/
Текст
МАТЕМАТИНА
В ШКОЛЕ гг 5 • 19/2
... 1 _ ;
Научно-методический
журнал
Министерства
просвещения
СССР
издательство
•Педагогина*
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
СЕНТЯБРЬ
ОКТЯБРЬ
5 -1972
СОДЕРЖАНИЕ
Глазная задача просвещения К 50-ЛЕТИЮ ОБРАЗОВАНИЯ СССР
t В. И. Ленин и первые шаги советской математики НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
О вычислении корней с натуральным показателем Об определениях решения уравнения и неравенства с несколькими неизвестными и функции многих переменных
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Некоторые материалы по атеистическому воспитанию на уроках математики
Каждому школьнику — глубокие и прочные знания Преемственность при изучении математики в III и IV классах О преподавании математики в I полугодии V класса
О работе в IV классе Доказательство условия перпендикулярности прямых
Угол и его измерения К составлению задач и упражнений по статистическим данным
Программа по самообразованию учителей математики
В помощь начинающему учителю
Планы работы по математике на II полугодие 1972/73 учебного года В помощь учителям вечерних (сменных) школ
О преподавании математики в VI классе по новой программе
Технические средства обучения. Наглядные пособия
Рисованные диапозитивы
Проблемы. Суждения
Организация труда учителя математики Эксперимент
Об изучении числа в IV—V классах на теоретико-множественной основе
Внеклассная работа
VI Всесоюзная математическая олимпиада Решения задач, предлагавшихся на Всесоюзной олимпиаде 1972 г.
Математические олимпиады в Азербайджане
Игровые упражнения для IV—V классов Об одном доказательстве теоремы Пифагора Некоторые свойства треугольных чисел
Задачи
Математический календарь на 1972/73 учебный год
К 120-летию со дня рождения А. П. Киселева
ЗА РУБЕЖОМ
О векторной алгебре и ее приложениях в общеобразовательной школе ДРВ
ХРОНИКА
«Педагогические чтения», посвяшенные 50-летию образования СССР
Республиканские «Педагогические чтения» в УССР «Педагогические чтения» в АзССР О присуждении Международной медали имени А. Койре за лучший труд по
истории науки
О работе семинара «Современные идеи преподавания математики» В секции средней школы Московского математического общества Научно-методический семинар учителей математики Семинары преподавателей педагогических институтов Северо-Запада РСФСР Семинар преподавателей пединститутов Центральной зоны РСФСР
О работе филиала ЗМШ при Уральском пединституте Об укрупнении как дидактической пррблеме
11
16
19
26
28
30
33
36
38
40
42
60
62
66
70
75
76
77
78
79 86 87
В. Н. Молодший
Б. К. Приходько П. М. Олоничев
B. JI. Минковский, Г. А. Габипский
C. М. Гуль
Т. А. Альсмик И. Г. Вишняцкая Л. С. Карнацевич Г. Г. Левитас Л. В. Теуш
Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян
В. Н. Морапьков Б. С. Эппелъ X. Ш. Шихалиев
Л. М. Пашкова Н. Б. Васильев и др.
B. В. Попов,
C. Н. Садыхов Н. К. Антонович В. И. Мишин
И. И. Михайлов
А. И. Бородин Н. Я. Цыганова
Фам Ван Хоан, Чан Фук Чинь
90
Н.
д.
Мацько
91
А.
м.
Алиев
92
А.
н.
Боголюбов,
Э.
г.
Цыганкова
93
В.
н.
Шапкина
S3
А.
я.
Маргулис
94
А.
л.
Фаерштейн
94
М.
И.
Башмаков,
95
В.
А.
Волков
В.
Я.
Саннинский
95
В.
К
Сидоров,
96
М.
А.
Данилов
п.
М.
, Эрдниев
ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА ПРОСВЕЩЕНИЯ
С нынещней пятилетки среднее образование у нас становится всеобщим. Эту важную социальную задачу поставил перед партией и народом XXIV съезд КПСС. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О завершении перехода ко всеобщему среднему образованию молодежи и дальнейшем развитии общеобразовательной школы» намечает конкретные пути осуществления большого всеобуча, дальнейшего совершенствования всего дела обучения и воспитания подрастающего поколения.
Работу школ нужно привести в соответствие с новыми задачами коммунистического строительства, с требованиями научно-технического прогресса. Задача школы — давать молодежи глубокие и прочные знания о законах природы и общества, формировать марксистско-ленинское мировоззрение, воспитывать у своих учеников стремление к активной трудовой и общественной деятельности, беззаветному служению социалистической Родине, преданность идеям коммунизма.
К 1975 г. предстоит завершить введение новых учебных планов и программ по всем школьным курсам, на основе их подготовить и издать стабильные учебники и комплекты учебно-методических пособий, которые бы отражали современный уровень достижений! науки и производства.
Немало предстоит потрудиться учителям над освоением новых программ. Особенно это касается преподавателей математики. В эти сроки развертывается основная работа по переходу на новые программы.
Все большее значение в современных условиях приобретают вечерние (сменные) школы. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР обязывает решительно улучшить их работу, расширить сеть вечерних школ, их филиалов по месту работы молодежи и укрепить их материальную базу. Теперь будут определяться ежегодные плановые задания вовлечения в школы молодых рабочих, колхозников и служащих по каждому предприятию, совхозу, колхозу и учреждению.
Постановление требует от педагогов последовательно обновлять и разнообразить методы преподавания. Надо эффективнее применять на уроках технические средства обучения, кино, радио и телевидение. Во всех средних школах должны быть оборудованы учебные кабинеты.
Сейчас, в условиях перехода ко всеобще¬
му среднему образованию молодежи как никогда возрастает роль учителя. «Учитель, — подчеркивается в постановлении, —всем своим поведением, во всех своих поступках и действиях должен служить примером для учащихся, быть образцом высокой коммунистической нравственности, идейной убежденности, культуры, принципиальности и широкой эрудиции».
Для стимулирования постоянного повышения квалификации, совершенствования педагогического мастерства и творческой инициативы педагогов постановлением вводится систематическая аттестация учителей, по результатам которой будут присваиваться звания «старший учитель» и «учитель-методист».
Постоянно совершенствуется система подготовки и переподготовки педагогических кадров. Однако сейчас особенное значение приобретает самообразование учителя. Основное направление и главная цель этого самообразования — глубокое овладение новыми программами и учебными пособиями, которыми оснащается сегодняшняя школа. Как известно, Министерством просвещения СССР разработаны программы самообразования для учителей всех специальностей.
Эти программы должны послужить основой для систематического и планомерного пополнения теоретического багажа учителей-ма- тематиков, задача которых быть во всеоружии достижений своей науки.
Вслед за разработкой коренных проблем развития средней школы принята программа улучшения всех сторон деятельности профессионально-технических училищ в соответствии с требованиями научно-технического прогресса, задачами коммунистического воспитания молодого поколения. Постановление Центрального Комитета партии и Совета Министров СССР «О дальнейшем совершенствовании системы профессионально-технического образования» еще одно свидетельство последовательного осуществления решений XXIV съезда КПСС в области народного просвещения.
Только в этом году рабочий класс получил качественно новое пополнение в лице 1 720 тыс. выпускников учебных заведений системы профессионально-технического образования. Всего за пятилетку профтехучилища дадут путевку в рабочую жизнь 9 млн. человек.
В целях дальнейшего совершенствования профессионально-технического образования
2
признано необходимым расширять и укреплять средние профтехучилища как наиболее перспективную форму подготовки молодого пополнения рабочего класса. Сейчас в стране действует около тысячи профтехучилищ, в которых наряду с получением рабочей специальности учащиеся проходят курс общеобразовательных дисциплин в объеме средней школы.
Сеть таких училищ в стране с каждым годом будет все шире. Учащиеся получают в них массовые профессии — станочников, строителей, механизаторов. Однако уже сегодня в ПТУ можно стать наладчиком автоматической линии, мастером по технической диагностике, сборщиком микросхем, оптиком элементов квантовых приборов, монтажником элементов памяти на ферритах.
К 1975 г. прием в старшие классы общеобразовательных школ возрастет примерно на 2 — 3%, однако значительно расширится набор в средние профтехучилища (до 300 тыс. человек в год). В этой связи перед каждым учителем общеобразовательной школы встает как одна из постоянных задач — способствовать правильной профессиональной ориентации своих учеников, особенно в VIII и X классах.
Намечено развивать технические училища, дающие рабочую квалификацию молодым людям, уже окончившим среднюю общеобразовательную школу, а также улучшить работу профтехучилищ, готовящих кадры массовых профессий со сроком обучения 1—2 года. Надо создавать необходимые условия для того, чтобы окончившие эти училища завершали общее среднее образование в вечерних (сменных) школах рабочей молодежи.
В ряду последних решений партии и правительства о развитии и совершенствовании системы народного образования на современном этапе коммунистического строительства стоит и постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по дальнейшему совершенствованию высшего образования в стране». Выполнение задач, поставленных в этом документе, неразрывно связано с поднятием уровня всей работы средней общеобразовательной школы. 1 сентября в вузовские аудитории пришло 900 тыс. новичков. Пополнение рядов студенчества наиболее способными и подготовленными выпускниками — одна из важнейших задач средней школы, и помнить об этом должен каждый педагог. Высшее учебное заведение принимает лучших, самых достойных и перспективных.
Для их выявления и роста в стенах школы учитель математики располагает таким средством, как факультативные занятия, получак>- щие все большее развитие. Важную роль играют различные формы внеклассной работы, позволяющие еще в средних классах выявлять и выращивать математически одаренных детей. На поднятии общего уровня обучения математике должно положительно сказаться и новое в правилах приема в вузы, когда значительную роль в судьбе абитуриента начал играть средний балл аттестата зрелости.
Обучение не отделимо от воспитания. В новом постановлении ЦК КПСС и правительства о школе намечено принять меры к дальнейшему совершенствованию нравственного, эстетического, правового, военно- патриотического, атеистического воспитания и физического развития школьников.
Сейчас в ряд первоочередных проблем выдвигается задача совершенствования нравственного воспитания. Коммунистическое мировоззрение и мораль утверждаются в бескомпромиссной борьбе с пережитками прошлого в сознании людей, всякого рода отступления от норм и принципов коммунистической морали вступают во все более острое противоречие с советским образом жизни. Преодоление хулиганства, пьянства, тунеядства, стяжательства и т. д. всегда имело и имеет принципиальный, политический характер.
Подготовка к 50-летию образования СССР — важный этап дальнейшего подъема воспитательной работы в школе. Мы должны формировать интернационалистическое сознание учащихся, вести борьбу против пережитков национализма. Каждый учащийся должен уяснить роль и всемирно-исторические достижения ленинской национальной политики партии, то общее, что отвечает коренным интересам советского народа, что объединяет советские нации и народности, те великие преимущества, которые получили они, добровольно сплотившись в единое интернациональное братство — СССР. Большое значение имеет усиление воспитания у наших школьников чувства гордости за свою социалистическую Отчизну, свой народ, за его великие свершения, готовности к защите своей Родины, воспитания их в духе уважения к другим народам.
Высокая личная ответственность каждого учителя за порученное ему народом дело обеспечит претворение в жизнь новых предначертаний Коммунистической партии Советского Союза в области народного образования!
3
К 50-ЛЕТИЮ ОБРАЗОВАНИЯ СССР
В. Н. МОЛОДШИЙ
(Москва)
В. И. ЛЕНИН И ПЕРВЫЕ ШАГИ СОВЕТСКОЙ МАТЕМАТИКИ
В истории развития математики в СССР целесообразно выделить четыре основных периода:
1. Начальный период развития советской математики (1917—1929/30 гг.).
2. Развитие математики в СССР за годы первых пятилеток (1930—1941 гг.).
3. Развитие математики в СССР в годы Великой Отечественной войны и послевоенный период (1941 —1958 гг.).
4. Развитие математики в период развернутого строительства коммунизма К
Эта статья посвящена первым годам начального периода развития советской математики. Ее цель:
описать основные идеи В. И. Ленина о роли науки, в том числе наук математических, в построении социалистического общества;
отметить наиболее важные организационные хмероприятия, осуществленные партией и Советским правительством под руководством В. И. Ленина и способствовавшие созданию условий для ускоренного и эффективного развития математики во всех союзных республиках нашей страны;
рассказать о некоторых математиках, которые в 1917—1924 гг. поняли гениальную прозорливость идей В. И. Ленина, пошли за ним и помогли заложить фундамент того величественного здания, которое теперь называют советской математикой.
I
1. К. Маркс и Ф. Энгельс разработали диалектико-материалистическое учение об основных источниках развития естествознания и математики и выяснили их роль в классовых
1 [12]. Здесь и далее имеется в виду литература, приведенная в конце статьи.
общественных формациях, преимущественно при капитализме. Вопросы о роли естествознания и математики, о формах их организации и направлениях развития при социализме и коммунизме Маркс и Энгельс обсуждали в общем плане, но не в деталях. Они подчеркивали: без передовой науки невозможно построить социалистическое общество; социализм освободит науку от пут, накладываемых на нее капитализмом, создаст для нее новые возможности и стимулы для невиданного ранее дальнейшего развития. Когда и где, в каких формах и как будет протекать этот процесс — на эти вопросы Маркс и Энгельс ответить не могли: они не располагали необходимыми фактическими данными. Характерен следующий факт. Дюринг считал возможным обсуждать в деталях устройство будущего общества, в связи с чем разработал для его начальных и средних школ подробные программы. Энгельс в письме к Марксу высказался о целесообразности составления таких «перспективных» программ более чем скептически2.
Ленин разрабатывал методологические, теоретические и организационные вопросы, связанные с развитием и использованием науки в социалистическом строительстве, как вождь и теоретик пролетарской революции и социалистического преобразования общества, как глава правительства СССР. Его работы по вопросам науки, высшего и среднего образования — образец творческой марксистско-ленинской разработки важнейших проблем строительства коммунистического общества. В работах Ленина диалектический материализм Маркса и Энгельса как методологическая основа современного естествознания и математики получил дальнейшее всестороннее развитие. Ленин заложил основы марксистско-ленинской статистики — нового, высшего этапа в ее развитии3.
2. Ленин неоднократно указывал, что для социалистического строительства необходимо использовать новейшую науку и технику, что без них построить коммунистическое общество невозможно 4.
Без передовой науки и техники нельзя поднять производительность труда на более высокую ступень, чем она была в развитых капиталистических странах; без этого же победа и укрепление нового социалистического общества невозможны 5.
2 [4]. стр. 148.
3 [28], (29].
4 [1], т. 36, стр. 380—382: т 38, стр. 97—98; т. 40, стр. 253—254.
5 [1], т. 39, стр. 13—18, 20—23.
4
Без передовой науки и техники нельзя улучшить условия жизни трудящихся.
Ленин подчеркивал также, что «перед союзом представителей науки, пролетариата и техники не устоит никакая темная сила»6.
3. Ленину мы обязаны разработкой основных принципов развития науки в социалистическом обществе. Эти принципы таковы:
Демократизм и гуманизм советской науки
Ленин говорил: «Раньше весь человеческий ум, весь его гений творил только для того, чтобы дать одним все блага техники и культуры, а других лишить самого необходимого— просвещения и развития. Теперь же все чудеса техники, все завоевания культуры станут общенародным достоянием и отныне человеческий ум и гений не будут обращены в средства насилия, в средства эксплуатации» 7.
Ленин требовал такого приближения науки к трудящимся, населяющим все республики СССР, «чтобы наука действительно входила в плоть и кровь, превращалась в составной элемент быта вполне и настоящим образом»8.
Методологической основой советской науки должен быть диалектический материализм
Маркс, Энгельс и Ленин показали, что в нашу эпоху только диалектический материализм может помочь ученому осмыслить и правильно поставить проблему, разработать наиболее эффективные способы ее решения и получить новые и плодотворные результаты. Диалектический материализм — это гносеологическая основа научного способа мышления, наиболее адекватно охватывающего содержание и проблематику современной науки. Вместе с тем диалектический материализм дает ученым острейшее оружие для борьбы с идеализмом и метафизикой, запутывающими сложные научные проблемы, мешающие их решению. Эти факты В. И. Ленин обосновал наиболее подробно на примере проведенного им анализа гносеологической сущности кризиса физики конца XIX и начала XX в.9.
Только диалектический материализм является действенным оружием борьбы против религии. Н. К. Крупская подчеркивала, что В. И. Ленин всегда связывал философские вопросы с борьбой против религии 10.
Именно поэтому Ленин писал: «Естественник должен быть современным материалистом, сознательным сторонником того материализма, который представлен Марксом, т. е. должен быть диалектическим материалистом» и.
Еще в 1903 г. В. И. Ленин рекомендовал революционным молодежным организациям «поставить на первый план в своей деятельности выработку среди своих членов цельного и последовательного революционного миросозерцания, серьезное ознакомление с марксиз¬
мом»
12
Необходимость освоения и критической переработки культурного и научного наследия прошлого, а также культуры, науки и техники современного капитализма
«Но от раздавленного капитализма,— писал Ленин,— сыт не будешь. Нужно взять всю культуру, которую капитализм оставил, и из нее построить социализм. Нужно взять всю науку, технику, все знания, искусство. Без этого мы жизнь коммунистического общества построить не можем» 13. Эту мысль В. И. Ленин подробно развивал в речи на III съезде комсомола и в ряде других выступлений 14.
Конечно, во всех случаях Ленин говорил о том, что надо взять на вооружение и развивать дальше все прогрессивное, действенное, что человечество создало в науке, технике и культуре, критикуя и отбрасывая все реакционное и отжившее. Ленин неоднократно указывал: сосуществование новых и устаревших идей и теорий недопустимо; надо требовать и добиваться замены последних первыми 15.
В. И. Ленин был сторонником установления разнообразных контактов между советскими и иностранными учеными для обмена мнениями и новейшими научными достижениями 16.
Необходимость единства теории и практики и плановости в развитии науки
Чтобы наука могла стать верной помощницей партии и Советского правительства в построении социализма, ее развитие должно быть теснейшим образом связано с хозяйственным строительством. Поскольку социалистическое строительство не может не быть плановым, развитие науки также должно иметь плановое начало, основу которого
п
[1]
1 т.
6
[1]
, т. 40, стр. 188—189.
12
Г
> т.
7
1
, т. 35, стр. 289.
13
г
* Т.
8
1
, т 45, стр. 391.
14
г
, т.
9
т
, т. 18, гл. V.
15
1
, т.
10
[9j
, стр. 58.
16
1
, Т.
стр. 00.
, стр. 298—318.
5
должны составлять народнохозяйственные планы. Ленин предвидел, что планомерно осуществляемое единство теории и практики явится могучим стимулом развития науки. Хозяйственное строительство, вовлекая науку в сферу своих интересов, будет способствовать обогащению науки новыми направлениями исследований, совершенствованию организационных форм ее развития и расширению кадров научных работников. Даже первые годы развития точных наук после 1917 г. полностью подтвердили этот прогноз В. И. Ленина. Так, проф. Д. С. Рождественский (директор Оптического института) писал в 1919 г.: «Тесное содружество технических и чисто научных отделов института открывает как для техники, так и для самого отвлеченного научного эксперимента такие возможности, о которых нам, университетским работникам, не приходилось и мечтать» 17.
В наше время планомерно осуществляемая взаимосвязь теории и практики является основой социалистического строительства и развития наук, в том числе и математики 18.
Новаторство в науке
В науке важно не только то, что отвечает на запросы сегодняшнего дня, но и то, что обращено в будущее. Наука должна служить делу предвидения.
Обращаясь к молодежи, академик И. П. Павлов писал: «Приучайте себя к сдержанности и терпению. Научитесь делать черную работу в науке. Изучайте, сопоставляйте, накапливайте факты. Как ни совершенно крыло птицы, оно никогда не смогло бы поднять ее ввысь, не опираясь на воздух. Факты — эго воздух ученого. Без них вы никогда не сможете взлететь. Без них ваши «теории» — пустые потуги.
Но, изучая, экспериментируя, наблюдая, старайтесь не останавливаться у поверхности фактов. Пытайтесь проникнуть в тайну их возникновения. Настойчиво ищите законы, ими управляющие» 19.
В одном из своих выступлений В. И. Ленин детально разъяснил, каким должно быть изучение фактов и управляющих ими законов, чтобы полученные результаты смогли служить делу научно обоснованного предвидения.
«Чтобы действительно знать предмет,— говорил Ленин,— надо охватить, изучить все его стороны, все связи и «опосредствования». Мы никогда не достигнем этого полностью, но
17 [27], стр. 4.
18 [16], стр. 88—89; [191, CTP- И« [17]; стр. 12.
19 24].
требование всесторонности предостережет нас от ошибок и от омертвления. Это, во-первых. Во-вторых, диалектическая логика требует, чтобы брать предмет в его развитии, «самодвижении» (как говорит иногда Гегель), изменении. В-третьих, вся человеческая практика должна войти в полное «определение» предмета и как критерий истины и как практический определитель связи предмета с тем, что нужно человеку. В-четвертых, диалектическая логика учит, что «абстрактной» истины нет, истина всегда конкретна»20.
Такова сущность диалектико-материалистической методологии научных исследований как необходимой основы научно обоснованного прогнозирования.
Все работы Маркса, Энгельса и Ленина могут помочь в изучении материалистической диалектики. Но в связи со сказанным необходимо подчеркнуть особое значение «Философских тетрадей» В. И. Ленина, посвященных преимущественно всестороннему развитию материалистической диалектики и глубокому анализу ее действенной силы.
4. С именем В. И. Ленина связаны крупнейшие научно-технические мероприятия нашей партии и Советского правительства в первые годы существования Советской власти. Вот названия некоторых из них, осуществление которых так или иначе связывалось с использованием и развитием физико-математических наук:
1) разработка и начало реализации плана ГОЭЛРО;
2) перестройка работы Академии наук и привлечение ее к социалистическому строительству;
3) организация ряда научно-исследовательских и научно-технических лабораторий и учреждений;
4) создание научной основы радиевой промышленности; строительство экспериментального радиевого завода и радиевой лаборатории при Академии наук;
5) исследования радиотелефония и радиофикации страны;
6) помощь Пулковской обсерватории;
7) исследование Курской магнитной аномалии;
8) исследование и освоение богатств Кара- Богаза и Соликамска и др.21.
На примере этих (и ряда других) научно- технических мероприятий В. И. Ленин показал, как надо развивать науку, чтобы она по методологической основе, содержанию, направлению развития и организационным фор-
20 [1], т. 42, стр. 290; т. 30, стр. 349—351.
21 [1], т. 50, 51, 52, 53, 54.
г
мам могла быть действенным орудием прогнозирования и социалистического строительства.
5. Маркс, Энгельс и Ленин ценили естествоиспытателей и математиков и считались с их мнением. Близкими друзьями Маркса и Энгельса и последователями их учения были химик Шорлеммер и математик Мур. В. И. Ленин поддерживал творческие усилия Н. Е. Жуковского, И. П. Павлова, К. А. Тимирязева, В. А. Стеклова, К. Э. Циолковского и многих других наших ученых. Подобно Марксу, В. И. Ленин особо ценил тех ученых, которые не боялись «гущи жизни», смело шли вперед, учитывая запросы практики22. Ленин был строг к тем, кто мешал осуществлению научно-технических работ, требовал порой привлечения к суду нерадивых лиц, ответственных за дело23.
II
6. После установления Советской власти % часть ранее высокопоставленных чиновников
и интеллигенции саботировала мероприятия рабоче-крестьянского правительства, включая и мероприятия по организации науки и образования, высшего и среднего. Саботаж встретил решительный отпор и был сломлен Советской властью при поддержке трудящихся и передовой части интеллигенции.
В конце декабря 1917 г. В. И. Ленин писал о саботажниках: «Их наглый расчет не оправдается: образованные люди уже теперь выделяются, переходя на сторону народа, на сторону трудящихся, помогая ломать сопротивление слуг капитала»24. Идеи Ленина о роли науки, техники и культуры в строительстве коммунистического общества были восприняты многими представителями российской интеллигенции, а для ряда из них стали боевым знаменем творческой и просветительской деятельности. В их числе были математики
B. А. Стеклов, О. Ю. Шмидт, Д. А. Граве,
C. Н. Бернштейн, А. Н. Крылов, С. О. Шату- новский, Ф. Э. Молин, В. Ф. Каган, Н. Н. Парфентьев, Д. Н. Зейлигер и другие.
7. В Начале 1918 г. по предложению В. И. Ленина Наркомат просвещения обратился в Президиум Академии наук с предложением о совместной работе с Советской властью по мобилизации науки для нужд государственного строительства. Это предложение рассматривалось экстраординарным общим собранием Академии наук и получило одобрение. Выдающиеся ученые России, объединенные в академии, стали на сторону Со¬
22 [И], стр. 10.
23 [1], т. 54, стр. 220—221, 244—246.
24 [1], т. 35, стр. 198; [3], стр. 105; [8], стр. 86—87.
ветской власти, сочли делом своей чести отдать свои силы и знания на благо трудового народа25. В этой связи В. И. Ленин написал для академии «Набросок плана научно-технических работ», основу которого составила идея государственного планирования развития науки26.
Еще при жизни В. И. Ленина Академия наук стала основным научным центром, объединяющим и направляющим развитие фундаментальных исследований в нашей стране.
В январе 1921 г. состоялась беседа В. И. Ленина с вице-президентом Академии наук
В. А. Стекловым, непременным секретарем академии С. Ф. Ольденбургом, начальником Военно-медицинской академии В. Н. Тонко- вым и А. М. Горьким. По словам С. Ф. Ольденбурга27, во время беседы В. И. Ленин обрисовал, «чего ждет и вправе ждать и требовать от науки жизнь и государство и чего, с другой стороны, может ждать и требовать от государства наука». В. И. Ленин сказал участникам беседы: «Без ученых мы не можем вести свое строительство. Необходимо связать отвлеченную научную деятельность с практической государственной работой, сделать науку верной помощницей государственной власти в ее борьбе за лучшее будущее миллионов трудящихся». В. И. Ленин подчеркнул также, что «наука, научное миропонимание должны руководить жизнью сознательных людей и поэтому распространение науки в широких массах является насущной потребностью партии и государства».
Учитывая тяжелое экономическое положение, в котором находилась наша страна в начале 1921 г., В. И. Ленин сообщил участникам беседы, что в ближайшее время преимущественное «внимание государства будет обращено на те науки, которые помогают нам выявлять и применять на деле наши естественные богатства, особенно нужные разоренной войнами стране, т. е. науки математические, естественные и экономические». В «Записках» В. А. Стеклова о результатах встречи с В. И. Лениным можно прочесть: «...отпущено 100 тысяч золотом Крылову для математического кабинета (Академии наук.—
В. М.) и 200 тыс. золотом на Физический отдел физико-математического факультета (Ленинградского университета.— В. М.)». Отпущено золотом в 1921 г.!
Мы сделаем все, подчеркнул В. И. Ленин, что можем сделать, «чтобы вы, старые работ-
2], стр. 6—7, 26—28.
1], т. 36, стр. 228—231.
2], стр. 239—242, 88—93, 97—100.
7
ники, идущие с нами, пожили побольше». Однако «необходимо, чтобы вы не жалели сил и времени на подготовку смены себе, новых научных кадров».
Через день после беседы с учеными Ленин сказал Горькому: «...спросите С. (Стеклова.—
B. М.), пойдет он работать с нами? И когда
C. принял предложение, это искренне обрадовало Ленина; потирая руки, он шутил: Вот так, одного за другим, мы перетянем всех русских и европейских Архимедов, тогда мир, хочет не хочет, а перевернется»28.
По инициативе В. А. Стеклова 29 при Академии наук в феврале 1921 г. был организован Физико-математический институт с тремя отделениями: математическим, физическим и
сейсмическим. Первым заведовал В. А. Стек- лов, он же был и директором института. Впоследствии эти отделы стали самостоятельными институтами; с 1934 г. Математический институт АН СССР носит имя В. А. Стеклова. Характеризуя работу математического института имени В. А. Стеклова, И. М. Виноградов писал: «Еще со времени образования
математического отдела Физико-математического института был взят последовательно проводившийся курс на развитие в институте самой передовой математической теории в сочетании с развитием приложений математики, основанном на использовании самых мощных методов современной математики; курс на объединение всех наиболее сильных советских математиков в совместной работе по развитию науки; курс на выдвижение высокоодаренных молодых математиков, на их совместную работу с ведущими учеными; курс на помощь периферии и союзным республикам в подготовке научных кадров»30.
Кроме Физико-математического института Академии наук в СССР с 1918 по 1923 г. было создано большое число научно-исследовательских организаций, деятельность которых основывалась или органически связывалась с развитием и применением передовых математических теорий. В Москве с 1918 г. начал функционировать Центральный аэрогидроди- намический институт (ЦАГИ). В его работе сначала принимали участие Н. Е. Жуковский,
С. А. Чаплыгин, А. И. Некрасов, В. В. Голубев, М. А. Лаврентьев, Н. Е. Кочин, потом М. В. Келдыш и другие. Были организованы институты оптический, гидрологический, астро- номо-геодезический и др.
В 1922 г. при Московском университете был организован и развернул эффективную твор¬
ческую деятельность НИИ математики и механики.
Исследовательские математические институты были открыты также в Киеве, Тбилиси, Ташкенте, Казани, Томске.
В 1919 г. в Киеве была открыта Украинская академия наук с физико-математическим отделением. Первыми академиками-математика- ми новой академии были Д. А. Граве, Г. В. Пфейффер и Н. М. Крылов. В Грузии при Тбилисском университете начали работать тбилисские математики, положившие начало самостоятельной математической школе: А. М. Размадзе, Н. И. Мусхелишвили,
Г. Н. Николадзе и А. К. Харадзе. Начинала налаживаться математическая жизнь в Армянской и Азербайджанской ССР, в республиках Средней Азии, в Казахской ССР. Закладывались основы единой многонациональной советской математики31.
8. В дореволюционной России большинство ведущих высших учебных заведений функционировали в Петербурге и Москве. На территориях, расположенных вне нынешних границ РСФСР, было четыре вуза. Преподавание велось на русском языке. Кафедры математики имелись в 9 университетах из 11 существовавших, на 10 женских курсах из 22, в 20 высших технических учебных заведениях и, наконец, в 4 военных академиях.
В. И. Ленин разработал основные вопросы строительства советской высшей школы, подготовки кадров специалистов и научных работников32. При непосредственном участии Ленина в большом числе городов СССР были открыты новые университеты, втузы, педагогические и другие специализированные институты. Высшие учебные заведения создавались преимущественно в крупных промышленных центрах и столицах союзных республик (Киев, Минск, Тбилиси, Баку, Ереван, Ташкент, Саратов, Иваново-Вознесенск,^ Свердловск, Иркутск, Владивосток и др.)* Принимались меры к укреплению материальной базы и улучшению преподавательского состава существовавших ранее и новых высших учебных заведений. Особое внимание уделялось организации и работе кафедр математического профиля 33.
В претворении в жизнь ленинских указаний по реформе высшей школы и созданных научно-исследовательских институтов активное участие принимал О. Ю. Шмидт34.
В вузах и научно-исследовательских инсти-
-32.
, стр. 31- и [31].
, стр. 79; [1], т. 54, стр. 310.
12], т. 3, гл. 1, 3].
20].
32].
а
тутах формой объединения творческих усилий математиков становится коллективность в работе как основа деятельности научных математических школ. В Московском университете так работала школа теории функций, возглавляемая Н. Н. Лузиным35.
9. В дореволюционной России математические конференции и съезды не проводились. В июне 1921 г., в связи со 100-летием со дня рождения II. Л. Чебышева, была проведена расширенная сессия физико-математического отделения Академии наук. На этой сессии В. Л. Стеклов выступил с докладом «Теория и практика в исследованиях Чебышева»36. Он рассказал, как П. Л. Чебышев обобщал данные передовой практики его времени и на этой основе развивал общие, действенные теории. В свете идей В. И. Ленина о необходимости единства теории и практики как основы развития науки в социалистическом обществе избранная Стекловым тема доклада была более чем актуальной. Сессия показала плодотворность научных контактов и явилась примером для последующих конференций и съездов математиков в нашей стране37.
В августе 1924 г. в г. Торонто (Канада) состоялся Международный математический конгресс. От СССР в работе конгресса приняли участие несколько математиков, в том числе В. А. Стеклов, Н. М. Гюнтер и Н. М. Крылов. В. А. Стеклов выступил с докладом, посвященным последним работам А. М. Ляпунова.
Академические издания публиковались регулярно с первых дней революции. С 1922 но 1924 г. стали вновь выходить «Математический сборник», «Известия» Харьковского и Казанского математических обществ, «Труды» и «Ученые записки» ряда институтов и высших учебных заведений.
10. В 1918 г. была организосана Социалистическая академия общественных наук (впоследствии переименована в Коммунистическую академию). Устав академии был разработан по указаниям В. И. Ленина и утвержден Совнаркомом. Социалистическая академия должна была заниматься разработкой вопросов истории, теории и практики социализма, а также готовить научных деятелей и ответственных работников социалистического строительства. С 1926 г. в состав академии входили институты: философии, истории, литературы и языка, советского строительства и права, мирового хозяйства и мировой политики и институт экономики. В 1936 г. все институты
35 [23].
36 «Успехи математических наук», 1946, № 1.
37 [22].
Коммунистической академии были переданы в ведение АН СССР.
В конце 1924 г. в Коммунистической акаде- ’мии была организована секция естественных и точных наук. До 1930 г. заведовал секцией
О. Ю. Шмидт. Секция естественных и точных наук Коммунистической академии в содружестве с НИИ математики и механики МГУ и некоторыми другими научными учреждениями сыграла заметную роль в налаживании планового развития математики, а также в марксистско-ленинской разработке философских вопросов математики и критике идеалистических и метафизических концепций.
III
В дореволюционной России были выдающиеся математики, результаты исследований которых составили эпоху в развитии точных наук. В этой связи достаточно напомнить о влиянии идей Н. И. Лобачевского и П. Л. Чебышева на развитие аксиоматического метода, геометрии, математического анализа, теории чисел и теории вероятностей. Широко известна и деятельность Петербургской математической школы, возглавляемой П. Л. Чебышевым. Но до Великой Октябрьской социалистической революции в России не было больших, творчески результативных математических школ, охватывающих все ведущие отрасли этой науки. Начало создания такого единого математического фронта связано с организационными мероприятиями нашей партии и Советского правительства, осуществленными, прямо или косвенно, в связи с указаниями и идеями В. И. Ленина, при активном участии передовых русских математиков. И в наше время советская математика идет и будет идти по пути, указанному В. И. Лениным. Она служила, служит и будет служить претворению в жизнь великих идеи коммунизма.
Литература
[1]. В. И. Ленин. Полное собрание сочинении, т. 1—54.
[2]. Ленин и Академия наук. Сборник документов. Под ред. акад. Я. Н. Поспелова. М., «Наука», 1969.
[3]. «Ленин о науке и высшем образовании». М., Политиздат, 1967.
[4]. В. И. Ленин. Конспект переписки К. Маркса и Ф. Энгельса. 1844—1883 гг. М., 1959.
[5]. «О подготовке к 100-летию со дня рождения Владимира Ильича Ленина». Постановление Центрального Комитета КПСС. М., Политиздат, 1968.
[6]. «К 100-летию со дня рождения Владимира Ильича Ленина». Тезисы ЦК КПСС. «Правда» и «Известия» от 23.ХИ 1969 г.; «Коммунист», 1970, № 1
9
[7]. «В. И. Ленин и А. В. Луначарский». Литературное наследство, т. 80. М., 1971.
[8]. «Организация науки в первые годы Советской власти (1917—1925)». Сборник документов. Л., «Наука», 1968.
[9]. Н. К. Крупская. О Ленине. М., I960.
[10]. М. Горький. В. И. Ленин. Собрание сочинений. Т. 17. «Художеств, лит.». М., 1952.
[11]. Г. М. Кржижановский. Ленин и Маркс. М., Гос- политиздат, 1958.
[12]. «История отечественной математики», т. 1—4. Киев, 1966—1970.
[13]. Сборники: Математика в СССР за тридцать, сорок и пятьдесят лет.
[14]. «Историко-математические исследования». Вып. I— XVII (1948—1966).
[15]. А. Д. Александров. Роль Ленина в развитии науки. «Вопросы философии», 1960, № 8.
[16]. И. М. Виноградов. Математика и научный прогресс. В сб.: «Ленин и современная наука». Кн. 2. М., 1970.
[17]. Б. В. Гнеденко. Ленин и методологические вопросы математики. «Успехи математических наук», 1970, 25:2(152).
[18]. Б. В. Гнеденко. Ленинская теория познания и вопросы математизации современного знания. «Вестник АН СССР», 1969, № 5.
[19]. М. В. Келдыш. Ленин и наука. «Вестник АН СССР», 1970, № 6.
[20]. А. Ф. Лапко и Л. А. Люстерник. Ленин, наука и просвещение. «Успехи математических наук», 1970, 25:2(152).
[21]. А. Ф. Лапко и Л. А. Люстерник. Из истории советской математики. «Успехи математических наук», 1967, 22:6.
[22]. А. Ф. Лапко и Л. А. Люстерник. Математические съезды и конференции в СССР. «Успехи математических наук», 1957, 12:6(78); 1958, 13:5(83).
[23]. Л. А. Люстерник. Молодость Московской математической школы. «Успехи математических наук», 1967, 22: 1; 1967, 22:2; 1967, 22:4.
[24]. И. /7. Павлов. Письмо к молодежи. В сб.: «Наука и молодежь». М., Изд-во АН СССР, 1955.
[25]. П. Н. Поспелов. Ленин и советская наука. «Вестник АН СССР», 1966, № 4.
[26]. С. Л. Соболев. В. И. Ленин и наука. «Известия Сибирского отделения АН СССР», 1960, № 5.
[27]. А. Тимирязев. Наука в Советской России за пять лет. М., «Красная новь», 1922.
[28]. «В. И. Ленин и современная статистика», т. 1—3. М., «Статистика», 1970.
[29]. «Вопросы статистики в работах В. И. Ленина». Сборник. Под ред. А. В. Шевчука. М., 1969.
[30]. «Памяти В. А. Стеклова (1863—1926)». Л., Изд-во АН СССР, 1928.
[31]. Г. И. Игнациус. Владимир Андреевич Стеклов. М., «Наука», 1967.
[32]. «Отто Юльевич Шмидт. Жизнь и деятельность». М., Изд-во АН СССР, 1959.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
На журнал «Математика в школе» принимается подписка на 1973 г. В год выходит 6 номеров журнала. Цена одного номера — 45 коп. Стоимость годовой подписки — 2 р. 70 к. Индекс 70557.
Подписка принимается в пунктах «Союзпечати», отделениях связи, городских и районных узлах связи, почтамтах, а также общественными распространителями печати на предприятиях, в шкалах, учреждениях и организациях.
Редакция
10
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Б. К. ПРИХОДЬКО
(г. Запорожье)
2*+i—■
1
—, + (л- l)z
х [лг* + л (п — i)j — Ап л,
откуда
Апх
А —0 *
Можно положить
-Y ср (х)
и в качестве ср(х) принять функцию
(Апх
? ^ ~ JtT" + Л (л — 1) •
Полагая в этом выражении
X — •^^4' 1 > ^ О, ^ > 2, • » • 9
получим формулу
Ап
хк+1 ■■
(3)
О ВЫЧИСЛЕНИИ КОРНЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
1. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД
Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения
zn — A= О, Л>0,
где п — натуральное число, с любой степенью точности методом последовательных приближений.
Как известно, для этой дели применяется итерационная формула
£ = 0,1,2,..., (1) где zk, zk+x — последовательные приближения
П
к точному числу z = VА, причем
П
zi ^zkzh+1 А (2)
при
Выведем другую формулу для вычисления
П
VА с любой наперед заданной точностью. К обеим частям уравнения
хп — А= О прибавим по Ап. Получим
хп + А (п — 1) =-■ Ап.
I :.::ю'тсая обе части равенстьа к с. л:, Суде и иметь
•*£ + А (п — 1)
Покажем, что на некотором отрезке, содер* жащем искомый корень, выполняется достаточное условие сходимости итерационного процесса
xk+\ — 9 (хл)» т. е. имеет место неравенство
I?'t*)l<l [4].
Прежде всего легко установить, что функция у(х) определена и непрерывна на положительной полуоси и имеет непрерывную производную
,, ч Ап(п — \)(хп — А)
<*'(*) = [РчГГОг- ‘
Из выражения для производной видно, что
<р'(УгА) = 0.
Применяя теорему Лагранжа о среднем зна-
п
чении к функции у{х) на отрезке [0, |/Л], получим
?'(£).= Ь гДе о<е<Ка
п
Следовательно, на отрезке [I, VА] выполняется неравенство
0<Т'(*)<1.
п
Если взять начальное приближение лг0€[£, V^]> то последовательность
■*! = ? (■#<>).
^2 = <p(^i),
x*+i = ?(•**)
П
будет сходиться к x — V А при k — co. Так как <f' (0) = , то на отрезке (О, Ц будем
иметь
11
что обусловливает медленную сходимость итерационного процесса (3), если начальное при-
п
ближение выбрано недостаточно близко к VA. Покажем далее, что
П
*!< ДГ2 <...<**<.** + ! <-..<]/ А (4) при & 1.
П
В стационарной точке х = YА функция <р (л;) имеет максимум
П
9(х)тах = V А, так как ее вторая производная
— Ап2(п — \)хп~' [хп — Л (п 4- Щ
[хп 4- А (п — I)]3 в этой точке отрицательна:
= 0. / л
Следовательно,
П
9 (х) К V А при х >» 0.
Л- (.ха — А)
>0,
хп -j- А (п — 1) откуда
<р(х)^>х.
Сравнивая неравенства (5) и (6) и принимая во внимание, что
Х = ХЬ, <?(хк) = Хк + 1,
получим неравенство (4).
На рис. 1 изображен график функции
160х
Х=<?(х) =
хь 4- 12»
и показан процесс последовательного приближения к корню уравнения
*5 — 32 = 0.
Из неравенств (2) и (4) вытекает неравенство
п
xk+i ^ VA zk+l, (7)
(5)
Кроме того, для любых -*£[0, У"А\ имеет место неравенство
9(х)>х. (6)
Действительно,
, ч Апх
? (х) — Х— х„ + А (п _ , ( — X —
значения корня с избытком, а по формуле (3) — с недостатком.
Очевидно, что совпадающие десятичные знаки чисел и хк+1 будут верными зна-
п
ками для \гА.
Преимущество предлагаемого метода заключается в том, что по величине разности
можно легко оценить точность найденного приближения.
Действительно, из неравенства (7) получаем:
0
‘■*+1
VA
-/г + 1
0 VЛ хк + 1 zk + x хк + г.
При вычислении корня комбинированным методом за следующее приближение лучше всею брать среднее арифметическое
*fe + i -^/г + i
ck + l — 2 ’
предельная абсолютная погрешность которого определяется по формуле
b(Ck+l) = \\f А-С
Л + 1 I
llj. (8)
Пример 1. Вычислить V^IO.
Здесь /г = 3, А = 10. Формулы (1) и (3) принимают вид:
из которого следует, что при вычислении VА целесообразно применить комбинированный метод, ведя вычисления по формулам (1) и (3) одновременно.
При этом по формуле (1) будем получать
30
Так как 8 <10 <27,
то 2<Vm<3.
Возьмем за начальное приближение z0 — x0 — 2 и найдем первую пару приближений:
-т(т+4) = 2’16’
•2 = 2,14.
30
*Л'1 ~ 8 20
В силу неравенства (7) будем иметь: з
2M<VЮ< 2,16.
За следующее приближение возьмем среднее арифметическое
Cj* £!+£!_= 1’16.+ 2-’14 =2,15.
Продолжая вычисления, найдем вторую пару приближений.
= ^(о? + 2'2’15) =
(2,16333 + 4,30) = 2,15444,
Хп —
30
• 2.15== 1,002058-2,15 = 2,15442.
2 2,15*+ 20
Следовательно,
Л
2,15442< J/10< 2,15444.
Взяв среднее арифметическое, получим
V 10;
'2— 2 2,15444 + 2,15442
2
= 2,15443.
Абсолютную погрешность найдем по формуле (8).
. г2 — хг 2,15444—2,15442
Не 2)<:
2
2
ю-5,
откуда видно, что в полученном приближении все шесть десятичных знаков верные.
Пусть уже найдено приближение xk с некоторой весьма малой относительной погрешностью \Ъ\.
Положим
гк = хл = \ГА(1±Ь)
и подставим это значение в формулы (1) и (3). Получим
. _1/7Н(л-1)(1±Чя
zk+i— V Л /1 , ’
л (1 ± Ь)
xk+i = V А
-л «0±:
третьей, найдем:
П
Z
л+1 — V А ( 1 +
VA[l-
(Я-1)(Я-
Я — 1 _ Я* — 1
6 / ’
/г -
2 83
Is2 л:
(9)
]•
Взяв среднее арифметическое, будем иметь:
ck+\:
. 2к+\ ~Ь xk + i
-Va[i+
— (я — 1)(л —2)
8*],
2 6
откуда видно, что среднее арифметическое получается с относительной погрешностью
(п~\)(п-2)
|8(с
£ + 1/
(10)
(1±б)л + п— Г
Раскладывая правые части равенств в ряд Маклорена и пренебрегая степенями В выше
при п^>3.
Пренебрегая в равенствах (9) членами, содержащими В3, найдем, что относительная погрешность приближений zk+l и xk+l определяется по формуле
8(2*+1) = |8(*,+1)| = ^8*. (П)
Если п — 2, то
S(zft+1) = 482- Можно показать, что
«<**+1) = -г*4
при п = 2, т. е. один шаг вычисления квадратного корня по формуле
zk+\ Н- *k+\
ck+\ — 9
эквивалентен двум шагам вычислений по формуле (1).
Пусть приближение xk имеет т верных десятичных знаков, причем 2.
Тогда справедлива оценка
*<ъ(жУ~' и- <|2>
где а — первая значащая цифра корня.
Если приближение имеет р вер¬
ных десятичных знаков, то должно выполняться неравенство
\+i<wl3)> (13>
где 8л+1—относительная погрешность £+1-го приближения.
Следовательно, пользуясь формулами (10) и (11) и неравенствами (12) и (13), можно предварительно оценить число верных десятичных знаков р k + 1.-го приближения, если известно число верных знаков т приближения хк. Пример 2. Определить число верных де-
13
сятичных знаков V10 после первого шага вычислений по формулам (1) и (3), если за начальное приближение принять д;0 = 2,15443.
Здесь п — 3, а —2, т — 6 (см. пример 1). Найдем относительную погрешность начального приближения:
8«<i(iy-'=T-10-5-
По формуле (11) получим
а — п 1 ^2 1 ю-м
— 2 60 — 16 Ш •
Неравенство (13) принимает вид:
1
16
.10-10<10-Л
получим
xk+i An ^ xk\ xk»
£ = 0, 1, 2,...,
<?(х) — Х
хп —А
ПХп~х
преобразуем следующим образом:
х {хп — ^4) х (хп — А)
<?{х) = х —
= Х —
ПХп х(хп -
АП
А)
Ап
х (хл — A) (хп — .4)3
Ап Апхп—'
Последним слагаемым можно пренебречь. Отбрасывая его, получим новую функцию
/ \ х (хп — А)
?!(*)=* Ля ’
Полагая здесь
x = xk, cpi(хк) = k=0, 1,2,...,
придем к формуле (14).
Дифференцируя функцию получим
п+ 1
?; (х) ■■
Ап
(хп — Л),
откуда /? < 11.
Для среднего арифметического следующую оценку
&(<?!)= <”-1Hn~2) 8з==т1_.10->5<10-/’.
Следовательно, Р< 17.
Отсюда видно, что итерационный процесс
Zk + \ + ■** + !
fe+i — 2
сходится быстрее, чем итерационные процессы (1) или (3).
В этом заключается еще одно преимущество предлагаемого метода.
2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЯ БЕЗ ДЕЛЕНИЯ
Процесс вычисления корня можно существенно упростить, если заменить операцию деления операцией умножения.
При этом уменьшается объем вычислительной работы, а сам процесс может быть легко механизирован.
Как при ручном, так и при машинном счете целесообразно пользоваться формулой
(14)
по которой можно вычислять YЛ без деления. Единственное деление выполняется
заранее.
Выведем формулу (14).
Пусть х — <р (л).
Функцию
откуда видно, что итерация (14) имеет порядок, равный двум |2|.
Но итерация (1) также имеет порядок, равный двум.
Следовательно, скорость сходимости итерационных процессов (1) и (14) примерно одинакова.
Нетрудно показать, что
П
xi х ft х\ JK (15)
при £^>1, т. е. последовательные приближения по формуле (14) всегда будут получаться с недостатком.
Заметим, что при вычислении корня по формуле (14) начальное приближение х = х0 следует выбирать так, чтобы выполнялось неравенство
х0[А(п + I) - х2]>0,
откуда
п
О *^0 V А (п + 1).
График функции з; = ср1(д:) при п — 5, Л=32 изображен на рис. 2.
Оценим точность k -р 1-го приближения. На
Рис. 2
14
основании неравенств (2) и (15) можно написать
п
*k+i л 2л+1,
откуда
п __
О < у А - хк+1 < zk+l - xk+v Следовательно,
хк(хпк — А)
+ — VА •*«. + ! Xk
nx'l
X 1-1 \
Ап п
ХЪ (хпк-А)2
Апхпк
хк(хпк — А)2 Агп
х\-Л'
Пренебрегая малым по сравнению с единицей слагаемым
получим
Д(л:*+1) =
(xnk-Afxk
А2п
(16)
где A (xfe+1) — предельная абсолютная погрешность k -f 1-го приближения.
Можно показать также, что
1«<*М.)| = -+1
- 82,
если хк =}/ГА (1 + Ь), где относительная погрешность 5 определяется по формуле (12).
Если вычисления хорошо механизированы, можно начинать с д:0=1, а оценку точности производить, как это обычно принято, по формуле
Xk+i хк
где е — заданная предельная абсолютная погрешность.
s
Пример 3. Вычислить У*20 с точностью до 0,5-10-6.
Так как п — 5, А = 20, то формула (14) принимает вид
*,+1 = 10-2(120 -х1)хк.
Положим х0 — 2 и найдем хг
10~2 (120—25)-2 = 10-2.88.2== 1,76.
iR'jxw -А у -г 1,8» Тогда
х2 — 10“2*(120—1,85)- 1,8 = 10“2-(120—18,9) х X 1,8 = 10-2.101,М,8=1,8198,
так что можно взять х2=1,82.
Продолжая вычисления, находим третье приближение.
х% = 10“2 • (120— 1,825) • 1,82 =
= 10-2.(120—19,969135). 1,82 =
= 10-2.100,030865 -1,82= 1,82056194.
Оценим точность полученного приближения по формуле (16).
Имеем
л/г ч_О.82‘-?0)* 1 00_ (0,03)М,82
n 2Л0^ 27ЩЗ —
= 8,2*10-7<10-6.
Следовательно, приближение
х3= 1,82056194
имеет семь верных знаков.
Округляя до семи значащих цифр, получим
5
Y 20 = 1,820562... с абсолютной I огретнсстью меньшей, чем 0,5-10-6.
Покажем, как построить итерационный процесс более высокого порядка.
Построим, например, итерацию третьего порядка.
