МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
5 -1970
СОДЕРЖАНИЕ
Навстречу XXIV съезду КПСС
ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЕИ МАТЕМАТИКИ
Пути совершенствования подготовки учителей математики в педагогических
институтах
Новый учебный план подготовки учителей математики
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ, ПОВЫШАЮЩИМ СВОЮ КВАЛИФИКАЦИЮ
НА ОЧНО-ЗАОЧНЫХ КУРСАХ
Об аксиоматическом построении евклидовой
геометрии и геометрии Лобачевского
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В помощь учителям IV класса
Из опыта работы классов с опережающим обучением
Желательные дополнения Учебные материалы по геометрии для V класса
О решении уравнений и неравенств Решение геометрических задач на доказательство с помощью прямоугольной
системы координат Пути повышения эффективности обучения учащихся Опыт проведения телевизионных занятий с поступающими в вузы
Проблемы. Суждения
О требованиях к содержанию экзаменационных работ за курс восьмилетней
школы
Эксперимент
Дифференциал в курсе математики средней школы
Внеклассная работа
Четвертая Всесоюзная математическая олимпиада 1970 г. Решение задач, предлагавшихся на заключительном туре Всесоюзной математической олимпиады 1970 г.
Задачи
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Извлечение корня любой степени и формула бинома у Насирэддина ат-Туси Математический календарь на 1970/71 учебный год
ЗА РУБЕЖОМ
Международная комиссия по математическому образованию Международное исследование по изучению уровня и характера подготовки
учащихся общеобразовательной школы О выявлении и развитии математических способностей старших школьников
в ДРБ
ХРОНИКА
В Министерстве просвещения СССР Всесоюзное совещание заведующих математическими кафедрами педагогических институтов
В секции средней школы Московского математического общества (год двадцать
второй)
О работе семинара «Особенности обучения математике в вечерних (сменных)
школах» (1965* -1970 гг.)
В. К. Розов Л. Я. Куликов, В. Г. Лемлейн
14 И. П. Егоров
25 А. С. Шепетое
28 Л. С. Карнацевич
30 А. Н. Колмогоров,
А. Ф. Семенович, Р. С. Черкасов 45 М. И. Башмаков
48 С. Г. Губа
51 Я. Б, Бупятое
53 С. А. Белова,
А. Г. Мордкович, М. И. Сканави
57 К. П. Сикорский
60 М. С. Мацкин,
Р. Ю. Мацкина
65 Л. М. Пашкова
67 Н. Б. Васильев
71
С. А. Ахмедов 82 А. И. Бородин
83 Б. П. Бычков
86 К. А. Краснянская,
Е. М. Соколов 93 Фам Ban Хоан
94
94
95 95
Н. А. Ермолаева
К. И. Дуничев, И. С. Петраков А. Я. Маргулис
Г. Д. Глейзер


Навстречу XXIV съезду КПСС
Пленум Центрального Комитета Коммунистической партии Советского Союза принял постановление о созыве очередного XXIV съезда КПСС в марте 1971 г.
На протяжении всей героической истории КПСС ее съезды имели огромное значение для революционно-преобразующей деятельности партии и народа, были важнейшими вехами на пути их борьбы за воплощение в жизнь коммунистических идеалов.
В настоящее время роль партии как руководящей и направляющей силы советского общества все более возрастает. Предстоящий XXIV съезд подведет итоги многогранной деятельности партии по руководству коммунистическим строительством, внутренней и внешней политикой Советского государства за период с 1966 по 1970 г. Съезд определит перспективы и конкретные задачи дальнейшей борьбы за выполнение Программы КПСС
Пятилетка еще не завершена, но уже сейчас ясно, что Директивы XXIII съезда в основном реализуются успешно. Советская промышленность увеличит за пятилетие производство примерно в полтора раза. Прирост валовой продукции будет равен почти всему объему производства за две пятилетки, вместе взятые.
Строительство коммунизма предполагает создание наряду с современной промышленностью всесторонне развитого высокопродуктивного сельского хозяйства.
Июльский Пленум ЦК КПСС выработал развернутую, научно обоснованную программу ускоренного развития сельскохозяйственного производства.
Вместе с ростом общественного богатства и производительности труда растет материальное благосостояние народа. В целом реальные доходы в расчете на душу населения увеличатся за нынешнюю пятилетку на 33 процента. Ежегодно почти 11 миллионов советских людей справляет новоселье.
Всестороннее развитие науки и техники — предмет неустанной заботы нашей партии.
Решение основной экономической задачи — создание материально-технической базы коммунизма осуществляется на основе всемерного использования достижений науки и техники. Свое концентрированное выражение достижения нашей науки, в том числе математики, нашли в развитии новой техники, в изучении и освоении космоса.
Успешно выполняются задания пятилетки по развитию культуры, просвещения.
Советские учителя настойчиво борются за выполнение заданий XXIII съезда КПСС по дальнейшему развитию и совершенствованию школы. За время истекающей пятилетки восьмилетнее образование завершит 22 миллиона подростков, а полное среднее образование получит более 13 миллионов юношей и девушек, 70 процентов молодых людей выходят на трудовой путь имея среднее образование.
В современных условиях значительно возросли требования к общеобразовательной подготовке рабочих. Чтобы разобраться в принципе устройства того или иного агрегата, правильно организовать его эксплуатацию и обслуживание, рабочий должен обладать знаниями математики, физики, химии. Техническое перевооружение сельского хозяйства также изменяет характер производственной деятельности сельского работника, повышает его общую культуру и техническую грамотность. Поэтому сейчас с новой силой звучит призыв великого Ленина к молодежи: «Учиться, учиться и учиться!»
В соответствии с решениями XXIII съезда КПСС в нашей стране осуществляется переход к всеобщему среднему образованию молодежи. Планомерно вводятся новые программы обучения, отражающие современное состояние науки.
Сейчас необходимо внедрение таких методов обучения, которые позволяли бы непрерывно тренировать ум ребенка, способствовали бы активизации его мыслительной деятельности.
Новые требования, предъявляемые современным этапом коммунистического строи¬
2


тельства к школе, ставят новые повышенные требования и перед каждым учителем. Сейчас нельзя работать по старинке, нельзя жить старым багажом, нельзя ограничиваться старым методическим арсеналом.
Наряду с широкой системой усовершенствования учителей все большее значение приобретает самообразование, постоянный идейно-политический и профессиональный рост педагога. Первым и главным направлением самообразования сейчас является полное и глубокое овладение новыми программами и учебниками, последней методической литературой. Без этого ни один учитель не сможет стоять на уровне сегодняшних задач школьного преподавания.
Особенно ответственные задачи решает сейчас сельская общеобразовательная школа, в которой обучается 22 миллиона человек, т. е. половина всего состава учащихся страны. Она призвана сыграть большую роль в выполнении решений июльского Пленума ЦК КПСС «Очередные задачи партии в области сельского хозяйства». Огромный отряд советской интеллигенции — сельские учителя, обучающие и воспитывающие будущих тружеников полей, должны вооружить их прочными знаниями, сформировать у них высокую коммунистическую сознательность, готовность к активной трудовой и общественной деятельности в социалистическом сельском хозяйстве.
В своей исторической речи на III съезде РКСМ, пятидесятилетие которой мы сейчас отмечаем, Владимир Ильич Ленин выдвинул
всеобъемлющую программу воспитания молодых поколений советского народа. Сейчас, как и пятьдесят лет назад, юноши и девушки нашей страны находят в этом вдохновляющем документе ключ к решению самых актуальных проблем, которые выдвигаются жизнью, новой исторической обстановкой. Прошедший недавно XVI съезд ВЛКСМ уделил большое внимание работе ученических комсомольских организаций, самого юного отряда Ленинского комсомола. Съезд призвал учительство оказывать постоянную поддержку и конкретную помощь учащимся- комсомольцам, способствовать развитию их инициативы и самодеятельности, укреплению школьного комсомола, повышению его роли в жизни ученического коллектива.
Наступивший учебный год является решающим во всей работе, связанной с совершенствованием системы обучения и воспитания школьников. Этот учебный год особенный и потому, что он будет проходить под знаком подготовки к XXIV съезду КПСС, станет своеобразным отчетом нашей школы, учительства в выполнении директив партии в области народного образования.
Пусть каждый из нас трудится с особой ответственностью, с полным пониманием своей задачи, с полной отдачей сил. В новом подъеме всей учебно-воспитательной работы советской школы выразится участие нашего учительства в достойной встрече XXIV съезда Коммунистической партии Советского Союза!


ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
В. 	К. РОЗОВ
(Москве)
Пути совершенствования подготовки учителей математики в педагогических институтах
В эпоху научно-технической революции образовательный уровень широких масс населения выступает важнейшим фактором ускорения общественного развития. Поэтому партия и правительство предусматривают в качестве одной из важнейших задач обеспечение высокого уровня общего образования всех категорий трудящихся и особенно подрастающего поколения. Процесс перехода к всеобщему среднему образованию объективно диктует необходимость совершенствования всех сторон жизни и деятельности советской школы и прежде всего приведение в соответствие с требованиями науки, культуры содержания образования подрастающего поколения.
Осуществление всеобщего среднего образования неразрывно связано с качественными изменениями в структуре самой школы. Начальные классы осуществляют переход на трехлетний срок обучения. Систематическое преподавание основ наук в 1970 г. начинается с IV, а не с V класса. А это означает, что учителя-предметники (это прежде всего учителя математики и русского языка) получат новый контингент учеников, расширится фронт их работы.
Как известно, вопросы содержания и методов обучения в школе были предметом обсуждения на I Международном конгрессе по пре¬
подаванию математики, проходившем в августе 1969 г. в г. Лионе (Франция). В движении по модернизации математического образования особое внимание уделяется повышению научного уровня преподаваемых дисциплин, установлению более тесных связей между ними, их практическому применению. В настоящее время в школе вводятся новые научно обоснованные учебные планы и программы, новые учебники. Включение в программы средней школы по математике элементов аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, векторной алгебры, элементов математической логики, знакомство со счетно-решающими устройствами и другими важными вопросами будут способствовать сближению школьного курса математики с математикой как наукой, осуществлению тесной связи обучения с жизнью, поднятию общей математической культуры учащихся.
Сохраняя незыблемость принципа единой общеобразовательной школы для всего подрастающего поколения, новые учебные планы открывают возможность для развития способностей и удовлетворения интересов школьников в более глубоком изучении определенных разделов науки, литературы, техники методом факультативных занятий. Подобная дифференциация образования объективно вытекает из закономерностей развития общественного разделения труда, из потребностей научно-технического прогресса. Несомненно, что факультативные курсы по математике призваны сыграть большую роль в совершенствовании общего образования и улучшении математической подготовки молодежи. С переходом к всеобщему среднему образованию значительная часть нашей молодежи будет проходить через среднюю школу, а после окончания школы будет направляться на производство. В этих условиях особое значение в школе приобретает профориентационная работа. Представляется, что в решении проблем про- фессионально-ориентационной работы важное место принадлежит учителям математики. Все эти вопросы сейчас весьма важны, так как проблема осуществления всеобщего среднего образования стала конкретной практической задачей сегодняшнего дня. В 1969 г. почти 4,5 млн. учащихся было выпущено из восьмилетней школы. Выпуск из средней школы достиг 2,6 млн. учащихся, а общее число лиц, получивших полное среднее образование, составило 3,2 млн. В 1969 г. число учащихся в дневной школе достигло 45,2 млн., а учащихся старших классов (IX—X—XI)—4,6 млн.
Работа по осуществлению всеобщего среднего образования и его совершенствованию не¬
4


отделима от повышения качества преподавания всех дисциплин школьного цикла-. Мы сегодня должны признать, что в этой работе мы имеем значительные пробелы.
Успех решения всех тех задач, которые поставлены партией в области народного образования, во многом определяется учителем, его трудом, деятельностью учебных заведений, которые ведут подготовку учительских кадров и занимаются повышением их квалификации.
Быстрые темпы научно-технического прогресса выдвигают все более сложные требования к уровню научно-теоретической подготовки учителя.
В нашу эпоху успешно работать в школе, эффективно обучать и воспитывать молодежь может только тот учитель, который обладает широким политическим и общекультурным кругозором, глубоко знает основы современного состояния преподаваемой науки, умеет показать ее роль в общественном и социальном прогрессе, в решении задач строительства коммунизма. Для учителя важно глубоко понимать психологию и физиологию ребенка, хорошо знать педагогику, в совершенстве владеть педагогическим мастерством.
В настоящее время в СССР подготовкой учительских кадров занимаются 49 университетов, 205 педагогических институтов, 411 педагогических училищ. В каждой союзной и автономной республике, в крае и области есть высшие и средние педагогические учебные заведения.
В 1969/70 учебном году в педагогических институтах обучалось 852 тыс. студентов, из них 384,7 тыс. на дневных отделениях, в педагогических училищах на дневных отделениях— 228,1 тыс. учащихся.
В системе педагогических институтов весьма значительное место занимает подготовка учителей математики. 181 педагогический институт имеет физико-математические и математические факультеты, на которых обучается 70 700 студентов на дневных отделениях. В 1969 г. математические факультеты окончили 12 700 человек, получивших назначение на работу. В 1970 г. дневные отделения окончили около 20 тыс. учителей математики, а с учетом заочного обучения выпуск учителей математики составил 27,6 тыс. человек.
В 1970 г. будет принято для обучения по математическим специальностям 38 тыс. человек, в том числе 25 тыс. на учебу с отрывом от производства. Мы имеем довольно устойчивую потребность в учителях математики, и подготовка учителей математики не будет сокращаться. При этом следует отметить, что се¬
годня мы имеем определенное отставание образовательного уровня учителей математики и физики сельских школ. Небезынтересно заметить, что уровень образования учителей сельских школ находится в прямой зависимости от результатов приема на учебу молодежи из сельской местности. Наименьший процент колхозников и их детей имеют педвузы РСФСР, Казахской ССР, Эстонской ССР. Соответственно образовательный уровень учителей сельских школ этих республик ниже среднего показателя в целом по стране. ЦК КПСС проявляет большое внимание и заботу о комплектовании высших учебных заведений, об улучшении качественного состава студентов. Свидетельством этому является постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 20 августа 1969 г. «Об организации подготовительных отделений при высших учебных заведениях». В соответствии с этим постановлением при 23 педагогических институтах страны созданы подготовительные отделения. В 1970 г. сеть подготовительных отделений будет значительно расширена в РСФСР до 50, на Украине—до 17 отделений.
На подготовительных отделениях особое внимание уделяется подготовке молодежи к поступлению на физико-математические факультеты. Очевидно, эта работа должна дать весьма значительный педагогический эффект в деле улучшения подготовки учителей математики в педагогических институтах. Работа подготовительных отделений может быть плодотворной лишь в условиях повседневного внимания к ним математических кафедр педвузов. Важным фактором совершенствования подготовки учительских кадров высокой квалификации является учебно-методическая документация: учебные планы, программы, учебники, учебные пособия.
Одним из основных документов организации работы педагогического института является учебный план. Ныне действующие учебные планы имеют определенные противоречия с принципами дидактики высшей школы. В учебных планах пединститутов резко сократилось количество часов, отводимых на теоретическое обучение. Резкое увеличение времени на практику сократило информационные возможности учебного процесса. При возрастании значения педагогических наук в общественном и социальном прогрессе их роль в подготовке учителя оказалась принижена.
После утверждения учебных планов в 1963 г. они претерпели значительные изменения. Изменились перечень и сетка учебных дисциплин по общественным наукам. Учебный план оказался перегруженным и нереальным.
5


Если говорить конкретно об учебном плане по специальности «Математика», то в нем был заложен отрыв так называемой элементарной математики от высшей математики. В сознании студентов это перерастало в противоречие («это нам нужно для будущей работы, а это — нет!»). Это влекло за собой неподготовленность учителей к перестройке содержания школьного математического образования. Анализ действующего учебного плана по специальности «Математика» и проверка работы математических и физико-математиче- ских факультетов показали, что уровень подготовки учителей математики не соответствует в полной мере современным требованиям науки и техники, не обеспечивает подготовки выпускников к работе в средней школе по новым программам, к ведению факультативных занятий.
Проведенная Г осударственной инспекцией проверка пединститутов ряда союзных республик (РСФСР, Белорусской ССР, Казахской ССР и Киргизской ССР) показала наличие серьезных недостатков в подготовке учителей математики. На государственных экзаменах на математических факультетах 47,4% выпускников получили лишь удовлетворительные оценки. Ряд студентов не смогли выполнить требований, предъявляемых к учителям математики. Низкую успеваемость имеют студенты вечерних и заочных отделений педагогических институтов. Велики цифры отсева студентов-математиков. На дневных отделениях ежегодно отсевы составляют около 3% контингента, а на заочных — б—8%. В ходе инспектирования были обнаружены крупные недостатки и нарушения в организации учебного процесса, в учебно-методической и воспитательной работе в педагогических вузах. Лекции, практические и лабораторные занятия в ряде институтов проходят на низком теоретическом уровне. Важнейшей задачей математических кафедр остается работа по повышению научно-теоретического уровня преподавания, всемерное улучшение качества методической работы и проведения всех форм учебных занятий в педагогических институтах.
При Министерстве просвещения СССР два года назад было создано 14 научно-методиче- ских советов, в том числе и НМС по математике. Научно-методические советы разработали новые учебные планы и программы. Следует отметить, что работа над новыми учебными планами проводилась по определенной научной системе, с учетом опыта ряда вузов (Ленинградским имени А. И. Герцена, Свердловским, Калининским и др.).
В разработанном учебном плане предусмот¬
рена новая логическая схема психолого-педа- гогических дисциплин. Новая система психо- лого-педагогических дисциплин призвана поднять педагогику на уровень современных задач, выдвинутых постановлением ЦК КПСС «Об основных направлениях деятельности Академии педагогических наук СССР».
Цикл психолого-педагогических дисциплин имеет исключительно важное значение в деле профессиональной подготовки будущего учителя, но он может дать свой полный эффект лишь в том случае, если чтение его на каждом факультете будет неразрывно с характером будущей работы учителя, его специальностью. Нам необходимо преодолевать тот отрыв от специальных курсов и предметов, который существует при преподавании педагогических дисциплин. В свою очередь, специальные кафедры во всей своей работе должны быть тесно связаны с кафедрами педагогики и психологии. Мы готовим не математика или физика в чистом виде, а учителя математики, физики. Все это объективно определяет необходимость дальнейшего развития творческих связей уче- ных-педагогов и преподавателей математических кафедр, объединения их усилий для подготовки высококвалифицированного специалиста учителя математики.
Все возрастающее значение приобретают работы по профессиональной педагогической направленности преподавателей специальных дисциплин. Этому в значительной степени способствует новая структура специальных дисциплин в ряде учебных планов. Новый учебный план и новые программы по всем основным курсам подверглись широкому обсуждению в педагогических институтах всех союзных республик. Его проекты детально обсуждались на совместном заседании Президиума Научно-методического совета по математике Министерства просвещения СССР и комиссии по математическому образованию АН СССР и АПН СССР, а также на специальном расширенном заседании комиссии по математическому образованию АН СССР, на ряде зональных конференций математиков. Научно- методический совет учел пожелания и замечания ученых, высказанных при обсуждении учебного плана.
Все эти обсуждения были весьма полезный способствовали созданию плана вполне реального по характеру, более высокого по научному содержанию, а также разгрузке программ, из которых исключены второстепенные вопросы.
Новый учебный план и программы математических факультетов характеризуются также большим вниманием к вопросам школьной
&


математики, что чрезвычайно важно на современном этапе совершенствования школьного математического образования. Органическое включение во все основные математические курсы соответствующих разделов школьной программы, введение «Научных основ школьного курса математики» ориентируют весь цикл математических дисциплин на подготовку учителя средней школы, позволяют излагать эти вопросы на высоком научном уровне, способствуют подготовке высококвалифицированного учителя, способного и стремящегося к совершенствованию школьного математического образования. Реализация этого плана и программ предъявляет повышенные требования не только к обучаемым, но и обучающим и должна объективно способствовать совершенствованию преподавания в педагогических институтах. Новый учебный план по специальности «Математика», утвержденный Министерством высшего и среднего специального образования СССР, вводится на первых курсах с 1 сентября 1970 г.
Начиная работу по новым программам, в настоящее время профессора и преподаватели математических кафедр особое внимание должны уделить подготовке полноценных лекционных курсов, методическим разработкам семинарских и практических занятий, отвечающим требованиям новых программ. Необходимо усилить внимание к организации учебного процесса в педагогических институтах, к укреплению его материальной базы.
Особо важную роль в деле совершенствования постановки математического образования и подготовки учителей высокой квалификации призваны сыграть научно-методические кадры, профессорско-преподавательский состав математических кафедр.
В педагогических институтах страны в 1969 г. работало около 43 тыс. профессоров и преподавателей, в том числе профессоров и докторов наук — 599, доцентов и кандидатов наук — 11 483, 30 754 — преподавателей без
ученых степеней и званий.
Следует отметить, что кадры дипломированных ученых весьма неравномерно распределяются по территории страны. Значительная часть ученых сконцентрирована в Москве и Ленинграде. Высокий процент дипломированных ученых имеют вузы Грузии и Армении. Мало ученых, имеющих ученые степени и звания, в педвузах Казахстана, Киргизии, Таджикистана. По-прежнему невелико число ученых — докторов наук.
В настоящее время ведут подготовку ученых через аспирантуру 77 педагогических институтов. Общее число аспирантов составляет
3975 человек, в том числе по физико-математическим наукам 818 человек. Работа с аспирантами педагогических институтов требует серьезного улучшения. Меньшая часть аспирантов оканчивает аспирантуру с защитой диссертаций. Недостаточно эффективно работает институт старших научных сотрудников. Плохо используются возможности повышения квалификации преподавателей математических кафедр на факультетах повышения квалификации. В 1970 г. 9 республиканских министерств просвещения, высшего и среднего специального образования не выполнили планов направления преподавателей математических кафедр на учебу для повышения квалификации.
Факультеты повышения квалификации преподавателей организованы в соответствии с постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 3 сентября 1966 г. Это свидетельствует о большой заботе и внимании партии и правительства к вопросам повышения квалификации преподавателей высшей школы. Все мы должны испытывать чувство большой ответственности за проведение этой работы. Следует усилить внимание к практике командирования ведущих ученых в периферийные вузы, слабо укомплектованные педагогическими кадрами.
Важнейшим условием роста квалификации педагогических кадров математических кафедр является развитие научно-исследовательской работы. Между тем эта область деятельности кафедр страдает рядом существенных недостатков. Малое число защищаемых докторских диссертаций свидетельствует о том, что кардинальные проблемы современной математической науки все еще решаются в незначительных объемах. Недостаточно высокое качество научных исследований проявляется и в публикуемых работах. Стремление во что бы то ни стало издать все, даже незначительное, приводит к тому, что многие институты издают ученые записки, в каждом томе которых собраны столь разнообразные материалы по отраслям наук, по тематике и по качеству, что в них теряются действительно серьезные исследования.
Обращает на себя внимание тот факт, что за малым исключением в исследованиях по методике преподавания математики не находят отражения современные и перспективные проблемы перестройки школьного образования. Педагогические институты должны стать научными центрами, объединяющими и координирующими исследования, посвященные совершенствованию школьного образования, в частности математического. Нельзя согласиться с тем, что в ряде случаев научно-методиче¬
7


ские работы, посвященные математическому образованию в школе, расцениваются как работы второго сорта.
Следует усилить внимание к формированию исследовательских качеств и в характере будущего учителя. Этому должны способствовать научные студенческие кружки при математических кафедрах, проведение студенческих научных конференций.
Решая эту задачу подготовки учителя высокой квалификации, коллективы педагогических институтов должны вести повседневно работу по идейно-политической закалке студента. Проведение мероприятий, связанных с Ленинским юбилеем, Ленинский зачет, изучение общественных дисциплин, важнейших политических документов нашей партии — все это способствовало улучшению дела политического воспитания будущего учителя, способствовало росту творческой и общественной активности молодежи, посвятившей себя благородной профессии учителя. Повсеместно ведется работа по соединению обучения и воспитания в единый процесс. Успешно решают эту задачу и многие преподаватели математики, не только освещая в лекционных курсах вопросы тео¬
рии, но и показывая успехи ученых советской математической школы, их вклад в дело строительства коммунизма.
В условиях перехода школы на новое содержание обучения особо важное значение приобретает работа по оказанию помощи орга- нам народного образования и институтам усовершенствования учителей в деле повышения квалификации учителей. Математические кафедры педагогических институтов накопили большой опыт в проведении этой работы.
Предъявляя высокие требования к деятельности математических кафедр, Министерство просвещения СССР считает необходимым усилить внимание руководителей учебных заведений к их работе, обеспечить рост творческой активности и эффективности труда ученых-ма- тематиков, решающих важнейшую государственную задачу подготовки учителя высокой квалификации, верного помощника партии в борьбе за осуществление всеобщего среднего образования в нашей стране.
Выполнение этой важнейшей задачи должно стать для каждого педагогического института программой работы по достойной встрече XXIV съезда КПСС.
Л. Я. КУЛИКОВ, В. Г. ЛЕМЛЕИН
(Москве)
Новый учебный план подготовки учителей математики
1 сентября 1970 г. во всех педагогических вузах с четырехлетним сроком обучения (специальность № 2104, математика) в соответствии с приказом министра просвещения СССР М. А. Прокофьева вводится новый учебный план и программы.
Учебный план и программы разработаны Научно-методическим советом Министерства просвещения СССР (НМС), одобрены Коллегией этого министерства и утверждены Министерством высшего и среднего специального образования СССР 2 марта 1970 г.
В процессе разработки учебного плана и программ проводилось их широкое обсуждение на пленарных заседаниях НМС и его предметных комиссиях; на совещаниях зональных объединений математических кафедр РСФСР; на совместном заседании президиума НМС с программной комиссией АН и АПН
СССР с участием академика А. Н. Колмогорова и вице-президента АПН СССР А. И. Маркушевича; в министерствах союзных республик; на заседаниях советов и математических кафедр ряда педвузов; на заседании Коллегии Министерства просвещения СССР; на комиссии по математическому образованию АН СССР. Таким образом, в обсуждении учебного плана принимала участие вся научно-педагогическая общественность.
Введение нового учебного плана вызвано рядом обстоятельств.
1. Реформой преподавания математики (введение новых школьных программ, учебников, факультативных курсов) и переходом к всеобщему среднему образованию.
2. Введением новой номенклатуры и сетки часов по психолого-педагогическому циклу, дисциплин.
3. Необходимостью включения в учебный план новой логической системы и новой сетки часов по психолого-педагогическому циклу, разработанной АПН СССР.
4. Упорядочением сроков педагогической практики.
5. Необходимостью устранения ряда недостатков старого учебного плана.
При разработке учебного плана и программ НМС исходил из необходимости существенно-


го улучшения подготовки учителя математики к своей профессии.
В наше время идет бурное развитие физико- математических наук.
Естественно, что вместе с развитием науки совершенствуются и методы обучения.
Для того чтобы подготовка учителей математики не отставала от развития науки, необходимо обновление программ и учебных пособий.
Возможно ли в таких условиях добиться положительного решения проблемы устойчивости учебного плана? Имеет ли эта проблема решение?
Современное развитие математики приводит не только к дифференциации, но и к интеграции математических дисциплин. Что же касается основных математических фактов, то они обладают очень большой степенью устойчивости. Есть все основания утверждать, что для подготовки учителей математики средней школы в течение длительного времени будут играть существенную роль следующие разделы:
1. Алгебра и теория чисел.
2. Геометрия и элементы топологии.
3. Математический анализ и теория функций.
4. Теория вероятностей и математическая статистика.
5. Вычислительная математика и программирование.
6. Основания математики и математическая логика.
В основу учебного плана была положена идея создания объединенных курсов. В первую очередь это касается трех основных математических дисциплин: математического
анализа, алгебры и теории чисел, геометрии. Обеспеченные значительным количеством часов, эти дисциплины позволяют логически стройно изложить все разделы соответствующих курсов и привить будущим учителям математики основы аналитической, алгебраической и геометрической культуры. Кроме того, такое построение учебного плана позволит в будущем в случае необходимости вносить соответствующие коррективы в те или иные разделы программ этих курсов, не меняя самого учебного плана. Таким образом, создаются благоприятные условия для устойчивости учебного плана.
Курс математического анализа включает в себя обычный курс анализа, теорию функций действительного переменного, дифференциальные уравнения и элементы функционального анализа.
Алгебра и теория чисел включает курс выс¬
шей алгебры, теорию чисел и ряд разделов, непосредственно связанных со школьным курсом математики. В начале этого курса предусмотрено изучение элементов теории множеств и логики, которые в дальнейшем используются во всех математических курсах.
Геометрия включает в себя аналитическую, проективную и дифференциальную геометрию, а также основания геометрии и элементы топологии. Этот курс содержит значительный материал, непосредственно связанный со школьным курсом геометрии. Программой курса предусматривается изучение теории и практики изображения фигур на плоскости.
Для того чтобы обеспечить возросшие потребности школы, все математические курсы ориентированы на то, чтобы дать будущему учителю конкретные знания и навыки для работы по новым школьным программам. В связи с этим наличие изолированных друг от друга разделов курса элементарной математики стало нецелесообразным. Математика едина, и противопоставление «элементарной» и «высшей» математики ненужно и вредно.
Умение решать задачи является одним из важнейших элементов подготовки учителя. Это умение вырабатывается в процессе практических занятий по всем математическим курсам. На семинарских занятиях по курсам алгебры и теории чисел, геометрии и математического анализа предусматривается решение большого числа задач школьного курса математики. Кроме того, в учебном плане выделено значительное дополнительное время на решение задач по темам школьного курса, недостаточно представленным в указанных выше дисциплинах. Соответствующий специальный практикум по решению задач тесно связан с педагогической практикой в школе и поэтому расположен в учебном плане в V, VI, VII и VIII семестрах.
По предложению академика А. Н. Колмогорова в учебный план вводится курс «Научные основы школьного курса математики». Его введение обусловлено серьезной перестройкой программ по математике в средней школе. Этот курс включает в себя элементы математической логики, некоторые вопросы оснований арифметики (числовые системы) и оснований геометрии. Роль «Научных основ школьного курса математики» в процессе подготовки учителя математики средней школы очень велика, ибо, устанавливая связь изученных ранее общих математических теорий с различными возможностями построения школьного курса математики, будущий учитель получает возможность значительно улучшить свою профессиональную подготовку. Сле-
9


Приложение
УЧЕБНЫЙ план
специальности № 2104 Математика
ПЛАН УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
В
с-
2
Название дисциплин
Распределение по семестрам
Часов
Распределение по курсам
и семестрам
всего
из них
I курс
II курс
111 курс
IV курс
V курс
VI курс
экзаменов
зачетов
курсовых проектов
курсовых работ
лекции
лабораторные
работы
практические
занятия
семинары
курсовые проекты и курсовые работы
1 сем. 18 нед.
2 сем. 17 нед.
3 сем. 18 нед.
4 сем. 17 нед.
5 сем. 12 нед.
6 сем. 17 нед.
7 сем. 18 нед.
8 сем. 7 нед.
9 сем. нед.
10 сем. нед.
11 сем. нед.
12 сем. нед.
часов в неделю
1
2
3
4
5
6
7
8
У
10
И
12
13
14
15 1
16 1
17 1
. 18
19
20
21
22
23
24
1
История КПСС
1,2
120
60
60
3
4
2
Марксистско-ленинская фи¬
лософия
3,4
140
80
60
4
4
3
Политическая экономия . * .
5,6
100
50
50
3
4
4
Научный коммунизм . . . .
8
7
70
30
40
3
2
5
Основы научного атеизма . .
8
24
18
6
3
6
Иностранный язык .....
8
1234
240
240
4
3
4
3
7
Возрастная физиология
и школьная гигиена • • . , .
2
50
42
8
3
8
Психология .
4
7
100
80
20
4
2
9
Педагогика с историей пе¬
дагогики . • . .
3,5
1
150
100
30
20
2
3
2
2
10
Методика преподавания ма¬
тематики
7
568
8
160
70
30
60
4
2
3
4
И
Практикум по решению
задач
5678
170
170
4
2
3
5
12
Математический анализ . . .
1235
12 345
520
280
240
7
6
7
5
7
13
Теория аналитических
функций
6
6
70
50
20
4
14
Алгебра и теория чисел . . .
124
1234
380
200
180
6
6
4
6
15
Геометрия
1234
1234
420
260
160
6
6
6
6
16
Теория вероятностей ....
6
5
80
40
40
4
2


Вычислительная математика
и программирование
Научные основы школьного курса математики Курсы и семинары по
выбору . . •
Общая физика
Астрономия
Физическое воспитание . . .
8
6,7
7
567
6,7
678
567
8
1234
IV. Факультативные дисциплины
Сем.
Час.
Марксистско-ленинская этика Марксистско-ленинская эстетика Логика Иностранный язык Факультативный курс по математике на иностранном языке История математики Методика воспитательной работы Семинар по педагогике и психологии Технические средства обучения Физическое воспитание и др.
Число часов учебных занятий • . • .
Число проектов Число работ .
Число Число зачетов
курсовых • • • • •
курсовых
экзаменов
V. Учебная практика
Название
практики
по измерениям и вычислениям
120
140
170
280
80
140
3724
2
33
43
40
100
70
140
50
80
50
30
ю
40
90
140
1760
243
1380
12
13
14
15 16
100
336
VI. Производственная практика
Название
практики
а) в пионерских лагерях
б) педагогическая практика в школе
5,8
л
О)
ч
О)
Я
4
13
17
20
21
22
23
24
30
30
30
32
30
30
VII. Дипломные проекты или дипломные работы
30
29
VIII. Государственные экзамены
Название дисциплин, выносимых на государственные экзамены
1. Марксистско-ленинская философия
2. Математика (по особой программе)
3. Педагогика с методикой преподавания математики


дует, однако, заметить, что до выхода соответствующего этому курсу учебного пособия кафедры могут читать курс «Научные основы школьного курса математики» по программам: «Математическая логика и алгоритмы» (VII семестр) и «Числовые системы» (VII семестр) с сохранением указанного в учебном плане соотношения лекционных и практических занятий.
Завершение к концу V семестра основных математических курсов позволяет значительно расширить тематику курсов и семинаров по выбору, начинающихся в VI семестре и идущих параллельно, что дает возможность связать работу семинара с курсом. Курсовая работа по математике, над которой студенты работают VI—VII семестры, естественно, может быть связана с тематикой специальных курсов и семинаров.
Специальный семинар по методике преподавания математики ведется в VIII семестре, а курсовая работа по методике преподавания математики пишется в VII—VIII семестрах, что дает возможность в случае необходимости провести эксперимент в школе во время педагогической практики.
Занятия по методике преподавания математики начинаются с V семестра, предшествуя педагогической практике, и продолжаются до конца обучения. Экзамен по всем основным разделам этого курса проводится в конце VII семестра, т. е. перед заключительной педагогической практикой в школе. В VIII семестре завершается профессиональная ориентация студентов. Продолжительность педагогической практики в школе установлена в 13 недель (6 недель в V семестре и 7 недель в VIII). Практика в пионерских лагерях (4 недели) проводится летом (в конце IV семестра), кроме того, имеется 2-недельная практика по измерениям и вычислениям, связанная либо с работой на электронно-вычислительных машинах, либо с измерениями на местности.
Советам института (факультета) предоставляется право в случае необходимости изменять календарные сроки проведения учебной и педагогической практики с учетом местных условий. В период практики студенты не имеют занятий в институте.
Проведение педагогической практики один раз в нечетном и один раз в четном семестре облегчает ее организацию в школе.
Предметы психолого-педагогического цикла в плане расположены в соответствии с требованиями подготовки студентов к проведению педагогической практики. Так, например, экзамен по педагогике и зачет по возрастной и педагогической психологии попадает как раз
в период между первой и второй педпрактикой в школе, а экзамен по общей психологии студенты сдают непосредственно перед практикой в пионерских лагерях. Наименование (номенклатура) факультативных курсов, курсов и семинаров по выбору определяется кафедрами и ежегодно утверждается советами институтов (факультетов) в соответствии с научными интересами преподавательского состава. Курсы и семинары по выбору, факультативные курсы ставят целью расширить математический кругозор учителя и улучшить его подготовку к чтению школьных факультативных курсов.
Факультативные занятия по истории математики тесно связаны с формированием материалистического, марксистско-ленинского мировоззрения.
Курс общей физики читается в V, VI и VII семестрах, что позволяет в полном объеме использовать математический аппарат как в лекционном курсе, так и на практических занятиях.
Рекомендованные в учебном плане курсы и семинары по выбору — «Теоретическая механика», «Квантовая механика», «Семинар по астрономии» — имеют большое значение в деле воспитания диалектико-материалистического мировоззрения в отношении применения математических методов к изучению объективного мира.
В соответствии с инструктивным письмом Министерства высшего и среднего специального образования СССР от 3 февраля 1969 г. за № И-10 в V—VIII семестрах должны проводиться факультативные занятия по иностранным языкам, которые продолжают курс обязательных занятий и имеют целью развитие у студентов навыков чтения иностранной литературы по специальности. В связи с этим итоговый экзамен по иностранному языку переносится в VIII семестр.
В учебном плане на экзаменационные сессии отводится 25 недель и 5 недель на государственные экзамены. Увеличение времени, отводимого на экзамены (в старом учебном плане на экзаменационные сессии отводилось 17 недель), связано с вопросом научной организации труда. В период сессии студенты работают наиболее активно, самостоятельно и с полной отдачей сил. Доминанта, возникающая во время подготовки к экзаменам, способствует более полному и глубокому усвоению материала. Кроме того, благодаря увеличению числа экзаменов и зачетов у преподавателей появляется возможность более тщательной проверки знаний студентов и, следовательно, к концу обучения они смогут добиться более
12


высокого уровня подготовки будущих учителей и выпустить хороших специалистов. Следует еще заметить, что увеличение числа экзаменов и зачетов позволяет вместо годового экзамена ставить два семестровых и тем самым вдвое уменьшить объем материала, который студент должен подготовить к экзамену.
Учебный план предполагает, что организация практических занятий и лабораторных работ построена так, что студенты в конце семестра имеют возможность получить зачет на основании систематического выполнения заданий и контрольных мероприятий (коллоквиумов, контрольных работ и т. д.) в течение всего семестра.
Основной формой итоговой проверки знаний студентов и их подготовки к преподаванию в школе являются государственные экзамены и дипломные работы.
В соответствии с приказом Министерства высшего и среднего специального образования СССР от 10 ноября 1967 г. за № 699 выпускники математических факультетов по обще- ственно-экономическому циклу сдают государственный экзамен по марксистско-ленинской философии.
По психолого-педагогическому циклу предусмотрен государственный экзамен по педагогике с методикой преподавания математики. Соединение педагогики с методикой преподавания позволит проверить не только теоретическую подготовку выпускников, но и уме¬
ние применять общепедагогические знания к преподаванию конкретной дисциплины.
Программа государственного экзамена по математике разрабатывается и утверждается Министерством просвещения СССР.
На основании пожеланий ряда педагогических институтов НМС считает целесообразным начиная уже с 1970/71 учебного года проводить государственные экзамены по следующим дисциплинам: марксистско-ленинская философия, математика, педагогика с методикой преподавания математики.
Советам институтов (факультетов) предоставляется право замены одного из госэкза- менов по математике или по педагогике с методикой преподавания математики соответствующей дипломной работой. Это право должно предоставляться студентам, имеющим хорошие и отличные оценки и проявившим склонность к научной работе в соответствующей области.
В настоящее время имеется достаточный опыт чтения объединенных курсов по алгебре и теории чисел, математическому анализу, геометрии и основаниям математики. Такой опыт имеется в Ленинградском, Калининском, Свердловском, Владимирском пединститутах.
Вступая в силу с 1970/71 учебного года, новый учебный план призван повысить качество подготовки учителей математики и привести ее в соответствие с требованиями развития советской общеобразовательной школы, создать условия для дальнейшего повышения уровня преподавания в педагогических институтах.
ОБЪЯВЛЕНА ПОДПИСКА НА ЖУРНАЛ “НВАНТ" НА 1971 г.
«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР. Он рассчитан в первую очередь на школьников VIII—X классов, однако интересен и учителям, особенно тем, которые ведут кружки или факультативные занятия по физике и математике.
Основное содержание журнала — это материалы, помогающие лучше понять физику и математику.
В журнале читатель найдет много задач, среди них — предлагавшиеся на вступительных экзаменах в различные вузы, на олимпиадах и другие, а также заметки с описанием физических приборов и опытов.
Журнал публикует статьи обзорного характера, рассказывающие о достижениях науки и проблемах, которые еще ждут своего решения, рассказы об ученых, сообщения о новостях науки, рецензии на книги.
Основные авторы журнала — известные советские и иностранные ученые, молодые научные работники и педагоги. Журнал предоставляет свои страницы и школьникам для описания приборов и опытов, объяснения интересных вопросов и задач.
Цена номера — 30 коп. Стоимость годовой подписки — 3 р. 60 к.
Индекс журнала 70465.
13


В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ, ПОВЫШАЮЩИМ СВОЮ КВАЛИФИКАЦИЮ НА ОЧНО-ЗАОЧНЫХ КУРСАХ
И. П. ЕГОРОВ,
(г. Пенза)
Об аксиоматическом построении евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского
§ 1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
Основные свойства пространства были изложены еще в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинает изложение с определений и перечисления постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые доказываются на основании постулатов, аксиом и предыдущих теорем. На протяжении более 2000 лет они являлись образцом строгости. По ним учились все математики до настоящего времени. Школьная геометрия и теперь в основном излагает «Начала» Евклида.
Однако с точки зрения современной математики в «Началах» содержатся существенные недостатки. Евклид не выделяет основных понятий и стремится определить все понятия. Поэтому, естественно, часть определений «Начал» оказалась логически бездействующей. В них совершенно отсутствуют аксиомы порядка и непрерывности. Евклид вводит понятие равенства на основе движений, однако аксиомы движений также отсутствуют.
Из всех постулатов и аксиом Евклида пятый постулат отличается громоздкостью изложения. В нем утверждается, что если прямая при пересечении с двумя прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых. С выходом «Начал» встала проблема пятого постулата: доказать пятый постулат на основании остальных четырех постулатов и девяти аксиом.
Эта проблема, по существу, была поставлена еще до Евклида. Не случайно поэтому постулат о параллельных в списке постулатов занимал последнее место и при выводе теорем в первой книге его употребление отодвигалось по возможности далее. Евклид стремился сначала обойтись без постулата о параллельных, надеясь доказать его и перевести из постулатов в теоремы.
Проблемой пятого постулата математики занимались более 2000 лет. Впервые эту проблему решил в 1826 г. великий русский математик Н. И. Лобачевский. Он принял вместо пятого постулата предложение, согласно которому на плоскости через точку Л, не лежащую на прямой а, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с а. Дальнейшие рассуждения привели его к новой безупречной геометрической системе, называемой в настоящее время геометрией Лобачевского.
В этой геометрии сумма углов треугольника меньше двух прямых, а подобные неравные фигуры отсутствуют. Отношение длины окружности к диаметру меняется от окружности к окружности и остается всегда больше я. Даже из приведенных примеров видно, что геометрия Лобачевского значительно отличается от евклидовой. Исследования Н. И. Лобачевского привели к коренной ломке прежних представлений о пространстве и показали, что наряду с геометрией Евклида, считавшейся единственной геометрической системой, имеет место другая логически безупречная система. Эти исследования привели математиков к дальнейшим абстракциям в свойствах геометрических образов и отношений. В настоящее
14


время имеется бесчисленное множество неевклидовых геометрических систем.
Вопрос об аксиоматическом обосновании геометрии был впервые решен Гильбертом в 1899 г. Получение аксиом евклидовой геометрии, из которых логическим путем следовали бы все теоремы, является одной из основных задач оснований геометрии. Эта совокупность всех аксиом называется системой аксиом. Подвергая анализу доказательства различных теорем в геометрии, мы убеждаемся, что они базируются на определениях, аксиомах и ранее доказанных теоремах. Можно убедиться, что эти последние, в свою очередь, основываются на предшествующих теоремах, определениях и положенных в основу аксиомах. В итоге мы придем к аксиомам, как к простейшим отправным предложениям. Аналогичное положение имеет место для определения понятий. Всякое понятие определяется через ранее введенные понятия и аксиомы. В результате указанной редукции мы придем в конце концов к понятиям, которые не сводятся к более простым и представляют собой неопределяемые понятия. Неопределяемые понятия называются основными понятиями. Они также описываются системой аксиом.
Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии описывает восемь основных понятий. Основные понятия — точки, прямые, плоскости— называются основными образами. Понятия инцидентности (синонимы принадлежности: «лежать на», «проходить через») точки и прямой, инцидентности точки и плоскости, а также понятия «лежать между» или просто «между» для трех точек, инцидентных прямой, конгруэнтности (равенства) отрезка отрезку и угла углу называются основными отношениями. Аксиомы евклидовой геометрии распределяются на пять групп. I группа аксиом описывает основное отношение р\ инцидентности точки и прямой, а также основное отношение р2 инцидентности точки и плоскости. II группа аксиом описывает основное отношение р3 «между», связанное с тремя точками, инцидентными прямой. III группа аксиом характеризует основное отношение р±, ps — соответственно конгруэнтности отрезка отрезку и угла углу. IV группа аксиом посвящена свойствам непрерывности расположения точек на прямой, V группа — вопросу параллельности прямых. I группа содержит 8 аксиом, II — 4, III—5, IV — 2 и V—1. Мы изменили здесь порядок следования последних двух групп аксиом. Отметим также, что в I группе аксиом имеются две аксиомы (1(3), 1(4)) с двумя требованиями, во II группе имеется одна такая аксиома, в III группе первая аксиома содер¬
жит два требования, а IV — три требования, В системе аксиом Гильберта содержится 20 аксиом, выражающих 26 требований. В других системах аксиом евклидовой геометрии другие аксиомы описывают новые основные понятия. Ниже приводятся аксиомы гильбертовой аксиоматики.
§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА ЛОБАЧЕВСКОГО
I группа аксиом (аксиомы соединения) Эта группа аксиом описывает основные образы и полностью характеризует основные отношения ри р2 инцидентности соответственно точек и прямых, а также точек и плоскостей*
1. Любым двум точкам можно отнести прямую, им инцидентную.
2. Двум различным точкам можно отнести не более одной прямой, им инцидентной.
3. На каждой прямой существует по крайней мере пара точек, ей инцидентных. Существует тройка точек, не инцидентных одной прямой.
4. Любым трем точкам, не инцидентным прямой, можно отнести плоскость, им инцидентную. На каждой плоскости есть по крайней мере одна точка, ей инцидентная.
5. Трем различным точкам, не инцидентным одной прямой, можно отнести не более одной плоскости, им инцидентной.
6. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то и каждая точка прямой инцидентна этой плоскости.
Прямая называется инцидентной плоскости, если всякая точка, инцидентная в смысле pi прямой, инцидентна в смысле р2 плоскости.
7. Если две плоскости имеют общую точку, им инцидентную, то они имеют по крайней мере еще одну, также им инцидентную.
8. Существует четверка точек, не инцидентных одной плоскости.
Из указанных аксиом можно вывести ряд предложений, составляющих геометрию I группы аксиом. Приведем некоторые из них. Две различные точки определяют одну, и только одну, прямую, им инцидентную в смысле правила р\. Три точки, не инцидентные в смысле Рх одной прямой, определяют одну, и только одну, плоскость, им инцидентную по правилу р2.
Прямая а и не инцидентная ей точка А определяют одну, и только одну, плоскость, им инцидентную. Для каждой плоскости можно найти по крайней мере три точки, не инцидентных прямой.
II группа аксиом (аксиомы порядка) Основное назначение аксиом этой группы
состоит в том, чтобы продолжить описание основных образов и полностью охарактеризовать рз — основное отношение «лежать между», относящееся к любым трем различным точкам, инцидентным прямой. В эту группу входят четыре аксиомы.
15


