АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
И. И. ИБРАГИМОВ
ТЕОРИЯ
ПРИБЛИЖЕНИЯ
ЦЕЛЫМИ
ФУНКЦИЯМИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО„ЭЛМ"
БАКУ-1979

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Академии наук Азербайджанской ССР
Редактор Г. Н. Яковлев
ИБРАЬЙМОВ ибРАЛиМ'ЙБЙЙГорлу
Там функсщал&рла
jaxbiiuiauiMa нэзарицэс1Г
(Рус дилиндэ)
(g) Издательство «Элм», 1979 г.
20203-000
И 61—79
М—355-79

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория приближения функций различными агрегатами
(полиномами, целыми функциями, линейными операторами)
является одним из наиболее успешно развивающихся направлений
в современной математике, имеющим важные приложения в
различных ее областях. Наиболее развитым и
систематизированным направлением является теория наилучшего
полиномиального приближения функций действительного и
комплексного переменных.
Первые фундаментальные результаты в теории наилучшего*
полиномиального приближения были получены известным
русским математиком П. Л. Чебышевым и его учениками А.
А.Марковым, Е. И. Золотаревым и др. Однако как самостоятельная
математическая дисциплина эта теория впервые была
оформлена С. Н. Бернштейном и названа им „конструктивной
теорией функций". За последние 40 лет она значительно
обогатилась важными результатами М. В. Келдыша, М. А.
Лаврентьева, С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, С. М.
Никольского, С. Н. Мергеляна, Н. П. Корнейчука, В. К. Дзядыка,
М. М. Джрбашяна, Н. И. Ахиезера, М. Г. Крейна, Б. Я.
Левина, А. Ф. Тимана, Р. П. Боаса, Дж. Джексона, Дж. Л# Уол-
ша, К. Рахмана, Я. Кореваара и многих других. Ей посвящен
ряд замечательных монографий С. Н. Бернштейна [14(3)]',
С. М. Никольского [93(10)], Н. И. Ахиезера [4(5)], И. П.
Натансона [92(2)], В. Л. Гончарова [34(1)], А.ф. Тимана [105(2)],
В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева [102(1)], Дж. Джексона
[37(1)], Дж. Л. Уолша [109(1)] и др.
Теория приближения функций посредством целых функций,
являющаяся одной из новых математических дисциплин, также
создана за последние 40 лет. Бурное развитие этой теории в
действительной области пробудило большой интерес и к
проблемам ее в комплексной области, чем мы обязаны прежде
всего М. В. Келдышу.
Отдельные вопросы теории наилучшего приближения
функций действительного переменного на всей вещественной оси
посредством целых функций конечной степени изложены в
вышеупомянутых монографиях и учебных пособиях.
Монографии же, целиком посвященной вопросам приближения
функций посредством целых функций в различных бесконечных
областях и содержащей основные достижения в этом
направлении, насколько нам известно, не существует. Цель настоя-
3

щей работы заключается в том, чтобы в какой-то мере
восполнить указанный пробел в современной математической
литературе, т. е. систематизировать многочисленные
исследования, посвященные вопросам наилучшего приближения
функций в бесконечных областях посредством целых функций.
Первая попытка систематизировать теорию наилучшего
приближения функций на всей вещественной оси посредством
целых функций конечной степени была предпринята нами в 1962
году [43(16)]. Ряд разделов этой монографии после
существенной переработки, уточнения и обобщения многих фактов
включен в настоящую книгу.
Методами функционального анализа , во многих вопросах
найден общий подход к проблемам теории приближения
функций целыми функциями, благодаря чему удалось объединить
многочисленные исследования в различных конкретных
метрических пространствах. Кроме того, в книгу включен ряд
новых результатов, полученных нами и другими математиками
за последние десять лет.
Таким образом, настоящая монография содержит основные
результаты по теории приближения целыми функциями,
полученные до 1976 года. Она рассчитана на студентов старших
курсов механико-математических факультетов, на аспирантов
и научных сотрудников, работающих как в области теории
функций, так и в смежных областях математики. По
результатам, включенным в эту книгу, легко можно проследить, как
были достигнуты решения основных задач теории
приближения целыми функциями. Теория приближения целыми
функциями впервые в настоящей монографии выступает как
самостоятельная математическая дисциплина и может быть
прочитана в виде специального курса для студентов
механико-математических факультетов университетов, а также для аспирантов.
Автор считает приятным долгом выразить искреннюю
благодарность профессорам В. К. Дзядыку, Н. П. Корнейчуку,
доктору физ.-матем. наук Г. Н. Яковлеву и др. за ценные
замечания, а также ученикам Р. Г. Мамедову, А. Д. Гаджиеву,
Дж. И. Мамедханову, М. Б. Бабаеву и Ф. Г. Насибову,
оказавшим существенную помощь в подготовке книги к печати.
И. И. И б р агам о в
4

ВВЕДЕНИЕ
Современная конструктивная теория функций тесно связана
с именами трех математиков: К. Вейерштрасса, П. Л. Чебыше-
ва и С. Н. Бернштейна. Кл Вейерштрасс доказал, что при
всяком s > 0 можно найти для заданной на некотором конечном
отрезке [а, Ь] непрерывной функции f(x) многочлен Рп(х)
достаточно высокой степени п, чтобы уклонение max \f(x) —
0<x<b
— Рп(х)\ не превосходило е. В случае, когда f (x) является
2тс-периодической непрерывной функцией на действительной
оси, соответствующая теорема имеет место на всей, оси, с той
лишь разницей, что вместо алгебраического многочлена
берется тригонометрический полином:
п
Тп{х) = V(aKcos кх + 6Ksinкх).
к=0
Эта теорема Вейерштрасса о полноте системы 1, х, х2,. . . , хп,...
в пространстве С\ауЬ] явилась отправным пунктом в создании
современной теории полиномиального приближения функций.
То же самое можно сказать о тригонометрических полиномах,
так как система
1, cos х, sin xy cos 2x, sin 2x, . . .
полна в пространстве 2тс-периодических непрерывных функций,
которое обозначается через С* [0, 2*] или С*[ — тс, тс].
Исследования по теории приближения функций
посредством многочленов развивались в связи с необходимостью
глубокого изучения рядов Тейлора, а решение задачи
математической физики привело к тригонометрическим рядам Фурье.
Теория рядов Тейлора привела к созданию теории функций
комплексного переменного. Только к концу XIX в. теории
рядов Тейлора и рядов Фурье сблизились посредством теоремы
Вейерштрасса. С общей точки зрения, теоремы Вейерштрасса
для многочленов и тригонометрических сумм есть одно и то
же и мы имеем тесную связь между приближениями
алгебраическими многочленами и тригонометрическими суммами.
Однако имеется и существенное различие. Равномерное
приближение многочленами возможно на конечном отрезке, в то
время как приближение периодических функций
тригонометрическими полиномами производится на всей вещественной оси.
5

В связи с решением некоторых практических задач
П. Л. Чебышев впервые обратил внимание на
экстремальные свойства полиномов. Основная задача, рассмотренная
им, заключается в определении многочлена степени п:
который на заданном конечном промежутке наименее
уклоняется от нуля. Будем считать, что промежуток есть [ —1, 1]*
Искомый многочлен тогда примет вид
Тп (х) = 2~n+1 cos (n arc cos x) =
- 2~п[{х + V ** - 1 )Ч {х - V ^-\ )%
Очевидно, при —1<*<1 будем иметь
[Тп(х)\ <2~n+1.
В этом случае равенство достигается в точках хк = cos —
п
(к = 0, 1, . . . , п) и многочлен в них последовательно меняет
знак:
Гп(^) = (-1)к-2-п+1.
Заметим, что Тп(х) точно п + 1 раз достигает своего
максимума. Для промежутка а^х^Ь роль числа 2~n+1 будет иг-
рать число 2 ; | .
4 )
Теорема П. Л. Чебышева, являющаяся основной во многих
вопросах теории полиномиального приближения, гласит: для
того, чтобы многочлен Рп(х) степени не выше п был
наименее уклоняющимся от данной непрерывной функции f(x) на
отрезке [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы абсолютный
максимум
L = max \f{x) — Рп(х) |
достигался не менее, чем в п + 2 'точках Ьх < £2< ... <£п+2
отрезка [а, &], в которых знаки разности f(x)~~Pn(x)
последовательно противоположны.
Аналогичное утверждение имеет место в периодическом
случае. •
Этими теоремами.П. Л. Чебышева пользуются для
нахождения точных или асимптотических выражений величин
£Д/; a, ft) = inf max | f{x)~Pn{x) \
" \рп) *<*<*.
И
^(/)=inf max \f(x)~X(x)\jf{x + 2*)=f{x)),.
(Sn)0<,<2i=

причем En(f; a, b) называется наилучшим приближением f(x)
посредством алгебраических многочленов степени <д на
отрезке [а, b], a fnC/)-—наилучшим приближением 2тс-перио-
дической функции f(x) посредством тригонометрических
полиномов Sn(x) порядка <я. В случае а=» —1 и Ъ =
Обозначают: £„(/; - 1, 1 ) = £„(/).
Напомним классические теоремы Д. Джексона [37(1)]
относительно скорости стремления к нулю En(f\ a, b) и En(f).
1. Для любой 2т:-периодической функции f(x), имеющей
непрерывную производную /{т)(х), верна оценка*:
/£(/)< 12гИ/Ггш(/'>; А),
где
о) (ср, 8) = со (8) - sup | ср (х) — ? (у) 1 (х, у е [0, 2*]).
|х-у!<5
Эта величина называется модулем непрерывности функции у(х).
2. Если /(х) на отрезке [а, Ь] имеет г-ю непрерывную
производную /(г)(х), то для п > г справедлива оценка:
\ 2(л —г) /
где Сг—постоянная, зависящая только от г.
В дальнейшем через D обозначается класс функций, для
которых
со (8)= sup |/(*)-/(y) <А8(1+|1п8|),
|х-У\<*
где Л не зависит от 8.
С. Н. Бернштейн поставил и разрешил ряд проблем теории
наилучшего полиномиального приближения. С его именем
связана следующая теорема**.
Пусть 2я-периодическая функция f (х) такова, что при
всех натуральных п
E*Af)<-4+; (0<«<i),
где г > 0—целое. Тогда f(x) обладает непрерывной
производной /<г) {х)у причем можно утверждать, что /(г) (х) 6 Lip а при
О < а < 1 и /(г) (х) б D при а = 1. Подобное же утверждение
имеет место в случае, когда
* Эта теорема окончательно уточнена Н. П. Корнейчуком [71(1, 2)].
** С. Н. Бериштейном доказано, что если
КО) < АГ(Г+*+е) <« > 0, 0< а <Д),
то /') (x) существует к принадлежит Lip а. Последнее уточнение
принадлежит Валле-Пуссену.

£„(/; a, &)<-f--
где г > 0—целое.
В случае 0<а< 1 существует производная /(г)(д:)во всех
точках интервала (а, Ь) и /(г) (х) 6 Lip a на всяком сегменте
[а', &'], целиком содержащемся в интервале (а, 6), а в
случае a -- 1, /(f)(x)eD на сегменте \а!, Ь'\ [45(2)].
Таким образом, С. Н. Бернштейн дал характеристику
структурных свойств функции на основании поведения ее
наилучшего приближения тригонометрическими (алгебраическими)
полиномами. Первый существенный сдвиг в вопросе наилучшего
приближения функции, непрерывной на конечном отрезке,
посредством алгебраических многочленов был получен только в
1946 году С. М. Никольским [93(3)]. Он показал, что для
функций, удовлетворяющих условию Lip a, теорема Джексона
в непериодическом случае допускает усиление в том смысле,
что для всякой функции f(x), 0<;х<1, из класса Lip a
можно построить при любом я = 1, 2, . . . алгебраический
многочлен Рп(х) степени п такой, чтобы выполнялось неравенство
l/sW-P.Wl<f[£f2+ <>(!£)].
Исследования в этом направлении были позже продолжены
учениками С. М. Никольского, В. К. Дзядыка, А. Ф. Тимана,
М. К. Потапова и др.
A. Ф. Тиман [105 (2)], развивая идеи С. М. Никольского,
установил, что если г >0—целое и /(л:) €С(Г> [—1, 1], то
существует многочлен Рп (х) такой, что*
\f(X)-Pn{x)\ <
при — 1 <х< 1, где С не зависит от х и п.
B. К. Дзядык [41(1)] доказал, что если г>0—целое и
0<а<1,.то для того чтобы вещественная функция/ (х)
имела на отрезке [ — 1, 1] производную г-го порядка из класса
Lip a, достаточно, чтобы нашлись постоянная С>0 и
последовательность полиномов {Рп{х)} такие, что
f(x)-P*(x) U<-
О-*2) +
(—1<*<1, /1=1,2, ... .)
*' £(г) {_~\t ц обозначает класс функций, у которых производные порядка
г принадлежат пространству С [— 1, 1]. > .

Вышеупомянутые факты дополняются результатом С. Н. Берн-
штейна [10(4)]: каковы бы ни были числа
А)> А>^2> .- -Ж> . . • , Urn Лп = 0,
всегда существует непрерывная функция f(x), для которой
именно эти числа являются наилучшими приближениями:
En(f)=An (я = 0, 1, 2,...).
Ряд трудов С. Н. Бернштейна посвящен нахождению точного
или асимптотического значения наилучшего равномерного
приближения индивидуальных функций с особенностями на отрезке
[—1, 1] посредством алгебраических многочленов. К их числу
относится работа о нахождении асимптотического значения
наилучшего равномерного приближения функции \х\ на отрезке
[—1, 1] посредством алгебраических многочленов.
Исследования С. Н. Бернштейна, посвященные асимптотическому
значению наилучшего равномерного приближения функций (а — х)~1
(а>1), (а-ху (5>0) в 1913 году, |л:|5 (s>0) в 1933 году
м других функций заинтересовали многих математиков. К этой
тематике относятся также работы И. И. Ибрагимова [48(1,2)],
в которых рассматривается приближение функций
х\х\\ \с — х\*1пт\с — х\, (ax + b\x\) \ х\*
на отрезке [—1, 1] посредством алгебраических многочленов
данной степени при различных предположениях относительно
действительных чисел су $, а, Ъ и /я. В частности [48(1)], была
подтверждена так называемая гипотеза С. Н. Бернштейна о том,
что порядок наилучшего приближения функции (1 — х) 1п(1— х)
на отрезке [ — 1, 1] посредством алгебраических многочленов
равен —.
Нахождение С. М. Никольским [93(3)] асимптотического
значения наилучшего приближения в среднем, то есть в
метрике пространства L[ —1, 1], функции (а — х)* (а> 1, s>0
любые) посредством алгебраических многочленов степени *^п
явилось отправным пунктом многих исследований [1(1,2);
7(1,2); 35(2); 48(3,4)].
С. Н. Бернштейн в числе других результатов дал
определение аналитической, а также квазианалитической функции,
основанное на поведении ее наилучшего приближения.
Установление факта, что по поведению ^п(/) мсжно судить о
поведении функции f{x), позволило установить классификацию
функций с новой точки зрения.
В случае приближения на Есей действительной сси
естественно рассматривать в качестве приближающих целые функции
конечной степени: так называется целая функция /(£)=■=
9

= V—к гк в случае, когда lim|an |1/п=з<оо. Класс таких функ-
Ций обозначим через ha.
Теория приближения на вещественной оси R функциями
класса Я0, развитая в работах советских математиков, по
характеру и качеству результатов не уступает соответствующей
теории полиномиального приближения на конечном
промежутке. За последние годы она обогатилась многими важными
данными, полученными советскими и зарубежными учеными.
В настоящей книге систематизированы почти все наиболее
существенные результаты по теории приближения целыми
функциями, относящиеся к ее основным проблемам. Основные
задачи этой теории могут быть сформулированы и решены в
некотором линейном нормированном пространстве Е(/?)
функций f(x)> определенных на всей вещественной оси /?. Будем
полагать, что в пространстве Е(/?) норма !!/||е элемента /
является инвариантной относительно операции любого
вещественного сдвига, т. е. \\f(x + t) ||Е = \\f{x) ||Е при любом
вещественном t. Этим свойством обладают общеизвестные
функциональные пространства С*[—те, те], С (R), /,*[— те, те] L?(R) (/?> 1)
и многие другие.
В дальнейшем класс целых функций из множества Иа,
принадлежащих в то же время линейному нормированному
пространству Е(#), обозначается через ЯаЕ и каждой функции/(л:)
из Е(/?) сопоставляются следующие величины:
1. Наилучшее приближение функции /£Е (/?) посредством
целых функций g(x) из класса ЯаЕ на всей вещественной оси
R в норме линейного нормированного пространства Е(/?):
Л,(/)в= inf ||/-*||в.
geHaE
2. Модуль непрерывности функции /£Е(/?) в смысле нормы
пространства Е(/?):
<*(/; 8)Е = sup || f(x + h)-f(x) Це.
3. Модуль гладкости порядка к функции /(<Е(/?) в смысле
нормы пространства Е(/?):
|h|<a
Е.
Если для целой функции g{0l (x) £ //аЕ осуществляется
равенство Л0(/)Е = ||/— ^о0)|1е , то мы говорим, что целая
функция go0)(x) из #аЕ наименее уклоняется от функции f(x) в
смысле нормы пространства Е(/?). В частности, целая функция
£(«0)(-*)> удовлетворяющая равенству
10

mf !U.||E = lUi0)lk
goeHaE
называется наименее уклоняющейся от нуля на всей
вещественной оси. Нахождение таких целых функций при
дополнительных условиях, например, при задании некоторых ее
тейлоровских коэффициентов, относится к числу основных задач
теории приближения целыми функциями.
Ряд исследований по этой проблеме был проведен С. Н. Берн-
штейном в случае, когда £(/?) = С(/?). В некоторых случаях
установлены критерии того, когда целая функция £а0)(-к)бЯа(Е)
является наименее уклоняющейся от заданной функции f(x)£
£Е(/?). Применением этих критериев могут быть найдены
точные или асимптотические выражения наилучшего приближения
A0(f)n для конкретных функций, являющихся представителями
определенных функциональных классов. Подобные задачи
рассмотрены в основном в метрике пространства C(R).
Вопрос о. существовании и единственности целой функции-
g{?] (х)у наименее уклоняющейся от функции /(jc)£E(#) в
смысле нормы пространства Е(/?), является также одной из
основных задач теории приближения целыми функциями. К
числу основных задач этой теории относится и нахождение
точного или асимптотического выражения величины А0(/)е в
зависимости от дифференциальных свойств функции f(x)
изданного функционального пространства Е^/?). Такие задачи
называются прямыми задачами теории наилучшего приближения
целыми функциями.
Очевидно, представляется интересным построение целой
функции, наименее уклоняющейся от заданной функции f(x)
из Е(/?) в смысле метрики пространства Е(/?). В настоящее
время известны конкретные последовательности линейных
операторов, переводящие функцию f(x)£E(R) в целую функцию
^6/^схЕ, которые в смысле метрики пространства C(R) или
Lp(jR) (/?>!) сходятся к функции f(x)£C(R) или 1Р(/?) (/?>1).
Существует последовательность операторов L [/]<,, для которых
порядок стремления к нулю || / — L [f]^\\c совпадает с порядком
наилучшего приближения А,(/)с в случае Е(/?)=е=С(/?). Зная
порядок стремления к нулю наилучшего приближения X(/)e,
выясняются дифференциальные свойства функции из линейного
нормированного пространства Е(/?). Такие задачи называются
обратными задачами теории наилучшего приближения целыми
функциями в пространстве Е(/?). Решение их базируется на
оценке нормы производной целой функции посредством нормы
самой функции (неравенства типа С. Н. Бернштейна), а также на
оценке нормы целой функции в одном нормированном
пространстве через ее норму в другом линейном нормированном
пространстве (неравенства типа С. М. Никольского). Поэтому пред-
11

ставляет интерес оценка нормы линейных операторов,
действующих в различных классах целых функций, вдоль прямых,
параллельных вещественной оси, посредством нормы самой
целой функции в конкретных линейных нормированных
пространствах.
Сформулированные выше задачи представляют интерес
также и в комплексной области. Для функции /(z), непрерывной
на заданном континууме Е, наряду с равномерным
приближением
H/-Sllc(C)<e-
где t> 0—сколь угодно малое число, рассматривается также
равномерное наилучшее приближение целыми функциями на
заданном континууме Е, т. е. величины
А,,(/) = inf II /- go.? ||c(E).
( *ш,9)
Порядок стремления к нулю Л*,р(/)с(Е) в зависимости от
дифференциальных свойств функции /(£), заданной на континууме
(области) Е, связан еще и со структурой этого континуума.
Поэтому подобные задачи легче рассматривать в случае, когда Е
является множеством точек плоскости (или области),
ограниченным, например, одной или двумя прямыми линиями. В
качестве множества Е в главе VIII рассматриваются множество
точек противолежащих углов, углов данного раствора, полосы
данной ширины и полуплоскость.
Весьма плодотворным для теории приближения целыми
функциями оказался переход от действительной оси к
произвольным континуумам и от целых функций конечной степени к
произвольным целым функциям, на рост которых наложены
различного рода ограничения. Следуя М. В. Келдышу, говорят,
что функция /(2), непрерывная на заданном континууме Еу
приближается равномерно целыми функциями с касанием на
бесконечности, если удается строить целые функции g{z),
уклонение которых от заданной функции f(z) убывает вблизи
бесконечно удаленной точки с произвольно большой скоростью, т. е
\f(*)-g(*) 1<е( | *| ), V*6£, .(0.1)
где е(г) —произвольная функция с положительной нижней
гранью в каждом конечном промежутке и lim е (г) = 0.
г~*оо
Впервые М. В. Келдышем [65(3) и 66(1)], при
определенных условиях на континуум Е, выявлены связи между
свойствами аппроксимируемой функции /(z), свойствами континуума
Е, ростом целой функции g(z), удовлетворяющей неравенству
(0.1), и функцией е(г), характеризующей порядок касания на
бесконечности, а затем С. Н. Мергеляном [8(1,3, 4)], Н. У. Ара-
келяном [3(1—3)], Г. М. Аветисяном [2(1,2)] и др. Таким
образом, исследования М, В. Келдыша послужили основой для
12

создания теории приближения функций комплексного
переменного посредством целых функций с касанием на бесконечности.
Методы исследования этой теории существенно отличаются от
вышеупомянутых исследований и требуют привлечения новых
сведений из других разделов теории функций. Поэтому ввиду
ограниченности объема мы не смогли включить эти
исследования в настоящую книгу. Подробные доказательства
результатов М. В. Келдыша читатель может найти в обстоятельной
статье С. Н. Мергеляна [88(1)].
Рассматриваемыми в данной книге задачами не
исчерпывается весь круг вопросов, относящихся к современной теории
приближения целыми функциями. Со многими.подобными
вопросами можно ознакомиться по дополнительным замечаниям,
которые даются почти после каждого параграфа, а также по
библиографии.

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Данная глава носит вспомогательный характер, основной ее
материал подобран таким образом, чтобы облегчить изучение
исследований по теории приближения функций посредством
целых функций. На протяжении всей книги мы пользуемся
элементами функционального анализа и теории целых функций,
сведения о которых можно найти в любом учебном пособии
по указанным разделам математики. Но читателю достаточно
знания этих разделов, например, в объеме первых двух
параграфов первой главы нашей монографии [48(22)]. Здесь мы
ограничиваемся характеристикой (§ 1) некоторых метрических
пространств, а также специальных линейных нормированных
пространств функций, с которыми будем иметь дело в
дальнейшем. Затем даются понятия преобразования Фурье и
свертки функций, а также связанные с ними некоторые классические
результаты, которые будут использованы в дальнейшем.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ [ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИИ
1. Линейное нормированное пространство Е(7?)
Пусть /?п есть /г-мерное координатное пространство Эвклида,
причем Rt= R означает* совокупность всех вещественных
чисел (вещественную ось). Элементом (точкой) х из /?п
называется упорядоченная совокупность п вещественных чисел
(■*i, . . . , *п), т. е. х=(хи . . ., хп).
Расстоянием р(;с, у) между точками х = (хи . . . , Хп) и
у = (у1э . . . , уп) из /?п называется число
Справедливость аксиом метрики очевидна. Пусть х = (хи...,хп),
х{к)^{х\к), ..., х{пк)), /с= 1, 2, . . . Тогда условие Р{х, х{к))^0,
т. е.
Р(*.У):
(1.1)
* В дальнейшем знак = между двумя множествами означает их
совпадение.
14

к=1
.(к)
■*Y
>0 ПрИ К -* оо
равносильно условию х\ }-*Х\ (/ = 1, . . . , п) при /с-->оо.
Таким образом, сходимость в пространстве Rn есть сходимость
по координатам. Если в Rn для всякого элемента х = {хи...,ха)
положить
/ n у/,
IUli= i^xl , (1.2)
то /?n окажется линейным нормированным пространством.
В дальнейшем под суммой х + у подразумевается точка
(хх + yi, . . ., *п + уп), также принадлежащая Rn. Элемент х =
= (-*ь • • • »-*п) из Rn называют также вектором с координатами
л;ь у = 1, 2, . . . , л, а число || х \\ —его длиной. Через к=(ки...,
кп) обозначается вектор с целыми неотрицательными
координатами к у, у = 1, 2, . . . , п, и сумма его координат а^ + к2 +
+ . . . + кп обозначается через | к | .
Далее через ек, к = 1, 2, . . . , п, обозначается вектор, все
координаты которого равны нулю, за исключением аг-й
координаты, равной единице, т. е. ек = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Такие
векторы называются единичными в пространстве Rn. Очевидно,
любой вектор х = (хи ..., хп) £ /?п может быть представлен
в виде
х = х^ + л:2е2 + ... + хпеп!\
Обозначим через Е(/?п) полное линейное нормированное
пространство функций f(x) = / (хи . . . ,хп), определенных,
ограниченных и измеримых на Rn с монотонно возрастающей
нормой II/ ||е, являющейся инвариантной относительно операции
любого вещественного сдвига по каждому переменному:
1) @сли / и g£E(R), то из справедливости неравенства |/|<|g|
следует, что ||/||< II g II ;
2) II / (х -и О II = ! /(*) It , где х - (хи . .. , хп)9 t-(tu...,**)
и tu . .. , *п—любые вещественные числа;
3) из того, что /к<Е(/?п) и
I!/k-/iII ->0 (/с, /—оо),
следует существование функции /*6Е(/?П), для которой
Ит||/к-/«|| -0.
к-* оо
Через E(Kl)(#n) обозначается совокупность всех функций f(x),
принадлежащих пространству Е(/?п) вместе со своими частными
производными
DK/= D?'D? . . . £#/ = d™f к
дх\х . . . дх*п
15

порядка | я | = *! +^2+ • • • +Кп, где D*i-= —~~ (У=1,..., л).
oxj j
Кроме того, через Е*(/?п) обозначим полное линейное
нормированное пространство функций f(x) = /{хи ... , хп) с
периодом 2тс по каждому переменному, норма в котором
удовлетворяет свойствам 1) и 2).
Далее, полагая ?(*) = <?(хи... ,*п) > 1 непрерывной
функцией во всем /?п, обозначим через Ef(/?n)s= Ер совокупность
всех функций f(x) = f(xu . . . , хп), определенных на /?Пэ таких,
что /(.*)/<? (я) принадлежит пространству Е(/?п). Величину
I|/l?llE(Rn) условимся называть нормой элемента /= f(x) из
пространства Е,(/?п) и обозначать через ||/||е . Таким образом,
будем иметь
||/11е9=Р/(х)|!е?=||^|
E«pv/?n) = E9 называется линейным нормированным весовым
(или свесом <? = ?(.*)) пространством. В частности, будем
пользоваться следующими обозначениями:
E,(/?i)ssE, (/?) (<рв<р(Л)> 1), ::£l(/?n) = E(/?n) при ср == 1 и
Ei(/MasЕ(/?) при /1= 1 и ©=1.
Для весовой функции ?v-*0> xdRn, вводятся в рассмотрение
характеристические функции по каждому переменному
«.(<)= sup *<* + ;*»> , s=l,...,*, (1.3)
j€Kt
а также
P(0a=8Upt(iL±fL (/>0), (1.3*)
MR„ ? (Л)
где 5 = (5„..., 5о) 6/?п и Ц11|- < *2. Нетрудно заметить, что эти
функции обладают следующими свойствами:
1) «.(0)=1 (s-l,...,n) и Щ0)=1;
2) ?(*4 5*.)<«.(0?U) (ИКО.
?(*+«)<Р(0?(4 MB3<<2;
3) «.(<, + *i)<«i(<.)«.('i) (s-1, ...,я)и
P('. + 'i)<P(MP(*i).
В самом деле, в силу определения <*,(*) имеем
«.«, + *,)- sup *<*+щ < sup lC£iJi±^&)
lEKU+t, |Tl<t.
8ар t<«+.»*> -«.(<,)«.(<«)•
кНп «P (*)
|uJ<U
16

4) В случае п = 1 имеем <x(t)==$(t) при *>0.
5) Из принадлежности f(x) пространству Е9 -следует, что ему
принадлежит также и f{x+ t) при любом фиксированном
вещественном t.
В самом деле, если /(л;)6Е9(/?), то при любом
фиксированном вещественном t
l/l*-f 01 = 1/1* +01 <pl*-rQ <а(м 1/1*+ 01
ср(лг) ?0* + О ' ?(•*) ^ ?С* + 0
Отсюда, в силу монотонности нормы, следует
<«(*)
/(* + 0
= -*(') 11/11 Еф.
!?(* + ')
Аналогичное утверждение имеет место и в многомерном
случае:
f(x + hes)
fW
<*slA)ll/||E^ S= 1, 2, .. .,Л,
и
f(x + 0
<ип\\/\К
?(•*) ЦЕ
где £ = (<!, . . . , ^n), Л—любое вещественное число, т. е.
поскольку /€Е<р, то f{x-\-t)£ Е9 при любых фиксированных
вещественных tu . . . , tn.
В пространстве Е(7?п), а также Е<р(#п), как и во всяком
линейном нормированном пространстве, будем пользоваться
следующими свойствами:
1) норма |i / Н каждой функции /6Е (или Е?) неотрицательна
и равна нулю только для функции /0, эквивалентной нулю
</о«0);
2) II f\ -+-Л • < II А II + II /2 II (неравенство треугольника);
3) и С/ || = | С | || / |i , где С—произвольное (действительное
или комплексное) число.
Пусть UK (л:)бЕ(/?п), илиЕ<р(/?п), /с= 1, 2, ..., и
последовательность функций
5n(^) = 2^k(^), N=l,2f...f
к=1
сходится к ф(х)бЕ(#п), или Е9(^п), т. е. || ф —SN II-^0 при
00
N-*oc. Тогда говорят, что ряд V Л/к(^) сходится в смысле
к=1
нормы Е(/?п), или Еср(7?п), к своей сумме ty(x). Заметим, что
неравенство треугольника в пространстве Е<р(/?п)
распространяется по индукции на случай N функций и имеет вид
|2^(д:)||<2|1^к(д:)11.
' к==1 II к=1
1020—2 17

Отсюда следует неравенство
5^к(х)||<2 ||t/K||, (1.4)
1 К=1 I' К = 1
соответствующее случаю УУ= ос, которое читается так: если
функции UK(x)e^, к = 1, 2, . . . , и ряд ^ И ^к I! сходится, то
к=1
ряд y^UK{x) сходится в смысле нормы Е9 к некоторой функ-
к=1
ции, принадлежащей Е^, и имеет место неравенство (1.4).
Если же заданная функция К(х) принадлежит пространству
L(Rn), то любая функция f(x) из пространства Е(/?п), аля
которой имеет смысл интегральный оператор
F(x) =-- j- • • \К{х - t)f(t)dt{ ...dtn =
=■ ('• • • Г K(u)f (x — u)dux. . .dttn,
где t/ - (и,, . . . , ип), * = (tu • • • , ^n), с помощью этого
оператора преобразуется в функцию г -— г {х), принадлежащую
также пространству Е(/?п), причем справедливо неравенство
II Л|е< 11/1 е- j . • -J ТК(и) I dut . . . dun= ||/||Е- Г. /C||l.
Последнее показывает, что F6 E(/?n), если/6 E(/?n) и K(*L(R).
Приведем некоторые простые примеры пространств Е и Е,Гв
1. Пространство Q. Полагая о=ср(.*)>1 непрерывной
функцией на (Rn)> обозначим через C9{Rn) = C9 совокупность
всех функций f = f(x), непрерывных на /?п, с нормой
!1/|^=sup|^M<co.
В частности, употребляются следующие обозначения:
C9(/?i) = C9(/?) при п= 1, Cx(Rn)==C(Rn) при ср= 1 и
Ct (/?0 = С (R) при я-=- 1 и ©si.
В дальнейшем C(Ra) называется пространством функций,
непрерывных на /?п, а Сер—весовым пространством таких же
функций. Очевидно, пространства С(/?), Ср(/?), С(/?п) и С«р(/?п)
являются пространствами.типа Е9(/?п). Кроме того, С^г)(/?п) =
= С^Г) означает пространство функций / = /(*), у которых
существует производная f{T\x) (г>0) такая, что /(г) (•*)/?(■*)
принадлежит пространству C(R), CiT){Rn) является
пространством типа Е5рГ)(#п).
18

2. Пространство С*[А„]. Пусть Дп = (-— ^^хк<Ску лг=
=■- 1, . . . , п) есть л-мерный куб. В дальнейшем С* [Ап]
означает пространство непрерывных i:a Rn, периода
2и по каждому переменному, функций f=f(x) с нормой
'1/|lc. = sup|/(*)|.
Х6ДП
Заметим, что пространство С* [—и, тс], с помощью замены
переменной u = tg — (— т:<;/<*:), переходит в
пространство Соо(/?) непрерывных на всей вещественной оси функций
f — f(x), для которых существуют равные между собой
lim f(x) и lim f(x).
х-»— о° х-* о°
3. Пространство ограниченных функции, M(Rn).
Множество всех ограниченных функций f=f(x)y заданных на
/?п, с нормой
i;/||M---supl/(*)|
Хб1'п
называется пространством ограниченных функций и
обозначается через yh (/^n). Очевидно, M(Rn) является пространством
типаЕ(/?п). Далее, через л* (/?„) обозначим множество всех
измеримых на Rn функций / =/(х), существенные максимумы
которых конечны, с нормой
Н/1|м= vraimax \f(x) \ .
X£Rn
Множество M{Rn) является пространством типа Е(/?п).
2. Пространство Лебега
1. Пространства L9f^(Rn). Обозначим через L?t9(Rn)
множество функций / = /4•*)» Для которых
B/llp.,= B/MLp.,=/J-.:J|{-g-p*,...rfx.Y'P<oo,(1.5)
где ср = ср(^с) ^^ 1 — непрерывная функция в Rn. Кроме того,
обозначим через £оо,?(^п) класс функций f=f(x), для
которых
II / И со, * = vrai sup J/-J~^ < эо.
xeRn <р {х)
Последнее будем называть нормой функции f{x) в
пространстве Iqo,ср. Это класс „существенно ограниченных" функций.
Классы L?)(?(Rn) (/?>!) называются пространствами Лебега с
весом ср г_:ср(х)> 1 или весовыми классами Лебега.
В случае о^ 1 пространства LD,i(Rn) и LO0,i(Rn)
соответственно обозначаются через Lp(Rn) и L^iRn)- В частности,
приняты обозначения: Lt(Rn)~ L(Rn), L^R^)^ L(R).
Очевидно, классы Ip>(p(/?n) и ^оо,ср(/?п) являются пространствами
2* 19

типа E9(/?n). Справедливость неравенства треугольника в Z,p>?
следует из известного неравенства Минковского:
IIU +/. I|lp,,< В U ||lm + В /a l|Lp„. (1.6>
Наряду с (1.6) в дальнейшем нам понадобится также
известное неравенство Гельдера:
<и/.1К • ii/,||lg, (1.7)
\--\SAt}W)dtx...dU
q
где 1 = 1, причем знак равенства достигается, как лег-
р д
ко видеть, тогда и только тогда, когда почти всюду в /<п
c,\A(t)\^c2\f2(t)K
здесь Ct и С2—-константы. В случае /7 = <7 = 2 0-7) обычно
называют неравенством Буняковского—Шварца. Справедливо и
так называемое обобщенное неравенство Минковского:
UUf(x,y)dx\Pdy\PK$h\f(x,y)\PdyYdx (р>1). (1.8)
\с I а ' / а \с /
В периодическом случае через £р[Дп] обозначается
пространство функций /=/(*), периода 2тс по каждому
переменному, с нормой
1
й/|Гр=11ЛК = ( |--- j\/(x)\PdXl...dxnY (p>\).
В частности, примем обозначение
Zp[At] = /,*[--*, u] = L* (/*« 1).
2. Пространство L2t9(R). В дальнейшем через L2>9{R)
обозначается пространство функций, определенных и
измеримых на /?, таких, что
•о
[~ \x(t)\*dt < + оо,
J r (О
— 00
где ср(/) вещественно и ср(^)^ 1 почти всюду на R. Заметим,
что Z-2, ср (/?) будет гильбертовым пространством, если
положить для х, уG^-2,ср(/?)
оо
— 00
20

Существование этого интеграла при любых x(t) и y(t) из
12,ср(/?) вытекает из неравенства Буняковского—Шварца для
интегралов. В частности, при o(t)== 1 получаем комплексное
пространство L2(R) со скалярным произведением
(х,у)= ^x{t)W)dt
—оо
Аналогично определяются вещественные гильбертовы
пространства L2,<p(R) и Lj(R). Пространства Lp(R) (p=/=2) и С (R)
отличаются от L2(R) тем, что норма в них не определяется
формулой
и /II = /(/,/)
на основе некоторого скалярного произведения (/, g). Дру
гими словами, они не могут быть заданы как гильбертовы
пространства с той же нормой.
При фиксированном / 6 £р( R ) и переменной g{x) из
Ln(R)( 1 = 1) выражение
\ Р я I
</.*)= ]f(x)g(x)dx
— оо
представляет, очевидно, линейный функционал в Lq(R). Верно
также и менее очевидное обратное предложение, состоящее в
том, что при 1<<7<:х> всякий линейный функционал в Lq
может быть представлен в виде (/, g), где /б!р(/?), т. е. имеет
место следующий результат: всякому линейному функционалу
А/ в пространстве L^(R) соответствует производящая
функция g(t), определенная почти всюду и принадлежащая
пространству Lq(R), посредством которой функционал А
представляется в виде Af =s (/; g); при этом норма
функционала равна норме производящей функции в соответствующем
пространстве
' 00 1_
j|g(OP^)q при<7<оо,
И/11
vrai sup | g (t) | при q — oo.
te(R)
Это утверждение неверно в случае р = оо. В пространстве
^оо (R) существуют линейные функционалы, которые не
порождаются функциями, принадлежащими LX(R).
3. Сходимость в пространствах Лебега. Если функции1
последовательности {/п(^)} и функция f (t) принадлежат
классу Lp(R), где р> 1 и ||/п—/||р->0 при я->эо, то говорят,
что последовательность {/п(<)} сходится к f(t) в среднем в
степени р или в смысле метрики пространства £р(/?), и пишут
так: fn(t)-+f(t){Lp). Говорят также, что fn(t) стремится
сильно к f(t) с индексом р. В частности, когда р = оо* то
2i

И/n-/llLoo = VraiSUPl/n(') ~/(<)l
00 t€R
и сильная сходимость означает „равномерную сходимость
почти всюду": fn(t)-+f(t)(Lao). Заметим, что сильная
сходимость не влечет сходимости почти всюду. Обратное также не
имеет места.
Пусть {fn(t)} сильно сходится в Lp(JR). Тогда
lim l\f{t)-Mt)\Vdt=-0 (р<оо).
В силу неравенства Гельдера (1.7) для каждой функции
g{t)dLq(R) ( 1 = 1) справедливо соотношение
\ р я I
\gV)U(t)-Mt)\dtx<\ ]\g\*dt\.[ \\f~fA*dt
00 I \_CO / \—CO ,
Из этого следует, что
Пт °f/n (t)g(t)dt = lf(t)g{t)dt. П.9)
n^°°_c]o -co
Может, однако, случиться, что некоторая последовательность
\fn(t)} обладает свойством (1.9), без того, чтобы быть сильно
сходящейся. Это является поводом для установления
следующего определения: последовательность {/п(*)£ ^р)
называется слабо сходящейся к f(t)£L?(R), если равенство
Hm lfn{t)g(t)dt- lf{t)g(t)dt
n->oo *J J
—00 — CO
имеет место для любой функции g{t) из Lq(R), где — + - =Л.
Я
Очевидно, это определение является частным случаем общего
понятия слабей сходимости для функционалов [43(22) или
со
81 (1)]. Заметим, что если ряд ^/к{х) сходится почти всюду
на R к функции f(x) и, кроме того, сходится к Д (х) в
смысле Lp(R) (/7>1), то /(*)=/»(■*) почти всюду на R.
В самом деле, из
Sn(*)= 2/kUW*(*) (^Р)
к=1
следует, что существует подпоследовательность индексов {пк>
такая, что Sn (*)"■"/*(■*) почти всюду на R и так как Sn (x)-~f(x)
также почти всюду, то почти всюду f(x)=fx(x).
4. Пространства лР(^п) и Dp(/?n). Наряду с Lp(Rn)
рассматривается еще и пространство Лр(^п) ограниченных на
всем Rn функций f=f{x), для которых имеем
22

,27:+Tl 2«+Tn !
||/||Ap=SUp( f •••(' \f(x)\PdXi...dxnY<oc>
TeRn \t; тп /
где T= (7\,..., Tn). В частности, обозначим Ар(#\) = Лр(^)
(я = 1). Нетрудно заметить, что норма ||/||л обладает
свойством инвариантности относительно операции любого
вещественного сдвига и Лр(^п) является линейным нормированным
пространством типа E(Rn). Рассмотрим пространство Dp{Rn)
ограниченных на всем Rn функций f—f(x)y для которых
р
оо.
«/lb = limsup —±— f-.. [\f[Vdxl.:.dXn\ <
р т,,...,тп-+оо\^2Л...2Гп_^ J J
Обозначим Dp (/?t) = Dp(/?) (л=1). Легко заметить, что и
норма .1 / ||d обладает свойством инвариантности относительно
операции любого вещественного сдвига.
В самом деле, например, в одномерном случае из
ограниченности функции f(x) на R следует, что
т+t 1
(1 -f-T v —
2"7 j|/(«)|Prf«)P = 0,
T-t
где /—произвольное вещественное число. Поэтому имеем
ll/(^+0|lDp«liTmsup(^: j |jf(«)|Prf«Y =
T-t
(T-t)
1
-Hmjup (± j'|/(«)lprf«)P=ll/(^)llDp.
~* \ -(T-t) /
Следовательно, Dp(/?n) является также линейным
нормированным пространством типа Е(/?п).
о. Обобщенное пространство Лебега. Рассмотрим еще одно
функциональное пространство, являющееся обобщенным
пространством Лебега: Lp(Rn) (/?>!)• Пусть ри р2,...,
/^—вещественные числа не меньше единицы. Обозначим через
Lpt,...,pn(Rn)=*L-{Rn), где /? = (/?!,...,/?п), совокупность всех
функций f(x) = f(xu. . . , хп), удовлетворяющих условию:
н/lip = и/11* рп-~ II •••{И •••(ii/IU---lk)--iipn =
( Р? J^SL- Vn
= 1 П J--- j'l/Г^, \dxt...\ dxB I < + oe. ИЛО)
23

В правой части (1.10) сначала рассматривается норма по
переменной хи потом по х2 и т. д., причем
|^Нр,=
$\F(x)\
УШхЛ При 1 < Pj < со,
vraisup \F(x)\ при pj = со (1<у'<и).
x,eR
В частности, в трехмерном случае
"Л1Р..Р..Р.Ч II И \\f{X„X2,XbfldX
(1.11)
»Г 00 / 00
i .( I
оо|__оо \—оо
dx*
dXo
<
<+ оо.
Очевидно, класс L-(Rn), называемый нами обобщенным
пространством Лебега, совпадает с обычным классом L^(Rn) при
А = • •. = Рп = р.
Предположим теперь, что <?(х)^\ есть фиксированная
функция, непрерывная в Rn- Обозначим через
^(Яп)^р,....,рп;^п) (/>к>1, «=1,2,..., л)
класс всех функций / = /(.*), для которых
и / к.
Р. V
••(I-(llfl)"-
< + *>.
Рп
В частности, в случае <p(x)e=1
В дальнейшем, в случае, когда ср(л;)> 1— заданная
непрерывная функция в Rn, пространство L- называется обобщенным
весовым пространством Лебега. Покажем, например, что L-(Rn)
является линейным нормированным пространством.
То, что норма й / ||jp удовлетворяет аксиоме тождества и
аксиоме однородности, очевидно. Остается показать, что
справедливо также неравенство треугольника (неравенство Мин-
ковского для нормы рассматриваемого пространства). Пусть /
и g принадлежат L-?(Rn). В силу неравенства Минковского
(для одномерного случая) имеем
ii/+giip.<»/iiP. + iigiip,
Вторичное применение неравенства Минковского дает
wf+g l»pl, р» — II (II/+S
< I ( I! / lipl) UP* + D(Ug|lp1)l|p.= l!/IUp,+ llg IIPl, Pf
24

