Журнал "Математика в школе", 1973 №05

Автор: Черкасов Р.С.

Теги: образование журнал математика в школе

Год: 1973

Похожие

Математика в школе №01 за 1974 год

Информатика и образование №1 за 1986 год

Активное обучение в высшей школе: контекстный подход

Психология профессионала

Текст

МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
5*1973
Издается с 1934 года
СОДЕРЖАНИЕ
Новый этап в развитии народного образования НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Упорядоченные множества и упорядоченные алгебры с одной и двумя бинарными операциями МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ Из опыта изучения алгебры в VII классе по новой программе
Первые итоги работы по геометрии в VI классе
Комбинаторные задачи в IV—VI классах Из опыта преподавания геометрии в VI классе
К изучению первых разделов геометрии в VI классе
Упражнения по развитию пространственных представлений учащихся IV класса
Задания с пропусками на первых уроках геометрии в VI классе
Метод обучающих задач в преподавании математики
К методике обучения решению задач Об одной логической ошибке
В помощь самообразованию учителей
Использование логической символики при работе' с определениями
Проблемы и суждения
К вопросу преподавания программирования в средней школе
Как мы говорим о числе в школьной математике В помощь учителям профтехучилищ
Новое в изучении математики в средних профессионально-технических
училищах
Задачи для сельских профтехучилищ со средним образованием
Эксперимент
Методические замечания к пробному учебнику IX класса «Алгебра и начала
анализа»
Технические средства обучения. Наглядные пособия
Кинофильм «Тригонометрические функции»
Кабинет математики на международной выставке Факультативные занятия
Преобразования координатной плоскости и графиков
Внеклассная работа
VII Всесоюзная математическая олимпиада Задачи, предлагавшиеся на VII Всесоюзной математической олимпиаде
XXXVI Московская математическая олимпиада
Первый опыт Оригинальный агрометр Материалы для внеклассной работы
Задачи
Занимательная страница Математический календарь на 1973/74 учебный год КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Полезная брошюра ХРОНИКА
секции средней школы Московского математического общества Всесоюзный семинар преподавателей средних ПТУ
2
4
В. И. Нечаев
14
Ю. И. Малеваный, 3. И. Слепкань
19
Ю. М. Колягин, А. В. Соколова
23
А. П. Шихова
28
И. Г. Вишняцкая
31
Г. И. Саранцев
34
А. А. Постное
37
Нгуен Тхай Тхонг, С. В. Глинкина
38
Д. С. Людмилов, С. Д. Людмилова
42
А. И. Волхонский
44
И. А. Марнянский
45
В. Г. Болтянский
50
И. Н. Антипов,
Н. Б. Балъцюк,
A. Д. Кудрявцев,
B. В. Щенников
52
П. М. Олоничев
56
Н. К. Беденко
59
Н. А. Терешин
64
А. Н. Колмогоров, Б. Е. Вейц,
И. Т. Демидов
65
В. П. Севастьянов, Н. Л. Севастьянова
67
Н. Н. Сорокин
68
А. Ю. Михайловская
72
Л. М. Пашкова
75
Н. Б. Васильев, Г. А. Гальперин, М. Л. Гервер,
В. А. Скворцов
79
И. Н. Бернштейн, Г. А. Гальперин, А. А. Кириллов
83
А. Т. Пузиков
83
Е. С. Бибиков
34
М. М. Степанян
85
92
94
В. Н. Касаткин, М. Г от лер А. И. Бородин
95
И. А. Лурье
96
А. Я. Маргулис
41
Л. П. Маркова, В. И. Седаков
О «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ», 1973.

НОВЫЙ ЭТАП В РАЗВИТИИ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
v XXIV съезд КПСС разработал и всесторонне обосновал программу экономического и социально-политического развития нашей страны. Решения съезда находятся в центре внимания партии и народа, являются надежным руководством к действию.
Центральный комитет партии и Правительство после XXIV съезда партии приняли ряд постановлений, направленных на дальнейшее развитие народного образования в стране: «О завершении перехода ко всеобщему среднему образованию молодежи и дальнейшем развитии общеобразовательной школы», «О дальнейшем совершенствовании системы профессионально-технического образования», «О мерах по дальнейшему совершенствованию высшего образования в стране» и, наконец, совсем недавно — «О мерах по дальнейшему улучшению условий работы сельской общеобразовательной школы», X .
На VI сессии Верховного Совета СССР были приняты «Основы законодательства Союза ССР и союзных республик -о народном образовании».
Эти постановления являются новым этапом в последовательном выполнении ленинских заветов о постоянном совершенствовании всех форм народного образования.
«Основы законодательства» законодательно закрепляют основные положения построения всех звеньев народного образования — от дошкольных учреждений до вузов, обеспечивают единство всей системы как союзного, так и республиканского законодательства в области образования, подводят 'прочную правовую базу под деятельность всех учебно- воспитательных учреждений нашей страны, с исчерпывающей полнотой раскрывают основные принципы народного образования в Советском Союзе'
Большой и славный путь за годы Советской власти прошла общеобразовательная школа. Из года в год растет число молодежи, получающей среднее образование. Так, в 1972 г. более 86% выпускников восьмых классов продолжали учебу в средней школе, а также в других учебных заведениях, дающих среднее образование. В новом учебном году примерно 90% учащихся, окончивших восьмые классы, продолжат учебу для получения^ среднего образования. В девятые классы общеобразовательной школы будет при- ш|р6 около 2,9 млн. учащихся.
2 ^
За два с половиной года нынешней пятилетки среднее образование получили 10 млн. молодых людей, высшие учебные заведения выпустили 2,1 млн. врачей, учителей, йнже- неров, экономистов и других специалистов высшей квалификации. Подготовлено 3,35 млн. специалистов со средним образованием.
Говоря о больших успехах в осуществлении среднего образования, нельзя не сказать и о недостатках. В некоторых союзных республиках, особенно в сельских районах, значительная часть молодежи выбывает из общеобразовательных школ и техникумов до получения среднего образования. Не всегда, проявляется должное внимание к сохранению контингента учащихся вечерних (заочных) общеобразовательных школ.
Особой заботы требует сельская школа, в которой обучается свыше 50% учащихся. В последнее время в сельской школе, как и во всей системе народного образования, произошли большие перемены: переход на трехгодичное начальное образование, активизация учебной и общественной деятельности учеников, совершенствование идейно-воспитательной работы и другие.
Но вместе с тем в ряде сельских школ уровень учебно-воспитательной работы еще отстает от современных требований вследствие неудовлетворительной материальной базы, недостаточного внимания к подготовке и закреплению учительских кадров.
В постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшему улучшению условий работы сельской общеобразовательной школы» отмечается целесообразность создания в каждом совхозе и крупном колхозе средней общеобразовательной школы, строительства новых школьных зданий, пристроек классных комнат, кабинетов и других учебных помещений. Намечено строительство школ на 7,25 млн. ученических мест, пришкольных интернатов на 772 тыс. мест, жилой площади для сельских учителей 6420 тыс. квадратных метров,— все это будет построено в селах за счет государственных капитальных вложений в течение 1974— 1980 гг.
Серьезное внимание в постановлении уделено вопросам подготовки и закрепления учительских кадров на селе. Решение этого вопроса зависит не только от педагогических

вузов и училищ, но и от того, как встречают молодых специалистов на местах.
Постановлением предложено расширить движение «Комсомол — сельской школе» и поддержана инициатива ЦК ВЛКСМ о направлении строительных молодежных отрядов на село.
Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР нашло горячий отклик и одобрение. Расширяются различные виды шефской работы. Большую методическую помощь сельской школе призваны оказать высшие учебные заведения, особенно педагогические институты, НИИ школ и педагогики союзных республик.
Забота партии и правительства по оказанию помощи семье в воспитании детей видна в создании школ с продленным днем и групп продленного дня, численность детей в которых составляет около 6 млн. человек.
Выполнению обязательного восьмилетнего обучения и переходу ко всеобщему среднему образованию способствуют также такие меры, как обучение и воспитание в школах-интернатах, детских домах детей и подростков, лишившихся попечения родителей, создание широкой сети оздоровительных сана- торно-лесных и специальных школ, в которых обучаются дети, которые по состоянию здоровья или по другим причинам не могут обучаться в обычной общеобразовательной школе.
Подлинной кузницей рабочих кадров является система профессионально-технического образования в нашей стране. Сегодня в стране 5700 ПТУ, в них обучается 2,6 млн. человек по 1100 профессиям. За последние годы повысился общеобразовательный уровень учащихся профессионально-технических училищ. Получает дальнейшее развитие сеть средних профтехучилищ как наиболее перспективная форма подготовки молодых рабочих. Свыше 450 тыс. учащихся обучается сегодня в 1300 средних 'профтехучилищах с 3—4-летним сроком обучения.
Только за первые два года пятилетки система профессионально-технического образования подготовила для народного хозяйства 3,5 млн., а в текущем году подготовит 1,8 млн. высококвалифицированных рабочих.
Система профтехобразования, будучи составной частью народного образования, непосредственно связана с предприятиями, для которых она готовит кадры. Долг всех производственных коллективов — всемерно усилить влияние на подготовку и воспитание в профтехучилищах молодой рабочей смены за счет лучшего оснащения училищ оборудова¬
1*
нием и укомплектования высококвалифицированными мастерами^преподавателями.
Все наше общество заинтересовано в том, чтобы подрастающее поколение ясно понимало роль и величие человека труда, историческую миссию рабочего класса.
Многие депутаты, выступающие на сессии, говорили о той огромной роли, которую играют в воспитании подрастающего поколения советские педагоги — учителя, преподаватели, мастера производственного обучения, воспитатели. В общеобразовательных школах ныне трудится 2,7 млн. учителей, в высших и средних специальных учебных заведениях — свыше 550 тыс. преподавателей, в профтехучилищах — более 200 тыс. педагогических работников.
Всеобщим признанием и уважением в нашей стране пользуется труд педагога. Десятки тысяч работников народного образования избраны депутатами Верховного Совета СССР, Верховных Советов союзных и автономных республик и местных Советов депутатов трудящихся.
Партия и правительство проявляют неустанную заботу о педагогических кадрах. Об этом свидетельствуют недавнее повышение заработной платы работникам дошкольных учреждений, учителям школ, преподавателям профтехучилищ, средних специальных и высших учебных заведений, постановление, согласно которому учителям сельских школ предусматривается улучшение жилищно-бытовых условий и ряд льгот.
При обсуждении «Основ законодательства» затронут ряд других важных проблем: о сотрудничестве школы, семьи и общественности в воспитании детей и молодежи, о повышении-ответственности родителей в вопросах обучения и воспитания подрастающего поколения, о принимаемых мерах к улучшению изучения русского языка в качестве языка межнационального общения и многие другие.
Важнейшей задачей, решать которую призван каждый учитель, является успешная реализация в своей практической деятельности принятых в Законе положений, широкое разъяснение «Основ законодательства Союза ССР и союзных республик о народном образовании» среди трудящихся своего района, среди родителей и коллектива учащихся.
Последовательное проведение в жизнь принципов и задач, закрепленных в «Основах законодательства о народном образовании»/ явится одним из важных факторов создания в нашей стране самого просвещенного и организованного общества в истории человечества — коммунистического общества.
, 3

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
В. И. НЕЧАЕВ
(Москва)
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И УПОРЯДОЧЕННЫЕ АЛГЕБРЫ С ОДНОЙ И ДВУМЯ БИНАРНЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ
Мы рассматриваем вопросы, связанные с понятием порядка во множестве и числовых системах.
Обозначения. Буквами N, Z, Q, R, С обозначаются множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно.
0 — пустое множество; {а, ... Ь}—множество, состоящее из элементов а, ... Ь\ {#|...} — множество всех элементов х, таких, что выполняется условие ..., так {2х\x£Z)—множество всех четных чисел.
Смысл употребляемых нами логических символов V» 3,1 разъясняется в тексте. Понятия группы и кольца предполагаются известными, однако эти термины, как и некоторые другие, будут определены.
§ 1. Множества с отношениями
1.1. Пара элементов. Пусть а и Ь — какие- нибудь предметы. Символом <а, Ь) обозначается новый объект, называемый парой элементов а и Ь. Принимают, что <а, Ь} = (а', Ь')<=> <=>а=а' и Ь = Ь\ т. е. {a, b} = (a'y b') тогда и только тогда, если буквы а и а' (Ь и Ь') обозначают один и тот же предмет.
Следует отличать пару <а, 6> и множество {а, Ь}. Из натуральных чисел 1 и 2 можно образовать две разные пары <1, 2> и <2, 1>
и только одно множество {1, 2}, состоящее из этих чисел. Далее, <1, 1>=й= {1}-
1.2. Прямое произведение. Пусть А и В — какие угодно множества; множество всех пар элементов множеств А к В называют прямым произведением множеств. Л и В и обозначают символом Ау^В. Итак,
АХ В — {(а, Ь) | а £ Л, В}.
Пример 1.2.1. Пусть А — {а, р}, £= {1, 2, 3}. Тогда АХВ=* «а, 1); <а, 2>; <а, 3); <р, 1); <р, 2); <р, 3».
Пример 1.2.2, Пусть А = 0 и В— любое множество. Так как пар (а, Ь) таких, что а £ А и Ь £ В нет, то А X В — 0.
Если А — В, то прямое произведение АХ А обозначают символом А2. Определяем: А0 = 0, А1 = Л, Л3 =» *" Л8 X Л. Элемент «а, 6>, с) множества А3 называют тройкой из элементов л, £, с, и для краткости употребляют обозначение:
<а, с) = ((а, b), с).
1.3. Отношения. Пусть Л — множество; бинарным отношением, заданным во множестве Л, называют любое подмножество со прямого произведения ЛХЛ. Аналогично определяется тернарное, а также унарное отношение, заданное во множестве Л.
Пример 1.3.1. со, = {(л, л + 1) | п £ N}, т. е. со,— множество пар <л, л -f 1) натуральных чисел с условием, что л— любое натуральное число. Легко видеть, что со, cz N2. Поэтому со,—бинарное отношение, заданное во множестве N. Заметим, что
V (я» b£N) (а, Ь)£ со, ф=> Ь — а + 1,
другими словами, каковы бы ни были натуральные числа а и Ь, пара <а, Ь) принадлежит множеству со, (находится в отношении со,) тогда и только тогда, если b — а + 1. Итак, отношение «непосредственно следует за» — бинарное отношение в N. Г
Пример 1.3.2. — {</2 -f- /тг, п)\п, m£N}. со2 с
с N2, следовательно, со2 — бинарное отношение в N. А так как
у (a, b£ N) (а, Ь) £ со2 ф=> а > Ь,
то отношение со2 есть арифметическое отношение «больше».
Пример 1.3.3. со3 — {(п-m, п) | л, m£N}. Легко видеть, что со3 с W2 и что
V(a,b£N) (а, Ь) £ со3 ф=> а \ Ь.
Итак^ каковы бы ни были натуральные числа а и Ь, пара <а, Ь) принадлежит множеству со3 тогда и только тогда, если число а делится на число b. Таким образом, отношение «делится на» — бинарное отношение в N.
Пример 1.3.4. со4 = «л -f т, п, т)\ п, т£ N}, т. е. со4 — множество троек натуральных чисел (п т, п, т) с условием, что л и т — любые натуральные числа. При этом
V(a,b,c£N) (а, Ь, с) £со4<£=> с = а — Ъ.
Таким образом, арифметическая операция «вычитание» может рассматриваться как тернарное отношение в N.
Пример 1.3.5. со5—множество всех простых чисел. Поэтому
V (а £ N) а £ со5 Ф=> а — простое число. Следовательно, свойство «быть простым» может рассматриваться как унарное отношение в N.
4

Понятие отношения может быть обобщен*) б следующем направлении. Пусть А и В— какие-нибудь множества; бинарным отношет нием, заданным во множествах А и В, называют любое подмножество прямого произведения А X В. С этой точки зрения отношение принадлежности точки прямой — бинарное отношение, заданное во множествах точек и прямых.
В математике во всех ее отделах постоянно встречаются с отношениями. Тот факт, что при определении того или иного отношения ке всегда пользуются понятием прямого произведения не имеет существенного значения.
1.4. Алгебраические операции. Пусть А — множество, Т — тернарное отношение, заданное в А\ если для любой пары <а, by элементов множества А во множестве А имеется и только один элемент с такой, что тройка <а, b, с> принадлежит Г, то отношение Т называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.
Легко заметить, что не для любой пары натуральных чисел их разность есть натуральное число, поэтому тернарное отношение примера 1.3.4 не является бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве N. В то же время арифметическая операция вычитание— бинарная алгебраическая операция на множестве Z целых чисел. Арифметические операции сложение и умножение — бинарные алгебраические операции на каждом из множеств N, Z, Q, R и С.
Если со — бинарное отношение, заданное во множестве А, и если для любого элемента а множества А во множестве А имеется и только один элемент Ъ такой, что <а, by £ со, то отношение со называют унарной алгебраической операцией, заданной на множестве А. Так, отношение примера 1.3.1—унарная алгебраическая операция, заданная на множестве N. Отношения примеров 1.3.2 и 1.3.3 нельзя рассматривать как унарные алгебраические операции на N, так как не для каждого натурального числа а можно найти и только одно натуральное число b такое, что
(а, Ь) £а>2 «а, £)€<*>з)-
Под нульарной операцией, заданной на множестве Л, понимают любое одноэлементное подмножество множества А.
1.5. Алгебраические системы. Множество Z целых чисел образует группу относительно одной арифметической операции — сложения и кольцо относительно двух арифметических операций — сложения и умножения. Поэтому
1° множество Z,
2° множество Z с одной арифметической операцией — сложением — и
3° множество Z с двумя арифметическими операциями — сложением и умножением — различные объекты.
Если в непустом множестве А заданы некоторые отношения, образующие множество Q, то пару <Л, £2> называют алгебраической системой. Если все отношения множества Q — алгебраические операции, то пару <Л, Q) называют алгеброй.
Группа <Z* +> и кольцо <Z, +, ^ — алгебры.
Вопросы и упражнения
1.1. Найти А2, если А — {1, 2}.
1.2. Сколько всех унарных, бинарных и тернарных отношений можно задать во множестве из двух элементов?
1.3. Сколько всех нульарных, унарных и бинарных алгебраических операций можно задать на множестве из двух элементов?
1.4. Является ли арифметическая операция — сложение (умножение) бинарной алгебраической операцией на множестве простых чисел, нечетных чисел?
1.5. Указать числовое множество, на котором извлечение квадратного корня — унарная алгебраическая операция.
1.6. Является ли алгебраическая система (N, : ) «#,•)) алгеброй?
§ 2. Упорядоченные множества
2.1. Свойства бинарных отношений. Если <о— бинарное отношение, заданное в некотором множестве А, то запись а<вЬ означает, что (а, &)€“• Итак, по определению а®Ь (а, 6)^(в.
Символом «”]» в логике обозначают отрицание. Поэтому запись 7] аа>Ь читается «неверно, что ач>Ь».
Бинарное отношение ш, заданное во множестве А, называют
1° рефлексивным, если
V (л € -Л) а<оа;
2° антирефлексивным, если
V (а € А) 1 awa;
3° симметричным, если
У/(а, Ъ £ A) a<t>b =* Ьша;
4° антисимметричным, если
V (л, Ъ £ А) ач>Ь -и Ьша=$а = Ь,
другими словами, каковы бы ни были элементы а и b множества А, из ашЬ и Ьюа следует, что а — Ь;
5° связным, если
V (а, Ь € А) афЬ=$ aab или bwa, другими словами, каковы бы ни были различные элементы а и b множества А, хотя бы одно из отношений a<ob или bwa верно;

6° транзитивным, если
V (а, b, с £А) awb и Ыс^шс.
2.2. Отношение порядка. Пусть во множестве А задано бинарное отношение «>—» («выше» или «следует за»). Это отношение называют отношением порядка, а систему <Л,>->— упорядоченным множеством, если это отношение транзитивно и антисимметрично.
Вместо того чтобы сказать «а выше 6», мы говорим также «Ь предшествует а». Если аУ~Ь и если для любого элемента х, отличного от а и от 6,
а > л; =Ф 7] д; > Ь,
то мы говорим «а непосредственно следует за Ь».
Отношение порядка в упорядоченном множестве <Л, >-> называют отношением нестрогого (строгого) порядка, а систему <Л, >-> — нестрого (строго) упорядоченным множеством, если это отношение рефлексивно (соответственно антирефлексивно).
Отношение порядка в упорядоченном множестве <Л,>-> называют отношением линейного (или совершенного) порядка, а систему <Л, >^> — линейно (совершенно) упорядоченным множеством, если это отношение связно. Если же отношение порядка не обладает свойством связности, то его называют отношением частичного порядка, а соответствующую систему— частично упорядоченным множеством.
Пусть (Л, >> — упорядоченное множество, В с: А, / € Л, если
V {х £ В) х Ф I =Ф х > /, то элемент / называют нижней гранью множества В, в частности наименьшим элементом множества Ву если к тому же /£В. Элемент m множества В называют минимальным элементом множества В, если
у/ (х£В) х =£ m > л:.
Аналогично определяется верхняя грань, наибольший и максимальный элементы множества В в упорядоченной системе <Л, >->. Множество всех верхних граней множества В мы обозначаем символом U(B), символом L(B) — множество всех нижних граней множества В. В частности, U(ay b)—множество всех элементов множества Л, следующих за каждым из элементов а и b\ L(c) — множество всех элементов множества Л, предшествующих элементу с.
Упорядоченное множество <Л, >-> называют решеткой (или структурой), если выполняются следующие два условия:
1° V (а*Ь £ А) э (с € Л) U (a, b) = U (с), . т. е., каковы бы ни были элементы а и b множества Л, существует во множестве Л эле¬
мент с такой, что множество всех элементов Л, следующих за элементами а и Ь, совпадает с множеством всех элементов Л, следующих за элементом с.
2° у (a, b€A)3(d£A)L(a, b) = L{d).
Пример 2.2.1. Отношение « » делимости примера 1.3.3 — отношение частичного и нестрогого порядка в N; система •) —частично и нестрого упорядоченное множество. Дальше, верхняя грань любого множества натуральных чисел в системе (N, :> есть общее кратное этих чисел, нижняя грань — общий делитель. А так как всякое общее кратное двух чисел кратно их наименьшему общему кратному, а их общий делитель делится на наибольший общий делитель этих чисел, то система (Ny .* у — решетка.
Пример 2.2.2. Пусть М — множество, РМ — множество всех его подмножеств; отношение «о — включения во множестве РМ — отношение частичного и нестрогого порядка. Пусть далее А и В — подмножества множества М, С — пересечение множеств А и В, D — объединение множеств А и В. Легко заметить, что ЦА, В)-ЦС), U (А, В)~- U (D).
Поэтому система (РМ, с=> — решетка.
Пример 2.2.3. Пусть а — натуральное число, Na — множество всех степеней числа а т. е.
Na = {an[n£N}.
Отношение « : ь делимости в Na — отношение линейного и нестрогого порядка, система
<Na. • > —
линейно и нестрого упорядоченное множество.
Пример 2.2.4. Арифметическое отношение «>» («больше») в N — отношение линейного и строгого порядка.
Пример 2.2.5. Пусть А = {а, Ь, с}, т. е. А — трехэлементное множество, со = {<а, а>; <а, 6>; <а, с>; <Ъ, с». Бинарное отношение со в Л — отношение линейного порядка. Порядок со не является ни строгим, ни нестрогим.
2.3. Графы упорядоченных множеств. Пусть <Л, >-> — строго (или нестрого) упорядоченное множество. Мы будем предполагать, что Л — конечное множество. С каждым элементом а множества Л сопоставим какую-нибудь точку Т(а) данной плоскости так, что если элемент а непосредственно следует за эле* ментом 6, то точку Т(а) будем располагать выше точки Т(Ь) и соединять их отрезком. В результате мы получим граф, отвечающий данному упорядоченному множеству.
<> Г* V A Y Г
V\ А. V Г И Т .Г
8 9 W 11 12 13 74
• • • •
15
6

Различные типы строго (нестрого) упорядоченных четырехэлементных множеств изображены графами на рисунке. Граф 1 отвечает линейному порядку, остальные — частичному.
2.4. Вполне упорядоченные множества. Если в упорядоченном множестве <Л, >-> каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, то систему <Л, >—) называют вполне упорядоченным множеством, а порядок «>-» во множестве А — полным.
Во вполне упорядоченном множестве любое непустое подмножество, в частности из двух элементов, имеет наименьший элемент. Поэтому для любой пары <а, b> различных элементов вполне упорядоченного множества <Л, >~> хотя бы одно из соотношений
ау~Ь или Ь)^а верно. Отсюда следует, что полный порядок — всегда линейный.
Пусть система <Л, >)-— упорядоченное множество, а£А; символом L* (а) условимся обозначать множество всех нижних граней множества {а}, неравных а, т. е.
L* (а) — {х\х =£ а, а > х).
Если m — минимальный элемент множества Л, то L* (пг) — 0. Если система (Л, строго
упорядоченное множество, то L(a) = L*(a).
Теорема 2.4.1 (Принцип трансфинитной индукции). Пусть система <Л, >-> — вполне упорядоченное множество. Любое подмножество М множества Л содержит А, если V (а€ A) (L* (а) с М) =Ф-(а €лИ),
другими словами, если для каждого элемента а множества А из принадлежности к множеству М всех нижних граней множества {а}, неравных ау следует, что и элемент а принадлежит М.
Доказательство. Пусть М'=А\М, т. е. теоретико-множественная разность множеств Л и М. Если Mf= 0 — пусто, то Л = М и доказывать нечего. Если М' Ф0, то, так как система <Л, >-> — вполне упорядоченное множество, множество М' содержит наименьший элемент т. В таком случае все элементы, предшествующие m и отличные от т, не принадлежат М\ а, значит, принадлежат М. Таким образом, L*(m) сzM. Поэтому пг£ М и, следовательно, £М' в противоречие с предположением.
2.5. Теорема Цермело. Порядок примера 2.2.4 полный, так как любое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Арифметическое отношение «>» («больше») не является полным порядком во множестве Q и даже Z. Известно [1], что множество Z, а также Q счетно. Установив вза¬
имно однозначное отображение множества N на Z (соответственно на Q), мы легко сможем определить полный порядок во множестве Z (а также Q). Легко ввести полный порядок и во всяком конечном множестве. Как обстоит дело с несчетными множествами?
В 1904 г. итальянский математик Цермело доказал теорему:
Теорема 2.5.1. Во всяком непустом множестве можно ввести полный порядок.
Пусть В — подмножество множества действительных чисел R; множество В называют базой множества R относительно множества Q, если
1° в В определен полный порядок и
2° каждый элемент множества R можно представить и только одним способом в виде линейной комбинации конечного множества элементов В с рациональными коэффициентами.
Из теоремы Цермело может быть выведена
Теорема 2.5.2. Множество действительных чисел имеет базу относительно множества рациональных чисел.
В самом деле, введем в R полный порядок, а затем удалим из R каждое число, которое линейно с коэффициентами из Q выражается через конечное множество предшествующих (в этом новом упорядочивании). Далее нетрудно доказать, что оставшиеся элементы образуют искомую базу.
Необходимо заметить, что доказательство Цермело, как и доказательство теоремы 2.5.2, неэффективно в том смысле, что позволяет установить существование полного порядка, например во множестве всех действительных чисел, но не дает указания, как определить хотя бы один полный порядок в этом множестве.
В о п р о с ы и у п р а ж н е н и я
2.1. Сколькими способами можно ввести лилейный порядок во множестве из трех элементов (линейный и строгий; линейный и нестрогий)?
2.2. Доказать, что любое линейно упорядоченное множество — решетка.
2.3. Арифметическое отношение «>» («больше») — линейный и строгий порядок зо множестве R. Пусть R- — множество всех отрицательных чисел. Легко проверить, что если L*(a)czR— для какого-нибудь действительного числа а, то а £ R~~. Однако R~=^=R. Почему?
2.4. Сколько минимальных элементов имеет каждое из множеств, изображаемых графами рисунка?
2.5. Доказать, что множество всех баз множества R относительно множества Q — бесконечно.
2.6. Доказать, что всякая база множества R относительно множества Q — несчетное множество.
§ 3. Упорядоченные полугруппы
3.1. Закон композиции. Бинарную алгебраическую операцию, заданную на множестве А,

называют также законом композиции элементов множества Л. Если Т — закон композиции элементов множества А и <а, b, с>€ Т, то элемент с называют результатом применения закона композиции Т к элементам а и b и употребляют обозначение: аГЬ = с.
Таким образом,
аТЬ = с <Н>(д, 6, с)€Т.
Часто для законов композиции употребляют аддитивное или мультипликативное обозначение, т. е. знаки «+» или «•». В первом случае закон композиции называют сложением, во втором — умножением.
Элемент 0 множества А с законом композиции Т называют нейтральным элементом относительно этого закона, если
V (а € А) аТЪ = ЪТа = а. Нейтральный элемент сложения называют нулем, а умножения — единицей. Пусть во множестве А задано бинарное отношение со и закон композиции Т, бинарное отношение со называют монотонным относительно закона Т, если
V (a, by с £ А' aub =Ф (аТс) со (ЬТс) и (сТа)ы(сТЬ).
3.2. Полугруппы. Алгебру <Л, Г> с одной операцией называют полугруппой, если операция «Г» бинарна и ассоциативна. В дальнейшем для операции полугруппы мы будем употреблять мультипликативное или аддитивное обозначение.
Полугруппу (А, •> называют коммутативной, если операция «•» коммутативна, и конечной, если множество А конечно.
Полугруппу <Л, •> называют полугруппой с сокращением, если
V (а, b, с G Л) ас == Ьс а — b и са = сЬ=>а = Ь.
Полугруппу (Л, •) называют группой, если V (а, #€Л)э (х, у € А) а-х = Ь и у-а = Ь^ другими словами, если, каковы бы ни были ^элементы а и Ь множества Л, в Л можно найти элементы х и у такие, что а-x—b и- у-а=Ь. Известно, что всякая группа имеет и только один элемент, нейтральный относительно ее закона композиции. Группу <Л, •> с нейтральным элементом е можно рассматривать и как алгебру <Л, •, е> с двумя операциями: бинарной и нульарной.
Пример 3.2.1. Если «+» и «•» — арифметические операции «сложение» и «умножение», М — любое из множеств N, Z, Q, R или С, то системы <М, +> и <М, •> — коммутативные полугруппы. Полугруппы +> и <N, •> — полугруппы с сокращением. Полугруппы <Z, +>, <Q, +>, <R, +> и <С, +> — группы.
3.3 Упорядоченные полугруппы. Пусть во множестве Л определены тернарное отношение «+»■ («сложение») и бинарное отношение «>“» («выше»). Алгебраическую систему <Л, +, >~> называют упорядоченной полугруппой, если выполняются следующие три условия:
1° Система <Л, +>— полугруппа;
2° Система <Л, >-> — упорядоченное множество;
3° Отношение «У~» монотонно относительно операции «+».
Пример 3.3.1. Пусть 5 — множество одночленов от п неизвестных вида
*?*•...-jAi,
1 п
где а\у ..., ап — любые неотрицательные целые числа. Введем во множестве S операцию «•» («умножение») и отношение «)>» («выше») условиями:
10 yd 1 „Ь1 -.Ь „а 1 -f-„аЬ .
I Л| • . . . *Л Х\ • , ш , • X п ** X1 • . , • • X п п.
1 п 1 п 1 п
2° х?'-...-хап > лЛф=>
1 п 1 п
Ф=> CL\ > 6, или ах — bv но а2 > Ь2 или ах « blt а2 = Ь2,
но
> Ь3 и т. д.
Легко проверить, что система <S, • , > > — линейно и строго упорядоченная полугруппа.
Пример 3.3.2. Система <N, •, :) — частично • и нестрого упорядоченная полугруппа.
Пример 3.3.3. Пусть М — какое-нибудь множество, РМ — множество всех его подмножеств, «f>, («пересечение») и «U» («объединение») — тернарные отношения в РМ. Системы <РМ, f|, cz > и <PAf, (J, с: > —частично и нестрого упорядоченные полугруппы.
Пример 3.3.4. Пусть М — множество из чисел 0 и 1, «•» — арифметическая операция (умножение).
В множестве М определим отношение «)>» условиями 0^0, 1>0.
Легко видеть, что система (М, • >.) линейно упорядоченная полугруппа. Порядок «>» не является ни строгим, ни нестрогим.
Пусть <Л, +> — какая-нибудь полугруппа. Для любого элемента а множества А и любого натурального числа п условимся символом пАа обозначать сумму а+ ... +а п слагаемых, равных а.
Без труда доказывается следующая
Теорема 3.3.1. Если <Л, +,■>-> — упорядоченная полугруппа, то 1° V (я* Ь, а', Ь' £Л) b и а'>Ь'=$ + а' > b + Ь'\
2° v (а, b £ A) v (я € N) а > Ь п Д а > >/гД6.
В частности, если (Л, +,>> — линейного и строго упорядоченная полугруппа, то V (а, Ь £А) у(^€А/г)а>^<н>/гДа>яД6.
Следствие 1. Если а, 6, п — натуральные числа, то
a ':b=$an! Ьп.
8

В самом деле, система <N, • , ^—упорядоченная полугруппа.
Следствие 2. Если a, b, я — натуральные
числа, то
Действительно, система <N, *,» — линейно и строго упорядоченная полугруппа.
Теорема 3.3.2. Всякая линейно и строго упорядоченная полугруппа — полугруппа с сокращением.
Доказательство. Пусть <А, •, >-> — линейно и строго упорядоченная полугруппа, и пусть ас=Ьс для каких-нибудь элементов а, Ь, с множества А. Так как порядок «У~» линеен, то либо аУ~ Ь, либо by- ау либо а == Ь. В первом случае acy-bc, что не может быть, так как порядок «>-» — строгий. Во втором случае Ьсу-ас, что также невозможно. Следовательно, а=Ь.
Из этой теоремы легко выводится
Теорема 3.3.3. Пусть <Л, +> — ли‘
нейно и строго упорядоченная полугруппа, а £Л, а а а.
Тогда элементы
а, 2Да, 3 Да,...
все различны.
Указание. Если а + а >- а, то индукцией по натуральному л сначала докажем, что (п + 1) Аау-а.
Следствие. Линейно и строго упорядоченная полугруппа — бесконечна.
Пусть <Л, +, >-> —упорядоченная полугруппа. Определим во множестве А бинарные отношения «>» («больше») и «^» («больше или равно») условиями:
1° \/(а. b€A)a>b<&a > 6, но а ФЪ\
2° V (а, ЬУ £А) а> Ь^а > ft, или а =6.
Нетрудно проверить, что системы (А, +, >> и <Л, +, — упорядоченные полугруппы.
При этом порядки «>» и «^» — линейны, если порядок «>-» линеен, и частичны в противном случае.
Отсюда следует
Теорема 3.3.4. Всякую упорядоченную полугруппу с сокращением можно линейно и строго упорядочить.
Поэтому из теоремы 3.3.3 следует
Теорема 3.3.5. Конечную полугруппу с сокращением и более чем из одного элемента нельзя линейно упорядочить.
Легко получается
Теорема 3.3.6. Если система <Л, +, >->— упорядоченная группа, то порядок «>-» либо строгий, либо нестрогий.
3.4. Положительные и отрицательные элементы упорядоченных полугрупп. Элемент а
упорядоченной полугруппы <Л, +, >-> называют положительным, если
у(х£А)а-±~х>~х и х + а У х; отрицательным, если
у(^€Л) хуа + х и х у х + а.
Если <Л, +, >-> — упорядоченная группа, то, как легко заметить, элемент а множества Л положителен тогда и только тогда, если а + а У~а- Но верна и следующая
Теорема 3.4.1. В линейно и строго упорядоченной полугруппе <Л, +, >-> элемента положителен (отрицателен) тогда и только тогда, если а + а у- а (соответственно а У-а + + а).
■ 3.5. Порядки в аддитивных и мультипликативных полугруппах основных числовых систем. Аддитивную полугруппу <N, +> натуральных чисел можно линейно и строго упорядочить, определив отношение «>» («больше») следующим образом:
V (а, b £ N) а > b <^> 3 (п £ N) а = Ь -f п.
Легко видеть, что в этом порядке любой
элемент положителен. Возможен и второй способ линейно и строго упорядочить эту полугруппу:
V (#, b£N) а >- b 4Ф з (п £ N) b — а + п.
Здесь любое натуральное число отрицательно.
Оказывается, нет других способов линейно и строго упорядочить эту полугруппу (вопрос 3.4). Точно также аддитивную полугруппу целых чисел и аддитивную полугруппу рациональных чисел можно линейно и строго упорядочить только двумя способами (вопросы 3.5 и 3.6). Иначе обстоит дело с действительными и комплексными числами.
Теорема 3.5.1. Множество линейных и строгих порядков в аддитивной группе действительных чисел бесконечно.
Доказательство. По теореме 2.5.2 множество R имеет базу В относительно Q, в которой определен полный порядок.
Пусть а £/?, тогда существует натуральное /г, элементы р„ ..., рл базы В и рациональные числа аг, такие, что
а§\ + ••• +
Мы будем предполагать, Что числа Pi,.... ,ря занумерованы в соответствии с порядком базы В. Пусть тб/?- Без ограничения общности можно предположить, что существуют такие рациональные числа cv ..., спУ что
Т ~ ^ 1 Pi + ••• + сп$п- Определим отношение «>» («выше») следующим лексикографическим соглашением: cL^T^ax^>Ci или но а2>с2 и т. д.
9

Легко проверить, что система </?, -К — линейно и строго упорядоченная группа. Выбрав другую базу, мы сможем определить другой линейный и строгий порядок в аддитивной группе действительных чисел. А так как множество баз бесконечно "(вопрос 2.4), то и множество линейных и строгих порядков в аддитивной группе действительных чисел бесконечно.
Теорема 3.5.2. Множество линейных и строгих порядков в аддитивной группе комплексных чисел бесконечно.
Доказательство. Пусть «>-» — какой-нибудь линейный и строгий порядок в аддитивной группе действительных чисел. (Например, арифметическое отношение «больше».) Легко проверить, что линейным и строгим порядком в аддитивной группе комплексных чисел является бинарное отношение, определяемое условием:
а f Ы > а' + ЪЧ ^ а > а' или а = а\ но b > b
Отсюда и из теоремы 3.5.1 следует наше утверждение.
Теорема 3;5.3. Множество линейных и строгих порядков в мультипликативной полугруппе йатуральных чисел бесконечно.
Доказательство. Арифметическое отношение «больше» является линейным и строгим порядком в мультипликативной полугруппе <N, •> натуральных чисел. Другой порядок можно получить, например, следующим образом. Определим взаимно однозначное отображение ф множества N на себя такое, что V (я> b£N) 9(а-6) = <р(а)-<р(&).
Это можно сделать, например, так. Известно, что всякое натуральное неравное 1 число а однозначно представляется в виде:
а = />«. .р*>
где /?ь ..., р s —- различные простые, а9 —
натуральные числа. Для каждого простого р полагаем:
[ 3, если р — 2;
<р(/?)= 2, если' /7 = 3;
\ р, если рФ 2; и р=£3.
А для любого натурального и неравного 1 числа а полагаем:
<Р (а) = [<? (/?!)]“> • ... • [<р (/7,)]**.
Наконец, ср(1) = 1. Легко видеть, что отображение ф обладает требуемым свойством. Определим теперь бинарное отношение «>~s» условием:
а > £<=*? (а) >?(*)•
Нетрудно проверить, что система <jV, -,>->— линейно и строго упорядоченная полугруппа.
Мультипликативная полугруппа целых чисел содержит конечно подгруппу, состоящую из чисел 1 и —1. Из теоремы 3.3.5 следует, что мультипликативную полугруппу целых чисел нельзя линейно и строго упорядочить.
Вопросы и упражнения
3.1. Можно ли полугруппу примера 3.3.4 линейно и строго упорядочить? линейно и нестрого упорядочить?
3.2. Доказать, что в линейно и строго упорядоченной полугруппе сумма двух положительных (отрицательных) элементов положительна (соответственно отрицательна) .
3.3. Пусть Z* (аналогично Q*, /?*, С*) множество всех неравных нулю целых (соответственно рациональных, действительных, комплексных) чисел. Доказать, что каждую из полугрупп <Z*, •>, <Q*, • >, </?*, •>,
<С*, •> нельзя линейно и строго упорядочить.
3.4. Пусть > — линейный и строгий порядок в аддитивной полугруппе натуральных чисел, в котором 2 > 1. Доказать, что
у (at b £ N) (а у. b Ф=> 3 (n£N)a = b -f п).
3.5. Пусть >> — линейный и строгий порядок в аддитивной группе целых чисел, в котором 2 )> 1. Доказать, что
V(a^fZ) (а ). <=ф (п £ N)а b -\г п).
3.6. Доказать, что существует и только один линейный и строгий порядок в аддитивной группе рациональных чисел, в котором 1 — положительный элемент.
§ 4. Упорядоченные полукольца
4.1. Полукольца. Алгебру <А, +, •> с двумя операциями «+» («сложением») и «•» («умножением») называют полукольцом, если выполняются три условия:
1° система <Л, +> — коммутативная полугруппа с сокращением;
2° система <Л, •> — полугруппа;
3° операция «•» дистрибутивна относительно операции «+», т. е.
V (а> Ь% с £ Л) (а + Ь)*с — ас + Ьс и с (а + b)~ са + cb.
Полукольцо <Л, +, •> называют коммутативным (конечным), если его мультипликативная полугруппа <Л, •> коммутативна (соответственно множество Л — конечно). Полукольцо называют кольцом, если его аддитивная полугруппа — группа.
Из сказанного в пункте 2.2 следует, что всякое кольцо содержит только один нейтральный элемент «О» («нуль») относительно сложения. Легко привести пример конечного кольца, состоящего всего из одного элемента. В этом кольце единственным элементом является нуль, а операции определяются следующим образом:
0 + 0=0, 0 • 0=0.
10

Кольцо <Л, +, •> не из одного нуля называют кольцом с делителями нуля (без делителей нуля), если множество Л содержит (соответственно не содержит) пару элементов а и Ь таких, что их произведение равно нулю кольца.
В кольце без делителей нуля множество неравных нулю элементов образует полугруппу относительно умножения. Легко видеть, что эта полугруппа — полугруппа с сокращением. В дальнейшем под мультипликативной полугруппой кольца без делителей нуля мы и будем понимать упомянутую полугруппу. .
Кольцо без делителей нуля, мультипликативная полугруппа которого — группа, называют телом. Коммутативное тело называют полем.
Пример 4.1.1. Пусть знаки «+» и «•» обозначают арифметические операции «сложение» и «умножение». Легко видеть, что каждая из следующих систем
Ш, +, •>; (Z, -Ь , •>; <Q, + , •>;
<R, + , •>; <С, + , •>
— коммутативное полукольцо. При этом система <Z, +, •> — кольцо, а каждая из систем <Q, +, •>, (R> +. •> и <£> +> •>-—поле.
Пример 4.1.2. Пусть F — множество всех вещественных функций, непрерывных на отрезке [—1, +1]; «+» и «•» —операции «сложение» и «умножение» функций. Нетрудно заметить, что система <F, +, •> —коммутативное кольцо. Это кольцо имеет делители нуля. В самом деле, пусть <р и -ф — функции, определяемые условиями
( 0, если —1 < лг, < 0;
*(■*)-
I х> если 0 < ^ < 1.
<К*)-*(*) — *.
Легко убедиться, что ф(х) и -ф(*) принадлежат F, а их произведение равно нулю тождественно, т. е. равно нулю кольца </\ +, т>.
П р и м е р 4. 1.3. Пусть «+» и «•» — арифметические операции «сложение» и «умножение». Рассмотрим множество S, состоящее из нуля и выражений вида:
2 а‘г х‘ f, (О
/ > т, г^>п
где т и п — любые целые, atr — рациональные числа для всех допустимых целозначных значений i и г; х и у — формальные неизвестные. Другими словами, S — множество формальных степенных рядов от двух неизвестных х и у с рациональными коэффициентами. Коэффициент атп будем называть младшим коэффициентом ряда (1). На множестве S введем операции «+» и «•» («сложение» и «умножение») следующими соглашениями. При сложении элементов из S мы будем приводить подобные относительно степеней формальных неизвестных х и у члены. При умножении двух формальных рядов мы перемножаем их любые члены по правилу
air х1 f-bjsxJf — У1 air bjs x‘+i f+s,
а затем совершаем приведение подобных членов. Другими словами,
2я/г*'/‘2 bjs xJ ys * Y-Ckt
при этом Ckt= 2 airbjSt i + j = k r + s = t
где суммирование происходит по всем допустимым значениям i, \, г, s. Можно доказать, что система (S, +, *) — некоммутативное тело.
4.2. Упорядоченные полукольца. Систему А —(А, +, • >-> называют упорядоченным полукольцом, если выполняются следующие три условия:
1° система <Л, +, •> — полукольцо;
2° система <Л, +, >-> — упорядоченная полугруппа с непустым множеством Л+ положительных элементов;
3° у (а, Ь £ A) v {с € А+) а >- b =Ф ас > Ьс и cay-cb.
Если к тому же 4° V (а. Ь £ Л+) 3 (п б N) п Д а >- Ьу
то систему <Л, +, •, >-> называют архимедовски упорядоченным полукольцом, а ее порядок— архимедовым.
Множество Л+ положительных элементов упорядоченного полукольца А называют положительной частью системы А, отвечающей ее порядку.
Пример 4.2.1. Полукольцо натуральных чисел архимедовски, линейно и строго упорядочено арифметическим отношением «больше».
Пример 4.2.2. Кольцо целых (поле рациональных, поле действительных) чисел архимедовски, линейно и строго упорядочено арифметическим отношением «больше».
Пример 4.2.3. В кольце примера 4.1.2 определим отношение «)>» («выше») условием
V (/» g€F)f>gt=> У(*е[-Ы]) fW>g(x).
Нетрудно убедиться, что система <F, +, •, »•—архимедовски, частично и нестрого упорядоченное кольцо.
Пример 4.2.4. Рассмотрим кольцо всех вещественных функций, определенных на отрезке [—1, +J { и введем в нем отношение «)>» как в примере 4.2.3. Легко убедиться, что в данном кольце это отношение является неархимедовым, частичным и нестрогим.
Легко доказывается
Теорема 4.2.1. Пусть <Л, +, •, >-> — упорядоченное полукольцо и Л+ — его положительная часть, отвечающая порядку «>-». Тогда
1° у (а, Ь, а', &'£Л+) а>а' и агУ-Ь'=$ ^aar^bb'\
2° y{a,b£A+) а-\-Ь£А+ и а-Ь£А+.
4.3. Упорядоченные кольца. По теореме 3.3.6 всякая упорядоченная группа либо строго, либо нестрого упорядочена. Поэтому и всякое упорядоченное кольцо либо строго, либо нестрого упорядочено. Без ограничения общности можно предполагать, что отношение порядка в упорядоченном кольце всегда является отношением строгого порядка. Это отношение мы будем обозначать символом «>*

(«больше»). Доказательство следующих двух свойств упорядоченных колец не представляет затруднений:
Теорема 4.3.1. Пусть система А = <Л, +, О, > > — линейно упорядоченное кольцо, Л+— положительная часть системы А. Тогда у(ябЛ) а>0<^а£Л+.
Теорема 4.3.2. Пусть система А=<Л, +, •, 0, >> — линейно упорядоченное кольцо. Тогда для любого элемента а из Л либо а=0, либо а>О, либо — а>0.
Известно, что в любом кольце <Л, +, •, 0>
\°\/(а£А) а = 0<^> — а = 0;
2° v (я> b£A) a-(—b) = (—a)-b = —ab; (—а) (—b) = ab.
Отсюда следует
Теорема 4.3.3. Линейно упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля.
Следствие. Кольцо функций пример а 4.1.2 нельзя линейно упорядочить.
Если а — элемент какого-нибудь кольца, то (—а)2=а2. Отсюда и из теоремы 4.3.2 следует
Теорема 4.3.4. В линейно упорядоченном кольце квадрат любого неравного нулю элемента положителен.
Следствие. Поле комплексных чисел нельзя линейно упорядочить.
В самом деле, в противном случае i2>0 и 12>0. Поэтому 0==l+i2==l2+i2>0.
Теорема 4.3.5. (Критерий линейного порядка для колец). Кольцо <Л, +, •, 0> тогда и только тогда можно линейно упорядочить, если множество Л имеет подмножество Л', удовлетворяющее следующим трем условиям:
1° V (а € Л) а Ф 0=Фа £ Л' или — а£А';
2° у(а£А) а^А'^афО и ~| — ad А';
3° \/ (#, b £ Аг) а Ъ £ А* и a-b£A'.
Доказательство. Если система А = <Л, +, *, >> — упорядоченное кольцо, то в роли подмножества Л' выступает положительная часть системы А. Пусть теперь Л'—подмножество множества Л, удовлетворяющее условиям теоремы. Определим отношение «>» во множестве Л следующим образом:
V (а, b £ Л) а а — b £ Л'.
Нетрудно проверить, что введенное отношение связано, антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно, монотонно относительно сложения, а также что 1° v (#€ Л) а + Л';
2° у (я> Ь 6 Л) v {с € А') а > b =* ас > Ьс и ca^>cb.
В дальнейшем под положительной частью кольца <Л, +, •, 0> мы будем понимать любое
подмножество, удовлетворяющее условиям теоремы 4.3.5.
Теорема 4.3.6. (Критерий единственности линейного порядка для колец). Пусть Л+ и Д++—положительные части кольца <Л,
*, 0>. Тогда
Л+ с: Л++ <&А+ = Л++.
Доказательство. В самом деле, если а£Л++, то аф0. Предположение, что А+сиА++ и некоторый элемент а множества Л++ не принадлежит Л+, сразу приводит к противоречию, так как в этом случае —а£Л+с:Л++.
Следствие. Поле действительных чисел R = </?, +, •, 0> можно линейно и строго упорядочить только одним способом.
В самом деле, пусть R^— множество положительных в арифметическом смысле действительных чисел и R++— какая-нибудь положительная часть поля R. Пусть а €/?+, т. е. а>0. Как известно, в таком случае уравнение х2=а разрешимо в R. По теореме 4.3.4 а, как квадрат неравного нулю элемента х, принадлежит R++. Итак, R+ а /?++ Откуда и следует наше утверждение.
4.4. Нетривиальные примеры линейно упорядоченных колец.
Пр и мер 4.4.1. (Некоммутативное линейно упорядоченное тело). В теле примера 4.1.3 за положительную часть примем множество формальных рядов с положительным в арифметическом смысле младшим коэффициентом. Легко проверить, что выделенное подмножество является положительной в смысле теоремы 4.3.5 частью. Можно убедиться и в том, что порядок, отвечающий этой положительной части,— неархимедов.
Пример 4.4.2. (Поле с неархимедовым порядком). Рассмотрим поле Р рациональных функций от формального неизвестного над полем рациональных чисел. Каждый неравный нулю элемент а этого поля можно представить в виде:
а —а (д:) = ., (2)
v 9 b0 + b,x + ... + bs xs ’ w
где au bj — рациональные числа, Ь8Ф0, апФ0, п, s — неотрицательные целые числа. Обозначим через Р' множество всех элементов вида (2) и таких, что an-bs>0. Нетрудно проверить, что Р' — положительная часть поля Р. Кроме того,
(x-nAl)eP'
для любого натурального п. Отсюда следует, что введенный порядок — неархимедов.
Пример 4.4.3 (неархимедовски упорядоченное числовое поле). Рассмотрим множество Rt действительных чисел, состоящее из нуля и всех чисел вида а (тс), где а (х) — рациональная функция вида (2). Легко ви¬
12

