С.БОХНЕР и У.ТМАРТИН
Функции
многих
КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ

и*л
Издательство
иностранной
литературы

SEVERAL
COMPLEX VARIABLES
tlY
SALOMON BOCHNF.R
AND
WILLIAM TED MARTIN
PRINCETON
1948

с. БОХНЕР и У. Т. МАРТИН
ФУНКЦИИ
многих КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Перевод с английского
Б. А. ФУКСА
1951
ИЗДАТЕЛЬСТВ О
ИНОСТРАННОЙ ЛИ Г Е Р А Т У Р Ы
Москва

АННОТАЦИЯ
Монография иоспящена молодой и приобретающей
псе большую важность математической дисциплине —
теории функций многих комплексных переменных.
Авторы начинают книгу с изложения формальных
степенных рядов и основных фактов теории
аналитических функций. Здесь исследуются функции как
комплексных, так и действительных и смешанных
переменных. Рассмотрев аналитические отображения с
неподвижной точкой и вопросы аналитического продолжения,
авторы излагают теорию Гартогса-Леви, затем
переходят к ортогональным функциям многих комплексных
неременных, приложению интегралов типа Фурье ic
представлению функций и другим вопросам. Во многих
местах приводятся результаты, полученные самими
авторами.
Книга может быть полезна как для специалистов
но теории функций, так и для математиков,
работающих в смежных с теорией функций областях.

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Предлагаемы!"! советскому читателю перенод книги FJox-
1!ера и Мартина существенно пополняет литературу по теории
аналитических функций многих комплексных переменных на
русском языке.
Как можно видеть хотя бы из предисловия авторов, они
не стазили себе целью дать полное или даже в одинаковой
степени полное освещение всех отделов этой теории. За
1!рсделами книги остался не только „материал, уже вошедший в
книги С. Бергмана, Г. Беенке и П. Туллена, У. Ф. Осгуда". В нее
не вошли и многие другие результаты последнего времени,
I) том числе интегральные представления, многие факты
теории псевдоконформных отображений (среди них и
найденные советскими математиками), предложения ряда
авторов, подводящие итог почти полувековым исследованиям,
связанным с проблемами Кузена, теоремы, относящиеся
к последовательностям областей регулярности аналитических
функций. В книге не нашлось места для фундаментального
результата К. Ока, установившего, что область с
аналитически выпуклой (в смысле Гартогса) границей является
областью регулярности некоторой аналитической функции.
Таким образом, важнейшие вопросы теории, занимавшие
п течение последних 20 лет центральное место в
исследованиях по многим комплексным переменным, освещены
авторами крайне недостаточно. Поэтому их книга едва ли может
служить учебником по теории аналитических функций многих
комплексных переменных.
Ценностьпредлагаемой вниманию читателей монографии
состоит в той общности, которую авторы придали рассмотрению
ряда вопросов, связанных с аналитическими функциями
многих комплексных переменных. Здесь следует прежде всего
упомянуть о формальных степенных рядах и отображениях
с помощью этих рядов, об аналитических функциях
смешанных, т. е. частью действительных, частью комплексных
переменных (в частности, в монографии приводятся условия,

Предисловие переводчика
выполнение котормх обеспечипаст возможность
аналитического продолжения всех подобных функций, регулярт.1х
в данной области, на большую область, охватывающую
данную), о теории устранимых особенностей у функций и систем
функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным
уравнениям с частными производными и постоянными
коэффициентами. Нам представляется, что содержащееся в книге
распространение ряда классических теорем на объекты более
широкого класса существенно расширит круг применения
этих предложений также и в смежных математических
дисциплинах.
Следует отмстить, что в монографии Бохнера и Мартина
нпервые опубликован ряд новых результатов се авторов.
Таким образом, монография содержит интересный и
важный материал. Она окажется полезной как специалистам
в области теории функций, так и лицам, работающим в смеж«
ных разделах математической науки.

из ПРЕД И С Л О В И Я АН Т О Р О В
Настоящая книга поспящсиа изложению некоторых важ-
III.1X разделов теории функций многих комплексных
переменных. Она не предполагает предварительного знакомства
чигателя с этой теорией и в весьма малой степени
повторяет материал, уже пошедший в книги С. Бергмана, Г. Бсепке
и П. Туллена, У. Ф. Осгуда.
В смысле подготовки от читателя по большей части
требуется только общее знание курса анализа в строгом
изложении, включая сюда элементарные представления, связанные
с интегралом Лебега. В частности, в книге используются
лить простейшие факты, относящиеся к аналитическим
функциям одного комплексного неременного. Для гл. I и III
необходимы понятия группы и полугруппы, а также
некоторые сведения из общего анализа, включая сюда меру Хаара.
Для изучения гл. VI полезно иметь некоторый запас знаний
но теории интегралов Фурье. Гл. X имеет алгебраический
характер и требует знания общей теории идеалов.
Читатель, желающий быстро перейти к теории
аналитических функций многих переменных, может начать чтение
книги со И главы. Здесь он ознакомится с основными
свойствами аналитических функций действительных и
комплексных переменных.
Рассмотрение преобразований разделено на две части.
Гл. I посвящена группам преобразований с помощью
формальных степенных рядов (без предположения об их
сходимости и аналитичности сумм). В гл. Ill добавляется
требование сходимости и результаты гл. I применяются
к аналитическим отображениям. Отметим, что остальные
глины в обн1ем не зависят от содержания гл. I и III.

Глава I
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ФОРМАЛЬНЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
§ 1. Формальные степенные ряды
Б.СЛИ х^, ..., X,; — данные переменные, то формальным
степенным рядом называется выражение нида
со
fiXi, ..., xi,)= 2 "«,••• 'h^i' • • • К"' (1)
где коэффициенты а„^ ... п^ — некоторые комплексные числа.
Про ряд говорят, что он исчезает, если нее его коэффи-
lUieirrM равны нулю.
Если
оо
^{х„...,х,)= V а'п^...п,хЧ^ ... xl^' (2)
т_,..., л/j =- о
- - другой подобный ряд, то под линейной комбинацией
a/-]-pg- (здесь а, ° — некоторые комплексные постоянные)
понимается ряд
«/-ffe= 2 «v...nft-^?'■••-^?. (3)
Я ПОД произведением fg—ряд
со
fg= 2 '^пг...п,х1, ... Xlk. (4)
т, ..., «ft = 0
Здесь
я«1 ...«,, = «Ял, ... «ft-1 ра'т ... nf^
II
i-'-«ft— 2j "^'••■ '^*"'''"•''*
Hj-}-Vj = nj, ,,., Hft+Vj=nj.
'^n 1 .. . »г

10 Гл. I. Группы формальных рядов
Легко проверить, что умножение, онредслеппое раиен-
стиом (4), обладает свойствами ассоциативности и
коммутативности. Таким образом, совокупность всех рядов типа (I)
составляет коммутативное кольцо.
Число п^п^-\- ... -\-п,; называется порядком члена
ряда а„| ... „^^Jfj'» •■•^'k'' " коэффициента ап^.,,п^-
Обозначая через A„{Xi, ..., х,^) многочлен, объединяющий псе
члены ряда (I) порядка п, мы будем также записывать этот
со
ряд 1) сокрап1,е1и10й форме / А„{х). Отметим, что символ
1
^ Л„, где р'^О, п дальнейшем будет означать ряд, в кото-
« = р
ром отсутствуют члены порядков :<;/7—1. Пусть нам даны
ряды
2j ^п' 2j ^"'
п =д
Их Произведение начинается с полипома ApA'q, имеющего
порядок p-\-q', другие члены имеют более высокий порядок.
Произведение АрА'д может тождественно равняться нулю
в том и только в том случае, если один из сомножителей
Ар или Ад тождественно равняется нулю. Отсюда следует,
что произведение fg может исчезать тогда и только тогда,
когда исчезает / или g. Другими слонами, наше кольцо
не имеет делителей нуля.
Рассмотрим некоторое конечное число рядов вида
yx=fx(Xi, ..., х^), 1=1, ..., I; (5)
пусть нам дан еще один ряд с комплексными
коэффициентами
со
g(y„ ...,у,)^ ^В.(У). (6)
v = 0
Если ряд ((3) СВ0Д1ГГСЯ к многочлену относительно
переменных ^j, ..., У1, то мы можем путем надлежрщ^й црдстанонки
обрэзорать wmi'i рил
^[/jW fiix)]. (7)

/. Формальные степенные ряды 1|
()по;1плч11М соогветстненно через
^\...Рк' ^Чх-..ЧС '^П...г^
коэффициенты рялов (5), (6) и (7). Тогда окажется, что
rt„,...Hft = «/;,... «ft («р- V- (^)
?>десь a„j ...»^ (а\ й^) —многочлены отпосите.ш.по
переменных йр с коэффициентами ^',. В слз'час, когда выражение
(())—ряд, выражение (8) становится, вообще говоря,
бесконечным. Последнее оказ|,1пается не подходящим для дальней-
П1ИХ рассмотрений. Однако если ряды (5) не имеют
свободных членов, т. е.
оо
/,(х)^ 2ли^), (9)
«= 1
то в1.|ражения (8) снова оказываются многочленами. ДеА-
гпштсльно, если «j-|- ... ~\-П/^^п, то все пходяпше в вы-
[)ажение (8) величины Up, bg имеют порядок ^ п; отскжа
следует нате утверждение.
Мы условимся рассматривать в настоящей "главе ряды,
не имеющие свободных членов. Тогда образование ряда (7)
будет происходить без каких-либо осложнений.
Кольца рядов, не имеющих свободных членов, будем
обозначать символами /?, R{x\, R{y], R{xi, ..., х^},
R{yi> ■•■' Ук] и т. д.
Теперь мы, например, можем сказать, что если /х (х) £ R {х}
f:tv)^R {У\у то ряд (7) принадлежит к R {х}.
Рассмотрим ряды
^v■^g^^igu •••. gi), F=l. •••. т, (10)
принадлежащие к R {у\, и ряд
t=^hizi, ..., zj (11)
iKi R {z}. Мы можем получить элемент R {х} двумя разлнч-
111.1МИ путями: либо мы сначала образуем ряд1л
?R (ЛГ) = ^р. [/, (Х), , , „ /, (Jf)], JX ::= 1, .... т,

12 _ Гл. I. Группы формальных рядов
а затем построим ряд
/г[ф,и), ..., ф„Дх)]. (12)
Либо же мы сначала возьмем ряд
'^\{y)^h\g^(y), ..., gm(y)l
а затем придем к ряду
'^[ftix), ..., ftix)]. (13)
Если ряды (5), (10) и (11) состоят из конечного числа
членов, то ряды (12) и (13) тоже сводятся к многочленам.
В этом случае они равны друг другу для всех численных
значений переменных JCj, ..., х^; следовательно, равны
между собой и их коэффициенты. Обратимся к общему
случаю. Обозначим коэффициенты рядов (5), (10) и (11)
соответственно через
Яр, b^q, Гг, (14)
а коэффициент!.! рядов (12) и (13) — через е„ и 3„. Тогда
очевидно, что
s„i...„j^ = s„, ...„,^ (а^, 6'^, с^), (15)
й„,,..„,-8я,...„,(а> Ь^,, с,). (16)
Выражения (15) и (16) являются многочленами от
величин (14). Если среди величин (14) имеется тол1,ко конечное
число отличных от нуля, то выражения (15) и (16) равны
между собой для каждого сложного индекса я, ... п,^ и
всех численных значений Ор, Ь'^, с^. Отсюда следует, что
они будут равны между собой всегда. Этим доказана
эквивалентность рядов (12) и (13) и в общем случае. Теперь
предположим, что нам дано некоторое число элементов
кольца R {z\:
U=hAzi, ■■; z^), v^l, ..., я. (17)
Мы будем смотреть на соотношения (5), как на
формальное аналитическое отображение Т (иногда мы будем
говорить — преобразование) пространства, в котором
координатами являются переменные х^, ..., х^ (кратко:
пространство (;с)-координат), на пространство (з')-координат,
переводящее (благодаря (9)) начало координат исходного

/. Формальные степенные ряды " 13
пространства в начало координат преобразованного
пространства. Мы установим аналогичный взгляд и на
соотношения (10) и (17), как на отображение U пространства
(.у)-координат на пространство (г)-координат и
отображение V пространства (г)-координат на пространство
(/)-координат.
В новых терминах только что доказанное положение
можег быть выражено как ассоциативный закон
V{UT) = {VU)T (18)
для комбинаций этих отображений.
В частном случае, когда л = яг = & = /, мы совместим
различные пространства и установленные в них
координатные системы. Тогда все наши преобразования будут являться
„формально аналитическими внутренними отображениями
пространства на себя".
Последовательное применение двух таких отображений Т
и и приводит нас к новому внутреннему отображению UT\
оно вообще не тождественно с отображением TU.
Ассоциативный закон (18), очевидно, сохраняет свою силу и
в этом случае. Таким образом, множество формально
аналитических внутренних отображений пространства образует
полугруппу. Эго множество содержит и единичтлй элемент—■
гождественное отображение
yj=Xj, j=l, ..., k. (19)
Наш следующий шаг будет состоять в нахождении
обратного отображения. Он равносилен разрешению системы
уравнений (5) (в предположении, что/ = &). Мы рассмотрим
И связи с этим более общий вопрос о неявных функциях и
нпчнем со случая одного „неизвестного". Пусть ряд
Fix, у^, ..., у,) (20)
является элементом кольца R {х, у у, ..., у^\\ запишем его
в виде
а^х + 2 «'«. "1 • • • «ft-^'"3'i' • • • З'"*- С^О
т, iij
Член Z X ъ первой степени у нас уединен. Оставшаяся
су.мма распространена на все сложные индексы
\т, щ, .... «Л ^{1.0 0}. (22)

14 Гл. I. Группы, формальных рядов
ъ
Мы заменим в выражении (21) величину х рядом
р
принадлежащим к R \у], с неопределенными
коэффициентами bp^,,,pj^. Эта подстановка превращает выражение (21)
,^ур^ .,. уРк (24)
в
0
ряд
вида
Р\
чевидно,
Cpi .
X (V).
имеют
• • Рк =
Vj,
. ' -J
место
«1
• V
V.1
V
тождества
• •• J
"k " 1 1i Pi •
Pk
(«. ^«1 ... ?fc)-
Здесь первый член получается из первого члена ряда (21);
остальные (т. е. Ypi-.-p/,) строятся из коэффициентов
стоящей там суммы. TyTYpi...pfe — многочлен, состоящий из
коэффициентов атл1...п^ ряда (21) и коэффициентов
^4i---4it' ^^ '^"■"У (--) '^ Ypi •.•/';• Moiyt 11ход1Ггь ТОЛЬКО те
Назовем число qi-\- ... -|-9^ весом ве^шчины Ь^^ ... д/^.
В силу неравенства (25) вес коэффициентов bq^...q^,
входящих в •{р^..,р1^, будет ниже Pi-\- ... -\-Pii- В частности,
при p^]- ... -[.pi^=zz:l многочлен '{pi...pi^ вовсе не будет
содержать величин Ь^^,,,^^. Следовательно, при
а, ф О (26)
ряд (24) исчезнет только, когда
. Ч^Р1 . • • Pk ("' ^gi ■ • • ?fe) .,„.
'^Pf- Pk— "a, • ^■^'^
Если коэффициенты {a} даны, то уравнения (27) позволяют
определить коэффициенты Ьр. Действительно, во-первых, мы
можем оттуда непосредственно определить коэффициенты
первого порядка, так как при Pi-\- ... -\-Pk^^^
соответствующие 7р1...Рй "^ завися! от Ь^. Подставляя найденные

1. Формальные степенные ряды
Впачспия в правую часть уравнения (27), мы затем
определим иеличины Ьр второго порядка и т. д. Таким образом,
Мы и;и'1дем (если Oj ^^ 0) единственное, прииадлежащее
К R {У1, ■ • ; У/,}, решение уравнения
Fix, у„ ..., у,)=^0. (28)
Эго решение представляется рядом (23). Его коэф(})ииие11Ты
определяются из рекуррентных соотношеинП (27).
li случае системы уравпениП
/•'л (Xi, ..., Xi, у1, ..., у,;) = 0, X = 1, ..., /, (29)
l — k, мы сталкиваемся с аналогичными обстоятельствами.
>
li каждом ряде F\ выпишем отдельно линейные члешз!,
содержащие х. То|-да зги ряды (29) примут вид
2 alx^ + 2«"'. ...гп,-п,... .,хГ ... хТ^уГ ... yl". (30)
ц •- 1 т, п
Заменим в них величины х^^ ([j.:^^l, ..., /) рядами
^Рр, ... p^yi ■•• У^
р
с неопределенными коэффициентами Ь'р^,,,р^. Мы получим
пмесю рядов (30) / рядов
р
(Очевидно, имеют место тождества
I
~Р1--.1>к
2«;i^-;,...p -Ь4...„ (а. ^;...,,)- (32)
И-=1
;5десь сохраняет силу условие (25). Снова вес ^^,.,.?ь, вхо-
д>пцих в f-p^...pk, ниже pi-{-...-{-р,^.
Исчезновение рядов (31) приводит к рапенстиам
(1 = 1

16 Гл. I. Группы формальных рядов
Эти равенства (при условии, что определитель
A = DetflJ С'Щ
л, \1^=\,...,1
отличен от нуля) равносильны рекуррентным соотношениям
S^ {а. Ь-' - )
Ь- ^^=.A:1;^-^ _V1-^. (34)
Здесь o^j—многочлены от величин а и Ь. Вес величин
Ь'> , входящих во'', , , в силу условия (25) всегда
ниже Pi-\' • • --{-pk- Рассуждая так же, как для /= 1, мы
обнаружим, что при
Д 9^ О (35)
сугцествует одна и только одна система решении системы
уравнений (29).
Особый интерес представляет для нас случай, когда
/ = &, а каждый ряд Fj(x,y) является разностью fjix)—gjiy),
_/■== 1,... ,/е. В этом случае а^ из (30) оказываются
коэффициентами при линейных членах рядов fj, т. е.
X'j ~fj{Xi,..., Xk) = ^Я/-^^ Ч-
-[-(члены высших порядков). (36)
Величина
A = Detfljl (37)
у, |1==|,...,Й
теперь зависит только от функций fjix^,..., Jf^) и называется
определителем системы (36) или, если в (36) xoTsrr
видеть внутренние отображения пространства, определителем
этого отображения. Далее, всякий раз, когда мы обозначим
такое отображение буквой Т, мы будем обозначать его
определитель символом Д/-. Возвращаясь к нашим
уравнениям, мы теперь можем сформулировать следующий
результат:
Если ряды fj{x) и gf{y) соответственно принадлежат
к R {xi,..., х^} и /? {_Vi..., уц}, и определитель системы fj
отличен от нуля, то система уравнений
fjiXi,...,Xi,) = gj(y^,...,y^), J=l,...,k (38)

/. Формальные степенные ряды 17
имеет одно и только одно решение
Xj = 4>jiyu--->yk), J=1,-.;k. (39)
Здесь ряды :pj (yi Уи) i R {л, • • •. Ук}-
Обозначим через Г преобразование (36), через
V—преобразование
y'j =gj (л Ук)> J=^l,..;k, (40)
через и — преобразование (40). Мы сможем сформулировать
еще такое предложение:
Если Т и V — пропзвольчые внутренние отображения
II Д/-4=0, то существует одно и только одно такое
внутреннее отображение U, что
Ти= V. (41)
В частности, здесь можно взять за V тождественное
отображение (19). Обозначая его через /, мы скажем:
Если Дг + 0, то для внутреннего отображения Т всегда
существует правое обратное отображение U\ для них
TU^l. (42)
Пусть теперь Р, Q, R — три внутренних отображения вида:
(Р) Xj = А^{Л ^'■ (ч-"ены высших порядков), (43)
(Q) у^=2Ь^^г^-\-(члены высших порядков), (44)
(R) Xj=2fJ^z^-]-(члены высших порядков), (45)
и PQ = R. Тогда
к
Ч^^^К' bV-=h-->,k. (46)
11 = 1
В частности, будет
^PQ = ^P^Q. (47)
Применяя это соотношение к случаю (42), мы найдем, что
Дт-. Ду= 1.
2 С. Бохвер

18 Гл. I. Группы формальных рядов
Следовательно, неравенство Дт-фО является не только
достаточным, но и необходимым условием для сун1ест1!0вания
у Т правого обратного отображения U.
Теперь умножим обе части равенства (42) справа на Т.
Принимая во Ш1имание тождество (18), мы получим
T{UT) = (TU) T:^ITr= Т= Т • I.
Однако из доказанноп единственности решения уравнения (4!)
вытекает, что при TW=^TW' и Д? ф О будет W^W.
Отсюда мы заключаем, что
иТ^Г. (48)
Таким образом, из равенства (42) следует равенство (48).
Другими словами:
Для внутреннего отображении Т правое и левое
обратные отображения существуют тогда и только тогда,
когда Дт-фО. Они совпадают между собой. Это
единственное обратное отображение мы будем обозначать символом
Т~^. Отображение Р далее назынается неособенным, если
для него существует обратное отображение, i'. е. если
ДрфО. Очевидно, что нее неособенные (мы нее время
рассматриваем внутренние) отображения образуют группу.
Простейший тип наших отображений — это линейные
отображения. Они имеют вид
2«^^.>'
j=\,...,k. (49)
В своей совокупности они образуют полугруппу;
неособенные линейные отображения — группу.
Рассмотрим отображение ^^ заданное равенством (43).
Соот11етствуюи],ее линейное отображение (49) (которое
получается из (43) отбрасыванием членов старших порядков)
называется линейной частью Р; его обозначают символом Lp
или L{P). В силу (46), если PQ^R, то ЬрЬд^Ьц.
Поэтому (ip)"' = Lf^ для всех неособенных отображений Р.
Таким образом, переход от Р к Lp есть гомоморфизм,
т. е. однозначное соответствие, при котором сохраняются
мультипликативные соотношения. В этом гомоморфизме
полугруппе (пеособен|Шх) элементов Р соответствует полу-

2. Теорема о круговой ipynue 1^
]pyima (неособенных) элементов Lp, группе элементов Р —
I руппа, состояп1ая из элементов Lp.
В произвольном множестве отображений Р многие из
них могут иметь одинаковые линейные части. Поэтому со-
огветствие между Р и Lp не обязательно будет взаимно
однозначным. Если для некоторого семейства отображений
эго соответствие окажется взаимно однозначным, то наш
I омоморфизм превратится в изоморфизм. В этом случае
входя nine в рассматриваемое семейство отображения Р
единен шейным образом определяются, в пределах э того семейства,
1-110ИМИ линейными частями.
Цель настоящей главы — исследовать обстоятельства,
спязанпые с возможностью такого единственного
определения.
§ 2. Теорема о круговой группе
Одна из простейншх групп преобразоиапий пространства
1соорд11наг .V, Гд, задается равепсгвамм
Т (0) x'j = e'''xj, j=--l,...,k. (50)
]1реобразования Г(0) определены для всех действительных 0;
для каждого О координаты х умножаются па один и тот же
множитель е'", по абсолютно!! величине равный единице.
Очевидно, что
Т(Ь,) 7(0,) = 7'(0i + 0.), [Г(0)] ' = Г(^-0),
Г(0 + 2я) = Г(0).
Мы на:!0вем эту группу кру10вой.
Теорема 1. Если преобразования некоторой
полугруппы S внутренних отображений однозначно
определяются своими линейными частями н если эта полугруппа
включает в себя круговую группу (50), то все элементы
полугруппы S линейны.
Доказательство. Пусть преобразование

20 tA. I. Группы формальных рядов
— некоторый элемент 5. Тогда преобразоиания Т ф) А и
АТ{Ь) принадлежат к 5 и имеют вид
и
и
=Уа/ е" ("1 + • • • I- "ft'v"i... уУ-
n
Их коэффициенты соотиегстненно раины
При Я)-|-• • •-|"'^ft^^^ I экспоненциальные множители В обоих
выражениях тождестиенмы; преобразования Тф)А и ЛГ(0)
имеют одинаковую линейную часть. В силу предположения
на1пой теоремы остальные коэффициенты эгих
преобразований должны совпадать. Однако при Л]-]-...-|-Л/, ^ 1
экспоненциальные факторы у соответствуюни'х коэффициентов
Тф)А и АТф) различны для всех 0. Поэтому все
коэффициенты а-/ порядка, 6oflbnjero единицы, должны быть
равны нулю.
§ 3. Топология формальных степенных рядов
Мы рассмотрим множество всех преобразований (5) для
фиксированных k н 1. Коэффициент общего члена ряда (5)
мы обозначим через
<....,' 1=S>^^/. (51)
Если {Т(а)} есть некоторое подмножество этих
преобразований Т, где а — индекс, отличающий элементы Т,
включенные в {Г(а)}, то коэффициенты элементов Т{а) мы будем
обозначать символом а^ (а).
Теперь мы виедем предельную топологию в пространстве
преобразований (5). Так как, с одной стороны, каждое
преобразование определяется кратной последовательностью
чисел (51), а с другой стороны, мы не ставим препятствия при

3. Типология формальных степенных рядов 21
iii.iuopc этих чисел в виде требования наличия у рядов (5)
областей сходимости, то будет естественно (и, как мы увидим далее,
iicci.Ma удобно) ввести слабую топологию, основанную на
сходимости каждого коэффициента в отдельности. Таким
*)бразом, мы скажем, что последовательность {Г(х)}, s^ 1,2,...
(oji;i6o) сходится, если пределы
lima'' (s)^a^
cyinccTnyioT для каждого (А, Л] «t^). Преобразование,
коэффициентами которого являются получающиеся таким
образом предельные значения, называется (слабым) пределом
последопательцости {Г(.^)}. Множество {Г(а)} называется
(слабо) замкнутым, если оно содержит пределы всех
сходящихся последовательностей, состоящих из его членов.
Множество {^(а)} называется (слабо) ограниченным, если
коэффициенты его элементов ограничены, т. е. существуют
т;м(ие положительные числа А^ , что
П1...ИД.'
|а'' (а)!==:Л^ . (52)
Множество преобразований {Г(а)} называется (слабо) ком-
iiJiKTHbiM, если оно ограничено и замкнуто. Как известно,
множество {T{ix)] тогда и только тогда является
ограниченным, если из каждой принадлежащей к нему
последовательности {Т(.9)} можно выделить сходяп1уюся
подпоследовательность; оно является компактным тогда и только тогда,
когда пределы этих подпоследовательностей принадлежат
к {Г(а)}.
Пусть теперь {Г(а)}—некоторое множество
отображений пространства (л;)-координат в пространство (з;)-коор-
дипат, а U—фиксированное отображение пространства
(_\')-координат в пространство (г)-координат. Образуем
преобразование иТ{а). Каждый его коэффициент является
многочленом, составленным из коэффициентов
преобразований Т и и. Это позволяет легко установить, что всякий
раз, когда множество {Т{а)] является ограниченным,
замкнутым, сходящимся и т. д., то теми же свойствами .обладает
II множество преобразований {[/Т(а)}. Такое же заключение
можно сделать и о множестве преобразований {UT(a) V},
возникаюн1ем из {Г(а)} в результате умножения его
элементов, с одной стороны, на фиксированное преобразование С/,

2^ Гл. I. Группы формальных рядов
а с другой — на второе фиксированное преобразоиание V:
оно обладает теми же предельными свойствами, что и
исходное множество {Г(а)}.
Теперь пусть \Т{а)] — некоторое множество внутренних
преобразований пространства (А = /) и U— некоторое другое
внутреннее преобразование этого пространства. Мы
предположим, что для преобразования U существует обратное
(внутреннее) отображение U~^, и образуем новое семейство
нреобразонапий
T'{<t)=U^T{a)U. (53)
Мы будем называть переход от преобрагюпаний {Т{а)] к нре-
обранованиям {Г'(а)} подобным изменением. Заметим, что
при подобном изменении преобразований сохраняются их
групповые свойства, поскольку
^у-'Г(а) и • и-'Т{^') и==^и-^Т(а) Тф) U
и
и-чи=\.
Как мы только что видели, подобное иаменение сохраняет
и топологические свойства данного множества
преобразований. Сверх того заметим, что подобное изменение —
обратимый процесс. В самом деле, если V^^U'^^, то Г(а) =
^=V'^T' {a)V. Запишем преобразования Г(а), Uh f/"'в виде
Г (а): yj=fj{Xi,...,x^), j=],...,k,
t^ ■ Xj^.'^j(x'b...,x'k), J=] k,
[Ji; y'j = <]'j(yi,-..,yk), J=\ k.
Тогда преобразования (53) примут вид
T'i^y. y'j = ,^j(f(^(x'))).
Такая запись указывает на возможность следуюп),ей
интерпретации соотношений (53): на Т(а) мы будем смотреть как
на преобразование, переводящее точку с координатами
Xi х^ в точку с координатами у^ з'а! на t/мы будем
смотреть как на преобразование координат, в одинаковой
мере применимое и к (х) и к (у). Тогда Г'(а) выражает
исходное отображение Г (а) в измененных координатах.
Наконец, предположим, что преобразование Т(а) является
неособенным, и обозначим обратное ему преобразование

4. Теорема единственное III It А. Кар тана 23
'KMX'.rj ГСа)''. Пусть а^ (а) и Ь'^ (а)—соответственно
коэффициенты обншх членоп рядоп, задаюн1,их преобразопа-
мня ^(а) и Г(а)"', Д (^i) — определитель преобразования
У (а). Тогда в силу формулы (34) каждый коэффициент
/'* „ (а) может быть представлен в виде дроби, с числи-
юлем, являющимся многочленом, составленным из величин
а*' (а), и знаменателем, равным [Д (a)]"i+'--'^ "ft. Отсюда
мы получаем следующий результат;
Теорема 2. Если множество преобразований {Г(а)}
иплястся (слабо) ограниченным (т. е.. имеют место нера-
нснства (52)) и существует такое постоянное,
положительное число с, что I Д (а) I S^ с, то множество преобразо-
панна { Г (а)"'} также будет (слабо) ограниченным.
Эта теорема понадобится нам в дальнейшем.
§ 4. Теорема единственности А. Картана
Теорема 3. Пусть
(7') x} = Xy-j- (члены высших порядков), _/=1,...,^, (54)
— некоторое внутреннее преобразование с линейной частью,
сводящейся к тождественному преобразованию. Если
множество преобразований [Т, Т^,Т'^,...], получающееся из Т
и результате итерации, является (слабо) ограниченным,
то Т сводится к тождественному преобразованию.
Доказательство. Мы напишем выражение (54) в виде
(7-) x'j = Xj-\-Al{x)^Ai^^{x)-y..., у=1,...,й. (55)
Как мы условились вьнне (см. § I), символ А^{х) обозначает
однородный многочлен порядка р. Индекс г в равенстве (55)
означает некоторое целое число 5=2. Записывая
преобразования Т в форме (55), мы предполагаем (если г^2), что
там все коэффициенты порядка ^ 1 и <^г обращаются в нуль
(для всех у= 1,..., ^), а AI{х)фО. Итерируя отображение
(ПГ)), мы получим для Т"^ следуюи1,ее выражение:
{П) х)- = х]-\-АЦх')^^...=
^^^ + 2Л/(х)+ ...., j^\,...,k.

24 Гл. I. Группы формальных рядов
а вообще для Т^
(Р) ^^)^Xj-\--sAl{x)-y..., j^\,...,k. (56)
Если ai (где Г] [-...-[-Гд, = г) — некоторы!!
коэффициент из (55), то в силу нашего предположения
относительно множества преобразований [Т, Г\ Г*,...}
существует такое не зависящее от s число М, что
S \ai 1 ss М. (57)
Поскольку (57) имеет место для s=l, 2, 3..., то все
а^ ^ ;=0 и, вопреки нашему предположению, Л^(х)=^0.
Следовательно, все коэффициенты в (54) порядка выше
первого равны нулю.
Таким образом, теорема 3 доказана. Это и есть теорема
единственности А. Картана. Она приводит нас к следующему
предложению, первая часть которого была указана Каратео-
дори.
Теорема 4. Элементы ограниченной группы
внутренних отображений однозначно определяются своими
линейными частями.
Более общо: пусть Т{а), Т'(р),... — элементы
рассматриваемой группы S. Мы запишем Т(а) (и соответственно
Тф)) в виде
k
s=\ »i+...-fnj>2
Пусть (J, П1,...,П/^) — некоторый фиксированный сложный
индекс. Тогда для каждого числа г'^О существует такое
число 8^0, что при
к
^\al{a)-aim^^. (59)
Доказательство. Пусть U и V—^ элементы ^S' и
i(f/) = i(V). Из того, что внутренние преобразования U
и V принадлежат к 5, следует, что к 5 принадлежит и пре-

4. Теорема единственности А. Картона 25
(>о|>а;ювание Г= б'!/"'. Тогда, в силу наших предположений,
множество преобразований {Г, Г'^...} будет
ограниченным. С другой стороны (как 1гоказано в конце § 1),
L(T)^L{U)L{VrK
Отсюда, так как L{U) = L{V), следует, что /,(Г) = /и
м силу теоремы 3 Т==1. Следовательно, /71/"' = / или
l/^=V. Итак, элементы группы ^9 однозначно определяются
(■моими линейными частями. Для доказательства второй части
теоремы мы предположим сначала, что группа 5 не только
ограничена, но и замкнута, т. е., иначе говоря, компактна.
11мея в виду это дополнительное 1гредноложение, допустим,
что утверждение натей теоремы неверно. Тогда должны
существовать такие: сложный индекс (у, Ui,.. .,П/^), число
Оц^О и две последовательности {Т(а^)}, {Тф^)}, 8=1, 2,...
элементов группы, что одновременно будут выполняться
неравенства
I Ч г. Ю —«-'■ (Р,)1'=2=8о (61)
M
к
2l«SK.)-«J(P.)!^7- (62)
p. T^ I
F5 силу ограниченности группы ^9 можно указат1> такую
последовательность .9^, целых чисел я, что последовательности
]Г(а(_, )} и {^(В^)} будут (слабо) сходиться. Обозначим их
пределы через Т(а) и Г(р). Так как 5—замкнутая группа,
то эти пределы тоже должны к ней принадлежать. Из
неравенств (61) и (62) теперь будет следовать, что для них
\aJ (a) — aJ (й)Г-э:8,„ (63)
2 1«S(«)-«^(P)I = 0- (64)
р, сг=1
Соотношение (64) устанавливает, что преобразования Г (а)
и Т ф) имеют одинаковые линейные части; соотношение (63) —
что Т(а) и Т ф) не совпадают между собой. Этот результат
противоречит уже доказанной первой части нашей теоремы.

20 __ Гл. I. Группы формальных рядов
Поэтому мы должны отбросить сделанное нами допущение;
пторая часть теоремы доказана при дополнительном пред
1голо>кеиии о замкнутости группы ^9.
Если группа S не замкнута, мы возьмем ее замыкание i9.
Оно содержит псе преобразования Т{а), Г(Р) и т. д.,
являющиеся пределами последовательностей {Т{а^)}, {Г(р^)| и т.д.,
состоящих из элементоь i? (повторение членов в этих
последовательностях разрегнается). Рассуждая так же, как
п § 3*), мы установим, что если последовательности
Г (а,) и T{fig) сходятся, то предел последовательности
Г(а^.) • ТС;\^) равен произведению пределов Г(а^) и Г(р,),
г. с. Т(а) • Т{°>). Таким же образом ми, исходя из соот-
попюпия
С-ГК) TQ,)) Г(т,)= Г(а,)(Г(3,) Т{■(,)),
выражающего ассоциативный закон в применении к
соответствующим членам трех сходящихся последовательностей из S,
придем к ассоциативному закону для элементов t?. Наконец,
пусть Т{а) — некоторый элемент ..9,
{Г(?)с^,)}—последовательность, состоящая из элементов 5" и сходящаяся в Г (а),
T{J^^) —преобразование, принадлежащее к S v\ обратное но
OTHoniennio к Т{а^). Таким образом,
Т{%)-Т('^,)=:1. (65)
Так как Л"' ограничено, то из {^^\ может быть выделена
такая 110дн()Следоватсльност1> {3^^}, что Пш Г (р^^) = 7"(Р).
V —>со
Теперь, пользуясь рапенством (65), мы придем к
предельному соотпон1ению
Г (а) Г(3) = /.
Таким обра.чом, уста1говлено, что каждому элеме1гту Т{а) f ^V
в 5 соответствует обратный элемент.
Итак, мы видим, что замыкание i? некоторой
ограниченной группы I? снова является гру1Н1ой. Группа 5—
компактна, и поэтому вторая часть нашей теоремы для нее
*) Используя то, что коэффициенты T{a^)-T($s) суть
многочлены, составленные из коэффициентов Т{а^)иТ{^^). (Прим. nepee.J

^ 4. Теорема единственности Л. Картана 27
псриа. Так как группа i9 составляет часть группы i?, товто-
|1пя часть нашей TCopcMi.i оказывается верной и для псе.
В дал|>ней111ем нам будет полсямой еще следующая
теорема:
Теорема 5. Если Т—внутреннее преобразование,
\^j\ = l It полугруппа {Г, Р,...} ограничена, то суи^е-
ствует. последовательность {TPi, V-, 'Л'-,...}, \^S^p^■i~p,fS^...,
сходящаяся к тождественному преобразованию.
Дока:!атсльство. В силу теоремы Каратеодори
(теорема 4) нам достаточно найти показатели {р^\, для
которых линейные части соотиетствуюших преобразований
сходились бы к тождссгвс1Н1ому преобразованию. Легко
индеть (пользуясь уравнением (46), что L(Tp) = {L{T)Y.
Ввиду этих двух фактов нам достаточно доказать теорему
лля случая линейного преобразования T=L. В силу
ограниченности /," можно указать такую последовательность
показателей «, <^«.2<^..., что для преобразований
к
(/-"'') -^^ ^ Z "/■' ^^'> ^-^ У ^=" Ь • • -''«
v = I
будут су|дестиоват1> пределы
lini rtyv С''')
при 1!се,х у, v=-l,...,/e. Так как |Д^п1=г1, то обратные
отображения
k
(Л "•') х]^^Ь^-,{$)х„ j=\,...,k
|()жс будут сходиться. Следовательно, последовательность
сходится и, действительно, ее предел, Kaic произведение
п|)еделов L '' и L , является тождественным
преобразованием. Таким образом, числа р^ = п^^^ — п^ удовлетворяют
условиям теоремы.

28 Гл. Л Группы, формальных рядов
§ 5. Ограниченные группы преобразований
В настоящем параграфе мы будем иметь в основном дело
с линейными (инутренними) преобразованиями вида
к
(Т) _у^ = ^ а^^ X,,,, J=l,...,k.
Определитель Д = Д7- является мно1'Очленом от величин
aJ. Поэтому если множество преобразований {Г(а)} (слабо)
ограничено, в смысле нашего определения (см. § 3), то
будут ограничены и величины Д (а). Предположим, в
частности, что преобразование Т принадлежит к замкнутой
полугруппе. Тогда будет ограниченным и множество итераций
{Г, П Г\...\. Однако ■
Д7-' = (Дг)' = Д-'-
Множество ком11лекснь:х чисел Д*, s'^=I, 2,..., может бить
ограниченным только п том случае, если |Д|^1. Если Т
принадлежит к ограниченной группе, то будет ограниченным
и множество преобразований {Г"*^. В этом случае должен
быть |Д'''|;^:1. Сравнивая это неравенство с результатом,
полученным выше, мы найдем, что для преобразований Т
ограниченной группы |Д| = 1.
Можно получить более точный результат. Как известно
из линейной алгебры, для каждого преобразования Т может
быть указано такое неособенное линейное преобразование 5,
что подобное Т преобразование
U=S^TS (66)
будет иметь С1гециальный вид. Именно: если U занисынается
равенствами
к
^'У=2''^'"' У'= •'•••'^- (67)
то оказывается возможным так выбрать 5, что- в матрице

5. Ограниченные группы преобразований 29
II/'(II обратятся в нуль все члены, стоящие ниже 1"лавной
дпагонали*). Тогда
й/ = 0 для |л<у. (68)
Иусгь матрица \\Ы \\ имеет указанный вид. Теперь на глав-
iK)ii диагонали стоят
Ь\ = ).1, bl = l.i K = h
— ее характеристические числа. Они имеют решающее
значение для определения ранга матрицы; они не изменяются
при ее подобных изменениях. В этих условиях матрица
игерированного преобразования W также будет иметь только
пули ниже главной диагонали. Ее характеристические числа —
степени характеристических чисел матрицы U; они
соответственно равны Х| X*. Так как в матрице б'члены, стоящие
ниже главной диагонали, равны нулю, то Detft^ =/,,... X,,.
Л 1^=1.-. ft
15 силу (66) определитель преобразования Т равен
определителю преобразования U. Поэтому и Ду=Х X,,. В§3
мы видели, что множество преобразований {lf\ должно
быть ограниченным, если ограничено множество ггреобразо-
наний {Г*}. Поэтому при изменении s оказываются
ограниченными все члены матрицы \U^\\ в частности, это относится
к стеггеням X* (для всех jjl= 1,..., А). Последнее возможно
юлько при
|Х,|^1,..., IX, 1^1. (69)
Эти неравенства говорят нам гораздо болглие о природе
группы Г, чем неравенство jAIsgl, которое (как э го видно
с irepBoro вз1ляда) только указывает, что Xj...X, 1^1.
Благодаря (69) равенство |Д] = 1 можег иметь место
только ггри
|X,|=... = |XJ = 1. (70)
Все это, конечно, в одинаковой степени применимо как к
линейным частям внутренних преобразоваии!!, так и ггросто
к линейным ггреобразованиям.
•'•■) См., |кигример, И. Гельфаид, Линейная алгебра (Mociaui,
1'остехиздаг, 19i8 г.), стр. 169 — 172. (Прим. перев.)

30 Гл. I. Группы, формальных рядов
Теорема 6. Если Т—некоторый элемент
ограниченной полугруппы внутренних отображений, то его
определитель Lt удовлетворяет неравенству | Ду] :^ 1, а
характеристические числа его линейной части —
неравенствам (69).
Если Т принадлежит к ограниченной группе
внутренних отображений, то |Д7-| = 1, а характеристические
числа его линейной части удовлетворяют более сильным
условиям (70).
Если множество преобразований \Т, 7'^,...} ограничено
и имеют место равенства (70) (или, что равносильно, если
A-.= jj, пю множество преобразований \Т ^, Г"^^...} тоже
ограничено, и Т есть элемент ограниченной группы \Т^\,
где 5 = 0, ±1, ±2,...
Д о к а 3 а т е л ь с г в о. По иериому условию теоремы
полугруппа [Т, Т\...\ содержится в некоторой ограниченной
полугруппе; поэтому утверждения первой части теоремы
только суммируют полученные нами выше результаты.
Ь^торая част1. теоремы является следстнием теоремы 2
(поскольку и:! услони1[ (70) следует, что |Д|=1).
Пусть Т—снова иекогорое лпно1и1ое преобразование.
Выбирая надлежащим образом 6' в выражении (66), мы можем
обеспечить выполнение не то;П)К'о coornoniennlj (68), по и
доно;п1Ительпих условий
/?j( = О для у I 1 <Cjt-
Теперь в равенствах (67) могут быть gtjhimhi.imh от пу;[Я
tojh.ko коэффициент!,!
b'i=lj, ^j+i = T;, у=1,..., к.
Как известно из линейной алгебры, уу могут равняться
или 1, или О, причем если для некоторого индекса/ Т;=1,
то для того же индекса у Xy^=Xy^i. Придав матри!1е J|6|{|,
эту нормальную форму, мь! образуем итерирова(И1ое !ipe-
обрачо!!ание 6'*''*''(s' — !!екот()рое положительное число).
Обозначим его матрицу через ||с^||. Последняя, очевидно, является
а А- 1 стене!1ью Maipniibi ||/),||, и в силу известноП из тео-

S. Обобщение теоремы единственности А. Картаяа 31
|1||11 матриц формулы
и рассматриваемом случае благодаря соогнопюниям (68)
.мы можем 01'раничиться (для q^p) только такими
комбинациями индексов р, Vj,..., ^)^, q, для KO'iopi)ix
/;.<v,^...<;v,^.=<^. (71)
1'сперь фиксируем индекс у и положим p^~-j, q^=j \ 1.
Тогда в условиях (71) может иметь место только одцо
иеравецство (остальные величины, входящие и эти ус;ювии,
будут соединены знаками равенства). Таким образом, мы
получим для коэффициента C^j-\-\ значение
lic.'iH уу=1, то, как мы .заметили вьпие, \j^^t=\.. Тогда
<;j|., = (.v ] 1)Х}. Так как |>.у1=1, то \с] ^.,\=r.s \ [.
Отсюда следует, что коэффициент C'j^y не является
ограниченным при S—>-оэ. Поэтому если все отрицательные и
положительные степени U ограничены, то все коэффициенты
'С, должны быть равны ну;н(>. Таким образом, мы приходим
к с.тедуютей теореме:
Т' е о р е м а 7. Для каждого элемента Т ограниченной
группы внутренних отображений, можно укапать такое
линейное преобразование переменных S, что соответствую-
щсе подобное Т преобразование U=^S~'TS будет иметь
каноническую форму
{!/) yj=^lj Xj—\- (члены высших порясЖов). (7'2)
:uhrj. |х,1 = ... = 1х,| = 1.
§ 6. Ограниченные группы преобразований.
Обобщение теоремы единственности А. Картана
Т е о р е м а 8. Всякая ограниченная группа внутренних
преобразований {Т{а)] подобна группе, состоящей из ее
линейных частей: cyui,ccmeycm такое преобразование S

32 Гл. I. Группы, формальных рядов
линейная часть которого сводится к тождественному
преобразованию
(S) xj = Xj -|- (члены высших порядков), у= 1,..., к, (73)
что для всех а
T{a) = S-4 {T{a))S.
Доказательство этой теоремы основывается на теореме 3
(которая используется через 1госредство теоремы 4).
Заметим, что теорема 8 заключает и себе теорему 3.
Действительно, irycTb Т—некоторое (внутреннее) преобразование
с линейной частью, сводящейся к тождественному
преобразованию, причем множество преобразований {Г, Т'',...\
ограничено. Тогда (в силу теоремы 6) будет ограниченной и
циклическая группа { Р}, s = О, rt 1, rt 2,... Теперь согласно
теореме 8 будет существовать такое неособенное
преобразование S, что r=5~'Z,(7)5. Так как Ь{Г) = 1, то и
Т=:=1. В ЭТОМ и состоит утверждение теоремы 3.
В ходе доказательства теоремы 8 целесообразно
применить аддитивные комбинации преобразований. Если y-=f^ (х)
\\у^=1г^ (х) — два ггреобразовапия Гц. U, а а,Ь — комгглекс-
ные числа, то мы будем понимать под аТ \-bU
преобразование yj =afj {x)-]^bgj {х).
Если V—третье ггреобразование Zi = h,- (у), то дистри-
бутивны!! закоп, записанный в форме
{aT-{-bU) V=aTV-\-hUV,
всегда справедлив. Однако не всегда имеет место равенство
V(аТ-\-hU) = aVT-\-hVU. Впрочем, непосредственная
проверка показывает, что дистрибутивный закон верен и в этой
форме, если V — линейное преобразование. Таким образом,
если L — линейное 1греобразо11ание, I/, Г,,..., Гд,--11рои;!-
вольные 1греобразоиання и с;,,..., с^, — некоторые
комплексные числа, то
(qTi +... + SТр) V=c,Г, V'+... + СрТрV,
L{c,T,^.. .-\-CpTp) = c,LT, -f ... + CpLTp.
С другой cTopoHTii, И"! результатов § 3 следует, что
lira {UpV) = {\\m U^;)V,
(74)
lim {LUj,)=L. (lira U^,),
(75)

в. Обобщение теоремы единственности А. Картона 33
cc-jrii только пределы, стоящие справа, существуют. Равен-
стпа (75) указывают на возможность перехода в
соотношениях (74) от сумм к интегралам.
Пусть множество внутренних преобразований Т (а) опре-
дс'лспо для всех а, принадлежащих к некоторому точечному
шгожеству О (например, к замкнутому интервалу О^ае^ 1)
р.шепствами
{Г (а)) У1-= 2 '^»i--"fc(")
•^1 ■ ■ -Л.^ ,
П1,,.., п =0
(76)
у=1,..., k, «i4---. + «fc>o.
Далее, мы предположим, что для некоторой
совокупности подмножеств \А\ множества О (в эту совокупность
11Х0ДИТ и само множество G) определена
конечно-аддитивная мера р. (А) так, что jjl(G)=1; в частности, если О —
зпмкнутый интервал [0,1], то такой мерой может служить
обычная евклидова длина для интервалов, лежащих внутри
интервала [0,1], и их соединений в конечном числе.
Наконег!, мы предположим, что каждый коэффициент
a(a)=4j...„^(a)
япляется (ограниченным и) интегрируемым в смысле Римана,
применительно к установленному определению меры. Эта
пггтегрируемость означает: если мы обозначим получающийся
лдесь интеграл символом
I а (а) cfji (а),
о
то для каждого числа е^ О можно указать такое разбиение
(; на множества А^,..., Л^, что при произвольном выборе
точек а^ ^ А^(г=\,..., s) будет
a(a)cfji(a)— ^ а («г) 1^ (Л) |
а
В случае если G — интервал [0,1] и наша мера — обычная
евклидова длина, мы получаем обычный риманов интеграл.
15 случае если О — интервал [0,1], а jjL(a) — некоторая
монотонно возрастающая (неубывающая) функиия а, выбран-
3 с. Бохнер
J

34 Гл. 1. Группы формальных рядов
ная так, что jjl(0)=1, jjl(1)=1, мы приходим к обычному
интегралу Стилтьеса.
Теперь мы определим, в соответствии с нашей
концепцией слабой сходимости (см. § 3), интеграл
Jr(a)cfji(a) (77)
и
как преобразование, имеющее коэффициентами числа
a',n...nMd]L{a). (78)
о "
Из того, что мера множества G. равна 1, следует: если
линейная часть каждого Т (а) сводится к тождественному
преобразованию, то к нему же сводится и линейная часть
преобразования (77). Пусть нам дано некоторое
фиксированное линейное преобразование
к
{L) zj=^biy^„ j=\ k.
Коэффициенты преобразования LT (а), величины
к
11=1
очевидно, будут снопа интегрируемы. Поэтому можно
составить преобразование
jLr(a)cfjJL(a). (79)
и
Мы утверждаем, что
\ LT{a)dii{a) = L\ Т (а) d^ (а). (gg)
о о
Действительно, в случае обычной меры в интервале [0,1]
выражение (77) может быть апроксимировано с помощью

в. Обобщение теоремы единственности А. Картана 35
е. одной стороны, в силу равенств (74)
s—\
~^LT[L] = Lr,. (81)
(I другой стороны, согласно определению риманова инте-
Г1);]ла каждый коэффициент преобразования Т^ сходится
к соответствующей величине (78); поэтому преобразование
'1\ сходится к преобразованию (77). Отсюда благодаря соот-
1К)Н1ениям (75) следует, что выражение, стоящее в правой
части равенства (81), сходится к выражению, стоящему
в правой части равенства (80). Аналогичное заключение
можно сделать и относительно выражений, стоящих в левых
частях этих равенств. Таким образом, равенство (80)
окапывается следствием равенства (81). Это рассуждение
применимо и к общему случаю меры р. {А); мы обнаруживаем,
'НО соотношение (80) верно всегда. Наряду с (80) нам,
дллее, будет необходимо соотношение
Г Г (а) V dji (а) = f j" Г (а) cfji (a)j V. (82)
о а
.'«лесь V—некоторое фиксированное преобразование. Инте-
1 рнруемость Т (а) V непосредственно следует из
интегрируемости Т (а). Остальная часть доказательства в
существенном не отличается от вывода равенства (80). Мы опускаем
детали.
Теперь мы вернемся к доказательству теоремы 8. Мы
будем вести доказательство теоремы 8, предполагая, что
I рупна {Т (а)} ■— компактна. Переход от случая компактной
I руппы к случаю ограниченной группы затем осуществляется
laK же, как в теореме 4.
Запишем линейную часть L (Т (а)) преобразования Т (а)
II виде
к
У} = 2 "i^ (") •
ц=1
И силу теоремы 4 Т (а) единственным образом определяется
своей линейной частью. Это значит, что Т (а) единственным
образом определяется с помоп;ью k"^ комплексных чисел
a{i ~ а^ (а); у, jl — 1,..., А.

36 Гл. I. Группы формальных рядов
Отделяя действительные и мнимые части у всех а^, мы
получим 1k^ чисел, которые будем рассматривать как
координаты точек евклидова пространства Е 2й^ измерений.
Каждый элемент «С G может быть ввиду этого представлен,
а для наших целей отождествлен с некоторой точкой
пространства Е, а само G ■— с некоторым компактным
множеством точек Е. Так как
L (Г (а). Тф))^1{Т{а)) ■ L{T {^)), (83)
то групповое произведение |?а двух элементов а н р
множества G будет определяться формулой
к
v = l
Тогда в обычной топологии евклидова пространства Е
групповое произведение ^а оказывается непрерывной
функцией р и а. Теперь, так как множество G компактно, то
на нем существует аддитивная мера у. (Л), обладающая,
помимо других, следующими свойствами:
1) Мера всего множества G равна 1.
2) Мера обладает свойством грзшповой инвариантности.
3) Всякая функция / (а), равномерно непрерывная на G,
интегрируема на О.
Второе свойство для наших целей удобно выражать
следующим образом: если /(а) — некоторая интегрируемая
функция, а ^ — фиксированный элемент, то
/ (Ра) dy. (а) = J / (аР) dy. (а) = J / (а) dy (а) ^
о о
= I f {^~') dy (а). (84)
о
Теперь нам понятно значение утверждения „более общей"
части теоремы 4. Она устанавливает, что коэффициенты Т (а)
равномерно непрерывны на G. Поэтому (в силу третьего
свойства) каждый коэффициент Т (а) интегрируем
применительно к нашей мере. Кроме того, так как многочлен,
составленный из интегрируемых функций, интегрируем, а
коэффициенты а (а~') являются интегрируемыми (это следует из
интегрируемости а (а) — см. (84)), то оказывается интегри-
I

в. Обобщение теоремы единственности А. Картона 37
руемым и преобразование L (Г («"')) • Т (а). Линейная часть
ИТОГО преобразования сводится к тождественному преобра-
пс)11;1иию, поскольку
L [L (Т (a-^)) • Т (а)] ='1 (Т (a-^)) . L (Г (а)) =
= L[T(a).T(a-^)]=Lin = I.
Теперь мы построим преобразование
S= Г i (Г (а-'). Т (а) cfjJL (а). (85)
о
Прежде всего заметим, что линейная часть S сводится
к тождественному преобразованию. Это сразу следует из
голько что установленного соотношения и первого свойства
п;|шей меры. Затем рассмотрим р — некоторый
фиксированный элемент G. В силу соотношения (80)
L [Тф)] . S= Jl [Г(Р)] (L [Г(а-1)] • Т (а)) ijt (а).
а
Последнее выражение в силу ассоциативного закона (18) и
соотношения (83) оказывается равным
|'/.[Г(8). Г(а-')] . Т{а)(1у.(а)= f Z. [Г(ра-')] Т{а)(1у.{а) =
и а
^\L[T{fia-^)].Tiar^-^)dy.(a) =
а
= \ L [ТфаГ^)] . Г(а,8-') • r(P)ijJL(a).
о
Наконец, согласно соотношению (82) все это должно быть
равно
[^LlTфa-^)].Tiar')dy.(a)yT{^.
а
(/гоящес под знаком последнего интеграла выражение
/, [Т фа'^)] • Т (а8-1) получается из L {Т{а-^)\ • Г(а) в
результате замены в нем а на а^~'. В силу равенства (84) такая
.кшена не может изменить значения интеграла. Таким обра-
:)ом, мы получаем, что
L [Тф)].3^8Тф).
Упш теорема 8 доказана.

38 Гл. I. Группы формальных рядов
§ 7. Теорема Беенке — Пешля
Рассмотрим некоторое внутреннее отображение
со
{U) x'j = gj (Xi,..., X,) = 2 Ai {X), j = \,...,k (86)
и не будем oi-раничивать наименьшей степени л-,
встречающейся в выражениях (86). Предположим только, что
определитель
1{х„...х,,)= Det ('^^jV
не равен тождественно }|улю, т. е. что
/ {х„ ..., X,) ф 0. (87)
Мы будем называть такое преобразование невырожденным.
Беенке и Пешль получили следующее существенное
обобщение теоремы 3 (А. Картана):
Теорема 9. Пусть Т — внутреннее отображение вида
x'j=Xj-\- {члены высших порядков), J^ I,..., k.
Если существует такое невырожденное преобразование U,
что множество отображений \UT, UT^,...\ оказывается
{слабо) ограниченным, то Т сводится к тождественному
преобразованию.
Мы установим справедливость этой теоремы, показав,
что множество преобразований [Т,Т'^,...] ограничено,
если является ограниченным множество преобразований
{UT, ит^,...]. Этим мы полностью сведем теорему 9
к теореме 3. Мы намерены рассмотреть несколько более
общий случай и докажем следующее предложение:
Теорема 10. Пусть линейные часта преобразований
Т (а) ограничены, а модули их определителей строго
отделены от нуля, т. е.
|Arwl;s.8>0.
Тогда, если существует такое незырожденное
преобразование и, что множество преобразований {UT {а)\ ограни-

7. Теорема Беенке — Пешля 39
чено, то и множество преобразований {Г (а)} будет огра-
итенным.
В частности, если ограничены линейные части
преобразований некоторой группы {Т (а)} и множество
преобразований \иТ {а)], то и сама группа {Т {а)\ ограничена.
Сначала мы установим некоторые простые свойства
многочленов
P{xi,...,x^) = ^a^^,,,r4,x\'...xlk,
п
сгепень которых не превосходит фиксированного числа т
(эти свойства будут нам нужны в дальнейшем).
Мы будем смотреть на эти многочлены, как на
формальные ряды и как на функции соответствующих переменных
(которые считаются комплексными). Так как степени этих
многочленов ограничены, то всякое их множество будет
ограничено в том и только в том случае, если окажется
ограниченной их „норма":
1=2
.«fci
(88)
Многочлены от одного переменного
Р[х)^a^-\-aiX-\-.. .\-а,„лг'" {т — фиксировано)
об,'1ада10т следующими свойствами: множество многочленоп
/'(х), для которых в круге \х — Хх,\<^г все |P(jc)ssAf
(г, М — фиксированные положительные числа), ограничено
по норме.
Это свойство легко распространяется и на случай k
переменных; и здесь множество многочленов Р {х), для
которых в области
[\х,—х1\<^г, v=l,...,^] (89)
псе \Р {x)\^s^M (г, М — опять фиксированные
положительные числа), ограничено по норме. Верно и обратное поло-
лсение. Легко также видеть, что для этих многочленов
ограниченность по норме и введенная нами выше слабая
ограниченность— равносильные требования. Таким образом, для
рассматриваемых многочленов эквивалентны три
концепции ограниченности: ограниченность по норме (в смысле

40 Гл. I. Группы формальных рядов
соотношения (88)), слабая ограниченность (в смысле § 3) и
ограниченность в том смысле, что для каждой окрестности (89)
существует такое число М (зависящее от точки {х\, ■.., х%
и г), что в этой окрестности все | Р {х^,..., Xj,) \ ^ М.
Теперь рассмотрим систему соотношений
ft
V
Д/, {X) Pv {X) = в J (X), j=\,...,k (90)
между многочленами Ду,, Р,, Bj (степени всех этих
многочленов относительно х^,..., Xj, не выше т).
Предположим, что многочлены Ду, {х) фиксированы и
определитель
/ (JC) = Det Д., ф 0.
/,v = l,...,ft
Пусть соотношения (90) имеют место (при фиксированных
Ду,) для многочленов В^ {х, а),..., В^ {х, а) и Р^ {х, а),...,
Р^ (х, а). Наша цель — показать, что при ограниченности
множества {В {х, а)] „решение", т. е. совокупность
полиномов {Р {х, а)}, также будет ограниченным. Мы введем
в рассмотрение величины С,/—алгебраические дополнения
величин Ду, в матрице || Ау, ||/,v=.i,...,*• Тогда мы получим из
соотношений (90)
к
P,=.ZnL_ . (91)
Так как 1{х)ф.О и 1{х) — многочлен, то могут быть
указаны такие окрестность вида (89) и число у^О, что в этой
окрестности |/(х)|5=Т- Поэтому там все \Р~,{х)\<^М
(в окрестности (89) все Bj ограничены; М — некоторое
надлежащим образом взятое число). Этим наше
утверждение доказано.
Наконец, докажем следующее, более общее предложение.
Лемм а. Пусть {A/v(^i, •.. . 4)} — множество k^
многочленов, степень каждого из которых не превосходит т;
их определитель
/(О =^ Det Д;, (0^0.
/, v = l, . . ., ft

7. Теорема Беенке — Пешля 41
Пусть {L{a)] — ограниченное множество линейных отобра-
.жснпй.
к
(1.{а)) tj(a)^^aj,{a)x,. j=.\,...,k (92)
x=i
с определителем, строго отделенным от нуля.
Пусть {5i {X, а) В^ (х, а)}, {Р^ {х, а),...,?^ {х, а)} —
два множества многочленов; предполагается, что их
степени не превосходят т (относительно переменных х^ х^).
Если соотношения
v = l
A/v{i («)) n (x, a) = Bjix,a),j==l k (93)
(в них все tj выражены с помощью формул (92) через
Л"! Xfj) имеют место для всех L (а), Р, {х, а), Bj (х, а),
принадлежащих к указанным выше трем множествам
(а всюду одно и то же), и множество {В{х,а)} —
ограничено, то будет ограниченным и множество „решений"
{Р{х, а)}.
Если множество {Р{х, а)\ не ограничено, то существует
такая последовательность систем L*, Pj, В], s^\, 2, ... ,
удовлетворяющих соотношениям (93), что сумма норм
к
y.WPlW (94)
тоже будет неограниченно!'! при возрастании s. Указанную
последовательность систем можно выбрать так, что
преобразования L* будут сходиться. Их предельное преобразование
k
(L") t]=^^ayx., j^l k,
является неособенным. Кроме того, / {t\ tl) как
функция от Xj, ... , х^ не равна тождественно нулю. Поэтому
будет существовать окрестность (89), в которой |/(^'*)|^
"Эг2у^0. Тогда, очевидно, найдется такой индекс s^, что
при s^Sj в окрестносхй (89) будет |/(0!^Т> а следо-

42 Гл. I. Группы формальных рядов
вательно, будут ограничены алгебраические дополнения
Cy{t^) и многочлены Bj{x). Отсюда вытекает, что в
окрестности (89) будут ограничены и многочлены Р', но это
противоречит неограниченности сумм (94). Тем самым лемма
доказана. Теперь мы можем вернуться к доказательству
теоремы 10. Сначала рассмотри.м ее первую часть. Возьмем
произвольный элемент Т множества {Т{а)\ и запишем его
в виде
(Г) x'j = fj{x)=^Pi{x), J=l, ..., k. (95)
s=l
Пусть A(Xi Xi^) — фиксированный однородный
многочлен степени т, ^/{х^ Х/^) — многочлен, определенный
равенством
дА{Хи ..., Xk)
^v yXi -^к)-
дх„
и, наконец, р—некогорое фиксированное целое число, не
меньшее единицы. Рассмотрим ряд А (/, (х), ..., Д (х)). Не
трудно видеть, что в нем члены степени fit-]-? имеют вид
к
УК{Р\ Pi') 4-(многочлен из Р^, •••- -Рр). (96)
1= 1
Поэтому если
g{Xi, ..., Х„)= ^ Л,(-^').
то члены сгепени т-\~р в ряде g{fi{x), ..., /^(х)) также
будут иметь вид (96).
Преобразование U (см. теорему 10) записывается
равенствами (86). Обозначим частные производные
^А{Лх1 Xk)
дх^
через b,p{Xi Хд,) и положим
tj = P{{x), j^.\ k.

