TATA INSTITUTE OF FUNDAMENTAL RESEARCH
STUDIES IN MATHEMATICS
General editor : K. CHANDRASEKHARAN
SEVERAL COMPLEX
VARIABLES
Local theory
M. HERVE
Professeur a la Faculte des Sciences, Nancy
OXFORD UNIVERSITY PRESS,
BOMBAY 1963

М. Э Р В Е
ФУНКЦИИ МНОГИХ
КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Локальная теория
Перевод с английского
Б. А. ФУКСА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1965

164 Указатель главных определений и результатов
Следствие 1 из предложения 4. Размерность анали-
аналитического множества в смысле Реммерта и Штейна.
Следствие 2 из предложения 4. Размерность проек-
проекции аналитического множества.
Теорема 6. S—S* — аналитическое множество.
3. Предложение 1. Замыкание связной компоненты S* есть
неприводимое аналитическое множество.
Следствие 1. S неприводимо тогда и только тогда, когда
S* связно.
Следствие 2. Соотношение между неприводимостью мно-
множеств и неприводимостью ростков.
Следствие 3 (с). Лемма Ритта.
Определение 2. Неприводимые компоненты аналитиче-
аналитического множества.
4. Следствие 1 из теоремы 9. Размерность пересечения
двух аналитических мвожеств, из которых одно главное.
Следствие 3 из теоремы 9. Размерность пересечения
двух произвольных аналитических множеств.
5. Предложение 1. График голоморфного отображения.
Теорема 10. Существование голоморфной зависимости ме-
между заданными голоморфными функциями.
Теорема 11. Обращение голоморфного отображения.
6. Определение 3. Функции, голоморфные на аналитиче-
аналитическом множестве в смысле А. Картана.
Теорема 12. Эквивалентность определений.
Следствие. Голоморфная функция на аналитическом мно-
множестве порождает голоморфную функцию на аналитических
подмножествах, удовлетворяющих некоторым условиям.
Следствие 1 из предложения 2. Голоморфная функ-
функция на неприводимом аналитическом множестве или посто-
постоянна, или определяет открытое отображение.
Следствие 2 из предложения 2. Принцип максимума
для голоморфных функций на аналитических множествах.
Теорема 13. Множество нулей функции, голоморфной на
аналитическом множестве.
Определение 4. Универсальный знаменатель.
Теорема 14. Существование универсального знаменателя.
Пред л.о ж е н и е 3. Алгебраический эквивалент утвержде-
утверждения: единица является универсальным знаменателем.
Определение 5. Нормальные ростки аналитического мно-
множества.
7. Определеннее. Функции, голоморфные на аналитическом
множестве в смысле Р. Реммерта.
Следствие из теоремы 15. С-голоморфная функция
на аналитическом множестве порождает С-голоморфную
функцию на любом его аналитическом подмножестве.
Предложение 1. Голоморфные функции на аналитиче-
аналитическом множестве вблизи его униформизируемых точек.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих
переменных 7
Глава II. Кольцо ростков голоморфных функций в точке 17
Глава Ш. Аналитические множества: локальное описание . . 54
Глава IV. Локальные свойства аналитических множеств ... 94
Литература 160
Указатель главных определений и результатов . . ...... 162

УДК 517.55
Основная тема книги—систематическое изложение
теории аналитических множеств в пространстве многих
комплексных переменных. Результаты этой теории ши-
широко используются в современных работах по теории
комплексных пространств, по голоморфным отображе-
отображениям, аналитическому продолжению функций и ряду
других разделов теории функций.
Этой теме предпослано изложение необходимых
сведений из общей теории аналитических функций
многих комплексных переменных. Никаких предвари-
предварительных сведений по теории функций многих комплекс-
комплексных переменных у читателей не предполагается.
Книга доступна студентам старших курсов универ-
университетов. Она будет полезна математикам и физикам,
работающим в области теории функций или использую-
использующим методы этой теории.
Редакция литературы по математическим наукам

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга может служить введением в современные
работы по теории функций многих комплексных переменных,
особенно по теории комплексных пространств. Многие резуль-
результаты локального характера, относящиеся к кольцу ростков
голоморфных функций в данной точке, голоморфным отобра-
отображениям, аналитическому продолжению, аналитическим мно-
множествам и т. д. в этих работах предполагаются известными,
хотя они отсутствуют в книгах Бенке — Туллена и Бохнера —
Мартина и их можно найти только в оригинальных работах
А. Картана, Р. Реммерта, К. Штейна и др. или в трудах
семинаров [3], [5]J).
Я надеюсь, что объединение этого материала может
оказаться полезным и что новая его трактовка может вызвать
свежие идеи.
Предлагаемый текст является независимым настолько, на-
насколько это возможно. От читателя ожидается лишь зна-
знакомство с классической теорией голоморфных функций одного
комплексного переменного и с несколькими результатами
из алгебры, собранными ниже в § 2, гл. II2).
>) Цифры в квадратных скобках здесь и далее означают ссылки
на приведенный в конце книги список литературы.
2) Для понимания изложенного в и. 1, гл. IV сверх того необ-
необходимы некоторые сведения из теории когерентных аналитических
пучков. — Прим. перев.

В основе книги лежат лекции, читанные автором в 1962
году в Тата-институте фундаментальных исследований (Бом-
(Бомбей). Я благодарен профессору Чандрасекхарану за пригла-
приглашение прочитать эти лекции и за решение их опубликовать.
В основе большей части текста лежат записи, сделанные
Р. Р. Симхой. Я горячо благодарю его за полезные замеча-
замечания и сотрудничество. Я благодарю также д-ра Рагхана
Нарасимхана за его важные советы.
Нанси Мишель Эрве

Глава I
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В настоящей главе изложены основные свойства голо-
голоморфных функций многих переменных, преимущественно без
подробных доказательств.
1. Голоморфные функции. Мы ведем наши рассмотре-
рассмотрения в m-мерном векторном пространстве Ст над полем С
комплексных чисел, т^\. Обычно мы полагаем, что в про-
пространстве Ст выбран базис, и отождествляем С™ с простран-
пространством упорядоченных групп х = (хх, . . ., хт) из га комплекс-
комплексных чисел.
Пусть дана точка a = (als .... am~) ? Cm и действительные
числа гх, . . ., гт > 0. Множество
Р=\{хх. .... хт) 6 Сга| | xj — af |< rJt /=1, .... т]
называется открытым полицилиндром, или поликругом,
с центром в точке а и радиусами rj. Аналогично замк-
замкнутым полицилиндром с центром в точке а и радиу-
радиусами гj является множество
P=[(xv .... xm)€Cm\\xj — aj\^.rj, j=l, .... т).
Множество
Г ={(*,. ..., xm)eCm\\xJ — aj\ = rJ, у = 1 т)
называется остовом, или исключительной граничной по-
поверхностью, полицилиндра Р (и Р). Множество всех от-
открытых полицилиндров образует базис «обычной» топологии
пространства Ст (определенная таким образом топология
не зависит от выбора базиса векторов в пространстве С").
Нормальная сходимость. Ряд 2/« комплексно-
значных функций, определенных на множестве ?cGm, назы-

В основе книги лежат лекции, читанные автором в 1962
году в Тата-институте фундаментальных исследований (Бом-
(Бомбей). Я благодарен профессору Чандрасекхарану за пригла-
приглашение прочитать эти лекции и за решение их опубликовать.
В основе большей части текста лежат записи, сделанные
Р. Р. Симхой. Я горячо благодарю его за полезные замеча-
замечания и сотрудничество. Я благодарю также д-ра Рагхана
Нарасимхана за его важные советы.
Нанси Мишель Эрве

Глава I
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В настоящей главе изложены основные свойства голо-
голоморфных функций многих переменных, преимущественно без
подробных доказательств.
1. Голоморфные функции. Мы ведем наши рассмотре-
рассмотрения в m-мерном векторном пространстве С" над полем С
комплексных чисел, т ^> 1. Обычно мы полагаем, что в про-
пространстве С* выбран базис, и отождествляем С* с простран-
пространством упорядоченных групп х = (хг, . . ., хт) из т комплекс-
комплексных чисел.
Пусть дана точка а = (а1г . . ., ат) ? Ст и действительные
числа гг, . . ., гт > 0. Множество
P={(xv .... хт) ? Сга| | х j — uj | < г j, 7=1. •••. я*}
называется открытым полицилиндром, или поликругом,
с центром в точке а и радиусами rj. Аналогично замк-
замкнутым полицилиндром с центром в точке а и радиу-
радиусами Гу является множество
P={(xv ..., хт) ? Ст | | Xj — п] |< г7-, 7=1 т].
Множество
" = {(^1» •••> хт) 6 С | | Xj fly| = ry, 7=1. •••• ^}
называется остовом, или исключительной граничной по-
поверхностью, полицилиндра Р (и Р). Множество всех от-
открытых полицилиндров образует базис «обычной» топологии
пространства Ст (определенная таким образом топология
не зависит от выбора базиса векторов в пространстве С").
Нормальная сходимость. Ряд 2/« комплексно-
значных функций, определенных на множестве EczC", назы-

8 Г лав а I
вается нормально сходящимся на Е, если
2B/J< + °o (здесь ||/J=^sup|/nO;)|).
Лемма Абеля. Предположим, что степенной ряд
>! jcm) ? Ст, сходится!) в точке фх, . .., Ьт) ? С™,
причем bj Ф 0 <9ля каждого j от 1 до т. Тогда ряд S
сходится в каждой точке открытого полицилиндра Р
с центром в точке @, . . ., 0) ? С™ и радиусами \ bj |; ряд S
сходится нормально на каждом компактном подмно-
подмножестве полицилиндра Р.
Определение 1. Комплекснозначная функция /,
определенная на открытом множестве U с Ст, голо-
голоморфна на U, если для каждой точки b ? ?/ суще-
существуют открытый полицилиндр Р cz U с центром
в точке b и степенной ряд
сходящийся к функции f (x) в каждой точке х?Р.
Замечание. Пусть функция / голоморфна на U. Тогда,
в силу леммы Абеля, степенной ряд 5 сходится нормально
на компактных подмножествах полицилиндра Р. Следова-
Следовательно, голоморфная функция непрерывна.
Предложение 1. Пусть fx, ..., fp — голоморфные
функции на открытом множестве U с: Ст. Предпола-
Предполагается, что для каждой точки x?U точка (jl (л:), ...
. . ., /р(х))?V, где V — некоторое открытое множество
в пространстве Ср. Тогда, если функция g голоморфна
на V, то функция g(fi(x) /р(х)) голоморфна
во всех точках х ? U.
Это вытекает из свойства ассоциативности нормально
сходящихся степенных рядов.
') В настоящей книге рассматриваются только абсолютно схо-
сходящиеся ряды.

Основные свойства голоморфных функций
Следствие 1. Голоморфность функции на откры-
открытом множестве в Ст не зависит от выбора базиса,
векторов в пространстве Ст.
Следствие.2. Если / и g — голоморфные функции
на открытом множестве U а Ст, то функции f -\- g, fg
голоморфны на U. Если g=f=0 на U, то функция f/g
голоморфна на U.
Следствие 3. Пусть /— голоморфная функция на
открытом множестве U с: Ст. Тогда для каждой точки
а — (аг, ..., ат) ? U и каждого номера У A <; У < от)
функция f (ах aj-i< xj> aj+i ат) одного ком-
комплексного переменного Xj, определенная на открытом
множестве
{х,?С\(аг af_lt xjt aJ + l, .... aj ? U) <= С,
голоморфна на нем.
Замечание. Обратно, если / — комплекснозначная
функция на открытом множестве U czCm и все функции одного
комплексного переменного, получаемые из / описанным выше
образом, голоморфны на указанных открытых множествах
пространства С, то функция / голоморфна на U (теорема
Гартогса — Осгуда). Это глубокий результат, который мы не
доказываем в этой книге (доказательство см., например, [1],
стр. 195 и след.).
Предложение 2. Пусть f — голоморфная функция
на открытом множестве U с: Ст. Тогда для любых
целых чисел kr km^0 частные производные
—-г j— существуют и голоморфны на U. Более
точно: пусть Р cz U — открытый полицилиндр с цен-
центром в точке b^U a S — степенной ряд от разностей
Xj — bj, У =1, .... от, сходящийся к функции f в Р;
тогда степенной ряд, полученный из S почленным диф-
дифференцированием &i раз по хг km раз по хт, схо-
«j*i+ ••¦ +kmf
дится к ъ ¦%— в Р.

10 Глава/
Следствие 1. В ряде S коэффициент при
(дг,—*i)*« ... (xm—fym)fc'" равен -r-j -r—x ъ 4^.
В частности, степенной ряд S единственным об разом
определяется значениями функции f в любой окрест-
окрестности точки Ъ. Мы называем его разложением Тей-
Тейлора функции f в точке Ь.
Следствие 2. Пусть f и g — голоморфные функ-
функции на связном открытом множестве U с Ст и f = g
на некотором открытом непустом под множестве мно-
множества U. Тогда f = g всюду на U (принцип аналити-
аналитического продолжения).
Доказательство. Пусть V={x?U\f = g в неко-
некоторой окрестности точки х\. По предположению, множе-
множество V не пусто и открыто. Очевидно, что точка х ? U
принадлежит множеству V тогда и только тогда, когда
тейлоровы разложения функций / и g в этой точке совпа-
совпадают. Последнее, в силу следствия 1, означает, что
v= П 1*6" —rt—т^^^гт—гъг *¦
*1« "•• */я>0 I 1 •••"Хт °х\ •••"хт )
Следовательно, множество V замкнуто в U, и так как мно-
множество U связно, то V = U, что и требовалось доказать.
Замечание. Мы увидим далее (см. п. 1, гл. III), что
если f — g на множестве F с: U', для которого множе-
множество U — F является открытым и несвязным или локально
несвязным (т. е. существует такое открытое связное множе-
множество W с U, что множество W П (U — F) несвязно), то / = g
на всем множестве U.
2. Ростки голоморфных функций. Рассматривается про-
произвольное множество X а Ст; пусть Е(Х) = Е — множе-
множество пар (U, /), где U с'С — некоторое открытое множе-
множество, содержащее X, f — функция, голоморфная на U'. Далее,
на Е определяется следующее отношение/?: (U, f)R(V, g)
в том и только в том случае, если / = g на некотором
открытом множестве, содержащемся в (U. (\V) и содержа-

Основные свойства голоморфных функций 11
щем К. Очевидно, что R является отношением эквивалент-
эквивалентности.
Определение 2. Ростком голоморфной функции на
X называется класс эквивалентности множества Е {X)
по отношению R.
Мы обозначим через gf6 (X) множество ростков голо-
голоморфных функций на X. По отношению к обычному сло-
сложению и умножению е№ (X) является коммутативным коль-
кольцом с единицей. Очевидно, что каждый элемент кольца S%3 (X)
имеет вполне определенное значение в каждой точке множе-
множества X; однако различные элементы кольца q}6 (X) могут
иметь одинаковые значения во всех точках х ? X.
Замечание 1. Если множество X совпадает с замы-
замыканием своих внутренних точек или если каждая связная
компонента X содержит внутреннюю точку, то всякий эле-
элемент кольца Sf6 (X) единственным образом определяется своими
значениями на X. Действительно, если (U, /), (V, g)?E(X)
и / = g при х?Х, то в обоих указанных случаях, в силу
следствия 2 из предложения 2, / = g на всех связных ком-
компонентах множества U (]V, пересекающихся с X. Следова-
Следовательно, (U, f)R(Y, g).
Замечание 2. Пусть множество X состоит из одной
точки а. В этом случае мы пишем S€ (-Л") = S@™'¦ Две функ-
функции, голоморфные в некоторой открытой окрестности точки а,
совпадают в подобной окрестности тогда и только тогда,
когда они имеют одно и то же тейлорово разложение в точке а.
Поэтому кольцо 36™ изоморфно кольцу сходящихся сте-
степенных рядов с т комплексными переменными (степенной
ряд 2 а. ' jcf 1 . .. лг*я» называется сходящимся,
ki *т>° ' т
если он сходится в некотором открытом полицилиндре
с центром в начале координат пространства С"). Значением
некоторого элемента <з№™ в точке а является свободный
член его ряда Тейлора.
3. Интегральная формула Коши. Пусть / — голоморф-
голоморфная функция (ее росток) в замкнутом полицилиндре Р cz Cm
с центром в точке а и радиусами г,-. Тогда для каждой

12 Глава I
точки х ? Р имеем
1 Ум)
(У1 — *i) - • • <Ут — *m)
1 yi-a.l=/-i
где интегрирование производится по окружностям | yj—а у |= гj
с положительной ориентацией. Эта формула непосредственно
вытекает из интегральной формулы Коши для голоморфных
функций одного комплексного переменного.
Следствие 1. В указанных выше условиях ряд
Тейлора
о — ^ ak * (Xj — ах) \хт — ат) т
функции f сходится в Р.
Действительно, подинтегральное выражение в формуле
Коши может быть разложено в степенной ряд по разно-
разностям (дгу — д.), сходящийся при х ? Р. Его коэффициентами
являются функции от у, определенные на остове Г поли-
полицилиндра Р. Поскольку функция / непрерывна, а следова-
следовательно, и ограничена на Г, этот ряд нормально сходится
на Г для каждой точки х ? Р. Поэтому ряд можно почленно
интегрировать; получающийся в результате степенной ряд по
разностям Xj — а^ сходится к функции / во всем поли-
полицилиндре Р.
Замечание. Пусть / — голоморфная функция на откры-
открытом множестве U с: О™. Тогда из предыдущего вытекает,
что ряд Тейлора для функции / в любой точке a^U схо-
сходится в любом полицилиндре с центром в точке а, содер-
содержащемся в U.
Следствие 2. В условиях и обозначениях след-
следствия 1, для любых целых чисел kx km^0 имеем
где Г — остов полицилиндра Р. (Неравенства Коши.)

Основные свойства голоморфных функций 13
Действительно, из интегральной формулы следует, что
t • г ¦ .
...*„,== Bш-)т J dym...
\ym-am\ = rm
/(У1. •••> Упд
С
J
d
Отсюда вытекают указанные выше неравенства.
Замечание'. Пусть <&~ — некоторое семейство функ-
функций, голоморфных на открытом множестве U с: Ст, равно-
равномерно ограниченное на компактных подмножествах U. Ряды
Тейлора для частных производных голоморфной функции
могут быть получены почленным дифференцированием ее ряда
Тейлора. В силу неравенств Коши, для каждой системы целых
чисел ^i, .... km^>О семейство функций
также равномерно ограничено на компактных подмножествах
множества U. В частности, указанным свойством обладает
совокупность всех первых частных прризводных функций
семейства <&~. Поэтому семейство &~ равностепенно непре-
непрерывно. Отсюда, согласно теореме Асколи (см. [2]. гл. X,
§ 2, п. 5), вытекает, что из каждой бесконечной последова-
последовательности функций семейства S^ можно выделить подпосле-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся на каждом компакт-
компактном подмножестве множества U.
Следствие 3. (Принцип максимума.) Пусть f — голо-
морфная функция на открытом множестве U с: С"\
dU—граница U {она включает бесконечно удаленные
точки, присоединяемые к пространству Ст, если мно-
множество U не является относительно компактным в Ст).
Если lim |/(л:)|<;Л1 для каждой точки у?дС/,
то A) |/| ^ уИ всюду в U; B) если |/(д:0)| = Ж в неко-
некоторой точке xQ^U, то f (x)^f (x0) на связной ком-
компоненте множества U, содержащей точку х0.
Это утверждение доказывается при помощи интегральной
формулы, так же как в случае одного комплексного пере-
переменного.

14 Глава!
4. Теорема Вейерштрасса. Если последователь-
последовательность {/„} функций, голоморфных на открытом мно-
множестве Ucz Cm, равномерно сходится на каждом ком-
компактном подмножестве множества U', то (I) предельная
функция / голоморфна на U; (II) для любой системы
целых чисел kv .... km^0 последовательность
dx*m
d\mf
сходится к 5 ^— на U; эта сходимость равно-
мерна на каждом компактном подмножестве множе-
множества U.
Утверждение (I) доказывается при помощи интегральной
формулы Коши; тогда утверждение (II) следует из нера-
неравенств Коши.
Следствие 1. Если степенной ряд по хх, .... хт
сходится в открытом полицилиндре Р с центром
в начале координат пространства Ст, то его сумма
голоморфна в Р.
Следствие 2. Пусть U с: Ст — открытое множе-
множество, К — компактное пространство,^—мера Радона
на К, (х, у)—*-/(дг, у) — непрерывная функция на U X К
и лг->/(лг, у) — голоморфная функция х на U для
каждого фиксированного у?К- Тогда (I) функция
F (х) = Г f(x, у) d\i (у) голоморфна на U; (II) для ка-
к
ждой системы целых чисел kx km^>0
djcfi . . . dxm J dxi . . . dxm
1 т. К 1 m
Отсюда можно, в частности, получить интегральную фор-
формулу Коши для частных производных функции, голоморфной
в замкнутом полицилиндре.
5. Голоморфные отображения.
Определение 3. Отображение /(д:)= (fi(x) fp(x))
открытого множества U cz Cm в пространство Ср назы-

Основные свойства голоморфных функций ' 15
вается голоморфным, если координаты fx (х) fp(x)
являются голоморфными функциями на U. Если р = т,
то якобианом Jf{x) отоб ражения f в точке x?U на-
называется определитель матрицы ( 1 ) •
Мы дадим полное доказательство следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть /— голоморфное отображение
открытого множества U cz Cm в пространство Ст и
Jf(a) ф 0 в некоторой точке a?U. Тогда существуют
такие открытые окрестности V (aU) точки а и V
точки f (а), что (I) ограничение f \ V взаимно однозначно
в V и отображает V на V; (II) отображение, об-
обратное отображению f\V, является голоморфным
в V.
Доказательство. Без нарушения общности можно
предположить, что A) a = f{a) = o, где о — начало коор-
координат в пространстве Ст; B) базис векторов в прост-
пространстве Ст выбран так, что ( ' ) — единичная мат-
\ "Xj I 0
рица.
Положим / (лг) = х — g (x) во всех точках x?U. Тогда
g(x) определяет голоморфное отображение множества U в
пространство С", причем все координаты gj {x) и их частные
производные первого порядка обращаются в нуль в точке о.
Используя теорему о среднем дифференциального исчисле-
исчисления, мы найдем такой открытый полицилиндр Р с: U с цен-
центром в точке о и радиусами, равными г, что для любых
точек х, х' ?Р
sup | gj (jf) — gj O') |<i sup \xJ — x',\. (*)
Пусть P' — открытый полицилиндр с центром в точке о
и радиусами, равными г/2. В силу (*) g{P)c:P'. Покажем,
что утверждения теоремы 1 выполняются при V =¦ Р f\ f~x (Р")
и V' = P'.
По определению V, V мы имеем f(V)czV. Покажем
прежде всего, что отображение /1V является взаимно одно-
однозначным.

16 Г лав а 1
Допустим, что вопреки утверждению х, х' ? V, х =h х'',
но /(лг) = /(лг/)- Тогда х — х' = g (х) — g (xf) и
sup | g- (jf) — gj (x')\ =
= sup |лг. — л:'. I (> 0, так как х Ф х').
Это равенство противоречит (*), поскольку V с: Р. Таким
образом, первое утверждение доказано.
Теперь положим лг<°> (у) = у для произвольного у ? V7 и
определим лг(л>(у) при п ~%- 1 индуктивно с помощью равенств:
лг("> (у) = у -f- g (лгС2-1) (у) ). Поскольку g (P) с: Я', легко про-
проверить путем индукции, что лг^Су) ?Я для всех п. Далее,
имеем при п ^ 2
*<л) (у) _ jf(»-l) (у) =
откуда, в силу (*), находим
sup
Отсюда вытекает, что последовательность f лЛ«> (у)| равно-
равномерно сходится на множестве V7. Очевидно, что функ-
функции jc(.")(y) голоморфны на V. Следовательно, функции
х. (у)= lim лг(.")(у), у=1, .... #г, голоморфны на V и ото-
бражение л: (у) = (лгх (у) ^(У)) множества V в С
также является голоморфным. Для любого п и Р' = V
xW(y) — у ?Р', х(у)~-у€Р'
и, следовательно, х(у)?Р. С другой стороны, х(")(у) —
— g(x(-"-1'> (у))=у для любого п. Поэтому х (у)—g(x (у)) = у,
т. е. f(x(y)) = y. Поскольку отображение f\V взаимно
однозначно, отсюда вытекает, что / (V) = V и отображе-
отображение л: (у) является обратным отображению /1 V, что и тре-
требовалось доказать.
Замечание. Обратно, если / — взаимно однозначное
голоморфное отображение открытого множества U а Ст
в пространство С7, то р = т и якобиан отображения /
всюду- в U отличен от нуля. Это будет доказано ниже
(гл. IV, § 5), .

Глава II
КОЛЬЦО РОСТКОВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
В ТОЧКЕ
В настоящей главе мы сосредоточим внимание в основном
на „подготовительной теореме Вейерштрасса" и некоторых
ее следствиях. Эта теорема является важным средством изу-
изучения локальных свойств множеств нулей голоморфных
функций.
1. Подготовительные теоремы. Пусть S€a¦» как и пре-
прежде, кольцо ростков голоморфных функций в точке а ? Ст.
В дальнейшем, если / — функция, голоморфная в некоторой
открытой окрестности точки а ? Ст, то f обозначает элемент
$в™, порожденный этой функцией / (в этом смысле иногда
употребляется запись / = f). В частности, О и 1 — соответ-
соответственно нулевой и единичный элементы кольца е%??.
Предложение 1. Кольцо &f6™ является областью
целостности.
Доказательство. Как мы заметили выше, кольцо S&7
изоморфно кольцу сходящихся степенных рядов с т пере-
переменными над С. Последнее в свою очередь является под-
кольцом кольца 4?~т формальных степенных рядов с т пере-
переменными над С. Кольцо &Гт (для т ^> 2) изоморфно кольцу
формальных степенных рядов с одним переменным над коль-
кольцом <&~т~1. Поэтому тот факт, что кольцо <^~"г является
областью целостности, можно вывести по индукции из сле-
следующего утверждения: кольцо Л[[Х]] формальных степен-
степенных 'рядов с одним переменным X над областью целостно-
целостности А само является областью целостности. Последнее дока-
доказывается так: если / = 2 ak^k' ?"— 21 bkXk, где р,
k > р fc><7
<7^>0, ар ф 0, ддФО,—два отличных от (тождественного)
2 М. Эрве

18 Г лава II
нуля элемента кольца Л [[Л"]], то fg= 2 °цХк> где
cpJl д = apbq ф О, что и требовалось доказать.
Замечание. Предложение 1 может быть выведено из
принципа аналитического продолжения: если функция / го-
голоморфна на открытом связном множестве UczC" и обра-
обращается в нуль на непустом открытом подмножестве множе-
множества U, сна равна нулю во всех точках U.
Некоторый элемент f ? &tf™ является обратимым в том и
только в том случае, если /(а)фО. Отсюда вытекает, что
совокупность необратимых элементов кольца е%?™ является
идеалом. Это единственный (собственный) максимальный
идеал кольца &&%• Мы обозначим его через е%>'™.
Определение 1. Элементы f, g 6 е^Т называются
эквивалентными: f'^g, если существует такой обра-
обратимый элемент h ? ей??, что f = hg.
Очевидно, что — является отношением эквивалентности
в кольце &&%. Если f'~g, то функции fug имеют одни
и те же нули в некоторой окрестности точки а. Простей-
Простейшими классами эквивалентности в q%?% по отношению —
являются 0 и 1, состоящие соответственно из одного нуля
и из всех обратимых элементов кольца ??в™.
Сопоставим далее каждой точке х = (xj хт) ? С"'
(т ^> 2) точку х' = (Х], .... хт_1)?Ст~1. Соответственно
через о и о' обозначаются начала координат в пространствах
Ст и С. Для данных точек х' = (х1, ..., хт_1) ?Ст~ ,
хт?С мы обозначим точку (xt xm-i> xm) 6 Cm через
(х', хт). Далее, мы кратко пишем S&? = е№т, &вТ = eft}'™-
Определение 2. Отмеченным псевдополиномом1)
по переменному хт степени р (р ^ 1) называется выра-
жение вида хрт -j- 2j cu^x'^xPmk' г^е ck^x'^ — голоморф-
') Псевдополиномом, вообще говоря, называется выражение
р
вида ^ ck (¦3kr')A"m""ft- r^e сц(х')— голоморфные функции х' =
s= (Xj Xm-i)- — Прим. перев.

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 19
ные функции в открытых окрестностях точки о' ? С,
обращающиеся в нуль в этой точке.
Отмеченный псевдополином порождает отличный от (тожде-
(тождественного) нуля необратимый элемент кольца
Теорема 1 (подготовительная теорема Вейерштрасса).
Пусть f?S@rm, i Ф 0. Тогда: (I) базис векторов в про-
пространстве Ст можно выбрать так, что /(о', хт) ф 0
в некоторой окрестности точки хт = 0; (II) если базис
векторов в пространстве Ст выбран так, что /(о', хт)ф
фО в некоторой окрестности точки хт = 0, то суще-
существует такой отмеченный псевдополином ф = х^ -j-
р
-f- 21 сь (х') х^Г1' что *— ?'• (НО если при том же базисе
й-1
векторов в пространстве С™ существует другой отме-
ч
ценный псевдополином ^ = ^4-2 ^k (x') x<?~k, такой,
что 4»—¦*» ^о Q — P и для каждого k{\ ^.k ^ p) функ-
функции ck и dk порождают один и тот же элемент идеала
Доказательство. (I) Выбор базиса в простран-
пространстве Ст. Пусть U — открытая выпуклая окрестность точки о,
в которой функция / определена и является голоморфной.
Так как f ф 0, то существует такая точка а ? U, а Ф о, что
/ (а) ф 0. Если мы изменим базис векторов в простран-
пространстве Ст так, что а станет его /ге-ым элементом, то функция
/(о', хт) будет определена и окажется голоморфной на
связном (выпуклом) открытом множестве {хт ? С | (о', хт) ? U]
и отличной от нуля в его точке хт = 1.
(II) Мы предположим теперь, что /(о', хт) ф 0 в неко-
некоторой окрестности точки хт = 0. Пусть РсСт — открытый
полицилиндр с центром в точке о радиусами, равными г,
в котором функция / определена и голоморфна. Тогда суще-
существует такое число р, 0 < р < г, что /(о', хт) Ф 0 при 0 <
< | хт | <^ Р- Так как функция / непрерывна в полицилиндре Р
и не обращается в нуль на компактном множестве
{(о7. хт)\ |jcm|=p}.

20 Глава II
то существует такой открытый полицилиндр Р'сС с цент-
центром в точке о' и радиусами << г, что f(x', хт)ф0 при
x'?Pr, |хт|=р. Полезно заметить, что р и радиусы Р
можно выбрать произвольно малыми.
Пусть у — положительно ориентированная окружность
| 11 = р в С. Для каждого х' ? Р' определим функцию
а (х'Л — -i- Г <?/(*'¦ t) dt
°о КХ > ~ 2ш J dt f (x', t) •
v
Функция f(x', f) для каждого фиксированного х'?Р' голо-
голоморфна по t в круге |^| <р и отлична от нуля при |?|=р.
Поэтому функция 0О (х') равна числу нулей (каждый нуль
считается столько раз, какова его кратность) функции /(х', t)
в круге |^| <р при фиксированном х'^Р1. Итак, функция
сг0 (х') может принимать только целые значения. С другой
стороны, очевидно, что функция а0 (х7) непрерывна в поли-
полицилиндре Р'. Следовательно, она там постоянна и ао(х')^
===о0(о') = р. Так как /(о) —0, а /(о', хт) ф 0 при 0<
<]xm|^p, то число р ^> 1 равно кратности нуля, кото-
который имеет функция /(о', хт) в точке хт = 0. Пусть
}г (х'). • • .. („(х') — нули функции / (х'', ^), лежащие в круге
| ? | < р. Здесь х' — произвольная точка полицилиндра Р'.
Положим ak(x')=[t1(x/)}k-{- ... +{^(х')}й при &>1.
Тогда, в силу формулы
k>l
j Ft f(x.t)' ь*>^>
Y
функции ak (x') голоморфны в полицилиндре Р'. Рассмотрим
теперь элементарные симметрические функции
ck(xf) = (—l)ft 21 ^, (ДгО • • • tj (xO,
К/, < ... <Jk<P '
Каждую из них можно представить в виде полинома от Oj
(с рациональными коэффициентами). Поэтому функции сk (xf)
голоморфны в Р'. Очевидно, что ck (о') = 0 при любом k,
1 ^ k -^ р. Отсюда вытекает, что <р(х', хЛ = х? -(-
-г- 2' с* (-^0 хш~* — отмеченный псевдополином. Мы покажем,

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 21
что функции / и ф порождают один и тот же росток в ка-
каждой точке полицилиндра Р1={(х/, хт) | х' ? Р', |хт|<р}.
Действительно, для каждого х'?Р' функции f(x', t),
ф(лг', t) голоморфны в круге 11 | ^ p и не обращаются в нуль
на окружности |?| = р. По способу своего построения псевдо-
псевдополином ф(х', t) имеет в круге 11 | < р те же нули (и той же
кратности), что и функция f (x', t). Поэтому функции
f(x', t)/q>(x', f) и ф(х', t)/f(xr, t) голоморфны по t в круге
|?|^С р для каждого х'?Р'. Следовательно, в силу интег-
интегральной формулы Коши, для любой точки (х', -?тN^*1
/ (х\ хт) = 1 г f(x', t) dt .
ср (х\ хт) 2ш J Ф {х', t) t—xm'
f
{x', xm) 2ni J f(x'. t) t—xm-
Выражения, стоящие под знаками этих интегралов, непре-
непрерывны по х, t в Рх X У и голоморфны в Pj для каждого
t?y. Следовательно, функции ,Х\ и уУ*> голоморфны
в полицилиндре Рх. Отсюда вытекает, что функции / и ф
порождают один и тот же росток в каждой точке полици-
полицилиндра Рг Утверждение (II) доказано.
(III) Пусть
— некоторый отмеченный псевдополином и ф^^- Тогда
ty—- ср, где ф — псевдополином, указанный в части (II). Ра-
Радиусы полицилиндра Рх мы выберем настолько малыми, чтобы:
(а) в Р' все функции dk (xls) были определены и являлись
голоморфными, (б) в Р1 существовала такая голоморфная и
отличная от нуля функция h, что
¦ф (х', хт) = ф (х', хт) h (x't хт).
Тогда
¦ф(о', хт) = ф(о', xm)h(o', xm)
при | хт | < р, т. е. х"т = x"mh (о', xm). Так как h (о', хт) Ф О
при | хт | < р, то q = p. Из равенства ф = фА вытекает,

22 Г лава II
что для каждой точки х'?Р' псевдополином ip(xf, t) имеет
р нулей в круге |?|<р. Эти корни совпадают с корнями
псевдополинома ф(х', t).
Учитывая, что коэффициенты при хрт в псевдополиномах
ф и г}? равны единице, мы заключаем, что и остальные их
коэффициенты, которые являются элементарными симметриче-
симметрическими функциями этих р корней, совпадают, т. е. dk (xr) =
= ck{x') при х' ? Р', k=l, .... р, что и требовалось до-
доказать.
Замечание 1. Пусть дано конечное семейство функ-
функций fj, удовлетворяющих предположениям теоремы 1 (т. е.
f,?e%?/m, fj*?O). Тогда всегда можно так выбрать базис
векторов в пространстве Ст. что для каждого индекса j
функция fj (о', хт) не обращается тождественно в нуль
в некоторой окрестности точки хт = 0 в пространстве С.
Поэтому там существуют такие отмеченные псевдополи-
псевдополиномы фу, расположенные по степеням хт, что fy<-—еру.
Замечание 2. Пусть функция / голоморфна в неко-
некоторой окрестности точки о, причем /(о) = О, /(о', хт) ф О
в некоторой окрестности точки хт = 0 пространства С.
Тогда можно указать (как в доказательстве утверждения (II))
такой малый полицилиндр Р с центром в точке о, в котором
функция / будет голоморфной и для каждой точки х'?Р'
найдется точка х = (х', хт)?Р, где /(х) = 0.
Теорема 2 (подготовительная теорема Шпэта — Кар-
тана). Пусть f ? <?№'т, \ Ф 0 и базис векторов в простран-
пространстве Ст выбран так, что /(о', хт) ф 0 в некоторой
окрестности точки хт = 0 в пространстве С. Тогда суще-
существуют последовательность открытых полицилиндров
[Рп\ с центром в точке о и радиусами, монотонно
стремящимися к нулю, и последовательность чисел
ап >¦ 0, обладающие следующими свойствами: для ка-
каждой функции g, голоморфной в Рп, можно указать
такую голоморфную в Рп функцию h, что
(J) t> —fn есть псевдополином по хт степени < р,
где р — степень единственного отмеченного псевдополи-
псевдополинома ф, удовлетворяющего условию ср*-—f;
(II) sup |Л(*)|<ая sup \g{x)\.

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 23
Для каждой функции g существует только одна функ-
функция h, удовлетворяющая требованию (I).
Замечание. То обстоятельство, что для каждой функ-
функции g существует одна и только одна функция й, удовле-
удовлетворяющая требованию (I), было установлено Шпэтом (У. far
reiiie und angewandte Math., 161 A929)). В приведенном
выше виде (включающем и утверждение (II), которое нам не-
необходимо) теорема была впервые высказана А. Картаном
{Ann. d. I'Ecole Nor male Superieure, 61 A944)).
Доказательство. Очевидно мы можем положить
р
f=cp, где ф = хрт -j- 2 Фй (х') xPmk— отмеченный псевдо-
*= 1
полином. Из второй части доказательства теоремы 1 выте-
вытекает, что существуют числа р„ >¦ 0, монотонно стремящиеся
к нулю, и последовательность полицилиндров Р'п с центром
в точке о' и радиусами, монотонно стремящимися к нулю,
для которых (а) функции сй(х') определены и голоморфны
в Р[; (Ь) Ф(*'. хт)ФО при х'?Р; и -^<|хт|<рл. По-
Положим 6л = тт|ф(х/, хт)\ для х'с=.Р'п и -^- < | хт \ < рп.
Пусть Рп={(х>. хт)\х'?Р'я. |*т|<р„}. я=1. 2
Предположим, что g—голоморфная функция в полици-
полицилиндре Рп. Выберем число г так, что -%- < г < рд. В поли-
полицилиндре {(х', х^)\х'^Р'п, \хт\<г\ рассмотрим функцию
h(x' х ч — _1_ Г g(^> О dt
П(х , хт)— 2я. j ф(лг,^ t_Xm-
Здесь окружность \t\ = r предполагается положительно
ориентированной. Поскольку ф(х', t) Ф 0 на множестве
|(х', t)\x €Р'п. -^-<|*|<РЯ|}. Функция h(x', xm) голо-
голоморфна в полицилиндре {(х', хт) | х ^ Рп, |л;т|<г}; ее
значения в точках {х', хт)?Рп не зависят от выбора числа
г > | хт |, использованного в определении этой функции
с помощью интеграла. Таким образом, функция h (x', хт)
оказывается определенной и голоморфной во всем полици-
полицилиндре Ра. Покажем, что она обладает свойствами (I) и (II).

24 Глава II
Рассмотрим функцию g (л:', хт) — h (x', хт) ф (х', хт)
для (х', хт)?Рп. При г>\хт\, -тг<г<рЛ имеем
?¦(¦*'. xm) — h(x', xm)<p(x', хт) =
J_ Г g (jC, t) dt 1_ г Ф jx', jcm) g (x', t) dt _
2id J t — xm 2it/ J <P(x'.
/l \t\
. t) t—xm —
|/l=c \t\=r
_ 1 Г g (¦*'¦ t) ф (x\ t) — <p (xr, xm) dL
UN
Ho
ф (x', t) — ф (X', Xm)
t — xm
где dk (x', f) — полиномы степени <; p относительно t; их
коэффициенты являются целыми линейными функциями коэф-
коэффициентов ck (xf). Итак,
g(x', xm) — h(x', хт)ф(>;', хт) =
й=0\ \t\=r
Этим наше утверждение (I) доказано.
Далее мы выберем числа р„ ^ 0 так, что \dk(x', Ol^Pn
при х'?Р'п, \t\ -^ рл для всех k = 0, 1 /?—1, и
предположим, что pj < 1. Тогда из предыдущей формулы
мы получим, что
„ sup |^(x)|=Yn sup
в любой точке (х', Arm) = x^Prt. Следовательно, всюду в Рп
я) sup \g(x)\.