деть, что система R, = (Ru -f , •> — подполе поля действительных чисел. Полагаем
Л+={а (*) | а (л:) €/>'}, где Р' — положительная часть поля Р. Легко проверить, что R± —положительная часть поля и что
V(я€W) (я-яД1)€^.
Таким образом, порядок поля R„ отвечающий положительной части Rf, — неархимедов.
Пример 4.4.4. (Числовое поле с двумя положительными частями). Рассмотрим множество R2 всех действительных чисел вида
а — a -f b 7/" 2 , (3)
где а и b—рациональные числа. Легко проверить, что система R2 = (R2, + , •> — поле (подполе поля действительных чисел). Для каждого числа а вида (3) полагаем
а *= а — byf 2 .
Через R% и Rобозначим подмножества Rz, удовлетворяющие условиям:
R+ -{a \a€R3, а > 0}; ^2++={“1«€^. ^>0}.
Легко проверить, что Rt и положительные ча-
сти поля R2 и что R£ =£R++.
Пример 4.4.5. (Линейно упорядоченное числовое поле с мнимыми элементами).
Пусть 0 —мнимый корень уравнения х* ■= 2. Обозначим через С, множество всех чисел вида
а =* аь + 4- я262,
где а0, аи а2 — рациональные числа, через Cf множество, определяемое условием
3 3 _
а0 + + а2®2 € С\ <=> + а1 2 -f /4 > 0.
Нетрудно проверить, что
1° Cj = <Сц + , •, 0) — подполе поля комплексных чисел;
2° Ci —положительная часть поля Cj.
Вопросы.
4.1. Пусть (А, + , •, 0, е, >.) — линейно упорядоченное кольцо с единицей. Доказать, что
10 £ > 0;
2° у (п, т б N) п > т <$=$> п Д е > т Д е.
4.2. Пусть Т = (Г, -f-, -,0, е >) — линейно упорядоченное тело. Доказать, что
1°У/(а£Т) а >0<^д-*>();
2° у (п, т, п’, т'£ N)^
фф (л Д е) (т Д е)~1 > (я' Д е) (от' Д е)~ *;
3° V (а € Т) V (n € N) а >. 0 =ф (а + e)n+‘ а + - (Лт1)Дг;
4е Тело Т коммутативно, если у (а, Ь£Т)‘ а е и b z=$ab = ba.
4.3. Пусть Т = < Г, 4- , •, 0, е, >.)— линейно
и архимедовски упорядоченное тело. Доказать, что
1° V (а € Т) а > е =Ф з (/г, m £ N) а У
> (л А е) (/«Д г)-1 > е;
2° у (я € Пя > е =Фз (г £ Г) гг > г2 > г > е;
4.4. Доказать, что всякое линейно и архимедовски упорядоченное тело коммутативно.
Ответы и указания
1.2 . 4, 16 , 256. 1.3 . 2 , 4 , 8. 1.4. Нет, нет (нет, да).
1.6. Нет (да). 2.1. 48,6,6. 2.3. Арифметическое отношение «> ь не является полным порядком в R.
2.4. 1, 1, 2, 1,2, 1,2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 4.3.1. Нет (да).
3.4. Если а > 1, то аф\. Поэтому а — 1 -J- /г, где n£N. Индукцией по b легко доказать, что V(b£N) b+l> b, а затем, что
V (я, b £ N)(a b =Ф з (л £ N) я = b + /г).
Пусть теперь а ■* b + п, где п£ N. Предположения,
что д = b или b ^ а, легко приводят к противоречию.
Поэтому а У b. 3.5. Из 2 У 1 легко вывести, что
V (а £ Z) у (п ^ АО я + « ^ я- Если а У Ь, то а фЬ. Поэтому или а *= b 4- л или b = а m для каких-нибудь натуральных чисел num. Так как а -{- пг У а, то второе невозможно. Таким образом, V (а * ^€ Z) (а ^ =ФЗ(Л€ = b -f- п). Обратное утверждение получается так же, как при решении, задачи 3.4. 4.1.1°. Теорема 4.3.4. 4.1.2°. Воспользоваться результатом задачи 4.1.1°. 4.2.1°. Воспользоваться свойством связности. 4.3.1°. Подобрать натуральное m так, чтобы тпАе У > а — е, и наименьшее натуральное п с условием (п + 1) A(tf*Ae)~1 !>л. 4.3.2°. Воспользоваться результатом вопроса 4.2.3° и тем, что для рациональных чисел соответствующее утверждение верно. 4.4. Для элементов а и b множества Т таких, что а У е, b У е и ab У Ьа выбрать такой элемент г, что а У г У е, b > г > £ и aba-1 b~x > г2. Далее выбрать натуральные пит такие, что гт+1 )> аУrmVа = гт и rn+l > b >гл V b — гп. Отсюда легко получим, что г2 > aba-1 b~l.
Литература
1. Александров П. С. Понятие множества. «Математика в школе», 1972, № 4. 1
2. Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. М., «Наука», 1972.
3. Kypotu А. Г. Лекции по общей алгебре. М., Физ- матгиз, 1962.
4. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М., «Мир», 1965,
13

МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Ю. И. МАЛЕВАНЫЙ, 3. И. СЛЕПКАНЬ
(г. Киев)
ИЗ ОПЫТА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРЫ В VII КЛАССЕ ПО НОВОЙ ПРОГРАММЕ
В курсе алгебры VII класса четкЬ выделяются четыре основные линии развития понятий и идей школьного курса алгебры: линия тождественных преобразований, линия уравнений и неравенств, функциональная линия и учение о числе.
Первый год работы в VII экспериментальном классе дал возможность увидеть результаты обучения учащихся по новой программе и учебникам ца протяжении трех предыдущих лет в IV—VI классах. Причем ощутимо стали видны как преимущества, так и слабые стороны работы в новых условиях. Налицо высокий уровень логического мышления многих учащихся, довольно свободное владение математическим языком, умение творчески подходить к решению нестандартных примеров и задач, ответственно относиться к вопросам, касающимся установления множества значений переменной, входящей в выражение, умения проводить элементы. исследования свойств функций, заданных формулой, построения графиков и пр.
Вместе с тем уже первые уроки алгебры в VII классе показали слабые навыки учащихся в выполнении обратных тождественных преобразований и в особенности в разложении многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки и способом группировки. Определенная группа семиклассников продолжала допускать грубые ошибки при выполнении преобразований со степенями,
14
в вычислениях с десятичными и обыкновенными дробями.
По нашему мнению, главной причиной этого является довольно большой объем разных видов тождественных преобразований, изучаемых в VI классе за сравнительно короткий промежуток времени. Практика работы показала, что тех уроков, которые были отведены программой на изучение прямых и обратных преобразований и их применений при решении уравнений, доказательстве тождеств, вычислении выражений, решении текстовых задач, явно недостаточно для выработки прочных навыков в выполнении даже простейших преобразований. Один из возможных путей исправления создавшегося положения — систематическое решение упражнений, в особенности на обратные преобразования при изучении последующих тем программы VI класса («Линейная функция», «Системы уравнений»).
Возможно, следовало бы подумать и над вопросом некоторого увеличения числа часов, отводимых на изучение обратных преобразований, например за счет уплотнения, перенесения и даже снятия некоторых вопросов в первой теме «Употребление букв в алгебре».
Лучшему формированию навыков учащихся в выполнении тождественных преобразований, безусловно будет способствовать и то обстоятельство, что учебное пособие по алгебре для VII класса коллектива авторов под редакцией А. И. Маркушевича начинается с пункта «Целые выражения», содержание которого составляет повторение основных видов тождественных преобразований целых выражений. По нашему мнению, на повторение тождественных преобразований, изученных в VI классе, необходимо отвести на первых уроках в VII классе не менее трех часов, причем основное внимание следует уделить повторению обратных тождественных преобразований.
Опыт работы VII экспериментального класса показал, что формирование понятия дроби, дробного выражения, основного свойства дроби не вызывает у семиклассников особых трудностей, поскольку эти вопросы тесно связаны с основными понятиями и свойствами обыкновенных дробей. Большинство семиклассников в целом справляются с решением упражнений на установление области определения дроби.
Что касается символической записи области определения дроби, например 2х~+\ ’ т0 Уча' щиеся охотнее используют запись X —{х | д: Ф — 3}, знакомую им из курса алгебры VI класса, чем довольно громоздкую запись
X =] — оо; — 3 [ U ] — 3; 4-оо[.

Правда, последняя форма записи полезна тем, что в ней используется операция объединения множеств. Однако первая более удобна для записи и чаще используется в современной математической литературе.
Основное содержание первого раздела программы курса алгебры VII класса составляют тождественные преобразования дробных выражений. Виды этих преобразований в переработанном учебном пособии по алгебре вводятся по мере возрастания их трудности. В отличие от традиционного изложения первым изучается не преобразование суммы и разности двух дробей в дробь, а преобразование произведения, частного двух дробей и натуральной степени дроби в дробь.
Преобразование произведения и частного двух дробей в дробь воспринимается учащимися легко, так как оно опирается на правила умножения и деления обыкновенных дробей. Опыт показывает, что многие учащиеся затрудняются в преобразованиях выражений вида
а4 а*
b Зт2 b
’ 12*1 ’
3 а8
Именно такие выражения часто приходится преобразовывать при решении задач по геометрии, физике, химии в старших классах. Следует отметить, что такого типа упражнений мало в учебном пособии по алгебре VII класса.
Результаты контрольных работ в VII экспериментальном классе п.о теме «Дроби» показали, что наибольшее число ошибок семиклассники допускали в примерах на преобразование в дробь суммы и разности двух или нескольких дробей с разными знаменателями. При этом чаще всего ошибки были связаны с неумением привести дроби к общему знаменателю, установить дополнительные множители слагаемых дробей. Сказывались при этом и слабые навыки в разложении многочленов (знаменателей) на множители. С целью предупреждения ошибок такого характера необходимо уделить внимание решению упражнений, требующих привести дроби к общему знаменателю (к сожалению, такие упражнения не предусмотрены в учебном пособии). При этом недостаточно ограничиться упражнениями вида: привести дроби к общему знаменателю
V \ 1 2 1
За и б а ’ ^ abc И 2 b ’
ч 5 3 ч ЗЬ 5 а с
В' аЧ?* И а3Ь:1 ’ Г' 8а6с8 ’ И ~6а7Ь2 ’
но рассмотреть и такие, в которых предварительно необходимо разложить знаменатели данных дробей на множители:
ч т п #
am — 3ап И 2Ьт — бЬп 9 2 5 3 #
* х2 -f 2ху + у2 ’ х2 — у2 И х2 — 2ху -f у2 ’
v 1 с b
В * ас -f 2Ьс — бab — За2 ’ а2 + 2ab И ас — 3а2 *
Именно с такими случаями учащимся приходится встречаться при решении более сложных примеров на преобразование в дробь суммы и разности дробей с различными знаменателями.
Опыт работы показал, что наибольшие трудности у семиклассников встречаются при преобразованиях в дробь суммы или разности целого и дробного выражений. Ошибки, связанные с этим преобразованием, учащиеся допускают при решении дробных уравнений и неравенств, систем дробных уравнений.
В связи с этим следует обратить внимание на упражнения № 98, 99, 100 и), к), 102 г). К сожалению, среди более сложных основных упражнений учебного пособия (№ 106, 107) отсутствуют примеры на преобразование в дробь суммы или разности целого и дробного выражений. *
Известно, что упражнения, связанные с понятием области определения дроби и дробного выражения, имеют важное значение в практике решения уравнений, построения графиков функций. Работа VII экспериментального класса показала, что среди таких упражнений наибольшие трудности у учащихся вызывают примеры вида: установить, при каких значениях переменных значения дробей (1 -МН2-4- Ь) (4-а)а Ь* — 1 ’ а2 — 16
равны нулю.
Решая их, большинство учащихся, правильно исходя из условия равенства нулю дроби и найдя два значения переменных, при которых числитель равен нулю, забывали исключить те из них, при которых знаменатель обращается в нуль. Были и такие семиклассники, которые без каких-либо оговорок сократили
(1 -f- Ь) (2 -f- Ь) 1 , 1 дробь -——— на b + 1 и получили в данном случае правильный ответ b «= — 2. Но, устанавливая таким же путем значение переменной, при котором равна нулю дробь ,
ученики после сокращения на b — 1 приходили, как правило, к неверному ответу Ъ— 1.
Это можно объяснить тем, что семиклассники отождествляют условие равенства дроби
15

нулю только с равенством нулю ее числителя и выпускают из вида вторую часть условия — знаменатель при этом должен быть отличен от нуля. Поэтому правильно поступили авторы учебного пособия, когда в учебном пособии ввели специальный пункт «Условие равенства дроби нулю» и обратили внимание учащихся на то, что «если числитель дроби равен нулю, то дробь либо равна нулю, либо не имеет смысла».
Практика показала, что лишь немногие семиклассники справлялись с построением графиков функций, предлагаемых в этом разделе. При выполнении контрольной работы на построение графиков только о учащихся из 30 правильно построили графики функций у —
= вариант) и у — 3- (II вариант).
После сокращения дробей большинство из них строили графики функций у = — 1 и у = х, не исключив точек, не принадлежащих графикам данных функций. И тем не менее упражнения такого характера очень полезны в общей системе учения о функциях. Нам представляется целесообразной постановка таких упражнений в следующей формулировке: за- , х (х + 3)
дают ли формулы у = х и у = х^_3 одну
и ту же функцию?
Несколько слов о сокращении дробей. При традиционном обучении сокращение алгебраических дробей сводилось к делению числителя и знаменателя на их общий множитель. В новом учебнике в соответствии с иным подходом, при котором операции деления одночленов и многочленов не рассматриваются, сокращение дробей трактуется как тождественное преобразование, состоящее в замене
CLC
дроби вида тождественно равной дробью . Обосновывается возможность такой заме-
Ь
ны свойством частного. Действительно, при b Ф 0, с Ф 0 все соответственные значения
дробей и -у- равны, так как при подстановке вместо переменных а, b и с определенных числовых значений дробь можно сократить на числовое значение переменной с.
2х(х 2)
Легко показать, что дроби вида 5^х__
ас
тоже можно сократить, сведя их к виду
с помощью подстановки с — х — 2. На практике такой подстановки не делают, а сразу сокращают данную дробь на общий множитель х —- 2.
При изучении этого тождественного преобразования важно обратить внимание учащихся на то, что в связи с сокращением дробей может измениться (расшириться) область определения дроби. Это обстоятельство важно учитывать при решении дробных уравнений и неравенств, при построении графиков функций.
Второй вид новых для учащихся тождественных преобразований, изучаемых в VII классе, — преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Результаты контрольных работ по теме «Квадратные корни» в VII классе, и в особенности изучение темы «Свойства корня п-й степени» в VIII классе показали, что многие учащиеся вынесли из VII класса слабые навыки в выполнении тождественных преобразований выражений с корнями. В частности, учащиеся затрудняются в представлении корня из произведения в виде произведения корней, корня из дроби в виде частного корней и в выполнении обратных преобразований. Поэтому учителю необходимо предусмотреть решение такого вида упражнений при изучении последующего раздела и при повторении.
Применяя свойства корней к вычислениям выражений, учащиеся допускали типичную ошибку такого характера:
/1,44-1,21 - 1,44-0,4 =
= V 1,44-1,21 -/1,44-0,4.
С целью предупреждения этих ошибок мы показали, подбирая конкретные числовые значения а к Ь, что равенства
V^±b = V~a±V~b
не являются тождествами.
Линия уравнений в VII классе проводится начиная с первых уроков алгебры. В связи с повторением целых выражений учащиеся решают знакомые виды уравнений (уравнения, сводящиеся к линейным, и уравнения, левая часть которых представляет произведение целых выражений, а правая нуль). По мере изучения тождественных преобразований дробей вводятся уравнения, з которых переменная может входить в знаменатель дроби.
Следует иметь в виду, что с простейшими видами таких уравнений учащиеся встречались в VI классе. Семиклассники знакомятся с двумя способахми решения таких уравнений:
1) перенесение всех членов уравнения в левую часть и приведение левой части к виду дроби,
2) приведение выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения, к дробям с общим знаменателем. Этими двумя способами решаются любые уравнения, содержащие переменную в знаменателе (имеются в виду те, которые предусмотрены в учебнике.
16

При решении уравнения
Ъх 2х 4- 1
Зле—1 х
. первым способом учащиеся подводятся к необходимости, после приведения уравнений к виду
6х2 — (2х + 1) (Зх — ]) _ 0 x(3x—l) ■~U’
решить смешанную систему
I 6jc2 — (2jc + 1) (3jc — 1) =0,
I x(3x — 1)^0.
Семиклассники впервые встречаются с такими системами, поэтому необходимо соответствующее пояснение учителя о смысле данной системы и ее решении.
Практика показала, что наибольшее число ошибок семиклассники допускают при решении уравнений, в состав которых входят дроби и целые выражения, например, в уравне-
Зх + 1 I х — 5 ниях-т—5- Н —
: 4,
1 4- х — 6х2
х — 31 х 9 Зх 4-1 ~
и др. Поэтому на решение именно такого вида уравнений необходимо обратить особое внимание. По нашему мнению, в учебном пособии мало таких упражнений.
Общеизвестно, что прочные навыки в решении задач на составление уравнений в школьном курсе математики можно обеспечить только путем систематического решения таких задач на протяжении всего обучения в IV—VIII классах. Большие возможности в этом отношении имеются в VII классе при изучении раздела «Дроби». Однако чрезмерная насыщенность этой темы тождественными преобразованиями дробных выражений, которые являются также необходимым звеном в системе изучения курса алгебры, фактически лишает возможности учителя уделить должное внимание решению задач. Это обстоятельство, по- видимому, и заставило авторов резко сократить число таких задач в учебном пособии для VII класса. Однако такое решение этого вопроса не является целесообразным. По нашему мнению, нужно идти по пути изыскания возможностей для увеличения хотя бы на 5—6 часов времени, отводимого на изучение этой темы. О необходимости этого свидетельствуют также и результаты контрольных работ, показавшие слабые навыки семиклассников в решении задач на составление уравнений, содержащих переменную в знаменателе.
Работа в VII экспериментальном классе показала, что семиклассники неплохо справлялись с примерами на доказательство неравенств и довольно свободно доказывали теоре¬
мы о свойствах числовых неравенств. Об этом свидетельствуют и результаты контрольной работы, где, в частности, предлагались упражнения на этот материал. Видимо, в этом смысле оказало положительное влияние то обстоятельство, что в учебниках V и VI классов систематически предусматривались упражнения на доказательство различных утверждений.
Менее утешительными оказались результаты изучения линейных неравенств, их систем и некоторых нелинейных неравенств. За контрольные работы, в которых предлагались такие примеры, неудовлетворительные оценки получили около 25% учащихся.
Не все семиклассники легко воспринимают и умеют применять условие, при котором произведение двух сомножителей, содержащих переменную, положительно или отрицательно. Это же касается знака дроби, имеющей переменную в знаменателе. В связи с этим мы вначале устанавливали указанные условия для произведения двух числовых сомножителей и дроби, у которой числитель и знаменатель — числа. По нашему мнению, было бы целесообразно специально выделить эти условия в учебнике, сформулировав их в терминах «тогда и только тогда», аналогично тому, как это сделано с условием равенства дроби нулю.
О слабых навыках, вынесенных из VII класса в решении неравенств, свидетельствуют уроки алгебры в VIII экспериментальном классе в 1972/73 учебном году. При установлении области определения иррациональных, логарифмических уравнений и функций, при решении логарифмических неравенств многие восьмиклассники, правильно выполняя упражнение в целом, оказывались беспомощными при завершении работы, когда требовалось решить линейное неравенство или неравенство, содержащее переменную в знаменателе.
У нас нет оснований утверждать, что тема «Неравенства» недоступна семиклассникам в том объеме, в каком она предусмотрена новой программой и учебным пособием, но убеждены, что для обеспечения прочных навыков в решении неравенств необходима продуманная система повторительных упражнений, закрепляющих эти навыки в последующих темах курса алгебры VII класса. Широкие возможности, в частности, для этого имеются в темах «Квадратные корни» и «Квадратные уравнения». Например, при решении упражнений на установление области определения иррациональных выражений полезными оказались упражнения вида:
Объяснить, почему уравнения
a) Vx^-i + .1=0,
17

б) }/"2х 3 --j- }/"х — 4 — — 1,
в) У/ 2 ~3х= — Ух + 2,
г) Yx — ^ + V2— х = 8 не имеют решений.
К сожалению, в последних двух разделах учебного пособия мало упражнений на решение неравенств и их систем.
Планируя свою работу, учителю необходимо предусмотреть среди упражнений, решаемых в классе и дома, систематическое включение примеров на решение линейных неравенств, их систем и неравенств, содержащих переменную в знаменателе.
По нашему мнению, при изучении неравенств в VII классе полезно было бы познакомить учащихся с решением простейших двойных неравенств вида 3<Сх — 2<5. С такими неравенствами придется иметь дело в IX классе при изучении пределов. Умение решать их находит естественное применение при рассмотрении логарифмических неравенств.
Изучение неравенств в VII классе по новой программе естественно связывается с практикой их применения к приближенным вычислениям.
Следует учитывать, что начиная с I класса проводилась пропедевтика приближенных вычислений, в частности при измерении отрезков и других величин учащиеся получили первые представления о приближенных значениях величин. В IV классе в связи с округлением чисел они познакомились еще с одним источником получения приближенных значений, научились округлять числа. В V и VI классах при графическом решении уравнений й систем уравнений учащиеся, как правило, получали приближенные значения корней. В VII классе впервые выделяется отдельная тема, посвященная приближенным вычислениям. Особенностью изложения этой темы в новом учебном пособии по алгебре является не только то, что приближенные вычисления по способу границ тесно связаны с практикой измерений разного рода величин, но и то, что несколько изменена терминология, связанная с изучением этой темы. В частности, в учебнике не употребляются традиционные термины «точное число», «приближенное чйсло», смысл которых невозможно объяснить.
Если говорить об усвоении учащимися этой темы в целом, то, как свидетельствуют их ответы на уроках, выполнение домашних заданий и результаты контрольных работ, можно констатировать вполне удовлетворительное усвоение программного материала. Однако одним из серьезных недочетов в изучении при¬
ближенных вычислений, как и по старой программе, является оторванность этого материала от практики его применения как на уроках математики, так и в особенности при изучении физики, химии и других предметов. Совершенно естественно поэтому, что знания учащихся, оставаясь мертвым капиталом, вскоре забываются. Интересно отметить в связи с этим, что на первом уроке алгебры в VIII экспериментальном классе в 1972/73 учебном году, когда мы предложили учащимся вспомнить основные вопросы, которые изучались в прошлом учебном году, учащиеся назвали все темы, за исключением приближенных вычислений.
Для устранения указанного недочета необходима совместная работа учителей математики, физики, химии в направлении совершенствования вычислительной культуры, и в частности воспитания у учащихся ответственного отношения к результатам измерений и вычислений. Первым шагом в этом направлении должно быть детальное ознакомление учителей смежных предметов с теми сведениями о приближенных вычислениях, которые даются на уроках математики, с тем чтобы систематически применять их при решении задач, проведении лабораторных работ. Наряду с этим при изучении математики необходимо подготовить и провести хотя бы несколько лабораторных занятий и измерительных работ на местности, где будет использован метод границ и метод границ погрешностей при обработке результатов измерений. Вопросы вычислительной культуры в связи с введением новых программ должны стать предметом обсуждения на совместных методических объединениях учителей естественно-математического цикла.
Линия функций в курсе алгебры VII класса находит свое дальнейшее развитие в системе упражнений на установление области определения функций, заданных с помощью выражений, содержащих переменную в знаменателе, под знаком арифметического корня, на построение графиков функций вида / (х) = — ,
X2 — 1 *
/ (jt) = —— и ДР- Специальному рассмотрению подлежат функции у = х~2, y = ^j^ у t= ах2 + Ьх + с. В связи с изучением функции у = х~2 вводится определение монотонной функции. И если до сих пор свойства функций устанавливались ^только по графику, то для функции у — YX свойство монотонности доказывается в общем виде на основе определения возрастающей функции.
Практика работы показала, что к VII классу учащиеся уже приобрели определенный опыт в построении графиков функций, в чте-
18

нии свойств функций по графику, в применении графика для вычисления значений переменной, решения уравнений и неравенств. Наряду с этим учащиеся в VII классе уже могут проводить элементы исследования свойств функций по виду формулы, задающей ее, с тем чтобы установить некоторые особенности графика еще до построения его. При этом с пользой повторяется и ранее изученный материал. _
Например, при изучении функции у = Ух до построения графика полезно предложить учащимся такую систему вопросов:
1) Какова область определения функции у = у'х? Записать символически.
2) Каково множество значений переменной у? Записать это множество символически.
3) Какой вывод можно сделать относительно расположения графика, учитывая множество значений переменных х и у?
4) Какие наименьшие значения принимают переменные х и у? Какой вывод можно в связи с этим сделать о положении графика?
После заполнения таблицы целесообразно, чтобы учащиеся самостоятельно сделали вывод о монотонности функции, анализируя по таблице соответствующие значения переменных х и у. Доказательство монотонности в общем виде нам кажется необходимым дать всем учащимся (хотя в учебном пособии оно подается петитом).
Подводя итоги работы по новой программе в VII классе, можно констатировать, что материал, предусмотренный программой и изложенный в учебном пособии коллектива авторов под редакцией А. И. Маркушевича, в целом воспринимается учащимися удовлетворительно. О трудностях, имевших место в работе, говорилось выше. Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что предметом особой заботы учителя остаются вопросы формирования прочных навыков в выполнении тождественных преобразований, решении неравенств и задач на составление уравнений.
Ю. М. КОЛЯГИН, А. В. СОКОЛОВА
(Москве)
ПЕРВЫЕ ИТОГИ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ
1972/73 учебный год был первым годом повсеместного изучения учащимися VI класса школ РСФСР начал систематического курса геометрии по новой программе.
Интерес к итогам работы шестиклассников по изучению геометрии не случаен, — он обусловливается главным образом серьезным изменением содержания школьного курса геометрии, насыщенного новыми идеями и новой логической структурой. В этом курсе, например, рассматриваются геометрические фигуры как множества точек, геометрические преобразования (обратимые отображения плоскости на себя) как одна из центральных идей курса геометрии, четко выделяется и широко используется понятие величины, постепенно формируется представление об аксиоматическом методе, широко используется логико-математическая символика.
С какими же знаниями пришел тринадцатилетний школьник, изучив курс геометрии VI класса, к концу учебного года? Каковы были трудности в обучении геометрии и в ее изучении?
Эти и многие другие вопросы стояли перед научными сотрудниками сектора обучения математике НИИ школ МП РСФСР. Проведенное изучение состояния обучения геометрии в VI классе позволило констатировать, что основными причинами возникающих при этом трудностей являются следующие:
1. Невозможность основательного изучения большинством учащихся курса геометрии, представленного в программе и учебнике за время, предусмотренное учебным планом.
2. Недостаточность методического уровня изложения материала в учебнике.
3. Отсутствие четкого раскрытия идейного содержания курса геометрии VI класса и конкретных методических рекомендаций в книге для учителя.
4. Отсутствие норм и критериев оценок знаний учащихся нового курса геометрии.
5. Трудности в осуществлении научно-методической подготовки учителей математики, приводящие к недостаточному пониманию учителями идейного содержания новой программы и путей ее реализации.
В ряде школ Кировской, Куйбышевской, Омской, Пермской, Рязанской, Саратовской, Томской, Тульской, Тюменской и других областей, а также Краснодарского края, Башкирской и Мордовской АССР были проведены три контрольные работы. Первая из них — в начале учебного года с целью определения состояния знаний пропедевтического курса геомет¬
19

рии, предусмотренного программой IV—V классов, прочности этих знаний и навыков. В середине января была проведена вторая работа, цель которой — определение степени усвоения изученного геометрического материала. С той же целью, но по материалу II полугодия, была проведена и третья работа в конце учебного года (в середине апреля). Анализ проведенных работ позволяет сделать некоторые выводы и высказать определенные соображения о требованиях, характеризующих необходимый минимум знаний и умений учащихся по курсу геометрии, которыми должны овладеть все учащиеся VI класса к концу учебного года.
Остановимся несколько подробнее на контрольных работах № 2 и 3, которые, на наш взгляд, будет полезно провести учителям в своих шестых классах в 1973/74 учебном году.
Проведение этих контрольных работ не связывалось с проверкой деятельности органов народного образования, отдельных школ или учителей. Цель их — изучение различных условий, от которых зависит эффективность перестройки обучения математике в школе, в частности реальных возможностей учащихся, согласованности между курсами математики различных классов, качества учебников, методических пособий и др. Вместе с тем предполагалось, что анализ контрольных работ поможет учителю установить уровень знаний своих учащихся и выявить пробелы в этих знаниях.
Контрольная работа № 2
В а р и а н т I
1. Выполните чертеж по данному условию:
[AB)n[CD)-0.
2. Запишите, пользуясь принятыми обозначениями: величины углов ABC и DMK равны; данные углы конгруэнтны.
3. Дано: [AB]^[BC]t
^DBA^^lDBC (рис. 1).
Доказать: [DB) — биссектриса угла CDA.,
Рис. 1 Рис. 2
4. Внутри треугольника ABC взята точка М и проведена прямая AM.
а) Постройте треугольник A\B\C\t симметричный треугольнику ABC относительно прямой AM.
б) Укажите с помощью символической записи фигуру, являющуюся пересечением треугольника ABC и его образа.
В а р и а н т II
1. Выполните чертеж по данному условию:
AOBV^iBOC = ^.АОС.
2. Запишите, пользуясь принятыми обозначениями: прямые АВ и CD пересекаются в точке О.
3. Дано: [AB](\[DC] = АТ,
[С/С] з* [/CD],
[АК]^1КВ\ (рис. 2).
Доказать: ^ 1 ^ 2.
4. Даны течки А, В, С так, что | АС 1 = 4 см, | С5| = = 2 см, | АВ | = 6 см.
а) Постройте фигуру, симметричную отрезку АВ относительно точки С.
б) Назовите фигуру, являющуюся объединением отрезка АВ и его образа.
Задания контрольной работы № 2 позволили проверить следующие знания и умения учащихся:
Задание 1 — понимание символической записи, выражающей теоретико-множествен- ную операцию (пересечение, объединение геометрических фигур).
Задание 2 — умение записать математическое предложение, заданное словесным текстом, на языке математической символики.
Задание 3 I варианта — умение применить признак биссектрисы угла и один из общих способов доказательства конгруэнтности углов (основанный на признаках конгруэнтности треугольников или на свойствах перемещений— осевой симметрии), строить дедуктивную цепочку умозаключений, записывать ход доказательства, используя при этом символику. Предполагалось, что обоснование в задании 3 II варианта могло быть выполнено любым из двух основных способов: с помощью признаков (свойств) конгруэнтности треугольников или с помощью свойств перемещений (поворота).
Задание 4 — умение выполнить задание комплексного характера: построить фигуру, симметричную данной относительно данной прямой или данного центра, найти пересечение или объединение фигур, изображенных на рисунке, применить символику для записи того, что некоторая фигура получена в результате пересечения или объединения множеств. Кроме этого, заданием 4 II варианта проверялось умение расположить три точки на плоскости с учетом расстояний между ними.
Составляя примерный перечень знаний и умений школьников, проверяемых при выполнении данной работы, имелось в виду не только указать учителю на обучающие и контролирующие функции каждой из содержащихся в ней задач, но и на данном конкретном примере показать необходимость и возможность тщательного отбора задач для реализации
20

через них той или иной конкретной цели обучения.
Контрольную работу № 2 выполняли 3009 учащихся. В таблице указано количество учащихся (в процентах), верно выполнивших от-' дельные задания.
Задания
1
2
3
4а
46
I вариант
64
63
21
34
75
11 вариант
81
76
30
31
26
Из приведенной таблицы видно, что учащиеся лучше усвоили тот учебный материал, который ближе к старой, традиционной программе (таким образом, более знакомый учителю, хотя для ученика тот и другой материал одинаково нов и неизвестен). Так, дали правильный чертеж при условии,. что объединением углов является угол, 81%' учащихся, и только 64% учащихся показали правильно пересечение двух лучей, когда это пересечение есть пустое множество.
По-прежнему (как и при обучении по традиционной программе) учащиеся плохо справляются с заданиями на доказательство. В задании 3 работы №■ 2 не провели правильно доказательство конгруэнтности углов 70% шестиклассников, не доказали, что данный в условии задачи луч является биссектрисой угла, 79% учащихся. Вместе с тем при решении задач, связанных с доказательством в работе № 3 (к концу II полугодия), неверно провели доказательство 46% учащихся в одном варианте и 38% — в другом.
В начале II полугодия значительное количество учащихся не справлялось с различными заданиями на построение. Так, не построили или построили неверно фигуру, симметричную отрезку относительно точки, 69%' учащихся, а треугольник, симметричный данному относительно прямой,— 66% шестиклассников. Каждый десятый учащийся вместо луча изобразил прямую или отрезок, неверно нашел пересечение фигур, неверно изобразил непересекаю- щиеся лучи на плоскости и т. п. Вместе с тем в работе № 3 задачу на построение образа треугольника при параллельном переносе не выполнили или выполнили неверно 29% учащихся.
В работе № 2 при выполнении задания 3 I варианта неверно построили (записали) дедуктивную цепочку умозаключений 40% учащихся, а II варианта — неверно применили признак конгруэнтности треугольников 20%,
не использовали свойства вертикальных углов 26%, не сослались на свойство конгруэнтных углов 22% учащихся.
Анализ работы № 3, выполненной к концу II полугодия, свидетельствует об улучшении (хотя и не столь значительном) умений учащихся проводить доказательства. Приведем текст этой работы и остановимся на некоторых результатах ее выполнения.
Контрольная работа № 3
Вариант I
1. Дан ААВС, М — середина [ВС]. Постройте образ A ABC при параллельном переносе в направлении \АМ) на расстояние |ЛЛ1|.
2. Существует ли параллельный перенос, переводящий М в М\ а Р в Р\ если \МР\ = 1 дмл \М'Р'\ = 1 м? Ответ обосновать.
3. а) Верно ли, что для любой точки О внутренней области четырехугольника A BCD (рис. 3) каждый из отрезков [ОА], [OB], [OC],JOD] целиком принадлежит многоугольнику? Ответ обосновать.
Рис. 3 Рис. 4
б) Найти сумму внутренних углов четырехугольника ABCD. Ответ обосновать.
Вариант II
1. Построить образ АМРК при параллельном переносе, переводящем М в точку О — середину [МР].
2. Существует ли параллельный перенос, переводящий М в С, а N в D. если |ЛШ| = 2 см, \CD\ = 2 м?
3. а) Верно ли, что любой отрезок с концами в вершинах четырехугольника ABCD (рис. 4) принадлежит этому многоугольнику? Ответ обосновать.
б) Найти сумму внутренних углов четырехугольника ABCD. Ответ обосновать.
Задания контрольной работы М 3 позволили проверить следующие знания и умения учащихся:
Задание 1 — умение строить середину отрезка, образ фигуры при параллельном переносе, заданном точкой и ее образом (во II варианте— направлением и расстоянием). Одновременно проверялось умение оформить решение задачи на построение.
Задание 2 — знание теоремы о том, что параллельный перенос — перемещение, понимание определения перемещения, умение провести рассуждение От противного, сравнить две величины, измеренные с помощью различных единиц.
Задание 3 — знание определения многоугольника, выпуклого многоугольника, умение
21

проверить, что данный многоугольник выпуклым не является. Проверялось понимание теоремы о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.
Задачу 1 верно решили 71% учащихся, хотя она на построение и сформулирована в несколько усложненном виде, не приступали к решению 12% учащихся, допустили ошибки при построении, требующем знания того, что такое направление, 16% учащихся.
Задачу 2 верно выполнили 62% учащихся, не приступали к ее решению 13%', 11% дали верный ответ, не обосновав его, а 12% допустили ошибки при обосновании.
В задаче За дали верный ответ с обоснованием 65% учащихся, верный ответ без обоснования— 20%; неверный ответ — 8%, допустили логические ошибки 2% шестиклассников. К решению задачи 36 не приступили 34% учащихся, верно ее выполнили 54%, 12% шестиклассников решили задачу, ошибочно сделав ссылку на теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.
Результаты контрольной работы № 3 свидетельствуют об определенной тенденции к повышению качества знаний и умений учащихся по курсу геометрии по сравнению с тем, что имелось к концу I полугодия. Это объясняется прежде всего тем, что учащиеся постепенно вникают в суть предмета, что «срабатывает» то более высокое математическое развитие, которое является результатом работы в предшествующих классах по новой программе. Немаловажно и то, что начинают осваивать новый курс геометрии и учителя математики.
Суммируя результаты контрольных работ по основным линиям курса геометрии VI класса, можно сделать следующие выводы:
1. Правильные представления о геометрической фигуре как множестве точек сформированы примерно у 3Л учащихся.
2. Удовлетворительное владение понятием геометрического преобразования обнаружили (к концу года) около 2/3 учащихся (в первом полугодии — 7з).
3. Правильное представление о величинах (и их обозначениях) имеют около 60% учащихся.
4. Удовлетворительно владеют математической символикой и умеют ее применять примерно 3/4 учащихся.
5. Уровень развития логического мышления большинства учащихся невысок (умение проводить доказательство обнаружили лишь 7з учащихся в I полугодии и около 72 учащихся во II полугодии).
Изучение опыта работы в шестых классах показало, что все контрольные работы, проводимые в VI классе учителями и оргагнамй народного образования, проверяют только степень овладения учащимися системой знаний и умений и оперативными навыками.
Некоторая заниженность официальных данных о результатах обучения геометрии подчас объясняется определенным завышением требований к уровню знаний и умений школьников. Так, например, наблюдения показали, что многие учителя требуют от всех учащихся умения воспроизводить формулировки и доказательства почти всех изучаемых определений и теорем! Подобного рода способностями никогда не обладали все шестиклассники, приступавшие к изучению систематического курса геометрии даже по традиционной программе. Многолетний опыт говорит о том, что этими умениями шестиклассники начинают овладевать лишь к концу учебного года.
Если сравнить те знания и умения по курсу геометрии VI класса, которыми обладали школьники десять лет назад и сейчас, то сравнительная их оценка может трактоваться даже как высокая в отношении того, что мы имеем сегодня. Так, например, в 1960 и 1961 гг. АПН РСФСР проводилось изучение состояния знаний учащихся по математике (в том числе по геометрии). Вот несколько данных о результатах: а) не умели построить верно угол в 35° с помощью транспортира 36% учащихся; б) построить отрезок данной длины—18%; в) построить перпендикуляр к прямой — 43%.
Конечно, эти умения сейчас выглядят примитивными. Нынешние учащиеся VI класса (и даже IV—V классов) с этими заданиями справляются. Но вряд ли этот факт может служить сейчас основанием для положительной оценки уровня знаний и умений учащихся по современному курсу геометрии.
Каким же должен быть необходимый минимум знаний по курсу VI класса, каковы критерии оценки системы знаний и умений по новому курсу геометрии? На наш взгляд, этот минимум, необходимый каждому успевающему к концу года шестикласснику, определяется следующим образом:
1. Знать, что основными геометрическими понятиями являются: точка, прямая, пло¬
скость, расстояние; понимать, что остальные геометрические понятия определяются через эти основные понятия.
2. Знать обозначения геометрических фигур: прямой, отрезка, луча, треугольника, угла и уметь пользоваться ими. Остальные фигуры уметь назвать и записать словесно.
22

3. Отличать обозначение геометрической фигуры и ее величины (угол — величина угла, отрезок— длина отрезка).
4. Знать теоретико-множественную символику (пересечение, включение, принадлежность, объединение) и уметь ею полозоваться.
5. Понимать смысл терминов «равно», «конгруэнтно» и правильно использовать соответствующие обозначения.
6. Иметь четкое представление о понятии отображения фигур.
7. Знать определения: перемещения, поворота, центральной и осевой симметрий и параллельного переноса. Понимать и уметь пользоваться обозначениями: X—*XU Xi = s(X).
А. П. ШИХОВА
(г. Киров)
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ В IV—VI КЛАССАХ
Изучение элементов комбинаторики предусмотрено новой программой в IX классе. Однако решение комбинаторных задач целесообразно проводить и в предшествующих классах. Они отражают большую область конечной математики, удельный вес и значение которой продолжают возрастать. Решение учащимися комбинаторных задач будет способствовать приобретению ими определенных комбинаторных навыков и знаний, более сознательному восприятию изучаемого материала и подготовит их к изучению начал комбинаторики и элементов теории вероятностей в IX—X классах.
Решение задач является одним из наиболее сильных средств развития мыслительной деятельности учащихся на уроках математики. В комбинаторных задачах преимущественно используются два типа операций: отбор подмножеств и упорядочение множеств. Необходимую базу для изучения этих операций составляют начальные понятия теории множеств, первое знакомство с которыми предусмотрено новой программой в I—IV классах.
Выполнение учащимися упражнений по выбору подмножеств из заданного множества объектов, подсчет выбираемых подмножеств и их упорядочение может осуществляться при изучении многих тем школьного курса математики.
Работа, проводимая учителем в этом направлении, должна служить решению двух основных задач;
8. Уметь выполнять простейшие построения с помощью линейки, циркуля, угольника и транспортира, уметь строить образы фигур при повороте, центральной и осевой симметриях, параллельном переносе.
9. Знать формулировки и понимать смысл аксиом и основных теорем курса, уметь применять эти теоремы при решении простейших задач.
В заключение отметим, что переход на новые программу и учебник геометрии — дело весьма сложное и ответственное. Для успешного его завершения требуется серьезная и большая работа каждого учителя по совершенствованию математических знаний и методики обучения.
1) составлению различных наборов из элементов рассматриваемого конечного множества (в частности, отбор подмножеств данного множества и упорядочение подмножеств);
2) подсчету числа наборов или подмножеств, удовлетворяющих определенным условиям, или числа упорядочений конечных множеств.
Мы не случайно выделяем эти задачи. Особенностью многих комбинаторных задач является то, что очень часто в них требуется найти лишь число решений. Однако нередко требуется найти все комбинации, удовлетворяющие поставленным условиям, или хотя бы одну из них, как это имеет место, например, при составлении расписания. Поэтому в систему комбинаторных упражнений мы включаем упражнения и на составление комбинаторных соединений. Операция составления комбинаторных соединений часто не менее важна, чем подсчет их: она служит хорошей подготовкой к введению основных комбинаторных понятий и выводу комбинаторных формул.
При выполнении упражнений комбинаторного характера на первых порах не ставится цель обобщения их, введения правил и формул. Конечные множества следует подбирать такими, чтобы учащиеся легко могли составить и пересчитать требуемые комбинации их элементов.
Приведем примеры таких упражнений. После каждого упражнения указан класс, в котором рекомендуется выполнить это упражнение. Упражнения 1—4, 10, 12, 13 связаны с операцией выбора подмножеств; в упражнениях 5, 11 учащиеся встречаются с операцией упорядочения данного множества; в упражнениях 5—9 — с выбором подмножеств и упорядочением их.
1. На прямой отмечены две точки. Сколько

AB
AB
Рис. 2
лучей образовалось на этой прямой с началом в отмеченных точках? (IV)
2. Запишите множество углов, меньших развернутого, которые изображены на рис. 1. (IV)
3. Запишите множество чисел, которые можно получить из четырех данных: 18, 35, 57, 19, складывая их по три. (IV)
4. Даны три числа: 17, 8 и 10. Запишите в виде числовой формулы: а) произведение суммы каждых двух чисел на третье; б) сумму различных произведений этих чисел, взятых по два. (IV)
5. Запишите всевозможные трехзначные числа, используя цифры 1, 2 3 (никакая цифра в записи числа не должна повторяться). (IV.)
6. Составьте множество двузначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 3, 5, 7 и никакая цифра не повторяется. (IV)
7. Выбирая попарно числа из множества {3, 8, 12, 15}, составьте из них всевозможные дроби. Выберите из них: а) неправильные дроби; б) правильные дроби. (IV, V)
8. Найдите все пары (х, у) натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению Х'у = 12. (V)
9. Запишите всевозможные трехзначные числа, используя цифры 2 и 3; 4 и 0. (IV, V)
10. Выпишите все подмножества множества (1, 2, 3}. (V)
11. Сколько точек плоскости имеют своими координатами числа: а) 2 и 3; б) —5 и 3; в) 0 и— 4? (V)
12. Число делится на 2, на 3 и на 5. Какие еще делители (составные) имеет это число? (V)
13. Из множества чисел {4, 8, 3, 13, 26} выберите все пары взаимно простых чисел. (V)
При выполнении упражнений 1—13 может быть добавлен вопрос: сколько комбинаторных соединений того или иного вида получилось? При ответе на этот вопрос учащиеся пользуются непосредственным подсчетом.
В систему комбинаторных упражнений начиная с IV класса целесообразно включать и такие упражнения, в которых требуется провести рассуждения, приводящие к правилу произведения (о нем будет сказано ниже). Приведем примеры таких упражнений *.
14. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С — четыре дороги.
1 Задачи, отмеченные звездочкой, рекомендуем для внеклассной работы с учащимися.
Сколькими способами можно проехать из города А в город С через город В? (IV, V) Возьмем одну дорогу, ведущую из города А в город В. Ее можно продолжить до города С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать с каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. Всего из Л в С будет 3*4 = 12 дорог.
15. В киоске имеются четыре вида конвертов без марок и пять видов марок одной стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для письма? (V)
16*. Могут ли восемь человек прибыть из города А в город С через город В различными путями, если из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С — две? (V)
В связи с изучением материала о функциях в VI классе вводится понятие отображения множества на множество. Комбинаторика же в значительной своей части занимается подсчетом числа отображений того или иного вида конечных множеств на конечные множества. Поэтому уместно рассмотреть простейшие комбинаторные задачи, связанные с понятием функции.
17. Два человека А и В могут поселиться в двух комнатах четырьмя различными способами (рис. 2 и 3). Какие из рассмотренных соответствий являются отображениями множества М = {Л, В} на множество Р = {1, 2}, иначе — функциями с областью определения М и множеством значений Я?
Рис. 3
18*. Даны два множества Л={1, 2, 3} и В = {а, Ь}. Отобразите множество А на множество В. Сколькими способами это можно сделать?
От в ет: 6.
19. Сколькими способами можно поселить:
а) трех человек в двух комнатах; б) трех человек в двух комнатах так, чтобы ни одна из комнат не пустовала?
Ответ: а) 8; б) 6.
20*. Множество М состоит из трех элементов, а множество Р — из двух. Сколько существует функций, определенных на множестве М со значениями, принадлежащими множеству Р?
О т в е т: 8.
21*. Множество А состоит из четырех элементов. Покажите существование ровно 24 функций, для которых А является как об¬
24