1. Если А, В, С — три точки, инцидентные прямой, и точка В лежит между (в смысле р3) точками А, С, то:
а) 	А, В, С различны; б) точка В лежит между
(в смысле /?3) точками С, А.
2. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а, такая, что точ¬
ка В лежит между (в смысле /?3) точками А и С (аксиома неограниченного продолжения прямой).
3. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существует не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.
4. Аксиома Паша. Пусть в некоторой плоскости заданы треугольник ABC и прямая а, не проходящая ни через одну ,из его вершин А, В, С. Пусть далее эта прямая пересекает одну сторону АВ треугольника, тогда она пересекает также или вторую его сторону ЛС, или третью ВС.
Приведенные первые три аксиомы называются линейными аксиомами порядка. Чтобы уточнить аксиому Паша, напомним некоторые понятия. Совокупность двух точек Л и В и всех точек, которые обладают свойством «лежать между» точками Л и 5, называется отрезком. Точки, лежащие между Л и В, называются точками отрезка; сами точки Л, В называются концами отрезка. Совокупность трех точек Л, В, С, не инцидентных прямой, и трех отрезков, образованных парами этих точек, называется треугольником; точки Л, В, С называются вершинами, а отрезки Л 5, Л С, ВС — сторонами треугольника. Прямая а называется пересекающейся с отрезком Л С, если существует точка О отрезка Л С, инцидентная прямой а.
В геометрии первых двух групп аксиом справедливы, в частности, следующие предложения.
Каждый отрезок имеет по крайней мере одну точку.
За каждой точкой на прямой нет непосредственно следующей.
Из трех различных точек, инцидентных прямой, одна, и только одна, обладает свойством «быть между» оставшимися двумя.
В указанной геометрии можно ввести также понятие луча и угла. Прежде всего отметим следующее предложение, справедливое в геометрии I—II. Все точки прямой, за исключением некоторой точки О, можно разбить на два множества так, что: 1) если М, N — точки разных множеств, то отрезок MN содержит точку О; 2) если М, N — точки одного множества, то отрезок MN ие содержит точку О. Каждое из полученных множеств называется лучом. Точка О называется началом луча. Лучи, как и отрезки, являются точечными множествами. Напомним, что прямая в рассматриваемой аксиоматике является элементарным образом и не распадается на точки. В этом смысле совокупность обоих лучей и их начала не совпадает с исходной прямой. Совокуп¬
ность двух лучей hu kx с общим началом О, не принадлежащих одной прямой, называется
углом h\ki. Лучи hu kx называются сторонами угла, а точка О — его вершиной. В геометрии первых двух групп аксиом можно определить понятия: 1) точек Лив, лежащих по одну или по разные стороны от точки С, если все три точки инцидентны прямой; 2) точек Л и В, лежащих по одну или по разные стороны относительно прямой а при условии, что эти точки Л, 5 и точки данной прямой инцидентны плоскости; 3) точек Л и S, лежащих по одну или по разные стороны относительно плоскости. В ней вводится также понятие полуплоскости, полупространства и др. В этой геометрии можно упорядочить точки луча и точки, инцидентные прямой.
Множество называется упорядоченным, если между его элементами {Л, $, С, ...} существует отношение «предшествовать», удовлетворяющее следующим двум свойствам:
1) Если Л и В различные элементы, то Л предшествует В или В предшествует Л.
2) Если Л предшествует В и В предшествует С9 то Л предшествует С (свойство транзитивности).
В случае точек луча эти свойства выполняются, если правило предшествования ввести следующим образом. Из двух данных точек луча предшествующей считается точка, которая лежит между началом луча и другой данной точкой. Заметим также, что наряду с этим порядком можно построить обратный, т. е. если А предшествует В в первом порядке, то В предшествует Л во втором. Возьмем теперь прямую и на ней некоторую точку О. Эта точка позволяет разделить все другие точки прямой на два луча. Считая точки одного луча предшествующими точке О и точкам дополнительного луча, мы установим предшествование точек на всей прямой. Прямая, на которой введено предшествование точек, называется направленной прямой или осью.
III группа аксиом (аксиомы конгруэнтности)
Основное назначение аксиом этой группы состоит в том, чтобы описать отношения конгруэнтности р\ отрезка отрезку и конгруэнтности рв угла углу.
1. Пусть дан отрезок АВ, а также прямая а' и точка А' на ней. На прямой а' существует В' с той или другой стороны относительно А , такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В'. Это отношение конгруэнтности обозначается так: АВ = А'В'. Требуется также, чтобы АВ ms В А.
2. Если АВ А" В", А'В' яз. А" В", то А В А'В\
16


3. Пусть АВ и ВС — два отрезка без общих точек на прямой а, и если АВ s= А'В\ ВС ss В'С\ причем В' между Л', С', то АС = А'С'.
А
4. Пусть h\k\ — угол с вершиной О и сторонами hu k\. При любой точке О' и выходящем из нее луче h/ по любую сторону прямой h' можно построить в заданной плоскости, инцидентной А', один, и только один, второй луч k\% такой, что
Л Л hiki = h [k[
ЛАДА
Требуется также, чтобы h\k\ = k\hu h\k\ з= h\k\.
5. Пусть заданы два треугольника: A ABC и АА'В'С\ таких, что АВ » А'В\ ВС « В'С', ^ЛВС ^ = гМ'Я'С', то ZBAC » В'Л'С'.
В геометрии первых трех групп аксиом доказывается рефлексивность, симметричность и транзитивность конгруэнтности отрезка отрезку и угла углу. Далее обычным образом вводятся понятия перпендикулярности прямых, внешнего угла треугольника. В ней имеют место известные признаки конгруэнтности треугольников и зависимости между сторонами и углами в треугольниках. АВ > CD, если по определению' существует такая точка М отрезка АВ, что AM s= CD. Взаимно однозначное отображение точек пространства на себя называется движением, если оно сохраняет конгруэнтность отрезков. Совокупность всех движений составляет группу преобразований, так как результат последовательного выполнения двух движений и отображения, обратные к движениям, являются движениями. При аксиоматическом построении геометрии движения иногда принимаются в качестве основного понятия. В этом случае вводятся аксиомы движения, а указанные выше аксиомы конгруэнтности доказываются как теоремы.
IV группа аксиом (аксиомы непрерывности)
Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, что они позволяют ввести длины отрезков и величины углов, а также описать свойство непрерывности расположения точек на прямой.
1. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ и CD\ существует такое натуральное я, что nCD > АВ.
Отрезок tiCD% по определению, означает отрезок CZ)n, где Ъп — точка луча СД полученная при последовательном откладывании отрезков: CD = DD2 зз D2D5 = == ... == Dn_\D п.
Аксиома Архимеда позволяет в геометрии первых трех групп аксиом построить теорию длин отрезков.
2. Аксиома Кантора. Пуст*; на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющих двум требованиям: I) каждый следующий отрезок вложен в предыдущий; 2) не существует отрезка, принадлежа¬
щего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.
Эта аксиома позволяет строить отрезок заданной длины. Нетрудно доказать, что точка в аксиоме Кантора, принадлежащая всем отрезкам последовательности, единственная.
V группа аксиом (аксиома параллельности)
Через любую точку Л, не инцидентную прямой а, можно провести в плоскости (Л, а) не более одной прямой, не пересекающейся с прямой а.
Аксиома параллельности Лобачевского (V')
Через любую точку А, не инцидентную прямой я, можно провести в плоскости (Л, а) по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с прямой а.
Геометрия аксиом всех пяти групп I—IV—V называется евклидовой геометрией. Геометрия аксиом групп I—IV—V' называется геометрией Лобачевского. Геометрия, построенная на первых четырех группах аксиом, называется абсолютной геометрией. Теоремы абсолютной геометрии одновременно являются теоремами евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского изучаются три множества, элементы которых являются соответственно точками, прямыми и плоскостями, причем между ними определены основные отношения р\—/?5 так, что эти элементы и отношения удовлетворяют требованиям гильбертовой аксиоматики I—IV—V или I—IV—V'; совокупность элементов указанных трех множеств называется соответственно евклидовым пространством и пространством Лобачевского. Если в I группе аксиом взять лишь плоскостные аксиомы, а остальные группы оставить без изменения, то получим плоскость Евклида и плоскость Лобачевского.
Подчеркнем еще раз, что с основными образами и отношениями мы не связываем в абстрактной геометрии никакого конкретного смысла. Точки, прямые и плоскости и основные отношения между ними представляются как понятия, полное описание свойств которых дается системой аксиом. Нас совершенно не интересуют другие свойства, не порожденные отмеченными выше основными понятиями. Природа основных образов может быть любой, лишь бы они и допускаемые ими основные отношения удовлетворяли требованиям системы аксиом.
В абсолютной геометрии можно построить понятие числовой оси. В самом деле, возьмем направленную прямую — ось и на ней некоторую точку О. Каждой точке данной прямой
17


отнесем вещественное число по следующему правилу. Если точка О предшествует точке М, то соответствующее число равняется длине отрезка ОМ, если же точка М предшествует точке О, то число отличается знаком от длины отрезка. Условимся также относить точке О число нуль. Построенное отображение всех точек прямой на все вещественные числа взаимно однозначно — каждой точке соответствует число, разным точкам соответствуют разные числа и всякое вещественное число оказывается сопоставленным с некоторой точкой прямой. Ось, точкам которой отнесены указанным способом вещественные числа, называется числовой осью. Можно убедиться, что построенное отображение сохраняет порядок, т. е. если точки М, N имеют координаты хм, xN, то точка М тогда, и только тогда, предшествует точке /V, когда хм < %n• Это свойство прямой называется непрерывностью. Свойство непрерывности прямой позволяет установить в абсолютной геометрии следующее предложение Дедекинда.
Если все точки направленной прямой распределены по некоторому закону на два непустых класса так, что 1) каждая точка относится к одному, и только одному, классу; 2) точки первого класса предшествуют точкам второго класса, то существует точка, которая является либо последней точкой первого класса, либо первой точкой второго класса.
Обратно, если к аксиомам первых трех групп присоединить это предложение Дедекинда, то предложения Архимеда и Кантора, составляющие группу аксиом непрерывности, могут быть доказаны как теоремы. Другими словами, в геометрии I—III групп аксиом предложение Дедекинда эквивалентно предложениям Архимеда и Кантора. (Предложения Л и В эквивалентны относительно системы аксиом С, если из С, А следует предложение В, а из С, В следует предложение А).
Теперь нетрудно построить систему координат в плоскости абсолютной геометрии. Действительно, пусть две взаимо ортогональные прямые Ох, Оу пересекаются в точке О. На каждой из них выберем положительные направления и при помощи единичного отрезка построим числовые оси Ох, Оу. Возьмем далее произвольную точку М на плоскости хОу и опустим из нее перпендикуляр ММ на ось Ох. Координату х точки М на оси Ох примем за абсциссу точки М. За ^ординату точки М примем длину отрезка ММ с положительным или отрицательным знаком в зависимости от того, лежит ли точка М и положительная полуось Оу соответственно по одну или по разные стороны относительно оси Ох.
Можно построить геометрию, в которой вовсе нет параллельных прямых. Она в определенном смысле двойственная геометрии Лобачевского и называется геометрией Римана (не путать с римановой геометрией!) или эллиптической геометрией. Система аксиом здесь отличается не только аксиомой параллельности, но и аксиомами соединения, порядка и конгруэнтности. В геометрии Римана прямая имеет конечную длину, сумму углов треугольника больше двух прямых. Отношение длины окружности к диаметру менее л, две окружности могут пересекаться в четырех различных точках. Из приведенных примеров следует, что геометрия Римана является еще более «странной», чем геометрия Лобачевского. Промежуточное положение между геометриями Лобачевского и Римана занимает геометрия Евклида. В этих геометриях расстояние ds между двумя бесконечно близкими точками М(х,у), M'(x + dx, у + dy) определяется одной из следующих трех формул:
1) ds2 = dx2 + dy2,
2) ds2= ch2 -ftdx2 + dy2,
3) ds2= cos2 -jfdx2 + dy2,
где R — радиус кривизны плоскости (x, у). Первая метрика соответствует евклидовой плоскости, вторая — плоскости Лобачевского, третья — плоскости Римана. Приращение координат дх, ду при бесконечно малых преобразованиях, сохраняющих выписанные метрические формы, определяются соответственно формулами:
1) Ъх = ау + Ь, Ъу = —ах + с;
2) = — ае R +be *) + с, =
X х_
= ае R +be R ;
3) Ъх = tg--£-(# sin-^- — *cos-^)+£,
= a cos-^- + bsin~t
где а, b, с — бесконечно малые величины первого порядка. Эти формулы полностью характеризуют связные трехчленные группы движений евклидовой плоскости, плоскости Лобачевского и плоскости Римана.
§ 3. РЕАЛИЗАЦИЯ. ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМЕ АКСИОМ
Выше указывалось, что полное описание свойств основных образов и отношений дается системой аксиом. В абстрактной геометрии с точками, прямыми и плоскостями не связывается никакого конкретного смысла. Мы не
18


приписываем также определенного смысла и отношениям инцидентности «лежать между» и конгруэнтности. Поэтому при построении аксиоматической теории важное значение приобретают различные ее истолкования.
Всякий конкретный набор основных образов и введенных основных отношений между ними, удовлетворяющий требованиям системы аксиом, называется реализацией этой системы аксиом. Реализация часто называется также интерпретацией или моделью рассматриваемой системы аксиом. Чтобы полнее составить представление об этом введенном понятии, мы подробнее остановимся на следующей реализации аксиом I группы.
Возьмем 14 квадратов и занумеруем их с помощью цифр 1, 2, 3, 4, пар этих цифр 12, 13, 14, 23, 24, 34 и троек, составленных из этих же цифр, 123, 124, 134, 234. Таким образом, четыре квадрата будут иметь однозначные номера, шесть квадратов — двузначные и остальные четыре — трехзначные. Рассматриваемые квадраты будем называть соответственно точками, прямыми и плоскостями. Далее введем правила инцидентности р\, р2 следующим образом. Точка считается инцидентной прямой, если номер этой точки входит в состав номера прямой, т. е. номер точки является одной из цифр номера прямой. Аналогично будем считать точку инцидентной плоскости, если ее номер входит в состав номера данной плоскости. Нетрудно убедиться, что все требования группы аксиом соединения выполняются. Следовательно, квадраты представляют собой «настоящие» точки, прямые и плоскости, а построенные правила ри Р2 являются «настоящими» правилами инцидентности в геометрии группы аксиом соединения. Все пространство I группы аксиом состоит лишь из четырнадцати объектов — четырех точек, шести прямых и четырех плоскостей. Построенные основные образы — точки, прямые и плоскости — имеют одинаковую форму.
Эта реализация показывает, что в геометрии I группы аксиом невозможно доказать теорему о существовании в рассматриваемой геометрии бесконечного множества точек, прямых и плоскостей. Разумеется, вместо квадратов можно взять треугольники, круги и другие фигуры. Эти фигуры могут быть равными и неравными в обычном смысле. Понятно также, что вместо фигур можно брать одни лишь номера. Обобщая эту мысль об истолковании с помощью номеров, мы придем к числовой реализации всей системы аксиом. Рассмотренная реализация копирует известную реализацию аксиом соединения на множестве вершин, ребер и граней тетраэдра.
В целом система аксиом евклидовой плоскости также допускает разнообразные реализации. Важнейшей из них является так называемая арифметическая реализация. К ней приводит нас аналитическая геометрия. Точками в арифметической реализации являются упорядоченные пары вещественных чисел (х, у). В качестве прямых а принимаются упорядоченные тройки (и, v, w), определенные с точностью до пропорциональности, причем первые два числа и и v одновременно не обращаются в нуль. Точка (х, у) и прямая (и, v, w) называются инцидентными, если сумма их + vy + w равняется нулю.
Пусть теперь три точки (хи ух), (х2,у2), (хз,Уг) инцидентны прямой. Рассмотрим первые числа хи х2, *з. Нетрудно убедиться в том, что они различны или совпадают друг с другом. Если одно из них по величине заключено между другими, то считают, что соответствующая точка лежит между оставшимися. Если первые числа совпадают, то соответствующее правило строится по вторым числам.
Два отрезка (лх, yt), (х2, у2) и (xlf у,),
(х2, у2) называются конгруэнтными, если существует отображение вида
х = х cos <?-£■ у sin ср + а,
у = х sin ср + у cos <р + Ь,
переводящее точки отрезка (xv уг), (х2, у2) соответственно в точки отрезка (xv yj), (х2, у2). Два угла конгруэнтны, если их лучи являются соответствующими при некотором отображении вида (*).
Несколько слов о других реализациях. Назовем «плоскостью» любое множество элементов, допускающее взаимно однозначное отображение на точки арифметической реализации евклидовой плоскости. Элементы множества назовем «точками». Совокупность «точек», соответствующих точкам прямой, назовем «прямой». Основные отношения инцидентности, «лежать между» и конгруэнтности перенесем из арифметической реализации. В частности, две «фигуры» на «плоскости» называются «конгруэнтными», если конгруэнтны соответствующие им фигуры в арифметической реализации. Другими словами, понятия точек, прямых и основные отношения между ними мы переносим по отображению из арифметической реализации на соответствующие подмножества данного множества. Очевидно, так построенные основные понятия удовлетворяют всем аксиомам евклидовой геометрии и приводят нас к новой реализации.
19


Нетрудно убедиться в том, что плоскостная геометрия Лобачевского допускает реализацию во внутренности евклидова круга произвольного радиуса. Граничная окружность указанного круга называется абсолютом. Точками и прямыми в этой реализации являются внутренние точки абсолюта и его хорды без концов. Инцидентность точек и прямых, точек и плоскостей, а также отношение «лежать между» для трех точек, принадлежащих одной прямой, понимаются в обычном смысле (черт. 1,2).
Два отрезка (угла) считаются конгруэнтными, если они окажутся соответствующими при некотором взаимно однозначном точечном отображении расширенной за счет добавления несобственной прямой евклидовой плоскости, при котором абсолют остается неизменным и прямые переходят в .прямые. Расстояние d(A, В) между двумя точками А, В в полученной реализации, называемой реализацией Бельтрами — Клейна, выражается при помощи проективных понятий. Если хорда АВ пересекает абсолют в точках Му N, то
d(A, В) = + \ In(ABMN),
где (ABMN) обозначает двойное отношение указанных четырех точек, т. е. величину AM AN ВМ : BN '
Угол ф между двумя лучами а, Ь, выходящими из точки С, также выражается через проективные понятия комплексной геометрии. Пусть т, п — касательные к абсолюту, проходящие через точку С. Заметим, что прямые га, п необходимо комплексно-сопряженные. Аналогично предыдущей формуле имеем
9 === а^Ь = + {abnin).
Предположим теперь, что полученный абсолют с центром О является большим кругом сферы. Ортогональное проектирование точек абсолюта и его внутренности на одну из полусфер позволяет получить новую модель плоскости Лобачевского. Стереографическое проектирование этой полусферы на исходную плоскость из полюса 5, расположенного в другой •
Черт. 1 Черт. 2
полусфере, где OS перпендикулярна плоскости абсолюта, приводит к реалиазции Пуанкаре (см. черт. 3, составленный из двух аксонометрических проекций).
S
Мы получили прежние абсолют и «точки», но «прямыми» являются дуги окружностей, ортогонально пересекающих абсолют и диаметры абсолюта (чёрт. 4). Отношения инци¬
дентности, «лежать между» и конгруэнтности углов имеют обычный смысл. Понятие конгруэнтности отрезков также соответствующим образом переносится по отображению из реализации Бельтрами — Клейна.
Применяя дробно-линейное отображение комплексного переменного к внутренней области предыдущего абсолюта, мы получим известную реализацию Пуанкаре на полуплоскости (черт. 5). В этой реализации «точками»
являются точки верхней полуплоскости, «прямыми» — полуокружности с центром на граничной прямой хх — абсолюте. К «прямым»
20


причисляются также полупрямые верхней полуплоскости, перпендикулярные к абсолютной прямой.
Системы аксиом евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского удовлетворяют требованиям совместности, независимости и полноты. Рассмотрим по отдельности каждое из указанных требований.
Разберем сначала важное требование, предъявляемое к системам аксиом, —требование совместности или непротиворечивости. Это требование сводится к тому, чтобы при логическом развертывании аксиоматической теории мы не могли бы прийти к противоречию, когда наряду с предложением А выводилось бы в этой теории и его отрицание А. В противоречивой аксиоматической теории можно доказать все, что угодно. Поэтому она не имеет никаких приложений и должна быть отброшена. Каждая из известных нам систем аксиом евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского совместна. Совместность системы аксиом евклидовой геометрии вытекает из указанной выше арифметической модели. Из нее следует, что система аксиом евклидовой геометрии непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. Совместность системы аксиом геометрии Лобачевского на плоскости вытекает из рассмотренной выше реализации ее во внутренности евклидова круга. Действительно, из существования этой реализации следует, что система аксиом геометрии Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива евклидова геометрия.
Система аксиом называется независимой (независимой в смысле предшествования), если каждая аксиома рассматриваемой системы не зависит от всех остальных аксиом данной системы (от предшествующих ей аксиом).
Чтобы доказать независимость аксиомы а от остальных (предшествующих ей) аксиом, достаточно построить такую реализацию, в которой бы выполнялись все предшествующие аксиомы, кроме данной, а аксиома а не выполнялась бы. Из этого определения и построенной реализации аксиом геометрии Лобачевского во внутренности круга (черт. 1) следует независимость аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии. Если аксиома окажется зависимой от других аксиом системы, то ее можно доказать на основании-остальных аксиом и перевести в теоремы.
Рассмотрим для примера независимость плоскостных аксиом инцидентности. Эта система состоит из приведенных выше первых трех аксиом первой группы. Будем доказывать независимость каждой аксиомы от
остальных двух. Докажем независимость первой аксиомы. Возьмем для этого в качестве тот чек вершины прямоугольника ABCD (черт. 6), а в качестве прямых — его стороны. Инцидентность точек и прямых понимается в обыч-
Черт. 6
Черт. 7
ном смысле. Очевидно, все рассматриваемые аксиомы выполнены, за исключением первой аксиомы. Действительно, в рассматриваемой реализации не существует прямой, инцидентной точкам А, С, так как диагонали прямоугольника в построенной геометрии не являются прямыми.
Перейдем к рассмотрению независимости второй аксиомы. Для этого построим пространство двух измерений, состоящее из четырех точек и семи прямых, указанных на чертеже 7. К прежним четырем точкам и четырем прямым — вершинам и сторонам прямоугольника— добавляются в качестве прямых диагонали АС, BD и прямая АтВ. Инцидентность точек и прямых понимается в обычном смысле. Для точек А, В в построенной реализации существуют две различные прямые АтВ и АпВ, инцидентные указанным точкам.
Чтобы доказать независимость первой части третьей аксиомы от всех остальных аксиом, построим геометрию состоящую из трех точек Л, б, С и четырех прямых АВ, АС, ВС и а (черт. 8). В этой реализации выполняют-
Черт. 9
ся все аксиомы, кроме первой части третьей аксиомы. В самом деле, на прямой а существует лишь одна точка С, ей инцидентная.
Для доказательства независимости второй части третьей аксиомы от всех остальных аксиом достаточно привести геометрию, пространство которой состоит из одной прямой и трех точек, ей инцидентных (черт. 9). Следовательно, система плоскостных аксиом соединения независима.
2J


Рассмотрим теперь требование полноты системы аксиом. Система аксиом называется полной, если любые две ее реализации изоморфны. Две реализации системы аксиом I—IV—V называются изоморфными, если можно установить взаимно однозначное отображение, при котором основные образы первой реализации, связанные между собой некоторыми основными отношениями, переходили бы в соответствующие основные образы второй реализации, связанные между собой одноименными отношениями. Система аксиом евклидовой геометрии полная. Этот факт следует из того, что всякая реализация аксиом евклидовой геометрии изоморфна арифметической. Идея доказательства последнего предложения состоит в следующем. Всякой точке М в данной реализации, имеющей декартовы координаты (х, у), отнесем в рассмотренной выше арифметической реализации точку (х, у). Если прямая в первой реализации характеризуется уравнением ux + vy + w — 0, то в арифметической реализации отнесем ей прямую (и, v, w) и т. д. Так построенное отображение является изоморфным. Аналогичным образом устанавливается полнота системы аксиом планиметрии Лобачевского.
В заключение параграфа отметим, что в последнее время все большее предпочтение получает вейлевская точечно-векторная аксиоматика евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Эта аксиоматика Вейля более тесно связана с различными разделами современной математики.
§ 4. О СИМВОЛИЧЕСКИХ ИСЧИСЛЕНИЯХ И ФОРМАЛИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИИ
Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело математиков к понятию символического исчисления. Последнее определяется заданием не только системы аксиом — базисных формул, но и правил вывода. Получение множества фактов по геометрии Лобачевского, противоречащих обычным представлениям, и открытие известных противоречий в теории множеств содействовали выяснению логических основ математики. Эти исследования привели к ряду фундаментальных результатов по теории исчислений.
Важное значение в этих исследованиях имеет так называемое исчисление предикатов. Оно является основой для построения евклидова формализма и других исчислений. Прежде чем описать вкратце это исчисление, приведем сначала некоторые сведения из алгебры высказываний и логики предикатов.
Всякое предложение, относительно которого
имеет смысл ставить вопрос об истинности или ложности, называется высказыванием. Во множестве высказываний вводятся операции: конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания.
Конъюнкция А/\В двух высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое принимает значение истинности (И), если значения обоих исходных высказываний принимают значение И, во всех других случаях конъюнкция считается принимающей ложное (Л) значение.
Дизъюнкция А V В двух высказываний Л, В означает высказывание, принимающее значение Л, если оба высказывания Л, В принимают значение Л; во всех других случаях дизъюнкция Л V В принимает значение И.
Операция Л —* В — импликация двух высказываний Л, В — определяется следующим образом. Высказывание Л—>В принимает значение Л, если высказывание Л истинно, а высказывание В ложно, во всех других случаях Л—>В, по определению, принимает значение И.
Операция отрицания позволяет_по высказыванию А строить высказывание Л, значение истинности которого устанавливается^по следующему правилу. Высказывание Л принимает значение И или Л, если высказывание Л принимает соответственно значение Л или И.
В алгебре высказываний можно построить формулы, принимающие всегда истинное значение при любых значениях И или Л, входящих в нее атомарных высказываний. Эти формулы приобретают важное значение при построении исчисления. Легко убедиться, что каждая из следующих формул принимает всегда истинные значения:
1) А-+(В-А),
2) (л^(Я^С))-((Л-^)-(Л-С)),
3)
4) (А^С)-+((В-+С)-~(А\/В-+С)),
5) (Л —5)—» (5—» А),
6) А /\ В —А,
7) А /\В —> В,
8) А-+ А\/В,
9) В —> Л V В, .
10) А — А,
11) А—> А.
Указанные формулы можно принять в качестве базисных формул исчисления высказываний [7]. В этом исчислении наряду с буквами, скобками, знаками логических операций, правилами образования формул и аксиомами
22


1—И вводятся также правила вывода. Эти правила ниже будут сформулированы.
Выписанные аксиомы 1—11 и правила вывода определяют исчисление высказываний.
Наряду с указанными выше переменными и операциями алгебры высказываний в теории предикатов дополнительно вводятся предметные переменные л;, у, 2, ..предикаты и еще две следующие операции. Квантор общности (х) для предиката Р(х) означает высказывание (х)Р(х): «Для каждого х предикат Р(х) принимает значение И». Квантор существования (д*) для предиката Р(х) означает высказывание (з*)^(*): «Существует х такой, что предикат Р(х) принимает значение И».
В теории предикатов формулы, содержат не только высказывания, но и предикаты без кванторов и с кванторами, связанные между собой названными выше операциями. Основные формулы исчисления предикатов составляются так, чтобы при содержательном их чтении получались всегда истинные или общезначимые формулы. Они состоят по форме из указанных выше аксиом 1—11 исчисления высказываний и следующих двух аксиом, явно содержащих кванторы:
12) (х)Р(х)-»Р(у),
13) Р(У)—+(зх)Р(х).
Кроме того, правила вывода подбираются таким образом, чтобы они позволяли от указанных основных формул переходить к другим правильным (истинным) формулам. Приведем формулировку этих правил.
1. Правило отделения (modus ро- nens). Если ЭСД—правильные формулы, то 33 правильная формула.
2. Правило подстановки. Предположим, что дана правильно построенная формула, содержащая, например, двухместный предикат. Тогда в эту формулу можно подставить вместо предиката формулу с двумя свободными переменными, не допуская при этом коллизии букв, т. е. в подставляемой формуле не должны встречаться буквы, которые в первоначальной формуле были под знаком квантора общности или существования.
Теоремы являются утверждениями (формулами), выводимыми из аксиом. Чтобы дать точное определение понятия теоремы, мы остановимся сначала на понятиях доказательства и выводимости. Доказательством формулы (утверждения) 21 называется такая конечная последовательность формул
(*)
которая заканчивается данной формулой 91 и каждый ее член — является ак¬
сиомой или получается по правилам вывода из одной или нескольких предыдущих формул этой последовательности. Формула St, полученная в результате доказательства, называется доказуемой. Понятие доказуемости обобщается следующим образом. Возьмем некоторую совокупность формул (утверждений) Г, называемых посылками. Говорят, что формула 31 выводима из посылок Г, если существует конечная последовательность формул вида (*), которая также заканчивается формулой 31 , и каждый ее член является доказуемой формулой или одной из посылок или выводится по правилу отделения из предыдущих членов этой последовательности. Доказуемые формулы называются теоремами аксиоматической теории.
В общем случае символическое исчисление, так же как исчисление высказываний и предикатов, определяется заданием символов, правил образования формул, заданием конечного числа базисных формул — аксиом и правил вывода.
Наряду с содержательным рассмотрением совместности, независимости и полноты систем аксиом в теории символических исчислений вводятся также важные понятия внутренней совместности, независимости и полноты. Эти понятия вызвали к жизни новые методы исследования, составляющие так называемую теорию доказательств.
Если в исчислении нельзя доказать формулу 31 и формулу 31, являющуюся отрицанием первой, то оно называется внутренне совместным или непротиворечивым.
Внутренняя независимость аксиомы означает ее невыводимость из оставшихся аксиом по правилам вывода данного исчисления. Исчисление называется внутренне полным, если при присоединении к его основным формулам любой невыводимой формулы 31 возникает противоречие. Исчисление высказываний является внутренне непротиворечивым и полным. Исчисление предикатов также является внутренне непротиворечивым, но оно не обладает внутренней полнотой. Последнее утверждение следует из того, что формула
(д х)Р(х)—{у)Р(у)
невыводима в исчислении предикатов и ее добавление не приводит исчисление к противоречию. Невыводимость вытекает из того, что на множестве, содержащем два элемента, можно построить предикат, при котором выписанная формула принимает значение Л.
23


Перейдем к формализации геометрии. Аппарат исчисления предикатов с равенством позволяет без применения кванторов к другим предикатам записать аксиомы евклидовой геометрии, исключая аксиомы непрерывности. В формулировке последних фигурируют теоретико-множественные понятия, не выражаемые через основные понятия геометрии.
Возникает вопрос: можно ли построить исчисление, выводимые формулы которого интерпретировались бы в виде символической записи теорем геометрии? Ясно, что базисные формулы искомого исчисления должны слагаться из базисных формул исчисления предикатов и формул, соответствующих аксиомам рассматриваемой геометрии. Правила вывода подбираются так, чтобы выполнялись следующие два условия. Во-первых, если существует реализация системы аксиом, в которой некоторое предложение не имеет места, то соответствующая ему формула не является выводимой в исчислении. Во-вторых, для заданной невыводимой формулы существует реализация системы, в которой соответствующее предложение не имеет места.
Существование такого исчисления следует из важной теоремы Геделя о полноте в смысле доказуемости тождественных формул исчисления предикатов.
Возникает другой вопрос: можно ли дополнить систему рассмотренных выше аксиом евклидовой геометрии аксиомами, которые описывали бы используемые в аксиомах непрерывности теоретико-множественные понятия, так, чтобы полученная система аксиом была дедуктивно полной, т. е. всякое предложение, выраженное через основные понятия, можно доказать или опровергнуть при помощи формально логического вывода из аксиом? Отрицательный ответ на указанный вопрос вытекает из другой замечательной теоремы Геделя о несуществовании исчисления, выводимые формулы которого интерпретировались бы в виде всех истинных предложений арифметики целых чисел.
Эта теорема полностью опровергает установки формалистов. Из нее следует несостоя¬
тельность тезиса о тождественности всех истинных предложений с совокупностью доказуемых формул средствами символического исчисления. Программа Гильберта о формализации геометрии и вообще математики принципиально не осуществима.
Однако значение исследований Гильберта и его учеников трудно переоценить. Эти исследования являются важнейшими в обоснованиях математики. Они позволили, в частности, поставить проблему о разрешимости исчислений. В последних можно эффективным образом решить вопрос о выводимости или невыводимое™ произвольной его формулы. Примером разрешимого исчисления является исчисление высказываний. Примером неразрешимого исчисления является исчисление предикатов. Не существует единой программы, которая позволяла бы для каждой формулы исчисления предикатов решать вопрос о ее выводимости. Важные результаты в этой области исследований принадлежат А. Н. Колмогорову, А. И. Мальцеву, А. А. Маркову, П. С. Новикову и другим. Формализованные языки и исчисления в последнее время создаются в различных областях знания.
В заключение отметим, что в настоящей статье мы вкратце познакомились с аксиоматическим методом в геометрии и понятием символического исчисления. Для более глубокого изучения затронутых понятий рекомендуется приводимая ниже литература.
ЛИТЕРАТУРА
1. П. С. Александров, Что такое неевклидова геометрия, М., Учпедгиз, 1950.
2. С. А. Б о г о м о л о в, Введение в неевклидову геометрию Римана, М.—Л., Гостехиздат, 1934.
3. Д. Гильберт, Основания геометрии, М., Гостехиздат, 1948.
4. И. П. Е г о р о в, Об обобщенных пространствах, М., «Знание», 4, 1970.
5. Н. В. Ефимов, Высшая геометрия, М., Гостехиздат, 1953.
6. В. И. Костин, Основания геометрии, М., Учпедгиз, 1948.
7. П. С. Новиков, Элементы математической логики, М., Государственное изд. физико-математической лит., 1959.
8. Р. Р. Столл, Множества. Логика. Аксиоматические теории, М., «Просвещение», 1968.
| ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
На журнал «Математика в школе» принимается подписка на 1971 г. В год выходит 6 номеров журнала. Цена одного номера —45 коп. Стоимость годовой подписки — 2 р. 70 к.
Подписка принимается в пунктах «Союзпечати», отделениях связи, городских и районных узлах связи, почтамтах, а также общественными распространителями печати на предприятиях, в школах, учреждениях и 1 организациях»,
I Редакция
24


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ IV КЛАССА
А. С. ШЕПЕТОВ
(Москва)
Из опыта работы классов с опережающим обучением
Учителя, которым в истекшем, 1969/70 учебном году пришлось вести преподавание математики в четвертых классах по новым программам и новому учебнику 1 в порядке опережающего обучения, встретились с рядом методических особенностей, требующих внимательного изучения и разрешения. Одна из них — организация самостоятельной работы учащихся с учебником. В отличие от тех учебников, по которым занимались школьники в I—III классах, новый учебник для IV класса насыщен рассуждениями, с помощью которых вводятся новые понятия и свойства: либо как результат обобщения конкретной задачи, либо как логическое следствие ранее изученных положений. Формирование понятий, отработка умений и навыков достигаются с помощью большого числа разнообразных содержательных упражнений, несущих определенную учебную информацию. Система обучения в IV классе предусматривает, что многие знания школьники будут получать в процессе работы с учебником. При этом решается педагогически
1 «Математика. 4 класс. Пробный учебник», под ред. А. И. М а р к у ш е в и ч а, М., «Просвещение», 1969.
важная задача — привить учащимся известные умения и навыки работы с учебником математики, которые необходимы для успешных занятий как в IV, так и в последующих классах.
Между тем наблюдения за работой учителей указывают, что в этих вопросах много еще методически не решенных трудностей, недостатков, которые желательно предупредить. Столкнувшись с отсутствием у школьников каких-либо умений сознательно читать математический учебник, некоторые учителя пошли по линии пересказывания учебника «своими словами», фактически освободив учащихся от важнейшей работы, а себя —от поисков эффективных приемов воспитания культуры чтения. Наблюдались и противоположные тенденции, когда трудный для учеников в логическом отношении материал предлагалось разобрать и выучить самостоятельно по учебнику. Учителя, стремившиеся как-то направить самостоятельную работу учащихся с учебником, обеспечить управление процессом осознания и усвоения прочитанного материала, встретились с необходимостью уделять на уроке этому процессу гораздо больше времени, чем планировалось ими предварительно. Специальные усилия в данном направлении требуют, конечно, и специального времени, но опыт, который послужил основанием для нижеследующих рекомендаций, убеждает в том, что настойчивость учителя в конце концов вознаграждается, а затраченное время окупается тем, что учащиеся приобретают ценные умения и навыки.
Важнейшая особенность математического текста учебника в том, что смысл отдельного предложения и целого абзаца выявляется в связи со значением отдельных слов. Если смысл предложения из книги для чтения может быть ясен ученику даже в том случае, когда его затруднило бы толкование каждого отдельного слова, то в математическом тексте очень часто смысл целого невозможно уяснить, не зная точного значения каждого отдельного термина.
Возьмем для примера фразу со стр. 131 учебника для IV класса: «Чтобы выразить одну или несколько долей предмета, нужны новые числа-дроби» (Пункт 52. Дроби). Для правильного, глубокого осознания выраженной здесь мысли необходимо выяснить смысл каждого слова. Но если слова «одну», «несколько», «предмета», «нужны» для ученика IV класса тайны не представляют, то остальные нуждаются в толковании и уточнении. Что значит «выразить»? Это значит какому-то понятию или предмету поставить в соответствие число.
25


Термин «доля» должен восприниматься, как определенная часть целого, например яблока, отрезка. Это понятие в сочетании со словами «одна» и «несколько» усваивается через конкретные примеры, которые и приведены в учебнике выше. Учитель должен увериться, что учащиеся владеют этим термином, иначе все последующее не будет понято. В этих целях можно использовать упражнение № 700 из учебника.
Целесообразно, таким образом, начать изучение 52-го пункта с чтения первых 9 строчек текста и выполнения упр. 700. Форма чтения вообще может быть как индивидуальной (все читают про себя), так и фронтальной (один читает, остальные следят). При этом иногда полезно, чтобы читал и останавливался на разъяснении отдельных терминов сам учитель. Но пример, приведенный здесь, относится по времени ко второму полугодию, когда учащиеся уже должны обладать некоторыми умениями читать математический учебник, поэтому в данном случае, возможно, более уместна полусамостоятельная работа учащихся, управляемая учителем, который то и дело помогает раскрыть смысл отдельных слов и предложений.
Одним из требований при изучении нового материала по учебнику является понимание прочитанного. Это устанавливается учителем с помощью вопросов и упражнений, которые, таким образом, способствуют установлению обратной связи. В качестве контрольного на вышерассмотренную порцию материала можно предложить следующее упражнение: на данном отрезке показать одну четвертую его долю, три четвертых части его, пять восьмых и т. д. (Причем числовое выражение доли в этом упражнении не применяется — все на словах.)
Затем разбираются следующие пять строчек от слова «раньше» до «самолетов». В первой фразе слово «раньше» означает тот прежний опыт учащихся, который был связан со счетом предметов, когда не требовалось иметь дело с долями. Во второй фразе устанавливается, что при этом использовались натуральные числа и ноль.
И вот лишь после этой предварительной работы будет ясно, что, поскольку одну или несколько долей целого нельзя выразить натуральным числом, нужны какие-то «новые числа», каких мы еще не знали, не употребляли. На данном этапе обучения учащиеся встречаются с идеей расширения понятия числа — одной из ведущих в математике. Если при этом. учитель использует дополнительный материал из истории дробей (есть немного об этом в
пункте 87 учебника), то это поможет ему добиться понимания учащимися смысла слов «нужны новые числа».
Большая и напряженная работа, связанная с пониманием текста учебника, сопровождается осмысливанием и усвоением материала. Известные в методике приемы этой работы применимы, конечно, и в условиях перехода на новые программы и учебники. Остановимся еще на некоторых случаях этой работы.
Изучению математических текстов с чертежами или преобразованиями способствует воспроизведение этих преобразований учащимися (мысленного или письменного), сопоставление буквенных обозначений в тексте с обозначениями на чертеже. Отработка соответствующих умений и «привычек» обеспечивается специальными заданиями. Так, при чтении пункта 46 (упрощение выражений) преобразование За + 7а = (3 + 7)а = 10а полезно записать в тетради и сопоставить с общим выражением распределительного закона умножения, данным на стр. 109: (a + b)c = ас + Ьс. Нужно отметить, что в пункте 46 этот закон применяется «справа налево»: ас + Ьс — (а + Ь)-с. Рассматриваемое выражение За + 7а получится, если в выражении ас + Ьс дать буквам такие значения: а — 3, Ь = 7— и вместо буквы с
взять а.
Эту часть работы можно выполнить в форме эвристической беседы, аналогичные же рассуждения в отношении следующего преобразования, данного в пояснительном тексте к пункту 46, следует провести в форме самостоятельной работы учащихся с последующей проверкой.
При чтении объяснительного текста к пункту 30 (Замкнутая ломаная. Многоугольник) полезно поставить перед учащимися вопросы, обращающие учеников к чертежам, о которых говорится в тексте: Как называются линии,
изображенные на рисунке 94? Что общего и чем отличаются эти две линии? Те же вопросы уместны к рисункам 95 и 96.
Чтение учебника должно преследовать познавательные цели. Необходимо, чтобы в результате его учащиеся осознали определенный вывод, «согласились» с утверждениями учебника, приобретали навыки обобщения и логического следования, узнавали новое. Вопросы учителя, которыми следует сопровождать задания по чтению (лучше сказать, по изучению) учебника, должны соответственно направлять мысль ученика. Например, к тексту пункта 45 (Распределительный закон умножения) на стр. 109 можно дать следующие вопросы: Что означает каждое слагаемое в сумме (4 + 2) см, выражающей длину стороны
26


прямоугольника ABCD? Чем отличаются первый и второй способы определения площади этого прямоугольника? Почему результаты вычислений, выполненных двумя различными способами, равны между собой? Записать выражения для площади прямоугольника, полученные первым и вторым способами. Записать эти выражения в общем виде, обозначив Л/С = а, KD = b, АВ = с. Какое предположение можно сделать из решения задачи? Далее учитель обращает внимание учащихся на слова «вообще», «при любых значениях», «относительно сложения», «можно» (а не нужно) на стр. 109.
После проделанной работы материал продолжения пункта 45 на стр. 110 будет вполне доступен учащимся для самостоятельного чтения. Однако нельзя не учитывать времени, отводимого на изучение (а на пункт 45 отводится всего два урока). Чтобы не сокращать последующих упражнений и в то же время подготовить учащихся к их выполнению (на что и направлен текст учебника на стр. 109 и 110), можно поступить следующим образом. Всю часть текста на стр. 109, включающую примеры 1 и 2, учитель излагает в форме фронтальной беседы, приведя свои примеры, после чего ученики выполняют соответствующие упражнения: № 547 (а, б), 548 (а, б, в), 549 (а, б, г), 550 (а, г, и, п). Домашнее задание помимо упражнений будет включать заучивание на память формулировки распределительного закона умножения относительно сложения со стр. 109 (при этом основным требованием будет знание буквенной записи закона), а также чтение текста на стр. 110.
Последний, таким образом, будет прочитываться учащимися после изложения его учителем. Эта форма самостоятельной работы учащихся с учебником вообще используется в обучении наряду с другими. Чтобы направить и проконтролировать работу учащихся даются задания: а) привести свои примеры к примерам 1 и 2 учебника (другими словами, привести аналогичные примеры); б) записать
общие зыражения к обоим примерам с помощью букв.
Остальная часть пункта 45 изучается на следующем уроке. Причем весь текст, относящийся к введению распределительного закона умножения относительно вычитания, учащиеся способны осилить уже в большей степени самостоятельно, поскольку они должны быть подготовлены к этому предшествующей работой.
Некоторые случаи изучения материала учебника целесообразно сопровождать практическими действиями учащихся. Так, чтение пункта 17 (Ломаная) может сочетаться с выполнением тех измерений (по чертежам в учебнике) и вычислений, которые описаны в учебнике.
Велико значение осмысленного изучения текстов учебника в системе обучения математике в IV классе: здесь и мотивация введения новых знаний, и выводы, и формулировки, и пояснения к упражнениям. Однако особенностью IV класса является отсутствие требований к воспроизведению всех рассуждений учебника. На этом этапе обучения с учетом возрастных возможностей от ученика не следует требовать повторения всех тех рассуждений и выводов (индуктивных или дедуктивных), которые есть в учебнике. Достаточно, если школьник будет правильно отвечать на вопросы, раскрывающие суть основных положений. Но ряд определений и формулировок, имеющих фундаментальное значение для дальнейшего обучения, выделен в учебнике жирным шрифтом, и вот это ученики должны знать прочно. Заучиванию таких материалов на память должна содействовать специальная работа с учебником. Если ученик не может воспроизвести какую-нибудь формулировку, предлагается найти ее в учебнике. Это и вообще полезно делать, особенно при повторении материала. Этим достигается умение учеников найти нужный материал в учебнике. В случае неточных ответов предлагается обнаружить неточность (существенную) самим учащимся, иногда прибегая для этого к тексту учебника.