Продолжая таким же образом, находим
1/ + г11р<п/11р-+нг11р-.
Тем самым убеждаемся в том, что L—{Rn) является линейным
нормированным пространством типа Е(/?п).
3. Модуль непрерывности функций в линейном
нормированном пространстве E9{Rn)
Для заданной функции ?(х)>1, непрерывной в
пространстве /?п, определим п неубывающих функций
«j(0-sup ^* + »й (У=1,....*) (1.12)
xeRn <р (X)
iyl<t
и функцию от п переменных
а(*)= sup *S£±lL (y = (yi)„„yn),/=l,2,...,4 (1.12')
x€Rn <р (X)
|yjl<*j
где tf = (tft,..., /п), которые называются характеристическими
функциями c0 = o(jc), x£Rn. В случае ? = 1» как видно из
равенств (1.12) и (1.12'), a(if)==l и aj(*)ssl (у = 1,..., п).
Кроме того, из (1.12) и (1.12') видно,.что а(0) — 1, aj (0) = 1
(j = 1,...,Л).
Для функции / = /(л;) из пространства E~(Rn) величина
°(/.Оеф= sup -U|/ (х+Л)-/(л)||е9-
hj |<t. а(0
(j=l,....ri)
==' SUp *
|h.l<t. a(t)
(j=l,...,n)
f(x + h)-f(x)
(1.13)
где (A = (A,, ..., hn)£Rn, называется модулем непрерывности
функции /{х) в метрике пространства E9(Rnx (она может
оказаться и бесконечной). Очевидно, в случае © = 1 полный
модуль непрерывности функции f(x)(tE(Rn) в смысле метрики
E(Rn) определяется равенством
<о(/,*)е = sup _ \\f(x + h)-f(x)\\Ei (1,14)
I hK I<fK (К=Ь п)
где] х =(лгь..., ха), A = (Alf . ..,А„) и / = (Л,..., *п). В
одномерном, случае равенства (1.13) и (-1.14) примут вид;
«(/.OE^supJ-^/U + A)-/^)!!^ (1.15)
»(/,<)Е , = SUP||/(*+ А)-/.(*) Це, (1.16)
Т lh|<t.
где a(i) как характеристическая ,функция <р ^ ?(#)> 1
определяется равенством
«(*) = SUp &±p-: (1.17).
*«R, |y«t f(x) >
25

Для функции /(x)f Е9 определяется еще и частный модуль
непрерывнести в смысл*4 метрики Е9 (Rn) равенством
s lh|<ta8(0 * '
где £s—единичный вектор из 7?п. В силу этого частный
модуль непрерывности /(;с)бЕ(/?п) (при ср==1) в смысле метрики
Е(/?п) определяется равенством
сох (/, t) - sup || f(x +hes)-f(x) ||E. (1.19)
s |h|<t
Заметим, что полный модуль непрерывности о>(/, *)Е функции
/(л:) в пространстве Е9(/?п) связан с ее частными модулями
непрерывности «>х8(/э0е9 неравенствами
гпах{а)Х1(/^)Е9,._соХп(/,ОЕ?}<со(/,Ов,< 2 <Ч (/,<)*,■ (1.20)
s=l
Для функции одной переменной f(x)£E9 полный модуль
непрерывности, очевидно, совпадает с частным ее модулем
непрерывности и величина <d(/, t)E?, определяемая равенством
(1.15), называется просто модулем непрерывности функции f(x)
в пространстве Е9. В частности, если
*(/.<)в,<Л«в (0<а<1),
где М >0—постоянное, то говорят, что функция J (х)^Е<?
принадлежит классу LipM а, или удовлетворяет условию Липшица
степени а в смысле метрики пространства Е9.
Если произведения
1)ш(/,*)в,-1п* и 2)*4(f9t)E9.lnt (1.21)
стремятся к нулю вместе с t, то говорят, что:
1) функция f (х) 6 Е<р(/?) удовлетворяет условию
Дини—Липшица в смысле метрики пространства E9(R);
2 ] функция /{х) е Еср (Rn) удовлетворяет по переменному xs
условию Дини —Липшица в смысле метрики пространства Е9 (AJn).
В этих определениях слова „условию Дини—Липшица*4
заменяются словами „обобщенному условию Дини—Липшица", если
возможно выбрать бесконечное множество значений t так,
чтобы соответствующие произведения (1.21) стремились к нулю
вместе с t.
Из определения функции о>(/, t)^ непосредственно
вытекают следующие ее свойства, которые остаются справедливыми
также и для частного модуля непрерывности:
1) a>(f, 0) = 0 при у?>1;
2) <d(/, t) не убывает вместе с каждым *!,..., tn\
3) со(/, t) полуадднтнвна, т. fe.
где *«(*„...,*„) и *' = (*;,...., О-
.26

В самом деле, при | Лк | < tK и | т1К | < /к (к = 1,... ,/г) имеем
«>(/,< + <') = s"P -тгЬг, И/(■* + * +*>)-/(■*) IK
|hK+4Kl<tK+tie(f+ f )
. < SUP ^i-||/(^+A + 7])-/(^ + 7])|| +
|hK|<tK a(0
+ sup -±-\\f(x+7i)-f(x) || <<*(/,*) + <»(/.'').
где Л - (At, ... , Лп), ^ = К,..., Tin).
4) Если функция со(/, ^) непрерывна в точке / = 0, то она
непрерывна и при t > 0, т. е. t{ > 0, ... , /п >- 0.
В самом деле, если
lim «>(/,*)= О,
то из свойства 3) следует, что
I <*(/,< + <')-«(/.') К «(/.П.
причем о>(/, /') —>0 при tf'-*0.J
Отметим еще свойства модуля [непрерывности функции
/(х)€М/?):
5) При натуральном т>1
«>(/.^ОЕ9<тю(/,*)Е9.
В самом деле, в силу -определения ^модуля непрерывности
(1.15)
<o(/,|?i*)«SUp H/U+/nA)-/(*)||<
Ihl^t
< sup {II/(л + тА)~/(л + (^-1)А)|| + \\f(x+(m- 1)А)-
|h/<-t
-/(х + (от - 2) A) j| -h • • • + II /(* + h)-f(x) || }</пш(/, О.
6) Если Х>0 нецелое число, то
»(/,»Ц<(1+1)ш(/,<)е?.
В самом деле, пусть от<Х<яг+ 1. Тогда]
ш(/,)<)<«>(/Л^ + 1)0<(^ + 1)ш(/, 0 <(^+!)«>'(/, О-
4. Модуль гладкости функций в линейном
нормированном пространстве ЕД/?)
Для функции f{x) выражение
к
называемся ее'конечной разностью /ого порядка с шагом Л, а
функция
27

M/,')E9 = sup-i-||AS/(*)||
T ihl *<¥ П. I W.T 1
-. , ,v, •■ -. (1-22)
— модулем гладкости аг-го порядка f (x) в смысле метрики
пространства Е^/?), причем ш0(/»Ое9= 11/11» где ср >
1—непрерывная функция на /?, а ее характеристическая функция а(<)
определяется равенством (1.17). Аналогично этому можно дать
понятие модуля гладкости /с-го порядка по каждому
переменному xs(s =-- 1, .. ., п) для функции / = /(*,,..., JCn) 6 Е9 в
смысле метрики пространства Еср(/?п), где ср = ср(^)>
1—непрерывная функция в /?п с характеристическими функциями аД<)
.(/ = 1, ... , п), определяемыми равенством (1.12).
В дальнейшем величину
,(/, <)е? = «>к
1
sup
lh|<t as(^)
S(-irJ(*)/(* + yAe.)
j=o x ^ '
E„ =
(1.23)
•будем называть частным модулем гладкости л:-го порядка по
^xs,(s = 1,...,/г), функции f{x) в смысле метрики Е9(/?Д В
силу этого определения частный модуль гладкости /с-го
порядка функции/(х)б Е(/?п) (при 9= 1) в смысле метрики Е(^п)
определяется равенством
0)к
;(/, ^)^a>K,Xs(/)E = SUj||AKXs/||E =
= sup
IhKt
S(-!)K
3=0
f(x+jhes)
(1.24)
J
Очевидно, функции <ок,х8'/, *)Ecp и сок>Хо(/, t)E в случае к=\
.совпадают соответственно с функциями ^xs(/, Ое? и сох§(/, ^)е,
определяемыми равенствами (1.13) и (1.19).
В частности, имеем:
«>к,х(/, <)е = <»>к(/, <)е (/1=1, ? = 1),
М/,*)е = «>(/,*)е (/с- 1, /г=1, 9=1).
Функция сок(/, £)Е при любом л:>1 обладает свойствами:
1) М/.0)=.0;
2) <М/, *)Е не убывает вместе с <, что непосредственно
вытекает из определения (1.22).
3) Пусть f{x)бЕ(/?) имеет r-ю непрерывную производную
/(Г)(*)€Е(/?), где г>0—целое. Тогда для любого целого
о)к+г;(/,/)е<^.сок(/(г)^)е. (1-25)
В самом деле, по индукции можно показать, что справедлива
.формула
Mf(x) = } • • • j/(r)(* + <!+•• •+ tr)dt{.. . ЛГ1 (1.26)
28

откуда находим
шк+г(/, t)E - sup||AK(AS/(*))||E<
IhKt
< sup If •••П1дь/(г)(*+ <•+••• +<г)/|еЛ,...Л,<
<*r">K(/(r); <)e.
4) Если т—целое число, то
«>«(/; mt)EKmK^Kif;t)E. (1.27)
В самом деле, по индукции легко убеждаемся в
справедливости тождества
т—1 т—1
Д£ь/(.*)-2 •••2AK/(-*+v.A+--:+V*)> (1-28)
vi=0 vK=0
из которого следует неравенство (1.27).
5) Для любого модуля гладкости (%(/, <)е == ^кОе имеет
место неравенство
Ц^<2к.<^0_ приЛ<^ (1.29)
*2 U
что следует из свойств 2) и 4). Множитель 2К в правой части
{1.29) можно опустить, если функция ^lLI не возрастает.
6) Существует связь между модулями гладкости различных
порядков. Если /<;#, то для любой функции f(x)£E?
справедливо неравенство
<*K(f>*)E9<V-lm(f,t)z„ :(1.30)
позволяющее оценить сверху /с-е модули гладкости функции
через ее модули гладкости низших порядков.
Равенство юк(/»*) —О означает, что Д£/^=0 (или
эквивалентно нулю), это возможно тогда и только тогда, когда/(*)—
полином степени ^/с—1. Благодаря этому из неравенства
«>к(/.8)=<0к(/.-^» —)<
<«.„(,, Л) .„^ (8, = А)
следует, что если
8,^0 »J
то f(x) есть полином степени <^/с — 1. Покажем далее, что
если
limo)(/,8)E =0 (ж=1),
29

то при любом натуральном к, <*>К(Л 8)-» О при 8—>0. В самом
деле, из (1.30) при / = 1 вытекает неравенство
шк(/, 8) <2к-! «(/,*).
из которого следует, что <ок(Л &)е9-*0 при 8-*0, так как
«>(Л8)е9->0 при 8-^0.
7) В одномерном случае при любом натуральном к модули
гладкости /с-го порядка МЛ 8)е являются непрерывными
функциями от 8, если МЛ*)е~>0 при £~»0.
В самом деле, при 0 < 8 < т] и | * | < 1
к
1=0
Отсюда следует неравенство
к
ЦД,»/1|Е<||Д!!./1\Е + ^(*)|/(л: + ^)-/и + Л<)1|Е,
i=0
из которого находим, что
к
M/;4)e<M/;»)e+Y( *)»,(/; *(ч--«))е<
1=0
<coK(/;8)E + 2Ka)l(/;^(7]-8))E.
Таким образом, имеет место неравенство
0<|а>к(/;ч)Е-<ок(/;»)Е|<2к«)1(/;л(ч-8))Е.
Отсюда вытекает, что если МЛО~>0 при *-*0, то функция
М/> *Ь непрерывна при *>0.
Замечание. Некоторые свойства модуля непрерывности
и модуля гладкости изучены А. Марию [86(1)], А. Ф. Тима-
ном [105 (Г)] и М. Ф. Тиманом [107(1)].
5. Свойства модуля гладкости в пространстве Е9(/?п)
Для простоты записи в дальнейшем мы иногда опускаем
некоторые индексы у величины <vSs(/, 8)Ез, но .они
подразумеваются. Покажем, что модули гладкости, определяемые
равенствами (1.31) и (1.32), обладают следующими свойствами:
1) Для любого натурального к и любого 8>0
М/.+ Л&ХМЛ>М- МЛ.*). 0.31)
Неравенство (1.39) непосредственно следует из определения
величины юк(/, 8).
30

2) Если к и /—натуральные числа (1<к), то для любого
Ь> О имеет место
"к. xj(/,S)<2:<-'aj(8/)«»,,,.(/, 8) (у = 1, 2,... л), (1.32)
<»к(/,В)<2к||/!1. (1.33)
Положим А°ьл./=/(х). Тогда при 0</<к
лц/=дгх;(дц/) = ^](-1г1-'^т')ди;./(^+^),
где х = (^ct,..., ^п). Отсюда при | h | < 8 получим
к-1
!|Ah",xf/|[<2(^/)Kxj/Ui,...,^ + y
j=o
<2"-^,(Д)ш№|(/,8).
Неравенство (1.32) доказано, из него при / = 0 следует
(1.33). При / = 1 и ср=1 из (1.32) имеем
<*«.*,(/. ЗХГ1^^^), (1.34)
Отсюда видно, что для функции /(*), непрерывной по х[%
^к,хД/, 8)—>0 при 8->0, где /с—любое натуральное число.
3) Для функции сок,х. (/, 8^ при 0 < Ьх < 82 выполняется
неравенство
^k,Xj(/,81)<ccj(/c(82-81))cok>x.(/,S2). (1.35)
В самом деле, из определения сок>х. (8) следует, что [при 0 <
< &i < 82
<Чх.(/, \) < J ' --сок>х (/, 82).
Отсюда в силу свойства функции aj (t) получается неравенство
(1.35).
4) Если к и п—натуральные числа, 8>0, то
^K,x.(/,/i8)</tI<aj(/c8)o)K,Xj(/, 8). (1.36)
Индукция по /t, очевидно, дает
i»-o iK=o
Отсюда при | А | < 8 находку, что
\\Къ,*.}/\\<п\[к(*- 1)8]1|Д*%Д .
и так как а [/г (л—1)8] < а (аяг8), получается неравенство (1.36).
31

В частности, при ср=1 и #= 1 для щ.(/]пЬ)Е имеет место
неравенство
^(/;[л8)е<л«>Х](/;8)е. (1.37)
Отсюда вытекает, что при любом положительном X
coXj (/; Х8)Е< (X + 1)^.(/; 8)е. (1.38)
В самом деле, пусть натуральное число т удовлетворяет
неравенству /и— 1 <Х<;т. Тогда в силу свойства 1)
^(/;Х8)<сох.(/, m8)<mo)Xj(/, 8)<(X+l)coXj(/;8).
5) Пусть s—натуральное число, 8 > 0, т]^>0. Тогда
^,хД/;^)<(7]8-1+ 1)Ч(^)со8>х.(/;8). (1.39)
Если, кроме того, 0 < 8 < т], то
71-со.,х](/;ч)<21а,(Л)8-вшг§Х](/;8). (1.40) |
Докажем сперва (1.39). Это неравенство при ^]<8
очевидно, так как
f4l>l, l<flrj[5(8-ij)]<aj(s8)f
\ij(/;i)<e [5(8-7])]a)s,Xj(/;8).
Поэтому достаточно рассмотреть случай 8 < у\. Пусть
q—натуральное число, удовлетворяющее неравенствам
7]Г,<?<1,8-1'+1.' (1.41)
Тогда ^<дЬ и в силу (1.35)
Us.Xjf/; ч)^<*] [5(^8 —7j)].(oSiXj(/; #8).
Из (1.36) и (1.41) следует, что
<Чх. (/, ?0<aj [5
^J-+l)8-4]) ^Xj(/,^8)
<
<^*j(58)a,8iXj(/,.8). ...
Это и доказывает неравенство (1.39). Неравенство (1.40)
вытекает из (1.39), так как 8 + ^<2>] при 0<8<т] и потому
11 5 5
6) Пусть функция f(x)£E9(Rn) имеет г-ю непрерывную
ироизводную ' • - ^
^ ■+ — Dh/^E¥(/?rt>;. v —
32

Тогда
«»r. x, (/, 8)е„ <■»' ai (r8)||Dfy /|E^ (1.42)
и для любого натурального т
■<°.+r.x, (/, &)<Sr«i(r8K,Xi(Dl/;8). (1.43)
В самом деле, индукция по г дает
Ль+;,/ = j • • • j'Ah.x, \A\4x +(ti + ... + <г) e.)l Л, .. .dtt.
о о
Отсюда при \h\ <8 находим, что
1|Д^г,/||е,<8г«.(г8)||А!,х,(Д/)11е9, (1.44)
причем здесь учтено неравенство
Из (1.44) следуют (1.42) и (1.43).
6. Преобразование Фурье
Пусть /(х)—функция, определенная на /?, имеющая на
каждом конечном сегменте не более конечного числа точек
разрыва и абсолютно интегрируема на R: Известно [108(1)],
что если для четной функции f\x), удовлетворяющей
отмеченным выше условиям,
?с(х)= у —[f{t) cos txdt, (1.45)
о
то в точках дифференцируемости этой функции
/(*) = у 2- (Fc(t)cos xtdt.
о
Называя выражение, стоящее в правой части (1.45), косинус-
преобразованием функции f(x), приходим к закону,
взаимности: если Fc(x) есть косинус-преобразование четной функции
/(л:), то f(x) есть косинус-преобразование от Fc(x). Функции
Fc(x) и f{x) называются парой косинус-преобразований Фурье
Подобно этому, если /(х)—нечетная функция, удовлетворяю^
щая отмеченным выше условиям, то, полагая
Fx(x) = у — [f{t)sinxtdt,
в точках дифференцируемости f\x) пф#у*нц
/"9* °?
/ x)=.y^-[F§ )s\*xtdt.
о
1020-3 ЗЭ

Функции Fs(x) и f(x) называются парой
синус-преобразований Фурье.
Наконец, при тех же условиях функции
Flx)~y&] №)e,xtdt <U6>
f^=~h ht)e
-Mdt
называются просто преобразованиями Фурье или парой
преобразований Фурье.
В дальнейшем будем писать
Ф(/.«)- ]f(t)e™dt;
— 00
Ф(/, и) называется преобразованием Фурье функции /(<)•
Определим также
Ф(ё,и) = -^= Jg(t)e-Mdt;
—00
Ф(g, и) называется обратным преобразованием Фурье. Если
—а
то здесь и в дальнейшем
U.mF(x,a)=*F{x)= lf{t)eixtdt
-ОЙ
означает, что
lim °[ \F{x)-F(x,a)\Vdx = 0 (p>l)
и функция F(x) называется пределом в среднем степени/?>1
или пределом в смысле метрики пространства Lp(^)(/?>1)
функции F(х, а) при а—>оо.
В данном параграфе знак равенства между интегралами
{y(x)dx и ( ${x)dx означает совпадение их предельных
— ОС — GO
значений в смысле метрики пространства Lp(R) при указанном
значении /?> 1.
34

7. Теорема Планшереля
В дальнейшем мы часто пользуемся классической теоремой
Планшереля.
Теорема 1.1.1. Пусть f(x)—функция из класса L2{R)
(вообще говоря, комплексная) и пусть
Fl*.*)-Y=$nt)e™dt.
Тогда F(x, а) при а->ос сходится в среднем на R к
некоторой функции t(x) из L2(R) и обратно;
V2n J
—a
с ходите я в среднем к f(x). Функция f(x) и F(x) связаны,
формулами*
— оо
— ОО
где равенство имеет место почти для всех х. Кроме
того, имеем
J|/(*)|2rfx« Ъг(х)\Ых. (1.47)
— оо _ оо
Д о к азате л ьст в о**. Если f(x)£L2(R), то можно
построить такую последовательность функций {fn(x)}, каждая
из которых непрерывна и имеет ограниченное изменение на
конечном интервале, обращаясь в нудь вне этого интервала***,
что
[]/(*) —fn(x)\2dx->0 (л-*эо).
* Эта теорема обобщена Ватсоном [108(1)].
** Из доказательства видно, что можно было бы заменить F(x, а) на
ь
F{x; а, Ь) = ~jt= ]/(У) £1Ху^у, где а —• оо и b -+ оо независимо друг or
а
Друга.
*** См.: С. Бохнер. Лекции об интегралах Фурье. М., 1962, §41.
35*

Положим
— 00
Тогда
X X
/-„(*) = у== j fn(a)e^du.
— оо
X X
<t\Fn(x)\2dx= [Fn(x)-Fa(x)dx =
-х -Jx
* оо оо
—X -oo — oo
j- j /„(«)</« j*/n(t>) dV J e'X(U-VW = ^- f fa(u)dU
~ '"Э —X -oo
00
f 7-/ 2sinA(a— v) , /1 >1оч
/n(^J Ldv. (l .48)
J и — v
—X -oo — oo
oo oo *
^* J
-oo -X
X
^00
Нетрудно заметить, что интеграл
00
/ i\ Гт / \ 2 sin л (и — v) t
g(u> x) = \fniv) dv
—00
сходится равномерно по каждому из переменных и и к
Покажем, что
00
lim
Х-*оо
(,Л(«)2"пХ(а-р) dv = 2*Tn(*). (Ь49)
J ti — v
— 00
Очевидно, имеем
^Fn(u)eixudu=-^= §eixudu \u(t)e-{xxidt =
-x
00
du=
X
1 \clxada Г
v*y dtl J
-X —oo
00
-°° ,i -X . —oo
С другой стороны, имея в виду, что
х-~ -х
находим
36
цт 2 f/n(<)8inX(tt~° rf< = 2ic/n(H), ,

В силу (К49) равенство (1.48) примет вид
00 00
^\Fn(x)\4x= \\fa{u)\2du.
— 00 __ оо
Аналогично этому получаем
J\Fm(x)-Fn(x)\2dx= f[fm(tl)-fn(il)\*dil.
— 00 — ОО
Так как правая часть стремится к нулю при т -> оо и я-^оо,
то Fn(x) сходится в среднем к некоторой функции F(x) из
L2(R). При этом
Г \F(x)\2dx = llm \ \Fn{x)\2dx = -
- lim ?\fn(x)\*dx= [\f{x)\2dx. (1.50)
— 00 — 00
Далее, имеем:
6 5 оо
(Vn(*)d.x = —^1= frf* ( fn(u)eixudu =
0 0 - oo
1 P/ / ч «Uu-1 ,,
= tj7=- fn{u)— du9
V 2% J III
-, 00
так как область интеграции конечна и внутренний интеграл
сходится равномерно по х. Переходя к пределу при п~^осу
получим
etfu
* . 00
О - оо
так как — (^и — 1) принадлежит к £9(/?). Поэтому почти для
всех JC
— 00
А это показывает, что функция F(x) однозначно определена
с точностью до ее значений на множестве меры нуль.
Пусть F{x) и G(x) являются преобразованиями1 Фурье,
соответственно, функции f(x) и g(x). Тогда F(x) + G(х) будет
преобразованием суммы f{x)-r g{x). Поэтому в силу (1.50)
Jl\F(xy+Q{x)\*dx= f\y(x)+-g(x)\*dx,
— оо _оо
37

т. е.
f{ \F(x)\2+ \G(x)\*+2Re[F[(x)G(x)]}dx =
-00
= f {\f(*)\2 + \g(x)\2 + 2Re[f(x)£(7)]}dx.
Отсюда
Re j F(x)G{x)dx=Re j f(x)g{x)dx.
_oo —oo
Применяя аналогичное рассуждение к f(x)+ ig(x),
убеждаемся в том, что и мнимые части указанных интегралов
равны. Следовательно,
00 00 ^_»_^_
Г F(x)G(x)dx= \ f{x)g(x)dx. (1.51)
— 00 —00
Пусть g(x) = 1 при 0<л:<£ и g(x) = 0 при х> £ и х < 0.
Тогда
0(*)=-1- —Т(«,ш- 1) *L « * .JL(*"_ 1).
о
Поэтому в силу (1.51)
— 00 О
и отсюда
оо
я?*
•ix
Пусть, далее, h(x) = f(x) при — а<х<о и A(jc) = 0 при
|X | > a. Тогда
l=§/{u)f"du-F{x,a).
Поэтому преобразование Фурье разности /^(х) —/^(лг^я) равно
f(x)-~ h{x), т. е. равно нулю при | х | <а и- /(^с)^при |х |>а.
Следовательно,
f\F(x)-F(x*a)\*dx = (J+J\\f{x)\*dx9
— оо \—оо а у
38

стремится к нулю при а—> сю. Таким образом, F(x) = l.\.mF(x, a)
а-* оо
(в смысле L2(R)). Нам понадобятся еще следующие две
теоремы о преобразованиях Фурье функций из пространств L(R)
и UR).
Теорема 1.1.2. Если f(x) и О (х) принадлежат
пространству L(R), а функции г (х) и
g(x)—соответственно, их преобразованиям Фурье, то имеет место формула
jF(x)G(x)dx= ff(t)g{-t)dt. (1.52)
—Х> —'ОО
Доказательство. В силу формулы (1.46)
оо оо оо
Г t(x)G{x)dx=—^=r- [G{x)dx \ f(t)elx dt.
_ 00 _Q0 —00
Заметим, что в правой части .этого равенства перемена
порядка интегрирования законна вследствие абсолютной сходимости
интегралов*:
00 00 00
{ F(x)G(x)dx= -^= \ f(t)dt ( G(x)e^dx =
. 00
00
= (f(t)g(-t)dt,
V
-00
что и требовалось доказать.
Если в (1.52) функцию g{t) заменить на g( — t), то G(x)
заменится на G(x) и мы получим равносильную формулу:
^F(x)G(x)dx= § f(x)~g{x)dx. (1.53)
— 00 _00
В частности, при g = /, т.е. при F(x) б L2\R), получаем
00 00
| I F{x)?dx = Г | f{x) I2 dx. (1.54)
— 00 ^00
Равенства (1.54) называется формулой Парсеваля.
* В силу теоремы Фубини, если f(x), G(x)£L (/?), то
\f(t)G(x)\ = \f(t)G(x)e™\
интегрируема на Ru повторные интегралы
оо/ оо \ оо / со \
J J f(t)elt*dt \G(x)dxn f /(О Г G (x) e™ dx \dt
—О0Д—00 / _ 00 \_00 /
существуют и равны. ,■/...
39

Замечание 1. Равенство (1.52), а также (1.53) для
функций /л(х) и f2{x) из пространства L(R) могут быть записаны
в следующем виде:
f*(/i,0/>(0* = J7.(О<»>(/>. 0<«.
—оо < _оо
Эта формула называется также формулой Парсеваля.
Замечание 2. Можно показать, что теорема 1.1.2
остается в силе и в случае, когда f(x) и G{x)£ L2(R). В самом
деле, по теореме Планшереля Ф(0, t), Ф(/, t) б L2(R).
Произведение двух функций из L2(R) принадлежит L{(R).
Следовательно, интеграл в (1.52) существует. Рассмотрим
л
fit) j
eixtG{x) dx
dt.
Для конечных интервалов функции из L2(R) лежат в L2(R).
Поэтому существует интеграл
г А
j §\f(t)G(x)eixt\dxdti
и по теореме Фубини
-г L-A
«1.
elxtO(x)dx Idt'^lim \G(x)\ \exnf{t)dt
J r^°° _JA L-r
dx\
Следовательно,
fG(x)\ J ,
-A Llt|>r
elxxf(t)dt
-dx
2 A
< f|G(jc)|*rfjc.2u f \f{t)\2dt.
-A lt,>r
Далее, из неравенства Буняковского—Шварца и теоремы
Планшереля следует оценка
А Г ixt . 2 А
j G{x)]^e f(t)dt\dx < §\G(x)\*dx-2* j \f(t)\2dt.
-A |t|>r J ' —A lt|>r
Правая часть неравенства стремится к нулю. Следовательно,
А Г г "I A
lim jG(x) leXjXf{t)dt\dx= §G(x)<t>{f, x)dx.
Из тех же соображений можно устремить к бесконечности Л.
Тем самым доказано требуемое, т.е. теорема 1.1.2
-справедлива и в случае, когда f(x) и G{x)€L2(R).
Теарема 1.1.5. Если f(x)—преобразование Фурье
функции F(x), принадлежащей L(R), и g(x) принадлежит
L (R) (ее преобразование Фурье G (х) ограничено), то фроиз-
40

ведение \r2nF(x) G (x) принадлежит L(R) и ее
преобразованием Фурье является
К(х)= Г g{u)f{x-u)du. (1.55)
—00
Доказательство. Очевидно, имеем:
00 ...... ^ QQ
-J= j F(t)Q(t)e-Mdt=±.^ F(t)e-,xtdt ^ g{u)eUadu.
_oo _oo _!oo
Заметим, что здесь перемена порядка интегрирования законна
вследствие абсолютной сходимости интегралов:
^±= §F(t)G(t)e-M dt = ±\ g(u)du ^F(t)e-ltlx-u)dt =
_00 _*00 —00
= у= J g{u)f{x-u)du.
— 00
Таким образом,
00
K(x)=yl-ijg(u)f(x-u)du, F(x)G(x) (1.56)
-00
представляют собой преобразования Фурье.
Интеграл в правой части формулы (1.55) называется
сверткой функции f (х) и g(x) и обозначается через (f^rg)(x).
Таким образом, для функций f(x) и g(x) из пространства
L(R) или L2(R) свертка определяется соотношением:
(f*g)(*)= ff(t)g(x-t)dt- Jg(u)f(x-u)du.
_оо .Joo
Очевидно, процесс образования свертки можно повторить, и
тогда получим, что функции
00 00
— [h{v)dv Г g(u)f(x-u-v)du, F(x)Q(x)H(x) (1.57)
— 00 _00
являются парой преобразований Фурье.
8. Свертка дзух функций в пространстве L2 (R)
Свертка двух функций f(x) и g(x) из пространства L2(R)
определяется так же, как для функций из пространства L(R),
соотношением
(/*£)(■*)= $f(u)g(x-u)du= § g{u)f(x-u)
du.
41

Заметим, что если g(x)£L2(R), то g(x)^L(a, b) при любых
конечных а и Ь. Поэтому интеграл
ь
а
существует при любых конечных а и &.
Из теоремы Планшереля следует, что этот интеграл имеет
предел в среднем. Положим
ь
h{x) = -4=l-i'™(g(u)e~iUXdu- (1.58)
У 2л: а->-оо J
b-oc a
Теорема Планшереля утверждает, что
ь
g(x)=-^\-\-m[h(u)eiaxdu, (1.59)
b-»oo a
Г \g(x)[-dx = \ \h(x)\ dx. (1.60)
—00 _ 00
Формулы (1.58) и (1.59) являются обращением одна другой.
Поэтому, записывая (1.58) в виде А==Ф{#}, естественно, (1.59)
можно записать в виде g =--Ф-1 {/*}. Таким образом, оператор
Ф~\ обратный к оператору Ф, отличается от Ф только знаком
при i в множителе eiux. Пусть
gt(x)£L2{R)y g2(x)^L2(R), тогда
Вспомним равенство Парсеваля:
00 00
\ gt{x)gi(^)dx= f hl(x)h2(x)dx, (1.61)
-Joo —*'oo
которое допускает дальнейшее обобщение. Действительно,
пусть g(x) ■= g2(t — х), где tf—некоторая фиксированная
величина. Легко видеть, что
А(^)=Ф{?(я')}=^хМ4
Поэтому, применяя равенство (1.61) к паре функций ^(х),
g*2(-*0, получим, что
ОО ОО
f hx{x)h2{x)exX*dx = [ gA{x)g^t — x)dx. (1.62)
_'oo —oo
Правая часть (1.62) является сверткой двух функций: glv
g2^L2{R). Таким образом, свертка
00
?(■*)= j" gt(x)ga(t — x)dt= gt*g2){*)
— 00
42

равна
Ф(*)= ^hx{t)h2{t)e"*dt (?(x)=^(x)).
— 00
Заметим, что ty(x) является обратным преобразованием Фурье
функции hl(x)h2(x)£L(R).
В качестве примера, полагая функцию f(t) {t£(R))
интегрируемой по Лебегу в любом конечном интервале (я, ft),
рассмотрим функцию Стеклова:
/h(/) = J~ ^f(t+v)dv (Л>0).
Очевидно, функцию /ь(0 можно рассматривать как свертку
функций f(t) и
1 —A <t < JL
О, \*\>\
Так как
то в силу теоремы о свертке получим
ht
2sin —
at
Обращая это равенство, находим
ht
2sinT
ht
оо п hu
р 2 sin
Здесь при/(£)£12(^) интеграл сходится абсолютно, так как
в этом случае <?(t)£L2(R)i Если же /(*)6 £(/?), то интеграл
следует понимать в смысле главного значения по Коши.
9. Преобразование Фурье функций из пространства Z,p (/?)
Теорема Планшереля может быть перенесена с показателя
2 на общий показатель /?, где 1 </?<2 и q = -^—. По этому
Р — 1
поводу приведем теорему Титчмарша [108(1)].
43

Пусть f(x) принадлежит пространству L? (/?), где
1 < р<2. Гог(?а
a
f i jc. а) *= -rjr=- (/(£) elxt dt при а-^ эо
— a
сходится в среднем с показателем q. Пред г л в среднзм
F(x), называемый преобразованигм Фурье функции f(x)y
удовлетворяет неравенству
1
fe|/7(jc)|4d^<(2ic)"^+l. ( J\f(x)\*dxy~l. (1.63)
Имеют место двойственные соотношения, в том смысле, что
почти для всех х
F(x) = -lr± [f{t)^=-Ldt,
-00
_oo
Здесь также, как в случае Z,2, можно было бы заменить F (х, а)
на
ь
F(x,a,b)=^=-§f(t)e,xtdt,
где а-^оо и й-^оо независимо друг от друга.
Эта теорема является перенесением на интегралы Фурье
теоремы Хаусдорфа —Юнга, согласно которой для всякой
функции f(x) с периодом 2тс, удовлетворяюшей условию
\f(x) ?dx < сю, 1 </?<. 2,
справедливо соотношение
J L
q / 1 Г г \р
2|Сп1ч)Ч<(^1|/(х)|Р^
где Сп—коэффициенты Фурье функции f (x), a q~ ——-
р— 1
Очевидно, в случае, когда р = q = 2, неравенство (1.63)
заменяется равенством Парсеваля (1,60). Но, несмотря на это,
неравенство (1.63) не является точным и нуждается в
уточнении при рф2 (1</?<2). По этому вопросу существенный
44

результат получил К. И. Бабенко [9(1)], который показал'
что справедливо соотношение
i_ i_
u/?i|4 = (tf-(i)P|l/l|p (L64)
в случае, когда q=2l, где / — целое число.
Легко проверить, что знак равенства в соотношении (1.64)
реализуется на функциях f(x) вида
f(x) = ехр {— ах2 + ibx),
где д>0, а Ь—произвольные постоянные.
Теорема 1.1.4. Если/(х) a G(x) принадлежат Lp(Rh
1 < р < 2, a f (x) и g(x)—ux преобразования Фурье, то
^F(x)G(x)dx = \f(t)g(-t)dt. (1.65)
R R
Доказательство. Если <?(х) принадлежит Lp{R), a
ф(х, а) сходится в среднем к ф(х) с показателем q(— 7I—= 1],
то в силу неравенства Гельдера
| j [«К*) — <!>(■*> «)] ? (*)rf* | <
L L
<(рф(^)-ф(^л)14^) "(Jl<p(-«)lp^)
Отсюда следует, что
lim [[ty(x) — ty(x,a)]o(x)dx = 0. (1.66)
Кроме того, полагая
a b
f(x,a)= ^f(t)eitxdt, g(-t,b)= §G(x)eixtdx,
находим
b
{F(xya)G(x)dx = Y= Г G(x)dx U(t)e{xXdt=
—a
b
-a -b -a
Переходя к пределу при а-^оо и применяя к левой части
соотношение (1.66), будем иметь
§F(x)G(x)dx = ff(t)g(-t,b)dt.
- ь -00
Переходя теперь к пределу по Ь—>оо и применяя (1.66) к
правой части, получим формулу (1.65).
45

§ 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ
1. Характеристические величины целой функции
Рассмотрим множество A(D) всех функций f(z)
комплексного переменного z, регулярных в заданной области D,
множество A [D] всех функций /(г), регулярных в замыкании
D области Д и множество Л [D] всех функций, регулярных
в D и непрерывных в D. В случае, когда D есть вся плоскость
комплексного переменного z, множества A(D), A[D] и A[D]
сливаются в одно множество Л(|£|<эо) и функция /(z),
принадлежащая ему, называется целой аналитической
функцией. Следовательно, целая аналитическая функция /(z)
является регулярной во всей комплексной плоскости и представ-
ляется всюду сходящимся степенным рядом: f (z)=*SaK(z~z0)K
к=0
где 20—какая-либо точка плоскости, а коэффициенты ак
удовлетворяют условию:
lim ]/|яя| = 0.
п-»со
Примерами целых функций являются показательные
функции ez, £z\.., тригонометрические функции sin z, cos z, sin z2 и
др. Одной из важнейших характеристик целых функций
является максимум модуля М (г) = max|/(z)j. Посредством М{г)
|zl=r
определяются порядок роста
р = n^i " 1п М (г)
г ^оо \Ъ г
целой функции /(z) и ее тип:
г.— ЫМ(г)
r->00 rs
Кроме того, для целой функции /(z) конечного порядка р >0
и конечного типа а>0 на каждом луче, наклоненном к
положительной части действительной оси под углом 6,
определяется функция
/z(8) = hm —— i-L,
г-оо Г9
которая называется индикатрисой или лучевым типом целой
функции /(z^ для argz — б (0<6<2тс). Основные сведения
о целых функциях изложены в первом параграфе нашей
книги [48(22)].
2. Целые функции конечной степени
Простейшими из целых трансцендентных функций
являются функции экспоненциального типа. Так называются целые
46

функции первого порядка и конечного типа, а также функции
порядка ниже первого. Таким образом, f(z) называется целой
функцией экспоненциального типа с показателем а, если при
всяком е > 0 для всех г с достаточно большим модулем | г \ = г
имеет место неравенство
М(г)<е{о+е)т
и для некоторых z с достаточно большим модулем | z | — г
Ж(г)>£(а-е)г,
где Ж (г)-- max | /(z)|.
В силу этих неравенств
п— in Af (г) /г» 1 \
a = hm LJ-, (2.1)
г->оо г
причем число а называется показателем или степенью целой
функции /(£). Заметим, что если для каждого е>0
существует С = С (г) такое, что целая функция /(г) для всех
комплексных z удовлетворяет неравенству \f(z)\ < Cexp{(o+s)|z|},
то /(г) есть целая функция степени <Са. В случае, когда о—
конечное число, говорят, что f(z) есть целая функция
конечной степени ^а. Целая функция экспоненциального типа а,
очевидно, в то же время является целой функцией конечной
степени < а.
Обозначим через На класс целых функций конечной
степени <: а и заметим, что, например, функции
еп, P{z)s\naZ1 P(Z)cos(cZ+ a), .. .,
где P(z)—многочлен, а—любое действительное число,
принадлежат классу //„. Аналогичным образом определяются
целые функции конечной степени многих переменных: целая
функция /(£1э..., £„) называется функцией со степенью не
выше, чем о(аи ..., оп), если при любом s>0 выполняется
неравенство
(п )
l/(*i,..-, *п)|<Лехр 2(о,+е)|г,| ,
li=i J
где Л—положительная константа.
Обозначим через //- = // класс целых функций r(2j,...,
1""' п
zn) конечной степени <af по %\ (г=1,...,л). Функция
g(zu-••»zn) называется целой функцией конечной
сферической степени < а, если для всякого е > 0 выполняется
неравенство
I г(г1....,2„)|<С(е)ехр1(а + е)у 2 '* ! ' )>
при любых 2t,...,zn. Класс таких функций будем обозначать
через SCT.
47

Заметим, что целая функция g(zu ..., zn) сферической
степени о является целой функцией конечной степени ок по
каждому переменному zK, причем ок^а (к = 1,... , п).
Теорема 1.2.1. Для того чтобы степенной ряд
у AKzK сходился к целой функции конечной степени, необ-
ходило и достаточно, чтобы для некоторых
положительных кисел С и S выполнялись неравенства
\АК\<С-^- (л-О, I,...)- (2.2)
Доказательство. Пусть
00
f(z) = 2AKz«
к=0
есть целая функция конечной степени. Тогда
l/(*)|<Cexp{o|z|>
при всех 2, где С и а—положительные числа, не зависящие
от z.
В силу неравенства Коши при всех /?>0 находим, что
| Ак |< -L шах 1/(2)1 <£ехр{о/?} (к -О, 1,...).
RK |zi<r RK
Выбирая R=-— (к= 1, 2,...), будем иметь
о
|Лк|<^.,к0к<С1£о)к
1 к' *к *! .
Поэтому, полагая s - ео, получим неравенство (2.2).
Необходимость условия доказана.
SK s>
Пусть теперь |ЛК|<С , где С и 5—некоторые
положительные числа. Тогда, очевидно, степенной ряд V Ак 2К
сходится при всех z к целой функции/(г), причем при всех*г
(s|*l)K _ r»*№.
к=0 к=0
Теорема доказана.
Приведем теперь некоторые утверждения относительно
функций из класса //„, которыми будем пользоваться в
дальнейшем.
\/^)\<^\Лк\К\<^С.^^- = Се^
48

TeOipeMa 1.2.2. Если—f (z)—целая функция
конечной степени < о, то, каково бы ни было число с, сте-
пенъ фуч-сцчч f{z-\- с) разнг спепен1г f(z).
Доказательство. Заметим, что М (г) = max \f(z) | есть
|z|=r
возрастающая функция от г. Поэтому при г>\с\
М(г-\с\)^Л4(г)^М(г+\с\).
Отсюда, в силу (2. I), получаем
— JiiAf (г—- i_c I) г-|с| _
г_>оо г — | с | г
= HUT >J*£±i£!L. г + |с| д 1Ж ШЛ1<г) =
г_оо Г + | с | Г г-*Оо Г
что и доказывает теорему.
Теорема 1.2.3. Для любой целой функции /(z) =
к=0
= \ак £к конечной степени а соотношения
Г- ' In М (г) /о оч
lirn^ i-^- = o, (2.3)
Ш(п}/ТъЛ) (2.4)
1
е п-*оо
равносильны.
Доказательство. Пусть выполнено условие
hm — < а. (2.5)
г * 00 Г
Из (2.5) следует, что при любом г>0 существует такая
константа С£, что
vW(r)<C£exp{(o+s)r}.
С другой стороны, с помощью неравенства Коши для
коэффициентов степенного ряда аа получаем
I ап | < 11т г"п М(г)€С> lim { r~n е'^s)r} < С£ I ^±^ 1" .
г-Э г^О I П J
Отсюда находим, что
i_ i_
/И anf< С." [(* + «)*].
fim n\an\n<(a + е)г,
п-»оо
и ввиду произвольности s > О
1_
Нт/г| ап| n< о£.
П-* ОО
1020—4
49

Очевидно, для максимального члена
I*(r) = max \an\rn
(п)
функции f(z)
р(г) < maxCe |"(q + £)4n г- < Се.тах (ft.Г1)*,
(n) L л J t>o
где йе = (з + е)£. Несложный подсчет дает
max (ft. Г1)* = ехр{(а +е)г}.
t>o
Благодаря этому
|л(г)<С£-ехр{(а+ s)r}
при любом е > 0. Значит,
lim —rv ' <з.
г-»оо г
Известно, что для любой целой функции f(z)
i. lnAf(r) <
lim — = 1.
г-оо 1П(х(г)
Следовательно,
тт— lnAf(r) ^
Таким образом, мы вывели (2.3) из (2.4) и, наоборот, (2.4) из
(2.3). Это равносильно утверждению нашей теоремы.
С помощью формулы (2.4) можно построить целую
функцию максимального и минимального типа первого порядка
[48(22)]. Например, при
a.-ffi («=.,2,...,
00
ряд *San'zn представляет целую функцию порядка р= 1 мак-
п=1
симального типа, а при
1 \п
ап=[-Г-)П (*=?,3,...)
\п In п)
—функцию порядка р = 1 минимального типа (о = 0). Заметим,,
что предел в (2.4) не изменится, если заменить ап на(дн- \)ап
Следовательно, при диф4еренцировании степень целой
функции не меняется.
Отметим разновидность формулы (2.4). Она равносильна
равенству
ИЙГт^/1*>(о)| = о. (2.6)
П—00
5©