Пусть л; = Ф(л;) и av а2, ач — неопределенные коэффициенты, причем будем предполагать эти величины постоянными.
Положим
Ф(х)==х[ \ — а1(хп ~ А) + а2 (хп — А)2]. Дифференцируя функцию Ф(х), получим:
Ф' (х)=1 — ах (хп — А) + а, (хп — А)2 — —ахпхп-\-2а2п (хп— А)хп.
Подберем теперь коэффициенты ах, а2, аг так, чтобы выполнялось тождество
Ф' (х) = 1 — ах (хп — А) + а2 (хп — А)2 —
— ахпхп + 2а2п (хп — А) хп =
= («2 + аг){хп—.А)2,
или
1 — аг (хп — А) — ахпх" + 2а2п (хп — А) хп = = аг(хп-А)2. (17)
Полагая в тождестве (17) сначала д; = 0, затем
П п
x — VА и, наконец, х = Уг2А, получим систему трех линейных уравнений
1 + Аах = А2ай,
1 — Апах = О,
1 — Аа1—2Апа1-\-4А2па2 — А2а%
15
с тремя неизвестными а1у а2, а3, решая которую, найдем
п _1_ л Л + 1 Л /2 4- 1
2Л2Л2 ’ а*~ ~ЖГ>
после чего легко определяется вид функ* ции Ф(х) и ее производной.
Ф (ДГ) = * [ 1 _ -Jj <*" - А) + £+£. (ДГ-- Л)=] , Ф'М=1"+2'^ + ‘V - Л)‘-
Полагая
х = хк, Ф(хк) = хк+1, £ = 0, 1,2,...,
получим итерацию третьего порядка без деления
■**+1 — xk ~ ~J7i(xn — •
Очевидно, что таким способом можно по* строить итерационные процессы четвертого» пятого и т. д. порядков также без деления.
Литература
[1]. Я. С. Безикович. Приближенные вычисления. М.— Л., Гостехиздат, 1949.
[2]. И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений, т. I. М., «Наука», 1966.
[3]. Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. М., «Наука», 1966.
[4]. П. Ф. Фильчаков. Численные и графические методы прикладной математики. Справочник. Киев, «Науко- ва думка», 1970.
П. М. ОЛОНИЧЕВ
(г. Винница)
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ И ФУНКЦИИ многих ПЕРЕМЕННЫХ
Понятия уравнения (или системы) и неравенства с несколькими неизвестными занимают в школьной математике видное место, и с ними знакомят учеников уже в VI и VII классах. Что же касается понятия функции многих переменных, то хотя оно явно и не входит в школьную программу, но, во-первых, является совершенно естественным обобщением понятия функции (одной переменной); во-вторых, с многочисленными примерами функций двух и большего числа переменных, начиная с арифметических операций, ученик встречается во всех школьных разделах математики и физики; в-третьих, это понятие становится необходимым при изучении булевых функций в факультативе по дискретной математике для X класса. В методической литературе можно встретить предложения по введению понятий функций двух и трех переменных в школьную программу и программу факультативных занятий и описание проделанных экспериментов. Сказанное дает основание считать далеко не безразличным для учителя вопрос о понятии функции многих переменных и его увязке со школьной математикой.
При переходе от одной переменной к многим роль значения переменной начинает играть уже набор значений всех переменных. В настоящей заметке автор хотел бы привлечь внимание читателя к последнему понятию в связи с определениями решений уравнения и неравенства и функции многих переменных.
В математике принято считать решением уравнения f(x, //, ..., z) = 0 с п неизвестными упорядоченную систему п чисел (а, Ьу ..., с), которые являются значениями переменных х, у, ..., г, обращающими высказывательную форму f(x, г/, ..., z) = 0 в истинное высказывание f(a, by ..., с) = 0. Но в школе при определении решения уравнения и его употреблении бросаются в глаза некоторые особенности, которые наводят на определенные размышления.
Во-первых, термин «упорядоченная система чисел» тахМ почти не употребляется. Он заменяется такими более расплывчатыми терминами, как «совокупность чисел», «система чисел», «набор чисел» (в частности, говорят о «паре чисел» или «тройке чисел»), причем смысл последних не уточняется, хотя известно, что эти термины могут использоваться и как синонимы термина «множество чисел». Во-вторых, при записи решения следовало бы ожидать преимущественного использования символа (а, Ьу ..., с), но учителя и авторы школьных учебников предпочитают запись «х = ау у = Ь, z — о>, хотя так записывается лишь система уравнений, равносильная данному уравнению, а совсем не его решение. Правда, эта система является простейшей, и ее решение (а значит, и решение данного уравне¬
16
ния) усматривается сразу, но все же уместен вопрос: почему делается такая подмена?
Все объясняется тем, что порядок расположения чисел а, Ь, ..., с, входящий в формальное определение решения, собственно говоря, не имеет отношения к самому решению. Действительно, ведь странно же, что из записи (а, b, с) мы не можем однозначно восстановить решение. Для этого еще требуется знать, как мы предварительно договорились упорядочить сами переменные х, //, ..., г. В частности, если уравнение представляется общим символом /(х, //, ..., г) = 0, то молчаливо принимается упорядоченность для переменных, отмеченная внутри скобок. И вот только тогда отображение множества переменных {х, у, ..., z) на множество чисел {а, Ъу с}у при
котором образом &-ой переменной в системе (х, у, z) служит k-oe число, в системе (а, Ь, ..., с), позволяет однозначно указать, значениями каких переменных служат числа ау b, с, т. е. задать решение. То же самое
решение можно задать и другой упорядоченной системой (вообще говоря, неравной первой!), как, например, системой (6, а, ..., с), если соответственно изменить порядок у переменных, взяв (уу ху ...у z).
Таким образом, мы вносим порядок для чисел a, by ..., с лишь для удобства записи решения, и поскольку упорядоченная система чисел (а, Ь с) взаимно однозначно определяет решение (при закрепленном порядке переменных), то, допуская вольность, просто говорят, что (а, Ьу ..., с) есть решение.
В уравнении все неизвестные (переменные) равноправны. Упорядочивая их, мы, строго говоря, уже рассматриваем не уравнение, а «уравнение с упорядоченными неизвестными»; и его-то решением целесообразно назвать упорядоченную систему чисел. Каждое уравнение определяет п\ уравнений с упорядоченными неизвестными. И вот поскольку в школе под уравнением понимается уравнение с неупорядоченными неизвестными, то официально принятое определение решения повисает в воздухе, а фактически с решением, и совершенно правильно, обращаются как с набором (неупорядоченным) значений всех входящих в уравнение переменных, что отчетливо видно из принятой записи решения в форме х = а, у ~ by ..., z — с 1.
Постараемся подкрепить это неявно используемое в школе понятие решения уравнения соответствующим определением.
1 Надо думать, что запись х = а, у = b, z = с
унаследована от ранее выработанной привычки считатьх не переменной, а обозначением искомого числа в задаче.
Будем называть переменной букву (например, л'), если с ней сопоставлено некоторое множество элементов (мы ограничимся числами), называемых значениями переменной (х- зпачепиями) 2.
Упорядоченную пару (х, а), в которой х — переменная и а — ее значение, назовем подстановкой переменной х или ^-подстановкой.
Множество, составленное из подстановок каждой из переменных х, уу ..., г, назовем подстановкой переменных х, уу ..., г или хг/...z-подстановкой3.
Для л~у...2-подстановки {(х, а), (уу Ь)у... ...y(ZyC)} введем обозначение /х у ... z\
\а b ... с /
С любым уравнением /(х, у, г) == 0 явно или неявно связывается некоторое множество хг/...2-подстановок, называемое областью определения уравнения. Для любой подстановки л; у ... z\
а b ... с )
из области определения выражение f(a, 6, ..., с) = 0 должно представлять собой истинное или ложное высказывание, т. е. иметь смысл. В остальном выбор области диктуется интересами изучающего уравнение.
лгу...2-подстановку из области определения естественно назвать допустимой xy...z-подстановкой или ху...2-подстановкой уравнения.
После проделанной небольшой терминологической подготовки напрашивается следующее определение решения уравнения с несколькими неизвестными:
Решением уравнения f(x, уу ..., г) — 0 называется его ху...2-подстановка х у ... z а b ... с с условием f (а, Ьу ..., с) = 0.
Такое определение можно и не давать явно в школе4, а лишь иметь в виду самому учителю. Для школьника вполне приемлемо назвать решением набор (неупорядоченный) значений всех переменных (последнее определение встречается и в ныне действующих учебниках, по ему придается другой смысл). Затем нужно заметить, что решение уравнения однозначно представимо упорядоченной системой
2 Множество значений переменных в том или ином математическом разделе обычно оговаривается заранее.
3 При желании х у ... г-подстановкой можно назвать любое отображение переменных на их фиксированные значения.
4 Хотя мы не видим и противопоказаний к использованию в школе термина «подстановка переменных» и
заииси решения уравнения в виде Г ? г
17
чисел, если предварительно ввести порядок среди переменных (т. е. проделать «отчуждение» строки переменных в подстановке от строки их значений) 5.
Поскольку только что высказанные соображения о понятии решения уравнения или системы с несколькими неизвестными без каких- либо изменений сохраняются и для понятия решения неравенства или системы неравенств, то мы их не будем повторять, а вкратце остановимся еще на понятии функции нескольких переменных.
Функцией п переменных (аргументов) х, у, ..2 принято называть функцию (одного переменного) с областью определения, состоящей из допустимых упорядоченных систем п чисел (а, b, с), представляющих собой зна¬
чения переменных.
И опять-таки в этом определении существенно участвует порядок, вводимый на переменных. Возьмем для примера функцию f\ трех переменных, значения которой для любых действительных чисел х, г/, г определяются из fi (х, у, z) =ft( (х, у, z)) = х + 2у — Зг.
Но с помощью одной и той же числовой формы 6 х + 2 у — 3 г можно определить 3! = 6 функций трех переменных, относимых к каждому из шести порядков, которые возможны на множестве из трех переменных {х, у, z}. Так, функция f 1 выделяется порядком (х, у, г). Возьмем еще функцию
f2(x, у, z) =Ыу, •*. z) =y + 2x — 3z, выделенную порядком (у, х, z). Тогда, например, fi(l, 2, 3) = М2> 1. 3) =—4. Но трудно
5 В силу «двухэтажности» в записи подстановка менее удобна в обращении, чем упорядоченная система.
6 Мы предпочитаем назвать числовой формой выражение, которое в школе рекомендуется называть выражением с переменными или алгебраическим выражением.
убедить ученика, что от этого переименования переменных или от того, какую из них мы назовем первой, а какую — второй, что-либо изменилось, и мы получили другую функцию. Нет сомнений, что человек, не искушенный в математических абстракциях, значительно естественнее воспримет функцию многих переменных как функцию одной переменной, значениями которой опять приняты неупорядоченные наборы значений переменных.
Такое определение согласуется как с интуитивным представлением о функциональной зависимости, так и с понятием уравнения и его решения. Далее, в нем все переменные (аргументы) выступают равноправно, а числовая форма будет однозначно выделять функцию. Эту единственную функцию можно посчитать значением ее определяющей числовой формы.
Если же воспользоваться более точным термином «подстановка», то функцией п переменных jc, у, ..., z(n^2) следует назвать функцию, за область определения которой принято некоторое множество хг/...г-подстановок.
Как и при определении решения уравнения, далее целесообразно указать на возможность задания набора значений переменных соответствующей упорядоченной системой чисел (при специально оговоренном порядке для переменных) и затем, реализуя такую возможность, представить функцию п переменных функцией (одной переменной), заданной на области, состоящей уже из упорядоченных систем чисел.
В итоге можно констатировать, что использование в школьной практике традиционно признанного понятия набора значений переменных следует считать оправданным как из учебных, так и научных соображений, и естественно, учителю следует четко осознать это понятие и правильно им пользоваться.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В. Л. МИНКОВСКИЯ, Г. А. ГАБИНСКИЙ
(г. Орел)
НЕКОТОРЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АТЕИСТИЧЕСКОМУ ВОСПИТАНИЮ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Формирование духовного облика активного строителя нового общества требует освобождения сознания всех людей от пут религии, вооружения каждого человека подлинно научным мировоззрением. Решающее значение в этом процессе имеет осуществление социально-экономических мероприятий, намеченных XXIV съездом партии. Однако нельзя ждать, пока религиозные пережитки исчезнут сами собой. Расчет на самотек вреден во всяком деле, особенно он недопустим, когда речь идет о воспитании миллионов людей.
В освобождении от влияния религии нашего подрастающего поколения важнейшую роль призвана сыграть школа. Чтобы дать школьникам последовательно научное объяснение природных и общественных явлений, чтобы вооружить их диалектико-материалистическим мировоззрением, надо пронизать всю учебную работу атеистическим содержанием. Возможность для этого дают все школьные дисциплины, в том числе и математика.
В эксплуататорском обществе, где вся система воспитания и образования проникнута религиозным духом, а свобода совести понимается только как свобода религии, но не как свобода от религии, математика неоднократно использовалась для аргументации в пользу поповщины. Так, немецкий идеалист Герман Ко¬
ген (1842—1918) проповедовал «введение высшей математики в школы — для ради внедрения в гимназистов духа идеализма, вытесняемого нашей материалистической эпохой» *. Несколько раньше русский профессор Г. Б. Никольский (1785—1844) в своей речи «Слово о пользе математики», произнесенной в Казанском университете 5 июля 1816 г., утверждал: «В математике содержатся превосходные подобия священных истин, христианскою верою возвещаемых. Например, как числа без единицы быть не может, так и вселенная, яко множество, без единого владыки существовать не может». Со времен древней России треугольник нередко трактовался как аналог соотношения трех ипостасей в христианской троице.
Естественно, что попытки использования математики для внедрения религиозного духа могли предприниматься только путем фальсификации истинного смысла математических положений. Заставить математику служить религии можно лишь в условиях тех извращенных социальных отношений, духовным ароматом которых является религия.
В принципиально ином положении находится советский педагог-математик. В своей научно-педагогической деятельности он исходит из глубокого осознания непримиримой противоположности науки и религии, а потому не может не выступать как противник религии в тех случаях, когда встречается с мистической трактовкой количественных отношений и пространственных форм объективного мира. «Нет ничего более противоположного, — пишет академик С. JI. Соболев, — чем точная и ясная математическая мысль и глупые религиозные предрассудки» 2.
Следует особо отметить, что успех научноатеистической пропаганды зависит не от количества поводов для ее проведения, а от того, в какой степени выступления по этим поводам будут запоминаться учениками, оставлять след в их сознании, становиться их убеждениями. Опыт организации и изучения научно-атеистического воспитания учащихся в связи с преподаванием математики позволяет выделить основные направления в осуществлении этой работы.
ФОРМИРОВАНИЕ ДИАЛЕКТИКОМАТЕРИАЛИСТИЧЕСКИХ ВОЗЗРЕНИЙ НА ПРЕДМЕТ, МЕТОД И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ
Учителю математики во многих случаях необходимо преподносить изучаемый материал
1 В. И Ленин. Поли. собр. соч., т. 18, стр. 326.
2 «Наука и религия*, 1961, № 9, стр. 18.
19
так, чтобы из поля зрения учащихся не выпадали объективные истоки этого материала, его связь с реальными вещами и соотношениями действительности. В свете ленинской теории отражения любые, даже самые абстрактные математические понятия являются в конечном счете отражением объективной реальности, существующей независимо от человека. Поскольку же логика математического мышления неотрывна от его истории, то сведения из истории математики наиболее ярко иллюстрируют зарождение и развитие математических понятий. При этом реализуется возможность противопоставить материалистический и идеалистический подходы к решению вопроса о генезисе математических понятий, так как идеализм в любой его форме, как указывал В. И. Ленин, неминуемо ведет к поповщине.
Примером сказанного может служить сопоставительный анализ взглядов на возникновение понятия натурального числа. Немецкий философ И. Кант (1724—1804) утверждал, что понятие числа существует в человеческом сознании априорно, т. е. до всякого опыта. Взгляд Канта затем был развит неокантианцами и сохранился в буржуазной философии, и поныне. Согласно этому толкованию, понятие о всей последовательности натуральных чисел является у человека врожденным, вытекающим из свойств его духа.
Советские математики исходят при критике кантианства из того указания, которое дал Энгельс в «Анти-Дюринге»: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления» 3.
Возникновение понятия натурального числа получает подлинно научную, материалистическую трактовку. Чтобы это понятие появилось, надо было иметь объекты, подлежащие счету, а также способность отвлекаться при изучении этих объектов от всех их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития человечества.
Конечно, современный учащийся интуитивно осознает справедливость утверждения Энгельса. Однако доказать справедливость материалистического взгляда на происхождение понятия числа можно только на основе анализа соответствующего исторического материала.
Первоначальное ознакомление с этим материалом доступно учащимся IV класса и осуществляется при изучении темы «Натуральные числа». В порядке организации внеклассного чтения по математике ученикам рекомендуется последовательно знакомиться с соответст-
3 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 37.
вующими абзацами 84-го пункта учебника «Математика», озаглавленного «Как люди научились считать». Дальнейшее обогащение этих знаний происходит в последующих классах в связи с обобщением понятия числа 4.
Идеализму предшествует и сопутствует религия, как извращенное, фантастическое отражение действительности. В индуизме утверждается, что числа дал человеку бог Брахма. В китайской религии — даосизме — тоже отстаивается мысль, что числа даровало людям Небо, написав их, по одним мифам, на спине дракона, а по другим — на панцире черепахи. По иудео-христианскому «священному писанию»— Библии, бог устроил мир весом, мерою и числом, понятие же числа ниспослал людям через свое откровение. Короче говоря, все религии приписывают числу сверхъестественное, божественное происхождение. Когда же идеалисты говорят о происхождении понятия числа из абсолютного духа, самосозерцания, доопыт- ного рассудка, чистого разума и т. п., то, как указывал Ленин, все это лишь надуманные обозначения для того же боженьки. Ибо идеализм— это не более как утонченная религия, а религия — упрощенный идеализм.
Борьба религии с атеизмом, материализма с идеализмом в вопросе о предмете и методе математики зародилась еще в древности. В 4 в. до н. э. были даны два диаметрально противоположных определения предмета этой науки. Великий древнегреческий ученый Аристотель (384—322 гг. до н. э.) полагал, что математические понятия являются абстракциями от реальных вещей. Платон же (427—347 гг. до н. э.), опираясь на свое идеалистическое учение об идеях, утверждал, что математические идеи имеют самостоятельное существование, независимое от мира вещей. Последующая история математики на протяжении многих веков включает в себя борьбу этих двух направлений. В рамках данной статьи нет возможности проследить все перипетии этой борьбы. Заметим только, что к моменту окончания школы ученика следует вооружить достаточно отчетливыми и в известной мере современными представлениями о предмете и методе математики 5.
4 Конкретный исторический материал имеется в следующих изданиях, предназначенных для учителя математики: И. Г. Башмакова и А. П. Юшкевич. Происхождение систем счисления. В кн.: «Энциклопедия элементарной математики». T. I. М.— J1., 1951; И. Я. Депман. История арифметики. М., 1965.
5 В решении этой задачи учителю окажут существенную помощь содержательные работы видных советских математиков, из которых укажем следующие: А. И. Колмогоров. Математика, БСЭ. Изд. 2, т. 26, Б. В. Гнеденко.. В. И. Ленин и методологические проблемы мате¬
20
СООБЩЕНИЕ УЧАЩИМСЯ СВЕДЕНИЙ ИЗ ИСТОРИИ БОРЬБЫ РЕЛИГИИ С МАТЕМАТИКОЙ
История сохранила многочисленные доказательства того, как в прошлом, особенно в средние века, церковь яростно боролась против математики, не без основания считая эту науку опасной для веры.
Так, «отец церкви» св. Амвросий (340—397) утверждал, что «заниматься астрономией и геометрией-—значит оставить путь спасения и избрать путь заблуждения». Августин (354— 430) поучал, что «математика отвращает ст бога» и что это должно сурово наказываться. В древнерусском церковном поучении XVI в. сказано: «Богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию; а се душевные грехи учиться астрономии и еллинским книгам; ...люби простоту больше мудрости, не изыскуй того, что выше тебя, а какое дано тебе от бога учение, то и держи» 6.
Все эти осуждения математики опираются на общий дух христианства, пронизывающий все книги «священного писания», написанные якобы по внушению бога. Идеалы «простоты, немудрствования», т. е. невежества и слепой веры, содержатся и в Ветхом и в Новом завете. Так, в книге пророка Исаии сказано: «...мудрость мудрецов его погибнет, и разума у разумных его не станет» (Ис., 29 : 14). А апостол Павел, ссылаясь на Исаию, поучает: «Ибо сказано: погублю мудрость мудрецов и разум разумных отвергну. Где мудрец? где книжник? где совопросник мира сего? Не обратил ли бог мудрость мира сего в безумие?... Потому что немудрое божие премудрее человеков... Бог избрал немудрое мира, чтобы посрамить мудрых» (1 Кор., 1: 19—20, 25, 27). И когда Тертуллиан, апологет христианства провозглашает: «Нам после Христа не нужна никакая любознательность, после евангелия не нужно никакого исследования», то он лишь выражает в краткой форме всю суть отношения религии к науке.
Отсюда естественно, что всякие занятия, не связанные с изучением писания, вызывали осуждение церкви. Порой это осуждение выливалось в страшные формы. История донесла до наших дней много фактов, свидетельствующих о том, как религия всячески препятство¬
матики. М., 1970; А. Д. Александров. Математика и диалектика. «Математика в школе», 1972, № 1—2. В нашем журнале в методическом плане эта проблема рассматривалась в начале 50-х годов (статья Ф. Ф. Нагибина в первом номере за 1951 г.). Сейчас имеется потребность вернуться к обсуждению этого вопроса.
6 Цит. по кн.: Б. В. Гнеденко. Очерки по истории математики в России. М.— Л., 1946, стр. 22.
вала развитию математики, с каким фанатизмом и жестокостью на протяжении веков церковь травила, преследовала и убивала уче- ных-математиков.
Уже в первые века своего существования христианство совершает такой позорный акт, как убийство первой женщины-математика Ипатии (370—415). Ипатия написала комментарии к «Арифметике» Диофанта Александрийского и к «Коническим сечениям» Аппол- лония Пергского. Эти сочинения сыграли важную роль в развитии математики, явившись отправным моментом для классических работ П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Подстрекаемая патриархом Александрийским Кириллом (и доселе значащимся в числе «святых»), толпа религиозных фанати- ков-христиан вытащила Ипатию из экипажа, затащила в церковь и там содрала с нее острыми раковинами все тело до костей, бросив останки в пламя. Единственной «виной» Ипатии были ее занятия математикой, которые св. Кирилл расценил как еретические и языческие.
В средние века церковь обвиняла в колдовстве, связи с сатаной и ереси многих ученых- математиков. Они заточались в монастырские тюрьмы, их сочинения сжигались. Но подлинного апофеоза достигает преследование ученых в период деятельности папской инквизиции (XIII—XVI вв.). Главный инквизитор Испании Торквемада (1420—1498), по злой иронии судьбы считавший себя любителем математики, выражал уверенность, что алгебраические уравнения четвертой степени не могут быть решены человеком, так как волей господней такая возможность абсолютно исключена. Но математик Паоло Вальмес заявил, что он владеет формулой решения уравнения названной степени. Не вдаваясь в математические подробности и даже не поинтересовавшись ими, инквизиционный трибунал приговорил ученого к сожжению на костре за «борьбу с божественной волей».
Но время шло, и церковь лишилась возможности сама убивать людей за их действительное или мнимое расхождение с вероучением. Начинается период (он и сейчас не окончился), когда церковь, уступая духу времени, не осуждает занятий математикой, но пытается даже использовать ее данные для защиты религиозной веры. Так, епископ Кузанский Николай (1401 —1464) использует идеи о пределе для подтверждения бытия бога. Мы уже приводили высказывание Г. Никольского, в котором проводится сходная попытка. Богословы проявляют немалую изворотливость, приноравливаясь к новой обстановке.
21
Однако попытки примирить математику с религией обречены на провал. Одной из причин этого является несовместимость математического и религиозного способов мышления.
АТЕИСТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВОСПИТАНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Каждому учителю известно, какую большую роль в математике играет доказательство. Математическое мышление издавна считается синонимом точности, логичности, достоверности, доказательности. Последовательность и обоснованность математических доводов являются примером для других наук.
Совсем по-иному относится к доказательству религия. Основные положения религии, составляющие сущность ее вероучения (догматы), должны, как учит церковь, приниматься на веру без какого бы то ни было доказательства. И если кто-либо из верующих настаивает на доказательстве догмата, то это, согласно учению церкви, есть грех, неверие, гордыня. «Всякий ищущий доказательства церковной истины тем самым показывает свое сомнение, исключает себя из церкви», — предупреждают современные церковники.
Религия основывается не на интеллекте, не на разуме, а на слепой вере. И поскольку, как утверждают богословы, вера выше разума, то нелепые догматы (вроде непорочного зачатия, троицы и т. д.) выше человеческого понимания. И так как без веры в них невозможно спасение души, то остается лишь один выход, рекомендованный Тертуллианом: «Верую, потому что нелепо». А один из последователей Тертуллиана — датский богослов Кьеркегор (1813—1855) недвусмысленно заявляет: «Вера относится к доказательству как к своему врагу».
Научное мировоззрение, будучи последовательным и доказательным, диаметрально противоположно бездоказательному религиозному мышлению. Преподавание математики в школе требует, чтобы ученики научились критически подходить к исходным положениям, безукоризненно их формулировать, устанавливать вытекающие из них следствия, подвергать их всестороннему анализу, в результате которого уметь безошибочно отвергать ложные выводы и утверждать истинные. Религиозные же предрассудки и суеверия невозможно совместить с соблюдением требований правильного мышления.
Неприязнь к математике «отцов церкви» и инквизиторов вытекает именно из этого обстоятельства. Здесь весьма рельефно выступает
их паническая боязнь бескомпромиссного и доказательного математического мышления, которое не может мириться с нелепостями и логическими противоречиями вероучения. Соборные «отцы» первых веков христианства потратили немало сил на борьбу с выработанным античным «языческим» мышлением принципом достаточного основания. «Учение о божестве преподается не в умственных доводах, но при посредстве веры и благоговейно благочестивого помысла. А кто домогается и хочет исследовать паче сего, тот противится сказанному: не мудрися излишне, да не когда изу- мишися»-—таков и ныне принимаемый в христианстве принцип, выработанный еще в V в. А небезызвестному Арию, пытавшемуся как-то аргументировать догматы, епископы писали: «Мы бесхитростно веруем. Не трудись понапрасну отыскивать доказательства на то, что постигается только верой... В вопросах божественных тайн ты никогда не должен спрашивать, почему и как».
Из сказанного следует, что развитие логического мышления учеников при изучении математики способствует разоблачению религиозных предрассудков.
ОЗНАКОМЛЕНИЕ УЧАЩИХСЯ С СОВРЕМЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ БОРЬБЫ МЕЖДУ НАУКОЙ И РЕЛИГИЕЙ И МЕСТОМ МАТЕМАТИКИ В ЭТОЙ БОРЬБЕ
Как уже было замечено, в наше время церковь, учитывая возросшую роль и влияние науки, уже не выступает с откровенно мракобесными заявлениями, а, напротив, старается доказать совместимость и даже «гармонию» науки и религии. При этом, однако, незыблемым остается религиозный принцип примата веры над званием, религии над наукой. Так, папа Пий XII в своей энциклике «Род человеческий» заявляет: «Конечно, учителя и ученые должны всеми силами и со всем тщанием обогащать предмет своего преподавания, но при этом им следует остерегаться пренебречь границами, установленными нами для защиты истины веры и католической доктрины» 7. Выходит, только та наука угодна церкви, которая признает границы, указанные церковью. К счастью, в наше время мало кто обращает внимание на религиозные указания.
Ныне уже невозможны рассуждения, вроде тех, которые в свое время епископ Джордж Беркли (1684—1753) адресовал Ньютону и другим математикам и которые заключались в том, что использование в математике идеи
7 Цит. по кч : О. Клпр. Естествознание, религия и церковь.'AL, I960, стр. 1 Id
22
бесконечности есть ересь, так как она, дескать, применима только к богу. В нашу эпоху, наоборот, богословы усиленно спекулируют математическим понятием бесконечности, находя в нем какой-то аналог бесконечному духу, т. е. богу. А английский богослов Смарт даже пытается построить математическое доказательство бытия божьего.
В выраженных математическим языком соотношениях физического мира современные богословы пытаются отыскать «руку божью». Так, иезуит П. Мартини пишет: «Спрашивают, как получается, что планета должна двигаться по столь сложным математическим законам, и со стороны физики отвечают, что это указывает на существование вне нас чего-то духовного, духовного принципа, который связан как с законами материального мира, так и с нашей духовной деятельностью». Дух вне нас, как нетрудно догадаться, это и есть бог. Конечно, не физика, а лишь богословие отыскивает бога. Для материалистического мировоззрения, однако, ясно, что любые количественные соотношения и пространственные формы присущи самому материальному миру.
Католический теолог Э. Юан полагает, что математические выкладки — это мост между богом и миром. «Когда мы удивляемся, — пишет он, — стройностью математических формул теории относительности и микрофизики, даже неспециалисту понятно, что они преисполнены чудесного порядка и красоты. Этот порядок не может быть понят без духовного принципа, находящегося вне человека» (т. е. опять же бога). Это очередная попытка использовать математику для известного еще со средних веков так называемого телеологического доказательства бытия божьего, возводящего наблюдаемый в мире порядок к сверхъестественному творцу.
Современное православие не отстает от своих католических коллег. Так, протоиерей Сергий Булгаков проводит сравнение между догматами веры и таблицей умножения, уверяя, что «безошибочность и истинность по-своему присущи и тем и другой». Впрочем, автор лекций по основному богословию признает, что богословие не сообщает своим положениям «логической принудительности и очевидности, равно как и математической точности и доказательности». Однако библейское положение о том, что «бог устроил вселенную весом, мерою и числом», до сих пор проповедуется в христианстве. Один из нынешних православных проповедников даже договорился до того, что чем глубже человек изучает математику, тем яснее и восхитительнее становится для него «промысел божий в мире»8. Не правда
ли, какой контраст со злобными заявлениями «отцов церкви» в адрес ненавистной им математики?
Но церковники выдают желаемое для них за действительное. На самом деле математика не только несовместима с религиозной верой, но буквально вопиет против нее. Как бы ни пыталась религия примириться с наукой, искажение действительности, совершаемое в кривом зеркале веры, никак не может быть согласовано с истинным отражением мира в науке, отражением, которому математика придает строгость и точность.
АТЕИСТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ОЗНАКОМЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ С ЖИЗНЬЮ, ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ И МИРОВОЗЗРЕНИЕМ ВИДНЫХ МАТЕМАТИКОВ
При ознакомлении учеников с биографиями видных ученых в школе нередко наблюдается порочная тенденция. Она заключается в желании «отлакировать» биографию ученого, т. е. сознательно исключить из нее такие моменты, которые характеризуют недостатки мировоззрения ученого, его ошибки и проявления непоследовательности.
В настоящее время церковники очень охотно используют ссылки на верующих ученых. Так, например, известно, что Паскаль был истым католиком, что великий Ньютон, произнося слово «бог», снимал шляпу, писал комментарии к библейским текстам. Для школьников же любой великий ученый — авторитет во всех областях, и пример верующих ученых — факт, который нельзя отвергнуть, — может оказать на них известное нежелательное влияние.
Чтобы не оставить церковникам никакой лазейки к душам детей, необходимо подвергнуть научно-историческому объяснению факт наличия верующих ученых, в том числе математиков. Руководствуясь принципами исторического материализма, надо рассмотреть такие факторы, как протекание жизни ученого в те времена, когда церковь монопольно господствовала в сфере духовной культуры; воспитание будущего ученого в религиозном духе, общественные и семейные традиции; психические особенности восприятия встречающихся научных трудностей; сильные душевные потрясения и т. п. При этом полезно вспомнить формулу А. И. Герцена, суть которой в том, что основной задачей биографического жанра является «отражение истории в человеке», т. е. подлинное объяснение особенностей поведения, мировоззрения и деятельности человека в конкретных исторических условиях его жизни.
8 В, Титов. Православие. М., 1969, стр. 54.
23
Педагог-математик может, в частности, об* ратиться к примеру из жизни великого математика Блеза Паскаля (1623—1662), внесшего большой вклад в развитие не только математики, но и физики.
Но научная деятельность Паскаля прекратилась в 30 лет. В 1654 г., совершая одно из своих путешествий, Паскаль едва не погиб. Воспитанный с детства в глубоко религиозном духе, он в минуту смертельной опасности мысленно возложил на себя обет: остаток жизни целиком посвятить служению богу, если всевышний сохранит ему жизнь. Церковники не преминули воспользоваться клятвой Паскаля, чтобы целиком направить усилия его незаурядного ума на оправдание христианского вероучения. С этой целью духовник монастыря Пор-Рояль Антуан Сенглен «духовным наставником» Паскаля назначил де Саси, поставив перед ним вполне конкретную цель: внушить Паскалю отвращение к наукам. И последние восемь лет жизни замечательного ученого были потеряны для науки. Выходит, что у Паскаля, как и других настоящих ученых, не только не было единства научных и религиозных взглядов, а наоборот: доведе¬
ние религиозности до предела полностью исключило для него возможность развивать пауку.
Более подробные материалы по этим вопросам учитель может найти в популярной науч- но-атеистической литературе 9. Отношение ученого к религии — это его личное дело, дело его совести. Факт религиозности некоторых крупных ученых ничего не говорит в пользу истинности религии. «Аргумент к человеку» не является доказательством. Религиозные взгляды отнюдь не вытекают из научных исследований. Недаром даже верующие ученые никогда не упоминают о боге в своих научных трудах — там приводятся только факты и доказательства.
Знаменитый математик Пьер Лаплас (1749—1827), один из основоположников теории вероятностей, ставил своей целью сделать «гипотезу бога излишней», ибо, по его мнению, все в мире может быть объяснено чисто естественными причинами. Всемирно известный академик-математик А. А. Марков (1856— 1922) предельно четко высказался о вероятности библейских чудес. В своей классической книге «Исчисление вероятностей» (СПб., 1908) он писал: «Независимо от математических
9 См.: О. Клор. Естествознание, религия и церковь.
М., I960, стр. 119—125; Г. А. Гурев. Великий конфликт. М., 1965; «Общество и религия». М., 1967; «Настольная книга атеиста». М., 1971; Г. А. Габинский. Наука и ре¬
лигиозный модернизм. М., 1970.
формул, на которых мы не остановимся, не придавая им большого значения, ясно, что к рассказам о невероятных событиях, будто бы происшедших в давно минувшее время, следует относиться с крайним сомнением». А. А. Марков смело разоблачал антинаучность и реакционность религии. Он потребовал и добился своего отлучения от православной церк ви, активно поддерживающей самодержавие и реакцию. Дерзкий поступок академика А. А. Маркова горячо приветствовала ленинская «Правда» в номере от 9 мая 1912 г.
Таким образом, до сознания ученика доводится, что передовые ученые, многие выдающиеся математики выступали против религии, не боясь преследований. Никакой внутренней связи между математикой и религией нет и быть не может.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ ПРИ КРИТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ «СВЯЩЕННЫХ» КНИГ
В основе христианской религии лежит так называемое «священное писание» — Библия. Церковь уверяет, что Библия написана «духом божиим, чрез освященных от бога людей, называемых пророками и апостолами». Это «святая» и непогрешимая книга, усомниться хотя бы в одном слове которой — значит обречь себя на вечные муки в аду. Но если так, то в Библии не должно быть никаких противоречий и несообразностей. Так ли это на самом деле? Отнюдь нет.
Несмотря на проповедуемое церковью благоговейное отношение к Библии, уже в давние времена находились люди, находившие в ней много нелепостей и несообразностей. Таковы, например, Хиви ал Балки (IX в.), Авраам ибн Эзра (1093—1168), Пьер Абеляр (1079—1142), Бенедикт Спиноза (1632—1677), Томас Гоббс (1588—1679), Жан Мелье (1664—1729) и многие другие. Церковь сурово преследовала этих ученых, сжигала их сочинения, предавала их анафеме. Но шила в мешке не утаишь, и доверие к Библии было значительно подорвано. Претензии Библии на абсолютную истину, исходящую от вечного, всемогущего и всеведущего бога, оказались несостоятельными.
Можно, в частности, вполне убедительно показать, что «святой дух» далеко не во всех случаях находится в ладах с азами арифметики. Противоречия, утверждающие, в сущности, равенство различных членов последовательности натуральных чисел, встречаются во многих библейских книгах. Так, в 7-й главе книги Бытия в легенде о всемирном потопе праведнику Ною сказано богом, чтоб он взял
24
в ковчег скота чистого по семи, нечистого по два (стих 2), а в стихе 15-м той же главы — «по паре от всякой плоти». В одном случае говорится, что потоп длился 40 суток (Быт., 7:4), а в другом—150 суток (Быт., 7:24). Вообще сказание о потопе допускает исчерпывающее опровержение средствами математики с использованием некоторых общеизвестных данных метеорологии 10. Не лучше обстоит дело с арифметикой в Новом завете, повествующем о Христе. Согласно евангелию от Матфея Иисус Христос имеет от царя Давида 27 предков (Матф., 1 : 1 —17), а по евангелию от Луки — 41 предка (Лук., 3:23—28). Другие данные о числовых несоответствиях в Библии учитель может найти в книгах Ем. Ярославского и И. А. Крывелева п.
Не лучше обстоит дело и с освещением в Библии материала, связанного с использованием геометрических понятий. Так, в рассказе о дворце царя Соломона имеется следующая характеристика одного из предметов его обстановки: «И сделал литое из меди море,— от края его до края его десять локтей,— совсем круглое, вышиною в пять локтей, и сну- рок в тридцать локтей обнимал его кругом» (III царств, 7 : 23). Здесь отражены весьма примитивные представления древних евреев о числе я, которые были заимствованы ими у вавилонян и египтян. На этой стадии развития число я часто отождествлялось с натуральным числом, равным 3.
Выходит, богу, который все знает заранее и точно, оказалось неизвестным, что отношение длины окружности к диаметру не может быть точно выражено никаким рациональным числом, а является числом трансцендентным, т. е. таким иррациональным числом, которое не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Библия — дело рук человеческих, а не божьих. В ней отразились и математические представления древних времен, а вовсе не абсолютная истина. Один из главных постулатов религиозного мировоззрения — «Никому, кроме бога, не ведомы сокровенные тайны мироздания»— терпит крах. И если бы математика следовала бы тем примитивным и путаным математическим сведениям, которые содержатся в «священном писании», она никогда не достигла бы такого прогресса, как сейчас.
10 См.: В. Л. Минковский. Научно-атеистическое воспитание учащихся в связи с преподаванием математики. «Математика и школе», 1957, № 6.
11 Ем. Ярославский. Библия для верующих и неверующих. М., 1958; И. А. Крывелев. Книга о Библии. М., 1965: его же. Как критиковали Библию в старину. М., 19Ьо.
Таков вывод, к которому учитель подводит
учеников на основе анализа указанных фактов.
ПРЕОДОЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ СУЕВЕРИЙ ПУТЕМ РАЗЪЯСНЕНИЯ ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
Исторически самые разные суеверия были порождены беспомощностью человека в борьбе с природой. Но они не исчезли и до наших дней. Само слово «суеверие», т. е. суетное, ложное верование, было введено в обиход церковью, противопоставляющей суеверию «истинную» веру. Но по существу никакой принципиальной разницы между религиозной верой и суевериями нет. И то и другое — это научно несостоятельные, ложные, фантастические представления о мире и его законах. Более того, церковь приспособила многие языческие суеверия к своим нуждам. «Священные» книги полны рассказов о всяческих «знамениях». Суеверие остается суеверием, независимо от того, проповедует его церковь или же отвергает. И не случайно в сознании верующих людей религиозная вера мирно уживается с дремучими первобытными суевериями.
Среди распространенных суеверий мы встречаем, в частности, числовые суеверия, состоящие в приписывании отдельным числам мистического значения. О суевериях, связанных с так называемыми несчастливыми и счастливыми числами — 13 и 7, достаточно подробно рассказывалось на страницах нашего журнала. Там же было уделено внимание так называемому «числу зверя» — 666 12.
Даже в наше время «число зверя» используется для активного воздействия на верующих. Журнал «Наука и религия» неоднократно приводил сведения об использовании числовой мистики в некоторых христианских и мусульманских сектах.
Весьма распространена вера в счастливые и несчастливые числа даже в развитых капиталистических странах. В США во многих высотных домах нет обозначения тринадцатого этажа, комнат под тринадцатым номером. В воздушных лайнерах нумерация сидячих мест прыгает с двенадцатого на четырнадцатое. Гадальные автоматы выбрасывают карточку с вашим «счастливым» числом. Скаудально известные «хиппи» в знак протеста носят амулет с числом 13, часто сочетающийся с изображением черта 13. Астрологические гороскопы, пе-
12 См.: В. Л. Минковский. Научно-атеистическое воспитание учащихся в связи с преподаванием математики. «Математика в школе», 1957, № 6.
13 См.: В. А. Островский. Тьфу, тьфу, чтоб не сглазить! М., 1969.
25
чатаютдиеся ежедневно в некоторых газетах, обязательно содержат в себе указание счастливых и несчастливых дат. Вычисления, связанные с мистическими числами, неоднократно публикуются в журналах.
Числовые суеверия уходят своими корнями в седую древность. Сохранились сведения о гадании на числах и числовой мистике в Шумере, Вавилоне, древнем Египте. А в Древней Греции математик и основатель религиозной секты Пифагор (580—500 гг. до н. э.) приписывал некоторым числам сверхъестественную силу. Он утверждал, что различные отношения между числами тайным образом характеризуют отношения между предметами, явлениями, людьми. Пифагорейцы полагали, что в последовательности натуральных чисел отличие первого четного числа от первого нечетного соответствует особенностям мужского и женского начала в природе, а в своей сумме эти числа символизируют союз мужчины и женщины — брак.
Неоплатоник Ямвлих (ум. ок. 330 г. н. э.) считал, что 12 — это священное число, ибо существует 12 небесных богов, 72 поднебесных бога, 360 природных богов. Раннехристианский мистик Василид (100—140 гг. н. э.) обожествляет число 365, ибо, по его мнению, именно таково число разрядов небесных сил, или ангелов. Нелепейшие рассуждения связывались с понятием о христианской троице, где получалось, что 1 = 3. Средневековые астрологи немало сил потратили на мистические вычисления «божественного предопределения», так что Ломоносов по этому поводу заметил: «Не
здраво рассудителен математик, ежели он желает божескую волю циркулем вымерять».
В явно надуманных, абсолютно произвольных мистических рассуждениях теологов и идеалистов числа рассматриваются не в плане характеристики количественных отношений реальной действительности, а в качестве идеаль¬
ных начал мира или знаков божественной
воли. Одна грань в познании материн — ее количественная сторона — подвергнута мистификации, а число превращено в самостоятельную сверхъестественную сущность.
Изучая с учениками развитие понятия числа, следует пояснить, что очень часто мистика свивала себе гнездо там, где человек сталкивался с новым для него явлением, не поддающимся в данный исторический момент достаточно убедительному истолкованию. Так было, например, с идеей мнимого числа, с которой люди столкнулись в практике решения алгебраических уравнений. Осознавая пользу этих чисел, но не умея их как следует истолковать, немецкий ученый Г. Лейбниц в 1702 г. писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». И только после работ датского землемера К. Весселя (1799) и французского математика Ж. Аргана (1806), которые открыли и ввели в обиход геометрическую интерпретацию комплексных чисел, с мнимых чисел спала пелена мистической таинственности и был уяснен их реальный математический смысл.
В век атомной энергии, ЭВМ и космических кораблей при вдумчивой работе учителя-математика из школы должны выходить люди, не только сами свободные от числовых суеверий, но и умеющие в случае необходимости объяснить их антинаучную и противоразумную сущность другим.
Подлинный успех научно-атеистической работы среди учащихся требует от учителя разносторонних знаний, специальной подготовки и большого педагогического такта. Здесь личное творчество учителя способно оживить дело, обеспечить создание более широкого и разностороннего положительного опыта, а тем самым и возможностей для его дальнейшего изучения и обобщения.
С. М. ГУЛЬ
(Москва)
КАЖДОМУ ШКОЛЬНИКУ — ГЛУБОКИЕ И ПРОЧНЫЕ ЗНАНИЯ
Инициативная группа московских учителей обратилась с призывом к педагогам столицы, включившись в социалистическое соревнование в честь Пятидесятилетия образования СССР, приложить все усилия для овладения
высоким педагогическим мастерством, для дальнейшего совершенствования урока как основной формы обучения и воспитания школьников.
Бюро МГК КПСС и Исполком Моссовета одобрили инициативу группы учителей и признали необходимым организовать распространение этой инициативы, обсудить призыв в педагогических коллективах и добиться того, чтобы каждый учитель включился в работу по дальнейшему совершенствованию учебно-вос¬
26
питательного процесса, по обучению и воспитанию школьников.
В связи с этим кабинет математики МГИУУ наметил ряд основных позиций работы по этому направлению:
1. Совершенствовать работу по обобщению и внедрению в практику передового опыта, сделать этот опыт нормой работы каждого учителя. Для внедрения в практику лучшего педагогического опыта учителей математики широко используются школьные предметные комиссии, районные и городские семинары, курсовая система института.
Первые итоги этой работы были представлены на городских «Педагогических чтениях» в марте 1972 г., например:
Обобщив опыт работы учительницы школы № 211 А. Н. Голубевой по оборудованию математического кабинета и опыт внеклассной работы учительницы школы № 29 С. М. Саврасовой, кабинет разработал конкретные рекомендации, помогающие учителям использовать этот опыт в практике своей работы.
2. Работа на уровне передовых учителей становится необходимым условием успешного освоения новых программ. В этом отношении интересен опыт работы учителей Тимирязевского района Москвы. Ежемесячно в одной из школ района проводятся открытые уроки в IV и V классах для учителей, работающих в этих классах. К этим урокам в школе готовится стенд или выставка, где экспонируются работы учащихся, дидактические материалы, различные методические рекомендации по изучению тем на последующий месяц, наглядные пособия, диафильмы и диапозитивы. Эти материалы разрабатываются коллективом опытных учителей района. Посещение школы заканчивается обсуждением и обменом мнений.
3. Работа на уровне передовых учителей — это так же комплексный подход к совершенствованию учебного процесса, который состоит в единстве обучающих, развивающих и воспитывающих сторон учебного процесса, в единстве урочной и внеурочной работы по предмету.
Новое содержание школьного курса математики потребовало новых методов обучения. Из нового содержания образования и новых методов обучения сложились основные направления современного урока, вошедшие в практику передовых учителей Москвы.
В чем сущность этих направлений?
1. Это, прежде всего, идейная направленность и научность, т. е. соответствие содержания изучаемого материала с уровнем современной науки. Учитель не только готовится к одному уроку, он продумывает целую тему и определяет, с какими предстоящими проблема¬
ми и перспективами, связанными с данной темой, целесообразно познакомить учащихся.
2. Это также пробяемность, вариативность в обучении. Изложение материала должно быть различным по своей структуре: готовая информация с помощью иллюстраций, изложение содержания путем постановки проблемы в форме рассказа, лекций, чтения учебника, просмотра диафильмов.
3. Самостоятельная работа учащихся. Под этим вопросом не следует понимать только проведение самостоятельных и контрольных работ. Самостоятельная работа должна явиться неотъемлемой частью почти каждого урока и состоять из следующих моментов:
а) часть знаний должна быть получена учащимися в процессе самостоятельного поиска путем решения поисковых задач;
б) задания, предполагающие применение усвоенных знаний на практике, в том числе в измененной ситуации;
в) закрепление пройденного материала.
4. Индивидуализация обучения. Этот аспект предусматривает два направления:
а) работу по ликвидации пробелов в знаниях учащихся;
б) работу по развитию мыслительной деятельности учащихся, по улучшению качества знаний учащихся, по расширению кругозора и углублению знаний.
5. Закрепление знаний.
6. Систематическое повторение пройденного.
7. Оборудование кабинета, применение наглядных пособий, технических средств.
8. Контроль за качеством знаний.
И наконец, современный урок должен проходить в единстве обучения и воспитания.
Воспитательная сторона урока математики прежде всего состоит в формировании настойчивости, целеустремленности, мужества, любви к Родине и др. Учитель должен приучать ученика работать с книгой, прививать любовь к ней. Уроки математики оставляют место и для эстетического воспитания учащихся.
Включаясь в работу по совершенствованию уроков математики, учителя математики Москвы, поддерживая призыв инициативной группы, разработали план мероприятий по дальнейшему улучшению обучения учащихся.
Кабинетом математики МГИУУ изданы рекомендации по работе школьных методических объединений на 1972/73 учебный год, в которых разработаны мероприятия, помогающие учителям приложить все усилия для овладения высоким педагогическим мастерством, для дальнейшего совершенствования урока как основной формы обучения и воспитания школьников.
27
Т. А. АЛЬСМИК
(г. Гродно)
ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В 111 И IV КЛАССАХ
В работе учителей III и IV классов необходимо осуществлять взаимосвязь. Эта необходимость вызывается, прежде всего, трудностью перехода для учащихся к предметной системе обучения. Следует учитывать также и психологические особенности детей младшего школьного возраста. Все это требует от учителя, от классного руководителя правильного подхода к детям, изучения их индивидуальных особенностей. Для того чтобы это изучение было наиболее успешным, необходимо начать его как можно раньше, по крайней мере в III классе. Прежде всего, должен быть обеспечен контакт учителя III класса с учителями основных предметов, которые будут работать с этими детьми в IV классе, с классным руководителем.
Изучение учащихся осуществляется во время посещения уроков математики и других предметов в III классе, где выявляются индивидуальные особенности каждого ученика, его успехи и отношение к учебе. Не следует пренебрегать совместным обсуждением отдельных поступков учеников этого класса. Во время посещений учитель знакомится с программой и фактическим объемом знаний учащихся III класса, с методами преподавания.
Содружество учителей должно быть взаимо- полезным. Учитель III класса посещает занятия по математике в IV классе, особенно в начале года, изучает программу IV класса по математике, чтобы знать, какая необходима конкретная подготовка, какие вопросы дополняются и отрабатываются в начале года в IV классе, и вносит соответствующие коррективы в свою работу. Таким образом, учитель III класса как бы готовит своих учеников к прохождению курса математики в IV классе.
Учителя-предметники школы № 1 г. Гродно посещают уроки по своим предметам в I—III классах, причем, как правило, посещают первые и завершающие уроки по определенной теме, уроки по решению задач разными способами (алгебраическим и арифметическим). Объективное и подробное обсуждение таких уроков приносит взаимную пользу. На заседаниях секции математики заслушивались и обсуждались новые программы по математике, вопросы преемственности при обучении математике учащихся III—IV классов.