Таблица 1
Функции
а
а
а
а
а
а
а
b
Ь
Ь
Ь
Ь
Ъ
с
с
с
с
с
с
d
d
d
d
d
d
Ъ
b
Ь
с
с
d
d
а
а
с
с
d
d
а
а
b
Ь
d
d
а
а
Ь
b
с
с
с
с
d
Ъ
d
с
Ь
с
а
а
d
с
а
Ь
d
а
d
Ь
а
b
с
с
а
а
b
d
d
с
d
Ъ
b
с
d
с
d
а
а
с
d
Ь
d
а
а
Ь
с
Ь
а
с
Ъ
а
ластью определения, так и множеством значений (табл. 1).
В определении основных комбинаторных понятий — перестановок и сочетаний — используется понятие набора элементов некоторого множества. Это понятие должно быть сформировано у учащихся значительно раньше, чем оно появится в комбинаторных определениях в IX классе. Возможности для этого могут представиться при изучении уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств с несколькими переменными.
Приведем примеры.
22. Являются ли следующие наборы двух чисел (первое число — значение х, второе — у) (О, 0); (0,-3); (-3, 0); (1,-1); (1, 1) решениями неравенства * + Зг/ + 1 <0?
23. Сколько различных решений в натуральных числах имеет система неравенств 1 ^ хх ^ х2 ^ х3 ^ 3?
Каждое решение этой системы неравенств есть набор трех чисел (первое — значение хи второе —х2, третье —*з), взятых из множества {1, 2, 3}, причем числа в наборе могут повторяться; например, (1, 1, 1); (1, 2, 2);^
(3, 3, 3), всего 10 наборов, удовлетворяющих данной системе неравенств.
При выработке у учащихся навыков комбинаторного характера следует использовать и геометрический материал. В учебном пособии «Геометрия 6» комбинаторные задачи представлены при рассмотрении ряда тем курса. Однако таких задач в нем все же недостаточно. Поэтому мы рассмотрим особо комбинаторные упражнения и задачи с геометрическим содержанием.
В работе с учащимися начальных классов можно условно выделить следующие этапы в формировании комбинаторных навыков на геометрическом материале:
1. Работа учащихся с готовыми чертежами, по которым требуется из заданного множества геометрических объектов выбрать подмножества, удовлетворяющие определенным условиям. До введения обозначений для точек и
прямых учащиеся показывают элементы выбираемых подмножеств (см. упр. 24—26); с введением обозначений записывают выбираемые подмножества и подсчитывают число их (упр. 27).
2. Выполнение учащимися чертежей с после- дующей записью выбираемых подмножеств и подсчетом числа их (упр. 28, 29).
Для выполнения упражнений необходимо заранее приготовить чертежи, которые могут быть использованы неоднократно; возможны различные вариации вопросов к ним. Для демонстрации чертежей можно использовать таблицы, переносные доски, кодоскоп.
24. Покажите на рис. 4 три отрезка. (IV)
■■■ ■ Рис. 4
25. На рис. 5 изображены различные фигуры; покажите на рис. 5, а один треугольник, два четырехугольника; 5,6 — три треугольника, три четырехугольника; 5, в — три четырехугольника (найдите среди них квадрат), три треугольника; 5, г — пять прямоугольников, среди них один квадрат. (IV)
а) 6) в) г)
Рис. 5
26. Сколько треугольников в каждой из фигур, изображенных на рис. 6? (IV)
Рис. 6
а) б) б) г>
27. Запишите все треугольники каждой из фигур, изображенных на рис. 7. Подсчитайте их
25

отдельно для каждой фигуры. Назовите все прямоугольные, все остроугольные, все тупоугольные треугольники фигур на рис. 7, а, в; равносторонние, разносторонние, равнобедренные треугольники фигуры на рис. 7, г. (IV)
в
а)' 6) 6)
Рис. 7
28. Проведите две пересекающиеся прямые и образовавшиеся при этом углы обозначьте цифрами 1, 2, 3, 4. Из множества пронумерованных углов составьте всевозможные пары (запишите их, например, так: (1,4) —пара углов 1 и 4, и так далее; в данном случае порядок элементов в паре роли не играет) и выберите из них: а) пары смежных углов; б) пары вертикальных углов. (IV)
5
6
29*. Покажите все пути, которыми можно пройти из точки А в точку В, двигаясь по линиям слева направо и снизу вверх (рис. 8). С помощью цифр запишите все пути из А в В (например, путь 12549). Сколько путей ведут из А в В? (IV, V)
Предлагаемые ниже комбинаторные задачи для VI класса обладают некоторыми отличительными особенностями: а) в связи с рассмотрением новых геометрических понятий увеличивается разнообразие задач по содержанию; б) в задачах рассматриваются наборы элементов не только из одного, но и из двух множеств; в) в составляемых наборах возможны повторения элементов; г) в задачах рассматриваются множества с большим, чем ранее числом элементов; д) для подсчета выбираемых подмножеств и их упорядочения используются непосредственный подсчет и правило произведения.
При выполнении непосредственного подсчета комбинаторных соединений следует придерживаться определенного порядка. Поясним это разбором следующих задач.
30. На прямой заданы пять точек А, В, С, D, Е (рис. 9). Сколько различных отрезков определяют эти точки?
ABCDE А В С D
Рис. 9 Рис. 10
Отрезок опредляется двумя точками — его концами. Крайнюю левую точку А будем сочетать с каждой из следующих. Получим четыре отрезка АВ, Л С, AD, АЕ. Следующую за точкой Л точку В будем сочетать с каждой из последующих. Получим отрезки ВС, BZ), BE. Сочетая точку С с каждой из следующих, получим отрезки CD и СЕ. И наконец, существует еще отрезок DE. Всего имеем 10 отрезков.
31. Сколько треугольников изображено на рис. 6, г?
Возможен следующий план решения этой задачи. Треугольники, непересекаемые никакими линиями, обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Затем запишем треугольники, составленные из двух перечисленных ранее треугольников,— 12, 15, 24, 45. Существует еще один треугольник 243, составленный из треугольников 2, 4 и 3. Получили 10 треугольников.
С правилом произведения, часто применяемым в решении комбинаторных задач и при выводе формул комбинаторики, можно познакомить учащихся уже в VI классе. На первых порах достаточно рассмотреть это правило для выбора пары элементов (из одного множества и из двух).
Приводим один из возможных вариантов введения правила произведения.
Задача. На прямой заданы четыре точки Л, В, С, D (рис. 10). Сколько различных отрезков определяют эти точки?
Отрезок определяется двумя точками — началом и концом. За начальную точку отрезка можно взять любую из четырех точек Л, В, С, D, т. е. существует четыре способа выбора начала отрезка. Изобразим наглядно перечисленные способы четырьмя ветвями, исходящими из точки О (рис. 11).
Если Л — начало отрезка, то концом его может оказаться любая из оставшихся точек В, С, D. Перечисленные три возможности показаны на рис. 11 тремя ветвями, исходящими из точки Л. Выбрав за начало иную точку, получим снова три способа выбора конечной точки. Таким образом, существует 4 способа выбора начала отрезка и для каждого из них 3. способа выбора конца отрезка. Комбинируя каждый из способов выбора начала с любым из способов выбора конца, получим 4*3 = 12 способов выбора начала и конца отрезка; 12 ветвей графа (рис. 11), называемого деревом, иллюстрируют эти способы (они записаны также рядом с граф-деревом).
26

начало Конец и
АВ АС AD ВА
ВС
BD СА СВ
CD DA DB
Правило. Если существует т способов выбора элемента а (в задаче — начала отрезка) и для каждого из них п способов выбора элемента b (конца отрезка), то существует т-п способов выбора пары (а, Ь) (начала и конца).
Пары (а, Ь) и (6, а), отличающиеся порядком элементов в них, считаются в общем случае различными. При решении предлагаемой задачи следует, однако, учесть, что пары (Л, В) и (В, А) определяют один и тот же отрезок; аналогичное заключение можно сделать и для пар (Л, С) и (С, Л); (Л, D) и (D, А) и т. д. Поэтому данные четыре точки опреде-
ляют^-= 6 различных отрезков.
Рассмотрим еще некоторые комбинаторные задачи с геометрическим содержанием для VI класса.
32. Сколько треугольников изображено на рис. 12?
Ответ: И.
В
33*. Основание треугольника разбито на 7 частей, и каждая точка деления соединена с вершиной В (рис. 13). Сколько получилось треугольников?
Точка В — общая вершина всех треугольников. Выбор двух других вершин треугольника можно сделать по правилу произведения
8*7 '
= 28 способами. Следовательно, получается 28 треугольников.
$4. На окружности отмечено 6 точек. Сколько хорд они определяют?
Ответ: 15.
35. Сколько различных направлений задают на плоскости: а) вершины треугольника;
б) вершины квадрата?
Ответ: а)« 6; б) 8.
36. На плоскости даны 5 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых определяют пары этих точек?
Прямая определяется двумя точками. Выбор упорядоченных пар из множества {Л, В, С, D, М} по правилу произведения можно осуществить 20 способами (5-4 = 20), а неупорядоченных пар—10 способами (20:2=10). Число прямых равно числу неупорядоченных пар. Поэтому 5 данных точек определяют 10 различных прямых. Проверьте полученный результат построением.
37*. Начертите четырехугольник и пятиугольник. Сколько прямых определяют вершины этих многоугольников? Сколько диагоналей среди этих прямых? Проверьте результат построением. Решите задачу для /г-угольника.
Ответ: 2; 5; п - ~ ^ п.
38*. На плоскости проведены 5 прямых, каждая из которых пересекает все остальные и никакие три из этих прямых не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения данных прямых.
По условию задачи каждая точка пересечения определяется двумя прямыми. Выбор первой прямой можно осуществить 5 способами, после этого выбор второй прямой — 4 способами, а выбор двух прямых по правилу произведения 5-4 = 20 способами. При подсчете точек пересечения нас не интересует порядок прямых в каждой выбранной паре, поэтому число точек пересечения равно числу неупорядоченных пар, составленных из множества {1, 2, 3,
4, 5} заданных прямых. Таких пар = 10.
Следовательно, точек пересечения тоже 10.
Решив аналогичную задачу для п прямых, получим результат ^ . Проверьте его для
п = 3; 4.
39. На рис. 14 две прямые пересечены третьей в точках А и В. Составьте пары углов так: возьмите один угол с вершиной в точке Л, другой с вершиной в точке В, включая в пары лишь пронумерованные углы. Сколько таких
27

пар можно составить? Выберите из них пары соответственных углов.
Множество пронумерованных углов при точке А — Mi = {l, 2, 3, 4}, при точке В — М2 —
= {5, 6, 7, 8}. Один угол выбирается из множества Ми что можно сделать 4 способами; другой угол выбирается из множества М2у что можно осуществить тоже 4 способами. Выбор двух углов, из которых один принадлежит множеству Ми а другой — М2, можно осуществить по правилу произведения 4-4 = 16 способами: Из 16 пар углов пары соответственных углов: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8.
40. Сколько параллелограммов изображено на рис. 15?
Ответ: 9.
И. Г. ВИШНЯЦКАЯ
(Москва)
ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ
При работе как по старой, так и по новой программе выявляются особые трудности при обучении учащихся навыку решения задач на доказательство, и прежде всего на начальном этапе в VI классе.
Опыт показывает, что обучение решению геометрических задач на доказательство необходимо осуществлять в несколько этапов.
1. Научить разбираться в общей постановке задачи: что нужно доказать; какие есть возможности, чтобы доказать необходимое утверждение?
Обучать этому удобнее всего по готовым чертежам, когда одновременно виден чертеж и записано условие. Мысль ученика направлена только на то, чтобы «увидеть», как данные помогают решению задачи. При этом ученики должны уметь отвечать, например, на следующие вопросы:
1) Как можно доказать конгруэнтность треугольников? [а) Показать, что треугольники могут быть получены один из другого в результате некоторого перемещения (осевой или центральной симметрии и т. п.). б) Подвести под один из признаков конгруэнтности треугольников.]
2) Как можно доказать конгруэнтность отрезков? [а) Показать, что отрезки могут быть .получены один из другого в результате некоторого перемещения, б) Доказать конгруэнтность треугольников, в которые входят указанные отрезки, а потом, если возможно, сделать вывод о конгруэнтности сторон, лежащих в конгруэнтных треугольниках против конгруэнтных углов.]
3) Как можно доказать конгруэнтность углов?
4) Истинно ли утверждение, что в треугольниках против конгруэнтных сторон (углов) лежат конгруэнтные углы (стороны)? [Ложно, см. рис. 1 и 2.]
2. Научить правильно читать условие задачи, правильно записывать, что дано и что требуется доказать. Научить использовать символику при записи условия.
Казалось бы, эта задача должна предшествовать предыдущей, но для учащихся она психологически более трудная. Кроме того, после решения первой задачи учащиеся лучше начи-
Рис. 1
нают понимать, для чего необходимо правильно разобраться в условии задачи и уметь записать, что дано и что надо доказать.
Мы в своей работе использовали плакаты, на которых была записана словесная формулировка задач. Учащимся предлагалось прочесть условие задачи, сделать чертеж, соответствующий условию, и записать, что дано и что требуется доказать. Кроме того, учащиеся должны были уметь ответить, например, на следующий вопрос:
Как, используя символику, записать, что [AD) является биссектрисой угла ВАС; [BD] — высота треугольника ABC; (М/С) — серединный перпендикуляр к отрезку АВ?
3. Научить полному решению задачи на доказательство. Ученик должен уметь выполнять
28

задания 1 и 2 и, кроме того, если понадобится, сделать не одно умозаключение, а несколько.
Для преодоления ряда трудностей, возникающих при работе по новой программе, нами использовались дополнительные упражнения для некоторых пунктов программы.
К п у н к т у 1
1) Как записать, что точка А принадлежит окружности (кругу) с центром О и радиусом г? [\ОА | = г(\ОА | ^ г), позже
А £ окр (О; г).]
2) Какое из высказываний истинно:
а) Окружности принадлежит ее центр;
б) Кругу принадлежит его центр;
в) Если точка принадлежит кругу, то она принадлежит окружности;
г) Если точка принадлежит окружности, то она принадлежит кругу?
К пункту 5
Определение «лежать между» и теорема 2 в дальнейшем имеют очень большое применение и поэтому должны быть детально отработаны в упражнениях. Кроме того, не рассмотрев тщательно в упражнениях предложение «Если три точки А, В и С не принадлежат одной прямой, то
\АС\ < \АВ\ + |ВС|», (1)
принимаемое без доказательства, и свойство «Для любых трех точек Л, В и С имеет место | Л С | ^ \АВ \ + |ВС|», можно получить распространенную ошибку учащихся — они считают справедливым и утверждение, обратное предложению (1), т. е. «Если выполняется \АС\ < |ЛВ| + |ВС|, то точки Л, В и С не лежат на одной прямой».
В связи с этим хорошо рассмотреть следующие дополнительные упражнения:
3) |ЛВ| + |ВС| = |ЛС|. О чем говорит это равенство? [Л, В и С лежат на одной прямой (по свойству расстояний); если точки Л, В и С различны, то точка В лежит между точками Л и С (по определении} «лежать между»).]
4) Как записать, что точки Л, В и С лежат на одной прямой? [ | Л ВI + |ВС| = |ЛС|, или IBCI + IСЛ I = | В ЛI, или | СЛI + |ЛВ| = НСВ|.]
5) \АС\ < | Л В | + |ВС|. О чем говорит это неравенство? [Точка В не лежит между точками Л и С. Относительно того, лежат ли эти точки на одной прямой, пока ничего нельзя сказать; надо проверить, выполняется ли равенство \АВ\ = \АС\ + \СВ\, или | ВС | = = | ВЛ | + |ЛС|. Если выполняется первое из них, то С лежит между Л и В (значит, на одной прямой), если выполняется второе, то Л лежит между В и С (значит, на одной пря¬
мой), если не выполняется ни первое, ни второе, то Л, В и С не лежат на одной прямой.]
6) |ЛС| > | Л В | + |ВС|. О чем говорит это неравенство? [Такого быть не может (по свойству расстояний)].
7) |ЛС| < |ЛВ| + |£С|. Построить возможные случаи расположения точек.
8) Что означает: а) \АВ\ + \ВС\ = |ВС|; б) | Л В | + | ВС | = | Л В1; в) |ЛВ| + |ВС| = = 0? [а) Л = В; б) В = С; в) Л = В = С.]
9) Как записать, что точка Q лежит между точками М и Р?
10) |CD| = 15 см, |DF\ = 10 см. Какое условие надо добавить, чтобы С, D и F лежали на одной прямой? [Или ICFI =25 см, или \СР\=5см.]
11) Как записать тот факт, что точки М, N и Р не лежат на одной прямой? [\MN\ <г < \МР\ + |PN\; \МРI < IAWI + INPI; |РЛ^| < \РМ\ + |MiV|.]
12) Истинно ли высказывание, что точка В лежит между точками Л и С (рис. 3)? Ответ пояснить.
13) Постройте точки Л, В и С так, чтобы \АВ\ + \ВС\ = \АС\.
14) Постройте точки М, N и Р так, чтобы |MN| + |WP| > |АГЯ|.
15) Постройте точки Л и Б так, чтобы \АВ\ = 0.
В
В
А
С
а
А
В
а
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
К пункту 8
16) Отрезок АВ имеет с прямой а только одну общую точку. Будут ли в этом случае точки А и В обязательно разделены прямой а? [Нет (рис. 4).]
17) Как расположены точки Л и Б относительно прямой а, если отрезок АВ имеет с прямой а более одной общей точки? [См. рис. 5.]
Кпункту 12
18) Найдите пересечение и объединение фигур (рис. 6).
19) Найдите пересечение фигур (рис. 7).
20) Начертите два луча, пересечением которых будет: а) луч; б) точка; в) отрезок; г) пустое множество.
21) Начертите два угла, пересечением которых будет: а) луч; б) точка; в) отрезок; г) угол; д) пустое множество; е) треугольник; ж) четырехугольник.
29

Рис. 6
К пункту 13
22) Приведите пример какого-нибудь отображения, при котором: а) отрезок отображается сам на себя; б) прямая отображается сама на себя; в) луч отображается сам на себя; г) окружность отображается сама на себя.
Рис. 7
23) Приведите пример обратимого отображения; необратимого отображения.
24) Даны два отрезка А В и CD (рис. 8). Постройте отображение [АВ] «в» [CD] и отображение [АВ] «на» [CD].
К пункту 16
25) Приведите пример отображения, которое не является перемещением.
26) Как можно задать поворот?
27) Задайте поворот. Постройте при заданном повороте: а) отрезок и его образ, образ некоторой точки отрезка; б) треугольник и его образ, образ некоторой точки треугольника;
в) окружность и ее образ, образ некоторой точки окружности; г) угол и его образ, образ некоторой точки угла.
К пункту 17
28) Как может быть задана центральная симметрия?
29) Задайте центральную симметрию и при заданной центральной симметрии решите задачи, аналогичные задачам 27 (а — г).
30) Что значит, что фигура имеет центр симметрии? Сколько центров симметрии имеют: прямая, отрезок, луч, пара точек, окружность?
К пункту 18
31) Можно ли указать на плоскости точку, которая бы при некоторой осевой симметрии не имела симметричной? Почему?
32) Может ли при некоторой симметрии точка отображаться сама на себя? В каком случае?
33) Могут ли при осевой симметрии отображаться сами на себя прямоугольник, квадрат, ломаная? Приведите примеры.
К пункту 19
34) Где -расположена точка, если ее расстояние до фигуры равно 0?
35) Приведите пример фигуры, для которой расстояние от данной точки до любой точки этой фигуры было бы одинаковым.
К пункту 21
36) На сторонах угла найдите точки, равноудаленные от точки, расположенной внутри угла. Сколько таких точек может быть?
37) На сторонах квадрата найдите точки, равноудаленные от точки, расположенной внутри квадрата. Сколько таких точек может быть?
К пункту 23
38) Истинно ли утверждение, что в равнобедренном треугольнике высота является одновременно биссектрисой и медианой? [Ложно.]
39) Сколько осей симметрии имеет треугольник?
40) Дана боковая сторона и точка пересечения медиан (биссектрис) равнобедренного треугольника. Постройте треугольник.
41) Каким свойством обладает каждая высота в равностороннем треугольнике?
К пункту 26
42) Докажите, что высота, проведенная к гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Какой вывод дополнительно можно сделать? [В прямоугольном равнобедренном треугольнике и биссектриса прямого угла, и медиана, проведенная к гипотенузе, обладают этим свойством.]
43) Найдите на сторонах треугольника ABC точки, равноудаленные от В и С. Сколько их? В каком случае этой точкой будет точка Л?
30

Рис. 8
К пункту 27
44) Укажите на плоскости множество точек, равноудаленных от одной точки той же плоскости? [Окружность с центром в данной точке.]
45) Где на плоскости расположено множество точек, равноудаленных от двух точек этой плоскости? [На серединном перпендикуляре к отрезку, концами которого являются данные точки.]
46) Где на плоскости расположено множество точек, равноудаленных от трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой? [См. рис. 9.]
47) Где на плоскости расположено множество точек, равноудаленных от сторон угла, взятого на этой плоскости? [См. рис. 10, а, б.]
К пункту 36
48) Какие отображения плоскости представлены на рис. 11? Что общего в этих отображениях?
A f 4* А в' А
С\Р</. Р,
'Л В1 Й А* Я °
В' В & в А* А'
о) б) 6) г)
Рис. 11
49) При каком отображении плоскости на себя прямая переходит в параллельную ей прямую? [При центральной симметрии; при параллельном переносе; при осевой симметрии, если прямая параллельна оси симметрии.]
50) Что общего и в чем различие между центральной симметрией и параллельным переносом?
51) При каком отображении луч переходит в сонаправленный луч; в противонаправленный луч?
52) Может ли при осевой симметрии луч перейти в сонаправленный луч; в противонаправленный луч?
Г. И. САРАНЦЕВ
(г. Калуга)
К ИЗУЧЕНИЮ
ПЕРВЫХ РАЗДЕЛОВ ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ
I. При изучении первых разделов геометрии в VI классе особое внимание мы уделяли формированию у учащихся умения определять понятия.
Рассмотрим в качестве примера методику изучения понятий пересечения фигур и полуплоскости.
Прежде чем сформулировать определение понятия пересечения фигур, учащимся была предложена задача: «Пусть нам даны два множества точек, т. е. две фигуры X и У; * = {А; В; С; D} и У = {В; С; D; Е; F}. Запишите множество, являющееся пересечением данных множеств». Обычно учащиеся без тру¬
да указывают, что XC\Y = {В; С; D}. Затем им был задан вопрос: «Что называется пересечением фигур?» Учащиеся дали такой ответ: «Пересечением фигур называется фигура, состоящая из точек, принадлежащих каждой из рассматриваемых фигур». Приведенные ниже задачи помогли уточнить это определение.
1. Будет ли пересечением фигур X и У фигура, образованная точками В и С? [Нет. Значит, пересечение фигур есть фигура, состоящая из всех точек, принадлежащих каждой из данных фигур.]
2. Является ли пересечением фигур X и У фигура Z={B; С; D\ Z7}? (Нет. Но ведь она состоит из всех точек, принадлежащих как первой, так и второй фигурам? Фигура Z содержит «лишнюю» точку F.)
Пересечением фигур называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек, которые принадлежат каждой из данных фигур.
Введению понятия «полуплоскость» предшествовала работа над понятием «две точки разделены прямой».
31

б)
Рис. 1
Рис. 2
2. Какие из заштрихованных фигур (рис. 3) являются полуплоскостями? Дополните фигу- ры, не являющиеся полуплоскостями, так, чтобы образовавшиеся фигуры были полуплоскостями.
о)
г)
3. Запишите множество фигур, указанных на рис. 4 и принадлежащих полуплоскости Р\.
4. Какой фигурой является множество точек, симметричных точкам полуплоскости с границей а относительно прямой а?
II. Приведем несколько задач, которые могут быть использованы при изучении свойств расстояний.
1. Велосипедист катается в одном направлении по дорожке, имеющей форму окружности. «Расстоянием» от пункта А до пункта В для него является длина пути, который он проезжает от А до В. Удовлетворяет ли свойствам расстояний такое «расстояние»?
Гл\'
Рис. 4
L м
Учащимся было предложено провести произвольную прямую а и отметить две точки А и В так, чтобы они были разделены прямой а. После этого было сформулировано определение этого понятия и решена задача: «Разделены ли точки А и В прямой а?» (рис. 1).
Затем учащиеся ответили на следующие вопросы: «На сколько множеств разбила прямая а множество не принадлежащих ей точек плоскости? Каким свойством обладают любые две точки одного множества? Каким свойством обладают любые две точки разных множеств?»
Усвоение понятия «полуплоскость» осуществлялось при решении следующих задач:
1. Запишите множество точек, отмеченных на рис. 2 й принадлежащих полуплоскости Р\.
2. Отметьте две точки А и В и укажите какую-либо точку С такую, что 1 АС | + ]СВ\ —
— I АВ \.
3. Отметьте три точки А, В, С и запишите соотношения между а) \АС\ и \АВ\ + \ВС\\
б) |£С| и \ВА | +1 AC I; в) \АС\ и \AB\-
— |£С]; г) \ВС\ и \BA\-\AC\.
4. Известно, что \АВ\ = а, \BC\~b\
| АС | = с. Изменятся ли эти расстояния, если фигуру, образованную точками А, В, С, повернуть вокруг некоторой точки?
• 5. Как расположены точки А, В, С, еели известно, что:
| АС | + | £С | =
а) | В А | + | С А | = | ВС |; б)
= \ВА\?.
Сделайте чертеж.
6. Верно ли высказывание: «Если |ЛС| + -f |С£|>| Л/?|, то точки Л, В, С не принадлежат одной прямой». Сделайте чертеж.
7. | АВ | = 10, |ЛС| = 15. Что можно сказать о \ВС\, если: а) точки Л, В, С принадлежат одной прямой, б) точки Ау Ву С не принадлежат одной прямой. Может ли точка С лежать между А и В?
8. Точки Л, Ву С различны. Могут ли одновременно выполняться следующие соотношения: \АВ\ + \ВС\ = \АС\у \ВА\ + \АС\ = = \ВС\у \АС\ + \СВ\ = \АВ\?
9. Верно ли высказывание: «Если \АВ\ + + \ВС\>\АС\и\АС\ + \СВ\>\АВ\и\ВА\ + + j ЛС 1> ||, то точки Ау В у С не принадлежат одной прямой.
10. Сформулируйте определение середины отрезка, используя понятия «расстояние» и «между».
III. Некоторые трудности возникают при определении понятия угла. Эти трудности связаны с непониманием того факта, что два луча с общим началом разбивают множество не принадлежащих им точек плоскости на две области. Поэтому введению понятия угла предшествовала работа над усвоением понятия разбиения плоскости на области.
Будем говорить, что фигура F разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области (части), если:
1) любые две точки одной области можно соединить ломаной, не пересекающей фигуру F;
2) ломаная, соединяющая любые две точки
32

разных областей, пересекает фигуру F. Сказанное усваивалось в процессе решения таких задач:
1) Разбивают ли луч, отрезок, прямая, окружность множество не принадлежащих им точек плоскости на области?
2) На сколько областей разбивают' плоскость пара прямых, имеющих одну общую точку; два луча с общим началом?
Решение этих задач позволило учащимся самостоятельно заключить, что два луча с общим началом разбивают множество не принадлежащих им точек плоскости на две области (части).
IV. Знакомство учащихся с основными понятиями, с понятиями «аксиома» и «теорема» целесообразнее, с нашей точки зрения, осуществить позже. Опыт убеждает нас в том, что это можно сделать, заканчивая изучение первого параграфа; на самых первых уроках этот материал вызывает значительные трудности у учащихся. Действительно, может ли ученик, знакомый с двумя-тремя определениями, понять структуру определения? Сущность основных понятий становится ясной учащимся после изучения ряда определений. Тогда, анализируя известные определения различных понятий, мы всякий раз придем к четырем понятиям: «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние», которым не дается определений, а их основные свойства описаны в аксиомах.
V. Свойства перемещений являются «рабочим инструментом» учащихся, и овладеть этим инструментом можно с помощью специальных задач.
Задачи на построение оси симметрии, центра поворота, центра симметрии являются «обратными» по отношению к задачам на построение образов фигур. Решение таких задач делает мыслительный процесс более содержательным, способствует развитию пространственного воображения учащихся.
Рассмотрим в качестве примера следующую задачу: «Укажите центр поворота (рис. 5), отображающего [АВ] на [А'В'], где Л->Л', В-+В'. •
А В
0
0'
в'
А*
Задача решается без использования инструментов на клетчатой бумаге. Решая ее, ученик должен рассуждать примерно так: а) (ЛВ)_±_ А-{А'В'), тогда угол поворота равен 90°, б)В-+В\ следовательно, центр поворота принадлежит оси симметрии точек В и В'. Значит, отрезок ВВ' виден из центра поворота под углом 90°. Центром поворота может быть точка О или О'. Для того чтобы указать из этих точек ту, которая является центром поворота, ученик должен мысленно совершить поворот отрезка АВ около каждой из этих точек. Искомым центром поворота является точка О.
Мы использовали и такие задачи, в которых осуществляются построения образов фигур при перемещении и выделения элементов, определяющих вид перемещения.
В качестве примера приведем следующую задачу: «Постройте произвольный четырехугольник ABCD и отметьте некоторую точку А'. Постройте четырехугольник, симметричный данному относительно некоторой прямой так, чтобы образом точки А была точка А'».
Приведем несколько задач из тех, которые использовались нами.
1. Прямоугольный треугольник ABC поверните вокруг вершины С прямого угла на 90°. Определите угол между (АВ) и (А'В') (Л-v
*А\ В-+В'). Чему будет равен этот угол, если ААВС повернуть на угол а? Изменится ли ответ, если ААВС не будет прямоугольным?
Решение этой задачи показало, что угол между соответственными прямыми (лучами, отрезками) равен углу поворота. Полученный вывод использовался при решении следующих задач.
1
I
V
B)
F
F
zt
L
-
&
~В
А
г ~Т 1
я
/
/
1
к
г
t
f
А
/
к
К
7
с
£
E
'
L
<7
Q
O'
/
е,
1
Ж)
/
3)
ft
л
/
/
/
0
/
JR
/
1
7/i
Й
И
P
А
й
I
/
G
P'
L
I
/
М‘,
L
к
G
Рис. 6
2. В каких парах (рис. 6) один луч можно отобразить на другой поворотом. Определите центры и углы поворотов. Изменятся ли ответы, если фигуры, изображенные на чертеже, будете считать не лучами, а отрезками.
2 Математика в школе, № 5
33

А &
/Ь ^
Рие. 7
3. Постройте произвольную прямую а и отметьте точки О и А (О £ а, А£а). Выполните поворот около точки О так, чтобы образом прямой а была прямая, содержащая точку А.
5. Отметьте точки А, В и С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура F={A\ В; С; D} имела центр симметрии.
6. Треугольники I, II, III, IV, V конгруэнтны (рис. 7). Какие из этих треугольников можно отобразить один на другой параллельным переносом, осевой симметрией, центральной симметрией? В каждом случае, где имеют место названные отображения, покажите направление переноса, ось симметрии, центр симметрии.
Опыт изучения перемещений убеждает нас в целесообразности привлечения координатного метода. Это способствует как выработке целостного представления об изучаемом курсе математики, так и выработке умений в ис¬
пользовании перемещений при построении графиков различных функций. Приведем несколько задач на осевую симметрию. Аналогичные задачи могут использоваться при изучении других видов перемещений.
7. Постройте точки, симметричные точкам А (2; —3), В (5; 0), С (0; —7) относительно оси Ох, оси О у биссектрисы I и III координатных углов. Запишите их координаты.
8. Точка А (х\ у) отображается осевой симметрией с осью Ох на точку А' (2; —5). Определите х и у.
9. Точки А (5; ...) и В (...; —2) симметричны относительно оси Ох. Запишите их координаты.
10. Докажите, что точки А (а; Ь) и Л' (а; —Ь) можно отобразить друг на друга осевой симметрией с осью Ох, а точки В (с, d) и В' (—с\ d) —осевой симметрией с осью Оу.
И. Выберите из данного множества точек {(1; 5), (3; -2), (-1; 5), (0; -7), (5; -1). (0; 7), (—2; 3), (4; 0), (0; 4), (2; -1),
(1; —10)} точки, попарно симметричные относительно оси Ох; оси Оу\ биссектрисы I и III координатных углов.
12. Точка А имеет координаты (а, Ь). Запишите координаты точки, симметричной точке А относительно начала координат, и точки, полученной из точки А в результате последо- вательных осевых симметрий с осью Ох и осью Оу. Что следует из этого?
А. А. ПОСТНОВ
(г. Череповец)
УПРАЖНЕНИЯ ПО РАЗВИТИЮ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ УЧАЩИХСЯ IV КЛАССА
При изучении геометрического материала в IV классе важное место занимают вопросы формирования и развития пространственных представлений о геометрических телах и их элементах.
В процессе измерений и вычислений площади поверхностей и объемов кубов, прямоугольных параллелепипедов, а также при их моделировании ученикам приходится изображать геометрические объекты и по их изображению представлять их пространственную форму — «читать» изображение. Условный чертеж, представляющий собой изображение пространственной фигуры как параллельной проекции ее на плоскость с соблюдением принятых условностей (видимые линии изобра¬
жаются сплошными, а невидимые — штриховыми и т. д.), и его «чтение», как показала проверка, проведенная нами в IV классе средней школы г. Череповца, является доступным для учащихся четвертых классов.
Упражнения, связанные с мысленным представлением пространственной фигуры, как-то: показ моделей плоских фигур на модели геометрического тела, соотнесение модели тела с ее изображением, раскраска или шриховка граней на изображении, разрезание модели (построение сечения), оперирование пространственными образами фигур в воображении, явились весьма полезными для школьников, впервые встречающихся с пространственными формами.
Приведем краткое описание этих упражнений.
1. На классной доске начерчены изображения двух кубов и прямоугольного параллелепипеда.
Чертежи соответствуют имеющимся демонстрационным моделям многогранников, изготовленных из картона. Для выполнения задания грани на моделях были пронумерованы.
34

Вызываемым к доске ученикам нужно было модель расположить так, чтобы чертеж был ее изображением, а затем в таком же порядке, как и на модели, пронумеровать грани на чертеже, обвести их (соответствующие) контуры указкой как на модели, так и на чертеже, называя при этом грани: правая, нижняя, и т. д.
Учащиеся без затруднения располагают модели относительно плоскости доски так, как они изображены. Обводят указкой на чертеже контуры видимых граней: передней (2), верхней (1) и правой (6) (рис. 1). Каждый ученик, работающий за партой, на заготовленных в тетрадях чертежах куба цветными карандашами обводят соответствующие грани и нумеруют их.
Рис. 1
Без особого труда ученики обводили контур нижней грани, хотя одна из учениц показала для случая б) вместо нижней грани параллелограмм KDMB! (на изображении, разумеется, никаких букв не было, а буквами К и М мы обозначили точки пересечения проекций ребер прямоугольного параллелепипеда, так как некоторые учащиеся принимали эти точки за пересечение скрещивающихся прямых). Два ученика вместо боковой грани куба AA\DXD показали трапецию AAXKD (рис. 1 , а), а один вместо DDXCXC— прямоугольник DKBXM.
Во время беседы с учениками, которые допускали ошибки, выяснилось, что в первом случае {а) видимая грань AXDXCXBX «закрыла» часть грани ADDXAX и ученики «видели» только ADKAX\ во втором случае гранями куба A\DXCXBX и ВВХСХС оказалась «закрыта» часть грани DD\CXC и вместо нее ученики «видели» прямоугольник DKBXM.
2. Для создания правильных представлений о кубе и прямоугольном параллелепипеде, связанных с изображением этих геометрических тел, предлагались задачи на раскраску и LHtpnxoBKy граней этих тел.
На классной доске вычерчивались куб и прямоугольный параллелепипед. Предлагалось: на рис. 1 , а покрасить в синий цвет ле¬
вую грань и в красный — заднюю грань, а на рис. 1,6 — заднюю грань в красный цвет и правую — в синий.
Для выполнения задания к доске были вызваны два ученика. Один из них на рис. /, а раскрасил обе грани верно, а другой — на рис. 1,6 правую грань раскрасил верно, а при раскрашивании задней раскрасил трапецию DDXCXM, и после того, как ему сказали, что нужно раскрашивать всю грань, он закрасил остальную часть грани.
Затем была предложена новая задача: заштриховать заднюю грань параллелепипеда (рис. 2, а) вертикальными линиями (учитель направление разлиновки показал движением руки), а нижнюю — горизонтальными; в кубе (рис. 2, б) заштриховать заднюю грань вертикальными, а правую — горизонтальными.
N С,
N С,
УШ
/ \К
Г п
V-:;
III
'■'"Р
A Q
5)
Рис. 2
Таблицы-чертежи были вывешены на доске, а ученикам были розданы листы бумаги с подобными изображениями. Большинство учащихся, выполнявших задание, произвели штриховку верно. Но некоторые из выполнявших первое задание (рис. 2, а) при штриховке задней грани «разрывали» линии около ребра ВХСХ и на КВ 1 — части ребра АхВи а при штриховке нижней грани «разрывали» линии в окрестности MB и отрезка ВВХ. Они, видимо, представляли, что ребра имеют небольшую толщину. Дело в том, что ранее в классе были показаны каркасные модели прямоугольного параллелепипеда, и у учащихся, ошибавшихся при штриховке, сохранялись в памяти пространственные представления материальной модели, а не абстрактный образ фигуры.
Один из учеников, выполнявших задание на рис. 2,6, сначала заштриховал правую грань, а затем вертикальными линиями заштриховал фигуру DD\CXBXM. Видимо, и эта ошибка была связана с тем, что у этого ученика еще не было сформировано представление абстрактной пространственной фигуры.
3 Чтобы дать представление о различных расположениях сечений куба плоскостью и о
2*
35

их форме, была предложена следующая задача.
Разрезать модель куба (из картофеля) на две равные части так, чтобы секущие плоскости занимали различные положения относительно плоскости грани, на которую поставлен куб.
Для решения этой задачи вырезали из картофеля несколько моделей куба и поставили их на горизонтальные плоскости (подставки) так, что передние грани были расположены параллельно плоскости классной доски.
После того как была сформулирована задача, решать ее изъявили желание все учащиеся.
Первый ученик разрезал куб вертикальной плоскостью на правую и левую часть (рис. 3у а). Затем сечения были произведены в последовательности, указанной на рис. 3, причем от «а» до «г» могли произвести разрезание куба на две равные части больше половины >чащихся класса, а последующие сечения уже меньше половины.
Сечения вертикальной плоскостью вызывали меньше затруднений, чем горизонтальной. Значительные трудности возникали при сечении куба под острым углом к горизонтальной плоскости. Объясняется это, видимо, опытом учащихся: им приходилось чаще разрезать предметы в вертикальном направлении.
Других вариантов деления куба пополам предложено не было. В процессе разрезания моделей выяснялась форма сечений.
АЛ
7
1
1
/
Щ
ж-
7
Рис. 3
Затем ученикам были розданы листы бумаги с изображениями кубов в кабинетной проекции (для размножения использовался резиновый штемпель) и предложено решить ту же задачу, причем вычерчивать и заштриховывать следовало по одному сечению на каждом изображении куба. Большинство учащихся построило по 7—8 сечений (рис. 3).
Решение подобных задач требует немного времени, проходит очень живо и при большой
активности класса. В этих заданиях модели и чертежи являются наглядной опорой для развития представлений и пространственного воображения учащихся.
Двигательные действия руки (раскраска, штриховка и разрезание), соединенные со зрительным впечатлением, создают благоприятные условия для развития пространственных представлений.
Для проверки наличия у учащихся пространственных представлений, связанных с прямоугольным параллелепипедом и его изображением, была проведена 5—7-минутная контрольная работа, содержание которой в известной степени повторяло одну из работ учеников на уроках труда.
На листах были заготовлены чертежи (рис. 4) одинаковых размеров и розданы учащимся.
Первое задание: узнать, каких размеров должен быть прямоугольный лист картона, чтобы из него можно было изготовить коробку без крышки указанных размеров (рис. 4,а). Построить прямоугольник и указать его размеры (длину и ширину) в сантиметрах.
Второе задание: раскрасить верхнюю и левую грани бруска красками разного цвета (рис. 4,6).
Выполняя предложенное задание, ученику необходимо было представить развертку коробки, затем лист прямоугольной формы, из которого будет сделана развертка, и эти пространственные представления соединить с размерами листа и размерами коробки.
Контрольную работу выполняли 34 человека. Из них 30 человек выполнили первое задание правильно: указали размеры листа
33X20, двое написали 30X17; один — 60x34 и один — 54X28. Выполнение второго задания не вызывало затруднений.
По итогам выполнения описанных упражнений и проведенной контрольной работы можно сделать вывод, что ученики IV класса к концу изучения темы «Измерение объемов» имели верные пространственные представления прямоугольного параллелепипеда и правильно могли «прочесть» чертеж этого геометрического тела, со включением в некоторых случаях дополнительных элементарных построений.
36

НГУЕН ТХАЙ тхонг
(ДРВ), С. В. ГЛИНКИНА
(Москва)
ЗАДАНИЯ С ПРОПУСКАМИ НА ПЕРВЫХ УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ В VI КЛАССЕ
На первых уроках геометрии учащиеся VI класса встречаются со значительными трудностями при обосновании ответов и решений задач.
В публикуемой статье дается описание заданий с пропусками, которые предлагались учащимся VI класса на первых уроках геометрии. Цель таких заданий — помочь учащимся освоиться с рассуждениями при обосновании ответов и решений задач.
Приведем некоторые задания с пропусками на материале § 1 учебного пособия по геометрии для VI класса под редакцией А. Н. Колмогорова.
Задание 1. Дан круг с центром в точке О радиуса 2 см. Заполните пропуски так, чтобы получилось истинное высказывание.
а) | ОМ |=4 см, \ОМ\ ... 2 см, значит, |ОМ| ... радиуса. Следовательно, точка М ... кругу.
б) I ОМ |=2 см, \ОМ\ ... радиусу. Следо- ьательно, точка М ... кругу.
в) |ОМ|=0,5 см, |ОМ| ... 2 см, значит, \ОМ\ ... радиуса круга. Следовательно, точка М ... кругу.
г) 1001 = , значит, 1001 ... радиуса.
Следовательно, центр О ... кругу.
Задание 1 направляет мышление учащихся на сравнение расстояний точек от центра круга О с радиусом для выяснения принадлежности этих точек кругу. Читатель может составить аналогичное задание для выяснения принадлежности точек окружности.
Задание 2. Известно, что \KY\=6 см,
| УМ | = 10 см. Заполните пропуски так, чтобы получились истинные высказывания.
|/СМ|^С... по основному свойству расстояний; . по теореме: для любых трех
точек /С, У, М расстояние \КМ\ не меньше разности расстояний \MY\ и | У/v |. Следовательно, ... ^ | КМ | ^...
Задание 2 поможет учащимся успешно решить задачи 1—4 п. 4 §1 учебного пособия.
Задание 3. Точка X лежит между точками Л и В. Докажите, что она лежит между точками В и Л.
Заполните пропуски так, чтобы получились истинные высказывания.
Дано:
|...Х| + |*...| = |...В|. (1)
Требуется доказать:
+ = (2)
Доказательство. Нам известно, что \АХ\ = \Х...\, \ХВ | = |... X], \АВ\ = \В...\
по свойству расстояний.
По переместительному закону сложения имеем:
I ^ | -)-1ВХ | | в... |.
Равенство ... доказано.
Задание 3 направляет мышление учащихся на анализ того, что дано и что требуется доказать, и знакомит их с ходом проведения доказательства с помощью условных обозначений.
Задание 4. На прямой взяты четыре точки Л, В, С и М так, что |ЛМ| + |МВ| + + |ВС| = |ЛС|. Известно, что точка М лежит между Л и В. Докажите, что точка В лежит между точками Л и С.
Заполните пропуски.
По условию задачи точка М лежит между точками Л и В. Значит, |... | -J- |... | = | АВ |. Но тогда равенство |ЛМ| + |МВ|4"|ВС| = = | Л С | запишется так: |.. .| + |ВС| = | ЛС|. Из этого равенства следует, что точка ... лежит между точками . .. и . . . .
Задание 4 дает учащимся образец изложения доказательства.
х В а У
Задание 5. [АХ), [АУ), [ВХ), [ВУ) (см. рис.)—четыре луча, заданных на (ХУ) точками Л и В. Заполните пропуски так, чтобы получились истинные высказывания:
(ХУ)П[АВ]=-...;
[ВХ)П[ВУ) = . . .;
[ВХ)Г1[ВХ) = ...;
[ВХ)П[АХ) = ...;
[ВХ) П [AY) ==...;
[ВХ) U [ВА] = . . .;
[ВХ)[}[ВУ) = . .
[ЛГ)П-.. = Л;
[АУ)(\... = [АУ); [AY) П... = 0;
[ЛГ)и... = [£П;
[АУ){].. . = (XY}-, \ВХ).. . \ВА\ = \АХ); [ВХ).. . [ВА] = В.
Задание 5 помогает выработать у учащихся умение находить пересечение и объединение фигур.
Возникает вопрос методического характера: каким должно быть расположение пропусков.
37

чтобы задание принесло максимальную пользу учащимся? Ответ на этот вопрос зависит от того, на что мы хотим обратить внимание учащихся. Например, в задании 1, где надо сравнивать расстояния, пропущены знаки = , <С, >; в задании 4, цель которого — познакомить учащихся с изложением доказательства, пропуски расположены так, чтобы последовательность рассуждений стала ясной; в зада¬
нии 5, посвященном выработке у учащихся умения находить пересечение и объединение фигур, пропуски расположены так, чтобы учащиеся научились не только находить пересечение и объединение фигур, но и решать обратную задачу.
Опыт нашей работы показал, что задачи с пропусками полезны, эффективны и нравятся учащимся.
Д. С. ЛЮДМИЛОВ, С. Д. ЛЮДМИЛОВА
(г. Пермь)
МЕТОД ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАЧ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Сборники задач по математике как школьные, так и специального назначения — для внеклассной работы, для подготовки к вступительным экзаменам в вузы и другие — по нашему глубокому убеждению должны быть обучающими, должны учить решать задачи. Существующие же сборники предлагают к задачам ответы, иногда сопровождаемые указаниями к решению, а сборники задач повышенной трудности дают готовые решения. А в более важном и трудном деле отыскания методов решения задач учитель и учащийся предоставлены самим себе.
Система упражнений в некоторых недавно вышедших задачниках и учебниках улучшена, однако она мало помогает учащимся достаточно эффективно открывать приемы и методы решения задач. Одной только теории, излагаемой в учебнике, недостаточно для успешного решения учащимися относящихся к ней задач, особенно более трудных.
В методических пособиях для учителя «Математика в IV классе», «Математика в V классе» приводятся готовые решения задач повышенной трудности, а методических рекомендаций учителю, помогающих ему обучать решению таких задач, здесь также не имеется. Представление о том, что методы и приемы решения задач усваиваются практически, является, конечно, правильным. Но отсюда не следует, что мы добьемся успеха, если будем только требовать от учащихся решать побольше задач и давать им ответы, образцы решения. Необходимо учесть психологический аспект поставленной проблемы.
Решение задач требует проявления воли, упорства, которые, в свою очередь, воспитываются практикой. Как же быть? С чего начать?
Воля, упорство наиболее сильно проявляются у учащихся тогда, когда они интересуются проблемой, задачей, вопросом и хотят сделать их для себя «своими», совершенно понятными, ясными.
Пропадает ли интерес, если цель достигнута? Наоборот: чем лучше, полнее учащийся достиг этой цели, чем глубже осмыслил вопрос, тем сильнее разгорается интерес в направлении еще более глубокого изучения данного вопроса и ему аналогичных. Понимание порождает интерес, а интерес способствует более глубокому пониманию. Эти две психологические категории взаимосвязаны между собой. Поэтому-то интерес к вопросу и стремление к его осмыслению должны и воспитываться одновременно. Нарушение этого принципа порождает большие трудности в обучении.
Педагогическая литература уделяет много внимания воспитанию интереса к учению. Одним из эффективных методов воспитания интереса является проблемное обучение, разработанное применительно к обучению математике пока недостаточно.
В педагогической литературе недостаточно освещаются методы и опыт обучения пониманию, глубокому осмыслению математических фактов, приемов решения задач.
Часто случается, что ученик заинтересовался задачей, но у него не хватает упорства, воли для преодоления препятствий. Необходимо дать ученику возможность осмыслить, понять вопрос, создать ему соответствующие условия.
Педагогам хорошо известно, что те знания и умения, которые добыты учеником самостоятельно, в процессе активной, творческой работы, являются наиболее прочными и глубокими. Значение самостоятельной деятельности учащихся, самостоятельного поиска и открывания новых фактов невозможно переоценить.
Памятуя о значении самостоятельной деятельности, мы говорим ученику: постарайся решить задачу самостоятельно, это очень важно, прояви упорство, и т. д. Если задача у него
38

