/
Текст
Эдмунд Ла
? ВВЕДЕНИЕ
диФФеренщшьное
И ИНТЕГШЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
г и*л
государственное издательство
иностранной
литературы
*
einfOhrunq in die
DIFFERENTIALRECHNUNG
UND INTEGRALRECHNUNG
von
EDMUND LANDAU
1934
Э. Ландау
ВВЕДЕНИЕ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Перевод с немецкого
Д. А. РАЙКОВА
*
1948
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
• ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Умерший в эмиграции в Голландии в годы войны крупный
немецкий математик Эдмунд Ландау был одним из ярких побор-
ников математической „строгости*, как в изложении научных работ,
так и в преподавании. Наглядные наводящие соображения, не
облеченные в строгую логическую форму, считались им лишен-
ными смысла. Когда молодой математик приходил к Ландау, желая
рассказать ему „общую идею* своей работы, то Ландау отвечал,
что он не знает, что это такое, и предлагал взять карандаш и рас-
сказывать все доказательства без пропусков и со всеми выклад-
ками.
Подобным же образом он считал, что университетское пре-
подавание анализа должно начинаться с полного формального
изложения теории целых, рациональных, действительных и ком-
плексных чисел. Все знания, приобретенные в средней школе
должны были при этом игнорироваться, так как в средней школе,
они излагаются без достаточной строгости. С этой целью соб-
ственно курсу анализа приходилось предпосылать специальный курс
„основ анализа*, который Ландау и читал многократно, вопреки
сомнениям своих коллег, для студентов первого семестра Гёттин-
генского университета.
„Основы анализа* Ландау выходят в русском переводе одно-
временно с настоящей книгой, которая на них существенно опи-
рается. Вместе они представляют замкнутый в себе курс элемен-
тов анализа, не предполагающий формально у читателя никаких
предварительных знаний, кроме „способности логически мыслить*.
Изложенные выше педагогические идеи Ландау являются не
только спорными, но и определенно противоречат реальным усло-
виям преподавания. Трудно было бы поэтому рекомендовать книги
Ландау в качестве учебников для начинающих. Они имеют, однако
большой интерес для преподавателей и для студентов, уже знако-
6
Предисловие к русскому изданию
мых с элементами анализа и желающих глубже разобраться в их
логических основах.
Незаменимая ценность книг Ландау состоит в том, что путем
многолетних усилий ему удалось найти исключительно удобные и
короткие пути логического построения анализа. Если бы до по-
явления книг Ландау был задан вопрос, сколько страниц потре-
буется, чтобы, отправляясь от общих законов логики и аксиом
натурального ряда чисел, добраться в совершенно строгом фор-
мальном изложении до всех основных фактов интегрального исчи-
сления (включая даже ряды Фурье), то большинство авторитетных
математиков ответило бы, что для выполнения этой программы
потребуется несколько больших томов. Между тем две книги
Ландау вместе даже тоньше многих менее строгих курсов, охва-
тывающих приблизительно тот же запас фактов.
Ради того, чтобы подчеркнуть независимость своего изложе-
ния от геометрических наглядных представлений, Ландау не дает
в своей книге чертежей и не пользуется геометрическим языком.
Об этом можно пожалеть с той точки зрения, что из-за такого
ограничения изложение многих вопросов становится чрезвычайно
трудно доступным для понимания. Например, принадлежащее Ван
дер Вардену построение нигде не дифференцируемой функции
(теорема 100) в изложений Ландау занимает шесть страниц очень
трудно читаемого текста, геометрическая же идея этого построе-
ния крайне проста. Действительное положение вещей было бы
освещено с большей полнотой, если бы читателю было показано,
что „геометрический язык" в изложении анализа может быть
введен с полной логической строгостью. Из книги же Ландау
читатель может вынести ошибочное представление, что употре-
бление геометрических терминов неизбежно связано с потерей
строгости изложения.
В заключение отметим, что „строгость" понимается Ландау
лишь как сведение всей математики к общим законам логики,
аксиомам натурального ряда и ряду предложений теории множеств.
Сам Ландау предложения чистой теории множеств, употребляемые
им без доказательств, относит, повидимому, к числу законов
логики. Такая’ точка зрения не появляется общепринятой. Необхо-
димые Ландау для построения анализа теоретико-множественные
понятия не так элементарны и могут подлежать глубокому кри-
тическому анализу. Однако в указанных пределах Ландау решает
поставленную перед собой задачу с большим мастерством.
ПРЕДИСЛОВИЕ
После того, как я в течение 32 лет читал в различных
университетах лекции по анализу; после того, как я в 1930 г.
опубликовал терпимо, а частично даже благожелательно,
встреченную критикой книжку „Основы анализа", в которой,
следуя классическому пути, изложил без логических пробелов
законы действий над целыми, рациональными, иррациональ-
ными и комплексными числами (т. е. „заимствуемые" еще из
средней школы основы, на которых должно затем строиться
дифференциальное и интегральное исчисление);
— я делаю теперь следующий шаг.
После столь продолжительной лекционной практики я
чувствую себя, наконец, достаточно подготовленным к изда-
нию моих лекций по дифференциальному и интегральному
исчислению.
Этой теме посвящено много книг; тому, кто интересуется,
главным образом, применениями и не желает знакомиться
с построением понятий и теорем без логических пробелов,—
незачем брать мою книгу. Тому, кто хотел бы, чтобы ему
было преподано большое число примеров, следует обра-
титься к сборнику задач; я даю всюду, как правило, по
одному примеру на каждую подходящую для этого теорему,
если только она и без этого не специализируется последую-
щими применениями.
От геометрических применений я отказался. Не потому,
что я — не геометр. С нужной здесь геометрией я знаком;
однако необходимое для указанной цели изложение аксиом
и элементов геометрии (хорошо известное мне и бывшее
даже предметом с удовольствием читанных мною лекций)
потребовало бы нового тома, который должен был бы пред-
шествовать этому. Разумеется, в моих лекциях по диффе-
ренциальному и интегральному исчислению геометрические
применения занимают большое место; но здесь я стремлюсь
точно и полно предать гласности те методы, которые каза-
8
Предисловие
лись мне наиболее целесообразными в моем преподавании
дифференциального и интегрального исчисления.
Вряд ли стоит особо отмечать, что из всех теорем этой
книги ни одна не нова и не более чем половина одной
единственной теоремы принадлежит мне. Моей (трудной)
задачей было лишь выбрать из большого числа имеющихся
фактов те, которые я считал бы наиболее заслуживающими
сообщения учащемуся в начале его учебы, расположить их
в наиболее целесообразном порядке и, прежде всего, вы-
явить те, зачастую не высказываемые, определения и теоремы,
которыми можно было бы воспользоваться, как цементом
при возведении всего здания с требуемыми этажами в их
требуемом расположении.
Знатоку, которому покажется чересчур оригинальным,
что, например, в качестве второй теоремы после определения
производной появляется теорема Вейерштрасса: „всюду не-
прерывная функция может быть нигде не дифференцируе-
мой*,— я возражу: существуют очень хорошие математики,
не знающие и никогда не знавшие доказательства этой тео-
ремы; но нисколько не повредит, а, наоборот, будет хорошим
примером для усвоения понятия производной, если начинаю-
щий получит возможность уже по своему учебнику познако-
миться с простейшим известным ныне доказательством ука-
занной теоремы.
Я не следовал в точности какому-нибудь из читанных
мною курсов лекций по дифференциальному и интегральному
исчислению, а снова подверг материал этих лекций пере-
смотру и перестройке. Мне кажется, что я нашел целесооб-
разный путь, на котором читатель сможет узнать все, что
ему потребуется в течение дальнейшей его математической
жизни из элементов дифференциального и интегрального
исчисления (включая бесконечные ряды), чтобы затем изу-
чить высшие отделы интегрального исчисления, применения
дифференциального и интегрального исчисления и.остальные
части анализа по хорошим изложениям.
Гронинген,
9 февраля 1934 г.
ЭДМУНД ЛАНДАУ
в ведение;
Эта книга предполагает известными лишь основные пра-
вила действий над числами; а кроме § 1 главы 20 (приме-
няемого лишь в § 2 главы 20 и в главах 23 и 24) — даже-
только действий над вещественными числами.
Мы применяем также, не входя в их обоснование, такие,
теоремы, как *
1) a(b-\-c) = ab-\-ac.
2) (ab) с —а (Ьс).
3) Из
ab — 0
следует
а = 0 или b — 0.
4) Из
а > Ь, с
следует
5)
(как известно,
ных х, число х,
| х | означает, например,
если х^>0, и число —х,
при веществен-
если х<0).
6)
п
= П |м
N = 1
7) В каждом (не пустом; это всегда подразумевается,,
когда мы говорим о числовых множествах) множестве поло-
жительных целых чисел существует наименьшее число.
JO
Введение
Эта теорема важна потому, что позволяет при доказа-
тельстве любого утверждения, высказываемого для всех
целых считать достаточным, доказав его для п=1,
показать, что если оно верно для лг, то оно верно и для
п4-1. („Заключение от п к «4“^“-)
Действительно, тогда высказанное утверждение верно для
всех п: в противном случае в (не пустом) множестве тех п,
для которых утверждение неверно, имелось бы наименьшее
число т; но это т не может быть ни 1 (так как для 1
утверждение верно), ни > 1 (так как тогда утверждение
.было бы верно для т—1, а значит, и для w); и мы пришли
к противоречию.
Совершенно таким же образом указанная теорема дает и
следующее предложение: пусть &>1—целое; утверждение,
высказанное для всех целых п, таких, что \ верно,
если оно верно для п — 1 и если из его верности для не-
которого п, следует его верность и для п-|“1.
Действительно, в противном случае пусть т — наимень*
шее п, для которого рассматриваемое утверждение
неверно; тогда т не может быть ни 1 (для 1 утверждение
верно), ни > 1 (тогда утверждение было бы верно для т,— 1,
а значит, и для /п); снова — противоречие.
На эти применения теоремы 7) я дам пять примеров,
которые позже все понадобятся. Во всех этих примерах
целое, v — целое, I — целое.
I) Из
.следует
для 1 v п
п W&
S *. < 5 у,-
V = 1 ^=1
Действительно, для п=1 это ясно, для п — 2 — извест-
ная теорема из основ анализа. Но, в силу этого последнего
частного случая, из теоремы для п следует теорема^для п-\- 1,
так как
n-hl п
2 === jZj + ^n + 1
у = 1 v - 1
Введение
11
II) Из предположений теоремы I), при дополнительном
условии
О для 1 V я,
следует, что
п
п
V = 1
п
Действительно, для п=1 это ясно, для п = 2 — извест-
ная теорема из основ анализа. Из п следует n-f-l (этот
сокращенный способ выражения, который часто будет встре-
чаться, не допускает двух различных толкований), так как
n-J-i п п „ п-Ь1
П <Пл‘Л+1 = ID.-
V = 1 м = 1 v==l V ~ 1
III) В частности, из
О х < у
хп < ynt
Действительно, достаточно положить в II) все = х,
все у^—у.
К I), II), III) следует добавить, что в предположении,
утверждении и доказательстве можно заменить < на
III) допускает очевидное обращение: из
х>0,
0.
хп < у'1
У
следует
IV) Если определено для I v <1+ п — 1, то суще-
ствует целое такое, что
—1> для — 1;
12
Введение
есть так называемое наибольшее из чисел обозна-
чение:
Max xv,
или, например, Мах (а, Ь, с), если 1= 1, п = 3, х1=а,
х2 — Ь, х3 = с. Мах читается: максимум.
Действительно, п=1—ясно, п — 2 — известно из основа
анализа. Далее — заключение от п к выбираем целое р*
так, чтобы
Z < р < Z -|- п — 1, х, < хр для I « <7 4~71 — V
и затем берем ц = р или = Z Ц- п так, чтобы
Тогда
х^ = Мах(хр, хг+п).
z < р. < i+
При
Z < v <7 -|-п— 1,
v = 14- п.
N) В тех же предположениях, что и в IV), существует
целое такое, что
I п —1, xv>x^ Для I <Z-}- п—1;
есть так называемое наименьшее из чисел xv; обозначением
Min хм
или, например, Min (a, b, с). Min читается: минимум.
Действительно, пусть
Мах (— xj = — х-
тогда Xp обладает требуемыми свойствами.
8) (Наиболее глубокая и важная теорема из элементов:
анализа): пусть задано любое разбиение всех вещественных
чисел на два класса, обладающее следующими свойствами м
а) ни один класс не пуст;
Введение
13
b) каждое число первого класса меньше каждого числа
второго класса (другими словами, если а лежит во втором
классе и
а < Ь,
то и b лежит во втором классе).
Тогда существует, и притом точно одно, вещественное
число 5 такое, что каждое т) < £ принадлежит первому,
а каждое ц > $ — второму классу.
9) Для каждого х 0 существует, и притом точно одно,
такое, что
у2 = х;
это у обозначают ]/х.
Для упражнения на применение теоремы 8) я воспроиз-
веду здесь обычное доказательство теоремы 9), причем до-
кажу даже более общую теорему (о частном случае я —2
которой я только что говорил):
Для каждого 0 и каждого целого п 1 существует,
и притом только одно, такое, что
уп = х.
Однако в дальнейшем я буду применять лишь частный
случай п = 2, так как случай произвольного целого п 1
получится как побочный результат в главе 2.
Доказательство. 1) Если
О -СУ1 <№
то, в силу III),
У'1<УГ,
таким образом, из чисел у™ и у*, самое большее, лишь одно
может быть = х; следовательно, существует, самое большее,
одно обладающее требуемым свойством.
2) При х=0 требуемым свойством обладает у = 0.
Пусть, таким образом, х > 0; нам нужно показать (так как
у — 0 отпадает), что существует у > 0, для которого
уп = X.
Отнесем
к первому классу, если > 0, г\п < х или 0,
ко второму классу, если > 0, х.
14
Введение
Тогда каждое вещественное q принадлежит точно одному
классу. Первый класс содержит положительное число
q = ~ Min (1, х),
так как
Т|<1, Т| < X,
q”-1 Cln-i= J,
Т|П = Т)”-1 . V] 1 .Т| = Т|<^Х.
Второй класс содержит положительное число
q — Мах (1, х),
так как
qw — у|П-Л . 1 —
Если q принадлежит второму классу и С > q, то
£>^>0,
Cn>qn>x,
так что и С принадлежит второму классу.
Поэтому существует вещественное у такое, что каждое
q < у принадлежит первому, а каждое q >у — второму
классу. Так как в первом классе имеется положительное
число, то
У >0-
Покажем, что для этого у удовлетворяется равенство
уп — х.
Выражению 0° мы будем всегда приписывать значение' 1;
тогда
с°=1
для всех с (так как для с отличных от 0 это принято за
определение еще в основах анализа).
Введение
1&
Для всех а, b имеем
п—1 п— 1 п — 1
(а — b~) = a ^(ГЬя-1-4— а’6п-1“,=
* = О м = О ,» = О
п —1 п—1
— 2а^п"’=
м = О v = О
П п — 1
= '£1а,Ьп-'1— '%а1Ьп-', = ап— bn.
№1 Ч> = 0
Поэтому для всех h (полагая а = 1—Л, #=1) имее»&
П — 1
(1 — Л)»= 1— Л 2(1 — А)\
v = 0
откуда при 0 < h < 1 следует
п—1
(1 — Л)» > 1 —/г 2 1 = 1 —«А»
V = О
и, значит, пр < < (так как тогда 1 — пЛ>0) сле-
дует
1 1
1 — nh ’
( у \п уп уп
=Г1—\ — nh
кроме того,
{у (1 — Л))п =уп (1 — > Уп (1 —
Если бы, теперь, имело место неравенство
Уп <
то при
J6
Введение
'(так как
т. е. , которое > j/, все еще лежало бы в первом
классе.
Если же имело бы место неравенство
(так как
Уп > я,
1-ЛА>^.)
мы имели бы
(у(1—Л))”>Хуг = х,
т. е. у(1—h), которое <jz, все еще лежало бы во втором
классе.
Поэтому
уп = Х.
Остаток этого введения относится, собственно, к „Осно-
вам" (школьному курсу); таким образом, читатель, знакомый
с предметом, может всю дальнейшую часть введения про-
пустить. Я должен был поместить здесь эти вещи (как и пять
примеров к 7)) потому, что они применяются в дальнейшем,
но в моей книжке по основам анализа (где не определено
даже число 3) не содержатся.
Введение
17
Я имею в виду:
§ 1: разбиение всех целых чисел на классы вычетов по
некоторому „делителю* п.
§ 2: представление положительных целых чисел в деся-
тичной системе; это — хорошая подготовка к разложению
всех вещественных чисел в десятичные дроби в главе 12,
которое я, конечно, не буду считать известным читателю
из школы: тогда я предполагал бы известным и понятия пре-
дела и бесконечного ряда, изложение которых составляет
предмет важнейших частей моей книги, не зависящих от соб-
ственно дифференциального исчисления.
§ 3: различение конечных и бесконечных числовых мно-
жеств и понятие числа элементов конечного множества.
§ 1. КЛАССЫ ВЫЧЕТОВ
Теорема 1. Для каждого вещественного х существует^
и притом точно одно, целое число п такое, что
п п + 1.
Доказательство. 1) Требуемым свойством может
обладать, самое большее, лишь одно целое число п\ дей-
ствительно, если этим свойством обладают и п2, то
х< л2 г 1,
откуда
пк < л2,
п2 х < 4* Ь
п{
и, следовательно,
«1 = ^2-
2) Существует целое g>x; действительно, при
таким будет g=l, а при х>0, как известно, существует
рациональное для него же, как известно, существует
целое
Применяя это к —х вместо х, находим целое £> —х
иг следовательно, целое I == — k <х. Множество целых (само
собой, положительных) т, для которых 1-|~ /и > х, не пусто
2 Зак. 848.
Введение
(так как содержит m = g— /); следовательно, в нем есть
наименьшее т; тогда п = 1-]-т—1 с этим т и обладает
требуемым свойством.
Определение 1. Число п из теоремы 1 обозначается [xj.
Читается: целая часть х.
Теорема 2. х—1<[х]<х.
Доказательство. По теореме 1 и определению 1,
(Х]< X< [XJ 4- 1.
Теорема 3. Для любых целых а и п, где п>0, суще-
ствует, и притом точно одна, пара целых q, г такая,
что
а = qn г,
Доказательство. Утверждается существование точно
одного q, для которого
qn < а < qn 4- q "" (q 4" О
г. е. для которого
а этим свойством, по теореме 1 и определению 1, обладает
число
и только оно.
Определение 2. 2=1 + 1.
По теореме 3, при фиксированном целом /г>0 целые
числа а, сообразно их „ остаткам“ г, распадаются
на „классы вычетов по п“. Ни один из этих классов не
пуст; действительно,
г = 0 • д + г.
В частности, при д«2 имеются два класса; им присвоены
особые наименования.
введение
19
Определение 3. а называется четным, если.
a — 2q, q целое,
и нечетным, если
а = 2q Ц- 1, q целое.
Примеры: —2, 0 и 2 — четные, —1 и 1—нечетные.
8 2. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА
Определение 4. 3 = 2—|—1, 4 = 3-{-1, 5 = 4-|-1,
6 = 54-1, 7 = 6-j-l, 8 = 74-1, 9 = 84-1, 10 = 94-1.
Теорема 4. Неравенства
О </-<10,
равно как и
0<г<9,
выполняются для
r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
и ни для каких других целых г.
Д о к а з а т е л ь с т в о: ясно.
Теорема 5. 1) Каждое целое а>0 имеет вид
п
а = 2 •*,10v,
м в о
где
х, целые,
о х, 9,
х„ > 0.
2) При этом п и х„ однозначно определены.
Доказательство. 1)
10я> 10я — 1 = (10 — 1)]£ 10ч >21 —а.
v = 0 = О
io
введение
Таким образом, целое т > 0, для которого
10"» > а,
существует. Пусть я-|-1—наименьшее из этих /и; тогда
я>0, 10'1<д< 10*+1.
Для каждого целого v такого, что положим
[д 1___- „ Г а ~|
Т7] 1U [lu’+ij ‘
Тогда
х, целое,
[Cl 1 Л С & 1 F Т Л
ICFJ 1 L IO*1*1] = L^J °*
и при 0 < v п имеем
1==(hF 0 10 Ю^1 <1^“ 10( lO’+i 1)=10'
так что
О < х, <9.
Далее,
п П / Г 1 г
е=[а]-10»+1[Б^т]вд.
Введение
21
2) Из
п N
а = 2х,101' = 2 ATJO'1,
4=0 4=0
где п й равно как и N и Х„ удовлетворяют старым
условиям, следует, что
п = 2V, = АГ, при 0 v
действительно, в противном случае мы имели бы
0 = а — я = s>0, целое,
4=0
| ^4 । 9,
и, следовательно,
e-i e-i
10®<|eg10«| = (—2М<Н<2 9- Ю’ =
4«x0 4=0
Ю»___1
= 9 Yq^y = 104 s * * * — 1 < 1 O’.
Определение 5. Представление
4 = 0
установленное теоремой 5, записывают» располагая „цифры*
(т. е. числа из ряда 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) в по-
рядке убывания v (так называемая запись числа а в деся-
тичной системе).
Для чисел а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 определение 5
находится в согласии с прежним способом записи.
Пример. 4 • 10°4-0 ♦ 104-3 • 10* =304.
Смешение с произведением исключено, если между со-
множителями, являющимися числами (не буквами), всегда
вставлять точки. Так, например, запись
13.1з = (3 + Ю) (3 4-io) = з* 34-з. 104-10 • 3 4-io2=
= 94-6. 104-102=169
не может быть двояко истолкована.
22
Введение
§ 3. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
Определение 6. Числовое множество 2)1 называется
конечным, если существует целое т>0 такое, что числа
множества 2)1 можно поставить во взаимно однозначное
соответствие с положительными целыми числами < т.
Теорема 6. Если 2R — конечное множество, то суще-
ствует только одно т, удовлетворяющее требованию
определения 6.
Доказательство. Если этому требованию удовле-
творяют тг и то положительные целые числа т^
можно поставить во взаимно однозначное соответствие с по-
ложительными целыми числами Но, как известно,
отсюда следует
= /п2.
Определение 7, Если 2Й— конечное числовое множе-
ство, то, по теореме 6, однозначно определимое т назы-
вается числом элементов множества WI; говорят также,
что 2R состоит из т чисел (Пй- содержит т чисел).
Теорема 7. Пусть 2)1— множество из т чисел, 21—
множество из п чисел, и никакое число из 2Й не входит
в 21. Тогда объединение множеств 2Й и 21 есть конечное
числовое множество, притом состоящее из т-\-п чисел.
Доказательство. Числа из 2R можно обозначить
через
aq, Я Целое,
а из 2i — через
1 г п,
г целое.
Положив
aq = bq~m при m-\-l^q^m-\-n, 7 целое,
мы представим числа из объединения множеств 2Й и 21 в виде
aq, 1 ^Я Я целое-
Введение
23
Теорема 8. Если &>0, для каждого целого
1 — конечное множество и каждое число принад-
лежит не более чем одному то объединение мно-
жеств есть конечное множество.
Доказательство. Для &==1—ясно. Заключение от
k к k -f- 1: если объединение множеств 2)iv с 1 v k
конечно, то, по теореме 7, конечно и объединение этого
объединения с
Теорема 9. Если 2R—множество из т чисел и каждое
число числового множества принадлежит множеству 2)?
(„9£ есть подмножество множества Зй"), то 91 конечно
и содержит не более т чисел.
Доказательство. 1) При т — \ 91 тождественно
с 2R и, следовательно, состоит точно из одного числа.
2) Заключение от т к т 1: пусть 2R поставлено во
взаимно однозначное соответствие с множеством положитель-
ных целых чисел при этом 91 ставится в соответ-
ствие с некоторым подмножеством этих чисел.
. Если т -f- 1 не входит в это подмножество, то 91 поста-
влено во взаимно однозначное соответствие с некоторым
подмножеством положительных целых чисел т и, следова-
тельно, по предположению, конечно, причем у множества 91
число элементов ^т<т-\-\.
Если же т 1 входит в указанное подмножество, то
либо 9J состоит лишь из одного числа (и так как
то все доказано), либо множество, получающееся из 9t удале-
нием „ образаи числа пг-}- 1, находится во взаимно однознач-
ном соответствии с некоторым подмножеством множества
положительных целых чисел следовательно, конечно
и содержит не более т чисел, так что 9t, по теореме 7,
конечно и состоит не более чем из т 4“ 1 чисел.
Теорема 10. Существует не конечное множество.
В частности» множество всех положительных целых чисел
не конечно.
Доказательство. Если бы множество W4 всех поло-
жительных целых чисел было конечно и т было числом его
элементов, то множество 91 положительных целых чисел
24
Введение
как подмножество множества 2К, состояло бы, по
теореме 9, не более чем из т чисел; но на самом деле
оно состоит из ап-Ц— 1 чисел.
Определение 8. Не конечное числовое множество назы-
вается бесконечным. Говорят также, что оно состоит
йз бесконечного числа элементов.
Примеры. 1) Множество целых п>а, где а веще-
ственно, бесконечно. Действительно, речь идет о множестве
чисел и = £-{-/, где k = {а] и целые.
2) Также множества четных п>а и нечетных я>а бес-
конечны. Действительно, это — множества чисел я = 2#, где
и целые, соответственно п = где g > ** g *
и целые.
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Г л а в а 1
ПРЕДЕЛ ПРИ я=со
ВВЕДЕНИЕ
В этой главе N, tnv m2, A, v, W обозначают всюду
целые числа. Как я уже сказал раньше, в главах 1—19 и
от § 2 главы 20 до конца все числа — вещественнные.
Когда говорят, что последовательность чисел
стремится к 0, то это уже потому не имеет ясного смысла,
что нам даже не сообщено, какие же числа заданы и в ка-
ком порядке они заданы. Правда, большинство читателей
предположит, что за должно стоять число и что во-
обще можно было бы сказать так: пусть
(1) 5Я = | при п> 1;
тогда последовательность sn стремится к 0; она имеет
предел 0.
Так определим и мы; однако, почему мы будем говорить,
что эта последовательность стремится к 0? Почему ни при
каком 0 мы не скажем, что она стремится к s? Почему
мы каждой последовательности sn, определенной при
либо совсем не будем относить никакого предела, либо
отнесем в качестве предела точно одно число? Когда ника-
кого, когда одно?
В приведенном выше примере 0 не является членом рас-
сматриваемой последовательности, так как для каждого п"^Л
имеем
и, значит,
sn 0.
Предел при п со
27
Однако, наконец (т. е. начиная с некоторого места), мало
отличается от 0. Что значит мало?
Пусть задано любое 3 > 0. Тогда, полагая
5 — 0,
для каждого п; 1 > у имеем = о| = ~<8;
таким образом, именно, для 3 существует (зависящее от 8) т, а “ = [г]+1 <>Т>
такое, что —$|<8 при всех п^т.
Напротив, было бы недостаточно, если бы мы только
установили, что неравенство
| Sn 5 | < 8 •
выполняется бесконечно часто (т. е. для бесконечного числа
значений л). Так, последовательность
(2) sn — • 1 —- для нечетных и > 1, п — для четных п 1 п
для каждого 8 > > 0 удовлетворяет условию
Is» — 0|<3 для бесконечно многих п,
а именно, для всех четных п j -|- 1 (а иногда и для
других л, например, в случае 8 = -~—еще для д=1,
я==3 и п = 5). Однако, не для каждого 8> 0 существует
т такое, что | sn — 01 < 8 для п > от;
28
Глава 1
так, для 8=6 этим свойством не обладает никакое т,
поскольку для нечетных п > 5 мы имеем
С другой стороны, то, что в примере (I)
sn Ф 0 при я 1,
— несущественно. Так, если дана последовательность
(3) sn = 0 при 1,
то, разумеется, для каждого 8>0 найдется tn (которое
можно взять даже не зависящим от 3, а именно, = 1) такое, что
|sn—0| =0 < 8 при n^tn.
А для последовательности
0 при нечетном
(4) s — ]
п при чётном 1
(в которой встречается бесконечно много нулей, но и бес*
конечно много не нулей) имеем
|s„ —Oj < <8 при «>[{]+ I-
Несущественно также, что в примере (1), начиная с не-
которого места (даже с самого начала),
Действительно, в примере
(5) = при я> 1
мы для каждого 8 > О имеем
I sn ОI —
| (~ПИ|
I » ' I
1<8 при +
Предел при =
Несущественно также, что в пяти приведенных примерах
sn определено для всех Ведь требуется лишь суще-
ствование такого s, чтобы для каждого 8 > О нашлось т,
удовлетворяющее условию
\$п— s| < 6 при т;
чтобы это требование имело смысл, $п должно быть опре-
делено для достаточно больших п (т. е. для всех
т. е. наконец). Мы скажем также, что последовательность
(6) + ^4 Для «>3
стремится к 1, хотя совсем не определено. Действительно,
положим
и пусть задано 8 > 0, тогда для
п > 4 + [у] + 1 (> 4 + у)
будем иметь
Тем самым я уже проверил, что требуемым свойством
обладает в примерах (1), (3), (4), (5) число $ = 0, в при-
мере (6) — число s — 1, в примере же (2) этим свойством
число 0 не обладает.
Убедимся теперь в том, что в примерах (1), (3), (4\ (5)
никакое s ф 0, в примере (6) — никакое $ ф 1, а в примере
(2) — никакое 5 вообще уже не обладает требуемым свой-
ством.
Если бы в примере (1) требуемым свойством обладало
। I
некоторое $ ф 0, то (положив 8 = -~) мы при надлежаще
выбранном т для всех п^т имели бы
—s| = lsw —3|<Щ ,
откуда
Зв Глава 1
но это наверняка неверно при
В примере (2) имеем
для нечетного «^>3
для четного п > 1
Таким образом, для каждого з< бесконечно часто выпол-
няется неравенство
s>3 12“ 12’
I sn s \ 12 >•
так что при 2“-^ никакого требуемого т не существует,
7
а для s > бесконечно часто выполняется неравенство
_ ^1__2______________________________1
sn 3<^2 12"" 12’
। । >1
I $п $ I > 12 ’
так что и здесь при 8 = 2- никакого требуемого т не су-
ществует.
В примере (3) для каждого s ф О всегда
|s„ —з| = |з|,
так что при 6 = | з | никакого требуемого т не существует.
В примере (4) для каждого з ф 0 бесконечно часто
|з„ — з| = |з|,
так что при 8 = | з | никакого требуемого т не существует.
В примере (5) при $ф0 всегда
Предел при
следовательно,
2
—г имеем
Is | Л
и при ову никакого требуемого т не существует.
2
В примере (6) для s^fcl, /г 4 । Y^iyj имеем
1$ —$|в 1(1 — - s|----L- > I,1 / I
in I /I n — 4[<^i i 4- 2 ’
ъ ! 1 —S' | x
и при 8 = —-—1 никакого требуемого m не существует.
Теперь мы можем, наконец, перейти от примеров к об-
щему определению 9, которое (для обоснования однознач*
ности возможного предела) должно быть подкреплено тео-
ремой 11.
Теорема И. Пусть sn при надлежаще выбранном N
определено для всех n>N (т. е. для всех достаточно
больших л, т. е. наконец). Тогда либо существует точно
одно число s, либо не существует никакого числа, которое
обладает следующим свойством.
Для каждого 8 > 0 при всех достаточно больших п
выполняется неравенство
< 8.
Иначе, для каждого 6 > 0 существует т такое, что
| sn — s | < 8 для n > т.
Кратко: для каждого 8>0 наконец
|«п—S-] < 8-
Доказательство. Предположим, что
ЗфТ
к S, Т оба обладают тем свойством, которое мы потребо-
вали от в. Положим тогда
a = !2rJJ(>o).
А
Глава f
Существует тг такое, что
|$п— S| < 8 для п^т^,
и /п2 такое, что
|$Л— Т\ <8 для п^т%.
Но тогда для n^Max(m1, т2) мы имели бы
|5-T| = |(S„-T)-(^-S)|<
<|^-Г| + |^-5|<8 + 8 = 28 = |5-Т|.
Определение 9. Если sn наконец определено и сущест-
вует sy удовлетворяющее условию теоремы 11, то гово-
рят, что sn (последовательность sn) имеет („при /г-> со“)
предел s, или стремится („при л->ооа) к s, и пишут
lim sn = s
п »ОО
или кратко
sn 2 3 * S‘
оо читается: бесконечность; lim читается: предел.
Разумеется, вместо п может стоять также любая другая
буква, обозначающая целые числа. (Соответствующее заме-
чание относится почти ко всем дальнейшим определениям.)
Примеры. 1)
2) lim с = с;
П = ОО
действительно, всегда
| с — с | = 0.
3) Для
«»’=’( —1)”. «>°
не существует
lim sn;
п~<х>
действительно, при бесконечно часто
sn—s— 1— $> 1,
I«Я — s\> 1,
Предел при п — со
33
а при s > 0 бесконечно часто
Sn — s= — 1 — S’ <-------1,
4) Если
то
pn— s| > 1.
0< »< 1,
litn U” = 0.
n = CO
Действительно, для p>0, имеем
n—Л n—l
(i + ?)"> (i4-p)«-i=p +
= 0 4 - 0
положим
тогда
p>4-i=o
и, значит, для п 1
о < &п = (—1— Y =»—!— <_
Таким образом, при каждом 8>0 мы для (т. е. на-
/7 0 4
конец) имеем
|{р_ 0| = |&w|< 8.
5) Если | & | < 1, то
Ит
А = со л = О 1 — 11
Действительно, для имеем
к
(1 -»)29п=1 -&А+1.
п - О 3
3 Зак. 848.
34
Глава 1
Это верно
получаем
еще для всех 9; следовательно, при 9^1
к
28” =
п - О
№-Н
1-9 ’
1
1 —U
При 9 — 0 имеем
Zc .
2 о* = i -► i =Т-Ц-.
п-0
При 0 < | 91 < 1 выберем для 8 > 0 по примеру 4) (с заме-
ной обычного 8 на | 8) т так, чтобы
| 91* < | - g-8 для k т.
Тогда для k т будем иметь
Теорема 12. sn-> s
тогда и только тогда, когда
sn — s~> 0.
Доказательство. И то и другое означает: для каж-
дого 8>0 наконец
|sn-s|<8.
Теорема 13. Пусть sn определено при и
lim sn = s.
Пг: ОО
Предел при л = оо
35
Пусть v N, —последовательность возрастающих целых
чисел с п^П. Тогда
lim =
ч = оо
. Доказательство. Пусть задано 8>0. Тогда для
надлежаще выбранного k N имеем
I sn ~~ s 1 < S ЛЛЯ п
Но для надлежаще выбранного т N
k для v ;> т.
Следовательно, при v т имеем
|*пч —«КЗ-
Примеры. 1) Из
lim sn = s
П = ОО
следует
lim sn_l = s
П —оо
И
lim sn+1==s.
n—oo
Действительно, пусть sn определено при n^N. Числа
n„ = v — 1 с v ;> N -|- 1, соответственно = v —1 cv^N—1
обладают свойством, требуемым в теореме 13.
2) Из
(1) limsn = s
п = ОО
следует
(2) lim sin — s
Я=оо
И
(3) lim smi = s.
П - ОО
Действительно, пусть sn определено при Числа
N N__1
/\ = 2v с v -у и nv = 2v -f- 1 с v — обладают
3*
36
Глава 1
свойством, требуемым в теореме 13, так что
lim s^ — s,
4 = 00
lim ^2,+1 =$;
v = ио
таким образом, из (1) следует (2) и (3).
Заметим, что из (2) и (3) (вместе), обратно, следует (1).
Действительно, в силу (2) и (3) для каждого 8>0 имеем
К—-s|<8
для всех больших четных п и всех больших нечетных /г,
а следовательно, для всех больших п вообще.
Теорема 14. Из
Sn~+ tn~> t
следует
sn + 5
Кратко:
lim = lim lim tn,
n=«OO n==OO n==O3
когда правая часть имеет смысл.
Доказательство* Пусть задано 8>0. Имеем наконец
(О ]sn 5|<^~2
и наконец
(2)
Следовательно, наконец будем иметь и (1), и (2), а тогда
l(s«+U—(«+01 = l(sn—$)+(*»—OK
<4s»—sl4~Rn—4" г’= 8’
Пример. Если |&|<1, то
lim (ап + 1 + т=т)= ,im °" + lim О + тгЬl) =
П*=оо\ П ' П~оо n=CQ\ "
Предел при п — со
37
Теорема 15. Пусть &>0 и каждая из k последова-
тельностей
1
имеет предел. Тогда последовательность
к
4 = 1
имеет предел. При этом из
для 1 < v <; k
п
следует, что
к к
2^2^-
4=1 4 = 1
Кратко:
к к
lim = S Ит sn\
П = ОО 4 = 1 4 = 1 П— OO
когда правая часть имеет смысл.
Доказательство. 1) При £=*1
к к
24ч) = ^->5(1) = 2^.
4=1 4=1
2) Из k следует k -|-1, по теореме 14:
7г 4-1 к к *4-1
2 £'=2 £'4-4*+1) -> 2 5(04-®(А+1)=2 s(,).
4 = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 1
Теорема 16. Из
следует
Доказательство. sn и tn наконец определены, и
тогда
Snfn St = Sn (tn t) -J- t (sn $).
Пусть задано 8>0. Наконец имеем одновременно
I I в
sI < 2(I+ 1)
38
Глава 1
И < 2 I s 1+ S ’
а тогда
h«| = !« + («„— «)!< !«1 + к« — «!<!«! +-J.
кЛ—^KKiPn—И + И15п— *l<
<VSl‘‘2/2|sH-o 'Ь И! yjiTj-qriJ < 2 + 2 - °-
Пример»
Hm (fiitlWi । _]_Й =
»=oolV^ n J\ ' n — 4j)
= lim (1 _i_tJI!) lim (1 4—1—)= 1 .1 = 1.
n-»\ ' « 4»O,' 1 n-4j
Теорема 17. Пусть Л>0 и
nPU 1 V k'
Тогда
к к
V = 1 v4-l
Доказательство. 1) При /г = 1
n^=s;:’-si,>=n5(’'-
V=1
2) Из k следует k -f- 1 по теореме 16:
*tf Sn П sn • sn +1) П S(,) • s(ft + 1) = П sW-
M = 1 V = 1 V==1 i = l
Теорема 18. Пусть A>0 и
s„->s.
Тогда
s* -> sk.
Доказательство: теорема 17 при
sn}~sn для 1<Л<:&.
Предел при п = со
39
Пример.
Теорема 19. Из
8П “*
следует
Sn > s t.
Доказательство. Согласно примеру 2 к определе-
нию 9 и теореме 16, имеем
следовательно, в силу теоремы 14,
sn ~ ( 6г) —> ^4“ (— i) —t.
Теорема 20. Из
Sn —> 5*,
вфО
следует
1
sn 8
Доказательство. Для каждого 8>0 имеем наконец
|s„ — s|<Min^,
а тогда
I М = k + (sn — s)| > |s I — 1^ — S | > | S I — =4’ ’
I Sn s I |s„l|si 1 Sn Si<S2 2 "°'
Пример.
Теорема 21. Из
sn —> s, tn —> t,
t ф 0
40
Глава 1
следует
sn s
tn t
Доказательство. В силу теорем 16 и 20,
1
t ~ f
SK _ о
t 61
1П
1
'п t
Ln
Пример.
lim
1
и—4
_____= 2 = 0.
(-Ip 1
n
Теорема 22.
Если
и наконец
$п
то
s^t.
Доказательство. По теореме 19,
п ^11
Следовательно, для каждого 8 > 0 наконец имеем
о< ztn — sn<t— « + s — /<8.
Поэтому s-KO
(в противном случае следовательно, 8 = s— t давало бы противоречие) и, s t.
Пример. Из tn —* t, c
следует t>c.
Теорема 23, sn-> 0
Предел при П — со
41
означает то же, что и
I Sn I О*
Доказательство. Так как
|l sn || = |$„ | ,
то и то и другое означает, что для каждого 8>0 наконец
pnl< 8.
Теорема 24. Если
tn-^0
и наконец
I I
то
Sn О’
Доказательство. Пусть задано 8>0. Так как наконец,
К1<8,
то наконец
I sn К 8 •
Теорема 25. Пусть
s и 0.
Пусть tn определено для п^ k, и пусть существует gf
не зависящее от п и такое, что
\tn\ <g для п^ k.
Тогда
snfn 0.
Доказательство. Пусть задано 8>0. Так как наконец
I 1^8
I sn I < g »
то наконец
I I = 8.
Теорема 26. Если sn определено для n^N и
lim sn
П = oo
42
Глава 1
существует, то существует g, не зависящее от п и
такое, что
15п1<? для п > N»
Доказательство. Пусть
lim sn — s.
n - оо
Существует m>N такое, что для п^т имеем
|sn—sj<l
и, следовательно,’
I $п I = 15 “И — $) I Is I +1 sn s I < Is 14~ i-
Поэтому
S' = H + 1 + Max I sn I
Лт<п<ш—1
обладает утверждаемым свойством.
Теорема 27. Пусть sn определено для /z^N, причем
тогда
sn sn\A>
и пусть существует g, не зависящее от п и такое, что
для всех n>N.
1) Тогда существует
lim sn.
П = оо
2) Обозначая этот предел через s, имеем
^<s<g>
Предварительные замечания. I) До сих пор все было
совершенно просто; но теорема 27, 1) лежит уже глубоко.
II) Без предположения
sn < Sn -ь 1
утверждение неверно; действительно, для
Sn*= (— 1)п при /7> О
Предел при п = ео
43
имеем
*»<1,
но
lim sn
п = со
не существует.
Доказательство. 1) Распределим все числа а на два
класса по следующему признаку: а входит
в первый класс, если некоторые
во второй класс, если все sn-^a.
Тогда каждое а принадлежит точно одному классу.
Первый класс не пуст; действительно, так как
SN > SN
то в нем содержится sN — 1.
Второй класс не пуст, так как в нем содержится g.
Если а принадлежит второму классу и р > а, то каждое
и, следовательно, р также принадлежит второму классу.
Поэтому существует $ такое, что каждое а<$ принадле-
жит первому, а каждое а > s — второму классу.
Для этого s мы докажем, что
Пусть задано 8 > 0. Тогда лежит во втором классе;
следовательно, всегда
$п г 0 •
s — 8 лежит в первом классе; следовательно, некоторое
G •
Но для п^т (как ясно из теоремы 7) Введения) имеем
Следовательно,
5 — 8 sn s 8,
| — S | < 8.
44
Глава 1
Поэтому
2) Для всех zz^>N имеем
*n<X<£;
следовательно, в силу теоремы 22,
sN < lim sn = s < g.
Пример.
« 1
lim 2 —
П-CQ 4 = 1
существует. Действительно, полагая
n 1
S»= 2 ~2 ДЛЯ «> 1.
N = 1
имеем
$n, <
и
«4-1 1 «4'1 , « + 1/ , i x
S,,< 1 + Д“2< 1 + ^2 (V-l)V = 1 + ~ v) =
= 1 4-1------t-t<2.
1 n f-1
Гл ай а 2
ЛОГАРИФМ, СТЕПЕНЬ, КОРЕНЬ
В этой главе п и т обозначают целые числа >0, a k
есть сокращенное обозначение для 2W.
Теорема 28. Уравнение
у^ = х, v>0
для х>0 и каждого я>0 имеет точно одно решение >
Доказательство. 1) При 0<j/1<>y2 имеем
у\<уЪ
следовательно, существует, самое большее, одно решение.
2) Существует, по крайней мере, одно решение. Действи-
тельно, при п =з 1 требуемым решением будет
У*=Ух,
так как
]/х>0, (]Лх)21 = (/х)2 = х.
Из п следует п 1: беря г так, чтобы
г=х, г>0,
и положив
У =
получим
^>0,
_y2’l+1 = (д,2)2’> = г2” —
Определение 10. Число у из теоремы 28 обозначается
\х.
Читается: корень А-й степени из х.
46
Глава 2
к,-
Пример. у 1 = 1.
Теорема 29. При х > 0, у > О
ху — х у у.
Доказательство.
\/х >0,
(Vх == (Vх/ С]/у)А = хУ'
Пример (у~ “): при х>0 имеем
откуда
Теорема 30. При х>0
7г
lim ]'х = 1.
п = СО
Доказательство, 1) Прих>1 имеем
и, следовательно,
к
\/х > 1.
Пусть задано о>О. Тогда (ср. пример 4 к определению 9)
(1 + 8)*> £8
и, следовательно, наконец
(1 + 8)*>х - fyx)\
1 < у/ х < 14-
\\/ х— 11 <8.
Логарифм, степень, корень
Поэтому
lim ух = 1.
П = СО
2) При х — 1 имеем
]/х= 1 —> 1.
3) При 0 <х< 1, в силу 1), имеем
следовательно, согласно примеру к теореме 29,
и, значит, по теореме 20,
Определение 11 (лишь на короткое время, до доказа-
тельства теоремы 37, (включительно). При х>0 полагаем
к
а(п, х) = k (ух —- 1).
Теорема 31.
lim а (п, х)
п = со
существует.
Доказательство. 1) Пусть х>1. Положим
2>к I—
У~ ух.
Тогда
^>1.
у'х=у2,
a (n, х) = k (ya — 1) — k (у -у 1) (у — 1) k • 2 (у> — 1)
= 2k ( }/х — 1) = а (п 1, х}.
48
ГлаМ 2
Таким образом, последовательность отрицательных чисел
— а (я, х) имеет, по теореме 27, 1) (с^=0) предел,
а тогда, по теореме 16, и последовательность а (п, х)
имеет предел.
2) Если х = 1, то
а (п, х) = 0 —> 0.
3) Пусть 0<х<1. Согласно доказанному в 1),
1- ( 1 \
lim а [п. —-
W —оо \ Х /
существует. Согласно примеру к теореме 29, имеем
а (п, х) = (—=(—V) а(п,
откуда, в силу теорем 17 и 30, и следует утверждение.
Определение 12.
log х= lim а (/г, х) для х>0.
п = ОО
Читается: логарифм (от) х.
Теорема 32. log 1 = 0.
Доказательство, а (п, 1) = 0-> 0.
Теорема 33. log (ху) — logx -|- logj/ при х>0, j/>0.
Доказательство. В силу теоремы 29,
k (]/ху — 1) = &(]/х — 1) |/у 4" k fyy — 0,
следовательно, по определению 12 и теореме 30,
log (ху) = lim k (j/xy — 1) = lim k (]/x — 1) lim |/y -|-
n = OO n “ oo n~<x>
lim k (]/j — 1) — log x • 1 log_y = log x logy.
П=оо
Теорема 34.
log log x'—log у при x>0, j/>0.
Логарифм, степень, корень
49
Доказательство. По теореме 33,
log X == log (у = log у + log у.
Теорема 35.
logH x, — 2 log x, ^ля положительных x„.
7 = 1 7 = 1
Доказательство. При in = 1 — ясно. Из т следует
по теореме 33:
^Па = !<>g (Па • хт н) = log Па + log хт н =
7 = 1 7 = 1 V = 1
= 2 logх, -L logхт н = 2 log X,.
7=1 .7 = 1
Теорема 36, При а'уо и целом х
log (аж) = х log а.
Доказательство. 1) При х>0 это следует из тео-
ремы 35 с т = х, xv = а,
2) При х — 0, по теореме 32,
log (аж) = log 1 = 0 = х log а.
3) При х<0, по теоремам 34 и 32 и доказанному в 1),
log (аж) = log = log 1 — log (а‘ж) = — ( — х log а) =
= xloga.
Теорема 37. logx^x—1 для х>0.
Доказательство. При у>0 имеем
Таким образом, при j/>0 во всяком случае
к-1
уК— 1 =0—1)2 y',>k(y — l).
7 = 0
4 Зак. 848.
50
Глава 2
r-r к /-
Подставляя у = у х, получаем
х— 1 ;> #(|/х — 1) = а (п, х).
Следовательно, в силу теоремы 22,
х — 1 lim а (п, х) = log х.
Теорема 38.
log х 1 — ~ для х > 0.
Доказательство. По теореме 37 (с заменой х на ~),
1 1 1 /1 Л 1 1
Теорема 39.
log х
> 0 при х> 1,
= 0 при х—1,
< 0 при 0 < х < 1.
Доказательство: теоремы 38, 32 и 37.
Теорема 40. log х< log .у при 0<х<у.
Доказательство.
0<у<>
и, значит, по теоремам 34 и 39,
log х — logy = log у < 0.
Теорема 41. Уравнение
logy =« х
имеет для каждого х точно одно решение у.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что х > 0; действительно, при х = 0 решением служит
только у = 1, а в случае х < 0 заданное уравнение совпа-
дает с
, 1
log — = — X.
11
Логарифм, степень, корень
1) Из теоремы 40 следует, что может существовать,
самое большее, одно решение.
2) Отнесем а
к первому классу, когда когда'log а
ко второму классу, когда loga>x.
Каждое а будет тогда принадлежать точно одному классу.
Первый класс содержит положительное а = 2W с ш
действительно, по теореме 36, тогда
log (2W) = m log 2 x.
Второй класс содержит а = 2Ш с w> ’ Действитель-
но, по теореме 36, тогда
log (2m) « tn log 2 > х.
Если а принадлежит второму классу и р>а, то
£>а>0,
logl3>loga>x
и, следовательно, (3 принадлежит второму классу.
Поэтому существует у > 0 такое, что каждое при-
надлежит первому, а каждое а > у — второму классу. Я
утверждаю, что
log\y sax х.
Действительно, если бы было
log .у < х,
то, положив
h = x — logy (>0),
мы имели бы, по теореме 37,
log ((1 4- Л)у) = log (1 -f- h) 4- log.y < h 4- logy == x,
т. e. (1+^)Л которое >д/, все еще принадлежало бы
Первому классу.
Если же было бы
log> > х,
то, положив
(>0)
4*
52
Глава 2
мы имели бы, по теореме 37,
10£ j-fy = 1°g3'—log С1 4 л>
> logy — (log.у — х) = х,
У
1 + h
т. е.
которое <д/, все еще принадлежало бы второму
классу.
Определение 13. Решение уравнения
10g_y=l
обозначается через е.
Буква е, начиная отсюда, всюду будет обозначать только
' эту положительную „мировую константу
Определение 14. ех для каждого х обозначает реше-
ние уравнения
log_y = X.
Читается: е в степени х. Наименование: степень с осно-
ванием е и показателем х.
Определению 14 должна была предшествовать теорема 36
для а —£, поскольку степени с положительным основанием
и целочисленными показателями определены уже в основах
анализа и как раз по теореме 36 для целого х (при старом
значении ех) имеем
log (ех) ~ х log е = х • 1 — х.
Теорема 42. ^ж>0.
Доказательство. По определению 14, ех имеет
логарифм и потому > 0.
Теорема 43. Если x<Zy, то ех<^еУ,
Доказательство, log ех — х < у — log еУ
и теорема 40.
Теорема* 44. Уравнение
ех—у
для каждого ,у>0 имеет точно одно решение.
Логарифм^ степень, корень
Доказательство. По определению 14,
ех—-у
означает то же, что и
logj/ = x.
Теорема 45. При а> О и целом х
log а —. дх.
Доказательство. По теореме 36,
log (аж) — xloga.
Определение 15. = для а > 0.
Читается: а в степени х, Наименование: степень с осно-
ванием а и показателем х.
Этому определению должна была предшествовать тео-
рема 45; заметим также, что для а = е оно согласуется с
определением 14, так как
ех log е — ех • 1 — gx.
Теорема 46. 1«=1.
Доказательство. 1® —е®10^1 =е°=1.
Теорема 47.
а31 > 0 при а > 0.
Доказательство: определение 15 и теорема 42.
Теорема 48. log (а®) — х log а при а>0.
Доказательство: определения 14 и 15.
Теорема 49. Если х<у, то
а31
< аУ при а > 1,
— аи при а — 1
> аУ при 0 < а < 1.
Доказательство. При а > 1, по теоремам 39 и 43 ,
имеем
а® = е® los ° < еУ1ог а =аУ.
При а — 1 имеем
а® =»! = аУ.
54
Глава 2
При 0<л< 1, по теоремам 39 и 43, имеем
ах — ех ,0£ а > еУ los а = аУ.
Теорема 50. ахаУ — ах>у при а>0.
Доказательство.
log (ахаУ) — log (аж) 4- log (fly) ~ х log a log а =
— (* 4-у) log а = log (aW).
Теорема 51.
ах
.-т, = ах~у при а>0.
аУ г
Доказательство. По теореме 50,
aVaF-y = (»-!'> — ах.
Теорема 52. ажа-®=1 при а>0.
Доказательство. По теореме 50,
в”а-*яв®+(- — а° = 1.
Теорема 53.
т
и
Ц q^v = д при а>0.
') = 1
Доказательство. По теореме 35,
т т т
log JI ах< = 2 loga^vsS ж, log в»
V = 1 V = 1 V = 1
т
. . > £ .
/ \ / v _ 1 \
= I S ХV ) l°g а = log (а ) •
V = 1 / \ /
Теорема Ы. (aby-a^b* при а > 0, Ь>0.
Доказательство. (ab)x =»6х<а&) = ех° + =
.— бх log а log Ъ — ахЬх.
I
Теорема 55. {ах)У = ахУ для а>0.
Доказательство. (ах)У— еУ
J
Логарифм, степень, корень
55
Теорема 56. аУ в случаях 0<п<1 иа>\ принимает
каждое значение х>0, и притом точно один раз, а
именно, при
л log а
Доказательство. Уравнение
аУ = х
равносильно уравнению
еу log а — ^log
и, значит, уравнению
у log а = log х.
Определение 16. log(a)x при х>0, а>0, а^ 1
обозначает решение у уравнения
аУ = х,
т, е.
1о^)* = -Бр-
Читается: логарифхм (от) х при основании а.
Определение 17. log(10)x называется (при х > 0) бр и г-
г о в ы м логарифмом числа х.
Он „известен" из школы.
Теорема 57. log(^x = logx для х > 0.
Доказательство.
log х .
— = log х.
log е &
Теорема 58. log(e) (ху) == log(a) х -р- log(a) у для х> 0,
у > 0, а > 0, а ф 1.
Доказательство.
log (ХУ) _ log *4-log .у _ log -у , log>
log a log a log а ' log а '
Теорема 59.
10g(a) (у) = 10g(a) X — 10g(a) у
для х>0, _у>0, а>0, аф 1.
56
Глава 2
Доказательство. По теореме 58,
10g(a) х = log(e) (у = 10g(e) (у) 4- 10g(o) у.
Теорема 60. Уравнение
Ут == X, у > о,
для и каждого т имеет точно одно решение.
Доказательство. 1) При х — 0 решением, и притом
единственным, очевидно, служит у = 0.
2) При х>0 нашему уравнению удовлетворяет положи-
тельное
1
у = хт ,
так как, по теореме 55,
\Хт) = Х”> =х1—х.
Обратно, для х>0 из
ут = X, у 0,
так как у — 0 отпадает, следует, по теореме 55, что
1 1 1
— , — W • —
х т = (yw) т z=y т=у1=у.
Определение 18. Число у теоремы 60 обозначается”^ х.
Читается: корень /n-й степени из х.
При х>0, т = 2п определение 18 находится в согласии
с определением 10.
Теорема 61.
|/ х = х при х 0.
Доказательство. х1 = х.
Теорема 62.
х = У х при х > 0.
Доказательство.
У7>0,
(|/\)2 = х.
Глава 3
ФУНКЦИЯ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ВВЕДЕНИЕ
Мы поясним сначала на примерах понятие:^ зависит от
х; у есть функция от х. Затем мы дадим точное определе-
ние этого понятия. Далее мы постараемся выяснить на
примерах понятие: у непрерывно зависит от х; у есть
непрерывная функция от х. А тогда мы точно определим
и это понятие.
1) Формула
у = х2,
относит каждому х точно одно у. Например, для х=1
имеем у — 1; для х — — 1 имеем у = 1; для х = — ]/ 2
имеем у = 2.
Таким образом, у определяется заданием х. То, что раз-
личным х может соответствовать одно и то же у> разу-
меется, не запрещено.
2) Если с фиксировано („константа*), то
У = с
относит каждому х точно одно у. То, что всем х соответ-
ствует одно и то же у, разумеется, не запрещено.
3) y — logx
относит каждому х > 0 точно одно у (а числам х < 0 —
никакого у).
4) у = /х
относит каждому х 0 точно одно у (а числам х < 0 —
никакого у).
5) у = ~
относит каждому xz/zO точно одно у (причем всегда у == 1)
и значению х = 0 — никакого у. -.
58
Глава 3
6) Если а, Ь, с фиксированы („константы"), то
у = а 4“ Ьх 4“ сх*
определено
7) Если
для всех х.
у == 3 для х> 2,
у не определено для х 2,
то каждому х>2 отнесено точно одно у, а числам х<^2
не отнесено никакого у.
8) Если
( 0 для х > 0 ,
у = {
( — 1 для х < 0,
то каждому х отнесено точно одно у. Этот пример показы-
вает, что задание у не требует единой формулы.
9)
О для рациональных х,
1 для иррациональных х.
10) (содержит 1), 2)
целых v, 0 п, и
и 6)). целое, ач задано для
п
у = 2 « л’
ч =. 0
(для всех х).
П)
12)
У =
у = | х | для всех х.
1 при х = 0,
(Г
JJ v для целых х>0.
v = 1
13)
у = ех для всех х.
14) у = [/ х при целом п>0 для х^>0.
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы усвоить
Функция и непрерывность 59
Определение 19. Пусть задано числовое множен
ст во Ж и .пусть каждому х из 3W отнесено точно одно
число у. Тогда у называют функцией от х и пишут,
например, У=/(х).
х называется независимой переменной, а у — зависимой,
переменной (разумеется, вместо х, у, f могут стоять любые
буквы).
Определение 20. Функция примера 10) называется
целой рациональной функцией или полиномом.
Определение 21. Функцию примера 12) обозначают х\. '
Читается: х факториал. Таким образом, xLопределено
лишь для целых х^О.
Приведем некоторые важные примеры числовых множеств:
При а<Ь
числа х, удовлетворяющие условиям
1) 2) 3) 4) » а » а /Л Л Л /Л и и к И аЛл/л 5**
для каждого b — числа х, удовлетворяющие условиям
5) 6) х Ь, х < Ь\
для каждого а — числа х, удовлетворяющие условиям
7) 8) Далее: х^> а, х > а.
9) Ю) П) 12) все х, все рациональные х, все иррациональные х, одно число х = а.
60
Глава 3
Перейдем теперь к примерам, которые мы предпошлем
определению непрерывности. Непрерывность егсть свойство,
которым функция может обладать, либо не обладать, для
каждого отдельного х.