Литература 43
Тогда, согласно (95) и в силу предположений теоремы 10,
'|,;ш каждого j=l k и каждого целого р Is 1
выражения вида
t
^,Д;,(^1 4)^?%I W!-(многочлен из Pi Р]) (97)
иудут ограниченными для всех Т=Т{а). Теперь мы в
состоянии доказать ограниченность P's{x) цчя всех s= I, 2, ...
путем индукции при возрастании .s\ Дтя s = l эта
ограниченность постулирована в теореме. Предположим, что
мы уже доказали ограниченность Р] Pp. Тогда и
многочлен, составленный из Р], ..., Рр, фигурирующий в
выражении (97), тоже будет ограниченным. Отсюда вытекает
ограниченность выражений
к
2 А/. (^1, ...,t,)p;^, (xi X,) ^ Bj (Л-)
4=1
д;1я всех /=1, ..., k. Теперь легко видеть, используя
предыдущую лемму, что в данных условиях будут
ограниченными и Pp-i.i(jc). Таким образом, первая часть теоремы 10
доказана.
Вторая часть теоремы получается из первой части при
помощи теоремы 6 (в этом случае, так как {Т(ci)\ —
ограниченная группа, |Дг;«)|=1).
ЛИТЕРАТУРА
Повидимому, не существует литературы, непосредственно
относящейся к группам преобразований с помощью формальных
степенных рядов общего вида. Мы можем только назвать работы, в
которых рассматриваются аналитические функции многих комплексных
переменных или другие классы „конкретных" функций. Поэтому наши
ссылки в одинаковой мере касаются как настоящей главы, так и
гл. III. В указанном смысле сюда (в основном) относятся следующие
работы:
1. Н. Behnke, ОЬег analytische Funktionen mehrerer Veraiider-
lichen. III. Abbildungen der Kreiskorper (Hamburg Univ. Math. Sent.
Abhandl., т. 7 (1930), стр. 329—341).
2. Н. Behnke и E. P e s с li 1, Der Cartansche Eindeutigkeitssatz
ill unbeschrankten Korperu {Math. Ann., т. 114 (1937), стр. 69—73).

4i Гл. I. Группы формальных рядов
3. Н. Behnke и Р. Thullen, Theorie der Funktioaen mehre-
rea komplexer Veranderlichen (Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Qrenzgeblete, т. 3, вып. 3, Берлин (1934)).
4. S. В e г g m a n n, Ober die Existenz von Reprasentantenberei-
chen {Math. Annalen, т. 102 (1929), стр. 430—446).
5. S. В о с h П e r, Compact groups of differentiable transformations
{Annals of Math., т. 45 (19t5), стр. 372—381).
6. С. Caratheodory, Ober die Abbildungen die durch Systeme
von analytische Funktionen von mehreren Veranderlichen erzeugt wer-
den {Math. Zeits., т. 34 (1932), стр. 758—792).
7. Н. С art an, Les fonctions de deux variables complexes et le
probleme de la representation analytique {Journ. de Math. Pares et
Appl. (9), T. 10 (1931), стр. 1—114).
8. H. С a r t a n, Sur les fonctions de plus variables complexes.
.L'iteration des transforms interieures d'un domaine borne {Math.
Zeits., T. 35 (1932), стр. 760-773).
9. H. С a r t a n, Sur les groupes de transformations analytiques
{Actaalites Sci. Ind., Exposes Math., IX Париж (1935)).
10. E. Peschl, Ober der Cartan — Caratheodory Eindeutigkeits-
satz {Math. Ann., r. 119 (1943), стр. 131-139).
11. H. We Ike, Ober die analytischen Abbildungen von Kreis-
kor^ern und Hartogsscheti Bereichen {Math. Ann., т. 103 (1930),
стр. 437—449).
Решающее значение здесь имеют работы № 8, 6 и 2.
Большая часть работы № 5 посвящена распространению относящихся
сюда результатов из теории комплексных аналитических на случай
дифференцируемых функций.
Более систематическое изложение вопросов, связанных с
инвариантной мерой, установленной на группе (так называемой мерой
Хаара), использованной нами при доказательстве теоремы 8, можно
найти в книге.
12. Andre Weil, L'integration dans les groupes topologiques ct
scs applications (Actualites Sci. Ind., вып. 869, Париж (1940))*).
Читатель, интересующийся степенными рядами, коэффициентами
которых являются элементы алгебраического поля общего вида
(а не обязательно числа), должен сам рассмотреть вопрос о том,
какие из наших теорем и в какой степени остаются действит.ель-
ными в этом случае. Интересную проблему можно поставить в связи
с теоремой 1. Группа (50) весьма „узка", она зависит только от
одного параметра, хотя и „действует" в пространстве многих
переменных. Возникает вопрос о том, в каких случаях выводы теоремы 1
сохранятся при замене группы (50) группой, зависящей от многих
параметров. Же.тательно также рассмотрение случая действительных
переменных.
*) Эта книга недавно вышла в русском переводе: А. Be иль,
Интегрирование в топологических группах и его применения (Москва,
Изд. иностр. лит., 1950). {Прим. перге.)

Глава И
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНЫХ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Цель настоящей главы — установить, в какой степени
сходны (или, наоборот, различны) некоторые основные
свойства аналитических функций комплексных переменных
11 аналитических функций действительных переменных.
Поэтому нам будет удобно определить аналитичность с
помощью степенных рядов. Функция /(^j z^) называется
аналитической в какой-либо области пространства ее
переменных, если она в некоторой окрестности каждой точки
{z\, ..., Zh) этой области является суммой некоторого
(абсолютно) сходящегося степенного ряда
оо
2 a„^,.,„^(z,-~2'}ri...(z, — zlrk. (1)
Переменные Zf г^ могут быть все комплексными, все
действительными или частью комплексными, а частью
действительными. Мы намерены сводить изучение аналитических
функций всех типов к изучению аналитических функций
комплексных переменных и поэтому начнем сейчас с
последних.
§ 1. Функции комплексных переменных
Пусть Zj=Xj-\-iyj, У=1, ..., А. Под пространством А
комплексных переменных Zi, ..., z^^ мы в дальнейшем
будем понимать обычное евклидово пространство Е^^ 2А
действительных переменныхXi,_yi х^,з'л.. Пусть (2° z^) —
некоторая данная точка этого пространства. В качестве
окрестности такой точки удобно рассматривать
„полицилиндр"
С(2», г) f г,.-г;!<г;, ,= 1, ..., k].

46 Гл. П. Основные факты теории аналитических функции
здесь Г] Гй — некоторые положительные числа.
Если степенной ряд
2«"1-'-«Л'---^? (2)
п
абсолютно сходится при |г, | = /?, (v = l k\ R.,—■
данные положительные числа), или более общо, если
I I — ^
(3)
(здесь М некоторое положительное, надлежащим образом
подобранное число), то он мажорируется внутри
полицилиндра
С(0, R) [\zj\<^R,; J = l, ..., к]
кратной прогрессией, сходящейся к величине
Поэтому если мы каким-нибудь образом расположим члены
ряда (2) в ординарный ряд, то последний окажется
равномерно сходящимся в полицилиндре С (О, г), где все г^<^/?у.
Так как каждый одночлен г"^..-.г'|г" является непрерывной
функцией от г„ ..., z^, то и сумма ряда, функция
/(^1, ..., гд,), будет непрерывной функцией переменных
2], ..., Zj; в полицилиндре С (О, R). Так как эти одночлены
являются аналитическими функциями от каждого из
комплексных переменных г,, ..., z,., то в силу известной теоремы
Вейерштрасса и сумма ряда, функция /(г,, ..., г^,), будет
аналитической функцией от каждого т этих переменных.
Частные производные
К PL
dzi' • • • ' dzk
(5)
могут быть получены почленным дифференцированием
ряда (2), любым образом расположенного в ординарный ряд.
df
Если имеют место неравенства (3), то ряд для у—
мажорируется кратной прогрессией, сходящейся к величине
ж (•-*)"('-*)"'
1 £л_

1. функции комплексных переменных 47
(уналогично для -^, ...,-,— ). Рассуждая таким же обра-
:i()M относительно рядов, получающихся для ^—, а затем от-
С/л."
носительно рядов, возникающих при дальнейигем
дифференцировании, мы найдем, что: 1) функция f(Zj, ..., z^) обла-
л;1ет всеми производными всех порядков; 2) эти
производные могут быть найдены почленным (последовательным
и случае надобности) дифферерщированием ряда (2). В
частности,
л,! ... л;,!а„^...„ =--- -^-г^. (6)
1
"к
Отсюда
Теорема 1. Всякая аналитическая функция
комплексных переменных непрерывна и обладает всеми
частными производными всех порядков. Эти производные
являются аналитическими функциями переменных Zx, ..., Zf^.
Лгя коэффициентов ряда (1) справедливы равенства
л,!... п,\ an, „, = -^ i-^ . (7)
Пусть в каждой плоскости Z: нам дана область Tj,
j-=l, ..., k. Тогда точечное множество
[z^^Tx, ..., z,iT,] (8)
яиляется областью в иростргнстве Е^^,. Эта область
называется (обобщенным) полицилиндром и обозначается
символом (7„ ..., Гд,). Пусть T'j — область, содержащаяся вместе
со своей границей внутри области Tj, границей которой
является гладкая кривая С-. Предположим, что в области (8)
функция f(Zi, ..., Z;^) аналитична по каждому из
переменных (при фиксировании значений всех остальных
переменных на величинах, допускаемых условиями (8)). Тогда
повторное применение обычной формулы Коши приводит
пас к формуле

48 Гл. П. Основные факты теории аналитических функций
Замечательное исследование, которое мы воспроизведем
в гл. VII, привело Ф. Гартогса к выводу, что функция,
аналитическая по каждому переменному, является непрерывной
но совокупности переменных.
Сейчас мы постулируем непрерывность функции /(г) по
совокупности переменных в области (8), по не будем
предполагать ее аналитичность по совокупности переменных.
Из непрерывности f{z) в области (8) следует, что эта
функция равномерно непрерывна и ограничена на А-мерном
многообразии
{z,iC„ ..., z^iC,]. (10)
Поэтому повторный интеграл (9) может быть заменен
кратным интегралом.
Для того чтобы доказать аналитичность функции / в
области (8) по совокупности переменных г',, ..., z^,
достаточно показать, что в окрестности каждой точки {z^)
области (8) эта функция может быть представлена кратным
степенным рядом (абсолютно) сходящимся в этой
окрестности. Не ограничивая общности, мы можем предположить,
что точка (г'", ..., zX) совпадает с началом координат
(О, ..., 0). Тогда, если все кривые Су являются
окружностями |Су| = /?у, точка (г',, ..., Zf^) — фиксирована и \z,\<^Rj,
/ = 1, ..., k, исходя из равенства
(при HKiCi),
п=0
получим
1 ^ <'...^?
"1 п*=0 ' *
(И)
Ряд (И) в данном случае сходится абсолютно и равномерно
по отношению к переменным С], .... С^ на многообразии
[jCy| = /?y; у=1, ..., k\. Так как функция /(С,, ..., С*)
ограничена на этом многообразии, мы можем подставить
выражение (11) в формулу (9), а затем изменить
очередность суммирования и интегрирования. Это приведет нас
к ряду (2) с коэффициентами, определенными равенствами
1 \Ч Г /(Qd;i...dCft

1. функции комплексных переменных 49
Полученный ряд абсолютно сходится при \Zj\<^l^j, у =
= I, ..., k. Для полноты заметим, что в рассматриваемом
Чостиом случае, когда Су — окружности \zj\ = Rj, интегралы
(!)) н (12) следует вычислять, полагая
Су=/?/Ч 0=^6^.<2я, at:j=iRje'b-dBj = lJ^jd<ij. (13)
Ук;1жем еще на то, что получающийся у нас степенной ряд
ПС изменяется при замене окружностей | С; | = Rj
окружностями |Су| = /?) (здесь R'j'^Rp однако предполагается,
что при этом мы остаемся внутри области (8)). Это следует
непосредственно из (7) и легко из (12). Таким образом,
получаем:
Теорема 2. Если функция /(г',, ..., г^) (все Zj —
комплексны) непрерывна в области D и аналптична по
каждому переменному во всех ее точках, то она анали-
тична в этой области.
Теорема 3. Если функция f{Zi, ..., г^) (все Zj —
комплексны) аналитична в области D, то каждое пред-
гтавление (1) является единственным и имеет силу
и наибольшем полицилиндре С (г", R), содержащемся в D.
Как и в случае одного комплексного переменного,
формула (9) имеет важные следствия. В результате ее
дифференцирования мы приходим к равенству
dz"^... dzlk (Щ" . J ■ ■ ■ J (Ci-^or""'...(^ft-«b)"*+'
Если последовательность функций, аналитических в
области D, равномерно сходится на всяком компактном
множестве 5 точек этой области, то предельная функция также
аналитична в D; последовательность, состоящая из произ-
подных от функций данной последовательности, сходится
(равномерно на 5) к производной от предельной функции.
И частности, одноименные члены степенных рядов,
построенных для функций этой последовательности, сходятся
(каждый в отдельности) к соответствующим членам степенного
ряда для предельной функции. Если ряд (2) сходится в
полицилиндре С (О, R) и (z°, ..., zl) — точка этого полици-
4 С. Бохвер

50 Гл. и. Основные факты теории аналитических функций
линдра, то ряд (1) может быть получен путем формальных
преобразований.
Наконец, если функции
^; = 9у(^1. •••, у, 9у(0, .... 0) = 0, У=1, ..., А (15)
представляются степенными рядами, сходящимися при
I Сх I <С рь ^ = 1. • • • > А и их значения определяют точки,
лежащие в полицилиндре С (О, R), то функция /(ф, (С),..., ^^(С))
аналитична в полицилиндре [|Сх|<^рх, Х= 1, ..., /] и
представляющий ее степенной ряд может быть получен путем
формальной подстановки. Таким образом, мы приходим к
выводу, что аналитическая функция от аналитической
функции аналитична.
§ 2. Функции действительных переменных
Пусть {z\, ..., zt) (где z)=:xfj-\-iyy) — точка
пространства Е^^. Ее действительным окружением мы будем
называть всякое точечное множество, содержащее А:-мерный
прямоугольник
\Xi — x)\<CRj, yjz=.y), j^\, ..., k. (16)
Производные (7) можно образовать, рассматривая только
точки действительного окружения точки {z\, ..., z'j^.
Пользуясь этим, мы покажем, что функция, равная нулю на
действительном окружении некоторой точки, тождественно
равняется нулю. Действительно, пусть функция f{z)
аналитична в некоторой области D пространства Е^^ и равна
нулю в каком-то действительном окружении некоторой
точки P(z'')(iD. Тогда прежде всего она равна нулю во
всех точках наибольшего полицилиндра C^z", R'')czD. Далее
она оказывается тождественно равной нулю в
соответствующем полицилиндре C(z', R') (здесь точка (z')iC{z'', R'^))
и т. д. Каждая точка D может быть соединена с точкой Р
конечной цепью таких полицилиндров, и поэтому можно
считать установленным, что f (z) тождественно равна нулю
во всей области D.
Полученный результат позволяет нам сформулировать
следующие теоремы:

2. Функции действительных переменных •''I
Теорема 4. Если функция /j (г) аналитична в
области Dj, функция fq.{z) аналитична в области Dq., пересечение
D, [\ D.2 областей D^ и D^ есть область, и, наконец, значения
(рункций /, (z) и /з (г) совпадают в действительном
окружении некоторой точки D, [\ D^, то f^ {z) и f^ {z) являются
аналитическим продолжением одна другой; иначе говоря,
существует одна и только одна функция f(z),
аналитическая в области D^ -f- D^ и совпадающая с /, (z) в
области Di и с f<iiz) в области Dg.
Теорема 5. Пусть область D есть результат
объединения областей Da (а — индекс, принимающий различные
значения), причем пересечения Da [\ Dr-s или пусты, или
также являются областями. Пусть fa^z) — функции,
аналитические соответственно в областях Da, причем
псякий раз, когда Da[\D^^O, функции fa(z) и f^{z) со-
ппадают в действительном окружении некоторой точки
1)а П D^,. Тогда в области D существует одна и только
одна аналитическая функция f(z), совпадающая в
каждой из областей Da с соответствующей функцией fa{z).
Каждую область Т пространства действительных
переменных ДГ], ..., X/j можно считать лежащей в пространстве
комплексных переменных z^, ..., Z/^ (причем Zj^Xj-\-i.yj
и в Г все yj ^0,j^l,..., k). Пусть функция/(Xj,.. .,-^ft)
.шалитична в Т. Тогда если (д:,, .,., х^^^)—некоторая точ-
ica Т, то в каком-то А-мерном прямоугольнике [\Xj—Xj\<^
f{,x)= 2 <■■■ «/Д-^!-^"У'• • • (-^/^-4^')"
л, ... nj; = 0
И таком случае ряд
k.
Z''':l..n,iz,-x^^'r...(z,-x^^Y'
«1 •••«& = о
е-ХОДИТСЯ в полицилиндре Da[\Zj—Xp\<^Rj,J=l,...,k]
и определяет там функцию faiz) (совпадающую с f(x)
и гочках области Т). Отсюда, основываясь на теореме 5,
получаем (обозначая через D область, образующуюся
II результате объединения полицилиндров £>„):

52 Гл. II. Основные факты теории аналитических функций
Теорема 6. Если функция /(х^, ..., х,^) аналитична
в Т {все Xj ■— действительны), то в пространстве
комплексных переменных Zj = Xj -\- iyj существует
окрестность D области Т и в D одна такая аналитическая
функция F{Zi, ..., Zf;), что в Т F (Xi, ..., х^^
^/(^1' • • • > -^k)-
Если две окрестности области Т пересекаются по
области пространства Z:^*. то соответствующие функции F(z)
совпадают между собой в силу теоремы 4. Таким образом,
F (z) является единственным продолжением f(x) в
комплексную область и в дальнейшем обозначается просто через
Пусть функции fi(x) h fi{x) соответственно аналитичны
в областях Tj и Гз и последние пересекаются по области.
Тогда „комплексные окрестности" Т^ и Т^ — области Dj и
Dj пространства Е^ь (построенные указанным выше
способом)— также пересекаются по области. Таким образом,
теоремы 4 и 5 применимы и к функциям действительных
переменных.
Наоборот, и это следует особо подчеркнуть, вторая
часть теоремы 3 неприменима к случаю действительных
переменных. Из того, что представление (1) имеет силу
в каком-то достаточно малом коаксиальном (со сторонами,
параллельными координатным осям) прямоугольнике с
центром в некоторой точке Р, не следует, что оно имеет силу
во всяком коаксиальном прямоугольнике с центром в этой
точке, вмещающемся в область Т. Размеры такого
наивыгоднейшего прямоугольника зависят от толщины
окрестности D (области Т), на которую функция f(x) может
быть продолжена. Также нельзя утверждать, что равномерно
достигаемый предел последовательности аналитических
функций является снова аналитической функцией. Если этот
предел случайно и окажется аналитической функцией, то
отсюда, вообще говоря, не будет следовать сходимость
последовательностей одноименных членов степенных рядов
для допредельных функций к соответствующим членам
степенного ряда предельной функции.
Однако оказывается верным следующее предложение.
Пусть степенной ряд для функции /(Хц ... , Х/^)
сходится в А-мерном прямоугольнике с центром в начале
координат со сторонами, параллельными ксординйтным

3. функции смешанных переменных 53
осям, а степенные ряды для функций фу ($i, • • •, $г)>
/=1, ..., k, сходятся в аналогичном прямоугольнике
с центром в точке ($)^(0). Наконец, предположим, что
/(О, ..., 0)==0 и 9у(0, ..., 0) = 0, У=1, ..., i%. Тогда
степенной ряд для функции /(ср, ($), ..., ср^ ($) оказывается
сходящимся в некотором /-мерном прямоугольнике с центром
и начале координат со сторонами, параллельными
координатным осям. Этот ряд может быть получен путем
формальной подстановки рядов сру (^) в ряд f(x).
Таким образом, и в случае действительных переменных
<')налитическая функция от аналитических функций снова
оказывается функцией аналитической. Это может быть
доказано непосредственно путем мажорирования наших
степенных рядов; это можно также получить следующим
способом, путем сведения к случаю комплексных переменных.
Положим Zj = Xj-\-iyj, /==1, ..., k; Cx = $x + /yix,
1 = 1, ..., l. Тогда существуют: 1) продолжение/(г'!, ..., z,,)
данной функции/(xj, ..., л:^.) на некоторую комплексную
окрестность А начала координат (z) = {Oy, 2) продолжения
еру (Ci, ..., Сг) данных функций фу (^i, ..., У на некоторую
комплексную окрестность начала координат (С) = (0). Если
последнюю окрестность мы возьмем достаточно малой, то
;шачения функций сру (Ci С^) окажутся лежащими в А,
п мы сможем применить „комплексную" теорему. Этот шаг
и приведет нас к ожидаемому результату.
§ 3. Функции смешанных переменных
Если ряд
п п
сходящийся При \^\<CR> мы представим в виде двойного
ряда
оо
p,q=0
ТО последний будет, наверное, сходиться в квадрате
[|--1<4' 1^|<4]-

54 Гл. П. Основные факты теории аналапппеских функций
Более общо: если некоторые (или все) переменные Zj
в ряде (2) комплексны и мы подставим вместо них
Zj=-Xj-\-iyj, то получим сходящийся степенной ряд,
зависящий только от действительных переменных. Кроме того,
если в этом случае f^u-\-iv, то и ц v являются
аналитическими функциями действительных переменных Xj и yj
и удовлетворяют условиям Коши — Римана
^ffL_4£- = 0. 4^ + -|1- = 0. (17)
dXj dyj ' dyj ^ dxj ^ '
Теперь предположим, что /, рассматриваемая как функция
этих действительных переменных, может быть аналитически
продолжена на ббльшую область. Тогда в результате такого
продолжения окажутся продолженными и функции и, v,
ди ди да , ди „
а вслед за ними и ^; ^—, -^; ь-^—. Так как послед-
oxj dyj ' dyj ' oxj
ние выражения обращаются в нуль в исходной области,
они будут равны нулю и в новой области. Иначе говоря,
если аналитическая функция от переменных Xj, ..., х„
{п'^2) моя^ет быть продолжена и первоначально содержала
переменные Xi, х^ только в комбинации Xj-j-'-^a (т- е.
первоначально она была аналитической функцией от
переменных Xi-^-iXa,, Хз, ..., х^), ТО то же самое будет иметь
место и после продолжения.
Мы подчеркнули этот факт главным образом из-за
следующей весьма характерной для нашей теории теоремы,
которая будет доказана в гл. IV:
Если f{Xi, ..., xJ — аналитическая функция
действительных переменных х^, ..., х^ (п^З) на границе
некоторой ограниченной и-мерной области и Xi, Хо. входят в нее
только в виде Xi-\-ix,i, то она может быть аналитически
продолжена на всю область. Для й = 2 эта теорема неверна:
функция f{x-\-ly) может быть аналитической на границе
некоторой области и не быгь аналитически продолжаемой
на всю внутренность этой области.
§ 4. Сопряженные комплексные переменные
Сопряженные комплексные числа мы будем обозначать
буквами с черточками над ними. Начнем со следующей
теоремы:

4. Сопряженные комплексные переменные 55
Теорема 7. Если
/(^1. С, Zp, Ср) (18)
• • аналитическая функция 2р комплексных переменных
в Ар-мерной окрестности начала координат, точки
г, =^ Ci ^ ... ^ г'р ^ Ср ^ О, (заданная там с помощью
степенного ряда) равна нулю на 2р-мерном многообразии
^1 = ^1 ^р = ^р (19)
(д пределах упомннутоИ окрестности), т. е. там
f{Zi, Zi, ..., Zp, Fp) = Q, (20)
то функция (18) тождественно равна нулю:
/(^1. С, ^р, Ср)=0. (21)
Доказательство. Введем новые комплексные
переменные
•^/ = ^4^. Л = —2Г^. i"=l Р- (22)
Линейное преобразование (22) является неособенным;
обратное для него (тоже линейное) преобразование имеет
пид
15 новых переменных многообразие (19) будет определяться
уравнениями:
дгу^ действительное число; з'/^ Действительное число,
j=\,...,p. (23)
15 результате подстановки (22) степенной ряд (18) заменится
снова сходящимся в окрестности начала степенным рядом.
Этот новый ряд будет обращаться в нуль на многообразии
(23) и в силу теоремы 4 окажется тождественно равным
нулю. Такое же заключение мы должны сделать и
относительно исходного ряда.
Пусть f{x, у)—некоторая функция действительных
переменных X, у, обладающая непрерывными частными произ-
df df , ^
водными -^, ~ (она может и не быть аналитической
функцией). Введем чисто символически новые „переменные"
z = x~{-iy; z^x — iy. (24)

56 Гл. и. Основные факты теории аналитических функций
Тогда
Далее, введем новые символы -^, —ь, положив
dz dz
dz~ 2\дх~^ I dyj' dz~ 2 [дх i dyj- ^'^°^
К формулам (25) можно прийти путем вычислений по
обычным правилам, если смотреть в равенствах (24) на 1 как на
действительное число. Полагая f^it-\-lv, мы найдем, что
bz~' 2
Таким образом, условия Коши—Римана(см. (17)) выражаются
уравнением
# = 0.
0Z
Сформулируем полученный результат в более общем виде:
Если функция
/(Xj, л. . • • > -^fe. Уд (26)
обладает непрерывными частными производными первого
порядка, то она является аналитической функцией
комплексных переменных Zj^Xj-\-iyj в том и только в том случае,
если
^^ ^0, ..., -^=0. (27)
дх idy)~2\[dx дy)~^^[дx~^ ду ))•
dz, ' '"' dzk
Подчеркнем, что когда функция (26) является
аналитической, соотношения (27) можно понимать буквально.
Действительно, в этом случае мы можем продолжить функцию
(26) на комплексную окрестность пространства переменных
Xf, yj. Тогда подстановка (22) приведет нас к
(несимволическим) соотношениям
Точный смысл равенств (27) теперь будет состоять в том,
что функции (28) обращаются в нуль на многообразии (19).
В силу теоремы 7 отсюда следует, что эти функции тожде-

4. Сопряженные комплексные переменные 57
i'1-пенно равны нулю. Таким образом, степенные ряды (26),
переписанные в „независимых" переменных Zi, Zi, ..., Zj^, 1:^,
будут содержать только одночлены вида z^^ ... z^''-
Пусть /j, ..., /„ — функции действительных переменных
Л|, ..., х„, обладающие непрерывными производными пер-
иого порядка. Произведем линейные неособенные когре-
диентные преобразования этих функций и независимых
переменных, положив
т^1, ..., л.
\,.=-\
п
Тогда, очевидно,
d(fi, ..., fn) _ dj'vi, ..., 9n)
д(Xi, ..., x„) д(li, ..., i,t) •
Эго алгебраическое тождество останется в силе и при
преобразовании, приводящем к нашим символически
независимым переменным. Итак, мы имели действительные
функции Uj = ltjiXi, Уи ..., Х^, У^), Vj = Vj-{Xi, У1, ..., Xft, У^),
/=1 k, и перешли от них к символам/, = ?«/-|-''^/>
fj^iij—Ivj, Zj^Xj-\-lyj, Zj^Xj—iyj (всюду /==1, -...k);
мы обнаружили, что
д [Uu Vi, ..., Uk, Vk) __ д if I, /i, . ■ ■, /fe, fii)
д (Xi, Уи ..., A-ft, Уд.) i) (^g^^ 2i, . . ., 2ft, Z/i)
Перестановка переменных (и функций) также сводится
к линейному преобразованию. Поэтому написанные выше
определители будут равны
d(fu...,fk-fu ...,f_k)
д(Zi, ..., гд.; Zi, ••■, z^,)
(29)
В частном случае, если fj^fj(zi, ..., z^), т. е. если
fj — аналитические функции переменных (z), то

58 Гл. П. Основные факты теории аналитических функций
и в результате непосредственного вычисления
определителя (29) мы найдем, что он может быть заменен
произведением
a(/i, ..., Д) d{fu...,7k)
d{z„ ...,Zk) ' d(z„..., Ч)
Отсюда получается:
Теорема 8. Если fj = iij -\- ivj =fj (г,, ..., z,^) —
аналитические функции переменных Zi, ..., Z;^ (j ^1, ..., k),
то
д (л:,, у I, ..., A-ft, yk)
d(fu---,fk)
д{Zi, ..., Zh)
Мы можем теперь доказать теорему о неявных функциях,
имеющую силу для аналитических функций как
действительных, так и комплексных переменных.
Теорема 9. Если
Fj{Wu ..., w^; z^, ..., zi), i=\, ..., k (30)
— аналитические функции от своих k-\-l аргументов
в окрестности начала координат Fj (О, 0) = О, а
li£:::::S ^q «/^^ (ш)=(^)=(0), (зо
то уравнения
Fj{Wi, ..., w„; Zj, ..., Zi) = 0, J=l, ..., k, (32)
имеют единственное решение
Wj = Wj{z^, ..., z^), j=l, ..., k, (33)
обращающееся в нуль при (z) ^ (0) и аналитичное в
окрестности начала координат.
Доказательство. Сведем эту теорему к
соответствующей теореме о дифференцируемых функциях
действительных переменных. Сначала предположим, что все наши
переменные комплексны. Напишем систему (32) как
систему 2k действительных уравнений с неизвзстными
действительными функциями iij, Vj. в силу теоремы 8 якобиан
новой системы отличен or нуля при (ш)^(2')^'0.
Следовательно, эта система имеет единственное решение, обра-

5. Мажорированные семейства функций 59
щающееся в нуль в начале координат и обладающее
непрерывными частными производным» первого порядка.
Читатель может сам проверить, что обычные правила
дифференцирования остаются в силе и для наших
символических величин. Дифференцируя соотношения (32) по z^,
получим
dWp dz^ ' Zj a^x dzr,
■ 0.
Отсюда, так как z^ и z^ „независимы", следует, что
V&'St='-' '=' '■■ "=' '•
Поэтому, в силу правил линейной алгебры и условия (31),
dwj
"^^ д~=~ (при_/=1, ..., к; m=zl, ..., I) должны быть
равными нулю. Это и означает аналитичность функций w
от Z.
Если наши переменные действительны, мы продолжим
функции (30) на комплексную окрестность пространства
этих переменных. Этим мы сведем случай действительных
неременных к случаю комплексных переменных.
Существуюг и другие способы доказательства теоремы 9.
Так, можно применить в этом случае метод неопределенных
коэффициентов Коши с последующим мажорированием
получающихся степенных рядов. В простейшем случае
уравнения F(w, z)^0 можно использовать метод вычетов Вейер-
штрасса — Гурвица.
§ 5. Мажорированные семейства функций
Семейсгво аналитических в области D функций {fa{z)}
от действительных или комплексных переменных z^, ..., z,;
мы будем называть мажорированным, если для этих функций
коэффициенты степенных рядов с центром в любой точке
(^1, ..., zl) ^ D, числа а,", ...„^, удовлетворяют неравенствам
^«1 • • • «ft I
; -^«1 .

60 Гл. П. Основные факты теории аналитических функций
причем
А <__^L_
где М, /?1, ..., Rff — некоторые положительные числа.
Из последних неравенств следует, что
При rj<^Rj, j'=l k. Легко видеть, что производные
любого фиксированного порядка от функций
мажорированного семейства тоже будут мажорированными. Отсюда
следует, что эти производные будут равномерно непрерывными
и равномерно ограниченными на всяком компактном
точечном множестве SczD. В случае комплексных переменных,
в силу формул (9) и (12), из того, что семейство функций
равномерно ограничено, обратно следует, что оно
мажорировано. Для действительных ^переменных такого вывода
сделать нельзя.
Как в случае одного комплексного переменного, так и
для многих комплексных переменных всякая
мажорированная в области D последовательность содержит
подпоследовательность, равномерно сходящуюся со всеми своими
производными на всяком компактном точечном множестве SczD.
Мажорированная последовательность функций будет
сходиться указанным образом, если она сходится в окрестности
некоторой точки, или только в действительном окружении
некоторой точки, или если последовательность общих
членов степенных рядов данных функций сходится хотя бы
в одной точке к общему члену степенного ряда предельной
функции. Аналогичное утверждение справедливо и для
мажорированных последовательностей функций действительных
переменных. Это следует из того, что для функций
fai-Xi, ..., х^) (Xi, ..., х^ — действительные переменные)
всякой мажорированной в некоторой области Т
последовательности всегда можно указать общую окрестность D
(в пространстве переменных Zj^Xj-{-iyj, j=l, ..., k)
области Т, на которую все эти функции продолжаются,
образуя там снова мажорированную последовательность.
Проверку последнего утверждения мы предоставляем
читателю.

6. Теорема Е. ЕГЛевп 61
Пусть/(г'! ,.., z^, Ci С;)—аналитическая функция
от А-]-/ переменных в области, являющейся топологическим
произведением областей А (пространства переменных z) w В
(пространства переменных С). Тогда семейство функций
fx,{z)^f(^, z), где параметры С изменяются на некотором
компактном точечном множестве SbCzB, является
мажорируемым в А. Это очевидно, поскольку f(z. С) есть
аналитическая функция от Z, С, ограниченная на топологическом
произведении Sb, и любого компактного точечного множе-
сгва SaCzA. Такая же теорема имеет место и для случая
функции f(^z, С) действительных переменных и доказывается
путем продолжения данной функции на соответствующую
комплексную окрестность.
§ 6. Теорема Е. Е. Леви
Пусть K(Xi, ..., х^, ti ti) — мажорированное
семейство аналитических функций переменных х^, ..., лг^. Здесь
^1 tj — параметры, принимающие значения координат
точек некоторого заданного подмножества Т пространства
переменных t\. Коэффициенты степенных рядов для функций
Kf{x) предполагаются (ограниченными и) интегрируемыми
функциями переменных t^, ..., tj на Т. Кроме того, пусть
нам еще дана на Т интегрируемая (но не обязательно
ограниченная) функция 9 (^1, ..., tj). Тогда функция
F{x)=^ К {X, t) 9 (О dti. . . dt[ (34)
г
является аналитической, что обнаруживается, например,
и результате подстановки в выражение (34) вместо К(х, t)
соответствующего степенного ряда и изменения затем
порядка суммирования и интегрирования. Этот способ
доказательства аналитичности функции F(x) теряет силу,
если функция К(х, t) имеет особенности; в этом случае
должен быть употреблен какой-то искусственный прием.
Такой метод был предложен Е. Е. Леви. Он имеет важное
значение в теории дифференциальных ургвнений с
частными производными. Мы выясним его суть на простом
примере.

62 Гл, II. Основные факты теории аналитических функций
Пусть 9 {ty, t^, /3) — аналитическая функция
действительных переменных ty, t^, t^ в (открытой) окрестности
единичного шара
{Т) t\^tl^tl^l. (35)
Покажем, что при 0<^Х<^*/2 функция
аналитична, если
Jc! + x| + x|<l. (37)
Заметим, что поверхность
^? 4-^2+ ^1=1 (38)
параметризуется следующим образом:
$j г= sin а cos р, $2 = S'n«sinp, $3 = ^08 а. (39)
Введем, кроме а, р, еще третье переменное р. Читатель без
большого труда проверит, что при любых фиксированных
Xj, ДГ5, ДГ3 преобразование
Tv Xf р (?v -^v)) ^ ^, ^t tJ,
ИЛИ, иначе,
t,=x,-\-p(i,—x,y, v=l, 2, 3, (40)
преобразует замкнутую область (35) пространства
переменных ti, t^, ^3 в замкнутую область
[0^р:^1, 0:^а:^Я, О :^ ^ ^ 2я] (41)
пространства переменных а, р, р. Легко подсчитать также,
что
5(Р,«Л^) -Р^(*' Р' ^^'
где
D (а, р, х) ::= COS а COS Р COS а sin р — sin а
— sin а sin р sin а cos Р О
Таким образом, если мы положим
Ф(р, ^, ДГ) =
— 9 (xi + р (^, — ATj), ДГд + Р (<2 — Xi), ДГз + р (t^ —ДГз)), (42)

Литература 63
ТО интеграл (36) заменится следующим
Г da Lp f i^ Ф(Р.е.х).Д(..^,х)
0 0 0 '^ I. \ > vj
<1-(д;, 0 = (-^i-^i)4-(-^2-^2)'' + (-^3-y'- (44)
Читатель легко проверит, что если функция 9(^1, t^, t^)
япляется аналитической в окрестности (35), то Ф (р, t, х)
(|удет аналитической функцией всех своих семи аргументов
11 (открытой) окрестности точечного множества,
определенного условиями
Отсюда вытекает, что величины Ф (р, Ч, х) в интеграле
(43) (если смотреть на х^, х^, х^ как на параметры)
образуют мажорированное семейство функций. То же самое
следует сказать и о D (а, р, л;). Наконец, отметим, что и
функции [ijj (х, S)]~^ для каждого X ^^ О, (х), находящихся
в (37), и (X), находящихся в окрестности (38), образуют
мажорированное семейство. Действительно, пусть е^О —
некоторое число. Тогда (]>(дг, ^)^е'' (при ^i-f-Arl-j-
+д;|:^(1 —2е)« и (1 — е)''<^! + ^| + ^|<(1 + е)''), и
поэтому функция [ijj(j(r, ^)]~^^ ехр{—Wni^ipc, t)} будет
аналитической для указанных значений х я t. Наконец,
при Х<^*/2 величина p^-zx интегрируема в интервале
0<^р<^1. Теперь ясно, что аналитичность функции,
определенной интегралом (43), вытекает из аналогичного
результата для регулярной функции К(х, t),
сформулированного в начале параграфа.
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen meh-
rercr unabhangiger Veranderlichen insbesondere fiber die Darstellung
dcrselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veranderlichen
fortschreiten (Math. Ann., т. 62 (1906), стр. 1—88).
2. F. Hartogs, Einige Folgerungen aus dcr Cauchyschen Inte-
gralformel bei Funktionen mehrerer Veranderlichen (Akad. d. wiss.
Munich. Berichte, т. 36 (1906) стр. 223—241).
3. E. E. Lev i, Sulle equazioni Uneari totalmente ellittiche alle
derivate parziale (Circolo mat. Palermo, т. 24 (1907), стр. 275—317).

64 Гл. и. Основные факты теории аналитических функций
4. W. F. Osgood, Note fiber analytische Funktionen mehrerer
Veranderlichen {Math. Ann., т. 52 (1899), стр. 462—464).
5. W. F. Osgood, Zweite Note fiber analytische Funktionen
mehrerer Veranderlichen (Math. Arm., т. 53 (1900), стр. 461—4б4).
6. W. F. Osgood, Topics in the theory of functions of several
complex variables {American Math. Soc. Colloq. Led., т. 4 (1914),
Нью-Йорк, ч. II, стр. 111—230).
7. W. F. Osgood, Lehrbuch der Funkticnentheorie, т. II, ч. 1
((1929), второе издание, Лейпциг).
8. W. W i г t i п g е г, Zur formalen Theorie der Funktionen von
mehrerer komplexer Veranderlichen (Math. Ann., т. 97 (1927), стр.357—375).
Это только наиболее важные работы. Работа № 3 стоит
отдельно от других и относится к специальному вопросу,
рассматриваемому в § 6. Излагаемый в ней метод имеет большое значение
в теории дифференциальных уравнений с частными производными
эллиптического типа. Сошлемся на типичную в этом отношении
работу:
9. G. G i г а U d. Siir le probleme de Dirichlet generalise,
equations non lineaires a m variables {Ann. d. Ecole Norm. Sup., серия 3,
т. 43 (1926), стр. 1—128).
Этому же автору принадлежат и многие другие работы на ту
же тему. См. также:
10. Е. Н о р f, Ober den funktionalen, insbesondere analytischen
Character der LOsungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter
Ordnung {Math. Zetts., т. 34(1931), стр. 193—233, особенно стр. 224).
По поводу приложения метода Е. Е. Леви к другим проблемам
(помимо теории дифференциальных уравнений) см.:
11. S. Bochner, Completely monotone functions of the Laplace
operator for torus and sphere {Duke Math. Journ., т. 3 (1937),
стр. 488—502, особенно стр. 495).
В этой связи следует еще з^омянуть о работе, в которой
указан метод, отличный от метода Е. Е. Леви, обладающий, впрочем,
несколько ограниченной областью применения:
12. Н. Lewy, Cber den analytischen Character der LOsungen
elliptischer Differentialgleichungen {Nachricht. d. wiss. Gesell. Gottin-
gen Math. Phys. Kl. (1927), стр. 178—184).

г л a в a in
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКОЙ
§ 1. Аналитические гомеоморфные отображения всего
пространства на некоторую его часть
Целая функция одного комплексного переменного не
может выпускать окрестность какого-либо значения (Вейер-
штрасс *), а на самом деле даже не может выпускать больше
одного значения (Пикар). Обобщение этого факта на
случай многих переменных должно было бы иметь следующий
вид: „если функции/(дг, у), g{x, у): 1) аналитичны для
всех значений комплексных переменных х, у ш 2)
независимы, т. е. их якобиан не равен тождественно нулю, то
множество точек (н, v), где u^:=f{x, у) и v^:=g{x, у),
не может выпускать окрестности какой-либо точки
пространства комплексных переменных и, v". Однако многого
нехватает для того, чтобы такой вывод был верен (Фату).
Теорема 1. Существует пара целых функций вида
и ::= X-\-(члены высших порядков), (1)
ъ::=у-\-(члены высших порядков),
определяющая гомеоморфное отображение всего
пространства комплексных переменных х, у на некоторую его
часть. Дополнение к получающемуся образу содержат
открытое множество; для всех х, у оказывается
1г%=^- (2)
Доказательство. Начнем с рассмотрения
функционального уравнения
9(4л, 4у) —49(дг, y) = axf{2x — 2yf-\-b<f{2x — 2yf, (З)
*) Этот результат еще до Вейерштрасса был получен русским
математиком Ю. В. Сохоцким. (Прим. перев.)
5 С. Божнер

66 Гл. III. Аналитические отображения с неподвижной точкой
где а и b — постоянные. Покажем, что уравнение (3) имеет
единственное решение вида
9iPC, у) = х-{-у-{- 2 Аря^^'У-. (4)
где ряд (4) сходится в некоторой окрестности начала
координат. Подставляя ряд (4) в уравнение (3), получим
Р + 9Э:2 Р + 9Э:2
где
многочлены относительно а, b я тех Л^,. для которых
у.-\-^<^р-\-д. Таким образом, имеем соотношения
А
РЯ "11У^
РЯ 4Р+9—4
которые рекуррентным образом однозначно определяют
коэффициенты ряда (4), удовлетворяющего уравнению (3).
Для того чтобы доказать сходимость получающегося ряда,
сравним уравнение (3) с уравнением
<^{2х, 2у):=а{2{х-
-{.Ь{2{х-{-у)-
■у)-^^{2х. 2у)Г-\-
■<^{2х.2у)}\ (6)
Мы будем искать решение этого уравнения в виде ряда
•Нх.у)= 2 ^Ря^'^- (7)
Р + 9Э:2
в результате подстановки ряда (7) в уравнение (6) мы
придем к рекуррентной формуле
РЯ 2Р+в
где V--\-^<ip-\-q.
Мы предоставляем читателю проверить, что для любых
а, Ь, С|Лу имеют место неравенства
|рр,(а, Ь, ад|^о^„(|а|, \Ь\. |С^,|).

L Отображения всего пространства на его часть 67
Кроме того, отметим, что при p-\-q'^2
Следовательно, нам остается установить сходимость
ряда (7).
Сравним для этого уравнение (6) с уравнением
Последнее уравнение имеет единственное формальное
решение вида
со
^it)=2,ar. (8)
п = 2
Таким образом, ряд W [2 (дг-[->')] оказывается формальным
решением уравнения (6), и нам нужно только установить
его сходимость. Ряд к:=ЧР"(^) является формальным
решением уравнения F{t, к) = 0, [где F{i, u)::=it — a{t-\-uf —
— b{t^uy], исчезающим в начале координат. Так как
i^A =1
\duju=.t=o '
то это уравнение (в силу теоремы 9 гл. II) обязано иметь
одно аналитическое решение, обращающееся в нуль в
начале. Отсюда следует, что ряд (8) (а значит, и ряд (4))
должен сходиться в некоторой окрестности начала.
Пусть /?(0<^/?^оо) — наибольшее из чисел, для
которых ряд (4) сходится в полицилиндрах [|дг)<^/?, |j'|<C^]-
Напишем уравнение (3) в виде
функция (fix, у), определяемая рядом (4), будет
удовлетворять уравнению (9) не только в окрестности начала, но
в силу принципа аналитического продолжения и во всем
полицилиндре [|jf|<C^> \У\<^Щ' С помощью
соотношения (9) мы, однако, можем теперь найти аналитическое
продолжение функции <^{х, у) на полицилиндр [ |-лг | <С] 2/?,
|j'l<C2^]- Отсюда следует, что R не может быть
конечным числом. Итак, Rz=zсо и tf(x, у) — целая функция.

(10)
F)8 Гл. III. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Далее мы будем считать а= — 5, Ь::=2. Положим
/(ДГ, у):=ср{х, у):=Х-\-у-\-(чЛеИЬ] ВЫСШИХ
порядков),
{Т)
g(x, у)г=ср(2х, —2у)^:=2(х—J/)-{-(члены
высших порядков).
Тогда
f{2x, —2y) = g{x. у).
g(2x, —2y) = ^f{x, y)-\-2g{x, yf^bg(x, yf.
Пусть, далее,
к(дг, д;)=/(2дг, —2у),
v{x, y)^g{2x, —2у).
Очевидно, что
g(x, у) = и (X, у),
f (X. y)={(v — 2»"-1-5и^). ^^^^
Обозначим через 1{х, у) величину
d(f{x,y),g{x,y))
д(х,у)
Мы имеем, с одной стороны,
д(и, V) ^djf (2х,-2у), g(2х,-2у))_ _
д{х,у) д(х,у) ^ • ■^>'
а с другой —
д (и, р) __
д {X, у)
д£ д£
дх ду
^^ + ilOg^-lOg)f^ 4|-b(10^^-10^)f
= —41(х.у).
После сравнения этих результатов и последующей
итерации мы найдем, что
П'Ху У) — '\^2"' (—2)") „-»оо V2" ' (—2)«У
= /(0, 0) = —4.
Таким образом, 1(х, у) — постоянная величина. Из
соотношений (11) следует: если отображение f::=f(x, у).

/. Отображения всего пространства на некоторую его часть 69
K = g{x,y) переводит две различные точки (atj.J'i) и {х^, у^
и одну, то при этом отображении образы каждой пары
точек f-^, —-^j, f-^, —-^j также оказываются
совпадающими. Тогда в любой окрестности начала координат
найдутся различные точки, имеющие при нашем
отображении совпадающие образы. Последнее противоречит тому,
что / (О, 0) ф 0. Итак, функции Т определяют гомеоморф-
ное отображение пространства х, у на какую-то часть
пространства /, g. Такой же вывод должен быть сделан
благодаря соотношениям (10) и для отображения и = н(дг, у),
v=v(x, у).
Теперь покажем, что к получающемуся при последнем
отображении образу пространства х, у не принадлежит
окрестность точки н::=1, v = l. Действительно, пусть для
псякого е^О можно указать такие х ш у, что
ii(x. y)=li- р, vix. y)=l-\-a,
где
|р[^е, |о|^е.
В силу равенств (11) тогда
g=l + P.
/= 1-f 1 (о — 15 р2 — 30 р» — 10 р* — 2 р").
Отсюда следует, что при надлежащем выборе числа е<^1
(это е не будет зависеть от х, у) к у нас окажутся
g—1 |=^е и I/—1|^е. Таким образом, из неравенств
Iн(дг, у) — 1 I^е, \vix, у) — 1 I::^е (в результате
итерации благодаря соотношениям (10)) будет вытекать, что при
любом п
Этот результат противоречит равенствам и (О, 0):=0,
V (О, 0) ::= 0. Аналогичный вывод будет, очевидно,
справедлив и для отображения fz=f(x, у), gz=g{x, у).
Наконец, чтобы получить функции вида (1), мы заменим
в fix, у) и g{x, у) выражения х-]-у и 2{х—у) над; ту.
Такая замена является одно-однозначным линейным
отображением пространства переменных х, у на себя и не
изменяет установленных выше свойств функций/(х,у) и g(x, у).

70 Гл. in. Аналитические отображения с неподвижной точкой
§ 2. Теорема единственности А. Картана
Следуя Каратеодори, назовем последовательность
функций, непрерывных в области D, или, более общо,
последовательность непрерывных отображений области D,
непрерывно сходящейся (в области D), если эта последовательность
равномерно сходится на всяком компактном множестве SczD.
Пусть D — область, содержащая начало координат. Мы
рассмотрим аналитическое отображение области D,
оставляющее начало координат неподвижным. Таким образом, это
отображение имеет вид
(Г) ^J=fj (^1. • ■ •. ^ft). j=l, ..., k.
Здесь fj{z) — функции, аналитические в области D, равные
нулю в начале координат. Мы часто будем записывать это
отображение в следующей форме:
k
(Г) г)-= fj{z')'=: ^ Oyjj^^-|-(члены высших порядков). (12)
Настоящие равенства выражают, что преобразование Т может
быть всюду в D задано с помощью аналитических функций
// {z) и что эти функции представляются в окрестности
начала координат указанным образом. Заметим, что
мажорированное семейство таких преобразований (в смысле § 5
гл. II) является (если смотреть на их представления как на
формальные степенные ряды) слабо ограниченным в смысле
§ 3 гл. I.
Кроме того, оказывается верным следующее
утверждение:
Ограниченная последовательность (аналитических)
отображений тогда а только тогда непрерывно сходится
в области D, когда она там слабо сходится.
Действительно, из непрерывной сходимости некоторой
последовательности, в силу формулы (12) гл. II, немедленно
вытекает ее слабая сходимость. То, что слабо сходящаяся
последовательность непрерывно сходится в некоторой
окрестности начала координат, сразу обнаруживается при
рассмотрении степенных рядов (12). Подобное рассуждение
пригодно и для каждой точки этой окрестности; действуя

2. Теорема единственности А. Картона 71
далее так же, как при аналитическом продолжении, мы
расширим область непрерывной сходимости до всей области D.
Эта эквивалентность непрерывной и слабой сходимости
для ограниченных последовательностей ведет к
многочисленным конкретным интерпретациям и выводам из результатов
гл. I. Сначала мы сформулируем предложение, вытекающее
из теорем 3 и 9 гл. I.
Теорема 2. Если известно, что равенства
z'j^:=fJ {z) = Zj -\- {члены высших порядков), J = 1,..., А,(13)
определяют отображение некоторой ограниченной
области D, содержащей начало координат, на какую-то ее
часть, то
fj{z)=Zj. J^l. .... k.
Здесь условие ограниченности области D может быть
заменено предположением о существовании k степенных
рядов
со
'W,{z)— 2^ A'n{z), Яу^1,
п = пу
СО следующими тремя свойствами: 1) каждый из этих
рядов сходится в некоторой окрестности начала
координат и может быть продолжен в любую точку области D;
2) функции, получаемые при таком продолжении,
оказываются ограниченными; 3) определитель
д(А\,..., Al^
"' фО.
d{zi, ..., Zk)
Замечание. Здесь, как в § 1 гл, I, д{(г) —
однородный многочлен степени л от переменных Zi, ..., z^.
Следует подчеркнуть, что функции Wjiz) не должны
быть обязательно аналитическими (однозначными) в
области D. Мы требуем только их аналитичности Wj {z) в
области, являющейся универсальной накрывающей *) для области D.
*) По поводу универсальной накрывающей для области
пространства многих комплексных переменных см., например, Б. А. Фу к с.
Теория аналитических функций многих комплексных переменных.
Гостехиздат, 1949 г., стр. 61. (Прим. перев.)

72 Гл. ИГ. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Из теорем 1 и 2 настоящей главы мы можем получить
интересный результат. Рассмотрим функции и(х, у) и
v(x, у) теоремы 1 (напомним, что здесь х и у —
комплексные переменные). Они гоыеоморфно отображают все (х, у)-
пространство на некоторую область D, не содержащую
какого-то открытого множества. Очевидно, эти функции
отображают область D на какую-то ее часть. Таким
образом, мы имеем пару функций, первые члены разложений
которых суть X и у; они отображают область D на ее
часть и не сводятся к х к у. Следовательно, область D не
может удовлетворять условиям теоремы 2. Пусть (дГц, у^) —
точка, лежащая вместе с замкнутым шаром |дг—дгоР-j-
-\-\у—J'oP'^s'' вне области D. Иначе говоря, область D
находится внутри области
Поэтому, по смыслу теоремы 2, в последней области не
может существовать пара ограниченных функций Wi (х, у)
и w^ (х, у) с отличным от нуля якобианом. Полагая
„' Х — Хр . У—Уе
^~ Г"' У—~~^'
мы получим тот же результат для внешности единичной
сферы, т. е. для области |дгр-[" |Д'Р^^- ^ "^^^> таким
образом, не может существовать пара ограниченных
функций ш»! (дг, у), ^^{х, у) с отличным от нуля якобианом.
§ 3. Критерий для того, чтобы преобразование
с неподвижной точкой было автоморфизмом
Преобразования (13) составляют весьма узкий класс
преобразований типа (12) с
|Дг|=1. (14)
Здесь, как и в гл. I, Д?- — значение якобиана функций (12)
в начале координат.
А. Картан и Каратеодори установили, что с виду
простое условие (14) ведет к значительным следствиям. Если
для какого-либо преобразования (12) имеют место
предположения теоремы 2, то соотношение (14) может для него
выполняться только в том случае, когда оно оказывается

3. Критерий для преобразования 73
гомеоморфным отображением области D на себя, т. е.
является автоморфизмом. Мы дадим простое доказательство
этой теоремы, обобщенной на случай мажорируемой
полугруппы действительных отображений.
Рассмотрим действительное аналитическое пребразование
к
Uj='^4x^-\-gj{x), j~\,...,k.
s = \
Ряды gj{x) состоят из членов порядка ^2. Предполагается,
что 1) Дгт^О и 2) Г есть одно-однозначное
преобразование области Djj. (содержащей точку (д:) = (0)) на область
£)„ (содержащую точку (и) = (0)).
Очевидно, что
k
v\'\- ... -^^v^=2^{J^Xl-\- ... -\-aixuf
— определенная, строго положительная квадратичная форма.
Следовательно, существует такое число Л^О, что
С другой стороны, в некотором замкнутом шаре х\-\- ... -\-
g,{xf+...^gnixf^B{x:[J^...-\-x!%).
Следовательно,
(„=+... 4-к|)^^
^ [Л — Б (л^ + ... + x^ff-] -{xl^... +д;|)'А.
Положим р = min (о, А/2В), Гд = Лр/2. Тогда на границе
шара
д;?+...+д;|<р'' (15)
будет Kj-[" ••• Ч-Кй^Гд. Так как Т одно-однозначное
отображение, то образ (15) является областью. Эта область
содержит начало координат, и ее граница лежит вне
открытого шара с центром в начале радиуса Гд. Следовательно,
область Do содержит шар
«?+...+н]'<г;. (16)

74 Гл. ///. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Теперь рассмотрим семейство одно-однозначных анали"
тических преобразований { Г}, имеющих начало координат
неподвижной точкой. Предположим, что это семейство
мажорировано в области D„ и |Дг|^С^О. Не трудно
видеть, что в этом случае величины Л, о. В, р, Гд могут
быть сделаны одинаковыми для всех преобразований Т
нашего семейства. Таким образом, мы получаем следующую
лемму:
Лемма 1. Образы D„ содержат общий шар (16).
Мы хотим сделать из этой леммы вывод, относящийся
ко всякой мажорированной последовательности
преобразований (требование наличия у этих преобразований
неподвижной точки не предъявляется).
Условимся обозначать образы точек Р и подмножеств 5
области D при некотором преобразовании Т этой области
символами Т{Р) и Г (5).
Теорема 3. Пусть Т„{где п=1, 2, ...)
(Г„) itj =/f (Xi, .... Xk), j=l, ..., k,
— мажорированная последовательность преобразований
области D пространства Е^. Здесь fy (дг^,...,
х^—аналитические функции в области D. Предположим, что эта
последовательность непрерывно сходится к преобразованию
области D
(Го) Ну =/j^ (Xi, .... Xk), J=l, .... k.
Обозначим образ произвольной точки P^D при последнем
отображении, точку Т^ (Р), через Р^. Тогда если в
некоторой точке P^D якобиан преобразования Т^ отличен
от нуля, то существуют такие положительные числа Лд
и г, что все T„(D) при п'^щ содержат шар радиуса г
с центром в точке Р^.
Доказательство. Пусть координаты точки Р будут
(atJ, ..., х%), точки Т„{Р) — (hJ, ..., и%). Мы положим (для
произвольного п)
Xj = XJ-{-ij, Uj = u]-\-Wj, j'=l,...,k,
и рассмотрим систему уравнений
Fj Oi г*, со,, ..., со,) =/)") (дг;+ О - iu] + со,) = 0.

^ 3. Критерий для преобразования 75
По отношению к переменным S, to (которыми мы заменяем
переменные х, у) предположения леммы 1 (для п^Пц где
«1 — некоторое надлежащим образом выбранное число)
полностью осуществлены. Поэтому на основании этой леммы
шар (16)
7=1
фиксированного радиуса Гд содержится в T„{D) при n^rii.
Так как Т„ (Р) ->- Рд при п-^оо, то выполняется и
утверждение нашей теоремы, если взять r = r,J2 и выбрать
подходящее число «Q^Wj.
Теорема 4. Если преобразование (12) области D
(содержащей начало координат) на ее часть обладает
свойством (14) и последовательность итераций
{Т, Т\ -П ...} (17)
мажорируема, то рассматриваемое отображение есть
автоморфизм.
Доказательство. Сначала мы докажем, что Т
является одно-однозначным отображением области D на ее
часть. Мы будем рассуждать от противного. Пусть Р я Q—
две точки D, переходящие при отображении Т в одну,
т. е. пусть Г (Р) = Г (Q). Тогда и
r"(P) = r"(Q), /г=1, 2... (18)
Мы выделим из последовательности (17) последовательность
{ Т"* }, слабо сходящуюся к тождественному
преобразованию. (Это возможно в силу теоремы 5 гл. I.)
Последовательность { Г * } мажорируема в D, а поэтому и
ограничена на каждом компактном множестве S аЪ.
Следовательно (как это обнаруживается из выделенного курсивом
промежуточного результата, полученного нами в процессе
доказательства теоремы 2), эта последовательность
непрерывно сходится в области D к тождественному
преобразованию. Из сходимости { 7^* } к / вытекает, что

76 Гл. ///. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Отсюда, согласно равенству (18) P=rQ и, таким образом,
вопреки нашему допущению, отображение Т
одно-однозначно в области D.
Теперь применим теорему 3. Точечное множество Т *(£))
содержится в Т{ОУ, преобразования Т * непрерывно
сходятся в D к преобразованию с отличным от нуля
якобианом. Наконец, Т"'{Р)-^Р для любой точки PdD.
Следовательно, для каждой точки PdD при s^s^ существует
открытый шар, содержащий эту точку, находящийся в Т *(£))
(^0 — некоторое подходящее положительное число). Таким
образом, мы установили, что для произвольной точки P^D
можно указать открытый шар, содержащий эту точку, но
содержащийся в T(D). Тем самым показано, что T(D) не
может составлять части области D. Этим доказательство
нашей теоремы завершается.
Следствие из теоремы 4. Если D — некоторая
ограниченная область пространства комплексных
переменных, а (12) — отображение области D на ее часть,
обладающее свойством (14), то Т—автоморфизм
области D.
Если область D не ограничена, но обладает свойствами,
указанными во второй части теоремы 2, а (12) —
отображение области D на ее часть, причем линейные части
{ Lr, Lti, ••• } ограничены в своей совокупности и условие
(14) имеет место, то Т—автоморфизм области D.
Действительно, если область D ограничена, то
последовательность (17) автоматически будет ограниченной. В более
общем случае последовательность (17) будет ограниченной
в силу теоремы 10 гл. I.
§ 4. Группы автоморфизмов с неподвижной точкой
Наша ближайшая задача — эго придание конкретной
формы теореме 8 гл. I. Мы прежде всего заметим, что если
группа преобразований { Т(а) } является не только слабо
ограниченной, но и мажорированной, то преобразование
S= ^ L (Г(а-1)) • T{a)dii (а) (19)
о
(переводящее данную группу в подобную группу линейных
преобразований) представляется степенным рядом, сходя-

4. Группы, автоморфизмов с неподвижной точкой 77
1ИИМСЯ в некоторой окрестности начала координат.
Действительно, вместе с семейством преобразований { ^(а) } будет
мажорировано и семейство преобразований \ 1{Т{аГ^)) }, а
следовательно, и семейство преобразований {1(7"(а~*)) • Г (а) }.
Теперь нам достаточно усмотреть, что из неравенств
|C„,...«ft(a)l=S^ni...nft
следуют (в силу свойства 1 групповой меры, указанной
в § 6, гл, I) неравенства
J^ni...nft(«)'^;^(«)
An,... п.. (20)
Пусть { Г (а) } — группа автоморфизмов области D и начало
координат — неподвижная точка этой группы. Предположим,
что группа { Г (а) } мажорирована (например, для случая
комплексных переменных допустим, что область D
ограничена). Тогда, в Силу теоремы 8 гл. I, можно (выражаясь
геометрическим языком) так выбрать новую систему
координат в окрестности начала координат, что в ней
рассматриваемые автоморфизмы окажутся линейными. Возникает
вопрос о возможности обобщения этого результата на
случай области общего координатного пространства, с тем
чтобы новые координаты определялись внутренним образом,
исходя из конструкции пространства.
Аналитическое (действительное) пространство Е;^
определяется следующим образом;
I. Ej — это А-мерное связное точечное множество,
п котором топология задается с помощью открытых
множеств.
II. Существует система открытых множеств { U \,
покрывающих Е^; каждое множество U является гомеоморфч
ным образом некоторой соответствующей области V
фиксированного евклидова пространства Е^', предполагается, что
в последнем установлена система координат Хц ..., х^.
Гомеоморфное отображение f:V-^U ставит в соответствие
каждой точке U систему значений х^, ...,х^.
III. Если пересечение f/j f] U^ не пустое, то каждой точке
этого пересечения благодаря отображению Л: ^i -*- Ui
отвечает система значений параметров Хц ..., х^, а
благодаря отображению/j iV^-^Ui — система значений параметров

78 Гл. III. Аналитические отображения с неподвижной точкой
х\, ..,,x'k. Таким образом, в Е^ определится отображение
/~'/i некоторой части Vy на какую-то часть V^i
(/r'/i) дг;=дг^(дг„..., х^), j=l, ..., k.
Мы потребуем, чтобы: 1) это отображение было
аналитическим в каждой связной составляющей рассматриваемой
части V{, 2) якобиан
д (х[, ..., x'k)
д(Xi, ..., x/i)
был положительным во всех точках Vi, где это
отображение определено.
Кроме отображения /, рассмотрим другие гомеоморфизмы
f :V' -^[f между некоторой областью V' пространства Е^
и некоторой областью W пространства Ъ^, связанные с
отображением / только что описанным образом (как /j с /j).
Все такие отображения (включая и само отображение /)
называются допустимыми отображениями, все
поставленные с их помощью в соответствие точкам E^^ системы
параметров— допустимыми координатами.
Для аналитического комплексного пространства E^fc
условия I и II остаются прежними. Условие III должно быть
изменено следующим образом:
III (комплексное). Обозначим координаты в области V^
черезXi,У1, ..., х^,Ук, в области V^ — черезх[,у\, ....х'ь,у'ь
и положим Zj^Xj-\-tyj, z'j^x']-\-ly'j{j^l, ..., k).
Потребуем, чтобы гомеоморфизм /^'/i выражался через
посредство аналитических функций z'j^fjiz^, ..., Z/^).
Функция, определенная в некоторой области
аналитического пространства, считается там аналитической, если она
определена в окрестности каждой точки этой области как
аналитическая функция допустимых координат. Более общо:
пусть Т—преобразование некоторой области одного
аналитического пространства в какое-то другое аналитическое
пространство (того же или другого числа измерений). Пусть
Pq — произвольная точка исходной области, Qo — ее образ
при преобразовании Т. Преобразование Тназывается
аналитическим, если всегда (какой бы ни была точка Pq) могут
быть указаны такие окрестности Л^(Ро) (с допустимыми
координатами aTj, ..., х^) и N{Qf,) (с допустимыми коорди-

5. Отображения сферических поверхностей 79
нахами х\, ..., x'l), что соответствие между ними будет
задаваться с помощью аналитических функций
ДГх^/х (Xi, ..., X/i), А = 1, . . ., I.
Теперь теорема 8 гл. I приводит к следующему результату:
Теорема 5. Пусть Е^ — комплексное аналитическое
пространство, D — область этого пространства. Тогда
для каждой компактной группы автоморфизмов области D,
имеющей точку O^D неподвижной, может быть указана
такая допустимая система координат (имеющая точку О
своим началом), что в ней все преобразования названной
группы автоморфизмов будут линейными.
§ 5. Аналитические отображения сферических
поверхностей друг на друга
Рассмотрим конечное число степенных рядов
со
fj (г)= 2 '^«- • • «ft^"' ... гft^ У= 1. .... Л. (21)
"1 «fc = 0
{гу^Хч-\-1Уч) и предположим, что все они сходятся в
фиксированном шаре
Задача настоящего параграфа: найти необходимые и
достаточные условия, которым должны подчиняться функции fj {z),
для того чтобы преобразование
^У =fj (^1' • • •• ^а)' •/= Ь • • •• ^^'
переводило бы точки, находящиеся на сфере 12^i Р -}-••. -|-1^^ 1" ^
^постоянному числу (<^R^), в точки, лежащие на одной
и той же сфере I ш»! Р -}- ... -|-1 'гзг'д Р ^ постоянному числу.
С этой целью образуем сумму
л
Fix,y)=2,\fji^)\^ (22)
У=1
где
Ш = 2««'-«ft ^i"* • • •'^ft' • (23)

80 Гл. III. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Введем обозначение
Тогда
Pix.y) = 2 C,n,nz^rzn^ ... г^'^^Г" . (25)
m, n
Последний я двойной" ряд абсолютно и равномерно сходится.
Полагая
z^ = rle^^f^, ...,Zk = rke^fk; r^=\z^\, (26)
мы найдем, что
F{x,y) =
= 2 C„i,nrf^ + «1 ... r^fc + "ke '■ [С"! - m) f 1 +... + К -■ "fc) 9ft].
m, л
Вводя обозначения /л,—/г,^8,, v^l, ..., ft, и соединяя
подобные члены, придем к ряду
5а(г„ ..., г^)еЧ''"Р1 +---+Vfc).
,«jj = -0O
Это — равномерно сходящийся относительно всех
переменных кратный ряд Фурье. Его сумма является периодической
функцией с периодом 2л относительно каждого переменного
Ф, (v = 1, ..., k). Предположим, что функция F (дг, у) зависит
только от переменных Tj, ..., Ot и является постоянной
относительно переменных ^j, ..., ф^. Это может иметь место
только в том случае, если все Bs^..,Sj^ = 0 при Ь\ -\-...
... -]-8|^0. Таким образом, мы приходим к условиям:
"при 8J-|-...-}-8|>0.
Последняя сумма распространена на все неотрицательные
значения щ, ..., п^, для которых «j -|- Sj ^ О, ..., л^ -}- 8j, ^ 0.
Ряды для величин Be абсолютно сходятся при rj -|-...-}- г| <^ /?^
и могут тождественно равняться нулю только в том случае.