все же не поддается решению, хороший педагог сделает намек, даст указание, а педагог менее опытный — просто покажет, как задача решается. В обоих случаях, если перед нами волевой ученик, он будет более или менее успешно продвигаться вперед.
А если это не так, если волю нам предстоит только воспитывать, если ученик предоставлен самому себе (не находится в данный момент под непосредственным влиянием учителя),— будет ли он упорно добиваться решения задачи, если даже и знает, что это очень важно? Конечно, не будет. Обычно проявляет волю и упорство тот, кто верит в свои силы, уверен, что знает, умеет. Если нам удастся создать ученику такие условия, которые помогут ему самостоятельно находить путь решения задачи, самостоятельно добывать победы, пусть на первых порах и небольшие, то тем самым мы поможем ему поверить в свои силы и способности. У него появится желание работать. В дальнейшем после одержания первых побед происходит, как показывают наши наблюдения, «цепная реакция», и ученика уже не приходится убеждать в важности стремления к самостоятельному поиску.
Педагогам хорошо известно, что психологическим стимулом возникновения, поддержания и укрепления познавательных интересов школьников является успех.
Мало сказать ученику, что задачу нужно решать самостоятельно,— необходимо создать ему благоприятные условия для успеха самостоятельного поиска. Эта проблема успешно решается путем применения метода нацеливающих, обучающих задач.
Под обучающими задачами мы понимаем серию, цепочку таких вспомогательных задач, самостоятельное решение которых наводит (нацеливает) учащегося на успешный поиск приема решения какой-либо более трудной задачи. Педагогическая интуиция подсказывает иногда опытным учителям математики применять метод нацеливающих задач. Учитель знает, что перёд решением в классе какой-либо более трудной задачи необходимо рассмотреть некоторые вспомогательные задачи.
Однако интуитивное от случая к случаю применение метода обучающих задач не является достаточно эффективным—оно не носит целенаправленный характер, учитель не специально, а случайно применяет обучающие задачи, придумывая их «на ходу». Для начинающего учителя этот эффективный метод обучения решению задач часто является новым, неизвестным.
Мы выступаем за то, чтобы система упражнений для учащихся строилась по принципу
обучающих задач; это значительно повышает ее эффективность. Об этом убедительно свидетельствуют результаты многочисленных экспериментов, проводившихся нами в течение многих лет.
Идея метода обучающих задач занимает видное место в интересной работе Д. Пойа «Как решать задачу», написанной в психологическом и педагогическом плане. Д. Пойа рассматривает вспомогательные задачи не только как важнейшее средство обучения решению задач, но и как средство для нахождения плана решения, что совершенно правильно.
Следует, однако, заметить, что умение подбирать, вспоминать вспомогательные задачи, на которое делает ставку Д. Пойа, свидетельствует уже о высокой зрелости учащегося, о том, что он уже владеет некоторым запасом различных приемов решения задач. На первых порах учащиеся очень затрудняются в отыскивании вспомогательных задач, особенно задач нового типа. Они не смогут успешно воспользоваться советами Д. Пойа, если не овладеют, и притом по возможности самостоятельно, некоторым запасом различных типичных приемов мышления при решении задач, ибо почти всякий прием решения задачи, который учащийся должен открыть, является либо сходным с некоторыми ранее изученными приемами, либо своеобразным их новым качественным и количественным сочетанием. Надо еще учесть психологию школьника: он не слишком долго думает над задачей, он хочет достаточно быстро видеть результаты своего труда, и притом положительные. Эти условия как раз и создает метод обучающих задач.
Обучающие задачи не лишают учащихся инициативы в самостоятельном поиске решения. Вместо того чтобы предлагать учащемуся одну (более трудную — целевую) задачу, мы предлагаем ему в последовательном порядке несколько задач (задач-вопросов, а не ответов на вопросы!).
Отметим следующие педагогические особенности метода обучающих задач.
Мето^ обучающих задач
а) способствует наиболее полному осуществлению принципов советской дидактики, в особенности принципов активности, сознательности, доступности, систематичности;
б) он не только активизирует самостоятельную деятельность учащихся (что имеет первостепенное значение), но и обладает большой общностью, так как нет или почти нет такой задачи, к которой невозможно было бы подобрать вспомогательные — обучающие — задачи;
39

в) успешно выполняет функцию управления мышлением, а также функцию развития мышления: изменяя характер и содержание обучающих задач, мы развиваем, упражняем мышление;
г) помогает осуществлять индивидуализацию и дифференциацию обучения: можно предложить каждому учащемуся соответствующий его возможностям набор таких задач;
д) находится в тесной связи с теорией и практикой алгоритмизации обучения.
Как известно, алгоритмизация обучения включает в себя два аспекта: построение алгоритмов обучения и обучение алгоритмам решения задач. Метод обучающих задач представляет собой алгоритм, точнее, алгоритмическое предписание для обучения решению задач, причем такое, которое дает учителю возможность эффективно обучать учащихся алгоритмам решения некоторых задач.
Основная цель учителя — научить самостоятельно решать задачи, самостоятельно находить вспомогательные задачи. Эта цель успешно достигается путем самостоятельного овладения с помощью обучающих задач первоначальным запасом различных приемов решения задач.
Метод обучающих задач можно успешно использовать и при изучении нового теоретического материала: создаем последователь¬
ность этапов, выполнение которых приводит к глубокому усвоению материала. Эти этапы учащиеся по заданию учителя могут выполнить самостоятельно. На каждом этапе используются дидактические упражнения для повторения вопросов, связанных с новой темой, а также для облегчения поиска тех идей и методов, которые применяются при раскрытии теоретического содержания темы.
Обучение решению задач, однако, нельзя сводить только к методу обучающих задач. Мы рассматриваем этот метод ввиду его высокой эффективности как один из необходимых.
Умение составлять обучающие задачи — исключительно ценное педагогическое качество учителя математики. Предлагаем читателю самые краткие методические указания.
Необходимо прежде всего глубоко проанализировать решение целевой задачи. Решение, разумеется, наиболее рациональное целесообразно представить в виде отдельных последовательных звеньев, например в виде вопросов при арифметическом решении задачи. Каждое такое звено нетрудно сформулировать как обучающую задачу. Приходится часто также учитывать промежуточные логические операции, которые не явно фигурируют в решении
задач, а также повторять некоторые теоретические сведения, связанные с решением предложенных задач.
Пусть имеется целевая задача: «Разложить на целые относительно а множители выражение а4 + 4». Анализ решения этой задачи приведет нас к следующей цепочке.
1. Разложить на множители выражение
(х2+2)2 — 4х2.
2. Разложить на множители выражение
х4+4*2+4 — 4л;2.
Можно предложить обе эти обучающие задачи или только одну из них в зависимости от подготовки учащегося. Для слабо подготовленного можно эту цепочку расширить, поместить впереди еще две задачи:
а) разложить на множители выражение
а2 — Ь2\
б) разложить на множители выражение
(а+Ь)2 — с2.
В сборниках задач педагогически наиболее целесообразным оказывается такое расположение упражнений, когда обучающие (нацеливающие) задачи находятся впереди целевых и одни целевые задачи являются обучающими по отношению к следующим за ними другихМ целевым задачам. Ниже приводим несколько примеров цепочек обучающих задач (номера основных, или целевых, задач снабжены нуликом в правом верхнем углу).
1. Пусть {я}={1, 2, 3,...} — множество всех натуральных чисел.
а) Доказать, что объединение трех множеств {Зя}, {З/г+1} и {3п—1} представляют собой множество всех натуральных чисел, кроме 1.
б) Доказать, что множество всех натуральных чисел, кроме 1, не кратных числу 3, имеет вид{3я±1}.
в) Выделить из этого множества подмножество четных чисел. Доказать, что это подмножество получается только при нечетных значениях n(n=2k — 1).
2. Доказать, что при любом натуральном к число k (3ft-f-1) является четным.
3. Доказать, что при любом натуральном k число (6fe-fl)2—1 кратно 24.
4°. Доказать, что число п2 — 1 всегда делится на 24, если число п не делится на 3 и является нечетным.
5. Доказать, что число (2k — I)2—1 при любом натуральном k делится на 8, а число (3&dzl)2— 1 —на 3.
6°. Решить задачу 4° другим способом, вытекающим из решений задачи 16 и задачи 5.
7. Доказать тождество:
а) 2 sin a cos (J = sin (а -f- Р) -f- sin (а — P);
40

б) 2 sin За* cos 2а -f- 2 sin За -cos 4а + 2 sin За-cos 8а = sin 7а + sin 11а;
в) (cos а cos За -f- cos 5а) • 2 sin а — sin 6а.
8°. Доказать тождество:
TZ . Зтс , 5*гс 1
COS -у- + COS -у + COS -у- — — .
9. Основания трапеции ВС = a, /1D = Ь. В каком отношении делится ее площадь прямой, параллельной основаниям и пересекающей боковые стороны в точках Е и F, если EF = х?
10°. Основания трапеции равны а и Ь. Параллельно основаниям проведена прямая, делящая площадь трапеции пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между непараллельными сторонами.
Работу с обучающими задачами можно организовать по-разному.
а) Можно фронтально разобрать все обучающие задачи, решить их устно или полу- письменно, затем предложить учащимся решить целевую задачу письменно (самостоятельная или контрольная работа). Заметим, что одна и та же цепочка обучающих задач может «обслуживать» несколько целевых за¬
дач, близких по математическому содержанию и методу решения.
б) Можно предложить учащимся для самостоятельной работы в классе или дома целевые задачи вместе с обучающими.
в) Можно обучающие задачи разобрать в классе, г целевые — задать домой.
г) Тексты обучающих и целевых задач можно раздать учащимся на карточках, записывать на классной или переносной доске, специальном плакате.
д) После решения одной-двух задач с помощью цепочки обучающих задач следует сходные задачи предлагать уже без цепочки.
В большинстве случаев целесообразно начинать с работы над целевой задачей — разбор условия, попытки поиска пути решения. После этого предложить первую обучающую задачу, вторую и т. д.
После того как учащиеся усвоят сущность и цель обучающих задач, практически убедятся в их пользе, приобретут достаточный опыт в решении задач определенного класса, т. е. относящихся к определенной теме, следует, постепенно сокращая цепочки, предлагать им самостоятельно отыскивать недостающие звенья и в итоге — решение задачи.
Л. П. МАРКОВА, В. И. СЕДАКОВ
(Москва)
ВСЕСОЮЗНЫЙ СЕМИНАР ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ СРЕДНИХ ПТУ
С 4 по 7 июня был проведен Всесоюзный семинар преподавателей математики, физики и химии средних профессионально-технических училищ с целью обмена опытом работы по применению технических средств обучения.
На пленарном заседании о содержании новой учебной программы по математике выступил профессор Р. С. Черкасов.
На секции преподавателей математики присутствовало 62 человека из всех союзных республик.
В работе секции принял участие доктор педагогических наук, член-корреспондент АПН СССР, председатель секции математики Ученого совета Госпрофобра СССР С. И. Шварцбурд.
С докладами выступили 12 преподавателей. Почти все выступления сопровождались показом диафильмов, диапозитивов, кодопозитивов, изготовленных самими преподавателями.
Преподаватель ГПТУ № 31 Латвийской ССР Поводе показал диафильмы, применяемые им при изучении стереометрии. Преподаватель ГПТУ № 93 г. Н. Тагил Л. В. Леконцева продемонстрировала диафильмы, в которых содержатся учебные материалы по электротехнике и физике. Эти диафильмы используются ею при изучении учащимися преобразований графиков тригонометрических функций. Преподаватель ГПТУ №6 г. Джа-
лал-Абада Киргизской ССР А. #. Семенцов рассказал об изготовлении и применении кодопозитивов на уроках математики. Преподаватель ГПТУ № 88 Москвы
С. И. Шунаева сообщила об использовании в процессе преподавания кодоскопа и программированной машинки «Огонек» при опросе и самоконтроле. Преподаватель ГПТУ № 19 Молдавской ССР А. И. Гуцу поделилась своим опытом применения различных технических средств обучения, электрифицированных тренажеров при обучении математике.
Все участники семинара отметили, что городские и сельские средние профессионально-технические училища оснащены рядом технических средств обучения, во многих кабинетах математики имеются проектор «ЛЭТИ», эпидиаскоп, кинопроектор и другие аппараты, что помогает преподавателю провести урок более интересно, рационально и эффективно.
В докладе С. Д. Шварцбурда об основных проблемах, стоящих перед преподавателями математики средних профессионально-технических училищ, было указано, что в связи с переходом на новые программы по математике средних общеобразовательных школ не следует допускать нарушения преемственности между восьмилетней школой и средними профтехучилищами. Для этого необходимо изучать новые программы и учебники восьмилетней школы, заранее готовясь к тому времени, когда в училища придут выпускники этих школ, изучавшие математику по новой программе.
Участники семинара обменялись мнениями по вопросам постепенного перехода средних профтехучилищ на новые программы по математике, одобрили их и высказали ряд предложений по улучшению состояния преподавания математики.
41

А. И. ВОЛХОНСКИЙ
(г. Можайск)
К МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Обычно условие задачи, если она достаточно серьезна, создает ситуацию, которая не допускает непосредственного применения теорем, имеющихся в распоряжении решающего. Ему приходится прибегать к тому или иному методу изменения ситуации. Один из них —дополнительные построения.
Говорят, что дополнительные построения трудны для учащихся, так как о них надо догадываться. На самом деле обычно о них не догадываются, их просто знают, запоминают. Построения эти чаще всего оказываются стандартными, и затруднения ученика объясняются лишь тем, что его не знакомили с ними. Например, решая задачу о равнобедренном треугольнике, вы, очевидно, проведете его высоту и почти всегда эта высота окажется нужной. Имея задачу о равнобочной трапеции, вы наверняка будете проектировать меньшее основание на большее и пользоваться конгруэнтностью получившихся отрезков. Рассматривая наклонную и ее проекцию, вам не обойтись без перпендикуляра, образовавшего эту проекцию. Для двух окружностей потребуется их линия центров. И т. д. Все это стандартные построения.
То, что можно придумать задачу, для которой какое-то из этих построений не нужно, не меняет сути дела. Суждение о необходимости того или иного построения это всего лишь правдоподобное суждение. Но, как показал Д. Пойау наше мышление руководствуется именно такими правдоподобными суждениями.
В основе существования стандартных построений лежит необходимость использовать в решении определение объекта или теоремы о его свойствах. Предложения геометрии объединяют объекты геометрии в группы — семьи. Так определение проекции отрезка объединяет в одну семью наклонную, ее проекцию и соответствующий перпендикуляр.
Если задача говорит только о некоторых членах семьи, а о других умалчивает, то их приходится вводить в решение. Это введение и есть дополнительное построение. Выполняются ли они фактически или нет — не столь существенно. Ведь построения можно проводить мысленно. Заметим, что свои семьи объектов есть и в задачах по арифметике, по алгебре и т. д. И здесь, как в геометрии, решающий прибегает к введению новых объ¬
ектов по принципу их родства объектам условия, по принципу «что с чем берут», «что с чем работает», «что чему сопутствует».
Что с чем в родстве не всегда видно. Решающий задачу может быть доволен собой, если он догадывается о каком-то неожиданном построении. Но когда перед ним объекты, родственные отношения которых ему хорошо известны, он просто выполняет стандартные построения. Поясним это примерами.
1. Касательные к окружности или ее дуге и радиусы, проведенные в точки касания, образуют семью. Часто среди данных отсутствует радиус. Поэтому стандартное дополнительное построение, связанное с этой семьей, обычно выражается правилом: «Если в задаче говорится о касательной, то надо провести радиусы в точки касания и использовать их перпендикулярность к касательным».
Задача. Радиусы О А и О В сектора ОАВ окружности с центром О и радиусом R взаимно перпендикулярны. На радиусе ОВ как на диаметре построена полуокружность, расположенная внутри сектора ОАВ. Найти радиус х окружности, касающейся полуокружности, дуги АВ и радиуса О А (рис. 1 , а).
Рис. 1
Согласно высказанному правилу, решающий проведет из центров окружностей О, Ох, 02 радиусы в точки касания (рис. 1, б). При этом радиусы 0,/С, и 02КХ окажутся на одной прямой, так как оба они перпендикулярны касательной в точке Кj. Это же относится и к радиусам ОК2 и 02К2. Используя перпендикулярность прямых ОВ и 02С к прямой ОА проведем \02D\ ii \ОА] и получим прямоугольник OCOoD. Появится прямоугольный треугольник в котором
|OAPH<V>I2+|£>o2|2.
или
(4+*У= (4 - хУ+ к* - *)2- х2ъ
R
откуда х — ~.
42

2. Хорда, перпендикуляр к ней из центра, радиус в ее конец, образованный этими отрезками прямоугольный треугольник — это тоже семья объектов. Часто в задачах задается хорда, остальные члены семьи вводятся решающим. Соответствующее стандартное построение выражается правилом: «Если дана хорда, то надо провести радиус в ее конец и перпендикуляр к ней из центра; рассмотреть полученный прямоугольный треугольник». Поясним это такой задачей.
Задача. Даны две концентрические окружности радиусов г и R(r<cR). Из произвольной точки Р меньшей окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Одна из них пересекает меньшую окружность в точке А, другая большую — в точках В и С. Определить величину суммы \РА |2+|^В|2+|РС|2 (рис. 2,я).
о),
Рис. 2
Выполним стандартное построение для хорд РА и PD малой окружности (рис. 2, б): соединим Я и О, проведем [ОМ] J_ [PD] и [OA/]_L ± [РА], будем помнить, что \PM\-\MD\,
PN] = ВМ\ =
Иногда условие задачи не говорит о хордах, но соответствующий ему чертеж содержит отрезки, являющиеся хордами. Понятно, что и в этом случае надо применять это же стандартное построение. Например, при решении задачи «О/соло квадрата со стороной а описана окружность. В один из полученных сегментов вписан квадрат. Определить его сторону». Здесь сторона большого квадрата и сторона малого — хорды, требующие стандартного построения.
3. Треугольник с описанным кругом, диаметр через конец его стороны, построенный на этой стороне и диаметре прямоугольный треугольник, получившиеся вписанные углы — это еще одна семья. Соответствующее правило: «Если дан треугольник с описанной окружностью, то надо провести диаметр через конец одной из его сторон, другой конец диаметра соединить с другим концом этой стороны и использовать конгруэнтность получившиеся вписанных углов».
Задача. Показать, что стороны треугольника а b, с, его площадь S и радиус описанного около него круга R связаны равенством
D abc
~ 4S *
Для решения этой задачи нужно провести
диаметр AD (рис. 3), соединить D к С (можно
D и В). Чтобы использовать конгруэнтность
углов ADC и ABC, проведем \АЕ]_\_\ВС].
Из подобия треугольников ADC и АВЕ
2 R с , ос са
— = —, но h,a = 2Sy значит — = —, от- о па и о 2о
abc
AN . Соединим В с О, отметим, что СМ. Осталось применить теорему Лифагора для треугольников РОМ и ВОМ. Пусть |ЯЛ| = х, = \PC\-z. Тогда
из прямоугольных треугольников РОМ и ВОМ
(тг)2+ (Чг1 -уУ= г2- или х2 + У2 + г2 -
— 2yz = 4г2 и (У Т~)2 + ("v)2 ~ ^2’ или х2 + у2 + z2 + 2 yz = 4R2.
Для получения искомой суммы x2-\-y2-\-z2 достаточно сложить почленно найденные равенства. Это дает
2(x2 + y2 + z2) = 4(r2 + R2),
или
x2 + y2 + z2=2(r2 + R2).
Равноценно рассмотренному и другое построение; через конец хорды провести диаметр, другой ее конец соединить с концом этого диаметра и использовать полученный прямоугольный треугольник.
Рис. 3
4. Два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, описанная окружность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, также являются одной семьей. Часто отсутствующим членом этой семьи оказывается окружность. Ее то и приходится строить, а затем рассматривать получившиеся вписанные углы.
Задача. В треугольнике ABC (рис. 4, а) А = 90°, [АН] ±_ [ВС]. Через Н проведены
43

Рис. 4
прямые, об разу ющие между собой прямой угол и пересекающие [АВ] в D, \АС\ в Е. Доказать, что треугольники DH Е и ЛВС подобны.
Увидев на чертеже прямоугольные треугольники с общей гипотенузой (Д DAE и Д DHЕ), дополним их недостающим членом семьи —■ окружностью. Строим ее на [DE] как на диа-
/\ /\ метре (рис. 4, б). По условию ВНЕ = DAE = = 90°, следовательно, окружность пройдет
/\ /\ через Ли//. Так как DAH — DEH (вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу /\ /\
DH) и DAH = АС В (углы со взаимно пеи-
/\ X
пендикулярными сторонами), то DtM = ACBy и подобие треугольников доказано.
Мы не хотим сказать, что решающий задачу всегда рассуждает именно так, как делали это мы при решении задач. Но несомненно, что идея родства объектов — одна из тех основных идей, которые руководят его действиями.
Затруднения решающего очень часто вызваны техМ, что он не видит нужного родственного объекта. Посмотрите, например, почему ученик не справился с задачей «на движение» или с задачей «на план и норму». Иногда лишь потому, что не ввел в решение одну из величин семьи путь — время — скорость или семьи план — срок — норма (дневная, например).
Нередко о родственном объекте, который необходимо ввести при решении задачи, автор задачника говорит в указании к ее решению. Взять хотя бы такую задачу: «Один рыбак поймал три рыбки, другой четыре. Сварили из них уху. Ее ели втроем с прохожим, который заплатил за еду 70 коп. Как должны рыбаки разделить эти деньги?» «Ответ: 20коп., 50 коп. Указание: определите стоимость всей ухи.» Этим указанием решающему напоминают, что в одну семью с объектами условия входит и этот объект — стоимость всей ухи. И это снимает затруднение.
Обучение решению задач — это прежде всего ознакомление с семьями объектов этих задач, со стандартными приемами изменения ситуации, с приемами поиска родственных объектов в тех случаях, когда они неизвестны.
И. А. МАРНЯНСКИЙ
(г. Николаев)
ОБ ОДНОЙ ЛОГИЧЕСКОЙ ОШИБКЕ
В статье Н. X. Розова «Функции и графики» сборника «Новое в школьной математике» (М., «Знание», 1972) подвергнуто критике известное определение элементарной функ- ции как функции, которую можно задать одной формулой, составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических операций и конечного числа операций взятия функции от функции. Некорректность такого определения автор указанной статьи иллюстрирует примером. С точки зрения этого определения, пишет он, функция
\\ при лг^О, при х<^0
ч
не является элементарной, так как она задана не одной, а двумя формулами. С другой стороны, эта же функция, будучи представленной в виде
У =
2х
(1)
должна считаться элементарной (стр. 106— 107).
Однако такое «опровержение» определения несостоятельно. Оно является следствием ошибочного толкования термина «можно». В самом деле, в определении вовсе не требуется, чтобы функция была такой, чтобы ее можно было задать только одной формулой. Слово «можно» следует понимать здесь лишь в том смысле, что среди всевозможных аналитических представлений данной функции должно найтись хотя бы одно представление в виде одной формулы. В частности, поскольку упомянутая выше функция представима в виде (1), она, безусловно, является элементарной, и никаких недоразумений здесь нет.
44

5
Рис. 1
К указанной ошибке можно было бы и не привлекать внимание читателя, если бы подобное толкование термина «можно» не было распространено среди многих учащихся (а подчас и среди учителей). Между тем это заблуждение может привести к неверному пониманию такого важного понятия, как конгруэнтность. Так, например, можно отобра-
В помощь самообразованию учителей
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ
(Москва)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ СИМВОЛИКИ ПРИ РАБОТЕ С ОПРЕДЕЛЕНИЯМИ
В статье «Как устроена теорема?» («Математика в школе», 1973, № 1) рассматривался вопрос об использовании логических знаков V’ 3» =^. ~1 Для исследования структуры
теоремы и некоторых приемов доказательства.
Цель этой статьи — показать, что логические символы в неменьшей степени важны при работе с определениями.
1. Конъюнкция и дизъюнкция
Мы начнем с рассмотрения еще двух логических знаков, которые весьма полезны и для записи теорем, но особенно важны для выяснения структуры определений.,
В математике часто приходится рассматривать случаи, когда одновременно выполняются два каких-либо свойства. Мы знаем, например, что существуют равнобедренные прямоугольные треугольники (на рис. 1 угол С —
зить одкн луч на другой (рис. 1,а) или в другой (рис. 1,6), чтобы условия конгруэнтности не соблюдались. Тем не менее такие лучи должны считаться конгруэнтными, поскольку существует и такое отображение одного луча на другой (рис. 1,в), при котором сохраняются расстояния.
В этой связи следует разъяснить школьникам, что найдя, к примеру, несколько отображений малой окружности на большую окружность, не сохраняющих расстояния, еще нельзя утверждать, что такие окружности не конгруэнтны: может все-таки найдется отображение с сохранением расстояний. На самом деле это предположение легко опровергается с помощью следующего (полезного и в других случаях) довольно просто доказуемого утверждения: если в одной фигуре имеются две точки, расстояние между которыми больше расстояния между любыми двумя точками другой фигуры, то такие фигуры не могут быть конгруэнтными.
прямой). Это означает, что существует треугольник ABC, который одновременно обладает следующими двумя свойствами: во-первых, угол при вершине С — прямой и, во-вторых, стороны [А С] и [ВС] конгруэнтны.
Одновременное выполнение двух свойств принято называть конъюнкцией этих свойств и обозначать знаком Д (читается «и»). Таким образом, то, что существует равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, может быть записано знаками так:
(3 ААВС) ((С = 90°)Л([ЛС] S [ВС])).
Еще один пример использования конъюнкции мы получим, рассматривая понятие постороннего корня. Возьмем, например, уравнение
| * — 2 | + 2х = 0.
Перенесем слагаемое 2х в правую часть уравнения, возведем обе части в квадрат и приведем подобные члены. В результате получится квадратное уравнение
3jc2 + 4^ - 4 = 0,
имеющее корни хг = — 2, д;2 = Проверка
показывает, однако, что только первый корень удовлетворяет исходному уравнению, а корень
х2 = — является посторонним. В общем
случае определение постороннего корня можно сформулировать так. Пусть дано уравнение
/(■*) = о, (1)
45

от которого, совершив некоторые преобразования, мы перешли к более простому уравнению ё (•*■) ~ 0- (2)
Ограничимся для простоты случаем, когда каждая из функций f(x), g(x) определена для всех действительных значений х. Число х0 называется посторонним корнем уравнения (1), полученным при переходе к уравнению (2), если'хо является корнем уравнения (2), а корнем уравнения (1) не является, т. е. если ig(x0)=s0)/\(f\x0)^0).
Кроме знака конъюнкции Д в математике часто используется знак дизъюнкции V (читается «или»). Знак V не совсем точно описывается союзом «или», употребляемым в обычной речи. В обычной речи союз «или» чаще всего имеет разделительный оттенок. Возьмем, например, фразу: «Я уезжаю, но за книгой зайдет моя сестра или брат». Здесь скорее всего имеется в виду, что зайдет либо сестра, либо брат; возможность, что они зайдут оба вместе, не предусматривается. В математике знак V не имеет разделительного смысла, т. е. если два свойства соединены знаком V» то это означает, что либо имеет место первое свойство, но не второе, либо имеет место второе свойство, но не первое, либо же имеют место оба свойства одновременно.
Рассмотрим в качестве примера объединение фигур А и В. Если точка М принадлежит фигуре A' UВ, то имеет место один из трех случаев:
1) М£А, но МфВ (точка Мх на рис. 2);
2) М^ВУ но Мф:А (точка М2 на рис. 2);
3) М£ А и М£В (точка М3 на рис. 2). Таким образом,
(М € A U В) <н> ((М € А)\/(М g В)).
В качестве еще одного примера рассмотрим снова понятие постороннего корня, но уже не предполагая, что функции f(x) и g(x) определены для всех действительных значений х. Обозначим через А область определения функции f{x)y входящей в уравнение (1). Число х0 не будет корнем уравнения (1), если либо х0 либо f(x0) ФО \ т. е. если (Jc0&A)\/(f(x0) + 0).
1 Использование обозначения f(x0) обязательно предполагает, что х0 е А, так как иначе запись f{x0) не имеет смысла.
Как и в предыдущем случае, число х0 называется посторонним корнем уравнения (1), полученным при переходе к уравнению (2), если А'о является корнем уравнения (2), а корнем уравнения (1) не является, т. е. если
(g (*о) = 0)Л(С*о & A)V(f (*о) ф 0))-
В этой записи используются оба знака: Д, V-
Часто приходится образовывать отрицание высказываний, представляющих собой конъюнкцию или дизъюнкцию более простых высказываний.
Рассмотрим, например, высказывание: данный четырехугольник ABCD — параллелограмм. Это высказывание можно записать так:
(АВ II CD)A(AD II ВС).
Предположим, что это высказывание ложное, т. е. данный четырехугольник ABCD параллелограммом не является, и потому истинным является отрицание написанного высказывания:
^{{AB\\CD)/\(AD\\BC)). (3)
Это означает, что хотя бы одно из высказываний АВ || CD, AD || ВС места не имеет, т. е. истинно хотя бы одно из высказываний П (АВ || CD)y П (AD || ВС). Иными словами, высказывание (3) означает то же самое, что и высказывание
n(AB\\CD})'J(-\(AD\\BC)). (4)
Если мы обозначим через Р высказывание АВ || CD, а через Q — высказывание AD || ВС у то высказывание (3) запишется в виде ДQ), а высказывание (4) — в виде (1P)V("IQ)- Как мы видели, высказывания (3) и (4) означают одно и то же:
"i(/V\Q)^Cl ЯЛ/HQ). (5)
Рассмотрим теперь другое высказывание: данный четырехугольник ABCD — трапеция. Это высказывание можно записать в виде
(АВ || CD)\/(AD || ВС)у
т. е. в виде PVQ, где Р и Q имеют тот же смысл, что и прежде. Допустим, нам известно, что высказывание PVQ ложно, т. е. четырехугольник ABCD трапецией не является. Это означает, что ни одно из высказываний Р, Q места не имеет, т. е. истинны оба высказывания ~|Р9 Иными словами, то, что четырехугольник ABCD не является трапецией, можно записать не только в виде высказывания ^(PVQ), но и в виде высказывания (~]Р)/\ ДП<3). Таким образом, высказывания “1 (PVQ) и (~l^)AOQ) означают одно и то же:
a(PVQ)^(D^)A(lQ). (6)
46

Соотношения (5) и (6) мы рассмотрели лишь на примерах. Они справедливы для любых высказываний (или предикатов) Р и Q.
2. Структура определения
Очень часто на основе уже известных нам понятий вводится новое понятие. Обычно в таких случаях используются предложения, которые называются определениями. Например, определение ромба формулируется следующим образом: ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого конгруэнтны. В этом определении новое понятие «ромб» введено на основе ряда понятий, уже известных к этому времени: параллелограмм, сторона параллелограмма, смежные стороны, конгруэнтны.
Традиционная логика (восходящая к Аристотелю) учит, что всякое определение содержит определяемый термин (обычно он вводится словом «называется»), а также указание родового понятия и описание видовых отличий. В рассмотренном выше определении вводится новый термин «ромб». Родовым понятием является «параллелограмм». Как обычно, это родовое понятие — более общее, чем определяемое понятие «ромб» (не всякий параллелограмм является ромбом). Для выделения ромбов из всех параллелограммов служат видовые отличия. В данном случае видовое отличие только одно: конгруэнтность двух смежных сторон.
Разумеется, в таком, чисто словесном, выделении основных частей определения (термин, родовое понятие, видовые отличия) не слишком много проку. В то же время четкое выделение этих основных частей с помощью логических знаков является, как мы вскоре увидим, весьма сильным средством, позволяющим решать многие трудные задачи.
Как же записать определение с помощью логических знаков? Проследим это на примере определения ромба. Возьмем произвольный параллелограмм ABCD. Для того чтобы утверждать, что ABCD — ромб, мы должны, согласно сформулированному определению, убедиться, что смежные стороны конгруэнтны: [АВ] ^ [ВС]. Заметим, что выполнение этого условия является необходимым и достаточным, чтобы параллелограмм ABCD был ромбом, т. е. мы в том и только в том случае называем параллелограмм ABCD ромбом, если [АВ] ^ [ВС]. В результате определение приобретает следующий вид: *
(yABCD, где ABCD — параллелограмм)]
(ABCD ромб)^([Л£]=ё[£С]). [
Def J
Запись «Def», помещенная под знаком представляет собой сокращение английского слова Definition (определение). Эта запись означает, что формула (7) является определением, т. е. вводит новое понятие (в данном случае понятие ромба).
Полезно сравнить запись определения с записью теоремы. Для удобства сравнения возьмем теорему, для которой справедлива и обратная теорема (т. е. теорему, в записи которой используется знак -4=^, как и в записи определения). Вот две теоремы такого вида, относящиеся к свойствам ромба:
(\fABCD, где ABCD — параллелограмм))
(ABCD — ромб) (АС ВD)\ } (8)
(\jABCD, где ABCD — параллелограмм)!
(ABCD - ромб) <Н> U:ВАС s Z ОАС). I (9) Каждая из этих теорем содержит некоторый необходимый и достаточный признак ромба. Например, первая из них утверждает, что параллелограмм в том и только в том случае является ромбом, если его диагонали перпендикулярны.
Сравнивая определение (7) с теоремами (8) и (9), мы замечаем большое сходство этих записей. И определение, и каждая теорема расчленены на три части, так что формулы (7), (8) и (9) имеют совершенно одинаковую структуру2. Каждая из записей (7), (8), (9) утверждает, что параллелограмм ABCD в том и только в том случае является ромбом, если выполнено то или иное свойство. Однако роль утверждений (7), (8) и (9) не одинакова. Соотношение (7) является определением, т. е. используется для первоначального введения понятия ромба. Поэтому утверждение (7) не нуждается в доказательстве. Что же касается соотношений (8) и (9), то они не являются определениями, а представляют собой теоремы и требуют доказательства.
Заметим, что мы могли ввести понятие ромба и иначе. Например, можно было бы принять (8) за определение ромба. В этом случае соотношение (8) доказывать было бы не нужно (оно имело бы место «по определению»), но тогда утверждение (7) следовало бы уже рассматривать как теорему, которая должна быть'доказана с помощью определения (8).
Мы столь подробно остановились на определении ромба, чтобы на этом примере выяснить общую структуру определения. Рассмот¬
2 Правда, сложившаяся терминология именует эти части по-разному: в определении мы говорим о «родовом понятии», «термине» и «видовом отличии», а в теореме говорим о «разъяснительной части», «условии» и «заключении». Однако это различие — чисто словесное.
47

рим теперь некоторые другие примеры определений.
Определение знака нестрогого неравенства может быть записано следующим образом:
(V а, Ь) (а > Ь) 4* ((а > Ь)\/(а = Ь)).
Def
В этом определении два видовых отличия (а>&, я = 6),- которые соединены дизъюнктивной связкой (т. е. знаком V)- Родовое понятие— пара а, b действительных чисел.
В качестве другого примера рассмотрим определение функции, ограниченной сверху. Это определение в словесной формулировке выглядит следующим образом. Пусть f(x) — некоторая функция, М — область ее определения; функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число а, что для любого хеМ справедливо неравенство
f(x)^La. Запишем это определение с помощью логических знаков:
(Ч/'М, где / — функция с областью определения М) (функция / ограничена сверху)
Def
<=* (Эя) (Vх € М) (/ (х) < а). (10)
Def
Здесь родовым является понятие функции (которое включает в себя и область определения функции). Видовое отличие (выделяющее функции, ограниченные сверху, из всех функции) в данном случае записывается с помощью знака существования 3 и знака общности V •
Наконец, приведем еще определения четной и периодической функции (/ и М имеют тот же смысл, что и в предыдущем определении):
(yf.M)(f четна)фф
Def
(\/х € М)((—Х 6 М)/\{/ (х) =/ (—*))); (11)
D«f
(у/, А1)( f периодическая) фф
Def
^(ЗТ>0)(чхеМ)((х + Т£М)/\
Def
/\(х-Т£М)/\(/(х + Т)=>/(х))). (12)
Здесь видовые отличия содержат не только знаки 3» V, но и знак конъюнкции Д.
Имея такую запись определений, нетрудно организовать работу по их усвоению. В основном такая работа должна состоять в проверке выполнения всех требований, составляющих видовые отличия. Например, при решении задачи типа «доказать, что такая-то функция является периодической» учащиеся нередко делают характерную ошибку: проверяют только выполнение соотношения f(x~\~T) = f(x). Если бы учащиеся были приучены записывать определение с помощью логических символов
[см. (12)] и имели эту запись перед глазами, такая ошибка легко была бы преодолена.
Заметим, что рассмотренная в этом пункте форма записи определения, содержащая три части (родовое понятие, термин, видовое отличие), оформляется в математической науке также с помощью записей, отличающихся по форме от рассмотренной. Например, знак ■<=►■ часто заменяется знаком ==. Вот как будет выглядеть, скажем, определение четного числа при такой записи:
(ул € W) (п четно) = (п делится на 2).
Def
Нередко также используется форма записи, содержащая фигурные скобки. Так, если через Р обозначить множество всех четных чисел, то определение четного числа можно выразить еще в виде
Р — {х е N\x делится на 2}.
В обоих случаях прослеживается четкое деление определения на три части. Запись, предлагаемая в статье [ср. (7), (10), (11), (12)], кажется автору методически наиболее приемлемой.
3. Непринадлежность к понятию
Практика приемных экзаменов показывает, что наибольшую трудность при работе с определениями доставляют поступающим в вузы задачи на непринадлежность к понятию. Примерами могут служить задачи, в которых надо доказать, что следующие функции не являются периодическими:
f(x) = ^*^ sin х; (13)
g (х) = sin (л2); (14)
h (x) = sin ъх — sin x. (15)
Заметив, что эти задачи, как правило, непосильно трудны, автор этих строк предлагал несравнимо более простые задачи (например, доказать, что функция у = 2+ V х не является периодической), но и они вызывали, как правило, серьезные затруднения. Причина этих затруднений понятна: составить отрицание условий, содержащихся в словесном определении, довольно затруднительно. Запись определения с помощью логических символов может значительно облегчить решение таких задач.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. В общем случае определение какого-либо понятия имеет вид
(ух б М) А (х) В (X). (16)
Def
Здесь принадлежность множеству Л1 является родовым понятием (например, в определении (7) М —- множество всех параллелограммов), предикат А (х) вводит новый термин, а предикат В(х) содержит перечисление видовых отличий. Поскольку В(х) является необходимым и достаточным условием для А(х), что выражено в определении знаком ■<=>-, из определе¬
48

ния (16) вытекает справедливость высказывания
(\/х^М)^А(х)^Г\В(х). (17)
Иными словами, для того чтобы х не принадлежал к понятию, выражаемому определением (16), необходимо и достаточно, чтобы х не удовлетворял видовым отличиям, т. е. чтобы было истинно высказывание ~j^(*)- Соотношение (17) является непосредственным следствием определения (16); заметим, что переход от (16) к (17) аналогичен переходу от некоторой теоремы (содержащей необходимые и достаточные условия) к противоположной теореме.
Разберем переход от определения (16) к его следствию (17) на примерах. Так, из определения (7) получаем:
(yABCD, где A BCD — параллелограмм)
(ABCD — не ромб) (\АВ]^[ВС]).
Словами: для того чтобы параллелограмм не был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его смежные стороны не были конгруэнтны. Это критерий непринадлежности параллелограмма к понятию ромба (иногда такие формулировки называют «отрицательными определениями»). В данном случае переход к «отрицательному определению» был очень простым: пришлось лишь добавить «не»
к определяемому термину и к видовому отличию.
Обратимся к более сложному определению (10). Мы получаем (считая, что / и М имеют прежний смысл):
(V/. Щ (функция / не является ограниченной сверху) «=»
П (3 а) (V* € М) (/ (х) < а). Вспомним теперь (см. статью «Как устроена теорема?»), что при перестановке отрицания со знаком 3 или V эти знаки заменяются противоположными. Поэтому
1(Эо) (V* € М) (/ (л) <а) <н> (у а) “] (ухе М) </ (дг) < а) ^ (уа)(з х £М) ~|(/ (*) < а) <=»
<=» (уа) О* 6 М) (/ (х) > а).
Таким образом, непринадлежность к понятию ограниченной сверху функции можно записать так:
(\/f%M) (функция / не является ограниченной сверху) <н> (V#) (3^ € M)(f (х)^> а). Словами: функция f (с областью определения М) в том и только в том случае не является ограниченной сверху, если для любого числа а найдется такое хеМ, что f{x)'>a. Таким образом, формальные правила перестановки отрицания со знаками 3 и V позволили получить формулировку, объясняющую,
в каком случае функция не является ограниченной сверху. Разумеется, формулировка эта вполне естественна и любой хороший ученик (т. е. ученик, обладающий достаточной математической культурой) должен уметь самостоятельно дать эту формулировку. Но беда в том, что мы не учим, как получать такие формулировки о непринадлежности к понятию, так что учащиеся вынуждены сами «открывать» правила логики, а это под силу далеко не всем. Использование логических знаков позволяет «алгоритмизировать» правила рас- суждений, четко их сформулировать и тем самым сделать их доступными всем учащимся.
В качестве следующего примера рассмотрим непринадлежность к понятию четной функции. Из определения (11) получаем:
(V/* M)(f не является четной)
^ (ЭЛ‘ € М) 1 ((- * € М) Д (/ (х) = / (- *))).
Пользуясь формулой (5), можно это высказывание переписать следующим образом:
(у/, М) (/ не является четной) 44-
ЩЗх €м) ((-* <£ м)V(/ (х)ф/(-*))). (18)
Словами: функция / (с областью определения М) в том и только в том случае не является четной, если найдется такое х£М,
что либо — х^М, либо f (х) Ф f (—х).
При такой работе с определением будет полностью исключена сравнительно распространенная ошибка, когда учащиеся говорят: «нечетная функция — это функция, не являющаяся четной».
Рассмотрим в качестве примера функцию /(х)=-.1й=Л=£=.
/ х*—бх+ 9
Так как V х2 — 6х + 9 = | х — 31, то при всех хфЗ эта функция принимает те же значения, что и четная функция у — х2, в частности при х Ф + 3 справедливо равенство / (;е) = — /(— х). Но функция / (х) четной не является: это видно из высказывания (18). В самом деле, существует такое jc £ М. а именно д:=—3, для которого —х^еМ (так как область определения М функции / (х) содержит все действительные числа, кроме 3).
Наконец, обратимся к определению периодической функции (12). Из него получаем: (V/, М) (/ не является периодической)
^(v7'>0)(3xgyW) ((х + ГфМ)\/ \/{х~Т 4=M)\/(f (х + Т)Ф / (х))). (19) Например, область определения М функции у = 2 -\-У х представляет собой луч [0, оо). Поэтому для любого 0 найдется х£М
49

(например, х = 0), для которого х — Т <=/= М. Таким образом, функция у — 2+не является периодической.
Аналогично рассматривается функция (13). Ее областью определения является открытый луч (0, оо). Поэтому для любого Г>>0 найдется х £М ^например, х = -т^\ для которого х — Тф.М. Таким образом, функция (13) не является периодической. Заметим, что для любого х £ (0, с») справедливы соотношения / (х + тс) = / (х) и х + ^ £ (0, оо) (так как при лс>0 значения функции (13) совпадают со значениями функции y = sin^:), и это вводит в заблуждение многих учащихся (они от¬
вечают, что функция (13) — периодическая). Применение формулы (19) позволяет избежать ошибки.
Введение логической символики б школьйый курс математики, несомненно, является первоочередной задачей. Речь идет о введении всего семи знаков V’3^ A, V, П, =>, ■<=>■ и правил действия с отрицаниями. Изучение этого материала требует, самое большее, 20—30 уроков. В то же время использование логических средств не усложнит, а упростит курс математики, сделает его более четким и доступным. Достаточно вспомнить, насколько упростилось решение задач с введением буквенных обозначений. В отношении логических средств картина вполне аналогична.
Проблемы и суждения
И. Н. АНТИПОВ, Н. Б. БАЛЬЦЮК,
А. Д. КУДРЯВЦЕВ, В. В. ЩЕННИКОВ
(Москва)
К ВОПРОСУ ПРЕПОДАВАНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Прогресс современной науки и техники, свидетелями которого мы являемся, во многом обязан бурному развитию электронно-вычислительной техники и прикладной математики, проникновению их, практически, во все сферы человеческой деятельности. Роль вычислительной техники и прикладной математики определяется не столько, как может показаться с первого взгляда, ускорением расчетов, сколько возможностью постановки и решения качественно новых проблем и задач, решение которых ранее представлялось невозможным. В свою очередь современная наука и техника ставит перед вычислительной техникой и прикладной математикой новые задачи, ’ решение которых привело к утверждению новых областей науки — прикладной математики и теоретического программирования с четко выраженным предметом изучения и собственным аппаратом исследования.
В решении грандиозных задач, поставленных XXIV съездом КПСС, значительная роль отводится вычислительной технике, прикладной математике и теоретическому программированию. От того, насколько эффективно будут внедряться математические методы и вычислительная техника во все отрасли народного хозяйства, в управление народным хозяйством, зависит успех современной технической революции. Одна из первоочередных задач, стоящих перед нами в свете решений XXIV съезда КПСС, состоит в подготовке специалистов нового типа, способных ставить и решать задачи на стыке физики и прикладной математики, химии и прикладной математики, биологии и прикладной математики и т. д., прекрасно разбирающихся в воз¬
можностях вычислительной техники, владеющих средствами общения с электронными вычислительными машинами.
Качественно новые требования, предъявляемые в настоящее время как к высшей школе, так и к подготовке кадров рабочих высокой квалификации, в значительной степени определяют и характер тех задач, которые по- ставлены сейчас перед средним образованием. Введение элементов прикладной математики, теоретического программирования, структуры и функционирования ЭВМ в программу средней школы, таким образом, не есть дань моде, а отражает, с одной стороны, общую тенденцию современного образования и отвечает требованиям науки с другой стороны, является естественным итогом большой работы, проведенной в ряде школ Советского Союза.
Независимо от тех целей, которые преследовались в процессе преподавания этих дисциплин в каждой из школ, результат был один — вводить в школьный курс элементы вычислительной математики, теоретического программирования, структуры и функционирования ЭВМ можно, полезно и необходимо. В процессе экспериментального преподавания указанных дисциплин в небольшом числе школ четко обозначились основные вопросы, которые для успешного внедрения новых программ в среднюю школу требуют столь же четкого ответа. Эти вопросы следующие: 1. Что преподавать? 2. Кто будет преподавать? 3. Как преподавать?
' Мы попытаемся ответить на поставленные вопросы. Будучи ограниченными в объеме изложения рамками журнальной статьи, мы не станем касаться деталей рассматриваемых вопросов, а сконцентрируем внимание на принципиальных моментах нашей точки зрения. Свою задачу мы видим в том, чтобы привлечь внимание учителей, преподавателей педвузов нашей страны к данной проблеме, с тем чтобы выработать единую точку зрения, объединить усилия педвузов и средних школ в скорейшем решении поставленной задачи.
1. Первые шаги в преподавании элементов прикладной математики и программирования в средней школе относятся к концу 50-х годов, когда программирование на ЭВМ только зарождалось. Преподавателями в те годы, как правило, были сотрудники вычислительных центров. Уровень развития средств программирования и состав преподавателей наложили определенный отпечаток на содержание и характер преподавания в средней школе этого предмета. В это время программирование
50