1) Функция
у = 2 при х 1,
у = х при х > 1
не обладает им при х = 1, однако, обладает для всех других х.
2) Функция
у = 1 при 0 х 1,
у = х при X > 1
обладает им для всех х > 0, но не обладает ни для
какого x<iO.
3) Функция
<у = 1 для рациональных х,
у = 0 для иррациональных х
не обладает им ни для какого х.
4) Функция
y = xl для целых х?>0
не обладает им ни для какого х,
5) Функция
у = х2 для всех х
обладает им для всех х.
О каком свойстве идет здесь речь, когда х = $ — про-
извольное число?
Прежде всего, f (х) должна быть определена при х = $
и даже в целой его „окрестностит. е. должны суще-
ствовать число а <$ и число (3>£ такие, что/(х) опре-
делена при а < х< (3. (Чем для примера 4), равно как и для
случая х<0 в примере 2), вопрос уже решается отрица-
тельно.)
Интересующее нас свойство, грубо говоря, состоит в том,
что если х близко к 5, то у близко к /($).
Функция и непрерывность
61
Как сформулировать это точно? Пусть 8 — любое поло-
жительное число; тогда требуется, чтобы в целой окрестности
числа $ выполнялись одновременно неравенства
(1)
и
(2)
/(*)</С'
В совокупности они означают, что
• 1/00- / G) | < 8.
„ Окрестностью “ называлось числовое множество
а<х < р,
где а<$<р. (Заметим, что х = £ не требовало никакого
исследования, так как неравенства (1) и (2) выполняются
для него автоматически.) Однако, то же самое получится,
если рассматривать лишь окрестности вида
£--з < X <
где в > 0, т. е. говорить о тех х, для которых
|х--$ I < 8 .
Действительно, множеству а < х < р, где а < $ < р, принад-
лежат все х, для которых
|х — < s = Min (р— ?, 5 — а),
так как для них
а = 6— (5 — «)<$ — г<х<Е4-£<^4,(₽ — £) =р.
В примере 1)
/(1) = 2.
При § =-?> требовалось бы, чтобы в некоторой окрест-
ности числа 1 выполнялись неравенства
4=/(i)-4 </w </(i)+
62
Глава 3
3
Однако, при 1<х<2-мы имеем
/(х) = х < |-;
так что не существует никакого р >; = 1, для которого бы
3
2"</(х) для 1 <х<р.
Таким образом, при $ — 1 наша функция /(х) не обла-
дает требуемым свойством.
При каждом $ < 1 она им обладает. Действительно, при
х1 имеем
/(х)_/ф = 2-2 = 0
и, следовательно, при надлежаще выбранных а, £ таких, что
а < $ < р, имеем
1/(х) — /(:) | = 0 для а<х<р.
/(х) обладает требуемым свойством и в каждом $>1.
Действительно, при х>1 имеем
|/(х)-/(0|==|*-5|.
Пбэтому дла заданного 8 > 0, при
|х— $ | < Min ($— 1,8),
так как
х = $ + (х — $)>$ — (£— 1) = 1,
имеем
В примере 2) при $ = 1 имеем
( 0 при О С х <
/«-/(’•)- | ^-£„рИЛ>£,
значит, для всех х О
1/(0 —/(5)| < |х-
и, следовательно, каково бы ни было 8 >0, имеем
|/(х)—/(5)! <8 при |х — $| < Min (1, 8).
функция й непрерывность 63
Если 0 < $ < 1, то
f (х) — / (;) = 0 при О х < 1
и, значит,—для |х— $ <Min(;, 1—£). Если $>1, то
f (х)—/($)=х—; при х>1
и, следовательно, для |х — Sj| <Min (5 — 1, о) имеем
|/(х)-/(01 = |х — $|<8.
Переходя к рассмотрению примера 3), заметим, прежде
всего, что при а<Ь существует рациональное число х, за-
ключенное между а и Ь, т. е. такое, что
а<х < Ь.
Тот, кто знает это из основ анализа лишь для а > 0, сможет
Л b
распространить на а = 0 выбором рационального х между
и b и на а<0 — выбором рационального у = — х между
Мах ( — Ь, 0) и — а.
Отсюда следует, что при а<^Ь между а и b содержится
также иррациональное х; действительно, выберем рациональ-
ное г так, чтобы
а<г<Ь,
и положительное целое п так, чтобы
. У*2
//> г1— ?
b — г
тогда г иррационально (ибо иначе Y2 было бы ра-
циональным) и
a<Zr < 1—<Ь.
1 п
Таким образом, каково бы ни было для каждого s>0
существует х такое, что
$ — а<х<$4-е, |/(х)—/(£)! = 1,
так что для 8 = 1 не существует никакого е, которое обла-
дало бы требуемым в определении непрерывности свойством.
64
Глава 3
В примере 5) для каждого каждого 8>0 и
| х — $ I <Min (1,
имеем, сперва,
O + &I =|(х-0 Х2£|<|х-$| + 21£|<1+2|£|
и, следовательно,
1/О)-/(е)Ы*2-И=О + *1О-Ч<
<(i +2|$|)|*—е|<8.
Теперь мы уже достаточно подготовлены, чтобы усвоить
Определение 22, f(x) называется непрерывной в (при)
х = если для каждого В>0 существует (не зависящее
от х) з > 0 такое^ что
I/O)—/(0i<8 пРи |х—е|<е
(равносильно „для 0< ]х — <е“).
В другой форме: если для каждого 8>0 существует
(не зависящее от Л) з>0 такое, что
|/(О/Л) — /(£)!<§ при |Л|<г
(или то же лишь для 0< | h | < е).
Теорема 63. Если
а<1<Ь
и
f(x) = c при а<^х<^Ь
(где с не зависит от х), то f(x) непрерывна в t
Доказательство. При [ h | < Min (b— $, $ — а) для
каждого 8>0 имеем
1/(5 + Л)- = |с-= 0<8.
Теорема 64. Если
Функция и непрерывность
Go
и
f (х) === х для а<х<Ь,
mo f (х) непрерывна в
Доказательство. При | х — $ | < Min (о, b — 5, 5 — а)
имеем
]/(х)-/($)| = |х-5|<8.
Теорема 65. Если /(х) и g(x) непрерывны в $, то и
/(х)+§(*) непрерывно в t
Доказательство. Для каждого 8>0 существуют
Sj > 0 и еа>0 такие, что
1/(£-Н)-/(01<{ при |Л|<81,
+ Л) —§•($)!< У при | Л|<еа.
Следовательно, при |ft|<Min(81, еа) будем иметь
I (Л*+*) +g + *)) - (/(?)+^)) | =
=I (/(5+*) -/(0)+te(e+a)-g (0) I <
<;/(Н А)-/(0Ж^ + А)-£(01 <4+4 = 8.
Пример. с~гх непрерывно всюду, в силу теорем 63,
64 и 65.
Теорема 66. Пусть т^>\ целое и функции fn(x) для
т
целых п, l^n^m, непрерывны в $. Тогда и 2 fn(x)
п = 1
непрерывна в 5.
Доказательство. Для т = 1—ясно. Заключение
от т к т 1:
т 4- 1 т
2 /»(х)= S /»W+/m + lW
п = 1 п - 1
и теорема 65.
Теорема 67. Если f(x) непрерывна в 5, то и cf(x)
непрерывна в
5 Зак. 848.
66
Глава 3
Доказательство. Для каждого о > 0 существует
з>0 такое, что при | h\ <з выполняется неравенство
и, следовательно,
I eft + h) - eft) I = I с (/($ + Л) ~/(0)| =
= !d|A5 + A)-/(O:<(ki + i)T7nT=8-
Теорема 68. Если /(a) и g(x) непрерывны в %, то и
/(х)—g(x) непрерывно в
Доказательство: /(х)— g(х)—f(х)+(— 1)^(х)
и теоремы 67, 65.
Теорема 69. Если /(х) и g(x) непрерывны в К, то и
f(x) g(x) непрерывно в 5.
Доказательство. Пусть задано 8>0. Выберем
s>0 так, чтобы при | h , <е выполнялись неравенства
1/(Е + Ч-Ж< Min (1,3„ + ,аг,а|))
I g (S + Л) — £ (01 < +
Тогда при | h ' < г будем иметь
1/(5 + лШН А)-/(0^(01 =
= I (ft + А) -/ (0) (g (5 + А) - g (0) +
+/(0 (g (5 + А) - g (0) + g (0 (ft + A) -ft)) I <
< I f t + A) - f (0 \g t + h) - g (01 +
+1/(0 ig(? hA)-^(o:+i^(o:7C’+A)-/(O'<
< 1 T + I/(’) I 3(14-1/(01) + I ё 1 3(1 +|^(;)| ) <
& 1^1 Л
<з“ + -з+3=°-
Функция и непрерывность
Z>7
Теорема 70. Пусть т > 1 целое и функции fn (х) дЛя
т
целых п, непрерывны в $. Тогда JJ/rt(x) не-
П — 1
прерывно в $.
Доказательство. Для т — \—ясно. Заключение
о т т к т 4- 1:
m 4-1 т
П (*)=П г I (•*)
п - 1 V = 1
и теорема 69.
Теорема 71. Если f(x) неперерывна в ?, то fm(x) для
каждого целого т^1 непрерывно в L
(/w(x) — более удобный способ записи для (/(х))™)-
Доказательство: теорема 70 с
/н W = / О) ’фи 1 < zz <м.
Примеры. 1) хт для целого т^> 1 непрерывно всюду,
по теоремам 64 и 71.
п
2) Следовательно, каждый полином непрерывен
м == 0
всюду; действительно, а^х'* при у —0 непрерывно, по тео-
реме 63, при 0<y<^zz— согласно примеру 1) и теореме 67,
следовательно, весь полином — по теореме 66.
Теорема 72. Если /(х) непрерывна в $ и
/Ю>о,
то существуют р>0 и 7>0 такие, что
/(5 4-А)>р при I h\<q.
Доказательство. Выберем q>0 так, чтобы
|/(5 + Л)-/($)|< 1/(5) при |А[<?.
Тогда при |Л|<7 будем иметь
/(1 + А)=/(5)+ (/(5 4-А)-/(?))>/(5)-у/(5)=у/(5) = р.
5*
68
Глава 3
Теорема 73. Если f(x) непрерывна в В и
/ОК О,
то существуют р>0 и 7>0 такие, что
/(£ 4- л) < — р при IЛI < q.
Доказательство. Теорема 72 с заменой /(х) на
—/(х); —/(х) непрерывно в по теореме 67.
TeopfeMa 74< ЕсЛи /(х) непрерывна в 5 и
/0) ф о,
то и > :Ц непрерывно в «.
J (Л)
Доказательство. Выберем, согласно теореме 72,
соответственно 73, р>0 и 7>0 так, чтобы
|/0 + А)1>Р ПРИ Н< +
Тогда при \h\<q будем иметь
1 1 I |/G-)~/O + ^)L l/«+J)-/(c)l /
/(5 + Л) /(0 I I /(< + Л)/(0 I 1/(5 + Л) 11/(0 Г'
Но для каждого &>0 существует г, такое, что
при | h | < е выполняется неравенство
Следовательно, при ] h\ < s выполняется и неравенство
I /(? + *) “ 7(01< /И/(01 8/? 8‘
Пример. ~ непрерывно при каждом $ ф 0.
Теорема 75. Если /(х) и g(x) непрерывны в 5 и
£&ф0,
то и непрерывно в 0
S \х)
Доказательство. По теореме 74 непрерывно
Функция а непрерывность
69
в ?, следовательно, по теореме 69, и
£(*)
непрерывно в 5.
Пример. Если f(x) и g(x)~полиномы и
О,
f(x) 1 4- х3
то непрерывно в $. Так, р-ур непрерывно для каждо-
го с, Y2Z---Для кажД°Г0 ? Ф 1-
Теорема 76. Если f(x) непрерывна в то и |/(х)|
непрерывно в
Доказательство. Для каждого 8>0 существует
з>0 такое, что
|/(6-}-Й)—/(6)|<3 При | й|<8.
Следовательно, при \h |<з имеем
Пример. Функция | х | всюду непрерывна.
Теорема 77. Пусть g(x) непрерывна в 6, g{k) — ^ и
/(х) непрерывна в »}. Тогда /(g(x)) непрерывна в 6.
Доказательство. Пусть задано 6>0. Выберем С > 0
так, чтобы
1/(^ + *)~/('П)1<3 ПРИ |*|<4
и затем е>0 — так, чтобы
|§-(64-й) —^(6)}<С при | Л| <г.
Тогда при | h | < е, полагая
* = £(£ + *) — §(£)>
будем иметь
1*1<^
и, следовательно,
W(5 + *))-/(^G))l = 1/(^1 + *)-
70
Глава 3
Пример. Функция —№| непрерывна при каж-
дом как видно из теоремы 77, если положить в ней
/(х)==|х|, g(x) = 1 H-.v — №.
Теорема 78. logx непрерывен при каждом
Доказательство. Пусть задано 8>0. Тогда
а = £е < 5 < № — р,
и для
а < х < р
имеем
log Е — 8 = log а < log х < log р = log $ 4“
I log х— log $ | < 8.
Теорема 79- ex непрерывно при каждом Е.
Доказательство. Пусть задано 8>0, Без ограниче-
ния общности можно считать, что 8<Л Тогда
а = log (е*— 8) < log е^ = E<log (е* 8) = р,
и для
а<х<р
имеем
е- — 8 = е* < еж< е? = е- 8,
[е»—[ < 8.
Теорема 80. ах для а > 0 непрерывно при каждом
х = Е.
Доказательство: теорема 77 с
f(x) = ex, g (х) = х log я.
Теорема 81. хп для произвольного п непрерывно при
каждом х = Е > 0.
Доказательство: теорема 77 с
f (х) = ех, g(x) = n log х.
Пример. У'х непрерывен при каждом Е>0.
Этот пример допускает, разумеется, и непосредственную
поверку. Для — Е имеем
Vl + h- vr= <VT+~ft)a-(n)2 _ h
v F /e + ft + V? УТ+Л+/5’
Функция и непрерывность
71
откуда при —I ЛГ< 8 получаем
Теорема 82. Если п целое, то
[•* + п] = [ V] 4- п.
([х] было введено в определении 1.)
Доказательство: [х] 4~ п х4~ 77 < (W + 1) 4“ п —
= ([х] 4~ лг) 4~ 1 •
Определение 23 (лишь временное, до теоремы 86 вклю-
чительно, а также теоремы 100):
{х} = Min (х— [х], 1 —х + [х]).
Таким образом, {х} есть „расстояние* от х до „бли-
жайшего* целого числа; если х—1- целое, то имеются два
, 1 । 1 ч
целых числа (а именно, х — -% и x-j- у), находящиеся на
наименьшем возможном расстоянии от х.
Теорема 83. Если п — целое, то
{х-)~ //} = {х}.
Доказательство. По определению 23 и теореме 82,
{x-j- п] = Min (х и — [х 4~ п\, 1 —х — п [х 4~ п]) —
= Min (х — [х], 1 — х Ц- [х]) = {х}.
Теорема 84.
Доказательство. 1)В силу теоремы 2,
х — [х] > 0, 1 — х 4" [х] > 0
и, следовательно,
{х} 0.
2) 2 {х} = {х} 4~ {х} С (х — [х])4-(1 —х4- [х])= 1,
{х} •
72
Глава 3
Теорема 85. I {*} — [у} |<|х—j|.
Доказательство. Так как обе части не меняются
при перестановке х и у, то без ограничения общности мы
можем считать, что
Существует целое п такое, что
Отсюда
W < | X— п I = I (х—у) + (у — п) |< I X -у | + |_у — « I =
= |Х—jl +W,
°<М — Л,
IW — WKI^-Н
Теорема 86. Функция {х} всюду непрерывна.
Доказательство. Пусть 8>0. По теореме 85, для
каждого $ при | h | < 8 имеем
пе4-л}-{$Н<Ке4-й)-$| = |Л|<5.
Глава 4
ПРЕДЕЛ ПРИ х = ^
ВВЕДЕНИЕ
1) Функция
X* — 9
х — 3
определена лишь для хфЗ', мы будем говорить, что она
при (в) х = 3 имеет предел, а именно 6. Почему? Для та-
ких х, которые лежат близко к 3, не совпадая с 3, f (х)
лежит близко к 6; действительно, при хфЗ имеем
/О) =х-|- 3,
а х-ф-З в 3 непрерывно и равно 6.
Могло бы показаться подвохом, что мы исходим из функ-
х*~~~ 9
ции----п , а непросто изх-[~3. Однако, наличие знамена-
•Л* 1 г о
теля, который в окрестности значения х = 3 с исключением
самого х = 3 можно сократить, есть чистый случай. В сле-
дующем примере такой случай уже не наблюдается.
2) Функция
определена для всех х>—1, кроме 0. Мы обнаружим здесь
при х=0 такое же поведение по отношению к числу 1,
как в примере 1) при х = 3 по отношению к числу 6.
В силу теорем 37 и 38, при х>—1 имеем
-pfj— <10g(l 4-х)<х
и, следовательно, при х>0
1 log (U: ,
1 + X X ’
___ х s' 1о8 (1 +*)______1
1 -j- X X
74
Глава 4
а при — 1 < х < О
1 log(H-x) .
Т+7>---------* >*>
_ х log (I 4 X)__________J 0
1 -\-Х X •
Следовательно, при 0 < | х | < $ будем иметь
I X I 1 4-Л 1 1
и, значит, для каждого 6 > 0 при 0 < | х | < Min
будем иметь
| log (1 + лг) ! | < 8
3) /w = |
определено при хфО. В критическом месте 0 никакое
число не обладает желательным нам свойством. Действи-
тельно, если бы для s > 0 мы имели бы
|4—<1 п₽и °< ixi<s,
то при 0 < X < в было бы
4=(4—'О+Т| <1+1711’
что неверно при
Х = М1”(1 TThi)-
4) Пусть
(О при х ф 5,
1 при х = 5.
В критическом месте 5 желательным свойством обла-
дает 0; |/(х)— 0| есть даже 0 для всех хфб.
Прежде чем переходить к определению понятия предела,
мы предварительно установим еще (для обоснования его
единственности) одну теорему.
Предел при х = £
75
Теорема 87. Пусть а < $ <6 и пусть f(x) определена
для а < х < $ и В < х < Тогда существует, самое боль-
шее, одно число т) такое, что функция
( f (х) при а < х < $ и S < х < £,
F(x)= Г t
I 7] при X— 5
непрерывна в
Доказательство. Предположим, что это достигается
для т)! и т]2. Обозначим соответствующие функции F (х)
через Fx (х) и F2 (х). Нам нужно только показать, что
g(x) — F, (х) —Г2(х)
при х = £ равно нулю.
По теореме 68, g*(x) непрерывна в х = 5. Если бы было
^(0 #=о,
то, в силу теорем 72 и 73, для надлежаще выбранного h
мы имели бы
0<A<Min($ — а, Ь — 0, §С; + /г)^О,
тогда Как при а < х < Ь, х ф 5, мы имеем
g (х) =/ О) — f (х) = 0.
Определение 24. Пусть а<Ъ<Ь и f (х) определена
для а<С х < Е и Е < х < Если существует »], обладаю-
щее свойством, указанным в теореме 87, то пишут
lim / (х) = т]
(lim читается: предел), или кратко
f(x)-+n,
и говорят: f (х) имеет в (при) $ предел т], или: /(х) стре-
мится при х = В (или при х —> ;) к tj.
Другими словами (не опираясь на предыдущую главу):
всё это говорят, если для каждого 8 > 0 существует е > 0
такое, что
I f (’ + I < 5 при 0 < | h |
8
76
Глава 4
или (что означает то же самое), что
|/(х)---<3 при 0<|х-----------5|<®.
Эта форма определения показывает, что в определении 24
понятие lim f (х) не зависит от специального выбора а и Ь.
—— 9
Примеры (см. выше). 1) lim-7 = 6.
еТ=3 Х - 6
2) Пт^±^=1,
х = О х
откуда, очевидно,
Теорема 88. /(х) непрерывна в £ тогда и только
тогда, когда lim/(x) существует и равен /(5).
Доказательство: ясно.
В остающейся части этой главы все пределы относятся
к произвольному фиксированному L
Теорема 89. Из
/ (х) ->•»], g (х) ->:
следует.
Доказательство. / (х) ]- g (х) для надлежаще вы-
бранного /?>0 определено при 0<jx — $|<р. Полагая
|/(х) при 0<|х — $|<р,
I при х = 5,
ч / £(*) при 0<|х —$|<р,
G (Х) — г t
4 7 ( С при х = 5,
Ф (х) = F (х) О (*) при | х — ЕI < р,
имеем
ь/ . f/W4-g(x) при 0<|х — $|<А
ф (х) = { . t
( -}-С При Х = «.
Предел при х = 6
77
Так как F (х) и Q (х) непрерывны в то, следовательно,
по теореме 65, и Ф (х) непрерывна в L Поэтому
Ф (х) -► <+ с,
/(•v) + g(x)->iq + C-
Пример, lim (?-—% 4- 1-Sl1= 3 J- i == 4.
&=o\x~a x '
Теорема 90. Из
следует
f(x) — g — r-
Доказательство: как в случае теоремы 89, но с
Ф (х) = F (х) — О (х)
и ссылкой на теорему 68.
Теорема 91. Из
/(*)~М, g(x)-*k
следует
7 (*)£(*)-м С-
Доказательство. Как в случае теоремы 89, но с
Ф(х) = Р (x)G(x)
и ссылкой на теорему 69.
Пример.
lim f(x-J- 4) 7 = lim (хlim —Л- = 7 • 6 = 42.
X - 3 \ А °/ х~3 х — о
Теорема 92. Из
f (*) -> ''!> g О) С, 0
следует
/(X) VI
g(x) С ’
Доказательство. Как в случае теоремы 89, но с
78
Глава 4
и ссылкой на теорему 75. При этом, разумеется, р следует
взять столь малым, чтобы
£ (л*) -д 0 при 0 < I X — $ | < р.
Um MH-.V)
. log (1 + х) ж = 0 -V 1
np""ep-
X = о
Теорема 93. Если т^\ целое и
fn (*) ,f\n пРи I п целое,
то
2 Ю -> 2
Доказательство. Для /и = 1— ясно. Заключение
от т к т -|- 1 •
т -J-1 ш
S fn (О = 2 /»(*) -\-fm -и (х)->
^-1
т m +1
Vn "1“ ri “ У/с
1 n = 1
Теорема 94. Если m^l—целое и
fn (x) Чп tlPu 1 n n Целое,
mo
'm m
П fn(x)~* П
n = 1 n = I
Доказательство. Для m = 1—ясно. Заключение
от т к т + 1 *
m-4-1 т т m-f-l
П f п ) = П fn (-^) * fm +-1 00 Ц 1 z==i II
п = 1 П = 1 П = 1 п = 1
Теорема 95. Из
f (х) -> 'G
Предел при х = i
79
следует
fm (х) -> Т]т
для любого целого т~^ 1.
Доказательство: теорема 94 с
/п(х)=/(Л') при 1
Теорема 96. Из
f О) -> 7)
следует
l/Wl-hl-
Доказательство. Как в случае теоремы 89, но без
g (х) и О(х) с
Ф (х) = ; F (х) |
и ссылкой на теорему 76.
Теорема 97. Пусть
lim f (х) = О,
х = 5
е > О,
J g (*) I < l/W I при 0<|х—$|<г.
Тогда
lim g (х) = 0.
х = Ь
Доказательство. Пусть задано 8 > 0. Существует С,
такое, что при 0<|х — 5|<-С выполняется не-
равенство
!/(х) | < 8,
а следовательно, и неравенство
ig’MKs.
Теперь читатель ожидает, вероятно, аналога к теореме 77,
в форме:
«Из Iimg-(x) = 7],
X = ?
11m /(х) = с
X = Т]
80
Глава 4
следует
lim/(g (х)) = с».
X = £
Вывод этого утверждения из теоремы 77 по схеме дока-
зательства теоремы 89 ему не удастся; причина в том,
что само утверждение неверно.
Противоречащий пример: £ == 0, т] = 0, с = О,
( 0 при х ф О,
/(х) | 1 ПрИ х — о,
g (х) =з 0 при всех х.
Здесь
lim g (х) = lim 0 = 0,
X = О X = О
lim / (х) = lim 0 = О,
х = 0 х = О
/ (g (х)) = С’при 'всех х,
lim/(g (х))== 1,
х = О
1 фО,
Еще разительнее
Противоречащий пример. 5 = 0, т| = 0, c~Q.
/«{
Здесь
= 0 при х ф О,
не определено при х = О,
g (х) = 0 при всех х.
lim g-(x) = О,
а? = О
lim/(x) = 0,
х - О
/(g(x)) не определено ни для какого х.
Более слабым, но зато правильным суррогатом является
Теорема 98. Пусть, при надлежаще выбранном р > О,
g (х) ф т] при 0 < I х — 51 < р.
Предел при х =Е
81
Тогда из lim g (х) = т], х ~ £ Нт /(х) — с X - fl
следует lim / (g (х)) = с. х-г
Доказательство. Выберем <? > 0 так, чтобы /(х)
было определено при 0 < | х — т) | < q. Затем выберем г
так, чтобы 0<г</? и чтобы при 0<|х— 5|<г выполня-
лось неравенство
1 g (*) — 1 < я,
а значит и 0<lg (*) — fl\<q.
Положим ч ПРИ °<lx — ''iK?. F (х) = | 1 с при X = 7),
. ч (g(*) при 0<|х—
G (х) = |
I 7) при х = 5.
Тогда F(x) непрерывна в т], G (х) непрерывна в L По тео-
реме 77 отсюда следует, что F(G(x)) непрерывна в 5 и,
значит, Hm F (G (х>) = F (G (?)) = F (•»]) = с. X-k
Но при 0< С\х — <г имеем ° О) = g W, F (G (х)) = F (g (х)) =/ (g (х)).
Поэтому Нт/ (g-(x)) = с. X - •;
6 Зак. 848.
Глава 5
Определение производной
ВВЕДЕНИЕ
Пусть /(х) определена в окрестности значения х = 5,
Т> е. для |х— с надлежаще выбранным /?>0. Тогда
/0-|-Л)—/(5), где 0<| h |<р, есть приращение функции
при переходе от x = t к Это приращение > О,
или == О, или <0; приращение же h переменной предпола-
гается >0 или <0 (но не =0, так как мы будем сейчас
делить на Л). Таким образом, частное („разностное отноше-
«х Z(6Ч-А)—Z (5) приращение/(х) АЛ
ние ) • — /—есть -- ------------— . Может случиться,
7 h приращение х J ’
что оно имеет lim.
h = 0
Примеры. 1) Пусть
/(х) = х* 2.
Тогда для каждого $ и h ф 0 имеем:
= (5 = 2;Л-4-Л* = h
h h h ' '
и из
lim (2; + К) = 25
h - о
следует
Л = 0 п
2) Пусть
( х2 для рациональных х,
/(х, == I Л
J J I 0 для иррациональных х.
Тогда для $ = 0, h ф 0 имеем
_(- /г)—/($) f(h) ( Для рациональных /г,
h h ( о для иррациональных h,
ОпреЗёление производной
83
значит, во всех случаях
/(6+Л)-/(5)1 ,
h
откуда следует, что
и™ Г«+ *>-^«) _ о.
».« 4
Однако
Um
».« »
не существует ни для какого $ ф 0. Действительно, если $
рационально, то для каждого р>0 найдется иррациональ-
нее ; 4~ с и при этом h будем иметь
(2)
/(5 4-Л)-у(0 $2
h h '
если же $ иррационально, то для каждого р>0 найдется
-рациональное $ h с 0</к^р, и при этом h будем иметь
ГП M1+J)-/(?)_ (t+W
h ~ h
В обоих случаях существование предела (1) исключено,
В самом деле, если бы он существовал и был бы, скажем,
равен /, то для 0< | h |<е с надлежаще выбранным s>0
мы имели бы
I h 1^ ’
откуда
тогда как надлежащим выбором значения /?<е правая часть
в (2) и (3) может быть сделана по абсолютной величине
больше для всех h с 0</?<р.
3) Пусть
/(*)= и
6*
84
Глава 8
(функция — всюду непрерывная). Тогда для 5 = 0,
/(;+ /г) — /($) _ |А| _ ( 1 при А>0,
/г h I — 1 ПрИ Л<0,
так что lim не существует. Правда, для $>0 и 0 < | h | < $
/(£ + /0-/(1) _ (s +h) -J _ 1
h ~ h
так что для ;>0 указанный предел существует и = 1; а для
; < 0 и 0 <1 /г I < —- $ имеем
/(? + *) -/(?)_ —(е + Л) — (—5)
h ~~ h ’
так что для $ < 0 предел существует и = — 1.
Определение 25. f (х) дифференцируема при х = 5, если
lim
Л-0 h
существует. Этот предел называется тогда производной
функции f(x) при х = 1 и обозначается f (£).
Пишут также f (х); ведь там, где производная существует,
она является функцией соответствующего 5, а эту независи-
мую переменную можно обозначать и через х. Если у = f(x),
dy df(x) б, х / \
то пишут также , равно как и или а
если это не может повести к недоразумению, то и (/ (х))' или у'.
(Недоразумение может возникнуть, например, в следую-
щем случае: что означает
(хг)'?
Означает ли это
lim (х+^г~хг ( = г)
й = О П
или же
lim x(z + h)-xz ( = х)?
Л = О п
Определение производной
85
Для первого предела безупречным будет обозначение ,
для второго — обозначение Однако записью (хг)'мож-
но спокойно пользоваться там, где смысл ее ясен из контекста.)
Другими словами (не опираясь на предыдущую главу):
/,(х) дифференцируема при х = 5 и имеет там производную t,
если для каждого 8 > 0 существует е > 0 такое, что
। As+'o-m j<8
I п I
Еще иначе:
f й = и™ ,
Ж = ; Х ’
если этот предел существует, т. е. (назовем его t) — если
существует /, обладающее следующим свойством: для каж-
дого 8>0 найдется е>0 такое, что
при 0<1х —И<е.
Теорема 99. Если f(x) дифференцируема при x — k,
то она непрерывна при х — 5.
Доказательство. При Л —> О имеем
^)—Z(S) . х
h G
откуда, по теореме 91,
/ G+Л) - /($) = h -> t • о = о.
Третий пример из введения к этой главе показывает, что
непрерывности еще не достаточно для дифференцируемости.
В этом примере / (х) была всюду непрерывной, а /' (х) для
одного значения х не существовала, существуя, однако, для всех
других значений х. Можно было бы думать, — и долгое время
думали, — что всюду непрерывная функция должна быть где-
нибудь дифференцируемой. Что это, тем не менее, не так, показы-
вает следующая теорема Вейерштрасса, которую мы до-
кажем новым примером,принадлежащим ван дер Вардену.
86
Глава 5
Теорема 100. Существует всюду непрерывная, но нигде
не дифференцируемая функция*
Доказательство. 1) В силу теорем 86, 77 (с
/(х)={х}, g-(x) = 4«x) и 67 (с с = -^-), функция
для каждого целого п 0 всюду непрерывна; по тедреме 84,
n . f , , , 1 1
и 2.4» 4п •
2) Положим, для целого /я^О,
т
FM=^fn(x).
п = 0
Тогда
О (*) + l (Л)*
Так как
дг ( \ "V? 1 4w4i 4
(х) < 2 “4л" 1 < ~3~ >
]—L
4
то, следовательно, в силу теоремы 27, для каждого фикси-
рованного х существует
lim F^(x)=/(x).
n = ОО
Мы покажем, что эта функция /(х) обладает всеми нуж-
ными свойствами.
3) Докажем сперва, что /(х), непрерывна при каждом $.
Для целых т. k с m^>k^ 0 и каждого х имеем
т т .
0<Fm(x)-Fk(x)= 5 AUX 2 =
n=A’+l 7i=A-4-l
.11
. \ 4*1-1 4?h+i 4 1'1
. • >. = : r- | < у 4*+Г < *4*" -
Определение производной
87
Пусть задано 8>0. Выберем целое так, чтобы
4* < 3 ‘
Тогда для целых m">k и каждого х будем иметь
откуда (/п->оэ), в силу теоремы 22,
Поэтому для каждого $ и каждого h будем иметь
Пусть теперь $ фиксировано. По теореме 66, Fk(x) не-
прерывно в 5; следовательно, для |Л|<в с надлежаще вы-
бранным г>0 имеем
|Fs(5 + A)-FJk(0|<|,
а тогда
|де+л)-/(О| =
= I (fi^h)-Fk (^h))-(f^)-Fk (l))+(Fk G 4- A)-M))| <
< \f(t+h)-Fk tf-f-A) | + )| +1 Fk(l + A)-F*(OI <
<T+ -3 + з =s-
4) Покажем, наконец, что /(x) не дифференцируема ни
для какого L
Если бы для некоторого значения $ существовала произ-
водная
то при надлежаще выбранном е>0 мы имели бы
„ри o<ix-Ei<..
I Л 5 I Л
88
Глава 5
Поэтому для каждой последовательности $Л, целые,
$4-и,
существовало бы k0 такое, что при k k0 выполнялось бы
неравенство
|Z(gfc)—
I fe-e 4^2’
а, следовательно, и
|/(W-7(0 1
I efc+1-e
так что мы имели бы
IZ(g»)—Z(S) Z($fr+t)—ZG) I ,
I eft+1-e •
Таким образом, для получения противоречия достаточно
указать последовательность k^A целые, > 5,
такую, чтобы
для четных k было целым и притом четным, для нечетных
же k — целым и притом нечетным; действительно, тогда для
всех k мы имели бы
|/fa)-/G) Z(gfe+i)—Z(e) I .
Это можно сделать и будет сделано.
Положим, для целых k 1,
{£_р4—л, если [4Л$] четное,
$ — 4“^, если [4*£] нечетное.
Очевидно,
Для целых n^k имеем
4n= 4п5 i 4n"^ = -j- целое,
Определение производной
89
следовательно, в силу теоремы 83,
fn (£*) —fn (!)-
Поэтому для целых in, k с пГ^> 1 будем иметь
т к— 1
&) - Fm ($) = 2 (/„ &.) -fn О=2 (/„ (^) - Л (£)),
п - 0 п = О
откуда следует, что для целых k 1
(о / &•) -/ (5)=sk cw со).
п - О
Для целых же п с 0 ^.n^k — 1 имеем
2 • 4~к = 2]~2А: <21“2^ + 1)
и, следовательно,
4—к 2 ~2п 4~~к
Полагая
л=[2,г + Ц],
имеем
а^22,! + Ц<а-|-1,
(2) 2-2«-ia<S<2-2"-i(a-|-l).
Я утверждаю, что (для нашего k, которое, таким обра-
зом, л-|- 1)
.(3) 2-2’г-1а<5А<2-2»-’
При доказательстве я буду различать три случая.
I) Если
2-2»-1а4-4-А<$<2-2я-’(а4-1) —4-*,
то отсюда следует (3), так как
|$ft -e| = 4-ft.
II) Если
2-2n-i а<5<2-2п-’1а4-4-Л,
90
Глава 5
то
22*-2л-1 а 4Ц<22Л-2'г“1 a-f- 1,
[44] = 22к ~ 2п —1 а = четное,
2_2я_1а<^<2_2„_1а_|_2.
Ill) Если
2-2”-i(a-f- 1) — 4-*<$<2-2"-,(«+ *)>
то
22*-2«-1(а-{-1)—1.<4i;<22*-2'!-1(a+l),
[4ft4 = 22,£ —2,1 — 1 (а 1)—1 = нечетное,
^ = 5-4-*,
2-2я-1а<2-7л-1(« + 1) —2 • 4-^<^<2-2«-1(а + 1).
Таким образом, соотношения (3) выполняются во всех
возможных случаях.
Из (2) и (3) в случае четного а, положив
а _ ,
2 —'Ь'
получаем:
£><4^<Z>4-
{4«$) = 4И$ — Ь,
{4»у==4»^_ Ь>
лси=^-Д,
(4)
[ < 12) и (3) в случае нечетного а, положив
Определение производной
91
получаем
Ь — < Ь,
b-^44k<b,
{4«es} = Z>-4^(1
Л(и=£-Л,
(5) A(U-/„(5) = -fe-S).
В силу (4) и (5) при 0 п k — 1 мы во всех случаях
имеем
f п —?п (%) == । ।
~ ’
Поэтому из формулы (1) следует, что при k^l
_ftv /д-n *V*Z1 I ч Al
-—£ —— 2j (±1)= Zj (1 + четное) = k -f- четное,
т. e. четное при четном k и нечетное — при нечетном k.
Глава 6
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ВЫЧИСЛЕНИИ ПРОИЗВОДНЫХ
ВВЕДЕНИЕ
Целью этой главы является исследование важнейших из
известных нам функций, как хп, logx, ех, на то, дифферен-
цируемы ли они и, соответственно, где и с каким резуль-
татом; а также, если дано несколько дифференцируемых функ-
ции, — проведение соответствующего исследования для их
суммы, произведения и т. д. Но с одним этим мы продви-
нулись бы практически еще не очень далеко. Труднейшая, но
и важнейшая теорема 101 этой главы, с которой мы даже
начнем (хотя многое из дальнейшего будет получено непо-
средственно без ее помощи), позволит нам дифференцировать
„функции от функций“ f(g(x)) (например, log(l
если мы уже можем дифференцировать f(x) и g(x) (в при-
мере logx и 1 4- х4).
Теорема 101. Если
g С) = •*!> g' (5) = < f' (Ti) = *>’
то f (g (*)) дифференцируема в 5, и ее производная равна xt.
Кратко:
/(g(*)) =/' (g (•*)) g' (•*)•
Еще короче:
dz__dz dy
dx dy dx '
Доказательство.
jt = O *
Общие теоремы о 'ёьиШслёнии производных
Следовательно, существует р>0 такое, что функция
при 0 < | k | < р,
при k — О
непрерывна в k — 0.
При | k | < р имеем
/0)4-6) — /О) = 6® (6). .
Положим
k = g(l + h) — g(ty,
тогда функция k = k(h) в Л = 0 непрерывна и равна 0.
Следовательно, существует <?>0 такое, что
| k | < р при | h | < q.
При 0 < | h | < q имеем
h h h 1 '
Но
v k(h) . ,
11Ш —— t,
Л = 0 h
В силу теоремы 77, ср (Л (Л)) непрерывна в Л = 0 и, следова-
тельно,
lim <р (k (Л)) = <р (k (0)) = ф (0) = т.
Л = 0
Поэтому (теорема 91)
Теорема 102.
~ = 0
dx
для всех х.
Доказательство. Если
/(х) = с,
94
Глава 6
то для каждого $ и h ф 0 имеем
+ = с-с =Q^Q
h h
Теорема 103. При целом я>0
для всех х.
Доказательство. Рхли
f(x) — хп,
то для каждого 5 и h ф 0 имеем
п~1 п — 1
V =0 V =0
Теорема 104.
d log х 1 . А
=— при х>0.
dx х г
Доказательство. Согласно примеру 2) к определе-
нию 24,
.. log (1 + h) -
lim f = 1.
й = 0 h
Поэтому для x>0, в силу теоремы 98 (с
^(Л) = 4 ’ Yi=0- $ = °> ’ с==и
имеем
= 1
Общие теоремы о вычислении производных
95
и, следовательно (теорема 92),
г М’4^) I
ТГ~ =
Нт 10§ (хЦ-//) —logr _ 2
Л = 0 Л х
Теорема 105.
dlog( —X) __ 1
dx х
при х<0.
Доказательство. В силу теорем 101 (с /(х) == log х,
g(x) = — х) и 104, имеем
;= -L (-Х)' = - 2 (- 1)
dx —х v 7 xv/
Теорема 106.
dex
-т— — ех
dx
для всех х.
Доказательство. Согласно
нию 24,
примеру 2)
к определе-
1- log л:
1™. тЬ =
и, значит, в силу теоремы 92,
.. х — 1
lim -j-----------------------=
х = 1^х
1,
1.
Так как
1
ех ф 1 при х ф 0,
то, следовательно, в силу теоремы 98 (с
g(x) = ex, т)= 1, £ = 0, /(х) = ^=2,
с = 1)
имеем
Но
lim ------= 1.
х = о х
e^ + h—eh—1 r, _z_n.
--__ = при ЬфО;
Глава 6
следовательно, для каждого 5 получаем
hm -------— е'.
ь = о "
Теорема 107.
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Пусть /'($) существует. Тогда при
0 < | h | < р с надлежаще выбранным р > 0 имеем
с/е: 4 ч - cf(^) _ /а + ю -f (?) , ?
ft c h J
Теорема 108. При, каждом a>0, для всех х
daX -rf
-57 = ^loga.
Доказательство. В силу теорем 101 (с
g (х) = xloga), 106, 107 и 103 (с п= 1), имеем
(ах)' = (ех loga У = ех 10& а log а — ах log а.
Теорема 109. При каждом п, для всех х>0
dxn „ .
= пх4-1.
dx
Доказательство. В силу теорем 101 (с /(х) = ^ж,
g(x) — п logx), 106, 107 и 104, имеем
(хпУ = (еп los ХУ = еп}(*х~ = хп~== пхп ~1.
Пример. При х>0
dx 2 Ух
Теорема ПО.
(Л*) + =f (х) + g' (х),
если правая часть имеет смысл (т. е. если /' (х) и g' (х)
существуют).
Доказательство. Пусть /'(£) и g'($) существуют.
Тогда при 0<|А |<р с надлежаще выбранным /?>0 имеем
(/(S + А) + g (? + /»))-(/(S) + g(?)) .
ft “
+ . g(? + ft)_g(5)
----------------1--------------(«) + g (5).
Общие теоремы о вычислении производных
97
Пример. Так как (1 х4)' = 4х3,
то, в силу теорем 101 и 109 (для всех х),
d V 1 + х4 1 . „ 2хз
dx 2/14-х4 /1 _|_Х4 •
Теорема 111.
m m
( ^L/n(x)) —
n -1 n = 1
если правая чаешь имеет смысл.
Доказательство. Для т=1—ясно. Заключение от
т к т -J-1:
wi4-l т т
SA(x)e 2 fn (*) 4~/ш4-1(^)==( S/n(x)) “h/m-H (х) ===
л = 1 п-1 п -1
т W4-1
= ( 2/п (х) f/m+iW/ = ( 2 fn
п-1 п~1
Теорема. 112 При целом т>0
( 2 апХп У = 2 danxn -1
п = 0 п = 1
для всех х.
Доказательств о. — 0 (теорема 102),
(xn)' = пх71-1 при п>0 (теорема 103),
следовательно,
(апхпУ — папхп^ при п>0 (теорема 107)
и теорема 111.
Теорема 113.
(/(*) — g (х))' =/' (х) - g' (х),
если правая часть имеет смысл.
Доказательство.
/' (х) — g' (X) г-. /' (х) 4- (- 1) g' (х) =/' (х) 4- ((— 1) g (х))'=
=/' (X) + (- g (X))' = (/(X) + ( -g (х))' = (/(х) - g (X))'.
7 Зак. 848.
$8 Глава б
Теорема 114.
(/ (*) g (х))' = / (х) g' (х) г f W g О) ’
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Пусть /' ($) и g’ ($) существуют.
Тогда найдется такое р > 0, что при 0 < | h | < р будем иметь
+ —gC$ + h) — g(t) ।
+ g (5) АкЦк=Ж f (5) g’ (?) + g <?)/' (В),
в силу теоремы 99.
Теорема 115. При целом т^>2
т т т
(П л (х) У “ 2 /»(*) П а (*).
П х 1 п « 1 V » 1
без v = п
если правая часть имеет смысл.
т
(Символ JJ означает произведение т — 1 множителей.)
У ~ 1
Доказательство. Случай т=2 — теорема 114. Заклю-
чение от /п к m 4-1: в силу теоремы 114,
m-И w
(П fn W)' - (II; (х) • /т н (х))'=
п - 1 га - 1
= ПУга (х) ’ /т+1 С*) 4” /п С*) П А (•*) * ЛпЧ-1 ~
п = 1 га = 1 '* = 1
без v = га
т-И т4-1
= 2/п(х) П А(х).
N = 1 = 1
без = п
Теорема 116. При целом лх>1
если правая часть имеет смысл.
Общие теоремы о вычислении производных
Доказательство. Для /п=1—ясно. Для/п>1 сле-
дует из теоремы 115 с
fn (*) —f W при 1 < п < m.
Теорема 117.
( 1 V _ Г (х)
k/(W /’(-*>’
если, правая часть имеет смысл.
Доказательство. Пусть f (;) существует и пусть
/(5)^0.
Тогда найдется р>0 такое, что при 0 < । h [</’ будем иметь
Следовательно,
1 1 /(5 + Л)—/Ю
Г(£ + /м /iS) __________h __ /Д«1
А Л« + Л)/(=) /*(£)'
Теорема 118.
• __ g(x)/'/x) —/(х)g'(x)
\g(*)/ g*(X) ’’
если правая часть имеет смысл.
Доказательство.
g(x)f'(x) — f(X)g’(x) __ f( . / g'(x)\ , f,( . 1 _
(x) — / W g2 {x)) -t-7 W g {x) -
Теорема 119. При целом п
{хпУ — пхп~1
для всех хфО.
Доказательство. Случай л>0 содержится в тео-
реме 103. Случай п = 0 очевиден. А при п<0, в силу
теоремы 117, имеем
7*
M
tnaea 6
Теорема 120. При целом и>0
пх
(F*)' =
для всех х>0.
Доказательство. В силу теоремы 109,
Л'х)=(х *)' = 1 xV "1 == А х^х-1 = .
vr/4/n п пх
Теорема 121. Уравнение
уп — х
при х<0 и нечетном п>0 имеет
а именно
точно одно решение,
п --
у=* — у—х.
Доказательство, у должно быть отрицательным.
Уравнение означает, что
(—^)п = —х;
а отсюда следует, что
п ,----------------------------
т. е.
п------------------------------
у^ — у — х.
Определение 26. у из теоремы
П /—
121 обозначают /х.
Теорема 122. j/x = x при х < 0.
Доказательство. х1—х.
Теорема 123. При нечетном л > 0
ty*y = И
w 7 пх
для всех х < 0.
Доказательство. В силу теорем 101 (с f(x) —
п
— _ х, g(x)= —х) и 120, имеем:
(|/х)'= (— ]/=Х)'= ( —
п /----------- п /—
_ — _ Vх
пх пх
Глава 7
ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, МАКСИМУМ, МИНИМУМ
ВВЕДЕНИЕ
измеряет крутизну функции f(x} в интервале Е^х^Е-^А,
соответственно Е~рА^х<:Е. Рассмотрение производной
(если она существует) позволит выявить более тонкие свой-
ства; производная в $ в некотором смысле измеряет крутизну
функции в 5-
Определение 27. /(х) возрастает в Е, если существует
е>0 такое, что
СО пРи — s < * < £
/(*)>/(£) при so<H-s-
Определение 28. / (х) убывает в Е, если существует
е>0 такое, что
/(*)>Л0 при Е — г<х<Е
/(ат) </($) при Е<х<Е-|~е.
Определение 29. / (х) имеет в Е максимум, если суще-
ствует 8>0 такое, что
/(*)</(£) О<|Х —$|<8.
Определение 30. /(х) имеет в Е минимум, если су-
ществует г>0 такое, что
/(*)>/(0^ 0<|х — 5|<е.
102
Глава 7
Теорема 124. Для каждой функции f(x) и каждого
фиксированного В из четырех возможностей*, возрастание,
убывание, максимум, минимум может осуществляться,
самое большее, одна.
Доказательство: ясно.
Даже в том случае, когда /(х) определена для | х —- Е < р
с некоторым р>0, может не осуществляться ни одна из
перечисленных четырех возможностей.
Пример. ; = 0,
х2 при рациональном х,
— х2 при иррациональном х.
Здесь
/(О) = о,
и для каждого а > 0 в любом случае существует х такое, что
/(*)<0,
/(х)>0,
/(х)<0,
/(х)>0,
— а<х<0;
--е<х<0;
0<х<а;
0<х<а.
Теорема 125. Если
/'(*)> О,
то f(x) возрастает в ?.
Доказательство. Из
в силу теоремы 72 (в применении к функции
[ /(£ + *)-/(?) Г(Л)= л. 1 t при 0<[Л| </?, при Л «в. 0
с надлежаще выбранным />>0), следует^существование 3>Q
Возрастание, убывание, максимум, минимум
103
такого, что
/« + /,)-/№) >0 пр„ 0<|Л|<г
и, следовательно,
/(5 + *)</($) при — г<Л<0,
/(£-{-Л) >/(£) при 0 < h < $.
Теорема 126. Если
/'(О<о,
mo f (х) убывает в
Доказательство. Для функции
g(x) = —/(х)
имеем
g (5) = -/'(?) >0.
В силу теоремы 125, g(x) возрастает в $; следовательно,
существует е > 0 такое, что
—/(?) при $ —«<х <S,
—/(*) > — /(?) при S < х < 5 4~ ••
Теорема 127. Если /(х) имеет в ? максимум или
' минимум и /' (;) существует, то
/(?) = 0.
Доказательство: теоремы 124, 125 и 126.
Но не следует думать, что если /(х) имеет в $ макси-
мум или минимум, то небходимо
Ведь /' (I) может и не существовать как показывает пример
/(.у)=»|х|, £ — 0.
104
Глава 7
Действительно, мы знаем (пример 3) в начале из гл. 5,
что f (0) не существует; тем не менее, / (х), очевидно, имеет
в 0 минимум, так как
/(0) = 0,
f (х) > 0 при х ф 0.
Таким образом, когда мы можем, при теперешнем состоя-
нии наших знаний, заключить из рассмотрения /'(£), что
налицо максимум или налицо минимум или даже, по крайней
мере, то или другое? Никогда. Действительно:
1) Если /'(I) не существует — мы не знаем ничего.
2) Если /' (£) > 0 или f ($) < 0, то мы знаем, что нет
ни максимума, ни минимума.
3) Если /'(£) = 0 — мы не знаем ничего.
Чтобы убедиться в этом, я приведу пять примеров на
случай 3): в первом налицо максимум, во втором — минимум,
в третьем — возрастание, в четвертом — убывание, в пятом —
ни одна из этих четырех возможностей. Всюду
е-о, /(0)=/(0)=0
и, соответственно
I) /(х) = —-х2, следовательно < 0 для хф^\
II) / (х) — следовательно > 0 для х ф 0;
Ш) /(X) = х8, следовательно < 0 для х <0, >0 для х>0;
IV) /(х) =—х8, следовательно > 0 для х<0,<0 для х>0;
V) /(х)— функция из примера, следующего за теоре-
мой 124; действительно, для нее
/'(0) = lim5^==0.
Несмотря на это „не знаю" (но не „не могу знать"), мы
доведем один пример до нахождения всех максимумов и
минимумов, однако, будем опираться не только на доказан-
ные нами теоремы, но и непосредственно на определения.
(Позже мы будем иметь в своем распоряжении большее
число теорем.)
Пример.
^(Х) = 1 4-Л2' •
Возрастание^ убывание» максимум, минимум
105
Для всех х имеем
f + _ -1-2х + х2
J w (1+*2)2 “ (1+*V
f(x) принимает значение 0 только при
(х _ 1 )2 _ 2 = х2 — 2х — 1 = О,
т. е. только для пары чисел
X = 1 ± 1/2.
Таким образом, максимум или минимум может иметься
лишь в 1-^У2 и 1 — У 2. _
Я утверждаю, что в 1 4~ У % налицо минимум, а в 1 —У 2
— максимум.
Действительно, положим
$ = 1 + 1/2.
Тогда разность
для всех h zfz 0 положительна, равна нулю или отрицательна,
смотря по тому, будет ли положительно, равно нулю или
же отрицательно следующее выражение:
(1 — Л)(1 + $2) —(1—S)(l -p2^2«4-/z2) =
= -/г(1~Н2) — (1— £)(2Л£ + й2) =
==й(_1_£2_2?4-2$2) —й2(1—$) = /г2($- 1).
Таким образом, для всех ЬфО имеем
/(5-f-A) >/($), если $ = 14-/2;
/(5 +А) </($), если 5 = 1—1/2.
Рассмотренный пример мог бы ввести в заблуждение
тем, что Дх) принимает в 1—У 2 наибольшее, а в
наименьшее из всех вообще своих значений, тогда как для
максимума и минимума со значением функции в $ сравни-
106
Гла*а 7
ваются лишь ее значения й соседстве 0 < | х — ? | < в зна-
чения t Но, впрочем, это достаточно ясно высказано уже
в определениях 29 и 30.
Пример минимума, не являющегося наименьшим значе-
нием функции:
/(х) = х2— х6, ; = 0.
О есть минимум, так как при 0 < | х! < 1 имеем
/(0)«0<хЧ1-х*)=/(х).
Тем не менее,
/(2) = 23 — 29<0==/(0).
Г л at a 8
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ В ЗАМКНУТОМ ИНТЕРВАЛЕ
Содержание этой главы я мог бы поместить уже вслед
за гл. 3; однако, сперва я хотел ввести читателя в диффе-
ренциальное исчисление.
Определение 31. Числовое множество 2R называется
ограниченным, если существует с такое, что
для каждого х из 2R.
Определение 32. Числовое множество 9Л называется
ограниченным сверху, если существует с такое, что
для каждого х из SR.
Определение 33. Числовое множество называется
ограниченным снизу, если существует с такое, что
для каждого х из 3R.
Теорема 128. Числовое множество ограничено тогда
и только тогда, когда оно ограничено и сверху, и
снизу.
Доказательство. 1)Из
IхI < С
следует
— с.
2) Из
108
Глава 8
следует
— х< —сх,
| х | = Мах (х, — х) < Мах (с2, — cj.
Определение 84. 5 называется числом сгущения беско-
нечного числового множества 2R, если в 5R для каждого
8 > 0 существует бесконечное число х таких, что
5 — 8<х<? + 8.
Примеры. 1) Множество целых х не имеет никакого
числа сгущения, так как ни для каких a, а< й, не суще-
ствует бесконечного числа целых х, для которых бы
а < х < Ь.
2) Если ЗК — множество чисел целые, то, оче-
видно, никакое 5^:0 не является числом сгущения. Дей-
ствительно, положим
LLL.
2 ’
8 =
тогда бесконечного числа целых я^-1, для которых бы
е-8<1<$+8,
существовать не может, так как $ — 3 > 0 или $ -}- 8 < 0, а
Um - = 0.
п = со п
Но 5 = 0 есть число сгущения; действительно, каково бы ни
было 8>0, для всех целых л >4- имеем
о
О — 8<—<04-8.
п ‘
Этот пример показывает, что число сгущения множества
HR не обязано содержаться в 2R, — что и не требовалось
в определении 34.
Заметим, что в определении 34 можно было бы потре-
бовать лишь существования (для каждого 8 >0) одного 5
из HR, для котррого бы
(1) ..... #<|:х-4 <8,
Функции^ непрерывные в зЬмкнуЪоМ интервале Ю9
Действительно, в силу теоремы 7) Введения, отсюда уже
следовало бы существование п таких х для каждого целого
п 1 (а значит, и существование бесконечного числа таких
я). А именно, пусть х — х„ v целое,—различ-
ные решения неравенств (1); положим
81 = Min |xv — $|,
1<V< п
и выберем в Ш! число так, чтобы
0< (<S);
тогда при будем иметь
। ХП + 1 £ I “С I ’ I >
и, следовательно,
•*41 + 1 4^
Теорема 129. Каждое ограниченное бесконечное число-
вое множество имеет число сгущения.
Доказательство. По предположению, существует с
такое, что
— с<
для всех х из заданного множества 2R.
Отнесем а
к первому классу, если х< а не для бесконечного числа
х из 2R,
ко второму классу, если х < а для бесконечного числа
х из 2R.
Каждое а принадлежит точно одному классу. Первый
класс содержит — с; второй класс содержит с. Если а лежит
во втором классе и р >а, то для бесконечного числа х из
2)? имеем
х < а< р,
и, следовательно, (3 также лежит во втором классе.
Поэтому существует $ такое, что каждое а<$ принад
лежит первому, а каждое а>$— второму классу.
Это $ есть число сгущения. Действительно, для каждого
заданного 8>0 число 5 — 8 лежит в первом классе, а
$4-8—во втором. Следовательно, в £91 существует бесконеч-
110
Глава 6
ное число х< ;Ц-8 и не существует бесконечного числа
х< 5 — 3. Но если бы тогда в 2)i не имелось бесконечного
числа х таких, что
8< х< $ + 8,
то, в силу теоремы 7, в 2R не имелось бы и бесконечного
числа х< 6+ 8.
Теорема 130. Пусть a<Z b и
а С Ъ
для всех целых (Числа — не обязательно различ-
ные.) Тогда существует $ такое, что для каждого 8>0
бесконечно часто (т. е. для бесконечного числа значений п)
е~а<^<$ + 8.
Предварительное замечание. При этом
а Ь.
Доказательство. 1) Если имеется бесконечное число
различных то требуемым свойством обладает каждое
число сгущения $ ограниченного бесконечного множества
различных а согласно теореме 129, по крайней мере одно
такое число сгущения существует;
2) В противном случае, в силу теоремы 8, существует $
такое, что бесконечно часто
и требуемым свойством обладает это $.
Теорема 131. Пусть множество чисел х ограничено
сверху. Тогда существует точно одно I такое, что
каждое х ^1,
а для всякого 8 > 0
некоторое х >1 — 8.
Доказательство. 1) Может существовать, самое
большее, одно такое I. Действительно, если бы /j и Zt >Z1
Функции, непрерывные в замкнутом интервале
111
оба обладали требуемыми свойствами, то мы имели бы, что
каждое х < 1Л
и, следовательно, полагая
— что
8 = Z2 — 1х (>0\
никакое х не > ZL — Z2 — 8.
2) Покажем теперь, что Z с требуемыми свойствами
существует.
Отнесем а
к первому классу, если некоторое
ко второму классу, если все х< а.
В первом классе содержится некоторое а, а именно,
каждое х; согласно предположению, и во втором классе
содержится некоторое а. Если а лежит во втором классе и
Р>а, то
каждое х< а< р,
так что и р лежит во втором классе.
Поэтому существует I такое, что каждое а</ принад-
лежит первому классу, а каждое а > / — второму.
Это I и обладает требуемыми свойствами. Действительно:
а) Если бы существовало
некоторое х > Z,
то х принадлежало бы ко второму классу, и мы должны
были бы иметь
Х< X.
Поэтому
каждое х Z.
Ь) Для каждого заданного о>О число I — ~ лежит во
втором классе, и потому существует
некоторое х^1—g >Z — о.
