-
аналитическую функцию F в некоторой области ЮС1Рп- Сейчас
мы покажем, что в нашем случае этот процесс может быть
дополнен одновременным построением некоторой области D,
лежащей над этой областью D. В указанной области D на-
нами будет определена голоморфная (т. е. однозначная) функ-
функция/, значения которой в точках, z?D, лежащих над какой-
то точкой z?D, будут совпадать со значениями функции F
в точке z. Эта функция /, в соответствии с данным выше
определением, будет являться аналитическим продолжением
исходного голоморфного функционального элемента f0 на
область D.
Возьмем в качестве исходного какой-нибудь голоморфный
функциональный элемент/0, заданный в области S(Mut R0) = S0
(которая может быть как первого, так и второго вида) сте-

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 153
пенным рядом с центром в точке Мй. Этот ряд имеет вид
A.41), если Мй — конечная точка, или вид A.77), если Мо —
бесконечно удаленная точка. Радиус Ro области So берется
максимальным; таким образом, на границе области So имеются
точки, в которых этот ряд расходится.
Пусть Мч (v = 0, 1, 2, ...) — некоторая счетная последо-
последовательность точек, всюду плотная в области So- Мы преобра-
преобразуем данный степенной ряд в степенной ряд с центром в точ-
точке Мч (где vt=l, 2,...) и рассмотрим наложение S(MVv /?Vl)=SVl
максимального радиуса /?Vl, в котором этот ряд сходится.
Затем в каждом подобном наложении SVl мы снова возьмем
всюду плотную последовательность точек Afnva (где Vj фик-
фиксировано, v2:=0, 1, 2, ...) и определим для них множество
наложений S(MVl,2, /?,lV2) = S,lV2 (здесь S^o = S4, R^o^R^)
максимальных радиусов /?VlV2, в которых будут сходиться сте-
степенные ряды, получаемые из ряда с центром в точке Mvt
в результате преобразования. Далее мы рассмотрим последова-
последовательности точек MVl,3,3 (где vb v2 фиксированы, v3 = 0, 1,2,...,
Ж»цм = M,lV2) и соответствующие наложения. SV1,2,8 и т. д.
Наконец, мы изменим нумерацию точек Мч, 7HVl,2, ... и на-
назовем их точками Яо, Ръ Рь ..., соответствующие наложе-
наложения — областями То, 7\, Ть ..., а соответствующие голоморф-
голоморфные функциональные элементы—/0,/ьЛ, ... Мы условимся
считать е/; = 1, если области Т{ и 7;- имеют общие геоме-
геометрические точки и определенные в них функциональные эле-
элементы ft и fj оказываются в этих точках равными. В других
случаях мы положим ei;- = 0.
Очевидно, что числа е,;- удовлетворяют условиям, указан-
указанным в определении системы наложений. Однако из способа
получения элементарных областей Т{ при аналитическом про-
продолжении исходного голоморфного функционального элемента
вытекает возможность их нумерации, предусмотренной опре-
определением плоской области наложения над пространством Рп
(мы предоставляем читателю эффективное проведение этой
нумерации). Таким образом, система наложений { Tt, e,-;-}
определяет плоскую область наложения D над простран-
пространством Я".
Мы определим в области D голоморфную функцию f(z),
если положим f{z) =/; (z) при z ?j Ti% Эта функция /

154 голоморфные функции в областях наложения [гл. и
является аналитическим продолжением голоморфного функцио-
функционального элемента /0. В этой связи мы будем также назы-
называть функцию / полной аналитической или просто аналити-
аналитической функцией в области D, Однако в отличие от анали-
аналитической функции в области D(Z.Pn, рассмотренной в пре-
предыдущей главе, аналитическая функция f(z) однозначна
в области D.
Область D называется областью голоморфности анали-
аналитической функции /. Эту область иногда также называют
областью регулярности или областью существования ана-
аналитической функции /.
Из способа построения области D, являющейся областью
голоморфности аналитической функции /, вытекает, что эта
функция не может быть аналитически продолжена на об-
область E^>D.
Определение {область голоморфности). Область на-
наложения D над пространством Рп называется областью голо-
голоморфности, если в ней существует голоморфная функция /,
которая не может быть аналитически продолжена на некото-
некоторую область E^>D.
Из теорем § 6 гл. I, между прочим, вытекает, что суще-
существуют (и притом даже однолистные) области, не являющиеся
областями голоморфности.
Заметим, что, поскольку каждую область голоморфности
можно построить описанным выше способом, во всякой обла-
области, являющейся подобластью области голоморфности, всегда
существует голоморфная функция, имеющая в каждых двух
аналитических точках с одинаковыми координатами различные
функциональные элементы. Эти функциональные элементы,
будучи различными, могут иметь в указанных точках одина-
одинаковые значения, если начальные члены степенных рядов, ко-
которые их определяют, совпадают. Тогда мы возьмем произ-
производные надлежащего порядка от этих рядов, что не изменит
областей их сходимости. С помощью новых рядов мы опре-
определим в рассматриваемой области голоморфную функцию,
принимающую в наших точках с одинаковыми координатами
различные значения.
В факте наличия подобной -функции состоит свойство
голоморфной отделимости области голоморфности. Благо-
Благодаря этому свойству область голоморфности не является из-
излишне разветвленной.

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 155
Отметим еще, что на границе каждой элементарной об-
области Т-„ использованной при построении области голоморф-
голоморфности функции /имеется точка, и которую эта функция не
может быть аналитически продолжена. В противном случае
эта элементарная область Tt могла бы быть расширена.
Функции, голоморфные в некоторой точке z, принадлежа-
принадлежащие к плоской области наложения D, образуют кольцо цело-
целостности Ог. Для этого кольца справедливы теоремы 4.5 и 4.8;
таким образом, оно является нетеровым кольцом и для него
справедлива теорема об единственности разложения функции
f?Dz на произведение неприводимых функций, принадлежа-
принадлежащих к кольцу Ог(с точностью до эквивалентных множителей).
Кольцо целостности составляют также функции, голоморф-
голоморфные в некоторой области DiCZD. Функции, голоморфные
на некотором открытом множестве BC1D, также образуют
комм'утативное кольцо; однако оно, вообще говоря, не яв-
является областью целостности.
Совокупность колец Dz для различных точек z ? Z3t
или z ? В составляет пучок, который обычно обозначается
символом D(D!) или соответственно D(B).
В заключение этого пункта мы дадим следующее
Определение (аналитическое множество, тонкое,
почти тонкое множество). Подмножество т плоской
области наложения D называется аналитическим в этой
области, если каждая точка z ? D обладает такой окрест-
окрестностью Ud (,z), что множество т f} Ud (z) совпадает с мно-
множеством общих нулевых точек некоторого конечного мно-
множества функций, голоморфных в этой окрестности Ud (z).
Подмножество N области D называется тонким в этой
области, если- оно замкнуто в D и каждая точка z ? N
обладает такой окрестностью Ud(z), что множество N f} Ud(z)
содержится в некотором аналитическом подмножестве mz
окрестности Ud (•?)> нигде не плотном в Uо (•?)• Объединение
счетного множества тонких множеств называется почти тон-
тонким множеством.
Для плоских областей наложения имеет место теорема
Римана об аналитическом продолжении голоморфных функ-
функций (теорема 6.7 предыдущей главы).
2. Особые точки голоморфной функции; Определе-
Определение. Если в области наложения D над пространством Рп
определена голоморфная функция /, которая не может быть

156 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ. II
аналитически продолжена ни на какую область Е^> D,
содержащую область D в качестве своей подобласти, то
граничные точки области D называются (неустранимыми)
особыми точками функции /.
Иначе говоря, особые точки голоморфной функции — это
граничные точки ее области голоморфности или области,
накрывающей ее область голоморфности.
Граничные точки области голоморфности некоторой
функции составляют ее естественную границу.
Замечание. Наряду с указанными в настоящем опре-
определении (неустранимыми) особыми точками голоморфная
функция может иметь еще так называемые устранимые особые
точки. Их определение было дано в предыдущем пункте.
Теперь мы выделим некоторые классы (неустранимых)
особых точек голоморфных функций.
Определение (мероморфная функция). Функция /(г)
называется мероморфной в некоторой области наложения D,
если:
1) эта функция голоморфна на множестве D\N, где
N— некоторое тонкое множество в области D;
2) эта функция аналитически непродолжаема ни в одну
точку множества N;
3) для каждой точки С ? N можно указать такую ее
связную окрестность ?/д (С) и голоморфную в этой окрест-
окрестности функцию q^ (z) ф О (но q (С) = 0), что голоморфная
на множестве Ud (?) \ N функция f(z) q^ (z) = /?c С?) окажет-
окажется отсюда продолжаемой на всю окрестность Ud(Q-
Множество N называется полярным множеством функ-
функции f(z) в области D. Мы предположили его тонким, что
оказывается удобным при распространении определения меро-
мероморфной функции на пространства более общего вида.
В действительности оно, как устанавливается ниже, всегда
является аналитическим. Если множество N пусто, функция /
голоморфна в области D.
Функция / называется мероморфной в некоторой точ-
точке -z (^ Д если она мероморфна в некоторой окрестности Vd(z)
этой точки.
Если точка С ? N, то ^с(С) = 0. Мы всегда можем пред-
предположить, что функции jE>c (z) и q^ {z) в окрестности Vd (С)
не имеют общего голоморфного делителя, равного нулю
в точке С Если бы такой делитель имелся при первоначальном

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 157
выборе функции q(z) (он обнаруживается путем применения
к функциям p(z) и q(z) алгорифма нахождения общего наи-
наибольшего делителя), мы смогли бы от него освободиться
путем сокращения. Тогда в точках z ? Vd (Q, где q^ (z) ф О,
функция f{z)=^~r голоморфна. Для точек г?Кд(С),
где ^c(z):^0 (в частности, в самой точке С) возможны два
случая:.
1) />с(.г)у?0; в этом случае z — полюс функции /;
2) p,(z) = 0; в этом случае z — точка неопределен-
неопределенности функции /.
В окрестности полюса модуль функции / является нео-
неограниченным. Во всякой окрестности точки неопределенности
функция / принимает любое значение а: она равна а на ана-
аналитическом множестве р — aq = 0, к которому обязательно
принадлежит эта точка неопределенности.
Таким образом, в окрестности Vd (С) каждой точки С ? N
множество N совпадает с множеством нулей голоморфной
функции q^(z), что и показывает его аналитический харак-
характер. В силу теоремы 4.5 функция q^ (z) может быть единст-
единственным образом представлена в окрестности Ко (С) в виде
произведения
Здесь q^(z), s=l, ..., k, — неприводимые и голоморфные
в точке С функции, q№ (С) = 0. Мы будем называть аналити-
аналитические множества q№{z) = 0 (s=l, ..., k) неприводимыми
полярными множествами функции f(z), проходящими через
точку С, а числа ps — порядками этих множеств для функ-
функции f(z). Очевидно, что полярное множество N функции f(z)
в области D состоит из подобных неприводимых полярных
множеств.
Если п = 2, то в силу теоремы 4.1 множество точек
неопределенности мероморфной функции дискретно. В этом
случае особые точки функции, лежащие в окрестности
точки неопределенности С, — полюсы, заполняющие аналити-
аналитическое множество, определяемое уравнением ^c(z) = 0.
В общем случае комплексная размерность множества точек
неопределенности ниже комплексной размерности всего по-
полярного множества функции по крайней мере на единицу.

158 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Рассмотрим множество Шг всех функций, мероморфных
в некоторой точке z ? D. Как мы только что видели, из
определения мероморфной функции вытекает, что это мно-
множество Шг является полем отношений для кольца Ог, состо-
состоящего из функций, голоморфных в точке z.
Поскольку для кольца Ог имеет место теорема 4.5 об
единственности разложения на голоморфные неприводимые
множители, это кольцо целозамкнуто в своем поле отноше-
отношений ЭЛ/).
Само собой разумеется, что данное выше определение
мероморфной функции полностью применимо и в случае
областей или точек (в частности, бесконечно удаленных
точек) пространства Р" или G™.
Определение (существенно особая точка). Особая
точка голоморфной функции, не являющаяся ее точкой меро-
мероморфности, называется существенно особой точкой этой
функции.
К числу существенно особых точек голоморфной функции
принадлежат ее точки ветвления.
Определение (точка ветвления голоморфной функ-
функции). Точка ветвления порядка т области голоморфности
(существования) голоморфной функции называется точкой
ветвления порядка т этой функции.
Ниже (см. п. 4 § 10) будет вмделен важный класс осо-
особых точек голоморфной функции — ее униформизируемые
особые точки.
3. Теорема о непрерывном расположении особых то-
точек голоморфной функции. В отличие от случая одного
комплексного переменного, голоморфная функция двух и
более комплексных переменных не может иметь изолирован-
изолированных (неустранимых) особых точек. Этот факт принадлежит
к числу тех, которые определяют существенное отличие
теории аналитических функций многих комплексных пере-
переменных от классического случая одного переменного.
') См., например, Б. Л. Ван дер Варден, Современная алгебра,
ч. 2, § 100, Гостехиздат, 1947, стр. 94.
Напомним, что кольцо О называется целозамкнутым в своем
поле отношений 5ГО, если каждый элемент А = — ? WI (где f,'g ? D,
обращающий в нуль какой-нибудь многочлен вида
WT1 + ...-j- сГ (где си ..., cr?D), принадлежит к кольцу О.

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 159
Теорема 9.1 (о непрерывном расположении особых
точек голоморфной функции). Пусть область D над
пространством С служит областью голоморфности
функции f(z). Если при некотором & ^> 0:
1) для всех v=l, 2, ... замкнутые круги SVCIA где
Sv={|*i — <*i|О, Zj = aW, /=2, ..., я}, lima<v> = ay,
J v-кю •*
2) существует lim Sv = So С D -\- dD, где So = {| z±—ai|<Ce>
Zj = aj, / = 2, ..., и},
3) окружность dS0 cz A
mo м «дуг S0(ZD.
Таким образом, если круг So содержит особые точки
функции f(z), но их нет на окружности dS0, они не могут
не содержаться на всех замкнутых кругах Sv (v = l, 2, ...),
составляющих последовательность, сходящуюся к So.
В (однолистной) области голоморфности DCZC" поло-
положение точек z ?D полностью определяется их координа-
координатами. В этом случае теорему 9.1 можно сформулировать
следующим образом.
Теорема 9.1t. Пусть а^С1 — граничная точка
области DdC голоморфности функции f(z). Если при
некотором е ^> 0 окружность {\zi — at | = е, Zj^ a;-,
/ = 2, ..., я}CIA то можно указать такое число 8^>О,
что на всяком замкнутом круге {\zt — at | «s: e, Zj^ bj,
j = % ..., я}, где \bj — a;-|<^8 будут иметься точки, не
принадлежащие области D.
Теорема 9.1! принадлежит Ф. Гартогсу [2], [3]. Она по
существу остается в силе, если D — область над простран-
пространством С", но имеет однолистную подобласть, примыкающую
к точке а.
Мы приведем доказательство этой теоремы, принадлежа-
принадлежащее Ф. Гартогсу; для простоты мы ограничимся случаем
двух переменных и положим a1 = a2 = 0.
По условию функция f(z) голоморфна во всех точках
Ре (ее'6, 0), где 0 =^ б =<; 2тс. Тогда каждая точка Яе обладает
окрестностью Vo(Яв) = {| zr — seiB |<^ре, | z21<^ре}, в которой
функция f(z) является голоморфной. Мы возьмем 8 <^ min pe.
Очевидно, что функция f(z) будет голоморфной и в точках мно-
множества U V8 (А)> в частности, в точках, где I zt I = e, z21 =^ 8.
&&2

160 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ П ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Мы воспользуемся далее теоремой 6.3, взяв в ней w — гл,
z = z8. Роль области D у нас играет круг |z^ |<е, обла-
области Е — круг | za |<[ 8, множество {| zt | = е, | za | ^ 8} —
совокупности дОу^Е.
Допустим, что для некоторого Ъ, где 0 <[ | Ъ \ < 8, замкну-
замкнутый круг {| Zi | ^ е, z3 = Ъ\ С! D. Тогда функция f(z) будет
голоморфной в точках области {| z^ | ^ е, | -га — Ъ | ^ (J.}, где
(j. ^> 0 — некоторое достаточно малое число. Мы примем круг
{| z2 — &|<СD за область /Сиз теоремы 6.3. Все предпо-
предположения этой теоремы у нас теперь выполнены, и сле-
следовательно, функция f(z) оказывается аналитически продол-
продолжаемой на весь бицилиндр {| zt \ <^ e. | z21 <^ 8}, в частности
в точку @, 0). Это противоречит предположению теоремы 9.1t.
Наше допущение оказалось неверным и теорема Гартогса
в рассматриваемом случае доказана.
Теорема 9.1 допускает далеко идущие обобщения. Одно
из них будет рассмотрено в конце этого параграфа, другое
в § 11 настоящей главы.
4. Мероморфное продолжение. Для дальнейшего нам удобно
сформулировать понятие мероморфного продолжения функции.
Голоморфный функциональный элемент, заданный первоначально
в некоторой точке Р, считается мероморфно продолженным
в область D, если получающаяся из него при аналитическом
продолжении функция оказывается мероморфной в области D.
Если для первоначально заданного функционального эле-
элемента сама точка Р является точкой мероморфности
(т. е. полюсом, или точкой неопределенности), то мы примем
за исходную точку аналитического продолжения такую точ-
точку Р* окрестности Р, в которой этот функциональный эле-
элемент голоморфен.
Мероморфное продолжение по кусочно гладкой кривой L
определяется таким же образом. Мы заключим L в тонкую
2и-мерную трубку L (ее можно, например, получить, объеди-
объединяя точки гипершаров радиуса р с центрами на L). Затем
мы рассмотрим, как это указано выше, аналитическое про-
продолжение функционального элемента,, заданного в начальной
точке кривой L. Опять, если получающаяся при таком про-
продолжении функция оказывается мероморфной в L, то мы ее
называем мероморфным продолжением первоначального
функционального элемента вдоль L.

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 161
Определение {область мероморфности). Область
наложения D над пространством Рп называется областью
мероморфности, если в ней существует мероморфная функ-
функция /, которая не может быть мероморфно продолжена на
некоторую область E^>D.
В этом случае область D называется областью меро-
мероморфности функции f(z). Граничные точки области D или
области, накрывающей область D, являются существенно
особыми точками функции f{z).
Естественно возникает вопрос о том, в какой степени
класс областей мероморфности отличается от класса областей
голоморфности. Во второй части этой книги будет показано,
что классы областей мероморфности и голоморфности
в пространстве С" тождественны.
Исходной точкой цепи рассуждений, приводящей к уста-
установлению этого факта, служит замечательная аналогия в
теории особых точек голоморфных функций, открытая
Е. Е. Леви [1], [2]. Он нашел, что для существенно особых
точек имеют место теоремы, совершенно тождественные
теоремам 9.1 и 9.1i, получающиеся из них в результате за-
замены слов «голоморфная функция», «особая точка» словами
«мероморфная функция», «существенно особая точка». Их
доказательству удобно предпослать такое вспомогательное
предложение (в котором мы для простоты ограничиваемся
случаем двух переменных):
Лемма. Пусть функция f(zu z%) голоморфна в замк-
замкнутой бицилиндрпческой области {k ^ | zt | ^ К, \ z^ \ ^ А}
и поэтому представляется там рядом Лорана
8ЛЪ)*\ B-1)
{здесь gv(Zi) — голоморфные функции z2 в круге ||^
Для того чтобы существовала функция, мероморф-
мероморфная в замкнутом бицилиндре {\ zx \ ^ К, \z4\^.h) и сов-
совпадающая с данной функцией в данной области, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы в замкнутом круге 12а | <: А
выполнялись соотношения
Л о (*e) tf_, B2) -f- Ai Bg) g,4+1 Bg) -f- . . .
6 Б. А. Фукс

162 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Здесь v =—1, —2, ...; Au(z^), ..., Лг(.г2)— голоморфные
функции, не равные тождественно нулю в круге \ z% \ <^ ft.
Доказательство. Сначала мы предположим, что усло-
условие B.2) выполнено, и рассмотрим функцию
ср (zb zj = Ло Bа) z\ + *1 +
Образуем произведение /fo, zj<f(zu z2) = <j> (гъ га). Это
произведение, очевидно, голоморфно в бицилиндрической
области {k ^ | Zy | ^ /С, |22|^/г} и поэтому может быть там
разложено в ряд Лорана. Однако в силу соотношений B.2)
все члены с отрицательными степенями в этом разложении
сократятся. Функция (]> (zlt z%) окажется представленной в
рассматриваемой бицилиндрической области степенным рядом,
сходящимся во всем замкнутом бицилиндре {I^I^AT, |22|^/г}.
Таким образом, в нашем случае функции <p(zlt z%), ty(zlt z^)
голоморфны во всем замкнутом бицилиндре {1^1^/С, |22|^/г}
и там
ЦЩ B.3)
v <f (zi, z,)
В соответствии с определением мероморфной функции
это означает, что f(zu z%) допускает мероморфное продол-
продолжение на всю область, где действует представление B.3),
т. е. на весь бицилиндр {I^I^AT, | 221 =^ ft}. Достаточность
условия B.2) доказана.
Мы докажем сейчас необходимость этого условия. Пусть
(z[0), г,01) — несущественная особая точка функции f(zlt z2),
лежащая в замкнутом бицилиндре {l^il^AT, |22|^ft}.
Тогда в окрестности этой точки
где функции В (zlt z^) и C(zlt z^) — голоморфны в этой
окрестности и clz[°\ z'?') = 0.
Согласно подготовительной теореме 4.1 Вейерштрасса,
в некоторой окрестности точки (z'°\ z'?') функция C(zu z%)
может быть представлена так:
С (zlt za) = (z, - z[°
+ Et («0 («i - ^T'1 + • • • + En («012 (*ъ «Л B-5)

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 163
где функция Q(zlt г%) голоморфна в точке (z\°\ z$') и не
обращается в ней в нуль, функции Es (z2) голоморфны при
Z%^=Z<x , L.s (Z2 ) U.
Мы покажем, что г = 0. Предположим, что г ^ 0, и по-
поэтому C(z'i, z'i')^0. Мы рассмотрим функцию f(zlt z2) в
точках P(t, 22°') замкнутого круга {| С | =^ К, z^^z'^'}. В не-
некоторой окрестности {\zt — С|«Ор, \z* — ^20> I<Cpp} каждой
такой точки функция f(zlt z2) по условию теоремы может
быть представлена в виде отношения „р голоморф-
CP(Zi, Zt)
ных функций Bp{zbz^, Cp(zit 2a).
Возьмем точки Pt (tt, z'?*) так, чтобы круги
перекрывались между собой (круг Ut с кругом Ut+1) и по-
покрывали круг l^il^AT. Пусть (,1 = z'{". Если знаменатель
Ср1 (zlt 22°')^0 в точках круга Ult то, очевидно, будут равны
нулю и соответствующие знаменатели для всех Uf, пересе-
пересекающихся с ?Д. Поэтому в Ut всегда будет Ср (zlt z'2")= 0.
Это противоречит предположению нашей теоремы о голо-
голоморфности функции f(zlt 22) в замкнутой бицилиндрической
области {/: ^ |.?! | г?:/f, l^l^ft}. Таким образом, мы прихо-
приходим к выводу, что действительно в B.5) г=0.
Теперь из B.5) будет следовать, что
t z<?) = (*i - zTf Q (zb zf). B.6)
Это означает, что в точках (zlt z™), гдеО^!^! — 4°'I
<^р, знаменатель C(zu z'^') не обращается в нуль, а функ-
функция /(.?!, 22) голоморфна. Точки zit для которых точки (zu z'?')
являются несущественно особыми точками функции f(zit z2),
оказываются изолированными в круге | z^ \ ^К. Поэтому мно-
множество таких точек zt в круге l^ |=^Дг конечно.
Среди несущественно особых точек функции f(zlt z2) в
бицилиндре {j^il^/C, l^l^ft} только конечное множество
может оказаться точками неопределенности. Поэтому может
существовать только конечное множество значений z'% явля-
являющихся ^-координатами точек неопределенности. Пусть z'%*
взято не из их числа, a z[l\ ..., z([> являются ^-координатами
полюсов (Zb Z2") функции f{zi, 22). Около каждого такого
6*

164 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
полюса функция f(zlt z2) может быть представлена в виде
отношения B.4), а функция C(zlt z'f) — в виде выражения
B.6), где нужно только заменить .г'/" на некоторое z[k~> из
числа z^\ ..., zf. Мы будем каждое значение 2<*> брать
столько раз, какова кратность этого полюса для функции
одного комплексного переменного f(zlt ztf') (это будет чи-
число п из соответствующей формулы B.6)). Пусть, далее, / —
подсчитанное таким способом число этих точек z± в замкну-
замкнутом круге |2i|^AT плоскости z^^ztf'. В окрестности каж-
каждой такой точки (zf\ z^i) соответствующие функции C(zu 2а)
могут быть представлены по формуле B.5). Отсюда следует,
что число / одинаково для всех значений z% при \z% — z'%' | <^
<^fi/<", где v0> — надлежащим образом выбранное число.
Покрывая весь замкнутый круг |za|a€^ft (за исключением то-
точек неопределенности г'ъ) такими окрестностями |.га— z™\<^4,
мы обнаружим, что / имеет одно и то же значение во всех точ-
точках этого круга (за исключением точек неопределенности z%).
Мы рассмотрим функции zf>{z^ в круге \z^\^h и об-
образуем из них элементарные симметрические функции
Sk [zp (z,), ..., г? (zj\ = (- 1)*+1 Ak (z,).
Эти функции ограничены и голоморфны (так как всегда
| zf> | «^ К) в окрестности всех точек круга | г% \ ^h, за исклю-
исключением точек z'r Очевидно, эти функции могут быть ана-
аналитически продолжены на весь замкнутый круг | z% \ ^. h
(т. е. z'a оказываются для них устранимыми особыми точ-
точками). Таким образом, величины zWfa),..., ^Р(г2) оказываются
корнями уравнения
= O, B.7)
где коэффициенты Ло B2), Аг B2), ..., At (z%) голоморфны во
всем круге |2a|s^ft (у нас А0(гд=1; поэтому очевидно,
что не все Ak(z%) тождественно равны нулю).
Образуем функцию
<!>(*!, г„) = <р(«1. «e)/(«i, «О- B-8)
Из предыдущего следует, что ty(zlt г%), рассматриваемая (для
каждого 22 из круга | г% \ ^ К) как функция одного перемен-
переменного zt в круге | Zx | ^ К, может иметь там только устрани-
устранимые особые точки и будет представляться целым рядом. 'По-
'После подстановки в B.8) ряда B.1) вместо f(zu 22) и выражения

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 165
B.7) вместо у(гъ z2) все члены с отрицательными степеня-
степенями Z\ должны сократиться. Таким образом, мы приходим к
условиям B.2). Необходимость этих условий доказана, и дока-
доказательство нашей леммы окончено.
Замечание. Из нашего доказательства вытекает, что
в формуле B.2) величину ЛоС2*) всегда можно принять тож-
дестнеппо раиной единице.
б. Теорема о непрерывном расположении существенно
особых точек голоморфной функции. Эта теорема в простей-
простейшем случае однолистной области мероморфности была доказана
Е. Е. Леви [1]. Она формулируется следующим образом.
Теорема 9.2 (о непрерывном расположении сущест-
существенно особых точек голоморфной функции). Пусть об-
область D над пространством С" служит областью меро-
MQpфнocmu функции f(z). Если при некотором е^>0:
1) для всех v=l, % ... замкнутые круги S^CZD, где
5, = {|^i —ai|<e, Zj = aU, J=2, ..., п}, Нш а^==а/,
— J ^ v -» со '
2) существует lim S^ = S0CZD-\-dD,zde S0{\zx— ai\<C
v ->oo ~
<e, z] = aj, j =2, ..., n};
3) окружность dS9CZD;
то и круг So (Z D.
В (однолистной) области мероморфности D(ZCn положе-
положение точек z (^ D полностью определяется их координатами.
В этом случае теорему 9.2 можно сформулировать следую-
следующим образом.
Теорема 9.2t. Пусть (а1г ..., ап)(^Сп — граничная
точка области D(ZCn мероморфности функции f(z).
Ее ли при некотором е^> 0 окружное ть {l^ — ai[ :=e, Z
/=2, ..., и)СД то можно указать такое число
что на всяком замкнутом круге {|zt — a^^e, Zj = bj,
у = 2, ..., п), где \bj — aj\<^b, будут точки, не принад-
принадлежащие области D.
Теорема 9.2t по существу остается в силе, если D —
область над пространством С1, но имеет однолистную под-
подобласть, примыкающую к точке а.
Мы ограничимся доказательством теоремы 9.2t для слу-
случая двух переменных и положим а^ = а% = 0.
По условию функция f(z) мероморфна во всех точках
Ре(ее'е, 0), где 0^е^2тс. В некоторой окрестности Ub

166 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
каждой точки Ре эта функция может быть представлена в виде
отношения двух голоморфных функций. Точки {Ре} образуют
замкнутое множество. Поэтому можно так выбрать среди
них п точек (?А, 0), ?А=ее'е*, k=l, ..., п, что их окрест-
окрестности U6k {\zx — СА | <С р, I ^21 <С Р'} = Uk покроют всю окруж-
окружность {|.г1| = е, ,г2 = 0}. Мы рассмотрим те окрестности Uk,
в которых функция f(zb z%) не является голоморфной; там
и в силу подготовительной теоремы 4.1 Вейерштрасса (у нас
С* (С*, 0) = 0)
С* (г., г2) = z? [(г, - С,)"* + Л^) (г, - С*) т* " ' +...
(*1, **)¦ B-Ю)
Пусть N=max (slt ..., sn). Мы возьмем вместо f{zb z2)
функцию fi(zb z^ — z^ffa, z2). Очевидно, что все sk для
функции /t (zb z2) оказываются равными нулю, в чем легко
убедиться, если подставить в B.9) z~N fx (zu z2) вместо
f(z\, z%) и затем рассмотреть аналогичное B.10) разложение
знаменателя для функции /t (zlt z<j). Далее ясно, что сущест-
существенно особые точки функций f{zb z2) и /t (zu z2) совпадают,
и поэтому мы можем взять f\(zx, г2) вместо f(zb г2); мы
обозначим /j (zj, z2) снова через /(^i, ^2) и будем далее счи-
считать в равенствах B.10) sk = 0.
Число р можно взять так, чтобы при 0 <^ | zx — Cj | ^ р
функции Ck(zb 0) не обращались в нуль (для этого число
окрестностей Uk, возможно, придется увеличить). После этого
можно считать установленным, что все существенно особые
точки f(zu z<j), лежащие в некотором кольце {е — ^i^l^i]"^
<О -J- ty Z2= ^}» находятся среди точек СА. Поэтому в точках
окружности {|2i|=y, г2 = 0}, где е — Yi<T<Ce+Yi>
f т^ е, функция /(Zj, z2) будет голоморфной. Это значит,
что функция f(zu z2) голоморфна во всех точках (zlt z2)
при fi ^ I zi I ^ Та> 1^81=^8. (Здесь fi» Та и ^ выбраны над-
надлежащим образом.) Пусть z'?' взято так, что | z'?' \ <^ Ь. Мы
предположим, что наша теорема неверна, и допустим, что
функция f(zu z2) может быть мероморфно продолжена во
все точки (zlt zjj01), где l^il^Ta- Тогда, очевидно, что функ-
функция f(zu z2) будет мероморфной и в точках (гъ z^j, если

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 167
l^il^Ta и I zi—2g" |г^ц. Здесь ц— надлежащим образом
выбранное положительное число: мы возьмем р так, чтобы
круг | zt — z'i' | ^ (J. лежал ннутри круга | za | <[ 8. Тогда функ-
функция f(Z\, z%) будет голоморфной в бицилиндрической области
{ Ti ^ \zi I ^Ъ< \zi — zi' I ^ (*¦} и может быть мероморфно
продолжена на бицилиндрическую область {| zt | ^ fa,
| za—zjj"' I г=: (j,}. Таким образом, все предположения леммы пре-
предыдущего пункта о мероморфном продолжении функции вы-
выполнены. В силу этой леммы, если мы представим f(zlt za)
в бицилиндрической области {fi ^ | ^i | ^ Та> I ^а— ^я" I *=== I4}
рядом Лорана
V = СО
011
(где функции ?v (z2) голоморфны в круге | za — za011 ^ (J.), то
будут выполняться соотношения
= 0. B.12)
Здесь v = — 1, —2, ...; функции Ло (г'а). ^lfo). ..., At
голоморфны в круге |za — za0)|^(j. и не равны все тож-
тождественно нулю. С другой стороны, функция f(zb za) голо-
голоморфна и бицилиндрической области {fi ^ I ^11 <С Тз» I гч I *== Ц
и может быть в этой области представлена рядом Лорана
вида B.11). Так как круг |za — za°'|^(j. составляет часть
круга |2а|<С?>, то ряд Лорана, представляющий функцию
f{z\, га) во всей бицилиндрической области {fi =^ | ^i | ^ Т>
I zi I ^ Ц, должен совпадать с рядом B.11) при | za — za011 ^ (J..
Это означает, что функции g^(z^) могут быть аналитически
продолжены на круг |га|^8, и разложение B.11) будет
давать функцию f(zu га) во всей бицилиндрической области
Мы рассмотрим теперь бесконечную систему линейных
уравнений
teV-j (z*) + 5i^w (^a) + • • • + «»ft (^0 = О- С2-13)
В соответствии с B.12) система уравнений B.13) в круге
I zi — ^я" I *^= h составляющем часть круга |га|^8, удовле-
удовлетворяется величинами
k = 0, I, 2, ..., /,

1б& голоморфные Функции в областях наложения [гл. it
не равными тождественно нулю. Это означает, что число не-
независимых уравнений системы B.13) в круге \z3— .г^01!^^
будет <;/. Но это обстоятельство выражается соотноше-
соотношениями между величинами ^„(Zg) (они будут состоять в тож-
тождественном обращении в нуль ряда определителей, составлен-
составленных из величин g^ (z%)), которые благодаря голоморфности функ-
функций ?v (z2) в круге | z21 s^ 8 будут иметь силу во всем
этом круге. Отсюда следует, что в круге | z%1 ^ 8 будет су-
существовать система решений уравнений B.13), не состоящая
целиком из тождественных нулей, и, таким образом, функции
gv(z%) удовлетворяют там соотношениям вида B.12). На
основании нашей леммы можно заключить, что функция
f(Z\, z%) может быть мероморфно продолжена на весь
замкнутый бицилиндр {l^il^e, l^l ^ ^>}> и, в частности, в
точку @,0). Это противоречит условию теоремы, и мы долж-
должны отбросить сделанное допущение как неверное.
Наша теорема доказана.
6. Обобщение теорем о непрерывном расположении осо-
особых и существенно особых точек. Аналитические плоско-
плоскости, рассматриваемые в теоремах 9.1t и 9.2j, можно заме-
заменить аналитическими поверхностями. В результате можно
получить существенное обобщение этих теорем.
Определение. Рассмотрим в пространстве С"
переменных zb ..., zn семейство комплексно одномерных
аналитических поверхностей
(Д.) Tyfa zn> <*з an) = °. J =2. •••• п.
Здесь (<х2, ..., <х„) — точка некоторой области G пространства
комплексных переменных <х2, ..., ап. Для каждой точки а0 (^ О
<?j — голоморфные функции переменных z в окрестности
UaCZO1 каждой точки а (^ Еао\ для каждой точки z (^ Ua
ср;-—голоморфные функции переменных а в некоторой ок-
окрестности Vao точки а01).
Семейство {Еа} называется правильным в окрестности Ua
некоторой точки а (^ С", если:
1) существует такое <х = а°, что а^Еао;
1) В силу теоремы 1.6 Гартогса отсюда следует, что функции
4j в соответствующих областях Ux V голоморфны по совокупности
переменных.

§ 9] ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 169
2) через каждую точку z (^ Ua проходит одна и только
одна поверхность семейства Еа (это имеет место, если яко-
якобиан (¦—¦] ¦ф О, т. е. если уравнения поверхностей семей-
семейства {?¦„} могут быть в некоторой окрестности Ua X Veo
каждой точки (а, а0) записаны в виде
(?a/i,«o) <l>y-(*i, ..., zn\ о,а°) = ау, j = 2, ..., ri);
3) поверхности Ea состоят из обыкновенных точек.
Имеет место
Теорема 9.3. Пусть а?С — граничная точка об-
области D ? С голоморфности или мероморфности функ-
функции f(z), {Еа}—семейство аналитических поверхностей,
правильное в некоторой окрестности Ua точки а. Тогда,
если точка а ? Еа() и [(Еа() f) Ua) \а]СД то сущест-
существует такая окрестность Vao точки <х°, что для каж-
каждого а (^ у„о множество Uaf]Ea содержит точки, не при-
принадлежащие области D.
Доказательство. Запишем уравнения поверхностей
нашего семейства в форме ?а/аао. В соответствии с усло-
условием 3) правильности этого семейства предположим, что
(yj. •••¦ Чу _? а Рассмотрим отображение
G) w1 = z1 — a1; Wj = <\>j(z\a, a0) —a}, y=2, .... n,
области (JaCZC1 в пространство комплексных переменных да.
Это отображение биголоморфно, так как его якобиан (J^-) =
= (з-/ '"' Л 9^ 0. В результате отображения 7 мы по-
лучаем функцию F(w)=f(z). Точка а переходит при ото-
отображении Т в начало координат, поверхности Ea(~)(Ja в пло-
плоскости Wj^o.] — <х°, у^2, ..., л. Тогда для области Z3* го-
голоморфности или соответственно мероморфности функции F(w)
в начале координат выполняются все предположения теоремы
9.1t или соответственно 9.2^ Мы должны считать установ-
установленным, что на каждой плоскости Wj = const, j = 2, ..., п
в некоторой окрестности начала содержатся точки, не при-
принадлежащие к области D*. Возвращаясь с помощью отобра-
отображения Г от функции F(w) к функции f(z), мы обнаружим,
что утверждение теоремы 9-3 действительно выполняется.

170 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
§ 10. Отображения областей, над пространством Рп,
Внутриразветвленные области
1. Голоморфные отображения областей над простран-
пространством Рп являются частным случаем их непрерывных ото-
отображений.
Определение (голоморфное отображение области
над пространством Рп). Непрерывное отображение T{w =
=w(z)} области D над проективно расширенным простран-
пространством Рп переменных zb ..., zn на область D* над прост-
пространством CZ переменных wlt ..., wm называется голоморф-
голоморфным, если оно ставит в соответствие всякой функции <?(w),
голоморфной в некоторой подобласти D* области D* функ-
функцию сро T=<?(w(z)), голоморфную в подобласти Z3t обла-
области D. Здесь область Dt = T D*.
Если область D* является подобластью области ф* над
пространством С^> то говорят, что Т является голоморфным
отображением области D в область ф*. Отображение D-+D*
иногда называют сюръективным голоморфным отображе-
отображением. Если Е — подобласть области D, то отображение Т,
рассматриваемое только для точек области Е, называется
ограничением этого отображения и обозначается символом Т\е.
Данные нами определения легко распространяются и на
случай открытых множеств над пространством Р".
Отображение Т области D называется голоморфным в
точке z G А если существует такая подобласть Z3t 3 z об-
области D, в которой это отображение голоморфно.
Замечание. Из сказанного вытекает, что в разбирае-
разбираемом случае все функции wk (z) (где wk — соответствующая
координата) голоморфны в области Д поскольку всегда можно
положить <f(w)^wk (k^l, ..., т). Легко видеть, что в
случае, когда область D* однолистна, голоморфности функ-
функций wk(z) (k=l, ..., т) достаточно для голоморфности
отображения w^w(z).
Простейшим примером голоморфного отображения может
служить соответствие z-+z (где z (^ D, z (^ D, D — область
над пространством Р"). Заметим, что обратное соответствие,
при котором образ исходной области /^'(область D) не явля-
является однолистным, не будет даже однозначным.

§ 10] ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РП И1
Обратимся к рассмотрению случая, когда т^п. Усло-
Условимся называть отображение Т {w = w (z)} области D над
пространством С^ в область D* над пространством С^ би-
голоморфным или псевдоконформным, если как оно само,
так и обратное ему отображение Т~1 области T(D) на об-
область D являются голоморфными. Заметим, что голоморфное
отображение бесконечной области не может быть в нашем
смысле биголоморфным, так как его обратное отображение
заведомо не является голоморфным.
Аналогично вводится понятие отображения, биголоморф-
ного в некоторой точке z ?D.
Из определения голоморфного отображения вытекает, что
биголоморфное отображение является гомеоморфизмом.
Теперь предположим, что в некоторой области D над
пространством Сп переменных zu ..., zn нам даны голоморф-
голоморфные функции wk = wk(z) (k=l, ..., п). Тогда они ставят
в соответствие каждой точке z^D некоторую точку w про-
пространства Cnw переменных х&\, ..., wn. Ее координаты будут
определяться из равенств
wk = w$(zb ..., zn), k = l, .... n,i = 0, 1, ... B.14)
Здесь индекс I принимает значения, указывающие на номер
элементарной области о; ^z и соответствующего функцио-
функционального элемента голоморфной функции wk(z). Всегда
можно предположить, что этот номер один и тот же для всех
функций wk(z) при k^l, ..., п. Мы обозначим множество
подобных точек w через D*. Тогда оказывается справедливой
следующая теорема, существенно дополняющая теорему 7.1:
dw {\ {l
dw
Теорема 10.1. Если якобиан -=— =
у дг
дг д(ги ..., «„) '
j = 0, 1, ..., вычисляемый из равенств B.14), не обра-
обращается в нуль в области D, то над множеством D*
(которое в этом случае является областью) можно оп-
определить такую область наложения D*, что соотноше-
соотношения B.1) будут определять биголоморфное отображение
области D на эту область D*.
Доказательство. Пусть z—>произвольная точка об-
области D. Тогда, в силу теоремы 7.1, существует такая окре-
окрестность этой точки Uz в области Д что функции B.14) биго-
ломорфно отображают область Uz на некоторую окрест-

Wl ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ |>Л. И
ность Vw точки w («)W(z), ..., w^(z)). Здесь номер i под-
подбирается так, чтобы z ? о;, окрестность Uz выбирается так,
чтобы область Vw являлась полицилиндром S(w, г) с цент-
центром в точке w радиуса г.
Теперь возьмем в качестве исходной точку z9 (^ D и ее
окрестность ?/*„. Пусть им соответствуют точка wu и поли-
полицилиндр S(W(,, ro) = So- Мы выберем в нем счетное, всюду
плотное множество точек да,-, соответствующих точкам zt из
окрестности UZo (образующим там также всюду плотное мно-
множество). Каждая точка wi будет центром полицилиндра S{,
соответствующего окрестности Uz. точки z,% Затем в каждом
полицилиндре St мы возьмем всюду плотное множество то-
точек Wij\ им будут отвечать точки z;j из окрестности Uz. и
т. д. Действуя таким образом, мы получим последовательность
полицилиндров {Sp}. Мы определим для них постоянные ерд
равными 1 или 0 в зависимости от того, имеют или нет
область Up и Vq общие аналитические точки. Тогда совокуп-
совокупность {Sp, epq} определит конечную область наложения D*.
Отображение B.14) области D на область D* является голо-
голоморфным и взаимно однозначным.
Из теоремы 7.1 далее следует, что функциональные эле-
элементы
zk = zf (wlt ..., wn), k = l, ..., щ /7 = 0, 1,..., B.15)
определяющие указанное выше отображение каждого поли-
полицилиндра Sp на соответствующую область Up, голоморфны
в этих полицилиндрах. Функции z$ (w) и z$ (w), определен-
определенные в элементарных областях Sp и Sq, совпадают между со-
собой в их общей части, если spq = 1 (что следует из способа
выбора ерД Таким образом, определенные в элементарных
областях Sp голоморфные элементы z<p> (w) являются анали-
аналитическим продолжением одного из них и определяют в обла-
области D* голоморфную функцию zk(w). Теперь, учитывая еще
однозначный характер отображения B.15) области D* на
область D, очевидно, что это отображение является голоморф-
голоморфным. Утверждение теоремы доказано.
Из теоремы 7.3, очевидно, вытекает, что если в какой-
либо точке z?D якобиан -^- = 0, то нельзя определить та-

§ 10] ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РП 173
кой области D* над пространством переменных W\, ..., ¦ffi>n,
на которую бы функции B.14) биголоморфно отображали
область D.
2. Отображения с равным нулю якобианом. Рассмотрим
снова область D над пространством С" переменных zu ..., zn,
голоморфные и этой области функции wk = wk(z) (k = 1,..., п),
мпожестно D* точек w пространства Cnw переменных wlt ...
..., wn, которое эти функции ставят в соответствие точкам
z (^ D. Координаты этих точек w будут, как и прежде, опре-
определяться из равенств B.14). Мы обозначим через т определен-
определенное таким образом отображение области D на множество D*.
Предположим, что якобиан -^— функций B.14) тождественно
не рапен нулю в области D, но обращается в нуль в этой
области на некотором множестве Е. Пусть Z30 — множество
точек области D, остающееся после исключения точек мно-
множества Е.
Покажем, что множество Do является областью. В самом
деле, очевидно, что если в точке z ? D якобиан -^-- ^? 0, то
он отличен от нуля и в некоторой окрестности точки z, ко-
которая, таким образом, также принадлежит к множеству ?H.
Связность области не может быть нарушена исключением из
области D точек, для которых якобиан -^—^0, так как эти
точки образуют одну или несколько комплексно (л—^-мер-
(л—^-мерных аналитических поверхностей. В силу теоремы 10.1 с по-
помощью функций B.15) может быть определено (наряду с ото-
отображением т области D на некоторую область D* простран-
пространства С" переменных wu ...,wn) биголоморфное отображение Т
области Д) на некоторую область Z3J над этим пространст-
пространством С". Точки множества Е принадлежат к границе области Z30.
w
Рассмотрим результат применения отображения т к точкам
этого множества. Его образом, очевидно, будет служить не-
некоторое множество геометрических точек Е* d C^, над кото-
которым расположатся (определяемые в соответствии с положе-
положениями п. 6 § 8) граничные точки области Щ\ Пусть, напри-
например, в точке a?D якобиан -g- = 0 и точка w = b ? Е*

174 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. It
является образом точки а при отображении B.14). Тогда
возможны два случая:
1 случай. В некотором полицилиндре Ua = S(a, e) ра-
радиуса е, кроме самой точки а, нет больше точек z (^ т^та),
т. е. точек, для которых zz^b.
2 случай. В любой окрестности точки а есть еще дру-
другие точки г^1~1(ъа), т. е. точки, для которых xz = b.
Рассмотрим эти случаи более подробно. ~
1 случай. Возьмем элемент ог области D, содержащий
точку а и соответствующие функции B.14). Благодаря на-
нашему предположению для них в точке z = а выполняются
условия теоремы 7.2 Осгуда (см. п. 2 § 7). В силу этой
теоремы система уравнений B.1) для надлежащего индекса i
имеет в окрестности Ua точки z=a m решений:
(t-1)zjk'>w=*j|>w(Wl, ..-, «»„); *=i, ..., я; s=i, ...,т,
B.16)
определяющих в некоторой окрестности Vb^xUa точки
w = b отображение т, обратное отображению т. Здесь т —
степень соответствующего псевдополинома A.93), причем
в разбираемом случае от^>1. Каждой точке w (^ Vb, не при-
принадлежащей к множеству Е* '), отображение т сопоставляет
') Легко видеть, что в пределах окрестности Vb множество Е*
совпадает с дискриминантным множеством Д соответствующего
псевдополинома A.93). Действительно, множество Д определяется
уравнениями r(z2l) wit яу2) = 0, Г^а (z2) wu ге»2) = 0 (мы ограничи-
ограничиваемся случаем двух переменных; индекс i мы опускаем). Тогда
в силу соотношений B.1) в точках ^Д?/
—— = 0- дг I dr dwi I dr_ д®ъ
Так как в точке да?Д производная Г^ =0, то в соответствующей
.точке z^t~»A якобиан -^— = 0. Отсюда следует, что эта точка z?E,
а точка w = iz?E*. Случай, когда точка (z2, Wi, w2) (гдеа»1,щ»2 —
координаты точки w, z2—координата точки z = iiw) является осо-
особой точкой поверхности Г = 0 в^ шестимерном пространстве пере-
переменных z2, wh Wi (в ней Г^з = Г^=Г^=0) требует специаль-
специального исследования, на котором мы не останавливаемся.
Установление обратного соответствия не вызывает затруднений.

§ 10] ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НАД ПРОСТРАНСТВОМ Р" П5
т различных точек г?(w)(s=l, ..., т) области Z30. Отсюда
следует, что (в силу взаимной однозначности биголоморфного
отображения Т области Do па область D%) над геометриче-
геометрической точкой w лежит m различных точек этой области D%.
При стремлении точки w к точке Ъ точки zs (w) стремятся
совпасть друг с другом. Отсюда следует, что над точкой Ъ
расположена одна граничная точка Ъ области D*. В соответ-
соответствии с определением, данным в п. 6 § 8, эта точка Ъ ока-
оказывается /«-кратной точкой ветвления области D%. Рассуждая
таким же образом, мы определим лежащее над Е* множество Е*
точек ветвления области D%.
Легко видеть, что если множество Е* связно, то все
принадлежащие к нему точки ветвления области Z5* имеют
один и тот же порядок т. Это вытекает из того, что этот
порядок является целым числом и непрерывной функцией
положения точки w. Если множество Е* распадается на не-
несколько связных составляющих, то точки ветвления обла-
области Z3q. принадлежащие к той же самой составляющей мно-
множества Е*, имеют одинаковый порядок ветвления.
Мы продолжим отображение Т на точки множества Е, поло-
положив 6 = Та для точек а (^ Е; тогда Е* = ТЕ. Рассмотрим рас-
расширенную окрестность Vb(Dfj) граничной точкиЪ в области D*.
Из наших рассмотрений вытекает, что после своего продолже-
продолжения Т является гомеоморфным отображением окрестности Ua
точки г = а на эту расширенную окрестность Vb(JD%) точки Ъ.
Функции 2<?>(та>)(? = 1, ..., п; s=l, ..., m) не могут
быть голоморфными для всех k во всей окрестности Vb и,
в частности, в точке w = b (в противном случае они должны
были бы совпадать друг с другом для всех s). В соответст-
соответствии с определением, данным в п. 2 § 9, точка w = Ъ является
точкой ветвления для аналитической функции zk (w); функции
z$ (w) являются голоморфными ветвями этой функции.
В соответствии со сказанным точка w^b называется
точкой ветвления непрерывного отображения Г, обрат-
обратного голоморфному отображению Т.
2 случай имеет место, когда в любой окрестности
точки z^a имеется бесконечное множество точек, перехо-
переходящих при отображении т в точку w = b. В этом случае

176 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
точка z = а называется исключительной или особенной для
голоморфного отображения т. Само отображение т тогда
называется исключительным или особенным в окрестности
точки z = а. Эта точка также называется исключительной
или особенной для биголоморфного отображения Г области D
на область D*.
Примером1) здесь может служить отображение w^^z^z^,
¦ш2^2. Все точки плоскости z% = 0 оно переводит в начало
координат пространства переменных wb т% — точку 1^ = 0,
¦ш2:=0. Это отображение является исключительным в окре-
окрестности всех точек плоскости 2 = 0.
Отображение т, обратное этому отображению, имеет
вид: Zi^—-, г<1^т%. Точка zoj^O, w^^O является точ-
точкой неопределенности для функции Z\ (w). Очевидно, что
всякий раз, когда хотя бы одна из функций zk (w), задающих
отображение т, имеет точку w=b своей точкой неопреде-
неопределенности, отображение т имеет точку z = а (где 6 = та) своей
исключительной точкой.
Характерное отличие разбираемого случая от предыдущего
состоит в том, что теперь нельзя так продолжить биголо-
морфное отображение Т в граничную точку z = а области D,
что обратное отображение Т1 стало бы непрерывным в этой
точке. Это легко видеть на нашем примере. Отображение т
переводит любую окрестность точки wt = 0, w% = 0 в область,
содержащую всю плоскость га = 0. Оно терпит в точке w1 = 0,
¦ш2^0 неустранимый разрыв.
Заметим, что когда комплексная размерность пространства
больше двух, то в окрестности исключительной точки z = а
отображения т и вне поверхностей, переходящих вместе
с точкой z — а в точку w = b, может лежать бесконечное
множество других исключительных точек этого отображения.
Например, при отображении
точки (zu 2a, z3), переходящие в точку w1 = w% = w3 = 0,
заполняют комплексно одномерные аналитические плоскости
1) ,г2 = ,г3 = 0, 2) 2-3 = 2-! = 0, 3) zx = 2а = 0. Между тем
') Заметим, что функции, рассмотренные в примечании, на стр.
126—127, также определяют исключительное голоморфное отобра-
отображение в окрестности всех точек плоскости 1 4- г\ + z% = 0-

§ 10] ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РП 177
исключительные точки голоморфного отображения B.17) за-
заполняют комплексно днумерные аналитические плоскости
Zj = 0, 2а = 0, Z3 = 0.
Замечание. Следует еще отметить, что, как это выте-
вытекает из подготоиителыюй теоремы Вейерштрасса, точки z,
п которых якобиан ^— (не тождественно) равен нулю, не
янляются изолированными. Все они или являются прообразами
точек разиетвления отображения т, обратного отображению т,
или — исключительными точками отображения т. ,
В заключение остановимся на случае, когда якобиан -^
функций B.14) равен тождественно нулю в области D. Тогда
отображение B.14) ставит в соответствие области D некото-
некоторое множество поверхностных элементов комплексной раз-
размерности, меньшей п. Размерность этих элементов, как это
вытекает из общих теорем теории неявных функций, зависит
от ранга матрицы рассматриваемого якобиана.
В этом случае отображение B.14) называется выро-
вырожденным.
3. Мероморфные отображения являются обобщением
голоморфных отображений.
Определение (мероморфное отображение в узком
смысле плоской области над пространством Рп). Непре-
Непрерывное отображение Т области D над проективно расши-
расширенным пространством Р™ переменных zlt ..., zn на область D*
над проективно расширенным пространством Р^ переменных
wt wm называется мероморфным (в узком смысле), если:
1) оно голоморфно во всех точках z ? D, которым соот-
соответствуют конечные точки Tz = w ? D*; 2) в точках z ? D,
которым соответствуют бесконечно удаленные точки Tz^
^w ? D, является голоморфным отображение яГ. Здесь те —
соответствующее проективное отображение A.76), переводя-
переводящее точку w^ Tz в конечную точку w.
Отображение Т области D называется мероморфным
(в узком смысле) в точке z ? А если существует такая
подобласть D\ 3z области D, в которой это отображение
мероморфно.
Само собой разумеется, что в определении мероморфного
отображения в узком смысле можно ограничиться рассмотре-
рассмотрением проективного отображения тс частного вида.

178 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Замечание. Аналогично определяется мероморфное
отображение областей над пространством теории функций.
Мы, в частности, получаем подобное отображение, если за-
зададим в области D (которую можно взять над комплексно
проективным пространством или над пространством теории
функции) т мероморфных функций, не имеющих в этой об-
области точек неопределенности.
Отказ от последнего требования приводит к неоднознач-
неоднозначным отображениям. Подобные отображения более общего
вида в ряде работ также называются мероморфными. Мы рас-
рассмотрим подобные отображения во второй, специальной части
настоящей книги. В дальнейшем при рассмотрении мероморф-
мероморфных отображений слова «в узком смысле» будут опускаться,
если это не может повести к недоразумениям.
Обратимся к рассмотрению случая, когда т^п. Условимся
называть отображение Т {w = w (z)} области D над простран-
пространством Р* на область D* над пространством Р^обобщенным
биголоморфным или бимероморфным в узком смысле, если
как оно само, так и обратное ему отображение Т~1 области D*
на область D являются мероморфными в узком смысле. Ана-
Аналогично вводится понятие обобщенного биголоморфного отоб-
отображения в некоторой точке z ?D.
Теоремы 7.1, 7.3 и 10.1 легко распространяются на слу-
случай мероморфных отображений. Пусть в области D над про-
пространством Рпг задана система п мероморфных функций
т [wk = wk(z), k=l n). Для того чтобы система т опре-
определяла обобщенное биголоморфное отображение области D
на некоторую область D* над пространством Р^, оказывается
достаточным отличия от нуля якобиана этой системы функ-
функций в области D. При этом если обе точки z и w^zz ко-
конечны, то указанный якобиан строится по обычным правилам.
Если точка z0 конечна, а точка Z0o = xzo является бесконечно
удаленной, то в окрестности точки z0 этот якобиан берется
д (jsj-i 'is) \
в виде ¦., '"'—y~ . Здесь в точках z этой окрестности,
o(zu ..., zn)
имеющих конечные образы w = xz,
*»(*)=3J§. **(*>=шт®;
?=!,..., v— 1, v-fl,..., n. B.18)

§ 10] ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НАД ПРОСТРАНСТВОМ РЛ 17§
В точках z этой окрестности, имеющих бесконечно удален-
удаленные образы w = tz, берутся аналитические продолжения функ-
функций B.18). Номер ч определяется положением бесконечно
удаленной точки wu (см. по этому поводу п. 3 § 5).
Если, наоборот, точка z0 является бесконечно удаленной,
а точка и>0 = т,г0 конечна, то рассматривается якобиан
d(wlt..., wn)
~zk = T' 2v = T> k = l v—1, v+1 n B.19)
(при надлежащем выборе номера v). Наконец, если обе точки
Zq и Wq^tZq являются бесконечно удаленными, то рассматри-
, д (wu.... й>„)
вается якобиан , — „"' , где переменные z и w опре-
деляются из соотношений ('2.18) и B.19).
Результаты п. 2 настоящего параграфа также распростра-
распространяются на случай мероморфных отображений.
4. Комплексно униформизируемые граничные точки
областей над пространством Р". Внутриразветвленные об-
области. Определение (комплексно униформизируемая
граничная точка). Граничная точка Ъ области D над проективно
расширенным пространством Р1 переменных z1,..., zn назы-
называется комплексно униформизируемой, если существуют
функции T{zs = <ps(ti,..., tn)}, мероморфные в полицилиндре
U{\tk\<^\, k=l п} с центром в точке ?=0, гомео-
морфно отображающие этот полицилиндр на расширенную
окрестность Voip) точки Ъ в области D, переводящие точку
f=0 в точку z = Ъ ').
Из теоремы 7.3 вытекает, что если якобиан отображе-
отображения Т в точке t = b равен нулю, то точка Ъ является точкой
ветвления области D. В этом случае точка Ъ называется ком-
комплексно униформизируемой, точкой, ветвления, переменные
tt tn — локально комплексно униформизирующими
параметрами в окрестности точки Ъ.
Выше мы изучили свойства подобного отображения, пере-
переводящего полицилиндр U на расширенную окрестность точки
ветвления Ъ порядка т в области D (см. рассмотрения,
) Общее определение униформизируемой точки пространства
to RRPTTPHMM.
см. во введении

180 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОЁЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
относящиеся к 1 случаю в п. 2 настоящего параграфа; там
нашей области D соответствует окрестность Vb(D%), пере-
переменным t — переменные z). Мы видели там, что эта точка
ветвления принадлежит к множеству Е* = ТЕ, где/: — сово-
совокупность аналитических поверхностей, определяемых уравне-
уравнением ^| = 0. Здесь -~г— якобиан отображения Т. Этот яко-
якобиан вычисляется по обычным правилам, если точка Ъ ко-
конечна; если Ъ — бесконечно удаленная точка, то его следует
вычислять по правилам, указанным в предыдущем пункте
настоящего параграфа. Все точки ветвления области D, лежа-
лежащие в некоторой достаточно малой расширенной окрестности
точки Ъ, имеют один и тот же порядок ветвления.
Заметим, что области наложения над пространством Рп,
в том числе области голоморфности и мероморфности, могут
обладать как комплексно униформизируемыми, так и ком-
комплексно неуниформизируемыми граничными точками (см. п. 4
§ 14 гл. III). В соответствии с этим мы условимся называть
униформизируемыми особыми точками голоморфных и
мероморфных функций комплексно униформизируемые гра-
граничные точки их областей существования (голоморфности и
мероморфности). Их остальные особые точки мы будем назы-
называть неуниформизируемыми.
Заметим, что далее представляется полезным расширить
понятие области наложения над пространством Рп. К числу
точек такой области можно присоединить также комплексно
униформизируемые граничные точки области. Получающееся
при этом множество, очевидно, оказывается областью, так как:
1) расширенные окрестности комплексно униформизируемых
точек, гомеоморфны единичному полицилиндру, и 2) вместе
с каждой такой точкой присоединяются и «соседние» ком-
комплексно униформизируемые граничные точки, лежащие в рас-
расширенной окрестности этой точки. Если в числе присоеди-
присоединяемых граничных точек имеются также комплексно унифор-
униформизируемые точки ветвления, то получающаяся область
называется внутриразветвленной. Присоединенные при ее
образовании точки ветвления называются внутренними точками
ветвления этой области или ее внутренними критическими
точками. В дальнейшем, если обратное явно не оговорено,
мы ограничиваемся рассмотрением областей над пространст-
пространством Рп, не имеющих внутренних точек ветвления.

I 11) ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 181
В известных условиях оказыиается целесообразным при-
присоединять к области наложения и ее комплексно неунифор-
мизируемые граничные точки, удоилетиоряющие определенным
условиям. В результате мы приходим к комплексным про-
пространствам, которые, и несколько более общем виде, рассма-
рассматриваются в §§ 14—17 следующей главы.
Заметим, что понятия «область (строго) лежит внутри
другой», «область является подобластью другой», «область
накрывает другую область» легко распространяются на случай
внутриразветвленных областей.
Отметим, что если для отображения B.14) условия теоремы
Осгуда 7.2 выполняются во всех точках Е обращения в нуль
dw
якобиана -т-, то на основании изложенного мы можем сказать,
что функции B.14) гомеоморфно отображают область D на
внутриразветвленную область D*. Мы будем в этом случае
(так;же, как и в случае, рассмотренном в предыдущем пункте)
называть B.14) обобщенным биголоморфным отображением
области D на внутриразветвленную область D*.
Это отображение называется униформизирующим для об-
области D*; переменные Z\,..., zn—униформизирующими пере-
переменными. Теперь мы дадим
Определение (голоморфные и мероморфные функ-
функции во внутриразветвленной области). Функция, определен-
определенная в некоторой внутриразветвленной области над простран-
пространством Рп, называется голоморфной (мероморфной) в этой
области, если она голоморфна (мероморфна) в ее некритиче-
некритических точках в смысле прежнего определения и становится
таковой в ее критических точках в результате перехода
к локально комплексно униформизирующим параметрам.
Определение внутриразветвленной области голоморфности
(мероморфности) не отличается от определения области голо-
голоморфности (мероморфности), не имеющей внутренних крити-
критических точек.
§11. Плоские области, выпуклые относительно
некоторого класса голоморфных функций
1. Классы функций. Пусть К—множество функций,
мероморфных в некоторой плоской конечной области нало-
наложения D над пространством Рп. Это множество К называется
классом функций, если вместе с каждой функцией f(z) оно

182 голоморфные функции в областях наложения [гл. И
содержит: 1) производные от функции f(z) всех порядков;
2) все функции вида A(f(z))p, где А — произвольное ком-
комплексное число, г р — произвольное целое положительное
число.
В соответствии с этим определением класс функций в ко-
конечной области D составляют все функции, голоморфные
в этой области, или все функции в ней мероморфные. Клас-
Классом также является совокупность всех рациональных функций,
всех полиномов, всех мономов вида azPl,..., z%" (где ри...
• • • > Рп — целые числа).
Классами также являются полные семейства голоморфных
функций, играющие важную роль в теории аппроксимации.
Множество функций <&~, голоморфных в некоторой конечной
области D, называется полным семейством функций, если:
1) семейство <Ж~ в алгебраическом смысле составляет коль-
кольцо целостности; 2) для всех v = l,..., n функции /v(z) =
= zi G s^r! 3) все постоянные функции а ? S~\ 4) вместе
с каждой функцией / к семейству <#"" принадлежат все про-
производные от функции /.
Очевидно, что полное семейство функций составляют все
функции, голоморфные в некоторой конечной области D, все
рациональные функции, голоморфные в подобной области,
все полиномы.
В бесконечной области D мы рассматриваем только класс
всех функций, голоморфных в этой области, или класс всех
функций, в ней мероморфных. Рассмотрение других классов
функций в бесконечной области затруднено тем, что мы не
вводим понятия производной от голоморфной функции в бес-
бесконечно удаленной точке. Следует также заметить, что свой-
свойство множества функций быть классом, вообще говоря,
не инвариантно при преобразованиях, используемых при
образовании расширенного пространства. Само собой ра-
разумеется, что этим свойством инвариантности обладают клас-
классы всех голоморфных или всех мероморфных функций в
области D.
Обозначения и определения. 1) Под расстоянием
между двумя конечными точками z' и z" в настоящем
параграфе мы будем понимать большую из величин \z\ — z'k\,
k=l,..., п. Для образования областей над пространством С
мы будем пользоваться наложениями второго вида. Отступ-
Отступления от этого правила будут оговариваться.