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 25
а если (х'', хт) ? Рп, \хт\ ^ ~-, то
1«Ч*)|-
Отсюда, в силу принципа максимума, вытекает, что
sup |/г(х)| < "^"Y" sup \g(x)\.
Величины а„ = —"TY" не зависят от выбора функции g1.
Утверждение (II) доказано.
Нам осталось показать, что для каждой функции g суще-
существует только одна функция h, удовлетворяющая требова-
требованию (I). Для этого достаточно установить, что разложение
Тейлора функции h в точке о определяется указанными
условиями единственным образом.
Мы запишем разложение Тейлора ростка g функции g
оо
в точке о в виде g=2f^{, где ?ь6е%?т~ • Пусть
ck — росток функции ck в точке о', k=\, ..., р. Мы
покажем, что (формальный) степенной ряд по переменным
х1г ..., хт, отвечающий функции А, единственным образом
определяется условием: росток g — йер не содержит членов
с переменным хт в степени >• р—1. Действительно, пусть
h ¦= 2 Ьцхт' где ^k — формальные степенные ряды от пере-
ft = O
менных хг хт-\ над С. Коэффициент при
(для k ^ 0) в разложении g—йер равен
р
Sp + k — hk — 2 Zj
/ = i
Следовательно, для любого k ^ 0
При /я = 1 все Су равны нулю, а все /гй и gk = gk сводятся
к комплексным числам. Уравнения (*) определяют вели-
величины hk единственным образом: /гй = gp+k для всех

26 Глава II
Пусть далее /п^-2. Тогда (*) является уравнением в кольце
формальных степенных рядов от переменных хх, .... хт_1
над С Положим
* 2^ *»2
где ft?>, g^K c?> — однородные полиномы степени 5 от
переменных xv . •., хт_1 над С. Заметим, что c(fe0) = 0,
так как ck (о') = 0. Здесь k = 1, . . ., р.
Теперь уравнения (*) равносильны уравнениям
22
s= I, 2, ...; k = 0. 1. 2 ....
Первая группа уравнений определяет величины й* для всех
k ^ 0; вторая — показывает, что й^', 0 <; i < s — 1, k ^ 0,
определяют все /г(й\ й ^-0. Тем самым доказательство тео-
теоремы 2 завершено.
Замечание (А). Можно показать, что формальный
со
степенной ряд h = 2 ^ftxm B действительности сходится
ft = 0
в некоторой окрестности точки о, что доказывало бы результат
Шпэта (подробности см., например, в работе [1], стр.
252—259).
Замечание (В). Утверждение теоремы 2 справедливо
для любой последовательности открытых полицилиндров {Рп}
с центром о и радиусами, монотонно стремящимися к нулю,
удовлетворяющих условиям (а) и (Ь), сформулированным
в начале доказательства.
Таким образом, если задано конечное семейство функ-
функций fj, каждая из которых удовлетворяет предположениям
теоремы 2 (т. е. f, ? <Ш'т, /у(о', хт) ф 0 в некоторой
окрестности точки хт = 0 в пространстве С), то можно
найти последовательность {Рп} открытых полицилиндров
с центром о и радиусами г^\ . . ., г<?>, монотонно стремя-

Кольцо ростков голоморфных функций в точке
27
щимися к нулю, обладающих следующим свойством: требо-
требования теоремы 2 выполняются для каждой функции /у
данного семейства не только для последовательности {Рп},
но и для любой последовательности [Рп} полицилиндров
с центром о и радиусами г*{п) <; г^") rm'-i ^ r<m-v
г^} — г^К где г^п) r*m"-i монотонно стремятся к нулю.
2. Сведения из алгебры. Прежде чем применить тео-
теоремы 1 и 2 к выводу некоторых алгебраических свойств
кольца @?6'т, мы сформулируем ряд определений и теорем
из алгебры.
В настоящем пункте буква А обычно обозначает комму-
коммутативное кольцо с единицей 1 (=? 0), А [х] — кольцо много-
многочленов от одного переменного х над А. Если А — область
целостности, то К обычно обозначает поле отношений
кольца А.
(а) Результант и дискриминант. Пусть Р =
Р <7_
= 2 akxi:~k> O=2^ftx?~ft. Р< <7^1' — элементы коль-
кольцо ft=o
ца Л [л:]. Определитель порядка р-\-q
q столбцов р столбцов
а0
an
b2 bx
Ья ¦
. ?п
*р
"р "q
называется результантом Сильвестра полиномов Р и Q.
Обозначим через и0 aq-\< vo> ¦¦•• vp-\ алгебраические
дополнения элементов последней строки определителя р (Р, Q).
Пусть

28 Глава II
Тогда справедливо тождество
из которого вытекает, что полином р(Р, Q) принадлежит
идеалу, порождаемому в кольце А [х] полиномами Р и Q.
Предположим теперь, что А — поле. Тогда
A) р(Р, Q) = 0 в том и только в том случае, если су-
существуют такие одновременно не равные нулю полиномы U,
V?A[x] степеней < q, p соответственно, что Pi/-\- QV = 0.
B) Пусть аоф0. Тогда р(Р, Q) = 0 в том и только в том
случае, если 1) Q = 0 или 2) Q=^=0, но полиномы Р, Q имеют
общий делитель степени > 0, принадлежащий Л[х]. В част-
частности, если а0Ф0 или Ь0Ф0 и поле А алгебраически замк-
замкнуто, то р(Р, Q) = 0 тогда и только тогда, когда поли-
полиномы Р и Q имеют общие корни, принадлежащие А.
Замечание. Если А — только область целостности
(и а0ф0), то p(P, Q) = 0 в том и только в том случае,
если 1) <2 = 0 или 2) Q=^=0, но многочлены Р, Q имеют
общий делитель степени >0 в поле К [х].
(Доказательство утверждений A) и B) см. в книге [6],
стр. 115—118.)
Пусть р ;> 2 и
1
2 p )k
Мы обозначим через б (Р) определитель, который получится
из р(Р, Р'), если в его первой строке заменить а0 на 1.
Число 6(Р) называется дискриминантом полинома Р.
(b) Идеалы в А [х]. Если А — поле, то каждый идеал
кольца А [х] является главным. Если А — только область
целостности, / — идеал в А [х], то можно найти элемент
Ро?/, обладающий следующим свойством: для любого эле-
элемента Р?/ можно указать такой элемент а?А, афО, что Ро
является делителем элемента аР.
(c) Простые и примарные идеалы.
Определение. Идеал I кольца А называется про-
простым, если для любых а, р ? Л из условий ар?/, а(?/,
всегда следует, что р?/.
Предложение. Идеал 1{фА) кольца А является
простым тогда и только тогда, когда факто ркольцо Aj I

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 29
классов вычетов кольца А по модулю I является об-
областью целостности. ,
Определение. Радикалом идеала I кольца А на-
называется множество rad/'= {а?А\ап ?/ для некоторого
целого п^О}.
Радикал некоторого идеала / снова является идеалом.
Этот идеал содержит идеал /.
Предложение. Если I— простой идеал, то / = rad/.
Определение. Идеал I кольца А называется при-
марным, если для любых а, р ? Л из условий ар?/,
а(?/ всегда следует, что p?rad/.
Предложение. Если I — прима рный идеал, то rad /
является простым идеалом.
Определение. Конечное семейство <&~ примарных
идеалов кольца А называется каноническим, если:
(I) аи один из элементов <&~ не содержит пересечения
остальных элементов; (II) различные элементы <&~ имеют
различные радикалы.
Предложение. Пересечение конечного семейства
примарных идеалов, имеющих один и тот же радикал,
является снова примарным идеалом и имеет тот оке
радикал. (Доказательство см. в [6а], стр. 42—43.)
Следствие. Пересечение любого конечного семей-
семейства примарных идеалов всегда является пересечением
некоторого канонического семейства примарных
идеалов.
Теорема. Если два канонических семейства при-
примарных идеалов имеют одно и то же пересечение,
то существует взаимно однозначное соответствие
между этими семействами, причем соответствующие
элементы имеют один и тот owe радикал. (Доказатель-
(Доказательство см. в [6а].)
(d) H ё т е р о в ы кольца.
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
(I) Каждый идеал I в кольце А порождается над А
конечным множеством элементов идеала I.
(II) Каждая строго возрастающая последователь-
последовательность идеалов кольца А конечна. (Доказательство см.
в [6а], стр. 27—31.)

30 Г лава II
Определение. А — нётерово кольцо, если спра-
справедливо утверждение (I) или (II) предыдущей теоремы.
Теорема (теорема Гильберта о базисе). Если А — нё-
нётерово кольцо, то и А [х]—нётерово кольцо.
Предложение. Если А—нётерово кольцо, а 1{фА)—
идеал в кольце А, то и А//—нётерово кольцо.
Теорема (теорема о примарном представлении). Каж-
Каждый идеал в нётеровом кольце является пересечением
канонического семейства примарных идеалов. (Доказа-
(Доказательство см. в [6а], стр. 41—42.)
Замечание (ср. (Ь)). Пусть А — нётерова область
целостности. Тогда для каждого идеала / кольца А [х] можно
указать такие элементы Ро?1 и ао?А, а0 Ф 0, что а0Р
при Р ? / имеет делителем Ро.
(е) Единственность разложения. Теперь пред-
предполагается, что А — область целостности.
Определение. Элемент кольца А называется при-
приводимым, если он является произведением двух необра-
необратимых элементов кольца А. Элемент называется не-
неприводимым, если он не является приводимым.
Определение. А называется областью с одно-
однозначным разложением на множители {или факториаль-
ным кольцом), если каждый необратимый элемент-
элементам А, афО, является конечным произведением непри-
неприводимых элементов кольца А, и указанное разложение
однозначно с точностью до порядка и до обратимых
сомножителей.
Пусть А — факториальное кольцо. Тогда каждое конечное
множество элементов А имеет общий наибольший делитель.
Он определяется однозначно с точностью до обратимого
множителя.
Определение. Пусть А — факториальное кольцо.
Элемент кольца А [х] называется примитивным, если
общий наибольший делитель его коэффициентов равен 1.
Лемма Гаусса. Если А — факториальное кольцо,
то произведение примитивных элементов кольца А [х]
примитивно.
Из этой леммы вытекают такие следствия.
(I) Если А — факториальное кольцо и элемент
Р ? А [х\ примитивен, то Р является делителем эле-

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 31
мента Q?A[x] в А [х] тогда (и только тогда), когда Р
является делителем Q в К [х].
В частности, в обозначениях п. (а) пусть а0 ф 0. Тогда
р(Р, Q) = 0 тогда и только тогда, когда 1) Q — 0 или
2) Q Ф 0, но Р и Q имеют общий делитель в А [х] сте-
степени >> 0. Если, кроме того, характеристика кольца А равна 0,
то 6 (Р) = 0 в том и только в том случае, когда Р делится
на квадрат некоторого элемента А [х] степени >> 0.
(II) Теорема Гаусса. Если А — факториалъное
кольцо, то и А [х] — факториалъное кольцо (доказатель-
(доказательство см. в [6], стр. 100—103).
3. ?№т — факториальное кольцо.
Лемма 1. S&1 — факториальное кольцо.
Доказательство. Пусть тейлорово разложение
в точке о элемента f? еЖ*1, f=?^0, имеет вид 2 akxk, а„Ф0.
Элемент f является обратимым тогда и только тогда, когда
р = 0; он приводим тогда и только тогда, когда р^2.
Отсюда вытекает наше утверждение.
Пусть /га ^2. Тогда кольцо полиномов <§%?т~1 [хт] является
подкольцом кольца <?№т¦ Мы будем называть элемент Р =
р
= 2a*4"J6^'"!W отмеченным, если (I) /?>>1,
А = 0
(II) ао=1 и (III) ak (k > 0) необратимы.
В силу подготовительной теоремы Вейерштрасса, любой
элемент f ? &6'"п, такой, что/(о', хт) ф 0 в некоторой окрест-
окрестности точки ^ = 0, эквивалентен в точности одному отме-
отмеченному элементу кольца Stfm~* [xm]. Конечное произведение
отмеченных элементов из еЖ"" [хт\ есть снова отмеченный
элемент.
Лемма 2. Пусть Р1 Рп ? <Шт~1 [хт] и Р =
= PjP2 . . . Рп— отмеченный элемент. Тогда для каждого
У== 1 п коэффициент a(j] при старшем члене Pj яв-
является обратимым, элемент Qj — (а<-^)~ Pj является
отмеченным или принадлежит классу 1 и Р = Q, . . . Qn.
Доказательство. Поскольку величины аД* являются
обратимыми, старший коэффициент a(l'a'21 . . . а(Л) элемента Р
принадлежит классу ! и Qj<Q2 . . . Qn = Р. Пусть pj — сте-
степень хт в младшем члене Qj с обратимым коэффициентом.

32 Глава II
Тогда коэффициент при хт J в Р также является обратимым.
По условию, Р — отмеченный элемент и, следовательно,
равна степени Р. Отсюда вытекает, что р, есть степень Qj
для всех / и, следовательно, коэффициенты при старших
членах полиномов Qj равны 1. Это означает, что Q}- при-
принадлежит классу 1 или Qj — отмеченный элемент, что и тре-
требовалось доказать.
Лемма 3. Отмеченный элемент Р кольца е%?т~1[хт]
является приводимым в е%?т тогда и только тогда,
когда он является приводимым в кольце <Шт~1 [х^].
Доказательство. Предположим сначала, что Р =
=P1Pi, где Р1г Р2—необратимые элементы кольца с^вт~1 [хт].
Тогда, по лемме 2, Р = QjQ^ где Qx, Q2— отмеченные по-
полиномы (поскольку Р1 необратимы, полиномы Qlt Q2, по-
построенные по Рг так, как это указано в лемме 2, не могут
принадлежать классу 1). Так как отмеченные элементы
кольца еЖ"" [хт] необратимы в кольце <Шт, элемент Р
является приводимым в кольце S?6m.
Обратно, предположим, что элемент Р приводим в коль-
кольце <?№т : Р = fj - f2. где f1 и f2 — необратимые элементы
этого кольца. Тогда х^ = /1(о/Г, xm^f2(or, xm), где р (сте-
(степень Р)>-1. Следовательно, fl (о', хт), /2(о', хт) щк 0 в
некоторой окрестности точки хт = 0. Согласно подготови-
подготовительной теореме Вейерштрасса, f1<--'.Pi, i2—Р2, где Pv, P2 —
отмеченные элементы кольца <ЗЮт~х [хт\. Следовательно,
Р—' РгР2, а в силу утверждения подготовительной теоремы
о единственности Р = Р^Р^, т. е. элемент Р приводим в коль-
кольце <§№т~х[хт\, что и требовалось доказать.
Теперь может быть доказана
Теорема 3. ?Ют — факториальное кольцо.
Доказательство. В силу леммы 1, eft?1 — факториаль-
факториальное кольцо. Мы будем рассуждать по индукции: для т ^> 2
предположим, что <Щт~х — факториальное кольцо, и пока-
покажем, что тогда и S%?m — факториальное кольцо.
Пусть f ? еЖ" , f Ф 0. Мы можем так выбрать базис
векторов в пространстве С", что \—jP, где Р—отмеченный
элемент кольца <Шт~1 [хт]. В силу предположения индукции

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 33
и теоремы Гаусса (п. 2 (е)), &вт~х [хт] — факториальное
кольцо. Пусть Р = Р1(... Рп, где Р} — необратимые и не-
неприводимые элементы кольца <^вт~х [хт]. Согласно лемме 2
(поскольку Pj необратимы), можно принять, что элементы Р,
являются отмеченными (а следовательно, необратимыми в е%?т)',
тогда, согласно лемме 3, они неприводимы в е%?т- Таким
образом, I оказывается эквивалентным произведению необра-
необратимых и неприводимых элементов кольца &&т.
Теперь предположим, что f — fxf2 ... f где fk — необра-
необратимые и неприводимые элементы кольца &вт. Так как f — Р,
мы можем принять (умножив, в случае надобности, i1 на неко-
некоторый обратимый элемент кольца 3@m), что P = fjf2 ... fft.
Тогда /j(o', xm) ... fq(o', хт)=. хРт, где р (степень Р) > 1.
Поэтому f k (о', хт) ф О (k = 1, .... q) в некоторой окрест-
окрестности точки хт = 0. В силу подготовительной теоремы Вейер-
штрасса, каждый росток \k эквивалентен в <?№т некото-
некоторому отмеченному элементу Pk ? <§?в [хт], неприводимому
(как и fft) в кольце ЗУ?, а согласно лемме 3, и в кольце
еЖ*"* [хт\. Следовательно, Р~Р[ . . . Pq (в действитель-
действительности имеет место равенство — в силу заключения подгото-
подготовительной теоремы Вейерштрасса о единственности). Так как
<з%?т~1 [хт] — факториальное кольцо, то q=:n и (при надле-
надлежащей нумерации) Р) — Pj (j = 1, . . ., п), т. е. fj-^-Pj.
Таким образом, f^—¦ Рг ... Рп является единственным, с точ-
точностью до обратимых сомножителей, разложением ростка f
на неприводимые и необратимые элементы кольца $вт.
4. Взаимно простые ростки голоморфных функций.
Для того чтобы изложить следующий результат, принадле-
принадлежащий снова Вейерштрассу, мы введем новое обозначение.
Пусть / — голоморфная функция на открытом множестве
U с: Ст. Тогда для точки а с: U мы обозначим через \а
элемент кольца <з%?™, порождаемый функцией /.
Теорема 4. Пусть f и g — голоморфные функции
на открытом множестве U с Ст, причем в точке a^U
ростки \а и ga являются взаимно простыми в ??6"а ¦
Тогда существует такая окрестность VcU тонки а,
3 М. Эрве

34 Глава 11
что s любой точке х ? V ростки fx и gx являются
взаимно простыми в Ж'™¦
Доказательство. Если элемент fa либо g^ сводится
к 0а или являгтся обратимым в <=%?", или если #г=1, наше
утверждение очевидно. Предположим поэтому, что fa и ga
необратимы, отличны от 0а и яг^>2. В силу замечания 1
по поводу подготовительной теоремы, мы можем предполо-
предположить, что ia и ga эквивалентны соответственно отмеченным по-
полиномам Р и Q по Ут=хт—ат над <?%?™Г1. Из леммы 2, п. 3
вытекает, что Р и Q не имеют общих делителей степени > О
в S$'a'~l [Ущ\- Так как <з%?"а~1—факториальное кольцо и
коэффициенты при старших членах полиномов Р и Q равны 1,
отсюда (согласно п. 2 (е)) следует, что р(Р, Q) ф 0а'-
Очевидно можно так выбрать открытое связное множе-
множество V 9 о' и полиномы ФС-г', ут), ty{x', ym) относительно ут
с коэффициентами, голоморфными при х'?V (при старших
членах равными 1), что €ра = Р, фа = <2- Тогда р(ф, ч|)) = R
есть полином от коэффициентов ф и ф и является голоморф-
голоморфной функцией в V. Так как Ra< =p(p, Q) ф Qa, и множе-
множество V связно, то Rjc' Ф 0х' во всех точках х' ^ V.
Теперь мы докажем (от противного), что во всех точ-
точках Ь?Ст, для которых V QV', ростки ер6 и фй являются
взаимно простыми. Действительно, пусть hu(=^Gu) — необра-
необратимый общий множитель ростков <оь и 4*& в ЗЗ™• Тогда
h ф'', Ьт-\- z) ф 0 в некоторой окрестности точки z = О
(поскольку коэффициент при старшем члене полинома
Ф Ф'' Ьт — ат — z), расположенного по степеням переменно-
переменного z, равен 1). Так как h ф) = 0, в силу замечания 2 по поводу
подготовительной теоремы Вейерштрасса, существует откры-
открытый полицилиндр W с центром в точке Ь, обладающий сле-
следующими свойствами: A) в W либо ф, либо г|э является про-
произведением h на некоторую голоморфную функцию; B) каждой
' W' соответствует по крайней мере одна такая
т С, что (х', xm)?W и h(x', xm) = 0. Поскольку
нули функции h в W являются общими нулями для ф и ¦$,
Р (<Р> "ф) = Я ^ 0 в некоторой окрестности точки Ь''. Мы пришли
к противоречию, которое и доказывает наше утверждение.
Наконец, fc~P = ^a и ga — Q — &а; поэтому fx — <рх,
gX'—'.tyx во всех точках х, принадлежащих достаточно малой
окрестности V точки а. Если окрестность V выбрана так,

Кольцо ростков голоморфных функций в гонке 35
что из включения х ? V следует включение х' ? V, ростки f_
ш gx являются взаимно простыми при всех х ? V, что и
требовалось 'доказать.
Замечание. Из теоремы 4 вытекает, что если функ-
функции fag голоморфны на открытом множестве U с: Ст,
то множество {x?U\fx и gx являются взаимно простыми
в S&x} также является открытым. Более сильный результат
будет получен в п. 3, гл. IV.
Б. Мероморфные функции. Пусть U(Ф 0) — открытое
множество в С", т ^> 2. Мы рассмотрим множество J",
определенное следующими условиями:
(I) множество 3 состоит из троек (V, /, g), где VczU —
связное открытое множество, /, g — голоморфные функции
на V и g ф 0;
(II) если (*/,, /,, gl). (У2, U g^ef. Vi П V2 Ф 0.
то fxgi=f7g\ на VinV2;
(Ш) у v=u.
T (U) — множество всех таких множеств J" и
J", 3"' czT(U). Условимся, что 3" ~ J"', если J" U J"' € Т (U),
т. е. если условие (II) выполняется для 3' U с?" (выполнение
условий (I) и (III) тривиально). Очевидно, что J" ~ J""
при J" С-сТ"'• Далее, очевидно, что отношение<~ симметрично и
рефлексивно. Покажем, что оно транзитивно и, таким образом,
является отношением эквивалентности на множестве Т (U).
Пусть З1, 3". <7*'€Т(?/). ?~ 3". J' ~3"'- Мы должны пока-
показать, что если (У', /', g') ? J". (!/", /", ^0 € 3"' hV'(\V"=?0.
то f'g" = f"g' на V Q V". Благодаря условию (III) доста-
достаточно проверить выполнение этого равенства на всех мно-
множествах V П V" П V ф 0, (V, /, g-) ? J'. Так как 3 ~ J".
3r—J3'r> на подобном множестве V П ^" П ^ имеем fg' =-f'g
и fg" = f"g. а следовательно, и f'gg" = fg'g" = f'gg'-
Так как ^" # 0 ка любой связной компоненте множе-
множества У' П V7' Л V, то отсюда вытекает, что f'g"=-f"g' на
V П V П V. Итак, транзитивность отношения — доказана.
Мы определим мгроморфиую функцию на ?У как класс
эквивалентности а множестве Т(?/) по отношению ~-.
Определение 3. Мероморфная функция F на U
определена а точке х ? U, если существует множе-

36 Глава II
ство J* ?Т (U), определяющее функцию F, и такая
тройка (V, /, g)^J", что х ?V и обе функции fug
не обращаются в точке х одновременно в нуль. Зна-
Значение F (х) функции F в точке х равно оо, если g(x) = O,
и J . : , если g (х) ф О {легко видеть, что F (х) зависит
S \х)
только от F и от х). Функция F является неопреде-
неопределенной в точке х, если она там не определена.
Множество точек U, в которых функция F определена,
есть открытое подмножество в U, и x—>F(x)— непрерыв-
непрерывное отображение этого открытого подмножества в компакти-
компактифицированную комплексную плоскость.
Замечания. A) Каждая функция /, голоморфная на U,
определяет на этом множестве естественным (и взаимно одно-
однозначным) образом мероморфную функцию (которая обозна-
обозначается той же буквой /). Значением этой функции в точке х ? U
является f(x); она определяется с помощью элементов
[Ша, /а. 1) }€Т(?/), гДе Uа. а?/, — связные компоненты
U', /а — ограничения / на Ua.
B) Пусть UocU — открытое множество, F — мероморф-
ная функция на U. Ограничение FQ= F\UQ — это меро-
морфная функция на Uo, которая определяется следующим
образом. Пусть J" ? Т (U) определяет функцию F на U.
Элемент J" определяет элемент tf0 ? Т (?/0) так: (Vo, /0, g0) ? J*o
в том и только том случае, если существует тройка (V, /, g) ? J",
такая, что V ¦=> Vo, fQ = /\V0, g0 = g | Vo; Fo — это меро-
морфная функция, задаваемая тройкой J"o на Uo. Она пол-
полностью определяется функцией F, т. е. FQ определена
в точке х ^ Uo тогда и только тогда, когда в точке х опре-
определена функция F, и в этом случае FQ (х) = F (х). Действи-
Действительно, если какой-либо другой элемент J"Q ^ T (if) также
определяет функцию FQ, то J" U J"Q ^ T (U) и определяет
функцию F. Например, если UQ — множество тех точек U,
где функция F определена и конечна, ограничение F \ Uo
голоморфно на множестве Uo.
C) Пусть U связно и J* ^ Т (U) содержит тройку (VQ, /0, ^0),
причем /0==0. Тогда для каждой тройки (V, /, g) ? J"
имеем /==0. Действительно, предположим сначала, что
У П Vq Ф 0 • Тогда на V П Vq имеем fg0 = /0§-== 0. Поскольку
g0 ф. 0, эта функция не может быть тождественно равной

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 37
нулю ни на одной, связной компоненте пересечения V Л Vo.
Следовательно, /^0. Теперь рассмотрим общий случай:
так как множество U связно, то для любой тройки (V, f', g)^J"
можно найти такую конечную совокупность (Vk, fh, g^^J'.
k = 1 п, что все множества Vo Л Vlt .... Уп_г Л VЛ,
Vn П V" непусты. Применяя последовательно предыдущее рас-
рассуждение, мы заключаем, что f^=0. Таким образом, если
мероморфная функция F на связном открытом множестве
U с Ст равна нулю в любой точке его открытого непустого
подмножества, она тождественно равна нулю всюду на U.
D) Сумма и произведение двух функций, мероморф-
ных на U, определяются так. Пусть J*1 = {(V1, /p g{)},
J = {(V2, /2, g<i)\ определяют соответственно функции Fv F2-
Мы определим множество J*^T(i/) следующим образом:
(V, /, §") ? J* тогда и только тогда, когда существуют
такие (V,. /,, ^б^. (^2> /2. ^б^г- что V d К, П V2 и
/ = (fig2 -+- /2^*1) I ^ для сложения (соответственно (fif2) \ V
для умножения), §• = (gtg2) I ^. Тогда /71-|-/:'2 (соответ-
(соответственно FiF2) — это мероморфная функция, определяемая ?f
на f/. Она полностью определяется функциями Fx и F2. Если
все функции Fv F2, /^х + ^г (соответственно FXFZ) опреде-
определены в точке x^U, то Fx (x) -f- F2 (х) = (^"i + ^2) (х) (соот-
(соответственно Z7! (дг) F2 (х) = (FXF2) (x) ).
E) Пусть Z7 — мероморфная функция, заданная на U и
отличная от тождественного нуля на любой связной компо-
компоненте U; пусть J" — некоторый элемент множества Т (?/).
определяющий F. Тогда, в силу замечания C), если (V, /, g) ? j1,
то /ф 0 на V. Значит, J" = {(V, g. /) | (V. /. g) ? ?} ? Т (?/).
Легко видеть, что мероморфная функция F', определяе-
определяемая J" на U, зависит только от F. Очевидно, что FF'^l.
Мы будем писать: F'=l/F. Непосредственно видно, что
функции F и F' определены в одних и тех же точках мно-
множества U.
Теорема 5. Любая мероморфная функция F на U
может быть определена множеством J*o с: Т (?/) со сле-
следующим свойством: для каждой тройки (Vo, ф, ¦ф)^^
функции ср и -ф принадлежат взаимно простым рост-
росткам в каждой точке х ?V0. Если множество {f0 ука-
указанного вида определяет мероморфную функцию F,
то для любой тройки (Vo, <p, ty^cTa из равенства

38 Г л а в а II
ф (.к) = 'ф(х) = 0 в точке х?У0 следует, что х — точка
неопределенности для функции.^ F.
Доказательство. Мы можем, не теряя общности,
предположить, что множество U связно. Тогда, если F^O,
можно взять множество J-'o состоящим из одной тройки (?/, 0, 1).
Пусть F фО и J" ? Т (?/) определяет F. Тогда для любой
точки x?U можно указать такую тройку (V, /, g) ? J\
что х ? V. Так как F ф О, то и / ф 0 на V (согласно заме-
замечанию C)); нам известно, что g =? О на V. Следовательно,
fjc» gx ^ ®х в е%?™- Обозначим через &х общий наибольший
делитель f^, gx в <Ш™\ пусть ср* = tjc/d^, 4*л: = Sxl^x- Тогда срх
и ф^—взаимно простые элементы кольца е%?™; согласно
теореме 4, существуют связная открытая окрестность V'х а V
точки х и голоморфные в Vх функции q>x, tyx ф 0, поро-
порождающие в точке х ростки фх, tyx и имеющие взаимно простые
ростки во всех точках Vх. Далее мы заключаем, что ftyx = gtyx
(поскольку Vx связно, это следует из равенства ixtyx = gx<$x)-
Это означает, что одна тройка (Vx, q>x, я|)^) определяет на V'х ме-
роморфную функцию F | Vх. Отсюда вытекает, что множество
^0= \(УХ, (рх, tyx) | х ? U\ ^ T (U) определяет функцию F. Итак,
множество J*o обладает требуемыми свойствами по построению.
Теперь предположим, что J*o ? Т (U) определяет функ-
функцию F и обладает свойством, указанным в нашей теореме.
Пусть (Vo, <р, ¦фЭбсТ'о' x?V0, q>(x) = i\p(x) — O. Мы должны
показать, что х — точка неопределенности F, т. е. что для
любого J', определяющего F, и любой тройки (V, /, g)^^,
такой, что x?V, имеем / (х) = g (х) = 0. Действительно,
в нашем случае /¦ф = ф^г на Vf\VQ, в частности, fх^х = ^xgx.
Так как ростки срдг и $х являются взаимно простыми в StfT.
то ix делится на срл:» а Sx — на 4л- ^° 4>(х) = ty(x) = 0;
следовательно, / (х) = g {х) = 0, что и требовалось доказать.
8= Аналитические множества и ростки аналитических
множеств.
О п р е д е л е н и е 4. Аналитическим множеством
{соответственно глазным аналитическим множеством)
з открытом множестве UcCm называется подмноже-
подмножество ? множества U, обладающее следующим свойством:
для ' каждой точки а ? ?/ mooicho указать такую от-
открытую {соответственно открытую связную) окрест-

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 39
ноешь У с: U точки а и конечную совокупность голо-
голоморфных в У функций /] fT {соо.пзгепственно
голоморфную в У функцию /фО), что S (]У=
\ (лг) = ...=/г (х) = 0} (соотвгтстзеняо S f| V =
Очевидно, что аналитическое множество в U зам-
замкнуто в U.
Рассмотрим в U аналитические множества S а Т. Пусть
V, W (с: U) — открытые окрестности точки а ? U, Д, . . ., fr
и gx, .... gs — функции, голоморфные соответственно в этих
окрестностях, такие, что 5 П У = {х 6 У I /i (х) = • • •
. . . =/r(je) = O}, rnW^lxr^i^W^ . . . =?
==g1(x) = ... = gs(x) = 0} и E IJ Г) П (.Vf) Ю —
== {л: 6 У П ^ | fi (*) g-y (Jf) = 0, г = 1, г, j == 1, s} •
Отсюда следует, что конечное пересечение аналитических
множеств есть снова аналитическое множество, конечная
сумма (главных) аналитических множеств есть снова (глав-
(главное) аналитическое множество. Заметим, что произвольное
пересечение аналитических множеств также является анали-
аналитическим множеством (доказательство см. в п. 1, гл. IV).
Определение 5. Аналитическое множество S в U
называется приводимым в U, если оно представляет
собой объединение двух отличных от S аналитических
множеств в U. Аналитическое множество называется
неприводимым, если оно не является приводимым.
В частности, неприводимое аналитическое множество в U
всегда содержится в одной связной компоненте U.
Пусть F — некоторая функция, мероморфная на U. Тогда,
согласно теореме 5, подмножество So точек неопределен-
неопределенности F является аналитическим множеством в U; объеди-
объединение So с множеством точек, на котором F определена и
принимает некоторое заданное значение, также является
аналитическим множеством.
Пусть S и S' — аналитические множества в открытых
окрестностях V и У точки а ? Ст. Мы будем писать
(V, S) — (V. 50, если S f] W = S' {\W, где W cz У П V —
открытая окрестность точки а. Очевидно, что — есть отно-
отношение эквивалентности в множестве пар (V, S), где
У—. открытая окрестность точки a, S—аналитическое

40 Глава II
множество в V. Росток аналитического множества
в точке ,а — это класс эквивалентности по отношению <¦—¦.
Мы обозначим через Sa (или через S, если это не ведет
к недоразумению) росток аналитического множества, опре-
определенного в точке а?Ст парой (V, S), где V — открытая
окрестность точки a, S—аналитическое множество в V.
Если Та — другой росток аналитического множества, опре-
определенный парой (W, 7"), мы назовем объединением (соот-
(соответственно пересечением) ростков Sa и Та и обозначим
Sa U Та (соответственно Sa П Та) росток, определенный в точке а
парой (S ЦТ, V RW) (соответственно парой (S(]T, Vf\W)).
Мы будем писать Sa cz Ta, если в некоторой открытой окре-
окрестности V точки а имеются аналитические множества 5 и Т,
5сГ, порождающие ростки Sa и ТЛ. Очевидно, что из
включений Sa с: Та, Та с: Sa следует равенство Sa = Та.
Примеры. Ст и a — ростки, порождаемые в точке а
аналитическими множествами Ст и {а}; 0 — пустой росток,
порождаемый пустым аналитическим множеством.
Определение 6. Росток аналитического множе-
множества S в точке а?Ст называется приводимым, если
он представляет собой объединение двух ростков ана-
аналитических множеств в точке а, отличных от S.
Росток аналитического множества называется непри-
неприводимым, если он не является приводимым.
Пример. Росток, порождаемый аналитическим множе-
множеством Ст, неприводим во всех точках а ? Ст. Отсюда выте-
вытекает, что всякое аффинное подпространство L простран-
пространства Ст (L, очевидно, является аналитическим множеством
в Ст) порождает неприводимый росток зо всех точках а ? Ст.
7. Ростки главных аналитических множеств. Каждый
элемент множества <S?€™ — {0} определяет росток главного
аналитического множества в точке а. Пусть / — голоморф-
голоморфная функция в открытой окрестности V точки а, \а ф 0 и
5 = \х ? V \/(х) = 0}. Очезидно, что росток аналитического
множества Sa, порождаемый множеством Sea, полностью
определяется ростком fa. Мы называем Sa ростком глав-
главного аналитического множества в точке а, определяе-
определяемым ростком ia ? S6-'a (или главным идеалом, порождаемым
РОСТКОМ fa В )

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 41
Теорема 6. Пусть S, Т—ростки главных анали-
аналитических множеств, определяемые в точке а^Ст соот-
соответственно ростками f, g? S&%, причем f=?^0, g=^0, ScT.
Тогда g делится на каждый неприводимый множитель
ростка f.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай,
когда а — о, m^2 и росток f является необратимым. Так
как f=/=0, мы можем предположить (выбрав надлежащим обра-
образом базис векторов в Ст), что f — ср. где ср— отмеченный
элемент кольца Звт~1 [хт\. Неприводимые сомножители раз-
разложения f в ?№т являются (с точностью до обратимых мно-
множителей из о№т) неприводимыми сомножителями разложе-
разложения ср в 3№т~х\хт\. Пусть cpi 9п —все различные
неприводимые отмеченные полиномы, являющиеся делителями ср
в кольце <ffl?m~l [xm\. Нам достаточно показать, что g де-
делится на ф = cpi • • • ?„• Здесь ф — произведение попарно
неэквивалентных необратимых отмеченных полиномоз; сле-
следовательно, это произведение само является отмеченным по-
полиномом и не делится на квадрат никакого необратимого
элемента кольца &&т~1 [хт]. Так как <з%>т~1[хт\ — факто-
риальное кольцо, отсюда вытекает (п. 2 (е)), что 6(t|s) Ф 00',
где 6(t|) — дискриминант ф.
В силу подготовительной теоремы можно найти откры-
открытый полицилиндр Р = {(х', хт) ? Ст\ х' ? Рг, | хт\ < р} с цент-
центром в точке о и отмеченный псевдополином г|)(л/, хт) =
р
= х^ -f- 2 ah (x') x%Tk' такие, что (I) все ak голоморфны
й 1
в Р' и 4'о = 4» (^) &ля каждой точки х' ?РГ из равенства
\j)(x', t) = Q вытекает, что |^| < р, т. е. (xr, t)?P. При
этом р и радиусы полицилиндра Р' можно считать выбран-
выбранными как угодно малыми, поэтому можно предположить,
что (III) f, g определяются голоморфными функциями /, g,
заданными в полицилиндре Р; (IV) для каждой точки х ? Р
из равенства / (х) = 0 вытекает, что g (х) = 0; (V) \х делится
на 4*х для каждой точки х ? Р (з частности, если х ? Р,
¦ф(л;) = О, ТО И f(x) = 0).
Если полицилиндр Р взят достаточно малым, то, в силу
теоремы 2, в Я существует такая голоморфная функция h,

42 Глава II
p-i
что r = g — А-ф = 2 rk (х') x%~k, где г. — голоморфные
¦ k =0
функции в Р'. Мы покажем, что г==0, чем будет завер-
завершено доказательство нашей теоремы.
Функция ty(x', t) представляет собой полином от t
с коэффициентом при старшем члене, равным 1, над коль-
кольцом ??в (Pr) функций, голоморфных в Р'. Рассмотрим ди-
дискриминант D = 6(ij>); D ф 0 (в Р'), так как D0' = б(ф) =^= О-
Следовательно, W = {х' ?Р'\О (хг) ф 0} Ф 0. В каждой
точке х'?W полином t|)(at', t) имеет р различных корней;
все они лежат в круге \t\ < р. Все корни полинома ур(х', t)
являются корнями g(x\ t), а следовательно, и корнями f(x', ?)¦
Таким образом, для каждой точки х' ^ W полином г \х'', t)
от t степени р — 1 имеет р различных корней. Отсюда вы-
вытекает, что все коэффициенты rk этого полинома равны нулю
на W. Все rk голоморфны на открытом связном множе-
множестве Р' и равны нулю на открытом непустом множестве W czPr.
Следовательно, все rk ^ 0 на Р', что доказывает наше
утверждение.
Следствие 1. Пусть функция F, мероморфная
на открытом множестве UczCm (/га ^> 2), имеет точку
неопределенности а ? U. Тогда для любого Я, ? С (а также
и для Х = оо) можно указать точку U, как угодно
близкую к а, в которой функция F определена и равна X.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай,
когда множество U связно. Так как функция F имеет точку
неопределенности a?U, то F щ 0 в U и можно рассмотреть
функцию Fr = l/F. Она тоже не определена в точке а;
функция F (х) определена и равна оо в тех и только в тех
тсччах x?U, где Fr (лг) = О. Такие точки х, очевидно,
имеются в любой окрестности точки а, поэтому достаточно
доказать наше утверждение для чисел X ? С.
Пусть элемент <7^с:Т(?/) определяет функцию F и обла-
обладает свойством, указанным з теореме 5, а тройка (V, /, g) ? J1
выбрана так, что а ? V. Рассмотрим функцию h = f — Ag",
голоморфную на V; /г =э 0 на V, так как из /г^=0 следо-
следовало бы, что F — Я, ка V, в то время как функция F имеет
точку неопределенности а ? V. Так как g (a) = f (а) = 0,
то h(a) = 0. Следовательно, в силу подготовительной тео-
теоремы Вейерштрасса, функция h имеет нули, как угодно

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 43
близкие к точке а, С другой стороны, если h(x) = O,
g (х)фО з точке х ? V, то F (х) определена и равна К. Наше
следствие будет доказано, если мы установим, что росток
аналитического множества в точке а, определенный ростком Ьа,
не содержится в росткз, определяемом ga. Действительно,
если бы это было не так, то, в силу теоремы 6, каждый
неприводимый делитель ростка Ъа являлся бы делителем
ростка ga в кольце <3}в™, а следовательно, и ростка ha +
-f- A,ga = fa. Это невозможно, поскольку ha — необратимый
росток в еЖ'™ (так как й(а) = О), а ростки ga и fa — взаимно
простые по предположению. Тем самым доказательство след-
следствия завершено.
Следствие 2. Росток главного аналитического
множества S в точке а, определенный с помощью ростка
i 6 effia' f =5^0, является приводимым в том и только в том
случае, когда разложение f в кольце е?в™ содержат
по крайней мере два неэквивалентных необратимых
и неприводимых множителя-
Доказательство. Пусть f — f*i ... f*i, где ростки fft
необратимы, неприводимы и не эквивалентны, а kj — целые
числа ^-1. Предположим сначала, что д^>2, и покажем,
что. в этом случае росток S приводим. Пусть S' и S" —
ростки аналитических множеств в точке а, определенные
соответственно ростками fx и f2 . . . fn. Очевидно, что S =
= S' U S". Этим наше утверждение доказано, так как S',
S" Ф S (если, например, S = S', то, согласно теореме 6,
росток fj . . . fn был бы делителем ростка iv что невозможно).
Предположим теперь, что f—^f?1, т. е. д= 1. Мы должны
показать, что в этом случае росток S неприводим. Допустим,
что, напротив, S = S' U S"; S', S"=?S. Пусть S', S" — ана-
аналитические множества в открытой окрестности V точки а
и Sa = S'. Sa = S . Мы предположим, что S' (соответственно
S") — множестзо общих нулей конечного семейства голоморф-
голоморфных функций g"j, ..., gr (соответственно hv ..., hs) в V.
Поскольку S', S'^S, существуют такие функции g^, h.^, что
ни росток функции gi, ни росток функции h, в точке а
A ^*'о<^/", 1 -^ у0 -^ s) не имеют своим делителем росток fx.
С другой стороны, S' U S"—росток аналитического мно-
множества, определяемый общими нулями функций gjhj в мно-

44 Г лав а II
жестве V(l <!/^r, 1^У<>). Следовательно, если S'U S"=S,
то, согласно теореме 6, ростки всех произведений gihj,
в частности произведения gt h,, имеют делителем росток fv
Последнее невозможно, так как fx неприводим и не язляется
делителем ростков функций g.^ и й v Мы пришли к про-
противоречию; наше утверждение доказано.
Следствие 3. Росток главного аналитического
множества всегда является конечным объединением
неприводимых ростков главных аналитических мно-
множеств, причем ни один из них не содержится в объеди-
объединении остальных ростков.
Доказательство. Пусть росток главного аналити-
аналитического множества S в точке а ? Ст определяется ростком
{^^?™, f=/=0. Если росток f обратим, то росток S непри-
неприводим. Пусть f—f*1 . .. fn", где ростки f. необратимы, не-
приводимы и взаимно неэквивалентны, kj^-l—целые числа.
Пусть Sj — росток аналитического множества, определяемый
ростком ij, j=\, ..., п. Согласно следствию 2, каждый
росток Sj неприводим; очевидно, что (JSy —S. Наконец,
j
если п ^-1, ни один росток Sj не может содержаться в объе-
объединении остальных ростков, так как в этом случае, согласно
теореме б, произведение fг . . . fj_t fj+1 . . . f„ должно было бы
иметь делителем ij, что невозможно, так как ростки ik не-
приводимы и взаимно неэквивалентны.
8. ?}в™ — нётерово кольцо. Некоторые выводы. Мы
покажем теперь, что J^"* (= <3%?7) — нётерово кольцо.
В действительности будет получен следующий более сильный
результат.
Теорема 7. Для любого идеала I кольца -Жт можно
указать (I) в некоторой открытой окрестности U
точки о конечное множество голоморфных функций /0,
Д, .... fq с ростками во, принадлежащими I; (II) (ба-
(базис векторов в пространстве Ст и) последовательность
открытых полицилиндров {Рп, д= 1, 2, . . .} с центром
в точке о и радиусами, монотонно стремящимися
к нулю (JP^czU); (HI) числа 6„ > 0, п=1, 2 со слг-

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 45
дующим свойством: для каждой функции g, голо-
голоморфной в Рп, с ростком go(zl существуют такие функ-
q
ции h0, . . ., h9, голоморфные в Рп, что ^=2 njfj в Рп а
1 hi к {= Лиорл I ht(лг)!) < б-!! g W j e ° q'
Чтобы провести индукцию по т, мы должны доказать
Добавление к теореме 7. Если дано конечное
множество идеалов кольца e?fim, то последовательность
полицилиндров {Рп}, указанная в теореме 7, может
быть выбрана одной и той же для всех идеалов этого
множества.
Доказательство. Мы рассмотрим сначала случай
т=\. Условимся говорить, что росток f?S@l, f=5^0 имеет
порядок р, если его тейлорово разложение в точке о имеет
вид 2 akxk' &„Ф§- Пусть дано конечное множество идеа-
й> р
лов /A), .... I{S) кольца S&1, отличных от {0} и <§№х (для
последних наше утверждение очевидно). Пусть fа Ф 0 —
элемент минимального порядка в идеале 1^"\ о = 1, .... s.
Возьмем число р > 0 настолько малым, чтобы в круге 17 =
— [\х\ <С р} существовали голоморфные функции /х fs,
порождающие ростки fx fs в начале координат и от-
отличные от нуля при 0 < \х\ < р. Пусть далее [рп]—после-
[рп]—последовательность чисел < р, монотонно стремящихся к нулю,
Рп—открытый круг {|*|<рл} и б„= sup П/ inf !/„(¦«)II-
Предположим теперь, что g — функция, голоморфная
в Рп, порождающая росток go = g?/((J>, g^O. Тогда порядок
ростка g не меньше порядка fa. Из того, что /а(х)Ф0-прш
О <С |jc| <C p. следует, что функция h = glfa голоморфна
в Рп (и там g = hf\. Далее, в силу принципа максимума,
Итак, теорема 7 вместе с добавлением доказана в слу-
случае т = 1.
Пусть ;те>>2. Допустим, что теорема 7 вместе с доба-
добавлением верна для кольца <§?вт~х. Рассмотрим некоторое