было строго ориентировано на определенную ЭВМ. единственным средством программирования было программирование в кодах конкретной ЭВМ (машинный язык). Как зачаток символьного программирования появилось программирование в так называемых содержательных обозначениях (сокращенно ПСО). Низкий уровень этих средств программирования с очень сложной, разветвленной структурой кодов ЭВМ сводил обучение программированию к детальному знакомству со всеми структурными разветвлениями в рамках конкретной ЭВМ. Появление быстродействующих одно-, двух-, трехадресных ЭВМ с чрезвычайно сложной структурой машинного языка и памяти поставило непреодолимое препятствие для преподавания программирования на уровне ПСО, не помогло здесь введение понятия условной (п-адрес- ной) ЭВМ. При этом подходе к преподаванию программирования (на базе ПСО) терялось главное, что на наш взгляд составляет сущность изучения программирования в средней школе и отвечает требованиям времени. Главным в обучении элементам прикладной математики и программирования в средней школе является выполнение следующих требований: а) этот курс должен носить общеобразовательный характер; б) курс должен способствовать развитию навыков алгоритмического мышления учащихся; в) как составная часть курса математики, курс элементов прикладной математики и программирования должен естественно вписываться в курс математики, дополняя его, способствуя более глубокому изучению математики в ее прикладных аспектах. Общеобразовательный характер курса есть прямое следствие . задач, поставленных перед средней школой. Принципиально важным моментом здесь является постановка главной задачи в преподавании программирования — развитие навыков алгоритмического мышления. Эта задача прямо вытекает из существа современного теоретического программирования, которое представляет собой определенный уровень алгоритмизации вычислительного процесса. Разработанные средства программирования на базе алгоритмических языков, свободные от структуры конкретных ЭВМ, как нельзя более отвечают поставленной задаче преподавания. В качестве основного средства программирования, которое следует внедрять для преподавания в средней школе, можно рекомендовать широко распространенный алгоритмический язык Алгол-60, который отличает достаточная широта и универсальность. Это не исключает возможности создания специальных языков, приспособленных для обучения учащихся средних школ. Такими языками могут служить, например, некоторые подмножества языка Ал гол-60.
Первый опыт преподавания алгоритмического языка Алгол-60 в школе с углубленным изучением математики и прикладной математики относится к 1965 г. В настоящее время Алгол-60 прочно вошел в программу по программированию в этих школах.
Подмножества языка Алгол-60 уже сейчас с успехом используются на факультативных занятиях в общеобразовательной школе и могут быть использованы при изучении элементов программирования в связи с новой программой по математике.
Для успешного внедрения современного курса элементов прикладной математики и программирования в среднюю школу необходимо подготовить соответствую* щие учебные пособия, методические руководства и рекомендации. Опыт совместной работы кафедры вычислительной математики и программирования МГПИ имени В. И. Ленина и лаборатории прикладной математики НИИ СМО АПН СССР по внедрению нового содержания и методики преподавания программирования в средней школе убеждает нас в правильности нашей точки зрения Нам известно, что во многих городах Советского Союза также имеется опыт в преподавании
программирования на базе алгоритмических языков. Целесообразно обобщить имеющийся опыт, сделать его достоянием всех заинтересованных лиц. Настало время перехода от отдельных, несвязанных экспериментов к фронтальному внедрению нового подхода к преподаванию этих важных курсов в среднюю школу.
2. Практически в настоящее время задача обучения программированию учащихся средних школ решается в основном силами сотрудников вычислительных центров. Такими специалистами-профессионалами может быть обеспечено незначительное число школ и то только центральных районов. Польза такого содружества школ с вычислительными центрами очевидна. Однако широта поставленной задачи, важность ее решения в государственном масштабе, а также общеобразовательный характер преподавания курса требуют принципиально иного решения вопроса — кто должен преподавать программирование в средней школе. Поскольку преподавание программирования становится частью преподавания математики, естественно передать курс программирования в руки учителя математики. В связи с этим встает новая проблема — подготовка кадров учителей, способных вести курс программирования на современном уровне. Эта задача требует безотлагательного решения. Каковы же, на наш взгляд, пути ее успешного решения?
С одной стороны, имеется большое число учителей математики, не знакомых с программированием настолько, чтобы вести этот предмет. Один из возможных путей обучения таких учителей — это самообразование. Однако почти полное отсутствие учебно-методической литературы по современному программированию затрудняет реализацию такого пути подготовки. Другой путь — это подготовка учителей через институты усовершенствования учителей и факультеты повышения квалификации учителей при педвузах страны. Так, в настоящее время на математическом факультете МГПИ имени
В. И. Ленина организован семинар по программированию (в рамках Московского городского института усовершенствования учителей) для учителей школ Москвы. На наш взгляд, это очень полезное дело, его надо продолжать, искать наиболее эффективные методы работы подобных семинаров. Представляется целесообразным организация постоянно действующих методических семинаров по вопросам преподавания программирования во всех институтах усовершенствования учителей страны совместно с педвузами.
С другой стороны — будущие учителя (нынешние студенты педвузов), на плечи которых ляжет основное решение задачи массового распространения программирования в школах. В связи с этим педвуз обязан дать студентам фундаментальную подготовку в соответствии с современным уровнем программирования. Подготовка студентов педвузов по программированию обладает целым рядом особенностей. Студент не является профес- сионалом-программистом, но он должен знать достаточно много, обладать определенной гибкостью для перестройки в зависимости от условий, в которых придется работать, быть способным использовать все новые и новые средства программирования и вести методическую работу среди учителей. Говоря о целях и задачах подготовки будущих учителей математики, отметим, что должен изучать студент. Как бы ни менялась в будущем программа школьного курса и сами средства программирования, можно определить круг вопросов, которые являются основополагающими, присущими программированию в любой форме. В первую очередь необходимо знать основные сведения по теории алгоритмов. Кроме непосредственного использования понятия алгоритма в программировании, оно очень важно в осуществлении алгоритмической направленности преподавания курса математики и в развитии алгоритмических способностей учащихся. Далее, студент должен знать основные методы вычислительной математики (по крайней мере»
Ы

уметь в них разобраться), это важно как для формиро вания вычислительной культуры, так и для того, чтобы в любом случае можно было поставить простейшую задачу для программирования. Очейь важным элементом в подготовке студентов является изучение самих ЭВМ. Необходимо иметь представление о структуре и возможностях ЭВМ. При этом следует учесть большое разнообразие существующих и проектируемых машин, поэтому надо знать основные принципы и функции машин. Существенной частью курса является изучение програм¬
мирования с использованием алгоритмических языков. Важным моментом в усиленном решении задачи подготовки учителей средней школы является создание учебно-методической литературы в этой области.
Главное в поставленных здесь вопросах мы видим в утверждении единой сквозной линии преподавания программирования в педвузе и школе. Мы полагаем, что 3-й из поставленных в нашей статье вопросов требует специального обсуждения на страницах нашего журнала.
П. М. ОЛОНИЧЕВ
(г. Винница)
КАК МЫ ГОВОРИМ О ЧИСЛЕ В ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Реформа школьного математического образования обязывает нас обратить должное внимание как на уточнение и обогащение школьного математического словаря, так и на правильность его употребления 1. Хорошо понимая это, авторы новых учебников одновременно с ранним введением в школьный обиход новых терминов с большей тщательностью, чем было принято, излагают и сам материал. Но нам представляется, что в некоторых учебниках по математике все же уделяется недостаточно внимания необходимости различать число и его обозначение. В ряде случаев эта невнимательность приводит к нарушению логики изучения числа в школе и может послужить одной из причин закрепления нечетких представлений о числе.
В связи с этим в настоящей статье автор хотел бы высказать некоторые соображения относительно школьной числовой терминологии.
1. Объекты и их обозначения
Для того чтобы говорить об объектах и их свойствах, мы даем им названия, имена, обозначаем их. Например, говоря «Петя сидит за первой партой», мы пользуемся словом «Петя» как именем ученика. Каждый, конечно, понимает, что это слово совсем не ученик, а только его условное обозначение. Точно так же когда мы читаехм «В Саратове населения меньше, чем в Киеве», то мы, конечно, не спутаем город Саратов с его названием, а отношение между населенными пунктами «иметь большую численность населения» не посчитаем каким-то отношением между словами. И, конечно, для того, чтобы правильно пользоваться научным языком и понимать его, следует разбираться, относится ли тот или иной термин к объектам или же к их названиям и обозначениям.
Элементы языка называются знаками или символами. Из знаков составляются выражения. К выражениям относятся и такие простые знаки, как буква, слово,
1 О школьном математическом словаре см. статью А. Н. Колмогорова «О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики» («Математика в школе», 1971, № 2) и краткое изложение доклада А. Н. Колмогорова в статье «В комиссии по математике при Ученом методическом совете Министерства просвещения СССР» («Математика в школе», 1971, № 3).
обозначение числа 5 — знак «5», а также и целые предложения, формулы, графики, диаграммы и т. д.
Зачастую выражения используются для обозначения объектов. Например, слово «Москва» обозначает вполне определенный город — столицу СССР, а выражение «Автор, написавший повесть «Капитанская дочка» обозначает русского поэта Александра Пушкина. Точно так
2-10 — 10
же знак «5», как и выражение ^^ » исполь¬
зуется для обозначения натурального числа 5.
Тот объект или ту вещь, которая обозначается данным выражением, принято называть значением этого выражения, а само выражение в таком случае называется константой. Например, выражение «Столица СССР» является константой, значение которой — город
2-10 — 10
Москва. Значением константы ^^^ является
число 5. А вот выражение «х + #», содержащее переменные, конечно, константой не будет.
С выражением связывается не только его значение, но и смысл. Например, константы «Столица СССР» и «Город в СССР с наибольшим числом жителей» имеют одно и то же значение, но разный смысл. Аналогично числовые константы «2-3» и «5+1» выделяют число 6 различными путями: в первой из них умножением числа 2 на 3, а во второй — сложением чисел 5 и 1. Следовательно, их смысл также различен.
В языке всегда имеются и такие знаки, которые ничего не обозначают, или, как еще можно сказать, обозначают сами себя. К таким выражениям относятся буквы, логические связки («и», «или», «если — то», ...), знаки препинания.
Итак, мы можем заключить, что при передаче информации об объектах, их свойствах и отношениях между ними человек пользуется их названиями и обозначениями. На эту договоренность мы будем ссылаться как на принцип обозначения. Когда мы пишем «5>3», то тем самым утверждаем, что число 5 больше числа 3. Когда же приходится вести разговор не об объектах, а о каких-либо выражениях, то для обозначения выражения принято использовать само выражение, заключенное в кавычки. Например, «Петя» — имя мальчика, сидящего за первой партой. Здесь выражение «Петя» обозначает только слово Петя, а не мальчика. Еще пример. В выражение «5>3» входит знак «>». Но скрупулезное использование кавычек привело бы к засорению текста и затруднило бы его чтение. Поэтому в математике (исключая основания математики) и, тем более, в школьной математике кавычки используются в редких случаях — тогда, когда автор хочет подчеркнуть, что он говорит именно о выражении. Обычно же кавычки опускаются, если из самого текста ясно, о чем идет речь. Например, в приведенной выше фразе кавычки опускают, и вообще такие слова, как «выражение», «знак», «имя» явно указывают, что в предложении говорится о выражениях.
52

Очень часто в математике приходится пользоваться утверждениями стандартного типа: «Выражения Л и б имеют одно и то же значение». Принято такие утверждения записывать в символической форме А = В. Знак « = » называется знаком равенства, а последнее выражение называют равенством и читают как «Л равно В».
Равенство 5=7—2 следует считать верным или истинным равенством, а 5 = 7+2 неверным, или ложным, равенством.
В согласии с принципом обозначения в различных высказываниях об объектах и отношениях мы пользуемся их обозначениями. Поэтому ясно, что если хотя бы одно из обозначений заменить другим, но имеющим то же значение, то истинность или ложность высказывания не изменится. Например, «1 — четное чис-
8
лоь Заменим в нем константу 4 константой —. Тогда
8
получим высказывание — четное число . По-
8
скольку значением констант 4 и -g- будет число 4,
8
т. е. имеет место равенство 4 = -75т, то ясно* что оба
утверждения верны или неверны одновременно.
Замеченное можно сформулировать в виде принципа тождества:
Если в высказывании одно из выражений заменить другим выражением, но с тем же значением, то полученное высказывание будет верным или неверным одновременно с данным.
Если заимствовать из грамматики термин «синоним», то более коротко принцип тождества можно сформулировать так:
В любом тексте выражение можно заменить его синонимом. Принцип тождест&з — очень важное средство рассуждения. Им пользуются начиная с I класса, но, естественно, явно его там не формулируют. Автору представляется целесообразным остановиться на нем отдельно при введении в тему «Уравнения и системы уравнений» в VI классе и постоянно опираться на него при преобразованиях уравнений.
2. Натуральное число и его запись
В живом процессе обучения математике, конечно, учителю приходится идти на некоторые терминологические вольности и неточности, но делаться это должно сознательно и обдуманно с принятием определенных мер против возможных и нежелательных последствий. В учебниках, естественно, требуется большая осторожность. С этой точки зрения нам вначале хотелось бы обратить внимание на несколько легкомысленную подмену термина «запись числа» просто термином «число», которую можно наблюдать при изучении натуральных чисел в начальных и средних классах и в соответствующих учебниках. Например, в ряде упражнений предлагается «Поставить вместо точек числа» или «Записать в просветах числа», или «Составить выражение из знака «плюс» и некоторых чисел», или «Найти число, оканчивающееся определенной цифрой», или «Записать числа из указанных цифр».
Конечно, приведенные неточности не представляют большой опасности, если они не образуют определенной системы. К тому же они легко исправимы. Еще добавим, что учитель часто пользуется такими фразами, как «Напишите число» или «Прочитайте число». Строго говоря, мы не можем ни написать число, ни прочитать число. Вторую фразу, пожалуй, лучше заме¬
лить фразой «Назовите число», а для первой такой удачной подмены нет.
Почему же учитель прибегает к указанной подмене? Нам думается, что основная причина в том, что в нашем словаре нет, к сожалению, краткого общего термина для записей чисел. Нам приходится пользоваться такими относительно громоздкими терминами, как «запись числа», «обозначение числа», «числовая константа».
Теперь ответим и на такой вопрос: а почему мы не можем считать натуральными числами сами знаки 1, 2, 3, ...? Конечно, формально так поступить можно — любой счетный класс объектов, в частности знаков, можно принять за натуральные числа. Но, во-первых, если встать и на эту точку зрения, то все же сохранится принципиальное различие между числом и его обозначением (если мы примем за число знак «3», то его обозначениями будут и отличные от него знаки б
«4—1», «—>, ...) с вытекающими отсюда последствиями.
Во-вторых (и это самое главное!), такой формальный подход не принят в школе, поскольку он пугающе далек от повседневного опыта детей, впервые садящихся за парты. В начальных классах с числами знакомятся как со свойствами множеств. На первых порах для первоклассника число 3 неотделимо от таких ощутимых реальностей, как 3 книги, 3 карандаша, 3 товарища и т. д. И лишь постепенно в процессе обучения идея числа 3 в сознании детей отделяется, отслаивается от конкретных множеств. И, наверное, в III, IV классах ученику уже следует осознать, что он пишет и видит только обозначения и наименования, а не числа 2 и что число допускает различные обозначения.
В программу IV класса включена тема о числовых выражениях. В учебниках числовое выражение определяется как множество чисел, соединенных знаками действий. С таким описанием выражения трудно согласиться. Во-первых, выражение (символ) никак не может быть абстрактным объектом, каким и является множество; во-вторых, в согласии с принятым в школе подходом, выражение не может состоять из чисел, к тому же еще соединенных знаками действий; в-третьих, в приведенном определении опущен самый характерный признак числового выражения, а именно то, что его значением служит число.
При определении числового выражения в начальных классах, по нашему мнению, целесообразно в начале привести примеры числовых выражений, таких, как 5, 7—2, 7-2, 7(3—1), ..., затем обратить внимание на то, что все они обозначают числа, и заключить, что «числовым выражением называется выражение, обозначающее число» 3.
В учебнике по алгебре для VI класса говорится, что «выражение может состоять и из одного числа. В этом случае значение выражения есть само число». Такие утверждения нам представляются неприемлемыми.
В заключение этого пункта рассмотрим так называемое «Сравнение числовых выражений». В учебнике для IV класса этой теме посвящен целый параграф. Выражения 10-2 и 5*4 в силу равенства 10*2 = 5*4 называются равными, а выражение 3 • 5 считается меньшим выражения 10*2 в силу 3 • 5< 10-2. Сравнение числовых выражений нам кажется искусственно внесенным в школьную математику. Отношения «больше», «равно»,
2 При упомянутом выше формальном подходе появится исключение: каждое из чисел совпадет с одним из его обозначений.
3 При желании данное определение можно уточнить: числовым выражением называется выражение, обозначающее число и составленное из записей чисел, знаков действий и скобок.
53

«меньше» школьник понимает как отношения между числами, а причем здесь их обозначения? Далее, в согласии с истолкованием равенства и принципом обозначения равенство 10 «2=5 «4 означает совпадение чисел 10*2 и 5*4, а утверждая равенство символов «10 • 2» и «5 • 4», мы тем самым утверждаем совпадение самих символов «10*2» и «5*4», что заведомо неверно. Наконец, если исходить из принципа целесообразности введения нового понятия в теорию или учебник, то и с этой стороны также возникают возражения против отношений равенства и неравенства для выражений. Действительно, ведь в дальнейшем при построении школьной математики мы не испытываем в них нужды.
3. Дробное число и дробь
А. Н. Колмогоров пишет: «Твердое усвоение различия между понятиями «дробь» и «дробное число» при современном построении школьного курса математики следует считать совершенно обязательным» 4.
В младших классах дробь определяется как число, составленное из нескольких долей единицы. Значит, понятие дроби включает в себя понятие как натурального числа, так и собственно дробного числа. Но затем термин «дробь» используется как для названия числа из множества Q0 натуральных и дробных чисел, так и для названия записи такого числа. Например, в операциях над дробями, естественно, дроби рассматриваются как числа из Q0, а в различных «обращениях» эдних дробей в другие или их преобразованиях, конечно, под дробями понимаются записи чисел из Q0, так как немыслимо каким-то образом обращать одно число в другое или, например, сокращать число.
Такое смешение неотрицательного рационального числа с его записью приводит к более серьезным неприятностям, чем это было при подмене термина «запись натурального числа» термином «натуральное число».
Но прежде чем говорить об этих неприятностях в школьной математике, мы заметим, что формально опять вполне допустимо вводить числа из Qo как определенного вида символы.
Но мы думаем, что и при введении неотрицательных рациональных чисел в школе такой подход неприемлем ни в младших, ни в средних классах.
В школе натуральные и дробные числа следует считать математическими абстракциями (пользуясь для формирования представления о них их «реальными»
2
представителями вроде 5 яблок или -g- яблока), а обыкновенные и десятичные дроби — принятыми в математике их записями.
Интересно заметить, что в то время, как при изучении натуральных чисел предпочтение отдается термину «число», при изучении чисел из Q0 предпочтение отдается уже термину «дробь». Надо думать, что если бы мы располагали таким же кратким названием для чисел из Qo, как и для их записей, то во многом необходимость в нашем разговоре отпала бы.
В конце концов, можно пользоваться термином «дробь» для названия как дроби-числа, так и дроби- обозначения, но при этом учителю и ученику следует понимать, что ими допускается вольность, и в процессе обучения с помощью специально подобранных вопросов и упражнений необходимо приучить ученика понимать по контексту, о чем идет речь: о числе или о символе.
Теперь остановимся на вопросе, при решении которого компромисс вряд ли возможен. Мы имеем в виду
4 Л. Н. Колмогоров. Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональные числа. «Математика в школе», 1970, № 2, стр. 28.
определения числителя и знаменателя при изучении обыкновенных дробей.
Числитель и знаменатель в школе определяются сразу после введения понятия дроби-числа. Знаменателем дроби называется число долей, на которые делится единица, а числителем дроби — число взятых долей единицы.
Но вот это отчетливое отнесение понятий числителя и знаменателя к дроби-числу и чревато неприятностями. Во-первых, в школе притупляется ощущение необходимости постоянно обращать внимание на независимость определений и правил действий с дробями от выбора пар (числитель, знаменатель) одной и той же дроби. И наоборот, эта необходимость была бы осознана сразу, если бы в школе числитель и знаменатель относились к записи числа (обыкновенной дроби), а не к ее значению. Во-вторых, принятый в школе подход трудно примирить с принципом тождества. Приведем для подтверждения только два возникающих при этом парадокса.
1) Десятичная дробь обычно определяется как дробь- число со знаменателем 10, 100, Но тогда и дробь
1
также должна считаться десятичной, так как =
_ _5_
” 10*
2 2 4
2) Знаменатель дроби -д-— нечетный. Но -g- = yg.
4
Следовательно, знаменатель дроби -jg- — нечетный.
Но такого рода парадоксы немедленно снимаются, если в приведенных текстах считать термин «дробь» относящимся не к числу, а к его записи. Посмотрим, например, как тогда обнаружится несостоятельность второго парадокса. При новом истолковании термина «дробь» рассуждение следует записать так:
2 2
2*) Знаменатель дроби —нечетный. Но -д- —
4 4
= rf8_* Следовательно, знаменатель дроби — не¬
четный.
Тогда уже принцип тождества не может быть использован для обоснования заключения из данных посылок. Действительно, теперь в первой посылке говорится не о числе, а о символе, и для того, чтобы сделать
замену символа -д- на символ 2 4
полагать не равенством -д- =
18 1
мы должны рас-
а равенством
«4».
- «та»’
9
т. е. иметь в посылках утверждение, что 4
знаки
и
18
совпадают.
Подводя итог сказанному, мы заключаем, что понятия «числитель» и «знаменатель» следует связывать не с дробью-числом, а с дробью-записью, хотя сами термины «числитель» и «знаменатель» можно сохранить, следуя школьной традиции, для ссылок на числа, а не на символы. Таким образом, говоря о знаменателе 3
дроби мы имеем в виду число 5, а говоря о дро-
•3 3
би мы имеем в виду символ
54

4. Алгебраическое выражение
Вначале о терминологии. Простейшие алгебраические выражения теперь уже включаются в программу для IV класса (а появляются они даже раньше), где их называют числовыми выражениями с переменными. В IV классе введение выражения с переменными можно связать с вопросом о записи общего решения нескольких однотипных задач. При решении одной из этих задач мы пришли бы к числовому выражению (константе), а вот для описания решения ряда однотипных задач уже требуется использовать форму их решений. Записывается эта форма с помощью букв, которыми подменяются числа-данные, изменяющиеся при переходе от задачи к задаче.
При только что описанном или каком-либо другом подходе к алгебраическому выражению в школе нам кажется целесообразным рассматривать его как форму числовых выражений. Поэтому мы считаем более подходящим для школы термином не «алгебраическое выражение», а «числовая форма» 5.
На любой стадии обучения начиная с IV класса вполне приемлем следующий подход к понятию числовой формы.
Предварительно нужно рассказать о переменной как. букве или другом знаке, с которым связывается некоторое вполне определенное множество чисел, называемых значениями переменной. А тогда числовой формой можно назвать выражение с переменными, которое обращается в числовое выражение при одновременной замене всех переменных записями их, согласованных друг с другом, значений.
Это определение удобно своей простотой, а главное тем, что при построении всей школьной алгебры мы как раз опираемся на характерное свойство числовых форм, состоящее в том, что при подстановках переменных из формы получаются записи чисел.
Для сравнения напомним, что авторы учебника для IV класса называют выражением с переменными или формой «выражение, содержащее числа, буквы, скобки и знаки действий», а значением переменной «то, что подставляют вместо переменной», поясняя далее, что «значениями переменной могут быть и числа»6.
Эти описания формы и значения переменной вызывают некоторые возражения. Во-первых, описание формы имеет слишком широкий объем; во-вторых, выражение, как известно, не может состоять из чисел; в-третьих, не понятно, что же является значением переменной: число или его запись?
Теперь нам хотелось бы сказать о довольно известной в методике проблеме введения операций над формами. В нее включаются в основном следующие вопросы:
Располагаем ли мы научными основаниями для рассмотрения операций над формами? Ведь операции в школе рассматриваются для чисел, а здесь мы складываем или умножаем выражения.
Если ответ положительный, то как это сделать корректно и в форме, приемлемой для школы?
Если же нет, то чем заменить такой прочно вошедший в школьный обиход язык операций?
Проблема операций над формами далеко не новая. В свое время она оживленно обсуждалась и на страницах настоящего журнала.
Мы считаем естественным в рамках настоящей статьи отметить возможные подходы к ее решению.
Предварительно напомним, что такие термины, как «произведение», «сумма», употребляются в двух смыс¬
ь См.: А. Черч. Введение в математическую логику. М., Изд-во иностр. лит., 1960, стр. 20—24.
6 См.: «Математика в школе», 1970, № 2, стр. 34—41.
лах. В первую очередь они служат названиями результатов операций умножения и сложения; затем так же называются числовые выражения и формы, для получения значений которых последнею выполняется соответствующая операция. То, какой смысл придается этим терминам, уточняется обычно из контекста.
Мы видим четыре основных подхода к решению проблемы операций над формами.
При первом подходе, например, суммой двух форм А и В называется форма А + В. Но тогда форму С, хотя и тождественно равную7 А + В (в смысле равенства значений при одних и тех же значениях переменных), вообще говоря, нельзя считать суммой А и В, так как они могут представлять разные формы. Так, суммой форм (х-Н) и (х—1) должна считаться форма (х+1) + (х—1), но никак не форма 2х.
Таким образом, операции над формами рассматриваются чисто типографически, как приписывание к одной форме знака операции и затем другой формы.
Описанный здесь формальный подход к операциям не применяется в школьной математике.
При втором подходе суммой двух форм А и В считается форма С, такая, что для любых значений переменных, входящих в А, В и С, значение формы С равно сумме значений форм А и В. Этот подход прельщает тем, что он органически связан с арифметическими действиями, а его недостаток в том, что операции над формами становятся неоднозначными. Например, суммой форм (х+1) и' (х—1) будет любая форма, тождественная одночлену 2х.
В действовавшем до настоящего времени учебнике
А. Н. Барсукова хотя и не давалось точных определений, например, суммы многочленов, а в правилах рекомендовалось записывать сумму в виде, который теперь именуется стандартным, но из текста учебника можно было заключить, что автор предпочитал как раз второй подход.
При третьем подходе отказываются вообще от операций над формами, а говорят лишь о преобразованиях форм. Правда терминами «сумма», «произведение» и др. пользуются и здесь, но лишь для синтаксической характеристики особенностей строения форм. Такой подход хорош тем, что мы сохраняем понятие операции только для чисел. К третьему подходу тяготеет как новая программа, так и новый учебник для VI класса под редакцией А. И. Маркушевича.
Наконец, возможен и четвертый подход — функциональный, когда считается, что форма определяет функцию, и рассматриваются операции не над формами, а над функциями. На возможность перестройки школьной алгебры целиком на функциональной основе мы смотрим довольно скептически, но высказать вполне определенное мнение по этому поводу не имеем достаточных оснований.
5. Числовая терминология
Ниже мы даем перечень терминов, употребляемых в школьной арифметике и алгебре, в котором термины, относящиеся к числам, отделены от терминов, относящихся к выражениям. На полноту перечня мы совсем не претендуем.
Термины, относящиеся к числам: число, значение переменной, значение формы, натуральное число, дробное число, неотрицательное рациональное число, числитель и знаменатель обыкновенной дроби, дробное число.
7 Термин не совсем удобный, но он принят в школе и согласуется с термином «тождество». А. Черч (см. сноску 5) вводит термин «равносильность» для обозначения соответствующего отношения между формами.
55

меньшее единицы, неотрицательное рациональное число, большее или равное единице, рациональное число, абсолютная величина числа, решение уравнения, решение неравенства, отношение «больше», операция сложения, функция, значение функции, коэффициент.
Термины, относящиеся к выражениям: запись числа, обозначение числа, числовая константа, числовое выражение, нумерал8, переменная, числовая форма9, обык-
8 Термину «нумерал» придается тот же смысл, что и термину «запись числа». Он согласуется с общепри-
новенная и десятичная дробь, неправильная дробь, равенство, уравнение, тождество, неравенство10, отношение тождественного равенства форм, отношение равносильности уравнений, одночлен, многочлен, алгебраическая сумма, алгебраическая дробь.
нятым термином «нумерация» и заимствован из английского языка.
9 Числовая форма с фиксированным порядком для переменных определяет некоторую функцию.
10 Равенство и неравенство с упорядоченными переменными определяют некоторое отношение.
В помощь учителям профтехучилищ
НОВОЕ В ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНИХ ПРОФЕССИОНАЛЬНО- ТЕХНИЧЕСКИХ УЧИЛИЩАХ
В 1972/73 учебном году все средние профтехучилища перешли на новые учебные планы и программы.
Новая программа по математике отличается от ранее действовавшей не только порядком изучения отдельных тем и временем, отводимым на их изучение, но и содержанием.
По новым учебным планам и программам предусматривается непрерывное изучение геометрии в течение всего срока обучения.
Проверкой установлено, что новая программа усваивается большинством учащихся удовлетворительно.
Первый год обучения по новым программам показал, что тема «Числовые последовательности» в геометрии оказалась наиболее трудной для учащихся; плохо усваивается понятие предела числовой последовательности, применение теории пределов к определению длины окружности и площади круга.
Изучение темы «Решение треугольников» не базировалось до сих пор на векторной основе, что вызвало определенные трудности в ее изучении. Сложным оказалось доказательство теоремы косинусов. Недостаток времени, отводимого на изучение этой темы, не дал возможности преподавателям уделить должное внимание решению задач с производственным содержанием.
Необходимо также заметить, что не всегда в нужных случаях учащиеся пользуются логарифмической линейкой, что приводит к потере учебного времени.
С целью ликвидации этих недостатков бы¬
ли внесены следующие изменения в программу (см. «Математика в школе», 1973, № 4).
1. Тема «Числовые последовательности» из курса геометрии перенесена в курс алгебры и начал анализа и объединена с темой «Прогрессии».
В целях более логичного расположения учебного материала здесь же изучается метод математической индукции, который предваряет арифметическую и геометрическую прогрессии. Это дает возможность применять метод математической индукции при выводе формул для нахождения общего члена арифметической и геометрической прогрессий.
2. В тему «Решение треугольников» включены действия над векторами, скалярное произведение векторов и определение тригонометрических функций тупого угла. Время на изучение этой темы увеличено с 12 до 20 часов.
На втором курсе средних профтехучилищ в 1973/74 учебном году будет изучаться новая для средних профтехучилищ тема «Производная и ее применение».
Изучение производной планируется начинать с обзора ранее изученных функций, повторения понятий о постоянных и переменных, ограниченных и неограниченных функциях.
Понятие производной сначала рассматривается на примере из физики — понятие мгновенной скорости, а затем рассматривается геометрическая задача — построение касательной к кривой в заданной на ней точке.
Исследование функции на максимум и минимум необходимо иллюстрировать практическими примерами, обращая при этом особое внимание на графическое изображение.
Следует использовать материал из общетехнических и специальных предметов.
Примерное планирование учебного материала по теме «Производная и ее применение» может быть следующим.
Повторение свойств ранее изученных функций 3 ч.
Предел функции при х-^оо 1ч.
Предел функции при х-+а 1 ч.
Непрерывность функции в точке 1 ч.
56

Приращение аргумента и приращение функции 1 ч.
Непрерывность функции ! ч.
Теоремы о пределах функций 1 ч.
Средняя и мгновенная скорости прямолинейного механического движения 1 ч.
Понятие о производной функции 1 ч.
Упражнения на нахождение производной. Контрольная работа на 15—20 минут. Дифференцирование суммы 2 ч.
Дифференцирование произведения и частного 1 ч.
Дифференцирование степенной функции 1 ч.
Дифференцирование сложной функции (без доказательства) 1 ч.
Контрольная работа 1 ч.
Геометрический смысл производной 1 ч.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью 1 ч.
Возрастание и убывание функции 1 ч.
Максимум и минимум функции 1 ч.
Упражнения на исследование функций 1 ч.
Построение графиков функций 3 ч.
Контрольная работа 1 ч.
Решение задач практического и производственного содержания 4 ч.
Контрольная работа 1 ч.
В тему «Показательная и логарифмическая функции, производная показательной и логарифмической функции» включен вывод производных логарифмической и показательной функций.
- 1
Из соотношения Иш —т = с выводится
Дх->0 АЛГ
формула (ахУ ~сах.
Число е может появиться как основание, при котором с = 1.
После доказательства соотношения logflx =
= iogVa нетРУдно получить формулу производной логарифмической, а затем и показательной функции.
В теме «Тригонометрические функции и их производные» при вычислении производной функции у=A sin (ах+b) используется формула сложной функции, которая дается без доказательства.
По теме «Комбинаторика. Бином Ньютона» можно рекомендовать следующее примерное
планирование.
Перестановки. Сочетания 2 ч.
Решение задач. Контрольная оабота на 20 минут 3 ч.
Треугольник Паскаля 1 ч.
Бином Ньютона 2 ч.
Свойства биномиальных коэффициентов 2 ч.
Решение задач 1 ч.
Контрольная работа 1 ч.
Беседа о вычислительной технике 1 ч.
Преподавание математики на втором курсе по остальным темам проводится в соответствии с примерным планированием, данным Госпрофобром в июне 1972 г. Это планирование включает примерные тексты контрольных работ по всему курсу математики, которыми хмогут пользоваться и преподаватели, ведущие в 1973/74 учебном году первые курсы.
Примерное планирование учебного материала по программе, опубликованной в журнале «Математика в школе» № 4 за 1973 г., дано в методических рекомендациях <Ю работе методических кабинетов органов профтехобразования по повышению квалификации преподавателей математики средних профтехучилищ», издаваемых Центральным учебнометодическим кабинетом Госпрофобра СССР и рассылаемых всем средним профтехучилищам.
Новыми учебными планами предусматривается проведение устных выпускных экзаменов по геометрии и по алгебре и началам анализа. Никакие изменения в учебные планы, а следовательно, и в порядок проведения выпускных экзаменов училища вносить не могут.
Устные выпускные экзамены по геометрии проводятся по текстам билетов, данных в «Инструктивных указаниях о проведении экзаменов по общеобразовательным предметам в средних профтехучилищах в 1971/72 учебном году» Госпрофобра СССР, которые имеются во всех управлениях профтехобразования и во всех училищах, преобразованных в средние до 1973 г. Для проведения устных выпускных экзаменов по алгебре и началам анализа Отделом методики преподавания общеобразовательных дисциплин и секцией математики Ученого совета Госпрофобра СССР разработаны тексты билетов, по которым будут проводиться выпускные экзамены в 1974/75 учебном году (а в экспериментальных профтехучилищах — в 1973/74 учебном г.).
Приводим эти билеты:
Билеты
для выпускных экзаменов по алгебре и началам анализа в средних профтехучилищах
Билет № 1. 1. Исследование линейного уравнения с одним неизвестным.
2. Производная степенной функции.
3. Пример на решение тригонометрического уравнения однородного или квадратного относительно какой-либо тригонометрической функции.
57

Билет № 2. 1. Числовые неравенства и их свойства.
2. Приращение функции; средняя и мгновенная скорости прямолинейного движения.
3. Пример на решение тригонометрического уравнения с применением формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот.
Билет № 3. 1. Производная функции, ее физический и геометрический смысл.
2. Степень с дробным показателем и ее свойства.
3. Пример на доказательство тригонометрического тождества с применением формул удвоения и деления аргументов пополам, формул приведения.
Билет № 4. 1. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (случай единственного решения). Графическая иллюстрация.
,2. Производная суммы и разности функций.
3. Пример на доказательство формул методом математической индукции.
Билет № 5. 1. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (случай бесконечного множества решений и отсутствия решения). Графическая иллюстрация.
2. Логарифм произведения и частного.
3. Пример на решение уравнения с применением формул комбинаторики.
Билет № 6. 1. Исследование квадратного уравнения по его дискриминанту. Графическая иллюстрация.
2. Логарифм степени и корня.
3. Пример на бином Ньютона.
Билет № 7. 1. Решение нераренств второй степени.
2. Производные синуса и тангенса.
3. Задача на прогрессии.
Билет № 8. 1. Степень с нулевым и целым отрицательным показателем и ее свойства.
2. Нахождение экстремума функции с помощью производной.
3. Пример на решение логарифмического уравнения или неравенства.
Билет № 9. 1. Функция у=sin я, ее свойства и график.
2. Бином Ньютона.
3. Пример на исследование линейного уравнения с одним неизвестным.
Билет № 10. 1. Функция у — cosx, ее свойства и график.
2. Свойства биномиальных коэффициентов.
3. Пример на решение неравенства второй степени с одним неизвестным.
Билет № 11. 1. Функция у = tgx, ее свойства и график.
2. Производная показательной функции.
3. Пример на выполнение действий над степенями с рациональными показателями.
Билет № 12. 1. Функция у = ctgx, ее свойства и график.
2. Производная логарифмической функции.
3. Пример на исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Билет № 13. 1. Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
2. Показательная функция, ее свойства и график.
3. Пример на решение неравенства первой степени с одним неизвестнььм, системы неравенств первой степени с одним неизвестным.
Билет № 14. 1. Квадратичная функция, ее свойства и график.
2. Формулы приведения тригонометрических функций.
3. Пример на нахождение производной функции.
Билет № 15. 1. Линейная функция, ее свойства и график.
2. Косинус разности и суммы аргументов.
3. Пример на решение показательного уравнения или неравенства.
Билет № 16. 1. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
2. Синус и тангенс суммы и разности аргументов.
3. Пример на нахождение производной функции.
Билет № 17. 1. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов.
2. Десятичные логарифмы и их свойства.
3. Пример на касательную к заданной кривой.
Билет № 18. 1. Четные и нечетные функции, периодические функции и особенности их графиков.
2. Арифметическая прогрессия; формула ее общего члена.
3. Пример на доказательство неравенства.
Билет № 19. 1. Взаимно обратные функции и их графики.
2. Сумма п членов арифметической прогрессии.
3. Пример или задача на комбинаторику.
Билет № 20. 1. Преобразование суммы и
разности двух тригонометрических функций в произведение.
2. Геометрическая прогрессия; формула ее общего члена.
3. Пример на построение графика с помощью производной.
Билет №21. 1. Сумма п членов геомет¬
58

рической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
2. Решение уравнений вида sin х=т,
tgx=k.
3. Пример на нахождение области опреде- ления функции.
Билет № 22. 1. Перестановки. Вывод формулы Рь = п\
2. Решение уравнений вида cos х=п,
ct gx=p.
3. Пример на построение графика функции с помощью производной.
Билет № 23. 1. Сочетания. Вывод фор- п\
мулы С™= —Г/ -р
J п т\(п — т)\
2. Преобразование произведения двух тригонометрических функций в сумму и разность.
3. Пример на логарифмическое уравнение или неравенство.
В настоящее время Госпрофобром СССР совместно с АПН СССР ведется подготовка к Всесоюзному научно-практическому семинару, на котором будут рассмотрены пути дальнейшего улучшения преподавания математики в средних профтехучилищах.
Старший инспектор Госпрофобра СССР
Н. К. БЕДЕНКО
Н. А. ТЕРЕШИН
(Калининград)
ЗАДАЧИ ДЛЯ СЕЛЬСКИХ ПРОФТЕХУЧИЛИЩ СО СРЕДНИМ ОБРАЗОВАНИЕМ 1
Рис. 1
Неравенства (с одним неизвестным, система линейных неравенств, неравенства второй степени)
1. Проектируемую сеялку предполагается снабдить ящиком емкостью 250 кг зерна.
Какова должна быть ширина захвата сеялки, чтобы при скорости 3,2 км/ч и норме высева, равной 125 кг зерна на 1 га, содержимого ящика хватило бы не более чем на 2 часа работы сеялки, а при скорости 4 км/ч и той же норме высева — не менее чем на 1,25 часа?
Указание к решению. При норме высева, равной 125 кг/га, содержимого ящика хватает точно на 2 га посевной площади. Поэтому задача приводит к следующей системе неравенств:
о 3200 л: ^ 0 10000 ^ '
1 94 4000-л- ^ о ’10000
где х — искомая ширина захвата сеялки, выраженная в метрах.
2. Трактор ведет на прицепе борону по горизонтальной пашне. (Рис. 1) Длина бороны и ее высота над поверхностью пашни соответственно составляют I и й.
При каких значениях угла а между направлением силы тяги трактора и горизонтом борона будет при своем движении сохранять равновесие, т. е. не будет приподниматься ее передний край? Весом бороны пренебречь-2.
Указание к решению. Обозначим силу тяги трактора и угол, образованный направлением этой силы с горизонтом, соответственно буквами F и а. Имеем: Fi = /r*cosaa F2 — F-s\n а.
Очевидно, что а^0 и что передний край бороны не будет приподниматься тогда, и только тогда, когда вращающий момент силы Fx относительно точки О не меньше вращающего момента силы F2 относительно той же точки.
Получим систему:
J <*>0,
\ hF cos a > I F sin a.
3. Определить область допустимых значений угла поперечного наклона дороги для автомашины, у которой высота центра тяжести при полной нагрузке равна К а расстояние между колесами одной оси (ширина колеи) равно / (рис. 2).
Решение. Пусть С — центр тяжести авто-
1 Здесь печатаются некоторые задачи из сборника задач по математике для сельских профтехучилищ со средним образованием, готовящегося к печати, автора
Н. А. Терешина.
2 Эта задача имеет обобщающее прикладное значение в сельском хозяйстве. Угол между направлением силы тяги и горизонтальным направлением имеет существенное значение для нормальной работы прицепчых сельскохозяйственных машин.
59

V
откуда
h tg a > О,
Atga<4-,
0<a<arctg-^-.
4. На ремонтной машинно-тракторной станции (PMTC) установлено несколько электромоторов общей мощностью N киловатт при напряжении V вольт. Расстояние от места ввода до магистрали равно I километрам, а удельное сопротивление проводов, соединяющих ввод с магистралью, равно р. Определить допустимое сечение этих проводов, если напряжение в магистрали равно V\ вольт, а потери напряжения в линии не должны превышать V2 вольт. (Внутреннее сопротивление не учитывать.)
Решение. Пусть S мм2 — искомое сечение проводов, R1 — сопротивление подводящей линии, /?2 — внутреннее сопротивление
двигателей. Полагая в формуле /?=—- величину U равной суммарной длине прямого и обратного проводов линии, найдем, что сопротивление этой линии выражается формулой:
ом.
(1)
Обозначив силу тока в линии через /, получим на основании закона Ома:
(2)
Рис. 2
машины, OC=h — высота центра тяжести, АВ = 1 — ширина колеи, а — угол поперечного наклона дороги. Очевидно, Z ОСМ = а ^ 0.
Автомашина не опрокинется при всех тех и только тех значениях а, при которых линия действия силы веса Р автомашины проходит не вне площади опоры, т. е. когда точка М принадлежит отрезку ОВ.
Следовательно, получаем систему неравенств:
ОАГ>0,
ОМ < О В.
Но О В = 4^ = -L, а ОМ = СО • tg а = /г tg а. Поэтому получим:
Ri + Кг По условию
IRi<Vv (3)
Так как напряжение на двигателях равно V—Vt
(У у 42
то, учитывая, что N = -—D ■ 1, будем иметь
/<2
r2
(V — V ,)*
ы
(4)
Из 1—4 находим
2Кр/
с (W <К —
6 • I с + дг J
<VU
ч 5
откуда
5. Плантация, расположенная на склоне, образующем угол а с горизонтом, орошается дальнеструйным дождевателем, находящимся в точке А подножья склона и посылающим струю под углом (3 к горизонту. Струя падает в точке В1 склона (рис. 3).
Рис. 3
Под каким давлением должна выбрасываться струя из сопла дождевателя, чтобы расстояние АВ\ составило не менее I метров?
При решении принять, что вследствие сопротивления воздуха действительная дальность струи составляет лишь 0,375 теоретически вычисленной.
Решение. Пусть VQ — начальная скорость, сообщаемая дождевателем выбрасываемой им частице воды, a t — продолжительность полета этой частицы от Л до В (без учета сопротивления воздуха). Искомое перемещение АВ (по принципу независимости компонентов сложного движения) может рассматриваться как геометрическая сумма двух последовательных перемещений АС и СВ, из которых первое представляет собой путь, пройденный за t секунд равномерного движения со скоростью V0, а второе — путь свободного падения из точки С за тот же промежуток времени.
60

Из Д АС В : АВ =
AC sin АСВ sin ABC '
Но
</АВС = 180°- (90°- а) - 90° + а, ^ВАС = (3 — а и sin АСВ = sin ABC — ^ ВАС) = = sin (90° + Р) = cos р.
Поэтому
АВ
ЛС-cos р cos а
Имеем
AC = v0-t,
СВ-If.
Ha основании теоремы синусов
СВ sin ЛВС sin ВАС 9
СВ-cos а
АС
т. е.
АС
sin (р — а) *
Из (2), (3), (4) получим:
t = 2vo Sin (Р ~ g>
£ COS а
Из (2) и (5) найдем:
2v5sin(p —а)
g cos о
Из (1) и (6) получим:
2t/QSin (Р ~ a)-cos р
g COS2 а
(4)
(5)
(6) (7)
Но Л£ =
, где АВ, — действительная
0,375 ’ 1
дальность струи (найденная с учетом сопротивления воздуха).
Следовательно,
2i»o sin (Р — a) cos f3 АВ,
g cos» а “ 0,375* ' ‘
Согласно условию АВ1 /. Поэтому полу¬
чаем неравенство:
2Кц sin (р — a) cos [J g COS* a
>
I
0,375 ’
откуда
т/о > £l cos* q 2 ^ 0,75 sin (p—a)cos(
(9)
Пусть струя выбрасывается из сопла дожде*
вателя под давлением Р(^-т) и пусть V0(—}
\М / \свк /
и Так как V0 — V2gh и Р =* pgfi, то
Поэтому неравенство (9) преобра¬
зуется к виду:

р 0,75*sln(p — a) cos p ’
gl COS8 a
откуда
p/ cos2 a
(10)
(П)
(1)
(2)
(3)
1,5 sin (p — a) cos pe
6. Непровеянное зерно содержит К % сора. После каждого провеивания количество сора в этом зерне уменьшается на q %, а количество зерна остается неизменным.
Сколько раз следует пропустить это зерно через веялку, чтобы его засоренность снизилась по крайней мере до /%?
Решение. Q кг непровеянного зерна содержат сора и ■ 1(щ~^ кг зерна.
В процессе провеивания количество зерна остается неизменным, а количество сора убывает. В результате первого провеивания коли-
кг и со-
чество сора уменьшится на
QK 100 ’ 100
ставит (2кг \100 100 • юоу кг’ Т“ е- 100 * 100 кг-
Второе провеивание снизит количество сора 100-?
до —того количества, которое имелось до первого провеивания, т. е. до QK ( 100 — q N2
QK ( 100 — Y
loo v юо )
кг.
В результате /г-кратного провеивания первоначально взятых Q кг засоренного зерна
QK /100 — а\п в этом зерне останется всего ^ . I --щ- ) кг
сора. Следовательно, тогда общий вес п раз провеянного зерна составит:
100 — я \п \ С?-(100— /С)1
) + 100 J
№■(-
кг.
100
В соответствии с условием задачи получим неравенство:
Q K /100-
100 Ч юо
QK
100’
100 — ду Q (100 — AC)
/100 — q\ V 100 ;
<
100*
100
После упрощения получим:
100 — 4- у» ^ /(100 — /р
( 100 — q
V 100 ^ ^
К (100-/)
(1)
(2)
или
„,„100-9 ^,./(100-Х) ,оч
^ 100 ^ *8 к (100 — /) •
Г-, 100 — q ^ .
Принимая во внимание, что —* и что

поэтому lg 1Q|q-q q < 0, получим, разделив обе
/о\ 1 —Я
части неравенства (3) на lg ^ ,
/(100 -К)
‘g к (юо — /)
100 — ^ lg 100
7. Имеются две установки для искусственного дождевания. В первой — вода разбрызгивается сквозь отверстия на кривой поверхности сферического сегмелта, а во второй — сквозь отверстия на основании и боковой поверхности конуса, имеющего основание и высоту, соответственно равные основанию в высоте этого сферического сегмента. Радиусы отверстий, густота их расположения и напор воды в обеих дождевальных установках соответственно одинаковы (рис. 4).
При какой величине дуги в осевом сечении этого сферического сегмента производительность первой дождевальной установки превысит производительность второй дождевальной установки?
Решение. Ясно, что при одинаковых размерах и густоте размещения отверстий, при одинаковом напоре воды, количества воды, разбрызгиваемой за один и тот же промежуток времени каждой дождевальной установкой, пропорциональны величине поверхности, сквозь которую пропускаются водяные струи.
Составляем неравенство: 2rc-OiS-OS>
>яЛ0-Л5+яЛ02. Пусть Z-ASO—x, тогда OS=A S cosx;
0,S = K^-, АО ~ AS-sinx.
1 2 соsx
После подстановки будем иметь: sin2 * +sin*—1<0.
Решив это неравенство при условии 0<л:<90°, найдем, что 0<лг<38°12'. Так как ^ASB = 360°—4*, то, значит, 360° — 38° 12'-4 < w AS В с 360°.
207° 12' < w A SB < 360°.
Итак, при одном и том же напоре воды и при одинаковой густоте и одинаковых размерах отверстий дождевальная установка, разбрызгивающая воду сквозь кривую поверхность сферического сегмента, у которого дуга в осевом сечении превышает 207°12', оказывается более производительной, чем дождевальная установка, в которой разбрызгивающей поверхностью является полная поверхность конуса, высота и основание которого соответственно равны высоте и основанию этого сферического сегмента.
8. Тракторист начал вспашку прямоугольного участка с краев и, двигаясь по периметру невспаханной части, постепенно приближается к середине.
Сколько кругов должен совершить тракторист вдоль периметра, чтобы вспахать не менее f%, но не более q % всего участка, если длина и ширина участка соответственно составляют ам и вм, а ширина захвата плуга равна с см.
Элементарные функции
9. Длина пути сеялки до опорожнения семенного ящика может быть подсчитана по
. с 10000-О,8.А , ч .
формуле: S (м)у где А — вес
семян в ящике сеялки, кг, В — захват сеялки, м; Н — норма высева, кг/га.
Вычислить длину пути сеялки по заранее определенным вами данным для Л, В и Н. Получив 5(Л), 5(B), 5(Я), построить графики этих зависимостей.
10. Число оборотов ходового колеса сеялки
, 10000 вычисляется по формуле: N = — ■ в ,
где: N — число оборотов колеса на 1 га\
S — длина окружности ходового колеса, м\
В — ширина междурядья, м.
Вычислить число оборотов сеялки СКК на 1 га при междурядье 0,6 м и диаметре окружности колеса зеялки 0,95 м. Пр и постоянном значении 5 построить график функции N=N(B).
11. Вывести формулу зависимости длины пути, пройденного комбайновым агрегатом до наполнения бункера зерном, от урожайности зерновых. Выяснить вид полученной зависимости, начертить график.
Решение: Пусть / (м) — д. ича пути, пройденного агрегатом до наполнении бункера комбайна зерном. Если ширина захвата жатки комбайна В(м), то бункер наполнится зерном, убранным с площади (l-В) м2. Если емкость бункера V (ц), а урожайность зерновых у ц!га,
62