§ 11] ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 183
2) Если f(z) — голоморфная или мероморфная в обла-
области D функция, то мы обозначим через sup|/(./W)| верхнюю
границу значений модуля |/(^)| в точках подмножества М
области D.
3) Пусть D — некоторая область, М — какое-то подмно-
подмножество конечных точек областиD,причем УИ<^Ди г—нижняя
грань граничных расстояний точек множества М в области D.
Пусть дано число <7^>0, причем q <V. Совокупность
точек области D, которые отстоят хотя бы от одной точки
подмножества М меньше чем на q, образует открытое под-
подмножество области Д которое мы обозначим символом M{q).
Сверх того мы положим М(г)=Д М(о)=Ж
Теперь предположим, что К—некоторый класс функций,
голоморфных в области D. Тогда оказывается справедливой
следующая теорема об одновременном продолжении класса
функций.
Теорема 11.1'). Если в точке P0?D (где D — ко-
конечная область) для каждой функции f?K выполняется
неравенство
|/(/>) | sup |
то: 1) все функции f^K голоморфны в полицилиндре
S(Л), г); 2) для всех q<^r и всех /? К
sup|/(S(P0, q))\^snp\f(M^)\.
Доказательство. Для упрощения записей мы ограни-
ограничимся в нашем рассуждении случаем двух переменных w, z.
Пусть /(да, z) — некоторая функция, принадлежащая классу К.
1) Рассмотрим открытое множество 7W'*—i'(ti^> 0) и обо-
обозначим sup \f(Mte~'$) | = Af (¦»]). Возьмем точку Q ? М. Тогда
бицилиндр S(Q, q — -ц) лежит внутри множества MS9 — n)t и
поэтому
sup|/(S(Q, q —
Мы напишем неравенство Коши (см. п. 4 § 3 гл. I) для функ-
функции /(да, z)
1
т\р\
dm+Pf(Q)
dw
B.20)
•) См. Картан — Туллен [1].

184 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. И
В силу предположения нашей теоремы и свойства 1) множе-
множества функций, образующих класс, неравенства B.20) будут
выполняться и в точке Ро. Имея это в виду, рассмотрим раз-
разложение функции f(w, z) в двойной степенной ряд с центром
в точке P0(w0, z0)
со
f(w, z)= 2 amp(w — w.nz — zoy. B.21)
m, p = 0
В силу неравенств B.20) для точки Ро мы будем иметь
Таким образом, модуль общего члена ряда B.21) остается
меньше общего члена сходящегося ряда до тех пор, пока точ-
точка P(w, z) находится в бицилиндре S(P0, р), где р<^<7—"»].
Отсюда следует сходимость ряда B.21) в этом бицилиндре.
Затем мы устремим т) к нулю. Тогда р —>• q и, таким обра-
образом, ряд B.21) оказывается сходящимся в бицилиндре
S(P0, q). Число q можно взять как угодно близким к г.
Таким образом, первая часть утверждения нашей теоремы
доказана.
2) Пусть теперь q <^ qx — -ц, где <7i <C г- Тогда для каж-
каждой функции f(^K имеем в бицилиндре S (Po, q)
| f{w, г) | <
т,р = 0
л Aл \w-wtr\z-zt\i> <Л/„ч V дт+р
т, р = 0 т,р = О
Ц- B-22)
1
Теперь мы рассмотрим отношение — \ ) \°' ПРИ Фик"
сированном q для различных tj. !Если мы покажем, что это
отношение всегда'=^1, то этим второе утверждение нашей
теоремы будет доказано, так как тогда и в пределе при
"Ц-*-Я1 — Я отношение будет ^1, и мы получим (при in =
= Ч\ — Я)
sup \f(S(Ро, ф К At (qx — q) = sup

§ llj оёлАсти,выпуклые относительно клАССА функций
Допустим, что для некоторых ttj0 ^> 0 и 9<C?i — '"lo оказы-
оказывается
«up|/(S(P», q))\ ^
Тогда мы рассмотрим функцию
принадлежащую к классу /С (в силу свойства 2) множества функ-
функций, образующих класс). Очевидно, что sup | срр (S (Po, q)) \ =
= <хр. При достаточно большом {р величина ар как угодно
велика. С другой стороны,
Лсрр Ы = sup | срр
Поэтому, в силу B.22), так как функция срр (w, z) ^ К,
sup | срр E (Ро, Я)) I <-^
Таким образом, функции yp(w, p) равномерно ограничены
для всех р в бицилиндре S(P0. Я) и> следовательно,
SUP I 9р E (^о. ?))| не может равняться ар. Мы пришли к про-
противоречию, которое заставляет отбросить сделанное допуще-
допущение. Этим наша теорема доказана.
Для случая произвольной области D над пространством Рп
мы будем рассматривать только класс всех функций, в ней
голоморфных. Для этого класса функций (и области D, ко-
которая теперь может быть как конечной, так и бесконечной)
оказывается справедливой следующая
Теорема 11.2. Если в конечной точке P0^D для
каждой функции f, голоморфной в области D, и неко-
некоторого подмножества M^D, состоящего из конечных
точек, выполняется неравенство
1=^ sup |
то: 1) все функции, голоморфные в области D, голо-
голоморфны в полицилиндре S(P0, г) и 2) для всех <7<V
sup|/(S(P0, ?))|<;sup|/(M(«>)|.
Эта теорема доказывается вполне аналогично предыдущей.

186 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. И
2. /С-выпуклые области. Доказанные в предыдущем
пункте теоремы делают целесообразным введение понятия
выпуклости области относительно некоторого класса голо-
голоморфных функций. Такая выпуклость оказывается одним из
наиболее важных свойств области голоморфности.
Определение (F-выпуклая оболочка множества
в области). Пусть F—некоторая совокупность функций,
голоморфных в области D. Под F-выпуклоЙ оболочкой Мр
некоторого подмножества М области D понимается множество
всех точек z?D, для которых \f(z) |^ sup |/(M)| для всех
функций f(^F.
Если F — совокупность всех функций, голоморфных
в области D, то множество Мр обозначается символом М и
называется голоморфно выпуклой оболочкой множества М
в области D, Очевидно, что множество Мр всегда замкнуто
в области D и содержит множество М.
Мы применим сейчас понятие F-выпуклой оболочки мно-
множества в случае, когда совокупность F представляет собой
некоторый класс К функций, голоморфных в области D.
Определение (К-выпуклость, сильная К-выпуклость,
голоморфная выпуклость, сильная голоморфная выпук-
выпуклость). Пусть К— некоторый класс функций, голоморфных
в области D. Область D называется сильно /("-выпуклой, если
для нее выполняются следующие условия:
1) (условие /С-выпуклости). ./^-выпуклая оболочка каждого
компактного подмножества области D компактна (рассматри-
(рассматривается компактность относительно области D). <
2) (условие /С-отделимости). Для каждых двух различных
точек z', z"?D с одинаковыми координатами найдется такая
функция /?/С что /СО 9*/(*")•
Если класс К— совокупность всех голоморфных в обла-
области D функций, то эти условия соответственно называются
условиями голоморфной выпуклости области и условием
голоморфной отделимости. При их выполнении область D
называется сильно голоморфно выпуклой.
Голоморфно выпуклой, сильно голоморфно выпуклой может
быть как конечная, так и бесконечная область. Для других
классов К понятие АГ-выпуклости, сильной /С-выпуклости
мы применяем только к конечным областям. Свойство области
быть голоморфно или сильно голоморфно выпуклой сохра-

§ 11] ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 187
няется при всех бимероморфных (в узком смысле) отобра-
отображениях, в частности при отображениях, используемых для
образований расширенного пространства.
Заметим, что в случае, когда К—класс всех функций,
голоморфных в области D, условие голоморфной выпуклости
часто оказывается удобным заменять таким равносильным
ему условием: для всякой последовательности точек
zW?D (v = l, 2, ...), не имеющей в области D предель-
предельных точек, можно указать такую функцию f?K, го-
голоморфную в области D, что последовательность |/(z'v>)|
не будет ограниченной.
Заметим далее, что в-случае, когда К — класс всех функ-
функций, голоморфных в области D или когда К—полное се-
семейство голоморфных функций в условии /С-отделимости,
можно вместо точек z' и z" с одинаковыми координатами
рассматривать любую пару точек области D, так как для
точек z', z"?D с различными проекциями роль функции /
может играть одна из их координат.
В 1953 г. К. Ока [1] доказал следующую важную теорему.
Теорема 11.3. Голоморфно выпуклая область всегда
обладает свойством голоморфной отделимости.
Иначе говоря: область сильно голоморфно выпукла,
если она голоморфно выпукла. Понятия сильной голоморф-
голоморфной выпуклости и голоморфной выпуклости между
собой эквивалентны.
Заметим, что при некоторых дополнительных предполо-
предположениях аналогичное предложение имеет место и для областей,
выпуклых относительно полных семейств голоморфных
функций').
Очевидно, что всякая конечная область, выпуклая относи-
относительно некоторого класса голоморфных функций Ki, является
голоморфно выпуклой и относительно класса голоморфных
функций Кь если KiCZK^ Всякая (конечная) область, вы-
выпуклая относительно некоторого класса голоморфныхфункций,
является голоморфно выпуклой.
Теперь мы дадим точную формулировку предложения,
о котором мы упоминали в начале настоящего пункта:
Теорема 11.4. Если D — область голоморфности
некоторой функции /0 и fo(^K, где К—класс, содер-
') См. Беенке — Штейн [2].

188
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. И
жащий эту функцию, то область D является сильно
К-выпуклой.
В частности: всякая область голоморфности голоморф-
голоморфно выпукла.
Доказательство. Допустим сначала, что, вопреки ут-
утверждению нашей теоремы, область D не является /С-выпуклой.
Тогда существует такое компактное подмножество М области D,
/С-выпуклая оболочка которого М не является компактной. Из
предположения о компактности множества |УИ вытекает, что
существует такое открытое множество <М, что MdpS <^ D.
Мы обозначим через <М* совокупность конечных точек мно-
множества aS, через г0 — минимальное граничное расстояние мно-
множества <Ж (или, что все равно, множества aS*) в области D.
В силу нашего допущения /("-выпуклая оболочка М мно-
множества М не является компактной; следовательно, существует
последовательность точек Pk(~M (й=1, 2, ...), расходя-
расходящаяся в области D. Мы выделим из последовательности то-
точек Рк?Р" подпоследовательность, сходящуюся в некоторой
точке P?dD. Затем мы применим, в случае необходимости,
преобразование вида A.76), переводящее точку Р в конеч-
конечную часть пространства. В результате мы получим последо-
последовательность точек Pk?M (?=1, 2, ...), для которых
Hm rD (Pk) = 0. С другой стороны, из того, что
ft-»oo
и нашего допущения следует, что для всех функций ?
будет |/(Pft) |< sup |/(УИ)|< sup \f(oS)\ — sup |/(^*)| (по-
(последнее неравенство вытекает из того, что М (Z вЛ; послед-
последнее равенство вытекает из того, что в любой окрестности
бесконечно удаленных точек множества о/fC имеются ко-
конечные точки этого множества). Тогда в силу теорем 11.1
и 11.2 все функции f(^K голоморфны в полицилиндрах
S(Pk, r0) и, следовательно, могут быть продолжены за пре-
пределы области D. В частности, оказывается возможным про-
продолжение за пределы области D функции /0. Это заставляет
нас отбросить сделанное допущение.
Теперь допустим, что область D не обладает свойством
/С-отделимости. Тогда существуют такие точки Р, P"?D
с одинаковыми координатами, что значения функции /0 и
всех ее производных в этих точках между собой совпадают.
В результате оказывается возможным продолжение функ-

§11] ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 189
ции /0 на область D^>D (причем D = D), в которой точ-
точкам Р' и Р" отвечает только одна точка Р (то же самое
имеет место и для некоторых, достаточно малых окрестно-
окрестностей этих точек). Такой иыиод снопа противоречит предпо-
предположению доказынаемой теоремы, что заставляет нас отбро-
отбросить и второе допущение. Тем самым теорема 11.4 пол-
полностью доказана').
Замечание. Напомним (см. п. 4 § 10), что все наши
рассмотрения относятся к областям наложения над простран-
пространством Р", не имеющим внутренних критических точек. Для
областей наложения, имеющих подобные точки, теорема 11.4,
вообще говоря, не верна. •
Теорема 11.5. Пересечение (конечного или бесконеч-
бесконечного множества) сильно К-выпуклых областей сильно
К-выпукло.
Доказательство. Пусть область D является пересе-
пересечением областей Д, (где v^/V и N—некоторое множество
индексов). Тогда если MCZD — некоторое компактное под-
подмножество рассматриваемых областей, то его /("-выпуклая
оболочка М в области D является пересечением его д'-вы-
пуклых оболочек 7kfv в областях Z5V. Здесь К—некоторый
класс голоморфных функций в областях Д,. Пересечение
л.
компактных множеств 7WV в наших условиях оказывается ком-
компактным множеством; отсюда вытекает /("-выпуклость области D.
Выполнение условия /("-отделимости для области D ус-
усматривается непосредственно из способа построения области
пересечения некоторого множества областей (см. п. 5 § 8).
Из этой теоремы вытекает, что если для каждой гранич-
граничной точки Q области Q над пространством Рп можно ука-
указать такую функцию /q, что: 1) область голоморфности этой
функции DfQ~^>0; 2) точка Q является особой точкой функ-
функции /<э (иначе говоря, эта точка принадлежит к границе об-
области DfQ), то область G является накрывающей для неко-
некоторой области голоморфности.
J) Для ограниченной и конечнолистной области D доказа-
доказательство теоремы 11.4 упрощается. В этом случае АТ-выпуклость
области D следует из того, что в силу теоремы 11.1 MczDr ,. где
/>Го — совокупность точек области D с граничным расстоянием,
Схмьшим чем rQ.

190 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Рассмотрим, например, гипершар | w |2-j-1212 <С *• ^ля
каждой точки (w0, z0) гиперсферы \w |9-|- |z|9 = 1 мы возь-
возьмем функцию : г. Она имеет эту точку полюсом
и голоморфна в гипершаре |и>|2-|4 z|2<^ 1. Следовательно,
этот гипершар (являющийся однолистной областью) будет
областью голоморфности.
3. Достаточный признак области голоморфности. Важ-
Важное значение для дальнейшего имеет следующая теорема,
являющаяся обращением теоремы 11.4.
Теорема 11.6 {Картан — Туллен [ 1 ]). Пусть К—неко-
К—некоторый класс функций, голоморфных в области D. Тогда
если эта область сильно К-выпукла, то она является
областью голоморфности.
Замечание. Если К — класс всех функций, голоморф-
голоморфных в области D, то область D может быть как конечной,
так и бесконечной. В других случаях она предполагается
конечной. Доказательство мы проводим для случая ограни-
ограниченных областей.
Доказательство. 1) Рассмотрим каноническую систе-
систему граничных точек области D (см. п. 6 § 8) Mlt Мъ ...
Мы построим сначала голоморфную в области D функцию,
которая все точки Mt будет иметь своими существенно осо-
особыми точками.
Для этого возьмем счетную последовательность точек Pv,
лежащую внутри области D, со следующими свойствами:
пусть последовательность точек Pv не имеет предельных то-
точек внутри области, а каждая точка Mt является ее предель-
предельной точкой. Тогда, если pv — граничное расстояние точки Pv
в области D, то limpv = 01).
Далее мы рассмотрим какую-либо последовательность
областей Dv(v = l, 2, ...) со следующими свойствами:
а) каждая область Z5V является подобластью области D
б) для каждой области Do, где /50 ^D можно указать
такое число v0, что при v^v0 все области Д, содержат
область Do внутри себя;
') Мы используем здесь условие ограниченности области.
В общем случае подобное заключение в используемой нами мет-
метрике могло оказаться неверным. Оно было бы справедливым в хор-
дальной метрике.

§ 11] ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 191
в) если rv — минимальное граничное расстояние области Д
в области D, то limrv = 0.
v-»oo
Наконец, мы потребуем, чтобы последовательности то-
точек Pv и областей Д были выбраны так, что pv<^rv. Здесь
rv — минимальное граничное расстояние /С-выпуклой оболочки
А.
Д области Д в области D. Тогда для каждой точки Р„
в классе К можно выбрать такую функцию /v(z), что
I/, (/>,)!> sup |/V(Z),)|. B.23)
Допустим, что условие pv<^rv при первоначальном выборе
последовательностей точек Pv и областей Д (удовлетворяю-
(удовлетворяющих . остальным требованиям) не соблюдается. Тогда мы,
пользуясь тем, что Нт Р, = 0 и все Д <^ D найдем для
v~»oo
каждого числа т такую величину N{ni), что при 4^>N(m)
будет pv<^rm. Затем мы выделим из последовательности
{Р„} такую подпоследовательность {Ps }, что: 1) sm~^>N(m),
2) расстояние точки PSm до точки Mtm, где tm=m—211ог2т1-)-1,
будет меньше чем 2~т (это возможно, так как все точки Мг
являются предельными для точек {Pv}). Здесь [loga/ra] — це-
целая часть logjj/ra. Для т=\, 2, ..., числа tm исчерпывают
весь натуральный ряд. После этого мы заменим последова-
последовательность {Pv} последовательностью {Ps }.
Теперь все требования удовлетворены, и соотношение
B.23) имеет место.
Без ограничения общности мы можем положить /,(/\) = 1
(разделив функции на соответствующую постоянную; это не
выводит нас за пределы класса К). Тогда соотношения B.23)
заменятся такими неравенствами:
v=l, 2, ... B.24)
Теперь мы определим целые положительные числа /v(v=l, 2,...)
так, чтобы
v(Dv)fv<^. B.25)
Затем мы образуем бесконечное произведение

192 голоморфные функции в оёлаСтях наложения [гл; и
В силу условия б), наложенного нами на выбор обла-
областей ?)v, и неравенств B.25) это бесконечное произнедение
равномерно сходится в области D. Мы положим
f(z), таким образом, оказывается голоморфной функцией в
области D.
Она обращается в нуль на всех аналитических поверх-
поверхностях /v(z)^l. He более чем конечное множество таких
поверхностей может совпадать между собой. В противном
случае существовала бы бесконечная последовательность
таких значений v1( v2, ..., что точки PV1 оказались бы лежа-
лежащими на всех поверхностях /Vft(z)=l, т. е. для всех значе-
значений k было бы /Vft(.Pvl) = l. Но всегда можно найти такие
области DVft) которые содержат точки /\. Для этих значе-
значений k полученные равенства будут противоречить неравен-
неравенствам B.24).
Каждая точка Mt канонической системы граничных то-
точек является предельной точкой Pv. Поэтому всякая окрест-
окрестность точки Mt будет прорезаться бесконечным множеством
различных нулевых поверхностей /v(z)=l. Но в достаточно
малой окрестности точки, где функция голоморфна, она
(согласно подготовительной теореме Вейерштрасса) может
обращаться в нуль только на конечном множестве аналити-
аналитических поверхностей. Поэтому все точки Mt являются су-
существенно особыми точками функции f(z). Тем самым наше
утверждение доказано.
2) Нет оснований ожидать, что построенная в первой
части нашего доказательства функция f{z) всегда имеет в
двух различных аналитических точках области D с равными
координатами (т. е. с одинаковыми проекциями) различные
функциональные элементы. Мы построим теперь такую функ-
функцию / • ср (где ср (z) — голоморфная в области D функция),
которая будет иметь, так же как и функция f(z), все точ-
точки Mi своими существенно особыми точками, но будет обла-
обладать различными функциональными элементами во всех точ-
точках М^ области D, лежащих над одной геометрической
точкой М. Тогда наша теорема будет полностью доказана.

§ 11] ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 193
Проделаем следующее: из всех пар элементов S,-, Sj ка-
канонического покрытия области (см. п. 4 § 8) выделим те,
для которых егу=ц0, хотя они и имеют аналитические точки
с равными координатами. Мы расположим эти пары в по-
последовательность. Рассмотрим /-ю пару такой последователь-
последовательности— пусть ее состаиляют элементы St и Sj. В элементах
Si и Sj выберем две точки Ml и М'{. с равными координа-
координатами (но они должны быть различными точками области D).
Пусть построенная в первой части нашего доказатель-
доказательства функция f(z) имеет равные функциональные элементы
в точках М\ и Ml'. Выберем из класса К функцию <?i(z),
имеющую в точках Ml и Ml' различные значения (такая
функция обязательно имеется в классе К в силу условия
АГ-отделимости). Если, наоборот, функция f(z) имеет в точ-
точках Ml и Ml' различные функциональные элементы, то мы
возьмем срг(.г)=1. Без ограничения общности мы можем те-
теперь предположить, что произведение /срг имеет всегда в
точках Ml и М'[ различные значения, т. е.
(этого мы можем при необходимости легко достичь неболь-
небольшим сдвигом точки Mt).
Выберем теперь последовательность положительных чисел
оо
¦fy так, чтобы ряд ^ -rjz sup | срг (ZD0) | оказался сходящимся для
всякой подобласти Do, если D0^D. Такие числа т)г легко
находятся диагональным процессом при рассмотрении какой-
либо последовательности областей D^<^D, s=l, 2, ...,
исчерпывающих данную область D.
Затем мы определим положительные числа рг, р<*> так,
ЧТОбы было 0<^Pi<^T)i, И ПОЛОЖИМ
«! = ;>, (M[)f(M[) — cpt (ЛОДМ7) | ф 0. B.26)
Затем мы возьмем последовательность чисел
для 1^1 так, чтобы
2 ) — Ь (Ml')f (Ml') | < и„ B.27)
7 Б. А. Фукс

194 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ. В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
и положим
2), B.28)
где 0<р,<р|11 при 1=2, 3, ... , и 0<р1<т]1. Тогда
функция /Ф в точках УИ^ и М'[ принимает различные значе-
значения, как это непосредственно следует из B.27) и B.26), и
определяет там различные функциональные элементы.
Теперь мы возьмем числа р2, pj2) @ <^ р2 <^ р,11, р}а)
/^3, 4, ...) так, чтобы при
и»=| pi [91 m[)f(M[)—9l (
выполнялось неравенство
Если мы возьмем в B.28) 0 <^ рг <С "»li, О <С] ра <С Ра1'»
О <^ рг <^ рР1 при /^ 3, 4 то определенная там функция Ф(г)
будет такой, что произведение /Ф принимает различные
значения и определяет различные функциональные элементы
как в точках М\ и М", так и в точках М'а и М'^.
Теперь очевидно, как нужно продолжить процесс выбора
коэффициентов рг для того, чтобы функция /Ф имела раз-
различные значения (и определяла различные функциональные
элементы) во всех рассматриваемых парах точек М\ и М'[.
С другой стороны, функция Ф (z) голоморфна в области D.
Поэтому произведение Ф/ имеет все аналитические поверх-
поверхности /v^l( рассмотренные в первой части доказательства
нулевыми поверхностями. Следовательно, все точки рассмо-
рассмотренной там канонической системы будут для функции Ф/
существенно особыми. Таким образом, область D оказы-
оказывается областью голоморфности для функции Ф/. Этим пол-
полностью завершается наше доказательство.
Из теоремы 11.5 вытекает, что пересечение некоторого
конечного или бесконечного множества областей голоморф-
голоморфности представляет собой голоморфно выпуклую область.
Теперь установлено, что голоморфно выпуклая область

§ 11] ОБЛАСТИ, ВЫПУКЛЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА ФУНКЦИЙ 195
всегда является областью голоморфности некоторой функции.
Таким образом доказана
Теорема 11.7. Пересечение (конечного или бесконеч-
бесконечного множества) областей голоморфности всегда яв-
является областью голоморфности некоторой функции.
Оказымается также справедливой следующая
Теорема 11.8. Пусть D — область голоморфности
над пространством Сп переменных zu ..., zn, a Е—об-
Е—область голоморфности над пространством С™ перемен-
переменных W\, ..., wm. Тогда область Dy^E является областью
голоморфности над пространством С" X С™ переменных
*1» •••' zn' Щ Wm.'
Доказательство этой теоремы представляется очевидным.
Как известно, для всякого круга \z — a\<^R можно
указать функцию f(z), голоморфную в этом круге, имеющую
окружность \z — а| = # своей естественной границей: все
точки этой окружности являются особыми точками.
Отсюда и из теоремы 11.8 вытекает, что, например, поли-
полицилиндр {\zk — ak\<^Rk, k~\, ..., п) является областью
голоморфности. Аналогичное заключение справедливо и для
других полицилиндрических областей.
4. Обобщение теоремы о непрерывном расположении
особых точек голоморфной функции. Теорема 11.1 об
одновременном продолжении класса функций позволяет су-
существенно усилить теорему 9.1t Гартогса о непрерывном
расположении особых точек. Так, имеет место
Теорема 11.9 (Беенке — Зоммер [1]). Пусть D(ZCn —
некоторая область голоморфности, области G^ CZ ^
(|х = 0, 1, 2, ...). Здесь F^—гладкая поверхность топо-
топологической размерности k<^2n, на которой примени-
применительно к голоморфным функциям в области D, аналити-
аналитически продолжаемым в некоторую окрестность области
0^, имеет силу принцип максимума (см. и. 7 § 4), причем
lim F^^Fq, lim G^^Go, lim dG^^dGo,
A-ЮО [1-ЮО A-»CO
где область Go ограничена и dGa d D. Тогда, если в
области Go есть точки, не принадлежащие к области D,
можно указать такое число М~^>0, что при |х^>М
каждая область G^ будет содержать точки, не- при-
принадлежащие к области D.
7*

196 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Замечание 1. Здесь последовательность топологически
А-мерных поверхностей /^dС™(t* == 1, 2, ...) называется
сходящейся к поверхности Fo (Z С", если:
1) для любой точки Ро ? Fo можно указать такую после-
последовательность точек Рр ? Fp (Iх =1» 2> •••)> чт0 lim Pp—P»
и, наоборот, каждая точка Р<, = 1\тРр (где j*=l, 2, ...,
^ (Е ^ii) или принадлежит поверхности Fo или является пре-
предельной для ее точек.
2) для любой замкнутой области OoCZ^o существует
последовательность замкнутых областей О^ СИ F^ (jj. = 1, 2,...)
со следующим свойством: по каждому числу е^>0 можно
указать такое число 7И^>0, что при ^
„ О0).<?-
Здесь dQQp Go)— верхняя грань расстояний точек замкну-
замкнутой области Оц до замкнутой области б0.
Аналогичное понятие сходимости может быть построено
для последовательности множеств F^ СИ С-
Замечание 2. За поверхности F^ в теореме 11.9
можно взять аналитические поверхности, состоящие из
обыкновенных точек, так как для них имеет силу принцип
максимума (см. п. 7 § 4). Тогда теорема 11.9 легко сведется
к теореме 9.3. Если мы возьмем за поверхности F^ аналити-
аналитические плоскости {zj = a&\ / = 2, ... , п}, а за области 0^ —
круги {| Z\ — ai|<^e} в этих плоскостях, теорема 11.9 легко
сведется к теореме 9.11.
Доказательство теоремы 11.9. Пусть область D
является областью голоморфности для функции /(z). Тогда
по условию эта функция голоморфна во всех точках границы
дОй, а следовательно, и в некоторой окрестности ?/(dG0) =
= Do этой границы. Мы выберем область Do так, что D0CZ.D',
пусть граничное расстояние rD(Du) = d.
Рассмотрим класс К функций {g(z)}, который образуют
в области D функция f(z), производные от нее, составленные
из них многочлены и производные от них.
В силу предположений нашей теоремы в области Go
должны находиться граничные точки области D; пусть Ро —
одна из них. Так как поверхности F^ сходятся к поверх-

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 197
ности Fo в указанном выше смысле, то можно указать такое
число Ж^>0, что при ^
Допустим, что сущестпует такое число |хо^>7И, что об-
область O(i0 С-О. Тогда псе функции класса К будут голо-
голоморфны в этой области G^. Так как для поверхности /^
имеет силу принцип максимума, то для всех функций g?K
и точек Р ? G^o
| g(P) | ^ sup | g(dQ^ | ^ sup | g(D,) |.
Мы установили, что для класса К выполняются все условия
теоремы 11.1. Поэтому все функции класса К, в частности
функция f(z), голоморфны во всех полицилиндрах S(P, d),
где Р? Qw
Точку Р^Оро можно выбрать так, что S(P, of) 3 ^V
Это противоречит предположению теоремы 11.9, и мы должны
отбросить сделанное допущение, как неверное.
Наша теорема доказана.
Как выяснили Беенке и Зоммер, если принцип максимума
не имеет силы для поверхностей F^, то утверждение теоремы
11.9 перестает быть верным.
Дальнейшее усиление теоремы о непрерывном располо-
расположении особых точек голоморфной функции принадлежит
Бремерману [3].
Теорема 11.10. Пусть DC С" — область голоморф-
голоморфности, {SJ и {7^} (|а = 0, 1, 2, ...) — две последователь-
последовательности множеств. Если:
1) 5„СД T^CD при ji=l, 2, ...;
2) для любой функции f(z), голоморфной в области D,
и любого числа |х максимум модуля функции f\s и Т
достигается на множестве 7^;
3) существуют lim S^So, Km 7^= То и множества
So и Го ограничены;
то при ГоС/D «
§ 12. Аналитическая выпуклость
1. Аналитическая выпуклость в смысле Гартогса.
Определение. Область D пространства С" комплекс-
комплексных переменных Zi, ..., zn называется аналитически.

198 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
выпуклой в смысле Гартогса в своей граничной точке а,
если:
1) Всякий раз, когда все точки некоторой окрестности
точки а в плоскости Zj = aj, j = 2,..., n, кроме самой
точки а, принадлежат к области Д для каждого числа е^>0
можно указать такое число 8^>0, что каждому числу Ьь
удовлетворяющему условию 0 <^ | Ъх — а.\ | <^ 8, соответствует
точка {Ьь Ьь ..., Ьп), где |Ь} — а}|<е, j=% ... , п, не
принадлежащая к области D.
2) Свойство первое сохраняется при биголоморфных
отображениях окрестности точки а.
Область называется аналитически выпуклой в смысле
Гартогса, если она аналитически выпукла в смысле Гартогса
во всех своих конечных граничных точках. Очевидно, что
граница ограниченной области, аналитически выпуклой
в смысле Гартогса, является совершенным множеством. Пере-
Пересечение областей, аналитически выпуклых в смысле Гартогса,
является областью, аналитически выпуклой в смысле Гартогса.
Теоремы Гартогса 9.1! и Леви 9.2t устанавливают, что
всякая область голоморфности или мероморфности D(Z.Cn
удовлетворяет первому требованию этого определения во
всех своих граничных точках. Второе требование выпол-
выполняется для них в силу самого определения биголоморфного
отображения.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
Область голоморфности или мероморфности DC2C
всегда аналитически выпукла в смысле Гартогса во всех
своих граничных точках.
В определении аналитической выпуклости в смысле Гар-
Гартогса можно (пользуясь второй частью этого определения)
заменить семейство аналитических плоскостей Zj = bj, j =
= 2, ... , п, произвольным правильным семейством комп-
комплексно одномерных аналитических поверхностей (см. п. 6 § 9).
Повторяя вывод теоремы 9.3, мы получим следующее
предложение.
Теорема 12.1. Для аналитической выпуклости
в смысле Гартогса области Dd С в ее граничной точке
а(^Сп необходимо и достаточно, чтобы каждое семей-
семейство {Еа} комплексно одномерных аналитических поверх-
поверхностей, правильное в окрестности Ua этой точки а,
обладало следующим свойством:

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 199
Если точка а ? ЕЛп и [(ZJao f| Ua)—a\C2D, то суще-
существует такая окрестность Vao точки а°, что для
каждого а ? Vao множество Ua [) /;'я содержит точки,
не принадлежащие области D.
Отметим некоторые свойства областей, аналитически
выпуклых в смысле Гартогса.
Теорема 12.2. Пусть Р—точка некоторой гипер-
гиперсферы, Е. Если часть окрестности точки Р, лежащая
вне гиперсферы Е, принадлежит аналитически выпуклой
в смысле Гартогса области DdCn, то и сама точ-
точка Р (^D.
Доказательство". Мы примем точку Р за начало
координат; пусть центром гиперсферы будет точка
(— R, О 0). Тогда плоскость z}- = 0, / = 2, ... , п,
касается гиперсферы Е в точке Р и лежит вне ее.
Допустим, что, вопреки нашему утверждению, Р ? dD.
Тогда, в силу определения области, аналитически выпуклой
в смысле Гартогса, каждому числу zx = \ где 0 <^ т\ <^ 8,
соответствует точка (¦»], z2 zn) ^ D, где все | 2у | <^ е
(/ = 2, ... , п). Число е и 8 мы всегда можем выбрать так,
что точка (т|, .г2 zn) будет принадлежать к части
окрестности точки Р, указанной в условии теоремы 12.2.
Мы пришли к противоречию и должны отбросить наше допу-
допущение, как неверное. Теорема 12.2 доказана.
Теорема 12.3. Пусть %—совершенное множество
точек, Q — произвольная фиксированная точка простран-
пространства С". Пусть существует точка Ро ? $, что d (Q, Ро) ^
^flf(Q, P) для всех точек Р?%> и находящихся в неко-
некоторой окрестности точки Рй. Здесь d — расстояние
между соответствующими точками. Тогда не сущест-
существует области D(ZCn, аналитически выпуклой в смысле
Гартогса, со следующими свойствами:
1) %(Z.dD; в некоторой окрестности точки Яо гра-
граница области D целиком состоит из точек множества %.
2) В окрестности точки Рй область D пересекается
лишь с продолжением отрезка QPo.
Доказательство. Мы примем точку Яо за точку Р
предыдущей теоремы, точку Q — за центр гиперсферы Е.
Тогда, если бы существовада область D с указанными
|| геореме 12.3 свойствами, к ней (в пределах некоторой
окрестности точки Яо) должна была бы принадлежать

200 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
внешность гиперсферы Е. Отсюда, в силу теоремы 12.2,
вытекает наше утверждение.
Из доказанных теорем получаем такие следствия:
Теорема 12.4. Граница области D<Z_Cn, аналитиче-
аналитически выпуклой, в смысле Гартогса, не может иметь
ограниченную изолированную совершенную часть, отличную
от всей границы.
Замечание. Говоря об изолированной части Г границы
dD, мы хотим здесь сказать, что если точка Р ?5 Т, то все
точки границы dD, лежащие в некоторой окрестности
точки Р, также принадлежат к этой части Т.
Теорема 12.5. Если граница дЕ некоторой
ограниченной области ECLC1 лежит в области
D d С, аналитически выпуклой в смысле Гартогса,
то ECZD.
Из последней теоремы вытекает: если функция f(z)
голоморфна (мероморфна) во всех точках границы дЕ неко-
некоторой ограниченной области Е^С" и остается однозначной
при всех своих аналитических (мероморфных) продолжениях
в область Е, она может быть аналитически (мероморфно)
продолжена на всю область Е.
Заметим, что требование однозначности продолжений
функции f(z), существенное для изложенного способа полу-
получения этого предложения, в действительности является излиш-
излишним (см. теорему 21.2 в гл. IV).
2. Аналитическая выпуклость в смысле Леви. Мы огра-
ограничимся сейчас рассмотрением областей голоморфности и
мероморфности в пространстве С2 переменных w = u-\-iv,
z^x-\-iy (общий случай рассматривается во второй части
настоящей книги). В случае, когда границей такой области
служит гиперповерхность класса Чо\ условие ее аналитической
выпуклости в смысле Гартогса можно заменить условием ее
аналитической выпуклости в смысле Е. Е. Леви. Это усло-
условие оказывается геометрически более наглядным и анали-
аналитически легче проверяемым.
Определение (аналитическая выпуклость в смысле
Е. Е. Леей). Гиперповерхность Ф (и, v, х, у) = Ф (w, z) = 0
(или, что все равно, область, примыкающая к этой гипер-
гиперповерхности со стороны Ф<^0) называется аналитически
выпуклой в смысле Леви в обыкновенной точке Р, если в пре-
пределах некоторой окрестности точки Р на всех аналитических

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 201
поверхностях, проходящих через эту точку, имеются еще
точки (кроме Р), в которых Ф Э= 0.
Заметим, что это определение иполне аналогично обычному
определению выпуклости кривой линии на плоскости в неко-
некоторой ее точке Р; только там вместо множества аналитических
поверхностей, проходящих через точку Р, берется пучок
прямых линий с вершиной в точке Р.
Замечание. В дальнейшем, если гиперповерхность Ф = 0
принадлежит к границе dD области D, то предполагается
(при отсутствии оговорок), что область D лежит со сто-
стороны Ф<0.
Если гиперповерхность {Ф = 0} CZ ^ А где область D d С2
аналитически выпукла в смысле Леви, то эта область анали-
аналитически выпукла в смысле Гартогса во всех точках />?{Ф=:0}.
Это непосредственно следует из теоремы 12.1. Имеет место
и обратное предложение. Мы его докажем для гиперповерх-
гиперповерхностей Ф = 0 класса So2.
Теорема 12.6. Если гиперповерхность Ф = 0 класса
ё2 в окрестности своей обыкновенной точки Р служит
границей некоторой области DdC1, аналитически
выпуклой в точке Р в смысле Гартогса, то эта ги-
гиперповерхность аналитически выпукла в смысле Леви
в точке Р.
Доказательство. Часть 1. Прежде всего заметим,
что если ((о, С) — обыкновенная точка некоторой аналитиче-
аналитической поверхности <?(w, z) = 0, то можно следующим обра-
образом построить правильцое в окрестности точки (ш, С) семей-
семейство аналитических поверхностей, включающее поверх-
поверхность ср(яу, z)=;0. Будем параллельно сдвигать все точки
поверхности ср (w, z) = 0, определяя сдвиги ее точек векто-
векторами, постоянными вдоль поверхности (каждая поверхность
семейства определится вектором, задающим сдвиг) и парал-
параллельными некоторой плоскости w — ш=:р(г — С). Здесь р
берется так, чтобы эта плоскость не являлась касательной
к поверхности ср (w, z) = 0 в точке (w, С) (так как (ш, С) —
обыкновенная точка поверхности, это всегда можно сде-
сделать, избегая некоторого определенного значения р). Легко
мидеть, что уравнение построенного таким образом семей-
пма поверхностей запишется в виде
W(w, z, а) = у(w-\-pa, z-\-a) = 0.

202 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Все три условия правильности семейства в нашем случае,
очевидно, выполняются: 1) при а=:0: W(u), С, О) = ср((о, С)=;0;
2) (д—) =p(j%-\ +(r
' \пп /,.ч г п ' \nrtn /,.ч г п >
—, —r . s-, -\-\-л i 7= U, так как плоскость
'а /со, С, 0 r \dw/u>, С, 0 ' \дг/и>, с ^
и; — co = /?(z — С) не является касательной к поверх-
поверхности <p(w, z) = 0 в точке (со, С); 3) по условию для поверх-
поверхности <?(w, z) = 0 точка (со, С) является обыкновенной; мы
можем предположить, что (-^Ч ^0. Отсюда следует, что
0. Итак, семейство аналитических
з-) ^(Л
поверхностей Ф^О является правильным в окрестности
точки (со, С).
Часть 2. Теперь мы обратимся к непосредственной
проверке утверждения теоремы. Допустим, что наше утвер-
утверждение ошибочно и гиперповерхность не является аналити-
аналитически выпуклой в смысле Леви. Тогда будет существовать
аналитическая поверхность, проходящая через точку Р и ле-
лежащая, за исключением этой точки, в пределах некоторой ее
окрестности в части пространства, где Ф<^0. Уравнение
этой поверхности можно всегда представить в виде z = % (w) (см.
формулу B.33!) в доказательстве следующей теоремы).
Далее мы построим правильное семейство аналитических
поверхностей путем сдвигов поверхности z = % (w) (как это
указано в первой части доказательства). Сделать это можно,
ибо уравнение исходной поверхности г = )((да) разрешено
относительно одного из переменных в окрестности точки Р,
и последняя, следовательно, является ее обыкновенной точ-
точкой. Используемые при построении семейства поверхностей
сдвиги мы возьмем параллельными аналитической плоско-
плоскости, проходящей через нормаль к гиперповерхности. Гео-
Геометрически очевидно, что тогда среди аналитических поверх-
поверхностей получающегося семейства будут и такие, которые
целиком находятся (в пределах некоторой окрестности
точки Р) в части пространства, где Ф<^0 (впрочем, это
может быть проверено и аналитически путем применения
формулы Тейлора). Это противоречит теореме 12.1. Таким обра-
образом, допущение отпадает и теорема оказывается доказанной.
Замечание. В точке Р гиперповерхности, являющейся
естественной границей некоторой функции /(г), эта функция
не может быть мероморфной. В подобном случае множество

§ 12]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ
203
особых точек функции f{z) в окрестности точки Р не яв-
является тонким. Таким образом, эта гиперпомерхиость состоит
из существенно особых точек функции и служит естествен-
естественной границей ее мероморфности.
3. Условие Леви. Е. Е. Леви принадлежит простой кри-
критерий аналитической выпуклости гиперповерхности1). Этот
критерий выражает следующая
Теорема 12.7. Для того чтобы гиперповерхность
Ф = о {функция Ф принадлежит к классу ё) была ана-
аналитически выпуклой в смысле Леви в обыкновенной точке
Р, необходимо, чтобы в этой точке
0
К
ф;
Ф—
w
WW
ZW
ф'-
ф"-
¦юг
ф"-
ZZ
¦¦ 0,
B.29)
и достаточно, чтобы там было ^
Величина L (Ф) обычно называется определителем Леви.
Замечание. Отсюда следует: для того чтобы к гипер-
гиперповерхности Ф = 0 могли с обеих сторон примыкать об-
области мероморфности, необходимо выполнение условия
(
Доказательство. Мы поместим начало координат
в точку Р и представим уравнение касательной гиперпло-
гиперплоскости к поверхности Ф = 0 в точке Р в виде
(ф;H w+(ф;H z+(Ф'-\ w+(Ф1)о z =
= 2К!е[(Ф;,)оЯУ + (Ф;)о/] = 0. B.30)
Здесь (ФдаH w -\- (Фг)о z = 0 — уравнение аналитической пло-
плоскости, проходящей через точку Р и лежащей в гиперпло-
гиперплоскости B.30). Такая аналитическая плоскость единственна:
она касается гиперповерхности Ф^О в точке Р. После
этого произведем отображение
(?),•+(¦?),*•
«.=¦
(десь величины а, р выбраны так, что \wt |2-|-1 zx |a =
- | w |а -\-1 z |'2 (тогда отображение B.31) будет вращением).
') См. Леви [1], [2].

204 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
При таком выборе коэффициентов отображение B.31) может
быть обращено. При отображении B.31) и при отображении,
ему обратном, аналитические поверхности переходят снова
в аналитические поверхности; соотношения пересечения также
не изменяются. Поэтому если получающаяся в результате
отображения гиперповерхность будет аналитически выпуклой,
то и первоначальная гиперповерхность будет аналитически
выпуклой с той же стороны. Совершив отображение B.31),
мы возвращаемся к старым обозначениям для переменных.
После этого преобразования левая часть уравнения ис-
исследуемой гиперповерхности представится так:
Ф = z ^ - -\-aw'i-\-aw'i -\-bww-\-
-)- [члены 2-го порядка, содержащие z]-\-
+ т)(М* + И2). B.32)
Здесь Hm tj = 0. Так как Ф — действительная функ-
1«М»-Н*|»-*о __
ция, то коэффициенты при w\ w* сопряжены, a b действи-
действительно.
Согласно определению аналитической выпуклости, суще-
существенное значение для нас имеют лишь те аналитические
поверхности, которые вблизи Р идут только с одной сто-
стороны гиперповерхности.
Пусть f(w, г)=0 — уравнение некоторой аналитической
поверхности, проходящей через точку Р. Тогда, согласно
теореме 4.12, уравнение f(w, z) = 0 может быть в окрест-
окрестности Р заменено или уравнением w = 0, или уравнением
z = AiW*/" + A%w>im +... + Amw +
+ Blw+" + ... + Bmw* + ... B.33)
Подставляя z из B.33) в B.32), мы увидим, что если хотя
бы один из коэффициентов Аь ..., Ат, Bt, ..., 5m_i от-
отличен от нуля, то знак функции Ф в точках поверхности
f=0, близких к началу координат Р (определяемый по
знаку члена, имеющего наименьший порядок малости), будет
совпадать со знаком величины
к Ь_
5 ?. k

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 205
(здесь с — младший, отличный от нуля коэффициент в B.33)).
Всегда можно назначить аргумент w так, чтобы это выра-
выражение имело наперед указанный знак. Поэтому эта аналити-
аналитическая поверхность идет в окрестности точки Р с обеих
сторон гиперповерхности.
Для аналитической поверхности w = 0 младшие члены
Z-\-z
и выражении B.33) имеют вид -~—. Эта поверхность также
идет в окрестности начала с обеих сторон гиперповерхности.
Теперь остается рассмотреть аналитические поверхности, для
которых разложение B.33) имеет вид (мы положим Вт = 25)
гг=2?ауа + ... B.33J)
Для точек такой аналитической поверхности
Ф = (В-f a) w*-f (В + a)#-f bww-f-... =
= 2Re[(B-\-a)w'i]-\-bww-\-... B.34)
остальные члены (обозначенные многоточием) имеют более
высокий порядок малости. При всяких В и а аргумент w
может быть взят так, чтобы Re [(В -\- a) w2] = 0.
Поэтому, если Ь ^> 0, то всякая аналитическая поверхность,
проходящая через точку Р, имеет точки в той части окрест-
окрестности точки Р, где Ф]>0 (если Ь<^0, то соответственно
в части, где Ф<^0). Далее, если 6]>0 (соответственно ?<^0),
то существует аналитическая поверхность, именно 2:=—2ахюг,
которая в пределах некоторой окрестности точки Р целиком
находится в той части этой окрестности, где Ф^>0 (или
соответственно Ф<^0). Это следует из того, что в точках
этой поверхности в силу B.34) Ф = bww -)-••• Итак, мы
приходим к выводу:
1. Если Ь~^>0, то гиперповерхность является аналитиче-
аналитически выпуклой в точке Р.
2. В случае Ь = 0 вопрос о направлении аналитической
выпуклости гиперповерхности остается открытым (см. по
этому поводу п. 3 настоящего параграфа).
Коэффициент &= 4[Да,Ф(и\ Щ 0, 0)]р. Здесь оператор
Лапласа Д^, берется от функции Ф, вычисленной в плоскости
,г = 0, т. е. в аналитической касательной плоскости к гипер-
гиперповерхности. В общем случае эта плоскость будет иметь
уравнение w&m -\- гФ'г = 0; на ней будет w = Ф'^, z = — Ф^/.
Здесь (и далее в этом пункте) все производные от Ф

206 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
берутся в точке Р, t — некоторый комплексный параметр.
Мы найдем в результате вычислений, что
Легко видеть, что если уравнение Ф = 0 имеет вид B.32),
то 1(Ф) = -д-?. Нам надлежит теперь убедиться в том, что
L (Ф) сохраняет свой знак при биголоморфном отображении
некоторой области пространства, в которой находится иссле-
исследуемый кусок гиперповерхности, осуществляемом с помощью
голоморфных функций вида
Wi = w1(w) z); zx = zx(w, z). B.35)
Если Ф! = Ф [те»! (те», z), zx (те», z)],
d^L — ф' _^_J_<T>'_^_. дф1— ф> dw . ф, дг .
dw ~ w dw ' z dw > az ~ то а« ~г ^'az'
dw , ф„ ^да дг
fB.36)
^_ _.l rT," dz d'z
?i a®!
Составляя L(Фl) в новых переменных, мы обнаружим в ре-
результате вычисления, что
р^\ B.37)
(wu z,.)
Таким образом, знак выражения L (Ф) не изменяется при
отображении B.35). С другой стороны, отображение B.31)
является частным случаем отображения B.35).
Таким образом, наша теорема доказана.
Замечание 1. Пусть система координат избрана так,
что уравнение Ф = 0 имеет вид B.32). Тогда, если 6^>0,
оказывается, что все поверхности ,г-|-ате>а:=0 (а — некото-
некоторый комплексный параметр), для которых | а — 2а | <^ Ь, идут
в окрестности точки Р со стороны Ф^>0. Радиус этого
круга Ь, являющегося как бы нормированным значением
определителя Леви, мы будем далее называть степенью ана-
аналитической выпуклости гиперповерхности в точке Р. Мы
оставляем читателю проверку указанного здесь свойства
гиперповерхности.

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 207
Замечание 2. Из равенства B.37) следует, что знак
определителя Леви сохраняется при биголоморфных отобра-
отображениях.
Теорема 12.7 может быть существенно усилена. Имеет
место
Теорема 12.7!. Для того чтобы, гиперповерхность
Ф = 0, принадлежащая к классу ffi, била аналитически
выпуклой в смысле Леви, необходимо и достаточно,
чтобы было L (Ф) 5г 0 ').
4. Аналитическая гиперповерхность. Мы обратимся к
изучению гиперповерхности, во всех точках которой 1(Ф) = 0
(мы оставляем в сторойе случай, когда /,(Ф) = 0 в изоли-
изолированных точках и на частях Ф = 0 более низкого числа
измерений). Такая гиперповерхность, оказывается, может быть
составлена из аналитических поверхностей и представляет
собой так называемую «аналитическую гиперповерхность».
Определение {элемент аналитической гиперповерх-
гиперповерхности). Элемент гиперповерхности, лежащий в некоторой
области D, называется аналитическим, если он может быть
задан уравнением
h(w, z, t) = 0 (а <*<*). B.38)
Здесь t — действительный параметр, от которого функция h
зависит непрерывно; для каждого t9 (a<^t9<^b) h(w, z, t9) —
голоморфная функция w, z во всех точках P(wb z0) ^ D,
где h(wu, z0, jfo) = O. Уравнение h(w^ z, 4) = 0 должно
определять аналитический поверхностный элемент, содержа-
содержащий точку Р.
Поэтому аналитическую гиперповерхность указанным об-
образом всегда можно разбить на аналитические поверхности.
Мы далее докажем такую теорему, принадлежащую Е. Леви.
Теорема 12.8. Дана гиперповерхность класса 5о2,
состоящая из обыкновенных точек
Ф (и, v, х, у) = Ф (w, z) = 0.
1. Если эта гиперповерхность является аналитиче-
аналитической, то во всех ее точках 1(Ф) = 0.
') Доказательство этого предложения см., например, в гл. III
|;ш.и Фукса [2] или во второй части настоящей книги.

208 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
2. Если во всех ее точках L (Ф) = 0, то в окрест-
окрестности каждой своей точки эта гиперповерхность яв-
является аналитической.
Доказательство. Первое утверждение теоремы, вы-
выражающее необходимость условия 1(Ф) = 0 для аналитич-
аналитичности гиперповерхности, является почти очевидным. Если Р—
точка этой гиперповерхности, то через нее пройдет некото-
некоторая аналитическая поверхность h (w, z, jfo) = O, целиком со-
состоящая из точек гиперповерхности. Мы представим уравне-
уравнение Ф = 0 в виде B.32) и предположим, что Р—обыкно-
Р—обыкновенная точка1) поверхности /г = 0. Тогда последняя может
быть задана в окрестности Р уравнением z = Aw -\- Bw1 -\-
-f-... = <р (w). У нас Ф (w, cp (w)) = 0. Отсюда А = 0, В =
= — а, 6 = 0. Следовательно, /,(Ф) = 0, что и требовалось
доказать.
Мы обратимся к доказательству второго утверждения и
рассмотрим гиперповерхность Ф = 0 в окрестности неко-
некоторой ее точки Р. Точка Р — ее обыкновенная точка,т.е. не
все частные производные от функции Ф в этой точке равны
нулю. Предположим, что в точке Р
дФ . дФ дФ , п
lti~t'dv~'dw ^U>
Мы поставим своей целью показать, что когда L (Ф) = 0,
в окрестности Р существует семейство аналитических поверх-
поверхностей w = w (z, f), исчерпывающее в этой окрестности все
точки нашей гиперповерхности и состоящее из ее точек.
Для этого мы будем искать в некоторой окрестности Up
точки Р аналитические поверхности
w = w(z), или и = (х, у), v = v (х, у), B.39)
целиком лежащие на гиперповерхности Ф = 0.
Если поверхность B.39) в этой окрестности UP целиком
лежит на гиперповерхности Ф = 0, то там имеет место то-
тождество
Ф(и(лг, у), v(x, у), х, у) = 0. B.40)
5) Если точка Р не является обыкновенной, то она может рас-
рассматриваться как предельная по отношению к некоторому мно-
множеству обыкновенных точек; в силу непрерывности частных про-
производных от Фив такой точке ?(Ф) = 0.

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ
Дифференцируя его, получим
" ду ' ' ду
209
B.41)
Функции и(х, у), v (х, у) должны, сверх того, удовлетво-
удовлетворять условиям Коши — Римана, т. е. должно быть -^— = -^—,
Pj— =— -g—. Поэтому для определения функции и(х, у) мы
получаем такую систему дифференциальных уравнений:
B.42)
Мы покажем сейчас, что поскольку величины х, у, и, v свя-
связаны уравнением Ф = 0 и 1(Ф) = 0, то:
а) система уравнений B.42) полная, т. е. для определяе-
определяема ди
мых из нее величин -к— и -к— имеет место равенство
д (ди\_ д (ди'
ду\дх)—дх[ду.
б) определяемая из B.42) функция и (х, у) является гар-
гармонической, т. е. t
Из B.42) следует
ди
~дх"-
ди „
!у— В~
ф'2 4- Ф'а
B.43)
., дА дВ
Мы хотим показать, что в нашем случае -з -з— =
¦= -ч 1- -^— = 0. Для этого воспользуемся вытекающим из

210 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
определения формальных производных A.4) равенством
(дА , дВ\ , . (дА_ __ дВ\ _ д(А — В1) ,
[дх "Т" ду ) "т" \ ду дх)~ дх "Г"
+ * ^Г^=2 5Г^- B'44)
С другой стороны, в формальных производных
= — -4 74- = A. B.45)
Таким образом, условие
= 0 B.46)
равносильно обоим требованиям а) и б). При вычислении
выражения B.46) мы должны принять -^— = А, ~= В,
а -^— и -j- (исходя из того, что х, у, и, v связаны соот-
соотношением ф = 0) вычислять из уравнений B.41I). Полагая
да . ди „ ,„ ,о, „
в них -^—=А, -к—=В и пользуясь B.4о), мы найдем, что
dv г, dv . .„ ._.
-з—= — В, ~<—^А. B.47)
дх ду '
Это равносильно равенствам (используемым далее при преобра-
преобразовании B.46)
_L (д (" + iv>> _!_ д(и + fa) \ ЕЕ. п-
2 \ дх "г ^ J — ^ — и>
dw 1 Г д (и — to) , . й (u — to) "I
ft г
х у ?_ /о ДХ'»
У нас в точке РФ'шф0 и, следовательно, или Ф^^О, ИЛИ
0. Мы предполагаем, что Ф^^О- Если бы в точке Р было
Ф^ = 0, то там Ф'а^Ь0, и мы поменяли бы в нашем рассуждении
и и v ролями.

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 211
Теперь мы получим
_ (ф" _ + ф" _ jgLW
\ wz T eww dz I г
Ф' (ф -ф— —ф -ф-\ ф' (й>— ф' .— Ф —ф-^
х W\ х ZZ W .ZW *Z I Z\ WZ w WW Z )
ф ф-
«j да
0
Ф
Ф
Фда
Ф"~
Ф ~-
ZW
Фг
Фдаг
ф"г-
^ = ,2 , =0-' B-49)
Ф^ Ф^ф™
Таким образом, показано, что при наших предположениях
условия а) и б) выполняются. В силу а) из B.42) или (что
равносильно) из B.43) определится совокупность функций
и = и (х, у, f), удовлетворяющая этой системе; здесь t —
произвольная постоянная интегрирования. Эта постоянная, в
соответствии с теоремой существования решений системы
дифференциальных уравнений типа B.42), может быть един-
единственным образом назначена так, что гиперповерхность
и = и(х, у, t) пройдет через некоторую точку (щ, vu хи у^)
окрестности UP (здесь иь хь ух задаются в пределах этой
окрестности произвольно, ч>\—так, чтобы эта точка лежала
на гиперповерхности Ф = 0).
Мы возьмем гиперповерхности и = и (х, у, t), проходя-
проходящие через все точки этой окрестности. Они соответствуют
значениям t, для которых t9 — 8 <^ t <^ t0 -f- 8. Здесь jf0 — зна-
значение параметра, отвечающее гиперповерхности и = и(х, у, t0),
проходящей через точку Р, а 8 определяется размерами
окрестности UP. Далее надо определить функцию v = v(x, у).
Мы воспользуемся для этого уравнением B.40). Оно может
быть разрешено относительно v, так как f-^-jp^O. Тогда,
поскольку функция и(х, у) удовлетворяет уравнениям B.43),
для полученного из B.40) значения v (x, у, t) имеют место
(как это выяснено выше) равенства B.47). Это означает, что
функции и, v удовлетворяют условиям Коши—Римана. Произ-
нодные от и, v в силу B.43) и B.47) непрерывны, и поэтому

212 голоморфные функции в областях наложения [гл. п
в окрестности Up функции
W=u(x, у, t) + iv(x, у, t) = w(z, t), \
}
'.-»<*<*.+» } (>0)
являются голоморфными функциями z и определяют анали-
аналитические поверхности. Последние состоят в окрестности Up
из точек гиперповерхности Ф = 0, что следует из способа
определения функции v (х, у, f). Через каждую точку гипер-
гиперповерхности Ф = 0 (в пределах окрестности Up) проходит
одна такая поверхность. Этим наша теорема доказана.
Замечание 1. В силу условия б) функция и(х, у)
шляется гармонической. Поэтому соответствующая функция
v(x, у) может быть определена как сопряженная гармони-
гармоническая функция. Получающаяся при таком определении
v(x, у) еще одна постоянная интегрирования должна назна-
назначаться так, чтобы аналитическая поверхность B.50) прохо-
проходила через точку (щ, vlf xt, у{) гиперповерхности Ф = 0,
принадлежащую UP. Если находить v(x, у) так, как указано
выше, в тексте доказательства теоремы, можно не формули-
формулировать отдельно условия б) и ограничиться тем, что в силу
B.44), B.45) и B.49) из условия 1(Ф)=0 следует полнота
системы B.42). Однако условие B.44) оказывается гораздо
более удобным, чем условие а).
Замечание 2. Из нашего доказательства следует един-
единственность представления гиперповерхности Ф = 0 в виде
B.50). Это значит, что аналитическую гиперповерхность
нельзя различными способами разбить на совокупности ана-
аналитических поверхностей. Впрочем, это также следует из
того, что две аналитические поверхности пересекаются
только в конечном числе точек.
Замечание 3. В том случае, если Ф(и, г\ х, у) =
= Ф (w, z) является действительно аналитической функцией
своих переменных, куски аналитических поверхностей, опреде-
определяемых (как указано в доказательстве теоремы) в окрестностях
точек Р, оказываются продолжением друг друга и объеди-
объединяются в целые аналитические поверхности, определенные
во всей области рассмотрения гиперповерхности Ф = 0.
5. Некоторые теоремы об аналитически выпуклых ги-
гиперповерхностях. Теперь мы рассмотрим некоторые частные
вопросы, связанные с понятием аналитической выпуклости.

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 213
Прежде всего мы докажем такую часто применяемую тео-
теорему:
Теорема 12.9. Граница обыкновенной бицилиндриче-
ской области является аналитически выпуклой с обеих
сторон {т. е. если граничная гиперповерхность Ф = О
является дважды непрерывно дифференцируемой, то для
нее L (Ф) = 0 и она является аналитической).
Доказательство. Дана бицилиндрическая область
?=DXO> гДе D — область в плоскости w, а О — область
в плоскости z. Пусть wo(^D, zo?dG, тогда (та>0, гй) — точка
границы области Е. Мы рассмотрим некоторую аналитическую
поверхность, проходящую через эту точку. Уравнение этой
поверхности возьмем в виде z=f(w), где f(w) — ряд, ука-
указанный в теореме 4.12, но содержащий дробные степени
w — а»0. По предположению, /(и>0) = .г0. Функция z=f(w)
будет отображать круг \w — я>>о|<Ср на некоторую окрест-
окрестность UZ(j точки Zq (это отображение круга \w — те>0|<^р
на Ueo не является вообще взаимно однозначным). Мы возь-
возьмем р таким, что круг \w — zsy01 *\ p будет целиком принад-
принадлежать области D; так как z9 — граничная точка области О,
то в ее окрестности UZ(j будут находиться как точки О, так
и точки, внешние для О. Пусть zt — внутренняя точка О,
принадлежащая ?/г0, za— внешняя для О точка, также при-
принадлежащая иго. Так как USo — образ круга \w — zwo|<^p
при его отображении с помощью функции z=f(w), то в
нем найдутся такие точки wb даа, что f(wi) = z1,f(wi)=*=zi.
Но это означает, что на аналитической поверхности z =f(w),
в окрестности точки (те>0, z9) всегда можно найти как точку
(щ>1, 2i), лежащую внутри области Е, так и точку (доа, г$),
лежащую вне области Е. Этим наша теорема доказана.
Затем мы остановимся на некоторых дифференциально-
геометрических свойствах гиперповерхности и, в частности,
на дифференциально-геометрической характеристике аналити-
аналитической гиперповерхности.
Пусть точка M(w, z) лежит на гиперповерхности
Ф(те>, z) = 0; относительно функции Ф сохраняются прежние
предположения. Мы рассмотрим три взаимно перпендикуляр-
пых направления в касательной гиперплоскости в точке /И,
которые обозначим Ti, Га, N. Здесь Ти Га — два взаимно пер-
перпендикулярных направления в аналитической плоскости, лежа-
лежащей в касательной гиперплоскости и проходящей через М

214 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
(такая аналитическая плоскость определяется единственным
образом; если уравнение касательной гиперплоскости пред-
представлено в виде R(aW-\-bZ) = c, то эта плоскость будет
задаваться уравнением a (W—w)-\-b{Z — ,г) = 0), а N —
направление прямой, по которой пересекаются касательная
гиперплоскость с аналитической плоскостью, проведенной
через нормаль к гиперповерхности в точке М. Мы построим
еще точки М, М", М'", лежащие бесконечно близко к М,
в расстоянии ds по направлениям Т\, 7а, ./V на гиперповерх-
гиперповерхности'). Далее мы рассмотрим 1-й и 2-й аналитические
углы dO и dy, которые составляют между собой нормали
к гиперповерхности в точках М и /И', М и М", М и М"'.
Тогда мы получим шесть величин:
\dsjTi' \ds)Tl' \ds)Ti' \ds)T2' \dsJN' \dsJN' K '
характеризующих кривизну гиперповерхности2). Они тесно
связаны с составляющими тензора кривизны гиперповерх-
гиперповерхности. При этом оказывается, что имеет место такое соотно-
соотношение:
Здесь Н— средняя кривизна гиперповерхности в точке М.
Аналитическая гиперповерхность характеризуется равенствами
f] =(f) =0; (р) =\н. B.53)
JT,. \ds) т» \dsj n 3 v ;
Все эти равенства проверяются непосредственным подсчетом.
6. Достаточность условия аналитической выпуклости.
Теоремы Гартогса и Леви о непрерывном расположении осо-
особых и существенно особых точек голоморфных функций
указывают лишь на некоторые свойства, которыми обязаны
обладать множества, состоящие из таких точек. Возникает
вопрос: является ли обязательно область, аналитически вы-
выпуклая во всех своих граничных точках, областью голоморф-
голоморфности? Будет ли она областью мероморфности?
1) Эти три направления образуют так называемую «нормаль-
«нормальную» систему координат в касательной гиперплоскости в гиперпо-
гиперповерхности.
2) Эти величины и равенство B.52) получены И. Митрохиным [1].