В самом деле, имея в виду, что
/(п)(0) „ ,. 1 п
ап
и lim —у п\ = —1
находим
еа = lim пУ\ап\ = е lim У 1/(п)(0)|.
п -* оо
Отсюда следует, что степень о целой функции
определяется равенством:
a = nS~f|7j. (2.7)
П-»оо
Заметим, что (2.6) равносильно равенству
1шГ^|/(п)(г)| = а, (2.
п-*оо
где с—любое число, так как функции f(z) и f(z + c) имеют
,ет
одинаковую степень. Целая функция /(£) = \ — zn буд<
экспоненциального типа а тогда и только тогда, когда о
является радиусом расходимости ряда
00
*■'<*)->:-St. (2-9)
п=0
то есть когда (2.9) сходится при |z|>a и расходится при
|2|<"о, иначе говоря, все особенности функции t {z)
расположены в круге |£|<о\ В самом деле, из (2.7) следует, что
a = lim V\c^\.
Это и есть радиус расходимости ряда (2.9).
Функция t (z) называется преобразованием Бореля целой
функции f{z) из класса //а. Говорят также, что/(;г) есть
верхняя, а г (z) нижняя функции, ассоциированные по Борелю.
Заметим, что
/>(6)= е* Jf(rel*)e~Tiul9) dr (2.10)
о
является [48(22)] при каждом действительном <р аналитическим
продолжением функции Н(\) в полуплоскость Re(£eicp)> /*(<?),
где h(<р)—индикатриса целой функции f(z) конечной степени
51

о. Кроме того, если контур Г охватывает все особые точки
функции F{z)(F(°o) = 0), то
/(г)=^>(^Л (2.11)
г
3. Теоремы Фрагмена — Линделефа
Пусть D— некоторая бесконечная область и F(£)—
функция, регулярная в D и непрерывная в D, т. е. F(z)
принадлежит пространству A [D]. Зная поведение функции на
границе области D, можно охарактеризовать ее поведение внутри:
этой области. Такие теоремы называются теоремами типа Фраг-
мена—Линделефа. В [48(22)] приведено несколько теорем Фраг-
мена—Линделефа с подробными доказательствами, из которых:
нам понадобятся нижеследующие.
Теор е м а 1.2. 4. Если I (г)—целая функция порядка
не выше р, ограниченная по модулю на сторонах
некоторого угла (g) раствора тс а с вершиной в наяале
координат, то есть t (г) |< С на сторонах угла (g)y
и если а<—, то модуль \F(z)\ ограничен той же по-
р
стоянной С и внутри угла (g).
Из этой теоремы следует, что если из начала координат
.проведена система лучей, делящая плоскость на углы
раствора не больше — каждый (р>—], то по крайней мере на
одном из этих лучей целая функция F(z) порядка ниже р,.
отличная от постоянного, должна быть неограниченной по
модулю. Допуская противное, согласно теореме 1.2.4 мы 'нашли
бы, что функция ограничена в каждом из углов между
соседними лучами и, следовательно, ограничена по модулю во
всей плоскости, что невозможно, если t (z) ф const. Можна
утверждать, что для функции порядка р и минимального типа
сформулированное предложение справедливо и тогда, когда
a = —. Вообще же теорема 1.2.4 перестает быть справедлив
Р
вой, если для углов раствора — рассматривать функции по-
р
рядка р (не минимального типа). Так, в случае, когда р= 1,
функция sin z ограничена на всей вещественной оси, которую
можно рассматривать как стороны каждого из двух углов
раствора — = тс верхней и нижней полуплоскостей. Однако модуль
Р
52

I sin z | не является ограниченным ни в верхней, ни в нижней:
полуплоскостях, Дополним вышеизложенное следующим
утверждением*.
Теорема 1.2.5. Если f(z)~~ функция порядка р и типа,
о >0, голоморфна внутри угла \ arg z | < —, и если на сто-
ронах этого угла
U*
f\re
<М,
то внутри всего угла имеет место неравенство
|/(ге|9)|<Ж^Рсозр9 |6К-). -
2р/
При этом угол I arg г \ < — может быть заменен любым дру-
2р
гим углом раствора —.
Р
Доказательство. Функция
?6(z)=*-<^)z7(*)
ограничена на сторонах угла | arg z | ^ — и, кроме тогог
2р
ограничена на положительном луче.
Применяя к этой функции теорему 1.2.4 внутри каждого
из углов 0<arg;z<—и ^-<argz<0, мы убеждаемсяг
что <pe(z) ограничена внутри всего угла. Следовательно, внутри
этого угла \<?b(z) \ -<СЛ? или
1/(2)1<ж^+е)гРс'°^ | е i <JL\
2р /
и, наконец, в силу произвольности £
В частности, если функция f(z) порядка единицы и типа <т
в верхней полуплоскости (Im2>0) ограничена на
вещественной оси | f(x) | <; М (x£R), то во Есеи полуплоскости Im z >0
\f(z)\ <№eQlmz.
При о=0 теорему 1.2.5. можно рассматривать как
некоторое усиление теоремы 1. 2.4. В самом деле, в этом случае она
отличается от теоремы 1.2.4 тем, что требование, чтобы
порядок р функции f(z) внутри угла был меньше —,
заменяется
Б. Я. Левин [78(5)], стр. 70—71.
53

«ся более слабым требованием, чтобы она была не более, чем
минимального типа внутри этого угла при порядке р = —.
а
Следствие. Если целая функция f(z) не выше, чем
первого порядка и минимального типа, и ее модуль ограничен
на какой-нибудь прямой, то она постоянна. В самом деле, в
этом случае | f(z) | ограничен в каждой из полуплоскостей,
на которые эта прямая делит плоскость, т. е. | f(z) |
ограничен во всей плоскости, и по известной теореме Лиувилля/(;г)—
постоянная.
Аналогичными рассуждениями можно доказать теорему
Фрагмена—Линделефа для полосы.
Теорема 1.2.6. Пусть f (z), z -=- х + /у, непрерывна и
ограничена в полосе S (а <.*;<;(■*, у б/?), кроме того,
регулярна внутри 5. Если I f{z) | < К на границах полосы,
т. е. при х = а и х — р, то 1/(2)1 < К также и внутри S.
Доказательство. Допустим сначала, что
\f(x + iy)\ -*0 (2.12)
равномерно относительно х, а<х<р, если у~>±^о. Если
z0 = х0 + iy0 лежит внутри 5, то берем ч\ столь большим,
чтобы | f(x+ 1ч\) | </С при а< ^:<р и чтобы прямоугольник
<а<x<p; | у | < 7]) содержал точку z0. Тогда, применяя
принцип максимума модуля аналитической функции, видим,
что | f(z0) | < К. Итак, при условии (2.12) теорема доказана.
В общем случае полагаем
22 (Х2~у2) 21ХУ
fn(z)=f(z)en = /(«)« n -e a .
Тогда /n(z) удовлетворяет условию (2.12) и значит, полагая
7 = max( | а |, | р | ), будем иметь
\Мг) | </Сехр {Jij
ла границе S. Поэтому для любого z0 внутри 5
!/n(z0)l <^ехр{^}.
Переходя к пределу при я-^оо, получаем | f(z0) | < К.
Можно показать, что если f(z0) = K в некоторой внутренней
точке, то j (г) = const в 5.
Принцип Фрагмена—Линделефа для полосы, выраженный в
теореме 1.2.6, можно сформулировать и в другой форме.
Пусть f(z) непрерывна и ограничена в полосе 5, а также
регулярна всюду внутри 5. И пусть
1/(« + *У)1<К;. l/(P+'y)l<tfi
54

для всех у. Тогда, если [со(t)—линейная функция,
принимающая значения 1 и 0, соответственно, для t = а и / = р, то
1/(*о+'У) 1<АГГ(Хв).АГГш(Хо).
Действительно, полагая
/1(2)=/(г)К/ГГ<2)/>Г21-",(2)),
видим, что fx{z) удовлетворяет условиям теоремы, если Л=1г
т.е. \ft(z)\ <1.
4. Род целой функции
Пусть f{z)—целая функция с нулями в точках
последовательности {<2П}, имеющей конечный показатель сходимости т
00 *
и х—наименьшее целое число, при котором 21#к Г*""1 сходится-
к =1
Известно, что 0<*<т. Число * называется родом
канонического произведения
<z)=f\E(j.,j
где
Допустим, что функция f{z) представляется в виде
f(z) = zmeeWf\E(^-, x\ (2.13)
\ ак
где g(z)—целая функция и /я-кратность нулевого корня. В
случае, когда g(z) является многочленом, то она называется
целой функцией конечного рода. Наибольшее из чисел * и /г,
где я—степень многочлена g(z), называется родом целой
функции f(z). Если g(z) не является многочленом или если
00 -х
ряд 2 I ак I расходится при всех значениях К то род функ-
к=1
ции считается бесконечным. Род целой функции будем
обозначать через/7, где /? = тах(я, *). Заметим, что целая
функция нулевого рода представляется в виде
/<«> —П('-£>
к=1
Теорема Адамара о представлении целой функции
бесконечным произведением является одной из классических теорем
теории целых функций. Если
55

/„)_,-^n(i-i),4"{i+... + -=H(2.a«)
.представляет целую функцию f(z) конечного порядка р,
то входящая в (2.13) функция g{z) является многочленом
степени не выше, кем р. Иными словами, род целой
функции не превосходит ее порядка (/?<р). Классической
является также теорема Бореля, которая гласит, что порядок р
00
канонического произведения П£[—, xj не превышает по-
к=1
казателя сходимости т последовательности {ап}, т. е
О < х < т.
Из теорем Адзмара и Бореля следует, что наличие
разложения вида
/(,) = ^^П(1-^)ехр{^+...+ -4),
1 Х \ «к / I Як *< J
где Я^)—многочлен степени q и х—наибольшее целое число,
00
для которого ряд V J ак Г* расходится, вполне характеризует
к=1
целые функции конечного порядка.
В самом деле, если та же функция /(&) допускает еще
одно разложение того же вида:
00
/<*>-*''№,п('-£Н£+---+^).
к=1
оо
где V—наибольшее целое число, для которого ряд ^\ЬК\~""
к=1
расходится, то числа Ьк должны совпадать с
соответствующими числами ак (при надлежащем изменении порядка
нумерации нулей с одинаковыми модулями), v должно совпадать с х
и, наконец, многочлен g(z) может отличаться от P(z) только
на слагаемое вида 2mni (m—целое число).
В качестве приложения теоремы Адамара выведем
разложение sin z в бесконечное произведение. Все нули sin z суть
простые: 0, — ic, и, —2<т, 2тс,..., — агтс, кк, .. . Очевидно,
показатель сходимости последовательности этих нулей т=1,
лричем ряд
± + ±+...+±+.±+...
56

расходится, в то время как ряд
+ -i-+-L- +
К*Ъ± К*Т*
сходится. Поэтому число х=1 и разложение sin z в
бесконечное произведение имеет вид
00 (Г ' — 1Г -—
■ " 'ii-
«■"-«•-п \w-iy- К'+^р
к=1 L
-«■"ПОт^)-
к=1
Так как порядок sin z есть единица, то по теореме Адамара!
g(z) есть многочлен степени не выше первой: g(z)=A0-\-A^z..
Для определения коэффициентов^ и Ах заметим, что
,g(z)
sin 2
п
-четная функция. Поэтому еЛо+Агг~еА° AlZ, откуда e2AlZ = 1
и, следовательно, Ах = 0. Далее, переходя к пределу при zv
стремящемся к нулю, получим £Ав = 1 (т.е. А0 — 0). Итак,.
e{gz)=\ и ' ...р ■
00
sin
1 Ц л:2тг2 /'
Примечание. Из теоремы Адамара и из того, что т"<х + 1;
и потому
р = max (л, т)<тах(д, х) +- 1 = р + 1,
следует, что /?< р«ч/? + 1-
Таким образом, выполняется одно из двух соотношений:
р = [р] или /? = [р] — 1. Последнее из них имеет место тогда'
00
и только тогдаг, когда п < т, t—целое число и ряд V | ак\~х
сходится. п ' -
* В качестве примера рассмотрим две функции:
1 1\ кЫ] J V ' * Ч *[!■(*+1)1/
Для первой N9 них л —= 0, т — % —- 1 н, следовательно*
p«s max (л, *)*= 1 и р — max (л, х) = р—= 1.
57

Для второй л = 0, t=l, х = Ои, следовательно, р = 1 и /;=0.
Таким образом, функции могут иметь один и тот же порядок
и разный род (здесь р — 1 и /7 = 0). Заметим, что функция
нулевого^рода вполне характеризуется наличием разложения
вида
/<.>-cft(i-i).
к=1
00
где-ряд ^ |а*1 сходится.
к=1
Пусть последовательность положительных чисел {К}
удовлетворяет условию
lim — = о, 0<о<эо.
п-*оо Хп
Рассмотрим целую функцию:
♦(.>-П(>-£).
п=1
♦Очевидно, род ее равен единице (х = 1). Кроме того,
г— in/г (г) t
р = lim ^- = 1.
r-»oo In r
Отсюда вытекает, что Ф(г) есть целая функция первого
порядка. Можно показать, что ее индикатриса имеет вид
Аф(в) = 1са|81пв |.
Плотность корней целой функции, вообще говоря, однозначно
ше определяет ее порядок и тип.
Например, рассмотрим функции
sin-= -fj(i_^L\
2 2 l * \ (2/г)2/
п=1
'И
п=1
Для обеих имеем п(г) — г, то есть плотность множества
корней одна и та же. Однако sin — первого порядка и
нормального типа, в то время как <p(z) первого порядка и
максимального типа. В последнем легко убедиться,
воспользовавшись формулой Стирлинга:
1пГ(*)=(г-— lnz-z + -^ln2u+0(—\-
:5S

из которой следует, что
In МсДг)~г1пг.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение::
Теорема 1.2.6. Если А(9>—индикатриса целой
функции f{z)^HQ и яисла 6t и 62 удовлетворяют условию'
о<е2 — eiO> то
ft(8X /z<ei)sin^^~e) + /l<e2)sin^^e^ ve (2 14*>
sin (62 — 6i)
Доказательство. Пусть A(6i) = A,, A(62) = ^2, &>0 и
функция
#5 (б) = as cos б + Ьь sin 6
принимает значения At + S и /?2+й, соответственно, в точках.
Bt и б2. Очевидно,
limtf8(9)=//(6),
где
///дч— /zisin (62—6) -h /z2sin (в — 6^
sin (02 —6^
есть единственная функция вида acosS + ftsinQ, принимаю-
щая значения hx и А2> соответственно, в точках 0t и 62.
Рассматривая функцию
^(е)- /(г)ехр{—(аст — ibo)z},
находим
|/7(^)! = 1/(*)1 -ехр.{-/М6)г>.
Отсюда следует, что /*~(2) ограничена на лучах argz = 6,, б2,
и так как 0<62-—6| < тс, то в силу теоремы 1.2.4 она
ограничена и в угле б^б^бз. Таким образом, имеет место
равенство
|/(Z)| =0{ехр[//5(б)г]}.
Последнее показывает, что Л(6) < Н% (6). Отсюда при
S-последует неравенство (2. 14*).
5. Об одной вспомогательной целой функции
Рассмотрим функцию
D(z)={z~ls[nz ПРИ *^°. (2.14)
I 1 при z = 0.
Нетрудно видеть, что для целой функции sin z при
некоторой константе Сг выполняется неравенство
| sin г | <Схе,у|.
Поэтому
sin* ^C^1 ( |*| >1).
59»

С другой стороны, существует положительная константа С2
такая, что
sin г
Но так как 1 < е1У\ то
I sin г I
Таким образом,
<Cte
sin г
г
(
О).
1У1
( I г\ <1).
<Се,у'
лля всех г, где С =тах(С1, С2), т.е. D(z) является целой
функцией порядка р= 1 и типа а— 1.
В дальнейшем, наряду с функцией D{z), рассматривается
D9(z)=lz~l'slnaZ ПРИ z^0' (2.14*)
I а При Z = 0.
Легко видеть, что если g(z)~целая функция первой
степени, то g(a^)—целая функция степени о. Верно и обратное
утверждение. Следовательно,
D9(z) =
= cD(aZ), Da(0)=a,
является целой функцией порядка р = 1 и конечного типа
о>,0.
Эти обозначения сохраняются и используются в
протяжении всей книги. Кроме того, нам понадобятся следующие
свойства-целых^функций D(z) и D9(z\
1) Dl(z) = D(z);
2) при любом а б R справедливы тождества:
Р°
V ОЦа-т)=\,
к==-оо
Jj 2,,
К=-оо
00
Г-тгИ
2 (-1)^(1^?)-= б.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
В доказательствах этих тождеств используются
разложения на простейшие дроби функций esc a и csc2a '(см. [82(1)],
стр. 328), т. е. ■ ■ • ■..-..
sin a ^J a — i
K-l
(2Л8)
к=— oo
И
*60

Sin2a
К= — 00
Из (2.18) имеем
00
V - . (2.19)
cos a _ d ( 1 \ V^ (- 1)1
sin2a da v sin a
K= —
V (- 1)K . (2.20)
Из (2.19) при a = — получаем нужное нам равенство:
оо
1
2' "
к=-оо
(-1)
(2.21)
Кроме того, учитывая
sin2a = sin2(a — дгтс), ук (# = 0, + 1, ±2,...),
из формулы (2.19) получаем тождество (2.15).
Далее, учитывая
■ к%
2 sin2"-^^= 1 — (— l)Kcosос, Vk(k=0, ±1, ±2,...),
находим^ что
00
2sin3 ■
■кк
к=—оо к =—оо
= yi 1 __ ^ (—l)*CQsa
^1 (а — к%У~ J^ (а - к*)*
к= —оо к—— оо
Отсюиа в силу (2.19) и (2.20) следует тождество (2.16).
Наконец, в силу этих же формул из равенства
Y1 (_ | ус дг /*-**-, _ 2 V (-1)к[1-(- l)Kcosa]
к=— оо к=—оо
следует тождество (2.17).
6. Принцип компактности множества функций
Если любая последовательность элементов ограниченного
множества W содержит сходящуюся подпоследовательность,
то W называется компактным множеством. Критерии
компактности хорошо известны для некоторых часто встречающихся
пространств функций. Простейшими из них являются признаки
типа теоремы Арцела, которая гласите что' ограниченное
множество W непрерывных на [a, b] функций f(x) компактно
6Г

в смысле равномерной сходимости тогда и только тогда,
когда для любого г > 0 можно указать кисло Ь > О,
обладающее тем свойством, кто если \ хх — х2 I < 8, то все
функции f{x)£W удовлетворяют неравенству \ f{xx) —
—"/(*2) ! < е- Эту теорему удобно сформулировать, пользуясь
понятием модуля непрерывности:
«>(/,') = «>(/;«. М)= sup \f(x,)-f(x2)\ (0<*<ft-a).
Xi, x2e[a, bl
Необходимым и достаточным условием непрерывности f(x)
является стремление к нулю со(/, t) при £~*0. Теорема Ар-
цела означает, что ограниченное множество W непрерывных
на [а, Ь] функций f(x) компактно в смысле равномерной
сходимости тогда и только тогда, когда sup co(/, t) —»0 при t—»0.
few
Аналогичный критерий компактности имеет место для
пространства 1р с модулем непрерывности
M/;OLpla.bl = 1^p{|l/(^ + A)-/(x)|P^jP = (0(/;0p.
Оказывается, что ограниченное множество W функций f(x)
из Lp компактно в этом пространстве тогда и только тогда,
когда supo>(/; £)0->0 при/~>0. Существуют и другие харак-
few F
теристики компактных множеств, отражающие те или иные
общие свойства таких множеств в целом, но мы не будем их
затрагивать.
Пусть теперь W— множество функций f(x, у),
непрерывных в замкнутом ограниченном прямоугольнике G Р^^^л)
переменных х и у, с модулем непрерывности
«>(/;«, *>)= sup \/(хиУг) — /(Х2, Уг)|.
|xi-x2|<u. |yi-y2|<v
(Xi, yi) € G, (X*, y2)€G
Нетрудно показать, что соотношение sup u)(/; u, v)-^>0 при #r
few
v -> 0 является необходимым и достаточным условием^омпакт-
ности ограниченного множества W непрерывных на G
функций. Аналогично этому ограниченное множество W функций
f (х, у) компактно в смысле сходимости в среднем (в смысле
Lv) тогда и только тогда, когда sup u>(/; и, ^)0 —>0 при и,
v few *
v-^0, где
«>(/;и, гМр= sup \[[\f(x + h, у + г})- ч--,,ь --*У).
62

Исследование компактности множества функций,
аналитических в данной области D, базируется на следующей
теореме Монтеля:
Для того ятобы множество A (D) функций,
аналитических в данной области D, было компактным в этой
области, необходимо и достаточно, ятобы оно было
равномерно ограниченным внутри нее.
В заключение напомним еще одну теорему, которая
понадобится в дальнейшем [82(1)].
Теорема Витали. Если последовательность {/n(z)}
функций, аналитических в области D, компактна в этой
области и сходится на некотором множестве точек Ed D,
имеющем по крайней мере одну предельную точку, при-
надлежащую области, то эта последовательность
равномерно сходится внутри D.

Г Л ABA II
КЛАССЫ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
Рассмотрим классы целых функций конечной степени,
характеризующиеся различными свойствами. К их числу
относятся классы С. Н. Бернштейна, Винера—Пэли, Р. Боаса, классы
знакопостоянных целых функций и др.
§ 1. КЛАССЫ С. V. БЕРНШТЕЙНА И ЕИНЕРА—ПЭЛИ
1. Определение классов Ва и W*
Напомним, что для любого неотрицательного
вещественного числа о через Н* обозначается множество всех целых
функций конечной степени таких, что степень каждой из них не
превосходит а. Для любой целой функции f (г) через / (х)
обозначается ее сужение на вещественную ось. Очевидно, что
множество всех целых функций /(г)£На таких, что f(x) £ С(/?),
является линейным нормированным пространством с нормой
Я/tl = sup ]f(x) I ,
которое называется пространством С. Н. Бернштейна и
обозначается через В0 [14(1)].
Аналогично множество всех целых функций f(z)£H0 таких,
что f(x)tzL2{R), является линейным нормированным
пространством с нормой
11/11 = 1 fl/(*)|*rf*J ,
называемым пространством Винера—Пэли, и обозначается через
W. [24(1)].
Покажем, что для любой функции »(д), *6[—<?, о], с
конечной вариацией
g(z)= jeiZUfl?co((z)
—а
64

принадлежит^. Прежде всего g(z) непрерывно
дифференцируема в каждой точке z комплексной плоскости и поэтому
является целой функцией. Далее, g (x) ограничена на JRr
так как
sup I £(■*)!< [ \d(t>(u)\ = M < +сх).
Наконец, для любого г = х + iy выполняются неравенства
I g (2) |< j е~уа | d о) (и) |< Ме°,у1 < Ж в"1",
а это и означает, что степень функции g(z) не превосходите
Таким образом, g(z)£Ba. Отсюда следует, что пространству
Во принадлежат интегралы вида
§eizuC(u)du,
где С (u)£Lx(—а, о), и суммы вида
к
где 2 I Ск I < ос и akg [—a, a], yk. В частности, тригономет-
k
рические полиномы порядка п принадлежат -пространству Вп.
Покажем, что
где <р(#) 6 £г(— о, о), принадлежит пространству lFa. Выше
уже говорилось, что эта функция принадлежит В99 поэтому
осталось показать, что f(x)6:!,(/?), а это следует из того,
что /(л:), по определению, есть преобразование Фурье
функции из L2(#). В частности,
II/IIw^II/IIl^-HtIIl,^). (1. 1)
Напомним, что функция D(z), равная г"""1 sin z при \z^0 и
единице при z = 0, является целой функцией первой степени.
Легко показать, что она принадлежит Вх и Wu причем
Шв,-!. /I/Uw, = /^ (1-2)
В дальнейшем рассматриваются классы С. Н. Бернштейна и
Винера—Пэли также в многомерном случае.
Пусть <pl-*)j> 1 —непрерывная функция в пространстве Rn
и через Вв1,...,ап;<р = В- обозначается совокупность всех целых
Функций f(zu ... , zn) конечной степени < а = (аи . . . , оп) с
нормой
1020-5 65

Очевидно, класс В<,,<р является линейным нормированным
пространством, ксюрое будем называть весовым пространством
С. Н. Бернштс 1на функций многих переменных, а в случае
ср = 1— просто пространством С. Н. Бернштейна функций
многих переменных и писать так:
в-л = в-~в
Предположим, что заданы числа ри . . . , рп (Л^-1, Л = 1,
... , /г) и функция ср(л:)>1, непрерывная в пространстве/?п.
Обозначим через W^!.'.'.',^ = W^p) совокупность всех целых
функций f(Zb . . . , zn) конечной степени <^ а(аи . . . , оп),
таких, что
ll/Hp;9=|l/IU....Pn;9 =
ЯН J
pi
k P2/P1
dxx
dx9
Pn/Pn-l V/Pn
Иными словами, целая функция f(zu . . . , zn) принадлежит
классу Wj\ если при заданном ср (•*)>! из пространства
C{Rn) функция f{x) I cp(x) принадлежит обобщенному
пространству Лебега Z- (/?п). В дальнейшем будем пользоваться
следующими обозначениями:
w® ^ l^;;:;:^ = ур<?>..,в|1,ф (Pl =•.. = Рп=Р)%
W-
(р>
uviP)= uv(P)
(л =
■=Рп = />).
Я7$=В7(вр) (л = 1, ? = 1, pt=---Pn=p\ W?]=W, (/> = 2).
Очевидно, класс W^ целых функций при любых ?!>1,
<*i> . . . > ап, /?1, . . . , /?п (А > 1, .£ = 1,. . . , я) является
линейным нормированным пространством, которое будем называть
обобщенным весовым пространством, а в случае <р ^ 1 —просто
обобщенным пространством Винера—Пэли.
2. Теорема Винера—Пэли
Относительно класса WQ имеет место следующая важная
теорема, доказанная Винером и Пэли.
Теорема 2. 1. 1. Класс целых функций W„ совпадает
с мноэюеством функций f{z), допускающих представление
/(z)= _L_ [eluzf(u)du,
V2k J
(1. 3)
66

где <р (и) £ L2 (—о, с). Л ругами словами, классы целых
функций Wa совпадают с множеством аналитических продол-
жений преобразований Фурье функций из L2(—a, а),
носители которых содержатся на отрезке [ — о, о].
Доказательство. То, что всякая функция вида (1. 3),
где ф (u)£L2(—e, о), принадлежит классу W„, уже доказано.
Остается доказать, что всякая функция f(z)£Wa допускает
представление (1. 3). Воспроизведем доказательство,
принадлежащее Планшерелю и Пойя [94(1)].
Нужно доказать, что условие f(z)g Wa влечет обращение
в нуль преобразования Фурье у(х) функции f(x) почти при
всех х > о и х<С— о. Действительно, если ср(л;) =0 почти при
всех указанных значениях, то в силу теоремы Планшереля
Но тогда целая функция
I
/U)'(vkl^(",'to-
[— [eiz,x<?(u)du
2к J
V2
совпадает с f(z) при z = х и, следовательно, она
тождественна /(г).
00
Возьмем ассоциированную по Борелю с/(г) = \ — ,гк
функцию
оо
k=0
Пользуясь преобразованием Бореля (см. (2. 11), гл. I), имеем
оо
g{*) = ea\ f{telt)e-«"te)dt.
О
Покажем, что g (z) регулярна в плоскости, разрезанной вдоль
отрезка мнимой оси от —/а до io. С этой целью рассмотрим
'Преобразование Бореля при 9=0 (£ = t), тс(£= — t). Получим
представления:
00
g(х + /у) = J /(t) e~Ux+iy) dt = g+(x + iy), (1.4)
О
со ' О
g{x + iy) = - ^f(-t)e4x+iy)dt=--$f(t)e-4x+iy)dt=
= gjx+iy), °° (1.4')
3* 67

которые пригодны, соответственно, при лГ>о и х<С— о. Однако,
учитывая, что f(x)£L2, и применяя неравенство Буняковско-
го— Шварца, убеждаемся, что эти интегралы сходятся
равномерно, соответственно, при л:;>£>0 и *<;— е, т. е. здесь
преобразование Бореля действительно дает аналитическое
продолжение функции g(z), определенной выше с помощью ряда
лишь при | z | > о.
Итак, g(z) регулярна и, следовательно, однозначна во всей
плоскости, разрезанной вдоль отрезка [—/о, ia] мнимой оси.
Отсюда вытекает, что при у > о и у < —о существуют и рав-
лы g(iy) пределы
«r+(*y + 0) = limff+(/y+е),
g_(iy-0) = limg_(iy-*) (•><)). (1.5)
В силу (1. 5) - g, (iy +e) есть преобразование Фурье
У 2п "*"
функции
+ ; I о, *<о,
принадлежащей L2(R). Очевидно, что
— оо
о
при е -> 0, поэтому и
оо
llm ^^ g+(iy +&) - 9+(y)\2dy = 0,
— оо
где ср+—преобразование Фурье в L2{R) функции /+ (х, 0), т. е
о
Но так как согласно доказанному выше при у > о и у < —а
функция g*+(iy+s) имеет обычный предел при s-^0, то почти
при всех у><з и у < — з
Аналогично доказывается, что (в том же смысле)
68

*-(y>=w*-(''y-°>=w^
где
c?_(y)=l.i.m-i= \f(x)e-lyxdx.
n-»oo У ZK J
«—n
Следовательно, почти при всех у>о и у<С—° имеем
•w-liHTWJ'W'
в<Р+(У) + <Р_(У)=^7= te(*y)-£(*y)J =0,
теорема доказана.
Теорема Винера—Пэли остается в силе и для многомерного
случая*. Если/б W^ , а = (аь . . . , оц), то преобразование
Фурье-
Я(*)-ёЫ/(и)*",и,л'' (1-5/)
где интеграл понимается в смысле сходимости в среднем:
I (2*)n/2J y ;
->0, N-y oo,
2(Дп)
^N = {UK|<yV, *-l, . . . , n),
не только принадлежит £а(/?п), но, кроме того, F(x)=0 почти
всюду вне Дя. Наоборот, если ?—произвольная функция из
L >(\), то
F^-^^^elXUdu
принадлежит W~* и определяемая формулой (1. 5') функция
F=y почти всюду.
Следствие 1. Если f(z)б W*, то для всех
действительных х справедливо неравенство
H/llc<VTl/lu.
иначе говоря, если f(z)б W9, то /(г)бДг.
* Теорема Винера—Пэли обобщена на случай функций многих
переменных Планшерелем и Пойя [94(1)].
69

Действительно, по теореме Винера—Пэли
/С*)--— \?(u)e^du,
где ср (#)£12(^о, а). Отсюда в силу неравенства Буняковско-
го—Шварца
II/«с < ~~= /| 9(u)\du < Y¥ I * I'm-*,)-
Но согласно равенству (1. 1) имеем
»<PllL,<-,,.) = »/IL(R>'
утверждение доказано.
Следствие 2. Класс четных целых функций из W0
совпадает с множеством функций /(z), допускающих
представление
*
/(z) = V— \ у (и) cos uzdti,
о
где <р(я)€£а( —а» а) есть также четная функция вида*
?(й)= ]/"-! $f(t)cosatdt.
о
2) Класс нечетных целых функций из №а совпадает с
множеством функций /(z), допускающих представление
/(*)=*]/"4- fsinrf<p(0^,
О
где <p(i)6i2(-o, а) есть также нечетная функция вида
——— °°
ср(и) = /|/А £ f(t) sin tit dt.
о
В самом деле, если f(z)-— четная целая функция из Wa, то
соответствующая функция у(и) из Z,2( — а, о) также четная:
?(")=—^ f<Г""/(<)-« = ]/"4 {/{t)cosutdt.
* Под интегралом с бесконечными пределами здесь подразумеваются
прэделы в среднем.
70

Поэтому равенство (1.3) примет вид
f(z)=y — Гер (и) cos zudu.
о
Аналогично можно рассуждать ив случае, когда
/(#)—нечетная целая функция из 1^а.
1 Наконец, заметим, что если /(г)бД,, то функция
— [/(£) —/(0)Ь очевидно, принадлежит классу Wa. В самом
2
деле, в правой части равенства
— во —с» —1 1
первый и третий интегралы существуют, ьтак как существует
оо
интеграл 1 —j-. Далее, в силу теоремы Лагранжа оконечном
приращении
i/(*)-/(0)i = I jc|. 1^(6)1 (o<m<i*i).
Значит,
|/(д)_/(0)
X
< \Г(1)\<м (|£|< 1),
так как /(£)€/?*. Отсюда вытекает существование второго
интеграла. Следовательно, на основании теоремы 2. 1. 1 имеем
а
-у-[/(г)-/(0)]=-у= ]>'?(«)<*«. 9(й)6/.,(-о, «).
Таким образом, доказана
Теорема 2. 1.2. Взякая функция f (z) 6 £, допускает
представление
/(*)-/«>)+-^ JVZU<|>(")^, <К«)еМ-°.°).
—а
3« Функции, сопряженные с функциями из ft и W^
Предположим, что f{t)£L2(R) и ?(*)—преобразование
Фурье функции /(*), т. е.
ь
/(/)-l.i.m—[— ^(u)eltudu.
71

Назовем функцию
/(<)=Ы-т-~
1 5
'-'— V2i \4{u)is\gnueX{[Xdit
Ь-*ов J
сопряженной с f(t).
Напомним, что в силу теоремы Планшереля любая
функция /(x)GZ,(/?) представима в виде
Определим сопряженную с ней функцию
V2i
где
1 <* Г^ч e~ixt-l
f«=^^rl'«>
00
ixt
У2те rf* J -'*
Л,
причем для функций /Ч*) и f(x) имеет место равенство Пар-
севаля:
Рассмотрим теперь функцию g{z)^BQ. Согласно теореме 2. 1.2,
она допускает представление
—ст
где ф(и)££2 (—о, а). 'Функции gKz) можно [сопоставить
сопряженную
i<^)=s-7=r { еш i sign и ty (и) du,
У 2гс J
которая также является целой функцией конечной степени
<а. Однако мы не можем утверждать, что g{z) принадлежит
классу BQ. Обозначим через В9 класс функций g(z),
сопряженных с g{z)£B9.
Определим для целой функции
о
*(*) т= \eM<f{t)dt
72

из класса Wa функцию g(z), сопряженную с g{z), в виде
о
ir<2)--^zr Uslgnt<t(t)eMdt.
У 2л J
Класс таких функций будем обозначать через Wa = №i2).
4. Интерполяционные формулы для функций
из классов В9 и В*
Справедливо следующее утверждение [4(5)]:
Теорема 2. 1. 3. Если f{z)^BQ, то справедливы
интерполяционные формулы:
Ux(x) = f (х)$т а — о f (х)со$ о. =
оо
2<-'>м^-'рг^+4 (,-6>
UAX) = /' (х) sin а + /' (*) COS а =
00 а — k тс
: О
к=—со
ecte а — произвольное вещественное кисло и f(z) б ДГ—
функция сопряжения xf(z).
Доказательство. В силу теоремы 2,1.2 всякая
функция f(z)^B„ может быть представлена в виде
/(г)=/(0) + -~ f^,zu^(«)flf«=/(0)-
У 2тс J
—и
-?k I^'-i*"""»• (,-7>
где ф(*г)6/,2{—а, а), ^ сопряженная с ней функция /(z)6 £,
имеет вид
7(z)=—i— f/sign«£,zu<!>(«)dtt =
V2n J
—а
^ U(«)— (sign«elzu)rfa. (1.7*)
Y'2x J дм
—а
Из этих формул находим, что
73

a
£/t(jc) = -ocosa-/(0) + —]=r [^(и)4-{е1™Ы$Ш+1°со$а))с1и
V2n J ou
о
UJx)=—l— U(«) — {eixa(uslna+ i\u\cosa)} du.
Разложим функции
iau
vt(u)=* —ie" (asina+iocosa),
iau
v2(u)= — ie ° (и sin a -f i \ a \ cos a) ( — o<# <o)
в ряды Фурье на отрезке [—<з, о]. Эти ряды имеют вид:
k=-oo
ОО
a — Ля
Sin-1 ik« ,
чк 2
k=-oo
Вводя их в выражения функций U1(x) и U2(x), получаем
£/,(*)= -aCOSa./(0) + -i^|^X
х - - (-1)k
—ОГ k==—-oo
k=—со
-/(0)Uasm»«2 E=£j>f(rr + 4
гак как
COS a = d_ I _J \ ^ ^ (—l)k
Sin2a ~"~ da\ since/ J£j(a —Ав)г'
k—— oo
"•w-#j«">=li!
a— Л те
(—l)kSin2
74
(a — k *)2
X exp\iu I k% — a + *Y|\du =
2 -x

a — k
^^ Sin2 ■
- -2a
k—-
^■r~^| sin2
Zt-v-F^rVl-^*')-™)'
k«-oo
°" a — kn
W^l sin2
= 2o \x-\f-' ? /(J^L + Д
k=-coJ
причем, в силу (2. 17), гл. I,
a — & it
Sin*-
\ (__ l)k f = 0.
^J^ v } (а — к*)*
k=—oo
Итак, мы доказали интерполяционные формулы (1. 6) и
(1. 6*) в предположении, что f(z)£Ba. Из WeaB9 следует,
что указанные формулы справедливы также для функций из
класса W0.
Замечание. Проследив за доказательством тождеств (1. 6)
и (1. 6*), нетрудно заметить, что они остаются в силе и в
случае, когда a == а (л:) есть вещественнозначная функция,
определенная на всей оси /?.
В частности, из(1. 6) при а = ол: следует, что для целой
функции f(z)£B0 имеет место интерполяционная формула
г_/./м_\__ч'(1!Мг) ,,.8)
оо
dx \ sin a* ) Jmm (<*х — пъу*
П=г—ОО
Пусть G(z)—нечетная целая функция из класса Ва. Заменяя
в (1.8) функцию f(z) через Glz+ ~\ и затем г через
z , получим
2а
\ cos а г / У \
H)noG
1ыт
dz \ cos а г / У j Г / 1 \ 12
г-(я+тП
Объединение членов с индексами п и ( —п—\) дает
Ъ№№-ХЧ* + ±П\
xjp , а , t 1Я +
[аг-(п+±-Ц2 [,г + (п + ±Ц2
75

или, после интегрирования,
1ST
COS a z
X
-S'-^K'+tJt]
|ог-(л+т)я ог+(я+тН
X
(1. 8*)
Постоянная интегрирования равна нулю, так как с обеих
сторон должна стоять нечетная функция.
Таким образом,
G(z) _
2а г cos о г
п=0
-iy.o[JLL2-«J
[("+^-)я]-°2г2
Заметим, что формула (1.8*) может быть записана еще в виде
Q(z)=— cos bz
n=0
(-!)■> G
-ЧЖ
-(n+l),
+
+
I = — COS a Z X
Из теоремы 2. 1. 3 вытекают следующие утверждения:
Следствие 1. Если /(z)—целая функция из класса В0,
то ее производная f {%) принадлежит к тому же классу В? и
справедливо неравенство С. Н. Бернштейна:
1/'1с<°«Лс- 0-9(1)
В самом деле, из (1. 6) при <х= — следует
fix)-
CJ
оо
к=-оо
■'Г/[^т('-|)]
76

Отсюда получается неравенство (1.9(1)), если учесть , что
оо
1 Х^ 1
TCJ
■2
1 \2
= 1.
Очевидно, для функции f(z) £Ба при повторном применении
неравенства (1. 9(1)) получим
ll/ll(K)c<°kll/l)c (*=1. 2,...)- (1.9(2))
Следствие 2. Если f(z)£Ba, то
|/(х+^)К^1у111/|!с, уу. О- 9(3))
В самом деле, из разложения Тейлора функции /у(;с) =
= f(x-\-iy) по степеням (iy) имеем
k| ^
l/y(^)|<2lTi/(k)(^(^
. £1
k=0
Замечание. Пользуясь неравенством С. Н. Бернштейна
(1.9(1)), можно показать, что для целой функции f(z) из
класса W{al) справедливо неравенство**
l/(*)KyJV(*)l^, Y*e/?.
R
В самом деле, пусть f \f{x)\dx =. Ж <оо. Введем целую
R
г
функцию ,F(z)= Г/(/)Л той же степени о, что и /(z). Ниж-
ний предел x0{x0(*R) выберем так, чтобы \\f(x)\dx=—*
х0
В таком случае ^(л^К—, ^x£R и, благодаря
неравенству (1. 9(1)),
* Это равенство получается из той иже «интерполяционной формулы
если положить в ней f(x) = sin x£Bv а затем подставить х = 0.
** Я. Коревар [70(1)] доказал, что |/'(•*)!<— \ \f(x)\dx, одна-
R
ко неизвестно, является ли это неравенство наилучшим.
77

1/(*н = !/=■'(*)к-«-л*, ухе/?.
Заметим, что в классе всех целых функций конечной степени
тригонометрические полиномы
п
Тп(х) = а0 + ^ (akcoskx -f bksinkx)
k=l
являются единственными целыми функциями конечной степени
а = /г, имеющими конечный период 2тс, и для них неравенство
{1. 9(1)) имеет вид
i7'-|lc<«l7,nic. (1-9(4))
Следствие 3. Если функция g{x) степени -<о имеет
период 2тс/Х, то она есть тригонометрический полином
[сг/Х]
2 (ак coskxX-}- bksinkXx)
k=9
порядка ^[з/Х], причем [о/Ц означает целую часть о/Х.
Доказательство. Пусть
g(x)= y^(akcosk\x + bksink\x)
k=0
есть разложение функции g(x) в ряд Фурье. Поскольку
g(x)— целая функция, то ее ряд Фурье можно
дифференцировать почленно любое число раз. Применяя после г
последовательных дифференцирований неравенство Бесселя,
получим
тс/А.
{k\f(al+bt)<± j \g{r)(x)\2dx. (1. 10)
-ic/X
Далее, в силу (1. 9(2)) имеем
те/Х
-i f |^(x)|2rfA:<202rsup|^(x)|. (1.10*)
л J X6(R)
-ic/X
Сопоставляя неравенства (1. 10) и (1.10*), приходим к
соотношению
a£ + bl< 2(-?-*sut>\g(x)l
\ k X / x6(R)
которое должно иметь место при любом натуральном г. Но
это возможно лишь тогда, когда ak+^k^O при всех£>[а/Х].
Следовательно,
78

им
g (х) = 2 (ак c°s * X х + ftk sin * X x).
5. Интерполяционная формула С. Н. Бернштейна
Справедливо следующее утверждение, принадлежащее
С. Н. Бернштейну:
Теорема 2. 1. 4. Если целая функция Q (г) имеет
степень р < з и
Т£Щ&\ <00 (^=iJL. + ey (,.„>
то при вещественном х справедливо
0(*)-elno(*-«) У. ^^ . (1. 12)
^J а (л: — а) — /г тс
к=—оо
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
считать а == 0 и о = 1. В силу условия (1. 11), ряд
sinz \\——-—-—-
k=-oo
абсолютно сходится и его частные суммы равномерно
ограничены в любой конечной части плоскости. Следовательно,
сумма данного ряда есть некоторая целая функция f(z). Если
г = re16, то при любом 8
в(**)1
|/(r.i8)l<|sinz|]£^
. kn\
I sin z | \
'G (feit) |
, /(rcose — kny + r2sin2 6
Заметим, что при тех же значениях гиб сходится также ряд
G(kn)
|sinz| 2
Следовательно,
|rcos6 — k%\ + г | sin6 |
k=-oo
l/(r«")|<0{|8in«l2]-
1 G (k ic) I
• cos0 — /г тс I -f- г l sin I
k^^« "
79

jlsinzl 2 +lsin^| 2
U\ ,k,<2[^] ik!>2[r«]J
= 0{\slnz\/t(r, 9) + |sinz|/2(r, 9)}.
В сумме /i(r, 8), в силу того, что r|cos б | >-^1,
справедливо неравенство
I г cos 9 — kit | +г | sinQ | >|r |cos 9 | — * |А||+ г | sin 9 J >
>4AL(1 + |tg6| }
I sin г | /t(r, 6)<grl&in9lV 2IQ(**)I a
(k)
rising.
Благодаря этому и условию (1. 11), находим
2 1 ар
*i*Ki + itgei)
0{*r,sln'J,(l + |ctg9| )}.
Далее, из условия | k | > 2 г — вытекает, что в сумме
/2(г, 6) имеем ->г | cos 9 | и поэтому
,ь < 1*! < 2
|г cos 6 — к п I + r\ sin 6 | | г | cos в | — г, | k \
Следовательно,
|sinz||/,(r,e)|<-2-^Vl-^l^li = 0{(r + l)^.
(к)
Таким образом, доказано, что
|/(^ie)|<0{max[(l+|ctg6|)^ln9', (г+1)ег]}. (1.13)
По условию, при достаточно малом 8>0
G(re,e) = 0(^(1+s'r)=0(^r(,-8)).
Если выбрать значение Вф ± — так, чтобы
^-»)=0(^,я1пЧ),
то для разности <p(z) = O(z) -—/(£) получим оценку:
cp(r^i8) = 0(^'sine'). (1.14)
Поскольку o(z) обращается в нуль во всех точках xk*=kny
то дробь
т v sin*
есть целая функция. Далее, так как при любом s > О
80