Примеры. 1) Пусть х—все числа Тогда /wc.
112
Глава 8
2) Вообще, если множество содержит наибольшее число,
то последнее и будет числом I,
3) Пусть х — все числа <с. И здесь 1=с, но уже не
принадлежит заданному множеству.
4) Пусть х — все числа 1— 1 целые. Здесь
I = 1 и не принадлежит заданному множеству.
Определение 35. Число I из теоремы 131 называется
верхней гранью соответствующего множества.
Теорема 132. Пусть множество чисел х ограничено
снизу. Тогда существует точно одно К такое, что
каждое х^\,
а для всякого 6 > О
некоторое х < X 3.
Доказательство. Применяем теорему 131 к мно-
жеству чисел — х и полагаем
Х = — I.
Тогда
каждое — х I — — X,
некоторое — х>/—3 = — X — 8.
Определение 36. Число к из теоремы 132 называется
нижней гранью соответствующего множества.
Пример. Рассмотрим множество различных чисел
х — ]/zz2 .1 — /г, п 1 целое.
Это множество ограничено снизу, так как каждое
х>0.
Задав 8>0, для /г>-^ имеем
и2 + 1 < п2 + 28 /г < (/г + 8)2,
022 4“ 1 < Я + 8,
х<8.
Поэтому Х==0.
Функции, непрерывные в замкнутой интервале
113
Определение 37. /(х) называется непрерывной справа
в 5, если для каждого 3 > 0 существует s > 0 такое,
что
|/($ + Л) — /(5)1 < 5 пРи °< Л< S-
Определение 38. /(х) называется непрерывной слева
' в если для каждого 8 >0 существует s >0 такое, что
1/(5 + А)— /(5)[<8 при —s< А< 0.
Теорема 133. /(х) непрерывна в $ тогда и только
тогда, когда она непрерывна в 5 и слева, и справа.
• Доказательство: ясно.
Определение 39. Пусть а< Ь; множество тех х, для
которых а ^.х^Ь, называется замкнутым интервалом
и обозначается [а, Ь].
Определение 40./(х) называется непрерывной в [а, д],
если она в а непрерывна справа, в b непрерывна слева, а
для a<Z £< b непрерывна в L
Пример. Функция ]/х непрерывна в [0, А] для каж-
дого b >0. Действительно, непрерывность Ух при ;>0
нам уже известна, а в 0 эта функция непрерывна потому,
что для каждого 8>0 имеем
[Ух| < 3 при 0< х< 82.
Теорема 134. /(х) непрерывна в [а, тогда и только
тогда, когда для каждого 5 из [а, Ь] и каждого 8 >0
существует а > 0 такое, что
]/(6 4-А)—/<5) ] < 8 при \h\< а, +
Доказательство: ясно.
Теоремы 135—138. Если f(x) и g(x) непрерывны справа
в то и
135) /(Х) + £(Х),
136) /(x)-g(x),
137) /(x)g(x),
138) ^.npug^^O
непрерывны справа в
8 Зак. 848.
114
Глава 8
Теоремы 139—142. То же с „слева* вместо „справа* и
6 предположении, и в утверждении.
Совместное доказательство теорем 135—
142. В случае теорем 135-—138, соответственно 139—142,
положим по определению (что не повлияет ни на предполо-
жение, ни на утверждение), может быть нарушив старые
определения (поскольку мы ведь не запрещали, чтобы /(х)
и g(x) были определены, например, для всех х< 5, соот-
ветственно, для всех х>$):
/(»)=/(5)
g(x) = g$)
при х< соответственно при х>$.
Тогда /(х) и g(x) станут непрерывными в $, и утверждения
будут следовать из теорем 65, 68, 69, 75.
Теорема 143. Если /(х) непрерывна справа в 5 и
/(*)#= О,
то существует s>0 такое, что
/(*W)>° пРи £<х<£-Н-
Теорема 144. Если f(x) непрерывна слева в $ и
/(5)^0,
то существует s > 0 такое, что
/(•*)/(£)> ° пРи 5—-£<х<$.
Совместное доказательство теорем 143и144.
Следует из теорем 72 и 73, если принять по опреде-
лению, что
jf(x)=s/(5) при х< ?, соответственно при х >$.
Общее предположение теорем 145—152, 154 и 155»
Пусть /(х) непрерывна в [а, Ь\.
Теорема 145. Различные значения, принимаемые функ-
цией /(х) в [а, £], образуют ограниченное множество.
Функции, непрерывные в Замкнутом интервале
115
Доказательство. В противном случае для каждого
с в [а, ft] существовало бы х такое, что
|/(х)|>с.
Поэтому мы могли бы выбрать в [а, 6] для каждого целого
it 1 такое, что
В силу теоремы 130, тогда в [а, существовало бы 5,
обладающее тем свойством, что для каждого 2 >0 беско-
нечно часто
е—
Но, в силу теоремы 134 (с о = 1 и с заменой тамошнего s
на 2), существует 8>0 такое, что при S — 2< х< I-J-8,
а х Ь, выполняется неравенство
< 1.
откуда
1/(х)К 1 + |/G)|.
Следовательно, для бесконечного числа положительных целых
п мы имели бы
что неверно.
Теорема 146. /(х) достигает своего наибольшего зна-
чения в [а, д].
Другими словами, существует 7 такое, что
а 7 ft,
/(*)</Сг) при aO<ft.
Доказательство. Пусть I—существующая, по тео-
ремам 145 и 131 (см. определение 35), верхняя грань различ-
ных значений, принимаемых функцией /(х) для а
короче — верхняя грань /(х) в [а, ft]. Тогда в [a, ft] всюду
Если бы в [а, не существовало 7, для которого бы
/(!) = /,
&*
116
Глава 8
то всюду в [л, &] мы имели бы
/(*)</,
/-/(*)> О,
й; следовательно,
1
й силу теорем 136, 138, 140, 142, было бы в [а, непре-
рывно, а значит^ по теореме 145, и ограничено сверху:
1
Таким образом, неравенство
не выполнялось бы ни для какого х из [а, £), что, однако,
противоречит определению верхней грани.
Теорема 147* /(х) достигает своего наименьшего
Значения в [а, &].
Другими словами, существует т] такое, что
а <
/(х) >/(*1) при а < х ^Ь.
Доказательство. В силу теорем 137 и 141, /(х)
непрерывна в [а, Ь]. Следовательно, по теореме 146, в [а, &]
существует т] такое, что
— 7(*) <—/(ч) при а < х < Ь.
Теорема 148. Если
/.(«)< о </(<>),
то существует точно одно 5 такое, что
а<\<Ь,
7(0 = 0,
/ (л) < 0 при а х -с 5.
Функции, непрерывные в замкнутом интервале
117
Предварительное замечание. Уже часть теоремы, утвер-
ждающая существование 5, которое удовлетворяет условиям
a<l<b, /(5) = 0,
хотя и кажется крайне очевидной, очень глубока и важна.
Доказательство. 1) То, что может существовать,
самое большее, одно 5, обладающее требуемыми свойствами, —
ясно; действительно, если бы этими свойствами обладали
Si и 52>5п то мы имели бы одновременно
/(М = 0, /(М<0.
2) В существовании требуемого 5 убеждаемся следующим
образом. Существует ц такое, что
(1)
(2)
а С Ь,
/(л)<0 при
таким является, например, т] = а. Пусть 5 — верхняя грань
тех т|, для которых выполняются условия (1), (2); тогда
Имеем
(3)
/ (х) < 0 при а х < 5.
Действительно, в случае $ = а здесь ничего не утверж-
дается, а в случае 5>а для каждого х0 с выби-
раем с х0 < т) $ так, чтобы для т] удовлетворялось
условие (2); тогда
Я утверждаю, что
/(хо)<0.
/(О = о
(чем доказывается и что а<£<£, т. е. все, что требуется
доказать).
Действительно, при
мы имели бы
/(Осо
118
Глава 8
и, в силу теоремы 143, существовало бы s такое, что
0<е<£ —5,
(4) /(х)<0 при +
Но из (3) и (4) следовало бы, что
/ (х) < О при а х < 5 + е,
т. е. существовало бы -iq >5, все еще удовлетворяющее
условиям (1), (2), а именно т] = $4“е-
Точно так же при
/(О>о
мы имели бы
и, в силу теоремы 144, существовало бы т] такое, что
/0О>О,
в противоречие с условием (3).
Теорема 149. Если
/(а) >0 >/(£),
то существует точно одно $ такое, что
а
/(О = о,
f (х) > 0 при а х < L
Доказательство: теорема 148 с заменой /(х) на
-/(х).
Теорема 150. Если
f(a)<c<f(b),
то существует точно одно $ такое, что
а <$</>,
/(0=*.
/(*) < с при а х < В.
Функции, непрерывные в замкнутом интервале
119
Теорема 151. Если
mo существует точно одно 5 такое, что
а<\<Ь,
f (х) > с при а х < $.
Совместное доказательство теорем 150 и
151: теорема 148, соответственно 149, с заменой /(х) на
f (х) - с.
Теорема 152. Если I — наибольшее, а X — наименьшее
из значений f (х) в [а, и
X^c^l,
то существует Е такое, что
a^^b, f® = c.
Доказательство. При с = X и с = I это тривиально
следует из теоремы 147, соответственно 146. Пусть поэтому
Х<с</.
Берем в [а, £] и и v такие, чтобы
/(«) = х, /(!>) = /,
и применяем теорему 150, соответственно, 151, к интервалу
[и, v], соответственно [v, и\ (смотря по тому, будет ли u<yv
или v< и).
Теорема 153. Если
•» = 0
п нечетное,
то существует Е такое, что
/(О = о.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что ап = 1 (в противном случае мы рассмотрели
бы ^).
120
Глава 8
В силу теоремы 148, достаточно найти а < 0 такое, чтобы
/(а)<0,
и #>0 такое, чтобы
Положим
п — 1
S | I = Д.
м = о
Тогда при | х | 1 имеем
п — 1 п—1
1/(х) — х»\ = is e,r|<21«,11*|"-1==дыя~1,
м = 0 г
и, значит, при |х| = 1-|-Д
|/(х) —xn|<|x| lx]"-1 = |x|w.
Следовательно, при х = — 1 —А будем иметь
/(х)<х”-{- |х|* = 0,
а при х = 1 + 4 будем иметь
/(х)>хп — [х = 0.
Теорема 154. (Теорема о равномерной непрерывности.)
Для каждого 8>0 существует е>0 такое, что
|/(а) —/(р)|<8 при a^a^b, |а— р|<г.
Предварительное замечание. Теорема 154 отнюдь не
содержится в теореме 134, поскольку там s могло за-
висеть от L
Доказательство. Если бы для некоторого 8>0 не
существовало требуемого е, то для каждого целого /г^>1
можно было бы выбрать в [a, Z>] два числа аЛ, для
которых бы
Пусть тогда $ — число, определенное по теореме 130 для
%п = ап. В силу непрерывности /(х) в [а, #] и теоремы 134,
существует е>0 такое, что
(1) |/(х)“/(?)1<7 при «<Х<Ч |х —$|<2е;
Функции, непрерывные в замкнутом интервале
121
выбрав тогда п так, чтобы
1
п> —
£
И
|«« —ч<®>
мы имели бы
| Рп £ I = I (ап 0 (an Pn) I | ап |4“ I ап ?п| <
< £4~"~<2е,
1 п
и, следовательно, в силу (1),
8 < |/W - Ж) | = I (J (*п) -/©) - (Ж) -/(0) I <
<1/(«п)-/(01+1Ж)-/(0|<|+7 = 8.
Пример. Интервал [а, произвольный, f(x) — любая
п
целая рациональная функция 2 Впрочем, здесь в спра-
м - О
ведливости утверждения теоремы 154 можно убедиться и
непосредственно следующим образом. Положим
М = Мах(| а |, |д|).
Без ограничения общности можно считать, что п>0; тогда
для аир, лежащих в [а, д], будем иметь
!/(«)-/(₽) 1 = 12 1 =
V = 1
п м —1
м = 1 (X = о
<l«-₽lSl«v|S ЛГ~1‘~1М‘ = |а —р|с,
v = 1 и. = о
где с не зависит от а и р, и, следовательно,
1/(а)~/(Р) I < 3 ПРИ |а — ? |<ттрр > « и р в [а, £].
Теорема 155 (Вейерштрасса). Для каждого 8>0 суще-
ствует целая рациональная функция Р(х) такая, что
|/(х) — Р(х)]<8 при [а, &].
122
Глава 8
Предварительное замечание. Теорема 155, очевидно,
содержит теорему 154 (если последняя уже получена для
Р(х) непосредственным подсчетом, проведенным в последнем
примере). Действительно, задав 8>0, выберем Р(х) так,
чтобы
|/(х)-Р(х)|<-| в [а, *],
а для этого (зависящего от 3) Р (х) выберем s > 0 так, чтобы
|Р(а)—Р(р)| <-| при |а — р|<е, а и р в [а, д].
Тогда для этих а, [3 будем иметь
|/(«) -/<Р)| - I (/(•) - р («» -(/(?) -/’(?))+
+ (Р(«)-Р®)|<| + | + 4 = 8.
Однако, данное раньше доказательство теоремы 154 не
излишне, поскольку теорема 154 будет использована при
доказательстве теоремы 155.
Доказательство. Положим, для целых л>0,
К» = ?п(0) (>1),
и начнем с доказательства существования двух положитель-
ных абсолютных констант рх и р2 таких, что
(О
(2) ПРИ у <*<у-
При этом мы воспользуемся тем, что, по теореме 38
(с х=1—при имеют место неравенства
Функции, непрерывные в замкнутом интервале
123
и, следовательно,
—2
а также что ПРИ фиксированном S с 0<&<1
ограничено для п 1; последнее проверяется следующим
образом:
п
N = 0
i—ач+i i
i — a г
При я ^>2 имеем
= ([/«] + V»,
а при п—1
К„=1 >е-2/п.
Тем самым неравенство (1) установлено.
1 2
Далее, предполагая, что -я- х << -=•, положим
<5 о
I — [их];
тогда
/ пх < i 1,
о
i = 0 \ V П11 i = \п 11
124
Глава 8
С другой стороны,
полагая
имеем
> п / >
£
9 ’
• о
> 2(кп — 1 -п (|)")> 2 (Я„—р3),
где р3—абсолютная константа; следовательно,
хп (х)>1-^>1
Лп
Р8
PiVn
Тем самым установлено и (2).
Первый случай. Пусть
f (х) непрерывна
1/МК1
в [0,1].
Функции, непрерывные в замкнутом интервале
Положим
\п/ \ \п / /
Я утйерждаю: для каждого 8 > 0 существует п, не завися-
щее ot х (и, значит, зависящее лишь от 8 и /), такое, что
(3) |/(х)—Р„(х)| < 8 при
Тем самым утверждение теоремы 155 в случае а = —
о
2
6 = -— будет доказано во всей общности; действительно,
о
[1 21
у, Р, то положим М равным
Г1 21
наибольшему значению | Г(х) | в 1-д-, у и определим
/(*)==
Эта /(х) непрерывна. в [0,1] и по абсолютной величине
1; выбрав п так, чтобы
л 1 о
|/(х) ^п(х)|<д4-|_ J ПРИ "з^х ^>'3 >
мы будем иметь
|F(X)_0И4-1)Ря (х)|<8 при
но (Л!4“ 1)Рп(х), очевидно, есть целая рациональная функция
от х.
Утверждение (3) доказывается теперь следующим образом:
выберем, по теореме 154, е, не зависящее от х и 5, так,
чтобы
0<=<|,
I/W—Л0|<у при |x—-'<s;
Глава 8
1 . .2
тогда при х «Су > приписывая пустым суммам значе-
ние 0, будем иметь:
(х) —Р„(х)| =
где р (8, /) зависит лишь от 8 и /. Далее,
1/00 —/О) (О I = 1/(0111 — (О I <
1 — ~п (О I ~F= ,
У«
следовательно,
I /(X) - Рп (X) I < 4 + ^-/Щ?.
* у п
Таким образом, неравенство (3) действительно выполняется
при надлежаще выбранном п, не зависящем от х.
Функции, непрерывные в замкнутом интервале /2?
Второй случай, [а, #] — произвольный замкнутый
интервал. Функция
g(x)=/(« + (3x-l)(6-a)), 1
Г 1 21 п
очевидно, непрерывна в ¥, -И. Следовательно, по дока*
L о о J
занному в первом случае, существует целая рациональная
функция Q(x) такая, что
|g(x)-Q(x)|<S в [1, j].
Тогда в [а, 6] имеем
но 1 очевидно, есть целая рациональная
функция от х.
Глава §
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
Вернемся снова к дифференциальному исчислению.
Теорема 156 (так называемая теорема Ролля). Пусть
/(х) непрерывна в [а, 6],
/(*) = /(*)== О
и f(x) существует для а<х<Ь> Тогда существует $
такое, что
а<£<£, /ЧО^о*
Предварительное замечание. Если число $ удовлетво-
ряет неравенствам то мы будем иногда говорить,
что оно лежит между а и b или также между b и а.
Доказательство. 1) Если
/(х) = 0 при
то
2) Пусть f(x) принимает где-нибудь в [a, Z>] положи-
тельное значение. Тогда, в силу теоремы 146, существует $
такое, что
/(х) </(?) при а < х < Ь.
При /'($)> 0 функция /(х) возрастала бы в £, а при
/'(£)< 0 убывала бы. Таким образом, в обоих случаях
в [а, />] существовало бы х такое, что
Теорема Ролля и теорема о среднем значении
129
Поэтому
Г(5)»0.
3) Пусть
/(х)<;0 при а^.х^.Ь,
причем где-нибудь в [а, £] /(х)<0. Тогда для—f(x) имеет
место случай 2), и, следовательно, существует $ такое, что
а<1<6, —/'($) = 0.
Теорема 157. Если
»
/Xх) == S W,
ч «о
«пФ о,
то уравнение
/(х)==0
имеет, самое большее, п решений.
Доказательства. При п = 0 утверждение очевидно,
так как при уравнение
йо — О
вовсе не имеет решений.
Пусть л>0 и для п — 1 утверждение теоремы верно.
1) Если уравнение
/(х) = 0
не имеет решений, то доказывать нечего.
Пусть, поэтому, 6 — решение. Тогда
/(х)=/(х)—/(0 = 2«.х' — 2«ЛЧ = 2 аДх*—?*)==
= 0 v = 0 м = 1
= (х—2 а, 2 xf'£'~1“tl = (х — |)2хИ 2 =
S=1 р.^0 (jl»O
*=(х—5)g(x),
где
Л-1
g(x)«« 2
И-*0
9 За®. 843 .
130
Глава 9
Из
следует, что
(Ч-5)?(’|)в0.
g (Ч) = О-
Если бы поэтому уравнение
/(х) = 0
имело, по крайней мере, п 4* 1 решений (т. е. бесконечно
много или же конечное число «4-1), то уравнение
g(x)=0
имело бы, по крайней мере, п решений; но это противоречит
предположению.
2) Если бы уравнение
/(х) ев 0
обладало системой из я-{-1 решений, то, в силу теоремы
156, между каждыми двумя из этих чисел лежало бы, по
крайней мере, одно решение уравнения
/(х) = 0.
Но так как
п—1
f'(x)= Z О' + 1) Па-< Ф °’
V = О z
то уравнение
может иметь, самое большее, п — 1 решений.
Теорема 168. Если
/(*)= 2 а^х\
М =8 О
л> 1,
О
Теорема Ролля и теорема о среднем значений
131
и уравнение
(1) /(*) = 0
имеет точно п решений» то уравнение
(2) /'(х) = 0
имеет точно п—1 решений.
Доказательство. По теореме 156, между любыми
двумя соседними решениями уравнения (1) лежит, по крайней
мере, одно решение уравнения (2). Следовательно, уравнение
(2) имеет, по крайней мере, п—1 решений; но так как
п-1
/'(*) = 2 0 + 1) па, Ф О,
v = О
то, в силу теоремы 157, уравнение (2) может иметь, самое
большее, и— 1 решений; следовательно, их имеется точно
п— 1.
Теорема 159 (теорема о среднем значении^ Пусть
f(x) непрерывна в [а, Z>] и f(x) существует при а<_х<Ь.
Тогда существует $ такое, что
«<£<». Л-).
Доказательство. Функция
? (х) = / (х) - f(a) - (f (b) - / (a))
непрерывна в [a, ft], При a<x<ft имеем
1 ' J 7 ft— a
Далее,
ф (a) = 0 = © (b).
Следовательно, по теореме 156, существует $ такое, что
a<5<^, 0 = ®'(£) = /'($) — .
‘ ’ Ь — а
9*
Ж.
132
Глава 9
Теорема 160. Пусть f(x) непрерывна в [a, ft] и пусть
F (*) 0 пРи а<х<Ь.
Тогда
fU>)>f(a).
Доказательство. Применяя теорему 159, имеем
/'(*)> °;
поэтому
0
b— а ’
/(*)>/(«).
Пример./(х) — —х, а = 0, ft > 0.
Так как
/' (л) = ех — 1 > 0 для х О,
то получаем, что
еъ — Ь~^- 1 для ft>0
(это уже известно нам и из теоремы 37 с х — еь).
Теорема 161. Пусть /(х) и g(x) непрерывны в [a, ft]
и пусть
f'(x)>g\x) при а<х<Ь.
Тогда
Доказательство. Теорема 160 с заменой /(х) на
f(x)—g(x) Дает
/ (*) — g W >/(«)“§ («)•
Теорема 162. Пусть /(х) и g(x) непрерывны в [а,Ь]
и пусть
f(x)=^g'(x) при а<х<Ь.
Тогда
fix') e S'(*) + (/(«) —g(«)) при a^x^.b
(и, значит, / (х) — g(x) постоянно в [a, ft]).
Теорема Ролля и теорема о среднем значении
133
Доказательство. Пусть а$СЪ. При $ = а имеем
A0 = g($)+(/(a)-g(a)).
При теорема 161 в применении к [а, 5] дает
/(0— g(a),
и, так как f (х) и g (х) симметрично входят в наши предпо-
ложения, — также
g (5) — g {а) > f (5) — f (а).
Поэтому
/G) -fW = g ®-g («).
/(5) =£(0 + (/(а)-£(«))•
Теорема 163. Пусть f(x) непрерывна в [а, Ь] и пусть
f (х) = 0 при а<х<Ь.
Тогда
f(x)=f (а) при а^х ^Ь
(т. е. f (х) — постоянная в [а, Ь])
Доказательство: теорема 162 с
g (*) = 0.
Теорема 164. Пусть a<b, f'(x) существует при
а^х^Ьи
или
f(a)>c>f'(b)
Тогда существует Е такое, что
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что ^0 (иначе мы рассмотрели бы /(х)— сх) и
что . . .
/'(«)> о
(иначе мы рассмотрели бы — /(я));
134
Глава 9
По теореме 146, существует 5 такое, что
а < $ < Ь, /(*)</(?) при а < х < Ь.
Так как /(х) в а возрастает, а в b убывает, то
При
/' (О>о
/(х) возрастала бы в 5 и, значит, где-нибудь в [at t>] была
бы >/(5); а при
/(х) убывала бы в 5 и, значит, где-нибудь в [я, >] была
бы </(?)•
Поэтому
/ (?) - о.
Не содержится ли теорема 164 в теоремах 150 и 151? —
Нет. Действительно, мы не предполагали, что /' (х) непре-
рывна в [а, #]. Но нельзя ли это доказать? — Нет, как
показывает следующая теорема.
Теорема 165. Существует всюду дифференцируемая
функция /(х), для которой /'(х) не всюду непрерывна
справа.
Доказательство. Положим для всех г
?(г) = ((г-[г])(1-г+[г]))2.
Тогда для всех z будем иметь
(1) 0<ф(г)<(1 • 1)2 = 1.
При — 1 < г < 0
<р(г) = ((г + 1)гЛ
а при 0<г< 1
Ф(г) = (г(1 — г))2.
Теорема Ролля и теорема о среднем значении
135
Поэтому
<р' (0) = lim = lim (г (1 ± г)2) = О,
« = о 1 8=0
| 2 (z 1) г (2г Ц- 1) при — 1 <г<0,
? (z) I 2г (1 — г) (1 — 2г) при 0 < г < 1,
?' (4) °-
Итак, ?'(*) существует при |г|<1. Но
© (г + п) — ? (г)-
для всякого целого п; поэтому ср' (г) существует всюду
(так как для каждого С существует целое п такое, что
| С + п 1 < 1) • Для целых г имеем
Положим теперь
0 при х =» 0,
/(х)— х2®^) ПрИ хфО.
В силу неравенств (1), имеем тогда
/'(0) — lim == О,
а для хфО
/(*) = 2х?(!)-?'(!).
Если бы теперь /' (х) была непрерывна справа в 0, то, так Как
lim 2х» f—= О,
аг = О Xх/
функция
( 0 при х=я0,
/7(х)==Ь/(1)при х>°
также была бы непрерывной справа в 0. Однако для целых
? > 0 мы имеем
?' / —г'\“'?'(г + т) — (т)’*0,
W / '
Гл а в а 10
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ,
ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА
Определение 41. Пусть /(х) задана-, полагают
/(°)(х)=/(х)
для тех х, в которых /(х) определена-,
/О)(х)=/'(х)
для тех х, в которых f(x) дифференцируема-,
/(8) (х) = (/«(х))'
для тех х, в которых /(1) (х) дифференцируема-, и вообще,
для каждого целого я О (если f(n} (х) соответствую-
щим образом определена)
/<»+1)(х) = (/(^(х))'
для тех х, в которых (х) дифференцируема.
Если /(п)(£) существует, то говорят, что функция
/(х) п раз дифференцируема в
/<я)(х) называется п-ой производной или производной
dV'f (х)
п-ого порядка от f(x). Пишут также или
d* .е, ч
^5j/(x) или, если это не может повести к недоразумению,
также (f(x))(»>. Вместо /(2)(х) пишут также f(x), со-
ответственно (f(x))", вместо /(8) (х) также f"' (х), со-
ответственно (/(х))да, « так далее.
Если
/=/(*).
то пишут, когда это не может повести к недоразумению,
также /0), у", . *, >
Производные высших порядков
137
Примеры. 1) При у = х! имеем для всех х
У = 3х9, У' = 6х, ут = 6, /"'==» О,
с чедовательно,
Уп) _ о для целых п > з.
2) При у с= JL, х ф 0 получаем
»(») — ( —П”«1-
Действительно, при п = 0 это — наш отправной пункт, а из п
следует п 1, так как тогда
= 0“)' = - (- 1 )”»!(*-"-)' =
= (-)”"> (- п - О х-> - •
Теорема 166. (/ (х) + g (х))(я) = /(п) (х) -|- g™ (х),
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Для п = 0 — ясно. Заключение от
п к и1:
/ (»+») 4- g(n+i) = (/(«))' 4- (g(n))' = (/<”> 4- g^)'
= ((/+g)(n))' = (/4-£)<n+n-
Теорема 167.
(т \{п) т
SAW = S/”)W,
= 1 / = 1
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Для т=1—ясно. Заключение от
т к т 4- 1 (при фиксированном п):
«4-1 « / т \(п)
2 2 Л«+/Л.42/.) +/Д. -
ч ж 1 = 1 \М = 1 J
\(п) /«4-1 \(п)
2 А + Ав+1) e ( S А)
м = 1 / \ V =Г 1 /
Теорема 168,
(c/(x))w = cfM (х),
(C4U правая ча$т$ имеет смысл,
138
Глава 10
Доказательство. Для л = О — ясно. Заключение от
л к л+ 1:
= с (f(n)y = (cf(n)y = ((c/)W)' = (с/)^+1>.
Теорема 169.
(/ W — g (x))(,l) —fw (х) — g^ (х),
если правая часть имеет смысл.
Доказательство, f — g=f-\- (—• 1) g и теоремы
166 и 168.
Определение 42. Для целых
1,
п—1
JJ (а — т)
т~о________
nl
Читается: а над п.
Пример. Для каждого целого
п^О и каждого а
если, п — Ъ
, если п > 0.
п 0 имеем
(”)=1.
\п)
Теорема 170. Для каждого целого а^>0, каждого
целого и всех х
(х«)(п) — п\х*~п при п^я.
следовательно.
(х7)('у) = а!,
следовательно.
—О при п>?..
Доказательство. Для я = 0 утверждение следует
из равенства
0'0 = х’ =Qo!x’-°.
Если же 0 п < а и утверждение верно для п, то оно
верно и для п + 1. так как тогда
5= (“ «! (« — «) Х’-'»-1 = ( “ Л (л 4-1)! xg-(п+1-
\П / д' I/
Производные высших порядков
139
Теорема 171. Для каждого а, каждого целого п^О
и всех х>0
при целых а это равенство выполняется также для
х< 0.
Доказательство. Для п==0 — ясно. Из п следует
п -]- 1 с помощью вычисления, проведенного в предыдущем
доказательстве.
Теорема 172. Для каждого а и каждого целого
Доказательство. При v=l обе части равны
При v > 1 левая часть равна
(а 4- 1) JJ (а — т) Д (а Д- 1 — £)
ч! \ \ J ’
Теорема 173. Если и g^{x) существуют, то
п /п
(f (X) g = 2 (") Лп-4> (х) gV (х).
Доказательство. Для я = 0—ясно, так как
140
Глава 10
Заключение от л к я в СИЛУ теорем 111, 107 и 172, имеем
(/g)(n+l)=((/g)(»))'e=
- (Д g^)'=Д (“)(/<*-’w -
=Д(") +i) g^+f^g^) -
« S (”} /(n-v+I) g™ + 2 (”) =
V = о 4 z N = o4 z
=Д (")/("-v+i) g^+Д C- i)/(n',+i) =
= g(°) + Д ((") + (Д!)) f^-^g ’O +/O)g(«+1>
(последняя 2 в случае n = 0 означает 0)
n+1 / ।
= 2 (л± )/^+i^)g(v).
4x0' 4 '
Пример.
Ugf ~f"g+3/"g' -h 3fg"+fgm,
если У"7 и существуют.
Теорема 174.
(f (сх)Уп) = сп/^(сх),
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Для п = 0 —ясно, Заключение
от п к n4"l‘- по теореме 101,
(/(") (с#)} =
редовательно,
1) сп(/<п) (с-*0) (сх)У =s
М/(^))<п+Ч
Производные высших порядков
141
Теорема 175.
(/(x + e))W=/(»)(x + c),
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Для л = 0 — ясно. Заключение от
п к я -(-l; по теореме 101,
/(п+1) (х + с) = (/<п) (* + с))' = ((/(х 4- с))(»))' =
= (f(x + Wn+1}-
Теорема 176. Пусть Л>0. Пусть /(n~i) (х) непрерыв-
на при 0<ix^Zt и /00 (х) существует при 0<х</г.
Положим
ч-m-2 4^’
М 5= 0
(число, не зависящее от х). Тогда существует х такое^
что
0<х<й, Ф = ^/(”>(х).
Доказательство. Положим
(1)
Тогда, по теоремам 167 и 170, для целых т с 0^.т<п
и всех х с 0<х<Л имеем
g(»»)(x) =/(»0(х) — 2 )m! х’-« — ^('”')т!х»-»"==
(2) ==/И)(х) — У; /У (С). х’-’« — Ф п!
’ чТт^~т)\ *(п-т)! Пп '
При т — п — 1 равенство (2) сводится к
g(n-l) (X) e/(»-!) (X)—/(П-1) (0) — Ф J- X
и для 0<х<Л дает дальше
(3) W-Ф^.
142
Глава 10
Из равенства (1) следует, что
g (h) = О,
а из равенства (2) следует, что
gW (0) = /(m) (0)—/(w)(0) = 0 при 0О<л.
Я утверждаю, что уравнение
g (»0 (х) = О
для каждого m с 1 < л имеет решение, лежащее между
О и А. Для /п=1 это следует из теоремы 156, так как
g-(O) = O = g(A).
Если же и наше утверждение верно для /п, то
для /п +1 оно следует из теоремы 156, так как тогда
gW(0) = 0, g(^(iq)==p для некоторого с 0<vj<A.
Таким образом, существует х такое, что
О < х < h, g (п) (х) = 0.
Но для этого х, в силу равенства (3), имеем
/(п) (х) — Ф = 0,
ф=
Теорема 177 (Тэйлора). Пусть Л>0. Пусть /^-^(х)
непрерывна при $ х-|- Л и f('n> (х) существует при
$<х<(;-|-Л. Тогда существует х такое, что
£ <х<5 h,
fl—1
/(? + *) = V + (х).
Доказательство. В силу теоремы 176 с
F(x)=/(S4-x)
Производные высших порядков
143
(вместо /(х)), принимая во внимание теорему 175, для над-
лежаще выбранного у с 0 <Zy < h имеем
ч = 0 ’• '* •
4 = 0 '<•
Теорема 178. Пусть Л<0. Пусть (х) непрерывна
при £-|-Л-Сх<^ и (<) существует при 5 -|- Л<х<$.
Тогда существует х такое, что
I 4- л<х<$,
/(«+Л) = 2*4^ Л” 4- f/й) (*)
Доказательство. Применяем теорему 177 к
^(*)=/(—х)
(вместо/<х)), —5 вместо 5, —h вместо h. Тогда, принимая
во внимание теорему 174 (с с=—1), для надлежаще вы-
бранного у с —£<_у< —I—h имеем
/ (£ + Л) ~ Е - Л) = *£ (-ЛГ4
V=0
+ F(ra)<v> =
Теорема 179. Если
/(Х)=
4 = 0
то
/(! + *)= 2^.,
4=0 М
ш
Глава 10
Доказательство. Случай h == 0 очевиден. Для h>О,
соответственно, Л<0, утверждение очевидным образом сле-
дует из теоремы 177, соответственно 178, с заменой п на
так как, по теореме 170,
(х*)(»*+1) = о при
и потому
/Ь+1)(х) = 0.
Теорема 180 (биномиальная теорема). Для всех целых
(а •-}- Ь)" =
Доказательства. 1) Теорема 179 с
f(x) = xrt, $ = a, h*=b,
в силу теоремы 170, дает:
п
ч = О М V /
2) (непосредственно:) для л = 0 — ясно; из п следует
п + 1, так как тогда, в силу теоремы 172,
я
{а b)n+t = (а -|- Ь)п(а + 6) = 2 (”) ап~'Ь'< (а + Ь) —
ч = (Av /
п п
= 2(" 2С)а”-’^+1 =
v = (Лv = 0 '
п П-1-1
~,?»(")а’м ”4’+С -1) °"1 ‘ = §
= а«+‘ -f- S((")4-(vl1))e’‘+1“^ + ^+1
Производные высших порядков
145
(последнее 2 ПРИ « = 0 означает 0)
an+i-v^t
3) В силу теоремы 173 с
/(х) = «?<*», g{x) — eb!c
и теоремы 174, имеем:
(а byi е<а+Ъ)х _ (e(a+l>)a>)(n) в (еая>еЪа)<.п) __
= "S (я)(«“*)(»-(еЬ®)(») — 2 (") ап~ч=
4 = 0^^ у = о V /
“ О „ е(а^-Ъ)х^
Теорема 181. Для каждого целого т^О и х>0
существует у такое, что
_____ т / 1 \ / 1 \
1<У<1+х, /1+^=2 2 х’+ 2
’ = 0\v/ \ т +1 )ут+-,
Доказательство. Для
/(х) = хт (х>0)
при целом v^>0 имеем, по теореме 171,
/М(х)=Ц2 jv!x2
Следовательно, теорема 177 с 5=1, А = х, п = /»-|-1
обеспечивает существование у такого, что
«» . П\
у 1 4-х= 2 -7 2 v!x’4-
4 ’_»e0 v* \ м у
i । хт+1
j -Ь(от+1)!
I \ 1-m-i
2 (т 4-1)1 j2
т + 1 /
Ю Зав. 848.
146
Глава 10
Теорема 182. Если 0 < х < 1, то
т / J_\
lim 2 I 2 I xv — ]/ 1 4-x.
7H = OO v = 0 \ V /
Доказательство. Для целых имеем
Следовательно, в формуле теоремы 181
/ 1 \
2
\ т 4-1/
у»+|
х*и+1-*0.
Теорема 183. Для каждого целого m^l a x>Q
существует у такое, что
&( “Г ) v I (т_|_
Доказательство. Для
f(x) — logx (х>0)
имеем
и, следовательно (пример 2) к определению 41), для целых
Л>м=(1)(’-’=<=й^=1г,
/М(1) (-1У-1
v! v
Следовательно, теорема 177 с 5 = 1, Л = х, п = т-]-1
обеспечивает существование требуемого у.
Производные высших порядков
147
Теорема 184. Если 0<х<Д, то
lim 2 -—x, = log(l-]-х).
т=со v = 1 v
Доказательство. В формуле теоремы 183 имеем:
(m + 1 т + 1 ’
Теорема 183 имеет место для каждого х>1; однако,
формула теоремы 184 неверна ни для какого х>1. Дей-
ствительно уже из одного существования
lim 2 —~-— хм = ® (х)
т = оо > = 1 v
следовало бы, что для целых т > 1 при т —> оо
(—l)w-i
т
хт =
т m-—1 , .
= 2 х'< — 2 х’ —> ® (х) —<р(х) = О
¥ ^ = 1 *
и, значит,
тогда как, в силу теоремы 180, для целых т >2 мы имеем
хт (1 + (х— 1))” (г)^-1)2
т т т
= (>0).
10*
14&
Глава lb
Весьма замечательно, что имеет место даже следующий факт:
Теорфиа 185. Существует функция f(x), неограничен-
ное число раз дифференцируемая для всех х и такая, что
fr?==rr>\i = n •
существует для каждого ht но имеет значение f(h) лить
при Л = 0.
Доказательство. Пусть
/(х) =
О при
_ А
е & при
х — О,
х ф 0.
Я покажу сначала, что для каждого целого v 0
о
(1)
№) =
1
е
при х = 0,
при хфОу
где Рч (г) — полином относительно г.
Согласно примеру к теореме 160,
еъ > Ь при b > 0.
Следовательно, при х±О для каждого целого имеют
место неравенства
А ( —i—y»+1 z 1 \п-н
откуда
1 _ А
Иш — е = 0
ж=о *п
для каждого целого п 0. Поэтому и для каждого поли-
нома P(z) имеем
(2) lim
Q?=s0 \V/
Производные высших порядков
149
Формула (1) при v = 0 (сР0(г) = 1) очевидна. Из v сле-
дует так как тогда, в силу равенства (2),
/(''+11(0) =3 lim lim Lp (L\e~x>=sQ
4Е=0 х а? = 0 х \х 1
(ведь гРч (г) также полином), а при х ф О
Тем самым формула (1) доказана. Поэтому для всех h
и всех целых т 0
следовательно, для всех h
и™ 2 ^ = о
m —oov —о
/(Л) = е »’
отлично от 0.
Теорема 186. Пусть п 2 целое,
/0)($)==О при — 1,
(0 ф о.
1) Если п четное и /^(Е)>0, то f(x) имеет в $ ми-
нимум.
2) Если п четное и fW (5) <0, то f (х) имеет в $
максимум.
. ’ 3) Если п нечетное и yW(E)>0, mo f{x) возра-
стает а Е. ,
4) Если п нечетное и (Е)<0, то /(?) убывает в
150
Глава 10
Доказательство./^-1) (х) существует при |х — Е|<е
для некоторого s>0. Тогда из теорем 177 и 178 (с заме-
ной п на п — 1) следует, что при 0 < | h | < е между $ и
5 имеется у такое, что
(О 7G Ч- а) —/ (О = (Sy/”’0 Су).
/("-^(х) возрастает, соответственно убывает, в?, смотря
по тому, будет ли /^)(;)>0, соответственно <0. Следова-
тельно, существует а1? 0<з1<г, такое, что при 0<|/г|<е1
для всех у между Е и $ -|- h выполняется неравенство
(2) Л/^-1)(3/)/(^(Е)>Ое
Поэтому из (1) имеем при 0<| h | <еп с тамошним у
hnf^y G) (/а+л)— /($)) су)/(»)($)>0.
Следовательно,
1) Если п четное и /(п) (Е) > 0, то
/а+л)-/($)>о.
2) Если п четное и /(п) (?)<0, то
/(е_|_й)_/О)<о.
3) Если п нечетное и /(п) ($) > 0, то
л(/($4-л)-/(Е))>0.
4) Если п нечетное и /(п) (?) < 0, то
*(/(*+*)- ло)<о.
Примеры I)—1V>—те же, что и в конце гл. 7.
I) /(ж) = х2, f (0) = 0, f" (0) = — 2 < 0: макси-
мум в 0.
И)/(Х) = х2, /'(0) = 0, /?7(0) = 2>0: минимум в 0.
Ill) f (х) = х» / (0) == 0, f (0) = о, Г (0)» 6 > 0: воз-
растание в 0.
Производные высших порядков
151
IV) /(*) = - *3, / (0) = 0, f (0) = 0, f" (0) = — 6 < 0:
убывание в 0.
V) Пусть
/(х) = ^4^' при х °-
Найдем все максимумы и минимумы этой функции. Так как,
очевидно, f(x) при хфО дифференцируема любое число
раз (поскольку этим свойством обладают х*”2 и (х-!-1)3), то
подозрительными на максимум или минимум являются лишь
корни функции f (х) (т. е. те х, для которых f (х) = 0).
Но при x^zO имеем
/ (х) = (х-2 (х4-1)3)' = — 2х-3(х4-1)3 + Зх-з(х 4- I)2 =
= х-3 (х4-1)2(— 2х — 2 4- Зх) = х-3 (х + I)2 (х — 2).
Таким образом, исследованию подлежат лишь х = — 1 и
х = 2. Для этого мы и применим наш признак, не вычисляя,
однако, ненужных членов.
Исследование х— — 1:
=(х -|- d9(4=4+2 (%+1) ,
Л(-1) = о,
Л(х)=((х4-1)2^=2)" =
= (* + О2+ 4 (х + 1) (^)' + 2 ^2 ,
?"(-1)=04-04-2 Ет>°-
Возрастание, ни максимума, ни минимума.
Исследование х = 2:
Г (2) да lim = Нт(£+Д2>0.
* а; - 3 х
Минимум.
Глава 11
И АНАЛОГИЧНЫЕХВЫРАЖЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
О
jj- до сих пор не имело никакого смысла, и впредь мы
не собираемся приписывать ему какой-нибудь смысл. На са-
мом деле мы будем
Как мы знаем,
иметь в виду следующее.
lim - = 1,
x = 0 X
lim — = 0,
x = 0 x
lim -5 не существует,
X St О Х
X2
Jim
a?=o zL
1
Четыре выражения,
стоящие под знаком предела, имеют вид
? (х)=^4 >
‘ 4 2 £(х)
где
lim / (x) — 0, Hm g (x) = 0.
a? = 0 a? = 0
Если
где
<p(x)=z|4>
т 4 J g(x)
lim /(х) = y|, lim g(x)
X X S. £
то в том случае, когда
w ~“ и аналогичные выражения 153
мы, по теореме 92, имеем
lim ср (х) .
х = К 4
Таким образом, интерес представляет лишь случай С = 0
(как в приведенных выше четырех примерах).
Если
С = 0,
то lim f (х), очевидно, не существует; действительно, в про-
тивном случае мы имели бы
т] = lim / (х) = lim (g (х) ср (х)) — lim g (х) lim « (х) =
x~k х = \ я? = £ ж = 6
= 0 • lim ср (х) = 0.
Я?=х $
К случаю
т| = 0, С = 0
и относятся первые рассмотрения этой главы.
Теорема 187. Пусть
Шп/(х)=х0,
limg(x) = 0,
X = $
/'(В) существует,
Тогда
Доказательство, /(х) и g(x) дифференцируемы
в $, а, следовательно, и непрерывны. Поэтому
/(5) = g($)==0,
/'(?)=₽ lim
® = 5 ............-
g' (0==Hm4§,
„.^Х— j
154
Гла$а 11
Следовательно, в силу теоремы 92,
Дх) g'^) -nsE g(X) a! = ig(x) x — 6
Примеры. Здесь 1) e = 0, /(x) = log (1 4- Xs), g(x) = e2® — 1. /(0) = 0=g(0), /'W = r^-2, g'(x) = 2e^, /'(0) = 0, g'(0) = 2.
Поэтому
2) 5 = 0, Здесь /(x) = x, g (x) = 1 — /(0) = 0 = g(0), /'(x)=l, g'(x) = e-®, /'(0) = l, gz(o) = i
и, следовательно,
lim.—= 1 = 1. ^ol-e-® 1
Теорема 188. Пусть Пусть /(х) и g(x) непре-
рывны в [$, соответственное [S -Д-А, 5], и диффе-
ренцируемы между $ и £ + причем
g' (*) Ф о-
Пусть, наконец,
Тогда между ; существует у такое. что
/(5+ ft) _ f'(y) g (5 + ft) g'(y) '
Доказательство. Имеем
fr(5 + A)#:0>
и аналогичные выражения
155
так как в противном случае, в силу теоремы 156, где-нибудь
между $ и 5 4- h мы имели бы
/(*) = 0.
Функция
ФМ=/(х)-у(х)^+Ч
непрерывна в [5, соответственно в $]. Между
$ и | -j- h имеем
ф' (X) =/' (X)-g' (*)^ g .
Далее,
Ф(5) = о=Ф($ + л).
Следовате/гьно, в силу теоремы 156, между 5 и суще-
ствует у такое, что
о = Ф'0)=/о)-^^)4Н^-
Теорема 189. Пусть
Нт /(х)=0,
Нт g (х) = О,
Нт-£М=/.
(1)
Тогда
lim ZJfl = /.
,r=E g(*)
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что
/(O=g(!)=o,
так как введение или изменение определения функций /(х)
и g(x). в $ не может повлиять ни на предположение, ни на
утверждение теоремы.
Предположения теоремы 188 выполнены для. О < j h ] < р
с надлежаще выбранным р>0; при этом дифференцируемость-
функций /(х) и g(x) в некоторой окрестности значения
156
Глава 11
исключая $, и неравенство
g' (*) Ф О
следуют из условия (1).
Поэтому при 0< | х—5|<р между $ и х существует у
такое, что
у зависит от х; но,
Следовательно,
g(x) giy) •
в силу условия (1), все же
Пт-Ш = /.
lim ДЦ- = /.
g(x)
/(х)=*х9, g(x) = — 1 4-x + e-®.
Пример. $ = О,
Здесь
/(*)-» О, g(x)-0,
/'(х)==2х, g' (х) = 1 — е-«.
Согласно примеру 2) к теореме 187,
g'W
Следовательно, в силу теоремы 189,
2.
S(K>
Теорема 190. Пусть /(х) непрерывна в $ и пусть
lim /'(х) == I-
X = 6
Тогда
Предварительное замечание. Весьма замечательная тео-
рема: там, где производная имеет предел, она существует
и принимает его, следовательно, непрерывна.
Доказательство. В силу теоремы 189 с заменой/(х)
на /(х)—./(5) нс -
' £(х) = х —
ft * „-q-" и аналогичные выражения 157
имеем х *
Теорема 191. Пусть п>>1 целое,
lim /О) (х) = 0, lim g(’) (х) = 0 о?=е
для всех целых v с 0<^v<n, и
.. f <*)(*) t
Тогда lim = I. x=i g(x)
Доказательство. При л=1 это —теорема 189.
Пусть Д>1 примененной из и теорема верна для п— 1. В силу теоремы 189, к /(«-^(х) вместо /(х) и ^(«-^(х) вместо g(x), lim Z.(ra)_(£) = /
следует, что g^-'Hx) l'
а отсюда (в силу верности теоремы для п — 1) вытекает, что lim-^ = /. x^gW
Пример: пример к теореме 189 и п = 2. Из
/'(х)-*0, g-'(x)-^0, rw _ ч , о g"(x) е-^
следует g(x) )Z-
158
Глава 11
Теорема 192. Пусть я>-1 целое,
lim(х) = О,
lim (х) = О
для всех целых v с 0<^v<n,
fW (£) существует,
g(n)(5)^o.
g(x) gw (5)
Тогда
Предварительное замечание. Очевидно, теорема 192
не содержится в теореме 191, равно как и, обратно, тео-
рема 191 не содержится в теореме 192.
Доказательство. При п—1 это — теорема 187.
Пусть поэтому и>1. В силу теоремы 187, примененной
к (х) вместо /(х) и £(п-п(х) вместо g(x), имеем
lim /(п~Х)(-0 /W)
g^Hx) — g(n)(!) •
Следовательно, в силу теоремы 191 с заменой п на п—1
iimzw=zm
™t.g(x) &)(()'
Определение 43. Если для каждого ш существует г > О
такое, что
/(х)>® при 0<|х — $|<е,
то говорят, что
или, короче,
(„при х->£“).
Пример.
lim/(х) = со,
/(х) —> со
е = о,
^(х)=|4тпри
й «
„-q и аналогичные выражения
159
Теорема 193. lim |/(х) | = оо
й? — $
равносильно
и=5ж=о-
Доказательство. И то и другое означает: для ка-
ждого 8>0 существует е>0 такое, что
17^у|<8 п₽и °<1Х—до-
определение 44. Если
lim (— /(х)) = оо,
а? = ;
то говорят> что
lim/(x) = -—оо,
x-i
или, короче,
/ (х) — оо
(„при Х-> 5“).
— оо читается: минус бесконечность.
Пример.
5 = 0,
/(x) = log|x| при x^tO.
Соотношение
lim/(х) = — оо
следует из того, что
— logjx|>a> при 0<|x[<e-lu.
Теорема 194. Из lim |g(x) | = оо, lim 4^v = 0 (xy-
следует Um ХЦ = о. X = £ g (х)
160
Глава 11
Доказательство. Существует такое р>0, что
g'(x)^:0 при 0<|х —£|<р.
Из теоремы 164 следует тогда, что g' (х) для —р<.х—В<0
либо только положительно, либо только отрицательно,
и то же для 0<х — Без ограничения общности можно
считать, что g'(х) в обоих случаях положительна: в против-
ном случае мы заменили бы g(x) для—р<х— $<0, или
для 0<х — $<р, или и там и ?ам, на —^(х), что не
повлияло бы ни на предположение, ни на утверждение тео-
ремы.
Пусть задано 8>0. Для всех у с 0<|j/— и при
надлежаще выбранном е<р имеем
I/' О) К 7 к' О') I = О),
—4 s’ О') </' О') < 4 g' О')-
Следовательно, в силу теоремы 161, при $ — £<х<;
— 4 (*)—SС - «)) </(•*) —/С — «) <
(*)— £(£~8)).
а при 5<x<5-f"e
- j te С+«)—£ (*)) </С+«)-Л*) <
<4 ис+•)—£(*))•
Таким образом, при 5 — s<x<5
|/(*)—/с—8)l<4te(*)—s'C—«) I,
l/(x)l<4kte)l + |teC-®)I+|/C-8)!.
а при 5<x<$4_8
l/CH-8)—/(x)|<4kC + ®)“^(x)l.
4teWl+4kC+8)H-|/c+8)|.
О и
„-у и аналогичные выражения
161
Следовательно, при 0<|х — $|<е
1/(х)|<-|-1^(х)1 + с’
где с не зависит от х.
Но тогда при 0<|х — с надлежаще выбранным v)
имеем
I g(x) Р 2 ' | g(x)|
Пример (я умышленно беру для упражнения на тео-
рему 194 наиболее легкий пример, где вполне можно было бы
обойтись и без этой теоремы; аналогично я поступаю часто
и в дальнейшем):
$ = 0,
f(x)—xA-y'x, g(x)=4-J- 1 при хфО.
При xzfzQ имеем
4|4 = ~~X^------5-X |/x-> 0.
g (*) 3 >
Следовательно,
44->°.
g(x)
Теорема 195. Из
следует
lim | g(x)| = co,
lim 24U/
g (*)
lim -ф! = I.
®=е g(x)
имеем
Доказательство. Для функции
Ф(х)=/(х) —lg(x)
11m .
X
П Зак. 848.
162
Глава 11
Следовательно, в силу теоремы 194 (с заменой /(х) на Ф (xl),
Пример.
lim — О,
x = t. g(x)
lim
X = ^\g(x) /
lim =l-
x = ig(x)
e=o,
О,
/(x) = log|x| при x^=0,
g(x) — log(e|a!|— 1) при хфО.
Здесь
lim | g(x)| = co,
x = 0
= = при x=^0,
i -.1.1 = 1,
g' (x) lx | e1®1
следовательно,
g(X)
Определение 45.
lim f (x) = /,
X ~ co
или, короче,
(„при x~>oo“), если
iivUb'-
Другими словами: если для каждого 3>0 существует
0)>0 такое, что
|/(х) — /|<8 при х>ю.
Пример.
lim (l + -i-) = lim (1 -f-|^l)= 1.
х = оо ' Л'/ 2 = 0
о «
„-q- и аналогичные выражения
163
К сожалению, знак lim уже находится в обращении (опре-
п = 00
деление 9), а само по себе каждое число может быть обо-
значено через п или х. Поэтому иногда приходится особо
учитывать, должна ли переменная расти по всем вообще
большим значениям или же только по всем целочисленным
значениям. Так, если приписывать буквам х и п обычный
смысл, то
Нт (п— [я]) = О,
п = оо
а
lim (х— [х]) не имеет смысла.
;Г = оо
Определение 46. lim /(х) = со,
X ~ со
если / 1
."2"ОЛ|ТГ) = ”'
Пример. / (х) = У х.
Определение 47. lim f{x)—l
X = —00
или, короче,
(„при х~— оо“), если
lira /(—х) —I.
X = ОО
Определение 48. Нт /(х) — оо,
X— —00
если
Нт /( — х) = оо.
X зе СО
Определение 49. lim/(х) =— со,
X - оо
если
lim (— f (х)) = оо.
X = оо
. Определение 50. Пт / (х) = —со,
X = —оо
если
lim (—- / (— х)) = оо.
X = оо
11*
1б4
Глава 11
Определения 43, 44, 46, 48, 49, 50 применяются лишь
в этой главе; говоря в дальнейших главах о существовании
lim /(х), мы всегда будем иметь в виду существование
числа Z, для которого бы
lim f (х) = /.
Теорема 196. Если
11Ш - v; -V — /
х - оо S (х)
U
то
г Г (2) 7
lim уФтф — 1.
2 = 0 G (*)
Доказательство. Функции f (х) и g (х) дифферен-
цируемы для х>/> с надлежаще выбранным р>0 и
Данное выше определение функций F (г) и О (г) во вся-
ком случае имеет силу для 0 < | г | < —.
При z ф 0
Р 1
\ |г|/ z^ z\z\'
Поэтому ’при 0< :И<-,
F1 ( J_\ __L_ G1 (z) = a'f—L ! \|2|/ z\z\ ’ ’ % \|2|/ г|г| ’ гв 71 Vm) °'w г'Ш'
В силу соотношения
lim
X = 00
f(x) __
g’W
I
* 0 и аналогичные выражения 165
и определения 45, lim jdlZLl — I г = о F'f-L) s k 1*1 )
Следовательно, lim = I. 2=0 0 Ф
Теорема 197. Из
lira /(x) = 0, x = co lim g(x) = 0, X = co lim /Ж = /
следует .. f(x) . lim , — I. я = со
Доказательство. В обозначениях теоремы 196 и
в силу этой теоремы,
и»-££*•=/. 2 = 0 G (*)
По определению 45, Um Г(г)==0, 2=0 lim G (г) =* 0. 3-0
Следовательно, по теореме 189,
lim 4^ = 1, » = o °(г)
и значит, по определению 45,
Hm = I. X SICO S
166
Глава И
Пример. f (х) = log (1 — I), g (x) = 1,
1 1
। _ 2 x*
f'jx) _
g' (x)
1
следовательно,
g(x)
Теорема 198. Из
lim | g (х) | =
lim
следует
fix) ...
g’ (X)
f(x) _ .
g<x}
Доказательство. В обозначениях теоремы 196 и
в силу этой теоремы,
hm ~4== /.
г^0 ° г
lim
По определению 46,
lim | G (x) | =
X = 0
Поэтому, в силу теоремы 195,
lim-й^
и, следовательно, по определению 45,
lim = I.
Пример. / (х) = log х, g (х) = х,
2
f'(x) _ х n
П-*) ~ 1
/,
„~о-“ и аналогичные выражения
167
следовательно,
/(Л)
g(X)
>0.
В теоремах 187, 189, 191, 192, 197 рассматривается,
в известном смысле, а в теоремах 194, 195, 198 (если
и Нт |/(х) 1 = оо) в известном смысле -22-. К — при неко-
торых условиях можно свести случаи 0 • оо, С°, I00, оо°,
оо—оо в следующем смысле (под lim всюду понимается
lim или lim ):
х = 5 а? = оо
1) „О • оо“. Пусть
/(х)->0, |g(x)|->co.
При некоторых обстоятельствах из наших теорем вытекает
существование
lim (/(x)g(x)).
Действительно, „наконец14 (т. е. в надлежаще выбранной
окрестности значения исключая или же для всех доста-
точно больших х) имеем:
g (х) Ф о,
~----->0.
g(x)
Пример. / (х) = х», g (х) == ~ и х —> 0.
Имеем: 2
7(х)Н*) = т->о.
2) „СОсс. (Это не имеет ничего общего с принятым нами
по определению равенством
0°=- 1,
168
Глава 11
которое мы считаем верным всегда.) Пусть
и наконец
/(х)>0;
пусть далее
g (х) -> 0.
Речь идет о возможном
lim/(x)»(a!).
Во всяком случае, имеем наконец
/ (х)д = ед (aj) log
Так как
Jlog/(x)|—> оо,
т0 g (*) I°g / W относится к типу 1). Если
g Wlog/(x)->/,
то, в силу непрерывности функции имеем
/(х)9(ж)->/
Примеры. I) /(х) = |х|, £(х) = |-*|> х -> 0.
П) f(x) = e-*, ^(х) = у, х->со.
/(х)0(ж) = ё” {~Х} = е'1 -> е~г.
Ill) /(х) = е-®, g(x)=^=^-, х->оо.
/(х/(а,) = ем-а!
не имеет предела.
3) „1°°“. Пусть
/(•«)-» 1, |->оо.
и аналогичные выражения
169
Речь идет о возможном
lim f (х)9 (а7).
Наконец имеем
/(х)>0
и, следовательно, справедлива формула (1). Так как
log/(x)->0,
ТО log/(x) • g(x) относится к типу 1).
Пример. /(х) = 1 + ~, g(x) = х, х-> оо
Так как
lim —log (1 + cz) — с,
з=о z
то
lim -1. log (1 +c| z |) = c,
3 = 0 lzl
lim xlogf 14-—) =
lim g (x) log / (x) = c.
x - oo
Поэтому
lim f 1 4~ = ex.