Л. С. КАРНАЦЕВИЧ
(г. Харьков)
Желательные дополнения
Успешное осуществление общих принципов, на которых строится обучение геометрии по новой программе, в значительной степени зависит от системы упражнений. В новом учебнике по математике 1 эта задача в основном решена разумно. Однако любое полезное дополнение к системе упражнений может помочь усвоению материала учащимися. Не вызывает сомнений, что с переходом школы на новые программы такие упражнения появятся, их надо будет собирать по крупицам и внедрять в школу. В данной статье рассказывается о некоторых упражнениях, получивших одобрение учителей в период проведения летних курсов. Эти дополнения относятся к работе по формированию геометрических понятий и воспитанию навыков дедуктивного мышления.
I. Новый учебник строится так, что начиная с некоторого момента изучаемым геометрическим понятиям даются формально-логические опрёделения, при этом формирование понятий ведется не через разучивание определений, а через раскрытие содержания изучаемых понятий. Покажем на отдельных примерах, что осуществлению такого подхода может содействовать: 1) выполнение подготовительных построений; 2) самостоятельное выделение учащимися общих свойств и различий у объектов
1 «Математика. 4 класс», под ред. А. И. Марк v- ш е в и ч а.
Рис.
Рис. 2
К Л 3
изучаемых множеств фигур; 3) рациональное использование упражнений с листом бумаги.
1) Перед тем как познакомить учащихся с новым определением, им предлагается выполнить ряд построений, которые в наглядной форме выявят видовые отличия нового понятия. Например, знакомству со смежными углами могло бы предшествовать решение следующей задачи:
1. Постройте два угла, меньших развернутого, так, чтобы: а) они имели общую вершину (рис. 1); б) они имели общую сторону (рис. 2).
2. Постройте два угла так, чтобы: а) две стороны их были бы противоположными лучами (рис. 3); б) две стороны их были бы противоположными лучами, а одна сторона — общая (рис. 4).
Учитель отмечает, что два угла, построенные в соответствии с последним условием, называются смежными. После этого учащиеся смогут самостоятельно дать формальное определение смежных углов.
2) Пониманию видовых отличий нового понятия может содействовать установление общности и различия ряда объектов однородных множеств. Например, перед изучением ломаной с учащимися полезно рассмотреть множество различных фигур, составленных из отрезков (рис. 5—9). Интересующие нас фигуры можно заблаговременно начертить на классной доске или на отдельном плакате. Для выделения ломаной из других фигур, составленных из отрезков, учащимся задаются вопросы. Отвечая на вопрос «Чем отличаются множества отрезков, изображенных на рисунках 5 и 8, 6 и 8, 7 и 9?», учащиеся раскрывают следующие свойства ломаной. Отрезки на рисунке 5 лежат на одной прямой, а на рисунке 8 не лежат на одной прямой.
Рис. 5
Рис. 6
вс о
Рис. 8
Рис. 9
28


Отрезки на рисунке 6 исходят из одной точки, а на рисунке 8 общие концы имеют только два смежных отрезка.
На рисунке 7 общей точкой служит конец одного из отрезков и внутренняя точка другого отрезка, а на рисунке 9 общими точками являются или концы отрезков, или внутренние точки различных отрезков.
Из вопроса «Найдите общие свойства фигур, изображенных на рисунках 8 и 9» учащиеся уясняют, что общими точками фигуры служат концы отрезков или их внутренние точки, в каждой общей точке сходятся концы только двух отрезков. Более доходчивое описание свойств ломаной получается, если в каждом из отрезков одну из концевых точек принять за начало, а другую за конец. Тогда общим свойством для каждой из фигур будет то, что конец первого отрезка служит началом второго отрезка, конец второго отрезка служит началом третьего отрезка и т. д. Отмечается также, что у фигуры на рисунке 9 общей точкой служат еще и внутренние точки двух отрезков.
Учащимся говорится, что фигуры, изображенные на рисунках 8 и 9, называются ломаными. После такого знакомства с ломаными рассматривается определение ломаных по стабильному учебнику.
3) 	Задачи с перегибанием листа бумаги в учебнике имеются. Однако эту работу следует более гибко сочетать с другими методическими приемами формирования понятий. Так, например, перед определением прямого угла (существование которого в учебнике доказывается через перегибание развернутого угла) полезно установить связи формального определения с ранее сложившимися у учащихся представлениями прямого угла.
К уроку, на котором будет изучаться прямой угол, необходимо заготовить модели различных углов (острых, тупых, прямых) и многоугольников с прямыми углами (квадрат, прямоугольник, ромб с острым углом, трапецию, произвольные четырехугольники). На уроке учащимся предлагается ряд заданий: найди¬
те среди моделей прямые углы; начертите в тетрадях (по клеточкам) прямой угол; разделите развернутый угол пополам и найдите на бумажной модели прямые углы.
Такая работа призвана содействовать лучшему пониманию формального определения прямого угла.
Предлагаемые методические приемы могут переноситься на изучение других геометрических понятий как в IV, так и в V классах.
II. 	Авторы учебника правильно исходят из того, что в процессе изучения геометрического
материала в IV классе следует развивать навыки дедуктивного мышления учащихся. Однако нам кажется, что в учебнике недостаточно упражнений, преследующих достижение этой цели.
Выполнение приводимых ниже заданий поможет восполнить этот пробел учебника.
1) На прямой расположены точки А, В, С та. D (рис. 10) так, что AB = CD. Доказать, что AC=BD.
Рис. 10 А В CD
Cl- ,11 ■ I»——■—■■■ —а
2) Сколько диаметров можно провести через данную точку окружности?
3) Верно ли высказывание: «Через три точки можно провести окружность?»
4) Мальчик соединил точки отрезками так, как показано на рисунке 11. Получил ли он ломаные линии?
5) Можно ли из четырех равных спичек, не ломая их, составить треугольник?
6) Периметр треугольника 25 см. Найти все целочисленные значения его сторон?
7) Какие целочисленные значения может принимать сторона ДЛ£С, если b = 5 см, с = 8 см? Ответ записать в виде неравенства.
8) Расстояние между городами А и В равно 200 км. Расстояние от города В до города С— 100 км. Определить наименьшее и наибольшее возможное расстояние от города А до города С.
9) Доказать, что биссектриса тупого угла делит его на два острых угла.
10) В тупом и прямом углах провели биссектрисы. Какой из получившихся острых углов больше?
11) Найдите равные углы на рисунках 12 и 13.
Рис. 12 Рис. 13
29


12) Две прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Прямая ОМ делит ZAOD пополам. Разделит ли эта прямая пополам и ZCOB?
13) На рисунке 14 прямая DO перпендикулярна прямой АВ. Луч ОМ — биссектриса ZAOD. Луч ON — биссектриса Z DOB. Доказать, что Z.MON — прямой.
14) На рисунке 15 AOJLOB, CCLLOJ9. Доказать, что Z1 = Z2.
15) На рисунке 16 ABJlCD, ОМ — биссектриса ZAOD. Доказать, что ZMOC= ZMOB.
16) Развернутый угол разделен на три рав¬
ные части. Доказать, что биссектриса среднего из трех образовавшихся углов перпендикулярна сторонам развернутого угла.
А. Н. КОЛМОГОРОВ, А. Ф. СЕМЕНОВИЧ, Р. С. ЧЕРКАСОВ
Учебные материалы по геометрии для V класса
(ПО НОВЫМ ПРОГРАММАМ)
Публикуемый материал написан как возможный вариант текста геометрических глав учебника математики для V класса по новым программам и согласован с пробным учебником для VI класса *. Учителя, которые будут вести работу в V классе по пробному учебнику под редакцией А. И. Маркушевича, могут воспользоваться нашими материалами в качестве дополнительных.
Главные цели преподавания геометрии в V классе таковы:
1) Приучить учащихся ясно представлять геометрические фигуры и их перемещения.
2) Заложить основы умения быстро и экономно производить геометрические построения.
3) Подвести учащихся к пониманию важности и продуктивности дедуктивного метода построения геометрии.
Список основных понятий, употребляемых без определения, не уточняется, но учащиеся приучаются давать точные определения всех сколько-нибудь сложных понятий. Отчетливо выделенные доказательства проводятся лишь в небольшом числе случаев, там, где учащиеся могут ощутить потребность в них. В двух случаях доказанные предложения названы теоремами.
1 А. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Ф. Ф. Нагибин, Р. С. Черкасов, Геометрия, vi класс. Пробный учебник, М. «Просвещение», 1970.
Для того чтобы быстро вычертить геометрические фигуры, полезно пользоваться клетчатой бумагой. Но существенной задачей преподавания является воспитание навыка распознавать свойства геометрических фигур независимо от их расположения.
Запас упражнений дан с избытком. Некоторые из них можно опустить, но хорошо, если учитель найдет возможно больше поводов к постановке вопросов, связанных с геометрическими свойствами окружающих предметов, или самостоятельно изготовленных моделей. Обратим, например, внимание на желательность наглядной демонстрации возможности получения фигур, симметричных относительно оси, при помощи вращения на 180° в пространстве. Рис. 5 без прямой демонстрации на модели явно недостаточен.
§ 1. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
1. 	Фигуры, симметричные друг другу относительно оси
На рис. 1 ,а изображены ворота Летнего сада в Ленинграде. Фигуры, лежащие по разные стороны от штриховой линии, расположены симметрично относительно нее. На рисунке 1, б, в вы видите и другие примеры симметричных друг другу фигур.
На рис. 2 изображены прямая 5 и треугольник ABC. Прямую s будем называть осью. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную оси s. Обозначим через О точку пересечения ее с осью. На прямой АО отложим отрезок О А i = 0 А так, чтобы точки А и А\ лежали по разные стороны от оси. Аналогично построим точки В\ и С\. Получим новый треугольник А\В\СХ (рис. 3). Он и будет симметричным треугольнику ABC относительно оси 5.
Выполните указанное построение на листе прозрачной бумаги. Перегните этот лист по прямой 5 до наложения одной части на дру-
30


«А
Рис. 1
В
Рис. 3
Рис. 4 А
гую. Вы видите, что точка А совместилась с точкой А ь В— с В и С — с Сь Треугольник ABC совместился с треугольником AiBxC\.
Рассмотрим еще рис. 4. Точка А\ симметрична точке Л, точка В\— точке В. А где же точка, симметричная точке М? Естественно считать, что точка М симметрична самой себе.
Дадим теперь определения.
1. Точки А и А\ называются симметричными относительно оси s, если прямая s проходит через середину отрезка ААХ и перпендикулярна ему. Каждая точка, лежащая на оси симметрии s симметрична самой себе.
2. Фигуры Ф и Ф\ называются симметричными относительно оси s, если каждая точка одной из них симметрична какой-либо точке другой.
Чаще всего фигуры содержат бесконечное число точек. В таких случаях иногда симметричную фигуру строят «по точкам» лишь приближенно.
На рис. 5 приведен пример такого построения. Дана линия Ф и ось 5 (рис. 5,а). Берем достаточно много точек фигуры Ф и строим симметричные им точки (рис. 5,6). Соединяем построенные точки линией (рис. 5,в). Получили фигуру Фь
Если повернуть фигуру Ф вокруг оси s. в пространстве на 180°, то она наложится на фигуру Фь Постарайтесь представить себе такое вращение. Фигуру Ф придется вывести из плоскости чертежа. (Сделайте модель.)
Упражнения
1. Взаимно перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке М. Известно, что AM = MB. Что вы можете сказать о точках А и В?
2. Будут ли концы отрезка АС симметричны относительно прямой MN, если MN JL АС? Сделайте чертеж, подтверждающий ваш ответ.
3. На миллиметровой бумаге постройте фигуру, изображенную на рис. 6. Постройте симметричную ей фигуру относительно оси т.
4. Скопируйте в тетрадь рис. 7. Постройте фигуру, симметричную ломаной ABCD относительно оси s.
Рис. 5
31


i i
5. Укажите ось симметрии, относительно которой фигуры, изображенные на рис. 8, симметричны. Есть ли другие оси симметрии изображенных на рис. 8 фигур?
6. На листе бумаги постройте прямую АВ и какую- нибудь фигуру Ф. Сложите этот лист вдвое, перегнув его по прямой АВ. Проколите иглой бумагу в нескольких точках фигуры Ф. Разверните лист. Обозначьте несколько точек фигуры Ф1, симметричной фигуре Ф относительно оси АВ.
7. Вырежьте ножницами какой-либо узор на сложенном вдвое листе бумаги (рис. 9). Разверните лист. Покажите ось и симметричные относительно этой оси фигуры.
8. Сложите вдвое лист бумаги. Затем еще раз сложите его. С помощью иглы сделайте несколько проколов (постройте фигуру из нескольких точек). Разверните лист. Сколько пар симметричных фигур получилось? Для каждой пары симметричных фигур, покажите ось симметрии.
9. Прямые а и b пересекаются под прямым углом. Внутри одного из этих углов взята точка М. Постройте точки, симметричные точке М относительно этих прямых, затем постройте точки, симметричные построенным относительно этих же осей и т. д. Сколько различных точек при этом будет построено?
2. 	Основное свойство симметричных друг другу фигур
Пусть симметричные фигуры лежат на плоскости по разные стороны от оси (рис. 3). Пе¬
регибая плоскость по оси, можно убедиться в равенстве этих фигур.
В общем случае равенство симметричных фигур можно установить, поворачивая в пространстве одну из них вокруг оси на 180°. После такого поворота фигура наложится на симметричную ей фигуру (рис. 5,в).
Две фигуры, симметричные друг другу относительно оси, равны между собой.
Из этого основного свойства симметричных фигур можно сделать ряд важных выводов.
1) Фигура, симметричная отрезку, есть отрезок.
2) Фигура, симметричная окружности, есть окружность.
Сформулируйте еще несколько выводов (следствий) из основного свойства симметричных друг другу фигур. (Например, симметричные треугольники равны.)
Первый из указанных сейчас выводов позволяет очень просто строить фигуры, симметричные ломаным и многоугольникам. Например, как построить квадрат, симметричный данному? Достаточно построить точки, симметричные вершинам данного квадрата (рис. 10). Соединяя эти точки отрезками, получим стороны искомого квадрата (рис. 11).
У п р а ж Hie н и я
1) Какая фигура будет симметричной равнобедренному треугольнику; прямому углу; пятиугольнику; ломаной из четырех звеньев; дуге окружности; прямой?
2) Постройте фигуру, симметричную данному квадрату относительно оси, проходящей через одну из его сторон (одну из его диагоналей).
3) Вырежьте из бумаги равнобедренный треугольник и найдите (перегибанием) его ось симметрии.
4) Отрезки АВ и CD симметричны относительно оси I (рис. 12), Будут ли симметричны относительно этой оси: прямые АВ и CD; лучи ВА и CD; лучи АВ и CD\ отрезки АС и BD? Где будут находиться точки пересечения прямых АВ и CD? АС и BD?
5) Постройте фигуру, симметричную данному прямоугольному треугольнику относительно оси, проходящей через его гипотенузу. Каким свойством обладает диагонали четырехугольника, полученного при объединении этих симметричных фигур?
6) Два отрезка АВ и СД симметричные относительно оси /, лежат на одной и той же прямой. Как расположена эта прямая относительно оси /? (Ответ подтвердить примером,)
32


Рис. 12
Рис. 13
7) Дан равносторонний треугольник. Постройте фигуры, симметричные этому треугольнику относительно каждой из его сторон. Покажите объединение данного треугольника и треугольников построенных.
8) Постройте фигуры, симметричные с данным квадратом относительно каждой из его сторон. Покажите объединение данного квадрата и квадратов построенных.
9) Постройте фигуру, симметричную данной окружности относительно данной оси. Что вы можете сказать о радиусе полученной окружности (откуда следует ваше утверждение)?
10) Постройте сами какую-нибудь красивую фигуру, состоящую из отрезков и дуг окружностей (вроде изображенной на рис. 13). Построите симметричную ей фигуру.
3. Фигуры, имеющие ось симметрии
Часто встречаются фигуры, которые «симметричны самим себе». На рис. 14 изображены несколько таких фигур.
Если фигура симметрична самой себе относительно оси 5, то говорят, что прямая s есть ось симметрии этой фигуры. Ясно, например, что каждый прямоугольник имеет по меньшей мере две оси симметрии (рис. 15,а). Квадрат
Рис. 14
имеет четыре оси симметрии (рис. 15,6). Звезда на рисунке 15, в имеет пять осей симметрии. Бывают и такие фигуры, которые имеют бесконечное число осей симметрии. В частности:
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является осью симметрии этой окружности.
Вырежьте из бумаги круг с отмеченным центром и проверьте высказанное утверждение складыванием по диаметру.
Упражнения
1) На рис. 16 изображены несколько фигур. Укажите их оси симметрии.
Рис. 16
2) Сколько осей симметрии имеет: круг; полукруг; четверть круга?
3) Постройте несколько фигур, имеющих оси симметрии.
4) Вырежьте из бумаги несколько фигур, имеющих одну, две, три и четыре оси симметрии.
5) На клетчатой бумаге постройте несколько фигур, имеющих ось симметрии (использовать только линейку) .
6) Покажите, что каждая прямая является своей собственной осью симметрии. Какие еще оси симметрии имеет прямая; сколько их? Построить какую-нибудь ось симметрии данной прямой. Сколько осей симметрии имеет: отрезок; луч?
7) Постройте фигуры, симметричные данным на рис. 17 относительно оси s. Затем постройте буквы, симметричные полученным относительно оси S\. Все ли буквы в последнем полученном слове написаны правильно? Почему так получилось? Укажите в русском алфавите буквы, имеющие: одну (и только одну) ось симметрии; две оси симметрии.
4. Построение симметричных относительно оси точен при помощи циркуля
Пусть точки М n N лежат на прямой s, а точка А не принадлежит этой прямой (рис. 18).
Рис. 17
Рис. 18
" пит
S
с
2 Математика е школе Мб


Проведем через А две окружности с центрами М и N. Прямая s является осью симметрии каждой из этих окружностей. Поэтому и точки пересечения их симметричны относительно оси s. Значит, каждая окружность проходит через точку Ль симметричную точке А.
Получаем способ построения точки А и симметричной точке А относительно прямой s. Надо на прямой 5 произвольно выбрать две точки М и N и провести через А окружности с центрами М и N. Вторая точка пересечения этих окружностей и будет искомой точкой А\.
При практическом употреблении этого способа построения нет необходимости проводить окружности полностью (рис. 19). На рис. 20
Рис. 20
показано, что одними и теми же двумя центрами М и N можно пользоваться для построения многих симметричных точек.
Упражнения
1) Дана ось s и точки А, В, С, М. Постройте точки, симметричные данным точкам.
2) Даны пересекающиеся прямые I и т. Постройте прямую, симметричную прямой / относительно оси т.
3) Постройте фигуру, симметричную данной ломаной линии относительно оси, проходящей через одно из ее звеньев.
4) Фигуру, заштрихованную на рис. 21, называют трехлистником. Постройте такую фигуру в своих тетрадях и найдите ее оси симметрии.
5) Постройте четырехлистник (рис. 22). Сколько осей симметрии имеет эта фигура?
5. 	Построение треугольника по трем сторонам
Пусть требуется построить треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.
Отложим на какой-либо прямой отрезок АВ длины 4 см. Построим окружность с центром А радиуса 5 см я окружность с центром В радиуса 6 см. Эти окружности пересекутся в двух точках С и С\ (рис. 23). Оба
Рис. 21
Рис. 22
треугольника ABC и АВС\ будут иметь стороны нужной нам длины. Задача решена.
Мы построили даже не один треугольник с заданными сторонами, а два. Но они симметричны друг другу относительно прямой АВ и, значит, равны.
Понятно, что отрезок АВ длины 4 см мы могли расположить как-нибудь иначе. Получили бы иначе расположенные треугольники. Мы могли бы начать построение треугольника, выбирая стороны в другом порядке, например, АВ = 5 см. При этом мы получали бы треугольники, равные треугольнику ABC.
Вообще, все треугольники с заданными дли- нами сторон а, Ь, с равны между собой.
Это свойство треугольников можно сформулировать еще так:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Поясним это свойство. Если из трех стержней изготовить треугольник, то не растягивая и не сжимая стержни, и не изгибая их, нельзя изменить форму треугольника, даже если в вершинах стержни скреплены шарнирами (рис. 24). Говорят, что треугольник есть жесткая фигура. Этим свойством треугольника пользуются на практике (рис. 25, 26).
Рис. 24
Рис. 25
Наоборот, четырехугольники, не жестки. На рис. 27 изображены два неравных четырехугольника, у которых соответственные стороны равны.
Длину сторон треугольника нельзя задать произвольно. Если вы попробуете построить треугольник со сторонами в 5, 3 и 1 см, то у вас ничего не выйдет. Нельзя построить и
34


треугольник со сторонами в 5, 3 и 2 см. Но способ построения треугольников по трем сторонам, который мы объяснили на примере, годится во всех случаях, когда треугольник с заданными сторонами существует.
Упражнения
1) Будут ли равны любые два треугольника, если две стороны одного из них соответственно равны двум сторонам другого?
2) Постройте на листе бумаги два треугольника. Стороны одного — 3 см, 4 см, б см; стороны другого — 4 см, 6 см, 3 см. Равны ли эти треугольники? Вырежьте эти треугольники и с помощью наложения убедитесь в правильности вашего ответа,
3) Вы знаете, что длина ломаной всегда больше длины отрезка, соединяющего концы этой ломаной. Какое свойство сторон треугольника следует из этого утверждения?
4) Постройте треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см.
5) Можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 7 см, 10 см?
6) Приведите примеры трех чисел, которые не могут быть длинами сторон одного и того же треугольника. Какая зависимость должна быть между тремя числами, чтобы они моглй быть длинами сторон одного и того же треугольника?
7) Построй!^ треугольник, стороны которого соответственно равны данным отрезкам а, Ъ и с. Всегда ли задача имеет решение?
8) Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона которою 3 см, а основание —2 см,
9) Верно ли высказывание: если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то треугольники равны?
10) Постройте равносторонний треугольник, сторона которого была бы равна данному отрезку.
11) Дано: АВ—ВС, AD=CD (рис. 28). Докажите, что AABD=ABCD.
12) Две стороны треугольника равны — 3 см и 7 см. Какой может быть третья сторона х (запишите в виде двух неравенств).
6. 	Построение оси симметрии двух точек.
Деление отрезка на две равные части
Мы уже знаем, что прямая, относительно которой точки А и В симметричны друг другу, называется осью симметрии этих двух точек и что такая прямая перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину.
Пусть даны две точки А и В. Построим их ось симметрии. Проведем две окружности с центрами А и В одного и того же радиуса г. Если радиус г достаточно велик, то эти окружности пересекутся в двух точках С и D (рис. 29). Прямая, проходящая через точки С и D, будет искомой осью симметрии.
Докажем это, т. е. докажем, что точки А и В симметричны относительно прямой CD.
По построению точки С и D одинаково удалены от точек А и В (на расстояние г). Значит и точки А и В находятся на расстоянии г от точек С и D. Из этого следует, что точки А и В лежат на окружностях радиуса г с
Рис. 28
Рис. 29
центрами в точках С и А (рис. 30). Но мы уже знаем, что точки пересечения двух окружностей с центрами на какой-либо прямой симметричны относительно этой прямой. Значит точки А и В симметричны относительно прямой CD. Что и требовалось доказать.
Построив ось симметрии точек А и В, мы получили решение и другой задачи: научились делить отрезок на две равные части при помощи циркуля и линейки (графически, ничего не измеряя и не делая арифметического действия деления). На рис. 31 показано построение середины О отрезка АВ.
Упражнения
1) Докажите, что любая точка оси симметрии двух точек А и В одинаково удалена от них.
2) Будет ли любая точка плоскости, одинаково удаленная от двух точек А и В, лежать на оси симметрии этих точек?
3) Найдите на прямой АВ точку О, лежащую на равном расстоянии от точек А и В.
4) Постройте ось симметрии двух вершин данного квадрата.
5) Построена окружность, но ее центр «потерян». Как построить центр этой окружности?
6) На данной прямой I найдите точку, которая находится на равном расстоянии от данных точек А и В.
7. 	Построение перпендикуляра к прямой при помощи циркуля и линейки
Рассмотрим способы построения перпендикуляра к прямой без помощи угольника.
Задача 1. Постройте перпендикуляр к прямой I через точку О, лежащую на ней.
Решение. На прямой I от точки О циркулем откладываем в разные стороны отрезки ЛО = ОВ и строим ось симметрии точек А и В (рис. 32).
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 33
г
35


Задача 2. Постройте перпендикуляр к прямой I через точку О, не лежащую на ней.
Решение. Проводим окружность с центром О (рис. 33) пересекающую прямую / в точках А и В. Строим ось симметрии точек А и В.
Упражнения
1) Откуда следует, что прямая, построенная в задаче 1, является перпендикуляром к прямой /?
2) Даны три треугольника. Первый треугольник имеет прямой угол; все углы второго — острые; последний треугольник имеет тупой угол, а) Нарисуйте в тетрадях такие треугольники, б) Постройте для каждого треугольника прямые, перпендикулярные к его сторонам и делящие эти стороны на две равные части. Что можно сказать о точках пересечения построенных прямых в каждом из этих случаев?
3) При помощи циркуля и линейки разделите данный отрезок АВ на 4 равные части. (Сколько прямых, перпендикулярных прямой АВ достаточно провести при решении этой задачи?)
4Г Постройте прямоугольный треугольник, пользуясь только циркулем и линейкой.
5) 	Через вершины данного треугольника проведите прямые, перпендикулярные противоположным его сторонам, пользуясь только циркулем и линейкой.
3. 	Перпендикуляр и наклонные
Пусть точка А лежит вне прямой MN (рис. 34). Проведем через А прямую перпендикулярно MN. Обозначим через О точку пересечения этих прямых. Отрезок АО называют перпендикуляром, опущенным из точки Л на прямую MN. Любой другой отрезок АВ с началом А и концом 5, лежащим на прямой MN называют наклонной, проведенной из точки А к прямой MN. Вы уже знаете, что длина отрезка ОА есть кратчайшее расстояние от точки А до прямой MN. Сейчас мы можем это доказать, используя свойства симметричных фигур.
Те о р е м а. Перпендикуляр короче наклонной.
Доказательство. Построим точку Ль симметричную точке Л относительно оси MN (рис.35). Ломаная ЛВЛ1 длиннее отрезкаЛЛЬ значит АО+ОА\<АВ + ВА\. Но АО — ОАх и АВ — ВАи поэтому 2ЛО<2Л£ и ЛО<ЛВ, что и требовалось доказать.
Упражнения
1) 	Дан треугольник ABC и точка М, На прямых АВ, ВС и АС постройте те точки, которые удалены на кратчайшее расстояние от точки М, если:
Рис. М Рис. 35 л
а) точка М лежит внутри треугольника ABC;
б) точка М лежиг вне треугольника ABC.
2) Может ли расстояние от одной из вершин треугольника до противоположной стороны:
а) быть равным длине одной из сторон треугольника;
б) быть меньшим длины любой стороны треугольника;
в) быть большим длины любой стороны треугольника;
г) быть большим длины противоположной стороны?
3) Даны прямая т и точка Л, не лежащая на ней. Постройте на прямой т точку, находящуюся от точки А ближе, чем все другие точки этой прямой.
4) На сторонах данного треугольника (или их продолжениях) найдите те точки, которые находятся на кратчайшем расстоянии от противоположных вершин.
§ 2. УГЛЫ И ПОВОРОТЫ
9. 	Углы и их измерение
Два луча с общим началом определяют на плоскости два угла. На рис. 36 один из углов заштрихован. Он больше развернутого угла. Как же измерить его?
Продолжим одну из сторон угла, например— АВ, за его вершину (рис. 37). Полу-
Рис. 36
Рис. 37
чим, что заштрихованный угол ABC равен сумме развернутого угла ABD и угла DBC. Измерим транспортиром угол DBC. Прибавив к полученному результату еще 180°, мы и получим результат измерения данного угла.
Постройте угол АО В в 120°. Постройте, далее, угол ВОС в 140°, чтобы он не имел общих точек с углом АОВ кроме точек их общей стороны ОВ (рис. 38). Измерьте построенную сумму углов — угол Л ОС. Ясно, что Z Л OB + Z В ОС = 120° +140° - 260°.
А чему равна сумма двух развернутых углов? Она равна 360°. Такой угол называют полным. Стороны полного угла совпадают (рис. 39).
Сумма двух углов, образованных двумя лучами с общим началом, равна полному углу. Поэтому для измерения заштрихованного на
Рис. 38
36


рис. 36 угла достаточно измерить незаштрихо- ванный угол и результат вычесть из 360°.
Упражнения
1) 	Начертите острый угол, тупой угол и угол, больший разьернутого. а) Измерьте эти углы при помощи транспортира, б) Постройте при помощи транспортира углы, равные этим углам.
10. 	Откладывание углов при помощи циркуля и линейки
На рис. 40 изображена пятиконечная звезда. Как начертить такую звезду? Все ее пять вершин находятся на равном расстоянии от точки О, т. е. лежат на окружности с центром О. Углы между соседними лучами, проведенными из центра в вершины звезды (рис. 41), равны между собой. Так как в сумме они составляют 360°, то каждый из них равен 360°: 5 = 72°.
Проведем окружность с центром О и при помощи транспортира построим угол в 72° с центром О. Найдем таким образом две вершины звезды А и В (рис. 42). Остальные три вершины можно найти, уже не пользуясь транспортиром. Быстрее и удобнее построить дуги раствором циркуля АВ, как показано на рис. 42. Соединив вершины отрезками через одну, получим звезду, подобную звезде на рис. 40.
Рис. 41
Рис. 43
Задание 1. Выполните описанное построение. Попробуйте построить таким же образом правильную девятиконечную звезду, такую, как на рис. 43.
Задание 2. Проведите из центра окружности два луча О А и ОВ (рис. 44). Постройте угол АОС, равный углу АО В, пользуясь только циркулем и линейкой.
Мы видим, что луч ОА (рис. 44) является стороной двух равных углов: ZAOB и ZAOC. Говорят, что оба эти угла отложены от лу¬
ча ОА. Они отложены в разные стороны: угол АОС — «по часовой стрелке», а угол АО В — «против часовой стрелки».
Задача. Отложить от луча ОхА\ угол, равный данному углу О.
Объясните решение задачи, данное на рис. 45. Объясните, почему задача имеет два решения.
Задание 3. От данного луча АВ отложите угол в 70° по часовой стрелке, угол в 165° против часовой стрелки, угол в 250° про¬
тив часовой стрелки, угол в 110° по часовой стрелке, угол в 180° по часовой стрелке. Обозначьте их.
Упражнения
1) Постройте при помощи циркуля и линейки угол, равный данному: а) острому углу; б) тупому углу.
2) Дан угол в 36°. При помощи циркуля и линейки постройте углы: а) 72°; б) 144°.
3) Дан угол в 30°. Как, пользуясь только циркулем и линейкой, проще всего построить угол, содержащий: 150°, 120°, 90°, 60°?
4) Пользуясь циркулем и линейкой, постройте шестиконечную звезду (см. рис. 46).
11. 	Деление угла на две равные части
Делить угол пополам можно, не измеряя угла и не пользуясь транспортиром.
Пусть дан угол О. Требуется построить его биссектрису (т. е. разделить угол пополам).
Проведем окружность с центром О произвольного радиуса г (рис. 47). С центрами в точках А и В пересечения этой окружности со сторонами угла опишем тем же радиусом г две окружности. Они пересекутся в точках О и С. Луч ОС — искомая биссектриса угла О.
Докажем это. Прямая ОС является осью симметрии точек А и В, так как точки О и С
37


получены в пересечении окружностей одного и того же радиуса с центрами А и В (см. п. 6). Поэтому лучи ОА и ОВ симметричны относительно оси ОС. Значит, и углы АОС и ВОС симметричны относительно ОС. Поэтому они равны между собой.
В чертежной практике часто углы делят и на любое число равных частей без транспортира. Для этого циркулем приближенно, делают несколько «проб» (или «прикидок»).
Пусть, например, нужно разделить данный угол О на 3 равные части (рис. 48). Проведем дугу с центром О, пересекающую стороны угла. Придадим теперь циркулю такой раствор, которым, как нам кажется на глаз, дуга АВ разделится на три равные части. Построим этим раствором последовательно дуги с центрами А, Сг и Dx. Видим, что точка Е\ оказалась внутри дуги АВ. Значит, раствор циркуля нужно увеличить. Продолжая так «прикидку», получим достаточно точное решение задачи.
Упражнения
1) При помощи циркуля и линейки разделите данный угол на две равные части.
2) При помощи циркуля и линейки постройте угол в 45°.
3) При помощи циркуля и линейки разделите развернутый угол на две равные части.
4) Разделите данный тупой угол на три равные части (приближенно).
5) Можно ли найти такие тупые углы, которые можно разделить на три равные части не приближенно, а точно? Укажите такой острый угол, который можно разделить на три равные части не приближенно, а точно.
12. 	Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть даны два отрезка а и b и угол 1 (рис. 49). Требуется построить треугольник, две стороны которого были бы соответственно равны отрезкам а и 6, а угол между этими сторонами был бы равен данному углу. Коротко эту задачу формулируют так.
Задача. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Построим угол С, равный данному углу 1 (как в пункте 10). На его сторонах отложим отрезки С5=а и СЛ = & (рис. 49). Соединив точки Л и В отрезком, получим искомый тре¬
угольник ABC. В этом треугольнике две стороны (СВ и СА) равны соответственно данным отрезкам а и Ь. А угол между этими сторонами равен данному углу.
Можно построить и другие треугольники по этим же данным. Но, оказывается, все такие треугольники будут равны между собой.
Если две стороны и угол между ними одно- го треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Эту задачу можно решить и с помощью измерительной линейки и транспортира.
Упражнения
1) 	Постройте треугольник по двум его сторонам, равным 2,5 см и 3,5 см и углу между ними, равному: 30°; 90°; 120°.
Можно ли выполнить построение так, чтобы все три треугольника имели общую сторону, равную 3,5 см и общую вершину заданного угла?
13. 	Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Задача. Построить треугольник по стороне а и двум прилежащим к ней углам 1 и 2 (рис. 50).
Построение. На произвольной прямой строим отрезок ВС, равный данному отрезку а. Строим угол МВС, равный данному углу 1. По ту же сторону от прямой ВС, что и угол МВС, строим ZNCB — Z. 2. Если стороны этих углов пересекутся (рис. 50), то получится искомый треугольник ABC.
Если построить другой треугольник по этим же данным, то он будет равен первому.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Упражнения
1) Постройте треугольник по стороне, равной 3 см, и прилежащим к ней углам 20° и 30°.
2) Начертите треугольник ABC и постройте равный ему треугольник при помощи циркуля и линейки: а) по трем сторонам; б) по двум сторонам и углу между ними; в) по стороне и двум прилежащим углам.
Рис. 50


fl. Поворш
Как нарисовать узор, подобный изображенному на рис. 51?, Очень ли это кропотливая работа?
Вырежем из плотной бумаги угол в 360°: 12=30°, а из него шаблон (рис. 52,а).
Обводя шаблон карандашом, получим одну двенадцатую узора. Повернув шаблон вокруг вершины О на 30°, мы сможем, обводя его, получить следующую двенадцатую долю узора. При повороте шаблона на 60°, 90°, 120° и т. д. получим следующие дольки узора. На рис. 52,6
Рис. 52 а
шаблон повернут по сравнению с начальным положением уже на 240°.
Но мы хотим заниматься не рисованием по шаблонам, а геометрическими построениями при помощи чертежных инструментов: транспортира, циркуля и линейки.
Чтобы правильно выполнять повороты фигур, надо знать, что происходит при повороте с отдельными точками фигуры.
Возьмем на шаблоне какую-нибудь определенную точку, например, точку А (рис. 53). При повороте шаблона на 30° вокруг точки О луч О А повернется тоже на 30°. Точка А перейдет в такую точку Ль что ОА\ = ОА.
Таким образом, при повороте фигуры вокруг точки О каждая ее точка А переходит в такую точку А и что
1) расстояния точек А ж А% от О равнь^
2) 	угол AOAi равен углу поворота и отложен от луча ОА в заданном направлении.
Из сказанного понятно, как выполнять поворот точки при помощи линейки и транспортира.
Фигура при повороте переходит в равную ей. Поэтому, чтобы повернуть, например, тре-
Рис. 53
угольник ABC на угол 110° вокруг точки О по часовой стрелке (рис. 54) достаточно повернуть каждую его вершину на 110° вокруг точки О и полученные точки соединить отрезками.
Рис. 55
Но часто удобнее поступать иначе. Вершины треугольника ABC при повороте будут перемещаться по изображенным на рис. 55 окружностям с центром О. Поэтому, найдем откладыванием угла в 110° положение вершины А. Положение остальных вершин можно получить с помощью циркуля, как указано на рис. 55 (CCi=XXil).
Чертежное выполнение поворотов дает большой простор для придумывания наиболее удобных приемов. Займитесь этим при реше- шш упражненаЛ, ^ - •
Ю


Замечание. Поворот на а градусов по часовой стрелке — это то же самое, что поворот на 360 — а градусов против часовой стрелки (рис. 55).
Упражнения
1) Дан отрезок АВ. Поверните этот отрезок против часовой стрелки на угол 30°, приняв за центр поворота:
а) точку А;
б) середину данного отрезка;
в) точку Ni, лежащую вне отрезка.
2) Поверните прямую АВ вокруг центра М, лежащего на этой прямой, против часовой стрелки на углы: 60°; 120°; 180°; 240°; 300°; 360°. Сколько различных прямых при этом будет построено?
3) Дан луч MN. Поверните его вокруг центра М против часовой стрелки на угол: 45°; 135°; 225°; 315°.
4) Дана прямая а. Поверните ее против часовой стрелки вокруг центра М, лежащего вне прямой, на угол: 75°; 15°.
5) Укажите такую точку (центр поворота), при повороте вокруг которой трехлистник (рис. 21) совместится сам с собой. При каких углах поворота возможно Хакое совмещение?
Вырежьте из плотной бумаги модель нарисованного трехлистника, закрепите ее булавкой в центре -поворота и проверьте свои ответы на вращении этой модели.
6) Найдите центр поворота и углы поворота для че- тырехлисгника (рис. 22). Проверьте свои ответы вращением моделей.
7) Что произойдет с четырехлистником при вращении его на 180° по часовой стрелке; на 180° против часовой стрелки? Будет ли верен такой же ответ для трехлистника?
8) Квадрат повернут около своего центра на 45°. Постройте фигуру, которая будет объединением этих двух квадратов.
9) Равносторонний треугольник, вершины которого лежат на окружности (рис. 56), повернут около центра
Рис. 56 Рис. 57
окружности на 60°. Постройте фигуру, которая будет объединением двух этих треугольников.
10) Даны две точки. Найдите центры поворотов, при вращении около которых эти точки могут быть созме- щеиы. Как расположены эти центры?
11) Даны два равных круга. Найдите центры поворотов, при вращении около которых эти круги могут быть совмещены.
15. 	Центральная симметрия
Задание 1. Постройте какой-нибудь отрезок АВ и точку О (рис. 57). Постройте отрезок, в который отобразится (перейдет) отрезок АВ при повороте на 180° вокруг центра О. Какие особенности поворота на 180° вы заметили?
Результат поворота на 180° не зависит от направления угла (рис. 58,а). При повороте на 180° центр поворота является серединой любого отрезка, соединяющего соответственные точки. Эти свойства позволяют очень просто строить точку А и соответственную точке А: на прямой АО строим отрезок ОАи равный О А (рис. 58, б).
Поворот на 180° называется центральной симметрией. Центр поворота при этом называется центром симметрии.
На рис. 57 построен отрезок А\ВХ симметричный относительно центра О отрезку АВ.
Задание 2. Постройте фигуру, симметричную данному треугольнику ABC относительно данного центра О (центр О возьмите внутри треугольника ABC).
Возьмем окружность с центром О (рис. 59). Выберем на ней произвольную точку А. Где лежит точка, симметричная ей относительно центра О? На той же окружности. Значит, окружность симметрична сама себе относительно своего центра.
Легко показать, что каждый отрезок симметричен сам себе относительно своей середины.
Если фигура переходит сама в себя при центральной симметрии с центром О, то говорят, что фигура центрально-симметрична (или — имеет центр симметрии О).
Приведите примеры фигур, имеющих центры симметрии.
Рис. 59 Рис. 60
Упражнения
1) Постройте центр симметрии двух равных отрезков, расположенных на одной и той же прямой.
40


2) Постройте отрезок, центрально-симметричный данному отрезку.
3) Постройте угол, центрально-симметричный данному углу. 1
4) Найдите центр симметрии двух равных пересекающихся окружностей.
5) Какие из фигур (рис. 16) имеют центр симметрии?
6) Дана фигура, состоящая из двух равных квадратов, имеющих общую сторону (рис. 60). Имеет ли эта фигура центр симметрии?
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
16. 	Построение параллельных прямых
Две прямые на плоскости могут пересекаться и не пересекаться. Прямые, изображенные на рис. 61, а и 61, в, пересекаются, на рис. 61, б — не пересекаются.
Рис. 62
Рис. 63
Построение. Через точку А проведем
перпендикуляр AM к прямой L Затем через точку А проведем перпендикуляр АВ к прямой AM. Прямые АВ и I параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой АМ\ АВ\\1.
Кроме угольника для построения параллельных прямых пользуются рейсшиной (рис. 64) и штурманской линейкой (рис. 65).
На рис. 66 показано, как можно строить параллельные прямые с помощью чертежного
Рис. 61
Если построить два перпендикуляра к одной и той же прямой, то они не пересекутся (рис. 62). Это свойство позволяет строить не- пересекающиеся прямые с помощью угольника.
Определение. Дее прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются параллельными.
Параллельность прямых обозначается знаком ||, например, AB\\CD.
Если два отрезка (или луча) расположены на параллельных прямых, то эти отрезки (или лучи) также называются параллельными. Края обычной линейки параллельны.
Задача. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.
Дано: точка А и прямая / (рис. 63).
Построить: АВ\\1.
треугольника и линейки. При столярных и плотничьих работах для проведения нескольких параллельных, идущих под одним и тем же углом к некоторой прямой, употребляется малка (рис. 67).
Упражнения
1) Через каждую из вершин треугольника проведите прямые, параллельные его противоположной стороне.
2) На листке неразлинованной бумаги проведите при помощи угольника и линейки прямые, параллельные одной из сторон этого листа (разлиновать этот листок).
3) Дан треугольник ЛВС и точка М, лежащая вне треугольника. Проведите через точку М прямые, параллельные прямым АВ, ВС, АС.
4) Начертите угол и возьмите точку М, лежащую
а) 	внутри угла, б) х.'не угла. Проведите через точку М прямые, параллельные сторонам угла.
17. 	Пучок параллельных
Задание. Постройте несколько прямых, параллельных данной прямой.
Определение. Множество всех прямых в плоскости, которые параллельны какой-либо одной прямой, называется пучком параллельных.
К данной прямой можно провести бесконечно много параллельных. Поэтому, пучок параллельных — бесконечное множество пря¬
41


мых. Но через каждую точку плоскости проходит только одна прямая данного пучка параллельных. Все прямые пучка параллельных параллельны между собой; чтобы задать пучок параллельных, достаточно задать одну из прямых этого пучка.
Упражнения
1) Дана прямая /. Постройте несколько прямых, которые входят в тот же пучок параллельных, что и прямая I.
2) Сколько прямых, принадлежащих некоторому пучку параллельных надо иметь, чтобы можно было построить любую из прямых этого пучка?
18. 	Параллельный перенос
Мы уже познакомились с двумя видами перемещений фигур: осевой симметрией и поворотом вокруг точки.
Движение вагона по рельсам прямолинейного участка пути дает представление о параллельном переносе фигуры (рис. 68).
На рис. 69 показан параллельный перенос чертежного треугольника вдоль прямой /.
Каждая точка фигуры при таком перемещении переходит в новую точку: Л~*-Ль М-*~Ми Х-+Хг...
Постройте треугольник ABC и проведите через его вершины параллельные прямые. Отложите на них равные отрезки ЛЛЬ В В и СС\ в одну и ту же сторону (рис. 70). Соедините
точки Ль Ви Ci отрезками. Построенный треугольник AiB\C\ получится из треугольника ABC параллельным переносом.
Теперь вы можете сказать, какое перемещение называется параллельным переносом.
Параллельный перенос — это перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются вдоль параллельных прямых на одно и то же расстояние и в одну и ту же сторону.
На рис. 71 указан способ приближенного построения произвольной фигуры, полученной из данной параллельным переносом.
При параллельном переносе фигура переходит в равную ей фигуру.
Для построения отрезка А\ВХ, соответственного данному отрезку АВ, достаточно знать, в какую точку при параллельном переносе переходит одна из точек отрезка АВ. Пусть X-*Xi (рис. 72). Построив точки А\ и В1, соответственные точкам Л и В, соединим их отрезком.
На рис. 73 построена окружность, соответственная данной, при условии что М-+Мх.
Вы уже заметили на примере параллельного переноса, что отрезок переходит в параллельный ему отрезок. Это не случайно. При параллельном переносе каждая прямая (луч, отрезок) переходит в параллельную ей прямую (луч, отрезок).
Упражнения
1) Дан отрезок ВС и точка М. Выполните параллельный перенос отрезка ВС так, чтобы: а) точка В совпала с точкой М; б) точка С совпала с точкой М.
2) Дан луч ОМ и точка Р вне этого луча. Выполните параллельный перенос этого луча так, чтобы точка О совпала с точкой Р.
3) Дан угол ABC. Выполните параллельный перенос этого угла так, чтобы точка В совпала с данной точкой М, лежащей: а) на стороне угла; б) внутри угла;
в) 	вне углг*
4) На какой отрезок и в каком направлении нужно сделать параллельный перенос, чтобы на рис. 74 фигура Ф перешла в фигуру Р (фигура Р в фигуру Ф)?
5) Построить треугольник, в который перейдет данный треугольник ABC при параллельном переносе, когда А-^В»
42


19. 	Сумма углов треугольника
На рис. 75 изображены два треугольника. Одинаковы ли суммы углов этих треугольников, как вы думаете? С помощью транспортира вычислите их.
Вырежьте из бумаги произвольный треугольник. Оторвите его углы и найдите их сумму (рис. 76).
Какое предположение возникает у вас о сумме углов любого треугольника?
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Возьмем произвольный треугольник ABC (рис. 77). Продолжим его стороны АВ и ВС за вершину В. Проведем прямую BD параллельно АС.
Сравним полученные углы 4, 5 и 6 с углами 1, 2 и 3 данного треугольника. Угол 4 может быть получен параллельным переносом
Рис. 77 Рис. 78
угла 1 на отрезок АВ. Значит, Z4=Z1. Углы 5 и 2 вертикальны. Значит, Z5=Z2. Угол 6 может быть получен параллельным переносом угла 3 на отрезок СВ. Значит, Z6=Z3. Поэтому Z4+Z5+Z6=Z1 + Z2+Z3. Но сумма углов 4, 5 и 6 составляет развернутый угол, т. е. равна двум прямым углам.
Значит, и сумма углов 1, 2 и 3 треугольника равна двум прямым углам, что и требовалось доказать.
20. 	Направления
На рис. 78 стрелки а и Ь направлены на север. Они имеют одно и то же направление. Стрелки с и d направлены на юг. Направле¬
ние на юг противоположно направлению на север.
Какие еще направления имеют стрелки рис. 78? Какие стрелки направлены одинаково и какие противоположно?
В геометрии говорят о направлениях лучей. Лучи, лежащие на одной прямой, могут иметь два направления, которые противоположны друг другу. Например, лучи АС и ВС на
D А в С
Рис. 79
рис. 79 направлены одинаково (слева направо), а лучи АС и BD имеют противоположные направления.
Два луча одного направления (или противоположных направлений) могут и не лежать на одной прямой. Тогда они лежат на двух параллельных прямых (рис. 80).
А
Рис. 80 Рис. 81
Убедитесь на опыте в том, что при параллельном переносе луч не меняет своего направления. Иначе: каждый луч при парал¬
лельном переносе переходит в новый луч того же направления.
Упражнения
1) Построить угол, равный сумме углов треугольника.
2) Может ли треугольник иметь: а) два тупых угла;
б) 	два прямых угла?
3) Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
4) Один из углов треугольника равен 40°, второй угол на 60° больше. Вычислить величину всех углов этого треугольника.
5) Углы треугольника находятся в отношении 2:3:5. Вычислить углы этого треугольника.
6) В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 30° больше другого. Какова величина острых углов этого треугольника?
21. 	Углы с одинаково направленными сторонами
На рис. 81 луч 0\АХ одинаково направлен с лучом ОА, а луч OtBi— с лучом ОВ. Перенесем угол АО В в направлении ОО j на расстоя¬
43