/(z)=0(r*r)=0(rrl+') (r-oo),
то (?(z) = 0(eT ), а следовательно, и
ф(г) = 0(/+Е). (1. 15)
ТС
Выверен.-—-1, если I в|< - , и е <_- -1, если
-=-<|0|О.
Функция ф(г) удовлетворяет условию (1. 15) и в силу
(I. 14) на лучах ± б, « + 6 ограничена. Отсюда, на основании
теоремы Фрагмена—Линделефа и теоремы Лиувилля,
заключаем, что ф(z)== const. Вследствие того, что степень р функции
G(z) меньше о = 1 и так' как /(*у) = о(£у) при у->оо, то
ф(/у)->0 при у->оо. Поэтому ф(г) = О, т. е. G(z)=/(z).
Этим интерполяционная формула (1. 12) доказана.
Применением (1. 12) можно получить следующую замечательную
теорему, принадлежащую М. Картрайт [63(1)].
Теорема 2. 1.5. Если целая функция F(z) конечной
степени р <о удовлетворяет условию
т
<Ж (£ = 0, ± 1,...),
то она ограничена на всей вещественной оси.
Доказательство. Выберем любое р<о — р и при
произвольном значении W рассмотрим функцию
G(x) = F(x)D[9(x-w)l
которая имеет конечную степень р+ р < о и удовлетворяет
условию (1. 11) при <х=0. Следовательно, к G(x) применима
теорема 2. 1. 4, т. е.
k=-oo
Полагая здесь w = x, получим, что для любой целой
функции F(x) степени р < а имеет место формула
/4*) = ^V\-l)fcW*^- DLPV~"r/Jt (1.16)
V^(«l)k/.7^"
' ' ч ' \х
k% ^
k=-oo N ' *
каким бы то ни было положительное число р < а — р.
Из (1. 16) заключаем, что
1020-6 81

I F{x) i <M. Jil£l£L\^ _XL lJI
S
X —
a
k=
S
■И-у)1
& 1С
|k|<2.[^] ' ~ "
lk|>2[*£l] *~ «
При этом, учитывая, что | sin* | < 1 и | D(jc)<1 при
у *(«/?, имеем
у
m
Л<4 >|: ^-< '
I JC I — ' !- 1 |*1-
mi
[о I х \ Л 2а
вытекает, что \k\ > — |лг|
или | х | < ——L и справедливо неравенство
2а
°р i«>2['Jr](|je|- , ) Р «
Таким образом, находим, что
I/*(■*) К — M + MBt{a, р) = уИ5(о,р). (L 17)
ТС
Как показывает пример функции
оо
f(x) = V g*singx
к=1
теорема 2. 1.5 теряет силу при р = о. Это связано с тем, что
константа 5(о, р) в неравенстве (1.17) неограниченно
возрастает, когда р-^а. С. Н. Бернштейн [14(19)] установил, что
при р-+а для 5(а, р) имеет место асимптотическое равенство
В(о, р)-Л 1„-^-+0(1),
тс a — р

из которого видно, что В(оу р) является ограниченным только
при условии, что р < а.
6. Интерполяционная формула в классе Wa
Для функции f(z) из класса Wa Р. Боасом [11(1)]
установлено следующее утверждение:
Теорема 2. 1. 6. Если f (z)—функция из класса Wa,
то для любого числа <d имеем
/(z)e-"" + .T(z)e"*=2^ (-I)»Cn/(*-s+^j,- (l. 18)
n=~oo
где
с ^ ay Im {е~ы sin (sa + iay)} /j j9)
n (n к - a 5)2 + c2;y2 '
л s определяется из равенства
5a= arg{cos (о) +/ayN}. (1. 20)
Доказательство. Не уменьшая общности, ограничимся
рассмотрением случая, когда целая функция f{z) имеет вид
/(Z)= jVztda(*), t(l. 21)
— <J
где a(t)—функция с ограниченной Гвариацией. В противном
случае можем рассмотреть функцию ~
О Z
которая принадлежит классу tt^a+s (&т^0) ив силу теоремы
Винера—Пэли может быть представлена в виде
g(z)= | eiztda(t).
-<j-S
Очевидно, если докажем интерполяционную формулу (1. 18)
для функции g(z), а затем заменим ее произведением f{z)X
X - * • , то при 8-^0 получим (1. 18) для функции f(z)-
Ь z
Поэтому будем полагать, что f{z) представима в виде (1.21).
В силу (1. 21)
/(х + 1у)е~1а + f(x- iy)el~ = 2 jV(M)7i (О *«(<). С1-22)
—a
где 5— вещественное число и
/1(0^^!stcos(a)~^)-
6* 83

Разложим функцию fx(t) в ряд Фурье на отрезке [—-а, в].
/1(о=2апехрРЛ'
—со
где
inict <j inict
1M
4o J
— а
Отсюда находим
/ ( — l^11^1 f ^ia)+,sa+ay #ia>~iStf-uy -ico+is<J—ay _ _ia> —isa+ay\
n 4 1 So — nn — iay sa — nn + /о у J
что можно представить в виде
/(__1)П-1 | 2(sa-ftK) [ gisq COS (о> — / а у) — g~isa COS (со + t ay)]
(sa— /Zrc)3 + a2;y2
о <?ise Sin (a - * a y) - e~H<5 Sin (со + / a y)
— ^(3 V '
(s a — n rc)2 + a2y2
Нетрудно заметить, что числитель первой дроби в силу
условия (1. 20) обращается в нуль и поэтому
1 / 1чп- *is°Sin(co-/a;y) —<?_,s° sin (со + / ay)
an = — (— 1 )n i а у — ————,
П 2 ' (as —/2u)2 + a2y2
причем видно, что
— [e,Sffsin (ы - ioу) - e~is°s\n(i» + ioу)] =
^ImU-Isasin(cD + *'ay)} =ImU-ia,sin(sa + /oy))
и потому
aa=(-i)-^-lm{;"""sin("+'?)}- c-23>
(o S — л tc)S + as y2
Таким образом, равенство (1. 22) примет вид
/(* + iy) е~ы +f(x- iy)ela> = 2 j e^-'Vi (< )<*«(')= "
~2 У (-1)"oy.M*-lmsin(sq + ^)), fe4M+^d«(*,-
n=— oo — a
= 2^(-1)"Сп/(л:-5+^
где
84

С = gy Im { g-ia) sin (sq + fs У) }
П У' (a 5 — П 7t)2 + a2y2
Теорема доказана.
7. О взаимоотношениях классов В-, W~] и М-р)
В дальнейшем через Mp)...,an =/V^ обозначается
совокупность целых функций f(zu . . . , £п) степени < a = (ale..., on)r
сужения которых на /?п принадлежат пространству Лр(/?п).
Нетрудно заметить, что л£р) является линейным
нормированным пространством типа Н- Е(/?п) с нормой
{2ic+s4 2*+sn \lIV
f ... f l/prf^. • -dxA <+oo._
J J '
si sn J
В одномерном случае соответствующее пространство
обозначается через Мр), /?> 1, с нормой
J |/(jC)PrfjC 1 <ОС, />>1.
Рассмотрим взаимоотношения классов целых функций в.
Теорема 2. 1. 7. Любая целая функция из класса W{?
(р > /j ограничена на вещественной оси, т. е. W{ap) б Ва при
каждом /?> 1.
Доказательство. Пусть/(z)б W{a?) (/?> 1). Рассмотрим
целую функцию
0(z)=f{z)D*[l£f2-] (1. 24>
степени <2о, где *—параметр (<€/?). Для функции Ф(х) в-
силу неравенства Гельдера имеем
^(x)\dx = j\f(x)\D^^f^-jdx
a Jt
2 sin —
2
24 \ UH
dx I <
/2* \ll<*
(2f)-l/'lv
Отсюда в силу неравенства (1. 9(4)) из этой же главы
следует
85

l/vOI = i*(-«)Ut<<'(-^-)1/4ll/!Lp = (2't)1/q-ol/pil/llv
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если f{z)£ W{a?) при 1 </? <2, то
справедливо неравенство
ll/|lL,<(2u)^c~Vlt (-I + J^i). (1.25)
Иными словами, если f(z)£W{p) (1</?<2), то f(z)£ Wa.
Доказательство. В силу теоремы 2. 1.7 целая
функция f(z) из класса Wi?) (р > 1) ограничена по модулю на всей
вещественной оси и справедливо неравенство
sup|/(A:)K(21r)1/4.01/P.|!/||L.
Х£Я Р
Очевидно, при 1</?<2
]\/{х)\Ых== ]\f(x)r*.\f{x)fdx<
СО ОО
<(sup|/(x)|)2-p- J|/(Jc)Pdjc<
Отсюда получается неравенство ^1. 25), которое показывает,
что если f{z) принадлежит Wip) (1 <^/? < 2), то принадлежит
также и множеству Wa. Из этого утверждения ясно, что по
теореме Винера—Пэли функция f(z) из класса Wip) (l</?<2)
может быть представлена в виде
/(«)=-7^г \e>a<f(x)dx, (1. 26)
—ст
где cp(^)gl2(—а, о), и в силу теоремы Планшереля имеет
место равенство
со ст
§\f(x)\2dx = j|?(jc)|-dx. (1. 27)
— со —а
Теорема 2. 1. 8. Если f(z)£Nlp) при некотором р > 1,
/по в каждой точке x£R имеем
а
т. е. Мр) С ^а, г&?— + — = 1, и
86

l!/||N(p) = sup f \f(x)\*dx\ <Л<оо.
Доказательство. Возьмем число а>0 и параметр tr
teR, и рассмотрим целую функцию
Ф{г)=/(г).П* [у(*-')]
степени о + а, где D(u)— . Установим, что Ф{х) при.
любом / принадлежит классу W^a. Очевидно, что
ОО ОО
||Ф(л:)|^= ^\f(u+t)\D*(ZJLydu =
— ОО ОО
ОО (2к+1)7С
= 2 J i/(«+oi^-(-y-)rf«.
Отсюда, используя неравенство Гельдера, находим
рФ(х)\с1х< ( l\Au + t)\*duT.( j |D(^)|2V«)1/q-f
оо //(2k+l)ic \1/р А2к+1)« \1/р)
+ 2 J l/(« + Olprf" +( J \f(t+u)\*du\ X
k=l I V(2k—1)« J \(2k-I)ic / j
/(2k-fl)ic \,,
\(2k-l)ic
Далее, используя определение нормы в пространстве
Дополучаем
(«a 1/q
2 '
+ 2|/lv(2,r.|]||2t_«)ital,<
QO
X4V1 1
те» ^iJ (2k — 1)2
k=l
При этом, учитывая, что
87

jU (2* - I)3 8 '
окончательно имеем
||Ф(Л)|^<(2теГ.[(-1)1/ч + ^]|/|1Ар.
R
Отсюда, в силу неравенства (1. 9(4)) (см. замечание к
теореме 2. 1. 3), следует, что
и значит (при x = t)
где а>© принимает любое вещественное значение (здесь
можно было бы положить а= 1 или а = о). Теорема доказана.
8. Классы знакопостоянных целых функций конечной степени
В решении ряда задач специфичными являются некоторые
подклассы класса целых функций конечной степени. Например,
выделим совокупность всех целых функций f(zu . . . , zn) из
класса 5-, принимающих действительные неотрицательные
значения, когда все переменные 2, = .*, {*i(:R, i= 1, . . . , п)
являются действительными переменными, и в дальнейшем
обозначим ее через В^ == Д£,...Л, а в одномерном случае—через Bt.
Очевидно, если /<, (х) 6: Bt—неположительная целая функция
степени <.о, то —fa{z)6 Bt. Примером функции из класса Bt
может служить целая функция
gAz) = Dll2(z)
степени о, причем
Далее, рассмотрим совокупность всех целых функций
./(£i,... , zn) из класса W^\ принимающих действительные и
положительные значения, когда все переменные z{ = х\
(/= 1, ..., п) являются действительными переменными, и во
+ +
всем дальнейшем обозначим ее через WiH^n= W{^] , y/7>1i
а в одномерном случае—через Wip). Примером функции из
класса W- при /?>1 может служить целая функция
88

3=1
Покажем, что g(z) =D?/2(z) принадлежит классу WJ2) и,
кроме того,
00
—00
В самом деле, полагая
ср (л:) == sin4 *= — cos Ах cos 2х + —
8 2 8
и интегрируя по частям, находим, что
d*,
так как
0 0
0
__ 1 С ,„ , . dx __ 1 Г 8sin4x — 4sin2x
~ 6j ? W * ~ 6 J *
0 0
?W |°° ?'(*)
*3 lo *a
0 *
00
= 0.
0
CO
Наконец, имея в виду I —-—dt = — и / = 2/0, получим /0==
о
»— и /= —~. Заметим, что [целые функции из класса
3 3
5* обладают свойствами, аналогичными свойствам
неотрицательных алгебраических многочленов.
Допустим, алгебраический многочлен
п
к
Рп(Х)=2С*^
к=Ю
всюду в интервале — оо<л:<оо принимает неотрицательные
значения. Тогда его степень п есть четное число 2т и
каждому нулю хк + iyk (k = 1, . . . , т) соответствует сопряженный
нуль хк — iyk. Поэтому
Pn(x)=CnY[[(x-xkr+yl}.
к=1
Отсюда, если воспользоваться тождеством
(а2 + Ь2) (с2 + d2) = (ас + ftrf)2 + (ad - &с)2,
89

следует, что любой неотрицательный на всей вещественной
оси многочлен Рп(х) может быть записан в форме
Pn(x) = Al(x)+BUx),
где Ат(х) и Вт(х)~вещественные алгебраические многочлены
степени ^Сп. Имеет место следующее вспомогательное
предложение.
Лемма. Если функция
k=-n
на окружности z = еп принимает действительные
неотрицательные значения, то она может быть записана в форме
Г S
Яг. (*) = С П (* - *n)("7 - Щ П (z~^)[~ - «i).
k~l ' k»l
где С > О, | zk I < 1 и | wk | = 1. 5 частности,
k^l k=l
Доказательство. Так как целая функция /?2n(z) вн
окружности |z|= 1 вещественна, то в силу принципа
симметрии Римана—Шварца
Я* (у) =/?*(*)
и, следовательно, ее нули расположены симметрично
относительно этой окружности. Обозначим те из них, которые
лежат внутри круга |2|<Т 1, через zk {k— 1, . . . , г), а те,
которые лежат на его границе,—через wk (k = 1, . . . , 2(лг — г)).
Имеем
2(п-г)
k=l k=l
= П(2-гк)(4г-^-^г2П(г-^). (1-28)
к—1 к» 1
Нетрудно заметить, что, благодаря положительности этого
выражения, все нули wk являются нулями четной кратности.
Пэтому
к~1 к~1
-90

= сП(г-гк)(-~2к)П(2-дак)В- -Wk)'
k=«l k=l
Полагая здесь z=el\ получаем C>0.
Пользуясь формулой (1. 28), можно доказать следующую
теорему, принадлежащую Фейеру и Риссу и касающуюся
знакопостоянных тригонометрических полиномов.
Теорема 2. 1. 9. Если Tn(t)—тригонометрический
полином порядка <;#, принимающий на вещественной оси
только действительные неотрицательные значения, то
п 12
\ТА*)\
2ъ
к=0
,lkt
где
£^z)=2Tk£?ikZ
—функция, не имеющая нулей в нижней полуплоскости.
Доказательство. [Запишем полином Tn(t) в
комплексной форме:
k=-n
Отсюда в силу леммы получим
ТпУ) = Си\е"-гк\*(]\е>*-*>к\*9
k=l k=l
т. е.
|r+s
Tn(t) =
2>
k=0
,lkt
Остается учесть, что |£к|< 1 и |здк|=1. Аналогичная теорема
имеет место для любых целых функций из класса Bf.
Теорема 2. 1. 10. Для любой целой функции G(x) из
класса В? существует функция g(x) из класса BaJ2 такаяг
что
G(x) = \g{x)\\
Доказательство. Заметим, что каждый член ряда
""*"" — П2г+2
k==—оо
пък \
')
sin
ах
+ Ы
п
(1. 29)
есть целая функция степени <о + — (2г+ 2). Кроме того_
п
91

этот ряд сходится равномерное любой конечной части комплекс
ной плоскости и его симметричные частные суммы по модулю
ограничены на всей вещественной оси одним и тем же
числом. Поэтому сумма ряда (1. 29) есть некоторая целая
функция степени <<Н (2г + 2).
п
Нетрудно заметить, что полученная функция имеет период
—-. Следовательно, согласно следствию 3 из теоремы 2. 1.3,
о
она является тригонометрическим полиномом
m
Tm,T(G,; х)=~ ). akcos b&kSin
п
k=0
при
порядка <tfi= — 4- г + 1» причем 7"m>r(G, х) -+G(x) \\
п-+ оо равномерно на любом конечном отрезке действительной
оси. Из представления полиномов Тт,т(0о, х) в виде ряда
v(l. 29) непосредственно следует, что при г = 0
|7^m,o(G, *)|<sup|G(<)l. (1.30)
t6R
Рассмотрим последовательность полиномов 7\n,o(G; х).
Заметим, что если G(.*;)>0, то Tm$(G\ x) >0. В силу леммы
rm,0(G; x) = \gn(x)\\
где
imqz m 2ik<r
ga(z)=e n jjp^e n.
Так как яг< I— + 1, то gn (x) — целая функция степени
^ —( — +1)о. Кроме того, если xe(R)|G(x)| = М, то, бла-
г одаря неравенству (1. 30),
sup|gn(*)|2<M.
х
Последняя оценка позволяет роспользоваться теоремой Витали
*(см. § 2, гл. I) и выделить подпоследовательность gn (z) так,
чтобы она при всех z^x + iy была сходящейся. Тогда
предельная функция
g(z) = limgnk(z)
Пк->оо
будет целой функцией степени < —. С другой стороны,
справедливо равенство
G{x) = lim Гшм (G; *) = lim \gaAx)P = I g(x)\.
n^.-*oo nk~*>°°
•92

Поскольку можно считать, что функции gn(z) не имеют нулей
в нижней полуплоскости, то отсюда заключаем, что в этом
случае g(z) обладает тем же свойством. Теорема доказана
[58(1)]*.
Дополнительные замечания. Непосредственное обобщение
теоремы Фейера—Рисса получено Б. Я. Левиным [62(6)],
рассмотревшим вместо конечных тригонометрических сумм
бесконечные ряды вида
/(*)= 2 ^,XkX(|xk|</, 2i*ki<°o>. (а~1)
к=-оо (к)
Каждый такой ряд, очевидно, представляет целую функцию
конечной степени </(/"(л:)>0 при х6:(/?)). Доказано
следующее утверждение: пусть /(х)—функция вида (Л— 1)
степени </ и /(д;)>^>0. Тогда существует функция у{х)
вида (Л —1) степени 1/2 с корнями в одной полуплоскости
такая, что f(x) = |<р(-*)|2.
Отметим утверждение Б. Я. Левина (см. [77(5)], стр. 573)
лля функций, представимых интегралом Фурье—Стильтьеса.
Пусть
/(*)- jVXxda(x),
где а (л;)—функция ограниченной вариации на [~с, а]. Пусть
где аа(Х)—абсолютно непрерывная часть функции <х(Х), а8(Х)—
функция особенностей и ad(X)—функция скачков. Тогда, если
/(*)>"*> 0 и
||дЧ(МК
то /(*) = |<р(д:)6/1, где
?(*) = JVxz<b(jt),
-a/2
причем %(х)— функция ограниченной вариации на —, — .
Кроме того, если as(X)=oO, то ts(X)=sO, и если аа(Х) = 0, то
^а (X) = 0.
*) Эти исследования были продолжены Н. И. Ахиезером [3(2)],
который получил необходимое и достаточное условие для того, чтобы
неотрицательная на вещественной оси целая функция конечной степени с была
представима в виде квадрата модуля некоторой целой функции степени а/2
93
jVX<bd(X),
—а

9. Класс />стр) и его обобщения
Пусть ри /?2, . . . , рп (А> 1, А=1, . . . , я)—заданные
числа, <р = <р(лс1э . . . , хп) > 1—заданная функция, непрерывная в
7?п. Обозначим через />5f,!.'."a*? = £7 совокупность всех целых
функций /= /(Zj, ... , zn), принадлежащих классу W^ и
удовлетворяющих условию:
l/(*i + tyi. . . . , xk + tyk9uu. , xn + tyn)l<l/(*i+*yi.--..*k--
— /Ук, • • • , xn+iyn)\ (1.31)
при ук>0 (& = 1, 2, . . . , /г). В частности, употребляются
следующие обозначения:
tt^ ^>..,v, ^ fig (А = р2 = • • • = рп = р)
и
Наконец, в одномерном случае через Б$ (/?>1) обозначается
совокупность всех целых функций /(z)€ Wi^ (/?i>l),
удовлетворяющих еще и условию
1/(*)1>1/Й1 (y = hns>0). (1. 32)
В частности предполагается, что />Jfi=sZ>Jp) при <р=1.
Очевидно, в неравенствах (1. 31) и (1. 32) переменные гк (к =
= 1, 2, . . . , п) и ^ могут быть заменены, соответственно, на
zk и z. Из этого вытекает, что класс Б{ар) является подклассом
класса W?\ т.е. £<Р)С Wip) (/7>1).:Кроме того, Ба С В0 при
любом /? > 1, так как в силу теоремы 2. 1. 7 W[p) с Д, при
Заметим, что из условия (1. 31) следуют неравенства
I f(*w • • . *n) I < I /(«i, **, . .. , г„)|<
< l/(«i, 5«, . . . , *п) I <•••<! /l^t.ia, . . . , Za)\.
Отсюда видно, что ^целая функция f{zu . . . , zn)
удовлетворяет условию
\/(zu..., gi<l/(^..., zn).
10. Дополнительные сведения о классах
целых функций конечной степени
1. Целые функции класса Л. Если корни ак (&= 1, 2, . ..)
целой функции конечной степени f(z) удовлетворяют условию
94

Vllm— |<oo, (1. 33)
k-=l
то говорят, что она принадлежит к классу Л. Аналогично
этому определяются функции класса А в полуплоскости
(Im2>0 или 1т2<0), считая, что в сумму (1. 33) входят
корни функции, регулярной в этой полуплоскости. В этом
оо
случае (1. 33) играет ту же роль, что и условие 2(1 — lak[) <С0С
к=1
для функций, определенных в единичном круге. Одно
условие можно получить из другого отображением круга на
полуплоскость.
2. Класс целых функций НВ. Если целая функция со (z)
не имеет корней в замкнутой нижней полуплоскости lmz<^0
и удовлетворяет условию
при Im2>0, то говорят, что она принадлежит классу НВ.
Здесь под u>(z) понимается целая функция, которая
получается из со(z) заменой в ее степенном разложении всех
коэффициентов на сопряжение [77(5)]. Заметим, что из
неравенства (1. 34) вытекает принадлежность функции co(z)/co (z) в
верхней полуплоскости к классу Л, а так как корни этой
функции в данном случае совпадают с корнями <*>(£), то
всякая функция класса НВ есть целая функция класса Л, т. е.
НВаА.
3. Класс целых функций Р. Целая функция со (z)
называется функцией класса Я, если:
1) она не имеет корней в открытой нижней полуплоскости,
2) АсЛ — ] < Ао)( — ), где А«,(9)~индикатриса функции со(г).
Иначе говоря, целая функция с нулями в полуплоскости
Im z > 0 принадлежит к классу Я, если она удовлетворяет
условию h(~a)>A(a) при некотором а(0<а<1г)или |co(z)|;>
>|co(i)| при у <0.
Таким образом, класс Р состоит из целых функций,
принадлежащих классу НВ. Для целых функций со (г) из класса
Р величину
й- = А«(--^)'"Аш(т)
принято называть дефектом функции со (г). Очевидно, дефект
с1ш неотрицателен для со (z) f Р. Целые функции конечной
степени, не превышающей а>-0, из класса Я образуют подкласс,
который принято обозначать через Яа.
95

11. Линейное нормированное пространства
целых функций HaE{R)
Обозначим через HvE(R) множество целых функций f(z)&H
таких, что f(x)£E(R). Очевидно, #аЕ(/?) является линейным
нормированным пространством с нормой ||/1!е = ||/(#)1'е. В
многомерном случае через H-E(Rn) обозначается множество
всех целых функций f(zu . . . , zn)6#- таких, что f(x)^E(Rn),
где х = (хъ . . . , хп)у о = (аь . . . , оп). Очевидно, HrE(Rn)
также является линейным нормированным пространством с
нормой
ll/liE(Rn) = Ш*чЬ.. ^n)|'E(Rn).
Наконец, через Я-Еср(/?п) обозначается множество целых
функций f(zu ... , zn)fiH7 таких, что/(л:) СЕ9 (/?„), где <р(л:)>1 —
заданная функция, непрерывная на Rn. Очевидно, Н-Е (Ra)
является линейным нормированным весовым пространством с
нормой
ll/fEy = «/(*......*n)|lv
Иначе говоря, функция f(zx, ..., zn), принадлежащая
пространству H-Ef(Ra), удовлетворяет условию
»W
<ос.
,E(Rn)
Рассмотрим некоторые из наиболее интересных пространств
типа H,E(R), #7E(tfn) и tfrE, (/?„)•
1) Если E(Rn)^C(Ra) и Ef(/?n)s= Cf (/?„), то
H,C{R)=B„ H-C(Rn)^B-, HrCf(Rn)^B-r
где <p(*)6C(/?n) и ?(*)> 1 при ул€^„.
2) Если Е(Яп)^р(Яп). Е,(ЯП) ^Р.„ Ю (/>> »). то
Яа12(/?) == U7„ /Up (/?) == W<p), H„LP (Rn) s ^p),
"r^p* (*»)s ^S , где J = («„ ... , an).
3) Если E(/?„) = Ap(#n) и Е,(/?„) ез APlf (/?„), то
Я7ЛР(^П)^^1Р), ЯгЛм(/?п) = Л/^ (/>> 1).
4) Если EWJ-Ip^) и Ef (/?„) = Z.^(/?„>, гдер=(А,...
... , Рп) и л>1 (A=fl, .... я), то
HTL-{Ra)^ W®, H7L-JRD)^. W®.
96

5) Если E(Rn) = Lp(Rn)9 E9(Rn) = LPt(p(Rn) и целая функция
/♦ HjLp(Rn) (или £р9(/?п)) удовлетворяет дополнительному
условию:
l/(*i. ... , гъ ..., zn)l>l/(zi, ... , 5k, . ..,*„) I
при yk>0 (А = 1, ... , л), то
fi7L9(Rn)=B™ и Л7/:м(/?п)=^ (/>>1).
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ ПРЕДЕЛА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОЛИНОМОВ
1. Целая функция конечной степени как предел
последовательности алгебраических многочленов
Приведем утверждение о представлении целой функции
конечной степени в виде предела последовательности
алгебраических многочленов, принадлежащее С. Н. Бернштейну
(см. [14(1)], стр. 390).
Теорема 2. 2. 1. Если целая функция F(z)£H9 такая,
что у е > 0, э se > 0,
|/7(^)l<exp{a(Iy|+s|^|)}, v*f |z|>8e, (2. 1)
то существует последовательность многочленов Рп(х)
степени п такая что у С > 0, g Nc
|/Ч*)-Яп(*)|<ехр{-^С8/*}, Vn>^Vc, (2. 2)
Доказательство. Рассмотрим разложение Фурье—Че-
бышева на отрезке ]—X, X] (у^>0) целой функции t{x)\
F(x)=^iAkTk{f} (2-3)
где
7\ (-у-J = cos (£ arc cos -у- J
—многочлены Чебышева, а
те
Лк = -^ j>(Xcose)cos£efl?6 (2.4)
о
—коэффициентььразложения Фурье—Чебышева функции F (х).
Ю20—7 97

Полагая
п
к=0
покажем, что при — п{\ — с)<а^< п(\ — с) имеет место
неравенство
\F{x) -PAX) |< 8(8 + ;^)П, (2.5)
где 7И = sup|/r(2:) | на эллипсе Г с фокусами ±Х и малой по*
zer
луосью SX (0<В<1). Для этого преобразуем (2. 4), полагая
z = ек . Тогда
те
Л„=»— (V(Xcos0)cosrt0rf9 =
где интегрирование производится по окружности L радиуса 1,
с центром в начале координат. Очевидно, что если Ъ = 8л есть
малая полуось эллипса Г, то а «Х^'Н-в* является его
большой полуосью. Пусть
к
Полагая £ = — (z-\ ], заметим, что если г описывает
окружность \г\ ■■ Rx или | z | = , то I описывает эллипс Г.
В самом деле, из равенства
-T[K+i)cose+'(s'-x)slne]
видно, что если 2:± = /?1^,е, то % находится на эллипсе.
Следовательно, благодаря регулярности F(%) внутри эллипса Г,
подынтегральная функция в (2. 6), рассматриваемая как
функция переменной 2, является регулярной функцией, когда z
находится между концентрическими окружностями радиусов
/?! и с центром в начале координат. Поэтому при интег-
рировании в (2. 6) можем заменить окружность радиуса Rt
или —, по нашему усмотрению.
98

Делая вторую замену lz= —eib\ для вычисления
и первую (z =»/?i£' ) для
находим, благодаря (2. 6), что
. , . . 1 Г2*М 2яМ "I _ 2М
I лп I < — I — •
2* [ Я? /?f J Д?
В силу этого из равенства (2. 3) имеем
|/Ч*)-/>.(*Ж J 1Лк1 = 2Ж S ]?"
k=n+l k=n-H *
2Af /?j Ш ^ 2М
Принимая во внимание (2. 5), можно считать Nc настолько
большим, чтобы, взяв для определенности ае = са/2, иметь при
всех Аг>УУс
-2JL <expHl-c)[8 + e/T+"PJ}.
о
Так как
8 + УТ+Р>ехр /8-JLg»!
при всех 5>0, [то из (2. 3), полагая [Ь2 — с, заключаем, что
\F{x)-Pn(x)\ <
< ехр 1-пс 8 + л Г-18* + е (1 - с) V 1 + 821) <
< ехр {- -|- с'" + /ts}i< ехр {- -|V'*},
что и требовалось доказать.
Следствие. Если существует бесконечная
последовательность значений я, для которой многочлены /?п (х) степени
п удовлетворяют условию (2. 1) на отрезке [— Хп, Хп], причем
lim — = о < оо,
то существует бесконечная подпоследовательность значений,
Для которой Rn(x)-> F(x) на всей вещественной оси, и
всякая предельная функция Р{х)ъсчь целая функция степени не
выше о.
*• 99

Доказательство. Заметим, что функции
*Рв(*)в#а (Хп8к1^)'
будучи тригонометрическими суммами порядка п, являются
целыми функциями степени Рп = —, удовлетворяющими, в
силу (2. 1), неравенству
\Ъп1*) ]<**** (0<е<!)
на всей вещественной оси, так как
Unsin-f |<|*|. (2.7)
С другой стороны, при \x\<BL (0<9<1), где L >
0—любое число, имеем
|/?nW-/?a^nSin^-)|<L~Xnsin — lmax\Rn(x)l (2. 8)
1 \ ^п /' I лп | |Х|<ехп
Отсюда, в силу неравенства С. Н. Бернштейна для
алгебраических многочленов , находим
|/?о(л)-/?п^п81П^|
п max |ДП (х) \
^ |*13 |x|<9L ^
^3ix*' Vl*~x* ^
n max | #п (х)
< 631,3 ix«L = £а
^ al2n L ' VT=¥ К '
где
б3 £2 i п / \ \
с = ■ -— . max I /?n (х) \.
а у 1 — 62 |X]<L
Из неравенства (2. 8) вытекает, что
|/M*)-#n(XnSin-^)|->0
равномерно на любом конечном отрезке. Кроме того, из не«
равенства (2. 7) следует, что
|/?а(*)К*Л,х1.
Значит, последовательность {/?п(*)} равномерно сходится
на R к некоторой целой функции F(x) степени <о, что и
требовалось доказать.
* Неравенство С. Н. Бернштейна гласит, что если I Рп (х) | < L при
—а < х < а, то
lfnWl< у^-л. «*'<*>-
См., например, [92 (2)].
100

2. Целая функция конечной степени как предел
последовательности тригонометрических полиномов
Пусть f(x)(хб/?), являющаяся значением целой функции
f(z) конечной степени на вещественной оси, обладает
свойством
Рассмотрим интеграл
Et(x)= ^e-^D1 (f)f(u)du, (2. 9)
R
зависящий от параметра Л>0. Положим, что f(z)£Hx. x^a
и А = о/я, где п—натуральное число.
Следуя М. Г. Крейну [74(1)], назовем полиномом Левитана
для. функции /(х) тригонометрическую сумму
S„(/, *)= ^hEl(kh)e
Ikhx
(2. 10)
к=:-П
Если f(x) (xб/?) вещественна, то и полиномы Sn(f,x)
вещественны, т. е. Sn (/, х) = 5П (/, *). Заметим, что при
R
= {Т(1~1Т)' V*€[-*. A]
(О, |*|>А.
В самом деле, если
\т{х~1г) при v*ei-A, а]
О при |*|>А,
(2. 11)
/>(*) =
то
R -h
—h
Следовательно,
101

Пусть /(л;)==1. Тогда Eh(kh)=0 при k> 1 и равенство
(2. 10) примет вид
Sn(l, x) = fiElh(0) + hEU--fi)e-ihx + hExn(h)-eihx=E l.
Таким образом показано, что если /(*)=sl, то Sn(l, .*:)=•= 1.
Кроме того, нетрудно заметить, что если /(л:)—четная
функция, то соответствующий полином Sn(/, х) является четным
и содержит только косинусы.
Отметим еще следующие свойства полиномов Sn (/, х):
1) если /(х)>0, у*6#, то Sn(/, *)>0, у*6#;2) если
|/(д:)|<Ж, у*6/?, то |Sn(/, *)|<М, V*6#. Б. М.
Левитан доказал, что если f(x)£Ba, то
limSn(/, x)^f(x)
П-*оо
и притом равномерно в каждом конечном интервале. М. Г. Крейн
дал новое доказательство этой теоремы, которое позволило
получить оценку быстроты сходимости последовательности
тригонометрических полиномов S„(/, x) к функции f(x).
Приведем утверждение, принадлежащее Н. И. Ахиезеру [4(5)].
Теорема 2. 2. 2. Если функция f(x) (x£R) допускает
представление
Я*)-/(0) + * \ex™*i{u)du, (2.12)
—9
где ty(u)£L2[—ay о], то
о
\Sn(f,x)-f(x)\<-^- jlt(«)|rf«. (2. 13)
Доказательство. В силу равенства Парсеваля
2« |Ж«)№= |l/(*)-/(Q)iarf;c=,
—а —оо
~2/° Ix,>-2
а
<M2o2.—+ 4зМ2=8М2а,
а
где M = sup |/(*)|.
Отсюда, в силу неравенства Буняковского—Шварца, получаем
^(u)\du< V2^ j|<Ktf)l2dtf<
—сг —а
102

<,/-2-.}/»Ж«-1^. (2. 14)
Далее, в силу свойства 1°
Sn(/, x)=f{0)+Sa(fu *),
где A(x) = f(x)—f(0). С другой стороны, для функции
/i(x) имеем
Ех
■<*>-т|»-'"-1=г^ (р"и')+«.
-hi
— ОО "—5
На основании теоремы о свертке (§ 1, гл. I) это равенство
можно представить в виде
х+п х
х х—h
считая, что ty(t) определена на всей оси, но равна нулю при
t > а и t < —а. Таким образом, между прочим, показано, что
Eh(x) =»0, если |л:|>о + А. В силу (2. 11) это равенство
имеет место и для |л:|>А.
Далее, необходимое выражение для 5П(/, х) имеет вид:
n /(kfl)h kh ч
Sn(f,x)=f(0) + ^±.e^l f ф(ОЛ- J Ф(/)Л I-
k=-n \ kh (k-I)h /
= f(0) + 2j— — j <f(t)dt.
А так как
n-l (k-t-i)h
/<*)-/(0) + 2 f <t**(t)dt,
k=-n kh
TO
Ж^ (k"tf)h [ J(k+l)hx Jkhx \
Sn(f.x)-f(x) ^] J ♦(*){- -^ xe*)dt
k=-n kh
и значит
n-l (k+l)h
S»(/. *)-/(*)-*2 J И*)[еп"-е1*]<и,
k=-n kh
гДе AA < tk < (A + 1) А. Отсюда и получается оценка
103

n-1 (k-bl)h о
k=—n кй —cr
или в силу неравенства (2. 14)
is.</. *)-/(*)!<—-^U.
п У 2тс
Теорема доказана. Заметим, что теорема Левитана являетсй
частным случаем теоремы 2* 2. 2, так как всякая функция
f(z)£B<, имеет представление (2. 12).
3. Другое представление целой функции как предела
последовательности тригонометрических полиномов
Покажем, что целая функция из класса Д, может быть
представлена как предел другой последовательности
тригонометрических полиномов. Обозначим через R„ множество
целых функций f(z) конечной степени о > О, имеющих
действительные значения на вещественной оси, и таких, что
—1 </(*)< 1 при действительном х. Из неравенства (1.9(3))
(см. следствие 2 теоремы 2. 1.3) видно, что если /(2)6i?a, то
)f(x + iy)\<e*y. (2. Щ
Заметим, что целая функция
<р (х) = D2 (*х) = (8-~]р)2 (2. Щ
обладает свойствами:
ср(х)>0, ср(0) = 1, 2?(л: + /1)=1. (2. 17)
— оо
В самом деле, из равенства
V-.. 2 (.. и.,-2
(sinx) = 2 ^+ ккУ
следует, что}
2 ?(*+«>- 2 д2и-*+*)] = 1.
к=—оо
Пусть /(2)6/?5, Л>0 и л:—действительное число. Так как
— 1 </(*)< 1, у*бЯ, то в силу (2. 16) и (2. 17) ряд
00
Л(*)= 2] <? (хй+ «)/(-* +-J ) (2.18)
П=в—00
104

сходится абсолютно и равномерно на всей вещественной оси
Следовательно, fh(x) непрерывна на всей вещественной оси
и, очевидно, обладает свойством: — 1</ь(-*)^1. Кроме того,
нетрудно заметить, что /h (х) есть функция с периодом —
и с коэффициентом Фурье
О n=—oo
оо i/h
-A^j ?(xh+n)ffx+^y2^dx^
—oo 0
oo (n-fD/h
= *2 1 ?(Ax)/(;t)<r2*ivhxrf;c =
-oo n/h
-А J<p(A;c)/(.s)<r2*i,hxflr*. (2. 19)
Пусть Г = [ОСВА]—замкнутый контур прямоугольника
D-[o<JC<-i-;O<y<y0].
Заметим, что в силу аналитичности /h(z) в. D
jfh(t)e-Mdt=0
Г
и в силу периодичности /ь(з)
J Л (5) е-2""* <*«= - f A (5) ^~2,ci,h5 rf H.
АО С'в
Отсюда следует, что
l/h 1/h
о 6
Благодаря этому, равенство (2. 19) примет вид
&(А) = А j? [A(jc + iy)]/(x + iy)e_2"bI,(x+l5r)rf*.
—00
Имея в виду (2. 15) и неравенство
\<?[h(x + iy)]\<(*hy2(x*+ у>Г1-е2*Ыу\
находим
|Cv(A)K—l— -exp{2icvAy + (a + 2icA)|y|}.
ъп\у[
105

Отсюда при у -* — сю следует, что CV(A)—0 при а+2кк < 2tc|vA|.
Таким образом мы показали, что /Л-*)"— тригонометрический
полином.
Докажем, что /h(z)->/(z) равномерно в каждой конечной
области комплексной плоскости при А->0. Во-первых, заметим,
что при действительном х
Mx)-f(x)=[<t(hx)-l]f(x)+ ^] <t(hx + n)f(x+-±y
Отсюда следует неравенство
Мх) - f(x) | < [I - ср (Ах)] + 2 ? (А* + п) = 2 [I - т (А*)],
из которого вытекает, что /h (*)->/(-*:) равномерно на каждом
ограниченном множестве действительной оси. Так как /ь(х)—
целая функция экспоненциального типа а + 2тс/г, обладающая
свойством — l</h(^)<l и
l/h(* + ryl<e('+2,thny|,
то по принципу компактности /h(z) ->/(z) равномерно вкаж*
дом ограниченном множестве комплексной плоскости.
Таким образом, приходим к следующему утверждению:
Т е о р е м а 2. 2.3. Если целая функция f (z) степени
о > 0 имеет вещественные значения на вещественной оси и
при дгйствительных значениях х удовлетворяет условию
— I^f(x)^Cl, то последовательность тригонометрических
полиномов /h (z), определяемых равенством (2. 18),
сходится при h^O равномерно к функции f (z) в каждой конечной
области комплексной плоскости.
Замечание. Более общий тригонометрический полином
типа полиномов Левитана имеет вид
W^l / 2 sin—- \2r+2
5и,/;.,-2/К-£)ЫгГ •
k=-oo
где h = — и f{z)—целая функция степени <а, для которой
,/VL-i 6Mfl) (/"=0, 1,2,...). (2.20)
I X I J
Обозначим через Vjr) совокупность целых функций степени
<о, удовлетворяющих на вещественной оси условию (2. 20).
Очевидно, l/ir)(Zl/jr+1). Полиномы 5П|Г(/; z) обладают
следующими свойствами:
Г. Если f(x)(x£R) вещественна, то и полиномы 5а>г(/, х)
(x^R) вещественны.
166

2°. Если f(x)>0 (x£R), то 5n>r(/, x)>[0.
3°. Если /(z)==l, то 5„,o(/;z)sl.
4°. Если /(z)-22rf(2), где t(*)€VS0>, то
2sin—\
—гН •5п-о(т'г)-
Отсюда, в частности в силу свойства 3°, следует, что если
f(z) = zir, то
/2sin —
Можно доказать, что если /(z)6 Vjr) и |/(*)|<Л + Ях;2г
(x£R), то
limSn.r(/, *)=/(■*)
п-*эо
равномерно в каждом конечном интервале.
4. О представимости непрерывной функции в виде
интеграла Фурье—Стильтьеса и неравенство М. Г. Крейна
Проблема множителя Г. Сеге для тригонометрических
полиномов гласит, что если Ип означает совокупность всех
тригонометрических полиномов
fc=-n
для которых irax |/(x)|< 1, и если дана последовательность
вещественных или комплексных чисел Хк (£ = (), ± 1,.. . ±п),
с помощью которой каждой тригонометрической сумме
f(z)^/il сопоставляется тригонометрическая сумма
k=-n
(X—преобразование тригонометрической суммы /(£)), то
можно ли найти
sup max |/x(*)l = j\
f6H* 0<x<2ic l
n
*и определить те тригонометрические суммы, для которых эта
верхняя грань достигается.
Эта проблема связана ^ вопросом представимости данной
непрерывной функции \'t) (—а<<<а) в виде интеграла
Фурье-Стильтьеса:
1Q7

X(/)= jVuttfo)(tf),
где со (й)—функция ограниченной вариации*. Она исследована
М. Г. Крейном [74(1)].
Теорема 2. 2. 4. Для того чтобы непрерывная
функция \(t) (— a< *<о) допускала представление
\{t)= jVutrfco(tf),
(2. 21)
где vara><7W, необходимо и достаточно, чтобы при любом
натуральном п, при любых комплексных Си С2, . . . , Сп и
вещественных <kG[—а, а] выполнялось неравенство
12СкХ(*к)
k-i
-< Ж sup
x6R
lt„x
2 <Vk'
k=l
(2. 22)
Прежде^всего введем некоторые обозначения. Напомним,
что Cqo (/?) означает совокупность всех непрерывных функций
<р(/) (<€/?), принимающих, вообще говоря, комплексные
значения и обладающих тем свойством, что для них имеет смысл
<р(ос) = lim ф(/) < оо.
Itl-*oo '
Заметим, что совокупность С^ можно рассматривать как
некоторое линейное нормированное (полное) пространство с
нормой
M=SU£|<p(<)|.
Доказательство^ теоремы 2. 2. 4 основывается на лемме из
функционального анализа.
Лемма.^Всякий линейный** функционал в пространстве
С^ имеет вид
Ф(/) = 1*/(~)+ ff(*)d<*(*)>
—00
где ю(х) {х'^Я)—комплекснозначная функция ограниченной
вариации, ^—некоторая константа и
|t4 + var<o(*) = IIH
x6R
Доказательство. Достаточно доказать, что всякий
линейный функционал Ф(/) в пространстве Сте непрерывных
функций с периодом 2тс имеет вид
* Для случая бесконечногр промежутка этот вопрос рассмотрен Бох-
нером [19(1)].
** Т. е. аддитивный, однородный и непрерывный.
108

rc+O
Ф (/) = !*/(«)+ j fit)do(t),
-(x-0)
причем
|Ф{ = Ы + var «>(*),
—ic<t<*
так как посредством замены t = tg — мы переходим в
пространство С(/?) (см. § 1, гл. I).
Продолжим функционал Ф(/) без увеличения нормы* на
пространство С( —тс, тс) всех непрерывных функций на отрезке
[—те, «]. Очевидно, С* С С(_,|1С). На основании теоремы Рисса
об общем виде линейного функционала в пространстве С(—тс, тс)
продолженный функционал имеет вид (см., например, [61(1)1
*(*) = lgV)d*{t) U€C(-tc, тс)),
—it
причем
var «.(0 = 1*1-1Ф»с-
Указанному представлению можно придать и другой вид:
Ф (g)-g(*)M«)--«>(*-0)]+
+ вг(_те)[ш(«те + 0)-ш(-1с)]+ 7 g(t)d*(t)y
-1С+0
причем
|ш (тс) — со (тс — 0)| + | со ( — тс + 0)— о)(— тс)|+ Var со(^)т=-||Ф||.
-1C<t<*
Если /€С«, то /(«)=/(—тс) и, следовательно,
-1Ц-О
где
JJL=l О) (ТС)— С0(ТС — 0) +(0 (—ТС -)- 0) — 0)(—ТС).
Так как
»ф1'с < s"P'~Г<1Н+ var ш(/)<
* I/ -*<t<*
* Пусть £—линейное нормированное пространство и G—линейное
многообразие этого пространства. Рассмотрим линейный функционал Ф(/),
определенный лишь для элементов f£E, и линейный функционал F(f),
определенный для элементов f£E. Линейный функционал F(f) называется
продолжением линейного функционала Ф (/) на все пространство с
сохранением нормы, если &(f) = F(f) для всех /g G и 1|Ф||0= \\F\\E (такое
продолжение существует в силу теоремы Хана—Банаха).
109