Ж = ео\
В частности, если x возрастает по целочисленньш значениям,
получаем
для всех х — формула, которую следует запомнить. Еще
более частный случай:
lim (l+ —1 = е,
м = со П /
170
Глава 11
4) Пусть
/(х)-»со, g(x)->0.
Речь идет о возможном
lim /(x)9W.
Наконец имеем
/(.х)>0
и, следовательно, справедлива формула (1). Так как
|log/(x)|-> оо,
то g(x)log/(x) относится к типу 1).
Пример. f(x) — ex, g(x) = -i, х-> оо.
/(х)9(а,) = Д * = £-><?.
5) „со—оо“. Пусть
/(х)->оо, g(x)->co.
Речь идет о возможном
lim (/(%) — g(x)).
Наконец имеем
g W>o,
Если поэтому
lim
ж=оо
/(X) =
£(-*)
I,
то, очевидно,
( —> оо при /> 1
/ (х) S (х) | ПрИ / < i
В случае же I = 1 мы приходим к 0 - оо из 1).
Пример. / (х) = ]/ х2 — 1, g (х) = х, х —> со.
/(х) и g(x) определены при х>1 и
/W—gW = (|/ 1 —-^s--1)-^
и аналогичные выражения
171
Здесь налицо случай 0 • оо. При 1 имеем
По теореме 197 (с заменой / (х) на F (х) = у 1 — — 1
и g(x) на G(x) = -^), правая часть стремится к 0, так как
Глава 12
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
В этой главе я, N, /и, Л4, р, р, г, /, v, v, и всюду обо-
значают целые числа.
Если ап заданы для гГ^Ы, то мы будем в этой главе
постоянно считать
т
sm— 2 ап при т^ы.
n=N
Определение 51.
ОО
n-N
(читается: сумма от п = Nдо оо), если ап заданы для n^N и
lim sm = s.
т =оо
Говорят также: бесконечный ряд
со
n=N
сходится и имеет значение (сумму) s; или: он сходится
к $; или: он сходится и —s.
Пример. Согласно примеру 5 к определению 9, при
| & |< 1 имеем
оо
п = 0 1 °
Определение 52. Если ап заданы для n^-N и
lim sm
m~cQ
не существует^ то бесконечный^ ряд
* S*"
бесконечные ряды
называется расходящимся (не имеющим смысла).
Пример. ап ~ 1 при п 1.
Здесь
sm т при т 1.
Теорема 199.
оо оо
ап = 2! ап—м 1
n-N n=^N^-M
если одна из частей равенства имеет смысл.
Предварительное замечание. По теореме 199, для во-
проса о том, сходится ли численно заданный ряд
(читатель уже знает, что имеется в виду под многоточием)
и какое числовое значение он имеет в случае сходимости,—
безразлично, обозначать ли его члены последовательно через
% • • • или ао> av> • • • или а_3, .
или, вообще, ар, ару1, ••• с каким-нибудь р.
Доказательство. Если одна из частей равенства
имеет смысл, то ап заданы при n^N. Придавая sm обыч-
ные значения и полагая соответственно
т
= 5 ап-м при /П>2У-]-7И,
имеем
Sm = sm~M при
Но, очевидно,
sm—М $
тогда и только тогда, когда
Действительно, и то, и другое означает, что для каждого
о>0 наконец (т. е. для всех 9, начиная с некоторого места)
|se—s|<8.
174
Глава 12
Пример.
оо оо
2 аП ~ 2 ^П-15
п = 0 п - 1
если одна из частей равенства имеет смысл.
Теорема 200. Пусть для N заданы целые hn та-
кие} что
и
N.
Пусть, далее, для ап заданы n> N. Положим
hn = «п
и Ьп — 0 для тех n N, которые не совпадают ни
с каким hp.
Тогда
оо оо
S ап ~ 2L Ьт
n^N n=N
если одна из частей равенства имеет смысл.
Предварительное замечание. Другими словами, из схо-
дящегося ряда можно (при сохранении порядка следо-
вания членов) вычеркнуть конечное или бесконечное число
нулей; точно так же, между любыми лвумя соседними чле-
нами сходящегося ряда, равно как и перед первым его чле-
ном, можно вставить по конечному числу нулей. Каждый
получающийся так ряд сходится и имеет старую сумму. '
Доказательство. Положим
т
Sm = 2 bn при пГ^> N.
n = N
Каждое m^hN удовлетворяет соотношениям
hp<.m<hp^
точно для одного p^N. Следовательно, при m^hN имеем
===
где р = р(т) было только что определено.
Бесконечные ряды
175
Но, очевидно,
lim Sm — s
т - оо
тогда и только тогда, когда
lim s„ — s-,
р = оо
действительно, и то, и другое означает, что для каждого
8 > 0 наконец (т. е. для всех р, начиная с некоторого места)
1^—sl <s-
Пример, W=l, hn = 2п—1 для т. е. на каждом
втором месте вставлен нуль.
Теорема 201. Пусть M^N и пусть ап заданы для
п > N. Положим
Ьп — 0 при / z < М,
blt = an-M+N пРи п>М-
Тогда
оо со
ап “ ^н->
п~N п = N
если одна из частей равенства имеет смысл.
Предварительное замечание. Таким образом, перед чле-
нами сходящегося ряда можно вставить любое конечное
число нулей, равно как и каждое такое нулевое начало
можно вычеркнуть. При этом — без утери сходимости или
изменения суммы.
Доказательство: теорема 20Э с
hn = п -1- М — N.
Теорема 202. Если M>N, то
оо М — 1 оо
2 S ап-\- 2 а»
n=N п = N п-М
в случае, когда одна из частей равенства имеет смысл.
176
Глава 12
Предварительное замечание. Таким образом, каждый
сходящийся ряд равен яначалу*-|-»остатока, и обратно.
Доказательство. При т^ М имеем
т М — 1 т
2 ап= 2 ап 2 ап'
п - N п = N п —М
Предельный переход т->оо дает оба утверждения.
00 1
Пример. 2®n==,i--s— U+®) при
П=2 1—V
Теорема 203. Если ряд
оо
2а«
сходится, то для каждого 8 > 0 существует N такое,
что
— 5г1<8 пРи Г^Р-
Доказательство. Пусть
оо
S an=S-
n = N
Выберем для заданного 8>0 такое р>0, чтобы
—«К 2" ПРИ т>Р-
Тогда при r'^P будем иметь:
I | = | S) (Sr s) I
<|sg— s|4-|sr — =8.
Теорема 204. Если ряд
ОО
n-N
сходится, то
ап~* 0*
Бесконечные ряды
117
Доказательство. Пусть задано 8>0. В силу тео-
ремы 203, существует р такое, что
Iarrl 1 = Ки — 5r|<S
Для г^>р'у таким образом, для n будем иметь
. 1^[<8.
Пример. Ряд
п - о
расходится, так как-(— 1)п не стремится к нулю. .
Теорема 205. Так называемый гармонический ряд..
00 1
21
расходится.
Предварительное замечание. Таким образом, тео-
рема 204 не допускает обращения, даже если ап опре-
делены для п N.
Доказательство.. При т^>0 имеем
9’м +1 4*1
2 1 V 1 2W?H —2”* 1
Но из сходимости рассматриваемого ряда следовало бы,
в силу теоремы 203 с 8=^-, существование ;п^>0 такого,
что
| + 1 — S^m | < 2
(поскольку для каждого р существует некоторое р
с 0).
Теорема 206. Пусть ап заданы при N и пусть
для каждого 8 > 0 существует р^> N такое, что
К — ^|<8 при q>p.
12 Зак. 848.
424
178
Глава 12
Тогда ряд
сю
2 ап
п= №
сходится.
Предварительное замечание. В силу теоремы 203, наше
условие также необходимо для сходимости ряда.
Доказательство. Существует p^N такое, что
\Sq~ ^К1 ПРИ <1>Р-
Таким образом, для q>p имеем
1 $q I :?== | (pq $р) 4"* $р I I $q | 4" 1 $р 1 < 1 44 S® 1
и, значит, для всех
Ы<1 4- Max |sj.
Я<г<р
Поэтому sq ограничено для
В силу теоремы 130 (с — i), тогда существуете
такое, что для каждого 8>0 бесконечно часто (т. е. для
бесконечного числа значений N) выполняется неравенство
(О Pt — s|<£-
Но, по предположению (с заменой -|-на6), существует г
такое, что
\Sq~ $rl< 4 ПР» q>r.
Поэтому для л>г, />г имеем
(2) I sn — == I (Sn— sr ) — (sf—sr) I <
,, .I. । 8 i 5 __ 5
I Sn Sr | - j | St Sr | - H~ 4 2 •
Так как неравенство (1) выполняется бесконечно часто, то
ему удовлетворяет и некоторое £>г. Применяя тогда (2)
с этим £, получаем, что для всех n>r
ря — s | = |(sn — Sf)-Hst — s) КР» — 5tl + Pt — *1 < .
8 I 8
<T+ 2=0-
Бесконечные ряды
179
Теорема 207. Из р>0 и
У ап^Ач при 1<9<Р
n = N
следует
со р р
2 2 ^«2 = 2 ^2’
п = N q = 1 q = 1
Предварительное замечание. В частности (р=2), из
оо
2 «»= <4,
00
2 В
n = N
следует
оо оо оо
2 (ап + &п) = А 4" & === 2 ап + 2 &п-
n-N n—N n=N
Доказательство. При /п -> оо имеем
т
Smj = 2 an4-^^q при 1<лО;
п = К
следовательно, по теореме 15,
т р р т jj р
2 2 anq = 2 2 anq 2 ~~* 2 •
п = ^ q = 1 2-1 п = N Q = 1 2-1
Пример.
_L^_1__________________________2
2^ 1
у 1 __ 1 _ 3
пГо 3* ~ J _J - 2 ’
3
следовательно,
12*
180
Глава 12
Теорема 208. Из
ОО
2 ==:
n = N
следует
оо
2 can — cs.
n=N
Доказательство. В силу теоремы 16, при т"^> N
имеем
т т
2 сап = с 2 ап cs-
п - N п ~ N _
Пример. При />>0 имеем
2 0я — № 2 а“~г’ 2 а” =
п=р n-р n-0 1 —Я
Теорема 209. Из
2
n = N
Ь,(=в
n=N
следует
<2 ^п) :===
n ~N
Доказательство. В силу теоремы 208 с г = — 1,
оо
2 (_^) = _в,
n = N
следовательно, по теореме 207 с р = 2, имеем
2 (^п ^п)=== ^4 в.
п = N
Бесконечные ряды
181
Теорема 210. Если
ап 0 пРи п М
sn g пРи п N,
то ряд
оо
2 ап
n=N
сходится и
оо
о < aN < 2 ап < g.
n=N
Предварительное замечание. Предположение ап 0
нельзя отбросить, даже ценой усиления второго предпо-
ложения до действительно, ряд
оо
п = 0
расходится, хотя
sn — 1 или 0 при п > 0,
и значит
Д о к а з а т е л ь с т в о: теорема 27.
«L 1
Пример (ср. пример к теореме 27). Ряд 2 “ схо’
п^= \п~
ди тся.
Теорема 211. Если
ап0 пРи N
и
то
(так что
оо
2
А при N
Л>0).
182
Глава 12
Доказательство. При фиксированном m^N и всех
имеем
откуда, в силу теоремы 22,
Иm \-р = Л •
р - оо
Теорема 212. Если ряд
сходится и
то ряд
сходится и
n = N
О ап при п N,
n-N
0< 2 ьп
п = N
со
п =N
Доказательство. Положим
оо
2 а»=^-
п -N
По теореме' 211, при т^> N имеем
т т
п ~N п = N
< Л,
следовательно, по теореме 210 (с заменой ап на Ьп и с g = Л)
сходится также ряд
со
2^,
n = N
причем
оо
о< 2 я,
Бесконечные ряды
183
Пример (ср. пример к теореме 27). 81588 ^я_~рд» £»»»-*
Ряд
оэ
S
п = 2
1
(п— 1) п
сходится, так как
W 1 т / 1 14 1
у 1 _ у ( 1_____1\ _ 1___L
» = з(я—!)я « = т
следовательно, сходится и ряд
Теорема 213. Если ряд
n = N
сходится, то и ряд
ип
n = N
сходится, причем
Доказательство. Имеем
о < I ап! 4- ап <
По теореме 207 (с р = 2), ряд
n^N
сходится; следовательно, по теореме 212, сходится и ряд
n^N
184
Глава 12
причем
0 2 ( I ап | + ап) 2 ( I ап I + I ап | )'
п-N n-N
А тогда, по теореме 209,
оо оо оо оо
2 I । 2 (I ап I ~ь ап) 2 I ап I= 2
п - N п = N п = N п = N
оо оо оо
<2 (К1‘+К1)~2 К 1 = 2 KI-
n-N п = N n-N
Пример. Ряд 2 еп ~п > гДе каждое | еп| = 1, сходится.
п = 1 2
Определение 53. Ряд
ОО
п = N
абсолютно сходится, если сходится ряд
оо
S \ <>п I-
n-N
Примеры. 1) Каждый сходящийся ряд, члены кото-
рого ^>0, абсолютно сходится.
2) В силу теоремы 208 (с г —— 1), каждый сходящийся
ряд, члены которого 0, абсолютно сходится.
Теорема 214. Пусть
(—i)nan или^О или <0 для всех
\ап\>\ап+1\ пРи
Тогда ряд
сходится.
Бесконечные ряды
185
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что N=0 (так как в противном случае мы могли
бы вместо ап, п 7V, рассматривать bn ~an + N, 0), а
также, что
(—при п>0
(так как в противном случае мы заменили бы ап на — ап,
что не повлияло бы ни на предположения, ни, в силу тео-
ремы 208 с с— — 1, на утверждение теоремы).-
При п 0 имеем
+ 1 | I I 4-1 | 0
и, если т 0,
т т
2 (й2я + а'п + 1) = S ( I а2п | — | а2п + 1 | ) —
п-J п = О
т
“ I ^0 I — 2 ( | + 1 | — | 02л + 2 | ) — | dim + 2 | | «о I’
п = О
Следовательно, в силу теоремы 27, существует
Hm 2 (^п+^-м)== lim 52^ + 1.
т = оо п - 0 т - оо
Положим
(1) -- - lim s>m + 1 а= s.
т = оо
Так как
lim rt2m 1 = О,
т = оо
ТО
(2). lim s2,„= lim (s2m + i — «2»( + i)==s.
- m = co m = oo
Ho (1) и (2) в совокупности означают, что
lim sm = s.
m = oo
Теорема 215, fie каждый сходящийся ряд абсолютно
сходится.
186
Глава 12
Доказательство. В силу теоремы 214, ряд
оо
п ~ 1
где
сходится, так как при /г 1 имеем
I «п I = п > pjTj = I а" + ’ I »
Ы=Р°-
Однако ряд
ио
2 !ап I >
п - 1
согласно теореме 205, расходится.
Определение 54. Ряд
СО
2 (1п
п — N
условно сходится, если он сходится, но не абсолютно
сходится.
Определение 55. Последовательность назы-
вается расположением целых чисел N, если каждое \п —
целое и N и каждое целое число N равно \п точно
для одного п
Пример. W = 1, \п = п~\-1 для нечетных п 1,
Хп = п-—1 для четных я/>1.
Теорема 216. Пусть
оо
S »n = S
Бесконечные ряды
187
и ряд абсолютно сходится. Пусть — любое располо-
жение целых чисел п^> N. Тогда ряд
оо
п = 1
сходится, и
Доказательство. Для /И>Л, согласно теореме 202,
имеем
оо оо М — 1
2 I ап I 2 1 ап I 2 I I-
я = М п = N п — N
При М -> оо правая, а значит и левая, часть стремится
к нулю. Пусть задано 8>0. Выберем M>N так, чтобы
оо
2 I ап | < 8.
п = М
Выберем теперь г так, чтобы среди чисел \п с п г
содержались все п с N^п<^М. Пусть ш>ги пусть
v>l,— расположенные в возрастающем порядке числа
за исключением чисел с п ^т. Тогда М я
для всех достаточно больших t
со t /V 4- / -1- т — 1
2Х+2'Ч.= 2 "«•
п “ 1 п ~ 1 я ~ N
Беря t—> co, получаем
Поэтому
m
Hm 2«x„~ s.
Pl = QQ Ц |
188
- Глава 12
Теорема 217. Пусть ряд
со
(О 2Х
п - 1
условно сходится,
1) Для каждого заданного S можно найти такое
расположение целых чисел ^>1, чтобы
со
IX =
п = 1
2) Можно найти такое расположение \п целых
чисел 1, чтобы ряд
со
IX
п = 1
расходился.
Доказательство. Члены ап^0 ряда (1), располо-
женные в порядке возрастания индексов, образуют после-
довательность Ьп, /2^1, для которой ряд
(2)
ОО
п - 1
расходится; действительно, если бы членов вовсе
не было, или их было бы лишь конечное число, либо даже
бесконечное число, iio ряд (2) сходился бы, — во всех этих
случаях ряд, получающийся из (1) путем замены всех членов
аИ 0 нулями, сходился бы в силу теорем 200 и 209. Так
как этот ряд не содержит положительных членов, то он
должен был бы абсолютно сходиться. А тогда абсолютно
сходился бы и ряд (1).
Члены яп<0 ряда (1), расположенные в порядке воз-
растания индексов, образуют последовательность сп, п^\,
для которой ряд
(3)
со
Ъсп
п = 1
расходится; действительно, если бы членов ап<0 не было,
или их было бы лишь конечное число, либо даже беско*
Бесконечные ряды
139
нечное число, но ряд (3) сходился бы, — во всех случаях
ряд, получающийся из (1) путем замены всех членов
ап<0 нулями, сходился бы, в силу теорем 200 и 207
(с р — 2). Так как этот ряд не содержит отрицательных
членов, то он должен был бы абсолютно сходиться. А тогда
абсолютно сходился бы и ряд (1).
Так как
ТО
Ь» -> 0, сп -> 0.
Положим
1,
/И —0,
1.
/и
л(/1= 2 ь.
п,- 1
при
при
/И
при
О
п = 1
В силу сказанного и теоремы
имеем наконец
И
210, для каждого <о>0
См < — w-
1) Отсюда следует, что для каждого т 1 существует Л4,
такое, что
"F См £ •
Пусть М = М(т) наименьшее из этих чисел 714; под 714(0)
будем понимать G. Тогда, очевидно,
М (т — 1) М (т) при т 1
и М(т) не ограничено. Лля 714 (/я) ^>1, в силу сказанного,
+ См (т) — $
и, следовательно,
+ См (т) S См {ту
В качестве нового расположения членов а мы выберем
следующее. Взаимное расположение членов bni равно как и
190
Глава 12
взаимное расположение членов сп, мы сохраним. Между Ьт
н Ьт + ъ w Т, мы вставим те сп, для которых
М(т — 1) 4~ 1 < п 4 М (™)'>
значит, в случае М (т— \) = М(т)—ни одного сп. Тогда
каждая сумма
р
п = 1
содержащая уже Ь2 и с{ и включающая Ь.ип но еще не вклю-
чающая Ьт +1 (т = т (р) 2), будет
4“ {т — 1) = Вт _ 1 4” См (т — 1) 4~ && < 4“ Ьт
И
Вт 4* См(т)<> S 4- См (W).
Поэтому для больших р будем иметь
р
п = 1
Мах (Ьт (р), См (т(р))) “~> О
и, следовательно,
оо
я = 1
2) Выберем для
такое, чтобы
каждого т 1 наименьшее М = М (т)
4~ См < — J
под Л4(0) будем понимать 0. В качестве нового расположе-
ния членов а выберем указанное в случае 1), но с новым
определением индекса М(т). Тогда для каждого т 1 най-
дется сумма
р
2 а\п<~ т-
п = 1
Поэтому суммы
2 «х,
Бесконечные ряды
191
не ограничены, и, следовательно, по теореме 26, ряд
со
2%
п = 1
расходится.
Теорема 218. Пусть
оо
Л - М
и ряд абсолютно сходится. Пусть целые числа N
разбиты на конечную (1 ^q^.v) или бесконечную 1)
последовательность множеств из которых каждое
либо конечно (nqt, 1 где tq целое), либо является
бесконечной последовательностью (nqt} 1).
1) Тогда для тех q, для которых ^Slq бесконечно, ряд
оо
,S anqt = Aq
абсолютно сходится.
2) Для тех q, для которых %tq конечно, положим
tq\
^anqt~A(l-
Тогда в случае, если имеется бесконечное число мно-
жеств ряд
ОО
2 &q
абсолютно сходится и
оо
2^д = «-
?=i
В случае конечного числа множеств %tq имеем
2 Aq ==
1
192
Глава 12
Предварительное замечание. Теорема 216 содержится
в теореме 218 как частный случай, когда имеется бесконеч-
ное число множеств и каждое из них состоит точно
из одного числа.
Доказательство. 1) В случае бесконечного 91^
имеем
и со
t = 1 п = Лт
для каждого zz^l и, следовательно, в силу теоремы 210, •
ряд
tz=t j
сходится.
2) Таким образом, в том случае, когда имеется лишь
конечное число множеств 9J , на основании теорем 216, 200
и 207 заключаем, что
2 = 1
Пусть теперь имеется бесконечное число множеств 3lq.
Пусть задано 3 > 0. Выберем М > 2V так, чтобы
оо
2;«я|<8
я = М
и г так, чтобы множества с q содержали все п
с /V<X7I4. Тогда при г будем иметь
т оо
!-И = Ж
<7-1 п - 1
где hn— те расположенные в возрастающем порядке числа
n^N, которые не содержатся ни в одном из множеств
с q^m. Следовательно, hi'^ М, и . ,
Бесконечные ряды
193
Сходимость ряда
со
SM„|
? = 1
в случае бесконечного числа множеств 91^ следует из того,
что
т оо
21 ЛК 2 |«я|-
7 = 1 я=2Г
Пример. /V ~ 1; для каждого # > 1 содержит все
. (IZ— \)и
q 4“ ~—§------ с расположенные в возрастающем по-
рядке. Это согласуется с условиями теоремы 218. Действи-
тельно,
1Ч (я —1)и и
з----------всегда целое, так как у целое при чет-
и — 1
ном и, —------при нечетном и\
2) каждое 1 принадлежит точно одному интервалу
(п-1)п . и(и + 1) . 1
2 2 »
и потому, так как
н(^+1) (и — 1)и
2 2 ~и>
имеет вид
. (и— \)и л /
= —g-2—>
3) это представление единственно, так как из него,
обратно, следует
(±=11)£
2
(и— 1) и_ и (и + 1)
2 “ 2
Теорема 219. Если ряд
со
21 apq. I
7 = N
13 Зак. 848,
194
Глава 12
сходится для всех p^N и ряд
оо
2 I арц I
q - N
сходится, то
оо оо оо оо
2 ^.raPQ ~ 2 2 арг
р = N q = N q-N p-N
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что W=0. Обозначим члены apqL. q^O,
расположенные в порядке возрастания p-[-q, а для одина-
ковых p-{-q — в порядке возрастания р, через ап,
Полагая
оо оо
2 2 Ю = -4,
р - О q = О
имеем тогда для каждого т 1
т т т т т
2 Ы<2 2 I apq I С 221 apq I
л = 0 р = 0<7 = 0 p-Oq-0
Следовательно, ряд
00
ап = s
п = о
абсолютно сходится. Тогда, по теореме 218, с одной сто-
роны,
оо оо
s = 2 арф
p = Qq = О
а с другой стороны,
оо оо
^==22
q=Op=O
Теорема 220. Пусть ряд
ОО
2 ап ~
п-0
Ёескбнечные ряды
195
абсолютно сходится, ряд
со
Ьп = в
п = О
сходится и
п
Сп = 2 пРи 11 О.
v = О
Тогда ряд
оо
2 Сп
п = 0
сходится и
^сп~АВ.
п~0
Предварительное замечание. Это, в частности, справед-
ливо, если оба ряда абсолютно сходятся.
Доказательство. Положим для т О
т т
z==z Ат j 2L =
п — 0 п = О
Тогда для т^>0
т т т т т
2 Сп = 2 21* 2В ^n-v
« = О П -- 0 О 7=0 П-') 7=0
т т т т
сп АтВт = а^Вт~v а^В1П ач (Вт^^
П = 0 7=0 7=0 7 = 0
Положим
оо
7 = О
В силу теоремы 26, существует такое h (не зависящее от
индекса ti), что
\Bv\<h
для всех т/^0.
Пусть задано 8>0. Выберем />0, по теореме 203, так,
чтобы
|в„ — B,J<2CTlj- ПРИ и>/’ m>t
13*
196
Рлава ~12
и
I а, | < при т 2t.
Тогда
\Bm_4 — Bm\<2h при
|gOT-» —gj<2(g~+~l) ПРИ m>2t> °O<f •
Поэтому при m^2t будем иметь
in т
I ZE Ат&т |< S I | 1 ^ж-у | =
/1 = 0 у = О
Ы-1
L 2 J т
= 2 1 + I | | у
L 2 J т
< 2S Iа’ I 2(g+ 1) 2 |I 2й<
' - 0 Г in 1
<2ЙТТ)« + 2'‘й<8-
Таким образом,
т
сп АтВт —> 0,
п = О
И ИЗ
окончательно заключаем, что
т
2
п - 0
оо
S СП = АВ.
П - о
Бесконечные ряды
197
Пример, | П | < 1, ап—Ьп — ^п.
Здесь
с„ = 2 ’ = 1)0»
V = О
и, следовательно,
QO
2о(«+ 1)0»=
Впрочем, этот пример относится уже к специальному
случаю, отмеченному в предварительном замечании к тео-
реме 220.
Теорема 221. Пусть 0<&<1. Пусть ап заданы для
n^N и существует N такое, что
I I < & I ап\ при п^Р-
Тогда ряд
со
ап
n=N
сходится, и притом адсолютно.
Доказательства. Для п^р имеем
(1) pw|<&n^|ap|;
действительно, это верно для п = р, а из п(^>р) сле-
дует 1, так как тогда
l«„+1l<»l«nl<0-Sw-p|a/)r = 0n+1-/’|^|.
1) Следовательно, для тТ^р сумма
т т т—р
Sl«»l < S ।| = IарI 2 »« =
П-Р п=р 3 = 0
— I ар । —
198
Глава 12
и, значит, ограничена. Тогда для nt N ограничена и сумма
т
2 |апI•
n = N
Поэтому ряд
I ап I
сходится.
2) Получив (1), мы можем рассуждать дальше и следую-
щим образом: ряд
2 =
п= р q = О
сходится, следовательно, сходится ряд
оо
2 KI,
п -р
а потому и ряд
2 I ап !•
n-N
Теорема 222, Пусть 10 j < 1. Пусть ап заданы для n^N
а
->0.
Тогда ряд
оо
2 ап
n=N
абсолютно сходится.
Доказательство. Положим
1+|в|
Тогда
Бесконечные ряды
199
и наконец
I1 <
I ап I
I 1 I I ап ! 5
так что применима теорема 221.
Теорема 223 (так называемое разложение вещественных
чисел в десятичные дроби). Каждое а может быть един-
ственным образом представлено в виде
(О
оо
2ХП
"10^ ’
п = 0
хп целое,
0<xn<i9 для я>0.
Нет такого 0, чтобы хп = 9 для всех п> т.
Доказательство. 1) Из условий (1) следует, что,
для каждого целого т 0,
т
\W»a —10»» 2
п = о
хп
1(Я
оо
= io»» 2
п = w»4-i
10^
>0,
оо
ю“ 2
п = т +1
9
10»
= 1.
Следовательно,
10'" 2 ^-=[10^1,
п = о 1и
У хп П(тд1
п^0 10’» 10»» ’
и значит
(2)
х0= [а],
xw _ [10’Ч._ [10»-Ч
1 10» 10’» 10»-1 при п>0-
образом, может существовать, самое большее, одно
Таким
представление требуемого вида.
200
Глава 12
2) хп. определенные формулами (2), доставляют требуе-
мое разложение. Действительно:
а) Для целого т>0 имеем
у _г„1 । у । [|ом\
n = ol°n я = 1 V ‘ 10/1 /
f . 10”’д _
_[1о»»л] ! io® ~а’
~ 10“ I 10“а—I _ 1
I < 10ш а 10w ’
так что левая часть при т -> оо стремится к а.
Ь) Число
( [а] при п = 0,
( [10пя]— Ю при лг > 0
целое.
с) При /г > 0 имеем
( < Юпа — 10— 1)== 10,
>(Юпа—1)—10-10,4-1а = — 1,
и, следовательно,
0 < хп < 9.
d) Если бы т ^>0 обладало тем свойством, что
хп = 9 для всех п> т,
то мы имели бы
10- 1 ,> = 10"
ЧИСЛО
Ь= 10“а
было бы целым, и мы получили бы, что
9 = х,л+1 = [ 10“+1а] — 10 [ 10“а] = [ 10£] — 10 р] =
= 106—106 = 0.
Глава 13
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ВВЕДЕНИЕ
Из теоремы 66 мы знаем, что сумма
j т.
h /(*)=2Л(х)
непрерывна для каждого 5, в котором непрерывны все сла-
гаемые /п(х). Верно ли это и для суммы бесконечного ряда
ti
/(*)= 2
! ” = 1
j сходящегося для всех х в [д, />], причем a<5<Z>?
| Нет. Пример:
j 5 = 0, /и(х) = х2(1 — х2)’»-1 при |х| < /2.
j Действительно, при 1
А(О) = о,
! следовательно, ряд
со
I 2 А(0)
п -1
(сходится и
/(0) = 0;
а если 0 < [ х | < V 2 , то
( _ 1<1— х*<1,
’ и, следовательно,
1 fn (х)=х2 2 (1 -= х2 2 (1 - =
?г = 1 n = l v = 0
=_____—____ — 1
1—(1—X2) ’
/(Х) = 1.
202
Глава 13
Таким образом, /(х) не является непрерывной в 0, даже
ни слева, ни справа, хотя все fn(x) и непрерывны в 0.
Но при одном ограничении мы спасем утверждение
нашей старой теоремы 66 и для бесконечных рядов; и здесь
мы подходим к важному понятию равномерной сходимости.
n, N, |i, /п, zz, v, |i2 будут в этой главе обозначать
целые числа.
Определение 56. Пусть функции fn(х), где п^> N, и
/(х) определены для всех х из некоторого числового мно-
жества ЗЯ. Пусть для каждого 8>0 существует (не
зависящее от х) N такое, что
т
2 /»(*)-/(*)
ГС
8 при т^> pi
для каждого х из ЯЛ. Тогда говорят, что ряд
2 AW
п = N
равномерно сходится на (в) ЗЯ к /(х).
(Сходимость этого ряда, и притом к сумме /(х), следует
уже из определения 51.)
Пример. Если 551 состоит из одного единственного числа,
то каждый сходящийся там ряд равномерно сходится на ЯЛ.
Теорема 224. Не для каждого 2Я каждый сходящийся
на 2Я ряд
2 /»(*)
n=N
сходится там равномерно.
Доказательство. Пусть /V = 1 и ЯЛ — множество
чисел х, для которых | х | < 2, или, более обще, мно-
жество тех х, для которых 0 < | х | < р, где р — любое фикси-
рованное число, удовлетворяющее условиям
Пусть
fn (х) = х2 (1—х2)”-1
Равномерная сходимость
203
(наш пример из введения к этой главе; сходимость была там
уже установлена). Положим
оо
п = 1
Из введения мы знаем, что
/(х)= 1 при 0 < I X\<р.
Если бы рассматриваемый ряд равномерно сходился для
0<|х|<р, то существовало бы такое, что
SA(x)-i
п-1
< при 0<|х|<р.
(Условия равномерной сходимости использованы здесь далеко
не полностью.) Так как
Н р. |х-1
2 fn (х) = х2 2 О — *2)"-1 =2 а — *2г =
П = 1 п - 1 v = о
то, следовательно, мы имели бы
|(1—х9)1Л|<у при 0 < | х | <р.
Но это неверно,, поскольку
lim(l — х->= 1.
а? = О
Теорема 226. Пусть все функции fn(x), опре-
делены для каждого х из 2ft. Ряд
оо
(О 2 AW
%
равномерно сходится на 2ft тогда и только тогда, когда
для каждого 3 > 0 существует (не зависящее от л:)
204
Глава 13
такое, что
I 2 fn (х)
I п — и
< 3 при и^> а
для всех х из ЭЛ.
Доказательство. 1) Пусть последнее условие выпол-
нено. Тогда, в силу теоремы 206, ряд (1) сходится на ЭЛ.
Следовательно, полагая
(2) 2 f»(x)=f(x),
n = N
при т р. имеем
т
2 f„(*)-/(*)
п = N
2 Ш
п — т^-1
<3<28;
таким образом, ряд (1), согласно определению 56, равно-
мерно сходится (поскольку 23 — произвольное положительное
число).
2) Пусть ряд (1) равномерно сходится на ЭЛ и /(х) его
сумма. Выберем у. согласно определению 56 с вместо 8.
Тогда при v и > pi будем иметь
и — 1
2 AW-/W
n=N
и
v
2 AW-/W
следовательно,
V
S fnW
n - гь
Теорема 226. Если числовые множества УНи^не имеют
ни одного общего числа и ряд
fn (х)
п
Равномерная сходимость
205
равномерно сходится на 2)i и на 2?, то он равномерно
сходится и на объединении множеств 2)1 и 31.
Доказательство. Для заданного 8>0 выбираем,
согласно определению 56, соответствующее для ЭЛ и соот-
ветствующее для 31. Тогда число рь = Мах (^, у2) будет
соответствующим заданному 3 > 0 для объединения множеств
2R и 31.
Теорема 227. Если ряд
со
2 лм (=/(%))
n=N
равномерно сходится на ЭЛ, а функция g(x) определена и
ограничена на 2)1, то и ряд
оо
2 fn(x)g(X) (=/(x)g(x))
равномерно сходится на 2R.
Доказательство. Существует не зависящее от х
число с такое, что
| g (х) | < с для всех х из 2)1.
Пусть задано 8>0. Выберем у>, не зависящее от х, так, чтобы
т
2 /я(х)-/(х)
n~N
о
< — для всех nt^>}k и всех х из 2)?.
Тогда для всех и всех х из 2R будем иметь
ш / т
2\ fn(x}g (x)—f (x)g(x) = £•(%) 2 fn(^)~f(x)
n~N \n=N
0)1
m
2 fn(x)~f(x)
n-N
c- = a.
c
Теорема 228. Пусть функции fn(x) определены для
всех n^N и всех х из SW. Пусть для каждого n^N
существует не зависящее от х число рп такое, что
I fn (-*0 I Рп
206
Глава 13
для всех х из ЭЛ (другими словами, каждая fn(x) ограничена
на 3W), и пусть ряд
оо
2 рп
7/ = jV
сходится. Тогда ряд
оо
2 /»(*)
равномерно сходится на Ф1.
Предварительное замечание. Это достаточное условие
равномерной сходимости отнюдь не необходимо. Противо-
речащий пример. 2)? произвольное, N—1, fn (х) = -
для п 1.
Доказательство. Для заданного 3>0 выбираем, по
теореме 203, N так, чтобы
V
2 Рп < 8 ПРИ v 11 > Н-
п = и
Тогда для этих zz, v имеем
< 2
п - и
2 Л(х)
п- и
V
2 рп
п = и
<8,
и утверждение следует из теоремы 225.
Теорема 229. Пусть р>0, ряд
ОО
2 /»(*)
П = N
равномерно сходится для и каждое слагаемое
fn(x) непрерывно, справа в Тогда ряд сходится и для
х = причем его сумма
2/»(*)=/(*),
определенная для -}-/?, непрерывна справа в t
Предварительное замечание. Эта теорема еще раз по-
казывает, что специальный ряд, рассмотренный при дока-
Равномерная сходимость
207
зательстве теоремы 224, не может равномерно сходиться для
0< |аг| </?; действительно, ведь его сумма, вычисленная
в введении, не является непрерывной справа в 0.
Доказательство. 1) При р > N сумма
2 /„(X)
п - и
непрерывна справа в 5, например, в силу теоремы 66, если
принять функции fn(x) для $ — 1<х<£ по определению
равными /п($) и заметить, что они тогда непрерывны в
Пусть задано 8 >0. Выберем, по теореме 225, не завися-
щее от х число W так, чтобы
v
2 fn(X)
n-U
< при V > Il > < х < $ -4-
Тогда получим
V I *
2 fn G) I < 4 < 0 при И > М > |*
п = и I Х
и, следовательно, ряд
оо
п =N
сходится при х = 1 (а потому, в силу теоремы 226, равно-
мерно сходится для 5 р).
2) Пусть задано 8>0. Выберем не зависящее от х число
W так, чтобы
i*i !
2 Л»О)—/(*) |<4 при
n = N | 6
4- р,
и положим
Н1
°М = 2 fn(x).
n = N
G (x) непрерывно справа в Следовательно, существует
положительное е<р такое, что
I G ($ 4- й) — G (Е) I < у При 0 < h < е.
208
Глава 13
Тогда при 0 < h < е получаем
|/G + A)-/©| =
= |-(G (НЛ)-/(НЛ))И(0(5)-/($) ) b(G(? -J A)-G(O) I С
<|О($ + А)-/0 + Л)|+|С©-/©| + 1О(ГЬЛ)-О©|<
. 3 . 8 . з __.
< j+^ + y-o-
Теорема 230. Пусть р~>0, ряд
ОО
2 лм
п - У
равномерно сходится для $ — /;<,г<£ и каждое слагаемое
fn(x) непрерывно слева в 5. Тогда ряд сходится и при х = ;,
причем его сумма непрерывна слева в $.
Доказательство. Теорема 229 с заменой Д(х) на
fn(— х) и на — t
Теорема 231. Пусть /?>0, ряд
оо
2 Л W
п - N
равномерно сходится для 0< |х —$ | <р и каждое слагае-
мое fn (х) непрерывно в $. Тогда ряд сходится и в 5, при-
чем его сумма непрерывна в
Доказательство. Теоремы 229 и 230.
Теорема 232. Ряд
2 /»(*)=/(*),
составленный из функций fn(x), непрерывных в $ для
каждого п^> N и сходящийся при |лг—В |<s к функции
/(х), также непрерывной в ни для какого р>0 не
обязан равномерно сходиться даже хотя бы в одном из
множеств р или $ — р<х<£.
Предварительное замечание. Таким образом, достаточное
условие непрерывности из теоремы 231, достаточное условие
непрерывности справа из теоремы 229 и достаточное условие
Равномерная сходимость
209
непрерывности слева из теоремы 230 не являются необходи-
мыми.
Доказательство. Пусть для всех х
fn (х) = — (п — 1 ~~ О®1 при п > 1,
так что /п( ) для каждого всюду непрерывна и
sw (х) — 2 fn W = при m 1.
п - 1
Тогда
sm (0) ~ о,
а для х ф 0 при m -> оо имеем
п /А — т'х' — 27 п
и < sm (х) — ,„ж,3 <; ( т.!х — mxi -> и.
Таким образом, ряд
Saw
всюду сходится к
/(х) = 0.
Возьмем 5 = 0; f(x) непрерывна в 0.
Если бы рассматриваемый ряд при некотором р>0 равно-
мерно сходился для 0<х<р или, соответственно, для
— р<х<0, то существовало бы такое, что для
0<х</?, соответственно—р<х<0, и л»^|хмы имели бы
i sm W — f WI = Sm (x) = nMr < e - 4
„ 1 1
Так как x = , соответственно x —---r , при надле-
Vm Vm
жаще выбранном т ц меньше чем р, соответс гвенно больше
чем —/?, то мы получили бы
__m
. . . 9 1 _ 1
е~"1 те~ l= w — е <е \
т
Теорема 233. Пусть a<ib, ряд
(I) S AW
14 Зак, 84Ь.
210
Глава 13
сходится для некоторого х — ч\, заключенного между а и Ь,
и ряд
(2)
п -
равномерно сходится для а<х<Ь (чем уже сказано, что
там каждая функция fn(x) дифференцируема). Тогда ряд (1)
сходится для а<х<Ь, притом даже равномерно, к функции
/(х), дифференцируемой для а<х<1г причем
f (*) = g <м
где g (х) — сумма ряда (2).
Доказательство (одно из труднейших во всей книге).
Положим, для и^> N, а<х<Ь,
2 fn (х) = ? (X).
п-и
Тогда для а < х < b будем иметь
2 fn (х) = ?'(х).
п = и
В силу теоремы 159, при А=£0, я<$4-h<b
между $ и $ существует такое у, что
следовательно,
<з> i
11 = и П п~ и
(у зависит от и, v, 5, А, но не от п.)
По теореме 225, для каждого 8>0 найдется не зависящий
от у индекс р.N такой, что при и>будет
выполняться неравенство
и
2Л^)
п = и
Равномерная сходимость
211
Следовательно, при и > « > ц, Л зЬ О, а < £ < £, а<$ -}- А < £,
в силу (2), будем иметь
’ П = и h (
Таким образом, в силу той же теоремы 225. ряд
/41 у +
для каждого фиксированного 5, а<£<£, сходится при
* Ф 0, равномерно относительно h.
Из сходимости этого ряда следует сходимость ряда
оо
(5) 2 (/»(« + *)-/»(5))
для #<£<&, а<$ 4- h<Zb. Так как ряд
(л 2 /„(*)
n = N
был предположен сходящимся для некоторого х между а и J,
то заключаем, что этот ряд сходится для всех х между а и Ь.
Так как
। h: | < Ь — а,
то из равномерной сходимости ряда (4), в силу теоремы 227
(с ^(Л) = Л), вытекает равномерная сходимость ряда (5) отно-
сительно всех h ф О, при фиксированном 5,
#<$<£. Следовательно, ряд (1) равномерно сходится
для а<х<Ь.
Положим теперь, при фиксированном ия>М
К(Л) =
при /гфО,
fn (5) при h = 0.
Функция (Л) непрерывна в h — 0, и ряд
(6)
ОО
П =У
14*
Hi
Глада 13
в силу теоремы 226 и найденного относительно ряда (4),
равномерно сходится для а — t<h<b— В. Согласно тео-
реме 231 (с р = Min (b — 5,5 — a) uh вместо х), функция (6)
тогда непрерывна в Л = 0, и, следовательно,
^(0= 2 Л(5)= 2 K(0)=Htn 2 Ф„(й)=
n=N n=N h=Qn=N
= lim 2
Л = 0п =N
h
f„($+h)-fn& Um + =/^).
h = 0 h
Пример.
хп
fn(x) = — при Л> 1,
a =— 0, b — Q,
где
O<0<1.
Ряд
2 Л(х)
» = 1
сходится при х = 0 (так как каждое /п(0) = 0); ряд
2 /„«•= 2
п = 1 п = 1
равномерно сходится для а < х < Ь, в силу теоремы 228 с
Так как
W=l, pn==0n-i.
2д(*)=-Л^
п = 1 АЛ
то, следовательно, в силу теоремы 233, ряд
2,?=/w
п SS 1 "
Равномерная сходимость
213
сходится для а<х<Ь и
'(х) = 1_.
47 1 — X
Так как для каждого х с | х | < 1 можно выбрать 0
так, чтобы |х|<0< 1, то заключаем, что ряд
со
ХП
сходится для | х | < 1 и там
/ yl ____________________ 1
Но при | х 1 < 1 также
(-log(l-x))'«-TL_(-l)= уАу.
Следовательно, в силу теоремы 162 (применяемой сперва
для надлежаще выбранных а, Ь с —1 < а < х < h < 1), для
] х | < 1 имеет место равенство
5 — = —10g(l —х)4- с,
п= 1 Л
и подстановка значения х = 0 дает
0=04-с,
с = 0,
2^ = -log(l—х).
п = 1 "
Таким образом, для |х|<1 имеем
log (14-х) = 2 *”>
п = 1 п
что нам частично было уже известно из теоремы 184*
(Однако, справедливость этой формулы для х— 1 мы вто-
рично не доказали.)
214
Глава 13
Теорема 234. Если /(') непрерывна в 1а, &], то суще-
ствуют целые рациональные функции fn(x) такие, что
ряд
оо
А (х)
п - 1
равномерно сходится в [а, Ь\ и его сумма—/(х).
Доказательство. Определим, по теореме 155, для
каждого я>0 целую рациональную функцию Рп(х) так,
чтобы
|/(х) —Рп(х)|<для [а, Ь]
И положим
Л(х)=р1(х),
fn(x) = Pn(x) — Рп_1 (х) при л>1.
Тогда для каждого 8>0 при т^р у будем иметь
2 fn(x)— /(х)
п = 1
= |Рот(х)~/(х)|< ^-<8,
Глава 14
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Определение 57. Ряд
а
2 сп(х — а)",
п - О
где сп и а фиксированы, называется (независимо от сходи-
мости) степенным рядом.
При х = а этот ряд должен сходиться, так как
сп (х — а)п = 0 при п 1.
Вплоть до конца этой главы мы будем считать, что
а = 0, так как теоремы с произвольным а сразу следуют
из соответствующих теорем с а — 0.
Теорема 235. Существует степенной ряд
оо
2 сп,Хп-)
п = 0
сходящийся лишь при х = 0.
Доказательство. Требуемым свойством обладает ряд
2 ппхп.
п = о
Действительно, если бы он для некоторого х±0 сходился,
то, по теореме 204, мы имели бы
lim ппхп === 0,
11 = оо
1
тогда как для п > ,—,
I х I
п | X j > 1,
I ИПХ” I > 1.
216
Глава 14
Теорема 236. Существует степенной ряд, сходящийся
для всех х.
Доказательство. Требуемым свойством обладает ряд
со
Действительно, для x^fcQ, имеем
хп-м
х п
л п л 4-1 ’
’ п!
так что сходимость обеспечивается теоремой 222 (с W=0,
0 = 0).
Определение 58. Сумма всюду сходящегося степенного
ряда
со
2 СпХп
П = 0
называется целой функцией от х.
Пример. Каждая целая рациональная функция
2 спхП
п ® о
есть целая функция, так как мы можем по определению
положить
сп = 0 для целых п>т.
Теорема 237. Пусть
;^:0
и ряд
п = о
сходится.
1) Тогда ряд
(1) 2 спхП
~ 0
Степенные ряды
217
абсолютно сходится для |х|<|$|.
2) Ряд (1) равномерно сходится для I х | & | £ | при
каждом & с 0 И < 1.
Доказательство. Достаточно показать, что ряд (1)
равномерно и абсолютно сходится для |х|<;0р| при
каждом 0 с 0<»<1, так как каждое у с |j'|<|5| при-
надлежит к тем х, для которых | х| V |$|, где
НН
Так как ряд
п = о
сходится, то, в силу теорем 204 и 26,
Ып\<Р,
где р не зависит от п. Следовательно, при | х | 0 i £ |
имеем
\Сп^\<\^п\^п<Р^п^
и так как ряд
00
п = о
сходится, то заключаем, что заданный ряд абсолютно и,
в силу теоремы 228 (с 7V = 0, рп — р$п), также равномерно
сходится для ! х| <; &| $
Теорема 238. Пусть ряд
оо
2 СпХП
И = О
сходится не всюду и не для одного лить х = 0. Тогда
существует точно одно г>0 такое, что этот ряд
для | х | < г сходится,
для J v | >г расходится.
218
Глава 14
Доказательство. 1) Этим свойством может обладать,
самое большее, одно г. Действительно, если бы им обладали
и г2? причем гг ф г %, то в —1 у-Г-- ряд должен был бы и
расходиться, и сходиться.
2) Отнесем а:
к первому классу, если а>0 и ряд сходится в а, либо
если а 0;
ко второму классу, если а > 0 и ряд расходится в а.
В первом классе содержится положительное а. Действи-
тельно, согласно предположению, существует в кото-
| *|
ром ряд сходится, а тогда а — -у1 содержится в первом
классе, по теореме 237, 1).
Второй класс также содержит положительное число а.
Действительно, согласно предположению, существует *q ф 0,
в котором ряд расходится, а тогда а = 2 | т| | содержится во
втором классе, по теореме 237, 1).
Если а содержится во втором классе и р>а, то ряд
расходится в а, а следовательно, по теореме 237, 1), — и в р,
так что и р принадлежит второму классу.
Поэтому существует г>0 такое, что каждое а<г при-
надлежит первому, а каждое а>г — второму классу.
Если
i
| х I + Г I X I + г
2— лежит в первом классе, так что ряд сходится в J~—
а тогда, по теореме 237, 1), он сходится и в х.
Если
; Л >
I X I + г
таким образом, !——— лежит во втором классе, так что в
I X I I /*
—ряд расходится, а тогда, по теореме 237, 1), он рас-
ходится и в л:.
Степенные ряды 219
Примеры. 1) Для степенного ряда
оо
п = о
г = 1. Действительно, сходимость этого ряда для j х | < 1
нам уже известна, а в 1 он расходится, так как 1п не
стремится к 0. Он расходится также в — 1, так как и(—1)п
не стремится к 0.
2) Для ряда
также г=1. Действительно, для 1 этот ряд сходится,
так как
I хп I 1
| П~ I л2 ’
а для х>1 он расходится, так как наконец
ХП Х \П± 1 / b
п2
так что (положительные) члены ряда наконец возрастают.
Как уже сказано, в 1 и — 1 рассмотренный ряд сходится.
3) Для ряда
оо
VI хп
ёёе
нам известна расходимость в 1 и сходимость в — 1. Отсюда
следует, что г = 1.
4) Для ряда
имеет место сходимость в 1 и расходимость в —1. Следо-
тельно, и здесь г — 1.
Эти четыре примера показывают, что о сходимости или
расходимости ряда в —г и г, вообще говоря, ничего сказать
нельзя; могут встретиться все четыре мыслимых случая.
220
Глава 14
Теорема 239. Пусть ряд
ОО
2 сп^п
п = О
сходится для |*|</?. Тогда он сходится для I х I < R
абсолютно» а для |х|<^8/? при каждом & с 0^8<1—
равномерно.
Доказательство. Достаточно установить равномер-
ную и абсолютную сходимость для | х I 8/?. Но рассматри-
1 Ч- 8
ваемый ряд сходится в -у- /?, так как
I * I
следовательно, в силу теоремы 237 (с заменой 8 на
равномерно и абсолютно сходится для
28
14-8
), он
28 l+8n_ftn
1 + 8 2
Теорема 240. Если ряд
00
/(х) = 2 V"
п = о
сходится только в 0, соответственно всюду, соответ-
ственно не только в 0 и не всюду (так что существует
г в смысле теоремы 238), то и ряд
оо
g(x)=2
п = о
соответственно, сходится только в 0 или всюду, или
обладает тем же г.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать:
1) Если Sz/zO и первый ряд сходится в £, то второй
сходится ДЛЯ I X I < I 51.
2) Если и второй ряд. сходится в J, то первый
сходится для |х|<|5|.
. Этого достаточно по следующим причинам:
а) Если /-ряд сходится только в 0, то S’-ряд, в силу 2),
сходится только в 0.
Степенные рябы
221
b) Если /-ряд сходится всюду, той £-ряд, в силу 1),
сходится всюду.
с) Если /-ряд сходится при | х | < г и расходится
при |х|>г, то и ^-ряд, в силу 1), сходится для |х|<г
(полагаем £= 1 х И"г) и, в силу 2), расходится для
| x | > г (в противном случае полагаем 5 =——).
К 1).
!c»nV'+1 \<g,
I t I I £ <n < |"yj = gl >
|(«+ 1) c„Mxn! = («4-1)1с„+11 |$
Ряд
n = 0 * 5 {
согласно примеру к теореме 220, сходится для |х|<|$ ;
следовательно, и ряд
00
2 0*+ О ^n-bi
?4 = О
сходится для |х|< I?
К 2). |0* + при я>0;
следовательно, для п 1
Сходимость ряда
оо
2 сп^п
п = О
вытекает из сходимости ряда
Теорема 241. Если ряд
оо
/(х)= '£сиХп
П - О
222
Глава 14
всюду сходится или, соответственно, для него суще-
ствует г в смысле теоремы 238, то функция f(x') всюду,
соответственно для | х | < г, дифференцируема (а значит,
и непрерывна) и
= -г 1) сп.Лхп.
/1 = 0
Доказательство. Возьмем произвольное С, соответ-
ственно | £ । < г, и положим = | $ j 1, соответственно
= JJ.Lzbr . в СИЛу теорем 240 и 239, ряд
п - 0
равномерно сходится для | х | <тР Поэтому утверждение для
х==5 следует из теоремы 233, так как
1 *) = (^ ..[Хп.
Теорема 242. Если /?>0 и
00 оо
У апхп = &ля \x\<R,
п ~ о п - о
то
ап—Ъп для всех п^>0.
Доказательство. В противном случае пусть т —
наименьшее из тех п, для которых
&П ^П'
Тогда для |х | < R имеем
О {ап bn)Xn===h* (^п т Хп^т
п~0 п -= т п- О
и, следовательно, для 0< х .<R>
О = ^^{ап^т Ьп \-т) .
Если для ряда
(^n+m %П
п = О
Степенные ряды
223
существует г в смысле теоремы 238, то R^r; если же
нет, то этот ряд всюду сходится. Таким образом, во всех
случаях, в силу теоремы 241 (непрерывность), мы должны
были бы иметь
lim ZS ш &п in) — lim 0 — О,
•и = о п - о л* - О
в противоречие со сделанным предположением.
Теорема 243 (теорема Абеля). Пусть ряд
оо
2 с, Л"
п -- О
при Е>0, соответственно $<0, сходится, и
оо
/ (х) — 2 спх'1 ^ЛЯ i х I < « и х ~
п - о
Тогда, /(х) непрерывна слева, соответственно справа в
Предварительные замечания. 1) Не имели ли мы это
уже раньше? Если рассматриваемый степенной ряд всюду
сходится,—да, по теореме 241 (непрерывность). Если ему
соответствует некоторое г в смысле теоремы 238 (тогда
необходимо r^>UI),— да, в случае |л|>|Е|; но нет —
в случае г—|В|. А в последнем случае — все дело.
2) Теорема 243 снова показывает нам, в силу равенства
]Y»-i
log (1 4-х) = S'------
п = 1 п
хп при ; хj< 1,
что это равенство верно также для лг—1. Ср. пример
к теореме 233, где нам'пришлось обойти случай х=1.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что $>0: иначе мы рассмотрели бы
Л— *)=£(— 1)” vn;
п = о
также без ограничения общности можно считать, что 5 «=*= 1:
224
Глава 14
иначе мы рассмотрели бы
/(5х) = 2 с^пхп,
П -О
и что
со
2^=0;
п = о
иначе мы рассмотрели бы
/(х)-/(1) = (с0-/(1)) + 2 спх".
п = 1
В силу теоремы 230, достаточно доказать равномерную
сходимость ряда
оо
2 vl
п = о
ДЛЯ 0 < X < 1. Положим
т
= ДЛЯ целых /м>0.
п - о
Тогда для целых <и с будем иметь
2 СпХп = 2 ^n- i)-^n $п%П ZL ^n- 1%п —
п~ п п = и п = и п—и
V V—1
= 2snx«— 2 SnXn+i = —
п = и п = W—1
= — S«-l X11 + 2 8п (х«— Хп 4 ») + S^X^1 =
п - и
= (1 — X) 2 SnXn — Su_i Xu+svXv + 1.
п~ и
Пусть задано 8 > 0. Так как
sm ,
то существует целое р-^>0 такое, что
Ы<|прИ Я>|1-
Степенные ряды
225
Следовательно, для 0<х<1 и целых u,v с
имеем
S v* <g—*)4 S 1 *v+i =
п = и I ~п — н * z
= 4<*“ — *®+1)Н- 4 х"+ 4 х®+1 = 8х«<8.
Поэтому ряд
2 ^пхП>
n-Q
в силу теоремы 225, равномерно сходится для 0<х<1.
Теорема 244. Если R>Q и
/(%)= 2 спхП пРи |*|</?,
» = 0
то
п-т '
для [ х [ < /? и каждого целого /п О, так что, в частности,
_/(>») (0)
т ~ ml •
Доказательство. Для т = 0 — ясно. Заключение
от т к т -f-1 ’• по теореме 241,
\ п = т 7 4 Л = о \ т ; /
= 2 i)x»=
к = 0 \ /
— 2 с,/и!(")(л —т)х«“’"-1==
п = т 4-1 7
15 Зак. 848.
226
Глава 14
Из предшествующих теорем с помощью тривиального
преобразования
вытекает
х—у — а
Теорема 245. Пусть ряд
со
2 еп(х а)п
п = О
сходится не только для х— а. Тогда либо он всюду
сходится, либо существует точно одно г>0 такое, что
ряд
для | х — а | < г сходится,
для | х — а | > г расходится.
Ряд абсолютно сходится всюду, соответственно для
|х—л|<г, и равномерно сходится для |х — а|Ср при
каждом р^> О, соответственно при каждом р с 0<ip<r.
Сумма ряда f(x) неограниченное число раз дифферен-
цируема всюду, соответственно для |х — а\<г, причем
(т^>0 целое)
f(m) (Х) = 2 спт\ ) (х — а)»-’»,
п = ж 4 7
так что, в частности,
с™~ т\ ’
/(*)= 2^ (,_„)».
п =0 "•
(Значит все же [см. теорему 185]? — Да, если мы уже
знаем, что f(x)— степенной ряд.)
Если существует г>0 в указанном выше смысле и
заданный ряд сходится в а —г, соответственно в а + г,
то его сумма там непрерывна справа, соответственно
слева.
Глава 15
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ РЯД И БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД
Теорема 246.
Предварительное замечание. Ряд, стоящий справа, на-
зывается показательным рядом.
Доказательство. Из доказательства теоремы 236
мы знаем, что стоящий справа степенной ряд всюду схо-
дится; пусть /(х)— его сумма. По теореме 241, всюду
ОО 1 00 п
f' (Х) в п?о (П + 1) рГ+Ь! ХП==п?0^!=/ (х) ’
следовательно,
(е~х/(х))' = — е~х f(x) 4- е~х f (х) = О,
и, значит, в силу теоремы 163,
г7(х) = г»/(0)= 1-1 = 1,
f (х) = ех.
Теорема 247. Для |х|<1 и каждого а
П = 0ХП/
Предварительное замечание. Ряд, стоящий справа, на-
зывается биномиальным рядом.
Доказательство. 1) Ряд сходится. Действительно,
15*
228
Глава 15
для целых а^>0 имеем наконец (для п>а)
для остальных же а, принимая без ограничения общности,
что х ф 0, имеем
и так как |х|<1, то ряд сходится, в силу теоремы 222.
2) Положим, для | лг | < 1,
/(х) = (14-х)«,
оо
£•(*)= 2
П = $\П/
нам нужно дс казать, что
f(x) = g(x).