Рассмотрим, например, какой алгебраический материал изучается на уроках математики в начальных классах и как можно использовать эти знания учащихся в IV классе для лучшего усвоения программного материала. «Впервые буква (букза х) в качестве математического символа появляется уже в I классе, где она используется для обозначения искомого при составлении формулы решения задач вида: «Если к задуманному числу прибавить 3, то получится 7. Какое число задумано?» (Объяснительная записка к программе I—III классов, 1971). Во II классе использование буквенной символики расширяется. С помощью букв латинского алфавита записываются не только примеры с неизвестным, но и математические выражения, законы и свойства действий. Например:
а -|- b = b +ау а • Ь~Ь .а,
(а+Ь) +с = {а+с) +Ь = а+ (Ь+с) у (а+Ь)—с= (а—с) + b = a-j- (Ь—с), а-г(Ь+с) = (а + 6)+с = (а+с)+Ь, a—(b+c) = (а—b)—c — (а~с)—Ь,
(а + Ь) • с = а • с + Ь • г, а• (Ь + с) = а-Ь+а-су (а+b) : с = а : с+Ь : с.
Буквами обозначают точки и отрезки.
В III классе учащиеся записывают в общем виде умножение и деление числа на произведение, учатся находить числовое значение выражения при различных числовых значениях, входящих в его состав букв. Задания, выполняемые ими, достаточно разнообразны.
1. Запишите выражения и вычислите их значения:
а) разность произведений 60 на 7 и 90 на 3;
б) разность чисел 65 и 27 увеличить на 28;
в) произведение числа 5 и суммы чисел 80 и 3.
2. Используя данное равенство, найдите значение написанного под ним выражения:
а) 6—/г =180 б) с—а= 125
(6+6)—*= с—(а+25) =
в) а\Ь = 48 г) а:Ь— 120
а:(Ь- 2)= (а: 5) :Ь =
3. Составьте выражение по условию данной задачи: Один рабочий за 7 часов обработал 84 детали, а другой за 5 часов обработал 120 деталей. Во сколько раз больше сделал деталей в час второй рабочий, чем первый?
Ответ. (120 : 5) : (84 : 7).
4. Составьте задачу по выражению 15- (20:5).
5. Решите задачу (с буквенными данными): В магазине было а килограммов сахара. За один день продали Ь килограммов, а за дру¬
28
гой — с килограммов. Сколько килограммов
сахара осталось в магазине?
Ответ к задаче записывают в видё а—b—с, или а—(Ь-\-с).
Используя знания, полученные учащимися в начальной школе, можно в IV классе в начале года проводить математические диктанты. Например, начиная с четвертого урока предложить детям записать и вычислить: частное 120 и 5, произведение 51 и 4 и т. д., а затем предложить аналогичное задание в общем виде. Дать задание составить в классе выражение по решению домашней или классной задачи, составить задачу по данному выражению (помочь в составлении задачи, подсказывая содержание).
В начальной школе учащиеся с I класса знакомятся со знаками >, С, = и учатся сравнивать числа и выражения.
В I классе учащиеся сравнивают сумму с суммой или с разностью, разность с разностью. Например, не вычисляя, ставят знак >, < или =, так чтобы получилось верное равенство или неравенство:
53+ 17 ... 17 + 53,
80-47 ... 80 — 29,
56+ 24... 59+ 24,
32-7...34 —7
или
15 + 3> 15 + ...,
45 +...< 18 + 45.
Во II классе учащиеся сравнивают произведение с суммой, с произведением, с частным к т. д. Например, сравнить выражения: 8*9+8...8-10, 9*5 — 5...9-4,
5-4...5-3—5, 6-0...6—0,
8-5.. .8+5,
84+(40—2)...84—2+40,
36—7—13... 36—(13+7),
12-4+13-4...25-4,
(12+4) *6...12-6+4.5,
24 • 2+24...24 • 4—24, а— (Ь+с) ...а—b—с,
(c-\-k) —п...с—п—k.
Сравниваются и именованные числа, например: 3 м 2 см и 3 м 2 дм.
Аналогичные упражнения, только с многозначными числами, учащиеся решают в III классе. Здесь же вводятся термины «равенство» и «неравенство».
В IV классе на уроках, предшествующих изучению многозначных чисел, можно в устный счет включить примеры на сравнение. Например, на втором уроке, на котором в устный счет рекомендуется включить примеры сила: «Найдите сумму 26 и 15»; «Чему равно
произведение 18 и 4?»; «На сколько 60 больше 48?», можно предложить решить эти примеры путем сравнения с проверкой, например;
26+ 15... 42,
18 - 4 ... 72,
60-48...52—35.
Изучая чтение и запись многозначных чисел, можно предложить учащимся сравнить числа, определить, на сколько одно число больше или меньше другого:
2 348 697 864... 2348 697 865,
1000000 .. . 999 999.
Во II классе учащиеся знакомятся с решением простейших неравенств путем подбора, причем подбор облегчается иногда самим условием, например:
1. Из ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 выпишите те значения а, при которых верно неравенство
6-а> 18.
2. При каких значениях буквы k верна запись k—12< 18?
В III классе неравенства решаются не только подбором, но и заменой их соответствующим уравнением. Например, при решении неравенства а-8<160 решают уравнение а-8 = — 160. При я = 20 произведение равно 160. Чтобы произведение было меньше 160, сомножитель а должен быть меньше 20, т. е. а = = 1, 2, ..., 19.
Уравнения в начальной школе решаются на основании зависимости между результатом и компонентами действий. В I классе решаются уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.
Во II классе решаются уравнения на нахождение неизвестного сомножителя, делимого и делителя, а также более сложные уравнения I класса, например (12—л:) +10= 18, которые представляют для учащихся наибольшую трудность.
В III классе дано определение уравнения «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Решить уравнение — значит найти неизвестное число». Учащиеся решают уравнения такого же вида, как и во II классе, и более сложные, например 2-л:+12 = 26, учатся не только решать готовые уравнения, но и составлять их по условию задачи: «Какое число нужно
уменьшить на 75, чтобы получить в результате число, равное сумме чисел 39 и 41?»
С I класса учащиеся учатся решать задачи в одно действие путем составления «примера с неизвестным».
В III классе учащиеся обучаются решению
следующих задач способом составления уравнений:
1. Решаются задачи, в условии которых содержатся слова, помогающие составить уравнение (осталось, получилось, стало всего).
№ 307. У портнихи был кусок ситца длиной 24 м. Когда ока сшила несколько платьев, расходуя на каждое по 3 м, у нее осталось 9 м ситца. Сколько платьев сшила портниха?
Объяснение к задаче дано в учебнике III класса.
2. Путем составления уравнения решаются и такие задачи, в условии которых нет таких подсказывающих- слов.
№ 414. Составьте по задаче уравнение и решите его: Теплоход, двигаясь по течению реки со скоростью 30 км в час, прошел путь между двумя пристанями за 4 часа. Обратный путь он прошел за 5 часов. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути?
3. Задачи на приведение к единице решаются не только арифметическим способом, но и способом составления уравнения (пропорции).
№ 404. Бабушка купила 3 мотка белой шерсти за 15 руб. и по такой же цене 6 мотков синей шерсти. Сколько стоила синяя шерсть?
Пояснения к этой задаче даны в задачнике.
Не все учащиеся начальной школы получают такую подготовку, при которой они вполне самостоятельно и безошибочно составляют уравнения при решении задач. Поэтому формирование таких понятий, как уравнение и неравенство, в IV классе начинается как бы с самого начала, тем более что в учебнике IV класса дано иное определение уравнения. Однако основной способ решения уравнений в начальной школе и в IV классе основан на зависимости между результатом и компонентами действий, поэтому простейшие уравнения и задачи желательно решать в IV классе с начала учебного года. Удобнее начать решение уравнений с двенадцатого урока, на котором в
устный счет введены упражнении тпп: «Сумма двух^чисел 102, одно из них ь7. Lk.:,.y ра л:о другое число?» или «Произведение двух чисел равно 330. Одно из них равно 30. Чему равно другое число?». Такие примеры очень удобно записывать в виде уравнений, т. е. *+97=102 и я *30 = 330 и решать их устно с объяснением.
Решать задачи способом составления уравнений можно позже (из-за недостатка времени). Например, по условию задачи «Подписная цена на «Пионерскую правду» за год составляет 1 руб. 08 коп., а на журнал «Мурзилка»— 1 руб. 20 коп. Каждый ученик IV класса подписался на газету и журнал. Сколько всего учеников в классе, если они все вместе заплатили 77 руб. 52 коп.?» довольно легко составить уравнение (108+120)-х = 7752.
Устанавливая в начале года в IV классе, что в действительности знают и чего не знают ученики по элементам алгебры, учитель намечает вопросы, которые следует повторить, чтобы к изучению соответствующего материала ученики подошли не с забытыми сведениями из курса начальной школы, а вполне подготовленными к усвоению нового.
Если при посещении уроков математики в начальной школе учитель видит хорошую подготовку учащихся, а в IV классе многие вопросы вызывают у них затруднения, то это в большей мере говорит о том, что между изучением математики в начальной и средней школах имеется разрыв, который должен быть устранен. Учителю математики средней школы необходимо бережно относиться к знаниям и навыкам, получаемым учащимися начальной школы на уроках математики, укреплять и развивать их, а приступая к изучению нового материала, следует напомнить ученикам, что они изучали по этому вопросу в начальной школе. При такой постановке работы изучение нового материала для учащихся станет более доступным, интересным, а само обучение будет способствовать их умственному развитию.
И. Г. ВИШНЯЦКАЯ
(Москва)
О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В I ПОЛУГОДИИ V КЛАССА
Опыт применения новой программы, нового учебника и соответствующих методических пособий для учителя в IV классе был положительным и привел к успеху.
Успешно идет преподавание по новой программе и в V классе, но здесь мы встретились с определенными трудностями. Основные из этих трудностей следующие.
1. Прежде всего следует отметить нехватку учебного времени для обучения решению задач с помощью уравнений. Как представляется, это связано с тем, что программа настолько заполнена различными серьезными идейными вопросами, что на собственно задачи, решаемые с помощью уравнений, которые обя¬
30
зан уметь решать каждый ученик, выделено мало времени. В учебнике запас таких задач очень небольшой. Прорешав только предложенное количество задач, нет возможности научить учащихся решать задачи. Но и пополнить запас задач из других источников не удается, так как каждый урок заполнен до отказа.
Действительно, за 94 урока I полугодия в классе было решено 38 задач, дома — 49 задач. Если считать, что всего ученик работал в школе и дома 94 + 471= 141 урок, то получается, что в среднем в течение полугодия было реше- по 0,6 задачи в урок. Но это в среднем! Фактически же продолжительное время, а именно с 7-го по 40-й урок в классе ни одной задачи решить не предполагалось. Можно возразить, что существует дополнительный раздел в методическом пособии для учителя, где имеется довольно большой набор задач (на первых 40 уроках там предлгается 28 задач). Но дело в том, что когда учитель интуитивно чувствует неладное и, желая исправить положение, пытается включить в урок задачи из дополнительного раздела, то из-за недостатка времени ему ничего не остается, как вызвать хорошего ученика, который сможет решить предложенную задачу. Но это не выход из положения. Ведь обучения решению задач всех учащихся не было.
Может быть, решению задач предполагается научить постепенно в течение всего года. Однако уже в I полугодии из 14 контрольных работ 9 содержат задачи. При этом в двух из контрольных работ, а именно в 6-й и 11-й, содержатся задачи, которые ни разу не решались ни в классе, ни дома и не содержались в дополнительном разделе.
Это положение, нам кажется, может быть несколько исправлено за счет дополнительных учебных часов из других тем и улучшения методики обучения решению задач. Как показывает опыт, это, в частности, можно сделать следующим образом. Можно сэкономить: 2 часа, если вопросы, затронутые в теме «Инструменты для геометрических построений», рассмотреть (без ущерба для дела) параллельно с изучением других геометрических тем;1 час в теме «Площадь круга»; 1 час в теме «Столбчатые диаграммы». Понятием о столбчатых диаграммах можно начать тему «Графики». Можно взять 2 часа из темы «Изображение дробей», так как этот материал достаточно подробно изучен в IV классе; 1 час из темы «Равнобедренные и равносторонние треуголь¬
1 Подсчет ведем, исходя из того, что на 1 урок в классе ученик тратит 0,5 урока дома.
ники». Следует оставить только понятие равнобедренного и равностороннего треугольников, задачи все равно посильны только очень узкому кругу учащихся (в VI классе этот вопрос будет изучаться детально). Еще 1 тас можно взять из темы «Умножение дроби на дробь». Тему «Площадь треугольника» можно изучать одновременно с темой «Сумма углов треугольника», так как в обеих темах используется один и тот же метод, что позволит сэкономить еще 1 час. (Тема «Сумма углов треугольника» в V классе могла бы быть опущена.)
Освободившиеся 9 часов необходимо использовать на обучение учащихся решению задач с помощью уравнений. Особое внимание следует обратить на задачи такого типа, как предлагаются в контрольных работах № 1, 2, 6, 11, 12, 13 (16, 17, 27, 28 —во II полугодии).
Для улучшения методики обучения решению задач необходимо перед решением предлагаемой задачи ставить перед учащимися серию вопросов, которые готовили бы их не столько к решению данной конкретной задачи, сколько к пониманию ситуации, рассматриваемой в задаче. Так, обучая решать задачу такого типа, как предложена в контрольной работе № 12: «В одном магазине было в 4 раза больше картофеля, чем во втором. Когда первый магазин продал 22 ц картофеля, а второй 4 ц, то в обоих магазинах картофеля стало поровну. Сколько центнеров картофеля было в каждом магазине первоначально?», учитель может поставить в классе следующие вопросы:
1) В цистерне было а литров бензина. Использовали 40 литров. Как выразить оставшееся количество бензина?
2) На книжной полке стояло 50 книг, b книг переставили на другую полку. Записать количество книг, оставшееся на полке.
3) На двух полках было поровну книг. Записать, сколько книг стало на каждой полке, после того как с первой полки сняли 15 книг, а на вторую поставили 10 книг.
4) В одной корзине было в 2 раза больше грибов, чем в другой. После того как из первой взяли 10 грибов и переложили их во вторую, то:
а) в корзинах стало грибов поровну;
б) в первой корзине стало грибов в 2 раза меньше, чем во второй.
Записать этот факт.
2. Особые трудности связаны с изучением темы «Проценты». Формула процентов не дает исчерпывающих возможностей обучить учащихся решению задач на проценты. Учащиеся не видят в этой формуле обобщения, а считл- ют ее каким-то новым способом решения э**-
31
дач в отличие от ранее известных двух видов задач на проценты.
Кроме того, очень мало времени для обучения решению таких задач. В I полугодии на 94 уроках в классе было решено 13 задач на проценты, причем все они были решены на первых четырех уроках. Остальные 19 задач предполагалось решить дома. А из 9 задач, которые предлагались учащимся на контрольных работах, 4 были задачами на проценты. Преодолеть появившиеся при изучении этой темы методические трудности пока не удается.
3. Возникают некоторые затруднения и в связи с тем, что простые числа изучаются после делителей числа. Например, при решении задачи № 407 необходимо отыскать общие делители чисел 123 и 82. Для учащихся это задача большой трудности — они не знают, что 41 —простое число и что не имеет смысла искать его делители. Нам представляется, что эту задачу без ущерба для дела можно либо совсем не рассматривать, либо изменить в ней данные.
4. Появляется трудность у учащихся при изучении раскрытия скобок: куда исчезает знак перед скобками? Этой трудности можно избежать, сообщив учащимся, что знак перед скобками — это знак-указатель, который говорит нам о том, как надо поступить, раскрывая скобки.
5. В теме «Вынесение множителя за скобки» авторы учебного пособия не предусмотрели в классе ни одного упражнения типа 2а + 4Ь — — 8с, т. е. случая, когда зрительно ученик не видит общих множителей, а этот случай как раз и вызывает трудность. Положение осложняется тем, что на эту тему положено всего 2 часа и на одном из них контрольная работа, куда включено задание указанного типа.
Поскольку в дальнейшем изложении эта тема в V классе практически не используется, а в VI классе ей специально отведено место, то ее, на наш взгляд, можно опустить (часы использовать для решения задач), тем более что идейная часть вопроса не ускользнет от учащихся, так как им известен распределительный закон умножения.
6. Как известно, авторы учебного пособия стоят на такой точке зрения: «В плане проведения урока устные упражнения могут рассматриваться как своеобразная зарядка, создающая рабочий настрой класса. Устные упражнения следует проводить в начале урока». Однако вопросы по геометрии не отвечают этому положению.
Действительно, в алгебраической части для устных упражнений пункты а), б), в) —это не просто нумерация, так как в части а) содер¬
жится материал для устного счета, часть б) — это текстовая задача, часть в) —это вопрос на сообразительность. При этом особенно ценно то, что все эти упражнения неразрывно связаны с изучаемым материалом. Если учитель по какой-то причине не предложил учащимся какой-либо из этих вопросов, то он просто лишил их определенной порции знаний.
К сожалению, устные вопросы по геометрии не имеют такой цельности и целеустремленности. Здесь а), б), в) —это просто 1, 2, 3-й вопросы, и дело не пострадает, если их поменять местами, заменить другими, а иногда и совсем не предложить ученикам.
Устные упражнения по геометрии не рассчитаны на то, чтобы они проводились в начале урока (например, уроки 6, 7, 40, 53, 66, 80). Если это иногда и можно сделать, то «зарядки, создающей рабочий настрой класса», не получится, так как эти упражнения или никак не связаны, или мало связаны с изучаемым материалом (например, уроки 6, 7, 19, 34).
Вопросы по геометрии часто слишком однообразны, например в уроке 53: а) Назовите параллельные отрезки в прямоугольнике A BCD. б) Назовите параллельные отрезки в квадрате МРКТ. Таковы вопросы и в уроках 40 (в), 41 (в), 66, 67, 82 (а, б, в).
Некоторые вопросы непосильны учащимся. Например, в уроке 34 вопрос а) связан со знанием параллельных прямых, которые изучаются 18 уроков спустя.
Отметим также, что много вопросов, предполагающих ответы: «да» — «нет»; «можно» — «нельзя»; «существует» — «не существует» и т. п., т. е. такие ответы, которые могут быть случайно угаданы, а не такие, в которых сформулировано обоснованное суждение ученика.
Явно не удовлетворяет и то, что совсем нет вопросов, которые готовили бы учащихся к изучаемому материалу, как это имеет место в алгебраической части.
Мы старались, предлагая учащимся устные вопросы по геометрии, придерживаться стиля изложения алгебраического материала. Например, на первом уроке темы «Построение оси симметрии двух точек» учащимся были предложены следующие устные вопросы, готовящие их к восприятию нового материала:
а) Как построить точку, симметричную данной, относительно данной прямой?
б) Как расположены две симметричные точки по отношению к оси симметрии?
в) Как понимать выражение «точки одинаково удалены от данной точки»?
г) Где расположены все точки, удаленные от данной точки А на одинаковое расстояние а?
32
д) Как найти, где расположены точки* удаленные на расстояние а и от точки /4, и от точки В?
В заключение была высказана мысль: интересно выяснить, где лежат все точки, одинаково удаленные от двух данных точек.
7. Дополнительные упражнения гю геометрии также не отвечают стилю книги для учителя. Ведь авторы обещали, что «дополнительные упражнения предназначены для повторения материала и развития навыков». В алгебраической части это действительно неукоснительно выполняется. В геометрической же части такие упражнения не на повторение, в лучшем случае они могут пополнить набор классных упражнений по данной теме. Но имеются и такие упражнения, которые неизвестно как должен выпол¬
нять ученик (например, к п. 70 № 3, к п. 74 № 3).
Очень плохо, что в дополнительных упражнениях по геометрии нет ответов. Часто хотелось бы понять, что имеют в виду авторы. Например, дополнительное упражнение № 1 к п. 70: «Сколько можно провести лучей через три точки так, чтобы начало каждого луча совпадало с каждой из данных точек?»
8. Наконец, непонятно, почему в геометрической части предлагается при решении задач с помощью уравнений следующая запись (см. № 936)
х— (х — 40°) + (х + 10°) = 180°.
Это все равно что согласиться писать наименования в уравнении, что, конечно же, отвергается в алгебраической части.
Л. С. КАРНАЦЕВИЧ
(г. Харьков)
О РАБОТЕ В IV КЛАССЕ
Обучаясь по новой программе, наши четвероклассники больше, чем в предыдущие годы, занимались различными «открытиями», которые следовали из их наблюдений, сопоставлений. Без сомнения, этому способствовал новый учебник «Математика. 4», но многое зависело и от учителя.
1. Приступая к изучению нового материала, многие учителя Харьковской области стремились прежде всего создать проблемную ситуацию, заставить ученика заняться поисками решения поставленных проблем. Например, при введении понятия луча на доске давался чертеж (рис. 1), по которому ученики должны были ответить на вопросы: сколько прямых, отрезков здесь изображено? Является ли фигура РО отрезком, прямой? В чем ее отличие от прямой и отрезка?
м
N
Рис. 1
При изучении бесконечной шкалы ученики чертили шкалу температур от 0° до 30°. Им предлагалось отметить на этой шкале температуру воздуха в классной комнате, температуру кипения воды (100°), температуру плавления железа (1520°). Два последних числа на взятой шкале отметить нельзя. Как быть? Ученики вносят предложения: уменьшить единичный отрезок; продолжить шкалу; для шкалы взять не отрезок, а луч. Рассматривая данный пример, учащиеся приходят к понятию бесконечной шкалы.
При введении понятия «выражение с переменной» решение задачи «Машина прошла за первый час 58 км, за второй на 6 (8,9, 13) км больше. Какое расстояние прошла машина за второй час?» сопровождалось демонстрацией таблицы, в которой при помощи подвижной ленты изменялось только второе слагаемое. Это привело учащихся к выводу: второе слагаемое переменное, его можно обозначить буквой и составить выражение с переменной (58 +а).
2. Каждый пункт нового учебника содержит решение небольшого теоретического вопроса. Необходимо научить детей читать учебник. С этой целью учащихся предварительно знакомили с планом изложения материала какого- либо пункта, а затем читали его (план заранее записывался на переносной доске). Например, при изучении темы «Умножение десятичной дроби на натуральное число» учащимся предлагалось прочитать п. 74 учебника и изложить прочитанное в такой последовательности:
% « шям&ш Ш $
33
1) условие рассматриваемой в учебнике задачи;
2) число способов решения задачи;
3) правило умножения десятичной дроби на натуральное число; пример;
4) особый случай, который может встретиться при умножении десятичной дроби на целое число; пример.
Позднее, читая пункты учебника, учащиеся пробовали сами составлять план изложения прочитанного, что высоко оценивалось учителем.
3. Обучение геометрии в IV классе имеет целью формирование у учащихся основных геометрических понятий и первоначальных навыков ‘геометрических построений с помощью линейки, циркуля, чертежного треугольника и транспортира. Изучение геометрии вызывает у ребят большой интерес, они неплохо усваивают новые геометрические понятия, но не сразу овладевают чертежными навыками.
Для преодоления возникших трудностей оказалось полезным завести специальные альбомы для рисования, в которых учащиеся стали выполнять многие геометрические построения, широко используя цветные карандаши (известно, ребята любят рисовать).
Наряду с заданиями, вырабатывающими чертежные навыки (умение начертить кв. мм, кв. см, кв. дм, орнамент из дуг и кругов, построить биссектрису угла и т. д.), ученикам предлагались и такие задания, которые требовали еще и систематизации полученных знаний по геометрии: начертить все изученные виды углов, линий и т. д. Некоторые задания носили характер исследования: начертить три неравных прямоугольника, площадь каждого из которых равна 12 кв. см, изобразить круг, а затем прямоугольник, длина которого равна диаметру круга, а ширина — его радиусу. Много различных построений было выполнено в связи с изучением дробей и процентов: изобразить при помощи круга, отрезка или прямоугольника данные дроби, взять отрезок АВ =
= 8 см и построить отрезок AD АВ, с помощью разбиения прямоугольника на части изобразить условия задач 1088—1090.
Многие из перечисленных выше заданий выполнялись дома.
4. Новая программа по математике уделяет достаточно много внимания устным упражнениям не только в I—III классах, но и в последующих. Хорошо поставленная работа с устными упражнениями вызывает у учащихся интерес к предмету, позволяет сэкономить время на уроке, развивает внимание, наблюдательность, смекалку, повышает культуру матема¬
тических вычислений. Как правило, в IV классе отводилось на уроке на устные упражнения 5—7 мин, а на отдельных уроках и 10—12 мин. В начале урока они проводились с целью повторения изученного или выработки скорости в вычислениях, в середине урока для закрепления нового материала или с целью подготовки к самостоятельной работе.
Приступая к устным упражнениям, прежде всего следует добиваться правильного понимания терминов: сумма, разность, произведение, частное, уравнение, выражение, переменная и т д. Чтобы устный счет был интересным, необходимо разнообразить его формы, упражнения иллюстрировать с помощью рисунков и таблиц. Мы в своей работе использовали различные таблицы: одни из них содержали только условие примеров; другие — примеры с ответами, и нужно было установить, верны ли они; в третьих следовало заполнить пустые клетки. Некоторые из таких таблиц требовали от учащихся предварительно установить правило заполнения клеток. Например, в таблице 1 нужно заметить, что числа по вертикали складываются. Использовались нами и занимательные квадраты: заполнить пустые клетки, если сумма по горизонтали и по вертикали должна быть равна 36 (табл. 2).
Иногда таблица изображалась в виде геометрической фигуры (эллипса, треугольника, круга) с указанием действий над числами (рис. 2) или имела прозрачные карманы и набор чисел для быстрого изменения данных.
В «минуту смекалки» включались занимательные задачи, загадки, шарады, головоломки. Например: Две мамы, две дочери да бабушка с внучкой купили полтора батона и
9
НО С .4 ^20
Рис. 2
Таблица 2
12
7
6
18
Таблица 1
145
900
505
5
90
20
150
30
1010
9
34
разделили покупку между собой поровну. Какая часть батона досталась каждому?
Класс был более активным, если учитель вел учет ответов учащихся: проводил контрольный устный счет в виде математического диктанта или заводил индивидуальные карточки, в которые учащиеся на каждом уроке заносили свои ответы. В конце урока учитель, собрав такие карточки (см. рис. 3), оценивал работу ученика, а общую оценку за неделю заносил в журнал.
Дата
Номера примеров
Оценка
1
2
3
4
5
3/V 4/V 5 /V 6/V 7/V 8/V
Итоговая оценка за неделю
Рис. 3
5. Для быстрого получения обратной информации некоторые учителя использовали маленькие доски, на которых ученики мелом записывали ответы на поставленные вопросы.
1) Записать выражение типа: сумма чисел 37 и 23, увеличенная в 2 раза.
2) Указать порядок действий в данном примере.
3) Придумать пример на использование переместительного закона.
4) Составить уравнение к данной задаче. И т. д.
Хорошо помогали такие доски и при обучении учащихся некоторым построениям. (Достаточно ученикам поднять свои доски, и учитель уже видит, кто из учащихся не справился с данным заданием.)
При устном счете кроме таких досок иногда использовались диски или прямоугольники, стороны которых выкрашены в разные цвета. Если ученик согласен с ответом, он показывает одну сторону диска (например, зеленую), а если не согласен, то другую.
Получение информации указанным способом давало возможность правильно организовать работу в классе: задержаться в одном месте, ускорить темп в другом, вовремя обнаружить ошибки, заставить работать весь класс.
Большое значение в работе придавалось переносным доскам (у некоторых утатедей 2— 3 переносные доски).
До урока на переносной доске помещались условия примеров и задач, предназначенных
для устного счета, самостоятельных работ; образцы выполнения домашнего задания; решение или только ответы к некоторым примерам и задачам и т. д.
Переносные доски помогали организовать на уроке соревнования в решении примеров. Например, предлагается соревнование в решении уравнений: двое учеников выходят к столу и на переносных досках, лежащих на свободных партах, решают уравнения, предложенные классу. Проверка такой самостоятельной работы не требует много времени, так как достаточно каждому ученику сравнить свое решение с тем, что записано на переносной доске. После проверки легко выявить победителя.
6. Увеличение умственной нагрузки на уроке заставило задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес и активность на протяжении всего урока. Все чаще союзницей в обучении младших школьников становилась игра. Играя, дети не замечали, что приобретают те или иные математические навыки. Улыбки озаряли их уставшие к концу урока лица, когда учитель предлагал игру. Вот примеры игр, которые проводились.
ЦЕПОЧКА
Каждый ряд получает карточку, на которой записано небольшое задание для каждого ученика: решить уравнение, неравенство и т. д. Ученик, выполнив свое задание, передавал карточку сзади сидящему; последний ученик приносил лист с решениями учителю. Побеждал тот ряд (получал красный флажок), который давал наибольшее число правильных ответов за самое короткое время.
ЛУЧШИЙ СЧЕТЧИК
Эта игра проходила иначе: выбирался «счетчик», которому учащиеся предлагали примеры для устного счета до тех пор, пока он не собьется; затем его сменял тот, кто предложил последний пример, и игра продолжалась. Побеждал решивший наибольшее число примеров.
ПЯТЕРКА
Игра заключалась в том, что «5» получал тот ученик, который, выполняя указанные задания (рис. 4), первым поднимался по сту-
Рис. 4
йенькам лестницы' (подниматься можно и слева и справа).
КТО ПЕРВЫЙ!
Предлагалось определить значение переменных величин:
1) А равно сумме В и К;
2) К в три раза меньше В;
3) В равно сумме М и С;
4) М равно разности Н и Р\
5) Н в три раза больше S;
6) 5 есть сумма Р и С;
7) С в два раза больше Р;
8) Я в 4 раза меньше 36.
Элементы игры вносились не только при выполнении устных упражнений, но и при изучении нового материала. Так, перед изучением понятия «Дробь» учащимся было предложено дома вырезать по 5 синих, красных, белых кругов. На уроке они получили задание: разделить 3 круга (пусть каждый из них означает яблоко) поровну между четырьмя товарищами. Затем следовало задание: отдать свое-
1 2 ~ му соседу “4“»и т* Д- Доли круга. Так,
«играя» долями круга, ученики знакомились со сложением и вычитанием дробей с одинаковыми знаменателями, с основным свойством дроби.
Задача «Разделить поровну 15 кругов между четырьмя учениками» привела их к понятию смешанного числа, правильной и неправильной дроби.
«А теперь,— говорил учитель,— составьте из 19 восьмых долей круга целые круги. Сколько получилось?» Появилось правило записи неправильной дроби в виде смешанного числа.
7. На протяжении учебного года учащиеся четвертых классов знакомятся с новыми понятиями, законами: они должны запомнить довольно большое количество определений, правил, терминов. Лучше запомнить изучаемое
многим ученикам помог математический словарик, к которому они неоднократно обращались во время урока или дома. В этот словарик (небольшой блокнот) записывались необходимые для запоминания математические предложения. Заполнялся он ими дома после соответствующих указаний учителя. Отдельным учащимся разрешалось пользоваться им в случае затруднений и при ответах.
В некоторых классах велся альбом «Откуда произошли названия?» Каждая страница — рисунок с объяснением нового слова. Альбом облегчал запоминание новых слов и усвоение их смысла.
8. При проведении производственных экскурсий в IV классе уделялось большое внимание подготовке учащихся к экскурсии и ее заключительному этапу (составлению задач по цифровым данным, полученным во время проведения экскурсии). Перед каждой экскурсией учащиеся получали перечень вопросов, ответы на которые следовало записать во время экскурсии. Так, например, при проведении экскурсий в связи с изучением объема прямоугольного параллелепипеда на завод стройматериалов, где учащиеся познакомились с видами изготовляемой продукции (красным и силикатным кирпичом), были предложены следующие вопросы:
1. Каков годовой план обжига кирпича?
2. Сколько кирпичей обжигают за смену?
3. Каков вес сырого кирпича?
4. Каков вес готового кирпича?
5. Каковы размеры сырого кирпича?
6. Каковы размеры готового кирпича?
7. Сколько суток сохнет кирпич?
8. За сколько часов обжигают кирпич?
9. Каковы составные части кирпича в весовых единицах?
10. Сколько вагонеток вмещает туннельная печь?
Г. Г. ЛЕВИТАС
(Москва)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ
В аналитической геометрии рассматривается необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых:
Для того чтобы прямые y=kxx -\-Ьх и y — k2x + b2 были перпендикулярными, необхо¬
димо и достаточно, чтобы произведение kxk^ равнялось —1.
Доказательство этого предложения обычно проводится с применением тригонометрии. Покажем два более элементарных доказательства.
Итак, нам нужно доказать две взаимно обратные теоремы.
Теорема 1 (необходимое условие перпендикулярности). Если прямые y = k\X-\-b\ и y = k2x-{-b2 перпендикулярны, то k\k2 =— 1.
36
Теорема 2 (достаточное условие перпендикулярности). Если к\к2 "—1, то прямые + bx и у — к2х + b2 перпендикулярны.
Прежде чем приступить к доказательству, рассмотрим, какие значения могут принимать параметры ки k2y bx и b2 в условиях этих теорем. Ясно, что b 1 и Ь2 могут принимать любые числовые значения. Изменение этих параметров не влияет на условие теоремы 1, так как приводит к параллельному переносу прямых и не меняет угла между ними. Изменение Ьх и Ь2 не влияет и на условие теоремы 2, так как не изменяет значения произведения k\k2. Поэтому в дальнейшем можно рассматривать Ь{ = Ь2 — 0 и говорить о прямых у = k\X и у = k2x, проходящих через начало координат.
Значения k\ и k2 в условиях теоремы 2 должны быть отличны от нуля и притом различны по знаку, так как их произведение отрицательно. В условии теоремы 1 k\ и k2 также должны быть отличными от нуля и противоположными по знаку. В самом деле, пусть, например, ki = 0, тогда прямая y~k\X должна совпасть с осью абсцисс, а прямая, ей перпендикулярная,— с осью ординат. Следовательно, эту вторую прямую нельзя записать уравнением y = k2x -f- Ь2, что противоречит условию теоремы 2. Так же доказывается, что к2ф{). Далее, если k\ и k2 оказались бы числами одного знака, то это значило бы, что прямые y — kxx и y = k2x проходят в одних и тех же четвертях координатной плоскости (в I и III при положительных k\ и k2\ во II и IV при отрицательных k\ и k2), угол между этими прямыми оказался бы не прямым, а острым, что противоречит условию теоремы 2.
Положим для определенности fei>0, k2<0.
I. Доказательство теоремы 1. Для доказательства проведем через точку /4(1,0) прямую, параллельную оси ординат (рис. 1)
и пересекающую прямую y^kХх в точке 6(1,^), а прямую y = k2x в точке C(l, k2). В треугольнике О ВС высота О А равна 1, длина отрезка АВ равна \k\\—ki, длина отрезка СА равна \k2\ ——k2. По условию OB _L ОС, значит,
ОЛ2=ЛВ-ЛС,
или
М-*2)=1,
откуда k\k2 — —1, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 2. По условию k\k2 = —1, откуда ki(—k2) = 1, т. е. АВ -АС = ОА2 (рис. 1), или АВ _ О А О А АС '
Значит, ААВО съ ААОС (прямоугольные треугольники с пропорциональными катетами) и, следовательно, ZABO= /_АОС. Так как ZABO + /.АОВ^90°, то и ZAOC+/_AOB = = 90°, т. е. прямые О В и ОС перпендикулярны, что и требовалось доказать.
II. Доказательство теоремы 1. Для доказательства проведем перпендикуляр к оси абсцисс из точки А (1,0) до пересечения с прямой y=k{x в точке В, из точки С(£ь0) до пересечения с прямой y = k2x в точке D (рис. 2). Получатся прямоугольные треугольники ОАВ и OCD, у которых О А = 1, AB = OC — ku CD— \kik2\ = —k\k2. (Точка, лежащая на пересечении прямых у = к2х и x = k\ имеет ординату, равную кхк2.) По условию OB _L OZ), т. е. ZBOA+ZCOD = 90°. Отсюда ZBOA = Z°OC (так как треугольник ODC прямоугольный). А так как АВ = ОС (по построению), то АОАВ = ADCO (по катету и противолежащему острому углу). Отсюда CD = О/I, т. е. —к\к2 = 1, или k{k2 =—1, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 2. По условию k{k2 =— 1, или —к\к2 = 1, откуда |CD| =
У
Рис. 1
Рис. 2
= | О А | (рис. 2). А так как AB — ОС (по построению), то АОАВ = ADCO (по двум катетам). Отсюда Z.BOA = ZODC и, значит, /_ВОА + ZCOD = 90°, т. е. OB 1 OD.
Применение доказанных теорем расширяет, в частности, возможности построения прямых углов на бумаге в клетку. На рис. 3 показаны
такие построения для ki——, k2 = —4 и для
ь 2 *1 = 3
ko — -
3
2
При построении мы мыслен-
Рис. 3
но дополняем чертежи координатными осями, проходящими через вершины углов параллельно линиям клетчатой бумаги.
Л. В. ТЕУШ
(Москва)
УГОЛ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ
Угловые величины, их измерение и связанные с ними тригонометрические функции играют большую роль как в самой математике, так и в смежных областях науки и техники — механике, астрономии, геодезии, навигации (в том числе космической) и многих других.
В школьном преподавании угол рассматривается обычно либо как геометрическая фигура, либо как мера поворота подвижного радиуса. Количественное изучение угла в любом аспекте всегда требует введения меры величины угла или просто угловой меры. Но раз введена мера, то встает вопрос о единице меры.
Многолетний опыт позволяет утверждать, что многие школьники не могут ответить на некоторые вопросы, касающиеся угловых измерений. Например: 1) Какие системы единиц измерения углов (кроме градусной и радиан- ной) вы знаете? 2) Каковы преимущества и недостатки градусной и радианной систем?
Думается, что эти вопросы могут иногда затруднить не только учащихся. Поэтому нам кажется полезным сделать краткий обзор различных систем единиц углевой меры.
1. Градусная система. Основная единица-градус (1°), равный части полного
оборота. Дольные единицы — минута ( 1'.==
1° \ / 1'\
= -§0") и секунда M"=-g-V В градусной системе явно чувствуется влияние шестидесятиричной системы счисления, дошедшей до нас из древнего Вавилона.
Основное достоинство градусной системы в том, что в ней величина наиболее часто встре¬
чающихся в различных приложениях углов выражается целым числом: прямой угол (90°), угол правильного треугольника (60°) и т. д.
Основные недостатки этой системы:
а) Длина дуги /, т. е. линейная мера, связана с угловой мерой а через иррациональный
коэффициент щ. Так, при радиусе /? = 1 / =
"Щ)®* Градусная мера угла, опирающегося на дугу единичной длины, иррациональна:
р = _М!_ ~ 57°,з ~ 3438' ~ 206265".
ТС
б) Шестидесятиричное разбиение основной единицы на дольные создает неудобства при вычислениях.
2. Радианная система. Основная единица — радиан — величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу. Отсюда вытекает основное достоинство радианной системы: при /?=1 радианная мера угла численно равна линейной мере дуги. Это объясняет исключительное применение радианной меры в математическом анализе. Например, один из замечательных пределов
lim
х -> О х
имеет место только при условии, что величина х выражена в радианной мере. Это же относится к разложению тригонометрических функций в ряды и т. п.
Основной недостаток радианной системы заключается в том, что величина многих важных углов в этой системе выражается иррациональным числом (например, прямой угол
d— ^- = 1,570796,., радиан)*
38
3. Градовая (или метрическая, или сотенная) система. Эта система представляет собой попытку метризовать угловую меру, предпринятую во время Великой французской революции.
Основная единица — град (U), равный щ прямого угла (или полного оборота^). Дольные единицы — градовая минута и градовая секунда
Основное достоинство — удобство вычислений: единицы легко переводятся друг в друга, как и во всякой метрической системе. Например, угол 12*39с72™, 5 можно записать просто в виде 12£, 39725.
Таким образом, градовая система устраняет второй основной недостаток градусной системы, но вместе с тем отчасти теряет ее достоинства. Например, углы 30° и 60° в градовой системе не выражаются целыми числами:
30° = 33 -L* = 33*33*33“ (3) = 33*.(3), 60° = 66 ~ = 66*66«66«(6) = 66»,(6).
о
Что касается основного недостатка градусной системы, то он полностью сохраняется (и не только в градовой, но и во всех других системах, в которых полный оборот является целочисленным кратным единицы измерения).
Градовая система получила некоторое распространение, наряду с градусной, для оцифровки шкал угломерных инструментов.
4. Часовая система. Основная единица — час (1Л), равный части полного оборота.
s \h \
Дольные единицы — минута (\т~ ) исекун-
да (14= ж)-
Эта система является масштабным изменением градусной (в масштабе 1:15) и обладает теми же преимуществами и недостатками. Применяется в основном в астрономии, где она удобна тем, что эквивалентна мере времени. Так, прямое восхождение звезды есть одна из угловых координат на небесной сфере; если его выразить в часовой мере, то оно будет численно равно времени кульминации (прохождения через меридиан) данной звезды.
5. Артиллерийская (или тысячная) система. Основная единица — большое деление,
равное части полного оборота. Дольная еди¬
ница — малое деление (^~ большого деления,
или ~Шо полного оборота^. Таким образом,
большое деление содержит 6°, а малое — З',6. Большое и малое деления не имеют специальных обозначений и в записи угла разделяются тире, например:
3—10(3*6°+ 10*3',6=18°36'),
0—0 5(5*3',6=18').
Эта система обладает одним интересным преимуществом перед градусной, сближающим ее с радианной. Длина дуги, стягивающей угол в п малых делений, равна
/ / у Id Id
I (ft) = "6000" П ~ 955 ~ 1000
что отличается от аналогичного соотношения для радианной меры только коэффициентом
-|щ- (с точностью около 5%). Таким образом, при R= 1 дуга 0—01 имеет длину кк>6""*
откуда и происходит название системы. Это соотношение дает возможность быстро, что особенно важно в артиллерии, определять расстояние до цели x = R, зная угол п, под которым видна цель, и ее размер а = 1(п), т. е.
х ^ 1000 —.
п
6. Морская (или румбовая) система. Основная единица — румб, равный части пол¬
ного оборота. Эта система является двоичной: полный оборот делится вначале пополам— и получается меридиан N — S (север — юг), затем еще раз пополам — получаются четыре основных направления, или страны света: N, S, О, W. Далее каждый прямой угол снова делится пополам и т. д. Направления обозначаются буквами. Например, N0 (норд-ост), или СВ (северо-восток)—4 румба к востоку от севера; NNO (норд-норд-ост), или CCS (северо-северо-восток) — 2 румба к востоку от севера. В метеорологии применяется аналогичная система с делением полного оборота на 16 румбов.
В приведенном обзоре систем угловых мер не были затронуты многие интересные вопросы, касающиеся соотношения между различными единицами, построения таблиц тригонометрических функций и, главное, выбора подходящей системы угловых единиц для наиболее рационального решения тех или иных задач. Эти вопросы могут быть рассмотрены читателем самостоятельно и представляют неплохой материал для факультативных или кружковых занятий.
39
К СОСТАВЛЕНИЮ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
В настоящем номере продолжается публи- В своей практике учитель может использо- кация статистических материалов, которые мо- вать публикуемые материалы и построенные гут быть использованы для процентных вычи- ^ ^
глрни* ЙНп„глрНИЯ rnPHuuv nln»»»a пи,, диаграммы и графики для оформления мате-
сленик, вычисления средних, построения диа- грамм и графиков К Задача к таблице 1. Вычислить структуру энерговооруженности сельского хозяйства
матического кабинета.
Таблица 1
Энерговооруженность сельского хозяйства СССР (миллионов лошадиных сил)
центах к итогу механических двигателей и рабочего скота) и построить диаграммы полученных показателей.
Таблица 2
Производство тракторов, зерноуборочных комбайнов и минеральных удобрений в СССР
1916 |
1928
| 1940
1950
j 1964 -
| 1965
1970 .
Все энергетические мощности
23,9
21,3
47,5
62,3
155,9
236,6
336,4
В том числе:
механические двигатели . . .
0,2
1,1
36,9
55,0
151,2
232,9
333,3
Рабочий скот (в пересчете на механическую силу) ....
23,7
20,2
10,6
7,3
4,7
3,7
3,1
1913
1928
1932
1937
1940
1945
| 1950
| 1955
1963
1965
1970
1971
1975
(план)
Тракторы (тыс. шт.) в физических единицах . ... . .
—-
1,3
48,9
51,0
31,6
7,7
117
163
239
355
459
472
575
В пересчете на 15- сильные .....
—
1,8
50,8
77,2
66,2
14,7
246
314
475
804
1146
1216
Зерноуборочные комбайны (тыс. шт.)
—
—
10,0
43,9
12,8
0,3
46,3
48,0
59,0
85,8
99,2
102,0
138,0
Минеральные удобрения (млн. т) . .
0,09
0,1
0,9
3,2
3,2
1,1
5,5
9,7 j
13,9
4.1
о 1 ,0
55,4
61,4
90,0
Таблица 3
Производство сельскохозяйственной продукции в СССР (в среднем за год)
1909—
1913
1924— 1928
1936-
1940
1946-
1950
1951- | 1955
I 1956- 1960
1961 - 1965
1966-
1970
1971
1971-1975
(план)
Зерновые культуры (млн. т)
72,5
69,3
77,4
64,8
88,5
121,5
130,3
167,6
181,0
195,0
1
Хлопок-сырец (млн. т)
0,68
0,58
2,50
2,32
3,89
4,36
4,99
6,10
7,10
6,75
Сахарная свекла (млн. т)
Ю,1
7,9
17,1
13,5
24,0
45,6
59,2
81,1
72,1
Мясо (в убойном весе, млн. т)
4,8
4,2
4,0
3,5
5,7
7,9
9,3
11,6
13,1
14,3
Молоко (млн. т). . . .
28,8
29,3
26,5
32,3
37,9
57,2
64,7
80,6
83,3
92,3
Яйца (млрд. шт.) . . .
11,2
9,2
9,6
7,5
15,9
23,6
28,7
35,8
45,0
46,7
1 Материалы к задачам подобраны К. П. Сикорским из статистических сборников ЦСУ СССР.
40
Таблица 4
Урожайность сельскохозяйственных культур в СССР (центнеров с 1 га)
Задачи к таблицам 2, 3, 4. Построить графики показателей каждой таблицы.
1909-
1913
1924-
1928
1936—
1940
1946—
1950
1951- I 1955
I 1956- 1960
2961—
1965
1966- I 1970 1
1971
Зерновые культуры . .
6,9
7,6
7,6
6,7
8,0
10,1
10,2
13,7
15,3
Хлопок-сырец
13,0
8,4
12,0
13,6
16,9
20,5
20,6
24,1
25,6
Сахарная свекла ....
150
134
143
111
154
184
165
228
217
Таблица 5
Основные показатели здравоохранения в СССР
Задача к таблице 5. Вычислить показатели: приходит¬
ся на 10 000 человек населения а) врачей, б) больничных коек. Построить диаграммы полученных показателей.
| 1913
| 1940
| 1950
1955
I960
1965
1970
1971
Население (млн. человек) ....
159,2
194,1
178,5
194,4
212,4
232,2
242,8
243,9
Численность врачей (тыс.)
28,1
155,3
265,0
333,7
431,7
554,2
668,4
699,0
Число больничных коек (тыс.) • . .
207,6
790,9
1011
1289
1739
2226
1
2663
1
2728
Таблица 6
Жилищное строительство в СССР (миллионов квадратных метров общей площади)
Годы
Всего
В том числе государственными и кооперативными предприятиями и организациями
1918—1928 (11 лет)
203,0
23,7
1929—1932 (4 года)
56,9
32,6
1933—1937 (5 лет)
67,3
37,2
1938—1 пол. 1941 (3,5 года)
81,6
34,4
II пол. 1941 — 1945 (4,5 года)
102,5
41,3
1946—1950
200,9
72,4
1951—1955
240,5
113,0
1956—1960
474,1
224,0
1961—1965
490,6
300,4
1966—1970
518,5
352,5
Задача к таблице 6 Вычислить среднегодовые размеры жилищного (а) всего и б) в том числе государственными и кооперативными предприятиями и организациями) и построить диаграммы полученных показателей.
1971—1975 (план)
Программа по самообразованию учителей математики
ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА САМООБРАЗОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ 1
II. ПРОГРАММЫ II УРОВНЯ
МАТЕМАТИКА
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Операции над множествами и их законы. Симметрическая разность.
Бесконечные множества. Мощность множества. Счетные множества. Теоремы о счетных множествах. Счет- ность множества рациональных чисел.
Теорема Кантора о несчетности множества действительных чисел. Мощность континуума.
Точечные множества на прямой и на плоскости. Множества, всюду плотные на прямой.
Построение теории действительного числа с помощью дедекиндовых сечений на множестве рациональных чисел. Теорема Кантора о системе вложенных интервалов. Построение теории действительного числа по Вейерштрассу.
Указания учителю
Изучение предложенного материала позволит четче представить себе строение множества рациональных чисел и глубже заглянуть в различные способы построения теории действительного числа (по Кантору, Деде- кинду и Вейерштрассу).
В первой части программы дается по существу обзор программы I уровня. Единственным существенным дополнением здесь является введение операции симметрической разности, в связи с ранее введенными операциями. Это позволит вплотную подвести изучающего к проблемам современной конечной математики (математическая логика, алгебра Буля и др.).
Вторая — основная — часть программы содержит теорию бесконечных множеств и рассматривает вопросы, связанные с понятием мощности. Вводится диагональный процесс Кантора и подробно изучаются счетные множества.
Третья часть программы тесно связана с теорией функций действительного переменного и вплотную подводит к построению строгой теории действительного числа. Интересно установить связь изучаемой теории с принципами решения тригонометрических уравнений и неравенств и со структурой множества их решений.
Четвертая часть предполагает строгое построение теории действительного числа и сравнительное изучение построений Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса. Она непосредственно примыкает к содержанию школьного курса теории пределов.
Этот материал способствует подготовке учителя к работе по новым программам. Рекомендуем после изучения этой темы познакомиться с системой построения
1 Окончание. Начало см.: «Математика в школе»,
1972, № 4.,
учения о действительном числе по учебнику Б. Е. Вейца и И. Т. Демидова «Алгебра и начала анализа. IX класс». Под ред. А. Н. Колмогорова.
Темы рефератов
1. Предельные точки числовых множеств, их связь со школьным понятием предела.
2. Построение понятия действительного числа в пробном учебнике Б. Е. Вейца и И. Т. Демидова «Алгебра и начала анализа. IX класс». Под ред. А. Н. Колмогорова.
3. Теорема о мощности всех подмножеств данного множества.
4. Множество точек квадрата равномощно множеству точек отрезка (доказательство и методическая разработка).
5. Счетность множества всех алгебраических уравнений с целыми коэффициентами и понятие о трансцендентном числе.
Рекомендуемая литература
1. Колмогоров А. Н.у Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, изд. 3-е. М., «Наука», 1972.
2. Проскуряков И. В. Множества. Энциклопедия элементарной математики, т. I, гл. 1. М., Гостехиздат, 1951.
3. Серпинский В. О теории множеств. М., «Просвещение», 1966.
4. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. М., Изд. иностр. лит., 1963.
5. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М., «Наука», 1965.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
а) Элементы алгебры высказываний.
Простые и составные высказывания. Табличное определение логических связок. Формулы логики высказываний; формализация высказываний. Тавтологии. Отношение равносильности. Основные законы логики. Отношение следствия. Правильные аргументы. Составление формул по заданным таблицам истинности. Вывод следствий из данных посылок.
б) Элементы логики предикатов.