то
< | со(ти) — ш(ти — 0) | + |о> ( — 1С + 0) — co(iu — 0) | +
+ varo>(0 = ||Фй = ||Ф|1с ,
|Ф1 С* = |Н + var <*>(t).
X — *<t<*
Доказательство теоремы 2. 2. 4. Если непрерывная
функция Х(*) ( —о<*<о) допускает представление (2. 21),
то
X(*k) = je,uV<o(w)
и поэтому
к=1 к=1 -оо
= ](%СКе"Ас1«{и).
-00 \к=1 /
Отсюда находим, что
к=1
< sup
хб(Ю
ituu
= Ж sup
x6(R)
%Ске к J|d«(«)|-
2c*k"
k =
f n
k=l
Необходимость условия (2. 22) доказана.^
Пусть
1/9 ТГ ^
У27Г J
где ср(^)б![~а, а]. Заметим, что f(z)£Wll) =НЛ {R) и
поэтому /(*)-*0 при |х|-* оо. Определим в классе W^l)
функционал
Л- JM0?(0
л.
Покажем, что если выполняется условие (2. 22), то /х есть
линейный функционал в W^\ Аддитивность и однородность
этого функционала очевидны. Остается доказать его
ограниченность, т. е.
|/x|<Afmax|/(*)|=jW||/[
x€(R)
(2.23)
Построим для произвольно выбранной функции f{x)
полином Левитана:
110

5n(/,x)= 2 ^h(*A)e,kht (*-f-
к=-п
В силу (2. 22) и теоремы Левитана имеем
2 hEh{kh)l{kh)
к=-п
^ Ж sup ] Sn (/; л:) К Ж ||/[|,
х6(£)
где
tk= kh (—/г < £ < /г, а — а ^ /к < о).
Отсюда и получаем неравенство (2. 23), так как
lim
im У hEh{kh)\(kh) = fk.
k=-n
Таким образом, /х есть линейный функционал в W{al) с нормой
<;УИ. Его можно продолжить без увеличения нормы на все
пространство С^.
На основании леммы всякий линейный функционал в С^
имеет вид
причем
Ф(/)=ц/(оо) + ]f(x)dw(x),
\\ь\+\ат<в(х) = \Ф\.
x6R
Поэтому существует такая функция со (л:), что
(2. 24)
и уаг(о(л;) = Л1 Здесь принято во внимание, что всякая функ-
x6R
ция f(x)£ Wil) равна нулю на бесконечности: /(°о) = 0.
Из (2. 24) и представления
/(*)= р|и'<р(*)<#
— <7
получаем
/х= \\{t)y{t)dt^ J j ?е">(и)<Ц</ю(и) -
— 00 i—(J
= f Т(и){ Т em d«>(t)\du.
-a l-oo J
В силу произвольности ср (/) 6 Z [—a, a] следует, что почти
всюду в [—о, a]
111

l(t) - f eltad*>(u). (2. 25)
—00
А так как обе части этого равенства непрерывны (левая часть
в [—а, о] по условию, а правая на всей оси в силу своей
структуры), то оно имеет место всюду в [—о, а], а не только
почти всюду. Теорема доказана.
Обратим внимание на частный случай, когда
*(<) = • Je-iau.£,tuda>0(*O (-°<*<a, I«I — 1), (2.26)
—00
где (о0(#)—неубывающая функция ограниченной вариации,
причем
I 00 I 00
|Х(о)|= |дГо)0(и) = J |da>0(a)l = Уаго)0(й).
I -оо I —oo
В этом случае наименьшее значение константы Ж в
соотношении (2. 22) есть Що)|. Как показал М. Г. Крейн, для того
чтобы это последнее обстоятельство имело место,
представимость \(t) в виде (2. 26) необходима.
Примем, что X(tf) имеет вид (2. 26), и остановимся на
вопросе о том, для какой, принадлежащей Д,, функции вида
f(z)= jVztd2(*) (2. 27)
может достигаться равенство в соотношении
sup I /х (х) |< | X (а) |. sup | f(x) |, (2. 28)
x€(R) x€(R)
где
Л(*) = jVztx(*)^(').
Очевидно, что „экстремальной функцией" всегда является
Ceiaz. В данном случае 2 (о) — 2 (о — 0) = С. Однако эта
функция не всегда является единственной экстремальной.
Действительно, в силу соотношений (2. 26), (2. 27)
00
Л(*) = 1 j <Г,ви/(*+ЖМ") (2.29)
—00
и функция f(z) будет экстремальной в том и лишь только в
том случае, когда при некотором х0 произведение е~ш/(х0+и)
во всех точках роста функции со0 (и) имеет одно и то же
значение, притом по модулю равное ||/||с = М. Это наверняка
имеет место в тривиальном случае, когда функция f(z) равна
112

Ce}az. Для наличия нетривиального случая необходимо (в
силу свойства аналитических функций), чтобы со0 (и) была чистой
функцией скачков. При этом ее скачки должны находиться
в нулях функции
F(u) =M2-f(x0 + u)f(x0+ и).
«Функция F(z), очевидно, принадлежит Я>*, а так как F(u)^0
(и б /?), то F (и) - | G (и) |2, где G (г) € Я*.
Таким образом, для возможности нетривиального
достижения знака равенства в соотношении (2. 29) необходимо, чтобы
неубывающая функция о>0 (а) в предложении (2. 26) была
чистой функцией скачков и притом расположенных в нулях
некоторой функции бДг.
5. Об интегральном представлении некоторых
дифференцируемых функций
Обозначим через Т2 (/?) совокупность функций h (x), для
которых ^— £Lb(R). Займемся интегральным представле-
1 ~f~ I X I
нием функции f(x), x£R, имеющей производную порядка
г>\
fi'Hx)~h(x),
принадлежащую классу T2(R).
Возьмем сколь угодно малое число с> О и какую-нибудь
вещественную четную функцию Р(t), <6/?, удовлетворяющую
условиям:
1) P(t) = 1 при />г и /<-с;
2) P(t) имеет непрерывную производную второго порядка;
3) отношения
P(t) P'(t) P" (0
^г+2 ' jr+1 » (т
при заданном целом г>1 в точке / - 0 не обращайся в
бесконечность.
Далее, положим
Ш)^Ш (2.30)
и построим функцию
00
Ф, (*) = -!. f eml(t)dt, (2.31)
— 00
где при г = 1 интеграл понимается как главное значение в
смысле Коши. В дальнейшем нам понадобится
Ю20-8 ПЗ

Теорема 2. 2. 5. Если функция f имеет производную
порядка г, принадлеэюащую классу Т2 (JR), mo f допускает
представление
/(*)= 1<bt(x-t)h(t)dt + Fz{z)% (2.32)
—00
где h(x) «= /(г) (х), Fc(x)—целая функция конечной степени
с и ФТ(и)—ядро, определяемое равенством (2. 31).
Доказательство. Введем функцию
и обозначим через <h (t) ее преобразование Фурье. Очевидно*
имеем
I(x) = J d>t(x~t)h(t)dt =
~00
= (л — 0 (Фг(х- *) Л, (t) dt- I (x—t) Фг (х — t) hx (t) dt.
— 00 —00
В силу теоремы о свертке двух функций из L2(R) (см. 1.73),
гл. I), справедливо равенство
00 00
f Фг (x-t)h (t) dt = —1— Г ем X (t) ф1 (/) d*.
J У"2я J
-00 - 00
Кроме того, имея в виду, что
с применением равенства (1. 73*), гл. I, находим
00 00
Г (х - t) Фг (л - 0 Aj (0 dt - —^- Г eixtX' (t) ф1 (/) d*.
J У"2тс J
—00 -00
Следовательно,
цх) = (х-1)-±- le*n(t)^(t)dt-
—00
j= [e^\'{t)if,{t)dt.
V'2k J
-00
Из этого представления функции I (х) видно, что она
непрерывно дифференцируема (г — 1) раз:
114 . ._ , .

/<'-»> (х) = х-^±- Г (tf)'"' еш X (О ф> (О Л +
У 2я J
— 00
—СО
—т^г (W~Vxtx'(0-h(0^.
У 2тс J
—00
Покажем, что 1{т~г) (х) абсолютно непрерывна и имеет
почти всюду производную
b
/(V)=^.li™ f (*or *'* х (о ф, (о dt +
У 2% ь-*оо J
а
/2л J /2x
—00
00
х Г (*'Or eut х' (ОМ О*- (2- 33)
—00
Действительно,
1^2* J
—00
есть непрерывная функция и справедливо равенство
00
f(*)-f(0) = -L- f (^t_ i) J£QLx (оф1 (<)л.
Y2% J it
— 00
Функция (ityb(t)<ft(t) принадлежит Z2(/?) и поэтому на
основании теоремы Планшереля разность q(x) — q(0)
абсолютно непрерывна и имеет почти всюду производную
ь
Я9 (х) = —l-=r l.l.m Г (й)г eIxtX (/) ф1 (t) dt.
у2п а-*-оо J
г ь-*оо а
Теперь доказательство (2. 32) уже не представляет труда.
Заметим, что эта формула может быть представлена в виде
с
/(г) (х) = Л (*) - -L- Г *■* ,/ (/) ф1 {t) dt +
У 2u J
—с
с
+ Y± ^eM[p(t) -:l]^(t)dt=h(x)-gc(x)=f\x)-gc(x),
—С
8* 115

где gc (х)—целая функция степени с, откуда
-£-if{x)--/(x)}=gc{x).
Мы видим, что f(x)—I(x) есть г-кратный интеграл от gc(x)y
а значит он также является целой функцией степени с. Тем
самым формула (2. 32) доказана.
§ 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Классическая теорема Винера—Пэли об интегральном
представлении функций из класса Ws (см. § 1, гл. I) дала нам
возможность получить интегральное представление функций из-
класса W{a9\ а также сопряженных с ними функций.
Пользуясь этими результатами, установим некоторые интегральные
тождества лля функций из классов Д,, W{ap) (/?>1) и др.,
которые понадобятся в дальнейшем.
1. Интегральные тождества для функций из класса Ва
Относительно функций из класса В0 имеет место
Теорема 2. 3. 1. Какой бы ни была целая функция ga(x)
степени <о, из класса Ва, при любом целом г^О имеет
место тождество [21 (1)]
g. (х) = СТо2$ g,(x + t) йг, (О [D (ot)f+2at, (3. 1 >
R
где |Агв(/)|<1, а константа Сг зависит только от /\
Доказательство. Заметим, что функция
0..г (О =*•(<) \D(°t)]2T+\ D (z) = Ш-,
Z
имеет степень ^(2r-f 3)о и удовлетворяет условию
||Ов,г(<)|2Л< оо.
R
Тогда, согласно теореме Винера—Пэли,
(2г+3)*
GoA*) = -7= f *(')*ltXflr'.
У 2tz J
r -(2r+3)a
где ср (t)—некоторая функция, интегрируемая с квадратом на
отрезке [—(2r + 3)a, (2г + 3)о]. Далее, поскольку
преобразование Фурье функции —— равно — УЧъ при — X < t < \ и
равно нулю при |*|>Х, в силу (1.73) для свертки двух
функций (см. § 1, гл. I) имеем
116

-00
(2r+3)a
Г ?(^itxrf/=a(r(4
-(2г+3;сг
Отсюда вытекает, что
G<,tT(x) = — 1 GCT>r (й —л:) { -—-?—!■—\du..
к J dx { и J
— 00
Следовательно, если учесть, что G*,r (0) = ga (0), a
то получим равенство
оо
g',(0) = g;,, (0) = (2f+TC3)2g2 J 0,,r («) Ar,e (и) flto =
—00
(2r + 3)2a2 ?• , v. , ч /Sinaw\2r+2 ,
= V ' go(u)hT><J(u)[ rftf,
1С J \ QU I
— 00
где |Аг,*(и)|<1. Подставляя в это равенство вместо g«(/)
функцию go(t+x), получим тождество (3. 1).
2. Интегральные тождества для функций из класса WQP)
Укажем некоторые интегральные тождества для целых
функций конечной степени из класса Wap) (/?>!)•
Теорема 2. 3. 2. Для целой функции go(z) из класса
Wap) (/?> I) при любом z=x-\-iy имеет место тождество*:
go (х + iy) = -L^gQ(t-X)D,(t + iy) dU (3.2>
где Da(z) определяется равенством (2. 14*).
Доказательство. По теореме единственности целых
функций достаточно взять у = 0. Обозначим
f(x)= -I j ga (t - x) Da{t) dt, D, (z) = 5!"
R
Пусть g<,(z)£ Wa2\ Тогда, по теореме 2. 1.1,
* Тождество (3.2) для случая р=2 имеется в [21(1)], а в общем виде
Доказано автором [48(16)].
117

g.(x)=-J= j>* ?(<)<«, (3. 3)
где <p(tf)£ Z,2{—о, a). Рассмотрим функции
mo-ItW при M,<e ъю-УУ при !'|<в
I 0 при 1*|>«, I ° ПРИ 1<1>в"
Очевидно, что преобразования Фурье в пространстве L2(R)
функций hi(t) и h2(t)y соответственно, суть —D9(t) и g9(t).
it
Поэтому, применяя теорему о свертке, получим
ge(x) = j eixt hx (t) h2 (t) dt=±^g,(t-x) g9 (t) dt,
R R
т. e. cp (x) = gs (x) и тождество (З. 2) доказано для целых
функций из класса Wa2\ В силу следствия теоремы 2. 1. 7
каждая функция из класса Wip) (1 </>< 2) одновременно
принадлежит классу Wf\ Следовательно, тождество (3. 2) верно
для любой функции из класса W(a?) при 1</?<2. Наконец,
покажем, что (3. 2) остается справедливым также для целой
функции из класса W^ при р > 2.
Рассмотрим вспомогательную функцию
A(z) = g9(z)D{bz) (8>0, D(z)=^-).
Очевидно, \M*)\-+\g*(x)\ и /*(•*)-* £*(*) всюду при 8->0.
Заметим, что /*>(%)—целая функция степени <.о+В ив силу
неравенства Гельдера
( |/» (х) | rf*<|g,VlD (**) Eq < °°>
R
т. е. /s(z)€ Wi0, где Х = о+8. Далее, из справедливости
тождества (3. 2) для функции /в(z)6 Wi0 следует, что
^а(л)Д(8л) = -1-^в(<-л)Д[8и--л)1Д.(/)Л. (3. 4)
R
Известно (см. [19(1)], стр. 19), что сходимость
последовательности {/п(х)} к пределу f(x) называется мажорированной,
если 1/п(л)|<т(д:), где y(x)GL(R), и для нее имеет место
равенство
lim f/n(jc) d* = f f(x)dx.
n^oo J rJ
118

Благодаря этому, в (3. 4) можно перейти к пределу при 8->0у
так как
\g9(x)De(x)D(ix)\<lgo(x)D9(x)\=v(x)
и в силу неравенства Гельдера
где 2</?<оо и 1 = 1 (<7>1). Таким образом, из(3. 4)
Р я
при 8-^0 следует, что тождество (3. 2) верно также для
функции f(z)e W{av) (p>2). Теорема доказана.
Замечание. Аналогично, как доказывалось (3. 2), можно
доказать, что &ляУ(г), сопряженной с целой функцией/(z)
из класса Wo2\ справедливо тождество
1 г 2sin2 Т V + 1У)
/С* + 'У)~-— ]/(*-*) гЬ dt- (3. 2*)
п J t -\- iy
Я
В доказательстве этого утверждения (3. 3) заменяется
равенством
а
f(z)^-~ [<?(u)isignu-elzudu, ?(«)€£»(-«. «)•
V 2% J
—сг
Кроме того, нужно заметить, что преобразования Фурье в
пространстве L2 (/?) функций
*,(,),/*«) при t«, ^(^(^'"Р"!^'.
I 0 при | ^ | > а | 0 при1*1>а
о „ f
суть функции f(t) и sin0
%t 2
Теорема 2. 3. 3. Пусть б* 0 < 6 < 1 и
a2 a2 \ 6 0 ;
7Ъгда для целой функции f(x) из класса W\f* (p^> 1)
имеет место тождество
f(x) - -L f/(jc - 0 <X>v (/) Л, (3. 6)
где v = -1 Vl = (1-6>*
в ' 1 0
Доказательство. Заметим, что Ov(#) — четная целая:
функция степени v из класса W{£\ так как
па

<
262
R
Тогда в силу следствия 2 из теоремы 2. 1. 4 функция Ф,(и)
может быть представлена в виде
<£v(a)-"|/iL \ 9 (t) cos utdt,
о
где
( 1 при Ul<vb
? (/) = |/2- J <Dv(a )Cos utdt =Yi \1~-~ъ при Vl <,fl<v' (3J)
I 0 при |*l> v.
В самом деле,
V V
У± ^ <? (t) cos utdt = f( -~ - +-\cosutdt =
о
"«1
= fcosB<<tt+C(-J-- -Цcosutdt=<b*(и)-и, (3.8)
0 vi
шричем учтено, что
Vl===iLzi^H ,.£. (0<e<i).
В силу следствия из теоремы 2. 1. 7 функция f(z)б №ip)
•0^/><2) может быть представлена в виде
где ф(*)6:^2[—а, а] и
сг
1^2я J
00
— 00
исчезает вне интервала (—6, о), т. е. ф(л:) = 0 при \х\>о
Из равенства (3. 8) видно, что
120

т. е. преобразование Фурье функции Ф*(х) равно я на [—v^Vj J
Далее»
J/(x-y)«My)dy =
— VI \ —VI '
'т. е. тождество (3. 6) доказано для функций из класса Wltpy
в случае 1 <^/?< 2.
Предположим теперь, что f(x)^W{^ (/?>2), и
рассмотрим функцию
/,(*)-/(*)(-*!£*-) (8>0).
Можно показать (так же, как это было сделано в
предыдущей теореме), что для /ь{х) имеет место тождество:
х
/«(■*)= — j7«f*-y) ф>(у) ^.
где X = v1 + 8 (^<v)- Отсюда, при 8-^0
VI
—vi
г(Р)
для любой функции /(*)€ Wig (p>2). Таким образом,
теорема доказана для любого /?>1.
Заметим, что в силу четности функции Ov (и) тождество
(3. 6) может быть представлено в виде
VI
/(■*) = V ]*[/(* + у) +/(*-y)I*«(y)rfy,
о
где v1=l^-a (0<9 <1).
0
Следствие. Если /(£)€ Wip) (jp>1)^ та имеет место
тождество
/(Л°~1г J/(*-у) *•<*)** <3-9>
—и
где
фа<у)д COSay-cos2ay
В самом деле, (3, 9) следует из тождества (3. 6) при 9 = — ..
121;

3. Об интегральном представлении некоторых
целых функций
Займемся отысканием интегрального представления целых
функций конечного типа а и порядка р = —, где лг>1 — це-
т
лое число*. Из класса целых функций f(z) типа а и порядка
Р «= —, где т >-1— целое число, для которых существует ин-
т
теграл
l4p)(/)= ]\f{x)\**x m dx\ < + оо, (3. 10)
выделим классы К\р) и К{? .
—,<т — ,<т
m m
В класс К{¥ включаются:
1) любая целая функция f(z) типа а и порядка р =—, для
т
которой существует интеграл (3. 10), если т> 1—целое
четное число;
2) любая целая четная функция f(z) типа о и порядка
Р* —, для которой существует интеграл (3. 10), если /я>1 —
ш
целое нечетное.
В класс KV включаются все целые нечетные функцвд
m
f(z) типа а и порядка р=—, для которых существует интег-
т
рал (3. 10), если w>l — целое нечетное.
Далее, из класса целых функций f (z) типа а и порядка
р =s—, где m >-1— целое число, для которых существует ин-
т
теграл
(оо (p-l)(m-l) \ p
Jl/(*)lp-* m dx\ < + ос, (3. 11)
выделим также два класса: /?(р) и /?(ip) .
m m
В класс RT включаются:
—»»
m
1) любая целая функция типа а и порядка р ^ — , для
которой существует интеграл (3. И), если /гс>1—целое четное;
* Результаты получены автором [48 (16)].
122

2) любая целая нечетная функция типа а и порядка р= —,
я?
для которой существует интеграл (3. 11), если т>1 — целое
нечетное. _
Наконец, в класс /?(?) включаются все целые четные
—, а
m
функции типа о и порядка р = — , для которых существует
т
интеграл (3. 11), если т> 1—целое нечетное.
Следующие две леммы доказываются одновременно.
Лемма 1. Класс К{^ совпадает с множеством \целых
пГ'
функций f(z), допускающих представление
а 1 ш—1
/(*) = 4 V-T j? Wcos (xzf.x~~dx, [(3. 12)
причем имеет место равенство
»4? (/) - vL2) (?), vff (?) = ( J | cp (*) р. * » rf*) . (3. 13)
Это утверждение в случае т =2, т. е. для класса #Л2> , до-
казано в [30(3)].
Лемма 2. {Класс целых функций А1? совпадает с мно-
——-СГ
Ш
эюеством всех целых функций, допускающих представление
am _Enl _L
/(*) = ^ К 4 j" *(■*)* m sin(xz)mdx, (3. 14)
о
и имеет место равенство
№ (Л = №(*). (з. 15)
Доказательство. Заметим, что для функции /(г) из
класса Л"(,р) или Л4?
— ,а —,а
m m
bf[x»)Pdx = ±№(fi]'. (3. 16)
J я*
— OO
Из (3.16) видно, что /(2m)=cp (2) принадлежит к классу W*p).
Тогда, по теореме Винера—Пэли, при/? = 2 имеет место
представление
123

/(*■)--7=- \*(u)e^
du9
где ty(#)€£q[—«, о] (#>2). Отсюда, почти всюду в
интервале (—а, а),
♦ («)
п
l/—Li.mf/(^m)cos^^;/(^)6Л,(1) ,
п
4y4l-i-mf/(P)sinted/; f(z)eKf .
(3. 17)
Из равенства (3. 17) видно, что ф (и)—четная функция
когда/(2)6 M2) э и нечетная, когда /(г)бМ2) . Поэтому
Д*т)
т\ _ )
) cos uzdu, f(z)e/C\ »
6
1-V M И") sin ttzd«,/(z) б Я?
у т '
(3. 18)
Пользуясь заменой и = л;т в равенстве (3. 18) и полагая
для функции/(-г)бМ2) получим
1 m-l
/(z) = 4/4 j?i(-«)cos(A:z)m.x m Лс.
О
Аналогично этому для f(z)£K{\] находим
1 m-l
0
Кроме того, для функции /(г) 6 Л*? в силу равенства Парсе-
т'
валя (см, (1. 72), гл I) имеем
124

m—1 a m—1
1 dx.
Подобно этому для /(z)GA*(i2) находим
—,5
m
a, _ m-1 am _ m-1
\\f{x)\2-x m dx = J|t2(x)|2.jc m dxr.
о о
Леммы 1 и 2 доказаны.
2. Докажем далее следующие, более общие утверждения.
Теорема 2. 3. 4. Если 1</?<2, wo любая функция из
класса К^ допускает представление
—,<s
m
f{z) = ~Yt f ?W,JC m cos(jc^)m.rfjc, (3. 19)
причем
? (x) = ±]/ i. Г /(<) cos (/jc)». < m dt. (3. 20)
0
Кроме того, в случае / < /? < 2 / 1 =1) справедливо
\ р я I
неравенство
1 .1 2-Р
Vn
(*К(2«) 2 «(£) .^р,(/), (3.21)
которое в случае p~q^2 превращается в равенство (3.13).
Доказательство. Справедливость теоремы 2.3.4 в
случае р = 2 видна из леммы 1. Допустим теперь, что 1 </?<2-
н заметим, что если f{z)£K\[ , то /(гт)б W{ap) и поэтому
m '
max \f(x)\^ В, где £—положительное число. С другой сто-
0<х<оо
роны, при 1 </? < 2
(°° m-1 \2 2--р р^
J |/(jc) p .* m Лс) = 5 р • [р<« (/)]2~ (3. 22)
Из (3. 22) следузт, что если f(z) принадлежит классу Кх
I (2)
v0</?<2), то она одновременно принадлежит классу К\
—» ,5
m
и, следовательно, в силу леммы 1 может быть представлена
125

в виде (3. 19). Если же /(2)6^, то f{xm)£L9(R) и наос-
т'
новании неравенства Титчмарша ((1. 77), тл. I) для функции
V2n J
~ 00
имеет место неравенство
~lnxdx
1
|ЛЙ<(2«) 2Ч+1( ]jf(x*)\pdxj , (3.23)
где — + —= 1 (1 <р<2).
Л р ч
Очевидно, мы можем выбрать функцию Ft (и) в виде
/>,<«)=(*<«>• в€1-".«] (з.24)
10, |«|>а
I к\
и полагать, что $ х )= <?(х). Тогда будем иметь
(3. 25)
(3. 26)
о
Имея в виду (3. 18) и (3. 26), из (3. 23) находим
1
-If |? дор.* *Ak<(2ic) 2 l±\\f(x)\*.x mdx\ f
о V о /
что и требовалось доказать. Аналогичным рассуждением
доказывается
Т е о р е м*а 2. 3. 5. Любая функция f(z) из класса Кг »
где 1 < р < 2, допускает представление
ат 1 т-1
1 Г 2 С
Кроме того,
вт т—1
II^IK^ С\т(л)|«.х" ш dx.
0
оо т—*
!/(*■)ft=-f \f(x)\*-x m dx
т J
/(2) = JL-,/ 2. [s'm(xz)m'®(x)-x m d*f (3. 27)
m \/ я J
126

?(jc) =JLj/~ 2-1 f(t) sin (tx)*.t m dt. (3. 28)
' о
Кроме того, при / </?<2 / (- —=1) справедливо не-
\ Р я I
l.i ~р
ЯЧ?К<2«)~ ^(^ Р ^(Л. О- 29)
которое в случае р =q=2 превращается в равенство (3. 15)1
3. Найдем интегральные представления целых функций
принадлежащих классам Hi и /?i .
т' т'
(2)
Лемма 3. Класс Ri совпадает с множеством целых
m
функций f(z), допускающих представление
m-l
/(z)=l/ * J *(*)81п(<г)ш(*г) m Л. (3.30)
^ о
Кроме того, имеет место равенство
оо Ell *m m-l
J|/(/)J2-* ffl Л- jl?(*)|2-* m dt. (3. 31)
Эта лемма для случая т = 2 доказана в [30(3)].
Л е м м а 4. Класс #г совпадает с множеством целых
m
функций f(z), допускающих представление
ат l_ m-l
/(*) = I/ -f j ? (<) cos (*z)m. (fe) m Л, (3. 32)
где т^>1—целое и при этом имеет место равенство (3. 21).
Доказательство, лемм 3 и 4. Если /(z) принадлежит
классу /?/ или /?i (1 </?<2), то
а
оо (p-D(m-l)
\xm-xf{xm)\9 dx= i-f|/(*)|p.* m л.
о
Отсюда следует, что функция zm~~lf(zm) принадлежит классу
Wip) (/?.>1). Поэтому в случае /7 = 2 в силу теоремы 2. 1. 1
127

r-VH = -y^ $*(u)e**du.
Отсюда имеем
(
— Li.mf x™-1 f{xm) sin их rfJC,/(2)e/?.<2) ,
7t n- 00 J -,3
♦ («)-{ n° (3.33)
i /"— l.i.m ' xm_,/(^m) cos их dx, f{z) € #(,2) .
l о
•"- (2)
Из равенства (3. 33) видно, что если /(z)£#i , то соответ-
— ,ог
m
— (2)
ствующая ф(и) есть нечетная функция, а если/(г) \с R\ , то
m
соответствующая ф(#)—четная функция и потому справедлива
формула
I г— *
Г-7Н = |
l\f — U(«)sin(«E)da, f(z)eR?)
•./^ (4(e)cos(tt6)<te./(2)€3?{2)
Отсюда вытекает, что
/(*>={
—1/~ fTi(OsIn(fe)m(te) m Л, /(*)е/?Г ,
ml/ « J =.•
1 m-l
(-34)
f4(2)
m>°
—\f~ W>(t)cos(tz)m(tz) m dt, f(z)eR\
В силу равенства Парсеваля
]\xm-lf[xm)Ux= \\Hu)?du.
— 00 —о
Из этого следует равенство (3. 31). Леммы 3 и 4 доказаны.
4) Теперь дадим интегральное представление целых
функций из классов R\ и R\ при 1 < р < 2.
Теорема 2. 3. 6. Любая функция f(z) из класса R\
при 1 < р < 2 допускает представление
128
.<Р>

/ 2
где
f(*)=y \\ у (t) sin (tz)m(tz)~ m Л, (3.35)
00 j_
9(x)=—\/— f /'(*) sin (xt)mdt. (3. 36)
ш у m J
r о
Кроме того, в случае /</?<2 для функций f(x) и у(х)
справедливо неравенство
J |?(«)ГчГ m ^<(^р(2.)"2"Ч+ [тЭД'-1 (3. 37)
о
(— Н = 1 ], которое превращается в равенство (3. 31) при
p-q = 2.
Доказательство. Если/(2)€/?Р} ,то гт"г f{zm) 6 W^
m'
(1<Г/?<2) и поэтому имеет место неравенство
jcm-1|/Um)|<5 (0<jc<co), (3. 38)
где В > 0—постоянная.
Справедливость теоремы 2. 3. 6 при /? ^ 2 видна из
леммы 3. Поэтому допустим, что 1 </?<2. Тогда
[т^(/)]2<^-р[т!пр)(0]р- (3.39)
Неравенство (3. 39) показывает, что любая функция из класса
R\ (1 </?<2) одновременно принадлежит классу/?! и в
—,з —,с
m ?.„ m
силу леммы 3 может быть представлена в виде (3. 35).
Далее, применяя неравенство (3. 23) к функции
получим
^Й< (2^)"2Lq+1( [Um~7("ra)lPrf«Y~1. (3. 40)
Выбирая функцию F(u) в виде
I 0, |и|>а
1020—9 129

I
и полагая ium = ?(#), находим
~m
m-l
\\t"\%= - f l?(")lq-« m rf«. (3.41)
о
С другой стороны,
oo oo (p-l)(m-l)
t\xf(xm)\*dx = — Г |/(0lp-< m <*'• (3. 42)
Имея в виду (3. 41) и (3. 42), из (3.40) получаем равенство
(3. 37). Подобным же рассуждением доказывается
Теорема 2. 3. 7. Если 0 < р < 2, то любая функция
f(z) из #i допускает пред ставленив
1 _ т~~1
т
Л*) = l/7 J 9 (t) cos {tz)m {tz) m du
* 0
de
00 J_
— Г f{t) cos (tx)mdx.
n J
0
Кроме того, при / </? <2 [ 1 = \) справедливо не pa-
гвенство
"m _ Ezl p— _ L 4.1 ±~
J|T(«)P.«' m rf«<(f)p-,.(2.)""rq+ .[ТЙ>(/)?"',
0
которое в случае p = q=2 превращается в равенство.

ГЛАВА III
ОБ ОЦЕНКЕ НОРМЫ ПРОИЗВОДНЫХ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
В этой главе систематизированы оценки производных целых
функций конечной степени в нормах различных метрических
пространств, которые играют важную роль в теории
аппроксимации функций, в ряде смежных областей математики, а
также в теоретической физике [79(1)].
§ 1. НЕРАВЕНСТВО С. Н. БЕРНШТЕЙНА
И ЕГО ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
1. Неравенство С. Н. Бернштейна в классе MaE(R)
Неравенство С. Н. Бернштейна для целой функции f(x)£Ba
имеет вид (см. теорему 2.1.6)
!!Л1с<°11Л1сЧ(|1/11сУ°Х)'1. (1.1)
Этот классический результат может быть сформулирован в
более общем виде:
Теорема 3.1.1. Если f{x)£H„E{R) и а— некоторое
вещественное кисло, то
|| /' Sin а - а/cos а ||Е < а || / ||Е, (1.2)
||/'sina + /cosaj|E<o||/||E. (1.3)
Доказательство. Для любой функции /6 //aE (R)
верны интерполяционные формулы, доказанные в § 1, гл. II:
U\(x) = Г (х) sin a ~~ <*/(*) COS a ==
к=—oo
и
U%(x) ■= /'(x)s'ma+f (x) cos a ^
CL—KK
oo 2sin2
к=— oo
В силу (1.4)
Jggd (a — K7t)2
k=-oo
9* 131

Отсюда и следует неравенство (1.2), если учесть, что
^ Sin2gj _ 1
Аналогично доказывается и неравенство (1.3) с использованием
формулы (1. 5).
Из теоремы 3. 1. 1 при а = — вытекает
Следствие 1. Если f(x)^HaE(R), то
П/1|Е<аЦ/||Е. (1.6)
Очевидно, неравенство (1.6) совладает с неравенством (1.1) в
случае, когда Е(/?)£=С(/?). Повторным применением (1.6)
получим
||/(к>|1е<зк(1/||е (к =1,2,...). (1-6*)
Неравенство, подобное (1.6*), имеет место и для f{x), т. е.
!I7(k,I|e<°kII/I|e («-1.2,...). (1.6**)
Следствие 2. Если f(x)^Bj, то при ёл.о5ом веществен*
ном а
| /'(*)sina-o/(x)cosa | < а || / | ,с, ?(1.7)
|/'(A:)sina-b/(x)cos^|<a||/||c, vae/?, yxeR. 0-7*)
Знак равенства в этдх сээтношелдях хотя бы в одчэй точке
достигается в том и тотько в том стучае, если
f(z) = ael°z+{be-[°z.
Доказательств}. СМззщ), д*Э1зм:гз1 (1.7) и <(1.7*)
в силу того, что
I UK(x) | <||£/к1|с, улб/? (^=1,2),
немедленно следуют, соответственно, из неравенств (1.2) и
(1.3). Справедливость второй части последнего утверждения
вытекает из следующих соображений. В соотношении,
например, (1.7) знак равенства будет достигаться, как видно из
(1.4), в том и только в том случае, еслл для некоторого <х0
имеет место соотношение
f(K^ + Xo) = (-l)KMei* (* = 0 ±1, ±2,...), (*)
где М = 1!/Цс и [3 —некоторая вещественная константа.
Напомним, что формулы (1.4) и (1.5) остаются в силе и в
случае, когда a = а(х)—вещественнозначная функдия,
определенная на всей оси R (см. замечание к теореме 2. 1.3). Поэтому,
заменяя в тождестве (1.4) а на а-^а(х — х0), где х
произвольно, получим
132

Sin о / x — x0+ —\f'(x) + a cos a( x — X0 + —)f{x) =
sin2a /* _ Xo + ~L\ f p^ + X0)
s
/ a N 12
a ( * — x0 + — — a; ti
' a \
i'-'o + vj-
Очевидно, если равенство (•)(-) имеет место, то
— sin о/ л: — л;0 + — )•/'(•*) + о cos а/ л; — л:0 + — )/(х)=аУИ^,1э.
Последнее является ди4ференциальным уравнением
относительно экстремальной функции f(x). Интегрирование этого
уравнения дает
f(x)=: Me^cos а ( х — х0+ — V + с sin о / х — х0 -],~
где £—постоянная интегрирования. Таким образом,
экстремальная функция в неравенствах (1.7) и (1.7*) имеет вид
fo(z)=aeln + be-l'\
где а и Ь—комплексные константы; эти константы должны
удовлетворять равенству | а | + | b I = М, так как М— || /||с ,
а в остальном они произвольны.
С л едствие 3. Если Л*)6 W*P) (/?> 1), то
I! /' Sin a - a/cOS a ]|p < a || /||p, (1.8)
||//sina + /^cosa||p<an/l|p. O'8*)
Неравенства (1.8) и (1.8*) являются точными в
пространстве Wip) в том смысле, что замена правых частей величиной
бо |! / ||п при 6 < 1 невозможна. Докажем, например, точность
(1.8). Действительно, возьмем функцию
Мх)-± jV?(iz£)*, (0<h<o),
a-h
где <?(.*) (0<л;< 1) непрерывно дифференцируема и
удовлетворяет соотношениям <р(0) -= <р(1) = 0, ср(х)>0 (0<л:<1).
Легко видеть, что /h(x)^Lp{R) (/?>1), а
где
A(x) = i°fh(x)-ihelny(hx)9
^(х)^^{и)е-^ du£Lp(R) и Mx) = ifh(x).
133

Поэтому
Ut (х) = - oe~iafh (x) — ihsin a-ein ф(Л*),
^2(jc)-/a^"ia/h(^)==-^ia/h(A:) + A^Ia^x1>(AJc),
Замечая еще, что
АИ(Лд:)||р = /гч НфЦр (-i + -I-=l),
можем записать неравенство
№Нр>°11Д||р-йч И Ир (*= U 2).
С помощью замены переменной a — v — ht функция /h(0
представится в виде
/h(*) = e,ej-/r,tat>(0<«.
О
Отсюда видно, что
1
lim/h(^) = elexf <р(<)Л.
Поэтому lim |] /h |L = оо и, следовательно, для любого е > О
h-»0
при достаточно малом h
№11р>(°-г)11Л11Р (*=1, 2).
Последнее показывает, что неравенство (1.8) не выполняется
при замене его правой части на (а — е) || /h ||p. Из этого
утверждения вытекает
Следствие 4. Если f(x)£ W^} (/?>1), то
И/(к)||р<«к11/||р (к-1,2,...), (1-9)
причем неравенство (1.9) при /с=1 является точным в
классе W*p) в том смысле, кто замена правой части
величиной 0о ||/||р при 8 < 1 невозможна.
Замечание 1. Неравенство
ИЛ1р<а||/||р 0-9*>
верно и при а-0. В самом деле, из (1.9*) и из /6 1^ор)С^(р
следует, что \\f ||p = 0 и /—константа, равная, очевидно, нулю
при конечном /?.
Заме чание 2. Если f(z)£ Wip\ V/?>1» T0 f(x^
стремится к нулю при | х | ->оо(см. [48(16)], стр. 57). Очевидно,
из этого утверждения также вытекает, что f{x) ограничена
на /?, т.е. W^d Ba при у/?>1- Известно (см. [82(1)], стр. 444),
134

что в силу регулярности функции f(z) в любом конечном
круге | г — х | ^г имеет место формула:
Отсюда
2it
\f(x)\<^\f{x + rex*)\db
О
Применяя здесь неравенство Гельдера, получим
2*
1/(^)1°<^[|/(^+/-Л)|Рс/ср.'
6
Умножим обе части последнего неравенства на г и
проинтегрируем на отрезке 0<г<8, где 8 > 0—некоторое число. В
результате получим:
S 2тс
I/(х) |р< -^.j Jl f{x + re1") |pr d9 dr =
О О
= -7 (Т |/(■* + « +to)iprfarf©<
U*+vi<6i
<" f [\f(x+u + iv)\**dudv^
tcS2 J '
x+5 5
<-^ J J i/« + '*) lp л л».
Отсюда~"««дно, что если 8 > 0—некоторое число, то
оо 5
i/(*)lp<^-J fl/tf+fcOM/ifo, v^>0 (1.10(1))
x_sJ$
и
х+8 8
|/(*)|Р<^ f §\fV + iv)tPdidv' V*<0.
—'оо —5
В силу теоремы 3.1.2
J l/(*+/y)|prfJf<e4e,yl ]\/(x)fdx.
-00 _ 00
Отсюда находим:
\f{x + iy)\*dxdy^2 £—f~M Н*)\?<*х. (110(2))
-оо -6 Р _оо
135

Последнее неравенство показывает, что интеграл f [\f(x +
+ iy)\vdxdy сходится и поэтому правая часть (1.10(1)), еле*
довательно и \ f{x) |, стремится к нулю при х-+ +оо.
Аналогично этому из неравенства (1.10 (2)) следует, что |/|-*0
при х-> — оо.
Вышеприведенное замечание остается в силе и в
многомерном случае: если /_6 W7«\ 1</?<°о, то |/_(;c)j-^0 при
|л:|-^ос (хб^п). Это утверждение неверно при /?^=оо, как
показывает пример функции f(z) = sin 2: (см. [93( 10)], стр. 141).
Следствие 5. Если /(x)g//ffE(/?), а и ft—произвольные
действительные числа, то
\\af(x) + bf{x)\\E<(cP + b*<fif Ц/||Е. (1.10(3))
Доказательство. Очевидно, имеем:
аДх) + Ь/'(Х) = )/"(-уУн- ft2 [/' (Л) Sin сс + o/(*)cOS a],
где
ь
Sill a r= — =:, COS a
At!^' °У[тЬ*
Отсюда, в силу неравенства (1.2), получаем (1.10(3))
Следствие 6. Если f{x)£Ba является вещественной
функцией на /?, то
SUPV[/'(A:)l2+a2[/(A;)p<asup \ f(x) \ (1.11)
xeR xeR
и, кроме того,
suP/[/'U)]2+[/'(a:)J2<«II/IIc- О-11*)
,X€R
Доказательство. В силу неравенства (1.7) имеем
|/'(*)slna-o/(*)cosa| =V[f (х)\л + а2/2 {х) X
X I COS(cp + a) | <aB/|lCf
где
/' (*) af(x)
sin с? = J ■ cos о = , y —-
/ \f (*)P + °2 /2 <*) / [/' WP + °2 Я (*)
Очевидно, если
supV[f(x)]2+o2f(x)=V[f(x0)}2 + o2f2(x^
xeR
то можно полагать, что <* = —ср(л;0), это и приведет нас к
неравенству (1.11). Аналогично доказывается (1.11*) с
использованием неравенства (1.7*). Если f(x)^BJ9 то в силу (1.11)
при II/||с <1
136

Методом индукции убежлаемся, что для функции f(x)£B09
принимающей вешественные значения на /?, при любом
натуральном к имеет место неравенство
2. Некоторые применения неравенстра С. Н. Бернштейна
1 Пусть f(x)£H0E(R) и fy{x) =f(x + iy). Наряду с нормой
] /||Е введем в рассмотрение еще и функцию || /у ||Е от у.
Разложим функцию f(x + iy) в ряд Тейлора по степеням iy:
к=0
Отсюда, в силу неравенства (1.6*), находим, что
у/у ие< 2^||/(к,(л),|е< i^-^f1 «» -*"" '^^
к=0 к=0
Итак, имеет место
Теорема 3.1.2. Если f(z)£HaE{R), то
H/y|iE<Vy|ll/l|E. (1.12)
Неравенство (1.12) показывает, что если мы имеем последо?
вательность функций {/п(£)} из HaE(R) с ограниченным
множеством норм { il/(.*) |ta)> то последовательность функций
{ \\ fn{x + iy) || }, как функции от у, равномерно
ограничена в каждом ограниченном множестве У оси у. Поэтому
из нее можно выделить сходяшуюся подпоследовательность
{ II АД* + ОО II }• Последовательность {/к(х + iy)} сходится
в смысле нормы E{R) к некоторой функции g(z) при каждом
у. Очевидно, предельная функция, удовлетворяя неравенству
(1.12), будет принадлежать также пространству На E(R).
Таким образом, мы показали, что из заданной
последовательности {/n(z)}, /n(2)£#aE(/?), с равномерно ограниченным
множеством норм { || /п ||) всегда можно выделить
подпоследовательность {/nK(z)}, сходящуюся к некоторой функции
g(z)£HvE(R) в смысле нормы пространства E(R)y т.е.
II AM + iy)-g(x+ iy) ||e - || (/nK)y -gy\\E^0 (к^ос)
при любом фиксированном у.
Итак справедливо
Следствие 1. Семейство {/{%)} целых функций из
класса H0E(R) с ограниченным множеством норм {||/|1е}
137