По теореме 241,
ОО \ 00
(х)=.?»г»+')("+1 * **=’») *”•
(1-Fх)^'(*)=«(2 (“ „ 1)*п+ 2(“„ !) *п41)=
= а
оо
=«(i + 2 (“) *g (х).
\ п = 1\“/ /
С другой стороны, -
(I + x)f' (х) = a (1 4- х)’ = а/(х).
Показательный ряд и биномиальный ряд 229
Следовательно,
(1 + х) g (x)f (х) = ag (х)/ (х) = (1 —х)/ (х) g' (х),
g (х)/' (x)=f(x)g'(x),
f(x)^0,
Откуда
/WY- f(x)g'(x)-g(x)f'(x)
\f(x)J P(x) “u‘
и, значит, в силу теоремы 163,
—1— 1
f(x)~f(0) - 1 “ х’
f(x) = g(x).
Глава 16
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Речь будет итти о четырех функциях, называемых сину-
сом, косинусом, тангенсом и котангенсом.
Теорема 248. Ряд
у (-1Г
^о(2^ + 1)!
всюду сходится у т. е. является целой функцией
00
S сп*п
п = о
С
к —1
(— 1) 2
с = —£•— для нечетных
п П\
О для четных
Доказательство.
I а, I ✓
а ряд
п = 0
сходится.
Определение 59.
ОО
sin х «= 2
m=?0
(—1)”*
(2/Л4-1)!
sin читается: синус.
Тригонометрические функции
231
Теорема 249. sin (—х) =— sinx.
Доказательство: определение 59.
Теорема 250. sin 0 = 0.
Доказательство: определение 59.
Теорема 251. Ряд
(2«)! Х
всюду сходится, т. е. является целой функцией
оо
2 ^пхп
/1 = 0
П
(— 1) 2
-—г— для четных
п\ ’
0 для нечетных п^>0.
Доказательство: как для теоремы 248.
со
Определение 60. cos х= X ~5- х2т.
т = о Утр
cos читается: косинус.
Теорема 252. cos(—x) = cosx.
Доказательство: определение 60.
Теорема 253. cos 0=1.
Доказательство: определение 60.
Теорема 254. “^“===cosx’
Доказательство. Согласно теореме 241, всюду
сходящийся ряд можно почленно дифференцировать. Но
fJ.ZZ.iy х2т+Л —(2т I Пх2т —
232
Глава 16
Теорема 255. = —sinx.
Доказательство, cosx = 1 + 2j ;-x—т-тг? x2wi+.
m = о (2/и + 2)’
По теореме 241, мы можем почленно дифференцировать. Но
(ЖМ'=Ж<2”+^“’=
(________________________________1 }т
— У y2m + l
~ (2т + 1)!
Теорема 256.
sin (x-f-J') = sin х cos у -j- cos x sin y,
cos (xy) = cos xcosy — sin x sinj/.
Доказательство. Положим, при фиксированном у,
f (х) = sin (* + У) — sin x cos у — cos x sinj/,
g (x) = cos (x 4-^) — cos x cosy -|- sin x siny.
В силу теорем 254 и 255, тогда
/' (х) = cos (х 4~^) — cos х cosj/ -|“ sin х sin у = g (х),
g' (х) — — sin (х 4~У) + sin х С03У + cos х sin,y = — /(х),
(У2 W + S’2 (*))' = 2/ (x)f (х) + 2g (х) g' (х) =
= 2/ (х) g (х) — 2g (х)/ (х) = О
и, следовательно, в силу теоремы 163,
У2 (X) + (X) =/2 (0) +^(0) =
= (sin_y — sin_y)2 (cos_y — cos^y)9 — Q,
y(x)=g(x)=Q,
Тригонометрические функции
233
Теорема 257.
sin 2х = 2 sin х cos х.
Доказательство.
sin 2х = sin (х 4- х) ==
= sin х. cos х -|- cos х sin х = 2 sin х cos х.
Теорема 258.
sin2x.-}~ cos2 х = 1.,
Доказательство.
1 = cos 0 == cos (х — х) = cos х cos (—х) — sin х sin (—x) =
= cos2x 4~ sin2x.
Теорема 259.
cos 2x = 2 cos2 x — 1.
Доказательство.
cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x—? sinx sin x =
= cos2 X — sin2 X = cos2 X — (1 — cos2 x) =
— 2 cos2 x — 1.
Теорема 260.
|sinx|<; 1.
Доказательство: теорема 258.
Теорема 261.
I cos X К 1.
Доказательство: теорема 258.
Теорема 262. Существует точно одно кисло тс > 0
такое, что
к Л
cos "2 = 0, , .
cos х > 0 при 0 < х < .
• - «
234
Глава 16
Другими словами, уравнение
cosj/ = 0
обладает положительным решением, и притом даже наимень-
шим.
Доказательство. 1) То, что может существовать,
самое большее, одно такое тс,— ясно.
2) В силу теоремы 159 (с
/ (х) = sin х, а = О, Ь = 2)
и теоремы 254, существует $ такое, что
0<$<2, *in2-^n°:=cosE;
по теоремам 250 и 260,
. . । | sin 21 1
|cos5| = '—j— <
Положим
2$ = 6.
Тогда, по теореме 259,
cos^ = 2cosa5 — l<2. | — 1 == — ~< 0.
^4 2
Следовательно, в силу теоремы 149 (с
f (х) = cos х, а = 0),
существует тс >0 такое, что
тс Л
cos 2* = о,
cos х >0 при о < X < ^ .
Определение 6L „Мировая константа* из теоремы
262 будет постоянно обозначаться через тс.
Теорема 263.
Sin = 1.
Тригонометрические функции
235
Доказательство. По теоремам 258 и 262,
sin9 -5 = 1 — cos2 = 1,
откуда
sin ~ = 1 или — 1.
Выполняется первое равенство, так как, в силу теорем 159,
254 и 262, для надлежаще выбранного Е имеем
0< Е< у, sin — = sin £ — sin 0 = £ cosE >0.
<k 4k 4k
Теорема 264.
те 1
COS -т = -7= .
4 у2
Доказательство. В силу теоремы 259,
О = cos у » 2 cos2 ~ — 1,
Л « те 1
cos84 = 2;
так как
те Л
COS -^ > О,
то, следовательно,
те I
COS 7- == .
4 у2
Теорема 265.
. те 1
sin -г = —— .
4 у2
Доказательство. В силу теорем 263, 257 и 264,
1 = sin 9=2 sin cos 4 оз У 2 sin 4 •
2 4 4 r 4
Теорема 266.
cosir= — 1.
236
Глава 16
Доказательств О;
cos я = 2 cos2 — 1 = — 1.
Теорема 267.
sin я = 0.
Доказательство.
sin я = 2sin cos -£ = 0.
Теорема 268.
cos 2-гс = 1.
Доказательство.
cos 2к = 2cos2 тс—1 = 1.
Теорема 269.
sin 2тс — 0.
Доказательство.
sin 2тс ~ 2 sin тс cos тс = 0.
Теорема 270.
sin — х) = cos х.
Доказательство.
sin — х) —sin cos х -|-cos у sin (—х).
Теорема 271.
sin (тс — х) = sin х.
До казательство.
sin (тс— х) = sin it cos х-}- cos тс sin (—x).
Теорема 272.
cos (тс — x) = — cos x. .
Доказательство.
p0S (тс-x) = COSTC CrQS x — sin тс sin (— x),
Тригонометрический функции
231
Теорема 273.
sin (х х-
Другими словами, „sinx имеет период 2тс“.
Доказательство.
sin (х + 2тс) = sin х cos 2тс cos x s’n 2K-
Теорема 274. Если 0< x< тс или тс< x< 2тс, /по
sinxz^O.
Доказательство. Имеем
sin 0 == sin тс = 0.
Если бы поэтому существовало $ такое, что
о < 5 < тг, sin $ = О,
то, в силу теоремы 156, существовали бы и $2 такие, что
О < 5j < $ < S9 < тс, cos = cos $2 = 0.
Из чисел и Н25 по крайней мере, одно было бы Ф~^,
Однако, по теореме 262,
cos х ф 0 при 0 < х < у ,
и, следовательно, по теореме 272,
cosx = — cos (тс — х)ф§ при х< тс.
Таким образом, при 0< х< тс
sin х ф§,
а, следовательно, и при тс< х< 2тс
sin х = sin (тс — х) = — sin (х — тс) ф 0.
Теорема 275.
sin (х с) = sin х
для всех х тогда и только тогда, когда
" с ~2пф п целое.
238
Глава 16
Доказательство. 1) Пусть п — целое. Равенство
sin (х 2птс) = sin х
для п = 0 очевидно, а для п 0 получается заключением
от п к п +1, так как тогда, в силу теоремы 273,
sin (х + 2(п + 1) к) = sin ((х + 2/гтс) + 2тс) = sin (х + 2птс).
Также при п< О
sin (х + 2птс) = sin (х + 2/гтс + 2 | п | it) = sin х.
2) Достаточно показать, что равенство
(1) sin (х + с) = sin х, 0<^с<2тс
выполняется тождественно относительно х лишь при с = 0.
Этого достаточно, так как из равенства (1), в силу дока-
занного в 1), следует, что
sin ^х + с — 2тс |”—j ) — sin х,
а при не целом
>С-2«^ = 0,
Полагая в (1) х = 0, получаем
sin с = 0, 2тс.
Тогда, по теореме 274,
f==0 или С = ТС.
Но с = тс здесь не годится, так как иначе, положив в ра-
венстве (1) х = — у, мы получили бы
1 = sin + = sin (х + c) = sinx = — sin^ = — 1.
Тригонометрические функции
isff
Теорема 276.
cos(x-|“ 2tc)==cosx.
Другими словами, „cosx имеет период 2тс“.
Доказательство.
cos (х -|~ 2тг) = cos х cos 2тг — sin х sin 2тг.
Теорема 277.
COS (х + с) == COS X
для всех х тогда и только тогда, когда
с = 2/пг, п целое.
Доказательство. В силу теоремы 270, выполнение
указанного равенства для всех х равносильно выполнению
для всех х равенства
(те X » X
— х — cj «= sin (—х)
и, следовательно, если положить
тс
2“
— выполнению для всех у равенства
sin у = sin (у + с).
Таким образом, теорема 277 следует из теоремы 275.
Теорема 278. Если т целое и
2/птс — .У <1 2/итсу >
то
sinx< sinj/.
Доказательство. Если
2/пте — — < z < 2/ите >
то
cos z = cos (z — 2тя) > 0.
№Глава 16'
В силу теоремы 159, существует такое что
*<$<Л sinj/ — sinx = (y—x)cos$>0.
Теорема 279. Равенство
sin х = О
выполняется для чисел
x = mt, п целые,
и только для них.
Доказательство: теорема 274 и равенство
sin (х 4- 2/гтс) = sin х для целых п.
Теорема 280. Равенство
cos х «= О
выполняется для чисел
v = ^/2 4“ y)71’ п Целые>
и только для них.
Доказательство. Так как
cos (х — = cos (д “ х) = sin х>
то утверждение следует из теоремы 279.
Теорема 281. Если п целое, то
cosnrc = (—1)п.
Доказательство. Для л = 0 имеем
cos mt = cos 0 = 1 = (— l)w.
Из п следует п4~^:
cos (/? 4~ 1)77 ccs (nit 4“ я) =±5 cos mt cos тс —. sin mt sin я »
Тем самым теорема 281 уже доказана для А тогда
для л<0 имеем
cos пп = cos ((— я)1г) = (—1)-”—(—1)л.
Тригонометрические фрикции
241
Определение 62.
со m
П ап = lim П
= t Wl “ СО П= 1
если предел существует. В этом случае
называют сходящимся бесконечным произведением.
Примеры. 1) Если какое-то то каковы бы ни
были остальные ап< наконец
П»» = 0.
п = 1
и, следовательно,
оо
Ц ап = 0. .
п - 1
2) Если все ап == ~ , то
оо
Теорема 282. Если
ап>$
для каждого целого п ^>1, то ряд
ОО
2 log ап = b
П-1
сходится тогда и только тогда, когда бесконечное про-
изведение
ОО
П ап = а
п -1
сходится и
й>0,
16 Зак. 848.
242
Глава 16
причем тогд.1
b = log а.
Доказательство. 1) Пусть
т
JJ ап—*а, я>0.
п = 1
Так как logj/ непрерывен для j/>0, то имеем тогда
т т
2 log а» = log П an^\oga.
я = 1 п = 1
2) Пусть
m
2 logan-+b.
п => 1
Так как ей непрерывно для всех у, то
оо
®* S logon
Цлп — в*”1 -+еь,
п = 1
еь>0.
Теорема 283.
sin пх — ъх
для всех х; таким образом, для всех х
sin х — х
Доказательство. Степенной ряд
00 / 00 1 \
сходится для | х | < 1, так как
Тригонометрические функции
243
Следовательно, производная g'(х) существует и непрерывна
для | х | < 1. Далее, для | х | < 1, в силу теоремы 219, имеем:
поэтому, согласно примеру к теореме 233,
-^(х)=S)-
Следовательно, по теореме 282,
Таким образом, если положить
п = 1 ' " /
для всех х, в которых произведение сходится, то F(x')
существует для |х|< 1, причем там
F(x) = e-«W>0,
F' (х) = — g' (х) (я,),
так что и F' (х) непрерывна.
Покажем теперь, что произведение F(x) сходится для
всех х и что функция
/ (х) = kxF (х)
обладает свойством
(1) /(х-Н)==-Лх).
Для целых х это ясно, так как х или одно из 1--а- ,
равно как х-1 или одно из 1 —’ есть Так как
сходимость для | х | < 1 уже доказана, то достаточно поэтому
для не целых х из сходимости для х вывести сходимость
16*
Глава 16
244
для х-4-1 и выполнение равенства (1), равно как из схо*
димости для х 1 вывести сходимость для х. Все это
будет достигнуто, если мы покажем, что
W its
мчП
п - — т 4
п Ф О
Но выражение под знаком предела равно
т 4-1
П (" : 1 i •*•) П ('«+•*)
it - — nt __ _ и -- - т ф 1___/w -р 1 4~ х
~~ 21L ™ "~~т х *
п ("+- ') П (,1+х)
п - — ж п ~ - т
и тем самым наши утверждения доказаны.
Покажем теперь, что
.(2) /(х) /(% + у) |/(4)/(2х).
Действительно,
/ , 1\,- X 2х + 2п 2х42п+1 Чп 4-1
,П„т---------к+т- =
П Ф О
Тригонометрические функции
245
1 . п . о
= у Sin у sin 2пх,
—- для не целых х,
s in пх
1 для целых х.
Но sin пх также обладает доказанными нами свойствами
(1) и (2) функции /(х). Действительно,
(3) sin(ir(x+ 1)) = sin (кхЦ-т:) =— sin zx,
(4) sin nx sin ( x = Sin nx cos nx = ~ sin 2nx ~
Положим теперь
G(x)~
Тогда, в силу равенств (1), (2), (3), (4), будем иметь:
(5) G(x4-l)=G(x),
О (|) G(2x) = G (х) G (х + 1) ;
далее, для 0^х<1, а, значит, в силу (5), и всюду
G(x)>0.
Функция
( sin пх .
j----для х ±. О,
?(*)= { ™
I 1 для х = О
— целая, так что <р'(х) существует и непрерывна для
всех х. Для | х | < 1 имеем
ф (х) ф 0;
поэтому
имеет для | лг | < 1 непрерывную производную. А тогда G'(x),
в силу (5), существует и непрерывна всюду.
246
Глава 16
Положим
Тогда
(6)
(7)
(8)
Н (х) = log
Q(x)
Н(х-\- 1) = Я(х),
Я(2х) = Я(х)+.я(х + 4),
Н'(х) непрерывна,
Н' (х+1) = Я'(х).
Из равенства (7) следует, что
2П -1
W(2»x)=
для всех целых я>0. Действительно, для п— 1 это — наш
отправной пункт, а из л следует п 1, так как тогда
2П—1
Н(2"+’х)=/7(2" -2х)=2 /7(2х+-2-) =
ч=0 ' * /
Поэтому
и
(9)*
2П —1
tfW-js'Sw'ftt-).
Так как Н’ (х) непрерывна и удовлетворяется равенство (8),
то Н' (х) имеет наибольшее значение М. Пусть оно
Тригонометрические функции
достигается при
Я'(5)— Ж.
Тогда для любого целого п > 0 и всех целых v с 0 <>< 2П
имеем
Н М.
и, следовательно,
н'(т1)=уи>
так как в противном случае, в силу формулы (9) (с х=5),
мы имели бы
я'фсм
Но если 0^х<1 и v=[2nx], где п>0 целое, то
О <><2П и
Следовательно, в силу непрерывности,
Н' (х) = М для О С х < 1,
а, значит, по равенству (8), — и всюду. Тогда
Н (х) = Мх с,
откуда, в силу равенства (6),
М = 0,
Н(х) = с.
Но тогда из равенства (7) следует, что
с —
с = 0,
#(х) = 0,
о«-а(4),
1=I=-W=O(°)=O(4)'
G(x) = 1,
f (х) = sin тех.
248
Глава 16
Определение 63. — для не целых ~
COS «АГ 73 2
tg читается: тангенс.
Определение 64. для не целых .
ctg читается: котангенс.
В теоремах 284, 286, 289—292, 294 всюду подразуме-
вается: „если одна из частей равенства имеет смысл", т. е.
всюду исключаются значения х = (п 4- (п целые) или
х «= mz (п целые).
Теорема 284. tg (— х) = — tg х.
Доказательство: определение 63.
Теорема 285. tgO = O.
Доказательство: определение 63.
Теорема 286. ctg ( — х) = ctg х.
Доказательство: определение 64.
Теорема 287. ctg~ = O.
Доказательство: определение 64.
Теорема 288. tg^ = l.
Доказательство. В силу теорем 265 и 264,
Теорема 289.
d tg х 1
dx cos2.v
Доказательство.
( sin xV cos x (sin x)'— sin x (cos x)f
Vosx/ cos2 x
__ c os x cos х -j- sin x sin x_ 1
cos2 x cos2x
Тригонометрические функции
249
Теорема 290.
d ctg -v 1
dx sin2 л
Доказательство.
/ ccs х _ sin х (cos x)' — cos x (sin xf
I sin x ) sin2 x ~ “
__ sin x (— sin x) — cos .r cos x _ 1
sin2x sin2.r
Теорема 291.
tg(y—x j = ctgx.
Доказательство.
Теорема 292.
tg (x-H) = tgx.
Другими словами, ,,tgx имеет период
Доказательство. В силу теорем 271 и 272,
sin (х 4- т:) sin ( — х) sin х
cos (.г-)-77) —cos (— х) cos х
Теорема 293. Равенство
tg (х-4-с) =tgx
выполняется для всех х, для которых одна из его частей
имеет смысл, тогда и только тогда, когда
с-пк, п целое.
Доказательство. 1) Если п целое и одна из частей
равенства имеет смысл, то
__ sin (х + пп) sin х cos nr 4- cos х sin птс
cos (х + пк) cos х cos nr. — sin -V sin nr.
sin x ,
~ ~ fo- x.
cos x
tg О4-/Ш)
250
Глава 16
2) Следовательно, достаточно доказать, что равенство
tg с = О
выполняется лишь для с = от, где п — целые. Но, действи-
тельно, из этого равенства следует, что
sin с = cos с tgc = О,
и справедливость утверждения вытекает из теоремы 279.
Теорема 294.
ctg(x -р rc) = ctgx.
Другими словами, „ctgx имеет период
Доказательство. В силу теорем 272 и 271,
cos (х + л) — cos (—— х) cos х
sin (х + тс) sin (— х) sin х
Теорема 295. Равенство
ctg (х с) =» ctg х
выполняется для всех х, для которых одна из его частей
имеет смысл, тогда и только тогда, когда
с == от, п целое.
Доказательство. В силу теоремы 291, интересую-
щее нас равенство равносильно равенству
*&(-§• ~х ~ °)=tg(i - х) ’
а следовательно, и равенству
‘g> = tg (у 4-«)•
Поэтому утверждение следует из теоремы 293.
В заключение этой главы я заменю функцию ср (г) при-
мера к теореме 165 более простой функцией, оказавшейся
теперь в нашем запасе. Очевидно, там было существенно
Тригонометрические функции
251
0
/ (*) =
„ 1
X2 cos —
лишь, что 9 (г) имеет положительный период и всюду диф-
ференцируема (следовательно ограничена), причем ср' (г) не
есть постоянная. Всеми этими свойствами обладает функция
ср (г) = cos z.
Краткое повторение всего доказательства теоремы 165
с новой вспомогательной функцией:
Пусть
при х = 0, ]
при хфО. |
Тогда
f (0) = lim х cos-— = О,
х = О х
а для х ф 0
/' (х) = 2х cos — — si п —
J V 7 X X
Так как при целых /г > 0
то f (х) при х = 0 не непрерывна справа.
Глава 17.
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Определение 65. Пусть задано некоторое множество 3R
пар чисел (х, у) и каждой паре (х,.у) из поставлено
в соответствие некоторое число z. Тогда z называется
функцией двух переменных х и у. '
Обозначение: Z'~--f(x.у) и т. п.
Примеры. 1) г = Ж произвольно.
2)
1
х + у
и SW — множество всех (х, у) с уф — х.
3)
и — множество всех (a\J') с х>0, j/>0.
Определение 66. Функция f(x,y} называется непре-
рывной в (£, 7]), если для каждого 2>0 существует г>0
такое, что
\f(x,y) — /(М) |<* при 'л —’!<г,
Таким образом /(х, v), прежде всего, должна быть опре-
делена для
|х — $|</?, у — Т||<р
при некотором р>0.
Пример, ху непрерывно в (0, 0). Действительно, для
X 1 < I у | < имеем
ху — 0 • 0 | = | ху ! < о.
Функции двух переменных
Теорема 296. Если f (х, у) непрерывна в Л,^), g(x)
непрерывна в $ и g (?) = ть то функция одной переменной
f(x,g(x)) непрерывна в ?.
Доказательство. Пусть задано о>О. Существует
з > 0 такое, что
\f(x,y) — /(?, V()|<G при ' х — $|<г.|_у — 7,|<г.
Далее, существует 0< С<>, такое, что
I g (*) — 'GI < г при [ х — J 1 <
Тогда для [х —Г<1 имеем
I X ? | <С S,
|/(х,.?(%)) -/(;, £(;)) I = |/(х. g (х)) -/($,
Теорема 297. Если f(x,y) непрерывна в (5, т,). то функ-
ция одной переменной f(x,\) непрерывна в х~?, а функ-
ция одной переменной f$,y} непрерывна в у = тг
Доказательство. Первая часть теоремы следует из
теоремы 296 с g (х) = ть а вторая получается применением
первой к функции /(у, х), непрерывной в (iq, ().
Не следует думать, что теорема 297 обратима.
Противоречащий пример:
„ ч (0 для всех (х, у) с х —О или у — О,
(1 для остальных (х,у/).
Определение 67. Дифференцирование функции z = /(х,у/)
(там, где это возможно) по х, соответственно по у, при
фиксированном у соответственно х, приводит к паре
частных производных первого порядка (по х, соответ-
ственно по у).
dz df(x,y) , z ч
Обозначение: или —или /Х(х, у), соответ-
dz df(x,y) . , ч
ственно или---------или /%(х,у).
Таким образом,
7^)= lim ffi + MksZtHL,
Л = 0 "
Iim Жч + fe)-7(М)
--------—-----------
там, где соответствующий предел существует.
264
Глава 17
Определение 68.
d'z U ia дУ(х.у) f , x dfax.y)
дудхаЛа дудх или 1ы\х,У) — дх ,
дЧ d*f (х,у) х / \ dfz (ХУ)
-зрг ил“ - али fn (х> У) = —^у-~ ]
(если существуют) — четыре частных производных второго
порядка.
Пример.
/(х,у/) = еж+/.
Здесь
Л (,х> У) — ex + ^,
ft(x,y)==2y^ + V,
fn<x,y) = ea!+v‘,
/п(^?) = 2^еа’ + Л
/si (x,.y) = 2yea’ + t's,
As (x> У) — 2e!B + + 4y2e®+»’
для всех (x,jz).
Мы замечаем, что здесь
fn^y}=fn <.Х>У}-
Что за этим скрывается? Теорема 298 нас напугает, но
теорема 299 — успокоит.
Теорема 298. Может случиться, что /12(5, т]) и /21 ($, тр
существуют, но
/13(?,т))^:/91 (5,-q).
Доказательства. 1) В предлагаемом примере/(х,у)
будет, кроме того, непрерывна в (£, т)).
Функции двух переменных 256
Пусть
$ == 7] = О,
I — ху при |_у| > | X |.
Для | х | < )Л8, |у | < 1/8 имеем
|/U,j)-/(O,O)| = |xy|<8.
Следовательно, /(x,j) непрерывна в (0, 0).
Для 0 < | h | < | у | имеем
f(h,y)-f(O,y)
h У'
так что
Л(0,^) = ->
для у ф О
Далее, для |Л| > О
/ (Л,0)-7(0,0) _ О
h ~ h ’
так что
Л(0,0) = 0.
Таким образом,
/1(0>^) = — У
для всех у и, следовательно,
/19(0,0) = -1.
Для 0 < | k | | х | имеем
f(x,k)—f(x,0) _
k ~х'
так что
/2(х, 0) = х
ДЛЯ ХфЪ.
Далее, для | k | > О
/(О, А)—/(0,0) О
Л k и’
так что
/,(0,0)-0.
2 56
Глава 17
Таким образом,
Л(х, 0)-л’
для всех х и, следовательно,
/21 (0,0) = 1,
/12(0,0)#:/21(0,0).
Заметим, что здесь ни ни не существует
для всех |х < р, |j|<p ни при каком р > 0, так как
f(x,y) ни для какого уфО не дифференцируема по х
при х=у> и ни для какого хфО пе дифференцируема по у
при у — х.
2) В следующем примере f1(x,y'), /9(х,у) даже
непрерывны в a /и(х,у), fv> Ai У)» /22 (•*> у)
всюду существуют.
Пусть
? = т, = 0,
( 0 для х—j/==0,
/(х,у) — { х2,_v2
( X2 + для ПРОЧИХ (-*>/> (Т. е. при x24V>0).
Для I АТ | < j/e, j < У*8 имеем
\f(x,y)—/(0, 0)1
= 0<8 длях=^=0,
<1х 11У I ф~2 = :х!! У К 5 для прочих
(х,у).
Таким образом f(x,y) непрерывна в (0,0).
Для всех (х,у) с x2-j-j9>0 имеем
, ги (х^у^2х-(Х^-у^х
•«2+У2’Г У (Л2 + ^
(1) = у Л—Х. j xv ixyL_______VX +4'У2-у4
У (Х2+>2)« T--^(X2+J,2)2 —У (.v-2+ja)8
x2-y2 ! ^,-(^2+>!)2^-(x2-.y2)2j,
Хч V2 ~Г ХУ —
1ъ(х,У) = х
{х^ + у^
(2)
xi—yi 4х-у xi — 4x2yi—yi
(л2+У')2 ху (х-+У)2 ~х (х2+У)2
Функции двух переменных
257
И /п (*•>)• fit(x>y)> ftn(x>y)i /м(*>.У)> очевидно, суще-
ствуют.
Далее, при Л ф О
/(Л. 0) — /(0,0)
Л и’
так что
(3) /1(0,0) = 0.
А для в силу (1), имеем
Поэтому
fi(9,y) = —y
для всех у и, следовательно,
/12(0,0) = -1.
С другой стороны, при k ф 0
У(О,Л)—Z(0,0)
k
так что
(4) /8(0,0) = 0.
А для хфО, в силу (2), имеем
/а(х,0) = х—=х.
Поэтому
/9(х,0) = х
для всех х и, следовательно,
/>1(0,0)=1,
/19 (0> 0) Ф /21 (0.0).
Далее, для хфО, в силу (1),
/1(х,0) = 0,
следовательно, в силу (3),
у Л(х,0) = 0
17 Зак. 848.
258
Глава 17
для всех х и потому
Л1(о,о) = о.
С другой стороны, для у ф 0, в силу (2),
/9(0,^) = 0,
следовательно, в силу (4),
/9(0,у)«0
для всех у, и потому
/а2(0, 0) = 0.
Наконец, непрерывность fx (х,у) и f<i(x,y) в (0,0)
следует из того, что
/1(0,0)=/8(0,0) = 0,
а при №-|-_у3 > 0
х* ± 4хУ>—у*> 2х^ + 4x\f 4- 2у4
; (Х2 + 3,2)2 1^ (Х« + ^)2 —2’
так что для |х| <, |д/| < 4. х2-}->'2>0, в силу (1)
и (2),
1Л(^)-Л(0,0)|<2|^Ц
|/9(*,^)— /2(0,0)|<2|х| Р°'
Теорема 299. Если (х,у) непрерывна в (£, rf), а
существует в некоторой окрестности значения
х = $, то f2l (В, т]) существует, причем
/12^» "П) — fil (£» ^l)1
Предварительное замечание. Таким образом, во втором
примере к теореме 298 /ц(х,у) не может быть непрерывной
в (0,0).
Доказательство. Согласно предположению, суще-
ствует р > 0 такое, что fw(x,y) (а значит /j (х,у), а значит
/(x,j)) существует для всех х,у с
|х — Е|<а \у —
Функции двух переменных 259
а /а (х, т]) — для всех х с
I*—*;</>•
Пусть
О < | h I < р, О < j k | < р.
Для х, принадлежащих интервалу [£,$ 4*Л], соответственно
[$4~А, £], положим
£(х)=/(х,т] -[-*)—/(X, 7]).
Для них
g' (X) = /1 (X, 7] 4- fe) —/1 (X, 7j)
существует. Следовательно, по теореме 159, между $ и
существует х такое, что
g $ + Л) — S (£) = hg' (х),
т. е.
/ G (- М+*) -Л* + л, -/& у k) +/(?, 7j) =
= А (/1 (х, 7j 4- k) —ft )x, 7j)).
Наше x зависит от h и k.
Далее, как функция от у дифференцируема
в интервале [т], т; , соответственно b)4~ A, tj), и имеет
своей производной f^lx^y). Следовательно, по теореме 159,
между т] и г} -f- k существует у такое, что
Л {X, 7j 4- k) — fl (X, 7]) = fe/12 (х,.у),
т. е.
U) 7(e4-A,Tj4-A)-/(*4-а,*1)-ЛИ + а)4-/(М) =
= hkfi2{xty\
Наше у зависит от х и а следовательно, от h и k.
Но, согласно предположению, при 0 < [ h | < р суще-
ствуют
llmZ<L+»..A+jL-Z<L+M>- =м + 4, Г1)
И
lim ЛИ±^А12)в/9(И).
Л* О Л
17:’:
Мд
Глава /7
Следовательно, в силу (1), при 0 < | h | < р существует
lim Л/12 (х,у) = f2 (£ + Л,»]) —/2 (5, ц),
1- _ Л
а значит, и
lim/]2 (х,_у) = *'
к = 0 П
Поэтому существует и
(2) lim (/J2 (х,у) —/19 ($, •/])) =
к = 0
Так как /12(л*, V) как функция свободных переменных
х,у непрерывна в (5, Т|), то для каждого 8 > 0 существует
положительное е < р такое, что
(3) |/12(*>.У)—/12М1<у при |А—$!<s> 1.У-*1|<г-
Но если
то
0<А|<$, 0<|&|<з,
0 < | h j1 < 0 < | k | < /?,
следовательно, для наших зависящих от A, k, выполняется
неравенство (3) (ведь мы имели | х — $ | h |, q | | k |).
Поэтому из соотношения (2) следует, что для 0 < | h | < е
А 4" хЗ AG»7!) f /t~ \ I
---------h 2
А это показывает, что существует и
Определение 69. имеет в (В,т|) полный диф-
ференциал, если существуют два числа tu и две функ-
ции б (Л, непрерывные в (0,0) и удовлетворяю-
щие там условию
(0, 0) = 6 (0,0) = о,
Функции двух переменных
261
такие, что для | h | < р, |&|<р с надлежаще выбран-
ным р> 0 имеет место равенство
f +Л, 7] + £) — f ($, 7)) = txh + t2k + (Л, k) 4- (/г, k).
Теорема 300. Если f(x,y) имеет в (£,т]) полный диф-
ференциал, то t{ и однозначно определены, а именно,
^2 ~ А Ом ^)-
Доказательство. Для |Л|<р, по определению 69
с k =- 0, имеем
/($ + h, т|) — / т)) = txh + to (Л, 0) = tji + h? (Ji),
где (Л) непрерывна в й = 0 и ср(О) = О. Следовательно,
Цт +
7i — О Л
По симметрии заключаем, что
/2 G»*0 —
Теорема 301. Функция f(x,y), имеющая в (£, т|)
полный дифференциал, непрерывна в (£, tj).
Доказательство. В обозначениях определения 69,
при надлежаще выбранном q с 0 <</</? имеем
|^(Л, Ar)|< 1, |ф(Л» А?) |< 1 для \h\<q, | £ | < 47.
Следовательно, для этих h, k
:iai+|/8i pi+и + ж.
Но это меньше заданного о>О, если
\k | f < Min 2 + I /11 + i /21) •
Теорема 302. Если fi(x,y) и f2(x,y) непрерывны
в ($,т|), то f(x,y) имеет в полный дифференциал
(а следовательно, по теореме 301, и непрерывна в (£, тр).
262
Глава 17
Доказательство. Согласно предположению,/j (х, у)
и существуют для всех |х— $[<р, — *1|<Г
с надлежаще выбранным р>0. Следовательно, для |Л|<р,
|&|<р (при по теореме 159, при Л = 0 — триви-
альным образом, например с & = у) существует 0<&<1,
такое, что
Г G 4- л, и) =/($, }Х) 4- йд (5 + »Л, |Х) =
= /(^1Л) + А/1 + й),
где
[1 = 7] 4- k,
<? (h, k) = /,(* + ЭЛ, 71 4- k) -fl ($, 7|).
Так как /i(x,.y) непрерывна в (!j, tj), то <р(й, й) непрерывна
в (0,0) и <?(0,0) = 0.
Далее, для 0<|й|<р по теореме 159, для k = 0 —
тривиальным образом (например с 0 = <> ), существует 0,
0 < 0 < 1, такое, что
/(В, 1*) = /(*, Т1 + k} = /($, 7]) 4- kf&, 7] 4- 0Й) =
=/(€, т() 4- й/2(«, 7|) 4- k6(h,kf
с (даже не зависящей от й)
-Ь (й, Й) = /8 (5, 7] 4- 0Й) — /2 (5,7[).
Так как/2(х, у} непрерывна в (5, т]), то 6(й, й) непре-
рывна в (0,0) и <р(0,0) = 0.
Подставляя, получаем, что для ]й|<р, |й|<р
/($4-А, 7[4-й)=/($, т!)4-лЛ(5, т))4-й/2($, т])+
4-йф(й, й)4-лф(й, й).
Теорема 303. Пусть
F(x) = l, G(r) = T],
Функции двух переменных
263
f(x> у) обладает в (£, iq) полным дифференциалом и
0(f)),
Тогда
= Ч)«4-/г0, >!)?•
Коротко:
d_f_dfdx \_df №
dt dx dt'"5y dt *
Доказательство. Для ГА | <р, | Л| <р с надлежаще
выбранным р>0 имеем
/(*+*, т()=
==Л G, 1)Л+/8(£, 7|)А-Ьй?(й, А) + ^(Л, А),
где <р(й, А) и <р(Л, k) непрерывны в (0, 0) и
?(0,0)= ^(0,0) = 0.
Далее, полагая
А ==/г(Z) = Г(т 4-Z) — F (т),
A==A(Z)=G(x + Z) —С(т),
для | Z| < е с надлежаще выбранным а>0 имеем
|Л|<р, |А|<р,
^(t4-Z)-^(T)»/(F(t + Z), G(t4-Z))-/(F(t), G(t)) =
“/(« + *, v)4-A)-/^, «]).
Следовательно, для 0<|Z|<e
g(t + T) — g(i) __
I ~
= -q)^+/9(5, +
+ (A(Z), k (Z)) + ^-4(A(Z), k (Z)).
264
Глава 17
Но
V h(l)
lim —т2 = а,
z = o 1
1- МО о
hm -у-' = В,
z = o 1
lim h(l) = О,
z = o
lim k (Z) = 0,
z = o
lim<p(/z(Z), £(Z))==0,
/ = o
Нтф(Л(О> k(l))~0.
z = o
Поэтому
lim S1L±O£(L) v])a J-/2 ($, 7j) p -j- а . 0 p • 0 =
i = o 1
=AG,
Пример: при доказательстве теоремы 304.
Теорема 804. Пусть h и k произвольны. Пусть интер-
вал а1<х</?1 содержит 5 и интервал а2<у<.Ь3
содержит т] и и пусть ft (х,у) и /а(х, у) непрерывны
для ai<^x<Zdl, aa<y<^2. Тогда существует такое 8,
0 < 0 < 1, что
/G4-A,-»14-A)^/(e,vi^+лл(e + 0й,J + a^)4-
-Н/а($ + »й, 7] 4-ЗА).
Доказательство. По теореме 302, f(x,у) имеет для
а1<х<^1, ай<у<.Ь9 полный дифференциал (и, следова-
тельно, непрерывна). Функции
= е + G(0 = vi + №
для 0^ /= т 1 удовлетворяют предположениям теоремы
303 (с заменой 5 на £4"x^, vj на 7j-L-и с а==Л, р«= k).
Полагая
Функции двух переменных
265
имеем, по теореме 303,
^'(т)=а/1(5 + тй, -Н*)4-V9 (&+**» ’i-W)-
Но, в силу теоремы 159, существует &, 0<& < 1, такое,
что
£(1)=Н0) +/(»).
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема 305. Существует функция f(x, у), непрерыв-
ная для всех (х, у) и обладающая частными производными
к;-]-/£) для 0</<1 и, тем
не менее, не допускающая такого 0, для которого бы
выполнялось утверждение теоремы 304.
Доказательство. Функция
/<х, j/) = /jxyT
всюду непрерывна. Действительно,
•*)) =
-УТЯНИ ШЙ-Ж /НТ-
(Kh+М -FHD+
+ /НТ (/|КГЯ-/ПТ)
и, каково бы ни было 8 > 0, в силу непрерывности функции
для всех я, каждый из двух членов, стоящих справа,
будет по абсолютной величине < ~ для | h | < г, | k I < s
с надлежаще выбранным s>0.
Для х>0, соответственно х<0, имеем
для у > 0, соответственно v<0, имеем
- . , ,/--: 1 COOTB.— 1
266
Глава 17
Так как /(х,при _у = 0 принимает значение 0 для
всех х, а при х = О— для всех v, то
Л (0,О) = о,
/2(0,0)-0.
Следовательно,
(х, х) Jr/2 (х, х) = 1 или — 1 или О
для всех х.
Если бы теперь, в соответствии с формулой теоремы
304, для 5 = iq = —1, h = k = 3 существовало такое х,
что
/(2, 2)=/(—1, -1)4- 3(Л (х, х)4-/г(х, х)),
то мы имели бы
2 = 1 4~ 3 или 1 — 3 или 1 -р 0.
Но ни первое, ни второе, ни третье неверно.
Определение 70. Если п > 1 целое и для и — 1 соот-
ветствующим образом уже определены 2п~1 функций
Л1Н1 •. * (*» v) каждое р == 1 или 2),
то там, где возможно дальнейшее дифференцирование,
мы положим
/«• <«, .У) - ^4^21, I
Левую часть записывают также, вводя = 1, соот-
ветственно 2, в виде
dnf(Xty)
' дх^п дх^дх^ • • • дхИп
если г = /(х, у).
Указанные выражения суть 2п частных производных
п-го порядка.
Функции двух переменных
267
Определение 68 здесь содержится, если еще объединять
соседние „равные" „множители" дх^ в „степени".
Теорема 306. Пусть для (х,у) с |х— $|<е, — nq|<е
существуют и непрерывны 2п частных производных п-го
порядка, где п^1 целое (так что, по теореме 302,
существуют и непрерывны также частные производные
низших порядков и сама функция /(х, j/)). Тогда для
этих (х, у)
Уу~?\... ->п(х,
если число возможных единиц среди индексов равно
числу возможных единиц среди индексов v.
Следовательно, тогда каждая из 2п частных производных
я-го порядка равна одной из тех п-\-1 частных производных
n-го порядка, для которых
Hl < Н-2
т. е. сначала стоят все возможные единицы (в числе 1 или
2... или п', а затем — все возможные двойки.
Доказательство. Для п = 1 это тривиально, для
п = 2 — с избытком содержится в теореме 299.
Заключение от п — 1 к п для
Если же
Нп----vn>
то утверждение очевидно в силу равенства
У^^-'-Ы-ЛХ’ УУ
Если же
Нп
то без ограничения общности можно считать, что
==г 1 5 == '
Если тогда Е— число единиц среди индексов р. (так что
l<£Oz—1) и содержат сперва Е—1
единиц (т. е. в случае Е—1 ни одной), а затем (в случае
E<ji — 1)
268
Глава 17
двойки, то имеем
У)’
Д') =/>.,... >„_аЧ*, у),
и утверждение получается путем применения теоремы 299
к А,---’п-а(х’ У) вместо /(*> У)-
Теорема 307. Пусть hu k произвольны. Пусть интер-
вал a{<Zx<^bL содержит $ и интервал а2<у<Ь2
содержит т] и y| «р и пусть частные производные п-го
порядка (а, значит, по теореме 302—и низших порядков,
равно как и сама функция /(х, у}) существуют и непре-
рывны для at<x<b^ a2<Zy<.b2. Тогда существует 0,
0<0<1, такое, что
П—1 1 V .
№ + 7l + *)=S^S Т|) +
v = 0 {* = 0 Xi /
+ ,-Jf i (") (!• + -U, n 4- &*),
где fi . ..n(£> *0 nPu v = 0 означает f(5; yj), а среди чисел
Xb ...,AV при первые р — единицы, а следую-
щие v — рь — двойки (так что в случае |i = 0 все — двойки,
в случае y. = v все — единицы).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы
304 (частного случая п = 1 нашего утверждения), положим
£(0=/^+^, Г[
Тогда для 0<;т^1, 0<><> (v целые) будем иметь
(1) ^”(т)=2 Ч4-ТЙ).
Действительно, при v == 0 это наш отправной пункт, а если
формула (1) верна для некоторого v с то, как
Функции двух переменный
следует из теорем 302, 303 и 306,
g-0+1) (т) = h 2 2) ... х t (Д + z/i, 7) -р zk) I-
и. = оч‘ 7
+ + тА» Т| -|-т/г) =
“ 2 (;) м ($ + xh> 71 + zk) +
+ 2 (*-) ^k< Н-нД.... Xv2 (? + 'Л, т, + тй) =
= 2 (|Л 2- 1)Л^'1 + ТА’ '1+":&) +
с р.—Хединицами
+ 2(*)л^’+1-^...>^($+^, л+^)=*
1х = 0У[Л/ - 1 У
с и- единицами
= 22t^^+i-c/x .х.,х (£~НЛ, У)4-тЛ).
|Л = (Л * 7 1 ГА
Но, по теореме 177, существует такое 0, 0< ft < 1, что
441)- 2*^+>»’(<>).
') = о •
Отсюда, в силу формулы (1), и следует утверждение тео-
ремы.
Глава 18
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ
Определение 71. /(х) называется монотонно возра-
стающей в [a, ft], если
/(«)</(₽) при a<a<p<ft.
Определение 72. /(х) называется монотонно убываю-
щей в [а, ft], если
J(<*) >f (р) при а < а < р < ft.
Теорема 308. Если f(x) монотонно возрастает в [at ft],
то она возрастает в каждом х с а<х<Ь.
Доказательство: ясно из определений 27 и 71.
Теорема 309. Если f(x) монотонно убывает в [a, ft],
то она убывает в каждом х с а<х<Ь.
Доказательство: ясно из определений 28 и 72.
Теорема 310. Если f(x) непрерывна в [a, ft] и возрастает
в каждом х с а<х<Ь, то она монотонно возрастает
в [a, ft].
Предварительное замечание. Это уже нельзя считать
самоочевидным.
Доказательство. Пусть
« я < р ft.
f (х) непрерывна в [а, р] и, следовательно, имеет там,
по теореме 146, наибольшее значение Z, а по теореме 147 —
наименьшее значение Л.
1) Пусть а<а. Тогда I не может достигаться ни в а,
ни для а<х<р, так как /(х) в каждом из этих чисел
растет; следовательно, I достигается ври только в р.
Поэтому
/(«) </ = /(?)•
Обратная функция и неявная функция
$71
2) Пусть a-«a, j3<Z>. Тогда л не может достигаться
ни в р, ни для а<х<р, так как /(х) в каждом из этих
чисел растет; следовательно, X достигается в а и только
в а. Поэтому
3) Пусть а=а, £=[9. По доказанному в 2) и 1), имеем
тогда
Теорема 311, Если /(х) непрерывна в [а, Ь] и убы-
вает в каждом х с а<х<б.Ь, то она монотонно убывает
в (а, #].
Доказательство: теорема 310 с заменой /(х) на
Теорема 312. Пусть /(х) в [a, Z>] непрерывна и моно-
тонно возрастает, соответственно монотонно убывает,
так что уравнение
f(x) — y
для каждого у аз [Л, В], соответственно [В Л], где
имеет, по теореме 150 и 151, точно одно решение
x=~g(y)
8 [fl. („обратная функция"). Тогда g(y) непрерывна
в [А, В], соответственно в [В, А].
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что /(х) монотонно возрастает (в противнолл слу-
чае мы рассмотрели бы —/(х)). Таким образом,
А<В.
Достаточно доказать непрерывность функции g (у) при
каждом т] с
А <т) < В;
272
Глава 18
действительно, иначе мы распространили бы, соответственно
изменили бы, определение функции /(х), положив
I f(a) — х + а при а — 1 < х < а,
/(6) х — Ъ при Ь<^х
так что /(х) стала бы непрерывной и монотонно возра-
стающей в [а—-1, 1].
Положим
£4*1)=$»
так что
а < £ < Ь.
Пусть задано о > 0; без ограничения общности о можно
считать столь малым, что
п<£ — 3, $ 4-
Положим
•»]!=/(.$—з), т]8=/(е4-8).
Тогда
< *)< *12-
Но
5 —При 7]j<_y<7],
При у=ц,
5 <g(y) <3+8 при ъ<у< Т]2.
Следовательно, для
|ft|<Min(-q — •»),, г12 — •/])
будем иметь
| g (*! + h) — g (7]) I < a.
Примеры (умышленно беру старые, для которых резуль-
тат нам уже известен).
1) а = 0, 6 > 0, /(х)=ха.
Здесь
£ О’) = 16'•
2) 0 < а < b, f (х) = log х.
Обратная функция и неявная функция
273
Здесь
g (Д’) = еУ.
Теорема 313. Пусть, в дополнение к предположениям
теоремы 312, а<£<£ (так что А < »)»/(5) < В, соот-
ветственно А > т) =/ (5) > В) и
/'(О#=о.
Тогда g(y) дифференцируема в •/) и
Коротко:
dx___ 1
dv ~~ dy^ *
dx
Доказательство. По предположению,
h=0 Л
и, следовательно,
.. h 1
“™/(« + /0-/(5)~ t •
Функция
?(^)=g (7)4-^)—й-(•»)),
в силу теоремы 312, непрерывная при А = 0, будет ^5 0 для
0 < I Л | < р с надлежаще выбранным р > 0. Следовательно,
в силу теоремы 98,
1 в Пт__________........— Нт + _
= ,lra
Примеры (старые, приведенные после теоремы 312).
1) Для ,v>0
d У У __dg(y) 1 1 _ 1
dy dy dx* 2х 2 Уу
dx
18 Зак. 848.
274
Глава 18
= = х — еУ,
2) Для каждого у
dev dg (у) 1
dy w dy dlogx
dx
Теорема 314. Пусть f (х, у) непрерывна для | х — $ ( < р,
у—и
/(М) = о
и пусть для каждого фиксированного х из —рД+рЬ
f(x,y) как функция от у монотонно возрастает
в [т| — р, т| 4~ р] (т- е« либо Для всех указанных х имеет
место возрастание, либо для всех — убывание).
Тогда существует q с 0 < < р такое, что
1) для каждого х с | х — $|<р существует (следова-
тельно, точно одно)
y~g(x) („неявная функция"),
удовлетворяющее условиям
и — П|<Р> /(^>0 = 0.
2) Функция g(x) непрерывна для |х—В|<<?.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что имеет место возрастание (в противном случае
мы заменили бы /(х, у) на —
1) /(5, ч+р)>/(5, О = 0>/($, ^-р).
/ (х, v) р) и /(х, V)—р) непрерывны в В. Следовательно,
существует q с 0 < q р такое, что
f(x, v] 4-р)>0>/(х,\—р) для В — ?<х<В + ^.
По теореме 148, для х с В — q<x<l-}-q, в силу непре-
рывности f(x,y) в ^-интервале [т]—р, т)-}-/7], существует
y = g(x)
такое, что
1^ — fi\<P> f(x,y) = O.
2) Пусть задано х0 с | х0 — В | < q, так что
Обратная функция и неявная функция
275
Для
0<8<Min(-q4-p— g(x0), g(x0) — т)+р)
имеем
fl— P<g(x0)~ 8. g(x0) + 8<*l + /’>
f (x0, g (*o) + 8)>f (x0, g ixo)) = 0 >/(x0, g(x0) — 3).
Следовательно, для |х — х0|<е с надлежаще выбранным в,
удовлетворяющим условиям 0 < г q — |ха—£ |, будем иметь
f(x, g(x0) +§)>0=/(x, g(x))>/(x, g(x0) — 8),
g (x0) + 8 > g W > g (x0) — 3,
|gW~ Д(*о) I <8-
Тем самым g(x) непрерывна в xQ.
Теорема 315. Пусть, в дополнение к предположениям
теоремы 314, f(x,y) имеет для |х — £1<р,
полный дифференциал и пусть, кроме того, для тех же
У
/a (x, у) #: О
(значит >0 в первом и < 0 во втором случае теоремы
314). Тогда, в обозначениях теоремы 314, функция g(x)
дифференцируема для |х — и
я' М------Ы*’
ё ' ) A(x,g(x»'
Коротко:
df
dy dx
dx ~df~ *
dy
Доказательство. Пусть x c |x — фиксиро-
вано. Функция
k =£(x-f- ti) — g(x) = k (Л),
в силу теоремы 314, 2), непрерывна в Л = 0 и
£(0) = 0.
18*
276
Глава 16
Полагая
У = £(*)
и принимая во внимание теорему 296, имеем для 0 < | h | < s
с надлежаще выбранным е>0:
о = О — О =/(х --j- h, g (х 4; Л)) —/(X, g (х)) =
= f (х + h, у 4- А) — /(х, у) =
= ЛЛ (*, g (*)) + V2 (*, g (*)) -г А? (ft) + W (*)»
где
lim ср (Л) = О, lim 6 (Л) = О.
U = и h = О
Но
f2(X, £(х))-Н(А):#0
s1 с надлежаще выбранным 0<Si<;s. По-
этому
А == A £<*)) + tLkJ
h f2(xf g(xj) + t>(h)
и, следовательно,
lim A___________________________Ag(x?)
h=oh f2(x,g(x))‘
Пример (снова умышленно старый):
f (х, у) = х2-4-у2—1, |х[<1, у>0.
Здесь
Л(х,.у) = 2у>0,
/1 (х, у) = 2х,
и, следовательно,
, z ч 2х х х
4' W=—
(И действительно, как мы давно уже знаем,
J = g(x) = /Г^-'хг,
g' (X) == — - Х 7 .)
[лава 19
КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ
Речь будет итти о функциях, обратных к тригонометри-
ческим.
Теорема 316. Для | х | 1 существует точно одно у
такое, что
sinj/==x,
Доказательство. Согласно теореме 278, sinjz моно-
тонно возрастает в Так как
sin( — _j)== — Ь sin ~ = 1,
то, следовательно, в силу теоремы 148, требуемое у суще-
ствует и однозначно определено.
Определение 73. arc sin х для | х | 1 есть у из тео-
ремы 316.
arc sin читается: арксинус (или аркус синус).
Qi-? arc sin х 1 । I
Теорема 317. --------=•= при |х|<1.
dx "у I ——• х -
Доказательство. Положим
у = arc sin х,
тогда
Ь'1<Ь
х — sin у,
dx
dy = cos v>0.
и, следовательно, по теореме 313,
Jу _ 1 1 = 1 = 1
dx dx cosу Г—sin2^ У.
278
Глава 19
Теорема 318. Для | х | 1 существует точно одно v
такое, что
с,ъ$у = х,
а именно,
v = ~ —arc sin х.
Доказательство. Требования
cosj/ = x,
равносильны требованиям
Su^-_y) = x, ,
и, следовательно,
—у = arc sin х.
Определение 74. arc cos х для | х | С 1 есть у из тео-
ремы 318.
arc cos читается: арккосинус (или аркус косинус).
~ dare cos х 1 11^1
Теорема 319.--------=-----~г-_~ для х <1,
dx у 1 — х2
Доказательство. Из теорем 318 и 317 следует
(arc cos х)' = —arc sin х^ — — (arc sin х} = ——1=^- .
Теорема 320. Для каждого х существует точно одно
у такое, что
tg^ = x,
а именно,
х
у = arc sin —r-______________-- .
у l + хЗ
Доказательство. 1) Для —имеем
(W = -8ly>0.
Круговые функции
279
Следовательно,
требуемое у.
2) Так как
может существовать, самое большее, одно
1,
то для
v = ars sin
имеем
\y\<i ,
cosj/ > О,
cos2j> = 1— sin2 у = 1
sin у = -^= ,
П+х2’
X2 1
4-х2~ 1 4-х2’
1
cos у — —zz=r ,
V1 + х*
> sin у
tg у =---— = X.
ь cos у
Определение 75. arc tgx есть у из теоремы 320.
arctg читается: арктангенс (или аркус тангенс).
Теорема 321. = jJ-,.
Доказательство. Из теорем 320 и 317 следует
(arc tg xY = (arc sin - х Л == —,--1.(———\
\ /14-х2/ Г х2 \ "У14-х2/
/14-х2----7==-
, У14~х2 _ 1
= 1' i+x 14-л«-
Теорема 322. Для каждого х существует точно одно
у такое, что
ctgjy = х,
к,
280
Глава 19
а именно,
v = — arc tg х.
Доказательство. Требования
etg^ = х, 0 < у < тс
равносильны требованиям
и, следовательно,
у — У = arc tg х.
Определение 76. arc ctg х есть у из теоремы 322.
arc ctg читается: арккотангенс (или аркус котангенс).
Теорема 323.
d arc ctg х____________ 1
dx 1 4* x2 ’
Доказательство. Из теорем 322 и 321 следует
(arc ctg х)' = (у — arc tg xj == — (arc tg x)' = — .
Почему эти примеры так торжественно оформлены в осо-
бую главу? — Потому что мы нашли функцию с простой
производной • Подробнее об этом будет сказано
в гл. 23.
Глава 20
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
И эта глава, последняя перед началом интегрального ис-
числения, является подготовительной к гл. 23.
§ 1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Нашей целью являются две „вещественные" теоремы (тео-
ремы 335 и 336). В этом параграфе все числа, если другое
не оговорено, — комплексные. Дело в том, что указанные
две теоремы быстрее всего доказываются с помощью ком-
плексных чисел. Из этого параграфа понадобятся в дальней-
шем, и то лишь в § 2, в гл. 23 и гл. 24, только две эти
теоремы.
Общее предположение теорем 324—327 и
332—336: пусть
х а у вещественны,
g (*)=2
Vs=o
f(x, y) — \g(z)\.
Теорема 324. Для каждого с>0 и каждого 8>0 су-
ществует е>0, не зависящее от х и у, такое, что для
Iх I -С 1^I G — 8<й<е, выполняются неравенства
(I) |/(х ]-А, >)|<8
(2) |/(х, у Н-А)—/(х, ^)|<8.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что и>0. Пусть
г,
282
Глава 20
Для—1<Л<1, полагая l — h, соотв. hi (и замечая, что
имеем
/. (* + Л> ?)—/(•* Ж соотв. I/O, y-\rh)— f(x, УИ —
=11 g (z + /)I — I g (z) IКI g (г + о—g (*) I =
n n
= 2 a< о+0’— 2 aiz4
у — 0 v = 0
2<i,((* + 0’-z4)
v = 0
/2^2 0 +
v = 1 p. = 0
п V—1
<\hI 21a,| 2(2c + 1у-»-н(2c> = | h\q,
v - l [Л = 0
где q 0 и не зависит от /г, х и у; следовательно,
1, утр] ) •
Теорема 325. Пусть с>0. Тогда имеет для
| х | с, |.у | <; с наименьшее значение.
Доказательство, /(х, j/) при фиксированном х из
[—г, с] является, в силу (2), непрерывной функцией от
у в [ — с, с] и, следовательно, согласно теореме 147, имеет
там наименьшее значение Х(х).
Таким образом, достаточно показать, что Х(х) имеет
наименьшее значение в [—с, с]. А для этого, в силу
теоремы 147, достаточно установить непрерывность Х(х)
в [— с, г].
Пусть задано $ из [—с, с]. Выберем iq, для которого
— С < 7] < С, f (В, Т|) = X ($).
В силу (1), для 8>0 существует г>0 такое, что
(3) |/(^-| J')—/(^, /)|<?> Для |у |< с, — г</?<е.
Вспомогательные предложения из алгебры
283
Из (3) следует, с одной стороны, что для |у | с,
/|5 + h, y)>f$, у) — В>Х(5) — S,
и, значит, если только —
X (5 Л) > X (5) — В для — s < Л < е,
а с другой стороны, если только — с<^54~^Сс>— чт0
ЦЩК/Ш T1X/G, 7)) + 8 = X(5)4-8.
Поэтому для — е < А < е, — с .< 5 -U Л -С с имеем
|Х(5 4- А) - Х(5)|<8.
Но это мы и утверждали.
Теорема 326. Пусть я > О, ап ф 0. Тогда существует
с>0 такое, что
kO)l>kol ^ля |г|>с.
Доказательство. Положим
п—1
I «о1 4~ У 1
с =14------JL-z-O...
I ап I
Тогда для | z |>с будем иметь
И>1,
11—1
^1X1"—Six И”-1 ==
V = о
284
Глава 20
Теорема 327. Пусть п>0, апфО. Тогда |g(^)| имеет
наименьшее значение.
Доказательство. Пусть с определено по теореме 326.