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 215
Трудность проблемы определяется тем, что аналитическая
выпуклость границы области — это локальное свойство
(в отличие от свойства голоморфной выпуклости области,
рассмотренной в предыдущем параграфе). Заменяя малую
часть границы области другой, мы можем сделать область
в этом месте аналитически выпуклой или невыпуклой; при
этом части границы области, не затронутые этим измене-
изменением, останутся, как бь1ли, аналитически выпуклыми или
невыпуклыми. С другой стороны, существование функции,
голоморфной или мероморфной в некоторой области и непро-
должаемой за ее границу, связано со структурой всей об-
области в целом. Таким образом, речь идет об установлении
соответствия между весьма разнородными свойствами области.
Первый шаг на пути разрешения указанной проблемы был
сделан Е. Е. Леви [2]. Он доказал там следующие две тео-
теоремы.
Теорема 12.10. Пусть в каждой точке некоторой
гиперповерхности Ф = 0 класса ffi имеет место соот-
соотношение: ЦФ)=0. Тогда для каждой обыкновенной точки
этой гиперповерхности можно указать такую ее окре-
окрестность, что гиперповерхность Ф=0 является в пре-
пределах этой окрестности естественной границей для
некоторой мероморфной (в частности, голоморфной)
со стороны Ф^>0 (и со стороны Ф<^0,) функции.
Теорема 12.11. Пусть в обыкновенной точке неко-
некоторой гиперповерхности Ф (w, z) = 0 класса %г имеет
место соотношение: 1(Ф)^>0. Тогда можно указать
такую окрестность этой точки, что гиперповерхность
Ф = 0 является в пределах этой окрестности естест-
естественной границей для некоторой мероморфной (в частности,
голоморфной) в части этой окрестности со стороны
Ф <^ 0 функции.
Эти теоремы устанавливают, что малые куски аналити-
аналитически выпуклых в смысле Леви гиперповерхностей класса
Й являются естественными границами мероморфных (в част-
частности, голоморфных) функций. Из последней теоремы сле-
следует, что если DCZC2 — область, ограниченная гиперповерх-
гиперповерхностью Г класса So2, всюду аналитически выпуклой в смысле
Леви, то для каждой граничной точки Р этой области
может быть построена функция /р (w, z), голоморфная в при-
принадлежащей D части некоторой окрестности точки Р и

216 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
имеющая гиперповерхность Г в пределах этой окрестности
своей естественной границей. Однако эта теорема оставляет
полностью открытым вопрос о том, существует ли одна
функция, голоморфная или мероморфная в области D и
имеющая особыми все точки ее границы Г.
Утвердительный ответ на поставленный вопрос, завер-
завершивший более чем тридцатилетние исследования, появился в
1942 г. в работе К. Ока [3]. В работе К. Ока рассматри-
рассматривалась область D пространства двух комплексных переменных.
Общий случай пространства п ^ 2 комплексных перемен-
переменных был изучен в последующих работах самого Ока, а
также Бремермана и Норгуэ'). Окончательный результат
гласит:
Теорема 12.12. Область DCZCn, аналитически вы-
выпуклая в смысле Гартогса, во всех точках своей грани-
границы является областью голоморфности.
Отсюда для областей D пространства Са двух комплекс-
комплексных переменных легко следует
Теорема 12.12!. Область DdC*, ограниченная гипер-
гиперповерхностью Ф = 0 класса %* (значения^ <^ 0 соответ-
соответствуют внутренности области D), на Которой 1(Ф)^=0
является областью голоморфности.
Из теорем 11.4 и 11.6, с одной стороны, и теоремы
12.12 — с другой стороны, вытекает, что однолистная об-
область тогда и только тогда голоморфно выпукла, если она
аналитически выпукла в смысле Гартогса. В процессе дока-
доказательства теоремы 11.4 мы построили для произвольной
голоморфно выпуклой области D функцию, имеющую эту
область своей областью голоморфности. Поэтому из того,
что однолистная область мероморфности аналитически вы-
выпукла, следует, что подобная область всегда является об-
областью голоморфности.
Детальное рассмотрение этих вопросов, а также рас-
распространение понятия аналитической выпуклости в смысле
Леви на случай пространства л^>2 комплексных перемен-
переменных содержится во второй части настоящей книги.
7. Области сходимости и нормальности. Роль областей,
аналитически выпуклых в смысле Гартогса и Леви, значи-
J) См. Ока [5], [6], Бремерман [1], Норгуэ [1]. См. также
Фукс [2].

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 217
тельно увеличилась после того, как в 1926 г. Г. Жюлиа [1]
опубликовал свои исследования, относящиеся к областям
равномерной сходимости последовательностей и областям
нормальности множеств голоморфных функций.
Изучая указанные области, Г. Жюлиа установил, что
произвольно взятая область D над пространством п (п ^=2)
комплексных переменных не обязана быть областью равно-
равномерной сходимости (первого или второго рода) или областью
нормальности (первого или второго рода).
Определение (область равномерной сходимости).
Область D над пространством Сп называется областью
равномерной сходимости первого рода (второго рода),
если
1) существует последовательность функций /v, v= 1, 2,...,
голоморфных в области D, равномерно сходящаяся (равно-
(равномерно сходящаяся к сю) в области D;
2) не существует большей области, содержащей область D,
обладающей по отношению к последовательности /v ука-
указанным в п. 1 свойством.
Определение (область нормальности). Область D
над пространством Сп называется областью нормальности
первого рода (второго рода), если: 1) существует множество
функций {/}, голоморфных в области D, образующих там
нормальное семейство первого рода (второго рода); 2) не су-
существует большей области, содержащей область D, обладаю-
обладающей по отношению к множеству функций {/} указанным
в п. 1) свойством.
Говорят, что множество {/} образует в области D нор-
нормальное семейство, если из каждого бесконечного подмно-
подмножества {/} можно выделить последовательность, равномерно
сходящуюся в области D. Если среди таких последователь-
последовательностей имеются сходящиеся к тождественной бесконечности,
то {/} — нормальное семейство второго рода; если таких
последовательностей нет, — то первого рода. —
Г. Жюлиа далее показал, что однолистные области рав-
равномерной сходимости первого и второго родов, области
нормальности первого и второго родов аналитически выпук-
выпуклы в смысле Гартогса. Он также показал, что гиперповерх-
гиперповерхности класса %'i, входящие в границы таких областей, яв-
являются выпуклыми (извне) в. смысле Леви. Г. Жюлиа удалось
пжже распространить на эти области и некоторые другие

218 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
свойства областей голоморфности и мероморфности, получен-
полученные в свое время Ф. Гартогсом и Е. Е. Леви.
Эти результаты Г. Жюлиа привели к так называемой
«гипотезе Жюлиа» о том, что области равномерной сходи-
сходимости первого рода и области нормальности первого рода
являются областями голоморфности, а второго рода — обла-
областями мероморфности. Утвердительный ответ на эту гипотезу
был получен А. Картаном и П. Тулленом [1] в 1932 г.
Результаты Г. Жюлиа, касающиеся областей равномер-
равномерной сходимости, примыкают к свойствам областей сходимости
некоторых рядов частного вида (степенных и возникающих
из степенных в результате определенных преобразований),
найденным уже сравнительно давно Ф. Гартогсом [1] и дру-
другими математиками.
Детальное рассмотрение этих вопросов содержится во
второй части настоящей книги.
8. Аналитически выпуклые области наложения. Мы
распространим понятие аналитической выпуклости на области
наложения над пространством С). Для этой цели мы сна-
сначала дадим следующее
Определение (отмеченное семейство аналитиче-
аналитических множеств). В расширенной области D = D -\~dD над
пространством С" рассматривается семейство комплексно одно-
одномерных аналитических множеств Q — {Q(w, t), O^t^l},
каждое из которых определяется с помощью, голоморфного
отображения замкнутого круга | w | sg; 1 в D. Предполагает-
Предполагается, что это отображение непрерывно зависит от параметра
t на указанном замкнутом интервале. Мы будем обозначать
описанные множества символами Q^ и Qn (w, t), если мно-
множество геометрических точек (J Q(w, t) содержится в не-
котором гипершаре радиуса i\.
Подобное семейство О называется отмеченным, если
множества Q(w, t) при 0^t<^l, |и>|<^1 и приО^?=^1,
w | = 1 содержатся в области D.
Теперь мы можем сформулировать
Определение (аналитически выпуклая область над
пространством С"). Область D над пространством С" на-
называется аналитически выпуклой в ее граничной точке
1) См. Грауэрт—Реммерт [1].

§ 12] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ 219
г ? dD, если существует такая расширенная окрестность
Vo(f) и число 7)^>0, что каждое отмеченное семейство ана-
аналитических множеств Q не содержит точек, принадлежащих
к множеству VD (r) f~] dD (т. е. семейство G,,, содержащее
точки этого множества, не может быть отмеченным).
Легко видеть, что в случае однолистной области это
определение, по существу, -равносильно необходимому и до-
достаточному условию аналитической выпуклости, содержащему-
содержащемуся в теореме 12.1.
Это определение часто заменяют другими, в существенном
ему равносильными, определениями аналитической выпукло-
выпуклости '). Заметим, что различные видоизменения теоремы о не-
непрерывном расположении особых точек (см., например, тео-
теоремы 11.9 и 11.10) всегда содержат какие-то характеристики
естественных границ функций. Каждое из них может
быть положено в основу определения аналитической выпук-
выпуклости.
Мы отметим из их числа определение, принадлежащее
А. Картану [1].
Область D называется аналитически выпуклой в ее гра-
граничной точке г ? дЬ, если существует примыкающая к точ-
точке г окрестность Voif), являющаяся областью голоморф-
голоморфности.
Область D называется аналитически выпуклой, если
она аналитически выпукла во всех своих граничных
точках.
К. Ока принадлежит следующая фундаментальная
Теорема 12.13. Внутри неразветвленная область D
над пространством Сп в том и только в том случае
является областью голоморфности, если она аналитиче-
аналитически выпукла.
Вопрос о возможности распространения этой теоремы
на бесконечные области (области над пространством Рп) и
на внутриразветвленные области остается открытым до на-
настоящего времени. Однако известно, что на области, являю-
являющиеся одновременно бесконечными и внутриразветвленными,
теорема 12.13 не распространяется2).
1) См. Докье—Грауэрт [1].
s) См. Докье —Грауэрт [1].

220 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
§13. Оболочки голоморфности. Области, обладающие
автоморфизмами
1. Основные свойства. Определение {оболочка
голоморфности области). Область, являющаяся пересече-
пересечением областей голоморфности всех функций, голоморфных
в области D (относительно области Z)), называется оболоч-
оболочкой голоморфности области D и обозначается Н{П) (далее
мы будем иногда область Н{П) кратко называть оболочкой
области D).
Из этого определения, очевидно, следует, что всякая
область D пространства Р1 совпадает со своей оболочкой
голоморфности. Поэтому понятие оболочки голоморфности
не имеет значения в теории функций одного переменного;
оно играет важную роль в общей теории функций многих
комплексных переменных.
Из данного нами определения оболочки голоморфности
области следует, что каждая функция, голоморфная в неко-
некоторой области D, может быть аналитически продолжена
на область H(D). Всякая другая область, обладающая подоб-
подобным свойством, будет содержаться внутри области H(D).
Очевидно, что если область Д <^ ?>2, то и
Я(?»1)<Я(АI)- B.54)
Из теоремы 11.7 непосредственно следует так называемая
фундаментальная теорема об оболочках голоморфности.
Теорема 13.1. Оболочка голоморфности Н(JD)произ-
Н(JD)произвольной области D представляет собой область голо-
голоморфности некоторой функции.
Переходим к изложению свойств оболочек голоморфности.
Теорема 13.2. Каждая мероморфная в области D
функция f(z) принимает в области H{D) только те
значения, которые она принимает в области D.
Доказательство. Если f(z)^6a в области D, то
функция [f(z) — а]" является голоморфной в области D, а
значит, и в области H(D). Отсюда следует, что функция/(г)
') Область H(Dt) получится пересечением: 1) областей голо-
голоморфности функций, голоморфных в области ?J (они дают своим
пересечением область H(Da)), и дополнительно 2) областей голо-
голоморфности функций, голоморфных в области Di, но не в области Z?j.

§ 13] ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ 221
также мероморфна в области H(D) и не принимает там зна-
значения а. Таким образом, если мероморфная функция f(z)
выпускает какое-либо значение а в области D, то можно,
сверх утверждения нашей теоремы, еще иметь в виду, что
функция f(z) будет мероморфной в области H(D).
Отсюда, далее, следует, что всегда
sup |/(Z))|= sup |/(//(Z)))|. B.55)
Последнее равенство позволяет легко получить такое
предложение:
Теорема 13.3. Оболочка голоморфности ограничен-
ограниченной области снова представляет собой ограниченную
область.
Мы рассмотрим в областях D и H(D) функции zk, k =
= 1,..., п, используем равенство B.55) и ограниченность
области D. Тогда получим
п п п
sup У|4|<Увир |4| = 2 sup |*J|<оо. B.56)
Отсюда вытекает наше утверждение.
Теорема 13.4. Пусть область Д0<^Д м г —мини-
—минимальное граничное расстояние области Do в области D.
Тогда минимальное граничное расстояние области H(D9)
в области H(D) не меньше г.
Доказательство. Как установлено выше, если f(z)
голоморфная в области Ц> функция, то
sup|/(Z)e)| = sup|/(tf(?>e))|.
Поэтому, если М — какая-нибудь конечная точка области
H(D0), a f(z) — функция, голоморфная в области D (а сле-
следовательно, и в области H(JD)), то
|. B.57)
Такое же неравенство имеет место, если мы в B.57) за-
заменим точку М точкой М* (точка М* соответствует точке
М в области Нф) в силу соотношения H(D0)<^H(D)), a
область Ц) — областью D* (D* — подобласть Нф), накры-
накрываемая в ней областью Z)o в силу соотношения H(D0)<^H(D)).
Тогда по первой части теоремы 11.1 функция f(z) будет
| оломорфной в полицилиндре S(M*, р), где р—минимальное

222 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
граничное расстояние области D* в области Нф) или, что
все равно, области Do в области Нф). Очевидно, что р^г
(так как Ъ<^Нф)). Отсюда следует, что произвольная ко-
конечная точка М области Нфо) должна иметь граничное
расстояние в области Нф), не меньшее чем г, так как в про-
противном случае все рассматриваемые функции f(z) были бы
голоморфными в области D (а среди них есть по крайней
мере одна, для которой область Нф) служит областью
голоморфности), затем в полицилиндре S (М*, г), и потому
продолжаемыми за пределы области Нф).
Итак, доказано, что все конечные точки М области Нф0)
имеют минимальное граничное расстояние в области Нф),
не меньшее г.
Таким образом, наша теорема нами полностью доказана.
Вспоминая замечание, сделанное нами о внутренней об-
области с отличным от нуля минимальным расстоянием от гра-
границы внешней области (см. п. 3 § 8), мы приходим к такому
следствию из только что доказанной теоремы:
Если область D0<^D и область Нф0) конечно лис тна,
то область Я (?><)<!#(?>)•
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает сле-
следующая
Теорема 13.5. Пусть Dr — множество точек ко-
конечной области D, граничное расстояние которых в об-
области D больше определенного числа г.
Тогда область Dr или пуста, или распадается на
серию Dr1', D'r', ... подобластей области D. Если D —
область голоморфности некоторой функции, то и все
области D(^ являются областями голоморфности.
(Иначе область Нф^) Ф Drk) имела бы граничное рас-
расстояние в области H(D) = D, меньшее чем г, что исключено
по предыдущей теореме.)
Теорема 13.6. Пусть D — произвольная область,
Нф) — ее оболочка голоморфности. Если f(z) — функция,
голоморфная в области Нф) и имеющая какую-либо гра-
граничную точку Q области Нф) своей особой точкой, то
функция f(z) также имеет своей особой точкой какую-
либо граничную точку области D.
Доказательство. Обозначим через Е область голо-
голоморфности функции f(z). Если наша теорема не верна, то
область D^E и существует минимальное граничное расстоя-

§ 13] ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ 223
ние г области D в области Е, причем г^>0. Так как об-
область Н(Е)=Е, то, согласно теореме 13.4 мы заклю-
заключим, что минимальное граничное расстояние области H(D) в
области Е не меньше г. Это противоречит нашему пред-
предположению относительно точки Q. Таким образом, наша
теорема доказана.
Из только что доказанной теоремы следует, что если
каждой граничной точке Q области голоморфности D
соответствует функция f{z), голоморфная во всех точ-
точках замкнутой области D, кроме точки Q, то не суще-
существует подобласти Du=? D, для которой H{DU) = D.
Например, если D — гипершар | w\ 2-|- | z | 2< 1, то, как мы
уже видели выше, для каждой точки Q (w0, zu) его границы
можно указать функцию = = , голоморфную во всех
ffi>W + 2Z1
точках замкнутого гипершара D, кроме точки (w0, z0). Таким
образом, гипершар не является оболочкой регулярности ни-
никакой своей подобласти.
Другой пример области голоморфности с таким же свой-
свойством доставляют нам двоякокруговые области {Л|и>|а-|-
-\-В | z\ 2<^ 1 }, где а^>0, А, В — действительны. Примеры
областей, служащих оболочками голоморфности своих под-
подобластей, будут приведены нами в п. 3 настоящего параграфа.
Замечание. Наряду с оболочками голоморфности для
конечных областей оказывается в ряде случаев полезным
рассмотрение АТ-выпуклой оболочки. Под К-выпуклой обо-
оболочкой области D понимают пересечение всех АТ-выпуклых
областей, содержащих область D внутри себя. Ее обозна-
обозначают символом K(JD).
Так как пересечение АТ-выпуклых областей снова АГ-вы-
пукло, то область K(D) есть наименьшая А'-выпуклая область,
содержащая область D.
Область К(Р) всегда существует, так как множество
ЛГ-ныпуклых областей, содержащих область D, всегда не
пусто (например, к нему принадлежит пересечение Д обла-
областей голоморфности функций, составляющих класс К).
2. Отображения областей голоморфности и оболочек
i оломорфности. Теорема 13.7. Область Е, являющаяся
образом области голоморфности D при бимероморфном
i п узком смысле) отображении Т, сама является обла-
. тью голоморфности.

224 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Эта теорема является, в сущности, очевидной.
Если /(г)— функция, для которой область D является
областью голоморфности и z = z(Z) — отображение, обрат-
обратное отображению Т, то функция f[z (Z)] = cp(Z) будет иметь
область Е своей областью голоморфности. Из теорем 11.4,
11.6 и 13.7 вытекает
Следствие. Свойство области быть голоморфно
выпуклой инвариантно при бимероморфных отображе-
отображениях.
Как мы уже отмечали, теорема 11.4, вообще говоря, не
имеет места для внутриразветвленных областей. Поэтому и
последнее следствие, вообще говоря, не имеет места для
обобщенных биголоморфных отображений соответствующего
вида (рассмотренных в п. 4 § 10).
Теорема 13.8. Если T{Z = Z(z)}—биголоморфное
отображение области D на некоторую область Е, то
это же отображение, продолженное на область H(D),
биголоморфно отображает эту область H(JD) на оболочку
голоморфности Н(Е).
Доказательство. Очевидно, что функции Zk (z)
(k = l, .... я), голоморфные в области D, аналитически про-
продолжаются на область H(D). Их якобиан, отличный от нуля
в области D, будет отличен от нуля и в области H(D).
В силу теоремы 10.1 они биголоморфно отображают область
H(D) на некоторую область голоморфности 0^>Е. Если
О ~Н(Е), то наша теорема доказана. В противном случае
E<^H(E)<^G; тогда обратное отображение 7 отображает
область G на область H(D), а область Н(Е) на некоторую
область В, причем D<^B<^ H(D) иВ^ н{П).
Последнее неравенство невозможно, так как область H(D)
является пересечением областей голоморфности всех функ-
функций, голоморфных в области D; поэтому эта область яв-
является наименьшей областью голоморфности, содержащей
область D.
Определение (автоморфизм области). Автоморфиз-
Автоморфизмом области называется ее обобщенное биголоморфное отоб-
отображение на себя.
Из теоремы 13.8 вытекает, что к числу автоморфизмов
области голоморфности D принадлежат биголоморфные авто-
автоморфизмы всех областей Е, для которых область D служит^
оболочкой голоморфности, т. е. для которых Н(Е) = D.

§ 13] . ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ 225
Автоморфизмы такой области D как бы составляют коллек-
коллекцию всех автоморфизмов областей Е. Отсюда следует, что
области голоморфности, не имеющие автоморфизмов (подоб-
(подобные области называют твердыми областями), должны
встречаться относительно редко. Первый пример твердой
(и притом односвязной) области голоморфности был построен
в 1935 г.1).
3. Кругообразные области и их оболочки голоморфности.
В п. 3 § 3 гл. I мы рассмотрели л-круговые области про-
пространства С"; к их числу относились области сходимости
степенных рядов. Теперь мы дадим
Определение (п-круговая область над простран-
пространством С"). Область D над пространством С" называется
л-круговой областью с центром в точке Мо с координатами
аь ..., ат если ее автоморфизмы составляют л параметри-
параметрическую группу {T(9t 6„)}. Здесь 7F! 6Л)=7F) —
обобщенное биголоморфное отображение, переводящее точку
К) г,=D01 - aj) <?> + аР B-58)
где O*S6;. <2«, j=\, ..., л.
Заметим, что если область D многолистна, то для задания
преобразования Г(9) нужно, кроме соотношений B.58), еще
указать порядок соответствия различных аналитических
точек с одинаковыми координатами их образам. Это соот-
соответствие должно быть взаимно однозначным (поскольку по-
подобным свойством обладает всякий автоморфизм), л-круговая
область может быть внутриразветвленной областью. По этой
причине в нашем определении говорится об обобщенном
биголоморфном отображении.
Пересечение л-круговой области с плоскостями, парал-
параллельными КООрДИНаТНЫМ ПЛОСКОСТЯМ Zj (/=1, ..., л), ИЛИ
пусто, или состоит из (вообще говоря, многолистных) круго-
пых колец. В частном случае эти кольца могут сводиться
к кругам. Если последнее имеет место для всех подобных
плоскостей, то соответствующая л-круговая область назы-
нается полной. Полная л-круговая область всегда является
*) См. Беенке — Пешль [1].
8 Б. А. Фукс

226 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ, 11
»
зпездной и однолистной; вместе с точкой Mi (г'", ..., z^')
к ней обязательно принадлежит и замкнутый полицилиндр
{\zj — a}\^\z)» — aj\, y=l я}.
Из теоремы 3.4 (Абеля) вытекает, что функция j{z), го-
голоморфная в некоторой я-круговой области D, к которой
принадлежит ее центр, может быть аналитически продолжена
на наименьшую полную я-круговую область, содержащую
данную область. Теперь мы можем сформулировать более
сильный результат: подобная функция f(z) может быть про-
продолжена на наименьшую аналитически выпуклую в смысле
Гартогса я-круговую область, содержащую данную область D.
Полученная таким образом область служит оболочкой го-
голоморфности H(D) области D. В области H(D) продол-
продолжает равномерно сходиться степенной ряд, представляющий
функцию f(z) в области D.
Если двоякокруговая область D={|z| — <р( 1^1X^0}
в пространстве комплексных переменных w, z ограничена
гиперповерхностью Ф = | z | — <р (| ад |) = 0, принадлежащей
к классу ё, то в точках этой гиперповерхности
— 1 \*Ч 1 W ¦ 1 (d4y\_
\6[dr2 <f\dr)^~r\dr)\~ 16 (din rf'
где r = \w\, r'=|z|. Таким образом, если в точках гипер-
гиперповерхности Ф = 0 будет . | п ./ <^ 0, то эта гиперповерх-
гиперповерхность будет аналитически выпукла со стороны Ф<^0, a D бу-
будет областью голоморфности. Это — так называемое условие
логарифмической выпуклости. Гартогс в свое время обнару-
обнаружил, что при выполнении этого условия диоякокруговая
область D является областью равномерной сходимости сте-
степенного ряда.
Итак, справедлива
Теорема 13.9. Оболочкой голоморфности п-круговой
области, к которой принадлежит ее центр, не являю-
являющийся внутренней точкой ветвления, служит наименьшая
аналитически выпуклая п-круговая область, содержащая
данную область.
Основываясь на этой теореме, мы построим пример мно-
голистной области, имеющей однолистную оболочку голо-
голоморфности.

§ 13]
ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ
227
Рассмотрим*) область D над пространстиом С2 перемен-
переменных w, z, являющуюся объединением множеств
B.59)
W =s?-r, -г
При этом точки множеств D^ и Dit лежащие над областью
к-, |^|<Ст|' рассматриваются как различные
точки области D с одинаковыми проекциями.
Таким образом, D — это многолистная область; ее обо-
оболочкой голоморфности служит бицилиндр {| «> | <О i 12 |<^ 1}.
Действительно, всякая функция, голоморфная в области D,
голоморфна и в области Db являющейся ее подобластью;
следовательно, она будет представляться двойным степенным
рядом, сходящимся во всем бицилиндре {|и>|<^1, |г|<^1}.
Теперь мы рассмотрим кругообразные области других
видов.
Определение ((ри ...,рп) — круговая область над
пространством С). Область D над пространством С" назы-
называется (/?!, ..., /?л)-круговой областью с центром в точке Мо
с координатами (аь ..., ап), если ее автоморфизмы состав-
составляют однопараметрическую группу {T(pfi, ¦¦.,Prfi)}- Здесь
Т(р$, .... РпЩ — обобщенное биголоморфное отображение,
переводящее точку P0(z[°\ ..., z'n') в точку P(zlt ..., zn):
где 0 sg;6s?;2it, j= I, ..., п и рь ..., рп — взаимно простые
целые числа. Заметим, что если область D многолистна, то
для задания преобразования Т(р$, ..., рпЩ нужно, кроме
соотношений B.60), еще указать порядок соответствия раз-
различных аналитических точек с одинаковыми координатами
пх образам.
') См. Бремерман [4].
8»

228 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
Далее мы ограничимся рассмотрением случая двух комп-
комплексных переменных w и z.
При т = р=1 {т, /?)-круговая область называется просто
круговой областью. Если пересечение круговой области
с каждой аналитической плоскостью z — zo = t{w — w0)
представляет собой полный круг, то круговая область назы-
называется полной. Полная круговая область всегда является
звездной и однолистной; вместе с точкой Mi {wu z{) к ней
обязательно принадлежат и все точки с координатами (wo-\-
-j-1 (wx — w0), zo-\-t (zx — z0)), при 111 ^ 1 (составляющие
замкнутый круг).
При т=\, р = 0 или т = 0, р=\{т, /?)-круговая
область называется полукруговой областью с плоскостью
симметрии w = w0 (или соответственно z = ?0). Если пере-
пересечение полукруговой области при т=\, р = 0 со всякой
плоскостью z = const (соответственно при т = 0, р=\—со
всякой плоскостью w^ const) или пусто, или представляет
собой полный круг, то полукруговая область называется полной.
Полная полукруговая область может и не быть однолистной.
Оказывается справедливой следующая теорема, которую
мы приведем без доказательства.
Теорема 13.10. Оболочкой голоморфности ограни-
ограниченной круговой {полукруговой) области, к которой при-
принадлежит ее центр, не являющийся внутренней точкой
ветвления{имеющейвнутренние точки в плоскости симмет-
симметрии), служит наименьшая аналитическая выпуклая круго-
круговая {полукруговая) область, содержащая данную область.
Теорема 13.10 для однолистных областей является след-
следствием теорем 12.13 и 13.8.
Аналогичное предложение может быть высказано и для
общего случая {т, /;)-круговых областей.
Кругообразные области были подробно изучены в работах
Гартогса, Беенке, Фабера, А. Картана, Туллена и некоторых
других математиков 1).
4. Трубчатые области и их оболочки голоморфности.
Определение. Область S пространства С? переменных
Zj = Xj-\-iyj, j =\, ..., л, называется трубчатой (или тру-
*) См. Гартогс [1], Картан [2], [3], Фабер [1]. Теория кругооб-
кругообразных областей была более подробно изложена в первом издании
настоящей книги.

§ 13] ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ 229
бообразной, или цилиндрической), если вместе с каждой точкой
(z'i', .... z'n) к этой области принадлежат псе точки (z^01 -)-
+ Pi. •••» •гл' + Рл). r^e Ру(У^ 1. .... п) — ироизнольные дей-
действительные числа.
Таким образом, подобная область S обладает я-парамет-
рической группой автоморфизмов
(Т) zy = 401 + P; (/=1 я). B.61)
Отображение
(Ф) wf = euJ, у=1 л, B.62)
переводит трубчатую область S в я-круговую область ?) = <I>S
пространства С?, переменных wb ..., и>л с центром в начале
коорДинат — точке О.
Точки трубчатой области S, лежащие в подпространстве
#?ш) ^1 = 0...=лл = 0}СС" образуют область S(Im),
называемую ее основанием. Область S(Im) играет в теории
трубчатых областей ту же роль, что и область D+ (образ
я-круговой области D в абсолютном октанте R%) в теории
я-круговых областей. Если Z) = <I>S, то Z)+ = <I>S(Im).
Заметим, что при отображении Ф каждая трубчатая область
5 с ограниченным основанием переходит в я-круговую область,
не содержащую точку О. Если мы продолжим надлежащим
образом отображение B.62) в бесконечно удаленные точки
пространства QnZDC^ и затем применим его к трубчатой
области S с неограниченным основанием, мы сможем полу-
получить в качестве ее образа я-круговую область, содержащую
свой центр внутри или на своей границе.
Трубчатая область S называется октантообразной или
полной, если она вместе с каждой точкой (z\, ..., z%) содер-
содержит все точки (zlt ..., zn), для которых Im zj^Im z), где
у = 1, ..., я. Октантообразной трубчатой области S отвечает
полная я-круговая область D с центром в начале координат.
При отображении Ф граница dS(Im) области S(Im) перехо-
переходит в границу dD+ области Z)+. Как указано выше, двояко-
круговая область ?>С1Си>. ограниченная гиперповерхностью
гг4| =<f(\w11), аналитически выпукла, если граница dD+
области D+ в абсолютной четверть-плоскости логарифмически
мынукла, т, е, если ,.. ?—р~- <С О- В результате замены

230 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [гл. II
B.62) это неравенство принимает вид -т^ ^> 0. Однако от-
отсюда еще нельзя заключить, что трубчатая область 5 анали-
аналитически выпукла, если ее основание ограничено кривой, на
которой -т^^>0 (при выполнении этого условия кривая
вогнута, а ограниченная ею область оказывается выпуклой),
так как отображение Ф не является биголоморфным.
Тем не менее соответствующий вывод оказывается спра-
справедливым, и притом в общем случае пространства л^> 1
комплексных переменных. Трубчатая область голоморф-
голоморфности в пространстве Cnz — это трубчатая область
с выпуклым основанием 5(Im). Построение оболочки голо-
голоморфности трубчатой области S сводится к построению
наименьшей выпуклой оболочки S(Im) ее основания S(Im) и
затем трубчатой области S с основанием S(Im>').
Благодаря тому, что обратное отображение Ф не одно-
однозначно, голоморфной функции f(z), заданной в трубчатой
области 5, соответствует в л-круговой области голоморфная
функция /оФ только в том случае, если
т. е. если эта функция / имеет период 2тс по каждому пере-
переменному Zj.
С другой стороны, каждой функции ср (w), голоморфной
в л-круговой области D, соответствует функция /(г) = сроФ,
голоморфная в трубчатой области Б — Ф^п. Можно пока-
показать: если D — область голоморфности, то и S^= Ф~'?) —
область голоморфности; обратное, вообще говоря, не имеет
места.
5. Пример однолистной области с многолистной обо-
оболочкой голоморфности был впервые построен Тулленом [1].
Рассмотрим следующую полукруговую область D простран-
пространства С2 переменных w, z. Ее проекция на координатную
плоскость w представляет собой кольцо уз^яу |<^ 1; на
каждой плоскости w == relH, где у <V <^ 1, к области D
1) См. Бохнер—Мартин [1], стр. 125 и ел. или вторую часть
настоящей книги,

§13] , ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ
231
принадлежат точки, координаты z которых удовлетворяют
условию
шах(-1-Н, о)-'=И<0 + 1, B.63)
2 I "> " J -1 ~ I \v \ 2 '
где величине О мы придаем значения, удовлетворяющие усло-
условию О -¦;'; 0 - 2ятс (здесь л — целое, положительное число).
Получаемая таким образом область, очевидно, допускает
автоморфизм W=w, Z = zeiv и, следовательно, является
полукруговой (с плоскостью симметрии z = 0). Рассматривая
координаты z точек области D, отвечающих значениям области
w на круге w^re'9 при непрерывном изменении 6 от 0 до
2ятс(я^>1), мы обнаруживаем, что D представляет собой
спиралевидную область. Область D содержит точки, лежащие
в плоскости .2 = 0, и поэтому ее оболочка голоморфности
H(D) будет являться полной полукруговой областью, содер-
содержащей данную. Мы поставим в соответствие точке (w = re'9, z)
области D@^Q^2mz, z определяется из условий B.63))
значение функции f(w, z) = ln\w\-\-iQ. Определенная таким
образом в области D функция f(w, z) будет там (однознач-
(однозначной) голоморфной. Она должна поэтому быть (однозна-чной)
голоморфной и в области H(D). В каждой плрскости w = re'9
области H(D) должен принадлежать по крайней мере весь
круг | z•] =^S6-}--р- и, в частности, точка z^O. В геометри-
геометрической точке (гел, 0), принадлежащей области H(D), функция
In|a>|-|-i6 будет при 6=:2im (v=l, ..., п) принимать п
различных значений. Отсюда следует, что в области H(D)
над этой точкой должно лежать не менее п аналитических
точек. Область H(D) будет по крайней мере л-листной.
6. Оболочка голоморфности произведения областей.
Прежде всего мы сформулируем следующую лемму.
Лемма. Пусть D — область над пространством С™
переменных wb ..., wm, E^u ?"a — области над простран-
пространством Спг переменных гъ ..., zn, причем ?iCZ?V Если
Функция f(w, z) голоморфна в области D X ^i u голомор-
голоморфна (по z) в области ? для каждого фиксированного
ic (^ D, то эта функция голоморфна (по совокупности
переменных) в области D X Е%.
Эта лемма является распространением на случай областей
млд пространством С комплексных переменных главной

232 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ В ОБЛАСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. II
теоремы Гартогса, приведенной в п. 3 § 1 гл. I. Мы не будем
останавливаться на ее доказательстве.
Теорема 13.11'). Если D и H(D) — области над
пространством С™ переменных W\ wm> Е и Н(Е) —
области над пространством Спг переменных zx zn, то
НфХЕ) = Нф)ХН(Е). B.64)
Доказательство. Каждая функция f(w, z), голо-
голоморфная в области DXE> голоморфна по w в области D
для каждого z, фиксированного в области Е. Эта функция
будет голоморфной (по w) и в области H(D). Отсюда, в силу
предыдущей леммы, следует, что функция f(w, z) голоморфна
(по совокупности переменных) в области H(D) X Е. Повторяя
подобное рассуждение, мы установим, что функция f(w, z)
голоморфна и в области H(D)XH(E)- Отсюда, поскольку
f(w, z) — произвольная функция, голоморфная в области
D X Е, вытекает, что
B.65)
С другой стороны, оболочка голоморфности H(DXE) яв-
является наименьшей областью голоморфности, содержащей
область DXE. Поэтому
B.66)
Из соотношений B.65) и B.66) вытекает наше утверждение.
') См. Бремерман [2J, Зоммер—Меринг [1].

ГЛАВА III
КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 14. Комплексно аналитические многообразия.
Комплексно аналитические наложения
1. Комплексные многообразия. Комплексно аналитические,
кратко, комплексные многообразия являются частным случаем
многообразий, рассмотренных нами во введении. В случае
комплексного многообразия X карты (?//, ifj), составляющие
его полный атлас, должны быть голоморфно совместными
друг с другом. Это означает, что при непустом пересечении
элементов многообразия Ut и Uj, гомеоморфизм фу(Uif\Uj)-*-
—*-tyi(Uif}L/j) является биголоморфным отображением. Каждая
(связная) составляющая комплексного многообразия всегда
имеет четную топологическую размерность, равную ее удвоен-
удвоенной комплексной размерности. Если все составляющие ком-
комплексного многообразия Z имеют одну и ту же комплексную
размерность п, оно называется однородно или чисто размерным
и обозначается через Zn.
Заметим, что при рассмотрении комплексных многообра-
многообразий за области ^jUj обычно берутся полицилиндры {|^,-|<^1>
i=l n.j\ в пространстве С?1 комплексных переменных
^i tn.. Последние называются (локальными) комплексно
униформизирующими параметрами или координатами точек
па элементе Uj.
Все открытые множества пространств С и Рп(п^\),
аналитические множества, лежащие в этих пространствах и
состоящие из обыкновенных точек, плоские области наложе-
наложения без внутренних точек ветвления являются комплексными
многообразиями. Очевидно, что после присоединения к пло-
плоской области наложения ее комплексно униформизируемых

234 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
точек ветвления мы снова получаем комплексное многообра-
многообразие. С другой стороны, в результате присоединения к подоб-
подобной области ее комплексно неуниформизируемых точек ветв-
ветвления мы получаем множество, уже не являющееся комплекс-
комплексным многообразием.
Определение {голоморфная функция на комплексном
многообразии). Функция /, заданная в окрестности точки z
комплексного многообразия Z, называется голоморфной в этой
точке, если существует такая ее окрестность V, d Ui, где
Uj — некоторый элемент многообразия Z, что функция /о фу"
будет голоморфной в области iff Vг вспомогательного про-
пространства униформизирующих параметров.
я
Внешняя форма <х=^ Л/,.../ dttl/\ ... /\dti , заданная
р
в некоторой окрестности точки z ? Z, называется голоморфной
в этой точке, если функции Л,-,.../ (z) голоморфны в точке z.
Функция / (или форма а) называется голоморфной на мно-
множестве DC1Z, если она голоморфна во всех точках этого
множества D.
Функции, голоморфные в некоторой точке z ? Z, образуют
кольцо целостности ?>г. Это кольцо изоморфно кольцу схо-
сходящихся степенных рядов с центром в некоторой точке. Для
него справедливы теоремы 4.5 и 4.8. Таким образом, оно яв-
является нетеровым кольцом и для него справедлива теорема
об единственности разложения функции / ? Ог на произведе-
произведение неприводимых функций, принадлежащих к кольцу ?>г.
Функции, голоморфные в некоторой области DC1Z, также
составляют кольцо целостности; кольцо, образуемое функ-
функциями, голоморфными на некотором открытом множестве ECZZ,
вообще говоря, не является областью целостности.
Совокупность колец Dz для различных точек z ? Е обра-
образует пучок, который обычно обозначается символом О (?)
(в частном случае возможно равенство E = Z).
Понятия аналитического, тонкого и почти тонкого мно-
множеств определяются для комплексного многообразия Z со-
совершенно так же, как для пространства С". Сохраняют свой
смысл понятия неприводимого и локально неприводимого
аналитического множества, его обыкновенной и исключитель-
исключительной точки, понятия ростка, простого ростка, локально непри-

§ 14] КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ НАЛОЖЕНИЯ 235
водимого, простого ростка аналитического множества (см. п. 4
и 5 § 4 гл. I).
Для комплексных многообразий имеет место теорема 6.7
Римана об аналитическом продолжении голоморфных функций.
Определения функции, меромррфной в некоторой области
DCZ.7., а затем и некоторой точке z ^ Z, не отличаются от
прежде данных (см. п. 2 § 9 гл. II). Поскольку в случае
комплексного многообразия для кольца голоморфных функ-
функций Dz справедлива теорема 4.5 об единственности разложе-
разложения функции f^?)z на неприводимые множители, кольцо D
целозамкнуто в своем поле отношений Шг.
Обобщением понятия голоморфной функции является по-
понятие голоморфного отображения.
Определение (голоморфное отображение). Пусть D
и D* — открытые подмножества комплексных многообразий
Z и Z*. Непрерывное отображение T:D-+D* называется
голоморфным отображением из многообразия Z в многообра-
многообразие Z*, если каждой функции ср> голоморфной на некотором
открытом множестве D* d D* CZ 2*. соответствует на откры-
открытом множестве Dt CZ D d Z голоморфная функция ср О Т.
Здесь А = Т'Ю^
Если для голоморфного отображения Т обратное отобра-
отображение 71: 7 (Z3) -> D является голоморфным отображением
из многообразия Z* в многообразие Z, это отображение Т
называется биголоморфным.
Если Z* = C1, определение голоморфного отображения
сводится к определению голоморфной функции на комплекс-
комплексном многообразии Z. Если Z* = Cw, где Cnw — пространство
комплексных переменных W\, ..., wnt то условие голоморф-
голоморфности отображения Т равносильно требованию голоморф-
голоморфности функций wk = wk(z), z?Z, k=\, ..., n, с помощью
которых определяется это отображение.
Если голоморфное отображение (a: Zk -*¦ Wn определяет
локально регулярное или регулярное вложение комплексного
многообразия Zk в комплексное многообразие Wn (см. п. 4
ннедения), мы будем называть это вложение аналитически
локально регулярным или аналитически регулярным. Если,
снерх того, Zk C2 Wn, мы будем говорить об аналитически
локально регулярно вложенном или аналитически регулярно
пложенном комплексном подмногообразии Zk комплексного
многообразия Wn.

236 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
В этом случае соотношения @.10 — @.1в) будут записы-
записываться с помощью голоморфных функций комплексных коор-
координат соответствующих точек многообразий Wn и Zk.
Комплексное.многообразие Z всегда ориентируемо. Это вы-
вытекает из того, что (действительный) якобиан биголоморфного
отображения фу (?/|П ?//)->¦ tytWiOUj) всегда положителен.
2, Комплексно аналитическое наложение над комплекс-
комплексным многообразием. Определение, Тройка 2В = (№, т\, Z)
называется комплексно аналитическим наложением или
накрытием над комплексным многообразием Z, если
1) W—локально компактное пространство Хаусдорфа,
7j — непрерывное, собственное, нигде не исключительное ото-
отображение пространства W на многообразие Z.
2) Многообразие Z содержит такое аналитическое множе-
множество Л, что: а) множество т\~1(А) нигде не разлагает простран-
пространства W и б) отображение ^переводит множество И^Х^тр^Л)
в открытое множество Z\A локально гомеоморфно.
Напомним, что некоторое отображение называется соб-
собственным, если прообраз каждого компактного множества при
этом отображении компактен. Отображение является нигде не
исключительным, если каждая точка образа имеет при этом
отображении конечное множество прообразов (см. по этому
поводу еще п. 2 § 10).
Пространство W называется пространством аналитиче-
аналитического наложения ЗВ. Аналитическое наложение 2В называется
связным, если его пространство W связно.
Если точка w? W, точка z?Z, i\{w)^z, то z — фунда-
фундаментальная точка для точки w. В этом случае говорят, что
точка w лежит над точкой z. Отображение т\ называется
проекцией пространства W на многообразие Z.
Аналитическое множество A CZZ, обладающее для нало-
наложения SB перечисленными выше свойствами, называется его
критическим множеством. Если A^<Z_Z, A%C1Z—два кри-
критических множества наложения 933, то их пересечение А\(~\Аъ
также является критическим множеством для этого наложения.
Простейшим примером аналитического наложения может
служить тривиальное аналитическое наложение (Z, i, Z), где
i — тождественное отображение. Заметим, что плоское нало-
наложение второго вида Sj, рассмотренное нами в § 8, является
тривиальным аналитическим наложением над единичным поли-
полицилиндром в пространстве С" с центром в точке Mj.

§ 14] КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ НАЛОЖЕНИЯ 237
Рассмотрим область М(П), лежащую над кругом Е {\ z \ <^ 1}
на римановой поверхности функции w= \f z, и область L,
лежащую над кольцом ?{1<^|.г|<^2}на римановой поверх-
поверхности w = Lnz. Легко видеть, что тройка (Af(n), 7. Е), где
f — проекция z-*-z, является аналитическим наложением, а
тройка (/., f> E) не является аналитическим наложением. Не
будет аналитическим наложением и тройка (Lu 7, Е), где
Ц — образ прямоугольника { 0 <^ Re w <С In 2, 0 <^ Im w <^ Зтс}
при отображении z = ew на римановой поверхности функции
w = Ln z. Заметим, что пространства Ж<„), L, Ц во всех этих
случаях, очевидно, являются многообразиями.
Примеры многомерных аналитических наложений, а также
наложений, для которых пространство наложения не является
многообразием, будут приведены ниже (см. п. 4 и 5 настоя-
настоящего параграфа).
Два аналитических наложения SBA^(WA, i\k, Zk), k= 1, 2,
Za = pZi, где р — гомеоморфное отображение многообразия Zj
на многообразие Z2, называются эквивалентными друг другу,
если существует такое гомеоморфное отображение X: lF2-> Wu
что -г]3 ^= р О Tfii О ^-
Если 28a = (Wa, f\k, Zk), k=l, 2 — аналитические нало-
наложения комплексных многообразий Z^ и Z2, то тройка SB^><9B2^
= (ЩХ.Щ> ЪХ.'Чъ ^Х^я) определяет аналитическое на-
наложение над многообразием Z1\Zi. Здесь ^ X "^а — отобра-
отображение пространства W1 X ^2 на многообразие Zj X ^2> п0"
рождаемое отображениями i\k: Wk -> ZA, A^l, 2.
Теперь мы приведем (без доказательстваI) некоторые
свойства аналитического наложения 9Б= (W, \ Z).
1) Проекция т\: W-+Z является открытым отображением.
Если AC2.Z—критическое множество наложения 9Б, то
тройка (W\yf1(A), f\, Z\A) определяет неразветвленное
наложение множества Z\A, не имеющее граничных точек2).
') Доказательства этих предложений (или указания на то, где
можно найти эти доказательства) см. в работе Грауэрта — Реммер-
та [2]. В изложении основных понятий теории комплексных про-
пространств мы, в общем, следуем этой работе.
2) Отображение одного топологического пространства на другое
называется открытым, если оно переводит каждое открытое мно-
множество снова в открытое множество. Вторая часть предложения
является частным случаем теоремы о накрывающей гомотопии
(см. Стинрод, Топология косых произведений, ИЛ., 1953, стр. 87).

238 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
2) Каждая точка w? W имеет такой счетный базис окре-
окрестностей {?/v}, v=l, 2, ..., что каждая тройка (?/v, % VJ,
где Vv = fj(?/V), определяет аналитическое наложение ком-
комплексного многообразия V4.
3) Если комплексное многообразие Z является объеди-
объединением не более чем счетного множества компактных мно-
множеств, то пространство W паракомпактно и метризуемо.
4) Пространство W локально линейно связно. Если мно-
множество SCZZ не разлагает многообразия Z, то множество
Т1 (S) d W не разлагает пространства W.
5) Если область Z'CZZ, то открытое множество W'=tf1 (ZJ)
единственным образом разлагается на конечное множество связ-
связных составляющих W'4 (у = 1,..., s). Каждая тройка (W\, \ Z')
определяет связное аналитическое наложение области Z'.
6) Если наложение 9Б связно, то число точек w ^ W,
лежащих над произвольной точкой z ^ Z\A, одинаково для
всех этих точек z'.
Указанное число называется числом листов аналитиче-
аналитического наложения SB и обозначается символом & = &BВ).
Само положение 933 в этом случае называется Ь-листным.
Число точек w? W, лежащих над произвольной точкой z? A,
тогда ^Ь.
Определение (порядок точки,точка однолистности,
точка ветвления). Точка w ^ W пространства наложения W
некоторого аналитического наложения 2В=:(№, т\, Z) назы-
называется точкой порядка k, если она обладает таким базисом
окрестностей { Uv} (v = 1, 2,...), что все аналитические нало-
наложения (?/v, 7j, f\(UJ) A-листны. Порядок точки w?W мы будем
обозначать символом О («>)• Если OW=1, то И) — точка
однолистности для наложения 933. В противном случае
w — точка ветвления.
Если V d W — множество точек ветвления, A d Z — неко-
некоторое критическое множество для наложения 2В, то VCZT1^);
множество V всегда замкнуто в W и нигде не разлагает
пространства W. Тройка (№\^, \ Z\k](V)), где V =
= 1]""lA'l(^))» определяет наложение над множеством Z\Tj(y),
не имеющее граничных точек и точек ветвления.
Далее можно показать, что:
7) В случае связного наложения 233 для любой точки z^Z
имеет место равенство 2 О (®0 = Ь B33).
l

§ 14] КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ НАЛОЖЕНИЯ 239
8) Каждая точка w^Tfl(A), где А— критическое множе-
множество наложения 9В, в которой (комплексная) коразмерность
этого множества ^ 2, является точкой однолистности для
наложения ЙВ.
Это предложение показывает, что для любого аналитиче-
аналитического наложения Щ с непустым критическим (аналитическим)
множеством А последнее всегда можно выбрать имеющим
(комплексную, чистую) коразмерность, равную 1.
Теорема 14.1 (о продолжении аналитического на-
наложения). ' Пусть а) М — нигде не плотное аналити-
аналитическое подмножество комплексного многообразия Z;
б) (W, т{> Z\M) — аналитическое наложение многообра-
многообразия Z\Mu некоторое критическое множество Л CZ Z \ Ж
этого наложения для любой точки (. ^ М может быть
аналитически продолжено на пространство (Z \ М) [} Vv
где V^ — надлежащая окрестность точки С в многообра-
многообразии Z. Тогда с точностью до эквивалентности существует
одно и только одно такое аналитическое наложение
(W, % Z), что аналитическое наложение (тр1 (Z \ М), т\,
Z\M) оказывается эквивалентным данному наложению
« -ц', Z\M).
3. Нормализация аналитического множества. Примеры
аналитических наложений. При построении примеров ана-
аналитических наложений нам будет полезно понятие нормали-
нормализации аналитического множества.
Пусть Z — некоторое комплексное многообразие. Мы рас-
рассмотрим сначала совокупность Рг={рг} простых ростков
аналитических множеств для каждой точки z ? Z, а затем
объединение P{Z) = { Pz, z?Z} для всех точек z ?Z. В этом
объединении, элементами (точками) которого служат простые
ростки рг, мы определим базис открытых множеств {т*}.
Каждое подобное множество m*ClP(Z) — это совокупность
простых ростков аналитических множеств, принадлежащих
к какому-нибудь аналитическому множеству т в много-
многообразии Z.
В результате объединение P(Z) становится топологиче-
топологическим пространством. Оно далее называется пространством
простых ростков аналитических множеств над комплексным
многообразием Z.
Определенное таким образом пространство P{Z) оказы-
и.чется локально компактным и локально линейно связным.

240 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
Обозначим через (а проекцию т* -> т. Эта проекция уста-
устанавливает непрерывное соответствие между элементами (точ-
(точками) открытого множества m*CZP(Z) и точками аналити-
аналитического множества т CZ Z. Пару (/я*, (а) мы будем называть
нормализацией аналитического множества т в пространстве
P(Z). Оказывается справедливой следующая
Теорема 14.2. Аналитическое множество т в том
и только в том случае неприводимо в комплексном много-
многообразии Z, если множество т* связно. Множество т
в том и только в том случае локально неприводимо
в точке z ^ Z, если проекция [а определяет, некоторое
гомеоморфное соответствие между множествами mf\ Vг
и (A (mf\ Vz). d т*. Здесь VZ(ZZ — некоторая окрестность
точки z.
Примеры. Как указывалось в п. 5 § 4 гл. I, ^анали-
^аналитическое множество тг { w1 — ,ф| = 0} в пространстве С3
переменных w, zx, z% приводимо, так как распадается на не-
неприводимые аналитические множества т^~> {w* — ztz^ = 0 } и
mf> {w2-|-ZiZ2 = 0}; оно связно, так как в начале координат,
в точке О^С3, эти множества соединяются друг с другом.
Множество т\ в пространстве Р(С3) не связно; там простые
ростки (трH и (т№H определяют различные точки. 2) Ана-
Аналитическое множество m%{wi — г\г%^0} неприводимо вна-
вначале координат, точке О?С3, но не является там локально
неприводимым.
Поэтому проекция /и|->/я2 не является гомеоморфизмом
ни в какой окрестности точки О. Там всегда найдутся такие
точки z ? mit которым соответствуют две точки (два про-
простых ростка), принадлежащие к множеству т%.
Теорема 14.3. Если т — аналитическое множество
в многообразии Z и (т*, (а) — его нормализация в про-
пространстве P{Z), то
а) Множество т* является локально компактным
и локально связным топологическим пространством.
Проекция (а: т*-*- т является непрерывным, собст-
собственным, нигде не исключительным, сюръективным отобра-
отображением.
б) Если п — совокупность исключительных точек мно-
множества т, то множество \хг1 (п) нигде не разлагает
пространства т*. Ограничение отображения (а | т \ „ яв-
является гомеоморфизмом.

§ 14] КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ НАЛОЖЕНИЯ 241
Если пара ('/я*, '{*) (гДе 'т* С P(Z)', 'p: 'т*-+т— соот-
соответствующее отображение) обладает свойствами, указанными
в пп. а) и б) настоящей теоремы, то существует гомеоморф-
ное отображение х:'т* -*¦ т*, причем 'ji = [iot.
Пространств т* называется пространством нормали-
нормализации аналитического множества т.
Пусть Zj и Zcg — комплексные многообразия, т — чисто
размерное аналитическое множество, содержащееся в комплекс-
комплексном многообразии Z\ X %ч> V т-+ Z\ — проекция множества т
на многообразие Z\, {т*, [*)— нормализация аналитического мно-
множества т в пространстве простых ростков аналитических
множеств P(Z^y^Zi). Тогда имеет место
Теорема 14.4. Если проекция -р m-+Z\ сюръективна,
то тройка (т*, ?*> Zj), где ¦у* = тО(А> определяет ана-
аналитическое наложение над многообразием Z^. Тройка
(т, f. Zj) определяет аналитическое наложение над мно-
многообразием Z\ в том и только в том случае, если ана-
аналитическое множество т локально неприводимо.
Доказательство. Из определения отображения f как
проекции и теоремы 14,3 вытекает, что ^*^^О(а является
непрерывным, собственным, нигде не исключительным и сюръ-
ективным отображением. Покажем, что для тройки (т*, f*, Zt)
выполняется и второе условие из определения аналитического
наложения. По предположению нашей теоремы аналитическое
множество т при проекции f накрывает многообразие Zv
Поэтому существует такое аналитическое множество A CZ Zj
размерности более низкой, чем многообразие Zv что ограниче-
ограничение проекции -р m\i~1 (A)—*¦ Zi\^ оказывается локально
гомеоморфным. Можно всегда предположить, что множество
f'(^)Cm содержит все исключительные точки множества т.
Тогда в силу теоремы 14.3 множество f*~ (^) = A~1('Г104))
нигде не разлагает пространства т*, и ограничение отобра-
отображения [а: /и*\7*~1(Л)-> tri\f~l(A) локально гомеоморфно.
Поэтому будет локально гомеоморфным и ограничение ото-
отображения f*: /я*ч\7*~1(Л)->^1\Л.
Следовательно, тройка (/я*, f*> Z\) определяет аналити-
аналитическое наложение многообразия Z\. Если множество т ло-
локально неприводимо, то проекция (а: т*—> т предстаиляет
собой в силу теоремы 14.2 гомеоморфизм. Отсюда вытекает,
что в этом случае тройка {т, f, Z^ определяет аналитическое

242 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, III
наложение над многообразием Z^ Наоборот, пусть известно
что тройка (/я, f> Zj) определяет аналитическое наложение
многообразия Z\ и A CZ Zi— критическое аналитическое
множество этого наложения. Так как множество ~f^ (А) нигде
не разлагает аналитического множества т и содержит все
его исключительные точки, то множество т является локально
неприводимым (см. п. 5 § 4 гл. I).
Заметим, что в силу теоремы 4.13 предположения тео-
теоремы 14.4 будут выполнены, если аналитическое множество т
имеет ту же размерность, что и многообразие Zb а много-
многообразие Zi представляет собой ограниченную область Q CZ С®
и пересечение т f\ {Z^ X dG) пусто.
Предположения теоремы 14.4 будут выполнены, если
Z2 = CJij и множество т {w == w (z)} определяется уравнением
(т) wb + а, (г) w"'1 +...+«*(*) = () C.1)
с голоморфными на многообразии Zx коэффициентами ak(z)
(k=l, .,., b). В этом случае (/я*, ?*> Z^ — fc-листное ана-
аналитическое наложение; оно связно, если полином C.1) не-
неприводим в многообразии Zt.
Теперь мы перейдем к рассмотрению примеров аналити-
аналитических наложений.
Пример 1. Рассмотрим полицилиндр Z{\zl\<^rl, ...
..., | 2л |<Сгл} CIС" (где все г„^>0), плоскость С1Ш аналити-
аналитическое множество ть \z^Z, wb — Zi = 0}. Здесь b^\ — не-
некоторое целое число. Пусть f — «естественная» проекция (z,
w)—+z,rjie точка (z, w)^Cnzy^ Cw, z — соответствующая
точка пространства С^. Тогда тройка 23й = (/яй, 7. Z) опреде-
определяет связное ^-листное аналитическое наложение. Каждая точка
(w, z) ^ тъ, лежащая над куском аналитической плоскости
{^j = 0, z^Z}, является точкой ветвления аналитического
наложения 23ft порядка Ь. Все остальные точки (z, w) ^ ть
являются для него точками однолистности.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве С* X Cw анали-
аналитическое множество m{z(^Z, wb — zb^zb^ = Q}, где Z — би-
бицилиндр {l^l^l, |zcg|<^l}, и его нормализацию (/я*, (а)
в пространстве ростков Р(CI X Cw); пусть ¦y*^T°!J" Тройка
ЗВ* = (/я*, 7*. Z) определяет, согласно теореме 14.4, анали-
аналитическое наложение над бицилиндром Z. Очевидно, что это
наложение &-листно; оно связно, если общий наибольший

§ 14] КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ НАЛОЖЕНИЯ 243
делитель целых чисел bv b$, b рамен единице. В этом слу-
случае множество т является неприподимым.
Над началом координат пространства С\ лежит точка
ветвдения аналитического наложения 93* порядка Ь. Над
остальными точками куска аналитической плоскости {z/, = О,
Bi, z^)^Z] (для k=\ и 4 = 2) лежит по рА точек ветвле-
ветвления наложения 23*. Здесь рА равно общему наибольшему де-
делителю чисел bk и Ь; порядок этих точек ветвления равен р*'й.
Тройка 23 = (т, f, Z) определяет аналитическое наложе-
наложение над бицилиндром Z, если C1 = р<!=: 1. В этом случае ана-
аналитическая поверхность т локально неприводима во всех
своих точках, в частности, в начале координат.
В рассмотренных нами примерах пространства наложения
могут быть заменены плоскими областями наложения. Послед-
Последние можно построить путем замены элементов поверхностей т
соответствующими элементами плоской области наложения z.
Эти элементы надо выбирать так, чтобы для них проекция f
была гомеоморфным отображением.
4. Типы точек ветвления. Точка однолистности w ? W
аналитического наложения %Q = (W, t\, Z), очевидно, обладает
окрестностью, гомеоморфной евклидовому пространству, так
как является униформизируемой точкой пространства W. Точки
ветвления аналитического наложения также могут быть уни-
формизируемыми. Так, все точки ветвления аналитического
наложения 93ft = (/ttft, f, Z), рассмотренного в примере 1 пре-
предыдущего пункта, униформизируемы. В этом можно легко
убедиться, спроектировав аналитическое множество ть в
пространство переменных w, z2 zn.
Точка ветвления wo?W называется точкой кручения
порядка b для аналитического наложения ЗВ = (W, f\, Z), если
она обладает окрестностью VdW, для которой аналитиче-
аналитическое наложение (V, "ц, "ц (V)) эквивалентно наложению SBft.
Очевидно, что в этом случае O(wu) = b. Точка кручения
всегда является униформизируемой точкой пространства W.
Имеют место
Теорема 14.5. Над обыкновенными точками кри-
критического множества А аналитического наложения
Ж = (W, 7j, Z)Mozym лежать только точки кручения этого
наложения.
Теорема 14.6. Проекция f\(V)(ZZ множества VC1W
точек ветвления аналитического наложения 2B = (W, tj, Z)

244 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
или пуста, или является аналитическим подмножеством
многообразия Z, имеющим чистую коразмерность, равную
единице.
т\(У) является наименьшим критическим множеством на-
наложения 9В.
Над исключительными точками критического множества
А могут лежать и неуниформизируемые точки ветвления
аналитического наложения 933. ¦
Возьмем тройку 9В= {т, f, 2} из второго примера преды-
предыдущего пункта для & = 2, b1 — bi=\. Она определяет анали-
аналитическое наложение над бицилиндром Z, так как аналитическая
поверхность m{wi — ZiZ2 = 0, z^Z} локально неприводима.
Для аналитического наложения 933 критическим является
множество A {z^ = О, z ? Z}. Начало координат, где z1=z^=Q,
является его единственной исключительной точкой. Покажем, что
над ней лежит неуниформизируемая точка ветвления @, 0, 0)
пространства т. t
Рассмотрим пространство ZW — образ вспомогательного
бицилиндра ?<г' {| tr \<^г, |^2|<СГ} ПРИ отображении Zi==t\,
zt = t%. Пространство Z^> лежит над бицилиндром Z<r' {| zt \ <^ г2,
^а I <Сг2}> Тройка3^'^(ZW, f, ZW)>r^eT — естественная про-
проекция, определяет четырехлистное аналитическое наложение
бицилиндра Z<r); над точкой (zlt z2)^Z(r' при z^ ф 0 ле-
лежат четыре точки пространства Zp, отвечающие точкам
(*i. h), (— h> h), (—1\, — h), (f\, — h) бицилиндра Е[г). Над
точками (zlt ^a)^Zw при г^^О, но | z^ |a -f-1 zt |a ф 0 ле-
лежат по две точки пространства Z^; они являются точками
ветвления второго порядка для наложения З'/"'- Над точкой
@, 0)^Zw лежит одна точка пространства Zf; она является
точкой ветвления четвертого порядка для наложения З'^-
Отождествим между собой попарно точки пространства '
соответствующие точкам (tu t%) и (—tit —1%) бицилиндра
В результате мы получим из пространства ZM пространство Z%\
как легко видеть, гомеоморфное пространству т. Тройка
$p = (Z'{K С</0, Zf). гДе С — естественная проекция, опреде-
определяет непрерывное наложение над пространством Zjf\ В нем
над каждой точкой пространства Z?\ кроме начала О, лежат
две точки пространства Z{rK Над точкой О ? Z<-p находится един-
единственная точка ветвления второго порядка этого наложения.
Покажем, что в этих условиях точка О не может обла-
обладать в пространстве Z<r> окрестностью, гомеоморфной евкли-

§ 14] КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ НАЛОЖЕНИЯ 245
довому пространству. Дейстпительно, если бы подобная
окрестность существовала, то тройка (Z*7"' \ О, (., Z^> \ О)
(при достаточно малом г) определяла бы линейно связное
непрерывное неразиети ленное двулистное наложение t>])=Zl{')\0
над односиязным пространством 3E = Zji''>\0. Пусть точка
r^3f, точки \)и tya€i2)—ее прообразы при отображении С.
Рассмотрим путь /С2)> соединяющий точки ^ и tJ, и его
проекцию ?/=<рС13?. Путь ср представляет собой петлю с
вершиной в точке г. В силу односвязности пространства ЗЕ
в нем существуют петли ср,, где OsS^^l, непрерывно зави-
зависящие от параметра t, причем сро^ср, ср± сводится к точке г.
Пусть J—множество тех значений параметра t на замкну-
замкнутом интервале O^^^l, для которых существуют пути
ЛС13)> соединяющие точки \)t и % причем (,ft = <pt. Множе-
Множество J должно быть на нем и открытым (это вытекает из
определения локального гомеоморфизма), и замкнутым (если
числа tj^-J; j=\, 2, ..., lim^ = ^0> то fto=lim ft). По-
этому множество J должно совпадать со всем замкнутым
интервалом OsS^sgl. Тогда l^J и должен существовать
путь /1; соединяющий точки )^ и t)8, проектирующийся
в путь ср1; т. е. в точку г. Последнее, очевидно, невоз-
невозможно ').
Таким образом, мы показали, что точка O^Z^ (а следо-
следовательно, и точка @, 0, 0)^/я, где т {w% — 2^ = 0}) яв-
являются неуниформизируемыми точками [своих пространств.
Отсюда, конечно, вытекает, что эти точки не могут быть
и комплексно униформизируемыми.
Пространство Z^° после удаления из него точек, для ко-
которых ,г1.г2:=0, совпадает с областью голоморфности функ-
функции I^ZxZ^ • Точка О является неуниформизируемой гранич-
граничной точкой этой области. Все ее остальные граничные точки
комплексно униформизируемы.
') Последняя часть рассуждения могла бы быть заменена при-
применением теоремы о накрывающей гомотопии. Заметим, что если
бы точка О обладала окрестностью, гемеоморфной евклидовому про-
пространству, пространство ZW было бы многообразием. Если бы оно
оказалось комплексным многообразием, то наложение &(г) бы-
было бы аналитическим наложением с единственной точкой
ветвления. Последнее невозможно в силу теоремы 14.6. В тексте
рассматривается общий случай.