ние 001. Точка О перейдет в точку Ot. Луч ОА—в луч 0\А\, а луч ОВ — в луч 0\ВХ. Весь угол АОВ перейдет в угол А\0\Вх. Следовательно, углы АОВ и А\0\В\ равны. Мы видим, что углы, соответственные стороны которых одинаково направлены, равны.
Упражнения
1) Как известно, азимутом (магнитным) данного направления называется угол между осью магнитной стрелки и данным направлением. Азимуты отсчитываются от направления на север по часовой стрелке от 0° до 360°.
Азимут направления ОМ — острый угол в 70° (рис. 82). Азимутом направления ON будет угол в 260°.
2) На рис. 83 дана схематичная карта Подмосковья. Определите азимуты направлений от Москвы на Загорск, Орехово-Зуево, Воскресенск, Каширу, Серпухов, Крюково, Можайск.
3) Чтобы определить по карте маршрут перехода, необходимо найти азимуты каждого из направлений этого маршрута. Сделайте это, используя карту Под- московья, для перехода по маршруту; а) Кубинка — Волоколамск; б) Кубинка — Малоярославец; в) Крюково — Пушкино; г) Барыбино — Подольск; д) Дмитров — Пушкино; е) Пушкино — Дмитров.
4) Определите азимуты направлений, по которым вы идете из дома к школе (или к остановке транспорта).
5) В морской практике принято определять направления в румбах. Румб — это угол между направлением оси магнитной стрелки и выбранным направлением. Румбы отсчитываются как от северного, так и от южного конца магнитной стрелки от 0° до 90°, при этом
Рис. 83
указывается, какой из четырех четвертей (СВ, ЮВ,
ЮЗ, СЗ) принадлежит угол (см. рис. 84). Например, для направления I румб равен СВ 45°, для направления II румб равен ЮЗ 45°, для направления III румб равен ЮВ 60°.
С
На схеме (рис. 85) стрелками показаны направления движения кораблей в некотором районе. Определите эти направления (в румбах).
Задачи для повторения
1) Постройте множество точек, которые находятся от данной точки А на расстоянии 3 см и одинаково удалены от двух других данных точек В и С.
2) Постройте несколько точек, лежащих на одной прямой, пользуясь только циркулем.
3) С помощью лишь одной мерной ленты постройте на местности взаимно перпендикулярные прямые.
4) Используя только циркуль, постройте по две точки, лежащие на взаимно перпендикулярных прямых.
5) Равносторонний треугольник последовательно поворачивается вокруг середины одной из своих сторон на угол в 60°, 120е, 180°, 240°, 300° и 360°. Постройте треугольники, полученные после каждого из этих поворотов. Какую фигуру образует объединение всех построенных треугольников?
6) Квадрат поворачивается около середины одной из своих сторон на угол в 90°, 180°, 270°, 360°. Постройте квадраты, полученные после каждого из этих поворотов. Какую фигуру образует объединение всех построенных квадратов?
7) Равносторонний треугольник поворачивается около одной из своих вершин на угол 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. Постройте все эги треугольники. Какая фигура получилась?
Рис. 86
44


] Д7
Рис. 88
Рис. 87
8) Квадрат поворачивается около одной из своих вершин на угол 90е, 180е, 270°, 360°. Постройте все эти квадраты. Какая фигура получилась?
9) Покажите, что дьа равных произвольно расположенных отрезка всегда можно совместить путем:
а) параллельного переноса и поворота;
б) параллельного переноса и осевой симметрии;
в) двух осевых симметрий.
10) Постройте фигуру Фь симметричную данному четырехугольнику Ф относительно оси Si. Затем по¬
стройте фигуру Ф2, симметричную фигуре Ф1 относительно оси s2y если: a) si||s2, б) Siij-S2.
И) Дана фигура, составленная из четырех равносторонних треугольников (рис. 86). (Данная фигура заштрихована). Постройте фигуры, ей симметричные относительно осей Si и sg. Какая фигура получилась? Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из объединения построенных и данных фигур?
12) Постройте шесть примыкающих друг к другу равносторонних треугольников с общей вершиной * О.
13) Какие из треугольников на рис. 87 будут: а) разносторонними: б) равнобедренными; в) прямоугольными; г) тупоугольными?
14) На рис. 88 даны два равных квадрата с общей стороной и два равных равносторонних треугольника с общей стороной. В каждом из этих случаев укажите, какими перемещениями (осевая симметрия, поворот, центральная симметрия, параллельный перенос) один из данных квадратов (треугольников) может быть совмещен с другим квадратом (треугольником).
15) Проводя только параллельные прямые, постройте фигуру, в которую перейдет данный квадрат ABCD при параллельном переносе. Известно, что А—уС.
М. И. БАШМАКОВ
(Ленинград)
О решении уравнений и неравенств
Научить школьника правильно решать уравнения и неравенства — одна из основных задач учителя математики. Происходящее в последние годы укрепление научных основ школьной математики привело к вдумчивому изучению учителями и методистами тех теоретических положений, на которых основано решение уравнений и неравенств. К сожалению, наряду с разумными и грамотными советами во вспомогательной литературе нередко появляются такие «теории», которые сбивают с толку учителя, заставляют его к месту и не к месту говорить о «допустимых значениях».
На наш взгляд, учителю математики надо иметь такую точку зрения на уравнения и неравенства, которая позволила бы избежать громоздких и не очень ясных формулировок,
а главное, была бы теснее связана с общим курсом математики.
Одной из основных идей, пронизывающих весь курс математики, является идея функции. Мы предлагаем в настоящей заметке конспективное изложение точки зрения (мы намеренно избегаем слова «теория») на уравнения и неравенства, построенное на функциональной основе.
1. Если мы возьмем два числа и соединим их знаком «равно» (или одним из знаков >, <> ^), то получим высказывание, называемое числовым равенством (неравенством). Как и всякие высказывания, числозые равенства (неравенства) могут быть верными и неверными. Можно сформулировать ряд свойств верных и неверных равенств ^[неравенств).
2. Возьмем две функции f и g с одной и той же областью определения А. При каждом конкретном х0еЛ высказывание f(x0) =g(x0) является числовым равенством (верным или неверным). Если х — переменная с областью определения Л, то «переменное высказывание» («форма», «предикат» — можно выбрать любой термин) f(x)—g(x) является уравнением. Итак, уравнение — это своего рода «ус¬
45


ловное равенство», значения двух частей которого поставляются двумя функциями с одной и той же областью определения. Это множество А можно назвать областью допустимых значений (ОДЗ), хотя нам больше нравятся слова «область определения уравнения». Пожалуй, самое важное из того, что было сказано,— это что вместе с уравнением, неразрывно с ним рассматривается область значений числовой переменной, входящей в уравнение. При этом все встречающиеся в уравнении формулы (записи тех правил, по которым производятся вычисления значений данных функций) рассматриваются лишь для значений переменной из данного множества А.
Иногда приходится составлять уравнения, исходя из двух функций f и g, заданных на разных числовых множествах, скажем, Л и В. Тогда сначала сужают области их определения до пересечения множеств А и В и получают, вообще говоря, две новые функции с общей областью определения А П В и с теми же правилами вычисления значений.
Следуя нашей точке зрения, уравнение х — = ]/гх—Т надо считать полученным из двух функций у =х и y=sj/^x—1 , каждая из которых задана при д:>1.
3. 	Для многих правил вычисления приняты специальные значки: +,>/\lg, sin и т. п. Комбинируя их, можно получить много новых правил. Очень часто при задании функции указывают только правило вычисления ее значений. В этом случае считается, что область определения функции состоит из всех чисел, к которым можно применить указанное правило (ее называют естественной областью определения). Так, записывая функцию в виде
у-Уф-
мы считаем ее областью определения множество А — (—оо, —2) U [0, оо ).
Конечно, нечеткость слов «можно применить правило» вызывает часто путаницу. В школьном курсе математики обычно принимаются некоторые твердые соглашения об употреблении математических символов. В то же время еще до сих пор встречаются бессодержательные споры, например, о том, считать ли число х——I корнем уравнения или нет. Просто нет четкой дргоро- ренности, при каких значениях х будет употребляться запись у=(хх)2.
Мы могли бы привести много доводов в пользу того, чтобы запись выражений, содер¬
жащих переменную в основании степени и в ее показателе, употреблять лишь для положительных оснований.
4. 	Из одних функций можно получить новые. Если даны две функции f и g с одной и той же областью определения А, то их суммой (произведением) называют функцию <р, заданную на множестве А, с таким правилом вычисления значений: ф(*) =f(*)+&(*)
(q>(лг) =f{x) ’g(x)). Если, кроме того, функция g не обращается в нуль, то можно определить и частное функций f и g как функцию ф, заданную на множестве А, по правилу:
5. Решение уравнения (неравенства)—это значение переменной, при подстановке которого получается верное числовое равенство (неравенство). Вставлять в это определение слово «допустимое» нам представляется излишним, так как вместе с уравнением нам известно множество значений переменных, которые можно подставлять в уравнение. Прочие значения переменной не рассматриваются вовсе.
Уравнения (неравенства) равносильны, если совпадают множества их решений. Можно сформулировать ряд теорем о равносильности. Например: «Если к обеим частям уравнения прибавить одну и ту же функцию, то получим уравнение, равносильное исходному». Как почти всякая «круглая» фраза такого сорта, приведенная формулировка не точна. Дело обстоит так: дано уравнение, значит, даны две функции f и g с общей областью определения. Строим новое уравнение: прибавляем к f и g функцию h (а раз так, то h обязательно имеет ту же область определения) и составляем такую форму: (f+h) (*)*=(£+
+h) (я). Заметим, что никакие оговорки об областях определения не будут нужны, если ясно понимать, что арифметические операции можно производить лишь над функциями, имеющими одинаковую область определения. В частности, теорему о распадающемся уравнении, т. е. об уравнении вида f(x)= 0, где функция f равна произведению функций hi и h2, можно формулировать так, что множество его решений равно объединению множеств решений уравнений hi(x)=0 и h2(x)= 0.
6. Рассмотрим вопрос о так называемых тождественных преобразованиях одной части уравнения. На самом деле идет речь о том, что меняется запись правила, по которому вычисляются значения функции. Если при этом не забывать, что область определения функции должна оставаться неизменной, то ника¬
46


ких неприятностей произойти не может. Например, при задании функции формулой
1 1 У X— 1 х — 1 ’
если не сделано дополнительных ограничений, мы считаем ее областью определения множество чисел хф\. Меняя запись правила вычисления (производя приведение подобных членов), мы получим формулу у = О, но надо не забыть рядом указать ограничение хф 1 (теперь это уже сделать необходимо).
Возникает вопрос: что же делать, если нужно применить тождество, заданное на меньшем множестве, чем область определения уравнения (кстати, заметим, что тождеством удобно называть уравнение, множество решений которого совпадает с областью определения)? В этом случае надо разбить область определения уравнения на две части и полу- , чить два новых уравнения. Так, решая уравнение sin2x+7cos2*+7 = 0 (определенное при всех вещественных х) и желая воспользоваться формулами, связывающими sin 2х и cos 2х с tg х и справедливыми лишь при
тс
хф~2 +nk (k — целое), мы должны рассматривать кроме уравнения
2\gx 7(1 tg2х) . 7__0 Л / JLл.
1 + tgs х 1 + tg2 х ^ V ' 2 ' )
еще и уравнение
sin 2х + 7 cos 2х + 7 = 0, х = -у- + vk.
Применение слов «неабсолютные тождества», «квазитождества» и т. п. нам представляется излишним.
7. 	Уравнение II является следствием уравнения I, если всякое решение уравнения I есть решение уравнения II, т. е. если множество решений уравнения II содержит в себе множество решений уравнения I. Записывать это будем так: I II. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них есть следствие другого. Записывать равносильность будем так: 1<=> II.
При каких же переходах получаются следствие?
Укажем для краткости лишь на один из них, наиболее общий: «Если из уравнения f(x) = =g(x) получить уравнение h(f(x))=h(g(x)) (строя сложные функции h(f) и h(g)), то это уравнение будет следствием исходного». Заметим опять, что то, что h должна быть опре- дедем при всех значениях функций f и g,
входит в определение сложной функции, а не относится специально к уравнениям.
8. Получив в качестве следствия уравнение с известным множеством решений, можно подставить эти решения в исходное уравнение. При таком способе рассуждения проверка является частью решения задачи. Гораздо продуктивнее отдать себе отчет в том, за счет чего могли появиться лишние корни. Если к двум частям уравнения применялась одна и та же функция, то надо разобраться в том, какие неверные равенства она переводит в верные. Так, при возведении уравнения в квадрат, могут появиться лишние корни только за счет такого перехода:
а = —а =Ф а2 = а2.
9. При решении неравенств расширять множество решений опасно, так как обычно оно бесконечно и надежный способ проверки не подойдет. Переход к равносильному неравенству основан на применении к двум частям неравенства строго монотонной функции. Именно так удобно понимать такие операции, как логарифмирование и потенцирование неравенств и т. п. Если же применяемая функция не является строго монотонной на всей области значений функций, составляющих уравнение, то, как это уже было прежде, надо разбить уравнение на несколько, разбив соответственно область определения. Это особенно часто приходится делать при возведении неравенства в квадрат, так как функция у=х2 не монотонна на всей оси.
Само собой разумеется, что приведенный конспект не претендует на полноту. Многое здесь предстоит додумать самому учителю. Еще более существенно то, что это лишь конспект теоретических положений, а не методическая разработка.
Хочется отметить в заключение, что решительный переход на функциональную точку зрения, как всякое ограничение, имеет и свои недостатки. Мы отказываемся рассматривать формулы, выражения без фиксирования тех значений переменных, которые в них можно подставлять. При этом мы еще больше порываем с формальной алгеброй, которая, скажем, определяет и изучает рациональные дроби без всякой связи с подстановкой в них конкретных значений переменных (см., например, статью А. Н. Колмогорова в «Математике в школе», 1966, № 2).
Сожалея, что из старших классов школы ушло (выражаясь «научным» языком) изучение поля рациональных функций, мы считаем, что функциональные идеи должны проводиться более ясно и тщательно.
47


С. 	Г. ГУБА
(г. Вологда)
Решение геометрических задач на доказательство с помощью прямоугольной системы координат
Как известно, в настоящее время в программу средней школы включена формула для определения расстояния между двумя точками координатной плоскости:
МХМ2 = V(x, — xxf + {у2 — у,)2, (1)
где Mi(xu у\) и М2{х2, уг) — заданные точки. Применение уже одной только этой формулы позволяет придать решению многих геометрических задач более естественный и более общий характер по сравнению с обычными методами решения.
В качестве примеров рассмотрим несколько геометрических задач на доказательство. Задача 1. Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
Решение. Пусть дана трапеция ABCD (ADWBC). Расположим оси координат так, чтобы основание AD трапеции находилось на оси абсписс, а началом координат служила середина AD (черт. 1). Тогда координаты вершин трапеции могут быть представлены в следующем виде: А(х, 0), В(хи у), С(х2, у), D (—х, 0) > где х > 0, х\ > х2.
Требуется доказать, что
АС2 + BD2 = АВ2 + CD2 + 2 AD- ВС. (2)
Черт. I У А
Действительно, на основании формулы (1) имеем:
АС2 + BD2 — (х2 - х)2 + У2+ (*i + *)2+У2= = 2 (х2 + у2) -f х\ + х\ + 2х (хг — х2). (3) AB2 + CD2 + 2AD-BC =
= (х{ — х)2 + у2 + (х2 + х)2 + у2 +
+ 2-2л; (х1 — х2)=‘
= 2 (х2 у2) -•{- х2 -{- х\ 4" 2лг (л^ х2)» (^)
Очевидно, что из соотношений (3) и (4) вытекает соотношение (2).
Очень важно, однако, чтобы работа над задачей на этом не прекращалась. Как показывает опыт, последующее варьирование условия решенной задачи является довольно эффективным средством активизации мыслительной деятельности учащихся, способствует углублению и систематизации знаний. В частности, после решения задачи на доказательство полезно рассмотреть отдельные частные случаи, обобщения, проявления доказанной математической закономерности в других ситуациях и т. п.
Так, например, в задаче 1 представляет интерес тот частный случай, когда трапеция ABCD равнобочная, т. е. АВ = CD; тогда АС = BD и формула (2) принимает вид
AC2==AB2 + AD-BC. (5)
Нужно требовать, чтобы учащиеся не только получили соотношение (5), но и привели его словесную формулировку.
Если в трапеции ABCD AD = АВ = CD, то равенство (5) предстанет в виде AC2 = AB(AD + BC).
Очевидно, что равенство (2) сохраняется и в том случае, когда AD = ВС, т. е. когда четырехугольник ABCD является параллелограммом. Тогда
АС2 + BD2 = АВ2 + ВС2 + CD2 + AD2. (6)
Задача 2. Доказать, что сумма квадратов расстояний от фиксированной точки К, взятой в плоскости данной окружности, до концов произвольного диаметра этой окружности есть величина постоянная.
Решение. Поместим начало координат в центр О данной окружности (черт. 2). Пусть АВ — произвольный диаметр этой окружности. Очевидно, если точка А имеет координаты (х, у), то координатами точки В будут (—х, —у). Обозначим далее координаты точки К через (а, Ь), а радиус окружности-— через R. Тогда
КА2 + КВ2 = (а~х)2 + (Ь — у)2 + (а + х)2 + ct Ф + у)2 - 2(а* 4- Ъ2 + л'2 + у*)Л
48


Приняв во внимание, что а2 + Ь2 = КО2 и х2 + у2 = R2, получим
/(Л2 + КВ2 = 2 (КО2 + R2). (7)
Так как /(О и R сохраняют постоянную величину при любом положении диаметра АВ, то утверждение задачи доказано.
Задача 2 допускает многочисленные следствия. Отметим некоторые из них.
Следствие 1. Если середина данного отрезка является центром окружности, то сумма квадратов расстояний от произвольной точки этой окружности до концов отрезка постоянна.
Следствие 2. Если центр окружности совпадает с центром симметрии параллелограмма, то сумма квадратов расстояний от произвольной точки окруоюности до вершин параллелограмма постоянна.
Следствие 3. Если в центрально-симметричном многоугольнике центр симметрии совпадает с центром некоторой окружности, то сумма квадратов расстояний от произвольной точки этой окружности до вершин многоугольника постоянна.
Следствие 4. Если ABCD — прямоугольник и М — произвольная точка в его плоскости, то МА2 + М С2 — MB2 + MD2.
Следствие 5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат расстояния от вершины прямого угла до произвольной точки М, взятой на гипотенузе, равен полусумме квадратов отрезков гипотенузы, на которые ее делит точка М.
Чтобы убедиться в справедливости последнего следствия, достроим данный равнобедренный прямоугольный треугольник до квадрата, а затем воспользуемся следствием 4.
Следствие 6. Если в параллелограмме ABCD построенная на его меньшей диагонали BD как на диаметре полуокружность пересекает большую диагональ АС в точке Р, то РА2 + PC2 == АВ2 + ADK
Справедливость этого равенства непосредственно вытекает из следствия 1.
Следствие 7. Сумма квадратов расстояний от точки К, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд постоянна.
Действительно, пусть на диаметре АВ некоторой окружности взята точка К. Проведем параллельно АВ произвольную хорду CD и построим точку Е, симметричную точке С относительно диаметра АВ. Нетрудно видеть, что DE — диаметр. На основании задачи 2 получим
КС2 + KD2 = КЕ2 + KD2 = const.
Следствие 8. Если два треугольника имеют равные основания и равные медианы. проведенные к основаниям, то равны и суммы квадратов их боковых сторон.
Следствие 9. Если АВ и CD — произвольные диаметры двух концентрических окружностей, а Р и Q — точки, соответственно взятые на этих окружностях, то PC2 -f + PD2 = QA2 + QB2.
В справедливости этого следствия легко убедиться, если воспользоваться соотношением (7). Пусть О — центр концентрических окружностей. Тогда
PC2 + PD2 = 2 (OP2 + ОС2) и QA2 + QB2 = 2 (OQ2 + О А2).
Так как ОР-ОЛ и ОС = OQ, то PC2 + =
= QA2 + QB2.
Следствие 10. Если ABCD — параллелограмм и М — точка в его плоскости, то величина выражения МА2 — MB2 + МС2 — MD2 не зависит от положения точки М.
Отметим, что каждое из следствий 1—10, если его рассматривать непосредственно как отдельную задачу, на доказательство, может послужить хорошим упражнением на применение координатного метода.
Задачи 1 и 2 сравнительно легко решаются и обычными методами (например, с помощью известных теорем о квадрате стороны треугольника). Рассмотрим теперь несколько более сложных задач.
Задача 3. Окружность О и квадрат ABCD имеют общий центр. Доказать, что для любой точки М окружности выражение МА2*МС2 + + MB2*MD2 сохраняет постоянную величину.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы диагонали квадрата ABCD лежали на осях координат (черт. 3). Если половину диагонали квадрата положим равной а, то вершины квадрата будут иметь следующие координаты: Л (а, 0), В(0, а), С(—а, 0),
D(Q,-a).
49


Черт. 3
Пусть М (х, у) — произвольная точка данной окружности с центром в начале координат и R — радиус этой окружности (т. е. х2 + у2 = = R2). Тогда
МА2-МС2 + MB2*MD2 = [(х — а)2 + у2] X X [(х + а)2 + у2] + [х2 + (у — а)2][х2 +
+ (У + а)2]= (R2 + а2 — 2ах) (R2 + а2 + 2ах) + + (R2 + а2 — 2ay) (R2 + а2 + 2ау) =
= (R2 + а2)2 — 4а2х2 + (R2 + а2)2 — 4а2у2 - = 2{R2 + а2)2 — 4 a2R2 = 2(R4 + а4).
Так как последнее выражение не зависит от координат точки М, то утверждение задачи доказано.
Следствие. Если квадрат и окружность имеют общий центр, то сумма четвертых степеней расстояний от произвольной точки окружности до вершин квадрата постоянна.
Действительно,
МА4 + MB4 + МС4 + MD4 = (МА2 + МС2)2 + + щв2 + MD2)2 — 2(МА2-МС2 + МБ2• MD2). Выражения в скобках, как это было показано в задачах 2 и 3, сохраняют постоянное значение при любам положении точки М на окружности.
Не приводя полных решений, укажем на следующие две задачи, которые легко решаются с помощью прямоугольной системы координат.
Задача 4. В правильном шестиугольнике ABCDEF стороны АВ и CD продолжены до их взаимного пересечения в точке К. Доказать, что
МК2 = MB2 + МС2, где М — произвольная точка окружности, описанной около правильного шестиугольника.
Целесообразное для решения этой задачи расположение осей координат приведено на чертеже 4. Здесь же указаны координаты точек К, В, С в предположении, что сторона пра-т вильного шестиугольника равна си
Задача 5. Доказать, что расстояния от любой точки М, взятой в плоскости треугольника, до его вершин А, В, С и центроида G (точки пересечения медиан) связаны соотношением:
МА2 + MB2 + MC2=AG2 + BG2 + CG2 + 3 MG2
(теорема Лейбница).
Расположение осей координат изображено на чертеже 5. Здесь же указаны и координаты точек.
Из теоремы Лейбница можно получить многочисленные следствия. Вот одно из них.
Следствие. Если центр некоторой окружности совпадает с цетроидом треугольника, то
сумма квадратов расстояний от произвольной точки этой окружности до вершин треугольника есть величина постоянная.
Разумеется, возможности использования прямоугольной системы координат для решения геометрических задач на доказательство
50


далеко не исчерпываются применением одной лишь формулы (1). Так, например, если учащихся познакомить с формулами координат середины отрезка
где (хх, ух) и (х2, уг) — координаты концов отрезка, то с помощью формул (1) и (8) нетрудно решить следующие задачи.
Задача 6. Доказать, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна удвоенной сумме квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника.
Задача 7. Доказать, что сумма квадратов сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей (теорема Эйлера).
Отметим, что расположение осей координат при решении двух последних задач не имеет существенного значения-
В данной статье рассмотрены лишь близкие по своему характеру задачи. С привлечением на помощь уравнений прямой, параболы, равносторонней гиперболы (которые, как известно, изучаются в средней школе) возможности приложений координатного метода значительно расширяются. Однако рамки журнальной статьи не позволяют рассмотреть этот вопрос в полном его объеме.
Я. Б. БУНЯТОЗ
(г. Сумгаит)
Пути повышения эффективности обучения учащихся
С целью повышения эффективности обучения на уроках автором (в период работы с 1966 г.) были разработаны 3 различных устройства для обучения и контроля знаний. Результатом этой работы явился автоматизированный математический кабинет, ныне действующий в школе № 12 г. Сумгаита. Основой его служит сконструированное обучающее и контролирующее устройство АОКУ-36.
Конструкции АОКУ-36 сравнительно просты в изготовлении, отвечают педагогическим и экономическим требованиям школы (стоимость АОКУ-36 на каждого ученика 5 рублей). Устройства просты в обращении и не требуют квалифицированного ухода, их изготовление доступно учащимся старших классов.
Автоматизированный кабинет АОКУ-36 состоит из двух частей: индивидуальных обучающих устройств, имеющихся на каждом рабочем месте ученика, и коммуникационнои системы (устройства для передачи сигналов). Обучающее устройство несложно, оно позволяет вести работу по линейным программам. Для этого на рабочем месте каждого ученика на столе закрепляется механическое приспо¬
собление, подобное обучающим машинам, сконструированным американским ученым Скиннером.
Это приспособление представляет собой ящик, в котором перемещается, наматываясь на валик, длинная бумажная лента. В ящике имеется прямоугольное окно, часть которого закрыта стеклом. Учащийся может вращением ручки перемещать ленту снизу вверх, обратное движение ленты невозможно.
Устройство мащины Скиннера и методика работы с ней подробно описаны в статье В. Г. Болтянского «Что такое программированное обучение?» («Математика в школе», 1967, № 5). Но в нашей методике имеются особенности (о них мы расскажем ниже), позволяющие использовать при работе на машинах Скиннера метод выборочных ответов. Такое использование машины Скиннера оказалось возможным благодаря наличию в классе коммуникационной системы.
Устройство коммуникационной системы в общих чертах следующее (см. фото). На рабочем месте учащегося имеется шесть кнопок, первые четыре из которых соответствуют четырем ответам, предлагаемым ученику. Если у ученика получился другой ответ на поставленный вопрос (не входящий в четыре заданных ответа), то он должен нажать кнопку б. Если у ученика возник какой-нибудь вопрос, то ему нужно нажать кнопку 6. На пульте учителя имеется по шесть лампочек (3,5 в) на каждого ученика, которые соответствуют кнопкам на пульте учащегося и зажигаются при нажатии на соответствующую кнопку.
Регистрацию ответов учащихся учитель производит на бумажном бланке. При этом он
51


Черт. 1
имеет полную возможность сделать вывод, на какие вопросы каждый из учащихся дал верные или неверные ответы, так как на бланке показано (в порядке следования вопросов), какие ответы правильны и каков характер ошибки в том или ином из неверных ответов. Вопросы и ответы к ним составляются так, чтобы по выбору ответа можно было судить о причине ошибки, а это дает возможность с помощью АОКУ-36 не только обнаружить ошибающихся учащихся, но и по характеру выбранных ответов узнать, в каком необходимом пояснении они нуждаются.
Как только учитель получает информацию от ученика, он тут же отмечает тот ответ, на который получен сигнал. Так как каждый ученик сидит на одном и том же занумерованном месте, то достаточно их обозначать номерами. В математическом кабинете имеется 3 ряда по 6 парт в каждом ряду, т. е. в каждом ряду могут сидеть 12 учеников.
По результатам полученных сигналов учитель ставит автоматическую оценку учащимся, и каждый из них видит результат своей работы на световом табло, которое висит над классной доской. Для этого на столе учителя имеются электровключзтели, с помощью которых зажигается световое табло, показывающее оценку каждого учащегося в отдельности.
Из сказанного ясно, что и обучающее устройство (состоящее из машин Скиннера),
и коммуникационная система (устройство об- ратной связи) довольно обычны и принадлежат к таким типам, которые описаны в литературе. Новой является методика соединения машин Скиннера с устройством обратной связи, благодаря чему и появляется возможность вести работу по линейным программам, но с выборочными ответами. Эта методика заключается в следующем. Каждая порция учебного материала (нанесенная на ленту) содержит: 1) теоретический материал; 2) вопрос к этому материалу; 3) четыре ответа на вопрос (обычно один верный и три, предусматривающие возможные ошибки); 4) пустое место для вписывания ответа учащегося. При начале работы над порцией учащийся видит не весь материал данной порции, а только теоретический материал и вопрос. Кроме того, он имеет доступ к пустому месту для вписывания ответа. Изучив теорию и усвоив содержание вопроса, ученик вписывает на пустое место свой ответ на поставленный вопрос и перемещает ленту вверх. Теперь ответ, вписанный учащимся, оказывается под стеклом, так что учащийся не имеет к нему доступа и не может исправить свой ответ. Одновременно в нижней части окна появляются четыре готовых ответа на поставленный вопрос. В верхней части окна все еще виден вопрос и (под стеклом) вписанный учащимся ответ. Учащийся выбирает из четырех заданных ответов тот, который совпадает с вписанным им ответом, и нажимает соответствующую кнопку 1, 2, 3, 4 (или кнопку 5, если его ответ отличается от всех заданных ответов).
При такой методике работы учитель следит за ходом работы всех учеников благодаря получаемым сигналам. В то же время на ленте остаются ответы учащегося, что дает возможность проконтролировать (после урока) правильность переданных учащимся сигналов, если у учителя возникнут сомнения. Разумеется, обучающие устройства и коммуникационная система могут быть использованы и отдельно друг от друга: обучающие устрой¬
ства — по обычной методике работы с машинами Скиннера, а коммуникационная система — как обычное устройство обратной связи для осуществления контроля по методу выборочных ответов. Таким образом, машина является механическим приспособлением, осуществляющим обучение как по программированным, так и по традиционным способам обучения.
При наиболее полном использовании АОКУ-36 класс изучает программу непрерывно без какого-либо вмешательства преподана-
52


теля, за исключением случаев, когда кто-ни- будь сам обращается за помощью.
Возможен также вариант работы, при котором сначала преподаватель объясняет материал, а затем учащиеся используют программу для повторения и закрепления пройденного материала.
Для такого использования АОКУ-36 (когда применяются и обучающие устройства, и коммуникационная система) пригодна любая линейная программа (нанесенная на ленту указанным выше способом), к вопросам которой ко всем или, по крайней мере, к некоторым составлено по четыре ответа. Пример линейной программы такого типа имеется, например, в книге М. Б. Гельфанда «Степень с целым показателем. Степенная функция с целым показателем» (Киев, изд. «Радянська школа», 1964).
Устройство АОКУ-36 удобно использовать также для проведения индивидуальных контрольных работ (при проверке нового, а также ранее пройденного материала). В этом случае теоретический материал в порции не включается, а имеется лишь вопрос и четыре ответа.
Результаты наших работ показывают, что:
а) работа с помощью АОКУ-36 улучшает качество знаний учащихся. Интерес к работе высокий;
б) АОКУ-36 открывает широкие возможности для индивидуальной работы учителя на уроке, что создает возможность предотвратить второгодничество;
в) программированные материалы позволяют учащимся самостоятельно восполнять пробелы в знаниях по ранее пройденному материалу и освобождают учителя от занятий по повторению учебного материала во внеурочное время;
г) АОКУ-36 дает возможность накапливать большое количество оценок по текущему материалу, что, в свою очередь, сказывается на повышении объективности итоговой оценки;
д) АОКУ-36 приучает учеников быть внимательными, оперативными. Это дисциплинирует и активизирует каждого ученика и весь класс в целом;
е) бланки, на которых учитель отмечает ответы учащихся, позволяют быстро объявлять результаты проверки и проводить разбор допущенных учениками ошибок;
ж) учащийся получает немедленное подтверждение правильности своего ответа, работает в свойственном ему темпе и сам контролирует успешность своего продвижения;
з) самостоятельная работа учащихся по программированным материалам способствует выработке у учащихся навыков работы над книгой.
При обычных же условиях классных занятий ни от одного преподавателя нельзя ожидать, что он сможет одновременно удовлетворить всем этим требованиям. Так, например, учащимся иногда приходйтся несколько дней ожидать результаты проверки выполненных ими заданий, что приводит к слишком запоздалому выявлению причин недопонимания и ошибок.
К концу года после проверочной контрольной работы, проведенной специальной комиссией, созданной городским отделом народного образования, стало ясно, что учащиеся экспериментальных классов намного больше знают и лучше самостоятельно отвечают на поставленные вопросы, чем учащиеся параллельных классов, обучавшиеся традиционным методом. Все ученики высказывали одобрительное отношение к обучению системой АОКУ-36.
С. А. БЕЛОВА, А. Г. МОРДКОВИЧ, М. И. СКАНАВИ
(Москва)
Опыт проведения телевизионных занятий с поступающими в вузы
Использование телевидения как средства массового обучения имеет очевидные достоинства и широкие перспективы. Вместе с тем телевизионному обучению присущ один недостаток. Мы имеем в виду невозможность осуществления в процессе занятия непосред¬
ственной обратной связи ученика с учителем. Телевизионное обучение в настоящее время имеет полузаочный характер: ученики видят и слышат своего учителя, а учитель своих учеников не видит и не слышит. Это в известной мере снижает педагогическую эффектив¬
63


ность занятий, осложняет работу и учителя, и ученика, что в свою очередь ставит перед организаторами учебных передач ряд важных и интересных задач не только методического, но и психологического характера. Именно это обстоятельство побудило нас при организации телевизионных занятий по математике с поступающими в высшие учебные заведения предпринять первые шаги в построении если не сиюминутной, то, во всяком случае, достаточно гибкой и оперативной обратной связи с нашими зрителями-слушателями. Рассказ об этом и составляет основную часть настоящей статьи.
Поступающие в высшие учебные заведения представляют собой неоднородную массу людей, сильно отличающихся друг от друга по своим социальным и демографическим признакам. Для многих из них, особенно для лиц, не имеющих регулярной связи с учебными заведениями или проживающих в отдаленных рабочих поселках и деревнях, занятия по телевидению являются единственно возможным вспомогательным средством в трудном деле математической самоподготовки.
В 1969/70 учебном году впервые был поставлен опыт организации телевизионных подготовительных курсов по математике для поступающих в вузы. Работали они с октября 1969 г. по июль 1970 г. Программа курсов, рассчитанная на 70 занятий, охватила основные вопросы и разделы элементарной математики в объеме требований, предъявляемых к поступающим на конкурсных экзаменах в вузах. Календарный план был составлен так, что заниматься на курсах могли не только лица, уже окончившие среднюю школу, но и учащиеся десятых классов: был претворен в жизнь принцип «ни одно математическое предложение с экрана не должно быть сказано раньше учителя в X классе».
Практиковались достаточно разнообразные формы передач — лекции, упражнения, консультации, выдача и разбор контрольных работ, встречи с представителями экзаменационных комиссий по математике некоторых московских втузов и т. д. Длительность каждой лекции составляла 40 мин., каждого практического занятия — 60 мин. с пятиминутным перерывом. Такой регламент был установлен после анализа многочисленных откликов телезрителей, к которым студия учебных программ Центрального телевидения обратилась в 1968/69 учебном году с просьбой высказать свое суждение по этому поводу.
В план занятий в истекшем учебном году были включены 6 контрольных работ, сроки проведения которых были равномерно распре¬
делены по всему учебному году. О содержании работ и об итогах их выполнения рассказано ниже.
Важным подспорьем в работе курсов оказалось установление тесных контактов с прессой. Методические указания к каждому занятию, тексты очередных домашних заданий, а также ответы и указания к решениям задач прошлого домашнего задания еженедельно публиковались в газете «Московский комсомолец» (рубрика «Телематик») и в общесоюзном бюллетене «Программы радио и телевидения» («ПРТ») (рубрика «Формула поступления»).
Занятия с экрана вели профессор В. Г. Болтянский, доценты М. И. С к а н а в и, А. Г. Мордкович, Б. А. Кордемский; внеэкранное руководство работой слушателей осуществляла С. А. Белова.
Объявление о приеме на телевизионные подготовительные курсы по математике было сделано в сентябре-октябре 1969 г. по радио, через газеты и с телеэкрана. В ответ хлынул поток писем-заявлений. Мы отобрали 1000 человек и зачислили их в условный классный журнал. Из них жителей Москвы — 413, жителей Подмосковья — 587; учащихся средних школ — 644, работающих — 356; лиц не старше 20 лет —790, от 21 года до 30 лет—180, от 31 года до 45 лет — 30.
Контакт с подготовительными телекурсами поддерживали жители Москвы и 129 пунктов Подмосковья и ближайших районов соседних областей.
Число 1000, безусловно, не охватывает всего множества слушателей передач по математике для поступающих в вузы. Из многочисленных индивидуальных и коллективных писем можно заключить, что общее число участников этих передач приближается к 10 000 и имеет тенденцию к дальнейшему увеличению.
Как же была организована обратная связь со слушателями?
На каждого слушателя был заведен своего рода академический счет, в котором по очковой системе оценивалась активность слушателя в соответствии с его краткими еженедельными отчетами (купонами), присылаемыми по почте на студию. Приводим образец такого купона:
4 Шифр 7Я138
Участие в передаче №
14 да
Выполнение ДЗ № 14:
1) + 2) + 3) + 4) -
5) +
54


Этот купон означает следующее: слушатель, которому присвоен шифр 7Я138, участвовал в передаче № 14 как телезритель, а из пяти задач домашнего задания правильно решил четыре. За этот отчет в клетку № 14 лицевого счета слушателя 7Я138 внесено 9 очков: 5 — за участие в передаче, по 1 — за каждую верно решенную задачу.
Далее, в определенный срок слушатели оповещались с экрана о проведении очередной контрольной работы. Текст работы публиковался в газете «Московский комсомолец» и в бюллетене «ПРТ». Преподаватель, проводящий занятие, напоминал для «кадровых» слушателей и сообщал для вновь присоединившихся основные правила выполнения контрольной работы. Среди них главные — полная самостоятельность и точное соблюдение регламента. Слушатель, пожелавший принять участие в контрольной работе, сам выбирал удобные ему 3 астрономических часа из имеющихся у него четырех дней (от даты публикации задания до даты штемпеля на почтовом конверте).
На наш взгляд, нам удалось убедить слушателей в необходимости строгого выполнения этих правил, так как иначе контрольная работа не могла бы ответить двум важным требованиям: помочь преподавателям почувствовать душу своей невидимой и неслышимой аудитории и помочь слушателям заблаговременно проверить степень усвоения ими соответствующих разделов программы. Отрадно отметить, что подавляющее большинство слушателей строго и честно придерживалось этих правил.
За участие в контрольной работе в лицевой счет слушателя вносились очки по следующему правилу: за присылку работы — 20 очков, за каждую верно решенную задачу — 2 очка. В качестве меры поощрения отдельные слушатели из тех, кто удачно справился с контрольной работой, приглашались в студию для непосредственного участия в передаче, посвященной разбору этой работы.
В конце учебного года активные слушатели, т. е. те, которые набрали достаточную сумму очков, приглашались на очный зачет, проводимый при помощи машин КИСИ-5, и на последующее собеседование с преподавателями курсов. После этого хорошо подготовленные слушатели получили поощрительные грамоты от студии учебных программ за успешную и активную работу на курсах.
Следует, однако, отметить, что остаются еще не до конца решенными многие важные проблемы телевизионного обучения вообще и математического телевещания для посту¬
пающих в вузы, в частности. Наиболее существенными из них являются разработка способов оценки педагогической эффективности телевизионного обучения и рекомендация форм и приемов проведения математических телезанятий, наиболее рациональных как с методической, так и с телевизионной точек зрения. Первые шаги в этом направлении уже сделаны. Например, в истекшем году были применены разные формы преподавания — монолог одного ведущего, диалог двух ведущих, коллективные беседы с несколькими приглашенными в студию активными слушателями и другие.
Познакомим теперь читателей журнала с некоторыми контрольными работами, проведенными в этом учебном году.
Контрольная работа № 1 (проводилась в ноябре).
1. Упростить выражение:
\х—1\ + \х\ + х Зх2 — 4х + 1 *
2. Вычислить;
Х—1 ^-0,2 + ,,0,3 (0,5)-’
x + x°’s +2,7°' Я1*3 —*-°>2 + *-°>б
при
X = /Г- 1.
3. Упростить выражение:
12
а + У^2+ У 5 • }^(9 — 4у^3)3
3. ® з _ з '
У 2— /5 • V9 + 4/5— /«* + /а
4. Упростить выражение:
i_
(4д8т—2 + а-2 т* — 4) 2 ч,
_1Г х
2ат (т2—я3) 2 X и т/ОТ4__£!_ _ 2£==\
V У т ?Л — Д2т-2/
5. Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить, соответственно, 25, 27, 1, то получатся три числа, совпадающие с первыми тремя членами арифметической прогрессии. Найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии Ч
Наибольшие трудности вызвал четвертый пример — с ним справилось менее 10%' слушателей. С первым примером справилось 50% слушателей, со вторым — 80%', с третьим — 40% и с пятым — 60%'.
1 При проведении контрольной работы эта задача была дана в несколько иной редакции,
55


Контрольная работа № 2 (проводилась в январе).
1. Решить уравнение 2:
6хА — 13*3 — 27*2 + 40* — 12 = 0.
2. Решить уравнение:
(х21— б*) 2 — 2 (х — 3)2 = 45,
3. Решить систему уравнений (ограничиться действительными решениями):
х2 -f у2 = 34,
х + У + “ 23.
4. Две шкурки ценного меха общей стоимостью в 225 руб. были проданы на международном аукционе с прибылью 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено 25% прибыли, а от второй — 50% прибыли?
5. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта в одном направлении, одна со скоростью 50 км/ч, другая со скоростью 40 км/ч. Через полчаса вслед за ними выехала третья машина, которая обогнала первую на 1,5 часа позоюе, чем вторую. Найти скорость третьей машины.
С этой работой слушатели справились намного лучше, чем с первой. Если первая работа дала менее 5% отличных оценок, то вторая — около 50%.
Контрольная работа №3 (проводилась в марте).
1. Решить уравнение:
1/3*2 - 2х + 15 +/3F- 2х + 8 = 7. 2. Решить уравнение: j/2jc^f83T+6 + Vx2 — 1 = 2х + 2.
3. Решить уравнение:
3 3 3
V(2 - Xf + V(7 + х)2 - V(2 _jc)(7+jc)= 3.
4. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона 30 дм. Определить радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между центрами окружностей.
5. В круг радиуса R вписаны равносторонний треугольник и квадрат, имеющие общую вершину. Вычислить площадь общей части треугольника и квадрата.
2 На одном из занятий шла речь о нахождении це¬
лочисленных корней уравнений высших степеней.
Наиболее сложной оказалась последняя задача, с нею справились лишь 35% приславших работы. Остальным не удалось найти рационального решения задачи, причем многие, даже выбрав правильный (но не лучший) способ решения, не могли довести решение до конца, запутавшись в выкладках.
С первым примером успешно справилось 80% слушателей, со вторым — 67%, с третьим— 78%, с четвертым — 68%.
Контрольная работа № 4 была проведена в апреле.
Она содержала логарифмические и показательные уравнения.
Контрольная работа № 5 (проводилась в мае).
1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как m: п, а гипотенуза равна с. Все боковые ребра равны Ь. Найти объем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Две боковые грани перпендикулярны к основанию пирамиды, а третья составляет с основанием угол 60°. Найти полную поверхность пирамиды, если известно, что радиус вписанного шара равен г.
3. Дано: 2х + 4у = 1. Доказать, что
*2 + У2 > 35
4. Решить неравенство:
logo,3log6-^±~<0.
5. Решить неравенство:
УЖ-п/Ж>°-
Очень большие затруднения вызвала вторая задача. Следующим по трудности оказался пятый пример. С остальными примерами большинство участников успешно справилось. С первой задачей справились 76% писавших работы, со второй — 5%, с третьей—80%', с четвертой — 85%, с пятой — 67%. Отличных работ было 5%.
Последняя контрольная работа по тригонометрии проводилась в июне.
В 1970/71 учебном году работа телевизионных подготовительных курсов по математике будет продолжена. Этим объявлением, на которое, надеемся, обратят внимание учителя математики десятых классов, мы заканчиваем настоящую статью.