5. Отображения сферических поверхностей 81_
рсли все их коэффициенты обращаются в нуль. Таким
образом, мы приходим к равенствам
Спц...т^.П1...п^ = ^ при (/Wi —«i)2-|- ...
•••+('«*-%)'>0. (27)
При выполнении этих условий
Р(дг. >;) = 2<^«.«''i"'•••'■> (28)
п
Далее мы ограничимся случаем, когда функция F {х, у)
зависит только от г\'\- ... -\-г\:^г^. Положим г? = /„
где v=l, ..., k, t = rK Тогда
п
Этот ряд определяет функцию, аналитическую в
окрестности начала координат. Заменяя t^ через / = /j-j- ... -{-/^ и
оставляя переменные t^, ..., /й без изменения, мы получаем
функцию О (t; ti, ..., 4)> снова аналитическую для малых
значений переменных t, t^,..., tf^. Благодаря нашему
предположению относительно функции F {х,у) функция G (t,t^,..., 4)
сохраняет постоянное значение, если, фиксировав t (на
каком-либо малом значении), мы изменяем t^, ..., t^ так, что
/j^O, ..., 4^0, ^a-l-...-l-^fc</.
Отсюда следует (согласно принципу аналитического
продолжения), что функция G (t, ti, ..., 4) остается неизменной
для любых значений переменных 4> • • •> ^k i^"^ каждого
малого ^^0). В частности, мы найдем, что G(f,t^, ..., t,^ =
= G(t, О, ..., 0) для всех достаточно малых значений/^О
(в силу аналитичности функции G). Пусть функция О (t. О,..., 0)
представляется (в окрестности начала координат) степенным
со
рядом 2, ^Ht^', тогда мы получим, что
со
п J\r=0
6 с,, BosEep

82 Гл. III. Аналитигесхиг отображения с неподвижной точкой
Иными словами, при наших условиях должна существовать
такая последовательность чисел А^, что
С«,... Vni...n,t=7;j777^,^jv, N=ni-\-... -{-rik. (29)
Итак, мы можем сформулировать следующий результат.
Теорема 6. Пусть
'Wj —fj {Zi, ..., г J, j—l,...,h, (30)
— h аналитических функций, причем степенные ряды (21),
представляющие их в окрестности начала координат,
сходятся внутри сферы 8ц. Сумма
1^1Г+---+1^лГ=1/1(^)Р+...+1Д(^)Р (31)
тогда и только тогда является функцией одного
переменного
r^ = |г.P+...-}-|г,|^ (32)
т. е. преобразование (30) переводит все точки каждой
сферической поверхности г = постоянному в точки одной
и той же сферической поверхности
1 ®1 Р + • • • +1 ®л 1^ = постоянному, (33)
когда имеют место равенства
h
при (m, — n{f -{. ...-\.{m^ — n^f >0 (34)
Здесь An(N=0, 1, ...) — надлежащим образом выбранные
неотрицательные числа.
Построим для каждого сложного индекса л,, ..., п^
вектор a„j ... „ eft координатами а^^,... п. • Эти векторы
в силу соотношений (34) попарно ортогональны.
Соотношения (35) означают, что все векторы этой системы с одина-

5. Отображения сферических поверхностей 83
ковой суммой индексов n^-l-...-\-n^ = N одновременно
или отличны от нуля, или равны нулю. С другой стороны,
у нас не может существовать более h подобных не нулевых
векторов.
Таким образом, число s не нулевых векторов нашей
системы :^ Л и является суммой некоторого числа членов
последовательности
k k{k+l) k{k + \)...{k + N-\)
'1' 1-2 >•••> 1.2... Af »••• \^^)
(причем повторение слагаемых исключается).
Если k'^2 и h<^k, то S может быть равно только
единице. Это приводит нас к тривиальному отображению
Wj- = Cj. Случай h=k очень интересен, так как здесь
обнаруживается резкое различие между классическим случаем
k = l и случаем k^2. Для k = l все числа (36) равны
единице и оказываются допустимыми все отображения 'ау =
= cz^(N=0, 1, 2,...). Наоборот, для k^2 числа (36),
начиная с третьего, будут больше общего значения чисел Л
и k. Поэтому единственно возможными оказываются
значения s=l и s=k. Первое из них приводит нас к
тривиальному отображению Wj = Cj, тогда как второе соответствует
пажному классу отображений
Wj = ^a^^z„. ;=1, ..., Л. (37)
Здесь
ya%f = Pj^_^., еслит^«, 38)
Деля а£ на числа ^Л, мы получим постоянные Ь1„,
удовлетворяющие условиям
y^i^i^l?'"™ '"^"' (39)
iij " " 11, если т = п. '■ ^
Матрица ,*£»4II этого вида называется унитарной матрицей.
Линейное преобразование, определяемое такой матрицей,
является гомеоморфным преобразованием, сохраняющим
евклидовы расстояния от начала координат. .
4>

8i Гл. Ш. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Итак, мы приходим к следующему результату:
Для k^2 преобразованиями пространства, описанными
в теореме 6 (не переводящими всех точек окрестности
начала координат в одну точку), могут быть только
линейные (гомеоморфные) преобразования вида (37),
удовлетворяющие условиям (38) с Л 9^ 0. Если, сверх всего,
мы потребуем, чтобы это преобразование оставляло
неизменным евклидово расстояние, то придем к
унитарному преобразованию.
В случае Л^ft получаются нелинейные (полиномиальные)
преобразования. При k'^2 степени этих многочленов
оказываются ограниченными числом, зависящим от h (и k).
Случай k = l составляет исключение.
§ 6. Лемма Шварца и теорема Адамара о трех сферах
Пусть функция Q{t) аналитична в замкнутом единичном
круге 1^1^ 1. Для случая, когда G(0) = 0, лемма Шварца
устанавливает, что
|G(/')|^|/| max IG(e'»)|, \t\^l. (40)
Здесь равенство имеет место в том и только в том случае,
когда G(t) = ct, где |с| = 1.
Теорема Адамара о трех кругах утверждает, что для
функции G{t) (не обязательно равной нулю в начале
координат) имеет место неравенство
[maxIG(/)|]'"2^[max|G(Q|]«i • [ max | G (/) | ]««. (41)
UI=PS l<l = Pl l<i=Pj
Здесь pi, p<j, рз — любые числа, удовлетворяющие условию
0<Р1<Р2<Рз^1 (42)
и
a, = ln£i, а2=1п-^, аз = 1п-Н2. (43)
Ps Pi pi
Эти теоремы могут быть легко обобщены на случай многих
неременных.
Пусть F(Zi, ..., z^) — аналитическая функция в замкнутом
единичном шаре
|^,l«-l-...-l-|^ft|«=l. (44)

6. Лемма Шварца и теорема Адамара о трех сферах 85
Положим
М (р) = max I f (г,. .... z^) |. (45)
lU'i=P
где
Ы = [\гА^-^..-Л-\^,?\''^. (46)
Если мы еще введем в рассмотрение функцию
G{t; z) = F{z,t,...,z,t), (47)
го
Л1(р)=тах Ж(р; z). (48)
1|г|: = 1
Здесь
М (р. z) = max I G (/■; z) |. (49)
Если F(0. ...0) = 0. то и О(0,г) = 0 в любой точке
(г,, ..., Zk) замкнутого шара (44). Поэтому в каждой точке
{z\, .... z^ границы (44) (||г*||=1) в силу леммы Шварца
Ж(р. г:«)^рЖ(1. го) (р^1).
Согласно формуле (48) отсюда следует (учитывая равенство
II2» 11=1). что
Ж (р. гО):^рЖ(1).
Эхо неравенство имеет место для каждого г",
удовлетворяющего условию II г* II :^ 1. Отсюда мы получим окончательно
Ж(р)^рЖ(1). (50)
В последнем неравенстве можно видеть обобщение леммы
Шварца на случай функции F(2„ .... z^.
Если F — функция, аналитическая в замкнутом шаре (44)
(не обязательно обращающаяся в нуль в начале координат),
го из неравенства (41) следует, что при любом г'" (!|г''|| = 1)
[Ж(р,; г«)]"в^[Ж(р,; г«)]«'[^(рз; z<>)Y^.
Здесь р и а удовлетворяют условиям (42) и (43). Отсюда,
пользуясь формулой (48), мы получим
Ж(р,)«==:^Ж(р,)«.Ж(р8)"«. (51)

86 Гл. III. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Последнее неравенство выражает теорему Адамара о трех
сферах для случая функции F(^i, .... z^). Обратимся к
случаю нескольких функций. Пусть
/i i^u • • •> ^/i)> • • •' fn i^i' • • •' ^k) (52)
— «функций,аналитических в замкнутом шаре (44) [и--ft);
Й1, .... а„ — произвольные комплексные постоянные (в
дальнейшем мы выберем их подходящим образом). Построим
функцию
Ра (-г) = aj, (г) + ... + а„/„ {z). (53)
Очевидно, Fa{z) — функция аналитическая в (44). Если мы
предположим, что все функции /у {z) обращаются в нуль
в начале координат, то мы будем вправе применить к
функции Fa{z) обобщенную лемму Шварца (неравенство (50).
Мы получим
max [aJi {z)-\- ... -\-aj„{z) \^
^ p max I aji (-?)+... + aj„ {z)\. (54)
Пусть p — некоторое действительное число, большее
единицы. Согласно неравенству Гельдера
I «i/i (г) + ... + «„Л {Z) I ^ II а |1, II/ iz) %. (55)
Здесь
ll/IL,= II/iI''+...+l/„l''r''''.
1+1=1.
(53)
Подставляя (55) в правую часть (54), получим
max I aJi (-?)+...+ aj„{z)\^^\\a% шах ||/{z)%. (57)
.гм=р .г'=1
Обозначим через z[, .... z'h координаты одной из тех точек
сферы ЦгЦ^р, в которых функция ||/(г')||р достигает своего
максимума на этой сфере. Тогда
11/И11,^11/(^')1!р при щ=р. (58)

ff. Лемма Шварца и теорема Адамара о трех сферах 87
Теперь положим
[ 0. еслиД(г') = 0.
Для этих Ui, .... а„
(59)
||«|',=[21Л(^')Г''-'''Г=[21Д(^')|''1
у/д
II
п
а,Л (г>) + ... + а„/„ (г') = 2 1Л (-^'^ !"•
11=1
После подстановки этих значений в (57) мы найдем, что
2 1^(^')1''
V- 1
[2'^^Н'
:р max |1/(г)|1р.
/9 ' ='
ц=1
Но 1 :^~. Поэтому
\\f(z%^pmax\\f(z)l. (60)
:г|:=1
Отсюда, используя еще неравенство (58), получим
окончательно
max \\f(z)l^ р max \\f(z},p (О ^ р^ 1). (61)
Мы выразим полученный аналог леммы Шварца в виде
георемы:
Теорема 7. Пусть /j /„ (где п k\ — функции,
аналитические в замкнутом шаре (44), равные нулю в
начале координат, р — действительное число, большее
единицы. Тогда для точки (zi, ..., z^) из (44)
[l/i(^)r+.--+l/„(^)m'^[|^ir+...+l^.n'''"
• max [ |Л (^) Р + ... +1/„ ('^)|"]•/«. (62)

88 Гл. III. Аналитические отображения с неподвижной точкой
Теперь мы отбросим предположение о том, что
функции fj (z) обращаются в нуль в начале координат. В этом
случае, на основании теоремы Адамара о трех сферах (см.
неравенство (51)), мы имеем
max |ai/i(-?)+ ... а^„(г)\^
^{ max|ai/i+...+aj^„(^)l}^=X
X { max I а,Л (г) + • • • + а„/„(г) |}^'.
"г'=-Рз
Используя неравенство Гельдера (55), отсюда получаем
max I aJi {z)-\- ... -\- aj^ [z) | ^^
'|г =Pa
^llall/^ .тах|1/(г:)1^='.тах[|/(г)|^% (63)
|г|=р, "г'1=Рз
Далее, замечая, что согласно (43) Oj -J- Og :^ Oj, мы можем
взамен неравенства (63) написать
max I в,/, (г) + ... + в„/„ (г) | «i ^
1!^^£* ^ ^ max Wfiz)^ • max 11/(г),Г/ .
Il"ll9 |г'=р, г|=Рз
Повторяя теперь рассуждения, приведшие нас от
неравенства (55) к неравенству (61) (причем р заменяется на р^),
придем к неравенству
max II/ iz) I ^ max \\f{z)g^ • max \\f (г)|р . (64)
'«|i=Pj i^'''=Pl Уч =Рз
Оно и составляет искомое обобщение теоремы Адамара.
Мы выразим этот результат в виде следующей теоремы:
Теорема 8. Пусть Д(^j, ..., z^), ...,/„(г,, ..., z^ —
функции, аналитические в замкнутом шаре (44), р —
действительное число, большее единицы. Тогда имеет место
неравенство (64). В нем числа pj, pa, pg, «i, «a» ''з
удовлетворяют соотношениям (42) и (43); символы ||г||, ||/|]р имеют
смысл, установленный равенствами (46) и (56).
Неравенство (64), очевидно, выражает, что при ||г|]^р
1птах||/(г)|!р
— выпуклая функция от In р.

Литература 89
ЛИТЕРАТУРА
Здесь, кроме работ, уже перечисленных в списке литературы
в конце гл. I, следует еще указать на следующие:
1. L. Bieberbach, Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier
Komplexer Variablen, welche eine shclicht volumentreue Abbildungdes
/?4 auf einen Teil seiner selbst vermitteln {Sitz. Preuss. Akad. wtss.
(1933), стр. 47&-479).
2. P. Fatou, Sur les fonctions meromorphes de deux variables
(C. R. Acad. Sci. Paris, т. 175 (1922), стр. 862—865).
3. P. F a t о u, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables
(C. R. Acad. Sci. Paris, т. 175 (1922), стр. 1030—1033).
4. D. С. М a у, Jr., An integral formula for analytic functions of
k variables with some applications, Princeton University (не
опубликовано, диссертация, 1941).
Кроме того, в связи с теоремой 6 § 4 см.:
5. S. Bochner, Curvature in Hermitian metric (Bull. Amer.
Math. Soc., T. 53 (1947), стр. 179—195).
В этой работе метод „унитарных векторов* используется для
доказательства того, что гиперболический линейный элемент
(построенный с помощью одного комплексного переменного) нельзя
изометрично (комплексно-аналитически) вместить в пространство
конечного числа комплексных переменных.

Глава IV
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ
Любая область плоскости одного комплексного
переменного является областью существования некоторой
аналитической функции. Наоборот, в пространстве переменных
Z, щ,...,ип (здесь z:^x-\-iy, все н„ — действительны,
л^ 1) существуют такие пары областей D, D, причем Ь:гзЛ,
что всякая функция, аналитическая в области D, остается
аналитической и в области D. Этот факт,
обнаруживающийся при аналитическом продолжении, относится к
природе области D, а не к какой-либо определенной в этой
области аналитической функции. Мы будем называть его
аналитическим расширением *), в частности, говорить, что
область D является аналитическим расширением
области D.
Настоящая глава посвящена изложению ряда общих
теорем теории аналитического расширения. Свойства,
выражаемые этими теоремами, имеют своей основой
геометрическую структуру рассматриваемых областей.
Можно непосредственно получить одно очень простое,
но весьма общее свойство аналитического расширения:
Общее свойство аналитического
расширения. Пусть D — область пространства переменных
г, к,,..., н„, область D'—ее аналитическое расширение,
й f{z, н„...,к„) — некоторая функция, аналитическая в D
(а следовательно, и в D'). Тогда каждое значение
функции/в области D' принимается этой функцией и в области D.
В частности, если в области D\f\<^M, то это неравенство
имеет место и для значений функции / в области D'.
*) Авторы употребляют здесь термин „analytic completion". Мы
называем этот процесс «аналитическим расширением"; такое
название более отвечает сути дела. (Прим. перев.)

Гл. IV. Аналитическое расширение S1
Для того чтобы установить этот результат, достаточно
допустить, что функция / принимает в области D
значение г», а в области Df[z, Hj, ... ,и^фю. Тогда функция
(/—г»)~' будет аналитической в D, но не в D\ что
находится в противоречии с нашим предположением.
Метод исследования, применяемый в настоящей главе,
основан на интегральной формуле Коши для одного
комплексного переменного. Для применения этого метода
необходимо, чтобы функция зависела, по крайней мере, от
двух переменных, из которых одно обязательно должно
быть комплексным. Следует заметить, что последнего
требует не только применяемый нами метод. Сами результаты
могут оказаться неверными, если все переменные окажутся
действительными.
Мы намерены сейчас показать применение этого метода
на простом примере.
Пример. Пусть функция f{z, и) аналиттна в
шаровом слое
(S) (/?_Е)«<|^|«_1-„^<(/?_1-е)«.
Тогда она аналиттна в шаре
(S) |^|«_1_„«<(/?_1_е)^
Таким образом, 5 есть аналитическое расширение S.
Доказательство. Для каждого фиксированного
значения а из интервала
—/?<и</?
мы построим функцию
с (и)
Здесь С(«) — окружность
Так как f{t, и) — непрерывная (даже аналитическая)
функция t для всех t iC{ii), то ef{z, и) — аналитическая
функция Z для всех Z, лежащих внутри круга

92 Гл. IV. Аналитическое расширение
Заметим, что благодаря аналитичности функции/(/, к) в
шаровом слое 5 мы можем, не изменяя значения функции ф {z, it),
заменить контур C{ii) любым другим простым, замкнутым
контуром, лежащим в кольце
[(/? - Е)« - иЦ"^ < I / К (/? -1- е)" + «"]•'''
(причем к — попрежнему некоторое фиксированное число из
интервала — R<^n<^R). Ниже мы воспользуемся этим
обстоятельством.
Пусть «о — фиксированное значение н, удовлетворяющее
условию
-R<n,<R.
Рассмотрим интеграл
г— с Жн1
Здесь контур С(щ) фиксирован, а н — переменное,
изменяющееся в интервале
»„ — £<«<«„-1-е.
Поскольку/(г, н) — аналитическая функция от z, н в слое 5
и точечное множество
[/fC(Ho); Мо —е<к<Ко-1-Е]
лежит в 5, то интеграл / определяет аналитическую
функцию в области
Теперь мы сделаем еще два замечания. Во-первых, функция,
определенная с помощью интеграла /, и функция ep(z, и)
совпадают между собой при и^и^. Это видно
непосредственно из их определений. Во-вторых, указанное
совпадение фактически будет иметь место и для всех значений н
из интервала щ — e<^ii<^it^-\-s. Это следует из того, что
величина <р (z, и) не изменяется (мы указали на это выше),
если взять вместо С (к) (в ее интегральном выражении)
другой допустимый контур. Так как гг^ — произвольное
число из интервала (—R, R), то иЬ сказанного
вытекает, что ep(z, и) — аналитическая функция во всем шаре

1. Предварительные сведения 03
Нам остается установить тождественность функций/ и ф.
Сделать это не трудно. Рассмотрим значения и, лежащие
в интервале
/? —е<«</?—^.
Для них функция f{t, и) является аналитической не только
в окрестности контура С(п), но повсюду внутри него. Для
указанных значений» ef{z,ii)^f{z, и). Теперь ясно, что
функция 9 (г, к) есть искомое аналитическое продолжение
функции f{t,u) на область \г^-\-и^<:^Ц^. Таким образом,
мы получили ожидавшийся результат.
Два обстоятельства были существенны при рассмотрении
нашего примера: наличие в каждой плоскости и контура
интегрирования (вдоль которого функция f{z, и) была
аналитической) и существование окрестности (какой-то точки),
в которой значения функций f и ер совпадают.
§ 1. Предварительные сведения
Рассмотрим открытую плоскость комплексного
переменного z = x-\-iy (значение z = oo не принадлежит к ней).
Каждая замкнутая простая жорданова кривая С разбивает
эту плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю по
отношению к кривой. Эту внутреннюю область мы
обозначим символом Re- Re — ограниченная область; ее границей
является кривая С. Соответствующую замкнутую область
обозначим символом Re-
Как известно, открытое множество не обязано быть
областью, но оно единственным образом разлагается на
конечное или счетное число попарно не пересекающихся
областей; последние называются составляющими этого
открытого множества.
Пусть Д — некоторое открытое множество. Результат
присоединения к нему всех областей Re, где С — любая
простая жорданова кривая, лежащая в Д, мы будем называть
(геометрическим) завершением Д и обозначать символом Д.
Так как каждая кривая С должна целиком лежать в одной
из составляющих Д, то завершение Д представляет собой
объединение завершений всех составляющих Д. Если Д,
и Да — две непересекающиеся области, то их завершения Aj

94 Гл. IV. Аналитическое расширение
и Дз или тоже не пересекаются, или одна из них содержится
в другой. Например, если Д, — круг | г 1<] 1, Ag — кольцо
2<^.г\<^Ъ, то Д,—опять круг|г|<] 1, а Д» — круг |г:1<^3.
Очевидно, что Д2::1зД,.
Каждую замкнутую кривую Жордана, лежащую в
некоторой области, мы будем называть рассечением этой области.
Рассечение С области Д мы будем называть полным, если
в результате присоединения области Re ^ Д получается
завершение Д. Полные рассечения существуют не во всякой
области. Например, нельзя построить полного рассечения
единичного круга, из которого исключены точки
последовательности, сходящейся к некоторой граничной точке.
Пусть теперь D — произвольная область я -J- 2 -мерного
пространства переменных г, я„...,и„. Ее проекцию на
и-мерную плоскость z^O мы обозначим через Uq или
просто U; и—это некоторая область я-мерного
пространства переменных и„ ..., и„. Если c^{ci, ..., с J —
некоторая точка и, то пересечение области D с двумерной
плоскостью
lll = Ci,...,U„=C„ (1)
является двумерным открытым множеством. Его проекцию
на плоскость z обозначим символом Д(с). Таким образом,
мы представим область D, как точечное множество
(D) [а^и, z^Aiii)]. (2)
Далее образуем большее точечное множество
(bj [и^и. гбД(и)]. (3)
Здесь Д(к) — двумерное (геометрическое) завершение Д(н).
Мы будем называть множество Dg z-завершением области D.
Покажем, что множество D^ является областью. Пусть
Р{с, z^) — некоторая точка D,,. По смыслу определения Д (к)
можно указать такое рассечение С открытого множества D (с),
что z^i Rg. Далее заметим, что кривая
[и = с. СбС] (4)
является замкнутым ограниченным точечным множеством,
содержащимся в D. Поэтому существует такая окрестность
(Uc,?) [(»1-СгУ + ..- + (и„-с,Г <:?''] (р>0) (5)

2. Теореми о расширении 95
точки (с,, .... с„), лежащая в области U, что точечное
множество
[iiiUc,,. С6С] (6)
также содержится в области D. Итак, С является
рассечением открытых множеств Д(и) для всех it^Uc,f Отсюда
следует, что точечное множество
[нб^/с.р. ziRc] (7)
составляет часть множества D^. В частности, произвольная
точка (с, ^ц) (с которой мы начинали рассмотрение)
оказывается внутренней точкой D^. Далее, на кривой С может
быть указана такая точка ^ц, что точка (с', Со)6/?, а точки
(с, ^о) и (с, Со) могут быть соединены кривой, лежащей в D^.
Аналогично: если (с', ^о) — другая точка D^, то ее тоже
можно соединить с некоторой точкой (с', Q,
принадлежащей к D. Таким образом, две произвольные точки
открытого множества D^ могут быть соединены кривой,
состоящей из точек Dg. Тем самым доказано, что г-завершенне
некоторой области есть снова область.
Теперь предположим, что открытое множество Д имеет
конечное число связных составляющих, т. е.
Д = (Д'. ..., ДО.
Предположим еще, что: 1) все области Др допускают
полные рассечения; 2) их завершения не пересекаются. Если
СР(р^1, ... , г) — полные рассечения областей Др, то
совокупность этих кривых С (С, ... , С) называется полным
рассечением открытого множества Д. Мы будем в дальней-
г
шем обозначать символом /?с множество П^/-- Это обо-
р=1 ^-^
значение сохраняется и для случая, когда С — совокупность
произвольных замкнутых кривых (С^», Ср^, ...), лежащих
D открытом множестве Д; такую совокупность кривых мы
далее называем рассечением области Д.
§ 2. Теоремы о расширении
Теорема I. Если некоторая область (2) такова, что
1) для всякого ii^U число связных составляющих
открытого множества Д (н):^{Д<р)(к)} конечно; в каждой

06 Гл. IV. Аналитическое расширение
составляющей Д<р> (н) множества Д (и) существует полное
рассечение; завершения Д<р) (к) и Д<9) (н) /г/?к р ф q не
пересекаются;
2) J/ всякой точки Р(с, z^)^ Dg имеется такая
окрестность, С с, р, что при любом и 6 Uc, р надлежащее
рассечение Сц множества /1(c) оказывается гомологичным
некоторому полному рассечению С (и) мноясества Д(н) и
точки Р(и, г'о)6/?Со'.
3) существует, по крайней мере, одно udU, для
которого все составляющие множества Д(н) односвязны, то
Dj, есть аналитическое расширение области (2) и каждая
функция/{Zy, к, ... , и„), аналитическая в области D, имеет
единственное аналитическое продолжение на область Dj,.
Доказательство. Сделаем сначала несколько
замечаний о функциях и областях на плоскости переменного z.
Если множество Д имеет полное рассечение С, то можно
построить последовательность Cj, С^,... таких полных
рассечений Д, что /?с„сг/?с„11 и каждое гбД окажется
находящимся в некотором Rcn (а следовательно, и во всех Rcy
при v^/z). Очевидно, что для любого п множество
^?с„+,-^с„сгД.
Далее, если f(z) — аналитическая функция на множестве Д,
то интеграл
определяет некоторую аналитическую функцию на
открытом множестве Rc„. Так как для каждого ziRc^ ^,_ —
аналитическая функция С, если С6/?с„+1 — ^с„, то
9п (^) = 9п+1 {^) (при Z 6 /?с„)-
Мы определим в Д некоторз^о аналитическую функцию 9(г),
если положим <р (г) ^ ф^ (г) пригбТ^сг Здесь
<Р (-^) = 2^ J S ^'^ ("Р" ^ ^ ^С>'
С
где С—любое рассечение Д, гомологичное некоторому
полному рассечению этого множества.

2. Теоремы о расширении 97
Теперь обратимся к непосредственному доказательству
теоремы. Пусть f[z,u^,...,u.^ — аналитическая функция
в области (2). Для фиксированной точки к 6 t/ мы построим
(способом, указанным выше) функцию
9(г) = 9(г. и,. ....н„).
Эта функция определена в области D^, мы утверждаем, что
она аналитична относительно всех переменных. Действительно,
пусть (с, ^о) — произвольная точка Dg. Мы возьмем такое
рассечение С множества Д(с), что у нас окажется z^^l^c-
Затем, повторяя рассуждения § 1, мы обнаружим, что
внутри (7)
cfiz, u„....u„) = ±y-^^^'^di:. (8)
Так как С — замкнутая кривая, а выражение, стоящее
под знаком интеграла (8), аналитично относительно всех
входящих в него переменных, то и функция у(2^, щ,...,к„)
аналитична внутри (7), в частности, в точке (с, z^). Если
для некоторой точки с все составляющие Д(с) односвязны,
то в Силу интегральной формулы Коши функция,
определенная интегралом (8), совпадает с функцией f(z, Hj, ..., к„).
Полученный результат завершает доказательство.
Важное значение имеет специальный случай этой теоремы.
Мы сформулируем его отдельно и наметим его прямое
доказательство.
Теорема 2. Если
1) всякому и^и соответствуют две такие замкнутые
жордановы кривые С = С {и). С" = С" (н) (С сг Rc")> ч"^о
точечное множество Д (я) cz Rc", но содерж:ит целиком кольцо
Rc" — Ra; (9)
2) всякому ciU отвечают такая окрестность Uc,р и
такая кривая С, что С оказывается полным рассечением
кольца (9) для всякого и 6 Uc, ?;
3) некоторому ciU отвечает такая окрестность Uc,р.
что для всех uiUc,p множ:ества Д (н) оказываются
тождественными с соответствующими областями Rc", tno Dg
есть аналитическое расширение области D.
7 С. Бохнер

98 Г*л. IV. Аналитическое расширение
Доказательство этой теоремы сводится к следующему.
Построим для кривой С, упомянутой в теореме, интеграл (8).
Он определит функцию, аналитическую в (7). Для
фиксированного с она может быть аналитически продолжена на
всю область Д (с) плоскости z. После этого будет нетрудно
установить (рассуждая так же, как при доказательстве
теоремы 1), что она будет аналитической по всем
переменным при
u^Ucp, z^L(ii).
Таким образом, мы построим функцию, аналитическую во
всей области D/, она, сверх того, в некоторой окрестности
какой-то определенной точки совпадает с функцией
/(г,и,, ... , kJ. Этот результат завершает доказательство.
Теорему 2 обычно называют „теоремой о непрерывном
расположении особенностей аналитической функции". Ее
распространение на действительные переменные и„
принадлежит Севери.
§ 3. Выпуклые области
Мы продолжаем рассмотрение евклидова пространства
переменных z, щ, ... , и„.
Точечное множество С^А — Л, где А и В — выпуклые
(мы пользуемся обычным определением выпуклости)
ограниченные области, причем BczA, называется выпуклым слоем.
Спроектируем теперь эти точечные множества на пространство
переменных гг„ ... , к„. Проекцией области Л будет снова
выпуклая область Ua, проекцией В — выпуклая подобласть f/л
области и А, и проекцией С — область f/д. Точечное
множество Ua — Ub снова будет выпуклым слоем; если п=\,
оно сводится к двум непересекающимся интервалам оси и.
Запишем множества Л и С в виде:
{А) [u^Ua, ziLAin)]
(С) {u^Ua, ziLcin)].
Теперь легко видеть, что при u^Ua — Ue оба множества
Дд {и) и Дс (и) будут двумерными выпуклыми областями, а
при и ^ Ub множество Дс (к) будет получаться из Дд (к)

3. Выпуклые области 99
II результате исключения точки или некоторой замкнутой
кривой и ее внутренности.
Пусть и—некоторая такая область пространства
переменных Kj, ... , гг„, что
Ua — GbciUc:zUa
II точечные множества
D' = [uiU, ziLAiii)],
D = {aiU, ziLci.li)]
яиляются областями пространства £„+2. Согласно теореме 2
область D'^D^ есть аналитическое расширение области D.
Мы получим область U с указанными только что
свойствами, если образуем пересечение области Ua с
полупространством щ'^а, или с полупространством iii<^b, или
при /z:ii2 с пространственной полосой
a<iii<ft. (10)
Таким образом, получается
Теорема 3. В пространстве переменных z, tii, ..., н„
рассматривается выпуклый слой
[uiU„ ziLiti)]. (И)
Пслп и — пересечение области U^ с полупространством
Uy^a, или с полупространством tti<^b, или при «5^2
с пространственной полосой a<^Uj<^b, то для области
D = [uiU, ziL(u)] (12)
область
b, = [uiU, ziK{u)]
является аналитическим расширением.
Мы должны ограничиться сказанным, если среди наших
переменных имеется хотя бы одно действительное; для
случая, когда все переменные комплексны, можно высказать
более изящное предложение:
Теорема 4. Если
1) R — некоторая выпуклая область пространства
переменных
Zi, ... ,Zk (где Zj=X/ = 1ур k>2);

100 Гл. IV. Аналитическое расширение
2) R — некоторый выпуклый слой, внешняя граница
которого совпадает с границей области R;
3) области D и D суть пересечения областей R и R
с пространственной полосой
h
+ ?гпУт)<1> (13)
m^i
( CX3:^a<;]ft:^ СХЗ),
то область D является аналитическим расширением
области D. В частности, область R является аналитическим
расширением области R.
Действительно, рассмотрим некоторое неособенное
линейное преобразование
z'„, = CmiZi-{-...-{-C„kZfy, т=1, ... ,k, (14)
где Cy = aj — г'Ру (оу и Ру — постоянные из формул (13)).
Это линейное преобразование переводит выпуклые
множества снова в выпуклые, аналитические функции — снова
в аналитические, полосу (13) — в полосу
а<Не(г2)<й.
Таким образом, теорема 4 непосредстиенно следует из
теоремы 3, если мы заменим z через z"; щ, и^ через х'2, у'2',
Us, Н4 через х'^, уз и т. д.
Выведем еще одно следствие, полезное для дальнейшего.
Теорема 5. Пусть Р—граничная точка некоторого
шара пространства переменных Zi,...,Zf^(k^2),R — часть
окрестности точки Р, лежащая вне этого (замкнутого)
шара. Тогда существует такая окрестность N этой
точки Р, что область N-\-R явится аналитическим
расширением для R.
Этот результат легко получается из теоремы 2. Без
ограничения общности мы можем допустить, что наша сфера
задается уравнением
а точка Р имеет координаты (О, а^, ... , а^), где
1«.1* + -.. + |й*Г=ь

4. Видоизмененная выпуклость 101
Благодаря виду области R может быть указано такое
число h, что область D, определенная условиями
[| Zj — а\ <A, J = 2,...,k;
1-|г,Г-...-1г,|«<1г,|«<П
будет лежать внутри /?. Применим теперь теорему 2; роль z
у нас будет играть г„ роли и,, ...,к„ — величины Re (^g),
Im (^jj), Re (z^), Im (^3). Областью U будет являться
полицилиндр
[[Zj — ajK^h, 7 = 2, ...,A],
областью Д (z^, ... , Z/;) — кольцо
/l-\z,\^-...-\z,f<C\z,\<_h.
в некоторой подобласти области U, очевидно, будет
I ^а I* -f- • • •+1 ■2'й 1 * !!> 1 ■' для точек этой подобласти Д (г^, • • • ,^fc)
превращается в круг \z^\<^h. Таким образом
выполняются все предположения теоремы 2, и на ее основании
мы можем заключить, что область Dzi^[\Zj — aj\<^h,
J^2,... ,k; \z^\<^h] является аналитическим расширением
области D.
Относительно области R нам известно, что R zz> D;
поэтому в силу теоремы 4 гл. II область D^-f-/? есть
аналитическое расширение R. Этим выводом завершается
доказательство.
§ 4. Видоизмененная выпуклость
В настоящем параграфе мы коснемся вопросов, тесно
связанных с так называемой „аналитической выпуклостью"
и „условием Е. Леви". Получаемые здесь результаты не
используются в дальнейшем изложении; поэтому мы только
намечаем их доказательства.
Теорема 6. Пустьх-\-1у=г,пу--2,Р(х,у,щ,...,и„)—
действительная непрерывная функция своих аргументов
в окрестности начала координат
[|г1<а, н! + ...+«^<Р], (15)
обращающаяся в нуль в начале координат.

102 Гл. IV. Аналитическое расширение
Пусть, далее,
Р(х,у,щ,0,...,О)^0 (16)
при
\z\^ + n\>0. (17)
Если область D
1) содержит точки, для которых F^O;
2) не содержит точек, для которых F^^O;
3) для всех а' :^ а, Р' =^ Р пересекается с
окрестностью
по области,
то можно указать такую окрестность N начала
координат, что область D-\-N будет аналитическим
расширением области D.
Доказательство. Полагая в (16) «i = О, мы увидим,
что при 0<]|г|<^а
F(x, у, О, ... , 0)>0.
Поэтому F^O и в некоторой области
[и^и, г 6 Д]. (18)
Здесь и—окрестность
(С/) „J+...+«г<p^ р<р
начала координат в пространстве переменных к,, ... , н„ и
Д — кольцо
(А) aa<l^|<a„ а,<а.
С другой стороны, при н, Ф о, F^O во всем круге l^l-c^^a.
Отсюда следует, что для каждого «i^^a можно указать
такую малую призму
что F^O в области
[и^и„ z^l\.
Здесь Д — круг \z\<^a^. Далее рассмотрим окрестность
начала
(ЛО [uiU, ziK]. (19)

4. Видоизмененная выпуклость 103
В силу теоремы 2 окрестность N является аналитическим
расширением пересечения D(\N. Это пересечение является,
в соответствии с нашими предположениями, областью.
Согласно теореме 4 гл. II, если D, и D^ — две области,
пересекающиеся по области Dj f] D^, и 0\ — некоторое
аналитическое расширение Оц то область Z)J-|-D<) есть
аналитическое расширение области D, -\- D^. Таким образом, в
рассматриваемом случае область D-[-Л^ является аналитическим
расширением области D.
Весьма естественно возникает желание заменить условия
(16) и (17) более широкими, именно потребовать, чтобы
F(x, J/, О, ... , 0)>0 при 0<|^l<a. (20)
Это оказывается невозможным без некоторых
дополнительных ограничений, что показывает пример функции
F (X, у, щ, п,) = (х«+У) - (и] + н=).
Для нее удовлетворяются условия (20); однако функция
f(z, щ, щ)='г0/г(10^щ-\-пц), аналитическая при F^O
(т. е. при I^^l-^i^l^l), не может быть продолжена на всю
окрестность точки w = 0, z^O.
Причиной этого факта является (как мы сейчас увидим)
обращение в нуль частных производных первого порядка
функции F в начале координат.
Теорема 7. Утверэюдение ' теоремы 6 верно, если
{для и^ 1) функция F {х, у, к„ ... , к„) имеет в
окрестности (15) вид
н, + 0(х, у, и„ ... , hJ, (21)
где функция G {х, у, и) обладает непрерывными частными
производными первого порядка, обращающимися в нуль
в начале координат, и выполняется условие (20).
Положим
Н(х, у) = 0(х, у, 0),
К (х, у, и) = G (х, у, и) — G (х, у, 0).
Очевидно, что К(х, у, 0) = 0. Так как функция К(х, у, и)
обладает частными производными первого порядка по всем
переменным х, у, и, причем эти производные обращаются
в нуль в начале координат и равномерно непрерывны

104 Гл. IV. Аналитическое расширение
В окрестности начала координат, то существует такая
окрестность
1^1<«'; «=+... +н^< Г (22)
(где а'<^а и р'<^Р), что во всех ее точках будет
К(х, J/, «) К 1 («J + ... + и%)Ук (23)
Теперь воспользуемся условием (20). Из него, прежде всего,
следует, что всюду (в окрестности начала координат)
Н(х, у)'^0. Затем из него вытекает, что всякому кольцу
«а<1^1<«1 («,<«') (24)
соответствует такая достаточно малая окрестность
(U) I«ml<p-. /И=1, .... р(/^р<Ю.
ЧТО при их и, z^A будет
Р{х, у, 11)^0. (25)
Отсюда следует, что в подобласти
(С/о) + /«TFTT^^Rn < «1 < р
(у нас, очевидно, «i^O) области U
ttr-\-H(x, у)-\-К(х. у, «)>«,_|к, + Я(х, j/)>0 (26)
(при этом Z может быть любой точкой круга l^l<^a).
Дальше следует рассуждать так же, как при доказательстве
теоремы 6.
§ 5. Максимальные области
Мы будем в дальнейшем часто ссылаться на одно
правило, которое сформулируем сейчас в аксиоматической
форме.
Рассмотрим множество элементов Т, U, V, ... ,
предполагая, что оно частично упорядочено с помощью
соотношений Т^и со следующими свойствами; 1)Т^Т; 2) если
Т^и и и^Т, T=U\ 3) если Т^и и U^V, то

6. Радиальные области 105
Пусть { 7"„ } — какое-то подмножество этих элементов
и и—некоторый элемент множества (который может
принадлежать, а может и не принадлежать к { Г„}). Элемент
и называется максимальным для подмножества { Та}, если
совокупность элементов Т, одновременно удовлетворяющих
условиям Т^{Та} и и<^Т, — пустая. В частности,
максимум всего множества — это элемент, которого не
превосходит ни один другой элемент множества.
Вполне упорядоченная последовательность элементов
Г,, Tj, ... , ГшТш^,, ... называется мопотоино возрастающей,
если всегда Га^7"р при а<ГР.
Упомянутое выше правило гласит:
Если всякая вполне упорядоченная монотонно
возрастающая последовательность, состоящая аз членов
рассматриваемого множества, имеет максимум, то имеет
максимум и все множество.
В дальнейшем у нас множеством {Т, U, V, ...] обычно
является некоторое семейство областей; соотношение T<^U
означает, что область Т является подобластью области U
(отличной от всей области U).
§ 6. Радиальные области
Пусть Zi, ... , г„ — координаты некоторой точки
пространства. Величины г, Ci, ... , С„, где Ci, ..., С„ —
комплексные числа, удовлетворяющие условию
l';.I*+--.+K„P=l (27)
и 0<^г<^со, мы будем называть полярными координатами
этой точки, если Zj = Kj при /=1, ... , п. Такими
полярными координатами обладают все точки пространства, за
исключением начала координат.
Точки, для которых г^ 1, образуют благодаря условию
(27) единичную сферу Е с центром в начале координат.
Рассмотрим некоторую систему фиксированных значений
чисел (С,, ..., С„)^С и две величины ip(C), о (С),
удовлетворяющие требованию
0^p(Q<o(0^oo. (28)
Тогда условие
p(Q<'-<°(Q (29)

106 Гл. IV. Аналитическое расширение
определяет открытое связное точечное множество, лежащее
на радиусе, выходящем из начала координат,
соответствующем взятым числам (С).
Теперь, пусть В — некоторое множество точек Е, р(С)
и о (С) — функции, определенные на этом множестве. Тогда
множество точек пространства переменных г,, ...г^, для
которых
с^Б, p(g<r<G(g, (30)
называется радиальным. Множество В называется
основанием этого радиального множества.
Нас далее интересуют только радиальные области.
Оказывается, если условие (30) определяет некоторую
область D, то множество В также оказывается областью,
а функции р (С) и о (С) обладают примечательным свойством.
Тогда если f^^^B и ро^;г^Оц — сегмент, входящий в
множество р(Со)<С''<С°(''о)> принадлежащее D, то область D
содержит и некоторую 2А-мерную окрестность этого
сегмента. Следовательно, существует такая окрестность Bq
точки Со, что при Сс5„ pCQ'^Po' °п=^°(0' Иначе говоря,
функщт р(С) является полунепрерывной, сверху, а о (С) —
полунепрерывной снизу.
Кроме того, так как р(Со)<^о(Сд), мы можем сделать
еще одно заключение: существует такая окрестность Б,
точки Со и число 6^0, что при С с Б,, о (С) ^ р (Со) + е.
Теорема 8. Пусть k^2. Если область D имеет
форму (30) и для некоторой точки Со f 5 функция р (С)
имеет локальный максимум р = р (Со) ^ О, пю существует
такая функщ1Я
P(Q=^P(C) {где р(Со)<р), (31)
что точечное множество
[С^5, p(Q<r<o(C)] (32)
оказывается областью D, и эта область будет аналити^
ческим расширением области D.
Доказательство. Благодаря нашему предположению
существует такая окрестность В,^ точки Со, что при С^йа
будет р(С)^ р(Со)^р. Сопоставляя это обстоятельство со
сделанным выше заключением, мы установим существование

6. Радиальные области 107
такой окрестности В^ точки Со и такого числа е^О, что
область Ьд, определенная условиями
будет составлять часть области D. Граница области Do
включает в себя кусок сферы |2г, I**-!- ... -|-l2'^p = p*,
причем точка (^д) с координатами г° = рС/,У = 1, ..., k, лежит
внутри этого куска сферы. Поэтому согласно теореме 5
существует такая окрестность N точки ^о, что всякая
функция, аналитическая в области D, будет аналитической
и в области D-\-N. Далее отметим, что окрестность Л^
содержит меньшую окрестность Л/о точки z^, определенную
условиями
(7V„) С^Б^, р_6<г<р + 8.
Здесь В^ — достаточно малая окрестность точки Со (^^4 сг В^
и 0<8<е.
Далее мы покажем, что пересечение R окрестности Л/о
с областью D составляет снова область. Действительно, R
состоит из точек, удовлетворяющих требованиям
LiB„ max[p(i:), р —8]<r<p + 8.
Если (С, г") и (С, г") —две произвольные точки R, то
первая может быть соединена в пределах R с точкой
(С, г-|-8/2), а вторая — с точкой (С, г-|-6/2). Последние
две точки содержатся в точечном подмножестве
[C^^i, Р<г<р + 8]
множества R. Это подмножество является областью, и
поэтому последние две точки соединимы между собой в
пределах R.
Рассмотрим теперь область D^DA-N^. Ее можно
представить в форме (32), где
_ |min(p(i:), р —6) для C^^i,
I P(Q для liB — B,.
Как мы видели, область Dq-|-7V является аналитическим
расширением области D^^. Так как D^dD я N^czN, то
в силу теоремы 4 гл. II мы можем отсюда заключить, что
область D-\-Nf) является аналитическим расширением
области D.

108 Гл. IV. Аналитическое расширение
Теорема 9. Пусть k^2. Если область D имеет
форму (30), то существует такая не имеющая локальных
(положительных) максимумов функция р(С) (причем
О ^ р (Q ^ р (С)), что точечное множество
а В, р(!:)<г<о(!:)
оказывается областью D, и эта область D будет
аналитическим расширением области D.
В частности, если существует такая подобласть В„
области В (причем замыкание В^ содерм:ится в В), что
при С ^ Б — Лц функции р (Q = О, то аналитическое
расширение D области D является конической областью
Li В, о<г<о(!:).
Доказательство. Мы рассмотрим семейство областей
вида
ив, p(i:)<r<o(!:)]
(где О ^ р (С) ^ р (С)), являющихся (поскольку они
содержат D) аналитическими расширениями области D. В
результате объединения некоторой вполне упорядоченной
возрастающей последовательности таких областей мы снова
получим область того же типа. Всякая функция,
аналитическая в D, очевидно, может быть продолжена на последнюю
область. Наконец, эта область является максимальной
(в смысле § 5) для рассматриваемой последовательности.
Отсюда, на основании принципа, изложенного в § 5, следует
что имеет максимум и все наше семейство областей.
Согласно теореме 8 функция р (С), соответствующая этой
максимальной области, не может иметь положительного
локального максимума.
Обратимся ко второй части теоремы. Наша функция
р (С) полунепрерывна сверху и неотрицательна в Бд. Функция,
полунепрерывная сверху на некотором компактном
множестве, должна достигать на нем абсолютного максимума.
Как мы только что доказали, этот абсолютный максимум не
может быть положительным. Следовательно, он равен нулю.
Этим завершается доказательство теоремы.
Максимальные радиальные области можно образовывать
разными способами. Мы укажем на два из них. Один изло-

7. Кругообразные области lOd
жен в только что приведенном доказательстве и состоит
в деформации только нижней части границы исходной
области, т. е. в изменении только функции р(С).
Получающиеся таким образом максимальные области мы будем
называть максимальными снизу.
Второй из упомянутых способов состоит в следующем:
для радиальной области D, заданной соотношениями (30),
рассмотрим семейство областей
V-^B, p(i:)<r<5(!:)]
(где О ^ р (С) :^ р (С), о (С) ^ о (С) :^ схз), являющихся
аналитическими расширениями D. Это семейство снова будет иметь
максимальную (тоже радиальную) область, которую мы
будем называть максимальной сверху и снизу.
Как следствие из теоремы 8 мы получим такое
предложение:
Следствие. Пусть k^2. Если (30) — радиальная
область, максимальная или снизу, или снизу и сверху, пю
функция р (С) не может иметь положительных локальных
максимумов. Если, сверх того, область В в (30)
охватывает всю единичную сферу, то р (С) ^0. В этом случае
область (30) имеет своим аналитическим расширением
область [С^Л, O^r<;o(i;)].
Последнее утверждение следует из теоремы 1. Мы
воспользуемся тем, что в рассматриваемом случае функция
о (С) полунепрерывна снизу и положительна на всей
единичной сфере. В качестве таковой она имеет положительный
минимум т. Это означает, что наша радиальная область
содержит область, определенную условием
0<1г,Г+...+|г,|«</««.
Аналитическим рясширением последней области является
шар
0^|г,|''+...+1г,р</й*.
Тогда он должен принадлежать и к аналитическому
расширению области (30); отсюда вытекает наше утверждение.
§ 7. Кругообразные области
Мы рассмотрим пространство Е^/^ комплексных
переменных (г,,..., z^)^z. Пусть / — некоторый комплексный

по Гл. IV. Аналитическое расширение
параметр, Oj, .,., а^ — целые неотрицательные числа, не
все равные нулю. Если (z) — некоторая фиксированная
точка, то точечное множество
[t'tzy, f'.z^, ... , f'z,], \t\=l (33)
является топологическим образом окружности. Мы будем
называть его орбитой и говорить, что эта орбита
порождается точкой (z). Нетрудно видеть, что орбита всегда
может быть порождена любой из ее точек. Мы будем
говорить, что А — кругообразная область (или, в более общем
случае, кругообразное точечное множество), если А целиком
состоит из орбит. В случае, когда ai= ... =a,j= 1,
каждая орбита является точечным множеством вида
[ei%, ... , e^^Zk], 0^в<27с (34)
и А называют, следуя Каратеодори, круговой областью
(или круговым точечным множеством). Такие области
естественно возникают как области непрерывной сходимости
рядов, состоящих из однородных многочленов от перемен-
в случае, когда Oj = 1, а^ = ... =0/^ = 0, каждая орбита
является точечным множеством вида
[е'Ъу, z^ z^], О ^ 0< 27t- (35)
и А называют областью Гартогса. Такие области
естественно возникают как области непрерывной сходимости
рядов **)
со
2 «Л^. Ч)^"г- (36)
п=0
В дальнейшем переменные Zj, для которых а^ = О, можно,
поскольку они не входят в условие кругообразности, считать
действительными. Отметим еще, что в теореме 10 можно
*) По этому поводу см. Б. А. Фукс, Теория аналитических
функций многих комплексных переменных, Гостехиздат, 1948 г.,
стр. ИЗ—117. {Прим. перев.)
**) В случае двух переменных такие области называются еще
полукруговыми областями. По поводу их связи с рядами типа (36)
см. книгу, указанную в предыдущем примечании, стр. 97—113.
{Прим. перев.)

7. Кругообразные области 111
заменить требование принадлежности к А начала координат
точки ^i ^ ... ^z^^O требованием принадлежности к А
какой-нибудь точки, для которой равны нулю координаты
Zj, отвечающие значениям а^ ф 0. Остальные координаты
эгой точки могут быть сделаны равными нулю путем
соответствующего параллельного переноса области^ не
затрагивающего условий кругообразности.
Наконец, заметим, что кругообразные области,
отвечающие произвольным целым показателям ау, были впервые
рассмотрены А. Картаном.
Мы поставим в соответствие каждой кругообразной
области А ее завершение А, которое определим следующим
образом: А — это совокупность дисков
{t-tz,...,t''kz^), 0<|/1=^1, (37)
соответствующих орбитам, составляющим область А. Тогда
оказывается справедливой
Теорема 10. Завершение А кругообразной области А
снова является областью. Если область А содержит
начало координатZi^O, ... , Zf^^O, то область А
оказывается аналитическим расширением области А.
Доказательство этой теоремы по сути дела весьма простое;
сложными оказываются только некоторые детали. Каждая
орбита является компактным множеством. Поэтому если
область А содержит орбиту (33), то она содержит также
и канал, образованный точками
{l^^z,,... , fkz/,), р<1/1<о; Р<1<о. (38)
Мы поставим в соответствие каждой точке г 6 Л наибольший
канал p{2:)<^\t\<^c(z), содержащийся в области А, и
рассмотрим в пространстве переменных z^ z^ точечное
множество
z^A. Р(г)<|/К°(-^). (39)
где
О^ р (г)< 1 <о (г) ^ оо.
Мы обозначим это точечное множество пространства ^а^+а
через D. Нетрудно установить, что D — область.

112 Гл. IV. Аналитическое расширение
Для некоторых точек (z) область А может содержать
не только канал (38), но и целиком все множество,
состоящее из точек
(<"'^1 A^ft) при 1/Ко(г).
Это, например, имеет место для начала координат и
некоторой окрестности начала координат, если последнее
принадлежит области А. Заметим также, что для начала
координат о(0)^оо.
Мы введем в рассмотрение еще точечное множество //
пространства Е^_^^ переменных z, t, определенное условиями
(Н) z^A, t^L(z).
Здесь Д(г) или снова прежнее кольцо p(z)<^\t\<^o(z),
или (если это возможно) весь круг \t\<^c(z). Очевидно,
что Н—область и DczH.
Далее мы построим два завершения:
Ф) [-гел, 0<|/|<о(г)];
(Н) [ziA, \t\<c(z)].
Теперь произведем замену переменных. Положим
t:j = eJZj, т = /, ;=1 k. (40)
Эта замена является одно-однозначным отображением области
[^i Zi,— произвольны, t^O] (41)
на область
[Ci, ... , Cft — произвольны, хфО]. (42)
Мы обозначим образы областей D h D в (42)
соответственно через М и М. Очевидно, что М vt М являются
снова областями. Наконец, мы спроектируем области М
и Ж на координатное подпространство Ci, ... , С^,, т. е. на
многообразие г^О. Читатель может самостоятельно
убедиться в том, что в результате подобного проектирования
мы получаем исходные множества Л и Л, только
выраженные через посредство переменных Ci С;^. Так как
проекции области на координатное подпространство
обязательно снова являются областями, мы можем считать
установленным, что Л — область.

8. Кратно-кругообразные области ПЗ
Теперь предположим, что область А содержит начало
координат. Тогда, если функция /(Ci, .... С^) аналигична
в области А, то функция
^(-^1 г„ t)=f{t-^z, fkz^ (43)
окажется аналитической в области Н. В силу теоремы 2
функция (43) может быть продолжена на Н, а
следовательно, в частности, на D. Переходя к переменным (40),
представим эту продолженную функцию в области М в виде
F(Ci С,; т). (44)
Легко усмотреть, что в исходной области М последняя
функция совпадает с данной функцией /(Ci, .... С^).
Поэтому частная производная по т от функции (44)
тождественно равна нулю в области М. Тогда, в силу
аналитичности, она должна быть равной нулю и во всей области
М. Таким образом, функция F оказывается не зависящей
от t во всей области М', она порождает аналитическую
функцию в проекции А области М. Эта функция и является
аналитическим продолжением данной функции / из области А
на область А.
§ 8. Кратно-кругообразные области
Мы рассмотрим т параметров ti, .., , t^ и образуем
с их помощью k одночленов
l^jitj=t''fi... fm, у=1, ..., k.
Здесь показатели ау„ — неотрицательные целые числа.
Мы заменим определение (33) орбиты следующим:
[(Pi (0^1. ••• . РлО^а) при Uil= ... =,<m|=n.
а определение диска таким:
[(?l(0^1. ■... РЛО-^Л) при 0<|<J:^1 0<|/„1^11.
Теорема 10 оказывается справедливой и для кратно-
круговых областей, как в этом можно убедиться путем
индукции по т.
8 с. Бохнер

114 Гл. IV. Аналитическое расширение
Действительно, положим
Тогда Ру^/'Л при 4^...^/^^!. В силу теоремы 10
область Л,, состоящая из „частичных" дисков
(/«иг,, ... , fk^z^ при О < I /j I :^ ],
является аналитическим расширением области А. С другой
стороны, при <! ^ 1 Ру {f) = Yy (t). Поэтому многообразие
, (Tl (0^1. • . • , Ъ (O-^ft). 1 /, 1= • • • = 1 im f= 1
содержится в А. Таким образом, мы доказали, что область
Ai содержит частичные диски
(Р,(/)г„..., Р,(/)г,), 0<|/,|^1, ]^,|=... = 1/„1=1.
Дальнейшее доказательство ведется путем индукции. Мы
придем к наиболее важному типу кратно-кругообразной
области, если возьмем m^^k, Ру {t) = tj. Тогда в качестве
орбит мы получим многообразия
[(e^^^z^, ... , е'>г„ 0^0у<2я, у=1, ... , А]. (45)
Соответствующие области называются областями Рейнгард-
та (или кратно-круговыми областями). Они естественно
появляются в качестве областей абсолютной сходимости
степенных рядов от многих переменных *).
Если некоторая область Рейнгардта D содержит начало
координат, то ее аналитическим расширением будет (как
доказано выше) область Рейнгардта D, состоящая из всех точек
{tiZi. ... , ti^z^), где точки ziD, а |<у1^1 (У^1. .... k).
Область D называется рейнгардтовым аналитическим
расширением области.
§ 9. Некоторые заключительные замечания
Повсюду в настоящей главе мы требовали, чтобы, по
крайней мере, одно из рассматриваемых переменных было
*) По поводу связи кратно-круговых областей со степенными
рядами см. цитированную в § 7 книгу, стр. 71—86. (Прим. перев.)

Литература 115
комплексным; остальные (число их должно было быть^1)
могли быгь и комплексными и действительными.
Присутствие этого комплексного переменного дает возможность
применить интегральную формулу Коши для функций одного
комплексного переменного, что составляет основу метода
настоящей главы. То, что наличие комплексного
переменного представляет больше, чем удобство, для исследований,
легко показать на простых примерах. Рассмотрим в качестве
такого примера (для .теоремы 1) область
(D) 0<l.гl'^-Hн^-} ...4-"Д<1 (x-\-iy = z).
Ее аналитическим расширением является область
Ф) \z\^-\-ii\-\-...-\-itl<Cl.
Каждая функция, аналитическая в D, можег быть
аналитически продолжена на область D. Однако функция
;
х" +J'^ + Mj +...- + 4
аналитична по всем действительным переменным в
области Д и не может быть аналитически продолжена на всю
область D. Таким образом, область D может иметь
аналитическое расширение по отношению к аналитическим
функциям от переменных z, щ, ... , н„ и в то же самое время
не иметь аналитического расширения по отношению к
аналитическим функциям переменных х, у, «j н„.
Обратное положение, очевидно, неверно. Как мы видели в § 3
гл. II, если аналитическая в области R; продолжаемая на
область RzdR, функция g(x, у, Нд, ... , н„) первоначально
содержит переменные х, у только в комбинации x-\-iy,
то это будет иметь место и после продолжения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. В е h п к е, Ober analytische Funktionen mehrerer Veranderli-
tlien. II Natiirlkhe Greiizen (Abh. Hamburg. Univ. Math. Sem., т. 5
(1927), стр. 290—312).
2. С. Caratheodory, Ober die Geometrie der analytischen Abbil-
dungen (Abh. Hamburg. Univ. Math. Sem.. т. 6 (1928), стр. 96—145),

116 Гл. IV. Аналитическое расширение
3. Н. Саг tan, Les fonctions de deux variables complexes et le
probleme de la representation analytique (Journ. de Math. Pures et
AppL, серия 9, т. 10 (1931), стр. 1—114),
4. F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen meh-
rerer unabhangiger Veranderlichen (Me^ft. Arm., т. 62(1906), стр. 1—88).
5. F. Hartogs, Ober die aus den singularen Stellen einer
analytischen Funktion mehrerer Veranderlichen bestehenden Gebilde {Acta
Math., T. 32 (1909), стр. 57—79).
6. F. Hartogs, Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integral-
formel bei Funktionen mehrerer Veranderlichen (Akad. d. wiss. Mtlnchen
Benchte, т. 36 (1906), стр. 223—241).
7. E. E. Levi, Studii sui punti stngolari essenziali delle funzioni
analitiche di due о piu variabili complesse (Annali di Math. (3), т. 17
(1010), стр. 61—87, и т. 18 (1911), стр. 69—79),
8. К. О к а, Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables,
VI Domaines pseudoconvexes (Tdhoku Math. J., т. 49 (1942),
стр. 15—52),
9. W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, т, II, ч. I
(Лейпциг (1929), второе издание).
Ю, К. Reinhardt, Cber Abbildungen durch analytische
Funktionen zweier Veranderlichen (Me^ft./1ии., т. 83 (1921), стр. 211—255).
11, F. Sever i, Una proprieta fondamentale dei campi di olomor-
fismo di una funzione analitica di variabile reale e di una variabile
complessa (Rend. Accad. dei Lincei, серия 6, т. 15 (1932), стр. 350—352),
12. F, S e V e г i, A proposito d'un teorema di Hartogs {Comment.
Math. Helvet, т. 15 (1943), стр, 350—352).

Глава V
ОСОБЕННОСТИ В ГРАНИЧНЫХ ТОЧКАХ
В настоящей главе (если обратное не оговорено) все
переменные предполагаются комплексными и все функции —
аналитическими.
§ 1. Неограниченные функции
Пусть точка Р принадлежит к границе области D. Мы
будем говорить, что эта точка Р обладает граничным
свойством, если каждому компактному множеству 5crD и
произвольному числу е^О отвечают в области D такая функция
g(z) и такая точка Q, не принадлежащая к множеству S,
что IQ—Р1<е, |^(0|>1,и(г)|:^1 при г6 5. Функция
f{z), заданная в области D, называется не ограниченной
в граничной точке Р, если в этой области существует такая
последовательность точек Q„->P, что \f(Q^\->oo.
Очевидно, что если в области D существует функция, не
ограниченная в граничной точке Р, то точка Р обладает
граничным свойством. Далее, оказывается верным не только
утверждение, обратное этому, но и гораздо более сильное
предложение:
Теорема 1. Если все точки множества {Р}
граничных точек области D обладают граничным свойством, то
в области D существует функция /(z), не ограниченная
во всех точках {Р\.
Доказательство. Из множества {Р\ можно всегда
выделить подмножество, всюду плотное (на {Р\), мощности
не выше счетной- Очевидно, всякая функция, не
ограниченная на этом подмножестве, будет не ограниченной во всех
точках {Р}. Поэтому мы можем сразу предположить, что{Р} —
не более чем счетное множество.