46 Глава II
конечное множество идеалов /A), .... I(s) кольца gf6m, от-
отличных от {0} и S6m'• Обозначим через ft некоторый отлич-
отличный от нуля элемент идеала /с<т\ о= 1, .... s. Согласно
замечанию (В) после теоремы 2, можно так выбрать базис
векторов в пространстве С, открытые полицилиндры Рп
и числа ап > 0, л— 1, 2 что они будут удовлетворять
требованиям этой теоремы по отношению ко всем i^\ В остав-
оставшейся части доказательства наши рассмотрения будут отно-
относиться к любому из идеалов /а), поэтому мы будем далее
опускать верхний индекс о.
Пусть р — степень (единственного) отмеченного элемента
кольца ?№ [хт\, эквивалентного f0. По теореме 2 каждому
ростку g ? 3@m отвечает такой (единственный) росток h
что g— fafo? <Шт~1 [хт] и имеет степень < р. Обозначим
через l'k A ^ k <; р) множество коэффициентов при х^ь
во всех элементах g — hfQ ? S$m~1[xm] степени <^ р — k для
всех g ^ /. Используя заключение теоремы 2 о единствен-
единственности (и тот факт, что / — идеал в кольце C%?т)> легко уста-
установить, что /й — идеал в кольце $вт~^'.
По предположению индукции можно найти (базис векто-
векторов в пространстве Ст~1 и) последовательность открытых
полицилиндров Р'пСС'1 с центрами в о' и радиусами, мо-
монотонно стремящимися к нулю, и последовательность чисел
б„ > 0, удовлетворяющих для всех идеалов /д., 1 -^ k ^ р
(на самом деле, в очевидных обозначениях, для всех идеалов
Aff) • * ^>* ^ Ра> l^tf^C5) требованиям теоремы 7. Пусть
(/' +1 f'\ — конечное множество функций, голо-
морфных в некоторой окрестности полицилиндра Р\ (каждая
функция f'j порождает в точке о' росток f^^=0), обладающее
свойством, указанным в теореме 7, по отношению к идеалу
/ft» l^.fc^C.p, ^o^^^- По определению /ft. каждый росток
f'j, qtt-\ <! У <!^ft. есть коэффициент при старшем члене в не-
некотором элементе f^ = gU) — hG)f0 6 e%?m~l \xm\ степени р—k.
Так как g{j\ f0 ^ /, то и fj ^ /. Отбрасывая, если нужно, конеч-
конечное множество полицилиндров Рп. мы можем предположить,

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 47
что зсе ростки fy, J = i q (= gp) порождаются в точке о
псевдополиномами f j по степеням хт с коэффициентами, являю-
являющимися голоморфными функциями х в Р\. Ссылаясь снова
на замечание (В) к теореме 2, мы можем считать (переходя,
если нужно, к подпоследовательности последователь-
последовательности {/"*„}), что для каждого п проекцией полицилиндра Рп
на Ст~г служит полицилиндр р'п. Мы покажем теперь, что при
надлежащем выборе 6,, функции /у, у = 0,1 д, и поли-
полицилиндры Рп удовлетворяют требованиям теоремы 7 для
идеала /.
Пусть g — голоморфная функция в Рп и g?/. По тео-
теореме 2 существует такая функция h0, голоморфная в Рп,
что ||A0L <aj!g1p и функция gi = g — hQfQ имеет вид
п п
gx (xr, хт)= 2 g'xk (¦*¦'') хт~к' где ?ib — голоморфные функ-
функции в Р'н. По определению идеала 1\ росток g'u (порожден-
(порожденный функцией g'n з точке о) принадлежит /^ Следовательно,
по предположению индукции, существуют такие голоморфные
функции hi hqi в Рп, что ^п = 2 hif'i в р'п и №ЛР' <
j =\ п
¦<! б,'г У gu || /, У=1. ..., <7i- Рассмотрим далее функцию
п
g2 = gi — 2 hjfj- Она представляется в виде g2{x', xm) =
j =i
р
= 2 S2k (х') хт~к' где &2k — голоморфные функции в Р'п
fi — 2,
и g26^ (так как &i€^ и ^у€^< У= 1. •••• ^i)- Отсюда сле-
следует, что g22 6 ^2- Позторяя предыдущее рассуждение, мы
после /7 шагов 1) придем к соотношению ^=2 ^//у' где
/г.. — голоморфные функции в Рп; отсюда, используя равен-
ч
стзо gi = g — hofo, найдем, что g"—2 ^///' т- е. докажем
у"=о
основное утверждение теоремы; 2) получим неравенства

48 Г лава I/
ИЛ/11О' <6*li?ftftL' ПРИ <lk-i < J*C<?k; здесь при k >¦ l
«ft
Используя интегральную формулу Коши, мы покажем,
исходя из (*), что
где р„ — т-й радиус полицилиндра Рп. Таким образом, нам
осталось еще получить оценки вида: [|g"ftL -<! Y/JgJp • k~^l.
п п.
Выберем число Ж>0 так, что |/у|р ^ М, /=0 q.
Тогда
\gx\p =lltf —Ло/ok <0+ал^I1^11р
И ДЛЯ k ^> 1
II y=?ft_i+i ||р . п.
п
Итак, мы по индукции получаем оценку требуемого
вида ||g"ft||p < Ynlf^llp • где величины уп зависят только
и п
Я
от п (но не от g?/). Так как g=± 2 Л .-/,¦, мы придем
/=о
к нужному результату, если возьмем 6я = max \Ь'п§пУп> «„} •
Следствие 1. Каждый идеал I кольца е%Зт замкнут
в следующем смысле: если {gn}—последовательность
голоморфных функций в открытой окрестности U
точки о, равномерно сходящаяся в U к пределу g,
и ?Г.<€^ пРи всех п, то и g?/.
Доказательство. Мы сохраним обозначения тео-
теоремы 7. Пусть Р = РПо — полицилиндр из последователь-
последовательности, полученной в теореме 7, взятый так, что PczU. Так

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 49
как последовательность {gn\ равномерно сходится в U,
мы можем принять (переходя в случае надобности к под-
подпоследовательности), что \\g,l+x—gnWp^- V2", «=1,2, ....
Тогда, поскольку gn+1—%n?.I ПРИ любом п, согласно тео-
теореме 7, можно указать такие функции А„ (/ = 0 д).
голоморфные в Р, что gn+1—^=S А(„ЛЛ и И||р
j =0
< б«0 II Sa+\ — Sn II р < 6no/2"- Отсюда вытекает, что все
со
ряды 2 "я нормально сходятся в Р. Следовательно, сумма h
л=1
со
такого ряда голоморфна в Р. Так как g—^= 2 (gn+i—gn)~
Я
= 2 h(J)f'-, то g — ffi?A а значит, и g?/, что и требо-
у=о
валось доказать.
Следствие 2. Каждый идеал кольца <Шт опреде-
определяет росток аналитического множества в точке о.
Доказательство. Пусть / — идеал кольца $6т.
Согласно теореме 7, <з?6'т — нётерово кольцо и, следова-
следовательно, идеал / порождается конечным множеством его эле-
элементов fj fr ф 0. Обозначим через S^ росток главного
аналитического множества, порожденного в точке о элемен-
элементом f? @№т ¦ Ясно, что росток S/= S/ П ••• П S/ в точке о
не зависит от выбора элементов, порождающих идеал /.
В самом деле, если ростки gv .... gs ? S&m порождают
г
идеал Ус/, то имеют место равенства gj == 2 hjfii
С/ = 1 s), показывающие, что S/ с: Sy = Sg П • • • П S^ .
Отсюда вытекает
Предложение 1 (а). Если I, J— идеалы кольца <§?6т
и J с I, то Sy с: Sy.
В частности, идеал / определяет росток аналитического
множества Sy однозначно.
Предложение 1 (Ь). Если I, J— идеалы кольца
то s
IV = S'U
Доказательство. В силу предложения 1 (а),
j ¦=> Sy U Sr Пусть ростки f^ порождают идеал /, ростки

50 Г лав а II
•идеал У. Тогда S7 = } JS/, Sy=f|S*., S/US/:
i j* "J,
PJ.. Но так как все f/gy^/fl-/. то S7pjyc:S/g. ; отсюда
следует наше утверждение.
Замечание. Утверждение, обратное предложению 1,
неверно. Например, пусть f—необратимый элемент кольца &%;т,
отличный от нуля. Тогда различные степени элемента f
порождают различные главные идеалы в кольце &&т- Однако
все эти идеалы определяют один и тот же росток аналити-
аналитического множества в точке о. Как будет показано в гл. IV
(п. 1), S/ с Sj в том и только в том случае, когда
radJcrrad/.
Следствие 3. Пусть в открытой окрестности U
точки о ? Ст задано семейство голоморфных функций ??.
Тогда можно указать открытую окрестность V с: U
точки о и конечное множество функций glt ..., gr(i??,
обладающие следующим свойством: для каждой функ-
функции g??? существуют такие голоморфные в V функ-
Т
ции hx, .... kr, что в этой окрестности g=^
i — l
Доказательство. Пусть / — идеал в кольце &№т,
порожденный ростком g, gi^S?- Сохраним обозначения тео-
теоремы 7. Так как все ij^/, то существует конечное множе-
Т
ство функций gx 5>€<^> таких, что f,-= 2 &./*?*• гДе
hji ? &&ти=0, . . ., q). Следовательно, взяв число «достаточно
большим, мы найдем такой полицилиндр Pn(czU), что в нем
г
fj = Д] hjigi (/ —0 а). Утверждение следствия 3, оче-
очевидно, верно для окрестности V' = Рп.
Таким образом, в V множество общих нулей всех функ-
функций, составляющих семейство <??, совпадает с множеством
общих нулей некоторого конечного множества функций,
принадлежащих ?9\ Следовательно, прежде данное опреде-
определение аналитического множества (определение 4 из п. 6)
эквивалентно следующему определению.
Определение 7. Аналитическим множеством
в открытом мноэюестве U cz Cm называется множе-

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 51
ство SczU, обладающее следующим свойством: для
каждой точки a ?U можно указать такую ее окрест-
окрестность V cz U и семейство функций {fL), голоморфных
в V, что VnS={x?V\fl(x) = O для всех I).
Определение 8. Некоторый элемент I ? <?Ют обра-
обращается в нуль на ростке аналитического множества S
в точке о ? Ст, если 5 с Sy, где S* — росток главного
аналитического множества в точке о, определенного
элементом f (S«=COT, если f = 0).
Очевидно, что множество всех f ? $вт, обращающихся
в нуль на некотором ростке аналитического множества S
в точке о, составляет идеал в кольце ЗВт.
Определение 9. Идеалом, присоединенным к ро-
ростку аналитического множества S в точке о ? Ст, назы-
называется идеал, состоящий из всех элементов кольца Sfa,
обращающихся в нуль на S. Он обозначается че-
через /E).
Например, /(Cm)={0), /({0}) — J#'m, f@) = 3@m.
Из определения присоединенного идеала непосредственно
вытекает
Предложение 2. Пусть S, Т — ростки аналити-
аналитических множеств в точке о ? Ст. Тогда (a) S с: Т тогда
и только тогда, когда /(T)c:/(S) (следовательно,
S = T тогда и только тогда, когда /(S) = /(T));
(Ъ) I (S U Т) == / (S) П / (Т).
Предложение 3. Пусть S, Т — ростки аналитичес-
аналитических множеств в точке о ? Ст. Тогда (а) росток S неприво-
неприводим тогда и только тогда, когда идеал I (S) является
простым; (Ь) ростком аналитического множества
в точке о, определяемым идеалом /(S) (как в след-
следствии 2 из теоремы 7), является росток S, и любой
идеал кольца 3@т, определяющий росток S, содержится
8 идеале /(S).
Доказательство, (а) Предположим, что идеал /(S)
не является простым. Тогда существуют такие f, g^S&m,
f. g ? f (S), что fg 6 / (S). Пусть S' = S П S/, S" = S П Sg.
Поскольку f, g(?/(S), S' и S" оба отличны от S. Далее
S'US" = Sn (S7 U Sp = S П S/g = S, так как fg ? / (S). Таким

52 Г лава II
образом, если идеал /(S) не является простым, то росток S
приводим.
Обратно, предположим, что росток S приводим: S = S' U S",
где S' и S" — ростки аналитических множеств в точке о,
оба отличные от S. Тогда существуют такие ростки fj, . . ., \т
г /
(соответственно gv .... gs) ? ??вт, что S' —|*"|5/ ( соот-
ветственно S" = (~)S^ ). Так как S'cS, S" с: S, то суще-
7 = 1 V
ствуют такой индекс /0, 1<[го^г, что fio (?/(S), и такой
индекс /„, 1 <] /0 <; s, что g/o ^ / (S). Далее, так как
S = S'US" = f")S//gv то, в частности, fiagJo?f(S). Таким
образом, если росток S приводим, то идеал /(S) не является
простым. Утверждение (а) доказано.
(Ь) Предположим, что ростки gj, ..., gp^f(S) поро-
порождают идеал / (S) и Т = Sg П • • • П §g — росток аналити-
аналитического множества в точке о, определяемый идеалом / (S).
Очевидно, что Sc Т. Однако / (S) с: / (Т), так как ростки
Si< • ¦ • • %р обращаются в нуль на Т (по определению ростка Т)
и порождают идеал /(S). Следовательно (согласно предло-
предложению 2 (a)), TcS, т. е. S = T. Таким образом, идеал /(S)
определяет росток S. Наконец из определений ясно, что
каждый идеал, определяющий росток S, содержится в / (S).
Можно получить еще другое следствие из теоремы 7
(мы пользуемся только тем, что е%?т — нётерово кольцо).
Следствие 4. Каждый росток аналитического мно-
множества (в некоторой точке пространства Ст) есть
конечное объединение неприводимых ростков; эти не-
неприводимые ростки однозначно определяются данным
ростком, если потребовать, чтобы ни один из них не
содержался в объединении остальных.
Доказательство. Пусть S — росток аналитического
множества в точке о ? Ст. Покажем прежде всего, что
S — конечное объединение неприводимых ростков аналити-
аналитических множеств в точке о. Допустим, что это не так. Тогда,
в частности, сам росток S приводим; пусть 5 = 8^ S2,
где Sp S2 — ростки аналитических множеств в точке о,

Кольцо ростков голоморфных функций в точке 53
отличные от S. Далее, в силу нашего допущения, по край-
крайней мере один из ростков S^ S2. скажем Sj, не является
конечным объединением неприводимых ростков. Повторяй
это рассуждение, мы получим бесконечную нисходящую
последовательность ростков аналитических множеств в точке о:
S 2 Sj ^ S3 2 • • • 2 Sin-^i -D • • • • Согласно предложению 2 (а),
соответствующая последовательность присоединенных идеалов
имеет вид / (S)^/(Sl} ^/(S3)^ . . . Щ/ (S2ll+1)<^ Но этот
результат противоречит тому, что S&m — нётерово кольцо
(п. 2 (d)). Следовательно, S — конечное объединение непри-
неприводимых ростков St, l^C^^CP- После исключения отсюда
(в случае надобности) некоторых из них в этом объедине-
объединении не будет ростков, содержащихся в объединении осталь-
остальных ростков S^.
Теперь предположим, что S = [JSy, /=1, .... д, где
J
$'j — неприводимые ростки, причем ни один из них не со-
содержится в объединении остальных. Мы покажем, что каждый
росток Sj совпадает с одним из 5г. Действительно,
Так как росток S, неприводим, то существует по крайней
мере один такой индекс /, 1 <; I ^ р, что Sy = Sy-nSj,
т. е. $'j с St. Рассуждая таким же образом для ростка St,
мы найдем, что SiCrS}', где /' — некоторый индекс, 1 ^У'^?-
Итак, S'j czSiCZ S'y. Но S; ф Sy при / ф j, поэтому Sy —S^.
Таким образом, каждый из ростков Sy есть один из рост-
ростков Sj и наоборот, что и требовалось доказать.
Однозначно определяемые неприводимые ростки, объеди-
объединением которых является росток S, называются его непри-
неприводимыми компонентами.
Замечание. Если S cz T и росток S неприводим,
то S содержится по крайней мере в одной неприводимой
компоненте ростка Т.

Глава III
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА!
'ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
1. Теорема Гартогса о непрерывности и теорема Леви
о выпуклости. Пусть 5 — аналитическое множество в откры-
открытом множестве U cz Cm. Легко видеть, что внутренние точки S
в U образуют одновременно открытое и замкнутое подмно-
подмножество U. В частности, если множество U связно, то мно-
множество 5 нигде не плотно в U тогда (и только тогда),
когда S ф U.
Теорема 1. Пусть U а С™ — связное открытое мно-
множество, S — аналитическое множество в U', S Ф U.
Тогда множество U — 5 связно.
Доказательство. Мы можем принять т'^-2, S Ф 0.
Допустим, что множество U — 5, вопреки нашему утвер-
утверждению, несвязно. Пусть U — 5 = ?/0 (J Uv где Uo, Иг — не-
непересекающиеся непустые открытые подмножества if — 5.
Тогда Uo\] иг = U — 5 = i/ (все замыкания берутся по отно-
отношению к множеству U), поскольку, как замечено выше, мно-
множество U — 5 плотно в U. По условию, множество U связно,
поэтому иоГ\и1Ф0. Пусть a?UQ(\Uv Тогда а ? 5, так
как Uo П U\ == Uo П &1 == 0 (множества l/0, Ux открыты в И).
Теперь предположим, что справедливо следующее утвержде-
утверждение: каждая точка a ?S имеет такую открытую связ-
связную окрестность V cz U, что мноокество V П CS связно г).
Тогда мы приходим к противоречию: пусть точка а принадле-
принадлежит и0С\иг; тогда, с одной стороны, Kfl^o> ^ Л U\ — не-
непустые непересекающиеся открытые множества, а с другой
стороны, V П CS = (V ft UQ) U (V (] ?/,). Таким образом, тео-
теорема будет доказана, если мы установим справедливость
утверждения.
Символом CS обозначается дополнение к S в U. — Прим. ред.

Аналитические множества: локальное описание 55
Обратимся к его доказательству. Пусть а^5и Р a U —
такой открытый полицилиндр с центром в точке а, что
PuS={xeP\fQ(x)= ... = Д(*) = 0}. где/,. .... fq —
голоморфные функции в Р. Поскольку 5 нигде не плотно
в Р, можно считать, что ни одна из функций fj не равна
нулю тождественно в Р.
Пусть xo?{Pf[cS) и fo{xQ) Ф 0 (по крайней мере одна
из функций fi должна быть отличной от нуля в точке х0;
пусть ею является /0(дг)). Возьмем еще точку х ?{P(\CS),
х ф х0. Обозначим через L комплексную прямую в Ст,
соединяющую точки х0 и х, и положим Lo = P(] L. Тогда
множество LQ связно и /0 | Lo ф О, так как /0 {х0) ф 0. Сле-
Следовательно, точки х0 и х могут быть соединены на Lo
дугой, на которой /0 Ф 0, за возможным исключением самой
точки х. Тем самым доказана связность множества P(\CS
и одновременно наша теорема.
Следствие. Пусть U — связное открытое множе-
множество в Ст и /, g — функции, голоморфные в U, при-
причем f — g на множестве S cz U'. Тогда, если существует
такое открытое связное множество V cz U', что V П CS
несвязно, то f^g на U.
Доказательство. Пусть А — множество нулей функ-
функции / — g в U; допустим, что, вопреки нашему утвержде-
утверждению, А Фи. Тогда, согласно теореме 1, множество V П СА
связно; далее, Vflc^4 плотно в V. Следовательно, множе-
множество V $\CS, которое содержит множество V f\cA, должно
быть связным. Поэтому, если Kflc5 несвязно, то А = U,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть U cz Cm — связное открытое мно-
множество, S — аналитическое множество в U, S Ф U.
Тогда (а) если функция h голоморфна на U — 5 и
ограничена в окрестности каждой точки S {точнее
предполагается, что каждая точка а ? S имеет такую
окрестность VczU, что функция h \ V П CS ограничена),
то. она может быть единственным образом голоморфно
продолжена на все множество U. (Ь) Если для каждой
точки a ?S росток Sa не содержит никакого ростка
главного аналитического множества {отличного от
пустого) з точке а, то каждая голоморфная функция h
на U—«S может быть и единственным образом голо-

56 Г лава III
морфно продолжена на все множество U (в случае (Ь)
необходимо должно быть /re ^ 2, если S=? 0).
Доказательство. В обоих случаях единственность
голоморфного продолжения h на U очевидна, поскольку
множество U связно. Поэтому достаточно доказать, что
каждая точка а ? 5 имеет такую окрестность Р (с: U), что
функция h | Р П CS может быть продолжена голоморфно на Р.
Рассмотрим произвольную точку а ? 5 и условимся счи-
считать ее началом координат в пространстве С, т. е. поло-
положим а = о. Пусть VczU — такая окрестность точки о, что
V(\S={xeV\fj(x) = O, j = Q, I q\. Здесь {/,} —
некоторое конечное множество функций, голоморфных в V.
Так как множество 5 нигде не плотно в U, мы можем
предположить, что ни одна из этих функций не равна в V
тождественно нулю. Поскольку о ? 5, все /у(о) = О. Следо-
Следовательно, в силу подготовительной теоремы Вейерштрасса,
можно найти: (I) базис векторов в пространстве Ст и откры-
открытый полицилиндр Р== {(х\ хт)? Ст\хг 6 Р', \хт\ < р} с цент-
центром в точке о, причем PczV; (II) отмеченные псевдополи-
псевдополиномы ф0, ..., ф по хт с коэффициентами, являющимися
голоморфными функциями х' в Р', такие, что ф^(лг', хт)ФО
при х'?Р',\хт\=р @-tCJ-^q) n P(\S={xeP\q>j(x) = O,
О <; / <<7}- В частности, если \хт\ =р, х'?Р', то (л:', хт) ?
? V П tf5. Поэтому, если y — положительно ориентированная
окружность {|^| =г р} сгС и х = (л/, лгт)?Р, то интеграл
y
определяет функцию, голоморфную в Р. Мы покажем, что
при выполнении условий (а) или (b) h* = h на Р Пс>^; тем
самым теорема 2 будет доказана.
(а) Возьмем произвольную точку х' ? Р'. Тогда суще-
существует только конечное множество таких точек круга |?[<
что (x't t)?S, и не существует ни одной точки (х',
при |?| =р (так как все соответствующие значения t яв-
являются корнями псевдополинома фо(лг', ?)). Следовательно,
соответствие t—>h(xr, t) определяет голоморфную функ-
функцию t при |^| ^ р, за исключением некоторого конеч-
конечного множества точек круга |^| <С р. причем эта функция
ограничена в окрестностях исключительных точек. В силу

Аналитические множества: локальное описание 57
классической теоремы Римана об устранимых особенностях,
соответствие t—>h*{x', t) является единственным голоморф-
голоморфным продолжением функции t—>h(x', t) на весь круг |?|<р.
Итак, для каждой точки х' ? Р' имеет место равенство
Ii*(x', t)-=h{x', f) при \t\ <p и {xr, t)^S, что и требо-
требовалось доказать.
(Ь) В этом случае доказательство ведется совершенно
другим способом. Пусть «ро = Р1Р2 . . . Рл — однозначно опре-
определяемое разложение !р0 на сомножители, являющиеся отмечен-
отмеченными неприводимыми полиномами из кольца @%?m~1 [xm]. Если
полицилиндр Р' достаточно мал, то существуют отмеченные
псевдополиномы Pv .... Рп по хт с коэффициентами, являю-
являющимися голоморфными функциями х' в Р', порождающие
ростки Рг в о, О^г^А. По условию, So не содержит не-
непустых ростков главных аналитических множеств в о. По-
Поэтому ни один из ростков Р^ не может быть делителем всех
ростков !р7-, /== 1, .... q (в кольце <§?вт* а следовательно, и)
в кольце &6т~х [хт\. Для каждого i, 1 ^ / <! я, мы можем
найти такой индекс Jt, I <T Л ^ <7. что росток Рг не будет
делителем ростка 5p/f. Поскольку Pt неприводим, это озна-
означает, что ростки Рг- и !руг — взаимно простые в кольце
е%?т~1 [хт]. Так как Sff — факториальное кольцо, то
р(Рь «р/^^О, где p(Pi, cp/f) — результант Сильвестра Рг и ср^^.
1 </<'«.
Обозначим через R; результант Сильвестра функций <ру-
и Pj (рассматриваемых как полиномы над кольцом голо-
голоморфных функций в Рг); тогда Rt — голоморфная функция
в Р'\ Rt=?0 в Р', так как росток, порожденный Rt в точке о',
а именно р(Р/, ср/ V не равен 0. Следовательно, W =
= {xf ^P'lRiix^^^O, t—1, ..., п\ — непустое открытое
подмножество полицилиндра Р'¦ Пусть W = {(xf, xm) ^
? Р\ х' ^ W'\. Мы утверждаем, что Wf\S=0. Доп}'стим,
напротив, что существует точка x = {xr, xm)?W П S. Тогда
ф;. (х) = 0, 0<;/^<7, и, в частности, Р1(х) = 0 для по
крайней мере одного /, 1 ^ I <; п. Но если Р1(х)=0
и ср) (х) = 0, то Ri (xf) = 0, в противоречии с тем, что х' ^ W.
Теперь очевидно, что h*^h на W: для каждой точки
х' g W соответствие t -> h (x', t) определяет голоморф-

58 Г лава III
ную функцию в круге J^j^p. и применима интегральная
формула Коши. Но, согласно теореме 1, множество Pf\cS
связно и голоморфные функции h и h* тождественно равны
на непустом открытом подмножестве W этого множества.
Следовательно, h^h* на Р (] CS, что и требовалось доказать.
Замечание. Легко усмотреть, используя теорему 6 из
гл. II, что предположение относительно множества S, сде-
сделанное выше в пункте (Ь), эквивалентно следующему усло-
условию: в каждой точке a?S ростки fi f? ? e^??—{0},
выбранные так, что Sa = S/ П • • • П S/ , должны иметь 1
своим общим наибольшим делителем. Отсюда вытекает
Следствие. Пусть i/cCm — открытое мноэюество,
SczU — совокупность точек неопределенности некото-
некоторой мероморфной функции на U. Тогда каждая функ-
функция, заданная на U — S и голоморфная на этом мно-
множестве, может быть голоморфно продолжена и при-
притом единственным способом на все множество U.
Теорема 2 (Ь) является иллюстрацией (принадлежащей
Гартогсу) следующего важного предложения (его доказатель-
доказательство не отличается от последней части доказательства тео-
теоремы 2, с заменой в нем U — 5 на U).
Теорема Гартогса о непрерывности. Пусть
р=\(хг, хт)?Ст\х'?Р', \хт\ < р} — открытый поли-
полицилиндр (т^-2) с центром в точке о и U — открытое
множество, обладающее следующими свойствами:
(II) существует такое непустое открытое множество
W'czP', что {х ? Р\ х' ? W, \xm\ <^p}czU;
(III) множество P{\U связно.
Тогда каждая функция, голоморфная на U, может
быть голоморфно продолжена и притом единственным
образом на множество P\}U.
Другой классической иллюстрацией предыдущей теоремы
является
Теорема Лев и о выпуклости. Пусть <р — задан-
заданная в некоторой открытой окрестности о> начала
координат о 6 С" (т~^2>2) дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемая вещественнозначная функция; используя пере-

Аналитические множества: локальное описание 59
менные Xj, Xj вместо R&Xj, Imxj (/ = 1. . . ., m), положим
m
1 k—1 ^
и предположим, что /{х)фО, ф (о) = 0. Тогда
(a) Если f (л;) = О и h (х) > О хотя бы в одной точке х,
то для каждой открытой окрестности Ucza> начала о
можно указать такую окрестность VczU этой точки о,
что всякая функция, голоморфная в UQ={x ? U\q>(x)>Q],
имеет голоморфное продолжение (и притом единствен-
единственное) на UQ U V.
(b) Обратно, если подобная окрестность V суще-
существует для каждой окрестности U, то существует
по крайней мере одна такая точка хфо, что f(x) = O,
h (л:) > 0.
Доказательство. Положим, как всегда, х = (хг, л;т)
т ,
и |д;|]2= 2 |-*\/|2- Пусть -jr^-(o) фО. Если мы перейдем от
переменных х., х. к переменным х'х = / (л;) -\- g (х), х'=х.
для у = 2, . . ., т, то функция /(л;) заменится на x'v а функ-
функция ?• (л;) — на 0. Поэтому мы можем положить f(x)^xx,
g(x)===0. Тогда
Ф(л;) = 2 Re х1 + А О) + о (|хI2) при х-» о. A)
Отсюда вытекает, что вблизи точки о функция ф(лг) поло-
положительна там и только там, где Re хг > ij) (х); здесь "ф(лг) —
функция, обращающаяся в точке о в нуль вместе со своими
первыми производными. Следовательно, для достаточно ма-
малого полицилиндра Р с центром в точке о множество
{х ? Р |фО) > 0} связно.
(а) Положим ~- Л ' ^--(!>)=а > 0 или h (о', л;Я}) = а|

60 Глава III
Мы предположим, что U—настолько малая окрестность
точки о, что в каждой точке х ? U из соотношения A) вы-
вытекает неравенство
<Р (*) > «Pi С*) = 2 Re .*, + А (*) — у! * Р- B)
Пусть ^/^{лге^ФхООХ)}, 5 = |лг6 ?/|2 Re *!-Ь
+ й(лг) — -т||^12<^о|. Р — такой открытый полицилиндр
с центром в точке о и радиусами г у, что (I) Pert/, пересече-
пересечения Р П Uo, P П t/i связны; (II)
?Р'- \Хт\ = Гт' Т0 h(x)>^\\Xf;
Тогда при x' ? P', \xm\ = rm имеем
1; (HI) если
т. е. д:#5, что составляет условие (I) теоремы Гартогса.
С другой стороны, если x1 = t^>0, х2= . . • == хт_1 = 0,
\хт\<гт, то
(в силу условия (II), наложенного на полицилиндр Р). Сле-
Следовательно, t, 0 < ^ -< гг, можно выбрать так, что при
х1 = t, дг2= . . . = хт_1 = 0, I^toI^^ot точка л; не при-
принадлежит 5. Поэтому существует такое открытое непустое
множество W<=lP', что '\х?Р\х' 6 W. \xm\<rm)^Ul. Та-
Таким образом, множество Ux удовлетворяет требованиям тео-
теоремы Гартогса. Итак, если функция / голоморфна на Uo,
то ограничение f\Ux может быть продолжено на P\)UX,
а следовательно, и на Р U f^o- поскольку пересечение Р fl UQ
связно.
(Ь) Пусть дано число а > 0. Нам достаточно показать,
что существует хотя бы одна точка х Ф о, для которой
- — ajJArjj2, лг1 = О. Допустим противное, т. е. пред-

Аналитические множества: локальное описание 61
положим, что /г(х)<—аЦхрпри хг = 0. Тогда, в силу A),
существует такая окрестность f/cco точки о, что ф(х)^0,
если хх = 0 и х ? ?/. В этом случае функция — была бы
голоморфна в {х ? t/jcp (л;) > 0} и могла бы быть продолжена
в некоторую окрестность точки о, что, очевидно, невозможно.
2. Регулярные точки аналитического множества.
Определение 1 (а). Пусть S — аналитическое
множество в открытом множестве t/cC". Точка a?S
называется регулярной точкой S (или S регулярно
в а), если существует такая окрестность VczU точки а
и такое взаимно однозначное биголоморфное отобра-
отображение f :V-+V'cCm, что / (V fl S) = V П L, где L —
аффинное подмногообразие в Ст размерности k, Oj^Lk^m.
Замечание 1. Пусть а ? S — регулярная точка 5. Тогда
размерность k подмногообразия L определяется множеством S
однозначно. Действительно, пусть fх — биголоморфное ото-
отображение открытой окрестности Vx (с U) точки а на откры-
открытое множество VicC, причем f\ : (Vi П S) —»- (у{ П ^i). где
Lj есть /fej-мерное аффинное подмногообразие в С. Пусть
Тогда отображение g = fx о f~l : / (W)^f1 (W)
является взаимно однозначным, сюръективным и биголоморф-
ным. Следовательно, якобиан этого отображения отличен от
нуля в точке / (а). Из включения g (f (W) f] L)czL1 легко
вывести, что &^&j. Применяя аналогичное рассуждение
к отображению g'1, мы покажем, что кг^к. Итак, kx = k,
и мы можем прибавить к определению 1 (а)
Определение 1 (а'). Размерностью S в точке а
называется размерность аффинного многообразия L.
Замечание 2. Пусть а — регулярная точка S, k — раз-
размерность 5 в точке а,/' — аффинное отображение, касатель-
касательное к отображению / в точке а. Тогда аффинное много-
многообразие /'-!(/.) однозначно определяется множеством S. Это
многообразие содержит точку а и имеет размерность k. Мы
будем называть f'~l{L) аффинным многообразием, каса-
касательным к S в точке а.
Замечание-3. Пусть S, S' — аналитические множества
соответственно в открытых множествах U, U'cCm и а ? 5 Л S'.
Предположим, что Se = Se- Очевидно, что точка а является

62 Глава III
регулярной точкой 5 и 5 имеет размерность к в точке а
тогда и только тогда, когда а — регулярная точка 5' и S'
имеет размерность k в точке а.
Определение 1 (Ь). Росток аналитического мно-
множества в точке а ? С" называется регулярным ростком
размерности k, если а — регулярная точка некото-
некоторого аналитического множества, порождающего дан-
данный росток в точке а, и k — размерность этого мно-
множества в точке а.
В силу замечания 3, если S — регулярный росток раз-
размерности k в точке а, то а — регулярная точка каждого
аналитического множества, порождающего росток S в точке а
(все эти множества имеют размерность k в точке а). По-
Поскольку аффинное подмногообразие в С" порождает непри-
неприводимый росток в каждой точке Ст, легко видеть, что ре-
регулярный росток всегда неприводим.
Пример. Пусть аналитическое множество S определено
т — k уравнениями Xj = gj (хг, .... xk), k-\-l^.J^m,
где gj — голоморфные функции в проекции О на подпро-
подпространство пространства С", образованное первыми k эле-
элементами его базиса. Тогда каждая точка S является его ре-
регулярной точкой и S имеет в ней размерность k. Действи-
Действительно, формулы
*j — xt A<У<*). x'j==xj—gj{xi xk) (*+l<7O)
определяют такое взаимно однозначное биголоморфное ото-
отображение / открытого множества U на открытое множе-
множество U', что 'К ^*|;
; }
Из определений 1 (а) и 1 (а') непосредственно вытекает
Предложение 1. Пусть S—аналитическое мно-
множество в открытом множестве t/cCm, F — взаимно
однозначное биголоморфное отображение U на откры-
открытое множество F (f/)cCm. Тогда точка a?S является
регулярной точкой S и множество S имеет з точке а
размерность k в том и только в том случае, если
F (а) — регулярная точка F (S) (очевидно, что F (S) —
аналитическое множество в F(U)) a F (S) имеет в точ-
точке F(a) размерность k.
Пусть 5 — аналитическое множество в открытом мно-
множестве UczCm и S* — множество регулярных точек 5.

Аналитические множества: локальное описание 63
II р е д л о ж е и и е 2. Mnooicecmao S* является откры-
открытым локально связным подмножеством в S. Размер-
Размерность S постоянна на каждой связной компоненте S*
(топологии на S и S* индуцируются топологией U).
Доказательство. Пусть а ? S*. Из определения 1 (а)
вытекает, что открытая окрестность V Г\ S точки а на 5 со-
состоит целиком из регулярных точек; во всех этих точках
множество S имеет одну и ту же размерность. Поскольку
множество V |~| 5 гомеоморфно V П L, оно является локально
связным, что и требовалось доказать.
Замечание. Ниже (в п. 2, гл. IV) будет показано, что
множество S* плотно в 5.
Предложение 3. Пусть b?S*. Тогда
(a) если h — голоморфная функция на U и hb обра-
обращается в нуль на Sb, то функция 1г обращается в нуль
во всех точках связной компоненты множества S*, со-
содержащей точку Ь;
(b) если S' — аналитическое множество в U и
5&гэ8б, то связная компонента множества S*, содер-
содержащая точку Ь, принадлежит множеству S'.
Доказательство. Пусть h — голоморфная функция
на U и ее росток h6 равен нулю на S& (соответственно
пусть S' — аналитическое множество в U и 5г,:э5&).
Пусть X = [х ? 5* | \\х обращается в нуль на Sx (соот-
(соответственно S^=>Sjr)}- Очевидно, что X—открытое подмножество
множества 5*. Предложение 3 будет доказано, если мы пока-
покажем, что X замкнуто в S*. Итак, пусть точка а ? S* принадле-
принадлежит замыканию множества X. Мы должны показать, что а ? X.
Мы можем предположить, что размерность k множества S
в точке а больше нуля.
(а) Мы пользуемся обозначениями определения 1 (а).
Пусть Р' czV — открытый полицилиндр, содержащий точку
/ (а), и Z.o = Р' П L. Тогда /~г (Хо) — открытая окрестность
точки а в S"; она должна содержать некоторую точку х ? X.
Далее заметим, что Lo является связным открытым множе-
множеством в С" и g = /г0 о f~l—такая голоморфная функция на Lo,
что g/(,*•) = О. Следовательно, g^O на LQ, т. е. h\f~ (L0)^0.
Итак, ha обращается в нуль на Sa, что и требовалось дока-
доказать.

64 Г лава III
(b) Пусть V— такая открытая окрестность точки а в U,
что пересечение V П Sr совпадает с множеством общих нулей
в V функций йA>, . . ., й!<7>, голоморфных в V. Множество 5*
является локально связным открытым подмножеством множе-
множества S. Поэтому мы можем без ущерба для общности рас-
рассуждения принять, что VfjScS* и что множество V (] S
связно. Это множество должно содержать некоторую точку
х^Х. Отсюда вытекает, что все ростки h'J^ (\ ^.J^.q) обра-
обращаются в нуль на Sx. Тогда, согласно (а), функции /г(у)
должны тождественно равняться нулю на V (] S, т. е.
Vf]SczVr\S', что и требовалось доказать.
Предложение 4. Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве UczCm, s—открытое
связное подмнооюество в S*, S' — другое аналитическое
множество в U, такое, что s Г\ S' ф s. Тогда множе-
множество sП CS' связно.
Доказательство. Это предложение является след-
следствием теоремы 1 из п. 1; начало нашего доказательства,
по существу, совпадает с началом доказательства этой тео-
теоремы. Допустим, что, вопреки нашему утверждению, множе-
множество s П CS' несвязно; тогда s |~l CS' = s0 U slt где s0, Sj — непе-
непересекающиеся непустые открытые подмножества множества s.
Далее, s0 U *! = s П С5'= s (все замыкания берутся в s), ибо,
согласно предложению 3 (Ь), из предположения s Г\ S' ф s
вытекает, что множество s(\eS/ плотно в s. Поскольку s
связно, sur\ з1ф 0. Пусть а ^ s0 n *i и размерность множе-
множества S в а равна k > 0. Так как a?saS*, то существуют
такое открытое множество Vci/, V$a, и такое взаимно
однозначное биголоморфное отображение / множества V на
множество l/'cC", что V f] S связно, V fleers и /A/П<5)=:
= V'r\L, где L — аффинное многообразие размерности k.
Из того, что V П 5 П S' — аналитическое множество в V, не
совпадающее с V П S, вытекает, что / (V П -5 П S') — аналити-
аналитическое множество в V, содержащееся (но не совпадающее)
в V П L. Поскольку / (V П 5 П S') можно рассматривать как
аналитическое множество в открытом связном множестве
V П icC6, множество (V П ?)—/ (V П 5 П 5') связно (п. 1, тео-
теорема 1), а следовательно, и множество (V П S) — (V П «5 П 5/)=
= КП('5ПС'5/) связно. Итак, мы пришли к выводу, что

Аналитические множества: локальное описание 65
связное подмножество множества s fl °S' пересекается с мно-
множествами sQ и Sj, что невозможно.
Замечание. Предположение о регулярности точек, рас-
рассматриваемых в предложениях 3 и 4, можно ослабить и
заменить требованием неприводимости ростка S в этих точ-
точках. Утверждение предложения 3 (соответственно 4) остается
верным для открытого связного подмножества s множества 5,
не являющегося связной компонентой S* (соответственно
открытым связным подмножеством 5*) при условии, что ро-
росток Sx неприводим для каждой точки х ? S. Это будет
доказано в п. 3, гл. IV.
3. Локальное описание аналитического множества:
выбор базиса в С1*. Пусть 5 — росток аналитического мно-
множества в точке о,о — начало координат пространства С". Для
детального изучения S мы опишем свойства аналитического
множества S в открытой окрестности точки о, порождающего
росток S в точке о. Наше изложение этих вопросов отли-
отличается от принятого в литературе и принадлежащего
А. Картану [3] и Реммерту—Штейну [4].
Росток аналитического множества всегда является объеди-
объединением конечного множества неприводимых ростков. Поэтому
мы далее рассматриваем неприводимые ростки; их присоеди-
присоединенными идеалами являются простые идеалы кольца з%?Г = <Шт
(п. 8, гл. II). В дальнейшем / — всегда идеал кольца
<3%?т(т^2); мы исключаем из рассмотрения тривиальные
идеалы /={0}, е%?'т, Звт, присоединенные к росткам Ст,
{о}, 0. Для упорядоченного базиса в пространстве С" мы
используем обозначения: при 1 ^ г ^ т
Сг — подпространство пространства С71, порождаемое
первыми г элементами его базиса;
ог — начало координат в С;
??вТ — кольцо ростков голоморфных функций первых г
координат в точке ог ? С (рассматриваемое как подкольцо е%?т);
1Г = IП Шг (таким образом, если / — простой идеал
кольца S6m, то IТ — простой идеал кольца Щг для каждого
номера г).
Предложение 1. Пусть xv ..., xk — независимые
линейные формы над Ст, 1<;&<яг—1. Тогда для

66 Глава 111
любого идеала I кольца ??вт, I ф ??вт, следующие утвер-
утверждения эквивалентны.
А. Идеал, порожденный ростками хР . . ., хк и идеа-
идеалом I в ?№т, определяет росток {о} в точке о, т. е.
S/ns^.n ••- ns^ = {o}.
А'. Для любого {или некоторого) базиса в С",
в котором хх xk играют роль первых k коорди-
координат, и любого числа г, k < г ^.т,
Аг: идеал в кольце ?%?'', порожденный 1Г и х1 xk,
определяет росток {ог} в точке ог-
А". Для любого (или некоторого) базиса в С",
в котором х1 xk играют роль первых k коорди-
координат, и любого числа г, k < г <; /и,
A": ffi>T~x [хГ] П1Г содержит отмеченный полином.
Доказательство. Очевидно, что утверждения А
и Ат (для произвольного базиса в С") равносильны. Мы
покажем, что из А" (для некоторого базиса в Ст) вытекает А;
что из А'г (для определенного базиса в Ст, в кото-
котором хх xk играют роль первых координат, и некото-
некоторого г, k < г ^т) вытекает А* (для того же базиса в Ст)
и вытекает A^-i1 если г>&-{-1. Этим наше предложение
будет доказано.
A) Из Аг вытекает Аг, Если в нашем случае существует
такая функция /, голоморфная в некоторой открытой окрест-
окрестности точки ог в пространстве Сг, что f ? Ir и /(ог_г, хг)ф0
в окрестности значения хг = 0, то справедливость утвержде-
ния Аг вытекает из подготовительной теоремы Вейерштрасса.
Допустим, что подобной функции / не существует. Тогда
любой росток f ? /г обращается в нуль на ростке аналити-
аналитического множества Lr в точке ог, порожденном подпростран-
подпространством {.*!== ... = xr-i = 0} сСг. Очевидно, что ростки
Xj. ..., xk обращаются в нуль на Lr. Итак, росток анали-
аналитического множества, определенный в точке ог ростками
X! хй и идеалом /г, должен содержать росток L^^fo,.},
что противоречит А^.
B) Из а'г вытекает Ar-i(r > k-\- 1). Предположим, что
утверждение Аг верно (для некоторого базиса), а следова-
следовательно, верно и Аг. Пусть г > k -\- 1, Qr ^ ?№Т~Х [хг\ П /г —

Аналитические множества: локальное описание 67
отмеченный псевдополином степени q относительно хг,
fj, .... f„ ? IT — ростки, порождающие идеал 1Г в кольце 3?6'г.
Тогда мы можем найти открытый полицилиндр пг = лсС
с центром в точке ог, обладающий следующими свойствами:
(I) каждый росток i: порождается в точке ог голоморфной в я
функцией fj, I -^ j'^ п; (II) Qr порождается в точке ог от-
отмеченным псевдополиномом Qr по хг с коэффициентами,
являющимися голоморфными функциями хг = {хх хт-\)
в проекции л'=пг_г полицилиндра я на Сг-1; (III) из
условий xr?nr, QT{x', xr) = Q вытекает, что (х', xr) ? я;
(IV)nn{/i= ••• =/„ = 0. *!= ... =xk = Q} = {or};
(V) согласно подготовительной теореме Шпэта — Картана в по-
полицилиндре я существуют такие голоморфные функции fij,
что fj — h.jQr — uj — псевдополиномы (степени < q) no xr
с коэффициентами, являющимися голоморфными функциями х'
в л'.
Пусть х'Фог_х—точка я', у которой первые k коор-
координат равны нулю (напомним, что г—1 >• k), tv ..., tq —
корни полинома Qr (xr, t). Согласно (IV), для каждого номера
s, l^.s^.q, можно указать такой индекс js(I ^ js ^.n),
что fj (x\ t)^0, а следовательно, и Иу (xf, t)=?Q. Отсюда
вытекает, что существует такая точка Я, == (Xv ..., Х„) ^ С",
что полиномы (относительно t) Qr(xr, t) и их{х', t) =
п
= S hjUjix', t) не имеют общих корней. Действительно,
подобные К составляют открытое всюду плотное подмноже-
подмножество в С". Поэтому рх(х') = р (Qr, ax) — результант Силь-
Сильвестра QT и их (которые рассматриваются как полиномы над
кольцом голоморфных функций на я'), являющийся голо-
голоморфной функцией х' на я' для любого X ? С", отличен от
нуля для надлежащим образом выбранных значений X.
Так как Qr, \Xj?Ir, то рх ? <ШГ~Х П /г = Л—i Для любого
Я,^С". Согласно теореме 7 (гл. II), существуют такие функ-
функции g\, .... g";i'. голоморфные в некоторой окрестности
t/'СЯ' ТОЧКИ O^.i^C7^' ЧТО РОСТКИ gx g,j' 6^г-1 ПО~
рождают идеал /г-1 и каждая функция рх оказывается в U'
линейной формой от g\, ..., gn' с коэффициентами, голо-
голоморфными в W. Поэтому любой общий нуль функций gt,
l^.i-^.n', является общим нулем всех функций рх, X f С.