246 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
§ 15. Голоморфные и мероморфные функции
на комплексно аналитическом наложении. Комплексные
а-пространства Беенке—Штейна
1. Голоморфные функции относительно аналитического
наложения. Определение. Функция /, непрерывная на
открытом множестве V d W, называется голоморфной на
этом множестве относительно аналитического наложения 2В =
= (W, \Z), если каждая точка однолистности w ? V обладает
такой однолистной окрестностью UW(Z_ V, что функция/о ^Г1
оказывается голоморфной в области ~4(UW)CZZ.
Функция / называется голоморфной в некоторой точке
w?W относительно аналитического наложения ЗВ, если она го-
голоморфна на некотором открытом множестве V d W, Wo ? V.
Вместо аналитического наложения Ш мы можем здесь
рассматривать аналитическое наложение (V, ч»), ^(V)).
Совокупность Dsjg всех функций, голоморфных на прост-
пространстве W, относительно аналитического наложения 2В, оче-
очевидно, составляет кольцо.
Если f^Dz, где D^—кольцо функций, голоморфных
на многообразии Z, то функция /O^f^Dgg. Таким образом,
проекция т): W—>Z порождает изоморфное отображение т)*:
Dz—+Ds$; кольца D^ в кольцо D^; кольцо D^g оказывается
расширением кольца D^ (его надкольцом).
Теорема 15.1. Функция /, непрерывная на простран-
пространстве W, в том и только в том случае голоморфна на
W относительно аналитического наложения 2B = (W, \ Z),
если функция /ОТ1 удовлетворяет на многообразии Z
уравнению
u>b + a1(z)u>b-i + ...-\-ab(z) = 0 C.2)
с коэффициентами ak(z) (k=\, ..., b), голоморфными
на этом многообразии. Здесь Ь = Ь(Ш) — число листов
наложения 2В.
Доказательство. Рассмотрим функцию/^ Dgg. Пусть
ACZZ — критическое множество наложения ЗВ, <%(.г), ...
... ,mb(z) — значения функции / в точках w ? W, лежащих над
некоторой точкой z?Z\A. Тогда симметрические функции
ь ь
P, q = \

§ 15] КОМПЛЕКСНЫЕ а-ПРОСТРАНСТВА БЕЕНКЕ—ШТЕЙНА 247
голоморфны на множестве Z\A. Действительно, при продол-
продолжении по замкнутому пути, лежащему в этом множестве, значе-
значения функций соА(г) могут лишь тасоваться между собой; зна-
значения же составленных из них симметрических функций ah (z)
остаются неизменными. При приближении точки z к множе-
множеству А эти симметрические функции ak(z) остаются ограни-
ограниченными ввиду непрерывности функции /. Отсюда, по теоре-
теореме Римана о продолжении голоморфных функций (теорема
6.7), имеющей силу для многообразий, вытекает голоморф-
голоморфность функций ah (z) на всем многообразии Z. Очевидно, что
функция / удовлетворяет уравнению C.2) с определенным
таким образом коэффициентами.
Теперь предположим, что функция / непрерывна на про-
пространстве W, а функция /ОТ1 удовлетворяет на многооб-
многообразии Z уравнению вида C.2). Тогда мы убедимся в голо-
голоморфности этой функции в точках z^Z, не принадлежащих
к дискриминантному множеству уравнения Г3.2), применяя
теорему 2.2 о неявной функции. После этого мы усмотрим
голоморфность функции /ОТ1 в остальных точках,
z?Z\A, применяя теорему 6.7 (Римана) о продолжении
голоморфной функции.
Замечание. Иначе говоря, теорема 15.1 устанавливает,
что кольцо Ds$ совпадает с множеством всех целых алге-
алгебраических величин / относительно кольца Dz степени
(/ОТ1: Dz)^b = b(%Q). Степень алгебраической величины
относительно кольца — это минимальная степень уравне-
уравнения (с коэффициентами из кольца), которому она удовле-
удовлетворяет.
Отметим еше следующую теорему, впервые высказанную
Осгудом в несколько менее общем виде ').
Теорема 15.2. Пусть т—чисто d-размерное анали-
аналитическое подмножество области G" = Qd X Qn~d С С" (где
d ^s 1), причем проекция •['¦ т — Od сюръективна; пусть (т*,
(х) — нормализация множества т. Тогда если функция/* го-
голоморфна в т* относительно аналитического наложения
(т*, 7 О [a, Qd), то в области Qd существуют две та-
такие голоморфные функции f\ и /2, что множество
я* = { z* ? т*, /а О [J. (z*) = 0} оказывается нигде не
») См. Ocryi [1], стр. 116.

248 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
плотним в множестве т*, а на множестве т*\п*
имеет место равенство /* = у ^ yj .
Определения аналитического, тонкого и почти тонкого
множеств (см. п. 1 § 9), теорема 6.7 (Римана) о продол-
продолжении голоморфной функции, определение голоморфного ото-
отображения (см. п. 1 предыдущего параграфа) переносятся на
случай аналитических наложений без каких-либо существенных
изменений.
Мы приведем лишь
Определение (голоморфное отображение). Пусть
DCZ.W и D* CI W* — открытые подмножества пространств
аналитических наложений 2B = (\F, т), Z) и 2B* = (\F*, т)*, Z*).
Непрерывное отображение 7: D—*D* называется голоморф-
голоморфным отображением из наложения 2В в наложение 2В*, если
каждой функции ср, голоморфной на некотором множестве
D* d /)* CI W* относительно наложения 9В*, соответствует
на открытом множестве T~1(D\)C2D(Z.W функция <?ОТ,
голоморфная относительно наложения 2В.
Если для голоморфного отображения Т: D—>?)* обрат-
обратное отображение Г: T(D)—-D является голоморфным ото-
отображением из наложения 2В* в наложение 2В, то это ото-
отображение Т называется биголоморфным.
Для тонких подмножеств пространств аналитических на-
наложений оказывается справедливой
Теорема 15.3. Если N С W— тонкое подмножество
прос транс meaW аналитического наложения 2B = (W, \ Z),
то множество N нигде не разлагает пространства W;
Проекция т) (ЛГ) d Z является тонким подмножеством
многообразия Z.
Рассмотрение функций, голоморфных относительно анали-
аналитических наложений, позволяет выделить важный класс этих
наложений.
Определение (аналитическое с-наложение, иначе
алгеброидное наложение). Аналитическое наложение 393 =
= (W> 'Чг 2) называется аналитическим с-наложением или ал-
геброидным наложением (или про это наложение говорят, что
оно удовлетворяет с-условию), если для каждой точки z ^ Z
можно указать такую окрестность Uz d Z и функцию f(w),
голоморфную на множестве тЧ^4) относительно наложения
2В, что [/оГ1: ?иг] = Ж

§ 15] КОМПЛЕКСНЫЕ а-ПРОСТРАНСТВА БЕЕНКЕ ШТЕЙНА 249
Таким образом, аналитическое с-наложение не имеет «лиш-
«лишних» листов, в точках которых с одинакоными проекциями
все голоморфные функции принимают одинаковые значения;
с-условие для аналитических наложений соответствует усло-
условию аналитической отделимости для плоских областей нало-
наложения.
Один из важнейших результатов теории комплексных
пространств составляет следующая
Теорема 15.4 (Грауэрт— Реммерт [2]). Каждое
аналитическое наложение всегда является аналитическим
с-наложением.
2. Мероморфные функции относительно аналитического
наложения. Данные нами выше определения мероморфной
функции и ее полярного множества (см. п. 2 § 9 гл. II) пе-
переносятся на случай аналитических наложений без каких-либо
изменений.
Из теоремы Римана о продолжении голоморфных функ-
функций вытекает следующее предложение о мероморфных
функциях.
Теорема 15.5. Функция /, голоморфная в точках
множества W\N относительно аналитического нало-
жения Щ = (№, i\, Z), где N—некоторое тонкое^ подмно-
подмножество пространства W, в том и только в том случае
может быть продолжена на все пространство W в ка-
качестве мероморфной функции, если для каждой точки
wo?N можно указать такую ее связную окрестность
UWo C1F и голоморфную в этой окрестности функцию
q ф 0, что функция fq оказывается ограниченной на мно-
множестве UWo \ 7V.
В какой-то мере обратной для теоремы 15.5 является
Теорема 15.6. Пусть функция f мероморфна на про-
пространстве W относительно наложения 2B = (W, % Z) и
N(ZW — ее полярное множество. Тогда каждая точка
zo G Ч (^) обладает такой связной окрестностью V2a d Z,
а в ней существует такая голоморфная функция
г(г)фО, что функцию (гсп)) / оказывается возможным
аналитически продолжить в качестве голоморфной функ-
функции на все множество ^"'(V^).
Доказательство. По предположению, для каждой
точки w0 = tf1 (z0) ? W существует такая связная окрестность
^Л»о d W, а в ней голоморфная функция q ф 0, что

'^50 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
функция #/оказывается ограниченной на множестве UWo\N.
Окрестность UWo мы выберем так, чтобы тройка %l = (UWo,
т), V), где V=i\(UWt), определяла аналитическое наложение.
Тогда в силу теоремы 15.1 функция qOrf1 удовлетворяет
на множестве V некоторому уравнению вида
us-1 + ... + as(z) = 0 C.3)
с голоморфными на этом множестве коэффициентами.
Рассмотрим в окрестности UWo функцию g(w) = ~—-;
очевидно, что она голоморфна вне множества {w? UWa,
<у (ш) = 0}. Она может быть в силу теоремы 15.1 продолжена
на все множество UWo в качестве голоморфной функции, так
как функция gOf\ удовлетворяет на множестве V уравне-
уравнению
«/ -f e,_, {г) ш^ + as_, {г) as (г) <o*r2 +...
ej-2 (z) (o + a*-1 (z) = 0. C.4)
Из соотношения (^—-)(q • /) = (asoi)/ теперь следует,
что множество V=ri(L/Wo) и функция г(z) = as(z) обладают
требуемыми в теореме 15.6 свойствами.
Теперь мы можем доказать для мероморфных функций
теорему, аналогичную теореме 15.1.
Теорема 15.7. Рассматривается аналитическое нало-
наложение 2В = (№, ч»), Z) и тонкое множество N(ZW. Функ-
Функция /, непрерывная на множестве W\N, в том и только
в том случае мероморфна на пространстве W относи-
относительно наложения 2В и имеет полярное множество QC2 N,
если функция /ОТ1 удовлетворяет на многообразии Z
уравнению
и* 4-a, (z) о)"-1-f...-f <*„(*) = 0 C.5)
с коэффициентами ak(z)(k = 1,... b), мероморфными на
многообразии Z и голоморфными на множестве Z\tj (TV).
Здесь ? = ?(SB) — число листов наложения SB.
Замечание. Обозначим через Kz и К$$ кольца, состоя-
состоящие из функций, мероморфных на многообразии Z и на про-
пространстве W относительно наложения 2В. Теорема 15.7 ут-
утверждает, что функция /, непрерывная на множестве W\N,

§ 15] КОМПЛЕКСНЫЕ а-ПРОСТРАНСТВА БЕЕНКЕ—ШТЕЙНА 251
где N(ZW — данное тонкое множество, в том и только
в том случае принадлежит к Кщ и имеет полярное множе-
множество QC2N, если функция /ОТ1 является целой алгебраи-
алгебраической величиной для кольца Kz степени (/о Т1: Кг) —
Щ
Доказательство. Предположим сначала, что сущест-
существует функция /' d Ksjq с полярным множеством Q d TV, для
которой ограничение/'| W\N=f\ W\N. Тогда ограничение
/| VP\N голоморфно; рассуждая так же, как при доказатель-
доказательстве теоремы 15.1, мы найдем, что функция /ОТ1! Z\t)(N)
удовлетворяет некоторому уравнению вида C.5) с коэф-
коэффициентами ak (z) (A:=l Ь), голоморфными на множе-
множестве Z\tjGV). Остается показать, что эти коэффициенты
могут быть продолжены в качестве мероморфных функций.
Пусть z0— произвольная точка множества t)(jV). В силу тео-
теоремы 15.6 у этой точки имеется такая связная окрестность VZo и
в ней Существует голоморфная функция г (z) ^ 0, что функция
/* = (гОт))/'оказывается продолжаемой в качестве голоморф-
голоморфной функции на все множество ^'(VJ, При этом функция
<n=/*OT1 удовлетворяет в области VZo уравнению
«)" + a, (z) r (z) (о6-1 + • • • + <Vi (г (г)) ь~^ + % (*) (г (z))b = 0.
C.6)
Рассматривая коэффициенты этого уравнения как симметри-
симметрические функции его корней, мы легко убедимся в том, что
они продолжаются в качестве голоморфных функций на всю
область VZo. Отсюда вытекает, что коэффициенты уравнения
C.5) продолжаются на область VZt)> а следовательно, и на
все многообразие Z в качестве мероморфных функций.
Теперь предположим, что функция / удовлетворяет урав-
уравнению C.5) с коэффициентами ak(z)^.Kz (k=l b).
В этом случае существует такое нигде не плотное аналити-
аналитическое множество 5 CI2, что функции ah (z) | Z\5 оказы-
оказываются голоморфными. Тогда в силу теоремы 15.1 непрерыв-
непрерывная на множестве W\N функция /о Т1 может быть ана-
аналитически продолжена на множество WsJMJtT1 E)) в ка-
качестве голоморфной функции / Последняя вне множества
/V U т) (S) совпадает с данной функцией /. В силу наших
предположений каждой точке •о'о ?; Т1 (S) соответствует такая
гиизная окрестность VCZZ точки i\{wu)^S и голоморфная

252 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
в этой окрестности функция r(z), что все функции a%(z) =
= ak (z)r(z)(k = 1,..., b) оказываются голоморфно продол-
продолжаемыми на область V. Тогда функция (rOfi)f\fT1(V\S)
будет оставаться ограниченной при приближении к точке w0,
так как функция (»:=[(гcD/lOT11 V\S удовлетворяет
уравнению
ь
(о*+2а% ^(r (z))fc ш"~*=°- C-7)
Отсюда вытекает, что функция /, а следовательно, и функ-
функция / может быть аналитически продолжены в качестве ме-
роморфной функции на все пространство W.
3. Пучок колец ростков голоморфных функций отно-
относительно аналитического наложения. В п. 3 § 4 гл. I мы
рассмотрели пучки ростков голоморфных функций над обла-
областью DCZ.C" и над открытым множеством ВCZС- Таким же
образом определяется пучок D BВ) = {D^ w ? W). Здесь Dw—
кольцо ростков функций, голоморфных в точке w ? W отно-
относительно наложения 2B:=(W, ч»), Z). Из теоремы 15.1 выте-.
кает, что каждый росток fw^Dw является целой алгебраиче-
алгебраической величиной степени меньшей или равной b BB) над коль-
кольцом, ?5Ч (То) ? D (Z); таким образом, кольцо Dw является над-
надкольцом степени b BВ) для кольца D4 <«,) ^ D (Z). Здесь D (Z) —
пучок колец ростков голоморфных функций над многообра-
многообразием Z.
Для колец Dw, составляющих пучок D BB), имеет место
Теорема 15.8. Кольцо Dw есть нетерово кольцо це-
целостности; оно целозамкнуто (в своем поле отношений)
и является конечным Dn(W)-модулем1). Здесь f\{w)^Z.
Доказательство. Покажем прежде всего, что кольцо
?>w является областью целостности, т. е. не содержит дели-
*) Некоторое кольцо О называется целозамкнутым (в своем
поле отношений), если всякая величина h = —, где /, g ? О, удов-
удовлетворяющая уравнению hr -\- Cjh^1 -\- ...сг = 0 с коэффициентами
Cfi ^ €) (й = 1,..., г), сама принадлежит к кольцу О.
Абелева группа 91{/} называется конечным ©-модулем, где О —
некоторое коммутативное кольцо с единицей, или, иначе, модулем
С.конечным базисом (gi,..., gp), если каждая величина/? 9J может
быть представлена в виде /=0,^ -)-.,, + aDgD- Здесь все а*(; D,
Все gb^n (* = !,..., р).

§ 15] КОМПЛЕКСНЫЕ а-ПРОСТРАНСТВА БЕЕНКЕ ШТЕЙНА 253
телей нуля. Пусть /„,, gw??>w и fwgw = 0??>„,. В силу
наших предположений в некоторой связной окрестности
УЯС^ существуют голоморфные функции /, g?Duw, пред-
представляющие ростки /„ и gw причем /• g — 01 Uw.' Проек-
Проекция т) отображает множество i/w\N (где N—некоторое
множестно, нигде не разлагающее область Uw) локально го-
меоморфно в многообразие Z. Из определения функции, го-
голоморфной относительно аналитического наложения 393, выте-
вытекает, что или f\Uw\N=0, или g\ UW\N=O. Используя
соображения непрерывности, мы установим, что или /| Uw = 0,
или g\Uw = Q. Таким образом, по крайней мере один из
ростков fw, gw является нулевым.
Покажем теперь, что кольцо Dw целозамкнуто в своем
поле отношений. Пусть кт=^, причем/,,,, ?*„,?=?>„,, g ф О
Sw
И
(X { 0, C.8)
где c{^^Dw (k= I,..., г). В силу наших предположений
в некоторой связной окрестности [/W?W существуют голо-
голоморфные функции /, g, ck (k = \,..., r), представляющие
ростки fw, g^ с^ (А = 1,..., г), причем g^O. Элемент hw
поля отношений кольца Dw, представляется в области Uw
мероморфной функцией J^^h. Эта функция голоморфна
g
в области Uw вне аналитического множества
g (w') = 0}. Она остается ограниченной при приближении
к точкам этого множества, так как удовлетворяет уравнению
^+с>-1 + ...+с, = 0. C.9)
Отсюда в силу теоремы Римана об аналитическом продолже-
продолжении голоморфной функции вытекает, что функция h\Uw —
— {ai'G^w?W = "} может быть продолжена в качестве
голоморфной функции на всю область Uw. Таким образом,
w
Нам известно (см. п. 1 предыдущего параграфа), что
?\| (ж)—нетерово целозамкнутое кольцо. Мы знаем из теоре-
теоремы 15.1, что каждый элемент его надкольца Dw (являющегося

254 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
областью целостности) удовлетворяет уравнению вида C.2).
Отсюда следует, что кольцо Dw является конечным D4(W) -мо-
-модулем, является нетеровым кольцом.
В заключение заметим, что для кольца ?)w, вообще говоря,
не имеет места теорема 4.5 об единственности разложения
голоморфной функции на произведение неприводимых и го-
голоморфных множителей. Рассмотрим, например, аналитическое
наложение 2В = (/я, 7. 2), nieZCC! — бицилиндр {l^l^l,
z2|<^l}, т — аналитическая поверхность {wi — zlzi = 0,
z ? Z} d Cf X Cw, 7 — проекция (w, z) —*¦ z. Обозначим через
fm — след (ограничение) функции f(w, zb z2) на поверхно-
поверхности т. Тогда из самого уравнения этой поверхности видно,
ЧТО (Wfm= (W)m W» = D ' Оз)т- ФУНКЦИИ [w)m, {zt)m, (Z2)m
голоморфны относительно наложения 2В в начале координат—
точке О ? т, причем отношения ~р и yk'm {k = 1, 2) не
(zk)m \w)m
принадлежат к кольцу Dm.
Из сказанного видно, что росток голоморфной функ-
функции, принадлежащий к кольцу О0^ О BВ) и представля-
представляемый функцией (w*)m, может быть разложен на неприводимые
множители двумя неэквивалентными способами.
4. Комплексные а-пространства определяются аналогично
комплексным многообразиям с помощью полного атласа голо-
голоморфно совместных а-карт.
Определение (а-карта). а-картой над пространством
Хаусдорфа R называется тройка (?/, ф, 9В), где U — непустое
открытое подмножество пространства R, 9В = A^, \ О) —
аналитическое наложение над областью QCZ.C1, ф — гомео-
морфное отображение множества U на пространство W.
Число п называется (комплексной) размерностью этой а-карты.
Определение (голоморфно совместные а-карты).
а-карты (f/i, <!>!, 2Bi) и (f/2, ф2, 2В2) над пространством Хаус-
Хаусдорфа R, где S©! = (W!, ъ, Oi) и 2B2 = (\F2, ^ О2) —соот-
—соответствующие аналитические наложения, называются голоморфно
совместными, если или пересечение U^ (~\ U% пусто или ото-
отображение ф3ОфГ1; Ь Wi П Ш -+ Фз (^i П &ъ) пространства
W1 на пространство И72 является биголоморфным отображе-
отображением из аналитического наложения SBj в аналитическое на-
наложение 2В2.
Определение (а-атлас). ,Совокупность голоморфно
совместных а-карт (Uj, tyJt 2ВД j?J, где J—некоторое

§ 15] КОМПЛЕКСНЫЕ а-ПРОСТРАНСТВА ВЕЕНКЕ—ШТЕЙНА 255
множество индексов, над пространством Хаусдорфа R назы-
называется а-атласом, если И l)l = R, а-атлас называется полным
или структурным а-атласом над пространством R, если не
существует а-карт п;|д этим пространстпом, голоморфно
совместных с а-картами этого атласа и к нему не принадле-
принадлежащих.
Легко видеть, что всякий а-атлас над пространством Хаус-
сдорфа может быть дополнен до полного а-атласа.
Определение (комплексное ^.-пространство). Про-
Пространство Хаусдорфа R, над которым определен полный
а-атлас, называется комплексным а-пространством.
Из теоремы 15.4 вытекает, что для всех а-карт (U, ф, 2В),
составляющих а-атлас комплексного а-пространства R, анали-
аналитические наложения 2В являются аналитическими с-наложе-
ниями. В тех случаях, когда мы захотим подчеркнуть это
обстоятельство, мы будем называть комплексное а-простран-
ство комплексным ас-пространством.
Пространство Хаусдорфа R, над которым задан а-атлас,
в окрестности каждой своей точки гомеоморфно простран-
пространству какого-то аналитического наложения. Поэтому такое
пространство R всегда локально компактно и локально ли-
линейно связно; оно естественным образом распадается на связ-
связные составляющие Rx, где х^АГ и К—множество индексов.
Каждое пространство Rx обладает комплексной размерностью
d(Rx), определяемой как общая размерность его а-карт. Ком-
Комплексная размерность всего пространства d (R) = sup d (R%)
может быть и бесконечно большой. Если d(Rx) = d для
всех /, то пространство R называется чисто ^-размерным;
в этом случае пишут R = Rd.
Пространство W некоторого аналитического наложения
3B = (W, т), Z), в частности каждое комплексное многообра-
многообразие Z, всегда является комплексным а-пространством. Чтобы
и этом убедиться, надо рассмотреть для аналитического на-
наложения Ш = (М, С, Г) покрытие многообразия Г открытыми
множествами Uj (J? J, [J Uj = T), переходящими при биголо-
/6 J п.
морфных отображениях ф;- в некоторые области пространства С ;.
Тогда а-картами будут служить тройки (С {.Uj), К ША где
i тождественное отображение, Wlj = (^Г1 (Uj),\j О С, ty {Uj)) —
пхпнетствующие аналитические наложения.

256 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
Пусть г—некоторая точка комплексного а-пространства R.
Если а-атлас этого пространства содержит а-карту (?/, ф, 2В).
r?U, с тривиальным наложением 2В, тог — комплексно уни-
формизируемая точка пространства R. Комплексное много-
многообразие — это а-пространство, состоящее из комплексно уни-
формизируемых точек.
Очевидно, что комплексно униформизируемая точка всегда
униформизируема, иначе говоря, обладает окрестностью, гомео-
морфной всему евклидову пространству соответствующей
размерности. В настоящее время не известны примеры уни-
формизируемых точек комплексных а-пространств, которые
не являлись бы комплексно униформизируемыми.
а-атлас комплексного а-пространства R позволяет есте-
естественным образом определить а-атлас для каждого непустого
открытого подмножества R'CZ.R. В результате пространство R'
превращается в комплексное а-пространство. На топологиче-
топологическом произведении а-пространств их а-атласы позволяют
естественным образом определить а-атлас. В результате это
произведение становится а-пространством.
Определение (голоморфная функция). Функция /
называется голоморфной на некотором открытом подмноже-
подмножестве V комплексного а-пространства R, если для каждой
точки г? V в а-атласе этого пространства можно указать
такую а-карту (?/, t|>, 2В), r?U(Z У, что функция /Оф
оказывается голоморфной на множестве t|> (?/) относительно
наложения 2В.
Из условия голоморфной совместности а-карт вытекает:
если (?/', t|/, Ш) — какая-либо другая а-карта из атласа про-
пространства R, причем r? U'(ZV, то в нашем случае функ-
функция /о ф' будет голоморфной относительно наложения 2В.
Таким образом, благодаря голоморфной совместности а-карт,
составляющих атлас пространства R, определение голоморф-
голоморфной функции оказывается независимым от выбора той а-карты,
с помощью которой оно производится.
Функция / называется голоморфной в некоторой точке
r?R, если она голоморфна на некотором открытом множе-
множестве UC.R, r^U.
Определение аналитического множества, данное нами выше,
без каких-либо изменений распространяется на случай ком-
комплексного а-пространства. Можно показать, что нигде не
плотное аналитическое множество нигде не разлагает ком-

§ 15] КОМПЛЕКСНЫЕ а-ПРОСТРАНСТВА БЕЕНКЕ ШТЕЙНА 257
плексное а-пространство. Легко видеть, что для комплексных
а-пространств сохраняет свою силу теорема 6.7 Римана о про-
продолжении голоморфных функций.
Определение голоморфного отображения, данное нами
выше для случая аналитического наложения, сохраняет свою
силу для комплексных а-пространств.
Совокупность голоморфных функций /| V, где V—неко-
V—некоторое открытое подмножество комплексного а-пространства R,
образует кольцо, которое мы будем обозначать символом D(?>.
Так же, как и во всех предыдущих случаях, мы определим
?>(<*) — кольцо ростков голоморфных функций в точке г
комплексного а-пространства R. Объединение D'a) (R) =
= {Df\ r?R} естественным образом составляет пучок, кото-
который называется а-структурным пучком колец ростков го-
голоморфных функций пространства.
Если мы захотим подчеркнуть, что комплексное а-про-
а-пространство является ас-пространством, то его а-структурный
пучок будем называть ас-структурным пучком.
Из теоремы 15.8 вытекает, что каждое кольцо D'ra' яв-
является целозамкнутым нетеровым кольцом целостности. Однако
для этого кольца, вообще говоря, не имеет места теорема 4.5
об единственности разложения голоморфной функции на
произведение голоморфных неприводимых и неэквивалентных
друг другу множителей.
Обозначим через $Шг"' — поле отношений*) для кольца
С*?'. Будем называть поле Щ№ — полем ростков мероморфных
функций в точке г. Объединение SR(ct) OR) = {Ш*г), r^R]
естественным образом составляет пучок полей ростков меро-
мероморфных функций а-пространства R. Мероморфная функ-
функция на некотором открытом множестве VC1R опреде-
определяется как сечение пучка 9)i(ct) (R) над множеством V (опре-
(определение сечения пучка см. в п. 10 вводной статьи). Заметим,
что для рассмотренных нами выше частных случаев комплекс-
комплексных а-пространств (плоских областей наложения, многообра-
многообразий, аналитических наложений) это определение сводится
к прежде данному.
*) Множество отношений Ш^ — поле, так как DJ?' — кольцо
целостности.
9 Б. А. Фукс

258 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
Пучок О(а)(/?) является подпучком пучка Tl{a)(R).
В заключение отметим, что комплексные а-пространства
были впервые рассмотрены Беенке и Штейном [3] в 1951 г.
§ 16. Комплексные ^-пространства Серра
1. Пространства с кольцевой структурой1). Опреде-
Определение. Топологическое пространство R называется про-
пространством с кольцевой структурой, если над ним из
пучка ®(R) колец ростков непрерывных функций (при-
(принимающих комплексные значения) выделен некоторый под-
подпучок 2((#) = {%r, r^R} пучка ®(R). Подпучок 21(#) со-
состоит из колец Шп являющихся подкольцами колец ®г. Каж-
Каждое кольцо Шг содержит кольцо Г постоянных функций.
Пучок 2((/?) называется структурным пучком для про-
пространства R.
Пространство R, над которым с помощью пучка %(R)
определена кольцевая структура, обозначается символом
(R, 20-
Примером пространства с кольцевой структурой может
служить комплексное а-пространство R. Его структурным
пучком является пучок D(ct) (R) колец ростков голоморфных
функций. Мы будем его обозначать символом (R, О(а) (/?)).
Определение (морфная функция). Морфными функ-
функциями на открытом множестве UCZiR., 21) называются сече-
сечения пучка 2f (jR) над этим множеством. Функция называется
морфной в точке r(?R, если она морфна на некотором от-
открытом множестве UCLR, r(^U. Ростки непрерывных функ-
функций //-^2t/- называются ростками морфных функций в точке г.
Если росток /Г?ШГ принадлежит к сечению / пучка 2t(/?)
над множеством U, то говорят, что функция / представляет
росток /,. на множестве U.
Совокупность функций, морфных на некотором открытом
множестве Ud(R, 2t), составляет коммутативное кольцо
с единицей, которое мы обозначаем символом Sty.
Мы обозначим через 2t(f/) ограничение пучка 2t(/?) на
этом множестве U через (?/, 31 (С/)) — пространство U, в
котором топология индуцирована топологией объемлющего
') См. Картан А. [5], [7], Грауэрт—Реммерт [2], стр. 274 и ел.,
Серр [1].

§ 16] КОМПЛЕКСНЫЕ [^-ПРОСТРАНСТВА СЕРРА 259
пространства R, а кольцевая структура введена с помощью
пучка 2t(f/).
Мы обозначим через 9Rr кольцо, составляемое отношени-
отношениями элементов кольца 31,., через Ш (R) = {Шп r?R}— пучок,
естественным образом образуемый этими кольцами. Очевидно,
что пучок 21(/?) является подпучком пучка Ш(И). Роморф-
ными функциями на открытом множестве U(Z.(R, 21) назы-
называются сечения пучка Ш (R) над этим множеством. Функция
называется роморфной в точке r(^R, если она роморфна
на некотором открытом множестве UCLR, r(^U. Элементы
кольца *ШГ называются ростками роморфных функций в точке
r^R, пучок Ш (R) — пучком колец ростков роморфных функ-
функций для пространства (R, 21).
Пусть (R, 21) и (S, 33)— пространства с кольцевой струк-
структурой, 8Кф = {а„ r?R} и 33(S) = {bs, s?S} — их струк-
структурные пучки колец ростков морфных функций, D d (R, Щ
и EC2(S, 33) — открытые подмножества этих пространств.
Непрерывное отображение Т: D^-E называется морфным
отображением из пространства (R, Щ в пространство (S, S3),
если каждой функции <р> морфной на некотором открытом
множестве Et (Z Е О. (S, S3), соответствует на открытом мно-
множестве ^(E^CZDCZiR, 21) морфная функция сроГ.
Морфное отображение Т : D ->¦ Е характеризуется
тем, что соответствие ?5->-!р5ОГ между функциональными
ростками <ps?bs и <?soT?ar определяет гомоморфное
отображение Т?: hs -*¦ аг кольца bs в кольцо аг. Здесь
s= 7r.
Морфное отображение Т: D^-E называется диморфным,
если для него обратное отображение Г: T(D)->D является
морфным.
Замкнутое множество пг(^_(Д, 21) называется %-множе-
ством в пространстве (R, 21), если каждая точка r(^(R, 21)
имеет такую окрестность Ur(Z(R, 21), что множество mf\Ur
совпадает с множеством общих нулевых точек некоторой
конечной совокупности функций, морфных в этой окрестно-
окрестности Ur.
Для комплексного а-пространства О(а;-множествами яв-
являются аналитические множества.
Каждому 2(-множеству т пространства (R, 21) соответ-
соответствует пучок идеалов I(m) = {In r(^R}. Здесь 1Г — собствен-
собственный идеал (кратко идеал) множества т в точке г. Он состоит
9»

260 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
из ростков fr^%n для которых существуют представляющие
их морфные функции /, равные нулю на множествах tn(\Vfr,
Здесь Ufr — окрестность точки r?R; ее выбор, вообще го-
говоря, зависит от ростка fr
31-множество т d (R, 21) можно рассматривать как то-
топологическое пространство с топологией, индуцированной из
объемлющего пространства (R, Щ. Мы определим над про-
пространством т кольцевую структуру. Пусть UCZ(R, 31) и
W= m(~][/—открытые подмножества пространств (R, 31)
и т, f — непрерывная функция на множестве (/, являющаяся
следом /| U1 какой-нибудь морфной функции /на U. Мы рас-
рассмотрим множество \f\ подобных функций для различных
открытых подмножеств UCKR, 31), их ростки fr и кольца
%'г, образуемые этими ростками для точек г^т и, наконец,
пучок W (т) = Щ'г, г^т), естественным образом составлен-
составленный из колец Щ. Пучок W(m) определяет" индуцированную
кольцевую структуру над пространством m(Z(R, 31).
Легко видеть, что вложение I: (т, 310->-(^, Щ является мор-
фным отображением. Пространство (т, 2Г) является подпро-
подпространством с кольцевой структурой пространства (R, 2t).
Рассмотрим топологическое произведение (R, 2t) X (S, 33)
двух пространств с кольцевой структурой. Пусть C/(Z(R, 31)
и V(Z.(S, 33) — открытые подмножества этих пространств.
Возьмем множество тех непрерывных функций /(г, s) на мно-
множестве ?/Х V (где r^U, s?V), для которых функции
/(r0, s) и /(г, s0) для фиксированных го(^?/и so?Vморфны
на множествах V и U относительно соответствующих струк-
структурных пучков. Эти функции образуют кольца, а множества
вида UX V, где C/(Z(R, 21), V<Z(S, 53), —базис открытых
множеств. Поэтому легко показать, что с помощью функций
/(г, s) над пространством (R, 2t) X (S> 53) определяется коль-
кольцевая структура.
Пространство (R, 2t) принадлежит классу F пространств
с кольцевой структурой, если для его морфных функций и
2(-множеств имеет место теорема, аналогичная теореме 6.7
Римана об аналитическом продолжении голоморфных функ-
функций. В этом случае, если [/d(R, 21) — открытое множество,
т C U—2(-множество, нигде не плотное в U, то всякая морф-
ная и ограниченная функция /| U\m может быть продол-
продолжена до функции /| U, морфной на всем множестве U.

§ 16] КОМПЛЕКСНЫЕ ^-ПРОСТРАНСТВА СЕРРА 261
Легко видеть, что в разбираемом случае это предложе-
предложение распространяется и на морфные отображения: непрерыв-
непрерывное отображение Т: (R, 2() -> (S, S3), где (R, 21) — простран-
пространство класса F, морфиое вне некоторого (нигде не плотного)
31-множества m d (R, 21), является морфным во всем про-
пространстве (R, 21).
В заключение заметим, что комплексные а-пространства
принадлежат к классу F.
2. Комплексные ^-пространства. Для каждого откры-
открытого множества BCLC* может быть определен пучок ?>(В) =
= {Dz, z?B}, состоящий из колец ростков голоморфных
функций в точках z(^B. Как мы видели в предыдущем
пункте, для каждого аналитического множества mdB мо-
может быть определен, исходя из пучка D (В), структурный
пучок D (т). В результате пространство т становится под-
подпространством (т, Ъ (т)) пространства (В, D(S)) с инду-
индуцированной кольцевой структурой D(т).
Определение (комплексное ^-пространство). Про-
Пространство Хаусдорфа (R, 2t(i?)) с кольцевой структурой на-
называется комплексным ^-пространством, если каждая точка
r^R обладает такой окрестностью Un что пространство
с кольцевой структурой (?/., 2t (Ur)) биморфно отобра-
отображается на пространство с кольцевой структурой (т, ?) (т)).
Здесь т — некоторое аналитическое подмножество какого-то
открытого множества B(ZCn. D(m) — пучок, определяющий
индуцированную кольцевую структуру над пространством т,
исходя из пучка D (В).
В этом случае пучок 21(/?) называется ^-структурным
пучком над пространством R и обозначается символом
В комплексных ^-пространствах морфные и роморфные
функции носят обычные названия голоморфных и мероморфных
функций, морфные и биморфные отображения — голоморф-
голоморфных и биголоморфных отображений, 2(-множества — анали-
аналитических множеств. В обычном смысле употребляются поня-
понятия тонкого и почти тонкого множеств. При одновременном
рассмотрении нескольких комплексных структур над не-
некоторым топологическим пространством употребляются назва-
названия: а-голоморфные функции, ^-голоморфные функции и т. д.
Примерами комплексных р-цространств могут служить
комплексные многообразия, для которых роль структурного

262 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
пучка играет пучок колец ростков голоморфных функций,
аналитические подмножества этих многообразий с кольцевой
структурой, индуцированной структурным пучком голоморф-
голоморфных функций для всего многообразия.
Рассмотрим локально неприводимое комплексно чисто
^-размерное аналитическое множество m(Z.Z {\ z-ь \ <С *ь>
k = \, ..., п}. Предположим, что проекция у. т->• Z"{\zk\ <1
<V k l d^} Т
}
= l,..., d<^n} сюръективна. Тогда в силу теоремы
14.4 тройка (т, f. Zd) определяет аналитическое наложение;
с его помощью над пространством т определяется а-струк-
тура и строится пучок 0(<х) (т) колец ростков голоморф-
голоморфных функций. С другой стороны, над пространством т может
быть построен пучок D(P) {m), определяющий ^-структуру.
Этот пучок D®\m) индуцируется над пространством т пучком
Г (Z) колец ростков голоморфных функций в полицилиндре
ZCZ. Сп. Легко видеть, что D(p) (m) d О(а)(/и) и, вообще говоря,
О(Р)(/и)^О(а)(/и).
Рассмотрим, например, локально неприводимое аналити-
аналитическое множество m{zfi — zP* = 0, l^ |<^ 1 }Cdi где
P\"^>1, /?2^>1 — взаимно простые целые числа. Над этим
множеством мы определим а-структурный пучок О'а' (т)
с помощью наложения { т, f: (zlt .г2)->- zu |zi | <Ц 1} и р-струк-
турный пучок Оф)(/и), исходя из пучка D(Z) колец ростков
голоморфных функций в полицилиндре Zjl^K^l, |гв|<^1}.
Тогда во всех точках р^т, кроме точки О (начала коор-
координат), D^ = DfK С другой стороны, вообще говоря,
О^' т^ Of\ Df> С OJ1'. В последнем можно убедиться, рас-
рассмотрев биголоморфное отображение T{z\ = tP*, z%=tPi }
пространства {т, О(а)(/и)} на круг |^|<^1. Положим
(p = t° T'u, эта функция а-голоморфна на пг, и ее росток
входит в кольцо ?)<,а); ее росток не может входить в кольцо
?><й, так как функция Yz\ не имеет непрерывных ветвей
в круге |2j|<1.
Над произвольно взятым пространством Хаусдорфа R
определяется некоторое множество ^-структур. Если D^^(R)
и D^(R) — два структурных пучка над пространством R,
каждое кольцо Of2' является надкольцом для кольца О^1'
(для всех r?R) и хотя бы в одной точке rQ?R имеет
место неравенство О^1' ^Ь Df2\ то структурный пучок
называется утончением структурного пучка D^^iR

§ 16] КОМПЛЕКСНЫЕ В-ПРОСТРАНСТВА СЕРРА 263
В этом случае тождественное отображение I : (R, О(?2) (/?))->
—>¦ (R, D'^1' (R)) является голоморфным отображением; соот-
соответствие i*:©'/1'-* Dfa) (для каждого r(^R) представляет
собой гомоморфное отображение кольца DJ?1' в кольцо D(/2'.
Структурный пучок ?>(Р) (R), не допускающий утончений,
называется максимальным. В том же смысле говорят о ма-
максимальной В-структуре. Легко видеть,что комплексная В-струк-
тура над комплексным многообразием определяется един-
единственным образом и всегда является максимальной. Это вы-
вытекает из того, что гомеоморфное и голоморфное отображе-
отображение комплексного многообразия на другое комплексное много-
многообразие всегда биголоморфно. Мы далее не отличаем ком-
комплексное многообразие М от пространства (М, D^ (M)).
3. Некоторые свойства комплексных ^-пространств.
Первостепенное значение для характеристики комплексного
В-пространства играют свойства колец D^' ростков голоморф-
голоморфных функций в точках r?(R, D®'(/?)), составляющих его
структурный пучок. Имеет место
Теорема 16.1. Кольцо Of является не/перовым коль-
кольцом с единственным максимальным идеалом.
Доказательство. Кольцо 0^?' является гомоморф-
гомоморфным образом, т. е. фактор-кольцом кольца Dz сходящихся
степенных рядов с центром в некоторой точке z простран-
пространства Сп. Последнее кольцо является нетеровым в силу тео-
теоремы 4.8. Поэтому первая часть утверждения теоремы сле-
следует из того, что фактор-кольцо нетерова кольца — снова
нетерово кольцо.
Единственным максимальным идеалом кольца гг служит
совокупность голоморфных функциональных ростков в точке z,
обращающихся в этой точке в нуль. Действительно, если
идеал /г содержит функцию /, отличную от нуля в точке z,
то содержит и всякую функцию g^Oz, так как тогда
Второе утверждение теоремы следует из того, что фактор-
кольцо имеет единственный максимальный идеал, если его
имеет исходное кольцо.
Заметим, что для произвольного комплексного В-простран-
ства кольцо Dr , вообще говоря, не является кольцом це-
целостности.

264 комплексные пространства [гл. ш
Теперь отметим следующее предложение, содержащее
классический принцип максимума модуля для голоморфных
функций в пространстве Сп (теорема 3.11).
Теорема 16.2. Пусть функция w=f(r), w(^-Cw,
r?(R, D® (R)) голоморфна на некотором множестве
Vd(R> ©(P) (R)) и не сводится к постоянной в некото-
некоторой окрестности точки г0 ? V. Тогда эта функция ото-
отображает всякое множество А С V, имеющее точку г0
своей внутренней точкой, на множество /(Л) (Z Clw,
имеющее точку /(г0) своей внутренней точкой.
В формулировке ряда свойств комплексных ^-пространств
существенно используется понятие В-карты.
Если UCK.R, ?>(Р) (R)), B(ZCn — открытые множества
в своих пространствах, ф: U^>ty(U)ClB— биголоморфное
отображение множества U на аналитическое подмножество
Ф(?/) множества В, то пара (U, ф) называется ^-картой над
пространством (R, O(P) (R)).
Имеют место следующие предложения:
1) Пусть/?—пространство Хаусдорфа, Ut С R, S^CZC"'—
открытые множества в своих пространствах, ф,-: ?/;->
-><h WdCl Bt — гомеоморфное отображение множества [/{
на аналитическое подмножество уг (Lf{) множества В{. Здесь
^I где /—некоторое множество индексов, И(/( = ^.
-1 'е/
Тогда, если отображения ф, о ф_/ : ф,- {Ut П Uj) -* Фу Wt П Uj),
I, j ^ /, для всех непустых пересечений Ut (\ Uj биголо-
морфны, над пространством R может быть определен и при-
притом единственным образом такой В-структурный пучок ?>(Р) (R),
что все пары (Ut, ф;) оказываются В-картами для простран-
пространства (R, Dm(R)).
2) Если (Rb D^iRi)) и (R2, D^(R2)) — два комплекс-
комплексных ^-пространства, то над пространством Rt X R* может
быть определена и притом единственным образом комплекс-
комплексная ^р-структура, обладающая следующим свойством: если
(?Л>'"Ы и (^2. фа) — р-карты для соответствующих исходных
пространств, то пара F/iX^a> Ф1X Ф2) оказывается р-кар-
той для ^-пространства, определяемого с помощью этой
структуры.
Под размерностью ^-пространства (R, О(Р) (/?)) в его
точке г понимается комплексная размерность пространства R
в этой точке г.

§ 16] КОМПЛЕКСНЫЕ ^-ПРОСТРАНСТВА СЕРРА 265
Если во всех точках г аналитического множества т С2
С0R> D^ (R)) размерность dr(m)<^dr(R), то множество т
нигде не плотно в пространстве R; однако и в этом случае
оно может разлагать пространств R.
Если некоторая точка r(^(R, D'^OR)) обладает чисто
размерной окрестностью Urd(R, D{® (R)), то это простран-
пространство называется локально чисто размерным в точке г.
В подобном случае существует такая р-карта {If1, ф), r^Ud,
над пространством (R, D®> (Rj), для которой $(Ud) оказы-
оказывается аналитическим множеством в "полицилиндре Z{|2A|<^1,
k=l п} С]С", проектирующимся сюръективно на поли-
полицилиндр Zd {| zk |< 1, k = 1, ... , d }.
В заключение настоящего пункта приведем еще одно
предложение, относящееся к голоморфным отображениям
комплексных ^-пространств.
Теорема 16.3. Если Т: (Rlt D<M (Rt)) -+ (R2, Г»•) (R2)) —
собственное голоморфное отображение одного комплекс-
комплексного ^-пространства в другое, то образ отображаемого
пространства T(Rt, D@i)(Rt)) представляет собой анали-
аналитическое множество в пространстве (R2, D^^(R2)).
4. Обыкновенные и исключительные точки комплекс-
комплексного ^-пространства. Нормализация ^-пространства. Опре-
Определение. Точка r?(R, D^(R)) называется обыкновенной
точкой пространства (R, О(Р) (/?)), если существует такое от-
открытое множество UrCl(R, ?'^ OR)), r^U» что простран-
пространство (Ur, D(P) (Ur)) оказывается комплексным многообразием.
(Таким образом, в этом случае кольцо D r изоморфно
кольцу сходящихся степенных рядов в пространстве Спг с
центром в начале координат.)
Если подобного открытого множества Ur не существует,
то г — исключительная точка пространства (R, О® (R)).
В п. 5 § 4 гл. I нами были введены аналогичные поня^
тия обыкновенной и исключительной точки аналитического
множества. Имеет место
Теорема 16.4. Пусть т — аналитическое множество
в открытом множестве B(ZCn. Точка ?.?(т, О(Р) (т))
одновременно является обыкновенной или исключитель-
исключительной точкой пространства (т, D (т)) и аналитического
множества т.
Доказательство. Пусть Z.^m — обыкновенная точка
множества т и d^ (т) = р <^ п. Тогда, в силу теоремы 2.3а,

266 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
при надлежащем выборе окрестности U^d.C" и изменении
(в случае надобности) порядка нумерации переменных мно-
множество т Г) U^ может быть задано уравнениями
**—Л(*ь •••. *,J = 0, ? = |i + l, .... я. C.10)
Здесь fk — голоморфные функции на открытом множестве
V^ = t (Ц), где 1 — проекция (г1; ... , zn)-+ (zu .... zj.
Очевидно, что отображение fUn^c является биголоморф-
ным, что и доказывает наше утверждение для пространства
(т, Dm (m)).
Теперь предположим, что пересечение mf]U^ является
комплексным многообразием. Тогда существует биголоморф-
ное отображение ср: W^-*-Q, где W^ — некоторая окрест-
окрестность точки С в пространстве (т, О(Р)(/и)), 2 — открытое
множество в пространстве С переменных щ, ... , ш^ (\t.<^n).
Функции wfeo<p (A^l,..., убудут голоморфными в точке
СС(**> С(р)(т)); это означает, что они являются следами
функций hk(z), голоморфных в точке С^С" по отношению
к объемлющему пространству С". Обратное отображение
ср: Q —*¦ W. мы запишем с помощью функций zk = gk (ш1; ...
..., Шц), k = l, ..., п, голоморфных на открытом множе-
множестве Q. Тогда равенства o)j = (o)totp)Otp1 k=l, ..., jj.,
в некоторой окрестности точки (и^ср(С)^С11 можно запи-
записать в виде соотношений
)..... ft»). Ь=\ Ь C.11)
Отсюда мы находим, что
V dhkdgs @
V dhkdgs @ (k^l),
L dzsd^ -\l (k = l).
Следовательно, якобиева матрица отображения ср в точке
ш = ср (С) имеет ранг, равный \у. Мы можем предположить
(изменив, в случае надобности, порядок нумерации перемен-
переменных), что именно якобиан ( д/ '" ^^Ц~)м ^ 0. Отсю-
Отсюда вытекает, что система функций zk = gk (шь ... , ш^)
в окрестности точки ш = ср (С) допускает голоморфное обра-
обращение, и поэтому множество т в некоторой окрестности

§ 16] КОМПЛЕКСНЫЕ ^-ПРОСТРАНСТВА СЕРРА 267
точки К. может быть представлено уравнениями вида (ЗЛО).
Этим утверждение нашей теоремы для множества т дока-
доказано.
Далее оказываются спраиедлииыми следующие предло-
предложения.
Теорема 16.5. Если Т: (R, О(р»(R))-> (S, О»i' (S))
биголоморфное отображение одного комплексного ^-про-
^-пространства на другое, то точки r?(R, D^ (R)) и Tr(^(S,
?)(Pi) E)) одновременно являются обыкновенными или исклю-
исключительными точками своих пространств.
Теорема 16.6. Совокупность N исключительных то-
точек комплексного ^-пространства (R, D(P) (R)) всегда яв-
является аналитическим множеством, причем во всех
точках r?N размерность dr(N)<^dr(R, D(p) (/?)). Мно-
Множество R\N представляет собой комплексное много-
многообразие.
Рассмотрим точку г пространства (R, D(P) (R)) и р-карту
(U, ^), r^U над этим пространством. В точке ty(r)(^Cn
к аналитическому множеству ty(U)(ZCn принадлежит неко-
некоторое число k (r) простых ростков аналитических множеств
(см. теорему 4.10). Этим простым росткам в точке г про-
пространства (R, О(р) (/?)) соответствует также k (r) простых
ростков рг пространства (R, ?^\R)). Величина k (r) называется
числом простых ростков пространства (R,O^ (R)) в
точке г.
Определение (нормализация комплексного ^-про-
^-пространства). Пусть (R, D(p) (R)) — комплексное ^-простран-
^-пространство, N—множество его исключительных точек. Пара
(/?*, р) называется нормализацией пространства (R, О(р) (/?)),
если:
1) R* — локально компактное, локально связное про-
пространство, р: /?*->•/? — непрерывное, нигде не исключитель-
исключительное, собственное, сюръективное отображение.
2) Множество р (А/) нигде не разлагает пространства R*,
ограничение р: /?*\p-1 (N) -*¦ R\N является гомеоморфиым
отображением.
Теорема 16.7. Комплексное ^-пространство всегда
нормализуемо.
Доказательство. Обозначим через R* множество
исех простых ростков рг для различных точек r?(R, D(P) (/?)),
где (R, D^ (R)) — некоторое ^-пространство. Отображение

268 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
р: рг -* г мы будем называть естественной проекцией мно-
множества R* на пространство R. Пусть U—аналитическое
множество в открытом множестве BCZ(R, О(Р) (/?)). Обозна-
Обозначим через рУв те простые ростки аналитических множеств
пространства (R; О^ (R)) в точке га, которые принадлежат
к множеству U. Условимся называть открытыми подмноже-
подмножествами пространства R* множества вида ц* = {рУ, r(^U).
В результате в множестве R* вводится топология и оно ста-
становится топологическим пространством. Очевидно, что в этой
топологии проекция р: R* —>• R является непрерывным и нигде
не исключительным отображением.
Рассматривая В-карты пространства (R, О(Р) (/?)), мы уста-
установим, что пространство R* может быть покрыто открытыми
множествами и* (где j(^J, J—некоторое множество индек-
индексов), каждое из которых гомеоморфно пространству норма-
нормализации т* для некоторого аналитического множества ntj
в открытом множестве Bj (Z CV. Отсюда в силу теоремы
14.3 вытекает, что пространство R.* локально компактно и
локально связно, что множество р (N) нигде не разлагает
пространство R*, а ограничение р//?*\р~* (N) является го-
меоморфным отображением.
Пара (R*, р) является нормализацией пространства
(R, D^(R)).
В дальнейшем, говоря о нормализации комплексного В-
пространства, мы понимаем под ней пару (R*, р), построен-
построенную в процессе доказательства теоремы 16.7.
Дальнейшие свойства нормализации комплексного В-про-
странства содержатся в следующей теореме.
Теорема 16.8. 1) Если (R*, р) и (R*, 'р) — две нор-
нормализации комплексного ^-пространства (R, Ь® (/?)), то
существует такое гомеоморфное отображение т: 'R* —>
-*¦ R*, что 'р^рот.
2) Если (/?*, р) — нормализация пространства (R,
?)(Р) (R)), то множество р-1(г) для каждого r?(R, О(ю (/?))
состоит из k(j) точек. Если т — аналитическое мно-
множество в пространстве (R, О(Р) (/?)) и для всех точек
г^т размерность dr(m)<^dr(R), то множество р (т)
нигде не разлагает пространства R*.
3) Если Rt (k== I, ..., К ) — связные составляющие
пространства R*, то p(R%)=Rk — аналитические, чи-

§ 16] КОМПЛЕКСНЫЕ В-ПРОСТРАНСТВА СЕРРА 269
сто размерные множества в пространстве (R, О(Р) (/?)).
Каждое множество Rk\ N является многообразием.
В-пространства (Rk, D^> (Rk)) называются неприводимыми
составляющими пространства (R, О(Р) (/?)). Пространство
(R, О (Р) (R)) называется неприводимым (в целом), если оно
само является своей неприводимой составляющей.
б. Комплексные ^-пространства. Определение.
Комплексное В-пространство (/?, О№) (/?)) называется неприво-
неприводимым в некоторой его точке г, если соответствующее
кольцо Dty^zD^ (R) является областью целостности. В этом
случае г — точка неприводимости, кратко — 1-точка
пространства. Комплексное В-пространство, целиком состоя-
состоящее из г-точек, называется комплексным ^-пространст-
^-пространством, его структурный пучок О(^'(/?) — ^-структурным
пучком.
Теорема 16.9. Для неприводимости пространства
(R, Dm (R)) в точке г необходимо и достаточно, чтобы
k (г) = 1. Чтобы это пространство было ^пространст-
^пространством, необходимо и достаточно, чтобы отображение р:
R* ->¦ R было гомеоморфным.
Доказательство. Рассмотрим В-карту (?/, ф), где
г ^ U, аналитическое множество ф (?/) (Z Сп и представляемый
им росток аналитического множества в точке ф (г)(Z С". Пусть
I. ,Г)—идеал, отвечающий этому ростку в кольце &л,(гу
Тогда кольцо Of> ? О №) (/?) изоморфно кольцу О. (r) |^(/-). По-
Последнее в том и только в том случае свободно от делите-
делителей нуля, если множество фF0 неприводимо в точке ф (г),
т. е. когда А(г)=1. Второе утверждение теоремы усматри-
усматривается непосредственно.
Выше отмечалось, что аналитическое множество (т, D(m))
в некотором открытом множестве D CZ Сп всегда является
комплексным ^-пространством. Если это множество ло-
локально неприводимо, и только в этом случае, простран-
пространство (т, ?>(/«)) является ^^пространством.
Из общих свойств локально неприводимых аналитических
множеств и теорем 16.4, 16.5 и 16.9 вытекает, что аналити-
аналитическое множество низшей размерности нигде не разлагает
^-пространство. Для того чтобы пространство (R, О(Р) (/?))
было ^-пространством, необходимо и достаточно, чтобы оно
не разлагалось множеством своих исключительных точек.

270 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл. III
Отсюда вытекает
Теорема 16.10. ^-структура, определенная над лю-
любым (топологическим) многообразием, всегда является
Р 1-ет руктурой.
Доказательство. Мы можем ограничиться случаем
связного многообразия R. Если 1т — его (топологическая)
размерность, то размерность множества N исключительных
точек ^-пространства (R, О(Р)G?))не больше 1т — 2. Отсюда
вытекает1), что множество N нигде не разлагает пространства
(R, D'^' (R))> и следовательно, оно является [^-пространством.
Теорема 16.11. Если пучок колец D(R) определяет
^-структуру над пространством Хаусдорфа R, то каж-
каждая ^-структура D'(R), являющаяся уточнением струк-
структуры D(R), оказывается снова ^-структурой.
Доказательство. Рассмотрим N' — множество исклю-
исключительных точек пространства (R, О' (/?)). Тождественное
отображение г: (R, С) ->-(/?, D), очевидно, гомеоморфно и
голоморфно. Следовательно, множество N' = i(N') является
аналитическим подмножеством [^-пространства (R,D(R)) раз-
размерности более низкой, чем размерность всего пространства
(см. теорему 16.3). Отсюда вытекает, что множество N' ни-
нигде не разлагает пространство (R, D (/?)), а следовательно,
и пространство (R, O'(R)). Этим утверждение теоремы 16.11
доказано.
§ 17. Нормальные пространства А. Картана
1. Основные понятия. Определение (нормальноепро-
(нормальноепространство А. Картана). Комплексное fj-пространство
(R, D(p) (R)) называется нормальным в некоторой его точке г,
если соответствующее кольцо Df> ? D(^ (R) целозамкнуто
(в своем поле отношений). В этом случае точка г назы-
называется нормальной точкой этого пространства, кратко — его
п-точкой. Комплексное ^-пространство, целиком состоящее
из л-точек, называется комплексным [^-пространством или,
иначе, нормальным пространством А. Картана; его структур-
структурный пучок называется ^„-структурным пучком.
*} См., например, Гуревич и Волмэн, Теория размерно-
размерности, ИЛ, М., 1948, стр. 74.

§ 17] НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА А. КАРТАНА 271
Если R — комплексное многообразие, его структурный
Р-пучок D(R) заведомо обладает указанным в настоящем
определении свойством; поэтому комплексное многообразие
всегда является [^-пространством.
Определение (нормальное аналитическое множе-
множество). Аналитическое подмножество т комплексного много-
многообразия R называется нормальным в точке г?т, если г —
нормальная точка комплексного пространства (т, D (т)). Анали-
Аналитическое множество т называется нормальным в многообра-
многообразии R (иногда нормально вложенным в многообразие R), если
оно нормально во всех своих точках. Здесь D(m) — струк-
структурный пучок, индуцированный над множеством т структур-
структурным пучком многообразия R.
Теорема 17.1. Каждая п-точка комплексного ^-про-
^-пространства всегда является его 1-точкой, комплексное р„-
пространство — комплексным ^^пространством.
Доказательство. Допустим, что, вопреки утвержде-
утверждению, существует л-точка r?(R, D(p)(/?)) и k(r)^>\. Тогда
над пространством (R, ?)(р)(/?)) существует [3-карта (U, ф),
г ? U, для которой аналитическое подмножество <j> (U) от-
открытого множества DC2C" распадается на два отличных от
<}>(?/) аналитических множества т^ и /га2, причем r^m^f^m^.
Мы обозначим через /и<*»>, /и<*«) (где klt ft,= l, 2, ...)
неприводимые аналитические множества, содержащие точку
<j> (r) и являющиеся частями соответственно множеств т^ и
/га2. В этих условиях всегда можно найти функции /i (z), /2 (z),
голоморфные на открытом множестве D и удовлетворяющие
соотношениям:
(^0 при z^-m,
ф 0 при z ? /га'***) (для каждого
C.13)
¦ 0 при z ? /и<*1> (для каждого
^0 при z
Пусть /j и /2 — следы этих функций на аналитическом
множестве <j>(?0- Тогда функция /i-/<j = 0, а функция /t -f-
-|-/j не является делителем нуля в кольце D (r) ^O(ij)(f/)).
(Эта функция отлична от тождественного нуля на всех не-
неприводимых составляющих аналитического множества

272 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
содержащих точку <j>(r).) Отсюда вытекает, что функция v =
= „ „ принадлежит к кольцу отношений для кольца
/l + /а
D. (г) ? €> (фF0)- Функция v является целой алгебраиче-
алгебраической величиной для этого кольца, поскольку удовлетворяет
уравнению ву2 — w = 0. Отсюда вытекает, что i)^D
Последнее невозможно, так как функция
0 на т,,
C.14)
1 на та
и, следовательно, терпит разрыв в точке <j> (r).
Следствие. Нормальное аналитическое подмноже-
подмножество комплексного многообразия всегда локально непри-
водимо.
2. Класс F комплексных пространств. Теорема 17.2.
Класс комплексных ^„-пространств совпадает с классом F
комплексных ^-пространств.
Доказательство. 1) Пусть (R, Dm (R)) — р-прост-
ранство класса F, г — некоторая точка этого пространства,
/гг = — (где fn gr(^!Dr) — элемент кольца отношений коль-
кольца Dr, являющийся для кольца ?>г целой алгебраической ве-
величиной. Тогда в достаточно малой окрестности Ur точки г:
1) существуют голоморфные функции fag, представляющие
ростки fr и gr; пусть NCZ Ur — нигде не плотное в Ur мно-
множество нулевых точек функции g; 2) в точках Ur\N от-
отношение — удовлетворяет уравнению
о
т
2 = 0 C.15)
с голоморфными на Ur коэффициентами а^.
Отсюда вытекает, что функция — ограничена в окрестно-
окрестности каждой точки множества N и благодаря принадлежности
пространства (R, D(P) (/?)) к классу F может быть продол-
продолжена до функции /г*, голоморфной во всей окрестности Ur.
Тогда всюду в этой окрестности f=h*g, а поэтому и fr =
= h* • gr, где h* ? Dr — росток голоморфной функции, пред-

§ 17] НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА А. КАРТАНА 273
ставляемый в окрестности Ur функцией /г*. В силу общих
свойств кольца отношений hr = h?, и таким образом, hr (?j
(?j Dr. Следовательно, точка г — нормальная точка простран-
пространства (R, О*}(/?)). Мы установили, что оно состоит из нормаль-
нормальных точек и является ^„-пространством.
2) Теперь предположим, что (R, ?)(р)(/?)) — комплексное
^„-пространство, и покажем, что тогда для него имеет место
теорема 6.7 о продолжении функций. Пусть г—произволь-
г—произвольная точка этого пространства, Ur — достаточно малая окрест-
окрестность этой точки, х — биголоморфное отображение окрест-
окрестности Ur на некоторое аналитическое подмножество М об-
области О пространства С" и, наконец, D (М) — структурный
пучок колец голоморфных функций на М. В силу предыду-
предыдущей теоремы множество М локально неприводимо; благодаря
малости окрестности Ur можно предположить, что это мно-
множество неприводимо в Q и, следовательно, имеет чистую раз-
размерность d(M) = d<^n, а сама область О является произ-
произведением областей Qd С С*, <У1~а С С"~а, причем проекция у:
M—yQn~d сюръективна. Тогда в силу теоремы 14.4 тройка
Ш = (М, f> Qd) определяет аналитическое наложение обла-
области Qd.
Рассмотрим аналитическое множество NCZ(M, ?> (М))
коразмерности, не меньшей единицы. Очевидно, что это мно-
множество будет аналитическим и относительно наложения Ш.
Пусть /|л1\лг — голоморфная функция, ограниченная в неко-
некоторой окрестности каждой точки множества N. Из теоремы
Римана о продолжении функций, справедливой для аналити-
аналитических наложений, следует, что функция /| m\n продолжаема
до функции /| м, голоморфной относительно наложения 9J?.
Покажем, что эта функция голоморфна на М относительно
структурного пучка D (Ж). Для этой цели достаточно (так
как мы рассматриваем ^-пространство) установить, что для
каждой точки z0 ? М функция / принадлежит к ростку /Zo,
который в свою очередь принадлежит к кольцу отношений
кольца ?)Z(j ? D (М) и является целой алгебраической вели-
величиной для кольца DZo. Однако то обстоятельство, что ро-
росток /го в указанных условиях принадлежит к кольцу отно-
отношений кольца ?)го, вытекает из теоремы 15.2. То обстоятель-
обстоятельство, что он является целой алгебраической величиной для
кольца ?)го, следует из теоремы 15.1. Действительно, в силу

274 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
этой теоремы, функция / удовлетворяет уравнению
vd -\- у, ао ( ' = о C.16)
с коэффициентами a (z), голоморфными на Qd; каждая из
этих функций а& (z) определяет некоторый росток (a )Z(j, при-
принадлежащий к кольцу ?>z0 G ^ (^)- Росток fZ(j будет удов-
удовлетворять уравнению C.16) с этими коэффициентами.
Теорема 17.3. Гомеоморфное и голоморфное ото-
отображение х: (Ri,D^^(Ri))—y(Ri,t)^(Ri)),zde(Rlt ?>^(Ri))—
^-пространство, a (Rit ?)^^ (/?2)) — ^„-пространство, всегда
является биголоморфным.
Доказательство. Мы должны показать, что отобра-
отображение х голоморфно. Пусть TVi и Л/2 — множества исклю-
исключительных точек пространств (Rlt D<Pl)(/?i)) и (Rit ?)^a) (R^)).
Тогда в силу теоремы 16.6 эти множества аналитичны,
всех точках г этих пространств. Тогда отображение х:
^\(^UT (M)) -*¦ ^iXC^1 (A/2)UM) должно быть голоморф-
голоморфным, так как оно является обратным для гомеоморфного
и голоморфного отображения одного комплексного много-
многообразия на другое. В силу предыдущей теоремы простран-
пространство (/?<j, D'Ps' (/?<))) принадлежит к классу F и, следовательно,
отображение -с будет голоморфным на всем пространстве
(Я„ №))
Из этой теоремы вытекает, что ^„-структура ?)'"(/?) над
некоторым хаусдорфовым пространством ^ всегда является
максимальной.
Условимся говорить, что комплексное ^-пространство (Rt
D(p) (R)) принадлежит к классу Д если каждая функция /,
непрерывная на открытом множестве UCZ(R> C^(/?)) и го-
голоморфная на множестве U\N, где N—аналитическое под-
подмножество множества U, имеющее по крайней мере первую
коразмерность, оказывается голоморфной на всем множестве U.
Иногда говорят, что ^-пространства класса F характери-
характеризуются тем, что для них имеет место ослабленная теорема
Римана об аналитическом продолжении функций.
Очевидно, что все ^-пространства класса F являются про-
пространствами класса F. С другой стороны, ^-пространство

§ 17] НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА А. КАРТАНА 275
класса F не обязательно входит п состав класса F. Приме-
Примером здесь может служить ^-пространство, определяемое над
аналитическим множеством т={2,2;8=0}СС" с помощью
индуцированной структуры D (т).
Имеет место
Теорема 17.4. Комплексное ^-пространство в том
и только в том случае является ^„-пространством, если
оно принадлежит к классу F.
Доказательство. Достаточно показать, что из при-
принадлежности [^-пространства (R, D^'* (R)) к классу F сле-
следует его принадлежность к классу F.
Пусть открытое множество UCZ(R> ?)(P/) (/?)), множество
NCZ U нигде не плотно в множестве U, функция f\ U\N
голоморфна на множестве U\N и ограничена в окрестности
каждой точки множества N. Тогда эта функция (см. п. 3 вве-
введения) может быть продолжена непрерывно, следовательно,
в силу принадлежности пространства (R, D(Pi)(/?)) к классу F,
и голоморфно на все множество U. Этим утверждение тео-
теоремы доказано.
3. Нормализация комплексных ^-пространств. Основную
роль здесь играет теорема, доказанная К. Ока 1).
Теорема 17.5. Пусть т — аналитическое подмно-
подмножество некоторого открытого множества пространства
Ср, z ^ т—какая-то его точка, (т*, \х) — его норма-
нормализация. Тогда существуют такие: 1) окрестность Uz точ-
точки z\ 2) гомеоморфное отображение х: \m*(\{\f^ Uz)\ ->- т,
где т — нормальное аналитическое подмножество ка-
какого-то открытого множества пространства С, что
отображение [Ют~ь. т—>-т оказывается голоморфным.
Здесь р и q — любые натуральные числа.
Отсюда вытекает следующая
Теорема 17.6. Если пара (R*, р) — нормализация ком-
комплексного ^-пространства (R, Ь(Р) (/?)), то над простран-
пространством Хаусдорфа R* всегда может быть единствен-
единственным образом так определена ^„-структура, что ото-
отображение р: R* —у R окажется голоморфным отобра-
отображением.
') См. Ока [61. В связи с этой теоремой см. также замечание
и работе Тимма [2] и работу Кольман [1].