118 Гл. V. Особенности в граничных точках
Построим последовательность точек Pj, Р^, ... со
следующими свойствами: все Р„£ {Р}; каждая точка Р из {Р}
встречается в этой последовательности бесконечно часто.
Наша цель — построить в области D функцию f(z) и
последовательность точек {Q„} так, чтобы |Р„ — Qn|->0, а
f{Q^-*-oo. Очевидно, этого будет достаточно для
доказательства теоремы. Действительно, каждая точка Pf {Р}
встречается в нашей последовательности бесконечное число
раз. Поэтому всегда можно будет выделить из {Q„} такую
подпоследовательность {Q'n}, что Q^->-P, а /(Q|,)->-oo.
Мы начнем с рассмотрения последовательности компакт-
оо
ных множеств R^czR^cz..., (J R„^D. Затем будем искать
такие последовательности целых чисел Р1<^р^<^. ■•, точек
Qi, Q^, ... (все Qn^D) и функций/i (г), f^(z)
определенных в области D, чтобы (введя обозначение 5„ = /?р ) мы
имели:
5„cz5„^„ {jS,=D, (I)
Pne^Vi--5„. (И)
\Qn-Pn\^i-, (III)
|/„(^)|^1 при z^S^ HO l/„(Qn)l>l. (IV)
Мы возьмем 5i^/?i. Точка Pj обладает граничным
свойством, поэтому можно так выбрать функцию Д (г) и точку
Qi(:D — Si, что при п=1 свойства (III) и (IV) будут
выполняться. Далее применим метод индукции. Предположим,
что нам удалось выбрать надлежащим образом S„, Q„ и /„(г)
для п^т. Возьмем p^^i настолько большим, чтобы
множество S^^i^Rp ^содержало бы и множество 5^ и точку
Q„ (которая лежит вне S„). Точка P^^i обладает граничным
свойством; поэтому существуют такая функция /^^j (z) и
такая точка Q^+i (: D — 5'„+i, что требования (III) и (IV) будут
удовлетворены и для п^т-\-1.
Наконец (поскольку | /„ (Q„) | ^ 1), мы можем так выбрать
последовательность целых чисел /„ (начиная со значения
/, = 1), что
\J^^_"\ ЛМ0А1!1.^„гп:^2). (О

1. Неограниченные функции 119
Зададим теперь функцию f{z) в виде ряда
т = 1
Так как |/т(-2')|=^1 для z^ S^, /я eg; л, этот ряд равномерно
сходится на каждом множестве 5„. Отсюда следует, что он
определяет в области D некоторую аналитическую функцию
(поскольку для любого компактного подмножества области
D можно всегда найти содержащее его множество R^. Кроме
того,
\f(n\\ J/»(Q«)1'" "т l/m(Q«)l'"' -V _L
И поэтому согласно соотношению (1) |/(Q„)|->-oo. Получе^
ние этого результата завершает доказательство теоремы.
Область D называется облат,тью регулярности, если
существует функция, аналитическая в D и не продолжаемая за
границу области D. Из теоремы 1 следует: если каждая
граничная точка области D обладает граничным свойством, то
D — область регулярности.
Теорема 2. Каждая граничная точка выпуклой
области D обладает граничным свойством. Поэтому всякая
выпуклая область является областью регулярности,
В случае niapa
k,P-|-... + kfeP<I (2)
этот факт усматривается непосредственно. Если (Cj,..., С^,) —
некоторая граничная точка этого шара, то функция
1
(1—2lTl —... —«feCfc)"
как раз будет не ограниченной в точке (Ci, • • •, С^) и
аналитической в области (2).
Обратимся к общему случаю. Как известно из теории
выпуклых тел, через каждую граничную точку P{z\ Zk)
выпуклой области D проходит опорная плоскость
ft
V [aj {xj -x'j) + bj {у, -V?)] = 0, г? = x? + ly).

120 Гл. V. Особенности в граничных точках
Она не содержит внутренних точек D; вся область D лежит
по одну .сторону от этой плоскости. Положим
«ip = ap — ibp, p=l,...,k.
Пусть, далее, а^р,...,а^р—какие-нибудь комплексные
постоянные, для которых Det а ■ ф 0. Очевидно, что такие
У,Р = 1 к ^'^
постоянные существуют, поскольку не все а^р равны нулю.
С помощью этих постоянных мы построим неособенное
линейное преобразование
k
Оно переводит указанную выше опорную плоскость в
плоскость х[ = О, точку Р— в начало координат и помещает образ
области D в полупространстве х[^0 (или j;j<^0).
Очевидно, что в этих условиях функция — оказывается апали-
тической в D и не ограниченной в точке Р.
§ 2. Аналитическое условие для возможности
расширения области
В настоящем параграфе оказывается удобным
рассматривать полицилиндры (произведения кругов) с равными
радиусами. Если г^О—.некоторое число (а не вектор),
(г",...,Zk) — некоторая точка, то символом С(z", г)
обозначается полицилиндр
[\zj-zj\<^r, J=l.....k]. (3)
Если 5— некоторое множество точек пространства
переменных Zi,...,Zf^, то символ 5' обозначает объединение точек
всех С (г", z) для г" С 5. Таким образом, S''—это окрестность
множества 5 «радиуса» г.
Теорема 3. Пусть D — некоторая область, S—
компактное множество, лежащее а D, г^ О — некоторое число
и S'^czD. Тогда если Q(^J '^1)—^такая'^точка D — 5',
что для любой функции g(z), аналитической;в:D,
U(Q)|=smax(/(4|, .(jl)

2. Условие для возможности расширения области 121
то степенной ряд, представляющий в окрестности точки
Q какую-нибудь аналитическую в области D функцию
f{z)= V an^...n^{z,-zy^...iz^-zt)-k, (5)
абсолютно сходится в полицилиндре (3).
Доказательство. Для каждого ^^D мы можем
записать, что в некоторой окрестности этой точки
f{z)= V a„^...„^(g(^,-C,)"'...(^fc-^fen. (6)
Здесь
пЛ...пЛа
"h^ ' [ д^^^...дг^Чl J
Таким образом, а„^...п. (С) — аналитические функции
переменных (Q в области D. В силу формулы (14) гл. II, если
\f{z)\^M при г ее (С, г), то
I «„,...„, (С) |^Жг«1-+-+'';^. (7)
Поскольку f{z) — аналитическая функция в области D,
S'^dD, то всегда можно указать такую постоянную М, что
\f(z)\:^M при z(:S''. Тогда неравенства (7) будут иметь
место для всех С ^5, в частности, при С ^2*. Следовательно,
ряд (5) действительно сходится в полицилиндре С (z", г).
Итак, наше утверждение доказано.
Критерий возможности аналитическою расширения
области, полученный в гл. IV, основывается на геометрической
структуре области. Условие, которое мы намерены сейчас
пысказать, имеет другой характер.
Мы будем говорить, что область D локально связна
в граничной точке Р, если каждая (пространственная)
окрестность точки Р содержит подокрестность этой точки,
пересекающуюся с D по связной области.
Теорема 4. Если область D обладает в граничной
точке Р граничным свойством, то не существует
аналитического расширенюг ^области J}, >с<М^ржащего ату
точку Р.

122 Гл. V. Особенности в граничных точках
Наоборот, если область D не имеет в граничной точке
Р граничного свойства а является локально связной в этой
точке, то существует аналитическое расширение области
D, содержащее точку Р.
Первая часть этой теоремы непосредственно следует из
теоремы 1; обратимся ко второй части. Если точка Р не
обладает граничным свойством, то существуют компактное
множество SiD и шаровая окрестность TVg точки Р (причем
N^ и S пересекаются по пустому множеству), такие, что для
каждой аналитической в области D функции и произвольной
точки QcnN^ D будет
|/(Q)|^ maxl/(^)|.
z £5
Тогда в силу теоремы 3 существует такое число Г^О, что
ряды (5) с центрами в подобных точках Q (z°,..., 2%) будут
сходиться в соответствующих полицилиндрах C(Q, г).
Возьмем шаровую окрестность N точки Р, содержащуюся
в Л^д, диаметра, меньшего г/4, пересекающуюся с D по
связной области. Пусть Q — некоторая фиксированная точка,
принадлежащая этому пересечению. Тогда ряд (5) с центром
в этой точке определит продолжение функции f(z) из
области D на область D'^D-\-N. Этим доказательство
теоремы закончено. Заметим, что теорема 4 — это весьма
сильный результат. Вот, например, одно из ее следствий.
Теорема 5. Если область D связна в граничной
точке Р и каждая функция f(z), аналитическая в D, мо-
ж:ет быть продолжена на некоторую окрестность Nf
точки Р, то все эти функции могут быть продолжены на
некоторую общую окрестность N точки Р.
Действительно, в силу нашего предположения точка Р
не может обладать граничнйм свойством. В противном
случае существовала бы функция, аналитическая в области D и
не ограниченная в точке Р (см. теорему 1); эту функцию
было бы невозможно продолжить в окрестность точки Р.
Итак, точка Р не обладает граничным свойством;
применяя теорему 4, получаем требуемый результат.
Теорема 6. Пусть {Р\ — некоторое множ:ество
граничных точек области D. Если область D локально связна

2. Условие для возможности расширения области 123
в этих точках п нет аналитического расширения области D,
содержащего какую-либо из этих точек, то существует
функция f{z), аналитическая в области D, не
ограниченная во всех точках Р.
Эта теорема снова следует из теорем 1 и 4.
Более общий результат можно получить для радиальных
областей (определенных в § 6 гл. IV). Такая область D
состоит из „отрезков"
z = ir':,,...,rlk), 0^р(С)<г<о(С)^со.
Здесь точки (d,..., С^,) составляют некоторую область В на
единичной сфере | Ci|*-|-•.•-}-|Сд,Р= 1. С помощью
рассуждений, уже использованных в § 6 гл. IV, легко
установить, что все верхние точки этих отрезков (гдег^
^'^(QC"^^) являются граничными точками области D и
область D локально-связна в этих точках. Аналогичный
результат получается и для нижних точек этих отрезков при
условии, что они не совпадают с началом координат (т. е.,
иначе говоря, при условии, что р(С)^О). Мы предположим
теперь, что наша радиальная область является максимальной
сверху и снизу в смысле определения, данного в конце § 6
гл. IV. Тогда в силу теоремы 6 в области D существует
аналитическая функция, не ограниченная во всех указанных
точках (т. е. во всех верхних и нижних точках
рассмотренных нами отрезков, исключая те, для которых о (С) ^ оо или
р(С)^О). Далее предположим, что область В, составляющая
основание нашей радиальной области D, тождественна со
всей единичной сферой. Если теперь D — область,
максимальная сверху и снизу (или хотя бы только снизу), то в силу
следствия 1 § 6 гл. IV р(С)^гО и всякая функция,
аналитическая в области D, автоматически оказывается
аналитической в начале координат. Таким образом, мы можем
присоединить начало координат к области D. Назовем звездной
область, определенную условиями: [0^г<^о(С), С —
произвольная точка единичной сферы]. Тогда мы получим
возможность сформулировать такое обобщение теоремы 2:
Теорема 7. Звездная область является
максимальной тогда и только тогда, когда она является областью
регулярности.

124 Гл. V. Особенности в граничных точках
§ 3. Относительное расширение
Мы рассмотрим в области D семейство функций,
замкнутое по отношению к операциям сложения, умножения и
умножения на любые постоянные, непрерывной сходимости и
образованию частных производных. Так как во всем
предыдущем мы пользовались только указанными операциями, то
нетрудно ввести понятие расширения области D относительно
нашего семейства функций и показать, что высказанные
выше теоремы (кроме теоремы 5) останутся в силе и в этом
случае. Конечно, чем уже рассматриваемое семейство
функций, тем, вообще говоря, больше возможностей расширения
области относительно этого семейства. Однако можно
указать на поразительный случай, когда сокращение
семейства не влияет на возможность расширения области. В
дальнейшем *) мы подробно рассмотрим подобное семейство
функций.
Однако прежде чем перейти к этому, сделаем замечание
о функциях действительных переменных. Пусть в области D
пространства некоторого числа действительных
переменных задано замкнутое (в указанном выше смысле) семейство
действительных аналитических функций. Оказывается, что
в случае „локальной компактности" подобного семейства
наши теоремы остаются верными. Мы называем семейство
функций локально-компактным, если любое множество
функций из этого семейства, ограниченное на каком-нибудь
компактном точечном множестве SaD, оказывается
мажорируемым на этом множестве.
Это замечание не лишено некоторого интереса в связи
с тем, что для фундаментальной теоремы 3 не нужна
замкнутость рассматриваемого семейства функций относительно
умножения (но существенна замкнутость относительно
дифференцирования). Поэтому можно рассчитывать, что эта
теорема после соответствз^ощего изменения ее текста
окажется, например, применимой к функциям, удовлетворяющим
дифференциальному уравнению
^4- 4-i^-O
(Здесь все Zj — действительны.)
*) См. теорему 9 настоящей главы. (Прим. перев.)

4. Выпуклые цилиндрические области 125
В других отношениях теорема 1 имеет ряд преимуществ
сравнительно с теоремой 3. Например, рассмотрим область D
комплексного координатного аналитического пространства
(см. § 4 гл. III). Теорема 1 здесь может быть применена
непосредственно. Иначе обстоит дело с теоремой 3: в этом
случае на частные производные от функции нельзя смотреть
как на скалярные величины; с ними надлежит обращаться как
с составляющими некоторого тензора.
Выходом из подобного затруднения могло бы послужить
введение римановой метрики, но это завело бы нас слишком
далеко. Введения этой метрики еще можно избежать, если
пространство E^ft является „многолистной" областью над
обычным пространством fjfe. Однако принадлежность к
рассматриваемой области „бесконечно-удаленных" точек (в
качестве внутренних) делает введение подобной метрики необ'
ходимым.
§ 4. Выпуклые цилиндрические области
Цилиндрическим множеством пространства переменных
Zj^Xj-\-iyj, у ^ 1,... А (кратко — цилиндром) называется
совокупность точек этого пространства, определенная
условиями
(Re^i,..., Re^ft) С 5, —оо <^ Im г^ <; оо.
Здесь 5—некоторое точечное множество А-мерного
пространства переменных х^,..., х^- Если мы сопоставим с
каждой „действительной" точкой JcJ,...,лг^ А-мерное
многообразие точек
^j = x)-\-^УJ' — оо<Л<^' (^)
то окажется, что всякий раз, когда Т содержит хотя бы
одну точку этого многообразия, последнее входит в Т
целиком. Точечное множество 5 пространства Ej^ будем называть
основанием Т и употреблять символы Т^ и St для
обозначения цилиндрического множества с основанием 5 и
соответственно основания цилиндрического множества Т.
Очевидно, множество Т является открытым, замкнутым, связным,
выпуклым в пространстве f^^ всякий раз, когда 5 является
таким множеством, имеющим своим основанием выпуклую
оболочку основания Sj-. Далее, если иное не будет огово-

126 Гл. V. Особенности в грантш^х точках
рено, мы будем предполагать, что рассматриваемое
цилиндрическое множество Т является областью.
Легко видеть, что преобразование
Wi^e'i, ..., w^^e^k (9)
переводит Т в рейнгардтову область D пространства
переменных гг»!,..., W]^. Особенность этой области D состоит
в том, что все координаты всех ее точек отличны от нуля.
При этом преобразование (9) переводит каждое
многообразие (8) в одну из орбит области D (см. § 7 гл. IV).
Преобразование (9) является однозначным; обратное ему
преобразование — многозначным в силу периодичности функции (9).
Обратно, если D — некоторая рейнгардтова область
пространства переменных Wi,...,w^, не пересекающаяся ни
с одной из „плоскостей" Wj^O, то преобразование (9)
переводит ее универсальную накрывающую в цилиндрическую
область пространства переменных Zi,...,Zi^. При этом каждой
функции, аналитической в области D, отвечает в Т
аналитическая функция, имеющая периоды, равные 2т по всем
переменным. Очевидно, имеет место и обратное соответствие.
Цилиндрической области с основанием в виде призмы
(/?) aj^Xj^<^j, j=\,...,k,
соответствует произведение колец
e'4^\wj\^e'^j, j=l,...,k. (10)
Пусть F(.w) — функция, аналитическая в области D. Если
замкнутая область (10) лежит в D, то мы сможем применить
сюда интегральную формулу Коши (см. формулу (9) гл. II).
В ней роль соответствующей кривой Cj будет играть сумма
граничных окружностей кольца (10) (на этих окружностях
надлежащим образом устанавливается направление
интегрирования). Отсюда можно прийти к разложению Лорана
со
Г(и>)= 2 '^n,...n^^"^^^^^lt^. (11)
nj^-со
Для -его получения мы должны действовать по аналогии
с классическим случаем k^l (так же как при получении в гл. II
кратных степенных рядов для произведения кругов). Этот

4. Выпуклые цилиндрические области 127
ряд Лорана оказывается абсолютно сходящимся во
внутренности указанных колец; легко видеть (с помощью индукции
по k), чго он единственным образом определяется функцией
F(w) и не зависит от способа образования. В частности, если
функция F {w) может быть продолжена на произведение
замкнутых кругов \Wj\^e'^j, то ряд Лорана превращается
к соответствующий кратный степенной ряд (коэффициенты
при излишних членах оказываются равными нулю).
Из сказанного следует, что функция f{z)^F{e') в
области Тц представляется рядом
со
2 «»,...»/"'^'+-- + Vfc. (12)
Пусть прямоугольники /?1 и /?2 (со сторонами, параллельными
координатным осям) имеют полное, в смысле размерности
пространства, пересечение. Тогда разложение типа (12),
построенное для некоторого прямоугольника, лежащего в
пересечении /?1 fl /?2, будет сходиться (в силу единственности
лоранова разложения) и в Тц^ и в 7Vj„, Таким образом,
представление функции f{z) вида (12) оказывается одним и
тем же для всего Т.
Обратно, ряд'типа (12) сходится на некотором
цилиндрическом множестве; это следует из того, что на таком
множестве, очевидно, сходится ряд
*«!• • • «ft
gni-*i+--+nft-»^ft /13)
Таким образом, наибольшим открытым множеством
сходимости ряда (12) называется некоторая цилиндрическая
область.
Теорема 8. Множество точек сходимости ряда (13)
выпукло. Каждая (открытая) выпуклая цилиндрическая
область является областью регулярности некоторой
периодической функции, представимой там рядом (12).
Доказательство. Если Л^0, fi^O, 0i^8^ 1, то
A^B^-^^{A-\-Bf{A-\-By-^ = A-\-B.

128 Гл. V, Особенности в граничных точках
Поэтому если x!^{x'i,..., х'и) и х"^{х'\,..., х'и)—две
произвольные точки пространства действительных
переменных Ху,..., Х/^, (х) — точка того же пространства с
координатами Xj=bx'j-\-(l—Щх'/, то
= (l««i..-"fele""'i+-+"*^fc)*-(l««i...»fc fe«i^i'-l ■■■+''k4'y »^
^\an,...n^\e"^'''^+■■■+"^^k-\-\a„^...n^ 1еп,д.-+..Н «й4'.
Таким образом, если ряд (13) сходится в двух точках х'
и л;", то он сходится и во всех точках отрезка,
соединяющего эти две точки. Этим первая часть теоремы 8
доказана. Для доказательства второй ее части достаточно, в
соответствии с теоремой 1, показать, что для каждой
граничной точки Су = Ij -{- h\j выпуклой цилиндрической
области Т можно построить ряд (12), сходящийся в области Т
и не ограниченный в точке С. Легко видеть, что задача
построения подобного ряда для точки (Cj,..., С^) равносильна
задаче построения такого ряда для точки (Sj,..., £^,). Итак,
пусть (^1,..., ^^) — граничная точка выпуклого основания Sj.
Тогда существует такая (опорная) плоскость
L{x) = aiXi-\-...-\-aj.Xk-\--i = 0,
что L{x)<^0, если xkS и L(E) = 0.
Далее рассмотрим серии целых чисел pj(n), J=l,...,k;
и = 0, 1, 2,..., удовлетворяющих условиям
\Pj(n) — mj\^l.
Тогда очевидно, что
[nL(x) — [Piin)Xi-\-...-\-Pk (п)х^\ щ]^
^|j;i|-j-...-|-lj;„|.
Поэтому если мы положим
со со
у е«т ePiW•*»+•• ■+Pfe(«)-vft^р(х) у е"^'-*>, (14)
п=0 "=0
то окажется, что

5. Функции в эллиптических полицилиндрах 12Э
Среди сложных индексов р^ (и),..., р^ (и), фигурирующих
в левой части равенства (14), могут встречаться
одинаковые. Соединяя члены с одинаковыми индексами вместе, мы
получим в левой части равенства (14) ряд
1]у = 0О
2 «»i...»fee»i-*i+-+"ft-«^fe
Лл^^—СО
С неотрицательными коэффициентами a„j,.,„jj. При этом
п;=со со
2 «»i...»fee»i^'+-+"***=p(x) 2^"^
nL(x)
Так как Z,(j;)<^0 при xdS и L(jc)->-0 при jc->-S, то
полученный нами ряд с неотрицательными коэффициентами
{а\ сходится в Г и становится не ограниченным в точке (5).
С получением этого результата теорема доказана.
Теорема 9. Каждая цилиндрическая область имеет
единственным образом определенное наибольшее
аналитическое расширение. Оно совпадает с выпуклой оболочкой
данной цилиндрической области.
Предыдущими рассмотрениями мы доказали
справедливость этой теоремы только для расширений относительно
класса кратно-периодических функций. Мы поставим себе
целью показать (и достигнем этого результата в
следующих параграфах), что теорема 9 справедлива для
расширений относительно произвольных аналитических функций
(без каких-либо ограничений). Убедимся, что всякая
функция, аналитическая в некоторой цилиндрической области,
может быть продолжена на всю ее выпуклую оболочку.
В остальном утверждения теоремы 9 вытекают из
теоремы 8.
§ 5. Аналитические функции в эллиптических
полицилиндрах
Обозначим символом С(г„) полицилиндр
[|4|<г„; а=1,.... А; г„>0]. (15)
Незначительное изменение рассуждений предыдущего
параграфа легко приведет нас к следующему предложению:
о с. EoYHep

130 Гл. V. Особенности в граничных точках
Теорема 10. Функция F(t^,..., t^), аналитическая
в области, возникающей от объединения полицилиндров
С (га) и С(Га), всегда может быть продолжена на область,
возникающую от объединения всех полицилиндров С(Га),
где
lnr„ = 8lnr;-|-(l—8)1пг;', 0:^8:^1. (16)
Это продолжение будет даваться разлож:ением функции
F{t^, ..., tfi) в окрестности начала координат, точки
(0=(0)
со
Мы обратимся теперь к обобщению этой теоремы со
случая, круговых полицилиндров на случай эллиптических.
Рассмотрим отображение области \t [^ 1 с помощью
фуНКЩ1И
Положим t^^re'f (причем г^ 1). Тогда вместо соотношения
(18) получим
z=~(r-\-~jcos^-\--^i(^r—~yin^. (19)
При этом отображении окружность |/|^г (г^1)
переходит в эллипс
4-hir i(-fr
■= 1 (20)
с фокусами в точках (dzl.O) и суммой полуосей, равной г.
Так как
то можно задать эллипс (20) уравнением

5. Функции в эллиптических полицилиндрах 131
Здесь для Z, больших по модулю,
(г«_1у/.=^4-0(4-).
Обозначим еще символом Е(г) область
[12г2_(г2_1у/а|<;г] (21)
— внутренность эллипса (20)*.
Наконец, рассмотрим еще вторую пару переменных С, т,
связанных между собой соотношениями
С=4-(^ + 4-)' ^ = С + (С''-1)'/.. (22)
После всего этого докажем следующую лемму:
Лемма 1. Если
Ro(z)= 1, R„(z) = Г + Г" при п^Л, (23)
^ЛС)=4-^-^. (24)
то
I /?„(z)\^2г^ npu\z-]-(z^ — 1)'Л I =г, (25)
1^Л0Н4-,^-?г "P^^ |C + (C^-l)V.|=r. (26)
Здесь всюду г]>1. Если l^\t\<Ci'^7 ^о
со
^='^R„(Z)H„{':)- (27)
Последний ряд сходится абсолютно и равномерно для
значений t и т, удовлетворяющих условиям
1^1^1<|т| —8^Ж.
Здесь М, 8 — какие-нибудь полоэ/сительные постоянные.
Доказательство. Соотношения (25) и (26)
непосредственно вытекают из определений (23) и (24). Основ-
*) Точка Z принадлежит к Е{г), если неравенство (21)
выполняется для обоих значений |Аг^— \.(Прим. перев.)
1е

132 Гл. V. Особенности в граничных точках
ное утверждение леммы подтверждается следующими
преобразованиями:
1
t:-
1
Z 2
1
2
1
"~2
1
^ +
(^-
т —
т
1
{-'-k
■zt
-t)-zt—(x--
т
со
0
1
т
1
1
2
СО
V
1
1
'{'-
г; —tJ~
t"]_
— t
■zt
t
4)<'-
^)
n=0 /)=1
=W-.V+14^-
n=l
Эта лемма приводит нас к следующей теореме:
Теорема 11. Пусть /(Zj,..., z^) — аналитическая
функция в эллиптическом полицилиндре
Е(Га) |г„ + (/^—l)V=|<r,, а=1,..., А, (28)
где все
г„>1, о=1,..., k. (29)
Тогда функция f(z) может быть единственным образом
представлена в области Е(Га) рядом
со
fizi,..., Zk) = 2 '^m...«ft^m(^i)• • • ^"ft(.4)- (30)
n„=0
Ряб (30) сходится абсолютно и равномерно в каждом
внутреннем эллиптическом полгщилиндре £(ра)> zde
1<^Рк<]Го, о^1,..., k. Коэффициенты ряда (30)
удовлетворяют неравенствам
|а„,...лй1^/С(р)рГ"'.-.рГ"*. (31)

5. функции в эллиптических полицилиндрах 133
где /г,,..., я^^О, 1, 2,... Здесь pi,..., р/^ — любые чист,
удовлетворяющие условиям 1 <^Ро<С''«> а=1>...> k.
Функция f{z), аналитическая в области, возникающей
в результате объединения двух полицилиндров Е{г'а) и
Е(га), всегда может быть продолжена и на область,
возникающую в результате объединения всех
полицилиндров Е(Га), где
1пг„ = Ь1пП-{-{1—Ь)]пГа, 0^8:^1. (32)
.Это продолжение будет определяться рядом (30).
Доказательство. В силу формулы Коши для
z.^Eipa)
t(zx,'-',^k) — \^i) J ... J "(,^_^^).7;(f^^^J-. (Ai)
Здесь интегрирование ведется по границам эллипсов Е(р'^,
причем
Ра<р;<Г„. (34)
в силу леммы 1 ряд
1
^ct а.
J^RniZ^)Iini^a)
/1=0
сходится абсолютно и равномерно для Za^E(ра), ta(:B(ра).
Здесь 5(ра) — граница £(ро)> «=!,..., k. Мы подставим
эти ряды в интеграл (33). Тогда в результате почленного
интегрирования получим ряд (30). Его коэффициенты a„,...„j^
будут определены равенствами
Отсюда, используя неравенство (26), мы получим
неравенства (31) с правыми частями, составленными для
полицилиндра £(Ра).
Теперь единственность разложения (30) будет легко
следовать из единственности лоранова разложения
со

134 Гл. V. Особенности в граничных точках
функции в области
а
Сходимость ЭТОГО ряда вытекает из неравенств (31) для
полицилиндра £(ра). Последний результат позволит нам
получить равенства (31) для полицилиндра £(?«)•
Наконец, если функция f(z) аналитична в эллиптических
полицилиндрах E(/J^ и Е{г'а), то в силу неравенств (31)
степенной ряд (17) с коэффициентами а^.^п^ (теми же,что
у ряда (30)) будет сходиться в круговых полицилиндрах
С{г':^ И С (fa). Согласно теореме 10 он будет сходиться и
в круговом полицилиндре С{Га), удовлетворяющем
условию (16). Тогда в силу неравенств (25) ряд (30) будет
непрерывно сходиться в любом эллиптическом полицилиндре
Е(Га). Получение этого результата завершает
доказательство теоремы.
В следующем параграфе мы намерены заменить
полицилиндр Е{Га) полицилиндром Ei{ra). Составляющими
последнего служат эллипсы с фокусами в точках Za^il, — И,
с суммой полуосей, равной Га (все для эллипса в
плоскости Za). Здесь I—некоторое положительное число. Легко
видеть, что и для подобных полицилиндров справедливо
следующее предложение:
Лемма 2. Функция f{z), аналитическая в области,
возникающей в результате объединения двух
полицилиндров Ei{r^ и Ei(r'a'), всегда может быть продолжена на
область, возникающую в результате объединения всех
полицилиндров El (Гп), удовлетворяющих условию (32).
§ 6. Расширение цилиндрической области.
Частный случай
Рассмотрим цилиндрическую область, имеющую своим
основанием сумму двух А-мерных призм
\Ха]<С(^'а, a^i,..., k, (35)
\Xa\<^ci'J, a^l,...,k. (36)
Прежде всего заметим, что всякое линейное
преобразование пространства переменных х может рассматриваться как

6. Частный случай 135
линейное преобразование пространства переменных z. Это
преобразование переводит цилиндрические области
пространства снова в цилиндрические. После этого перейдем к
изучению нашей цилиндрической области с основанием,
являющимся объединением концентрических и коаксиальных призм
(35) и (36). Цилиндрические области, имеющие основаниями
призмы (35) и (36) (для любого положительного t),
содержат соответственно полицилиндры
[х\ у^ -1
^+ а'2^/з=^. a=l,...,*J,
^lifa ) [^5^+ д"2_[-/а = Ь «^ 1,..., ky
Для них
г; = а^ -f ^а2 +1\ г-; = йГ + / a:^-^i\
Поэтому согласно лемме 2 функция f{z) будет
аналитической во всех полицилиндрах £, (Гп), меньшие полуоси
которых удовлетворяют условиям
In [а„-f /а2 +/«] = аШ [а; + /о^+Т^ +
+ (!—&) In \d: -f /^^ +7^],
или, что то же самое, условиям
'■■[т+/1 + ']=»'"[т+/¥+']+
+ (l-!l)ln[fj;+]/°-"+l]. (37)
Если / -v оо, то соотношения (37) перейдут в~равенства
a„ = aa;-f (! — *>) aL', О :^»:^1; (38)
полицилиндр Ei(ra) в пределе перейдет в цилиндрическую
область с основанием
Совокупность этих цилиндрических областей, для О
удовлетворяющих двойному неравенству 0^8:^1, образует
в результате своего объединения выпуклую оболочку цилин.

136
Гл. V. Особенности в граничных точках
дрических областей с основаниями (35) и (36). Таким
образом, мы доказали теорему 9 для рассмотренного частного
случая. Полученный результат сформулируем в следующем
виде:
Лемма 3. Всякая функция f(z), аналитическая в
цилиндрической области Т с основанием S, являющимся
результатом объединения двух концентрических и
коаксиальных k-мерных призм, может быть продолжена на
выпуклую оболочку области Т.
§ 7. Общий случай
Переход от специального случая, рассмотренного в
лемме 3, к общему совершается путем чисто геометрического
исследования. Мы разделим его на три шага.
У
Рис. 1.
I шаг. Лунообразные клинья. Рассмотрим
сначала для k^2 область 5 в плоскости переменных хну,
ограниченную двумя выпуклыми кривымиз»^9 С-''^) и У^^^{х),
где 9(0)^=9(1) = '|'(0) = '|'(1) = а и 9 W < I'(л^) при
0<^л:<^1 (см. рис. 1). Мы в дальнейшем будем
варьировать функцию <}; (л:) и поэтому обозначим построенную нами
область символом 5'ф.

7. Общий случай 137
Рассмотрим еще выпуклые функции <}<, (лг) и ^^ (х),
удовлетворяющие неравенствам
Читатель легко проверит сам, что если функция,
аналитическая в цилиндрической области Т(8ф), продолжаема на
области Г(5ф,) и T(S^^), то эти оба продолжения всегда
сводятся к одному (однозначному) продолжению функции
на область Т(8^^), где <|;g = max(4i,, <^^. Очевидно, ij^g (л:) —
снова выпуклая функция. Теперь рассмотрим все выпуклые
функции <!f (х)^^(х'), для которых соответствующие
цилиндрические области T{S^) оказываются аналитическими
расширениями области Т{8ф). Затем возьмем (снова выпуклую)
функцию
^*{х) = &ищ^(х). (39)
Очевидно, область Г(5ф*) служит аналитическим
расширением области Т(8ф). Мы утверждаем, что область бф*
является выпуклой оболочкой области 8ф, т. е. что
^*(х) = а. (40)
Если последнее не имеет места, мы выполним построения,
указанные на рис. 2. Пусть С — ближайшая к точке (О, а)
точка минимума на кривой у^<^*(х), D — другая
достаточно близкая точка области S^*. Надлежащим выбором
точки D обеспечивается возможность вмещения в область 5ф*
пары концентрических и коаксиальных прямоугольников R
таким образом, как это указано на рис. 2. В силу леммы 3
цилиндрическая область с основанием R (R — выпуклая
оболочка области R) служит аналитическим расширением
цилиндрической области Г/j. R пересекается с бф* по области.
Поэтому цилиндрическая область с основанием R-\- оф*
оказывается аналитическим расширением области 7(5ф*), а
следовательно, и области Т(8ф). Однако область/?-}-5ф*
ограничена выпуклой кривой y^<]i (х) и ^ (х) ^ ^* (х). При этом
область R -j- 6ф* по построению больше области 5ф* (точка С
принадлежит S^, но не принадлежит 5ф*). Этот результат
противоречит определению функции ф* (х). Мы должны
считать равенство (40) установленным в случае ^ ^ 2. В случае

138
Гл. V Особенности в граничных точках
k^3 обозначим наши переменные символами х,у,Х;^,..., Xf^
и образуем лунообразный клин как топологическое
произведение двумерного лунообразного клина в плоскости х, у
на (k — 2)-мерный куб
\х,\<^Ь, s=3...., k. (41)
У
Рис. 2.
Предыдущие рассуждения распространяются и на этот случай.
Поэтому оказывается, что аналитическим расширением
цилиндрической области с основанием
[(X, y)^S^, |д;з|<8, .... \х^\<:Ц
служит цилиндрическая область с основанием
[(X. З')е5ф., |д;з|<8,... , \Xk\<:4
где <|;*(лг)^ 1.
II шаг. Об-ьединение двух пересекающихся
выпуклых областей. Пусть область S— результат
объединения двух пересекающихся выпуклых областей S, и Sg
Х); (см. рис. 3). Возьмем
точку О, принадлежащую
пространства переменных дгц
Раб So
и
точку Р, i Si, точку
к пересечению наших областей Sj f] S^. Далее, возьмем еще
в треугольнике Р^ОР^ точку О', достаточно близкую к точке О.

7. Общий случай
139
После этого мы будем пользоваться системой координат,
в которой линии PiOP^ и РуО'Р^ могут быть соответственно
приняты за кривые y = i:f{x) и y^ij{x). Если А^З,
умножим полученную область на весьма малый {k — 2)-мерный
куб. Всякая функция f{z), аналитическая в области T(S),
Рис. 3.
может быть продолжена из цилиндрической области, имею-
щей основанием „клин" Р^ОР^О'Р^ (т. е. клин PfiP^O'Pi
с {k — 2)-мерным утолщением) на цилиндрическую область,
имеющую основанием „треугольник" Р^ОР^ (т. е.
треугольник PjOPg с (k — 2)-мерным утолщением). „Треугольник"
PiOP^ пересекается с областью S по области, и поэтому
мы, таким образом, действительно получим продолжение
функции f(z) *). Так как наши „треугольники" являются
выпуклыми областями, то они или пересекаются по области,
или совсем не пересекаются. Поэтому в силу теоремы 5
гл. II мы можем продолжить всякую функцию /(z),
аналитическую в цилиндрической области с основанием S, на
цилиндрическую область, имеющую основанием область, возни-
*) Оно дает значения / (г) вне области T(S), если .треугольник*
PiOPa выходит за пределы области S. (Прим. перев.)

140 Гл. V. Особенности в граничных точках
кающую в результате объединения области 5 и всех
„треугольников" PfiP^. Здесь Pi^Si, и Рабб'а и О принадлежит
Si П S^. Мы утверждаем, что результат объединения
области 5 со всеми такими треугольниками образует выпуклую
оболочку § области 5. Очевидно, оно во всяком случае
составляет часть этой оболочки. Таким образом, наше
утверждение будет доказано, если мы покажем, что точечное
множество S*, возникающее в результате объединения
отрезков PiP^, является выпуклым. Для этого рассмотрим какие-
нибудь точки Р, Q f S*. Мы должны показать, что в этих
условиях всякая точка R отрезка PQ также принадлежит
к S*. Из способа построения наших областей следует, что
существуют такие точки Pj, Q, 6 5i и Pg, Q^ 6 S^, что точка Р
оказывается лежащей на отрезке PiP^, а Q — на отрезке
Qi,Qz. В векторной форме эти точки можно задать так:
P = X,P,-fXjPa (0:^Х,^1, Х2=1—X,),
Произвольную точку R отрезка PQ мы тоже определим ее
радиусом-вектором:
R = pP-]-aQ (0:^р:^1, 0=1—р)
Здесь /?, — точка отрезка PjQj (и, следовательно, области Si),
/?2 — точка отрезка PgQa ("> следовательно, области S^).
Далее заметим, что
(рХ, + oii-i) + (Р>'а + "Ра) = Р Qi + h) -Н
+ ''(Pi+l^a) = P + <'=l-
Таким образом, R — точка отрезка RiR^ и должна
принадлежать точечному множеству S*. Этим доказано, что S* —
выпуклое точечное множество.
III шаг. Случай произвольной области. Пусть
5—область пространства переменных Xj, ... , Xf^, Р—неко-

Лит ература 141
торая точка области S, N^N(P) — выпуклая окрестность
точки Р, содержащаяся в области 5.
Рассмотрим счетную последовательность окрестностей Nj,
покрывающих в своей совокупности область S, и обозначим
через Мр выпуклую оболочку областей Ni, ... , Np. Как
следует из доказанного во II шаге, все функции,
регулярные в 7(S) (а следовательно, и в T{N{), .... T{N )), могут
со
быть продолжены на область Т{Мр). Пусть М^\] Мр.
р= 1
Очевидно, что М—снова выпуклая область w SczM. Любая
точка QiM принадлежит всем Мр при р'^рд (р^ —
некоторое постоянное число). Поэтому Т{М) тоже является
аналитическим расширением области T(S). С другой
стороны,
ScrTW, (42)
так как 5—наименьшая выпуклая область, содержащая S.
Поэтому T(S)czT(M) и, следовательно, Т{§) —
аналитическое расширение области T(S). Теорема 9 доказана
полностью.
ЛИТЕРАТУРА
1. S. Bochner, А theorem on analytic continuation of functions
in several variables {Annals of Math., т. 39 (1938), стр. 14—19).
2. Н. С a г t a n und P. T h u 11 e n, Zur Theorie der Singularitaten
der Funktionen mehrerer- Komplexen Veranderlichen. Regularitats- und
Konvergenzbereiche (Math. Ann., т. 106 (1932), стр. 617—647).
3. P. Thullen, Zur Theorie der Singularitaten der Funktionen
mehrerer komplexen Veranderlichen. Die RegularitatshuUen {Math. Ann.,
T. 106 (1932), стр. 64—76).
4. H. T i e t z e, Ober den Bereich der absoluter Konvergenz von
Potenzireihen mehrerer Veranderlichen (Math. Ann., т. 99 (1928),
стр. 181—182).

Глава VI
НЕРАВЕНСТВА, ОГРАНИЧЕНИЯ И НОРМЫ
§ 1. Неравенство Иенсена—Гартогса
Рассмотрим функцию f{z) одного комплексного
переменного z^=x-\~iy. riycTF. эта функция аналитична (в
окрестности) замкнутого круга
Положим
где
|г|^р. (1)
I „а fS
P(z, 0 = :г-—о .- гт--, (2)
*■ ' 2it р- — 2рг cos ('f — а) -f- г-
z — rc''f, t: = pc'''' (Os=:r<p). (3)
Величирга P(z, Q — это ядро Пуассона.
Тогда неравенство, которое мы намерены рассматривать,
будет выглядеть так:
2ir
ln\f(z)\^^ P(z, r)ln\f(q\da. (4)
о
Начнем доказательство этого рюравенства с того, что
укажем на его аддитивность: если оно имеет место для
функций /i (z) и /з (z), то оно справедливо и для функции
Л (^) • Л (^)> поскольку In l/j . /21 = In l/i I +1" 1Л I- Далее
заметим, что число нулей, которые функция f(z) имеет в
замкнутом круге (1), ограничено. Обозначим через aj, ..., а^
нули этой функции в круге |г|<^р, через ftj, ..., b^ на
окружности [г| = р. Здесь каждое число а или b встречается
столько раз, какова кратность соответствующего корня.
Теперь мы напншем, что
р я
f(z) = g (Z) П 4=^^- П (^ - ^п) (5)
m = 1 ■" "'""^ п = I

1. Неравенство ■ Иенсена—Гарт огса 143
В этом произведении g(2) определяется как частное от
деления f(z) на произведение остальных сомножителей,
стоящих в правой части. В силу сказанного нам достаточно
установить наличие неравенства (4) для каждого из
сомножителей произведения (5) в отдельности. Функция g{z) анали-
тична и не имеет нулей при | г | ^ р. Поэтому там 1п\ g(z)\^
= Цс [In g(z)] — гармоническая функция. Соотношение (4)
имеет для нее место со знаком равенства и превра1цается
в формулу Пуассона для гармонических функций.
Обратимся к сомножителям вида
ф(^) = -!~- ' 1«1<Р-
р—аг
Очевидно, |ф(2')|<^1, и поэтому 1п|ф(2')|<^0 при [^|<^р,
а при КI = р I Ф(Q I^ 1, и тогда hi \ср(С)\^=0. Отсюда
вытекает, что в этом случае соотношение (4) прсврап1ается
в строгое неравенство.
Наконец, мы должны рассмотреть сомножители вида
<[(z) = z — b, где b^pe'?. Введем вместо z новое
переменное zb. Такая замена равносильР1а переходу к частному
случаю, когда р^^=1 и &=1. Таким образом, оказывается,
что нераверютво (4) будет доказано, если
Inl^—1|= ГР(г, е'''')1п|е''« —1 |^а (6)
о
при I^K^l.
Для любого s^O функция z—\ -s не имеет нулей
в замкнутом круге [г|=е1. Поэтому
2тс
In 12 — 1 — г I = Г Я (г, е'«) In I £'" — 1 — г I da. (7)
о
Чтобы получить из соотношения (7) равенство (6),
устремим S к нулю. Воспользуемся следующим свойством
лебегова интеграла:
Если gi(a)-^g(a) для почти всех а на отрезке а^а^^Ь
и I ^в (*) I =^ '^ (*)) причем
b
h (а) da <^ оо.
J

144
'Гл. VL Неравенства, ограничения и нормы
то
j g^{a)da-^\ g(a)da.
В нашем случае
O^P(Z, Q:
I р + Г
2ic р — г
Поэтому достаточно показать, что при 0<^se51
lln|c'' —1—е||йСй(а),
где
I h (а) da <^
со.
(8)
(9)
(10)
Однако, ввиду того что
2
SU1
1—sl^2 + s,
соотношение (9) удовлетворяется (включая условие (Ю)),
если взять
4~ In 3.
/г(а) =
In 2
sin
Этим завершается доказательство неравенства (4).
Наша ближайшая цель состоит в обобш;ении формулы (4)
на функции многих переменных. В связи с этим удобно
ввести обобш;ение интеграла Лебега, позволяюш;ее свободно
пользоваться действительным значением — оо. Пусть
функция g(ci) определена на отрезке as^a^b, и ее значения
содержатся на полупрямой — со ^ ^ (а) ^^ С (С — некоторое
конечное число). Назовем функцию g(a) измеримой, если
для каждого л множество точек [^(*)=S^] измеримо. В
частности, если функция g(ci) измерима, то множество точек а,
в которых gi^t)^ — со, может иметь положительную меру.
Такой функции g"(a) мы поставим в соответствие интеграл
-оо.
I g(a)da, который будет или конечным числом, или
а
Этот интеграл обладает обычными свойствами линейного
функционала (при пользовании положительными коэффициен-

1. Неравенство Иенсена—Гартогса 145
тами). Кроме того, он обладает следующим важным
свойством:
Если последовательность функций
то и
gn{^)\s{^), (И)
ь ь
J^„(«)fl?«\J^(«)fl?«- (12)
а а
Здесь символом „\^" обозначена сходимость при
монотонном убыварши.
В частности, пользуясь этим свойством, мы можем,
подыскав для данной функции ^(а) такую последовательность
ограниченных функций ^„(а), что ^„(a)\g'(a)) представить
наш обобщенный интеграл Лебега как предел
последовательности интегралов от ограниченных функций. Первое
пример1еиие обобщенного понятия интеграла будет состоять
в том, что мы не будем исключать в соотношении (4) и при
его распространении на многие переменные случая, когда
функция /(^'i^O. Мы можем теперь считать, что в этом
случае обе части неравенства (4) обращаются в —со, и оно
остается в силе.
Наше обобщение применимо к любому интегралу Лебега,
в частности, к интегралу от функций многих переменных.
Пусть функция g(a, р) определена и измерима в замкнутом
квадрате [O^^as^-l, 0:^р=^1]и принимает значения,
попадающие на полупрямую—оо^^(а, р)^с (с-—некоторое
конечное число). Для дальнейшего важно, что на
обобщенные интегралы распространяется теорема Фубини, согласно
которой повторный интеграл
1 1
JrfaJ^(a, Р)й?р (13)
о и
всегда существует и имеет то же самое значение, что и
двойной интеграл
I t
J J^(a, ^)dad% (14)
о о
10 с. Бохнер

146 Гл. Vf. Неравенства, ограничения и нормы.
независимо от того, будет ли последний равен конечному
числу или —со. Теорема остается в силе н для большего
числа переменных.
Рассмотрим теперь случай k комплексных переменных.
Положим
Zj = rjeifj, l^j^rpje'-";; J==l,...,k, (15)
k
РЛ~, f^)=n^(^/' ^')' 0:5:r,<p;. (16)
Мы утверждаем, что для всякой функции f(zi, ... , г^,),
аналитической при
i^/i^P;> J==h ... , k, (17)
имеет место неравенство
ln:/(^)|-<=J...Jp,(^>Qln|/(QH«i -.-d^k- (IS)
о о
Отметим, что функция In )/(pie'"', ... , p^iC'^A)) измерима
по отношению к переменным aj, ... , а^^, так как является
пределом монотонно убывающей при s\0
последовательности непрерывных функций
^,(a) = ln(l/(pie4 .... p,e^«ft)|-l~s).
Неравенство (18) уже доказано для случая k^\.
Проведем дальнейшее рассмотрение по методу индукции.
Предположим, что это неравенство верно для некоторого к;
тогда если f(z,Zk^^=f(Zx, ... , z^, z^^^ — какая-то
функция k-\-\ переменных, то в силу (18) мы будем иметь
2тс 2it
In I /(^, ^,и) к J ... J/', {г, Q In I /(t:„ ^, и) I d^ ... d4. (19)
0 0
Затем мы напишем согласно (4)
2ic
In I/(С, z,^{) I =<: J P{z,^„ C,,,) in l/(t:, C,^,) I rfa,^,.
-'A+l-
Заменяя в отношении (19) ln|/(tl, г^^+х) | правой частью
последнего неравенства и применяя теорему Фубини, мы полу-

1. Неравенство Ненсена—Гартогса 147
чим неравенство (18) для случая k-\-\ переменных. В ряде
случаев оказывается полезным неравенство, донолняюп;ее
оценку (8), именно:
k
I Р. (-', Q i =^ (i)' п р;-^:^ ^* (Р' г). (20)
Если |/(Q 1^1, то
ln[/(g|.-s=0 (21)
и для этого случая из соотношения (18) будет следовать, что
2тс
In \f(z) 1 ^ М, (р. г) J in |/(g I rfz,,. (22)
0
Здесь dVa^:dai ... da^. Пусть A — некоторое измеримое
множество, лсжан1,ее на /г-мерном торе, онрсделепном
условиями
0«=ау<27г, у=1, ... , /г.
Очевидно, неравенство (22) может быть в силу условия (21)
заменено более слабым неравенством
ln\f(z)\^M,(p,r)^ln]f(Qldv,.
А
Теперь, если на Л |/(руе'''у) | е? е<^1 и mesA — мера мно-
жесгна А, то из последнего неравенства будет вытекать
что
ln\fiz)\^~M,(p,r)^mcsA.
Отсюда можно сделать вывод:
Если функции /„(z), п^\, 2, ... аналитичны и
ограничены в своей совокупности в замкнутом полицилиндре (17)
и равномерно сходятся к нулю на некотором измеримом
множестве А точек тора
[|С^| = Р;, Os=a,.<27r, 7=1, ...,&], (23)
причем множество А имеет положительную меру, то
последовательность {/„(г')} непрерывно сходится к нулю внутри
(17).

148 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
Отображая конформно каждую составляющую Dj на круг,
читатель получит следующую теорему:
Теорема 1. Пусть границы Cj составляющих Dj
некоторого полицилиндра £) ^ Dj X • • • X ^а являются
замкнутыми ж:ордановыми кривыми, п С j—какие-то
открытие дуги этих кривых. Если функции fni^)'
п^О, 1, 2, ..., аналатични и ограничены в своей
совокупности на D и равномерно сходятся к нулю на подмнооке-
стве CJ X • • • X Cfe границы области D, то последовательность
функций /„ (z) непрерывно сходится к нулю в области D.
Сформулируем теперь одно необходимое для
дальнейшего следствие из этой теоремы:
Пусть Н—выпуклая область прострар1Ства
действительных переменных Xj, ... , х,^, имеющая точку (О, ... , 0)
своей граничной точкой, Тц — цилиндр с основар1ием Н,
N—(выпуклая) область (2')-11ространства, содержащая начало
координат. Если функции /„(г): 1) аналитичны и сходятся
к некоторой ограниченной величине в замкнутой области Гя,
2) равномерно сходятся к функции g(C) на точечном
множестве, получающемся от пересечения области Л^ с А-мер-
ным многообразием
Ret:i = 0, ... , ReZ^ = 0 (24)
(которое лежит на границе области Т{/), то предел f(z)
последовательности функций /„ (z) оказывается
аналитическим продолжением функции g(t) из области Л^ на область
N-\-T„.
Действительно, так как И—выпуклая область, а точка
(0) — ее граничная точка, то будет существовать
параллелепипед Л (х)-пространства, имеющий точку (0) своей
вершиной и лежащий вместе со своей границей (кроме точки (0))
в области Н. С помощью однородного линейного
преобразования (х)-пространства мы преобразуем А в
параллелепипед
(Л) [0<л:^<а;, J=l k].
Затем построим 2А-мерный параллелепипед
[(х)6Л, — а<3'у<а, J=l, ... , k].

2. Максимум на границе 149
который содержится в N при достаточно малых А и а. Мы
примем его за полипилиндр Oj X • • • X D,^, а часть его
границы, лежащую на многообразии (24), за С^ X • • • X С^
из теоремы 1. Мы получим наше утверждение, если
применим эту теорему к последовательности фуршций
4(2)-^(2). л=1, 2. ...
§ 2. Максимум на границе
Пусть D — некоторая ограниченная область пространства
переменных z^, ... , г„, В — граница области. Можно
показать, что для всякой функции f{z), аршлитической в
области D и непрерывной в замкнутой области D,
1/(2)1^ sup 1/(01 при ziD. (25)
!;^ в
Здесь знак равенства может осуп;естпляться в какой-нибудь
точке в том и только в том случае, если
1/(2') 1;:^ постоянному. (26)
Действительно, если Хц — максимум [/(г)] на D-f-5, L —
множество точек, в которых |/(г)| = Хо и /,гэЛ, то,
очевидно, имеет место равенство (26); если La В, то,
очевидно, имеет место неравенство (25). Заметим еще, что
если пересечение Z, f| /3 не пусто, то открытое множество
D — {L fl D) имеет граничные точки, принадлежащие D;
пусть Zq-—одна из них. Эта точка должна принадлежать L;
поэтому в ней \f{z)\ будет иметь локальный максимум, не
обращаясь в постоянное число в ее окрестности. Такой
вывод приводит следующим образом к противоречию.
Перенесем начало координат и точку z^ н применим формулу
Коши (см. (9) в гл. И), беря в ней за кривые С,-
окружности \^-.j\^= р/ (ру — достаточно малы), {z) = (0). Мы
получим, что
2ic 2ic

150 Гл. VI. Неравенства, ограничения а нормы
и поэтому
2тс 2ic
о о
Благодаря соотношению (28) \f{z)\ не может иметь
максимума во внутренней точке, не обращаясь в постояршое число
в некоторой ее окрестности.
Те же самые рассуждения позволяют получить
неравенство (25) и для неограничеР1Р10й области D, если
предположить, что
|/(z)|-vO при |^iP+...+|z,P^co, {z)iD. (29)
Пусть D — цилиндрическая область с ограниченным
основанием Л, f{z) — ограничер1ная функция, имеющая
непрерывные граничные зпачепия f{Q. Следуя ФрагмеР1у и Jlmi-
делефу, рассмотрим функции
Л(г)=/(г)е<^»+---+'^^)
для чисел s^O. Для каждой функции /^{z) исполняются
условия (29) *), а значит, имеет место и неравенство (25).
При е->.0 fs{z)-^f{z), и поэтому
иш sup|/,(t:)i^sup|/(g|.
Отсюда заключаем; что оценка (25) справедлива и для
исходной функции f{z).
Пусть теперь «j, ... , а^^ — некоторые действительные
числа. Образуем функцию
/(г) e"i"»+•••+"""*. (30)
Она снова является ограниченной, имеющей непрерывные
граничные значения в 7д. Составим выражение
Mf{x)= sup \f{Xi-\-iyi, ... , x^-\'iy,,\.
— oo<y ,<oo
в силу нредыдунхего функция
In Mf (лг) 4- «1-^1 + • • • + Ч^к
*) Следует иметь в виду, что в рассматриваемом случае
(цилиндрической области) при (г)-*со только (у)-^оо, а {х) остаются
ограниченными. {Прим. персе.)

^ 2. Максимум на границе 151
принимает свое наибольшее значение на границе А. Таким
образом, она оказывается выпуклой на любом отрезке. Это
позволяет FiaM сформулировать следующее предложение:
Теорема 2. Пусть Д —- область пространства
переменных Xj, ... , Xj^, А — некоторое множ:ество точек Д,
Н — выпуклая оболочка множества А, целиком лежащая
в области Д. Тогда если f{z) — аналитическая и
ограниченная функция в области Гд, то
sup Mf {х) = sup Mf{x). (31)
Интересно сравнить этот результат с тем, что нам уже
известно из теоремы 9 гл. V. В силу той теоремы, если
А — область простраисгва переменных х,, ... , х,^ и дано
только, что фу1п<ция f {z) аналитична в цилиндрической
области Гд, то эта функция автоматически продолжается
Fia вьшуклую оболочку Ти области Гд. Поэтому функция /
приршмает в области Тц те же значения, что и в области Та
(см. § 1 гл. IV); таким образом, оказыиается, что
равенство (31) имеет место всегда, когда функция / ограршчена
в Та.
Для вывода ряда следствий из этой теоремы мы
нуждаемся в некоторых o6nuix фактах из теории апроксимации
действительных функций. Мы объединим сведения из этой
теории, нужные нам для данной и дальнейших глав, в
следующем параграфе.
Однако сначала сделаем одно замечание. Легко видеть,
что в силу интегральной формулы Коши модуль всякой
функции/(2'), аналитической в замкнутой области (17),
достигает максимума на подмножестве (23) границы этой области.
Такие подмножества на границе области были впервые
исследованы А. Пуанкаре и затем в недавнее время
рассматривались С. Бергманом (который назвал их
характеристическими многообразиями) и А. Вейлем. Очевидно, такое
многообразие служит и определяющим многообразием. Если
функция обращается на нем в нуль, она оказывается
тождественно равной нулю. Это указывает на возможность
восстановления аналитической функции по ее значениям на
характеристическом многообразии. Задача эффективного

152 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
построения подобной функции является здесь главной
проблемой *).
§ 3. Апроксимации
Пусть K{ti, ... , ^„) — ядро, обладающее следующими
двумя свойствами:
1)^(^1 ySsO, -сх,<^^<сх,,
С» С»
П) J... J/r(^i t^)dt, ... dt^=\.
Примером такого ядра может служить функция
K{h и = '^~"^'t'~ ^? + • • • + 'I, (32)
Пусть функция /(xj, ... , х„) измерима и ограничена при
— оо<^Ху<^сх), /^1, ... , п. Тогда существуют
несобственные интегралы, определяющие фурпсции
/ц (-^l) • • • ) ^п) ^^
оэ с»
= J ... J/(^i+ 7 ' ••• ' ^n+^)K(i)dv„ (33)
-.-со — оэ '
]х^1, 2, ... , dvi^dt ... dt^.
Эти функции являются некоторыми осереднениями функции/.
Поэтому мы вправе ожидать, что их свойства будут как-то
отражать свойства функции / и при некоторых
обстоятельствах они будут сходиться к ней. Далее мы приводим три
относящиеся сюда леммы.
Лемма 1. Пусть ядро К (О обладает I и II
свойствами, /{Хц ... , х„)—ограниченная и измеримая
функция при —оо<^л:у<^оо, j^l, ... , п. Если, сверх того,
функция f(Xi, ... , х„) непрерывна в некоторой обллсти
D, то
Aztf (34)
*) См. по этому поводу Б. А. Фукс, Теория аналитических
функций многих комплексных переменных. Гостехиздат, 1948^
стр. 303—315. {Прим. перее.)

3. Апроксимации 153
на Любом замкнутом множестве SczD. Здесь символом
..-^'' обозначена равномерная сходимость.
Прежде чем перейти непосредственно к доказательству
этой леммы, сделаем два очень простых замечания,
основанных на II свойстве ядра. Во-первых, отметим, что
с» со
f{x„ ..., х^)== J . . . J/(^i, ...,х„) K{tu ... , t^) dvt (35)
— со — со
для любой функции /(Xj, ... , х„). Во-вторых, укажем,что
\■ - S ^(^1. ••• ' Q'^^/i-^O при Л^-^.оо. (36)
внешн. С
Здесь „внешн. C^v " —это виепшостькуба Сдг, определенного
неравенствами
— N^tj^N; /=1, ... , п. (37)
Теперь обратимся к нашей лемме.
Используя соотношения (37) и (35) и II свойство ядра,
найдем, что для всякого xiS и 8^0
с» с»
- UO — UO
-f{Xi Xn)\^K{t)dVt:
- n5 —ii5
- J...J|/(-^/-l-f)-/(-^y)|^(0^b,:^
внешн. С »
sS max |/(л;1-|-^1, ... , x^-[t^)~~f{Xi, ... , л:„) I-1-
+ 2 max \f{x)\ f... Г /Г(Ос?г;(.
Uy 1 г; 5
у внешн. С ,
Отсюда в силу условия (36) (с Л^=]х8, где 8 — положитель
дая постоянная величина^ не зависяш,ая от д ,щ) :аависящая.

154 Гл. VI. Неравенстаа, ограничения и нормы
вообще говоря, от замкнутого множества S) следует
условие (34).
Рассмотрим теперь случай, когда ядро К обладает
дополнительным свойством:
III) К равно нулю вне конечного куба См-
Условимся обозначать символом й'^' класс функций,
имеющих непрерывные производные порядков й£/;.
Докажем, что справедлива
Лемма 2. Пусть ядро K{t) обладает I, II п III
свойствами, функция f(Xi, ... , х„) (■ k^P'> для (Xj, ... , x„)(-D
(здесь D — некоторая область, р—какое-то из чисел
О, I, 2, ...). Тогда каж:дому ограниченному замкнутому
множеству S^D соответствует такое число N(S), что
функции /,1 (х), определенные формулой (33) и апроксими-
рующпе функцию /, будут обладать свойством
f^{x) (.k^P) при {x)iS и ]х>Л/(5). (39)
Кро.че того, в этих условиях
дхС- ... дх^п дх^'- ... дх,\п
q = 0,l,...,p. (40)
Доказательство. Если ^'?— некоторое ограниченное,
замкнутое множество, лежащее внутри D, н у. достаточно
велико, то все точки
где (x)(:S, (()(:См, будут лежать в D. Для этого
достаточно взять JJ. больше, чем
Л^(5)^ У^ -^. (42)
^ ' расстоян. {S, граница!)}
Благодаря свойству III ядра Kit) выражение (33) можно
при jj.^A/(5) и (x)^S дифференцировать под знаком
интеграла требуемое нашей леммой число раз. В результате
этой операции найдем, что для ^ = 0 р
■^О СХ)

S. Апроксимации
155
Здесь Qi^
при (х) (- и,
О при (x)'^D.
(44)
Таким образом, условие (39) действительрю выполняется.
Предельное равенство (40) получается из соотношения
(43) в результате применения к последнему леммы 1. При
этом функция g(x) должна быть в нем заменена
(ограниченной) функцией g'(х), равной g{x) при (x)iD' (£>' —
некоторая область, взятая так, что S(:D', D'czD) и нулю —
при ix)lD\
Полученные нами два результата оказываются ршдоста-
точными в раде случаев; дело в том, чго в них степень
дифференцируемости апрокснмирующих функций, вооби1е
говоря, не выше степени дифференцируемости исходной
функции/. Мы поставим себе цель—построить
последовательность апроксимирующих функций, дифференцируемых
большее число раз, чем исходная функция. Для этого
подчиним ядро дополнительному условию: потребуем, чтобы
IV) K{t^ t,,) ёйМ при — оо<^у<оо
(для некоторого индекса г = 0, 1, 2 ...).
Ядра, удовлетворяюнше одновременно условиям I—IV,
существуют. Примером их может служить
кт=
П
I
{М -/!,)(« + (
/ при (ОС-Сль
при {t) t с
м-
Здесь
М _ I
- м
(45)
(46)
Очевидно, определенная таким образом функция K{t)
обладает I, II и III свойствами. Легко показать, что она
обладает и IV свойством для каждого индекса г::=0, I, 2 ...
Мы опускаем детали.

156 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
Апроксимирующие функции /^ (х), определенные по
формуле (33) с помощью ядра А'(^), удовлетворяющего I, II,
III и IV условиям, обладают в общем большей степенью
дифференцируемости, чем исходная функция f{x).
Оказывается справедливой
Лемма 3. Пусть ядро K{t) обладает I, II, 111 и IV
свойствами, f(x)—измеримая п ограниченная функция
при —оо<^Ху<^оо, У=1. ... , п. Тогда определенные
по формуле (33) функции
/^(х)$й"-) при —оо<Ху<оо, j=\ п. (47)
Для доказательства запишем, что
со со
— -.JO — CO
(48)
= ^" J • • ■ J/('-)^(H-(^--^))=«^^x.
— CO — CO
Так как согласно III свойству ядро К равно нулю вне
конечного куба См> то из соотношения (48) следует, что для
любого ]х функция /ц (х) дифференцируема столько же раз,
сколько функция К. Таким образом, наше утверждение (47)
доказано; индекс г имеет здесь то же самое значение, что
и в IV условии.
Для дальнейших справок удобно явно сформулировать
одно следствие, вытекающее из полученной леммы.
Следствие I. Пусть функция ср (Xj, ..., х„) при х^ D
(D — некоторая область) принадлежит к k^P\ где р
какой-то из индексов О, 1, 2... Тогда там существует
апроксимпрующая ср (х) последовательность функций
{ф|, (х)}, причем
spij.C-*^''' при —схэ<^Ху<^со, ;■= I, ..., п
и всех г=0, I, 2,... (49)
дx1^...дxl'^-*дx'i\..дxl'^
(50)
на каждом замкнутом множестве SczD. Здесь q--
= 0, I, 2 ..,;;; ^i-f-... -\-xjn~q.

4. Функции, ограниченные на цилиндрах 157
Прежде всего определим функцию
y..j^4^f фМ при xi_D,
■'^ ' I О при xiD.
Затем с помощью этой функции и ядра K{i), обладающего
указанными выше четырьмя свойствами (причем IV свойством
для всех г, за такое ядро можно, например, взять K{i) из
примера (45)), образуем функцию ср^ (х), равнуюД (х), которая
определена формулой (33). Тогда условие(49) имеет место
в силу леммы 3, а условие (50) — в силу леммы 2.
§ 4. Функции, ограниченные на цилиндрических
множествах
Рассмотрим произвольное точечрюе множество А
пространства действительных переменных х^, ..., Xj^. Мы не
требуем, чтобы А было областью, но требуем, чтобы
множество А было спрямляемо связным. Под этим мы
понимаем, что любые две точки множества А: Р'(^'j, ..., £'^,)
и Я" (£"j, ..., $"д,) могут быть соединены точечным
множеством
состоящим из точек А. Здесь 'ij{s) — непрерывные функции
с ограниченной вариацией. Пусть Гд — цилиндрическое
множество в пространстве Е.^^ с основанием А, U—область,
содержащая Та- Если Гд — область (что будет иметь место,
если А — открытое множество), то f/может совпадать с Та
или быть больше Гд. При этом область U не обязана быть
цилиндрической. Независимо от этого, так как U является
открытым множеством пространства Е^^, оно обладает
следующим свойством:
Пусть С — некоторое фиксированное компактное
подмножество А, а^О — данное число. Тогда существует такая
открытая (А-мерная) окрестность Л^„ множества С (не
обязательно являющаяся частью А), что область
(f/J [{x)iN„ -a<^yj<^a,j=\,...,k] (51)
оказывается частью U.