Глава III
Но мы знаем, что не существует такой точки х'?л, х! ф or_i
с первыми к координатами, равными нулю, что рх (х') = О
для всех А, ? С". Следовательно, ростки g^, 1 <; I <; п', и
Ху. l^.J^.k, вместе определяют росток аналитического
множества {ог_1} в точке ог_х- Итак, gi порождают идеал
1т-\\ утверждение Ar_i доказано.
C) Из А" вытекает А. Пусть для базиса в С™, для
которого Xj xk служат первыми k координатами, ро-
росток Qr ? e%?r~1 [xr] (\Ir является отмеченным, л — такой от-
открытый полицилиндр в Ст с центром в точке о, что Qr есть
росток, порожденный в точке ог отмеченным псевдополино-
псевдополиномом Qr по хг с коэффициентами, голоморфными в проек-
проекции пг_1 полицилиндра я на Cr~1> r ==A>-f- 1, . . ., от. Пусть
первые к координат точки |^я равны нулю. Тогда из равен-
равенства Q/i+i (!) = 0 вытекает, что |й+1 = 0. Применяя последо-
последовательно это рассуждение, мы установим, что из равенств
)= ••• =Q«(!) = ° следуют равенства 1к+1= ...
?да = 0, т. е. fe = O. Итак, ростки хр .... хй,
*+i» •••• Qm определяют росток {о} в точке о. Из сказан-
сказанного вытекает, что идеал, порождаемый идеалом / и ростками
xt, .... хй, определяет росток {о} в точке о, что и требо-
требовалось доказать.
Предложение 2. Пусть I — идеал в кольце S%?m,
причем /=,^{0} и тай1^е%?/т. Тогда существуют k таких
независимых форм xv .... xk над Ст, 0 < k < /га, что
для идеала I и этих форм справедливо утверждение А
предложения 1 и утверждение
В. Для любого базиса в Ст, в котором х1 xk
играют роль первых к координат, /ь = {0).
Обратно, если для идеала I я к независимых форм над
Ст, 0 < к <С /га, справедливо утверждение А (соответственно В),
то 1фЩ (соответственно rad/?^<^'OT).
Доказательство. Мы покажем, что для некоторого
определенного базиса в Ст утверждения А" и В имеют место,
если роль k первых координат играют xv . . ., xk, 0 < k <C т.
Этим наше предложение будет доказано.
.Так как {0} ф/cz3@/т, то существует необратимый ро-
росток f?/, f=^=0. В силу подготовительной теоремы Вейер-

Аналитические множества: локальное описание 69
штрасса, в пространстве Ст можно найти такой базис, что
f — Qm> где Qm — отмеченный полином по последней коор-
координате базиса. Очевидно, что Qm?/- По отношению к этому
базису мы образуем идеал im-V Очевидно, что 1т_хс?/в'т~х.
Мы утверждаем, что х&й.1т_-Я:??в"п~х. Допустим, что, воп-
вопреки нашему утверждению, rad/m_1 = з№'т~х. Тогда, если
qm = d°Qm, то, как легко видеть, хЧт ?rad/; отсюда выте-
вытекает, что xm^rad/. Но если rad/m_x = дЖ?"" и хт ? rad /,
то rad / = 'Ш'т, что противоречит нашим предположениям.
Итак, или /m_j = {0} (в этом случае предложение дока-
доказано с k=m—l; роль первых т—1 координат базиса
играют xv .... хт_1), или {0}=?Im_v tslu/m_1^S&m-i-
В последнем случае т— 1^-2, ибо легко видеть, что радикал
любого идеала в -??6Х есть {0}, 0в' или <§?вх. Повторяя преды-
предыдущее рассуждение, мы найдем в пространстве С такой
базис, что идеал /т^1 будет содержать отмеченный полином
по последней координате хт_1 этого базиса. Этот базис
в Ст~х и последний элемент ранее найденного базиса в С™
образуют новый базис в С", в котором хт продолжает играть
роль последней координаты, a Qm остается отмеченным поли-
полиномом относительно хт.
Мы рассмотрим теперь идеал 1т_2 Для нового базиса в С.
Используя то, что тай/т_1^е%?'т~Х, мы так же, как и выше;
заключим, что rad 1т--&3€'т~'''¦ Повторяя предыдущее рассу-
рассуждение т — k раз @ < k <C т), мы придем к заключению,
указанному в нашем предложении, ибо за k форм хх, . . ., xk
можно выбрать любые k форм, которые вместе с построен-
построенными выше формами хт, . . ., хк+х составляют в Ст систему
координат.
Определение 2. Упорядоченный базис в Ст назы-
называется k-правильным для идеала I @ < k < /га), если
его первые k координат удовлетворяют условию А пред-
предложения 1 и условию В предложения 2.
Такой базис может существовать только, если [0}ф/,

70 Г лава III
Замечания. A) Ниже (п. 2, гл. IV) мы увидим, что
если некоторый базис в Ст является ^-правильным для
идеала /, то k равно размерности ростка S7, определяемого
идеалом /; итак, k зависит только от /. Мы покажем также,
что если k независимых линейных форм на С™ удовлетворяют
только условию А, то k больше или равно размерности S7;
но если эти формы удовлетворяют только условию В, то
никакого аналогичного заключения сделать нельзя, даже если
идеал /—простой.
B) Пусть I —главный идеал, Щф1<=.е№'т'. идеал /
порожден единственным элементом f ?s%?'m, f=^=0, который
определяется с точностью до обратимого множителя, при-
принадлежащего Sfc'- Если е%?т~х [хт]Г[1 содержит отмеченный
т]
полином относительно хт, то для f выполняются все пред-
предположения подготовительной теоремы Шпэта — Картана.
В силу заключения этой теоремы о единственности, f не
может быть делителем в е%?т элемента кольца Sff, отлич-
отличного от нуля. Поэтому (а) если некоторый базис в С™ является
^-правильным для идеала /, то k = m— 1 (по поводу обрат-
обратного утверждения см. замечание 2 к лемме 1); (Ь) некоторый
базис в Ст является (т— 1)-правильным для / тогда и только
тогда, когда f(om_v хт)щк0 в некоторой окрестности точки
хт = 0.
C) Пусть даны такие идеалы /, / кольца S?m, что
{0}ф/^/г <= rad Г <= &&"", и упорядоченный базис в С",
^-правильный для идеала /, 0 < k < т. Тогда k первых коор-
координат удовлетворяют условию А для идеала /'; если они
удовлетворяют и условию В для /', то рассматриваемый базис
является ^-правильным для идеала /'; если нет, мы применим
к идеалам Ik, /*_i. . . . рассуждение, использованное для
доказательства предложения 2. Изменяя только базис в под-
подпространстве Ск, мы сможем образовать новый базис в С",
^-правильный для идеала / и ^'-правильный для идеала
/', 0 <&'<&.
Следовательно, если /, /' — идеалы в <з№т с указанными
выше свойствами, то существуют целые числа k, k', 0 < k' ^
¦^ k < т, и базис в Ст, А-правильный для идеала f и
^'-правильный для идеала /'.

Аналитические множества: локальное описание 71
В дальнейшем мы предполагаем, что выбранный в Ст ба-
базис является ^-правильным для простого идеала / в коль-
кольце 3&т. Напоминаем, что {0} Ф1^ &в'т> /га>2иО<А><т.
Лемма 1. Пусть k-\-\^.r^m. Тогда существуют
A) Рг 6 eW'1 [хг\ П 1Г, Рг = d°Pr^> 1 {коэффициент при 'хр/
в РГ не принадлежит /;_j); B) «р/._1 ? S%lT~x—Ir_v ?fe=l
со следующими свойствами:
(a) для любого U ? ??вТ~х [хг] (\/г из неравенства
d°\J < рг вытекает, что U ?/r_x [jrr];
(b) для любого ростка f^/r {соответственно
U 6 &№Г~Х \ХА П А)> ?r-i^ {соответственно «pr_XU) принад-
принадлежит идеалу, порождаемому в ??вТ {соответственно
<з№г~Х \хг\) идеалом 1Г_1 и Рг {» частности, идеал /й+1
порождается ростком Р&+{);
(c) для произвольного U ^ ^вг~х [хг] включение U?/r
имеет место в том а только в том случае, если
p(Pr, U) ?/г_] (^я того чтобы образовать результант
Сильвестра p{Pr, U), ми должны предположить, что U
имеет «формальную» степень >¦ 0).
Доказательство. Фиксируем число г, k<^r^.m,
и обозначим через А факторкольцо e%?r~l/lr_1. Так как
/r_j — собственный простой идеал кольца -??6Г~Х, то Л — нй-
терова область целостности (п. 2 (с) и (d), гл. II). Обозначим
через \х естественный эпиморфизм Звг~1 —>А и индуциро-
индуцированный эпиморфизм е%?г~х [хГ] -> А [хг]. Пусть /*:^{t/* =
= |x(UN A [xr]|U6<^?r~1 l-^rin/Л- Очевидно, что Г — идеал
в кольце Л [хТ\; далее воспользуемся тем, что заведомо су-
существуют такие Р*?1* и <р*_х ? Л, ср*_х Ф 0*. что Р* является
делителем ф*_х^/* для каждого U*?P (п. 2 (d), гл. II).
Выберем элементы РТ(Ц№Г~Х \xr\[\Ir и <рг_16<^?Г~1 так,
что ц (?,._!) = ф*_1. 1Х(РГ) = ^*. причем rf°Pr = rf°Prs. Мы
утверждаем, что pr = d°Pr > 0. Действительно, если рг — 0,
то Рг ? <3&r~X П-^г — Л—1' т> е- Рг ^= U , откуда вытекает, что
/* == {0*}. Но /г П ^?г~ [лгг] содержит отмеченный полином Qr
и Q* = |x(Qr)?/* отличается от нулл. Таким образом, мы

72 Г лав а III
приходим к противоречию; итак, рт >» 0, Далее отметим,
что поскольку ф*_х Ф 0*, росток ?/—1 не принадлежит /г_х.
Мы докажем, что Рг и ?/--1 удовлетворлют условиям (а),
(Ь) и (с), причем покажем, что можно выбрать ^рй—1.
(a) Для произвольного U ? е%?г~х [хг] П // элемент Р*
является делителем ф*_1У*. где t/* = |x(U) и tp*.^^ 0*. Сле-
Следовательно, или ?/* = СГ, откуда вытекает, что U 6/г_х [хг],
или rf°U ~^-d°U* ~^>срр*г — d°Pr, и утверждение (а) доказано.
(b) Пусть снова U ? e%?T~1 [xr] f] /r- Тогда (мы сохраняем
прежние обозначения) существует такой элемент V* ? А[хг],
что 9*_1?/*=P*V*. Если V ? i№r~x [хг] — росток, для которого
$,<У)=У\ то uto^U-PrV^CT, т. е. ^.^-P.V 6Л-1 [^1-
В частности, рассмотрим случай г = А —f- 1 ¦ Тогда для
каждого U ? g%!k [xk+l] П /ft+i росток Рй+1 является делите-
тем ^рйи в кольце S/911 [х^ + х]. Но мы всегда можем предпо-
предположить, что Рй+1 — неприводимый полином (деля его на общий
наибольший делитель коэффициентов). Тогда Р^+1 должен
быть делителем самого элемента U. Итак; в той части утвер-
утверждения (Ь), которую мы доказали, можно взять 5рй = 1.
Теперь возьмем произвольный элемент f?/r. Обозначим
через Qr отмеченный полином относительно хг, содержа-
содержащийся по условию в в%?г~х[хг\ П/г- Согласно подготови-
подготовительной теореме Шпэта — Картана, существует такой росток
h6^?r. что u = f — hQr?3@r~1[xr]. Очевидно, что u?/r.
Применяя уже доказанную часть утверждения (Ь) кии Qr,
мы установим,, что qp^._1f принадлежит идеалу, порожденному
в кольце е%?г ростком Рг и идеалом /-г_х. .
(c) Если U 6 'Шг~х [хг] П Гг. то р (Pr, U) 6Л П SV''1 = Ir_^.
Обратно, пусть р(Рг, \У)?1Т_Х. Тогда (мы сохраняем преж-
прежние обозначения) p(Pr, U*)== 0*. Далее заметим, что сте-
степень Р*т равна Pr = d°Pr. Следовательно (п. 2 (а), гл. II),
существуют такие полиномы X*, Y* ? А[хг], отличные от
тождественного нуля, степени < min (dQU*, pr\ что X*P*r-\-
Jf-?-*U*. — Q*. Так как Р* ф 0',;"'то и Y*. Ф Ъ*. Возьмем'X.
^^х,.] так, что
rfPY.= d°Y*. Тогда ц (XPr+-YU) = 0*; т.'е." XP^YU 6 /,_i [zxr]-
Так как Pr?Ir, то отсюда вытекает, что YU^/r. Далее

Аналитические множества: локальное описание 73
Y(?/r, ибо при d°Y = d°Y*<.pr из включения Y?/r следо-
следовало бы (согласно (а)), что Y6/r_i[xr], т. е. К* = 0*, что
невозможно. Наконец, поскольку I r — простой идеал, из
условий YU?/r, Y(?/r вытекает, что U?/r, что и требо-
требовалось доказать.
Замечания. 1. Полезно отметить (мы сохраняем обо-
обозначения леммы 1), что r 4-/г, г = k -f- I /га. Дей-
ствительно, если ^ г ?/,., то, в силу (а), -~-?/г_1[хг],
т. е. d°P* = Q, что невозможно.
2. Если k = m—1, то / обязательно является главным
идеалом, порождаемым Рт.
3. Каждый полином Рг может быть умножен на любой
обратимый множитель, принадлежащий <37?Г~Х\ в частности,
поскольку Рй+1 является делителем отмеченного полинома грй+1
в кольце ?7вк [xk+x], можно за P^+1 выбрать отмеченный
полином (лемма 2, п. 3, гл. II).
Лемма 2. Для каждого числа г, k-\- \ ^r ^т, и
произвольного ростка \(^-Шг — 1Г, можно указать
росток f'^eft?''1—Ir-i' принадлежащий идеалу, поро-
порожденному i и /г в кольце &№''.
Доказательство. Пусть Qr ? ?}6r~x [xr] f[/r — отме-
отмеченный полином относительно хг. В силу подготовительной
теоремы Шпэта — Картана, существует такой росток h ^ ¦Ш)г,
что U = f — hQr 6 <ШГ~Х [хг]. Из того, что f^/r, вытекает,
что U^/r- Следовательно, если Рг выбран так, как это ука-
указано в лемме 1, то f'^p(P/., U)^/r_j (согласно лемме 1 (с)).
Поэтому очевидно, что V принадлежит идеалу, порожден-
порожденному в кольце <з??'г идеалом /г и ростком f.
Предложение 3. Пусть I, Г — идеалы в кольце ??6т*
причем I — простой идеал, {0} Ф Icz.1' 5 <Ж?'т> базис
в пространстве Ст является k-правильным для идеала
I и k'-правильным для идеала Г. Тогда 1 = 1' тогда
и только тогда, когда k = k'.
Доказательство. Очевидно, k'^k и I ф V при
k' <[ k. Пусть /4:1', f = im^/' — /, Тогда, согласно лемме 2,

74 Г лав а III
существует росток \m_x?<ffim 1 — Im-i< принадлежащий
идеалу, порожденному идеалом 1т и ростком \т в кольце %""
1 '
т~1
В этом случае \m_xQ_&6 {\I =/т_ь Рассуждая таким
образом далее, мы получим росток fк ? I'k — Ik = I'k — {0}.
Итак, 1к Ф {0}, т. е. k <_k, что и требовалось доказать.
4. Локальное описание аналитического множества:
всюду плотные подмножества специальных видов. Пусть
/ — простой идеал в кольце е%?т, {0} Ф I 5 &в'т и в про-
пространстве Ст выбран базис, ^-правильный для /. Сопоставим
(как в лемме 1, п. 3) числам г, &-f-I <^ r <^/га, ростки
г t; st [xr\ 11 /r и zpr—i t s^ — ^r—l \тк — *)• " пусть
Qr ^ е%?г~* [xr] f\ fr — отмеченннй полином относительно хг.
Как отмечено выше, , Т ф1г Следовательно, по лемме 1 (с),
п. 3, результант Сильвестра Sr_1 = p(P , . г ) не принад-
\ охг}
лежит /r_i- Так как /г_1 — простой идеал, то «pr_1Sr_1 (Plr_v
Следовательно, если k <C m — 2, то по лемме 2, п. 3 можно
найти росток у„,_26 3&m~2—^m-i' принадлежащий идеалу,
порожденному в кольце S^ идеалом /да_г и ростком
?m-i^/n-i- Если k ^ /га — 3, мы таким же образом найдем
ростки Yr_1^^yr~1—^r-i> каждый из которых принадлежит
идеалу, порожденному в кольце ©й$"' идеалом 1Г и ростком
yr5r5pr, где k -f- I < г < /га — 2.
Пусть f^ ^'r^6^r — ростки, порождающие идеал 1Г,
где k ^_г ^ш. Идеал /й+1 порождается единственным эле-
элементом Pfe+1; для единообразия мы обозначим его через Щ-i-
Идеал Ik порождается единственным элементом 0; мы обо-
обозначим его через f^ - Имеют место следующие соотношения:
A) Рг является линейной комбинацией над кольцом <з/?г
элементов trl), 1 <! I <; lr (k-\~ 1 <! г <; /га).
B) Каждый элемент ?r_]f^), 1 <! / <! ir (соответственно
?r_jQr) является линейной комбинацией над кольцом ?%?г
(соответственно над кольцом -ШТ~Х [хг]) элементов Рг и f^j,
1</< ir-i № + 1 < г < /га).

Аналитические множества: локальное описание 75
C) Xr-i является линейной комбинацией над кольцом i/6T
элементов fA?r и $г1)> * ^ 1 <С 1г (& Н- 1 О <! /» — 1,
Ym_1)
Пусть я ? С — открытый полицилиндр с центром в точке о
(яг — его проекция на пространство С), обладающий сле-
следующими свойствами:
(О') Для каждого г, &-f-1 ^ г <[/га, элементы frl\
1 ^ / ^ tT, Pr, Qr кольца ?№г порождаются в точке ог соот-
соответственно функциями /(/), 1 <^ / ^ 1т, Pf, Qr, голоморфными
в яг. Аналогично для каждого г, k ^ r ^ m—1, ^pr, Sr и уг
порождаются в точке ог соответственно функциями (рг, 6Г и
уг, голоморфными в лг.
(Г), B0- C0- Соотношения A), B), C) между fj.°, Pr, Qr
и т. д. над ?%?г (или над е%?т~Х [jcr]) «порождаются» соответ-
соответствующими соотношениями между /у • Pr, Qr и т. д. над
кольцом <з%?я функций, голоморфных на лг (или над коль-
кольцом -Шп _ [¦*/¦])• Например, свойство B0 гласит: 9r_xQr яв-
является линейной комбинацией над кольцом <§№п _ \*А эле"
ментов Рт и /(/>!> 1</<^_г
D0 Для любого г, k-f- I <^r^m, и |^лг-1 из равенства
Qr (|, ^) = 0 (где t ? С) вытекает, что (|, ^) ? яг (выполнение
этого условия обеспечено, так как Qr — отмеченный полином).
Положим далее яь = я'. Поскольку Sftyft Ф О, U'=
= {л/ ^ я' | Yfe (a:0 6fe (л?0 = 0} — связное открытое всюду плот-
плотное подмножество л' (см. п. 1). Пусть U = [(xv .... хт) ?
б|(г, . *) ?}
Наконец, пусть 5 — множество общих нулей в я всех
функций /(/>, 1<!г<С/г, k-\-l^.r^m. Таким образом,
S/ — росток аналитического множества, порожденный мно-
множеством 5 в точке о.
Л е м м а 1. (а) 5 П U={x 6 U\Pk + 1(x) = ... = Pm (x)=0\.
(b) Каждой точке х' ^ U' соответствует точно р =
т
= 2 (^°РГ) точек х^ (х') ?5 f[U, проектирующихся
в точку х'\ х(^'(х0—>о, 1 ^у <^р, когда х'—> oft =
= or(x'?Ur). (с) В некоторой достаточно малой

76 Глава III
окрестности любой точки U' все отоб ражения х'—¦>
—> х(^ (х') являются голоморфными.
Доказательство. Пусть s = {х ? U \Pk+1 (х) = . ..
.. . = Рт (х) = 0}. Из условия A') вытекает, что Sf\U<=s.
Рассмотрим точку х' ? W. Так как bk {x') ф 0, полином
Pk+-i{x', t) (относительно t) имеет pk+\ — (^Pft+i) различ-
различных корней х^х(х') = х^г 1 -*CJ *C Pfc+V Из условия B')
вытекает, что полином Qk+1 (xr, t) обращается в нуль во всех
точках х(Д,. Поэтому по D') (х', хЩ^х*)) 6 я4+1. 1</<
^rPk+v Далее, так как Qft41—отмеченный полином, легко
видеть, что xj/Ij—^O, I ^y ^.pk+1, когда х'->о'.
Если & -j- 1 = /га, утверждения (а) и (Ь), очевидно, верны.
Пусть &-f-l </га и ? = (х', лг^Дх')) — какой-либо из /?й+1
корней полинома Р^+г (xr, t), xf ? ?/'. Тогда произведение
^й+1Фй+17а+1 не должно обращаться в нуль в |; с другой
стороны, благодаря C'). Y* (-^0 =И= 0 при х' ? (/'. Отсюда
вытекает, что 6#+i(?) =^= 0. Следовательно, полином Рй+2(|. 0
(относительно t) имеет рк+2 = (й?°Рй+2) различных корней
•х^+г^)' 1-С/^Рй+2ф ^3 условия B') и соотношения
ФЙ+1(|)=И=О находим, что полином Qfe+2(?> О обращается
в нуль во всех точках х^^2 (|). Отсюда следует, что
Если мы опять используем условия B') (и соотношение
fft+2(?) ^ °)' то УВИДИМ. что все /<Д2, 1<^<^+2> обра-
обращаются в нуль во всех точках f|, лг^2(|)\ Итак, утвержде-
утверждения (а) и (Ь) верны, если к~\- 2 = т. Если ^-f-2-<./ra, мы
воспользуемся тем, что y*+i (?) Ф ® и повторим наши рас-
рассуждения. Таким образом, мы установим справедливость
утверждений (а) и (Ь). Справедливость утверждения (с)
может быть установлена при расположении функций x(i) (xr)
в надлежащем порядке следующим образом: если {хх, . ..
.... xm)?S, то хТ, к-\- 1 ^ г <;/га,—простой корень поли-
полинома Pr(xlt ..., xr_j, t) (относительно f). Лемма 1 доказана.
Замечание. Если / (где {0} Ф IS ??в'т) — главный
идеал в кольце е%?т, то, в силу замечания 2 к определению 2
(п. 3) и подготовительной теоремы Вейерштрасса, в прост-
пространстве Ст существуют (т—1)-правильные базисы для
идеала /. Для любого подобного базиса существует такой

Аналитические множества: локальное описание 77
отмеченный полином Q g ^°1 [xj, что S7 = SQ. В общем
случае положение вещей может быть другим: если / — про-
простой идеал в кольце &вт (т^Ъ, {0} Ф Г<= 3€'т) и базис
в пространстве Ст является й-правильным для /, 0 < k <<
¦< т— 1, то, вообще говоря, не существует таких отмечен-
отмеченx
r~x
ных полиномов Qr ?/г Л &6r~x [xr], ^+l^r<;/ra, что
= Sq П • • • П Sq . Ниже приводится пример.
Пусть S — росток, порождаемый в точке о ? С3 аналити-
аналитическим множеством 5 = {(xv х2, хЛ ? С31 x\ -j- х\ — хх =
— х\— x1x3=0}, / = /(S). Тогда, прежде всего, / — про-
простой идеал. Действительно, координаты каждой точки x?S
* It* t3 \t2 \
могут быть представлены в виде х = I , , • j,
где t ? С, t Ф ± I, каждой точке х ? 5 соответствует только
одно значение параметра t. Поэтому в принятых обозначе-
обозначениях можно утверждать, что f ? <Шг принадлежит / в том
(t4 ta t2 \
flfF' Г+F' Г+Fj ^ °
в некоторой окрестности точки t = 0. Отсюда вытекает, что
/ — простой идеал. Далее, базис в пространстве С3 является
1-правильным для /: из того, что @, х2, д;3) 6 5, вытекает,
что х2=:х3 = 0; в этом состоит условие (А) определения 2
для /; выполнение условия (В) очевидно.
Допустим, что, вопреки нашему утверждению, существуют
такие отмеченные полиномы Q2 ? -Шх [х2], Q3 6 &&2 [-*зЬ что
S/ = S = Sq2 П Sq3. Тогда для каждой точки (xv x2) 6 С2
можно указать по крайней мере одну такую точку х3 ^ С,
что (Xj, x2, x3)?S. Тогда для точки (х,, х2, х3) 6 5 и точки
(лгр лг2). достаточно близкой к точке о2,. х3 является един-
единственным корнем многочлена Q3(xlt x2, t) относительно t,
т. е. корнем порядка g3 = d°Q3: в частности,
Это означает, что в некоторой окрестности значения t = 0
что, очевидно, невозможно.

78 Г лава III
Мы теперь приведем некоторые следствия из леммы 1.
Предложение 1. Если I— простой идеал в кольце
&Ь , / ф ею . гпо &1ф [о\.
Доказательство. Мы можем принять, что / Ф {0}.
Тогда (мы сохраняем обозначения леммы 1) U' является
всюду плотным подмножеством в л'. Пусть \хп]— после-
последовательность точек Ur, сходящихся к точке о' и отличных
от точки о'. Тогда по лемме 1 точки лг(;) (x'\^S составляют
последовательность, сходящуюся к точке о (для любого J,
1 ^J^Lp)- Таким образом, о не является изолированной
точкой множества 5.
Лемма 2. Пусть h — голоморфная функция в та-
такой открытой окрестности точки о, что для каждой
точки х' ? U', достаточно близкой к о', имеет место
равенство h (х^'^(х')) = 0 хотя бы для одного номера
j = j(x'), 1<^/<!/?• Тогда h = h0^/ {здесь сохранены
обозначения леммы 1).
Доказательство. Допустим, что, вопреки нашему
утверждению, существует росток h ? <??вт — /, удовлетворяю-
удовлетворяющий указанным в лемме 2 условиям. Тогда, согласно лемме 2,
п. 3, должен существовать росток hm_1^S^m~1 — Im-i-
являющийся линейной комбинацией h и ростков f^, 1 ^ / <1 im.
Очевидно, что росток hm_1 также должен удовлетворять
условиям, указанным в лемме 2. Поэтому, если k << т — 1,
мы, повторяя подобное рассуждение, в конце концов придем
к ростку hk ? <Шк — fk = <ffik — {0}, равному нулю во всех
точках х' ? W, достаточно близких к точке i/. Это невоз-
невозможно, поскольку U' всюду плотно в л'. Итак, h?/ и,
таким образом, лемма 2 доказана.
Предложение 2. Пусть I — простой идеал
в кольце 3?т, {0} ф f Яг &№т, причем базис в простран-
пространстве Ст является k-правильным A -С & <С т—1) для
идеала I. Пусть W — открытая окрестность точки о,
<&~ — множество функций, голоморфных на W и рав-
равных нулю в точке о. Тогда существуют: A) аналити-
аналитическое множество S в некотором открытом полици-
полицилиндре л с центром в точке о, порождающее в этой
точке росток S7 (л и S зависят только от I и базиса.

Аналитические множества: локальное описание 79
выбранного в пространстве Ст); B) некоторый откры-
открытый полицилиндр ^(сяП^О с Центром в точке о ? Ст
(его радиусы могут быть взяты как угодно малыми);
C) для каждой функции h?<&~ такой отмеченный
псевдополином Rh(x'', и) относительно и степени р
с коэффициентами, являющимися голоморфными функ-
функциями х' в п'о (проекции Яд на С*), что
(a) росток R/,(h) в точке о, порожденный голоморф-
голоморфной функцией x—^Rh(x/,h(x)) в л0, принадлежит
идеалу /; .
(b) для каждой точки х'о?тс'о и функции
(проекция х на Ck) — x'o}
(c) для любой функции h ? <&~ или псевдополином
Rh(x', и) имеет сомножитель и, и тогда h = h0^/.
или Rh (х', и) не имеет сомножителя и, и тогда h (я0 П S)
является окрестностью нуля в С;
(d) для каждой функции h0, голоморфной на л0,
можно указать такой псевдополином Х0(х', и) сте-
степени, не большей р—1 относительно и, и с коэффи-
коэффициентами, голоморфными на n'Q (равными нулю в точке о'',
если функция h0 обращается в нуль в точке о), что
росток-^—Rh (h) h0 — X0(h) в точке о, порожденный функ-
функцией х —> -з— Rh (х\ h (х)) h0 (х) — Хо (х', h (x)), голоморф-
голоморфной на л0, принадлежит идеалу I.
Доказательство. Пусть зх и 5 взяты так же, как
в лемме 1 (мы сохраняем далее принятые там обозначения).
Возьмем такой открытый полицилиндр я с центром в точке о,
л ел, naW, что для произвольной точки х' ?я' f\W все
х<}) (х') ? я, 1 < J < р. Пусть для любых хг 6 я7 П V, h
и любого j, 1 <С j < р,
Cj (Jf') = Cj, h (X') =
= С-1)У S h (x(ll) (x') ) .,. h (x1'» (x') ),

80 Глава III
Легко видеть, что Cj — ограниченные голоморфные функции
в я' Л W. Так как а' == ж' — U' — нигде не плотное анали-
аналитическое множество в л', то каждая из функций Cj имеет,
согласно теореме 2 (п. 1), однозначно определяемое (ограни-
(ограниченное) голоморфное продолжение на я'; мы обозначим это
продолжение снова через Cj. Каждая из этих функций Cj
обращается в нуль в точке о'. Это вытекает из того, что
Л(о) = О и *<Л(хО-»> 0, 1 </</>. когда х'(? W)-» о'.
р
Следовательно, Rh(x', а) — ир -f- 2 с,- (х1) цр-3 — отмечен-
i = \
ный псевдополином. По определению Rh(x', h(x)) = 0 при
х ? я П (S П ^/); поэтому, согласно лемме 2, Rft (h) ^ /. Итак,
утверждение (а) доказано.
Используя теорему 7 главы II, мы найдем такой откры-
открытый полицилиндр л0 с л с центром в точке о и радиусами pJf
что Rh(xf, h(x)) = Q в каждой точке лг^л0П5 для каждой
функции h? <§Г, если только
sup |*У>С*')| = Р;<РГ. г = Л+1. .... т. (*)
Мы покажем, что утверждения (Ь), (с), (d) справедливы для
полицилиндра л0, если псевдополином Rh{x', и) выбран ука-
указанным выше образом.
(Ь) В силу (а) и нашего выбора л0, мы в каждой точке
х'о?л'о и для каждой функции h(~<?T имеем
\h (х) | х ? л0 П 5, (проекция х на С ) = хо) с:
cz{ueC\Rh(x'o. a)=0}.
Обратное включение также имеет место для каждой точки
х'0?п'о{\и' в СИЛУ определения Rh. Возьмем x'Q^n^[\cUr;
пусть и0 — корень полинома Rh (х'о, и\. Поскольку U' плотно
в я', мы можем найти последовательность {х'Л точек л^ П У>
сходящуюся к х^. Тогда для каждого номера п можно ука-
указать такой корень ип полинома Rh(x'n, и\ что an—^aQ. Как
было указано выше, каждому номеру п соответствует такой
номер jn, l^CJn?Cp, что и„ = А (лг^ч)(а:^)). Учитывая
условие (*), мы можем принять (переходя в случае надоб-
надобности от последовательности [х'Л к некоторой ее подпосле-

Аналитические множества: локальное описание 81
довательности), что [х^п) (х'„)} сходится к точке л:0?я0.
Так как подмножество п0 Л 5 замкнуто в л0, то ^0^Snn0
и h(xo)= lim h {x^j^(x'n)) = lim и„ — и0. Так как проек-
проект-яро п-^са
цией д;0 на С*, очевидно, является х'о, утверждение (Ь) до-
доказано.
(c) Для любой функции h ? <&~ коэффициенты с} = Cjt h
ограничены и голоморфны на n'Q. Предположим сначала, что
ср^0. Согласно определению ср, это означает, что для лю-
любой точки л/^ЛрП W функция h обращается в нуль по край-
крайней мере для одной из величин -xW)(x'), 1 <^ / ^ Р- Тогда,
в силу леммы 2, h?/.
Предположим затем, что ср ф 0. Если бы утверждение (с)
было не верным, то существовала бы такая сходящаяся
к нулю последовательность комплексных чисел {А,л}, что
функция h (х) не принимала бы значений Хп при лг^л0П5.
Отсюда, в силу уже доказанного утверждения (Ь), вытекает,
что голоморфные функции gn(x') = Rn(x', Хп) от х' на п'о
не обращаются в нуль на ло. Последовательность \gn (x')\
сходится равномерно на л^ к Rh(xv, О)=^ср(лг') (так как с}
ограничены на л^). Этот вывод противоречит тому, что
ср ф. 0, ср(ог) = О. Действительно, пусть а'^л^, с (а') Ф 0.
Тогда gn (tar) суть голоморфные функции, равномерно схо-
сходящиеся в области D = i t?C\ta'?tc'0\czC к функции
cp(ta') щ 0 (ср A) Ф 0). Отсюда, рассуждая обычным для по-
подобной ситуации образом, легко заключить, что точка о'
должна быть предельной для нулей х'п = tna' функции g (x').
Таким образом, мы пришли к противоречию с тем, что функ-
функция gn {x') ф 0 при лг'^Яд. Утверждение (с) доказано.
(d) При x'Zsi^nU'
Х0(х', «) =
2
I К (xW (л:0 ) П [u—h (*(/'> {х') )] I (**)
I кг <р, }'ф j S
— псевдополином степени -^ р — 1 относительно и с коэф-
коэффициентами, являющимися голоморфными функциями х'
в я'о П Ur, ограниченными в окрестности каждой точки мно-
множества Лд Г) о'. В силу теоремы 2 (п. 1), каждый из этих

82 Г лава III
коэффициентов может быть голоморфно продолжен (и при-
притом единственным образом) на я^. Получающиеся таким обра-
образом функции равны нулю в точке о', если ho(o) = O.
Полагая а = h (xV> (x')), x'^n^[\W, 1<У<^, в соот-
соотношении (**), мы получим:
Х0(х', h(xj(x'))) =
Д
KJ' <Р,,/' ф )
= h0 (*"> (*') ) -?- Rn (*'. h
Таким образом, функция -j- Rh (х'', h (л:) ) h0 (x)—Хо (х'', h (x) )
равна нулю во всякой точке х ?я0 П (S П U)- Следовательно,
эта функция по лемме 2 определяет в точке о росток, при-
принадлежащий идеалу /.
Замечание 1. В силу (b) Rh (x't h (х)) = 0 в любой
точке х ?я0 П S; в (фмы показали, что -з—Rh(xf> h{x))ho{x)—
— Хо (x't h (х)) = 0 только в любой точке х ? я0 f| (S П U)\
ниже, в теореме 3 (В) будет показано, что множество
Щ П (^ П U) плотно в я0 П S и поэтому
~ Rh {xr, h (х) ) h0 (х) — *0 (х'. h (x) ) = О
для любой точки х ? я0 П 5.
Замечание 2. Из предложения 2 (с) вытекает такое
следствие. Пусть 5 — аналитическое множество в открытом
множестве U, точка a?S, функция h голоморфна на U.
Тогда ограничение h\S или постоянно в некоторой окре-
окрестности точки а или множество значений h \ S в некоторой
окрестности точки а составляет какую-то окрестность
точки h (а) в С. Этот вывод, в котором ограничение h \ S
можно заменить произвольной функцией, голоморфной на 5
(п. 6, гл. IV), является обобщением известного классического
результата: непостоянное голоморфное отображение связного
открытого множества пространства Ст в С есть открытое
отображение.
Лемма 3. Пусть хотя бы в одной точке хг ?лоП W
все р значений h \х (дг') ), 1 ^ J' ^. р, различны (здесь

Аналитические множества: локальное описание 83
и далее сохраняются обозначения леммы 1 и предло-
предложения 2). Тогда
(a) росток Rft (и) ?&%?* [и], порождаемый Rh(x',u)
в начале координат пространства Ck + l, неприводим
в кольце е%?* [и]; дискриминант полинома Rh(xr, и) {ко-
{который является голоморфной функцией х' на л'Л ф 0.
(b) Пусть (р (л/, и)—такая функция, голоморфная
в некоторой открытой окрестности начала коорди-
координат пространства С*+1, что функция ор (л:', h(x)) по-
порождает в точке о росток cp(h)^/. Тогда росток. Rft (и)
является делителем в кольце е%? +1 ростка <р (и) ? &^к+1,
порожденного функцией <р в начале координат про-
пространства Ck+1.
Доказательство, (а) Предположим, что, вопреки
утверждению, росток Rft (и) приводим в кольце ??вк \и\-
Тогда (см. лемму 2, гл. II, п. 3) существуют два таких
отмеченных псевдополинома Rl(xr, и), R2(x', и) относительно
и соответственно степеней рх, рг^\ с коэффициентами,
голоморфными в некоторой открытой окрестности V сг л^
точки о', что Rh{x', ^^R^x', u)R2(x', и) при x'?V.
Из определения Rh вытекает: для каждой точки х' ? V П U'
псевдополином R1(x/, h(x)) обращается в нуль точно в рх
точках x(J"> (x'), a R2 {x'', h {x)) в остальных р2 точках
xW>(x'), l^.J^Lp- Поэтому, согласно лемме 2, каждая
из этих двух функций порождает в точке о росток, принад-
принадлежащий идеалу /, и, следовательно, обращается в нуль
во всех точках х^{хг), 1 < / </>, для каждой точ! и
х' 6 V П U't достаточно близкой к о'. В силу сказанного
по крайней мере два значения h (лгО') (л/)) оказываются оди-
одинаковыми, т. е. дискриминант полинома Rh равен нулю
во всякой точке х'?n'u{\U'', достаточно близкой к о'. Так
как этот дискриминант является голоморфной функцией х'
на к'о, он тождественно равен нулю на л^; по крайней мере
два значения h (х^"> (х')) равны между собой для любой
точки х' ?л^Г\ U', что противоречит предположению леммы.
(Ь) В силу предложения 2 (Ь), где h = xk+1 хт,
из того, что д:^я0П5 и х'—>о', следует, что х—>о.
Предположим, что ср (h) ^/. Тогда ф (д:', h (л:)) = 0 для любой

84 Г лава III
точки л:^лоп5, достаточно близкой к о, т. е. для лю-
любой точки лг?лоп5 при х', достаточно близком к о'.
Итак, ф (хг, и) = 0 всякий раз, когда Rh(xf, u) = 0 и
точка х' достаточно близка к о'. Иначе говоря, ср (и) обра-
обращается в нуль на ростке главного аналитического множества
в начале координат пространства С +1, определяемого рост-
ростком Rft (и). Так как росток Rft (и) неприводим в кольце S@k+1
(см. лемму 3, гл. II, п. 3), то в силу теоремы 6, гл. II
росток ^р (и) делится на Rft (и) в кольце ?№к+х.
Замечание. Полезно отметить, что при выполнении
предположений леммы 3 -*— Rft (h) (?/. Действительно, росток
RA (А) не может быть делителем ростка -т—RA (А) в кольце e%?ft+1
в силу утверждения о единственности подготовительной тео-
теоремы Шпэта — Картана.
Теорема 3 (теорема о локальном описании). Пусть
дан простой идеал в кольце <§ет (т > 2), {0} ф1^<Ш'т\
предполагается, что базис в пространстве С'п является
k-правильным для идеала I. Тогда существуют откры-
открытый полицилиндр я0 с центром в точке о {его радиусы
предполагаются произвольно малыми) и аналитическое
множество So в л0, порождающее росток S7 в точке о,
со следующими свойствами:
(А) Множество S0(x/)=={x^:S0\ (проекция х на Ck)=x'},
где х'?л'о (проекции л0 на С*), удовлетворяет следую-
следующим условиям:
(a) для любой точки х' ?ло множество SQ(xr) не-
непусто и конечно; максимальное число точек ^.S0(xf)
есть конечное целое число р (которое зависит только
от идеала /); 5о(о') = {о};
(b) S0(x') зависит от х' непрерывно, т. е. если по-
последовательность точек х'п^п^ сходится к точке
х'0?Пц, то х0?$о{хо) в том и только в том случае, если
для каждого п можно так выбрать xn€.S0(x'n)> что
Xп > Xq',
(c) для любого всюду плотного подмножества Е' мно-
множества Ло множество ?¦= (J SQ(xr) всюду плотно в So.