Предикат как логическая функция. Декартово произведение множеств. Множество истинности высказыва- тельной формы при фиксировании порядка ее переменных. Задание предикатов высказывательными формами. Операции логики высказываний над высказывательными формами; их теоретико-множественная трактовка.
Отношение следования и равносильности между высказывательными формами; их теоретико-множественная трактовка. Кванторы общности и существования. Запись выражений обычного языка с помощью высказы- вательных форм, логических связок и кванторов.
в) Аксиоматический метод.
Понятие об аксиоматической теории; неопределяемые и определяемые понятия. Аксиомы и теоремы. Математические доказательства.
Содержательная аксиоматическая теория. Правила вывода. Формальная аксиоматическая теория. Интерпретации. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом. Проблемы разрешимости.
Указания учителю
Программа II уровня представляет собой расширенный вариант программы I уровня. Она предусматривает более глубокое и систематическое знакомство с элементами математической логики и некоторыми ее
приложениями. Ряд вопросов, включенных в программу, можно рассмотреть с учащимися на факультативных и кружковых занятиях.
Темы рефератов
1. Основные законы логики.
2. Правильные аргументы (умозаключения); правила
вывода.
3. Математические доказательства.
Рекомендуемая литература
1. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику (гл. 1, 2, 4). М., «Наука», 1965.
2. Чёрч А. Введение в математическую логику. Введение. М., Изд. иностр. лит., 1960.
3. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., «Просвещение», 1968.
4. Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств (гл. 5, 6, 7, 8). М., «Просвещение», 1965.
5. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику (гл. 1, 2). М., Изд. иностр. лит., 1963.
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Отношения. Отношение порядка. Рефлексивные, симметричные, транзитивные отношения. Отношения эквивалентности. Теорема о разбиении на классы.
Операции. Коммутативные, ассоциативные операции. Нейтральные элементы. Алгебраические структуры. Понятие математической структуры.
Аксиомы группы. Примеры групп — аддитивные и мультипликативные группы в множестве действительных чисел. Группы движений квадрата, равностороннего треугольника на плоскости, куба и тетраэдра в пространстве. Их подгруппы. Кольца и поля. Конечные поля.
Аффинная и метрическая структуры плоскости.
Указания учителю
Новая школьная программа, переход на которую завершится в ближайшие годы, требует более современного изложения курса математики в школе. Учитывая, что учебная и методическая литература, издаваемая в последнее время, требует расширения научного кругозора учителя математики, свободного владения понятиями отношения, операции, структуры, группы и т. д., изучение настоящей темы становится необходимым.
Добавим также, что на данном этапе развития математики как науки понятие математической структуры занимает весьма важное место: «Структуры являются орудиями математики» (Н. Бурбаки «Архитектура математики»).
Изучение настоящей темы начинается с понятия отношения. Отношения порядка на множестве чисел, делимости на множестве целых чисел и т. д.— примеры отношений. Необходимо научиться распознавать, симметрично, рефлексивно, транзитивно ли данное отношение.
При изучении важным моментом является формирование понятия операции, уже знакомой на примере суммы и произведения чисел.
Следует также выяснить возможности постепенного ознакомления учащихся с понятием операции на примерах, уже знакомых им из школьного курса математики.
Далее более подробно рассматривается группа как алгебраическая структура. Необходимо при этом познакомиться с достаточно большим числом примеров групп из школьной практики: группа целых чисел по
сложению; рациональных — по сложению и умножению; группа движений на плоскости; группа движений равностороннего треугольника; подгруппа поворотов и т. д. Большое внимание следует уделить проверке аксиом группы.
В конце темы полезно рассмотреть аффинную и метрическую структуры плоскости.
Рекомендуемая литература
1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, статья «Архитектура математики». М., Изд. иностр. лит., 1963.
2. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. М., «Мир», 1966.
3. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука», 1971.
4. Шоке Г. Геометрия. М., «Мир», 1970.
5. Ляпин Е.С., Айзенштат А. Я., Лесохин М. М. Упражнения по теории групп. М., «Физматгиз», 1967.
Темы рефератов
1. Отношения в курсе алгебры.
2. Отношения в курсе геометрии.
3. Группа преобразований куба.
4. Группы, изучаемые в геометрии.
4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Предмет теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Классическое определение вероятности. Аксиомы вероятности.
Основные комбинаторные принципы. Понятия сочетания, размещения, перестановки. Подсчет вероятностей.
Условные вероятности. Формула полной вероятности. Независимость. Биномиальное распределение.
Случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Статистическое определение вероятности. Предмет математической статистики.
Указания учителю
По своему объему данная программа не превосходит объема материала, включенного в программы факультативных занятий для учащихся, а по строению она соответствует структуре рекомендованного учебника Ф. Мостеллера и др.
При самостоятельном изучении начал теории вероятностей следует обратить особое внимание на связь комбинаторного и вероятностного материала. Элементы комбинаторики, привлекаемые к решению вероятностных задач, имеют четкое и наглядное теоретико-множественное истолкование, к которому следует прибегать возможно чаще.
Правильное понимание смысла вероятностных утверждений невозможно без ясного осознания статистического смысла понятия вероятности. Поэтому некоторое знакомство со статистическим применением теории вероятностей при ее изучении совершенно необходимо.
Знакомство с началами теории вероятностей дает учителю крайне важный пример прикладной математической науки, которая является основой значительного числа практических применений математики.
Темы рефератов
1. Комбинаторные методы подсчета. Комбинаторные формулы.
2. Биномиальное распределение вероятностей.
3. Закон больших чисел и его статистический смысл
4. Основные задачи математической статистики.
43
Рекомендуемая литература
1 Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность.
М., «Мир», 1969.
2. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., «Наука», 1964.
5. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ
Метрические пространства. Определение геометрических понятий (отрезка, луча, сферы, шара) на основе понятия расстояния. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные множества. Непрерывные отображения метрических пространств. Предельные точки. Замыкание. Компактность. Компактность непрерывного образа компакта.
Определение топологического пространства. Открытые и замкнутые множества. Непрерывные отображения. Внутренние, внешние и граничные точки. Связные множества. Гомеоморфизм. Топологические инварианты.
Характеристика Эйлера. Теорема Эйлера. Теорема Жордана (без доказательства). Односторонние и двусторонние поверхности. Размерность.
Указания учителю
В новом систематическом курсе геометрии за основное понятие принимается расстояние. Естественно поэтому более подробное знакомство с метрическим пространством. В настоящее время топологические представления органически входят во многие отрасли собственно математики.
Программа состоит из трех частей. Первая посвящена метрическим пространствам; вторая — топологическим пространствам; третья — элементам наглядной топологии.
Метрическое пространство рассматривается как естественное обобщение евклидовых пространств, топологические пространства как обобщение метрических пространств. При этом способе изложения становится естественной необходимость введения понятия топологического пространства.
Изучение топологических пространств позволит более глубоко разобраться в таких интуитивно ясных понятиях, как понятие непрерывной кривой, внутренней точки множества, границы множества. Формализация изложения этих понятий в школьном курсе математики, конечно, не предполагается.
Темы рефератов
1. Определение геометрических понятий школьного курса на основе понятия расстояния.
*2. Канторово множество (построение и свойства).
3. Кривая Пеано.
4. Топология прямой.
5. Топология плоскости.
Рекомендуемая литература
1. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств. М., изд. ОГТИ, 1948.
2. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Очерк основных идей топологии. «Математическое просвещение», № 2, 3, 4, 6. М., «Просвещение».
3. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., ОГИЗ, 1950.
4. Стинрод И., Чинн У. Первые понятия топологии. М., «Мир», 1964.
5. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М., «Просвещение», 1967.
6. ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Разветвляющиеся вычислительные процессы. Команды условного и безусловного перехода. Блок-схемы разветвляющихся программ.
Циклические программы. Блок-схема циклических программ.
Итерационные вычислительные процессы. Блок-схема итерационных программ. Переадресация.
Логические команды: сдвиг, выделение, формирование, сравнение.
Перевод программы в содержательных обозначениях на язык машины.
Понятие о программировании на алгоритмическом языке.
Указания учителю
После усвоения материала I уровня можно приступить к изучению материала II уровня. Тенденция развития вычислительной техники предполагает предельное упрощение взаимоотношений человека и машины. Одним из этапов такого упрощения и является программирование на алгоритмических языках (например, АЛ ГОЛ-60), при которых достигается исключительная наглядность и обозримость алгоритмического описания. Но для облегчения понимания этого сначала предлагается разобраться в программировании основных классов алгоритмов на машинном языке.
Темы рефератов
1. Построение функциональной схемы одноразрядного двоичного сумматора на три входа.
Анализ и синтез контактных схем. От таблицы двоичного сложения перейти к логическим формулам, по которым строится функциональная схема сумматора.
2. Задачи минимизации числа элементов в контактных схемах (анализ, упрощение, синтез).
3. Связь между блок-схемным программированием и операторным.
4. Логические шкалы — механизм заранее заданного сложного разветвления вычислительного процесса.
Использование логических команд при алгоритмизации вычислительных процессов.
5. Программирование разветвляющихся процессов на алгоритмическом языке (АЛГОЛ-бО).
Начальные навыки записи простых операторов и условных операторов.
Рекомендуемая литература
1. Геронимус Ю. В. Вычислительные машины и про¬
граммирование. М., «Просвещение», 1969.
2. Брудно А. Л. АЛГОЛ-бО. М., «Наука», 1971.
3. Ледли Р. Программирование и использование циф¬
ровых вычислительных машин. Перевод с английского. М., «Мир», 1966.
4. Лавров С. С. Универсальный язык программирования. «Советское радио», 1964.
МЕТОДИКА
1. СОСТОЯНИЕ ПЕРЕСТРОЙКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Модернизация курса математики в I—X классах нашей школы (продолжение работы по программам I уровня). Реформа математического образования в школах социалистических и некоторых капиталистических стран.
44
Указания учителю
Программы самообразования по методике на II уровне исходят из того, что должна продолжаться работа по программам I уровня.
В соответствии с программами I уровня изучаются все материалы по методике, публикация которых будет проводиться в период работы по программам II уровня. Целесообразно при этом готовить рефераты и конспекты по тем темам, которые не были разработаны при изучении программ I уровня с учетом последних публикаций учебников, методик и другой литературы.
Программа второго уровня предполагает знакомство и с зарубежным опытом — переводами книг по педагогике математики, отдельных учебников и пр.
Следует заметить, что предложения по модернизации школьного курса математики за рубежом весьма разнообразны и часто противоречивы. В них есть много интересного и ценного (интересны, в частности, задачи на практическое применение программного материала, задачи развивающего характера и пр.). Но есть и предложения, совершенно неприемлемые для нашей школы (например, преувеличенное внимание к методу открытий). И здесь очень важно правильно оценить педагогическую ценность этих предложений, возможность использовать их а практике преподавания. Большую помощь в этом окажут обзоры и критические статьи журналов «Математика в школе», «Народное образование», «Советская педагогика».
Темы рефератов
1. Изучение векторов в средней школе.
2. Векторные основы курса стереометрии.
3. Изучение отношений в школе.
4. Применение производной к решению задач.
5. Методика изучения дифференциальных уравнений в школе.
6. Система упражнений как средство формирования понятий.
7. В качестве тем для рефератов может быть использована «Тематика для методической творческой работы», публикуемая вместе с программами по самообразованию.
Темы конспектов
1. Решение неравенств.
2. Метод математической индукции.
3. Производная показательной (логарифмической) функции.
4. Связь определенного и неопределенного интегралов.
5. Применение векторов к решению геометрических задач.
6. Применение интеграла и производной для вычисления объемов и поверхностей.
7. Симметрия относительно плоскости.
Рекомендуемая литература
1. Преподавание математики. Перевод с французского А. И. Фетисова. М., Учпедгиз, I960.
2. Феликс Люсьен. Элементарная математика в современном изложении (перевод с французского под ред. проф. Б. Л. Лаптева). М., «Просвещение», 1967.
3. Математика в современном мире (перевод с английского Н. Г. Рачковой, предисловие В. А. Успенского). М., «Мир», 1967.
4. Шоке Г. Геометрия. М., «Мир», 1970.
5. Статьи в журнале «Математика в школе»:
а) Заключения и рекомендации Международного симпозиума по вопросам преподавания математики, 1963, № 3;
б) Папи Ж. Геометрия в современном преподавании математики, 1967, № 1;
в) Серее В. Аксиоматика и элементарная геометрия,
1967, № 6 и другие материалы журнала.
6. Крыговская 3. Геометрия, основные свойства плоскости. Перевод с польского А. П. Лавута. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1971.
2. РАЗРАБОТКА СОДЕРЖАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСОВ И ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
Самостоятельному ознакомлению учителей с содержанием специальных факультативных курсов в настоящее время придается большое значение. Характерной особенностью развития современной науки является широчайшее внедрение математических методов. Учитель должен квалифицированно показывать учащимся на уроках математики различные приложения математического аппарата. Это является одной из форм ведения профориентационной работы среди учащихся при обучении основам наук.. Программа специальных факультативных курсов и содержит именно такой материал, связанный с различными приложениями математики.
Разработка содержания, форм и организации внеклассной работы на II уровне проводится с целью привлечения учащихся к серьезным занятиям математикой (участие в олимпиадах, учеба в заочных и вечерних математических школах и др.). Важно при этом обратить внимание на рассмотрение различных приложений в смежных школьных дисциплинах и на практике вообще.
1) Выбор курса учитель производит по своему усмотрению в соответствии с программами факультативных курсов, утвержденными Министерством просвещения СССР (см. «Математика в школе», 1967, № 3, 4).
2) При написании методических разработок по внеклассной работе следует уделить внимание следующим вопросам:
а) содержанию кружковых занятий по одному из классов;
б) развитию математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы;
в) возможности внеклассной работы и факультативных занятий для профориентации.
Рекомендуемая литература
1. Пулькин С. П. Вычислительная математика. Пособие для учителя. М., «Просвещение», 1971.
2. Резниковский П. Т., Монахов В. М. Программирование для одноадресных машин. М., «Просвещение»,
1968.
3. Г утер Р. С., Овчинский Б. В., Резниковский П. Т. Программирование и вычислительная математика. М., «Наука», 1965.
4. Норкин С. Б. и др. Элементы вычислительной математики. М., «Высшая школа», 1966.
5. Виленкин Н. Я. Метод последовательных приближений. М., «Наука», 1969.
6. Бакушинский А. Б., Власов В. К. Элементы высшей математики и численных методов. М., «Просвещение», 1968.
7. Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М., «Просвещение», 1966.
8. Монахов В. М., Боковнев О. А. Векторные пространства и линейное программирование. М., «Педагогика», 1971.
9. Новое в школьной математике. М., «Знание», 1972.
10. Колмогоров А. И., Журбенко И. Г., Пухова Г. В., Смирнова О. С., Смирнов С. В. Летняя школа на Рубеком озере. М., «Просвещение», 1971.
11. Дополнительные главы по курсу математики IX класса для факультативных занятий. Пособие для
45
учащихся. Сборник статей. Составитель П. В. Стра- тилатов. М., «Просвещение», 1970.
12. Дополнительные главы по курсу математики X класса для факультативных занятий. Пособие для учащихся. Сборник статей. Составитель 3. А. Скопец. М., «Просвещение», 1970.
13. Книги из серии «Проблемы математической школы»:
а) Обучение в математических школах. Составители С. И. Шварцбурд, В. М. Монахов, В. Г. Ашкинузе. М., «Просвещение», 1965. ,
б) Математический анализ и алгебра. Составитель
С. И. Шварцбурд. М., «Просвещение», 1967.
в) Линейная алгебра и геометрия. Составитель
С. И. Шварцбурд. М., «Просвещение», 1967.
г) Виленкин Н. Я., Гутер Р. С., Шварцбурд С. И., Ов- чинский Б. В., Ашкинузе В. Г. Алгебра. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. М., «Просвещение», 1968.
д) Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И. Математический анализ. Учебное пособие. М., «Просвещение», 1969.
е) Математика и естествознание. Составитель С. И. Шварцбурд. М., «Просвещение». 1969.
III. ТЕМАТИКА ДЛЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ ТВОРЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Предполагается, что, кроме выполнения обязательной программы самообразования, каждый учитель проявит интерес к творческой работе по методике математики. Более того, работа по программе самообразования и особенно изучение ее собственно математических разделов создадут благоприятные условия для творческого поиска. Наибольший интерес при этом представляет обобщение собственного опыта преподавания, а также опыта преподавания математики группы учителей одной школы, ряда школ, школ района, города, области.
Публикуемая программа по самообразованию определяет широкий круг проблем для творческой работы. Темой для методического творчества может стать любой раздел школьного курса математики в рамках одной темы, одного предмета или по школе в целом. Прежде всего при этом следует разрабатывать вопросы, обеспечивающие успех г доводимой перестройки школьного курса математики. Известное внимание следует уделить и разработке общих методических проблем. Их тематика и аннотации приводятся ниже.
1. ОРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРА УРОКА
Проводимая перестройка содержания образования средней школы требует усовершенствования форм, системы и организации уроков математики, учитывая расширенные цели обучения.
Наиболее важное значение приобретают формы и методы организации урока, которые содействуют не только развитию навыков и умений учащихся, но и развитию мышления, творческой активности и самостоятельности учащихся.
Представляет интерес разработка системы уроков, которая при наименьших затратах сил и времени ученика приводила бы к максимальному достижению целей обучения. Важно при этом рассмотреть организацию на уроке фронтальной, групповой и индивидуальной работы, обращая внимание на развитие знаний, умений и навыков учащихся.
При исследовании проблемы урока следует осветить организацию самостоятельной работы учащихся как одну из форм приобретения знаний самими учащимися. При этом следует определить место самостоятельной работы в учебном процессе, условия эффективности самостоятельных работ.
Интересно также изучить зависимость организации и структуры урока математики от времени его проведения (номер урока по расписанию, день недели, время года).
Следует продумать организацию работы на уроке с применением технических средств, наглядных пособий, кино и телевидения. Важно обратить при этом внимание на разработку не одного такого урока, а системы уроков.
2. РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ
УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Особенность обучения математике в современных условиях заключается в повышении научности курса, его политехнической направленности, развитии творческих способностей учащихся. Развитие творческих способностей учащихся является основой для сознательного изучения математики как в школе, так и при продолжении образования.
Предусмотреть все приемы решения задач, которые понадобятся человеку в практической деятельности, не представляется возможным. Но даже если бы все эти приемы и удалось выделить, то обучить всем им учащихся оказалось бы невозможным из-за ограниченности времени обучения. Поэтому возникает задача так организовать обучение, чтобы в процессе приобретения новых знаний ученик приобретал бы и способности их творческого применения.
Этим и объясняется тот факт, что проблема развития творческих способностей учащихся стала одной из важнейших в современной методике.
При освещении этой темы представляет интерес решение следующих частных вопросов.
Разработка системы задач, направленной на развитие творческих способностей учащихся. Здесь целесообразно привести образцы этих задач, показать методы их постановки и поиска их решений; дать примеры оригинальных решений задач, найденных учениками, примеры различных способов решения одной и той же задачи и показать ценность каждого из найденных способов решения задачи.
Необходимо также искать формы организации уроков и внеклассных занятий, одной из целей которых является развитие творческих способностей учащихся. В частности, сюда относятся формы индивидуальной работы с учащимися. Особый интерес представляют формы работы со средними и слабоуспевающими учащимися. В этом отношении хорошо бы найти такие формы и методы развития творческих способностей учащихся, применение которых помогало бы прививать им интерес к предмету и способствовало бы лучшему его изучению.
Эта проблема должна решаться не только на классных занятиях, но и при выполнении домашних заданий. Необходимо в домашние, контрольные и самостоятельные работы включать задачи, решение которых способствует проявлению творческих способностей. Здесь целесообразно показать, каким образом учитель учитывает развитие творческих способностей ученика и оценивает их.
3. РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ
При исследовании надо обратить внимание на следующие вопросы.
Содержание материала и система заданий (по классам, по предметам, в классной и домашней работе, на разных этапах урока), максимально способствующие развитию навыков самостоятельной работы.
46
Влияние на развитие навыков самостоятельной работы содержания, продолжительности и периодичности заданий. Формирование навыков самостоятельной работы учащихся старших классов.
Меры по закреплению навыков самостоятельной работы: оценка, дополнительные задания в классе и дома.
Система работы учителя по привитию специальных умений — планирование работы, конспектирование материала, организация режима дня, пользование перфокартами, программированными пособиями, техническими средствами.
Специальная работа по составлению и использованию памяток по организации труда (Как решать задачу? Как доказывать теорему? Как оформить экзаменационную работу? Учись сравнивать. Учись моделировать и т. п.).
4. СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИКА УСТНЫХ УПРАЖНЕНИИ
Назначение устных упражнений раньше сводилось в основном к тренировке учащихся в устном счете, к закреплению приемов устных вычислений. В связи с изменением содержания традиционного курса математики и переходом на новые программы целесообразнее пойти по другому пути: дать систему устных упражнений так, чтобы эта система предусматривала формирование не только навыков устного счета, но и способствовала общему развитию учащихся.
Было бы целесообразно рассмотреть конкретно цели и задачи проведения устных упражнений по какой-то определенной теме и разработать методику их проведения, указать время, когда наиболее удобно заниматься устными упражнениями на уроке, необходимо разработать форму заданий устных упражнений.
Представляет интерес выяснение вопроса об оценке работ учащихся во время устных упражнений.
Наибольший интерес будут представлять материалы, собранные в процессе личной работы или представляющие обобщение опыта работы групп учителей.
Примеры устных упражнений можно найти в методическом руководстве «Математика в IV классе. В помощь учителю». Такие упражнения целесообразно проводить не только в IV классе, но и в других классах по любому математическому предмету. При этом очень важно выяснить специфику в содержании и методике проведения устных упражнений в младших и старших классах по алгебре и по геометрии.
5. СИСТЕМА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
В связи с перестройкой содержания и методов обучения математике, необходимо пересмотреть систему работ, предназначенных для проверки знаний учащихся. При этом важно осветить приемы отбора содержания контрольных работ и их видов, определение числа контрольных работ и времени на их проведение, методы оценки контрольных работ.
В этой связи представляет интерес разработка основных требований к знаниям учащихся. При этом необходимо учесть, что, во-первых, знания должны обеспечивать возможность дальнейшего успешного обучения учащихся; во-вторых, способствовать сознательной ориентации учащихся в современной действительности.
В настоящее время обсуждается вопрос о включении в контрольные работы заданий, целью которых является проверка развития учащихся, умения их находить решение нетривиальных (но не слишком сложных) задач. Обычно эти задания включаются в контрольные работы последними (см., например, «Дидактические материалы для IV класса»). Представляет интерес более подробное изучение этого вопроса.
Следует обратить также внимание на включение в
контрольные (и самостоятельные) работы заданий, проверяющих не только уровень овладения учениками тем или иным материалом, но и причину их затруднений (если они имеются).
Представляет интерес такая система контрольных работ, которая дала бы возможность проследить развитие у учащихся важнейших навыков.
При определении видов контрольных работ, наилучшим образом выявляющих уровень интересующих нас знаний, полезно иметь в виду новые формы заданий, например тесты.
При составлении системы контрольных работ необходимо найти разумное число этих работ, позволяющих успешно контролировать знания учащихся. Интересно исследовать влияние особенностей контингента учащихся на увеличение (уменьшение) числа работ, а также на время, которое следует отвести на проведение работы.
Одним из интересных вопросов является вопрос об оценке выполнения работы учащимися, использование учителем приемов, ускоряющих процесс проверки работ, использование результатов контрольных работ для корректировки дальнейшего обучения.
6. СИСТЕМА ЗАДАНИЙ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
Представляет интерес описание опыта работы учителя по организации домашней работы. Возможно освещение в обобщенном виде работы нескольких учителей.
В процессе сбора материала и при проведении эксперимента надо обратить внимание на систему домашних заданий, их связь с изученным в классе материалом, разнообразие форм задания и выполнения (провести измерение, приготовить модель и пр.); оценка качества выполнения, время выполнения домашнего задания, организация рабочего места, помощь родителей или товарищей.
Полезно выяснить эффективность домашних заданий, средства привлечения к ним интереса учащихся.
Следует рассмотреть целесообразность проведения домашних контрольных работ по индивидуальным заданиям.
7. СОДЕРЖАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЫ С УЧАЩИМИСЯ
Проблема индивидуализации обучения — одна из важных проблем методики. Внимание к ней повышается в связи с переходом на новое содержание математического образования.
Новая программа и учебники математики уделяют / большое внимание развитию учащихся, что приводит, как это убедительно показывают экспериментальная проверка пробных учебников и первый опыт работы по новым программам по математике, к сильной дифференциации знаний учащихся в рамках одного класса.
В этих условиях неоднородности класса большое значение приобретают поиски форм, содержания и методов индивидуальной работы со школьниками, проявляющими различный интерес к математике и различные успехи в ее изучении. Представляет, в частности, интерес разработка системы индивидуальных заданий (учитывая, конечно, возрастные особенности школьников) для возбуждения и поддержания у учащихся интереса к математике, для углубленного изучения отдельных ес разделов, общего развития. Важное значение имеет работа по преодолению пробелов и недочетов в знаниях учащихся.
47
Подлежат изучению и развитию различные формы организации индивидуальной работы на уроках и во внеклассной работе (рефераты, доклады, коллективные обсуждения отдельных проблем в небольших группах и пр.), их эффективность и связь с содержанием общего курса математики, факультативных и кружковых занятий.
8. СВЯЗЬ С ЖИЗНЬЮ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ
В условиях проводимой перестройки школьного курса матемашки необходимо разрабатывать новые пути осуществления связи обучения математике с жизнью. Прежде всего это относится к формированию у учащихся представления о математике как науке, отражающей определенные стороны материального мира, и отбору такого материала школьного курса математики, который действительно находит применение в практике, при изучении смежных школьных предметов. Новая программа открывает для этого благоприятные возможности. I
Серьезное внимание в этом аспекте должно быть уделено разработке методики изучения векторов, координатного метода, производной, интеграла, решению дифференциальных уравнений, элементам теории вероятностей и математической статистики. Изучение многих из этих вопросов может начинаться с рассмотрения реальных жизненных процессов с последующим приложением развитой математической теории к решению реальных жизненных задач.
Следует более точно определить роль дидактических задач, традиционно именуемых задачами с практическим содержанием и раскрывающих связь с жизнью.
Следует также выявить возможности формирования у учащихся навыков и умений, необходимых в повседневной жизни, на производстве, при изучении смежных школьных предметов.
В решении поставленной проблемы большую роль играет обеспечение межпредметных связей. При разработке этих вопросов следует продумать последовательность изучения программного материала, системы упражнений, создающих благоприятные условия для изучения каждого из школьных предметов.
9. ПРОФОРИЕНТАЦИЯ И ПОДГОТОВКА К ЗАНЯТИЯМ МАТЕМАТИКОЙ
Основная цель развертываемой в средней школе профориентационной работы заключается в том, чтобы помочь учащимся составить верное представление о выбираемой профессии и определить свое призвание в жизни с учетом своих способностей и потребности народного хозяйства. На современном этапе научно- технического прогресса математика сганов.ится массовой профессией. Создаваемая в школе система профессиональной ориентации не должна упустить ни одного ученика, интересующегося математикой и ее прикладными направлениями, готовить учеников к труду.
В процессе преподавания школьного курса математики учитель, используя различные формы профориентационной работы, должен стремиться к развитию у учащихся интереса к математике. Важно на примере решения задач с практическим содержанием показать учащимся огромные возможности применения математических знаний. В задачи профориентационной работы на этом этапе входит поиск и отбор учащихся, проявляющих определенные способности к занятиям математикой.
Приобщение таких учащихся к математике можно осуществлять через факультативные занятия.
Цель профориентационной работы на факультативных занятиях — это развитие у учащихся склонности и специальных способностей к занятиям математикой и прикладной математикой.
Содержание утвержденных факультативных курсов по математике позволяет учащимся более широко и глубоко ознакомиться с отдельными разделами математики и их практическими приложениями. Им предоставляется широкая возможность попробовать свои силы в решении трудных и нестандартных задач, проверить свои математические способности.
Для работы в различных областях математики нужны различные способности. Поэтому выявить способных учащихся и помочь им подготовиться к работе в области математики — актуальная задача профориентации, имеющая большое народнохозяйственное значение.
В помощь начинающему учителю
ПЛАНЫ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ НА II ПОЛУГОДИЕ 1972/73 УЧЕБНОГО ГОДА
От редакции. Публикуемые планы работы по математике для IV и VII — X классов составлены в полном соответствии с действующими для этих классов программами. Планы представляют продолжение тех, которые были опубликованы в № 3 за 1972 г. нашего журна¬
ла, поэтому все сделанные там примечания остаются в силе.
Примечания методического порядка к некоторым темам или вопросам планов см. на стр. 56—57.
В классах V и VI учитель может пользоваться планами, опубликованными в соответствующих пособиях «В помощь учителю». Эти планы были также опубликованы в нашем журнале в №3 за 1971 г. (V класс), № 2 за 1972 г. (VI класс, алгебра) и № 3 за 1972 г. (VI класс, геометрия).
План для IV класса составлен заведующей кабинетом математики Ростовского ИУУ
Э. Г. Якуба, для VII—X классов — московскими учителями В. М. Винник, 7. */7. СытинойГ. А Ястребинецким и К. /7. Сикорским.
48
IV КЛАСС Математика (6 часов в неделю)
№ уроков
Содержание учебного материала
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
1
2
III ЧЕТВЕРТЬ (60 часов)
97—102 Деление. Определение действия. Нуль как делимое. Деление на 1 и на 0. Выполнимость деления. Проверка деления. Деление многозначных чисел. Определение старшего разряда частного и числа цифр в частном (47).
Повторение. Деление на произведение. Трудные случаи деления (в записи частного в середине или в конце нули). Решение задач на составление выражений. Контрольная работа № 16 (на 25 мин.)
103—109 Зависимость между данными и результата¬
ми при умножении и делении. Решение задач на составление уравнений (48, 49). Задачи повышенной трудности (1334, 1335, 1337, 1338).
Повторение. Решение простых задач на умножение и деление, заданных в косвенной форме. Распределительный закон умножения. Упрощение выражений 110 Контрольная работа № 17
111—117 Задачи на все действия с натуральными
числами (50).
Повторение. Порядок действий. Изменение частного с изменением делимого и делителя. Чтение выражений. Уравнение и неравенство. Понятие окружности и круга. Радиус. Диаметр. Контрольная работа № 18 (на 25 мин.) 118—120 Формирование понятия доли. Дроби. Числитель и знаменатель дроби. Чтение и запись дробей. Задачи на нахождение одной или нескольких долей числа (51, 52).
Повторение. Луч. Бесконечная шкала. Изображение натуральных чисел точками на луче 121 —123 Изображение дробей точками на луче. Биссектриса угла (53, 54).
Повторение. Угол. Сравнение углов. Контрольная работа № 19 (на 25 мин.)
124—126 Градус. Правильные и неправильные дроби
(55,57). Задачи повышенной трудности (1310, 1322, 1338).
Повторение. Измерение отрезков 127—130 Измерение углов. Деление и дроби (56, 58).
Повторение. Решение задач на составление уравнений. Контрольная работа № 20 (на 25 мин.)
131 —132 Основное свойство дроби. Свойство частно¬
го при одновременном умножении или делении делимого и делителя на одно и то же натуральное число (59).
Повторение. Деление чисел, когда делимое и делитель оканчиваются нулями 133—134 Деление с остатком. Зависимость между делимым, делителем, частным и остатком (60).
Повторение. Зависимость между результатом действия и данными при делении без остатка
135—137 Смешанные числа. Дроби и измерения (61, 62). Задачи повышенной трудности (1342, 1344, 1330).
Повторение. Меры времени, длины и веса. Решение задач на составление уравнений
138
139—140
141 — 143
144—146
147—148
149—153
154
155—156
157—159
160—165
166—169
170—171
Контрольная работа № 21 Чтение и запись десятичных дробей (63). Повторение. Понятие дроби. Числитель и знаменатель дроби. Смешанное число Разряды десятичной дроби. Изображение десятичных дробей точками на луче (64).
Повторение. Таблица разрядов и классов натуральных чисел. Изображение обыкновенных дробей точками на луче. Контрольная работа № 22 (на 25 мин.)
Смежные углы. Равные десятичные дроби (67, 65). Задачи повышенной трудности (1360, 1365, 1367).
Повторение. Развернутый угол Вертикальные углы. Неравные десятичные дроби (68, 66).
Повторение. Неравенства (числовые и с переменной), решение и множество решений неравенства. Контрольная работа № 23 (на 25 мин.)
Сложение и вычитание десятичных дробей (69, 70). Задачи повышенной трудности (1305, 1351, 1353).
Повторение. Законы сложения. Определение вычитания. Разряды десятичной дроби. Изображение десятичных дробей точками на луче. Биссектриса угла Контрольная работа № 24 Приближенные значения чисел. Округление чисел (71, 72)
IV ЧЕТВЕРТЬ (48 часов)
Решение уравнений и задач на составление уравнений (73). Решение задач повышенной трудности (1357, 1359, 1355).
Повторение. Деление с остатком. Смешанные числа. Контрольная работа № 25 (на 25 мин.)
Умножение и деление десятичной дроби на натуральное чиодо (74, 75).
Повторение. Определение умножения и деления. Чтение и запись десятичных дробей. Разряды десятичной дроби. Порядок действий Контрольная работа № 26 (на 25 мин.) Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. (76, 77).
Измерение площадей земельных участков. Ар и гектар. Выражение именованных чисел, данных в арах или гектарах, в квадратных метрах и наоборот. Масштаб (78).
Повторение. Единицы измерения площади: квадратный метр, квадратный дециметр, квадратный сантиметр. Периметр и площадь прямоугольника и квадрата Перпендикулярные прямые. Построение прямой, перпендикулярной к данной прямой, через точку, лежащую вне прямой и на прямой. Расстояние от точки до прямой (80, 81).
Повторение. Решение задач на нахождение одной или нескольких долей числа. Контрольная работа № 27 (на 25 мин.)
49
Продолжение
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
172—174 Понятие о проценте. Решение задач на нахождение одного или нескольких процен¬
тов (79).
Повторение. Задачи, решаемые умножением. Законы умножения (для натуральных чисел) 175—178 Умножение на десятичную дробь. Расширение понятия о произведении (82).
Повторение. Решение задач на составление выражений и на составление уравнений. Вне-
табличное умножение и деление. Контроль¬
ная работа № 28 (на 25 мин.)
179—181 Свойства умножения в применении к десятичным дробям (83). Решение задач на составление уравнений.
Повторение. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... Трудные случаи деления многозначных чисел (в записи частного нули в середине или на конце)
182—186 Деление на десятичную дробь. Расширение
понятия о делении (84). Решение задач на
составление уравнений.
Повторение. Внетабличное умножение и деление. Смежные и вертикальные углы. Округление чисел 187 Контрольная работа № 29
188—191 Среднее арифметическое (85). Измерения
на местности (90).
Повторение. Изменение произведения и
частного с изменением данных 192—197 Задачи на все действия с натуральными
числами и десятичными дробями. Решение задач на составление уравнений. Задачи повышенной трудности (1306, 1308, 1326, 1333, 1339, 1340, 1341, 1346).
Повторение. Верные и неверные высказывания. Уравнение. Корень уравнения. Неравенство. Решение неравенств. Множество решений неравенства 198 Контрольная работа № 30
199—204 Резерв для учителя
VII КЛАСС Алгебра 1 (3 часа в неделю)
III ЧЕТВЕРТЬ (30 часов)
Алгебраические дроби (окончание) Сложение и вычитание алгебраических дробей с одночленными и многочленными знаменателями.
Повторение. Решение уравнений с числовыми коэффициентами и несложных — с буквенными (на примерах из физики)
Контрольная работа № 9 Введение понятия а~п (а^0, п — натуральное число). Запись приближенных чисел с помощью степени числа 10 с целым показа-' телем (примеры: масса Земли, расстояние от Земли до планет, Солнца, звезд; физические величины и т. п.).
Повторение. Обратные числа. Возведение в степень одночленов 73—76 Возведение алгебраических дробей в степень с целым показателем. Все действия над алгебраическими дробями.
65—69
70
71—72
77
78—81
82
83—86
87
88—90
91—94
95—96
97
98 99—100
101 — 104
105
106—111
Повторение. Решение задач на составление уравнений Контрольная работа № Ю Уравнения с неизвестными в знаменателе. Уравнения с буквенными коэффициентами.
Нахождение числовых значений дробных выражений после предварительного их упрощения. Примеры на определение допустимых значений букв в дробных выражениях Контрольная работа № 11
Координаты и простейшие графики2 Прямоугольная система координат. Абсцисса и ордината точки на плоскости. Построение точки по ее координатам; обратная задача. Построение точек (0; b), (а; 0). Построение точек, симметричных данным: а) относительно осей координат, б) относительно начала координат. Построение многоугольников по координатам их вершин (диафильм) Контрольная работа № 12 Прямо пропорциональная зависимость у — ах, ее график (диафильм); примеры из геометрии (периметр квадрата, равностороннего треугольника, площадь прямоугольника, треугольника при заданном основании и т. п.), из физики (масса тела, путь при постоянной скорости и т. п.)
Зависимость у = ах 4* Ъ и ее график (х — любая точка на оси абсцисс; частный случай: л: — натуральное число; соответствующие примеры).
Обратно пропорциональная зависимость ху — а(а Ф 0) и ее график. Примеры из геометрии и физики (диафильм)
IV ЧЕТВЕРТЬ (24 часа)
Упражнения на построение графиков у = ах + Ь; ху = а (а > 0, а < 0)
Решение задач на составление уравнений Контрольная работа № 13
Система уравнений первой степени с двумя неизвестными Уравнение ах + by — с. Его решения и его график в следующих случаях: 1) аФ0, ЬФ0\
2) а — 0, ЬФ0; 3) аф0, Ъ — 0 Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Графическое решение ее. Частные случаи: графики уравнений пересекаются, параллельны, совпадают (диафильм) Равносильные системы двух уравнений с двумя неизвестными. Решение систем способом подстановки и способом сложения. Решение задач с помощью составления системы двух уравнений с двумя неизвестными Контрольная работа № 14 Общий обзор изученного в VII классе курса алгебры; тождественные преобразования многочленов и алгебраических дробей; нахождение числовых значений выражений с применением алгебраических преобразований; решение уравнений с неизвестными в знаменателе, с буквенными коэффициентами; исследование линейной зависимости. Решение задач
50
Продолжение
№ уроков
Содержание учебного материала
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
1
2
70
71—72
73—76
77—81
82
83—86
112—113 Контрольная работа № 15 65
114—118 Резерв для учителя 56—69
Геометрия 3 (3 часа в неделю]
III ЧЕТВЕРТЬ (30 часов)
Площадь многоугольника (окончание).
Поверхность и объем прямой призмы 33—36 Площадь параллелограмма, треугольника,
трапеции. Площадь произвольного многоугольника. Практическая работа с моделями.
Измерение площади земельного участка (работа с диафильмом и кинофильмом).
Повторение. «Общие правила вычисления»
(1—8) из «Четырехзначных математических таблиц» Брадиса 37—40 Решение задач на вычисление площадей с
применением теоремы Пифагора.
Вычисление площади многоугольников, расположенных на координатной плоскости и заданных координатами их вершин.
Повторение. Свойства параллелограмма и его частных видов и трапеции 41 Контрольная работа № 6
42—45 Прямая призма. Вершины, ребра, грани призмы и их взаимное расположение. Развертка прямой призмы (треугольной и четырехугольной). Практические работы по вычислению площади поверхности прямой призмы на моделях и с использованием диафильмов и кинофильмов.
Повторение. Задачи на построение параллелограмма, ромба 46—49 Измерение объема. Кубические меры. Объем
куба, прямоугольного параллелепипеда, треугольной и четырехугольной прямой призмы (диафильм).
Повторение. Задачи на построение прямоугольника, квадрата, трапеции 50 Контрольная работа № 7
Окружность
51—52 Построение окружности, проходящей через
данные точки: а) одну, б) две, в) три. Построение окружности, описанной около треугольника
53—55 Зависимость между хордами и дугами в
круге. Свойство диаметра, перпендикулярного к хорде; обратные теоремы. Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами. Построение окружности, описанной около равнобедренной трапеции (диафильм)
56 Контрольная работа № 8
57—60 Взаимное положение прямой и окружности.
Касательная к окружности. Прямая и обратная теоремы о касательной. Построение каса¬
тельной к окружности через данную на ней точку. Свойство касательных, проведенных к окружности из одной внешней точки; построение этих касательных. Центроискатель. 6Q g>j
Свойство биссектрисы угла (повторение).
Окружность, вписанная в треугольник, в ромб
61—62 Взаимное положение двух окружностей ^ 54
IV ЧЕТВЕРТЬ (24 часа)
63—64 Построение касательных к двум окруж¬
ностям
49-53
54
55—57
58—59
Контрольная работа № 9 Измерение центральных углов (повторение). Измерение углов: а) вписанного; б) образованного двумя хордами, пересекающимися внутри круга; в) образованного двумя секущими с общей точкой вне круга; г) составленного касательной и хордой; д) описанного (случаи б, в, д рассматриваются как задачи) Контрольная работа № 10 Нахождение отношения длины окружности к ее диаметру (практическая работа). Формулы длины окружности: лd, 2тег. Длина дуги в п°.
Площадь круга: яс?2/4, я г2; сектора в п° Вычисление длины окружности и площади круга по четырехзначным таблицам; вычисление диаметра по данным: длине окружности, площади круга.
Цилиндр, его развертка. Площадь поверхности цилиндра. Объем цилиндра. Вычисление по моделям. Контрольная работа № 11 на 25 мин.
Общий обзор изученного курса геометрии в VII классе: свойства и построение параллелограмма и его частных видов; трапеции, в том числе равнобедренной; задачи на касательную к окружности; измерение углов Контрольная работа № 12 Резерв для учителя
VIII КЛАСС Алгебра4 (2 часа в неделю)
III ЧЕТВЕРТЬ (20 часов) Квадратные уравнения (окончание) Решение систем уравнений, содержащих одно уравнение второй степени и одно — первой. Примеры систем вида ах + by = с, ху — т, решаемых с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Решение задач на составление уравнений и систем уравнений Контрольная работа № 7
Функции и графики2 Переменные величины. Понятие о функциональной зависимости; аргумент и функция. Область определения функции и область изменения. График функции. Способы задания функции. Исследование функции5 (диафильм) Функция у — ах и линейная функция общего вида: у — ах 4- Ь. Теорема о графике линейной функции. Геометрический смысл коэффициентов а и Ь. Частный случай линейной функции, определенной на множестве натуральных чисел; ее график. Контрольная работа № 8 на 25 мин.
Функции: у — х2; у — х2 + с; у — ах2;
у = 'ах2 -he; у = (х — rrt)2; у == а (х — т)2. Их свойства и графики Квадратный трехчлен общего вида у — ах2 Ч- Ьх 4- с; выделение полного квадрата; свойства квадратного трехчлена; его график 6 •
Ы
Продолжение
Ms уроков
Содержание учебного материала
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
1
2
65 Контрольная работа № 9
66—68 Возведение чисел в куб и извлечение куби¬
ческого корня при помощи счетной линейки
з
и таблиц. Функции у = х3иу=у/Гх и их графики.
Повторение. Решение задач. Упражнения на теорему Виета
IV ЧЕТВЕРТЬ (16 часов)
69—70 Упражнения в построении графиков различ¬
ных простейших функций и уравнений, например: у — 1 : х2; х2 + у2 — г2; у = \ ах -f b\\ у — |ах2 + Ьх + с\; у = ах2 + b\х\ -f с\ графическое решение систем, например: а) у — = 0,5х3, х — у — 2 = 0; б) у2 + х = 8, х — ху — 2 и т. п. (диафильм)
71 Контрольная работа № 10
72—75 Повторение. Решение задач на составление
уравнений. Преобразование алгебраических дробей; несложные преобразования квадратных радикалов. Нахождение значения числовых выражений после их упрощений. Исследование квадратного трехчлена 76—77 Контрольная работа № 11
78—84 Повторение отдельных тем (по выбору учи¬
теля) и решение задач
Геометрия 3 (3 часа в неделю]
III ЧЕТВЕРТЬ (30 часов)
Подобие фигур (окончание)
33—34 Подобие многоугольников. Построение многоугольника, подобного данному по заданному коэффициенту подобия.
Повторение. Свойство ряда равных отношений: если а\ : bi — а2 : Ь2 = а3: 63 = ... =
= ап : Ьп, то (а\ + а2 4- яз + ... + ап) :
: (Ь\ + bi -j- 63 -f- ... b „) — й\ : b]
35—36 Теорема о разбиении подобных многоуголь¬
ников на подобные треугольники. Отношение периметров подобных многоугольников.
Отношение площадей подобных треугольников и подобных многоугольников 37—38 Частные случаи построения многоугольников, подобных данным: параллелограмма,
ромба, трапеции. Задачи: вписать в данный треугольник: а) квадрат, б) прямоугольник с заданным отношением сторон (например, 1: У '2)
39 Контрольная работа № 5
40—41 Знакомство с мензульной съемкой. Работа
с диафильмом «Измерения на местности»
Тригонометрические функции острого угла7 42—44 Определение sin a, cos а, tg а и ctg а
(0° < а < 90°) как отношений сторон прямоугольного треугольника. Формулы а-~с sin Л = — с cos В = b tg А. Значение sin a, cos а и tg а, если а = 30°, 45°, 60е.
Практическая работа по вычислению sin а, cos а и tg а при 0° < а < 90°, например через каждые 5° или 7°30/.
Построение угла по заданному значению одной из тригонометрических функций его
45—48 Четырехзначные таблицы тригонометриче¬
ских функций. Решение прямоугольных треугольников. Решение геометрических задач на вычисление с применением тригонометрических функций острого угла. Площадь треугольника S = 0,5ab sin С(0° < С < 90°); S = = 0,5ab sin (180° —С) (90° < С < 180°).
Повторение. «Общие правила вычисления (1—8)» из «Четырехзначных математических таблиц» Брадиса.
49 Контрольная работа № 6
50—52 Угол прямой с плоскостью. Некоторые слу¬
чаи определения недоступных расстояний.
Соотношения tg а = sin а/cos а, sin2 а 4- + cos2 а = 1 для острого угла а
Вписанные и описанные многоугольники3
53—56 Повторение. Геометрическое место точек:
а) равноудаленных от сторон угла, б) равноудаленных от концов отрезка. Измерение вписанных углов.
Вписанные и описанные треугольники. Задачи: во всяком треугольнике
г “ (р a) tg А!2; 5 = гр\ а = 2R sin Л (0° < /1 < 90°)
И а - 2R sin (180° — А) (90° < А < 180°); в прямоугольном треугольнике г = р — с; R =--= 0,5с; в равностороннем треугольнике г = 1/3 Л, R - 2/3 h 57 Контрольная работа № 7
58—62 Сумма внутренних и внешних углов выпук¬
лого многоугольника. Свойства вписанных и описанных четырехугольников (прямые и обратные теоремы).
Определение правильного многоугольника. Центральный (а также внешний) угол правильного «-угольника ап ~ 360°: п\ внутренний угол правильного «-угольника рп-~180°— — (хп = 180°(я — 2) : п
IV ЧЕТВЕРТЬ (24 часа)
63—67 Задачи: во всяком правильном л-уголь- нике ап - 2R sin (180°: л), kn = Я cos (180°: л). S-=-0,5p„kn—-0,5 nR2 sin (360°:n) (an —сторона правильного л-угольника, kn — его апофема, R — радиус описанного круга). Частные случаи: az = R V 3; ае = R; л4 = R у 2.
Построение правильных я-угольников (п = = 3, 4, 6), вписанных в данный круг. Построение правильного многоугольника с числом сторон 2л, если дан круг и в него вписан правильный /i-угольник. Различные задачи на правильные многоугольники 68 Контрольная работа № 8
69—73 Вычисление площади поверхности и объемз
правильных призм.
Повторение формул длины окружности и площади. Вычисление площади поверхности и объема цилиндра.
Повторение. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и круге
Продолжение
№ уроков
Содержание учебного материала
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
1
2
65-69
70
71—79
74 Контрольная работа № 9
75—82 Повторение. Основные вопросы курса гео¬
метрии за VI—VIII классы в соответствии с содержанием экзаменационных билетов. Обращается внимание на точность определений, понятие прямой и обратной теорем, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, включая сюда и тригонометрические функции острого угла
83—86 Резерв для учителя
IX КЛАСС Алгебра и элементарные функции (4 часа в неделю)
III ЧЕТВЕРТЬ. (40 часов)
Степень с рациональным показателем.
Степенная функция (окончание)
Решение упражнений на все действия над радикалами. Иррациональные уравнения. Возведение в степень обеих частей уравнения и приобретение в связи с этим посторонних корней *. Решение иррациональных уравнений Контрольная работа № 8 Степень положительного числа с дробным показателем. Свойства этой степени. Действия над степенями с рациональными показателями Применение свойств степени с дробным показателем к действиям над выражениями, содержащими радикалы.
Степенная функция у — хп при п = V2» п = Уз
80 Контрольная работа № 9
Тригонометрические функции любого агрумента
81 Повторение. Длина окружности и дуги;
площадь круга, сектора, сегмента
82—83 Понятие о векторе; проекция вектора на
ось. Вектор с началом в начале координат, его координаты (х; у). Теорема х2 4- у2 — г2 и следствия из нее (|х| ^ г, \у\ < г).
Обобщение понятий угла и дуги, их градусная и радианная мера. Формула а—-па: 180, где а — радианная мера, а — градусная мера. Формула I — Ra и v =■--- /?со, где /—длина дуги и а — ее радианная мера, v — линейная и (о — угловая скорости движения точки по окружности2. Числовая ось и числовая окружность 3
84—86 Повторение. Определение тригонометрических функций острого угла как отношений прямоугольного треугольника. Значения тригонометрических функций углов в 30°, 45°, 60°.
Определение тригонометрических функций угла (дуги) и их изменение с изменением аргумента от 0 до 2л (от 0° до 360°).
Определение: синусом данного действительного числа а называется синус дуги в а радианов и т. д.
Вычисление значений тригонометрических функций при различных значениях аргумента (с использованием описанной выше модели)
87—89 Алгебраические соотношения между триго¬
нометрическими функциями одного аргумента.
90
91
92
93
94
95—96
97
98—99
100
101
102—104
105—109
110 111 — 112
113—116
Нахождение значений тригонометрических функций по одной из них.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Контрольная работа № 10 Свойства тригонометрической функции у = sin а: область определения; периодич¬
ность; корни функции.
Уравнения вида sin (ад: + Ь) = 0 Продолжение изучения свойств функции у — sin а; промежутки знакопостоянства на отрезке [0, 2я]; ут\п и у max- Уравнения вида sin (ах + b) — ± 1 Промежутки монотонности у — sin а (на одном периоде); нечетность функции у = = sin afsin(—a) = —sin a); область ее изменения (] sin a I ^1)
График функции у — sin a и общий обзор ее свойств
Свойства функции у = cos а и решение уравнений вида cos(a*-f6) =0, cos(ax+&) — = ± 1.