ПРОБЛЕМЫ, СУЖДЕНИЯ
Н. 	П. СИКОРСКИЙ
(Москва)
О требованиях к содержанию экзаменационных работ за курс восьмилетней школы
Выпускники восьмилетних школ РСФСР весной 1963 г. впервые держали экзамен по математике. По алгебре с арифметикой был установлен письменный экзамен, целью которого было проверить усвоение учащимися основных сведений из курса алгебры и арифметики. Экзаменационная работа содержала
1) 	текстовую задачу с числовыми данными, решаемую с помощью составления уравнения, которое в процессе дальнейших преобразований приводилось, как правило, к квадратному, 2) алгебраический пример на преобразование алгебраических дробей (по курсу VII класса); или решение различных уравнений и систем уравнений, включая и графическое их решение; или построение графиков линейной и квадратной функций с некоторыми элементами их исследования и 3) арифметический пример. чЗаданием арифметического примера проверялась вычислительная культура, причем основное внимание было обращено на проверку навыков в выполнении действий над десятичными дробями.
Такое содержание экзаменационных работ по алгебре с арифметикой в VIII классе сохранилось до сих пор. Однако характер отдельных пунктов экзаменационной работы значительно изменился, и, как нам представляется, не в лучшую сторону.
Экзаменационные работы в VIII классе, по нашему мнению, должны удовлетворять следующим условиям: 1) задания должны полностью соответствовать действующей программе по алгебре в VI—VIII классах; 2) по своей сложности уровень заданий должен определяться школьными учебником и задачником.
Если учесть, что значительная часть выпускников восьмилетней школы в последние годы переходит в IX класс, перед экзамена¬
ционной работой по алгебре в VIII классе, по нашему мнению, в известной степени стоит также задача проверить, насколько выпускник восьмилетней школы подготовлен к усвоению курса алгебры и элементарных функций в IX классе.
В нашем распоряжении имелось несколько вариантов экзаменационных работ 1970 г., составленных Программно-методическим управлением Министерства просвещения РСФСР и один вариант Министерства просвещения УССР.
Задачи на составление уравнений почти во всех вариантах удовлетворяют сформулированным нами условиям. Правильное решение этих зад^ч давало уверенность, что в пределах требований, предъявляемых школьным задачником, выпускники восьмилетней школы удовлетворительно владеют методом составления уравнений по условию задачи, умеют из двух корней квадратного уравнения отобрать тот, который удовлетворяет смыслу задачи.
По содержанию почти все экзаменационные задачи, как составленные для школ РСФСР, так и для школ УССР, мало отличались от задач школьного сборника задач по алгебре.
Однако в одном варианте (для «правой стороны»), составленном ПМУ МП РСФСР, была дана следующая задача.
«Велосипедист, проехав 15 км, уменьшил скорость на 15 км/ч. Если бы он прошел весь путь со скоростью на 50% больше первоначальной, то приехал бы на конечный пункт на полчаса раньше. Найти первоначальную скорость велосипедиста, если весь путь его равен 45 км».
Эта задача по своему содержанию не выходит за пределы обычных школьных задач. Но решение ее приводит к иррациональному зна- чению первоначальной скорости: 0,5 (45 +
+ ]/3825) км/ч « 53,4 км/ч. (Не слишком ли велика скорость велосипедиста? А составитель задачи предполагает даже ее увеличение до 80 км/ч. Реальна ли такая скорость велосипедиста?)
Мы полагаем, что задачи с приближенными ответами вполне могли быть даны на экзаменах в VIII классе; это соответствовало бы программе, хотя, правда, в школьном сборнике нет текстовых задач с приближенными ответами. Но почему же задача «левой стороны» в том же варианте приводила в ответе к рациональным числам?
В другом варианте были предложены задачи, подобные которым учителя часто дают в V классе для устного решения. Вот одна из них: «Из пунктов А и В, находящихся на рас¬
57


стоянии 390 км друг от друга, выезжают одновременно навстречу два велосипедиста: первый из А со скоростью 24 км/ч, а второй — из В со скоростью 28 км/ч. На каком расстоянии от В они встретятся?»
Мы уверены, что задачи такого рода не следовало предлагать на экзамене в VIII классе. К тому же по содержанию задача, конечно, далека от реальных возможностей: велосипедист за 7,5 часа проехал 210 км?\
Задания во втором пункте экзаменационных работ в текстах 1970 г. (как и в предыдущие годы) были очень разнообразны. В школах УССР учащиеся решали уравнение 2 1 х — 4 __ Q
х2 — 4 х2 — 2х х2 + 2х
Так как неизвестное находится в знаменателях дробей, от ученика требовалось, естественно, исключить те значения х, при которых (х2— 4)х = 0 (установить ОДЗ неизвестного), затем из найденных корней отобрать удовлетворяющие заданному уравнению. Уравнения с неизвестными в знаменателе учащиеся начали решать еще в VII классе и очень часто встречались с ними в VIII классе. С другой стороны, решение уравнений с неизвестными в знаменателе требует от школьника сознательного отношения к необходимым преобразованиям уравнений и в некоторой степени проверяет готовность выпускника восьмилетней школы к исследованию уравнений, к решению уравнений с параметрами, т. е. к вопросам, столь часто встречающимся в IX—X классах и на экзаменах за курс средней школы.
Преобразования алгебраических дробей в некоторых вариантах экзаменационных работ для выпускников школ РСФСР были соединены с предложением найти числовые значения полученных результатов. В большинстве случаев преобразования дробей были несложны, хоть сколько-нибудь трудные случаи разложения многочленов на множители не встречались; вовсе не было случаев разложения квадратного трехчлена на линейные множители (а это так нужно в IX классе) и разложения способом группировки.
Удивляет в упражнениях на алгебраические дроби различие по трудности вариантов «левой стороны» и «правой». Так, например, в одном из вариантов для «левой стороны» было предложено упростить выражение
(х _ 4хУ . 4- v V (— 2— 2хУ \
\ х + у ~ У ) • \х + у у — Х Х' — у2)'
а для «правой»
(2“+тЬ-0:(‘,+5ё«-3>
Сразу видно, что первое из этих упражнений значительно труднее второго; во втором даже не требуется ни разлагать многочлены на множители (если не считать вынесения за скобки числового множителя из 2а — 6), ни менять знаков перед дробью.
Во вторых пунктах некоторых вариантов задания включали построение графиков. Приведем четыре примера таких заданий.
1) Построить график функции
у = — х2 — 4х + 5.
Следовало бы, полагаем, дополнить задание некоторыми вопросами о свойствах данной функции. Это входит в программу и широко представлено в школьном задачнике.
2) Решить графически систему Зх — 2у = 4,
2у -{- Зх = 7.
Проверить решение аналитически.
В параллельном варианте к аналогичному упражнению предложение о проверке формулировано менее четко: «проверить ответ».
3) Решить графически уравнения: х — 6 = = —х2 (для «левой стороны») и х2 — 2х = 3 (для «правой»).
Не слишком ли примитивны эти задания, не дезориентируют ли они ученика в цели графического решения уравнений? Ведь такие уравнения, как х2 + х — 6 = 0 и х2 — 2х — 3 = = 0, ученик у любого учителя в VIII классе обязан решать устно.
Даже приведенную выше систему линейных уравнений многие восьмиклассники смогли бы решить устно.
4) В одном из вариантов для вечерних школ было предложено решить графически систему
Х2 + У= 13,
х + у = 4.
Это задание достаточно содержательно. Оно проверяло умение экзаменующегося построить график квадратной функции и график линейной, добиться достаточной точности построения, чтобы получить координаты точек пересечения графиков хотя бы с точностью до 0,1.
Встречаются среди прочих заданий и преобразования квадратных радикалов. Такие упражнения предусмотрены программой и школьным учебником алгебры, но в школьном задачнике упражнений на преобразование квадратных радикалов с буквенными данными имеется всего лишь четыре. Поэтому сомнительно, чтобы можно было включать в экзаменационные работы не только аналогичные упражнения, но даже осложнять их другшш адеобршоваашшки что видно изсле-
58


взятого из одного ва-
дующего примера, рианта:
«Упростить
У(2 — mf + тУтЯ ( 2 ■
где /г > 0 и /гг > 5 > .
Таким образом, по нашему мнению, вторые упражнения в экзаменационных работах по алгебре в 1970 г., составленных ПМУ МП РСФСР, могут быть признаны удачными лишь за редкими исключениями.
Наибольшее возражение вызывают арифметические примеры в экзаменационных работах. Заметим здесь, что в работе для украинских школьников VIII класса арифметический пример отсутствовал. Не надо забывать, что при переходе из VI класса в VII украинские школьники сдают письменный экзамен по арифметике. Третьим упражнением в заданиях МП УССР для восьмиклассников в этом году было построение графика линейной функции (у = —0,5 х — 4,2) с предложением «указать, при каких значениях х значения функции положительны». Таким образом, в работе для восьмиклассников школ УССР все три задания были алгебраическими.
При решении арифметических примеров в экзаменационных работах, предлагаемых МП РСФСР в последние годы, от выпускников восьмилетней школы требовалось не только правильно производить действия над десятичными и обыкновенными дробями, но одновременно выполнять некоторые преобразования, связанные с знанием приемов разложения многочленов на множители. Таких упражнений в школьном задачнике почти нет. В журнале «Математика в школе» дважды (1968, № 1 и 1969, № 2) публиковались арифметические примеры на вычисление, близкие к экзаменационным. Но то, что было предложено в работах 1970 г., превзошло все ожидания учителей.
Вот некоторые из арифметических примеров, предложенных в 1970 г.
1) 	«Вычислить процентное отношение
26 3
115 50 54,567:8 ТГ + 36,6:7,625 + 36,025
-•6,25-
7
24
24
К
Постановка вопроса в данном случае вызывает недоумение, мы уверены, что невозможно указать задачу, которая привела бы к необходимости вычислять отношение столь громоздких выражений.
В этом упражнении, если не производить никаких алгебраических преобразований, 19 действий. (Напомним, что в арифметических примерах, включавшихся несколько лет назад в письменный экзамен по алгебре за курс средней школы, было не более 12 действий.)
В ответе получалось 18 000%г; в аналогичном примере для другой стороны — 78 000%. Видимо, составителям неизвестно, что в практике применения процентных показателей подобные значения не встречаются вовсе; если отношение каких-либо величин равно 200— 300%, то даже в таких случаях предпочитают говорить, что одна величина более другой в 2—3 раза.
2) 	«Вычислить
(о,04-7 + 0,04 )(7-25 — — 48,84
1 2
"0"• 0 “Ь 0,228:0,114 -f-
/ 14,53662 \
+ ^1,5291 — зЗГо~095*0»305у:0,12 + 34,
066
(0,06-2+ 0,8.0,06) — 0,8*16 —0,
36
В числителе этого сложного выражения получается нуль; значит, достаточно убедиться, что в знаменателе значение выражения в круглых скобках неотрицательное число, как отсюда тотчас будет получен и окончательный результат в заданном упражнении. Разве такими упражнениями проверяется вычислительная культура выпускников? Может быть, в процессе текущей работы на протяжении учебного года учитель и найдет возможным предлагать такие примеры, но уж, наверное, не на контрольных работах. Давать же на экзамене такие упражнения безусловно не следует. Опять повторим: таких упражнений, как приведенные здесь, нет в школьных задачниках (ни в арифметическом, ни в алгебраическом), да и нет никакой необходимости загромождать их подобными упражнениями.
3) 	«Вычислить два алгебраических выражения:
А = (24-§- :8-4): 11-2,4;
п ^2 по г Д2:0,5 — 2 . а* + (0,2)*
в=-а - 0,8 + TZ^a + ^~~^а + Q|22,
1
где а — g-#
59


Что больше: А или В— и на сколько?»
Вычислительные навыки этим упражнением проверяются лишь в незначительной степени. Мы сказали бы, что составитель в данном случае всячески старается «поймать» экзаменующегося, проверить его внимание, его спокойствие (заметим, что в этом же варианте предстояло выполнить еще неожиданное для него упражнение на преобразование квадратных радикалов). Возможно, что у экзаменующегося возникнет и затруднение в определении порядка действий. При вычислении значения А встречается последовательно деление (на 11) и умножение (на 2,4). Что надо делать сначала? Ученик задумался: «В арифметике меня учили выполнять деление и умножение в том порядке, в каком они записаны, а в алгебре, когда мы делим на одночлен, надо сначала найти произведение, а потом уже делить. Как же быть? Пример-то ведь алгебраический и делимое отрицательное...» Одним словом, опять ловушка! Таких упражнений в школьных сборниках тоже нет и не должно быть
Но встает и другой вопрос. Давая арифметические примеры, требующие алгебраических преобразований, правильно ли их составители решают взаимосвязь арифметики с алгеброй?
Только в заданиях МП РСФСР для вечерних школ взрослых в 1970 г. арифметические примеры не выходили за рамки общепринятых. Этим они выгодно отличались от предложенных для массовых школ.
Не пытаясь дать общую оценку экзамена¬
ционным заданиям по алгебре с арифметикой за курс восьмилетней школы, мы считаем необходимым все же подчеркнуть их крайнюю пестроту, в них нет единой идеи, общей направленности.
Многие упражнения явно отражают личные увлечения отдельных составителей, попытку перенести в задания, предназначенные для массовой проверки, вопросы, которые, может быть, уместны для экспериментальных проверок в отдельных классах, но, конечно, не на экзаменах.
Экзаменационные задания, не соответствующие школьным учебникам и даже программам, вызывают у учителей крайнюю нервозность, недоверие к школьным учебникам. Учитель теряет уверенность в том, что он достаточно хорошо подготовил к экзамену своих учащихся. Мы понимаем, что составление экзаменационных текстов дело деликатное, в него нельзя вовлекать большие коллективы, подвергать тексты широкому обсуждению, но все же задания должны приниматься хотя и в небольшом, но все же коллективе опытных методистов и учителей.
Учитывая в то же время массовость экзаменов, контролирующие органы министерств просвещения (и в первую очередь Министерства просвещения РСФСР) могут охватить различными вариантами, направляемыми в разные районы, все вопросы школьной программы и тем самым получить материал для обоснованных рекомендаций учителям в их практической работе.
ЭКСПЕРИМЕНТ
М. С. МАЦКИН, Р. Ю. МАЦКИНА
(Волгоград)
Дифференциал в курсе математики средней школы
В средней школе № 8 Волгограда понятие дифференциала и его приложения изучаются на уроках математики в течение ряда лет (начиная с 1964/65 учебного года). Изложение , соответствующего материала здесь строится в ином плане, чем это предлагается в статье М. И. Давыдовой («Математика в школе», 1968, N9 6).
Понятие дифференциала изучается непосредственно после темы «Производная и ее применение к исследованию функций» и занимает примерно 7—8 уроков.
Мы полагаем, что предлагаемое изложение может быть использовано на факультативных занятиях.
Непосредственно перед изучением темы «Дифференциал» рассматривается обычно вывод формулы бинома Ньютона с помощью производной и приложение этой формулы к приближенным вычислениям. Отсюда уже нетрудно перейти к постановке некоторых задач приближенного вычисления, приводящих к понятию дифференциала. Опыт работы убедил нас в гом, что постановка в самом начале соответствующих задач при¬
60


ближенных вычислений делает введение понятия дифференциала более мотивированным, а все изложение — более цельным.
Общепринятое определение дифференциала и сравнение бесконечно малых величин в том объеме, который необходим для усвоения понятия дифференциала, не вызывают трудностей у учащихся.
Ка первом уроке по данной теме рассматриваются задачи, в которых при приближенных вычислениях приращение функции считается пропорциональным приращению аргумента. Например, вычисляя приближенно 1,025 с точностью до 0,01, получаем, применяя формулу бинома Ньютона:
1,025= (1 + 0,02)5 = 1 + 5-0,02 + 10-0,0004 +
+ 10-1,000008 + 5-0,024 + 0,02*« 1 + 5-0,02 = 1,10
Здесь отброшены все члены разложения, начиная с третьего, так как они явно не влияют на приближенный результат вычислений. Такой же прием можно применить для вычисления 5-й степени любого числа, мало отличающегося от единицы, которое можно представить в виде 1 + Ах. Рассмотренный пример показывает, что при вычислениях с точностью до 0,01 при |Дх| ^ 0,02 заведомо можно считать (1-fAx)5^ « 1 + 5-А*.
Если обратить внимание на то, что 1 можно рассматривать как исходное значение х0 аргумента х функции у =* хъ, а Ах как приращение аргумента» причем yQ = Xq =■ Is = 1, то использование указанного выше приема означает, что мы приближенно считаем приращение функции равным 5-Ajc, т. е. пропорциональным приращению аргумента.
Подобный прием применяется и для вычисления других натуральных степеней чисел, близких к 1. Разумеется, для различных показателей степени при одной и той же требуемой точности результата ограничения, накладываемые на Ах, различны.
Рассмотренные примеры показывают, что иногда целесообразно считать приращение функции пропорциональным приращению аргумента, однако пока неясно, в каких случаях это возможно делать и как находить коэффициент пропорциональности. Напри-
18
мер, можно поставить задачу вычислить -/1,08 с точностью до 0,01. Здесь также можно считать xQ =* 1,
18
Д* — 0,08. Тогда у0 — 1 и у^1,08 ** 1 + Ду. Но можно ли здесь считать приближенно Ау пропорциональным Дх, и если можно, то как найти коэффициент про. порциональности?
Постановка задачи в общем виде формулируется следующим образом.
Пусть известно значение функции y = f(x) в некоторой точке Хо. Требуется найти приближенно значение ее в точке Хо + А*-
Так как f(x0 + A*) =f(x0) + А*/, то желательно найти условия, при которых можно считать А у ^ kAx, где к— коэффициент пропорциональности, т. е. выяснить, в каких случаях, в частности при каком значении k, разность А у — кАх настолько мала, что не будет влиять на результат вычислений, хотя бы для малых значений Ах.
Обозначим разность Ay — kAx через а. Очевидно что а является функцией от Ajc (при заданных х0 и к) Так как значение а и даже оценка абсолютной величины а нам неизвестны, то приходится исходить из следующего допущения: если lima *0 и при этом а
Ддг-Ю
а
стремится к нулю быстрее, чем Ах, т. е. lim т-г — 0Э
Аг->П ах
то при малых значениях Ах можно считать Ayzzz kAx- При этом остается невыясненным вопрос, какие зна%
чения Дд- можно считать достаточно малыми, чтобы получить результат с заданной точностью. Однако уже само решение вопроса о том, в каком случае и при каком значении к величина а = Ay — kAx стремится к нулю быстрее, чем Ах, представляет значительный интерес.
Введем следующие определения.
Пусть 7 = 7 (х) есть некоторая функция аргумента х. Мы говорим, что 7 есть бесконечно малая величина при х —> а, если lim 7 (лг) = 0.
х->а
Пусть 7 = 7 {х) и р = р (х) являются бесконечно малыми при х->а. Говорят, что 7 есть бесконечно малая высшего порядка, чем fi, при х-+а, если
Иш -4- = 0'.
х-*а Р
Поставленную выше задачу мы можем теперь сформулировать так. Для данной функции y = f(x) и выбранного значения аргумента х0 подобрать такой постоянный коэффициент к, чтобы a = А у — kAx была бесконечно малой высшего порядка, чем Ах при Ах-►О, Другими словами, требуется представить приращение функции Ау в форме А у = kAx 4- а, где к — некоторый постоянный коэффициент, а a — бесконечно малая высшего порядка, чем Ах при Ах-►О. Если такое представление оказывается возможным, то говорят, что данная функция у = f(x) дифференцируема в точке х0.
Вводится следующее определение.
Выражение kAx, пропорциональное приращению аргумента Ах и отличающееся от приращения функции А у на величину а, бесконечно малую высшего порядка, чем Ах при Ах->-0, называется дифференциалом функции в данной точке jc0 и обозначается через dy.
После того как введены основные определения, приступаем к решению поставленной задачи, которая теперь формулируется так.
Найти условия, при которых данная функция у = f (х) дифференцируема в точке х0, и найти коэффициент пропорциональности k в выражении для дифференциала dy = kAx.
При решении этой задачи выясняется тесная связь понятия дифференциала с понятием производной. Доказывается следующая теорема.
Для того, чтобы функция у — / (х) была дифференцируема в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f'(x0), причем коэффициент пропорциональности k в выражении дифференциала равен /' (*в).
Необходимость условия учащиеся почти всегда доказывают самостоятельно с некоторой помощью учителя.
Если А*/= 6-Ах 4-а, где к — постоянно, а а — бесконечно малая высшего порядка, чем Ах при Ах-*0, то
Ду kAx -f а
/' (*,) - И™ дТ - Hm - Ajc-*0 ЛХ Ajr-M)
Ax
-lim (
A*->0 \
» lim k -f- lim д—■
A x-*.0 Ддг-*0ал:
-Л + 0- Л,
т. e. производная в точке Xq существует и равна k.
Достаточность условия доказывается следующим образом. Если /' (х0) существует, то можно записать
Ду /Ду \
/' (х0) — Um д-7 и, значит, lim ( Т7 ■—/' (*<>) )
Ддг-*0 х Дл--*0 V '
Ду /А у
Обозначим д^ (*о) через р (
0.
1 Подразумевается, что $(х)Ф0 в достаточно малой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.
61


Р есть функция от Ах и lirrl р = 0. При этом легко
Ддг-Я)
заметить, что А у = f' (xQ) Ах + рДдг.
Обозначим /'(хй) через k, а рд*— через а. Тогда а . 8Дл:
Ду = kAx + lim ~д~ = ~аТ = Нш р «= 0 и k =*
Длг->0 •* Ajc-И) ** Длг-*0
Мы выяснили, что дифференцируемость функции в данной точке х0 равносильна существованию производной в этой точке. (Поэтому функцию, имеющую производную f'(xо), часто называют дифференцируемой в точке *0.)
Для вычисления дифференциала получена формула dy = f' (х0) Ах. Сообщаем учащимся, что приращение аргумента Ах часто обозначают через dx, и приходим к известной формуле dy = /' (xQ) dx. При этом подчеркиваем, что обозначение dx для приращения величины Ах допустимо только в том случае, когда х является независимой переменной, а не функцией.
Введя понятие дифференциала, возвращаемся к задаче приближенного вычисления значений функций. При этом остается открытым вопрос об оценке точности вычислений. Снова приходится ссылаться на то, что, так как при dx-* 0 дифференциал функции отличается от приращения функции На величину бесконечно малую высшего Порядка, чем dxy то при малых значениях dx можно заменить прираЩеййе функции дифференциалом, т. е. считать, »1то Ay ^ dy. Мы не уточняем, какие же значения dx можиь считать малыми, а просто Иллюстрируем применение дифференциала на примерах. (Здесь дело обстойт примерно так, как при ознакомлении учащихся с приближенными вычислениями без строгого учета погрешностей.)
Приведем некоторые примеры приближенных вычислений с помощью дифференциала, которые проводились на уроках.
18
1) Вычислить V 1,08.
18 _
Рассматриваем функцию у = f (х) = у^х.
х0 = 1; f(x о) = 1; dx = 0,08; у = f (х0) 4- Д у; А у ^ dy; у ^ f(xo) + dy. Задача сводится к вычислению dy.
dy = /' (х0) dx; /' (х) — ; *o в i;
Y x17
1 0,08 /' (*o) = lg“; dy = -Jg- ж 0,004.
18
Итак, /*1,08 « / (хь) + dy ж 1 + 0,004 - 1,004.
2) У = f(x) = х3 + 4*2 — 3. Вычислить приближенно
f(1,02).
Имеем л;0=1; f(x0)—2; dx = 0,02; y^f(x0)+dy.
Г (x) - Зх2 + 8х; /' (*•) - /' (1) = 11; dy «= /' (*e) dx - 11 -0,02 - 0,22;
f (1,02) « f(xо) + dy = 2 + 0,22 = 2,22.
Ответ. f(l,02) «2,22. 3) Вычислить без помощи таблиц tg 44°51'. у = f(x) = tgx\ х0 = ~; / (xQ) = 1;
f ^ = cos2 л: ’ ^ = 2; dx “ ““W‘180 ***
^ — 0,0026; dy*= f' (x0)-dXtt2-(—0,0026) 0,0052
У « / (*t) + dy - 1 — 0,0052 - 0*9948.
Ответ, tg 44°5Г ^ 0,9948.
Если учащиеся знают теорему Лагранжа 2, то можно дать им представление об оценке точности результата. Это можно сделать, например, следующим образом.
Нам нужно оценить величину | Ду — ^у| = |Ду — —/' (xQ)-dx\.
Имеем Ду = / (*<> + dx) — / С*0)- Если функция / (х) име^т производную на сегменте [■*о; Хо Н“ dx]3 (и, значит, непрерывна на этом сегменте), то, применяя теорему Лагранжа, получим
Ду = / (-*0 + dx) — f (х0) = /' (c)-dx,
где с — некоторая точка, принадлежащая интервалу (л'о; •*<> + dx).
Д;У —/' (x0)-dx = f' (c)*dx — /' (xQ)-dx *=
= lf'(c)-f'(x0)]dx.
Если функция / (jc) имеет на сегменте [лг0; х0 + dх], а значит, и на сегменте [лг0; с] вторую производную, то это означает, что функция /' (х) имеет производную на сегменте [х0, с] и к этой функции тоже можно применить теорему Лагранжа: /' (с) — /' (;с0) *= = f" (ci) (с — jc0), где Cj принадлежит интервалу (х0; с). Окончательно
Ду — /' (x0)*dx = f" (с,) (с — xQ)-dx,
откуда | Ду — /' (x0)-dx | = | /" (ct) (с — x0)-dx |, а так как ]с — -xb\<\dx\, то | Ду — /' (x0)-dx \ < <\f”{cx)\-\dx |2.
Если вторая производная функции f (х) ограничена на рассматриваемом сегменте [х0; х0 + dx], т. е. |/"(*)1<М, то \Ay — f'(x9)-dx\ < М (dx)2.
Применим этот вывод к некоторым из рассмотренных примеров.
18 18 _
При вычислении Y 1,08 речь идет о функции Yх. Здесь х0 = 1; dx = 0,08. Дадим оценку точности для всех значений dx, удовлетворяющих условию 0<й?л:<0,1, т. е. для сегмента [1; 1.1] •/'(•*)=*
1 17
= 18 ’ f" (Х) = — 18 •
18 /*17 182/д:*5
18 yj |
Так как х > 1, то Yхгь > 1; | f" (х) | < ^ < -jg-; 1
| Ду — /' (л:0) dx | < -уд- (dx)2, и при | dx \ < 0,1 имеем
I ДУ-Г (*о) dx | < -0,01 < 0,001,
так что можно утверждать, что полученный выше 18
результат V 1,4)8^1,004 верен с точностью до 0,001.
8 Теорема Лагранжа. Если функция /(х) непрерывна на сегменте [а\ b] и имеет производную на интервале (а\ Ь), то существует такая точка с, при- , - f(b)-f(a)
надлежащая интервалу (а; b), что г (с) = —ь^а—•
3 Если dx < 0, то вместо [х0\ х0 + dx:], (х0\ х0 + + dx), [х0\ с], (х0; с) рассматриваются соответственно 4- dx\ х0], (х0 + dx\ х0), [с; дг0], (с; л:0). В остальном все рассуждения остаются без изменений.


Вычислить sin 60°2'.
те
у = /(x)==sinx; х0 = "з 2 те
dx
V’ 3
/(*•)-—» °'8660-
2 те
•t™«0,0006 (округлено по избытку).
60 180'
/' (л) = cos /' {х0) = /' (-g~) = 0,5;
dy = f'(x0)-dx «0,5-0,0006 = 0,0003;
/ (лг)« / (дг0) + dy = 0,8660 -f 0,0003 = 0,8663.
Ответ, sin 60°2' ^0,8663.
Оценим точность указанным выше способом.
/' (л:) = cos х\ f" (х) = — sin л:; | /" (лг) | < 1;
I Ay — /' (x0)-dx | < (dx)2. dx < 0,0006;
| ду _ f' (Xo).dx | < 0,00000036.
Ошибка при вычислениях меньше, чем 0,000001. Все полученные цифры результата верные.
Чтобы каждый раз не применять дифференциал для приближенных вычислений, удобно получить с помощью дифференциала для некоторых функций приближенные формулы для малых значений х. Нами, например, были выведены на уроках следующие формулы (см.: В. М. Б р а д и с, Четырехзначные математические таблицы, 1966, стр. 81):
(1 +*)2«1 -Ь2дг;
(1 + х)* « 1 + Здг:
1
1+х
/г+т*
»1 —х,
1
; 1 + т х>
/1 + .
sin х *
cos х; tgxi
I + -
t x;
' l;
X.
x;
В качестве иллюстрации приведем вывод приближенной формулы Y+”x ~ * — х*
Имеем
f <■*> “ Т J~r; * 0; / С*о) * 1; x — xi + dx — dx
1
(1+X)*'
Г (*•)
1
dy - f'ip.ydx* Итак,
— x; f(x)^f(x0) -{- dy =* 1 •
! 1 — X.
-X.
Рассмотрим чертежи 1 и 2. M0T—касательная в точке М0 графика функции; М0 (х0, / (jt0)); L0L = dx,
NM = Ay; a — угол касательной с положитель¬
ным направлением оси абсцисс.
NK
■щд = tg a = /' (*,); JVAT = Af0AMg a;
M0W = L0L = d*
и, таким образом,
a = /' (jtr0)-rfx = я?у.
rfy изображается отрезком NK, г. e. представляет собой приращение ординаты касательной к графику
1 + *
Интересно познакомить учащихся с геометрической иллюстрацией понятия дифференциала, тем более что она позволяет более наглядно представить себе, что замена приращения функции дифференциалом возможна юлько при достаточно малых значениях приращения аргумента.
Так как учащиеся умеют изображать на графике функции приращение аргумента и приращение функции и знают геометрическое истолкование понятия производной, дать им геометрическую иллюстрацию понятия дифференциала не представляет большого ?руда.
Черт. 1
Черт. 2
функции, проведенной в точке М0, при переходе от значения аргумента х0 к значению аргумента х0 + dx NM ~ Ду, KAi Ду — dy (на черт. 2 МК dy — Ду)‘
6 а


Из чертежа легко видеть, что только при достаточно малых dx можно считать Ay^dy; при увеличении dx разность А у— dy может быть весьма значительной по абсолютной величине.
Мы знакомим учащихся также с механическим истолкованием дифференциала. Если S = S (t) — закон прямолинейного движения, то v0 = S'(t) — мгновенная скорость в момент времени t0 и dS = S' {t0)dt есть путь, который прешло бы движущееся тело за промежуток времени dt, начинающийся с момента t0, если бы оно двигалось равномерно с той скоростью, какую имело в момент времени t0. Таким образом, переход к дифференциалу означает здесь замену данного движения (вообще говоря неравномерного) равномерным для достаточно малого промежутка времени dt.
В заключение рассматривается применение понятия дифференциала к оценке погрешностей. Используя понятие дифференциала, можно вывести формулу, позволяющую по известной абсолютной погрешности измерения найти абсолютную и относительную погрешности при вычислении некоторой величины, которую нельзя измерить непосредственно.
Вначале рассматриваем конкретный пример. Решается, например, следующая задача.
Известно, что площадь круга вычисляется по формуле 5 = тег2. При измерении радиус г оказался равным 5,2 см, причем максимальная возможная при этом погрешность измерения находится в пределах i0,05 см. Определить абсолютную и относительную погрешности, допускаемые при вычислении площади круга по указанной формуле.
Измеренное значение радиуса г0 = 5,2 см. Истинное значение г нам неизвестно, но —0,05 < Дг < 0,05, зйачит, абсолютная погрешность Sr = 0,05 см, т. е.
| Дг К Ьг = 0,05 см.
S0 — приближенное значение площади круга, полученное при вычислении ее при г0 = 5,2 см; S0 ~ ъг\.
5 — истинное значение площади круга; AS ** S — S0. При малой погрешности измерения радиуса получаем AS^dS = S' {r0)-Ar.
|AS|«|S'(r0)|-|Ar|<|S' (r0)|.br;
S' (r) = 2Tir; S' (r0) = 2nr0.
Поэтому можно считать, что
= \S' (г0)\-Ьг = 2пг0-Ьгж ".*-5,2.0,05^ 1,63 (см2).
Итак, &S^1,63 см2. Относительная погрешность
2тег0*Вг
Получился интересный результат: относительная
погрешность при вычислении площади круга вдвое больше относительной погрешности, полученной при измерении его радиуса. В нашем случае Ьг 0,05 . SS
5,2
•и
'2%.
Выведем в общем виде формулу для оценки погрешности при вычислении величины, которая не измеряется непосредственно.
Пусть дана функция у = / (л:), а х0 — значение величины лг, полученное в результате ее измерения (приближенный результат измерения). Обозначим через х0 + dx истинное значение величины х. Тогда | dx | < •<&*, где Ьх — абсолютная погрешность измерения. Пусть | Ду | — абсолютная величина разности между истинным и полученным значениями величины у. Найдем Ьу — абсолютную погрешность при вычислении у. При малых dx можно считать, что | Ду |«[ dу |.
При этом \dy | = | /' (х0) |*|Д*| < | /' (х0) |*5x. Таким образом, абсолютная погрешность при вычислении у, т. е. Ьу = |/' (х0) \-Ьх.
Приведем некоторые из задам, решавшихся на уроках.
1) Сила тока / определяется по тангенс-гальванометру из формулы / = ctg ср. Пусть 7 — абсолютная погрешность, допущенная при отсчете угла ср. Найти абсолютную и относительную погрешности при определении /.
Решение. Ы = | /' | • &<р,
6<р = 7; /' «= (ctg <р)' * 1
1
1L
I
sin2 ср’ 7
27
sin2 I * sin2 <р ’ / /-sin2<p sin 2<f *
2) С какой относительной погрешностью допустимо измерить диаметр шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до одного процента?
TtD3
Решение. V =
По условию задачи относительная погрешность полученного значения У составляет 1%. Это означает, ЬУ
что -у- = 0,01, где bV — абсолютная погрешность при нахождении объема.
Требуется найти допустимую относительную погрешность при измерении диаметра шара. Воспользуемся формулой
| V'\-bD.
tiD2 %D2
V' s=-ir-.6K = -7r-.BD.
Получаем
или
Отсюда
ЬР
D
ЬУ У "
ЬУ
У
_1_
3 ’
tzD2-6 2TtD9 'bDi
_3i»
"" 6' D ‘
ЬУ
У
0,01
10,003
Допустимая относительная погрешность измерения диаметра шара 0,3%.
В конце изучения темы «Дифференциал» дается обычно небольшая самостоятельная работа на применение дифференциала к приближенным вычислениям и к оценке погрешностей.
В заключение приведем примерный план изучения рассматриваемой темы.
1. Примеры приближенных вычислений, приводящих к постановке задачи замены приращения функции величиной, пропорциональной приращению аргумента. Определение бесконечно малой величины. Сравнение бесконечно малых величин. Определение дифференциала— 2 часа.
2. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Выражение дифференциала через производную. Примеры применения понятия дифференциала к приближенным вычислениям — 1 час.
3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Вывод приближенных формул для вычисления значений некоторых функций — 1—2 часа.
4. Геометрическое и механическое истолкование дифференциала — 1 час.
5. Применение дифференциала к оценке погрешностей. Решение задач — 2 часа.
64


ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Л. М. ПАШКОВА
(Москва)
Четвертая Всесоюзная математическая олимпиада 1970г.
С 23 по 29 апреля в г. Симферополе был проведен заключительный тур Четвертой Всесоюзной математической олимпиады школьников. Этому знаменательному событию в жизни юных математиков предшествовала большая подготовительная работа в школах, кружках, математических обществах, на факультативных заниятиях.
В декабре 1969/70 учебного года были проведены внутришкольные соревнования среди учащихся V—X классов; победители I тура приняли участие во II туре, т. е. в районных и городских олимпиадах. Эти сорев- новоания были самыми многочисленными, они охватили миллионы учащихся V—X классов, среди которых более 60% учащиеся сельских школ. Около .22 тысяч победителей II тура олимпиады стали участниками областных, краевых, республиканских (без областного деления) олимпиад, т. е. III тура Всесоюзной олимпиады, среди них половина — учащиеся сельских школ.
Центральное жюри олимпиады подготовило задачи для областных олимпиад, которые были разосланы на места к сроку проведения III тура олимпиады, указанного в «Положении» о Всесоюзной олимпиаде школьников. Представители центрального оргкомитета приняли участие в проведении областных, краевых, республиканских олимпиад.
На заключительный тур Всесоюзной математической олимпиады прибыло 156 команд с 645 лучшми юными математиками страны, учащимися VIII—X классов, занявшими призовые места на предыдущих соревнованиях. Это были представители областей, автономных и союзных республик, краев, крупнейших городов, физико-математических школ-ингериатов Московского, Ленинградского, Новосибирского, Тбилисского, Ереванского и Киевского университетов, школ Министерства путей сообщения и прошлогодние победители III Всесоюзной олимпиады, занявшие I и II места.
Впервые на заключительном туре Всесоюзной физико-химической и математической олимпиады приняла участие команда школ Главного политического управления Армии и Флота.
В числе участников заключительного тура — 578 членов ВЛКСМ, 77 девушек, 84 ученика из сельской местности.
По-весеннему нарядный' Крым тепло и гостеприимно встретил гостей. 24 апреля были проведены письменные работы для VIII—IX классов, каждая из которых
состояла из пяти задач. Десятиклассники писали работы два дня: 24 и 25 апреля (по 4 задачи в день). Во второй день вместе с десятиклассниками сели за парты все желающие из VIII—IX классов, что явилось пробой сил, но никак не отразилось на присуждении мест победителям.
24 апреля представители всех союзных республик торжественно возложили цветы к памятнику В. И. Ленину на центральной площади г. Симферополя.
За время пребывания в Симферополе участники олимпиады совершили экскурсии по городу, побывали в Крымском областном Дворце пионеров и школьников, где встретились с членами малой академии наук Крыма «Искатель». Совершили увлекательные экскурсии в город-герой Севастополь, Артек, Никитский ботанический сад, прослушали лекцию академика
А. 	Н. Колмогорова «О развитии математических способностей». Была организована встреча участников олимпиады с членами жюри, которые провели разбор предложенных на олимпиаде задач.
Жюри, возглавляемое академиком А. Н. Колмогоровым, провело тщательную проверку работ участников олимпиады. По зашифрованным работам определялись победители и присуждались места, после чего авторы работ расшифровывались. После основного распределения мест была предусмотрена возможность обсудить в непринужденной обстановке с каждым школьником его работу, выяснить спорные моменты между членами жюри и автором работы.
Несмотря на сложность предложенных на олимпиаде задач, многие учащиеся справились с ними успешно. Из 257 учащихся десятых классов верно решили задачу № 1 43 человека, № 2 — 33 человека, № 3 — 21 человек, № 4— 40 человек, № 5—18 человек, № 6 — 13 человек, № 7 —14 человек, № 8 не решил никто.
Из 214 учащихся девятых классов задачу № 1 решил 51 человек, № 2 — 22 человека, № 3—18 человек, № 4 — 13 человек, № 5 — 3 человека.
Из 174 учащихся восьмых классов задачу № 1 решили 98 человек, № 2 — 38 человек, № 3 — 23 человека, № 4 — 59 человек, № 5 — 12 человек.
По X классу I место жюри присуждало тем участникам, которые решили не менее семи задач, II место— решившим не менее четырех задач, III место — не менее трех задач. Похвальный отзыв I степени присуждался участникам, решившим не менее двух задач, похвальный отзыв II степени — за решение одной-двух задач.
По IX классу I место присуждалось участникам, решившим не менее четырех задач, II место — решившим не менее трех задач, III место — не менее двух задач. Похвальный отзыв I степени выдавался за решение двух задач, похвальный отзыв II степени — решившим одну-две задачи.
По VIII классу I место заняли участники, решившие пять задач, II место — те, кто решил не менее четырех задач, III место — решившие не менее трех задач. Похвальный отзыв I степени присуждали за решение не менее двух задач, похвальный отзыв II степени — за оригинальное решение одной-двух задач.
Приводим таблицу призовых мест (см. стр. 66).
Все победители были награждены грамотами, книгами, призами. Для награждения победителей олимпиады Министерство просвещения СССР, Всесоюзное общество «Знание», Симферопольский ГК КПУ, Крымский обком комсомола, Крымский педагогический институт имени М. В. Фрунзе, Крымская астрофизическая обсерватория, газета «Крымский комсомолец», Крымская малая академия наук «Искатель» учредили специальные призы: фотоаппараты, транзисторы, радионаборы, наборы грампластинок с записью лекций ведущих ученых, путевки в лагерь при малой академии наук Кры-
3 Математика в школе № 5
65


Класс
I
место
н
место
Ш
место
Отзыв i степени
Отзыв II степени
Всего
X
2
7
11
29
47
96
IX
2
6
11
15
38
72
VIII
3
15
14
28
17
77
Всего
7
28
36
72
102
245
ма. Кроме того, учащиеся десятых классов, занявшие I, II, III места, получили рекомендации в высшие учебные заведения соответствующего профиля. Лучшие из лучших защищали честь Советского Союза на Международной математической олимпиаде, которая состоялась в Венгрии в июле этого года.
Приводим список победителей олимпиады.
I место
X класс
Климов Аркадий — физико-математическая школа- интернат № 18 Москвы (учитель О. В. Титов); бывший ученик школы № 5 г. Арзамаса; Ходулев Андрей — физико-математическая школа-интернат № 18 Москвы (учитель А. А. Шершевский), бывший ученик школы г.” Калинина.
IX класс
Александров Алексей — физико-математическая школа-интернат № 45 Ленинграда (учитель Ю. Я. Ионин); Логачев Дмитрий — школа № 2 Москвы (учитель
3. 	М. Фотиева).
VIII класс
Коган Андрей — школа № 55 г. Пензы (учитель
М. А. Здоровьева); Колмаков Юрий — школа № 1 г. Рассказова Тамбовской обл. (учитель Г. А. Винокурова); Куксин Сергей — школа № 22 г, Харькова (учитель А. П. Сипайко)9
II место
X класс
Алтлейс Белло — Ньюсская средняя школа г. Тарту (учитель О ее Карц); Бабичев Андрей — школа № 30 Ленинграда (учитель Я. Я. Веребейчик); Григорчук Ростислав — школа № 23 г. Черновцы (учитель
В. 	Д. Аксельрод); Карлюков Александр — физико-математическая школа-интернат № 18 Москвы (учитель
А. 	А. Егоров), бывший ученик школы г. Гродно; Липецкий Александр — школа № 27 г. Харькова (учитель
А. 	В. Сталин); Семеньков Сергей — физико-математическая школа-интернат № 45 Ленинграда (учитель
Я. Я. Веребейчик); Шмундак Александр — школа № 27 г. Харькова (учитель А. В. Столик).
IX класс
Григорьев Дмитрий — физико-математическая школа- интернат № 45 Ленинграда (учитель К. А. Муранова); Козлов Владимир — физико-математическая школа-интернат Ns 45 Ленинграда (учитель Ю. И. Ионин); Переяславский Виталий — школа № 17 г. Николаева (учитель А. М. Шишинская); Рабин Игорь--школа № 145 г. Киева (учитель Я. Г. Габович); Сафронов Александр— школа JNfe 47 г. Оренбурга (учитель В. А. Мо- залев); Шайкевич Анатолий — школа № 80 г. Днепропетровска (учитель Д. М. Нузман).
66
УГП класс
Ахулков Сергей — школа № 7 г. Смоленска (учитель
В. 	Н. Ольшевская); Бурков Владимир — школа № 25 г. Владимира (учитель Л. Г. Маринина); Веселов Александр — средняя школа Удомельского района Калининской обл. (учитель Л. А. Кудряшева); Гольдберг Андрей—школа № 2 Москвы (учитель П. Р. Кантор); Гриценко Валерий — физико-математическая школа-интернат № 45 Ленинграда (учитель Г. В. Беркович); Дерябин Николай — школа № 1 г. В.-Уфалей Челябинской обл. (учитель Н. Т. Конюхова); Зельманов Ефим — школа № 22 г. Новосибирска (учитель Я. А. Клевакина); Изосимова Татьяна — школа № 5 г. Астрахани (учитель Г. Г. Баранова); Матвеев Евгений— школа № 91 Москвы (учитель 77. М. Блехер); Пронин Валерий — школа № 107 г. Одессы (учитель Л. К Дозарец); Соколинский Владимир — школа № 3 Белгорода (учитель М. Ф. Трушковская); Ушаков Владимир— школа № 31 г. Челябинска (учитель В. К. Логинов); Шварц Владимир — физико-математическая школа-интернат № 45 Ленинграда (учитель А. Л. Сус- лин); Шкляр Игорь — физико-математическая школа № 45 Ленинграда (учитель А. Я. Плоткин); Штивель- ман Юрий — школа № 27 г. Орджоникидзе (учитель «/7. В. Шарафьян).
Ill место
X класс
Кабанов Владимир — школа № 9 г. Н. Тагила (учитель Б. С. Гельруд); Карташов Николай — физико-математическая школа-интернат г. Киева (учитель Л. М. Савченко), бывший ученик школы г. Очакова Николаевской обл.; Копылов Павел — школа № 58 г. Воронежа (учитель Д. Б, Сморгонский); Корякин Владимир — физико-математическая школа-интернат г. Киева (учитель В. Ф. Криволапое), бывший ученик школы г. Краматорска Донецкой обл.; Литовченко Ген- надий — школа № 3 г. Олевский Житомирской обл. (учитель Э. С. Карчева); Михалевский Сергей — школа № 52 г. Львова (учитель Е. Я. Звонко); Овсиенко Сергей — физико-математическая школа-интернат г. Киева (учитель В. А. Выщекский); Ровенский Владимир — школа № 63 г. Караганды (учитель Б. Г. Шегай); Столин Александр — школа № 27 г. Харькова /учитель
A. В. Столин); Тульчий Валерий — школа № 22 г. Николаева (учитель Л. А. Наймарк); Тураев-Володарский Владимир —> физико- математическая школа-интернат № 45 Ленинграда (учитель ТО. Я. Ионин).
IX класс
Аникин Сергей — школа № 1 г. Владимира (учитель Л« Я. Никитин); Гашкое Сергей — физико-математиче- ская школа-интернат № 18 Москвы (учитель В. Б. Алексеев), бывший ученик школы г. Горького; Дейфт Г ен- надий — школа № 1 г. Котовска Тамбовской обл. (учитель Я. Я. Козлова); Ерохин Василий — школа № 30 Ленинграда (учитель Я. Я. Веребейчик); Изюмин
Игорь — школа № 14 г. Севастополя (учитель
B. Н. Галигузова); Карпенко Георгий — школа № 1 г. Жданов Донецкой обл. (учитель М, А. Дукачева); Ляшко Олег — школа № 27 г. Харькова (учитель
Ф, Л, Вайнштейн); Погорелое Дмитрий — школа № 37 г. Костромы (учитель Л. Л. Дмитриева); Полищук
Алексей — средняя школа с. Корытня Черкасской обл. (учитель А. В. Матюковская); Романов Александр — школа № 40 г. Симферополя (учитель Л. П. Тиняков); Рубин Александр — средняя школа с. Уладовка Винницкой обл. (учитель Б. Я. Дворницкий).
VIII класс
Арсеньев Николай — школа № 4 г. Рязани (учитель М. Ф. Холопова); Баум Михаил — школа № 40 г. Симферополя (учитель Д. Ю. Елесичева); Белкин Сер¬


гей — школа № 556 Москвы (учитель В. В. Баценко); Дыйканов Таалайбек— школа № 61 г. Фрунзе (учитель Э. К• Фризен); Корниенко Николай — школа № 87 г. Минска (учитель В. С. Бычинская); Котов Владимир — школа № 3 г. Вилейки Минской обл. (учитель
Н. 	Т. Балан); Курочкин Сергей — школа № 2 Москвы (учитель Я. Р. Кантор); Ландо Сергей — школа № 7 г. Перми (учитель А. И. Соболева); Лузгин Владимир— школа № 2 г. Георгиевска Ставропольского края (учитель Е. С. Белова); Меркурьев Александр — школа № 64 Ленинграда (учитель Л. Л. Кудинова); Репниц- кий Владимир — школа № 68 г. Свердловска (учитель А. Т. Зуева); Соколовский Николай — школа № 5 г. Ровно (учитель Е. Ф. Крыжановский); Суслов Игорь — школа № 148 г. Горького (учитель Л. А. Попова); Шаповалов Александр — средняя школа имени Фурманова с. Чемолган Алма-Атинской обл. (учитель Н, С. Бабина).
Заключительный тур Четвертой Всесоюзной математической олимпиады прошел, по мнению руководителей команд, членов жюри, большинства участников, организованно. Большая заслуга в этом принадлежит местному оргкомитету, который провел большую подготовительную работу. Это прежде всего руководители
Крымского областного отдела народного образования Ф. £. Штыкало, В. С. Пазинич, инспектора Крымского облоно В. А. Валендер, Л. Д. Ярич, А. К. Снитко и другие, методист Крымского областного института усовершенствования учителей Г. Л. Лысенко, декан физико-математического факультета Крымского педагогического института имени М. В. Фрунзе Р. Г. Бадальян.
Хорошо справились с составлением задач и проверкой работ члены жюри Н. Б. Васильев, М. И. Серов,
А. 	П. Савин, Ю. И. Ионин и другие товарищи из Московского, Ленинградского, Новосибирского, Ереванского, Тбилисского университетов и других высших учебных заведений страны. Активное участие в работе жюри приняли местные учителя А. П. Тиняков и Ф. А. Бартенев. Много заботы и внимания проявили к участникам олимпиады директора школ-интернатов № 1 и 2 г. Симферополя Е. И. Киберев и И. Ф. Усенко.
Приятно отметить, что призовые места заняли учащиеся не только университетских городов, но и других городов, поселков и сел Союза. Это результат повышения качества работы учителей, введения факультативных курсов, работы школьных математических обществ, кружков, расширения поля деятельности Заочной математической школы.
Н. 	Б. ВАСИЛЬЕВ
(Москва)
Решение задач, предлагавшихся на заключительном туре Всесоюзной математической олимпиады 1970 г.
В VIII и IX классах было предложено по 5 задач (на 5 часов), в выпускном классе — 8 задач (2 дня по 5 часов на 4 задачи). Ниже после условия задачи указано, кто ее автор (или кто из членов жюри предложил эту задачу), в какой параллели она предлагалась,
сколько участников ее решило. (Система «Ч чистое
решение, ± — решение с легко исправимыми недочетами, — указана основная идея решения» стала уже привычной при оценке работ и на олимпиадах, и на приемных экзаменах в вузах; разумеется, такие нюансы, как «большой плюс с маленьким минусом» или «минус с точкой», при подведении статистики не отражены.)
1. 	Дана окружность, ее диаметр АВ и точка С на этом диаметре. Построить на окружности две точки X и У, симметричные относительно диаметра АВ, для которых прямая YC перпендикулярна прямой ХА (VIII кл., +92, ±6, =F4).
Это самая легкая задача. Можно разными способами доказать, что точки X и У обладают нужным свойством тогда и только тогда, когда отрезок ХУ пересекает отрезок ВС в его середине К (при этом равны прямоугольные треугольники СКУ и ВКХ)0
2. Доказать, что если произведение трех положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1 (VIII кл., + 35, ± 3, 10).
Действительно, пусть эти числа —х, у и 1 ]ху. Тогда неравенство
X + у + \[ху > \/х + \/у + ху легко преобразуется в гакое
(*-l)(if-l)(l/*0 -1) >0.
.Остальное ясно (выражения во всех трех скобках не могут быть положительными).
Многие участники при решении этой задачи выбрали более длинный путь, на котором требуется перебирать несколько частных случаев и нетрудно запутаться.
3. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали? (Г. Гальперин; VIII кл., +18, ±8, ^ЗО).
Ответ: не более двух. Пример, когда таких сторон две, показан на черт. 1 (то, что их может быть одна или ни Одной, очевидно).
Предположим, что таких сторон больке двух. Тогда из них можно выбрать две — АВ и CD, не имеющие общих вершин (если каждые две из трех сторон имеют общую вершину, то эти три стороны образуют треугольник; но в нашем многоугольнике есть диагонали, поэтому он — не треугольник). Теперь уже нетрудно прийти к противоречию, например, так. Сумма пересекающихся в точке К диагоналей АС и BD много- уюльника больше АВ + CD, поскольку АК -Ь КВ > АВ и СК + KD > CD (черт. 2), поэтому обе стороны АВ и CD не могут равняться наибольшей диагонали.
4. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записываются в обратном порядке. Полученное число складывается с первоначальным. Доказать, что хотя бы одна цифра их суммы будет четной (Г. Гальперин; VIII кл., + 47, ± 12, =F 16).
Напишем эти два числа одно под другим и будем складывать их столбиком. Предположим, что все цифры суммы нечетные. В частности, су*мма цифр последнего, а значит, и первого столбика нечетна. Поэтому при сложении из второго столбика единица не переходит в следующий разряд, т. е, сумма цифр во втором,
67