компактно в смысле метрики пространства E(R) при
каждом фиксированном у.
Замечание. Так как функция f(x -f- iy) при любом
фиксированном у по х есть снова целая функция конечной
степени а, то из (1. 12) следует, что если f(x)£H„E(R), то и
||/ (х + iy) 1|б//*Е(/?). Следовательно, верна интерполяционная
формула:
™-iS3faTT'(*+-r(*-i))
при произвольном комплексном z, где сходимость понимается
по х (z = x-\-iy) в смысле E(R).
Из неравенства (1.12) легко следует также, что последний
ряд сходится по х в смысле метрики E(R) на любой полосе
ух <у < у2> где yt и у2—произвольные действительные числа.
3. Неравенство С. Н. Бернштейна в линейном
нормированном пространстве целых функций
многих переменных
Обозначим через E*K(R) совокупность всех функций /(х) =
= /(*i» • • •»-*п). принадлежащих пространству E(R) по одному
переменному хк при фиксированных значениях других
переменных х19..., xK_v хк+{,...,хп, а через
Ехк(/?п_1)—совокупность всех функций /(2), принадлежащих пространству Е(/?п_1)
по переменным xv...9 xK_v xK+v ..., хп при фиксированном
значении хк, где
Хк = (х{,..., xK_v xK+v ..., *п) С /?n_j.
Предположим, что линейное нормированное пространство Е(/?п)
обладает тем свойством, что для функций f£E(Rn)
справедливо равенство:
11/Ие = ||{1|71|еХк}||еХк, (Lis)
причем в правой части внутренняя норма берется по одному
переменному хк, а наружная—по всем остальным переменным.
Заметим, что свойством (1.13) обладают пространства C(Rn)y
С* (Ап), где Дп = {— ^< а:к<^, к=\,п) есть «-мерный куб,,
LP(Rn) (/>>1), ^р(А„), Ар(/?п), Dp(/?„) и др:;
Обозначим через #aK>x E(Rn) линейное нормированное
пространство ограниченных в Rn функций /(*), являющихся
целыми функциями степени <ок по одному переменному хк
при фиксированных значениях других аргументов, с той же
нормой ||/||е, удовлетворяющей условию (1.13). Очевидно,
И- Е( Rn ) является подпространством этого пространства
//„ хкЕ(/?„) и любое утверждение, справедливое в ^к,хкЕ(/?п)»
остается в силе и в H-E(Rn).
138

В классе Я^Хк Е(/?п) справедлива
Теорема 3.1.3. Если f(x)dHoKxKE{Rn), то для ее
частной производной DKf=-l—
дхк
I|Dk/|Ie<ok||/||e. (1.14)
Доказательство. Пусть f(xu х')— целая функция
конечной степени ах по хх (к = 1) для всех х'£Rn_v Очевидно,
для x/^Rn_l по хк функция f(xu x')£HaiXiE(R) и потому
вследствие неравенства (1.6)
I1IV|IeXi(R)<M/I|exjr).
В силу монотонности нормы в ЕХк (Rn^l)
||{11Д/Н}еХ1||еХ1<01||(1|/1|ЕХ1)||ех,.
Отсюда в силу (1.13) получим (1.14).
В теореме 3.1.3 пространство HaKxKE(Rn) может быть
заменено пространством #-Е(/?п), т.е. справедливо
Следствие 1. Если f(x)£H-E(Rn), то для ее частных
производных имеет место неравенство*
l|D,m7llE<[fi<j)ll/l|B, (1.15)
где D,m,/ = DT\ ..£>>/, I m \ =mx-\ \-тп. В самом деле,
в силу теоремы 3.1.3, если /6#-Е(/?п), для ее частной
производной DK/ = — (к = 1,..., п) справедливо неравенство
дхк
(1.14), повторным применением которого получается
неравенство (1.15). Последнее может быть применено к оценке
функции \}fy{x) ||Е = \\f{x + iy) || Е при/б H7E{Rn) посредством
нормы ||/||е, где * = (*,,..., хп) и у = (у1э..., уп).
Теорема 3.1.4. Если f(x)£H-E(Rn), то
1/у(*)||Е<ехр( 2°"1уЛ II/Не. (Мб)
Неравенство (1.16) может быть доказано аналогично тому,
как доказывалась теорема 3.1.2, разлагая на этот раз функцию
fy(x) в кратный ряд Тейлора по степеням /уь..., /уп. Кроме
того, (1.16) в некоторых частных случаях, например, когда
E(Rn) = Lv(Rn)y может быть получено последовательным
применением неравенства (1.12) к функции f(x)£H-E(Rn), где
с = (о1э..., ап). В самом деле, например, в двумерном случае
* Соответствующее неравенство для тригонометрических полиномов в
случае, когда Е (Rn) = С (Rn)> получено С. М. Лозинским [80(1)].
139

iOO / 0° ) P
j ( J \/{х1,х2 + 1у2)\Ых2) dxS <
ailyi|-fa2lysl
00 00
[-00 —00 J
что и доказывает неравенство (1.16) при п = 2.
4. Оценка производной целой функции конечнэй сгзпзн
в линейном нормированном пространстве с весом
1. Сохраняя вышепринятые обозначения, положим, что
ср(лг) > 1 — непрерывная функция на R с характеристической
функцией
«(0 = supH*±4. (U7)
xeR <р (■*)
|yl<t
Теорема 3.1.5. Если f{x)£HaE9{R) и ххрактеристи-
яеская функция <x(t) функции <?(*)>. 1, непрерывной на R,
удовлетворяет условию
m
а(0<^>ш(0 = 2Л"'!С (Л">0> «-'.«). (Ы8)
к=0
то
\\r\k9<M{o+m)\\f\\^ (1.19)
m
где ЛГ = 2 Лк-
к=0
Доказательство. Пусть f(x)^HaE^(R). Рассмотрими
целую функцию
/<0=/(0[£>('-*)]m, D(u)=s^,
степени а-\-т (л;—фиксированное действительное число).
В силу (1.17)
9(t)<*(\t-x\)9(x).
Далее, в силу (1.18), имеет ]место неравенство:
m
\a(\t-x\)D™(t-x)\ < 2A,|*-jtj"lDK(*-;c)|X
к=0
m m
X\Dm-K(t-x)\4£%A1c\t-x\*\D(t-x)\*^'2iA*=M- (1-2°У
к=0 к=0
140

Кроме того, по предположению f(x)£C^{R) и А = ||/||Е .
Таким образом, | f(t) | < АМу(х).
Последнее неравенство показывает, что целая функция F(t)
степени <La+/rc ограничена на R при фиксированном х.
Следовательно, для функции t(t) имеет место интерполяционная
формула:
К=— 00
^к
где
1 \
\ 2
[*к:
(к = 0, ± 1, ±2,...).
Отсюда, имея в виду, что
{f-~'(t%=x=-{f(t)D"4t-x)yt=x=f'(x),
находим
00
f(x) = -L- у t-\f-K \JJZ^ ч(Х+^уо*(ъ). (1.22)
(*=0, ± 1, ±2,...),
Учитывая, что
из (1.22) получим
\f'{x)\
sinfxK
Ик
(1.22*)
Учитывая неравенство (1.20) и равенство
1
к-=- с»
из (1.22*) получим
К=— ОО
1 2
= о + /тс,
И/7 Не
4 а -j-m
к=— оо
Теорема доказана*.
Следствие 1. Если f(x)£H*E9{R) и
характеристическая функция a(t) функции ср(х)>1, непрерывной на R,
удовлетворяет условию (1.18), то
/:
У 1|Е„ -=
Me
(з+m) |у|
/!
Е„.
(1.23)
Доказательство. Для функции f(x)£HQ E? (R) из
разложения Тейлора:
* Случай v(x) = а + х™ и Е (R) == С (Я) рассмотрен Р. Г. Мамедовым
[83(3)].
141

fy{x) = f(x + iy)~^J^--(iyr
K=0
в силу неравенства (1.19) находим
n/yi4<^Lf-ll/K,IK<
к=0
<м ^ЫМ*-*--*)", {1/{^^Мехр{(о+т)\у\}- \\/\\Е?,
к=0
что и требовалось доказать.
Благодаря неравенству (1.23), повторением рассуждений,
проведенных при доказательстве следствия 1 из теоремы 3.1.2,
приходим к следующему заключению:
Следствие 2. Семейство {/{г)} целых функций из класса
HaE9(R) с ограниченным мноэюеством норм { П/Це?}
компактно в смысле метрики пространств2 E?(R).
2. Переходя к многомерному случаю, предположим, что
норма ||у || Ее? функции /=f(x) из пространства //-E9(Rn)
удовлетворяет условию (1ЛЗ), где х - (х{,..., хп), а = (<зи .. .,оп).
Теорема 3.1.6. Пусть f(x)(*Ha E9(Rn) и ?(.*:)> 1 —
функция, непрерывная в пространстве Rn, такая, что ее
характеристические функции
aK(0 = sup ?(* + ^к) (к^ 1,...,.л) (1.24)
xeRn <p (X)
|Ук1<*
удовлетворяют условиям
тк
*K(t)<PmK(t)- 2Д^3 (А?°>0' ^=1....,л). (1.25)
Тогда
|0,Kl/lE9<Afn(aJ+nij)"J. н/Hv (1.26)
где
n тк
к=1 j=0
Доказательство. Если f(x)£H- E^/^n), то в силу
условия (1.13)
1!^к1|Е? ИЦ! <р(*) 1|ЕхкЛ1Ехк
Повторным применением этого неравенства получаем
неравенство (1.26). Теорема доказана.
142

5. Оценка производной по направлению целой функции
конечной сферической степени в
линейном нормированном пространстве
Пусть <?(х) > 1 — непрерывная функция в Rn с
характеристической функцией
m
<*(*)= sup (?{x/\y)^Pm(t)=XyAKt« (Лк>0), (1.27)
к=0
Обозначим через SaE^{Rn) класс целых функций f(zu ..., zn)
сферической степени <. о, удовлетворяющих условиям:
)™ (128>
2)/g6E(/?n).
Теорема 3.1.7. Пусть f(x)£SaE9(Rn) и о(х)^>\~не-
прерывная функция в Rn с характеристической функцией
a\t), которая удовлетворяет условию (1.27). Тогда
производная — от f(x) no ^любому направлению I
удовлетворяет неравенству
д/
Ы
,<^o+jn)|l/|U (1.29)
где М = УМК, ^—степень многочлена Pm{t).
к=0
Доказательство. Пусть f(x)eS<JE9(Rn) и ?1э...,5п—
направляющие косинусы направления / и ф(^)=/(я+^)>
где S = (Ei,..., ^п). Тогда
F(*) = «K<) Dm(t), D(0 = S-^,
является целой функцией степени не выше о + т. Кроме того,
при вешественном t
| F(0- I /(a: + u)Dm(t)\ =- |^L±ig. *£^Ц(*) •^>m(0
I <p (•* + ft) <p (x)
причем в силу условия (1.27)
Кроме того, в силу неравенства (1.28)
|/(х+ *>'<*. Л,- II /||с.
Таким образом, при фиксированном х
\F(t)\^M.Av<f(x).
143

Последнее показывает, что F(t) ограничена на /?. Следова-
те ьно, интерполяционная формула (1.21) применима к
функции F(t), т. е.
.F )-^k(t)Dm{t)}'=-^- V <=-Ц 'b(t + ^)Dm(t+H),
К=- 00
где
хК 2
т
U = 0, ± 1, _:2,...).
При этом, как известно (см. (2.21), гл. I),
00
1 ^ J_
о -{- т.
к=—оо
Полагая t — 0, получим
df/dl
ар
— У1
(-1)к"' /(Jc+.'XkS) <р(х+ц<=)
к=— оо
к5
<р (х +и-к5) <р С*)
Dm(|i,).
Отсюда, учитывая условие (1.27), наложенное на а(/),
получим*
д//д/
^
м
а 4- /я
^ч/1|е9\М^Г^<
к=- оо
у 4-=^(« + «)U/llv
что и требовалось доказать. Если в неравенстве (1.29)
положить <р= 1, то получим т = О, М ^ 1 и придем'к следующему:
Следствие 1. Еслиf(x)£SaE{Rn), то для ее производной
df/dl по любому направлению I имгзт место неравенство
Ё1
dl
/He.
(1.30)
Очевидно, если направаение / совладает с одной из
координатных осей, например, с осью ох<, то df/dl в (1.30)
заменится частной производной df/dxK.
6. Неравенство С. Б. Стечкина и его обобщение
для целых функций
СБ. Стечкин [103(1)] показал, что для
тригонометрического полинома Sa(x) порядка п, с периодом 2к имеет место
неравенство:
* Подобно? утверждение в случае Е (Rn) = С (Rn) с неизвестной
константой доказано И. О. Иноземцевым [59(1)].
144

Шс<
2sin —
2
Sn(x+fi)-Sn(x)\\Ci (1.31)
где Л(0<Л<-—)—-произвольное фиксированное положитель-
ное число. Заметим, что посредством замены переменной из
{1.31) получаем для тригонометрического полинома Tni\(x) =
= Sn(—) порядка п неравенство
\fn,Ux)\<—V!rn.x(-«+P)-^„,xU)l|c. (1-32)
2sin
2
2*
где о = — , 0 < ХА ^ р < —. Подобное утверждение для це-
X а
лых функций конечной степени доказано С. Н. Бернштейном
1Н(1)].
Теорема 3.1.8. Если /(х)бД,, то каково бы ни было
положительное число р < — — справедливо неравенство*
I Л*)К
2sin ■
/* +
?
■/(*-*-
. (1.33)
Доказательство. Будем искать среди функций f(x)
степени а, удовлетворяющих условию |/'(•*<>) I =^, где х0
и Ж > 0 фиксированы, функцию с наименьшим уклонением от
нуля величины
Р
'(*+i)-4*-*
При этом можем произвольно зафиксировать значение f{x0) в
точке х0.
Пусть х0 -О, /(0) -0, /(0) = Ж. Среди этих функций
существует /(х) степени не выше а, которая осуществляет
минимум
\/[X+'2')~f[X~ Tj\\c = L>°- (L34)
2тс
В случае р < — равенство L =-= 0 невозможно, так как функ-
а
2*
а
самом деле (см. [77(6)], стр. 371—375), целая функция f(x)
ция f{x), имеющая период р<—, была бы постоянной. В
2тс
из класса 5, с периодом р<— имеет вид
* Б. Я. Лев и н [77(5)] дат некоторое обобщение теоремы С. Н. Берн-
штейна.
1020-ю 145

f(z)= £Скехр{^},
причем
|С.|<«|£-
(я = ± 1, ± 2, ...)
и т—любое натуральное число.
Последнее неравенство показывает, что Ск=0 (к = ±1,.
±2,...), т. е. /(г)—постоянная. Напротив, при всяком
Р> — функция
а
/(X) = —S- Sin
степени — О давала бы 1 = 0. В fcaMOM леле, если — < а,.
то в силу (1.34)
I = -~- | Sin -т- ( X + —
2* [
Р
. 2те /
sin — uc
■)]-°
и /(■*) удовлетворяет условиям: /(0) = 0, f{0) = М. Таким
2л
образом, ограничение р<— в неравенстве (1.33) является не-
0
обходимым для существования верхней грани \f{x)-\ при данном-
/i*+D-/(-i
Итак, пусть /(л;) (/(0) = 0, /'(0) = М)—некоторая
функция степени а, дающая минимум выражению
/ ■* +
"/(*-
2; -Г 2
Ввиду того, что —/(—.к) обладает тем же свойством, можем
принять, что /(л:)—нечетная функция, а потому
2
есть ограниченная ( | f*(x) | < I) четная функция степени а
(можно положить ак = /*(0) = 0). В таком случае можно
построить такие тригонометрические полиномы
Г(х) = /(х + ^)-/(х
(1.35)
Г:,х (*) = о,Л + 2 «k.xcos T' ' 7"'xU)1 < L> ' (U6>
К=1
порядков я = оХ-^оо, что
lim Гп,х(д:) =/*(х)
п-*оо
при всяком x£R.
146

Определим теперь тригонометрические полиномы ТпХ(х)
из уравнения
Ч* + т)-МЛ~т)=г"л(-*} (1.37)
при дополнительном условии #ох ^= 0. Пусть
п
к=1
Тогда условие (1.37) запишется в виде
lM-f(*+i--i(*-i)]-SA>«'!r
к=1 к=1
ИЛИ
п п
Х^п# кх КЪ XI кх т* / \
Отсюда
b - '
2sin —
2А
2si„^ *
к=1 2Х
S
п
S
|2Xsinrr-
~ 2Х
Исходя из (1.36), (1.37) и неравенства (1.33), имеем
|7\а(*)|<—1_.||ГпД(Л + р)-ГпД(х)||с<
<
Р3
2sin—
2 (1.38)
2sin
М*+1)-Ч*-1)[
2sin J
2 2
Тогда в силу компактности семейства функций класса Дт
последовательность ограниченных функций ТПг\(х) степени о (где
я = Хо-^ эс) может быть выбрана так, чтобы
равномерно в любом промежутке, причем hf (x) должна быть
делой функцией степени о. Следовательно, благодаря (1.37)
147

3
~2
h{x + -T)-h[x~~^)^ jft/(-«+o*
2
2
= lim Гг;.х(х+ОЛ = Ит \тп(х -f 4) - ^f* -~- jl =
-1
2
= lim Гпд («*)=/(■*)•
n-»oo
Таким образом, функция
ty(x) = f(x) — h(x\
степени <!o, которая вследствие (1.35) удовлетворяет
уравнению
ПЛ + т)-*(Л-т)-0'
имеет период р< —, т. е. она должна быть постоянной. Сле-
о
довательно, /'(.*)=зй'(л:), откуда
Af=/'(0) = A'(0) = lim 7Vx(0).
Поэтому из (1.38) заключаем, что~^
ha
м
2sin —
2
причем M=f'(x0) и в силу произвольности х0
2sin —
2
что и требовалось доказать.
Теорема 3.1.8 в случае р=— следует из утверждения
а
С. М. Никольского [93(6)], которое доказано одновременно с
этой теоремой.
Теорема 3.1.9. Если f(z)—целая функция конечной
степени а из класса В3, для которой при заданных кик
(к = 1, 2, . . .; О < h < — ) величина
к
vK—!>#
2(-irrM/(*+'A)
i=0 ^ l '
<»к (/, 8) = sup | Д^ (/, x) | - sup
0<h<5 0<h<5
конечна, то производная f{K)(x) порядка к ограничена на.
действительной оси и удовлетворяет неравенству
148
_I

sup|/w(*)l<(-MK-к(/,-), (1.39)
которое обращается в равенство при f(z) — sin oz.
Метод доказательства теоремы 3.1.9 дает возможность
обобщить ее на случай многих переменных и на другие
метрики. Наконец, нетрудно заметить, что (1.39) для
тригонометрического полинома совпадает с неравенством (1.33).
7. Дополнительные замечания об исследованиях
по теореме С. Н. Бернштейна
С. Н. Бернштейн обобщил свою теорему о выполнении
неравенства (1.1), заменив функцию elctz более общими
функциями со(z) = el9Z <p(2), где ср(2)—целая функция нулевого
рода, не имеющая корней в одной из полуплоскостей Im z<0r
Im z > 0.
Теорема 3.1.10. Если s(x) -\- it (x)—целая функция
нулевого рода, корни которой ак — /рк лежат в нижней по-
00
луплоскости, т.е. рк>0 и ряд \ — сходится, af(x)—
произвольная целая функция степени не выше о, то
существование {неравенства
\/(х) | <I ls(x)+it(x)\
на всей вгщественнои оси влеяет за собой на той оюе оси
неравенство^
\f(x)\<L\[s(x)+it(x)e-l°x]'\.
Н. И. Ахиезер [4(3)] получил дальнейшее обобщение
теоремы 3.1. Ю, заменив в ней <р(2) целой функцией конечной
степени, удовлетворяющей некоторым дополнительным
ограничениям. Обозначим через Еа(а}>0) совокупность всех
целых функций со (г) экспоненциального типа с показателем а,.
которые удовлетворяют следующим условиям:
1) v>(z)=*s(z)+it{z)y где s(z), t(z) — вещественные
функции, не имеющие общих нулей;
2) при lmz^>0 имеет место неравенство
«(*) /•
а следовательно при Im г •< 0—неравенство
■<*)
<1,
где w(z) = s (г) — # (г);.
149*

3) при любом г>0 существует такая константа т, что
J-I <!**-<•-'* (у>0),
■(оО I
1
<те{°~г)у (у<0).
I о) (*» |
Теорема 3.1.11 (Н. И. Ахиезер). Пусть o>(z)e£a (o>0)
a f(z)—вещественная целая функция экспоненциального
типа с показателем х, где т>а, удовлетворяющая
неравенству
l/(*)IO(*)l (x£R).
В этом случае
|/'(х)|«|{.(*)е-'"~""П <*6«), С-40»
При этом знак равенства как в соотношении (1.40), так и в
(1.41) хотя бы в одной точке возможен только тогда, когда
при некотором X
/(*) - -Lfc.(z ) в-«<~>н-* Т^Т)ен'-а)г~%] }
Б. Я. Левиным [77(1)] были сняты некоторые требования в
теореме 3. 1. 11 и доказана
Теорема 3.1.12. Если m(z)—целая функция класса Р
(см. §2, гл. II),имеющая степень о, a f(z)—целая функция
степени х^о, то из неравенства
1/(*)1 < I «>(«*) I («*€#) О-42)
следует неравенство^
l/V)l<l«(lV)l (*е/?). (1.43)
£г./ш в какой-нибудь точке вещественной оси имеет место
знак равенства, то
/(г) = Сх<*(г)+С^{г)>
где Сх и Сг~-комплексные постоянные, причем
I Сх I + | С2 | - 1.
Заметим, что класс Я—наиболее широкий класс функций
со(z), для которых неравенство (1.42) влечет за собой (1.43),
что показывает
* Исходя из других соображений, применимых не только к
аналитическим функциям, построены обобщения теоремы С. Н. Бернштейна,
принадлежащие Н. Н. Мейману [87(1,2)].
150

Теорема 3.1. 13. Если ни o>(z), ни a>(z) не
принадлежат классу Р, то существует функция f(z) того же
порядка и того же типа, что и co(z), удовлетворяющая
равенству
\f(x) | « | со (л) | (*е/?)
и такая, кто в некоторой точке х0 вещественной оси
1/'(*о) I > \*'(Хо) I •
Неравенства типа С. Н. Бернштейна получены также для
функций, аналитических в конечной области, в полуплоскости,
на плоскости с разрезом вдоль некоторого интервала и в
других областях.
И. И. Ибрагимовым и Р. Г. Мамедовым [54(2)] доказано
следующее утверждение:
Пусть f(z)~-аналитическая в замкнутой области (/,
ограниченной спрямляемой жордановой кривой L, внешность
которой посредством функции w = w(z) отображается на
внешность окружности Г(|да| — /?); z = ®(w)~обратная к
отображающей функции w~=w(z) и L9 означает образ
окружности Гр (|да| = R + р) (где р—данное число) при
отображении Z =- ср (да).
Пусть далее функция w(z) удовлетворяет условиям
I да (6) - да (г) |<Ч ! 5 — « |- (0 < а < 1)
для *££.* г6Z, ? бZ,p я | да' (£) | > яг > 0 для яггл: £ С £Р. Тогда
справедливо неравенство
(2*)Р'РР Р
гдг ——!—- —целое число,
Р(к-И)
Р \2 I Р \а(Р-!)
)-
Тр —
1
^2/?+рУ
Н. И. Ахиезером и Б. Я. Левиным [6(1)] доказано другое
утверждение:
Пусть f(z)~-аналитическая функция в полуплоскости z,
разрезанной вдоль полуоси [О, оо), на которой ее
предельные значения существуют и удовлетворяют неравенству
I/(*)!< 1. Если
ПпГ 1п|/(г)| =0 (0<argz<2*)
izi-oe \г\ v \ s \ ;
151

и при некотором о > 0 для любого е > О
l\mf(±iy)e У2 = 0,
у-* °°'
мо в каждой точке *>0, где f(x) обладает производной,
имеет место неравенство
и знак = хотя бы в сдной точке достигается лишь на
функции
f(z) =С1е-1°УГ+С2е[°УТ (|С, | + | С2 | = 1).
§ 2. ОБ ОЦЕНКЕ ПРОИЗВОДНЫХ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
КОНЕЧНОГО^ РОДА
1. Оценка производной целой функции
^конечного рода на данном отрезке
Рассмотрим целую функцию
/(*)= %апх» (2.1)
п=0
и допустим существование числа р>0 такого, что
Пт и-9 ^|flT[ = L<oo. (2.2)
п-*оо
Известно, что для целой функции конечного порядка р и
конечного типа а
В таком случае f(x) является целой функцией конечного
рода р, так как [р] < /?<; [р] + 1 (см. §2, гл. I). Если
lim пв у \ап\ = эо (2.3)
п-»-оо
при всяком s > 0, то f(x) является целой функцией
бесконечного рола. Для целой функции конечной степени о
lim яу |ап| = о.
п-»оо
В частности,' f(x) называется целой функцией нулевой
степени, если имеет место равенство
. lim п- -j/[~5j=0. (2.4) .
п->оо
152 J

Теорема 3.2.1 Если целая функция f(x)
удовлетворяет условию (2.2) и М (R) — максимум ее модуля на отрезке
[—/?,/?], то при любом х( — R < — /?t <x</?t </?) имеем*
К R2 - л?
ecte е -* О я/?гг R-+ оо.
Доказательство. Вследствие (2.2) для любого сколь
угодно малого р ->- 0 можно найти такое я0, что при п > п^
имеет место неравенство
п
|flnl<|Z- + P)n-«_r.
Положим
ДХ)=Р(Х) + 0(Х),
где
N оо
Р(х)=%акх\ ?(*) = ^ я«*к (#>л0).
к=0 k=N+1
В таком случае, полагая
^(1-.р)
£ + Р '
имеем
k=N4-1 k=N+
2(^f(.-».<j
i M(i-p)«
k=N4-1 k=N+i
00 К 00
k=N+i k==N+1
и, кроме того,
00 ОО _ K_
к—N+l k=N+1
К—1 00
— sK-1 1П 1-K- K—I
k=N+1
(L -Г ?) K=N+1
-®- -_!
k=N+1
* Теорема 3.2.1 принадлежит С. Н. Бернштейну [14(3)].
153

Следовательно, можем взять TV настолько большим, чтобы при
] х К R иметь
I ?(■*) I < -J-, It'WKJ,
где 7 > 0—данное сколь угодно малое число.
Таким образом,
\Р(х) \<M(R) + j;9
а потому на основании неравенства С. Н. Бернштейна
\Р'п(х)\ VR2 -x2<n- max \Pa(x)\
lxl<R
лля всякого х(— R < х < /?) имеем
откуда
Г £ + Ир
Очевидно, можно выбрать р так, чтобы выполнялось
неравенство
<L+> (*<zr.>
i-р
Следовательно, как бы мало ни было г, при достаточно
большом R будем иметь
\Г(х)\< #<*; + *)'м«)
и, тем более,
#P(L-M)pAf(tf)
!/'(*) I <^
при — /?, < jc</?! < R. Теорема доказана.
Следствие. Если на вещественной оси целая функция
f(x) ограничена, | f(x) | <M и коэффициенты ее ак
удовлетворяют неравенству (2.2) при Z>0 и р> 1, то для всех
вещественных х
р-
2
i/'(*)i<i-*ip-'-p •(L+?!;Af, (2.5*)
(р+if
где е->0 при | х | —»-оо.
154

Для доказательства достаточно положить в неравенстве
(2.5) М (R) - Ж, Rx = | х | и /? = | х | |/-^-.
2. Оценка производной целой функции нулевой степени
Известно, что целая функция f(x) нулевой степени может
быть либо первого, либо нулевого рода. Поэтому неравенство
(2.5), справедливое в интервале ( — -/?, R) для целой функции
конечного рода, остается в силе и для целой функции
нулевой степени. Прежде всего заметим, что целая функция
нулевой степени, ограниченная на всей вещественной оси, есть
постоянная величина*.
В самом деле, если в неравенстве (2.5*) положим 1=0,
то при р=1 и M(R) = M правая часть его с возрастанием
\х\ стремится к нулю. Так как | f{x) | < Мг и е может быть
взято произвольно малым, то f'{x)==0 при всяком х или
/(*)зС.
Теорема 3.2.2 [14(17)]. Если целая функция нулевой
степени f(x) при некоторой последовательности значений
R, стремящихся к бесконечности, удовлетворяет
неравенству
M{R)<R\ (2.6),
где M(R) =max | f(x) |, h—данное целое положительное чис-
ло, то f(x) есть многочлен степени не выше А.
Доказательство. Обозначим через*
Рь (х) = (x — at)...(x — ah)
многочлен степени Л, где аи аъ ..., аь)—какие-нибудь нули
целой функции
п=0
Такие нули существуют, так как в противном случае наша
целая функция нулевой степени была бы постоянной.
Рассмотрим целую функцию
00
Покажем, что /»(*) должна быть нулевой степени. Допустим
обратное:
ПпГ nV\T7\>Ll >0,
Этот факт в то же время следует из теоремы Фрагмена—Линделефа..
155

т. е. существует бесконечная последовательность значений, для
которых
\Ьп | >(—)\ где 0<L<^.
Из того, что f(x)—целая функция нулевой степени, в силу
(2.2) при Z — 0 и р= 1, при достаточно большом п (п>п0)
имеем
где 0<е<1.
Заметим, что между коэффициентами сп и £п, соответст-
f(x)
венно, функций f{x) и f{ (х) = имеет место соотно-
х — ах
шение
Отсюда находим, что
/ £ П+1
\Ь*»\> ^±i)_>TL. 4", (2-7)
при п> п0 достаточно большом, причем мы пользовались тем,
что
— : >2 или I— >2
U /i+ij \ л / U +1/ '
и потому
Для целой функции /i(^c)= ^Sb'nX* имеет [место
п»=0
И^^Убп1==0 или \b'n\<qn (?<1, л>л0).
п-*оо
т.е. |йп| стремится к нулю быстрее, чем #п, где q<\. Но
неравенство (2.7) показывает, что коэффициенты функции fi{x)
не могут убывать быстрее, чем геометрическая прогрессия со
знаменателем, близким к , т. е. f\{x) не будет целой функ-
|«il
дией. Полученное противоречие показывает, что если f(x)
имеет нулевую степень, то ' также имеет нулевую сте-
X — #1
пень. Поэтому ^^ также будет нулевой степени и
(х—ах) (х-а2)
156

т.д. Таким образом, /»(х) = *w имеет нулевую
степень. Но вследствие (2.6) функция /# (х) ограничена на всей
вещественной оси и потому f*(x) ~ с. Отсюда следует, что
f(x) «= сЯь(лс)—многочлен степени А.
Из теоремы непосредственно следует, что целая функция
f(x) нулевой степени, удовлетворяющая условию
lim^^-0 (m>0) (2.8)
для вещественных х, есть многочлен степени не выше т. В
самом деле, из (2.8) следует, что при любом достаточно
большом вещественном х Li£i' < Л, где Л—некоторое положи-
Ulm
тельное число. Очевидно, для функции
Ч(х) = ±/(х) 3*2. <1 (т>0)
при достаточно больших х( \ х | = /?). В силу теоремы 3.2.2
функция ?(х), а потому и /(л:) являются многочленами
степени не выше т.
Следствие Пусть коэффициенты ак целой функции
/(*) = LJ?aKzK
к=0
удовлетворяют условию
lim n2 V\^h 0 (2.9)
п->оо
и, кроме того, на вещественной и на мнимой осях имеет
место равенство-
lim Л* = 0.
Тогда f(z) есть многочлен степени не выше т.
Доказательство. Из того, что /(г2)—целая функция,
следует, что
оо оо
n=0 n=0
где у -=х2, являются целыми функциями. В силу (2.9)
lim п уг\ а2п | =rr lim U2 у" | а2п I / = О-
157

nV\a2n+l\=[n2V \a2l
Кроме того, из неравенства
-р
2n+l I J <
<[(2«+1/.2пУ|-^Г[]2.|а2п+1^
получим
UmnV |eta+1|=0. (2.10)
n-*oo
Следовательно, /^(у) и/7! (у) являются целыми функциями
нулевой степени и функция f{z2) удовлетворяет всем
условиям теоремы 3.2. 2 (т! =■•■ 2я), т. е. /(х) является многочленом.
3. Об оценке производных функций конечной
полустепени
Следуя С. Н. Бернштейну [14(19)], целую функцию
"<*>-£•■-й-
к=0
будем называть функцией конечной полустепени, если
00
0{х)^Н{х")= \^а2к-~ (a,,-ft.), (2.11)
к=0
является целой функцией конечной степени ^о. Другими
словами, если выполняется [соотношение
Ш2¥\Ь7\<°. (2.12)
К->00
Итак, число а, которое является степенью целой функции
G(t), будем называть полустепенью функции Н(х).
Теорема 3.2.3 [14(19)]. Если целая функция И(х)
полустепени о удовлетворяет при х^>а неравенству
\Н(х)\^М (*>а), (2.13)
то при всех л:>а для последовательных производных
имеют место неравенства
|Я(к)(х)|<Ж--^о^ (х>а). (2.14>
1 v ;| (2к)\ v ' v
Знак равенства осуществляется только в точке х = а и,
притом лишь для
Н(х)=М cos а Ух — а.
Доказательство. Принимая во внимание, что при
любом постоянном а функция Н(х + а) имеет ту же самую
конечную полустепень о, что и Н(х), можем положить а ■=■■ О,
158

Тогда каждой функции h(x), удовлетворяющей (2.13), соот
ветствует четная функция G(t) степени а, определенная ра
венством (2.11), которая удовлетворяет условию
\G(t)\<M (teR). (2.15)
Следовательно, по теореме 3.1.1
|G(2K)(0)|= | ак\ ^Ш\н{к)(0)\<Ма2\ (2.16)
причем знак равенства осуществляется только для G(t) = M cos otf,
т. е. для
Н{х) = Mcoso Ух.
Таким образом, утверждение теоремы 3.2.3 доказано и для
л: = 0. Остается лишь заметить, что для величины
Мк(х0, a) = sup\H{K)(x0)\
Xo6R
при условии (2.13) для всякого х0> а справедливо
неравенство
Жк(л:0,а)<8ир|Я(к)(а)|=Жк(а, а) - ^-о™,
a€(ft) (2a:)!
так как
Мк(х0, а) = Мк(х0 — а)
зависит только от х0 — а, причем увеличение а<х0 в (2.13)
соответствует расширению класса допускаемых функций Н(х),
так что функция Мк(и) приуменьшении и~х0 — а не может
убывать и, в частности, Жк(0)> Мк (и), если и>0.
Теорема 3.2.4. Сохраняя принятые (обозначения при
условии (2.13) (а=-0), имеем:
М,{хк+у)<М,{и)К^у=. {хк<и<хк+1; «>0), (2.17*)
Ж'(">° 2 1^/ (°<И<Ы)=Л:')-
Примечание. Для функции конечной яолустепени в
работе Ю. А. Брудного [21(1)], в частности, доказано следующее.
Если Е— полуось [0, оо), <?(х) неотрицательна и
ограничена на Е и для целой функции f(x) полустепени <> имеет
место неравенство
\f(x)\<v(x) (xGE),
то
\f(x)\<^-[<p(x) + Lt^efaxj\ (xeE),
159

где у(и)= <?(и2) при u = \fx,
+ 1Тг+2,а J \ оя /
00 • \2г+2
С I Sin at V^ f
—00
Кроме того, в упомянутой работе доказано, что если Ех—
внешность отрезка [—1, 1], <?(х) четна и -неотрицательна на
Ех и для целой функции f(x) имеет место неравенство
\/(х) |<| <?(х)\
при х£Еи то
где ?(й) = ср(|/г 1 -f и2 ) и LT+2 ff(cp, #) определяется
-равенством (2.18).
Приведем еще один результат, полученный Н. И. Ахие-
зером и Б. Я. Левиным [6(1)]. Пусть множество Е
образовано двумя интервалами (— х>, — 1) и (1, оо).
1) Если для целой функции f(z) конечной степени <о
sup|/(*) I < 1,
xfcE
то в каждой точке х^Е выполняется неравенство
\f(x) I <a|
где знак равенства достигается лишь для функции
f(z) = 1 cosoJ/V—l (7= const, 1 y i = 1)
и притом [лишь в точках
§ 3. ОБ ОЦЕНКЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ
В КЛАССАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
1. Об оценке нормы некоторых линейных операторов,
действующих в Ва
Обозначим через #ffE(/?) множество целых функций f(z)
конечной степени <[о, представимых в |виде
/(*)= \eXzXds\{t) (3.1)
—ст
160

и таких, что /(;с)€Е(/?), где s(t)—функция с ограниченной
вариацией на отрезке [—а, а]. Напомним, что /(г)бД,
(см. §1, гл. II). Предположим, что оператор Z, каждую
функцию f{z)£TiaE(R) преобразует в функцию
М/(*)]« ^(/)*1Ж*Л(/)Э (3.2)
—в
где ^(^—непрерывная функция на отрезке [—а, о] и Z, [/(*)]
является значением L[J(z)] на /?. Очевидно, таким образом
определенный оператор L [f(x)\ является непрерывным
(ограниченным на вещественной оси) линейным оператором.
Теорема 3.1.1. Пусть [л(t)—абсолютно непрерывная
функция на отрезке [—а, о], удовлетворяющая условию
¥*(-*) = *%(*). 0<е<2*, (3.3)
и \x(t) ■=• K(t)—функция с ограниченной вариацией на [—а, а].
Тогда для /g//ffE(/?) имеет место неравенство*
ll^[/W]llE<Q(^9)ii/||E> (3.4)
где
Q(a, 6)= ^CSC2^-{| K(-a)\+\K(o)\+varK), (3.5)
т. е. из принадлежности функции f(x) пространству Е(/?)
следует принадлежность оператора L[f(x)] тому же
пространству Е(/?).
Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы
\L(t)eiSkt может быть представлена равномерно сходящимся на
отрезке [-—а, а[ рядом Фурье
р<*)*'" = $ c«eiPin)i> <3-6>
п=-оо
где /?(#)=—, /г = 0, ±1,..., а= действительное чис-
а 2а
ло, коэффициенты сл определяются формулами
о
св = сп (а) = JL Jjx (t) *«'-*■»' dt (3.7)
— a
00
и, кроме того, 2 Kn|< <». Тогда из равенства (3.2) находим
п=- оо
* Случай, когда E(R) = С (R), рассмотрен Сайвиным [100(1)].
1020—11 161

= jf 2 ^ip(n)tN)^i(x-a)trfs(o =
_Дп=- ao /
П=—oo —V П=—oo
Таким образом, получаем интерполяционную для оператора
![/(*)] формулу:
00
L [/(*)]= S^cnf(x~a + у-). (3.8)
В случае, когда £п(я)>0, л==0 ±1,..., оператор I [/(*)]
является линейным положительным, т.е. £[/(*)] ^> 0 при
/(х)>0.
Из (3.8) немедленно следует неравенство
iim/(*)]iie< 2 i^i-ii/iie,
(3.9)
к=-оо
если учесть, что
Ъ/(х-а+р(п))\\Е= II /Не.
Далее из (3.7), путем интегрирования по частям находим
Са - J-. <~ 1)П" L> (а)/ - ,'(- 0).е~2"- J>-«->^(ol.
(t-"tl - J
При этом, имея в виду, что
j
,t[a-p(n)]t
dK(t)
получим
1
{т~пк)2
< | | dK{t^ | =var(A),
—a
II Я} (a) +| /C(- a) | + var(AT)],
поэтому
V kn|<^[l^(a)|+l/C(-a)| + var(/C)] V
i^Sl 2 "
- Л*
«•yCSC2^-[|/C(a)| + |/C(-a)H-var(/C)].
Благодаря этому, из (3.9) следует неравенство (3.4). Теорема
доказана.
162

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 3.3J
функция [л (t) удовлетворяет еще неравенствам
(- 1)псп = (-1)п~Г{1(Ое1",-р(птЛ>0. (3.10)
—о
Тогда неравенство {ЗА) примет вид
0^[/(^)]1|е<|^(с:)|.||/||е. (3.11)
Доказательство. Величина Q(o, б) определяется
равенством (3.5) для всех /(z), заданных в виде интеграла (3.1),
т. е. не зависит от /(z). Поэтому достаточно доказать, что
Q(a, 0)= | [а(а) | при условиях (3.10) и при каком-нибудь f(x).
Положим, что f(x)--=cosax. Тогда равенство (3.2) примет
вид
Таким образом, можем утверждать, что функция s(t) в
каждой из точек — о и + а имеет скачок, равный —, и в силу
равенства (3.2)
L [/(•*)] - \ V (-°)е~ш + \ р (о) *"". (3.12)
В самом деле, в случае f(x) = cos ox имеем
00
L[f(x)]= 2 ^cos (?[/?(/г) + * — а] =
п=—оо
00
= 2 Cncos [я* +а с* ■— я)1 =
п=-оо
00
I[mc-fa(x-a)] , ^-1[птс4-в(х~а)]}
-*2
^I[mc-fa(x-a)] ^-.i[n7C4-a(x~a)]j
П=—QO
Отсюда, в силу разложения
!x(oew= I; cnel[p(n)+x-al,
п=— оо
следует (3.12). Далее в силу (3.10) имеем
£Г/(*)]«Г S (-1)псп~\со*о(х-а).
Ln=-oo J
11*
163

Отсюда находим, что
Таким образом, из равенств (3.12) и (3.13) следует, что
19 _ 19 оо
п=-оо
Отсюда в силу условия (3.3) находим
19 оо
L\f(x)\^ = *{°)e\ | *[/(*)] L.~k("H = 2 kn|.
П=- оо
Благодаря этому, равенство (3.4) запишется в виде (3.11), что
и требовалось доказать.
Следствие 2. Пусть в условиях теоремы 3.3.1 функция
p(t) удовлетворяет еще условию
Сп= ^{t)en*~«n)]tdt>0. (3.14)
—а
Тогда неравенство (3.10) примет вид
UW(*)]|(E<ltx(0)|. ||/||е. (3.15)
Д о к аз а те л ьство. Положим, что функция s(t) имеет
скачок только при t = О, причем он равен единице. Тогда в
силу (3.2) f(x) = 1 и в силу (3.1) L [f(x)\ = ц(0). Кроме того,
на основании (3.14)
L\f(x)\~ f>c*f(x-a + p(n))= f'n=s I \cn\.
n=— oo n=— oo n= — oo
Следовательно,
ц(0)= У |C„|.
n=-oo
Благодаря этому, неравенство (3.9) запишется в виде (3.15).
В частности положим, что ц (t) = it, ц' (t) = i, и заметим, что
в силу (3.3) 9 = те. Тогда из неравенства (3.4) получим
П / lie <a "/Не ПРИ 11/Нс<00
|/'1|р<<Ч1/||р При ||/Цр< + эо.
2. Об оценке нормы линейного оператора в классе WLP)
a
Пусть f(zu ..., zn)—целая функция из класса W{1\ /?> 1,
а -К..., an), cp(^)elq(/?n) (7+7=1)*
164

Рассмотрим функцию
F(zx *п) = J /d - *i, ... , *„ - s„) ? (t) dtx... dtn, (3.16)
Rn :
причем интеграл ^авой части сходится равномерно во
всем /?п.
Обозначим через М множество линейных операторов Т,
переводящих каждую функцию f(zu ..., zn)6 W-* в целую
функцию T[f\~T[f\ (2ц..., zn) из того же класса W{1] и та-
ких, что
T[F] (zu ... , zn) = f Г [/] (/, - zlf..., tn - zn) ср (О'Л,... dtn.
К
Зная оценку для нормы и T[f\ ||с, займемся оценкой || T[f\\\ р.
Справедливо следующее утверждение*.
Теорем а 3.3.2. пели f (zu ... ,zn) —целая функция из
класса W{- (/?>1) /г Т—оператор из класса М, то из
справедливости неравенства
НП/]11с<Л(«)|1/11с (3-17)
во всем классе В- следует, что
11П/]||р<Л(с)||/||р
во всем классе W{2\
а
При доказательстве этой теоремы нам понадобится
Лемма. Если /(*)€ №tp) и <р (x)£Lq(Rn)'(— + — = l),
9 \ р я 1
то
F(x)— J-.. ]f(t-x)<t(t)dt1...dtn
—GO —00
является целой функцией из класса В7, при этом ср (t)
можно выбрать так, чтобы выполнялись неравенство
|/Ч*)1<0/||р, V^6/?n, (3.18)
и равенство
ЭД-В/Нр. _ (3.19)
где х = (хи ..., хп), t — (*1э..., tn) и о - (о1э..., ап).
Доказательство. Из равенства (3.16) в силу
неравенства Гельдера находим
i^Wl<ll/(*-^)l|p-||?(0||q=l/||p-||?llq ("7 + У*1)"
* Результаты получены в работе [48(14)].
165