276
КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл. III
Замечание. В теореме 17.6 говорится о нормализации
(R*, р) пространства (R, D№) (/?)), построенной в процессе
доказательства теоремы 16.7.
Доказательство. Существование указанной р„-струк-
туры вытекает из теоремы 17.5 К. Ока; мы сейчас докажем
лишь ее единственность.
Пусть ?)(/?*) и D' (R*)—два ^„-структурных пучка, оп-
определенных над пространством R*. Мы обозначим через N—
множество исключительных точек пространства R. Тогда мно-
множество р (Л/) является аналитическим относительно обеих
структур. Так как /?\7V—многообразие, отображение р:
/?*\ р (N)-*-R\N в силу теоремы 17.3 биголоморфно
относительно обеих структур. Отсюда следует, что тождест-
тождественное отображение г = рор: (R*, ?)(/?*))->(/?*, D' (R*))
биголоморфно вне множества р (Л/). Так как простран-
пространства (R*, ?)(/?*)) и (R*, ?)'(/?*)) принадлежат к классу F,
отображение I может быть продолжено в качестве биголо-
морфного отображения на все пространство R*. Отсюда,
очевидно, вытекает совпадение структур D(R*) и ?)' (/?*).
Теорема 17.7. ^-структурный пучок ?)(РО (R), оп-
определенный над пространством Хаусдорфа R, всегда мо-
может быть утончен, и притом единственным способом,
до нормального ^„-структурного пучка D(P") (R) над тем
же пространством.
Если аналитическое множество т(^_Сп локально непри-
водимо, то проекция ц: т*—>-т представляет собой гомео-
гомеоморфизм. Мы рассмотрим нормальную структуру D^n* (т*),
определяемую единственным образом над пространством т*
в силу теорем 17.5 и 17.6. Исходя из этой структуры, с
помощью проекции ц мы определим над множеством т нор-
нормальную структуру D(Рл} (/га). Эта структура часто называется
естественной комплексной структурой множества т. Нор-
Нормальное комплексное пространство (т, JD* »' (/га)) мы обычно
не отличаем от аналитического множества /га и обозначаем
их одной и той же буквой.
Если /га — нормальное аналитическое множество, то его
индуцированный (из объемлющего пространства С") струк-
структурный пучок D(/ra) = ?)tP'») (/га). В общем случае D(/ra)(~I
^я* (/га). Из теоремы Осгуда 15.2 вытекает, что ростки

§ 17] НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА А. КАРТАНА 277
^„-голоморфных функций, принадлежащие к кольцу С4л ?
^ где z ^ т, всегда являются следами на мно-
множестве т ростков мероморфных функций Fz для про-
пространства1) С.
4. Связь между комплексными а-пространствами и
^-пространствами. Мы называем комплексное ^-пространство
(R, D^ (R)) комплексным а-пространством, если его р-струк-
турный пучок D(P) (R) является а-структурным пучком над
пространством R. Аналогичным образом определяется и обрат-
обратное соотношение.
Теорема 17.8. Комплексное ^„-пространство всегда
является комплексным ^-пространством.
Доказательство. Пусть (R, D(Рл) (/?)) — комплексное
[^-пространство и точка r?(R, D^ (R)). Мы должны пока-
показать, что существует такая окрестность U(Z(R> О(Ря)(/?))
точки г, что ограничение ?)(Рл) (R)\ u= ?)<Рл)(?/) является
а-структурным пучком над пространством U.
Окрестность U мы можем предположить чисто размерной
и писать U=Ua. Как мы указывали в п. 3 § 16, тогда суще-
существует р„-карта (Ua, ф) над окрестностью Ud, для которой
проекция у. M-*-Zd локально неприводимого аналитического
множества M = ty(U)C.Z{\zk\<,\, k= I, ... , v} CC; на
полицилиндр Zd {\zk\<^\, k = l, ..., d) является сюръек-
тивной. Тогда тройка 5Ш = {М, ^, Zd\ в силу теоремы 14.4
оказывается аналитическим наложением над полицилиндром Zd,
а тройка {If1, ф, Ш) — а-картой над пространством Ud.
С помощью этой а-карты над пространством U определяется
а-структурный пучок D{a) (U). Теорема 17.8 будет доказана,
если мы покажем, что D**1 (?/) = ?)(a) (LT).
Пусть A(Z.Zd (но А ф Zd) — аналитическое множество,
содержащее все -^-проекции точек ветвления аналитического
наложения Ш. Тогда множество if (Л) содержит все исклю-
исключительные точки аналитического множества М, множество
D = ф (if (A)) Cl U будет аналитическим относительно обоих
структурных пучков D'W F0 и D(a) (U) и иметь коразмер-
коразмерность, не меньшую единицы. Положим ?)(Рл) (R) \ ц\П =
( Очевидно,
*) См. по этому поводу еще Хитоцумату [1], Тимм [1].

278 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
что D(W([/\Z))CO(a)(?/\fl). Рассмотрим произвольное
открытое множество Wd M \ f1 (А). Очевидно, что оно
состоит из обыкновенных точек множества М. Каждая функ-
функция, голоморфная на этом множестве относительно аналити-
аналитического наложения Щ, локально может рассматриваться как
след некоторой функции, голоморфной в соответствующей
части пространства С*. Отсюда вытекает, что она голоморфна
относительно ^„-пространства (W, D(W)). Поэтому
и, следовательно,
Очевидно, что тождественное отображение
I: (I/,
биголоморфно вне множества D. Это множество D является
аналитическим в обоих комплексных пространствах; эти оба
пространства принадлежат к классу F. Отсюда вытекает
(см. п. 1 настоящего параграфа), что отображение i биголо-
биголоморфно на всем пространстве U. Тогда из равенства
?>Wn)((j\D) = D(a)(U\D) вытекает, что Dtp«>(?/) =
= D(a)(?0. Этим наше утверждение доказано.
Теорема 17.9. Кольцевая структура ?)G?) над про-
пространством Хаусдорфа R тогда и только тогда является
^„-структурой, если она является ас-структурой.
Доказательство. 1) Мы покажем, что произвольно
взятый р„-структурный пучок ?)(Рл)(/?), определенный над
пространством Хаусдорфа R, является ас-структурным пучком.
То обстоятельство, что он является а-структурным пучком,
вытекает из предыдущей теоремы. Пусть точка ro?R,
UdR — ее окрестность, (U, ty, 7) — a-карта над пространст-
пространством R. Мы выберем эту окрестность U настолько малой, что
будет существовать биголоморфное отображение <р: ?/-». V,
где V — нормальное аналитическое множество в области
В С С".
Предположим, что отображение <р задается с помощью
функций zv^/*(r), r^U, v = l, ... , л, а аналитическое
наложение f определяется тройкой i = (Y, ~q> Ф-

§ 17] НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА А. КАРТАНА " 279
Положим /v(y)=/*o<j>~1, где j/^K; поскольку отобра-
отображение <j>: [/-*¦ Y биголоморфно, /, (у) — голоморфные функ-
функции. Так как <р — взаимно однозначное отображение, то для
любых двух точек ylt у%(^У (причем У\^у<^) существует
такой номер v0, что /,0 (yt) Ф /,0 (_у2). Отсюда вытекает, что
для каждой точки C^G можно указать функцию f(y), голо-
голоморфную в У и принимающую в любых двух точках уи
_у2 ? iff1 (С) различные значения. Для этой функции /(у),
очевидно, имеет место равенство [/: D (О)] = Ъ (у). Тем самым
показано, что аналитическое наложение f является алгебро-
идным (см. определение в п. 1 § 15), рассматриваемая
^„-структура —<хс-структурой.
2) Теперь рассмотрим некоторый ас-структурный пучок
?)(»с)(^) над пространством /?. Пусть точка ro(^R, UC1R—
окрестность этой точки, (?/, ф, if) — а-карта над пространст-
пространством R, f^(K, tj, Q) — алгеброидное аналитическое наложе-
наложение, ?)(а) (У) — его а-структурный пучок. Область QCIC^
выбирается настолько малой, что в пространстве У сущест-
существует голоморфная функция w = f(y), для которой [/:D (Q)] =
= b(i); эта функция удовлетворяет уравнению
w(w, z) = wb-\-a1(z)xi/'-1-{- ... -{-ab(z) = 0 C.17)
с голоморфными в области О коэффициентами ак (z)
(k = l, ..., b) (см. п. 1 § 15).
Рассмотрим аналитическое множество M = {w(w, z) =
= 0}CZOXCe и отображение <р: У-^Ж, определяемое
равенством <p^7jX {ш> =/(}>)}• Если D(ZQ — дискриминант-
ное множество псевдополинома w(w, z), то ограничение
cp|r:*WMo> где Го = Г \ tj-1 (D), M0 = M\DXC1w
является биголоморфным отображением. Так как: а) коразмер-
коразмерность множества Z) X Cw CI -М не меньше единицы; б) <р является
собственным и нигде не исключительным отображением;
в) аналитическое подмножество, имеющее в некотором откры-
открытом множестве пространства У коразмерность, не меньшую
единицы, нигде не разлагает это открытое множество, то
пара (V, <р) является нормализацией множества М. Тогда
в силу теоремы 16.6 над пространством Y может быть так
определен ^„-структурный пучок ?)(Рл)(У)> что относительно
этой структуры отображение <р: (Y, ?)®^ (Y))-*.(M, D (Ж))
будет голоморфным, а ограничение тождественного отобра-

280 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
жения i | ко •• (Ко, С(Рл) (У))-*-(Уо> CV(Ко)) — биголоморфным.
Отсюда, поскольку а-пространства и ^„-пространства принад-
принадлежат к классу F, вытекает, что отображение i биголоморфно
на всем пространстве К. Следовательно, данный ^-структур-
^-структурный пучок определяет ^„-структуру над пространством U.
Из теорем 17.9 и 15.4 (теорема Грауэрта — Реммерта)
вытекает
Теорема 17.10. Каждое ^.-пространство является
^^пространством.
Теоремы 17.8 и 17.10 устанавливают, что классы комп-
комплексный а-пространств (пространства Беенке — Штейна) и
[^-пространств (нормальные пространства А. Картана) совпа-
совпадают друг с другом.
В дальнейшем мы, как правило, рассматриваем нормаль-
нормальные р„ = а-комплексные пространства, состоящие не более
чем из счетного множества связных составляющих. Указание
на то, что рассматриваемое комплексное пространство R
обладает этими свойствами, мы обычно опускаем. Наоборот,
то обстоятельство, что мы рассматриваем комплексное прост-
пространство более общей природы, всегда отмечается*).
§ 18. Голоморфно полные пространства и многообразия
1. Комплексное многообразие без счетной базы откры-
открытых множеств. В силу классической теоремы Радо комплексно
одномерное комплексно аналитическое многообразие всегда
обладает счетным базисом открытых множеств, т. е. для
подобного многообразия всегда имеет место вторая аксиома
счетности. С другой стороны, произвольное топологически
двумерное действительно аналитическое многообразие может
и не обладать счетным базисом открытых множеств. Соответ-
Соответствующий пример, восходящий к Прюферу, был также указан
Радо.
Используя идею примера Прюфера — Радо, Е. Калаби и
М. Розенлихт [1] построили комплексно аналитическое много-
многообразие комплексной размерности л^>1, не имеющее счетной
базы открытых множеств.
') Дальнейшие результаты, относящиеся к общей теории комп-
комплексных пространств, см. в работах: Грауэрт — Реммерт [2], А. Кар-
тан [6], [7].

§ 18] ГОЛОМОРФНО ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ 281
Рассмотрим сначала многообразиеПрюфера—Радо. Поставим
в соответствие каждому числу t?R, где/? — множество всех
действительных чисел, евклидову плоскость Et; пусть Xf,
yt — декартовы координаты точек этой плоскости. Условимся
считать эквивалентными точки (xs, ys)^Es, (xt, yt)^Et, если
ПРИ Уз=У1>0. C.18)
Обозначим через S( — множество классов эквивалентности
подобных точек; каждый такой класс назовем точкой множе-
множества St. Пусть VtdSt — множество точек St, соответствую-
соответствующих точкам плоскости Et. Мы перенесем в каждое множе-
множество Vt топологию плоскости Et; легко видеть, что топологии,
введенные указанным способом в пространствах Vt и Vs,
совпадают между собой в пересечении Vt (~\ Vs. Таким обра-
образом, хаусдорфова топологическая структура определяется во
всем множестве St= [) V,. В результате введения указан-
ной топологии множество St становится действительно анали-
аналитическим многообразием (топологически двумерной действи-
действительно аналитической поверхностью). Пространства Vt играют
роль карт над этим многообразием; локальными ' координа-
координатами на этих картах являются величины xt, y( — координаты
точек в соответствующей плоскости Et.
Построенная нами поверхность S( и рассматривается в при-
примере Прюфера — Радо.
Кроме поверхности St, мы рассмотрим еще поверхность 51.
Последняя определяется, исходя из множества плоскостей Et,
t?R> аналогично поверхности St, с помощью условий экви-
эквивалентности
s ~Ь s = xCt +1 при s^bt; C.19)
xs = xt при s = t.
Легко видеть, что действительно аналитические поверх-
поверхности S( и 5 не обладают счетным базисом открытых мно-
множеств. Это обстоятельство непосредственно вытекает хотя бы
из того, что на поверхностях St n S имеется несчетное и
притом дискретное множество точек, соответствующих точкам
(О, 0) на различных плоскостях Et, ?

282 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
Теперь мы рассмотрим совокупность комплексно двумер-
двумерных пространств Cl,y(t), t?Z, где Z—множество всех комп-
комплексных чисел; пусть xt, yt — комплексные координаты точек
в пространстве C%,y(t). Исходя из этих пространств, мы
построим 'с помощью условий эквивалентности C.19) (где
теперь величины х, у, t, s — комплексные числа) комплексно
аналитическое многообразие, не обладающее счетной базой
открытых множеств.
Комплексная размерность построенного многообразия равна
двум. Тем же методом могут быть построены комплексные
многообразия без счетной базы открытых множеств любой
комплексной размерности /i^l1).
2. Некомпактное комплексное многообразие, на кото-
котором все голоморфные функции постоянны. Мы рассмотрим
пример подобного многообразия, построенный Е. Калаби и
Б. Экманом [1]. Возьмем пространства С*"' и Cf-+1 комп-
комплексных переменных z0, zlt ... , zp и z'o, z\, ..., z'q и сферы
= 0
в этих пространствах. Координаты Zj(j = 0,..., p) и
z'k(k = 0, ... , q) точек z?S и /^ У мы можем рассмат-
рассматривать как однородные координаты точек w^Pp и tef ^Pq
комплексных проективных пространств Рр = р и Pq = P'.
Таким образом, определяются отображения тс :S-±P и
тс': S' -»- Р'. Для каждой точки z° ? S2p+1 множество тс тс (z°)
состоит из всех точек этой сферы S2p+1 с координатами Xz°,
XzJ, ... , Х.гр, где |Х| = 1, и представляет собой ее большой
круг. Все точки этого круга при отображении тс переходят
в одну и ту же точку пространства Р; мы далее говорим, что
при отображении тс сфера S расслаивается на круги тс тс (г).
Аналогичным образом для каждой точки z'^S' определяется
большой круг тс' тс' (z) d S'. При отображении тс' сфера S'
расслаивается на круги тс' тс' (z!).
См. Каяаби — Розенлихт [1].

§ 18] ГОЛОМОРФНО ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ 283
Затем мы рассмотрим отображение II = тс X «' •* S X
XS'-^PX^*' и множество П"'П (z°, z0'), отвечающее каждой
точке (z°, z'OG^X^'. Каждое такое множество является
топологически двумерным тором и состоит из точек множе-
множества SX-S' с координатами Xzy°, X'zfe0, где / = 0, ... , р,
k = 0, ... , q, |Х| = |Х'| = 1. При отображении П произведе-
произведение S X & расслаивается на эти торы.
Пусть Va? (а = 0, ... , р; р = 0, ... , q) — открытое под-
подмножество произведения S X S', определенное условием
zazp ф 0- Очевидно, что (р -{-1) (q-\-1) открытых множеств Va&
покрывают произведение SXS', а совокупность открытых
множеств II(Va3) — произведение РУ^Р'. На каждом мно-
множестве Va~ мы рассмотрим величины
aWj = ZjZZ1; 9w'k = z'kzp\ C.20)
где J = O,...,p, k = 0, ... , q. Эти величины при j ф a,
k Ф р служат локальными неоднородными координатами на
открытом множестве П (VaA
Пусть х (где Im х уб 0) — некоторая комплексная постоян-
постоянная; мы рассмотрим для всех точек (z, z')(^Vat, величины х
удовлетворяющие: 1) сравнению
l x)]; C.21)
2) условию t ?.ТA, х). Здесь ГA, х)= Т—параллелограмм,
построенный на векторах 1 и х; к нему присоединены его
две какие-нибудь непараллельные стороны. Вместо паралле-
параллелограмма Т мы далее будем говорить о торе Т, получаю-
получающемся из него при отождествлении его противоположных
сторон; комплексные числа t могут рассматриваться как
координаты точек этого тора.
Функции aWj, w'k, ta& определяют дифференцируемое ото-
отображение (j. : Va. — Ср+9 X Т. Здесь Ср+? — пространство
комплексных переменных aWj, „w'k (где j ф a, k ф Р), С9*4 X
X Т — комплексное многообразие, являющееся произведением
этого пространства и тора Т. Мы покажем, что отображе-
отображение [ав„ является гомеоморфизмом.
Будем смотреть на величины aWj, „w'k (о-Ф], кф§), t
как на данные. Легко видеть, что им соответствует един-
единственная система чисел zj, z\ (/==0, ...,.р', k = 0, ..,, q),

284 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
удовлетворяющая соотношениям C.20), C.21) и условиям
р ч
IZ*I2=1; *., *р5*0. C.22)
Действительно, из уравнений C.20) и C.22) мы найдем ве-
величины
Для определения величин argzB и argzp мы получим из соот-
соотношения C.21) следующее сравнение:
+ х In | zp |) [mod Bic, 2icx)]. C.23)
Отсюда arg zB и arg z (так как Im x ф 0) определяются един-
единственным образом как дифференцируемые функции ta&> \za\
и | zp |, что и завершает доказательство гомеоморфности ото-
отображения (j. .
Мы будем смотреть на величины авуу, „щ^, ta& (где j фа.,
k ф Р) как на локальные координаты в открытом множе-
множестве VBfl. Если У^ОУ^Фф, то соответствие
П У-,»)—-^^(^«в П ^i»)> задаваемое соотношениями
7и»у = ви>; (ви>7), bw'k = ^w'u (pWiT1 C.2 4)
(где j = 0, ..., /?; А = 0, ..., q) и
^8 = <ч+^ (in в^ + ' In p^8) [mod A. ')]. C-25)
представляет собой биголоморфное отображение.
Таким образом, мы определили в пространстве S X S'
с помощью отображений р •. Уа„—>СР+9Х 7"A» х) структуру
комплексно аналитического многообразия. Мы обозначим по-
полученное комплексное многообразие через Мр> q< T или, более
кратко, через Mp>q, если значение х оказывается безразличным.
Возьмем точку (z, z') ^ Ка„ и точку П (z, z1), соответ-
соответствующую ей при отображении П: S X S' —> Р X Р'- Вели-

§ 18] ГОЛОМОРФНО ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ 285
чины aWj, „w'k (J Ф a, k Ф Р) можно рассматривать как (ло-
(локальные) неоднородные координаты точки П (z, z1) в откры-
открытом множестве П(Уар), неличины jwj% w'k (J Ф а, k ф C), ?в„
являются координатами н открытом множестве Va~. В этих
координатах отображение II записывается, как соответствие
(aWj, „w'k, taS)—-(aWp f.w'k); следовательно, оно является голо-
голоморфным отображением комплексного многообразия Мр> q
в пространство РХ Р'- Это отображение расслаивает много-
многообразие Mpq на слои; слой Fv к которому принадлежит
точка С (aw], w'k, tZp) ? Mpq, определяется условием
П-Ш (aw% 9Wk°, fa9) = (awj, 9wi,\ T). C.26)
Калаби и Экман установили следующее важное свойство мно-
многообразия Жр> q: пусть WCiMpg — некоторое компактное
неприводимое аналитическое подмножество этого многообра-
многообразия комплексной размерности т<^р-\-q-\-\. Тогда если
точка С ? W, то весь слой (тор) F,. С W. Пусть /(С), С ? Жр> 9 -—
некоторая голоморфная (или даже мероморфная) функция на
многообразии МРуЧ. Тогда комплексно (р -f- q) -мерное анали-
аналитическое подмножество {/(С) = const} многообразия Л1р>9
состоит из торов Fc и функция /(С) постоянна на каждом
таком торе /^. Иначе говоря, каждой подобной функции/(С)
в пространстве Р\ Р' отвечает такая голоморфная (соответ-
(соответственно мероморфная) функция g, что /(C) = g(II (С)).
Пусть а ? S, a' ?S' — произвольные точки сфер S и S'.
Тогда открытые множества S \ {а }, S' \ { а'}, [S \ { а }] X
X[S'\{a'}] гомеоморфны евклидовым пространствам соот-
соответственно топологических размерностей 2p-\-l, 2^-j-l и
2p-\-2q + 2. Открытое множество [S\ {а } ] X [S'\ { а'} ]
с комплексно аналитической структурой многообразия Мр> q
является некомпактным комплексным многообразием, которое
мы обозначим через Ер> q. Очевидно, что EPiqd_Mp>q. Пусть
По — ограничение на Е'р„ отображения II: fopq — Р'Х Р'-
Если точка (w, w') ^ Р\РГ, то множество П,1 (w, xif) C2
(Z_Ep^q является: 1) плоскостью, если ¦оу = тс(а), w"^^{d);
2) цилиндром, если w^Tz(a), хе/= w'(a'); 3) цилиндром, если
w — iz(a), w1 ф тс' (а'); 4) тором F^ (где (w, wr) = Tz(Q), если
w ф тс (a), w1 ф %' (а'). Множества U^(w, w') последних двух
типов заведомо существуют, если q^>0. В этом случае (при
q^>0) торы FzCZEPtq образуют в многообразии Ep>q всюду
плотное множество.

286 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
Теперь предположим, что /(С), ^^Ep>q— некоторая
функция, голоморфная на всем многообразии Ер q. Эта функ-
функция постоянна на торах F,.; из соображений непрерывности
вытекает, что она будет постоянной и на всех остальных
множествах П^яу, w') (первых трех типов). Тогда/(С) =
= g-(II(C)), где функция g—голоморфна на множестве
U0(Ep>q) и, следовательно, на всем пространстве Р\Р'.
Отсюда (в силу теоремы Лиувилля) вытекает, что функция g,
а следовательно и функция /, является постоянной величиной.
Таким образом, кольцо голоморфных функций на комп-
комплексном многообразии EPt q (гомеоморфном топологически
Bр -f- 2q -f- 2)-мерному евклидовому пространству) состоит из
одних постоянных величин.
3. Голоморфно полные комплексные пространства.
Разобранные в предыдущих пунктах примеры показывают, что
для построения содержательной теории функций, сходной
с теорией голоморфных функций одного переменного на
некомпактных римановых поверхностях, следует как-то огра-
ограничить совокупность рассматриваемых комплексных про-
пространств. Должен быть выделен класс комплексных про-
пространств: 1) сходных по своим свойствам с некомпактными
римановыми поверхностями; 2) на которых существует доста-
достаточно много голоморфных функций.
Такой класс и составляют голоморфно полные комплекс-
комплексные пространства. Мы переходим к описанию их свойств.
При этом мы ограничиваемся рассмотрением нормальных комп-
комплексных пространств, состоящих не более чем из счетного
множества связных составляющих (см. конец § 16 настоящей
главы).
Определение (F-выпуклая оболочка множества).
Пусть F—некоторая совокупность функций, голоморфных
на комплексном пространстве R. Под F-выпуклой оболочкой
Mf некоторого подмножества MCZR в пространстве R пони-
понимается множество всех точек г ? R, для которых |/(г)|=^
==Ssup|/(M)| для всех функций f (~ F.
Очевидно, что множество Mf всегда замкнуто в R и со-
содержит множество М. Если F—совокупность всех функций,
голоморфных на пространстве R, то множество Мр обозна-
обозначается символом М и называется голоморфно выпуклой обо-
оболочкой множества М в пространстве R.

§ 18] ГОЛОМОРФНО ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ 287
Определение {голоморфно выпуклое пространство).
Комплексное пространство R называется голоморфно выпук-
выпуклым, если голоморфно выпуклая оболочка М всякого относи-
относительно компактного множества MCZR компактна.
Легко видеть, что эти определения по существу не отли-
отличаются от соответствующих определений п. 2 § 11, относя-
относящихся к областям над пространством Рп. Заметим еще, что
условие голоморфной выпуклости может быть также сфор-
сформулировано в другой форме, указанной (после соответствую-
соответствующего определения) в п. 2 § 11.
Определение (голоморфно отделимое комплексное
пространство). Комплексное пространство R называется
голоморфно отделимым, если для каждых двух различных
точек Гц r<L^R найдется такая функция /(г), голоморфная
на этом пространстве R, что f(rx) ^/(r2).
Определение (голоморфно полное комплексное про-
пространство). Комплексное пространство R называется голо-
голоморфно полным, если оно:
1) голоморфно выпукло;
2) ЛГ-полно, т. е. для каждой точки r0 ^ R можно указать
ее окрестность Urit CZR и голоморфные на пространстве R
функци и
(х) zk = zk(r), Л = 1, .... л,„ C.27)
определяющие нигде не исключительное отображение *:
Uro —>¦ СПгг°. Здесь пГо — некоторое целое положительное число.
Последнее требование обеспечивает существование доста-
достаточно обширного множества функций, голоморфных на комп-
комплексном пространстве R.
В частном случае, если R — комплексное многообразие,
оно при наличии указанных в настоящем определении свойств
называется голоморфно полным комплексным многообра-
многообразием. Иногда голоморфно полные комплексные многообразия
называют многообразиями Штейна1).
Сформулированные нами определения пригодны для комп-
комплексных пространств самого общего вида. Мы, как это ука-
указано выше, ограничиваемся случаем нормальных комплексных
пространств, состоящих не более чем из счетного множества
*) По имени К. Штейна, впервые рассматривавшего подобные
многообразия. См. Штейн [1].

288 комплексные пространства [гл. ш
связных составляющих. Для них справедливы следующие
предложения, доказанные Г. Грауэртом [1].
Теорема 18.1. Голоморфно полное комплексное про-
пространство . всегда обладает счетным базисом открытых
множеств.
Таким образом, на голоморфно полные комплексные про-
пространства распространяется классическая теорема Радо о рима-
новых поверхностях.
Теорема 18.2. Голоморфно полное комплексное про-
пространство всегда голоморфно отделимо.
Теорема 18.3. Для каждой точки г ^принадлежащей
к голоморфно полному комплексному пространству R,
можно указать ее окрестность Ur0 d R и голоморфные
на пространстве R функции
(х) ** = **(г), *=1 яг„ C.28)
определяющие взаимно однозначное и голоморфное ото-
отображение х: Urtj —* А. Здесь ACLOCLC"ro — некоторое нор-
нормальное аналитическое множество в области О (Z С«го.
Напомним, что аналитическое множество А называется
нормальным, если нормально комплексное простран-
пространство (Л, ?(Л)).
Отметим еще, что при биголоморфном отображении комп-
комплексных пространств свойства голоморфной выпуклости и
полноты сохраняются.
Следует заметить, что в более старых работах, опублико-
опубликованных до появления статьи Г. Грауэрта [1], содержащей
доказательства теорем 18.1—18.3, свойства голоморфно пол-
полных комплексных многообразий, установленные в этих пред-
предложениях, включались в их определение (понятие голоморфно
полного комплексного пространства было впервые сформули-
сформулировано в этой статье). Таким образом, голоморфно полное
комплексное многообразие определялось J) как голоморфно
выпуклое, голоморфно отделимое комплексное многообра-
многообразие Ш, имеющее счетный базис открытых множеств и обла-
обладающее следующим свойством:
Для каждой точки r0 ^ Ш существует система функций,
голоморфных на многообразии Ш, играющих в некоторой
окрестности Uro (Ц Ш этой точки роль локальных координат.
См. Картан [5].

§ 18] ГОЛОМОРФНО ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ 289
Как установил Р. Реммерт, для голоморфно полных комп-
комплексных многообразий имеет место следующая теорема вло-
вложения х).
Теорема 18.4. Пусть Ш — п-мерное голоморфно
полное комплексное многообразие. Тогда существует
биголоморфное отображение тс: Ш—-Л, где А—неко-
А—некоторое аналитическое подмножество пространства CN,
где N=2n-\-l, целиком состоящее из обыкновенных
точек.
4. Примеры голоморфно полных комплексных много-
многообразий. 1) Для я=1.каждая связная некомпактная поверх-
поверхность Римана является голоморфно полным комплексным
многообразием 2).
2) Каждая (внутри неразветвленная) область голоморф-
голоморфности над пространством Р", отличная от всего простран-
пространства, является голоморфно полным комплексным многообра-
многообразием. Этот вывод следует из теоремы 11.4; выполнение
второго условия, указанного в определении голоморфно
полного комплексного пространства, в разбираемом случае
очевидно.
3) Произведение Ш X 91 голоморфно полных комплекс-
комплексных многообразий Щ и 9i снова является голоморфно полным
комплексным многообразием.
4) Пусть 9DZ и 91 — комплексные многообразия, причем
9t СИ ЙЛ и многообразие Ш — голоморфно полно. Когда можно
утверждать, что и многообразие 9i является голоморфно
полным?
Удобное для приложений достаточное условие сформули-
сформулировано А. Картаном [4]: комплексное многообразие 9i будет
голоморфно полным, если оно правильно вложено в много-
многообразие Wi.
Последнее означает, что: а) многообразие 9i является ана-
аналитическим подмножеством многообразия Ш; б) если точка
С ? 3R, то в некоторой ее окрестности Vt (в многообразии Ш)
можно ввести такие локальные координаты с началом в точке С,
что множество З^П^с будет определяться равенством на нем
нулю некоторых из этих координат.
') См. Р. Реммерт, Диссертация, Мюнстер, 1957. Равенство
N = 2ra-(-1 установил Нарасимхан [1].
*) Этот вывод следует из результатов, содержащихся в работе
Беенке — Штейна [1].
10 Б. А. Фукс

290 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл. Ш
Это условие позволяет, например, установить, что всякое
замкнутое в пространстве С комплексное, алгебраическое
многообразие 4R является голоморфно полным.
5) Если Ш — голоморфно полное комплексное многообра-
многообразие, то множество 9? = (г ? 50?, /(г) ф 0) С2Ш, где /—не-
/—некоторая функция, голоморфная на многообразии 9№, также
является голоморфно полным многообразием. Это легко ви-
видеть из того, что функция -т голоморфна, но не ограничена
на множестве 9?.
Справедливо и более сильное утверждение 1).
6) Если Ш — «-мерное голоморфно полное комплексное
многообразие, ACZffl — его некоторое чисто (п — 1)-мерное
аналитическое подмножество, то 4Ж\Л также является голо-
голоморфно полным комплексным многообразием.
7) С другой стороны, комплексное проективное про-
пространство Рп, произведение комплексных проективных про-
пространств не являются голоморфно полными комплексными
многообразиями. На них в силу теоремы Лиувилля все го-
голоморфные функции сводятся к постоянным и, следователь-
следовательно, они голоморфно неотделимы.
8) Аналогичным образом можно показать, что любое
компактное комплексное многообразие не является голо-
голоморфно полным.
§ 19. Римановы области
1. Понятие римановой области. Области наложения
общего вида над пространством С (иначе римановы области)
являются обобщением плоских областей наложения, рассмо-
рассмотренных во второй главе.
Определение (область наложения над простран-
пространством С"). Пара 3t = (/?, Ф) называется областью наложе-
наложения над пространством С", иначе римановой областью, если:
1) R— пространство Хаусдорфа и Ф — некоторое отображе-
отображение пространства R в пространство С"; 2) каждой точке
г (^ R отвечают такие окрестности Ur d R, V<& ^) С Сп, что
тройка Wr = (Ur, Ф, V<s, (г)) оказывается аналитическим нало-
наложением.
') См. Докье — Грауэрт [1].

§ 19] РИМЛНОНЫ ОБЛАСТИ 291
Точка Ф(г)?С" называется фундаментальной точкой для
точки r?R.
Из настоящего определения вытекает, что Ф — непре-
непрерывное, нигде не исключительное отображение простран-
пространства R в пространстно С". С помощью аналитических нало-
наложений Цг над пространством R определяется структурный
а-атлас, и оно, таким образом, становится нормальным ком-
комплексным пространством; в нем приобретают свой обычный
смысл понятия голоморфной функции голоморфного отобра-
отображения, аналитического множества и т. д.
Заметим, что часто эти понятия относят не к комплекс-
комплексному пространству R, г к соответствующей римановой
области 91. Например, функцию, голоморфную относитель-
относительно комплексного пространства R, называют голоморфной
в римановой области 91 (или и надлежащей части этой
области). В смысле определенной нами структуры отображение
Ф: R-+C, очевидно, является голоморфным отображением.
Риманова область 9t = (/?, Ф) называется неразветвлен-
ной (иначе, локально однолистной), если отображение Ф ло-
локально гомеоморфно. В общем случае область 91 является
?>-листной. Здесь Ъ равно максимуму числа листов наложе-
наложений Ur для различных точек r?R. Вообще говоря, 1 ^b ^ ©о.
Если (R, Ф) — риманова область, определенная с помощью
комплексного пространства R, отображение Ф: R-+ С назы-
называется конкретизацией этого пространства.
Многие понятия, введенные в гл. II для плоских областей
наложения, без существенных изменений распространяются
на общий случай.
Так, мы будем говорить, что риманова область ffi = (R, Ф)
содержится внутри римановой области @ = (G, W) и будем
писать 3ft <^@, если существует непрерывное отображение х
пространства R в пространство О, сохраняющее фундаменталь-
фундаментальные точки, т. е. удовлетворяющее для всех точек r?R
условию Ф(г) = ?(тг).
Если это отображение х пространства R на простран-
пространство xR?2Q представляет собой гомеоморфизм, то риманова
область Ш называется подобластью области ®.
Если при этом x/? = G, то риманова область 94 эквива-
эквивалентна области @, и мы будем писать sJt = @.
Граничной точкой г римановой области Э1 =(/?, Ф) на-
называется фильтр г открытых связных областей WC1R, обла-
10*

292 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
дающих следующими свойствами: а) области W ^ г не
имеют общей точки, принадлежащей к пространству R. б) За-
Замыкания множеств {O(W), W?r} имеют единственную
общую точку С^С". в) Если V^CZC" — некоторая окрест-
окрестность точки С, то одна из связных составляющих множества
Ф-1(УС) принадлежит к фильтру г; все области W?r могут
быть получены указанным способом.
Совокупность граничных точек римановой области 91 на-
называется ее границей и обозначается символом dR. Мы положим
R= R\J dR и будем называть R расширенной областью.
Мы рассмотрим отображение Ф: R-+C", определенное
следующим образом:
Ф(г) = Ф(г), если r?R; Ф(г) = С, если r?dR C.29)
Отображение Ф называется продолжением отображения Ф на
расширенную область R.
Мы будем называть окрестностью Wro точки r^^dR
в множестве R объединение некоторой области Wo?ro со
всеми фильтрами r?dR, содержащими хотя бы одну
область W(Z Wo. После введения в рассмотрение этих окрест-
окрестностей расширенная область R становится хаусдорфовым
пространством, Ф: R—>Cn — его непрерывным отображением
в пространство С.
Имеют место следующие предложения:
1) Пространства R и R обладают счетными базами
открытых множеств 1).
2) Для каждой точки r^^dR можно указать такую
линию L = {r=r(f), O^t^l), r(l) = r0, что линия
(|
(@К|
3) Если линия L= {r = r(f), 0=sg?<l}C#. a линия
Q>(L)CZCn может быть непрерывно продолжена до образа
замкнутого отрезка 0 ^^^1, то и линия L может быть
непрерывно продолжена и притом единственным образом до
образа замкнутого отрезка 0^^<1.
Последние предложения служат основанием для того,
чтобы называть граничные точки r?dR достижимыми.
») См. Грауэрт [1], Тогари [1].

§ 19] РИМАНОВЫ ОБЛАСТИ 293
2. Области голоморфности. Пусть 9t, ©—римановы
области, 91 <^© и х — отображение, устанавливающее это
соответствие. Если функция р голоморфна в комплексном
пространстве R, функция q — в комплексном пространстве Q
и для всех точек r?R оказывается p = qox, то функция q
называется аналитическим или голоморфным продолже-
продолжением функции р из области 91 на область ©.
Риманова область 3ft называется областью голоморф-
голоморфности, если в ней существует голоморфная функция/, кото-
которую нельзя аналитически продолжить на какую-либо рима-
нову область @^>9t. В этом случае область 91 также назы-
называется областью голоморфности (или существования или
регулярности) указанной функции /.
Если функция q является аналитическим продолжением
функции р из римановой области 94 на область © и послед-
последняя служит областью голоморфности этой функции, то функ-
функция q называется полной аналитической функцией, а функ-
функция р — ее голоморфным функциональным элементом.
Риманова область © называется оболочкой голоморф-
голоморфности римановой области 91, если все функции, голоморф-
голоморфные в области ЭЯ, могут быть продолжены на область ©, но
не могут быть все продолжены ни на какую область @i ^> ©•
В этом случае мы будем писать, что @ = Н(Щ.
Риманова область ЭЧ:=(/?, Ф) называется голоморфно вы-
пуклой,есла голоморфно выпукло комплексное пространство R.
На римановы области общего вида распространяется
и понятие аналитической выпуклости. Для его формулировки
используется понятие отмеченного семейства аналитических
множеств. Подобное семейство 0 = {Q(w,f), O^t^l}
определяется так же, как и в случае плоских областей на-
наложения (см. п. 8 § 12 гл. II), с помощью отображений
О (w, f) замкнутого круга | w \ ^ 1 в расширенную область R.
Однако в общем случае требуется голоморфность отображе-
отображения OoQ(w, f); в определении семейства Оп приходится
требовать принадлежности к гипершару радиуса т) " в про-
пространстве С множества И [ФоОЫ>, t)\.
O=*l
Само определение аналитически выпуклой области, фор-
формулируемое с помощью отмеченного семейства аналитических
множеств, переносится на общий случай без каких-либо из-
изменений.

294 комплексные пространства [гл. щ
В определении аналитической выпуклости по А. Картану
теперь надлежит рассматривать вместо областей голоморф-
голоморфности голоморфно полные многообразия1).
Имеют место предложения, аналогичные теоремам 11.4,
11.5 и 12.13 2).
Теорема 19.1. Голоморфно выпуклая риманова
область является областью голоморфности.
Теорема 19.2. Риманова неразветвленная область
голоморфности голоморфно выпукла.
Теорема 19.3. Риманова неразветвленная область
в том и только в том случае является областью голо-
голоморфности, если она аналитически выпукла.
Утверждение теорем 19.2 и 19.3 не имеет места для ри-
мановых областей общего вида. Учитывая это обстоятель-
обстоятельство, И. Тогари [1] предложил другую характеристику рима-
новых областей голоморфности.
Определение (Т-выпуклая риманова область). Рима-
Риманова область 91 :=(/?, Ф) называется Г-выпуклой, если:
1) Для каждой пары точек r1; r%?R, где г^ Ф г2, но
Ф (rj = Ф (r2) = z ? С", существует голоморфная в простран-
пространстве R функция /, определяющая в точке z различные
ростки fn о Ф и Д о Ф.
2) Голоморфно выпуклая оболочка W компактного мно-
множества WC1R никогда не принадлежит к фильтру областей,
определяющему некоторую (достижимую) граничную точку г
области R.
Легко видеть, что голоморфно выпуклая риманова область
всегда Г-выпукла; обратное утверждение, вообще говоря,
не верно; тем не менее имеет место следующая теорема
(являющаяся усилением теоремы 19.1):
Теорема 19.4. Т-выпуклая риманова область явля-
является областью голоморфности.
3. Пример голоморфно невыпуклой римановой области
голоморфности2). Пусть Сд, где q=l,...,n — 1 и п ^ 3 —
пространство комплексных переменных wq, zq. В простран-
п-1
стве С2П~2= X Сд, являющемся произведением про-
*) См. Докье — Грауэрт [1].
2) См. Грауэрт — Реммерт [I].

§ 19] РИМАНОВЫ ОБЛАСТИ 295
странств Сд, мы рассмотрим конус Y= IJ Es, где Es—
аналитическая плоскость, определяемая при s ф оо уравне-
уравнениями zk = swk (?=1, ..., п — 1), при s = oo уравнениями
¦oz>ft = O (А=1, ..., п—1). Исключая параметр s из этих
уравнений, мы зададим конус У в окрестности любой точки
Tj^ Y как совокупность общих нулей некоторой системы
голоморфных функций. Например, если для точки -ц (^ Y все
координаты wk ф 0, эти уравнения имеют вид
(Г) . ^i.=... = ia=i. C.30)
Таким образом, Y—аналитическое множество. Все точки
т|^К, кроме начала О, являются его обыкновенными точ-
точками. В окрестности любой подобной точки уравнения, опре-
определяющие конус Y, можно разрешить относительно каких-
либо п — 2 переменных; поэтому множество Y имеет в по-
подобной точке комплексную размерность, равную п. Оно
имеет ту же размерность и в начале координат О, так как
точка О является точкой накопления обыкновенных точек х).
Таким образом, множество Y чисто размерно; мы будем
писать F= Y".
Покажем, что множество Yn неприводимо в начале коор-
координат. Мы должны установить, что, каков бы ни был радиус
шара V с центром в точке О, множество Yn Q V не рас-
распадается на два аналитических множества Y\ и Yit отличных
от множества Y" (~) V. Действительно, при подобном разбие-
разбиении множества Уг и К2 будут иметь чистую размерность п
и состоять, за возможным исключением точки О, только из
обыкновенных точек. Тогда множество ^"fKlA^O) должно
быть несвязным, что невозможно, так как
Итак, Yn — локально неприводимое, чисто размерное
аналитическое множество в пространстве С2Л~2. Над ним
можно определить естественную, нормальную структуру (см.
п. 3 § 17), после чего оно становится нормальным комплекс-
J) См. Реммерт — Штейн [1], теорема 13.

296 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
ным пространством. Можно показать, что начало координат
является его (комплексно) неуниформизируемой точкой.
Рассмотрим линейное отображение Ф: Yn -+CZ, определяе-
определяемое равенствами
7> Z' Z" C.31)
где k=l, ..., п — 1, точка (Wi, zlt ..., wn^, zn_x)?Yn,
(pft ф cpft, если k Ф k'. Здесь Cnv — пространство переменных Vq,
Очевидно, что начало координат остается неподвижным
при отображении Ф. Оно переводит каждую плоскость
^sCI^ni s^P1 и (п—1)-мерную аналитическую плоскость
Ф (As) d Су, определяемую уравнениями
л-1
O(Et) to(s,v) = vl>
л—I л—I
~S 2 "• II A+e^*) = 0. C.32)
X^I V=I, 1^t%
Отсюда вытекает, что пересечение Ф (г;) f*\ Es для любой
точки v^Cy сводится не более чем к одной точке. Пара-
Параметр s плоскости Es, для которой это пересечение не пусто,
удовлетворяет (если он отличен от оо) уравнению a>(s, v)^ 0.
Полином a)(s, г>) тождественно равен нулю только при v = 0,
при v ф 0 его степень не превосходит числа п — 1. Суще-
Существуют точки v ? С", которым соответствуют п — 1 раз-
различных корней s уравнения a>(s, г>):=0. Это следует из
того, что выбору произвольной точки v^Cv соответствует
произвольный выбор п — 1 коэффициента этого уравнения
(из общего числа п коэффициентов).
Таким образом, Ф — голоморфное, собственное, нигде не
исключительное отображение. Каждая точка v ? С? имеет
при нем l^qt^n—1 прообразов.
Рассмотрим теперь совокупность А' точек многообразия
У\О, в которых якобиан отображения Ф равен нулю.
Очевидно, что А' — чисто (п — 1)-мерное аналитическое мно-
множество в этом многообразии. Можно показать, что так как

§ 19] РИМАНОВЫ ОБЛАСТИ 297
Ф — собственное, голоморфное, нигде не исключительное
отображение многообразия Yn\ О на пространство С%\0,
то: 1) Л*:=Ф(.Д') — чисто (п—1)-мерное аналитическое
множество в пространстве CZ\O\ 2) аналитическое мно-
множество А* может быть продолжено на все пространство С% 1).
Пусть ACZCv — аналитическое множество, которое мы
получим в результате этого продолжения. Очевидно, что
точка О?А, что множество Ф~1(А)С1 У не разлагает про-
пространство Y". Так как Ф~1(Л)С1 [A' \J О], то отображение Ф
локально гомеоморфно на множестве У"\Ф~1(Л).
Мы установили (см. п. 2 § 14), что тройка (Yn, Ф, С%)
определяет (п—1)-листное аналитическое наложение над про-
пространством С%.
Пусть ЛГ={ \s | <^d<^ 1} — круг в плоскости комплекс-
комплексного переменного s. Рассмотрим область /?":={ {J ES\O}
и риманову область 3ft = (/?", Ф) над пространством С%, где
Ф — изученное нами отображение.
Укажем ряд свойств области 94.
I. Пусть В" = КX (CS~'\ О), где С?~'—пространство
переменных г^ ^п-\- Функции
(«) vk = wk, s = |2 C.33)
(где k, q = l, ..., п—1; значения q, для которых и»9= 0 ис-
исключаются) определяют биголоморфное отобр ажение % :/?"->¦ В".
Отсюда следует, что Rn — комплексное многообразие.
II. Воспользуемся тем, что коэффициенты уравнения
со (s, v) = 0 определяются выбором точки v. Возьмем точку
»0 = (v\, v\ v°n-i) ^ С; так, что: a) w0 ^ Ф(Е„);
б) уравнение a>(s, tt»o)^0 имеет только один простой
корень Sq(^K и не имеет других корней в замкнутом кру-
круге ЛТ. Тогда существует одна и только одна точка
»0 = Ф (Wo) ?ESo \ О d Rn- Из соображений непрерывности
можно заключить, что для всех точек w из некоторой окрест-
окрестности Uw0 d Cv точки w0, каждое из множеств Ф (tt>)
состоит из одной точки. Таким образом, мы показали, что
См. Реммерт [1], Реммерт — Штейн [1].

298 КОМПЛЕКСНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. III
риманова область 94 однолистна по крайней мере над
одной точкой WO?C".
III. Присоединим к области Rn все ее (достижимые) гра-
граничные точки. Поскольку R"— подобласть пространства
Yn \ О, они могут быть представлены (начало координат
мы сейчас исключаем из рассмотрения) как точки накопле-
накопления области R", принадлежащие к множеству (F"\O)\/?n.
Мы продолжим отображение тс на множество dR f) Yn\O-
Тогда каждая точка r?[dRn f) (Yn\ О)] обладает окрест-
окрестностью Urd Y"\O, в которой продолженное отображе-
отображение тс: Ur -> U** биголоморфно. Здесь г* = тсг(^дЛГХ
X (Cv~l \O), U**С С" — соответствующая окрестность точ-
точки г*. Отсюда (по смыслу определения голоморфного отобра-
отображения) следует:
Если /* (s, Vi, ..., •»„_!) — некоторая функция, голо-
голоморфная в области Вп, имеющая точку г* = ъг {где
г ^dRn f](Yn\O)) своей особой точкой, то точка
r(^dRn является особой для функции /=/*отс.
IV. Докажем, что над точкой О(^С" лежит одна и
только одна граничная точка r0 ^ dRn. Для этого нам
достаточно показать, что прообраз Ф-1(У) каждого шара
VCIC" с центром в начале координат является связным не-
непустым подмножеством области Rn. Указанное обстоятель-
обстоятельство имеет место, так как
— связное подмножество области'5" и КХ О(Zдп[Ф (V)].
Континууму КХ О граничных точек области Вп соот-
соответствует одна и только одна точка r0 ^ dRn, тогда как
точки границ дКХ(С%~1\0) и Й?п\Ф-1(О) находятся
во взаимно однозначном соответствии. Мы можем непрерывно
продолжить отображение тс на множество дВп\ пусть будет
тс: Вп ->/?" — отображение, получающееся в результате
этого продолжения.
V. Покажем теперь, что риманова область 2ft является
областью голоморфности. Действительно, полицилиндр

§ 19] РИМАНОВЫ ОБЛАСТИ 299
КУ(С"~ —область голоморфности некоторой функции
/* (s, Vi i?n-i)- Тогда и силу спойстпа III для функции
/=/*Qit, голоморфной и области Rn, все точки г ^ dRn \ г0
являются особыми. Точка г0 также будет особой точкой
функции /, так как она является точкой накопления точек
\
Теперь предположим, что 91* = (/?*, Ф*) — область голо-
голоморфности функции / и Rn<^R*. Мы продолжим непрерыв-
непрерывное отображение х: Rn~+R*, сохраняющее фундаментальные
точки, на пространство R". В результате мы получаем ото-
отображение х: Rn—>R*. Это отображение не переводит ни
одну из точек г ^ dRn внутрь области R*, так как для
функции /(г) все эти точки являются особыми. Отображе-
Отображение х сохраняет фундаментальные точки и в силу свойства II
взаимно однозначно над некоторой окрестностью точки
tt>o ^ С%. Отсюда вытекает, что оно взаимно однозначно во всей
области /?". Итак, Rn = R*, и наше утверждение доказано.
VI. Область 9t голоморфно не выпукла. Действительно,
для области В" ее оболочка голоморфности /fE") =
= АГХ Cv~l ^ Вп. Следовательно, область Вп голоморфно
не выпукла. Но тогда голоморфно не выпукла и риманова
область 91, так как свойство голоморфной выпуклости со-
сохраняется при биголоморфных отображениях (см. п. 3 § 18).
Заметим, что, как показал И. Тогари [1], построенная
нами голоморфно невыпуклая область голоморфности Г вы-
выпукла. В настоящее время неизвестны примеры Г-невыпуклых
областей голоморфности.
Идея, лежащая в основе способа построения голоморфно
невыпуклой римановой области голоморфности 5Ц:=(/?П, Ф),
может быть использована для построения широкого класса
подобных областей J).
1) См. Шея [1].

ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 20. Основная теорема Коши — Пуанкаре. Теория
вычетов на комплексном многообразии
1. Интеграл, распространенный по многообразию. В § 1
гл. I мы определили интеграл по ^-мерному /-гладкому (где
/]5=1) многообразию, состоящему из одного элемента. Сейчас
мы рассмотрим интеграл, распространенный по многообразию
более общего вида. Вспомогательным средством здесь служит
разбиение единицы (иначе, разбиение Дьёдонне).
Пусть *У—некоторое кусочно /-гладкое (где /S&1) то-
топологически />-мерное многообразие, обладающее счетным
базисом открытых множеств. Мы выделим из его структур-
структурного атласа счетное, а если возможно, то и конечное, мно-
множество карт (V,; (Ь), У=1, 2, ..., удовлетворяющих усло-
условию \JVj=v. Семейство функций \-{х), j = \, 2
определенных на многообразии "V, составляет разбиение
единицы, подчиненное покрытию {Vy}, если: 1) функции
Уч(х), J' = 1, 2 принадлежат к классу S?' на каждой
/-гладкой составляющей многообразия *)Р, 2) 0 ^ Ху (je) ^ 1,
j = 1, 2 и У Ху (х) = 1 во всех точках х ^ ®№; 3) ка-
7=1
ждая функция Ху(х) обладает компактным носителем, заклю-
заключенным в области Vj) 4) каждая точка х0 ^ "У3 обладает
окрестностью, пересекающейся лишь с конечным множеством
носителей функций Ху (х)J).
') Доказательство существования (эффективное построение)
семейства функций, являющегося разбиением единицы, можно, на-
например, найти в книге Ж. де Рама, Дифференцируемые многообра-
многообразия, ИЛ, 1956, стр. 21—26.

§ 20] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ ПУАНКАРЕ 301
Очевидно, что в силу леммы Бореля о покрытии любое
компактное множество КО. "^ пересекается лишь с конеч-
конечным множеством носителей функций Ху (х).
Если а — внешняя дифференциальная форма1) класса So1
степени р, определенная на многообразии JT*, и ее носитель
заключен в одной области tyjV/, интеграл от нее по много-
многообразию *У* определяется с помощью равенств A.15,), A.152).
В случае, когда форма а обладает произвольным носителем,
мы положим
09
¦«, DЛ)
где {X,(х), /=1, 2, ...} — описанное выше разбиение еди-
единицы. Каждый член ряда D.1) сводится в силу свойств функ-
функций Xj(x) к интегралу типа A.15,) или A.15а). Если этот
ряд сходится для любого разбиения единицы, обладающего
указанными выше свойствами, то равенство D.1) определяет
интеграл \ а; в этом случае также говорят, что интеграл
а сходится. Очевидно, что величина интеграла D.1) в этом
случае не зависит от выбора разбиения единицы, использо-
использованного для его составления.
Если носитель формы а компактен, интеграл D.1) обяза-
обязательно сходится.
Рассмотрим на многообразии ^ гладкий />-мерный эле-
элемент цепи v = (w, [а). Здесь (см. п. 6 введения) w — симплекс
в пространстве Rp действительных переменных tlt ..., tp,
ориентированный как все пространство Rp с помощью си-
системы координат t\ tp; ц: w->^)P—гладкое отображе-
отображение замкнутого симплекса w в многообразие ^У3,
Если носитель формы а заключен в одной области
Vj 3> РЩ мы определим интеграл формы а на элементе
цепи v с помощью равенств
j D.2,)
х) В настоящей главе мы постоянно рассматрираем подобные
формы и называем их для краткости просто формами.

302 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. IV
(если а — нечетная форма),
D.20
(если а — четная форма; здесь е — соответствующая ориента-
ориентация). Равенства D.2j) и D.22) в частном случае, когда ц —
гомеоморфизм, сводятся к равенствам A.15j) и A.152). В слу-
случае, когда форма а обладает произвольным носителем, мы
должны для определения \ а снова воспользоваться рядом D.1).
v
Интеграл от формы а по цепи V^^ckvk мы определим
с помощью равенства
Здесь ck — произвольные комплексные числа.
Во введении мы указывали, что одна и та же цепь мо-
может быть задана различными способами, как линейная форма,
составленная из элементов цепи. Признаком того, что по-
подобные линейные комбинации определяют одну и ту же цепь,
служит совпадение на них интегралов D.3) для всех форм а.
2. Теоремы Стокса и Коши—Пуанкаре. Пусть VCZl/3—
некоторая топологически />-мерная цепь, состоящая из глад-
гладких элементов, ср — форма класса S?1 степени р—1. Тогда
имеет место равенство J)
D-4)
Это равенство обычно называют теоремой Стокса. Оно
содержит как частный случай классические формулы Нью-
Ньютона — Лейбница, Грина, Стокса, Гаусса — Остроградского.
Общий случай (в несколько иных обозначениях) впервые
рассмотрел А. Пуанкаре.
Из теоремы D.4) Стокса вытекает, что для замкнутой
формы а
D.5)
i"=0;
стр
J) См. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ,
. 50-60.

§ 20] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ-—ПУАНКАРЕ 303
для произвольной формы а ^ io' и цикла V
a = 0. D.6)
Это равенство содержит классическое предложение об обра-
обращении в нуль интеграла по замкнутому контуру от диффе-
дифференциала некоторой функции.
Теперь рассмотрим голоморфную форму ср на комплексно
аналитическом многообразии Z", заданную на каждой его
карте выражением вида
<p = f(z)dz, D.7)
где zlt ,.., zn — локальные комплексные координаты, dz =
^dzi/\.../\dzn, функция /(г) голоморфна HaZ". Очевидно,
что rfcp = O и, таким образом, форма <р замкнута. Поэтому
для любой топологически (я-J-1)-мерной цепи VCZZ", со-
состоящей из гладких элементов, в силу соотношения D.5)
i
f(z)dz = 0, D.8)
где снова dz = dz^ Д... /\dzn. Это равенство и выражает
Теорема 20.1 (основная теорема Коши —
Пуанкаре). Если функция f(z) голоморфна на комплекс-
комплексном многообразии Z", топологически {п-\-\)-мерная цепь
VCI_Zn, то имеет место равенство D.8).
Теорема 20.1 имеет место и для цепей более общей при-
природы, чем мы сейчас рассматриваем (состоящих не обяза-
обязательно из гладких элементов).
3. Форма-вычет на комплексном многообразииJ). Рас-
Рассмотрим комплексные многообразия S('' ^(S"")"', 2(-') =
= B"~1I'') (i=l» •••> т, j=\, ..., т'), аналитически ло-
локально регулярно вложенные в комплексное многообразие
Z^Zn. Пусть эти многообразия задаются в окрестностях
Uzim своих точек z(o) уравнениями @.14) вида
*'^Mo)wo -=l' "" «' } D'9)
См. Лере [1].