Аналитические множества: локальное описание 85
(В) Локальное описание регулярных точек множества So.
Каждой линейной форме I над С соответствует та-
такой отмеченный псевдополином Rl(x/, и) степени р
относительно и с коэффициентами, голоморфными
на Лц, что l(S0(x') )= {и ?С | Rt (х\ и) — 0] для любой
точки х'
(a) Пусть точка xo?So. Тогда эквивалентны следую-
следующие утверждения: (аг) по крайней мере для одной ли-
линейной формы I над Ст 1(х0) является простым корнем
полинома RJx'o, и\ (где х'й — проекция х0 на C*V
(а2) х0—регулярная точка So, это множество имеет
в точке х0 размерность k, проекцией на С* аффинного
многообразия, касательного в точке х0 к So, служит
само пространство С*.
(b) Существует такое главное аналитическое мно-
множество о'0 в п'о, что для каждой точки xf ?U' = л'о — a'Q,
множество S0(x/) содержит точно р точек х^">(х'),
l^J^-P; они являются регулярными точками So и
в них So имеет размерность k; множество s0 =
= Г II 50(лг'I сг So всюду плотно в So.
I*' €^o J
(c) Для каждой открытой связной окрестности
<0j cz л'о точки о' множества Sj = lx 65о| х' ^ ^ll u ^i ==
= Iх 6^о( х'?.®'\\ связны.
(С) Классическое локальное описание. Предположим,
что по крайней мере для одной точки х' ? U'Q (ft-f-1)-
координаты р точек х(->) (х') все различны. Тогда су-
существуют отмеченный псевдополином R {х', и) сте-
степени р по и и псевдополиномы ХГ{хг, и), где г ==
= k~\-2, ..., т, степени ^ р — 1 по и, такие, что
(a) коэффициенты, псевдополиномов R и ХГ голо-
голоморфны в л'о и все, кроме старшего коэффициента R,
обращаются в нуль в точке о';
(b) ростки. RO)? J??*[* ] и
rft+i k -j- 2 <C г чС гп< соответственно порождае-
порождаемые в точках ок+1 и о функциями R{x', xk+{) и

86 Г лава III
-т— R (л/, xk+1) xr—Хг (х', xk+1), принадлежат идеалу I;
(
(c) росток R(jcs+1) неприводим в кольце &№k [xk+l\
и порождает в кольце 3&k+1 идеал IkJrl = 3&k+1 f] I;
для псевдополинома R (xr, xk+1) дискриминант 6(x') ф 0;
(d) всюду плотное подмножество М S0(x/)
'' '
множества So есть совокупность точек х, удовлетво
ряющих условиям:
х'еК- Ь(х')фО. R(x'. хк+1) = 0.
д
•Я С*'. xk+l)xr — Xr{xf.
/га.
A)
Доказательство. Пусть л, 5, U' (и а/ = я/ — U')
взяты так, как в лемме 1. Пусть л0 сг л — открытый поли-
полицилиндр с центром в точке о, выбранный так, как это ука-
указано в предложении 2, для семейства <&~ всех линейных
форм {/} над Cm, SQ = Sf]n0, 0^ = o'n^, U'q = U'{\ji'o,
RL (xr, и) — отмеченный псевдополином, построенный так же,
как это указано в предложении 2, степени р относительно и
с коэффициентами, голоморфными в f'q, причем
для каждой точки х' ^ л^ и каждой формы 1?<&~. (**)
(А) В силу условия (**), каждое множество So (xr) со-
содержит не менее одной и не более р различных точек.
Согласно лемме 1, если х ? Uo, то So (xr) как раз состоит
из р различных точек x(J)(x'), 1 <] / <; р; с другой стороны,
S0(t/) = {о}. Далее, благодаря условию (*) (см. доказатель-
доказательство предложения 2), все корни псевдополиномов Rx (x', и),
где /¦ ===== А —|— 1 т, по модулю -^ р^ для любой точки
х' ? U'o; это остается верным для любой точки х' ? л^.
Благодаря условию (**) отсюда вытекает, что r-я коор-
координата каждой точки из S0(x') по модулю <sCp'r.
Теперь рассмотрим последовательность точек х'п?п'о,
сходящуюся к точке х'о ? n'Q. Если для каждого индекса nv

Аналитические множества: локальное описание 87
в какой-то произвольно выбранной последовательности
можно так найти xnv?Sfx'n \, что хп^—>х0, то хо?яо и
•"•о ? "^о (хо)' поскольку множество SQ замкнуто в я0. Обо-
Обозначим через Хо множество предельных точек сходящихся
подпоследовательностей х„^, для которых х„ ?S0(x'n \; мы
показали, что XoczSo(x?). Теперь допустим, что Хо |S0/^):
тогда, так как множество So(x'o) конечно, должны суще-
существовать форма 1?(&~ и значение lQ ? / (SQ (х'^ \ — 1(Х0\
В силу условия (**), 10 — корень полинома RJx^, a\ и
каждый корень полинома RJx'^ a\ является значением
формы / в некоторой точке из SQ(x'\. Для каждого номера п
мы можем так выбрать корень 1(ХЛ полинома RAx'^ u\
xn^S0(x'r\, что 1(х\—>lQ; надлежащим образом выбранная
подпоследовательность хп^ сходится к точке х0 ? Хо, так
что 1(хо) = 10.
Мы пришли к противоречию. Тем самым мы доказали,
что если даны точка х0 ^ SQ(х'Л и последовательность [х'\,
где х'п —> х'о, то существуют такие подпоследовательность
\х'п ] и точки Xnv 6 So (х'„) Для всех номеров v, что хп^-+х0;
это справедливо для любой подпоследовательности последо-
последовательности [х'Л. если для каждого п существует такое
Xn€So(X'«)- ЧТ0 Хп~>Х0-
Итак, утверждение (Ь) части (А) доказано; из него вы-
вытекает утверждение (с).
(В) Для доказательства утверждения (а) сначала предпо-
предположим, что -з—Ri(x'0> I (хо)) ^ 0; тогда существует такой
открытый полицилиндр cooczno с центром в точке х0, что
(I) -з—Rt(xf, 1(х))=?0 при х ? соо; если даны х' ^ m'Q (про-
(проекции соо на С*), х^соо, то условие Rt(x', l(x)) = 0 опре-
определяет I(х) однозначно; (II) любая точка, принадлежащая соо.
является проекцией по крайней мере одной точки, принад-
принадлежащей «оП5 (последнее мы устанавливаем, используя
утверждение (Ь) части (А)). В силу предложения 2 (d), суще-
существуют такие псевдополиномы Хт (х', и), г = k -\- 1, . . ., т,
относительно и с коэффициентами, голоморфными в я', что

88 Глава III
j-Rt(x', l(x)) xr = Xr(x', l(x)) для любой точки
x ? (I SQ(xr), а следовательно, согласно (с) части (А), для
любой точки л:?50.
Тогда, в силу условий (I) и (II), любая точка х' ? G>g
является проекцией одной и только одной точки х {х') ? со0 П SQ\
положение этой точки непрерывно зависит от положения
точки х' (согласно утверждению (Ь) части (А)). Следовательно,
/ (х (х') ) — голоморфная функция х' на (о'0; последнее, в част-
частности, верно для каждой координаты точки х {х'): хт = gT {x')t
г = k-\- 1, ..., m. Так как пересечение со0 П 50 определяется
m — к уравнениями хт,== gT {х'), то х0 — регулярная точка
Щ) П $о> а значит и So, и множество So имеет в этой точке
размерность k; проекция на С* аффинного многообразия,
касающегося So в точке дг0, совпадает с Ck (см. пример в п. 2).
Обратно, пусть нам дано, что последнее условие вы-
выполнено. Тогда можно найти такой открытый полицилиндр
<оося0 с центром в точке д;0, что множество соо П $о будет
определяться m — к уравнениями xT = gT (xr), г == A-J-1, ..., ш,
где функции ^голоморфны в со^; при этом, если х' ? со^ П U'o,
то для одного и только одного номера j имеем х {х') ^
tt>j П 50, а остальные р — 1 точек лгG) {хг) принадлежат
(х>0. Следовательно, согласно утверждению (Ь) части (А),
при х' ? C0q П U'q и достаточно близком к x'Q эти точки будут
лежать в наперед заданной окрестности $0(х'Л f-^o]-
Возьмем l(z<&~ так. что I (-^о) С ' ("^о (-"-о) — {¦"'о} ): для
•^'б^оП^о КОРНЯМИ Ri(x'> и) (по определению этого псевдо-
псевдополинома) будут служить величины 1{х^\х')^. Поэтому,
когда х' —> х'о, одна из этих точек стремится к 1(х0), другие
р — 1 значений принадлежат lQ{SQ{x'^ — {jcq} ); итак, I (x^ —
простой корень псевдополинома R^x'q, «)•
Таким образом, утверждение (а) доказано; утверждение (Ь)
также доказано, так как (а:) вь полнено для ^0== л: (л:')- На-
Наконец, отметим, что так как s0 всюду плотно в 50, то
утверждение (с) будет доказано, если мы покажем, что
Sj = s0 П Sj связно.
с

Аналитические множества: локальное описание 89
Пусть Sj—связная компонента sv x'Q ? cOj П U'o. Допустим,
что q точек xG)(Xg) ? sv j — 1 д\тде 0 < q < р. Тогда;
если и^'сгсо^П^о — такая открытая связная окрестность х'о,
что все р отображений х —> х (х) оказываются в ней го-
голоморфными, то легко видеть, что x<kJ)(W)czs1, 1 <] jг <^ q,
тогда как x^J) (W) Q sx = 0 при ?+1 ^У "СР- Таким об-
образом, число q (д:') точек некоторой связной компоненты s,
лежащих над точками х' ? со' П U'o = <*>' П еОц, есть локально
постоянная функция х' на со' П U'Q- Так как, в силу теоремы 1,
множество C0j П U'Q связно, то число точек некоторой связ-
связной компоненты sx, лежащих над точками х' ^ cOj fl U'Qi
является одним и тем же для всех этих точек.
Пусть sx — некоторая связная компонента sx; предполо-
предположим, что над любой произвольно взятой точкой множества
C0j П ^о лежит ?(>0) точек s. Повторяя рассуждение, с по-
помощью которого в предложении 2 был построен псевдо-
псевдополином Rh(x', и), мы построим для каждой линейной
формы I над С™ псевдополином Rl {х'\ и) степени q отно-
относительно и с коэффициентами, являющимися голоморфными
функциями х' в coj. Для каждой точки х' ? cOj П U'Q голо-
голоморфная функция х—>Rt(x', 1{х)), по построению, обра-
обращается в нуль в ^(>0) точках х {х'). Следовательно,
согласно лемме 2, если точка х'? со^ П L^ достаточно близка
к точке о', то псевдополином Rt (x', и) обращается в нуль
при и=/(хG) (х')), у=1, ..., р. Но для любой точки
х' ? ojj П U'Q можно так выбрать форму /, что все величины
/(х (х')), /=1, .... р, окажутся различными. Следова-
Следовательно, число q, равное степени Rt, не может быть меньше р.
Итак, sx = s1 и sx—связно, что и требовалось доказать.
(С) R — это псевдополином Rt, соответствующий форме
/(х) = хй+1; Хг — это псевдополиномы. Хо из предло-
предложения 2 (d), соответствующие функциям А0(х) = хй+2 хт'>
таким образом, утверждения :(а) и (Ь) содержатся в пред-
предложении 2, утверждение (с) в лемме 3; нам остается до-
доказать только утверждение (d).

90 Г лав а III
В силу условия (**), R (х', хк+1)=0 для люэой точки х ? So;
в силу замечания 1 предложения 2, -з R(x', xk+1)xr—
— Л'г О', JfA+i):=O. r = k-\-2 от, для точки х ? SQ.
Таким образом, любая точка х ? \Jj So (x') удовлетворяет
условию A).
Обратно, если известно, что точка jc удовлетворяет
условию A), то, в силу условия (**), существует такая
точка x?S0(x'), что х и х имеют одни и те же первые &+ 1
координат. Так как каждая функция-^ R(x', xk+1)xr —
Хг{х', xk + 1) обращается в нуль в точках х и . х,
д R{x' х)ф
Ф О, то х = х .
Замечание 1. Согласно утверждению (а) части (В) мно-
множество точек х0 ? So, не удовлетворяющих условию (а2),
совпадает с множеством тех точек х ? So> для которых
-з— Rt (х', I (х) ) = 0 для любой формы / ? <&~'. Это будет
использовано (см. п. 2, гл. IV) при доказательстве того,
что множество нерегулярных точек аналитического множе-
множества есть снова аналитическое множество.
Из того же круга соображений: для каждого номера
г = к~\-\ т точка (х', xk±v .... хТ) ? С является
проекцией на С по крайней мере одной точки из SQ в том
и только том случае, если х' ? я^ и для каждой линейной
формы / на Сг Rt{x', 1{х', xk + l, ..., хг)) = 0. Это также
будет использовано в гл. IV, п. 1.
Замечание 2. В последней части доказательства тео-
теоремы 3 по существу дела устанавливается, что из условий
B)
m

Аналитические множества: локальное описание 91
вытекает, что х ? So. Так как из условий A) вытекают
условия B), то классическое локальное описание можно
сформулировать следующим образом (это оказывается по-
полезным): So является замыканием в я0 множества точек,
удовлетворяющих условию B).
В классическом локальном описании используются пред-
предположения части (С). Эти предположения можно сформули-
сформулировать следующими, эквивалентными предыдущему, способами.
(I) Хотя бы для одной точки х'?U'U (k-\- l)-e коорди-
координаты р точек x^J\x') все различны.
(II) Существует такое всюду плотное открытое подмно-
подмножество V множества Яд, что для любой точки х' ? V две
различные точки из SQ{x') имеют различные (k-\-l)-e ко-
координаты.
Действительно, если (I) имеет место, то б {х') ф О, со-
согласно утверждению (с) части (С), и условие (II) имеет место
для V' = (х' ? и'0\Ь(х')Ф 0]. Таким образом, мы видим, что
выполнение предположений части (С) не должно зависеть от
выбора множества щ. Наконец, если эти предположения
не выполняются для данного базиса в пространстве С™, то
так как сами р точек х {х') все различны для каждой
точки х' ? U'Q, мы можем найти такой новый базис в про-
пространстве О", в котором х1 xk остаются первыми k
координатами (благодаря чему этот базис остается /г-правиль-
ным для идеала /), для которого предположения части (С)
будут выполнены.
Замечание 3. Если р=\, то в силу утверждения (а)
части (В) каждая точка SQ является регулярной точкой So
и это множество имеет в этой точке размерность k.
Если k = m—1, т. е. если / — главный идеал (см. за-
замечание в п. 3), то в силу условия (**) SQ является мно-
множеством нулей псевдополинома R{x', xm) в я0, и в силу
утверждения (с) части (С) росток, порождаемый R {х'', хт)
в точке о, порождает главный идеал /.
Если k=\, p^>'2 и полицилиндр я0 выбран достаточно
малым, то 6 (л^) = 0 в том и только том случае, если ^ = 0,
т. е. если подмножество So, определенное условием A) или B),
есть So— {о}. В этом случае множество So может быть пара-
параметризовано с помощью параметра t — х\!р и представлено

92 Г лава III
с помощью уравнений:
здесь рх — первый радиус я0, функции gj голоморфны при
|*| <pi/' и ^.@>=0.
Следствие 1. Пусть S—аналитическое множе-
множество в открытом множестве U. Тогда любое компакт-
компактное подмножество из U может содержать только ко-
конечное множество изолированных точек в S.
Доказательство. Если справедливо противоположное
утверждение, то можно найти 1) точку из 5 (мы принимаем эту
точку за о —• начало координат); 2) аналитическое множе-
множество S' в некоторой открытой окрестности точки о, причем S'
порождает неприводимый росток S' в точке о; 3) последова-
последовательность изолированных точек S', сходящуюся к точке о. Идеал
/ (S') является простым, {0} ф 1Чг$в'т; тогда, в силу теоремы 3,
существует множество 50, совпадающее с 5' в некоторой
окрестности точки о и не имеющее, согласно утверждению
(Ь) части (А), изолированных точек.
Следствие 2. Если базис в пространстве С71
является k-правильным для простого идеала I в кольце
<з№т, {0} ф 15г ??6'т, и аналитическое множество S в не-
некоторой открытой окрестности точки о порождает
в точке о росток S7, то для любой точки a ?S, до-
достаточно близкой к точке о, базис в пространстве С
является k-правильным для идеала /(SJ в кольце ?№"а ,
т. е. величины х1 — а1 xk — ak обладают свой-
свойствами, указанными в определении 2.
Доказательство. Мы покажем, что для любой точки а
множества 50 теоремы 3 базис в пространстве С™ является
k-правильным для идеала /а в кольце ??6™, присоединенного
к ростку, порожденному в точке а множеством So. Пусть
а' — проекция точки а на С*: идеал в кольце S@T, поро-
порожденный 1а и функциями (х1 — ах) {xk — ak), опре-
определяет в точке а росток, порождаемый множеством 50(а')-
Этот росток совпадает с {а}, так как множество SQ{ar)
конечно. Итак, (Ia)k={Q], так как, согласно утверждению (Ь)
части (А), проекцией любой (малой) окрестности точки а в SQ

Аналитические множества: локальное описание 93
на пространство С* является окрестность точки а' в про-
пространстве С .
Замечание. В частности, базис в пространстве Ст
является ife-правильным для идеала /' = /(S7). Но /':э/ и
поэтому, в силу предложения 3, п. 3, /' = /, т. е. / = /E7).
Более прямое доказательство этого важного факта будет
дано в гл. IV (теорема 2 (а)).

Глава IV
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ
МНОЖЕСТВ
1. Непосредственные выводы из локального описания
Теорема 1 (А. Картан). Дано аналитическое мно-
множество S в открытом множестве U. Тогда для любой
точки aQ?U можно указать такое конечное семей-
семейство q?~q функций, голоморфных в открытой окрест-
окрестности VcU точки а0, что для любой точки a?V ростки,
порождаемые функциями из <&~0 в е%?™, порождают
в этом кольце идеал /а, присоединенный к ростку Sa.
Иными словами: пучок некоторого аналитического
множества когерентен (см. Н. Car tan, Bull. Soc. Math.
France, 78 A950), 29—64) i).
Доказательство. Оставляя в стороне несколько три-
тривиальных случаев и используя тот факт, что пересечение
конечного множества когерентных пучков есть снова коге-
когерентный пучок (см. указанную выше работу А. Картана,
стр. 41), достаточно показать, что существует такое конечное
семейство <^~0 функций, голоморфных на я0, что в любой
точке а ? я0, достаточно близкой к о, ростки, порожденные
в этой точке а функциями из <&~', порождают в кольце е%?%
идеал Iа, присоединенный к ростку, определяемому 50 в точке а
(мы сохраняем обозначения теоремы 3, гл. III).
Мы можем найти 1+(/>—1)(/я — k — 1) линейных форм
lt над С", /=1, ..., 1-+-(/>—1)("* — k—1), со следую-
следующими двумя свойствами:
(а) х1 xk и любые т — k форм из числа 1Ь — не-
независимы;
') По поводу понятия когерентного пучка см. также книгу:
Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций
многих комплексных переменных (Москва, Физматгиз, 1963), § 8
гл. II. — Прим. перев.

Локальные свойства аналитических множеств 95
(Р) существует такая точка х' ? Uq, что для любого но-
номера i все р значений lt {x{i) (xf)), I <! j < р, различны.
Для любых ? = 1 1 -\- {р — 1) (ш — k -\- 1) и
г = k -j- I m, мы обозначим через ^ г псевдополином,
построенный в предложении 2 (d), гл. III, причем h = lt
и Ло (л;) = хт. Функции Rx (xf, xT), Ri. (x'', lt (x)) и
-§Ij-Ri.(x',ll(x))xr-Xt,r(x', tt(x)). 1=1 1-Н/7-Г)Х
X (jn — k—1), /- = /г —j— 1, ..., m, составляют конечное се-
семейство c^"] функций, голоморфных в щ. Каждая из этих
функций обращается в нуль в любой точке х ? SQ (см. за-
замечание 1 к предложению 2, гл. III) и, следовательно, по-
порождают в точке а росток, принадлежащий Iа. Опуская
индекс а, мы обозначим эти ростки соответственно через
Для точки а ? So множество SQ(af)—{а} (где а' — про-
проекция а на С*) состоит не более чем из р — 1 точек. Произ-
Произвольно взятая точка этого множества (обозначим ее через а)
отлична от а, но имеет ту же самую проекцию а' на С*.
Учитывая еще условие (а), находим, что li{a) = li{a) для
не более чем m — k — 1 значений индекса I. Всегда можно
найти такое значение индекса /, зависящее только от а, что
/Да) ф h(a) Для любой точки а ? SQ (a')—{а}. В дальней-
дальнейшем индекс I предполагается выбранным указанным образом.
Для любого ростка f ? /а, в силу теоремы 2,
гл. II, существует такой полином X (xk+1, .... xm) ?
6 S%?ar [xh + i> • ¦ • > xm\ степени <рпо каждому из переменных
Xk+1, ..., xm, что f — X(xk+1 xm) является линейной
комбинацией ростков R_r (xr), г = k-\-i, .... m, над коль-
коль"
цом $в"а- Поскольку все эти ростки принадлежат идеалу 1а,
то и полином Х(хк + 1, .... хт) также принадлежит этому
идеалу. Мы можем положить

Г лава IV
где
является линейной комбинацией ростков -*—Rj Aг) хт —
— Хг> г (lj), r = k-\-l, ..., яг, над кольцом е%?а- Положим
Тогда ср Aг) ?1а и [g^- Rj. A/)] * — ср A,) есть линей-
линейная комбинация над кольцом &8™ ростков, порождаемых
в точке а функциями из <&~х.
Ростки ср Aг) порождаются в точке а функциями ф (xf, lt (x) ),
где ф {х', и) — псевдополином относительно и с коэф-
коэффициентами, голоморфными в некоторой открытой окрест-
окрестности точки а'\ включение ср Aг) ? /а указывает на то, что
ф (л:', /г (х)) — 0 в любой точке х ?SQ, достаточно близкой
к а. В силу утверждения (Ь) части (А) теоремы 3, гл. III,
это обстоятельство эквивалентно тому, что ф (х', и) = О,
когда Rl<xf, и) = 0 и точка {х', и) достаточно близка
к точке {a', lt{a)). Поэтому, в силу теоремы 6, гл. II,
каждый неприводимый (в кольце Stfa^i-ia)) множитель ростка
Rj.(m) (порожденного Rl.{x', и) в точке (а', /г(а))?С* + 1)
является делителем в кольце e%?t\\.(a) ростка ср («) (поро-
(порожденного ф (хг, и) в той же точке).
Но росток Rj (и) эквивалентен в кольце o%?a*,i.(a) от"
меченному псевдополиному А относительно разности и — lt (a),
который, в силу утверждения о единственности в подгото-
подготовительной теореме Шиэта — Картана, является делителем
Rj.(M) в кольце $ва' [в]. Благодаря условию (Р) дискрими-
дискриминант Rt.(u) отличен от нуля; поэтому необратимые и непри-
неприводимые сомножители А в кольце S^^,\. (а) или в кольце
[и — lt (а)] (см. п. 3, гл. II) взаимно неэквивалентны.

Л опальные свойства аналитических множеств 97
Так как Rj.(a) является делителем ср (и) в кольце S&%t~,\ ia)>
то R^(l/) является делителем ср A,-) в кольце J#™ и
Г д -i(P-l)(m-k)
-з—Rf-(lj) i является линейной комбинацией над
кольцом е%?% ростков, порожденных функциями из <^~х.
(Далее все ростки берутся в точке а; однако индекс а
в их обозначении опускается.) Имея в виду, что индекс I
зависит от выбора точки а, положим
[
Мы показали, что для любой точки а ? So и любого ростка
f ? Ia произведение fp является линейной комбинацией (над
кольцом е%?™) ростков, порожденных функциями из <&~\.
Теперь, в силу условия (Р)и замечания к лемме 3, п. 4, гл. III,
ростки, порожденные в точке о функциями -т—^.(jc', l((x)),
не могут принадлежать идеалу /. Так как / — простой идеал,
росток, порождаемый в точке о функцией р, не может при~
надлежать /.
Полицилиндр я0, рассмотренный в теореме 3, гл. III,
содержится в полицилиндре я, определенном в начале п. 4,
гл. III; идеал / порождается ростками, порожденными в точке о
конечным семейством функций, голоморфных в полици-
полицилиндре я0 и имеющих 50 множеством общих нулей. Примем
за g^"o=={Pv| l<Iv<Tn} совокупность этих функций и функций
из <^~1- Так как пучок соотношений между рт и р когерентен
(см. указанную выше работу А. Картана1)), то существует ко-
конечное число (обозначим его через s) таких систем голоморф-
голоморфных функций <p(ff), . . ., ф(ла), ф(а>, 1 < а ^ 5, в открытой
окрестности 1/сгя0 точки о, что
(I) 9(ja)Pj+ ... + ф(ла)рл + ф(а)р^О В У для любого а;
(II) для любой точки а ? V любая система ростков
tv .... in, f?3&2, такая, что flPl + ... +fnpn + fp = O,
') См. также книгу, цитированную в предыдущей сноске, п. 1,
§ 8, гл. II. — Прим. перев.

98 Глава IV
является линейной комбинацией (над кольцом J^™) 5 систем
ростков ^ff> у(о\ 9<а\ 1 <: а <[ s.
Тогда, согласно (II), для любой точки а ? V Л So любой
росток f ? Ia является линейной комбинацией над кольцом <§}в™
ростков ф(а), 1 <; а <>. Согласно (I), росток, порожденный
в точке о каждой функцией ф(а)р, принадлежит идеалу /.
Это же имеет место и для ростков, порожденных самими
функциями ф<а). Следовательно, в надлежащим образом вы-
выбранной открытой окрестности W cV точки о каждая функ-
функция ф(°) является линейной комбинацией pv, 1 .<; v <^ п.
В итоге для любой точки а ? W Л So любой росток f ? Ia
оказывается линейной комбинацией (над кольцом &%?%) рост-
ростков, порожденных в точке а функциями ? е?~о> это остается
справедливым для точек а ? W П CSO, так как по крайней
мере одна из функций ? </?~0 в этом случае не должна
равняться нулю в точке а. Теорема доказана.
Теорема 2 (а). Если I—простой идеал в кольце &??"",
то идеалом, присоединенным к ростку S7, является
сам идеал /, следовательно, росток Sf — неприводим.
(Ь) Если I—произвольный идеал в кольце ??6т, то
идеалом, присоединенным к ростку S;, является rad /.
Доказательство, (а) Очевидно достаточно рассмот-
рассмотреть случай, когда {0} ф /Яг <?№' . Предположим, что росток
h ? ?ЙЗт обращается в нуль на ростке аналитического мно-
множества SD = S/ (мы сохраняем обозначения леммы 1, п. 4,
гл. III). Тогда росток h, в частности, удовлетворяет тре-
требованиям леммы 2 и, следовательно, /(S7)cr/. Так как вклю-
включение Id.(S/) имеет место для любого идеала / кольца е%>'т,
утверждение (а) доказано.
(Ь) Пусть / — произвольный идеал в кольце &%?т- Мы
можем снова предположить, что {0} ф 1' Ф <§№' . Прежде
всего мы покажем, что S/ = Srad/- Действительно, Srad/c:S/,
так как /crad /. Для любого ростка f ? rad / существует
такое целое число я^>1, что F = i" ? /. Следовательно,
Sjcr.SF = Sf. Итак, SjCSf для каждого ростка f ? rad /.
Следовательно, S/c:Srad/ и поэтому Srad/ = S/.
Предположим сначала, что / — примарный идеал. Тогда
rad/ является простым идеалом; следовательно, в силу (а)

Локальные свойства аналитических множеств 99*
присоединенным идеалом к ростку S/=Srad/ является rad/.
Итак, утверждение (Ь) доказано, если / — примарный идеал.
Теперь предположим, что /—произвольный идеал
п
в кольце S?6m. Тогда идеал / = ПУ;, где Jt — примарные
/= 1
п
идеалы (см. п. 2 (d), гл. II), S7 = IISy. (см. предложе-
ние 1, п. 8, гл. II). С ледовательно (см. предложение 2, п. 8, гл. II)
так как Jt — примарные идеалы, а радикал пересечения ко-
конечного множества идеалов (в любом кольце) есть пересече-
пересечение их радикалов. Теорема доказана.
Следствие 1. Следующие утверждения эквива-
эквивалентны для произвольного идеала кольца е%?т:
A)/—rad/; B) /=/(S7); C) /=/(S) для некоторого ростка
аналитического множества S в точке о.
Следствие 2. Следующие включения эквивалентны
для двух произвольных идеалов I, У кольца &%?т'- A)
S/cS/ B) rad7c:rad/.
Этот результат содержит предложение 1, п. 4, гл. III.
Если <з№т — нётерово кольцо, то из теоремы 2 (Ь) для
него легко получается
Следствие 3 (теорема Гильберта о нуляхJ)). Для
любого идеала I кольца <=%"" можно указать такое
целое число «(/) = «> 0, что если росток \^<Шт обра-
обращается в нуль на Sj, то f"?/.
Теорема 3. Пусть S—аналитическое множество
в открытом множестве UcCm и a?S. Тогда суще-
существует открытая окрестность VczU точки а со следу-
следующим свойством: для любого аналитического мноокества
S' в U из включения Sa гэ Sa вытекает, что S'zzV [\S.
Доказательство. Очевидно, мы можем принять, что
{a}5=Sa = S=?C?- Тогда, если Тг, Т2, Т„—неприво-
Т„—неприводимые компоненты S, то {a} S- Т;- ф С^. Следовательно,
согласно теореме 3 (В), гл. III, для каждого индекса
') По-немецки „Nullstellensatz"

300 Глава IV
/A < j ^ п) можно найти такую открытую окрестность
VjCzU точки а и такое аналитическое множество Tj в Vj,
что: (I) аналитическое множество Tj порождает росток Tj
Ъ точке а; (II) Tj содержит всюду плотное связное подмно-
подмножество tj, все точки которого являются регулярными точ-
точками Tj.
Теперь предположим, что S' — аналитическое множество
в U и Sa=3Sfl. Тогда S^isT. для любого /, 1 <С j =C Р< и>
следовательно, S'bZD(TЛ для всех точек b?t , достаточно
близ- -с к В силу предложения 3, п. 2, гл. III заключаем,
что > ,"lVy- tj. Так как множество S' fl Vj замкнуто в Vj,
а множество tj всюду плотно в Tj, то S'zdTj. Наконец,
л
так как S = М Ту-, то существует такая открытая окрест-
лость VcrfjVy точки а, что 5nV = Kn( (J7'')' Тогда
•очевидно, что S'raSnV'. Теорема доказана.
Следствие 1. Пересечение любого семейства
аналитических множеств в открытом множестве
-UсСт снова является аналитическим множеством в U.
Доказательство. Так как семейство конечных пере-
пересечений элементов множества <&~ имеет то же пересечение,
что и само <&~, и является убывающим фильтром (иначе,
фильтром слева) по отношению к включению, то мы можем
принять, что и само семейство <&' является убывающим
фильтром. Тогда для любой точки а ? U семейство идеалов
{/(Sa)}s,^- в кольце е%?™ в свою очередь является возра-
возрастающим фильтром (иначе, фильтром справа) по отношению
к включению. Так как <з№™ — нётерово кольцо, то
/= (J /(Sa) — снова идеал в кольце <э%?™, принадлежащий
семейству идеалов {/(Sa)}s^?r. Пусть /=/(Тд), где Т
Тогда для каждого аналитического множества S ? <&~ будет
/гэ/(8д) и, следовательно, TeczSa. Поэтому, по теореме 3,
найдется такая окрестность VCU точки а, что SzDTf[V
для каждого множества S?<&~. Следовательно, если

Локальные свойства аналитических множеств 101
So= f\ S, то (So П V)=>T'f\ V. Так как Т ? <^г, то 50 П'V =
= Г П V. Так как Т f\V является аналитическим множеством
в V, то, в силу локального характера определения анали-
аналитического множества в U, множество So является аналити-
аналитическим в U.
Замечание. В действительности мы получили более
сильный результат: если семейство ^~ аналитических мно-
множеств в U составляет убывающий фильтр, то для каждого
компактного подмножества /Cert/ существует такое аналити-
аналитическое множество Г ? <&~, что
)nK = T{]K. ^ "¦¦¦ pi
У
/ fj
\S?<5
Отметим, что для произвольного объединения аналитических
множеств в открытом множестве UcCm можно лишь утвер-
утверждать, что объединение локально конечного семейства ана-
аналитических множеств в U снова является аналитическим
множеством в U.
Следствие 2 (Реммерт). Пусть S—аналитическое
множество в открытом множестве U, причем базис
в пространстве Ст выбран так, что начало о является
изолированной точкой аналитического множества
S{\[{xv ..., хт) | хх = ... =л:г = 0}, где г — некоторое
целое число, 1 <1 г ^ т—1. Тогда существует такая
последовательность полицилиндров Рп с центром
в точке о с радиусами, монотонно стремящимися
к нулю, что проекция S[\Pnna С является {для любого
номера п) аналитическим множеством в проекции Ря
на С.
Доказательство (мы пользуемся далее обозна-
обозначениями теоремы 3, гл. III). Проекцией SQ на С* является
полицилиндр n'Q. Для каждого г = k~\- I, .... т множество
E0)г (проекция 50 на С), согласно замечанию 1 к теореме 3,
есть множество общих нулей в (ло)г (проекции л0 на Сг)
некоторого семейства функций, голоморфных в (яо)г. В силу
следствия 1 из нашей теоремы, (S0)r оказывается аналити-
аналитическим множеством в (ло)г.
Пусть k < г <^т— 1. Тогда для любых данных чисел
рг- > 0, i = г -{- 1, . . ., т, .можно указать такую окрестность
8 М. Эрве

102 Глава IV
Wcr(jto)r точки ог, что из включений: (проекция х на С) ? W
и х ? So вытекает, что | -*:,-1 < р*. / = г -f- 1 /и. В этом
случае для любого открытого" множества состй^ в Сг про-
проекция на Сг множества
{x6S0| (проекция х на С) ? со,
1, . - ., \хт\
есть аналитическое множество в со; эта проекция совпадает
с самим множеством со, если г = k, или с множеством со П
если r = k-\-\, ..., т—1.
Теперь предположим, что множество 5 и базис в про-
пространстве Ст удовлетворяют условиям, указанным в след-
следствии 2, и что все ростки берутся в точке о- У нас БфСт
и мы можем принять, что {o}S-S; хг, ..., хг удовлетво-
удовлетворяют условию А предложения 1, п. 3, гл. III для идеала /(S)
и тем более для каждого идеала /(Ту), _/=1, ..., п, где
Ту — неприводимые компоненты S. Так как /(Ту) — простой
идеал и {0} Ф /(Ty)S- <§№' > то можно (повторяя рассужде-
рассуждение, использованное в предложении 2, п. 3, гл. III), изме-
изменяя только порядок векторов, составляющих базис в про-
пространстве Сг, найти в- пространстве Ст базис, Ау-правиль-
ный для каждого идеала /(Ту) (здесь j = 1, ...,«, 1 ^ kj <^r).
Тогда для данных чисел рг+1 > 0, . . ., рт > 0 и каждого
/=1 п мы сможем найти: (I) открытую окрестность
Vj cr U точки о и аналитическое множество Т в V, поро-
порождающее росток Ту в точке о; (II) окрестность Wу точки
ог в Сг, такую, что для каждого открытого множества сое Wy
в Сг проекция на пространство Сг множества {jc?Ty| (про-
(проекция х на С) 6 е0' I xr+i\ <Pr+v ¦ • •Axm\<Pm) является
аналитическим множеством в о. Наконец, в этом случае суще-
п
ствует такая открытая окрестность VczfiVj точки о, что
j
Возьмем теперь в качестве со открытый полицилиндр с цен-
центром в точке ог в пространстве Сг (в базисе, используемом

Локальные свойства аналитических множеств 103
в пространстве Ст), содержащийся в пересечении
/ = i
Тогда, если рг+т_ ргп, о выбраны достаточно малыми,
то полицилиндр
Р—[х\ (проекциях на С) ? со,
К+1| <pr+1 |*
содержится в V и обладает требуемым свойством.
Замечание. Если базис в пространстве С" является
/¦-правильным для идеала /(S), то для каждого п проекция
пересечения 5 ("J Рп на пространство Сг совпадает с проек-
проекцией Рп. Обратно, если это так для любых п, то базис в
пространстве С" является г-правильным для идеала /(S).
Теорема 4 (Реммерт — Штейн). Пусть U—открытое
множество, LSd) — аффинное d-мерное подмногообразие
(— 1<й?</и— 1) в Ст, причем ?(~1)=0 (по опреде-
определению). Тогда всякое аналитическое множество S
в U Г)с Hd) или дискретно, ила содержит точки, как
угодно близкие к границе dU множества U в Ст (если
множество U неограниченно, то его граница dU со-
содержит бесконечно удаленные точки, присоединяемые
к пространству Ст).
Доказательство ведется индукцией по т. Теорема
очевидна, если т = 1. Предположим, что т > 1.
(I) Достаточно доказать теорему для d = m — 1. Действи-
Действительно, предположим, что теорема в этом случае верна и
возьмем d < т— 1. Допустим, что в этом случае существует
неизолированная точка а ?5. Пусть L такое аффинное
подмногообразие в Ст, что l}d)cL(m-X) и a<?l}m~X). Тогда
5' = S П с L(m~l) — аналитическое множество в U П cL(d) П
fl cL<:m~1)= U П cL<ra~1). Оно содержит неизолированную
точку а. Следовательно, S' содержит точки, как угодно близ-
близкие к границе dU.
(II) Очевидно мы можем предположить, что S — ограни-
ограниченное множество и что S (совокупность внутренних точек S)
пусто. Действительно, если Бф 0, то 5 обязательно содер-
содержит целиком какую-нибудь связную компоненту пересечения
U (]c L^dK а следовательно, и точки, как угодно близкие к dU.
8*

104 Глава IV
Наконец, мы можем предположить, что 5 целиком состоит
из неизолированных точек. В силу следствия 1 из теоремы 3,
гл. III, множество изолированных точек S локально конечно
и, следовательно, множество неизолированных точек 5 снова
является аналитическим множеством в U ("Iе L(d); оно целиком
состоит из неизолированных точек.
Таким образом, нам достаточно рассмотреть случай, когда
5 — ограниченное, нигде не плотное непустое аналитическое
множество в U fl cL(m~4 целиком состоящее из неизолиро-
неизолированных точек. Пусть l^-V = L = {х ? Ст | А (х) = О},
а = sup | А (х)\. Тогда 0 ¦< а ¦< оо. Наконец, пусть \хп}—
такая последовательность точек 5, что | А (х„)[—*• а. Так как
множество S замкнуто, мы можем предположить, что после-
последовательность {хп} сходится к некоторой точке xo?U.
Если хо?д&, теорема доказана. Рассмотрим случай, когда
х0 ? U. Так как х0 ? CL, то х0 ? S. Пусть L'={x?Cm\A (x)=
= А(х0)}. Тогда в множестве U' = L'{\U (рассматриваемом
как открытое множество в пространстве С) S' = 5 П L'
есть аналитическое множество; у нас L П L' = 0 и, следо-
следовательно, U' =¦ (U Пс L) П L?. Мы покажем, что л:0 — неизоли-
неизолированная точка S'. Тем самым будет доказано и утверждение
нашей теоремы. По допущению индукции S' содержит точки,
как угодно близкие к границе dV множества U' в L' и
dU'cdU.
Докажем, наконец, что л;0 — неизолированная точка S'.
Действительно, покажем, что росток, порожденный в точке л;0
функцией А' = А — А (х0), обращается в нуль на S^o. Если
TczS — аналитическое множество в некоторой окрестности
точки х0 и порождаемый им в л;0 росток является неприво-
неприводимой компонентой S^o, то в силу предложения 2 (с), п. 4,
гл. II, или А'Хл обращается в нуль на T^o, или значения А' (Т)
заполняют всю окрестность точки 0 в С (так как л;0 — не-
неизолированная точка S, то {хо} Я:ТХо). В этом случае значе-
значения A (S) образуют окрестность А (х0). Но это невозможно,
так как | А (хо)\ = sup ) А (х)\. Следовательно, AXi обра-
щается в нуль на S^o. т. е. S^-o == S^u. Итак, мы показали,
что х0 — неизолированная точка S; тем самым доказана наша
теорема.