158 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы.
Теперь рассмотрим в U ограниченную аналитическую
функцию f{Zi, ..., Z,,). Предположим, что \f(z)\s^M в ^7*).
Для дальнейшего нам удобно представить / как функцию
вида ср(х, y)^f(Xj-]-iyj) 2k действительных переменных.
Для некоторого Х^О и фиксированной точки (z)=--
=^(Zi,...,Zi.) построим в точках {^)(:А функцию
^1.(0 =
со оэ
= J •. • J Ф («, -n) e dVr^,
— 1.0 ~ CO
(Г.2)
где dVr^ = dri^ ... с1щ.
Покажем, что <i^ (l) не зависит от переменных (1) и
является, таким образом, постоянпоГ! величирюй. Для
доказательства рассмотрим последовательность функций, апрок
симирующпх функцию <!^ ($):
а а
где
/(5, •»))=.= 9($,Y))e " . (54)
Пусть Р' (Vu ...Лк) и Р" (Vi, ,Vk) — две точки
множества А. Мы намерены показать, что 'j'(^') = t(^")- Для этой
цели соединим точки Р' и Р" кривой С
^/=^/(^0. J=l,...k,
и затем построим для нее множества Na и f/„. Наконец,
возьмем такую фиксированную окрестность кривой С, что
NczNa для всех а^а^ (а„ — некоторое положительное
число). После этого рассмотрим функции <{;„($) для всех Л^„
и найдем их частные производные -%^ , дифференцируя
oil
(53) под знаком интеграла. Функция /(?,•»)), стоящая под
*) Где М — некоторое положительное число. (Прим. перев.)

4. Функции, ограниченные на цилиндрах 159
знаком интеграла (53), — аналитическая функция
комплексного переменного Ci^^i-j-i'li в области U^. Поэтому
д! __. д!
diy~ 'dri,-
Следовательно,
— а —а
— а —а
Теперь заметим, что в тождестве (54) | <р (?, •»)) [ ==S Ж (при
ziU„), а экспоненциальный множитель при (^) iN и "tji dL я
но абсолютной величгше *)
fiSA'exp[—}i(a2-[-V2-i-...-l-'»ll)|, где Ji = y-
Отсюда следует, что при (?) iN**)
l^l^i^--'^ V-=-i. (П5)
Аналогичные неравенства имеют место и для остальных
'''"^ '-, J^2,...,k. Далее заметим, что если функции
$У {s), определяющие кривую С, обладают непрерывными
первыми производными, то
Ya <.= -» Ya (.i: J — J \^^|^ ^s 1 • ■ • i ()5^ ^s j '^''
0
и далее, в силу неравенства (55),
= kLe-v■^^' D(F, Р").
*) Здесь/<Г—некоторая постоянная положительная величина
(Прим. перев.)
■** Здесь L — некоторая постоянная положительная величина
(Прим. перев.)

160 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
Здесь D {Р, Р") — длина отрезка кривой С, заключенного
между точками Р' и Р". Если кривая С не имеет
непрерывно изменяющих свое направление касательных, мы апро-
ксимируем ее (по длине, внутри Л^^) последовательностью
кривых, обладающих необходимыми свойствами. Таким
образом, найдем, что полученная оценка имеет место всегда.
Полагая а->оо, установим, что i\i(^')^^(i"). Этим наше
утверждение доказано.
Теперь мы можем определить равенством
Л (2) =
СО ОО
=(П-Ь«-)
— со —DO
(56)
для каждого Х^О некоторую функцию переменных (z)
(поскольку правая часть (56) не зависит от ? при kiA).
Получаемая таким образом функция оказывается (для любого X)
ограниченной во всяком цилиндре Гд, имеющем ограниченное
основание Н. Предположим теперь, что наше точечное
множество А ограничено, и обозначим через Н его выпуклую
оболочку. Предположим, далее, что множество Н имеет
внутренние точки, и обозначим их совокупность через //„.
Возьмем некоторую точку (Xj, ..., х^) 6 А, положим
в выражении {5Q)^j = Xj (J^ I, ..., k) и рассмотрим полу-
чаюп1ееся в результате представление функции /л (г)
со со
Л(2) = (:^)''^' J ...J /(xH-i^i. •••.-^* +
— со — со
+ Щк) е-MCi--т)^ + ... + (Ук--^к)']dv^. (56')
Здесь ziTA. Поскольку \f(z)\^M при ziT^ (равно как
и при z^ U), а интеграл от экспоненциального множителя
ПОД знаком интеграла равен (у) , то для всех zk. 1 а ^
Х>0
В силу теоремы 2 это неравенство сохраняет свою силу
и для всех zi Тц. Значит, мы можем так выбрать числа

4. Функции, ограниченные на цилиндрах 161
{ Xj, Xj ...}, что функциональная последовательность {/х„(2)}
будет непрерывно сходиться в { Г^,} к некоторой
аналитической функции g(z). Наконец, предположим, что
пересечение Tff„ с окрестностью U множества Гд является
областью. Тогда будем утверждать, что функция g(z)
является аналитическим продолжением функции /(z) из U
на U-{- Tff^, и докажем это, основываясь на следствии из
теоремы 1, приведенном в конце § 1. Данное следствие
можно применить в случае, если суп1ествует такая точка
(jfj*, ..., Jf%) множества А (принадлежащая также к Н^),
что на каждом компактном множестве, содержащемся в
А-мерном многообразии
Re Zj = j(^j — со <^ Im Zj <^ со,
оказывается
/л (х"" j- iy) I^ / (jc" -f- (у) при X -^ схэ.
Однако последнее обстоятельство вьггекаст из леммы 1.
Применяя эту лемму к выражению (56'), видим, что
сказанное имеет место для любой точки (х?, ...,х1) ^А, так как
функция f(z) аналитична и ограничена в цилиндре Гд. Но,
по характеру множеств Н^ и А, их пересечение не может
быть пустым. Поэтому точка (х?, ...,х|) с необходимыми
нам свойствами существует, упомянутое выше следствие из
теоремы 1 в нашем случае применимо, и функция g(z)
действительно оказывается аналитическим продолжением
функции f(z) из L' на и-{- Tff^.
От предположения об ограниченности множества А
можно отказаться. Для этого следует рассмотреть
возрастающую последовательность ограниченных и спрямляемо
связных подмножеств Л'"' множества А, сходящуюся к А. Тогда
соответствующие выпуклые множества Я<,") будут сходиться
к Hq. Мы получаем, таким образом, следующий результат;
Теорема 3. Пусть А — некоторое спрямляемо
связное множество точек пространства действительных
переменных Xj,..., х^ и //„ — совокупность внутренних точек
его выпуклой оболочки Н. Если некоторая область U
пространства переменных z^, ..., z,^ содержит цилиндр Та
и пересекается с Tfj^ по области, то всякая функция f(z),
аналитическая и ограниченная в области U, может быть
11 с. Бохнер

162 Гл. VI. Неравенства, ограничения а нормы
аналитически продолжена из U на U~\-Tij^. Модуль
возникающей в и "У Тщ при таком продолжении функции
будет там ограничен тем же числом, что и модуль
исходной функции f(z) в и.
Замечание. Если А — некоторая область Е,^ и Я„ —
ее выпуклая оболочка, то возможность аналитического
продолжения функций из области Гд в область Гя,, уже
установлена нами в теореме 9 гл. V. При этом модуль
возникающей U области 7'я„ при таком продолжении функции
должен быть там ограничен тем же числом, чго и модуль
исходной функции U Та, как это следует из общего
правила, установленного и § 1 гл. IV.
§ 5. Ар-нормы для интегралов по объему
Мы начнем с соотношения
о о
для аналитических функций f{z). Для р -\ оно в силу
неравеисгва Гельдера вьпекаег из формулы (28). В
действительности оно имеет место для всех р^О, как это
следует ИГ) соотнон1ения (18) (для z^^O); однако мы не будем
на этом останавливаться. Допустим, что функция f(z)
является аналитической в замкнутой области А = А^^
^[ j Zy I s=: г, _/= 1, ..., А], затем умножим обе части
неравенства (57) на Pi ... Pftt^pi... rfp/г и проинтегрируем их но
многообразию [О :^ ру ^: г]. Это приведет нас к неравенству
1/(0) 1" ^ -^~.й J I/ (^) \" dv, dv^, (58)
А
ГП.& dv^dvy^dx^dy^ ... JjC/^i/j'/j-—2/е-мерный элемент
объема нашего пространства Е^/^.
Теперь возьмем произвольную область D сг E^f^ и
рассмотрим для некоторого р^\ пространство Ар функций
<р {х, у), принимающих комплексные значения, измеримых
и ограниченных по норме
II ф II=IIФ ь=(JI * (-^' ^)'" '^^-v ^^^уУ • (■''■^)

5. Lp-норми для интегралов по объему
163
Отметим, что Ар является пространством Банаха (с
комплексными коэ(})фициеитами). Следует подчеркнутр>, чго Л^^ —
полное пространство таких функций от 2к дейс'1иительных
переменных (без ограничения требованием аналитичности).
Далее рассмотрим подмножество Lp пространства Л^,
образованное принадлежащим к Лр аналитическими функциями
ф(х, ^)^=/(z). Если область D слишком велика (например,
если она совпадает со всем пространством Eoj^, то
подмножество Z.p может оказаться пустым (содержащим только элемент
/-г£- 0); последнее вытекает из формулы (60), которую мы
получим несколько позже. По той же причине пространство L^
могло бы оказаться конечно-мерным векторным
пространством (впрочем, такой случай не зарегистрирован). С Apyroii
стороны, если область 1) имеег конечный объем, к L^
принадлежат все функции, апалигические и ограниченные в этой
области. Если область D — ограничена, то пространство Lp
содержит все многочлены.
Из неравенства (58) можно сделать далеко идущие
выводы для функций, принадлежащих к пространству Lp.
Заменим там г на r/k и обозначим через ш^ величину
я"* [f^ky^''. Тогда мы легко найдем, что в любой точке
Я(з;), ..., 2,,) 6/J с евк^тдовым расстоянием до границы
области и, болытш чем г,
\f{r)\-^o^^;"\\f\\„. (00)
Таким образом, равномерная ограниченность некоторого
семейства функций {/„(2)} по норме имеет следствием
равномерную ограниченность этого семейства по величине
модуля на каждом компактном множестне 5с D. В
частности, соотион1ение
IA.W --/и(-)1^<''"1|Ля- -/Л
показывает, что из сходимости по норме некоторой
последовательности {/^ (2)}, состоящей из функций,
принадлежащих к Lp, вытекает непрерывная сходимость этой
последовательности в области D. Далее, если последовательность
{fni{z)] сходится по норме в пространстве Lp, то она,
рассматриваемая как последовательность элементов
пространства Л^,, тоже оказывается сходящейся по норме к
некоторому элементу ^{х, у) пространства Л^^. Отсюда следует,

164
Гл. VI. Неравенства, ограничения U нормы.
что всякая подпоследовательность последовательности
{/„(2) } сходится (по величине) почти во всех точках к этой
функции 9 (-^> у)- С другой стороны, последовательность
{fm {^) ] непрерывно сходится в области D, поэтому функция
Ф {х, у) как равномерно достигаемый предел
последовательности аналитических функций сама принадлежит Lp. Итак,
установлено, что Lp — замкнутое линейное подпространство
пространства Л^ и, следовательно, само является
пространством Банаха.
Теперь рассмотрим некоторое замкнутое линейное
подпространство Вр пространства Z.^. Для фиксированной
функции (f^^p мы образуем величину
Х = Х<л
:inf 119"
■g\
Тогда если для некоторой последовательности gn^^p
II9 — й'гаИ—*-^> "^^ э^'З последовательность \gn\ ограничена
по норме; всякая ее подпоследовательность содержит
непрерывно сходящуюся подпоследовательность. Если g^ —
предел такой непрерывно сходящейся подпоследопателг.носч'п
[gn \> ТО на каждом компактном множестве AiD
С I Ф - ^о|" dvjvy =sc lim Г 19 — g-„ I ^ dv^dVy < x".
Отсюда следует, что ||9 — ^^ || =!S; X, и, таким обра;юм, ми
показали, что infimum достигается.
Мы утверждаем:
Если 9 — аналитическая функция, т. е. cp=fiLp, то
существует только один элемент gi Вр, для которого
II/—^||z=niin. Действительно, благодаря известным
свойствам норм, если gi и g^ — две минимизиру1оН1.ие функции, то
в силу неравенства Минковского
gi + g^ --''/-
/-
2
Отсюда вытекает, что у нас
gi + g^
/-
2
/-
"Si
+ i
+ i
/'
f-
■gi
Ч'
Как хорошо известно, неравенство Минковского становится
равенством только в том случае, если 1ючги во всех точках

л. Lj,-HopMU для интегралов по обьему 165
области D отношение функций (/—g^) и (/—g,^
оказывается постоянным. В этом случае или /—^2 = 0, откуда
следует, что Х = 0 и g^=f=g^, или /—g^^O. Тогда
{f—gi) = c{f—gi)- Но так как \\f—gi\\ = \\f—gi\\, то
с=1, и снова оказывается, что g^ = g^. Таким образом,
убеждаемся, что минимизирующая функция g является
единственной.
Теперь возьмем какую-нибудь точку области D за начало
координат и разложим в ее окрестности все функции,
принадлежащие к Lp, в степенные ряды. Рассмотрим некоторую
совокупность С одночленов {г"1... 2^fc} и линейное
подпространство В пространства Lp, состоящее из функций L^
с разложениями, содержащими только одночлены из
совокупности С. Такое подпространство Вр является замкнутым,
так как сходимость по норме влечет за собой непрерывную
сходимость.
Теперь рассмотрим семейство F функций fi L^, разла-
гаюп1ихся в ряды вида
/(г) = Р (г) -}- (добавочные члены).
Здесь P{z) — фиксированный многочлен, состоящий из
одночленов, не принадлежащих к совокупности С, тогда как
добавочные одночлены принадлежат к совокупности С.
Изменяя эти добавочные члены, мы сможем добавлять к P{z)
любые элементы подпространства В^. Из предыдущих
результатов непосредственно видно, что всегда существует
один и только один элемент /(2) 6 F, для которого
ll/ii = mfn 11/11.
Этот элемент /6 F мы будем далее называть минимальным
элементом семейства F.
Таким образом, мы, в частности, показали, что
существуют минимальные элементы вида
Уц(г)=1 -|~- (члены высших порядков), (61)
fjlz) = Zj-\' (члены высших порядков), у = 1, ... А
(если только существуют элементы Z.^„ имеющие разложения
вида (61) в окрестности начала координат). Как было
указано Бергманом (для р--^2), эти минимальные функции
/о< Л) • • •< А обладают весьма изящным свойством инвариант-

165 Гл. VI. Неравенства, огрантетш а нормы.
ности. Рассмотрим одио-олпозпачное аналитическое
отображение
2^ =2у (Z[, ..., Zfc)=r2}-]- (члены Н1,1сн1их порядков) (62)
области Л на область D' с отличным от нуля якобианом
^^-""^(г; 4)"
Для /) ф 2 мы дополнительно предположим, что [I(z')]"'"-
аналитическая функция в области D'. В силу теоремы 8 гл. II
J I /(Z) \"dv_,dvy = J I / (^- (г')) / (^Т^" Г'/г.,, dvy.. (63)
D D'
Нетрудно видеть, что сопоставление
fiz)^^fiz(z'))I(z')yp (64)
является одио-ол11о;!начпь1м соответствием между
элементами Lp (z) и Lp {z').
Так как в окрестности начала
/ (г')2''Р:=: 1-j- (члены высших порядков),
то
ff (z (г)) -/f (г-) / {z'r", j = 0, h ...,k. (65)
Здесь ffiz) и ff {z'),j = 0, I, ... ,/г, — минимальные
функции (61) соответственно для областей D и D'.
Поэтому, по крайней мере, в окрестности начала
координат,
/?(^(^'))-/Г(^')' ^ • ^ ^
и, таким образом, эти отношения суть абсолютные
инварианты. Мы опустим стоящий сверху значок „D" и
обозначим эти функции через Wj (z), ]=l, ... , k. Отметим, что,
как это следует из соотношений (61), функции Wj^z)
представляются в окрестности начала координат рядами
Я'у (z) =гу-[-(чле1н.1 высптх порядков),/= 1, ..., k.
Теперь предположим, что для наитей области D
wj(z)~zj. (67)

5, Ljj-норлш для интегралов по объему 167
Применим к этим функциям преобразование (62),
отображающее область D на область D'. В силу свойства
инвариантности (66) окажется, что
'w']{z')^:zzj{z[, ..., z'u)^z'j-\ (члены высншх порядков).
Таким образом, w'j{z') имеют снениалыплй вид (67) в том
и только в том случае, если отображенле (62) сводится
к тождественному преобразованию Zj=^z'j. Иными словами,
функции Wj {z) могут иметь специальный вид (67) не больше,
чем для одной области D. Этот специальный вид (67)
функций Wj (г), таким образом, отличает эту область D от всех
остальных областей D', эквивалентных ей в вышеуказанном
смысле. Такую область D Бергман назвал репрезентативной.
Резюмируем часть полученных результатов. Пусть D —
область Еч!.. Для некоторого фиксированного /> ^ 1 мы
образуем пространство (Банаха) функций, аналитических и
нмекнцих конечные нормь! в области D (т. е, Ц / Ц ,) <^ со),
причем эти нормы находятся по формуле (59). Теперь
примем за начало координат некоторую точку D и рассмотрим
все функции, принадлежащие к Lp (по отношению к области D)
и разлагающиеся в окрестности этого начала в ряд вида
1 -\- (члены высших порядков).
Если такие функции существуют, то среди них имеется
одна, для которой значение Ц / 1]^, оказывается минимальным.
Мы обозначим эту функцию через Д (г,,). Аналогично для
каждого у=1, ... , & в Lp найдется одна и только одна
функция, имеющая в окрестности начала координат
разложение
Zj-\-
(члены высших порядков)
и сравнительно с другими функциями такого вида
наименьшее значение Ц/Цр. (При этом предполагается, что в Lp
имеется, по крайней мере, одна такая функция.) Мы
обозначим ее через /у (г). С помощью этих k-\-l функции
построим k функций
Эти функции являются абсолютными инвариантами:
Именно, если (62) — одно-однозначное аналитическое
отображение области D на область D' с отличным от нуля

168 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
якобианом I{z') в D' (причем [К^г')]^^? — аналитическая
функция в области D), то
wf(г(г')) = wf (г'), j=\, ...,k.
Все области D', которые являются образами области D
при таких отображениях, называются эквивалентными. Среди
всех эквивалентных областей может существовать не больше
одной, для которой функции Wj {z) имеют специальный
вид (67). В последнем случае эта область называется
„репрезентативной" областью Бергмана.
Бергман также установил, что все ограниченные,
круговые области являются репрезентативными *). В этом
случае не только
Wj(^Z)^Zj, но /„(г)— 1 и fj(z)~Zj.
Действительно, пусть
/о (^) = 1 + ^1 (^) -1- Л, (Z) 4- -. - , (68)
где Aniz) — многочлен л-й степени. Тогда
/о (Z, е'^ .... z,ei^) = 1 + ^'М, (Z) + е^'М, (г) + ... (69)
Элемент объема dv^dvy инвариантен относительно
подстановки z'j = Zje'''. Поэтому нормы функций (68) и (69) равны,
и обе функции должны быть минимальными. Отсюда
следует, что эти функции (так как их разложения начинаются
с одной и той же постоянной) совпадают между собой.
Но из равенства
(еП'Э—])Л„(г)=0 при 0^{}<2тс
следует, что Л„(г)^0. Этим наше утверждение
относительно функции /(, (z) доказано.
В случае функции
fj (Z) = Zj-{^A, (z) + Лз (г) + ... (70)
*) Этот результат п действительности получен Велко (см.
работу, указанную в списке литературы к этой главе за № 12).
Бергман получил аналогичный результат для двоякокруговых областей
(см. работу, указанную в списке литературы за № 2). (Прим. перев.)

6. Сигтеми ортогональных функции Ifi!)
мы составим выражение
со
е-% (г,е'\ .... z,c'^) ^ Zj -|- ^ ^'"'^«+. (^) (?^)
/J = I
и снова покажем, что функции (70) и (71) тождественно
равны друг другу. Этим будет доказано нагие утверждение
относительно функций /у (г).
§ 6. Системы ортогональных функций
Случай р = 2 имеет некоторые особенности, так как Z.^
и В^ являются пространствами Гильберта. В пространстве Z.^
(и В,^ существует полная система ортогональных функций
{фц, ф„ ...} (она может быть и конечной), для которых
J Г 1 при а = р,
^«V^-^lo при а^р. (^2)
Каждый элемент / С /,2 может быть едпистиенным образом
представлен рядом
со
/^ ^ "Jn> ««= ^f9n(lv. (73)
;j = 0
Здесь знак г^ означает сходимость по норме. При этом
для коэффициентов а^ имеет место равенство
со
2l«"l' = J/7'^^<oo. (74)
Обратно, каждая система чисел {а„}, для которой ряд ^]|а„р
сходится, оказывается системой коэффициентов некоторой
функции /( Z-s). Так как сходимость по норме влечет за собой
непрерывную сходимость, то ряд (73) непрерывно сходится
в области D. Подробнее:
В силу (60)
N N
2 ^п9п (^) ' ^ '"^ 2 ' *" '' "Р" ^ ^ ^'■
п=0
п=0

170 Гл. VI. Иерпвснствп, ограничения и нормы
Здесь £)'"■—открытое мпожестпо, образуемое точками D,
отстоящими от границы D больше чем па г. Полагая
"^"^'^ п = 0, 1. ....Л/
" [19о(г)|=+ ...+19;^(2)P1'/'''
(для некоторого фиксиропаиного z <^ Г/) и беря N-^oo,
пайдем, что при z (^ D''
со
2 1Ф«(2)Г^«^'^- (75)
Теперь, примс11яя неравенство Гельдера *), получим для
ряда (73) соотношение
(I 0 0
Отсюда непосредственно следует непрерывная сходимость
ряда (73) в области D.
Теперь мы введем „ядро"
Здесь (z) и (С) — две точки области D. Ядро является
аналитической функцией (2) и (С); из соотношения (75)
следует, что
K(z, z)^wl, ziD'. (77)
Ядро (76) и, в частности, функция K{z, Ъ) не зависят от
специального выбора (полной) ортогональной системы
функций. Это с легкостью вытекает из свойств гильбертова
пространства.
Благодаря этому естественно возникает намерение
придать функции (76) какой-то геометрический смысл.
Наиболее простая геометрическая интерпретация функции нары
*) Применяемое далее неравенство впервые получено В. Я. Бу-
чяковским. (Прим. перев.)

6. Системы орто.'опальных функций 171
Точек — это объявление ее видом „расстояния" между
указанными точками. Нечто подобное и делается для ядра.
Оказывается неудобным принять \K(z, С) | за расстояние
между точками 2г и С. Однако функция K(z, z) порождает
дифференциальную форму, на которой может быть основано
измерение длин по правилам некоторой римановой геометрии.
Действительно, образуем с помощью величин
дифференциальную форму
к
а, f)=I
Легко видеть, что эта форма неотрицательна *) и inma-
риантпа (это особенно важно) по огноитиию к иреобря;юиа-
ниям (62). Последнее вытекает из того, что при
преобразовании (62) функция К {г, 2) умножается на/(2)/(гг); этот
множитель не влияет на значения величин g^^, так как они
образуются с помощью lnK(z, i), а не самой функции/С (2r,z).
Кроме того, отметим, что функция
со
Л'(.-, г)= ^ l9„WP (79)
« =0
не имеет локальных максимумов во внутренних точках
области D. (Это утверждение может быть доказано на
основе результатов § 2 настоящей главы.) Можно сказать,
что функция К(2, z) достигает своего максимума
(конечного или бесконечного) на границе области.
Для не слишком „патологической" области D мало
вероятно, что ядро К будет в ней ограниченным. Во всяком
случае, ограниченность К (г, z) в большей области D'z^D
неизбежно влечет за собой сходимость всех рядов (73)
в этой большей области. Тогда область D' обязана быть
аналитическим расширением области D по отио(пепик>
*) Доказательство этого утверждения можно найти в книге:
Б. А. Фукс, Теория аналитических функций многих переменных.
Гостехиздат, 1948, стр. 420, (Прим. черев.)

172 Гл. Vf. Неравенства, ограничения и нормы
к классу функций L^ в области D. Таким образом, мы имеем
основание подозревать, что порядок роста функции/С (г^, ^)
при приближении к граничной точке Р соответствует
степени, в которой эта точка оказывается препятствием для
аналитического расширения области. Бергман нашел много
оценок для этого порядка роста (в частности, при
приближении к точкам, составляющим характеристическое
многообразие границы). Мы намерены сейчас показать, что если
область Рейнгардта обладает конечным объемом и содержит
начало координат, то ряд (79) для K{z, z) продолжает
сходиться во всем рейнгардтовом аналитическом рисширении
области D (см. § 8 гл. IV). Действительно, возьмем два
одночлена cf>=^z"^^ ... z^i' и <\i=:z"' ... zp' и образуем их
ннутреапее ироизмедение
(ф, .^i) = J cp'^^dv^dvy = j z'^4"' .., z'^k-^lkdvjvy. (80)
D D
Элемсггг объема dv^dv^ инвариантен по отиогиению к кратно-
круговым преобразованиям z'j^=Zjc'''*j, 0^\>j<^2-k; не
изменяется при них и область D. Отсюда следует, что
значение (ф,'1>) не должно изменяться от умножения на
e'C^i-Vi ... e'C^fc-V'V (81)
Таким образом, оказывается, что, за исключением случая,
когда (/и, — й,)^ -|- ... + {т^ — %)^ = О, всегда (9,4') = 0.
Поэтому после умножения этих одночленов на надлежаш,им
образом подобранные нормирующие множители мы получим
ортонормированную в области D систему функций
9«,...«, = Ц...«/^ ••• ^Ik,
щ, ...,п^ = 0, 1, 2, ... (82)
Обратимся к доказательству полноты этой системы. Для
этой цели мы возьмем некоторую функцию/(^Tj, ... , z^)(L<i
в области D и рассмотрим ее разложение в стененной ряд
в окрестности начала коордиггат. В силу теоремы 3 гл. II
это разложение оказывается действительным н в
рейнгардтовом аналитическом расширении D' области D. Для удоб-

б. Системы ортогональных функций 173
ства дальнейших преобразований мы напишем это
разложение в виде
со
/(^1 ^*)- 2 '"''1 ■■■^k(^'"l • •• н-/'> • • • ^'^)- (^3)
Теперь подсчитаем величину внутреннего произведения
(/. фн, - п^) = J /9ч, - n/v^lvy. (84)
V
Построим область Рейнгардга D", близкую к D, такую,
что D'^czD, и рассмотрим вместо интеграла (84) следующий:
^f9n^...n^dvjvy. (85)
В области Z)" мы можем заменить функцию / ее
разложением (83) в степенной ряд; в этой области {фя^...п }
составляют систему ортогональных, хотя и не нормированных
функций. Таким образом, оказыпается, что интеграл (85)
имеет значение
1 «Л ... я. 1 Ля ... я
(* 2л
I Zi Р"! ... I ^й I "dvjvy. (86)
1 •••"&' "i---"ft
DO
Наконец, полагая D^-^D, найдем, что интеграл (84)
равен |a„^...„J^
Отсюда мы можем сделать два вывода: I) если функция/—
ортогональная ко всем функциям (82), то она тождественно
равна нулю; следовательно, наша система функций — полная;
2) разложение (73), построенное дли системы функций (82),
совпадает с рядом (83).
Как мы заметили выше, разложение (83) сохраняет свою
силу во всем рейнгардтовом аналитическом расширении U'
области D. Поэтому для любых комплексных чисел { а„},
удовлетворяющих условию Sl^«l*"\0^> ряд (73) абсолютно
сходится в области D'. В силу хорошо известного
результата Ландау для некоторой последовательности { &„ }
оказывается 2|^„|^<Ссю, если сходятся все ряды '^ajj^ с
коэффициентами { а„ }, удовлетворяющими условию S ! ^« 1^ ^С °^'
Таким образом, в нашем случае ряд (79) для функций ср
системы (82) сходится в области D'.

174 Гл. VL Неравенства, ограничения и нормы
§ 7. Поверхностные интегралы
Рассмотрим симейспю аналитических функций / (z, 7)-
Здесь параметр -j — произвольный элемент некоторого
пространства Г. Сначала мы применим формулу (57) к каждой
функции f{z, ■(■)• Затем предположим, что в пространстве Г
существует мера df, и проинтегрируем обе части
неравенства (57), построенного для функций f(z, 7) но отношению
к этой мере. Мы найдем, что
Jl/(0, l)\"dV'^{^lf ^dT^\/(?jc'^j, T)|Vv
1' г
В последующих приложениях окапывается возможным (это
мы предосгаилясм читателю проверить самостоя1ельно)
изменить порядок И1пегрировапия в правой часчи носледне10
неравенства. Поэтому, полагая
4^)-(Jl/(^. Т)!''й!тУ"'. (87)
мы нрцдем к соотношению
о о
Таким образом, мы получаем возможность повторить
большое число выводов § 2 для функций X (z) более общего
типа. Мы подчеркиваем, что функции X (z) — более общей
природы, чем функции \f{z)\: случай X (z) = |/(г) |
соответствует специальному выбору семейства f(z, 7)- Здесь
функции f(z, •() определяются для прострапсгва Г, состоя1цего
из одноГг точки 7. '^ мера этой точки считается равной
единице.
Аналогично п „дискретном" случае
Х(.)=:(21Ф„(.)Г)"".
Я
Мы приходим к этому выводу, предполагая, что
пространство 1' состоит из точек {^ } = {«}, и считая, что мера,
соответствующая каждо!! пз этих точек, есть единица.

7. Поверхностные интегралы 175
Заметим еще, что если функция X (z) определена н имеет
непрерывные граничшле с!наче11ия па границе И
ограниченной обласги J), то I! полном соогветстини с перавеисгпом (25)
l{z)^su[)l{Q при zCD. (89)
Мы можем показать, применяя прием Фрагмена—Линделефа
к функциям f{z, '() (т. е. умножая /(z, 7) на ехр[е(2-^-|-
-|- ... -|-2|)] и т. д.), что оценка (89) сохраняет свою силу,
если область D оказ1.1нается цилиндром 7'д , а X (z)
определена U 7'д, и имеет там непрерывньге грапичньге значения.
Таким же приемом (умножая теперь \(z) па exp(ajZ,-|-
-[-... 1 a,,z^,) и т. д.) можно установить, чч'о при тех же
предположениях
liiAI(jc)=^ sup 1пХ(лгу I iVj)
является выпуклой функцией (х) в основании Д нашего
цилиндра. В частности (как в этом читатель может
удостовериться сам), наш результат действителен для цилиндра Гд
и функции
•2.1: Ъ,
X (z) --=: f j ... J \fizj -\ /T/) I'W-,'. • ■ ■ <h,j'", /^ - 1. C-'O)
0 0
Здесь /{Zj) /{zi, ... , Zii) — 01'рапичепная и апалигическая
функция в области Гд. Предположим, сверх того, чт-о фуш<-
ция f{Zj) имеет периоды 2ш по каждому переменному Zj.
В этом случае функция X (z) зависит только от (х), и мы
находим (это составляет обобщение теоремы Гарди), что
для всякой аналитической функции ,i^ (да,, ... , W/^) в области
Рейнгардта логарифм выражения
2ic '2;t
J ... jj\gir, A, ..., г,е'»")1'да, ... d^Y"
0 0
является выпуклой функцией переменных In г,, ... , In Г/,.
Теперь возьмем произвольное множество Г в
пространстве действительных неременных 7|. •.. , Yft и заменим
функцию (90) функцией более общего вида:
Хг (2) = (J \f(Zj ■ I- /Ту) \'d^ ■ ■ ■ d-i^''". (91)

176 Гл. У/. Неравенства, ограничения а нормы
Пусть наша функция f{z) ограничена в 7д, Л —некоторое
множество, лежащее в Д вместе со своей выпуклой
оболочкой Н. Тогда для случая ограниченного множества Г
Хг (2) ^ sup ;,г (С),
где Z i Тц, С С Гд. Если мы будем увеличивать миожесгио Г,
то то же самое будет происходить и с функцией Хг(С).
В случае, когда Г совпадает со всем пространством
переменных 7i, •.. , "ik, функция Хг(г) зависит только от пере
менных (дг), именно
-(J... ^\f{.Xj^-nj)\4^,...d^uY"' (92)
UJ CI)
Для этой функции мы получим, принимая, что множество Г
при своем расширении последовательно захватывает кубы С„
(предполагается, что последопательность Э1'их кубов при
л -)- со исчерпынает все пространство):
Slip Xj, {х) s^ sup Х^, ($). (93)
(В действительности, так как AczH и (93), имеет место
знак равенства.) Следовательно, X., (л:) является выпуклой
функцией всех переменных (л:).
При получении этого результата мы пользовались
ограниченностью функции f{z). Это условие для f{z) может
казаться каким-то дополнительным требованием; однако
легко видеть, что оно следует из предположения об
ограниченности функции Х(2г). Действительно, так как Д —
ограниченная область и \р{х)^М при х i L, то
со
J 1/(2) Ydvjv^ ^ J dv, J \fiz) \4vy ^ (объем Д) • M>'.
Используй ЭГОГ ре;!ультат, мы легко найдем из нерапен-
ства (60), что модуль/(2г) ограничен во всяком цилиндре Та,
где А — некоторое компактное подмножество Д.
Остальную часть настоящего параграфа мы посвятим
выводу ограничения для л^,(^) при более слабых (чем выше)

7. Поверхностные интегралы 177
предположениях. Мы разделим наше исследование на два
этапа: первый из них будет посвящен функции f{z), а
другой ХДг).
Лемма 4. Пусть f(z)=:f(2i, ...,z^) — некоторая
целая функции. Если для всех {z)
|/(^)|^AfHil^i' + -+^fe'-"fe'/il^i' l-- + ^ft'^fc' (94)
к
МНУи ■■■ . 1Ук) I =^ 1 при — со<з;^.<оо, (95)
то
\f{z)\^e^^^'^^+-+^u^-'kK (96)
Доказательство. Проверим соотионгение (96) для
^1:2.0, .... Xk'^0, (97)
после этого его справедливость для других комбипациГ!
знаков переменных Xj будет пепосредсгвепно видна.
Рассмотрим функцию
g.{z)=f{z)e'^^'^ ■•■-Vft/(^i + -.. f-4). (98)
Здесь 0<^е<^1. Из неравенства (94) найдем, что
lnks(^)l^ln^f + s(.rM- ... +д;|) +
k
Из соотношения (95) будет вытекать, что
inl^eCWI^o- (^9)
применим теперь результат, полученный в § 2 относительно
выпуклости функции на любом отрезке, к функции
Ж,(л:)=1п[ sup к,(2г)1].
рассматриваемой в октанте шара
k
0^ Vjc]#s/^^ xi'^0,
7=1
12 С. Бохнер

178 Гл. VI. Нераве.нства, ограничения и нормы
Замечая, что максимум В\у\ — £_у^ равен B^'/is, получим
Здесь r'^ = xl-\- ... -{-xl. Выбирая тут /^=l/s, имеем
МЛ-v)-s? ег 111 М \-г 1 -ЦЛ;. (100)
Полагая е—>-0 и формуле (98) и неравеистпе (100),
установим, чго функция
^iz)~af{z)C-^'^ -■■■ -ЬЛ
ограничена и части прос гранства, определенной условиями (97).
Затем обратимся к неравенству (96). Умножим g{z) на
ехр [—S (^Tj-J- ... -1^2^/,)], используем своГгство выпуклости
и затем перейдем к пределу при s-vO. Тогда мы найдем,
что 1^(2^)1 достигает своего максимума при л:, = ... =
= д:/^::^0, и поэтому \g(iyj)\<C^L Отсюда следует нера-
венс'1во (96).
Теорема 4. Если /{.г) — целая функция, убовлетво-
ряющая (блн всех z) условию (94), то функция
со CJO
X(x)^(J ... jl \nxj-\-iyj)\Pdv,y" (101)
удовлетворяет условию
X(;c)^X(0)e'^il-^i'+---^'^ft'-^A'. (102)
Если Г — ограниченная область пространства неременных
7i, ... Yfe и/(2)—-функция, удовлетворяющая условию (94),
то (как в этом читатель может убедиться самостоятельно)
функция Xi'(2r) (91) тоже будет удовлетворять условию (94),
только с другой постоянной М (эта постоянная будет
зависеть от области Г). Повторяя рассуждения, проведенные
для доказательства леммы 4, придем к неравенству
Хг (г) «S Хг (0) e■'^^' ■"'' + -• 1 -^ft ■ -"ft'. (103)

8. Крйтные интегралы Фурье 1?9
Наконец, предполагая, что область Г возрастает до всего
просгранстиа {■co<!^^j<^c-o, J-=-l, ..., k] сначала для
правой, а затем для левой части неравенства (lOli), мы
придем к соотношению (102).
§ 8. Кратные интегралы Фурье
При изложении настоян;его параграфа мы предполагаем,
что читатель знаком с преобразованием Фурье и свойством
его обран1епия дли произвольных Lj,-HopM, в частности в
случае р^^'2 (Иланмлерель).
Теорема 5. Если функция f^{y)—f(^z) аналитична
в цилинОрс Т\ и (поверхностная) Ь^,-норма
^\fAy)\''dv
У/
ограничена для каждого компактного мноэюества Лс~Д,
то:
I) При 1 -=£:/?-< 2
^(•in ••• ]'ИЛ, .•.,^.)^-'' + -+'V*rfx.„ (104)
- - ею — ^.о
где
t^> оо
ir^ J J/(^b ••• , ^*)е-'А ^k'udv^. (105)
— - аз — ио
2) Если — 1-—=-^1, то
Р ^ Я
( J 19 (О е'Л + - - '^-''^{'Ш.у' ^ (J |Л (У) {"dv^ У". (106)
3) При p = q^2 последнее неравенство превращается
в равенство
J|=P(Oe'^ + -+Vft|Vt>, = J|A-0')l'fl^^. (107)

180 Гл. VI. Неравенствл, ограничения а нормы.
Значение взаимно обратных соотношений (104) и (105)
состоит в следующем: для всех значений переменных (jc)
существует (измеримая) функция — изображение
"^(•^' t)-[т^'"lh(У)e~^'^^'^ + •■•'-'^'^^'dv^^ (108)
Для этой функции мы имеем формулу обращения
/Л>')-(^)''7'^(-^' t)e^^='^^^+^^■+Уk*uUv, (109)
и неравенство
(J I <Ь {X, t) ^^dv,!'" as (J IД {у) \4vy ). (110)
Наша теорема устанавливает cyiuecTnoBaiiHC такой
функции ср {f), что для всех (дг) С Д
(^{х, t)e~''^*^ Vft:::cp(^). (Щ)
В § 4 функция f{z) предполагалась ограниченно!! в
цилиндре T^v, где множество N являлось окрестностью
множества А. Первоначально мы наложим ограничение на рост
функции f{z) и предположим, что
|/(г)|^Л1е~'<^1 + -+^ь'- (112)
В этом случае интеграл, стоящий в правой части
выражения (105), будет абсолютно сходиться н явится пределом
прп а-уоо величины
ср„(д:, 0==
= [тГ1-- и^'^ г.)е-<'Л+-+^^,^. (ИЗ)
— а —а
Для установления равенства (111) достаточно показать, что
для всех а=1, ... , к ^—-*-0 при а-*-сю равномерно
в области N. Так же как в случае функции (53),
производная от выражения, стоящего под знаком интеграла (113),
по Хд, в существенном не отличается от производной по у^.
Дифференцируя выражение (ИЗ) по дГд под знаком
интеграла и пользз'ясь указанным обстоятельством, мы получим

8. Кратные интегралы Фурье 181
(действуя так же, как в случае функции (53)) после
подстановки пределов под знаком (А—1)-кратного интеграла
два выражения, стремящихся равномерно к нулю, когда а -*- оо.
Наконец, для того чтобы освободиться от
ограничения (112), мы образуем для данной функции /(г) следующую:
Эта фупкци» удовлетворяет в Т^ условию (112). Поэтому
для ее изображения, функции ^^{х, t), будет справедливо
равенство
<^^ (х, t) (Г <-"i'i -I" - + "ktk) = ф^ (^).
Благодаря перавспству (110) и так как f^{x, у) сходится
в смысле Lp-нормы к f(x, у), функция 'Ь^(х, t) сходится в
смысле L^-нормы к функции <^{х, f). Отсюда вытекает,
что на всяком конечном множестве функции cpg(^) сходятся
в среднем к функции ср(^). Таким образом, мы приходим
к равенству (111).
Пусть ср(^) — снова измеримая функция. Мы рассмотрим
множество (д:)-точек //^ (для какого-то q-s-A; заметим, что
в теореме 5 д^2), на котором функция
V.,(.r) = (J'|9(0eV.+ -+V*|.^„^)'/'
ограничена. Если (х') и (х") — две произвольные точки Я^,
а Xj = Ox'j '1(1 — 0) x'j (где О ^ О sg 1) — координаты точек
соединяющего их отрезка, то в силу неравенства Гельдера
}^,W=s;(v-,M)4^(-^"))'-'.
Отсюда следует, что 1п]х^(д:) — выпуклая функция, Нд —
выпуклое множество. Мы предположим, что множество Нд
имеет внутренние точки; обозначим совокупность последних
через Нд. Тогда функция ^д(х) будет ограниченной на
любом компактном множестве, входящем в состав Щ.
Возьмем некоторую точку Нд, примем ее за начало координат.
В силу сказанного должны существовать такие
положительные числа 8 и Л1, что при |j;j^|<^8
J I 9 (О 1'е' ^''^'^ + - + *ft'ftVl), ^ М.

182 Гл. VI. Неравенства, ояраниченпя и нормы
Полагая д:, = ±й, складыная пес 2* получающихся :!дссь
нсрапепств (отвечающих 2'' различным комбинациям зиакоп)
и затем отбрасывая слева излишние члены, мы найдем, что
Г
I 9 (t) fe''''^ I 'i 1 + ••• + 1«,; [) ^^^ ^ 2''M,
a после применения перавспстпа Гельдсра получим
Таким образом, установлено, что начало координат
принадлежит к множостиу точек //" (для q^ \).
Несколько дополняя эти рассуждения, мы еще установим:
Замечание 1. Открытое множество Щ, на
котором функция <^q (л') конечна, возрастает при
уменьшении q.
Замечание 2. Несобственный интеграл
Jcp(/)e
^>'i b--l-V*rfx,,
непрерывно схоОится и определяет аналитическую
функцию перелсенных (z) в цилиндре То.
В частности, отсюда мы получаем
Дополнение к теореме 5, Интеграл (104)
абсолютно и непрерывно сходится. Поэтому в
соответствии с (104) знак -^ может быть заменен знаком
обычного равенства.
Заметим, что при /?^1 нельзя, делая предположения
о характере аналитичности функции f{z) (как и начале
теоремы 5), обеспечить превращение соответствия (105)
в обычное равенство, аналогично случаю р=^\.
В качестве дополнения к замечанию 1 отметим, что из
неравенств | \f{y)ydVy^ М и !/Cy)|sgyV всегда следует
неравенство 1 \f{y)\^dVyS^lSP'''M. Поэтому, пока точки (д:)
не приближаются к границе, в теореме 5 не происходит
большой потери общности от предположения, что /? = 2. Сверх
того, заметим, что соотношение (107) имеет место и при
р^2.

9. Функции с интегрируемым квадратом- 183
§ 9. Функции с интегрируемым квадратом
В случае, когда p = q=:2, положение вещей чрезин-
чайно упрощается. Тогда функция /х{У)=/{^) оказывается
аналитической функцией и цилиндре Гд, а квадрат ее HopMi.i
X(x)^ = J ... ^\fAy)\''dVy (114)
— ограниченным на каждом компактном множестве,
содержащемся в Д в том и только в том случае, если существует
такая измеримая функция Ф (t) (квадрат nopMi.i которой
}. (xf = Г ... Г1 Ф (/) I'^e^*"^'*' ^ •••"'"''k'k^dvi (115)
долже?! Г)1.1ть огра?1ичеп?11.1м), что
f(z) = (i.y Г ... Г Ф (О /''' ' • • • ^''"'^rfi)^. (116)
Очепидно, здесь л (х) ^ л (х).
Ми предположим, что область Д содержит некоторое
множество лучей Хг, ^^ рс^ ('^ <С Р <С '^^)> где
^М- ...М-^1-1, (117)
а к границе Д при?1адлежит начало координат (од?1ако норма,
определенная равенством (115), конечна). Пусть, далее,
точкам (с) сферы (117) соответствуют такие действительные
числа й-(с), что функция Ф (t) оказывается равной нулю
(почти всюду) вне полупространств И(с)
t^4 h ... +^Л=е£/г($).
В этом случае при Ха^^\^ (0<СР<С'^^)
п &
и поэтому
— In), (piJ
p -♦ oo P
с другой стороны, если функция Ф (/) отлична от нуля на
множестве Г положительной меры, расположенном в
полупространстве ^1^1-|- ... +^fc^ft^s(S). то
\{x-f-5^e'^'^^>'\\^{t)'fdvt.

184 Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
Итак, мы видим: если h(l)—наименьшее действительное
число из тех, для которых Ф (t) обращается в нуль вне
полупространства И{^), то существует
lini -""■'= ft (^). (118)
р -♦ со г
Он может раппяться —оо только, если /(z)b=0, и -f-cx)
только, если не существует полупространства /У(^). Отсюда
на основании теоремы 4 получается
Теорема 6. Если f (z^, ..., z^,) — целая функция
|/(г)|<Жб'^*'"'И-••• + """ (1Ш)
и функция f (}У\, ••-, /J'ft) обладает в пространстве
— со<^_Уу <^оо, у= 1, ..., k, интегрируемым квадратом,
то
оэ со
/(-^) = (^П' J'K0c-''' + --^'""^4.
— UJ - - а-)
Здесь функция ']> (t) в свою очередь обладает
интегрируемым квадратом. Наименьшая выпуклая область
пространства переменных (t), вне которой ^ (t) равна нулю,
является общей частью всех полупространств t^^^ -|-
-|- ... -\-t,i%k^h{'i). Здесь величины /г(^) определены
равенством (118). Стоящий там предел всегда существует
(хотя может иметь и бесконечное значение).
Интересен случай, когда Д — выпуклый конус с
вершиной в начале координат, и функция X (х) ограничена п Д.
Тогда h (^) =s: О, и поэтому функция Ф (f) равна нулю пне
конуса, взаимного с Д (этот взаимный конус вырезается из
пространства плоскостями, проходящими через начало и
перпендикулярными к образующим конуса Д). Например,
если Д — октант
[х,>0, а=1, ..., k], (120)
то взаимный конус оказывается октантом
[^,<0, о=1, .... k\.

Литература 185
Легко видеть, что функция f(z) апалитичпп и интеграл
Jl/.Wh
ограничен и октанте (1^0) в том и только в том случае,
если во взаимном октанте cyniecTnyeT такая функция Ф (t),
что
о о
J ... J \<J>(i)\4ivt<co
СО о.)
и
л и Т 1- Р А Т УРА
1. S. Bergmann, Zwei Siitze aus dcr Idcciikrcis ScliwarzbT.hcn
Lemmas iibcr die Funktionen von zwei komplcxcn Verandcrlichen {Math.
Ann., T. 109 (1934), стр. 324—348).
2. S. Bergniann, Cber die Existcnz von Rcprasentantcnbe-
reichen (Math. Ann., т. 102 (1929), стр. 430—446).
3. S. В e г g m a n n, Sur les fonctions orthogonales de plusicurs
variables complexes avec applications a la theorie des fonctions ana-
lytiques (Interscience Publischers, Нью-Йорк (1941)).
4. S. В о с h П e r. Bounded analytic functions in several variables
and multiple Laplace integrals {Amer. Journ. of Math, т. 59 (1937),
стр. 732—738).
■ 5. S. В о cli П e r. Functions of integrable square in several
complex variables (Duke Math. Journ., т. 4 (1938), стр. 635—639).
6. S. В о с h П e r. Group invariance of Cauchy's formula in
several variables {Annals of Math., т. 45 (1944), стр. 686-706).
7. W. Т. Martin, Analytic functions and multiple Fourier
integrals (Amer. Journ. of Math., т. 62 (1940), стр. 673—679).
8. М. P 1 a n с h e г e 1, Note sur les transformations liueaires et les
transformations de Fourier des fonctions de plusieurs variables
{Comment. Math. Helv., т. 9 (1936—1937), стр. 249—262).
9. М. Plancherel e t Q. P о 1 у a, Fonctions entieres et integ-
rales de Fourier multiples (Comment. Math. Helv., т. 9 (1936-1937),
стр. 224—248; т. 10 (1937-1938), стр. 110—163).
10. Н. Р о i п с а г е, Sur les residus des integrales doubles (Acta
Math., T. 9 (1887), стр. 321—380).
11. A. Weil, L'integrale de Cauchy et les fonctions de plusieurs
variables (Math. Ann..j. Ill (1935), стр. 178—182).
12. H. We Ike, Cber die analytischen Abbildungen von Kreis-
kOrpern und Hartogsschen Bereichen (Math. Ann., т. 103 (1930),
стр. 437—449).

)8() Гл. VI. Неравенства, ограничения и нормы
Метрика типа Ксргмана (см. § 5) может 6ы1ь пнсдена исходя
из различгтых точек зрения. Существуют способы ее построения:
1) л.тя определенных типов областей пространства переменных
2], ... 2/j или 2) для определенных типов комплексного
аналитического пространства, рассматриваемого в целом, в частности для
замкнутых (компактных) пространств при наличии у них некоторых
CBoficTH. В связи с этим см.
13. Н. С, art an, Sur les domaines bornes homoj,'enes dc I'espace
de n variables complexes {Abh. Hamburg. Univ. Math. Sem., т. 11 (1936),
стр. 106—l'i2).
14. G. I,. Sicgcl, Symplectic geometry {Amer. Journ. of Math.,
T. 45 (1943), стр. 1—86).
15. L. K. H u a. On the theory of aiitoniorphic fonctions of a
inalrix variable. I Cieometrical basis. II. The chissifiralion of hypercircles
under lUe symplectic gronp {Amer. Journ. of Math., т. 66 (1У44),
I, стр. 470—488, II, стр. 531—563).
16. L К. Н u a, On the theory of Fuchsian functions of several
variables {Annals, of Math., т. 47 (1946), стр. 167—191).
17. S. Bochner, Curvature in Hermitian metric {Bui. Amer.
Math. Soe., т. 53 (1947), стр. 179-195).
18. S. Bochner and П. Montgomery, Qronps on
analytic manifolds {Annals, of Math., т. 48 (1947), стр. 659—669).
В конце работы № 13 дано приложение метрики Бергмана к так
называемым однородным областям; в № 13—17 рассматриваются
способы построения и снойстпа ряда „гиперболических" геометрий
п областях определения автоморфпых функций. В № 17, кроме того,
изучается эллиптическая геометрия п замкнутом комплексном
многомерном проективном пространстве. В № 18 сравниваются
гиперболические геометрии, определяемые в ограниченных открытых
областях, и эллиптические геометрии, реализуемые на некоторых
типах замкнутых областей. Мы еще обратим внимание читателя на
книгу
19. W. F. D. Hodge, Theory and applications of harmonic
integrals (Кембридж, 1941).
В гл. IV этой Книги вводится метрика на алгебраических
многообразиях. Затем автор рассматривает в свете этой метрики многие
известные свойства алгебраических многообразий. Пристальный
анализ предмета показывает, что многие выводы Ходжа основаны
только на свойствах метрики, устанавливаемой в компактном
комплексном Пространстве, и не связаны с алгебраическим характером
рассматриваемых многообразий.
Другой подход к построению метрики в области пространстпа
комплексных переменных можно найти в работе
20. С. Caratheodory, Ober die Abbildungen die durch Systeme
von analytfschen Funktlonen von mehrerer Veranderlichen erzeugt
werden {Math. Zelts., т. 34, стр. 758—792).
Однако метрика Каратеодори имеет некоторые особенности,
затрудняющие ее использование; нам кажется, что ока является
менее обещающей для дальнейшего развития теории.
В снязи с вопросами, затронутыми н § 8, заметим, что в снм-
плектической геометрии Знгеля (см. № 14) рассматривается играю-

Литература 187
1ЦИЙ там важную pojF, пзаимиыГ! с самим собой „октант" (отлнчиьп'!
от нстречающихся в нашем тексте). Детали можно найти н
работе № 6. По 1Ю110ДУ анализа Фург>е см. еще работы
21. S. В о с h п е г, Boundary values of analytic functions in
several variables and of almost periodic functions {Annals, of Math.,
T. 45 (1944), стр. 708—722).
22. S. R e r g ni a n n et J. M a r с i a к i e w i с z, Sur les fonctions
analytiqnes de deux variables complexes (Fundamenta Matem., т. 33
(1939), стр. 75~~94).

Глав а VII
ТЕОРИЯ ГАРТОГСА.
СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Теорема Гарнака
Кроме фундаментального нерапенства Иепсена — Гарнака,
Гартогс еще использует в споей теории теорему Гарнака.
Последняя устаиапливает, что монотонно убыпаюн;ая
последовательность (действительных) гармонических функций
(ограниченных в споей совокупности сверху) или равномерно
сходится к гармонической функции, или „раиномерно"
расходится к —оо. Гартогс заметил, что эта теорема
справедлива для более широкого (чем гармонические) класса
„субгармонических функций", и это случайно послужило
началом изучения этих функций.
Мы будем далее пользоваться понятием обобщенного
интеграла Лебега (см. § 1 гл. VI) и рассматривать
(принимающие действительные значения) функции переменного %.
Здесь Ь — точка некоторого пространства Г, для которого
определена мера Лебега. При этом предполагается, что
мера, отвечающая всему пространству, конечна. Мы будем
для обозначения того, что интегрирование происходит
относительно данной меры, ставить под знаком интеграла
символ d%. Наконец, мы будем обозначать символом L^ класс
функций {гг(й)Ь определенных и измеримых во всех
точках Т и удовлетворяющих там условию
— схэ ^ н (») ££ с. (1)
Здесь с — некоторое конечное действительное число.
Лемма 1. Если функции последовательностп {и (Щ
принадлежат к некоторому классу L^, то
iim [un{b)db^ Г lim й„(»)cf». (2)

1. Теорема Гарнака 189
В частности, если и^у/ U'^c*), то
lim Г гг„ (») ^Э йс Г гг (%) d\), (3)
а если с ':^'. гг„ \ и, то
lim Г»„(а)^.'>= Г гг(0)^)>. (4)
п —»■ со J J
Утверждение леммы легко следует из свойств нашего
интеграла. Поэтому мы не будем приводить здесь ее
доказательство.
Рассмотрим теперь, кроме точечного множества Т, еще
некоторое точечное множество D; будем обозначать
буквой Z его произвольную точку. Пусть P{z, Ь) — некоторая
функция, определенная при Ь^Т, ziD и обладаюп1ая
следующими свойствами:
1) для каждого zdD, P(z, %) измерима по >);
2) ^ P(z, ^)d^=l при z^D;
г
3) на множестве D сун1естиуют такие функцш! a(z) и
А (z), что
0<a(z)s=P(z, {))й=;Л(2)<оо (5)
для (z, b)^(D, Т) (в дальнейшем P{z, 8) играет роль
обобщенного ядра Пуассона). Теперь мы можем доказать
следующее предложение:
Теорема 1. (Гарнак). Пусть 9„(U)^ L^{h = \, 2, ...) и
limsup„9„({))cf{)>—оо. (6)
V
Тогда существует такая последовательность чисел
е„\0, что для всякого ядра P{z, Ь), обладающего
свойствами 1), 2) и 3), и функций {'{'„(г)}, подчиненных
условиям
^\п {г) ^^Р {Z, ») 9„ О») ./!>, при « = 1, 2, ..., (7)
*) Здесь символ „/*" обозначает факт приближения к сиосму
пределу монотопио нозрастаюп1,е1"1 вели'Шаи. Апалогичный смысл
имеех символ ,\'', (Прим. перев.)

190 Гл. Vll. Теория Гартогса. Субгармонические функций.
будет
„ (.>) < J' Я {Z, Ь) 1 lim siip,^, {Щ rf» 4- е„А {z) (8)
для всех я = 1, 2, ...
Гит8ир„оэ(Э)(/&~ —оо, (9)
то существуют такая последовательность чисел е„ \^ О и
такой индекс N, что дли функций '^^{г),
удовлетворяющих условию (7), будет
■In (-) -& - ^ " (^) - -1'': чр" П'-- ^-
'/г
ДеИсгвитС'льно, положив
9„(»)= lim 9„(»),
/I -> со
найдем, что
Отсюда
>}« (^) -^ J ^^ (-'. '■>) 9о (») ^/» + А {Z) J (ф), (») ~ 9о (»)) "?»•
/• г
Теперь, используя условие (6) и свойства интеграла Лебега,
мы получим предельное равенство
J(9«(iJ)-'-9„0>))'/)>\
0.
Из него непосредственно вытекает неравенство (8). Если
имеет место равепстпо (&), то
|ф;(!))^/»\-^со,

2. Главная теорема Гартогса 191
И поэтому
+ J Р (Z, 0) (9; (») — с) JO =^ с — а (г) J {с — ср'п (S))) J)l.
Пол\'чение этого неравенства завершает доказательство
леммы.
§ 2. Главная теорема Гартогса
Мы сначала выразим резулыаг иажнеинюго этапа дока-
загельсгва эгой теоремы и следу1ои1,ем пиде:
Лемма 2. 1/успи, I) область пространства
комплексных переменных Zj, ..,, ^,,; {/«^...пД^)} — кратная
последовательность аналитических в этой области
функций; р\ и Рх (О<^/?х<^Рх^ оо, >,= 1, ..., /) — два
множества чисел (мы будем далее называть их „радиусами").
Если относительно степенного ряда
2 /,и...я,(^)-<' ■•• к (10)
Пх "1^0
известно, что он сходится абсолютно и непрерывно
в области
[zkD, \w,\<^p{[ (И)
и абсолютно в области
* [z^D, [к'хКЯх], (12)
то он сходится абсолютно и. непрерывно во всей
области (12).
Доказательство. Лемма будет доказана, если мы
установим справедливость ее утверждения для иекогоро!!
окрестности D^ произвольной точки (С") области D. Для
удобства дальнейшего рассуждения мы поместим начало
координат в точку (С), а за £)( примем внутренность
замкнутого полицилиндра
И^/Кр/. У=1. ■■• k\. (13)

192 Гл. Vlt. Теория Гартогса. Субгармонические функции
Обозначим через Т Д:-мерное множество точек с
координатами
С; = pje', О ^ %j < 27Г, у = 1, ..., /fe,
и, как в гл. VI, положим
* 1 р^ — г^
P(z, {))=TTi--^ ^^ L (14)
fj^, 2" 9j - 2р/у cos ('fj - ^j) +rj
Здесь rje^J = Zj. Как это следует из рассмотрений § 1
гл. VI, для функции P(z, &) имеет место неравенстио (5)
предыдущего параграфа, и у нас
О <^ ао г=с а (г) йс Л (г) =s А^
(равномерно при |^/1 =^ Г/^С^Р/)-
Теперь рассмотрим некоторую систему радиусов
0</'1</Л<<х)
(где р'<^Р\, Я1<^Рл); пусть q — наибольшее значение отно-
Р'к
шепий -J (Х=1, ..., /). Тогда в силу иредполажениС! нангей
^')^ _
леммы прн 2;(: D^
Hm|/„, ...„дг)|р;«1 ... р;»г = о,
"1 + • • • + пг-+оо
Поэтому функции
|/„,....,(p/*^)/''r^"-'f^
обладают следующими двумя свойствами:
lim sup 9л1 ... щ (й) =S 0.
Л1 -h . . . -|- Л/ — со
Применим сюда теорему 1 гл. VI и теорему 1 настояш.ей
главы. Нам надлежит отдельно рассмотреть случай, когда
j lim sup 9„^ ... „^ (|>) i£i>j ... i£S)^

2. Главная теорема Гартогса 193
конечен и когда он равен —со. Если этот интеграл
конечен, применим первую часть теоремы 1. Мы можем в
правой части неравенства (8) пренебречь интегралом (так как
он имеет неположительное значение); при ЕдХ^ О и е„Ло\0.
Таким образом, в наших условиях каждому положительному
числу е соответствует такое целое число Л/, что при
«1 + • • • + «/ ^ Л'' и 12;у I ==£ Г/
\fn,...ni {z) P'-i ... Р\ч I ?== М^е f«i !-■••+ Н). (1G)
Если в рассматриваемом случае интеграл от верхнего
предела оказывается равным —оо, применим вторую часть
теоремы 1. Тогда получим неравенство (16) как следствие
монотонного стремления к —оо при s„\^0 величины
в обоих случаях мы можем в неравенстве (16) взять за е
сколь угодно малое положительное число. Поэтому из
неравенства (16) следует, что ряд (10) сходится абсолютно и
непрерывно в области
\\Zj\<rl \М<Р1 J=\....,k, Х=1, .../].
Так как Р'к можно взять сколь угодно близким к Рх (сколь
угодно большим, если Рх = -|-оо), то получение этого
результата завершает доказательство леммы.
Важный вывод из этой леммы (который предоставляем
читателю сделать самостоятельно) мы выразим в следующее
форме:
Теорема 2 (Главная теорема Гартогса). Если
функция f(Zi, ..., Zj^i Wi, ...,Wi) аналитична в области
{iz)iD, |и»л|<А, 1 = 1, ..., I]
и для каждого z^D аналитична по переменным в w
области [|^х|<^Рх, Х=1, ... /], то она является
аналитической функцией всех переменных в области
{{z)iD; \w^\<CPu 1 = 1, ..., /].
13 с. Бохнер

194 Гл. Vn. Теория Гартогса. Субгармонические функции
§ 3. Результаты Осгуда
Лемма 3. Если функция f(Zi, ..., z^) аналитична по
каждому переменному и ограничена в области D
пространства Е,^^, то в этой области она является
аналитической функцией от совокупности своих аргументов.
В силу теоремы 2 гл. II нам достаточно [показать, что
функция f{z) непрерывна в области D. Рассмотрим
некоторую полицилиндрическую область, целиком лежащую в D.
В этой полицилиндрической области мы будем смотреть на
f{z) как на семейство функций одного переменного zf,
остальные переменные z^, ..., Zj^^, Zj_fi, ..., Z/^ будут играть
роль параметров. Определенной совокупности их значений
будет соответствовать определенная функция нашего
семейства. Так как функция f(z) ограничена, то и это семейство
функций мажорировано. Отсюда в силу результатов § 5
гл. II будет мажорированным и семейство производных ^ .
Таким образом, установлено, что частные производные
--Г—,..., ^ - ограничены в окрестности каждой точки области U.
ozi az/i
Следовательно, функция f(z) непрерывна (как функция 2k
действительных переменных, обладаюи1ая локально
ограниченными частными производными первого порядка).
Теорема 3. Пусть А = {а}—замкнутое, В = {{i} —
открытое ограниченные точечные множества
соответствующих евклидовых пространств некоторого числа
измерений. Если неотрицательная функция X (а, р) непрерывна
в области [а6 Л, ^i В\ по каждому переменному, то
существует такое открытое множество В' cz В, что
функция Х(а, Р) оказывается ограниченной на множестве
[а6 Л, ре 5'].
Согласно условиям теоремы функция
|л(8)= sup Х(а, р)
а ^ А
имеет конечные значения во всех точках p6S. Легко видеть,
что для каждого п множество 5„ точек В, для которых
f(.(P)sg«, замкнуто относительно множества В.
Действительно, если рр-^Ро и lJ^(Pp)^«>TO и Х(а, рр)^я. В силу

4. Теорема Гартогса об аналиптности 195
непрерывности последней функции отсюда вытекает, что
Х(а, [-о)=^«> а значит, и ]х(р(,)г^я.
Если наша теорема неверна, то множество £„ не может
иметь внутренних точек и множество В—В^ будет всюду
плотным Б В. Но тогда мы сможем пугем индукции по л
построй гь последовательность множеств С^ z;j Q :j ... со
следующими свойствами: 1) каждое С„ является замыканием
некоторого открытого множества; 2) если рб С„, то ]л-(Р)^я.
Отсюда вытекает, что в точке, принадлежащей всем С„,
функция р(р) не может быть конечной.
§ 4. Теорема Гартогса об аналитичности
по каждому переменному
Теорема 4. Пусть функция f(Zi, ..., z^) определена
в области D пространства Е.^,^ и в любой точке (а,, ..., Я/,)
области D каждая величина
f(ai, ... aj^i, Zj, aj^i, ..., a,,), ;=1, ..., k,
является аналитической функцией переменного z- в
окрестности точки aj. Тогда /(z^, ..., z,j)— аналитическая
функция переменных в области D.
Для удобства дальнейшего рассмотрения предположим,
что точка (aj, ..., а^,) — начало координат'. Пусть
[\z,\<U„ ...,\z,\-CU,] (17)
— окрестность точки (0), содержащаяся вместе со своей
границей в области D. Мы отождеспшм точечное
множество А теоремы 3 с замкнутым кругом \zi\s^ Ui, а
точечное множество В с областью
(В) [\г■^<'i^,...\z,\<Щ. (18)
Тогда из цредылуп1его будет вытекать существование такой
подобласти В' (области В), определенной неравенствами
(Я) 1^2 —z;|<a2, ..., 1^^—41<aft, (19)
что функция / будет ограниченной на множестве А'Х. В', а
следовательно, в силу леммы 3 — аналитической в области

196 Гл. Vll. Теория Гартогеа. Субгармонические функции
Теперь применим теорему 2. Нам известно, что функция
1) апалитична в области
2) для каждой системы значений Zi, z^,..., Z/.,
удовлетворяющих условиям
аналитична относительно г.2 в круге \z^i\<^C/^. Мы возьмем
наибольший круг, концентрический кругу \z^ — К\<^'^^ и
целиком содержащийся в круге | г;^ | <^ f/^- Так как | г;^ | <^ UJ3,
то этот „наибольший круг" будет обязательно содержать
круг 1^2 |<^f/2/3- Тогда согласно теореме 2 f (Zi,..., z,^)
оказывается аналитической функцией в области
[kiK^A. \^i\<^, l^a —<1<аз \^k — 4\<<=tk].
Выделяя затем переменное z^ и рассуждая таким же
образом, мы докажем, что f(Zi,...,z^) является аналитической
функцией в полицилиндре
[l^lK^l, к.К-Х' 1^И<-Х' к4-^11<«4,..-]
И, наконец, в полицилиндре
Начало координат — точка этого полицилиндра, и, таким
образом, теорема доказана.
§ 5. Обобщение главной теоремы Гартогеа
Рассмотрим две системы переменных: Zj,..., z^ и
w^,..., Wi- Первые предполагаются комплексными, вторые
могут быть и комплексными и действительными. Как в гл. IV,
будем представлять области D пространства переменных w, z,
как результат объединения сечений такой области
плоскостями, определяемыми фиксированными значениями одной
системы переменных. Таким образом, если В — проекция

5. Обобщение главной теоремы Гартогса 197
области D на пространство переменных (г), мы представим
область D в виде
D = [ziB,wi^{z)]. (20)
Далее, образуем ббльшую область D с той же самой
проекцией В
D = [ziB,wiM,z)] (21)
и предположим, что каждая связная составляющая Д (z)
содержит непустую составляюн1ую Д {z).
Теорема 5- (Обобщенная главная теорема Гартогса).
Если функция f(z, w) аналитична относительно
переменных z,w в области D и относительно переменных (w) в
области Д (z) (при Z i В), то она является аналитической
функцией переменных {z, w) в области D.
Сначала предположим, что переменные {w) тоже
комплексны. Пусть {z') — некоторые фиксированные значения z.
Если спрямляемая кривая Жордана ay^'ffi)(t)) (0^9=^1)
соединяет точку яу" ^-да (0) 6 Д (г') с точкой да ^яу(1)( Д(2;'),
то существует такое число е^О, что: 1) для {>^ = 0 и
некоторого другого достаточно малого %^, точечное множество
[1^ —г'|<е, |да —да({>,.)[<е] (22)
лежит в D; 2) для всех {) = 8* (OssO*^l) точечное
множество
[[г —z'|<e, |да —щ)({)*)[<ё] (23)
лежит в D. Тогда f{z, w) является аналитической функцией
переменных (z, w) в области (22) и переменных {w) в области
(23). Теорема будет доказана, если мы установим, что в
результате конечного числа шагов 0^ может, последовательно
возрастая, достигнуть значения {)^^1. Выберем для данного
Ь^ такое ft*^^:):, что
^ В таком случае, кроме аналитичности по (w) в области (23),
' наша функция окажется аналитичной по {z, w) в полицилиндре
[1^;—2'|<^е, \w — тг;(&*)!<;^некоторого малого числа].