то для наполнения бункера необходимо убрать V io*v , ^
зерновые с площади — га = —— мг. 1огда
10“ V , п I W4V’ Т
■ - = 1В. Отсюда I =—б~. Так как для
у ув
каждого комбайна V и В — постоянные величины, то = const = К. Тогда I =-^-.
п У
12. Молоко с начальной температурой tN = 3° транспортируется в течение Z = 3,4 часа при температуре окружающего воздуха t0 = 25°. Найти конечную температуру молока tK, если молоко перевозится:
а) в покрытых брезентом, но свободно обдуваемых воздухом бидснах, поверхность которых F = 0,66 м2, а объем = 50 л;
б) в подвергающихся действию ветра (при пасмурной погоде) цистернах, длина которых 1 = 3 м, а диаметр основания 1 м.
Примечание. Известно, что tK можно определить из уравнения:
— 0,4Z43F-K-Z
g tQ-tK “ M-C
где F — поверхность сосуда в м2\
М — масса молока з кг\
С — удельная темшоемкость молока,
А 0, к>кап
равная 0,У4 —г-
г кг г рад
К — коэффициент теплопроводности, равный в данном случае 10.
Плотность молока 1,032 кг!дм3.
13. Трактор опрокидывается относительно его задней оси, если
tg«<x- (1)
где а — угол, при котором трактор начнет опрокидываться в продольном направлении, а — расстояние по горизонтали от центра тяжести трактора до задней оси в м или м, h — высота центра тяжести в м или мм.
Используя формулу (1), определить угол, при котором ДВС СШ-16 начнут опрокидываться. Данные: высота центра тяжести шасси /i = 800 мм, расстояние центра тяжести до задних ведущих колес а =523 мм (ответ: а» 33°).
14. Вычислить поперечный предельный угол наклона, при котором не опрокинется трактор МТЗ-5, если этот угол можно найти по фор-
муле: tgP —
Технические данные трактора:
ширина колеи в—1200 мм, высота центра тяжести Л=890 мм (ответ: р«34°).
15. Найти критический угол поперечного наклона, при котором трактоо Т-28 может стоять, не опрокидываясь. Технические данные
Рис. 5
трактора: ширина колеи В —1400 мм, высота центра тяжести h = 750 мм (отЕет: (3^45°).
16. Критический угол подъема, при котором трактор, двигаясь равномерно с поднятой навесной машиной (рис. 5), начнет опрокидываться, вычисляется так:
10. п glim ’ (1 Xн) f
16 *кр 1+Ьн J '
где Хн — коэффициент устойчивости трактора, который вычисляется по формуле:
у @Н * аН £ ап
Х« G-a н * d у
где GH — вес навесной машины в кг.
ан — расстояние по горизонтали от центра тяжести навесной машины до задней оси трактора в м или мм. Определить критический угол подъема аКр, при котором трактор МТЗ-5, двигаясь равномерно с поднятым навесным трехкорпусным плугом, начнет опрокидываться (рис. 5). Вес плуга GH=400 кг,
расстояние по горизонтали от центра тяжести
навесной машины до оси ведущих колес трактора ан = 1850 мм, вес трактора G = 3200 кгу коэффициент трения качения / = 0,08, а = 850 мм, h = 870 мм.
п , 850
Решение. tgalim
Хи
"870 400*1650
Ga
G
3200•850
0,98;
= 0.243;
Тогда tg a
0,98 (1 —0,243)
кр
-1+0Л25 0.08-0.50.
17. Расчет диаметра водопроводных труб рассчитывается по формуле:
D
= }/—1 V it • и •
4 Q
1000’
где D — диаметр трубы в м\ Q — расход воды в л!сек\ V — скорость движения воды по трубам в м/сек. Найти диаметры труб по данным, указанным в таблице;
63

N
1
2
3
4
5
6
О
2
2
3
6
10,3
21
'V
1,2
1.5 1,3
1.6
2,0
1,8
D
Полученные по формуле значения диаметра заменить ближайшим указанным в стандарте на трубы. Стандарт на трубы (в мм):
D= 15, 20, 25, 32, 40, 50, 70, 80, 100, 125, 175, 200, 225, 275, 300.
Здесь приведены часто употребляемые диаметры из стандарта ГОСТ 3262-55 на трубы водопровода.
Эксперимент
А. Н. КОЛМОГОРОВ, Б. Е. ВЕЙЦ, И. Т. ДЕМИДОВ
(Москва)
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОБНОМУ УЧЕБНИКУ IX КЛАССА «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА»
Учебник предназначен для экспериментального обучения математике по новой программе. Это обстоятельство предопределило характер изложеиия и объем материала пп. 20—23 и пп. 49—53. Указанные пункты имеют в основном повторительный характер. В них подробно с необходимыми уточнениями рассматривается материал, который по новой программе изучается в VI—VIII классах.
Учебник состоит из шести глав. Каждая глава разбита на параграфы со сквозной нумерацией (всего их 20). В свою очередь, параграфы разбиты на пункты со сквозной нумерацией (всего 119 пунктов). Необязательный материал набран петитом. Эго не относится, однако, к п. 63, в котором вводится понятие непоерыв- ности функции. Этот пункт набран петитом из типографских соображений.
После каждого пункта, как правило, следуют упражнения. Нарушается это правило крайне редко и в основном в § 8 в пп. 33, 35—38, в которых сама тема не представляет соответствующих возможностей. Система упражнений построена таким образом, что известная их часть способствует формированию новых понятий и тем самым подготавливает работу над последующими темами. Упражнения, рассчитанные на более сильных учеников, отмечены звездочкой.
Как известно, вычисление производных и их применения производятся по определенным формулам и правилам. Решение задач указанного типа намного легче иных традиционных задач школьной математики. Однако для ясного понимания смысла этих правил и сознательного их применения требуется знакомство (конечно, не очень глубокое) с топологической структурой числовой прямой. Педагогический опыт авторов и научного редактора учебника свидетельствует о том, что трудности изучения дифференциального исчисления и его применений часто преувеличиваются. Опыт экспериментального обучения по первому изданию учебника в 157-й школе Ленинграда подтвердил, что число часов,
выделенных программой на изучение IV—VI глав, несколько завышено. Вместе с тем этот опыт показал также, что 15 часов на изучение бесконечных последовательностей и пределов (глава III) явно недостаточно. Именно в этой главе преодолеваются трудности, связанные с понятием предела. Поэтому подробное изучение этого раздела весьма существенно. Учитывая сказан¬
ное, предлагается следующее распределение учебного времени на изучение программы IX класса.
Принцип математической индукции. Элементы комбинаторики (главы I и II) 15 ч.
Бесконечные последовательности и пределы (глава III) вместо предусмотренных 15 часов 25 ч.
Функция и предел функции. Производная и ее применения (главы IV и V) вместо предусмотренных 45 часов 40 ч.
Тригонометрические функции, их графики и производные (глава VI) вместо предусмотренных 30 часов 25 ч.
Приводим примерное распределение часов на изучение глав III—VI.
III. Бесконечные последовательности и пределы
§ 6. Бесконечные последовательности (пп.
20—24) 4 ч.
§ 7. Предел последовательности ( пп. 25—32) 8 ч.
§ 8. Действительные числа (пп. 33—42) 6 ч.
§ 9. Вычисление пределов (пп. 43—47) 7 ч.
IV. Функция и предел функции
§ 10. Функция (пп. 49—55) 6 ч.
§ 11. Предел функции (пп. 56—63) 6 ч.
V. Производная и ее применения
§ 12. Производная (пп. 64—69) 4 ч.
§ 13. Техника дифференцирования (пп. 70—79) 10 ч.
§ 14. Некоторые применения дифференциального исчисления (пп. 80—88) 14 ч.
VI. Тригонометрические функции и их производные
§ 15. Тригонометрические функции числового аргумента (пп. 91—98) 6 ч.
§ 16. Основные свойства тригонометрических функций (пп. 99—101) 3 ч.
§ 17. Построение угла по данному значению тригонометрической функции и простейшие тригонометрические уравнения (пп. 102—106) 3 ч.
§ 18. Свойства тригонометрических функций и их графики (пп. 107—110) 3 ч.
§ 19. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов (пп. 111—113) 4 ч.
§ 20. Производные тригонометрических функций (пл. 114—118) 6 ч.
64

Технические средства обучения. Наглядные пособия
В. П. СЕВАСТЬЯНОВ, Н. Л. СЕВАСТЬЯНОВА
(г. Воронеж)
КИНОФИЛЬМ
«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
В журнале «Математика в школе» № 5 1971 г. в разделе «Заметки с уроков» была опубликована статья Г. А. Ястребинецкого «Повторение основных свойств тригонометрических функций».
Проводимое в соответствии с содержанием статьи повторение определений основных свойств тригонометрических функций на первых уроках в X классе дает еще больший эффект в обучении, если непосредственно после того использовать учебный фильм «Тригонометрические функции»
Для лучшего понимания фильма необходимо подчеркнуть, что значения тригонометрических функций численно равны абсциссе (cos а) и ординате (sin а) соответствующей точки единичной окружности или абсциссе (ctga) и ординате (tga) точки на оси котангенсов и тангенсов.
Школьная практика показывает, что использование учебного фильма помогает глубже вскрыть перед учащимися сущность изучаемых вопросов, повторить за несколько уроков большой по объему материал и добиться осознанного понимания и прочного усвоения повторяемого материала всеми учащимися.
Фильм «Тригонометрические функции» состоит из двух частей.
I часть фильма начинается показом образования углов любой величины и знакомством учащихся с числовой единичной окружностью.
Учащиеся на экране видят яркую иллюстрацию и конкретизацию слов диктора: «Каждой точке единичной окружности. соответствует бесконечное множество действительных чисел». Зрительные образы помогают учащимся' понять, что тригонометрические функции мо¬
1 Учебный кинофильм «Тригонометрические функции». Производство Ленинградской киностудии научно-популярных фильмов. 1961. Авторы сценария: Г. А. Гольдберг, Н. М. Калиткин. Консультанты: С. И. Новоселовt
Н. М. Калиткин. Режиссер С. Г. Спевачевская. ’
гут и должны рассматриваться как функции числового аргумента.
В этой же части фильма рассматриваются изменения тригонометрических функций числового аргумента от 0 до 2я, определяется знак функций по четвертям и рассматривается их четность и нечетность. Например, изменение синуса показано как изменение величины проекции подвижного радиуса-вектора на ось ординат в процессе изменения аргумента от О до 2я. Изменение тангенса показано как изменение величины соответствующего отрезка оси тангенсов по мере поворота радиуса-вектора при увеличении угла от 0 до 2я.
Во II части фильма показывается геометрический способ построения графиков тригонометрических функций, причем на примере функций y=s\nx это построение рассматривается очень детально с подробным его описанием диктором.
В силу того что графики тригонометрических функций построены с помощью единичной окружности, они являются «наглядным орудием, позволяющим из геометрического образа вычитывать те или другие важнейшие черты изучаемой функциональной зависимости» (А. Я. Хинчин. Педагогические статьи. М., 1963, стр. 71).
Последовательная иллюстрация свойств каждой тригонометрической функции на графиках во II части фильма занимает большой раздел. Рассматриваются область определения каждой функции, область ее изменения, ограниченность или неограниченность функции, промежутки знакопостоянства, периодичность, возрастание — убывание, четность или нечетность функции, симметричность графиков четных функций относительно оси ординат и нечетных — относительно начала координат.
Заключительные кадры фильма знакомят учащихся с тем, что многие процессы в природе и в технике протекают по законам тригонометрических функциональных зависимостей. В частности, «переменный ток изменяется во времени по законам синуса. Периодические процессы можно исследовать при помощи осциллографа» (монтажный лист к фильму «Тригонометрические функции»).
Но отметим следующее. Кадры фильма дают хорошую наглядную иллюстрацию свойств тригонометрических функций, но сопровождаемый дикторский текст местами излишне скуп. Это имеет место, например, при рассмотрении области определения функций, их периодичности.
ЧтФбы и эти вопросы при просмотре фильма были восстановлены в памяти всех уча-
3 Математика в школе, № 5
65

Рис. 1
щихся осознанно, необходима несколько более глубокая предварительная работа, чем только повторение отдельных определений.
Остановимся подробнее на содержании соответствующих кадров фильма и той предварительной работе, которая позволит получить наибольший эффект от просмотра фильма.
Так, при рассмотрении области определения функции на кадрах фильма учащиеся видят бегущие слева направо две точки, одна из которых пробегает по оси Ох, другая — по синусоиде у=sinx. Точки соединены отрезком прямой (рис. 1).
Эти кадры фильма сопровождаются единственной фразой диктора: «Область определения синуса есть множество всех действительных чисел».
Чтобы учащимся были понятны смысл этой фразы и соответствующая ей наглядная иллюстрация, т. е. чтобы учащиеся отчетливо представляли себе, что значит функция у=sinx определена на множестве всех действительных чисел, необходимо выяснить, что для любого вещественного значения аргумента — любой точки оси Ох — существует соответствующая точка графика, ордината которой равна значению функции при данном значении аргумента.
С этой целью можно воспользоваться готовым чертежом синусоиды у=sin*, выполненным на отдельном листе достаточно большого формата и приготовленным для последующей работы в классе после просмотра фильма. На
оси абсцисс полезно указать такие точки, как —4, —я, —3, —2, —1, 0 и т. д.
Далее, при рассмотрении в фильме периодичности функции на кадрах учащиеся видят бегущий отрезок, параллельный оси Ох, длина котооого равна периоду рассматриваемой функции. Концы этого отрезка пробегают по кривой — графику функции. Эта иллюстрация сопровождается текстом диктора, например: «синус — функция периодическая с периодом 2я».
Мы убедились, что для активного и сознательного восприятия этих кадров фильма, в частности для того, чтобы учащимся был понятен смысл и назначение бегущего отрезка, очень полезна работа следующего содержания.
Повторяя определения периодичности функции, например, у—sinx, ее периода, к демонстрационному чертежу графика у=sinx прикладывается отрезок длиной в 2я параллельно оси Ох, так, чтобы его концы принадлежали графику. Затем показывается, что ординаты концов этого отрезка равны, т. е. равны значения функции у=ътх для любых значений аргумента, отличающихся на период функции (2я) (£ис. 2).
Аналогичная работа с помощью линейки с нанесенной на ней шкалой проводится на демонстрационных чертежах для наглядного представления симметричности графика четной функции у=cosx относительно оси Оу и
Рис. 2
2Я
У
' 1 / \
2Я
\ я
/Г . §
f*
гпу/
/} \3 -2 -/
О ос 1 2 £+2Я Ч -1
5
6/ ex+Zsi*
66

симметричности нечетных функций у=sin*, y=tgx и y=cigx относительно начала координат.
Следует заметить, что изучение «Тригонометрических функций любого аргумента» в IX классе, проведенное в соответствии с содержанием статьи Г. А. Ястребинецкого и за-
ll. Н. СОРОКИН
(Москва)
КАБИНЕТ МАТЕМАТИКИ НА МЕЖДУНАРОДНОЙ ВЫСТАВКЕ
Международная специализированная выставка «Школьное оборудование-73» будет работать с 22 ноября по 2 декабря 1973 г. в Москве, в парке «Сокольники». Сюда привезут школьное оборудование около 200 фирм и объединений более чем из 20 стран, в том числе из ГДР, Польши, Чехословакии, Венгрии, Румынии, Болгарии, Франции, Великобритании, США, Японии.
Устроитель и организатор выставки — Министерство просвещения СССР — ставит своей целью широко ознакомить советских учителей, руководителей школ, сотрудников научнопедагогических учреждений и работников органов народного образования с новейшими 'образцами приборов и пособий, аппаратуры, средств обучения и школьного оборудования, созданного не только в нашей стране, но и за рубежом.
Самой представительной на выставке будет советская экспозиция. В ее создании участвует 27 министерств и ведомств. Она покажет около 14 тысяч лучших образцов учебного оборудования, технических средств обучения, мебели и приспособлений, представленных от всех союзных республик.
Вводная часть раздела открывается панно с портретом В. И. Ленина и его словами: «...Школа должна быть не только проводником коммунизма вообще, но проводником идейного, организационного, воспитывающего влияния пролетариата в целях воспитания поколения, способного окончательно осуществить коммунизм».
Экспозиция шаг за шагом рисует картину претворения в жизнь заветов Ильича, успехов народного образования, знакомит посетителей с задачами дальнейшего совершенствования учебно-воспитательного процесса в соответствии с решениями XXIV съезда КПСС. В фотографиях и экспонатах показана работа советской многонациональной школы, в которой
вершенное просмотром учебного фильма «Тригонометрические функции», как подведение итогов изученного, позволяет учащимся глубже понять и прочнее усвоить сущность функционального содержания изучаемых тригонометрических тем.
обучается на родном языке более 15 млн. человек. Посетители увидят оригинальные издания (учебники, иллюстрации и т. п.) на всех национальных языках.
Особенно многогранно будет показана кабинетная система обучения учащихся. Это — наиболее прогрессивная форма, позволяющая широко применять современное оборудование, полнее использовать в процессе обучения новейшие достижения науки и техники, учить школьников самостоятельно работать с учебными материалами.
Посетители увидят образцовое оборудование кабинета начальных классов, кабинета русского языка и литературы, иностранных языков, истории и обществоведения, географии, химии, биологии, физики и астрономии, трудового обучения и др. Оборудование каждого из этих кабинетов соответствует современным достижениям теории воспитания, образования и обучения, общей и педагогической психологии, возрастной физиологии, научной организации труда учителя и учащихся, требованиям эстетики и техники безопасности.
Определенный интерес вызовет кабинет математики. В нем особенно полно представлены наглядные и технические средства обучения, показано наиболее рациональное их размещение в классе.
Так, в числе оборудования рабочего места учителя и учащегося кроме удобных для работы стульев и столов, оснащенных всеми необходимыми подручными средствами (пенал с карандашами, циркуль, резинка, линейка, угольники, чертежные шаблоны и т. п.), здесь представлено электронное вычислительное устройство типа ЭЛКА-22, ученический пульт контролирующего устройства «Моршанск», а у преподавателя к тому же — пульт управления освещением, затемнением и кассетный магнитофон с усилителем. Как неотъемлемая часть кабинета, показаны кодоскоп с набором транспорантов, диапроектор «ЛЭТИ» и «Протон» с наборами диафильмов *и диапозитивов по математике, кинопроектор с набором кинофрагментов, кинокольцовок и кинофильмов по математике.
з*
67

На передней стене класса — раздвижная щитовая доска двойной длины с белым, светло-зеленым магнитными полями; щитами, снабженными чертежами стереометрических тел; полем с перфорацией; полем с координатной сеткой и магнитным покрытием; прибор типа «Кальман» и держатель таблиц. Ящики с таблицами, доска для размещения классного чертежного инструмента, прибор «числовая ось», демонстрационная логарифмическая линейка, табло различных назначений, экран и многое другое — все это принадлежность этой, передней стены.
На других стенах размещены аккуратно изготовленные стенды для экспонирования таблиц и моделей, полки, секционные шкафы, приборы по алгебре, по планиметрии и стереометрии, вычислительные устройства, библиотечка научно-популярной и занимательной литературы по математике, портреты ученых, методическая периодика по математике, учебники и задачники и многое другое.
Школьный кабинет по математике, экспонируемый на выставке,— одна из возможных моделей, уже получивших широкое распространение в школах нашей страны. Он представляет собой единую, органически связанную систему школьного оборудования, подобранную в соответствии с требованиями содержания и методики обучения математике в средней школе, научной организации труда учителя и учащихся.
В ходе выставки состоится научная конференция стран социалистического содружества, которая обсудит ряд важнейших проблем, связанных с использованием кабинетной системы, наглядных и технических средств обучения.
Выставка «Школьное оборудование-73» внесет значительный вклад в дальнейшее совершенствование обучения и воспитания подрастающего поколения нашей страны, в том числе и в обучение учащихся математике.
Факультативные занятия
Л. Ю. МИХАЙЛОВСКАЯ
(Москва)
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ И ГРАФИКОВ
В 1973/74 учебном году седьмые классы переходят на новую программу по математике, изменится и содержание факультативных курсов. В нашей школе, где седьмые классы занимаются по новой программе уже несколько лет, одной из тем факультативных занятий была тема «Преобразования координатной плоскости и графики функций», рассчитанная на 15 часов.
Опираясь на программные сведения об отображении множеств и преобразовании плоскости (параллельный перенос и симметрия), в этом курсе даются основные преобразования различных графиков: параллельный перенос графиков вдоль координатных осей, симметрия относительно координатных осей, а также построения, связанные с этими преобразованиями (#== | f(x) |, */= -/(1*1) и M-/W).
I. Преобразования координатной плоскости
В курсе геометрии VI класса учащиеся познакомились с перемещениями, т. е. отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояния. Изучили такие перемещения как поворот, центральную и осевую симметрию и параллельный перенос. Знают, что отображение плоскости на себя с сохранением расстояния обратимо: обратное для него соответствие также является отображением, сохраняющим расстояния, т. е. обратное отображение— перемещение. На этой базе не вызывает
затруднений определение: обратимое отобрао/сение плоскости на себя называется преобразованием плоскости. Очевидно, что перемещения есть преобразования плоскости.
При преобразовании плоскости множество точек фигуры, лежащей в данной плоскости, отображается на некоторое множество, называемое образом данной фигуры.
Рассмотрим задачу: определить образ заданного точечного множества (геометрической фигуры) при заданном преобразовании плоскости.
1. Поставим в соответствие каждой точке М(х; у) координатной плоскости точку М'(—х; у).
Точки М и М' имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы. Следовательно, они расположены симметрично относительно оси Оу. Итак, заданное соответствие отображает каждую точку плоскости М на симметричную относительно оси ординат точку М'; каждая точка оси ординат отображается на себя. Образом заданной фигуры является фигура, симметричная данной относительно оси ординат (рис, 1).
2. Преобразование М(х; у)=*М'(х; *~у) отображает каждую точку плоскости в симметричную ей точку относительно оси абсцисс. Образом фигуры является фи-
68

Рис. 4
Рис. 2
Рис. 3
гура, симметричная данной относительно оси абсцисс (рис. 2).
3. Преобразование М(х; .у)-*~М'(—х; —у) отображает каждую точку (фигуру) в точку (фигуру), симметричную данной относительно начала координат (рис. 3). Задана центральная симметрия с центром О.
4. Поставим в соответствие точке М(х; у) точку М'(х+а; у), где аф0. Это соответствие задает параллельный перенос вдоль оси абсцисс на |а| единиц вправо при а>0 и влево при а<0 (рис. 4).
5. Соответствие М(х; у)->~М'(х; у-\-Ь) задает параллельный перенос вдоль оси ординат на \Ь\ единиц вверх при 6>0 и вниз при 6<0 (рис. 5).
6. При соответствии М(х; у) М' (х + а; у + Ь) образ точки можно получить, применив последовательно два параллельных переноса: М(х\ у)-*-Мь(х + а; у)->- ->М'(х + а; у + Ь), т. е. вдоль оси абсцисс, а затем вдоль оси ординат (рис. 6, при а < 0, Ъ < 0).
Определение образа заданной фигуры при перечисленных преобразованиях плоскости не вызывает затруднений у учащихся, так как все эти преобразования знакомы им из курса геометрии. Закрепляется лишь тот факт, как указанные изменения координат меняют положение фигуры на координатной плоскости. Полезны следующие упражнения:
1) Вершины треугольника расположены в точках А{—6; 0), В(—3; —4), С(0; —2). Укажите образы вершин треугольника при преобразовании плоскости, в котором: а) М (х; у) -> М' (— х; у); б) М (х; у) -у
М'(х\ —у); в) М(х; у)->ЛГ(лг; у + 5). Есть ли в каждом из заданных преобразований неподвижные точки треугольника ABCt
2) Дано преобразование плоскости М (х; у) ->
(х; — у). Найдите образы линий, заданных уравнениями: а) у = х; б) у = х 4- 3; в) у = 4; г) х «= — 2-
д) у — Xs; е) у = — ; ж) у = у/'х; з) х* + у1 •= 9.
Найдите образы этих линий при преобразовании М (лг; у) М' (х + 3; у — 4).
3) Определите при каком преобразовании плоскости:
а) прямая у =• х переходит в прямую у «= х + 2; у « ** х — 3; б) прямая у *= 5 переходит в прямую у *=- « —5; у «= 2; у *= 0; остается неподвижной.
И. Преобразования графиков
Графиком у «=» / (х) в заданной системе координат называется множество F тех и только тех точек, координаты которых связаны данным соот-
Рис. 6
ношением. Это значит, что для любой точки М (х0; у0) £ F верно равенство у0 = / (*в), и обратно, если у, = f (хj), то точка у,) £ F.
Пусть известен график функции у — / (х). Г рафики y = f(x) + b, y = f(x + а), у «= — /(дг), у = /(_*) могут быть получены путем преобразований графика данной функции y—f(x), т. е. они есть образы графика у=Цх) при некотором преобразовании плоско¬
69

сти. Установить, каким преобразованием плоскости из известного графика получается искомый, наша задача.
1. Зная график функции y=f(x), постройте график y=f{x)+b.
Обозначим график функции у / (х) через F, искомый график через Ft. Возьмем точку А (х0; ув) £ F. Тогда
~ / (*.)• 0)
Прибавим к обеим частям этого равенства Ь, получим верное равенство
y0 + b-f (x9) + b. (2)
Легко видеть, что, подставив в формулу искомого
графика у — / (*) + Ъ координаты точки Ах (х0; у0 + Ь),
получим равенство (2), а это означает, что А € Л. При преобразовании М(х\ у)-*-М' (х\ у + Ь) образом точки данного графика будет точка искомого графика.
Итак, график y=f(x)+b получается из графика y=f(x) параллельным переносом его вдоль оси ординат на \Ь\ единиц вверх при Ь>0 и вниз при £><0.
2. Постройте график функции #=f(*+a), если известен график функции y—f(x).
Пусть А(хь\ у0) £ F, т. е. данному графику. Тогда верны равенства у0 / (д:0) и у0 =■ / (х9 — а + а). Поэтому, подставив координаты точки Аг(х0— а; у0) в формулу искомого графика, получим верное равенство. Следовательно, А € Л, т. е. искомому графику. Преобразование М (х; у) -> М' (х — а; у) переводит график данной функции в график искомой.
Итак, график функции y=f(x+a) получается из графика y=f(x) параллельным переносом вдоль оси абсцисс на |а| единиц влево при а>0 и вправо при а<0.
3. Зная график функции y=f(x), постройте график функции y=f(x+a)+b.
Этот график получается композицией двух параллельных переносов: на \а\ единиц вдоль оси Ох и на \Ь\ единиц вдоль оси Фу. Направление переносов определяется знаками коэффициентов а и Ь (см. задачи 1 и 2). Так как композиция двух параллельных переносов есть также параллельный перенос, то нет надобности производить дважды перенос графика. Достаточно график у=Цх) перенести на вектор О А, где Л (-а; 6) (рис. 7).
Очевидно, что параллельный перенос применим не только к графику функции, но и к любому множеству точек координатной плоскости, т. е. к графику уравнения с двумя переменными. Так, например, графиком уравнения
(лг — ay + (y-b)* = R* является окружность хг + у* — R*, перенесенная на
вектор О А, где А (а; Ь).
Вообще, график уравнения F (х — а\ у — Ь) =* 0 получается переносом графика F (х; у) = 0 на вектор О А, где А (а; Ь) (рис. 8),
4. Зная график функции у в/(-*), построить график функции у — —- / (*).
Если точка А (х0\ у.) £ F, т. е. графику у — / (х), то точка А(дг§; — У0)€Л, т. е. графику у— — f (х), так как подставив координаты А в эту формулу, получим верное равенство —у0 = — / (х0), или у0 = «== /(х0). Соответствие М (х; у)->М'(х; —у) отображает график у = / (х) на график у ==• — / (л:).
Итак, графики y=f(x) и у=—f(x) симметричны относительно оси абсцисс.
С симметрией относительно оси абсцисс тесно связано построение графиков у=\1(х)\ и \y\=f(x). Эти графики не могут быть получены преобразованиями плоскости. Они изучались традиционно так, как это изложено в многочисленных пособиях. В этой статье их построение мы разбирать не будем.
5. Построить график функции y=f(—х), если известен график функции y—f{x).
Решение аналогично решению задачи 4: искомый график есть образ данного при преобразовании М(х; у)-* (—х\ у), т. е. симметричен данному относительно оси ординат.
С отражением графика от оси ординат связано построение графика функции */=^(1*1).
При таком изложении эта обычно трудная тема идет легко. Ее изучение можно дать наглядно, используя для объяснения теории и проведения самостоятельных работ серию диапозитивов «Преобразования графиков функций» (авторы А. Ю. Михайловская и К. С. Мура- вин), а для закрепления материала — семь фрагментов фильма «Преобразование графиков функций» («Школ- фильм», 1971), содержащих графики функций, известных учащимся VIII класса (или VII—по новой программе).
Особую трудность вызывает построение графиков, связанное с несколькими преобразованиями. Для четкого понимания необходимо сначала составить план построения, так как основные ошибки в этом случае связаны с неправильной последовательностью выполнения отдельных построений. Для ликвидации этих ошибок полезно разобрать все изученные преобразования, а также построения, связанные с графиками, аналитическое задание которых содержит знак модуля, на примерах с одной и той же первоначальной функцией. В этом случае, разнообразие кривых, получаю-
70

Рис. 9а
Рис. 9г
Рис. 9д
1 ■
1
1 •£* 0> ^
1|1 У=\фз\~2\
->
N
ЧУ
/
/
/
/
1
1
V
ч
1
-4
I
Рис. 9з
щихся из одной и той же исходной, наиболее ярко подчеркивает характер каждого построения, что помогает лучшему усвоению его учащимися. Разберем одно из таких упражнений.
6
4
Z
ii
ll
i V —
-2 О
1 г х
-2^
гу
\ I/
vl
'ч
ll1
ж) у = I
Построить графики:
4
а) ;
б) у
4
в) У“*_з-2;
г) у
4
д) У ” 1JCI — з — 2:
е) у
2 ; з) у =
Рис. 9и 4
1*-3|
о
\Х[ ’
1_4_ I х — 3 4
I* — 3|
— 2 2;
Учащиеся сопровождают построения краткими пояснениями:
а) График — гипербола, оси которой совпадают с осями координат (рис. 9 а).
4
б) Строим гиперболу у — — при *>0 (в правой
полуплоскости) и отражаем получившуюся кривую от оси ординат (рис. 96).
71

в) График получается переносом исходного графика 4 *—->
у — на вектор СМ, где А (3; —2) (рис. 9в). Для
удобства построения проведем асимптоты гиперболы через точку А.
г) Строим график уг « 2 (см* в))’ затем гРа‘
фик у — \ yt | (рис. 9г).
4
д) Строим график уt » — 2 для *>0 (т. е.
в правой полуплоскости) и отражаем его от оси ординат (рис. 9д).
е) Этот график получается переносом графика у *=* 4 —>
на вектор О А, где А( 3; —2) (рис. 9е). Кривая
симметрична относительно прямой х « 3. Очень важно подчеркнуть отличие згого графика от графика д).
Ж) У — I У\ Ь где У\ “ | ^ Стройм график у,
(см. д)) и часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, отражаем от оси абсцисс (рис. 9ж). График симметричен относительно оси ординат.
4
з) y = lyi|. где у, — [д._3| — 2 (см. е)), (рис. 9з).
и) Равенство возможно при 3 < х <! 5, где ух а
4
х"'— 3 —2>0. Строим график у,. Часть кривой,
лежащую в верхней полуплоскости, отражаем от оси абсцисс (рис. 9и).
Добросовестное отношение к занятиям, активное участие в них, старательное выполнение заданий говорит о том, что учащиеся чувствуют необходимость тех знаний, которые им дает этот курс.
Внеклассная работа
Л. М. ПАШКОВА
(Москва)
VII ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Взяв старт на школьных олимпиадах в декабре 1972 г., VII Всесоюзная олимпиада финишировала II— 17 апреля 1973 г. в г. Кишиневе.
По поручению Министерства просвещения СССР для руководства проведением заключительного этапа Всесоюзной олимпиады при Министерстве народного образования Молдавской ССР был создан оргкомитет, возглавляемый заместителем министра В. Е. Лемне. В состав оргкомитета вошли представители ЦК. КП Молдавии, ЦК ЛКСМ Молдавии, Министерства народного образования и других советских органов республики. Жюри, председателем которого был вице-президент АН Молдавской ССР академик В. А. Андруна- кевич, состояло из сотрудников института математики АН Молдавской ССР, Госуниверситета и других институтов республики, а также преподавателей и сотрудников Московского, Ленинградского, Киевского, Тбилисского государственных университетов, Сибирского отделения АН СССР и других вузов страны.
За несколько месяцев до заключительного этапа олимпиады началась работа по подготовке задач. Еще в феврале Центральный оргкомитет разослал во все области задачи, рекомендованные для включения в варианты на областных и республиканских (без областного деления) олимпиадах, что позволило несколько приблизить качество проведения олимпиад к единому желаемому уровню. После предварительных обсуждений задач — кандидатов на заключительный этап Всесоюзной олимпиады состоялись заседания жюри 6 апреля в Москве и 10 апреля в г. Кишиневе, где окончательно были приняты варианты задач первого и второго дня соревнований. В число задач по всем классам жюри включило наряду с трудными и сравнитель¬
но легкие задачи, доступные большинству учащихся. Большинство из предложенных задач не давало преимущества учащимся из математических школ, так как их решение не требовало знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательных школ. В целом варианты VIII, IX, X классов были разнообразны и в меру сложны.
12 апреля восьмиклассникам и десятиклассникам были предложены три, а девятиклассникам — четыре задачи. По решению жюри ко второму туру были допущены все участники, чтобы исключить случайность и дать большую возможность каждому проявить свои способности, показать математическую грамотность и умение логически мыслить. Между двумя днями, посвященными решению задач (по 4 часа каждый день), был устроен перерыв — день отдыха. 14 апреля всем участникам было предложено для решения по три задачи.
Жюри на своем заключительном заседании, которое состоялось вечером 15 апреля, присудило 11 первых, 29 вторых, 55 третьих премий, 253 участника награждены поощрительными грамотами, т. е. 348 учащихся из 588 были отмечены дипломами и грамотами. 50 победителей X класса получили рекомендации в высшие учебные заведения.
Результаты распределились по классам следующим образом:
Результаты
VIII кл.
IX кл.
X кл.
Всего
I премия
6
2
3
11
II премия
9
6
14
29
III премия '
9
13
33
55
Поощрительные грамоты
83
82
88
253
Как и прежде, на VII Всесоюзной олимпиаде по математике приняли участие как победители областных олимпиад этого года, так и те, кто получил I и II премии на VI Всесоюзной олимпиаде. Многие из них подтвердили прошлогодние результаты, а некоторые и улучшили их. Так например, бывший ученик школы № 70 г. Свердловска, теперь ученик ФМШ при МГУ Перцель Владимир, награжденный на предыдущей олимпиаде дипломом II степени по VIII классу, в этом году был награжден дипломом I степени по IX классу. Ученик школы № 7 Смоленска Будаев Виктор на олимпиаде прошлого года получил диплом III степени
72

по IX классу, а на VII олимпиаде стал обладателем диплома I степени по X классу. Учит его математике пять лет Ольшевская Вера Николаевна.
Следует отметить широкую географию победителей олимпиады. Отрадно, ^то на всесоюзную арену соревнований выходят ученики школ не только столичных городов, но и отдаленных городов, поселков, сел.
Многие из победителей олимпиады занимаются в кружках, школьных научных обществах, в школах юных математиков при университетах, в заочной математической школе при МГУ, в ЗФТШ при МФТИ, в кружках при Дворцах пионеров. Но, к сожалению, не каждый участник мог сказать, что в его школе работает математический кружок или читается факультативный курс по математике. Это, бесспорно, явилось одной из причин того, что некоторые участники уехали домой не вдохновленные победой.
В целом хорошо выступили команды Москвы, Ленинграда, Молдавии, Харьковской области, Латвии, г. Киева, г. Ростова-на-Дону.
В свободные от соревнований дни состоялись встречи участников олимпиады с учеными АН Молдавской ССР и Кишиневского госуниверситета, с редакторами журнала «Квант». 15 апреля, когда жюри проверяло работы и подводило итоги олимпиады, участники днем совершили увлекательные экскурсии по местам боевой и трудовой славы — на Дубоссарскую ГЭС, на место Ясско-Кишиневской операции, на родину Г. И. Котов- ского, по Пушкинским местам Молдавии. А вечером побывали в школах г. Кишинева, где состоялись вечера интернациональной дружбы.
Следует отметить весьма четкую организацию работы жюри в целом, и в частности координаторов по классам Я. Н. Константинова, Ю. И. Ионина, В. А. Скворцова и заместителей председателя жюри В. Д. Белоусова, Н. Б. Васильева.
16 апреля на закрытии олимпиады состоялось вручение дипломов победителям и специальных призов, учрежденных местными организациями.
На закрытии 588 участников олимпиады — представителей 152 областей, краев и республик и 49 членов жюри направили поздравления председателю постоянного жюри Всесоюзной олимпиады по математике академику
А. Н. Колмогорову с его славным семидесятилетним юбилеем.
Командам Москвы и Ульяновской области поручено по возвращении домой от имени всех участников возложить корзины цветов к Мавзолею в Москве и к памятнику В. И. Ленина в Ульяновске.
Приводим список победителей олимпиады.
I премия
VIII класс
Блох Александр — школа № 27 г. Харькова (учитель
A. В. Столин); Дерябина Галина — школа № 9 г. Каменска (учитель А. И. Столярова); Осипов Андрей — школа № 91 Москвы (учитель В. М. Сапожников); Перевалов Виктор — школа N° 51 г. Комсомольска-на- Амуре (учитель Е. С. Разумникова); Полонский Петр— школа № 7 'Москвы (учитель А. Г. Ланевич); Розен- штейн Борис — школа № 8 г. Каменец-Подольска Хмельницкой обл. (учитель Я. А. Войнова).
IX к л а с с
Гусаров Михаил — школа № 30 Ленинграда (учитель Т. И. Курсиш); Перцель Владимир — ФхЭДШ при МГУ, бывший ученик школы № 70 г. Свердловска (учитель Ю. А. Нестеренко).
X класс
Будаев Виктор — школа № 7 г. Смоленска (учитель
B. Я. Ольшевская); Гольцман Наум — школа № 179
Москвы (учитель Т. М. Балаболина); Егоррв Георгий — школа № 2 Москвы (учитель 3. М. Фотиева),
II премия
VIII класс
Августинович Сергей — школа № 95 г. Красноярска (учитель А. М. Темакова); Ахметзянов Андрей — школа № 110 г. Новосибирска (учитель О. С. Лукина); Ги- венталь Александр — школа № 2 Москвы (учитель
3. М. Фотиева); Домбровский Александр — школа №6 г. Кривой Рог (учитель Е. Т. Стиховна); Кац Михаил— школа № 37 г. Кишинева (учитель Ю. С. Бойко); Корпюшкин Александр — школа № 26 г. Риги (учитель Е. М. Тагер); Музыкантов Алексей — школа № 130 г. Новосибирска (учитель В. Э. Матизен); Продниек Валдиес — Лиелвардская средняя школа Огрского района Латвийской ССР (учитель С. Я. Гавейна); Смурое Михаил — школа № 2 г. Елабуги (учитель Р. К. Федорова).
IX класс
Ананьевский Игорь — ФМШ при ЛГУ (учитель Ю. И. Ионин); Баум Михаил — ФхЧШ при МГУ, бывший ученик школы № 40 г. Симферополя (учитель А. П. Тиня- ков); Данилов Леонид — ФМШ при МГУ, бывший ученик школы № 30 г. Ижевска (учитель Р. А. Басова); Дубицкий Владимир — школа № 239 Ленинграда (учитель Я. Ф. Родионова); Кряучукас Валентин — Шепе- товская средняя школа Купишского р-на Литовской ССР (учитель А. Дубриндис); Тюкавкин Дмитрий — школа № И г. Иркутска (учитель В. С. Зеликовская).
X класс
Андреев Александр — школа № 53 г. Пензы (учитель Е. В. Павленкова); Вайнтроб Аркадий — ФМШ при МГУ, бывший ученик школы № 19 г. Калинина (учитель
В. И. Дубовский); Грозман Павел — ФМШ при МГУ, бывший ученик школы № 40 г. Симферополя (учитель
А. А. Егоров); Кашкевич Сергей — школа № 3 г. Мо- лодечно (учитель Я. К. Грищук); Конягин Сергей — школа N° 19 г. Саратова (учитель 3. А. Андреева); Лещинер Дмитрий — школа № 57 Москвы (учитель
A. И. Шемякин); Лившиц Михаил — школа N° 30 Ленинграда (учитель Т. И. Курсиш); Любезник Геннадий— школа № 181 г. Киева (учитель Я. М. Янкеле- вин); Рогинский Леонид — ФМШ при ЛГУ (учитель
B. М. Харламов); Скрябин Сергей — школа № 69
г. Свердловска (учитель Р. М. Камаева); Тихонов
Олег — школа N° 126 г. Казани (учитель А. Я. Королева); Хухро Евгений — школа N° 165 г. Новосибирска (учитель С. Я. Сулина); Царанов Сергей — школа №37 г. Кишинева (учитель Г. В. Дратва); Юрша Константин — ФМШ при МГУ (учитель В. М. Харламов).
III премия
VIII класс
Белоглазое Сергей — школа № 1 Кишертского р-на Пермской обл. (учитель 3. М. Колобкова); Гейзель
Владимир — школа № 40 г. Новороссийска (учитель
Л. Р. Арутюнян); Генкин Леонид — школа № 40
г. Горького (учитель В. Я. Векслер); Кирпичевский Сергей— школа N° 28 г. Запорожье (учитель К. Я. Мей- зик); Митин Сергей — школа N° 32 г. Костромы (учитель М. Я. Маркевич); Мишин Николай — школа № 31 г. Ульяновска (учитель Г. В. Левич); Охитин Сергей — школа № 30 г. Оренбурга (учитель Л. С. Садович); Попова Ирина — школа N° 15 г. Астрахани (учитель К. С. Зенкина); Шлячкдв Сергей — школа № 9 г. Ка- менск-Уральска Свердловской обл. (учитель М. Я. Крохалева).
73

IX класс
Асколдавичюс Вилюе — школа № 1 г. Вильнюса (учитель Вишакене); Браилов Андрей — школа № 2
Москвы (учитель Г. А. Чувакина); Корнилов Петр — ФМШ при МГУ (учитель Б. М. Гуревич); Лебедев Геннадий — школа № 3 г. Бобруйска (учитель М. М. Бе- ненсон)\ Мерков Александр — школа № 91 Москвы (учитель Ю. П. Лысое); Муранов Юрий — Лачиновская средняя школа Касторенского района Курской обл. (учитель И. Ф. Болотов); Сивицкий Игорь — ФМШ при ЛГУ (учитель В. А. Алейнов); Скляр Григорий — школа № 27 г. Харькова (учитель А. В. Столин); Самородницкий Геннадий — школа № 3 г. Нежина Черниговской обл. (учитель М. И. Таран); Ткаченко Виктор — ФМШ при КГУ (учитель Л. И. Ващенко); Чернов Николай — школа № 95 г. Кривой Рог (учитель Л. П. Сыч); Чуприн Сергей — школа № 24 г. Пензы (учитель Г. Н. Транкина); Щербина Николай — школа № 80 г. Днепропетровска (учитель Д. М. Нузман).
X класс
Асташов Александр — школа № 5 г. Львова (учитель Д. Е. Чапля); Байбородов Сергей — школа № 145 г. Ташкента (учитель Я. А. Сандлер); Биншток Зинаида— школа № 47 г. Красноярска (учитель Г. М. Блан- ковская); Бринкевич Дмитрий — школа № 2 г. Новогру- дока (учитель А. Я. Ливенцев); Гомилко Александр — школа № 6 г. Хмельницкого (учитель О. В. Тютюник); Данилов Геннадий — школа № 7 г. Магадана (учитель М. Ф. Ахметшина); Дульгер Марк — школа № 35 Волг гограда (учитель В. Г. Никонова); Забежайло Михаил — школа № 5 г. Ростова-на-Дону (учитель А. Я. Ру- гарева); Захаров Сергей — ФМШ при МГУ (учитель
В. А. Гусев); Калантарян Сергей — школа № 3 г. Сте- панокерта (учитель Г. С. Гаспарян); Калугин Анатолий— ФМШ при МГУ (учитель В. В. Вавилов); Кауль Михаил — школа № 61 г. Фрунзе (учитель 3. Ф. Михалева); Кибкало Александр — школа № 3 г. Арзамаса (учитель Е. А. Богданова); Колосов Виктор — школа № 173 г. Киева (учитель М. Д. Колосов); Королев Владимир — школа № 58 г. Воронежа (учитель Д. Б. Смор- гонский); Кузьменко Виктор — школа № 8 г. Чернигова (учитель Н. Ф. Демчук)\ Крицштейн Семен — школа № 9 г. Калуги (учитель П. Г. Букатин); Макеев Владимир — ФМШ при ЛГУ (учитель В. М. Харламов); Маргулис Наум — школа № 2 г. Сороки Молдавской ССР (учитель Л. А. Маргулис); Николин Владимир — школа № 14 г. Львова (учитель Е. С. Бойкие); Орлов Леонид — школа № 3 г. Бобруйска (учитель М. Н. Бо- нинсон)\ Питман Аркадий — школа № 116 г. Одессы (учитель М. Л. Духовная); Пониманский Владимир — школа № 5 г. Ровно (учитель Л. М. Шлыкова); Саркисян Оганес — школа № 1г. Еревана (учитель
А. А. Степанян); Стецко Юрий — школа № 5 г. Черновцы (учитель М. И. Резникова); Талалай Александр— школа № 91 Москвы (учитель В. М. Сапожников); Тю- лягин Александр — школа № 34 Кировограда (учитель
A. С. Стрио/севский); Уголков Дмитрий — школа № 14 г. Рязани (учитель В. А. Силкин); Цицуашвили Автандил— ФМШ г. Тбилиси (учитель Г. Цулая); Чеховая Елена — школа № 38 г. Киева (учитель Е. С. Динер); Шестюк Александр — школа № 2 г. Николаева (учитель
B. Г. Дядюшко); Элимелах Семен — школа № 5 г. Брянска (учитель В. А. Живоюва); Эстеркин Александр — школа № 30 Ленинграда (учитель Т. И. Кур- сиш).
Специальные призы
Приз Кишиневского политехнического института имени С. Лазо:
1) За самое оригинальное решение олимпиадной за¬
74
дачи — Гамилко Александру — ученику X класса школы № 6 г. Хмельницкого;
2) Девочке, в третий раз получающей приз на Всесоюзной олимпиаде,— Чеховой Елене — ученице X класса школы № 38 г. Киева.
Приз института математики АН Молд ССР:
1) Юному математику Сибири—Перевалову Виктору— ученику VIII класса школы № 51 г. Комсомольска-на-Амуре;
2) Команде, наиболее успешно выступившей на олимпиаде,— команде Москвы.
Приз КГУ:
1) Самому молодому участнику из сельской школы, успешно выступившему на олимпиаде,— Белоглазову Сергею — ученику VIII класса школы № 1 Кишерт- ского р-на Пермской обл.;
2) Участнице олимпиады, показавшей лучшие результаты,— Дерябиной Галине — ученице VIII класса школы N° 9 г. Каменка Ростовской обл.;
3) Молдавскому школьнику, наиболее успешно выступившему на олимпиаде,— Царанову Сергею — ученику X класса школы № 37 р. Кишинева.
Приз Республиканского общества «Знание»:
1) Участнику олимпиады из сельской местности, наиболее успешно выступившему на олимпиаде,— Продни- ек Валдису — ученику VIII класса Лиелвардской средней школы Огрского р-на Латвийской ССР;
2) Участнице олимпиады из сельской местности, показавшей хорошие результаты на олимпиаде,— Студен- ковской Наталье — ученице IX класса деревни Андре- евки Мордовской АССР.
Приз ЦК ЛКСМ Молдавии — члену школьного комитета комсомола, успешно выступившему на олимпиаде,— Кряучюкас Валентину — ученику IX класса Шепетовской средней школы Купишского р-на Литовской ССР.
Приз Детской юношеской спортивной школы игр — спортсмену, успешно выступившему на олимпиаде,— Хайрулаеву Залимхану — ученику VIII класса Детской спортивной школы Дагестанской АССР.
Приз Детской туристской станции — участнику олимпиады, совершившему большое путешествие на Всесоюзную математическую олимпиаду и показавшему хорошие результаты,— Лукьянову Дмитрию — ученику VIII класса школы поселка Тикси Якутской АССР.
Приз станции юных техников — участнику олимпиады — призеру физических и математических олимпиад — Маргулису Науму — ученику X класса школы г. Сороки Молдавской ССР.
Приз Республиканского Дворца пионеров и школьников — самому юному участнику олимпиады — Щербакову Анатолию — ученику VI класса школы № 3 г. Павлодара.
Приз Котовского оно:
1) Участнику олимпиады из сельской местности, показавшему хорошие результаты,— Островецкому Ледни- ду — ученику X класса школы села Держановки Черниговской обл.;
2) Участнику команды Грузии, показавшему хорошие результаты,— Цицуашвили Автондилу — ученику X класса ФМШ г. Тбилиси.
Приз Кишиневского пединститута имени Крянга — учителю, ученики которого неоднократно бывали призерами Всесоюзной олимпиады,— Столину Аркадию Владимировичу — учителю школы № 27 г. Харькова.
Приз Тираспольского пединститута имени Шевченко— учительнице сельской школы, ученик которой наиболее успешно выступил на олимпиаде.— Гюищук Нине Константиновне — учительнице школы № 3 г. Молодечно Минской обл.