Локальные свойства аналитических множеств 105
Отметим, что из доказанной теоремы вытекает
Следствие 1. Компактное аналитическое множе-
множество в открытом множестве пространства Ст конечно.
Используя это, можно получить следующий результат,
найденный в случае т = 1 Риттом.
Следствие 2. Пусть U — связное открытое мно-?
жество в Ст и F — голоморфное отображение U—>K,
где К — компактное подмножество U. Тогда отобра-
отображение F имеет одну и только одну неподвижную точку.
Доказательство. Так как F (U) a U, то мы можем по-
построить итерации Fп отображения F: Fx = F, Fn=F о Fп_х для
я>>1. Очевидно, что все Fn являются голоморфными отображе-
отображениями U в К. Так как К—компакт, координаты всех Fn(x),
х ? U, равномерно ограничены. Следовательно, можно найти
такую строго возрастающую последовательность индексов nk,
что последовательности {/^лЛ и \Fa _„ Л голоморфных
отображений будут сходиться (сходимость определяется по
отношению к координатам) в U и будут равномерно схо-
сходиться на каждом компактном подмножестве О (см. п. 3, гл. I).
Пусть F': U —> U и F": U —> U — соответствующие предель-
предельные отображения. Тогда F' и F" — голоморфные отображе-
отображения и F'(U), F" (U)czK. Из соотношений
вытекает, что F'' = F" ° F''. Следовательно,
Очевидно, что Sp» — аналитическое множество в U и
SF-cF"(U)czK. Следовательно, множество Sp» компактно.
Тогда, в силу следствия 1, Sp» — конечное множество,
а вместе с ним является конечным и множество F'(U). Но
F'(U) — связное множество и,, таким образом, оно состоит из
одной точки; обозначим ее л;0. Итак, F': х —> х0 — постоян-
постоянное отображение. Покажем, что л;0 — единственная непод-
неподвижная точка F. Во-первых,
F (х0) = F {F' (х0) ) = lim F (F,, (х0)) =
= lim Fn. (F (xo) ) = F'{F (x0) ) = xQ,
R

106 . Глава IV
итак, л:0 — неподвижная точка F. Во-вторых, для любой
точки х ? U из равенства х = F (х) вытекает: х = F' (х) = х0,
что и требовалось доказать.
Следствие 3. Пусть S^o — аналитическое множе-
множество в открытом множестве U, Ах Ak (I ^ k -^
-^ т— 1) — такие независимые линейные формы над С",
что начало о является изолированной точкой анали-
аналитического множества
{х ? S\ Ах {х) = ... = Ak (х) = 0}.
Тогда существуют такие 1) окрестность VcU точки о,
2) окрестности Wj точек Aj (в дуальном простран-
пространстве С771), 7=1, .... k, что для любой системы а ? S П V,
Ai ^ W\, .... Ak 6 H^fe <* является изолированной точкой
аналитического множества
{х 6 S\ А[ (х) — А[ (а) = ... = 4 (х) — ^; (а) = О}.
"
Доказательство. Пусть векторы ?fe+i, .... ^m ^ С
составляют базис в (т—&)-мерном многообразии L =
= {л: ? Ст| Л1 (х) = ... =Л6(д;)==0}. Наше утверждение
будет доказано, если мы найдем такое число а >> 0, что при
У«и€С и 0 < |yfe+1|2+ ••• +|Ут|2<а2 будет
••• + утвш ^ У — 5. Так как множество
(соответственно ^ а2)}
компактно, то существуют такие 1) окрестность VcU
точки о; 2) окрестности Vj векторов е}-% где j = А -)- 1 т,
что из включений а ? V, e'k+A?Vk+v .... е^ ? Vm вытекает
включение а + Уй+1^+1 + ••• + Ут^т 6 U — «5 (соответ-
(соответственно ? U). Наконец, каждая форма Aj, /=1, .... k,
обладает в дуальном пространстве такой окрестностью Wj,
что для любых А) ? Wj, J=\, .... k, можно найти век-
векторы e'k ? Vk+v ' ' "' е'т € ^m> составляющие базис в много-
многообразии L' = (л: ? Ст | Лх (л:) = ... =A'k(x)=6}.
Пусть векторы e'k+l^Vk + y .... е'т?Ут образуют базис
в многообразии L', соответствующий некоторым данным
a^SfiV, A'x^Wi, A'k?Wk. Тогда точки у ==
Л ••• +Уте'т (ДЛЯ \ 2

Локальные свойства аналитических множеств 107
... -h|ym|2<«2) образуют открытое множество У в про-
пространстве Ст~ и {у ? У\ а -|— у 6 ^} — аналитическое мно-
множество в К, содержащее начало координат; оно не может
содержать последовательности, сходящейся в какой-либо
точке границы дУ. Тогда, согласно теореме 4, начало про-
пространства Ст~ является изолированной точкой этого анали-
аналитического множества, т. е. а — изолированная точка множе-
множества {x?S\x— a?L').
2. Регулярные точки и размерность.
Теорема 5. Множество S* регулярных точек ана-
аналитического множества S (в открытом множестве
t/crC") всюду плотно в S.
Доказательство. Пусть а — нерегулярная точка S.
Тогда {а} ф Sa = S ф С". Пусть Tv . . ., Т„ — неприводимые
компоненты S. Тогда {а} Ег Т^ ф С™ (/== 1 «)• В силу
теоремы 3(В) главы III можно указать такую окрестность VcU
точки а и аналитические множества Tj в V, что (I) Tj по-
порождают ростки Tj в точке а (/—1, .... п.); (II) каждое
множество Tj содержит всюду плотное подмножество tj,
целиком состоящее из регулярных точек Tj, той же самой
размерности, что и Г;-; эту размерность мы обозначим через kj
A <*у<«— 1, 1 </<«); (HI) U Tj = S(] V. Если я=1.
наше утверждение доказано. Пусть л> 1,7'}= [J Гу. По оп-
ределению неприводимой компоненты для каждого индекса J
и любой открытой окрестности WcV точки а имеем
Tj П W cfc-T ] П W-- Отсюда, так как tj{\W всюду плотно
в Tj[\W и 7"у П W замкнуто в W, вытекает, что tjflWcfi
ф Tj П W. Для каждой точки х 6 (О П Щ П с Г} имеем S^ =
= (Ty)JC; следовательно, jf — регулярная точка 5 и множе-
множество S имеет в точке х размерность kj. Таким образом»
в любой окрестности точки а содержатся регулярные точки S;
теорема 5 доказана.
Замечание. В процессе доказательства теоремы 5 мы
установили, что для каждого числа kj, l^.J^n, можно

108 Г лава IV
в любой окрестности точки а указать такие регулярные
точки S, в которых множество 5 имеет размерность kj.
Определение 1 (а). Пусть S — аналитическое мно-
множество (в открытом множестве UczCm), S* — множе-
множество регулярных точек S. Тогда
dimaS = lim dim^ S
л-с 5*, х->а
(в силу теоремы 5 dima5 определена в каждой точке a?S,
и мы имеем 0 ^ dima 5 ^ /и).
Замечания. A) В точках 5* новое определение раз-
размерности дает ту же величину, что и прежнее определение.
B) Если аналитические множества S п Т порождают
один и тот же росток в точке a?S(]T, то dima S = dima Г.
Поэтому эквивалентно предыдущему
Определение 1(Ь). Если S — непустой росток
аналитического множества в точке а?Ст, то размер-
размерность S — это размерность в точке а любого анали-
аналитического множества, порождающего росток S
в точке а.
C) dimS = tfi в том и только том случае, если
S = С1".
D) dimSa = 0 в том и только том случае, если
Sa={a}. Это вытекает из следствия 1 теоремы 3, гл. III.
Так как размерность аналитического множества в любой
точке определяется его размерностями в регулярных точках,
то из предложения 1, п. 2, гл. III вытекает
Предложение 1. Пусть F — взаимно однозначное
биголоморфное отображение открытого множества
UczCm на открытое множество VczC'ra. Тогда для лю-
любого аналитического множества S в U и любой точки
dima 5 = dim^e)/7 (S).
Мы теперь рассмотрим неприводимые ростки аналитиче-
аналитических множеств.
Предложение 2 (а). Если I — простой идеал в @7вт,
{0}.ФI ^ S6'm и базис в пространстве Ст является
k-правильным для I, то k = dim S7 (в частности, число k
единственным образом определяется идеалом I).

Локальные свойства аналитических множеств 109
Доказательство. В силу теоремы 3(В), гл. III, в не-
некоторой окрестности л0 точки о существует аналитическое
множество 50> порождающее росток S/ в точке о, и всюду
плотное подмножество s0 множества So, состоящее из всех
регулярных точек So. Размерность s0 равна k\ следовательно,
dim^.50=:A для каждой точки x?S0, в частности сНто5о==&,
что и требовалось доказать.
Следствие. Неприводимый {непустой) росток ана-
аналитического множества в том и только в том случае
имеет размерность т—1, если он является ростком
главного аналитического множества (см. замечание в п. 3,
гл. III).
Предложение 2 (Ь). Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве (JczCm, порождающее
неприводимый росток в точке о ?S. Тогда существуют
такие окрестность V(czU) точки о и базис {V п) для
совокупности открытых окрестностей точки о, что S
имеет одну и ту же размерность во всех точках V{\S
и все пересечения Vп П S* являются связными (га = 1,
2, 3, . . .).
Доказательство. Если S = {о} или С", наше утвер-
утверждение очевидно. В других случаях {0} ФI (S^eft?' и тео-
теорема 3 (В), гл. III оказывается применимой так же, как
в процессе доказательства предложения 2 (а).
Следствие. В условиях, указанных в предложе-
предложении 2 (Ь), все достаточно малые окрестности точки о
пересекаются точно с одной связной компонентой S*.
Предложение 2 (с). Пусть S. S'— неприводимые
непустые ростки аналитических множеств а точке о.
Если S'cz.S, то dim S' -< dim S; если S' <~ S, то dim S' <
< dimS.
Доказательство. Если S = Cm или S'={o} — ут-
утверждение очевидно. Если {о} 5 S' cz S ф Ст, то {0} ф
ф I (S) cz /(S') 2 <2%>'т• Следовательно (см. замечание 3 к опре-
определению 2, гл. III) в пространстве Ст существует базис,
являющийся k-правильным для идеала / = /E) и А'-пра-
вильным для идеала // = /(S')) k'^ik. Если S'9S, то
/(SM^(S')> следовательно, k' < k (см. предложение 3, п. 3,
гл. III). В силу предложения 2 (a), /
что и требовалось доказать.

ПО Глава IV
Теперь мы рассмотрим приводимые ростки.
Предложение 3. Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве U с Ст и росток
S = Sa — приводим; пусть Т: Тя (га ^ 2) — непри-
неприводимые компоненты S. Тогда существуют A) откры-
открытая окрестность V(czU) точка а; B) аналитические
множества Тх, .... Тп в V, порождающие ростки
Tj, ..., Тп в точке а, такие, что:
п
(a) VnS—{jTy, в любой точке x?Tj, j=\ п,
dinv,. Ту = dim Tj
(мы обозначаем эту величину через kj).
(b) Пусть Tj — множество регулярных точек Tj и
Tj = If 7" у . Тогда существует такая открытая окре-
стность W czV точки а, что точка x?W в том и
только в том случае принадлежит S*, если для одного
(U точно для одного) из номеров J A <;/<!«) имеем
X^Tj(\cTj\ в этих условиях dimxS = kj (каждое мно-
множество Tjf]cTj пересекается с любой окрестностью точки а,
согласно определению неприводимой компоненты ростка
аналитического множества).
(c) Для каждого индекса /, 1 ^ j ^ га, можно ука-
указать такую достаточно малую окрестность Wу а V
точки а, что множество Wjf\Tjf]cTj является связ-
связным и всюду плотным в Wj fl Tj.
Доказательство. Согласно предложению 2 (Ь),
можно найти такую окрестность V и такие множества Tj,
что утверждение (а) будет выполнено для всех индексов /,
1 -^ / ^п- В силу того же предложения, существуют такие
(как угодно малые) окрестности Wj с V точки а, что мно-
множества Wj П Tj ЯВЛЯЮТСЯ СВЯЗНЫМИ.
п
(Ь) Пусть W a |"j Wj ¦¦—открытая окрестность точки а
/ = i
и точка х ? W П 5*. Тогда росток Sx неприводим. Так как
V П 5= U Tj, то для какого-то у, 1 < у < га, Sx = (ТД
1-х

Локальные свойства аналитических множеств 111
(ростку, порождаемому множеством Tj в точке л:). Следо-
Следовательно, x?Tj. Теперь допустим, что x?T'j. Пусть х ? Tj •,
/ Ф J. Так как (Ту)* <=. Sx=(Tj)x и Ту всюду плотно в Т},
то существует такая точка у ?Ту f\W, что (Т/')у сг (Ту)у.
Так как множество Ту Л Wy связно, то, в силу предложе-
предложения 3, п. 2, гл. HI, T*'(]Wj' czTj[)Wj'. Наконец, отме-
отметим, что множество Tj-f\Wj> плотно в TjflWji, a Tj[\Wj>
замкнуто в Wj- и, следовательно, Ту Л Wji a Tj П W j>. Но
последнее невозможно, так как Ту и Т;- —различные не-
неприводимые компоненты S. Итак, мы доказали, что если
X ? W Л 5*, то л: ? Г,- Л С7"у Для одного из значений /. Обрат-
Обратная импликация (при х ? W) является очевидной. Таким
образом, утверждение (Ь) доказано.
(с) Будет доказано, что множество Wj Л Tj Л ° Т) плотно
в Wj Л Tj, если мы покажем, что оно плотно в Wj Л Tj.
Допустим, что множество Wj Л Tj Л ° Тj не плотно в Wj Л Tj.
Тогда существует такая точка х ? Wj П 71*-, что (Т,-)^ с: (Ту)^.
Рассуждая так же, как при доказательстве (Ь), используя
предложение 3, п. 2, гл. III и связность множества Wj[]Tj,
мы придем к заведомо ложному выводу: Tj Л Wj cr Tj Л Wj.
Наконец, отметим, что, в силу предложения 4, п. 2,
гл. III, множество Wj Л Т/ Л с Tj является связным множе-
множеством: WjC[T* = (WjC[Tj) связно и T'JnWJJbWJn7tj.
как мы показали. Итак, предложение 3 доказано.
Теперь мы укажем на некоторые выводы, которые не-
непосредственно вытекают из предложения 3. Мы сохраняем
все обозначения и предположения этого предложения.
Выводы из предложения 3 (Ь). 1) Точка х ? W
в том и только в том случае является нерегулярной точкой 5,
если она является нерегулярной точкой одного из множеств Tj
или точкой пересечения по крайней мере двух Tj.
2) Для любой точки х ? W размерность dim^. 5 равна
одному из целых чисел kj, a dima 5 = sup kj\ размерность
i < j < л
ростка аналитического множества равна размерности его не-
неприводимой компоненты, имеющей наибольшую размерность.
В частности

112 Глава IV
3) Размерность непустого ростка главного аналитического
множества всегда равна т—1; росток аналитического мно-
множества имеет размерность т — 1 в том и только том слу-
случае, если одна из его неприводимых компонент является
ростком главного аналитического множества.
Выводы из предложений 3 (Ь) и 3 (с).
4) Если х ? W Л S*, то х ? W} Л Т*} П СТ) в точности для
одного номера j, 1 -^ j <^ п. Так как Wу П Т-} Л.с Тj — связное
подмножество множества 5*. то через окрестность W точки х
проходят самое большее п связных компонент 5*. Отсюда
вытекает, что семейство всех связных компонент 5* локально
конечно в S (а следовательно, и в U). Этот результат
содержит в себе следствие 1 из теоремы 3, гл. III.
Следствие 1 (а). Если S' и S — аналитические
множества в открытом множестве U cz Cm, S' с S, то
dima 5'^ dima 5 в каждой точке а ? S'. (b) Если S и
S' — непустые ростки аналитических множеств в точке
а?Ст, то при S'cz S всегда dim S' <; dim S. (с) Если
в (Ь) росток S неприводим, то при S'5S всегда
dim S' < dim S. (d) Если в (b) dim S' = dim S, mo S и S'
имеют по крайней мере одну общую непустую непри-
неприводимую компоненту, (е) Если Ъх, .... Sn — непустые
ростки аналитических множеств в точке а ?Ст и
п
S— ilS,-, то dimS— max dim Sy.
Доказательство. Утверждение (а) вытекает из ут-
утверждения (Ь).
(Ь) Пусть Т' — одна из неприводимых компонент ростка S'.
Тогда при S'cz S всегда Т'cz Т, где Т — одна из неприво-
неприводимых компонент ростка S. Согласно предложению 2 (с),
dim T'^ dim Т. Так как dim S' и dim S—наибольшие из
размерностей неприводимых компонент этих ростков, утвер-
утверждение (Ь) доказано, (с) доказывается аналогично. У нас
S'SrS, Т' 5 S для каждой неприводимой компоненты Т'
ростка S'. Следовательно, согласно предложению 2 (с),
dim T' <C dim S. Отсюда вытекает утверждение (с).
(d) вытекает из (Ь); мы должны лишь опять воспользо-
воспользоваться тем, что размерность ростка аналитического множе-

Локальные свойства аналитических множеств 113
ства равна наибольшей размерности его неприводимых ком-
компонент.
(е) Пусть
неприводимые компоненты Sy, 1 ^ у ^ п. Тогда легко
п
видеть, что неприводимыми компонентами S= IJ Sy являются
те и только те S(l), для которых включение S((MS(l>) не
имеет места ни для каких /'. Следовательно, dim S =
= max dim S(I) = max dim Sy, что и требовалось доказать.
1<1<?„ 1 < j < п
Следствие 2. Пусть S и. S' — аналитические мно-
множества в открытом множестве U cz С, S' cz S. Пред-
Предполагается, что в некоторой точке a?S' росток Sa
неприводим и Sa Ф Sa- Тогда существует такая откры-
открытая окрестность W cz U точки а, что Sx Ф- Sjr, если,
х ?W П S' (следовательно, множество W П E — S') всюду
плотно в W П 5).
Доказательство. В силу предложений 2 (Ь) и 3 (Ь),
существует такая открытая окрестность W cz U точки а,
что при х ? W П 5 dim Sx = dim Sa, причем при х ? W П 5'
dim Sjr^! dim Sa. Так как, согласно следствию 1 (с), dim Sa •<
< dim Sa, то dim Si < dim S^r в каждой точке x?Wf\S'.
Итак, Sx Ф Sx, что и требовалось доказать.
Следствие 3 (а). Пусть S — непустой росток ана-
аналитического множества в некоторой точке а ? Ст.
Тогда dim S <^ т — 2 в том и только в том случае,
если S не содержит непустого ростка главного анали-
аналитического множества в точке а.
Доказательство. Любой непустой росток главного
аналитического множества имеет размерность т.— 1. Поэтому,
согласно следствию 1 (Ь), если dim S ^ пь — 2, то S не
может содержать непустого ростка главного аналитического
множества.
Покажем, что когда dim S ~^- т— 1, S содержит непустой
росток главного аналитического множества. В этом случае
мы можем, не нарушая общности, положить dimS = /n—1.
Так как тогда по крайней мере одна из неприводимых

114 Глава IV
компонент S имеет размерность т— 1, мы получим наше ут-
утверждение, применив следствие из предложения 2 (а).
Из наших результатов вытекает, что теорему 2 (Ь), п. 1,
гл. III можно иначе сформулировать следующим образом:
Теорема. Пусть S—аналитическое множество в
открытом множестве UczCm, m^-2, dimx S^_m— 2 во
всех точках x?S. Тогда каждая функция, голоморф-
голоморфная на U — 5, может быть и притом единственным
об разом голоморфно продолжена на все множество U.
Следствие 3 (Ь). Аналитическое множество S в
открытом множестве U а Ст является главным анали-
аналитическим множеством в том и только том случае,
если dimxS = m—1 во всех точках x?S.
Доказательство. Мы уже видели, что если 5 — не-
непустое главное аналитическое множество, то dimxS = m—1
во всех точках х ? 5. Чтобы убедиться в обратном, доста-
достаточно, благодаря следствию из предложения 2 (а), доказать,
что во всех точках x?S для любой неприводимой компо-
компоненты Т ростка Sx dim T = т — 1 (если каждая неприво-
неприводимая компонента Sx является главной, то и S^.—росток
главного аналитического множества). Но это очевидно:
в силу предложения 3 (Ь), если k = dim T, то в любой как
угодно малой окрестности х имеются (регулярные) точки 5,
в которых это множество имеет размерность k.
Предложение 4. Если для некоторого идеала I
в кольце Звт идеал, порожденный в этом кольце идеа-
идеалом I и ростками хх, .... xft (l^k^m—1), опреде-
определяет росток [о] в точке о (условие А в гл. III), то
(a) dimS7^&; (b) dimS7 = ? в том и только том случае,
если базис в пространстве Ст является k-правильным
для идеала I.
Доказательство. Из наших предположений выте-
вытекает, что [о] cz S7 Ф Ст; если S7 = {о}, утверждение (а) три-
тривиально: тогда, в силу теоремы 2 (b), rad / = &/€' и, сле-
следовательно (в обозначениях п. 3 главы III), любой росток ? <§?в'
имеет степень ?1\; в этом случае базис в пространстве С
не является ^-правильным для /.
Теперь мы предположим, что {о} Яг S7 ф Ст; тогда и
{о} Яг Ту ф Ст, у = 1, . . ., п. Здесь Т} — неприводимые ком-

Локальные свойства аналитических множеств 115
поненты S7. Далее имеем: /(-^ = / (Т;) cz/; следовательно,
х1 xk удовлетворяют условию А, гл. III для каждого
идеала /(-7'). Так как /<-J) — простой идеал и {о} Ф /(-*> <~ S6'm,
то построение, использованное в предложении 2, п. 3, гл. III,
применимо и в нашем случае. С его помощью мы получим
базис в пространстве Ст, ^-правильный для идеала /^
с kj<sC k, причем kj = k только в том случае, если /j/) = {0}.
Согласно предложению 2 (a), dim Ту = ky, в силу второго
вывода из предложения 3, dim S7 = sup kj. Таким обра-
i < j < п
зом, утверждение (а) доказано. Мы докажем утверждение (Ь),
если покажем, что /ft —{0} в том и только том случае,
если /й"' = {0} по крайней мере для одного у".
Но /й;)=)/й. Следовательно, если /ft;) = {0} для одного
значения /, то Ik=[0]. Затем предположим, что, напротив,
1<ьЛф{0} для всех у. Пусть *'>?/</>—{0}, /= 1 я.
п п
1=Д|(Л. Тогда f^=0, f 6 П fU) — 7 (S/) = rad 7 ^п0 те0"
реме 2 (Ь)). Итак, для надлежащим образом выбранного
целого числа а > 0, fа cz/, а следовательно, cz/ft. Отсюда
вытекает, что Ik ф {0}.
Замечание. Можно думать, что имеет место следующее
утверждение, аналогичное предложению 4: если k незави-
независимых форм над Ст удовлетворяют условию В гл. III (пред-
(предложение 2, п. 3) для идеала / в кольце <Щ;т, 1 ^.k^m — 1,
то dim S7 ^5> k. Однако это утверждение оказывается ошибоч-
ошибочным, как показывает следующий пример.
Пусть 5 = {(л:,, . . ., х5) ? С5 | л:, — х4 = х2 — х4х5 =
=. х3 — хАхъехь = 0) — аналитическое множество. Все точки S
являются его регулярными точками; во всех этих точках
множество 5 имеет размерность 2 (см. пример в п. 2, гл. III).
Покажем, что хх, х2, х3 удовлетворяют условию В гл. III
для идеала / = /(S0). Для этого надо установить, что
оо
3&зг\1={0}. Пусть f?J??3n/ и 2 рп — тейлорово раз-
ложение / в точке о; здесь Рп — однородный полином
степени п относительно переменных л^, х%, х%. Из

116 Глава IV
включения
сю
вытекает, что / (х^, х4 х., х4, хьех*\ =
=== 2 Х1 Рп A • хь> х5ех*)^0 в некоторой окрестности значе-
л = 1
ний л:4 = х5 = 0. Так как Рп A, л:5> лгдб^) — целая функция х5,
то РпAз х5, х5ех*)^0 для всех п~^>\. Отсюда легко видеть,
что Рп^0 для всех значений п и, следовательно, f = 0,
[}
Следствие 1. Пусть S — аналитическое множе-
множество в открытом множестве U cz С". Тогда для каждой
точки a?S, т — dima5 не превышает размерности
любого аффинного подмногообразия LczCm, обла-
обладающего следующим свойством: а — изолированная
точка Lf]S.
Доказательство. Мы можем принять, что а = о.
Наше утверждение очевидно, если S = S0={o} или Ст.
Поэтому мы рассмотрим случай {о} J S ф С"\ т. е. {0}=И=/ —
= ^(S) 5 е^?""- Согласно следствию 1 из теоремы 2, / = rad/,
поэтому, в силу предложения 2, п. 3, гл. III, в простран-
пространстве Ст существует базис, ^-правильный для идеала /,
1 ^ k -<С т — 1. Тогда k = dim S (по предложению 4 (b) );
условие А гл. III указывает, что для (да — ?)-мерного подпро-
подпространства Z.J = {(л::, . . ., хт) | хх — ... = xk = 0} cz C'n
точка о является изолированной точкой L1 П 5.
Теперь пусть L—такое аффинное подпространство в Ст,
что о оказывается изолированной точкой Lf\S. Покажем,
что тогда dim L ^ т — k. Мы можем принять, что 1 <^ dim Z.^
-^ т—1, и найти (/и — dimL) независимых линейных форм
над Ст, имеющих L множеством своих совместных нулей.
Эти формы удовлетворяют условию А, гл. III для идеала /,
следовательно (по предложению 4 (a)), k = dim S ^ m — dim L.
Замечание. Это следствие устанавливает эквивалент-
эквивалентность нашего определения размерности аналитического мно-
множества и определения Реммерта — Штейна [4].
Следствие 2. Пусть S — аналитическое множество
в открытом множестве (JczCm, базис в простран-
пространстве Ст выбран так, что о — изолированная точка
S П {(х,, .... хт) | хх = ... =лгг —0}, для некоторого
целого числа г, 1 «^ г ^ т—1. Предполагается, что
существует такая последовательность открытых
полицилиндров {Рп} с центром в точке о и радиусами,

Локальные свойства аналитических, множеств 117
убывающими к нулю, что для каждого п проекция
S(]Pn на Сг является аналитическим множеством $'п
в проекции Рп полицилиндра Рп. Тогда для достаточно
больших п: dim0' Sn = dim0 5 (о' — начало координат
в пространстве С).
Доказательство. Рассмотрим возрастающую после-
последовательность идеалов / (Sn) в кольце S%?rB'- Так как е%?о' — нё-
терово кольцо, все эти идеалы с номером п^- п0 (число п0
выбрано надлежащим образом) совпадают с некоторым идеа-
идеалом /', причем /' = rad/' (см. следствие 1 из теоремы 2)
и Гс<??в',. Если 1' = 3&'ог„ toS;={0'} при п^п0, S={oj
и следствие доказано; если /' = {0}, то Sn = Pn для"любого п,
базис в пространстве Ст является r-правильным для идеала/E)
(см. замечание к следствию 2 из теоремы 3), и мы получаем
наше утверждение, применяя еще предложение 4 (Ь).
Наконец, рассмотрим случай, когда {0} ф V 2" S^'Br,- В силу
предложения 2, п. 3, гл. III в пространстве С можно, выбрать
базис, ^-правильный для идеала/', 0<^.&<</\ Тогда, согласно
предложению 4 (Ь), достаточно показать, что этот базис в С
вместе с последними т — г элементами рассматриваемого базиса
в С" составляют новый базис в пространстве Ст, А-правиль-
ный для идеала / (S). Отсюда следует наше утверждение.
Замечание. Доказанное следствие содержит замечание
к следствию 2 из теоремы 3, использованное в нашем до-
доказательстве.
Теорема 6 (А. Картан). Множество S — 5* нерегу-
нерегулярных точек аналитического множества S (в откры-
открытом множестве UczCm) есть снова аналитическое
множество в U и dima (S — 5*)-<dima5 в любой точке
Первое доказательство, (а) Сначала мы проведем
доказательство при следующих дополнительных предположе-
предположениях: (I) 5 имеет одну и ту же размерность k, I ^ k ^.т — 1,
во всех своих точках; (II) в дуальном пространстве Ст суще-
существует k таких непустых открытых множеств Wv ..., Wk,
что если Ах ? Wv ..., Ak ? W^ft, то линейные формы Av ..., Ak
независимы и любая точка a ?S оказывается изолированной
9 м. Эрве

118 Глава IV
точкой аналитического множества {х ^S\ А1(х) — А1 (а) = . ..
A AU 0}
Обозначим через Lx, x?S*, ^-мерное аффинное много-
многообразие, касательное к S в точке х. Если нам дана точка
х ? S* и т — k независимых линейных форм Ak+1, ..., Ат,
принимающих постоянные значения на Lx, то можно так
выбрать Аг ? W1 Ak ? Wk, что т форм Ах, ..., Ат
окажутся независимыми. Тогда для любой наперед заданной
системы k чисел можно указать такую точку из Lx, в которой
эти числа являются значениями форм Аг, .... Ak. Иначе
говоря, можно так выбрать базис в пространстве С™, что
проекцией Lx на подпространство, порождаемое первыми
к элементами этого базиса, будет являться само это под-
подпространство. Таким образом, мы показали следующее. Пусть
S* (Аг, ..., Ak)—{x?S*\ на Lx есть точка, где формы
Ах, .... Ak принимают любые наперед заданные значения};
тогда S* = II S*(-4j, .... Ak). Согласно следствию 1
из
теоремы 3, S — S* является аналитическим множеством в ?/>
если для любых Ах ? Wt Ak ? Wk множество S —
—S* (Аг, ..., Ak) аналитическое в U. Последнее будет уста-
установлено, если мы покажем, что каждая точка а ? S имеет такую
окрестность VczU, что Vfl[5 — S*(At ЛЛ)] — анали-
аналитическое множество в V. Мы примем точку а за начало и
выберем базис в пространстве С™ так, что Av .... Ak будут
являться первыми k координатами.
Пусть Tj, . . ., Тл — неприводимые компоненты ростка
S = Sa; в силу дополнительного предположения (II), формы
Av .... Ak удовлетворяют условию А гл. III (предложе-
(предложение 1, п. 3) для идеала /(S) и, следовательно, для каждого
идеала /(Ту), ]¦= 1, ..., п. Благодаря дополнительному
предложению (I) и предложению 3, dim Ту = Л; поэтому,
согласно предложению 4 (Ь), построенный нами базис в про-
пространстве С™ является ^-правильным для каждого идеала /(Ту).
Следовательно, существуют открытые полицилиндры Лу с цен-
центром в точке о, j = 1, . . ., п, и в каждом из них аналитиче-
аналитическое множество Tj, порождающее росток Ту в точке о,
обладающее свойствами, указанными в теореме 3, гл. III.
В частности, в силу части В этой теоремы существует всюду

Локальные свойства аналитических множеств 119
плотное подмножество множества Tj, целиком состоящее
из регулярных точек Tj, в которых Tj имеет размерность k.
Отсюда вытекает, что uiraxTj = k во всех точках х?7\-. Со-
Согласно замечанию 1 к теореме 3, гл. Ill, Tj— Tj (Аь .... Ak)—
это множество точек Tj, являющихся общими нулями для
некоторого семейства голоморфных функций на Лу. Согласна
следствию 1 из теоремы 3, гл. III, оно является аналити-
аналитическим в zij. Тогда, согласно предложению 3 (Ь), существует
п
такая открытая окрестность Vcz f"")rty- точки о, что A) V ("| 5 =
/=i
л
= [J (V П Tj) B) V П E — S*) есть объединение множеств
VuTjftTj', 1<7</<л. и V(\(Tj — Г*), 1<7<я;
поэтому V П [S—S*(Alt .... Ak)] — объединение множеств
VnTjClTj,, 1<У</<л, и Vn[Tj—T){Al Ak)],
1 <$У <^ я. Каждое из них является аналитическим в V. Итак,
5 — S* — аналитическое множество в U при дополнительных
предположениях (I) и (II).
(Ь) Из нашего рассуждения в общем случае вытекает,
что поскольку множество 5 — S* замкнуто в U, то каждая
точка х0 ? 5 — S* имеет такую открытую окрестность VczU,
что множество V П E — 5*) аналитично в V. Так как точка
х0 ? 5 — S*, то непустой росток S = SXll не сводится ни к {х0},
ни к Сш. Это имеет место и для всех неприводимых компо-
компонент ростка S.
Предположим, что росток S неприводим. Тогда /(S) — про-
простой идеал, {0} ф I (SMr e%?'xm; мы можем выбрать точку х0
за начало о и взять в пространстве С базис, ^-правильный
для идеала /(S), 1 ^k <; т — 1 (предложение 2, п. 3, гл. III).
В силу предложения 2 (a), k = dim S = dima S; в силу
предложения 2 (b), начало имеет такую окрестность Vjct/,
что 5 имеет размерность k во всех точках S ("I V-f> в силу
следствия 3 из теоремы 4, существует другая открытая
окрестность V2czU точки о и открытые окрестности Wj
линейных форм x-^-Xj в дуальном пространстве (для всех
у = 1, .... k), такие, что для любых a^5fl V2, A1 ? W±, . . .
. . ., Ak?Wk, a — изолированная точка аналитического мно-
множества \x^S\A1(x) — А1(а)= ... =Ak(x) — Ak(a) = 0}.
9*

120 Глава IV
Если окрестности Wj достаточно малы, то при Aj ? W' -,
у=1, .... k, формы Aj независимы. Тогда дополнительные
предположения (I) и (II) части (а) нашего доказательства оказы-
оказываются выполненными для аналитического множества 5 f\V1 {\V2
в V1[\V2- Следовательно, (S f] V1 П V2) — (S f] Vx П V2)* =
— (S — S*) П (V\ П V2) — аналитическое множество в Vx ("I V2.
Теперь предположим, что росток S — приводим и Тх, . . .
. .., Т„ — его неприводимые компоненты. Тогда, согласно
предложению 3 (Ь), существуют открытая окрестность WczU
точки х0 и аналитические множества Ти . . ., Тп (порождаю-
(порождающие ростки Т1 Тп в точке лг0), такие, что множества
п
W П S = JJ Т j и W П (S — S*) оказываются объединением
множеств IF П Т} (] Т},, 1 < / < j' < л, и IF П (Г;- — Г*),
Итак, мы доказали, что существуют такие окрестности
V.czW точки хо(у=1 п), что каждое множество
Vj(\(Tj — Г}) аналитично в VJt но тогда V П E — S*), где
п
V=OVy — аналитическое множество в V.
Наконец, согласно следствию 1 из предложения 3, из
включения 5 — S*crS вытекает, что dima(S — S*) ^ dim S
в каждой точке а ? 5 — S*. Допустим, что в какой-то точке
a?S — S* оказалось dima (S — S*) = dimaS. Тогда, если
росток Sa неприводим, то должна существовать окрестность
точки а, не содержащая точек S*, что противоречит теореме 5;
если росток Sa приводим, множество 5 — 5* (мы пользуемся
далее обозначениями предложения 3 (Ь)) должно содержать
одно из множеств Tj. Здесь множества 5 — S* и Tj рас-
рассматриваются в пределах некоторой окрестности точки а.
Однако это невозможно, так как любая окрестность точки а
содержит точки множества Tj[\cTj.
Итак, теорема 6 доказана.
Второе доказательство. Основываясь на пред-
предложении 3, мы можем принять, что dim^S во всех точках
х ? S имеет одно и то же значение k, I ^k ^m — 1. Легко
показать (с помощью теоремы 1), что каждая точка а ? S
имеет такую открытую окрестность VczU, что множество

Локальные свойства аналитических множеств 121
V П E — S*) окажется аналитическим в V. Действительно,
в силу теоремы 1 для каждой точки a ?S можно указать
такую открытую окрестность VczU этой точки и конечное
семейство функций flt . . ., fn, голоморфных в V, что ростки,
определяемые этими функциями в любой точке х ? V, поро-
порождают идеал l(Sx). Тогда V f] S — {л: ? V | /1 (х) = ...
. . . =/п(х) = 0}; теорема 6 будет доказана, если мы уста-
установим, что V П (S — S*) = {х ? V п S\ ранг матрицы
< m — k, где 1^/<!л, l^y^/n}. Последнее вытекает
из следующих двух замечаний.
(А) Если x?V(\S*, то так как dimxS = k, можно ука-
указать такую окрестность WczV точки х и m — k функций
gx Sm-k> голоморфных в W и равных нулю на W ("I S, что
ранг матрицы \-^-\ будет равен тп—k. Здесь 1 ^ i ^ m—k,
1 -^ j -^ m- Так как ростки, определяемые функциями
Si' • • •• Sm-k B точке х, являются линейными комбинациями
над кольцом З&Т ростков, определяемых функциями fv ..., /п,
то матрица (-^-) , где l^i^n, I ^.j ^.m, должна иметь
\ OXj I
ранг ~^>m — k.
(В) Если x^flS и ранг матрицы \^р-\, 1 ¦<! I <] г,
\ °xj I
1 ^ у <] т, равен г, то аналитическое в V множество
Т= \х ^:V\f1 (х)= ... =fr(x) — O] порождает в точке х
регулярный росток Тх размерности m — г (см. теорему 1,
гл. I и определение 1, гл. III). Так как TzsV[\S и dim S^. = k,
то m — r~^-k или г ^ m — k\ в случае равенства (согласно
следствию 1 (с) из предложения 3) Тх = Sx и тогда х ? S*.
3. Неприводимые аналитические множества. Непри-
Неприводимые компоненты аналитического множества. Мы
намерены сейчас показать, что некоторые свойства, уста-
установленные выше для множества регулярных точек аналитиче-
аналитического множества S, имеют место во всех тех точках х ? S,
где росток Sx неприводим. Так, предложения 3 и 4, п. 2,
гл. III содержит следующая
Теорема 7. Пусть S и S'—аналитические мно-
множества в открытом множестве t/cCm, s — такое

122 Глава IV
открытое подмножество S, что для каждой точка
x?s росток Sx неприводим. Тогда (а) если Sx^SXl)
в некоторой точке xo?s, то S'^zs; (b) если S'-?>s, то
множество s fl CS' — связно.
Доказательство, (а) Множество 5={дг ?s[S^:3Sj;} =
= \х ? s\ (S' П S)x = Sx} открыто в 5 по определению и
замкнуто в 5, согласно следствию 2 из предложения 3, п. 2.
Следовательно, или s=0, или s = s, и утверждение (а)
доказано.
(Ь) Допустим, что 5 Л cSf = s0 U sv где s0 и st — непустые,
открытые, непересекающиеся подмножества s. В силу (а),
множество 5 П cSf всюду плотно в s. Поэтому существует
точка а ? s0 fl s1 fl s: множество s — связно и, следовательно,
множества sofls и s1 (5 должны пересекаться. Тогда, по
предложению 2 (Ь), п. 2, существует такая открытая окрест-
окрестность Wai/ точки а, что W(\Sczs и множество W П 5*
связно. По предложению 4, п. 2, гл. III тогда должно быть
связным и множество W ("I 5* ("I CS''. Следовательно, и множество
WГ\ s [\cSf, в котором это множество оказывается плотным,
также должно быть связным.. Но так как W fl s П С5' =
= (W П s0) U (W П Si), a Wfls0 и W f\ s1 — непустые открытые
непересекающиеся подмножества множества W П s fl cSf (не-
(непустого, так как существует точка а ? s0 fl s{), мы пришли
к противоречию и, следовательно, утверждение (Ь) доказано.
Предложение 1. Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве Ucr.Cm, 5* — множество
регулярных точек S, s1 — связная компонента S*. Тогда
замыкание St (в U или, что эквивалентно, в S) мно-
множества Sj является неприводимым аналитическим
множеством в U.
Доказательство. Множество St замкнуто в U
и S1czS. Мы докажем, что S!—аналитическое множество
в U, если установим, что каждая точка а ? Sj обладает
такой окрестностью WczU, что множество St(\W анали-
тично в W.
Пусть точка а ? Sx. Исключая тривиальные случаи, можно
принять, что (a] TtS = SaTfcC(". Тогда (см. предложение 3,
п. 2) существуют открытая окрестность VczU точки а, ана-
аналитические множества Tv .... Тп в V и открытые окрест-

Локальные свойства аналитических множеств 123
ности WjdV точки а, у' = 1, .... п, такие, что: (I) неприводи-
п
мые компоненты S суть в точности Tj, ..., Т„ и II Tj=S П V;
i = 1
(II) каждое множество Tj П CTj П Wj (у — 1 п) связно,
принадлежит 5* и всюду плотно в Tj f\ Wу, (III) S* Л Wcz
n n
^fl^ifl^). где W = f]Wj (мы пользуемся здесь
обозначениями предложения 3, п. 2, причем полагаем Ti= 0,
если п = 1). Следовательно, если множества Tj перенумеро-
перенумерованы надлежащим образом, то существует такое целое число
РО <^ Р <я)» что T*j П cTj П ^ содержатся в st при 1 -<у<;/?
и не пересекаются с st при jo+l^y'^/г. Тогда 51П1^ =
= W П U (^; П СТ) П й^у). Беря замыкания в W от обоих
частей этого равенства, мы получим Sj П W ¦=¦ W ("I \\ Tj
и наше утверждение доказано.
Теперь докажем, что множество Sj неприводимо. До-
Допустим, что Sl = Sn\}SVi, где Sn и S12 — аналитические
множества в(/и Sn =^= 5Х. Тогда, поскольку st всюду плотно
в Sv существует точка a?slr\cSll. В этой точке S12 == Sx.
Поскольку множество SiCzSi связно, в силу предложения 3,
п. 2, гл. Ill, S12^s1. Наконец, так как st всюду плотно
в Sj, то 512^5г, т. е. SI2 = S1( что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть S — аналитическое множество
в открытом множестве УсС. Тогда S неприводимо
в том и только в том случае, когда множество S
регулярных точек S связно.
Доказательство. В силу предложения 1, S непри-
неприводимо, если 5* связно. Предположим, что 5* несвязно,
{sn) — счетное семейство связных компонент 5* (т. е. ко-
конечное или бесконечное, но счетное — см. выводы из пред-
предложения 3, п. 2) и Sn — замыкание sn в U, л= 1, 2, ....
Как и {sn}, {Sn}—локально конечная совокупность в U.
В силу предложения 1, каждое Sn — (неприводимое) анали-
аналитическое множество в U. Следовательно, Si = II Sn, каг
>3

124 Глава IV
локально конечное семейство аналитических множеств в U,
само является аналитическим множеством в U. Очевидно,
что S = SiLJSi и Si Ф S. Мы докажем, что множество S
приводимо, если покажем, что Sx =f= S.
Допустим, что Si = S. Тогда Si cz Si и, в частности,
в любой точке ?sj будет S с: Si. Так как семейство {Sn}
локально конечно, Si является объединением некоторой ко-
конечной совокупности ростков Sn, п^-2. Так как росток Sx
неприводим (на самом деле регулярен), то для какого-то
п ^> 2 должно быть Si с Sn. Из того, что s1 — связное под-
подмножество Si, вытекает (по предложению 3, п. 2, гл. III),
что SidSn. Но это невозможно, так как ^ П $„= 0- Мы
пришли к противоречию. Итак, Si ф S и следствие 1 дока-
доказано.
Замечание. Мы доказали, что (в принятых обозначе-
обозначениях) Sn <gt M Sn> для каждого п.
Следствие 2. Пусть S — аналитаческое множе-
множество в открытом множестве U cz Cm и точка а
принадлежит S. Тогда росток Sa неприводим тогда и
только тогда, когда существует такая {как угодно
малая) окрестность V a U точки а, что аналита-
аналитаческое в V множество S {\V — неправодимо.
Доказательство. Если росток Sa приводим, то и
множество S П V приводимо (для достаточно малой окрест-
окрестности V, согласно определению приводимого ростка). Если
росток Sa неприводим, то по предложению 2 (Ь), п. 2 су-
существуют такие (как угодно малые) окрестности V с U
точки а, что множества V П S* = (V (~1 S)* оказываются связ-
связными. Согласно следствию 1, отсюда вытекает, что множе-
множества V П S неприводимы.
Следствие 3. Пусть S-—неприводимое аналита-
аналитаческое множество в открытом множестве U с: Сш.
Тогда
(a) S — связно.
(b) Размерность &\rax S одна и та оке во всех точ-
точках x?S.
(c) (Лемма Ритта). Если S' — аналитическое мно-
множество в U и в некоторой точке a?S для какой-то

Локальные свойства аналитических множеств 125
неприводимой компоненты Та ростка Sa имеет место
включение Sa ^ Та, то S id S. В частности, если h —
голоморфная функция на U и для точки a ?S росток ha
обращается в нуль на некоторой неприводимой ком-
компоненте Sa, то /г^О на S.
(с') Для любой голоморфной функции h на U огра-
ограничение h\S или постоянно, или определяет открытое
отображение S в С в следующем смысле: для каждой
точки a?S и любого аналитического множества Т
в некоторой открытой окрестности V cz U точки а,
такого, что Та является неприводимой компонентой Sa,
множество h (T) составляет окрестность точки h (a)
в С.
(d) Если Sf — аналитическое множество в U, S^S',
то dimx Sf <C dimxS во всех точках x?S'.
(e) Для любого аналитического множества So в U,
Sf](U — So) — неприводимое аналитическое множество
в U — So. Оно или пусто, или всюду плотно в S.
(f) Если {Sn} — счетное семейство аналитических
множеств в U и 5 = ^JSn, то S = Sn для некоторого п.
п
Доказательство, (а) В силу следствия 1, множе-
множество S* связно. Так как S* всюду плотно в 5, то и S связно.
(b) Так как S* связно, то dim^S имеет одно и то же
значение во всех точках х ? S* (предложение 2, гл. III).
Отсюда вытекает утверждение (Ь).
(c) В данных условиях существует такая точка b ? S*,
что S& гэ St, (предложение 3, п. 2). Так как S* связно, то
(согласно предложению 3, п. 2, гл. III) 5' =э S* и, следова-
следовательно, 5' ^ S.
(с') вытекает из (с) и замечания 2 к предложению 2,
п. 4, гл. III.
(d) Если Sf cz S и dinij. S' = dim^ S в некоторой точке
х ? S', то, согласно следствию 1 (d) из предложения 3, п. 2,
ростки Sjr и Sx имеют общую неприводимую компоненту.
Следовательно, согласно (с), S' = S.
(e) Предположим, что S ("I (JJ — So) — S — (S П 50) Ф 0.
Согласно (d) (где мы берем S' = SnS0), множество
S — (S П So) всюду плотно в S. Далее из того, что S* <ф. So
и множество S* связно, вытекает (предложение 4, п. 2, гл. III),

126 Глава IV
что множество S*{\(U— So) = [S П (U— 50)J* связно, т. е.
множество S {\{U — So) неггриводимо.
(f) Если Sn Ф S для любого п, то, согласно (е), все S — Sn
являются открытыми всюду плотными подмножествами S.
Следовательно, по теореме Бэра, множество S — ll^n также
п
должно быть всюду плотным в S.
Теорема 8. Пусть S — аналитическое множество
в открытом множестве L/czC", S* — множество регу-
регулярных точек S, {sn}—(счетное) семейство связных
компонент S*, {Sn}—семейство их замыканий в U.
Тогда (a) {Sn) — локально конечное семейство неприво-
неприводимых аналитических множеств в U, причем S = MSB
и $п Ф U Sn> для любого номера п. (Ь) Если [Тг) —
п' фп
счетное семейство неприводимых аналитических мно-
множеств в U и \^Тi — S.TiCJi [J 7V для любого номера i,
i 1'ф1
то {Г,} = {5„}.
Доказательство. Достаточно доказать утверждение
(Ь). Очевидно, что Tt = [J (Tt ("I Sn) для любого номера /.
п
Так как множества Тt неприводимы, то, согласно следствию
3 (f) из предложения 1, Ti = Ti(] Sn для какого-то номера п,
который мы обозначим через n(i). Аналогичным путем мы
покажем, что ЗпаТцП) для каждого п. Поскольку для
каждых п и / имеем Sn ф [J Sn> и Т( <ф. (J 7>, отсюда
п'фп 1'ф1
вытекает утверждение (Ь).
Определение 2. Неприводимыми компонентами
аналитического множества S в открытом множестве
U с С называются замыкания в U связных компо-
компонент S* (множества регулярных точек S).
Отметим некоторые непосредственные выводы из этого
определения.
(I) Для любой точки x?S размерность dimxS равна
наибольшей из размерностей неприводимых компонент 5

Локальные свойства аналитических множеств 127
(их имеется конечное множество), содержащих точку х,
см. следствие 1 (е) из предложения 3, п. 2.
(II) Пусть для некоторого k, 0 .< k <I tn, S{k) — объеди-
объединение ^-мерных неприводимых компонент S (S( )=0,
если S не содержит неприводимых компонент размерности k).
Тогда S( J — аналитическое множество в U (так как семей-
семейство неприводимых компонент 5 локально конечно), имею-
имеющее размерность k в каждой своей точке (или пустое) и
(III) Для каждого k, 0 <; k .< m, множество
m
{x?S\ dinv, S >k) = у S{q)
и, следовательно, является аналитическим множеством в U.
В частности, если /, g — функции, голоморфные в U, то
множество \х ? U | ix и gx не взаимно простые ростки в ?№™\
есть аналитическое множество в U. Действительно, в силу
теоремы 6, гл. II и следствия 2 (а) из предложения 3, п. 2,
это множество совпадает с множеством [х ? S\ dim^. S ^ m—1},
где 5 = [х ? U | / (х) = g (х) = 0}. Этот результат содержит
теорему 4, гл. II.
(IV) Пусть Т — еще одно аналитическое множество в U.
Если S аТ и множество S неприводимо, то S содержится
по крайней мере в одной неприводимой компоненте Т.
Предложение 2. Пусть S.— аналитическое мно-
множество в открытом множестве УсС", {St} — семей-
семейство его неприводимых компонент, точка a?S, причем
Sj ^ а при 1 ^ J <^ n, Sj^j) а при j >¦ п. Тогда {все ростки
берутся в точке а) множества неприводимых компо-
компонент ростков S;, /=1, .... п, не имеют общих эле-
элементов и их объединение в точности равно совокуп-
совокупности неприводимых компонент ростка S.
Доказательство. Легко видеть, что неприводимая
компонента ростка Sf не может содержать неприводимую
компоненту St, где 1 <; i < /' <; п. Действительно, в про-
противном случае, в силу следствия 3 (с) из предложения 1,
Sr Z3 Si, что противоречит теореме 8 (а).