198 Гл. VU. Теория Гартогса. Субгармонические функции
Отсюда вытекает на основании теоремы 4, что функция
f{z, w) аналитична но (г, w) в области (23). Итак,
исходное значение %.}. может быть заменено большим числом %*.
Благодаря спрямляемости кривой да = 1)У(&) мы таким
образом достигнем и значения &^=1.
Теперь случай действительных переменных может
быть исследован весьма просто. Возьмем такое число
е^О, что: 1) f{z, -w) будет аналитичной но (г, 'ZjQ)) при
\z — г'|<^еи комплексных (х'), удовлетворяющих условиям
\w—w{%^)\<^b; 2) f{z, w) будет аналитичной по (tsd) при
\z — г'К^е и комплексных (да), удовлетворяющих условиям
\w — w(x)^.)\<^e. Дальнейший ход доказательства очевиден.
Возьмем открытое множество В пространства (г-) н
поставим в соответствие каждой его точке открытое
множество Д^(гг) пространства (г). Тогда множество точек
пространства {z, w)
[zili, wi^-'iz)] (24)
не обязательно будет открьггым. Сечения этого множества
[г = г„, wi Д''"(г„)], отвечающие отдельным значениям (^z^^iB,
могут выступать из внутренности множества (24). Чтобы
избежать этих выступов, заменим множества Д^^ (-г)
множествами
^{z)= liminf Д+(г'). (25)
(Z<) -^ (Z)
Последнее множество определяется как результат
объединения всех (достаточно малых) открытых множеств ^S,
одновременно принадлежап;их всем 1^^ {z') при \z' — z\<^b{S).
Легко видеть, что
[ziB, wiM^z)] (26)
- - наибольи1ее открытое множество, содержап1.ееся в
множестве (24). Очевидно, будет справедлива следующая
Теорема 6. Если функция f(z, w) (все Zj —
комплексны) аналитична относительно переменных {z, zo) в
области [zdB, wd Д~(^)] и может быть для каждого {z)i В
продолжена из ЬГ {z) на большее открытое мноокество
Д''"(г), то f(z,w) — аналитическая функция переменных
(г, w) в области (26). В последней множества Д (з)
определяются предельным равенством (25).

6. Области Гартогса и субгармонические функции 199
§ 6. Области Гартогса и субгармонические функции
Рассмотрим аналитическую функцию
со
f(z,w)=^f,iz„...,z,)w- (27)
k-\-I комплексных переменных ^к-.-.г^, w, изменяющихся
в области Гартогса
[(z)^B, \w\<:^~(z)]. (28)
Здесь для каждого {z)iB степенной ряд (27) имеет радиус
сходимости 13^ {z)~:3:'3~ {z). Если мы, как указано выше,
рассмотрим радиус
а(г)= limhifa+(^'), (29)
то согласно теореме 6 наибольшей областью Гартвгса (с
данным основанием В), на которую может быть продолжена
f{z, w) как функция переменных (г, w), будет область
[ziB, |к^|<а(г)1. (30)
Фиксировав область (28), найдем радиусы a{z) для всех
аналитических в ней функций. Затем мы образуем величины
а„ {Z) = mij а (Z),
Ъ (z)=liminf о„(г').
Z' -.2
Очевидно, что область
[z^B, \w\<^o(z)] (31)
является аналитическим расширением области (28). Это
—максимальная область Гартогса (см. гл. IV), на которую могут
быть одновременно продолжены все функции, аналитические
в области (28).
Радиусы a(z) и S(z) наибольшей и максимальной областей
Гартогса обладают рядом специальных свойств. В § 7, 8 и 9
настояш,ей главы мы намерены рассмотреть области
некоторых других типов и для них функции, определяющие
соответствующие наибольпше и максимальные области. В каждом
из названных случаев мы будем искать то общее, что имеют
эти новые функции с функциями а (г) и 3 (z). Для удобства

200 Гл. VIf. Теория Гартогса. Субгармонические функции
описания указанных общих свойств мы следующим образом
введем в рассмотрение новый класс действительных функций
Пусть В—область 2Д:-мерного пространства переменных
Zi,...,Zi^. Совокупность функций/^B^F мы определяем как
наименьший класс действительных функций: а) содержащий
все функции ^{z) = \x\\f{z)\ (где fQz) — аналитические
функции в области В), б) замкнутый относительно:
I) операции образования функций (J< (г) = Xjt}i(2r) -|- ^а'1'2 {^)
(где X, ;2гО, XjSiO) и операции образования функций >[ (г') =
= supaijja(^) (где {^1'а(2;)} — множество функций,
ограниченных справа в своей совокупности на всяком компактном
подмножестве области В);
II) операции нахождения lim tj^„ {z) для последователь-
ностей, подчиненных условию 'j'n (^) S== ^1'„ч-1 (-г);
III) операции образования функций (jj(^)= lim sup(J'(.e').
Мы будем называть функцию (J^ {z), определеннуо в В,
функцией Гартогса в этой области, если она содержится во всех
совокупностях Fb' для областей В', принадлежащих вместе
со своей границей к В. Мы намерены доказать следующую
теорему:
Теорема 7. Если а (z), а (г)—радиусы тиболыией п
максимальной областей Гартхугса, то — 1п о (г') и —In 3 {z)
являются функциями Гартогса.
Для доказательства мы вернемся к функции f{z, w),
определенной равенством (27), и затем образуем функции
Очевидно,
9о(^)= lim sup9„(2r), cp(z)= lira supPo(^%
л -► oo г' —> г
Так как ряд (27) непрерывно сходится в области В, то
функции последовательности {9„(^)} будут ограничены справа
в своей совокупности на каждом компактном подмножестве.

6. Области Гартогса и субгармонические функции 201
области В. Отсюда следует, что In-, . является функцией Гар-
тогса в области В. Далее рассмотрим функции
9„(г) = 1п—-~; 9(г)=1п^—-.
"о (Z) а (г)
Очевидно, что
9о (^) = sup/ 9 (^). 9 (^) = 1'П1 sup 9о (^')-
z' ->г
Как и выше, функции ^(z), построенные для всех
аналитических в области (28) функци!! /(г, w), ограничены справа
в своей совокупности на всяком компактном подмножестве
области В. Следовательно, и In также является функ-
5 (г)
цией Гартогса в области В.
Таким образом, теорема дока:!апа.
В следуюншх леммах будут исследованы ограничения,
В1.1текающие для функций а (г) и a(z) из теоремы 7. По
своему характеру они близки к требованиям, предъявляемым
теоремой 9 гл. IV к фигурирующей там функции р (z);
однако, как в этом читатель может убедиться самостоятельно,
ограничения, накладываемые теоремой 9 гл. IV на выбор
функций р (г-), слабее вытекающих для S(z) из теоремы 7*).
Лемма 4. Если (г") — произвольная точка области Б,
С (z", р) — такой полицилиндр с центром в точке (г") и
радиусами (р), что C^z", f)cz.B; Т—(k-мерное) многообразие
г:^ = г) + р^е'»у, 0=<:{);<2:г, J=l,...,k,
то для любой функции Гартогса <Ь (z)
i- (z» + z)^jjP (z, g ^ (zj + pJe^'j) db,
T
(Zj = rje'^j, 0.<p^). (33)
Здесь rf{) = rf&i... й?\, P(z,%) — ядро Пуассона (14).
*) Геометрически смысл указанных условий — это, в
существенном, требование аналитической выпуклости (иначе, выпуклости
в смысле Леви) границ соответствующих областей. По этому поводу
см., например, Б. А. Фукс.Теория аналитических функций многих
комплексных пepeмe^н^ыx. Гостсхиздат, 1948 г., стр. 167— l(i9. (Прим.
аерев.)

202 Гл. УП. Теория Гартогса. Субгармонические функции
Если мы осуществим некоторое аффинное пресюразова-
ние. вида
к
Zj = bj-{- 2 ajpZ'p, ;• = 1,..., /fe, (34)
p=i
mo неравенство (33), записанное в новых переменных (z'),
также будет справедливо. Другими словами, продолжая
пользоваться прежними координатами, мы можем
сказать, что неравенство (33) верно и для любого
„аналитически скошенного полицилиндра".
Наконец, это неравенство верно и для любого
полицилиндра меньшей размерности (в последнем изленяется
только часть координат Zy,..., Zj,, а остальные
сохраняют постоянные значения).
Доказательство. Для функции вида \\\{\f{z)\ эта
лемма сводится к теореме 1 гл. VI. Таким образом, нам
достаточно показать, что неравенство (33) сохраняется при
трех операциях замыкания множеств функций Рц1. Зто легко
проверяется для первой из этих операций. Для второй из
них интересующее нас обстоятельство следует из леммы 1.
Обратимся к третьей операции. Для фиксированного (г) и
любого числа е^О должно существовать такое чисю т|^0,
что при 1 Дг| <^Yi
Поэтому
^ (г» -{- z) = lim sup <\ {z^^-]-z-{- ^z) =s=
дг-*0
=£= (1 -f £) lim sup г P (г, Ь) r\ (г» -I - ^z -\- pe'») S s£
s£(l -1-е) ГР(г, »)^(г-!-рб''»)сг».
Получение последнего результата завершает докааательство
леммы.
Заметим, что для Д; = 1 вторая и третья части леммы 4
ничего не добавляют к ее первой части. В случае k = \
функцию, удовлетворяющую условию (33) и являющуюся
полунепрерывной сверху (как это имеет место для функций
9(г) и 9(^)), называют субгармонической. При k'^l
возможны различные обобщения; изложенное в лемма 4 опре-

7. Обобщенные области Гартогса 203
деляет наиболее узкий класс таких функций. Напомним, что
для k = 1 субгармоническая функция i/ {х, у) е^ W (z, 5),
имеющая непрерывные частные производные второго порядка,
удовлетворяет неравенству
дх" ' дУ"
(см. § 4 гл. II), или, что все равно, неравенству
^ -.0.
dzdz
Используя это обстоятельство, мы легко докажем, что
верна
Лемма 5. Если функция Гартогса <!^(Zj, г,,..., ~,j, 5^)
имеет непрерывные частные производные второго порядка,
то в любой точке (г) области В и для любых чисел ai ,.. .,ai^
будет
ft fe
7 7 а,, а,, ^z~-::0. (36)
I) 17=-i '' *
Мы получим (36) из неравенства к-_— ...гО, применяя
dZi dzi
аффинное преобразование (ЗА) с коэффициентами а^р~.ар.
Заметим (без доказательства), что для дифференцируемых
функций выполнение неравенства (36) является не только
необходимым, но и достаточным условием принадлежности
функции ti {z, z) к классу функций Гартогса. Укажем еще,
чго все функции Гартогса могут быть получены как пределы
таких дважды дифференцируемых функций. В дальнейшем
мы не пользуемся этими фактами.
§ 7. Обобщенные области Гартогса
Рассмотрим некоторую область D пространства
комплексных переменных Zi,...,Zj;, Wi,... ,Wilk^l, Z^1)h
представим ее в виде
[ziB, w^A(z)]. (37)
Предположим, что все проекции Д (z) содержат как свою
часть некоторую (одну и ту же для всех z) круговую

204 Гл. УН. Теория Гартогса. Субгармонические функции
область Б, причем всякий раз, когда к области S принадлежит
точка (w^,... ,w^, к ней принадлежит весь круг,
образованный точками
(zwi^ ..., да/). (38)
Здесь |^|<^1.
Возьмем некоторое число а^О и присоединим к области
2 для каждой ее точки (да) круг, образуемый точками (38)
с |^[<^а. Этим мы осуществим расширение области S,
отвечающее числу а; мы обозначим получающуюся таким
образом расширенную область через аИ. Допустим, что
представление (37) области D может быть заменено следующим:
[ziB, даеа-(2)Е]. (39)
Здесь а""(г) — соответствующий „радиус Гартогса".
Пусть f{z,w) — некоторая функция, аналитическая в
области (39). Мы построим наиболыную область вида
[ziB, wi^{z)):], (40)
на которую возможно продолжить эту функцию.
Далее, рассмотрим аналитические расширения области (39),
имеющие вид (39), и найдем максимальное среди них. Пусть
оно задается условиями
ziB, да6а(2г)1;.
Мы утверждаем, что hi - и In ■ снова являются функ-
(J (Z) 3 (Z)
циями Гартогса, и приведем сейчас доказательство первого
из этих утверждений.
Заменим переменные Wi,...,'Wi выражениями w^t,...,Wit,
добавляя таким образом к прежним переменным новое
переменное t. Это соответствует замещению области (39)
областью Гартогса
[(2,да)е(5.Е); |г'|<а"(z, да)]. (41)
При этом
inf а" {z, да) = (Г {z).
Пусть для функции f(Zi, ..., Zf^, Wit, ..., wfi,
аналитической в области (41), область Гартогса
[(2Г, да)е(5. S); 1г'|<а(2г. да)] (42)

8. Полуплоскости в.тмрн кругов 205
оказывается наибольшей. Легко видеть, что
inf а (г, w)=(3 (z),
где a (г)—коэффициент расширения, фигурируюпшй в
определении области (40). Согласно теореме 7 величина
1
In
а {г, W)
является функциеГ! Гаргогса в области (й, Е), а поэтому
в силу известных функциС! Гартогса величина
111—'^= sup 111 ' (43)
также будет функцией Гартогса в области {В, I). Эта
функция постоянна по отношению к переменным (да);
применяя последнюю часть леммы 4, мы найдем, что она
является функцией Гартогса от переменных (z) в области В.
Наше утверждение доказано.
Вероятно, здесь наиболее интересен случай, когда S—
единичный шар l^i |^-|- ... -|-1 tw^ ['■'■с:^ 1, а расширенной
областью aS служит шар \w^^ -|- ... 4" 1 "^'Л^<С''^•
§ 8. Полуплоскости взамен кругов
Если мы в условиях, определяющих обыкновенную
область Гартогса, заменим переменное t на е"', то придем
к области
t^es, Не{г'}>р(г)]. (44)
Так как при нашем преобразовании круг |^|<^а переходит
в полуплоскость Re{^}^ln —, то естественно ожидать, что
функции, соответствующие наибольшей и максимальной
областям типа (44), будут функциями Гартогса. Это
действительно имеет место.
Рассмотрим область
[2r£S, Не{г'}>р-(2г)] (45)
и функцию f{z, t), аналитическую в этой области.
Предположим, что среди областей с основанием В, на которые

206 Гл. Vlf. Теория Гартогса. Субгармонические функции
функция f{z, t) может быть продолжена, область (44)—•
наибольшая. Пусть В' — подобласть В, причем В'си В.
Очевидно, для zi В' функция f (z) ограничена сверху.
Намереваясь этим воспользоваться, мы изложили в § 6
определение функций Гартогса в терминах подобластей В' области В,
и поэтому можем сейчас считать, что функция р~(z)
ограничена сверху в области В, т. е. там ?~{z)<^a^. Мы можем
еще принять а^^О. Теперь для некоторого «^«о ^^ рз'^'
смотрим функцию f(z, t) сначала в области Гартогса
[z^B, |^_а|<а —а„],
являющейся частью области (45), а затем продолжим ей на
соответствующую область Гартогса
[ziB, 1^ —al<a —рЛг^)]-
Читатель проверит сам без больших затруднений, что
функция ра(г) монотонно возрастает вместе с а и
lim рЛ^) = р(г). (46)
о —>-оо
Здесь р(2г) — величина, фигурирующая в условиях (44).
Величина ра{г) может быть равна —со, однако если
р(2г)^ — оо, то и ра(2г)^ — СО. Теперь из теоремы 7 и
условия I § 6 мы заключим, что иеличнна
а 1п -,—.-- = а In а -1- а In --г- Г47)
а-р„(г) I «--Рос (г) ^ ^
будет функцией Гартогса для любого а. Чтобы избежать
осложнений, могущих возникнуть 13 силу исограниченности
функций ра(гг) снизу, введем в рассмотрение функции
р" (z) = sup а In т^, а In —, — \, п=\, 2, ...
Каждая из них является функцией Гартогса; для
фиксированного п и изменяющегося а эти функции ограничены
справа. Поэтому их lim sup при а->со также оказывается
функцией Гартогса. Но этот lim sup будет равен
p"(2r) = sup[p(2r), —л].
Очевидно, что при«-*-схэ р"(2г)\р(2г). Отсюда, на основании
III свойства наших функций (см. § 6), мы заключим, что
р (г) — функция Гартогса.

9. Радиусы Бореля 207
Функция р (г), соответствующая максимальному
аналитическому расширению области (45), также является функцией
Гартогса; это следует из возможности ее получения как
supf р(2г) (по всем функциям /, аналитическим в области (45))
с последующим применением обычно!'! операции сглаживания
(см. 1И условие § 6).
§ 9. Радиусы Бореля
Рассмотрим для данного основания В {В — область
пространства переменных z^, ..., Zf,) функцию /(г, t) и
области типа Бореля—Гартогса
[ziB, \t^r{z)\<^r{z)\. (48)
Здесь радиус г" {z) — некоторая (полунепрерывная) функция
переменных (г). Этот радиус г' {z), а затем и радиус г (г)
(определяемый таким же образом, как и в предыдущих
случаях) может быть равен -^-со; под эгим мы подразумеваем
возможность замены круга \t — г\<^г полуплоскостью
Очевидно, при г (г) -г (^) область (48) составляет часть
области
ZiB- \t-~~r{z)\<:r{z). (49)
Таким образом, мы можем построить экстремальные
области типа (49), на которые продолжается одна или все
функции f{z, t), аналитические в области (48). Мы утверждаем,
что для этих экстремальных областей сами величины
-7-Г (50)
г (2) ^ '
(а не их логарифмы) являются функциями Гартогса. Это
вытекает из следуюп1,ей известной теоремы теории функций
одного переменного:
Теорема 8. Пусть функция f {t)= 2, ^v i'' анали-
тична в каком-то круге |^|£g8 и г—радиус
наибольшего круга \t — r\<^r, в котором функция f(t) остается
регулярной. Тогда
sup 0; lim sup — In | f (p) |
L p -> oo P

208 Гл. VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции
2 г
av —J-—борелево изображение функции f (t).
v = 0
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 8, получим
из нее наше утверждение относительно функции (50). Пусть
В' — компактное подмножество области В. Тогда для ziB'
г" (г) ^е, где е^О, — некоторое надлежащим образом
подобранное число. Рассмотрим ряды
v=0
н величины
[rt {z)] ' — sup Го, lint sup - In I Fs (2г, p)|],
p-
r, (2г) = inf rt (гг'),
-z
r(2') = lim гДг).
s->0
Здесь функция r^{z) возрастает при стремлении к своему
пределу. Нетрудно проверить (мы предоставляем это
читателю), что определяемая в результате последнего
предельного перехода функция г (г) совпадает с функцией r(^z),
соответствующей экстремальной области (49). Так как
1п \Fs{z, р)| — функция Гартогса для всех s и р, то и
функция (50) будет функцией Гартогса.
Радиус f{z), отвечающий максимальному (аналитическому)
завершению области (48), тоже будет функцией Гартогса.
Это вытекает из равенства
[г (2г)]"1 = lim sup [supj. (г (г'))"'].
г'-* г
Доказательство теоремы 8. Прежде всего
положим
/г = limsup — ln|F(p)|. (51)

9. Радиусы Ворелй. 209
Легко видеть, что наша теорема получается из следующих
двух лемм:
Лемма 6. 1) Еслп h^O, то функция f{t) анаЛИ'
ттна в круге
'~2h
2) Еслп h^O, то функция f (t) аналитпчна в
полуплоскости Re { ^ }^0.
Лемма 7. Если функция f(t) аналитпчна в
замкнутом круге
\t — r\^r, (53)
то
Эти леммы основаны на хороню известных взаимно
обратных соотношениях
^40 = i J eh(-)^ (54)
со со ^
f(t)=( e"F (at) da=j Г e' ' F(b)db. (55)
0 0
Здесь второе соотношение во всяком случае верно для
действительных t, удовлетворяющих неравенству Os&Z'-c^S.
Доказательство леммы 6. Благодаря
соотношению (51) для каждого е^О существует такое
положительное число Кг> что
|f (р)1<^ве(Н-Юр (0<р<схэ).
Поэтому второй интеграл (55) абсолютно сходится и опре
деляет аналитическую функцию в области
Re{l}>A. (56)
Если /г^О, то отсюда следует аналитичность функции/(^)
в круге (52). Если /?=s;0, то мы должны отсюда сделать
14 С. Бохнер

210 Гл. VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции
вывод об аналитичности функции f(t) в полуплоскости
Re { ^}^ 0. Это и требовалось установить.
Доказательство леммы 7. Так как функция /(t),
по предположению, аналитична в окрестности замкнутого
круга (53), то существует такой радиус г'^г, что /(/)
будет регулярно!'! и в замкнутом круге
\t--r\^r'. (57)
Производя допустимый сдвиг контура интегрирования (54),
получим
с
где С — окружность
\i--r\ = r'.
Поэтому
F(at)e~''=^^ е ' /(х)^. (59)
Заметим, что при фиксированном х 6 С точки t, для которых
Re{l}<l (60)
образуют полуплоскость, содержащую начало координат и
ограниченную прямой, проходящей через точку х,
перпендикулярно к прямой Ох. Все эти полуплоскости (получающиеся
при перемещении точки х по окружности С) содержат
точку t^'Ir. Это видно из того, что границы этих
полуплоскостей огибают эллипс с фокусами в точках ^^0,
t^lr. Пользуясь указанным обстоятельством,
ограниченностью функции —~~ на окружности С, и полагая в равенстве
(59) t^^lr, имеем
\Р (а- 2г) е^"| <^ постоянного, О ^ а<^оо.
Вспоминая определение величины h (см. (51)), мы видим,
что отсюда следует неравенство
2/г SS г'.
Итак, лемма 7 доказана.

10. Радиус мероморфности 211
§ 10. Радиус мероморфности
Пусть f {Zi, ..., z^, w) — некоторая функция,
аналитическая и области
[{z)(:B; wi^{z)]. (61)
Здесь Д {z) — круг, содержащий начало координат.
Рассмотрим наибольший радиус М^ {z), обладаюпдий тем
свойством, что в круге [ да | <^ ЛГ + (2') существует мероморф-
ная функция w, совпадад)щая в некоторой окрестности
точки w^Q с данной фз^нкцией f{z, w).
Докажем следующее предложение:
Теорема 9. In ~ ■ функция Гартогса в
области В.
Прежде чем перейти к доказательству, заметим, что
представляется более естественным рассматривать величину
— In М {z), где
M{z) = Vm iniM^Q.
Естественно также ожидать утверждения, что функция f(^z, w)
может быть продолжена как мероморфная функция от
совокупности k -\~ 1 комплексных переменных z^, ..., 2'^, w на
область
[{z)iB, \w\<:Miz)].
Однако подобное утверждение проверяется не так легко
как можно было бы ожидать. Здесь возникают затруднения
потому, что в случае многих комплексных переменных само
понятие мероморфной функции значительно более сложно,
чем для одного переменного. Поэтому мы не предполагаем
подвергать этот вопрос полному рассмотрению. Однако
в конце доказательства сформулированной выше теоремы
мы намерены коснуться мероморфных функций /г-]-1
переменного в несколько ином плане. Мы хотим распространить
нашу теорему со случая функций, аналитических в области
(61), на функции, представимые в этой области в виде
отношения двух аналитических функций. В последнем
случае в области (61)
jr г \ 9 (2, да) ,,,„.

212 Гл. Vn. Теория Гартогса. Субгармонические функции
где ф(2', w) и '^^{z, w) — некоторые аналитические функции.
Теперь обратимся к доказательству теоремы 9. Следуя
Адамару, заметим, что если функция
со
; = о
аналптпчна в точке w^Q, то ее радиус мероморфности
может быть получен следующим образом: рассмотрим
определители
д;= ':...'::... v:: (63)
и числа
(64)
Тогда отношение
(65)
не возрастает при увеличении ji; его предел при ji->-oo
определяет радиус мероморфности функции f(w).
В нашем случае исследуемое разложение имеет вид
со
f(z,w)=2,fj(^)^- (66)
Найдем соответствующие величины Dj (z) и 1^ (z). Пусть
z^S, где 5—некоторое замкнутое подмножество В. Тогда
существует такой радиус о^о^^О и такая (конечная)
постоянная А^А^, что \f{z, wyl^A при |®|sgo.
Поэтому в разложении (66)
Огсюда мы получаем следующую (довольно грубую) оценку:
//
/;Ч
fj+i . .
V- //+11 + 1 ..
/^ =^ lim sup
'v.
l.-i
■fj + v^
■ fi + 'iV-
Dj.
или, иначе.
1 , I nil / м ^ 1 ' I 1 , (J^ + 1)! ^^ + '

10 Радиус мероморфности 213
Верхний предел этой величины при /-*-оо и
фиксированном jjL будет функцией Гартогса в области В. Замечая, что
этот верхний предел имеет значение \nl^{z), получим
Таким образом, величина
lim sup ln/ц {z)
оказывается функцией Гартогса в области В. В наших
условиях (величина (65) является певозрастающей) обязательно
существует
lim ln_i!iifL_ = in
Отсюда на основании предыдущего легко получается
утверждение теоремы.
Теперь обратимся к более общему случаю функции
вида (62) и дополнительно предположим, что для псех ziB
ее знаменатель не равен тождественно нулю при
W е Д {z). (67)
Тогда для ziB отношение (62) определяет мероморфные
функции w в соответствующих областях (67). Опять
введем в рассмотрение наибольший радиус мероморфности
М* {z). Если для всех zi В функция i}*(2', w) не обращается
в нуль в точке w^O, то функция / аналитична в начале
координат (т. е. в точке ('да) = (0)) и оказывается
применимой предыдущая теорема. Допустим, что для (2')^ (0)
функция 4* (0) '^) обращается в нуль при w^Q. Тогда согласно
подготовительной теореме Вейерштрасса (см. § 1 гл. IX)
в некоторой окрестности
[{z)iB'; wi\'{z)] (68)
начала координат функция <}/ {z, w) может быть
представлена в следующем виде:
^ {Z, W) = [да" -f Ay {z) та^"-! Y ... \Ар {г)] Q {z, w).
Здесь Q {z, w) — аналитическая, отличная от пуля функция
в области (68), A^{z) (5^1,..., р) — функции, аналитиче-

214 Гл. VJI. Теория Гартогса. Субгармонические функции
ские в области В' и равные нулю в начале координат.
Таким образом, в области (68)
[w" + А, {Z) w^' 4- • • ■ + Ар (^)] / (^. ^) -- Щ^-^ = S (^. ^^).
где g(z,'w') — функция, аналитическая в области (68). Для
каждого z^B радиус мероморфности соответствующей
функции g {z, w) совпадает с радиусом мероморфности исходной
функции / {z, w). Таким образом, теорема 9 оказывается
верной для точек окрестности В' с:: В; поскольку любая точка В
может быть включена в такую окрестность, то на
основании сказанного мы приходим к выводу, что OFia верна для
области В в целом.
§ П. Теорема о комплексных группах Ли
До сих пор мы исходили из определения
субгармонической функции с помощью неравенства, содержащего
интеграл, распространенный но границе области. Однако,
как известно, субгармонические функции удовлетворяют
определенным неравенствам, содержащим интегралы,
распространенные по объему области. Действительно, пусть для
некоторой функции ф (х, у) при достаточно малых р
?(0>0)<2'г ГфСрсозб, р sin 6)^6.
о
Умножая это неравенство на 2pdp и интегрируя его в
пределах О е£^ р ss г, приходим К неравснству
Ф(0, 0)<--Lj9(.if,jr)afxflfjr,
где и — круг [.г''' [-У''<^г''1.
С аналогичным фактом мы встречаемся и в теории
функций Гартогса. Ради простоты предположим, что все
рассматриваемые в дальнейшем функции непрерывны. Тогда функциям
Гартогса может быть дано слсдуюп1ее определение
(являющееся одним из многих возможных). Назовем функцию
/ (xi,..., х^,) субгармонической в области D (пространства

11. Теорема о комплексных группах Ли 215
£■„ переменных Х] х„), если каждую точку х6 О можно
окружить такой (малой) окрестностью Uj^, что
/W^^Sei^J/^^')
dVi
X -
Здесь mes f/д; — объем окрестности 6''^.. Выражение, стоящее
справа, есть среднее значение функции / по объему
области Ux- Для п^Чк действительная (мнимая) часть
аналитической функции k комплексных переменных будет,
в смысле нашего определения, субгармонической функцией.
Теперь рассмотрим некоторую ортогональную матрицу
{apq\\\ Ц=\,...,Г.
Мы не предполагаем, что размерность этой матрицы г
находится в какой-либо арифметической связи с размерностью
пространства п. В силу ортогональности матрицы
г
\а;,=.1, р = 1 г, (69)
г
2«Р5«д. = 0; p,q=\,...,r, рфц. (70)
S—I
Мы отделяем условие (69) от условия (70), так как будем
далее пользоваться именно им. Заметим, однако, что для
нашего окончательного результата сейчас не имеет смысла
выходить за пределы класса ортогональных матриц.
Пусть, далее, нам дано семейство ортогональных
преобразований с коэффициентами а^^ (х). Здесь а^^
(х)—функции переменных (х), все заданные в одной и той же
области D пространства £■„.
Наше главное утверждение состоит в следующ,ем:
Теорема 10. Если все а^, (х) являются
субгармоническими функциями в указанном только что смысле,
в одной и той же окрестности Ux> tno они сводятся
к постоянным величинам.
Доказательство. В силу нашего предположения
а„^ (х) sS гт- \ о-п^ (^) dV'.

216 Гл. VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции
Согласно неравенству Шварца *)
(J а^, ($) dv^J й= mes U, • J [а^, {1)Г dv^. (71)
Таким образом,
Wps WP^ mesf/; J [«i'^ (')^'^^e . (72)
и поэтому
2 lbs i^)f ^ ьт! f/; J 2 ['^i'^ (^>^' ^^^ С^з)
Благодаря наличию условия (69) неравенство (73) сводится
к равенству; идя обратно, мы отсюда получим, что должно
сводиться к равенству и неравенство (71). По свойству
неравенства Шварца это может иметь место только в том
случае, если все а^^ (х) постоянны (относительно
переменных (х)).
Теорема 11. Дано семейство унитарных матриц
{Cpg{z)]p, q=\,...,r. . (74)
Если элементы Срд (z) являются аналитическими
функциями переменных Zi,...,Zi^ в некоторой области
пространства Е^^, то они сводятся к постоянным величинам.
Рассмотрим унитарные преобразования
^p='^Cpg{z)':,, р=\,...,г, (75)
комплексных векторов С в комплексные векторы С. Если
мы отделим в выражениях (75) действительную и мнимую
части, то получим ортогональное преобразование в
пространстве 2г действительных переменных. Коэффициентами
этого преобразования будут являться действительные и
мнимые части величин Ср^ (z). Таким образом, теорема 11
оказывается следствием теоремы 10.
Теперь мы можем получить следующую теорему:
*) Мы уже отмечали, что это неравенство было еще до Шварца
найдено В. Я- Буняковским. (Прим, перев,)

Лит ература 217
Теорема 12. Если комплексная группа Ли компактна
или хотя бы компактна ее присоединенная группа, то
последняя сводится к тождеству, и, таким образом,
исходная группа оказывается коммутативной.
Для этой теоремы мы предполагаем наличие у читателя
необходимых сведений из теории групп. Напомним, что
группа, присоединенная к комплексной группе, снова
оказывается комплексной группой вида (75). Если исходная группа
компактна, то является компактной и присоединенная
группа; обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Если присоединенная группа компактна, то путем
надлежащего выбора координат в пространстве (С^) ее можно
превратить в подгруппу унитарной группы. Тогда в силу
теоремы 11 она сведется к тождественному преобразованию;
отсюда следует, что исходная группа коммутативна.
Таким образом, компактное аналитическое многообразие,
являющееся групповым пространством, может принадлежать
только к типу многомерных торов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. Behnke und К- Stein, Die Konvexitat in der Funl<.tio-
nentheorie mehrerer komplexer Veranderlichen (Mitteil. Math. Gessel.
Hamburg, т. 8 (1940), стр. 34—81).
2. F. Наг togs, ZurTheorie der analytischen Funktionen mehrerer
unabhangiger Veranderlichen insbesondere fiber die Darstellung
derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veranderlichen
fortschreiten [Math. Ann., т. 62 (1906), стр. 1—88).
3. W. F. Osgood, Note Uber analytische Funktionen mehrerer
Veranderlichen {Math. Ann., т. 52 (1899), стр. 462—464).
4. W. F. Osgood, Zweite Note iiber analytische Funktionen
mehrerer Veranderlichen (Math. Ann., т. 53 (1900), стр. 461—464.
5. P. belong, Sur une propriete de la frontiere d'un domaine
d'holomorphie (C. R. Acad. Sci. Paris, т. 216 (1943), стр. 107—109).
6. P. belong, Sur quelques problcmes de la theorie des fonctions
de deux variables complexes (Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., серия 3,
т. 58 (1941), стр. 83—177).
7. J. Hadamard, Essai sur I'etude des fonctions donnees par
leurs developpements de Taylor (Journ. de Math. Pures et Appl. (4),
T. 8 (1892), стр. 101—186).
По поводу теоремы о комплексных группах Ли из § 10 см.
8. S. Bochner and D. Montgomery, Groups of differentiable
and real or complex analytic transformations (Annals of Math., т. 46
(1945), стр. 685—694).
Систематическое изложение теории субгармонических функций
(главным образом для случая одного комплексного переменного)
можно найти в книге.

218 Гл. VII. Теория Гартогса. Субгармонические фумщиа
9. Т. R а d о, Subharmonic functions (Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Qrenzgebiete, т. 5, ч. I, Берлин, Springer (1937)) *).
У нас не было необходимости давать формальное сэиределение
субгармонических функций. Однако, поскольку такое определение
содержалось в наших рассуждениях, читатель может заметить два
упрощения сравнительно с обычными определениями. ]Мы требуем
ограниченности рассматриваемых функций сверху, но допускаем
для них значение — оо; далее, хотя полунепрерывность функций и
имела для нас значение, она все-таки не играла первостепенной
роли. В общем наш опыт еще раз показывает, что определение
„субгармонических функций" целесообразно подвергать изменениям,
приспосабливая его к тем обстоятельствам, при которы:х эти
функции встречаются.
*) На русском языке теория субгармонических функций
изложена в книге: И.И. Привалов, Субгармони ческие фуньсции. ОНТИ,
1937. {Прим. перев.)

Глава VIII
УСТРАНИМЫЕ ОСОБЕННОСТИ
§ 1. Обобщенные решения дифференциальных уравнений
в частных производных
Возьмем в пространстве п действительных переменных (х)
область D, а в ней замкнутую призму
(/?) [aj^Xjrs^bf, j=\,...,n\.
Пусть f {х) — функция, непрерывно дифференцируемая
в области D и обращают.аяся в нуль на точечном
множестве D — R. Тогда для всех j
J^.^^. = 0. (I)
D '
df
Действительно, так как в D — R производные-5—е^ О, то
if/»-=Jg/"^
Заменяя этот кратный интеграл повторным и производя
первое интегрирование по Xj, получим равенство (1).
Пусть, далее, F (х) и G (х) — непрерывные и абсолютно
интегрируемые функции в области D. Тогда, если в этой
области существуют такие непрерывно дифференцируемые
функции /j,..., /„, обращающиеся в нуль в D — R, что
F(x)-OH=f^ + ... + f«, (2)
то
'JFix)dv, = ^G{x)dv,. (3)

220 Гл. VIII. Устранимые особенности ^^
Мы используем этот факт следующим образом. Рассмотрим
оператор
A/Z. 2 ^--Л-)'-^^^. (4)
Подчеркнем, что правая часть выражения (4) является
конечной суммой вида
Это — наиболее общий линейный дифференциальный
оператор; его коэффициенты а^,... ^„ (х) предполагаются
дифференцируемыми столько раз, сколько каждый раз потребуется
для наших целей. В основном мы применяем этот оператор
с постоянными коэффициентами, но для получения
некоторых и очень важных результатов приходится пользоваться
такими операторами с непостоянными коэффициентами.
Поэтому, ради полноты изложения, мы и рассматриваем
сейчас этот случай. Индекс N не всегда должен иметь
наименьшее значение. Иногда
для всех комбинаций г^,..., г„ с ri-\-. ■ ■ -{- r^ = N. Впрочем,
обычно это не имеет места. Мы всегда будем называть
число N порядком оператора (4). Кроме того, отметим, что
коэффициенты а^ {х) и значения функций / (к которым
применяется оператор) могут быть комплексными, хотя
у нас они обычно будут только действительными.
Подчеркнем еще, что мы не предполагаем, вообще говоря,
аналитичности функций / по отношению к действительным
переменным {х) (если это специально не оговорено).
В наших условиях всегда существует оператор, сопря-
ясенный с оператором А. Мы обозначим его символом А*,
а функцию, к которой он применяется, — буквой ср. Тогда
оператор А* определится равенством
.1*Ф= У (—i)-i+--+^,^'l;dl"_('v?i. (6)
at-...+r„eiV dxl^...dx'-^п

/■ Решения уравнений в частных производных 221
Между операторами А/ и К*ср имеет место следующее
соотношение. Можно составить такие выражения
".(«■Е /.1.-.».ё.-) р)
(которые являются многочленами с постоянными
коэффициентами от величин а, f, ср и их частных производных до
некоторого конечного порядка), что
(A/)^-(A'4) = || + ... + ',g. (8)
Последнее равенство есть тождество относительно величин
а, /, 9 и их частных производных (поскольку последние
в него входят). Кроме того, отметим, что во всех
многочленах (7) все составляющие их одночлены обязательно
содержат каждую из функций / и ф (или производные от
них).
Предположим, что функции / и ф дифференцируемы
вплоть до порядка N (включительно), а функция ф вместе
со своими производными равна нулю вне призмы R. Таким
образом, равенство (8) оказывается соотношением вида (2),
и в силу формулы (3) мы найдем, что
jliKf)cf>dv,= ijiK*cf>)fdv,. (9)
Функции / и 9 в дальнейшем играют весьма различные роли.
Функция / будет фиксированной функцией, определенной
в области D. Сначала мы предположим, что она по степени
дифференцируемости принадлежит к классу й(^). Функции ф
мы будем брать из особого семейства ,испытующих"
функций. Последние строятся следующим образом: пусть Р —
некоторая точка области D, U—ее достаточно малая
окрестность. Тогда ,испытующая" функция ф должна быть
непрерывно и неограниченно дифференцируемой в D, равной
нулю вне и, но равной не нулю, а, допустим, единице
в точке Р. Отметим, что подобная функция была построена
в § 3 гл. VI. С помощью таких функций ф мы сможем
устанавливать, равна или нет данная функция g {х) всюду

222 Гл. VIII. Устранимые особенности
нулю в области D. Очевидно, если функция g {х)
непрерывна и для всех испытующих функций
J '?g({'".x=^^
то g {х) '=. 0. Наоборот, если существует окрестность U,
в которой ^(л;)^Е„^0 (или g" (лг) ^ So <С 0)> '•'О ДЛЯ
соответствующей функции ф будет {^gdv^'^oiwnw \g'^dv^<^Q\
ь ъ
в частности, функция / будет решением
дифференциального уравнения
А/=0 (10)
в том и только в том случае, если для всех испытующих
функций 9
|(АЯ9^г'л. = 0. (11)
D
В силу формулы (9) последнее равенство равносильно
следующему:
,dv^-=0. (12)
J/(A-*9),
Различие между условиями (11) и (12) состоит в том, что
в равенстве (12) „испытываегся" только сама функция /, а
не ее производные. Однако для равносильности
условий (11) и (12) обязательна принадлежность функции /
к классу ki^K
Это обстоятельство как раз и указывает на возможность
обобщить понятие решения дифференциального
уравнения (10). Мы не намерены доводить обобщение до
максимально возможных пределов и ограничимся случаем
функции / (х), определенной и измеримой всюду, за возможным
исключением множества меры нуль и интегрируемой по
Лебегу во всякой замкнутой призме R. При этом мы не
предполагаем, что интеграл Лебега от \f {х)\ всюду
конечен в области D. Обычно / (х) у нас будет являться
измеримой по Лебегу функцией точки (х) ^ D; однако мы
допускаем ее замену на F (А) — функцию подмножества
AczD. Имея все это в виду, мы назовем функцию f (х)

2. Постоянные коэффициенты 2'23
обобщенным решением дифференциального уравнения (10),
если каждой точке Р (: D отвечает такая окрестность и^
этой точки, что для всякой окрестности UczUa точки Р и
любой испытующей функции ф, равной нулю вне U, будет
иметь место равенство (12). Здесь интеграл (12) обязательно
существует. Очевидно, если обобщенное решение / i й(^),
то оно является решением в строгом смысле (,строгим
решением").
§ 2. Постоянные коэффициенты
В случае, когда коэффициенты «ri...r„ нашего оператора
постоянны, каждое обобщенное решение / (х) оказывается
в известном смысле пределом последовательности строгих
решений. Если /j (х), /^ (х),... есть такая апроксимирующая
последовательность строгих решений, то для каждой
призмы R
lim Uf{^)-fsi^)\dv, = 0. (13)
-♦ со «i
lim
'к
Мы удовлетворимся сейчас более слабым результатом.
Предоставим функциям последовательности {Д {х)\
возможность меняться при переходе от одной призмы к
другой. Тогда наше утверждение о сущ.ествовании функций
fs (-*^)' удовлетворяющих условию
А/Л^) = 0, (14)
будет достаточно доказать только для произвольной
призмы R.
Возьмем испытующую функцию ср (х), обращающуюся
в нуль вне некоторой окрестности U. Обозначим через о
расстояние между границами областей U и D. Пусть 8^0.
Тогда функция 9^j;)^9 (х — ^), получающаяся из ф в
результате смещения точки (х) на вектор t (мы предполагаем, что
его длина не превосходит 8/2), тоже будет испытующей
функцией, но для окрестности [Jt=^U-~\-t. Поскольку
коэффициенты оператора А постоянны,
А*9((-^) = (А*9(£)).

224 Гл. VIII. Устранимые особенности
Поэтому согласно равенству (12) при |1^||г^8/2
^f(x).(A*q>,(x))dv^=0. (15)
Ъ
Нетрудно видеть, что с этом интеграле можно заменить
сдвиг аргумента функции ф сдвигом аргумента функции /.
Таким образом, мы получим, что при |j^||<^8/2
J/(x 1 i)A*o {x)dv,.= 0. (16)
ь
Пусть, далее, символ Dp обозначает такую подобласть
области D, что расстояние ох- ее границы до границы I)
не меньше р.
Имея это в виду, построим в области D;,^ функцию
л h
fn W = (г/о^ J • • • J'/(-^i -I ii'-- •. ^nA'tn) dti. ..di„. (17)
В силу равенства (16)
f {x-]-^t) К* cf{x)dv^, — 0, (18)
D2h
J
где 9 (Jc) — испытующая функция для области Д.2д-
Проинтегрируем равенство (18) по / и затем изменим порядок
интегрирования. В результате получим, что
("д(х)А*9С-^)^г;,=:0. (19)
Таким образом, функция Д {х) оказывается обобщенным
решением уравнения (10) в области D^^. Для
фиксированного h /д {х) будет непрерывной функцией переменных {х);
это может быть проверено непосредственно с помощью
обычного определения непрерывности.
Мы утверждаем, что для каждой призмы R cz D^^^ (где
Ло — фиксированное число) и последовательности Л^->0
l\f{x)-f^^(ix)\dv,-^0. (20)
R

3. Гармонические функции 225
Действительно, из неравенства
— л —Л
(согласно теореме Фубини) следует, что
л л
fl/W-AWK^.-^-i j" ... J.H^,---,Qo?t.„ (21)
R - Л - Л
где
^.(0-||/(х)-/(л- + ОН^х-
Функция '}j(^)-vO при ^-vO в силу основной теоремы теории
интегралов Лебега. Поэтому из неравенства (21) вытекает
наше утверждение (20).
Теперь мы применим операцию осереднения к
обобщенным решениям /д, (х). В результате мы получим функции
вида
л л
/л,2 W = руг J • • • J /л (-*^1 + ^ ^n'\D dVf
— h — h
Они принадлежат к классу йО. Таким образом, в
результате N-\-1 операции А-осереднения мы приходим к
функциям, принадлежащим к классу Ы^ и являющимся
обобщенными решениями уравнения (10). Как указано выше, они
будут его строгими решениями. Итак, мы получили
последовательность строгих решений уравнения (10) {/^}, для
которой исполняется условие (13).
§ 3. Гармонические функции
Существуют уравнения типа (10), обладающие
следующими двумя свойствами:
1) Все их строгие решения автоматически оказываются
аналитическими функциями.
2) Предел по норме в смысле условия (13)
последовательности строгих решений всегда будет (после
возможного исправления на множестве меры нуль) неограниченно
15 С. Бохнер

220 Гл. VIII. Устранимые особенности
дифференцируемой функцией и поэтому сноса строгим
решением.
Прототипом здесь может служить уравнение Лапласа
Каждое строгое решение уравнения (22) является
гармонической функцией. В каждой точке (х) значение такой
функции равно ее среднему значению, взятому по любой сфере
с центром в точке (х). Мы запишем это в виде равенства
f{x) = ^f{X^lpl)dW:.
Здесь Е — точка единичной сферы с центром в начале
координат, dw^ — (л—1)-мерный элемент площади этой сферы,
поделенный на ее площадь, р — произвольно малое
положительное число. Умножим обе части последнего равенства
на p"~'rfp и затем проинтегрируем их от О до г. Тогда
найдем, что
Здесь интегрирование распространено на всю внутренность
шара
И ш^ — объем этого шара.
Это равенство может быть написано для гармонических
функций последовательности {/.,.}:
fj W = i J fj (-^ + ^) '^^^ ;■ == 1. 2, ... (23)
Если имеет место предельное равенство (13) и число г —
фиксировано, то выражение (23) сходится при у->со к
величине
iffix^\-t)dvt. (24)
Sr
Нетрудно видеть, что для достаточно малого радиуса г
правая часть равенства (23), а следовательно, и последователь-

4. Системы уравнений it Функций "27
ность функций fj {х), сходится равномерно в каждой
достаточно малой окрестности точки {х). Как при п^=2, так и
при л;>:3 равномерно сходящаяся последовательность
гармонических функций всегда является компактным семейством
аналитических функций; поэтому ее предел снова будет
аналитической функцией. Это легко следует из интегральной
формулы Пуассона.
Согласно последней в единичном шаре с центром в начале
координат
fix) = С„ J I ^__~["„,/Ш do... (25)
S
Здесь 5—поверхность единичной сферы, \х —1\ —
евклидово расстояние между точками х и Е, г^|^ — 0|, сЫ^ —
элемент площади, С„ — некоторое постоянное число.
Элементарный вывод формулы (25) читатель может найти в
работе Каратеодори, указанной под № 3 в списке литературы,
помещенном в конце настоящей главы.
Суммируем сказанное. Итак, в случае постоянных
коэффициентов каждое обобщенное решение оказывается
пределом какой-то последовательности строгих решений. В
гармоническом случае этот предел снова является
гармонической функцией. Каждое обобш,епное peuienne уравнения (22)
является ei'O строгим решением.
§ 4. Системы уравнений и функций
Возьмем систему операторов типа (4)
Л,/,..., Л,/ (26)
и рассмотрим систему уравнений
Лр/=0, р=1,..., г. (27)
Очевидно, всякое решение этой системы ямляется также
решением системы уравнений
J/(A";9)^to=0. (28)
С помощью системы (28) снова определяются обобщенные
решения системы уравнений (27).
*

228 Гл. Via. Устранимые Особенности
Возьмем вместо одной неизвестной функции, как мы это
делали до сих пор, систему таких функций/j (х),... ,/s(jcr).
Мы будем смотреть на них как на составляющие вектора
f{x) = {f,{x),...,f,{x)). (29)
Далее рассмотрим прямоугольную матрицу операторов
Лр„ р= 1,..., г; о:=^1,..., S, (30)
и образуем их с 11омо1цыо г уравнений
Ар,Л + ... + Лр.Л = 0. (31)
функции /i,..., fg — одни и те же во всех этих уравнениях.
Пусть ф {х) —- испытующая функция (причем это — одна
функция, а не составленный из нескольких функций вектор).
Тогда достаточное число раз дифференцируемый вектор f{x)
в том и только в том случае будет решением системы (31),
если для пего
f (/,Л;,9 -1-... -f ЛЛ;,9) dv_,= 0. (32)
о
Мы определим снова обобщенное решение как вектор f{x)
с составляющими, измеримыми и интегрируемыми (по Лебегу)
в каждой окрестности U^ и удовлетворяющими условиям (32).
Рассмотрим, например, в трехмерном пространстве
совместное решение системы уравнений
dIv/=0, rot/=0. (33)
Уравнения (33) рапносилыпл четырем уравнениям
|4.1.|^^.|^=.0, f^-f-^O- 1^/</^3. (34)
дх^ ' дх^ ' dXi dXj dxi ' ^■•' ^ '
Обобщенное решение будет определиться урагщенняып
dxj ■' i dXi
J
/.и-лЙ)""=»-.'«ку*з.
|(/.ё+^'ё+л|;)""=°-
Для строгих решений системы (33) в силу известного
соотношения
Yy=graddiv/—rot rot/ (36)

4. Системы уравнений и функций 229
должны ш.шолняться условия
Д/1 = 0. ДЛ=:0, ДЛ = 0. (37)
Отсюда, в частности, следует, что совместные (строгие)
решения системы (33) составляются из аналитических
функций. Теперь докажем важный факт, что любое обобщенное
решение системы (33) является также обобщенным решением
уравнения (36), а таким образом, и системы уравнений (37).
Последнее заключение приведет нас к выводу, что
рассматриваемое решение составлено из аналитических функций
и, следовательно, является строгим.
Возьмем два оператора Л и Z. и применим их
последовательно, т. е. составим выражение L [Л/]. Применяя к нему
равенство (9) (сначала для L, затем для А), получим
Г L (А/). ф(/г1 = Г А/ • L*9 . </xi = Г / • А* [L*^] • dv.
Отсюда видно, что (/.А)* = A*Z.*.
Теперь вернемся к операторам, составляющим
матрицу (30); мы рассмотрим, кроме них, еще операторы
Lj, ... , L^ и составим с их гюмощ,ью оператор
Очевидно, точное решение системы (31), состоя1цее из
функций, дифференцируемых достаточное число раз, является
вместе с тем и решением уравнения
Ж/ = 0. (39)
Назовем уравнение (39) индуцированным системой (31).
Мы утверждаем, что обобщенное решение системы (31)
также является обобщенным решением индуцированного
уравнения (39). Действительно,
где 9p^LpCp. Последнее выражение равно нулю, как это
следует из равенства (32), если в последнем заменить 9
на фр и затем просуммировать по р.

230 Гл. Vlll. Устранимые особенности
Сформулированное пыше утйерждеиие о том, что каждое
обобщенное решение системы (33) является ее строгим
решением, состоящим из гармонических функций, легко
вытекает из только что полученного результата. (Мы
предоставляем читателю выполнить необходимые вычисления.)
Отсюда можно получить и еще более важную теорему.
Теорема I. В пространстве 2k действительных
переменных Xj, у J (zj = Xj -]- iyj), J= 1,..., k каждая
обобщенная пара решений и, v системы уравнений Коши — Римана
да dv п ди . dv „ . , , ,.„,
dirWj = ^' W^dxj=^'-'=' ^' (40)
в некоторой области D оказывается, после возможного
изменения значений составляющих ее функций на
точечном множестве 2к-мерной (лебеговой) меры нуль, строгим
решением. После этого величина f=u-\-iv будет
аналитической функцией комплексных переменных Zj,..., Z/j,.
Это предложение — типа теоремы Меньшова — Лоомана.
Хотя оно менее глубоко, чем эта теорема, но тем не менее
имеет важные приложения.
Другие сходные предложения читатель сможет найти
в работе, указанной под № 1 в списке литературы,
помещенном в конце настоящей главы.
§ 5. Аннулирующие функции
Аннулируюп1.ей в-дальнейшем называется некоторая
вспомогательная функция. Она участвует в некотором процессе
уничтожения предполагаемых особенностей аналитической
функции. При этом по характеру этого процесса оказывается
возможным в ряде случаев устанавливать, что в
уничтожаемых особых точках, по существу дела, и не нарушалась
регулярность функции. Подобные точки в действительности
оказываются устранимыми особенностями.
Попытаемся определить в пространстве Е„ функцию со
следующими свойствами: I) она должна быть однозначно
определенной и обладать частными производными (всех видов
и всех порядков) во всем пространстве; И) она должна
равняться нулю в шаре
xl-]~...^~xl^l,

5. Аннулирующие функции
231
единице при
•^1 "1 ■ ■ ■ 1" ■^'^ ^' '
принимать значения между нулем и единицей в слое
Легко построить такую функцию на прямой при л^ 1. Затем,
чтобы получить ее для произвольного п, мы заменим в
функции, построенной для одномерного случая, аргумент х на
-]- ■)/ х\ \ ...-\-x\i- Пусть 9 (Xj,..., х„) — искомая функция.
Тогда каждому N^0, 1, 2,
что при
л+-
во всем простраиствс /:„
соответствует такое число Cjv,
Jn^N (41)
-Jn:
дx'^... dxl"
^c\
Далее, возьмем число е^О, точки
/ р (?р1.
' Ч'«.
).
(42)
(43)
числа JJ.,,..., Vy (Vp ^ О, jij -|- • ■ • -f' V-r^ О»'' — конечно),
которые далее будут играть роль весов. Обозначим через А
совокупность точек { Pj,..., /Л^}. Мы образуем функцию
*и=,л-^^,2ьЧ-'~'
^/-^р
(44)
Р=1
Пусть, далее, символ А^ обозначает ч\ — окрестность
совокупности А. А^ — это открытое точечное множество,
результат объединения г открытых шаров радиуса f\ с центрами
в точках Рр(р^1 г). Нетрудно проверить (мы
предоставляем это читателю), что функция cps(-^) обладает
следующими свойствами:
I) 0^ф,(х)й=1 при {х)(:Е,,
II) ф,(х)^0 при {х) iA^,
III) ф.(х) = 1 при (Х)6£„ —A2s,
IV)
дх'^.. ■ дх1<^
<-ui
+ ...+;„
при /i4-... +;«SSл^ и {x)iЯ„.

232 Гл. Vni. Устранимые особенности
Здесь С — та же постоянная величина, что и в
неравенстве (42). Пусть теперь А—произвольное ограниченное и
замкнутое точечное множество, Л^ и А% — его окрестности
(результат объединения соответствующих окрестностей его
точек). Выделим из А такое множество Л<1', состоящее из
конечного числа точек, что всякая точка А окажется
находящейся на расстоянии, меньшем ч\ от некоторой точки Д(1'.
Затем построим (по указанному выше способу) функции
4^\х), удовлетворяющие условиям I—IV при y'l -f- ... -|-У„=^
:^Л/^-|-1 (где N—некоторое данное число). Для
монотонно убывающей последовательности 7)^,->.0 функции cf'^p^
и их производные порядков г^Л/ с напшх условиях будут
сходиться к функции <^s{-x) и ее соответствующим
производным, а окрестности А^^р^ и А^р—к окрестности Ag и А%.
Функция <^s{x) будет обладать свойствами I—IV по
отношению к ограниченному замкнутому множеству А. Такие
функции мы называем в дальнейшем аннулирующими.
§ 6. Устранимые особенности. Общий случай
Пусть D — ограниченное открытое множество в £■„,
Df, — относительно открытое подмножество D. Обозначим
разность этих множеств через А. А — ограниченное
множество, и хотя оно замкнуто только относительно множества D,
рассмотренное выше построение аннулирующих функций
применимо и к нему. В дальнейшем мы будем смотреть на А
как на „исключительное множество". В наиболее важных
приложениях оно будет „малым", имеющим размерность <^/г.
Но сначала мы не будем накладывать каких-либо
ограничений на его выбор. Оно сейчас может иметь и внутренние
точки.
Предполагается, что в D дана система уравнений (31);
таким образом, коэффициенты этих уравнений — функции
а^{х) — считаются заданными на всем множестве D.
Рассмотрим обобщенное решение этой системы на
множестве D^. Оно предполагается определенным только на D^;
каждая его составляющая должна быть известной только
на Dq (за возможным исключением нулевого множества).
Условие (32) выполняется (для D„) с любой испытующей
функцией, построенной для D„.

6. Устранимые. Особенности. Общий случай 233
Теперь продолжим функции fi,---,fs на все
множество D. Это мы можем сделать весьма просто, положив, что
функции /j,..., /^ равны нулю на множестве А. Если А
имеет (лебегопу) меру пуль, то этот процесс продолжения
излишен.
Поставим следующий вопрос: при каких условиях
продолженные функции определяют обобщенное решение
системы (31) для всего множества D?
Если последнее действительно будет иметь место, то мы
скажем, что точечное множество А состоит из устранимых
особых точек для исходных функций /i fs,
определенных на D„ (или на D, если множество А имеет меру нуль).
Если ф — испитуюп1,ая функция для множества D, то
функция
Ф {х) 9s (х)
будет испытую1це11 для множества D,, (поскольку она
согласно II свойству функции 9s(x) обраи1ается в пуль вне
частей окрестностей, лежащих с £)„). Так
как/—обобщенное решение системы (31) для множества D„, то для
каждого фиксированного р
J (/iA;\ (9Фв) + • • -1 -ЛЛ;. (ффО) ^/г-= 0.
D
Если мы примем во внимание, что частные производные
порядка е^Л^ функции ф ограничены и D, и используем
свойства I—IV функции ср^ {х), то без большого труда
установим, что для всех {х)6 D
|Л;4фФв)-Л;,(ф)|^^. (45)
Так как для точек (дг), лежащих вне Ачг, фе(-'<г)=^1, то для
X i D — Ajs
|К^(ффв) —А*,(ф)| = 0.
Следовательно,
\^{/хК.9Л ■■•^-fsKr^)dv ^
D ст

234 Гл. Via. Устранимые особенности
Обозначим символом В% часть окрестности A-it,
принадлежащую множеству £)„, заменим в окончательных
формулировках 2£ на £ и вспомним, что /,^0 при {х) 6 D — D^.
Тогда мы получим следующую важную теорему:
Теорема 2. Пусть вектор-функция f является
обобщенным решением системы уравнений порядка N на
ограниченном, открытом множестве D^^D—А, где D —
открытое множество, содержащее множество D^, А —
исключительное множество (состоящее из точек D). Пусть
/?g — s-окрестность множества А в D^, v{e)—n-мерный
объем (мера по Лебегу) множества В^, Т{в) — средняя
велачпна / на множестве В,:
Т{е)^^^~\СЛ\ {-...-] \f,\)dv. (46)
К
Тогда, доопределяй функцию f на А, именно, полагая там
f^^i'O, мы получим обобщенное решение нашей системы,
если только
§ 7. Устранимые особенности аналитических функций
Наибольший интерес представляет случай системы
уравнений типа (31), каждое обобщенное решение которой
автоматически оказывается точным решением, в частности
аналитическим. Тогда всякий раз, когда множество А имеет
меру нуль и применима теорема 2, для вектора /,
первоначально заданного на D,,, автоматически определяются
дополнительные значения на множестве А (вообще говоря,
отличные от нуля, но так как mesA^O, то это не влияет
на возможность применения теоремы 2). В этом случае
теорема 2 является теоремой об устранимых особенностях
в буквальном смысле этого слова.
Теперь положим n^'2k и рассмотрим функцию/(г),
аналитическую в D„. Когда она может быть продолжена
на D? Ответ, даваемый на этот вопрос нашей теоремой,
состоит в следуюп1ем. Пусть f^u-\-iv; тогда функции и
и V удовлетворяют системе уравнений (40); N^= 1.