Вывод соотношения cos a = sin (я/2 — а) и построение графика функции у = cos a Контрольная работа № 11 Ось тангенсов. Свойства и график функции У = tg а. Уравнения вида tg(ax 4- b) = 0 Ось котангенсов. Свойства функции у — — ctg а. Уравнения вида etg(ax 4- b) =0.
Соотношение ctg а = tg и П0‘
строение графика функции у = ctg а Контрольная работа № 12 Построение углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции.
Формулы приведения. Тождественные преобразования
IV ЧЕТВЕРТЬ (32 часа)
Тождественные преобразования с применением формул приведения.
Обозначения arc sin т, arc cos т, arc tg т и arc ctg т и вывод общих формул корней уравнений sin х = т, tg х = т, cos х = т, ctg х = т.
Тригонометрические уравнения: а) приводимые к алгебраическим относительно одной функции одного аргумента; б) однородные и приводимые к однородным уравнениям относительно sin х и cos х
Контрольная работа № 13 Прогрессии
Повторение. Числовая последовательность — функция, определенная на множестве натуральных чисел. Общий член числовой последовательности. Последовательности конечные, бесконечные Определение арифметической прогрессии. Формула общего члена. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Выражение суммы п членов арифметической прогрессии: а) через аь ап и п\ б) через аь d и п
53
Продолжение
№ уроков
Содержание учебного материала
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
1
2
117—120 Определение геометрической прогрессии.
Формула общего члена. Характеристическое свойство геометрической прогрессии с положительными членами. Выражение суммы п членов геометрической прогрессии через аи q и п.
121 — 122 Решение задач на арифметическую и гео¬
метрическую прогрессии 123 Контрольная работа № 13
124—125 Бесконечно убывающая геометрическая про¬
грессия
126—129 Решение задач по всему курсу и повторе¬
ние
130—131 Контрольная работа № 14
132—136 Резерв для учителя
Геометрия (2 часа в неделю)
III ЧЕТВЕРТЬ (20 часов) Перпендикулярность в пространстве.
Двугранный и многогранный углы 33—38 Определение перпендикуляра к плоскости4.
Признак перпендикулярности прямой к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Построение плоскости, перпендикулярной к прямой. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Ортогональная проекция точки и прямой на плоскость. Определение угла прямой с плоскостью. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных, проведенных из одной точки.
Геометрическое место точек, равноудаленных: а) от вершин многоугольника, б) от сторон многоугольника 39 Контрольная работа № 5
40:—44 Зависимость между параллельностью и пер¬
пендикулярностью прямых и плоскостей. Построение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. Обзор определений расстояния между двумя точками, двумя прямыми, точкой и плоскостью, двумя плоскостями
45 Контрольная работа № 6
46—51 Двугранные углы. Двугранный угол, опре¬
деление линейного угла, свойства плоскости линейного угла (перпендикулярность ребру и граням). Соотношения между линейными и двугранными углами. Смежные, вертикальные и прямые двугранные углы.
Определение и признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и имеющей общую точку с другой. Следствие.
Биссекториая плоскость как геометрическое место точек равноудаленных от граней двугранного угла.
Вывод формулы Si = S cos а, где S — площадь плоской фигуры, S\ — площадь проекции этой фигуры, а — угол между плоскостями фигуры и проекции.
Решение задач, в том числе задач на построение сечений плоскостью прямоугольного параллелепипеда и правильной пирамиды 52 Контрольная работа № 7
IV ЧЕТВЕРТЬ (16 часов)
53—55 Выпуклый многогранный угол и его по¬
строение. Теорема о свойстве плоских углов трехгранного угла. Теорема о свойстве плоских углов выпуклого многогранного угла5.
Задача. Доказать, что если два плоских угла трехгранного угла равны, то перпендикуляр, опущенный из любой точки их общего ребра на плоскость третьего плоского угла, пересекает биссектрису третьего плоского угла. Использование этой задачи при решении других задач
Решение треугольников
56—62 Повторение: решение прямоугольных тре¬
угольников с использованием тригонометрических функций острого угла.
Формула а = 2R sin А и теорема синусов. Решение треугольников по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.
Теорема косинусов 6 и доказательство формулы Герона. Формулы площади треугольника: S = 0,5 aha\ S = 0,5^6 sin С; S = pr\ $ = abclAR\ S = Yp (p — a)(p — b)(p — c). Формулы площади параллелограмма:
S = aha. S = ab si,n C.
Выражение плошади выпуклого четырехугольника через диагонали и угол между ними.
Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам. Решение различных геометрических задач с применением тригонометрии 63 Контрольная работа № 8
64—68 Резерв для учителя
X КЛАСС Алгебра и элементарные функции (4 часа в неделю)
III ЧЕТВЕРТЬ (40 часов) Логарифмическая функция
65—66 Повторение. Показательная функция у — ах, ее свойства и ее график при а > 1 и при 0 < а < 1.
Действия над степенями а*1 и ах3 при любых действительных значениях х.
Определения sin х и arc sin х, cos х и
arc cos x
67—69 Определение логарифма положительного
числа b по положительному основанию
а(а ф 1) : a ,ogfl b=b (логарифмическое тож¬
дество).
Уравнения вида Ioga х — b, logxa = b, loga b = х. Упражнения на использование логарифмического тождества 70 Примеры обратных функций: 1) у = 0.25*+
+ 1 при —оо < л: < оо и у — Ах — 4; 2) у —
з _
= х3 при —оо < х < оо и у = х; 3) у = х2 при 0 ^ X < оо и у — у х\ 4) у — COS X при
О^х^я и у — arc cos х и т. п.
Расположение графиков взаимно обратных функций
54
Продолжение
№ уроков
Содержание учебного материала
№ уроков
Содержание учебного материала
1
2
1
2
71—74 Логарифмическая функция как функция
обратная показательной. Симметричность графиков функций у = ах и у = logo х относительно биссектрисы I и III координатных четвертей.
Свойства логарифмической функции 75 Контрольная работа № 8
76—79 Логарифм произведения и частного поло¬
жительных чисел, степени положительного основания с любым действительным показателем. Логарифмирование и потенцирование выражений (алгебраических и тригонометрических).
Переход от одного основания логарифмов к другому 7 80 Контрольная работа № 9
81—84 Логарифмические уравнения и неравенства.
Повторение. Решение неравенств и систем неравенств 85 Контрольная работа №> 10
86—91 Целая и дробная части числа. Представле¬
ние любого действительного числа в виде суммы его целой и дробной частей.
Десятичные логарифмы и их свойства. Таблицы четырехзначных мантисс десятичных логарифмов и значений функции 10* (десятичных антилогарифмов); логарифмов тригонометрических функций. Примеры вычисления значений выражений с помощью логарифмов (в том числе, например: 5U; 32cos3; 1,875 X Xcos 140°25'; приближенных корней уравнений 25,123* = 0,5257; к sin a~2r ctg а V — 2 cos 2а при г = 6,37 -10е. а = 71°18/; среднегодового прироста населения, если за 20 лет оно увеличилось на 95% и т. п.).
Повторение. Общие правила вычисления I —10 (см. «Четырехзначные таблицы» Бра- диса).
92 Контрольная работа № И
93—97 Обоснование действий на логарифмической
линейке. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Примеры графического решения уравнений и неравенств, в левой и правой частях которых находятся различные функции (линейная, квадратная, показательная, логарифмическая, тригонометрические)
98 Контрольная работа № 12
Обобщение понятия числа. Комплексные числа
99—Ю4 Повторение. Развитие понятия числа: мно¬
жества натуральных чисел (N), целых (Z), рациональных (Q), действительных (R). Взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек координатной прямой. Законы сложения и умножения действительных чисел. Вычитание и деление как действия, обратные (соответственно) сложению и умножению.
Извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Определение мнимой единицы
(i): i2 = —1; Y —1 = =£*•
Множество комплексных чисел (С);: а + bf; частные случаи: а) а Ф 0, Ъ Ф 0; 6) а Ф 0, Ь = 0; в) а — 0, Ъф 0; г) а = 0, b = 0. Сопряженные комплексные числа. Условие равенства комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел a -f bi и множеством всех точек плоскости с координатами (а, Ь)
IV ЧЕТВЕРТЬ (32 часа)
105—110 Определение суммы и произведения двух
комплексных чисел; произведение сопряженных комплексных чисел. Законы сложения и умножения. Вычитание и деление комплексных чисел как действия обратные (соответственно) сложению и умножению комплексных чисел.
Модуль комплексного числа, его геометрическая интерпретация. Тригонометрическая форма комплексного числа, не равного нулю.
Применение комплексных чисел к решению квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом и двучленных уравнений третьей и четвертой степени; геометрическое изображение их корней 111 Контрольная работа № 13
112—114 Принцип математической индукции; доказательство методом математической индукции на частных примерах, как-то: формул общего
члена арифметической и геометрической прогрессий; формул, выражающих Sn тех же прогрессий через первый член, разность (арифметической прогрессии) или знаменатель (геометрической прогрессии) и число членов; суммы квадратов натурального ряда и т. п.
Решение задач и повторение
115—130 Числовые неравенства; примеры доказательства неравенств. Решение линейных, квадратных и дробных неравенств.
Уравнения с параметрами: линейные и
квадратные и приводимые к ним. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и некоторые примеры систем уравнений второй степени.
Степени с целым и рациональным показателем. Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
Тождественные преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции (в том числе: понижение степени sin2*, cos2 .г, выражение sin 2х и cos 2х через tg*), показательную и логарифмическую.
Исследование функций и построение их графиков: линейной, квадратной, степенных, тригонометрических, показательной, логарифмической. Построение графиков некоторых функций, содержащих переменные под знаком модуля, например: у = а\х\ +6; у— \ах2 + Ьх + с(; у = sin |х|; у = а,х 1 — 1; у = — loga |я|; у = llog„ |х — 1|| и т. п.
Уравнения и неравенства: тригонометрические, показательные, логарифмические и т. п.
55
№ уро-
ков
Содержание учебного материала
1
2
Графическое решение уравнений и неравенств 131 —132 Контрольная работа № 14
133—136 Резерв для учителя
Геометрия 8 (2 часа в неделю)
Круглые тела
33—36 Поверхность вращения, ее образующая, ось
вращения.
Цилиндрическая поверхность, ее образующая и направляющая. Замкнутая цилиндрическая поверхность. Цилиндр. Прямой круговой цилиндр как тело вращения прямоугольника около одной из его сторон. Сечения цилиндра плоскостью, параллельной основанию, параллельной оси. Развертка цилиндра.
Коническая поверхность, ее образующая и направляющая, вершина. Замкнутая коническая поверхность. Конус, Прямой круговой конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из его катетов. Пирамида, вписанная в конус, описанная около конуса. Усеченный конус.
Площади поверхности цилиндра, конуса, усеченного конуса.
Повторение. Бесконечная последовательность, предел последовательности, признак существования предела последовательности. Длина окружности и площадь круга. Определение и признак перпендикулярности прямой ■ г: плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
37—39 Объем цилиндра. Вывод формул объема
конуса и усеченного конуса
40 Контрольная работа № 5
41—44 Определение сферы, шара. Сечение шара
плоскостью. Плоскость, касательная к шару.
Повторение. Геометрические места точек в пространстве, равноудаленных от двух точек, от трех точек. Прямые и обратные теоремы о четырехугольниках, вписанных в круг и описанных около круга. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и круге 45—47 Лемма о площади поверхности тел враще¬
ния (конуса, усеченного конуса, цилиндра). Площадь сферы и ее частей.
Повторение. Теорема синусов и косинусов 48—50 Объем шара и его частей (рекомендуется
воспользоваться теоремой Симпсона)
51 Контрольная работа № 6
52 Решение задач
IV ЧЕТВЕРТЬ (16 часов) Повторение и решение задач 53—54 Тела вращения (задачи)
55—58 Геометрические места точек, равноудален¬
ных от граней двугранного угла, от граней трехгранного угла. Комбинации шара и других круглых тел с призмами и пирамидами; шара — с цилиндром, конусом и усеченным конусом
59—60 Контрольная работа № 7
61—68 Повторение основных вопросов геометрии
в соответствии с экзаменационными билетами
Примечания к планам для VH и VH! классов
1. В учебнике «Физика 7» учитель математики найдет много примеров уравнений с буквенными коэффициентами, прямо и обратно пропорциональной зависимости, линейной зависимости, физических величин, в записи которых используется Ю71 (п — целое число).
2. На уроках алгебры в VII и VIII классах рекомендуется использовать следующие диафильмы (или отдельные кадры из них): «Прямоугольная система координат и простейшие графики»; «Множества решений уравнения и неравенства с двумя переменными». «Графическое решение уравнений и систем уравнений»; «Графики функций и графическое решение уравнений»; «Графики уравнений».
3. При изучении геометрии в VII и VIII классах рекомендуется использовать следующие диафильмы (или отдельные кадры из них): «Измерения на местности»: «Изображение геометрических тел»; «Геометрический материал в курсе арифметики»; «Стереометрический материал в курсе геометрии»; «Практическое применение геометрии»; «Дуги, хорды и зависимости между ними»; «Вписание и описание окружности».
4. В учебнике «Физика 8» учитель математики найдет много примеров линейной и квадратной функций и соответствующих уравнений, а при изучении тригонометрических функций — примеры из тех пунктов учебника, где рассматривается движение тела, брошенного горизонтально, движение тела по наклонной плоскости и др.
5. Если иметь в виду простейшие случаи исследования функций, рассматриваемых в курсе VIII класса, то можно рекомендовать следующую схему исследования:
а) область определения; б) корни функции (значения аргумента, при которых значения функции равны нулю); в) промежутки знакопостоянства; г) возрастание и убывание функции; д) наибольшее и наименьшее значение функции. Исследование функций в VIII классе проводится по графикам.
6. При построении графика квадратного трехчлена (параболы) прежде всего находится абсцисса вершины параболы х0 = —Ь/2а, затем ее ордината
Уо ” ах\ + Ьх0 -!- с.
Графики целесообразно выполнять на миллиметровой бумаге. Надо рекомендовать каждому учащемуся иметь несколько шаблонов парабол, например: х2, 0,5 х2, 2х2.
7. При решении задач с применением тригонометрических функций острого угла все вычисления производятся с помощью счетной линейки, но значения тригонометрических функций берутся из таблиц.
Примечания к планам для IX и X классов
1. Рекомендуется сформулировать теорему: Уравнение fп (х) = срп (х) (2) является следствием уравнения f(x)=cp(x) (1), и поэтому при возведении обеих частей уравнения (1) в п-ю степень возможно появление посторонних корней (см. «Математика в школе», 1972, № 3, примечание 1 к планам для IX и X классов).
2. Для лучшего усвоения этих и последующих понятий каждый учащийся изготовляет крут из миллиметровой бумаги, наклеенной на картон, с вращающимся радиусом (стрелкой) г = 1 дм (см. пис.). На окружности круга следует показать точки* 0°(0), 15°(0,26), 30°(0,52) и т. д. до 360° (2п ш 6,28).
3. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется числовой окружностью. Числу 0 ставится в соответствие точка пересечения положительной полуоси абсцисс с этой окружностью, а 1 — конец дуги в 1 радиан.
Таким образом, каждому действительному числу а ставится в соответствие определенная точка на числовой
5Ь
окружности. Следует подчеркнуть, что это соответствие не взаимно однозначное, так как конец дуги в а радианов соответствует любому числу вида а + 2nk, где R = 0, ± 1» ±2, ...
4. Рекомендуется такое определение: «Прямой, перпендикулярной к плоскости, называется прямая, перпендикулярная любой прямой, принадлежащей плоскости». Соответственно формулируются признак перпендикулярности прямой и плоскости: «Для того чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости» и теорема о трех перпендикулярах: «Для того чтобы прямая, расположенная в данной пло* скости, была перпендикулярна наклонной к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна ее проекции на эту плоскость».
5. Эту теорему рекомендуется формулировать так: «Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 360° и каждый плоский угол меньше суммы всех остальных».
6. Рекомендуется сформулировать следующие теоремы как следствия теоремы косинусов:
а) Для того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы квадрат его большей стороны был равен сумме квадратов двух других сторон.
б) Чтобы треугольник был тупоугольным, необходимо и достаточно, чтобы квадрат большей стороны был больше суммы квадратов двух других.
в) Чтобы треугольник был остроугольным необходимо и достаточно, чтобы квадрат большей стороны был меньше суммы квадратов двух других.
Необходимость вытекает из теоремы Пифагора и теоремы косинусов, а достаточность можно доказать «методом от противного».
Обращаем также внимание на доказательства теоремы косинусов, приведенные в журнале «Математика в школе» 1968, № 2, стр. 14 и 1969, № 6, стр. 46.
7. Возможен такой вывод формулы перехода от одного основания логарифмов к другому.
По определению логарифма
\ogab ^(а^асу^сь.
log ь log с-logгь пачнт, а а = а а с . На основании монотонности показательной функции имеем: Iogrt6 = Ioga с х vlogr&, откуда получается искомая формула (необходимые ограничения для а, b, с здесь не указаны).
При таком выводе формулу перехода можно дать вскоре же после определения логарифма числа.
8. В процессе решения задач необходимо повторяется курс геометрии, систематически используются тригонометрические функции.
В помощь учителям вечерних (сменных) школ
Г. Д. ГЛЕЙЗЕР, С. М. СААКЯН
(Москва)
О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В VI КЛАССЕ ПО НОВОЙ ПРОГРАММЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА НА II ПОЛУГОДИЕ1
Во II полугодии в школах с продолжительностью учебного года 36 педель па изучеиие алгебры отводится 4 ч в неделю, па изучение геометрии — 2 ч в неделю; в школах с продолжительностью учебного года 28 недель на изучение алгебры отводится 4 ч в педелю, на изучение геометрии — 3 ч в неделю.
1 Планирование учебного материала на I полугодие см. в журнале «Математика в школе», 1972, № 4.
Планирование учебного материала для V, VII—XI классов см. в журнале «Математика в школе», 1971, № 4.
Содержание учебного материала
Число часов7
1
2
АЛГЕБРА
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Отношение и пропорции Отношение чисел и величин. Пропорция. Основное свойство пропорции. Нахождение неизвестного члена пропорции 3 (—)
Прямая пропорциональность 2(—)
Обратная пропорциональность 2(—)
Контрольная работа № 10 1(—)
2 Перед скобками указано число уроков в школах с продолжительностью учебного года 36 недель,
а в скобках — в школах с продолжительностью учебного
года 28 недель.
Тема «Прямая и обратная пропорциональность» в
школах с продолжительностью учебного года 28 недель
изучена в I полугодии.
57
1
2
Понятие о функции. Способы задания функции 2(—) Координатная плоскость. Абсцисса и ордината точки на плоскости. Построение точки по ее координатам и обратная задача 3(—)
График прямой и обратной пропорциональности.
k
График функций у — kx; у~ ~^~ 4(—)
Контрольная работа №11 1(—)
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем . Определение степени с натуральным показателем. Произведение и частное степеней с равными основаниями. Степень степени. Степень произведения 6(6)
Контрольная работа № 12 1(1)
Одночлен. Стандартный вид одночлена Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена. Понятие о степени одночлена 3(3)
Многочлен. Стандартный вид многочлена Понятие многочлена. Приведение многочлена к стандартному виду 3(3)
Преобразование суммы и разности многочленов в многочлен стандартного вида Раскрытие скобок. Заключение в скобки 4(3)
Контрольная работа № 13 1(1)
Произведение одночлена и многочлена. Вынесение общего множителя за скобки Преобразование произведения одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида. Решение примеров и задач 4(4)
Вынесение общего множителя за скобки 2(2)
Доказательство тождественности выражений 2(2)
Произведение многочленов. Разложение многочлена на множители способом группировки 4(4)
Контрольная работа № 14 1(1)
Тождества сокращенного умножения Преобразование выражения вида (а — b) х Х(а + Ь) в многочлен. Разложение на множители разности квадратов двух выражений 3(2)
Преобразование квадрата двучлена в многочлен. Обратное преобразование 3(3)
Преобразование куба двучлена в многочлен. Обратное преобразование 2(2)
Разложение на множители суммы и разности кубов двух выражений. Обратное преобразование. 3(3)
Контрольная работа № 15 1(1)
Примеры разложения многочленов на множители 5(5)
Линейная функция и ее график 5(5)
Контрольная работа № 16 1(1)
Повторение 4(4)
ГЕОМЕТРИЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Предмет геометрии. Геометрическое тело, поверхность, линия, точка. Прямая линия. Плоскость 1(1)
Расстояние между точками на прямой. Луч. Отрезок 1(1)
ЬЬ
Сравнение отрезков. Измерение и построение отрезков при помощи масштабной линейки 1(1)
Ломаная линия и ее длина 1(2)
Окружность и круг. Центр, радиус, хорда, диаметр. Дуга, сектор, сегмент 1(1)
Угол. Отображение фигур. Конгруэнтные фигуры ' 1(1)
Сравнение углов. Центральный угол. Соответствие между центральными углами, дугами и хордами 1(1)
Градусное измерение дуг и углов. Измерение и построение углов при помощи транспортира. Биссектриса угла. Контрольная работа № 1 (на 20—25 мин.) 2(2)
Виды углов. Смежные углы 1(1)
Вертикальные углы. Построение прямого угла при помощи чертежного треугольника и линейки 1(1) Поворот плоскости вокруг точки. Построение фигур, повернутых на заданный угол 1(1)
Параллельные прямые. Теорема о двух перпендикулярах к одной прямой. Построение параллельных прямых при помощи чертежного угольника и линейки 1(1)
Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельности 1(1)
Понятие о параллельном переносе. Свойства углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой 1(1)
Свойства углов с соответственно параллельными сторонами 1(1)
Свойства углов с соответственно перпендикулярными сторонами 1(2)
Контрольная работа № 2 1(1)
ТРЕУГОЛЬНИК. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Треугольник и его элементы. Виды треугольников. Биссектрисы, медианы и высоты треугольника 2(2)
Сумма внутренних углов треугольника 1(2)
Свойство внешнего угла треугольника 1(1)
Конгруэнтность углов (сторон), лежащих против конгруэнтных сторон (углов) в треугольнике. Контрольная работа № 3 (на 20—25 мин.) 2(2) Понятие об аксиомах геометрии. Теорема (условие и заключение). Обратная и противоположная теоремы 1(1)
Сравнение длин катета и гипотенузы прямоугольного треугольника. Расстояние от точки до прямой 2(2)
Касательная к окружности. Теоремы о касательной к окружности 1(1)
Измерение вписанных углов и углов, образованных касательной и хордой 2(2)
Осевая симметрия точек и фигур. Построение точки (прямой), симметричной данной точке (прямой) относительно данной оси. Осевая симметрия данной фигуры 2(2)
Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника 1(1)
Правильный треугольник. Свойство катета прямоугольного ’ треугольника, лежащего против угла в 30° 1(2)
Контрольная работа № 4 1(1)
Свойства диаметра, перпендикулярного к
хорде 1(1)
Конгруэнтность дуг, заключенных между параллельными хордами 1(1)
Обобщающий урок по теме 1(1)
ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
АЛГЕБРА *
№ 12
1. Представить всеми способами число в виде степени с целым основанием: а) 81; б) 64.
2. Найти значение выражения:
1
a) 8х9 при л: = — 0,5; б) 27х*у* при * =-— у,
У--1.
3. Упростить выражение:
а*-а9 ^ 26• 56
а) а12 ’ 53-28 •
4. Сравнить выражения:
а) З40 и 1820; б) 210-210 и (2-3)10.
№ 13
1. Следующие выражения привести к стандартному виду одночлена:
3 / 8 \
а) З-4- а3Ь • ^ —-р- ab2 j\ б) (2а2Ь)*-(—0,5ab2)3.
2. Найти значение выражения —32а26 • 0,125а6 при а = —0,5, b = — 1.
3. Привести многочлен 2,4а2 — (4,5а + 2,6а3) + 4,5а —
— (2,8а2 — 2,7а3) к стандартному виду, сделав приведение подобных членов.
4. Решить уравнение
5 — (2*2 — 3* + 6) = (4*2 + 2* + 1) — (6*2 — 3*).
5*. Доказать, что если из двузначного числа вычесть сумму его цифр, то полученное число делится на 9.
№ 14
1. Доказать, что выражение а(За + 2)—а2(а-}- 3) —
— (2а—а3 — 5) не зависит от переменной а.
2. Разложить на множители:
а) 6а5£2 — 15а4Ь + За3Ь4; б) 4а (* — Зу) + 6by — 2Ьх.
3. Представить многочлен 2ах2 + 4bx2— 6Ьх — За*-f- -f а + 2Ь в виде произведения двучлена и трехчлена.
4*. Используя разложение на множители, найти значение выражения 69 • 25 4* 69 • 24 — 69 • 13 + 36 • 31.
№ 15
832 — 492
1. Найти значение выражения
2. Представить выражения в виде многочленов:
(0,5а — 4аЬ)2; (а + 26)3; (0,3* + 2у) (2у — 0,3*).
3. Разложить на множители:
125*3 — 1; (6а2 — ЗЬ2)2 — (2а2 + Qb2)2.
3 Контрольные работы № 10 и 11 см. в журнале «Ма¬
тематика в школе», № 4 за 1972 г.
4*. Разложить на множители:
9 — х2 + 4ху — 4у2.
№ 16
1. Построить график функции у — — 2* + 3. Найти по графику: а) множество значений *, при которых у 0;
б) множество значений *, при которых у < 0; в) значение *, если у = — 3.
2. При каком значении k график функции у — kx — 3 проходит через точку Л(—3,5; —10).
3. Разложить на множители: а) а3 + 2а2 — 4а — 8;
б)* 1—64*6.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
1. Построить произвольный тупой угол и измерить его транспортиром. Через вершину построенного угла провести прямые, перпендикулярные его сторонам (при помощи угольника). Вычислить один из углов, образованных этими прямыми.
2. Построить множество всех точек плоскости {х}, определяемых неравенством |ОХ| ^5 см, где О — данная точка этой же плоскости.
№ 2
1. Построить угол в 64°. 4<^рез произвольную точку этого угла, не принадлежащую его сторонам, провести прямые, параллельные его сторонам, и вычислить углы образовавшегося четырехугольника.
2. Как измерить угол между двумя прямыми, если точка их пересечения расположена за пределами чертежа? Выполнить построение.
3. Начертить два угла, имеющие своим пересечением:
а) точку; б) отрезок; в) луч; г) угол; д) треугольник; е) четырехугольник.
№ 3
1. Построить тупоугольный треугольник и все его высоты.
2. Внешний угол треугольника равен 120°, а один из внутренних его углов равен 40°. Вычислить остальные внутренние углы треугольника.
№ 4
1. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 46 см, а один из углов равен 60°. Вычислить проекции катетов на гипотенузу.
2. Если медиана и высота треугольника совпадают, то этот треугольник равнобедренный. Доказать.
3. Окружность разделена четырьмя точками на конгруэнтные дуги. Через эти точки проведены касательные к окружности. Вычислить углы образовавшегося четырехугольника.
Технические средства обучения. Наглядные пособия
В. Н. МОРАНЬКОВ
(Ворошиловград)
РИСОВАННЫЕ ДИАПОЗИТИВЫ
Для изготовления рисованных диапозитивов применяют различные материалы, но чаще всего — обычное оконное стекло. Однако изготовление диапозитивов на стекле — чрезвычайно трудоемкий процесс. Целлофан, являясь доступным материалом, не имеет той прочности, какой должен обладать диапозитив.
Опишем опыт изготовления рисованных диапозитивов по математике на рентгеновской пленке и некоторые вопросы методики их применения в учебном процессе. Речь идет об изготовлении и применении диапозитивов достаточно крупных размеров — 85 X 85 мм (для применения с помощью эпидиаскопа или кодо- скона — самодельного или промышленного).
Может возникнуть вопрос, почему для изготовления рисованных диапозитивов рекомендуется использовать именно рентгеновскую пленку. Прежде всего, из-за простоты обработки этого материала. Учитель, готовясь к уроку, может быстро изготовить необходимый диапозитив. Рентгеновскую пленку не надо покрывать специальными эмульсиями (как при изготовлении диапозитивов из стекла). Положительным качеством рентгеновской пленки является Ц ее относительная прочность, достаточная для применения диапозитивов без окантовки. Обладая достаточной прочностью, она имеет по сравнению с другими материалами еще одно, весьма важное, преимущество: в рамку диапроектора можно одновременно вставлять несколько совмещенных диапозитивов, а это открывает новые дидактические возможности в их использовании. Удобно также применение нескольких таких диапозитивов с помощью кодоскопа, что позволяет смещать их друг относительно друга.
Немаловажен и размер диапозитива, так как чем больше размер кадра, тем легче на нем выполнить чертеж. Достаточная прочность рентгеновской пленки позволяет брать кадры
о J
размером 72 X 72 мм. Именно такие размеры имеет кадровое окно диапроектора эпидиаскопа— самого распространенного в школах проекционного аппарата. А это очень важно, так как большинство других диапроекторов («Свет», «УП-3», «Протон», «Этюд» и др. имеют размеры кадрового окна 24 X 36 мм или даже 18X24 мм, что делает изготовление для них рисованных диапозитивов практически невозможным. Следует отметить также, что использованную рентгеновскую пленку относительно легко получить в кабинете рентгенографии, а при аккуратной работе она расходуется очень экономно. Указанные обстоятельства делают использование рентгеновской пленки для рисованных диапозитивов вполне обоснованным.
Как же изготовить рисованные диапозитивы на рентгеновской пленке? Прежде всего, надо снять эмульсионный слой, который с использованной пленки легко смывается горячей водой. Если же применяется неиспользованная пленка, то снять с нее эмульсию иногда трудно даже и горячей водой. В этом случае следует положить пленку в раствор гипосульфита (или в любой другой фотографический закрепитель). При свежем закрепителе в течение 3— 5 мин. эмульсия с пленки сходит, и остается желатиновый слой. После этого пленку тщательно промывают водой и сушат при комнатной температуре.
При помощи специального шаблона приготовленные куски пленки разлиновываются на квадраты размером 85 X 85 (таковы максимальные размеры рамок, в которые вставляются диапозитивы в эпидиаскопе). Применение шаблона ускоряет процесс изготовления диапозитивов. Шаблон представляет собой прозрачную пластинку (например, из органического стекла толщиной не более 2 мм и размером 340 X 255 мм) с квадратной сеткой (размер квадрата 85 X 85 мм). В точках пересечения линий просверлены отверстия диаметром не более 2 мм. Непосредственное резание пленки удобно производить при помощи иглы циркуля и линейки. Легким нажимом иглы с помощью линейки проводится линия-надрез, после чего нужный кусок пленки отделяется без усилий. Ножницы не пригодны для резания пленки, так как в результате их применения материал сворачивается в трубку.
Оригинал для копирования лучше всего выполнять па клетчатой бумаге, так как имеющаяся на ней квадратная сетка облегчает и ускоряет построение чертежа. Чертеж или рисунок должны полностью умещаться в рамке (72 x 72 мм). При копировании на оригинал накладывается пленка и крепится кнопками к
куску фанеры. Размеры к^ска фанеры должны быть небольшими (примерно 200X200 мм), так как при копировании приходится кадр диапозитива многократно поворачивать.
Все рисунки, чертежи, надписи выполняются на пленке цветной тушью. Если изображение окажется неудачным, то его смывают водой, и после просушки эту пленку вновь можно использовать. Для раскрашивания частей плоскости (граней многогранников, сечений) можно применять водный раствор туши, который мягкой кистью тонким слоем наносится на пленку.
Процесс сушки изображений, выполненных тушью, можно ускорить нагреванием их, например, настольной лампой. Чтобы из-за сушки не было задержек во время изготовления диапозитивов, на этом же куске фанеры крепится для копирования второй кадр (работа идет попеременно то на одном кадре, то на другом).
Опыт показывает, что процесс изготовления рисованных диапозитивов на рентгеновской пленке не трудоемок, доступен каждому учителю.
Как уже говорилось, диапозитивы, изготовленные указанным способом, рассчитаны на применение с помощью эпидиаскопа (для ко- доскопа размер диапозитива будет несколько большим). Эпидиаскоп имеет мощную проекционную лампу (500 вт), дает сильный световой поток, и поэтому работать с ним можно в незатемненпом помещении (в обычном классе днем) или в крайнем случае можно затемнить первое окно у классной доски. А это позволяет учащимся выполнять все виды работ, в том числе и письменные, с использованием спроецированных изображений. Мощный световой поток проекционной лампы дает возможность получить довольно четкие изображения непосредственно на доске, и нет необходимости использовать экран. Наилучшим цветом поверхности классной доски является серо-зеленый, но вполне четкие изображения получаются и на доске, покрытой линолеумом светло- коричневого цвета. При таком способе проецирования учитель и учащиеся прямо на изображениях проводят дополнительные построения, обозначения.
Остановимся па некоторых конкретных примерах использования рисованных диапозитивов в учебном процессе.
1. Диапозитивы можно применять для устного или полуписьменного решения задач. В этом случае условие задачи учащиеся должны уяснить, рассматривая спроецированное изображение. Учителю остается только сфор¬
мулировать вопрос задачи, если он не вытекает непосредственно из изображения.
Одновременно с изображением учащиеся используют и доску, записывая мелом дополнительные обозначения, делая необходимые отметки.
Можно предложить учащимся по данному изображению составить какую-нибудь задачу или сформулировать вопросы.
2. Рисованные диапозитивы па рентгеновской пленке позволяют сделать изображаемые фигуры в некотором смысле динамичными. Это особенно выгодно при построении сложных чертежей. Учащиеся могут увидеть последовательно весь процесс построения чертежа. Для этого в рамку диапроектора (или на предметное стекло кодоскопа) в определенной последовательности вставляются несколько диапозитивов, каждый последующий из которых содержит в себе часть общей информации о фигуре. Таким образом, этот способ поэтапного проекционного построения геометрической фигуры открывает перед учителем новые возможности использования диапозитивов (диапозитивы, выпускаемые фабричным путем, в таком варианте применять невозможно).
Демонстрация постепенно усложняющейся проекции позволяет учителю во многих случаях «графической подсказкой» направить решение задачи в необходимое логическое русло. Такая работа с диапозитивами повышает внимание учащихся, так как учитель заранее предупреждает, что подсказывающее изображение будет проецироваться кратковременно. Дополняющие изображения, изменяя первоначальный вид фигуры, дают возможность учителю ставить перед учащимися все новые и новые вопросы. Ответы учащиеся могут давать как в устной, так и в письменной форме. Использование диапозитивов в таком динамическом варианте позволяет учителю проводить и математические диктанты.
Приведем пример, иллюстрирующий постепенное проецирование изображений: диапозитивы 20 (рис. 1), 20а (рис. 2) и 206 (рис. 3) к построению правильной треугольной призмы с соответствующим сечением, вписанной в правильную треугольную пирамиду.
Применение диапозитивов в таком сборном варианте дает учителю возможность сократить общее количество диапозитивов в наборе к той или иной теме, так как отдельные части сборного диапозитива могут играть автономную роль в учебном процессе. Таким образом, при изготовлении диапозитивов речь может идти даже о создании оптимальных наборов диапозитивов по данной теме, понимая под этим возможность наименьшим количеством диапози-
61
тивов максимально оснастить (разумеется, учитывая методическую целесообразность) этим видом экранных пособий изучаемую тему.
3. Диапозитивы могут применяться также как иллюстративный материал: для демонстрации изображений многогранников, сечений многогранников, круглых тел, комбинаций многогранников с другими многогранниками и круглыми телами.
4. Диапозитивы могут играть эффективную роль и при проверке выполнения домашнего задания, связанного с построением относительно сложного чертежа. Например, для проверки сознательного усвоения доказываемой теоре¬
мы учитель может без затраты времени предложить ученику чертеж с другими обозначениями и другим расположением фигуры по сравнению с тем, как это выполнено в учебнике или учителем на доске.
5. Диапозитивы можно использовать также для контрольных работ (особенно по геометрии), для выработки математических понятий, для внеклассной работы (на математических вечерах для различных видов математических состязаний), в начальных классах для введения в учебный процесс элементов игры и соревнований, для различных видов самостоятельных работ (например, нахождение аналитического выражения функции по данному ее графику) и т. п.
Проблемы. Суждения
Б. С. ЭППЕЛЬ
(г. Реутов)
ОРГАНИЗАЦИЯ ТРУДА УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Труд учителя математики весьма разнообразен и состоит из различных процессов. Помимо обычной подготовки к урокам, учитель математики составляет контрольные работы, проверяет их и ученические тетради, часто ведет учет ошибок и контролирует работу над ошибками, готовит экзаменационный задач- ный материал и выполняет много прочих дел.
В этих условиях организация труда для учителя математики имеет немаловажное значение.
Мы будем освещать вопросы организации труда по отдельным разделам учительских обязанностей.
1. Подготовка к урокам. Подготовку к урокам следует организовать так, чтобы, во-первых, материал мог быть сохранен и использован многие последующие годы; чтобы, во-вторых, сохраняя конспекты уроков в целом, их можно было бы постоянно изменять и совершенствовать, внося коррективы и на основе только что проведенного урока, и на основе нового опыта, или из вновь прочитанной книги, журнальной статьи, или, наконец, в результате собственных раздумий. Для этой цели мы рекомендуем вести конспект уроков не в тетради, а на отдельных листах из нее, причем только на одной стороне листа, оставляя обратную сторону свободной от записей. Это позволяет легко заменять целые листы или вырезать отдельные части листов, вклеивая
62
на их место новые. Широкие (6—7 клеток) поля позволят вносить мелкие замечания и поправки, исключая необходимость новых врезок по каждому незначительному поводу.
В колонтитуле 1 полезно указать тему, дату использования (чтобы ежегодно сравнивать темпы прохождения материала), номера страниц и т. п. Комплекты листов, составляющих конспекты по отдельным темам, можно хранить или в самодельных картонных папках, сделанных из скоросшивателей, или в папках для ученических тетрадей, или в каких-либо других. Такие листы в папках удобны еще и тем, что туда могут легко вноситься и изыматься текущие материалы: списки опрашиваемых учеников с вопросами и задачами для них, карточки с задачами и их решениями, о которых мы скажем несколько позже, карточки для опроса и прочее.
2. Организация контрольных и самостоятельных работ. Эта работа отнимает, пожалуй, львиную долю времени и труда учителя, поэтому к организации ее нужно относиться с особой тщательностью.
Наш опыт показывает, что лучше всего контрольную работу проводить в четырех вариантах, размноженных на листах-бланках. Это обеспечивает самостоятельность выполнения работы, такой набор бланков можно надежно использовать в двух и более классах на уроках, следующих один за другим. Благодаря бланкам отпадает необходимость из года в год выписывать текст работы на доске за счет урока и тщательно выверять его, чтобы в спешке не вкралась ошибка. Наконец, работа на бланках создает более спокойную и деловую обстановку с самого начала урока — контрольной работы.
Затраченные время и труд на размножение контрольной работы окупаются впоследствии с лихвой: с небольшой последующей корректировкой работа используется во многих классах много лет. Помимо контрольных, мы практикуем на бланках и самостоятельные работы. Если они рассчитаны не на полный урок, то удобно пользоваться для дозирования времени двадцатиминутными песочными часами. Такие часы вносят определенность сроков и дисциплину в отношении времени.
Приступаем к описанию самой ответственной части — составлению и размножению контрольной работы. Намечается план ее в виде задач-прототипов и составляется примерный вариант работы. Тщательно составляются I и II варианты будущей работы, после чего
1 Строка над текстом страницы, отделенная от нее чертой.
они варьируются с помощью замены или перестановки коэффициентов, букв, знаков, слагаемых, множителей и других компонентов, перефразировки текста, если задача текстовая, замены обозначений или других приемов, известных всем учителям. Часто таким переделкам приходится подвергать задачи из стабильного задачника. Но совершенно обязательно учителю иметь хотя бы минимальную собственную библиотеку, включающую и задачники, особенно с решениями, которые резко облегчают и ускоряют отбор задач.
Выбранные задачи должны быть тут же решены начерно, чтобы полностью оценить их характер, трудность, объем выкладок, исключить ошибки при замене компонентов во время варьирования и т. п. Составив таким образом намеченное число вариантов, можно приступить к их размножению. Для этого нужно всегда иметь запас копировальной бумаги, без чего работа не может быть производительной.
Берут 4—5 листов самой тонкой бумаги стандартного размера А4 (203X288), чтобы, разрезанная на четыре части, она хорошо вкладывалась в обычный конверт. Пачку листов бумаги скрепляют в верхних углах канцелярскими скрепками и прокладывают между ними листы копирки. Писать надо шариковой ручкой, выбирая более острую и тонкую, с небольшим диаметром жестко посаженного шарика, лучше с металлическим стержнем (пишущим узлом). Положив бумагу на стекло и стараясь держать ручку под углом, близким к 90°, можно получить одновременно до 4—5 экземпляров — экономия труда значительная. Для словесного текста идеально было бы иметь пишущую машинку. На листе указанного размера А4 размещается, как правило, четыре бланка с контрольной работой, а иногда и два, шесть, реже восемь — в зависимости от объема текста с условием. На каждом бланке у нас типографским способом (в этом помогают родители или шефы) набран заголовок. Нумеруются бланки не по вариантам, а подряд по порядку номеров с помощью каучукового нумератора, продающегося в писчебумажных магазинах.
Работы кратко шифруются начальными буквами названия темы. Например, шифры КН2, ТТП, ДПУ означают соответственно: «Квадратные неравенства, работа № 2», «Теорема о трех перпендикулярах», «Двойные и половинные углы».
Обращаем внимание на важность тщательной выверки размноженного текста. Мелкая ошибка в знаке или букве обращается в большую беду, повторяющуюся под копирку мно¬
63
го раз. После этого, используя черновые решения, следует четко и ясно выполнить контрольные решения — шаблоны, по которым ведется проверка работы. Здесь нужно не столько увлекаться подробностями, сколько обеспечить основные вехи, по которым можно судить о правильности различных ходов решения: результат приведения подобных членов, итоговое квадратное уравнение, важнейшие промежуточные величины, без которых не обойтись при решении и т. п. Ход решения, как правило, бывает разнообразным, поэтому мелкие детали решения не нужны. Иногда приходится проделывать и неверное «решение», когда ожидаешь его встретить в работах некоторых учеников. В контрольных решениях по геометрии часто только указываются моменты, подлежащие доказательству или детали чертежа, на которые нужно обращать внимание в ходе проверки и т. п. Очень часто контрольное решение дополняется и уточняется в ходе проверки, поэтому надо всегда оставлять место для дополнений.
Размноженная работа вместе с контрольным решением вкладывается в обычный конверт, на лицевой стороне которого пишется тема, шифр, количество вариантов и бланков, время составления и даты использования.
Мы давно отказались от выполнения контрольных работ учениками в тетрадях и считаем это оправданным и целесообразным. Во- первых, переноска кип тетрадей — работа нелегкая; во-вторых, для проверки работы, выполненной в тетради, требуется время, чтобы найти нужную страницу с последней работой в ней: это секунды, помноженные на многие тысячи, — в итоге получаются часы; и, в-третьих,— самое главное — при хранении тетрадей с контрольными работами в школе ученик фактически не имеет возможности серьезно работать над ошибками, ибо он видит работу и ошибки только в течение нескольких минут, во время анализа работы в классе. Хранение же тетрадей для контрольных работ на дому у учеников приводит к тому, что не все ее приносят в нужный момент в класс. Кроме того, иногда следующая работа по другому предмету математики (алгебра и геометрия) проводится раньше, чем проверена предшествующая; приходится иметь вторую тетрадь — еще лишнее неудобство. На чистых листах учащиеся отлиновывают поля и в начале учебного года сдают их учителю для хранения в школе. На каждом листе заранее учащиеся проставляют специальный штамп для контрольных работ.
Проверенные работы после классного анализа ошибок хранятся дома у учащихся в спе¬
циальной папке. Таким образом, учащиеся могут серьезно работать над ошибками, обмениваясь работами разных вариантов друг с другом (мы требуем с этой целью, чтобы в контрольной работе были обязательно записаны и условия задач). Кроме того, родители всегда имеют возможность ознакомиться с системой контрольных работ.
В свой конверт с контрольной работой мы вкладываем еще листок, где каждый раз отмечаем даты проведения и краткие итоги. Это позволяет сравнивать сроки прохождения материала и уровни успеваемости классов на протяжении нескольких лет.
Если работа достаточно емкая (скажем, состоящая из четырех примеров), мы оцениваем каждые два примера отдельно.
Мы не станем касаться анализа контрольной работы, полагая, что это большой и самостоятельный дидактический вопрос, не относящийся прямо к организации труда.
3. Организация устного опроса в классе. Здесь организационные мероприятия должны обеспечить максимальную частоту опроса с целью своевременного контроля знаний и накопления оценок. В то же время нельзя допустить планирование опроса в такой мере, чтобы вызов к доске ожидался каждым учащимся в более или менее определенные сроки. Каждый ученик должен ждать вызова на каждом уроке, независимо от времени и частоты его предшествующего опроса.
Прежде всего надо позаботиться о том, чтобы свести к минимуму время на сообщение вызванному учащемуся задания (задача, вопрос). Этой цели лучше всего отвечают заготовляемые к уроку карточки. Они могут предназначаться и определенному учащемуся в целях индивидуального подхода и предлагаться для выбора в порядке жребия (как на экзамене).
Опросные карточки хранятся также в обычных конвертах вместе с конспектом соответствующей темы. Поскольку они используются в течение нескольких лет, это экономит труд и позволяет корректировать и усовершенствовать систему карточек из года в год.
4. Хранение решений задач. В процессе работы за несколько лет учитель решает обычно все или почти все задачи из стабильного задачника и очень много других. Чтобы этот труд был сохранен и чтобы запас решенных задач для выбора был всегда под руками, применяются карточки2. При решении каждой задачи нужно для себя тут же и аннотировать
2 Чистые карточки можно приобрести в библиотечном коллекторе через школьную библиотеку.
64
ее, отмечая степень трудности, интересные особенности, возможность красивого решения и т. п. Аннотация должна быть всегда в одном и том же месте карточки и написана цветом, отличным от того, каким написаны условие и решение.
Наборы карточек по темам, хранящиеся в деревянных или картонных ящиках, — большая ценность для учителя.
Решенные задачи удобно сохранять еще и в общих тетрадях, разграфив заранее их по числу задач в задачнике и проставив заранее номера. Каждая задача решается в отведенной ей заранее клеточке. Такую систему мы применяем в основном к задачам из стабильного задачника.
Особый интерес представляют экзаменационные и другие официальные (полугодовые, четвертные) контрольные работы. Их мы с решениями целыми вариантами помещаем в отдельных общих тетрадях. Условия и решения записываются разными цветами. Другая общая тетрадь содержит в себе только условия тех же задач лишь с ответами, но задачи расположены по темам. Подле каждой задачи, помимо ответа, указывается еще страница первой тетради, где можно быстро справиться о решении. Дело в том, что в вариантах письменных работ примеры не подобраны по темам, а на уроке требуется, как правило, набор задач на одну и ту же тему. Поэтому и приходится заводить вторую тетрадь, где задачи подбираются тематически.
5. Проверка ученических тетрадей. Для облегчения контроля за классными тетрадями учащихся и регулярности выполнения ими домашних заданий мы рекомендуем в старших классах, где тетради общие, разделять домашние и классные работы, оставляя их, однако, в одной общей тетради: с одного конца ведется, скажем, классная, а с другого, навстречу ей, домашняя. Корешок в обоих отделениях должен находиться слева, никакого разделителя в середине тетради не требуется, ибо в момент встречи обе тетради (домашняя' и классная) заканчиваются одновременно. В IX—X классах удобны так называемые тетради для конспектов — большие общие тетради с двойным размером листа А4 (203X288).
Ученику вменяется в обязанность вести домашнюю тетрадь строго по стандарту: должна быть единая нумерация письменных домашних заданий, имеющаяся и в классном журнале, номера домашних заданий и задач должны быть записаны на полях. Такой единый порядок позволяет довольно быстро при вызове ученика к доске просмотреть систему его домашних заданий и оценить полноту и регуляр¬
ность их выполнения. Ускоряет это и выборочную проверку тетрадей, которая время от времени делается учителем во внеурочное время, но обязательно с журналом, где указана и нумерация домашних заданий, и их содержание (номера задач из задачника).
6. Подготовка набора задач к устному экзамену. Чтобы с каждой задачей такого набора можно было быстро и легко ознакомиться, помимо условия, должно быть представлено еще, естественно, и краткое решение. Оно не должно быть слишком подробным, так как решать задачу ученик, вероятно, будет все-таки по-своему. Но в нужный момент экзамена это решение должно быстро и оперативно приходить на помощь учителю или ассистенту в случае затруднения у ученика. Помимо этого, иным цветом полезно указывать краткие особенности задачи, побудившие включить задачу в набор. Кроме того, набор должен отвечать уровню подготовки класса, которому он предназначен, отражать характер преподавания в течение года и, конечно, методические вкусы учителя. Поэтому при всех достоинствах готовых наборов задач к устному экзамену, появляющихся в печати, они не могут служить установленным каноном для всех учителей, а тем более на многие годы.
С целью облегчения внесения изменений наборы задач к устному экзамену целесообразно оформлять только на одной стороне отдельных листов бумаги. На одном листе помещаются все задачи с решениями только к одному билету, даже если параллельных классов, а тем самым и наборов задач, несколько. Тогда внесение изменений к каждому билету будет состоять в замене только отдельных листов или их частей. Полезно выполнять под копирку несколько (2—3) экземпляров набора задач — это почти не требует дополнительного труда. Один экземпляр удобно иметь постоянно у себя, другой — в учебной части, или давать одновременно для просмотра перед обсуждением и утверждением сразу нескольким лицам. Набор хранится в папке без надписи и заголовка, как материал, не подлежащий оглашению.
Мы понимаем, что вопрос организации труда учителя математики — это исследование, не укладывающееся в журнальную статью. Но мы хотели хоть немного помочь нашим коллегам организовать свой нелегкий труд так, чтобы затраченное ими время было использовано с максимальной пользой. Само собой разумеется, что предложенные нами способы и приемы работы могут и должны творчески изменяться, совершенствоваться и их не следует рассматривать догматически.
3 Математика в школе № 5
65
Эксперимент
се изучались множество натуральных и множество целых чисел, а в V классе — множество рациональных чисел.
X. Ш. ШИХАЛИЕВ
(г. Махачкала)
ОБ ИЗУЧЕНИИ ЧИСЛА В IV—V КЛАССАХ НА ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЙ ОСНОВЕ
Одним из основных понятий школьного курса математики является число. Поэтому числовое множество представляет собой простейший наглядный пример, позволяющий более детально раскрыть понятие структуры, определенной на множестве.
Перед нами стала задача исследовать возможность изучения числа в IV—V классах так, чтобы постановка преподавания была ориентирована на формирование у учащихся основ теоретического мышления, навыков применения формализованного языка, на развитие абстрактного мышления. В связи с этим пришлось:
1) выяснить минимальный объем теоретикомножественных понятий, являющихся базовыми при формировании понятия числа;
2) распределить эти понятия по всему курсу математики IV—V классов с учетом их роли при формировании других понятий;
3) разработать систему изучения этих понятий в процессе изучения числа в указанных классах;
4) привести в соответствие схему изучения числа в школе со схемой развития этого понятия в математической науке;
5) раскрыть понятие натурального числа как некоторой характеристики конечных множеств;
6) раскрыть идею расширения понятия числа.