304 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Здесь S;, Оу — голоморфные функции на многообразии Z в
соответствующих точках z(o), причем gradSj^O. Таким об-
образом, многообразия S(" целиком состоят из обыкновенных
точек. Мы предположим еще, что многообразия S1'', 2^'
лежат в многообразии Z в общем положении, т. е. в их об-
общих точках матрицы, составленные из производных от функ-
функций D.9), по локальным координатам имеют наивысший воз-
возможный ранг.
Исходя из многообразий D.9), мы образуем многообразия
S = S{1)(^...f^S{m); S = S(l)U---US(m>)- DЛ0)
Пусть ср — форма степени 0<^/=^2я, равная нулю на много-
многообразии 2> принадлежащая к классу So00 на многообразии
Z\(SA)U---US(m)), имеющая S(l), ..., S(m) своими поляр-
полярными многообразиями соответственно порядков ръ...,рт
(где />!, ..., рт — натуральные числа). Последнее означает,
что в некоторой окрестности UzW каждой точки z@) ?
G S(il) П • • ¦ П SD где 1<!,<-<1,<я. Ф°Рма
[sh (z | zM)]pb ... [slr(z | *«•>)]"!¦ <p D.11)
принадлежит к классу io00, причем при уменьшении хотя бы
одного из чисел ръ ..., рт указанное свойство теряется.
Здесь под значениями формы D.11) в точках z(^S^\
j:=l, ..., т, понимается ее непрерывное продолжение в эти
точки.
Мы возьмем сначала /га = 1 и будем в этом случае пи-
писать S вместо S'1', s вместо Sj. В настоящем пункте .мы
ограничиваемся рассмотрением полярных многообразий пер-
первого порядка. Случай полярных многообразий более высокого
порядка будет рассмотрен ниже.
Имеет место
Теорема 20.2. Пусть замкнутая форма ср ^ g0 на
многообразии Z\S и имеет S своим полярным много-
многообразием первого порядка.
Тогда в некоторой окрестности ?/г(о) каждой точки
? существуют такие формы <|), б^й0, что при
\S
D-12)

§ 20] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ—ПУАНКАРЕ 305
При этом след ^{z\z^)\s зависит только от формы ср
и является замкнутой формой.
Если форма ср голоморфна, то след ty (z | zM) \$ голо-
голоморфен в точке 2(о).
Доказательство теоремы 20.2 опирается на следую-
следующую лемму.
Лемма. Пусть форма а ^ 1ёсо на многообразии Z. Тогда
эту форму можно представить в некоторой окрестности
Uzw каждой точки 2(o)^S в виде
а = <*?ДР D.13)
(где форма р^#°° при z(^Uzi<») в том и только в том
случае, если
ds/\a=0. D.14)
Здесь след формы р \s определяется единственным обра-
образом; если форма а голоморфна, то след fJ \$ голоморфен
в точке z^K
Утверждение этой леммы становится очевидным, если
мы выберем функцию s(z\zM) за одну из локальных коор-
координат на многообразии Z в окрестности точки z@). Это воз-
возможно, так как z(o) — обыкновенная точка многообразия S.
Теперь мы обратимся непосредственно к доказательству
теоремы 20.2. В некоторой окрестности ?/г(о> точки 2@; форма
scp ^ %°°, а следовательно, и форма d (scp) ? #°°. При z^ ?/*«» \ S
D.15)
(так как там d<p^O). Последнее равенство является сред-
средством для продолжения формы ds/\<p в точки z?[/2w>C\S.
После этого продолжения форма скДср^^00 всюду в L/2w).
Из соотношения D.15) легко следует, что для формы
a = ds/\<p в окрестности Uzm выполняется условие D.14).
Поэтому в силу нашей леммы, примененной к Uzm, в неко-
некоторой окрестности точки .г'0' существует такая форма
8 8(|10>)?=?°, ЧТО
D.16)
Умножая обе части равенства D.16) на s и учитывая, что
формы scp, 59^^°° в рассматриваемой окрестности точки
(о мы найдем, что там форма scp — s9 ? #°° и
— s8) = 0. D.17)

306
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Тогда в силу нашей леммы в некоторой окрестности точ-
точки .г'0' существует такая форма ф:=ф(,г |,г'0') ^ <ёсо, что
D.18)
? DЛ2)
Последнее равенство имеет, конечно, место вне многообра-
многообразия S.
Легко видеть, что для формы ср, голоморфной на многообра-
многообразии Z \ S, формы ф и 6 также оказываются голоморфными.
Теперь покажем, что след Ф \$ определяется выбором
формы ср и функции s. Для этого достаточно установить,
что из равенства
At+8 D.12')
вытекает, что
Ф|5 = 0. D.19)
Действительно, из равенства D.12) вытекает, что
0. D.12")
Отсюда после умножения на ds получим, что ds/\sQ = O.
Здесь s — скаляр, и поэтому в Uzw>\S имеет место равен-
равенство ds/\Q^O. Так как форма ds/\d принадлежит к классу
#°°, это равенство выполняется всюду [/2ш. Следовательно,
в силу нашей леммы в некоторой окрестности точки z(o)
существует такая форма ш ^ S?00, что 9:= ds/\w. Подставляя
это выражение для формы 8 в равенство D.12'), мы най-
найдем, что dsД (Ф -|- su>) = 0. Мы применим еще раз нашу
лемму и получим, что в некоторой окрестности точки .г'0'
ф -]- so) = ds/\w,
где форма а>?#°°. Отсюда, учитывая, что Ф — форма степени
/^>0, вытекает равенство D.19).
Теперь покажем, что след Ф \s не зависит и от выбора функ-
функции s (z 12(о)), используемой для задания многообразия S
в окрестности точки z^\ и, таким образом, целиком опре-
определяется формой ср.
Действительно, если многообразие S может быть задано в
некоторой окрестности точки г;'0' голоморфным уравнением

§ 20] основная теорема коши—Пуанкаре 307
s* (z\ z'°')^0, причем ss*^ и s*s~i — голоморфные функции
в этой окрестности, то
где форма
в рассматриваемой окрестности точки г;'0'. Отсюда и следует
наше утверждение.
Нам осталось показать, что форма <|) |s замкнута. Из соот-
соотношения D.12) мы заключаем, что
Это равенство имеет вид соотношения D.121) для форм
dty и dQ. Из него, как мы видели, вытекает равенство D.19).
В настоящем случае оно дает, что dty \s = 0.
Определение (форма-вычет). След ф(г |z(o)) \s фор-
формы из представления D.12) называется формой-вычетом для
формы ср на полярном многообразии S первого порядка в
окрестности точки z^(^S.
Вводятся обозначения:
res[<p] = -g-|s = n*l*@))ls- D-20)
4. Свойства форм-вычетов. Прежде всего мы отметим
некоторые частные случаи формулы D.20). Если в окрест-
окрестности Uzio> каждой точки z(o)?JS
где форма шB |z(o)) ^ io00 при 2^f/^(oi, мы будем писать
вместо D.20)
res [?] = ;?
Если форма а) замкнута, то в силу равенств dm = 0,
rf(p=0 и D.21)
ds/\<о = 0. D.210

308 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
В частном случае, когда
*(z\zw)=f(z)dz,
где dz = dzi/\.../\dzn, функция f(z) ^ #°° в окрестности 5
многообразия S, a zt zn — локальные координаты в ок-
окрестности ?/г«)), форму-вычет res [cp] можно вычислять по
формуле
(при szj ф 0). Здесь, как и всегда, символ [dzj] указывает,
что дифференциал dzj пропускается при составлении произ-
произведения. Мы убедимся в справедливости равенства D.202),
если представим форму ср в виде
A[dzj]/\ ... Adzn
Теперь рассмотрим случай, когда полярное многообразие S
формы ср задается в целом с помощью уравнения s(z)^0,
где функция s(z) голоморфна в некоторой окрестности S
этого многообразия S и удовлетворяет в окрестности каж-
каждой точки z@)?S всем указанным выше условиям. Тогда,
в силу теоремы 20.2, при zC
Предположим, что на многообразии Z существует разбиение
единицы {Х,-(г), i=l, 2, ...}. Тогда, исходя из D.12J), мы
получим равенство
где
if (z) = ^h {*) 1» (z | z% б (z) = 2 Xy (г) б B12</>).
f
Здесь предполагается, что окрестности точек z. ' ? S,
/ = 1, 2, ... покрывают все многообразие S.
Мы определим форму-вычет res [ср] для формы ср на по-
полярном многообразии S первого порядка, как след i[>(.2)|s-

§ 20] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ ПУАНКАРЕ 309
Из определения формы-вычета res [cp] для формы ср вы-
вытекает, что
0. D.22)
Мы рассмотрим теперь оператор 8, сопоставляющий каж-
каждой точке z"" ^ S гомеоморфный образ окружности
b^\S так, что выполняются следующие условия:
а) В некоторой окрестности UzwCZ.Z существует такая
система координат гъ ,,., zn с началом в точке ?l0), что
многообразие SU^«» определяется уравнением zn = 0, а ли-
линия bz{o'dUz[O, — уравнением |zn| = l.
б) Линии {bz, z ? S} образуют в многообразии Z \ S
непрерывное семейство.
в) При z^ ф z^' линии hz^ и hz^ не имеют общих точек.
г) Если z?%, то bz CS-
В своей совокупности линии {bz, z ^ S} составляют гра-
границу «трубчатой» окрестности подмногобразия S в много-
многообразии Z. Описанное построение возможно, так как много-
многообразие S состоит из обыкновенных точек и топологические
размерности многообразий S и Z отличаются друг от друга
на две единицы.
Свойство а) позволяет ввести ориентацию на замкнутой
линии 8z@). Пусть ориентация многообразия Z задается порядком
следования координат Zj = Xy__t-|-ixy, /=1, ..., п, а мно-
многообразия S — порядком следования координат Zj^Xy_t -j-
-\-iXy, у' = 1, ..., п — 1. Тогда положительная ориентация
линии 8z(o) будет соответствовать ее обходу в порядке сле-
следования точек zn = l, zn = i, zn = —1.
Пусть -f — некоторый цикл в многообразии S, компакт-
компактный относительно многообразия ?!• Мы определим 8-f как
объединение линий bz для точек z ^ -f. Легко видеть, что
8fCZZ\S—цикл, компактный относительно многообразия 2-
Топологическая размерность цикла 8-f на одну единицу боль-
больше топологической размерности цикла f. Цикл 8f расслаи-
расслаивается на линии b(z), z? f, цикл -f служит базой этого рас-
расслоения. Наличие ориентации у линий bz, z?f позволяет
поставить естественным образом в соответствие ориентации
цикла f определенную ориентацию цикла 8-f.
Пусть HC(S, 2) и HC(Z\S, 2) — группы гомологии
многообразий S и Z\S с компактными носителями относи-
относительно многообразия 2g- и целыми коэффициентами. Тогда

310
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. IV
оператор 8 порождает гомоморфизм между группами гомо-
гомологии
8:tfc(S, 2)->tfc(Z\S, ?). D.23)
Имеет место следующая
Теорема 20.3 (Лере [1]). Пусть цикл -\ принадле-
принадлежит к классу гомологии hc (S, 2) (z.Hc (S, 2)> причем
размерность D(-\) = l— 1. Тогда для замкнутой формы ср,
имеющей S своим полярным многообразием первого по-
порядка
С ср = 2«j [ res [cp]. D.24)
Так как f — произвольный цикл, принадлежащий к классу
гомологии hc(S, 2). формулу D.24) целесообразно перепи-
переписать в виде
Г ср = 2тс2 f res[cp]. D.24j)
8й (S, Я) й„(^, S)
С С
5. Класс-вычет на комплексном многообразии. Обозначим
через (Z, 2) совокупность форм, принадлежащих к классу
io00 на некотором многообразии Z и обращающихся в нуль
на подмногообразии 2 CI Z, через //*(Z, 2) — кольцо х) ко-
гомологий, составленное замкнутыми формами, принадле-
принадлежащими к этой совокупности (см. п. 8 введения). Имеет
место
Теорема 20.4. Пусть замкнутая форма ср ? A*(Z\S, 2)-
Тогда в классе h*(Z\S, 2) найдутся формы х> имею-
имеющие S своим полярным многообразием первого порядка.
Совокупность форм-вычетов на многообразии S для
этих форм х составляет класс относительных когомо-
логий для пары (S, 2).
Определение (класс-вычет). Когомологический класс
форм-вычетов, определяемый замкнутой формой ср ? h*(Z\S, 2)
') Известно, что это кольцо совпадает с кольцом когомологий
многообразия Z относительно многообразия 2 с произвольным но-
носителем и комплексными коэффициентами. См. Ж. де Рам, Диффе-
Дифференциальные многообразия, ИЛ, гл. IV.

§ 20] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ ПУАНКАРЕ 311
на многообразии S, называется классом-иычетом и обозна-
обозначается символом
Очевидно, если существует res[cp], то res[cp]?Res [ср].
Образование класса-вычета Res [cp] в силу теоремы 20.4
определяет гомоморфное отображение кольца когомологий
H*(Z\S, ?) в кольцо когомологий H*(S, 2)
Res: #*(Z\S, 2) —tf%S, 2). D.25)
Кольца когомологий H*(Z\S, 2) и H*(S, 2) являются
алгебрами над кольцом когомологий H*(Z), так как после
умножения на класс h*(Z)(^H*(Z) классы h*(S, 2)?^*(S, 2)
и h* (Z\S, 2) ? И* (Z\S, 2) по-прежнему остаются классами
в этих кольцах когомологий (умножение производится по
правилу, сформулированному в п. 8 введения). Операция об-
образования класса-вычета определяет гомоморфизм алгебры
Н* (Z\S, 2). так как
Res[ft*(Z\S, S) ft*(Z)] = {Res [ft* (Z\S, 2)]} A* B).
Теореме 20.3 в общем случае соответствует
Теорема 20.5. Пусть цикл f принадлежит к классу
гомологии hc(S, 2). причем размерность D{~{) = t—1.
Тогда для замкнутой, формы cp ^ 1ёсо, на многообра-
многообразии Z\S
С ср = 2тгг f Res[cp]. D.26)
Интеграл в правой части равенства D.26) берется от
любого элемента из класса вычета Res [cp] и не зависит
от его выбора.
Заметим, что в теореме 20.5 нельзя ограничиться рассмо-
рассмотрением голоморфных форм. Для голоморфной формы ср
класс-вычет Resfcp] может не содержать голоморфных форм.
При /=1, я=1 класс-вычет Res [f(z)dz] сводится к
обычному вычету функции f(z) в ее особой точке.
Теперь мы рассмотрим общий случай т~^>\. когда фор-
форма ср имеет полярные многообразия S'1', ..., S'"^ порядков

312 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Pi> ¦ • •> Рт- Мы составим последовательность гомоморфизмов
8m:tfc(Sm> 2Э— ••• — ^e(Si,S)-*//e(Sl_1, ?)-* •••
... —Не(Sb S) — Яс(So, 2), D.27)
где Sj = SWn ••• nS(l)\S('+1'U ••• USm, i = l, .... m,
Sm = S и S0 = Z\S(l)U--.Us<m)- Эти гомоморфизмы ста-
ставят в соответствие циклам -f ^/гс (S;,2) циклы 8-f ? Ac(Sj_i,2)«
Цикл 8f расслаивается на замкнутые линии (гомеоморфные
окружностям), обходящие один раз многообразие Sj и при-
принадлежащие к многообразию St_i.
Затем мы составим последовательность гомоморфизмов,
определяющую сложный класс-вычет,
Res'": Н* (So, S) ->Я* (SX) 2) — ...-* Я* (Sr_b 2) ->
- Я* (SJ+1> 2) - • • • - Н* (Sm, 2). D.28)
Имеет место
Теорема 20.6. Пусть цикл f принадлежит к классу
гомологии hc(S,2). причем размерность D(f) = l—1.
Тогда для замкнутой формы ср ? #°° «а многообразии So
Resm[cp]. D.29)
Равенство D.29) получается последовательным применением
теоремы 20.5 к циклам, принадлежащим к классам гомоло-
гомологии, образующим группу Нс (Sit 2)«
Теперь рассмотрим случай, когда многообразия S(i) заданы
с помощью уравнений
(S(i)) Si(z) = 0, L=\,...,m,
где каждая функция $г (z) голоморфна в некоторой окрест-
окрестности S(?) многообразия S(l)._riycTb форма «(г;)^^00 для z?Z
и удовлетворяет условиям
dw = 0, dSi /\и> = 0, i = 1, ..., т
(эти условия аналогичны условию D.2lj) для т=\).

§ 20] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ ПУАНКАРЕ 313
Тогда оказывается возможным, следуя И. М. Гельфанду
и Г. Е. Шилову1), построить в некоторой окрестности мно-
многообразия S такую систему форм
woo...o. (
что там
w=dSlA.
^">00 ... 0 = ^SlA^l
^&10 ... 0 = ^SlA^S
и вообще
°10 ... 0. oH1...0.
• • Л^«Лйоо...
lo... о ~т~ ds%/\u>oi
io ... о ~t~ dSi/\u>ii
o>
... о
... 0
sm/\wm... ь
Рт + • • • + dsm/\wPl... Рт+1.
Эти формы определяются не единственным образом, однако
всегда имеет место включение
Рт
s
.../7m!Res|
| Sipi+i ... SmPm+i
6. Обобщение теоремы Морера. Так же, как в случае
одного переменного, в теории функций многих переменных
оказывается справедливой теорема (называемая теоремой Мо-
Морера), обратная основной теореме Коши—Пуанкаре. Мы при-
приведем эту теорему, ограничиваясь простейшим случаем про-
пространства С2 комплексных переменных w, z.
Теорема 20.7. Если функция f(w, z) непрерывна в
области D d С2 и интеграл \ f(w,z)dw /\ dz, распро-
распространенный по полной границе любой цилиндрической
области Q вида /j X ^-2 или 4X^-1 класса А, равен нулю,
то функция f(w, z) голоморфна в области D.
Пояснение. Здесь если Q^^XA. то А — кусочно-
гладкая линия, соединяющая в плоскости w точки W\ и w%,
Ь^ — односвязная область в плоскости z, ограниченная ку-
кусочно-гладким контуром /а. Если Q = /jX^i> т0 4 — кусоч-
кусочно гладкая линия, соединяющая в плоскости z точки гг и zit
J) См. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции
и действия над ними, вып. 1, Физматгиз, М., 1958, стр. 261 и ел.
2) Дальнейшие сведения по теории вычетов можно найти в
книге Лере [1]; см. также Южаков [1].

•ЧЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Ц — односвязная область в плоскости w, ограниченная ку-
кусочно гладким контуром /t. Области Q подобного вида со-
составляют класс А.
Замечание. Как видно из формулировки объявленной
теоремы, при выводе предложения, обратного теореме Коши—-
Пуанкаре, нет надобности предполагать равенства нулю
\ \ f{w,z)dw/\dz по произвольной замкнутой поверхности,
лежащей в области D.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку
(х&о, z0) области D и бицилиндр Е = Е^ X ?2= {\w—w$\<j;
\z — 20|<^r}, лежащий в D. Очевидно, достаточно доказать
голоморфность функции f(w, z) в бицилиндре Е.
Пусть цилиндрическая область Q вместе с границей ле-
лежит внутри бицилиндра Е. Граница S цилиндрической об-
области состоит из: 1) поверхности /j X 4. 2) области L2 в
плоскости w=-W\, 3) области L2 в плоскости w^w%. Так
как интеграл от всякой непрерывной функции по аналити-
аналитической поверхности всегда равен нулю1), то при интегриро-
интегрировании по S интегралы по частям S в плоскости w^w^ и
w^w<i отпадут, и мы получим:
f [f{w, z) dw/\dz= (? dz С f(w,z)dw = 0. D.30)
Отсюда и из аналогичного равенства, получающегося при
перемене ролей w и z, следует, что если Х1 и Х2 — две ку-
кусочно гладкие линии, идущие соответственно в кругах Е^ и Ё2
от точки а к w и от b к z, то
id z
F(w,z)=\ dw [ f(w,z)dz={ f f (w, z) dw Adz D.31)
a b l[X*i
будет являться однозначной функцией в бицилиндре Е (не
будет зависеть от Х1 и Х2).
Интеграл \ f(w,z)dw (путь 1г фиксирован) определяет
h
непрерывную функцию переменного z в круге Е%. Интеграл
См. п. 7 § 4 гл. I.

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 315
от этой функции по произпольному замкнутому контуру
/2 (^ Еч равен нулю в силу соотношения D.30). Отсюда сле-
г w
дует, что интеграл \ dz \ f(w,z)dw определяет голо-
b a
морфную функцию переменного z в круге Е$. Таким обра-
образом, доказано, что F(w, z) — голоморфная функция перемен-
переменного z в круге Е^ Для каждого фиксированного значения w
из круга Ei.
Совершенно так же мы докажем, что F(w, z) — голоморф-
голоморфная функция переменного z в круге Е% для каждого фикси-
фиксированного значения w из.круга Et. Таким образом, мы уста-
установили, что F(w, z) — голоморфная функция переменных w, z
в бицилиндре Е. Но в силу D.32)
Отсюда вытекает, что функция f(w, z) голоморфна в бици-
бицилиндре Е.
§ 21. Приложения методов теории потенциала
к изучению голоморфных функций. Интегральная
формула Бохнера—Мартинелли
1. Задача Дирихле. В классической теории голоморфных
функций одного комплексного переменного интегральная
формула Коши эквивалентна формуле Грина, решающей гра-
граничную задачу Дирихле для гармонической функции. При-
Причина этого, как известно, состоит в том, что действительная
часть голоморфной функции является гармонической функ-
функцией и, обратно, каждая гармоническая функция представ-
представляет собой действительную часть некоторой голоморфной
функции. При этом на значения всякой непрерывной функции,
заданной на контуре некоторой плоской области D, можно
смотреть как на граничные значения какой-то функции, гар-
гармонической в области D.
Иначе обстоит дело в общем случае. Действительная и
мнимая части голоморфной функции комплексных перемен-
переменных zk = xk-\-iyk, k=\, ...,n, являются плюригармони-
ческими функциями переменных хк,ук, т. е. удовлетворяют

316 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
уравнениям в частных производных, составляющих систему
A,32). Произвольно заданные значения, непрерывные на неко-
некоторой замкнутой поверхности Т== Tin_i, образующей грани-
границу ограниченной области D, всегда можно рассматривать как
значения на поверхности Т некоторой функции, гармонической
в области D. Плюригармонические функции составляют, оче-
очевидно, подкласс гармонических функций; поэтому, вообще го-
говоря, не существует плюригармонической функции в замкнутой
области D, принимающей на поверхности Т наперед заданные
значения.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли построить плю-
ригармоническую функцию в замкнутой области Д которая
принимала бы наперед заданные значения на какой-то части
границы области D. В случае, если область D — бицилиндр
{\w | <^ 1, | z |<^ 1} в пространстве переменных w = и -\- iv,
z = x-\-ly, а часть границы, о которой идет речь, — его
остов Д = {и; = <?'>, г = е'*, (Хср<2я, 0=^(|><2я}, на
этот вопрос следует дать отрицательный ответ. По значе-
значениям непрерывной функции Ф(е19, е**), заданным на поверх-
поверхности Д, можно построить функцию Ф (w, z), непрерывную
в замкнутой области D, удовлетворяющую в области D урав-
уравнениям
(такую функцию мы будем далее называть двоякогармони-
ческой) и принимающую на поверхности Т наперед заданные
значения. Эту функцию можно получить двукратным приме-
применением формулы Пуассона; тогда она будет выражаться так:
Ф(w, г) = Ф(re* se1*) =
=-йг И ф (^ e'v) p(r><?—?) P(s>$ — ?) fhW- D-33>
Здесь
Для того чтобы Ф (w, z) была бигармонической функцией,
она должна, кроме уравнений D.32), удовлетворять еще

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 317
уравнениям
0;
При произвольном выборе значений Ф (е1*', е'Ф') функция Ф,
определенная из D.33), не будет вообще удовлетворять
уравнениям D.34) и, таким образом, не будет бигармони-
ческой.
Для того чтобы функция, определяемая из формулы D.33),
была бигармонической, значения Ф (e'f, е'Ф') должны удов-
удовлетворять специальным условиям. Непосредственным вычис-
вычислением можно, например, убедиться, что функция, определяе-
определяемая из формулы D.33), будет бигармонической в бицилиндре D,
если для всех т, п=\, 2,.., будут выполняться равенства1)
Ф (<?<*', e'V) е' <т'-"*'Щ'Ц' = 0. D.35)
Таким образом, гармонические функции оказываются в
нашем случае менее, чем в классическом, связанными по
своим свойствам с голоморфными функциями комплексных
переменных. Возможность получения какого-либо свойства
голоморфных функций, исходя из теории гармонических
функций, обычно означает, что полученное предложение имеет
место для более широкого (чем изучаемые нами голоморф-
голоморфные функции) класса функций.
В тех случаях, когда такое обстоятельство действительно
имеет место, применение теории гармонических функций
оказывается удобным и полезным.
Так, например, обстоит дело с приложением описанных
методов к определению возможности продолжения аналити-
аналитической функции и к некоторым другим вопросам нашей
теории, рассмотренным С. Бохнером [1].
2. Аналитическое продолжение с помощью формул
Грина. Для простоты изложения мы рассмотрим случай про-
пространства двух комплексных переменных w, z. Мы рассмотрим
в этом пространстве несколько /^мерных (р может быть рав-
равно 4, 3, 2) симплексов Въ ..., Bs и множество' (р — 1)-мерных
') Условия существования плюригармонической функции, при-
принимающей заданные значения на границе области D более общего
вида см. в работах: Айзенберг [3], Рицца [1].

318 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
симплексов Съ .,., Сп являющихся их гранями. Все эти сим-
симплексы Ст предполагаются гладкими. Симплексы Bq и Ст
предполагаются заданными с какой-либо ориентацией. Мы
введем постоянные smq следующим образом.
Если Ст есть грань Bq и заданная на Ст ориентация
когерентна заданной ориентации Bq, то emg=~|-l; если
эти ориентации противоположны, то emg=—1. Если Ст
не принадлежит к границе Bq, то &mq = 0. Обозначим через В
множество точек, принадлежащих всем Bq, через С — мно-
множество точек всех Ст. Пусть в симплексах Bq заданы какие-
то непрерывные функции ср? (и, v, x,y).
Будем говорить, что они определяют в В составную
функцию ср (и, v, х, у), равную ср? (и, v, x, у) в точках сим-
симплекса Bq. Эту составную функцию мы обозначим {срд}.
Далее мы рассмотрим на каждом симплексе Ст функцию
S
<?'m(ll, V, X, у)= ^ SmgT9("> V> X> У)' D-36)
Такая функция называется далее скачком функции {срд}
на Ст. Очевидно, что если Ст разделяет симплексы Ва и Вь,
то срот = ±(сра — срй): если Ст отделяет Ва от внешнего
пространства, то ср^ = ±сра.
Мы возьмем р = А и рассмотрим внешнюю дифферен-
дифференциальную форму
а== U dv /\dx /\dy-\-Vdx /\dy /\du-\-
-\-Xdy/\du/\dv-\-Ydu/\dv/\dx, D.37)
где U, V, X, Y — функции класса ё во всех симплексах Bq.
Применим формулу Стокса D.4) к дифференциалу этой формы
на каждом симплексе Bq. Затем мы сложим получающиеся
равенства и в результате придем к следующему соотношению:
У Г (dUQ dVq , dXq dYQ\dw =
Zi J \ du dv ' дх ду j
(Umdv/\dx/\dy-]-Vmdx/\dy/\du +
+ X-mdy/\du/\dv+Y-mdu/\dv/\dx). D.38)

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 319
Здесь Um, V'm, X'm, Y'm — скачки составных функций {Uq}>
{Vq}, {Xq}, {Yq} на Ст, dm = du/\dv/\dx/\dy.
Аналогичные соотношения легко получаются для р = Ъ
и р = 2.
Для некоторых дальнейших вычислений настоящего пара-
параграфа удобно иначе, чем это у нас постоянно принято, обо-
обозначать координаты точек пространства. Мы положим и = Х\,
v = x%, лг = ;е3| у = х^. Пусть
Д • • • Л \*хД Л • • • Л [**„] Л... Л dxb
где а<^р. Затем мы применим формулу Стокса D.4) к сим-
симплексам Bq размерности /) = 3 и дифференциальным формам
вида Zikdxl /\dxk, i, k=l, 2, 3, 4. Здесь предполагается,
что все функции Zik принадлежат к классу ё на симплек-
симплексах Bq. Складывая полученные равенства, мы получим серию
соотношений
2 I @
-^-И dxx Д dx3 Д dxA =
г
= У \2^)dxt/\dxl D.39)
Все эти равенства могут быть записаны теперь (это про-
проверяется непосредственно) в единообразной форме (мы обо-
обозначаем подинтегральную функцию {Uq}):
q m — 1 *~т
После этих предварительных замечаний мы обратимся
к основному изложению.
Пусть D — совокупность ограниченных областей (в част-
частности, это может быть одна область), состоящая из конечного
множества симплексов с кусочно гладкой границей dD = B.
Симплексы, составляющие области D, предполагаются поло-
положительно ориентированными, ориентация границы В — коге-

320 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
рентной ориентации D, f(xb x%, x3, xt) — действительная
аналитическая функция своих переменных в некоторой окре-
окрестности D совокупности замкнутых областей D
4
D.41)
где Н—действительная аналитическая функция переменных
х„, \л во всем открытом пространстве. Тогда выражение
(здесь ?!, Sg, S3, ^4 — переменные интеграции, dQ = &t/\
/\dl3/\dQ равно 2izif(xv xit x3, jc4), если точка (хь
хз> xi) (E^* или НУЛЮ> если точка (хь xit x3, xt) ^D. В част-
частном случае, когда A/=Ag-=0, т. е. / и g — гармонические
функции (// равно нулю), то
Формулы D.42) и D.43) обычно называются формулами
Грина').
Теперь мы предположим, что в пространстве даны s трех-
трехмерных конечных симплексов Bq с г гладкими гранями Ст.
Пусть нам дана на совокупности симплексов B = dD состав-
составная гармоническая функция {fq}. С ее помощью мы построим
интеграл
F(xb *2, х3, Хь) =
') См. по поводу вывода этих формул, например, Курант—Гиль-
Курант—Гильберт, Методы математической физики, т. 2, стр. 237. Там приведен
вывод для трехмерного пространства; аналогичный результат имеет
место и в нашем случае.

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 321
Дополнение Rq\B состоит из конечного множества областей
D\, ..., Dt, А»; область Dm бесконечна, остальные—огра-
остальные—ограничены. Эти ограниченные области могут вообще отсут-
отсутствовать. Совокупность областей Di\J. ..\J Dt\jDoa мы обоз-
обозначим D. Интеграл D.44) определяет гармоническую функцию
Fz(xb х%, хъ Xi) и каждой области Dz(i = \, 2, ..., t, oo);
все Fz, таким образом, определяют в D составную гармони-
гармоническую функцию {/%}. Первые слагаемые интегралы D.44)
образуют потенциал двойного слоя с плотностью —ту-afq,
вторые слагаемые — потенциал простого слоя. Из общей
теории гармонических функций известно1), что скачок
такого потенциала двойного слоя на Bq будет fq; потенциал
простого слоя не испытывает разрыва при переходе через Bq.
Таким образом, скачок {h\} на В равен — {fq).
Мы докажем сейчас общую теорему, лежащую в основе
дальнейших выводов.
Теорема 21.1. Пусть f(xb х^ х3, х^)— гармоническая
функция в В, оператор ЙФ определен равенством
2 яп + 1-чф
а»,».,,,,— —, D.45)
VlVaV3V4 дх?дх1*дх1*дх\* V
где aVlv2v3v4 — постоянные коэффициенты. Тогда
D.46)
при условии, что скачок {fq} и всех производных \fq) до по-
порядка п = max (vj -|- va "Ь V3 4" vi) включительно равен нулю
на всех Ст. Здесь Lf=F определяется равенством D.44).
Доказательство. Очевидно, что для получения ра-
равенства D.46) нам достаточно показать, что
<4'47)
и затем итерировать операции D.47). Мы рассмотрим раз-
Н0СТЬ 1{щ)-Щ <*•/>• Учитывая, что Д = _^,мы
') См. Курант—Гильберт, Методы математической физики, т. 2,
стр. 238. Там приведен соответствующий результат для трехмерного
пространства; аналогичный факт имеет место и в нашем случае.
11 б. А. Фукс

322 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
получим из формулы D.44)
<"8>
Далее мы воспользуемся тем, что так как / и g—гармони-
g—гармонические функции, то
дЦ — Ldl-y дЦ — L #¦
г а = 1 г а = 1
(здесь и далее символ 2' означает, что при суммировании
по а значение а=:[3 выпускается). Тогда
д-а
Последнее равенство следует из формулы D.40). Нуль мы
г. I df \
получаем, исходя из предположения, что скачки /р, ^~
равны нулю на всех Ст. Этим объявленная теорема доказана.
Следствие. Если: 1)/— гармоническая функция в не-
некоторой окрестности В совокупности симплексов В и
удовлетворяет там уравнению Qf= 0; 2) все скачки
функции f и ее частных производных (до соответст-
соответствующего порядка) на С равны нулю, то гармоническая

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 323
в открытом множестве D функция F=^Lf удовлетво-
удовлетворяет там уравнению QF=0.
Определение. Мы будем говорить, что дифферен-
дифференциальный оператор 2Ф типа D.45) обладает свойством
единственности и бесконечности, если каждое аналитическое
решение уравнения 2Ф = 0, которое определено в дополне-
дополнении к некоторой ограниченной области и исчезает в беско-
бесконечности, тождественно равно нулю.
Таким свойством, например, обладает оператор
Действительно, пусть функция Ф {хъ ..., хр, хр+1, ..., х&)
определена в дополнении к ограниченной области Е и АФ =
= 0. Всегда существует некоторая система значений х°р+1,
..., х\ и такая D — />)-мерная окрестность этих значений,
что для каждой системы значений хр+1> ..., xt из этой окрест-
окрестности функция Ф определена для —oo<^;eft<^oo (k = l,
..., р). Таким образом, гармоническая функция р первых пе-
переменных Ф (хь .... хр, хр^.1, ..., xf) регулярна во всем
пространстве и исчезает в бесконечности. Следовательно, она
равна лулю для каждой системы значений хр+и ... > х% из
взятой окрестности и любого значения первых р переменных.
В силу ее аналитичности по всем четырем переменным отсю-
отсюда следует, что она тождественно равна нулю в дополнении
к области Е.
Отсюда вытекает такое следствие:
Если гармоническая функция / определена в некоторой
окрестности В связной совокупности симплексов B = dD, где
D — некоторая ограниченная область и удовлетворяет там
уравнению 2/=0 (где оператор 2/ обладает свойством
единственности в бесконечности), скачки функции / и нуж-
нужных частных производных на Ст равны нулю, то гармоничес-
гармоническая в области D функция F^Lf принимает на границе В
те же значения, что и функция /.
Из предыдущего следует, что в этом случае в дополнении
к области D до всего пространства функция F тождественно
равна нулю1); далее скачок функции F при переходе через
') Равенство функций F нулю в бесконечно удаленных точках
пространства непосредственно следует из вида функции F, опреде-
определяемой формулой D.44).
11*

324 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
границу В из области D в дополнение к области D равен
значению функции / на границе В с обратным знаком. От-
Отсюда и получается наше следствие.
Теперь если f(w, z) — голоморфная функция комплексных
переменных w, z в некоторой окрестности В границы dD = B,
то действительная и мнимая части функции f=:(J-\-iV удо-
удовлетворяют уравнениям
дха "г ду2 ~ ' ах2 ' ду* ~U
(мы возвращаемся к прежним обозначениям переменных), ко-
которые, как мы видели, удовлетворяют условию единственно-
единственности в бесконечности. Мы можем поэтому применить послед-
последнее следствие и получить с помощью формулы D.44) функции,
гармонические в области Д совпадающие в окрестности В
с функциями U, V. В силу указанного следствия полученные
функции будут бигармоническими в области D. Благодаря
теореме единственности из теории гармонических функций
они останутся сопряженными в области D. С их помощью
определяется аналитическое продолжение функции / на всю
область D. Таким образом мы доказали следующую теорему.
Теорема 21.2. Пусть D — ограниченная область со
связной границей dD = B в пространстве переменных w, z.
Каждая функция f(w, z), голоморфная в некоторой
окрестности В границы В, может быть аналитически
продолжена на всю область.
Эта теорема была впервые высказана Осгудом в 1924 г.1).
Однако данное Осгудом доказательство оказалось неполным.
Первое полное доказательство этого предложения было впер-
впервые опубликовано Броуном [1]. Оно существенно отличается
от приведенного нами.
Теорема 21.2 (как и другие результаты настоящего пункта)
сохраняет свою силу для пространства любого числа комп-
комплексных переменных. Она допускает распространение на слу-
случай мероморфных функций. Однако характер доказательства
в этом случае существенно изменяется.
3. Обобщение интегральной формулы Коши. Теперь
мы рассмотрим применение формул Грина к получению но-
Л) См. Осгуд [1], стр. 206 и ел.

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 325
вого обобщения интегральной формулы Коши. Мы рассмотрим
для этой цели снова формулы D.42) и D.43) и выразим их
в комплексных координатах w, z. Тогда вместо формулы D.42)
мы получим
е Jf № - ^А/) ^Л ^ Л л л ^с=
ъ
дЪ
D.51)
Здесь /, ^ имеют то же значение, что в формуле D.42)
(только функции / и Н могут принимать и комплексные зна-
значения). Вместо формулы D.43) мы получим
f
дЪ
+/|«Л|ЙЛ*'+^|«ЛЙЛ*«)- D-52)
Здесь опять / имеет тот же смысл, что и в формуле D.43);
теперь там надо положить
функцию g- и производные от функции g' следует находить
из равенств-
g = -1 [| со - w |2 +1 С - zl2]; -^ = 2^ (п - в») D.53)
(здесь со, С — переменные интеграции в интегралах D.41) и
D.42)). В частном случае, когда функция f(w, z) голоморфна,

326 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
то -т—=--^г^0, и мы вместо D.42) получим
1 (^A^ ) D.54)
дЪ
Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 21.3 (Бохнера— Мартинелли1)). Пусть
D — ограниченная область с кусочно гладкой границей
в пространстве С2 комплексных переменных w, z,f(w, z)—
голоморфная функция в замкнутой области D. Тогда
dD
f(w, z) при (w, )?,
О при (w, z)^D '
Формула D.55) выражает значения f(w, z) внутри области D
через ее значения на границе этой области. Поэтому на нее над-
надлежит смотреть как на обобщение интегральной формулы Коши.
Замечание. Величины щ z, входящие в интегральное
выражение D.55), должны выпадать при вычислении инте-
интеграла, так как окончательно выражение f(w, z) от них не
зависит. Имея это в виду, мы заменим в интеграле D.55)
величины w, z на w*, z*, где (w*, z*) — некоторая точка,
лежащая в достаточно малой окрестности точки (w, z)
(точка (w, z) предполагается внутренней точкой области D).
Тогда интеграл D.55) определит нам некоторую функцию
F(w, z, w*, z*), относительно которой известно, что раз-
разность F(w, z, w*, z*)—f(w, z) исчезает на поверхности
w* = w, z*:=z. Последние уравнения определяют неаналитиче-
неаналитическую поверхность. Нулевая поверхность голоморфной функ-
функции, отличной от тождественного нуля, должна быть ана-
аналитической поверхностью. Отсюда легко заключить, что рас-
рассматриваемая разность исчезает тождественно, и поэтому
f(w, z) = F(w,z,w*z*).Omw-o здесь точка (w*, z*) должна
находиться в достаточно малой окрестности точки (w, z),
ибо иначе видоизмененный интеграл D.55) может перестать
существовать.
Таким образом, если, например, точке @, 0) ^ D, то для
некоторой окрестности этой точки мы, полагая и»* = ^* = 0,
') См. Бохнер [1], Мартинелли [1].

§ 21] ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 327
получим
z) = -i \ /(«о, С) Щ_Щ±Ш^М^ . D.56)
4" ^ [(ш j +(г С) С]8
Интегральное представление Бохнера—Мартинелли D.55) имеет
силу и в пространстве любого числа комплексных переменных.
Пусть D — ограниченная область с кусочно гладкой
границей в пространстве С" комплексных переменных гъ ...
... , zn, f(z)^f(zb ... , zn) — голоморфная функция в зам-
замкнутой области D. Тогда
Шг)
При я=1 формула Бохнера — Мартинелли D.57) сводится
к классической интегральной формуле Коши. Так же, как и
в случае п = 2, формуле D.57) при л^>2 может быть при-
придан вид D.56). Некоторые свойства интегрального представ-
представления D.57) изучены в работах Лу Ци-кэна — Чжун Тун-дэ
[1] и В. А. Какичева [2].
Теперь предположим, что D = D^ X • • • X Dq, где D4 —
ограниченная область с кусочно гладкой границей в прост-
пространстве переменных z^_{+\, ... , zk . Здесь v = l, ... , q,
^о = О, kq = n. Тогда в результате последовательного при-
применения формулы D.67) мы получим1)
11
,-*_!-1I
(г) = V— X
Bл: i)»
X
Dq v=l
') См. Мартинелли [1].
D.58)

;i'-8 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. IV
для всех точек z ^ D. Здесь интегрирование производится
по произведению dDi X • • • X dDq границ областей Д,..., Dq.
При q=\ формула D.58) сводится к формуле D.57), при q=n
она сводится к интегральной формуле Коши A.25) для обыкно-
обыкновенной полицилиндрической области. Интеграл D.58) обра-
обращается в нуль во всех точках z (^ С \ Д кроме точек, ле-
лежащих на поверхностях {^v_,+i = 4V_, +h ... , zk=Zk^\,
Dv_1+b.... 4V) ? dD» v = * • • • • • Я- в точках этих поверхно-
поверхностей интеграл D.58) перестает существовать.
§ 22. Интегральная формула Бергмана—Вейля
Интегральные представления, полученные С. Бергманом
и А. Вейлем, являются обобщением интегральной формулы
Коши A.25) для полицилиндрических областей на случай так
называемых аналитических полиэдров'). Эти представления
несколько отличаются одно от другого; формула Бергмана
имеет более общий характер, чем формула Вейля. Однако
последняя оказалась более удобной в приложениях; поэтому
мы изложим далее вывод интегрального представления
Вейля2).
1. Аналитический полиэдр. Пусть D — область в про-
пространстве С" комплексных переменных zu... , zn, a Zx (z), ...
... , Zjv(z) — функции, голоморфные в этой области. Мы рас-
рассмотрим в плоскости каждого комплексного перемен-
переменного Zj(j—\, ... , N) ограниченную область Dj с грани-
границей Cj, состоящей из конечного множества дуг класса if1, и
образуем открытые множества Ду = {z ? D, Zj(z)^ Dj).
Часть границы дДу множества Ду, лежащая в области D,
представляет собой некоторое множество гиперповерхностей
j{€j€j}
Пересечение открытых множеств Ду, /^= 1, ... , N, со-
состоит из некоторого множества областей. Пусть Д — одна
из них, лежащая вместе со своей границей в области D;
тогда ее граница дД^а целиком состоит из гиперповерх-
гиперповерхностей, принадлежащих к множествам о;- = af\Yf, j = 1,..., N\
N
а = \^ <3j. Если пересечения o;if^oy2 для всех j\, j\ = 1,..., N,
У1
») См. Бергман [1], [2], Вейль [1], [2].
2) Этот вывод принадлежит Ф. Зоммеру [1].

§ 22] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА БЕРГМАНА—ВЕЙЛЯ 329
сами не являются гиперповерхностями, область Д называется
аналитическим полиэдром.
В дальнейшем мы предполагаем, что псе области Dj су-
существенны для определения полиэдра Д, т. е. для его определе-
N N
ния нельзя взять пересечение (~\ Ду вместо пересечения f\ Д;-.
В п. 4 § 12 мы ввели для случая пространства двух
комплексных переменных понятие аналитической гиперпо-
гиперповерхности, расслаивающейся на комплексно одномерные
аналитические поверхности. Легко видеть (при п = 2), что
гиперповерхности Г;- обладают указанным свойством и, таким
образом, являются аналитическими гиперповерхностями.
Пусть Д — некоторый положительно ориентированный
аналитический полиэдр. Мы предположим, что граница этого
полиэдра дД = а и все ее непустые части «грани» оу снаб-
снабжены когерентной ориентацией. Граница daj множества
ориентированных гиперповерхностей ау. в свою очередь
состоит из Bп'—2)-мерных «ребер» a)i^dajf\dai;i=-\, ...
N
... , N; doj = {J Oji. Здесь каждое непустое множество z}i
является объединением топологииески Bп — 2)-мерных
поверхностей. Мы предположим, что граница daj и все ее
непустые части ау,- ориентированы когерентно ориентации
<Sj. Тогда Оу; = — Gij.
Затем мы рассмотрим границу doj; и ее непустые части
Bп — 3)-мерные ребра (doj;)f)das = ojis, ориентированные
когерентно ориентации ajh и т. д. Мы назовем Bп — k — 1)-
мерными ребрами полиэдра Д множества ал yftyft,1 =
= (daA--Jft)n(da;'ft+i)- Подобное множество или пусто, или
представляет собой совокупность топологически Bп — k — 1)-
мерных поверхностей, ориентированных когерентно ориента-
ориентации оуь„у Очевидно, что
d°h...Jk= U "Л...АА+1 D-59)
ay1...yft=dbayvi...yvft, D.60)
где знак плюс соответствует четной, а знак минус — нечетной
перестановке (vj ... vft).

•430 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Частным случаем аналитического полиэдра является обык-
обыкновенная полицилиндрическая область Д = ?IХ ••• Х^яС
CI С"> где Dj — ограниченная область на плоскости комплекс-
комплексного переменного Zj с границей Cj, состоящей из конечного
множества действительно аналитических дуг. Здесь Zy = .zy,
/=1, ... , п; N=n. Мы предположим, что каждая область Dj
положительно ориентирована в своей плоскости, а граница С/
обладает когерентной ориентацией. Мы положим (как и в § 2
гл. I) S = Q X • • • X Сп и предположим, что остов S обла-
области Д обладает естественной для произведения ориентацией.
Мы покажем, что тогда
S=(-l)^i)a12...n. D.61)
Это соотношение можно получить из общих топологических
соображений. Мы дадим ему элементарное доказательство.
В результате последовательного применения формулы Стокса
D.4) получаем:
/\dzi/\dz%/\.../\dzn/\dzn =
= — 2 ^ZiZ*dz1/\dzi/\.../\dz'n/\dzn=...
J • • • Л ^«- D-62)
"I2.../1
Первое из этих равенств получается благодаря тому,
л
что ад(+).=2 оу, d (ztdzi Д • • • Л dzn/\dzn) = dzx/\dzx Д...
... /\dzn/\dzn. Второе равенство имеет место, так как
на Cj, а следовательно и на а;-, будет dzj /\dzj =
= z'j (t) z'j(t) dt/\dt = 0; здесь Zj = Zj (t) — уравнение линии Cj-

§ 22] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА БЕРГМАНА—ВЕЙЛЯ 331
Благодаря этому во втором интеграле псе слагаемые,
кроме первого, исчезают. Третье равенство имеет место, так
как на Gij будет d(ztz^dzx /\dz2/\... Д dzn Д dzn) =
= 'zidz1/\dz1 Д dzt Д.. .\jzn/\dzn=~z1dzl/\dz2/\dzi/\...
.../\dzn/\dzn.
Дальнейший ход вычислений очевиден.
С другой стороны, мы имеем
dz1/\dz1/\...f\d~znf\dznz=
= J dzi/\dzl J dzz/\dz2... J Tzn/\dzn =
= \Zi... ZndZi Л • • • Л dZn- D-63)
Сравнивая между собой равенства D.62) и D.63), мы полу-
получаем соотношение D.61).
Имеет место следующая, важная для теории аналитических
полиэдров
Теорема 22.1. Пусть D2 — некоторая область
голоморфности в пространстве Спг переменных zb ... , zn,
Dc — тождественная с ней область в пространстве С"
переменных Ci, ... , С„. Тогда каждой функции Z(z), голо-
голоморфной в области Dz, соответствуют в области
?>с X Аг С С? X С" такие голоморфные функции
Л (С, г), ... , Р„(С, г),
Z (С) - Z (г) = ^ (С, - г,) Р, (С, г). D.64)
5=1
Доказательство этой теоремы будет дано во второй
части настоящей книги. Заметим, что эта теорема оче-
очевидна, если функция Z(z) — полином (тогда вместо обла-
области ?>с X Е>г можно взять любую конечную область про-

ЗЗЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |гЛ. IV
странства С" X С?- В этом случае для получения функ-
функций Ps(t., z) достаточно разложить разность Z(C) — Z(z) no
формуле Тейлора. Мы объединим члены этого разложения
всех степеней, содержащие разность Ct — zb вынесем ее за
скобки и обозначим коэффициент при ней через Pt (С, z).
Затем мы выделим из остатка разложения члены, содержа-
содержащие разность Cg — za, вынесем эту разность за скобку и
обозначим коэффициент при ней через Р2(?, z). Продолжая
действовать таким образом, мы получим соотношение D.64).
В общем случае теорема 22.1 не представляется очевидной
и была доказана Гефером [1] в 1942 г.
Заметим, что функции Ps(^., z), вообще говоря, не опре-
определяются однозначно заданием функции Z(z); для каждой
функции Z(z) существует некоторое множество представле-
представлений D.64). В разобранном случае полинома это обстоятель-
обстоятельство является очевидным.
Определение (остов аналитического полиэдра).
Совокупность топологически n-мерных ребер аналитического
полиэдра А
(
S=(-i) 2 U °л...;„ D-65)
jl<-<jn
называется его остовом. Ориентация остова указывается
формулой D,65).
Выбор этой ориентации объясняется видом интегральной
формулы Вейля (см. ниже теорему 22.2).
Во второй части настоящей книги будет показано, что
остов S аналитического полиэдра Д содержит его границу
в смысле Г. Е. Шилова. Это означает, что модуль всякой
функции, голоморфной в области Д и непрерывной в замк-
замкнутой области Д, достигает своего наибольшего значения на
этом остове S. Выше (в п. 2 § 2 гл. I) было указано, что
подобным свойством обладает остов обыкновенной полици-
полицилиндрической области.
2. Интегральная формула Вейля. Теорема 22.2. (Вейль
[1], [2]). Пусть: 1) Д — аналитический полиэдр, определенный
с помощью голоморфных функций Zj(z), j = l, ... , N
(где N^n), заданных в области голоморфности D прост-
пространства СГ переменных Z\, ... , zn и областей Dj,
ограниченных в плоскостях Zj линиями Cj, принадле-
принадлежащими к классу &; 2) <з/ь.. jn, где]ъ ...,/„= 1, ...,N—

22]
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА БЕРГМАНА—ВЕЙЛЯ
333
ориентированные топологически п-мерные ребра этого
полиэдра; 3) f(z)— функция, голоморфная в замкнутой
области Д- Тогда
n(n-l)
f(z) при
О при
U
Здесь, как обычно,(К. z=d(.i/\.. ./\(К.п, Tj={z^D;Zj(z)^:Cj },
(у = 1, ... , N, 1 = 1, ... , п), а функции Рп{^, z) опреде-
определяются из соотношений
(С) - Zj (г) = ^ (С* —
*), У = 1..-., М С4.68)
в силу теоремы 22.1.
Замечание 1. Для рассмотренной в предыдущем пункте
полицилиндрической области 7^:= 0 при/'уМ, Pjj=\. Ин-
Интегральная формула D.66) сводится к интегральной формуле
Коши A.25).
Замечание 2. В дальнейшем мы часто пользуемся
интегральной формулой Вейля D.66) Для пространства двух
комплексных переменных zx = ri>, z2 = z- В этом случае она
имеет вид
с,1А гл {PiQ}-PjQi)d<*/\<K
при
D.66')
Здесь р. = ри(ш, С, щ>, г), Qi = P<u(<», С,

334
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. IV
Замечание 3. Очевидно, что в теореме 22.2 область
Д можно заменить открытым множеством, состоящим из неко-
некоторого числа областей описанной природы.
Доказательство теоремы 22.2. Часть ^вспомо-
^вспомогательная). Предположим, что в области GCOJXC"
заданы функции а$, b[J), csh где i, v = 1, ...,«; / = (ft-f-1),...
..., n; s==l, ..., k. Здесь й<^п. Мы образуем с помощью
этих функций сначала (n — k)n линейных форм
D.69)
а затем форму
x(*+D...,
W
. D.70)
Символ, стоящий слева в равенстве D.70), указывает на
порядок следования функций C{s и форм х^Л. Выражение, сто-
стоящее справа, записано в виде определителя (индекс при D
указывает его порядок). Он раскрывается по обычным пра-
правилам, но с тем отличием, что дифференциалы должны пере-
перемножаться внешним образом; при развертывании подобного
определителя в сумму место каждого сомножителя в членах
этой суммы определяется номером столбца, к которому он
принадлежит. Поэтому определитель D.70) равен нулю, если
одна из его строк является линейной комбинацией осталь-
остальных. Для столбцов это правило не имеет места, например,
Л, Л,...Л,

§ 22] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА БЕРГМАНА ВЕЙЛЯ 335
Имеют также место равенства
D{n)(cu ..., ck, ..., zil\ ...) =
ck
v. ...). D-72)
D{n)(cx ck
= gDw(c1 ck x«\ ...). D.73)
Здесь g—некоторая функция, заданная в области D, u>1(
шъ> •••> ^k — линейные дифференциальные формы вида D.69).
Далее мы положим
Mn-k+i
где k<^n, i=\ n.
n
D-75)
D-76)
где s=\, ..., n, a Si sn = \ N и
Легко видеть, что
1 1 ... 1 —
^1 —zl -
(n-fe-l)Q
«*)
Ai
= 0, D.77)
гак как первая строка этого определителя является линейной
комбинацией его остальных строк. При установлении этого
факта мы пользуемся тем, что

336 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Раскрывая определитель D.77) по элементам первой строки,
мы получим
я(»,(*1 ck, 6(ft>, Ж Ж) =
, cb .... ck, Ж, ....
^-,cl,...,ck, Ь^Л Ж).
D.78)
Мы вынесем за знак последнего определителя множитель
Mn_k из его (?-|-2) столбца; затем мы прибавим к элемен-
элементам этого столбца элементы первого столбца, умноженные
на (п — k)Q. После этого станет очевидно, что два послед-
последних слагаемых в выражении D.78) отличаются друг от
друга только знаком и это выражение сводится к первой
сумме. Преобразуя каждое слагаемое этой суммы как по-
последний определитель, мы получим тождество
dw(Ci 'ск, е.<*>,л,.... Ж)=
или (учитывая замену D.76))
Р1
D.79')
Часть 2. Обратимся к непосредственному выводу фор-
формулы D.66). Мы будем исходить из интегральной формулы
Бохнера—Мартинелли D.57), предполагая, что интегрирование
N
п ней проводится по границе дД = ^оу. Используя формулу

§ 22]. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА БЕРГМАНА—ВЕЙЛЯ 337
D.71) и применяя обозначения, введенные в первой части
доказательства, мы получим
С помощью этого соотношения мы представим формулу
D.57) в виде
л (л — 1)
f(z) при г ^ А,
О при ^
Теорема 22.2 будет доказана, если мы покажем, что для
всех k, удовлетворяющих условию ls^^sgn, имеет место
равенство
"("-')
f(z) при z ? A,
О при.Г- *- D-82)
где Е=Сп при А=1 и fr=D\Qry при 1 <? sg п.
Интегрирование в формуле D.82) осуществляется по Bя — ^)-
мерным ребрам (при k — 1-граням) полиэдра Д.
При /fe = l равенство D.82) сводится к формуле Бох-
нера—Мартинелли. В этом случае подынтегральное выражение
не содержит величин qls, и поэтому Е = С"; при/Ь">1 инте-
трал D.82) определен лишь на D\ U ГЛ
i

338 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
При ? = п формула D.82) совпадает, благодаря тождеству
D.79'), с формулой Вейля D.66). Наше утверждение будет
доказано (по методу индукции), если мы покажем, что из фор-
формулы D.82) вытекает аналогичная формула, отвечающая за-
замене интегрирования по Bп — ?)-мерным ребрам полиэдра Д
интегрированием по его Bn — k — 1)-мерным ребрам.
Используя тождество D.79'), мы представим интеграл
D.82) в виде
п(п-\)
С4-83)
Для получения выражения D.83) мы еще воспользовались
тем, что
N
2—1 \
Каждая Bn — k—1)-мерная поверхность <зу ...у у t служит
границей (k-f-1) поверхностей ay ...ц ]...j ^ p = 1, ...,k-\- 1,
причем граничная поверхность (—1)*~|Ч'1оу ...у х = оуь..[у]. j у
оказывается ориентированной когерентно поверхности
°У ...[Л...У • Учитывая это обстоятельство, мы представим
интеграл D.83) в виде

§ 22]
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА БЕРГМАНА — ВЕЙЛЯ
339
К интегралам, составляющим последнюю сумму, мы приме-
применим формулу Стокса D.4). Это иозможно, так как на каж-
каждой поверхности aj ...{j)...jk j и на ее границе
N
N
/P=I
выражение, стоящее под знаком подобного интеграла, при-
принадлежит к классу W1 по переменным ?г и С,-. В результате
мы получим вместо D.82):
ft+l
А,
/(z) при г
О при г^
Мы перейдем в выражении D.87) к суммированию по упо-
упорядоченным индексам j\, ...,Л+1 и внесем суммирование по
р под знак интеграла. В результате равенство D.87) превра-
превратится в формулу D.82) для Bя — k—1)-мерных ребер ана-
аналитического полиэдра Д. Этим утверждение теоремы 22.2
доказано.
Замечание 4. Отметим, что формула D.82) дает, кроме
формул Бохнера — Мартинелли (при к=Л) и Вейля (при
Аг=п), еще ряд других промежуточных представлений (при
\<^k<^n). Они также находят себе применение в теории
функций.
Замечание 5. Можно заменить в формуле D.82) пере-
переменные z = (zu ...,zn) новыми переменными z' = (z[,... ,Zn),
не зависящими от z = (z1( ..., zj. В результате мы получим

340
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[гл. IV
вместо D.82) новые интегральные представления, имеющие
силу при условии, что точка z' находится в некоторой доста-
достаточно малой окрестности точки z *).
3. Разложение А. Вейля. Мы рассмотрим аналитический
полиэдр А частного вида: предположим, что все области Dt
являются кругами {| Zj | <^ I}, j=\, ..., N. Подобный поли-
полиэдр мы далее называем полиэдром (областью) Вейля. Для
точек z, лежащих в некоторой области До, где Ао (Z А и
точки С ? S (где S — остов полиэдра Д), очевидно, имеет
место равенство
1
(С) -
(С) -
-2
V=°
где j\, ...,jn=\, ..., N. Этот ряд равномерно сходится,
когда точки z ? Ао, точки С ? S. Подставляя этот ряд
в выражение D.67) для Djl,._j .затем в формулу Вейля
D.66) и почленно интегрируя, мы найдем, что для каждой
функции f(z), голоморфной в замкнутой области Д, имеет
место равенство
оо
/(*)= 2 2 Pjl...Jmsl...sn(Zh(z)yl...(Zjn(z)Yn-
Здесь
D.89)
D.90)
Очевидно, что эти функции голоморфны в области Д.
') См. Зоммер [1], Бохнер [1].

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 341
В частном случае, когда Zj(z) являются полиномами
(тогда область Д обычно называется полиномиальным поли-
полиэдром Вейля) или рациональными функциями, pjs, а ислед за
ними и Р] ...),s ....<,, тоже оказываются полиномами или
рациональными функциями. Тогда равенство D.89) дает нам
разложение произвольной голоморфной в области Вейля А
функции f(z) в ряд полиномов или рациональных функций,
равномерно сходящийся в области Д. Таким образом, мы
доказали следующие теоремы, принадлежащие А. Вейлю.
Теорема 22.3. Каждая функция f(z), голоморфная
в области Вейля Д, может быть представлена в этой
области рядом D.89). Этот ряд равномерно сходится
в области Д.
Теорема 22.4. Если функции Zj(z), определяющие
с помощью неравенств |Zy|<M, /=1, ..., N, область
Вейля Д, являются полиномами или рациональными
функциями, то ряд D.89), представляющий в области Д
произвольную голоморфную функцию f(z), соответственно
оказывается рядом полиномов или рациональных функций.
§ 23. Интегральные представления в областях
специального типа
1. Общие интегральные представления для п-круговых
областей1). Пусть D — полная ограниченная п-круговая
область в пространстве С" комплексных переменных zu ...
..., zn с центром в начале координат, D+ — ее образ в абсо-
абсолютном октанте RX пространства /?„. Мы предположим, что
граница dD области D является кусочно гладкой гиперпо-
гиперповерхностью и рассмотрим расслоение
U|c|
I <: I <= dD+
Его базой служит образ dD+ границы dD, слоем—тор
Дк!=фу = |Су|е;вЛ 0<6у<2*, /=1, ..., п, |Ч6сШ+}-
Мы зададим на границе дЬ+ нечетную непрерывную форму
п — 1 степени j* (| С |) и последовательность непрерывных
функций {tyftflC |)}. Здесь k — вектор с составляющими
k\, •••> ?„> которые принимают значения 0, 1,2,...
См. Айзенберг [4], [6].

342 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Легко видеть, что при надлежащей ориентации тора Д| с |
Bт«)' л
Здесь, как обычно, С*^= С*1 ... ?*«, V1 = ?f' ... ?*«> ->- =
» |0 при k ф k,
\\ при k = k.
Полагая форму j*(|C|) и функции <J»j(|C|) выбранными так,
что
=[ f
0D+
мы получим следующее тождество:
Рассмотрим функцию
определенную в области сходимости ряда D.91). Тогда имеет
место
Теорема 23.1. Пусть:
1) Ряд D.91) сходится для всех z^D, (,?dD.
2) Для каждой точки z(^D ряд D.91) сходится в
среднем относительно повторного интегрирования по
поверхностям Ац | и dD+, т. е. для любого е^>0 найдется
такое число то^>О, что при т^>та

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 343
(Здесь *Ш==1|^ Д...Д1Ы.. Символ | р | означает, что
после перехода под знаком интеграла к координатам на по-
поверхности dD+ функция, получающаяся из формы [а, берется
по модулю. Так как ц— нечетная форма, выбор системы
координат на поверхности dD+ не существен для формули-
формулировки нашего условия.)
3) Функция f(z) голоморфна в области D и непре-
непрерывна в замкнутой области D.
Тогда в области D имеет место интегральное пред-
представление
J^D J/W(^)f D.92)
J
dD+ ц|
Доказательство. I. Сначала предположим, что функ-
функция f(z) голоморфна в замкнутой области D. Тогда эту функ-
функцию можно представить в некоторой области Dr~^D (где
г^> 1) степенным рядом A.41) (см. §3 гл. I). Подставляя
этот ряд в правую часть доказываемого равенства D.92), мы
легко убедимся в его справедливости.
II. Теперь предположим, что функция f(z) голоморфна
в области D и непрерывна в замкнутой области D. Тогда
функцию f(z) можно представить как предел последователь-
последовательности {fm(z), m=\, 2, ...}, состоящей из функций, голо-
голоморфных в замкнутой области D и равномерно сходящихся
в этой замкнутой области. Например, можно взять fm(z) =
=f(z(l тгг))' В силу п. I доказательства для каждого т
$ JC)f. D.93)
Переходя к пределу по т в обеих частях равенства D.93),
мы получим формулу D.92).
Заметим, что в силу своего определения и первого пред-
предположения теоремы 23.1 ядро H(z, (.) интегрального пред-
представления D.92) является голоморфной функцией переменных
Z\, ..., zn в области D при С ?dD.

344 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. IV
Мы положим фй (| С |) = 9* (| С |) = ??»(I С |)... <# (| С |), где
?у () ~ комплексные непрерывные функции точки | С |, задан-
заданные на границе dD+.
Тогда равенство D.91) примет вид
а интегральное представление D.92) заменится таким
X J(
Д]
Теорема 23.2. Рассматривается последовательность
чисел bk, где k — вектор с составляющими ku ..., kn =
= 0, 1, 2, ...
Если на поверхности dD* существует такая непре-
непрерывная форма (i (|С|), что система уравнений («проблема
моментов»)
~z= f cp* (| С |) jj, (| С |) D.94)
разрешима в классе функций <Ру(|С|), удовлетворяющих
условиям:
11*11
1) Иш Л/ ^}\b-\bk\dk(D)^l для всех
II А |]-то Г 1С Г
I А |]-то
2) Ш5
где IA || = Ai -\-...kn, dk (D) = sup | z |*, /«о />яд
г e о
2 **»*=*(«) D-95)
сходится и определяет ядро интегрального представле-
представления D.92').

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 345
Если последнее имеет место, то условие 1) обяза-
обязательно выполняется.
Доказательство. В силу следствия из теоремы 3.10
условие 1) теоремы 23.2 эквивалентно условию 1) теоремы
23.1. Из выполнения условия 2) теоремы 23.2 вытекает вы-
выполнение условия 2) теоремы 23.1.
Если функция h (}) может быть использована в качестве
ядра в интегральном представлении D.92'), то все bk ^ь 0.
Поэтому система уравнений D.94) имеет смысл. Необходи-
Необходимость условия 1) для справедливости утверждения теоремы
очевидна.
Теперь мы предположим, что для всех |С|?д?)+ функции
?/ (I Ч) =5= 0 и форма (i (| С |) ;з= 0. Последнее означает, что после
перехода под знаком интеграла к координатам на поверх-
поверхности dD+, функция, получающаяся из формы ц, неотрица-
неотрицательна. Очевидно, что выбор системы координат благодаря
нечетности формы \х на условие |А(|?|)^2=0 не влияет. Кроме
того, мы потребуем, чтобы множество нулей формы j* (| С |)
состояло из изолированных точек. Тогда имеет место
Теорема 23.3. Если на поверхности dD* дана та-
такая неотрицательная непрерывная форма ц (| С |), что си-
система уравнений (проблема моментов) D.94) разрешима
в классе неотрицательных непрерывных функций <ру (| ? |)»
удовлетворяющих для всех векторов k условию
* (| С |)
= max +Ш-, D.96)
|С| |CI€№+ |C|
|сГ/ао
то ряд D.95) сходится и определяет ядро интеграль-
интегрального представления D.92').
Доказательство. Для любой неотрицательной непре-
непрерывной функции F(|C|), |C|?jdD+ имеет место равенство1)
lim У \ F"(|C|M|4) = maxF(|!;|). D-97)
Поэтому равенство D.96) эквивалентно, при выполнении пред-
предположений теоремы 23.3, условиям 1) и 2) теоремы 23.2.
') См., например, Харди, Литтльвуд и Полна, Неравенства,
Гостехиздат, 1948, стр. 173. Там это равенство выведено для одно-
одномерного случая; оно легко переносится на общий случай.