Черт. I
Черт. 2
а
Черт. 4
5
а значит, и в предпоследнем столбике меньше 10. Более того, из предпоследнего столбика единица тоже не может перейти в следующий разряд (вариант, когда сумма цифр в последнем столбике больше 10, а предпоследнем — 9, невозможен, гак как при этом предпоследняя цифра суммы — нуль). Откинув теперь справа и слева по паре столбиков и повторяя аналогичные рассуждения для новых чисел с 13, затем с 9 и 5 цифрами, мы докажем, что в средний разряд не переходит справа единица, поэтому средняя цифра должна быть четной. (То же рассуждение годится и для чисел с N = 4k + 1 цифрами, где k — любое натуральное число; нетрудно показать, что для остальных N утверждение задачи неверно). Нужно сказать, что a priori жюри считало эту задачу более трудной; приведенное выше довольно хитрое рассуждение (или близкое к нему) является, однако, очень естественным — другого пути нет,— этим, по-видимому, и объясняется тот факт, что решение нашли многие участники.
5. 	Каждая сторона правильного треугольника разбита на k равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбился на k2 маленьких треугольничков. Назовем цепочкой последовательность треугольников, в которой ни один треугольничек не появляется дваж- ды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Доказать, что в каоюдой цепочке не более чем № — А-М треугольников (М. Серов; VIII кл., + 12, ±0. =F2; IX кл., +17, ±7, =F4; X кл., +19, ±3, =F7. В VIII кл. задача предлагалась для конкретного 6=10, в X — в несколько усложненной формулировке: требовалось выяснить, какое наибольшее число треугольничков может быть в цепочке).
Заметим, что если раскрасить треугольник в шахматном порядке так, как показано на черт. 3, то из k2 маленьких треугольничков черных на k больше, чем белых (в каждом ромбике, показанном рядом на чертеже, один белый и один черный и внизу остается k «лишних» черных), т. е. черных 7г (#* + &), а белых 1/2(& — k). В цепочке цвета чередуются, значит, черных треугольничков в цепочке не более 7г(£2 — &) •+• 1, а всего треугольничков в цепочке не более i/2(fe2__ k)-\- 7г(^2 — &)+ * — Примеры, когда
Черт. 3
число треугольничков именно такое, построить нетрудно,— годятся и «змейка», и «спираль» (черт. 4,а, б), возможны и другие примеры.
Очень многие из решавших эту задачу в старших классах пошли по ложному пути. Пытаясь доказать утверждение задачи по индукции, примерно так. «если прибавить к треугольнику, разбитому на k2 маленьких треугольничков, еще один слой из 2k + 1 треугольников, то среди них в цепочку могут войти не более, чем 2k, ...»— они либо не учитывали, что часть цепочки, лежащая в верхних слоях, вовсе не обязана быть снова целой цепочкой; либо пытались обойти эту возможность, заявив, что «очевидно, самой выгодной цепочкой будет такая (приводится чертеж 4, а или 4,6)...». Эти и даже более изощренные попытки воспользоваться индукцией не имели успеха.
6. Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Доказать, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный (М. Серов; IX кл., +48, ±3, 4=8).
Эта задача была наиболее простой в IX классе, но, как и для задачи 2 VIII класса, многие из предложенных решений были далеки от оптимального.
Пусть a^b^c^d^e — длины отрезков. Тогда если предположить, что все треугольники не остроугольные, то
с7 ^ Ь2 + а'\ d2^c2 + Ь2, е2 ^ d2 + с2.
Сложив эти неравенства, получим
е2 ^ с2 +2 b2 + a2^zb2 + 2ab + а2={а + Ь)\
откуда е ^ а + Ь, т. е. из отрезков а, Ь, е нельзя построить треугольник.
7. Из цифр 1 и 2 составили пять п-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Доказать, что
2 m 3
~Е~
(Ю. Ионин; IX кл., +12, ±1, =F4; X кл., +34,
±6, =F8).
Рассмотрим всевозможные пары цифр, стоящих в разных числах в одном разряде (удобно представить себе, что числа выписаны одно под другим). В каждом разряде 10 таких (неупорядоченных) пар, а всего их Юл. Сколько среди них может быть пар, состоящих из разных цифр (т. е. пар (1, 2))? В каждом разряде таких пар или 4, или 6, значит, всего их не менее 4п и не более б п. С другой стороны, сравнивая поразрядно два числа, мы получим ровно m пар (1, 2), т. е., сразнив все 10 пар чисел, получим ровно 10т пар (1, 2). Итак, нужные неравенства получены: 4п ^ Ют ^ 6л.
68


При другом, более длинном и более «горизонтальном»
(в отличие от нашего «вертикального») подходе к решению доказательство каждого из двух неравенств становится отдельной весьма непростой задачей,— и многим, кто пошел по такому пути, удалось доказать только одно из двух неравенств (этим во многом объясняется колтество оценок dt и +),—-но зато попутно обнаруживаются дополнительно интересные закономерности: в скольких разрядах должны совпадать три из заданных чисел и т. п.
8. В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана ВМ и высота СН пересекаются в одной точке. Доказать, что угол ВАС больше 45° (Г. Гальперин; IX кл., +18, ±5, -F5).
Пусть ZВАС < 45°, тогда Z.ACH > 45°, ZBCH < 45°, Z СВ А >45°, ВС<АС, следовательно, медиана СР лежит внутри треугольника АСН и пересекается с медианой ВМ в точке К, принадлежащей отрезку ОМ (О — точка пересечения ВМ, AD и СН). Отсюда, поскольку РК/КС — V2, нетрудно вывести, что НО/ОС < !/2 и (по свойству биссектрисы АО) АН/АС < V2» поэтому ZАСН < 30°, Получено противоречие.
Можно порекомендовать любителям геометрии более детально разобраться в этой задаче, обобщить ее условие и уточнить оценку (45° можно заменить большим числом); начать полезно с того, чтобы научиться строить такой треугольник по заданным стороне АВ и углу А.
9. Доказать, что из любых 200 целых чисел можно выбрать 100 чисел, сумма которых делится на 100 (Ю. Ионин; IX кл., +1, ±2, =F2).
Не следует думать, что эта задача решается примерно так же, как хорошо известная: «Доказать, что из п целых чисел можно выбрать несколько так, чтобы их сумма делилась на дг»,— простым применением принципа Дирихле. Тут дело намного сложнее. Все известные нам решения задачи варьируют следующее основное соображение.
Из 200 (и даже из 199) чисел можно последовательно, одну за другой выбрать 99 пар чисел одинаковой четности (такую пару можно выбрать из любых трех чисел). Заменим каждую пару чисел одним целым числом — их полусуммой; если из полученных 99 чисел нам удастся выбрать 50, сумма которых делится на 50, то сумма 100 чисел, образующих эти 50 пар, будет делиться на 100. То же соображение применим еще раз: из 99 чисел можно выбрать 49 пар чисел одинаковой четности... Тогда задача сведется к такой: доказать, что из 49 чисел можно выбрать 25, сумма которых делится на 25. Теперь придется объединять числа уже не в пары, а в пятерки. Надо доказать следующую лемму: из 9 чисел можно выбрать 5, сумма которых делится на 5. Мы приведем набросок ее доказательства «перебором» (именно из-за отсутствия полного доказательства этой леммы двое участников получили не +, а ±), но до этого заметим, что осталось применить ее дважды и задача решена: мы сможем выбрать из 49 чисел одну за другой девять пятерок, в каждой из которых среднее арифметическое входящих в нее чисел — целое, и к девяти полученным средним арифметическим применить ту же лемму.
Для доказательства леммы достаточно заметить следующее. Можно ко всем девяти числам прибавлять одно и то же целое число — остаток от деления суммы любых пяти чисел на 5 от этого не изменится. Будем выписывать только остатки от деления этих чисел на 5. Можно считать, что 0 встречается чаще всего — скажем, k раз. Случай k — 2 сводится к такому набору остатков: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, для которого требуемый выбор не представляет труда. Если 3 ^ k ^ 4, то, выбрав из остальных 9 — k чисел несколько (от 2 до 5), сумма которых кратна пяти,— дело сводится к «хорошо известной задаче», о которой говорилось выше,— и до¬
полнив полученный набор нужным количеством нулей, мы получим требуемый набор из пяти чисел. Случай k 5 очевиден.
Одному из членов жюри — студенту ЛГУ А. Суслику— удалось найти красивое (но не совсем элементарное) доказательство более общего факта: из 2п — 1 целых чисел можно выбрать п, сумма которых делится на п (из изложенного решения ясно, что достаточно доказать этот факт для простых п).
10. В треугольнике ABC через середину М стороны ВС и центр О вписанной окружности проведена прямая МО, которая пересекает высоту АН в точке Е. Доказать, что отрезок АЕ равен радиусу вписанной окружности (предложена Г. Фридманом; X кл., +41,
±2, ч=6).
Эта задача вызвала горячие споры на пленарном заседании жюри, проходившем за два дня до олимпиады, где подробно обсуждались и утверждались задачи. Многие считали недопустимым давать задачу, решение которой существенно облегчается, если знать довольно распространенную л е м м у: если Т — точка касания вписанной окружности треугольника ABC и его стороны ВС, ТК — диаметр окружности, F — точка пересечения прямых АК и ВС, то BF — СТ. (Отсюда утверждение задачи следует почти автоматически: FM — МТ, КО = 07\ значит, FK II ОМ и потому О К — АЕ.) Как потом оказалось, это опасение имело определенные основания: примерно треть решавших задачу догадались свести задачу к этой лемме — и среди них нашлись такие, кто лемму доказывать явно не умел. Но большинство, как и предполагали голосовавшие за задачу, нашли «вычислительное» решение — для экономии места мы не будем приводить подобных решений (среди них есть и довольно короткие, но некоторые участники олимпиады не сумели найти рациональный путь и затрачивали на выкладки чуть ли не десять страниц). В общем, эта наиболее простая (судя по статистике) задача X класса была не слишком удачной, хотя и единственной «совсем школьной».
11. Доказать, что для каждого натурального числа К существует бесконечно много натуральных чисел Т, не содержащих нулей в десятичной записи, и таких, что Т и КТ имеют одинаковые суммы цифр (Г. Гальперин; X кл., +27, ±6, 4Р7).
Действительно, если запись К имеет вид
ап
°n-t
...
я,
Оо
и Г-число из т>п девяток,то7и КТ = ЮтК~К =
ап-1
...
а»
°<г?
9
9
...
9
9-ф~ап-,
М
«ч
т цифр
имеют одинаковую сумму цифр: 9т.
Следующие четыре задачи предлагались десятиклассникам на второй день. В решении этих задач могли принять участие и энтузиасты олимпиады из младших классов (но их выступление на «втором туре» никак не учитывалось при подведении итогов — речь шла только о том, чтобы не отказывать желающим потренироваться в решении задач в специфической олимпиадной обстановке).
12. 	Два равных прямоугольника расположены на плоскости так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Доказать, что площадь общей части этих прямоугольников больше половины площади каждого из них (Г. Г а льперин; +13, ±5, =F54).
Достроим треугольнички, отсекаемые первым прямоугольником от второго, до прямоугольников, как показано на черт, 5, а докажем, что образовавшиеся четы-
69


ре треугольника 1, 2, 3, 4 не перекрываются,— отсюда, очевидно, следует утверждение задачи. Большинство из получивших Ч1 догадались «загнуть уголки» нужным образом, но считали очевидным, что они не перекрываются, между Tew это действительно очевидно только для двух соседних треугольников, которые явно отделены друг от друга прямой^ параллельной сторонам (на
99999, как легко проверить, делится на 11111, а сдвиг
числа на Ъп разрядов соответствует добавлению числа, кратного 105™—1, которое, очевидно, делится на 99999 и, следовательно, на 11111.
14. Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше а цифс, разбиты на две группы. В первую группу входят все числа с четной сунмой цифр, во вторую — с нечетной суммой цифр. Доказать, что если 1 ^ k < п, то сумма k-x степеней всех чисел первой группы равна сумме k-x степеней всех чисел втооой группы (предложена А. Розенблюмом; +8, ±2, =F5).
Будем считать, что 0°—1, и введем такие обозначения: А п— множество целых неотрицательных чисел, меньших 10п; Чп и Нп—его подмножества, состоящие из чисел с четной и нечетной суммой цифр соответственно (в каждом из них 5 Ю”-1 элементов). Дока¬
жем по индукции (по /г), что для всех
ak —
/ Черт. 5
черт. 5 такая прямая для треугольников 1 и 2 проведена пунктиром). Доказать, что не пересекаются противоположные треугольники, скажем 1 и 3 — можно, например, так. Пусть гипотенузы этих треугольников лежат на сторонах прямоугольника II, равных а. Тогда, если треугольники имеют общую точку, то проходящая через нее прямая, параллельйая сторонам b прямоугольника I, пересекает стороны прямоугольника II в таких точках Р и Q, что Ъ < PQ ^ b (сравните PQ на черт. 6 со стороной b прямоугольников I и II), что, разумеется, невозможно.
Для п = 1 утверждение очевидно: 5 = 5. Пусть мы уже знаем, что
S Я*
аеч„
■£
«6Я„
для всех 0 Ниже мы воспользуемся тем, что
(х + y)k = xky° + C\xk~ly + ... +
+ Clkxk~lyl + ... + x°yk,
где Clk — некоторые числа, зависящие от k, I (но не от х и у). Имеем (k < п + 1):
2 а* - (10а + *)* + 2 (10а + *>* “
аеч
п+1
а&я
ььч%
а&нп
6€Я,
Черт. 6
Эта задача имеет и еще более короткие решения, идеи которых были предложены участниками, но надо заметить, что мало кому из школьников удалось написать четкое и безукоризненное рассуждение, годящееся для всех случаев расположения прямоугольников.
13. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положили в одну цепочку в произвольном порядке. Доказать, что Получившееся 444445-значное число не мо- оюет быть степенью двойки ( + 13, ±5, =F4).
Разумеется, перзая идея, которая приходит в голову почти всем,—попробовать доказать, что это число делится на 3, подсчитав сумму его цифр. Удивительно, но очень большому числу участников показалось, что они это доказали. На самом деле это число не делится на 3, но делится на 11111 и, следовательно, не является степенью 2. Действительно, сумма чисел от 11111 до
- 10*.5 2 а* + 2 6г).
авАп 1=1 Ь&АХ
Ясно, что такая же формула получится и для суммы по //«+1.
15. Вершины правильного п-угольникй покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Доказать, что среди этих многоугольников найдутся два равных. (Н. Васильев; задачу не решил никто из участников).
Нужно сказать, что эта задача попала на олимпиаду только благодаря тому, что накануне олимпиады член жюри студент ЛГУ А. Лифшиц придумал следующее красивое решение.
Докажем, что если множество {eft|& = 0, 1, ...,
п—1} корней п-п степени из 1 (в области комплексных чисел) разбито на q 2 нелересекающихся подмножеств
Af = {/nlj\l~0, 1 mj— 1},
где J — 1, 2, ..., q, mx < m2 < ... < mq — делители n и — корень степени mj из 1, то тх — /и*.
70


(Чтобы перевести это решение на геометрический язык, достаточно вместо слов «корни п-и степени из 1» говорить «векторы, проведенные из центра в вершины правильного /г-угольника» и вместо «возведем в степень т» — «увеличим углы в т раз»; геометрическое доказательство нужной нам леммы
/1-1
I
k=0
,km .
О, если т = 1,2, ..п — 1, л, если т = п
опирается на то, что сумма векторов инвариантна относительно поворота на угол 2пт/п.) Предположим,
П-1
что тг<^т2. Тогда, с одной стороны, zkmx = О,
А=о
с другой-
п—1 q mj
S 212
Л=0 j=l 1=0
sS 4"' ■
*
Timt
фО.
>=1 /=0
(Все слагаемые, кроме первого, равны нулю.) Полученное противоречие доказывает, что mi = т2.
В целом набор задач, предложенных на олимпиаде, кажется довольно удачным. Наиболее существенным недостатком, пожалуй, следует считать не то, что в IX и в X классах было по одной очень трудной задаче, а скорее то, что в этих классах, по существу, не было ни одной легкой, доступной большинству участников задачи,
ЗАДАЧИ
Задачи для IV—V классов
806. Перед самым выездом кассир Аэрофлота из задачи 731 узнал, что четвертая группа туристов живет в гостинице «Советская», и, кроме того, получил распоряжение из гостиницы «Дружба» сразу ехать в «Минск». Сколькими способами кассир теперь может выбрать порядок объезда гостиниц?
807. На перекрестке А автомобилист разбил стекло левой фары, и теперь ему надо кратчайшим путем попасть в ремонтную мастерскую, не попав при этом на глаза милиционеру М (черт. 1). Сколькими способами он может выбрать маршрут?
808. Двое играют в следующую игру: не видя номера приближающейся автомашины, первый «берет себе» две любые цифры номера (например, первую и третью или первую и четвертую); второй «берет себе» оставшиеся цифры. Когда номер становится известным, оба играющих складывают свои цифры и выигрывает тот, у которого в сумме цифра единиц больше. Сколько (в каж дой серии) таких номеров, что игра заканчивается вничью независимо от выбора, сделанного первым играющим?
809. Найти такое число s, что среди чисел первой тысячи имеется ровно 10 чисел, у каждого из которых сумма цифр равна s.
М. М. Подольская (Москва)
810. Для окраски одной грани кубика требуется 5 секунд. За какое наименьшее время 3 человека могут выкрасить 188 кубиков? (Предполагается, что два человека не могут одновременно красить один кубик.)
М. М. Подольская (Москза)
Задачи для VI —VIII классов
811. На шахматном турнире два участника выбыли из игры после пятого тура, и по этой причине в турнире игралось лишь 38 партий. Сыграли ли эти два шахматиста партию друг с другом?
В. 	Г. Кику (с. Городище Кэларашского р-на
Молдавской ССР)
812. Радиус круга, описанного около треугольника, у которого длины сторон являются целыми числами, равен 3,125. Найти стороны треугольника.
А. 	В. Аляев (г. Пачелма Пензенской обл.)
813. В круговой сектор с углом 60° вписан квадрат ABCD, вершины которого А и В лежат на дуге. В каком отношении эти вершины делят дугу сектора?
Э. Г, Гогман (г, Арзамас)
71


814. Сколькими способами могли распределиться места между пятью лошадьми, участвующими в кроссе, если Азот не пришел первым, Битум не пришел вторым, Волан не пришел третьим, а Детектив не пришел пятым?
815. Пусть множество А состоит из точек а, Ь, с, а множество В из точек а, с, d (черт. 2). Составить
Черт. 2
множество С по следующему правилу: точка с координатами х, у входит в С в том и только в том случае, когда существует число г, такое, что точка с координатами х, г входит в множество А, а точка с координатами г, у входит в множество В.
в треугольник, вершина среднего по величине угла и середины сторон, выходящих из этой вершины, лежат на одной окружности. Верно ли обратное утверждение?
Э. 	Г. Готман (г. Арзамас)
823. Доказать, что сумма квадратов обратных величин диагоналей вписанного четырехугольника не превосходит среднего арифметического квадратов обратных величин его сторон. Верно ли это утверждение для четырехугольников, которые нельзя вписать в окружность?
Я. Н. Суконник (г. Киев)
824. Доказать, что если скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды попарно равны, то все ее плоские углы острые.
В. 	В. Бех (г. Коростень Житомирской обл.)
825. Правило, определяющее множество С в задаче 815, имеет смысл, очевидно, для любых множеств А и В, состоящих из точек плоскости. Будем называть множество С композицией множеств А и В и обозначать его через А О В. Найти А О А, если А — множество точек окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
Задачи для IX—X классов
816. Решить уравнение
уг х3 — 4х2 -}- лг -f- 15 + j/*Xя — Ах2 — х -j- 13 — х + 1.
А. М. Падун (п. Любеч Репкинского р-на Черниговской обл.)
817. Решить систему уравнений
х2 (у + г)2 шс (Зх2 + х+1) у2г3,
• у2 (х + г)2 — (4у2 + у + 1) х2г2, г2 (х + У)2 - (5*в + * + 1) х2у\
А. М. Падун (п. Любе-. Репкинского р-на Черниговской обл.)
818. Решить уравнение
sin 6* -f sin Sx + sin 16* + sin 18* + 16 sin 3* = 0.
819. Где на комплексной плоскости /сежах числа г, которые можно представить в виде
с — / гшт2с — 1*
где с — действительное число?
820. Найти наибольшее значение произведения натуральных чисел, сумма которых равна данному натуральному числу п.
П. С. Панков (г. Фрунзе)
821. Внутри прямоугольника ABCD с диагоналями АС и BD взята произвольная точка О и соединена с вершинами прямоугольника. Доказать, что площади треугольников АОС и BOD относятся как тангенсы углов АОС и BOD.
А. Н. Смоляков (Оренбургская обл.)
822. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что центр окружности, вписанной
Избранные задачи
Многочлены
826. Какие комплексные числа w а сколькими способами представляются в виде г12—12г + 3, где г — комплексное число? (Способы представления считаются различными при различных г.)
Кольца и поля
827. Элемент х кольца А называется нильпотентным, если существует натуральное число п такое, что хп = 0. Доказать, что множество чильпотентных элементов коммутативного кольца образует в нем подкольцо. Верно ли это утверждение в некоммутативном кольце?
Метрическое пространство
828. Множество МП#) называется симметрической разностью множеств А и В и обозначается через А А В. Пусть Е — конечное множество; назовем расстоянием между двумя его подмножествами А и В число элементов в множестве А Д В. Доказать, что множество ^3 (Е) подмножеств множества Е превратилось
в метрическое пространство.
Графики
829. Пусть А и В — множества точек плоскости. координаты которых удовлетворяют соответственно уравнениям у — х — I и у~\х\. Найти множество АоВ (определение см. в задаче 825).
Логическая символика
830. Пусть Q — множество рациональных чисел. Каковы множества А и В чисел с, удовлетворяющих соответственно следующим условиям:
а) V -«>03 Уе Q(|c — у\ <*),
б) ?y€Qv-«>0(lc —1/1 <*).


Решения задач, помещенных в № 1 за 1970 г.
a -f* Ь
7С6. Найта значение дроби jjzry, если 2а2 + 2b2 = 5аЬ, Ь>а> 0.
Решение. По условию, 2а2 — ЪаЬ -f- 2b2 = 0. Но
2 а2 — 5я£ + 2Ь2 = (2я2 — 4д6) — (я& — 262) =
= (2а — Ь) (а — 2Ь),
тогда а — 2Ь = 0 или 2а — b = 0. Но b > а > 0, так
что b = 2а (но не а = 26). Следовательно,
а ~Ь 2а а — 2 а
-3.
707. 	В окружность вписан выпуклый многоугольник с четным числом сторон АХА2.. • A2k. Доказать, что
^ At + А3 + ... + Л2*_, »
==• А2 + 4й^Г А4 + . . . + *^2Й*
Решение. Это равенство может быть доказано разными способами, и среди них — непосредственный подсчет обеих сумм. Мы дадим решение, в котором непосредственно ясна «причина» совпадения этих сумм; именно эти суммы не просто равны, состоят из одинаковых слагаемых, естественно связанных с данным многоугольником.
Соединим центр4 окружности с вершинами многоугольника (черт. 1), тогда каждый внутренний угол
подобны Ро г.
боль¬
на
= р ’
чим г оPi + р2 + Рг) = (''i + Г2 + rt) Р, но Рг + Р2 4*
+ Р3 — Р, следовательно, г = rx + г2 -f г3.
709. 	Даны прямая g и две пары точек Аи Л2 и Ви В2. На прямой g найти две такие точки Си С2, чтобы АгС 1И А2С2, ВХС% II В2С2«
Решение. Если отрезки ЛгЛ2 и ВХВ2 лежат на прямых, параллельных g, то в случае, когда они равны по длине и имеют одинаковое направление, имеется бесконечно много решений: достаточно на прямой g взять любой отрезок СхС2у длина и направление которого совпадают с длиной и направлением AtA2. Если же данные отрезки имеют либо разную длину, либо разные направления, то требуемых точек Съ С2, очевидно, не существует.
Предположим теперь, для определенности, что АХА2 g, и пусть А3 — точка пересечения прямых ЛгЛ2 и g (черт. 2). На прямой ВХВ2 построим две
Черт. 2
точки М такие, что BXB2:B2M = АХА2:А2А3 и обозначим через В3 ту из них, для которой выполняется условие: если At лежит между двумя другими точками на прямой АХА2, то и Bi лежит между двумя другими точками на прямой ВХВ2.
Теперь соединим В3 с А3 и проведем через точки Вг и В2 прямые, параллельные А3В3, их точки Сх и С8 пересечения с прямой и являются искомыми. В самом деле,
С\С2 В\В2 АХА2
с2а3
Во В 9
А2А3
разделится на две части. При этом каждая часть угла с нечетным номером будет равна части соседнего угла с четным номером. Отсюда и следует требуемое равенство.
708. 	В треугольник вписана окружность радиуса г. Параллельно сторонам треугольника к окружности проведены касательные и в образовавшиеся малые треугольники вписаны окружности радиусов г„ г2, г3. Доказать, что
Г = г, + г2 -+ г3.
Решение. Малые треугольники
Гг Л гг _
шому, следовательно,-у =-р-, ~==~р~’ ~Г =
откуда гРу = г,Р, гР2 « г2Р, гР3 = г3Р(Р, Ръ Р2, Р9 — периметры соответствующих треугольников). Складывая почленно три последних равенства, полу¬
откуда с .помощью производной пропорции С,Л, АХА3
с2а3 а2а3
Тогда углы AtCtA3 и А2С2А3 равны как соответствен ные углы подобных треугольников AXCXA3 и А2С2А3, так что AlCl И А2С2.
710. 	Даны параллельные прямые gx и g2 и две пары точек Аи Л2 и Blt В2. На прямых найти соответственно такие точки Сх и С2, чтобы АХСХII А2С2, ВхС\ Ц В2С2.
Решение. На чертеже 3 AtM Ц A2N и S есть точка пересечения прямых АХА2 и MN. Проведем через S произвольную прямую MXNX(MX и Nx — точки пересечения этой прямой с параллельными прямыми и g2). Из того, что Л SA2N оо Д и A SNNX со Л SMMlt вытекает подобие треугольников SA2Nx и и, следовательно, A2Nt || АЛМХ.
Перейдем к построению. На чертеже 4 АХМ й A2N. Прямые MN и АХА2 пересекаются в точке S. Для точек Bt и В2 находим аналогичную точку Т. Точки пересечения прямой ST с параллельными прямыми
73


gi и g9 будут искомыми. Это вытекает из выше доказанного. В построении возникают особые случаи:
1) АгА21 MN,
2) точки S и Т совпадают,
3) ST ||
Во втором случае получаем бесконечное множество
решений.
В третьем случае решений нет.
В первом случае поступаем следующим образом. Перемещаем отрезок AtA2 параллельно самому себе так, чтобы точка Ах совпала с точкой Вх (черт. 5).
Пусть точка Аг перешла в точку А'2 и прямая Л'2В2 пересекает g2 в точке С2. Проведем BtCt Ц В2Сг. Точки С, и С2 искомые. Если A'2Bt б gi, то решений нет.
711. 	Доказать, что при любом натуральном п выражение 5Л+1 — 4п — 5 делится на 16.
Решение.
5*+i —. 4/г —- 5 = 5 (5Л — 1) — 4л - « 5(5 — 1)(б"—1 + 5п~2 + + 1) — 4л =
^ 4 [(5Л - 1) + (5я-1 - 1) + ... + (5 - 1)] - 16*,
так как bk — 1 при любом k делится на 4. Отсюда и следует доказываемое утверждение*
712. Пусть п — натуральное составное число и 1 -» d9 <[ dx ... <^dfj|__| < dm с=! it —все натуральные делители числа п. Доказать, что
2 т~*
1 g л S ***
/=1
натуральное число.
Решение. Имеем: n = dQ-dm, п = dt-dm—it ... ...,n = dm-d0. Перемножая почленно эти равенства, получим ят+1 *= (d0*dt*... -аГш)2. Тогда
т
(m + l)lgn-2 Jig
i=0
ИЛИ
m—1 2 2 lgrff
m -f 1 - 2 + — .
следовательно,
ffz—1
2 J] lg
i=l ,
■—^ *-i.
am — 1 есть натуральное число.
713. Решить систему уравнений
| *8 + Злгу + у* - а,
\ х + у — ху.
Указать те значения а, при которых система уравнений имеет действительные решения.
Решение. Будем искать только действительные решения. Обозначив х + у через t и заметив, что х* + у* ** (х + у)8 — Эху (х + у), запишем первое уравнение в виде t* — 3t2 + 3t — I — а — 1, или
(* —1)*-л— 1.
 3
Отсюда t » >/"а —1 + 1 и числа х и у являются корнями квадратного уравнения з з
гга — {/а — 1 + 1) г + а — 1 + 1) - 0.
Это уравнение имеет действительные корни при а <10 и при а >28; теперь легко выписать и действительные решения системы.
714. Решить уравнение
4
V1 X2 + X2 + X— l + y^l —JC — 1 — 0.
Решение. Обозначим
4
V~ 1 — X2 ~ и} У х2 + X — 1 = v, Y\ — X = w, тогда
( и + v + w 1,
1 И* + V* + w* 1.
74


Так как к, v, 0, то и2 < м, ze>2 < зд, и по¬
этому a24-t/4 + ti02«tt-fi/ + w= 1 только в случае и2 — и, I/4 *= v, w2 =
Учитывая, что и + г; + w = 1, получаем следующие три случая:
1)и=1, = О, ге; = О, т. е. 1 — х2 1, л:2 + л: —
-—1=0, 1 — jc — 0.
Решений нет.
2) и = 0, v = 1, w — 0, т. е. 1 — *2 = 0, л:2 -f х — — 1 = 1, 1— * = 0.
Решение х = 1.
3) а = О, I/= О, те>=1, т. е. 1 — л:2 = 0, *2-f .* —
-1=0, 1 — а: =- 1.
Решений нет.
Проверкой убеждаемся, что х = 1—корень исходного уравнения. Итак, исходное уравнение имеет единственный корень х = 1.
715. Найта положительные корни уравнения
то
2х + •
1
Решение. Введем обозначения
V х + 1,
-Уч1--
тогда данное уравнение примет вид у2 — у — 3yz -f 2-г2 — 2 :
0.
Разложив левую часть получившегося уравнения на множители, получим
(У _2* — 2)(у —* + 1) = 0
(это разложение на множители можно найти, рассматривая левую часть как квадратный трехчлен относительно у). Теперь остается решить уравнения
V
х — 1
2/*+1 + 2, j/£-2-= Ух+1 — 1.
Первое из этих уравнений не имеет корней, так как при любом положительном (допустимом) значении х его левая часть не больше 1, а правая больше 1. Второе уравнение перепишем в виде
j/~x— 1 -j-jfx = yrx2 + x
и после возведения обеих частей в квадрат получим равносильное ему (в области х > 1) уравнение
2 Y х (л: — 1) = х2 — х + 1,
или
(/х2 — JC —1)2 = 0.
Отсюда х2 — х = 1, х1}2
Корень х2 < 0
1 + / 5 2
не входит в ОДЗ рассматриваемого уравнения; а корень > 1 входит в ОДЗ и, как легко видеть, является его корнем и корнем исходного уравнения. 716. Доказать, что
1 5 11 п2 + п~~ 1 о
"2Г + 3! + 4! + + (п + 1)! < 2*
Решение. Поскольку
п2 -f- п — 1 1 1
(п + 1)!
(/г-1)! - (л+ 1)1'
_П_
4!
+ "ST +
+
п2 -f- п — 1
(п -+• 1)!
1
0! + 1!
(и - 1)!
1 1
(л +
Ы
п\
Сп + 1)!
1
(п + 1)!
]<,
717. Доказать, что
1) | sin cos <р | < cos sin <p;
2) | sin sin cp | < cos cos <p.
Решение. Докажем сначала первое неравенство Заметим, прежде всего, что обе части неравенства являются четными функциями и имеют период и. Следовательно, достаточно доказать неравенство для
к
углов <р, удовлетворяющих условию 0*<9<;'-2~. Лег-
тс
ко проверяется, что при <р = 0 и неравенство
справедливо, так что дальше будем рассматривать
те
лишь углы (р из интервала 0<<р <-?>-.
По свойству синуса имеем неравенства sin ср < ср и sin cos <р < cos <р, а отсюда, учитывая, что 0 < cos <р < 1
и что на ^0, '~2~) косинус убывает, получим | sin cos ср | = sin cos <р < cos 9 < cos sin <p, что и требовалось доказать.
т-т 71
Подставив в доказанное неравенство -д- — <р вместо
% получим второе требуемое неравенство.
718. Биссектрисы внутренних узлов А, В и С треугольника ABC пересекают противоположные стороны соответственно в точках Аъ Вх и Сг, а описанную около треугольника АБС окружность— в точках А2, В2 и С2, Доказать, что
. ААг ВВХ CCt
<
Решение. Пусть a, b, с — стороны треугольника ABC и р — его полупериметр. Д АВА2 с/э Д ААХС (черт. 6). Из подобия этих треугольников следует,
что АА2
аа\
Ь-с „ AAt
~ААГ‘ П0эт0му ~ШГ~ = ~Тс~- Исполь-
Черт. 6
75


2 Vbcp(p — a) зуя формулу AAt = f+c ’ П0ЛУЧИМ
AAt 4p(p — a) (b + c)2 —a2
AAt _ {b + cf (b + c)2
аналогично
- 1-
a2
+ c)2
b2
BBt
BB2 " 1 (a + c)2 ССг
CC,
= 1
(a + *)2 ‘
Следовательно,
-Г—
L (6 +
AA, BB, CC,
AAt + BB2 + CC2 ”
2 1)2 C2 +7jT + (a + с)2 + (a + b)'
a
-]■
Так как 2 (6s + cs) X* + с)2, то ^ cy "> 2 (b* + C2(
52 b2 c2
И аналогично (a + cf > 2(a2 + с2) (й'+ b)* ^
сг _ ЛА BSi CC,
> 2ЮТ‘ Поэтому AAt + ВВг + ССг < 3 -
1 ( a8
— 2 U’ + c2
мание известное неравенство
b2 с2 \ л
+ А ПриН5Ш 80 вни‘
&2
^,2 С2 + а2 _4_ с2 + д2
с2 3
> 2
устанавливаем окончательно, что
ААг ВВ, , СС, ^.,3 9
ЛЛ2 + £Вг +CCS ^ 4 " 4 ‘
719. Дан трехэранный угол Sabc, у которо- ?о (я, 6) + (а» с) = 180°. Вычислить угол между реб- а и биссектрисой (b, с).
Решение 1. Продолжим ребро с за точку S (черт. 7). Из условия задачи получаем, что (а, Ь) =»
Черт. 7
= (а, с') и, следовательно, проекция ребра а на пло- скость Sbc есть биссектриса е' угла (Ь, с'). Биссектриса угла (Ъ, £) перпендикулярна *' и по теореме
76
о трех перпендикулярах составляет с ребром а прямой угол. Таким образом, искомый угол — прямой.
Решение 2. Выберем на ребрах трехгранного угла Sabc единичные векторы а> Ь, с. Тогда вектор b + с лежит на биссектрисе угла (Ъ, с). Кроме
того, из условия задачи имеем, что а>Ь = —a-с (это равенство очевидно непосредственно из определения скалярного произведения). Отсюда а (Ь + с) = а-Ь + + я*с = 0, т. е. искомый угол — прямой.
720. Доказать, что если в треугольнике ABC А = 2By то
_L -тс - ^
2 < & < 2 ’
где b — сторона, тс — медиана треугольника. Решение. Из известного соотношения 4т2с =» 4 ml /,2 />2
= 2а2 + 262 — с2 имеем
Ь2
а сЛ 2 -Ь 2тг—-ТГ- Так как
62
л sin2£ с
Л = 2В, то по теореме синусов -у = Sjn и
sin 3£
sjn д-. Следовательно,
4т;
62
’2 4--
2 sin2 2Z?
sin2 ЗВ
sin2 В
sin2 В
= 2 + 8 cos2 В — (3 — 4 sin2 В)2 - 2 + 4(1+ cos А) — — (1+2 cos А)2 = 5— 4 cos2 А.
, 4m? r 1 тс v'5
Отсюда 1 <"^2~<5 и окончательно ~2~ К~2~'*
721. Найти и,елые положительные решения
уравнения
17 (jry-z* + + xt + zt -}- 1) — 54 (уг* + у + *) = 0.
Решение 1. Перепишем данное уравнение в виде
xyzt + лгу + xt + zt + 1 54
yzt + у + t “ 17
и преобразуем его левую часть следующим образом: zt + 1 1
*+ y(zt+l) + t =JC+ * -
у+нтт
Х + -
У + —
г + Т
Отсюда видно, что левая часть является разложением в цепную дробь некоторого рационального числа и для решения уравнения достаточно разложить в цепную дробь правую часть:
1
54
17 “3 +
5 +
1
•+4
Из единственности разложения числа в цепную дробь следует, что
х = 3, у =*5, z = 1, t = 2.
Решение 2. Перепишем уравнение в виде
(54*— 17х) 4“ У 4 t) 17 (^ + 1).


Так как yzt + у -f t> zt 4- 1, то 0 < 54 — \lx < 17, откуда х = 3. Теперь имеем уравнение 3 (yzt-\- 4- У 4- f) = 17 (zt -f 1), которое можно записать в виде (17 — Зу) (zt -j- 1) г= 31. Так как zt + 1 > t, то 0 < 17— — Зу < 3, откуда у = 5, и мы приходим к уравнению 2 {zt 4- 1) = 31. Из него следует, что t — четное число и что 2 делится на t, т. е. t = 2, и, наконец, z = 1. Проверка показывает, что найденные четыре числа действительно составляют решение уравнения.
722. 	Найти минимум функции
у = tg2(a — х) + tg2 (а -Ь х),
где 0< а < -j-.
Решение. Ограничим функцию снизу.
У + 2 = [tg2 (а - х) + 1] + [tg2(а 4- х) + 1] - 1 1
= cos2 (а — х) cos2 (а + х)
2
^ j cos (а — х) cos (а 4- л:)
4
>
>
cos 2*1 -h | cos 2а I ^ 1 4- | cos 2a |
I COS2а 2tg2 а* если cos2o> 0 (о < а
k 2 / sln*a" == 2+2 ctgs а, если cos 2a < 0 Q <a<
cos2x 4- cos 2a | 4
>
Итак,
2 tg2 a, если 0 < a < —.
2ctg2a, если — <a<
15
“4“
Эти значения достигаются функцией, те
4
те
2"в
нанример,
при х — 0 и
* = ~2~, а это означает, что
УпНп —
2 tg2 а, если 0 < a < -Цр
2 Ctg2 а, если -j- < a <
723. 	Определить функцию f (x), удовлетворяющую тождеству
+ (1)
где а — постоянная, отличная от нуля.
Решение. Из тождества, определяющего функцию / (*), следует, что если эта функция определена при некотором значении .*, то она определена и при зна- а2
чении —— д. . Поэтому вместо х всегда можно под- я2
ставить -—
Тогда получим тождество
Снова заменяя в (2) х на
х а2
У а — х *
(2)
/ tfjc — a2 \
ч—т—;+/w-
получим тождество адг — а2
* у X • (3)
Умножив равенство (2) на —1 и прибавив к полученному равенству (1) и (3), найдем
хг — а2х —
/(■*)■
2х (х — а)
Проверка показывает, что полученная функция действительно удовлетворяет данному тождеству.
724. Последовательности и заданы ре- куррентными формулами
“л “ 2«Я—1 + «Л—г, V„ - 3»„_, — w„_s.
Найти рекуррентную формулу последователь- ности
Ч = {«л + V/l}.
Решение. Применяя данные рекуррентные формулы для и {vn}, выполним следующие преобразования:
«Я + Vn = 2и„_1 + и„_2 + 3i/„_, — -
= 5(«„_, + w„_i) — Зи„_, —2t>„._, + ил_г —1>„_2 = = 5 <h„_i + — 3 (2и„_а + м„_,) —
— 2 (3w„_2 — w„_j) + (2и„_, + ия_4) —
— (3w„-3 —i»n-4) = 5 ((*„_! + »„_!>—6 (U/j—2 + wn-2)—
— (“я-J + «Я-з) + (“л-4 +
Таким образом,
5Л = 55я_! 6sw_2 S/i—з 4' 4»
725. Доказать, что если числа хх, х2,... хп больше единицы, то имеет место не равенство
>
^ 1 4- Xi *
<=i l + -/x,...xn
Р е ш е н и е. Требуемое неравенство может быть доказано так же, как неравенство 598 (см. решение в № 6 журнала за 1969 г.). Кроме того, оно может быть получено из неравенства 598 заменой и последующими простыми преобразованиями. Мы приведем иное решение, присланное читателем Ю. В. К а -л и н и ч е н- к о из г. Запорожья.
Обозначим среднее геометрическое данных чисел через а. Если все хi равны а, то неравенство справедливо. В противном случае имеются числа xt и х2 такие, что хх < а, х2 > Д- Замеиим в данном наборе
чисел хх на а, а х2 на при этом произведе¬
ние хх.. .хп не изменится, а, как мы докажем, сумма п
1 4- xt
уменьшится.
/=1
В самом деле, надо сравнить только следующие суммы
1 1 11
1 4- 1 4* х2
2 4~ (*1 4~ х2)
1 + 4- (хг 4- хг)
и
1 4- а хх х2
• /У
2 +
(*+^)
1 4- ххх2 4-
Так как > 1, то дробь -рт- ■■ ^ правильная и
1 -f- X Хх2
при прибавлении к ее числителю и знаменателю некоторого числа увеличивается тем больше, чем оольше это слагаемое. Поэтому достаточно сравнить
*^1^2
хх 4- х% и a-t ——.
я


Но их разность равна
Л *Л , . (« — ■*»)(■** — а)
л.^1——J+ <■*.-«) s
и, следовательно, положительна.
Таким образом, в новом наборе одно, по крайней мере, из чисел равно а, а левая часть неравенства для этого набора меньше, чем была для предыдущего набора. С полученным набором можно поступить так же, и мы придем, в конце концов, к набору, состоящему из равных чисел. Для такого набора неравенство справедливо и тем самым доказано и исходное неравенство.
726. 	Охарактеризовать четырехугольники, у которых точка пересечения диагоналей лежит на радикальной оса окружностей, построенных на двух противоположных сторонах четырехугольника как на диаметрах.
Решение. Пусть Qt и 02 — центры окружностей радиусов г, и га, построенных на сторонах АВ к CD четырехугольника ABCD как на диаметрах, и пусть М— точка пересечения диагоналей четырехугольника, лежащая на радикальной оси построенных окружностей (черт. 8). Введем обозначения:
MOi = mlt М02*=т2г МА = а, MB = 6,
АТС «7,
Построим вектор AN *=* MB. Замечаем, 4jo А В = «=* AM+~МВ *=*Ъ — а и MN « AN — AM = b 4- а, откуда в наших обозначениях
r2_(bll)2 , _ (Ь+а\2
ri~\ 2 } ’ mi ~ V 2 /
и, далее, используя свойства скалярного произведения векторов, получим г\ — т\~* —а*Ъ. Аналогично г\ — т\ =* —По свойству радикальной оси г\ — — т\ г?, — ml, откуда следует равенство ai» *=* cd, т. е. ab cos у cd cos ср, где <р ■*
Первый случай: <р 90°. В этом случае у четырехугольника ABCD диагонали взаимно перпендикулярны.
Второй случай: <р ф 90°. Из равенства скалярных про. a d
изведений следует — — -у, но тогда Д AMD со
сл Д ВМС, откуда ^ ВСМ ** ^MAD и, следовательно, -*4/? || ВС. В этом случае четырехугольник ABCD есть трапеция.
Легко доказываются и обратные утверждения:
1) 	Дан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Радикальная ось окружностей, по строенных на противоположных сторонах данного че«
78
тырехугольника как на диаметрах, проходит через точку пересечения его диагоналей.
2) 	Радикальная ось окружностей, построенных на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, проходит через точку пересечения ее диагоналей.
727. Дан отрицательно ориентированный четырехугольник, у которого диагонали равны и перпендикулярны. Доказать, что произведение вращений около последовательных вершин этого чете
тырехугольника на углы есть тождественное
преобразование.
Решение. Пусть комплексные числа a, b, с, d — вершины данного четырехугольника. Условие, которому удовлетворяет четырехугольник, означает, что вектор, соответствующий комплексному числу d — b,
л 1C
при повороте плоскости вокруг точки О на угол
переходит в вектор, соответствующий числу с — а, иными словами, (d — b) I = с—я, или (d—b) 4- / (г—<z)= *= 0 (напомним, что четырехугольник ориентирован отрицательно, если обход его вершин производится по часовой стрелке). Пусть г — произвольное число;
те
при вращении плоскости вокруг точки z0 на угол
оно перейдет в число iz + z0 (1 — i) (см., например, «Математика в школе», № 1 за 1970 г., стр. 77). Обозначим через zx, z2, z3 z± последовательные образы числа z при выполнении произведения рассматриваемых вращений. Тогда
- 1гг + d (1 — /) = / [1г2 + с (1 — /)] +
+ 4(1 — /) + {d + lc) (1 — О -
lzt — b(l — i) + (d + lc)(l—t)~.
- — I [lz + а (1 — 0} + (d + lc — b) (1 — 0 - -*+'(«? — Ь + ic — la) (1 —
что и требовалось доказать.
728. Доказать, что произведение отражений относительно последовательных сторон вписан- ного в окружность многоугольника с четным числом сторон есть параллельный перенос.
Решение. Пусть многоугольник вписан в единичную окружность z*z=* 1 и вершины его задаются комплексными числами ах, а2,azk. Формулы отражений о„ о2,... c2k относительно сторон многоугольника имеют вид:
2Г| » —> axa2z -j" ах -f- а2,
z2 =* —a2azzx 4- аг 4~
&2k — a2katZ2k—l azk *4* at •
Отсюда находим последовательно формулы для преобразований Ca0lf ae(®aOi), ...,а8*(с1Л
z2 «в — ( —ах a2z 4- ах 4- tfj) 4~ Ч”
« аха%г 4- А2 z9 — —д8я4(л,л8 z 4- А2) 4- а3 4- а4 — — ахаАг 4- Аг
Z2k a2ka\ (ai a2k Z + A»k — l) + a2k 4“ °l — 2 +
Итак, получаем, что произведение всех симметрий есть преобразование вида г' = z 4~ A2k, т. е. параллельный перенос.
729. 	Даня парабола у =» х2. Доказать, что при l^ol^ if % через точку А(хш, yQ) параболы, пролош


дят две ее нормали, основания которых В и С отличны от А. Показать далее, что прямые ВС при переменном х0 проходят через фиксированную точку на оси симметрии параболы.
Решение. Нормаль, проведенная к параболе в точке (я, а2), где аф 0, имеет уравнение у — а2 =
— “2аГ С*— я)* Эта нормаль проходит через точку А
тогда и только тогда, когда выполняется равенство
9 1
х£ — а2 = — 2^- (х0 — а), или, поскольку мы ищем
1
основания нормали, отличные от А, х0 + а = —
или 2а2 + 2ах0 + 1=0. Из условия | х0 | > -|/*2 еле - дует, что полученное уравнение относительно а имеет различные действительные корни
а\, 2 — '
—х,±у А—2
ао — а%
(х — aj,
или
У — — х„ (х — at) + а\.
Подставляя в это уравнение х = 0, получим
2 1 У — ах х0 + а\ = — -у-.
Следовательно, все прямые ВС при любом л:0 проходят через точку (о, -4-). лежащую на оси Оу,
которая и является осью симметрии параболы.
730. Окружность, проходящая через вершину параболы, пересекает ее еще в трех точках А, В и С. Доказать, что нормали к параболе в точках А, В и С проходят через одну точку.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы уравнение параболы приняло вид
y = kx2, (1)
тогда окружность будет задана уравнением
х2 + у2 — 2 ах — 2ау = 0. (2
Решая совместно (1) и (2), получим уравнение для определения абсцисс трех ненулевых точек пересечения параболы и окружности
k2x* + (l — 2bk)x — 2a = 0. (3)
Согласно условию задачи все три корня xJf х2, х3 уравнения (3) действительны. По теореме Виета
2 а
xt + х2 + х3 = 0, xvx2'x3*=-j^. (4)
Уравнения нормалей к параболе (1) в точках А (хъ kx\), В (х2, С (х3> kxз) будут следую¬
щими:
Таким образом, через точку А проходят нормали пара болы с основаниями В (а%, а%) и С (а2, и тем
самым первое утверждение доказано.
Далее, прямая ВС имеет уравнение
У =
t 2 1 + kx\ + 2k 5
+ kx2~\' ~2k' X 2 ^
2kx3 + fex3+ 2k'
2kxt x 2kxо
(5)
Учитывая равенства (4), решим совместно, например, первые два уравнения из (5):
2kxx Х\ ~
+ kx\ =
-^2
2kx«
+ kx:
2 *
2kxtx2 x *= k(x2 — Xl)> x = — 2k2xx x2 (хг + x2), x = 2k2x\x2x3t x = Aa.
Решая совместно первое и третье уравнения из <5), получим тот же результат. Это означает, что прямые, определяемые уравнениями (5), пересекаются в одной точке. Нетрудно показать, что координаты этой точки
будут (4а, 4bk2j 1 ).
Сводка решений задач по № I за 1970 г.
Алиев М. А. (с. Полад Иджеванского р-на Арм. ССР) — 708, 711, 713, 716, 717, 720, 721, 725. Аляев А. В. (г. Па- челма Пензенской обл.)—706—708, 711—713, 716, 717, 719, 721. Багдасарян С. С. (пос. Гадрут Аз. ССР) — 706—708, 711, 713. 716—718, 720, 721. Балицкий В. С. (г. Алейск Алтайского края)—706—708, 711—713, 716, 719—724. Баранюк Л. П. (г. Брест)—706, 711—714, 716, 717, 721, 725, 729. Богомолов А. П. (г. Петропавловск Каз. ССР)—706—721, 723—725. Будагов М. Б. (с. Полад Иджеванского р-на Арм. ССР)—708, 711, 713, 716, 717, 720, 721, 725. Будков Н. П. (Рязанская обл.) —
706—713, 715—721, 723—730. Букобаев Н. (с. Ново- Березовка Восточно-Казахстанской обл.)—707, 708, 711, 712, 715—721. Василаки А. Д. и Писаренко И. А. (с. Сте- пановка Молдавской ССР)—721, 725, 727—730. Ветров К. В. (г. Братск)—706—708, 711—714, 716—720. Владимиров А. С. (г. Асбест Свердловской обл.) —
707—725, 727—730. Головачев Е. А. (пос. Борисовка
Белгородской обл.) — 706—721, 723—730. Гот лер М. Ш. (г. Вильнюс)—706—721, 723—730. Давыдов У. С. (г. Гомель)—706-713, 715—721, 724, 725, 727—730. Джабба- ров М. Б. (Кедабенский р-н Аз. ССР) — 706—709, 711— 713, 716, 721, 725. Зорин В. И. (Целиноградская обл.) — 706—708, 711, 713, 7i4, 716, 720, 721, 724, 725, 730. Зу- билин Н. И. (Орловская обл.)—706—708, 710—712, 714, 716—718, 720—722. Казанцев Н. А. (Тюменская обл.) — 721—723, 729, 730. Калиниченко Ю. В. (г. Запорожье) —
706—709, 711—723, 725, 729, 730. Каминский К. П. (с. Роскошное Киевской обл.)—706—708, 711—714, 717, 718, 720—722, 725. Кан А. А. (г. Бирюсинск Иркутской обл.) — 706, 711, 713, 714, 716, 717, 721. Карнаухов А. Ф. (пос. Покровск Якутской АССР)—707—714, 716, 717, 719—721, 727, 728. Куправа В. Л. (г. Сухуми)—706, 707, 711, 713—715, 720, 721. Кутепов А. К. (г. Кадиевка
(Продолжение см. на стр. 93.)