128 Г лава IV
Выводы из предложения 2. 1) Если росток Sa
неприводим, то только одна, из неприводимых компонент
множества 5 содержит точку а.
2) (Теорема единственности). Пусть 5, S'— ана-
аналитические множества в U, точка a^SflS', Т, Т' — непри-
неприводимые компоненты соответственно ростков S и S' (все
ростки берутся в точке а), 5Ь Si— единственным образом
определяемые неприводимые компоненты множеств 5, 5',
обладающие следующим свойством: Т и Т' — являются не-
неприводимыми компонентами соответственно ростков Si и Si.
Тогда, если Т с: Т", то Si с: Si и, следовательно, если Т == Т',
то Si = Si.
3) Если множество 5 связно и росток Sa неприводим
для каждой точки а ?5, то множество 5 неприводимо.
Доказательство. Допустим, что множество S связно
и приводимо. Тогда 5 имеет по крайней мере две неприво-
неприводимые компоненты Sn; так как Si и Sj = II Sn — ЗаМКНу-
тые и непустые подмножества 5 и их объединение равно S,
то существует точка a ?Sif[Si и (вывод 1) росток Sa ока-
оказывается приводимым.
Предложение 3. Пусть Sq^U—аналитическое
множество в открытом множестве U cz Cm, So — ана-
аналитическое множество в U — So, причем размерность
dime«S одна и та же для всех точек a ?j S; пусть
dim 5 = k. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(I) замыкание S множества S в U есть аналити-
аналитическое множество в U;
(II) существует такое аналитическое множество S'
в U, что S' гэ 5 и &\maS' ^.k для любой точки a?Sf.
Если указанное имеет место, то dimaS = k в любой
точке а ? 5.
Доказательство. Если (I) имеет место, то множе-
множество 5 всюду плотно в 5; так как dime 5 = k для любой
точки а ?5, то dimaS = & для любой точки а ?5; итак,
утверждение (II) в этом случае справедливо, причем S' = S.
Если, наоборот, известно, что (II) имеет место, то рас-
рассмотрим для произвольно взятой точки а ? 5 ростки S и S'.

Локальные свойства аналитических множеств 129
Тогда S a S', dim S = dim S'. Следовательно, эти ростки
имеют по крайней мере одну общую неприводимую компо-
компоненту (следствие 1 (d) из предложения 3, п. 2); обозначим ее
через Т. Пусть Si—та неприводимая компонента S', для
которой Т является неприводимой компонентой ростка Si.
Тогда Si П (U — Sq) — неприводимое аналитическое множество
(следствие 1 (е) из предложения 1), содержащее точку а,
S — аналитическое множество в U — So. При этом рос-
росток, порождаемый множеством S в точке а, содержит
в качестве своей неприводимой компоненты росток, поро-
порождаемый в этой точке множеством Si(](U — So). Поэтому
(в силу следствия 3 (е) из предложения 1) S гэ Si (~| {U — So)
и, следовательно, S гэ Sx, множество Si(\(U — So) всюду
плотно в Sj.
Повторяя это рассуждение для каждой точки а ? S, мы
получим семейство неприводимых компонент множества S',
объединение которых содержит S и содержится в S. Это
объединение является аналитическим множеством в U. Сле-
Следовательно, оно замкнуто в U и поэтому совпадает с S, что
и требовалось доказать.
Замечание. Это предложение используется для про-
продолжения аналитических множеств [4].
4. Соотношения между размерностями аналитических
множеств и их подмножеств.
Теорема 9. Пусть S — аналитическое множество
в открытом множестве U cz Cm, h — голоморфная
функция в U, S' = {х ? S [ h (х) = 0}—аналитическое
множество в U. Тогда для каждой точки a(^S':
dima S' = dima S или dimaS' —dimaS—1.
Если росток Sa неприводим, то dimaS/ = dimaS в том
и только том случае, если Ьа обращается в нуль на Sa.
Доказательство. Случай Sa={a} тривиален. Если
Sa = Ст и ha ф 0, то dim S'a = m — 1 = dim Sa — 1 (в силу
вывода 3 из предложения 3 (Ь), п. 2). Поэтому положим
{а} Ф S = Sa ф Ст. Мы можем принять (без потери общности),
что росток S неприводим. Действительно, если Тг, ..., Т„ —
неприводимые компоненты S и известно, что dim (Ту П S/j) ^>

130 Глава IV
^ dim Ту — 1 для всех j {\ ^ j <^ п), то (в силу следствия 1
(е) из предложения 3, п. 2)
dim s'a — sup dim (T,- П 5Л) !>
> sup (dim Т.- — l) = dimS—1
KJ<n
и очевидно dim Sa <^ dim S.
Итак, пусть S — неприводимый росток в точке о ? С,
{о}Ф$ФСт и h^^'"*- Если h?/(S) = /, то S' = S
(где S' = S П S,j) и утверждение теоремы очевидно. Следова-
Следовательно, для завершения доказательства теоремы достаточно
показать, что dim S' —dim S—1 при h(?/ (согласно след-
следствию 1 (с) из предложения 3, п. 2, в этом случае dim S'<
<dimS). / = /(S) — простой идеал в кольце 3&т, {0} Ф
ф /^ &6'т'. Пусть базис в пространстве С" является &-пра-
вильным для идеала /A ^k^m— l),/' = /(S')- Мы утвер-
утверждаем, что тогда (в обычных обозначениях) /*. Ф {0}. Дей-
Действительно (в силу предложения 2, п. 4, гл. III), в этом
случае существует такой отмеченный полином Rh{ii) к
что
Из того, что h(f/, вытекает (в силу того же предложения),
что СрфО. Так как Rh(h) ?1 cz Г и h?/', имеем cp?l'k-
Следовательно, Ik Ф {0}.
Если k=\, то, согласно предложению 4, п. 2, dim S = 1,
откуда dimS/ = 0 = dimS — 1. Рассмотрим случай k > 1.
Расположим векторы, составляющие базис в пространстве СА,
в таком порядке, что будет иметь место соответствие ср-— Qk,
где QA ? е?вк~х [xk] является отмеченным псевдополиномом
(напомним, что ср^&6' , так как Rh(u) — отмеченный поли-
полином). Тогда Qa^/й. Следовательно, хх, .... xk_x удовле-
удовлетворяют условию А" (п. 3, гл. III) для /'. Мы утверждаем, что
/й_а={0}. Это утверждение будет доказано, если мы пока-
покажем, что любой окрестности точки о в множестве 5' соот-
соответствует окрестность точки ok_v являющаяся ее проекцией
на пространство С6. Действительно, согласно предложению

Локальные свойства аналитических множеств 131
2 (Ь), п. 4, гл. III, существует такой как угодно малый
открытый полицилиндр л0 с: U с центром в точке о, что
множество нулей с в "л^ является проекцией л0 fl S' на про-
пространство СА. Итак, ср и отмеченный псевдополином Qk
имеют одно и то же множество нулей в некоторой окре-
окрестности точки ok. Следовательно, проекцией множества
нулей ср в л0 на пространство С ~ является некоторая окре-
окрестность точки ой_!-
Итак, наше утверждение' доказано. Мы нашли в про-
пространстве Сот базис, ^-правильный для идеала / и (k—1)-
правильный для идеала /'; согласно предложению 4, п. 2,
Следствие 1. Пусть S — аналитическое множе-
множество в U, S' — главное аналитическое множество в U.
Тогда или &\ma{S [\S') = d\maS—1 в каждой точке
a ?S (]S\ или S' содержит одну из неприводимых ком-
компонент S (мы не утверждаем, что 5 П S' Ф 0).
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку
а ? 5 П S'. Пусть 1Х, ..., Тя — неприводимые компоненты
ростка S (все ростки берутся в точке а). Допустим, что
dim (S П S') = dim S. Тогда, согласно следствию 1 (е) из
предложения 3, п. 2, dim (Ty- fl S') = dim T;- по крайней мере
для одного номера j; в этом случае (по теореме 9) 5':эТу.
Следовательно, в этом случае, в силу следствия 3 (с) из
предложения 1, п. 3, S' содержит неприводимую компо-
компоненту Sj множества 5.
Следствие 2. Пусть S — аналитическое множество,
hv ..., hp—голоморфные функции в U, S' = \х ? 5 |/г3 (х)—
— ... = hp(x) — 0}. Тогда dimaS' ~^> dima5 — р в любой
точке а ? S'.
Замечание. Если F — мероморфная функция на от-
открытом множестве УсС, то множество ее точек неопре-
неопределенности в каждой своей точке имеет размерность т — 2
(см. следствие 3 (а) из предложения 3, п. 2).
Следствие 3. Если Sx и S2 — аналитические мно-
множества в U, то dima Ej П 52) >-dim^!-)-dima52 — т для
любой точки a ?S1(\S2.
Доказательство. Наше утверждение вытекает из
следствия 2, если 5г или S2 есть пересечение U с некоторым
аффинным подмногообразием в Сот. В общем случае

132 Глава IV
рассмотрим аналитическое множество Sx X 52 в U X U и
его всюду плотное подмножество 5* X «S*, точку (х, у) ?
^ 5* X S*. Последняя является регулярной точкой Sj X 52
и в ней это множество имеет размерность dimxS1 -f- dim^Sg.
Следовательно, в любой точке (a, J) ^ 5: X S2
dim(a, ь) Ei X Sjj) = dim^-j- dimuS2.
Рассмотрим теперь точку a^5tn S2; положим k =
= dime (Sx П 52). Тогда, согласно следствию 1 из предложе-
предложения 4, п. 2, существует такое (т — Л)-мерное аффинное под-
подмногообразие L в С"\ чго а является изолированной точкой
множества L f[ F\ f] 52).
Если D={(x, y)|y==x}c:C'iX COT, то точка (а, а)
является изолированной точкой множества D Л {L X Сот) П
П EХ X 52). Так как D f) (Z, X Сот) — (от — &)-мерное аффин-
аффинное подмногообразие пространства СтХСш, то в силу того же
следствия
т — k <; 2т — dim(a) a) (Sx X S2) = 2/ra — dima5i — dime 52,
что и требовалось доказать.
5. Голоморфные отображения.
Предложение 1. Пусть f отоб ражает открытое
множество UczCm в С" и S = {(х, у) | у = / (х), х ? ?/} —
график /в УХС.
(a) Если отображенае f—голоморфно, то S — ана-
аналитическое множество в УХС"; все точки S — его
регулярные точки и размерность S в любой его точке
равна т.
(b) В случае связного U: если f голоморфно, то
S — неприводимое аналитическое множество в U X С"
и, наоборот, если S — связное аналитическое множе-
множество, то отображение / голоморфно (напомним, что
если 5 неприводимо, то оно связно; см. следствие 3 (а)
из предложения 1, п. 3).
Доказательство. Утверждение (а) непосредственно
вытекает из примера, рассмотренного в п. 2, гл. III. Первая
часть утверждения (Ь) следует из предложения 2, п. 3 (вы-
(вывод 3). Итак, нам остается доказать только вторую часть
утверждения (Ь). Упорядоченный базис в пространстве
Ст X С" мы составим из векторов, образующих базис в про-

Локальные свойства аналитических множеств 133
странстве С (соответствующие координаты: xv .... xm),
за которыми последуют векторы, образующие базис в про-
пространстве С" (соответствующие координаты: л^' х'\
Так как 5 — график отображения /, то для каждой
точки a?U множество Sfl{(x, х')\хг — аг= ... =хт —
— ит = 0] сводится к точке (а, /(а)). Следовательно,
согласно предложению 4, п. 2, dim(a_ ^(а) ) 5 <^ т; равенство
имеет место в том и только том случае, если базис
в СЯХС" является от-правильным для идеала I(S(a,/(a)) )•
В силу следствия 2 из теоремы 3 и замечания к этому след-
следствию, если dim(aj/(a), 5 < т, то существует такой открытый
полицилиндр PcUy^Qn с центром в точке (а, /(а)), что
A) проекция S(\P на пространство Ст является аналити-
аналитическим множеством в проекции полицилиндра Р; B) про-
проекция S С\ Р не совпадает с проекцией Р; C) замыкание в U
проекции 5 П Р на Ст имеет пустую внутренность. В силу
теоремы Бэра, это не может иметь места для. всех точек
a?U, так как проекция 5 на Счесть U. Итак, dimcai/(a>)S=m
для некоторых а ? U, т. е. множество 5 имеет по крайней
мере одну неприводимую /re-мерную компоненту, скажем 5г.
Возьмем точку a^U так, что (a, f {a)) ^Sv Пусть
7\—такое аналитическое множество в открытой окрестности
VcC/XC" точки {а, /(а)), что T1czS1 и Tt — /га-мерная
неприводимая компонента Si (все ростки берутся в точке
(a, f (а))). Согласно предложению 4, п. 2, в подобном
случае базис в пространстве С"ХС" является /га-правильным
для идеала / (Т^, а согласно следствию 2 из теоремы 3 и
замечанию к этому следствию существует такой открытый
полицилиндр PczV с центром в точке (а, /(а)), что Т1(]Р
и Р будут иметь одни и те же проекции на С™. Тогда
TiflP — S (}P — S1 ПЯ- Отсюда вытекает, что (I) 11 = 8!,
или росток Sx неприводим; (II) 5j и объединение остальных
неприводимых компонент не пересекаются (согласно след-
следствию 3 (с) из предложения 1, п. 3). Так как множество 5
связно, то 5 = Sv Следовательно, для любой точки a?U
росток, порождаемый множеством 5 в точке (а, /(а)), не-
неприводим и имеет размерность ш, поэтому базис в про-
пространстве С™ X С" от-правилен для идеала /(S). Тогда,
используя теорему о локальном описании (теорема 3, гл. III),
а которой взята точка (х, х') вместо х и точка х вместо х'',

134 Глава IV
мы получим, что так как 5 — график /, то целое число р
в указанной теореме равно 1 и, следовательно, отображе-
отображение / (см. замечание 3 к этой теореме) голоморфно в не-
некоторой окрестности точки а; а — произвольная точка U
и, таким образом, доказательство предложения 1 завершено.
Замечание. В предложении 1 (Ь) мы заключаем, что-
отображение / голоморфно, на основании того, что era
график 5 является связным аналитическим множеством. За-
Заметим, что здесь требование связности необходимо. Например,
отображение / : С—> С, определенное условиями f(x) = x~*
при х ФО, /@) = 0, не голоморфно в С. Однако его график
в С2, а именно {о} U {(хх, х2) | ххх2 = 1}, является аналити-
аналитическим множеством в С2.
Теорема 10. Пусть f : х -+ х' ~ (ft(x) /„(¦*))—
голоморфное отображение открытого множества
УсСга в пространство С", a?U—изолированная точка
множества f~l (а'), а' = / (а). Тогда (а) п^-т; (b) n~> m
в том и только в том случае, если существует такая
функция g, голоморфная в некоторой открытой ок-
окрестности точки а', что ga> ф О и g (/г, .... /Л)^О
в некоторой открытой окрестности точки а.
Доказательство. Сохраним обозначения, принятые
в доказательстве предложения 1: 5 — график /, а = о„
а' = о', S — росток, порождаемый множеством S в точке
(о, о')- Нам известно, что dimS = /ra. В силу наших пред-
предположений, п координат в пространстве С" удовлетворяют
условию А гл. III для идеала / (S) в кольце е%?т+п. Но
тогда, согласно предложению 4, п. 2, т = dim 5^ п
(что доказывает (а)) и т < п в том и только в том случае,
если п координат в С" не удовлетворяют условию В для
идеала / (S) (что доказывает (Ь)).
Замечание. Утверждение теоремы 10 становится не-
неверным, если не предположить, что а — изолированная точка
множества /~ (/(а)). Рассмотрим пример. Пусть голоморф-
голоморфное отображение / : (хх, хЛ—>(x'v x'2, х'Л пространства С2
в пространство С3 определяется равенствами: х'х = xv
дг' = лг,дг„, x' = x.xrteXl. Тогда, так же как в замечании
К предложению 4. п. 2, можно усмотреть, что не суше-

Локальные свойства аналитических множеств 135
ствует нетривиальных голоморфных соотношений между
x'v x'2, х'ъ вблизи точки о ? С2. В этом случае
/-1 (/((,)) = {@, д:2)|д:2еС}.
Следствие. Пусть/ — голоморфное отображение
открытого множества UczCm в С": если каждая точка
a^U является изолированной точкой множества
f1 (/ (а)) и f (^0 — открытое множество в С, то п=т.
Доказательство. По теореме 10 (а) п^>т. До-
Допустим, что п > т. Тогда по теореме 10 (Ь) каждая точка
a?U имеет такую компактную окрестность AczU, что
совокупность внутренних точек множества / (А) пуста, т. е.
f (U) — /(А) — открытое всюду плотное подмножество /(U).
Множество U является объединением счетного семейства
надлежащим образом выбранных множеств Ап. Следовательно,
f (U) является объединением соответствующих множеств
f(An), тогда как по теореме Бэра множество / (U) —[Jf(An)
п
должно быть всюду плотным в / (?/).
Теорема 11. Пусть / : х —> х' = (Д (д:), . . ., fm (х) )—
голоморфное отображение открытого множества
УсС™ в Ст. а — изолированная точка множества
f'Ha'), a' = f(a). Тогда
(a) / (?/) есть окрестность точки а' в С71;
(b) существуют такие открытые полицилиндры
и л' с центрами соответственно в точках а и а',
что для каждой точки х' ? л' множество л{\/~1(х')
является конечным и непустым; наибольшее число точек,
принадлежащих л П f~x (xf), равно целому числу р, ко-
которое не зависит от выбора полицилиндров лил'
(их радиусы могут быть взяты как угодно малыми);
(с) }*(а)фО (здесь J,— якобиан отображения /) — есть
необходимое и достаточное условие существования
такой окрестности VczU точки а, для которой огра-
ограничение f\V является взаимно однозначным (т. е.
инъективным) отображением.
Доказательство. Сохраним обозначения, принятые
в доказательствах предложения 1 и теоремы 10: 5 у нас, как

136 Глава IV
и прежде, график отображения /, а = а' = о, S — росток,
порождаемый множеством 5 в точке (о, о)). Пусть (х, х')—
произвольная точка пространства Ст X С. Рассуждая так же,
как при доказательстве теоремы 10, мы установим, что т
координат x'v .... х'т точки х' удовлетворяют условиям
А и В главы III для идеала /(S) в кольце &%?2т, причем
этот идеал является простым, так как росток S регулярен
(предложение 1).
Тогда, согласно теореме о локальном описании (теорема 3
главы III), существуют открытый полицилиндр л0 X п'о с цент-
центром в точке (о, о) и аналитическое множество So в этом
полицилиндре со свойствами, перечисленными в указанной
теореме. При переходе от принятых там обозначений к на-
настоящим х' и So {x'y сохраняют прежний смысл, х заме-
заменяется на (л:, х').
Выберем так полицилиндры я и л' с центром в точке о,
причем Tzcznof\U, л'сл'о, что (я X я') fl S = (n X п') П So и
So (дг')ся Хя' при х' 6 п'. Так как So (xr) = [яП/"! (•*')] X
X {х'\ для любой точки х'?п', то из части А теоремы
0 локальном. описании вытекает утверждение (Ь) и следует,
что n'czf(U); поэтому справедливо и утверждение (а).
(с) Наше условие достаточно в силу теоремы 1 главы I.
Для доказательства его необходимости предположим, что
отображение /1V инъективно: при яс7, р=\. Тогда для
любой точки х' ? я' множество яП/^') состоит из одной
точки g (xr) и в силу классической части теоремы о локаль-
локальном описании (часть С) отображение g голоморфно на л';
fog — тождественное отображение л на я', g (о) = о и,
следовательно, Jf(o) /^.@)= 1. Отсюда вытекает наше утвер-
утверждение.
Замечание. Утверждение теоремы 11 неверно, если
точка а не является изолированной точкой множества
f1 (J(а)). Например, рассмотрим голоморфное отображение
f:fxl, хЛ—*•(¦*{> х'Л пространства С2 на С2, определяемое
равенствами х'х = xv х'2 = х^хТ Если U = \(xv хЛ\ I x11 < 1,
1 лт2 | < 1}, то / (U) не является окрестностью начала.
Следствие 1. Пусть /—голоморфное отображе-
ние открытого множества UczCm в Ст. Если каждая

Локальные свойства аналитических множеств 137
точка а ? U является изолированной точкой множе-
множества /~1(/(а)). то /(?/)— открытое множество в Ст.
Следствие 2. Если f—взаимно однозначное голо-
голоморфное отображение открытого множества UczCm
в Ст, то A) / (U) = V—открытое множество в Ст\
B) якобиан Jf не равен нулю в U; C) f~x—голоморф-
f~x—голоморфное отображение V на U.
Доказательство. Первые два утверждения содер-
содержатся в теореме 11. Голоморфность отображения f~l в не-
некоторой окрестности произвольно взятой точки из V сле-
следует теперь из теоремы 1 гл. I. Этот же результат можно
получить другим путем из теоремы 11.
Замечание 1. Следствие из теоремы 10 и следствие 2
из теоремы 11 доказывают утверждение, содержащееся в за-
замечании, сделанном в конце гл. I.
Замечание 2. А. Картан (Bull. Soc. Math, de France,
67, 1933) доказал, что справедливо следующее замечательное
предложение: если /—голоморфное отображение открытого
множества UczCm в С, то множество [a^U\a не является
изолированной точкой множества / (/ (а))} является ана-
аналитическим в U. В связи с этим см. также работу: Rem-
mert R., Holomorphe und meromorphe Abbildungen komp-
lexer Raume, Math. Annalen, 133 A957), 328—370.
6. Голоморфные функции на аналитическом множестве
в смысле А. Картана [3]. В [3] для аналитического мно-
множества 5 в открытом множестве U определяется тополо-
топологическое пространство 5 и вводятся функции, голоморф-
голоморфные на S. Ниже приводится определение подобных функций.
Мы будем далее называть их просто «функциями, голо-
голоморфными на S».
Определение 3. Пусть S—аналитическое мно-
множество в открытом мноэюестве UczCm, h — комплексно-
значная функция, определенная на S*. Функция h на-
называется голоморфной на S, если она A) голоморфна
на S*; B) ограничена в окрестности каждой точки
а ? S {более точно: для каждой точки a ?S можно
указать такую окрестность V, что функция h\Vf\S*
является ограниченной).

138 Глава IV . ,
Замечание. Функция h называется голоморфной на S*,
если она голоморфна во всех точках S*. Она называется
голоморфной в точке а ? S*, если она удовлетворяет одному
из следующих двух условий (очевидно, эквивалентных друг
ДРУГУ):
(I) Существуют такая открытая окрестность V точки а
в пространстве Ст и такая функция g, голоморфная в V,
что h = g\V(]S*.
(II) Пусть / — такое биголоморфное отображение от-
открытой окрестности V точки а в пространстве Ст на откры-
открытое множество V'czC, что / (S П V) = V П L, где L — аф-
аффинное подмногообразие Ст какой-то размерности k. Тогда
существует такая открытая окрестность WaV точки а, что
hof~l — голоморфная функция в f(WC[S) (в этом случае
/ (W П S) — открытое множество в Сй).
Некоторые непосредственные выводы из
определения 3.
1. Если h и h' голоморфны на 5, то h -f- hf и h * h'
голоморфны на 5.
2. Если функция h голоморфна на аналитическом мно-
множестве 5 в О и открытое множество U'czZJ, то, функция
h\S П W голоморфна на аналитическом Множестве 5 Л U' в LJ'.
3. Если функция h голоморфна на аналитическом мно-
множестве S в U, f — (взаимно однозначное) биголоморфное
отображение U на другое открытое множество U'', то функ-
функция h о/ голоморфна на аналитическом множестве /E)
в U'.
4. (а) Ростки голоморфных функций на аналитических
множествах определяются следующим (вполне естественным)
образом. Пусть 5 — аналитическое множество в открытом
множестве U, точка а ? 5. Рассмотрим пары (V, h), где
VczU — открытые окрестности точки a, h — функция, голо-
голоморфная на V{]S, и положим (V, /г)-—- (V, h'), если суще-
существует такая окрестность WczV (\V точки а, что h^=h' на
W П 5*. Тогда под ростком голоморфной функции на 5
в точке а понимается класс эквивалентности по отношению
к «¦—<» в множестве всех пар (V, h).
(b) Если ha — росток голоморфной функции на5в точке а,
то слова «ha обращается в нуль на Та» имеют обычный

Локальные свойства аналитических множеств 139
смысл, если Тв- является объединением неприводимых ком-
компонент ростка Sa.
5. (Принцип аналитического продолжения).
Если функция h голоморфна на неприводимом аналитическом
множестве 5 в открытом множестве UaCm и для некоторой
точки a ?S росток Ьа, порожденный функцией h в точке а,
обращается в нуль на одной из неприводимых компонент Sa,
то Л==0 на S*.
Этот вывод вытекает из связности множества S* (след-
(следствие 1 из предложения 1, п. 3) и обобщает лемму Ритта
(следствие 3 (с) из того же самого предложения).
6. (а) Пусть 5 и S' — аналитические множества в откры-
открытом множестве U, причем S'czS и dimaS'< dima 5 в каждой
точке а ? S'. Если функция h голоморфна на множестве
S* П °Sf и ограничена в окрестности каждой точки ?5, то ft
есть ограничение на множество S* П CS/ голоморфной функ-
функции, единственным образом определяемой на множестве 5.
(Ь) Пусть 5 — аналитическое множество в открытом мно-
множестве U, росток S = Sa приводим, а Тл Тп(п^2>2) —
аналитические множества в открытом множестве VczU, по-
порождающие неприводимые компоненты ростка S и обладающие
следующими свойствами (предложение 3, п. 2): A) УП^ =
Ur/; <2> если г/= U 7>С/=1. •••• »). то
7=1 . j'±J
(Tj П T'.) < dim,,. T . для любой точки д: ? 7\ П Т}, j=l
а
..., п; C) Vr\S*=\J(T*j(]cT'j). Тогда для любой функ-
ции h, голоморфной на 5, ее ограничение h\S f\Tj вместе
с тем является ограничением на множество 5 П Tj = Tj П СТ]
единственным образом определяемой голоморфной функции
на Tj, j = 1 п.
(с) Пусть 5—аналитическое множество в открытом мно-
множестве U, Sx—неприводимая компонента 5, h — голоморф-
голоморфная функция на S. Тогда ограничение h\S f) ^i вместе с тем
является ограничением единственным образом определяемой
голоморфной функции на Sj.
Предложение 1. Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве UczCm, точка о ? S,
множество S порождает неприводимый росток в точке о,

140 Глава IV
базис в пространстве С"' является k-правильным для
идеала I (S), 1 <[ k <; т — 1. Тогда: (а) существуют такие
открытый полицилиндр я0 с центром в точке о {его
радиусы можно взять как угодно малыми) и главное
аналитическое множество о'0 в л'о (проекции л0 на C*Y
где S0 = k0{\ S является неприводимым аналитическим
множеством в я0 и x?S0, если х ? So и х' =
= (jfj Х)г)€л'о — °о' (Ь) для каждой функции h, голо-
голоморфной на So, существует такой псевдополином
Rh{x', и) относительно и с коэффициентами, голоморф-
голоморфными при х' ?л' (его старший коэффициент равен 1), что
{ueC\R/l(x'o, а) = 0} = {и = /г(х)|х6 50) *' = ^} для лю-
любой точки x'Q ? я^ — о'0 и Rh (xf, h(x)) = O для любой
точки х ? So', (с) если псевдополином R/1(x/, и) содержит
множитель и, то /г^О на So.
Доказательство. Согласно теореме о локальном
описании (теорема 3, гл. III), можно так выбрать как угодно
малый полицилиндр я0 с центром в точке о, что множество
50 = я0П<5 обладает свойствами, перечисленными в (а). Мы
должны только заметить, что множество So неприводимо,
так как содержит всюду плотное связное множество регу-
регулярных точек, именно (х ^ SQI х' ? я^ — а'А. Затем рассмотрим
функции
с (*') = (— \I 2 h (x(ll) (x'j) ... h (xVl> (xf) ),
i<i<<i<p
Они голоморфны при x' ?U'Q = n'Q — a'o, ограничены в
окрестности каждой точки a'Q и, следовательно, согласно тео-
теореме 2, гл. III, имеют единственное голоморфное продол-
продолжение на я^. Получаемые таким образом функции (мы будем
их обозначать через су) обращаются в нуль в начале о' про-
пространства Сй. Положим
Rh (xf, и) = ир + 2 cj (хО иР-1.
7 = 1
Тогда Rh удовлетворяет всем требованиям, указанным в (Ь).

Локальные свойства аналитических множеств 141
(с) Предположим, что ср = 0. Возьмем точку Xq ? U'o-
Тогда при надлежащем выборе индексов j = 1, . . ., р функ-
функции h (ха) (х'))у J = 1, ..., р, будут голоморфны в некоторой
открытой связной окрестности VoczUo точки х0 и их произ-
произведение будете0 на Vo, т. е. функция h окажется тожде-
тождественно равной нулю на So в некоторой окрестности одной
из точек хЧ)(х?\. В силу вывода 5 из определения 3 отсюда
следует, что й = 0 на So.
Лемма 1. Пусть h — непрерывная комплекснознач-
ная функция на открытом множестве UczCm, bx, ...
.... bp — такие функции, голоморфные на U, что
Р(х, h) = hp-\-blhp-l-{- ... -+-?р==0 на U. Тогда функ-
функция h голоморфна на U'.
Доказательство. Возьмем точку а ? U. В силу тео-
теоремы Гаусса (п. 2, гл. II) &№% [и] — факториальное кольцо.
Пусть Р(и) = ир-+-Ъ1ир-1-+- ... -|-Ьр и Р = Р«1 ... р«д,
где a.j — положительные целые числа, Ру ^ &№% [и] — непри-
водимы и взаимно неэквивалентны в кольце @%?% [и], имеют
степень, не меньшую 1, и старший коэффициент, равный 1.
Все рассматриваемые здесь ростки берутся в точке а.
В этих условиях должны существовать: A) открытая
связная окрестность VczU точки а и B) псевдополиномы
Pj(x, и), j=l n, относительно и со старшими коэф-
коэффициентами, равными 1, порождающие в точке а ростки Р;-;
поскольку Р(х, h) = P*4x, a)...Pan"(x, и) при x?V,
то Рг(х, h) ... Рп(х, /г)==0 при x?V. Но дискриминант
произведения Pj . . . Ря отличен от 0. Следовательно, дис-
дискриминант произведения Рх (х, и) ... Рп(х, и), который
является голоморфной функцией на V, не равен тождест-
тождественно нулю. Тогда множество 5 нулей этого дискриминанта
в V является главным аналитическим множеством в V; любой
непрерывный корень произведения Р\(х, Н) . . . Рп(х, К),
в частности h (x), голоморфен на V — 5. Так как ограни-
ограничение h\V непрерывно на V, то h\V — голоморфная функ-
функция на V, в силу теоремы 2, гл. III.
Теорема 12 (А. Картан). Пусть S — аналитическое
множество в открытом множестве U, h — комплекс-

142 Г лава IV
позначная функция, определенная на S*. Тогда утвер-
утверждения (I), (II), (III) эквивалентны:
(I) функция h голоморфна на S* и ограничена a
окрестности каждой точки ?S* (т.е. по определению 3
функция h голоморфна на S).
(II) Функция h голоморфна на S* и обладает сле-
следующим свойством: если точка а ? S и аналитические
множества Tz, ...,Тп(п^-1) порождают в точке а
неприводимые компоненты ростка Sa, то h (х) имеет
конечный предел, когда х—>а при x?S*(\Tj (для каж-
каждого J = 1, .... п).
(III) Функция h непрерывна на S* и для каждой
точки a ?S можно указать ее открытую окрестность
VczU и такие функции bv .... bp, голоморфные в V,
что hp-f- bxhp>-1 -f- ... -4-?рее=0 на множестве l/fl-S*.
Доказательство. Очевидно, что из (II) вытекает (I).
Мы должны доказать, что из (I) вытекает (III), а из (III)
вытекает (II).
1) Предположим, что утверждение (I) справедливо. Тогда
легко видеть, на основании вывода 6 (Ь) из определения 3,
что существует точка a?S, для которой росток S = Sa
неприводим. Возьмем точку а за начало о; пусть базис в про-
пространстве Ст является ^-правильным A^?<^/га—1) для
идеала / (S). Тогда существуют такой открытый полицилиндр
7ioaU с центром в точке о и функции с1; .... ср, голо-
голоморфные в я^ (проекции я0 на пространство Сй\ что [h(x)]p-\-
р
-J- 2 с) О') [^ (х) \р~} = 0 в любой точке х ? я0 П S*.
7 = 1
2) Теперь предположим, что справедливо утверждение (III).
Тогда, в силу предыдущей леммы, функция h голоморфна
на S*. Рассмотрим точку а ? S; множество предельных зна-
значений h (х) при х—> а, х ? S* должно содержаться в мно-
множестве {и ?С| иР-\~Ьх (а)иР-1-^- . . . -\-Ьр(а) = О} и, сле-
следовательно, должно быть конечным. Если росток $а не-
неприводим, то, согласно предложению 2 (Ь), п. 2, существуют
такие, как угодно малые, окрестности W точки а, что
каждое пересечение W П 5* является связным. Отсюда выте-
вытекает, что и множество предельных значений h (х) при х—> а,
х ? 5* связно; в итоге мы приходим к выводу, что это

Локальные свойства аналитических множеств 143
множество сводится к одной единственной точке, т. е. суще-
существует конечный предел h(x).
Если росток Sa приводим, мы рассмотрим множества
Тх, ..., Тп (п^-2), обладающие свойствами, указанными
в предложении 3 (с), п. 2. Тогда для каждого номера j
(J = 1, . . ., я) можно указать такие как угодно малые
окрестности Wj, что все множества Wj ft (t*j ft CTj) оказы-
оказываются связными; в этом случае множество предельных зна-
значений h{x) при х—>а, x?S*ftTj также должно быть
связным и поэтому сводится к одной единственной точке.
Отсюда опять следует наше утверждение.
Следствие. Пусть S — аналитическое множество
в открытом множестве U, S^aS—аналитическое
множество в открытом множестве UlczU.
(а) Предположим, что для любой точки а ?j Sx каждая
неприводимая компонента ростка Sl содержится
только в одной неприводимой компоненте ростка S
{ростки S] а S берутся в точке а). Тогда произволь-
произвольная голоморфная функция h на S следующим об разом
определяет голоморфную функцию hx на Sx: если точка
в 6 *^1 Л S , то hi(a) = h(a); если точка a?S*ift(S— S)
и Тх — аналитическое множество в некоторой откры-
открытой окрестности точки а, порождающее в точке а
неприводимую компоненту ростка S, содержащуюЪх, то
hx (а) — lim h (x).
х-+а, * П 7"
(b) Предположим, что dima5jn(^—S*) < dima5j для
любой точка a^S1ft(S — S*). Тогда предположения
пункта (а), а следовательно, и утверждение п (а) ока-
оказываются верными.
Доказательство, (а) Легко видеть, что функция h
обладает свойством, указанным в п. (III) теоремы 12, по
отношению к множеству 5. Поэтому для любой точки а ? Sx
можно указать такую открытую окрестность V с LJ этой
точки а и функции Ъх, .... Ър, голоморфные в V, что
h"-{-blhp-*+...-\-bp==Q на Kn<S*. Тогда Af-J-Mf + ¦ • •
. ..-|-йр = 0 на Vfl^i- Наше утверждение будет следовать
из теоремы 12, если мы покажем, что функция hx непре-

144 Глава IV
рывна на Sj. Эта непрерывность очевидна в точках
о- 6 S'i П 5 . а следовательно, и в тех точках а ? S* П (S — Sj,
где 5 порождает неприводимый росток, так как в послед-
последнем случае h1(a)= lim h{x).
?S*
Рассмотрим случай, когда точка а принадлежит
S* П (S—S*), а росток S = Sa приводим. Тогда, согласно
предложению 3, п. 2, существует открытая окрестность WczU1
точки а и аналитические множества Т1 Тп (п^-2)
в W, порождающие в точке а неприводимые компоненты
л
ростка Sa со следующими свойствами: A) W (] 5 = JJ 7"/,
.7 = 0
B) Wf[Sl<=iTx; C) |Л(лг) —AjCe)! <е (е > 0 — данное
п
число) для любой точки х ? S* П 7*i; D) если 7^ = М 7"-, то
множество 7"i П СТ\ связно и всюду плотно в 7\.
Из свойства D) вытекает, что множество Тг связно,
т. е. что 7"j — неприводимое аналитическое множество в W
(следствие 1 из предложения 1, п. 3). Из свойств B) и C)
вытекает, что |Л,(дг) — h1(a)\<ie для любой точки
х g W П 5t П 5*. Возьмем точку х ?W r\S*iC\(S — S*). В силу
свойства A), всякая неприводимая компонента ростка $х
является неприводимой компонентой или ростка (Tj)^, или
ростка (Ti)^.. Согласно свойству B), росток (Si)x содержится
в некоторой неприводимой компоненте ростка (Ti)^, которая
в свою очередь содержится в какой-то неприводимой ком-
компоненте ростка Sx. Если последняя является неприводимой
компонентой ростка (Ti)x, to (так как Тг — неприводимое
аналитическое множество в W) 7\ с: Т[, согласно след-
следствию 3 (с) из предложения 1, п. 3. Итак, неприводимая
компонента ростка S^., содержащая (Sj)x, всегда является
неприводимой компонентой (Tj)^ и из свойства C) вытекает,
что | А, (х) — А, (а) | < е.
(Ь) Пусть точка а ? Sx и росток S1 = (S1)a приводим,
G'1I,_..., (Т1)п , «j^>1,—-аналитические множества в от-
открытом множестве W, порождающие в точке а неприводи-