Последовательность изучения теоретикомножественных понятий в связи с изучением числа в IV—V классах приводится в сокращенном виде ниже (см. «Программу»). Содержание этой программы было разработано в виде системы упражнений в специальном пособии.
Экспериментальная проверка исследуемых вопросов проводилась в течение двух лет в школах № 37 и 11 г. Махачкалы, В IV клас-
ПРОГРАММА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫХ ПОНЯТИЙ (в сокращенном виде)
IV КЛАСС
1. Множество. Два способа задания множества. Элемент множества. Принадлежность элемента к множеству. Равные множества. Пустое множество. Равночисленные множества (7 ч.).
2. Натуральное число. Множество натуральных чисел. Бесконечное множество. Упорядоченное множество. Некоторые свойства множества натуральных чисел (5 ч.).
3. Подмножество. Объединение множеств. Законы объединения множеств. Сложение чисел и законы сложения чисел (7 ч.).
4. Разбиение множества на подмножества. Дополнение множества. Нахождение дополнения. Вычитание чисел (4 ч.).
5. Произведение множеств. Умножение чисел и законы умножения чисел. Возведение в степень (И ч.).
6. Общее число подмножеств множества. Представление числа в виде суммы равных слагаемых. Деление чисел (8 ч.).
7. Понятие операции над числами. Внутренняя операция. Выполнимость той или иной операции на множестве натуральных чисел и на различных его подмножествах. Свойства множества натуральных чисел (6 ч.).
8. Понятие расширения множества. Противоположные числа. Расширение множества натуральных чисел. Множество целых чисел и его свойства (8 ч.).
V КЛАСС
9. Понятие о дробном числе. Деление целых чисел. Измерение и дроби. Расширение множества целых чисел. Сравнение элементов в множестве рациональных чисел (10 ч.).
После того как у учащихся формировалось понятие о натуральном числе и о множестве натуральных чисел, формулировались следующие свойства множества натуральных чисел:
1) Каждое натуральное число есть численная характеристика конечного множества.
2) Имеется самое меньшее натуральное число — единица.
3) В множестве натуральных чисел нет наибольшего элемента.
4) Множество натуральных чисел упорядочено.
66
5) На множестве натуральных чисел всегда выполняются три операции: сложение, умножение и возведение в степень, а вычитание, деление выполняются не всегда.
6) Обычные свойства операции сложения и умножения во множестве натуральных чисел.
Изучая структуру числовых множеств, учащиеся видят их общие и специфические свойства. Например, множество целых чисел отличается от множества натуральных чисел тем, что на нем выполняется операция, обратная сложению, но не выполняется операция возведения в степень (за исключением натурального показателя), причем во множестве целых чисел нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента.
Чтобы создать у читателя некоторое представление об изложении материала, ниже остановимся на отдельных упражнениях, которые выполнялись учащимися при проведении эксперимента.
1. Какая из операций1 числам 7 и 13 сопоставляет число 20; числам 3 и 4 — число 7; числам 45 и 5 — число 9; числам 100 и 20 — число 80; числам 8 и 2 — число 64?
2. Каждому из чисел 100, 30, 45, 50, 18, 0 сопоставьте пару двух других чисел и укажите операцию, которая этой паре сопоставляет данное число.
3. Для пар чисел 7 и 9, 30 и 5, 48 и 8, 125 и 5 назовите операцию и число, сопоставляемое данным числам выбранной операцией.
Внутренняя операция
Если результат операции над любыми элементами множества всегда будет принадлежать этому же множеству, то данная операция называется внутренней, т. е. результат операции не выходит за пределы множества. Вместо внутренней операции чаще употребляют выражение «операция выполняется на множестве».
Если результат операции над элементами множества не всегда будет принадлежать этому же множеству, то говорят, что «операция не выполняется на множестве».
1. Какие операции выполняются на множестве К= {0; 3}, D = {1; 3; 5; 7; 9; И;...}?
2. Составьте несколько числовых множеств и проверьте, какие из шести операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и нахождение основания степе¬
1 Во всех рассматриваемых ниже упражнениях имеются в виду обычные операции, сложения, вычитания и т. д.
ни) выполняются на составленных множествах.
3. Приведите примеры числовых множеств, на которых не выполняется ни одна операция.
4. Проверьте, какие операции выполняются на множестве натуральных чисел.
5. Назовите несколько подмножеств множества натуральных чисел, на которых выполняется хотя бы одна операция.
Расширение множества
1. Расширьте множество В = {10; 20; 30; 40;...} так, чтобы на расширенном множестве выполнялась операция, которая не выполняется на множестве В.
2. Может ли случиться, что и после расширения операция, невыполнимая на данном множестве, останется невыполнимой и на расширенном множестве?
Противоположные числа
Задача. В полдень термометр показывал семь градусов тепла, а к полуночи показание термометра понизилось на * градусов. Сколько градусов показывал термометр в полночь, если х6 {3; 5; 7; 9; 10}?
При решении таких задач раскрывалось понятие числа вида —а, где а есть натуральное число. При этом учащиеся без труда понимают смысл выражения вида а — Ь, где а < Ь, и записывают ответы, употребляя отрицательные числа в различных вариантах их трактовки.
После того как учащиеся усвоили практический смысл отрицательных чисел и их связь с разностью а — Ь, где а<Ь, легко был обоснован смысл расширения множества натуральных чисел.
При выполнении операции вычитания во множестве натуральных чисел получаются числа трех видов: натуральные числа, им противоположные и число нуль, они то и составляют новое множество чисел — множество целых чисел.
Далее изучались свойства множества целых чисел и действия над целыми числами.
Аналогичным образом разработан материал по расширению множества целых чисел (V класс).
Прочность усвоенного материала неоднократно проверялась. С этой целью учащимся предлагались следующие вопросы.
1. Приведите по 3—4 примера конечных, бесконечных множеств.
2. Напишите два примера равных множеств.
3. Назовите четыре подмножества множест¬
3*
67
ва натуральных чисел так, чтобы все они были бесконечными.
4. Напишите дополнение к множеству:
а) А — {а, Ьу с, к) в множестве D = {е, к,
а, р, 6, с};
б) /( — {2, 4, 6, 8,...} в множестве натуральных чисел.
5. Найдите объединение множеств:
а) А — {а, Ь, с, р) и В = {а, с, в, &};
б) К = {Ю, 20, 30, 40, 50,...} и £> = {2, 4,
б, 8,...};
в) множество всех поездов и множество пассажирских поездов.
6. Следующие предложения напишите словами: К cz Ач кф: А, 0 а N, а ЛЛ
7. Разбейте множество натуральных чисел
на три подмножества так, чтобы одно из них было конечным, а два других — бесконечными.
8. Какие операции являются внутренними для множества:
а) А = {0; 1}; б) В = {2; 4; 6; 8;...}?
9. Какие операции выполняются на множестве:
а) К= {...; —6; —4; —2; 0; 2; 4; 6;...};
б) F'= {...; -8; -7; -6; -5; -4; -3; — 2; — 1}?
10. Напишите подмножество целых чисел так, чтобы на нем выполнялась: 1) одна операция, 2) две операции, 3) три операции.
11. Назовите те свойства множества целых чисел, которыми не обладает множество натуральных чисел.
Внеклассная работа
Л. М. ПАШКОВА
(Москва)
VI ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Всесоюзная олимпиада школьников 1972 г. посвящалась 50-летию образования Союза Советских Социалистических республик. Согласно Положению, она проводилась в четыре этапа и охватила тысячи школьников V—X классов всех районов, республик, краев и областей нашей страны, включая школы Главного политуправления Советской Армии и Военно-Морского Флота.
Заключительный этап VI математической олимпиады проходил с 12 по 18 апреля в г. Челябинске. В нем приняло участие 564 школьника: семиклассников—11 (они выступали по программе VIII класса), восьмиклассников— 124, девятиклассников—193, десятиклассников — 236. Всего было 180 команд. Среди участников 482 члена ВЛКСМ, 87 девушек, 77 учащихся из сельской местности. 136 учащихся из всего числа были участниками предыдущих Всесоюзных олимпиад. Открытие олимпиады состоялось 12 апреля в Челябинском высшем авиационном краснознаменном училище штурманов имени 50-летия ВЛКСМ (ЧВАКУШ). Перед ребятами под звуки марша, чеканя шаг, прошли курсанты училища, будущие инженеры-штурманы. После митинга и экскурсий по училищу и музею боевой славы состоялось торжественное открытие олимпиады, где с приветственными словами выступили председатель оргкомитета секретарь Челябинского обкома КПСС М. Ф. Ненашев, начальник училища генерал-майор авиации А. К. Демченко, председатель жюри олимпиады профессор МГУ В. М. Алек¬
сеев и другие. Были зачитаны приветствие министра просвещения СССР М. А. Прокофьева и телеграмма от летчика-космонавта Валерия Быковского. В честь участников олимпиады силами курсантов был дан концерт.
13 и 14 апреля проходили соревнования в «уме и знаниях». В первый день восьмиклассникам было предложено 3, а девятиклассникам и десятиклассникам 4 задачи, во второй день все участники решали по 3 задачи.
Оргкомитет организовал день науки в вузах города. Профессора В. М. Алексеев, М. С. Свирский, С. В. Шу- лепов прочли лекции для участников олимпиады. Перед руководителями команд выступили доцент
А. Д. Бендукидзе, зав. кабинетом математики МГИУУ
С. М. Гуль и другие.
Олимпиада отличалась высокой идейной направленностью, проходила под девизом дружбы ребят разных национальностей, о чем свидетельствуют интернациональные встречи, организованные в школах Челябинска (№ 11, 50, 31, 33 и др.). 15 апреля олимпийцы приняли активное участие в Ленинском субботнике. В этот день была заложена аллея «Дружбы».
Живой интерес вызвали у ребят экскурсии на Челябинский тракторный, трубопрокатный и. часовой заводы. Экскурсии сопровождались лекциями специалистов и ученых. Гостеприимные хозяева предоставили возможность участникам олимпиады прослушать оперу Бородина «Князь Игорь» в Театре оперы и балета имени М. И. Глинки, где позднее, 17 апреля, состоялось торжественное закрытие олимпиады с оглашением победителей и вручением памятных подарков.
Жюри, в состав которого вошли ученые и преподаватели Московского, Ленинградского, Тбилисского государственных университетов, Московского инженерно- физического института, Петрозаводского педагогического института и некоторых других вузов страны, присудило 13 первых, 27 вторых и 39 третьих премий. 159 участников получили поощрительные грамоты. 26 учащихся X класса, занявшие I, II и III места, получили рекомендации в вузы. Местные организации и вузы, журнал «Квант» учредили специальные призы. Всем участникам были вручены книги и памятные значки олимпиады.
Жюри и центральный оргкомитет отмечают, что участники олимпиады продемонстрировали более высо¬
68
кий. чем в предыдущие годы, уровень знаний и навыков и умение применять их в нестандартной ситуации. Вместе с тем анализ отчетов о проведении областных олимпиад свидетельствует о том, что в ряде мест не уделяют должного внимания олимпиадам, произвольно уменьшают количество участников в областных соревнованиях. Среди задач, предложенных в некоторых областях, встречались обычные задания, проверяющие знания программного материала.
Готовясь к VII Всесоюзной олимпиаде школьников, необходимо уже сейчас подумать о ее качественном проведении и более широком охвате всех талантливых ребят на первых, самых массовых этапах олимпиады с тем, чтобы самые достойные из них представляли свои области и республики на заключительном этапе олимпиады. «
Большую подготовительную работу, способствовавшую успешному проведению олимпиады, проделал местный оргкомитет, в состав которого вошли представители советских партийных органов, высших учебных заведений и школ города Челябинска. Много заботы и внимания проявили к сво:им юным гостям педагогические коллективы школ-интернатов № 2 (директор Э. Н. Майер) и № 4 (директор Р. А. Мавлютова), заведующий Челябинским облоно Я. С. Костин, секретарь горкома КПСС г. Челябинска В. П. Поляничко, секретарь горкома ВЛКСМ М. Г. Нуждин, секретарь обкома КПСС М. Ф. Ненашев.
Большая работа по организации олимпиады проведена инспектором Челябинского облоно А. К. Шакировым. Четко и оперативно организовали проверку работ, разбор задач с участниками и их руководителями и подведение итогов члены жюри: кандидат физико-математических наук, научный сотрудник МГУ Я. Б. Васильев, кандидат физико-математических наук, доцент Ленинградского университета М. И. Башмаков, аспирант института биофизики АН СССР Ю. П. Лысое, кандидат физико-математических наук, доцент Петрозаводского педагогического института М. И. Серов и другие.
Все этапы олимпиады широко освещались в местной печати, радио и телепередачах.
Приводим список победителей олимпиады.
I МЕСТО
X класс
Белкин Сергей — школа № 7 Москвы (учитель
А. Г. Маневич); Бурков Владимир — ФМШ при МГУ (учитель А. А. Шершевский) \ Шаповалов Александр — ФМШ при МГУ (учитель Л. И. Шматова)\ Шварц Владимир— ФМШ при ЛГУ (учитель А. А. Суслин).
IX класс
Конягин Сергей — школа № 19 г. Саратова (учитель М. А. Спивак)\ Лещинер Дмитрий — школа № 2 Москвы (учитель М. М. Сидорова).
VIII класс
Баум Михаил — школа № 40 г. Симферополя (учитель
А. П. Тиняков); Браилов Андрей — школа № 2 Москвы (учитель Г. А. Билиш); Гусаров Михаил — школа № 188 Ленинграда (учитель Р. А. Богомолова); Козырев Виктор— ФМШ при ЛГУ (учитель Ю. И. Ионин); Мерков Александр — школа № 91 Москвы (учитель В. М. Сапожников) ; Фалькин Евгений — школа № 38 г. Читы (учитель Л И. Цингеева); Фомин Сергей — ФМШ при ЛГУ (учитель В. Л, Алейнов).
П МЕСТО
X класс
Гольберг Андрей — школа № 2 Москвы (учитель
3. М. Фотиева); Колмаков Юрий — ФМШ при МГУ (учитель А. А. Шершевский); Кореняко Владимир — школа № 58 г. Воронежа (учитель Д. Б. Сморгонский); Ландо Сергей — школа № 9 г. Перми (учитель Г. С. Царева); Макаров Николай — школа № 239 Ленинграда (учитель В. А. Пузыня); Меркурьев Александр — ФМШ при ЛГУ (учитель М. Я. Удальцова); Ронкин Александр — школа № 27 г. Харькова (учитель А. П. Синай- ко); Степанов Алексей — ФМШ при ЛГУ (учитель
A. А. Суслин); Худавердян Ованнес — ФМШ № 1 г. Еревана (учитель А. А. Степанян); Черняк Аркадий — школа № 50 г. Минска (учитель А. В. Карпова).
IX класс
Вайнтроб Аркадий — ФМШ при МГУ, бывший ученик школы № 19 г. Калинина (учитель В. Н. Матросова); Гольцман Наум — школа № 179 Москвы (учитель Т. М. Балаболина); Грозман Павел — школа № 40 г. Симферополя (учитель А. П. Тиняков); Захаров Сергей — школа № 4 г. Магнитогорска (учитель В. Г. Теплое); Макеев Владимир — ФМШ при ЛГУ (учитель
B. М. Харламов); Чеховая Елена — школа № 38 г. Киева (учитель Е. С. Динер).
VIII класс
Герасимов Георгий — школа № 19 г. Саратова (учитель Т. Г. Богаткина); Губа Ольга — школа № 8 г. Вологды (учитель Т. Н. Кулагина); Данилов Леонид — школа № 30 г. Ижевска (учитель Р. А. Басова); Морозов Константин — школа № 61 г. Фрунзе (учитель Д. Б. Винклер); Перцель Владимир — школа № 70 г. Свердловска (учитель М. Г. Белых); Рубинштейн Светлана — школа № 2 Москвы (учитель М. И. Биленко); Савицкий Игорь — ФМШ при ЛГУ (учитель В. А. Олейнов); Трахтенберг Леонид — школа № 55 г. Иванова (учитель И. А. Шошина); Тюкавкин Дмитрий— школа № 11 г. Иркутска (учитель О. Я. Кель- ман)\ Шустин Евгений — школа № 240 г. Борза, Читинской обл. (учитель Г. А. Варавка); Щербина Николай — школа № 67 г. Днепропетровска (учитель В. Ф. Новикова).
Ill МЕСТО
X класс
Гундарь Евгений — школа № 17 г. Ворошиловграда (учитель В. Е. Манжула); Ефимов Николай — школа № 26 г. Смоленска (учитель М. А. Акименкова); Зуйков Юрий — школа № 17 г. Донецка (учитель О. Я. Самбу р); Илларионов Михаил — школа № 58 г. Воронежа (учитель Д. Б. Сморгонский); Кобельский Виктор — школа № 33 г. Севастополя (учитель И. К. Баринова); Коган Андрей — ФМШ при МГУ (учитель А. Б. Сосинский); Куксин Сергей — школа № 27 г. Харькова (учи- тель А. П. Синайко)\ Медведев Юрий — школа № 10 г. Ангарска, Иркутской обл. (учитель В. А. Васильев); Михайлов Александр — ср. школа г. Стучки, Латвийской ССР (учитель А. А. Михайлова); Перпер Михаил — школа № 34 г. Кишинева (учитель Е. Б. Файн- штейн); Стеценко Сергей — школа № 28 г. Запорожья (учитель Л. А. Кузменко); Шварцман Ефим — ФМШ при МГУ (учитель А. А. Шершевский).
IX класс
Асташов Александр — школа № 5 г. Львова (учитель Д. Е. Чапля); Будаев Виктор — школа № 7 г. Смоленска (учитель В. Я. Ольшевская); Герусов Алексей —
69
школа № 3 г. Вольногорска, Днепропетровской обл. (учитель Ф. Г. Хейфец); Карликов Петр — школа № 38 г. Киева (учитель Е. С. Динер); Лалаян Артур — школа № 12 г. Красноводска, Туркменской ССР (учитель
Э. А. Шапошникова); Островецкий Леонид — школа с. Держановки, Носовского р-на, Черниговской обл. (учитель А. Л. Островецкий); Питман Аркадий — школа № 116 г. Одессы (учитель И. С. Тарнопольский); Поолокане Криста — Ныоская школа г. Тарту (учитель Л. Ф. Тартес); Пугач Леонид — школа № 80 г. Днепропетровска (учитель Д. М. Нузман); Саркисян Оганес — школа № 1 г. Еревана (учитель А. А. Степанян)\ Серебрянников Андрей — школа № 8 г. Тюмени (учитель К. Л. Тристенко)\ Талалаи Александр — школа №91 Москвы (учитель В. М. Сапожников); Тюлягин Александр— школа № 34 г. Кировограда (учитель
A. И. Стрижевский); Федоришин Сергей — школа № 40 г. Симферополя (учитель А. П. Тиняков); Цицуашвили Автандил — ФМШ г. Тбилиси (учитель Г. Цулая)\ Шер- стюк Александр — школа № 2 г. Николаева (учитель
B. Г. Дядюшко)\ Шнайдман Игорь — школа № 20 г. Херсона (учитель М. А. Кличановская)\ Элимелах Семен— школа № 5 г. Брянска (учитель В. А. Животова).
VIII класс
Гольднер Эдуард — школа № 37 г. Кишинева (учитель Г. В. Дратва); Карташов Сергей — школа № 1 г. Скопино, Рязанской обл. (учитель А. М. Аристова); Кузнецов Сергей — школа № 16 г. Чебоксары (учитель М. Н. Николаева); Кульбок Калле — Ныоская школа, г. Тарту (учитель X. Кээрутая); Паньков Виктор — школа № 93 г. Минска (учитель А. И. Морозова); Пономаренко Сергей — школа № 1 г. Черткова, Тернопольской обл. (учитель Е. И. Сорокопуд)\ Сергеев Александр— ФМШ при ЛГУ (учитель Ю. И. Ионин); Старо- бинец Игоро — школа № 82 г. Горького (учитель
3. А. Зеленова)\ Шульга Сергей — ФМШ при КГУ (учитель В. Ф. Криволапое).
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЗЫ
Приз ЧВАКУШ — девочке, занявшей лучшее место в олимпиаде:
Губа Ольге — ученице VIII класса школы № 18 г. Вологды; Рубинштейн Светлане — ученице VIII класса школы № 2 Москвы; Чеховой Елене — ученице IX класса школы № 38 г. Киева.
Приз Челябинского ИУУ — самому молодому участнику олимпиады:
Музыкантову Алексею — ученику VII класса школы № 130 г. Новосибирска; Черкуну Александру — ученику VII класса школы № 61 г. Тулы.
Приз Челябинского гороно — юному математику, который третий раз участвует во Всесоюзной олимпиаде и показал лучшие результаты:
Буркову Владимиру — ученику X класса ФМШ при МГУ; Шварцу Владимиру — ученику X класса ФМШ при ЛГУ.
Приз Челябинского института механизации и электрификации сельского хозяйства — участнику олимпиады из самого отдаленного района страны:
Лаврову Юрию — ученику X класса школы № 23 г. Владивостока.
Приз Челябинского политехнического института — участнику олимпиады за самое рациональное решение задач:
Лещинеру Дмитрию — ученику IX класса школы № 2 г. Москвы.
Приз Челябинского обкома комсомола — участнику олимпиады, члену комитета комсомола школы, занявшему лучшее место в олимпиаде:
Ландо Сергею — ученику X класса школы № 9 г. Перми.
Приз Челябинского облоно— сельскому учителю математики, лучше всех подготовившему своего воспитанника к олимпиаде:
Караханяну Сурену Арутюновичу — учителю школы села Шушекенд, Степанакертского района, Нагорно- Карабакской автономной области, Азербайджанской ССР, подготовившему ученика X класса Багдасаряна Валерия.
Приз Челябинского облоно — участнику олимпиады из сельской школы, занявшему лучшее место: Островецкому Леониду — ученику IX класса школы села Держановки, Носовского района, Черниговской обл.
Приз Магнитогорского гороно — команде г. Тбилиси, в котором проходила Всесоюзная олимпиада юных физиков; команде г. Уфы, в котором проходила Всесоюзная олимпиада юных химиков.
Приз ЧВАКУШ — лучшему математику из Челябинской области:
Захарову Сергею — ученику IX класса школы № 4 г. Магнитогорска, Челябинской обл.
Приз ЧВАКУШ — неоднократному победителю олимпиад:
Конягину Сергею — ученику IX класса школы № 19 г. Саратова.
Приз ЧВАКУШ — сильнейшей команде:
Команде Москвы, получившей 4 первых премии, 3 — вторых, 1 — третью и 1 отзыв I степени.
Приз журнала «Квант» — учащимся VIII класса, получившим I премии:
Фомину Сергею — ученику ФМШ при ЛГУ; Фалькину Евгению — ученику школы № 38 г. Читы.
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ, Б. М. ИВЛЕВ, Ю. П. ЛЫСОВ
(Москва)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА ВСЕСОЮЗНОЙ ОЛИМПИАДЕ 1972 Г.
Подготовка задач началась за несколько месяцев до заключительного тура. Окончательно варианты задач были составлены и приняты на двух последних заседаниях жюри перед олимпиадой: 8 апреля в Москве и 11 апреля в Челябинске, куда съехались члены жюри
t*
из Москвы, Ленинграда, Тбилиси, Петрозаводска, Киева, Свердловска, Челябинской области (заочно участвовали в работе жюри также математики из Новосибирска, Риги, Еревана). Учитывая опыт прошлых лет, в этом году жюри постаралось в каждом классе включить в список по крайней мере одну-две сравнительно легкие задачи, доступные большинству участников.
Ниже после формулировок задач в скобках указано, кто предложил эту задачу, в каком классе она давалась и сколько человек ее решило (« + » — полное решение, «±» — решение с недочетами, «=Рд> — высказана нетривиальная верная идея решения).
1. В прямоугольнике A BCD точка М — середина стороны AD, N — середина стороны ВС. На продолжении отрезка CD за точку D берется точка Р. Обозначим тон-
ку пересечения прямых РМ и АС через Q. Доказать, что ZQNM = ZMNP (Ю. Макеев; VIII. +21, ±0, 4=1).
Решение. Продолжим QN до пересечения с продолжением DC в точке R. Поскольку МО = ON (О — центр прямоугольника), то PC — CR и, следовательно, APNR — равнобедренный (NC — и медиана, и высота). Из равенств Z.NPR — Z-MNP, Z_NRP = = Z-QNM следует, что ZLQNM = Z_MNP.
2. На прямой дано 50 отрезков. Доказать, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: а) некоторые восемь отрезков имеют общую точку; б) найдется восемь отрезков, никакие два из которых не имеют общей точки (А. Харазишвили; VIII. +6, ±6, =F52; IX. +9, ±4, =F17).
Решение. Выберем из данных 50 отрезков [а*, Ь{\ на числовой оси отрезок с наименьшим bi Пусть это [ах, Ь\]. Если существует не меньше 8 чисел а* (включая aj), таких, что а, ^ Ьи то точка Ь\ принадлежит по крайней мере 8 отрезкам — утверждение а) верно. В противном случае, удалив из системы все отрезки с получим систему не менее чем из 50 — 7 = 43 отрезков [a*, bi], у которых ai">b\.
Из полученной системы аналогичным образом выберем отрезок [а2, Ь2] с наименьшим правым концом. Тогда либо Ь2 принадлежит 8 отрезкам, либо существует не менее 50 — 2-7 = 36 отрезков [aiy bi], у которых at>62. Повторив это рассуждение 7 раз, мы либо в какой-то раз придем к случаю, когда 8 отрезков имеют общую точку, т. е. верно утверждение а), либо выберем 8 отрезков [аи Ь\], [а2, Ъ2], ..., [а7, Ь7] и еще по крайней мере, 50 — 7-7=1 не пересекающийся с ними отрезок [a8, М. удовлетворяющих утверждению б).
3. Найти наибольшее целое число х, такое, чтобы число 427 + 41000+ 4х являлось полным квадратом (Г. А. Гальперин; VIII. +8, ± 1, =F59).
Решение. Число 427 + 41000 + 4х = (227)2 (1 + 2 X Х21945 + 22(1945+Л)), где k = х— 1972, является полным квадратом числа 227 (1 + 21945) при k = 0 и не является полным квадратом при & > 0, поскольку число 1+2Х Х21945+22(1945+/г) заключено между квадратами двух последовательных натуральных чисел 21945+ k и
^ _j_ 21^45 + k
Ответ: х = 1972. Без доказательства этот ответ привело большинство участников.
4. а) Пусть а, т, п — натуральные числа, a> 1. Доказать, что если am + 1 делится на an + 1, то m делится на п.
б) Пусть а, Ъ, т, п — натуральные числа, причем а взаимно просто с b и a> 1. Доказать, что если ат + Ьт делится на ап + Ьп, то m делится на п (Д. Ю. Григорьев; а) IX. +26, ±4, =F6; б) X. +32, ±7, =F6).
Решение. Решим сразу общую задачу б). Разде- лим тп на п с остатком: m = qn + г, 0 < г < л. Положим,
dk = am~kn + (—1)* bm~kn (k = 0, 1,...,?).
По условию, d0 = am -f bm делится на an -f- bn. Из равенства
dk = andk+t + (—1)* bm~kn~n (an -f bn)
следует, что если dk делится на ап -f bn, то и делится на ап -f Ьп (а и b взаимно просты, значит, ап и ап + Ьп также взаимно просты). Таким образом, число dq = аг (—1)? Ьг должно делиться на ап + Ьп Но поскольку \ar -f-(—I)'7 br | | ar\ -f | br\ < ап -f- bn,
то аг + (—1)^ Ьг = 0, что возможно лишь при г = 0 (и нечетном q).
Основной ошибкой при решении этой задачи было смешение понятий «делимость целых чисел» и «делимость многочленов»: у многих алгебраическая выклад¬
ка — «понижение степени» — проделана, а заключительная часть рассуждения отсутствует или неверна.
5. Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней строке написано натуральное число а>1, а далее под каждым числом k слева пишется к2, а справа — число k + 1. Например, при а = 2 получается таблица, изображенная на рис. 1.
Рис. 1
Доказать, что в каждой строчке такой таблицы все числа различны (Ю. И. И о н и н; IX. +11, ±1, =Р6; X. +25, ±2, hF6).
Решение. Предположим, что утверждение задачи неверно. Рассмотрим самую верхнюю из строчек, в которых встречаются равные числа. Пусть это будут b и с. Будем через Я* (я), где х — какое-то число в нашей таблице, обозначать число, стоящее на k строк выше х, из которого (за k шагоз) получается х. Можно считать, что Р\(Ь) <.Р\(с). Тогда ясно, что b = с = т2, Р\(Ь) = = т, Л (с) = т2— 1, где 2.
Рассмотрим последовательность «предков» числа с\ Pk(c), £ = 1, 2, 3, ... . Можно утверждать, что
Pk+i(c) = Pk(c)—l для всех k < 2m — 1; в самом деле, случай Pk+i (с) — Y Pk (с) невозможен для этих k, потому что предыдущий перед т2 полный квадрат равен т2 — 2т -f- 1 (разумеется, пока не исключен также случай, что при некотором k < 2т — 1 мы придем к самому верхнему числу таблицы: pk(c) = a, тогда следующее Pk+i (с) не определено). С другой стороны, ясно, что в последовательности Р^ (Ъ) «предков» числа b заведомо Р*+,’(6) < Pk {b) — 1. Поэтому для k < 2т — 1
Pk (Ь) < т + 1 — k < т* — k = Pk (с).
Отсюда следует, что вплоть до k = 2т. — 1 мы не под- нимемся до верхнего числа а таблицы. С другой стороны, из того же неравенства следует, что Ягт_1(^)^2 — — т<:0. Таких чисел в таблице нет. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.
6. О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника A BCD. Доказать, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников АО В и DOC, перпендикулярна прямой, проходящей через точки пересечения высот треугольников ВОС и DO А (В. Ф. К о- то в; X. +19, ±4, Т5).
Решение. Пусть ф — острый угол между прямыми АС и BD. (Когда <р = 90°, обе точки пересечения высот совпадают с О; этот случай нужно исключить из рассмотрения.)
Для того чтобы построить точки К, L, М я N пересечения медиан треугольников (соответственно) АО В, ВОС, COD и DO А, Достаточно провести четыре прямые: две — параллельные АС и делящие в отношении 1 :2 отрезки О В и OD (рис. 2), две другие — параллельные BD и делящие в отношении 1 : 2 отрезки О А и ОС. Стороны образовавшегося при этом параллелограмма KLMN таковы, что KL\\ACy LM\\BD, KL = <4 С/3, LM = BD/3.
Для того чтобы построить точки К', L', М' и N' пересечения высот треугольников (соответственно) ВОС, COD, DO А и АО В, достаточно провести четыре прямые: две — перпендикулярные АС через точки В и D (рис. 3), две другие — перпендикулярные BD через
71
точки А и С. Стороны образовавшегося при этом параллелограмма K'L'M'N' таковы, что K'L'J_AC, L'M'JLBD, K'L'= AC ctg <p, L'M'= BD ctg cp.
Таким образом, параллелограммы KLMN и K'L'M'N' подобны (одинаковыми буквами обозначены соответствующие вершины), причем соответствующие стороны взаимно перпендикулярны. Тогда и диагонали КМ и К'М' взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.
В этой задаче при обосновании подобия параллелограммов многие забывали проверить пропорциональность их сторон. Немало было попыток решить эту задачу с помощью метода координат или соотношений между векторами. Распространение «алгебраического» подхода к решению геометрических задач можно, в соответствии с духом новых программ, только приветствовать, но следует отметить, что даже в тех работах, где подобные решения были доведены до конца (это примерно половина от общего числа решивших), оформление решения, как правило, далеко не рационально.
7. Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Доказать, что их молено поместить без наложений в квадрат площади 2 (Г. А. Гальперин; IX. +1, +12; X. =F8).
Решение. Докажем индукцией по п следующий несколько более общий факт. Пусть с ;> d, а, ;> а2
... ^ ап, -f- #2 <С ^^/2 и аг d. Тогда
квадраты со сторонами av а2,..., ап можно разместить без наложений в прямоугольнике с X d. При п = 1 это очевидно. Предположим, что для числа квадратов, меньшего п, это доказано. Поместим квадрат со стороной аг в угол прямоугольника BACD =* с X d и продолжим сторону квадрата, параллельную стороне d (обозначения см. на рис. 4). Заметим, что 2-й квадрат
заведомо поместится в прямоугольник D^EBD. если это не так, то ах -j- а2 > с, поэтому
а\ + а\ > (а, + а2)2/2 > с2/2 > ссЦ2,
что противоречит условию.
Обозначим сумму площадей первых k квадратов а\ -f- ... -f я^ через sk-
Будем последовательно прикладывать к стороне СХС квадраты со стороной а2, а3, ..., аг до тех пор, пока они умещаются в прямоугольнике С\СЕВ{ (на рисунке г — 3). Если sr ^ a\d/2, т. е. если квадраты, поместившиеся в прямоугольнике ACEDU занимают не меньше половины его площади, то остальные квадраты (начиная с (г + 1) -го) занимают меньше половины площади прямоугольника D\EBD и, по предположению индукции, в нем уместятся. Пусть sr^axdj2.
Тогда заведомо а2 <; а, < d—ах (если 2ах > d, то „2 .
Рис. 4
ах > ах d/2). И если г < п, то ах/2 (если аг > а,/2,
то из рисунка ясно, что а\ а2г больше поло¬
вины площади CXRQB„ а а\ больше площади RCEQ, поэтому sr > axdj2). Если sn </г, (d -f а^/2, то а\ -f ... ... -\-a2n<C.at(d — ax)l2, и, по предположению индукции, все остальные (начиная со 2-го) квадраты уместятся в прямоугольнике СХСЕВХ. Пусть sn^> ax{d -f- + ax)/2. Обозначим через m наибольшее натуральное число, для которого sm я 1 (d -f- ах)/2 (очевидно, тп >> >г). Тогда
я, (d — а,)/2 = а, (d + я,)/2 — а\ > <г| + ... + >
> а, (d + <z,)/2 — а\ — a2m > ахЦ2 + af/2 — of — а2> > aid/2 — af.
Отсюда следует, во-первых, что квадраты со 2-го до т-го поместятся в прямоугольник С{СЕВХ и, во-вто- рых, что sm ^ aid/2; следовательно, остальные (начиная с (т + 1)-го) квадраты поместятся в прямоугольнике DiEBD. Задача решена.
Несколько участников привели правильные или, во всяком случае, правдоподобные способы «рационального» размещения квадратов, но обоснование их правильности не было безукоризненным (для известных нам способов оно далеко не тривиально).
8. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся, как 2:3. Доказать, что, по крайней мере, три из этих девяти прямых проходят через одну точку (Б. М. И в- лев; VIII. +58, ±14, 4=11; X. +185, ±5, +9).
Решение. Если прямая разбивает квадрат со стороной а на два четырехугольника, то эти четырехугольники— трапеции, высоты которых равны а. Отношение площадей этих трапеций равно отношению их средних линий. Таким образом, каждая из прямых, о которых идет речь в условии, должна проходить через одну из четырех фиксированных точек (расстояния от каждой из этих точек до сторон квадрата равны а/2, а/2, 2а/5 и За/5; на рис. 5 они выделены жирными кружками). Ясно, что из девяти прямых какие-то три будут проходить через одну и ту же точку.
9. Семиугольник А]А2А3А4Л5А6А7 вписан в окружность. Доказать, что если центр этой окружности лежит внутри семиугольника, то сумма углов при вершинах А\, Аз и А5 меньше 450° (Б. М. Ивлев; Рис ,
VIII. +91, ±1, =F5).- ^ИС* *
Решение. 2(i Л, -f £ Л3 + ^ Аъ) *= (360° — —w A,AxA2) + (360°—W Л2Л3Л4) 4- (360°—w Л4Л5Л6) = = 720° fw.46.47. Так как центр окружности лежит внутри семиугольника, то дуга ЛбЛ7 (не содержащая других вершин) меньше 180°, поэтому
Л, + ^ Л3 + Л5 < 360° + 90° = 450°.
10. Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет ее по своему усмотрению вместо одной из звездочек в следующей разности:
Ж * X * * * Ж *
Затем первый называет еще одну цифру, и так далее 8 раз, пока все звездочки не заменятся на цифры. Тот, кто называет цифры, стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Доказать, что
а) второй может расставлять цифры так, чтобы получившаяся разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый; б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет эти цифры второй (Ю. И. Ионин; VIII. а) +38, ±15, =F 14,
б) +7, ±6, HF2).
Решение, а) Второму достаточно придерживаться следующей стратегии. Если первая названная цифра — от 0 до 3, ставить ее на первое место в первом числе, а если первая цифра — от б до 9, то на первое место во втором числе. (При этом независимо от дальнейшей игры разность будет меньше 4000.) Если первая цифра 4, то поставить ее на первое место в первом числе, затем все цифры 0 ставить на места со 2-го по 4-е, а первую же отличную от нуля цифру, если она появится, поставить на первое место во втором числе. (Наибольшая разность равна 4000, когда все цифры после четверки—нули.) Если первая цифра 5, то поставить ее на первое место во втором числе, затем все девятки ставить на места со 2-го по 4-е, а первую же цифру не 9, если она появится,— на первое место в первом числе. (Аналогично предыдущему, наибольшая разность равна 4000.)
б) Возможная стратегия первого состоит в следующем. Он называет цифры 4 и 5 до тех пор, пока какая-то цифра не будет поставлена на первое место в одном из чисел. Для определения того, какую цифру называть, он просматривает правые три разряда, берет самый левый из разрядов, в котором эти (частично заполненные) числа различаются («старший разряд»), и называет 5, если в старшем разряде стоит
X *
или 5 4
и 4, если в старшем разряде стоит 5 4 5
4
или если числа совпадают во всех разрядах. (Небольшим перебором случаев можно доказать, что положение 4 в старшем разряде никогда не образуется.)
5
Когда какая-то цифра поставлена в первый разряд, называем нули, если эта цифра в первом числе, и девятки, если во втором. Учитывая различие старших разрядов полученных двух чисел, нетрудно заключить, что разность не меньше 4000.
11. а) Пусть х, у — положительные числа, s —
1 1
наименьшее из чисел х, у + -Найти наибольшее возможное значение s. При каких х и у оно достигается?
б) Сумма положительных кисел xv хг,..., хп рае- на 1. Пусть s — наибольшее из чисел
X1 *2 Хп
1+-*V ^ Л-xlJr x2 1 + х} -f- х2 +- ... + хп
Найти наименьшее возможное значение s. При каких значениях хг х2, ... , хп оно достигается? (Ю. И. Ионин; а) IX.+49, ±8; б) X.-f 18, ±8, +16).
Решение, а) Из неравенств х>0, у>0, s>0, x^>s, у j 1 /x^>sy l/y^>s получаем последовательно: 1/^<! < 1/s, — 1 /s, s2 — l<sy<l, откуда s2 < 2.
Таким образом, s не может принимать значение больше у/ 2 . s = /2 в том и только в том случае, когда все написанные выше нестрогие неравенства превращаются 1з равенства, т. е. л: = у+1/л: = 1/у = 5 = >/2, а у - /2/2.
б) Обозначим 1 + Xj + ... + через у& данные числа Xklyk — через zk (& = 1, 2,...,п). Тогда 1—z^ — yit—ilyk, причем у0 = 1, уп = 2. Поскольку z^ <; s,
то
y*-i/y*>l — Ш
Перемножив все неравенства (>)<), получим 1/2 ;> >(1 — s)n, откуда 1—2-1^. Значение
s = 1 — 2~1/л
достигается, когда все неравенства (>)<) обращаются в равенства, т. е. когда у* = 2k^n , соответственно, xk = = — 2~1/л).
Большинство ошибок было связано с тем, что догадка: нужное значение s достигается, когда числа равны! — не обосновывалась строго. У девятиклассников (задача а) было много путаницы с перебором различных случаев и ограничений, задаваемых неравенствами.
12. Точка О, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Доказать, что эта точка равноудалена от вершин многоугольника (А. Г. X а- р а з и ш в и л и; IX. +25, ±8, +29).
Решени е. Докажем сначала это утверждение для треугольника.
Лемма. Если точка О принадлежит треугольнику ЛВС и треугольники ЛОВ, ВОС и СОА равнобедренные, то АО — ВО — СО.
Доказательство. Из трех углов АО В, ВОС, СОА по крайней мере два тупые (поскольку их сумма равна 360°). Пусть это будут ЛОВ и ВОС. Тогда точка О в каждом из равнобедренных треугольников ЛОВ и ВОС является вершиной, поэтому АО — ВО и ВО - СО.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть А и В — любые две вершины многоугольника. Если в угле между продолжениями отрезков АО и ВО за точку О (заштрихованном на рис. 6) лежит хотя бы одна вершина С, то можно применить лемму к треугольнику ЛВС, поэтому АО — ВО — СО. Если же такой вершины нет, то поскольку точка О лежит внутри вы-
D
73
пуклого многоугольника, то должна найтись сторона DE, пересекающая заштрихованный угол. Тогда к каждому из треугольников ADE и BDE можно применить лемму, поэтому АО — DO ~ ЕО = ВО.
13. Можно ли расставить цифры 0, 1, 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100 X 100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике 3X4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось 3 нуля, 4 единицы и 5 двоек? (В. Е. Л а п и ц к и й; IX. + 2, ±1, Т17).
Решение. Докажем, что этого сделать нельзя. Предположим, что клетчатая бумага заполнена требуемым образом цифрами 0, 1, 2.
Прямоугольники 1X3, заштрихованные на рис. 7, заполнены одинаково, т. е. каждый из них содержит одно и то же количество клеток с каждой из цифр 0, 1, 2; для доказательства достаточно заметить, что, присоединяя к двум соседним из этих прямоугольников один и тот же квадрат 3X3, получим прямоугольники 3X4. которые, по предположению, заполнены одинаково. Любая полоска 1 X 12 заполнена так же, как прямоугольник 3X4 (на рис. 8 одинаково заполнены прямоугольники а и Л, b и В, с и С, d и D), т. е. эта полоска содержит 5 двоек.
I
А
а
b
D
с
d
С
В
Рис. 8
С другой стороны, существует прямоугольник m размером 1 X 3, содержащий не менее 2 двоек. (Действительно, в прямоугольнике 3X4, состоящем из четырех прямоугольников 1X3, 5 двоек.) Расположим около такого прямоугольника m полоску 1 X 12 так, как показано на рис. 7 пунктиром. Тогда в этой полоске должно быть не меньше 3*2 = 6 двоек.
Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно.
14. Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы (подмножества) ' команд можно найти команду (может быть, из этой же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечетное число очков. Доказать, что в турнире участвовало четное число команд. (Поражение — 0 очков, ничья — 1 очко, выигрыш — 2 очка.) (Г. А. Каспаров; X. Tl).
Решение. Существенно лишь то, какие пары команд сыграли вничью (подчеркнем, что Л с Л не играет).
Пусть А и Б — некоторые две команды. Можно проверить, что если проделать такое преобразование: вместо Б ввести команду (обозначим ее А 4- Б), которая сыграла вничью с теми и только с теми командами, с которыми сыграла вничью ровно одна из команд А и Б,— то для полученного нового множества команд будет выполнено то же условие, что и для исходного: для любого подмножества найдется команда, имеющая с командами этого подмножества нечетное число ничьих. Легче доказать это «от противного»: если в новом множестве существует такое подмножество К, в играх с которым каждая команда набрала четное количество очков, то такое подмножество К* есть и в исходном множестве; чтобы получить К* из К, нужно вместо команды А + Б (команд А и А + Б) включить и А, и Б (соответственно, только Б).
Пользуясь описанным преобразованием, можно «упростить» таблицу турнира п команд следующим образом. Пусть А\ и А2—две команды, сыгравшие вничью (очевидно, из условия следует, что такие существуют; поэтому, в частности, п больше 1). Рассмотрим последовательно все пары (Ль £2), где £2—каждая из команд, сыгравших вничью с Л2, отличных от Ль и затем пары (Л2, £i), где Б\—каждая из команд, сыгравших вничью с Л1, отличных от Л2. Для каждой из этих пар проделаем описанные выше преобразования. В результате получим турнир, в котором Л) и Л2 не имеют ничьих с другими командами; следовательно, п — 2 остальные команды образуют турнир, для которого выполняется условие задачи. Если бы общее число команд п было нечетным, то, повторяя эту редукцию, мы пришли бы к турниру с п = 1, удовлетворяющему условию. Но это, как уже говорилось, невозможно. При решении задачи полезно представлять себе таблицу турнира, приведенную «по модулю 2»: ничья — 1 очко, выигрыш или поражение — 0 очков.
Формулировка этой задачи обманчива: на первый
взгляд кажется, что задача лишь немного труднее, чем, например, доказательство четности количества команд, имеющих нечетное количество ничьих. Между тем за забавной формулировкой скрыт глубокий алгебраический факт: если однородная система линейных уравнений с кососимметрической матрицей п X п (в данном случае над полем из двух элементов 0, 1, а вообще над любым полем) не имеет нетривиальных решений, т. е. если определитель матрицы отличен от 0, то п четно.
В. В. ПОПОВ, С. Н. САДЫХОВ
(г. Баку)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ В АЗЕРБАЙДЖАНЕ
Уже 12 лет ежегодно проводятся в Азербайджане республиканские математические олимпиады. Для руководства проведением олимпиады в этом году, как и в прошлые годы, был создан оргкомитет при Министерстве просвещения АзССР, возглавляемый членом- корреспондентом АН АзССР, доктором физико-математических наук, профессором М. А. Джавадовым. Заместителем председателя был утвержден доктор педагогических наук, профессор Б. А. Агаев. В качестве представителя республиканского общества «Знание» в состав оргкомитета был включен член-корреспондент АН АзССР, доктор физико-математических наук, профессор К. Т. Ахмедов. В состав комитета также вошли математики, работающие в Азербайджанском государственном университете имени С. М. Кирова, Азербайджанском государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина, представители Министерства просвещения.
Олимпиада проводилась в три тура. Первый — школьный— был проведен в декабре 1971 г.— январе 1972 г. Почти во всех школах республики были созданы оргкомитеты по проведению школьных олимпиад по математике, физике, химии и биологии. В школьных математических олимпадах приняло участие около 35 тысяч школьников, в том числе около 24 тысяч сельских учащихся. Победители этих олимпиад были рекомендованы для участия в районных и городских олимпиадах.
Второй тур — районный и городской — был проведен 13 февраля 1972 г. Ему предшествовала большая подготовительная работа. В конце 1971 г. в республиканском методическом журнале «Физика вэ рийазийат тэдриси» («Преподавание физики и математики») были опубликованы материалы для подготовки к этому туру олимпиады. Во всех районах республики и крупных городах (Баку, Кировабад, Сумгаит) были созданы оргкомитеты, которые составили задачи для школьных олимпиад на основании разосланного им Республиканским оргкомитетом задачника по подготовке к олимпиаде. Второй же тур олимпиады проводился по текстам Республиканского оргкомитета. В проведении районного и городского туров олимпиады принимали участие представители Республиканского оргкомитета. Всего в этом туре участвовало около 9 тысяч школьников, в том числе из сельских школ около 6 тысяч. Число победителей составило около 500 человек.
Т ретий, заключительный тур — республиканский — был праведен 27 марта 1972 г. Предварительно в республиканской газете «Азербайджан муэллими» («Азербайджанский учитель») и в некоторых районных газетах были опубликованы результаты второго тура и подготовительные материалы к третьему. Следует отметить, что почти ежегодно на азербайджанском языке издаются задачники для подготовки к олимпиаде. Задачи для республиканского тура были составлены членами Республиканского оргкомитета с учетом разосланных Центральным оргкомитетом Всесоюзной математической олимпиды задач. Для каждого класса составлялось задание из 5 задач. В задание для VIII класса входили: логическая задача, 2 алгебраические задачи (на составление уравнения и неравенства), геометрические задачи на вычисление и на построение; для IX класса — 2 задачи теоретико-числового содержания, задача на уравнение с исследованием и 2 геомет¬
рические задачи на доказательство; для X класса — задача на доказательство логарифмического равенства, задача на доказательство неравенства, задача на уравнение, геометрическая задача, решаемая с применением тригонометрии, и геометрическая задача на вычисление. Олимпиада проводилась в Республиканском интернате с математическим уклоном. В этом году в олимпиаде приняли участие все районы республики, кроме Ханлар- ского и Кюрдамирского. Веет участвовало 418 учащихся, в том числе 310 школьников из сельских районов. На олимпиаде присутствовали представители Центрального оргкомитета Всесоюзной олимпиады. В прошлые годы в олимпиаде принимала участие команда братской республики Армении.
В результате подведения итогов олимпиады 87 участников стали ее победителями, из них 11 заняли первые места, 10 — вторые, 25 — третьи и 41 получили поощрительные премии. Из победителей были сформированы 3 команды, по 3 ученика в каждой (от республики, от Нагорно-Карабахской автономной области и от г. Баку), для участия во Всесоюзной олимпиаде. К сожалению, из-за слабой подготовки участников не была сформирована команда от Нахичеванской АССР. Хорошие знания показали учащиеся математических школ г. Баку (школа № 134), г. Сумгаита (школа № 11), г. Степанакерта, поселка Гадрут, Шаумяновско- го (сельского) района и Джебраильского района. Плохо были подготовлены команды Кировабада и Нахичеванской АССР. Решением оргкомитета 10 преподавателей математики были отмечены за хорошую подготовку учащихся (в том числе 4 из г. Баку).
С участниками республиканского тура олимпиады проводилась большая работа. Им читались лекции силами профессорско-преподавательского состава Азербайджанского университета и Азербайджанского педагогического института, а также научными сотрудниками республиканского института педагогики и представителями Центрального оргкомитета Всесоюзной олимпиады. Так, перед участниками с лекциями выступили: доцент пединститута С. Н. Садыхов — «Особенности олимпиадных математических задач» и преподаватель университета Н. Я• Милин — «Симметрия в алгебре». В разборе решений задач приняли участие методисты Бакинского ГИУУ Э. Сулейманов и С. Б. Файнштейн, доцент пединститута А. Ю. Ибрагимов и аспирант МГУ Пахомов (представитель Центрального оргкомитета). Для участников олимпиады были организованы экскурсии в музеи имени В. И. Ленина, имени Низами, в музей-квартиру Д. Джаббарлы, в Научно-исследовательский институт кибернетики АН АзССР. Была также проведена встреча с молодыми преподавателями Азербайджанского университета.
Участие в олимпиадах дает хорошую математическую закалку для будущего. Немало бывших победителей и просто участников олимпиад учатся (или учились) в вузах Москвы, Ленинграда, Баку и других городов Советского Союза, избрав своей профессией математику или смежные с ней дисциплины. Много нынешних молодых математиков, работающих в республиканских вузах, также являлись участниками и победителями олимпиад.
В заключение хотелось высказать два пожелания. Нам кажется, что было бы целесообразно проводить Всесоюзную математическую олимпиаду несколько позже, например в первой половине мая, с тем, чтобы республиканские команды могли провести соответствующую тренировку для подготовки к участию в олимпиаде. Наконец, желательно проводить республиканские и всесоюзные олимпиады не только для учащихся VIII—X классов, но и для учащихся IV—VII классов. Это позволило бы лучше выращивать молодые таланты.