ш
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
С. 	А. АХМЕДОВ
(г. Ташкент)
Извлечение корня любой степени и формула бинома у Насирэддина ат-Туси
Видное место в развитии математики на Востоке занимает выдающийся азербайджанский ученый основатель Марагинской обсерватории Абу Джафар Мухаммед ибн Мухаммед Насирэддин ат-Туси 1 (1201—1274).
Научная деятельность Насирэддина, как и других выдающихся ученых средних веков, была многогранна, относилась к таким областям науки, как астрономия, математика, философия, логика, география, музыка, медицина, минералогия. Насирэддин уделяЛ основное внимание математике и астрономии и создал в этих областях знаний бессмертные оригинальные труды. Он занимался также переводами классических трудов греческих математиков Евклида, Архимеда, Птолемея, Аполлония, Феодосия на арабский язык с комментариями. В своей монографии «Основатель Марагинской обсерватории Насирэддин Туси» профессор Г. Д. Ма- медбейли указывает, что многие научные труды Насирэддина сохранились до настоящего времени, и приводит список 76 его научных работ, имеющихся в библиотеках мира.
Насирэддин в 1231—1256 гг. находится во дворце шаха Ирана Насира Мохташама в Кухистане. По заданию шаха он в 1235 г. пишет знаменитый философский труд «Эхлаки Насири» («Мораль Насира»), Эта книга быстро распространяется на Востоке и в других странах.
В 1256 г. Насирэддин исполняет обязанности специального советника Хулагу-хана, внука Чингис-хана, за¬
1 Подробнее см.: Г. Д. М а м е д б е й л и. И? истории
Марагинской обсерватории, «Труды Всесоюзного сове¬
щания по истории естествознании». Изд. АН СССР,
1948, стр. 150—160; Г. Д. М а м е д б е й л и, Основатель
Марагинской обсерватории Насирэддин Туси, Баку,
1961, стр. 23—33; Б. А. Розенфельд, О математи¬
ческих работах Насирэддина Туси, «Историко-матема-
тические исследования», вып. IV, М., 1951, стр. 489— 512.
воевателя Кухистана. По инициативе Насирэддина э городе Марате в 1258—1259 гг. строится большая астрономическая обсерватория, научным руководителем которой он стал. В обсерваторию приглашаются ученые из разных стран. Организуется библиотека, богатая разнообразными рукописями. Таким образом, на основе Марагинской обсерватории образуется большая научная школа того времени.
Среди трудов Насирэддина, посвященных астрономии, основным является труд «Астрономические таблицы Элхана», явившиеся венцом многолетней работы Насирэддина и его сотрудников. В этом труде излагаются теоретические вопросы астрономии и дается таблица, основанная на данных наблюдений в Марагинской обсерватории.
Насирэддин пишет труды, имеющие большое значение в раззитии геометрии и тригонометрии. Комментируя «Начала» греческого ученого Евклида, он пишет труд «Тахрир Эглидис» («Изложение Евклида»), в котором развивает положения Евклида. Самым важным его дополнением является теория отношений. Насирэддин первым рассматривает отношение несоизмеримых величин как число. В Европе эгот вопрос был рассмотрен в XVII—XVIII вв. Сент-Винцентом и Ньютоном.
В труде «Шаклул Гита» («Трактат -о полном четырехстороннике») Насирэддин развивает прямолинейную и сферическую тригонометрию и выделяет тригонометрию из астрономии, возведя ее в ранг самостоятельной науки. По этой причине он считается основателем тригонометрии.
Большое значение имеет также арифметический трактат Насирэддина. Мы познакомим читателей с изложением операции извлечения корня из чисел и формулы разложения бинома, приведенным в этой работе.
Вопрос об извлечении корня из числа имеет длительную историю. В древнем китайском сочинении «Математика в девяти отделах», написанном в I в. до н. э., излагается метод извлечения квадратного и кубического корней. Цифры корня вычисляются последовательно путем разложения квадрата и куба двучлена. В IV в. в греческой литературе, в примечании Теона Александрийского к сочинению Птолемея по астрономии, дается способ извлечения квадратного корня путем разложения квадрата двучлена.
Примерно в 500 г. в сочинении индийского математика Ариабхата даются способы извлечения квадратного и кубического корней.
Продолжая эти исследования, среднеазиатский математик Мухаммед ал-Хорезми2 дает способ извлечения квадратного корня из чисел, который основан на разложении квадрата двучлена и выполняется на вычислительной доске путем стирания первых полученных цифр и записи на их место новых.
Такой же метод для случая кубического корня впервые встречается в XI в. в арифметическом трактате ан-Насави8. Метод извлечения квадратного и кубического корней у ал-Хорезми и ан-Насави проще методов предшественников.
А. 	П. Юшкевич и Б. А. Розенфельд в комментариях к трактату Джемшида Гиясэддина ал-Каши «Ключ арифметики» (М., 1956, стр. 327—334) и А П. Юшкевич в книге «История математики в средние века» (М.,
2 Мухаммед ал-Хорезми, Математические трактаты. Перевод Ю. X. К о п е л е в и ч а и Б. А. Розен- фельда. Комментарии Б. А. Р о з е н ф е ль д а, Ташкент, 1964.
3 Абу-л-Хасан Али ибн Ахмад ан-Насави, Достаточное об индийской арифметике. Перевод с арабского М. И. Медового. Примечания М. И. Медового при участии Б. А. Розенфельд а, «Истооико-мате- матические исследования», аып. XV, М., 1965.
81)


1961, стр. 231—234) отмечают, что вопрос об извлечении корня любой натуральной степени из числа и формула бинома для любого натурального показателя в арабской литературе впервые встречаются в произведении ал-Каши и указывают, что до ал-Каши этот вопрос рассматривали Абу-л-Вафа, ал-Бируни и Омар Хайям. К сожалению, их сочинения не дошли до нас.
Наши исследования показывают, что Насирэддин ат- Туси на 162 г., раньше ал-Каши, в XI разделе арифметического произведения «Сборник по арифметике с помощью доски и пыли» 4 изложил и обосновал метод извлечения корня любой натуральной степени и правило возведения бинома в любую натуральную степень.
Метод извлечения корня у ат-Туси5 по существу совпадает с методом, излагаемым его современником и учеником Низамэддином ан-Найсабури 6 и ал-Каши.
Но ан-Найсабури и ал-Каши записывают все промежуточные выкладки в одной таблице, а ат-Туси вычеркивал промежуточные цифры и записывал на их место цифры следующих вычислений. Все последующие руководства были основаны на вычислениях на бумаге без стирания результатов промежуточных действий. Первое из таких руководств принадлежит ан-Найсабури.
Ат-Туси дает общее правило извлечения корня любой натуральной степени из чисел, которое он подробно иллюстрирует на примере 6
/244140626.
Метод ат-Туси для определения целой части корня известен в настоящее время под названием метода Руффини — Горнера. Здесь мы изложим пример ат-Ту- си на языке современной символики.
б
Положим 244 140 626 = 10* 4- у,
тогда
244 140 626 = (10* 4- у)6. (1)
Раскрывая правую часть равенства (1) по формуле бинома, получим
244 140 626 = (10*)6 + 6 (10*)5 у + 15 (10*)4у2 +
4- 20(10*)3 у3 4- 15 (10*)2 у4 4- 6 (10*) у5 4- у6. (2)
Из последнего равенства видно, что 6-я степень десятков корня (1(*)в содержится в 244 миллионах и цифра десятков корня находится извлечением корня 6-й степени из 244. Эта цифра равна 2, т. е. * — = 2. Ат-Туси записывает степени 2 до 25 = 32 под числом 244, а число 26 = 64 вычитает из него, и, стерев 244, записывает на это место разность 244 — 64 = 180. В результате получается следующая запись:
2
180 140626 32 16 8 4 2
4 Это произведение закончено в 1265 г. на арабском языке. Рукописная копия этого подлинника объемом 70 стр., написанная в 1413 г., хранится в фондах Института востоковедения АН Уз. ССР под инв. № 8990.
5 Подробнее см.: Насир ад-Дин ат-Туси, Сборник по арифметике с помощью доски и пыли. Перевод с арабского С. А. Ахмедова и Б. А. Розенфель- д а. Примечания С. А. Ахмедова, «Историко-математические исследования», вып. XV, М., 1963, стр. 431—444.
6 Копия трактата ан-Найсабури «Солнечный трактат об арифметике» («Шамсияту фи-л ал-Хисоб») на арабском языке хранится в фондах Института востоковедения АН Уз. ССР под инв. JSls 6023 и 6425.
Подставляя найденное значение * ==» 2 в равенство (2) и преобразуя его, получим
180 140 626 = 6(10*2)5у 4- 15(10-2)*у2 +
4- 20(10*2)3уа 4- 15(10*2)2у4 4- 6(10*2) у5 4- у», (З)
или
180 140 626 *=» <р (у), (4)
где
?(У) - 6(10-2Уу -}- 15(10*2)4у2 J1 4~ 20(10*2)3у3 4* 15(10*2)2у4 4- 6 (10*2) у5 4- у®. (5)
Вычисляя коэффициенты многочлена <р(у), представим его в виде
<р(у)=~ 19200 ОООу 4- 2 400 000у2 +
+ 160 000у* 4- 6 000у4 4- 120у5 4- у\ . (6)
или
? (у) - {19 200 000 4- [2 400 000 4- ' [ 160 000 4~
4- "{6000 4- (120 4- у) у]"у]' у] у} у. (7)
Прежде чем найти цифры единиц корня, ат-Туси указывает способ вычисления коэффициентов <р (у) и потом на основании равенства (7) цифру единиц корня находит при следующих условиях: нужно найти наибольшую цифру у„ чтобы ср(ух) Не превосходила числа 180 140 626. Таким наибольшим числом является У1 = 5, т. е. <р(5) = 180 140 625. Вычитая <?(5) из данного числа, ат-Туси получает в остатке 1. Этот остаток показывает, что корень будет иррациональным числом. Его приближенное значение находится на основании следующих рассуждений.
Обозначим через а значение корня п-й степени из данного числа А с точностью до единицы (с недостатком), тогда п __
а<угА < я 4-1, или
л
/ А — а 4- г, (8)
где г < 1, откуда А — (а; 4- г)п.
Разложим правую часть равенства по степеням г по формуле бинома и найдем выражение для г.
А — ап
Г “ С\ап-' + С2пап-*г + ...+ гп~1 ~
А — ап А — ап
~ С\ап~1 + С\ап~2 + .,. -f-1 ” (<* + 1)" — а" • (9)
так как
(а + 1)" — ап = Сдая—* + С\ап—* + ... + 1. (Ю)
Из равенств (8) и (9) находим
+ (a+V:a„ ■ (И)
Из формулы (11) для приближенного вычисления дробной части иррационального корня из целого числа ат-Туси дает правило для вычисления разности (а 4- 1 )п — ап по формуле (10). Для этого он приводит правило получения биномиальных коэффициентов сначала для п = 6, а затем для общего случая и словесно выражает формулу бинома (а 4- Ь)п сначала для b ~ I, а затем для b > 1.


В рассмотренном ат-Туси примере
6 - 1
244 140 626 25 -{- ^>5 | I)6 256 1=3
“ 25 + 64 775 151'
Биномиальные коэффициенты, не равные 1, ат-Туси называет элементами показательной степени. Он говорит об основных свойствах биномиальных коэффициентов: коэффициенты, равноотстоящие от концов разложения, равны; между коэффициентами существует соотношение Скп = приводит таблицу
биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля) вплоть до 12-й степени бинома:
2
3 3
4
6
4
5
10
10
5
6
15
20
15
6
7
21
35
35
21
7
8
28
56
70
56
28
8
9
36
84
126
126
84
36
9
10
45
120
210
252
210
120
45
10
55
165
330
462
462
330
165
55
И
220
495
792
924
792
495
220
66
12
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1970/71 УЧЕБНЫЙ ГОД
Ноябрь
14 ноября — 125 лет со дня рождения итальянского математика Улиссе Дин и (1845—1918). Дини родился в г. Пизе, был профессором Пизанского университета. Ему принадлежат важные работы по теории функций действительного переменного, многочисленные работы по теории аналитических функций, в частности цилиндрическим функциям, по теории поверхностей и т. д. В 1878 г. Дини дал необходимое и достаточное условие непрерывности предельной функции в точке и сформулировал свою классическую теорему о монотонно сходящейся последовательности непрерывных функций. Дини занимался также алгеброй и дифференциальной геометрией. Наряду с немецкими математиками Ганкелем (1839—1873), Гейне (1821—1881) и другими развивал идеи об арифметическом обосновании понятия числа (см.: «Реферативный журнал математики», 1961, № 9; Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.—Л., 1951).
19 ноября — 70 лет со дня рождения советского математика, Героя Социалистического Труда, лауреата Государственной премии, академика АН СССР и АН УССР Михаила Алексеевича Лаврентьева (см.: «Математика в школе», 1961, № 1).
21 ноября — 125 лет со дня рождения русского математика-педагога Елизаветы Федоровны Литвин о- вой (см.: «Математика в школе», 1953, № 4).
Декабрь
2 декабря — 60 лет со дня рождения советского математика и геофизика, академика АН СССР, трижды лауреата Государственной премии Анатолия Алексеевича Дородницына. А. А. Дородницын родился в с. Башино Тульской области. В 1931 г. окончил Грозненский нефтяной институт. С 1936 г. работал в научно-исследовательских институтах и вузах Москвы и Ленинграда, с 1955 г. — директор вычислительного центра АН и непосредственный его организатор. Его труды посвящены проблемам динамической метеорологии, аэродинамике и математике; в частности, он изучал вопросы асимптотического поведения решений некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений (см.: «Биографический словарь деятелей естествознания и техники», т. 1, М., 1958; «Успехи математических наук», 1961, 16, № 2; «История отечественной математики», т. 3, Киев, 1968).
5 декабря — 200 лет со дня смерти шотландского математика, члена Лондонского Королевского общества
Джемса Стирлинга (1692—1770). Дж. Стирлинг окончил Оксфордский университет. Наиболее важным трудом Стирлинга является «Метод разностей или трактат о суммировании и интерполировании бесконечных рядов» (1730), который занимает видное место в исчислении конечных разностей и особенно теории рядов. В этой работе Стирлинг впервые дал асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд Стирлинга). Так называется формула Стирлинга п\ « у/’2Jtnnne~n, получаемая из ряда Стирлинга, имеет многочисленные применения в приложениях математики, особенно в теории вероятностей и математической статистике.
Другим важным трудом Стирлинга является «Ньютоновы кривые третьего порядка» (1717), в котором, в частности, со времен Валлиса он, по-видимому, первый предпринял попытку вывести свойства кривой из ее уравнения. Пользуясь своим методом, Стирлинг доказал несколько теорем, высказанных Ньютоном, и получил ряд новых результатов. Можно сказать, что теория высших алгебраических кривых получила надежное основание в трудах Ньютона и Стирлинга, взятых вместе (см.: БСЭ, 2-е изд., т. 41; Г. В и л е й т- н е р, История математики от Декарта до середины XIX столетия, М., 1966).
15 декабря — 60 лет со дня рождения советского математика, заслуженного деятеля науки Татарской АССР Владимира Владимировича Морозова. В. В. Морозов родился в г. Вологде, окончил Казанский университет (1930), доктор физико-математических наук (1943), профессор (1944). После окончания университета
В. 	В. Морозов работал в различных вузах г. Казани; с 1941 г. работает в Казанском университете, где с 1947 г. (после смерти Н. Г. Чеботарева) возглавляет кафедру алгебры. Основные работы В. В. Морозова относятся к различным разделам современной алгебры, главным образом к группам и алгебрам Ли. В 1942 г. он получил перечисление всех неполупростых максимальных подгрупп простых групп Ли. В. В. Морозов работает также в области истории математики, в частности истории математики в Казанском университете (см.: «Математика в СССР за 40 лет», тт. 1—2, М.— Л., 1959; «Математика в СССР. 1958—1967», тт. 1—2, М., 1968; «История отечественной математики», т. 3).
23 декабря — 80 лет со дня рождения известного советского математика-педагога, заслуженного деятеля науки РСФСР профессора В. М. Брадиса (см.: «Математика в школе», 1961, № 3; 1966, ,№ 1).
А. Ив БОРОДИН (et Донецк)
82


ЗА РУБЕЖОМ
швшашяшишишшшшяшшшявшшшяшшвшттяшшшшшшаяь
Б. П. БЫЧКОВ
(г. Кишинев)
Международная комиссия по математическому образованию
Международное общение математиков по вопросам математического образования началось с I Международного конгресса математиков, состоявшегося в Цюрихе в 1897 г. В 1899 г. в Женеве под редакцией Ш. Л е- зана и А. Фера начал издаваться журнал «L’Ensei- gnement mathematique», выходящий до настоящего вре мени. В редакционную коллегию входили крупнейшие математики того времени. В первой редакционной статье было указано, что одной из целей издания журнала является усовершенствование методов преподавания математики и приведение их в соответствие с достижениями науки, для чего необходимо международное общение.
На международных конгрессах математиков, начиная со второго (Париж, 1900 г.), стали организовываться секции преподавания математики. На IV конгрессе, проходившем в Риме в апреле 1908 г., была создана Международная комиссия по математическому образованию (МКМО) для сравнительного изучения методов и учебных планов математического образования в средних школах различных стран. Образование комиссии было поручено Ф. Клейну, Г. Гренхиллу и А. Феру, которые составили руководящий комитет комиссии под председательством Ф. Клейна. В сентябре 1908 г. комитет принял предварительный отчет об организации комиссии и общий план ее работы. В состав комиссии решено было включить одного-трех делегатов от стран, участвовавших по меньшей мере в двух международных конгрессах; каждая из таких стран (их было 18) получила право на один решающий голос. Остальные страны приглашались быть представленными каждая одним делегатом без права решающего голоса. Руководящий комитет был преобразован в Центральный комитет; официальным органом был утвержден журнал «L’Enseignement mathematique». На ближайшее время целью комиссии было опубликовать общий отчет о современных направлениях^ математического образования
в различных странах, а также сформулировать общие принципы, которыми могли бы руководствоваться учителя для улучшения своей работы. В помощь делегатам для составления отчетов образовывались национальные подкомиссии. Отчеты должны были содержать две части: современное состояние организации и методов обучения математике и современные тенденции математического образования. Каждая часть должна была состоять из 5 глав: 1) типы школ, 2) цели математического образования и учебные предметы, 3) экзамены,
4) 	методы обучения, 5) подготовка учителей. Среди других предложений рекомендовалось исследовать возможность введения в среднюю школу таких понятий, как функция, группа, множество.
Центральным комитетом МКМО в 1910 г. на совещании, созванном в Брюсселе, были обсуждены изучение геометрии в средних школах Германии и постановка технического образования во Франции. С докладом «Взаимопроникновение чистой и прикладной математики в среднем образовании» выступил К. Б у р л е.
Первое пленарное заседание комиссии было проведено в Милане (1911). По широкому охвату стран (22) и значению обсуждавшихся вопросов это заседание решено было считать I Международным съездом по математическому образованию. Работа съезда была сосредоточена на двух вопросах: 1) систематичность изложения математики в средней школе (докладчик Г. Кастел ь- нуово), 2) фузионизм в преподавании различных предметов (III. Биош).
На V Международном конгрессе математиков (Кембридж, 1912 г.) три заседания секции по математическому образованию были посвящены работе МКМО. К этому времени комиссия подготовила и опубликовала 280 отчетов о состоянии преподавания математики в различных странах. В ЦК МКМО был введен четвертый член — Д. Смит. Отчет о деятельности комиссии с 1908 по 1912 г. представил А. Ф е р, были заслушаны краткие отчеты делегатов 20 стран. Основной доклад «Интуиция и опыт в преподавании математики в средней школе», обобщающий данные национальных подкомиссий, сделал Д. Смит, а доклад «Математическая подготовка физиков в университете» — К. Р у н г е.
В 1914 г. МКМО организовала международную конференцию в Париже, на которой присутствовало 150 человек, представлявших 15 стран. В МКМО входило уже 28 стран; было опубликовано 300 отчетов. Состав ЦК с 1913 г. увеличен до 7 человек, были избраны еще Ж. Адама р, Г. Кастельнуово и Е. Чубе р. На открытии конференции с докладом о результатах реформы 1902 г. во Франции выступил Г. Д а р б у. Конференция обсудила результаты введения дифференциального и интегрального исчислений в старших классах, а также место и роль математики в высшем техническом образовании. С докладом «Согласование преподавания в средней школе с прогрессом науки», в котором обосновывалась необходимость реформы, выступил Э. Б о- р е л ь.
Первая мировая война затормозила на многие годы работу МКМО. При образовании комиссии в Риме ей было поручено заняться исследованием преподавания математики в общеобразовательной средней школе, но в процессе работы она расширила поле деятельности, включив технические, профессиональные и высшие школы. Этим обстоятельством, а также прекращением работ в связи с войной объясняется то, что комиссия успела закончить только исследование современных направлений математического образования и не приступила к формулировке общих принципов, которые можно было бы рекомендовать учителям для улучшения работы. Комиссия не пыталась унифицировать преподавание математики в различных странах и не навязывала никому свою точку зрения, а стремилась предоставить возможность учителям и математической общественности каж¬
83


дой страны ознакомиться и изучить опыт других стран с тем, чтобы способствовать осуществлению прогресса математического образования в своей стране.
Под влиянием идей реформистов в ряде стран произошла смена программ и были внесены некоторые изменения в методы преподавания. Основные изменения в программах до 1914 г. характеризуются следующим:
1) 	сближением с математической наукой, введением новых разделов и идей (функция, производная, интеграл, движение); 2) усилением связи теории с практикой;
3) 	установлением более тесной связи между математическими предметами и между математикой и родственными дисциплинами; 4) исключением разделов, не имеющих общеобразовательной ценности. В методах преподования наметился сдвиг в сторону более разумного сочетания интуиции и логики, отказа от преобладания памяти над логикой.
Представители русской передовой методической мысли занимали в МКМО одно из ведущих положений. В первый состав комиссии от России вошли: академик
Н. 	Я. Сони н, проф. Б. М. Коялович и директор II реального училища в СПб. К. В. Фохт. В 1910 г. был утвержден состав русской национальной подкомиссии в количестве 22 человек, среди них: В. Ф. Kara и, Д. Д. Мордухай-Болтовский, М. Г. Попру- женко, К. А. Поссе, Д. М. Синцов и другие. В следующем году ’ на съезде в Милане Д. Синцов и Б. Коялович, докладывая о работе подкомиссии, представили 5 отчетов, а на конгрессе в Кембридже таких отчетов было представлено уже 13. Идеи реформы широко обсуждались и поддерживались на страницах журналов, в математических и педагогических обществах, на всероссийских съездах преподавателей математики.
V Международный конгресс математиков в Кембридже (1912) одобрил работу МКМО и предложил комиссии представить очередной доклад VI конгрессу, который предполагалось созвать в Стокгольме в 1916 г. Война помешала организации этого конгресса, и очередной конгресс был созван лишь в 1920 г. в Страсбурге. Международные связи восстанавливались после войны очень медленно. На конгресс в Страсбурге не были приглашены немецкие математики, а также представители стран, союзных Германии; не смогли присутствовать и математики социалистической России. Ввиду отсутствия председателя Ф. Клейна отчет о деятельности МКМО был представлен Д. Смитом. На следующем Международном конгрессе математиков в Торонто (1924) немецкие, австрийские и венгерские математики вновь отсутствовали; отчет МКМО не был представлен. Эти последние два конгресса по решению их участников не были признаны международными.
Только к Международному конгрессу математиков в Болонье (1928) благодаря активности бессменного генерального секретаря комиссии А. Ф е р а удалось возродить деятельность МКМО. К этому времени умерли Ф. Клейн (1925), Е. Чубер (1926) и Г. Гренхилл (1927), в составе ЦК комиссии осталось 4 человека: Д. Смит (председатель), Г. Ка-
стельнуово и Ж. Адамар (вице-председатели) и А. Фер (ген. секретарь). А. Ф е р представил краткий отчет о деятельности МКМО за 20 лет и рассказал о ближайших перспективах работы комиссии. В отчете отмечалось, что большая часть запооектироват*- ных работ выполнена, но осталась невыполненной важная работа по исследованию подготовки учителей математики, которой комиссия придавала особое значение как завершающей, что по этому исследованию разработан общий план и комиссия готова возобновить работу. В результате последовавших дискуссий было предложено продлить полномочия ЦК, введя в его состав В. Л и т ц м а н а, просить ЦК комплектовать
комиссию так, чтобы в ней были представлены все страны, участвующие в конгрессе (таких было 31), и обеспечить сотрудничество их правительств. На заседаниях секции дидактики математики было заслушано 25 докладов и сообщений, из которых большинство касалось вопросов преподавания математики. Поступило также предложение о создании комиссии по унификации терминологии в элементарной математике.
С 1928 по 1932 г. в журнале «L’Enseignement mathe- matique» публиковались отчеты об основных изменениях в преподавании математики в некоторых странах с 1910 г. Эти отчеты (их было 13) явились своего рода продолжением отчетов, печатавшихся до первой мировой войны.
На Международном конгрессе математиков в Цюрихе (1932) МКМО был представлен общий доклад «Теоретическая и практическая подготовка учителей математики в различных странах» (Дж. Л о р и я) и доклады 14 национальных делегаций. Конгресс решил просить комиссию продлить работу до 1936 г. и избрал новый состав ЦК: Ж. Адамар (председатель),
П. Хеегард, В. Литцман, Дж. С корца (вице- председатели), А. Фер (ген. секретарь). Общий отчет и отчеты национальных делегаций были опубликозаны в 1933—1934 гг. На основании решения, принятого на конгрессе в Цюрихе, ЦК просил национальные делегации представить к очередному конгрессу отчеты о современных направлениях математического образования в их странах. На Международном конгрессе математиков в Осло (1936) 11 стран представили отчеты.
Краткий обзор деятельности комиссии с 1932 по 1936 г. сделал А. Фер. Конгресс просил МКМО продолжить свою работу, оставив на усмотрение ЦК определение объектов исследования. Но вторая мировая война и послевоенные трудности вновь на долгое время прервали работу комиссии.
В период между двумя войнами деятельность МКМО была менее активной, чем до первой войны; вся тяжесть работы комиссии легла на плечи А. Ф е- р а, благодаря активности которого комиссия продолжала существовать. Страны, ставшие на путь реформы преподавания математики до 1914 г., продолжали ее расширять.
Почти все реформы этого периода характеризуются введением фуркации. Кроме изменений, осуществлявшихся до 1914 г., более ощутимо проявляется стремление к раннему введению буквенной символики, постепенный переход от индуктивных методов к дедуктивным, введение лабораторных работ, активизация учащихся, более широкое использование историзма. Как правило, намечается отход от формальных методов обучения. Больше внимания начинает уделяться выявлению одаренных учащихся. Так, например, в Дании в двух последних классах вводятся специальные занятия по 2 часа в неделю для ученнков с математическими способностями. Но все эти реформы проходили в ожесточенной борьбе, так как по мере роста реформистского движения росло и сопротивление.,
После второй мировой войны Международный конгресс математиков собрался в 1950 г. в Кембридже (США). На этом конгрессе был основан Международный математический союз (ММС). На первой Генеральной ассамблее союза, состоявшейся в марте 1952 г. в Риме, была удовлетворена просьба ЦК МКМО о прикреплении к ММС; это прикрепление оправдывалось тем, что цели, преследуемые комиссией, составляли фактически часть целей, предусмотренных уставом ММС. Был создан комитет для реорганизации комиссии, в который вошли еще 6 новых членов, и образован исполнительный комитет МКМО под председательством А. III а т е л е. В знак признания таслуг
А. 	Ф е р а на посту генерального секретаря комиссии с
84


1908 по 1958 г. он был избран почетным председателем.
На Международном конгрессе математиков в Амстердаме (1954) комиссия выступила впервые публично после реорганизации. Было представлено 11 отчетов национальных подкомиссий на темы^ 1) «Роль математики и математиков в современной жизни»,
2) 	«Обучение математике учащихся в возрасте 16— 21 г.».
По первой теме обобщающий доклад сделал Д. Куре п а. Отметив современные математические идеи и методы, докладчик пришел к выводу, что в этом направлении следует развивать и математическое образование в школе. В этом докладе, а также в статье «Принципы обучения математике» (1955) Д. Курепа сформулировал требования к модернизации преподавания математики. В основу радикальной перестройки преподавания математики в школе следует положить понятия множества, преобразования и структуры. В статье говорится о том, что обучение и его результаты должны проверяться научно с точки зрения их значения как в психологическом, так и в математическом плане. С докладом о принципах преподавания математики в школе Д. Курепа выступил и на конгрессе в Эдинбурге (1958).
По второй теме была организована выставка учебной литературы и выступили докладчики отдельных стран.
1 сентября 1954 г. в Гааге состоялось заседание Генеральной ассамблеи ММС, на котором был утвержден новый устав МКМО. А. Ф е р был утвержден пожизненно почетным председателем. Председателем МКМО на период с 1955 по 1959 г. был избран Г. Бенке (ФРГ). В июле 1955 г. был проведен симпозиум в память об А. Фере (1870—1954), на котором обсуждался вопрос о несоответствиях между обучением математике в средней и высшей школе.
С 1954 по 1958 г. работа МКМО активизировалась, проводились симпозиумы, конференции, среди последних отметим Брюссельскую (1957), посвященную обучению геометрии в средней школе. К Международному конгрессу в Эдинбурге (1958) комиссия подготовила выставку и три доклада: 1) «Математическое обучение в возрасте до 15 лет» (Г. Фер, США), 2) «Научные основы математического обучения в средней школе» (Г. Бенке, ФРГ), 3) «Сравнительное исследование методов обучения началам геометрии» (Г. Фрейденталь, Голландия). Одно заседание было посвящено обсуждению 5 докладов, представленных Американским комитетом по математическому образованию, среди которых был доклад о преподавании математики по телевидению (К. Аллендорф). На выставке были представлены книги, журналы, документы, всего около 2000 работ, о математическом образовании учеников 11—12 лет (связь с начальным образованием) и 18—19 лет (связь с высшим образованием).
Перед открытием Международного конгресса математиков в 1958 г. состоялась Генеральная ассамблея ММС, на которой Г. Бенке представил отчет о деятельности МКМО с 1955 по 1958 г. Ввиду разнообразия школьных систем Г. Бенке предложил создать «региональные группы». Выразив интерес к работам стран европейской группы, общее собрание рекомендовало организацию подобных групп и в других странах. Было принято решение об изменении устава МКМО. Комиссия впредь должна была состоять из 10 членов, избираемых ММС, и по одному представителю от каждой национальной подкомиссии. Председателем МКМО на четыре года с 1 января 1959 г. был избран М. Стоун (США). От СССР в состав комиссии вошел А. Д. Александров.
С 1959 по 1962 г. расширились связи МКМО с ЮНЕСКО и другими организациями, были проведены
следующие конференции, семинары, симпозиумы: о
модернизации преподавания математики (Раймонт, Дубровник, 1960 г.; Болонья, 1961 г.), о связи в преподавании математики и физики (Белград, 1960 г.), об изучении математического анализа в школе и университете (Лозанна, 1961 г.). В декабре 1961 г. в Боготе (Колумбия) состоялась I Межамериканская конференция по математическому образованию, которая сосредоточила свое внимание на поисках путей модернизации преподавания в школе. Этому же вопросу было посвящено Международное совещание в Болонье (1962).
* На Международном конгрессе математиков в Стокгольме (1962) МКМО представила 3 доклада: 1) «Какие темы современной математики и какие приложения современной математики могут найти место в программах средних школ» (Д. К ем е ни, США),
2) «Связь между арифметикой и алгеброй в преподавании математики детям в возрасте до 15 лет» (С. С т р а ш е в и ч, Польша), 3) «Подготовка учителей для преподавания математики на различных уровнях» (К. Пиене, Норвегия). Центральным докладом был первый, в котором обобщались данные 21 отчета национальных подкомиссий о попытках модернизации программ преподавания математики в школах. Подчеркнув хорошие начинания в ряде стран, Д. Кем е- н и отметил, что в большинстве отчетов предлагается для введения в школьные программы четыре рачздела современной математики: 1) элементарная теория множеств, 2) введение в математическую логику,
3) некоторые темы современной алгебры (группы, кольца, поля, линейная алгебра), 4) введение в теорию вероятностей и статистику; указывается на необходимость модернизации языка и познавательной структуры школьной математики; отмечаются традиционные темы, преподавание которых может быть улучшено, применяя современные трактовки. Среди тем, подлежащих сокращению, чаще всего предлагается сократить время на изучение синтетической геометрии, тригонометрии, в особенности на решение треугольников, на изучение геометрических тел.
Председателем МКМО на период с 196Э по 1967 г. был избран А. Лихнерович (Франция), от СССР в состав комиссии вошел А. Н. К о л м о г о р о в. К этому времени в состав МКМО входило 32 страны.
С 1963 по 1966 г. значительно расширились международные связи МКМО, в основном благодаря решению исполкома комиссии (1964) об организации национальных подкомиссий в странах, не входящих в ММС. Усилились связи с ЮНЕСКО и другими международными организациями. С ЮНЕСКО было установлено сотрудничество по линии создания центра документации и информации о математическом образовании, пубикаций отчетов о математическом образовании в университетах 8 стран (Франция, Англия, СССР, США, ФРГ, Чехословакия, Япония, Польша) и о новых тенденциях в школьном математическом образовании.
Международная конференция, посвященная новым методам обучения, была проведена в Афинах (1963). Международные коллоквиумы были проведены в 1964 г. во Фраскати (Италия)—«Математика при поступлении в университет, настоящее положение и желаемое»— и в Утрехте (Голландия)—«Современные тенденции в преподавании математики в средней школе»,— на последний были приглашены и делегаты африканских стран; в 1965 г. в Дакаре (Сенегал) — «Преподавание математики в связи с преподаванием других предметов» — и в Эхтёрнахе (Люксембург) — «Влияние математических исследований на преподавание». В Дели в 1966 г. проходила Международная конференция по преподаванию математики.
85


К Международному конгрессу математиков в Москве (1966) комиссия подготовила три доклада: 1) «Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии» (А. Крыговская, Польша),
2) 	«Преподавание математики физикам» (К. Пиз о, Франция), 3) «Использование аксиоматического метода в старших классах» (Г. Штейнер, ФРГ). Работы конгресса достаточно широко освещались на страницах журнала «Математика в школе».
Председателем МКМО на очередной срок был избран Г. Фрейденталь (Голландия), от СССР в состав комиссии вошел С. Л. Соболев.
В 1967 г. в Дакаре состоялся конгресс по координации в преподавании предметов естественно-математического цикла В сентябре 1968 г. в Варне (Болгария) состоялся Международный конгресс по интеграции естественноматематического цикла.
Деятельность МКМО в настоящее время сосредоточена в основном вокруг вопросов модернизации преподавания математики в средней и высшей школе. В этом направлении комиссия сотрудничает с рядом международных организаций: ЮНЕСКО, Междуна¬
родной комиссией по вопросам изучения и усовершенствования преподавания математики, Международной
комиссией по научному образованию и др. Совместно с ЮНЕСКО, например, публикуются исследования современных направлений в обучении математике, а также был проведен в Бухаресте (1968) Международный коллоквиум, посвященный модернизации преподавания математики в средней и высшей школе европейских стран К 1969 г. МКМО подготовила и провела в Лионе (Франция) I Международный конгресс по преподаванию математики. Конгресс рекомендовал проводить как можно более энергично модернизацию преподавания математики как в отношении изменения содержания программ, так и методики преподавания. Для этого необходимо всемерно развивать международное сотрудничество и обмен информацией. Поэтому конгресс рекомендовал МКМО изучить вопросы обмена информацией о преподавании математики в различных странах, в частности вопрос о создании международных информационных центров и издании Международного информационного бюллетеня.
1 Б. И. Бычко в, Международный коллоквиум, посвященный модернизации преподавания математики, «Математика в школе», 1969, № 6.
К. А. КРАСНЯНСКАЯ, Е. М. СОКОЛОВ
(Москва)
Международное исследование по изучению уровня и характера подготовки учащихся
общеобразовательной школы1
В 1960 г. при Институте педагогики ЮНЕСКО в Гамбурге был создан Совет для проведения «Международного исследования уровня и характера подготовки учащихся общеобразовательных школ».
Среди организаторов исследования были известные ученые Р. Л. Торндайк (США), Т. Хюсен (Швеция), Д. А. Пиджен (Англия) и другие. Руководство всем проектом по рекомендации Совета принял на себя Т. Хюсен, профессор Стокгольмского университета, заведующий кафедрой педагогики и психологии Стокгольмского высшего педагогического училища.
Вопрос о способах осуществления дифференцированного обучения продолжает оставаться центральным в дискуссиях, посвященных модернизации современной школы. Поэтому одной из главных целей данного ис-
1 IEA — International Project for the Evalution of Educational Achievement.
следования являлось выяснение эффективности двух систем обучения: «элитарной» и «единой». Первая система предлагает два неравноценных пути получения образования в зависимости от результатов проверки знаний и развития учащихся, которая проводится на определенных ступенях обучения (различных для разных стран). Учащиеся, получившие высокие оценки, поступают в школы, подготавливающие их к 18—20 годам к поступлению в высшие учебные заведения. Остальные поступают в школы, дающие к 15—16 годам лишь элементарную подготовку по всем предметам.
Особенность так называемой единой системы (США, Япония, Швеция) состоит в том, что продолжительность обучения формально одинакова для всех учащихся. Нет ни второгодничества, ни отсева неуспевающих. Школьная программа состоит из обязательных курсов и различных по характеру и уровню сложности курсов по выбору. Учащиеся вольны выбрать для изучения любые из этих курсов и в зависимости от этого выбора получить различное по уровню и характеру образование. Считается, что пожелания учащихся обусловливаются не внешними социально-экономическими условиями, а их личными качествами (способностями, интересами, прилежанием и т. п.).
В качестве задач исследования было выделено несколько проблем.
а) Выяснение влияния системы обучения на подготовку очень способных и малоспособных учащихся, на развитие интереса к предмету, на глубину и объем знаний учащихся школ разного типа.
б) Сравнение эффективности содержания и методов обучения с учетом числа учебных часов, выделенных на предмет, средств, отпускаемых на каждого ученика в год, и др.
в) Выяснение влияния личности учителя (стаж, образование, взгляды на цели обучения и др.) на подготовку учащихся.
На первом этапе (1961 —1966) объектом исследования стало изучение математической подготовки учащихся,
86