Отсюда видно, что F (х) ограничена на всем /?п. Кроме того,
в силу следствия 1 из теоремы 3.1.3 справедливо неравенство
1/(* + 'У)|\р<ехр| 2°к1ук|[-||/[|р,
где гк = хк + iyK, у — (уь ..., уп) (к « 1,..., п).
Следовательно,
f n )
«^(«t 2П) 1<ехр 2,ак|ук|Н|/11р-|1?1к-
U-i J
Отсюда, в силу конечности норм II / Цр и II ср ||q, следует, что
F(zu... ,ь,п) является целой функцией из класса 5-.
Функцию <р (£) можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство
В самом деле, выберем
/^ч ( \f(t)P~l Sign fit) 1 ^ ^
sign/(/) при р — 1.
Очевидно, при таком подборе функции y{t)
I /=■ (0)| -=
I I'-- I №v{t)dt1...dtn
—.00 —00
II/lip (P>1).
Кроме того, при всех вещественных значениях х = (*!,...,*п)
имеем
.|^(*)l<ll/l|p-|Mlq В /Пр.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.3.2. Для функции F(x)
определяемой равенством (3.16),
*(x)=T[F](x)= °f... |°Г[/](^д:)ср(0^1...^п. (3.20)
Очевидно, из Т [f] (х) £ W™ следует, что Т [F] (х) е Ва и имеет
место неравенство
« ПП !lC(Rn) < « ПЛ llC(Rn)
ПрИ УСЛОВИИ И <р ||q - 1.
В силу условия (3.17)
ll^inWllc(Rn)<^^)ll^Wllc(Rn)-
Отсюда в силу неравенства (3.18) находим, что
|7-[f]||c<A(a)||/||p. (3.21) ,
166

Кроме того, в силу леммы функцию <р(0 можно выбрать так,
чтобы выполнялось равенство (3.19). Поэтому
It (0)|-| T[F] (0) | = || Т [/j||p.
Учитывая, что
|ф(0) |<sup|<K*)| =11 T[F]\\C,
x6Rn
из неравенства (3.21) получаем
иП/]||р<л(вМ|/11р.
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если Т является оператором
дифференцирования ( Г=—), то в силу теоремы 3.3.2 из справедли-
\ дхк/
вости классического неравенства С. Н. Бернштейна:
df(x)
дхк
<°кИ/||с
следует неравенство Бернштейна—Никольского:
df(x)
дхк
При ЛЮбОМ /?> 1.
Замечание 2. Выберем
<*к||/||р (* = !,...,*)
n -x-+i
Ц
к=1 ffP -tK
к=1
где
Tq=l|E7i|L = ,|D(OI|q' z)W = i7i
Нетрудно заметить, что И ? ||q = 1.
Рассмотрим функцию
/ п 1— — \ °° °° п
\К=1 /-0О -00 К=1
В силу леммы F{x) является целой функцией из класса В- и
И г ||с < || /||р (р>1). (3.22)
Известно, что для функции f(x) 6 UP!? имеет место тождество:
00 00 П
f{x)-(±J Г... \/(x-t)Yl^D(aKtK)dt1...dtn.
■ 00 —00
к=1
167

Сравнивая это тождество с выражением функции F(х),
находим, что
п 1
Fwi-f-^in^l-i/wi.
\К=1
Благодаря этому, неравенство (3.22) примет вид
„/|,с<(21)П(ПаИ„/,|,
\К=1 /
В частности, для функции /б W- (при р = q — 2)
Л|с<(ГК]
n 1 .
"' II/II;
MR)"
Замечание 3. Если Г—оператор из класса М, то при
наличии равенства (3.20)
и пп iic<; и пя Ир.
Из принадлежности T[f] к классу W{J!] следует, что Г[г]6#-
и имеет место неравенство
1ПП||с<АК,...,вп)||5Цс.
Отсюда, учитывая равенство (3.20), находим, что
ЛПЯ11с<^)"(П<*)|ПЛ11р.
Таким образом, из справедливости неравенства
1|7,1/111р<^(вь-.-^п)11/||р
следует
ll7-[/]||c<(Jx4 )nffl<]^K---.°n)ll/llp-
3. Об оценке нормы линейного оператора,
исключающего нули целой функции
Обозначим через B9l Xo,..., Хп совокупность всех целых
функций f(z) из класса Вв с вещественными нулями x0i..., хп.
Аналогично этому определяется класс W^x,,... ,Xfl целых
функций f(z) 6 W^] с нулями jc0, xu..., хп кратности а0, аи..., ап,
соответственно. Очевидно, оператор
SAf]--^1 («-о, 1,...)
П (*-*o)a*
к=0
168

является линейным, переводящим каждую функцию f(z) из
класса Д,Хо,... ,Хп или ^i Хц в целую функцию, не имею*
тую нулей в точках х0, хи ..., хп.
Обозначим через В„, Хо,..., Хр [1] и W{a%t... >Хп [1] единичные
сферы, соответственно, в классах Ва, ^.... Хп и W{(J%)...,Xn и
оценим норму оператора Sn [/] через норму функции f(x) в ли-
иейном нормированном пространстве Е(7?), в котором ||/||е,
как условились, инвариантна относительно операции любого
вещественного сдвига.
Теорема 3.3.3. Пусть целая функция f(z) из класса
Ва Xe x принадлежит линейному нормированному
пространству Е(/?). Если действительное число х0 является
нулем кратности а0 целой функции /(z), то для нормы
оператора
в линейном нормированном пространстве Е?(/?) справедливо
неравенство [48(23)]
Н S- [/<*)] Не < —^ттг К*. (/), (3.23)
(Оо - 1)1
где Ka„(f) определяется равенством
*«.(/)= lf*~l\\f(xt)\\zdt.
О
Доказательство. Если х0—нуль кратности а0 функции
/(*). то
х
•^ = -^zw §{t ~ х^~г^} ^ dt-
Ха
Последнее равенство с помощью замены t = л:0 + (х — х0)х
приводится к виду:
1
(*-*0)а° («0-1)0 У 1 ]
о
Отсюда следует, что
о
откуда в силу неравенства (1.6*), гл. III, находим
(х-хоГ
<^ог]>~'||/<*'>1''Л'
169

что и требовалось доказать. В случае Е(/?)==С(/?)
*•«.(/)= \f°~l -тах|/(.**)|Л=—И/Ц
J X6(R) а0
а при E(R) = Lp(R) (1</7<эо)
Л'а.(/)=|^-1( J|/(xO|Prfxj dt =
•ll/llp-
1 ' 1
t р л-!|/||Р = —L
Следствие 1. Справедливо неравенство*
(х-Хо)л
<
'C(R)
/I|C(R).
(3.24)
Если х — х0 является нулем кратности а целой функции
/(*)€£..«. и
(х-хо)*
<
1/11р.
(3.25)
если л:==х0 является нулем кратности а целой функции
Следствие 2. Если х = х0 является простым нулем
целой функции f(x)£Ha(E), то справедливо неравенство
X — Xq\
<*(/)•*.
где
KU) = $\\f(xt)\\*-dt.
(3.26)
(3.27)
В частности,
/(*)
\х— х0
fix)
Х — Хо
C(R)
<°ll/WHc(R) (E(/?)sC(/?)) (3.28)
<—!=_, II/(jc) ||p (E(/?)3lp(/?)). (3.29)
P
* Некоторые из этих утверждений являются уточнением или обобще"
нием соответствующих утверждений из работы [56(3)].
170

Замечание. Из неравенства (3.29) в случае р -= 2, п « О*
и jc0 = 0 вытекает, что для целой функции f(z)£ W(?} С
простым нулем х = 0 справедливо неравенство
|/(^!| <2e||/||u.
Подобное неравенство с другим постоянным множителем было
получено в [98(1)].
Следствие 3. Пусть различные между собой
действительные числа х0у хи ..., хп являются простыми нулями целой
функции f(z) из класса Я0(Е). Тогда справедливо неравенство
fix)
*mt*)
<*
•(R)
(3.30)
где кт(х)*= (х — хх)- • -(х — хт)
В частности, имеем
*m (*) l|C(R)
m
<°H/llc(R) -^.-^jr (E = C) (3.31(a))
K=l '
/w
%w
<
«II/lit
1
1
m
Si
1
Ят(*к) !
(E^Ip). (3.31(6))!
p k=l
В самом деле, имея в виду очевидное тождество
m
1 ^П 1
■ W
к=1
%т(хк)(х—хк)
и неравенство (3.26), находим
fix)
^mW
к=1
zm (xK)
fM
<°-
я<л2е
к=1
(*к) Г
где Л*(/) определяется равенством (3.27).
Следствие^ Для целых функций f(z) из класса £[!}
справедливо равенство
sup (sup I ^Щ = a. (3.32)
f€BCTjXo[i] Uew I ■* - *i,|J
В самом деле, последнее является непосредственным
следствием из неравенства (3.28). При этом экстремальной
функцией является /о (г) = sinoz, причем в качестве х0 можно
взять один из нулей функции sin oz, т. е. 0, — ,..., —,...
a a
Последнее утверждение показывает, что неравенства (3*26) к
(3.28), вообще говоря, не могут быть улучшены»
, 171

Теорема 3.3. 4. Если целые функции fa (х)£Ва и g<,(z)£B*
принимающие вещественные значения на вещественной оси,
удовлетворяют условию fa (x) g- (х) 6 £а+Т [ Ц и экстремаль*
ная тояка одной из этих функций не является кратным
нулем другой функции, то имеем
1 f° Hc(R) ^ -■/•. о. ~~' (3.33)
где | /в (*о) | = max | f9 (x) | и gx (x0) ф О, или
хе(Ю
I*(х)\\ст<у~ ;+^_f==f (з.зз*>
где
/(^+^)2/"(^)+/а2(^1)
| gx(^) I =max| gT(*) | и /.(xO^O.
Доказательство. В силу следствия 2 из теоремы 3.1.1,.
если cpv(л:) g£v [1] принимает вещественные значения на
вещественной оси, справедливо неравенство
v2?v(x) + cp;'(x)<v2.
Очевидно, применяя (3.33) к функции
?vW=/,Wg,we5+: [1],
получим
(а + т)2 fi (X) g* (X) f [ /; (х) gT (x) + g; (x) /, (X)] V(a+T)*.
(3.34)
Пусть л:0—точка максимума функции f„(x), т.е.
И Л (■*) 11с = I Л (-«о) I = max | /„ (х) | .
x6(R)
Тогда, имея в виду, что
Л(АГ0) = 0, \/,(Х0)\ = II Л tic (R)'
из неравенства (3.34) получим
(» + ^7?(*о) gl (Хо ) + /? (*о) gC (*о) < (а + х)«,
или
И /ИС(К) = I Л (*о) I « ,, 7Т =Т= '
Итак, неравенство (3.33) доказано. Аналогично
доказывается и неравенство (3.33*). В частности, полагая в этой
теореме g4 (x) = cos ъх, приходим к следующему утверждению.
Следствие 1. Если функция /*(£), принимающая
вещественные значения на вещественной оси, удовлетворяет
одному из неравенств | /*(*) cost* | <, 1 или \.f9.(x) sin ix\ ^ 1
на вещественной оси, то
8/.(*)llc(R><0-^p. <3-35>'
172

В самом деле, в случае gx (х) = cos хх
(о + xf gl (Х0) + gx2 (Х0) = т2 + ( о2 + 2ат) cos4*0
и поэтому из (3.33) следует неравенство (3.35). Аналогичное
рассуждение проводится и в случае, когда gz = sin хх.
Замечание. Последнее утверждение справедливо для
любой целой функции /9(х) из класса Ва [1]. Действительно,
если cpv(^)6^a [1], то при любых вещественных а и b (см.
следствие 1 из теоремы 3.1.1):
\а^{х) + Ьъ{х)\К{а? +bh2)^.
Полагая в последнем ?v(2^ = /а(г)cosxz, a также выбирая
а = т cos тл;0 и b = — sin t^o,
приходим к неравенству (3.35), где *0--точка максимума
функции /, (х).
i7a

ГЛАВА IV
СВЯЗЬ МЕЖДУ НОРМАМИ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
Данная глава посвящена исследованию связи между
одноименными и разноименными нормами целых функций из
различных метрических пространств.
§ 1. НЕРАВЕНСТВА ТИПА С. М. НИКОЛЬСКОГО В РАЗЛИЧНЫХ
КЛАССАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
С. М. Никольским для целой функции f{x)£ Wip) (р>1)
установлено неравенство*
i j_
1!/11р'<2ар~Р'|1/||р, (1.1)
где 1 < р < р' < оо и
\_
11/11Р=( ]\/{х)\Ых)\
Неравенство (1.1) является точным в смысле показателя
степени о, но не относительно постоянного множителя в правой
части. Уточнив (1.1), получим ряд новых точных неравенств
того же типа в различных классах целых функций конечной
степени.
1. Об оценке одного функционала в классе W^
Рассмотрим функционал
/(/)= 1^7 f /(*)*(*)<«, (1-2)
где К(z)—регулярная функция в области \z\^>\, непрерывная
на окружности | z\— \ \ > О—некоторое число [48(4,6,7,10)].
Теорема 4.1.1. Если /(z)€ W<p), pe [1, 2], то
|/(/)К(21сГР1/1|р-||/(^)Ц;, (1.3>
где*
i/(^)ii;=f ji/(^)n«7. (1.4)
Неравенство (Ы) доказано в многомерном случае [93(9)].
Звездочка над нормой означает, что она берется на [—а, а].
174

Доказательство. Известно (см. §1, гл. II), что если
/(2)6 Wap) (U^2), то f{x)£L2(R) и /(z) может быть
представлена в виде
/(z)---1= f e,uz ?(«)</*, (1.5)
—а
где ср(#)б£2(— °> °)—преобразование Фурье функции /(х), т. е.
00
?(«) = ^i=J *-,ux/(.K)rf.K. (1.6)
— 00
В силу (1.5), функционал примет вид
-a L U|==X J
а
= у^ J? («)/(*"*) Л», (1.7)
— а
где /(^,и£) определяется равенством (1.2) при /(£) = eiu*. Из
(1.7), в силу неравенства Гельдера, при 1 </?<;2 получим
|/(/)|< * || 4lM|/(^)ii; (-1+-1.-1;. (1.8)
На основании неравенства Е. Титчмарша (см. (1.74), гл. I) имеем
||<P|G<(2*) l2 q>- ||/||p (l</><2). (1.9)
В силу (1.9) неравенство (1.8) можно записать в виде
I /(/) i <_^.(2«)"(«'~'). и/ц^-!|/(^)||;. (1.Ю)
Итак, неравенство (1.3) доказано при 1 </7<;2. Покажем,
что оно верно и при /7=1. В самом деле, из (1.9) следует
*'?\\c<y=r\\fk(Rr (1.П)
Далее из равенства (1.7) имеем
Ц/(Л11с<7-11т11'с-1К(«,,*)1Гь.
Отсюда на основании (1.11) находим
|/(/)1<^11/11ь-||/(^)|Гь-
что совпадает с неравенством (1.3) при р =^ 1. Теорема
доказана.
175

Следствие 1. Если f(x)e W?\ то
i
ll/llc<(—Г И/11р. V/>6(0,2]. (1.12)
Причем в случае /7 — 2 для функции D* (х) = sinax достига-
X
ется знак равенства.
Доказательство. Полагая К(£) = (£ — л:)-1 (\х\ < X),
из равенства (1.2) находим:
/(/)=/(*). / ( «"*) = в'" и ||/(«lrf) 1С -(&)*.
Отсюда в силу неравенства (1.3) следует (1.12) при 1</?<2.
Покажем, что неравенство (1.12) верно и в случае 0</?< 1.
Положим /?! = 1 4-/? и 0 < р < 1. Тогда (1.12) записывается в
виде
откуда
получав
в силу
гм
И/Нс<(-
неравенства
II/II Н-Р <
ъ/Ф<
тГ •
11/11 с1
1
ЛМи-р
И/lli+p.
i
+41/11 p"
"■И/||*
p
1+p
или
/JC<(^-)P- ll/llp (0</7<l).
Последнее показывает, что (1.12) верно и в случае 0</?< 1.
То, что в (1.12) при р = 2 знак равенства достигается для
функции Dv(x), вытекает из равенств
|! D, ||с = а, || D, ||, = /та.
Следствие 2. Если /(лг)€ Wip\ /?€[1,2], то для
производных /{п) (х) (п = 0, 1,...) имеет место неравенство
||/n)llc<[4^+l)]~F-«n+F-ll/||p. (1.13)
Причем в случае /? = 2 знак равенства достигается для функции
g (х) - D<"> (*) - (s-i^)(n) б U7„ у« > 0.
Доказательство. Пусть
176

где ^—действительный параметр, такой, что | х | < X. Тогда
из равенства (1.2) находим:
/(/)=/п)(л), /(*"") = (*«)»*««
2anP+1 \P
\ /*/>+1 /
Поэтому из неравенства (1.3) следует (1.13). Покажем, что в
(1.13) знак равенства достигается для целой функции g(x)
при у/г > 0. В самом деле, из равенства
х 2 .'
dt
следует, что
g(x)^Dia)(x)=±^it)neiUdt.
Заметим, что функция
*(')*=/-j-(«)-
принадлежит пространству Z,2(—a, <з). Следовательно, в силу
теоремы Винера—Пэли g(x)—целая функция из класса U^a и
g Из = II ? 112 = /;
Добавим, что
!g(n,(0)| = |^n(0)|
2/г+1
-и>
tf*
2/г + Г
Итак, легко проверить, что выполняется равенство
Следствие 3. Если /(.*)е UPjp), />fc[l, 2], 0<й
a
ТО
H*+T)-4*-T)l<2sinT,,/J4i) •(,Л4)
Доказательство. Предположим, что
1020—12
т

Тогда функционал /(/) примет вид
'uw(* + £)-/(*--S-
Отсюда находим
ii/(^)ii;<2
. ha
sin —
2
(2a)
Таким образом, из неравенства (1.3) следует неравенство (1.14).
Если в ('1.14) формально положить р - оо, то получится
неравенство С. Н. Бернштейна (см. [10(1)], стр. 144).
Следствие 4. Если /(*)€ Wip\ p£ [1, 2], то для
функции
7(z) = -rJ= [ (i sign и) eizu о (и) du,
сопряженной с /(z), имеет место неравенство
1
Н711с<(-7)Р'М/И'- <1Л5>
Доказательство. Положим
6 — х
где 8= sign и. В этом случае из формулы (1.2) следует, что
/ (/) = /С*). / ( «'") = йв"". И / ( *"*) |Гр = (2с j^.
Поэтому из неравенства (1.3) следует (1.15).
Следствие 5. Если /(*)€ Wip\ /?G[1, 2] и непрерывная
функция т(0» ~~ a<f<a, допускает представление
Т(<)« f*lut **(«).
— 00
где о) (и)—функция ограниченной вариации, то для функции
/т(«)-(^т(0?(')^ (Ы6)
где c?(tf)gZ,2(—a, а) определяется равенством
00
J GO
178

справедливо неравенство
ll/Tllc<(v)P-(varu,)-|l/||p- (1.17)
Доказательство. Положим
Л"Ш = -Г^ (\Х\<К \t\<a).
Тогда из равенства (1.2) находим:
/(/)-*(*). /(e,ue)-=7(«)«,e. ii/(«,u(5>)ii;-hii;.
Кроме того, в силу обобщенного неравенства Минковского
имеем
|И11р"-( Jl ]%""*>«.)
JW«)i( j
1_
Г Р
< \d<u(u)\[ \dt = (2а) .уагш.
Таким образом, из неравенства (1.3) следует (1.17).
Пусть, в частности,
Т(<)-« fel9a.eitud»0(u) (|el=l, |/|<a)f
—ОО
где ш0(й)—неубывающая функция ограниченной вариации.
Легко видеть, что var о>0 (^) = | ^ (о) | и, следовательно,
неравенство (1.17) примет вид
х_
11/тНс<(~)Р-1т(в)1-1|/|1р.
Полагая здесь формально р = оо, получим неравенство
М. Г. Крейна [57(1)]:
11АИс<1т(«)1-Н/11с- <1-18>
Следствие 6. Если f(x)£ W<„ хх и х2—два
произвольных числа, то
Доказательство. Пусть
*<*>-, Г? v <1Л9>
(г — ^)(г — *2)
где xt и Xj—различные действительные числа (~-Х<^х1<х2<Х,
X > 0—произвольное число). Заметим, что если K(z)
определяется равенством (1.19), то из (1.2) получим:
U2» 179

/(/)==/(*»)-/(*.) t /(*"*) =
■^2 -*-l -^2 — -*1
Поэтому
4a |~i sina(A:2 — л^) ^2
'{е*Ж-{
(*2-*l)2
a (*2 - ATj)
Благодаря последним равенствам, из (1.3) при р = 2 вытекает
следствие 6.
2. Уточненное неравенство С. М. Никольского
Обозначим через у (а) наименьшее целое число, не
меньше, чем а, т. е.
а при целом а
Т (а) Е
[а] + 1 при нецелом а,
где [а]—целая часть а.
Теорема 4. 1.2. Если f(x)£ W{J>\ р>0и0<р </?'< со,
то имеет место неравенство*
1 i_
li/!lp'<(f)P Р-Н/Ир> С1-20)
где s =
-(f)-
Доказательство. В силу следствия 1 из теоремы 4.1.1
для функции /(х)£ WoP) при />(?(0, 21 имеет место
неравенство
II /11с < ("7 ) -ll/lip- (1.2I)
Заметим, что последнее является уточнением неравенства (1.1)
в случае, когда р' = оо и 0 < /? <; 2.
Пусть теперь /? > 2 и 5 = т (—) . Тогда 2s — 2 < р < 2s.
Далее пусть г = — . Очевидно, 1 < г<2. Заметим, что [/(^)]s
5
является целой функцией степени as и входит в класс W\
(г)
Поэтому на основании неравенства (1.20) имеем
1
-оо Г
!I/Hc<(f /(fl/WT^) ■
* Доказано автором [48(8, 13, 14, 16)].
180

Отсюда следует, что
H/Hc<(f-) И/Пр. V/>>2. (1.22)
Сравнивая это с неравенством (1.12) и замечая, что s = 1
при 0</?<2, убеждаемся, что неравенство (1.22) имеет
место при любом /?>0. Наконец, в случае /?'>/?> О имеем
J|/(x)|p'^<(||/||c)p'~p- ]|/(*)|РЛс.
— 00 — 00
Отсюда в силу (1.22) получаем
Г L 1— L
ll/llp.<|_(f P|I/IIpJ P -ll/lip'',
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если f(x)f W(2] и р' > р>0, то
П 1 ]
/Нр-^П!?)'"''''/^ (Ь2з>
к=1
где 5 = 7Ир) и с = (olf . . . , о„).
Доказательство. Заметим, что неравенство (1.23) в
случае р' = оо доказывается путем повторного применения
неравенства (1.22) к функции f(x)£L9(#n) по каждому
переменному. Для сокращения записи рассмотрим двумерный
случай: f(xu х2)е W$}at. В силу (К22) при фиксированном х2
sup | f(xl9 х2) | < (52l)P ( J|/(xlf х2)\Ых, V.
Кроме того, при фиксированном х^ имеем
i_ i_
I /(-*„ xt) К (^ )' • f 1'/^' *•) lP dx* )" •
Из двух последних неравенств следует, что
»Я1с <(tf •(?/•»/»»■
Отсюда и из неравенства
ll/lf<(l|/llc)P'"P-ll/l|^
легко получается неравенство (1.23), что и требовалось
доказать.
181

Рассмотрим теперь класс /?1р)(/?>1) целых функций f{z)
конечной степени <;<?, не* имеющих нулей в нижней
полуплоскости \mz < 0, и таких, что f(x) 6 L? (/?), у/7> 1 и
hf( ~] = 0, где hi (9) — индикатриса целой функции f(z).
Заметим, что
*(z) = e2f(z), /(z) 6 Мр) (/>>*),
есть целая функция конечной степени и не имеет нулей в
нижней полуплоскости. Кроме того, для таких целых
функций степени о (см. § 2, гл. I)
A9(0) = v | sin6 | .
С другой стороны, из выражения <?(z) непосредственно на
ходим
а
A?(e) = Af(6)-~-sine.
Отсюда, в силу того, что /Ы—^-)=0, получим h^i — —
= —. Следовательно, v = —. Применяя неравенство (1.20)
к функции <р(2) и учитывая, что | <?(х) | = | /(*)1, приходим
к следующему заключению*:
Теорема 4.1.2*. Если f{z)£Rlv\ p>\ и 1 </?< р'<°°
то справедливо неравенство
L _ L
п/Цр'<(£)Р Р иль. о-23*)
где s = t(y)-
Заметим, что (1.23*) может быть получено из неравенства
(1.23) заменой числа тс на 2тс.
3. Неравенства типа С. М. Никольского для производных
целой функции из класса W{1]
Следствие 2 из теоремы 4.1.1 показывает, что если f{x)^W^^
/>€[!, 2], то
11/(п)!|с< И*/»+ 1)] Р-«П p-l!f|lP. (1.24)
Благодаря этому, доказывается следующее утверждение.
* Неравенство (1.23*) получено Дж. Мамедхановым [84(3)].
182

Теорема 4. 1.3. Если f(x)£ W{?\ р9[\,2] и р'> р, то
для производной /(п) (х)г уп = 1, 2,... имеет место
неравенство
!|/п)|1р<И"/> + 1)}~^~^-оа+*"»'\\Л\9. (1.25)
Доказательство. Очевидно, если 1<;/?<2 и р'<р, то
ll/(n)lf<(ll/(n)llc)P'-p-l|/(n)|!^.
Отсюда в силу (1.24) и неравенства С. Н. Бернштейна (см.
§ 1, гл. III):
1|/(п)|1р<«п»/1|р
следует, что
И/Т' < ыпр+DfP~^-Sn+ 9 (р'~р>|| /||р;-р(ап||/цсг.
Извлекая корень степени р' из обеих частей последнего
неравенства, получим (1.25).
Аналогичным рассуждением, пользуясь следствием 2 из
теоремы 4.1.1, придем к следующему заключению.
Теорема 4.1.3. Если f{x) б l^Lp), /?6 [1, 2] и /?'>/?, то
а
для производной DK/= Dj'D?- ••££«/, где | к | = кх+...+ *„,
справедливо неравенство
\\DKf\l<iП[«(/ж,+ lJjF-Ke'i+r-pj ц/||р.
В самом деле, например, в двумерном случае в силу
неравенства (1.14) при фиксированном хх имеем
i_
<Ч2
Г **+ Г
<И*2^+1)1 р.а2 РМ \f(xuX%)\*dx2
Кроме того, при фиксированном х2
Из этих неравенств следует, что
Отсюда и из неравенства
ii/C<(ii/|!c)p,"p-ii/||pp
следует утверждение теоремы 4Л..31 при. п = 2..

Вышеприведенные рассуждения применимы к оценке
величины
в случае, когда /(z)e Wip), l</?<2 и р'>р.
Теорема 4.1.4. Если, f{x) 6 Wjp), /? € [1, 2] и р'> р, то
при условии, что || /||Р<^ 1, имгет место неравенство
a)(/,8V<(2sin|-) ' -(^-J Р[о>(/,8)р1Р"'. (1.26)
Доказательство. При р'^>р имеем
i-w»w<,ss,Kj1+tj-/('-
Р -р
X
Р dx.
В силу неравенства (1.14) отсюда следует, что
f, 8)р'1Р' < [^
L -|р'-р
^.р
h(/,8)P']P < [2sin-^^j -II/IIpJ [»(/, 8)р]Р-
Извлекая корень степени р' из обеих частей последнего
неравенства и имея в виду условие || /||р ^ 1, получим (1.26).
4. Уточненное неравенство С. М. Никольского
в классе Wip)
L По определению W{av) — совокупность целых функций
j(z) из класса W{ap\ являющихся неотрицательными на
вещественной оси R (см. §2, гл. II). Уточним [53(1, 2)]
неравенства (1.20) для функций из класса W{J*\ v/7 > 1-
Пусть /гс = т (/?) и г = -^ . Очевидно, 1 < г < 2, Если
т
/(z) б W?\ то по теореме 2.1.10
l/(*)]m= UWf.
сция степени at = ■
mr
[/(•*)]T=lg(*)lr-
где g(z) —целая функция степени at = — . При этом
184

Следовательно, если /(^)6 W^, то g(z)£ W^n в силу
неравенства (1.22) справедливо неравенство
U(*)P<(^)W
где т = 7 (/?). Отсюда
И/Нс^2^/ В/Ир- 0'-27>
Очевидно, (1.27) для целой функции из класса W{ap)
можно получить из неравенства (1.22) для целой функции из:
класса W(a?), заменяя в последнем число s = 7 (— 1 на st =
= —?(/?)• Заметим, что s —■ su если /?—четное целое число,
а вообще говоря, s^^. Следовательно, (1.27) является
уточнением неравенства (1.22) в классе целых функций Wl?) (р>1).
Если f(x)£ Wip) и 1</?</?1<оо, то, имея в виду
неравенство (1.24) и очевидное неравенство
f\f(x)\*dx<( ||/||с)р'-р. f\f(x)\*dx9
приходим к следующему утверждению.
Теорема 4.1.5. Если /(2)6 Wi?),. то при 1 </?</?t<oo
1 i_
l/K(ff"'«/t (1.28)
2. Покажем, что подобное утверждение имеет место и в
многомерном случае, когда f(zu ..., zn) б Vbri?> (p > 1) и
а =. (оь . . ., ап). Для простоты рассуждения рассмотрим
случай, когда д = 3и х = (хи х2у лг3)6#з- В силу (1.27) имеем:
L L
sup/(x)<(^) (j 1/И1РЛС, j ,
X36R V 2ti / J
00
L 1
з
—TOOL
L85

Из этих неравенств получаем
/(*)<('
«ii(£).\P
2*
*g-f jW)№
Р
<
1
<п(^)'
к=1
ТР
°з7 (Р) \Р
2
^)Р- J (/(*)№
v—оо —оо L
CLjC^ &JC2 > ^—
П(
к=1
Отсюда следует, что
'кТ (Р) \Р
2% )
VfW
II/Ир
"/11с<П(^/-1/1.Р-
Наконец, имея в виду (1.29) и неравенство
II /ПК < ( II /11с)Р,_Р II /И? (!</»</>,< оо),
приходим к следующему заключению [84(3)]:
+
(1.29)
Теорема 4. 1.6. Если f(x)£ W{1\ то при 1</?</?1<-эо
(1.30)
'И^)"(,"к)(1ьГ*-1/ь-
5. Связь между нормами с весом целых функций
из класса Н7(_р)
а, ср
Для сокращения записи наряду с единичными векторами
ек = (0,..., О, 1(К), 0,... , 0) введем в рассмотрение векторы.
7jK (1,..., 1,0(к), 1,..., 1), где *=1, 2, ...,/i*. Очевидно,
при любом * ■= (хи ..., хп) ^пИ любом вещественном t£ /?
Пусть ср(х)> 1 —заданная функция, непрерывная в /?п, с
характеристическими функциями
ак (t) шт sup || <р (х + уек) |L {к =-- 1, 2,..., я),
* Индекс (/г) над числами 0 и 1 показывает номер координаты
соответствующего вектора.
186

которые удовлетворяют условию
aK(t)^yAft] (Л[к>>0, ir—1 л). (1.31)
j=0
-,(р)
рассмотрим функцию f(zu ..., zn) e W-^> где а = (oj, . . . , сп),.
Р*=(Ри.-.,Рп) и /?,>1 (/=1,2,..., л).
Теорема 4.1.7. /?<\/ш заданная функция ср (л;) > 1, непре.
равная в /?п, удовлетворяет условию (1.31) uf(x)£ W{1\ то
/г/ш //= (р'и ...,/>n) # /?к > Рк {к— К п) имеет место
неравенство
11
(1.32>
к=1
где
1 1
1-
„ =уИк 4|'kK + *k)jPk рК>
*" = t(y) («=!,")..
j=0
(к)
(1.33)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию
О (*) = f(x» ъ + teK) Dm« {t - xl)
при фиксированном х° = (jc?, ...,*2), где D (и) = и"1 sin u.
Заметим, что если f(x)(* W-, то G(£)£ W^m при
фиксированном л:0. В самом деле, имея в виду,, что
<Р (*Ч + teK) - 9 [*%„ + (xl + t - xl) ек ]< ак (| t - хк° |) <р (х0),.
получим неравенство
I, о цРк= ft ^+;*«>. *<"»+'*> (Jc0) D»K (, _ хок)
II <Р (-ОДк + **к) <р(*о)
-<
.Af «?(*»)
/(■*>4« + fe«)
в котором учтено неоднократно использованное неравенство
\*{\t-j£\)Dm*(t-4)[<MK (*=!,...,«).
Таким образом,
0\\рж<^«<Р(*°)
/ С*°т)к + teK)
187'

доказывает принадлежность G (t) к классу \^+тк. Тогда в
силу теоремы 4.1.2 для функции G(t) имеет место неравенство
l|Giic<[s-^-t^L]PK.ijG||PK (Рк>1, к=Гп),
где 5к = т/~)- Последнее показывает* что
j
|/(хч, + teK)Dm«{t- хк) \<Мк9(х) Г*'(я* + "«> У* 11 -£-
L * J II <р
Отсюда при < = хк имеем
/(*)
*(■*)
<А*к
«к ('к + «к)1Рк1| /
1 IHI •
J II <р ||рк
Из последнего, пользуясь обобщенным неравенством Минков-
ского, находим
sup
MR
? I,
< *к
Pi Рк—1 И ?
!°l Рк-ЬРк
при фиксированных хк+1,... хп, где хк определяется формулой
(1.33). Отсюда, имея в виду, что
о' ~
Рк
Р -р
к гк
f
, <(sup
liPi Рк-1»Рк W^R
при /?к>/?к>1, получаем
/
L .)
<Хк
Рк-Г
х
/
; к
Pi Рк
Pj,
Р HPj,.., Рк—1. Рк
при фиксированных *к+1,..., хп. Предполагая, что Рк*>Рк
(к= 1,..., я), и применяя последнее неравенство по каждому
переменному, начиная с хи находим
/
Pl И <Р IIPj.Pjj.-m Рп
п
<. . .<ПХк( °*> Рк, Рк)'
L
? 1|рг Р*.РГ"Рп
<
что и требовалось доказать. Из теоремы 4.1.7, в частности,
вытекает
Следствие 1. Для целой функции /(«!,..•, zn)^W^
при условии, что Pi >/?2>... >/>п и 1</?к</?к<эо (лг== 1,
2,..., п) справедливо неравенство
188

Р' ~ж М те / ■'•' "р~
к=1
1 J
рк Рк
/||_<П(^Г 'VII- (..34)
где sk = t(^\ *=1,...,я.
В самом деле, в случае, когда » = 1, имеем:
о»(/) = 1, /я, = 0, Л1В=1 (л=1,...,д).
Следствие 2. Пусть f(zu ..., zn)6 Wip) , где<р(;е)>1-
и, ср'
заданная функция, непрерывная в /?п, с характеристической
функцией а (/), которая удовлетворяет условию
m
«(*) = sup Ц <? (x + у) ||с <2VJ (Лк>0). (1.35)
Тогда при 1<!/><р'<зо имеет место неравенство
и/11р><^п',~р^П*"(«к.лр')-11/11р>,. (1.36)
к-1
где
ХкКл^)e|"i&±j-Ljir"'"r, s = t(jl) и ж=^лк.
В самом деле, достаточно положить в теореме 4.1.7
М=Мх=*итш=МПч рх = ... = рп = р и р'х = ... = /?п = р\
где //>/?>!.
Следствие 3. Пусть f(z) б U?apl (/? > П, где ср > 1 —
заданная функция, непрерывная на /?, с характеристической
функцией
m
a(/)= sup^^l< \\М« (^к>0, * = 1.....Л).
хбК ср (X) ^
I У I <t к=0
Тогда при \КР<Р* <°° имеет место неравенство
|/||р><л/^\р±^1]Р Р'.||/|[р,,, (1.37)
(\ Ш
JL\ и Ж=2^к.
Замечание. В вышеприведенных рассуждениях мы
предполагали, что характеристическая функция а(/) весовой
функции ф(д:), или <р t*n • • •»-*п). растет не быстрее, чем полином
степени т. Заметим, что
18Э

00
sin en z
n=l
есть целая функция конечной степени /^ = Ven, если число-
п=1
00
вой ряд Ven сходится. Обозначим через Р<р(0 характерис-
п=1
тическую функцию ty{z) и положим, что
а,(0- sup*^i^<p«,(0, (1.38)
|yi<t
где <?(х) > 1 — непрерывная в /?. Из неравенства
п
П sin *„* „
+ (^).^eJ5=i ПЁ1!^<_1_ = Тп^ const
п * ж гкх п
П ^n K-n+1 1Ь
т=1 к=1
следует, что Рф(<)^-—**п ПРИ достаточно большом л, т. е.
Тп
рост весовой функции в данном случае может быть выше
полиномиального. При этих предположениях Дж. И. Мамедха-
новым [84^5)] доказана
Теорема 4.1.8. Если весовая функция <р (л:)>1
удовлетворяет условию (1.38), то для целой функции f(z) из класса
Wo% при 1 < р </?' <; оо имеет место неравенство
L L
«/1|,,<Р^Г?-«/1и
где s = 7 i~j и число т есть степень целой функции (см.
также [85(1)]).
§ 2. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ОДНОИМЕННЫМИ НОРМАМИ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ВДОЛЬ ПРЯМЫХ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
Установим связь между одноименными нормами целых
функций в основном из классов
В дальнейшем для /(z)€#o(E) величины ||/(х)||Е и ||/(.*+iy)||E,
а для f(zu ...,2п)еЯ а (En) величины || f(xu ... ,xn)l|E и
190

f{x+iy)\\z называются одноименными нормами вдоль
прямых, параллельных вещественной оси.
1. Связь между одноименными нормами функций
из класса Wi9)
В третьей главе попутно было доказано, что для функции
/fo,..., Zn) из класса Я(3Е(/?П)
ll/yl|E<fexp|2 ак(Ук| \\. ||/||Е, (2.1)
где х = (хи...,хп), у = (уи..в, уп) и fy(x) = f(xl + iyu ... ,
^n+^'Уп). Заметим, что неравенство (2.1) не является точным
и потому естественно поставить вопрос о получении более
точных неравенств такого типа в различных метрических
пространствах. Покажем, что первый множитель в правой части
(2.1) можно уточнить за счет сужения рассматриваемого
класса целых функций.
Теорем а 4.2.1. Для целой функции f{z)£B0,
принимающей вещественные значения на вещественной оси,
справедливо неравенство
°2\f(x+ iy)?+ \f(x+iy)\*<o*oh2oy- || f\\c, yy. (2.2)
Доказательство. Пусть f(z) имеет разложение:
v=0
Напомним, что для вещественной функции /(г)бД,с нормой
||/||с = 1 имеет место неравенство (см.(1.11), гл. III)
Отсюда следует, что
av+i + о av С° или J аа^ + tov+i |
о
00
2v+l
Представим функцию f(z) в виде:
/(Z)= g(z) + <р(2) = V?*- .z*+yp-?*±L. .z
где g(z)—четная, а 9(2)—нечетная функция. Очевидно, на
мнимой оси g(z) и <р'(z) принимают действительные
значения, a g'{z) и <р(^)—чисто мнимые. В случае у>0 имеем
* \ f№\2 + \f №)? = * \ gVy)? +
+ о*\ ?(о>)!2+ | g'(iy)\2+\<?'(iy)\*.
191
L

При этом
a2 I g(iy)?+ I ?'('У)|2 = I °g{iy) + i9'(iy)\-
I Jj (2v)I (У) ^ I ,2j <2^! У I
v=0 I I v=0 I
62ch2oy.
Аналогично этому находим, что
I <P(*y)|3+lg'(W- \°9{ty) + ig'{iy)\2 =
(2v + 1)!
m
2v+l
<
2
2v+2
(2v + 1)!
,2v+l
'sh2oy.
v=0
Итак, в силу (2.3)
о2 I /(*У)12 + I /' №) I2 < *2 Ch2 ay + a2 sh2 ay = a2 ch2ay. (2.4)
Таким образом, неравенство (2.2) доказано на мнимой оси.
Применяя (2.4) к функции F(z) = f(x+z), получим
o*\F(iy)\2+ \F'{iy)\**£°2ch2oy.
Отсюда, заменяя F{iy) через f(x + iy\ получим неравенство
(2.2). Наконец, заметим, что (2.2) превращается в равенство
для функции f(z) = Lcosa(z + a)> где L > 0—константа.
2. Связь между одноименными нормами целой функции в
линейном нормированном пространстве #0Е<р
Пусть <р (х) > 1— непрерывная на/? функция,
удовлетворяющая условию:
m
0,(0 = a(0 = sup У(Х/+/)<ЯШ(<НУ|AKf«, (2.5)
IYl<t
к=0
где Лк>0 (л: - 1,..., m) иЖ = ^Лк.
к=0
Оценим нормы выражения La>[f(z)]=f(z)e *°+f[z)emB
пространстве Е<р, где f{z)—целая функция из класса НаЕ? и
ш—действительный параметр.
Теорема 4.2.2. Пусть <р (х) > 1 удовлетворяет условию
(2.5) и f{z)£H9E9. Тогда имеет место неравенство
L„lf{* + iy)]
<2W
192
?(*)
У
/<* + *У)*~|ю+/(* —fol е
iu>
1
<
sh у
[ch2(a + w)y — sin2 a)]2
<p Iie
(2.6)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную
функцию
2(2)=/(*)
sin (г — t)
2— t
(2.7)
где z = х + iy, m> 0—целое число, /—вещественный
параметр. Учитывая, что-
?(*)<?(*)«( \*-t I ). а( \x-t 1 )■ Г sin^~0
L х — t
<М,
для функции g(x) при каждом фиксированном t имеем
\\g{x)\\^\t^-.,{x)\^^X\ <Af?(0|K||. (2.8)
II ср(лг) L х —г J Не II ср ||Е
Неравенство (2.8) показывает, что если f(z) принадлежит
классу #аЕ9, то g(z) принадлежит классу Я^тЕ и ограничена
на R. Следовательно, к функции g(z)€//e+mE применима
интерполяционная формула Боаса (см. § 2, гл. II):
U\g{x+iy)]=2 2 (-nnr„g(и+ [in),
(2.9)
где
Сп =
п=—оо
о^ Im { g~lc° Sin (5at + O'ctQ }
(яте — a^)2 + a~ у~
(а1 = о+/и), (2.10)
U = X — 5, tln =
— (я==0, ±1,...) и s определяется из
а -г т
равенства so — arg{cos(co +/оу)}. При этом нетрудно заметить,
что
и [g(x+/у)] u=1 *. I л ■»+W fsin.(* t:yj; ° f
sh у
\ * + iy ■
•\f{x+iy)e~[(" +f{x-iy)ew
|sh v 'm
t=x
Кроме того,
•\L„[f{x + iy)\
g(g + fa)l<|?(/)l/(:' + fAn? IX
sin (a + [xn — 0
ill!
' Jt=x
?(* + f*n)
<Жср(х)
/(* —S + f*n)
<p (X — S + fAn)
X-«( \u+\in-t\)i
Таким образом, из равенства (2.9) при t ^ x следует
неравенство
ил
sh у
У
<жЩ I
Гп!
1020—13
f (* — s + Рп
ср (X - S + (!.„)
(2.11)
193