346
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Укажем на способ практического использования доказан-
доказанных теорем. В этом методе сначала берется некоторая п-
круговая область Da, удовлетворяющая условиям, указанным
в начале настоящего пункта. Для нее мы положим функции
tpyfl С|) = |С/18, у = 1, ..., п. Тогда в силу теоремы 23.3 для
этой области Da имеет место интегральное представление
Ь+ 41С,
Здесь ядро Ао определяется сходящимся рядом
2 D>98)
k
где j — точка (j^i,..., }„?„),
f|C|J4(l4). D.99)
Оно является голоморфной функцией точки z в области Do
и точки С в области Do. Мы будем функцию A0(j) называть,
по аналогии со случаем одного переменного, ядром Сеге
области Da. В разбираемом методе область Da обычно вы-
выбирается настолько простой, что оказывается возможным про-
просуммировать ряд D.98) или каким-либо другим способом найти
ядро A0(j) в замкнутом виде.
После этого разыскиваются л-круговые области D, для
которых, при надлежащем выборе функций tpy (| ? I) и фор-
формы ja (| С |), имеет силу интегральное представление D.92') с
ядром A(j) = A0(j).
Функции <р/(|С|) и форму j*(|C|) можно всегда выбрать
так, чтобы коэффициенты ck из D.99) равнялись соответст-
соответствующим коэффициентам bk из D.94). Таким образом, рас-
рассматриваемое представление будет иметь силу для области D,
если для нее, при указанном выборе функций tpy (| С |) и фор-
формы |i,0 (| С|), выполнится условие D.96).
На этом пути удается получить интегральные представле-
представления для обширных классов л-круговых областей.
2. Интегральная формула Темлякова. Рассмотрим для
простоты случай двух переменных zb zt. Предположим, что
граница области Da имеет вид dDa{ \ za |2^=: ^(l^i |2)}, гра-

§23]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА
347
ница dD {\zt | = Ф A^! |)}. Функции Ф и W мы предпола-
предполагаем дважды непрерывно дифференцируемыми. Мы зададим
на границе dDj неотрицательную форму Нч>(|^|). обра-
обращающуюся в нуль только и изолированных точках. Тогда
имеет место
Теорема 23.4 (Айзенберг [6]). Пусть
1) Область DJ строго логарифмически выпукла, т. е.
2) Для функции tpt (I Zi I), являющейся решением функ-
функционального уравнения
Ь) Ф (| zi |) - | zx | Ф' (| гх |) Чг (9i) = О
{оно разрешимо в силу условия 1)), выполняется неравенство
tf8 In Ф (| zt |) ^ d2\
Тогда в области D имеет место интегральное представ-
представление D.92') с ядром А (з) = Ао (j). В этом представлении
<р8 = W(tpi) форма (J. (| С |) получается из формы р,, (| Со) заже-
яой переменных \ (C0)i | = ?i (| ^i |), | (С0)81 = W (?i (| ^ ])).
Эта теорема является непосредственным следствием тео-
теоремы 23.3. Условие 1) характеризует области Do; условие
2) — области D, на которые возможно на указанном пути
распространить интегральное представление, первоначально
составленное для области Do.
Теперь возьмем за область Do гипершар {\zi |а-|-| z а
} ] С | | | d | C |
<^ 1 }, положим [1.0 (] С |) = 2
и D.99) мы получим:
| d
Тогда из формул D.98)
С,
(*»+*,+ 1I'
1I
-. D.100)

348 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
Таким образом, для гипершара Do имеет место интегральное
представление
За D мы возьмем выпуклую область {| za | <^ Ф (| zt |),
Osg | ^ |s^r}, где функция Ф предполагается дважды непре-
непрерывно дифференцируемой. Мы положим
, 1\т \\— 1С»|Ф'(|С1)
«Pi U «м U | Cl | ф. (| с, |)
Можно показать, что тогда для областей Da a D оказываются
выполненными все условия теоремы 23.4. Поэтому для об-
области D имеет место следующее интегральное представление:
Ж
где функции tpt и tp8 определяются по формулам D.102),
[ С [ = Ф ([ Cm I).
Мы получили интегральную формулу А. А. Темляков а.
Чтобы привести ее к виду, первоначально рассмотренному
А. А. Темляковым, положим х = tpi (| Ci |), ^^ггт» ^ г=
= argCi — arg C2. Тогда мы получим вместо D.103) *)
m = ± Jctfjfrfx J ^(у^^, D.104)
') См. Темляков [2], [3], [4]. В этих статьях формулы D.104)
и D.107) были получены на ином пути и значительно раньше, чем
теоремы 23.1 —23.4.

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА
где положено | Ci | = rt (т),
D.1050
Условие 2) теоремы 23.4 будет удовлетворено, если rt @)= 0,
<
при 0<т<1. D.105,)
Заметим, что геометрический смысл условий D.105) состоит
в следующем: в абсолютной четверть-плоскости R% действи-
действительных переменных vt, v% кривая, определяемая уравнениями
vk = rk(x), k=:l,2 @=sCxsg;i), является огибающей се-
семейства прямых
^ + A-^=1, 0<х<1 D.106)
и расположена под огибаемой.
Рассмотрим оператор Z.A> 2)[f(z)]=f-\~z1fgl \^/^
z=F{z). Если ak — тейлоровы коэффициенты функции /(г),
bk — функции F(z), то (k!-\-/?%-{-l)ak = bk. Замечая, что
/A,2)/ _J \
и применяя оператор, обратный к Z.A> 2), к обеим частям фор-
формулы D.104) (действие подобного оператора на голоморфную
функцию сводится к делению ее тейлоровых коэффициентов
bk на (Ai-f-A,-}-l)), мы получим
( \ ПГ^У_1^^^, D.107)
6 о [ п'\ = 1
где /= Z.C 2> [Ф].
Интегралы D.107) и D.104) далее называются интегра-
интегралами Темлякова соответственно первого и второго рода.
Распространим эти интегралы на случай п переменных.
Рассмотрим класс (Г) л-круговых ограниченных областей
и пространстве С переменных zb ...

350 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
координат. Будем говорить, что л-круговая область
если она ограничена гиперповерхностью
"*, D.108)
где |tj| = 1, Os=?-cft«=sl, 0<^<2ic, k = l,..., л—1 и
функции rt (x),..., rn (x) удовлетворяют условиям:
а) они неотрицательны и непрерывны по совокупности
переменных;
б) в абсолютном октанте Rt пространства ^„действитель-
^„действительных переменных vx,...,vn топологически (л— 1)-мерная по-
поверхность
vs = rs(*i,--44-i), s=\,..., л, D.109)
является огибающей семейства гиперплоскостей
h DЛ10)
я
Здесь 0^xfc^l, k = l,...,n—1,
<?s (xl. • • •. xn-l) = О — ^s-l) t^s+1 • • • tn»
где s = l,...,/i, xqii^O;
в) в абсолютном октанте /?« гиперплоскости D.110)
проходят вне области, примыкающей к началу координат
и ограниченной координатными гиперплоскостями и гипер-
гиперповерхностью D.109).
Заметим, что л-круговая область D^(T) всегда является
полной. Имеет место *)
Теорема 23.5. 1) Если функции f(z) голоморфна
в области D?(T) и непрерывна в замкнутой области D,
то для точек z^D имеет место интегральное пред-
представление Темлякова второго рода
2ч 2ч 1 1
..., rn (x) 7,e-«n-i) Z. (-i-j) d4. D.1
*) См. Темляков [2] — [4], Айзенберг [2]. В последней статье
рассмотрен общий случай п переменных.

§23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 351
Здесь
а оператор /.(Ф) определяется равенством
I (ф) = /.(¦• 2> /.(¦•2' 3>... /.<'•2 ») (Ф), D.112)
где /.A'2'--*)(Ф) = Ф4-г1Ф;1 + ... + ^Ф^, &<л.
2) Если функция f(z) голоморфна в области D?(T),
а функция F(z) = L(f), где L — оператор D.112), голо-
голоморфна в области D и непрерывна в замкнутой области
D, то для точек z?D имеет место интегральное пред-
представление Темлякова первого рода
2it 2it 2it
5
Отметим, что теорему 23.5, так же как и другие рас-
распространения интегралов Темлякова на случай любого чис-
числа п комплексных переменных'), можно получить, исходя из
результатов предыдущего пункта настоящего параграфа.
Мы скажем, что голоморфная в области D?(T) функ-
функция Ф(г) принадлежит к классу ^(D), если
Hm
m \ dtx... \ dtn_x \ dx1... \
I Ф (ri (x)pi], ra (-c) pi]e-"i rn(x) pTje" V») 11 d-ц |<oo.
= i D.114)
Л. А. Айзенберг [2] показал, что формула D.111) имеет силу,
если f(z)^h!(D), формула D.113) —если F(z)?hi(D).
Интегралы D.113) и D.111), в которых функция F или/
заменена произвольной суммируемой функцией F, заданной на
») См. Айзенберг [2], Ли Чэ Гон [1].

.452 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
границе dD области D?(T), далее называются интегра-
интегралами типа Темлякова соответственно первого и второго рода.
Мы ограничимся рассмотрением интегралов типа Темлякова для
пространства С3 переменных zb za и будем их строить по
образцу интегралов D.104) и D.107). Имеет место
Теорема 23.6 {Айзенберг [1 ]). Пусть на границе dD об-
области D?(T), ограниченной гиперповерхностью D.108), где
п = 2, задана суммируемая (в смысле Лебега) функция
F(x,t, 7j); а = Нт-1тт, i= Нш 4г|. Тогда справедливы
следующие утверждения:
I. Если афО, b Ф — оо, то интеграл типа Темлякова
первого рода
2ч
\
|7,Г=1
и интеграл типа Темлякова второго рода
\ —i^-drt D.115)
Г1
<р(?ь Z«> = 4S4 J*!*^3^^" <4Л16>
голоморфны в областях D,E1 = {a\z1\-\-\zi\-\-ri @) <^ 0},
Е% = {Ь | zt | -f-1 z91 -f- br^ A) ^> 0} и яе являются голоморф-
голоморфными функциями в области C*\(D\J Et\J
II. Если афО, Ь== — со, то интегралы D.115) и
D.116) голоморфны в областях D и Et и не являются
голоморфными функциями в области С2 \ (D [J Е^.
III. Если а^=0, b ф—оо, то интегралы D.115) и D.116)
голоморфны в областях D и Е% и не являются голоморф-
голоморфными функциями в области C2\(D\J ?9).
IV. Если а = 0, # = — со, то интегралы D.115) и D.116)
голоморфны в области D и не являются голоморфными
функциями в области Ca\D.
Эта, теорема, в частности, характеризует поведение функ-
функции, определяемой интегралом Темлякова, вне области D ^
EG). Полученный результат указывает на существенное
отличие интеграла Темлякова от интеграла Коши и его обоб-

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 353
щений на случай голоморфных функций многих переменных
(интегралы Бохнера — Мартинелли, Бергмана — Вейля).
Заметим, что в интегральном представлении D.107) легко
перейти от ядра Коши (irj— и)*1 к ядру Пуассона1) вида
J р!
т—:—:—к—-—7Н ^.положив u = pe"f. Таким путем можно
1+Р—2р cos @ — <р)' r J
получить следующий результат.
Теорема 23.7. Если действительная функция f{z\, ^a)
бигармонична в области D^-(T), а функция F(zly ^2) =
= f-\-Xlf'xi +yifn + xif'xi +y<ifk> где zk = x
k=\, 2, непрерывна в замкнутой области D, то
D.117)
Здесь
Аналогичным путем получается интегральное представление
для бигармонической функции, отвечающее интегральной
формуле Темляков а второго ряда.
Соответствующие предложения имеют место и для плюри-
гармонических функций в л-круговых областях класса G) в
пространстве С". Эти интегральные представления оказалось
возможным применить для получения условий разрешимости
задачи Дирихле в классе плюригармонических функций и
для решения ряда других вопросов 9).
3. Интегральные представления для некоторых клас-
классов л-круговых областей. Прежде всего мы рассмотрим
для случая двух переменных еще несколько интегральных
представлений, получающихся применением метода, развитого
в конце п. 1 и начале п. 2 настоящего параграфа:
а) Возьмем D{op) = {\z1 \р +| ¦г'аГ2^ 1}> гДе Р — целое
положительное число. Положим [ао(| С |) = 2 |Ci | dX.t. Тогда
») См. Айзенберг [2].
2) См. Айзенберг [3].
!/411 Б. А. Фукс

354 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
из формул D.98) и D.99) мы найдем
1 2
Ck~) li-
life /,\ V" . ,* 0 ~ jiI
[гл. iv
Таким образом, для области
представление
мы получаем интегральное
Если область D(p) {] 1 ^ }
функция Ф дважды непрерывно дифференцируема и р ] \ \
-\-{р — 1)Ф'<^0, то по теореме 23.4 в области D имеет
место интегральное представление:
\ ~—p ~ F'
J [A—Z2C2) —*iCi]2 ^
1} удовлетворяет условиям:
ф"_|_
1
L
I
T1
где
При р = 1 это интегральное представление сводится к ин-
интегральному представлению Темляков а D.103). Заметим, что
при pi^>Pi класс областей {D^1'} содержит класс областей
{D }, но интегральное представление с возрастанием р все
более усложняется. Таким образом, оказывается, что для об-
областей класса G) на рассматриваемом пути нельзя получить
более простое интегральное представление, чем представление
Темляков а D.103).
()
б) Возьмем область Do {| zt \ -\-| ^
иногда называют гиперконусом). Полагая
мы найдем, что в этом случае
1 } (эту область

§23]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА
355
и получим следующее интегральное представление для об-
области DQ:
11
с •
Здесь Ji = ^Ci, aa = ^g-
Рассмотрим теперь область D {| za |<^Ф(| zt |)}, где
Ф — любая дважды непрерывно дифференцируемая функция,
при 0 =ss | Z\ | «s; r удовлетворяющая условию
Это условие заведомо выполняется, когда область D выпукла.
Мы выберем
\л— [ I Сх I Ф- < | Сх I >1»
Можно показать, что тогда будут выполнены все условия
теоремы 23.4, и мы получим для области D интегральное пред-
представление D.92') с ядром h (}) = h0 (}). Оно имеет вид
Х
MCI
где
51
I) . _ . г
52Z4
в) Теоремы 23.1—23.4 можно распространить на неко-
некоторые классы неограниченных я-круговых областей. На этом
пути можно, например, получить для двоякокруговой области

356 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
^о {I zi I2 <C ^ 11" I zi 11} такое интегральное представление
1
Действуя так же, как и в предыдущих примерах, это пред-
представление можно распространить на некоторый класс л-кру-
говых областей.
Теперь мы укажем на одно обобщение теорем 23.1 —
23.4. Множество Ь d dD+ мы назовем граничным для
одночленов в области D, если каждому вектору k соответ-
соответствует такая точка | С | ? &, что | С |* = dk (D). Предположим,
что существует такой конечный или счетный набор кусочно
гладких поверхностей Ьр d dD+, /7=1,2,..., где 1 ^ Dim Ьр ^
ss^n — 1, что множество {J Ьр является граничным для одно-
р
членов для области D. Разобьем совокупность векторов k
на множества Np (/7=1, 2,...) так, что если k(^Np, то
sup | С |* = dk(D). На каждом торе Д|с|, где |C|^ftp, мы
зададим такую непрерывную функцию чр F), где 6 = F!,...
...,6n), ftj=yj/-, j= I,..., п, что при надлежащей ориентации
этого тора для всех k ? Ыр и любых k
На каждой поверхности Ьр мы зададим непрерывную не-
нечетную форму (Ap(l^J) степени Dim(dp) и последовательность
непрерывных функций i {ij>ft(| С |)}. Полагая форму
и функцию фй (|С|) выбранными так, что
Ч
мы рассмотрим функцию
2Л'^ DЛ18)
определенную в области сходимости ряда D.118). Тогда
имеет место

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 357
Теорема 23.8 {Айзенберг [4]). Если
1) ряд D.118) сходится для всех z(^D, С (^ Ьр;
2) для каждой точки z?D ряд D.118) сходится в
среднем относительно повторного интегрирования по
поверхностям Дщ и Ь (смысл этого условия аналогичен
условию 2) теоремы 23.1);
3) функция f(z) голоморфна в области D и непрерыв-
непрерывна в замкнутой области D;
то в области D имеет место интегральное представление
Ряд D.119) сходится абсолютно и равномерно в области D.
Аналогичным образом могут быть обобщены и теоремы
23.2 — 23.4.
Полученные результаты могут быть распространены и на
тот случай, когда поверхности Ьр, частично или даже все,
сводятся к отдельным точкам. В последнем случае при над-
надлежащем выборе функции Чр(В) интегральное представление
D.119) приводит к интегральному представлению Леу [1];
если л-круговая область D является аналитическим полиэдром,
мы таким способом получаем для л-круговых областей
Вейля интегральное представление Вейля.
Отметим, что результаты пп. 1 и 3 настоящего параграфа
сохраняются, если вместо формы [*(|?|) взять произвольную
конечную меру1). Теоремы 23.1—23.3 можно распростра-
распространить на другие виды кругообразных областей, в частности
на (/>i,..., /»„)-круговые области.
4. Интегральные представления с ядром Gere в труб-
трубчатых областях. Условимся говорить, что трубчатая область
S в пространстве С" переменных zk = xk -\-iyi,, k = 1,..., n,
принадлежит к классу (В), если ее основание: В^ S(Im> вы-
выпукло; В%) не содержит целых прямых; В3) ограничено ку-
кусочно гладкой гиперповерхностью dS(Im>.
Пусть трубчатая область S?(B). Проведем через точку
О — начало координат в пространстве Rn переменных уи...
• ••> Уп — гиперплоскости {Г}, параллельные предельным
положениям касательных гиперплоскостей к гиперповерхности
') См. Айзенберг [4], [6].
12 Б. А. Фукс

358 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
dS<Im) (эти направления определяются при удалении точек
прикосновения касательных гиперплоскостей к гиперповерх-
гиперповерхности dS(Im> всеми возможными способами в бесконечность).
Рассмотрим выпуклый конус с вершиной в начале координат,
огибаемый этими гиперплоскостями. Полость V этого конуса,
лежащая по ту же сторону от гиперплоскостей {Г}, что и
область S<Im> (эта сторона может быть указана благодаря
условию B<i), называется асимптотическим конусом области S.
За асимптотический конус области S с ограниченным осно-
основанием S'Im) мы принимаем множество {0}—начало коор-
координат.
Если V—асимптотический конус области S, то говорят,
что эта область S имеет тип V. Здесь, как обычно, выпук-
выпуклым конусом Wo в пространстве Rn переменных _yi> • • - > Уп
с вершиной в начале координат называется область, обла-
обладающая следующим свойством: если точки (уи,,,, уп), (у-,,..
• • •. Уп) Е Wo. то и все точки (Ху± -f- ру' ., Хуп -\- ру'п) ? Wo,
где числа X, [i^=0, но точка @,..., 0) (? Wo. Выпуклый ко-
конус W с вершиной в произвольной точке пространства ./?„
мы получим путем параллельного сдвига конуса Wo. В даль-
дальнейшем мы рассматриваем только выпуклые конусы и это
обстоятельство специально, как правило, не оговариваем. Конус
называется невырожденным, если он содержит какой-нибудь
топологически л-мерный шар.
Пусть W—конус с вершиной в начале координат. Точки
(у*,..., уХ) ? Rny удовлетворяющие условию
для всех точек Oi.-.o .
образуют сопряженный конус W*. Если конус W не содер-
содержит целых прямых, сопряженный конус W* оказывается не-
невырожденным. Если W={0), мы полагаем W*=Rn. Труб-
Трубчатая область S называется W-образной, если область S(Im)
вместе с каждой точкой у0 содержит замкнутый конус Wy ,
полученный из замкнутого конуса W с вершиной вначале
параллельным сдвигом, переводящим начало координат в эту
точку у<у Заметим, что октантообразные области S являются
частным видом lF-образных областей. В этом случае кону-
конусом W служит октант {_У1^>0,..., уп^>0}. Простейший
класс трубчатых W-образных областей составляют радиаль-

§23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ II ОБЛАСТЯХ СНКЦИАЛЬНОГО ТИПА 359
ные области; основанием радиальной области служит сам
конус W (у нас всегда с нершипой в начале координат).
Примером трубчатой радиальной области может служить
произведение полуплоскостей Sj {Irn zx ^>0,..., \mzn~^>
^> 0} CZ С. Основанием подобной области янляется октант
Vi{.yi^>0.---. Уп^>®) (ZRn • При и = 2 основанием ра-
радиальной области служит угол в плоскости лг1 = лг2 = 0.с
вершиной в начале координат.
Если Wlt W%(^Rn — конусы с вершиной в начале коор-
координат и Wtd^a. то всякая ^-образная трубчатая область
является И^-образной.
Трубчатая область S ? (В) типа V всегда К-образна; при
этом V — максимальный конус, относительно которого
область S обладает указанным свойством. Заметим, что бла-
благодаря условию Въ сопряженный конус V* для конуса V
оказывается невырожденным.
Теперь мы перейдем к получению интегральных формул
для трубчатых областей. При вычислении ядра Сегедля и-кру-
говых областей существенную роль играло разложение функ-
функций, голоморфных в подобной области, в степенной ряд. Это
связано с тем, что функции 2* = z*» ... zknn при отображе-
отображениях B.58) (центр и-круговой области мы помещаем в начало
координат), составляющих группу автоморфизмов области,
умножались на числа, по модулю равные единице. Для труб-
трубчатых областей аналогичную роль играют функции g» IIх* II,
где, как обычно, || Xz \\ = Х^ -}-.., -|- Xnzn, точки (Х1}..., Xn) d
d Rn- Эти функции уже не образуют дискретной совокуп-
совокупности; поэтому приходится вместо разложений в ряды исполь-
использовать интегральные разложения (интегралы Фурье). В отли-
отличие от- л-круговых областей различные классы трубчатых
областей обслуживаются функциями е'1ХгП с различными на-
наборами величин Xft.
Рассмотрим функции e'HXzH, где z ? S, ^^Rn. Тогда
[ е1 IIXz II | = ег И *у II. Можно показать, что в области S будут
ограничены те и только те из этих функций, для которых
X ?= V*. Пусть М(к)= sup | <?'* IIх* II |, где X ?= V*. Очевидно,
г g S
что каждая функция е'IIх* II может достигать соответствую-
соответствующего значения М(к) только в точках границы области S.
Обозначим через Qs — замыкание множества точек границы
области S, в которых функции е*ИХг11 достигают максимального
12*

;'W) ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
значения; будем называть 2$ остовом границы области S.
Очевидно, что остов Q$ — трубчатое множество (трубча-
(трубчатое множество и основание трубчатого множества опреде-
определяются аналогично случаю трубчатой области). Предположим,
что основание остова 2sm) области S является поверхностью
класса is1 топологической размерности k<^n. Остовом ра-
радиальной трубчатой области является плоскость {_у1 = 0,...,
ут = 0}. Будем говорить, что непрерывная нечетная форма <]>
степени k<^n, заданная на поверхности S2sm), принадлежит
к классу (Г), если она обращается в нуль только в изоли-
изолированных точках и
(X)=Bic)n С е-2«^11|ф|<со при X ^ V*. D.120)
йAш)
Символ |(]>| означает, что после перехода под знаком инте-
интеграла к координатам на поверхность 2$т) функция, получаю-
получающаяся из формы (]>, берется по модулю. Так как <|>— нечетная
форма, выбор системы координат на поверхности Q^™' не
существен для формулировки нашего условия. Для радиаль-
радиальной области S мы полагаем с(Х) = Bтс)п, <|>=1.
Условимся говорить, что функция / принадлежит к классу
F(ty) (где (]> ? (Г)) в области S ? (В), если она голоморфна
в области S, непрерывна в замкнутой области S и
°- D-121)
Ядром Сеге области S ? (В), связанным с "формой
ф ^ (Г), называется функция K(w, z), если: 1) она при w ^ S,
z ? S голоморфна по переменным wlt ..., -оуп, "г^ ..., ~zn;
2) для каждой функции /^Я'(ф) и любой точки w^S
\ ... /\dxn. D.122)
Если функция Л!"('Ж, z) при ¦да ^ S, г ^ S голоморфна по
переменным wlt ..., и»я> непрерывна по переменным zb .;., zn
и обладает свойством 2), она называется обобщенным

§ 23J ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 361
ядром Сеге для области S, связанным с формой <]>. Имеет
место *)
Теорема 23.9. Пусть трубчатая область S ? (В),
форма ф ? (Г). Тогда существует одно и только одно
ядро Сеге области S, связанное с формой <]>. Оно опре-
определяется равенством
, z) = ^ _^ е««Х(»-»ц| rfXt ...dXn. D.123)
V*
Последний интеграл равномерно сходится при z ^s,w ? S'.
Здесь S' — произвольная трубчатая область, лежащая в
S и удовлетворяющая условию г (?, <я) ^> е, где С ? ^S,
о) ? aS', г (о), С) — расстояние между точками ^ и ш, е ^> О—
произвольное число.
5. Примеры интегральных представлений в трубчатых
областях. Для некоторых классов областей S интеграл D.123)
можно сосчитать в явном виде. Наиболее важным здесь
является случай однородной трубчатой области S? (В), когда
для каждой пары точек области S существует автоморфизм
этой области, переводящий одну из них в другую. Для неко-
некоторых видов радиальных однородных областей ядра K(w, z)
были найдены Бохнером2). Более общий случай был рассмот-
рассмотрен Гиндикиным3). Если область S неоднородна, но все же
обладает достаточно мощной группой автоморфизмов, ядро
K(w, z) удовлетворяет определенным соотношениям, позво-
позволяющим его вычислить.
В дальнейшем, при вычислении ядер, мы пользуемся тем,
что ядро K{w, z) — голоморфная функция величин wt — zu ...
..., wn—~zn. Легко видеть, что поэтому эту функцию доста-
достаточно вычислить при w^z, т. е. найти
K(z, z)= J щ е~* II *у II dky... dXn, где у ? S«™\ D.123t)
а затем снова заменить yk на -^ (wk — zk\ &=1, ... , п.
1) См. Гиндикин [3]. Теорема 23.9 в менее общем виде была
ранее получена Бохнером [2].
2) См. Бохнер [2], Бохнер — Мартин [1], гл. VI (там можно найти
дальнейшие ссылки).
3) См. Гиндикин [1], [2].

362
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ГЛ. IV
1) Основанием радиальной области Sid С" является
октант Vi {_У1^>0> •••> Уп^>®} CIRn- В этом случае
V?=Vi и
К (г, г) = -
Отсюда
, г) =
1
1
Bти)п (»»-*») ...(»„ —
D.124)
2) Основанием радиальной области S2 С С3 является конус
yi Уч }
^> О, У\^> 0 | CI ^з (конус симметрических по-
I Уч Уз )
ложительно определенных матриц второго порядка). Конус V%
состоит из точек (Xt, X2, Х3), для которых матрица .
положительно определена. Тогда
K(z, z) = ~ [
Отсюда
-з/2
— Z% W3—
D.125)
Функция D.125) не имеет точек ветвления при w ^ S2, z ^ S2.
Поэтому оказывается возможным выделить ее однозначную
ветвь, исходя из ее значений при w = z.
3) Основанием области S3CIC2 является область {У\Уъ^>
>>}
}
Эта область имеет тип V^d/^s (из пеРвого примера).
Ее остов совпадает со всей границей, и таким образом,

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА ЗбЗ
dS3 = Qs3 •! Уг = —, уi ^> 0 > d С3. Мы положим Ф^—-~- .
I У1 > Vvi
Тогда У Уу
с(ки X2)^i
2rcJ f
J
оо оо
oJoJ
Отсюда
K(w,z) = [l 6 ^2"(/-| (wt - zt) B + ^(Wi-ZiXw,-^)»]-!.
D.126)
4) Основанием области S4CZ С2 служит область {j'a^ ^~-Jl};
она снова имеет тип Vt d ^2 (из первого примера). Ее остов
совпадает со всей границей, и таким образом, dS4 =
= 2s4 {_v2^^Vl}- Мы положим ф = й_уг Тогда
5) Основанием области SB CI С2 служит область {.Уз ^> 2у\}',
она имеет тип V {_yi = 0, у%^> 0 } d Ri, таким образом,
асимптотический конус этой области оказывается вырожден-
вырожденным. Ее остов совпадает со всей границей, и, следовательно,
Й55 =dSs {_Уа= 2_У? }• Сопряженным конусом для луча VB
служит полуплоскость V* {Х2^>0}. Мы положим ty = dyx.
Тогда
K(w, z) = я [(w1 — z,f —1(х0ъ — 5r2)]~2. D.128)

364 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. IV
6) Основанием области S6CIC3 служит область
У\ Уг
У% Л
Она имеет тип V^. Ее остов совпадает со всей границей;
конус V| описан во втором примере. Мы положим <}< =
. Тогда
у
с(Хи X,, Xe)=2ic*DX1X8 — XJ)-Viexp[— 2
/Г(да, г) = 2тГ3 [(да, — 22J — (^ — 2J (да, — zj\- V, X
X [У(Щ — г«)а — (®i — гО (да, —17) - 1 ]-». D.12 9)
6. Интегральные представления с обобщенным ядром
Сеге в трубчатых областях. Имеет место
Теорема 23.10 (Гиндикин [3]). Пусть трубчатая об-
область S ? (В), форма <|* ? (Г). Тогда, если для действи-
действительных функций срь ..., срп, принадлежащих к классу is1,
на основании S(Im)
-I
при
а^>
sup ||XO-<P)||= sup (-Ц Хер У)- sup (— И \у || ),
<I) <I> <I)
то функция
, z)=
... dXn D.130)
является обобщенным ядром Сеге области S1( связанным
с формой (]>. Я^и выполнении указанных условий инте-
интеграл D.130) сходится равномерно при z^S, w ? S'
(область S' берется так же, как в теореме 23.9).
Заметим, что обобщенное ядро Сеге определяется
для области S и формы ф не единственным образом.

§ 23] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА 365
Пример. Пусть основание SGIm) трубчатой области S7(ZC2
задается условием _y«>x(_yi)> где X G ^а для всех значений
У1 и J." CVi) =э= 4. Тогда функция
D.131)
является обобщенным ядром Cere для этой области, связан-
связанным с формой (]> = -j-1" (yd dyv Интегральное представление
D.122) с этим ядром аналогично интегралу Темлякова второго
рода для двоякокруговых областей. При x(yi) = 2y\ форма
<{» = </у1, область S-, переходит в область SB, ядро D.131)
в ядро D.128).

ГЛАВА V
ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ
ПРОСТРАНСТВЕ С". ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ
Настоящая глава посвящена изучению функций, мероморф-
ных во всем пространстве С", в частности целых функций.
Как и в классическом случае одного переменного, мы будем
далее называть целой функцию, голоморфную во всех точках
пространства С".
§ 24. Функции, мероморфные в расширенном
пространстве
1. Усиление теоремы Лиувилля. Теорема 21.2 о воз-
возможности аналитического продолжения функции, голоморфной
на границе некоторой области внутрь этой области (при усло-
условии, что эта граница связна), позволяет доказать следующее
предложение, являющееся усилением теоремы Лиувилля. Мы
сформулируем и докажем эту теорему для проективно рас-
расширенного пространства Рп. Она, как и другие предложения
настоящего параграфа, остается в силе и для расширенного
пространства теории функций.
Теорема 24.1. Функция /(?), где С ? Рп, голоморфная
во всех точках некоторой комплексно (л — \)-мерной
комплексной проективной плоскости пространства Р",
постоянна.
Доказательство. Путем соответствующего проектив-
проективного преобразования A.76) мы можем перевести данную пло-
плоскость в бесконечно удаленную плоскость пространства Р".
Поэтому функция F(t')=f(i) будет голоморфной и ограни-
ограниченной во всех точках пространства С"- С^ Р"> переменных

§ 24] ФУНКЦИЙ, МЕРОМОРФНЫЕ В РАСШИРЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 367
z'u ..., г'п, для которых У |г*|*^/?а. Здесь R—доста-
R—достала
точно большое число. Из голоморфности функции F(U) в точ-
точках гиперсферы
л
| 2* | К ,
k = I
в силу теоремы 21.2, вытекает, что она может быть анали-
аналитически продолжена на всю внутренность этой гиперсферы.
Отсюда по теореме Лиувилля заключаем, что функция F(U),
а следовательно, и функция /(С), постоянна.
2. Теорема Вейерштрасса — Гурвица. Теперь, используя
последний результат, мы выведем важную теорему, высказан-
высказанную Вейерштрассом и доказанную Гурвицем. Она аналогична
известному предложению классического анализа о рациональ-
рациональных функциях.
Теорема 24.2 (Вейерштрасса — Гурвица). Функ-
Функция /(?), где С ? Рп, мероморфная во всех точках
комплексного проективного пространства Рп, рацио-
рациональна.
Доказательство этой теоремы мы проведем для про-
пространства PIZDCw.z> где Сю, г — пространство комплексных
переменных w, z. Мы можем предположить, что в бесконечно
удаленной точке (оо, 0) функция /голоморфна и/(оо, 0)^0.
В противном случае мы легко достигнем этого, заменяя f(w, z)
функцией
где (а, р) — некоторая точка голоморфности функции f(w, z)
и С — некоторая постоянная.
Очевидно, что получающаяся после нашего преобразования
функция будет тогда и только тогда рациональной, если была
рациональна первоначальная функция. Поэтому мы можем
сразу рассматривать функцию, удовлетворяющую указанному
выше условию. После этого мы без потери общности можем
предполагать, что, во-первых, существуют два таких числа г,
что при \w\^>r,
функция f(w, z) голо-
голоморфна и, во-вторых, на каждой плоскости z^z0 находится

368 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
конечное множество нулей (wlt z0), ..., (wn, z0) и полюсов
(w1, z0), ..., (wp, z0) этой функции *).
Для каждого нуля (wk, z0) можно построить такой псевдо-
псевдополином
<Р* (W, г) = (w ~- wkfu + A?> (г) (w - да*)»*-1 + • • • + ^ (г),
EЛ i)
что дробь , ' .¦ не обращается в нуль и является голо-
ТА V » /
морфной в точке (wk, z0). Здесь коэффициенты А[' (z) голо-
голоморфны при z = zu и Л»)(г0)^0, поэтому функция — голо-
голода
морфна всюду в плоскости z = z0, кроме точки (wk, z0). Мы
обозначим произведение всех функций <pft для плоскости z = z0
через <?Zo(w, z).
Аналогично, для каждого полюса (w", z0) может быть
определен такой псевдополином
cpft (w, z) = (w — wkyk + Bf (z) (w — wk)pk-1 + ... + Bfk (z),
F.1,)
что функция f(w, z) фА (w, z) будет голоморфной и отличной
от нуля в точке (wk, z0). Коэффициенты В[' (z) голоморфны
при z = z0 и B[\zo) = O, поэтому функция фА голоморфна
всюду в плоскости z = z0 и нигде не обращается там в нуль,
кроме точки (wk, z0). Мы обозначим произведение всех функ-
функций фА для плоскости z = z0 через tyZo(w> z)- Тогда выра-
выражение
/(W, *)?4 E-2)
голоморфно и не обращается в нуль для всех значений z,
удовлетворяющих условию \z — z0\ <^е(z0), и всех конечных
значений w. Заметим еще, что если (w*, z0) — точка неопре-
неопределенности функции f(w, z), то она даст множители и в
числитель и в знаменатель дроби E.2). Наконец, отметим, что
') Здесь п и р — число нулей и полюсов функции/(да, г) в пло-
плоскости z = z0, причем каждый засчитывается с его кратностью для
функции одного переменного f (да, г0). Мы учитываем сейчас нули
и полюсы, лежащие в конечной части плоскости.

§ 24] ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ В РАСШИРЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 369
многочлены (по w) <рго(а>, z), фг„(а>, z) можно считать вза-
взаимно простыми. Они будут иметь вид
Ьо (w, z) = vf-\- С<го) (z) wn~l + ... + С(пго) (г), E.3)
фго (w, z) = wP-\- D(la) (z) w"-1 + ... + Djfo) (г). E.4)
Если | С — zo|<e(zo), to величины С?о)(С), ?>^о)(С) яв-
являются элементарными симметрическими функциями от да-коор-
динат нулей и несущественно особых точек функции f(w, z)
на плоскости z^t (при этом каждый нуль wk(V) или по-
полюс wk (С) считается столько раз, какова его кратность для
функции /(о>, С); эта кратность определяется при решении
уравнений <р*0(а>, С) = 0, ^(^ Q = 0)- Очевидно, что поло-
положение этих точек не зависит от того, где будет взят центр
рассмотренной окрестности \z — z0 \ <^ в (z0). Поэтому ciz°\z),
DvZo)(z), срго (w, z), фго (w, z) не зависят от z0; мы далее от-
отбросим индексы z0 у величин Cv, Z)v, cp, (]>.
В силу нашего условия для всех корней w(z) уравнений
<р(и>, г)^0 и i({w, z) = 0 будет или |и»|<^г, или | w \ ^>
~^>^—f- ¦ Поэтому для их элементарных симметрических функ-
функций оказывается справедливым неравенство
| С, (г) |<а • max if, \ z \n); | D, (г) |< а • max (r", \ z \P) E.5)
(здесь а — некоторая постоянная величина).
Отсюда следует, что коэффициенты Cv(z), Dv (z) являются
целыми рациональными функциями переменного z; поэтому
<p(w, z), ty(w, z) — целые рациональные функции перемен-
переменных w, z. Так как они выполняют свою роль для всех ко-
конечных значений z, то функция F(w, z)=f(w, z) ^ у"' z.
будет голоморфной и отличной от нуля во всей конечной
части пространства.
Если она отлична от постоянной, то должен существовать
полюс этой функции, расположенный в бесконечно удаленной
точке пространства Р2. Таким полюсом могла бы явиться
бесконечно удаленная точка плоскости w = az. Но тогда
функция -рт г будет голоморфной на этой расширенной
Г (W, Z)
аналитической плоскости; она, следовательно (по предыдущей

370 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [гл. V
теореме), сведется к постоянной величине. Этим наша теорема
доказана.
Рассмотрим некоторые следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Функция /(С), где Z. (^ Р'\ мезоморфная
во всех точках некоторой комплексно (л — \)-мерной
комплексной проективной плоскости, рациональна.
Следствие 2. Целая нерациональная функция имеет
все бесконечно удаленные точки пространства Р4 суще-
существенно особыми.
Первое из этих следствий доказывается так же, как пер-
первая теорема этого параграфа. Только вместо теоремы 21.2
мы должны будем применять соответствующее предложение
для мероморфных функций, а вместо теоремы Лиувилля —
теорему Вейерштрасса — Гурвица. Второе следствие легко
получается из первого.
Наконец, приведем еще два полезных в приложениях
предложения.
Теорема 24.3. Рациональная функция R (zlt ..., zn),
существенным образом зависящая от k^2 переменных,
имеет по крайней мере одну точку неопределенности.
Доказательство. Если R(z)— многочлен, то такая
точка неопределенности должна обязательно существовать
в бесконечности. Иначе функция -pj-\ была бы голоморфной
в бесконечности и оказалась по теореме 24.1 постоянной.
Отсюда следует, что в бесконечности имеет точку неопреде-
неопределенности и функция R(z) = тт-рг, 1"де H(z)— многочлен. Это
вытекает из того, что всякая точка неопределенности функ-
функции H(z) является точкой неопределенности и для функции
ТГГТ (°^ — Рт ^ ^ ^ам остается рассмотреть случай, когда
R (z) = -j^p, где G(z) и H(z) — взаимно простые, отличные
от постоянных многочлены. В этом случае точками неопре-
неопределенности для функции R (z) будут точки, координаты кото-
которых определяются совместным решением уравнений Q(z) = 0,
H(z) = 0. Так как мы ведем рассмотрение в комплексной
области, то такие точки обязательно существуют при k^2
в конечной части пространства или в бесконечности. Этим
наша теорема доказана.

§ 25] ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА 371
Другое предложение гласит:
Теорема 24.4. Наиболее общее бимероморфное
(в узком смысле) отображение всего проективно расши-
расширенного пространства Р" на себя имеет вид
1=1. .-.я. E-6)
Zt= bo + blZl+...+bnZn
/га. е. является проективным отображением.
Доказательство этой теоремы мы снова проведем
для пространства Р?Ц)Сю, *. Если w1=f(w, z), Zi=y(w,z) —
отображение проективно расширенного пространства Р2, удо-
удовлетворяющее поставленным в теореме условиям, то в силу
теоремы Вейерштрасса—Гурвица f(w, z), y(w, z) — рацио-
рациональные функции. Мы введем в рассмотрение однородные
координаты и положим и> = =А, z = z?-; тогда
( j
Здесь Л, Д С — не имеющие общего множителя многочлены,
а а, р, ^ — не имеющие общего множителя однородные мно-
многочлены некоторой степени т. Непосредственным вычисле-
вычислением можно установить, что
d(f, у) _ 1 д (а, р, 7) « оч
^(w, г) шЛ^С"-') ^ <Ci, С», С.) • у J
По условию теоремы якобиан J~' y не может обра-
обращаться в нуль ни в одной точке пространства. Отсюда сле-
к д(а, 8, v) ,
дует, что якобиан -. ... " ' . также будет всюду отличен от
нуля. Но он представляет собой однородный многочлен сте-
степени 3(/га—1). Поэтому т=\ и, таким образом, а, р, -[ —
линейные функции Сь Cj, C3. Наша теорема доказана.
§ 25. Теоремы Кузена
1. Первая теорема Кузена для пространства С". Почти
самые ранние работы по теории аналитических функций мно-
многих переменных были посвящены вопросам распространения

372 ФУНКЦИИ, МБРОМОРФНЫБ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
на эту теорию классических теорем Миттаг—Лефлера и
Вейерштрасса о построении мероморфной функции с наперед
заданными полюсами и целой функции с наперед заданными
нулями. В 1894 г. Кузен [1] опубликовал такое обобщение
теоремы Миттаг—Лефлера о восстановлении мероморфной
функции по заданным ее главным частям.
Теорема 25.1 {первая теорема Кузена). Пусть каж-
каждой точке Р пространства Сп {полицилиндрической об-
области) поставлена в соответствие некоторая ее ок-
окрестность VP и мероморфная в этой окрестности функ-
функция fp. При этом если такие окрестности VP и Vq
точек Р и Q имеют общую часть, то в ней соответ-
соответствующие функции fp и /q эквивалентны по отношению
к вычитанию. Тогда существует мероморфная во всех
точках пространства Сп {полицилиндрической области)
функция F, эквивалентная по отношению к вычитанию
в каждой точке Р заданной функции fp.
Пояснение. Две функции, мероморфные в точке Р,
мы будем считать эквивалентными по отношению к вычита-
вычитанию, если их разность голоморфна в этой точке.
Доказательство. Мы проведем наше доказательство
в деталях для случая пространства С, а затем укажем, как
оно должно быть видоизменено для случая полицилиндриче-
полицилиндрической области.
Обозначим наши переменные через wu ..., wn_b z. Пусть
S(*) — квадрат в плоскости wk, определяемый условиями
0<^Re(ffiift), Im {wk)<^R, a Sr — квадрат в плоскости z,
определяемый условиями 0 <^ Re {z), Im {z)<^R. Мы рассмотрим
замкнутую полицилиндрическую область J^r^S'r У\ ...
... X S$~"!) X Sr- Каждый из квадратов S$ и Sr мы разде-
>
лим на /я2 квадратов со сторонами —. Мы перенумеруем
эти квадраты и обозначим их соответственно q^> и q . Число т
можно выбрать настолько большим, чтобы каждый замкнутый
гиперкуб q'il X • • • X 4{"Z-\ X Я9 содержался в некоторой
окрестности Vp. В самом деле, если бы это не имело места,
то в результате последовательных подразделений мы пришли
бы к такой точке Ра области 2я> чт0 никакой гипер-
гиперкуб с центром в этой точке и сторонами, параллельными осям
координат, не содержался бы ни в какой окрестности Vp.

§ 25] ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА 373
Однако достаточно взять окрестность VP(I точки Ро, и мы
сейчас же убедимся в неосновательности нашего допущения.
Таким образом, требуемая окрестность ксегда может быть
указана; мы обозначим ее Vai , _ „ р. Теперь в каждом ги-
гиперкубе q'a" X • • • X Я{?^ X <7р будет задана функция / на-
нашей системы.
Так как в Vai ... и $ содержится замкнутая область
?«,Х • • • X <?<«„_, X Я^, то в Vai... «n_lP будет содержаться
и некоторая область Q<? X • • • X Q?"'' X ~<lv где Q(^ ~
квадраты со стороной, несколько большей ~, подобно рас-
расположенные относительно квадратов q{?\ Мы иозьмем два
квадрата q$v q$3 из SR, примыкающих друг к другу по сто-
стороне 1Ыг Пусть f9l (wu ..., wn_i, z) и /Pi (wlt ..., wn_u z) —
мероморфные функции, заданные, согласно предположениям
теоремы, в окрестностях Vai...a p4 и Vai ...а 4р8. Мы рас-
рассмотрим интеграл
1Ы1 (wb..., wn__b z) = 4г
(сторона /р,р3 проходится так, что q9i остаегся вправо от q9l).
Здесь ср (z) =/p2 (wi, ..., wn_b z) —f9i (wu ..., wn_u z) (нам
нет необходимости явно обозначать зависимость функции ср
от wu ..., ffi>n_i). Эта функция голоморфна во всех точках
(wu ..., wn_u z), для которых точка (wu ..., a>n_i) находится
в Q«V X • • • X Q^ = Q, a z — на отрезке /PllV Тогда функ-
функция ср (z) будет также голоморфной в области Q X Рз9> гДе
/^зр — область на плоскости z, покрытая кругами радиуса Зр
с центрами на 7PlPa- Пусть z0 — некоторая точка замкнутого
отрезка /р4ра, гг„ — круг радиуса р с центром в этой точке.
Если t, z — две точки круга rZo, то
—г)<?(?)+±(?-г?<f»(z)-\- ... E.10)
(функция <р(С) голоморфна в круге радиуса 2р с центром в
точке г; этот круг всегда содержит точку t; отсюда и сле-
следует равенство E.10)).

374 ФУНКЦИИ, МБРОМОРФНЫБ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Мы положим
Пусть точка (wu ..., wn_b z) находится в Q X rz0- Если
точка t фиксирована на отрезке /р,р2, вне круга rZo, то оче-
очевидно, что ф — голоморфная функция переменных wb..., wn_1, z
в Q X гг0- Если точка t также попадает на часть отрезка
/р,р2, находящуюся в гго, то, согласно E.10),
ф(г, *) = ?'(*)+ ('-*)?"(*)+ ••• E-12)
Это равенство используется для доопределения функции
ф(z, t) при z^t. Таким образом, функция ф(.г, f) оказы-
оказывается: 1) голоморфной функцией переменных wb ..., wn_u z
в QX/'p для всех ^/pjp., 2) непрерывной функцией пере-
переменных ffi>j, ..., а>„_1, г, ^ для указанных значений этих пере-
переменных (мы используем произвольность расположения точки z0
на отрезке /р^). При этом
<p(9 = <p(z) + (*-zH(z, 0. E.13)
Подставляя выражение E.13) в интеграл E.9) и обозна-
обозначая через zu 24, г-координаты концов отрезка /р,р3 (в по-
порядке, указанном выше), мы получим,что в QX/'p будет
/psPj^l, ..., Wn_i, Z) =
/р8(и>1, ¦¦-. и'п-ь г)— /Pl(a>i, ..., гг>„_1, z) Jn f2j-_z
.... wa_u z). E.14)
Здесь C(ffiii, ..., «»n_i, г) — голоморфная функция перемен-
переменных ffiij, ..., wn_i, z в рассматриваемой области (согласно
теореме 3.12). Итак, функция /р2р, оказалась аналитической
(при этом многозначной) функцией переменных wlt..., wn_it z
в QXft, за исключением точек г^^, г^г2. Мы усло-
условимся брать в E.14) те ветви 1п(.г2 — z) и In (^ — z), для
которых линией разреза служит отрезок /р,р2. При этом для
zl?
In ?lzl? должно быть In I ^= 0. Таким образом, выбор ветви
In (zt — z) определяет выбор ветви In (г2 — z). Для функций
/р3р4, соответствующих различным отрезкам l$$v сходящимся

§ 25] ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА 375
в какой-то одной вершине Z нашей сети квадратов, мы будем
брать различные ветви ln(Z — z) (см. по этому поводу заме-
замечания, делаемые при выводе формулы E.19)).
По отношению к переменному z E.9) является интегра-
интегралом типа Коши и поэтому всегда определяет голоморфную
функцию z для всех точек плоскости этого переменного, не
принадлежащих к области р?. Таким образом, для этих зна-
значений z и (wi, ..., wn_t)^Q интеграл /р3р, оказывается го-
голоморфной функцией переменных wu ..., wn_i,z (только
там, конечно, не действует представление E.14)).
Пусть P(wu .... wn_b z) — точка QXW (? Ф zu zj.
Мы обозначим через Ifa1 предельное значение функции I$$v
когда точка (wu..., ^п_ь (.) приближается к точке Р ? Q X <7pi>
и через Ц$1 — предельное значение функции /р2р1, когда точка
(wu ..., ву„_1( С) приближается к точке /^GQX^Pa- ^3
E.14) тогда, очевидно, будет следовать
!Ш — !?А =Л» — Л1 E-! 5)
или
= 7pPi + fi>r E-! 6)
Заметим, что из E.9) еще получается
Теперь мы рассмотрим сумму
Ф(даь ..., дая_ь z)=
распространенную по всем парам примыкающих друг к другу
квадратов <?„ , q^ (каждая пара берется один раз). Значения
этой суммы продолжаемы и через точки, соответствующие
вершинам нашей сети квадратов. Если Z—такая вершина,
а примыкающим к ней квадратам соответствуют номера
Р = 1, 2, 3, 4, то в E.18) будут четыре члена /12, /23, 1и>
/41, имеющие точки Р* (wu ..., wn_u z) (где (wlt..., wn^) ^ Q)
особыми.
Для этих функций линиями разрыва служат стороны, схо-
сходящиеся к точке Z, отделяющие квадраты qt, qit q3, qt друг
от друга. Соответственно с этим ветви ln(Z — z) выбираются
для этих функций следующим образом: в выражении /Tl7a мы

376 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
должны взять для <7gln(Z — z) = \n\Z—z\-\-iatg(Z—
-\- 1vm\nJL. Здесь т®1Ъ — некоторые, надлежащим образом
выбранные целые числа1).
Тогда в точках М, принадлежащих к окрестности точки Р*
(при этом .г-координаты точек М принадлежат к q ), функ-
функция Ф представится следующим образом:
+ < (/4 -Л) + «Si (Л -Л) + С.
Здесь С = С (wb ..., wn_1,z) — голоморфная в рассматри-
рассматриваемой окрестности функция своих переменных, символом
ln(Z — z) всюду обозначена ветвь логарифма, для которой
1п 1 = 0.
Таким образом, действительно определенная в области
QX?. функция Ф продолжаема и через точки (wb...,wn_uz),
соответствующие вершинам квадратов д.. Заметим, что в точ-
точках, соответствующих вершинам квадратов q расположенным
на границе Sr, функция Ф имеет существенные особенности.
Теперь мы определим в области QXy, функцию
g9(wu ..., «Vj, г) =
=f?(wl, .... «>„_!, г) + Фр(да1, .... «Vi, «)¦ E-20)
Здесь Ф„ — значение функции Ф в области Q X ^„. В силу E.16)
функции g~, заданные таким образом в областях Q X Яя> яв"
ляются продолжением одна другой. Таким образом, в области
Q X Sr определяется (однозначная) мероморфная функция,
в каждой области Q X Sr эквивалентная по отношению к
вычитанию наперед заданной функции /„. Эту функцию мы
будем далее обозначать gai ... „ t (wlt ..., wn_ly z).
1) Если сторона Ii2 имеет, например, направление мнимой оси,
то </! лежит у нас во второй четверти, </2—в первой, qs — в чет-
четвертой и qt — в третьей. Тогда /в$ =т($ = т'1*,)^0, т'Д'^1.

§ 25] ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА 377
Такие функции gai ... а , мы построим для всех областей
^ б б
« Х^я (Q», ... а теперь обозначает область, кото-
П—1 * * /1—1
рую мы до сих пор называли просто Q). Функции g~, по-
построенные для областей Qai ... а t X Яа> эквивалентны задан-
заданным функциям /; поэтому функции gai ... а ,, определенные
в смежных областях QBl ... « _4 Х^л, будут эквивалентны в
общих точках этих областей ^напомним, что квадраты Q(afe)
несколько больше квадратов qa , и поэтому области
Qai ...« X Sr имеют общие части).
Мы изменим теперь роли и обозначения наших перемен-
переменных. Положим прежнее z = zn, обозначим Т1!>п^ = гп^1, квад-
квадрат S/; назовем S^\ Роль области Q будет теперь играть
область Q^'X ••• XQ^lfXS^- Квадратq(a~\] мы назовем
q~. Повторяя наши рассуждения, мы определим мероморфные в
Q-V X • • • X Qi"n:22) X SfS~l) XS% функции gai... Va («,„ ...
..., wn_i, ?„_!, zn), эквивалентные соответствующим заданным
функциям /. Затем мы произведем «склеивание» полученных
функций вдоль плоскостей wn_^ (при этом мы переименуем
wn_it положив а>л_2 = г„_2). В конце концов мы построим
в гиперкубе S'ft X ••• XS$) = 2# мероморфную функцию
^R (^d •••> ^л). эквивалентную в точках Р области 2я на"
перед заданным функциям fp(zu ..., г„). Нам остается рас-
распространить определение этой функции на все пространство.
Прежде всего предположим, что эта функция W построена
для гиперкуба некоторого радиуса R'^-R, и поэтому требо-
требования нашей теоремы выполняются для WR (z^ ..., zn) в зам-
замкнутой области 2я-
Затем мы рассмотрим значения R=l, 2, ..., соответ-
соответствующие области ?i) 2з) и функции Ч^ (zu ..., zn), W^(zu ...
..., zn), ... Функция
Qm = Wm+1-Wm E.21)
является голоморфной в замкнутой области 2т- Мы разло-
разложим Qm в ряд Тейлора с центром в начале координат. Этот
ряд будет равномерно сходиться в замкнутом полицилиндре
; k=\, ..., т). Пусть
E.22)

378 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ |>Л. V
— некоторый сходящийся ряд; все s.k ^> 0. Тогда мы разобь-
разобьем ряд Тейлора для Qm на две части, так что
Qm = рт _|_ ftmi \ Rm\<^s.m (при \zk\^m;
k = \, ..., и), E.23)
где Рт — некоторый многочлен. Теперь мы возьмем вместо
функций Wm функции
т—\
Pk (при /и 5г 2). E.24)
Очевидно, функция Fm эквивалентна функции Wm. Далее,
в замкнутой области Вт
Fm,l-Fm = Rm. E.25)
Наконец, мы образуем в замкнутой области Вт функцию
00
^=^«+2**- E-26)
Эта функция: 1) эквивалентна в замкнутой области Вт функ-
функциям Fm и Wm, так как в силу E.23) второй член правой
части равенства E.26) представляет собой в замкнутой обла-
области Вт сумму равномерно сходящегося ряда голоморфных
функций; 2) в замкнутой области В^ (у.<^т) совпадает
с функцией, определенной для замкнутой области В^ анало-
аналогично E.26). В последнем легко убедиться на основании
равенств E.25) и E.26).
Число т произвольно, и, увеличивая его неограниченно,
мы продолжим функцию F(zi, ,.., zn) на все пространство
С". Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы.
Теперь мы обратимся к рассмотрению произвольной поли-
полицилиндрической области Т= 7i X • • • X Т„ пространства
С" переменных zx zn.
Для доказательства мы каждую область 7k аппроксими-
аппроксимируем изнутри главной последовательностью *) областей 7lm)>
составленных из квадратов. Дальнейшие рассуждения не от-
') Последовательность областей Dp,p= 1, 2,..., удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям: 1) Dp cz DpJrl cz D для всех индексов р; 2) для каж-

§ 25] ' ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА 379
личаются от проведенных выше для случая открытого про-
пространства. Подчеркнем, что мы все время говорим об одно-
однозначных функциях.
2. Вторая теорема Кузена для пространства С" отно-
относится к обобщению теоремы Вейерштрасса о построении
целой функции с наперед заданными нулями.
Мы условимся далее называть две мероморфные, в част-
частности голоморфные, функции в точке Р эквивалентными по
отношению к делению, если их частное голоморфно и отлично
от нуля в этой точке.
Теорема 25.2 (вторая теорема Кузена). Пусть
каждой точке Р пространства С" поставлена в соответ-
соответствие некоторая ее окрестность Vp и голоморфная в ней
функция fp. При этом если окрестности Vp и Vq точек
Р, Q(^Cn имеют общую часть, то в ней функции fp и /q
эквивалентны по отношению к делению. Тогда сущест-
существует целая функция F, эквивалентная по отношению
к делению в каждой точке Р^С" заданной функции fp.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогич-
аналогично доказательству первой теоремы Кузена. Мы сохраним все
введенные там обозначения для областей и переменных и
укажем здесь лишь на необходимые изменения в рассуждении.
Так, вместо функции <?(z) мы должны теперь рассмотреть
функцию
Так как отношение тЭ голоморфно и отлично от нуля в ок-
рестности отрезка /р^, то функция g голоморфна в этой
окрестности. В соответствии с этим мы возьмем теперь вме-
вместо E.9) интеграл
J ^& E.27)
дой точки М (z D можно указать такое число рм, что UM cz Dp
при р >>рм,—называется главной последовательностью областей,
аппроксимирующей изнутри область D. Здесь UM — некоторая,
надлежащим образом выбранная окрестность точки М-

380 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫБ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Затем мы опять образуем распространенную по всем па-
парам (PaPi) сУмму?/ва = <&i. Мы рассмотрим поведение функ-
функции <!>! в окрестности некоторой точки, проектирующейся
в одну из внутренних вершин z нашей сетки квадратов. По-
Повторяя рассуждения, приведшие нас к формуле E.19), мы
получим аналогичное представление для функции <Е>! в окрест-
окрестности этой точки.
Коэффициент при ln(Z — z) в этом выражении будет те-
теперь иметь вид
Здесь чг — некоторое целое число, определяемое выбором
ветвей логарифмов в выражении функции g. Мы далее обра-
образуем функцию
2). E.29)
Здесь сумма распространена по всем внутренним верши-
вершинам Z нашей сети.
Тогда функция Ф = Ф1-|-ф2 будет продолжаема и через
точки границы Q X Я&' соответствующие вершинам q . Теперь
мы вместо E.20) возьмем в каждой области Q X <7В функцию
Q9(wl,...,wa_l,z)=f9e99. E.30)
Здесь Ф3 — значение функции Ф в точках, принадлежащих
к границе Q X Ял- После этого мы, так же как и в первой
теореме Кузена, процессом «склеивания» построим функцию
^ r(?\> • • • > г„),удовлетворяющую требованиям теоремы в замк-
замкнутой области 2fl = S/?)X • • • X Sr1 (для получения такой
функции в 2я мы проведем все рассуждения для некото-
некоторого #'>#).
Полагая /?=1, 2, ..., мы получим последовательность
функций Wj, ?2,... По смыслу их определения функция
—е
*т (zb ••• > zn)
голоморфна в замкнутой области ?т и не обращается там
в нуль. Поэтому функция Qm(zb..., zn) должна быть голо-
голоморфной в замкнутой области %т.
Так же, как в доказательстве первой теоремы Кузена, мы
определим для Qm(zlt..,, zn) функции Рт, Rm и с их помощью

§ 25] ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА 381
построим функции
- 2 р*
/?1 = ЧГ1; F,= «T^ *"' (s>l). E.32)
Наконец, мы определим в замкнутом полицилиндре
Вт {\zk\^m, k = 1,... , п} функцию
со
/7(«i,...,«e) = Fme*-m . E.33)
По построению функция F обладает следующими свой-
свойствами:
1) в замкнутом полицилиндре Вт она эквивалентна за-
заданным функциям fp\
2) в области В^(у.^т) она совпадает с функцией, по-
построенной для замкнутого полицилиндра В^ аналогично E.33).
Здесь т — произвольное число; таким образом, функция F
определена для всего пространства С" и там удовлетворяет
всем требованиям второй теоремы Кузена.
3. Вторая теорема Кузена для полицилиндрической
области. Вторая теорема Кузена тем же путем, что и первая,
может быть обобщена на случай полицилиндрической области.
Однако если область Q является декартовым произведением
вообще неодносвязных областей, то 1п J^ может не иметь
hi
однозначных аналитических, т. е. голоморфных ветвей в об-
области QX^ (здесь Рр обозначает, как и в доказательстве
первой теоремы Кузена, рассматриваемую окрестность отрез-
отрезка /рхр3 на плоскости z). В этом случае может не существо-
существовать однозначной аналитической, т. е. голоморфной функ-
функции, удовлетворяющей условиям второй теоремы Кузена в такой
полицилиндрической области. Поэтому для нахождения голо-
голоморфной функции, удовлетворяющей условиям этой теоремы
в полицилиндрической области 7\ X • • • У\Тп, мы должны
требовать односвязности всех плоских областей Тк, за воз-
возможным исключением одной (область Q определится как про-
произведение областей, аппроксимирующих как раз эти одно-
связные области; многосвязность не участвующей в образо-
образовании области Q области Tk не имеет значения). Мы приходим
к такой теореме:

382 функции, мё^омо^Фйыё во всём пространстве [гл. V
Теорема 25.3. Пусть каждой точке Р некоторой
полицилиндрической области Т= 7\ X • • • X Тп (где все
области Tk, кроме, возможно, одной, односвязни) постав-
поставлена в соответствие ее окрестность Vp и в ней голо-
голоморфная функция fp. При этом если окрестности Vp и
Vq имеют общую часть, то в ней функции fp и /q экви-
эквивалентны по отношению к делению. Тогда в области Т
существует голоморфная функция, эквивалентная задан-
заданной в каждой точке Р этой области.
В таком виде эта теорема была впервые высказана Грон-
валлем[1]. Сам Кузен не заметил, что функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям этой теоремы в полицилиндрической области,
для которой две (или более) области 7^ будут многосвязными,
окажется многозначной.
В цитированной работе Гронвалль построил пример бици-
линдрической области Г1Х ^ii B пространстве переменных
w, z, области с многосвязными Ть Тъ для которой нельзя
построить голоморфной функции, удовлетворяющей условиям
второй проблемы Кузена. Затем дальнейшие (более простые)
примеры были построены рядом других математиков. Мы при-
приведем сейчас пример, построенный К. Ока [1], важный тем, что
он указывает путь для рассмотрения возможностей дальней-
дальнейшего обобщения второй теоремы Кузена.
Пусть в окрестностях Vp и Vq точек Р, Q^C1 заданы
непрерывные, в частном случае голоморфные функции/р и/q.
Мы будем их называть эквивалентными в обобщенном
смысле, если в общей части Vp(~}Vq этих окрестностей отно-
отношение -?- непрерывно и отлично от нуля. Совершенно очевид-
очевидце
но, что если в некоторой области D для какой-то системы
голоморфных функций [fP, P^p} нельзя построить непрерыв-
непрерывной функции F, эквивалентной им всюду в области D в обоб-
обобщенном смысле, то не существует и голоморфной функции, эк-
эквивалентной в области D функциям {fp} в обычном смысле.
Пусть 7\ X 7j — бицилиндрическая область в простран-
пространстве С* переменных w, z, где Ti{ri<^\'w\<^\}, Г2{г2<С
<^|z| <^ 1 }; Г\-\-г^>\. Возьмем аналитическую плоскость
w — z — 1=0. Непосредственно видно, что в области 7\ X Т%
лежат два несвязных между собой ее куска. Для точек одного
из них w-\-w^>0, z-\-z~^>Q, а для другого w-\-w ^
\^0 мы обозначим первый кусок через а.