Локальные свойства аналитических множеств 145
мые компоненты ростка Si и W f) Sx = jj (Tx)j. Если утвер-
ждение (а) не имеет места для точки а, то существует такая
открытая окрестность WxczW точки а, что (например)
W, П (Г,), с: IF, П (Г, nr2)c5-S*
(см. вывод 1 из предложения 3, п. 2); тогда 5г и 5Х П (S—S*)
порождают один и тот же непустой росток в точке а при
п1=1, а при «j^2, если некоторая точка ? (? М (T{)j, то
0 ? tt^i Л <Ti)i- Отсюда следует утверждение (Ь).
Предложение 2. Пусть S и S'— аналитические
множества в открытом множестве U a Cm, S' с: 5",
точка a?S', V—некоторая окрестность точки а,
S и S' — ростки, порождаемые множествами S и Sf
в точке а, причем росток S неприводим и dim S' <C dim S
{т. е., согласно следствию 1 (с) из предложения 3, п. 2,
S'^F S), функция h голоморфна на S и h{x)—>0, когда
х—>а, x?S*. Тогда или росток h тождественно равен
нулю на S или h(V {] S* f] CS') (J {0} является окрестностью
точки 0 на С.
Доказательство. Примем точку а за начало о.
Сначала предположим, что dimS=l: в пространстве Ст
существует базис, 1-правильный для идеала /(S), если
полицилиндр я0 из предложения 1 взять достаточно малым,
Oq={0} и яоп5'=(о}. Псевдополином Rh.(xi> я) =
р
= ир -j- S су (-^l) мР~'; из предложения 1 является отмечен-
J i
ным, так как й(д:)—>0, когда х—>о, x?S*, и по предло-
предложению I й^О на Яд П 5*. если ср^0.
Если ср ф 0, можно предположить, что ср (хг) ф 0 при
0 •< | at2 | <; г. Тогда для любого комплексного числа А- =#= 0
с достаточно малым [А,|, R/l(xl, k) = 0 для некоторого хг,
0 < I xi \ < г' т- е- А = "К для какой-то точки ? я0 |"| 5* П CS'.
Таким образом, предложение 2 верно, если dim S = 1.
Теперь предположим, что предложение 2 верно, если
dim S < k, 2 <; k ^ m — 1. Пусть dim S — k. Возьмем базис
в пространстве Ст ^-правильным для идеала /(S); тогда

146 Г лав а IV
мы сможем опять найти такой открытый полицилиндр noc:U
е центром в точке о и произвольно малыми радиусами, что
множество So = я0 П 5 будет обладать свойствами, указан-
указанными в предложении 1; будет существовать такая функция ср,
голоморфная на я^ (проекции я0 на Сй), равная нулю в на-
начале о', что если h(x) = O, x^nof\S*, то ср(х/) = О,
а если ср^0, то Л^О на я0 П 5*.
Если ср ф О, мы можем принять, что S' :э 5 — S*.
Так как dimS'^jfe. то, согласно предложению 4, п. 2,
базис в пространстве С" не может быть ^-правильным для
идеала /(S')- Тогда, если полицилиндр я0 взят достаточно
малым, то существуют A) такая функция с', голоморфная
на Яд, </(о') = О, с'фО, что с'(л:') = О при лг^ЯоП^';
B) такая функция <р, голоморфная на я^, причем ф(о') = О,
Ф ф О,. что ростки, порожденные функциями срс' и <р
в точке о', будут взаимно простыми в кольце Stfk. Дей-
Действительно, мы можем так выбрать базис в пространстве Сй,
что (срс') (О, .... О, xk) ф 0 в некоторой окрестности
точки xk = 0 в плоскости С и затем взять за ср любую
функцию, удовлетворяющую условию ф ? <gffl' -1— {0}.
Так как So — неприводимое аналитическое множество в я0,
то, согласно следствию 1 из теоремы 9, аналитическое мно-
множество 2 i= [х ? So |ф (л:') = 0} в полицилиндре я0 имеет
размерность k — 1 в любой точке из Е. Поэтому суще-
существует аналитическое множество Sj с: Е в некоторой окрест-
окрестности U1czn0 точки о, содержащее точку о, порождающее
в точке о неприводимый росток Sj и имеющее размерность
k-—1 в каждой точке ? Sx (см. предложение 3, п. 2).
Благодаря нашему выбору функции ф, множество общих
нулей функций с с' и ф в л'о имеет размерность k — 2
в точке о' (см. замечание к следствию 2 из теоремы 9).
Тогда, согласно следствию 1 из предложения 4, п. 2, суще-
существует такое двумерное линейное подмногообразие L' в Ск,
что точка о' является изолированной точкой пересечения L'
и указанного выше множества общих нулей функций срс'
и ф в я^. Подмногообразие L' является проекцией на Ck
некоторого такого (т. — k -\~ 2)-мерного подмногообразия L

Локальные свойства аналитических множеств 147
пространства Ст, что точка о оказывается изолированной
точкой множества L П Sx П S'. Используя снова следствие 1
из предложения 4, п. 2, мы заключаем, что dima5j n S' ^
<; k — 2. Отсюда вытекает, что если точка o?S— S*, то
dim0 [Sx П (S—S*)\ ^ k — 2. Поэтому, если окрестность Ux
взята достаточно малой, то dinr,, \SX f\(S — S*)} < dinij. St
для любой точки х ? [Sj П (S — S*)]. Тогда, согласно след-
следствию из теоремы 12, функция h порождает на 5Х такую
голоморфную функцию hv что hx(x)—>0, когда х—>о,
х ?S\*.
Допустим, что росток hj обращаемся в нуль на ростке
аналитического множества Sj. Тогда существует такая откры-
открытая окрестность V, с: Ux точки о, что А^О на V\ П S\ П S*,
или V, П 5j П 58; иными словами: если х ^V1(]S1, то
или х ? 5 — S*czSr, или h (х) = 0. В обоих случаях
{cpcf) {xf) — ф (х') = 0 и точка о является изолированной
точкой пересечения L^\Slt что противоречит равенству:
dim Sj = k — 1. Итак, росток hj не может обращаться в нуль
на ростке S^ и так как dimoSj П 5' < dim,^ < k, то для
некоторой окрестности V точки о, hx (V П -^i П °S') U {0} или
h(VnS*[)cS')u {0}, а тем более h (V П S* f\ CS') U {0}
является окрестностью точки 0 на плоскости С.
В случае, когда dimS = /ra, множество 5 рассматри-
рассматривается как подмножество пространства Cm+1.
Следствие 1. Пусть S — неприводимое аналити-
аналитическое множество в открытом множестве U. Тогда
любая функция h, голоморфная на S, или постоянна,
или определяет открытое отображение множества S*
в С в следующем смысле:
Пусть а ? S, Т — аналитическое множество в неко-
некоторой открытой окрестности точки а, порождающее
в точке а неприводимую компоненту Та ростка Sa.
Тогда множество h (S* П Т) U [X} является окрестностью
точки А. в С; здесь Я. = lim h (x).
х-э-а, x?S*[]r
Доказательство. Если для точки а росток Sa при-
приводим, мы воспользуемся выводами 5 и 6 (Ь) из определе-
определения 3 и предложением 2, где взято Т}- вместо 5 и
Тj П Т] вместо 5 .

148 Глава IV
Следствие 2 (принцип максимума). Пусть S — ана-
аналитическое множество в открытом множестве U,
h — функция, голоморфная на S. Если существуют
точка a?S и такое аналитическое множество Т в ка-
какой-то открытой окрестности точки а (порождающее
в точке а неприводимую компоненту Та ростка Sa),
lim h (х)
= supjAj, то h = const на
что
5*
Здесь Sx — такая неприводимая компонента S, что 1а
является неприводимой компонентой (Sx)a (см. предло-
предложение 2, п. 3).
Доказательство. Согласно выводу 6 (с) из определе-
определения 3, функция h\S П «Si является ограничением на 5* П «Si
голоморфной функции hx на Sx. Так как множество 5 П «Si П Т
пересекает любую окрестность точки а, то lim hx(x) =
= lim h (x). Следовательно,
lim hx (x)
х ->а, х{
= sup|A1| и по следствию 1 функция hx является постоянной.
Теорема 13. Пусть S—аналитическое множество
в открытом множестве UcCm, h — функция, голо-
голоморфная на S, S' — замыкание в U (или в S) мно-
множества {х ? S*\h (x) — 0). Тогда
(a) 5' — снова аналитическое множество в U;
(b) для любой точки a?S', dimaS'^>—1-\-к; здесь
¦к — наибольшая из размерностей тех неприводимых
компонент Sn множества S, которые служат замыка-
замыканиями соответствующих множеств [х ? 5* П «S^|/z(x)—О};
(c) если росток S неприводим, то или Л^О, или
dima5/ = dimo5—1 в любой точке a?S'.
Доказательство. Пусть [sn] —счетное семейство
связных компонент множества S* и {?„}—семейство не-
неприводимых компонент множества S; для каждого номера п
множество Sn является замыканием множества sn в U и
ж *
sn = b П Sn. Так как рассматриваемое семейство множеств
является локально конечным в U, нам достаточно показать,
что для любого номера п замыкание Sn множества
[х ? sn\h (x) = 0} в (J является аналитическим множеством

Локальные свойства аналитических множеств 149
в if n что для произвольной точки a?Sn, u\maSn = kn
или kn— 1. Здесь kn—: постоянная размерность Sn.
Сказанное очевидно, если kn = О или пг, или Л|,^ = П,
Пусть l^k^m—1 и h\sn5jk0. По условию, sn — непри-
неприводимое ^„-мерное аналитическое множество в U — (S —S*),
состоящее только из регулярных точек. Поэтому [х ? sn\ /z(jc)~
= 0}—(kn—1)-мерное аналитическое множество в U—E—5*).
Следовательно, в силу предложения 3 п. 3, теорема 13 будет
доказана, если мы установим, что для каждой точки
а ? Sn П (S - - S*) можно указать {kn—1)-мерное аналити-
аналитическое множество в открытой окрестности nQcU точки а,
содержащее множество {х ? я0 П sn\h (х) = 0}.
Если росток, порождаемый множеством Sn в точке а,
неприводим, мы возьмем T = Sn, V = U. В противном слу-
случае мы примем за Т одно из аналитических множеств Т,
в открытой окрестности VcU точки а, обладающее свой-
свойствами, указанными в выводе 6 (Ь) из определения 3 (с за-
заменой в нем 5 на Sn): легко найти (kn—1)-мерное анали-
аналитическое множество в открытой окрестности jIqCV, содер-
содержащее множество {х ? л0 fl sn П T*\h (x) = 0}. Если базис
в пространстве С является &л-правильным для идеала /(Та),
то, согласно предложению 1 и выводам 6 (Ь) и 6 (с) из опре-
определения 3, существуют открытый полицилиндр ftoczV с цент-
центром в точке а и функция ср, голоморфная на я^(проек-
я^(проекция я0 на Сйл), такие, что: (I) Т0 = п0Г\Т* — неприводимое
аналитическое множество в я0; (II) в любой точке х ? я0 П
П sn П Т*. если h (х) = 0, то ср(х') = 0, где х' = {хх xftj;
(III) если cp=s0, то /г|яо fl sn П Т*==0 и поэтому, в силу
принципа аналитического продолжения, /z|sn^s0. Итак, ср^ф0
и поскольку ^— неприводимое аналитическое множество в я0,
согласно следствию 1 из теоремы 9, [х ? Т0\ср(х/) = 0}
есть (kn—1)-мерное аналитическое множество в я0, содер-
содержащее множество [х ^я0 П sn П T*\h (x) = 0}, что и требо-
требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть S—аналитическое множество
в открытом множестве f/crC", точка о ?5, 5 поро-
порождает в точке о неприводимый росток S, & = dimS,
1 ^ k 4^ т — 1. Тогда точка о имеет такую окрестность

150 Глава IV
VczU, что УПE —5*)={х6^П5|р;. (х) = 0 для всех /}.
где [р]\ —некоторое конечное семейство функций, голо-
голоморфных в V, устроенное следующим об разом: для
каждого номера j можно указать такой базис &j
в пространстве Ст, являющийся к-правильным для
идеала /(S). и такой открытый полицилиндр Яу (отно-
(относительно этого базиса) с центром в точке о, VcuijcU,
что пересечение Sj = ny(]S будет обладать свойствами,
указанными в теореме о локальном описании (тео-
(теорема 3, гл. III) по отношению к базису &j и, наконец,
такую линейную форму lj над Ст, что (далее совокуп-
совокупность первых координат по отношению к базису J?7- обозна-
обозначается одной буквой x'ji л\ — {х1. | х ? я }; р. — макси-
максимальное число точек из 5,-, отвечающих какой-либо точке
Xj?KrJ),pj(x) = -^rRJ(x'r 1}.(х)), где R}{x'., и) —такой
отмеченный псевдополином степени pj относитель-
относительно и с коэффициентами, голоморфными на я' что
[ueC\Rj(x^, и) = 0} = {« = /,. (x)|x?S,, х) = х'о) для
любой точки x'Q?n'.
Доказательство. Лемма вытекает из соображений,
приведенных в первом доказательстве теоремы 6, замечания
к следствию 1 из теоремы 3 и части (В, а) теоремы о ло-
локальном описании.
Определение 4. Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве UdCI", точка а ? 5.
Функция v, голоморфная в некоторой открытой окре-
окрестности VczU точки а, называется универсальным
знаменателем для S в точке а, если (I) росток v (все
ростки берутся в точке а) не обращается в нуль ни
на одной неприводимой компоненте ростка S; (II) для
любой открытой окрестности VcV точки а и про-
произвольной голоморфной функции h на V ("| 5 можно
указать голоморфную функцию в некоторой окре-
окрестности WczV точки а, имеющую то же самое огра-
ограничение на множество W n 5*, что и функция vh.
Теорема 14 (К. Ока). Пусть S — аналитическое
множество в открытом множестве UcCm, начало о ? 5,

Локальные свойства аналитических множеств 151
(a) Если множество S порождает в точке о непри-
неприводимый росток, то существует такое целое число
п > 0, что любая функция v, голоморфная в некото-
некоторой открытой окрестности точки о и равная нулю
на S—S* в некоторой окрестности точки о или равна
нулю на S в какой-то окрестности точки о, или vn
является универсальным знаменателем для S в любой
точке a?S, достаточно близкой к о.
(b) В любом из рассматриваемых случаев суще-
существует функция v, голоморфная в некоторой окре-
окрестности точки о, являющаяся универсальным знаме-
знаменателем для S во всякой точке a?S, достаточно
близкой к о.
Доказательство, (а) Пусть S — росток, порожда-
порождаемый множеством 5 в точке о, k = dim S (мы можем при-
принять, что 1 -^ k -^ т—1). Предположим, что базис в про-
пространстве Ст является ^-правильным для идеала / (S),
noczU — такой открытый полицилиндр с центром в точке о,
что множество S0 = n0C\S обладает свойствами, перечислен-
перечисленными в теореме о локальном описании (теорема 3, гл. III),
Rl(x/, и) (мы сохраняем обозначения этой теоремы) — отме-
отмеченный псевдополиномом, соответствующий линейной форме /,
заданной над пространством Ст, с коэффициентами, голо-
голоморфными на Лд. Корни этого псевдополинома при х' ? U'o ==
= Яц — о'0 суть /(jcU)(*')), j=\, ..., p.
Для произвольной голоморфной функции h на So и точки
х'?U'O образуем выражение
Х(х\ в).==
= 2 /A (xU) (х') ) Л [и—1 (x(J') (x'))] I. (*)
к/<р I 1</'<р, уф] S
Оно представляет собой псевдополином степени ^. р — 1
относительно и. Так как его коэффициенты голоморфны
на U' и ограничены в окрестности каждой точки o'Q, то этот
псевдополином может быть голоморфно продолжен на л'о.
Тогда X (х', I (х)) станет голоморфной функцией на я0
и будет иметь место равенство
~Rt(x', l(x))h(x) = X{x', l(x)) для любой точки x^S*. (**)

152 Г лава IV
Таким образом, -з—Rt(x', 1{х)) или порождает в точке о
росток, равный нулю на S, или является универсальным зна-
знаменателем для 5 в точке о. Мы пользуемся здесь тем, что
полицилиндр я0 можно взять как угодно малым.
Пусть точка а ? Ст и а' — проекция а на С*. Тогда
представляется возможным построить последовательность
открытых полицилиндров я, nv . . . (произвольно малых ра-
радиусов) со следующими свойствами: (I) центром я служит
точка а, центрами щ, п2, ...—другие точки из S0(a') (мы
сохраняем обозначения, принятые в теореме о локальном
описании); (II) я, я^ я2, . . . содержатся в я0, взаимно не
пересекаются и имеют одну и ту же проекцию я' на про-
пространство Ск; (III) объединение я, я^ я2, . . . содержит S0(x')
для любой точки х'^я'.
Пусть нам дана на я П 5 голоморфная функция h. Мы
положим h^O на я1 Л $*> я2 П 5*, ... и составим выраже-
выражение (*) для функции h и точек х' ?я' П U'o. Тогда X (х', I (х) )
будет голоморфной функцией на я и соотношение (**) будет
для нее справедливо при лг?яП5*. Таким образом, в любой
точке а ? So одна и та же функция -я— Rl(x/, l(x)) является
универсальным знаменателем для 5, исключая случай, когда
эта функция порождает в точке а росток, равный нулю на
некоторой неприводимой компоненте ростка Sa. Наконец, за-
заметим, что так как 50 — неприводимое аналитическое мно-
множество в я0, то по следствию 3 (с) из предложения 1, п. 3, если
функция -г— Rt (х', I (х) ) в какой-то точке а ? So порождает
росток, равный нулю на одной из неприводимых компонент
ростка Sa, то эта функция тождественно равна нулю на 50.
Иными словами: функция -^—Rl{x', l(x)) или тождественно
равна нулю на 50, или является универсальным знаменателем
для So в любой точке а ? So.
Из следствия 2 из теоремы 7, леммы 2 и только что по-
полученного результата вытекает, что существует открытая
окрестность VczU точки о и конечное семейство функций р^,
/= 1, .... q, голоморфных в V, обладающих следующими
свойствами:

Локальные свойства аналитических множеств 153
(I) V П 5 — неприводимое аналитическое множество в V-
(II) Vn(S— S*)={x6^nS|pyO) = 0, У=1 q};
(III) p^ (для каждого J) является универсальным знамена-
знаменателем для S в любой точке а ? V П 5.
Рассмотрим функцию v, удовлетворяющую условиям,
указанным в (а). Тогда благодаря свойству (II) идеал, по-
порождаемый в кольце ¦?%?'" идеалом /(S) и ростками ру-, оп-
определяет в точке о росток аналитического множества, по-
порождаемый там множеством 5 — S*. Согласно теореме о ну-
нулях (следствие 3 из теоремы 2), этот идеал обязательно
содержит функцию vn для надлежащего целого п > О, которое
зависит только от 5. Если окрестность V достаточно мала,
то функция v голоморфна в V и для каждого номера j =
= 1 q существует такая функция фу, голоморфная на
V, что
я
(IV) vn — 2р/Р,- = Р "a VftS.
Пусть точка a^VflS, V'czV — открытая окрестность
точки a, h — голоморфная функция на V' Л 5. Тогда, бла-
благодаря свойству (III), существует окрестность WC.V точки а
и функция Uj, голоморфная на W (д.ля каждого номера j =
= 1, .... q), такие, что и, и р;-А будут иметь одно и то же
ограничение на W Л 5*. В этом случае, в силу свойства (IV),
q
функции 2 uj4>j и v"h тоже будут иметь совпадающие ог-
ограничения на W П S*, т. е. vn есть универсальный знамена-
знаменатель для 5 в точке а, исключая с/гучай, когда функция v
порождает в точке а росток, равный нулю на одной из не-
неприводимых компонент ростка Sa. Наконец, благодаря свойству
(I) и следствию 3 (с) из предложения 1, п. 3, или v^O
на V П 5, или Vя является универсальным знаменателем для 5
в любой точке а ? V П S.
(Ь) Если множество 5 неприводимо, то утверждение (Ь)
является непосредственным следствием утверждения (а). Итак,
рассмотрим случай, когда Тх Тл (п ^- 2)—неприво-
2)—неприводимые компоненты ростка S. Если VczU — достаточно малая
окрестность точки о, то в V существуют аналитические
множества Tj и голоморфные функции fj, Vj, У == 1. •••» я.

154 Глава IV
обладающие, помимо свойств, указанных в выводе 6 (Ь) из
предложения 3, еще следующими свойствами: (I) функции /•
тождественно равны нулю на множестве Т,- = \J Т:,, но f ¦ ф О
i'=hi J
на Ту, 7=1 п; (II) Vy— универсальный знаменатель
для Tj в любой точке ? Г;-, 7"=1. • ¦•> п; (III) существуют
такие открытые окрестности WydV точки о, что Wу ( Ту — не-
неприводимое аналитическое множество в W ¦ (см. предложение
3 (с), п. 2), ]— 1, ..., га. Благодаря свойствам (I), (III)
и следствию 3 (с) из предложения 1, п 3, росток, порожда-
порождаемый функцией fj в какой-либо точке a ?Wy (]Ту, не может
равняться нулю на какой-либо неприводимой компоненте,
порожденной Ту в точке а.
п
Мы утверждаем, что функция v = 2//иу являетсяунивер-
(га \
П ^,-1 П «5.
л
Действительно, пусть дана открытая окрестность V'c: f) W/
точки а и функция А, голоморфная на V Q S. Тогда,
благодаря свойству (II), существует открытая окрестность
WczV точки а и такие функции Uy, J = 1, ..., ti,
голоморфные на W, что: или а^Ту и тогда W П Ту= 0,
или а ?Ту и тогда функции и у и Vyh имеют одно и то же
ограничение на W(]Tyf\cTy (см. вывод 6 (а) из опреде-
определения 3 с заменой в нем S на V f\Ty n S' на V' Л Tj П Ту).
я
Следовательно, функции 2/,м/ и v^ имеют одно и то же
ограничение на WflS*; с другой стороны, если точка а?Ту,
то росток, порождаемый в точке а функцией fyVy, не может
быть равным нулю ни на одной неприводимой компоненте
ростка, порождаемого множеством Ту, и то же самое должно
быть верным для ростка va, порожденного функцией v в точке а.
Каждая неприводимая компонента ростка Sa, порожденного
множеством S, является неприводимой компонентой одного
из ростков, порожденных множествами Ту 9 а, следовательно,

Локальные свойства аналитических множеств 155
росток va не может равняться нулю ни на одной неприводимой
компоненте ростка Sa и доказательство теоремы 14 завершено.
Предложение 3. Пусть S — аналитическое мно-
множество в открытом множестве UczCm, точка a?S.
Тогда следующие два утверждения эквивалентны'.
(I) число 1 является универеальным знаменателем
для S в точке а.
(II) Росток Sa, порождаемый множеством S в точке а,
неприводим и область целостности s%?™//(Sa) цело-
замкнута в своем поле отношений.
Доказательство. Далее точка а принята за начало
о, Sa = S.
1. Пусть (I) имеет место: для любой открытой окрестности
VczU точки о и произвольной функции п0, голоморфной
на V П 5, можно указать функцию, голоморфную в некоторой
окрестности WC.V точки о, имеющую на W Л S* то же ог-
ограничение, что и функция п0. Последнее невозможно, если
функция /г0 определена на V Л 5' равенствами h0 | Г*- Л СТ) = j
для J= 1, ..., п (сохраняются обозначения, принятые в вы-
выводе 6 (Ь) из определения 3). Следовательно, росток S не-
неприводим.
Пусть f*/g* — элемент поля отношений кольца 3&m/[ (S),
принадлежащий целому замыканию этого кольца: /* и g*
суть образы ростков f ? S6m и g ? ??вт —/(8)при каноническом
р
отображении J^m->,J^m//(S), причем fp +2 byf~V €'<S).
а каждый коэффициент by ? ?/вт. Пусть VczU такая ок-
окрестность точки о, что A) V П 5 — неприводимое аналити-
аналитическое множество (см. следствие 2 из предложения 1, п. 3);
B) в ней существуют голоморфные функции /, g, Ьj, j =
= 1, ..., р, порождающие в точке о ростки f, g, by. Так
как g(f/(S), то, согласно следствию 1 из теоремы 9, для
любой точки x?S'— {x?V[)S\g(x) = Q} будет dim^S' <
< dim^ (V Л S). Заметим далее, что функция f/g\V Л S* Л с^г
голоморфна на V Л S* П CS' и ограничена в окрестности
р
каждой точки ?V П 5, поскольку (f/gf-\-'2i?>j(f/g)p~J=0
на Vn5*nc5'r (см. следствие 3 (с) из предложения 1,

156 Г лава IV
п. 3). Следовательно, согласно выводу 6 (а) из определения
3. f/g\Vf\S* C\CS' есть ограничение на V |~| S* ( ^ функ-
функции п0, голоморфной на V'flS. Итак, функции / и gh0 имеют
одно и то же ограничение на множество V П 5* и сущест-
существует функция h, голоморфная в некоторой открытой окрест-
окрестности Wc^V точки о, имеющая на W fl S* то же ограничение,
что и функция п0. Тогда / — gh^O на Wf]S*, а следо-
следовательно, и на WftS, т. е. f* = g*h*.
2. Пусть (II) имеет место; рассмотрим открытую окрест-
окрестность VaU точки о и функцию п0, голоморфную на V Л 5.
В силу теорем 12 и 14, существуют такие функции /, g,
bj, 7=1 Pi в открытой окрестности V czV точки о,
р .
причем g(f/(S), что h^~\~^bjho~} ^0 на V' П 5* и функ-
ции /, gh0 имеют одинаковые ограничения на V'f\S*. Тогда
р
ip~\- 2 b 4P~JgJ 6 ^(S). т. е. (мы сохраняем прежние обо-
) = \
значения) f*/g* принадлежит целому замыканию кольца
e%?m//(S). Следовательно, существует такая открытая окрест-
окрестность WczV' точки о, что множество W (~\ S оказывается не-
неприводимым, и такая функция h, голоморфная на W, что
f — gh ?/(S) и поэтому / — gh==0 на W f| 5 (согласно след-
следствию 3 (с) из предложения 1, п. 3). Множество W [") S* [") CS',
где 5' = {х ? W П S\g(x) = 0}, оказывается (в силу того же
следствия) всюду плотным в Wf\S*; функции h и hQ имеют
одинаковые ограничения на W f] S* (]CS/, а значит, и на
Wf[S*. Предложение доказано.
Определение 5. Пусть S — аналитическое мно-
множество в UczCm, точка a?S. Росток $а, порождаемый
множеством S в точке а, называется нормальным,
если выполнено условие (I) ила (II) предложения 3.
Замечание. Из глубокой теоремы Ока вытекает, что
множество точек а ? S, для которых росток Sa не является
нормальным, снова является аналитическим множеством в U
(см. [3]). При этом оказывается: если росток Sa является
нормальным, то ростки Sx для всех х ? 5 и достаточно
близких к а тоже являются нормальными и, следовательно,
неприводимыми.

Локальные свойства аналитических множеств 157
7. Голоморфные функции на аналитическом множестве
в смысле Р. Реммерта. Мы рассмотрим сейчас класс функ-
функций на аналитическом множестве 5, более узкий сравнительно
с тем, о котором шла речь в п. 6. Этот класс функций был
изучен Р. Реммертом [4а]. Его рассмотрение на 5 в ка-
качестве класса голоморфных функций представляется более
естественным, поскольку он состоит из функций, опреде-
определенных всюду на множестве 5.
Определение 6. Пусть — S аналитическое мно-
множество в открытом множестве UcCm. Комплексно-
значная функция h, определенная на 5, называется
С-голоморфной на S, если она непрерывна на S, а функ-
функция h\S* голоморфна на S*.
Замечание. Если функция h С-голоморфна на S, то
функция h\S* голоморфна на 5. Обратное утверждение
неверно, что показывает следующий пример. Пусть 5={(Xj,
х^\х\-+-х\ — х2 = 0]с:С2. Тогда 5*=S—{0}. Функция
(xv х2) —> x2/Xj голоморфна, но не С-голоморфна на 5. Од-
Однако, в силу теоремы 12, указанное обратное утверждение
правильно для множества S, порождающего неприводимый
росток во всех своих точках.
Очевидно, что теоремы п. 6 верны для С-голоморфных
функций. В частности, остаются правильными принцип ана-
аналитического продолжения, теорема о размерности (теорема
13), если в них заменить функции «голоморфные на S»
функциями «С-голоморфными на S». Из предложения 2 п. 6
вытекает:
(a) Пусть 5 — неприводимое аналитическое множество
в открытом множестве U. Тогда функция h, С-голоморфная
на 5, или постоянна, или определяет открытое отображение
5 в С в следующем смысле: если точка а ? 5 и Т — такое
аналитическое множество в какой-то открытой окрестности
точки а, что Та — неприводимая компонента Sa, то h (Г) есть
окрестность точки h {а) в С.
(b) (Принцип максимума). Если функция h С-голоморфна
на 5 и \h\ достигает максимума в некоторой точке а ? S, то
функция h постоянна на связной компоненте 5, содержащей
точку а.
Из теоремы 12 вытекает

158 Глава IV
Теорема 15. Пусть S—аналитическое множество
в открытом множестве UaCm. Комплекснозначная
функция п, непрерывная на S, в том и только в том
случае С-голоморфна на S, если для каждой точки
a?S существует такая окрестность VcU точки а
и такие функции Ьг Ьр, голоморфные на V, что
=зО на V ПЗ-
Следствие (Реммерт). Если функция h С-голоморфна
на аналитическом множестве Sв U, SlcS— аналитиче-
аналитическое множество в открытом множестве U1czU, то функ-
функция h\S1 С-голоморфна на Sj.
В заключение мы докажем
Предложение 1. Пусть S—аналитическое мно-
множество в открытом множестве UcG71, g— такое го-
меоморфное отображение S на открытое множество
X czdk (k ~^- 1). что g~x— голоморфное отображение X
в Ст. Тогда
(a) dimaS = k и росток Sa неприводим в любой точке
S
(b) функция h, определенная на S, С-голоморфна
на S тогда и только тогда, когда функция h°g~1
голоморфна на X.
Доказательство, (а) Пусть точка а ? S*, Vcz U — от-
открытая окрестность точки а, / — такое взаимно однозначное
биголоморфное отображение V на открытое множество V'crC™,
что / (V П S) = V П L, где L— аффинное подмногообразие
в Ст. В этих условиях / о g~1\g(V fl S) есть взаимно од-
однозначное голоморфное отображение g (V Л S) на V'[\L.
Здесь g(V(\S) — открытое множество в Сй, V [\ L — от-
открытое множество в С'1"^. Тогда, по следствию из теоремы
10, d\maS = k; отсюда вытекает, что dAmaS = k для любой
точки а ? S.
С другой стороны, для произвольного аналитического
множества TaS в открытом множестве VaU, g(T) есть
аналитическое множество в открытом множестве g (V f] S)czX.
Рассмотрим точку a ?S; пусть VcU — открытая окрестность
точки а, Тх, Т2 — два таких аналитических множества в V,
что V П 5 = Тх U Т2; тогда g {V П S) = g (TJ U g (T2); отсюда,

Локальные свойства аналитических множеств 159
далее, вытекает, что или g(T^), или g G*2) совпадает с g(V f[S)
в некоторой окрестности точки g (а). Следовательно, или 7\,
или Т2 совпадает с 5 в некоторой окрестности точки а, т. е.
росток Sa неприводим.
(Ь) Мы сохраним обозначения, введенные при доказательстве
(а). Предположим, что функция h о g~l голоморфна на X;
тогда функция h непрерывна на 5. Возьмем точку а ?5*.
Так как / ° ^—1 j^ (V П S) есть взаимно однозначное голоморф-
голоморфное отображение ^(Vfl^) на V П ?> то, в силу следствия 2
из теоремы 11, g ° f~l\V {\L есть голоморфное отображение
V [\L на g (V[\S) и функция h ° f~^\V' П L = {h о g-i) о (g о
°/~1)|^//П^ оказывается голоморфной на V'fli- Таким
образом, функция h С-голоморфна на S.
Теперь предположим, что функция h С-голоморфна на S.
Тогда функция hog'1 непрерывна на X. Пусть точка a ?S*.
Тогда, согласно определению 3A), существует такая откры-
открытая окрестность Wc:Vto4kh а, что функция h° /~г\/ (W Л «5)
будет голоморфна на / (W f) S). В этих условиях функция
hog-^\g(WuS)={{ho'f-i)o(fog-i))\g(W(\S) будет го-
голоморфной на g (W П S) (открытом подмножестве X, со-
содержащем точку g (а)). Этот результат показывает, что
функция h о g~l\g (S*) голоморфна на g (S*) (всюду плотное
подмножество в X). Так как 5 — 5*—аналитическое мно-
множество в V (теорема 6), то g (S — S*) = X — g E*) — ана-
аналитическое множество в X. Отсюда вытекает, согласно тео-
теореме 2, гл. III, что функция h о g~l голоморфна на X, что
и требовалось доказать.
Замечание. Следствие из теоремы 15 и предыдущее
предложение показывают, что класс С-голоморфных функций
в точности совпадает с классом голоморфных функций, рас-
рассмотренных Реммертом [4а].

ЛИТЕРАТУРА
Следующая литература была существенно использована при
подготовке этой книги; ссылки на эти источники во многих местах
книги опущены.
[1] Бохнер С. и Мартин У. Т., Функции многих комплекс-
комплексных переменных, ИЛ, 1951 (особенно гл. VII, IX, X).
[2] В о u r b a k i N.. Topologie generate, Paris (особенно гл. X).
[3] С art an H., Semlnaire, Ecole Normale Superieure, Paris,
1951 — 1952 (особенно сообщения XII. XIV). 1953—1954 (осо-
(особенно сообщения VI. VII, VIII, VIII bis, IX, X).
[4] Reramert R., Stein K., Ober die wesentlichen Singularitaten
analytischer Mengen, Math. Ann.. 126 A953), 263 (особенно
§§ 1. 2, 3).
[4a] Remmett R., Projektionen analytischer Mengen, Math. Ann.,
130 A956), 410 (особенно §§ 1. 2).
[5] Samuel P., Algebre locale et ensembles analytiques, Seminai-
re d'Analyse Fac. Sc. Paris, 1957—1958 (особенно n° 1, 2, 3).
[6] В а н-д ер Варден, Современная алгебра, I, M., 1947.
[6a] В а н-д ер Варден, Современная алгебра, II. М., 1947.
Настоящая книга является только введением в более специаль-
специальные работы, например, по следующим вопросам. {Ниже мы указы-
указываем статьи, в которых можно найти дальнейшие сведения к ссылки
на литературу по этим вопросам.)
(a) Когерентные аналитические пучки.
С а г t a n Н., Ideaux et modules des fonctions analytiques, Bull. Soc.
Math. France, 78 A950), 29; С art an H., Varietes analitiques et
cohomologie, Colloque de Bruxelles, 1953 (Перевод в сб. Расслоен-
Расслоенные пространства и их приложения, ИЛ, М., 1958); Grauert H.t
Remmert R., Bilder und Urbider analytischer Garben, Ann. Math.,
68, 1958, 393; Grauert H., Ein Theorem der analytischen Garben-
theorie und die Modulraume Komplexer Strukturen. Pabl. math. № 5,
Inst. des Hautes Etudes scientifiques, Paris, 1960. (Перевод в сб.
Комплексные пространства, М., 1965.)
(b) Комплексные пространства. Gartan H., Seminaire,
Ecole Normale Superieure A953—1954); особенно сообщение VI;
D о 1 b е а ц 1 t P., Espaces analytiques, Seminiare d'Analyse Fac. Sc.
Paris A957— 1958); Grauert H., Remmert R., Komplexe Raume,

Литература 161
Math. Ann., 136 A958), 245; Serre J. P., Geometrie a'gebrique et
geometrie anaiytique, Ann. Inst. Fourier, 6 A955 —1956), 1.
(c) Продолжение аналитических множеств и го-
голоморфных функций. Gartan H., Seminaire, Ecole Normale
Superieure A953— 1954), сообщения XIII, XIV; belong P., Singula-
rites impropres des fonctions holomorphes, Seminaire d'Analyse Fac.
Sc. Paris A957—1958), Remmert R., Stein K. [4].
(d) Интегрирование на аналитических множе-
множествах, belong P., Integration sur un ensemble anaiytique com-
plexe, Bull. Soc. Math. France, 85 A957), 239.
(e) Проектирование аналитических множеств.
Remmert R. [4a].

УКАЗАТЕЛЬ
ГЛАВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ
Глава I
1. Определение 1. Голоморфные функции.
Следствие 2 из предложения 2. Принцип анали-
аналитического продолжения.
2. Определение 2. Ростки голоморфных функций.
3. Интегральная формула Коши.
4. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся последо-
последовательностях.
5. Определение 3. Голоморфные отображения.
Теорема 1. Локальное обращение голоморфных отобра-
отображений с якобианом Ф 0.
Глава II
1. Определение 1. Эквивалентные ростки в кольце^?™.
Определение 2. Отмеченные псевдополнномы.
Теорема 1. Подготовительная теорема Вейерштрасса.
Теорема 2. Подготовительная теорема Шпэта — Картана
2. Алгебра.
(а). Результант и дискриминант.
(c) Простые и примарные идеалы.
(d) Нётерово кольцо, теорема Гильберта о базисе.
(e) Области с единственным разложением на простые мно-
множители, или факториальные кольца. Теорема Гаусса.
3. Теорема 3. <й?™— факториальное кольцо.
4. Теорема 4. Для произвольно заданных голоморфных
функций f и g множество точек а, для которых ростки fa
и go взаимно просты в кольце <&в™, является открытым.
5. Определение 3. Мероморфные функции, точки опреде-
определенности.
Теорема 5. Каноническое определение мероморфной функ-
функции.
6. Определение 4. Аналитические множества.
Определение 5. Приводимость аналитического множе-
множества.
Определение 6. Приводимость ростка аналитического
множества.
7. Теорема 6. Критерий включения одного ростка главного
аналитического множества в другой.
8. Теорема 7. &б™— нётерово кольцо.
Следствие 1. Всякий идеал в кольце &&'2 замкнут,

Указатель главных определений и результатов 163
Следствие 2. Каждый идеал в кольце <$?в™ определяет
в точке а росток аналитического множества.
Определение 7. Распространение определения 4 на слу-
случай произвольного семейства голоморфных функций.
Определение 9. Идеал, присоединенный к ростку ана-
аналитического множества.
Следствие 4 из предложения 3. Любой росток ана-
аналитического множества является конечным объединением не-
неприводимых ростков, неприводимых компонент этого ростка.
Глава III
1. Теорема 1. Связность дополнения к аналитическому мно-
множеству.
Теорема 2. Продолжение голоморфной функции на до-
дополнение к аналитическому множеству.
Теорема Гартогса о непрерывном расположении особых точек
функции.
Теорема Леви о выпуклости.
2. Определение 1. Регулярные точки аналитического мно-
множества, размерность в регулярной точке.
3. Определение 2. fe-правильный базис в пространстве С™
для некоторого идеала.
4. Теорема 3. Локальное описание аналитического множе-
множества.
Глава IV
1. Теорема 1. Пучок аналитического множества когерентен.
Теорема 2. Идеал, присоединенный к аналитическому
множеству, определенному с помощью некоторого идеала.
Следствие 3. Теорема Гильберта о нулях («Nullstellen-
satz»).
Следствие 1 из теоремы 3. Пересечение произволь-
произвольного семейства аналитических множеств есть снова анали-
аналитическое множество.
Следствие 2 из теоремы 3. Случай, когда проекция
аналитического множества снова является аналитическим
множеством.
Теорема 4. Накопление точек аналитического множества
в открытом множестве U у границы d(J.
2. Теорема 5. Множество S* регулярных точек аналитиче-
аналитического множества S всюду плотно в S.
Определение 1. Размерность аналитического множества
в его произвольной точке.
Предложение 2. Регулярные точки и размерность ана-
аналитического множества S вблизи точки, где S порождает
неприводимый росток.
Предложение 3. Регулярные точки и размерность анали-
аналитического множества S вблизи точки, где S порождает при
водимый росток.

164 Указатель главных определений и результатов
Следствие 1 из предложения 4. Размерность анали-
аналитического множества в смысле Реммерта и Штейна.
Следствие 2 из предложения 4. Размерность проек-
проекции аналитического множества.
Теорема 6. S—S* — аналитическое множество.
3. Предложение 1. Замыкание связной компоненты 5* есть
неприводимое аналитическое множество.
Следствие 1. 5 неприводимо тогда и только тогда, когда
S* связно.
Следствие 2. Соотношение между неприводимостью мно-
множеств и неприводимостью ростков.
Следствие 3 (с). Лемма Ритта.
Определение 2. Неприводимые компоненты аналитиче-
аналитического множества.
4. Следствие 1 из теоремы 9. Размерность пересечения
двух аналитических множеств, из которых одно главное.
Следствие 3 из теоремы 9. Размерность пересечения
двух произвольных аналитических множеств.
5. Предложение 1. График голоморфного отображения.
Теорема 10. Существование голоморфной зависимости ме-
между заданными голоморфными функциями.
Теорема 11. Обращение голоморфного отображения.
6. Определение 3. Функции, голоморфные на аналитиче-
аналитическом множестве в смысле А. Картана.
Теорема 12. Эквивалентность определений.
Следствие. Голоморфная функция на аналитическом мно-
множестве порождает голоморфную функцию на аналитических
подмножествах, удовлетворяющих некоторым условиям.
Следствие 1 из предложения 2. Голоморфная функ-
функция на неприводимом аналитическом множестве или посто-
постоянна, или определяет открытое отображение.
Следствие 2 из предложения 2. Принцип максимума
для голоморфных функций на аналитических множествах.
Теорема 13. Множество нулей функции, голоморфной на
аналитическом множестве.
Определение 4. Универсальный знаменатель.
Теорема 14. Существование универсального знаменателя.
Предложение 3. Алгебраический эквивалент утвержде-
утверждения: единица является универсальным знаменателем.
Определение 5. Нормальные ростки аналитического мно-
множества.
7. Определение 6. Функции, голоморфные на аналитическом
множестве в смысле Р. Реммерта.
Следствие из теоремы 15. С-голоморфная функция
на аналитическом множестве порождает С-голоморфную
функцию на любом его аналитическом подмножестве.
Предложение 1. Голоморфные функции на аналитиче-
аналитическом множестве вблизи его униформизируемых точек.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих
переменных 7
Глава II. Кольцо ростков голоморфных функций в точке 17
Глава III. Аналитические множества: локальное описание . . 54
Глава IV. Локальные свойства аналитических множеств ... 94
Литература 160
Указатель главных определений и результатов ........ 162