75
Н. К. АНТОНОВИЧ
(г. Новосибирск)
ИГРОВЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1. С учащимися IV класса после беседы о натуральном ряде чисел можно на уроке провести игру, в которой используется таблица 1.
Таблица 1
5
214
I 590
| 422
| 526 |
| 326
4
606
398
266
446
366
3
582
462
558
302
470
2
342
298
494
510
338
1
414
514
378
246
522
а
b
1 с
d
1 в
Ведущий предлагает всем участникам игры число, назвав, например, поле с5, и задание: записать указанное число в виде суммы четырех последовательных натуральных чисел. Играющие, выписав заданное число (в данном случае 422) выполняют задание.
Возможные рассуждения: а) Предположим, что первое слагаемое — 100, тогда остальные — соответственно 101, 102 и 103, а их сумма ,100+ 101 + 102 + 103 = = 406, что на 16 меньше табличного числа (422). Деля эту разницу (16) на 4 равные части и добавляя по одной части к каждому из взятых слагаемых, получим искомые числа 104, 105, 106 и 107.
б) Три последовательных натуральных числа, следующие за первым, отличаются от него соответственно на 1, 2 и 3; сумма излишков будет равна 6. Найдя учетверенное первое число (422 — 6 = 416), можно найти и само первое число 416:4 = 104. Тогда остальные числа соответственно равны 105, 106 и 107.
Позднее и в IV и в V классе при решении уравнений можно вернуться к этому упражнению.
2. В конце учебного года в IV классе после изучения пункта учебника «Как люди научились считать» или в начале года в V классе полезно провести игру с римскими цифрами.
Для игры берутся три кубика с цифрами на гранях:
1_1} V, X, X, С, М\
II —I, L, X, С, С, М;
Ш _1, I, Д X, Ct М.
Бросают кубики и выпавшие цифры сообщают. Из выпавших цифр необходимо составить число и прочитать его.
В связи с изучением в V классе темы «Делимость натуральных чисел» можно также провести несколько игр: одни — на уроке, другие, более сложные,— на кружковых занятиях.
3. Для игры можно взять кубик с числами на гранях: 13, 14, 16, 17, 18, 19.
Каждый играющий готовит в тетради полоску в 10 клеток. Ведущий бросает кубик и выпавшее число оглашает. Играющие названное число записывают в первую клетку полоски, а в последующие клетки записывают в возрастающем порядке числа, кратные названному.
Эту игру целесообразно провести после изучения пункта учебника «Кратное».
4. В игре используется таблица 2 и кубик с парами чисел на гранях: 2 и 3, 2 и 9, 3 и 5, 3 и 4, 4 и 9, 5 и 9.
Таблица 2
8
1248
1824 1
| 2358
1485 I
[ 1854
1656
1374
| 1365
7
1236
1935
1584
1275
1284
1926
1572
2394
6
1764
1245
1524
1254
1845
1734
2145
1356
5
1725
1458
1752
1836
2178
1425
1395
1482
4
1548
1575
1428
1638
,3916
1674
2175
1542
3
1596
1796
1476
2745
1326
1692
1635
3465
2
1785
2475
1698
1695
1368
1842
1875
1632
1
1296
1362
1728
1386
1452
1782
2385
1576
1 а
* 1
с !
1 d
1 е
I /
1 g
1 А
Ведущий называет три числа из таблицы (например, /3, g7 и hi) и бросает кубик. Пусть на кубике выпали числа 3 и 4. Это означает, что среди названных ведущим трех чисел надо указать такие, которые одновременно были бы кратны 3 и 4.
Справедливость утверждения желательно доказать.
5. Ведущий дает учащимся задание: Выбрать из таблицы 3 такие пары чисел, чтобы, записав их одно за другим, получить четырехзначные числа, которые делились бы соответственно на 9, 5, 4, 3, 2.
Таблица 3
101
11 1
12
13 I
14
15 1
16 1
1 17
18 1
19
Игры-задания 4 и 5 можно предлагать учащимся после изучения пункта учебника «Признаки делимости». Упражнение 5 можно усложнить, предложив учащимся четырехзначные числа записать так, чтобы одно из них делилось на И, а остальные — соответственно на 9, 5, 3, 2. В этом случае задание следует предложить на кружковом занятии.
6. Для игры «Найти делители» ведущий вывешивает таблицу 4 и называет, например, поле аЪ. Играющие выписывают число 1071 и находят множество всех его делителей, разложив предварительно данное число на простые множители.
Таблица 4
5
| 1071 ;
| 132
| 852
| 484
308
4
884
676
1078
136
204
3
104
390
532
855
1156
2
747
1197
152
342
570
1
196 I
982
819
1144
60
* 1
b
i * 1
1 * J
е
76
7. Для игры берется таблица 5. Ведущий, называя, действия, записать выражение, в результате нахожде-
например, поле /i5, выписывает из таблицы на доску ния числового значения которого получилось бы число,
соответствующий набор из четырех цифр (в данном имеющее более 30 делителей. (Такими числами будут,
случае 2, 6, 9, 0). например, 5520 = 92-60, 1920 = 96*20.)
Задание. Используя выпавшие цифры и один знак Разыскивая все делители указанных чисел, учащиеся
Таблица 5
8 | 1,2,3,4 | 1,2,3,5 | 1,2,4,6 | 1,2,5,7
1,3,5,6
1,3,6,7 | 1,3,7,8 | 1,3,8,9
7
1,4,5,6
1,4,6,7
1,4,7,8
1,4,8,9
1,5,6,7
1,5,6,8
1,5,8,9
1,5,9,0
6
2,3,4,5
2,3,5,6
3,6,7
2,3,7,8
2,4,5,6
2,4,6,7
2,4,6,8
2,4,7,9
5
2,5,6,7
2,5,6,8
2,5,7,9
2,5,8,0
2,6,7,8
2,6,7,9
2,6,8,9
2,6,9,0
4
3,4,5,6
3,4,5,7
3,4,5,8
3,4,о,9
3,4,5,0
3,4,6,7
3,4,6,8
3,5,6,7
3
3,5,6,8
3,5,6,9
3,5,6,0
3,6,7,8
3,6,7,9
3,6,7,0
3,7,8,9
3,7,8,0
2 j 4,5,6,7
4,5,6,8
4,5,6,9
4,5,6,0
4,5,7,8
4,5,7,9
4,5,7,0
4,5,8,9
1
4,5,8,0
4,5,9,0
4,6,7,8
4,6,7,9
4,6,7,0
4,6,8,9
4,6,8,0
4,7,8,9
на одном примере получат богатый навык. Конечно, это упражнение целесообразно предложить учащимся на кружковом занятии.
Если эту игру проводить в классе, то задание следует упростить. Можно предложить, использовав выпавшие цифры и два знака действия, получить трехзначное число, имеющее не менее десяти делителей.
8. Для игры используются рисунок и карточки с числами:
1
1
3
1
3
5 7
2 ’
4 ’
4 ’
8 ’
8 ’
8 ■ 8 ’
5
9
15
16 ;
16 ;
16 *
Ведущий берет одну из карточек и объявляет число. Играющий должен на рисунке найти фигуру, площадь
Ш 1 11ЛХ1
которой соответствует названному числу (площадь большого квадрата на рис. равна 1).
Данную игру целесообразно провести на уроке после изучения пункта учебника «Изображение дроби». Перед игрой необходимо повторить геометрический материал «Площадь прямоугольника, единицы площади».
9. Взяты три кубика, на гранях которых нанесены соответственно числа:
1—2, 3, 4, 5, 6, 8;
II — 12, 15, 16, 18, 20, 24;
III —30, 45, 48, 60, 90, 120.
У каждого играющего заготовлена таблица, на первой строке которой одна клетка с буквой ч (числитель) и еще три пустые клетки, на второй — клетка с буквой з (знаменатель) и три пустые клетки.
Бросают кубики (все три); выпавшие на них числа записывают на первую строку (в графу числителей). Затем вновь бросают кубики и выпавшие на них числа теперь записывают на вторую строку (графу знаменателей).
Задание. Упростить три полученные дроби и записать их в порядке возрастания.
Эту игру можно провести после изучения пункта учебника «Сокращение дробей».
В. И. МИШИН
(Москва)
ОБ ОДНОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
В статье рассматривается доказательство теоремы Пифагора с использованием свойств геометрических преобразований. С этим способом доказательства теоремы Пифагора можно ознакомить учащихся во вне¬
классной работе, а наиболее сильных учащихся по математике— даже на уроке.
Предварительно рассматриваютя две задачи на доказательство.
Задача 1. Дано: А АСВ — прямоугольный (С = = 90°); \CBt\ = \BC\; | CAt | = | АС [, \AF\~\FB\.
Доказать, что (CF) _L (А^^ (рис. 1).
Доказательство. Для доказательства повернем Д АС В вокруг точки С на 90° против часовой стрелки. В результате вращения получим Д А2СВХ (рис. 1), кон-
77
Еис. 1
Вис. 2
с,
груэнтный А АСВ. [CFJ является медианой в Л А2СВХ (I A2FX I e I FXBX |), причем [С/7!] J. [С/7], так как [CFt] - R90о [CF]. | AtFx | - | FXBX | и | А2С\ - | ЛС| -
является средней линией
= | АХС I, поэтому
в Л АХА2В,. Вследствие этого (CFX) И (АХВх).
[CFt]
^ААХВХВ + SВВХСХС
Так как (CFX) II (АхВг) и (CFX) ± (CF), то (CF) ± (АхВг)
Задача 2 Дано: (Л,Л2) 1 (ВВХ) 1 (СХС2); \ААг\- « \АА21 - IССХI = I СС2\ - I ВВХI.
Доказать, что ^а^асс (рис. 2).
Доказательство. Для доказательства произведем параллельный перенос пятиугольника АгАВСС2 на вектор А2А (или С2С). Поскольку по условию \А2А\= = I ААХ / = | С2С | = | ССХ | - ! ВВХ | и (ЛяЛОЩМОв^аС,). то пятиугольник А2АВСС2 совместится с пятиугольником АА1В1С1С (рис. 2). Вследствие этого пятиугольники А2АВСС2 и AA\BiC\C конгруэнтны.
С другой стороны, фигуры AA\BiC\CB и А2АСС2 одним и тем же треугольником ЛВС дополняются до конгруэнтных пятиугольников АА\В\С\С и А2АВСС2у т. е. являются равнодополнимыми фигурами. Тогда площадь фигуры АА\В\С\СВ равна площади параллелограмма А2АСС2, так как равнодополнимые фигуры равновелики.
Таким образом,
5Л2ЛСС3 “ SAAiB1CtCB или
3ЛаЛСС2
е SAAtBtB + $ВВхСгС т
Теорема Пифагора.
Дано: ААСВ — прямоугольный CBDL, ABMF — квадраты.
(С = 90°); АСРК,
Вис. 3
Доказать, что
SabMF = SaCPK + ScBDL (pHC. 3).
Доказательство. Продолжим [КР] и [DL] до пересечения в точке О. POLC — прямоугольник, так как
(PC)||(OL) и (PO)\\(CL) иС = 90°. [СТ] является медианой в APCL, так как точка Т является точкой пересечения диагоналей параллелограмма PCLO, а стало быть, |-Р7"| = \TL\. Так как треугольники АСВ и PCL удовлетворяют условию задачи 1, то (TC)JL(AB) (или (0С)_1_(Л5)). Продолжим [FA] и [MB] до пересечения с (КО) и (DO) соответственно в точках Е и G.
Поскольку (EA)A-(AB), (GB)±.(AB) и (ОС)Л.(АВ)% то (£Л)||(ОСЖб£). Кроме того, \АЕ\ = \ОС\ = = |G£|, ибо [ЛЯ! = |0£|» как противоположные стороны параллелограмма, и |ОС| = \ОВ\ по той же причине.
Из конгруэнтности треугольников ABC и PCL следует, что \PL | = \АВ\, а следовательно, и |ОС| = = |Л£|, так как \PL\ = |ОС|, как диагонали прямоугольника POLC.
Итак, \FA\ = \АЕ\ = \СО\ = |Ж?| == \ВМ\, т. е. параллелограммы ABMF% АЕОС и COGB удовлетворяют условию задачи 2. Поэтому
Sabmf = Saeoc + Scogb*
Параллелограмм АЕОС и квадрат АСРК равновелики, так как имеют общее основание АС и высоты их конгруэнтны; следовательно Sаеос = Sacpk.
По той же причине SCogb = Scbdl.
В итоге будем иметь
Sabmf = Sacpk + Scbdl*
И. И. МИХАЙЛОВ
(г. Иваново)
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Целью этой статьи является доказательство трех теорем, раскрывающих возможности представления треугольных чисел другими фигурными числами.
Теорема 1. Существует только одно треугольное число, одновременно и одиннадцатиугольное.
Доказательство. Предположим, что имеет место равенство
-~2~ m (m + 1) — -тг п (9/1 — 7). (1)
Равенство (1) легко преобразовать к виду
(9/г + Ът — 2) (9п — 3т — 5) = 10,
78
откуда получаем единственный случай разрешимости уравнения (1) в натуральных числах:
| дп + 3/72 — 2=10,
\ 9п — 3т — 5 = 1,
откуда т — п — 1.
Итак, единственным треугольным числом, являющимся одновременно и одиннадцатиугольным, является число 1.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Существует бесконечно много треугольных чисел, одновременно и шестиугольных. Доказательство. Равенство
-2-*(*+1)-у<2)»-1) (2)
нетрудно привести к такому виду
(2у + х)(2у — х— 1) =0, откуда 2у — х — 1 =0, или 2у — х + 1.
Ясно, что х — нечетное. Пусть х = 2k + 1 (k =
= 0, 1, 2, ...). Тогда y = k+ 1.
Совершенно очевидны такие следствия;
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1106. Из цифр 1, 2, 3, 4 составили два четырехзначных числа с различными цифрами. Доказать, что ни одно из них не делится на другое.
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
1107. Каждого пойманного леща рыболов считал за 3 рыбы, а каждых трех ершей — за одну. В результате он насчитал 24 рыбы, и оказалось, что число пойманных им рыб действительно равно 24. Сколько лещей поймал рыболов?
В. А. Ю д а к о в (Крымская обл., пос. Армянск)
1108. Сколько на рисунке пар смежных углов, пар вертикальных углов?
В. А. Ю д а к о в (Крымская обл., пос. Армянск)
1109. Разрезать квадрат на остроугольные треугольники, разрезать квадрат на тупоугольные треугольники.
В. А. Юдаков (Крымская обл., пос. Армянск)
1110. Пусть А и В две точки на плоскости; будем обозначать через [АВ] множество точек, лежащих на отрезке между А и В, включая сами точки А и В; через (АВ] С)1)дем обозначать то же множество, но без точки А и аналогично будем понимать обозначения \АВ) и (А В). Какие из следующих утверждений верны: Л£{ЛВ], В£[ЛВ), B£{AB]\J(BD), D£(DA]U
Следствие 1. Каждое шестиугольное число является одновременно и треугольным.
Следствие 2. Каждое треугольное число с нечетным номером является и шестиугольным.
Теорема 3. Ни одно из треугольных чисел не является пятиугольным с простым номером.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
-y-/i(n + 1) - ~р^р — 1). (3)
Уравнение (3) не представляет сложности представить в виде
(п + р)(п — р+ 1) = 2р2. (4)
Используя теорему о единственности разложения натуральных чисел на простые множители, легко видеть, что ни один из случаев разложения числа 2р2 не дает необходимых решений уравнения (4), или, что то же, уравнения (3), где р — простое число.
Примечание. Определение п-то 6-угольного числа автор считает известным читателю. Более , подробно о 6-угольных числах можно прочитать, например, в книге Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и фигуры», стр. 245—248 (М., «Наука», 1966, изд. 4),
U[BD], D€[AB]{J\BD), B£[AB){J[BDl В£(АВ)Г\ n(£D]? (Как всегда, £ — знак принадлежности
точки к множеству, U и п — знаки объединения и пересечения множеств.)
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1111. Если первый автомобиль сделает 4 рейса, а второй 3 рейса, то они перевезут вместе меньше 21 т груза; если же первый сделает 7 рейсов, а второй 4 рейса, то они перевезут больше 33 т груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъемность?
(МГПИ имени В. И. Ленина, вступительные экзамены 1972 г.)
1112. В железнодорожной будке на расстоянии 1 м от окна, ширина которого 1 м% сидит обходчик. На расстоянии 299 м от окна и параллельно плоскости окна проходит железнодорожный путь. Обходчик видит целиком поезд длиной 100 м, идущий по этому пути с постоянной скоростью в течение 10 сек. Определить скорость поезда. (Шириной поезда и расстоянием между глазами обходчика пренебречь.)
(МГУ, вступительные экзамены 1970 г.)
1113. Внутри квадрата со стороной 1 размещено 2п2 + 1 точек. Доказать, что можно провести круг радиуса \/п, содержащий три из этих точек.
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
1114. В окружность вписаны два четырехугольника с соответственно параллельными сторонами. Доказать, что диагонали одного четырехугольника соответственно конгруэнтны диагоналям другого четырехугольника.
1115. Нарисовать график функции у — f(x), заданной условием: для любого действительного х f(x)—расстояние от х до блиотйшего целого положительного числа.
79
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1116. Решить уравнение 2х2 + [х] = х4, где [я] — целая часть х.
Ф. А. Бартенев (г. Евпатория)
1117. Решить систему уравнений х + у = 5, xz + -{- уи = 7, xz2 + уи2 — 11, хг3 + уи3 = 19.
С. Р. Гусейнов (АзССР, пос. Хиллы)
1118. Решить в целых числах уравнение
x6 + y* — z6= 1972.
И. И. М и х а й л о в (г. Иваново)
1119. Доказать, что I19 + 219 + ... + 3619 делится
на 37.
П. Т. Т и м о ф е е в (г. Ульяновск)
1120. Доказать неравенство
1 3 5 7 999 999 1
2 ’ 4 ' 6 ’ 8 ’" * * * 1000000 < 1000'
П. Т. т имофеев (г. Ульяновск)
1121. Дано п чисел. Доказать, что можно выбрать несколько из них и поставить между ними знаки
и <г—» так, что получится число, делящееся на п.
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
1122. Доказать, что если х, у, z — углы остро-
угольного треугольника, то tgnx -f tgny -f tgnz >.
> 3 YW.
P. М. Ал уф (г. Харьков)
1123. Определить площадь четырехугольника по четырем его сторонам, если углы между противоположными сторонами равны.
Б. Н. Ш н и п о р (Винницкая обл., г. Литин)
1124. Доказать, что квадрат площади четырех- угольника, описанного около окружности, равен
В + D
abed sin2 ^ , где а, Ъ, с, d— длины сторон че¬
тырехугольника, В и D — величины его противоположных углов.
1125. На сторонах треугольника ABC вне его построены квадраты ABEFщ BCPQ, CAMN. Какую наибольшую площадь может иметь шестиугольник EFMNPQ, если \ВС\=а, |СЛ|=6?
Э. Г. Г о т м а н (г. Арзамас)
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
КООРДИНАТЫ
1126. Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и ВС найти множество точек М, для которых площадь треугольника CDM больше суммы площадей треугольников ADM и ВСМ.
Э. Г. Гот м а н (г. Арзамас)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1127. Даны три поворота Аа, СНайти мно¬
жество точек М, для которых точки = Аа (М); М2 = Вр(М)1 М3 = Су(М) были бы коллинеарны, если а = р = 180°, 7 = 90°.
Р. Г. Носик (г. Оренбург)
1128. Даны две параллельные прямые а и Ь, прямая с, скрещивающаяся с а и Ь, и две точки М и N на
прямой с. Провести параллельные плоскости: а через а
и р через Ь, пересекающие с соответственно в точках А и В, чтобы отрезки AM и BN были конгруэнтны.
В. М. К л опеки й (г. Курск)
ВЕКТОРЫ
1129. Из точки О проведены лучи О А, ОВ, ОС, OD. Лучи ОВ, ОС, OD лежат в одной плоскости, причем
/\
луч ОС лежит внутри угла BOD. Найти AOD, если
/\ /\ /\
АО В = 30°, ВОС = 60°, АОС = 45°, COD = 75°.
ФУНКЦИИ
1130. При каком необходимом и достаточном условии функция f(x) имеет только одну обратную функцию? (См. задачи 1025 и 1030.)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЗА 1972 г.
1006. В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя .разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?
Решение. Искомое число должно делиться на 2, 3 и 5, т. е. на 30. Среди чисел, меньших 100, таких три — 30, 60 и 90. Но 60 делится на 4, а 30 и 90 — нет. Следовательно, в корзине лежит либо 30, либо 90 яблок.
1007. В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 га содержится миллион литров воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?
Решение. 1 га — 10000 кв. м — 1 000000 кв. Ом, т. е. на 1 кв. дм площади поверхности дна приходится 1 л воды. Но 1 л — 1 куб. дм. Следовательно, глубина слоя воды равна 1 дм. Соревнования по плаванию, конечно, проводить нельзя.
1008. По железной дороге из шахт А, В, С в пункты Р, Q, R необходимо перевезти уголь. Потребность пунктов в угле составляет соответственно 4, 8 и 5 тысяч тонн. Стоимость перевозки тонны угля на каждом участке дороги указана на рисунке. Как следует организовать перевозки, чтобы их стоимость была наименьшей?
Решение.' Стоимость перевозки тонны угля в пункт Р из А, В, С соответственно равна 2, 3,5 и 4 денежным единицам (рис. 1); поэтому потребность пункта Р в угле следует удовлетворить за счет шахты Л. Аналогично получаем, что пункт Q должен получить уголь с шахты В, а пункт R — с шахты С.
80
Замечание. В данной задаче совершенно несущественна величина потребностей пунктов Р, Q, R в угле — это объясняется тем, что ресурсы каждой из шахт А, В, С предполагаются достаточными для удовлетворения этих потребностей. Несколько более сложной становится задача, если ресурсы шахт считаются ограниченными.
1009. Сколько существует шестизначных чисел, у которых на каждом четном месте стоит цифра, на единицу большая, чем слева от нее (разряды нумеруются слева направо)?
Решение. Рассматриваемые шестизначные числа полностью определяются выбором первой, третьей и пятой цифры. Первая цифра может быть при этом любой от 1 до 8, третья и пятая — любыми от 0 до 8. Следовательно, первую цифру можно выбрать 8 способами, после этого третью цифру — 9 способами и, наконец, пятую — 9 способами. Общее число способов выбора равно 8-9-9 = 648.
1010. Все целые числа от 1 до 1 000 000 выписаны подряд. Какая цифра стоит на 1972-м месте?
Решение. Однозначные числа займут 9 мест, двузначные— 90-2 = 180 мест, а всего они займут 189 мест. Оставшиеся 1972— 189 = 1783 места занимают цифры трехзначных чисел. Так как 1783 = = 594*3 + 1, то эти 1783 места занимают цифры первых 594 трехзначных чисел и первая цифра 595-го трехзначного числа. Но 595-е трехзначное число есть 694. Следовательно, искомая цифра равна 6.
1011. Найти простое число р, если числа р2 — 2, 2р2— 1, 3р2 + 4 также простые.
Решение. Непосредственным подсчетом находим, что 2 и 5 не удовлетворяют, а 3 и 7 удовлетворяют условию задачи. Простое число, большее 7, может быть представлено в одном из следующих видов: 7k ± 1,
7k ± 2, 7k ± 3. Если р — 7&±1, то Ър2 + 4 = = 7(21&2 ± 6k + 1); но 2\k2 ± 6k + 1 > 1, так что 3р2 + 4 — составное. Следовательно, р ф 7k ± 1. Аналогично при р = 7k db 2 составным является число 2р2 — 1, а при р = 7k dt 3 — число р2 — 2.
Итак, искомые числа — 3 и 7.
1012. Среди первых десяти тысяч чисел сколько таких, которые оканчиваюся на 1 и могут быть представлены в виде 8т + 5П?
Решение. Так как 5П всегда оканчивается на 5, то 8т должно оканчиваться на 6. Но 81 = 8, 82 ==л 64, 83 = 512, 84 = 4096, 85 = 32 768 > 10 000, следовательно, m = 4. Кроме того, 84 + 5П ^ 10 000, откуда гг = 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, искомых чисел пять.
1013. Доказать, что площадь трапеции, заданной своими основаниями а и b (а>Ь) и боковыми сторонами cud, может быть вычислена по формуле
S — / (P-а) (р — Ь) (p — b — c){p — b — d),
где р — пол у периметр трапеции.
Решение. Площадь трапеции вычисляется по формуле
S *= — (а + b) h.
Высоту трапеции h найдем из треугольника CDE со сторонами с, d и а — b (DE\\AB) (рис. 2).
А Ь D
■U .
в £ а-b с
Рис. 2
h = V(Р — а)(р — b)(p — b — с) (p — b — d).
Следовательно,
s “ a — b' ^— — b)(P — b~c) (P — b — d).
1014. Через точку пересечения М продолжений боковых сторон А В и CD трапеции A BCD проведена прямая т, пересекающая основания ВС и AD трапеции соответственно в точках Е и F. Прямые АЕ и BF пересекаются в точке Н, а прямые DE и CF — в точке G. Доказать, что площадь четырехугольника EHFG не зависит от положения секущей m.
Решение. Пусть h — высота трапеции ABCD, h\ и h2 — расстояния точек Н и G до основания AD, AD = а, ВС — b (рис. 3). Нетрудно заметить, что
AF _ FD_ а_
BE = ЕС “ Ь ’ hx a h2 а
h ~ а + b ’ h ~ а+ Ь*
откуда
ah
h' “ h* = а + b’
Тогда
Sehfg $aed — (sahf + SFDG) = ah / AF'hy FDh,\
“ Q—2— + —2—=
1 / t ah \ abh " ~T \ah ~ a + b'a) = 2 {a + by
h „ 2Scde =
a — b
2 i /" a — b + с + d a — b 4- с + d \ / cl — b + с + d \ / a — b + с + d \
“ ~a^b V 2 '«v 2 ~ — a+b) ^ 2 “ °) i, ~2 ~d)'
81
Таким образом, площадь четырехугольника EHFG не зависит от положения секущей, а зависит только от длин оснований и высоты данной трапеции.
1015. Пусть Е — множество. Множество всех пар (а, Ь), где а, b — элементы множества Е, называется декартовым квадратом множества Е и обозначается через Е'Х.Е. Обозначим через Дв множество пар вида (а, а), где а — элемент множества Е. Найти композиции АЕ°А и А о АЕг где А — произвольное подмножество в EXE (определение см. в задаче 825).
Решение. Докажем, что Ago А = А. Пусть (х, у) £ £ Ago А; это означает, что существует элемент z£E такой, что (x,z)£A& (z, у) £ А. Но из (х, z)£AE следует, что z *== х, а тогда (х, у) £ А. Следовательно, Ago А с А.
Обратно, пусть (х} у) £ А; тогда имеем: (х,х)£АЕ и (х> У) € А, т. е. (х, у)€Д£°А Следовательно,
А с Дя° А.
Окончательно получаем Д^оА = А. Аналогично доказывается равенство АоАЕ = А.
1016. Решить уравнение
+
1.
Так как левая часть последнего уравнения есть монотонно убывающая функция от у, то это уравнение не может иметь других корней, кроме очевидного г/=2. Отсюда log3 х = 2 и х — 9.
1018. Доказать неравенство
а2 + Ъ2 + с2 + d2 + в2 ^ а(Ь + с 4- й + е)9 где а, Ь, с, d, е — любые действительные числа. Решение. Рассмотрим разность Д:
А = а2 + b2 -j- с2 + d2 + е2 — (ab + ас 4- ad 4- ае) =
-а-*)’+(т-о’+
Очевидно, что эта разность неотрицательна. Равенство а
нулю достигается при -g~=b — c = d=e. Следовательно,
a2 + b2 + c2 + d2 + e2^z a(b + c + d + е).
1019. Доказать неравенство
V sin4 a cos10 а ^ 12 500 (0 < а < 90°). Решение. Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим семи неотрицательных чисел, получаем
/ sin2 а \2 /cos2 а \5
Ч—) • (—)
77 sin£a~cosiea = Т *22 • 55 •
<
< 77.22-55
Sin2 a cos2 а
2- 9 4- 5* с
1
- 77-22-5 - 22*55 = 12500.
Равенство достигается при
sin2 a cos2 a
т. e.
тогда, когда a = arctg
1020. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
ахг + by2 агг + Ы2 / (х, у, г, t) = ах + Ьу + а2 + ы
при условии *4-z=l; y + t=l; х, у, z, t\ (а, b — положительные постоянные).
Решен и е.
: 0
Vx + [X]+ Vx—У X = 1.
Решение. Область допустимых значений данного уравнения определяется неравенством лг!>1, но при этом условии [*] >-1 и Ух 4- [х] > 2, откуда следует, что данное уравнение не имеет решений.
1017. Решить уравнение
logs (1 + V"x) = loga дг.
Решение. Пусть log3 х = у, тогда данное уравнение примет вид
log, <1 +
или
1 + (/3F = 2У,
откуда
vy . (VJY
f (X, У, 2, t) = 1 + ^
= 1 +
ах2 4- by2 ах 4- by
о+
az2 4- bt2 az 4- bt
— axz — byt az2 4- bt2
ax 4- by az 4- bt
ab (z — t) (zy — xt)
(<ax 4- by) (az 4- bt) “ ab (z — t)2 (ax + by) (az + bt) '
-1 +
= 14-
Полученнное равенство показывает, что наименьшее значение данной функции равно 1 и достигается в тех точках, где z = t.
Из условия задачи следует, что 0^ х, у, 2, t ^ 1, откуда
ах2 < ах, by2 < by, az2 < az, bt2 <Cbt 1
и (1)
ax2 4- by2 < ax 4- by, az2 4- bt2 < az 4- bt, J
поэтому f(x, y, z, t) ^ 2, причем знак равенства достигается, например, при х — t = 0, у — z — \,
Замечание. В условии задачи была допущена неточность. Вместо х, у, z, t^ 0 было указано х, у, z, t > 0. В этом случае неравенства (1) будут строгими, т. е. f(x, у, z, t) < 2. Тогда данная функция принимает значения, как угодно близкие к 2, а следовательно, у нее нет наибольшего значения.
1021. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле
Sabcd—tAB.^~,
где АВ — сторона, DK, СЕ, OF — перпендикуляры, опущенные на нее из точек D, С и точки О пересечения диагоналей.
Решение. Учитывая, что треугольники САВ и ОАВ имеют одно и то же основание АВ, а треугольники DAC и DAO — одну и ту же высоту, опущенную из вершины D (рис. 4), можно записать, что
УСЕ)
>САВ
I АС |
>DAC
\OF | S0jLBam\AO I SDAO *
Составим производную пропорцию
SCAB+SDAC I CE\
Sqab + Sdao I OF |
82
т. е.
Sabcd
I СЕ | ЮЛ'
Sdab
откуда
| СЕ | | CE± J
**ABCD “ | Q/7 | ,:>Ш — | OF | ‘ 2
Итак,
- , ,o, IW|-|C£
^ABCD
AB I • | D/f |
I AB \
I OF I
1022. Дана трапеция, у которой боковые сто- роны перпендикулярны. Доказать, что сумма квадратов диаэоналей такой трапеции равна сумме квадратов ее оснований.
Решение. Продолжим боковые стороны АВ и DC трапеции ABCD (рис. 5) до пересечения в точке М.
М
Рис. 6
Если хорды А В и CD лежат по одну сторону от центра окружности, то d < d' и d2 •< а2 — b2 (а > Ь).
Если же хорды АВ и CD лежат по разные стороны от центра окружности, то d > d' и d2 > а2 — b2 (а > Ь).
Справедливо и обратное: при а > b из соотношений d-d' = а2 — Ь2 и d2 < а2 — Ь2 следует, что d<2d\ а из соотношений d-d'= а2 — b2 и d2 > а2— Ъ2 следует неравенство d > d\
Решение 2. Примем центр окружности за начало прямоугольной системы координат. Ось абсцисс проведем параллельно хордам АВ и CD (рис. 7). Можно положить В (a, tj\), С (b, у2). По условию \у2— yi\=d. Кроме того, так как точки В я С принадлежат данной окружности, имеем:
+ у\ ■
откуда
а* — j|— у\, \аг — 6г | ■
|а2
|У* + У»|
I Уг — 34 I I Уг + У>1. -621
По условию AMD «= 90°. Согласно теореме Пифагора, имеем
АС2 - ЛЛ42 + ££>2 - DM2 + М£2,
откуда
ЛС2 4- Я#2 - (AM2 4- DM2) 4- (МС2 4- MB2) = -AD* + BC*,
что и требовалось доказать.
Замечание. В условии задачи имеется избыточное требование, что данный четырехугольник трапеция. Достаточно потребовать перпендикулярности АВ и CD.
1023. Параллельные хорды АВ и CD окружности равны 2а и 2Ь, а расстояние между ними равно d. Найти необходимое и достаточное условие, при котором центр окружности лежит: 1) внутри трапеции,
2) вне трапеции ABCD.
Решение 1. Пусть АВ > CD и хорда DE, перпендикулярная хорде АВ, пересекает АВ в точке М (рис. 6).
Согласно условию АВ = 2а, CD = 26, DM = d. Так как AM — \(АВ — CD), то AM = а — Ъ и ВМ = а 4- Ь. Но АМ-МВ — DM-ЕМ, следовательно,
d-d' = а2 — Ь2, где d' = ЕМ.
Рис. 7
Для того чтобы центр окружности лежал внутри трапеции ABCD, необходимо и достаточно, чтобы ух и у2 имели разные знаки. В этом случае
IУ2 + У\ | < IУ2 — У\ I =
т. е.
|а2 — b2\<d2 (при а > b а2 — b2<d2).
Для того чтобы центр окружности лежал вне трапеции ABCD, необходимо и достаточно, чтобы yi и у2 имели одинаковые знаки. В этом случае
[У2 4- У\| > \У2 — */iU
83
т. е.
|а2— Ь21 > d2 (при a>b а2 — b2>d2).
1024. Даны плоские углы трехгранного угла. Построить линейные углы его двугранных углов, если данные плоские углы острые. (Построение выполните циркулем и линейкой.)
Решение. Построим развертку данного трехгранного угла Sabc (рис. 8). Если в точке С ребра с провести к этому ребру перпендикуляры в гранях (с, а) и (с, b)> то получим линейный угол двугранного угла при ребре с. Стороны этого угла пересекают ребра а и b соответственно в точках А и В. На развертке мы получаем отрезки С\А и С2В, конгруэнтные СА и СВ, причем |CiS| = |C2S|. Треугольник ABC, построенный на отрезках С{А. С2В и АВ, конгруэнтен треугольнику ABC. Искомый линейный угол конгруэнтен углу /\
АСВ. Аналогичным образом строим другие линейные углы.
Рис. 9
Е(е)
а + с — Ъ + d. Так как треугольники FBC и CDE подобны и одинаково ориентированы, то
/ — b b — с
d — е
f-b
-м = ■
Ь — с
Ь 1,
с — d ~Г 1 “ d - / — {b — с -|- d) (b 4- d — с)
с — d
d — е
откуда
с — а
d — е
1025. Функция g(x) называется обратной к функции f(x), если ее область определения совпадает с областью значений функции f(x) и для любого х (из области определения g(x))
f(g(x))=x.
Найти три обратные функции для f(x) — х2.
Решение. Отметим, прежде всего, что, говоря «функция», мы подразумеваем, как это принято в подавляющем большинстве случаев, однозначную функцию— в противоположном случае говорят обычно
0 соответствии или об отношении. Поэтому, в част-
1 ости, не засчитаны решения, в которых одна из искомых обратных функций записывалась в виде g (х) = = ЧЬ У х.
Две обратные функции легко находятся: это gt (х) = = Ух и (х) = — Ух. Для нахождения третьей обратной функции заметим, что для выполнения равенства (g (х))2 = х при х > 0 достаточно, чтобы при каждом х > 0 g(x) принимала значение либо Ух, либо — Ух. Поэтому, разбив множество неотрицательных чисел на два подмножества А и В, мы получим обратную функцию g (х), положив
\ V"x, X € А,
£(*)■= \
[ — Ух, х £ В.
Таким образом, обратных функций у функции g[x) ~х2 бесконечно много.
1026. Дан параллелограмм ABCD. На его сторонах CD и СВ построены одинаково ориентированные подобные треугольники CDE и FBC. Доказать, что треугольник FAE подобен им и одинаково ориентирован.
Решение. Пусть данные точки имеют следующие комплексные координаты: А (а), В(Ь), С (с), D(d), Е(е), F(f) (рис. 9). Так как ABCD параллелограмм,
что свидетельствует о том, что треугольники FAE и CDE подобны и одинаково ориентированы.
1027. Пользуясь только формулой расстояния между двумя точками, вычислить координаты точки пересечения высот треугольника, заданного прямоугольными координатами своих вершин (например, А (1, 1),
В (2, —3), С (—1, 0)).
Решение. Пусть Аи Вь С\ — основания высот треугольника ABC, проведенных соответственно из вершин А, В и С. Н — точка их пересечения (рис. 10).
Тогда из прямоугольных треугольников АНС\ и ВНС\ согласно теореме Пифагора имеем
НА2 — АС\ = НВ2 — ВС\,
откуда
НА1 — НВ- - АС\ — ВС'-и
0)
84
а из прямоугольных треугольников АССх
и ЯСС1!
АС2 — АС1 - ВСг — ВС\,
откуда
АС\—ВС\-АСг — ВСг.
(2)
Согласно (1) и (2), получим
НА2 — НВ2 = АС2 — ВС2.
(3)
Аналогично
НА2 — НС2 = АВ2 — ВС2.
(4)
Пусть точки А, В и С имеют координаты: A(xv у,), В(х2, у2)> С (х3, уз) и Н(х:, у). Тогда равенства (3) и (4) можно записать в координатной форме:
(X — X,)2 + (у — у,)2 — (х — х2)2 — (у -
- у2)2 -
= С*1 — -*з)2 + (У1 — Уз)2 — (*2 — *з)2 — (Уг — Уз)2*
(х — xxf -f (у — уху — (х — хгу — (у — Уз)2 =
= (*1 — *2)2 + (Уж — у2)2 — (Х2 — xzf — (у2 — Уз)2.
После тождественных преобразований полученная система уравнений будет иметь вид:
(х2 — Хг) X +. (у2 — yt) у =
= (х2 — Хх) -f Уз (у2 — ух\
(х3 — Х1)х + (Уз — ух)у =
= *2 (Х3 — Хх) + у2 (Уз — у,).
Но вершины треугольника имеют координаты А( 1, 1), £(2, —3), С(—1,0). Решив систему уравнений для этого частного случая, найдем, что ортоцентр Н имеет
( 1 1
координаты I
1028. Сколько различных» (т. е. не «равных») треугольников в плоскости F2 над полем вычетов F по модулю 11? (См. задачи 803 + 25&, k = 0, 4, 5, 6, 7, 8.)
Решение. Как нетрудно видеть, для каждого треугольника существует единственный равный ему треугольник, первая вершина которого есть точка 0= (0, 0). Но такой треугольник определяется выбором двух других вершин, отличных от О; число способов такого выбора равно 120-119=14 280.
1029. /7роизвольная точка Р отражается от вершин А, В и С треугольника ABC в точки Аи Вх а С,. Доказать, что прямые. соединяющие точки Ах, Вх и Сх соответственно с серединами сторон ВС, С А и АВ, пересекаются в одной точке Р'. Охарактеризовать преобразование Р-> Р'.
Решение. Пусть Л2, В2у С2 — соответственно середины сторон ВС, АС, АВ (рис. 11). Примем точку Р за полюс. Тогда радиус-вектор произвольной точки М на прямой А\А2 можно записать так:
_ _ В 4-С
М = k-2A + (1 — k) —,
где М, А, В% С — радиусы-векторы точек М, А, В, С соответственно.
Рассмотрим на этой прямой точку Р\ выражение для радиуса-вектора которой симметрично относительно А В, С. Очевидно, для этого
откуда а —
Тогда
я7--§-са + в + г).
Симметричность этого выражения относительно А, В, С показывает, что эта точка принадлежит всем трем прямым
А\А2> BiB2, С\С2.
Так как радиус-вектор центроида G треугольника ABC определяется формулой G = -g- (A -f В -f- С), то точки Р, G, Р' лежат на одной прямой, причем
2 — — 6 _
Р'--трЗ(/, Р'= — G.
Таким образом, преобразование Р Р' есть гомотетия с центром в точке G и коэффициентом гомотетии,
равным — -g—
1030. Сколько обратных функций имеет функция
( 1 при л* > 0
у = 0 при * = 0
[ — 1 при х < 0
(см. задачу 1025)?
Решение. Равенство, входящее в определение ъб* ратной функции, позволяет строить обратные функции следующим образом: для каждого х из области значений данной функции f(x) положить g(x) равным одно¬
му из тех а, для которых f(a) —х.
Поэтому каждая обратная функция к функции, заданной в условии задачи, может быть получена следующим образом: g(l)—произвольное положительное число, g(0) = 0, g(—1)—произвольное отрицательное число:
1а при х = 1 (а > 0)
0 при х — 0
b при х = — 1 (Ь < 0).
Таким образом, множество обратных функций имеет мощность множества пар положительных действительных чисел, т. е. равна с2, где с — мощность континуума.
Но с2=с, так что множество функций, обратных к дан¬
ной в условии, имеет мощность континуума.
85
СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 1 ЗА 1972 г.
Аракелян К. Г., Енокян Д. М. (АрмССР, пос. Веди) — 1006—1008, 1010, 1012—1014, 1016—1018, 1021— 1023. Асаном М. (КазССР, Таласский р-н) — 1006—1009, 1011, 1012, 1017, 1022. Ахматов М. А. (Краснодарский край, г. Ейск) — 1006—1014, 1016, 1017, 1021—1024,
1027. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 1006— 1014, 1016—1019, 1021—1024. Богомолов А. П. (КазССР, г. Петропавловск) — 1006—1019, 1021—1023. Буд-
ков Н. П. (Рязанская обл.) — 1006—1030. Ветров К. В. (г. Братск) — 1006—1024. Владимиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест) — 1006—1014, 1016—1024, 1026—
1029. Войтович Ф. С. (г. Могилев) —1006—1010, 1012— 1014, 1016—1024, 1026—1028, 1030. Воронович Л. М. (Львовская обл.) — 1006, 1007, 1010, 1013, 1017, 1018. Вороновский Ю. (г. Днепропетровск) — 1006, 1007, 1009, 1010, 1012, 1016, 1018—1020, 1022, 1023. Георгиев Г. Б. (Болгария, Софийская обл.) — 1013, 1014, 1017, 1021—
1023. Головачев Е. А. (Белгородская обл.) — 1006—1024, 1026—1030. Давыдов У. С. (г. Гомель) — 1006, 1007, 1009—1014, 1016—1024, 1026, 1027, 1029. Деконтас А. А. (ЛитССР, г. йонава) — 1006, 1007, 1009, 1010, 1012— 1014, 1017—1019, 1022, 1023, 1027. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1006, 1007, 1009—1011, 1013, 1016—
1018, 1022, 1027. Кальвейт С. Р. (Кустанайская обл.) — 1009—1013, 1016—1019, 1021—1023. Каминский К. П. (Киевская обл.) — 1006—1008, 1010—1014, 1016—1023.
Карнаухов А. Ф. (Якутская АССР) — 1006—1014, 1016— 1025, 1027, 1029, 1030. Квасов А. (г. Минск) — 1016—
1019, 1021, 1022, 1024. Кугай И. И. (Новоград-Волын- ский) — 1006, 1007, 1013, 1014, 1017, 1022, 1023. Кухар- чук Н. С. (г. Брест) — 1006, 1007, 1009, 1010, 1013,
1015—1020, 1022, 1023, 1025, 1030. Манукьян М. О.
(КазССР, г. Петропавловск) — 1012—1014, 1016—1019, 1021—1023, 1027. Мокринская Р. (Горьковская обл.) — 1006, 1007. Мокринский В. (Горьковская обл.) — 1007—
1010. Мосян С. (г. Краснодар) — 1006, 1007, 1009, 1010,
1012. Мурзуненко Н. П. (Одесская обл.) — 1006, 1007, 1010, 1012, 1013, 1016, 1017. Нерсесян П. Н. (АзССР, пос. Гадрут) — 1006, 1007, 1009—1014, 1016—1019,
1021—1024. Нощенко В. Ф. (Ворошиловградская обл., г. Лисичанск) — 1006, 1010, 1013, 1017—1019, 1021, 1022,
1024. Повелий В. И. (Ровенская обл.) — 1007—1014,
1016—1019, 1022, 1024—1026, 1028, 1029. Сакович Т. Н. (г. Брест) — 1006, 1007, 1010, 1012, 1013, 1016, 1018, 1022, 1025. Симеонов А. А. (Болгария, г. Бов) — 1026- ЮЗО. Сокольников А. (Москва) — 1006—1008. Сукон- ник Я. Н. (г. Киев) — 1006, 1007, 1010—1014, 1016—1019, 1021—1025, 1030. Сысуев Г. Я. (Хабаровский край) — 1006, 1007, 1009—1014, 1017—1019, 1021—1023, 1027.
Токпаев А. В. (г. Казань) — 1006—1026, 1029, 1030.
Усманов Ю. X. (УзССР, Ферганская обл.) — 1006, 1007, 1010, 1012, 1022. Фесенко В. Д. (г. Чимкент) — 1006— 1008, 1010, 1012, 1013, 1018, 1021, 1023. Хребет Н. Ф. (г. Днепропетровск) — 1006, 1007, 1010, 1012—1014, 1016,
1017—1022, 1027. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 1006— 1010, 1012—1024, 1026, 1027, 1030, Чепкасов Г. С.
(г. Краснодар) — 1006—1013, 1016—1019, 1022—1024.
Математические кружки: 10-й школы г. Ангарска
(рук. В. А. Васильева) — 1006—1024, 1026, 1027; восьмых классов 145-й школы г. Киева (рук. И. Г. Габо- вич) _ 1006—1014, 1018, 1021—1023; школы-интерната при Ханойском пединституте, ДРВ (рук. Нгуен Конг Кви) — 1006—1016, 1020—1023, 1026, 1029; 178-й школы г. Киева (рук. И. А. Кушнир) — 1006—1025, 1030.
Примечание. В сводку не включены фамилии тех авторов, решения задач которых оформлены не по правилам (см. N° 6 за 1969 г. или № 1 за 1971 г.).
Математический календарь на 1972 /73 учебный год
Ноябрь
6 ноября — 60 лет со дня смерти русского математика и физика Эразма Корнелиевича Ш п а ч и н- ского (1848—1912). После окончания Киевского университета Шпачин- ский работал в средних учебных заведениях Украины. С 1886 г. он издавал «Журнал элементарной математики», основанный В. П. Ермаковым в 1884 г. Продолжением этого журнала был «Вестник опытной физики и элементарной математики», издававшийся в Киеве в 1886—1891 гг., а затем в Одессе с 1891 по 1917 г.
Э. К. Шпачинский был фактическим организатором этого журнала и его редактором до 1898 г. (см.: А. П. Юшкевич. История математики в России. М., 1968).
7 ноября — 100 лет со дня смерти немецкого математика Рудольфа Фридриха Альфреда К л е б ш а (1833—1872). Клебш был профессо¬
ром в Геттингене. Основные его работы относятся к тёории инвариантов алгебраических форм, которую он применил к проективной геометрии. Его лекции по геометрии, изданные немецким математиком Ф. Линдема- ном (1852—1939), являются классическим пособием по проективной геометрии. В этих лекциях, в частности, рассмотрены главные вопросы геометрии треугольника. Клебш основал журнал «Математические анналы», который около 60 лет был ведущим математическим журналом (см.: Ф. К л е й н. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Ч. 1. М.—Л., 1937; Д. Я. С т р о й к. Краткий очерк истории математики. М., 1964).
16 ноября — 75 лет со дня рождения советского математика, академика АН УССР Иосифа Захаровича Ш т о к а л о (см.: «Математика в
школе», 1967, N2 5).
21 н о я б р-я—60 лет-со дня рождения советского математика Базар- бая Мамбетовича Уразбаева. Он
родился в с. Кара-Унгур Чимкентской обл., окончил Ленинградский университет (1935), доктор физико-математических наук (1964), профессор (1965), член-корреспондент АН Казахской ССР (1967). С 1937 г. Уразбаев работает в Казахском пединституте. Его труды относятся к алгебре (см.: «История отечественной математики». Т. 4(2). Киев, 1970).
22 ноября — 90 лет со дня рождения советского педагога-математи- ка и популяризатора Якова Исидоровича Перельмана (см.: «Математика в школе», 1958, N2 3; «Квант», 1971, N2 3).
23 ноября — 60 лет со дня рождения советского математика и механика Нагуша Хачатуровича А р у- т ю*н я н а. Он родился в г. Ереване, окончил Московскую Высшую воен- ночинженерную академию (Т936), доктор технических наук (t948), профессор (1949), академик АН Армянской ССР (1950). С 1945 г. работает в Институте математики и механики АН
86
Армянской ССР и с 1950 г.— также в Ереванском университете. Основные труды Арутюняна относятся к математической физике, приближенным и численным методам (см.: «История отечественной математики». Т. 4(2). Киев, 1970).
26 ноября — 80 лет со дня рождения советского математика Ивана Николаевича Веселовского. Он родился в Москве, окончил Московский университет (1916), доктор физико-математических наук (1952), профессор (1953). С 1921 г. Веселовский оаботаег в Московском высшем техническом училище. Его основные труды относятся к истории математики (см.: «История отечественной
математики». Т. 4(2). Киев, 1970).
Декабрь *
1 декабря —180 лет со дня рождения гениального русского математика Николая Ивановича Лобачевского (см.: «Математика в
школе», 1948, № 2; 1956, № 3; 1962, № 6).
6 декабря — 70 лет со дня рождения советского математика и механика Николая Гурьевича Чет а ев а (1902—1959). Четаев родился в г. Ка- радули Татарской АССР, окончил Казанский университет (1924), профессор (1930), доктор физико-математи- ческих наук (1938), член-корреспондент АН СССР (1943). Четаев работал в Институте механики АН СССР и Московском университете. Его научные интересы были очень разнообразны. Вопросы аналитической динамики, устойчивости движения, математической физики, теории дифференциальных уравнений и другие всю жизнь волновали этого выдающегося ученого. Четаев является автором
монографии «Устойчивость движения» (изд. 1. М., 1946; изд. 2. М., 1958), сыгравшей большую роль в деле развития теории устойчивости как у нас в стране, так и за рубежом.
Четаев получил результаты, имеющие большое практическое значение для баллистики, точного приборостроения и других областей науки и техники. В 1960 г. Н. Г. Четаеву была присуждена (посмертно) Ленинская премия за работы по устойчивости движения и аналитической механике, опубликованные в 1952—1958 гг. (см.: «Известия АН СССР». Отд. техн. наук. Механика и Машиностроение, 1959, вып. 6; «Прикладная математика и механика», 1960, 24, № 1; 1969, 33, № 6; «Труды Казанского авиационного института», 1959, т. 45).
6 декабря — 75 лет со дня рождения советского историка математики Эрнста Кольмана (см.: «Математика в школе», 1967, N2 5).
15 декабря — 170 лет со дня рождения выдающегося венгерского математика Яноша Больяи или Бойяи (см.: «Математика в школе», 1961, № 6; 1962, № 6).