7. Устранимые особенности аналпттеских функций 235
Если, сверх того, функция f{x) ограничена па
множество D, то величина T{s) тоже будет ограниченной, и,
таким образом, условие (47) будет ныполнено, когда
'"Ш'
или, иначе,
v{s) = o{b). (48)
Последнее условие более подробно может бьггь записано так:
viB,) = oie). (49)
Позже мы получим точные условия для выполнения
равенства (49) или, по меньшей мере, для возможности
интересующего нас продолжения. В данный момент мы
ограничимся только эвристическим замечанием относительно того,
что равенство (49) не может иметь места, если множество А
имеет наивысшую размерность, совпадающую с размерностью
гиперповерхности, именно п— 1. В этом случае В^ является
й-мерным „слоем" толщины 2s, величина v{s) оказывается
пропорциональной числу е, что несовместимо с условием (48).
Однако небольшое усиление требований, предъявляемых
к А, уже оказывается достаточным. Если мы предположим,
что А только (п—1)-мерно, то v (е) будет
пропорционально 8^ и условие (48) удовлетворится с избытком.
Например, в случае одного комплексного переменного п=:^'2
нульмерное множество А состоит из одной или нескольких
исключительных точек. Для ограниченной аналитической
функции они будут в силу сказанного устранимыми особыми
точками. Это — классическая теорема Римана. Однако
заметим, что ее обычное доказательство основано на
применении интеграла Коши, являющегося криволинейным
интегралом, между тем как мы пришли к нашему заключению,
рассматривая интеграл, распространенный по всей области.
Возвращаясь к условию (47), отметим, что наш вывод
остается в силе и для (п—1)-мерного множества А, если
функция f{x) не только ограничена, но и стремится к нулю
при приближении точки (х) к А.
Если мы вместо аналитических функций комплексных
переменных рассмотрим гармонические функции, т. е. ре-
нюния дифференциального уравнения (22), то N будет
равно двум и наши результаты „ухудшатся" на одну

236 Гл. VIII. Устранимые особенности
единицу размерности. Таким образом, если А — (п — 2)-мер-
пая гладкая поверхность, то одна ограниченность не
обеспечивает устранимый характер особенностей. Для (л—1)-мср-
ного А мало знать, что функция/(х) принимает всюду на А
нулевое значение. Например, для л = 2 функция f{x,y)^\x \
является гармонической для х<^0 и х'^0, f{0, у)-^0.
Однако эта функция не является гармонической всюду
(в точках JKr = 0 ее производные терпят разрыв). В
трехмерном нространстпе гармоническая функция может иметь
некоторую кривую особой линией, оставаясь на ней
ограниченной (но принимая там значения, не всюду равные
нулю).
Прежде чем итти далее, мы выведем одну весьма o6aiyi<i
теорему единственности.
Теорема 3. Пусть Д,, — ограниченная область и
часть ее границы составляет кусок В{п — 1 )-мерной
поверхности. Мы обозначим через В^ &-окрестность куска В
в области £)„. Если некоторая система
дифференциальных уравнений порядка N обладает тем свойством, что
каждое ее обобщенное решение автоматически оказывается
аналитическим, то всякий раз, когда ее решение f{x)
имеет „нулевые граничные значения" на В, т. е. более
точно, когда
^(^) = ''(^)' ('^0)
тогда всюду f{x)^0.
Следует заметить, что если понерхность В достаточно
гладка, то v{e)r~^Ce и условие (50) сводится к требойанию
Т(£)=0(£ЛГ-1).
Например, для Л^= 1 это условие удовлетворяется, если f{x)
имеет на В граничные значения, равные нулю. Однако,
если Л/^1, оно требует, чтобы при приближении к
граничной точке, лежащей на поверхности i?,/(х)^о(8''^-'),
где 8 — расстояние от точки (х) до В.
Для доказательства теоремы 3 возьмем область Dj,
примыкающую к куску поверхности В извне, положим D^D^-\-
-)-Z?i-|-D,, А = В -j- Di и продолжим f{x) на D,
подсчитав f(x)=0 при х(.А. Теперь применим теорему 2.

8. Типы исключительных множеств 237
Мы придем к выводу, что продолженная указанным образом
вектор-функция f{x) является строгим решением системы
всюду в D. В частности, если функции, составляющие f{x),
аналитичны в D, то они должны там тождественно равняться
нулю (благодаря тому, что они равны нулю в D„).
§ 8. Типы исключительных множеств
Пусть функция ф(х, х^) определена в некоторой
области D пространства Е^. Мы будем говорить, что эта
функция удовлетворяет в области D равномерному условию
Липшица порядка Х (где O^sX^l), если для любых двух
точек {х') и {х), принадлежаи],их области D, оказывается
\^{х'и ... , х;,) —9(^1 д:„)|<Ж max |х} —JCy|X.
/ = 1 п
Здесь М — некоторое надлежащим образом подобранпое
постоянное число. Заметим, что согласно теореме о
среднем значении для функций многих действительных
переменных, если функция фб^С), для некоторой выпуклой
области TznD, удовлетворяет в области D равномерному
условию Липшица первого порядка, то число М оказывается
верхней гранью для модулей частных производных первого
порядка от ф во всех направлениях в какой--1о окрестности
области D п Т.
Теорема 4. Пусть
(п -\- 2) функции, определенные в области D проапраН'
ства Я„ и принимающие там действительные значения.
Предполагается, что каждая из этих функций
удовлетворяет разномерному условию Липшица порядка X (О ^ X гс: 1).
Пусть (а,, ... , «„) — какая-то точка области D. Мы
рассмотрим куб
(Rp) —psSx^—a^ssp, /=1 п,
где р — некоторое достаточно малое число.
Тогда множество А точек (у) (п -\- 2)-мерного
пространства переменных Уи • •. , у^^о, определенное
условиями
З'а---фа(х„ ... , х„), {x)(:Rf, а=1, ... , п-\-2, (51)

238 Гл. Vtll. Устранимые особенности
обладает тем свойством, что
г;(Лз) = 0(в"+2-»/^).
Здесь Лг — ч-окрестностъ множества А в
пространстве ij',j^2i ■y(^s) — лебегова мера множества А^.
В частности, при X ^ {п, таким образом, в
частности для X =1)
г;(Л) = о(в). (52)
Л,ля доказательства возьмем а, = ...=а„ = 0. Пусть
в, =-7— расстояние [Л'р, граница /J], (53)
S — фиксированное число г^вц. Мы намерены сеЛчас
рассмотреть особую систему точек, сделать их затем центрами
кубов с ребром, равным в, лежащих внутри области D и
покрывающих куб /^р. Именно, возьмем нространствениу^о
решетку точек
(г,в,..., г„в), (54)
где числа /"i, •••,/■„ принимают независимо друг от друга
значения 0,± 1, •• •, ± [р/г]. Здесь [р/в] означает наиболь-
Htee целое число =^p/e-f-'/2' Таким образом, наша
пространственная решетка состоит из
Л^.
^И+'Г
точек. Мы расположим их в каком-то порядке и обозначим
их координаты следующим образом:
{х1...,х1), p=\,...,N,.
Каждую из этих точек сделаем це1ггром куба со стороно!!,
равной в:
(/eW) |х^-41^|, ;=1 п. (55)
Ясно, что эти кубы покрывают куб /?р. Сверх того,
благодаря (53) и тому, что г=^в|,, они лежат внутри области D.
Пусть теперь Л^''' обозначает образ куба R^^^>^ при
преобразовании
3'« = 9a(-Vj,...,J<rJ, а =1,..., л-1-2. (56)

9. Основная теорема об устранимых особенностях 239
Так как Ns кубов RW покрывают куб Rp, то N^ множеств А^р^
покроют множество А, определенное условиями (51). Как
указано выше, в области D функции ср удовлетворяют
равномерному условию Липшица порядка X. Поэтому
существует такое число М (не зависящее от e<^S|,), что для
точек xiR(P^
1ф=с(-^1 -^„)—Ф=с(-^?, • • • ,xf,)\<^MB\
а =!,...,«+ 2. (57)
Таким образом, выясняется, что множество Л^'') содержится
в кубе
\у.—у^а\<Ме\ а=1,...,п-\-2, (58)
где точка (у1,... ,Уп+2) является обр'азом точки (х^ х'^).
Мы расширим кубы (58) на величину в''. Тогда
множество, получающееся в результате об'ьединення этих кубов
А^"^ \Уа—у'и\<:(М-^\1)е\ а=1 п-\-2,
будет покрывать не только множество А, но и А^^.
Теперь нам остается подсчитать меру суммы Ns кубов A<-i'\
Объем каждого из них равен (Ж-j-1 )"+'^ в^'С^ Ч
Поэгому
V (Л,х) =s; //s (Л! -1 - 1 )"+^ в^ ("+-) =
= (2 Г-^ I -1- 1 )" (М -[- 1)''+2 gX („+2) ^ Q (5А(«+-2)-Я),
Итак,
V (Л,) = О (в"+2--''А).
Этим доказательство теоремы 4 заканчивается.
§ 9. Основная теорема об устранимых особенностях
Мы будем рассматривать устранимые особенности не
отдельных аналитических функций, а комплексных
аналитических отображений.
Теорема 5. Пусть функция ij* (^j,... , г,,) определена
в окрестности точки (ар ..., а„) и там всюду аналп-
тична, за возможным исключением точек Е, где
(Е) Ф(г„...,г,) = 0. (59)

249 Гл. Vlll. Устранимые особенности
Здесь Ф — анамштеская функция в точке («j, ... , а/^),
причем Ф (^i, ... , г^,) ^ О, Ф (flj, ... , а^,) = 0. Тогда если
функция ']>(Zi, ... , Z/^), сверх того, ограничена (или тем
более непрерывна) в окрестности точки {а^, ... , а^),
то в некоторой окрестности этой точки все
особенности '{'(2'i, ... , Zi^)—-устранимые.
Мы уже указывали, что точечное множество Е
называется исключительным.
Эта теорема является недостаточно общей для наших
целей. Поэтому мы докажем взамен нее другое, более
общее предложение, достаточное для дальнейших
применений. Хоти эта новая теорема и формулируется в локальных
терминах, но выводы из нее оказываются пригодными и для
рассмотрений в целом.
Теорема 6. Пусть Ф {z^, ... , z^) — аналитическая
функция фО в окрестности U точки {а^, ... , а^)
пространства переменных г^ ... , г,,, и Ф (aj а;.) = 0.
Предположим, что окрестность U одно-однозначно
отображается на некоторое точечное множество пространства
переменных w^ Wp. с помощью действительных функций.
fv • ■ ■ > fvi действительных переменных х^, уу, ... , х^, З'/i.
где Xj -j- lyj = Zj н
^1 =А + «Л ^ft =-/м-1 + ifik- (fi'^)
Предположил!, далее, что функции /j, ... , /j/j {каждан
в отдельности) удовлетворяют в U равномерному
условию Липшица некоторого порядка X {где ^гз77<С'^^Ч-
Пусть (bi, ... , bf,) — образ точки (ui Uf^) в
пространстве переменных w^, ... , Wf^ при преобразовании (60), V-
окрестность точки (Ь^ Ь/^) в этом пространстве,
Z:^ — мноэюество тех точек V, в прообразах которых
(при преобразовании (GO)) Ф = 0.
Тогда если функция G(Wi, ... , -да^) определена и
ограничена (тем более непрерывна) в V и там всюду аналп-
тична за возможным исключением точек 5^, то в
некоторой окрестности точки (Ь) все особенности функции
G(Wy, ... , Wf^) оказываются устранимыми.
Если преобразования (60) суть аналитические
отображения с отличным от нуля якобианом, то теорема 6 сводится

9. Основная теорема об устранимых осоЗеннОстЯХ 241
к теореме 5. В этом случае уравнения (60) разрешимы
относительно (г), и последние определяются отсюда в
качестве аналитических функций (w). Подставив найденные
таким образом значения {z) в уравнение (59), мы
действительно сведем теорему 6 к теореме 5. Но для изучения
однозначных аналитических отображений (когда заранее
неизвестно, равен нулю или отличен от нуля их якобиан)
существенна возможность применять теорему 6.
Заметим, что так как подобное отображение одно-
однозначно и непрерывно, то оно имеет непрерывное
обращение и, следовательно, является гомеоморфизмом. Это
заключение мы выразим в виде специальной леммы.
Лемма 1. Одно-однозначное п непрерывное
отображение Т некоторого открытого подмножества U
координатного пространства S^ на некоторое подмножество S^
является гомеоморфизмом.
Доказательство этой леммы (в более или менее явном
виде) можно найти в учебниках топологии.
Вернемся к нашим теоремам. Отметим, что в процессе
доказательства теоремы 6 нам будут необходимы так
называемая подготовительная теорема Вейерштрасса и
некоторые другие предложения из гл. IX.
С первого взгляда можно было бы предположить, что
теоремы 5 и G являются непосредственными следствиями
теорем 2 и 4, поскольку „многообразие" Е, определенное
уравнением (59) „(2^—2)-мерно". Действительно, теоремы 5
и 6 следуют из теорем 2 и 4, но вовсе не
непосредственно. Мы могли бы для этого перехода воспользоваться
имеющимися в литературе теоремами о возможности так
триангулировать точечное множество тина Е, что оно
подразделяется на дифференцируемые или даже аналитические
симплексы размерности =^ 2^ — 2. Однако для того чтобы
воспользоваться этими теоремами, их нужно еще
приспособить к нашим целям. Нам надо знать, что каждый из
симплексов нашей триангуляции может быть вмещен вместе со
своим замыканием внутрь некоторого объемлющего
„регулярного" симплекса размерности ^2k — 2. Даже если это
и может быть установлено, полное доказательство теоремы
о триангуляции окажется более длинным и более сложным,
чем прямое доказательство наших теорем; таким образом,
16 с. Бохаер

242 Гл. Vlll. Устранимые особенности
последнее представляется оправданным со всех точек
зрения.
Теорема 6 доказывается методом математической
индукции по числу переменных, от которых зависит функция <1>.
Сначала мы покажем, что теорема верна, если функция
Ф (Zi,... ,Zi^) в пределах окрестности U зависит только or
одного (комплексного) переменного.
Итак, пусть выполняются предположения теоремы 6 и,
сверх того, известно, что функция Ф зависит от одного
переменного. Без потери общности мы можем сделать
точки (а) и (Ь) началами координат в соответствующих
пространствах и обозначить через Zi то переменное, от
которого зависит функция Ф. Итак,
Ф{z^,...,z,)~F{z^) нри iz)^U. (61)
Здесь F (Zi) — аналитическая функция Zi в некоторой
окрестности точки zi = 0, F(0) = 0, но Fi (г,) г/:. 0. Поэтому
должны существовать такое положительное число р и такое
целое положительное число т, что при l^', |<^р
Здесь 2 (^^i) — функция, аналитическая и не обращающаяся
в нуль при |2'ij<^p. Поэтому если р' такое положительное
число, меньшее р, что полицилиндр Р(р')
содержится в U, то множество Е (в пределах полицилиндра
Р(р')) в точности состоит из точек
{Е) [z, = 0, 1гИ<Р'. •••. \Ч\<П (62)
Образы точек (62) при отображении (60) составляют часть
множества Е^,,, лежащего в Q (р'). Здесь Q (р') — образ
Р(р') при отображении (60) (мы используем
одно-однозначность отображения (60)). Применяя теорему 4 (с «~j-2==2/e),
установим, что часть множества Е^^,, заключенная в
окрестности Q (р') точки (да) = (0), обладает свойстиом,
выражаемым равенством (52).
Используя результаты § 7, на основании этого
заключим, что G(w) — аналитическая функция во Bceii окрестности
точки (w) = (0). Таким образом, мы прошли через
начальную стадию индукции.

9. Основная теорема об устранимых особенностях iii
Теперь предположим, что р — фиксированное целое
число, удовлетворяющее условию
irs^p<:k.
Допустим, что наша теорема верна, если функция Ф
зависит в ^ не более чем от р комплексных переменных.
Покажем, что тогда паша теорема верна всякий раз, когда
функция Ф зависит от р-^1 переменного.
Итак, пусть выполняются предположения георемы 6 и,
сверх того, известно, что Ф зависит только от р-j-I
переменных из числа z^, ..., Zp.. Без потери общности мы можем
обозначить переменные, от которых зависит функция Ф,
через z^ •г'р + 1 и сделать точки (а) и (р) началами
координат и соответствующих пространствах. Итак, в нашем
случае
Ф(г,, ..., Zi;) — F(,Zu ..., ^p^i)-
Здесь F(^i, ..., Zp^i) — аналитическая функция своих
аргументов в некоторой окрестности значений Zi = .. . = z^,^^i = 0,
/•'(О, ..., 0) = 0. Мы должны, далее, различать два случая:
Случай А: /-'(О, ..., О, Zp^.y)^=0.
Случай Б: F((), .... О, Zp^^)фQ.
В случае А (см. § 2 гл. IX) можно недобрать такое
неособенное однородное лнне1'1Ное преобразование
Zj r= 2j «;,„ C,„, ]=\, ..., p-\ [, (63)
что для функции
окаже1СЯ
F'(0, ..., 0, Cp+i) Ф 0.
Если мы присоединим к преобразованию (ПЗ)
преобразование
то получим неособенное однородное лине!шое
преобразование исходного пространства переменных Zy, ..., z^. При
этом преобразовании множество точек
(£) {F(.zi, .... Vj) = 0]

244 Гл. VIII. Устрани.чые особенности
переходит в точечное множество
(£') [F4C,,..., W=o].
Из того, что отображение [(63), (64)] пространства
переменных z^, ..., Z/i на пространство переменных Ci, ..., С^, имеег
единственное обращение (которое снова яиляется линейным
отображением), следует, что отображение Ci, ..., С^ на
'0^1, ..., Wii обладает всеми свойствами отображения (60).
Таким образом, после замены функции Ф (^■j, ..., г/^)^^
^ F {Zi,..., Zp^i) функцией F' (Ci,. •., С^), функций /,• из
равенств (60) функциями /у (получающимися из/у в результате
преобразования [(63), (64)], для новых функций будут иы-
полняться все условия теоремы 6. Итак, мы свели случай А
к случаю Б.
В случае Б подготовительная теорема Вейерштрасса (см.
§ 1 гл. IX) устанавливает существование такого
положительного числа р, что при |^i|<Cp, •••, [•S'phI'Cp Функция
F(Zy, ..., Zp^^i) оказываегся иредставимо!'! в следуюп1,еы
виде:
F(Zu ..., Zp:^i) = [z1l^i^--Ai(Zu ..., Zj,) Z^-i'\'. . .-\-
-{'Am^Zu ..., Zp)]Q(Zj, ..., Zpi^A)-
Здесь функции Aj аналптичиы в полицилиндре [l^iK^p, ••■
..., |^^,j_j|<p| и Aj{0, ..., 0) = 0,/=1, ..., /л; функция
^(^■j, ..., Zp^i) аиалитичпа и не обращается в нуль в ноли
цилиндре [|^i|<p, ..., Hp+il<p].
Таким образом, если р'—-такое положительное число,
меньше чем р, что полицилиндр P(^') = [\zj \<^^',j=l,...,k]
содержится в f/, а его образ при отображении (60) —
Q (р') содержится в V, то множество Е (в пределах
полицилиндра Я(р')) в точности состоит из точек (z^, ..., Zj^),
для которых
'1- (•г'1 ^р ц) SS ^■p+i ~1- А, (г',, ..., Zp) z'^:^} -\-
-'г • • • 1- А,„ {Z, Zp) = О, (г) i Р (р'). (65)
Обозначим через D {z^, ..., z^^ дискриминант многочлена
(J'(2'i, ..., Zp^_i) (но отношению к переменному ^p+i). Иначе
говоря, функция D(2'j, ..., Zp) получается в результате
исключения г,,,, из уравнений Ф = 0 и ■-,—-— = 0.Величина/J

9. Основная теорема об устранимых особенностях 245
будет многочленом, составленным из коэффициентов
Aj, ..., Л,„. Поэтому D — аналитическая функция
переменных Z,, ...Zp в полицилиндре [|^у]<Ср'. 7=1. ••-,/']•
Мы должны снова рассмотреть две возможности, именно:
Случай \°. n{Zi, ..., Zp)^0.
Случай 2". Olzf, ..., 2р)ф 0.
Функции вида ^(2;,, ..., Z^^i) из (65) называются
отмеченными *) мпогочлепами степени /и. В § 2 гл. IX мы
покажем, что всякий отмеченный многочлен степени т может
быть представлен в виде произведения ja (где jasS/w)
неприводимых множителей
'} = I'l ■ • • I'm-
Здесь каждая функция •]>„ — непринодимы!* отмеченный
многочлен (функция того же вида, что и >}) от Zp^i степени
«а, где «I 4-- ■ ■ + «|1 = 'Я.
Дискриминант D многочлена >} равен тождественно нулю
тогда и только тогда, когда среди функции <!^^ имеются
одинаковые. Таким образом, в случае 1° некоторые из
множителей '^я в разложении функции >} могут быть
отброшены; подмножество Е будет полностью определяться
совокупностью всех отличных друг от друга мнои<ителей.
Произведение этих отличных друг от друга множителей
определяет отмеченный многочлен tj^*.
Равенства t{;* = 0 и <!^ = 0 определяют (в полицилиндре
Р{р')) одно и то же множество точек Е; дискриминант D*
многочлена ^'' не равен тождестиенно нулю. Таким
образом, все сводится к случаю 2°.
Рассмотрение случая 2", Мы разделим точки Е^,,
лежащие в Q (р') (где Q(p') — образ Р(р') при
преобразовании (60)), на два класса. Первый класс мы составим из
точек £щ,, являющихся образами точек £ (лежащих в Р(р')),
в которых D (^■j, ..., z^^Q. Второй класс составим из
точек Ej^, являющихся образами точек Е (лежащих в Р(р')),
в которых D (Zi, ..., Zp) = 0. Мы сначала покажем, что
функция G(Wi, ..., Wii) аналитична в окрестности каждой
точки первого класса. Для этой цели предположим, что
(ги")—некоторая точка этого класса, т. е. допустим, что
*) В русской литературе такой многочлен иногда называют
нормированным. (Прим. перев.)

246 Гл. Vrn. Устранимые особенности
в прообразе точки (w")—точке (z") Q Н лискримиыяит
D:^0. Так как '!^(z'l, ..., Zp!^]) = 0, то последнее может
иметь место только в том случае, если в точке {z")
-^— 7^ 0. Тогда в силу основной теоремы сун1,ествования
неявных функций (см. § 4 гл. И) уравнение '!^ = 0 можег
быть в окрестности точки (z") разренюно относительно
Zp_^^i и заменено следующим ураннением:
Vi = ?(^i- •••• ^р'^- (^^'*^
Здесь ср(2'|, ..., z^,) — аналитическая функция своих аргу-
мептон в окрестности точки (z", ..., Zp) и cp(z1, ..., 2'р)="
^0
— ^p+l-
Итак, в некоторой окрестности точки (z") множество /:'
определяется ураннением (66). Мы отделим действительные
и мнимые части в величинах ср, Wi, ...,Wj^ и запишем, что
9(^1. • • •. ^р) = «(-*^1. Уи ■■■, ^р' Ур) +
-\iHxu Ух, ■■■, Хр, Ур), ((37)
Wj = iij^-ivj, j=l, .... k.
Тогда образ (при отображении (60)) части И, лсжа1цей и
достаточно малой окрестности точки (г"), может быть задан
ураипениями
iij=fij-1. ^/ =Лу. 7=1. • • •. k.
Здесь аргументами функций /gyli и /^у являются величины:
-^1> J'i> • • • > Хр, УрА \Х\, У\1 • • • > Хр, Ур),
V (-"-I- Уи • • • . Хр^ J'/))> Xp-vl^ • • • . J'p+2. • • • - ^к, Ук-
Полученное отображение удовлетворяет всем требованиям
теоремы 4 (с n-\-1=k). Поэтому часть f^, являющаяся
образом указанной выше части Е, обладает свойством (52).
Отображение (60) гомеоморфно. Поэтому часть Е^,
попадающая в малую окрестность точки (да"), совпадает с
образом части Е, находящейся в соответствующей окрестности
точки (г'"). Отсюда на основании результатов § 7 можно
заключить, что функция G (a^i, ..., 10„) аналитична в
окрестности точки Wf^.
Таким образом, функция G оказывается аналитичной
н некоторой окрестности каждой точки (да") первого класса,
и исключительное множество Е^ в пределах Q (р') сводится

10. о якобианах 247
к точкам второго класса. Эти точки второго класса
определяются в результате образования пересечения множеств
£да и E'w, где Е'та — образ при отображении (f)0) множества
Е', состояи1,его из точек, для которых
/J(^j, ..., z^) = 0, (г)(Р(р'). (68)
Мы предположили, что иапш теорема верпа для функции Ф,
зависящей or р аргументов. Между тем сейчас мы
установили, что функция G{Wi, ..., Wp), определенная и
ограниченная (или, тем более, непрерывная) в Q(p'), там всюду
аналитичиа за возможным исключением множества Е'^', при
этом Е'тю — это образ множества (68) при отображении (60).
Но функция D зависит не более чем от р переменных. Таким
образом, мы можем заключить, что функция G аналитична
во Bceil окрестности точки и;, = .. . = гг;;^ = 0. Таким
образом, мы оказываемся в состоянии делать очередные шаги
в нашей индукции. Это завершает доказательство теоремы.
§ 10. О якобианах
Мы теперь докажем важную теорему для якобианов
систем функций многих комплексных переменных. Для
действительных переменных неравенство пулю якобиана
отображения свидетельствует о том, что это отображение является
(локально) гомеоморфным. Однако отображение может быть
в этом случае гомеоморфным, несмотря на то, что его
якобиан не всюду отличен от нуля. Например,
преобразование п = х^ гомеоморфпо отображает действительную ось
— оо<^ л: <;^ оо на действительную ось — оо <;^ гг <^ с» , а
производная ■-j— = 3x^ обращается в нуль при л: = 0.»Как
обнаруживается в результате некоторого исследования, эта
аномалия обусловлена тем, что рассматриваемые переменные
действительны. Оказывается, имеет место следующая
Теорема 7. Пусть Т— одно-однозначное отображение
открытого точечного подмножества (J аналитического
координатного пространства i^2ft(2) на некоторое
открытое точечное подмножество V аналитического координат-

248 Гл. VIII. Устранимые особенности
ного пространства S2ft (^)- Пусть в некоторых
окрестностях каждой пары соответствующих при этом
отображении точек (^z) i Hj* i^)> (^) ^ ^2S (^) могут быть так
определены локальные координаты, что отображение Т будет
там задаваться с помощью равенств
Wj = ^jiZi, ..., z„), j ={,..., k, (69)
где сру (г) — аналитические функции в упомянутой выше
окрестности точки (^z^, ..., z^.
Тогда отображение Т гомеоморфно, и его якобиан,
выраженный в каких-нибудь допустимых координатах,
будет всюду отличен от нуля:
*(- ''^^WtrffM'-^-"- <™»
Д о к а 3 а т о л ь ст но. То, что Т—гомооморфигш,
следует из леммы 1; мы доли<ны только показать, что
отображение Г обладает свойством, выражаемым соотношением (70).
Для этой цели положим, что р — некоторая точка U, ее
образ Tp = q(iV и что в какой-то малой окрестности
N(p) точки р преобразоиание Т задается уравнениями вида
(69), где (w) и (z) — подходящие координаты в
окрестностях N{p) и N(g)=r{N(p)).
Мы Сначала покажем, что якобиан (70) не равен
тождественно нулю в окрестности N (р). Это вытекает из
следующего известного результата (который мы выведем ради
полноты после окончания доказательства теоремы 7).
Лемма 2. Пусть ipj (г',, ... , Z/^), J = \, ..., k, суть
аналитические функции в окрестности М (р) некоторой точка р.
Если в N {р) якобиан этих функций тождественно равен
нулю, то в какой-то части М(р) выполняется
соотношение
Л(ср.(г), ..., Ф,(г)) = 0. (71)
Отсюда следует, что якобиан (70) не может
тождественно равняться нулю. В последнем случае отображение Т
в силу соотношения (71) не переводило бы
одно-однозначно некоторой части N (р) в соответствующую часть
N{q), между тем как отображение Т должно быть повсюду
гомеоморфным.

10. о якобианах 249
Вернемся к доказательстлу теоремы 7. Мы теперь имеем
ripaijo исходить из предположения, что соотношение
Ф{г^, ..., z,) = 0 (72)
принадлежит к числу рассмотренных и теореме 6. Поэтому
уравнения (69) определят (исходя из соотношения (72)) RN(q)
исключительное множество 7:^. Нл множестве N{q)—Е^
отображение, обратное (69), будет задаиаться с помощью
аналитических функций
Zj:=<!^j{Wi, ..., W^), 7=1, ..., k. (73)
Так как функции (J/y непрерывиь! в N(q), то в силу
теоремы 6 они должны бьгть аналитическими всюду в этой
окрестности.
Подставив выражегше для Zj из (73) в равенства (69),
получим тождества
^/ = 9y(4'i(^). •••. 'Ье(®)).
из KOTopi.ix будет следовать, что
^('■Р 'fft) д('Ь, 'Ь,,)
д(г„ .... 2,;) d{Wi,... , wu)'
; 1.
Последнее равенство имеет место не только па множестве
N{q) — Е^, но и во всей окрестности N{q)\ в частности,
оказь1вается, что в N{q) второй якобиан конечен.
Следовательно, первый якобиан отличен от нуля всюду в
окрестности N {р). В этом и состояло утверждение теоремы 7.
Обратимся к доказательству леммы 2. Если якобиан (70)
тождественно равен нулю, то матрица
^ ('-?!. •••, ?ft)
д («1,..., г„)
(74)
имеет ранг s, где Q^s<^k. Тогда равны тождественно
нулю все миноры определителя (70) порядка ^s, но среди
миноров порядка s имеются отличные от нуля. Если s = 0,
то все -^^-^ О и все срр постоянны. В этом случае за
соотношение (71) можно, например, принять равенство cpi — Ci = 0.
Рассмотрим случай s^O; пусть минор
д (2i, ..., Zs) ^
Возьмем точку jPq, в которой этот минор отличен от нуля, и

250 Гл. VfIL Устранимые особенности
поместим в нее начало новых локальных координат. Тогда
уравнения
фу (^1, • • • , z„ z,^i, ..., z^) = Wj, j=l, ..., s, (75)
могут быть u окрестности начала рагфешен!,! о^'носител1>мо
неличин z^, ..., Zg. Вшюлняя эту операцию, мгл придем
к равепстиам
^j=y-j i^s+u ..., z,,, Wi, ..., w^) J=l, ..., s. (7())
ЗдесГ) в силу теоремы 9 гл. II jx- — аналитические функции
неремепьнлх Zg_f.i, ..., Zi^, w^, ...,Wg в окрестности
значений z,;,^i = .. . = z^ = 0, Wi = w'i, ..., w^ = wl (где да?=г
= Wr{^), ..., 0)). Подставим шлражения для Zj ич (7fi)
в (5-[-1)-е уравнение (69). Тогда получим соотноигеиис
г,^.„ ..., z^)—Wg^, = 0 (77)
, iWj, ..., tw„ да,_,_1. (78)
9,s4-iO'-i. •••.
между норемегннлми
^s-bl> • •
Запигнем eio в виде
Фб+1*(^^+1. •••
!''..
•- 2^
> ^к
Wy, .... ад—'ш,^,., = 0. (79)
Соотношение (79) не может исполняться тождественпо в
неремепьнлх (78), так как и нем переменному w^^i не с чем
сократиться. Из равенства нулю всех миноров матрицы (74)
порядка ,v-[-l следует, что в действительности переметное
Zs_^i, ..., Z,; не могут входить в (79). Итак, равенство (79)
является нетривиальным соотношением типа (71). Получением
этого результата завершается доказательство леммы 2.
Из теоремы 7 мы выведем одно интересное следствие;
однако прежде сформулируем (под видом теоремгл 8)
необходимое здесь вспомогательное предложение.
Теорема 8. Пусть в области D {/„(^i, •••, г^,)} —
равномерно сходящаяся последовательность
аналитических функций, причем для всех п н zi D f„{z):^i).
Тогда предел этой последовательности f или всюду в I)
отличен от нуля, или равен там тождественно нулю.
Эта теорема известна для случая k=l. Поэтому (для
k = '2) если, например, в начале координат/(^^i, Z2) = 0,
то f{z^, 0) = () для всех Zi. Отсюда, далее, будет
следовать, что f{z", z^ = 0 для каждого zl и всех z,^. Дальнейшие

10. о якобианах 251
рассуждения оченидни. Исходя из теорем 7 и 8, можно
получить следующее предложение:
Теорема 9. Если каждое преобразование
последовательности
{S'^) Wj=/'j\z^ Z,), j=\ k, n=l, 2, ...
отображает гомеоморфно область D на некоторую
область Z)(") п в окрестности каждой точки D эта
последовательность равномерно сходится, то предельное
преобразование
{S) Wj =^fj (Zi z,,), j=\ k,
или так?нсе гомеоморфно в I), пли оказывается там вира-
ж:денным и том смысле, что его якобиан тождественно
обращается в нуль. Здесь /f{Zi z,.) — аналитические
функции в области D.
Доказательстио. Пусть ф(")—якобиан
преобразования .V("). В силу наших предполоиссний функции ф(")
сходятся рашюмерно к якобиану Ф предельного
отображения. Согласно теореме 8 последняя функция или
тождественно равна нулю (первая возможность), или вовсе не
обращается в пуль (вторая возможность). Во втором случае
отображение оказывается локально гомеоморфньгм; то, что
оно в этом случае будет гомеоморфным в целом, следует
из теоремы 3 гл. III. Согласно названной теореме, если
преобразование 5 переводит две различные точки Р и Q
в одну и ту же точку R, то можно указать такое достаточно
большое число п, что отображение *?(") будет переводить
некоторую точку Р("), „близкую" к Р, и некоторую точку Q("),
„близкую" к Q, в одну и ту же точку /^("). Это
противоречит локальной гомеоморфности преобразования 5(").
ЛИТЕРАТУРА
1. S. В о с h п е г, Linear partial differential equations with constant
cofficients {Aiinals of Math., т. 47 (1946), стр. 202—212).
2. С. С a г a t h ё о d о г у, Ober die Abbildungen die durch Systerae
von analytischen Funktionen von mehrcrer Verandcrlichen erzeugt
werden {Math. Zeifs., т. 34 (1932), стр. 758—792).
3. С. С a г a t h ё о d о г у, On Diriclilct's integral (Amer. Journ.
of Math.. T. 59 (1937), стр. 709—731).

Глава IX
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
§. 1. Подготовительная теорема Вейерштрасса
Если
со
P(w)= ^P.w'^
— аналитическая функция комплексного переменного г«
в начале координат, Р(0) = 0, но Р(т)фО, то существует
такой индекс s>-0, что P„ = Pi = ... = P^_j = 0, а Р^^О.
В этом случае для любой аналитической и начале координат
функции
п --0
Я (W) — у Я„ W'^
п. --0
отношение
P{w)
также ока;?ывается аналитической фy^н<циeй к начале
координат.
Другими словами, в некоторой окрестности начала
координат в этом случае существует такая аналитическая
функция Q{w), что
S— I
Q{w)P{w)~B(w) = —yB^w''.
Мы установим сейчас аналогичный факт для случая k
комплексных переменных.

}. Подготовительная теорема Вейерштрасса 253
Лемма 1. Пусть
со
P{Z„ ...,Z,^.,,W)=^P,{Z)W'^ (1)
« = 0
— аналитическая функция в начале координат и
Р„(0)=...=Р,..(0) = 0, (2)
но Pj,, (0) ф 0. Для удобства положим
PsiO)=l. (3)
Тогда для каждой функции
в (^1, ..., z,_„ да) = 2 ^^п (^) ^". (-1)
п -О
аналитической в начало координат, существует такая
функция
Q(^. ^/.-1, к^)= 2q„(~^)^"- (5)
тоже аналитическая в начале координат, и такой
многочлен от W степени s — 1
S~ I
Hiz„ ..., z, „ w) = ^H„iz)w'\ (6)
где
Я„(0) = 5„(0), « = 0,1 5-1, (7)
tf все Н^{г) Н^, ,{г)---аналитичны в начале
координат, что
Q{z, W) P{z, w) — B{z, w) = H{z, w). (8)
Здесь функция Q{z, w) и „многочлен" H(z, w)
единственным образом определяются равенством (8), условием
аналитичности в начале координат, требованием степени
S — 1 для Н и наличием соотношений (7) для
коэффициентов Н.
Для дальнейшего (см. § 2) удобно отделить в этой лемме
формальную часть от аналитической. Мы будем
рассматривать формальные степенные ряды, как в гл. I. Формальный

254 Гл. IX. Алгебраические теоремы
степенной ряд, который мы возьмем вместо функции
P(Zi, ..., Z/i_i, w), будет попрежнему иметь вид (1), но
теперь в нем под коэффициентами Р„ (2') следует понимать
тоже формальные степенные ряды. Таким образом, если мы
положим
P(Zi, ..., Z„..i, W):
I
«1 "k—l•'^ "^
TO надо считать, что
(X)
^«(■2')=^ 2j '^'ti 4-1,"^! • • • •^fc''-~i'•
»l «Л- I '0
Услоиио P„(z)==0 теперь выражает, что а,ц ,,, „|^_^n ^0
для любых «1, ..., /?/j_i, п^О, 1,2, ...; равепспю /^„(0) = (),
что а„ ... (,„ = 0; равенство Р„(0)=1, что а^ ... пя=^'-
Отметим, 410 в случае необходимоеги мы в дальнейшем
будем запнсыпагь формальные ряды типа P„(z) в виде
f\(^)=2,pn^(^)-
ц= о
Зяесърщ,—однородные многочлены от переменных2'j,... ,z,,^_i
степени ]х. Очевидно, что условие У-'„(2')-=0 равносильно
условиям jO„^(2')heO. Отметим, что так как pnii —
многочлены, то последние равенства имеют не только „формаль-
Н1лй", но и „аналитический" смысл. После этих замечани!'!
мы приступим к доказательству следующей леммы, впрочем,
весьма мало отлича1оа1ейся от леммы 1.
Лемма Р. Пусть (1) — формальный степенной ряд,
дли которого выполняются условия (2) и (3). Тогда дли
каждого формального степенного ряда (4) существует
такой формальный степенной, ряд (5) и такой многочлен /7
степени s — 1 относительно w, удовлетворяющий
условиям (7) (его коэффициенты являютсч формальными

^ 1. Подготовительная теорема Вгйерштрасса 255
степенными рядами от переменных Zp ..., 2'^_ij, что для
них имеет место равенство (8).
Функция Q (z, w) и многочлен Н определяются
единственным образом в качестве формальных степенных рядов
перечисленными выше требованиями, т. е. наличием
равенства (8), условий (7) и требованием степени s — 1
(/го w) для Н.
Доказательство леммы Р. Для того чтобы
выполнялось paiiCHCTHO (8), должно -быть
т
2 Q, (-') Рш -, (^) ~- Иш (^) --^ о при /« - S'. (9)
Если мы покажем, что существует один и только одни
ряд (5), для коэффициентов которого имеют место
тождества (9), то этим Hanie утверждение будет доказано.
(Возможность однозначного подбора „многочлена" //,
удовлетворяющего поставленным требованиям, будет после эгого
очевидна.)
Mi.i положим
а) (XJ
п О ;; .0
Г'>пЛ~)=--^Ь,„Лг)- (10)
п ^0
Здесь р^п, q^n ч ^тп — однородные многочлены степени //
относительно переменных г', Zi^^. Тогда требова1Н!е (9)
будет равносильно условиям
т п
2 }j '/i'^ (^)/''« - г- п .^. V (^) -- Ь,„„ (г) = О
ц -О V О
ДЛЯ т:,-^s, H-__sO. (11)
В силу условий (2), (3) и того, что Рпп{^) 110стоя1П1Ы
ДЛЯ всех и=0, 1, 2
р,, (г) = ... = р^_.у^ ,(г):=0, р,, (г) -1. (12)

256 Гл. IX. Алгебраические теоремы
Поэтому
т п т п—I
т т п—I
-|- ^Я\^n (2) Р,п--^, „ (Z) ;^ 2 Yi^i'^z) Рт-^,, „-V {z) -\ - (С})
т—i—1
Рт—Ц1 п
{Z).
п—I т—S—I
здес1.
v=0 ц™4)
11, 1 lib л—1
Мы подразумеваем, что суммы \ и ^ заменяются з.
нулями, если п=^-0 или m^s.
Таким образом, мы получаем вмесго услоии1'1 (И)
равенства
т п—I
Ят-з, п (^) ~ Ь,пп (^) — 2 2 "^'"^'•*'""-""' "-' ^~^ ~
т—i—1
— 2 4vn{Z)Pm-v., n(^).
(где mVr^s, n --0). Заменяя здесь m на m^s, получим
вместо равенств (14)
^ш« (^) ~ Ь„ ,,^ „ (г') -— 2 2 ^'" ^^^ '"'«+^-1'. "-' ^-^ '
m—I
(где тГ-'^О, п'г^О). В частности, при /и=и^ О из равенств (15)
следует, что
^oo(^)^^oW- (16)
Покажем теперь, что все q^^ могут быть определены из
равенств (15) рекуррентным образом. Для этого рассмотрим
указатель
g(,m, n) = m-\-(,s-l\)n. (17)

1. Подготовительная теорема Лейерштрасса 257
Заметим, что для всех ^^v. входящих в npaeyip часть ра-
венсгв (15), указатель g(ii, v) достигает наибольшего
значения, когда или ii. = m-\-s, v = /z — 1, или когда ]i = m — 1,
ч = п. Поэтому
g(у., V) s£ max [т -^- s-]- (s-{-1)(ft— I), т— I -\- (s -\^ I)п] =
= m-[-(s^- l)n— \=q{rn, n) — 1.
Таким образом, для всех ^ц,,, входящих в правую часть равенств
(15), g{y., '^)<^g{m, п). Следовательно, соотношений (15)
достаточно для того, чтобы единственным образом
выразить ^^„ (г') через те ^^v(.г), для которых ^(]х, ->Xigint,n).
Этим выводом завершается доказательство леммы 1*.
Теперь обратимся к доказательству леммы 1. Мы должны
показать, что функция Q (z, w), определенная с помощью
найденных нами ij (посредством формул (10) и (5)), анали-
тична в начале координат всякий раз, когда функции Р к В
обладают этим свойством. Аналитичность функции Н в
начале координат непосредственно следует из равенства (8).
Из аналитичности функций P{z, w) и 5 (г, w) вытекает
существование таких положительных чисел М, р, о, что при
I'^iKp Ufe^il<Cp и Д'™ всех т, п = 0, 1, 2, ...
будет
К К
Так как с помощью линейного преобразования в плоскости w
круг |гг)|<^о можно перевести в круг |а)|<^1, то мы не
ограничим общности рассуждений, если положим о= 1.
Тогда предыдущие неравенства заменятся следующими
|/;„„(^)К^. \Кп(.^)\<Л^' т, я = 0, 1, 2, ... (18)
Здесь предполагается, что точка (^-j, ..., z^ принадлежит
к полицилиндру
(Л) [l^iKp \ч^Л<^\ (19)
Докажем существование таких постоянных К, Сие, что
для (г) 6 А^, т, « = 0, 1, 2, ... будут
\Я,пЛ^)\<КС'^'^"- (20)
17 С. Вохнер

258 Гл. IX. Алгебраические теоремы
Прежде всего возьмем АГ^1, С^1, с^1 и К иасголько
50ЛЫ11ИМ, 410 окажется
Теперь мы докажем неравенство (20) путем индукции по
указателю g{m, п), определенному формулой (17). Для
некоторых произвольных т„, п^ с g{m^, щ)^0 допустим, что
неравенство (20) имеет место для величины q^^ всякий раз,
когда g(ii, '*)<^g{pi^, Л(|). На основании этого покажем,
что неравенство (20) имеет место для величины ^^„ всяки!'!
раз, когда g(m, n)=g(m^, п^). Для такой функции q^ni^)
в силу (15), (18) и исходных предположений нашей
индукции при (z) f Лр
m-\-s п—1 т—1
ц=0 v=0 li=0
< м + мк^^ ^^ м- мксп ^j.
Наша задача — так подобрать С^1 и с^1, чтобы
последнее выражение не превосходило КС'"с'', или, другими
словами, чтобы
A'C'V 1'^(С-1)(с-Г)'т^ С—l"^ • ^ '
Последнее неравенство будет иметь место, если мы возьмем
С^ЗМ-]-1, с^С*+'-|-1. Таким образом, наше
предположение подтверждено, неравенства (20) доказаны.
Из этих неравенств, очевидно, следует, что ряд
Q{Z, W)= 2 Qmni.^)^"
СХОДИТСЯ абсолютно и равномерно для точек (z, w) любого
замкнутого множества, лежащего внутри полицилиндра
[ I •2'i I <С Р/'^» •••> I •^ft-i I <С р/с. 1^1 <С'']- Отсюда, далее,
вытекает, что функция Q аналитична в начале координат. Таким
образом, лемма 1 доказана.
Мы применим этот результат к специальному случат
функции
E(z, w)=w\ (22)

1. Подготовительная теорема Вейерштрасса 259
Согласно лемме 1», должны существовать такой
формальный ряд от переменных z^, ..., 2'^_i, w и такие
формальные ряды Hq(z), ..., H^^j(z) от переменных z^, ..., 2'^.,
(причем все Hj (0) = 0), что
Q(z, w)P(z, w)^w'-]-H„^,(z)w'''^y ... -\-H„(z).
Здесь ряды Q и //„, ..., //^_i определены однозначным
образом. Кроме того, так как qon = l (=Ь^о) (см. (16) и (22)), то
и Q(0,0)=1. Легко видеть (и мы это покажем в начале
следующего параграфа), что для каждого формального
степенного ряда с отличным от нуля свободным членом всегда
сущесгвует один и только один обратный формальный
степенной ряд, тоже с отличным от нуля свободным членом.
Таким образом, оказывается, что
-— = Q (Z, w),
Q (2, да) V > />
где 2 (z, w) — также формальный степенной ряд от
переменных Zy, ..., z^^i,w и 2(0,0):5г^0. Этот результат и
составляет подготовительную теорему Вейерштрасса для
формальных степенных рядов. Согласно лемме 1, если функция Р
аналитична в начале координат, то тем же свойством
обладают и функции Q, Q, Щ, ..., Н^_1. Таким образом, мы
приходим к обычной (аналитической) формулировке
подготовительной теоремы.
Теорема 1 (Подготовительная теорема
Вейерштрасса). Если P(Zi, ..., Zii_i, w) — аналитическая функция
в начале координат, причем
Р(0, ..., О, 0) = 0, Р(0, ..., о, п>)фО, (23)
то в некоторое окрестности IJ начала координат
Р (г, W) — (W' -1Н,_у W'-' -]-... -! Я„) Q (Z, w\ (24)
где Hj{Zy, ..., z^_i), Q{,Zy, ..., z^.i, и») — аналитические
функции в начале координат, причем 2(0, ..., 0) ^^ О, а
ЯДО, ..., О, 0) = 0, у=1, ..., s—\. (25)
Здесь S — порядок нуля функции Р(0, ..., О, w) в точке
ву = О, Функции Q, //о, ..., Hg_i однозначно определяются
условиями теоремы.

260 Гл. IX. Алгебраические теоремы.
Мы могли бы сейчас сформулировать теорему 1 и для
формальных степенных рядов. Однако удобнее отложить эго
до следующего параграфа; там мы дадим видоизмененную
формулировку нашей теоремы под названием теоремы 2.
Мы хотим закончить настоящий параграф другим
доказательством подготовительной теоремы. Оно основываегся
на аналитических рассмотрениях и не связано с только что
проведенными рассуждениями.
Доказательство теоремы 1 (для аналитического
случая). Функция Р(г, w) аналитична в начале координат,
Р(0, w)^.0. Поэтому должны существовать такие числа
й^О и о^О, что функция Р(г, и>) будет аналитической
в замкнутом полицилиндре I |^i 1=^0, ..., ]zft_j |^о, |ву |<^£],
|Р(0, ву)|^а^О для |гг;] = е, и при |i«|:^e функция
Р(0, w) представится сходящимся степенным рядом
Р(0, ву)=РХ + /'.+1а''+'+ ... (26)
Здесь s^O, Pj 9*-0. Далее, пусть в некогорой окрестности
начала координат Л, U^/l<Cpi J^l, •■ ■, к — 1), где
Р<о, будет
\P(z, w)~P(0, i«)l<a при \w\ = e.
Напомним, что согласно теореме Руше, если функции Fy (w)
и F.i (w) регулярны в замкнутом круге | ау | =£ е и на
окружности \w\:^e \Fi (w) \<^\Fi{w) \, TO функции F^ (w)
и Fi(w)-\-Fi(w) имеют в круге \w\<^£ одно и то же
число нулей. Поэтому, полагая Fi(w) = P(z, w) — Р(0, w)
(для фиксированного (г) i Ар), F<i(w) = P{0, w), мы
установим, что функция Р(г, w), рассматриваемая как функциям,
имеет для каждого z i А^ как раз « нулей в круге |ву|<^е.
Пусть {z\,..., zl—i) — некоторая фиксированнаяточка А^ п
— значения w в круге [о'К^е, для которых P{z'*, zj)) = 0.
Известно, что если р (да) и qj (w) — аналитические
функции комплексного переменного w в замкнутом круге | а»|г< е,
функция p{w) имеет в_ круге |i«|<:^e s нулей w^, ..., w^
и совсем не имеет нулей на окружности |а)| = й, то

/■ Подготовительная теорема Вейерштрасса 261
Полагая ср (ш) = ау'', /> (ву) = Р(г", w), мы отсюда найдем:
Так как при |гг;1^е, z" f Лр величина P(z", да) ^^^ О, то
подинтегральное выражение будет аналитической функцией
этих переменных. З'начит, для любого г выражение [ау[(г)-4'
-]-•.. -j"^J(^)] является аналитической функцией
переменных 2j, ..., Zif_i в полицилиндре Лр. Благодаря известным
свойствам элементарных симметрических функций из
сказанного вытекает, что выражение
{w — w^{z)] ... {w — w,{z)\ (27)
может быть записано в виде многочлена
w'-irth^,iz)w'-'^ ... +//„(z) = «(z, да)
с коэффициентами, являющимися аналитическими
функциями Zi, ..., 2^_1 в Лр. Так как функция Р(0, w) имеет
S-кратный нуль в точке ву:^0 (см. (26)), то все Hj(z),
у^О, 1,..., S— 1, обращаются в нуль npuzi^ • • • = ^а-1^0'
Очевидно, функция 2(2, w), определенная равенством
Q(z, да) = -4-^—{,
^ ' It(2, да)'
не может обращаться в нуль в начале координат. То, что
функции я и Р определяются в наших условиях
единственным образом, также очевидно. Нам остается доказать, что
Q — аналитическая функция в начале координат. Для
фиксированного (2") $ Лр
г, , „ . Р(2», w)
О (г", да) = —-;г—\
^ ' ' It (2°, W)
— аналитическая функция да в точке да = 0. Мы еще
покажем, что для каждого да" из круга |да|<^е Q (z,да") —
аналитическая функция Z в некоторой окрестности начала
координат пространства переменных z. Действительно, в такой
окрестности
I ш I =1

262 Гл. IX. Алгебраические шеореми
на окружности | <о | = е функция я (z, ш) ^^ О для точек z в
некоторой окрестности начала координат, и поэтому Q(z, ш) —
аналитическая функция неременных Zf, ..., Z/^i, w. Отсюда
вытекает, что Q (г, та»") — аналитическая функция
неременных Zi, . •., Zfi_i в рассматриваемой окрестности началл
координат. Следовательно, согласно теореме Гартогса
(теорема 4 гл. VII) Q(z,'W) — аналитическая функция
переменных Zj, ..., г^_1, ву в окрестности начала координат. Этим
доказательство подготовительной теоремы (для
аналитического случая) завершено.
§ 2. Отмеченные многочлены
В § 1, гл. II мы видели, что совокутюсть формальных
степенных рядов, построенных для к переменных Zi,...,z^
(формально умножаемых друг па друга без учета
сходимости), образует коммутативное кольцо- Мы обозначим это
кольцо символом 1^. Если Р — некоторый элемент этого
кольца, то можно записать, что
P=P,-\~Pi'-\-P^^---. (29)
где каждое слагаемое pj — однородный многочлен степени/
от переменных Zj, ..., г^. Если /?„ — младший, не равный
тождественно нулю многочлен в (29), то мы скажем, что
число п — степень элемента Р. Таким образом, например,
элемент степени нуль имеет свободный член, у элемента
со степенью больше нуля свободный член отсутствует.
Как мы уже заметили в § 1, гл. I, кольцо 4 "^
содержит делителей нуля. Таким образом, если Р $ /(,, Q ё 4
и PQ^O, то или Р^О, или Q = 0, или оба эти элемента
равны нулю. Легко видеть, что кольцо 4 содержит
делители единичного элемента. Делители единичного элемента
определяются как элементы Р кольца 4> обратимые при
умножении; этим элементам Р соответствуют в 4 такие
элементы Q, что PQ^^l. Оказывается, что множество
делителей единичного элемента кольца 4 тождественно с
множеством его элементов нулевой степени. Действительно,
пусть Р—делитель единичного элемента; предположим, что
он задан в виде ряда (29), а обратный ему элемент Q—
рядом

2. Отмеченные многочлены 203
В результате умножения Р на Q (но праиилам этого де!'1-
ствия для элементов кольца /,,) получим
т
/"«^0=1. 2а'у?,„-у=0, /я=1, 2, ... (30)
j = 0
Отсюда, в частности, следует, что p^j^ О, и поэтому сте-
нень Р равна нулю. Обратно, пусть Р элемент /^ степени
нуль. Мы запишем его рядом (29) с Ро^^О и определим,
исходя из соотношений (30), с Г10мош,ыо серии
рекуррентных формул, элемент Q, связанный с Р соотношением PQ =
= 1. Таким образом, Р — действительно делитель
единичного элемента.
Итак, наше кольцо коммутативно, содержит единицу и
не содержит делителей нуля; ввиду этого оно является
областью целостности с единичным элементом. Позже
мы используем этот факт.
Лемма 2. Пусть Р — элемент нашего кольца степени
s^l. Тогда существует такое неособенное линейное
преобразование, что при нем образ Р' элемента Р будет
содержать член cz'^, где с ^0.
Замечание. Элемент Р', обладающий указанным
свойством и не содержащий членов вида azi (а—постоянный
коэффициент, q<Zs), мы назовем правильным элементом
степени s относительно переменного z\.
Доказательство леммы 2. У нас
Пусть
Положим
1
а, ... „г*!.. .z^k.
к
тогда коэффициент при г'! в многочленер^ будет равен
2 ^s,...s,{b\y^...{birK (31)
ii \ + 4-,г = «

264 Гл. IX. Алгебраические теоремы
Так как р^ {z^, ..., г^)фО, то шр^{Ь\, ..., Ь\) ф 0; слбдова -
тельно, можно придать такие значения величинам Ь\, ••., Ь1
(обязательно хотя бы частью отличные от нуля), что
коэффициент (31) не будет равен нулю. Мы дополним эти
значения bi, ..., bl значениями &у (гдеу^ I, ... ,k; к^2,...
... ,k), взятыми так, чтобы Det b'j Ф 0. Таким образом,
Л,у=1 fe
мы построили линейное преобразование, удовлетворяющее
всем требованиям леммы 2.
Лемму 1» можно перефразировать следующим образом:
Пусть Р — правильный элемент кольца 4 степени s_j-\
относительно переменного z^, В — произвольный элемент этого
кольца. Тогда можно указать в кольце 4 такие два
элемента Q и
я=л,4~' + .-- + Л-
(где Ау, ..., ,4^ — элементы кольца 4-i). что окажется
qp=B\H.
в формальном случае подготовительная теорема Вейерштрасса
гласит:
Теорема 2. Если Р — правильный элемент кольца 4
степени s7^\ (относительно переменного Zf^,) то
;, = (4+л,4~'+•••+Л)^• (32)
Здесь Ai, ..., А^ — элементы кольца 4-i степени,
большей чем нуль, Q —элемент кольца 4 степени, равной нулю.
Элементы Ау, ,.., А^ и Q определяются единственным
образом.
Определение эквивалентности в 4- Д^а
элемента Р и Q аз [,, мы будем называть эквивалентными друг
другу, если P^QE, где Е — делитель единичного элемента.
Определение отмеченного многочлена. Если
элемент тг кольца 4 можно представить в виде многочлена
A,zl-\-AA~' + ----\-A„ (33)
где Ad, .. ., А^ — элементы кольца 4-i' то оп принадлежит'
к кольцу многочленов с коэффициентами иа 4- i- Кольцо
этих многочленов мы обозначим символом 4-i [^кУ, ^' дзлее,

2. Отмеченные многочлены 265
называется отмеченным элементом кольца 4 ~ i [^и]' ^сли
Лц=1 и степени всех элементов Ai, ..., А^ больше нуля.
Теперь мы можем заменить формулировку теоремы 2
(подготовительной теоремы Вейерштрасса) следующей:
Следствие. Всякий элемент Р кольца 1^,
регулярный относительно переменного Z/^ степени s, эквивалентен
некоторому отмеченному многочлену из кольца 4 _ , [г^]
той же степени S.
Теперь мы (главным образом для удобства справок)
сформулируем (и докажем) следующую лемму:
Лемма 3. Если P=Q • R, где Р, Q и R — элементы
кольца, ар — правильный элемент относительноZj, то или
1) один из элементов Q и R является делителем
единицы, а другой — правильным относительно Zj, или
2) Q и R — правильные элементы относительно Zj.
Доказательство. По определению, элемент
является правильным по отношению к переменному Zj в том
и только в том случае, если
f ДО, ..., О, zj, ..., 0) Е^ 0. (34)
Мы обозначим степени Р, Q и R соответственно чере^ а, [5
и у. Тогда, очевидно, а^^-^-у, а^О, [5;^О, у^0. Пусть
Если р^О, то Q — делитель единичного элемента и у^*-
В этом случае p^^q^„, и, следовательно, многочлены /)„ и
Га обладают свойством (34). Тогда R — правильный элемент
по.отношению к переменному Zj. К аналогичному выводу
мы придем, рассматривая случай у^О. Если ^у-у& О, р^ =
^q^Kf, тон q^ и r-f обладают свойством (34). Наша лемма
доказана.
Определение приводимости. Если Р^ Q- R,
где Р, Q а R — элементы 4 и ни Q, ни R не являются
делителями единичного элемента, то элемент Р мы будем
называть приводимым в 4- Если элемент Р нельзя представить
указанным образом, то он называется неприводимым в 4.

266 Гл. IX. Алгсбрааческае теоремы
Лемма 4. Отмеченный элемент Р кольца 4_i[^,,],
приводимый в 4, приводам и в li^^i [z/,].
Доказательство. Пусть P^Q!^, причем Q и /? не
являются делителями единичного элемента 4. Так как Р—
правильный элемент относительно переменного z^, то
согласно лемме 3 Q и /? — тоже правильные элементы
относительно переменного г^. Поэтому в силу следствия 1 эти
элементы эквивалентны некоторым отмеченным многочленам
из 4_i[Zft]. Пусть Q = qE', R = rE", где q, г — указанные
выше отмеченные элементы кольца 4_i [г^], а £', Е" —
делители единичного элемента 4- Тогда P = qrE* и ясно, что
qr — тоже отмеченный многочлен. Подготовительная
теорема обеспечивает единственность представления элемента Р
как произведения отмеченного многочлена и делителя
единичного элемента; отсюда мы заключаем, что £* = 1 и P=.qr.
Таким образом, мы показали, что элемент Р приводим в кольце
4 -1 {^Л-
Теорема 3. Каждый элемент Р 6 4 разлагается
единственным образом на произведение неприводимых
множителей (единственность — с точностью до эквивалентных
разлож:ений).
Доказательство мы будем вести методом индукции:
допустим, что теорема верна для /y_i {vAeJ—какое-то из чисел
1, ..., k), и покажем, что тогда она верна и для /у. Отсюда,
так как эта теорема (тривиально) верна для 4» оудет
следовать, что она справедлива и для любого 4-
Рассмотрим некоторый элемент Р ё Ij. Если его степень
равна нулю, то он является делителем единичного элемента
и сам по себе уже имеет достигаемый нашим разложением
вид. Поэтому предположим, что степень Р больше нуля.
Очевидно, наше разложение на множители (лево-) инвариантно
по отношению к неособенным линейным преобразованиям.
Поэтому мы можем, без потери общности, предположить, что
Р — правильный элемент по отношению к переменному Zj
(см. лемму 2). Теперь на основании следствия 1 мы можем
заключить, что элемент Р эквивалентен некоторому
отмеченному многочлену / из 7у _ j [Zj~].
Воспользуемся теоремой алгебры (см. ее, например,
в книге, указанной в списке литературы, приведенном в конце
настояш,ей главы под № 8), устанавливающей, что если

2. Отмеченные многочлены 267
R — область целостности, для которой справедливо
предложение о возможности единственного разложения па
неприводимые множители, то тем же свойством обладает и /? [z].
Поэтому в силу исходного допущения индукции мы должны принять,
что каждый элемент /?//_i[^/] единственным образом
разложим на произведение неприводимых элементов Ij^ilZj].
Но согласно лемме 4 множители, входящие в разложение
элемента / на элементы [j, эквивалентны некоторым
элементам Jff^ilzj]. Поэтому два разложения элемента / на
элементы Ij должны состоять из одних и тех же (с точностью
до эквивалентности) сомножителей. Таким образом, эти
разложения по существу не отличаются друг от друга. Итак,
мы доказали, что при сделанных предположениях наша
теорема верна для /,-; следовательно, она верна и для 4.
В остальной части настоящего параграфа мы будем
рассматривать не формальные, а сходящиеся ряды, именно
элементы 4 илн 4_j [г^], являющиеся аналитическими
функциями в начале координат, точке Zj^.-.^^^^O.
Теорема 4. Пусть /i и Д — элементы Iit-\\^k\' ^''^"
литтеские в некоторой окрестности начала координат.
Если /2—отмеченный и неприводимый элемент, а элемент
/i обращается в нуль во всех тех точках рассматриваемой
окрестности, где- элемент /^ равен нулю, то /^ входит
в качестве сомножителя в разложение /j на произведение
неприводимых элементов.
Доказательство. Мы воспользуемся тем, что если /
и g — элементы 1^-1[^ь\ без общих множителей, то
существует линейная комбинация этих элементов с
коэффициентами из Ik-i{Zk\, сводящаяся к элементу 4_i, тождественно
не равному нулю. Такой вывод можно получить, используя
евклидов алгорифм нахождения общего наибольшего
делителя (он полностью применим в кольце 4 _ i [г^,]).
Допустим, что Д не является множителем /j. Отсюда
следует (так как Д неприводим), что /i и Д вообще не
имеют общих множителей и поэтому суи;ествуют элементы
).1 € /fe_i [г-J, Х2 i /й_1 Ы, для которых
Kf,Vhh = P, (35)
где Р — тождественно не равный нулю элемент l^-i-

268 Гл. IX. Алгебраические теоремы
Согласно предположениям нашей теоремы элемент/i равен
нулю всякий раз, когда Д обращается в нуль. Как известно,
Д — отмеченный и аналитический элемент Ik-.i[^k\ в
некоторой окрестности N начала координат. Поэтому для
каждой точки (d, ..., Cft_i) из некоторой достаточно малой
окрестности N' точки Ci^.. . = Cft_i^O найдется такое
значение переменного г^ = С^, что точка (d, ..., С^ _ i, С^) i N,
Л (^1. ■••.'^fe)^0, а следовательно, и Л (Cj,..., С^)^ 0.
Отсюда вытекает, что и Р (Cj,..., С^ _ i) == О во всех точках ЛГ.
Таким образом, мы приходим к противоречию, которое
заставляет нас отбросить сделанное допущение. Этим объявленная
теорема доказана.
Следствие 2. Пусть / н g — элементы /^,
аналитические в некоторой окрестности начала координат, а
элемент g там неприводим. Если элемент f обращается
в нуль во всех тех точках рассматриваемой окрестности,
где элемент g равен нулю, то g входит в качестве
сомножителя в разложение f на произведение неприводимых
элементов.
Доказательство. Мы, естественно, предполагаем,
что / и ^ не являются делителями единичного элемента.
Согласно лемме 2 существует такое неособенное линейное
преобразование, что при нем образ f'g' произведения fg
правилен относительно Zk. Тогда, в силу леммы 3, и / и ^' —
правильные элементы относительно zu и благодаря лемме 1
эквивалентны некоторым отмеченным многочленам из кольца
4 -1 [^k\- Дальнейшее следует из теоремы 4.
Следствие 3, Пусть f и g—элементы 4,
аналитические в некоторой окрестности начала координат. Если
во всех точках, где элемент g равен нулю, обращается
в нуль и элемент f, то каждый сомножитель из
разложения g на произведение неприводимых элементов является
такж:е и делителем /.
§ 3. Характеристические многообразия
Пусть /(да, z<^,,.., Zft) —аналитическая неприводимая
функция, не равная нулю. Предположим, что она обращается
в нуль в некоторой данной точке; мы примем последнюю за
начало координат. Предположим далее, что /(гу. О,.,. ,0) ^
== О (в силу леммы 2, это может быть всегда достигнуто

3. Характеристические многообразия 269
с помощью неособенного линейного преобразования). Тогда
согласно подготовительной теореме (теорема 1) будет
существовать такая окрестность
(U) [\w\<Cdi. \z,\<d,,..., \z,\<^d,] (36)
и в neii такая аналитическая и отличная от нуля функция
Q {w, z), что всюду в и
f + ^Q,
где
'!: = W'-\- Ci (г) zw^ - ' +... -1 - С, (z)
— некоторый отмеченный многочлен. Здесь Сц.,,, С^ —
аналитические функции переменных Zj,,.., г^ в
полицилиндре [\z,i\<^d<i,..., \Z/i\<^dii], обращающиеся в нуль вначале
координат.
Мы рассмотрим многообразие, определенное уравнением
/ = 0. Так как в окрестности U функция Q ^^ О, то в
пределах этой окрестности многообразие /=0 совпадает с
многообразием л ^ 0. Его мы и исследуем.
Дискриминант D {Zi,..., z^) функции л (w, z),
рассматриваемой как многочлен от переменного w, будет иекото-
рым многочленом, составленным из величин Cj (z),..., С^ (z).
Поэтому этот дискриминант является аналитической
функцией в проекции Z
[|^2|<^2,-.-- \^k\<dk\
окрестности U на пространство переменных z.^,..,, z^j.
Пусть S — степень тс (w, z) как многочлена от w. Если s ^ 1,
то D{z^,.: ., Zi;)= 1. Если s>l, то D (О, ,.., 0) = 0.
Благодаря неприводимости функции/(-да,Zjj,..., 2:^5)
многочлен я(гу, г) также должен быть неприводимым. Согласно
общей теореме алгебры, очевидно, применимой к нашему
случаю, дискриминант многочлена обращается в нуль в том
и только в том случае, если имеет хотя бы два
одинаковых неприводимых множителя. Поэтому у нас D фО.
Пусть г° (z2, ..., Zft) — точка полицилиндра Z, отличная от
начала координат, и D {Z2, ■.., z^) 7^ 0. В каждой точке z
достаточно малой окрестности точки z° уравнение л^О
будет иметь s различных корней
Щ = 9i (^). ■ • ■. ^s = 9s (^)- (37)

270 Гл. IX, Алгебраические теоремы
Им соответствуют s различных точек окрестности U:
Pi{Wi, z),..., P^{Ws z). Эти точки проектируются в ту же
точку {z) i Z; п каждой из них многочлен я обращается
в нуль.
В нашем случае согласно основной теореме существования
неявных функций корни (37) — аналитические функции
переменных Z2, ..., Z/i в некотором полицилиндре Р(2^, г),
составляющем окрестность точки (Z2, ....г^).
Мы обозначим через Л^ совокупность тех точек (z) С Z,
в которых D (z^, ..., Zii) :^ 0. Покажем, что точечное
множество Л^ связно, а каждая функция ^j, ..., ф^ системы (37)
может быть переведена в любую другую из них в
результате аналитического продолжения по надлежащим образом
подобранной замкнутой кривой. Сначала покажем, что
точечное множество Л^ замкнуто. Для этой цели установим
справедливость следующей леммы.
Лемма 5. Если f{w, z) — отмеченный многочлен из
кольца Ii^_i [w], то множество V тех точек U, где /у^ О,
связно {независимо от того, приводим многочлен f или
нет).
Доказательство. На любой двумерной плоскости
Z2 = a2. •■■. ^ft = «ft. l5^1<co, (38)
где (а^).-., Oft) — фиксированная точка Z, лежит только
конечное число точек U, в которых/(u', z)^Q. Обозначим
через р (а) часть плоскости (38), лежащую в U; на ней
1'^1<С'^1' Очевидно, точечное множество р {а) связно. Так
как к последнему множеству принадлежит только
конечное число точек из множества U— V, то и пересечение
р {а){\ V тоже связно.
Допустим, что множество V не связно. Тогда
существуют такие множества Vi и V^, что предельные точки V^
не попадают в V.^ (и наоборот) и V^-^V^^V. Так
как множество р{а) [\ V связно, то оно должно целиком
принадлежать или к V'l, или к V^. Таким образом, точки
множества Z можно разделить на два класса Zj и Z^: точку
(«2, ..., а^) S Z мы отнесем к Zj или Z^, в зависимости от
того, принадлежит л\1 р {а) {] V к V\ или Va.