В силу теоремы 325, найдется С такое, что для | х | с,
| у | с будем иметь
Но, по теореме 326, при |х|>с или |j/|>c, поскольку
тогда |г|>с, имеем
Следовательно,
|£(*)1>|£(^|
для всех вообще г.
Теорема 328. Для любых вещественных а, [3 выпол-
няется равенство
(cos а 4- i sin а) (cos £ 4~ * s*n Р) = cos (а + Р) *г z sin 0х 4~ ?)•
Доказательство. Левая часть равна
(cos a cos 3 — sin а sin р) j- Z(sin ас cos p 4 cos 7 s*n 3) ~
— cos (or 4~ ?) 4 Z sin (oc 4 3).
Теорема 329. Для любого вещественного \ и любого
целого п>0 выполняется равенство
(cos у 4“ Zsin 7)и — cos п1 4" Z sin п г
Доказательство. Для п = 1 — ясно. Заключение от п
к п 4- 1: по теореме 328,
(cos у 4- i sin 7)n+* = (cos у 4 1 s,n 7)w (cos 7 4" 1 s*n —
= (cos ny 4 *sin ni) (cos 7 4"r s*n l) ~
-~co$(h l-l)f 4“' S1*n l‘Of*
Вспомогательные предложения из алгебры
Теорема 330. Пусть
И = 1.
Тогда для каждого целого //>0 существует t такое, что
tn — а.
Доказательство. Имеем
а~и \-vi, и и v вещественны, а2-|-г>2=1.
1) Пусть
v 0;
положим
ср = arc cos zz.
Тогда
0 cos ср = и,
и, следовательно,
sin ср;> 0,
sin2 ср = 1— cos2 ср = 1 — и* = г/2,
sin ср = v.
Число
t— cos — Z sin —
n ' n
будет обладать требуемым свойством. Действительно, по
теореме 329,
л* / ф 1 • • ъ\и । . . .
Zrt — ^cos ~ * sin ~ 1 ~ cos ср i sin ср = и |- vi ~ а.
2) Пусть
v<Z 0.
В силу доказанного в 1), существует w такое, что
= и — vi.
Тогда
= vjn = и ~\-vi = а.
286
Глава 20
Теорема 331. Пусть
ЬфО.
Тогда для каждого целого я>0 существует и такое, что
ип = Ь.
Доказательство. Положим
Ь
а-\ь\-
Тогда
Выберем, по теореме 330, t такое, чтобы
ф — а,
и положим
u — t •
Тогда
Теорема 332. Пусть п>Ъ, апф0,
Тогда существует z такое, что
l^)l<k(QI-
Доказательство. 1) Без ограничения общности мож-
но считать, что С=0. Действительно, в противном случае
мы рассмотрели бы
п п м /<□ \
м = О * = 0 н- = 0хг
= ’S bfZ'1 = G(z);
ч = 0
Вспомогательные предложения из алгебры
287
здесь Ьп ат
так что Ф 0;
далее, G(0) = g(Q,
так что О (0) ф 0,
а из |О(г)|<| G(0)|
следует
2) Без ограничения общности можно считать тогда, что
g(0)=l.
Действительно, в противном случае мы рассмотрели бы
f^=1+ 2/^="(*)> с^о,
приняв во внимание, что из •
|Н(*)1<1,
следует
|£(г)|<|£(0)|-
3) Таким образом, мы можем исходить из рассмотрения
g (г) = 1 + 2 а^, ап ф 0.
У = 1
Пусть пг — наименьшее для которого
ачфО,
так что
п
g (г) = 1 2 «Х'> 1 < m 11 •
п = m
$88
Глава 20
4) Без ограничения общности можно считать, что
= — 1.
Действительно, в противном случае мы выбрали бы, по
теореме 331, и так, чтобы
ит ___---L
и рассмотрели бы
• W п
g(uz)=l 4-2 аЛа*У = 1 4~ 2 е^ = К(г),
V = т V в 1Л
“ 1> &П 'ф-
приняв во внимание, что из
1ВД|<1
следует
к О) К1-
5) Проведем теперь доказательство для
п
g (г) = 1 + 2 1 < /п < п, ат = — 1
> == m
(условие ап ф 0 больше уже не понадобится). Приписывая
п
символу 2 в случае т — п значение 0, имеем
v s т 4-1
п
g (г) = (1 — •г’») + 2 <М'.
N а т-Н
откуда для 0 < г 1 получим
l£'(*)k"| 1—г'н| +
2 «Z'
v 3= т+1
п
<(1—г’") 4- 2 Iа; I <
; = Ш 4“ 1
П
<(1—г»)4-г>»+1 2 la»l = 1—gm \ z,K+lq,
,-m4-i
Вспомогательные предложения из алгебры
289
где q 0 и не зависит от z, Тогда для
1
г— з+1
имеем
0<г < 1,
| §-(г)|< 1 — г”‘(1 — qz)< 1.
Теорема 333 (гауссовская основная теорема алгебры).
Если п>Ъ, апф$, то существует С такое, что
g(Q-0. .
Доказательство. Пусть | g (С) | — существующее, по
теореме 327, наименьшее значение функции \g(z~) |. Тогда £
и обладает требуемым свойством, так как при
мы пришли бы к противоречию с теоремой 332.
Теорема 334. Если я>0, апфО, то существуют
такие что
£-(г) = а„ П(г — Q.
4 = 1
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что ап = 1 (в противном случае мы рассмотрели бы
ап
Для п яа 1 имеем
g (г) = а0 -j- г ---= z — (— а0).
19 Вак. 848.
290
Глава 20
Для п^2 заключение от п—1 к л: по теореме 333,
уравнение
^(г) = 0
имеем решение следовательно, для всех г имеем
п
g(z) = g(z) — g-(Ci) = S =
V = 1
П 1
= (г —«.,2
v = 1 у. = О
где
Л(г)= 2 МЛ =
v = О
и утверждение следует из того, что, по предположению,
п
А(^)= П(г—Q-
Теорема 335. Если п>д, ап^Е0 и ач вещественны, то
g(z) представляется для вещественных z в висе произ-
ведения множителей, одним из которых служит ant а
каждый другой имеет вид
z— г, г вещественно
или
z2tz + и, t и и вещественны, fi — 4и<0.
Предварительное замечание. Доказательство, разумеется,
сохраняет силу и для комплексных z; однако еще в начале
этой главы я провозгласил вещественность теоремы 335 и
только в таком виде она мне и понадобится.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что ап = 1.
Для п — 1 утверждение очевидно. Пусть п > 1 и теорема
верна для п с в частности, при я >2 — для
п — 2.
Если уравнение
£(*) —О
имеет лишь вещественные решения, то утверждение сразу
следует из теоремы 334. Действительно, для каждого тамош-
Вспомогательные предложения из алгебры
291
него имеем
=
и, следовательно,
z — ^ = z— г, где г вещественно.
В противном же случае существует \ такое, что
^(У = о,
С = а и Р вещественны, (3 ф 0.
Тогда сопряженное число
7 = а — р/
отлично от и
_ п п ____ п _______
о = о = 2 «Л' — а,? = 2 ,
4 = 0 4 = 0 4 = 0
т. е. -
,«'(С) = 0,-
Отсюда следует, что каждое разложение из теоремы 334
содержит множители z— и z— ^действительно, из равен-
ства
g(*o) = °
вытекает, что
z§ С, = 0
для некоторого
Поэтому
^(г)^(г-О(г-ОО(г),
ОО) = 2/0', 1.
Здесь
О — С) (г — Q = (г — а — ₽/) (z — a -f- [i Z) = (z — а)'3 + Р =
= г2 — 2аг 4- а2 = г2 j- tz и,
где
/= — 2а, zz—а2-! З2
вещественны и
fl — 4и = 4а2 — 4 (а2 + р2) = — 4р2 < 0.
19*
292
Глава 20
Следовательно,
g (*) = + ^ + «) О (г).
Для вещественных z имеем
^ + ^ + « = (2: —а)2 + р9>0,
откуда
с* (~\__________________ £ (z)
°W — u
вещественно, так что
0 — O(z)—О(г)= 2 (еч — e>rz4.
v = О
В силу теоремы 334, отсюда следует, что все
= О,
так как в противном случае уравнение
п—2 _
2 & — «,)г’ = 0
v - о
имело бы, самое большее, п — 2 решений (тогда как оно
уже имеет их бесконечное число).
Поэтому все еч вещественны.
G(z) при п = 2 есть константа 1, а для п>2 (поскольку
теорема предположена справедливой для п— 2) разложимо
требуемым образом. Следовательно, и g(z) разложимо тре-
буемым образом.
Теорема 336. Пусть, в предположениях теоремы 335,
для вещественных z выполняется равенство
(1) g(z) = (z — p)G(z),
соответственно
(2) £(*) = (г2 -|-т^4-о)а(г),
где G(z)— полином, а р вещественно, соответственно
т, и вещественны и т3— 4и<0.
Тогда каждое разложение полинома g(г) в произведение
в смысле теоремы 335 содержит множитель z — р, соот-
ветственно г2 xz -j- о •
Вспомогательные предложения из алгебры
293
Доказательство. Разложение (1), соответственно (2),
разумеется, справедливо для всех комплексных г. Из равен-
ства (1) вытекает, что
g(p) = O;
следовательно, в каждом разложении из теоремы 335 неко-
торое
р — г = О,
так что р есть некоторое г.
Из (2), подставляя
-т-Ь-?^409—т2=г”
получаем
?(Q=(C’ + + a) GG)=(( С + 2)2 +1 (4о - г2))о(С)==о.
Так как С не вещественно, то заключаем, что в каждом раз-
ложении из теоремы 335 существует множитель
ca+«+«=o,
а тогда
(t — т)С + « — о = 0.
/ = :, и = о.
$ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
Отныне все числа будут снова вещественными.
Определение 77. Если ф (х) и (х)—полиномы и ф (х)—
не тождественный 0 (следовательно, 0, самое большее,
лишь для конечного числа значений х), то
цазщвается рациональной функций,
294
Глава 20
Определение 78. Степенью полинома /(х), не являю-
щегося тождественным нулем, называется наивысший
показатель, для которого коэффициент при соответ-
ствующей степени х отличен от нуля. Полиному f (х) = О
приписывается степень — 1.
Обозначение (лишь на краткое время): {/} означает
степень полинома f(x).
Заметим, что {/}, разумеется, однозначно определяется
полиномом /; действительно, из
п т
Т ауС — 2 ап Ф 0> Ьт Ф 0
v = 0 v = О
следует, что
п = т
а также, что а, = Л, для 0 v и).
Примеры: {0} = —1, {3}=0, {3-|- х3-}- 0 • х3} = 2.
• Теорема 337. Для любых двух полиномов Л(х) «
/8(х), где
существуют полиномы q(x), г(х) такие, что
/1(х) = 9(х)/2(х) + г(х), {г}<{/9}-
Доказательство. Пусть полином /2 (х) фиксирован и
так что
и пусть
{/2} = п,
n^Q-,
{А} = т-
Если т < п, то утверждение очевидно выполняется при
9(х)»=0, г(х)==Д(х).
Вспомогательные предложения из алгебры
295
Если то без ограничения общности можно считать,
что утверждение уже доказано для всех g(x) c{g}<zn
(на месте (х)). Имеем
Л (х) = Ах">4-^(х), АфО, {&}<«,
/а(х) = Вх«+ g8(x), ВфО, {g3}<n.
Поэтому
/1 (•*) — g х'п ~ nffx} = Axm 4~ Si (х) — Ахт — х» - »g8 (х) =
= S3 (х),
{&} <
следовательно,
Ss (х) = 4i (х)А (X) 4- г (х),
(х) полином, {г} <лг,
а тогда
ft (х) = \^xm-n + q. (х) )/8(х) 4- г (х) = q (х)/2(*)4~ г(х).
Пример. /1(х)==х3—1, /2(х) = х4~ 1- '
/1—х2/2 = х3—1—х3 —х2 = —х2 —1,
ft ----x^-\-xf2 — —X2—14-х24~х = х----------1,
fl — 4- xf2 —ft = — 2,
ft (x) = (x2 — X 4- l)/2 (x) — 2 = q (x)/2 (x) 4- r (x)
c
gr(x) = X2 — r(x) = — 2.
Теорема 338. Пусть (x), /2(х) полиномы.
!/4>o, {/2}>o,
и пусть разложения этих полиномов, по теореме 335, не
содержат ни одного общего множителя первой или вто-
рой степени. Тогда существуют полиномы ЧР\ (х), У?\(х)
такие,, что
296
Глава 20
Доказательство. Рассмотрим все полиномы Р(х)
с {Р} 0, представимые в виде
Р (*) = & (*)А (*) + ёч W/a (*)
с какими-нибудь полиномами gt (х), g% (х). Такого рода поли-
номы Р(х) существуют; например, к их числу принадлежит
/1(х)==1 •/1(x)-f-0-/a(x).
Среди всех этих полиномов Р (х) выберем какой-нибудь,
имеющий наименьшую возможную степень. Тогда, по теореме
337 (с Р(х) вместо /2(х)), существует полином q(x) такой,
Л (*) = 7(*)Р(*)+''(Х)>
и, значит,
г (*)(*)—я (*) р (*) =
== /1 (*) — Я («) (& (*) /1 (*) + ёч (*) /а (*)) =
где Gt(x) и 62(х) — полиномы. Так как
то
г (х) = О,
Д(х) = ?(х)Р(х).
По симметрии заключаем, что существует также полином
Q(x), для которого
/а (х) = Q (х) Р (х).
Следовательно,
{Р} = 0,
так как иначе каждый (значит, по крайней мере, один) мно-
житель первой или второй степени разложения полинома
Р(х), установленного теоремой 335, входил бы, в силу тео-
ремы 336, одновременно в аналогичны? разложения подину
мор/t(x) и/?(х),
Вспомогательные предложения из алгебры 297
Поэтому
Р(х) = с, с ф О,
1 = ^~А (X) + ^/2 (х) = (х)Д (X) + Ф2 (х)/2 (X).
Теорема 339. Если f{ (х) и /2(х) удовлетворяют пред-
положениям теоремы 338, то для каждого полинома ®(х)
найдутся полиномы (х) и ®а (х) такие, что
? Г1 I Ф.,
/1/2 /1"1" /2
всюду, где
А (х)-/9(х):£0.
Доказательство. Привлекая полиномы и тео-
ремы 338, получаем:
±_ — о » ФЛ — < Л _ । <?*
Теорема 340. Пусть ^^>1, /8(х) для каждого целого s
с X^s^q— полином с {f8}^^ и ни для каких двух
полиномов f8(x) их разложения, по теореме 335 ,«е содер-
жат ни одного общего множителя первой или второй
степени.
Тогда для каждого полинома <р(х) найдутся полиномы
Ъ (*)> 1 5 Я, такие * что
?(*)
Па(х)
S = 1
V
,fj AW
всюду, где ни один из полиномов f8(x) не обращается
в нуль.
Доказательство. Для q = 1 — ясно. Заключение от
Я к по теореме 33,9, существуют полиномы х(х),
такие, что
? _ ?________* I ?д + 1 /
(L + 1 а а « f , , >
П/, П/.-Л+. П/. ,+
Я } 8- I
298
Глава 20
следовательно, для некоторых полиномов ф8(х),
будем иметь
1
Теорема 341 (разложение на простейшие дроби). Для
каждых двух полиномов ф(х) и 6(х), где рацио-
нальная функция при тех х, в которых ^(x)^iO,
У (X)
может быть представлена в виде суммы конечного числа
рациональных функций, имеющих, каждая, один из следую-
щих трех видов:
сх\ л О целое,
или
А
(X — а)* ’
или
ВхАгС
а > 0 целое,
л>0 целое, у>0.
Доказательство. Если
{ф}=0, то — полином,
и дальше нечего доказывать.
При {^}>0 мы можем без ограничения общности счи-
тать, что старшим „коэффициентом" в ф(х) (т. е. „коэффи-
циентом" при xW) служит 1, так как
ф (х) b ф (х) l / л
—_ -г- ——-——- при Ь 0.
6(х) ^^(х) г
В силу теоремы 335, если объединить в ней одинаковые
множители х — г, соответственно x2-\-tx-\- и, fl—4#<0,
полином ^(х) является произведением конечного числа мно-
жителей fs(x) вида (х— 1 целое, или ((х—
Т>0, целое; мы просто положим
а = г, 3 == —4-, ч = |/" w — Z‘ ,
Вспомогательные предложения из алгебры
29g
В силу теоремы 340, остается только для каждого поли-
нома g(x) разложить требуемым образом рациональные
функции
g(x) g(x)
(х — ((х — {*,2 +
u 1 целое, 0.
1) Полагая
х= а *+-3/,
получаем при хфа
(х - a)V- у/- 2jq 'У ’
т. е. сумму полинома относительно у (а значит и относи-
тельно х) и конечного числа возможных членов
А А
Z>°
2) Полагая для краткости
(х —P)24-f2^z (х),
имеем, по теореме 337,
g(*) = 8i (х) х (х) 4- & (х),
так что
£1(Х) ПОЛИНОМ, {g2} < 1,
g g> j gt .
» уу. I ytx-l »
~ имеет требуемый вид , Х>0; -Ду при у,= 1
есть полином; а для и>1 мы можем считать, что 7
разложимо, по предположению.
300
Глава 20
Пример на случай 2): g(x)~ х7-]- 1, -/(x) = xs-|-l,
u = 2.
g(x) = (X* -X8 + X) (X* + 1) + (- X + 1) =
==(x8 — x34-x)-z(x)-H — x—{- 1),
g(x) —-X-j-l X5 —X34‘X
^4xj~ (x2 + l)2 ’ x*+l ’
— x3 + x = (x3— 2x) (x2 4- 1) + 3x — (x2 — 2x) у (x) -j- 3x,
SW Л: + 1 । 3x . 3 2
X2(x) (x2 +1,2 ‘ x2 + 1 ‘
На практике при разложении на простейшие дроби при-
меняется не изложенный общий способ, а (поскольку вид
иезультата уже известен) так называемый метод неопреде-
ленных коэффициентов.
Примеры. 1) Согласно доказательству (но не форму-
лировке) теоремы 341, мы имеем
1 __ 1 _ л । b । с ।
X3—-X х(х-|- 1)(х— 1) "х ' х + 1 ‘ X — 1 ‘
где а, Ь, с — константы, a О(х)— полином. Так как
1-/1 а Ь с \ Л
игл ------------------7-------7=0,
07 = 00 \Х3 — Х X Х4-1 X —— 1 / ’
то
G(x) = 0,
и далее,
1 = а (х2 — 1) -f- b (х2 — х) 4- с (х2 4- х),
О = (а 4- Ь-*г <0 4" (с — Ь)х — (а 4~ 1),
а-\-Ь-\- с = с — Ь = а-\-1 =0,
! А 1
а —---1} Ь — С = у,
1 1
х3 — X X ‘ X -|- 1 ' X — I*
2) Вообще, если
Вспомогательные предложения из алгебры
301
где а, различны, то для каждого полинома ?(х), согласно
доказательству теоремы 341, имеем
(1)
Н£)_ v _A__l
(Н*) , = “<
G(x),
где О(х)— полином. Числа Д^ здесь можно определить и
не прибегая к методу неопределенных коэффициентов.
А именно, можно доказать общую формулу:
л __ ? М
(так что разность
с этими Д^ должна будет автоматически оказаться полино-
мом). Действительно,
</(«,)= lim А^- = П(ач —а )
X = |Х = |
(где произведение справа при я==1, по определению, озна-
чает 1), следовательно,
Из формулы (1) вытекает, что для 0 < | х — а„! <р с надле-
жаще выбранным р > 0 выполняется равенство
р-=1
(где сумма справа при по определению, означает 0).
Беря х->ао получаем
<?(«») = АЛ' («»)•
302
Глава 20
Например, для ф(х)=1, ф(х) = х3— х, полагая 04 =. О,
«2 =— 1, ®3=1, находим
Y (х) = Зх2 — 1,
л 1 —. 1 А —А 1 —
_______j ^*2 Л3 £______। 2
в полном соответствии с результатом примера 1).
3) Пример, где напрашивается метод неопределенных
коэффициентов. Согласно доказательству теоремы 341^ имеем
х + 2^_л + 2 _ а .| ^ I £ ! А___________\.G(x\
X4 -|- X3 X3 (х 4~ 1) X3 ' X2 ‘ X ‘ X + 1 ‘
где О(х)— полином. Так как
п / х + 2 а b с d \____________________________ '
* 1^0 U4 4-х3 х3 X2 х х4-1/ ’
то
О(х) = 0,
и далее,
x-j- 2 = a(x-f- 1) + &х(х+ 1)^гх2(х4-1)-|--^х3,
О = (с -j- d)x3 -J- 4" с) х2 + (а + Ь — 1) х 4~ (я — 2),
с 4~* d===: Ь 4“ с = а 4~ — 1 === — 2 == О,
а = 2, d = —1, г=1, rf = — 1,
х4-2 _ 2 1.1 1
х4 4 - х3 х3 х2 » х х 4-1 ’
ВТОРАЯ ЧАСТЬ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 21
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
Интегральное исчисление является обращением дифферен-
циального в следующем смысле.
Определение 79. Пусть f(x) определена для а< х< Ь.
Если существует g(x), определенная для а< х< и
удовлетворяющая для всех этих х уравнению
то g(x) называется интегралом от /(х).
Однозначно ли определен интеграл? — Нет; действительно,
каково бы ни было число с, очевидно, g(x)-|-f также об-
ладает требуемым свойством, поскольку
(g W + с)' = g' (х) =/(х).
Но никакая другая функция уже не является интегралом
от /(х); чтобы убедиться в этом, следует только применить
теорему 162 к любому интервалу [a, р] с а< а< р< Ь.
Таким образом, задача нахождения всех интегралов g(x)
функции /(х) сводится к задаче нахождения одного какого-
нибудь из них. Но может вообще не существовать ни одного
интеграла. Действительно, мы уже давно знаем, что не вся-
кая функция /(х) определенная для а< х< b является
производной. Например, для того, чтобы быть производной,
/(х) в случае
«<«<?< ь, /(«) = — !, /Ф) = 1
должна была бы, в силу теоремы 164, принимать между а
и р значение 0.
Определение интеграла
305
Определение 80. Пусть а< Ь. Если а< х< Ь, то го-
ворят, что х лежит внутри интервала [а, д]. Совокуп-
ность всех таких х называют открытым интервалом.
Пример. При
f (х) = 4х8
внутри каждого интервала [а, 6] имеем
таким образом, наиболее общей функцией с производной
4х8 является там х4 4" с.
Обозначение. Если g (х) — частное решение уравнения
g' (х) = /(х) при а< х < ’
то пишут
J f(x)dx = g(x)-{-c.
Левая часть читается: „интеграл/(х) дэ икс*, /(х) называется
подинтегральной функцией.
Таким образом, например
J 4х8 dx = х4 -J- с.
Зачем странное dx после /(х)? Его нельзя опустить, так
как необходимо знать, по какой переменной следует диф-
ференцировать правую часть. Так например,
J zx' dx = ZX^ С,
а
J гх8 dz = у х8 4~ с.
Вмест0 Sw)dx пишут также/ 4^). вместо / ’pi] dx
;v(x)dx г z ч dx Г. , с .
- или J <?(х), вместо J 1 dx—также J dx.
(Другими словами, обозначением оперируют так, как если
бы лишенное смысла dx было числом.)
20 Зак. 848.
306
Глава 21
В определении 79 мы не требовали, чтобы /(х) была
непрерывной. Однако, даже предполагая это, мы еще пока
не знаем, существует ли g(x). Я начну с возможно более
простого доказательства того, что на самом деле это всегда
имеет место. Это окажется очень трудным — одним из труд-
нейших доказательств во всей книге. Но зато все понятия,
которые нам придется ввести, позже снова будут использо-
ваны; даже весь ход доказательства встретится впоследствии
еще один раз, однако, в рамках существенно более общих
исследований и с использованием теоремы 154 о равномер-
ной непрерывности. Вероятно, и для большинства сведущих
читателей окажется новым, что теорему 344 можно доказать
без теоремы 154; я узнал это из одной работы Poli.
Теорема 342. Каждому интервалу [а, ft] и каждой
ограниченной в нем функции f(x) можно поставить
в соответствие число L(a, b) так, что:
1) если X — нижняя и I — верхняя грани функции f(x)
в [а, ft], то
(1) X(ft —ft)<Z<ft—а),
2)
(2) L(a, b) = L(a, с) (с, b) при a<ic<Zb.
Доказательство. 1) Пусть п—любое целое число >0,
для целых v с 0 — любые числа, удовлетворя-
ющие условиям
при 1
aQ — а, ап = Ь,
и
= при 1<Х^П,
/7 верхняя грань f(x) в #v],
так что
Тогда для любого такого „разбиения" интервала [я, ft]
имеем
п п п
X (ft — а) = X 2 < 2 ev <1 2 = Z (ft — аУ-
V = 1 V = 1 V = 1
Определение интеграла
307
п
Поэтому суммы X ограничены снизу и, следовательно,
V—1
имеют нижнюю грань (для всех разбиений); обозначим ее
L(a. b). Условия (1), очевидно, будут выполнены.
2) Для каждого 8 >0 можно выбрать разбиение интер-
вала [а, с] такое, что
2 <£(<*,
и разбиение интервала [с, такое, что
2М,< L(c, Z>) + 8.
В совокупности мы получим разбиение интервала [а, Л], удо-
влетворяющее условиям
Z. (а, Ь) < 2 < L (а, с) L (с, b) j- 23.
Так как это верно для каждого 8 > 0, то заключаем, что
(3) L(a, b)^.L(a, с) \-L(c, b).
С другой стороны, выберем для о >0 какое-нибудь раз-
биение интервала [а, />] с
2 e,l,C L(a,
Ч ~ 1
Мы можем считать, что с есть одно из av, принадлежащих
выбранному разбиению. Действительно, в противном случае
мы присоединили бы с к числам этого разбиения; если с
лежит между а = и ^ = ^4-1 и /, Г — верхние грани
/(х), соответственно в [а, ЭД, [а, с], [с, р], то
(р_а)/=(С_а)/ + (3-<;)/>(с_а)/' + (р_с)г,
так что не возросла бы.
Теперь мы одновременно имеем разбиения интервалов
[я, с] и [с, й]. Поэтому
L (а, с) L (с, />)< 2 еч1ч <Г L (а, Ь) 8.
V = 1
20*
$08
Глава 21
Так как это верно для любого 8 > 0, то заключаем, что
(4) L(a, c)-^L(c9 b)^L(a9 b).
Соединяя (3) и (4), получаем (2).
Теорема 313. Для к ждой ограниченной в [а, />] функ-
ции /(х) существует функция g(x), определенная для
a<Z х<^Ь и такая, что в каждом %, а< $< Ь, где f (х)
непрерывна,
А именно, требуемым свойством обладает
g.(x) = L(a, х).
Предварительное замечание. Если /(х) разрывна для
каждого х между а и Ь, то существование функции g(x) с
требуемым свойством тривиально, так как тогда достаточно
положить g(x) = 0; а если, например, /(х) непрерывна лишь
для одного х между а и Ь9 скажем, для х = $, то достаточно
положить g (х) = /(£) х. Но существование такого g (х) совсем
не тривиально, когда /(х) непрерывна для всех х с а<х< <
Установление этого — почти вся цель настоящей главы.
Доказательство. Положим
g(x) = L(a, х),
и пусть /(х) непрерывна в «< £< Ь. При заданном 8 >0
выберем е так, чтобы
0< s<Min(Z> — 5 — а),
I/O)—/СОК 8 ПРИ —$|<е.
Для 0 < h < г, соответственно для — е < h < 0, имеем, по
теореме 342, 2),
g(« + A)-g(e) = L(a, ^ + Л)-Л(<г, £) = .
= L (5, $ 4" соотв. — L (5 Ц- Ь, 5).
Определение интеграла
309
Следовательно, в силу теоремы- 342, 1) (примененной к
(5, f ссотв. к Р + Л, $], где а >/р) — 3, Z</p)3),
А(/^) —S)<g(; h) — g® ^Л(/(5) 4-3) при 0< й< г,
А(Ж + 8)<£(; —при—г<й<0.
Тем самым для 0< |/г|< а имеем
и потому
Теорема 344. Для каждой функции f(x), непрерывной
внутри интервала [a, Z>], существует функция g (х) та-
кая, что
g’ (x)=f(x)
внутри этого интервала*, таким образом,
-J f(x)dx
существует для а < х < Ь.
Доказательство. Положим
а + b
с=—’
— L(x, с) при я< х< с,
g<X}=r
при х — с,
Пусть
положим
L(c, х)
при с< х< Ь.
а< К<Ь*,
Для т]< х< Ь, по теореме 342, 2), имеем
• = 4с)’~ 4
310
Глава 21
[5 4-^1
т], , про-
изводная функции L (т], х) при х == i существует и равна
/($); следовательно,
g' (C-m
После этого усилия мы „ проинтегрируем “ ряд знакомых
нам непрерывных функций; их интегралами также окажутся
знакомые нам функции.
Теорема 345. Если пф—\, то
х” dx = + с пРи а О
(т. е. в каждом открытом интервале a<x<i с а>0).
Доказательство. Для х>0, по теореме 109, .имеем
(1) Рх7) ==-4т^п+1)'==—тт(«+ \)хп = хп.
v 7 \п +1 / n + 1 v 7 n-j- 1 v 1 7
Теорема 346. Если пф— 1 и целое, то
При и при
Доказательство. В силу теоремы 119, формула (1)
верна для всех х ф 0.
Теорема 347. Если и целое, то
p»rfx==___r+c
для всех х.
Доказательство. В силу теоремы 103, формула (1)
верна для всех х.
Теорема 348.
* dx ( 1°S х + с пРи а 0,
х 'l I°g(—х)-{-с при £<0
Определение интеграла
311
Предварительные замечания. 1) Тем самым заполнен
пробел п = — 1 в теоремах 345 и 346. Но само существо-
вание интеграла следует уже из теоремы 344.
2) Результат можно объединить в одну формулу
=lOglx|4-C = ylog(x2)-|-C,
годную в обоих случаях.
Доказательство: теоремы 104 и 105.
Теорема 349.
Г п п- ЛГ'Н
2 a.x'dx == 2 +
Предварительное замечание. Таким образом, интеграл
от полинома есть полином. Мы уже знали, что производная
от полинома есть полином.
Доказательство. Подинтегральная функция есть
производная правой части.
Теорема 350.
J dx = ех с.
Доказательство.
(ехУ = ех.
Теорема 351.
Уттгу = 1о£1* — ТI + с при и при b
Доказательство. Если х >у, то
(log (х — 7))'= у— (х — ?)' = ;
если х<у, то
(log (т — х))' = — (т — х)' = .
7 -* •* ~ 7
Глава 22
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Теорема 352.
f (/(•*) + g (*)) dx = j f (х) dxg (х) dx,
если правая часть имеет смысл (т. е. если /(х) и g(x)
интегрируемы для а<х<&)-
Предварительное замечание. Аддитивную константу
можно сэкономить в тех формулах, где справа и без того
слагаемым входит интеграл.
Д оказател ьство.
(Правая часть)' = Q*/(х) dx
— f(x) 4“ 8 (х) левое подинтегральное выражение.
Пример. J(x-|- ех) dx — ^-\-ex-\- с.
Теорема 353.
f ^fn{x)dx= )/„(x)dx,
J n = 1 n~\J
если правая часть имеет смысл.
Доказательство.
(Правая часть)'= левое подинтегральное выражение.
Теорема 354.
J Т/(*)^х = т J/(x)rfx-|-f, .
если прямя часть имеет смысл.
) +(/ g^dx'j =
Основные формулы интегрального исчисления
313
Доказательство.
Теорема 355.
f (f(x) —g(х))dx == J/(x) dx — pg-(x) dx,
если правая часть имеет смысл.
Д о казате л ьство.
(Правая часть)' = левое подинтегральное выражение.
Примеры. 1) В открытом интервале а<х<£, не содер-
жащем чисел —1 и 1, имеем
1 1 1
х^ — 1 2(х — ]) 2 (*+ 1)’
и, следовательно,
f dx ______________ f dx г dx
J “ J 2(x— 1) ~ J 2 (л + 1) “
= |log|x- 1|—|iog|x+ 1 ;-{-c==-|log|~y| + c
2) Пусть n положительное целое. Для равно как
и для b 1, имеем
Л . Л, Л п п
р р </х== 4-с.
Теорема 356 (интегрирование по частям). Пусть
g' (х), h' (х), J h (х) g' (х) dx
существуют для а<х<Ь. Тогда
Р g (х) h' (х) dx
там существует и
f g (-*) Л'(х) dx — g (х) h. (х) — р h (х) g'(x) d*
314
Глава 2'2
Предварительное замечание. Таким образом, J f(x)dx
существует, если /(х) можно разложить в произведение
g(x)&(x), где g(x) дифференцируема, k(x) интегрируема и
g'(х) J k(x)dx интегрируемо. Иногда последний интеграл в
формуле
J f\x)dx = g (х)
легче вычислить, чем первый.
Доказательство.
J k (х) dx — J (gr (х) У k (x)tfxj dx
(gh— J hg' dx) — (gh)’ — (Jhg'dx) =
= gh' + hg' — hg' = gh'.
Примеры. 1)
g (x) = x, h (x) = ex,
g-'O)~ 1. ft'(x) = e®
J* xev dx = xex — J" ex dx — xex —- ex -j- c.
2)
g (x) = x2, h (x) = ex,
g' (x) — 2x, ti (x) = ex,
x2 ex dx — x2ex — I* 2xex dx = x2ex — 2 J xex dx —
== xs ex — 2 (xe® — ex ) + c = (x5 — 2x -L 2) ex - c.
3) Для a 0 имеем
У log x dx s=. у log x • 1 dx = log x • x — У ~ * x dx ~
— x log x — у dx — x log x — x c.
Теорема 357. Пусть a<ib и
Основные формулы интегрального исчисления
315
существует для а<^х<^д. Пусть функция
x = g(z)
непрерывна в z~ интер вале [а, р], g' (г) для а<г<р по-
стоянно >0 или постоянно <0 и
£(<*) = я, £(?)=£, соотв. g(<*) — b, g($) — a.
Тогда
J f(g(z))g'
существует для а < г < р и
(1) f/ (х) dx J / (g (г)) g' (г) dz
Предварительное замечание. Справа стоит функция от z ’
но z есть сокращенное обозначение для функции z = G (х)’
обратной к х — g(z\ а эта обратная функция, в силу теорем
312 и 313, существует и дифференцируема для а<г<р.
(Последнее получит применение лишь при доказательстве
теоремы 358.)
Доказательство. Полагая
J f (х) dx — и (г) + с,
имеем для а<г<р
Пример.
/ (х) =№,
£ > а > 0, а —у а, 0 =|/Ь,
х = g(z) — z4,
z==}/ х,
J /(x)dx— J x2 c,
J f(g (.г))g' (z)dz— $ z* *,z?‘ dz — 4 z11 dz —
316
Глава 22
Теорем 357 не может служить для доказательства самого
существования интеграла J / (х) dx. Для этой последней цели
может быть иногд а полезна
Теорема 358. Формула (1) теоремы 357 остается
в силе, если, сохраняя все остальные предположения тео-
ремы 357, предположение существования левой части заме-
нить предположением существования правой.
Доказательство. Применяя теорему 357 к
f f (£ О)) g' (z) dz, z—G (x)
и принимая во внимание, что (теорема 313)
г 7 / ч __ d* __ 1 _ 1 _ 1
(x>~~dx dx ~g'(x) g'(G(*)) ’
dz
получаем
J f(g^)) g' (г) dz = J / (g (G (x))) g' (G (x)) O' (x) dx =
— J f (x) dx.
Примеры (мы проводим вычисление грубо по теореме
357 слева направо, так как знаем заранее, что интегралы
заданных непрерывных функций от х существуют; иначе мы
должны были бы вести вычисление справа налево и применять
теорему 358).
1) Для |а>0, полагая
х=|1г=^(г),
имеем
I Н2 + х« = J РЧ- х2 dx = f Р’+ №
== ~ Г ГГ-~2 ~ ~~ аГС tg + С ==:
|Х J 1 + Z2 р. ь 1
1 1 х ,
«==— arc tg--к с
и, Р-
Основные формулы интегрального исчисления 31^
для всех х. Проверка не нужна; однако, она ничего не
стоит:
/1 , лг\1 1 1 1 1
\ аГС g 1* / “ Р- . । х‘ Iх — < 4- & '
14"Р
2) Для а^>0, полагая
X = У Z,
имеем
J*sin (x2)xdx = j sin г У г = у J sin rdz^
— — COS Z -j- C ™ ~ COS X2 p c.
3) Для a^>0, полагая
1 — z, х~=Уг2—1,
имеем
f W “ f (f “г =
ч W-1
Проверка.
)'=тйт-
Проверка дала нечто новое: полученная нами формула верна
и для а<0.
Интегрирование по частям (теорема 356) и интегрирова-
ние с помощью подстановки (теоремы 357 и 358) являются
важнейшими средствами для выражения интегралов от задан-
ных функций явными формулами — если посчастливится. Но
позже мы увидим, что это — вовсе не главная задача инте-
грального исчисления, уже по той простой причине, что даже
для непрерывных функций нахождение таких формул удается
лишь в редчайших случаях. К этим специальным случаям
относятся рассматриваемые в следующих двух главах.
Глава 23
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть f (х)— рациональная функция, т. е., согласно опре-
делению 77,
/(*)
где ф (х) и (х) полиномы, {ф}^0, а х — любые числа^
для которых (х) ф 0. Для каждого такого х
У'
т. е. снова рациональная функция.
В каждом открытом интервале, где <р(х)=^0, J f(x)dx,
как мы знаем (вследствие непрерывности функции /(х)),
существует, но не есть обязательно рациональная функция,
как непосредственно явствует из примера
J ^ = log|x|4- с.
Виноват! Я подстроил читателю ловушку. А почему,
собственно, в равенстве
-~ === 1 og | х |с для —11<х<—10
правая часть не есть рациональная функция? Это действи-
тельно так, но должно быть доказано. Если бы для а<х<£
с 0 а < b или с а < b 0 мы имели бы
log I X | =
-i (л j ’
Интегрирование рациональных функций
310
где ср (х) И ф(х)— ПОЛИНОМЫ, ТО ДЛЯ ЭТИХ X выполнялись бы
также равенства
1 _Ь(х)^(х)~ъ(х)У(х)
X ' ф2(х) ’
ф2 (х) = х (ф (х) ср' (х)-ср (х) ф' (х)).
Так как в обеих частях последнего равенства стоят полиномы,
то это равенство, выполняясь для бесконечного числа значе-
ний х, выполнялось бы для всех х. Следовательно, уравне-
ние ф(х) = 0 имело бы решение. х= 0 и потому (так как
{ср} 0), в силу теоремы 334 (или даже без нее), мы имели бы:
ф (х) = хт/(х), m > 0, х (х) полином, у (0) ^0,
Ср (х) = Хк(й (х), о) (х) ПОЛИНОМ, О)(0)#=0,
откуда
х2 п у2 (х) = х (xwх (x) (Ax^-1^ (х) х^о)'(х)) —
— хАш (х)(тх™-^/ (х) 4" хту'(х))) =
±= xm+k ((k — tn) /(х) ю(х) 4~ х (х (х) (х) — ю (х) у' (х))).
Отсюда следовало бы, что т k п что
хш~ку2 (х) == (k — т) у (х) со (х) 4" х (х (*) <&’ (*) — ю (*) Х (^)
для всех х. Но тогда подстановка х=0 при при-
водила бы к противоречию
Z2(0) = 0,
а при т > k — к противоречию
0=(t-ffl)z(0)»(0).
Тем удивительнее и приятнее, что нам удается выразить
интеграл каждой рациональной функции через известные уже
нам функции.
Еще одно отступление в сторону. Не будет ли хотя бы
320 v Глава 23
в каком-нибудь интервале рациональной функцией? — Нет.
Действительно, из равенства
1 ппи a<^x^h
следовало бы, что
(х) = (X* + 1) (<!> (X) < (X) - ф (X) (X))
для всех х. В силу теоремы 336 (так как {<р} 0), мы
имели бы
(х) = (х2 + 1)м/(х), т > 0,
X (х) полином, но не = (х2 1) • полином,
<р(х) = (х2+ 1)Мх), &>0,
со(х) полином, но не = (х24~ 1) • полином,
и потому
(х24-1)2"72(х)=-
= (*2+1)((**+1)”7 W(2^(х34-1)^’ш (х) !г(хЧ- l)W(x)) —
_ (уз _j_ 1 )*«, (х) (2/пх (х2 -j- l)*-1/ (х) 4- (х2 + 1)™/'(х))) =
— (х‘ ' 1) (2 (А — т) (х24~ х/ (х)о> (х)4~
4- (х24- 1)««+*(х (•*) ®'(х) —ш(х) х'(х))) =
= (х2 4" 1)яч /’(2 (А — т) ху (х) со (х) 4^
+ О2 +1) (х (*) “'(*) — ш (х) х'<Х»)>
(х9 4- 1)Н1-4?(Х) = 2 (А — т) X/ (х) <й (х) 4- (х'2 4" О ' полином.
Но отсюда при т k следовало бы, что
у2 (х) = (х2 4“ 1) • полином,
у (х) — (х2 4” 1) • полином, |>
а при k следовало бы, что ।
XX (х) to (х) = (х2 4“ 1) • полином, <
X (х) или to (х) = (х2 4~ 1) • полином.
422
о
Интегрирование рациональных функций
321
Общему доказательству того, что интеграл каждой рацио-
нальной функции вычисляется в „конечном виде", я должен
предпослать рассмотрение трех весьма важных частных слу-
чаев. Они потребуют длинных вычислений, но зато общий
случай легко сведется потом к этим трем. Читатель не
должен запоминать окончательных формул для этих трех
случаев; требуется запомнить лишь тот факт, что эти спе-
циальные интегралы вычисляются в конечном виде, приемы,
ведущие к этой цели, и то, что при этом ничего „худшего",
чем logx и arctgx, не появляется.
Первый пример.
Г___________
J а — 248х -|-х2 ‘
Так как
а ~ 2{3х + х2 = (а — З2) -j- (х —48)2,
то, полагая
р8=н.
преобразуем наш интеграл к виду
г dx
J ^ + (х-р)2‘
Делая здесь подстановку
х-р р,
приходим к рассмотрению интеграла
г dz
J
Мы будем различать три случая.
1) При |л = 0 имеем
J p + *2 J z'c x — P
2) При > 0, полагая
7 = Vh
21 Зак. E48.
322
Глава 23
согласно первому примеру на теорему 358 с у вместо р.,
имеем
f dz с dz 1 . z .
J ~2=J 74^ = TarcfgT + c =
= r 1 arc tg' c •
/a —p2 V a —p2^
3) При p.<0, полагая
т = /’=:?,
имеем
/dz c dz
p + ^~J ~72 + *2 ’
Делая здесь подстановку
получаем
г dz _ f -jdy __Lf аУ
J (j. + z"- J — 72 + 72J’2 7 J >2— 1 ’
что, согласно первому примеру к теореме 355,
1 I у — 1 I . 1 , х — В — У р2 — а I
= 2^ log|5нй I + с — °g X—Р+ /р^ “*С'
Второй пример.
Г 7?--a^i "»«• > п > 0 Целое, 7 > 0 .
J ((*— Р)2 + 78)га
Для п = 1 мы это уже имели.
Подстановка
х==ху + Р ,
дает
f dx — f 1аУ___________________f —Q____________
J ((x-P)24-7T j (78У + 72)"“‘ J(y+1)”‘
Таким образом, дело сводится к вычислению интеграла
f _£У__________________________= [
J (у2+1)п п
Интегрирование рациональных функций
3$3
Имеем
Д =: arc tg у с.
Пусть и>1 и уже показано, что /п-1 выражается через
известные функции, среди которых нет „худших*, чем aretg.
Имеем
Jn== f dy==\ (f + s.)n dy~f (^il)» dy =
_ r dy 1 f 2_y _
“ j c/h-i)”-1 2 J (y*+ip УаУ~
__I _____—(—______- 1 v I f dy \______
“-1 2k n — 1_______________________________________n-ij О2 + Ьп-г/
— 'л-iT (2n — 2)Cy2 + 1)«-1 2n —2/n-1 —
__2n — 3 . , у
— 2n — 21п~* + (2n—2)(j/’-+ 1),т=1 ’
следовательно, и In выражается указанным образом.
Третий пример,
f х dx . „ * _
J «>0 целое, 7>0.
Имеем
J (О—рр + тТ dx==
[ 1 1 I . 1
__1 2(п — 1)((х— Р)Ч-Т2)”-Х"’”С П₽И и;>1’
I ylog((x—р)2-Н2) -Н при П = 1,
Г xdx __________ Г х — ₽ . । q Г dx
J ((л_₽)2 + 72/П— J((x_?)2 + 72p^i-P J ((Х_₽)3 + Т2)П-
Следовательно, вычисление сводится к применению преды-
дущей формулы и второму примеру.
Дополнение. Для ]>0 и целого п>0 имеем
С ~F~ С , _________о Г _____х dx______। С ______dx____
J ((X - ₽)2 + Т2Г “ J ((х - Ю2 + г2Г т J ((-W)2-W
так что вычисление интеграла, стоящего в левой части, сво-
дится к третьему и второму примерам.
21*
324
Глава 23
Теорема 359. Интеграл каждой рациональной функции
выражается в конечном виде.
При этом ничего худшего, чем log и arctg, не появляется.
Доказательство. В силу теоремы 341, достаточно
доказать утверждение для
1) сх\ целое,
Л
2) ------т, X > 0 целое,
3) Х>° целое. Т>°-
К 1). $xxdx — -^-^ -|- с-
К!). Г-х-^тт^г+'пр»*»-
Х а> I log | х — а | с при X = 1,
К 3). Дополнение к рассмотренному выше третьему
примеру. „
Примеры. 1) (см. первый пример в конце гл. 20)
f dx = ff_2 i 1_J________। i i Ъх_
J Xs — x J \ x‘ 2 x+l> 2 x — l)
•= — log I x|4-y log I x-{- 11 + A-log I X - 1| 4- c =
1 , I(x4-l)(x —1)1 .
= 2 log' —------- + c
в каждом открытом интервале, не содержащем чисел 0, 1, — 1.
2) (См. третий пример в конце гл. 20)
= ~ 7» + i ~1" log | хТГ I +с
в каждом открытом интервале, не содержащем чисел 0 и— 1.
Глава 24
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
НЕКОТОРЫХ НЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1) Пусть
у) =
у
Ьу.уХ^У'*
где числитель и знаменатель содержат конечное число членов,
причем v — целые и>0, а знаменатель — не тождествен-
ный нуль. Это выражение называют {ациональной функцией
от х и у\ она определена там, где знаменатель zjfcO. Можно
сказать также, что числитель и знаменатель суть полиномы
относительно у
к
2 -4v(x) у‘,
м = О
коэффициентами которых служат полиномы относительно х.
Пусть теперь F (х)— полином первой или второй степени
и рассматривается открытый х-интервал (если такой суще-
ствует), в котором
F(x)>0
и функция /?(х, у), где
У = ур(х),
определена и, значит, непрерывно зависит от х.
В этом случае
]*₽(», yjdx
можно выразить в явном виде через известные нам функции,
Случай
Ш-1
326
Глава 24
быстро сводится к случаю интегрирования рациональной
функции. Действительно, здесь
Р(х) = а + рх, р ф О,
и подстановка
•у ~
2 в W А
-------г-) г>о
дает _____
У = (х) =
j>(x, = z^dt,
где подинтегральное выражение является рациональной функ-
цией от г, так что мы оказываемся в условиях гл. 23.
В случае
И = 2
имеем
F(x) = A У-Вх-уСх*, СфО.
Мы сведем здесь
J R (х, у) dx
к трем типам
(1) IJ Я(х, /*а+1)dx, J R (х, У х3—1) dx,
J R (х, V1—х2) dx,
а эти интегралы — к интегралам рациональных функций от
некоторой вспомогательной переменной.
При С > 0 имеем
V = / С/х2 4- Btx 4-Лх = V~C / (х 4- р).а + а .
Если = 0, то у есть в нашем интервале / С(х-|-^) или
— / С (х 4- ?), так что J? (х, у) — рациональная функция
от х, и цель уже достигнута. Поэтому мы можем считать, что
д^.О., т. _е;. ; . ;«гСс: г
У = ус / (x+J)2±-r2, т > О,
Интегрирование не рациональных функций
327
При С< О имеем
у = V~^C V — x^—B^ — A^ =
= /ZTc v — (х+р)2’~а ;
а должно быть здесь отрицательным, следовательно,
У = + Т > 0.
Делая во всех случаях подстановку
х — yz — р,
получаем
у = ]/СТ У z2 -f- 1> соотв. У Су У г2— 1,
соотв. /-Cf/i-A
J R (х, y)dx = J* (г, Y) dz,
где
Y=y^2-j- 1, соотв. ]/г2—1, соотв. У 1—г2,
а ./?! (г, У) — рациональная функция от z и У.
Тем самым мы и пришли к трем типам (1).
Первый тип. J /?(х, }/х2+ 1 )dx,
Уравнение
(2) х==у(а —7т)’ и > 0
имеет для каждого х точно одно решение и. Действительно,
если и удовлетворяет этому уравнению, то
и2— 2хи — 1 = 0,
(U_x)9_(x3_j_ !)==(),
и = X + j/x2 4- 1,
и, следовательно, ....
. и = х+1/ х2-р1, - ......."•
328
Глава 24
поскольку я>0. С другой стороны,
и = х -J- ]/ х 2 4" 1 > О
и удовлетворяет уравнению (2) для каждого х, так как
Л =-----1 — х TL УЛ ~LJ- V ± 1/ Г2 -L1
« х+/х2 + 1 х2 — (/х2+1)2 ‘ ’
и---1 ™ 2х.
и
Рассматривая теперь и в формуле (2) как независимую
переменную, получаем
— = —fl-4-XA>o
du 2 v ' «7^ ’
/^+i==«-x = y(« + i)>
и, следовательно,
J R(x, V>?+V)dx =
Ч * (4 (“Ч) • 4 («+И1 +
где (и) — рациональная функция.
Пример.
f dx • f 2’(1 + и*) , С du , ,
ог“+с=
= log(x + /х24~ 1)4-с.
Второй тип.
j R(x,V^-i)dx.
Здесь всюду внутри нашего заданного интервала должно
быть либо х>1, либо 1. Без ограничения общности
можно считать, что имеет место первое; в противном случае
Интегрирование не рациональных функций
329
мы положили бы х~—z и получили бы под знаком инте-
грала
R (—г, ]/(-г)2-1) (-1) = (г,
где 7?! (z, ?>)—рациональная функция от z и v.
Уравнение
(3) x = «>i,
имеет для каждого х>1 точно одно решение и. Действи-
тельно, если и удовлетворяет этому уравнению, то
и*-2хи-\-1 = 0,
i) = o,
Ц = Х±]/х2 — 1,
и, следовательно,
и = х Ц- ]/х2 — 1,
поскольку и > 1 (в самом деле,
х— ]/х2— 1 =--------L==< 1).
С другой стороны,
и x-f-f/'x2-------------------1 > 1
и удовлетворяет уравнению (3) для каждого х > 1, так как
— — X — 1Лх2 — 1,
и ' ’
и I" •“ — 2х.
г и
И обратно, для каждого а > 1 имеем
1 / . 1\ 1 ц’+1 1 («—1)2 . , . ,
Рассматривая теперь а в формуле (3) как независимую
330
Глава 24
переменную, получаем
и, следовательно,
Р /?(х,]/х2— 1 )dx —
=J r (4 («+4), у («- (i - 4)du=/<м) da>
где /?1 (и) — рациональная функция.
Пример.
J/x9— lrfX = J у (и- rf)du==
—4 (u+•Ц (u —Ц—liog и -j- c—
= ~ 2x • 2]/x2 — 1 — -log(x-|- /x2 — l)-[-c =
= | x /x!^=T—1 log (x + ) + c.
Третий тип. J R (x, jfl — x2) dx.
(Подстановка x = — приводит формально ко второму типу,
но при этом мы теряем окрестность значения х = 0.)
Здесь необходимо
Уравнение
(4) ж-Ду.Г.К!
имеет для'каждого х < | х | < 1 точно одно решение и,
Действительно^ если х,= 0, то необходимо я = 0, а если
Интегрирование не рациональных функций
331
О < I х | < 1 и и удовлетворяет уравнению (4), то
«9—7 «+1 = 0,
Здесь следует взять нижний знак (так как иначе мы имели
бы
С другой стороны, для
1 — VT^x?
и = -------
действительно
|»|<1
(так как
I и I = I--£=---I <| X |< 1),
11 + 1/1— х2| 1 1 7
и уравнение (4) удовлетворяется, так как
« Ф о,
1 _ l-ь V1—х2'
и X ’
и2 + 1 ,1 2
и 'их
И обратно, для
в случае и = 0 имеем
|х| = 0<1,
а в случае и + 0 имеем
х:£0,
I 1 |_«2 + 1 .... (|«1-1)2 ,
I х | — 2|w| — 2| и |
= |,х|<1. - -
Рассматривая теперь и в формуле (4) как независимую
332
Глава 24
переменную, получаем
dx _ (и2 + 1) 2 — 2и • Га _ 2(1 — в2) - Q
du~ (к24-1)2 (u’+l)2^
-------5 , , 2а2 1— и'
/1 X -1 XU— 1 „2_|-1 ~1 _)_„?»
и, следовательно,
,_Г„/ 2« 1-а2\ 2(1 —и2) d
“PU + «” 1 + «^(1 + аЪ2
— f Rx (и) du,
где R, (и) рациональная функция от и.
Пример (умышленно беру старый).
f dx __ f 1 2(1 —a2), _9f du _
J /1-х2- 1-ДЧ1 f В2)2 аи-\] l+„2-
J l^2
= 2 arc tg я c.
Так как, как мы знаем,
(arc sin х} — (при | х | < 1),
то при надлежаще выбранном с, разумеется, должно выпол-
няться равенство
2 arc tg и = arc sin х -|- с при | х | < 1;
и поскольку и — 0 при х— 0, то необходимо с = 0. Дей-
ствительно (хотя эта проверка и не нужна), для х = 0 эта
формула (с г==0) верна, а для 0< х|< 1 мы имеем
2 arc tg * ~~ х»— arc sin xt
& х
так как
|^< 1,
I i t ТС W
I 2arctga|<2 -4= у.
jsin (2 arc tg а) «=» 2 sin (arc tg a) cos (arc tg a) =«
* 2 tg (arc tg u) cos3 (arc tg a) =
tg (arc tg a) 2a
3 1 + tg2<arctga) “ l-j-aJ ** J?,
Интегрирование не рациональных функций
333
В заключение п. 1) я посоветую на практике, прежде
чем прибегать к общим, хотя и всегда ведущим к цели,
но громоздким методам, стараться, по возможности, упро-
стить вычисление применением каких-нибудь специальных
приемов.
2) Пусть 7? (х, у, г)—рациональная функция от x,y,z,
т. е. рациональная функция от у и у которой коэффици-
ентами в числителе и знаменателе служат полиномы от х.
Мы рассмотрим теперь
J R (х, У А + Вх, У а 4- рх ) dx
в открытом интервале, в котором выражения под знаками
корней > 0и/?имеет смысл. Без ограничения общности можно
считать, что В 0, так как иначе при Р=£0 мы имели бы
дело со старым типом
а при р = 0—даже с рациональной подинтегральной функцией.
Подстановка
и? А А
х~ В В'
дает
(х, У А Вх, У a4~?x) =
J #\В В’“’У “ в^~ва')ваи=а
= J4 (иУА^с^уаи,
а это мы уже имели.
Пример.
dx.
Подстановка
х = и-, и > 0, и — 2v
№4
Глава 24
дает
dx
—du =2 J "К—4 -р и? du
= 2 J ]Л—4 -|~ 4v22dv = 8 J ]/V2— 1 dv
и т. д., согласно примеру ко второму типу в п. 1).
3) Пусть R (у) — рациональная функция. Подстановка
х = log и
дает
J Я И) dx = / R (а) / 7?! («) du.
Пример,
f _________________
J ех + e~x
1 du C du ________
t 1 7Г ~ J 1 + w2 ~
и 4—
1 и
^atctgu^c — arc tgex-J- c.
4) Пусть R (у, -а)—рациональная функция от у иг, наш
интервал содержится в [—тс, тс] и
R (sin х, cos х)
имеет в нем смысл. Подстановка
х = 2 arc tg и
дает
«=tgT,
х х 2t^T
sin х = 2 sin -н- cos -н- =-— =
2 2 i + tg2y
л a X . 2
cos x = 2 cos2 -s- —1 -------
2 l+tg’-y
dx___ 2
du 1 + u? ’
P (sin X, cos X) dx = P (4^2,1^-2
= J Ri(u)du.
2и
du —
i==kz^
1 + и« ’
Интегрирование не рациональных функций. 335
Пример.
f dx С 1 2 . г du
J sinx “ 2и Г+^2 аи — J ц —
J 1+и2
= log I и I + с = log | tg Y | + с.
5) Если а 0, то интеграл
J хп log х dx
вычисляется для каждого п. При п——Л он
== yiog2x-H;
при пф—1 интегрирование по частям дает
С у^"Ь1 dx
хп log х dx — —j—r log x— —гт — =
л + 1 J n +1 x
xn^^ 1 /•
= Г-. log X------j—г | xn dx —
n + 1 & « + 1 J
xn+l
— n + llogx (n+1)2 + c'
6) Если a 0 или b 0, to
Г sin x j _ Г у (—1)^x2» у (—l)nx2'»+l .
J x ax~ J (2«+l)l аХ-я40(2п + 1)(2л + 1)! ’’
7) Для |x|< 1, по теореме 247,
-7=L=T = (l-x9 2 = 2](-1)»хЧ
у 1 —Л4 П = oy n j
и, следовательно,
dx
J yi—x4
1 } 4n+l
-J-c.
336
Глава 24
Так как при л>0 имеем
п\
_1\
’2 )(—!)«==
п /
(2л)! (2л)!
п 4” (л!)
л! 2” JJ 2м
м = 1
и, очевидно, равенство
(2и)!
4« (л!)-
справедливо также при /2 = 0, то для |х|<1 окончательно
имеем
rfX 5? (2Л)! 4идЛ I
УГ=Г14 - 4» (л!)2 (4„ +1) х + с-
Глава 25
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Действительным предметом интегрального исчисления
является теория определенных интегралов; в противополож-
ность этому то, что мы до сих пор называли интегралом
(и что кое-где нам еще встретится), будет называться неопре-
деленным интегралом.