на втором (с 1967 г.)—изучение усвоения предметов гуманитарного и естественнонаучного циклов2. Одной из причин выбора математики является сравнительная простота составления контрольных заданий, а также желание изучить влияние проводящейся в настоящее время модернизации математического образования. Основные направления модернизации: введение новых разделов математики (статистики, теории вероятностей и др.) вместо некоторых традиционных курсов; ознакомление учащихся с фундаментальными основами школьной математики, со структурой построения математических систем, с элементарной логикой и др.; организация изучения учащимися математики путем самостоятельных открытий с использованием индуктивных методов.
Таким образом, наряду с изучением влияния организации системы обучения на уровень образования учащихся выяснялась эффективность каждого из направлений модернизации математического образования. Для решения поставленных задач авторы проекта составили ряд гипотез. Приведем некоторые из них.
1. 	Содержание и методы обучения
а) Обучение по экспериментальным программам повышает уровень развития учащихся по сравнению с традиционными программами.
б) Большая свобода учителя в выборе содержания и методов обучения при одной и той же программе по математике способствует, большему развитию учащихся.
в) Исследовательский метод в изучении математики способствует более высокому и менее изменчивому уровню выполнения учащимися заданий, связанных с «высшей» умственной деятельностью (см. стр. 88).
' 2. Организация обучения
а) Между процентом учащихся данного возраста, отобранных для продолжения обучения, и средним уровнем их успеваемости (средняя оценка по тестам) существует обратная зависимость.
б) Успеваемость учащихся (средняя оценка по тестам) в 13 лет не зависит от возраста, с которого начинается обязательное обучение в стране.
в) Учащиеся в 13 лет проявляют наибольший интерес к математике (особенно в странах с обязательным средним образованием).
3. 	Влияние социально-экономических условий
а) Усвоение основного содержания курса и овладение основными умениями и навыками не зависят от социально-экономического положения учащихся (в то же время владение материалом повышенной трудности зависит от этого фактора).
б) Учащиеся в 13 лет проявляют интерес к математике, если их родители являются специалистами по техническим или естественнонаучным дисциплинам.
в) Социально-экономическое положение родителей 13-летних учащихся и выпускников средней школы существенно различно.
г) Учащиеся городских и сельских школ, работающие по одинаковой программе, различаются по уровню математической подготовки.
Проверка гипотез проводилась путем сравнения результатов выполнения учащимися специально составленных тестов, а также ответов учащихся, учителей,
2 В решении задач первого этапа исследования приняло участие 12 стран: Австралия, Англия, Бельгия, Израиль, Нидерланды, США, Финляндия, Франция, ФРГ, Швеция, Шотландия, Япония.
директоров школ и работников национальных центров на анкеты. Содержание анкет было направлено на выяснение особенностей организации школьного обучения, процесса обучения и изучения математики в каждой стране.
Учащиеся отвечали на вопросы относительно состава класса, времени, необходимого для подготовки уроков, образования и профессии родителей, планов на получение дальнейшего образования и т. п.
Учителя сообщали сведения о своем возрасте, образовании, предметах, которые они преподают, стаже, прохождении курсов усовершенствования, посещении лекций, семинаров, знакомстве с новой литературой по предмету и новыми математическими теориями, высказывали свое мнение относительно учебников, программ и т. д.
Директора школ сообщали сведения о типе школы, числе учащихся, числе учителей,. финансовом бюджете, экспериментальной работе и т. п.
Национальные центры должны были дать сведения о числе учащихся в каждом типе школ, критериях отбора учащихся для этих школ, структуре обучения в стране, продолжительности школьного года, об учебном плане, зарплате учителя, о мерах по поддержанию и развитию у учащихся интереса к математике вне школы (олимпиады, клубы и т. д.) и др.
Дополнительно к этому выяснялось отношение учащихся к математике, ч трудностям в ее изучении, к месту математики в обществе, к школе и школьным занятиям, к человеку и окружающей его среде.
Для сравнительного изучения были отобраны 4 совокупности учащихся:
1а — учащиеся от 13 лет до 13 лет 11 месяцев (независимо от того, в каком классе они занимаются);
16 — учащиеся тех классов, в которых обучается большинство учащихся в возрасте 13 лет—13 лет 11 месяцев 3;
2 — учащиеся выпускного класса школ, готовящих к поступлению в высшие учебные заведения: 2а — учащиеся, изучавшие расширенный курс математики, и 26 — учащиеся, изучавшие математику в качестве общеобразовательного предмета.
На основе докладов стран — участниц проекта были сформулированы основные цели обучения математике, относящиеся к содержанию обучения (разделы математики, подлежащие изучению) и результатам обучения (навыки, умения, знания, которыми должны обладать учащиеся после изучения того или иного раздела курса математики). Для проверки было выделено несколько основных разделов курса математики (см. табл.) и ГО наиболее важных результатов обучения:
1) знание определений, формул, действий, обозначений и понятий;
2) вычислительные навыки, навыки тождественных преобразований, навыки построений;
3) умение интерпретировать данные, записанные символами;
4) умение записать условие задачи в символах;
5) умение следовать за ходом готового доказательства;
6) умение самостоятельно проводить доказательства;
7) умение применять знания к решению математических задач;
8) умение применять знания к решению нематематических задач;
9) умение анализировать задачу и определять операции или действия, которые надо произвести для 1 ее решения;
3 Совокупности 1а и 16 выбраны в связи с тем, что в большинстве стран учащиеся данного возраста заканчивают обязательное обучение,
87


10) 	умение сделать обобщение на основе анализа частных случаев.
Одновременно были определены процессы умственной деятельности, подлежащие изучению:
а) воспроизведение определений, понятий, обозначений;
б) техника и навыки решений математических задач;
в) перевод условия текстовых задач на язык символов и обратный перевод;
г) умение анализировать задачу, рассуждать;
д) способность творчески мыслить при решении математических задач.
Процессы, указанные в пунктах а и б, были отнесены к «низшей» умственной деятельности, а процессы, указанные в пунктах в, г, д,— к «высшей».
Каждое задание, включенное в тесты, учащийся должен был выполнить, если он вообще мог его выполнить, за 10—15 минут. Задания составлялись так, чтобы ответ ученика можно было оценить однозначно: верно или неверно. Поэтому большая часть заданий (144 из 174) была избирательного типа — вопрос сопровождался готовыми ответами.
Всего было составлено 9 тестов (см. табл.) по 15—24 задания в каждом. Содержание тестов не было связано с особенностями программы (последовательностью изучения материала и др.) и организацией обучения (системой перевода учащихся из класса в класс и др.) в странах. Из этого следует, что к математической подготовке учащихся заранее не предъявлялось определенных требований.
Некоторое представление о содержании заданий, включенных в тесты, дает таблица.
Среди учащихся тесты проводились следующим об* разом: совокупность 1а, 16— тесты А, В и С; совокупность 26 — тесты 3, 5 и 6; совокупность 2а — тесты 5, 7, 8 и 9.
Общим показателем уровня математической подготовки учащегося считалось число верных ответов (с поправкой на возможность угадывания ответов на изби¬
рательные задания), данных им на все задания. Кроме того, для каждого учащегося определялись показатели развития отдельных сторон математической подготовки. Так, для учащихся 13 лет были выделены следующие аспекты: «низшая» и «высшая» умственная деятельность, умение решать текстовые задачи, вычислительные умения, навыки тождественных преобразований, усвоение новых разделов курса математики, усвоение основного курса арифметики и более сложных разделов арифметики, элементарной алгебры и др.
Наибольший интерес для нас представляют вопросы, на основе которых проводилось изучение уровня «высшей» умственной деятельности и усвоения новых разделов математики. Содержание этих вопросов дает представление об уровне сложности контрольного материала и о разделах курса математики, включенных отдельными странами в школьную программу за последние годы.
Приведем некоторые задания, взятые из разных тестов.
Совокупности 1а и 16
Вопросы для проверки «высшей» умственной деятельности
1. Объем коробки равен 100 куб. см. Другая коробка в 2 раза длиннее, в 2 раза шире и в 2 раза выше. Каков ее объем?
2. В школе 227 мальчиков. Каждый мальчик является членом либо спортивного, либо музыкального клуба, а часть мальчиков являются членами обоих клубов. В музыкальном клубе 120 членов, из них 36 являются одновременно членами спортивного клуба. Сколько всего членов в спортивном клубе?
3. Какое из следующих утверждений будет верным для параллелограмма ABCD, у которого точка В—вершина острого угла:
а) АВ < ВС; б) АВ^ВС; в) АВ > ВС; г) AC<BD; д) ни одно из перечисленных?
Таблица
Число заданий в тесте
Разделы курса
Условное обозначение тестов
Всего
заданий
А
в
С
3*
4
5
6
7
8
9
Основной курс арифметики . . • • •
6
6
3
3
15
Повышенный курс арифметики . • • •
6
7
5
2
2
3
4
27
Начальная алгебра
5
4
3
4
1
1
14
Алгебра (промежуточный курс) ....
1
2
1
2
7
7
4
8
4
34
Геометрия Евклида
5
2
6
6
6
5
2
26
Аналитическая геометрия
1
1
3
1
1
1
3
10
Множества
2
2
2
1
2
3
1
11
Тригонометрические круговые функции
1
2
2
5
Анализ
1
1
1
3
6
Дифференциальное и интегральное
исчисление
9
9
Вероятность
1
4
5
Логика . . .
1
1
4
3
9
Аффинная геометрия
3
!
3
Итого
23
24
23
20
18
21
17
17
16
15
174
Тест 3 составлен из заданий, взятых из тестов А> В и С.
88


4. Один звонок звонит через каждые 8 минут, другой— через каждые 12 минут. В один момент они зазвонили вместе. Через сколько минут после этого они снова зазвонят одновременно: а) в первый раз, б) во второй раз, в) в десятый раз?
5. Если числитель и знаменатель правильной дроби увеличить на 2, то полученная дробь будет а) равна первоначальной дроби; б) больше первоначальной дроби; в) в 2 раза больше первоначальной дроби; г) меньше первоначальной дроби; д) на 1 больше, чем первоначальная дробь.
Вопросы для проверки усвоения новых разделов курса математики
1. Какое из следующих утверждений ложно, если а и b — действительные числа, аФЬ:
а) (а + Ь) + с = а 4- (Ь + с); б) ab — ba; в) а +6 = = 6-f- а; г) (ab)c-a(bc); д) а — Ъ — Ъ — а?
2. Какие из следующих чисел в двоичной системе счисления четные: I) 110011; II) 110010; III) 110101;
IV) 	100100?
а) Только I; б) только III; в) только I и III; г) только II и IV; д) I, III и IV.
3. Пусть выражение а; Ь означает множество целых чисел, расположенных между числами а и Ь. Например, множество 3; 7 состоит из чисел 4, 5 и 6. Какая из следующих пар множеств содержит наибольшее число целых чисел:
а) 0; 15 и 7f~20; б) бГЙ и 5ГТГ; в) 5Пб и 16; 30; г) 4П8 и 8Г20; д) 0ГТ2 и ~бГТ2?
4. Какова область значений переменной х, для которых верно неравенство
5* + !-<-2*--?-?
а) д:< — б)х<—у; Ь) *>0; г)
д) д:>—.
5. Символ Рр|0 обозначает пересечение множеств Р и Q, символ P(JQ обозначает объединение множеств Р и Q. Какое из следующих выражений обозначает заштрихованную часть диаграммы (черт. 1):
а) (А' П П U М; б) Х[)(УГ\М); в) Х[\ П (УиМ); г) д) (Х{]У){\М?
Черт. I
Совокупность 26
Вопросы для проверки «высшей» умственной деятельности
1. 	В ABAC ВА — ВС, DEJlAC, CD — прямая линия (черт. 2).
A MBD — равнобедренный, потому что a) ZD—
Z.BMD, так как каждый из них является дополнительным утлом к равным углам А и С; б) MB = BD, так как ZD = ^/1; в) его стороны параллельны сторо-
0
нам ABAC; г) его стороны перпендикулярны сторонам А ВАС; д) ZD = ZBMD, так как оба равны половине угла, пополнительного к углу А.
2. Кусок проволоки длиной 52 дюйма разрезан на 2 части, каждая из этих частей согнута в форме квадрата. Общая площадь обоих квадратов равна 97 кв. дюймов. Чему равна длина стороны меньшего квадрата?
3. Графиком какого из следующих уравнений является график, изображенный на чертеже 3:
а) У— (1— *)(*—2); б) у= (1— х)(2—х); в) у = = (1— х)(2—х)2; г) */ = (1— х)2(х—2); д) у= (\—х)2 X X (2—х)?
4. Несколько студентов надо расселить в общежитии. Если в каждую комнату поселить по 2 студента, то 2 студента останутся без места. Если в каждой комнате поселятся 3 студента, то две комнаты останутся свободными. Сколько комнат в общежитии?
5. Радиоактивное вещество распадается согласно формуле у = у0 e~kt, где у — мясса вещества через t дней и у0 —- масса вещества при t — 0. Найдите значение константы k для вещества, период полураспада которого равен 4 дням.
11 -L
а) -т- In 2; б) In -3-; в) log2e; г) (In 2)4;
Д) 2<?4.
6. Торговец канцелярскими товарами хочет сделать карточку 8 см длины и такой ширины, чтобы при разрезании этой карточки на две равные части начальная ширина стала длиной и форма каждой части была подобна форме начальной карточки. Какова должна быть первоначальная ширина карточки?
а) 4; б) 4/2; в) 5^2"; г) 5|/3"; д) 6.
7. На чертеже изображен параллелограмм ABCD. Выполнения какого из следующих условий достаточно
89


для того, чтобы параллелограмм ABCD был прямоугольником:
a) AD " ВС; б) ZBAC = ZACD; в) Z.BAD— /.ЛВС;
г) Z.BAD и Z.ACB являются пополнительными углами;
д) АС и BD взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам?
Вопросы, проверяющие усвоение новых разделов курса математики
1. Ниже даны определения новой операции, названной « *», через знакомые вам операции над действительными числами:
а) х*у = ; б) х*у = х — у;
в) х*у = х (х + у); г) х*у = ;
д) х*у = х2 + ху2 + у4.
Для какой из определенных таким образом операций свойство у*х=у*х выполняется для всех положительных действительных чисел х и у?
2. Четверо мужчин, имена которых начинаются с разных букв, выстроены в ряд. Какова вероятность того, что они стоят в алфавитном порядке слева направо?
а) 120 ’ ^ 24 ’ 12"’ ТГ’ Д) 'Т‘
3. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Какое из следующих множеств чисел совпадает с множеством им обратных чисел:
а) {1; 2; 3}; б) {l; в) {1; 2; -|-} ;
г) {2; 3; 5; ± ; —} ; д) {2; 3; -|-}?
4. На диаграмме (черт. 4) каждая область обозначена цифрой. Круг X обозначает множество правильных
многоугольников. Круг У -- множество четырехугольников. Круг М — множество равносторонних треугольников. Какие области на диаграмме не содержат ни одного элемента?
а) 1, 3 и 5; б) 2, 3 и 4; в) 1, 6 и 7; г) 1, 3 и 7;
д) 	3, 6, и 7.
Совокупность 2а
Вопросы для проверки «высшей» умственной деятельности
1. Поезд прошел некоторое расстояние с постоянной скоростью. Если бы скорость поезда была на 8 миль в час больше, то на весь путь ушло бы на 1 час меньше. Если бы скорость была на 12 миль в час меньше, то на весь путь ушло бы на 2 часа больше. Какое расстояние прошел поезд?
2. Некто купил телевизор за определенную цену и
продал его другому с наценкой в р %. Последний про¬
дал телевизор по цене на р % больше, чем заплатил за него сам. Окончательная цена вещи была на 65% больше, чем первоначальная. Из какого уравнения можно
найти р:
а) 1+1 = 1,65; 6)(l + 1£j = l,65;
в> 1 + (таУ = 1'65: г> 1 + Р’= 1.65;
д) 1 + 2/? = 1,65?
3. Каждый корень уравнения х2 — 2х + 5 = 0 отличается от куба другого корня на постоянную положительную величину, равную с. Чему равно значение с?
4. х и у — действительные числа. Для каких значений х определена функция у, если
х ^
у = , ?
. /9 — л:2
а) Для всех х, кроме х = 3; б) для всех х, кроме х = 3. х = —3; в) х < —3, jc > 3; г) —3 < х < 3;
д) 	х < 3.
5. Графиком функции y — f(x) является парабола, ось которой параллельна оси у. Найдите уравнение параболы, если она пересекает ось х в точках х = —и х = -у и максимальное значение у равно 2
а) у — — 2х2 + 2х + б) у——4х2—4х+3;
в) у — —Ах2 + 4^ + 3; г) у = Ах2 — 4х — 3;
д) 	у = 4л:2 -f- 4х — 3.
6. Открытый цилиндрический сосуд емкостью 9000л; куб. см изготавливается из листа металла и имеет деревянное основание. Вес пластины из дерева площадью в 1 кв. см в 3 раза меньше веса пластины из металла площадью в 1 кв. см (толщина пластин одинакова). Найдите радиус основания сосуда (в см), имеющего минимальный общий вес.
7. Определите значение k так, чтобы график функции у = Зл:3 + 6х2 + kx + 9 имел точку перегиба и горизонтальную касательную при одном и том же значении х.
V-2 ]
8. Функция/ (jc)=—-у определена и непрерывна для всех х, кроме х=\. Какое значение следует придать / (х) в точке лг = 1, чтобы функция была всюду непрерывна?
9. В треугольнике, площадь которого равна а, середины сторон соединены отрезками. В образовавшийся треугольник вписан подобным же образом другой треугольник. Этот процесс продолжается бесконечно. Чему равна сумма площадей всех треугольников из этой последовательности, включая и начальный треугольник? ч 9а 4а ч 7а ч 3а ч Ъа
а)—; б)-3-; в)-у-; г) д)-з~.
Вопросы, проверяющие усвоение новых разделов курса математики
1. 	Предположим, что вы доказали две теоремы:
I. 	Если р, то t. II. Если а, то не t.
Какая из следующих теорем следует из теорем I и II:
90


а) если р, то а; 6) если не р, то не t\ в) если р или t, то а\ г) если а, то не р; д) если не а, то t?
2. Если отношение Р таково, что из хРу и yPt следует xPi для любого х, у, t из данного множества, то отношение Я транзитивно на этом множестве. Какое из следующих отношений транзитивно:
I) «являться отцом»; II) «являться сверстником»; III) «являться поклонником»; IV) «быть общим кратным»; V) «быть перпендикулярным»?
а) II, IV и V; б) I и II; в) II, III и IV; г) II и IV;
д) 	только V.
3. Отношение Р между множеством А и множеством Т есть функция тогда, и только тогда, когда для каждого х А существует одно и только одно у такое, что хРу. Какое из следующих отношений является функцией:
I) 	х — делитель у; II) у является матерью х\ III) х параллельно у; IV) у в 2 раза больше х;
V) у является мажорантой для х (т. е. х < у);
VI) *2 = у?
a) 	I, II, III; б) II, IV и V; в) II, IV и VI; г) IV, V и VI; д) I, IV и V.
4. 6 операций определены следующим образом:
что числа верхнего ряда трансформируются в числа нижнего ряда следующим образом:
1 — 2 (1 переводится в 2), 2 — 3 и 3—> 1. А-В означает, что операция В совершается после операции Л, т. е. согласно А 1 2, 2 —♦ 3 и 3—1, затем согласно В 2—*1, 3 — 2, 1-*3. Следовательно, А -В означает, что 1 —> 2 —> 1,
2 — 3 —>2, 3—1—3. Этот результат получается также в результате операции F — 123\ 123 ). Запишем этот факт следующим образом: A-B — F. Аналогично А-С означает, что 1—2 — 3, 2 — 3 — 2, 3—1 — 1 и результат эквивалентен результату операции D, т. е. A C = D.
а) Какая операция эквивалентна операции C*D?
б) Какая операция должна быть выполнена после операции В, чтобы получился результат, эквивалентный результату операции F?
5. 24 карты перенумерованы и перетасованы. Из колоды вынимается карта. Какова вероятность того, что
ее номер делится на 4 или на 6?
а) Че; б) 5/24; в) 'Д; г) Уз; д) s/i2.
6. Для некоторых функций имеет место соотношение f(x + y)—}(x)+f(y) для любых значений хну. Например, если f(x) = 2х, тогда f (х + у) = 2{х -f у) = = 2х + 2у = f{x) + f(y). Такие функции называются аддитивными. Какие из следующих функций являются аддитивными:
a) f(x) = х2; б) f(x) = !g.t; в) f(x) =sinA:; г) f(x) = = 2*; д) ни одна из этих функций?
7. Построим следующую абстрактную математическую систему.
Неопредел ямы е термины: элемен¬
ты а, b, с... из класса С; операции X и *, отношение —, имеющее условное значение «равняться».
Постулаты: если а, Ь, с являются элементами класса С, то
I) alb и а*Ь являются элементами класса С;
II) акЪ — Ъ\а\
III) а*(Ь*с) — (а*Ь)ъс;
IV) а*Ь Ф Ь*а, если только а ФЬ\
V) a'k(b*c) — (a'kb)*(a'kc).
Сделайте вывод относительно следующих предложений:
а) (а*Ь) \с = (с^а)*(сЩ;
б) (a*b)\c = (a\c)*(b\c)\
в) а\(Ь*с) = (а\с)*(аЩ.
При ответе используйте обозначения: А — если предложение логически следует из постулатов, В — если предложение противоречит постулатам, С — если предложение не следует из постулатов и не противоречит им.
8. Даны два произвольных множества X и У. Какое из следующих множеств эквивалентно множеству (Х[) Г)п(ХпП:
а) X; б) Y; в) X[J Y; г) Х{\У; д) (X\jY)[)(XC[V)?
9. Рассмотрите матрицы Л = ^ и
где х и у — действительные числа и х2 -f у2 ф 0. Для каких значений х и у произведение матриц коммутативно: I) х = 0; II) у « 0; III) х = у?
а) 	Только для I; б) только для II; в) только для III;
г) 	для I и II; д) для I, II и III.
—> -> —>
10. Найдите разность b — а векторов а —
= (4,2) и 6 = (0,3).
а) (-4,2); б) (-4,1); в) (4, -1); г) (4,2); Д) (4,5). .
11. Вычислите ^ (х — \)2dx.
1
Set X
-5 = -д.
X —— OX -j- о
о
13. 3 ^“7— х2 — 5х и у = 1 при л:= 2.
Найдите значение у при х = 0.
Некоторые итоги
сравнительного изучения математической подготовки учащихся разных стран
Результаты первого этапа исследования были опубликованы в двухтомнике «Международное изучение математической подготовки учащихся»5 в 1967 г.
5 «International Study of Achievement in Mathematics», Stockholm, 1967.
91


Несомненный интерес представляют материалы, которые знакомят с организацией исследования, методами составления заданий, обработки экспериментальных данных и отбором учащихся, знания которых будут проверяться (т. I).
Не менее интересны результаты сравнительного изучения математического образования в ряде стран и результаты проверки гипотез (т. II).
Большое внимание авторы проекта уделяют вопросам, связанным с содержанием учебной программы и методами обучения. Предполагалось, что обучение учащихся, базирующееся на самостоятельном «открытии» ими нового, в противовес традиционным методам или методам, основанным на заучивании, будет • положительно коррелировать с успешностью в овладении математикой. Экспериментальные данные показали, что эта гипотеза оказалась верной в отношении учащихся 13-летнего возраста и не подтвердилась для учащихся, оканчивающих полную среднюю школу.
Для 13-летних учащихся была установлена положительная корреляция между интересом к математике и исследовательским подходом в ее изучении. Для выпускников школы такая связь не обнаружена.
Результаты проведения анкет показали, что в тех странах, где по тестам были получены более высокие средние оценки, большинство учащихся считали математику важным для развития общества и одновременно трудным для изучения предметом. Противоположной точки зрения придерживались учащиеся в странах, где были более низкие средние оценки.
Интересные данные получены при выяснении влияния свободы учителя в выборе содержания и методов обучения на результативность обучения учащихся. Оказалось, что более высокие оценки по тестам были в тех странах, где учителя считали свою свободу ограниченной. В то же время в Швеции и США, где учителя считали, что им предоставляется значительная свобода в выборе «чему и как учить», результаты по тестам оказались низкими.
Выяснилось, что изучение новых разделов математики положительно сказалось на математической подготовке учащихся. Эти учащиеся имели более высокие оценки по тестам и лучше отвечали на вопросы по традиционному материалу, чем остальные учащиеся.
Изучение математических курсов по выбору положительно коррелировало с усвоением математики во всех странах. Такой результат авторы проекта объясняют тем, что эти курсы выбирают для изучения- в основном хорошие учащиеся.
Результаты сравнительного изучения различных систем обучения привели к интересным выводам. Так, средний уровень математической подготовки выпускников средней школы оказался ниже в странах с «единой» системой, при которой больше учащихся получают предуниверситетскую подготовку. В то же время с увеличением числа таких учащихся в стране растет число подростков, имеющих высокое по уровню математическое образование. Таким образом, «единая» система обучения обеспечивает большее число абитуриентов, имеющих высокую подготовку, по сравнению с «элитарной» системой обучения.
Одной из целей исследования было выяснить, при какой из систем способные учащиеся получают более высокое по уровню образование. Для этого в каждой стране среди выпускников школы, получивших самые высокие оценки по тестам, отобрали группу, составляющую 4% от всех подростков данного возраста в стране. Разница средних оценок этих групп была значительно меньше, гчем средних оценок всех выпускников
по странам, Из всех групп наиболее высокую оценку имели учащиеся Японии и Шзеции, стран с «единой» системой обучения. Таким образом, сравнительное изучение двух систем показало, что в странах с «единой» системой наиболее способные учащиеся получают подготовку, уровень которой не ниже, чем в странах с «элитарной» системой.
Результаты анкет показали, что интерес к математике у учащихся со средними и ниже средних способностями снижается, если они обучаются в группах, составленных по результатам тестовых испытаний.
В процессе исследования выяснилось, что общее число учебных часов в неделю, отведенное на все предметы, не влияло на математическую подготовку учащихся. В то же время продолжительность выполнения домашней работы 13-летними учащимися и домашнего задания по математике выпускниками школы положительно влияла на уровень этой подготовки.
Удалось установить, что возраст, с которого начинается обучение, не оказывает существенного влияния на уровень математической подготовки 13-летних учащихся. Несколько лучше выполнили тесты учащиеся, которые обучались с 6 лет. Выяснилось, что от более раннего начала обучения выигрывали дети средних по достатку слоев общества, а не дети рабочих.
Выводы, относящиеся к оценке влияния социально- экономических факторов на выбор учащимися пути школьного образования, интересны, хотя, разумеется, не являются сколь-нибудь неожиданными. Материалы исследования показали, что чем меньше процент учащихся, получающих предуниверситетское образование, и чем ранее начинается отбор учащихся для получения такого образования, тем больший процент выпускников составляют дети из обеспеченных слоев общества. Этот процент выше в странах с «элитарной» системой. Выбор пути обучения (академический, профтехнический и общий уклоны) существенно зависит от среды, в которой находится учащийся. Дети из обеспеченных слоев в основном обучаются в академических школах, из необеспеченных слоев — в общих школах.
Связь между интересом к математике и профессией отца оказалась очень слабой, даже в тех случаях, когда профессия была связана с естественными науками (физика, химия, биология и др.).
В отношении влияния окружающей среды удалось установить, что математическая подготовка учащихся городских и сельских школ не имела существенного различия (кроме США и Японии).
В ходе исследования были проверены гипотезы относительно влияния личности учителя на педагогический процесс. Для учащихся 13 лет и выпускников школы с математическим уклоном подтвердилась гипотеза о положительном влиянии уровня образования учителя на уровень математической подготовки его учащихся. Было также установлено, что 13-летние учащиеся, обучавшиеся у учителей с университетским образованием и стажем не менее 4 лет, ответили на тесты значительно лучше, чем учащиеся, обучавшиеся у выпускников других учебных заведений. Однако такого различия не обнаружилось в тех случаях, когда стаж учителя был менее 3 лет.
Результаты исследования показали, что эффективность школьного обучения, успешность работы учителя обусловлены социальными факторами, они убедительно подтверждают несостоятельность распространенного в буржуазной педагогике и психологии тезиса о врожденной или унаследованной предопределенности успешности обучения ребенка.
92


ФАМ ВАН ХОАН
(ДРВ)
О выявлении и развитии математических способностей старших школьников в ДРВ
Выявлению и развитию математических способностей школьников в нашей стране уделяется большое внимание. Первые математические олимпиады для семиклассников и десятиклассников в ДРВ были организованы в 1962 г. С тех пор они проводятся ежегодно. По постановлению Совета Министров ДРВ начиная с 1965 г. Министерством просвещения организованы математические классы (VIII, IX и X) при Ханойском университете, при педагогических институтах городов Ханоя и Виня и во многих школах ряда городов ДРВ.
Учащиеся математических классов отбираются среди лучших школьников по математике путем конкурсов. В этих классах отведены дополнительные часы на изучение математики и иностранного языка, особенно русского.
Расширение программы по математике идет в этих классах по следующим направлениям:
1) Расширение, углубление, систематизация вопросов, содержащихся в программах для массовой школы.
2) Введение практических приложений математики.
Так, например, в IX классе изучаются номограммы,
гармонические колебания, в IX и X классах применяются неравенства для решения некоторых задач по линейному программированию и т. д.
3) Изучение некоторых элементов современной математики.
В VIII классе изучаются элементы теории множеств, дающие средства для изучения ряда вопросов алгебры, геометрии; в VIII и IX классах — геометрические преобразования, метод координат, элементы векторной алгебры; в X классе излагаются предел функции, не¬
прерывность функции, производная и ее приложения. Изучаются также элементы математической логики и теории вероятностей.
4) 	Уделяется большое внимание методам математических рассуждений.
Приводим в качестве примера текст олимпиадных задач для десятиклассников, предложенных в ДРВ в 1969 г.
1. В сети связи между двумя областями А и В имеются п пунктов в области Auk пунктов в области В. Каждый пункт области А может связываться по крайней мере с (k—р) пунктами области В. Доказать, что при npCk имеется по крайней мере один пункт области В, который может связываться со всяким пунктом области А.
2. Найти угол х, зная, что 0<*<я и
8
3sinx-sin3^ + 3s,n8j:<5-
3. Пусть даны: *i>0, #i>0, х2<0, У2>0, х3<0, #з<0, лчХ), У4<.0. Известно, что при каждом i = ==1,2,3,4 выполняется неравенство (xi—a)2-f- (и*— — 6)2<с2.
Доказать, что а2+ Ь2<Сс2.
Дать геометрическую интерпретацию приведенных математических фактов.
4. Даны две окружности (О,/?) и (О'Д'), пересекающиеся 'в точках Р и Q, и переменная прямая d, четыре точки пересечения которой сданными окружностями постоянно находятся в гармоническом отношении.
а) Из центров О и О' опущены перпендикуляры ОН и О'Н' к прямой d. Требуется найти геометрическое место точек Н и Н'.
б) В каком случае эти геометрические места содержат точки О и О' соответственно?
в) При условии ОО' < V R2 + R'2 найти на прямой d точку / так, чтобы сумма отрезков 10 к 10' была наименьшей.
Доказать, что эта сумма (10 + 10') не меняется при изменении d.
Как надо изменить вопрос, если ОО' > YR* Н~ R'2?
( Окончание.)
Ворошиловградской -обл.) — 706—708, 711—714, 716, 717,
719—722. Манукьян М. О. (г. Петропавловск Каз. ССР)— 706—708, 711, 713, 716, 718, 720. Меншиков Л. Е. (г. Южноуральск Челябинской обл.)—707, 708, 711, 712, 714, 716, 717, 719, 721. Мисько Л. И. (г. Тольят- ти) — 707, 708, 711—714, 716, 717, 719, 721. Нерсе- сян П. Н. (пос. Гадрут Аз. ССР)—706—708, 711, 713, 714, 716—718, 720, 721. Никитин В. В. (с. Октябрьское Рязанской обл.)—707, 708, 711—714, 716—718, 721, 725. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск Ставропольского края) — 706, 711—713, 716, 721, 722. Погосян Н. Б. (Мар- дакертский р-н Аз. ССР)—706—708, 711, 713, 716, 721. Попов А. Н. (г. Уфа Башкирской АССР)—707, 708, 714, 716, 718—720. Рашидов X. Р. (г. Ош Кирг. ССР)—707, 708, 711—714, 716, 717, 721. Ромов Я. И. (г. Петропавловск Каз. ССР)—721—730. Ручкин Д. Д. (Моркин- ский р-н Марийской АССР)—706—711, 713, 716, 717, 720, 721, 727. Савин Б. В. (г. Слободской Кировской обл.)—706—708, 713, 714, 716, 717, 720, 721, 724, 727. Саргсян Г. А. (г Иджеван Арм. ССР)—707, 708, 711— 714, 721. Симеонов А. А. (г. Бов, Болгария)— 711—714,
716—721, 723—730. Суконник Я. Н. (г. Киев) — 706—722, 725, 727, 729, 730. Сысуев Г. Я. (прииск Херпучи Хабаровского края)—706, 707, 711, 712, 718, 721, 725. Цоцо- нава А. К. (г. Цхакая Груз. ССР)—706, 711, 713, 716, 717, 721. Цхай Т. Т. (г. Андижан Уз. ССР) —706—730. Шило А. В. (г. Брест)—706, 707, 711, 713, 714, 716, 717,
720—725, 727, 729, 730. Шнипор Б. Н. (г. Литин Винницкой обл.)—706, 708, 711, 713, 717, 719, 720. Юда- ков В. А. (пос. Аомянск Крымской обл.)—706—713, 715, 716, 718—730.
Математические кружки: 10-й школы г. Ангарска
(руководитель Васильева В. А.) —706—708, 710—716, 718—721, 724, 726, 728—730; 17-й средней школы г. Киева (руководитель Вайнман Б. Ш.)—706, 711, 713, 720, 721; 145-й школы г. Киева (руководитель Габо-
вич И. Г.)—71Г—720; 173-й средней школы г. Киева (руководитель Шейнцвит Р. П.)—706—708, 711—721; 178-й школы г. Киева (руководитель Кушнир И. А.) —
707—709, 711—717, 719—721, 723, 724; восьмилегней школы с. Церово Софийской обл. (Болгария)—706—710.
93


вшшшша
&а
К. К ДУНИЧЕВ, И. С. ПЕТРАКОВ
(Москва)
ХРОНИКА
Но А. ЕРМОЛАЕВА
(Москве)
В Министерстве просвещения СССР
Коллегия Министерства просвещения СССР 24 июля 1970 г. рассмотрела вопрос об учебнике «Математика» для V класса средней общеобразовательной школы, написанном в соответствии с новой программой коллективом авторов в составе Н. Я- Виленкина, К. И. Н е ш к о в а, С. И. Ш в а р ц б у р д а, А. Д. С е- мушина, А. С. Чеснокова под редакцией
А. 	И. М а р к у ш е в и ч а.
Названный учебник был издан к 1969/70 учебному году в качестве пробного. Проверка его проводилась в ряде районов и школ Российской Федерации (в Суздальском районе Владимирской области, Тосненском районе Ленинградской области, Белоярском районе Свердловской области), Украины (во всех школах г. Севастополя и нескольких школах г. Киева), Белоруссии, Эстонии, Латвии, Узбекистана и других союзных республик.
Как показала проверка, учебник в основном отвечает требованиям новой программы и доступен пониманию учащихся.
Учителя, методисты институтов усовершенствования учителей, приславшие отзывы, дают в целом положительную оценку учебнику, отмечают его высокий научно-теоретический и методический уровень, удачный подбор упражнений, позволяющих в процессе их выполнения формировать новые математические понятия.
Вместе с тем в отзывах указывались и недостатки пробного учебника. Авторы учебника внимательно изучили предложения учителей и методистов и подвергли учебник значительной переработке.
Коллегия Министерства просвещения СССР утвердила переработанный учебник в качестве общесоюзного учебного пособия для V класса. Одновременно с утверждением пособия Коллегия утвердила и программу по математике для V класса.
Всесоюзное совещание заведующих математическими кафедрами педагогических институтов
12—14 мая 1970 г. в Ивано-Франковске Министерство просвещения СССР провело Всесоюзное совещание заведующих математическими кафедрами педагогических институтов, посвященное переходу на новый учебный план и программы. В нем приняли участие представители министерств просвещения СССР, РСФСР, УССР, БССР, заведующие 195 математическими кафедрами из 156 пединститутов страны — всего свыше 240 человек.
Созещание открыл заместитель министра просвещения СССР Ф. Г. Пана чин.. С докладом «О задачах совершенствования подготовки учительских кадров» выступил член Коллегии, начальник Управления учебных заведений Министерства просвещения СССР В. К. Р о- з о в.
Председатель Научно-методического совета профессор Л. Я. К у л и к о в в своем докладе охарактеризовал новый учебный план, его особенности и преимущества по сравнению с предшествующим. Докладчик особо остановился на специфических положениях учебного пл^на, требующих от преподавателей пединститутов особых усилий и специальной подготовки к работе по этому плану.
Профессор П. П. Коровкин дал характеристику программы по курсу математического анализа. Профессор В. Т. Базылев рассказал о новом объединенном курсе геометрии, его специфике и наиболее интересных и важных разделах. Доцент В. Г. Лемлейн дал подробную характеристику программы курса алгебры и теории чисел. Доценты В. Н. Никольский и
С. 	В. Смирнов в своих выступлениях познакомили участников совещания с проектом программы по «Научным основам школьного курса математики», кратко информировали об опыте чтения подобных курсов в Калининском и Ивановском пединститутах. Доцент
B. И. Нечаев изложил точку зрения Совета на преподавание в пединститутах вопросов элементарной математики и информировал участников совещания о содержании практикума по решению задач. Доцент
А. 	А. Столяр дал характеристику новой программы по методике преподавания математики.
Заместитель министра просвещения УССР профессор
C. Т. 3 а в а л о познакомил участников совещания с системой подготовки учителей математики в пединститутах Украины.
Выступавшие в прениях отмечали прогрессивность нового учебного плана и программ, их соответствие современным требованиям к специальной подготовке учителей математики. Вместе с тем отмечалась известная сложность и некоторая перегруженность программ.
Серьезной критике подверглась система повышения квалификации преподавательских кадров педагогических
94


институтов Белорусской ССР, Латвийской ССР и некоторых других. В этой связи многие участники выражали пожелание принять в качестве единой систему повышения квалификации преподавательских кадров, разработанную Московскими пединститутами имени
В. 	И. Ленина, имени Н. К. Крупской и Ленинградским пединститутом имени А. И. Герцена.
Участники совещания получили новые учебные планы и полный комплект программ по математическим дисциплинам, предусмотренным учебным планом, что поможет заранее подготовиться к работе по новому учебному плану и программам на первых курсах в 1970/71 учебном году.
А. Я. МАРГУЛИС
(Москва)
В секции средней школы Московского
математического общества
(год двадцать второй)
18 сентября 1969 г. В. И. Левин доложил об итогах XI международной математической олимпиады (г. Бухарест, 5—19 июля 1969 г.). Выступали лауреаты олимпиады: В. Дринфельд, А. Зелининский, А. Климов, Е, Неклюдова, А. Прасолов,
A. Ходулев (см. «Математика в школе», 1970, № 1; «Квант», 1970, № 4).
16 октября 1969 г. Н. Б. Васильев, И. М. Гель- фанд, Е. Г. Глаголева, В. Л. Гутенмахер,
B. Г. Овчинников рассказали об итогах пятилетней деятельности Заочной математической школы (см. «Квант», 1970, № 1; «Математика в школе», 1970, № 3).
Заседание 21 ноября 1969 г. было посвящено обсуждению содержания курса математики IV класса (по новой программе). После докладов Н. Я. Виленкина и А. Д. Семушина развернулись оживленные прения.
18 декабря 1969 г. А. И. Маркушевич рассказал о работе Международной конференции по преподаванию математики в Лионе (см. «Математика в школе», 1969, Кя 6).
С. 	И. Зетель на этом же заседании рассказал о некоторых новых свойствах пифагоровых треугольников. Собрание почтило память скончавшейся 13 декабря 1969 г. Е. С. Березанской (см. «Математика в школе», 1969, № 6; 1970, JNT? 1). Члены секции поздравили с 60-летием В. И. Левина (см. «Математика в школе», 1969, № 6) и с 70-летием Я. С. Герценштейна.
15 января 1970 г. Б. В. Гнеденко информировал членов секции о некоторых задачах теории надежности На этом же заседании Л. П. Пятакова, А. Д. С е- м у ш и н и Б. С. Э п п е л ь рассказали о преподавании математики в школах Чехословакии (по личным впечатлениям).
19 февраля 1970 г. А. Н. Колмогоров сделал доклад на тему «Наглядность и теория множеств в курсе геометрии восьмилетней школы».
19 марта 1970 г. Б. В. Гнеденко выступил с докладом «В. И. Ленин и философские вопросы матема¬
тики» (см. «Математика в школе», 1970, № 1; «Успехи математических наук», т. 25, вып. 2, 1970 и брошюру Б. В. Гнеденко «В. И. Ленин и методологические проблемы математики», изд. «Знание», серия «Математика и кибернетика», 1970, № 1). На этом же заседании И. Ф. Те с лен ко сделал сообщение «В. И. Ленин и методика математики».
16 апреля 1970 г. А. И. Фетисов посвятил свое выступление воспитанию мировоззрения на уроках математики.
21 мая 1970 г. А. Н. К о л м о г о р о в и М. Л. С м о- л я н с к и й рассказали о работе научно-популярного физико-математического журнала «Квант».
На этом же заседании Н. Б. Васильев и В. Л. Гутенмахер рассказали об итогах Всесоюзной математической олимпиады школьников (Симферополь, 24—30 апреля 1970 г.). С демонстрацией решения задач выступали лауреаты олимпиады А. Г. Гольдберг, А. Климов, С. Курочкин и А. Ходулев (см. «Квант», 1970, № 5).
На заключительном заседании 18 июня 1970 г.
С. 	Г. Гиндикин рассказал об «Аксиоматических рассмотрениях в элементарной математике».
Г. Д. ГЛЕЙЗЕР
(Москва)
О работе семинара «Особенности обучения математике в вечерних (сменных) школах»» (1965-1970 гг.)
С 1961 г. при московской лаборатории НИИ общего образования взрослых АПН СССР работает творческий семинар, объединяющий научных работников, методистов и учителей вечерних (сменных) школ Москвы и Московской области (см.: «Математика в школе», 1965, № 1).
Работа семинара тесно связана с практикой обучения трудящихся, с основными проблемами вечерней школы. Так, члены семинара приняли активное участие в изучении состояния преподавания. математики и качества знаний учащихся вечерних школ, проведенного НИИ вечерних (сменных) и заочных школ АПН СССР в 1967—1968 гг., в разработке нового содержания математического образования в вечерней школе, в разработке новых методов обучения взрослых, в частности, в экспериментальной работе по применению лекционносеминарского метода обучения. На расширенном заседании семинара были заслушаны доклады московских учителей о применении зачетной системы проверки знаний учащихся.
Активное участие приняли члены семинара в работе секций вечерних школ московских и центральных юби¬
95


лейных «Педагогических чтений» (1970). Многие выступили на них с обстоятельными докладами.
Назовем некоторые доклады, обсужденные на семинаре за рассматриваемый период, распределив их по темам.
О содержании обучения математике в вечерней школе
1. О перспективах реконструкции содержания математического образования в школе.
2. Обсужление проекта новой программы по математике для V—VIII классов вечерней школы.
3. Обсуждение проекта новой программы по математике для IX—XI классов вечерней школы.
4. Особенности построения курса математики в школах (классах) мастеров.
5. Особенности построения курса математики в профессионально-технических училищах, готовящих рабочих со средним образованием.
Эти доклады были подготовлены программной группой участников семинара (М. С. Г е л ь ф а н д, Г. Д. Глейзер, Н. И. Локтева, С. М. С а а к я н, А. С. Фомченко), в их обсуждении приняли участие все члены семинара. Позже программа по математике для вечерних школ была утверждена Министерством просвещения СССР (см.: «Математика в школе» № 6 за 1969 г.).
Общие вопросы методики обучения математике
1. Качество знаний учащихся вечерних школ и пути его улучшения (по материалам исследования НИИ вечерних (сменных) и заочных школ АПН СССР) (Г. Д. Глейзер).
2. Опыт организации работы вечерней школы и преподавания математики в условиях применения зачетной системы проверки знаний учащихся (Е. А. О л е в с к и й, Л. А. Соколовская).
3. Лекционно-семинарский метод обучения математике в вечерней школе (С. Т. Макейчик).
4. Роль кабинета математики в повышении качества обучения в вечерней школе (К. Н. Ф и н к е л ь м а н, М. С. А б р а м).
5. Опыт работы методического объединения учителей математики вечерней школы (Р. Н. Кочне в а).
6. О сущности зачетной системы проверки знаний учащихся и опыт ее осуществления в вечерних школах Москвы (С. М. Саакян).
7. Об экспериментальном обучении математике в классах физико-математического и гуманитарного профиля (Л. 3. Н а спе р).
8. О сочетании коллективных и индивидуальных форм работы на уроках математики (Н. И. Локтева).
9. Особенности методики формирования и развития пространственных представлений учащихся старших классов в процессе обучения геометрии (И. Г. Вяльцева).
10. Система внеклассной работы по математике в вечерней школе (Е. А. Ф и в е й с к и й).
О методике преподавания отдельных тем программы
1. Опыт преподавания элементов дифференциального и интегрального исчисления в XI классе (С. М. С а- а к я н).
2. Опыт изучения темы «Векторы» в IX классе (И. Н. Д е н с о в а).
3. Элементы интегрального исчисления в школе и их применение к задачам геометрии и физики (Г. Д. Глей* зер).
4. Опыт преподавания темы «Поверхности и объемы многогранников и круглых тел» в вечерней школе (М. Д. Брейтерман).
5. Опыт изучения элементов аналитической геометрии в IX классе вечерней школы (И. С. Родионов).
В ближайшие 2—3 года участники семинара сосредоточат свое внимание на выявлении и обсуждении передового опыта работы учителей математики вечерних школ по новым учебным планам и программам.
• • •
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова,
О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец,
А. В. Соколова, П. В. Стратилатов, 3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор О. Г. Чеботкевич Корректор О. А, Кузьмичева
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 2Ф7-03-74 Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете Министров СССР
Сдано в производство 21/VIII 1970 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 11,94
Подп. к печ. 24,/IX 1970 г. Тираж 331 875 экз. Бумага 84 X 108‘Лв Цена 45 коп. Зак. 345
Московская типография JSfe 13 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30


Планиметрический комбайн
От редакции
Здесь дается описание прибора — планиметрический комбайн и некоторые задачи, которые могут быть решены с его помощью. Это не значит, что мы рекомендуем учителям заменить этим прибором линейку, транспортир и другие инструменты. Назначение этого прибора — показать, каким образом могут быть использованы полученные на уроках геометрии знания. Например, учитель показывает, каким образом может быть разделен данный отрезок, а учащиеся должны объяснить, почему отрезок делится пополам, и т. д.
Прибор — планиметрический комбайн состоит из четырех планок, соединенных в точках В, Р, О и М шарнирно, транспортира, шести винтов с гайками (В, Р, О, М, А и С), четырех ножек с остриями, полых цилиндров двух мелодержателей (или держателей карандаша). Расстояния между винтами одинаковы: СР — РО = = ОМ = МА — MB = ВР. Для стабилизации зажимов планка ОМ сделана двойной.
Размеры планок в миллиметрах: АО = 500 X 25 X 5, СО = 500 X 20 X 5. Расстояния между центрами винтов — 240 мм. Диаметр болта — 5 мм. Мелодержатели и ножки такие же, как и в классном циркуле, но только с гайками для навинчивания на винт. Ножки с такими же остриями, как и в классном циркуле, но с гайками для навинчивания на винт вставляются в винты, имеющие форму полых цилиндров.
В качестве транспортира для комбайна можно использовать обычный классный транспортир.
Все отверстия на планках просверливать обязательно с помощью кондуктора. При скреплении планок с помощью винтов и гаек необходимо прокладывать шайбы.
• О О
Планиметрическим комбайном могут быть заменены следующие приборы:
1. 	Линейка. Планка О А.
2. Транспортир. Планками PC и РВ можно измерять углы до 180°. Просвет на планке PC с двойным волоском используется для более точного определения величины угла.
3. Угольник. Планки PC и РВ (или MB и МА) можно скрепить под углом 90°, 60°, 45°, 30° и пользоваться ими, как угольником.
4. Измеритель. На обратной стороне транспортира нанесены деления, соответствующие расстояниям между точками В и С (или В и А).
5. Циркуль. Если на винт В навинтить ножку с острием, а на винты А и С — мелодержатели, то при вращении комбайна вокруг ножки В мелки А и С опишут окружность. Так как А В = ВС, то мелки Л и С опишут две полуокружности одного радиуса.
6. Пантограф. Если ножку с острием, которая служит опорой прибора, поместить в точке В, а в точках Л и С вставить мелки, то мелки цри движении опишут две симметричные фигуры с центром симметрии в точке В. Если поместить ножку-опору в точке Л, а мелки — в точках В и С, то эти мелки при движении опишут две гомотетичные фигуры с коэффициентом гомотетии 2 или 0,5.
Если ножка-опора расположена между мелодержа- гелями, то коэффициент подобия будет отрицательный, целый или дробный.
7. Рейсмас. Комбайн можно использовать в качестве рейсмаса. Для этого прибор необходимо перемещать так, чтобы ножки прикрепленные к винтам В и О, скользили по прямолинейному краю доски. Мел, привинченный к винту С (или Л), начертит прямую, параллельную прямой ВО. При этом деления, нанесенные на дугу транспортира и соответствующие противостоящей планке PC, показывают расстояние, проведенной прямой от края доски.
8. Малка. Линейку АО с гайкой в точке комбайна можно скрепить с планкой ОС (или MB) с помощью винта О (или М) под любым углом. Скрепленные так планки ОС й ОА или MB и ОА могут выполнять роль малки.