Н. Б. ВАСИЛЬЕВ, Г. ▲. ГАЛЬПЕРИН, М. Л. ГЕРВЕР, В. А. СКВОРЦОВ
(Москва)
ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА VII ВСЕСОЮЗНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЕ
Условия задач
VIII класс
1. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й. по 14-ю — настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта — чашечные весы без гирь.
а) Эксперт хочет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые. Как он может это сделать, используя только три взвешивания?
б) Покажите, что с помощью трех взвешиваний он может доказать даже больше: что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие.
(Р. В. Ф р е й в а л ь д)
2. Докажите, что девятизначное число, в записи которого участвуют все цифры, кроме нуля, и которое оканчивается цифрой 5, не может быть полным квадратом целого числа.
(Г. А. Гальперин)
3. Дано п точек, п>4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).
(Г. Ш. Фридман)
4. На сторонах остроугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены три подобных между собой остроугольных треугольника АС\В, ВАХС, СВ\А (при этом Z.ABXC—/-ABC\~Z-A\BC, Z.BCAi=z ZBiCA, ZCABt^ZCiAB).
а) Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников АСХВ, ВА^С и СВХА, пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что в той же точке пересекаются прямые АА\, ВВ\ и СС\.
5. N человек не знакомы между собой. Нужно так поанакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трех людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N.
(Г. А, Гальперин)
6. Король обошел шахматную доску 8X8, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле (король ходит по обычным правилам). Когда нарисовали его путь, соединив отрезками центры полей, которые он последовательно проходил, то получилась замкнутая ломаная без самопересечений.
а) Приведите пример, показывающий, что король мог сделать ровно 28 ходов по горизонталям и вертикалям.
б) Докажите, что он не мог сделать меньше чем 28 таких ходов.
(А. В. Ход у лев)
IX класс
1. Задача 1 б) из VIII класса.
2. Дан угол с вершиной О и окружность, касающаяся его сторон в точках А и В. Из точки А параллельно ОВ проведен луч, пересекающий окружность в точке С. Отрезок ОС пересекает окружность в точке Е, а прямые АЕ и ОВ пересекаются в точке К. Доказать, что ОК=КВ.
(Е. В. Саллинен)
3. Действительные числа а, Ъ, с таковы, что для всех чисел xt удовлетворяющих условию —1г^;*г^1, выполнено неравенство
|ах2+&х+с|<;1.
Доказать, что при этих значениях х выполнено также неравенство
\сх2+Ьх-\-а\ ^2.
(Ю. И. Ионин)
4. Теннисная федерация присвоила всем входящим в нее теннисистам квалификационные номера: сильнейшему — первый номер, следующему по силе — второй и т. д. Известно, что во встречах теннисистов, квалификационные номера которых различаются более чем на 2, всегда побеждает спортсмен с меньшим номером. Турнир, в котором участвуют 1024 сильнейших теннисиста, проводится по олимпийской системе: участники очередного тура разбиваются по жребию на пары и в следующий тур выходит победитель в каждой паре, так что число участников после каждого тура уменьшается вдвое. Таким образом, после десятого тура будет выявлен победитель. Какой наибольший номер может он иметь?
(В. Б. Алексеев)
5. Дан треугольник с площадью 1 и сторонами а, Ь, с. Известно, что а'^Ь'^с. Доказать, что
6. Дан выпуклый /г-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя провести больше п прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.
(Е. В. Саллинен)
7. Задача 6 из VIII класса (в формулировке для IX и X классов ответ «28» не был указан, а требовалось узнать, какой наименьший и какой наибольший по длине путь мог проделать король).
X класс
1. Квадратный трехчлен f(х) =ах2-\-Ьх+с таков, что уравнение f(x)~x не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение f(f(x))=x также не имеет вещественных корней.
(Ю. И. Ионин)
2. Задача 2 из IX класса.
3. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги п клеток закрашено в черный цвет. В моменты времени /=1, 2, ... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу. Каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трех клеток: самой клетки k и ее соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были черными,— то черной).
а) Доказать, что через конечное время на листе не останется черных клеток.
б) Доказать, что черные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени /=а.
(A. J1. Т о о м)
75

4. Доказать, что если Х\, Хг, х3, х4, х5 — положительные ЧИСЛа, ТО (Xi-\-X2-{-X3-\-X4 + X5)2'^4(X1X2+X2Xs+ +Х3Х4+Х4Х5 + Х5Х1).
(Б. Д. Гинзбург)
5. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?
(Н. Б. Васильев)
6. Задача б из VIII класса.
Статистика результатов
В следующей таблице показано, сколько человек получили полное решение каждой задачи (быть может, с небольшими недочетами).
Таблица 1
VIII
IX
Число
участников
159
Первый день
1а 16 2 3 46 11 38 37
Второй день
202
227
12 3 4 24 30 11 29
5 6 7 138 6 10
1 2 За 36 4 5 6
84 69 97 4 30 23 19
Решения задач1
VIII класс
1. Решим сразу задачу б).
1-е взвешивание. Эксперт кладет на левую чашку 1-ю монету, на правую —8-ю. Так как правая чашка перевешивает, то суд убеждается, что 1-я монета — фальшивая, а 8-я — настоящая.
2-е взвешивание. Эксперт добавляет на левую чашку 9-ю и 10-ю монеты, а на правую — 2-ю и 3-ю. Левая чашка перевешивает. Суд убеждается, что на левой чашке настоящих монет больше, чем на правой (т. е. 9-я и 10-я монеты — настоящие), а на правой фальшивых монет больше,. чем на левой (т. е. 2-я и 3-я монеты — фальшивые).
3-е взвешивание. Эксперт кладет на левую чашку 4-ю, 5-ю, 6-ю, 7-ю, 8-ю, 9-ю и 10-ю монеты, а на правую—ll-ю, 12-ю, 13-ю, 14-ю, 1-ю, 2-ю и 3-ю монеты. Снова на правой чашке настоящих монет больше, чем на левой, а на левой — фальшивых больше, чем на правой, т. е. четыре новые монеты на левой чашке — фальшивые, а на правой — настоящие.
2. Предположим противное. Допустим, что некоторое девятизначное число D, в записи которого участвуют все цифры, кроме 0, и которое оканчивается на 5, является полным квадратом: D—AK Число А тогда обязательно оканчивается на 5: Л = 10а+5. Следовательно, D — \ 00 а2 + 100а + 25 = 100а (а+1) + 25.
Отсюда следуют два вывода: 1) предпоследняя цифра D — это 2; 2) третьей справа цифрой D может быть не любая цифра, а только такая, на которую может оканчиваться число вида а(а+1); из таблицы I видно, что а(а+1) может оканчиваться на 0, на 2 и на 6, но по условию в записи D нет нуля, а двойка встречается только раз; следовательно, третья справа цифра —* это 6.
1 Решения задач VIII класса написаны М. Л. Герве- ром, IX класса — Г. А. Гальпериным, X класса —• В. А. Скворцовым.
0-1
ю
К)
со
3-4 I
4-5
5-6 ]
м
м
| 8-9
|э-о
0
2 | 6
2 I
1 0
° 1
121
61
1 2
1 0
4а 46 5 6а 66 3Ь 31 71 136 7
Итак, D оканчивается на 625, т. е. D== 10005+625. Значит, D делится на 53, но, будучи полным квадратом, D делится тогда и на 54, т. е. В обязано делиться на 5. А тогда последняя цифра В — либо 0, либо 5, т. е. четвертая справа цифра D — либо 0, либо 5. Ни то, ни другое, однако невозможно: нуля в записи D вообще нет, а пятерка встречается лишь раз.
Пришли к противоречию — задача решена.
3. Утверждение задачи докажем по индукции. Пусть я точек Т\, •••, Тп соединены стрелками так, как требуется в условии: из каждой точки в раждую можно попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум. Добавим к точкам Т\, Тп еще 2 точки: А и В и проведем (рис. 1) новые стрелки
Рис. 1
1) из Л во все точки Т\, ..Тп,
2) из всех точек Ти ..Тп в В,
3) из В в Л.
Теперь из Т* в 7* (l^i, k<^.n) можно попасть по одной или двум старым стрелкам, из Л в 7*(1^/^я) ведет одна новая стрелка и т. д. (табл. 2).
Таблица 2
Из Ti в Tk ведут 1 или 2 старые стрелки Из Л в Ть ведет 1 новая стрелка
Из А в В ведут 2 новые стрелки
Из В в А ведет 1 новая стрелка Из В в Ti ведут 2 новые стрелки
Из Ti в В ведет 1 новая стрелка
Из Ti в А ведут 2 новые стрелки
Таким образом, (/г+2) точки Т1у ..., Гп, Л и В соединены стрелками так, как требуется в условии.
При я=3 стрелки проводятся так,, как изображено на рис. 2. j
Прибавляя по 2 точки описанным выше способом, получаем решение задачи для любого нечетного я> 3.
Чтобы решить задачу для четных п>4, осталось указать, как проводятся стрелки при п=6, Соответствующее построение приведено на рис. 3.
Случай четных п приходится рассматривать, начиная с /г=6, а не с п=4, потому, что при п=4 задача неразрешима: соединить 4 точки стрелками так, как требуется в условии, нельзя.
4. Мы докажем оба утверждения: и а), и б) одновременно.
По условию Zj3C4i=Z.£iCM (рис, 4), добавляя к ним один и тот же ZACB, получаем
ZЛ1CЛ=:ABC£l. (1)
Из подобия AAiCB и ААСВХ следует, что
ВС ВгС
76

В,
Согласно (1) и (2) АА{СА подобен ABCBi.
Значит, если повернуть АА\СА около точки С на Z-AiCB, то луч СА\ перейдет в СВ, луч СА — в СВи а отрезок А\А станет параллельным ВВ\. Следовательно, отрезки АА\ и BBi пересекаются под углом, равным ZAiCB:
ZA1DB—Z.A1CB, jLADBx = Z-ACBx.
Значит, их точка пересечения D принадлежит как окружности а, описанной около АА\ВС, так и окружности Р, описанной около ААВХС.
Последний результат переформулируем так: точка пересечения АА\ и а совпадает с точкой пересечения ВВХ и р.
Осталось понять, что они совпадают с точкой пересечения СС\ и у (где у — окружность, описанная около ААВСх). Это так: ведь все три пары — ААХ и а, ВВ\ и р, СС1 и у — совершенно равноправны. Задача решена.
5. Перенумеруем всех N человек. W-ro познакомим со всеми остальными, (N—1)-го со всеми остальными, кроме 1-го, (N—2)-го — со всеми остальными, кроме 1-го и 2-го, и т. д. Обозначим через ak число знакомых у k-то человека. Тогда при N—3 «1 = 1, «2 = 1, «з=2; при N=4 «1 = 1, «2=2, «з=2, «4 = 3; и вообще при N—2n и при N=2n+l «1 = 1 <... <«n=«n+i< ...
...<aN — N—1, т. е. ни у каких трех человек нет одинакового числа знакомых.
6. а) Пример, показывающий, что король мог сделать ровно 28 ходов по горизонталям и вертикалям, приведен на рис. 5.
Рис. 5
Рис. 6
б) Выделим на доске каемку из 28 полей (рис. 6). Обходя дбску, король побывал по разу на всех полях. В частности, он сделал 28 ходов на поля, принадлежащие каемке. Занумеруем эти поля числами 1, 2, ..., 28
Рис. 7
Рис. 8
в том порядке, в котором король попадал на них. Весь путь короля разобьется тогда на 28 участков: от поля 1 до поля 2, от поля 2 до поля 3, ...» от поля 28 до поля 1 (рис. 7).
Докажем, что при' любом обходе доски, не имеющем самопересечений, каждый участок обязательно имеет оба конца на соседних полях каемки.
Предположим противное: пусть существует такой
обход, для которого хоть один из 28 участков имеет концы не на соседних полях (участок АВ на рис. 8). Так как путь короля — замкнутая линия, то начало и направление обхода можно выбрать произвольно. В соответствии с этим будем считать, что при обходе, участок которого изображен на рис. 8, король начинает путь именно с поля А и идет в направлении к полю В. Так как А и В — не соседние поля, то участок АВ разбивает доску на 2 части, отгороженные ломаной АВ друг от друга. Возьмем 2 поля (С и /)), принадлежащие разным частям. Возвращаясь из В в А, король должен побывать на полях С и D. При этом ломаная CD обязательно пересечет АВ. Получили противоречие с условием, что путь короля не имеет самопересечений.
Итак, каждый из 28 участков имеет концы на соседних полях каемки. На шахматной доске с обычной раскраской они — разного цвета. Значит, каждый из 28 участков содержит хоть один ход, «меняющий цвет»,— т. е. ход либо по горизонтали, либо по вертикали. Таким образом, всего таких ходов не меньше 28.
IX к л а с с
2. Треугольники ОЕК и ОАК (рис. 9) подобны, так как ^ОКА у них общий, а г^ЕОК = ^ОАК (поскольку AC II ОВ, а ^ ОСА = ^ ОАК, так как оба эти угла измеряются -j" ^АЕ
Рис. 9
ЕК
Поэтому щг
ОК
следовательно, О К2 — ЕК •
С другой стороны, ВК2=ЕК-АК по теореме о каса¬
77

тельной и секущей. Из написанных равенств вытекает требуемое равенство ОК—ВК.
3. Без ограничения общности можно считать числа а и b неотрицательными (что достигается заменой знака всего выражения ах2+Ьх-\-с на противоположный, или же заменой х на (—х)). Сделав подстановки *=1, х=—1 и х=0 в неравенстве \ах2-\-Ьх+с\ ^1, получаем \a+b+c\ < 1, \а—Ь+с\ < 1 и |с|<1, откуда |а+6|г^2и \а—b| ^2.
Пусть с^О. Из очевидных неравенств —b^bx^b получаем:
—2 а—Ь<^.сх2-\-Ьх-\-а^.Ь+с+а^ 1.
Если же с<0, то из с^сх2^0 и —bz^bx^b следует, что
—1 ^а+с—b ^.cx2+bx+a^.a-{-b ^ 2. Неравенство \сх2+Ьх-\-а\ ^2 тем самым доказано.
Аналогичные, но несколько более длинные рассуждения привели к желаемому результату многих школьников, решавших эту задачу.
4. Ответ: Победитель может иметь наибольший номер 20.
Каждый раз после очередного тура будем рассматривать номер сильнейшего теннисиста.
Ясно, что от тура к туру он не уменьшается, причем увеличиться он может не более чем на 2.
Стало быть, номер сильнейшего теннисиста не превосходит
после первого тура — 3,
после второго тура — 5,
........
после десятого тура — 21.
Покажем, однако, что теннисист с номером 21 не мог стать победителем. Предположив противное, получаем, что после i-го тура номер сильнейшего теннисиста равен 2/-Ы (если бы для какого-либо i этот номер был строго меньше 2i+l, то теннисист с номером 21 не был бы победителем). Следовательно, после первого тура выбыли игроки с номерами 1 и 2 (проигравшие 3-му и 4-му), после второго — игроки с номерами 3 и 4 (проигравшие 5-му и 6-му) и т. д. Наконец, в финал вышли игроки с номерами 19 и 20, выигравшие полуфиналы; ясно, что при этом теннисист с номером 21 победителем не стал. Получилось противоречие, которое и доказывает сделанное выше утверждение.
Осталось привести пример соревнований, в которых победителем оказывается номер 20. Лучше всего это сделать в общем виде, когда всего игроков — 2П, а победителем становится теннисист с номером 2п. Пример построен на индукции: считаем, что уже имеется пример с 2П-1 игроками. Разбиваем теперь всех 2П игроков на два никак не взаимодействующих друг с другом лагеря по 2п~1 игроков в каждом.
I лагерь: 2п, 2п—1 и более слабые игроки;
II лагерь: 1, 2, ..., 2п—2 и оставшиеся более сильные игроки.
Теннисисты играют таким образом, что победителем лагеря I становится игрок с номером 2гг, а (пользуемся предположением индукции) победителем лагеря И становится теннисист с номером 2п—2. Итак, в финале встречаются игроки 2п и 2п—2, а побеждает теннисист с номером 2п.
Ьс Ьг
5. Площадь треугольника 1 < '"jjr, откуда 2.
6. Пусть каждая из k прямых, проходящая через точку О, делит площадь данного /2-угольника М пополам. Построим многоугольник Мсимметричный М относительно точки О. В каждом из 2k углов, на которые k прямых делят плоскость, должна находиться по край-
Рис. 10
ней мере одна точка пересечения контуров М и М\ поскольку площади двух кусков многоугольника^ №> расположенных в вертикальных углах с вершиной О, равны (рис. 10). Поэтому контуры многоугольников М и М' пересекаются не менее чем в 2k точках. Но на каждой стороне выпуклого я-угольника М может лежать не более двух таких точек пересечения. Поэтому 2k ^ 2й, откуда k ^ я.
X класс
1. Из того что уравнение f(x)=x не имеет вещественных корней, следует, что квадратный трехчлен f(x)—х нигде не обращается в нуль и, значит, для всех х принимает значения одного и того ж§ знака. Итак, следует рассмотреть два случая: 1) f(x) ^ х для всех х; 2) f(x)<x для всех х.
Рассмотрим первый случай и, взяв произвольное вещественное число Xq, запишем неравенство f(x)>x для значений x=f(x0) и х=х0. Получим f (f(x0)) >f (*о) и f (*о) >*о. Откуда f(f(xо))>*о, т. е. в первом случае уравнение f(f(x))—x не может иметь вещественных корней. Аналогично рассматривается второй случай.
3. а) следует из б), поэтому мы докажем непосредственно пункт б). Доказательство проведем индукцией по числу п. При п== 1 утверждение очевидно. Предположим, что оно доказано для всех я<я<ъ и покажем, что оно верно при л=Яо. Рассмотрим составленный из целого числа клеток прямоугольник Р, содержащий все По черных клеток и такой, что в его самом левом столбце клеток, а также в его самой нижней строке клеток содержится по крайней мере по одной черной клетке. Прямоугольник, получающийся из Р отбрасыванием левого столбца, обозначим через Р' (рис. 11). Очевидно, он содержит менее щ черных клеток, и по предположению индукции эти клетки, рассмотренные изолированно от клеток отброшенного левого столбца, исчезают не позже, чем в момент *=Яо—1. Легко, однако, заметить, что наличие черных клеток в левом столбце прямоугольника Р никак не влияет на процесс перекрашивания клеток, находящихся в прямоугольнике Ри может лишь вызвать появление новых черных клеток в этом левом столбце. Таким об-
Рис. И Р
7 Ь

разом, применяя наше правило к совокупности всех По клеток, получаем, что в момент времени t=nо—1 в прямоугольнике Р' не будет содержаться ни одной черной клетки. Точно так же докажем, что в момент времени t=n0—1 не будет содержаться ни одной черной клетки в прямоугольнике Р", получающемся из Р отбрасыванием нижней строки клеток. Поскольку ясно, что ни в какой момент времени черные клетки не могут образоваться вне Р, то в момент t=n0—1 черной может остаться только клетка, не лежащая ни в Р', ни в Р", т. е. клетка, расположенная в левом нижнем углу прямоугольника Р. Она исчезает в момент t=no, т. е. в этот момент исчезнут все черные клетки.
4. Заметим, что ни левая, ни правая часть неравенства не изменится, если сделать циклическую замену индексов, т. е. если ввести новую нумерацию чисел Х\,
Хз, *4, *5, сохраняющую их взаимный порядок следования друг за другом (считаем, что за числом *5 следует число Х\). Поэтому можно наибольшему из данных пяти чисел приписать любой индекс по нашему желанию. Нам будет удобно считать, что число *2 является наибольшим (точнее *‘=1, 2, 3, 4, 5). Перенося обе
части неравенства влево и преобразуя, получаем слева выражение
х\ + х\ + Х1 + х\ + *5 ~ 2xixt — ?хгх> —
— 2х,х4 — 2x4xs — 2х,х, + 2х,х, f 2xtxt +
+ 2лг2лт* + 2хгхъ + 2х,хъ —
— (Л, — Х2 + х,)г + (х4 — x5)s +
+ 2xt (х, + xs — X,) + 2хс (x2 + х, — X,).
Учитывая, что х2^х3. *2^*1 и что все числа Х{ по условию положительны, видим, что полученное выраже¬
ние неотрицательно. Тем самым неравенство доказано. (Фактически, доказано даже строгое неравенство.)
5. Выберем 3 из данных точек: А, В и С. По условию четвертая точка D лежит вне плоскости АБС. Рассмотрим ААВС. Очевидно, возможны лишь три взаимно исключающих друг друга случая: из сторон треугольника ABC являются ребрами параллелепипеда 1) две стороны, 2) одна сторона, 3) ни одна не является ребром. Подсчитаем число различных параллелепипедов в каждом из этих случаев.
В первом случае пару ребер из тррх сторон можно выбрать тремя способами. При каждом выборе ребер однозначно определяется грань параллелепипеда в плоскости ABC. При этом точка D должна лежать в параллельной грани и может в ней занимать положение любой из четырех ее вершин, определяя тем самым 4 различных параллелепипеда. Итак, в первом случае существует 3-4 = 12 различных параллелепипедов.
Во втором случае любую из трех сторон можно выбрать в качестве ребра. Легко заметить, что при каждом таком выборе одна из двух оставшихся сторон должна являться диагональю некоторой грани параллелепипеда. И, наконец, точка D может занимать любое из двух положений на ребре, параллельном ребру, выбранному в плоскости АБС. Итак, во втором случае имеем 3-2-2=12 возможностей.
Наконец, в третьем случае в плоскости A ABC нет больше ни одной вершины параллелепипеда, и точка D может занимать положение любой из 5 оставшихся вершин, каждый раз определяя один и только один параллелепипед.
Итак, всего существует 12+12+5=29 различных параллелепипедов.
И. Н. БЕРНШТЕЙН, Г. А. ГАЛЬПЕРИН,
А. А. КИРИЛЛОВ
(Москва)
XXXVI МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
В феврале — марте 1973 г. проходила XXXVI Московская математическая олимпиада. Председателем Оргкомитета олимпиады был профессор МГУ А. А. Кириллов. В олимпиаде приняли участие более четырех тысяч московских школьников.
Приведем условия задач XXXVI олимпиады, а также краткие решения некоторых из них. Решения других задач будут опубликованы в журнале «Квант».
Условия задач
I ТУР VIII класс
1. На квадратном острове расположено несколько зон отдыха. Можно ли разбить эти зоны отдыха на меньшие так, чтобы не появилось новых точек, где пересекаются границы, и чтобы можно было раскрасить карту этого острова в два цвета (зоны отдыха, имеющие общий участок границы, должны быть раскрашены в разные цвета)?
2. Может ли число, составленное из шестисот шестерок и некоторого количества нулей, быть квадратом целого числа?
3. На плоскости даны пять точек общего положения, т. е. никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Доказать, что можно отметить три из этих точек так, что одна из оставшихся точек будет лежать внутри окружности, проходящей через них, а другая — вне этой окружности.
4. Для каждого натурального числа р рассмотрим уравнение
1 1 1
х + у ~ Р •
Мы ищем решения (х, у) этого уравнения в натуральных числах (при этом считается, что решения (х, у) и (уу х)—различные, если хфу). Доказать, что если р — простое число, то уравнение имеет ровно три решения, а если р — составное, то число решений больше трех.
5. В трех вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, т. е. прыгают друг через друга. При этом если кузнечик А прыгает через кузнечика В, то после прыжка он оказывается от В на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли после нескольких прыжков один из них попасть в четвертую вершину квадрата?
IX класс
1. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Доказать, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.
12. Квадрат разбит на выпуклые многоугольники. Доказать, что их можно подразбить на меньшие выпуклые
*
79

многоугольники так, чтобы в новом разбиении квадрата каждый многоугольник граничил с нечетным числом соседей (соседи — многоугольники с общей стороной).
3. Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трех целых точках он принимает значение 2. Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.
4. В городе N с любой станции метро можно проехать на любую другую. Доказать, что одну из станций можно закрыть на ремонт (без права проезда через нее) так, чтобы с любой из оставшихся станций можно было проехать на любую другую.
5. Грани кубика занумерованы числами 1, 2,.., 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Имеется шахматная доска 50 X 50 клеток; каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку; при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться йле- во или вниз). Затем в каждой клетке на пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?
X класс
1. С натуральным числом k производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей k=r?pi'p29—mpn, затем вычисляется сумма р\ + р2 + ... + рп + 1. С полученным числом производится та же операция и т. д. Доказать, что последовательность получающихся чисел начиная с некоторого момента будет периодической.
2. См. IX класс, задача 1.
3. Многочлен Р(х) с целыми коэффициентам^ при некоторых целых х принимает значения 1, 2 и 3. Доказать, что существует не более одного целого х, при котором значение этого многочлена равно 5.
4. Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
5. На черном ящике находятся табло с k лампочками и пульт из k переключателей на два положения (тумблеров). При переборе всевозможных состояний пульта на табло последовательно загораются все возможные комбинации лампочек. Состояние табло однозначно определяется состоянием пульта. Известно, что всегда при переключении одного тумблера гаснет или загорается ровно одна лампочка. Доказать, что состояние каждой лампочки зависит от положения ровно одного переключателя (для каждой лампочки—своего).
II ТУР VII класс1
1. Из некоторого четырехзначного числа вычли другое, составленное из тех же цифр, но расположенных в обратном порядке. Может ли получиться число 1008?
2. Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают кругами, центры которых лежат в вершинах треугольника, а радиусы равны его высотам, проведенным из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.
3. Лист бумаги размером 100 X 100 клеток раскрасили в 100 цветов. (Каждую клетку закрасили одним из 100 цветов или не закрасили вообще.) Раскраска называется «правильной», если в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеток одинакового цвета. Можно
1 Для VII класса, как и в прошлые годы, I тур олим¬
пиады не проводился.
ли докрасить лист «правильным» способом так, чтобы
оказались закрашенными все клетки, если перроначаль- но были «правильно» закрашены: а) 1002 — 1 клеток;
б) 1002 — 2 клеток; в) 100 клеток?
4. В центре квадрата находится лиса, а в одной из его вершин — заяц. Лиса может бегать по всему квадрату, а с?аяц:—только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость зайца в 2,9 раза больше максимальной скорости лисы. Лиса хочет оказаться вместе с зайцем на одной стороне квадрата. Всегда ли она сможет этого добиться?
VIII класс
1. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояния от нее до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили два полученных числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?
2. См. VII класс, задача 3.
3. См. VII класс, задача 4.
4. Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна его сторона будет совпадать со стороной пятиугольника и весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.
IX класс
1. С любым 100-значным числом разрешается проделывать следующую операцию: отметить любые 10 цифр, стоящих подряд, и поменять первые пять из них с оставшимися пятью (первую — с шестой, вторую — с седьмой, .., пятую — с десятой). Два 100-значных числа, получающиеся друг из друга несколькими такими операциями, называются «подобными».. Какое наибольшее количество 100-значных чисел, состоящих из единиц и двоек, можно выбрать так, чтобы никакие два из них не были «подобны»?
2. На бесконечной шахматной доске проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось k черных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?
/ п 4- /л* —4 У
3. Дано число А — 1 g / » где л > 2 —
натуральное число. Доказать, что существует такое натуральное число я, что А — ^ •
4. На каждом из концов отрезка поставлено число 1. Первым шагом между этими числами ставится их сумма— число 2. На следующем шаге между каждыми двумя соседними числами ставится их сумма и т. д. (после второго шага получится 1, 3, 2, 3, 1; после третьего— 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1 и т. д.). Сколько раз будет написано число 1973 после миллиона шагов?
5. См. VII класс, задача 4.
X класс
1. Дано число
, ( п-\- •/л1 —4
2
где тп и п — натуральные числа (тга, л!>2). Доказать» что существует такое натуральное число к, что
k +yrki — 4
А 2
80

2. Проведены биссектрисы плоских углов трехгранного угла. Доказать, что углы между биссектрисами, взятыми попарно, либо одновременно все острые, либо все тупые, либо все прямые.
3. 12 маляров живут в 12 голубых и белых домах, расположенных по кольцевой дороге. Каждый месяц один из маляров, взяв с собой достаточное количество белой и голубой краски, выходит из дома и идет вдоль кольцевой дороги по часовой стрелке. По дороге он перекрашивает все дома (начиная со своего) в противоположный цвет. При этом он кончает работу, как только перекрасит какой-либо белый дом в голубой цвет. В течение года каждый маляр ровно один раз проделывает такое путешествие. Доказать, что в конце года каждый дом будет покрашен в первоначальный цвет, если в начале года хотя бы один дом был голубым.
4. См. IX класс, задача 1.
5. По арене круглого цирка радиуса 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан (см. рис. 1).
Указания и решения
I ТУР VIII класс
1. Достаточно «раздвоить» все границы зон отдыха (рис. 2,а), как это показано на рис. 2,6.
О) 6)
Рис. 2
2. Если число — точный . квадрат, ш оно оканчивается четным числом нулей, и их можно отбросить. Оставшееся число имеет вид 2В, где В — число из 600 троек и некоторого количества нулей, оканчивающееся на 3. Так как В — нечетно, то 2В — не точный квадрат.
3. Найдутся две точки А и В, такие, что оставшиеся три лежат по одну сторону от прямой АВ. Обозначим эти точки буквами Си С2, Сз так, чтобы
АСХВ < ^ ЛС2В < ^ АСгВ.
Тогда С8 находится внутри окружности, проходящей через точки А, В, С2, а С, — вне ее.
4. Ясно, что для любого р > 1 имеются три решения:
<2р, 2р). (р +1, р (р 1)) и (р (р + 1), р + 1).
Если р ~ ab — составное, то есть еще решения: например
((Л ”f~ 1) bt CL (CL *j" 1) Ь).
Осталось показать, что для простого р других решений нет.
Очевидно, что х, у > р, т. е. х = р -f qt у = р + г. Тогда
1 1
Р + Я +Р + г = Р
и, следовательно, qr = р2. Так как р — простое, то никаких решений, кроме (1, р2), (/?, р) и (р2, 1), уравнение не имеет.
IX класс
2. Сначала все многоугольники разобьем на треугольники так, чтобы никакая вершина треугольника не лежала внутри стороны другого. Ясно, что все внутренние треугольники граничат с тремя (нечетным числом) треугольниками. Осталось разобрать случай, когда одна из сторон треугольника лежит на стороне квадрата. В этом случае надо разбить треугольник так, как показано на рис. 3,
3. Как известно, для любых целых а и b (аФЬ) число ak — bh делится на а — Ъ. Поэтому данный многочлен Р(х) таков, что Р(а)—Р(Ь) делится на а — Ь. Если Р(х) принимает значение 2 в точках аи а2, «з и значение 3 в точке 6, то 1=Р(&)—Р(й{) делится на Ъ — а*, откуда \сц — b |=1. Ясно, что для всех i одновременно это не выполняется (i=l, 2, 3).
4. Пусть А — произвольная станция метро. Тогда найдется такая станция В, до которой от А ехать дольше всего. Ее и надо закрыть.
X класс
1. Леммд. Если числа а, b >. 2, то а4* b <! ab. Обо значим через / (k) число, получающееся из числа k одной операцией. Воспользовавшись леммой, получаем, что всегда /(й)<Л+1- При эгом, если k — четное и k > 7, то
f(k) «= 2 + р2 -j- • • • + рп + 1 =* в 3 + Pt + • • • + Рп ^ 3 + /V • • • * Рп —
* f k \
~3 + —-3j<*.
Отсюда вытекает, что после двух шагов для любого числа k^7 выполнено неравенство f(f(k))^.ky т. е. рассматриваемая последовательность принимает лишь значения из отрезка [1, 6+ 1]. Поэтому она принимает по крайней мере два раза одно и то же значение и, стало быть, с этого момента является периодической.
81

5. а) Ясно, что в любом положении тумблеров положение любой фиксированной лампочки можно изменить переключением какого-то одного тумблера: для этого достаточно заметить, что переключениям разных тумблеров соответствует изменение состояний у разных лампочек.
б) Приведем все тумблеры в такое состояние, чтобы все лампочки оказались потушенными. Это состояние каждого тумблера назовем выключенным, а противоположное — включенным.
Ясно, что если включено k тумблеров, то горит l^lk лампочек. Докажем, что l^k. Если /<;£, то можно переключить так I тумблеров, чтобы все лампочки погасли (см. п. а)), получим, что все лампочки погашены, хотя не все тумблеры выключены. Итак, l—k.
в) Занумеруем тумблеры числами 1, 2, ..., п, а затем занумеруем лампочки так, что если включен i-й тумблер, а остальные выключены, то горит i-я лампочка.
Докажем, что если включены тумблеры iu ..., й, то горят лампочки с теми же номерами. Действительно, если это не так, то, так как зажжено k лампочек, горит лампочка с некоторым номером /, отличным от А, ц. С помощью (k—1) -го переключения можно погасить остальные (k—1) лампочек (см. п. а)). Значит, получилось, что включен один из тумблеров iu а горит только лампочка /. Это противоречит выбору /.
II ТУР
VII класс
1. Пусть аха2ага± — данное четырехзначное число, и пусть разность между ним и обращенным равна 1008. Тогда л, = л44-2 и аг = а2 -f 1, т. е. вторая цифра слева (цифра сотен) должна равняться (у разности) 9, а не 0. Поэтому ответ на вопрос задачи отрицательны^
2. Обозначим через О точку пересечения высот треугольника ABC. Легко видеть, что треугольник ABC составлен из трех четырехугольников; покажем, что каждый из этих четырехугольников покрыт соответствующим кругом. Покажем большее: рассмотрим круги с радиусами ОЛ, 05, ОС и докажем, что уже они покрывают все четырехугольники (центры кругов — в вершинах треугольника). Действительно, например, круг радиуса ОА содержит внутри себя круг, построенный на отрезке ОА как на диаметре, а последний — содержит внутри себя соответствующий четырехугольник, что и требовалось доказать.
VIII класс
1. Пусть наименьшее расстояние от произвольной точки кляксы до границы кляксы принимает наибольшее значение Г\ в точке Л, а наибольшее принимает наименьшее значение г2 в точке В. Ясно, что круг радиуса г\ с центром в Л лежит внутри кляксы, а круг радиуса Гг с центром В содержит кляксу. Поскольку по условию ri=r2=r, то точка Л совпадает с точкой В и клякса является кругом радиуса г.
IX класс
2. Пусть I — число белых клеток, k + / — число всех клеток фигуры. Обозначим через 5 число сторон клеток, лежащих строго внутри фигуры. Ясно, что s^.4k, так как к каждой стороне примыкает ровно одна черная клетка, а клетка имее~ не более четырех внутренних сторон. Покажем, что —1. Действительно, так
как фигура связна, то можно занумеровать ее клетки так, что у любой из них, кроме первой, будет соседняя клетка с меньшим номером. Если у каждой клетки с номерами 2, 3, ..., k + / отметить сторону, по которой она граничит с клеткой, имеющей меньший номер, то получится k + / — 1 различных сторон.
Итак, 4&;>$;> & 4- / — 1, откуда площадь фигуры j-1. На рис. 4 приведен пример фигуры площади 4£ + 1.
Рис. 4
X класс
1
1. Заметим, что уравнение х + — = п, где п >-2 — натуральное число, имеет два взаимно обратных ре- п + п2 — 4
шения: х = ^ » большее из них не мень¬
ше 1, а меньшее — не больше 1. Докажем по индукции, 1
— — целое, то для каждого натураль-
что если х +
1
ного т число хт 4- — тоже целое. Это сразу сле¬
дует из формулы
(-*т+С* + т) “
= (*щ+' + т) + (*т-' + ^=0-
” j- -yf пг — 4
Если обозначить через х число ■
1 1
х + = п, л:> 1. Отсюда хт + = k — целое,
т. е.
А = хп
k -f / k2 — 4
3. Легко проверяется, что если сначала совершит обход маляр Л, а затем — маляр В, то результат раскраски домов будет такой же, как если бы сначала прошел В, а затем — Л. Отсюда видно, что окончательный результат раскраски будет один и тот же, в каком бы порядке маляры ни выходили.
Пусть они выходят в следующем порядке: сначала выходят по очереди маляры, живущие в белых домах; они перекрашивают только свой дом в голубой цвет. Теперь все дома — голубые. Затем выходит маляр, который с самого начала жил в голубом доме. Такой есть по условию. Он перекрашивает все дома в белый цвет, а свой дом — опять в голубой цвет. После этого все маляры, живущие раньше в голубых домах, перекрасят свои дома в голубой цвет. Мы видим, что получилась первоначальная раскраска домов.
82

А. Т. ПУЗИКОВ
ПЕРВЫЙ ОПЫТ
Если взглянуть на результаты последних международных олимпиад школьников по математике, можно заметить, что команда ГДР имеет постоянную прописку среди призеров этих олимпиад. Это и не удивительно, так как подготовке школьников к олимпиадам в ГДР уделяется большое внимание.
Математическая олимпиада в школах ГДР проходит в четыре тура. Первый тур проводится в октябре в школах. Центральный Совет Союза свободной немецкой молодежи по поручению Министерства просвещения в газете «Trommel» публикует все задачи для V—XII классов. Каждый учитель, который выписывает газету «Deutsche Lehrerzeitung», получает приложение в виде задач, публикуемых в газете «Trommel». Задачи первого тура учащиеся решают дома в течение двух недель после опубликования задач в газете. После проверки решений школьными учителями каждая школа района посылает заявку на участие во втором туре. В команду включаются школьники, набравшие в первом туре определенное количество очков, которое устанавливается перед туром районным отделом народного образования. Победители первого тура отмечаются в школе.
Второй тур проходит в ноябре в районном центре; принимают в нем участие школьники, включенные в заявку. Пакет с задачами присылается из Министерства просвещения ГДР. Участники второго тура в одной из школ районного центра решают по четыре задачи в течение трех часов. Победители определяются по количеству набранных очков. В первом и втором турах задачи оцениваются по восьмибалльной системе. Если участник олимпиады дал план решения задачи, то он получает 2 очка; за решение добавляется 3 очка; если дано подробное объяснение решения, рассмотрены все возможные случаи, то добавляется еще 3 очка. При проверке работ учитывается аккуратность построений, грамотность, умение изложить свою мысль. Победители второго тура и их родители приглашаются на прием к заведующему районо.
Победители второго тура направляются на третий тур в областной центр. Третий тур проводится в начале февраля. По количественному составу команды различны: от 3—5 до 17—18 человек. Всего в третьем туре принимают участие 150—170 школьников V — XII классов. В первый день участникам предлагаются 3 задачи, столько же во второй. В третьем туре другая система оценок. Наибольшее количество возможных очков — 40.
Победители награждаются медалями и премиями. Из их
числа комплектуется команда округа на республиканскую олимпиаду, которая проводится в июне. Для подготовки к республиканской олимпиаде окружные команды собираются на 10 дней во время каникул в специальные лагеря, которые существуют в каждом округе. Из победителей республиканской олимпиады комплектуется сборная команда ГДР для участия в международной олимпиаде.
Для лучшей подготовки школьников к олимпиаде в школах ГДР работают специальные математические кружки. Кроме того, существуют районные математические кружки при домах пионеров, занятия в которых ведут лучшие учителя математики.
Учителя советских школ проявляют большой интерес к системе подготовки немецких учащихся к математическим олимпиадам. Школы организуют с немецкими коллегами деловые дружеские встречи, во вре^я которых обмениваются опытом работы по постановке педагогического процесса.
В январе 1973 г. была проведена совместная математическая олимпиада, в которой участвовали сборная команда одного района и команда одной из советских школ. Каждая команда состояла из 12 человек. Задания для проведения составлялись немецкими и советскими учителями. Олимпиада длилась 3 часа. Работы учащихся проверялись совместно. В результате выявились 10 победителей, среди которых 6 человек были учащимися советской школы.
После достаточно успешного дебюта команда советской школы была приглашена на окружную олимпиаду. В команду было отобрано 6 человек VIII—X классов. В организационном отношении олимпиада была проведена очень четко, на открытии олимпиады представитель окружного отдела народного образования представил участников олимпиады, в том числе и команду советской школы, которая впервые участвовала в математических олимпиадах школ ГДР. Участникам олимпиады были предложены задачи, на решение которых отводилось 4 часа. На другой день также были предложены 3 задачи и опять на 4 часа. Советским школьникам задачи были приготовлены на русском языке.
Советские ребята с задачами, предложенными во втором и третьем турах, справились достаточно успешно, а ученик IX класса Коновалов В., набрав в третьем туре 39 очков, удостоился первого места и золотой медали. В ГДР принято за 1-е, 2-е и 3-е места вручать медали разного достоинства и премии.
Опыт проведения совместной математической олимпиады, по общему признанию советских и немецких учи- телей4 оказался удачным.
Е. С. БИБИКОВ
(г. Челябинск)
ОРИГИНАЛЬНЫЙ АГРОМЕТР
Обычно при определении площади треугольника по чертежу или по модели предварительно проводят измерения некоторых его элементов. Например, измеряют все его стороны или две стороны и угол между ними. Чаще всего, построив высоту треугольника, измеряют ее и основание. Затем во всех указанных случаях, пользуясь данными измерения, по известным формулам находят площадь фигуры.
Общее число операций, связанных с построением, измерением и последующими математическими действия¬
ми для перечисленных способов, соответственно равно 12, 7, 5.
Встает вопрос: нельзя Ли в треугольнике найти ка- кой-либо отрезок, длина которого была бы численно равна площади треугольника? На первый взгляд кажется, что это сделать невозможно.
Однако в сороковых годах прошлого столетия русский математик Бибиков показал, что это легко выполнимая задача. Придумав простой прибор, который назвал агрометром, он полагал, что прибор станет надежным помощником для землемеров. Описание прибора было дано Витковским в 1904 г.
Устройство прибора очень простое. Это — обычная линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями, но имеющая ширину ровно 2 см. В устройстве агрометра использована та идея, что треугольник, площадь ко-
8J

торого надо определить, заменяется равновеликим ему треугольником с высотой в 2 линейных единицы (см).
Покажем, как пользоваться агрометром. Допустим, что нужно измерить площадь треугольника ЛВС (см. рис.). Для этого через Вершину В проведем прямую BN параллельно основанию треугольника. Затем положим агрометр на треугольник так, чтобы начало отсчета на
линейке совпало с точкой А, а точка С оказалась на кромке второй стороны агрометра. Теперь посмотрим, через какое деление прибора проходит прямая BN; пусть это будет точка К. Отрезок АК численно (в квадратных единицах) равен искомой площади треугольника ABC.
Докажем это. Треугольник ABC равновелик треугольнику АСК, так как у них общее основание АС и одна и та же высота ВМ. Площадь треугольника
AKDC Sack в 2
Но DC=2 см, поэтому площадь треугольника ABC содержит столько квадратных сантиметров, сколько сантиметров содержит отрезок А К-
При пользовании описанным прибором число операций сокращается до двух: проведение прямой BN и наложение линейки для измерения отрезка А К.
Агрометром можно пользоваться также и при определении площади любой фигуры, которую можно разбить на треугольники.
М. М. СТЕПАНЯН
(г. Ереван)
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
Преподаватели современной средней школы могут по-' черпнуть из учебников и задачников прошлого полезный материал (особенно для внеклассной работы). Опыт показывает, что использование старинных задач на уроках и внеклассных занятиях вызывает интерес к математике, побуждает учащихся к самостоятельному творчеству, проявлению инициативы и смекалки.
Ниже приводим некоторые задачи, взятые из армянских учебных руководств XIX в.
Некоторые свойства чисел натурального ряда
1. Доказать, что если два числа не оканчиваются цифрами 0 или 5, то разность четвертых степеней этих чисел оканчивается цифрой 0 или 5.
2. Доказать, что сумма квадратов двух натуральных чисел больше удвоенного произведения этих чисел.
3. Доказать, что если сумма единиц двух чисел равна 10, то их квадраты оканчиваются одинаковыми цифрами.
4. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел не представляется точным квадратом какого-нибудь числа.
5. Доказать, что сумма кубов последовательных натуральных чисел (начиная с 1) равна квадрату их суммы.
6. Доказать, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна удвоенному меньшему числу, увеличенному на 1.
7. Доказать, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда нечетное число.
Некоторые свойства делимости чисел
1. Доказать, что если к данному числу приписать число, выраженное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке, то полученное число делится на 11.
2. Доказать, что если квадрат нечетного числа уменьшить на единицу, то остаток делится на 8.
3. Доказать, что разность квадратов двух нечетных чисел всегда делится на 8.
4. Доказать, что разность квадратов двух натуральных чисел, разность которых 2, всегда делится на 4.
5. Доказать, что при любом натуральном п число п(п-\- 1)(я + 2) делится на 6, если п нечетное, и делится на 24, если п четное число.
6. Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3, если меньшее из них четное, и делится на 6, если меньшее из них нечетное.
7. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.
8. Доказать, что если каждое из двух чисел разделить на их разность, то остатки от деления будут равны.
9. Доказать, что если два последовательных числа не делятся на 3, то их сумма делится на 3.
10. Доказать, что из двух произвольных натуральных чисел одно или другое, или их сумма, или их разность делится на 3.
S4
*

Задачи
/\ /\ /\ /\
АМВ - АСВ + 60°, ВМС - ВАС + Ш.
/\ /\
СМ А - ABC + 60°.
А. А. Я г у б ъ я н д (г. Ростов на-Дону)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1256. Сумма двух чисел больше их произведения, но меньше их разности. Выяснить, положительны или отрицательны эти числа.
В. А. Ю д а к о в (Крымская обл., пос. Армянск)
1257. К числу а прибавили сумму его цифр Ь, а к результату прибавили сумму цифр числа Ъ. Найти число а,, если получилось число 60.
В. А. Юдаков
1258. Заполнить таблицу 3X3 цифрами от 1 до 9 так, чтобы сумма трехзначных чисел, стоящих в первых двух строках, равнялась числу в третьей строке и чтобы то же самое было верно для столбцов.
В. А. Юдаков
1259. На плоскости даны четыре прямые, и любая пятая прямая может пересечь либо две из них, либо все четыре. Сколько прямых из данных четырех параллельны между собой?
В. А. Юдаков
1260. Два простых числа называются близнецами, если они являются соседями в ряду всех нечетных чисел. Доказать, что всякое число, находящееся между двумя близнецами и большее 4, делится на 6.
Н. И. Березовский (г. Черновцы)
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—УШ КЛАССОВ
1261. Чему равно выражение
а91 — 74а80 + 74а29 — • •• + 74а” — 74аи + 73д15 + 15 при а *= 73?
П. Т. Тимофеев (г. Ульяновск)
1262. Может ли натуральное число при зачеркивании его первой цифры уменьшиться в 1973 раза?
С. Р. Сефибеков (Дагестанская АССР, с. Кашкент)
1263. Пусть АА\, ВВ\, ССХ—параллельные хорды одной окружности. Точки АВ', С' симметричны точкам Ль В и С\ относительно середин отрезков ВС, С А, АВ соответственно. Доказать, что точки А', В', С' лежат на одной прямой.
В. М. Майоров (г, Ярославль)
1264. Три окружности имеют общую точку 5. Прямая g, проходящая через S, пересекает окружности в точках Ль Л2, Л3, через которые проведены параллельные хорды А\В\, А2В2, Л3£3. Доказать, что для того, чтобы данные окружности имели еще одну общую точку, необходимым и достаточным условием является принадлежность точек В\, Въ В3 одной прямой.
П. В. М у р а н (г. Даугавпилс)
1265. Дан треугольник ABC, Из точки М, взятой в плоскости треугольника, проведены перпендикуляры к прямым ВС, СА, АВ. Доказать, что если треугольник, вершинами которого служат основания перпендикуляров, равностороннийё то
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1266. Найти натуральные числа m, п> 1, если число пгп заключено между двумя последовательными простыми числами-близнецами.
Н. И. Березовский (г. Черновцы)
1267. Решить в натуральных числах уравнение хп+3 4- уп+3 zn+* 4- хп -j- уп + 2п =~
— хп+2 + уп+2 + Zn+2 + хп+1 4- уп+1 + zn+l, где п >.4 — натуральное число.
Р. М и т к о в (Болгария, г. Пловдив) п
1268. Доказать, что если xi > 0 и 2 xi = P (Р —
*=1
натуральное число), то
п
^ р
Zi /■*/ +1 < п +1-
i=l
А. П. Богомолов (г. Петропавловск)
1269. Пусть х и у — комплексные числа. Где на комплексной плоскости лежат точки А(х), для которых \х— У | = |*4- y\j если точка В (у) фиксирована?
А. П. Нечай (г,.Витебск)
1270. Доказать, что для комплексных чисел х и у равносильны утверждения
|JC| - |у| =. | X— у] и хг — ху + у2 =Д).
О. Г. Легасова (Москва)
1271. Доказать теорему о трех перпендикулярах с помощью теоремы Пифагора.
1272. Охарактеризовать множество точек плоскости, для которых разность квадратов расстояний до данной точки и до данной прямой постоянна.
1273. Две окружности расположены одна вне другой. Охарактеризовать множество точек, из которых данные окружности видны под равными углами.
1274. Доказать неравенство
ab + Ьс + са^. 2с2,
где а, b — катеты, ас — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC.
А. Ф. Карнаухов (Якутская АССР)
1275. Тетраэдр SABC задан длинами своих ребер. Одна из его граней изображена в натуральную величину. Построить основание перпендикуляра, проведенного из вершины тетраэдра на эту грань.
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Ряды
1276. Доказать, что — число иррациональ-
ное.
С, И, Майз у с (г. Запорожье)
85