3. Характеристические многообразия 271
Но множество Z связно. Поэтому всегда можно найти
последовательность точек а^ (ai, ..., а{),у'==1, 2, .,,,
принадлежащих к Zi, и имеющую предельную точку а (а^, ,.., а^,)
в Za- На каждом плоском куске р {а') имеется только
конечное число точек U, в которых/(гу, z)^Q, т. е. только
конечное число точек множества U—V. Рассмотрим
проекции всех таких точек, расположенных на всех плоскостях
р (а'), j'^l, 2, ..., на плоскость р{а). Они образуют там
некоторое счетное множество. Пусть Р — точка р (а), не
принадлежащая к этому множеству, и пусть Pi, Р^, ... — ее
проекции на плоскости р (а*), р (а^), .., Тогда все точки
Pi, Р^, ... принадлежат к множеству V^, а их предельная
точка — к V^, что противоречит нашему предположению о
несвязности множества V. Таким образом, доказана
связность множества V в топологическом смысле.
Для того чтобы установить связность множества V с
помощью дуг, достаточно еще заметить, что благодаря
непрерывности функции f{w, z) каждая точка V может быть
окружена шаровой (или полицилиндрической) окрестностью,
в которой f-^Q. Отсюда следует, что множество V
локально связно. Из установленных нами двух фактов
вытекает (как это показывается в топологии), что множество V
связно и с помощью дуг. Таким образом, доказательство
леммы 5 закончено.
Если мы применим лемму 5 к функции •]), аналитическоН
в окрестности некоторой точки и обращающейся в этой
точке в нуль, то найдем, что можно указать такую
окрестность и названной точки (составляющую, вообще говоря,
часть первоначальной), что часть ^/, где <^^Q, связна.
Возьмем за функцию 1^ дискриминант D{z.i, ..., г^) отмеченного
многочлена я (ву, z).
Если степень s многочлена тс равна единице, то D {z)==l
и множество точек названной выше окрестности, где D (z) ф О,
очевидно, связно. Если, напротив, s^ 1, то, как мы уже
заметили выше, D(0) = 0. С помощью линейного
преобразования мы приведем этот дискриминант к виду,
позволяющему заменить его произведением отмеченного
многочлена из 4_2 \z^ на некоторый множитель, отличный от
нуля. Из леммы 5 будет следовать, что множество Л/ (на
нем D (z^, ..., Zf^^Q, оно соответствует множеству V
в формулировке леммы) связно.

272 Гл. IX. Алгебраические теоремы
Мы рассмотрим все замкнутые пути, начинающиеся и
заканчивающиеся в точке (г") (. N а целиком состоящие из
точек N. Затем рассмотрим всю совокупность
функциональных элементов, получающихся в точке (zfi) от продолжения
9i, ..., ф^ вдоль этих путей произвольное число раз. Они
должны совпадать с функциями ф^ ..., ср^ (взятыми, вообще
говоря, в некотором ином порядке), поскольку эти
функции в процессе продолжения остаются корнями уравнения
■k(w, z)^0. Выше мы утверждали, что в результате
подобного продолжения одного из корней, например срц можно
получить все остальные корнн. Пусть это не так и
продолжения 9j доставляют нам значения в точке г" только
корней ф|, ..., ф„, где m<^s. Эти корни будут затем
переставляться при дальнейших продолжениях; при этом, в
результате продолжения двух различных корней, мы не
можем прийти к одному корню (так как в N дискриминант
D ф 0). Ввиду всего этого симметрические функции
^1 (2) = Ф1+ •••-! Фт.
В г {Z) = Ф1Ф2 + • • • 4~ фш-1 Фт.
5ш(2) = ф1...ф„
останутся неизменными при рассматриваемых продолжениях.
Тогда многочлен относительно w, функция
q(W, z) = w'^ — в, (z) W"-' + ... + (— I)'"B^{z),
будет однозначной, a следовательно, и аналитической
функцией в ЛА, т. е. всюду в Z, кроме точек, где D {z^, ..., Z/i)^0.
Однако функции ср^, ..., <р^, а следовательно, и
функции Вц ..., В„, определены и ограничены также и в
последних точках. Поэтому в силу теоремы 5 гл. VIII
функции Бц аналитичны всюду bZ, в частности, и там, где D{z)^0.
Таким образом, отмеченный многочлен Q{w, z) аналитичен
всюду в области (35). Так как m<^s и во всех точках, где
многочлен Q (w, z) обращается в нуль, равен нулю и
многочлен п, то всякий неприводимый множитель Q(w, z) будет
являться множителем многочлена я, что противоречит
предположению о неприводимости функции/(w, z). Итак, m^s
и любая из функций ф^,..., <р^ может быть получена из ф
в результате аналитического продолжения вдоль замкнутых
путей, лежащих в N.

4. Замечание об алгебраических функциях 273
Теперь определим понятие характеристического
многообразия. Многообразие М, определенное условиями
обладает тем свойством, что в окрестности каждой из его
точек можно заменить уравнение /(а>, ^з, ..., 2;^)^0
уравнением вида 'W^'w{Z2, ..., Z/^), где w (z^, ..., 2^,) —
аналитическая функция z^, ..., Z/;. Это, вообще говоря,
невозможно в точках, где D (z) = 0; но если все-таки существуют
точки, обладающие указанным свойством, в которых /^0
и D^О, то мы образуем из них множество М'. Назовем
характеристическим многообразием /^0 совокупность
точек М-{~М'.
§ 4. Замечание об алгебраических функциях
Из наших рассмотрений можно весьма просто получить
предложение, которое в более старой литературе обычно
входит в теорию „абелевых" функций.
Прежде всего отметим, что предыдущий параграф
содержит все алгебраические предпосылки, использованные
нами в предшествующей главе, посвященной устранимым
особенностям, и что, обратно, п названном параграфе мы
пользовались результатами гл. VIII. Отметив эту связь,
рассмотрим область D пространства Е^^ комплексных
переменных Zi, ..., г^ или, лучше, произвольного комплексного
пространства 5 („комплексно" А-мерного). Точечное множество
Е этого пространства 5 мы будем называть
„исключительным", если каждой точке Р i Е может быть поставлена
в соответствие такая координатная окрестность N, а в ней
определена такая аналитическая функция ^(^i, ..., 2^,), что
в точках (5 — Е) {] N эта функция ^^ 0. Тогда в силу
рассуждений § 3 точечное множество 5 — доказывается снова
(связным) пространством. Теперь предположим, что всякой
точке Р (. S — Е соответствуют г (где г—фиксированное
целое число) таких функциональных элементов
/Г(2), ..../? (2). (39)
что значение каждого из них в каждой точке 5 — /Сможет
быть получено в результате аналитического продолжения
18 с. Бочиер

274 Гл. IX. Алгебраические теоремы.
по подходящему пути любого другого элемента из любом
другой точки. Более точно: мы предполагаем, что над 5 — В
существует г-листное накрывающее пространство Т (без
„особенностей"), для которого (39) оказываются г
различными функциональными элементами, заданными в г точках 7",
имеющих одинаковые проекции на 5 — Е. Можно показать
(рассуждая так же, как в § 3), что эти функциональные
элементы удовлетворяют одному и тому же неприводимому
уравнению
/ {W, Z) = W' + л 1 {Z) W'-' -f... +Л, (2) = о, (40)
где Л, (z) — симметрические функции от величин (39).
Очевидно, Лр (г) однозначны и поэтому аналитичны в 5 — Е.
Теперь сделаем решающее предположение. Мы намерены
допустить, что все функциональные элементы ограничены
в своей совокупности одним и тем же числом. Имея в виду,
что 5 может быть некомпактным множеством, мы
сформулируем это предположение следующим образом: потребуем
существования у каждой точки Q d S такой окрестности Л^,
что в части 7"', проектирующейся па (5 — Е) {] N,
абсолютные значения всех наших функциональных элементов
оказываются ограниченными одним и тем же числом. Согласно
теореме 5 гл. VIII функции Лр (z) тогда будут
аналитическими в каждой области S {] N, а следовательно, и в 5.
Другими словами, если функция f ограничена и г-значна
в S — Ё, то она является в S алгебраической функцией.
§ 5. Рациональные и алгебраические функции
в произведении областей
Аналитическая функция /(^S ..., t^), заданная в области D
пространства действительных или комплексных
переменных t=^{t^ t^), называется рациональной, если суще-
стпует два таких многочлена P{t) и Q{t), что в данной
области
P{t)f{t)-\--Qit) = 0. (41)
Мы не требуем, чтобы всюду P{t)^Q. Поэтому мы не
можем на основании (41) утверждать, что функция/(^) может
быть всюду представлена в виде отношения
Q(0
P(t)'

5. Функции в произведении областей 275
Если соотношение (41) имеет место в некоторой подобласти D^
области D, то оно благодаря аналитическому
продолжению распространяется и на всю область D. Далее,
очевидно, что сумма и произведение рациональных функци11
снова являются рациональными функциями; если
аналитические функции fi{t), .... /„(О связаны соотношением
'•i(0/i(0 + -..-fr„(0/„(0 = o
с рациональными коэффициентами Гч (t), то последнее можно
заменить соотношением, коэффициентами которого будут
являться многочлены. Теорема, которую мы намерены в
дальнейшем доказать, основывается на следующей лемме:
Лемма 6. Пусть А — область пространства
переменных {z), В — область пространства переменных (w),
F, (z, w), ...,FjV (z, w) — аналитические функции в области
АУ( В (произведении областей А и В) не acessO. Если все
F„{z, w)—рациональные функции {w) для каждого {z) i А
и имеет место равенство
Ci (аО Fi {z, w) f ... -f- (,v (,'^') Pn (-, a») — 0, (42)
где c„ (w) — произвольные (не обязательно аналитические)
функции, удовлетворяющие условию
\c,{w)\;--]- ... -f !слг(а-)Р>0, (43)
то существуют такие не все тождественно равные нулю
многочлены C^{w), ..., Cn{w), что
С. (w) F, {Z, z«) 4- ... -f С„ {w) F„ {z, aO e- 0. (44)
Доказательство. Соотношения (42), записанные для
N точек (г,), ..., (г-л') (все {z) i А), составляют систему
лепейных однородных уравнений относительно величин
r,j(a'). Благодаря (42) определитель
F, {z^, w), .... Fs (-?!, w)
D{z, w)=
F, (г,у, w), ..., F,v(^,v, да)
должен тождественно равняться нулю для всех wiB,
^i f Л, ..., Zj\r с А. Мы обозначим теперь г^у через z и раз-

276
Гл. IX. Алгебраические теоремы
ложим этот определитель по элементам последней строки.
Тогда мы получим соотношение
N
2 С„ (^1. •.., Сл' _ ь tcO Fn (^. ^) = 0. (-15)
п= 1
где функции
C„(^,, ..., г-лг-ь w) (46)
суть взятые со знаком (-|- или —) (Л/'—1)-мерные
определители матрицы
/=■5(^1, W), ..., F,v (г,, w)
JFl(^Ar_,, W), ..., F^{Zs-b 'W)
Предположим, что не все функции (46) тождественно равны
нулю. Тогда существует такая система значений
переменных г^^а^, ..., г-лг—I ^rtjv_i, что тем же свойством
обладают функции
С„(ш)^С^{а„ ..., ам-и W). (47)
Положим в (45) Zi^ai, ..., г-дг—i^ajv—ь получим
равенство, удовлетворяющее всем требованиям, предъявляемым
нами к искомому соотношению (44), так как функции
C^(w) являются рациональными комбинациями
рациональных (в соответствии с предположениями нашей леммы)
функций F„ (а„, wj.
Если все функции (46) тождественно равны нулю, то
должен существовать минор
\FaiiZa,, W), .... Fa^{Za,, W)
д=
F.A^a^' ^). •••. Fa^{2.,„, W)\
определителя D, еще равный тождественно нулю, но
имеющий хотя бы один минор порядка (т—1), не
обращающийся тождественно в нуль. Рассматривая определитель Д,
мы, действуя аналогично предыдущему, покажем, что имеет
место равенство
V С.^(ш) F.^{z, ^) = 0.

5. Функции в произведении областей 277
Считая в отсутствующих здесь членах C„(w) равными нулю,
мы придадим полученному соотношению требуемую фор
му (42). Теперь обратимся к нашей теореме.
Теорема 5. Пусть А — область пространства
переменных z^, ..., z^, В — область пространства переменных
w^, ..., 'W^, f{z, w) — аналитическая функция в области
АУ( В. Если f(z, w) оказывается рациональной
функцией (z) для каждого (w) i В и рациональной функцией (w)
для каждого (z)iA, то f(z, w) является рациональной
функцией всех переменных (w, z).
Внешне эта теорема весьма сходна с теоремой Гартогса
(для комплексных переменных) о том, что из
аналитичности по каждому переменному следует аналитичность по
совокупности переменных. Однако по существу эти две
теоремы носят совершенно различный характер; в настоящей
теореме преобладает алгебраическая сторона дела, а
аналитические соображения играют второстепенную роль.
Обозначим одночлены {z^)"^ ... (г**)"*, взятые в
некотором порядке, символами р^ (z), р,^ (z),... Тогда для каждой
точки {w)i В имеет место равенство
m п
^ а,(^)/;,(г))/(г, гг.)+2*'(^)/'^(^) = 0, (48)
11= I V=I
где
т п
11 -- I V =-= I
Нормирз'ем коэффициенты а,^ и й, и заменим (49j) условием
чг п
2 \a,iw)\^~\^y\bAr^)\'=^. (49,)
ц=^ I v^I
Пусть последовательность {w^}, s=[, 2, ... , состоит из
точек В, для которых имеет место соотношение (48) с теми
же самыми индексами тип, причем существует lim (w^)^
^ (Wq). Тогда ввиду условия (49,) из последовательности

278 Гл. IX. Алгебраические теоремы
{w^} можно выделить подиоследоиагелыюсть {ws \, для
которой будут иметь место предельные равенства
lim ai,{Ws^)~a.y, lim b,{Ws) = b,.
г —> со г —> оэ
Благодаря непрерывности функции f{z, w) отсюда следует,
что соотношение (48) выполняется при {w)=i{w^) с
коэффициентами а^, й,. Другими словами, мы доказали
замкнутость в В множеств -S„, „, где В^.п — множество тех
точек В, для которых соотношение (48) имеет место с дан-
ными индексами /га и п. Очевидно, У. ^т, п^^'> 'юэто-
му, так как В — открытое множество, то хотя бы
некоторые из множеств 5^, „ должны содержать внутренние
точки. Пусть область 13^ состоит из внутренних точек
множества 5„,„. Мы заменим и наших рассуждениях область В
на Лц, чем достигнем фиксирования индексов т, п на
некоторых значениях, не зависящих от (да). Теперь мы
вправе применить лемму 6. Полагая N^mA^-n, F^^{z, w)^
=P-^{^)f{^, w) при p.= l, ..., /га и Fm + -,{z, w)=p.,{~)
при v^l, ..., л, мы на основании этого установим, что
существуют такие многочлены a-^iw), й,(да), для которых
имеют место (48) и (49j). Отсюда следует, что функция
f{z, w) рациональна.
Из леммы 6 можно получить еще и другие следствия.
Аналитическую функцию f{t) мы будем называть
алгебраической функцией порядка :^5, если существуют такие
многочлены Р^ (t), .,., Р^ (t), что
^>,(Ol/wr-o.
Функция рациональна, если она является алгебраической н
ее порядок 5^1.
Если аналитическая фуикчия /(г, w) оказывается
алгебраической функцией (z) для пждой точки (w) i В, то имеет
место соотношение
I
2 ^a,,{w)p.,{z/fiz,w)y:==i), (50)

.'3. функции в произведении областей 279
причем для некоторой подобласти В^ области В числа т, s
в наших условиях можно будет считать фиксированными.
Теперь еще предположим, что для каждой точки а^А
f{z, w) оказывается алгебраической функцией {и>), а именно
удовлетворяет соотношению вида
C,{w)f + Cdw)f-'A;-...-'r-Cp{w)^0, (51)
где Ca{w), ..., Cp{w) — некоторые многочлены от
переменного (w). Нам безразличен характер зависимости числа р
и многочленов Ср (w) от положения точки (а), как и то
обстоятельство, что старший коэффициент Cq(w) (конечно,
пе равный тождественно нулю) может обращаться в нуль
в некоторых точках области В. Но мы пользуемся фактом
аналитичности функции f{z, w) в области Л X Л; читателю
предоставляется самому проверить, что функция f(z, w)
действительно обладает этим свойством благодаря
сделанным явно предположениям.
Теперь, возвращаясь к соотношению (50), мы применим
нашу лемму к функциям
F„ {Z, tcO = Щ^г {Z, а.):- р,, {z) (/{z, w)r. (52)
Из этой леммы, или, скорее, из рассуждений, проведенных
при ее доказательстве, следует, что соотношение (50) с
фиксированными индексами т w s имеет место в некоторой
области B„czB. В нем коэффициенты a^^r{w) являются
многочленами от величин, получающихся из функций (52) при
фиксировании z в области А. Каждая из этих величин
является алгебраической функцией {w), и, таким образом, сами
коэффициенты а.^г{^) оказываются алгебраическими
функциями (да). Итак, мы получим соотношение (50) с
фиксированными т и S, где P;,.{z) суть многочлены от
переменных (z), но а,уг (^) —алгебраические функции (w). Отсюда
но известной теореме алгебры следует, что имеет место
другое соотношение того же типа, в котором все Pii{z) и
a.iri^s>) будут многочленами от своих переменньЛ. При этом
порядок S может возрасти; впрочем, если все f{a, w)—•
рациональные функции w, он остается, конечно,
неизменным. Таким образом, мы получили следующее предложение
(его вторая часть содержит теорему 5 как частный случай,
отвечающий значению s^ 1):

280 Гл. IX. Алгебраические теоремы
Теорема 6. Если функция f(z, w) является
алгебраической по (z) для каждой теоремы, значений (w) а
алгебраической по (w) для каждой системы значений (г),
то она является алгебраической функцией относительно
всех переменных. Если порядок алгебраической функции
f(z, w) по (z) (при фиксированных (w)) ^s, где s не
зависит от (w) и f(z, w) — рациональная функция w (при
фиксированных (zj), то порядок алгебраической функции
f(z, w) относительно переменных (z, w) тооке ^s.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. Behnke und P. Thullen, Theorie der Fuiiktionen
mehrerer komplexer Veranderlichen (Ergebntsse der Math, und ihrer
Grenzgebiete, т. 3, № 3, Берлин (1934)).
2. S. В 0 с h n e r, Funktions of several complex variables
(литографировано, Принстон(1936)).
3. A. H u г w i t z, Beweis des Satzes, dass eine einwertige Funk-
tioti beliebig vieler Variabeln, welche flberall als Quotient zweier
Potenzreihen dargestellt werdeti kanti eine rationale Funktion ihrer
Argumente ist {Journ. f. reine und angew. Math., т. 95 (1883),
стр. 201—206).
4. Н. К n e s e г. Einfacher Beweis eines Satzes iiber rationale Funk-
tionen zweier Veranderlichen (Abhandl. Hamburg. Univ. Math. Sem.,
T. 9 (1933), стр. 195—196).
5. W. F. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie, т. II, ч. 1
(второе издание, Лейпциг (1929)).
6. W. R ii с к е г t, Zum Eliminationsproblem der Potenzreihen-
ideale {Math. Ann., т. 107 (1932), стр. 259—281).
7. Н. S path, Der Weierstrasssche Vorbereitungssatz (Journ. f
reine u. angew. Math., т. 161 (1929), стр. 95—100).
8. В. L. van der Waerden, Moderne Algebra (т. I (1930),
T. II, Берлин (1931)) *).
9. К. Weierstrass, Ober die Bedingungen der Zcrlegbarkeit
einer ganzen rationalen Funktion von mehr als zwei Veranderlichen
(Werke, т. 3 стр. 149—153).
10. W. W irt inger, Ober den Weierstrassschen
Vorbereitungssatz {Journ. f. reine u. angew. Math., т. 158 (1927), стр. 260—267),
*) Эта книга переведена на русский язык, см. Б. Л. в а н д с р В а р-
ден, Современная алгебра, ч. 1 и 2. Гостехнздат, 1947 г. (Flpim.
перев.)

Глава X
ЛОКАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ I. Введение. Условие конечности базисов
Настоящая глава основывается на работе W. Rttckert
(В. Рюккерта), Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale
(Math. Ann., T. 107 (1933), стр. 259—281). Мы ставим себе
целью изучить локальные свойства множества, в которых
одновременно обращается в нуль некоторое число
аналитических функций, и получить параметрическое представление
неприводимого аналитического многообразия.
Прежде всего напомним смысл некоторых терминов и
содержание некоторых теорем, используемых в дальнейшем
изложении:
/„ — множество всех степенных рядов от п комплексных
переменных, сходящихся в некоторой наперед заданной
окрестности начала координат. Эти степенные ряды образуют
кольцо.
Элемент /„, представимый в виде Zn-\-ai(Zi, ...,г„_1)Х
X4~' + ... -\-аг(zi, .... г„_1), где aj(z^, ..., z„^i) —
элементы кольца [^_i(J=l, ..., г), обращающиеся в нуль в
начале координат, называется отмеченным многочленом от
переменного г„.
Элемент /„, не обращающийся тождественно в нуль при
г1= ... =г„„|^0, называется правильным относительно
переменного г„.
Два элемента /„ рассматриваются как эквивалентные,
если один из них может быть получен из другого путем
умножения на элемент /„ с отличным от нуля свободным
членом. Элемент /„ с отличным от нуля свободным членом
называется делителем единичного элемента кольца.
Подготовительная теорема Вейерштрасса (теорема I
гл. IX) устанавливает, что каждый элемент /„, правильный
относительно переменного г„, эквивалентен некоторому
отмеченному многочлену от переменного г„.

282 Гл. X. Локально-аналитические многообразия
Как мы доказали в гл. IX, разложение элемента /„ на
(неприводимые) множители (в пределах этого кольца)
единственно с точностью до эквивалентных разложений. Там
было еще показано, что каждый элемент /„ может быть
неособенным линейным преобразованием превращен в
правильный элемент этого кольца.
Теперь мы дадим следующую алгебраическую теорему,
относящуюся к кольцу /„;
Теорема I. {Условие конечности базисов.) Каждый
идеал в кольце /„ обладает конечным базисом.
Доказательство ведется методом индукции. Мы
предположим, что эта теорема верна для кольца /„^j, и покажем, что
тогда она верна и для кольца /„. Так как эта теорема,
очевидно, справедлива для 1^, то, таким образом, наше
предложение будет полностью доказано.
Если в нашем идеале а нет элементов, правильных
относительно г„, то мы применим к ним надлежащее линейное
преобразование, в результате чего получим идеал,
содержащий, по крайней мере, один элемент Q, правильный
относительно г„. Очевидно, если исходный идеал имел конечный
базис, то его будет иметь и преобразованный идеал. Пусть
^•^ — старший член отмеченного многочлена, эквивалентного
элементу Q. Как известно, тогда любой элемент /„, а в
частности, любой элемент Р нашего идеала а, можно
представить в виде QF'\-P*, где Р*—многочлен от г„ степени
ниже г с коэффициентами из кольца 4_j. Теперь если мы
найдем базис для элементов Р*, получающихся указанным
образом, то, добавляя к нему элемент Q, мы составим базис
для идеала а.
Рассматривая множество элементов Р*, легко заметить,
что коэффициенты в них при z''n~' образуют идеал в
кольце /„_j; в силу исходного допущения индукции этот идеал
должен иметь конечный базис Pi, ..., р.. Обозначим некоторый
элемент Р* со старшим коэффициентом Pi через Pi, со
старшим коэффициентом р^ — через Рз и т. д. Рассматривая
элементы Q, Pi, ..., Pi как частичный базис, мы представим
элементы а как линейные функции от этих элементов плюс
многочлен от z^ степени ниже, чем г. Коэффициенты при
z^ в этих остаточных многочленах снова составляют

2. Аналитические многообразия в окрестности точки 283
идеал в /„_j. Далее, рассуждая так же, как выше, мы
добавим на этом втором этапе к нашему базису элементы Px + i, •••
... , /'х + ц. Продолжая таким образом, мы, после конечного
числа шагов, добавляя на каждом из них к нашему базису
конечное число элементов, в конце концов действительно
составим конечный базис в идеале а.
§ 2. Аналитические многообразия в окрестности
некоторой точки
Аналитическое многообразие, проходяш,ее через начало
координат, определяется как множество точек области D,
содержащей это начало, в которых одновременно
обращаются в нуль какие-то заданные элементы /„, не являющиеся
делителями единичного элемента. Таким образом, мы имеем
множество функций, каждая из которых обращается в нуль
в начале координат; каждая из них обладает в области D
множеством нулей; мы берем множество точек, в которых
равны нулю все функции, определяющие многообразие.
Если /i, ...,/р—аналитические функции, о которых
р
идет речь, то очевидно, что и функция /^ X,-/; тоже обра-
1 = 1
щается в нуль на этом многообразии; итак, указанным
свойством обладают все элементы идеала {Д, ..,, /^},
построенного на функциях /], ..., /р, как на базисе.
Можно рассмотреть больший идеал, связанный с
рассматриваемым многообразием, именно множество всех элементов /„,
обращающихся на нем в нуль; множество этих функций
является идеалом, и очевидно, что этот новый идеал
содержит идеал, имеющий базисом функции /j, ..., /р. Мы
назовем этот новый идеал собственным идеалом многообразия.
Если ^1^ ... g;^^ — элемент кольца /„, обращающийся в
нуль на некотором многообразии, то тем же свойством
обладает и элемент ^j ... gk (так как он равен нулю в тех
же точках, что и элемент ^i' ... g,!'). Итак, если ^i'... ^ ^ —
элемент собственного идеала некоторого многообразия,
то к этому идеалу принадлежит и элемент ^j ... g^.
Это свойство несколько иначе можно выразить так: если к

284 Гл. X. Локально-аналитические многообразия
некоторому собственному идеалу принадлежит элемент fp,
то к нему принадлежит и сам элемент /. Ниже мы увидим,
что всякий идеал, обладающий этим свойством, является
собственным идеалом многообразия, им определяемого. Мы
будем говорить, что идеал определяет некоторое
многообразие, если последнее объединяет точки, в которых
одновременно обращаются в нуль все элементы идеала.
Дадим простой пример идеала, не являющегося
собственным идеалом определяемого им многообразия: так, нули
идеала {.г^ } — это точки, где Zi = 0. Между тем последнее
многообразие имеет собственный идеал {z^ ].
§ 3. Неприводимые многообразия
Суммой двух идеалов с базисами {/j, ..., /^} и
\g\, ••-, gh) является идеал с базисом {fu-•■ ,fk> Sv • •• >§к\-
Многообразие, определяемое этим идеалом, состоит из
общих точек многообразий, определяемых исходными
идеалами. Таким образом, это многообразие оказывается
пересечением многообразий, заданных первоначальными идеалами.
Из того, что идеалы [fu •■•, fk\ и {^ь •••. ^л} были
собственными идеалами своих многообразий, не следует, что
их сумма будет собственным идеалом определяемого ею
многообразия. Например, возьмем в 4 идеалы {■2'i4~'2'a }>
{z^ — z\]. Их суммой, очевидно, будет идеал {z^, z\].
Этот идеал не является собственным, так как содержит
элемент zl, но не содержит элемента z^, между тем как
оба исходных идеала — собственные идеалы своих
многообразий.
Возьмем два многообразия Afj и М^ и их собственные
идеалы flj и а^. Пересечением этих идеалов будет
называться собственный идеал точечного множества М^А^М^,
получающегося в результате объединения многообразий М^
и Mj. В самом деле, если элемент / обращается в нуль на
Afi-f-Afj, то он равен нулю и на Afj и на М{, поэтому
он принадлежит к обоим собственным идеалам а^ и а^, а
таким образом, и к их пересечению. Наоборот; любой
элемент пересечения двух собственных идеалов О] и а^
принадлежит им обоим и обращается в нуль на обоих
определяемых ими многообразиях My и М^.

3. Неприводимые многообразия 285
Аналитическое многообразие называется неприводимым
в начале координат, если оно (в сколь угодно малой
окрестности начала) не может быть представлено как сумма
двух аналитических многообразий (из которых одно не
входит целиком в состав другого). Идеал называется простым,
если из принадлежности к нему элемента fg всегда следует,
что или /, или g является элементом этого идеала. Теперь
мы можем доказать важную теорему:
Теорема 2. Для того чтобы многообразие М было
неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы его
собственный идеал был простым.
Доказательство, (а) Покажем:
Если многообразие М неприводимо, то его собственный
идеал р является простым. Допустим, что идеал р не
является простым. Тогда можно найти два таких элемента /, g,
что fg (. р, но /Гр и g i р. Тогда идеалы p^\f},
P'l'ls] шире идеала р. Многообразия, определенные с
помощью идеалов р 4~ {/} ир4~{^}> отличны от
многообразия М, собственно говоря, содержатся в нем;
многообразие М оказывается их пересечением. Действительно, пусть
Pi-\-^f—элемент идеала р-{-{/}, а Pi-\-\tg — равный ему
элемент идеала р-\- {g}- Здесь р^ и р^ — элементы идеала р.
Тогда
lf=p-]^y.g, где р ? р.
Умножая это равенство на ^g, получим, что
Так как fgip, то и Xjx./^—р'i р, а следовательно, и
H'V^ ^ Р* Нор — собственный идеал своего многообразия;
если (j.*^^ является его элементом, то таковым же будет и ^g.
Поэтому и P'i-\-^g (произвольный элемент,
принадлежащий обоим идеалам p-\-\f] и p-\-\g]) тоже
оказывается элементом идеала р. Итак, показано, что идеал р
является пересечением идеалов p-\-{f\ и p-\-{g\-
Следовательно, многообразие, определяемое идеалом р, должно быть
суммой многообразий, определяемых идеалами p-\-{f\ и
P-\'{s\ (эти многообразия целиком содержатся в М). Это
невозможно, так как многообразие М неприводимо.
(б) Покажем:
с. Бохавр

286 Гл. X. Локально-аналитияеские многообразия
Многообразие М с простым собственным идеалом не-
приводимо. Допустим, что М=^М^-\-М^ и ни одно из этих
многообразий не содержится в другом. Тогда каждый из
собственных идеалов р^ и р^ этих многообразий содержит
элементы, не входящие в другой идеал. Пусть элемент
Pi ^ Ри но не входит в р^, а p^i р^, но не принадлежит к pi.
Тогда элемент pjj^ входит в оба идеала и,
следовательно, принадлежит к их пересечению, которое не содержит
ни элемента р^, ни элемента р^^. Но этим пересечением
является р — собственный идеал многообразия М — суммы
многообразий М^ и Ж^; наш вывод о принадлежности к нему
произведения р^р^ (но не элементов pi и р^) противоречит
предположению, что он простой. Таким образом, теорема 2
доказана. Теперь мы переходим к первой из главных теорем.
Теорема 3. Многообразие, аналитическое в
некоторой точке, может быть единственным образом
представлено как сумма неприводимых многообразий.
Этот вывод следует из хорошо известной
алгебраической теоремы о кольцах, удовлетворяющих услоиию
конечности базисов *).
Для произвольного кольца можно построить понятие при-
марного идеала, являющегося обобщением понятия простого
идеала, р — простой идеал, если из соотношений fg i р,
f~^р следует, что g i р. Идеал р называется примарным
идеалом, если в аналогичных условиях можно лишь указать
такое целое положительное число р, что gf i p. Для
данного примарного идеала р всегда можно построить
соответствующий ему и содержащий его простой идеал. Последни!)
состоит из всех элементов / кольца, для которых /р S р.
Упомянутая теорема о кольцах (для которых имеет место
теорема о базисе) состоит в том, что произвольный идеал
такого кольца может быть представлен как пересечение
конечного числа примарных идеалов Qi д^. Если ни один
из идеалов д не может быть здесь опущен и все простые
идеалы р, соответствующие этим идеалам д, различны, то
это разложение обладает свойством единственности в
отношении выбора простых идеалов р. Отметим еще, что мно-
*) См. Б. Л. Ван дер Варден, Современная алгебра, ч. 2. Гос-
техиздат, 1947, § 87, стр. 40. (Прим. nepee.J

3. Неприводимые многообразия 287
гообразия, определяемые примерными идеалами,
тождественны с многообразиями, определяемыми соответствующими
простыми идеалами. Итак, .мы устанавливаем, что
аналитическое многообразие может быть одним и только одним
способом представлено как сумма многообразий,
определенных с помощью простых идеалов.
Мы знаем, что многообразие с простым собственным
идеалом неприводимо; если мы еще установим, что простой
идеал всегда является собственным идеалом для
определяемого им многообразия, то наша теорема будет полностью
доказана. Однако мы докажем последнее положение
несколько позже.
Вторая главная теорема относится к возможности
локального параметрического представления неприводимого
аналитического многообразия. Она утверждает, что при
подходящем выборе координатных осей роль этих параметров могут
играть некоторые из координат, например величины z^,..., z^.
При этом число параметров оказывается равным половине
размерности этого многообразия. Эти параметрические
представления будут выглядеть следующим образом:
Надо рассмотреть алгебраическую функцию w от
переменных z^ z^, определенную уравнением
^(:4') SH а^Р-| - Л,-^Р - Ч-• • • + Л = О,
где Ai,..., Ар—аналитические функции переменных Zi,..., z^.
Тогда остальные переменные (г), именно 2-^.^1,..., z^,
будут выражаться с помощью алгебраических функций вида
•'S + 1 Q I • • • > ■^Л g >
где Р; (ш) — многочлены от переменного да степени ниже р;
их коэффициенты — аналитические функции переменных,
избранных в качестве параметров; D — дискриминант
многочлена ^(гг^). Таким образом, каждой системе значений 2г, z^,
для которой D ^0, отвечает р значений да; каждому из
этих значений w отвечает одна система значений ^^ + 1, ..., г,,.
Мы начнем с определения регулярного идеала. Идеал а
называется регулярным, если существует такое число k^n,
что:
I) в а нет отличного от нуля элемента, зависящего
только от Zi, ..., Z/^;

288 Гл. X. Локально-аналатические _многообразая
II) для каждого h~^k можно указать в а, по крайней
мере, один элемент, не зависящий от переменных Zl^^^ z^
и правильный относительно переменного Zf^.
В указанных условиях переменные z^,..., z^ называются
независимыми по отношению к идеалу а.
Теорема 4. Каждый, идеал может быть превращен
в регулярный идеал с помощью неособенного линейного
преобразования.
Возьмем какой-нибудь элемент идеала а и сделаем его,
путем соответствующего преобразования координат,
правильным относительно z„. Если в идеале а нет элементов, не
зависящих от z^, то идеал а будет регулярным, и по
отношению к нему переменные z^,..., z„_i оказываются
независимыми. Если это не так, то возьмем элемент, не
зависящий от г„, и путем преобразования координат сделаем его
правильным относительно ^„,i. Мы будем продолжать этот
процесс до тех пор, пока не обнаружим, что среди
оставшихся элементов не имеется зависящих только от Zi,..., 2^
(k — положительное, целое число, меньшее чем п). Тогда
преобразованный идеал будет регулярным в смысле нашего
определения.
Используя этот результат, мы можем, изменяя
надлежащим образом направления координатных осей, сделать
регулярным собственный идеал некоторого аналитического
многообразия. Отметим еще, что при каждом шаге мы
выделяем некоторый элемент и затем делаем его правильным
относительно какого-то переменного z^; в силу
подготовительной теоремы Вейерштрасса этот элемент оказывается
эквивалентным отмеченному многочлену от переменного z^
с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями
от переменных Zi,..., z^_^. Очевидно, что этот многочлен
тоже входит в состав нашего идеала; мы обозначим его
символом F^ (z^).
Рассмотрим случай простого идеала. Тогда многочлен Fj
всегда можно считать неприводимым (как многочлен с
переменного z^). Действительно, если первоначально взятый
многочлен F, не обладает указанным свойством, то какой-то
его неприводимый множитель должен принадлежать к р,
так как идеал р — простой. Тогда мы возьмем этот
множитель (являющийся отмеченным многочленом) за Fg{z^).

3. Неприводимые многообразия 289
Теорема 5. Если р—регулярный простой идеал, то
кольцо вычетов IJp изоморфно некоторому
алгебраическому расширению /^[iqfe+i. •.., •»)„]■ Здесь т)^ — класс
вычетов по р, содержащий z^; он удовлетворяет
алгебраическому уравнению над 4. Эти уравнения для т)^
записываются с помощью отмеченных многояленов.
Как мы видели выше, всегда можно предполагать, что
идеалр содержит элемент F„ = Zn-\- AiZn~^-\- .. .-\-Ar(здесь
Ai S/„_i). Мы рассмотрим соответствующее уравнение между
классами вычетов в IJp; оно будет иметь вид
(фигурные скобки обозначают здесь класс вычетов стоящего
в скобках элемента по модулю р). Обозначим через Rp
совокупность классов вычетов IJp, составленных элементами,
не зависящими от переменных z^^i,..., z^. Заметим, что
подобная совокупность всегда является кольцом. Пользуясь
этим названием, мы скажем, что {Aj} являются элементами
кольца R^_i; тогда /„/р = ^?„_,Ы.
Алгебраическое уравнение, которому удовлетворяет 7)„,
выписано выше. Оно неприводимо, если неприводим элементF„.
Далее мы, рассматривая элемент F„_j, покажем, что
^?„_1 = ^?„_2 [''Ire-i]- Рассуждая таким образом, в конце
концов установим, что Rii + i = Rk[flk + i]-
Но кольцо R^ изоморфно кольцу 4. Действительно, если
бы оказалось, что два различных элемента 4 принадлежат
к одному и тому же классу вычетов (по модулю р), то их
разность должна была бы быть отличным от нуля
элементом/>, зависящим только от Zi,...,Zk, что невозможно.
Итак, мы видим, что fJpc^Ik[flk + i]-'-['^n]' ^^
известно, что результат серии последовательных целых
алгебраических расширений кольца совпадает с результатом
соответствующего одного целого алгебраического расширения
кольца. При этом уравнения для определяющих это
расширение элементов т)^ записываются с помощью отмеченных
многочленов с коэффициентами из 4, если аналогичным
свойством обладают уравнения, получающиеся при
последовательных расширениях. Таким образом, мы приходим к
соотношению
fn/p^'khki-i, •••. fin]-
Теорема 5 доказана.
19 С. Бохнер

290 Гл. X. Локально-аналитические многообразия
Итак, 1п^Р'^^[ъ + 1'••■' "^п]- Рассмотрим поле
отношений этого кольца; оно может быть образовано, так какр —
простой идеал и кольцо IJp является областью
целостности. Пусть A-ii — ноле всех аналитических функций от
переменных z^, ..., z^ и их отношений (все рассматривается
в окрестности начала координат; нуль не может быть
знаменателем). Тогда поле отношений для кольца IJp
изоморфно К [%+1. • • • > "ПпЬ здесь Л;, [т!;,^!, ..., 7)„] — поле
многочленов относительно переменных %+i, ..., i]^ с
коэффициентами из Aj^.
Теперь легко показать, что идеал р является собствен-.
ным идеалом своего многообразия. Если это не так, то
существует идеал, более широкий, чем р, определяющий то
же самое многообразие. Пусть g — некоторый элемент этого
идеала, не принадлежатиГ! к р. Тогда класс вычетов {g\
является элементом 4Ггц,+1, • •., U,] и А^[щ^1 7)„].
Благодаря последнему факту и тому, что оп отличен от
нуля, для ]iero существует обратный элемент {h}. Итак,
{s}'{^]'^=^> ''Д^ {^4 — многочлен относительно элементов
7)^1^1, ..., Yi„ с коэффициентами из поля Л;;. Обозначим их
Р (г У] )
общий знаменатель /7^; тогда {А} = —^-^^±i^-^-^-^-^ , гдеР(7)) —
отличный or нуля элемент кольца /^ [fikU' • • • > %] ^ is} P(fl)^=^Pk'
причем Pf^ не зависит от неременных Zi^^i, ..., z^. Отсюда
следует, что во всякий идеал, включающий как свою
часть идеал р и содержащий элемент g, входит и
элемент jOfe. Здесь р^ зависит от переменных z^, ..., z,^; он
отличен от нуля. Этот результат показывает, что
многообразие, определенное идеалом, содержащим идеал р, меньше
многообразия, определенного им многообразия идеалом р.
Итак,;» — собственный идеал определяемого им многообразия.
Из сказанного следует:
Если идеал а обладает свойством содержать вместе с
элементом /Р и элемент /, то он является собственным
идеалом своего многообразия. Этот вывод равносилен
установлению истинности теоремы Гильберта о кулях (для
случая аналитических функций).
Если /—аналитическая функция, обращающаяся в нуль
во всех общих нулях функцией /j, ..., fp, то для
некоторого натурального числа р
P==hA + --- + hfp'

S. Неприводимые многообра1ия 291
Теперь вернемся к полю отношений ^ki'^k+u • ••' "Чп)-
Так как каждое т)^ удовлетворяет неприводимому
уравнению, то наше расширение является сепарабельным и,
следовательно, может быть осуществлено путем простого
расширения на примитивный элемент w (см. Б. Л. ван дер
Вардеп, Современная алгебра, ч. I, Гостехиздат, 1947,
стр. 165, § 40). Здесь 'W = di,^iri^^,i-[-.. .-\-d„f]„, где все
d, ( /,.
Нетрудно показать, что уравнение, которому
удовлетворяет W, может быть записано в виде
G(w)==w?-\-aiW?-^ 4-----1-ар=0,
где G(w) — отмеченный многочлен. Пусть D(Zi,...,Zk) —
дискриминант этого многочлена. Так как 0(да) —
неприводимый многочлен, то D (Zi, ..., 2^)фО. Как известно из
алгебры (см. Б. Л. в а н дер В а р д е н. Современная алгебра,
ч. 2, Гостехиздат, 1947, стр. 96, § 101), каждый элемент
Л;( [да], целый над 4, представим в виде а= Х~тг> '"Д^
1 = 0
/;,• S 4. Поэтому, используя доказанное выше свойство yj^,
мы найдем, что
р—I
Теорема 6. Пусть для некоторой системы значений
переменныхZi = Zi, ..., г^ = tl^дискриминантD(Ср .. .,^к)ф
Ф 0. Тогда для этих значений Zi = ^i, ..., z^ = ^^
уравнение G{'w) = Q имеет р различных корней w. Определим
величины Y]^^.j, ...,»!„, соответствующие одному из этих
корней. Мы утверждаем, что каждая построенная
таким образом система {Х,^, ..., С^, щ+i, ■.., т]^) определяет
нуль идеала р. Каждый нуль идеала р может быть
найден указанным способом.
Предварительно мы докажем одну лемму.
Так как величины т]^ определяются с помощью
уравнений, получающихся приравниванием нулю отмеченных
многочленов, то можно так выбрать значения z^ = ai ^й = d^,
что точка («1, ..., а^, Ь^^^, ...,&„) (где b^^i, ...,&„
соответствующие значения т)^) попадет в наперед 'заданную

292 Гл. X. Локально-аналитические многообразия
окрестность начала координат. Пусть P{Zi, ..., z^) —
некоторый элемент кольца /„; благодаря сказанному мы можем
так взять aj, .,., а^—"Значения переменных z^,..., Z/^, что
определяемая ими точка (aj, ..,,&„) будет лежать в области
сходимости ряда P(^j, ..., г„). Исходя из значений^Tj^^aj, ...
..., z,^ = а^, мы сначала найдем величину w^ (так, что G {w^=^
= 0) и затем определим т]^=:&^ (s^^A 4~ Ь •••. и).
Упомянутая выше лемма состоит в следующем:
Лемма 1. Величина Pia^, ..., а^, ^^^.j, ..., &„)
равняется значению элемента А,^ [w], соответствующего P(z)
имеющего вид \-^) ipn подстановке в него w = w^.
(=0
Эта лемма доказывается с помощью индукции. Очевидно,
утверждение леммы верно для элементов, не зависящих от
z^j^i, ..., z^. Пусть S — натуральное число, удовлетворяющее
условию kr^s<^n. Предположим, что наша лемма верна
для элементов, зависящих только от ^Tj, ..., z^. Мы должны
показать, что она справедлива и для элементов, зависящих
только от Zi, ..., z^^j. Рассмотрим подобный элемент
P{Zi, ..., Zgj^i). Тогда можно найти G^^i {z^^i) — такой
отмеченный многочлен относительно переменного Zg^^ с
коэффициентами из /^, входящий в состав идеала р, что
окажется
P{z, ,..., г,^^) = Я0,+,(^,+,) + С,4+1'+-.. + С,.
Здесь коэффициенты Cj ,..., С^ зависят только от
^j,..., Zg. Заметим, что благодаря способу определения
величины bg^i G^+i(ai, ..., щ, bk+u .... &s+i)= 0. Поэтому
Р(а„ .... ^+,) = С, (а„ ..., ^)&1+,'+. ..+С^а„ ..., Ь,).
Но согласно исходным предположениям индукции С; (а,..., Ь^)
равны значениям соответствующих элементов поля Л^^ [w]
(после надлежащей подстановки); bg^i является значением
rig^i — элемента, соответствующего z^^^. Наконец, G^+i
соответствует нулевой элемент, так как д^^1 ^ р- Итак,
действительно, величина /'(aj, ..., b^^^) оказалась равной
значению соответствующего элемента поля Л^ [да] после
подстановки ^j = aj, ..., z^ = a^, w^^Wf^.
Из доказанной леммы непосредственно следует, что точка
(aj, ..., а^, b/f^i, ..., b^) (где b^ вычисляются для неко-

_ 3. Неприводимые многообразия 293
торого значения w) принадлежит к многообразию,
определяемому идеалом р.
Докажем теперь, что всякая точка (aj, ..., й^,, b/^+i, ..., &„)
многообразия, определяемого идеалом р, если дискриминант
D (Sj, ... , ffft) 9^ О, может быть найдена рассмотренным
способом. Возьмем уравнение, полученное нами выше для w:
«' = 4+1(^1. •••- ^ft)^fe+i + • • • + ^л(^1> ■•■> ^k)fin-
Построим функцию
...-\-d^(zi, ..., z,i)z„.
У нас G(w) = Q для Л^ [да], и поэтому G (W) ( р. Так как
(flj, ..., а,;, Ь^^^, ..., Ьп) — точка нашего многообразия, то
, а^, bji^i, ..., bj^) = 0. Положим W (Sj,..., я^,
&ft+ii •••! М==^о> тогда О(да„) = 0. Но коэффициенты в
G (гУд) зависят только от Sj, ..., cLj^; поэтому w^ — это
значение W при 2rj=aj, ..., Zi^=^a^.
Так как для Л^^ [да]
Л,- (да)
T0[D(2ri, ..., z^)-Zi — hi{w)]ip. Здесь iz=A4-l> ■••.«■
Поэтому
Z?(ffi, ..., Sft) &г — hi (да^) = О
b, = ^-h^^^,l = k-Y^,---.n.
D (в1,... Ak)
Мы видим, что значения ^^^.j, ..., &„ действительно
получаются способом, указанным в нашей теореме для
некоторого значения w, зависящего от величин Sj, ..., s^.
Резюмируем:
Каждый нуль (а,, ...,&„) идеала многообразия при
D (aj, ..., a^j) 9^ О определяется равенствами
Здесь Wff — корень уравнения О(да)^=0. Обратно — система
значений переменных, получаемая таким образом,
определяет нуль идеала многообразия.

ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм 72
Адамар 212
— теорема о трех сферах 84
Аддитивная мера (в группах) 36
Алгебраическая функция 275
-в ироизвсденпи областей
275
Аналитическая выпуклость 101
— функция 45
в аналитическом
координатном пространстве 78
от аналитической
функции 50
Аналитический гомеоморфизм в5
Аналитическое многообразие
284
Аналитическое продолжение 51,
191
— — для ограниченных
функций 194
Аналитичность по каждому
переменному 49
теорема Гартогса 195
Аннулирующая функция 230
Апроксимации 152
Базис идеала (в кольце
степенных рядов) 283
Беенке Г. 38
Бергман С. 151
Бореля изображение функции 208
— радиусы 207
Вейсрштрасса подготовительная
теорема 260, 265
Вейль А. 151
Внутреннее преобразование
(отображение) 13
определитель 17
— произведение функций 172
Выпуклая область 98
цилиндрическая 125
— оболочка цилиндрической
области 125
Выпуклость видоизмененная,
аналитическая 101
Выпуклый слой 98
Вычетов класс п кольце
степенных рядов 290
Гарди теоремы обобщение 175
Гармонические функции 142,
225
Г'арнака теорема 188
Гартогса область 110, 203
— теорема главная 191
— теорема об аналитичности
функции, аналитичной по
каждому переменному 195
— функция 200
Гомеоморфизм аналитический 65
Гомоморфизм 19
Граничное свойство 117
Группа компактная 25
— круговая 19
— преобразований (с помо1цью
формальных степенных
рядов) 18
— присоединенная 217
Групповой меры инвариантность
36
Диски 111
Дискриминант 270
Дифференциальные свойстна
аироксимирующих функций 154
— формы 171
Допустимые координаты 78
— отображения 78

Указатель
295
Единицы делитель п кольце
степенных рядов 263
Единственность 23, 70
Завершение геометрическое 93
Замкнутость слабая 21
Звездная область 123
Идеал в кольце степенных
рядов 283
Испсена — Гартогса неравенства
142
Изоморфизм 19
Инвариантная риманова длина171
Инвариантность минимальной
функции области 165
Интегрирование (в группах) 33
Исключительное множество 237
Испытующая функция 221
Итерация преобразований 23
Каратсодори К. 24, 227
Картан А. 23, 70
Класс функций Л"'" 154
Клин 139
Кольцо степенных рядов 10
Компактная группа 25
Компактность слабая 25
Координатное пространство,
действительное, комплексное,
комплексно-аналитическое 78
Коши — Римана уравнения 54
Кратно-кругообразные области
113
Кратный интеграл Фурье 179
Круговая группа 19
Круговая область 110
■ в качестве
репрезентативной 168
Кругообразная область 109
Лапласа уравнение 225
Лови условие 101
Ли комплексные группы 214
Линейная часть отображения 18
Линейный дифференциальный
оператор 220
Липшица условия 237
Локальная связность в
граничной точке 121
Лорана ряд 126
1/г-нормы 162
Мажорируемое семейство
функций 59
Максимальная область 104
радиальная 108
Максимальной области Гартогса
радиусы 199
Максимум на границе 149
Матрица операторов 229
унитарная 83, 215
Меньшов — Лооман 230
Мероморфная функция 211
Мероморфности радиус 211
Минимальная функция области
165
Многообразие
характеристическое 151
Многочленов нормы 39
Монотонная сходимость 189
Неограниченность функции в
граничной точке 117
Неподвижная точка
преобразования 72
Непрерывная сходимость 70
Непрерывность аналитической
функции 48
Неприводимое многообразие 285
Неприводимость 266
Норма Lp 162
Нормы многочленов 39
Области эквивалентные 168
Область абсолютной сходимости
степенного ряда 114
— Гартогса 110
— звездная 123
— кратно-кругообразная 113
— круговая ПО
— непрерывной сходимости ПО
— радиальная 105
— регулярности 119
— Рсйнгардта 114
— репрезентативная 168
Обобщенные решения системы
дифференциальных
уравнений в частных производных
223
Оболочка выпуклая 125
Общие корни системы функций
284
Ограниченность слабая 21

296
Указатель
Ограниченные группы 28
Окружение действительное 50
Оператор 220
Опорная плоскость 119
Орбита ПО
Ортогональные системы 169
Осгуд 194
Осереднения процесс 225
Отмеченные многочлены 265
Относительное аналитическое
расширение 124
Отношение двух аналитических
функций 211
Отношений поле 291
Отображение допустимое 78
Пешль 38
Пикар 65
Планшерель 179
Плоскость опорная 119
Подготовительная теорема Вей-
ерштрасса 260, 265
Подобное изменение 22
Полицилиндр круговой 45
— обобщенный 47
Полнота системы функций 169
Полугруппа 13
Порядок роста ядра области 172
Правильный элемент кольца
степенных рядов 264
Предел последовательности
точных решений системы
дифференциальных уравнений 223
— слабый 21
Преобразование внутреннее 13
— итерированное 23
— линейная часть 18
— невырожденное 38
—■ неособенное 18
Приводимость 266
Примарный идеал 287
Присоединенная группа 217
Простой идеал 286
Пуанкаре 151
Пуассона интеграл 142
— ядро 142
обобщенное 189
Радиальное точечное множество,
область 105
Радиус мероморфности 211
Разложение на множители 267
Рассечение области полное 94
Расширение аналитическое
области 90, 120
— кольца степенных рядов 290
Рациональная функция в
произведении областей 275
Регулярности область 119
Регулярный идеал в кольце
степенных рядов 288
Рейигардта аналитическое
расширение 114
— область 114
Репрезентативная область
Бергмана 168
Рюккерт В. 282
Ряд степенной формальный 9
Севери 98
Семейство функции
мажорируемое 59
Символическое
дифференцирование 56
Симметрические функции 273
Собственный идеал
многообразия 284
Сопряженные комплексные
переменные 54
Сопряженный оператор 220
Степенные ряды 45
— — формальные 9
Степень элемента кольца
степенных рядов 263
Строгое решение системы
дифференциальных уравнений 223
Субгармонические функции 202
Сферических поверхностей
отображение 79
Сходимость пепрсрьгвная 70
— слабая 21
Топология слабая (в кольце
степенных рядов) 20
Унитарная матрица 83
Устранимые особенности 217
Фату 65
Фубини теорема 145

Указатель
297
Функции аналитические
действительных переменных 50
— —комплексных переменных
45
— — смешанных переменных 53
— неявные 58
Фурье интегралы кратные 179
Характеристическое
многообразие 151
Целостности область 264
Цилиндрическое множество
(область) 125
Шварца лемма 84
Ядро области 170
Якобиан отображения 241

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предпсловпе переводчика 5
Из предпсловпя авторов 7
Глава I. Группы преобразований с помощью
формальных степенных рядов 9
§ 1. Формальные степенные ряды 9
§ 2. Теорема о круговой группе 19
§ 3. Топология формальных степенных рядон 20
§ 4. Теорема единственности А. Картапа 23
§ 5. Ограниченные группы преобразонаний 28
§ 6. Ограниченные группы преобразований. Обобп1епие
теоремы единственности А. Картапа 31
§ 7. Теорема Беенке — Пешля 38
Литература 43
Глава II. Основные факты теории аналитических
функций комплексных и действительных переменных. . 45
§ 1. Функции комплексных переменных 45
§ 2. Функции действительных переменных 50
§ 3. Функции смешанных переменных 53
§ 4. Сопряженные комплексные переменные 54
§ 5. Мажорированные семейстна функций 59
§ 6. Теорема Е. Е. Лени 61
Литература 63
Глава III. Аналитические отображения с неподвижной
точкой 65
§ 1. Аналитические гомеоморфные отображения всего цро-
странстпа на некоторую его частг 65
§ 2. Теорема единственности А. Картана 70
§ 3. Критерий для того, чтобы преобразование с пеподипжной
точкой было автоморфизмом 72
§ 4. Группы автоморфизмов с неподвижной точкой 76
§ 5. Аналитические отображения сферических поверхностей
друг на друга 79
§ 6. Лемма Шнарца и теорема Адамара о трех сферах .... 84
Литература 89
Глава IV. Аналитическое расширение 90
§ 1. Предварительные сведения 93
§ 2. Теоремы о расширении 95
§ 3, Выпуклые области 98

Оглавление 299
§ 4. Видоизмененная выпуклость 101
§ 5. Максимальные области 104
§ 6. Радиальные области 105
§ 7, Кругообразные области 109
§ 8. Кратно-кругообразные области 113
§ 9. Некоторые заключительные замечания 114
Литература 115
Глава V. Особенности в граничных точках 117
§ 1. Неограниченные функции 117
§ 2. Аналитическое условие для возможности расширения
области 120
§ 3. Относительное расширение 124
§ 4. Выпуклые цилиндрические области 125
§ 5. Аналитические функции и эллиптических полицилиндрах 129
§ 6. Расширение цилиндрической области. Частный случай . 134
§ 7. Общий случа!'! 136
Литература 141
Глава VI. Неравенства, ограничения и нормы 142
§ 1. Неравенство Иеисена — Гартогса 142
§ 2. Максимум на границе 149
§ 3. Анрокспмации 152
§ 4. Функции, ограниченные на цилиндрических множестнах. 157
§ .'5. /,^,-нopмы для интегралов по объему . 162
§ 6. (Л1стемы ортогональных функций 169
§ 7. Попсрхностные интегралы 174
§ 8. Кратные интегралы Фурье 179
§ 9. Функции с интегрируемым кппдратом 183
Литература 185
Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические
функции 188
§ 1. Теорема Гарнака 188
§ 2. Гланная теорема Гартогса 191
§ 3. Результаты Осгуда 194
§ 4. Теорема Гартогса об аналитичности по каждому
переменному 195
§ 5. Обобп1.ение гланнои теоремы Гартогса 196
§ 6. Области Гартогса и субгармонические функции 199
§ 7. Обобщенные области Гартогса 203
§ 8. Полуплоскости взамен кругоп 205
§ 9. Радиусы Борсля 207
§ 10. Радиус мероморфности 211
§ 11. Теорема о комнлсксшлх rpynruix Ли 211
Литература '. 217
Глава VIII. Устранимые особенности 219
§ 1. Обобп1.енные решения дифференциальных ураннсний в
частных производных 219
§ 2. Постоянные коэффициенты 223

300 Оглавление
§ 3. Гармонические функции 225
§ 4. Системы уравнений и функций 227
§ 5. Аннулирующие функции 230
§ 6. Устранимые особенности. Общий случай 232
§ 7. Устранимые особенности аналитических функций .... 234
§ 8. Типы исключительных множеств 237
§ 9. Основная теорема об устранимых особенностях 239
§ 10. О якобианах 247
Литература 251
Глава IX. Алгебраические теоремы 252
§ 1. Подготовительная теорема Вейерштрасса 252
§ 2. Отмеченные многочлены 262
§ 3. Характеристические многообразия 268
§ 4. Замечание об алгебраических функциях 273
§ 5. Рациональные и алгебраические функции и произведении
областей 274
Литература 280
Глава X. Локально-аналитические многообразия. . . . 281
§ 1. Введение. Условие конечности базисов 281
§ 2. Аналитические многообразия в окрестности некоторой
точки 283
§ 3. Неприводимые многообрэзия 284
Именной и предметный указатель 294
Редактор В. А. Братановский Технический редактор Н. А. Печникова
Корректор К. И. Иванова
Подписано к печати 21/11 I95I г. A-024I4. Бумага 84 X 108V,j = 4,7 бум. л., 15,4 печ. л.
Уч.-И1дат. л. 14,8. Изд. № I/9I6. Цена 13 р. 80 к. Зак. 961
2-я типография „Печатный Двор" ни. А. М. Горького Главиолиграфиздата при Совете
Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.

список ОПЕЧАТОК
i книге С. Бохнер и -У. Т. Мартин, „Функции многих комплексных
' ' переменных'
Стр.
12
99
99
101
113
152
252
Строка
12 СН.
1 .
5 св.
9 .
2 СН.
9 св.
13 .
Напечатано
С,
круговых
--^l^---+i
n=0
Следует читать
Cr
|2y —dfyl
кругообразных
-(4 + -.. + /^
s~ I
fi=0
Bee номера страниц в указателе, начиная с 253 стр., должны
быть уменьшены на единицу.
С. Бохнер