15 декабря — 70 лет со дня рождения советского математика Владимира Ивановича Крылова. Он родился в с. Красный Яр Куйбышевской обл., окончил Ленинградский университет (1929), доктор физико- математических наук, профессор (1951), академик АН Белорусской ССР (1956). В 1930—1956 гг. работал в Ленинградском университете, с 1956 г. работает в Институте математики АН БССР. Основные труды
В. И, Крылова посвящены приближенным и численным методам, вычислительной математике, теории
функций, дифференциальным и интегральным уравнениям, вариационному исчислению (см.: «История отечественной математики». Т. 3—4. Киев, 1968—1970).
22 декабря — 250 лет со дня смерти французского механика и математика, члена Парижской АН Пьера Вариньона (1654—1722). Его труды посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Главные заслуги Вариньона относятся к геометрической статике. В 1887 г. он представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики», в котором дал четкую формулировку закона сложения сил по правилу параллелограмма, предложил весьма удобный прибор для наглядного опытного доказательства этого закона, развил понятие момента сил и дал геометрическое доказательство теоремы о том, что момент равнодействующей двух сходящихся сил равен сумме моментов слагаемых сил. В 1725 г. в Париже посмертно был издан трактат Вариньона «Новая механика, или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменения сохранившееся в учебниках статики до настоящего времени (см.: «Биографический словарь деятелей естествознания и техники». Т. !. М., 1958).
24 декабря —150 лет со дня рождения известного французского математика, члена Парижской АН Шарля Э р м и т а (см.: «Математика в школе», 1967, № 5).
▲. И. БОРОДИН
(г. Донецк)
К 120-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ АНДРЕЯ ПЕТРОВИЧА КИСЕЛЕВА (1852—1940)
12 декабря (30 ноября) 1972 г. исполняется 120 лет со дня рождения выдающегося русского педагога-ма- тематика Андрея Петровича Киселева.
Дочь А. П. Киселева, Елена Андреевна Киселева-Билимович, художница, ученица И. Е. Репина, проживает в Югославии. Она прислала автору этих строк некоторые материалы из сзоего семейного архива. Среди них письмо А. П. Киселева к ней от 28 февраля 1934 г. Это время было примечательным в жизни Андрея Петровича. За свои педагогические труды Андрей Петрович был награжден правительством орденом Трудового Красного Знамени. В последующие годы учебники А. П. Киселева по арифметике, алгебре и геометрии становятся надолго ста¬
бильными учебниками советской школы. Престарелый А. П. Киселев с интересом следит за жизнью школы. Характерно, что его письмо к дочери почти целиком посвящено описанию его встреч с учениками. Вот отрывок из этого письма.
«В последнее время мне пришлось еще фигурировать в двух случаях. Я был приглашен на так называемый «академбой», т. е. на соревнование учащихся некоторых групп в решении математических задач. Это происходило в Академии наук в присутствии многих преподавателей и профессоров, а также и президента Академии наук старика Карпинского. Хотя я был и полубольной, но все-таки поехал (за мной был прислан автомобиль). До конца я недосидел. Перед моим отбытием меня попросили
сняться в группе с учащимися, что я и сделал. У меня просили разрешения явиться ко мне на квартиру вечером с группой учащихся для знакомства со мной и беседы. Я согласился. Приехали к нам человек 11 — 12, из них один художник, он же и фотограф. Пили чай и беседовали, меня просили рассказать вкратце свою биографию. Сделан был очень удачный фотографический снимок. Художник набросал мой портрет».
Выйдя в 1901 г. в отставку, А. П. Киселев переехал из Воронежа в Петербург. Все силы в течение своей жизни А. П. Киселев отдавал усовершенствованию своих учебников.
Н. Я. ЦЫГАНОВА
(Волгоград)
87
ЗА РУБЕЖОМ
ФАМ ВАН ХОАН, ЧАН ФУК ЧИНЬ
(ДРВ)
О ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ ДРВ 1
В действующей программе по математике для обычных старших классов вьетнамской общеобразовательной школы мало материала по векторной алгебре и ее приложениям. В курсе алгебры для VIII класса даются лишь понятия о векторе, сумме двух векторов, сообщается соотношение Шаля. В дальнейшем не дается никакого приложения теоремы Шаля, кроме ее применения к вопросу о параллельном переносе осей координат в X классе.
Векторная алгебра занимает более видное место в курсе математики VIII и IX математических классов. Здесь элементы векторной алгебры (сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов) вместе с методом координат используются для построения курса геометрии (планиметрии и стереометрии) и служат эффективным средством для изложения разнообразных вопросов алгебры, тригонометрии, физики и техники. При изучении элементов векторной алгебры учащиеся математических классов знакомятся с моделями группы и векторного пространства.
Проект новой программы по математике для обычных классов вьетнамской общеобразовательной школы предполагает увеличение объема сведений по векторной алгебре. Основные элементы векторной алгебры на плоскости и ее геометрические приложения, предусмотренные проектом новой программы, давались в течение 1971/72 учебноро года ученикам обычного VIII класса (14—15 лет) ханойской общеобразовательной школы имени Чинг-Выонга на факультативных занятиях, рассчитанных на 60 часов. Они проводились по следующему плану.
1. Понятие о множествах. Алгебра множеств: объединение, пересечение, разность двух множеств. Понятие об отображениях множеств. 4 часа
1 См. «Математика в школе», 1970, № 5; 1971, № 2.
2. Понятие о векторах. Сложение и вычитание векторов. Понятие о группе. б часов
3. Понятие о геометрических преобразованиях как об отображениях плоскости на себя. Умножение геометрических преобразований. Понятие о перемещениях. Осевая симметрия. Параллельный перенос. Скользящая симметрия. Центральная симметрия.
Поворот. Классификация перемещений. 10 »
4. Умножение вектора на число. Абсцисса вектора и точки на прямой. Проекция вектора на ось. Теорема Фалеса и ее приложения. Координаты вектора и точки на плоскости. 10 »
5. Подобные преобразования. Гомотетия.
Подобие. Классификация подобных преобразовании. Признаки подобия треугольников и многоугольников. 10 »
6. Скалярное произведение векторов. Его применения. Метрические соотношения в треугольнике. Теорема Пифагора; теорема косинусов; теорема синусов. 10 »
7. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой. Некоторые простейшие задачи, решаемые с помощью уравнения прямой.
Уравнение окружности. Множество точек, имеющих данное свойство. 10 »
На факультативных занятиях не рассматривались вопросы, подробно изучаемые в обязательном курсе геометрии VIII класса, как, например: некоторые применения гомотетии и подобия, метрические соотношения в окружности и т. п.
При изложении основных элементов векторной алгебры и ее геометрических приложений на факультативных занятиях мы руководствовались следующими положениями:
1. Изложение материала, с одной стороны, должно соответствовать современным концепциям математики, а с другой стороны, быть доступным учащимся. Для этого широко использовались конкретные примеры, жизненный опыт и знания учащихся, наглядные чертежи перед введением новых, трудных понятий и теорем современной математики. Проводились также разнообразные примеры применения изученных понятий и теорем. Так, например, перед введением понятия о группах учащиеся разбирали особенности множества целых чисел относительно операции сложения и множества положительных рациональных чисел относительно операции умножения. Потом они постепенно пришли к общему определению группы. После этого они решали такие упражнения: «показать, что множество из одного элемента, являющегося нулем, {0}, образует группу относительно сложения; показать, что множество из одного элемента, являющегося единицей, {1}, образует группу относительно умножения». При изучении соответствующих тем задавались такие вопросы: «Образует ли группу множество векторов относительно сложения векторов?»; «Образует ли группу множество параллельных переносов относительно умножения параллельных переносов?»; «Образует ли группу множество поворото;з с общим центром относительно умножения поворотов?»; «Образует ли группу множество гомотетий с общим центром относительно умножения гомотетий?» и т. п. Задавались также некоторые контрпримеры о группе
2. При изучении алгебры множеств и особенно векторной алгебры проводились необходимые сопоставления с алгеброй чисел. Это содействовало лучшему пониманию учащимися новых для них алгебр.
3. Мы тесно связывали изучение векторной алгебры с физикой. Так, например, вопросы о составлении равнодействующей двух данных сил, скоростей служили поводом для введения сложения векторов. Умножение
88
векторов на число использовалось для решения задачи на нахождение центра параллельных сил. Перед введением определения скалярного произведения двух векторов учащиеся повторили, что величина работы равна произведению силы на пройденный путь и на косинус угла между направлением силы и направлением движения. Это помогало учащимся лучше понимать векторное исчисление, его пользу.
4. При изучении элементов векторной алгебры и аналитической геометрии большое внимание уделялось тому, чтобы учащиеся хорошо усвоили общие правила без помощи чертежа: «правило трех точек» для суммы и разности векторов; выражение расстояния между двумя точками по их координатам и т. п. Благодаря этому учащиеся могли абстрактно, без помощи чертежа использовать метод векторов, метод координат для решения ряда задач.
5. Давались разнообразные практические задачи, показывающие применение изученного материала к решению практических вопросов. Приведем некоторые примеры.
а) Из точки, данной на берегу реки, отправляется к противоположному берегу катер со скоростью 40 км/ч. Скорость течения реки 5 км/ч. В каком направлении следует плыть катеру, чтобы прибыть в ближайшую точку противоположного берега реки?
б) Лодка имеет собственную скорость V\ — 4 км/ч, скорость течения реки v2 — 3 км/ч. Зная, что направления V\ и v2 перпендикулярны, найти скорость лодки на реке.
в) Два села Ли В находятся на разных параллельных берегах реки. Где надо построить мост CD через реку, чтобы сумма расстояний AC, CD, DB была наименьшей?
6. Давались многие геометрические приложения векторной алгебры. Учащимся предлагались разнообразные геометрические задачи, быстро и изящно решаемые методом векторов, методом координат, чтобы они осознали мощность таких методов. Приведем примеры.
а) Векторным методом доказать теорему о средней линии треугольника, теорему о средней линии трапеции.
б) Отрезок АЕ составляет две трети медианы AD треугольника А ВС. Выразить вектор ОЕ через векторы а = ОА, Ъ = ОВ, с = ОС. Как воспользоваться полученным результатом для доказательства теоремы о том, что 3 медианы треугольника пересекаются в одной точке?
в) Пользуясь скалярным произведением векторов, доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны между собой.
г) Векторным методом доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
д) Векторным методом доказать следующие теоремы:
Сумма квадратов двух сторон треугольника равна
половине квадрата третьей стороны плюс удвоенный квадрат медианы, проведенной к этой стороне.
Разность квадратов двух сторон треугольника равна удвоенному произведению третьей стороны на проекцию медианы, проведенной к этой стороне.
ABCD — прямоугольник, М — произвольная точка плоскости. Доказать, что МА2 + МС2 — MB2 -f- MD2.
е) Найти множество точек:
сумма квадратов расстояний которых от концов данного отрезка есть величина постоянная;
разность квадратов расстояний которых от концов данного отрезка есть величина постоянная;
расстояния каждой из которых до двух данных неподвижных точек А и В находятся в постоянном отношении k Ф 1;
сумма (или разность) расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых равна постоянной величине;
сумма расстояний которых до сторон квадрата равна постоянной длине.
7. Мы стремились так излагать материал, чтобы ученикам было легко изучить стереометрию в двух последующих классах третьей ступени. В будущем именно понятия векторной алгебры и их применения на плоскости способствуют лучшей подготовке к плодотворным обобщениям их в трехмерном пространстве Так, например, в курсе излагались все свойства операций над векторами, метод координат на прямой и на плоскости с использованием свойств умножения вектора на число и проекций вектора на ось и г. п.
При изложении этого курса должное внимание уделялось выяснению сущности отношений эквивалентности, в том числе и отношений конгруэнтности, равенства, изоморфизма Кроме того, вводилось понятие алгебраической операции и рассматривались свойства операций, являющиеся аксиомами структур группы и векторного пространства.
Опыт показал, что изложенный материал был доступным учащимся VIII класса, вызывал у них большой интерес, содействовал расширению их математического кругозора и развитию их мышления, вооружал учащихся векторным и координатным методами, которые помогали глубокому, прочному усвоению курса планиметрии, а также быстрому, Изящному решению различных задач.
ХРОНИКА
«Педагогические чтения», посвященные 50-летию образования СССР
Н. Д. МАЦЬКО
(г. Киев)
РЕСПУБЛИКАНСКИЕ «ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ» В УССР
28—29 марта 1972 г. в Киеве состоялись республиканские «Педагогические -чтения», посвященные 50-летию образования СССР.
На секции методики математики было заслушано более 20 докладов, посвященных актуальным вопросам современного обучения в школе. В работе «Педагогических чтений» приняли участие учителя математики школ, преподаватели вузов, аспиранты, научные работники НИИ педагогики УССР.
С большим интересом был заслушан доклад доктора педагогических наук, профессора И. Ф. Тесленко, в котором был дан глубокий анализ математического образования в СССР за 50 лет и изложены основные требования, предъявляемые к современному школьному образованию. Особое внимание было уделено необходимости приближения языка и стиля школьного курса математики к языку и стилю современной математики.
Большое внимание было уделено вопросам методики изучения математики по новой программе в IV— VI классах. С докладом «Первые результаты изучения алгебры в VI классе» выступили учитель экспериментальной школы Ю. И. Малеванный и доцент КГПИ имени А. М. Горького 3. И. Слепкань (Киев). Они остановились на трудностях, связанных с перегрузкой программы и несовершенством в некоторых местах пробного учебника по алгебре, и внесли конкретные предложения по их устранению, дали подробный анализ достигнутых результатов в обучении.
Опытом работы по развитию математического мышления учащихся поделился заслуженный учитель школы УССР В. Г. Коваленко (г. Светловодск). Рассматривая процесс обучения математике как познавательный процесс, направленный на поиски и открытия истины, он
указал на необходимость развития у учащихся характерных для математического мышления структур мыслительной деятельности. Остановившись на вопросе о типах и структуре уроков при проблемном обучении математике учащихся IV—VIII классов, привел примеры подготовительных уроков и подготовительных этапов уроков в подготовке учащихся к самостоятельному изучению материала.
Е. М. Семенюк (г. Черновцы) указала на ряд эффективных методов по предупреждению неуспеваемости на уроках математики в IV—V классах.
Интересным был доклад «Психолого-педагогические особенности программированного обучения» В. А. Слав- нина (г. Евпатория) из опыта работы в автоматизированном классе.
Выступая с докладом «Из опыта использования материалов XXIV съезда КПСС на уроках и во внеклассной работе по математике» В. С. Овсюхно (Киевская обл.) ознакомил слушателей со сборником задач, составленным коллективом учащихся на материалах XXIV съезда КПСС и своего родного села.
О. М. Падун (Львовская обл.) остановился на психологических особенностях мышления учащихся при решении математических задач.
Т. Н. Хмара (Киев) в своем докладе, остановившись на опыте факультативного изучения темы «Дополнительные вопросы арифметики», показала эффективность изучения элементов теории чисел с позиций теории отношений.
В докладе «Геометрические преобразования в IV— V классах» Л. Г. Чашечникова (Кировоград) дала характеристику разработанной ею системы упражнений и продемонстрировала оригинальные наглядные пособия, подготовленные и применяемые при изучении данного материала.
Е. Т. Мыкыта (Львовская обл.) в докладе «Подготовка и использование дидактического материала на уроках математики» рассказал о своем опыте работы в школе и дал целый ряд интересных и полезных предложений по отбору и изготовлению дидактического материала и практического его использования.
Тематическому учету знаний учащихся и улучшению системы контроля знаний были посвящены доклады Е. А. Ивинской (Днепропетровская обл.), В. И. Лука- вецкого (Сумская обл.), М. Н. Жомнир (г. Дрого- быч).
С докладом о формах и содержании внеклассной работы выступила В. Н. Осинская (Ворошиловградская обл.).
Вопросы формирования пространственных представлений на уроках геометрии и черчения в восьмилетней школе, а также взаимосвязи между геометрией и черчением были рассмотрены в докладе Н. Д. Мацько (Киев).
Актуальным вопросам математической подготовки учащихся профтехучилищ посвятила свой доклад кандидат педагогических наук Е. С. Дубинчук (Киев). Отмечая недостаточную математическую подготовку большинства учащихся, поступающих в средние профтехучилища, она остановилась на ряде трудностей изучения математики, в частности на вопросе выравнивания знаний учащихся, устранение этих трудностей требует осуществления системы организационно-методи- ческих мероприятий, учитывающих достижения современной дидактики.
Сообщения В. П. Криволапова (Киев, физико-математическая школа) касались введения логических понятий при изучении алгебры.
Разнообразие тематики, демонстрация таблиц, контролирующих устройств, моделей, дидактического материала способствовали, живой и интересной работе секции.
90
А. М. АЛИЕВ
(г. Баку)
«ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ» в АзССР
Одной из форм изучения, обобщения и распространения передового опыта являются «Педагогические чтения».
В республике «Педагогические чтения» проводились в три этапа: межшкольные, районные (городские) и республиканские.
В целях сосредоточения внимания учителей на актуальных вопросах обучения и воспитания на уроках математики были разосланы школам республики примерная тематика «Педагогических чтений» и порядок их проведения. При районных (городских) отделах народного образования были созданы экспертные комиссии по предметам.
В секциях математики межшкольных «Педчтений» приняли участие более 5 тыс. учителей, из них 70% — сельские учителя. Все они изучали передовой опыт лучших учителей, проводили эксперименты, работали над научными и методическими вопросами преподавания математики. Нужно отметить, что эта работа повысила уровень подготовки учителей, раскрыла сущность, структуру и основные направления новых программ и учебников.
В районных (городских) «Педчтениях» приняли участие более 5 тыс. человек, с докладами выступили более 500 учителей. В обсуждении этих докладов активное участие приняли около 2 тыс. учителей.
Содержание докладов показало, что учителя математики республики интересуются вопросами современного математического образования, внедряют новейшие методы обучения.
Повышение теоретического уровня школьной математики, правильное сочетание индуктивного и дедуктивного методов, преемственность в преподавании, межпредметные связи, политехнизация обучения, логическая стройность изучаемого материала, повышение воспитательного значения школьной математики — вопросы, которые обсуждались на секциях математики. На секции математики было представлено более 100 докладов, 23 из них рекомендованы на республиканские «Педчте- ния». По содержанию эти доклады можно разделить на шесть групп.
Первая группа докладов посвящена методике преподавания по новым программам, а также некоторых тем по старой программе.
Так, в докладе «Об использовании понятия функции в курсе геометрии средней школы» (преподаватель АПИ имени В. И Ленина Ш. Шахбазова) функция определяется как отображение двух множеств, а геометрические фигуры как множества точек. На этой основе излагаются геометрические преобразования. В докладе «Изучение функции и производной» (учитель Агдамско- го района Ф. Гумбатов) предлагается один из вариантов изучения производной в VIII классе. Автор доклада «Изучение метода математической индукции в средней школе» (учитель Геокчайского района С. Халилов) предлагает некоторые теоремы элементарной математики доказывать методом математической индукции.
Вторая группа докладов посвящена дидактическим вопросам преподавания математики. К ним относятся доклады: «Из опыта создания проблемной ситуации на уроках геометрии» (научный сотрудник Азербайджанского НИИ А. Нурушов), «Из опыта формирования поисковых способностей у учащихся в процессе самостоятельной работы» (учитель Ахсуинского района
С. Мамедов), «Из опыта развития логического мышления учащихся на первых уроках стереометрии» (учитель
Таузского района А. Пашаев), «Пути индивидуального обучения на уроках математики» (учитель Исмаиллин- ского района Б. Масимов), «Из опыта развития творческих способностей учащихся на уроках математики» (учитель г. Степанакерта Р. Гаспарян и учитель Дже- браильского района С. Байрамов).
Эти доклады говорят о том, что учителя математики нашей республики, не дожидаясь полного перехода на новые программы, изучают все новое, совершенствуют традиционные методы обучения, повышают математическую подготовку.
Применение дидактических материалов, наглядных пособий, а особенно технических средств обучения способствует осуществлению индивидуального подхода к учащимся, развитию их самостоятельности, увеличению плотности урока. Именно этим вопросам, а также воп- просам обратной связи, без которой нельзя добиться высокого качества обучения, посвящены доклады третьей группы. К ним относятся следующие: «Об эффективности обучения в автоматизированном кабинете математики» (учитель г. Сумгаита Я. Бунятов), «Из опыта интенсификации уроков математики в IV—V классах» (учительница г. Сумгаита С. Эрлих), «Использование электротабло в обучении функциям» (учитель Джали- лабадского района Ф. Керимов), «Изготовление диафильмов и их использование на уроках математики в старших классах» (учитель г. Сумгаита Я. Айрапетов), «Из опыта изготовления наглядных пособий» (учитель г. Баку А. Гаджиев).
Я. Бунятов силами учащихся создал автоматизированный кабинет математики, в котором сконструировано обучающее и контролирующее устройство. С помощью этого устройства автоматически обеспечивается выполнение инструкции «открывают» ответ, подают необходимые кадры.
В кабинете, кроме этого, имеются подвижные графики квадратных тригонометрических, показательных, логарифмических функций и др. В кабинете есть механизм, с помощью которого автоматически получается любой вид тела вращения, наборы различных классных математических инструментов, чертежно-письменных принадлежностей для каждого учащегося, задачники для разных классов, печатные наглядные пособия по всем разделам школьной математики.
Участники «Педагогических чтений» с большим вниманием прослушали доклад Я. Бунятова, а на другой день побывали в школе и ознакомились с автоматизированным математическим кабинетом.
В своем докладе учитель математики школы № 11 г. Сумгаита Я. Айрапетов подчеркнул, что процесс изготовления диафильмов учащимися очень положительно влияет на их подготовленность, развитие обшей математической культуры.
Четвертая группа докладов посвящена работе учителя математики над ошибками, допускаемыми учащимися, и опыту работы со слабыми учащимися.
Доклады пятой группы «Из опыта развития диалектико-материалистического мировоззрения на уроках математики» (учитель Хатынлинской средней школы Таузского района А. Пашаев) и «Математика, эстетика и речь» (учитель школы № 4 Шамхорского района
О. Шыхлинский) посвящены воспитательным вопросам преподавания математики. В них рекомендуется на уроках и внеклассных занятиях пользоваться материалом из истории математики. Для развития общей математической культуры, интереса к математике О. Щыхлин- ский предлагает проводить физико-математические, историко-математические, математико-биологические вечера.
По организации и проведению факультативных занятий в республике накопился богатый опыт. Учителя творчески подходят к вопросам методики изложения
91
тем факультативных курсов. На занятиях они приме* няют различные методы обучения; учат учащихся предлагать рациональные способы решения или доказательства задач, решать задачи теоретического характера. Участникам факультативных занятий предлагается составлять математические задачи на основе местного материала.
В докладах шестой группы «Изучение элементов аналитической геометрии в курсе средней школы и на факультативных занятиях» (доцент кафедры методики преподавания математики АПИ имени В. И. Ленина
С. Садыхов), «Из опыта составления и решения задач по математике на основе местных материалов» (доцент кафедры методики преподавания математики АПИ имени В. И. Ленина И. Алиев), «Геометрические преобразования в факультативном курсе VIII класса» (кафедра методики преподавания математики АПИ имени
В. И. Ленина С. Алышова), «О преподавании элементов теории вероятности на факультативных занятиях» (директор республиканского ИУУ Б. Велиев) были изложены вопросы методики преподавания отдельных тем, организации и проведения факультативных занятий.
А. Н. БОГОЛЮБОВ, Э. Г. ЦЫГАНКОВА
(г. Киев)
О ПРИСУЖДЕНИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ МЕДАЛИ ИМЕНИ А. КОЙРЕ ЗА ЛУЧШИЙ ТРУД ПО ИСТОРИИ НАУКИ
Во время проходившего в Москве в августе 1971 г. XIII Международного конгресса по истории науки состоялись заседания Совета и Генеральной ассамблеи Отделения истории Международного союза историков и философов науки, а также Ассамблеи Международной академии истории наук, где был рассмотрен вопрос о присуждении медали имени А. Койре лучшим работам по истории науки, вышедшим в свет в период между двумя последними конгрессами (1967—1971).
Этой высокой награды было удостоено многотомное издание «История отечественной математики», созданное большим коллективом советских историков науки и математиков. Медаль была вручена академику АН УССР И. 3. Ш т о к а л о как ответственному редактору, заместителям ответственного редактора члену-кор- респонденту АН УССР А. Н. Боголюбову и профессору А. П. Юшкевичу.
Исследования по истории науки в XIX столетии проводились без какой-либо системы, исключительно за счет специальных интересов отдельных ученых. В таком именно плане создавалась известная «История математики» в четырех томах, написанная Монтюкля и изданная Лаландом в 1799—1803 гг.
В Pqcchh курс истории математики написал знаменитый народоволец П. Л. Лавров («Очерк истории физико-математических наук». Морской сборник, 1865—1866). В области истории отечественной математики в старой России единственным знатоком-профессионалом был профессор Московского университета В. В. Бобынин. Историей науки занимался и П. Л. Чебышев, а на Украине — его ученик, профессор Киевского университета, впоследствии академик, Д. А. Граве. Некоторые вопросы общей истории математики исследовал профессор Киевского университета Н. М. Бубнов.
В 1914 г., перед самым началом первой мировой войны, видный историк науки голландец Джон Сартон основал журнал «Изис», специально посвященный проблемам истории науки. В том же году по инициативе Анри Бэра и Джона Сартона Международный конгресс по истории и философии создал в своем составе секцию истории науки.
В 1928 г. в столице Норвегии г. Осло был учрежден Международный комитет по истории науки. 22 мая 1929 г. на I Международном конгрессе по истории науки этот комитет был преобразован в Международную академию истории наук. Одним из организаторов и первых членов академии был Александр Койре; первым ее президентом стал Анри Бэр.
Позже, в 1947 г., был создан Международный союз историков науки, в который через некоторое время вступили и ученые Советского Союза.
Таким образом, сейчас существуют две международные организации: собственно научная — Международная академия истории науки и научно-организационная - Международный союз историков и философов науки (философы науки вошли в состав союза в 1970 г.), в состав которого входят национальные комитеты.
В настоящее время в состав Международной академии истории наук входят 5 почетных академиков (в их числе академик И. И. Артоболевский, председатель правления Всесоюзного общества «Знание»), 97 действительных членов академии (среди них 9 советских ученых) и 113 членов-корреспондентов (13 советских ученых). Они представляют почти все области науки и техники и все страны, где проводятся соответствующие исследования.
Александр Койре, именем которого названа почетная медаль, был историком науки с мировым именем. Он изучал историю математики и механики главным образом новейшего периода. Широко известны и общепризнанны его исследования творчества Галилея. Умер он в 1964 г., а в 1966 г. Международная академия ‘истории наук учредила медаль его имени. Первое присуждение медали состоялось в 1967 г/, ею была удостоена капитальная монография американского ученого Б. Коэна, содержащая анализ научного наследия И. Ньютона.
Итак, в 1971 г. состоялось вторичное присуждение медали имени А. Койре. Большинство голосов было подано в пользу «Истории отечественной математики». При обсуждении отмечалось, что это произведение является первым в. мировой историко-математической науке, которое с такой полнотой раскрывает весь исторический процесс развития национальной (в данном случае— народов СССР) математики. Подчеркивалась большая научная ценность «Истории отечественной математики», представляющей собой не только исторический очерк развития науки, но и своеобразную энциклопедию советской математики.
«История отечественной математики» издана в пяти книгах, общим объемом почти 260 печатных листов, тиражом 20 000 экземпляров. Две первые книги посвящены истории математики с древнейших времен до 1917 г., три последующие освещают историю советской математики. В издании приняли участие ученые Российской Федерации, Украины, Молдавии, Белоруссии, Армении, Грузии, Азербайджана, Узбекистана и других республик. Значительный вклад был внесен учеными Москвы и Ленинграда. Вся организационная и издательская работа была выполнена в стенах Академии наук Украинской ССР и ее издательства «Паукова думка».
То, что медаль имени А. Койре привезена на Украину, свидетельствует о международном признании украинских историков математики и советской истории науки в целом.
92
В. Н. ШАПКИНА
(Москва)
0 РАБОТЕ СЕМИНАРА «СОВРЕМЕННЫЕ ИДЕИ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СССР И ЗА РУБЕЖОМ» 1
Семинар, руководимый членом-корреспондентом АПН СССР, заслуженным деятелем науки, профессором И. К. Андроновым, активно работает более десятка лет. Заседания семинара проходят ежемесячно, как правило, во второй четверг.
В работе семинара принимают участие преподаватели пединститутов и учителя средних школ. На заседаниях присутствовали представители пединститутов Москвы, Ленинграда, Калининграда, Кишинева, Горького, Тулы, Ростова-на-Дону, Орехово-Зуева, Душанбе, Еревана, Владивостока, Свердловска и других городов нашей страны.
Тематика докладов разнообразна, сообщения сопровождаются вопросами к докладчикам и обсуждением.
За прошедшие три года на заседаниях семинара были заслушаны следующие доклады.
1969/70 УЧЕБНЫЙ ГОД
1. «Элементы современной алгебры в средней школе» (факультативный курс в IX кл.) (9.Х.69 г., Я. А. Барыбина, Москва).
2. «Первый учитель математики российского юношества Л. Ф. Магницкий, положивший начало математической культуре в России» (в связи с 300-летием Л. Ф. Магницкого) (13.XI.69 г., И. К. Андронов, Москва).
3. «Функции и новые виды графической иллюстрации в связи с исследованием свойств функций» (11.XII.69 г., М. В. Злобина, г. Ставрополь).
4. «Пробуждение творческого интереса к математике у учащихся» (8.1.70 г., А. В. Пуляев, г. Донецк).
5. «Развитие обобщенного геометрического мышления на факультативных занятиях в школе» (12.11.70 г., Л. Я. Карасева, г. Псков).
6. «Развитие статистического мышления учащихся на факультативных «занятиях в школе» (12.111.70 г.,
Н. Н. Авдеева, Калининград).
7. «Элементы матричного исчисления на факультативных занятиях» (9.IV.70 г., Т. А. Чернышева/ г. Калинин).
1970/71 УЧЕБНЫЙ ГОД
1. «Современная методология математики и идеологическая борьба в теории наук» (1.Х.70 г., И. К. Андронов, Москва).
2. «Журналы «Элементарная математика» и возникший из него журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики», издаваемые профессорами математики В. П. Ермаковым (г. Киев) и В. Ф. Каганом (г. Одесса), и их роль в усовершенствовании математико-педагогической культуры учителей и учащихся дореволюционной России» (5.XI.70 г., Д. В. Охременко, г. Новозыбков).
3. «Преподавание математики в IX—X классах на основе объединения в единый курс программного материала и некоторых факультативов» (опыт работы в базовой школе № 352 Москвы) (З.Х 11.70 г., Я. В. Страти- латов, Москва).
1 Отчет о работе семинара за предшествующие годы помещен в журнале «Математика в школе», 1967, N° 4.
4. «Культура числа в школе» (7.1.71 г., Н. М. Олони- чев, г. Винница).
5. «100-летие Математической ассоциации английских педагогов-математиков и 75-летие ее печатного органа «The Mathematical Gazette» (4.II.71 г., В. Я. Шапкина, Москва).
6. «Формирование некоторых обобщающих понятий современной математики в курсе' математики средней школы» (4.111.71 г., Т. Т. Фискович, г. Ростов-на-До- ну).
7. «Педагогическое значение исторически возникших математических проблем и их разрешение заданными свойствами» (1.IV.71 г., 10. С. Свистунов, г. Абакан).
8. «Обзор итальянского научно-методического журнала «Архимед» за 1969—1970 годы» (6.V.71 г., И. Б. Шапошникова, г. Тула).
1971/72 УЧЕБНЫЙ ГОД
1. «Возникновение и развитие методического журнала «Zeitschrift fur mathematischen und naturwicsenschaft- lichen Unterricht», издававшегося в Германии в течение 70 лет. Его значение для усовершенствования учителей Европы» (14.Х.71 г., Л. П. Тарасов, г. Липецк).
2. «Психология математического творчества» (15.XI.71 г., Я. Г Федоров, г. Глазов).
3. «Опыт преподавания математики в IX—X классах с математическим уклоном» (16.XII.71 г.,Л. С. Новосельцева, Москва).
4. «О математическом образовании в Японии» (13.1.72 г., В. Я. Шапкина, Москва).
5. «Опыт преподавания прикладной математики и программирования в спецшколах» (10.11.72 г., В. Н. Романов, Москва).
6. «Тестовые формы проверки знаний учащихся по математике в школе» (9.111.72 г., Ю А Белый, г. Николаев).
7. «Система диафильмов по курсу геометрии VI класса по новой программе» (13.IV.72 г, В С. Семаков, г. Киров).
8. «Развитие интуитивно-логического мышления учащихся на факультативных занятиях р процессе изучения 4-мерного многообразия» (11.V.72 г., Г. В. Потапова, Москва).
А. Я. МАРГУЛИС
(Москва)
В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА (Год двадцать четвертый)
Заседание 16 сентября 1971 г. было посвящено рассказу о XIII Международном конгрессе по истории науки (Москва, 18—24 августа 1971 г.). О работах
математических секций конгресса рассказали Б. В Гнеденко, С. С. Демидов и А. Я. Маргулис (см.: «Математика в школе», 1972, № 1).
Секция поздравила академика Я. С. Александрова с 50-летием работы в МГУ.
21 октября 1971 г. С. И. Зетель в докладе «Пифагоровы треугольники и возвратные последовательности» дал обобщение и решение до конца задачи, приведенной в книге В. Серпинского «Пифагоровы треугольники»: «Найти пифагоровы треугольники, катеты "которых выражаются последовательными числами». В связи с
93
этим * рассмотрены свойства последовательности 1, 3, 7, 17, 41, ..., ип+2 = 2ип + 1 + tin. Получен аналог
формул Бинэ для чисел Фибоначчи и другие интересные результаты.
На этом же заседании Р. С. Черкасов доложил об итогах XXIII Международного совещания учителей математики (ПНР, г. Краков, 20—26 августа 1971 г.;
см.: «Математика в школе», 1972, № 2).
18 ноября 1971 г. И. С. Петраков и В. А. Скворцов рассказали об итогах XIII Международной математической олимпиады (см.: «Математика в школе», 1971, № 6; «Квант», 1971, № 12).
На этом же заседании А. Я. Холомайзер поделился впечатлениями о преподавании математики в ГДР.
16 декабря 1971 г. А. Я. Маргулис в докладе «Архаизмы в практике преподавания математики» показал вред понятий «раскрытие неопределенностей», «истинное значение», «главное значение корня», «арифметический корень», обсудил возможность исключения из школьного курса операций над радикалами, рассмотрел связь и отличие понятий «корень двучленного уравнения» и «корень из числа».
На этом же заседании А. И. Фетисов предложил новый подход к понятию «мера многогранного угла». Мерой многогранного угла А. И. Фетисов считает разность между суммой мер всех его двугранных углов и мерой суммы внутренних углов многоугольника, полученного в сечении угла плоскостью, пересекающей все его грани.
20 января 1972 г. В. В. Фирсов и И. М. Яглом доложили о новых программах вступительных экзаменов в вузы по математике (см.: «Математика в школе», 1972, № 2).
1—3 февраля 1972 г. члены секции приняли участие во Всесоюзном семинаре «Пропаганда достижений физико-математической науки — важное средство ускорения научно-технического прогресса» (см.: «Математика в школе», 1972, № 4).
17 февраля 1972 г. сообщение А. М. Лопшица было посвящено арифметике точек плоскости (комплексным, дуальным и двойным числам).
Члены секции в феврале 1972 г. приняли участие в беседе «Современные проблемы математического образования». Выступали Б. В. Гнеденко, А. И. Колмогоров,
А. И. Маркушевич, С. Л. Соболев. План беседы: Роль математики в современном обществе. Математике нужно обучать с детства! Чему учить в школе? Математические способности и школы с математическим уклоном. Вступительные экзамены в вузы. Математика в высшей школе. Новые области математики — как им нужно обучать?
Вечер, посвященный памяти Д. Ф. Егорова, состоялся 22 февраля 1972 г. Выступили с докладами /7. С. Александров («Д. Ф. Егоров и Московская математическая школа»)., Д. Е. Меньшов («Работы Д. Ф. Егорова по теории функций») и В. С. Люкшин («Геометрические работы Д. Ф. Егорова»).
16 марта 1972 г. В. И. Левин рассказал о циклических неравенствах.
20 апреля 1972 г. В. А. Ефремович в докладе на тему «Элементарный подход к некоторым вопросам исследования кривых и поверхностей» дал элементарногеометрическое определение кривизны линий и поверхностей.
18 мая 1972 г. В. И. Лешковцев выступил с докладом на тему «Физика XXI века».
Заключительное заседание 15 июня 1972 г. было посвящено обсуждению доклада Г. В. Дорофеева «Действительные числа, комплексные числа, ... а дальше?»
А. Л. ФАЕРШТЕЙН
(г. Бельцы)
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
В течение десяти лет при Бельцском педагогическом институте имени Алеку Руссо работает научно-методический семинар учителей математики средних школ города и районов, которым руководит доцент В. М. Боцу.
Этот семинар имеет своей целью поднять научноидейный уровень преподавания в школах; активизировать методическую работу среди учителей; привлечь учителей школ к разработке методических вопросов совместно с работниками кафедры математики института.
Заседания семинара проводятся ежемесячно.
Среди тем, рассмотренных на семинаре, были следующие:
1) Вопросы модернизации школьного курса математики.
2) О съезде математиков.
3) Преподавание математики в IV—V классах по новой программе.
4) Использование векторной алгебры в преподавании математики.
5) Теория вероятностей в школьном курсе математики.
6) Элементы абстрактной алгебры в школьном курсе математики.
7) Оформление письменных работ по математике.
8) О преподавании математики в Канаде, США и ГДР.
С докладами выступили профессора В. Д. Белоусов. И. Ц. Г охберг, доценты пединститута г. Бельцы
В. М. Боцу, А. А. Боцу, П. К. Петрушин, А. С. Мейлех- зон, Н. М. Чернов, учителя А. И. Зозуля, Л. М. Лей- зерман, Г. М. Хабамеску, В. И. Ролинский, А. Л. Фаер- штейн и другие.
Доклады и выступления показали большую заинтересованность работников науки и учителей в улучшении качества знаний учащихся, в поисках наиболее эффективных методов их обучения.
На базе данного семинара в 1963 г. в г. Бельцы было создано Математическое общество учителей г. Бельцы и северных районов, председателем которого является В. М. Боцу.
М. И. БАШМАКОВ, В. А. ВОЛКОВ
(Ленинград)
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ СЕМИНАРЫ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ СЕВЕРО-ЗАПАДА РСФСР
В феврале 1971 г. при математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета имени А. А. Жданова (ЛГУ) был организован I семинар преподавателей математики и методики математики педагогических институтов Северо-Запада РСФСР.
Цель семинара — оказание научной и методической помощи преподавателям педагогических институтов учеными ЛГУ в связи с переходом физико-математических факультетов педагогических институтов на новые учебные планы и программы.
94
В работе семинара приняли участие 33 преподавателя педагогических институтов Архангельска, Вологды, Мурманска, Новгорода, Петрозаводска, Пскова.
Тематика семинара была посвящена двум актуальным вопросам: структуре, содержанию и построению основных математических курсов педагогических институтов, формам и методам работы со школьниками.
Участники семинара прослушали лекции члена-коррес- пондента АН СССР профессора Д. К. Фаддеева «Обзор развития алгебры», доктора физико-математических наук В. А. Залгаллера «Введение геометрических понятий», профессора Б. 3. Вулиха «Построение курса математического анализа», профессора В. В. Петрова «О теории вероятностей».
Формам и методам работы со школьниками были посвящены доклады доцента М. И. Башмакова «О формах работы математико-механического факультета ЛГУ со школьниками Северо-Запада РСФСР» и Ю. И. Нонина «О программе специализированной физико-математической школы-интерната при ЛГУ».
На семинаре обсуждались итоги полугодового опыта проведения практики-стажировки студентов педагогических институтов Вологды, Новгорода и Пскова при математико-механическом факультете ЛГУ.
Участники семинара присутствовали на уроках математики в школе-интернате № 45 и ознакомились с машинным парком вычислительного центра ЛГУ.
II семинар проходил в феврале 1972 г. и собрал 30 представителей педагогических институтов Северо-Запада РСФСР. На семинаре были заслушаны доклады профессора В. А. Плисса «О современном преподавании курса дифференциальных уравнений», Г. Е. Минца «Программа Гильберта», В. Н. Малоземова «Что такое исследование операций», доцента М И. Башмакова «Логические основы курса школьной математики», «Основные структуры школьной математики» (по докладу академика А. Н. Колмогорова), Т. В. Невской и
А. И. Соколовой «Формирование преподавательских навыков V студентов педагогических институтов».
На заключительном заседании были подведены итоги работы двух семинаров, намечены планы установления более тесных научных и научно-методических контактов институтов Северо-Запада РСФСР.
Очередное заседание семинара намечено провести в январе 1973 г.
В. Я. САННИНСКИЙ
(г. Тула)
СЕМИНАР ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ ПЕДИНСТИТУТОВ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЫ РСФСР
22—27 мая 1972 г. в Тульском педагогическом институте имени Л. Н. Толстого работал семинар повышения квалификации преподавателей методики математики пединститутов Центральной зоны РСФСР.
Семинар имел целью обсудить вопросы улучшения методической подготовки будущих учителей математики в условиях перехода школы и педвузов на работу по новым учебным планам и программам.
Кроме преподавателей методики математики пединститутов Центральной зоны в работе семинара принимали участие представители других зон Российской Федерации, группа слушателей ФПК при МОПИ имени Н. К. Крупской, учителя математики школ Тульской области и студенты математического факультета Тульского пединститута.
Участники семинара прослушали и обсудили теоретические доклады (перечисляются в хронологическом порядке):
1) «Функции задач в обучении математике» Ю. М. Колягина,
2) «Цели и содержание обучения математике в средней школе» А. И. Маркушевича,
3) «Развитие понятия функции в средней школе» И. И. Гайдукова,
4) «Алгебра и начала анализа в старших классах средней школы» Н. Н. Шоластера,
5) «Элементарные функции в математическом анализе и смежных курсах» С. В. Смирнова,
6) «Построение курса геометрии IX класса» 3. А. Ско- пеца,
7) «Уравнения и неравенства в курсе методики математики» П. А. Буданцева,
8) «Урок в курсе методики математики» В. Я. С аннинского,
9) «Построение курса геометрии восьмилетней школы» Р. С. Черкасова.
Кроме того, на семинаре состоялся обмен опытом по вопросам:
1) планирование учебного курса методики математики по новой программе,
2) требования к лекции по курсу методики математики,
3) содержание и организация практических и лабораторных занятий по курсу,
4) контрольные работы, зачеты и экзамены по методике математики,
5) методические спецкурсы, спецсеминары и курсовые работы.
Обсуждение перечисленных (и других) вопросов было достаточно активным. В большинстве выступлений содержалась информация, полезная для других преподавателей курса методики математики. Было высказано пожелание опубликовать материалы семинара в зональном сборнике.
Многие выступавшие говорили о том, что для улучшения методической подготовки студентов необходимы отвечающие новой программе учебник и задачник по курсу методики и другие учебные пособия.
В. К. СИДОРОВ, М. А. ДАНИЛОВ
(г. Уральск)
О РАБОТЕ ФИЛИАЛА ЗМШ ПРИ УРАЛЬСКОМ ПЕДИНСТИТУТЕ
Приказом министра просвещения РСФСР от 10 января 1966 г. при Уральском пединституте был создан филиал ЗМШ МГУ. За 6 лет работы Уральский филиал ЗМШ окончило около 200 человек, и, за редким исключением, все они избрали профессии, связанные с дальнейшим изучением и применением математики в практической деятельности.
Многие выпускники ЗМШ стали студентами вузов Москвы, Ленинграда, Алма-Аты, Новосибирска, Саратова, Куйбышева и других крупных научных центров нашей страны, студентами физико-математического факультета нашего института.
За последние 3—4 года количество желающих заниматься в ЗМШ увеличилось в 9 раз. На 1971/72 учебный год в Уральский филиал ЗМШ было зачислено 200 учащихся, а число присланных решений вступительной контрольной работы было более 450.
Уральский филиал ЗМШ пока единственный в Казахстане. Он имеет связи со всеми областными отде¬
95
лами народного образования республики, со многими средними школами.
Летом 1970 г. физико-математический факультет института организовал на турбазе «Уралочка» летнюю математическую школу для старшеклассников. В общей сложности за два года в школе занимались 50 учеников из 8 областей, а на июль 1972 г. прибыли 79 учеников из 10 областей Казахстана. Эти встречи учащихся, увлеченных математикой, представляют своеобразный слет, где все мероприятия — туристские походы, экскурсии в природу — были подчинены специальной программе и насыщены полемикой и жаркими дискуссиями.
Конечно, организация подобных школ связана с определенными трудностями и под 'силу лишь настоящим энтузиастам, которые истинно озабочены подготовкой будущих специалистов. К их числу можно отнести декана физико-математического факультета института кандидата физико-математических наук Н. С. Байгузо-
ОБ УКРУПНЕНИИ КАК ДИДАКТИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ
(письмо в редакцию)
Уважаемые товарищи!
В журнале «Математика в школе», 1972, № 3 помещены рецензии Г1. Ф. Пичурина и Н. М. Бескина на мою книгу «Методика упражнений по математике» (2-е издание, М., «Просвещение», 1970).
Оба рецензента правильно указывают, что основной темой книги служит разработка проблемы укрупнения единицы усвоения.
Однако второй рецензент полагает, что «положить в основу методики единственный или главный (?) принцип опасно (??)».
Считаю тут необходимым отметить, что в упомянутой книге укрупнение нигде не трактуется как единственный метод.
Однако указанная проблема заслуживает того, чтобы считаться на данном этапе одной из главных для школы. Почему?
Принципы науки, как известно, не вечны; они возникают как ответ на категорические требования эпохи, а общественная практика (учительство) оказывается высшим критерием их жизненности.
Принцип укрупнения обретает нынче общедидактическое звучание.
Так, вице-президент АПН СССР проф. А. Г. Хрипко- ва, характеризуя трудности перехода к новым программам, пишет следующее:
ва и заведующего кафедрой высшей математики доцента Ю. К. Суетина.
Целесообразность создания школ типа ЗМШ МГУ очевидна: расширяются возможности выявления будущих талантливых математиков, учащиеся более активно приобщаются к любимому предмету, определяются равные возможности использования творческих сил школьников города и села.
Работа ЗМШ приносит огромную пользу студентам, которые принимают участие в проверке контрольных работ и заданий школьников. Само участие в проверке контрольных заданий обязывает студентов более широко и творчески подходить к изучению математических дисциплин. Будущие педагоги, они скорее и естественнее включаются в сферу педагогической деятельности.
Общими усилиями вуза и школы необходимо активнее находить и закреплять эффективные формы профессиональной ориентации учащихся, одной из которых является организация ЗМШ.
«Дело в том, что усвоение большего количества информации за одно и то же время осуществимо только в том случае, если будут укрупнены «единицы усвоения».
Поучительно отметить, что пути укрупнения сейчас постепенно осваиваются и разрабатываются в разных аспектах, а по некоторым компонентам укрупнения уже успешно защищены несколько кандидатских диссертаций, например: о решении готовых задач и составлении задач учащимися как взаимосвязанных процессах (Е. И. Тальянова, Москва, 1971); о методе обратных задач (Ф. Ф. Семья, г. Киев, 1971); о совместном изучении функций, уравнений и неравенств (И. И. Степуро, г. Гродно, 1970) и др.
Примечательно в данной связи отметить, что в книге профессора Б. Л. Рождественского «Лекции по математическому анализу» («Наука», 1972) дифференциалы и интегралы рассмотрены одновременно, совместно.
Подобные факты, перечень которых можно продолжить дальше, говорят о том, что укрупнение единицы усвоения, как проблема дидактическая, вызывает, видимо, не опасения, а живой интерес педагогов, а потому будет разрабатываться как вширь, так и вглубь свежими молодыми силами исследователей.
Позвольте выразить благодарность журналу «Математика в школе» за обсуждение данной проблемы на своих страницах.
П. М. ЭРДНИЕВ
(г. Элиста)
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков,
А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов,
3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор Э. М. Боклаженко
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. &. Телефон редакции 283-85-83.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Сдано в набор 22/VIII 1972 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 12,48
Подп. к печати 28/IX 1972 г. Тираж 383 280 Бумага 84 X 108Vie Цена 45 коп. Заказ 385
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.
ПРИБОР ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ
При помощи прибора можно демонстрировать задачи на движение двух объектов как в одном направлении, так и в противоположном, а также функциональную зависимость между скоростью, време¬
нем и расстоянием. Скорости объектов могут быть и одинаковыми, и разными. Прибор можно использовать не только на уроках математики, но и на уроках физики.
УСТРОЙСТВО ПРИБОРА
1—вырезанный из фанеры циферблат с наклеен- блата имеется вырез. 2 — лист картона с рисунком
ной бумагой, на которой сделаны деления для города; 3 — минутная стрелка; 4 ~ деревянная рейка;
отсчета минут (см. рис^). В верхней части цифер- 5 — шестерня с восемью зубьями; 6 — рейка (4 шт.);
45 коп.
70557
Т — вырезанный из фанеры и собранный на клею блок (2 шт.). (Лучше его выточить на токарном станке.) 8 —картон с циферблатом для показаний часов. К нему крепится металлический диск 9 для скрепления циферблата 8 с шестерней 5. Шестерня 5, циферблат 8 и диск 9 крепятся на одной оси. 10 — ручка, при помощи которой прибор приводится в движение. Макеты
машин вырезаются из двойного картона и скрепляются тонкой проволокой в двух точках так, чтобы между ними остался зазор. Если в условии задачи даны скорости объектов, то они записываются на картонные четырехугольники и прикрепляются к рейке после первого часа движения объектов.
РАБОТА С ПРИБОРОМ
Задача 1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали две машины, одна со скоростью 80 км/ч, другая со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Макет легковой машины прикрепляется на нить блока большего диаметра, макет грузовой машины — на нить блока меньшего диаметра. При вращении ручки по часовой стрелке макеты машин будут двигаться в противоположных направлениях. Минутная стрелка, сделав един оборот, задевает шестерню, и в вырезе циферблата появляется цифра 1 (это значит, что машины находятся в движении 1 час). За три оборота ручки з вырезе циферблата появится цифра 3. Искомое расстояние между машинами видно на приборе.
Задача 2. Из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, вышли одновременно навстречу друг другу товарный и пассажирский поезда. Они встретились через 4 часа. Какова скорость пассажирского поезда, если скорость товарного поезда 65 км/ч?
Для демонстрации решения этой задачи необходимо сначала найти точки, к которым прикрепляются макеты поездов. Для этого нужно установить в вырезе циферблата цифру 4 (поворотом шестерни). Затем против середины рейки на соответствующих нитях надо установить макеты поездов, повернуть ручку против часовой стрелки до появления в вырезе циферблата цифры НуЛЬ — з этот момент положения макетов поездов будут соответствовать начальному положению.
* У. X. Юсупев (г. Бухара)
издательство
’педазоаина*