Что же такое определенный интеграл? Прошу немного
подождать: нам потребуются кое-какие приготовления.
Определение ,81. Если1—верхняя, а к— нижняя грани
некоторого ограниченного множества, то s = l — 'к на-
зывается его колебанием.
Таким образом, всегда и s = 0 тогда и только
тогда, когда рассматриваемое множество содержит лишь
одно число.
Теорема 360. s есть верхняя грань всех разностей
z{ —г2, образованных из чисел zt и z^ данного множества.
Предварительное замечание» Поэтому s является также
верхней гранью всех 1^ — г2|.
Доказательство. 1) Для любых zr и г2 из рас-
сматриваемого множества имеем
и. следовательно,
-С I — = s.
2) Для каждого 8 > 0 существуют в этом множестве
и г2 такие, что
О \ I $
2’» ^2 < + 2“ J
22 Зак. 848.
338
Глава 25
и, следовательно,
—г2>/—X— о=$ — о.
Обозначения. Пусть а<^Ь> /(х) определена в [а, £|,
и>0 целое, а., определены для целых v с 0<у<л,
причем
е^ — а^ — «,_!>0 при 1 <><//,
откуда
V - 1
Если f(x) ограничена в [а, д], т. е.
|/(х)1<г при
то пусть для 1 v <; /;
/v— верхняя грань ]
Xv — нижняя грань 1 /(х) в [а, £>],
sv — колебание J
так что
— с < К < Ц с,
о < < 2с.
Тогда
п
V = 1
кратко 2^» называют римановой суммой, соответствующей
данному разбиению. Нам придется иметь дело также с сум-
мами
V = 1 N = 1
кратко 2 и 2Каково бы ни было разбиение, имеем
— с (Ь — а) — — с^е ^с^е = с (Ь—* а\
0 2 es 2г 2 е = 2с (Ь — а).
Понятие определенного интеграла
339
Определение 82. Пусть /(х) ограничена в [я, &]. Го-
ворят, что /(х) удовлетворяет в [а, условию Римана,
если для каждого 8>0 существует е>0 такое, что,
каково бы ни было рйзбиение со всеми е^ < s, риманова
сумма
es<Z 8.
Определение 83. Пусть а<Ь. /(х) называется инте-
грируемой от а до Ь, если она определена в [я, и суще-
ствует число I такое, что для каждого 8>0 найдется
г>0, обладающее следующим свойством: каково бы ни
было разбиение со всеми и как бы ни были вы-
браны в соответствующих интервалах всегда
2 - 1
Например, должно выполняться предельное соотноше-
ние
Теорема 361. Может существовать, самое большее,
одно I, удовлетворяющее требованию определения 83.
Доказательство. Если бы требуемым свойством
обладали /1 и 72>/], то взяв
мы при надлежаще выбраном е > 0 для каждого разбиения
со всеми ^<е и каждого выбора чисел имели бы
2 ej (U < А + з = /2 - 8 < 2 *,/&)•
V = 1 ’ = 1
Определение 84. Если для заданных а, Ь, /(х) суще-
ствует число 1, удовлетворяющее требованию определе-
ния 83, то 1 называют (определенным) интегралом функ-
ции /(х) от а до Ь.
22*
340
Глава i5
Обозначение:
&
а
Читается: интеграл от а до b /(х) дэ икс.
Связь со старым понятием J/(x)rfx будет выяснена
позже, и употребление в обоих случаях сходных обозначе-
ний найдет свое обоснование.
ь ъ ъ
Вместо f -г)-r-rfx пишут также f вместо f ~~dx
J J J ФИ J Ф(х)
a a a
b b b
С Ф (•*) dx C / \ dx r 1 ,
— также J — или J (x) , вместо J I dx — также
a a a
b
^dx. (И соответственно для всех дальнейших расширений
а
понятия определенного интеграла.)
Примеры. I) /(х)=1 в [а, й].
Тогда при всех разбиениях и всяком выборе чисел имеем
п п
2ХЖ)= = £ — а-
V = 1 Ч = 1
Таким образом, число
11= Ь — а
обладает требуемым свойством, и мы пишем
ь ъ
Jdx = dx = b — а.
а а
2) /(х) = х в [а, й].
Пусть все ^<е, где s — пока произвольное положительное
Понятие определенного интеграла
341
число. Имеем
V \ V 1 \ а'* а',~1 !
2j *,/(«•,) = 2t («, —«>-1)------2 Г
4 = 1 4=1
1 П / /V _L /7 \
= ;-«й+
4 = 1 1 4 = 1 4
, а.. -4- 1 е^
,<Х л--1—L 1—£ —L
n fj2_п*> 1 п е п
2^Ж)~Ц^ <4SeUi2«7 = i(*
4 = 1 4 = 1 4 = 1
Следовательно, беря
а).
и полагая
получаем
о
е — ----------
b — а
bi — a>-
п
Поэтому
ь
Г < *2~ а^
j х dx== g—
342
Глава 25
Теорема 362. Если
ограничена в [я,
Доказательство,
при любом выборе чисел
ь
J /(х) dx существует, то f(x)
а
Возьмем такое разбиение, чтобы
выполнялось неравенство
п I
I <2,
V 1 i
и, следовательно,
I п I
! </|+2.
г> = 1 ;
Если бы утверждение теоремы было неверно, то /(х) была
бы неограниченной по крайней мере в одном из интервалов
[^-1, av], скажем при v = На всех остальных интервалах
(т. е. для возможных v ф у.) я приму = тогда все $7,
креме будут фиксированы, и можно будет выбрать
так, чтобы
2 V(’,)
ч -1
!Л-т-2.
Теорема 263. Теорема 362 необратима.
Доказательство. Пусть я = 0, Z>=1,
/(*) = I
в [я, Ь].
О для рациональных х
1 для иррациональных х
Каково бы ни было разбиение, в каждом интервале
[A-», существуют как рациональные, так и иррациональ-
ные Таким образом, числа 57 можно выбрать так, чтобы
п
м - 1
и так, чтобы
п
V - 1
Следовательно, I не существуем.
Понятие определенного интеграла
343
ь
Теорема 364. Если §f(x)dx существует, то f(x)
а
удовлетворяет условию Римана.
Доказательство. В силу теоремы 362, /(х) огра-
ничена в [я, #]. Пусть задано 3>0. При надлежаще вы-
бранном е > О, для каждого фиксированного разбиения со
всеми е^ < s, каковы бы ни были и из aj,
имеем
I Н 5 I п 5
| £ -/ < -3-, | 2^Ж)-1 <Т,
и, следовательно,
п ! 2о
2 ^/(U-/(^))'<T-
v = 1 j
По теореме 360, и для 1 v п можно выбрать
так, чтобы
3^,
а тогда
Л Л . 6 28 . 6
2 е< 2 е, (f (5,) —Ж)) + 3 < -3- + у = 8.
> - 1 V - 1
Мы докажем, что теорема 364 обратима (теорема 368);
но для этого потребуется некоторый разбег.
Теорема 365. Пусть
1Ж)| < с в [а,&]
и пусть 21 м 2'2 — суммы 2^> соответствующие двум
разбиениям, из которых второе содержит все числа де-
344
Глава 25
ления первого и не более q других. Пусть все е.> первого
разбиения < а. Тогда
21 2-2 2i %qcs.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что #=1. Но при добавлении нового числа деле-
ния, т. е. при замене члена el на е'1' е"1", имеем
( >0,
v 1 7 k 7 1 v 7 I О' • Zc^e" • 2f<2fe.
Теорема 366. Пусть /(x) ограничена e\a,b}u L —
нижняя грань сумм ^el для всех разбиений» Тогда
для каждого о > 0 существует е > 0 такое, что если
все е < е, то
2 */<£+&.
Доказательство. Выберем с так, чтобы
|/(х)|<« в [а, г>],
и выберем какое-нибудь разбиение, для которого бы
Пусть оно имеет q частичных интервалов. Положим
о
е = —
^qc
и рассмотрим любое разбиение со всеми е^ < а. Пусть 2 —
соответствующая сумма ^el, а 2з соответствует разбиению,
образованному всеми числами деления у 2, и 2. Так как
к числам деления, имеющимся у 21» добавляется не более
q — 1 новых, то, по теореме 365,
£ + |>2.>2,»2-2ч.= 2-4,
- 2<i + «-
Понятие определенного интеграла
345
Теорема 367. Пусть f(x) ограничена в [я,#] и А —
верхняя грань сумм 2для всех разбиений. Тогда для
каждого о > 0 существует s > О такое, что если все
е < е, то
2 > Л — о.
Доказательство: теорема 366 с — /(х) вместо—/(х).
Теорема 368. Пусть а< Ь и пусть /(х) удовлетворяет
условию Римана или даже лишь более слабому условию,
что f (х) определена и ограничена в [я, 6] и что для
каждого 8 > О существует разбиение с
2 < s.
ъ
Тогда J f(x)dx существует.
Предварительное замечание. Из теорем 368 и 364 сле-
дует, что указанное более слабое условие влечет за собой
условие Римана, так что на самом деле первое не слабее
второго.
Доказательство. Для каждого 8>0 существует
такое разбиение, что
8 >2es = 1j el — L — А.
Следовательно,
Д> L.
В силу теорем 366 и 367, для каждого 8>0 существует
в>0 такое, что для всякого разбиения со всеми ev<e вы-
полняются одновременно неравенства
и
£еХ>Л — о>Л — 5.
Каковы бы ни были тогда лежащие в соответствующих
[A-i, а], получаем
L — 8 < 2 <5 */(£).< S i + S,
346
Глава 25
Следовательно,
ь
J / (х) dx существует и = L.
а
Теорема 369. Каждая функция, непрерывная в [а, &],
интегрируема от а до Ь.
Доказательство. Пусть /(х)— функция, удовлетво-
ряющая условию теоремы, и пусть задано 3>0. В силу
теоремы 154, существует г>0 такое, что
l/(*) — /(?)|<при а<я<Ь>
1а— 3;<в.
Если, следовательно, каждое ^<s, то каждое
о
S'' 2 (Ь — а)
И
Ч[Ь — а) —-2<°-
Тем самым выполнение условия Римана проверено (что, со-
гласно теореме 368, в полном объеме даже не было необ-
ходимо).
Определение 85. Функция /(х), определенная в [а, 6],
называется там монотонной, если для я а < Р
всегда
/(«)</(₽),
либо всегда
/(«)>/(?)•
В первом случае /(х) называется монотонно не убывающей,
во втором—монотонно не возрастающей,
(Определения 71 и 72 исключают знак равенства между
/(«)«/(?)).
Теорема 370. Каждая монотонная в [а, 6] функция
интегрируема от а до Ь.
Понятие определенного интеграла
347
Доказательство. Пусть /(х)— функция, удовлетво-
ряющая условию теоремы. В первом случае определения 85
имеем
А =/(«,), «,=/(«,)—/(«7-1)>
и для ev<s получаем
2 es < г 2 = г (/(/>) — / (а)).
Во втором случае
A = /(A-i), = /(а.,),
и для £v<3 получаем
2 «2 * =г (/(«)—7W
Таким образом, каково бы йи было о>0, если е^<з,
где
г== |/(*)-/(«) I + 1 ’
то имеем
2 es < 8 •
Теорема 371. Каждая ограниченная в [«, Ь] функция,
для которой число мест разрыва внутри этого интер-
вала не бесконечно, интегрируема от а до Ь.
Доказательство. Пусть /(х)— функция, удовлетво-
ряющая условию теоремы, и
|/(х)|<с В [а, £].
Обозначим а, Ь и возможные внутренние места разрыва функ-
ции /(х) через
® ^.т, k целое,
так, чтобы
при 1
^0=^ Ъы=Ь.
Пусть о>0. Положим
Min — ^*-1) ==-.
1 < к < т
увМ1п(Л, I).
\отс о /
348
Глава 25
Тогда
*к-1-Н<'1л —Y при 1 <&</«.
В каждом из интервалов hfe_1 -j- 7, v\k— 7] функция f (х)
непрерывна; следовательно, эти интервалы можно подверг-
нуть такому разбиению, что сумма ^es по всем этим
интервалам будет <-| .
Для каждого из интервалов [т]0, т]0-]- 7], [г\к— 7, т\к -Д- 7]
при 0<6</и, — 7, 7jw] имеем
5 2с,
следовательно, не подвергая их дальнейшему разбиению,
получаем по ним совокупную сумму
2 2с 2 е ~ 2с • 2ап7 у •
Тем самым мы пришли к такому разбиению интервала
[я, Ь\, что
Определение 86.
Ъ а
j*/(х) dx = — j" /(х) dx,
а b
если правая часть имеет смысл.
Пример.
3 4
f , Г . 42-32 7
\ х dx — — I xdx —--------g~ — у •
4 3
Определение 87. Если f(a) определено, то
J f (х) dx — 0.
Пример.
о
f ^2zl t/x=0.
J X— 1
о
Глава 26
ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Теорема 372.
j* / (х) dx -|- j* f (х) dx — О,
а b
если один из интегралов имеет смысл.
Доказательство: определения 86 и 87.
Теорема 373. Если а а р Ь, соответственно
ь
а а р > Ь, то вместе с / (х) dx существует и
а
Р
f f(x)dx.
а
Доказательство. Для случая а = р — ясно. Пусть,
поэтому а^=р, тогда без ограничения общности можно счи-
тать, что а а < р Ь.
По теореме 362, /(х) ограничена в [я, &], а следова-
тельно, и в [а, р]. Возьмем для заданного 8>0 какое-ни-
будь разбиение интервала [а, 6] с
2
Без ограничения общности можно считать, что аир — числа
деления. Действительно, по теореме 365 (примененной к /(х)
и —/(х)), 2^ не возрастает при добавлении одного или
двух чисел деления (поскольку не возрастают 2 и
А тогда, отбрасывая возможные интервалы от а до а и
от р до Ь, мы получаем разбиение интервала [а, р] с •
2^<Л
310
Глава 26
ь
Теорема 374. Если a<Zb<Zc и интегралы J* f(x)dx и
а
с с
^f(x)dx существуют, то интеграл J f (х) dx суще-
ъ и
ствует и
с b (*
J*/(х) dx = f/(х) dx + J /О)dx-
a a b
Доказательство. 1) По теореме 362, f(х) ограни-
чена в [a, ft] и [ft, с], а следовательно, и в [а, г]. Выберем
для заданного 8 > 0 разбиение интервала [a, ft] с
2 es < '2~
и разбиение интервала [ft, г] с
2«<|-
В совокупности они дадут разбиение интервала [а, г] с
е
и, следовательно, J f (x)dx существует.
а
2) Разобьем каждый из интервалов [а, Ь] и [ft, с] на и
равных частей и выберем всюду в качестве меньший из
концов соответствующего интервала. Тогда
2 */(?) + 2 2
[«, 6] Рл е] 1<G d
и, беря /г-»оо, получим
bee
J / (х) dx + J /(х) dx = J/(х) dx.
а Ъ а
Теоремы об определенном интеграле
351
Теорема 375.
j / (х) dx -j- ( f (х) dx J f (x) dx — 0,
a b a
если два каких-нибудь из этих интегралов имеют смысл.
Доказательство. При а<^Ь<^с утверждение сле-
дует из теорем 373 и 374; при а^Ь^с или а^Ь=с
оно очевидно. Таким образом, оно верно при а b с.
Умножение на —1 устанавливает его тогда и для а'У^Ъ^с.
Но а, с входят в левую часть утвержденного равенства
циклически, т. е. при замене а, Ь> с на Ь, с, а, и с, а, б
слагаемые меняются только местами, а именно, 1-е, 2-е, 3-е
переходят во 2-е, 3-е, 1-е или в 3-е, 1-е, 2-е. Следователь-
но, утверждение справедливо и при Ь^с^а, с^а^Ь,
Ь^а^с и а^с^Ь, т. е., таким образом, всегда.
Теорема 376.
ь ъ ь
j <f(x) + g (ХУ) dx= J / (x) rfx 4- J g (x) dx,
a a a
если правая часть имеет смысл.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что а < b (так как для а =* b теорема очевидна, а
для а>& следует из а<Ь умножением обеих частей на — 1).
Имеем
п п п
= 1 N = 1 V = 1
Но для каждого 8>0 существует $>0 такое, что если
в разбиении все г7<е, то одновременно
и
ь
п
а
352
Глава 26
А тогда
Пример.
4 4 4
J (1 4- х) dx = J dx х dx = (4 — 3) -f- '5=5
3 3 3
Теорема 377.
& т
/2/* АН*
т Ь
а
если правая часть имеет смысл.
Коротко:
Доказательство. Для т = 1 — ясно. Заключение от
т к т1: по теореме 376,
w+i ь т ь ь
2. fА A) dx= 2 f A A) dx 4- f /m+1 (х) dx =
к=1J k=lJ J
a a a
Ъ m b
= f 2 A A) dx + f fm+1 (x)dx —
a ' “ a
b I m \ m^i
== f 2AA)+A»nA)f 2A(x)dx.
J \k~l / J к=1
a \ I a
Теорема 378.
ъ ь
J Cf (x) dx ~ C J f (x) dx,
a a
если правая часть имеет смысл.
Теоремы об определённом интеграле
35S
Доказательство. Вез ограничения общности можно
считать, что а<£. Имеем
п н
V = 1 V =» 1
Но для каждого 8>0 существует такое е>0, что при
е„<в выполняется неравенство
— p(*)dx\<
а
|С| + 1
А тогда
а
ICI + 1
Теорема 379.
ь ъ ь
f (f(x) — g(x))dx=~ J*/(x)rfx —J g(x)dx,
a a a
если правая часть имеет смысл.
Доказательство:/—^ = /-|-(—l)g-, теоремы 378
и 376.
ь ъ
Теорема 380. Если §f(x)dx и j* g(x)dx существуют,
а
а
ь
j* f\x)g{x)dx.
то существует и
а
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что По теореме 362, f(x) и g(x) ограничены
в [а, />]; следовательно, ограничено там и f(x)g(x). Для
любых чисел хг и х2 из [а, Ь] имеем
(1) /(Xjg^)—/(Ха)^(ха)=х
=/(*i) (g(*i) — g (*9)) +' g Ua) (Z(-»i) — f(Xa)) >
23 Зак. 848.
354
Глава 26
Выберем, какое-нибудь с, для которого
|/(л:)|<с, |g(x)l<c в [а, &],
и обозначим колебания функций / (х), у(х), /(х) g (х) в одном
и том же частичном интервале через s', s", s. Тогда, в силу
равенства (1), предполагая, что хх и х2 лежат в этом частич-
ном интервале, имеем
— f^g(x2) <
< 1/(^1) 11 g Ul) — g (*2) I + I g (*2) I l/(*l) —/(*2) I <
cs” 4~ Cs'.
Следовательно, по теореме 360,
s cs,f+cs' >
Ses c Ses"+c 2 es\
что для надлежащего разбиения будет <8, каково бы ни
было заранее выбранное 8>0.
ь
Теорема 381. Если т>0 целое и Jfk(x}dx суще-
а
ствует для каждого целого k с 1 k т, то суще-
ь т
ствует и | ТГ fk(x)dx.
а *=1
Доказательство. Для т = 1—ясно. Заключение от
т к т -f-• 1 •
m-М т
Па (я) “ П А (Х) ’ fm +1 (х)
к = 1 к - 1
и теорема 380.
ь
Теорема 382. Если J f(x)dx существует и
а
ь
для а^х^Ь, соответственно b < х а, то и J у—
а
существует. _
Теоремы об определенном интеграле 355
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что Пусть s' и $ — колебания функций / (х)
1 ГТ
и 7— в некотором частичном интервале. Для и х2 из
этого интервала имеем
1—1________1 |.__|/(хг)-/(Х1)
|/(-Ч) /(-ЧЛ I
следовательно,
’Р3 ’
pl
es ,
что для надлежащего разбиения будет <8, каково бы ни
было заранее выбранное 8>0.
ъ ь
Теорема 383. Если J f(x)dx и J g(x)dx существуют
а а
и
к(*)1>р>о
>, соответственно b х а, то существует
Ъ
и f^dx.
J g(x)
а
Доказательство: у=/-^ и теоремы 382 и 380.
ь
Теорема 384. Если J f(x)dx существует и I, соот-
а
ветственно К — верхняя, соответственно нижняя, грань
f(x) для соответственно для Ь^х^а, то
ь
соответственно
а
ъ
а
23*
356
Глава 26
Доказательство. 1) Для а = Ь — ясно.
2) Для а<.Ь имеем
X (Ь — а)« 2 е,Х < 2 < 2 = / (& — в)
V = 1 V = 1 м = 1
и, следовательно,
X(d —а)< J f(x)dx^l(b — а),
а
3) Для а>Ъ, согласно доказанному в 2),
Х(а — &)< f/(x)dx<C!(a — b),
»
и умножая на — 1, приходим к утверждаемым соотношениям.
ь
Теорема 885. Пусть J f(x)dx существует и
а
I/ (•*) I с пРи а^.х^.Ь, соответственно b-^х а,
Тогда
ь
|J7(x)rfx|<c|(*—а)|.
а
Доказательство. 1) Для а = Ь— ясно.
2) Для а < 6, принимая во внимание, что
— с
имеем, по теореме 384,
— с(Ь — а)< J f(x)dx ^.6(b — а).
а
3) Для а>Ь следует из доказанного в 2), так как
Ь а
j* /(*) dx = — J/(x) dx.
a b
Теоремы об определенном интеграле
357
ь
Теорема 386. Пусть a<b, J*f(x)dx существует и
а
/(х)>0 в [а,6].
Тогда
»
/(x)rfx>0.
а
Предварительное замечание. Даже сделав более сильное
предположение
/(х)>0 в [в,*],
мы сможем заключить из нижеследующего доказательства
лишь, что
ь
j* f(x)dx 0.
Тем приятнее будет теорема 388.
Доказательство: Х^-0 и теорема 384.
ь
Теорема 387. Если а<Ь и ^f(x)dx существует, то
а
f(x) непрерывна в некотором $ с
Предварительное замечание. Отсюда следует, что /(х)
непрерывна для бесконечного числа значений 5.
₽
Доказательство. Если а < 3 и J /(х) dx существует,
а
то для каждого tq>0 найдется замкнутый интервал с
лежащий внутри [а, р]. Действительно, возьмем какое-нибудь
разбиение с
2 «А <1 (?—«).
* = 1
Тогда
т) (Р — а) > Min • 2 et = (? — «) Min
358
Глава 26
и, следовательно, некоторое
„Обрезави соответствующий интервал с обоих концов, мы
и получим требуемый интервал.
Выберем теперь внутри [a, £] интервал с
s< 1,
внутри &(1)] — интервал д(2)] с
и т. д. То есть мы выберем две последовательности чисел
а^т\ целые,
удовлетворяющие условиям
а<аф,
и на [a(w\ &<w)]
Числа а(т) ограничены сверху (а именно, <д); поэтому
существует
lim a(w) =5,
т = оо
причем
и даже
аМ для каждого /п.
Пусть задано 8>0 и /п>у . При надлежаще выбранном
s>0, зависящем от /п, а следовательно, от 8, имеем
Теоремы, об определенном интеграле
359
Поэтому для |х— $ | е, в силу (1), имеем
f(x) непрерывна в 6.
ь
Теорема 388. Пусть а<Ь, J f(x)dx существует и
а
f(x)>0 в [а, &].
Тогда
ь
f(x)dx~>0.
а
Доказательство. Пусть $ — существующее, по тео-
реме 387, число непрерывности функции /(х), лежащее
внутри [я, />]. Положим
/(5) = р(>0).
Тогда существуют а, р такие, что
а<а<$<р<£,
/(х)>А в [а,?].
Поэтому, в силу теорем 384 и 386,
Ь а b а 3 Ь
у = f + f = f 4- J +j >О4-^(|3—а) + о>о.
а а а а а £
b b
Теорема 389. Пусть Jf(x)dx и Jg(x)dx су-
а а
ществуют и
f(x)<g(x) в [а, Ь\.
Тогда
ь ъ • . . ’ .
§f(x)dx^. § g(x)dx.
« в
36Q
Глава 26
Доказательство. Так как
g (Х)-/(Х)> о,
то, в силу теорем 379 и 386,
ь ь ь
J g (х) dx — J /(х) dx — У (£ (х) —/(х)) dx 0.
а а а
Теорема 390. Пусть а<Ь, /(х) ограничена сверху
ь
в [a, ft] и имеет там верхнюю грань /, J g(x)dx и
а
b
f f (*) g О) dx существуют, и
^(х)>0 в [а, *].
Тогда
ь ъ
У f(x)g(x)dx < / J g (х) dx.
а а
Предварительное замечание. Если, при сохранении про-
чих предположений, считать /(х) ограниченной снизу (а не
сверху), с нижней гранью X, то применение теоремы
к—/(х) даст
Ъ Ь
J (—/(х)) g (х) dx < (— X) J g(x) dx,
о а
h &
У fix) g(x)dx> ку g (х) dx.
а а
Доказательство. Имеем
(/—/(*))£ (х)> 0,
и функция
(/ —/ (х)) g (х) = 1g (х) — /(х) g (х)
Теоремы об определенном интеграле
361
интегрируема от а до Ь. Следовательно, в силу теоремы 386,
ъ ь ь
IJ g(x) dx — j*/(x) g (x) dx = J (Z—/(x))g(x)<Zx > 0.
a a a
Теорема 391 (первая интегральная теорема о среднем
ь
значении). Пусть a<b,f(x) непрерывна в [a, Z>], Jg(x}dx
а
существует и
g(x)>0 в [а, д].
Тогда в [а, Ь] существует 5 такое, что
ь ъ
f f (х) g (х) dx = /(£) J g(x) dx.
о. a
Доказательство. Пусть А — наименьшее, a Z—наи-
большее значения /(х) в [д, £]. В силу теорем 369 и 380,
»
J’/(x)gr(x)dx существует. Следовательно, по теореме 390
а
и предварительному замечанию к ней,
ъ ь ь
(1) Xj£(x)dx<
а а а
J f(x)g(x)dx^l J g (х) dx.
Функция
ь
/ О) f £ W dx
а
непрерывна в г-интервале [а, и
ъ
значение X § g(x)dx и наибольшее
а
Следовательно, в силу соотношений
имеет там наименьшее
ь
значение Z J*g (х) dx.
а
(1) и теоремы 152,
362
Глава 26
в [а, существует $ такое, что
ъ ь
J/(*)g{x)dx — f (5) Jg(x)dx.
а а
Теорема 892. Если а<Ь и f(x) непрерывна в [a, Z>],
то в [а, #] существует $ такое, что
ь
§f (x)dx—f(l) (Ь — а).
й
Доказательство. Теорема 391 с
ь
Теорема 393. Пусть a<b, J f{x)dx существует и,
а
следовательно, в [а, Ь] существует функция
X
/ f \У) dy==F (х).
а
Тогда F(x) непрерывна в [а, А].
Доказательство. Для 5 и 5 + Л, принадлежащих
[а, А], имеем, по теореме 375,
5+л е £+»
F(5 + А) - F (5) == j /(х) dx — J /(х) dx = j* /(х) dx.
а а £
Выберем с с
|/(х)|<с в [а, А].
Тогда, по теореме 385,
|F(5 + A)-F(5)|= J/(x)rfx
е
с|Л'.
Следовательно, для каждого 8>0 при |А1<е — у . будем
иметь
|F(5 + A)-F0)|<8.
Теоремы об определенном интеграле
363
ъ
Теорема 394. Пусть a<b, J*f(x)dx существует и,
а
следовательно, в [а, #] существует функция
ь
§ f (у) dy — G (х).
X
Тогда О(х) непрерывна в [а, £].
ъ
Доказательство. F (х) О (х) = j* f(y}dy,
G (х) — — F (х) -j- const.
и теорема 393.
ъ
Теорема 395. Пусть a<b, [f(x)dx существует и
а
f(x) непрерывна в некотором $ с а<К<,Ь. Тогда функция
X
F(x)=^ f f(y) dy
a
дифференцируема в 5 и
Доказательство. Для 0 < | h | Min (b— 6, £ — а)
имеем
F$ + h) — Р(£)== ff(x)dx,
V(0= ff(l)dx,
F(£ + Л) -F® - Л/(5) = f (/ (x) -/(5)) dx.
Для заданного 8 0 существует такое положительное
®<^Min(Z> — $ — а), что ..
|/(х)~/($)|<8 при |х — £|<е.
364
Глава 26
/(5) <8.
Поэтому для 0 < [ h | < в, в силу теоремы 385, будем иметь
|F(£ + h)-F(i)
I Л
Следовательно,
b
Теорема 396. Пусть a<b, J f(x)dx существует и
a
/(x) непрерывна в некотором 5 с Тогда функция
ь
О(х) = f f(y)dy
X
дифференцируема в 5 и
О' (0 = -/($)•
Доказательство. G(x) =— F(x)-j-const. и тео-
рема 395.
Теорема 397. Пусть a<.b, f(x) и g(x) непрерывны
в [а, У] и g(x) для а<х<^>— неопределенный интеграл
от /(х) (т. е. g' (х) =/(х)). Тогда
/ f(x)dx = g(b)—-g(a).
а
Доказательство. Полагая
F(x) = f f (у) dy в [а, д],
а
имеем, по теореме 395,
Ег (х)=/(х) = gf (х) при а<х<£.
Следовательно, в силу теорем 393 и 162,
ь
J f(y) dy — g(b) = F0)—g (b) = F(a) — g (fl) = — g (a),
a
Теоремы об определенном. интеграЛе
365
Теорема 398. Пусть а>Ь, /(х) и g(x) непрерывны
в [£, а] и g(x) для Ь<х<а— неопределенный интеграл
от /(х). Тогда
ь
J f(x)dx^g (b)-g (а),
а
Доказательство. По теореме 397,
f f(x)dx=>g(a) — g(b).
ъ
Умножая на—1, приходим к утверждаемому равенству.
Примеры. На практике пользуются обозначением
£(£)—£(«) = {g (*)}«•
1)
Действительно, при афЬ это равенство следует из теоремы
397 или 398, поскольку
а при а — b — верно тривиальным образом.
Вообще теоремы 397 и 398 позволяют вычислять опре-
деленные интегралы непрерывных функций, у которых известен
неопределенный интеграл для открытого интервала, непрерыв-
ный в соответствующем замкнутом интервале.
ь
2) f = {logx P = log6 при />>0.
*/ Л 1
1
Ь
Теорема 399. Пусть a<^b, J f(x)dx существует, g(x)
а
непрерывна в [а, £>] и
g'(*)=/(x) при а<х<Ь.
366 Глава 26
Тогда
ъ •
| / (х) dx = g (b) — g(a).
a
Предварительное замечание. Теорема 399 содержит
теорему 397, но доказывается отнюдь не сложнее.
Доказательство. Для каждого разбиения интер-
вала [a, ft] имеем, по теореме 159,
п п п
g(b) — g(a) = 2 (g4O — g (a,. J) = 2 e.g' (Q = £ ev/(U.
4 = 1 4 = 1 4 = 1
j <C ^4 <x ^4‘
Выберем для заданного 8>0 такое разбиение, чтобы при
любом выборе чисел из интервалов av] и, в част-
ности, при указанных выше выполнялось неравенство
П Л I
I 2^/ (Q — JA*) dx I < §
Тогда
ь
[£(£) — £(«) — //(x)rfx|<8,
а
и так как левая часть не зависит от 8, то она равна нулю.
ъ
Теорема 400. Если а<Ь и Jf(x)dx существует, то
а
Ъ
J также существует и
а
Ъ Ъ
j J/(x)dx|<J |/(х) I dx.
а' а
Доказательство. 1) По теореме 362,/(х), а значит
и |/(х) ограничена в [а, 6]. Пусть 5 и $ — колебания
функций /(х) и |/(х) | в каком-нибудь частичном интервале.
Теоремы об определенном интеграле
361
Так как
то
и, следовательно, для каждого 8>0 при надлежащем разбие-
нии имеем
2 е5 <2^3 <8.
2) Так как
- |/(х)|</(х)<|/(х)|,
то^ по теореме 389 и доказанному в 1), имеем
ъ ь ь
— [ l/U) I dx < J/(х)dx < J |/(x) I dx.
a a a
Теперь мы подходим к важнейшей и единственной глубоко
лежащей теореме этой главы — так называемой, второй тео-
реме о среднем значении (теорема 405), для доказательства
которой нам потребуются некоторые приготовления. Ниже-
следующая часто употребляемая теорема 401 даже не содер-
жит интегралов и выражает свойства конечных сумм.
Теорема 401. Пусть
/г > 1 целое,
при —1, v целое
(в случае п — 1 здесь ничего не требуется),
ew>0,
av произвольные, у— целые с 1 ^у^п,
q
“ 2 av
A
при 1 q п, q целое,
где А и В не
В = Max SA.
i<q<n
зависят от q (например, А — Min S#
l<q<n
368
Глава 26
Тогда
п
Ла,
4 = 1
Доказательство. Для « = 1 —ясно. Для я> 1 имеем
п п п —1
2 ®vav = 81’51-|- 2 —•$»-!)== $»(«,— S, и)+ $»*»
V ~ 1 4 = 2 4 = 1
П — 1
<в( 2 (sv—Mi)+ «»)== Ssj,
4 = 1
П — 1
> л( 2 0, — ®,+1)4-«п) = Ле1.
4 = 1
Ъ
Теорема 402. Пусть a<b, j* f(x)dx существует, ф(х)
а
монотонно не возрастающая функция в [л, &] и
4(a)=l, <И*)>0.
Тогда в интервале [а, существует 5 такое, что
ь е
f /(*) Ф (х)dx — j* f(*) dx.
a a
Доказательство. Пусть /v, Xv, ^определены
обычным образом для функции f(x) и произвольного раз*
биения интервала [а, &]. Будем считать, что оставляя
остальные произвольными в своих интервалах aj.
Тогда для целых q с 1 q п имеем, по теореме 384,
Q « а4
2 2 f f{x)dx— I f(x)dx^ 2 еЛ-
4 = 1 4 = 1^ 4 = 1
Далее,
Q.
«5^ ej2S ^4^4
4 = 1 4 = 1 4 = 1
uv
О
Теоремы об определенном интеграле
36$
и» следовательно,
f 2 < 2 2
I J V = 1 I V = 1 V = 1
a
У
По теореме 393, функция J f(x)dx непрерывна в дг-интер-
а
вале [а, 6]. Пусть ее наименьшее значение там будет С, а
наибольшее—/). Тогда для 1 q п будем иметь
п <1 п q
С— 2 I f(x)dx — 2 2 М(£,Х
7=1 J , = 1
я п п
< J f(x)dx+ 2 2 e,s,.
а 7=1 7=1
Применим теорему 401, приняв в ней
е„ = (5V) при 1 v С и
(так что все предположения относительно чисел выпол-
няются),
п
А = С— 2
V = 1
П
3 = /) e^Sy.
? = 1
Тогда (поскольку — 1) получим
п п п
с~ 2 2 2
м = 1
В силу теорем
Следовательно, при
ь
370 и 380, f{x)^{x)dx существует..
достаточно малом Мах три часто
24 Зак. 818.
37й
Глава 26
последней формулы произвольно близки, соответственно, к
ь
с, Jf{x)i({x)dx, D.
Поэтому
J f(x)^(x)dx^D.
и
У
Следовательно, в силу непрерывности функции J /(х) dx
а
в j/-интервале [а, Ь], там существует $ такое, что
ъ £
J* f(x)^(x)dx— J f(x)dx.
а а
Теорема 403. Если в предположениях теоремы 402
отбросать требование
Ф(«)= 1,
то в [я, Ь] будет существовать $ такое, что
ь е
J f (*) ф (•*) <1х = ф (a) J /(х) dx.
а а
Доказательство. По условию
ф(а)>0.
1) Если
ф(а)=О,
то
ф(х)=0 в [а, &],
ь
J*/(х) ф (х) dx = 0,
а
и каждое $ из [а, 6] обладает требуемым свойством.
2) Если
ф(а)>0,
Теоремы об определенном интеграле 3^1
то теорема 402 применима к вместо <р(х) и дает суще-
ствование $ из [а, д] такого, что
» $
а а
b
Теорема 404. Пусть a<.b, $f(x)dx существует, 'р(х)
а
монотонно не возрастающая функция ^0 в [л, Ь] и
у
с2 6 £]•
Тогда
а
ь
а
Предварительное замечание. Эта теорема» не исполь*
зуемая в доказательстве теоремы 405, важна для* многих
применений.
Доказательство: теорема 403.
Примеры. 1) Для 0<а<д имеем
ь
I f sin х , I ,2
I ------dx । .
IJ X I а
а
Действительно, здесь применима теорема 404 с
/(x)=sinx, <^(х) = 1, , с2 = 2,
так как
у
| J sin xdx = | {— cosx }va | = | — cos_y + cos a | < 2.
2) Для 0<a<£, полагая
/(x) = 2xcos(x2), <p(x)=i, ^1“^, c2=2
24*
Глава 26
и принимая во внимание, что
*
J 2х cos (х2) dx = | { sin (х2)}уа | = | sin (у2) — sin (а2) | 2,
а
получаем
ь ь
IJ cos (х2) dx | = | J/W ’}' (*) dx | < Cjfg = .
а а
Теорема 405 (вторая интегральная теорема о среднем
ъ
значении). Пусть a<b, ff(x)dx существует и g(x)
а
монотонна в [а, />]. Тогда в [а, й] существует $ такое
что
ь $ ъ
jf(x)g (х) dx = g (a) ff (х) dx + g (b) J f (x) dx.
a a 5
Доказательство. g(x) можно без ограничения общно-
сти считать монотонно не возрастающей (в противном случае
мы вместо g(x) рассмотрели бы —g/x)); следовательно, .
ф(х) = £(*) — gW)
монотонно не возрастает и
<К*)=о.
Тогда, в силу теоремы 403, в [а, 6] существует 5 такое,
что
о 5
J f\x) (g (х) — g(b)) dx = (g(a) — g(b)) J/(x) dx,
a a
b b k
j f(x)g(x)dx = g(b) j f (x) dx + g (a) J/(x) dx —
a a a
k • k b -
— £(£)/f(x)dx = g(a) J/(x)(/x+ ^(&) J f(x)dx.
a a $
Теоремы об определенном интеграле
373
ъ
Теорема 4С6 (сдвиг). Пусть а<Ь и J*f(x]dx суще-
а
ствует. Тогда
Ь ь - с
Hi.x)dx= f f(y + c)dy.
а а —с
Доказательство. Каковы бы ни были разбиение
интервала [а — с, b — с] и числа из соответствующих
частичных интервалов,
п п
= £ ечЖ),
J — 1 V = 1
где справа имеем соответствующее разбиение интервала [а, ft]
(с = а ^ = ^~\-с. Но правая часть при доста-
точно малом Мах 'е^ произвольно близка к левой части
1 < v < п
утверждаемого равенства.
ь
Теорема 407 (отражение). Пусть а < b и ^f(x)dx су-
а
ществует. Тогда
Ь — а
- f f(x)dx= f f(—y)dy.
-a — b
Доказательство. Каковы бы ни были разбиение
интервала [—ft,— а] и числа из соответствующих ча-
стичных интервалов,
п п
V = 1 V = 1
где справа имеем соответствующее разбиение интервала [я, ft],
занумерованное в обратном порядке (Л7 = — av), и ^== —
Но правая часть при достаточно малом Мах еч произвольно
1 < •> < п
близка к левой части утверждаемого равенства.
374
Глава 26
Теорема 408 (растяжение или сжатие). Пусть а<Ь,
ъ
| f(x)dx существует и у.>0. Тогда
а
b
Ъ и-
у/(х)(/х = |1/ f^y)dy-
а а
I*
Доказательство. Каковы бы ни были разбиение
[a b 1
—, - I и числа из соответствующих частичных
интервалов,
п 1 я
(1) 2 2
N = 1 I1
где справа имеем соответствующее „растянутое" или „сжа-
тое" разбиение интервала [а, 6] (с 4V=^V, fv = ^), а
= Если
Max £v<—,
1 < м < П &
ТО
Мах Еч= Мах (ра)<з.
1 о < n
Следовательно, правая часть равенства (1) при достаточно
малом Мах произвольно близка к левой части утверж-
даемого равенства, умноженной на .
Теорема 409 (Van derCorput — Landau). Сущест-
вует * мировая постоянная* р, обладающая следующим
свойством: если а<Ь, г>0 и
то
f"(x)>r 6 [а,
ь
J cos f(x)dx
а
Теоремы, об определенном интеграле
375
Предварительное замечание* Эта теорема, важная для
аналитической теории чисел, представляет собой применение
теоремы 404. Я докажу ее с
р=6.
Доказательство. 1) Так как /" (х)>0, то f (х)
в [а, £] непрерывна и монотонно возрастает. Следовательно,
интервал [я, #] распадается, самое большее, на два интер-
вала, в каждом из которых всюду /'(х)^>0 или всюду
/'(х).<0. Поэтому достаточно доказать утверждение тео-
ремы с р = 3 для каждого такого интервала.
Без ограничения общности можно считать, что
Действительно, в противном случае мы рассмотрели бы
функцию
g(x)=f(— х) в [—Ь, — а];
так как
g'(x) = -/(-x)>0,
g"(x)==/(-x)>r,
то, в силу теоремы 407, мы имели бы тогда
ь
j* cos f(x')dx
а
— а
—ъ
—а
J cosg(x)dx
— b
3
2) Пусть, таким образом, в [а, выполнены условия
/'«>0, rw>r>0.
I) Если
b— а ,
у г
то, по теореме 385,
ь
j cos/(x)dx
376
Глава 26
П) Если
то, по установленному в I),
cos f{x)dx
и достаточно доказать, что
cos/(х) dx
В силу теоремы 159,
’ )-/(а) + -1=Л(£), а<$<а+ 1 ,
\ у г J У г у г
и, следовательно,
/' («4- ^=г= /г.
Так как функция
в монотонно убывает и >0, то, применяя
теорему 404 (с неперерывной
вместо f(x) и с
= ~7 j~T » ^2“
\ у г J
Теоремы, об определенном интеграле
377
получаем
ъ
J cos / (х) dx =
а 4-^
ь
j
а+±
V г
действительно, ведь для у из
мы имеем
{sin/(x)}1' x
d sin/(x)
dx
dx
Теорема 410 (аналог интегрирования по частям). Пусть
ь ъ
J f (x)dx и J g(x)dx существуют, А и В произ-
а а
вольные числа и
F(x) = f (у) dy-^-А
!«[«> *]•
° W = f g(y)dy + B
Тогда
ь ь
J F(x)g(x)dx = (F(x)G(x)}* — J f(x)G(x)dx.
(i a
Предварительное замечание. Если /(x) и g(x), кроме
того, непрерывны в [а, &], то утверждаемое равенство сразу
следует из теорем 393, 395 и 397; действительно, тогда
(F (х) О (х))' = F (х)£(х) +/(x)G (х)
для а<х<£, следовательно,
J (Е(х)^(х)+/(х)0(х))й?х = {Е(х)0(х));,
а
378
Глава 26
Доказательство. Пусть с выбрано так, что
|F(x)|<c, | G(x)| в [<?, 6].
Для каждого разбиения инте.рвала [а, />] имеем
{F (х) О (< = Д (F (а,) О («,) - F (а,_,) G {а, _ «
= 2 G(a,)(F(a,)—F(«,_i))4- S F(rt<-1)(°(av)~G(a,_j)) =
V = 1 V ~ 1
n n
2 G(a,) J /(x)dx + 2 ^(«M-1) J g(x)dx.
°,-i '' «4-1
Пусть 5, и Sv— колебания функций /(x) и g(x) в
[av_i, а,]. Тогда там
/ («,) — < / (х) < /(«,) + sv,
g («V -1) — S» < g (xX g («, - 0 + s,,
и потому
G\) — < f f (*)< ^/(^) +
e, g («, -1) — e^ < J g (x) dx < e, g (a, _ t) + e,S.
%
J /(x)cfx —e,/(av) <
a
v
J g(x)dx — evg(a,_i)
%
G (a,) J f (x) dx — ej (a,) G (a.)
a 1
e^S.
сел
Теоремы об определенном интеграле
379
И
{F (х) О (х)}а — f (a,) G (а,) — 2 <? Аа»-1) £ (a.-1) <
ч - 1 V = 1
(П М \
^2 А Н“ ) •
V = 1 ? = 1 /
ь ь
Но J /(х) О (х)dx и J F(х)g (х) dx существуют, по теореме
а а
380. Следовательно, при надлежащем разбиении правая часть
произвольно близка к нулю, а левая — к
ъ ъ
[F (х) G (х)}„ — J/(х) G(x) dx—J F (x)g (x) dx
a a
Значит это число есть 0.
В заключение этой главы я приведу еще два доказатель-
ства теоремы 155 Вейерштрасса. Мы свели ее с помо-
щью тривиальных преобразований к следующему утвержде-
нию (старый первый случай):
Пусть функция /(х) непрерывна в интервале [0,1] и там
|/(х)|< 1.
Тогда для каждого 2>0 существует полином Р(х) такой,
что
(1) |/(х)-Р(х)|<8 в [j,
1) Наше прежнее доказательство этого факта есть при-
надлежащая Симону (Simon) переработка следующего
моего старого доказательства; применение теории определен*
ных интегралов делает все более обозримым.
380
Глава 26
Пусть 1 и целое. Я положу
1
Д = J (1 — и2)п du при 0 < е < 1
и покажу сначала, что
Пт у-— 0 при 0< е< 1.
п =<х>
Действительно,
г
f (1— «2)nd«<(l — s)(l— г2)™< (1—s2)”,
8 ’ •
далее,
I 1 о
(1 — и2)п du J (1 — и)п du = J (1 4- v)n dv =
6 о -1
t
= I Wn dw == -r-v- ,
J n+1
0
и, следовательно,
o<r< (»4-i)(i—s2)n-^o.
70
Я рассмотрю теперь полином (!)
i
(7(z)(l-(z-x)V' dz
__ b '_________________QW
2Z0 “ 2/0
PM
и докажу, что при надлежаще выбранном п выполняется
неравенство (1), т. е.
|Q(x)-2/(x)70|<28/0 в
Выберем, по теореме 154, для заданного о >0 такое е с
0 < е < ~, чтобы
(2) /W!< j при 0 < 1,0 < 1, |г —
Теоремы об определенном интеграле
381
Пусть теперь
1 . .2
3 <х < 3
и, следовательно,
0< х— s< х< х ®< 1-
Положим
а?—е
Qi О) = f /(1—С? — х)2)» dz,
О
X -1-8
Q2 (X) = j* / (г) (1 — (z - х)2)* dz,
х—ъ
1
Q3 (X) = J f(z) (1 - (z - x)2)« dz.
X -I- 8
Тогда
Q (x) = Qt (x) + Q2 (x) -f- Q3 (x).
Но, в силу теоремы 400,
X — 8 *
I Qi (x) К J (1 — (г — x)2)« dz =
0 . . .
— 8 X
= f (1 — v?)n dv = J (1 — a2)’1 du < I„
— X 8
1 1— X
|QeW!< J (1 —(г —x)2)w^r = J(l— u*)ndu</t
a?4- e e
Далее,
Q2 (x) 2/ (x) IQ —
« i
= J7(x+«)(1— u^du-r 2/(x) J*(l — u*)ndu =
_.e 0
— J/(x + «) (1 — a2)~ du — 2/(x) J (1 -u*)n du-2f(x) Ц =
— 8- 0
8
= J(/(x + «)-/(X)) (1 - и2)” du - 2/(x)
382
Глава 2S
и значит, в силу теоремы 400,
Q2(x)-2/(x)/0
у (1—«2)’Ч/« + 2/е =
Поэтому
-3 f (1__и2)» + 2/е<Ц> 1-24
о
| Q (х) - 2/(х) /0; =! (Qa (х) - 2/(х) /0) 4- Q, (х) Q8 (х) I <
Но
<8/0 + 2/е4-4 + /, = 8/0 + 4Д.
4/t<8/0
для достаточно большого п,
2) Следующее доказательство С. Н. Бернштейна, не
содержащее интегралов, дает даже полином Р(х), годный для
практического применения, и, кроме того, отличается особой
краткостью.
Мы будем для сокращения записи обозначать функцию
—х)п~^ для целых v, nc через/г).
Тогда для и>1, в силу теоремы 180,
п
v — 0
п п — 1
2v%=nx 2 \ )^(1—Х)П“1“^=ИХ,
2 v(v— i)<pv= п(п— i)*2 S (лТ2)ли(1 —x)n“~2““^=
— n (n— l)x2,
2(v**^)4“ (n2x2—(2nx—l)v -f- v(v—1))^ =
V - О У = 0
== tfix2—(2nx— 1) nx -|- и(и—l)x2 = nx(l—x).
Теоремы об определённом интеграле 383
Пусть задано 8>0. Выберем s>0, для которого выпол-
2
няется условие (2), и пусть п больше чем 1 и Тогда
для 0 х 1 будем иметь
|/w- 2/00?»
П / /\х
„ n n
< у 2 ?v + 2 2 ?»
v = 0 > = 0
| > — nx | < en | v — nx I > sn
n о n x
<-2 2 <ь+ 2 0 — 7
z v = 0 e n •» = 0
2x (1—x)
г2П
8.
Глава $7
ИНТЕГРИРОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
ВВЕДЕНИЕ
Пусть а<й. Когда выполняется равенство
& 00 00
(1) f S fn{x)dx^= 2
J п=1 n=lJ
a a
Во всяком случае, для этого необходимо сделать следующие
два предположения:
ь
I) Fn=>jfn(x)dX
а
существует для каждого n 1.
И) /(*) = 2 fn(x)
п — 1
существует в [а, Ь] (т. е. этот ряд сходится).
Тогда необходимо возникают следующие три вопроса:
ъ
1) Существует ли J/(x)tZx, т. е. имеет ли смысл левая
а
часть равенства (1)?
оо
2) Существует ли 2 т. в- имеет ли смысл правая
П = 1
часть равенства (1)?
3) (Если вопросы 1) и 2) разрешены утвердительно). Равна
ли левая часть формулы (1) правой части этой формулы?
Приведем пример, где предположения I) и II) выполнены,
вопросы 1) и 2) решаются утвердительно, но ответ на вопрос
3) оказывается отрицательным.
Интегрирование бесконечных рядов
385
При этом будут даже выполнены условия
а — О, Ь — 1,
fn(x) непрерывны в [0,1],
/(х) непрерывна в [0, 1].
Положим
fn(x) = x(tie~™* — (п—
Функции fn(x) непрерывны в [0, 1], и для целого 1 имеем
2 fn(x)~ хте~~тх\
п = 1
Правая часть при х= 0 равна нулю и, значит, при т->со
стремится к нулю. Для 0 < х 1 она при m оо также
стремится к нулю. Следовательно, в интервале [0, 1] имеем
S/nW = 0.
П = 1
Итак,
/W-o
непрерывна в [0, 1] и
1 х
J f(x)dx= J* 0 dx = 0.
о о
Далее, интегралы
— |* fn (л)
6
существуют. Для целого имеем
2 2 f fn(x)dx= f 2 fn(x)dx= f xme~m^dx —
n^l n=i^ J n = l J
25 Зак. 848.
386
Глава 21
и потому
00 1
n = l 2
Наконец,
И все же, налагая некоторые дополнительные ограниче-
ния, мы спасем равенство (1).
Теорема 411. Пусть ряд
2/п(Х>
п-1
равномерно сходится в [а, #], каждая функция fn(x)
интегрируема от а до b (например, непрерывна в [я, fr])
а функция
»=1 .
интегрируема от а до Ь. Тогда
ОО СО
f 2 fn (х) dx= 2 f fn W dx.
J n = 1 n = lJ
a a
Предварительное замечание. Таким образом, существо-
вание левой части здесь предполагается, и утверждение
гласит, что
т ь &
lim 2 f fn (х) dx= f f(x) dx.
m = co n = 1 J J
a a
Доказательство. Положим
2 fn = (xf
n = l
f(x) — Sm(x) = rm(x).
Интегрирование бесконечных рябое 387
Для каждого заданного 8>0 существует ji, не зависящее
от х, такое, что
। Г»» W । < 2(Ь^) При m >?’ х ъ
Так как /(х) и Sm(x) интегрируемы от а до то и rm (х)
интегрируемо от а до Ь, и для получаем
b m ь
f f(x)dx— J
j а ~ а
ъ ь
J f(x)dx — J* Sm (x)dx
а и
b ।
J 8 6
rm 00 2 а) < о.
а I
Теорема 412. Пусть ряд
п = 1
равномерно сходится в [а, Ь] и каждая функция fn(x)
интегрируема от а до Ь, Тогда
оо оо
f 2 Л(*)^= 2 \fn(x)dx.
J n = 1 n~lJ
a a
Предварительное замечание. Таким образом, в теореме
411 можно отбросить предположение интегрируемости функ-
ции /(х). Я доказал раньше теорему 411 потому, что ее
доказательство короче. Во всяком случае, теперь доста-
точно установить интегрируемость функции
оо
/(•*)= S/nW-
п = 1
Доказательство. Пусть задано 8>0и пусть Sw(x)
и гт{х) определены для т^>1, как в предыдущем дока-
зательстве. Выберем т так, чтобы
(D 1Г»М1<4(»Ь)В *]•
25*
388
Глава 27
Таким образом, гт(х) ограничено, и так как Sw(x) также
ограничено, то и функция /(х) ограничена.
Пусть теперь 5, s\ 5"—колебания функций /(х), Sw(x),
rm(x) в каком-нибудь частичном интервале. Тогда для
любых а и из этого интервала имеем
/(«) -/(₽) = (5М (а) - Sm (р)) + (гда (а) - гт (р)) <
так что
Следовательно, для каждого разбиения интервала [а, &] (заме-
тим, что число частичных интервалов теперь нехорошо обо-
значать через п, поскольку п уже занято как индекс сумми-
рования; но оно и не входит в нашу сокращенную запись)
имеем
es' 2 es”*
Но, в силу условия (1), каждое
s
Следовательно,
Ъ
2(Ь — а) ‘
Так как Sw(x) интегрируемо, то при надлежащем разбиении
будет выполняться неравенство
а тогда
2
Следовательно, /(х) интегрируема.
Глава 28
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Мы найдем, что, например,
1
Почему?
Определение 88. Пусть для каждого 8 > О существует
а > 0 такое» что
|/(х) — Т | < 8, когда
тогда говорят» что
lim/(x) = f.
Читается: предел справа.
Пример.
lim ]/х = 0.
OJ==0
Определение 89. Пусть для каждого 8 > 0 существует
е > О такое. что
|/(х)— 7] < 8, когда 5—е<х<£;
тогда говорят» что
lim /(х)==7.
Читается: предел слева,
390
Глава 28
Пример.
lim У" — х = 0.
®=о
—>
Теорема 413. Пусть а<Ь. Если
ь
J/(x) dx
а
существует» то
ь ь
lim Г/(х) dx— \ f(x) dx
а = а J
< а а
Доказательство: теоремы 394 и 393.
Теорема 414. Пусть а < Z>. Если
ь
(1) lim (f(x)dx
a — а J
<—- a
U .
0
(2) lim §f(x)dx
P-~~> a
существуют, то оба эти числа равны.
Доказательство. Из существования предела (1) сле-
дует, что существует интеграл
ъ
/ /(•*) dx,
a 4-6
*7*
Несобственный интеграл
391
а из существования предела (2) — что существует интеграл
а + Ъ
2
J f (х) dx.
а
Следовательно, существует интеграл
ъ
J/ (х)
а
и утверждение вытекает из
Определение 90. Если
теоремы 413.
а < Ь и существует
ъ
(1)
а = а J
<-----а
или
(2)
₽
lim Г f(x)dx>
то число (1), соответственно (2), называют несобственным
интегралом, или, коротко, интегралом функции f(x) от а
ъ
до Ь. То, что до сих пор обозначалось через J, будет
а
теперь называться собственным интегралом,
ъ
J f(x)dx.
а
Употребление старого знака оправдано теоремой 413;
теорему 414 также необходимо было предпослать определе-
нию 90. По теореме 413 и определению 90, каждый соб-
ственный интеграл есть вместе с тем и несобственный.
1
Обозначение:
Примеры. 1)
2.
392
Глава 28
Действительно, для 0<а<1 собственный интеграл
f = {2/x}i = 2 —2]/^
J V х
а
и, следовательно,
1
Действительно, для —1 <{3<0 собственный интеграл
1\Д==(- + z
Л V-X
и, следовательно,
Теорема 415. Пусть а<с<Ь и
ь
J f(x)dx
а
существует. Тогда
с Ъ
$f(x)dx, $f(x)dx
а с
существуют и
Ъ с Ь
J/(х) dx = J/(х) dx-j- J f(x) dx.
а а с
Несобственный интеграл
393
ъ
Доказательство. 1) Если j* определен формулой
а
(1), то для а<а<£ имеем
с Ь Ъ
w-r
а а с
где все три интеграла — собственные. Следовательно, не-
с
собственный интеграл j* существует и
а
ebb
w-r
а а с
Ъ
2) Если J определен формулой (2), то для с<р<&
а
имеем
3 3 С
,М-Г
с а а
где все три интеграла — собственные. Следовательно, не-
ft
собственный интеграл J существует и
с
ft ft с
/<-/
с а а
Теорема 416. Пусть а<Ь,
ь
j* f(x)dx
а
существует и
k^l целое.
<с? для целых v с 1 vk.
= а. с% — Ь.
394
Глава -28
Тогда
ъ к
J"/(x)a!x==S J / (х) dx.
а ~ S-1
Доказательство. Для k=\—тривиально. Из k
следует 110 теореме 415, так как
Теорема 417. Пусть
k^\ целое, 1^1 целое,
Tv-i<Tv целых v с
для целых v с 1
То = 1Ло = а> = =
j* f (х) dx существует
для 1 v k,
J /(х) dx существует
для 1 v /.
Тогда
Доказательство. „Наложим" оба разбиения интервала
[а, Z>] одно на другое, т. е. рассмотрим все различные у, у»,
расположенные в возрастающем порядке. Каждый из инте-
гралов J и J распадается, по теореме 416, на сумму ко-
нечного числа интегралов по новым частичным интервалам,
и в совокупности каждая из частей утверждаемого равенства
• Несобственный интеграл
395
будет суммой всех этих частичных интегралов, так что обе
части действительно будут равны.
Определение 91. Если для а, Ь, /(х) можно выбрать
числа в смысле теоремы 417, то сумма
Ь-1
(по теореме 417, не зависящая от специального выбора
чисел yv) называется несобственным интегралом функции
f(x) от а до Ь,
ь
Обозначение: J* f(x)dx.
а
(Для k = 1 это определение приводит к старому понятию
несобственного интеграла из определения 90.)