§ 25] ТЕОРЕМЫ КУЗЕНА
383
Допустим, что в области 7i X Tt существует непрерыв-
непрерывная функция F(w, z), эквивалентная в обобщенном смысле
функции w — z—1 в окрестности о куска а и единице
в остальных точках (при этом окрестности последних'выби-
последних'выбираются так, чтобы они не содержали точек куска а).
Возьмем далее окружность С {| .г | = р, г2<^р<^1} и такую
точку w^Tf,, что функция F(w0, z) не обращается в нуль
на окружности С. Мы обозначим через Ь (F, w0) приращение
аргумента F(w0, z) при однократном обходе окружности С
в положительном направлении. Теперь мы рассмотрим значе-
значения w = u)j, w^ ша, где Ti <^ (Oi <^ 1; — 1 <^ ш2 <^ — Г\. Тогда
функция F(w, z) не обращается в нуль на поверхности -у X Т'ъ
где -у — кривая, соединяющая ш1 и ш2, включающая эти точки
и идущая целиком в нижней половине кольца 7i. Функция
Ь (F, w) будет определена и непрерывна во всех точках -у-
Так как она может принимать только дискретные значения,
то b(F, <o1) = 8(F, со,).
С другой стороны, пусть Tf= Tif]{ imw^O}. В над-
надлежащих окрестностях точек (w, г)^Т*У( Т% функции F(w, z)
и w — z — 1 эквивалентны между собой в обобщенном смысле,
и поэтому там существует такая непрерывная, отличная от
нуля функция ~к (w, zI), что
F(w, z) = (w — z—\)l(w, z). E.34)
') Заметим, что из того, что непрерывные функции Fi и F2
эквивалентны по отношению к делению (в обобщенном смысле) во
всех точках некоторой области D (как говорят, «локально эквива-
эквивалентны»), вообще говоря, не следует, что там существует непре-
непрерывная и отличная от нуля функция X, удовлетворяющая условию
F1 = IF2. Однако если множество точек D f| { Fi = Fz = 0 } не
имеет внутренних точек, существование такой функции очевидно.
В этом случае все точки D, где -=г не определено, являются пре-
с1
дельными для тех точек области D, где функция X = ~ определе-
определена
на и непрерывна. Наличие предельных значений функции -=i
всюду в D обеспечивается условием локальной эквивалентности.
Доопределяя с их помощью функцию X в точках множества
D Q { pl = Fa = 0 }, мы получим ее в качестве непрерывной и от-
отличной от нуля функции во всей области D. Таким образом, в этом
случае функции Ft и F* оказываются эквивалентными в целом
в области D (по отношению к делению в обобщенном смысле).

,484 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Функция X(w, z)^0 при (w, z)?^T*\ Г2. Рассуждая для
нее так же, как выше для функции F(w, z) (только соединяя
точки u)j и ш2 кривой, идущей в верхнем полукольце), мы
получим, что Ь (к, uJ)^S(X, wj). Тогда b(w — z—1, u>i)^
= &((ej—z—1) должно в силу E.34) равняться b(w—z—• 1,
w2) = S((o2 — z—1). Но непосредственно видно, что Ъ(ту —
— z— 1) = — 2те, S(uJ — z— l) = 0.
Таким образом, мы пришли к противоречию и, следова-
следовательно, в рассматриваемом случае в области Тх X Г2 не су-
существует функции, эквивалентной по отношению к делению
даже в обобщенном смысле данным функциям /р.
§ 26. Характеристики роста целой функции
Величины, которые далее рассматриваются, или характе-
характеризуют рост целой функции f(z), где z^C", во всем про-
пространстве С", или ее поведение на некоторых специально
выбранных поверхностях пространства С".
1. Порядок и тип являются наиболее употребительными
характеристиками целой функции f(z), где z^C1. Для по-
подобной функции порядок р и тип а соответственно опреде-
определяются как нижние грани тех чисел v и ;х, для которых
имеют место асимптотические1) неравенства
E.35)
где
Mf(R)= sup \f(z)\. E.36)
Эти постоянные р и а вычисляются по формулам, которые
могут служить их определением
В общем случае пространства С", где я^1, мы, следуя
А. А. Гольдбергу [1], возьмем вместо круга |г|<^1 произ-
произвольную ограниченную полную я-круговую область DCZCn
с центром в начале координат. Затем мы положим для целой
*) Неравенство, содержащее некоторую переменную величину,
называется асимптотическим, если оно выполняется для всех до-
достаточно больших значений этой величины.

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 385
функции
22*> E-38)
k
MflD(R)= sup |/(г) |,
1п1пЛГ, D{R) \nMf n{R)
p = iim ^f^l °d= Hm i^™. E.370
Здесь, как обычно, А-вектор с составляющими kb ... , kn,
которые принимают значения 0, 1, 2, ... ; точка z(^DR,
если точка (^, ..., )
Следующая теорема устанавливает связь между этими
величинами и коэффициентами разложения E.38). При этом
оказывается, что величина pD не зависит от выбора области D.
Числа p = pD и од соответственно называются порядком и
D-типом функции f(z).
Теорема 26.1 (Гольдберг [1]). Имеют место равенства
E.39)
(epaD)f= lim {||*||p [ | ck \dk(D)fl\} i). E.40)
ЦАЦ-oo
Здесь, как и прежде, || k jj = kx -\- ... -f- Ая, dft (D) = sup | 2 |*,
где | 2 I* =; I z11*1... I zn \kn.
Доказательство2). Рассмотрим функцию комплекс-
комплексных переменных и, zt,..., zn:
00
/(и, *)=2 aV,(*). E-41)
х=0
') Для частных видов областей D формулы E.39) и E.40) были
ранее получены в работах Ж. Сира [1], А. А. Темлякова [1],
С. А. Еремина [1].
2) Доказательство проводится, по существу, так же, как и
в случае одного переменного. См., например, Б. Я. Левин, Распре-
Распределение корней целых функций, Гостехиздат, М., 1956. Далее эта
книга кратко обозначается: Левин, Ц. Ф.

386 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
где
px(z)= 2 <***• E-42)
При и=1 функция f(u, z) совпадает с целой функцией
f(z), определенной рядом E.38). Рассматривая f(u,z) как функ-
функцию только переменного и, мы, применяя неравенства Коши,
получим
Afpx.g(l)<? %i • E-43)
Отсюда следует: если величина Mf.oiR) удовлетворяет асимп-
асимптотическому (по отношению к значениям величины /?) не-
неравенству
MftD(R)^ev-R*, E.44)
то
j\/[ д A) ^с e^R R~x-
Минимизируя в этом неравенстве правую часть, мы найдем,
что асимптотически (по отношению к значениям величины ч)
E.45)
Пусть точка z' ^ 3D выбрана так, что \z' k = dk (D). Тогда,
поскольку D — полная л-круговая область, полицилиндр
г) |, j = 1, ..., п] (Z D. Поэтому
Отсюда и из неравенств Коши вытекает, что
и, следовательно, начиная с некоторого ч = ч0
\cu\du(D)^(^-)Т (где I)k|| = х). E.46)

§ 26] ' ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИЙ 387
Теперь предположим, что, начиная с некоторого ч^ч0, имеют
место неравенства E.46). Тогда
Ц1гЦ=х
(^)Т*, E-47)
где С—надлежащим образом выбранная постоянная вели-
величина. Положим N(R) = 2V[xv/?v и разобьем последнюю сумму
в неравенстве E.47) на две: по vl^N(R) и по vl^>N(R).
Очевидно, что каждое слагаемое второй суммы меньше чем
2-"хл, а
sup,
Поэтому
где
00
4 = 1
Из полученных оценок следует (поскольку величина N(R)
растет, как Rv), что при любом vt^>v асимптотически
Mf,D(RX,ei>-R4t. E.48)
Итак, из неравенства E.44) следуют неравенства E.46); на-
наоборот, из неравенства E.46) следует неравенство E.48).
В последнем вместо величины v стоит произвольная величина
vi^>^; однако нижние грани чисел v и [х, при которых вы-
выполняются неравенства E.44) и E.46), очевидно, совпадают.

388 функции, мероморфные во всем пространстве [гл. v
Отсюда непосредственным вычислением находим, что
pn= lim
11*11-
-\n{\ck\dk(D)} '
а для величины aD получаем формулу E.40) с р = рд.
Нам осталось показать, что величина pD не зависит от вы-
выбора области D.
Возьмем полицилиндры Eq {\zj\<^A(q\ j=\, ..., п,
q=\, 2}, так что E1CZDC.Ei. Тогда
Mt. Bl (R) < Mf. D (R) ^ Mt, e2 (R).
Легко видеть, что рЕ =ря при любых ЛA) и Л('2). Отсюда
следует наше утверждение относительно рд. Теперь для по-
получения формулы E.39) достаточно взять D {\zf\<Tl,
7=1, ...,«}.
Замечание. При пользовании формулой E.40) полезно
иметь в виду, что при D {| Z\ |2-j-- • -4~lznl2<C Ц вели,-
чина rfft (Z3) = I/"*?1... А*» {И А И }-«*Л, при D{|*,| + ..°.
... + |гяК1} величина dk(D) = А?1... А*" {Ц А Ц }-"*".
2. Гиперповерхности сопряженных порядков и сопря-
сопряженных типов *). Для целой функции E.38) рассмотрим ве-
величину Mf(R) = Mf, в^A), где 5Л {|2/|<Я/, 7=1,..., я}.
Будем сравнивать рост функции In 7И^ (/?) с ростом функ-
функции я?'+ ... + /#•.
Пусть В. CZ /?л, где /?„ — пространство действительных
переменных аь ..., ап, множество точек a(^Rn, для которых
асимптотически
InMf (Я)<Я? +... + Rann. E.49)
Очевидно, если точка (а|, ..., а^,) ^ fip, то весь октант
{aj^sa}, J=l, ..., n}Cfip- Наоборот, если точка
(а[, ..., ап)^ Вр, то все точки области { as < а), 7^1,..., п}
не принадлежат к множеству Bf. Граница dfip=5p разделяет
все пространство Rn на две части: в одной из них неравен-
J) Понятие гиперповерхности сопряженных типов было в част-
частном случае введено в работах Ронкина [1], [3]. Употребляемый
здесь способ определения этой гиперповерхности по существу не
отличается от способа, использованного в этих работах.

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 389
ство E.49) выполняется, в другой нет. Граница Sf множества
Z? называется гиперповерхностью сопряженных порядков
функции f(z). Некоторая система чисел рь ..., р„ называется
системой сопряженных порядков функции f(z), если точка
(Pi> •••> Рл) (Е *^р- Можно показать, что положительные числа
рь ..., р„ образуют систему сопряженных порядков в том и
только в том случае, если
Пусть р1; ..., р„— некоторая система сопряженных порядков
функции f(z). Для более полной характеристики ее роста
сравним его с ростом функции а^1-^-.. .-\-anRnn =
О
у ^^\n ^ \\
Обозначим через Ва множество тех точек a(~Rn, для кото-
которых асимптотически
\nMf(R)^\\aR9\\. E.50)
По установившейся традиции мы называем это множество
¦бластью1). Покажем, что область Ва выпукла. Действительно,
пусть точки а', а"^В„. Тогда в силу определения множе-
множества Ва асимптотически
In Mf (R) ^ 1 a'R91|, in Mf (R) ^ Ц a"R> \\.
Следовательно, асимптотически
InMf (R) = A — 0 InMf (R) + tinMf (R) ^
^A -1)||a'Rf \\-\-t\\aV
Здесь O^t^l. Из полученного неравенства следует наше
утверждение.
Граница dBa=Sa множества Ва называется гиперповерх-
гиперповерхностью сопряженных типов порядка (р1; ..., рп) функции
f(z). Некоторая система чисел о1; ..., о„ называется систе-
системой сопряженных типов порядка р1; ..., р„ функции f(z),
если точка (оь ..., о)=5
') Однако употребление этого названия для множества Ва (как
и для других, далее определяемых множеств, характеризующих
рост целой функции) не означает, что оно является областью в
топологическом смысле этого слова.
13 Б. А. Фукс

390
ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Можно показать, что положительные числа о1; ..., о„ об-
образуют систему сопряженных типов порядка р1; ..., р„ в том
и только в том случае, если
.— In Mt (R) _
Установим связь между сопряженными порядками, сопряжен-
сопряженными типами и коэффициентами разложения функции f(z)
в ряд E.38). Имеет место
Теорема 26.2. 1) Чтобы положительные числа
Pi> • • •. Рл составляли систему сопряженных порядков
целой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы
llflH
lim -'"' » , , =1. E.51)
11*11-00 —to I с* I
2) Чтобы положительные числа о1; ..., о„ составляли
систему сопряженных типов порядка (р1; ..., рп) целой
функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы
№1
Здесь
11*11/ х"
hm I/ \ck\[— = 1.
|-ооГ ' k]Wf
11*11/
/ U \ г,
E.52)
р„
n
Доказательство этой теоремы опускается; оно в значи-
значительной части повторяет доказательство теоремы 26.1. В част-
частном случае, когда области Z? и Ва представляют собой
октанты вида {aj^>a'/', j = 1, ..., л}, формулы E.51) и
E.52) были впервые получены М. М. Джрбашяном *); в об-
общем случае формула E.51) была впервые получена А. А. Гольд-
бергом2), формула E.52) — Л. И. Ронкиным.
') См. Джрбашян [1]. В этой работе формула E.51) имеет не-
несколько иной вид, однако, по существу, эквивалентна нашей.
s) См. Гольдберг [1]. В работе Гольдберга [2] дается обобщение
теорем 26.1 и 26.2.

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 391
Теорема 26.2 позволяет найти характеристические свой-
свойства гиперповерхностей сопряженных порядков и сопряжен-
сопряженных типов. Имеют место
Теорема 26.3. Пусть S — некоторая гиперповерх-
гиперповерхность, расположенная в абсолютном октанте R? про-
пространства Rn переменных аь ..., ап, S'1 — гиперповерх-
гиперповерхность, полученная из S преобразованием bj^aj1, /' =
= 1, ..., п. Чтобы гиперповерхность S была гиперпо-
гиперповерхностью сопряженных порядков для некоторой целой
функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы гипер-
гиперповерхность S вместе с координатными гиперплоско-
гиперплоскостями составляла границу какой-нибудь выпуклой, пол-
полной области D в октанте R?.
Замечание. Область D мы здесь называем полной,
если вместе с каждой точкой (Ь\0', ..., Ь'п') к ней принадле-
принадлежат и все точки (Ьь ..., Ьп), для которых 0<^bj^bf,
/=1, ...-, п.
Теорема 26.4. Пусть S—некоторая гиперповерх-
гиперповерхность, расположенная в абсолютном октанте R% про-
пространства Rn переменных аь ..., ап, Si — гиперповерх-
гиперповерхность, полученная из S преобразованием bj = \naj, j =
= 1, ..., п. Чтобы гиперповерхность S была гиперповерх-
гиперповерхностью сопряженных типов порядка (р1; ..., р„) для не-
некоторой целой функции f(z), необходимо и достаточно,
чтобы гиперповерхность 5t составляла границу какой-
нибудь выпуклой октантообразной области D.
Мы приведем лишь доказательство теоремы 26.3.
Пусть точки (pi», ..., рП (Pi2), .... рПЕЯр. Тогда
Нт ||Р ." ,—r-sSl, s=l, 2..
ЦАЦ-oo —1П К* I
Умножим неравенство для s:= 1 на число v, где 0<^v<^l,
неравенство для s=2 на число р,= 1 — v. Складывая эти
неравенства, мы получим
Hm 1—xr in I c | ^!> ^5>53^
где
\k(— UJ^lll — k f-1-4- •*
rlpiiiTp'" —Kt' "- ' 7^r
13*

392 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Теперь легко видеть: если точки Pt(b\v, ..., ?„"), Р2(bf, ...
1, то точки (-L,...,^),.^,..., -^
тогда в силу неравенства E.53) любая точка
4u.b)f где v' P>0' fx + v = 1' a следова-
тельно, весь отрезок Р^ принадлежит области fip1. Таким
образом, область В^1 выпукла; ее полнота усматривается не-
непосредственно.
Итак, необходимость условий, указанных в теореме 26.3,
доказана; обратимся к доказательству их достаточности.
Пусть гиперповерхность 2 вместе с координатными гипер-
гиперплоскостями служит границей некоторой выпуклой, полной
области D, расположенной в абсолютном октанте R% про-
пространства Rn переменных Ьх, ..., Ьп. Рассмотрим опорную
функцию области D
о(а) = Ао(а1,...,а„)= sup _ (^ cos at -\-... -f- bn cos а„).
Здесь а1; ..., а„ — углы, образованные выбранным лучом
с осями координат. Поскольку область D полна и располо-
расположена в октанте R%, то гиперповерхность 2 целиком опреде-
определяется значениями функции AD(a) при ау- ^ 0, -^- (У=^
= 1, .... я).
Рассмотрим далее функцию
Здесь и далее
^ * =exp{-
= arccos -^^ Ц *• Я = А« +...
Легко видеть, что определенная таким образом функция f(z)
является целой.

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 393
Из определения опорной функции области вытекает, что
для каждой точки Ь?~?
11*11-00 — in I с* | „А1Иоо hD^
U! COSa(ftl) -f ... -i- ft-COSa
= шй *— " -5—^1.E.54)
ПЧ1-0О Лд(а№1), ..., e^*»1)
Здесь и далее ||kb[| = kxbx-\- ... -\-knbn.
Так как hD (a) — опорная функция выпуклой области, то
для каждой точки ?>?2 найдется такое направление (аь .. .,а„),
что
bi cos <*i -f- ... -\-bn cos а„ = Ад (а).
Образуем такую последовательность векторов k (kit..., kn),
что aj / —>a.j для всех у'^1, ..., л. Легко видеть, что это
всегда возможно.
Из непрерывности опорной функции Ад (а) вытекает, что
для указанной последовательности векторов к
Ь, cosap) +...+*„ cos аУ
11*11-00 AD(ef*l),.», *У)
Отсюда и из неравенства E.54) заключаем, что для точек
ПБ Jl**JlMM.= i E 55)
IWl-oo — ln|cft| • v ¦ '
Сопоставляя равенства E.51) и E.55), мы находим, что числа
-J-, ..., -г- образуют систему сопряженных порядков для
функции/(.г).Таким образом, действительно, гиперповерхность S,
получаемая из гиперповерхности 2 преобразованием ay = -=- ,
_/:=1, ..., п, является гиперповерхностью сопряженных по-
порядков для построенной нами целой функции f (z).
Мы не останавливаемся на распространении на случай мно-
многих переменных теории Вимана — Валирона и относящихся
сюда результатах И. Ф. Битляна, А. А. Гольдберга [1] и
Ш. И. Стрелица [1].

394 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
3. Рост целой функции по одному из переменных.
Пусть /(w, zlt ..., zn)=f(w, z) — целая функция переменных
w, гъ ..., zn. Зафиксировав каким-нибудь образом перемен-
переменные zlt ..., zn, мы рассмотрим рост функции / как функции
лишь одного переменного w. В случае л = 1 этот рост был
весьма полно изучен в работах М. Сира [1], П. Лелона [1]
и Л. И. Ронкина [1]. Мы дадим обзор полученных здесь ре-
результатов.
Обозначим через р^ (гъ ..., zj и о^ (zit ..., zj соответ-
соответственно порядок и тип функции f(w, z) по переменному w.
Тогда при л=1 имеют место
Теорема 26.5 (Лелон [1]). Если при каком-либо R\ ^> О
функция Mf (Ri, R'2) имеет порядок роста pt no перемен-
переменному Ru то для всех значений переменного z
Р/ (•?) «S Pi.
При этом строгое неравенство может иметь место
лишь на некотором множестве М внутренней емкости
нуль. Здесь УИ^ (/?!, /?2) = sup |/"| при |и>| <C^i> \z\<^Ri.
Теорема 26.6 (Ронкин [1]). Если для целой функции
f(w,z) при любом фиксированном R^ асимптотически
где а не зависит от R^, a pt имеет тот же смысл, что
и в предыдущей теореме, то
всюду, за возможным исключением точек множества Ма,
представимого в виде
Ж°=УД E-56)
Здесь Aj — замкнутое множество емкости нуль точек
плоскости z, причем ЛуСД/+1 (/'= 1, 2,...); a^w = sup af(z).
Характеристика множеств Ж, и Ма, данная в этих теоре-
теоремах, близка к точной. Имеет место
Теорема 26.7 (Ронкин [1]). Если некоторое множе-
множество МС2С1 может быть представлено в виде суммы

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 395
E.56), то существует такая целая функция f(w, z),
удовлетворяющая условиям теоремы 26.5, что для ее
множества Ма имеет место включение
M<Z Ма С М.
Из теорем 26.5—26.7 можно заключить, что рост функции
f(w,z), как правило, один и тот же для различных значе-
значений z1).
Для целых функций л^>2 переменных справедливы тео-
теоремы в общих чертах, аналогичные теоремам 26.5 и 26.6.
Однако структура множеств Mf и Ма пока еще достаточно
не выяснена. Для множества Ма известно, что его пересече-
пересечение Ма(~)Е с любой, целиком к нему не принадлежащей
аналитической плоскостью Е {zj = ар-|-bj, /=1, ..., л},
где т — комплексный параметр, может быть представлено в
виде суммы E.56). Отсюда можно сделать вывод, что про-
пространственная мера Лебега множества Ма равна нулю. Ана-
Аналогичные результаты имеют место и для множества 7И„. Во-
Вопрос о том, сколь точно эти свойства характеризуют мно-
множества М и Ма, остается открытым.
Более тонкую (сравнительно с типом) характеристику
роста целой функции порядка р одного переменного z дает
ее индикатор роста h (в). Он определяется равенством
= пш(г1п|/(ге'в)|).
Для целых функций двух комплексных переменных справедлива
Теорема 26.8 {Ронкин [3]). Если целая функция f (w, z)
порядка p^l удовлетворяет условиям теоремы 26.6,
то множество Nw точек z, в которых хотя бы для
одного значения 6
может быть представлено в виде суммы E.56).
') В работе Ронкина [1] теоремы 26.6 и 26.7 сформулированы
для случая р=1. Однако их доказательство без каких-либо су-
существенных изменений переносится на случай целой функции лю-
любого порядка.

396 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Здесь h F, z) и hw (в) — величины, определяемые (в об-
общем случае n~>z\) равенствами
h F, z) = Йй (гЧп | f(reib, z) |), hw (в) = sup A F, z).
В случае л^>1 относительно множества ЛАщ, можно повторить
замечания, сделанные выше относительно множеств Ма и Ж..
В заключение отметим, что изложенные нами здесь ре-
результаты могут быть перенесены на случай, когда рост це-
целых функций указывается с помощью уточненных порядков,
на случай, когда (при п^> 1) фиксируются п — k переменных,
где А^>Г, и рассматривается рост функции по совокупности
остальных k переменных.
4. Целые функции конечной степени. Целую функцию
f(z), где z(^Cn, для которой числа о1; ...,о„ составляют
систему сопряженных типов порядка A, ..., 1), мы будем на-
называть функцией конечной степени, а числа о1; ..., о„ — си-
системой ее сопряженных степеней. Аналогично случаю одного
переменного, целую функцию f(z) конечной степени мы бу-
будем задавать рядом
где, как обычно, zk = zk^ ... zk*, k\ = kx\ ... kn\; kb ..., kn =
= 0, 1, 2, ...
Рассмотрим ряд
Пусть D — область сходимости ряда Л ck(,k. В результате
k
отображения zj = (.]1, /=1, ..., п, и пополнения бесконечно
удаленными точками мы получим из нее область DC2Qn (где Qn
пространство теории функций), являющуюся окрестностью бес-
бесконечно удаленной точки z = со (т. е. точки z^ =.. ;=zn=oo).
Ряд E.58) будет равномерно сходиться во всякой области В,
лежащей вместе со своей границей в области D. Поэтому
он определяет в области D голоморфную функцию F(z).
Эту функцию называют ассоциированной к функции f (z).

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 397
Если р1; ..., р„ — сопряженные радиусы сходимости ряда
*, то величины Гу = —, _/= 1,..., л, называются сопря-
k
женными радиусами сходимости ряда E.58).
Функции f(z) и F(z) связаны между собой соотноше-
соотношениями
\F®№* E-59)
со со
'-"И
F(z) = е Ш \...\ /(fe-'?) exp (—fze^% dt. E.60)
Здесь и далее Дг+, — тор {| Zj \ =rj-\-&, j= 1, ..., л} (где
Г\, ..., гп — сопряженные радиусы сходимости ряда E.58))
и, как обычно, dC = dCiA ••• Л^»> dt = dtt/\ ... /\dtn,
области интегрирования предполагаются надлежащим образом
•ориентированными.
Равенства E.59) и E.60) являются обобщением соответ-
соответствующих формул для функций одного переменного1).
Они могут быть получены почленным интегрированием сте-
степенных рядов, представляющих функции f(z) и F(z). При
этом формула E.60) имеет силу в области равномерной схо-
сходимости интеграла, стоящего в ее правой части; эта область
зависит от выбора величин (р1; ..., <ря. Если в какой-то части
этой области ряд E.58) расходится, эта формула дает ана-
аналитическое продолжение функции F (z) за пределы области D.
Как и в случае одного переменного, существует тесная
связь между ростом функции f(z) и расположением особен-
особенностей ассоциированной функции F(z). Имеет место
Теорема 26.9. Гиперповерхность сопряженных сте-
степеней целой функции f(z) конечной степени совпадает
с границей образа (в абсолютном октанте) области схо-
сходимости степенного ряда, представляющего ассоцииро-
ассоциированную функцию F (z) в окрестности точки z^oo.
*) См., например, Левин, Ц. Ф.

398 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Доказательство мы проведем лишь для той части
гиперповерхности сопряженных степеней, которая лежит в
абсолютном октанте. Воспользуемся тем, что сопряженные
радиусы сходимости ряда E.58) определяются условием (см.
следствие из теоремы 3.10; у нас r~k = г~*» ... г „""*")
lim
V\ck\rk=\. E.61)
С другой стороны, согласно теореме 26.2, сопряженные сте-
степени аи ..., о„ функции f(z) удовлетворяют условию
1Ч-»Г ' 'V e У ft!
где
(«У '*!
Следовательно,
ft\*<r* /fti\*ier*t /ft»
E•6^)
Сравнивая равенства E.61) и E.62), убеждаемся в справедли-
справедливости теоремы 26.9.
Между ростом целой функции f{z) конечной степени и
расположением особенностей ассоциированной функции F(z)
существует более тесная связь, чем это можно заключить из
теоремы 26.9.
Пусть, как обычно, Zj = rjel'*i, /'=1, ..., п. Рассмотрим
те значения действительных переменных v1; ..., vn, иначе го-
говоря, точки в пространстве Rn переменных v1;..., vn, для
которых при фиксированных <pi,..., <р„ и достаточно больших
г1;..., г„ асимптотически
Подобные точки v в пространстве Rn образуют множество,
которое мы обозначим через Tf. Можно показать, рассуждая
так же, как при доказательстве аналогичного свойства мно-
множества В„ (см. п. 2 настоящего параграфа), что множество Т

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 399
в действительности является выпуклой областью. Мы обозна-
обозначим через Г_9 соответствующую область, определяемую зна-
значениями —<pi,..., —<рл-
Рассмотрим теперь в том же пространстве Rn перемен-
переменных vb..., vr множество Cf тех точек (v1;..., vn), для кото-
которых ассоциированная функция F(z) может быть аналитически
продолжена в область
При я = 2 В. К. Ивановым [1], [2], а при л>2 М. Ш. Став-
ским [1] была доказана следующая теорема, являющаяся
обобщением известной теоремы Пойя о связи индика-
индикаторной и сопряженной диаграммы целой функции одного
переменного1).
Теорема 26.10. Для любой целой функции конечной
степени замкнутые области Т и С^ тождественны.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Замечание. Если в пространстве Rn ввести сферические
координаты г, а1;..., an_t и записать уравнения границ обла-
областей Т и С? в виде г=/гг(<*!,..., ая_ь <pi,..., <р„) и соответ-
соответственно г==Ас(а!,..., ая_ь <pi,..., <р„), то теорему 26.10 можно
записать иначе:
Теорема 26.10i. Для любой целой функции конечной
степени
б. Применение преобразования Фурье. Среди целых
функций конечной степени особое место занимают функции
f\z), принадлежащие при действительных значениях перемен-
переменных Zj = X]-\-iyj(J=\,..., n) к классу L* во всем прост-
пространстве Rt действительных переменных хь..., хп (функция
f(x)?Lp в пространстве R%, если величина |/C*)|P измери-
измерима в смысле Лебега в этом пространстве и 1
RX
Характеристики роста подобных функций тесно связаны со
свойствами их преобразований Фурье.
') См., например, Левин, Ц. Ф.

400 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
В случае функций одного переменного указанная связь
выражается известной теоремой Винера—Палея. Она состоит
в следующем1).
Пусть функция f(x) принадлежит к классу I2 на всей
оси х. Тогда, для того чтобы ее преобразование Фурье
00
= 1. Lm.-^- §f(jt)eu*dt E.63)
' —00
обращалось в нуль почти всюду вне некоторого ограничен-
ограниченного интервала, необходимо и достаточно, чтобы функция
f(x) продолжалась с действительной оси х нд всю плоскость
комплексного переменного z = x-\-iy как целая функция
конечной степени. При этом наименьший интервал (а, Ь), вне
которого f{f) = 0, определяется условиями
Замечание. Символ 1. 1. ш. (limit in mean) в равенстве
E.63) означает, что
оо
lim f|/(f)_ I \f(x)e-Uxdt\*dt=O.
Аналогичный смысл имеет этот символ и в дальнейшем.
Чтобы сформулировать соответствующую теорему для
случая л^>1 переменных, введем в рассмотрение, следуя Пойа
и Планшерелю [1], характеристику роста целой функции/(z)
по различным направлениям в пространстве Rn переменных
Уь • • • > У п.- Пусть a.j — угол, образованный выбранным направ-
направлением с координатной осью Oy>j (у'^1,..., п). Положим
hf (a, x) = lim {r1 In | f(xi + ir cos а1;..., xn-\-ir cos а„)|}.
r-*co
Функцию
hf(a)= sup hf(a, x)
') См., например, Левин, Ц. Ф.

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 401
мы назовем Р-индикатором функции f(z). Следующая теорема,
полученная М. Планшерелем и Г. Пойа [1], представляет
собой обобщение приведенной выше теоремы Винера—Палея
на случай и^>1 переменных.
Теорема 26.11 (Планшерель—Пойа). Пусть функция
f(x) принадлежит к классу I2 во всем пространстве
действительных переменных хх хп. Тогда, для того
чтобы ее преобразование Фурье
/@ = 1- i-m. -F=- \ /(лг) e'H^H dJC E.64)
ц(х)
обращалось в нуль почти всюду вне какой-нибудь ограни-
ограниченной области, необходимо и достаточно, чтобы функ-
функция f(x) могла быть продолжена на все пространство С"
комплексных переменных Zj = Xj -\- iyj (J = 1 п), как
целая функция конечной степени. При этом наименьшая
ограниченная выпуклая область Df, вне которой f{f) = 0
определяется условием
Здесь К/ (а) — опорная функция области Df, a hf (а) — Р-ин-
дикатор целой функции f(z) конечной степени, являющейся
продолжением данной функции f(t).
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть
функция f{t) = 0 почти всюду вне некоторой ограниченной
выпуклой области Df с опорной функцией АГ/(«). Рассмотрим
функцию ,
Uy С7'П'Ч E.65)
Она является искомым продолжением функции f(x), заданной
в пространстве действительных переменных хь..., хп на все
пространство С" комплексных переменных zb..., zn. Пока-
Покажем, что она обладает указанными в теореме свойствами.
Действительно, в силу известных свойств преобразований
Фурье функций класса Z.2, функция /^ I?. Отсюда и из огра-
ограниченности области Df вытекает, что f?Lu, следовательно,
интеграл в равенстве E.65) можно понимать в обычном
смысле.

402
ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ DO ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [гл. V
Из того, что область, на которую распространен интеграл
E.65), ограничена, далее вытекает, что он абсолютно и рав-
равномерно сходится в любой ограниченной области простран-
пространства С". Поэтому/(z)— целая функция.
Покажем теперь, что /(z) — целая функция конечной сте-
степени и оценим ее Р-индикатор. Имеем
cos «!,..., хп + ir cos <х„)| =
I
cos 4\\)dt\
1 \n
] exp {r || * cos a |
M exp {r sup
cos a ||} = MerKi (a). E.66)
Отсюда следует, что f(z) — целая функция конечной степени
и ее Р-индикатор удовлетворяет условию
*,(«)<*/(«)•¦ E-67)
Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть f(z) — целая функция ко-
конечной степени, принадлежащая к классу Z.2 для действитель-
действительных значений независимых переменных Zj = Xj -)- iyj
(/=1,...,я).
Предположим сначала, что/(дг) ^ I1. Тогда преобразова-
преобразование Фурье f(f) функции f{x) существует не только как
1. i. т., но и в обычном смысле, т. е.
U{x)J\\**Wdx E.68)
Возьмем в пространстве R^ какую-нибудь прямую, проходя-
проходящую через начало координат, и введем там новую систему
координат х[,..., х'п, в которой эта прямая играет роль оси
х[. Тогда
XP=
х'я cos apq, /7=1 п,

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 403
где apq — угол между осями х'д и хр. Замена переменных,
определяемая этими формулами, переводит функцию f(x)
в функцию
?(-0 =/(«1 + A cos а.ъ..., ап + х\ cos <х„),
где
п •
ар = ^ х'я cos apq> Р = * «•
Очевидно, что вместе с функцией f(x) и функция ^ (xr) ^ L1-
Переходя в интеграле \ \g(x')\dx' к повторным интегралам,
i
оо
мы, используя теорему Фубини, найдем, что \ | g(x') \ dx[
существует почти для всех (х'$,..., х'п)^
Произведем подобную замену переменных в интеграле
E.68) и затем выделим в нем интегрирование по х\. В ре-
результате мы получим
л л
= -^- \ g(x') exp{i
=— f
л —1
Здесь внутренний интеграл существует понти для всех точек
(х'ъ..., Xn)?Rn_i во внешнем интеграле dx'=dx'^/\...
.../\dx'n. Очевидно, что
g(xr) =/(ax + z cos <xu,..., an + z cos anl) [j,=o,
где /—целая функция конечной степени комплексного пере-
переменного z = x[-\-iy. В силу определения Р-индикатора функ-
функции одного переменного
lim {Г1 In |/(a^ir cos au,..., an + Ir cos anl)| <

л
404 ФУНКЦИИ, МЕРОМОРФНЫЕ ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Отсюда по теореме Винера—Палея следует, что при
tk cos <xft, i ^ hf (<xu,..., <хл1) E.70)
почти дЯя всех точек (х%,..., х'п)?Rn^
Л
exp {i^; 2 '* cos ам}<**; =0.
С
Далее, учитывая равенство E.69), мы заключаем, что функция
fit) = 0 почти всюду в полупространстве, определяемом
условием E.70). Рассуждая таким образом, мы покажем, что
в рассматриваемом случае функция f(t) = 0 почти всюду вне
какой-то ограниченной выпуклой, опорная функция которой
удовлетворяет условию
Л) (а) зз: А, (а). E.71)
Теперь рассмотрим случай, когда f(x) ? ?2> но /(лг) ^ Z.1.
Положим
Легко видеть, что функция/, (д:) ^ Z.1; по доказанному выше пре-
преобразованию Фурье fe(t) этой функции обращается в нуль почти
всюду вне некоторой выпуклой области Z), с опорной функ-
функцией Kft (а), удовлетворяющей условию Kfs («) =^ hf (а) -)- е.
Покажем, что lim f,(t)=f(t) почти для всех точек
t(^-RV\ Действительно, преобразование Фурье функции
равно нулю при |?|^>1 и равно Bе)-1 при |^|^>1. Учиты-
Учитывая, что преобразование Фурье произведения двух функций
равно свертке преобразований Фурье сомножителей, находим
S(i, t)
Здесь S(t, е){|^-^|<е, 7=1,..., n}CRf?\

§ 26] ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ 405
Легко видеть, что почти для всех точек t?Rfn
а следовательно, и
"m/.@=/@-
в —> О
Но функция ft (t) = 0 почти всюду вне области Z),. Следова-
Следовательно, и функция f(t) = O почти всюду вне какой-то вы-
выпуклой области Df, опорная функция которой АГ/ («) удовлет-
удовлетворяет условию
^ЛДа). E.72)
Сравнивая неравенства E.71) и E.72), видим, что
Теорема доказана.
Преобразование Фурье можно также с успехом применить
к изучению роста функций, голоморфных в радиальных труб-
трубчатых областяхJ). Для них, в частности, имеет место теорема,
аналогичная теореме 26.11 Пойя—Планшереля.
См., например, Бохнер—Мартин [1].

ЛИТЕРАТУРАJ)
Айзенберг Л. А.
1. О граничных свойствах функций, аналитических в двояко-
круговых областях. ДАН СССР 125 A959), № 5, 959—962.
2. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналити-
аналитических функций многих комплексных переменных. Учен. зап. Мое.
обл. пед. ин-та 77 A959), 13—35.
3. О плюригармонических функциях. ДАН СССР 124 A959),
№ 5, 967—979.
4. Интегральные представления функций, голоморфных в крат-
кратно-круговых областях. ДАН СССР 138 A961), № 1, 9—12.
5. Некоторые граничные свойства аналитических функций мно-
многих комплексных переменных. Исследования по современным проб-
проблемам теории функций комплексного переменного. Сборник статей,
Физматгиз, М. A961), 239—241.
6. Интегральные представления функций, голоморфных в я-кру-
говых областях (печатается).
Айзенберг Л. А. и Митягин Б. С.
1. Пространства функций, аналитических в кратно-круговых
областях. Сибир. матем. журнал 1 A960), №2, 153—170.
В а в р и н И. И.
1. Оценки в теории аналитических функций двух комплексных
переменных. ДАН СССР 136 A959), № 5, 919—922.
Беенке — Зомер (Behnke H. — Sommer F.)
1. Ober die Voraussetzungen des Kontinuitatssatzes. Math. Ann.
121 A950), 356—378.
Бе енке — Пешль (Behnke H. — Peschl E.)
1. Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer komplexen
Veranderlichen. Die starre Regularitatsbereiche. Monatshefte fur Math.
und Phys. 43 A935), 493.
J) Настоящий список не претендует на полноту охвата лите-
литературы по теории аналитических функций многих переменных.
Во многих случаях указанные работы содержат дальнейшие лите-
литературные указания.

ЛИТЕРАТУРА 40?
Беенке — Штейн (BehnkeH. —SteinK.)
1. Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flachen.
Math. Ann. 120 A948), 430—461.
2. Konvergente Folgen nichtschlicter Regularitatsbereiche. Ann.
di Math, pura et appl. 28 A949).
3. Modifikation komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannscher
Gebiete. Math. Ann. 124 A951), 1—16.
Бергман (Bergmann S.)
1. Ober eine Integraldarstellung von Funktionen von zwei Kom-
plexen Veranderlichen. Матем. сб. 1 A936), 242—257.
2. Ober uneigentliche Flachenintegrale in der Theorie der ana-
lytischen Funktionen von zwei komplexen Veranderlichen. Rev.
Ciencias Lima 43 A941), 675; 44 A942), 131 и 377.
Битлян И. Ф. и Гольдберг А. А.
1. Теоремы Вимана—Валирона для целых функций многих комп-
комплексных переменных. Вестник Ленингр. ун-та 13 A959), 27—41.
Бохнер (Bochner S.)
1. A theorem on analytic continuation of fonctions in several
variables. Ann. of Math. B), 44 A943), 652—673.
2. Group invariance of Cauchy's formula in several variables.
Ann. of Math. B), 45 A944), 686—707.
Б о x н e p—M артин (Bochner S. — Martin W.)
1. Функции многих комплексных переменных. М., ИЛ A951).
Бремерман (Bremermann H.)
1. Ober die Aquiyalenz der pseudokonvexen Gebiete und der
Holomorphiegebiete im Raum von я komplexen Veranderlichen.
Math. Ann. 128 A954), 63—91.
2. Holomorphic continuation of the Kernel fonction and the
Bergmann metric in several complex variables. Lect. Funct. complexe
variable. Ann. Arbor Univ. Michigan Press A955), 349—383.
3. Complex convexity. Trans. Amer. Math. Soc. 82 A956), 17—51.
4. Construction of the envelopes of holomorphy of arbitrary
domains. Revista Matem. Hisp— Amer. D), 17 A957), 1—26.
Броун (Brown)
1. On certain analytic continuations and analytic homeomor-
phisms. Duke Math. Journ. 2 A936), 20—28.
В ей ль (Weil A.)
1. Sur les series de polynomes de deux variables complexes.
С R. Acad. Sci. Paris 194 A932), 1304—1307.

408 ЛИТЕРАТУРА
2. L'integrale Cauchy et les fonctions de plusieurs variables.
Math. Ann. Ill A935), 178—182.
Гартогс (Hartogs F.)
1. Zur Theorie der analytischen Funktionen meherer unabhangigen
Veranderlichen insbesondere uber der Darstellung derselben durch
Reien welche nach Potenzen einer Veranderlichen fortschreiten. Math.
Ann. 62 A908), 1—88.
2. Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei
Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen. Munchener Sitz.
Bericht. 36 A906), 223—236.
3. Ueber die aus singularen Stellen einer analytischer Funktion
mehrerer Veranderlichen bestehenden Gebilde. Acta Math. 32 A909),
57—79.
Гефер (Hef er H.)
1. Zur Funktionentheorie mehrerer Veranderlichen. Math. Ann.
122 A950), 276—280.
Г и н д и к и н С. Г.
1. Интегральные представления для областей Зигеля второго
рода. ДАН СССР 141 A961), № 3.
2. Интегральные представления в однородных ограниченных
областях, УМН A962).
3. Голоморфные функции в трубчатых областях. ДАН СССР
A962).
Гольдберг А. А.
1. Элементарные замечания о формулах для определения по-
порядка и типа целых функций многих переменных. ДАН Арм. ССР
29 A959), 145—151.
2. О формулах для определения порядка и типа целых функ-
функций многих переменных. Докл. и сообщ. Ужгород, ун-та, сер.
Физ.-мат., № 4 A961), 101—103.
Грауэрт (Grauert H.)
1. Charakterisierung der holomorph vollstandigen komplexen
Raume. Math. Ann. 129 A955), 233—259.
Грауэрт—Реммерт (Grauert H. — .RemmertK.)
1. Singularitaten komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannsche
Gebiete. Math. Z. 67 A957), 103—128.
2. Komplexe Raume. Math. Ann. 136 A958), 245—318.
Гронваль (Gronwall)
1. On the expressibility of uniform function of several variables
as the quotient of two functions of entire character. Trans Amer.
Math. Soc. 18 A917), 50—64.

ЛИТЕРАТУРА 409
Джрбашян М. М.
1. К теории некоторых классов целых функций многих пере-
переменных. ИАН Арм. ССР, серия физ.-матем., 8 A955), 1—23.
Докье—Грауэрт (Docqier F. — Grauert H.)
1. Levisches Problem und Rungescher Satz ftir Teilgebiete
Steinscher Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 140 A960), 94—123.
Еремин С. А.
1. О целых функциях двух переменных. Укр. матем. журнал 9
A957), 30-43.
Ж ю л и a (Julia G.)
1. Sur les families de fonctions analytiques des plusieurs vari-
variables. Acta Math. 47 A926), 53—115.
Зоммер (Sommer F.)
1. Ober die Integralformeln in der Funktionentheorie mehrerer
komplexer Veranderlichen. Math. Ann. 125 A952), 172—182.
Зоммер — Меринг (Sommer F. —Mehring J.)
1. Kernfunktion und Hiillenbildung in der Funktionentheorie von
mehreren Veranderlichen. Math. Ann. 131 A956), 1—16.
И в а н о в В. К.
1. Связь между ростом целой функции многих переменных и
распределением особенностей ассоциированной с ней функции.
Матем. сб. 43 A957), 367—378.
2. Характеристика роста целой функции и ее применение к
суммированию двойных степенных рядов. Матем. сб. 47 A959),
2—16.
КакичевВ. А.
1. Граничные свойства интеграла типа Коши многих перемен-
переменных. Учен. зап. Шахтинского пед. ин-та 2 A959), № 6, 25—90.
2. Характер непрерывности граничных значений интеграла
Мартинелли—Бохнера. Учен. зап. Мое. обл. пед. ин-та 96 (I960),
145—150.
К а л а б и — Розенлихт(Са1аЫ — Rosenlicht)
1. Complex analitic manifold without countable base. Proc. Amer.
math. Soc. 4 A953), 335—340.
Калаби— Экман (Calabi — Eckmann)
1. A class of compact complex manifolds which are not algebraic.
Ann. Math. 58 A953), 494—500.

4 Ю ЛИТЕРАТУРА
Карафа (Carafa M.)
1. Sulle fimzioni analitiche di n variabili complesse. Univ. Roma
1st. Naz. Alta Mat., Rend Mat. e Appl. 12 A953), 267—284.
Картан (Cartan H.)
1. Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs vari-
variables complexes. Bull. Soc. Math. France 59 A931), 46—69.
2. Sur les fonctions de deux variables complexes et probleme de
la representation analytique. Journ. Math, pures et appl. 10 A931),
1—114.
3. Sur les transformations analytiques des domaines cercles et
semi-cercles bornes. Math. Ann. 106 A932), 540.
4. Varietes analytiques complexes et cohomologie. Colloque sur les
fonctions de plisieurs variables tenu a Bruxelles, Paris A953), 41—55.
(Русский перевод. Расслоенные пространства и их приложение. Сб.
переводов. М., ИЛ A958), 352—362.)
5. Sur un memoire inedit de H. Grauert. Seminaire Bourbaki,
mai 1955, 115—01—115—11.
6. Prolongement des espaces analytiques normaux. Math. Ann.
136 A958), 97—ПО. (Русский перевод. Математика. Сб. переводов
4:3 A960), 41—55.)
7. Quotients of complex analytic spaces. Contribs Function
Theory. Bombay Tata Inst. Fundament, Res. A960), 1—15.
Картан— Туллен (Cartan H. — Thullen P.)
1. Regularitats- und Konvergenzbereiche. Math. Ann. 106 A932),
617—647.
Коммерель (Kommerel)
1. Riemannsche FISchen im ebenen Rauml von vier Dimensionen.
Math. Ann. 60 A905), 548—596.
Кузен (Cousin)
1. Sur les fonctions des n variables complexes. Acta math. 19
A895), 1—62.
Кюльман (Kuhlmann N.)
1. Die Normalisierung komplexer Raume. Math. Ann. 144 A961).
110—125.
Л е в и (L e v i E. E.)
¦ 1. Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di
due о piu variabili complesse. Ann. di Math., ser. Ill, 17 A910),
61—87.
2. Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensionche possono
essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di
due variabili complesse. Ann. di Mat., ser. III. 18 A911), 69—79.

ЛИТЕРАТУРА 411
Л е л о н (belong P.)
1. Sur quelques problemes de.la theorie des fonctions de deux
variables complexes. Ann. sciect. Ecole norm, super 58 A941).
Л e p e (L e г а у J.)
1. Дифференциальное и интегральное исчисления на комплекс-
комплексном аналитическом многообразии. М., ИЛ A961).
Л е у (К. d e L e e u m)
1. Functions on circular subsets of the space of n complex vari-
variables. Duke Journ. Math. 24 A957), 415—431.
Ли Чэ Гон
1. Интегральное представление функций п комплексных пере-
переменных. Сухакка Мулли 3 A959), 27—30 (кор.).
Л у Ц и-к э н — Ч ж у н Т у н-д э (Look С. Н. — С h u n g T. D.)
1. An extension of Privalof theorem, Acta math. Sinica 7 A957),
N 1, 144—165.
Мартинелли (Martinelli E.)
1. Sulle estensioni della formula integrate di Cauchy alle funzioni
analitiche di piu variabili complesse. Ann. di Mat. 34 A953), 277—347.
Митрохин И. М.
1. Ueber die Veranderung der Krummung von Hyperflachen bei
pseudokonformen Abbildungen. Изв. НИИ матем. и мех. при Том-
Томском ун-те 1 A935—1937), 267—280.
Нарасимхан (N ar asimhan R.)
1. Holomorphic mapping of complex space. Proc. Amer. Math.
Soc. 11 A960), 800-804.
Норгуэ (Horguet)
1. Sur les domaines d'holomorphie des fonctions uniformes de
plusieus variables complexes. Bull. Soc. Math. France 82 A954),
137—159.
Ока (Ока К.)
1. Sur les fonctions analytiques des plusieurs variables complexes.
Journ. Sci. Hirosima Univ. 1) сер. А, 6 A936), 245—255; 2) сер. А,
7 A937), 115—130; 3) сер. А, 9 A939), 7—19.
2. To же название в Japbnese Journ of Math. 1) 17 A940),
517—522, 2) 17 A940), 523—531.
3. To же название в T6hoku Math. Journ. 49 A942), 15—22.
4. To же название в Bull Soc Math. France 78 A950), 1—27.

412 ЛИТЕРАТУРА
5. То же название в Journ. Math. Soc. Japan 1) 3 A951),
204—214, 2) 3 A951), 259—278.
6. To же название в Japonese Journ. of Math. 23 A953),
97—155.
Осгуд (Osgood W.)
1. Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II, 1. Teubner, Leip-
Leipzig A929).
Планшерель — Пойа (Plancherel — Poly a)
1. Fonctions entieres et integrales Fourier multiples. Com. Math.
Helv. 9 A937), 224—248; 10 A938), 110—163.
Реммерт (Remmert R.)
1. Projektionen analytischer Mengen. Math. Ann. 133 A957),
328—370.
Реммерт — Штейн (Remmert R. — Stein K.)
1. Ober die wesentlichen Singularitaten analytischer Mengen.
Math. Ann. 126 A953), 263—306.
P и ц ц a (R i z z a Y.)
1. Dirichlet problem for я-harmonic fonctions and related geo-
geometrical proprietes. Math. Ann. 130 A955), 202—218.
P о н к и н Л. И.
1. О типах целой функции двух комплексных переменных. Ма-
тем. сб. 39 A956), 253—266.
2. О целых функциях конечной степени и о функциях вполне
регулярного роста от нескольких переменных. ДАН СССР 119 A958),
211—214.
3. Об одной характеристике роста целых функций от несколь-
нескольких переменных. Труды Харьковского матем. об-ва т. XXVII, сер. 4
A961), 59—65.
PoTiiiTettH(Rotschtein W.)
1. Ein neuer Beweis des Hartgosschen Hauptsatzes und seine
Ausdehnung auf meromorphe Funktfbnen. Math. Z. 53 A950), 84—85.
С а к а и (Sakai)
1. О note on meromorphic functions in several complex variab-
variables. Mem. of the Faculty of Science, Kyusyu Univ., Ser. A, 11 A957),
75—80.
С e p p (S e r r e J. P.)
1. Geometrie algebrique. et geometrie analytique. Ann. Inst.
Fourier 6 A955/56), 1—42.

ЛИТЕРАТУРА 413
С и р (S i r e J.)
1. Sur les founctions entieres de deux variables d'ordre apparent
total fini. Rend. Circ. mat. Palermo, 31 A911), 1—91.
Ставский М. Ш.
1. Связь между ростом целой функции нескольких переменных
и множеством особых точек ассоциированной с ней функции. Изв.
высших учебн. завед., серия матем., 2 A959), 227—232.
Стрелиц Ш. И.
1. Теорема Вимана—Валирона для целых функций многих пе-
переменных. ДАН СССР 134 A960), 286—288.
Темляков А. А.
1. Целые функции двух комплексных переменных. Учен. зап.
Мое. обл. пед. ин-та 20 A954), 7—Ш.
2. Интегральное представление аналитических функций двух
комплексных переменных. Учен. зап. Мое. обл. пед. ин-та 21 A954),
7—21.
3. Интегральное представление функций двух комплексных
переменных. ИАН СССР, сер. матем., 21 A957), 89—92.
4. Интегральные представления. ДАН СССР 129 A959), 986—988.
Т и м м (ThimmW.)
1. Untersuchungen Uber das Spurproblem von holomorphen
Funktionen. Math. Ann. 139 A959), 95—114.
2. Ober starke und schwache Holomorphie auf analytischen Men-
en. (Fflhreridealgarbe und adjungierte Idealgarbe). Math. Z. 75
1961), N 5, 426—448.
T о г а р и (Т о g a r i J.)
1. On ramified Riemann domains. Nagoya Math. J. 14 A959),
173—191.
Туллен (Thullen P.)
1. Die Regularitatshflllen, Math. Ann. 106 A932), 64—76.
Фабер (Faber)
1. Ueber die zusammengehorigen Konvergenzradien von Pofenz-
reihen mehrerer Veranderlichen. Math. Ann. 61 A905), 289—324.
Фукс Б. А.
1. Ober einige Figenschaften der pseudokonformen Abbildung.
Матем. сб. 1 A939), 569—574.
2. Естественные границы аналитических функций комплексных
переменных. Успехи матем. наук V, вып. 4 A950), 75 — 120.

414 ЛИТЕРАТУРА
3. Об изменении длин и направлений при псевдоконформных
отображениях. Успехи матем. наук IX, вып. 3 A954), 193—200.
4. Геометрический смысл аргумента якобиана псевдоконформ-
псевдоконформного отображения. Успехи матем. наук X, вып. 1 A955), 179—182.
5. Стереографическая проекция в пространстве я комплексных
переменных и некоторые ее применения. Исследования по совре-
современным проблемам теории функций комплексного переменного.
Сборник статей, Физматгиз, М. A960), 294—300.
XmouyMaTy(Hitotumatu S.)
1. Note on the holomorphy on an analytic subset. Journ. Fac.
Sci. Univ. Tokyo 7 A958), 605—613.
Шея (S с h e j a G.)
1. Uber das Auftreten von Holomorphie- und Meromorphiege-
bieten die nicht holomorphkonvex sind. Math. Ann. 140 A960),
33—50.
Штейн (Stein K.)
1. Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen
zu vorgegebenen Periodizitatsmoduln. Math. Ann. 123 A951), 201—202.
2. Analytische Zerlegungen komplexer Railme. Math. Ann. 132
A956), 63—93.
Ю ж а к о в А. П.
1. Вычисление интегралов от функций двух комплексных пере-
переменных по замкнутым двумерным контурам. Учен. зап. Урал. гос.
ун-та 23 A960), № 2, 73—85.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм области 57, 224—
230
— оболочки голоморфности 225
Базис идеала (в кольце ростков
голоморфных функций) 79
Бицилиндр круговой 43
единичный 43
Выпуклость аналитическая в
смысле Гартогса 197, 288,
293
Леви 200
— А. Картана 219, 294
Тогари (Г-выпук-
лость) 294
— голоморфная 186, 287, 293
— логарифмическая 226
— относительно класса К функ-
функций 186
сильная 186
Вычет-класс на комплексном
многообразии 310
, вычисление с
помощью конструкции Гель-
фанда— Шилова 313
Вычет-форма на комплексном
многообразии 303
Гиперповерхность аналитическая
207
— сопряженных порядков и ти-
типов целой функции 388
Граница области в смысле Ши-
Шилова 45, 332
наложения 147
римановой 291
— функции естественная 156
Делитель единицы (в кольце
ростков голоморфных функ-
функций) 72
Дифференциал функции 47
Единственность разложения на
голоморфные множители 73,
235, 254
Идеал собственный аналитиче-
аналитического множества 79
Индикатор роста целой функции
395
Интеграл Айзенберга для я-кру-
говых областей 341
— Бохнера для радиальных
трубчатых областей 361
— Бохнера — Мартинелли 326
— Вейля (Бергмана—Вейля) для
аналитических полиэдров 332
— Гиндикина для трубчатых
областей 361
— Коши для полицилиндриче-
полицилиндрических областей 43
— от голоморфной формы 41,
92, 303
— Темлякова для я-круговых
областей 346
— типа Коши 46
— типа Темлякова 351
Класс голоморфных (мероморф-
ных) функций 182
Кольцо функций, голоморфных
в области наложения 155
— пространства С",
Рп 77, 104
, — на комплексном мно-
многообразии 232, 282

416
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кольцо функций, голоморфных
на открытом множестве 77,
104, 155
— ростков голоморфных функ-
функций в точке комплексного
многообразия 235
— простран-
пространства 255, 263, 269, 270
нетерово 79,
252, 263
— — — области нало-
наложения 155
пространства
Сп, Рп 72, 104
целозамкну-
тое 252, 270
— — —, являющееся
областью целостности 252, 269
Конус асимптотический трубча-
трубчатой области 358
— сопряженный 358
Кривизна аналитической поверх-
поверхности 93
Коразмерность аналитического
множества 87
Координаты (параметры) комп-
комплексные локально униформи-
зирующие 173, 233
Лемма о мероморфном продол-
продолжении 161
Многообразие комплексно ана-
аналитическое 233
без счетной базы окрест-
окрестностей 280
голоморфно полное (Штей-
(Штейна) 287, 289
— — на котором все голоморф-
голоморфные , функции постоянны 282
Множество аналитическое 78,
112, 155, 234, 256, 261
локально неприводимое 82
неприводимое 82
нормальное (нормально
вложенное) 271
однородное (чисторазмер-
ное) 81
приводимое 82
— дискриминантное псевдопо-
псевдополинома 76
Множество, для которого имеет
силу принцип максимума 91
— критическое аналитического
наложения 236
— полярное 156
— почти тонкое 82, 155, 234
— тонкое 82, 155, 234
— 91 в пространстве с кольце-
кольцевой структурой 259
Наложение аналитическое над
комплексным многообразием
236
алгеброидное 248
над пространством Рп, С"
137
Неравенство Коши 62
Нормализация аналитического
множества 239
— комплексного р-пространства
267, 275
Область аналитически выпуклая
в смысле Гартогса 197
Леви 200
— бицилиндрическая 43
обыкновенная 43
— Вейля 340
полиномиальная 341
— голоморфно выпуклая 186
— голоморфности 154
— двоякокруговая 58
полная 58
— класса (Г) 349, 350
— круговая (р! р„) над про-
пространством С" 227
полная 227
— кругообразная 225
— мероморфности 161
— наложения плоская над про-
пространством С, Р1 140
внутриразветвленная 180
Римана 290
— нормальности 217
круговая 57, 225
полная 57, 225
— полицилиндрическая 43
обыкновенная 43
— полукруговая 228
полная 228
— сходимости 55, 57, 217

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
417
Область трубчатая 228, 357
класса (В) 357
октантообразная 229, 358
радиальная 359
^-образная 228
— /(-выпуклая 186
Оболочка голоморфно выпуклая
186, 286
— голоморфности 220
— произведения областей 231
— /С-выпуклая 186, 286
Окрестность элементарная 54
аналитической точки 143
бесконечно удаленной точ-
точки 104, 106
граничной точки 149, 292
— — — — расширенная 149,
292
Октант абсолютный 58
Определитель Леви 203
Остов аналитического полиэдра
332
— полицилиндрической области
43
Отделимость голоморфная 186,
287
— относительно класса /(-функ-
/(-функций 186
Отображение биголоморфное
(псевдоконформное) 123, 171,
235, 248, 261
— бимероморфное 178
— биморфное 259
— голоморфное 122, 170, 235,
248, 261
вырожденное 177
обобщенное 181
— мероморфное 177
— морфное 259
Пересечение областей наложе-
наложения 146
Плоскость аналитическая 87
Поверхность аналитическая 87
Поле ростков мероморфных
функций 158, 257, 261
роморфных функций 259
Полицилиндр круговой 43
единичный 43
Полиэдр аналитический 328
Полюс функции 157
Порядок точки ветвления 149,
238
— целой функции 384
Принцип максимума 64, 264
Продолжение аналитического
множества 112
наложения 239
— аналитическое функции 108,
152, 257, 272
вдоль линии 108
— мероморфное 160
— одновременное класса функ-
функций 183
— с помощью формулы Грина
317
Проекция аналитической точки
139
— пространства аналитического
наложения 236
нормализации 240—241
— стереографическая 95—99
Производная 29
— высшего порядка 47
Пространство комплексное а
(Бе енке— Штейна) 254
Р (Серра) 266
рг 269
ря (нормальное А. Карта-
на) 270
голоморфно полное 286
класса F 260, 272
класса F 274
— комплексных переменных С
14
— проективно расширенное Рп
100
— с кольцевой структурой 258
— теории функций Gn 104
Псевдополином 72
— отмеченный 72
Пучок колец ростков голоморф-
голоморфных функций в пространстве
Сп, Рп в области 77, 104
на откры-
открытом множестве 77, 104
над пространст-
пространством Р", в области 155
,на откры-
открытом множестве 155
— — — структурный, в
а-пространстве 257

418
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пучок колец ростков голоморф-
голоморфных функций в E-пространстве
26Т, 269, 270
, утон-
утонченный 262
, макси-
максимальный 263
морфных функций 258
— полей ростков мероморфных
функций 257, 261
роморфных функций 259
— ростков аналитических мно-
множеств 83
— собственных идеалов анали-
аналитического множества 81
Радиус наложения (элемента)
138
Радиусы сходимости максималь-
максимальные 58
сопряженные 58
Разложение голоморфной функ-
функции на неприводимые множи-
множители 73, 235, 254
Размерность аналитического мно-
множества (топологическая, комп-
комплексная) 87
— комплексного многообразия
233
пространства (топологи-
(топологическая, комплексная) 255, 264
Расстояние точки граничное 54
Расширение пространства 95
Росток аналитического множе-
множества 83
простой 83
— локально неприво-
неприводимый 84
— голоморфной функции 29, 77,
252, 257, 261
— комплексного пространства
простой 267
— мероморфной функции 257,
261
— морфной функции 258
— роморфной функции 259
Ряд Лорана 107
— Тейлора 53
Семейство голоморфных функ-
функций полное 182
Сечения пучков 112, 257, 259 -
Сходимость равномерная 28
Теорема Абеля о степенных ря-
рядах 52
— Беенке — Зоммера 195
— Бремермана 197
— Вейерштрасса — Гурвица 367
о рядах 50
подготовительная 68
— Вейля о разложении по по-
полиномам 340
— Гартогса главная 32
об аналитическом продол-
продолжении 114
о непрерывном располо-
расположении особых точек 159
фундаментальная 31
— Гефера 332
— Грауэрта — Реммерта 249
— единственности 66
— Иванова — Ставского о це-
целых функциях 399
— Картана—Тулленао АТ-выпук-
лых областях 190
— Кузена первая 372
вторая 379
— Леви о непрерывном распо-
расположении существенно особых
точек 165
— Лиувилля 65, 104, 382
— Морера обобщенная 313
— об оболочке голоморфности
220
— об одновременном продолже-
продолжении класса функций 183
— Ока об областях выпуклых в
смысле Гартогса 219
о голоморфной отдели-
отделимости 187
— нормализации аналити-
аналитических множеств 275
монодромии ПО
— Осгуда о системе уравнений
124
— Планшереля — Пойа о целых
функциях 401
— Фукса об искажениях при
биголоморфных отображениях
134, 135
Тип целой функции 384

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
419
Точка аналитическая 139
— ветвления аналитического на-
наложения 149, 180, 239, 256
— — голоморфной функции 158
не униформизируемая 180,
244
комплексно 180, 244
униформизируемая 180,244
комплексно 180, 244
— геометрическая (фундамен-
(фундаментальная) 139, 236
— граничная области (илоскоП)
наложения 147
Римана 291
— исключительная аналитиче-
аналитического множества 86
голоморфного отображе-
отображения 175
комплексного пространст-
пространства 265
— кручения аналитического на-
наложения 243
— неопределенности функции
157
— обыкновенная аналитическо-
аналитического множества 86
комплексного пространст-
пространства 265
— особая функции, ветвления
158
существенная 158
устранима)! 152
— самопересечения 11.4
Углы аналитические 94
Условия Коши — Римана 29
— разрешимости задачи Дирих-
Дирихле 317
Форма внешняя голоморфная 41
, след (ограничение) 91
— класса (Г) 360
Функция аналитическая 112, 154,
293
полная 112, 154, 293
— бигармоническая 49
— голоморфная (регулярная) 29,
151, 246, 256, 261
в бесконечности 102, 105
, след (ограничение) 27, 277
• - двоякогармоническая 316
— мероморфная 249, 257, 261
¦ морфная 258
- неприводимая 73
- неявная 48
нлюригармонпчеч'кая 48
правил).нам 71
— приводимая 7.4
-- роморфнаи 258
целая 384
- конечной степени 890
Четверя, плоскости абсолютная
58
Число листов аналитического
наложения 23S
простых ростков комплекс-
комплексного пространства 2<>7
Эквивалентность непрерывного
и аналитического продолже-
продолжения 121
Якобиан отображения Г.М, 171,
173
— •-, геометрический cmmc.i 1.45

Фукс Борис Абрамович
Введение в теорию аналитических функций
многих комплексных переменных
М„ Физматгиз, 1962 г., 420 стр.
Редактор Айзенберг Л. А.
Техн. редактор Мурашова Н. Я.
Корректор Желтона Г. Г.
Сдано в набор 3/XI 1961 г. Подписано к печати
23/Ш 1962 г. Бумага 84 X 1081/8а. Физ. печ. л.
13,125. Условн. печ. л. 21,53. Уч.-изд. л. 22,69.
Тираж 9000 экз. Т-00992. Цена книги 1 р. 28 к.
Заказ № 825.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народиого хозяйства.
Управлениеполиграфической промышленности.
Типография № 1 «Печатный Двор»
имени А. М. Горького. Ленинград,
Гатчинская, 26.