1277. В куб со стороной а вписан шар. Показать, что сумма квадратов расстояний любой точки шаровой поверхности до а) вершин куба, б) граней куба, с) ребер куба постоянна. Вычислить эти суммы.
Векторы
1278. Дать геометрическое истолкование тождества Якоби:
{ах в)хс + (вх'с)ха + (с хХ)хв= о[
где А, В, С — радиусы-векторы точек А, В> С.
Т. М. К о р и к о в а (г. Ярославль)
Координаты
1279. Дано общее уравнение четвертой степени
ах* + Ьх3 + сх2 dx + е = 0, аф 0.
Составить уравнения двух конгруэнтных парабол с осями, параллельными осям прямоугольной системы координат так, чтобы абсциссы точек пересечения парабол были корнями данного уравнения.
Г. Б. Кузнецова (г. Ярославль)
1280. Относительно прямоугольной системы координат задана кривая в параметрической форме:
1 — и4 и* — и ЛГ== 1 + и*'-у “ 1 + и*•
Изобразить эту кривую и записать ее уравнение.
3. А. Скопец (г, Ярославль)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1973 Г.
1156. Из четырех кусков проволоки длиной по 9 см сложить, не разрезая их, прямоугольный параллелепипед с длиной ребер 2, 3 и 4 см.
Решение. См. рис. 1.
Рис. 1
1157. На собрании присутствуют около 80 школьников. Треть из них — девочки, половина которых учится в
5
VI классе. Из присутствующих мальчиков у не учатся
в VI классе. Сколько учащихся VI класса присутствует на собрании?
Решение. Из школьников, присутствующих на 1
часть составляют девочки, которые 2
учатся в VI классе, -д- составляют мальчики, причем 2
-у- мальчиков являются учащимися VI класса. Следовательно, учащиеся VI класса составляют
J_ JL JL_.iL
6 + 3 • 7 “ 14
собрании, -g-
от общего числа присутствующих на собрании школьников. Число всех школьников, присутствующих на собрании, должно делиться на 6 и на 7, т. е. на 42, и быть как можно ближе к 80, т. е. оно должно равняться 84. Поэтому на собрании присутствует 30 учащихся VI класса.
1158. Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно?
Решение. Пусть пассажиру осталось проехать а км, тогда, смотря в окно, он проехал 2а км. Половина пути равна 3а км, а весь путь — 6а км. Следовательно, та часть пути, проезжая которую пассажир
смотрел в окно, равна 2а : 6а = Tjr.
1159. В кружочках написали числа 1, 2, 3, 4, 6, 12 и от каждого числа к каждому его делителю направили стрелку. Затем числа и часть стрелок стерли. Восстановить исходное положение.
Решение. Обозначим числа, которые стояли в кружочках буквами а, Ьу с, d, е, f (рис. 2, а). Так как d — число, имеющее не менее четырех различных делителей, отличных от него самого, то d = 12; b — число, имеющее не менее трех различных делителей, отличных от него самого, следовательно, b = 6. Число е равно либо 2, либо 3, a f — 1; е Ф 2, так как в противном случае остались бы числа 3 и 4, но ни одно из них не является делителем другого. Поэтому е — 3, с — 2 и а — 4. Осталось расставить стрелки, что to сделано на рис. 2, б.
6)
Рис. 2
1160. В кружочки (рис. 3, а) поставили различные числа от 1 до 100 таким образом, что стрелки идут от каждого числа к его делителям, не равным самому числу. Какое наибольшее число может стоять в кружочке А? Какие числа не могут стоять в кружочке В?
Решение. Если а, Ь, с, d — числа, стоящие соответственно в кружочках Л, В, С, D (рис. 3,6), то b ^ 100, с ^ 50, d ^ 25, а ^ 12, так как при движении от В к А через С и D на каждом шаге теряется делитель, отличный от 1. Кроме этого, набор чисел а = 12, d = 24, с = 48, b = 96 удовлетворяет условию задачи. Следовательно, наибольшее число, которое может стоять в кружочке Л, равно 12.
6)
Рис. 3
86

Поскольку при движении от В к Л через С и D на каждом шаге теряется делитель, отличный от 1, то у числа b должно быть не менее трех (не обязательно различных) простых делителей, поэтому в кружочке В не могут стоять только те числа, в разложении которых на простые множители содержится менее трех множителей. Все их нетрудно выписать, используя, например, таблицу простых чисел из учебника «Математика 5».
1161. Для снабжения городов А и В требуется по- строить нефтебазу. В каком месте следует ее построить, чтобы перевозка нефти была как можно дешевле?
Решение. Ясно, что точка С, в которой надо построить базу, должна лежать на прямой АВ: в противном случае стоимость перевозки можно уменьшить, переместив базу в основание D перпендикуляра CD к прямой АВ — при этом \DA\ < \СА\ и \DB\ < |С£|. Ясно, далее, что точка С должна лежать между Л и В. Пусть теперь U(m)—потребность города Л в нефти, V{m)—потребность города В, s км — расстояние Л£, с — стоимость перевозки 1 т нефти на 1 км, х — искомое расстояние АС. Тогда общая стоимость С(я) перевозки равна
С (х) = Uхс + V (s — х) с = с [Vs + (U — V) х].
Нам надо найти при каких х. таких, что 0 ^ х ^ s, величина С( х) имеет наименьшее значение. Если U > V, то С(х) имеет наименьшее значение при х = 0; если U < V, то при х = s, и если U—V, то С(х) имеет постоянное значение cVs. Таким образом, нефтебазу надо строить в городе с наибольшей потребностью, а при равных потребностях — в любой точке между ними.
1162. Дан треугольник. Найти множество точек, для каждой из которых сумма углов, под какими из этих точек видны стороны треугольника, равна заданному углу.
Решение. Пусть данный угол равен а.
1) При а = 360° искомое множество содержит все внутренние точки треугольника.
2) При а = 180° искомое множество содержит все точки сторон без вершин.
3) Пусть точка D лежит вне треугольника ABC.
У\ /\ /\ /\ /\
тогда BDC -f- BDA + ADC - 2BDC = а и BDC
Следовательно, искомое множество точек состоит из трех дуг трех окружностей (рис. 4); эти дуги расположены вне треугольника и имеют своими концами вершины треугольника.
а
2~.
Решение. Пусть (рис. 5), тогда
sabc
Scef
|ВС[ - а. |АС[ - Ь, \АВ\ = с
\Е<FI-
Рис. 5
Выразим | EF [ через с. В силу того, что
/\
ВЕС «
/\
‘90° — DCE>
/\ 90° — АСЕ.
/\ ЕС В,
заключаем, что | ВС | « \ВЕ | « а. Аналогично I AF I =
| AC I - Ь. Так как \EF\ - \ВЕ\ + \AF\-]АВ\, то \EF\=± = а + b— с.
Учитывая, что а2 + Ь2 — с2 и 2ab <; с2, получим
а + b « Y с* + 2ab < с ^2,
следовательно, | EF |,<(/2-1 )с.
Итак,
sabc ^ с 1
Scef ^ (/2 — 1) с -/ 2—1
= /2+1.
Равенство достигается при а = Ь.
1164. В данную окружность, центр которой не указан, с помощью только двусторонней линейки, ширина которой меньше диаметра окружности, вписать правильный 2"-угольник.
Решение. Используя двустороннюю линейку, проведем две параллельные хорды окружности [АВ] и [CD] (рис. 6а). Трапеция ABDC равнобочная. Прямая, проведенная через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции,
М
Рис. 4
Заметим, что если а «= Л, то в искомое множество входит и вершина Л (аналогично—с вершинами В и С).
1163. В прямоугольном треугольнике ЛВС (С=90°) [CD] ±[АВ]. \СЕ\—биссектриса угла ACD, [С/7] — биссектриса угла BCD. Доказать, кто
Рис. 6а
является серединным перпендикуляром для каждого из оснований (хорд) и пересекает окружность в точках М и N. Следовательно, MN — диаметр окружности. Аналогично строим другой диаметр и находим точку пересечения диаметров — центр окружности.
Далее следует рассмотреть два случая: 1) ширина линейки меньше радиуса окружности, 2) ширина линейки больше радиуса, но меньше диаметра окружности.
1) Используя один из диаметров окружности, например [МЛ/], строим диаметр, перпендикулярный ему (рис. 66). Для этого, прикладывая линейку к диамет-
87

N
Рис. 66 Рис. 6в
ру MN, проводим хорду M+N{ ([Л^Л^] || [MN]). Строим серединный перпендикуляр для хорды M\N\ ранее описанным способом. Получаем диаметр PQ, перпендикулярный диаметру MN. Точки Pf М, Q, N являются вершинами квадрата.
Для построения восьмиугольника делим дуги, стягивающие каждую из сторон квадрата, пополам и т. д.
2) Строим ромб, две противоположные вершины которого М и N лежат на окружности (рис. 6в). Для этого прикладываем линейку так, чтобы точки М и N диаметра MN лежали на противоположных краях линейки, и проводим пару параллельных прямых. Аналогично, проводя другую пару параллельных прямых, получаем ромб, одна из диагоналей которого MN, другая пересекает окружность в точках Р и Q. Таким образом, точки М, Р, N, Q являются вершинами квадрата, вписанного в окружность. Другие 2п-угольники строим так же, как и в первом случае.
1165. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD ни одна из диагоналей точкой их пересечения не делится пополам, то не существует такой точки О, чтобы
Saob == $вос = Scod = $doa- Решение. Предположим, что существует такая точка О, для которой
Saob = $вос = Scod == Sdoa•
Рассмотрим треугольники ОБА и ОВС (рис. 7).
С
Sqbc 8=8 2 I I
где К = [АС]С\[ВО]. Отсюда следует, что \АК] = |/СС|. Аналогично можно доказать, что точка N = — [BD]C[[AO]— середина диагонали BD.
Исходя из сделанного предположения, получаем
1
SoBA + SoAD = 2 ^ABCD'
€ другой стороны
Skba ** ” $авс и Skad = “у sadc> а значит,
Skba + Skad = ^последовательно,
Soba + Sqad = Skba + Skad- Последнее равенство возможно, если точки D, /С, О принадлежат одной прямой. Но тогда точки М и К совпадают, К есть точка пересечения диагоналей четырехугольника. Получили противоречие с условием задачи. Следовательно, такой точки О, для которой Saob = SBoc = SCod = Sdoa» не существует.
1166. Доказать, что при q > 0 уравнение х3 + рх — q= = 0 имеет ровно один положительный корень.
Решение. Рассмотрим функцию f (*) = хг + рх — q. Так как при достаточно большом х f(x)>0, а /(0) <0, то уравнение f(x) =0 имеет по крайней мере один положительный корень (в этом рассуждении используется, разумеется, непрерывность функции f(x)).
Докажем, что данное уравнение не может иметь более одного положительного корня. При р > 0 утверждение очевидно, так как f(x) монотонно возрастает. При р < 0 заметим, что функция f(x)-'+q имеет ровно один положительный корень, а при сдвиге ее графика на q > 0 вниз второй положительный корень, очевидно, не появится (это утверждение можно доказать и алгебраически, но мы ограничимся проведенным графическим рассуждением).
з _ з _ з
1167. Верно ли утверждение У 2 + У4> у^24?
з _ з _ 3 _
Решение. Неравенство >/”2 + У 4 > •/’24 равно-
3 __ з_
сильно неравенству 2 + 4= + 3-2 (У2 + >/*4) > 24, или з _ з _
/2 + -j/T>3, которое равносильно аналогично нера- з _ з _ 7
венству У 2 + >/"4 > —. Но если последнее нера-
з _ з з _ у
венство верно, то поскольку У 4> У 2> то "/4 > -^
343
т> е# 4 что неверно. Следовательно, и исходное
неравенство неверно. ^
1168. Найти целую часть числа (У 2 + у/Г4)3. Решение. Возведением в куб легко убедиться, что
з _ з _
число а У2 + У4 удовлетворяет уравнению лг3==» «6л:+ 6, и, в силу задачи 1166, является его единственным положительным корнем. По доказанному з з
в задаче 1167, a <У24. Докажем, что а у У 23.
В самом деле, если / (л:) — х3 — 6л: — 6, то
3 з
/(/23) = 17— б/23<0,
так что корень а у равнения / (х) = 0 лежит между з з _ з __ з _
У 23 и У 24, т. е. У 23 < а < /24, откуда
[(У 2 + У 4)3] = 23.
1169. Обозначим через f(q) единственный положитель¬
ный корень уравнения хг + рх — q = 0 (р — фиксированное число, q > 0). Доказать, то f (q) — возрастающая функция.
88

Решение. Заметим, прежде всего, что графически (см. рассуждение в решении задачи 1166) это утверждение очевидно. Здесь мы дадим алгебраическое доказательство.
Пусть a*=*f(q), b=*f(r), т. е. а9 + pa — q = О, b* + pb — г *= 0 и пусть q < г, тогда
а* — b* 4- р (с( — b) = q — г < О»
(а — b) (a2 -f ab + Ь2 + р) < 0.
Но
а9 4- dcl а а* + ab + 6s + р > а* + р — — — > О,
так что а < Ь.
1170. Даны числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, п, п. При каких значениях п эти числа можно так объединить в п пар, чтобы суммы чисел, стоящих в каждой паре, давали при делении на п разные остатки?
Решение. Допустим, что требуемое^ объединение в пары построено и а% — сумма чисел в **й паре, Пусть п п п
2 = 2г*>
1=1 1—1 i~l
где г/ — остаток от деления я* на п, тогда
п
У at *= 2 (1 4- 2 4- • • • + п) “
/=1
' = 2 ^ - п (л + 1)
2 п = 0 + 1+2+...+ (л — 1) - JLi!1.—.})
/=1
(так как все остатки различны). Следовательно,
п(п— 1) п (п 4-1) - ns + § *
где s — натуральное' число, откуда п — 2s—3, т. е. п должно быть нечетным числом.
При п *» 2k 4-1 требуемым объединением в пары будет, например, объединение в пары одинаковых чисел:
(1, 1), (2, 2), ...,(k, k),(k + l,k + l),
(k 4- 2, k 4- 2), .. о (2k, 2k), (2k + 1, 2k + 1),
так как остатки от деления сумм чисел в парах на п будут соответственно равны 2, 4, 2k, 1, 3,
2k — 1, 0.
1171. Доказать, что при л >999 ООО справедливо неравенство 1,001я > 1000.
Решение. Запишем равенство
1,001 — Г - 0,001
и умножим его левую часть на 1,001; получим
1,001* —1,001 > 0,001.
Аналогично получаем
1,001* — 1,001* > 0,001, 1,0014— 1,001s > 0,001,
1,001я— 1,001я-1 >0,001.
Складывая почленно все полученные неравенства и первое равенство, получим
1,001я — 1 >0,001 -Л.
При п > 999 000 имеем
1.°°1л>1 + ТШГ>1000-
Заметим дополнительно, что данное неравенство является частным случаем неравенства Бернулли,
1172. Решить в простых числах уравнение
аь 4-1 ■= с.
Решение. Поскольку аь > 22, то с > 5. Покажем, что а *= 2, b ~ 2, с = 5 — единственное решение данного уравнения. Действительно, если а > 2, то а — нечетное простое, откуда с — четное простое, т. е. с = 2, что противоречит условию с ;> 5; если же b > 2, то
с - 2® + 1 - (2 + 1)(26-» — 2Ь~* + ... — 2 + 1) - Зл,
где п — натуральное число, т. е. с делится на 3, что противоречит условиям с !>5 и с — простое.
1173. Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, а через точку В проведена прямая, перпендикулярная [CD]. Эта прямая пересекает окружность в точках Е и F. Доказать, что С, D, Е и F — вершины ромба.
Решение. Соединим точку В с точками С и D (рис. 8). Треугольник BCD равнобедренный, так как углы BCD и BDC — вписанные углы конгруэнтных окружностей, опирающиеся на конгруэнтные дуги. Согласно условию задачи,
[BF]± [CD], K~[BF]n[CD], значит, | СК\ = | KD |.
Рис. 8
Треугольники СЕК и FKD конгруэнтны, так как
/ok - АВр - Авк - кск и IС К | - | KD |, а тогда \КЕ | — | FK |.
Итак, в четырехугольнике CFDE
| СК | « [ KD [, | FK I - | КБ |, [CD] ± [FE],
следовательно, точки С, F, D, Е являются вершинами ромба.
1174. Три сферы касаются между собой и плоскости треугольника в его вершинах. Длины сторон треугольника равны а, b и с. Вычислить радиусы этих сфер.
Решение. Пусть сфера радиуса 10\А | = х касается треугольника в вершине Л, сфера радиуса \02В\ = у — в точке В, сфера радиуса Г03С | = г — в вершине С, М —точка касания сфер 0| и 02 и [OiN] ± [02В] (рис. 9). Из треугольника 0\02N имеем
IOt0212 — I OiN I2 4-1 N02\2,
T. e. (x 4- y)2 c2 + (y— x)2, или 4xy *** сa. Аналогично можно найти Axz^b2, Azy-^a2. Решив систему уравнений 4xy - с2, 4xz — b2t 4yz — а2, получим
89

х~ 2а ' у- 2Ь ' г ~ 2с ‘
1175. Числа а, Ъ, с определяются бросанием игрального кубика. Какова вероятность того, что
а) прямая ах + by = с пройдет через точку (1, 1);
б) парабола у = ах2 -+ Ьх + с будет лежать выше оси абсцисс?
Решение, а) Прямая ах + by = с проходит через точку (1, 1) тогда и только тогда, когда а+Ь — с. Общее число возможных исходов бросаний равно 63 = 216, а для подсчета числа благоприятных исходов заметим, что каждой паре чисел а, Ь, таких, что а + b ^ 6, соответствует ровно один благоприятный исход.
Имеем теперь, что сумма а + b равна 2 в одном случае, равна 3 в двух случаях, равна 4 в трех случаях, равна 5 в четырех случаях и равна 6 в пяти случаях, и, таким образом, имеется 15 благоприятных исходов, а искомая вероятность равна 15/216, т. е. 5/72.
б) Парабола у — ах2 + Ьх 4- с лежит выше оси абсцисс тогда и только тогда, когда выполняется неравенство Ь2 < 4ас. Для подсчета числа благоприятных исходов составим таблицу, в каждой клетке которой будем ставить число натуральных решений &^6 неравенства Ь2 < 4ас:
Для облегчения составления таблицы можно пользоваться следующими двумя соображениями: таблица
симметрична относительно «главной диагонали», т. е. диагонали, идущей с «северо-запада» на «юго-восток»; если в строке появилась цифра 6, то все последующие цифры в этой строке также равны 6.
Число благоприятных исходов равно сумме всех чисел в этой таблице, т. е. # 173, а искомая вероятность равна 173/216.
1176. Дана равнобочная гипербола у с центром О.
1) Доказать, что окружность с центром Р б у и радиусом, равным 2\ОР\, пересекает у в четырех точках, из которых три являются вершинами равностороннего треугольника.
2) Вписать в равнобочную гиперболу равносторонний треугольник, одна из вершин которого задана.
Решение. 1) Пусть задана равнобочная гипербола у уравнением у — (рис. 10). Точка Р £ *у, ее координаты — С другой стороны, точка Р есть
центр окружности радиуса 21ОР |, поэтому уравнение окружности имеет вид
(x-af + (у - 4-)2 - 4 («* + 40-
Для нахождения координат точек пересечения Р1э Р2, Я3 и гиперболы с окружностью решим систему уравнений
У “
(х-а)* + (у - -§-) =4 (а‘ + -|г).
Исключив у, получим уравнение
а*х* — 2агх* — 3 (а* + k2) х2 — 2k2ax + kza* = 0.
Очевидно, что х = — а один из корней полученного уравнения.
Далее, "согласно теореме Виета, х2 + х8 + х4 = За. Отсюда для центроида G (х0, у0) треугольника P2PZP4, k
имеем х0 =* а, у0 = Следовательно, центроид
треугольника Р2Р3Р\ совпадает с центром Р описанной окружности; значит, треугольник Р2Р%Ра, равносторонний.
2) Для построения правильного треугольника с заданной вершиной А, А £ ц необходимо на гиперболе найти такую точку Р, чтобы | РА | — 2 [РО |. Построим множество точек, расстояния каждой из которых до точек Л и О относятся как 2:1. Это есть окружность Аполлония с диаметром К1К2, где К\ и К2 — точки, делящие отрезок ОА внешним и внутренним образом в отношении 1 : 2. Точка пересечения окружности Аполлония с гиперболой есть точка Р.
И наконец, окружность с центром в точке Р радиуса 21 ОР | пересекает гиперболу в четырех точках, три из которых являются вершинами правильного треугольника. Число решений совпадает с числом точек пересечения окружности Аполлония с гиперболой.
1177. На равнобочной гиперболе даны три точки А, В и С. Через точку А проведена прямая в направлении, сопряженном направлению прямой ВС относительно гиперболы. Аналогично проведены прямые через точки В и С. Доказать, что построенные три прямые пересекаются на окружности, описанной около треугольника ABC.
1
Решение. Возьмем на гиперболе у = — три точ-
90

Рис. И
ни А(х„ у,), В(хг, ys),C(x„ у,) (рис. 11). Диаметр гиперболы, проходящей через середину хорды ВС,
V2 4~ Уз 1 гт имеет угловой коэффициент у д • поэто¬
му прямая, проходящая через А параллельно этому диаметру, имеет уравнение
у = * + “^Г (*-*•>•
Аналогично составляем уравнения двух других прямых:
У - У* + У-У.+
1
х,х,
1
х,х„
-(х — х2), -(х — х,).
Легко проверить, что построенные прямые пересекаются в точке D с координатами:
*0 - Хх 4- *2 + X» y0*~yt + у2 4- У*.
Остается доказать, что точка D принадлежит окружности, проходящей через А, В и С. Имеем:
1
/\ tg (BDC)
хгх%
Х2Хх
1 +
х\хшх9
t g.(BA
ва£)
Х\Х2
+
х9хл
1 4- ■
х\хгхг
Рис. 12
|£Fl-a - AB-EF — CD-EF - EF(AB — CD)•
- ~EF (В — A — D + C)=>
1 —> —> —► —V ->
= —(C + D — A — В)(Я — Л — D + C)- = 4“ К<?“ ЯМ КС -Л) + ф-Я)] -
A)2 — ф- Б)2] -0.
Следовательно, а = 0, и задача решена.
1179. Доказать, что всякое перемещение плоскости можно представить в виде произведения симметрий, оси которых являются касательными к фиксированной окружности.
Решение. Обозначим данную окружность через со (О; R)y а ее касательные — через аи 02, 0п... . Из¬
вестно, что всякое перемещение плоскости можно представить в виде произведения не более трех осевых симметрий. Поэтому, если каждую осевую симметрию плоскости можно будет представить в виде произведения симметрий с осями а<, то поставленная задача будет решена.
Возьмем произвольную симметрию с осью т, не пересекающей «о. Проведем касательные со, парал¬
лельные m (рис. 13). Построим такую прямую bv чтобы а2*ах = Ьх-а2. Отсюда bt — а2-ах-а2. Следовательно, симметрию Ьх можно представить в виде произведения симметрий л/. Аналогично можно построить симметрию Ь2:
Ь2 5=8 b\CL2b^ == а2аха2а2а2аха2 ==* а2а^а2аха2 и т. д.
т. е. tg (BDC) — tg (ВАС). Следовательно, точки А, В, С и D принадлежат одной окружности.
1178. У тетраэдра ABCD ребра АС и ВО конгруэнтны. Доказать, что проекции ребер АВ и CD на прямую, проходящую через середины [АВ] и [CD], конгруэнтны.
Решение. Пусть точки Е и F — середины ребер АВ и CD (рис. 12). Известно, что \АС[ — 1 следовательно»
(С — А)2 — (D — В)2.
Рассмотрим разность a — пр vАВ—пр J2D. Имеем:
bF EF
Рис. 13
Полученные таким образом оси Ьи &2, ^з, —, bk образуют полосы одинаковой ширины 2R. Данная ось т принадлежит одной из этих полос (или совпадает с границей такой полосы). Пусть это будет полоса (Ьь> Ьк+1). Тогда ось т\ = bhmbh принадлежит полосе (bk-u bk). Продолжая этот процесс, можно получить ось гаь, принадлежащую полосе (a2, Ь\).
Докажем, что симметрию с осью т* можно представить в виде произведения симметрий аи Построим
91

окружность cdi радиуса R, касающуюся со и mu. Общая внутренняя касательная а3 окружностей со и соi пересекает mk в точке М. Через М проведем вторую касательную at к ©.
Очевидно, что as-at «= т^а8. Отсюда — asa(as. Но = bxmkblt поэтому
/Я£-_1 e bidsCLfCLsbi = Л2С1\(12йsd2CLi(l2»
Подобным образом обнаруживаем, что Шк-ч., гпк-г> и, наконец, т можно представить в виде произведения осевых симметрий а*.
Если т пересекает со, то построением легко обнаружить непосредственно, что т = арадар.
1180. Даны три различные прямые и некоторая точка. Через эту точку провести прямую так, чтобы образ прямой в произведении симметрий относительно данных трех прямых был ей параллелен.
Решение. Произведение трех осевых симметрий есть или осевая симметрия, или переносная симметрия. Каждое из этих перемещений имеет два инвариантных направления — одно параллельно оси симметрии, другое перпендикулярно ей. Следовательно, через данную точку необходимо провести две прямые указанных направлений и они будут параллельны своим образам.
Если данные три оси а, b и с проходят через одну точку (или параллельны), то произведение этих осевых симметрий есть осевая симметрия с?, ось которой принадлежит пучку, определяемому прямыми а, b и с,
/\ /\
причем из cba = d следует cd — ba, т. е. (а, b) = (d, с).
Если же прямые а, Ъ и с определяют треугольник АБС, то ось переносной симметрии проходит через основания высот, проведенных к прямым а и с.
Задача всегда имеет два решения. Требование, содержащееся в условии задачи, чтобы оси были различны, избыточно.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1973 Г.
Айвазян И. (г. Баку)— 1157—1159, 1161. Айвазян С. В. (г. Баку)—1156—1159, 1161, 1166, 1171. Айриян Л. А. (АзССР, пос. Гадрут) — 1156—1159, 1167. Аляев А. В. и Аляева Т. А. (Пензенская обл.) — 1156—1164, 1166— 1169, 1171—1174. Аракелян К. Г. (АрмССР, Мартунин- ский р-н) — 1156—1160, 1162, 1164—1174. Ахматов М. А. (Краснодарский край, г. Ейск) — 1156—1160, 1162—1168, 1171^1175. Багдасарян Ж. (АзССР, пос. Гадрут) — 1156—1159. Багдасарян- С. С. (АзССР, пос. Гадрут) —
1156—1159, 1163, 1164, 1166—1168, 1171—1173. Бау-
сов В. Д. (Кемеровская обл.) — 1156—1158, 1161, 1166— 1168, 1171, 1172. Бойко Б. (Болгария. Софийский окр.) — 1157, 1159, 1160. Ветров К. В. (г. Братск) — 1156—1174. Владимиров А. С. (г. Асбест) — 1156—1180. Войтович Ф. С. (г. Могилев) — 1156—1168, 1171—1174. Воро- новский Ю. (г. Днепропетровск)— 1157, 1158, 1166,
1167, 1171, 1172. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) —- 1156—1163, 1166—1176, 1178, 1180. Горбатый Е. 3.
(г. Одесса) — 1156—1160, 1163—1178, 1180. Жохов Н. И. (Москва) — 1156—1160, 1162—1165, 1167, 1168, 1170—
1175. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1157—1159, 1161, 1164—1168, 1171—1173. Иванов В. Г. (г. Могилев) — 1156—1174. Исаев У. И. (Кзыл-Ординская обл.) — 1156—1160. Каминский К. П. (Киевская обл.) — 1156-—
1159, 1161,* 1163—1168, 1171—1174. Карагезов Б. Ф.
(ГрузССР, Цалкский р-н) — 1156—1160, 1167, 1171, 1172. Лялькин М. А. (г. Арзамас) — 1156—1162, 1164, 1166—
1168, 1172, 1174. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) — 1156—1162, 1166, 1172—1174. Малайчук А. М.
(г. Брест)— 1158, 1159, 1163, 1166—1169, 1171, 1173—
1176. Менщиков Л. Е. (г. Южноуральск) — 1156—1158,
1160, 1161, 1166—1169, 1172. Мисько Л. И. (г. Тольятти) — 1156—1159, 1162—1169, 1171—1174. Мокринская Р. и Мокринский В. (Горьковская обл.) — 1156—1161. Мо- либога И. Н. (г. Лисичанск) — 1156—1168, 1170—1175. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск)— 1166—1168, 1170—
1174. Писаренко И. А. (МолдССР, с. Сенатовка) — 1156—1164, 1166—1172, 1174. Повелий В. И. (Ровен- ская обл.) — 1156—1159, 1161—1175. Полховский Н. Н. (Каракалпакская АССР, Тахта-Кунырский р-н) — 1162— 1164, 1166—1169, 1171—1175. Саргсян Г. А. (г. Идже- ван)— 1156—1160, 1166—1168, 1171—1174. Симео¬
нов А. А. (Болгария, г. Бов) — 1175—1180. Сысуев Г. Я. (Хабаровский край, прииск Херпучи) — 1156—1158, 1161, 1163, 1165—1169, 1171—1173. Фесенко В. Д. (г. Чимкент) —1156—1161, 1166—1168, 1171, 1172. Харитонов М. (Павлоград)— 1156—1161, 1163, 1167, 1170—1172, 1175. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 1156—1177, 1180. Чвань- ков И. Т. (Гомельская обл.) — 1156—1163, 1165—1176. Черепинский И. Д. (г. Черкассы) — 1156—1177, 1180.
Математические кружки: 145-й шк. г. Киева (рук. И. Г. Габович) — 1162—1168, 1171 —1175; школы-интерната при Ханойском пединституте, ДРВ (рук. Нгуен Конг Кви) — 1156, 1157, 1159, 1163, 1165—1167, 1169—
1172, 1174, 1179, 1180; 178-й шк. г. Киева (рук.
И. А. Кушнир) — 1156—1160, 1162, 1164, 1166—1174; 2-й рогачевской шк. Гомельской обл. (рук. С. Л. На- хамчик)— 1156—1175; 173-й шк. г. Киева (рук.
Р. П. Шейнцвит) — 1156—1175; VIII класса «А» 10-й шк. г. Ангарска- 1161—1167, 1170, 1172, 1173;
Занимательная страница
АЛГОРИТМ ИЛИ СЛУЧАЙ. ЧТО СИЛЬНЕЕ!
Представьте себе, что перед вами находится бочонок (см. рис.), который может вращаться вокруг вертикальной оси, В верхнем днище бочонка имеются четыре симметрично расположенных и неразличимых по внешнему виду отверстия*
Под каждым из отверстий внутри бочонка находится сосуд, расположенный либо донышком, либо горлышком Бверх. Увидеть что-либо через отверстия невозможно. Расположение сосудов можно определить на ощупь, опустив руки в отверстия бочонка. Каждый сосуд можно перевернуть опущенной рукой.
Задача заключается в том, чтобы расположить все сосуды (их всего четыре) одинаково (все горлышком вверх или все донышком вверх).
Правила обращения с бочонком следующие:
1. В бочонок можно опускать одновременно только две руки. Опущенными в отверстия руками можно при желании перевернуть один любой или оба сосуда (можно и не перевертывать).
2. После действий с сосудами руки из бочонка вынимаются, и он сам начинает вращаться. Затем бочонок останавливается. Узнать те отверстия, в которые перед
92

вращением опускались руки, невозможно, и бочонок после вращения занимает случайное положение.
ПО ПОВОДУ ЗАМЕТКИ «УСТОЙЧИВЫЕ РАВЕНСТВА» 1
Пусть имеем две тройки однозначных натуральных чисел (хи х2, х3) и (уи у2, у3), таких что
*1 + х\ + = yj + yl + yt (1)
(Можно взять хх, х2, Уи у2 ДО некоторой степени про-
2 2
извольно и определить х3 и у8 из условия х3 у3 =* с, с ш у\ + у\ — х\ — х\. При некоторых ограничениях, например с <80, сф2п + 2, мы полечим решения, удовлетворяющие нашим условиям.) Такими будут, например, тройки:
(1,5,6) и (2,3,7); (1,6,8) и (2,4,9); (2,6, 7) и
(3.4.8); (2,3,8) и (5,6,4); (3,7,8) и (4,5,9);
(1.2.8) и (2,4,7); (1,3,8) и (3,4,7); (1,1,6)
и (2, 3, 5) и т. д.
Определим теперь однозначные натуральные числа а, Ь, с так, что
ахх + Ьхг + сх, - ayt + byt + су, (2)
или
a (*i — у,) + Ь (хг — у*) + с (хг — уа) - 0.
Тогда будем иметь, что и тройки (ka + Хн kb + *2» kc -f х3) и (ka + у„ kb -f у2, kc + у,) удовлетворяют соотношению (1), т. е.
(ka + xt)' + (kb + x2f + (kc + *8)* ~
- {ka + y,)s + (kb + y2)» + (kc + yt)* (3)
Для k — 10 получаем двузначные числа, удовлетворяющие соотношению (1). Ясно, что эти числа удовлетворяют и соотношению (2), т. е.
а (10а + хх) + Ь (Ш + х2) +с (10<? + хг) » — а (10а + у,) + Ь (10Ь + уг) + с (Юс + у,).
1 «Математика в школе», 1972, № 3.
3. Затем можно вновь опустить руки в любые два отверстия и манипулировать сосудами в соответствии с пунктом 1.
4. Как только в бочонке образуется требуемое расположение четырех сосудов (все горлышком или доныш-* ком вверх), возникает сигнал, означающий конец решения задачи.
Спрашивается: можно ли, действуя по указанным пра-< вилам, расположить сосуды одинаково?
Найдется ли такая последовательность разрешенных действий, которая сумеет противостоять случаю?
В. Н. КАСАТКИН
(г. Симферополь)
От редакции. Ждем решения предложенной задачи. Наиболее интересное решение будет опубликовав но в № 2 за 1974 г.
Для k = 1 получаем числа их = а + хх„ и2 *= Ъ + х2, Щ = с 4- хг\ vx = а + у„ v2 = b + у2, v3 = с + у3, удовлетворяющие соотношению (1) и (2), т. е.
„2 у „2 I „2 I _,2 | ..2
и\ “Ь и2 ”Ь из — "г •“ *з.
аих + Ьи2 + сиг = avx + bv2 + cv3.
Поэтому они удовлетворяют и соотношению (3).
Пример. Возьмем как основу тройки (1, 1, 6) и (3, 5, 2) Имеем
1* + 1* + б2 в 32 + 5* + 2*.
Определим числа а, Ь, с так, чтобы
1 •a-j~l*^-i~6,c = 3*а-{~5*^-}“2*(?, т. е. а = 2 (с — Ь).
Составляем таблицу для а, Ь, с; uXi и2, uit vu v2t v3:
1
1 * |
! ъ
1 *
| “i
| «2
иг
1
v2
v*
1
2
1
2
3
2
8
5
6
4
2
2
0
1
3
1
7
5
5
3
3
4
1
3
5
2
9
7
6
5
4
2
2
3
3
3
9
5
7
5
5
4
0
2
5
1
8
7
5
4
6
6
0
3
7
1
9
9
5
5
7
0
1
1
1
2
7
3
6
3
8
0
2
2
1
3
8
3
7
4
9
0
3
3
1
4
9
3
8
5
Ha основании этой таблицы составляем устойчивые равенства:
53312 + 2121* + 97862 - 7553* + 6565s + 53422, 34212 + 2111* + 83262 - 4322s + 54238 + 61152, 34121* + 21411* + 83926* - 43522* + 543232 + 618152, 1721* + 4121* + 9936* » 3923* + 55322 + 8525* и т. д.
М. ГОТЛЕР
(г. Вильнюс)
93

Математический календарь на 1973 / 74 учебный год
Ноябрь
2 ноября — 70 лет со дня рождения советского математика и механика академика Грузинской АН Виктора Дмитриевича Купрадзе (см.: «Математика в школе», 1968, № 5).
5 ноября — 125 лет со дня рождения английского математика и астронома Джемса Глешера (1848— 1928). Он работал в Кембридже. Основные его работы относятся к эллиптическим функциям и теории чисел. Глешер известен главным образом тем, что вычислил наименьшие делители для чисел 4-го, 5-го и 6-го миллионов; вообще он опубликовал около 50 различных математических таблиц и несколько работ по истории математики. Его именем названа кольцевая гора на видимой стороне Луны (см.: Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966).
8 ноября — 125 лет со дня рождения немецкого математика Готлоба Фреге (1848—1925). Фреге родился в Висмаре. Работал в Иене. Его исследования относятся к основаниям математики, математической логике и теории множеств. В работе «Основы арифметики» (1884) Фреге стремился обосновать арифметику с помощью логики, формализованной в виде «записи понятий». Исследования Фреге и других зарубежных и отечественных математиков составляют основу математической логики. Им и Пеано были выработаны основные элементы формализованных языков, которыми пользуются и в настоящее время (см.: Н. Б у р б а к и. Очерки по истории математики. М., 1963).
11 ноября — 70 лет со дня рождения советского физика и математика, члена-корреспондента АН СССР, заслуженного деятеля науки и техники СССР Михаила Александровича Г аврилова. Он родился в Москве, окончил Московское высшее техническое училище, доктор технических наук. Работал в различных вузах Москвы; в настоящее время работает в Институте автоматики и телемеханики АН СССР. Математические работы М. А. Гаврилова относятся к математической логике, электронно-вычислительным машинам и прикладной математике (см.: История отечественной математики, т. 4, кн. 2. Киев, 1970).
15 ноября — 175 лет со дня смерти французского математика Франсуа Калле (1744—1798). Калле родился в Версале. Известны его, употребляемые и сейчас, 7-значные таблицы логарифмов, выпущенные им в 1795 г. под названием «Портативные таблицы
логарифмов», которые содержали также таблицы синусов и их логарифмов для десятичного деления углов (см.: Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966).
27 ноября — 75 лет со дня рождения советского математика Елизаветы Владимировны Воронов* с к о й. Она родилась в Петербурге, окончила Петроградский университет (1919), доктор физико-математических наук, профессор (1956). Исследования Вороновской относятся к теории функций, функциональному анализ/, приближенным и численным методам (см.: История отечественной математики, тт. 3, 4).
Декабрь
2 декабря —100 лет со дня смерти швейцарского математика Карла Генриха Г р е ф ф е (1799—1873). Греффе родился в Брауншвейге (Германия), был профессором Цюрихского университета. Его исследования относятся к алгебре. В 1837 г. Греффе опубликовал метод приближенного вычисления корней алгебраического уравнения, (см.: Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1966).
8 декабря — 125 лет со дня рождения польского математика Мариана Александровича Баранецкого (1848—1895). Баранецкий работал в Варшаве и Кракове. Пользовались известностью его руководства «Арифметика и алгебра» (Варшава, 1875), «О гипергеометрических функциях» (Москва, 1878) и др. (см.: Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, т. 5).
18 декабря —125 лет со дня смерти знаменитого чешского математика и логика Бернарда Б о л ь ц а- н о (см.: «Математика в школе»,
1961, №5).
23 декабря —160 лет со дня смерти русского педагога-математика и механика, члена Петербургской АН Семена Емельяновича Гурьева (1764—1813). Он родился в обедневшей дворянской семье, образование получил в инженерно-артиллерийском кадетском корпусе в Петербурге, где был и оставлен репетитором (преподавателем) математики, позже он занял должность профессора математики в том же корпусе. В 1796 г. он был избран адъюнктом, а через два года ординарным академиком Петербургской АН.
Характерной чертой деятельности
С. Е. Гурьева была забота о подготовке кадров русских ученых и о распространении научной и учебной
литературы на русском языке. Его основные математические работы относятся к элементарной, аналитической и дифференциальной геометрии, математическому анализу, методике и методологии математики. В геометрии он, в частности, первый дал аналитический вывод основных уравнений для плоских кривых в полярных координатах. В своем основном труде «Опыт об усовершенствовании элементов геометрии» (1798) Гурьев дает критику различных попыток обоснования анализа, с одной стороны, и общепринятых способов изложения — с другой, а также дает собственную программу курса геометрии. В этой и других работах он широко пропагандирует применение в анализе и геометрии теории пределов. Упомянутая работа явилась первым обобщающим трудом по методологии и методике математики не только в русской, но и европейской литературе. Гурьевым были написаны также несколько руководств по элементарной и высшей математике и механике. Его труды оказали большое влияние на развитие русской учебной литературы (см.: В. Е. Прудников. Русские педагоги-математики XVIII— XIX веков. Учпедгиз. М., 1956;
А. П. Юшкевич. История математики в России, «Наука», М., 1968).
27 декабря —150 лет со дня рождения русского механика и мате- матика-педагога Августа Юльевича Давидова (см.: «Математика в школе», 1954, № 4).
28 декабря — 70 лет со дня рождения американского математика, члена Национальной АН США Джона (Яноша) Неймана (1903—1957). Нейман родился в Будапеште (Венгрия). Окончил Будапештский университет. Работал в Берлине, а затем Принстоне. Начиная с 1940 г. он стал консультантом атомных и других военных учреждений. Диапазон научных исследований Неймана очень широк. Ему принадлежат работы по теории множеств, алгебре, теории функций действительного переменного, теории меры, топологии, теории непрерывных групп, гильбертовым пространствам, теоретической физике, теории и практике вычислений на электронных машинах, (см.: Биографический словарь деятелей естествознания и техники, т. 2, М., 1959;
Н. Б у р б а к и. Очерки по истории математики. М., 1963; «Реферативный журнал математики», 1957, № 9;
1959, № 11; i960, № 3; 1970,
№ 3).
А. И. БОРОДИН
(г. Донецк)
94

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
ПОЛЕЗНАЯ БРОШЮРА
В нашей стране в настоящее время идет перестройка среднего математического образования. Учитель математики, который должен служить главным проводником новых идей, обязан знать не только как перестраиваются школьные программы по математике, но и почему это делается, чем вызвана к жизни необходимость коренной реформы курса средней школы. Между тем литературы, посвященной обсуждению общих тенденций современного развития математической науки, мы имеем крайне мало.
Рассмотрению этого круга проблем в связи с курсом геометрии средней школы и посвящена вышедшая недавно в издательстве «Знание» брошюра И. М. Яглома «Элементарная геометрия прежде и теперь» (М., 1972).
В этой небольшой по объему (всего 43 страницы), но очень насыщенной по содержанию книге рассматривается целый ряд вопросов, связанных с пониманием самого термина «элементарная геометрия», с идеями, которые лежали в основе этого раздела математики в XIX в.г и с теми идеями, которые составляют основ/ элементарной геометрии в настоящее время.
Первой неожиданностью, которая подстерегает читателя, будет, вероятно, утверждение автора о том, что элементарная геометрия есть такой раздел математики (учебный предмет, а не научная дисциплина), кото¬
рый возник в XIX в. (подчеркиваем,— не в древней Греции, а всего около ста лет назад). В первой части книги автор в очень интересной, подчас нарочито заостренной форме аргументирует это утверждение. Здесь рассматривается расцвет тех разделов геометрии, которые принято относить к «классической элементарной геометрии»: учение о треугольниках и окружностях, появление синтетической геометрии, развитие проективной геометрии.
Однако к началу XX в. интерес к этим разделам математического образования значительно ослабевает в связи с новыми требованиями, предъявляемыми прежде всего развитием самой математики. Вторая часть книги И. М. Яглома посвящена рассмотрению некоторых современных тенденций в развитии математики и, в частности, геометрии, породивших закат некоторых традиционных разделов геометрии и возникновение новых ее ветвей. В первую очередь здесь отмечается рост значения «дискретной» или «конечной» математики, связанный с широким развитием вычислительной техники (ЭЦВМ). Это обстоятельство диктует необходимость знакомства И в школьном курсе с некоторыми новыми для школы идеями и построениями. Что же касается элементарной геометрии, то ее роль в настоящее время в какой- то мере берут на себя дискретная геометрия и комбинаторная геомет¬
рия, о которых подробно рассказывает автор. Комбинаторная геометрия богата приложениями педагогического характера. В конце брошюры автор рассматривает некоторые очень интересные и далеко нетривиальные примеры задач дискретной и комбинаторной геометрии, которые могут быть использованы в школьном преподавании.
Существенную роль в развитии дискретной и комбинаторной геометрии играет их связь с типичными для современной прикладной математики «оптимизационными проблемами», которые автор рассматривает на примере задач о «наилучшем коде» в теории связи и геометрической задачи о наибольшем возможном числе непересекающихся шаров, которые можно приложить к данному шару. Сделанные из этих теорий выводы (к которым, впрочем, как об этом предупреждает во введении и сам автор, надо относиться с осторожностью, ибо стилю брошюры свойственно некоторое заострение проблем) могут подсказать учителю математики новые направления его работы с учениками, особенно интересующимися его предметом.
Появление этой интересной брошюры следует приветствовать.
И. А. ЛУРЬЕ
(Москва)
95

ХРОНИКА
А. Я. МАРГУЛИС
(Москва)
В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА (ГОД ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ)
На заседании 21 сентября 1972 г. Г. Г. Маслова доложила об итогах работы II Международного конгресса по математическому образованию, проходившего в г. Эксетере (Англия) с 29 августа по 2 сентября 1972 г. (см.: «Математика в школе», 1972, № 6).
19 октября 1972 г. И. К. Андронов рассказал о своей уникальной библиотеке, собранной им более чем за 60 лет. Библиотека содержит более 50 тыс. книг, журналов и рукописей, посвященных математике, ее истории, вопросам преподавания математики. Имеется коллекция портретов математиков (около 4000). Фонды этой библиотеки неоднократно использовались научными работниками.
Выступление А. Д. Семушина было посвящено «Осо7 бенностям и итогам педагогического эксперимента учителя математики В. Ф. Шаталова (г. Донецк)», (см.: «Математика в школе», 1973, № 1).
21 декабря 1972 г. Б. В. Гнеденко сделал обзорный доклад «О математике в СССР за 50 лет его существования» (см.: «Математика в школе», 1972, № 6). Последующее сообщение Г. Г. Масловой было посвящено «Прогрессу преподавания математики в школе за 50 лет существования СССР».
В связи с изменением содержания преподавания алгебры в педагогических институтах на заседании 18 января 1973 г. Л. Я. К у ликов выступил с докладом «Основные алгебраические структуры».
Доклад В. Г. Болтянского 13 февраля 1973 г. был посвящен «Использованию логических средств для исследования структуры определений, аксиом и теорем» (см.: «Математика в школе», 1973, № 1). .
15 марта 1973 г. с сообщением «Общеобразовательное значение курса математики средней школы и математическая культура учителя» выступил В. Г. Лемлейн.
«Межпредметным связям математики и физики и. их реализации в средней школе» был посвящен доклад
В. И. Левина 19 апреля 1973 г.
17 мая 1973 г. А. Н. Колмогоров выступил с докладом
«Элементы логики в средней школе». 25 апреля 1973 г. Герою Социалистического Труда, академику А. Н. Колмогорову исполнилось 70 лет, что и было отмечено в приветственном слове Б. В. Гнеденко (см.: «Математика в школе», 1973, № 2).
Заключительное заседание секции 21 июня 1973 г. было посвящено докладу А. И. Маркушевича «Некоторые мысли об истории математики и ее преподавании». Этим заседанием завершилось первое двадцатипятилетие существования секции средней школы Московского математического общества (старейшей из секций).
В этой связи уместно вспомнить о некоторых фактах, характеризующих отношение Московского математического общества (ММО) к преподаванию мате'матики в средней школе. ММО с самого своего основания (1864 г.) интересовалось вопросами преподавания математики в школе. Уже в первых выпусках журнала об-; щества «Математический сборник» имелись публикации по вопросам средней школы. Вероятно, такой интерес объяснялся и тем, что в числе основателей ММО были математики, связанные со школой. Так А. Ю. Давидов был автором школьных учебников, особенно широкое распространение получил его учебник геометрии. К. М. Петерсон — выдающийся геометр — до конца жизни был учителем средней школы.
В начале XX столетия при Московском университете было основано Педагогическое общество, имевшее секцию преподавания математики. В 1912 г. был основан Московский математический кружок под председательством Б. К. Млодзиевского. Кружок издавал журнал «Математическое образование». В 30-х годах ММО совместно с Академией наук СССР провело активную кампанию по улучшению существующих школьных учебников по математике (см.: «Математическое просвещение», 1937, № 11, «Высшая школа», 1937, № 6). С 1948 г. работа ММО по вопросам средней школы стала систематической. Была организована секция средней школы, перед которой были поставлены задачи: содействие повышению культуры преподавания математики в общеобразовательной школе, обмен педагогическим опытом, установление живой и постоянной связи между преподавателями средней и высшей школы. Председателем бюро секции в течение первых шестнадцати лет был А. И. Маркушевич, а в настоящее время Б. В. Гнеденко. Одним из основателей секции был доцент Я. #. Дорф (1890—1960). С 1948 г. до дня кончины он был ее бессменным секретарем.
Членов секции на сегодня — около 300 человек. Собрания секции проходят в здании МГУ (на Ленинских горах) раз в месяц — каждый третий четверг (кроме июля и августа). Большое место в работе секции занимает обсуждение проблемы развития математического образования. Материалы работы секции систематически публикует журнал «Математика в школе».
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков,
А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
3. С. Сухотина» И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор Л. В. Спицына
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8. Телефон редакции 283-85-83.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Сдано в набор 22/VIII-73 г. Подписано в печать 28/IX-73 г. Формат 84X108Vi6 Бумага типогр. № 2 Объем 6(10,08) п. л. Учетно-изд. л. 12,15 Тираж 401 520 экз. Цена 45 коп. Заказ 366
Московская типография Кя 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 107005, Москва, В-5, Денисовский пер., д. 30.