В этой главе под интегралом всюду, где не оговорено
другое, будет, разумеется, понятие, введенное в определении 91.
1
Пример. f — 0.
Л Г*
Действительно, в смысле определения 90,
Теорема 418. Пусть а<Ь и пусть /(х) собственно
интегрируема от а до 0 для всех а, 0 с и
ограничена для а<^х<^Ь. Тогда интеграл
ь
J f(x)dx
существует.
396
Глава 28
Доказательство. Положим
а b
С----—
Достаточно доказать существование пределов
с 3
(I) lim j*/(x)rfx, lim ^f(x)dx.
a ——> c
Без ограничения общности можно считать, что
Ж==Ж = о
(даже если /(х) в a, b ранее не была определена или была
определена иначе); действительно, это не может повлиять
на существование пределов (1).
Тогда /(х) ограничена в [а, Ь]:
Пусть задано 8 > 0. Выберем а, р так, чтобы
а<л<й<Ь, 2(а-а)Ж<4> 2 — 0) ЛТ С 4-.
Так как /(х) собственно интегрируема от а до р, то су-
ществует разбиение интервала [а, р] такое, что
2^<2-.
Присоединяя тогда [а, а] в качестве первого и [р, £] —
в качестве последнего интервала, получаем разбиение всего
интервала [я, £] такое, что
п х
Sevs4<(a-a)2Al + -; +(6 - р)2/И<8.
Следовательно, /(х) собственно интегрируема от а до Ь,
а тогда пределы (1) существуют (по теореме 413).
Теорема 419. Пусть а<Ь. Из того, что /(х) ограни-
чена в [а, &], еще не следует существование интеграла
ь
jf(x)dx.
а
Несобственный интеграл
397
Доказательство. Пусть а = 0, & = 1,
(О для рациональных х)
5 Р в [0, 1].
1 для иррациональных х)
Тогда f(x) не будет собственно интегрируемой ни в каком
частичном интервале [а, ЭД, так как всегда
—«•
V = 1
Определение 92.
Ь о,
J / (х) dx == — J / (х) dx,
а Ь
если правая часть существует.
Это находится в согласии с определением 86.
Пример.
Определение 93. Если f(a) не определено, то считаем,
что
J/(x)tZx = 0.
а
Теорема 420.
J / (х) dx -j- J /(х) dx = 0,
а Ъ
если один из интегралов имеет смысл.
(Текстуально — как теорема 372.)
Доказательство. Для а — Ь— ясно из определений
87 и 93; для афЬ—ясно из определения 92.
398
Глава 28
Теорема 421. ЕсЛи а а 8 b, coot
ь р
то вместе с J /(х) dx существует и J*
а а
(Текстуально — как теорема 373.)
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что а<^а<р<^£, а также, что аир суть ?-числа
(так как в противном случае мы могли бы, в силу теоремы
415, просто присоединить а, соответственно р, к ^-числам).
Но из условий a = Yp, p = *fa существование интеграла
91.
следует по определению
Теорема 422. Если
ъ
а
с
$f(x)dx
ь
ствует и
существуют,
с
то интеграл J f(x)dx суще-
а
с и
с Ъ е
J f(x)dx —
а а Ъ
J /(х) dx-j- J /(х) dx.
(Текстуально — как теорема 374.)
Доказательство. Существуют возрастающие числа
с
7о = «» = Тй+1 — с,
Несобственный интеграл
399
где справа все интегралы понимаются в смысле определе-
ния 90. Тем самым интервал [а, с] разложен на k-\-l
частичных интервалов в смысле определения 91, и утвержде-
ние теоремы очевидно.
Теорема 423.
ь ь ъ
J (/(*) 4- g (*)) dx = J f(x) dx + J g (x) dx,
a a a
если правая часть имеет смысл.
(Текстуально — как теорема 376.)
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что а<Ь и /(х), g(x) для всех а, р с а < а <
< р < Ь собственно интегрируемы от а до р. По теореме
376, тогда
/ (/ (*) + g (*)) dx == J / (x) dx 4- J g (x) dx.
а а ос
Беря lim, а затем lim, мы и приходим к утверждаемому ра-
Р = Ъ а = а
венству.
Теорема 424.'
6 ь
J С/(х) dx = С § f (х) dx,
а а
если правая часть имеет смысл.
(Текстуально — как теорема 378.)
Доказательство. Без ограничения общности можно
сделать те же предположения, что и при доказательстве
предыдущей теоремы. Теорема 378 с заменой а на а и Ь
на р и lim, lim.
3 = b « = а
Теорема 425.
ъ ъ ь
j* (/ W — g (•*)) dx = j* /(х) dx — J g (x) dx,
a a a
если правая часть имеет смысл.
400
Рлава 28
(Текстуально — как теорема 379.)
Доказательство: f—g=f-[-(—l)g, и теоремы
424 и 423.
Теорема 380 не имеет здесь аналога. Вот противореча-
щий пример: для
/W = ^W-7J.
1 1
как мы знаем, J f(x)dx и j"g(x)dx существуют,
о о
1
$f(x)g(x)dx не существует, так как
о
1
— log а для 0<а<1,
но
что не имеет lim.
а = 0
Ъ
Теорема 426. Если J f(x)dx существует и
а
I / (х) I > Р > 0 в [л, Ь] без чисел у,
ь
Г dx
т° U J Цх)
а
существует.
(Текстуально — почти как теорема 382.)
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что &==1. Для всех а, £ с а<а<р<&, по тео-
₽
•» с dx 1
реме 382, существует собственный интеграл I
J J (Л) J (•£)
а
ограничена для а < х < Ь, а следовательно, в силу теоремы
418, интегрируема от а до Ь.
Несобственный интеграл
401
ь
Теорема 427. Если а<Ь, J f(x)dx существует и /(х)
а
в [л, без чисел ограничена сверху^ с верхней гранью I,
или. соответственно ограничена снизу, с нижней гранью X,
то
ь
J f(x)dx^l(b — а),
а
(соответственноj
ь
—а).
а
(Текстуально — почти как теорема 384; мы не привели
здесь только формулировку для случая а Ь)>
Доказательство. Пусть tJ один из частич-
ных интервалов в смысле определения 91. По теореме 384,
для всех a, р с Ъ-i < а < ^ < Ъ имеем
₽
J <7 (Р — а), соотв. >• X (р — а),
следовательно / lim , затем lim \
У — Ъ-1), соотв. >Х(ъ — b_j),
7„_!
к
и беря 2 > получаем утверждаемые соотношения.
V = 1
Теорема
ъ
428. Пусть § f(x)dx существует и
а
I / (х) I с 6 IA &ез чисел т
-26 Зак. 848.
402
Глава 28
Тогда
ь
J* f(x)dx
а
с(Ь — а).
(Текстуально — почти как теорема 385.)
Доказательство: теорема 427 с
/ — с.
ь
Теорема 429. Пусть а<Ь, J f(x)dx существует и
а
/(х)>0 в [а, 6] без чисел 7.
Тогда
ь
J" f(x)dx~^0.
а
(Текстуально — почти как теорема 386.)
Доказательство; теорема 427 с а^>0.
ь
Теорема 430. Пусть ^f(x)dx существует и
а
f(x) > 0 в [а, Ь\ без чисел у.
Тогда
ь
J f(x)dx > 0.
а
(Текстуально — почти как теорема 388.)
Доказательство. Так как f(x) собственно интегри-
руема в некотором интервале [а, р], содержащемся в [я, £],
то теоремы 421, 422, 429 и 388 дают
Ь а Ъ а ? Ь £
м+ы+ы>/>°-
а а а а а р а
Несобственный Интеграл.
40$
ъ ь
Теорема 431. Пусть л < &, § f(x)dx и J g(x)dx суще-
а а
ствуют (без ограничения общности — с одними и теми же 7,
так как числа 7 для обоих интегралов можно объеди-
нить) и
/(x)^g(x) 6 IX ЭД &ез чисел т
Тогда
ъ ъ
J f(x)dx < J g (х) dxt
а а
(Текстуально — почти как теорема 389.)
Доказательство. Так как
g(x)—/(x)^>0 в [я, ЭД без чисел 7,
то, по теоремам 425 и 429,
ь ь ъ
J g (х) dx — J /(х) dx = J (g (х) —/(х)) dx 0.
а а и
Теорема 432. Пусть /(х) ограничена сверху
ъ
у g с*) dx и
а
в [а, ЭД без чисел 7, с верхней гранью /,
Ъ
^f(x)g(x')dx существуют (без ограничения
а
с одними и теми же у) и
g(x)^>0 в [я, 6] без чисел 7.
Тогда
общности —
ь
ъ
а
а
(Текстуально — почти как теорема 390.)
Предварительное замечание. Если, при сохранении
прочих предположений, считать /(х) в [я, ЭД без чисел
7 ограниченной снизу (а не сверху), с нижней гранью Л, то
26*
404
Рлава 28
применение теоремы к —/(х) дает
ь ъ
J f(x)g(x)dx^X J g(x)dx.
a a
J f(x)g(x)dx существуют (без ограничения
Доказательство. По теореме 429,
ъ
J (lg(x) — f(x) g(x)) dx > 0.
a
Теорема 433. Пусть a<b, f(x) непрерывна в [a, d],
& ъ
Jg(x)dx и
a a
общности — с одними и теми же у) и
g*(x)^>0 в [dj Z>] без точек 7*
Тогда в [а> #] существует $ такое, что
ъ ь
$f(x)g (X) dx = f(l) $ g (х) dx.
а а
(Текстуально — почти как теорема 391.)
Доказательство. Как для теоремы 391, на основа*
нии теоремы 432 и того еще замечания, что существование
ь
интеграла J f(x)g(x)dx нам уже известно.
а
b
Теорема 434. Пусть a<b, ^f(x)dx существует и,
следовательно, в [а, £] существует функция
Ж
jf(y)dy = F(x).
а
Тогда F (х) непрерывна в [а, #].
(Текстуально — как теорема 393.)
Несобственный интеграл
405
Предварительное замечание. Данное нами определение
несобственных интегралов и имело своей целью сохранение
для них указанного сейчас свойства.
Доказательство. 1) Если 5 лежит в [«,6] и не
совпадает ни с одним у, то в некоторой окрестности этого |
х
F(x) — константа Ц- собственный интеграл J / (у) dy,
и справедливость утверждения теоремы для I следует из тео-
ремы 393.
2) Если ! есть какое-то из чисел у, то в случае
существует такое г>0, что для £<х 3
е-н
F (х) = константа — собственный интеграл j* / (j) dy.
и определение 90 показывает непрерывность справа; а в слу-
чае существует такое г>0, что для (—
X
F(x) = константа + собственный интеграл J* f(y)dy,
и определение 90 показывает непрерывность слева,
ь
Теорема 43Б. Пусть а<Ь> ^f(x)dx существует и,
а
следовательно, в [а, #] существует функция
ь
f/(y)^y = GW-
X
Тогда G(x) непрерывна в [а, д].
(Текстуально — как теорема 394.)
ь
Доказательство: G(x) — j*f(y)dy—F(x\ и тео-
а
рема 434.
ъ
Теорема 436. Пусть J f(x)dx существует, g(x)
406
Глава 28
непрерывна в [а, д] и
g' (х) = /(х) для а<х<Ь без чисел у.
Тогда
ь
J f(x)dx — g(b) — g(a).
а
(Текстуально — почти как теорема 399.)
Доказательство. Вследствие „аддитивности" обеих
частей утверждаемого равенства (читатель уже понимает, что
под этим разумеется) без ограничения общности можно счи-
тать, что Л=1. Для всех а, р с я<а<^<6 имеем, по
теореме 399,
Р
f f(x)dx = g(fi) — g(a).
Так как g-(x) в b непрерывна слева и в а — справа, то,
беря lim, а затем lim, и принимая во внимание теоремы 434
Р=& • a = a
и 435, приходим к утверждаемому равенству.
ъ
Теорема 437. Если a <Zb и J f(x)dx,
а
Ъ
f \f(x)\dx су-
а
ществуют, то
ъ
J f (х) dx
а
Ь
а
Предварительное замечание» Текстуально—почти сов-
ft
падает с теоремой 400; но существование J f | (х) | dx здесь
а
приходится специально требовать, так как оно не следует из
ъ
существования J/(x) dx. Противоречащий пример:
а
a = Q, b — 1, /(x) = ^sinj-.
Несобственный интеграл
407
' Для 0 < а < 1 имеем
( 1 н г 1 , 1 1 Г Ь
= i х cos — j- — J cos — dx = cos 1 — a cos у — J cos — dxy
а а
И ..fl,
lim cos — dx
а =0 J X
4— а
существует, по теореме 418, так как cos j- для 0<х<^1
ограничен. По той же причине
lim ос cos - = 0.
а = о а
Следовательно,
1
г 1 . 1 .
— sin — dx
J х х
о
существует.
Однако,
1
(i) f 17 sin ± | dx
0
не имеет смысла. Действительно, для целого m > Q и
2m -J- j < * < 2m + -J,
В силу теорем 278, 275 и 265, имеем
. 1 . . к 1
Sin->81nT=-^.,
408
Глава 28
п 1
Следовательно, для целых т >
___1____ 1
, I Я___, Л
2тк 4- т 2тп 4-~-
4 4
с 11 . 1 ь 1 с dx
J I X х I у 2 j х
1 г 1
2/Hic-f--— 2гпк-}-~
= 7Т 1°ё(1 8m + l')^ уТ 1°g(1 9m) > т ’
где р > 0 и не зависит от т. Поэтому (вследствие расхо-
димости гармонического ряда) для каждого w > 0 найдется
такое а, 0 < а < 1, что
1
с | 1 . 11,^
— sin — \dx > <о,
J I X Л1 I ’
а
и, значит, интеграл (1) не может существовать.
Доказательство. Так как
— !/(х) I ^/(х) |/(х)1 в [а^ без точек f
(можно считать, что у обоих интегралов — одни и те же 7),
то, по теореме 431,
ь ъ ь
— j \f(.x) I dx < j*/(x) dx < J |/(x) I dx.
a a a
b
Теорема 438. Пусть a<i b и j*/(x) dx существует.
Тогда
b b—C
f f(x)dx= f f(y-[-c)dy.
a a—c
(Текстуально — как теорема 406.)
Несобственный интеграл
409
b
Теорема 439. Пусть а<_Ь и fix') dx существует.
а
Тогда
b —а
f f(x)dx = J/(— y)dy.
a — b
(Текстуально ~ как теорема 407.)
ь
Теорема 440. Пусть ^f(x)dx существует и
a
и > 0. Тогда
ь
а
b
F
H //(«О аУ-
a
F
(Текстуально — как теорема 408.)
Совместное доказательство теорем 438 —
440: получается применением теорем 406 — 408 ко всем
[«, Р1 с Ъ-1 < « < Р < ъ-
Глава 29
ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
Если
/<Х> = 7 ’ <в>0,
ТО
О)
J f(x) dx== logo),
i
что не имеет lim . Мы не определим
W = со
оо
/4-
1
Если
f(x) = , “>0>
ТО
а>
J f(x)dx=\ — |
1
при а = оо имеет предел 1. Мы определим
со
t
Определение 94.
СО
J f(x}dx —
а
со
lim | flx^dXy
Ц) = 00
а
если правая часть имеет смысл.
Интеграл с бесконечными пределами
411
Определение 95.
ь ь
f f(x)dx = lim Г f(x)dx,
J CD = —OO
— OO U>
если правая чаешь имеет смысл.
Определение 96.
оо О со
j* f (х) dx = ' J / (х) dx -J- У / (х) dx,
— оо —оо О
если правая часть имеет смысл.
Пример,
оо о ю
— оо со о
= lim (—aretgeo)-}- lim arctg<o =— (—=
oo co = oo \ ^ / *
Определение 97.
(I oo
У f(x)dx~— у f(x)dx,
oo a
если правая часть имеет смысл.
Определение 98.
— оо Ь
У f(x)dx= — ff(x)dx,
b —оо
если правая часть имеет смысл.
Определение 99.
—оо оо
У*/ (х) dx ==> — У f (х) dx,
оо —оо
если правая часть имеет смысл.
412
Глава 29
Теорема 441. Если для некоторого с существуют
интегралы
е оо
j* f(x)dx, J f(x)dx,
— oo e
mo
co
J / (x) dx
— oo
существует и
co c co
§f(x)dx~ J f(x) dx-\- $f(x)dx.
— oo —оо в
Доказательство. Так как
из UJ с
то предельный переход <о -> — оо дает
о с о
—оо —оо с
Далее, так как
то предельный переход w -> оо дает
Следовательно,
Интеграл с бесконечными пределами
413
Во всей дальнейшей части этой главы каждый из преде-
лов интегрирования а, b будет обозначать либо число,
либо оо, либо — оо.
Теорема 442*
ъ ъ ь
J* (/(*) + <?(*)) <*х= J f(x)dx-\- $g(x)dx,
а а а
если правая часть имеет смысл.
(Текстуально — как теорема 423.)
Доказательство: ясно из теоремы 423.
Теорема 443»
ь ь
J Cf (х) dx = С J*/(х) dx.
а а
если правая часть имеет смысл.
(Текстуально — как теорема 424.)
Доказательство: ясно из теоремы 424.
Теорема 444.
ь ь ь
f (/(*) —g (*)) dx = J / (x) dx — J g (x) dx,
(t a a
если правая часть имеет смысл.
(Текстуально — как теорема 425.)
Доказательство: ясно из теоремы 425.
В остающейся части этой главы мы будем писать а<Ь
или а^Ь также когда под а понимается — оо, а Ь — число
илиоо, равно как и когда а — число, а под b понимается оо.
Далее а<х<£, соотв. а ^х^Ь. для — оо и каждого
числа b будет обозначать, что х есть число < Ь. соотв. ^6;
для J„ = “ooh каждого числа а — что х есть число >а,
соотв.для а„=^и — оо, — что х есть число.
414
Глава
Пусть а — число и J* f (х) dx существует. J* для каж-
а а
догоо)>а есть несобственный интеграл в смысле определе-
ния 91 с конечным числом чисел у. А
где все интегралы справа понимаются в смысле определения 90,
Yo^, Ъ <Ъ+1
и неограниченно возрастает вместе с v.
ь
Mutatis mutandis, то же относится и к J*, где Ь—число
— оо
(убывающая -(-последовательность).
00
Таким образом, в J* мы имеем дело с двумя 7-последова-
— 00
тельностями, по одной каждого описанного типа.
ь
Теорема 44-5. Пусть a<Zb, J f(x)dx существует и
а
f(x)^O для а^х^Ь без, чисел у.
Тогда
ь
J* f (х) dx 0.
а
(Текстуально — почти как теорема 429.)
Доказательство: ясно из теоремы 429.
ь
Теорема 446. Пусть § f(x)dx существует и
а
/(х) > 0 для а^х^Ь без чисел у.
Интеграл t бесконечными пределами
Тогда
ь
J/(x)rfx> 0.
а
(Текстуально —• почти как теорема 430.)
Доказательство. Так как f(x) несобственно инте-
грируема по некоторому интервалу, то доказательство можно
провести как для теоремы 430.\
Теорема 447. Пусть а<
ь
b, J/(х) dx и
ь
f g(x) dx
су-
а а
шествуют (без ограничения общности — с одними и теми
же 7) и
f(x)^g(x) для без чисел у.
Тогда ь ь J /(х) dx J g (х) dx. а а
(Текстуально — почти как теорема 431.)
Доказательство: ясно из теоремы 431.
Теорема 448. Пусть а < ft, f(x) ограничена сверху для
а <;х ь j* g (х) dx а общности, без точек 7 и имеет там верхнюю грань /, ь и J/(х) g (х) dx существуют (без ограничения а с одними и теми же 7) и ^(х)^0 для а^х^Ь без чисел 7.
Тогда ъ ъ J /(*) g (•*) dx < IJ g (x) dx. a a
(Текстуально — почти как теорема 432.)
Предварительное замечание. Если, при сохранении
прочих предположений, считать f(x) для а х Ь без
7 ограниченной снизу (а не сверху), с нижней гранью Л,
416
Глава 29
то применение теоремы к —f(x) даст
ъ ъ
J f(x)g{x)dx'^-'K Jg(x)dx.
a a
Доказательство: ясно из теоремы 432.
Теорема 449. Пусть a < &, f(x) непрерывна в каждом
замкнутом интервале, содержащемся в а^х^Ь, и огра-
ь ь
ничена для а ^.х g(x)dx и J f(x)g(x)dx суще-
а а
ствуют (без ограничения общности — с одними и теми же
т) «
g(x)^>0 для а^х^Ь без чисел у.
Тогда в а^х^Ь существует $ такое, что
ь ъ
J f (x)g (х) dx =f (?) | g (X) dx.
a a
(Текстуально — почти как теорема 433.)
Доказательство. По теореме 448 и предваритель-
ному замечанию к ней, обозначая через I верхнюю, а через
X—нижнюю грань /(х) для а^х^Ь, имеем
ь ь ь
g(x)dx^^ f (х) g (х) dx — t^l
а а а
Г g (х) dx.
Без ограничения общности можно считать, что
ь
Jg(x)dx >0;
а <
иначе каждое $ из а^х^Ь обладало бы требуемым свой-
ством.
1) Если
ь ь
k J (х) rfx < / < Z J g (х) dx,
а а
Интеграл с бесконечными пределами
417
то на а х b где-нибудь
ь
/0) f g(x)dx<t,
и где-нибудь
ь
/0) j*g(x)dx>t,
а
а, следовательно, где-нибудь
ь
/0) Jg(x)dx = t.
2) Пусть
b ь
t—\ J g (х) dx или t = I § g (x) dx.
a a
Без ограничения общности можно считать, что имеет место
последнее равенство; в противном случае мы вместо /(х)
рассмотрели бы —/(х).
Достаточно показать, что где-нибудь
/0)==/-
Предположим, что, напротив, всюду
/0) < I-
В а^х^.Ь содержится интервал [а, р], по которому g(x)
собственно интегрируема, причем
₽
J g (х) dx > 0.
«
В этом интервале разность /—/(х) непрерывна и, следо-
вательно, ;> р > 0. Отсюда
J (Z — /(x))g (x)dx>p fg(x)dx.
а а
27 Зак. 848.
418
Глава 29
Тогда
ь ₽
J (/ — /(x))g(x)dx>p Jg(x) dx>0,
а а
и, следовательно, из нашего предположения вытекало бы,
что
b ь ъ
0 = 1 J g(x)dx — t = l § g(x}dx — J/ (x)g- (x) dx> 0.
a a a
b
Теорема 450. Пусть a<_b, j* / (x) dx существует,
a
g(x) непрерывна в каждом замкнутом интервале, содер-
жащемся в а^х^Ь, причем в случае а =— оо суще-
ствует
lim g(x) = „g-(—оо)“,
х = —оо
а в случае # = оэ существует
lim g(x)=„^(oo)“;
X = ОО
пусть, наконец,
g' (х) — f (х) для а<х<Ь без чисел 7.
Тогда
ь
f f(x)dx = g(b) — g(a).
а
(Текстуально — почти как теорема 436.)
Доказательство: ясно из теоремы 436.
b Ъ
Теорема 451. Если а<Ь и Jf(x)dx, j*|/(х)|й?х су-
а а
ществуют, то
ь
ь
а
а
(Текстуально — как теорема 437.)
Доказательство: ясно из теоремы 437.
Интеграл с бесконечными пределами
419
ъ
Теорема 452. Пусть а<^Ь и ^f(yc)dx существует,
а
Тогда
b Ь — с
§f(yc)dx = J f(y-\-c)dy,
а а — с
где, в виде исключения, а — с при а— — оо означает
— оо и b— с при b = оо означает оо.
(Текстуально — почти как теорема 438.)
Доказательство: ясно из теоремы 438.
ь
Теорема 453. Пусть a <Z b и J f(x)dx существует.
Тогда
Ь ~а
$f(x)dx— ^f(—y)dy,
а — b
где, в виде исключения, —а при а = — оо означает оо.
(Текстуально —почти как теорема 439.)
Предварительное замечание. То, что, в виде исключе-
ния, — b при #=оо означает -—оо, незачем даже указы-
вать: что же и могло бы означать —оо кроме —оо?
Доказательство: ясно из теоремы 439.
ь
Теорема 454. Пусть a<b, J / (х) dx существует и
> 0. Тогда
ь
b F
J / (х) dx = jxJ f(yy) dy,
а а
Й"
где, в виде исключения, — при а = — оо означает — оо
Ь L
и ~ при о—со означает оо.
27*
420
Глава 29
(Текстуально — почти как теорема 440.)
Доказательство: ясно из теоремы 440.
Теорема 455.
lim g(x)
X = со
существует тогда и только тогда, когда для каждого
8 > 0 существует $ такое, что
(О |£(*2)— ^(Xl)i < 8 для *2>Х1>
Доказательство. 1) Если
lim g(x) = с,
X - оо
то, каково бы ни было 8 > 0, при надлежаще выбранном $
имеем
|g(*)~ с| при х>5,
откуда для получаем
I g(.x2) — g (Xj) I = I (g(x2) — c) — teOi) — c) I < у + 4 = 8-
2) Пусть для каждого 8>0 существует $ co свойством
(1). Тогда g(x) определена для всех хГУ'р при надлежаще
выбранном р. В силу теоремы 206, ряд
2 te(p4-« +О —£(?+«))
п = 0
сходится и, следовательно,
lim g(p-\-n) = c
n~(X)
существует. Далее, в силу предположения,
lim (g(x) — g(p~Hx~Р])) = °-
X = 00
Следовательно,
lira g(x)=c.
X = оо
Интеграл с бесконечными пределами
421
j*/(х) dx
Теорема 456. Пусть а — число и
о>
J /(*) dx
а
существует для всех ш > а. Тогда
ОО
а
существует в том и только в том случае, если для
каждого 8>0 существует $ такое, что
< 8 при х2 >
Доказательство: теорема 455 с
X
g(x)= (у) dy.
а
Пример. а = 0, f(x) » .
Интегралы
U)
Г sin х . . Л
J
о
sin л: . Л
существуют, так как для х > 0 непрерывно, а для
3
ограничено. Пусть 8 > 0. Тогда для х2>х1^>-у»
согласно первому примеру к теореме 404, имеем
Теорема 457. Если
g(x^-g(xx) для
422
Глава 29
и
g(x) ограничена для х^р,
то
lim g(x)
X = ОО
существует.
Предварительное замечание. Подстановка
1
х= —
У
приводит тогда к следующему предложению: если q > О,
G(y) ограничена для 0<у<7 и
О(л)>°СУ1) ПРИ
то
lim О (у)
у = о
существует.
Доказательство. По теореме 27, существует
lim g(ri) = с.
П = О0
А так как
?(ИХ«'(х)4^(И4-1) при X>p-f-l,
то заключаем, что и
lim g(x) = с.
X - ОО
Теорема 458. Пусть а — число. Если интеграл
f/(x)rfx
' < •’ г - а ’ ' '
существует для всех ®^>а и ограничен, а
/(х)^>0 для х^> а без чисел -f,
то
ОО
Р f(x)dx
а
существует.
Интеграл с бесконечными пределами
423
Доказательство: теорема 457 с
X
g(x) = J f(y)dy.
а
Теорема 459. Пусть N целое,
f(x)~^-0 при x~^N,
(1) /(*2X/(xi) пРи x^x^N.
Тогда из сходимости ряда
ОО
2 /(«)
следует сходимость интеграла
оо
j* /(х) dx,
N
и обратно.
11)
Предварительное замечание. J f(x)dx для со>М суще-
ствует как собственный интеграл, в силу условия (1).
Доказательство. 1) Из равенства
п -N
вытекает, что для целых m>N
™ т — 1 n + 1 wi—l
f f(x)dx = 2 f f(x)dx^C 2 /(«XG
N *=* ' n=N
следовательно, для произвольного <о N
«> [«>] 4-1
J* f (х) dx <; Jp f (х) dx с.
N N :........._........
424
Глава 29
А тогда интеграл
оо
J /(х) dx
существует, в силу теоремы 458.
2) Из равенства
00
J* f(x)dx — С
N
вытекает, что при целых m>N
т т п т
2 /(«X S f/(x)dx= f/(x)rfx<C.
n=w+l « = *
Следовательно, ряд
оо
2 /(«)
сходится.
Примеры. 1) Пусть для х^> 1
Ж = *>1-
Тогда для а> > 1 имеем
f f(X)dx= i______1_____!_Г________*____L__L_
J JWaX | 5—1 X8-1 — 5—1 5—1 0)8-1-
Следовательно, интеграл
OO
c dx
J xs
1
существует, а потому и ряд
iis ’
n = 1'
в силу теоремы 459, сходится.
Интеграл с бесконечными пределами
425
2) Пусть для х 2
/ (x) х jOg х
Тогда для оо>2 имеем
со
У f(x)dx = {log log х}“ = log log® — log log 2.
2
Так как правая часть при со не имеет предела, то ряд
°О 1
2 п log п
П =2 &
расходится.
Теорема 460. Пусть а — число. Если интеграл
оо
J f(x)dx
а
существует и
lim /(х)=С,
X = оо
то
С=0.
Доказательство. Если бы, в противоречие с утверж-
дением теоремы, С ф 0, то без ограничения общности можно
было бы считать, что С>0. Тогда существовало бы £>а
такое, что
С
f(x) >у при х>
Следовательно, для ®>$ мы имели бы
J/(х) dx= J/(х) dx-]- J f{x)dx~^
a a k
> f /(x)dx+y (<o — 5),
426
Глава 29
и потому интеграл
со
J* f(x)dx
а
не существовал бы.
Теорема 461. Пусть а — число. Из существования
интеграла
оо
J7(x)dx
а
и непрерывности функции f(x) для а еще не следует
существования предела
Игп /(х)
а? = оо
и даже ограниченности /(х).
Доказательства. 1) Функция
/ (х) = Ух cos (х2)
для х^>1 ограничена. Но, по теореме 404, для 8>0 и
1
х2 > xt > -р имеем
о?8
У х cos (х2) dx
Я?!
х 2х cos (х2) dx —
(sin (x2))'rfx
Следовательно, по теореме 456, интеграл
со
J /(х) dx
— 1
сущеструеТз
Интеграл с бесконечными пределами
427
2) По распространенному заблуждению, суть дела—в нали-
чии у /(х) положительных и отрицательных значений. Чтобы
искоренить это заблуждение, приведем следующий пример,
Пусть
/(х) =
п целое,
п 2,
Таким образом, /(х) всюду однозначно определена, непре-
рывна и ^>0. Так как
о
п* f zdz — \
J n%
1
n8
то для каждого ю > 0 имеем
' ~ 00 ]
и, следовательно, интеграл
J f(x) dx,
О
в силу теоремы 458, существует. Но /(х) не ограничена для
х > О, поскольку
для целых п, я^>2.
428
Глава 29
3) Если хотеть, чтобы /(х) была > 0 для всех х а, то
достаточно прибавить к функции примера 2) функцию е~х.
Теорема 462. Пусть а — число. Если
11)
j* f (х) dx
а
существует для каждого ш > а,
при х^-а,
(например, g-(x) = |/(х) |) и
ОО
У g (х) dx
а
существует, то и
оо
J* f(x)dx
а
существует.
Доказательство. Так как
о < g (х) —/(х) < 2g (х),
то для имеем
О) О) СО
j* (^(х)—/(x))rfx<2 j* g(x)dx<2 J g(x)dx.
а а а
Следовательно, по теореме 458, интеграл
ОО
У fe(x) — f(x))dx
а
существует. А тогда, в силу теоремы 444, существует и
СО 00
У / (х) dx = У (g (х) — (g (х) — f (х))) dx.
a а
Интеграл с бесконечными пределами 429
Теорема 463. Пусть л>0, J f(x) dx существует для
а
всех со > а и имеются такие числа Р > 1 и р, что
при х^> а.
Тогда
оо
J/(x)dx
а
существует.
Доказате льс тво.
f £dx - PL i (apl~i J-i) -yp_ * ap_i
и теорема 462.
Глава 30
ГАММА-ФУНКЦИЯ
В этой главе будет дано применение теории интегралов
с бесконечными пределами к выводу основных свойств функ-
ции, особенно важной для математического анализа.
Теорема 464. Интеграл
J е-* Z®-*1 dx
о
для х > 0 имеет смысл (и, следовательно, по теореме 446,
положителен).
Доказательство. Интеграл
1
j*
О
существует. Действительно, для 0 < а < 1 интеграл
1 —
X X
т. е. ограничен, и так как при убывании а этот интеграл
возрастает, то, согласно предварительному замечанию к тео-
реме 457, он имеет lim.
« = о
Далее, при фиксированном х имеем для больших t
е-Ч*-1 <
1
/2 ’
и, следовательно,
Je-t Iх-1 dt
1
существует, по теореме 463.
Гамма-функция
431
оо
Определение 100. Г(х)= J e“ttx"'1dt для х > 0.
о
Nota bene: этот интеграл не имеет смысла ни для какого
х<10. Действительно, если х^О, то для 0<а<1 имеем
1 1
J dt^ е”1 — ^"Uoga,
а а
так что lim не существует,
а = О
Теорема 466. Г (х 1) = х Г (х) при х > 0.
Доказательство. Для 0 < а < а> имеем
OJ СО
Je-*txdt — \ — Je-txt31-1 dt =
« а
co
= — а/» _|_ £-а j*XIх"1 dt,
cc
Переходя к lim , получаем
« = о
CO CO
§ е~Ч^= — е-<вша,4- J e~txtx~ldt,
0 , 0
i
и переходя затем к lim, приходим к утверждаемому равен-
10 = 00
ству:
оо оо
Г(х + 1)= j* e-tf*dt= j*xtx~x dt= хГ(х).
b b
n — 1
Теорема 466. Г (x ri) = Г (x) JJ (x -J- v) для целых
v = О
п > 0 и всех х > 0.
432
Глава 30
Доказательство. Для п = 1 это — теорема 465.
Из п следует л-]-!, так как» по теореме 465,
Г (х п 1) — (х + п) Г (х «) =
п-~1 п
= (х + «)Г (х) п (X + V) = Г(х) П (х + />•
= о »= о
Теорема 467.
Г(х-{- 1) = х! для целых х^>0.
Доказательство.
ОО
Г(1)= §e-tdt=l,
О
и, следовательно, по теореме 466 (с заменой х на 1 и п
на х),
Г(1 + X) = Г(1) П*(1 + V) = х!.
V = о
Теорема 468. Если 0 < х < 1, то
Пт г(* + ») == 1
““оо
Предварительное замечание. В силу теоремы 467, это
утверждение можно записать также в виде
Г(х4-п) .
Г (п) л®
Доказательство. Положим
п
О
^e-tfx+n-idt=/^
п
где п > 0 целое. Для 0 < t п, имеем
л®,
я®-1,
Гамма-функция
433
и, следовательно,
и и
nx-i J e~f tndt §e~f tn~x dt.
0 0
Для / и имеем
tx > /Г,
/‘r-1 nx~1,
и, следовательно,
co co
nc j" e~f- tn'x dt I.^nx~1 j e~f t" dt.
)l >t
Ho
J e~f t,ldt — {—e~f t*}" J e~f n di —
n
~----e-n H | e-t p-1 dt.
<9
Поэтому
Ik
nx J dt—е-пцх+н~1 < /х <
0
n
<; /г®-1 J e~f tlldt-\- e~nn3>+,l~x,
о
CO
nx J е-Ч»~х dt—е-'Чгх+п-г </, -I- /, <
0
oo
J e~f tn dt e-'i nx • n-1,
о
nx Г(//)—e->lnx ’’-1 <Г(х j- «Х/г'-ЧХл C-1) --- e~nnx i-"-1,
J t e-nnrk-\
r.(n) Г (n) П* 1 “* i (n)
I г (x + n)
। Г (n) n*
e-~vnii^l nn
Г(п) e”nl
28 Зак. 848.
434
Глава 30
Правая часть при п-^оо стремится к нулю, так как для
каждого целого т > 0 имеем
е^п'. п\ yi пп + э
~ £Q(n + /)!
= Н-2
J =1
nJ
ii («+*)
к = 1
где при п—> оо каждое из т -р 1 слагаемых правой части -> 1,
так что наконец
evnl .
—~fit.
Пп
Теорема 469.
J. Г (х 4- п) .
lim -~™-~- — 1
п = со 11 11
для всех х > 0.
Доказательство. Для х = 1 это тривиально, так
как
Г (1 + п)
п\ 1
для 0<х<1 мы установили это в теореме 468; следова-
тельно, достаточно провести заключение от х к x-pl. Но
если утверждение теоремы верно для х, то, действительно,
Г (х Ч-1 + ») _I’ (х -h я) х 4- п
nlnx п\ п
1-1 = 1.
Теорема 470.
Г(х) = lim
П = со
п\г^
\ = о
для всех х>0.
Г а мма-функция
435
Доказательство. В силу теорем 469 и 466,
1
==* lim
п = со
Г(х+«) е..
л! л"»-1
Г (х) Нт
п = оо
V = 0________
П! П'®'1
ft(-v + 'O
п - оо п' п
Теорема 471.
/ 1 \
lim I 2 п — log/n)= С
т = со 'п '
существует, >0 и < 1.
Доказательство. Положим для целых п > 0
Тогда
1 1
п и +1
следовательно, ряд
2 s(.n)
п = 1
сходится и сумма этого ряда, которую мы обозначим через
С, > 0 и
Но для целых т > 1
tn — 1 tn — 1 ™ , tn
2^(«)= 2 7 —/-7 = —i°g'«;
n—ln J 1 п = \11 m
28^
436
Рлава ЗЬ
поэтому
у---------log m-> C
m
m 1
У-----log m -> C.
n
Определение 101. С называется эйлеровой постоян-
ной.
Я не знаю, рациональна ли она или иррациональна.
Теорема 472.
4т=лп((1 -\~-Wb
1(*) ЛЛ \\ 1 / /
для всех х > 0.
Доказательство. Положим
п
П (*+•о
/»(*)= ~пГп^
Из теоремы 470 мы знаем, что
0) Ьт^п(х) = ^.
Но для п > 0 имеем
Утверждение теоремы, включая сходимость бесконечного
произведения, следует теперь из соотношений (1) и
п п
lim е =е •
/4«=:00
Гамма-функция
437
Теорема 473. Для х > 0 имеют место равенства
(1) гчдо =_с_1_ 2 (-1—Л
Г(х) х “г\х-\-ч М)
и, для цел^’х н>-1,
(2) = (-1)--«! 2 (7+7).ет.
Доказательство. В силу теорем 472 и 282,
(3) logr(x) = — С'Х — logx — S^log^l
Но
равномерно
поскольку
сходится для 0<x<w при каждом со > О,
(х + \) ч V2
Следовательно, равенство (3) можно почленно дифференци-
ровать. В результате мы получим формулу (1)? поскольку
функция
logl’(x)== G(x),
как мы показали, дифференцируема, и значит
Г (х) (0)' = Q' (х) е® и = G' (X) Г («) •
438
Глава 30
Далее,
х _______ 1_V _________ 1
Л + V ) \х + ч')2
и ряд
равномерно сходится для х > 0, так как
1 1
Поэтому из формулы (1) следует
1 । 1 1
т. е. формула (2) с п = 1.
А из формулы (2) с п следует (2) с л-j-l, так как
( 1)" 1 /<! =( 0" 1 "
= (-D-(«И)1 ,
и ряд
в силу того, что
(X Ч- v)'"T2~ < <7Н2 НРИ
равномерно сходится для х>0.
Теорема 474. Г(х)Г(1—х)— jjj—y при 0 < х < 1.
Предварительное замечание. В частности, для х~
получаем
Г амма-функция
439
Доказательство. По теореме 470,
п\пх
п
Д(х + Д
ч = 0
Г(х),
м, следовательно,
п\пх
JJ(x-H)
4=1
далее,
п\ /1Ъ~Х
П(1-х + .)
4=0
>Г(1—х),
и так как
п 1
1 — х 4- п ’
то
п\п~х ____ п\п~х
До—*+\) jj(—*+^)
4=0 4=1
г (1-х)
Поэтому
-------------------->хГ(х)Г(1-х),
JJ (v?—Л2)
4=1
П
и . По4-*2)
ГТ Л _ — JLil_________>_____J______
I \ (n\)^ хГ(х)Г(1— x)
В силу теоремы 283, отсюда следует, что
sin tzx____________ 1
ъх (х) Г(1 х) ’
Г(х)Г(1— х)= .
v 7 v 7 sin nx
Теорема 47Б.
П Г (х +-4 )=(2к)^ /Г kiC^ Г (/^)
440
Глава 30
для всех х>Ои целых k^l.
Доказательство. В силу теоремы 470, для всех
целых v с —1 имеем
.. п! пх~г п к kn
= 11т^------------.
Н.=о
Принимая во внимание, что
к - 1 к — 1 к -1 к — 1
2 1— v)= S (Л —1) ==£(£— 1),
v == О V == О = 0 v = О
заключаем отсюда, что
П4-+й=Ит
\ = 0 \ z п = оо
к- 1
(п\)к п 3 k”'‘
Кп--1
JI (kx+j)
j = 0
С другой стороны, в силу теоремы 470,
Г (kx) = lim
П —оо
п'. п^-1
п — 1
Ц(£х+/)
j = 0
и, следовательно, заменяя п на kn,
П (**+•/)
f=0
Рамма-функцйя
441
Отсюда следует, что
к-1
Пг^+^
, . v=o \ k ' .. (п!)*л*(я’-1) л 2 k"k
Рк(*) = -----------г = lim-- ------------------
— lx +-- П~^СО —.
Г (kx) k “* (kn)\kkx^1nkx~1k
пк + i
== lim —)Ггл-= Рк
П~СО --—
(kri)\n L
не зависит от x.
Беря сначала &=2, находим, что
г(4)г(1) ... 1 _
Р2 = Р2 (I) = —-^Т- = Г (|) 22 = /2гс .
Г (1)2 2
Откуда
Г (х) Г (х + у) = /2^ 2~2Я; + 2 Г (2х).
А тогда рк для произвольного k вычисляется следующим
образом:
/ А- । 1 1 \ \ Ч" 1 । 1 \
П(/2«2~+2Г(_)) (2л)22 ^+2ДГ(т)
— — 1 _ X = 1
———у _ _-у
У"л k 2 уя h 2
— (2*) 2 Рк (у) = (21Г) 2 Рк,
7с—1
рл = (2к) 2 .
РЯДЫ ФУРЬЕ
ВВЕДЕНИЕ
Нашей главной целью будет — доказать, помимо прочий,
следующие предложения.
1) Пусть f(x) всюду непрерывна, имеет период 2тс и
кусочно монотонна в интервале [— тс, тс], т. е. существуют
числа xv, удовлетворяющие условиям
xv^t<xv при
х0= —тс, хт—тс,
и такие, что /(х) монотонна на каждом интервале [xv_15 xj.
Тогда существуют не зависящие от х числа ап, Ьп такие,
что
1
f(x) == -9 «о + 2 («П cos пх + hn sin пх)
z п = 1
для всех х. При этом
ft ап =5 ~ J /(х) cos пх dx,
(1) — тс тс Ьп = — J/(х) sin пх dx. —к
(Так называемый ряд Фурье функции /(х).)
Ряды Фурье 443
2) Если отбросить предположение кусочной монотонности,
то утверждение уже, вообще говоря, неверно.
Теорема 476. Пусть а<Ь и f(x) собственно интегри-
руема от а до Ь. Тогда
ъ
lim J У(х) sin а) х dx = 0.
IV = со
и
Доказательство. Пусть задано 8 > 0. Разобьем интер-
вал [я, д] так, чтобы в обычных наших обозначениях (по
отношению к /(%))
Тогда для каждого а п “ >5-2 1/(01 будем иметь И' j П % | J /(х) sin dx j = У, J f(x , I" 1 , = la-v> ? a> n = 12 f (f(x) — /(<?„)) sin coxrfx + 2 ') - 1 J V = 1 n n 9 ? <2 eA ± 21/(01 - < у V — 1 V = 1 )sincoxt/x = f(a) J sinajxdx flv-l • + | = 8.
444
Глава 31
Обозначения:
f+Ci) ---= lim /(х),
/_(?)== lim /(.г),
если соответствующий предел существует.
Согласно предварительному замечанию к теореме 457,
/+(£), во всяком случае, существует, если имеется такое
с > 0, что fix) ограничена и монотонна для $ < х с с
(т. е. /(х2)>/(х1) для 5 < х2 < xt <5 4- с или /(х2)</(*1)
для 5 < х2 < Xj < $ г); точно так же /_($), во всяком
случае, существует, если имеется такое с > 0, что fix}
ограничена и монотонна для £ —
Теорема 477. Пусть /(х) собственно интегрируема
от 0 до к, 0 < с <; т: и fix) монотонна для 0 < х < с.
Тогда
Предварительные замечания. Существование интеграла,
стоящего в правой части, известно нам из примера к тео-
реме 456. Интеграл в левой части существует, так как
функция
sm I tn 4- x
---------_ ПрИ о < x .< к,
G(x)= j Л
j 2m + 1 при x — 0
непрерывна в [0, ~] и, значит, собственно интегрируема от О
до тг.
Ряды Фурье 445
Доказательство. 1) Пусть
Д(о) = о.
Без ограничения общности можно считать, что /(х) для
О < х с монотонно не убывает (в противном случае мы
рассмотрели бы —/(х)), а также, что
/(0) = 0
(в противном случае мы изменили бы определение /(х)
в х = 0, что не повлияло бы ни на предположение, ни на
утверждение).
Пусть задано 8 > 0. Выберем е так, чтобы
0 < г < ^, 0</(е)<8.
В силу теоремы 405, для каждого т > 0 существует (зави-
сящее от 8 и т) т| такое, что
0 т) i sin (т + -VV /(*) х- « Т =/(«) J G(x)dx=f(s) J •1 = 2/($) Так как интеграл О - J/(x)G(x)dx = 0 . / . 1\ sm ( т + -я- )х dx = X Н+г) J Н4)
446
Глава 31
сходится, то существует такая константа р, что
при
О,
откуда, при 0 а Ь.
а
! Ь а
; о о
< 2/?:
Следовательно,
У (jc)
Так как функция собственно интегрируема в [а, к],.
“2
то, по теореме 476, существует т0 (зависящее от е, а сле-
довательно, и от 8) такое, что при nt^mQ выполняется нера-
венство
А тогда для /п^>/п0 будем иметь
<(4р 4-1)8.
Ряды Фурье
447
Поэтому, как мы и утверждали,
2) В общем случае из предложения 1), примененного
к /(х)—/+(0) вместо /(х), следует, что
f sin I т 4- -х-) х
(f (*) -А (0))-А~—-- dx -+ 0.
о Т
Но
. / 1 \ ’ ("*+4).
р sin (т 4-тг- \х . р
J/+(0)-L_^22_rfx^2/+(0) J ^dy ->
0 9 О
co
-2Д(0)
следовательно,
n . ( . 1 \ oo
r Sin (m + -x-) X f
J/(X) — ? dX-+ 2Д(0) dy.
o 2,o
Теорема 478. Пусть f(x) собственно интегрируема
от — w до ir, 0 < с О, /(х) монотонна для — с х < О
и 0 < х с (не обязательно в обоих случаях в одинаковом
смысле) и ап определены формулами (1). Тогда
448
Глава 31
Доказательство. Для целых т > 0 имеем
m
sin -^1 -j- 2 S cos nx) = sin у -|"
Следовательно, для 0 < | х | < 2т: имеет место равенство
ш sin (т 4- х
1 ±2? гпсяг- 2'
1 I " jU СОЗ тс ==---- - —
Поэтому
1 -VI 1 f / ” ч
7 flo + “ "К J Ах) V + 2 Z^cos nxj dx
— я
Ряды Фурье
449
Но функция
—------7 при 0<х<х
~2 sin
О при х = О
непрерывна в [О, тг], так как
. х х
s,n Т--2
Поэтому, в силу теоремы 476,
J/(х) A(x)sin 4- L^xdx-+ О
е
и
J f (— x)h (х) sin (т + -0 х dx -> О,
о
Отсюда следует, в силу теоремы 477, что
о
и
Г 7W -Л—г
sin у
2/+(О)
о Л
//(-«)
о
sin -у
dx->2r_(O)J8-52Z^
6
9 8*к. 84S.
450
Глава 31
Поэтому
т«. + х«.=<01 ;J>W pv
z н»=»1 * J У
о
Для определения последнего интеграла возьмем
/(*)=!•
Тогда
тс
7 а° = 2? J dx = 1 ’
— ГС
ГС
If , I isinnxl* Л /ч
ап~ ~ \ cosnxdx~~l—~—V =0 при п > 0,
—- ж
и потому
о
00
/sin у , к
~^<У=у.
о
Теорема 479. Пусть /(х) собственно интегрируема от
—тс до тс, с > 0 и либо —тс < 5 < тс и /(х) монотонна для
t—г^х<Е и £<*<? +£, либо 5 = —тс и f(x) моно-
тонна для тс — £<Сх<тс и —тс<х^ — тс 4~с, j Пусть,
кроме того, ап,Ьп определены формулами (1). Тогда
7гао+ 2 1Я„ cos sin Й £) =
“ Пв&1
А-.<».+А<Я
Ряды Фурье
451
Доказательство. Без ограничения общности можно
•считать, что с<тс и столь мало, что оба интервала моно-
тонности лежат на — тс < х < тс.
Далее, без ограничения общности можно также считать,
что /(х) имеет период 2тс; действительно, в противном слу-
чае мы изменили бы определение, периодически распростра-
нив/^) с периодом 2тс, исходя из ее значений для —тс<^х< тс;
это не повлияло бы ни на предположение, ни на утвержде-
ние, причем последнее тогда во всех случаях записывалось бы
в виде
V «о + 2 (ап cos nl + bn sin гА) = .
п = 1
Теперь функция
F(x) = /(x + S)
<вместо /(х)) удовлетворяет предположениям, сделанным
в теореме 478 относительно /(х); при этом вместо тсап имеем
л я-1 - ж «4-5
f f(.y + О cos пУ dy = J* /(x)cosn(x—t)dx — j* J*e
- jt —«-44 — «44 «
« —«4-*
— J f(x)cosn(x — f/O4~2it)cosn(y4~2rc—^)dy—
-«+« -1
,c —«44
= J /(*) cos n(x — 0 dx + J f(y)cos n(y — ^dy =
я
= J /(x)cos/i(x — B) dx =
— я
.ж я
= COS nB J*/(x) G0S nx dx + sin j* 8ia dx =
к (an cos ni -}- bnsin ni).
_29*
452
Глава 31
Поэтому, в силу теоремы 478,
/- (0 + А (О __ F- (0) + F+ (0) _
2 2
1 00
= -о «о 4“ 2 (ап cos + bn sin /£),.
2 Г! = 1
Пример.
У(х) = х в [—я, 4-я].
Имеем
я к о
ъап — J* х cos пх dx — х cos пх dx -j- J х cos nxdx ==
— re 6 —к
re re
= J x cos nx dx — j* у cos ny dy = 0,
о 6
re ic
Ji cos n v 11 Г
x sin nxdx = ! — x--------- } -|— I cos nx dx =
\ П f —-Ж *1
—re —re
2tc(—1)^
n
Поэтому для —тг<х<тс получаем
х =____2 У ( — l)wsin«x _____2 у sin п (х + тс)
п-1 п
При х~'—к каждый член в правой части равен нулюу в со-
гласим с теоремой 479, дающей в качестве значения правой
части
2 ~ 2 .
Ряды Фурье
Заменяя х на х — я, получаем
y-sinnx-j 0 прих = 0,
Л 17С X ,\ Л
»=Х п — У при 0<х<2т:.
Утверждение 1) введения содержится в теореме 479 как
весьма специальный случай. Действительно, благодаря перио-
дичности, достаточно рассмотреть значения —
а для каждого такого i существует с в смысле теоремы 479,
правая же часть равенства, утверждаемого теоремой 479,
в силу непрерывности, равна /(£).
В заключение — второе утверждение из введения!
Теорема 480. Не каждая непрерывная функция /(х)’
обладает тем свойством, что всюду
1
f (х) = aQ Т (ап cos пх 4 bn sin пх),
2 п== 1
где ап, Ьп определены формулами (1).
Доказательство. Положим, для целых v, п с
п О,
гс
А„п~ § 2 sin 4-4) х cos nxdx,
о
Тогда
ГС
Л,» = f (sin(v+4+ я^хН-sin (v-|4 — ti^x^dx ==-
О
(2)
1 I 1
* + y + « v+- —я
>0
<0
при n
при n
> V.
454
Глава 31
Следовательно, для целых /п>0
2 ^v,o ।
при т —> оо,
так что
2“ А>,о + i А,п — 0.
z п - 1
Отсюда и из соотношений (2) следует, что
2 п-1
для каждого целого /л>0.
В частности, для 1 имеем
=~2~а*,о ~F 2 i
п - 1 п = 1
__i—>2 —2—
v + 2-п л = 1 7 "Ь I — п
Доложим теперь
/(Х)= 2
sin^ + D-^)
для —тс X К.
Ряды Фурье
455
Этот ряд равномерно сходится, так как
! sin | 1;
следовательно, он представляет в [— ти, к] непрерывную
функцию. При этом
/(-к)=/(к).
Если распространить /(х) с периодом 2тг на все значения
х, то /(х) будет всюду непрерывна.
Ряд
оо sin ((2Л’ + О v )cos пх
---------Л2------- (=/(*) COS пх)
для каждого равномерно сходится на [0, так так
[ sin • cos | < 1.
Поэтому
cos пх dx
= 2 J/(x)
О
cos nx dx --==
= 2-^- f 2 sin 4- l)y)cosrtxdx=
h = 1 " X \ ft -1 "
следовательно, для целых m > 0 и целых k > О
1 I V 1 V ‘I с ь9 , 1 1 е „ ,
— "g" а0 I — -г ft?
456 Глава 31
так что для каждого целого k > О
>2____L 5 > 1 Л ________________ k*~~ 1 1о£2
2^-1 тс Л2 ЯА»-1 ^7^2 IOS >— *2----
Таким образом, sm не ограничены, и ряд
2 («П cos (п 0) + bn sin (п • 0))
п = 1
расходится.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие к русскому изданию ........................... 5
Предисловие.......................................... 7
Введение.................................................. 9
§ 1. Классы вычетов.................................. . 17
§ 2. Десятичная система ................................. 19
§ 3. Конечные и бесконечные числовые множества ..... 22
Первая часть
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Предел при .................................. 26
Глава 2. Логарифм, степень, корень................ 45
Глава 3. Функция и непрерывность............... 57
Глава 4. Предел при х = £........................ 73
Глава 5. Определение производной................. 82
Глава 6. Общие теоремы о вычислении производных ... 92
Глава 7. Возрастание, убывание, максимум, минимум ... 101
Глава 8. Общие свойства функций, непрерывных в замкну-
том интервале.......................................... 1>7
Глава 9. Теорема Ролля и теорема о среднем значении . . 128
Глава 10. Производные высших порядков; теорема Тэйлора 136
0 “
Глава И. “ и аналогичные выражения...................... 152
n V
Глава 12. Бесконечные ряды........................... . 172
Глава 13. Равномерная сходимость 201
Глава 14. Степенные ряды............................... 215
Глава 15. Показательный ряд и биномиальный ряд .... 227
Глава 16. Тригонометрические функции ...... - . . . 230
458
Оглавление
Стр.
Глава 17. Функции двух переменных и частные производные 252
Глава 18. Обратная функция и неявная функция........... 270
Глава 19. Круговые функции............................. 277
Глава 20. Вспомогательные предложения из алгебры . . . 281
§ 1. Основная теорема алгебры................. 281
§ 2. Разложение рациональных функций на про-
стейшие дроби........................... 293
Вторая часть
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 21. Определение интеграла........................ 304
Глава 22. Основные формулы интегрального исчисления . . 312
Глава 23. Интегрирование рациональных функций . . .. . 318
Глава 24. Интегрирование некоторых не рациональных функ-
ций ................................................... 325
Глава 25. Понятие определенного интеграла.............. 337
Глава 26. Теоремы об определенном интеграле............ 349
Глава 27. Интегрирование бесконечных рядов . . .........384
Глава 28. Несобственный интеграл....................... 389
Глава 29. Интеграл с бесконечными пределами ........... 410
Глава 30. Гамма-функция................................ 430
Глава 31. Ряды Фурье .............................. . 442
•Переплет художника JI. Красовского
*
Редактор: Т. Солнцева
Технический редактор: В. Полтев
Корректор: М. Шулименко
•Сдано в производство 17/VH 1947 г.
Подписано к печати 18/XI 1947 г.
А-10511. Печ. л. 288Д Уч.-издат. л. 26,4
Формат 82 X !№/«•♦ Издат. № 1/313.
Цена 26 р. 75 к.
Зак. № 84В
<«« типография им. Евг. Соколовой
треста <Позшграфвижга» ОГИЗа
при Совете Министров ССОР.
.Ленинград. Измайловский пр.. 29.
ГЛАВНЕЙШИЕ ОПЕЧАТКИ
к книге Э. Ландау „Введение в дифференциальное и интеграль-
ное исчисление"
Строка Напечатано Должно быть По чьей вине
6 5 снизу появляется | является 1 тип.
15 10 снизу ир «| при 0<ft<-l тип.
юэ 5 сверху (V^) = ... (v^)'=...
111 4 и 3
снизу во втором в первом ред.
117 12 снизу а < < $ я Оо<5
130 8 снизу па^О j м%¥=0
131 10 сверху пач=£0 i пап =£0
141 3 снизу - и! ... — Фг- X ”п * _ п\ ... Ф hn
161 3 снизу ... = /(х) — lg(x) ... =f(x)—lg(x)
169 9 снизу ... == ех ... = ес
178 11 сверху 1 sp к • • • 1 К • • •
т т
200 4 сверху ... + £ =(-...
п = 1 П=1
209 10 сверху . и2х2 _ т*х' ,
' ’ * < (тх* \3 ’
\ 3 ) ( 3 )
317 3 сверху ( 1 , х V — arc tg —) = ... (--arctg— 'j = ... тип.
kjl v-1 \Р
327 3 сверху ... = V -c ту... ...V-cy... тип.
330 9 сверху .44)... тип.
344 4 снизу s. 2 ред.
345 6 сверху —/(x) вместо—/(x) — /(ж) вместо /(%)
380 4 сверху lim ... lim — ~ .
n=CO П = оо Го
395 10 снизу будет, разумеется, поня- будет разуметься поня-
тие тие ред.
i 1
w® н®
427 8 снизу . . . J ... ... n*J...
0 0
437 8 сверху (log (» + v)e
x у __ V ) (44)-v)=- тип. 1