Отсюда, в силу предположения относительно нормы
пространства Е, получим
LJf(x+ty)]
*(■*)
■CM
sh у
Из (2.10) видно, что числа сп имеют один и тот же знак
для всех л и не зависят от функций f(z) и ?(х). Следова-
2
тельно, сумма ряда у \ сп\ не изменится, если предположим,
п=-оо
например, что f(x) = cdsojZ = cosal (s + iy) и ср(лг)=1.
В этом случае оператор lujcos (s+ /у)] примет вид:
£ш [cos at (s -f- /у) ] = £~iw cos a, (s + iy) + еш cos ot (s — iy) =
I e^ [,
^(ш-lycTi)
+ e
—l(a>-iyot)
] + e-'«» [ e'<-+'№) +
-f- ^.—H«>+iyax>"l j _ j^e J ei»«s Г ^i(<»-iy»0 _|_ e-l(".-ly«il"| j^
Отсюда получим
| L» [cos 0l (s+iy)] I < I *'<-*«>+ e-llm-iyat) I = 2 /ch'e.y - sin2.».
С другой стороны, в силу (2.9) при х = s
| e~lu> cos о, (s + iy) + е'ш c°s "1 (s —iy) | =
= 2 V (- l)«cncos aJs-x+lZ)
= 2
00
-2 2 Kni
Из последнего равенства следует, что
(2.13)
2 2 lc»l <kl(a,""iy4^'<<u~'a,y)| = 2^ch2a1y-sin2o
П=— 00
Таким образом, имея в виду
00
2 l^nl<[ch (a + т) у — sin2 со]1/2,
п=— оо
из неравенства (2.12) получим (2.6), что и требовалось
доказать. Заметим, что в теореме 4.2.2 иространство //аЕ? может
быть заменено, например, пространствами С(/?), 1Р (/?), др (/?),
Dp(/?),... Очевидно, в случае, когда <р = 1, имеем z(l)=l,
//г = О, М = 1. Поэтому из теоремы 4.2.2 вытекает.
Следствие 1. Если /(г)£Н3Е, то имеет место
Неравенство*
||L„,[/(.x + *y)]\\E<2[ch2oy-sin2< .||/||E. (2.14)
* Это утверждение в случае, когда Е (R) =• С (R), Lp (R) доказано
П. Боасом [5(2)].
194

p,x
Счевидно, в (сЛА) грсстргнство Е(/?) тгкже ложко заменит
любым из C{R), LP(R), Лр(#) и OpW), /?> 1.
3. Связь между одноименными нормами функций
из класса Б{ар)
По поводу связи между одноименными нормами \\/(х+1у)\\
и |7]р функции f(z)^E(J)) (/?>1) справедлива
Теорема 4.2.3. Для целой функции f(z) 6 Б(ар) (р > 1)
справедливо неравенство^
ll/(^ + ^)l!P)X<QpH)chay.||/||p (y>0), (2.15)
где
j(l — sch2f-sin2co)2 rfa>
[QP(oM—j j——, (2.16)
2B[ — p+—, —
V 2 ^ 2 2
причем В (a, p)—бета-функция Эйлера.
Доказательство. Заметим, что из равенства (2.9)
справедливого для функции /(*) из класса Wip) (/?>1),
может быть получено неравенство:
J l/(x+/y)|P|l+X(*. у)еЛш\Ых
— 00
р_
<2P(ch2ay-sin2«,)2 ||/WHS 0>1),
(2.17)
где
Очевидно, если f(z)(*B^\ то р(лг, у) >1. Интегрируя обе
части неравенства (2.17) по ш в промежутке [0,2тс], находим
2-
j |/(* + 1У) |Р | j 1 + Р2 + 2pC0S (a + 2co) < da> j <
- оо \0 /
2т: р_
<2P||/f|?-J (ch2ay-sin2a))2^co. (2.13)
Заметим, что
2г. р_
Л*(р) = J[l + p2 + 2pCOS(a-f 2co)p tfco
* Эта теорема доказана Р. Боасом и К. Рахманом [15(1)].
13* 195

является возрастающей функцией от р, так как Я*'(р);>0.
Следовательно,
*(P)>*(1)-2PJ
cos-
dt =
^2р42 ^\smu\4u = 2^B(±p+^ ±y (2.19)
Благодаря этому, неравенство (2.18) запишется в виде (2.15),
что и требовалось доказать.
4. Связь между одноименными нормами
в пространстве £lp)Ef
Пусть <р (.*:)> 1, как обычно, непрерывна на R и
удовлетворяет условию:
а (0 = sup ^±Л < Pm {t) = j Л к <\ (2.20)
/у, <t К-0
m
где Лк>0(а:== 1 я), М = ^ л«- Заметим, если/(г)е£<р)Е??
к=0
то для нее, как было показано в доказательстве теоремы
4.2.2, справедливо неравенство
?W I " I sh у I ^J
/(л: — s + t*n)
Нетрудно заметить, что в данном случае имеет место
неравенство:
V |CK|<[ch2(a + m)y-sin2a)]2 . (2.13*)
К=— 00
Отсюда для функции /(г) из класса Б9Е^ при у > 0 получаем
/ (* + 'У)
где
|1.+ х(*,У)^Ч<Л!|-£-
I sh у I
00
/(* — S + f*n)
cp (X - S + fin)
^ ^~ и X(*,y)=^^^p(x,y)*19 (P(x,y)>l).
a -[- m
/(*+O0
Интегрируя обе части последнего неравенства по со от 0 до
2^, находмм, что
196

2it
f(x±Jy) I С j i + p2 + 2? cos (9 + 2<o) |2 rf<o <
<pi
</w
о
f S"-i
0 \n=— oo
/ (* - 5 + ^n)
flf<D.
I sh у
При этом в силу (2.19)
К{?) = j[l +P2 + 2pcos(6 + 2o))]2 da>> К (I) =8.
о
Следовательно,
/С* + 0')
<
Af
2-г / oo
sh у
JS'
<?п
/(* —S + fri)
si*
О п=—оо
f (х)
Отсюда при условии, что ^— принадлежит линейному нор-
мированному пространству Е (/?), получим
2~ / оо \
/С* + /у) \\ с М_
<
м
О \п=-оо
2*
shy
У
sh у
Im С TL
<±{о+т)у \[1—sch2(a-f//i)y-sin2co] dm-
Таким образом, приходим к следующему заключению [84(4)].
Теорема 4.2.4. Пусть ?(.*)> 1 —заданная функция,
непрерывная на R, удовлетворяющая условию (2.20), и
f {z)—целая функция из класса Б9Е^ Тогда имеет место
неравенство
где
<М
Е, х
shy
.\Ш\.
ch (о+ «)y.Q [(*+«) y].||i^J, (2.21)
2« 1_
l2
Q(/) =-Lf [1 — sdl2/ • Sin2a>]2 rfa
(2.22)
В частности, в случае, когда ф(л:)==1 (яг —О, М = 1),
получаем
Следствие 1. Для целой функции f(z) 6 £aE справедливо
неравенство
li/y|lE<Q(«y)chay||/||E, (2.23)
197

где Q (и) определяется равенством (2.22). Очевидно, в случае,
когда E(R) ==1Р(/?), неравенство (2.23) отличается от (2.15)
тем, что в нем QP(ay) заменено на Q(ay).
5. Неравенства между одноименными нормами функций
из класса £ip)
ОТ, ?
Рассмотрим многомерный случай. Пусть /(ги ..., za) 6£-р>
(Р>1)> гДе ф (х) > 1—непрерывная функция в /?п, такая, что
m
«к (t) = sup li£±Ml <VAK *«, (2.24)
x6Rn <p (*) ^-J
lyl<t K=°
AK > 0 (к = 1, ..., n) и M = V Лк.
k=0
Теорема 4.2.5. #ля целой функции f^B[l\ р>1, лг/?/г
условии (2.24) имеем
it Л Ир,, < П V-^-'/Hp.^ <2-25>
ad?
^,i+m (У)) = Ai \yJ-\ Qp [(«, + от) у, ] ch (a, + m) у, (2.26)
j I sh уi \
и Q9(t) определяется формулой (2.16).
Доказательство. Для простоты рассмотрим двумерный
случай. Пусть f{zu z2) QE{^a2t9 (/?>1). В силу неравенства
(1.15) для функции f{zx, z2) при фиксированных х2 и у2 имеем
р° . . . \ р"
\— оо
+ lyx, x2 + iy2)
9 (*i» х2)
dxt <
/ (*i> x2 + 1Уъ)
где 2ff (у) = Qp (ay) ch ay и Qp (и) определяется равенством
(2.16). Благодаря этому, находим, что
-ГО /nip Г Г 1/(*1»*2 + *У2)
dx2 \dxu
198

причем изменение порядка интегрирования законно в силу
условия || /(*|, х2) || < оо. Применяя неравенство (2.15) к
внутреннему интегралу в правой части последнего неравенства,
при фиксированном хх получим
II /(*i + /ун *2 + /у,) ||р,, < ^CT1_Ьm (yj 2,^ (у,) II /1|р, 9,
т. е. теорема доказана при я = 2.
Замечание. Если в доказательстве этой теоремы мы
использовали бы неравенство (2.23) взамен (2.15), то пришли
бы к следующему заключению.
Теорема 4.2.6 [84(4)]. Для целой функции /£Б{1] при
условии (2.24) справедливо неравенство
|| f(xx+iyu..., *п + *Уп)||р,9< Па*ч+-(У])- I'/IIp%. (2.27)
Q:(y) = Q(oy).choy, (2.28)
a Q(oy) определяется формулой (2.22).
§ 3. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ РАЗНОИМЕННЫМИ НОРМАМИ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ВДОЛЬ ПРЯМЫХ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
Установим связь между разноименными нормами целых
функций в основном из классов
W{p\ UPlp\ W® Б® Б?\ бР (р<1).
В дальнейшем для функции /(г), например, из класса Wi%
величины H/||Pt9 и ||/y||p,f9 (p'>P>\) называются
разноименными нормами вдоль прямых, параллельных
вещественной оси; здесь положено /у (х) = /(х + /у).
1. Связь между разноименными нормами целой
функции из класса U?JP)
1. Прежде всего напомним, что для каждой функции вида
— а
из класса W(a9) (l</?<^2) определяется сопряженная
функция f (z) посредством формулы:
199

/(*) = y= \ (i si?n u) eiiu <d (u) du.
Рассмотрим функцию
£/(z) = f(z) sin a+ /(2:) cos a,
где a-—любое вещественное число.
Теорема 4.3. 1. Если функция J (z) сопряжена с f(z)
из класса Wip) (l^C/?<2), то имеет место неравенство
[48(10, 12)]:
\ U (x+ iy) | = \f(x +iy) sin a + ~f{x + *y)cosa|<
<(s-^fll/ll, (ЗЛ)
Доказательство. Заметим, что функцию U(z) можно
представить в виде:
a
U (х + iy) ** rn*= Г? (0 e~ty+ltx [sina-Hsljnf-cosaJd*. (3.2)
Отсюда в силу неравенства Гельдера,
| U (х + iy) | < yW j'| ? (О Г Л Y • ( J e-pty dA" , [(3.2*)
где 1 = —. При этом нетрудно показать, что
р Я °
Кроме того, в силу неравенства (1.63), гл. I, имеем
1 1
jiT(oiqd/l <(2^~ги/||р (7 + т"31)'
—а /
Таким образом, в случае 1 </?<2 неравенство (3.2*) примет
вид
i^ + *y)l<|s-^F.ii/i|p.
I пру I
Покажем, что (3.1) верно и при р = 1. Из (3.2*) следует, что
U(x + ly) К -^.2^1. sup |9(*)|.
200

Далее из формулы
видно, что
Следовательно,
?(0 = -^ J e-Mf(x)dx
sup |?(<)|<^-0/||,.
U(x+iy)\<\shay
■/lit.
Последнее неравенство показывает, что (3.1) верно при р=\.
Теорема 4.3.2. Для функции f(z) из класса W<
у/7 > 1, имеет место неравенство
(р)
1
■/Hlc<(-£:^fL)P-ll/||p, (3.3)
где /у = /(.*-Ыу) и s—наименьшее целое кисло, не меньше,
кем р.
Доказательство. Справедливость (3.3) в случае 1<;
^/7^2 следует из неравенства (3.1) при а =-~:
L
1!/У|1с<(-^-/- И/И р. (3-4)
Пусть теперь р > 2 и г = —, где s = ч (—) — наименьшее
целое число, не меньше, чем — . Тогда 2s— 2 </? <.2s и,
очевидно, 1 <г<2. Заметим, что [/(z)]s является целой
функцией степени so из класса Wil\ Тогда на основании (3.4)
1
или
\ nry I
n/y|lc<r-^^V-ll/!lp.
\ ъру I
*РУ
что и требовалось доказать. При целом четном р ( s = —
неравенство (3.3) примет вид
Allc*(J^f-H/llp
201

Очевидно, неравенство (3.3) показывает, что если
множество чисел {||/||9} ограничено, то семейство функций {/(%)}
компактно в смысле метрики пространства LP(R) в каждой
конечной области G плоскости 2, т. е. из нее можно выделить
последовательность {/П(£)Ь сходящуюся в L9(R) к целой
функции /0 (z) степени <ов каждой конечной области G. Иа
теоремы 4. 3.2 вытекает
Следствие 1. Если /(г)6 W{0?) и 1</?</?'<^о, то
имеет место неравенство
1 _ 1_ рст|у|
при любом фиксированном у, где s=t( )•
В самом деле, если f(z)£ Wip) и 1 </? < р1 <; сю, то
ll/yllp-<(ll/yllc)~-ll/y|f- (3.6)
Кроме того, как известно (см. § 1, гл. III),
П/у|1р<^,у|11/11р. (3.7)
В силу (3.3) и (3.7) из неравенства (3.6) вытекает (3.5).
2. Теорема 4.3.2 может быть обобщена на многомерный
случай.
Теорема 4.3.3. Если f(zu ..., z„) б Wip\ P > 1, mo
[48(8,14)]
'^''c(Rn)<n(^^f-ll/4(Rn)' (3.8)
где
S "* Т (~2~)' ^у ^ в ^^[ + 'Уь • • •. *п -Ь *Уп), * = (*i, ..., хп).
Доказательство. Для сокращения записи введем
обозначение
Гк( ) = /i^L^K))? («=!,...,«)
и рассмотрим двумерный случай. В силу неравенства (3.3)
при фиксированном z2 = х2 + iy2 имеем
I /(-Vi + *У„ *,) I < Г, (У1) | |°|/(хь Zt) \9JXl J' .
202

Кроме того, при фиксированном хх
l/(*i, ^ + ^)КГ2(у2) ^\f(xl,x2)\*dx2 I .
Из этих неравенств следует, что
l/yWI<r1(yi)r2(y2)ii/||Lp(R2),
что и требовалось доказать.
Из неравенства (3.8), например, в двумерном случае
следует, что если множество чисел {||/||Р} (/6 Wifi,)
ограничено, то семейство функций {f(zu z2)} компактно в смысле
метрики С(/?2), т.е. из него можно выделить
последовательность {/n(Zi, z2)}, сходящуюся в С(/?2) к функции f(zuz2)
из класса В я в любой конечной области D = (G1xG2).
2. Связь между разноименными нормами
целой функции из класса filp)
1. Предположим, что f(z)£E{ap\ /?>1, и установим связь
между разноименными нормауи "/у || и || / f при 1 <р<Л^°°>
где fy{x) = f(x + iy>).
Теорема 4.3.4. Если /(z)6 £ip\/? > 1 и р<рх<°°, то
[48(16)]
L _L
B/y||pi<(iljP""PlQp(ay)chay||/|lp, (3.9)
где $
- if) •
■(i-i-i)J
2ч Р
Qp (О = — — — f ( 1 - S Ch2<+Sin20))2 d<0
[26
. (3.10)
0
Доказательств о. Напомним, что если f(z) б №<р> (/?>1)»
то имеет место интерполяционная формула:
/ (* + *у)г~1ш+/(*-*у)е,ш = 2 2 (-l)ncnf(x-s + {xn),
где 5 и ixn —действительные числа (см. (1.18), гл. II), причем
У^ \сп\ < (ch2 ay — sin2a))2 .
П=—00
203

Отсюда, имея в виду неравенство (1.22), §1, и равенство (2.13)
при т = О (см. §2), получим
1
1
\f(x + iy)e-i"'+f(x-iy)elm\<2^ (ch2«y- sin^)2 .||/||p,
(3.11)
где s = ^(— '• Из этого неравенства находим
| /(X + iy) |PJ|1 + X(JC, y)^""|prfa)<
о
2т:
< 2Р— | / ||S I (Ch2 ay - sin2co) 2 rfa>, (3.11*)
1С .1
где
Причем из /(г)6^р) следует, что р(х, у)>1.
Далее в силу неравенства (2.19), §2, из (3.11) получим
L L
l/(^+^)l<(^jP[Qp(^)chay]p||/||p, (3.12)
где Qp(0 определяется равенством (3.10). Таким образом,
неравенство (3.9) доказано при любом конечном /?>1 и /?1=оо.
Наконец, очевидно, в случае, когда 1 <^/? < pt <^ сю,
J \f(* + iy) \Pidx < ( sup \f(x + iy)\\p,~p f \f(x + iy) \9dx.
— oo ч — oo
Отсюда в силу неравенств (3.12) и (2.15), §2, получим
неравенство (3.9), что и требовалось доказать.
Замечание. Если неравенство (3.11) записать в виде
i_
\f(x + iy) I (l+p2 + 2pcos(a+2u)))p<
L
<2(^)Р (Ch2ay-sin2a))2~.||/||p,
затем интегрировать его по со от 0 до 2тс, то взамен (3.12)
получим
\f(x + iy)\<[f-J - [Q(ay)chayjp||/ |iP. (3.12*)
Благодаря этому нетрудно заметить, что нераве ictbo (3.9)
заменится следующим:
204

!'/y||pt< (~/P PlQ(^)chay||/||p. (3.9*)
2. В многомерном случае для целой функции f(zu ..., £п)6
б £- справедлива
Теорема 4.3.5. Если f(z{,..., сп)££:р\/?к>1 (#=1,...,л),
i i
п — —
l/yWI<ri(£VL)PK- [QpKKyK)cha,{yK ]Pk||/||f, (3.13)
к=1
где sK = т ( т11) и QpU) определяется формулой (3.10).
Доказательство. Рассмотрим функцию двух
переменных f(zu г2) из класса Б(£%\г), где zK = xK-\-iyK (л: == 1, 2). В
силу неравенства (3.12) при фиксированном z2 имеем
1
I /(*„ Х2 + iyf) |< ^ J [Qp, (a2 у2) Ch a2 y2 ]p* || /(Zt, Хя) ||P,.
Кроме того, в силу того же неравенства (3.12)
L L
| f(xx + iyu х2) | <(^f JPl* [Qpi(^yi) ch о,у,] ' || /(*„ *2) Цр,.
Из этих неравенств следует неравенство (3.13) при /?, > 1
Теорема доказана. Ее обобщением является
Теорема 4. 3. 6. Если рх > р2 > • • • > рп и 1 < /?к < /V< °о
= 1,..., л), то\дл
ведливо неравенство
п
l/yllp^n^f" Р№к(°^0сЬакук]
(# = 1,..., п), то\для целой функции f(zu ..., zn)£By'cnpa-
i i_
,Рк~р«х
к=1
X(ch2aKyK-sin2a))2pK Ц/Ц-,
где sK = 7 ( — j (к = 1,... \п) и Qp (*) определяется формулой
(3.10).
205

3. Связь между разноименными нормами целой
функции из весового класса />!р
1. Предположим, что f(x)(<B{J% (/>>!), и установим связь
между нормами II/(*-Ну) ||ai9 и||/||р1(р при1^р<р1<ооэ где
весовая функция о (лг)>1, непрерывная в /?, удовлетворяет
условию:
ly|<t к=о
m
ж= 2 л*> л*>° • (ЗЛ4>
Теорема 4.3.7. Если весовая функция ?(^)>1,
непрерывная в /?, удовлетворяет условию (3.14), то для целой
функции f(x) из класса Б(0% при 1</? < А^°° справедливо
неравенство [55(1)]
/(, + .»|1р„<Л)|^|".[^±^
,р ,<х
р.
X (Q[(e + т) у] ch(o + m)y}p'-{Qp [(« +
1 1_
+ ^)у]сЬ(а + т)уГ'"Р1.||/||р>?, (3.15)
где Qp (/) a s определены так эюе, как в теореме 4.3.4, а
функция Q(t) определяется формулой (2.22), §2.
Доказательство. Рассматривая вспомогательную
функцию
g{z)=№{D(z-t)\\ D(iO-^. .
где /(г)£Б% (р>\) и/я >1—целое число так же, как в
доказательстве теоремы 4.2.2, покажем, что g(z)
принадлежит классу Wi+m. Следовательно, для g(z) в силу
неравенства (3.12)
i_ 1
\g(X + iy)\ <[S^^]P"-{Qp((a+^)y]ch(a + ^)y}P-|lg|lp.
(3.16)
При этом, учитывая, что
о(х) -- <?(x-t + t)^oi(\ x-t\)<?(t)
и
\oi(:x-t\)Dm(x-t) ! <Л4,
206

находим
g||p= l$\f(x)Dm(x-t)\*dxY<
<
I
<t(x)
o(t)x(\x-t\)Dm(x-t)\*dx y<M9(t)\\f\\ti9
Поэтому (3.16) примет вид
fJ*±MD"(x + iy-t)\<
fit)
— 1
при каждом фиксированном t. Отсюда при t — x получим
f{x + iy)
<M
[SJ^]
У
shy
X
X{QP[(o + m)y]ch(0+m)y}p- ||/||p9.
Далее при 1 </?</?!-< со из очевидного неравенства
(3.17)
Pl-P
■ Ак,<(11/уНс9) Pl (ИМиГ
в силу (3.17) и (2.21), § 2, имеем
H/ylU<
м
pl-p
s (а + т)
Р -/
тЧ [Qp(^+m)y)ch(a+m)y]p >
shy I
X
ИЯ1р,ЛР1 x{^|-^|mQ[y(a4-^)]ch (a + m)y.||/||P)9jPl.
Отсюда получается неравенство (3.18), что и требовалось
доказать.
Зам еч ан и е. Неравенство (3.15) упростится, если в его
доказательстве, при получении (3.16), сослаться на неравенство
(3.12*). Тогда Q9[y(o+m)] заменится на Q[y(a + m)] и (3.15)
примет вид:
1 _L
\™Гс (~ 1 r»\ "IP Pl
1/у|1р..^<^и
У
sh у
р(« + «) J
X
L-1+p
X{Q[y(* + m)]ch(a+m)y}> PI Pl-!|/||p,,. (3.15*)
207

2. Предположим теперь, что ф (х) >1 — непрерывная в 7?п,
удовлетворяющая условиям
aK(t) = sup II
|yl<t||
<
rn
Pm(t) = \yMJ (3.14*)
(Aj>0, / = 1,...,/л, * = 1,. .., л).
Заметим, что последовательным применением неравенства
(3.15*) по каждому переменному к функции f(z{,..., z„) из
класса />!р* при условии (3.14*) доказывается
Теорема 4.3.8. Для целой функции f{zu ..., zn) из
класса Б{? при условии (3.14*) имеем
/y/U<II^pK, у«Н1/Нр.,,
(3.18)
к=1
где 1 < р < рх < оо а
Ук ГТдЕх + мП
shyK | L * J
L _ L
p " pi
L.l+L
Х{РР[(ак + от)ук]сЬ(0к+/и)ук}р pl pl,
m
Доказательство. Для простоты рассуждения
рассмотрим двумерный случай. Обозначим
Г5 (a + m) ]р
Лр(о,у) = Ж
У
sh >'
X
X{QP[(a + m)y}zh(o + m)yy.
В силу неравенства (3.17) при фиксированных х2 и у2
/ (*1 + tyl» -*2 + ty2)
?(*1. *2)
а при фиксированном хх
I /(^, x2 + iy2)
<^p(alfyi)/j|
R
rf^!
<p(*lf *2)
<Лр(о2,у2)
If
^ R
/(*!» *2)
1_
P , IP
dx%
208

Из этих неравенств находим, что
Vfy\\C9<A9(auyi)Ap(o,,y,)\\f\\p^ (3.19)
Далее при 1</?</>1<°° из очевидного неравенства
в силу (3.19) и (2.25), § 2, получим
pi-p
яЛНр,.9<{А>(а1.у.)Мв2,у»);/,р.(р} р' х
X П2.,+«(У1)/!
р. <р
Г
где &а+т определяется равенством (2.26) из § 2. Из
последнего легко получается неравенство (3.18) при п = 2.
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НОРМАМИ НЕКОТОРЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВДОЛЬ ПРЯМЫХ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
1. Об оценке нормы одного дифференциального
оператора в классе W?] вдоль прямых,
параллельных вещественной оси
Пусть ак, ftK—произвольные комплексные,
ск—произвольные вещественные, /я0< тх < т<> < .. .—целые положительные
числа такие, что для них сходится ряд
2^{\ак\ + \Ьк\)еа1^, (4.1)
к=1
где о ;> 0—некоторое число.
Оценим дифференциальный оператор
l [/] - 2К/<тк) (* + *«) + ^7(ГГк) (■* + ^)}<
к=0
где /(z)£ W£2) и /(£)—сопряженная с ней функция. В
дальнейшем наряду с функциями D(z) и Da(z) рассматриваются
Ьв(г)= г""1 sin2 —, Dt(z)=D(z).
Теорема 4.4. 1. Пусть f(z)£ Wi2\ J(z)—сопряженная с
ней функция и выполняется условие (4.1). Тогда для
оператора L [/] имеет место неравенство
\L\f\\< — A4f^ (4.2)
ТС
1020-14 209

где
Al
= e fKVa^'",'/)(Tm+ ^-ал^^ + <ЗСк)|^. (4.з>
Доказательство. Известно (см. §1, гл. II), что для
функций f{z) и/(г) имеют место тождества
/(2)= JLJ/(<)£>.(* +г)
dt
00
7(2)= --1 |/(0Ь.(<+2)Л,
— 00
где функция D0{z) определяется равенством (2.14), гл.1. На
основании этих формул оператор L [/] запиш ется в виде
IO0
к=0
(t + х + icK) —
-2br±rDe(t+x+icK)
дх к
,dt.
Отсюда в силу неравенства Буняковского—Шварца го/учтем
\L[f]\<±Aa.\\f\\um, .
где
А
R| K=0
dxm«
Da(t -t- x + icK) —
(4.4>
■ г^^гди + л + йо
дх к
Л.
Очевидно, последнее равенство при помощи замены о(<+-*0 =т
запишется в виде (4.3).
Рассмотрим частные случаи [53(4)].
1) Пусть сначала все ек равны нулю, а ак = <*к + i'Pk*
6к = 7к+^к, ак, Рк, Тк и rfK (л: = 0, 1, 2,... ) —вещественные
числа. Тогда из (4.3) имеем
.2
Я I к=0
атк£(тк)(х)-?&катк£/"'к\х)
rfx =
= J aiHiami+mjfD(m-.)(t)D(mj)(^)flfT
i,j=0 К
210

2 J Mi + &« aj)ami+mJ fD(mi)(T)z)fmi)(T)rfT+
00
+ 4 ^bibi<Jm^mi ^m0(x)D^) (х)^т (4.5)
i, j =0 R
Вычислим интегралы, входящие в правую часть равенства
(4.5). Заметим, что преобразование Фурье в L2(R) функции
Л(л) = {/у(^)К.если|л:К1
[ 0, если | х | > 1
есть функция
?(*)-=D(K> (*) = (—Г
Обозначим h(x) через hx(x) при к = т{ и через h2(x) при
^ = /7ij. Тогда преобразованиями Фурье в L2(R) функций /^(х)
я Л2(-£) являются, соответственно,
/ v , sin* (mi) , ч /sin -дс \(mj)
' X \ X I
На основании равенства Парсеваля (см. (1.61), гл.1) для
функций из L2(R) имеем
? \ / 2
\чЛх)ъ(х)йх= уу—) (/Jc)n,i+mJdJC =
-00
(_l)mi+mj. * если mi + mi четна,
О, если mj + ^j —нечетна.
Кроме того,
2sin2 4" e i
2
- [=\K(t)el«dt,
x У 2г. J
-l
где
/<•(*)= '' Г i si2n* ПРИ I 'К1»
I 0 при|*|>1.
Следовательно,
{t*j-H"i fa-
— oo \ t .
14* 211

1
= _ JL t(ix)m>{ix)m>is[gnx-dx =
4 Л
О, если Ш\ + Ш] четна,
mj+mj+l
I — Г — 1 ч 2 . если mi +#ij нечетна.
I V ' 2(m1 + mj + l)
Аналогичным образом можно показать, что
* \(mi) / о * \(mi)
г
-(—1) 2 ~J _ если mi+^j четна,.
4 (mi + «j + 1)
0, если т{ ■+ т\ нечетна.
Таким образом, из (4.5) имеем
±Al=K V'(-l)- -■
*\ ui <
jSj Щ + m. + i
oo m,+m:+l _ m.+m.
" ^-J wi + mj + 1 +
^ Ir*+mi а Г mi+mi
+ « V(-\~.b^° J (4.6)
Следовательно, в рассматриваемом случае величина АаУ
входящая в неравенство (4.2), вычисляется по формуле (4.6),
в которой штрих в первой и третьей суммах означает, что
эти суммы распространяются на все возможные /, j - 0, 1,...>
для которых величина mi Л-Ш\ четная, а два штриха во
второй сумме означают, что она распространена на все
возможные Z, j — 0, 1, . . . , для которых Щ{ +т\ нечетна.
2) Пусть теперь т0 --= тх = к, а0 = е~Хш, ах~е /с°
(со—вещественное число), ах = О, Ь\ = 0 (/ = 0, 1,.. .), с0 = — ^ =- с.
В этом случае, как видно из (4.3),
Al = о2к+х J| e"itw [D (т + /ос)](к)+ *,ш [£> (т - wc)](K) |2 Л.
R
Аналогично, в силу равенства
*КД (* + '*) e -i/Z f («)"*-Vxt dt
dxK * 2 J
-l
212

имеем
tD(K) (x + ia) Dw(x + ib)dx = (~'>K * jVv*-b>^. (4.7)
R -1
Благодаря этому находим, что
A'i = а2к+1 \[е~ыО(к){х + he) + e""D(K) (x - he) ] X
R
X [eXmD(K){x - he) + е~ыD{K) {x-^ iec)\ dx =
- *o2K+,f ch 2co jVKrfx+ jVKch ( 2aex)dxl =
= 2*o2K+1 fjVKch(2Cax)^+|^Y
Таким образом, из (4.2) получаем
| e-'V(K) (x + ic) + еы/к) (х - ic) | = | ZiK> [/] | <
■X/l „ „„.«>.. ^~
*(^-j J^h(2^)tf* + g^ .(/,. (4.8)
^0
В частности, при а:=0 из (4.8) следует, что
L L
I МЛ I < (vf [1? + cos 2u,f ■ /■'»• <4-9)
Неравенство (4.9) является аналогом соответствующего (2.24)
из данной главы.
3) Предположим теперь, что т0 = тх = к, а0 = е"1ш, Ьх =£iaV
а{ =0, Ь0 -=0, Ь\ =0 (i = 1, 2,...), с0 = — с{ = с.
В этом случае, как видно из (4.3),
Al = o2K+1j\ е~ы Dw (t + he) - eiM Dw (t - tea) \2dL
R
Тогда на основании (4.7) в силу
fD(K)(/ + ico)D{K) (t + ica) dt = 0,
JD(K)(/ - iC*)D{K)(t + /ac)d* = -J- jWact
д2_^27Г02к+1р2ксЬ2са^Л
Л
R -I
получаем
213

При этом из (4.2) следует
i
"12
|Z<K>[/jKo^f[(
\ '• / |_5
*2Kch 2cot-dt
■il/b-
•Отсюда, в частности при к = О, вытекает, что
l^[/]K(^f(^f-|i/,', (4.10)
Неравенства (4.9) и (4.10) являются точными в классе Wf\ и
экстремальные функции получаются из выражения L [/]
соответствующим подбором констант.
2, Об оценке еще одного дифференциального
оператора в классе W^
Пусть /(z„ ..., zn) 6 W^p), (\<p<2). Рассмотрим
дифференциальный оператор вида
L-9 [/; Z] ~ aZ>/(* + iy) + bD*f{x + /у),
где
Dr=DV. ..£>nn, Z = («!,..., 2n), гк=»л:к-ИУк (*: = !,...,я),
x = (x1,..., *„), y-= (yt,..., yn),
а и ft — комплексные числа, ак и рк (л:= 1,...,
At)—неотрицательные целые числа [4S (16) и 53(4)].
Оценим норму оператора /,-[/, Z]. Известно, что (см. §2,
гл. II) для функции f(zv ,.. ,^n)€ ^P) (1 <р< 2) имеет место
тождество
/(х + /у) - *-n j>(/ - х) П D.K{tK + iyK)dtx... Лп>
где t = (tut2i .. ., /n).
Благодаря этому оператор I- [/; Z] запишется в виде
h [/, Z] = *-a$f{t - х) \а П D«K«D,K(tK + iyK) +
n
к
K=l
+ ь Гркк/\ ('« ■+ ty")l ^ • • -^n- (4Л1>
Прежде всего докажем лемму.
214

Лемма 4.4.1. При любом вещественном у и 1 < р <; 2
/ 1 = \\ имеем
\ Р я I
§\D™(x + iy)\qdx< 2~^X'tA ^\tfm.e-*ytdt) '"' . (4.12)
R \-1 /
В частности,
i__
flD{m)(x)\qdx<K(pm-\- 1) р~! (4.13)
R
U
I
f|D(jc+*y)|4dJc<* /ilL^jp-1 , (4.14)
r
причем неравенства (4.12), (4.13) и (4.14) при р =<7 — 2 я/?£-
вращаются в равенство.
Доказательство. Очевидно, что
i
D™ (jc-h/y) i- Г (И)" ^"(Х+,У) Л.
- -1
Отсюда на основании теоремы Винера—Пэли находим
f| Df\x+iy) fdx = -=- j| * |2m-<T2ty Л. (4.15)
R -1
Кроме того, применяя неравенстве Титчмарша (см. (1.74), гл.1)
при 1</7<2, получим
р 1 1
{1 £_ J *
-1 '
(4.1 б>
Очевидно, неравенство (4.12) следует из (4.16), а из него
вытекают неравенство (4.13) при у = 0 и (4.14) при т = 0.
Лемма доказана.
Т еорема 4.4.1. Если f(z{,..., za)£ Wf] (1 </?<2), ma
для оператора L-[f, Z] имеет место неравенство:
п 1
11- [/, Z] | < TC-nQq (0f ttf р) п/; р pj 0kp f (4.17)
к=1
215

где
Q,(e, a, p) -If а fl <,;«£><"«>(■*« +й«ук) +
6 n°K*DfK>(xK + /aKyK)
К=1
*/*!... d;cnl ,
л! кисло q определяется из условия 1- — = 1.
Р Я
Доказательство. Из равенства (4.11), применяя
неравенство Гельдера, получим
| L- [/, Z]\ < *-" !!/|р М а П #f к) (•** + *У«) +
IfeJ k=1
+ &П £>^к) (•*« + *у«) d*i. • • rf-«„ I4 <
K=l I J
<-~ni|/i|PJj'
а П <#<£>("к)(*к+/акук) + (4.18)
n I q ]q n L
+ b П акк D(Pk) (хк Ч- ^к Ук) I d*i... ^п • П °кр .
к=1 I J к=1
Отсюда следует неравенство (4.17) при 1 </?<2. Заметим,
что (4.17) остается в силе и в случае р — 1 (<7 = эс), если
считать, что
Qoc (". «> Р) = sup \а П *кк£>Ы (*к + ioKyK) +
х6*п
+ * fl °l*D^)(xK + icKyK) \
K = l
Из (4.18) находим
n max(ak,pk)-f-
^[/,z]|<K-nCqp/;p п«« р
(4,19)
K=l
где
'ч = К a|fl^(ak)(^K + /aKyK) +
Un Ik-1
1_
n l q ]q
+ йП^(?к)(^к + ^кук) dxx...dxn
к=1 '
216

В самом деле, из неравенства (4.17) видно, что
п - n maxfct, рл+ -
n«Bp-Q,(«,«. РК',Гк Р-
к=1 к=1
поэтому (4.17) запишется в виде (4.19), где max (aK, рк)
означает наибольшее из двух чисел ак и рк (#в= 1,..., л).
Замечание. В случае НОи ак-^8к--.о {к = 1,..., п)
неравенство (4.17) принимает вид
L
!/(*!,..., *п)|<0|/|,рП QqKyKK,
где 1 -</? < 2 ( 1 = 1 ], ук—произвольные вещественные
\ Р Я 1
числа и
Q\(u)=i ^\D(x+iu)\*dx\\
Пусть, в частности, b = 0, 1 </?<2, ук = 0, ак —
произвольные неотрицательные целые числа, а рк =0j .(/с = 1, ..., д).
Из (4.17) имеем
|/>Л<*~пГКк p-<v!A>. (4.20)
к=1
где
c\=*t\\D<M(x)}A.
к=1
При /7 = 2 неравенство (4.20) превращается в равенство для
функции
/•„(.*:)=П Д(%к)(*к)
К=1
при х = 0.
3. Связь между различными нормами непрерывного
линейного оператора в классе WLP)
Предположим, как и ранеэ, что М—множество линейных
и непрерывных операторов Т, определенных в классе |$1р>
целых функций /(zlf..., zn) для каждого о= (о^.^а) таких,
что Т[/\ также принадлежит классу W{-?] (1</><2)»
217

Теоре м а 4.4.2. Если f (zu ..., zn)—целая функция из
класса w['? (1</?<2) и Т—непрерывный линейный
оператор из множествам, то справедливо неравенство [48(17)]
п I 1_ n(pi-p)
17,1/1«р.<П(т)р P1'/qP' IT[f]:» (4-21)
к=1
где 1 < р < рх < эо и
lq=W(t)\ (—+ —= 1).
\ Р я I
Доказательство. Известно (см. §1, гл. II), что для
.функции /(2|,..., zn)£ W[?) (К/К2)имеет место тождество
Ax + iy) = «-n$f(t-x) f\D,K(tK + iyK)dtt...dtn.
.Отсюда при ух = ... = уп = 0 следует, что
/(x)===*-nJ f(t-x) f]D«K(tK)dtl...dtn. (4.22)
pn k=i
Рассмотрим вспомогательную функцию
m m
/»(•*) = *"" j" ••• $f(t-x)Y\DoK(tK)dtt...dta.
-m —m
«Очевидно, fm(x)£B- и lim/m ~ f(x) 6 5-. Отсюда в силу ус-
m-юо
,ловий, наложенных на Г, находим
mm n
T\U]=*~a\ ■■■ §T[f(t-x)].Y\D°K(tK)dti...dtn.
—m — m к=1
Применяя неравенство Гельдера, получим
m m
1ПМКЛ{ •••]" \T[f\\»dt,...dta | x
\—m -m
/ m m I n \ <j~
X { ••• N Y\D<At)\*dtx...dtn ,
\—m - m I k=1 /
.:218

откуда при m-^oo следует, что
in/iKOin/1'pAR, (4.23)
где
Ач («) = (J П I ^Ч (<«) lq rf'< • • • Л») V •
\Rn к=1 /
Очевидно, при 1 •<. Р < Pi ^C ос имеет место неравенство
I т [/]1'Р1< СП/Гс) М^ПвП Г-
Отсюда в силу (4.23)
\\T[f}h,<{K-nA4(-a)\\T\f}%}V\\T[f}\\r,
причем нетрудно заметить, что
где
/q -[£> (0 ||q. (4-25)
Таким образом, получаем
„(,_U n L-L
!П/]'р.<А| l Plj П(~)р р,1 т-1/1 V
к=1 '
где /q определяется равенством (4.25). Заметим, что при <7> 2
(4.24)

ГЛАВА V
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КЛАССАХ ЦЕЛЫХ
ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
В настоящей главе исследуется ряд экстремальных задач
для целых функций конечной степени из различных классов,
а также для некоторых линейных операторов, действующих
в этих классах целых функций.
§ 1. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ ЦЕЛЫХ
ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО РОСТА
Рассмотрим класс //ffCq (/?)=5J>q целых функций /(z)
со степенным весом
?(х)=дт{х) = \х\т + 19
где /гг^О—целое число. Заметим, что класс B3tQ —линейное
нормированное пространство с нормой
Л=|1/,;в _|Х| =SUP-^i-
' J'4m I Ят |'c(R) x€R ?m (*)
и если /(x)6 fl , то
|/U)|<A(|.x:|m+l), V*€/?. П-П
Такие функции называются целыми функциями
алгебраического роста т.
В многомерном случае целая функция f(zu ..., zn)
степени <а = (ои...,оп) алгебраического роста т ~ (ти . . . ,mn)
принадлежит весовому классу И- Cq_ (Rn) со степенным
весом q-(x)= П (| ^klm*+ 1)»т- е- в пространстве Rn
удовлетвори I < А П (UfM-0, (1.2)
к=1
ряет условию:
где
-II -supi^r1
Я-z llr/D ч x6Rn 4- С*)
Л = ||/,.В- =
«. Яг:
C(Rn)
тк > 0 (а: = 1,..., п)—целые числа.
Рассмотрим некоторые экстремальные задачи для целых
функций алгебраического роста из классов HaCqm(R) и
//^Сч-(^п) со степенным весом.
m
1. Об оценке коэффициента Тейлора целых
функций алгебраического роста
1. Для оценки коэффициентов Тейлора целой функции f(z)
из класса НаС (R) == £м со степенным весом qm (х) —\х\т + \
справедлива
220

Т е о р е м а 5. 1. 1. Если f(x) б Вя , то
i
!/к)(0)!<С(0, т)ак(о + к) r> |l/,'Ba,q , (1.3)
где постоянная С (а, т) нг зависит от к.
Доказательство. Если f(x) 6 #a,qm, где <7т(*) =- |*Г + 1,
то функция ср (z) = /(z) (z + i) имеет экспоненциальный тип
о при Imz^O. Кроме того, на вещественной оси имеем
(1+*2)* 0 + *2)2
Тогда по теореме 1.2.5 Фрагмена—Линделефа при у>0
|?(л+/у)|<А^,У|,
значит при у>0
|/(^|<Л^у,(1+|^|Г. (1.4)
Рассматривая функцию vt (z) = /(:г) (z — i)"m при у<0,
убеждаемся, что неравенство (1.4) справедливо во всей
комплексной плоскости.
По теореме Коши
/(K>(0) = -£-j -^£- уг>0.
|z|=r
Отсюда, применяя неравенство (1.4), получим
l/(K)(0)l<A^lgJr<1 + r>m.
Положив здесь г = —, находим, что
а
|/«>(0)|<А^я^+ «)"*=£, (1.5)
По формуле Стерлинга имеем
к\ =кК'е~кУ2ш(\ +о{\)ЖСхкке~к /~к7
где С, > 0—постоянное. Благодаря этому, неравенство (1.5)
примет вид
... т+ —
|/к)(0)|<ЛС(о, т)ок{а+к)т V К<АС{о, т)ок (о + к) 2
где С (о, т) — Сха~~т не зависит от к. Теорема доказана.
Замечание. Неравенство (1.3) может быть уточнено.
В самом деле, по теореме 3.1.10, если корни полинома P(z)
лежат в полуплоскости Im z > 0, то
\/(x)\<\p(x)i *ед,
221

при /(jc)6//a влечет за собой неравенство
1/(к,(-*)1<|[*"хя(*)](кЧ
причем последнее точно в классе Яа>|р(х)г
Положив P(z) = A (z — j)m, получим, что при Q(x) =
m
= Л(1 Н-л:2)2 из неравенства |/(*) |< <?(*)• следует сценка
|/(к)(0)|<Л[ак+^ак-Ч^^^) m(m-l)oK-2+-
+ w+jMw!aK-m|. (Кб)
Очевидное неравенство
гг
показывает, что из принадлежности функции f(x) к классу
Z?aQ следует, что она принадлежит также классу Z?aq .
Следовательно, оценка (Кб) верна и для функции f(x) из класса
В Учитывая, что к {к— 1)... {к — т + 1) < кт + 1 при
у#>1 и у^>0» из (Кб) получим
|/(к) (0) | < А [кт + 1) ок-т ( ат + та""1 + . .. + 1) -
«Cfo.^oV + l)^1.
где С (о, /тг) = /2-±J ]m не зависит от к.
2. Теорема 5.1.1 переносится на многомерный случай.
Теорема 5.1.2. Если f(x)£ B-o то
n m.-fi-
|£>'"7(0)|<С(5, /n)n(*J + «i) ' V'iL/V »
. , J a, a—
zdejK\= кх +... + #„, w = (w, m„), e= (a^...,^) n
С (о, /я)—некото рая постоянная, не зависящая от к=(^1э...\^п)
Дока зательство. Заметим, что для функции f(zu..., zn)
из класса 5- справедливо неравенство
l/(*i гп)|<ехр 2 ак1Ук| X
I к=1 |
X ПО - l^jiri-J/nB- , (1.7)
j = l ' m
222

где zK = xK + iyK (к = 1,...,л). Очевидно, (1.7) является
аналогом неравенства (1.4) в многомерном случае. Для
сокращения ^аписи рассмотрим двумерный случай т = (ти т2),
а = (аь а2).
В самом деле, применяя теорему Фрагмена— Линделефа в
многомерном случае сперва к функции
,lV 2) fa + 0mifa + Om2
при ук>0 (к =• 1,2), а затем к функции
/(*i.*2)
<р2(гь z2) =
(*i - O^to ~ О™1
при ук<Г0 (к = 1,2), убеждаемся в справедливости
неравенства
!/(*,, г2)|<|/;в--гО1|у*1+0,|у'1 •(1+|г,1Г (1+(г2|Г. (1.8)
Благодаря этому из формулы
I dKl+K«/^ _ кх\ лг2! Г Г' /fa, ,~2)<fa rf^a
, Л# дх? L0 ~~ (2я/)> J J *J'+1 -*?+I
v n |z,l=n |z2|—r2
получаем неравенство
Ki rK8
2
r,"1 r,
Ci ATo
-±- И Г. = £
Положив здесь гг = — и r2 = —, находим
m -f - m + -
| D1 V(0) К C (°~ **) a«' a22 (ai + *if 2 (a, + *2f 2 If I
где С (a, /тг) не зависит от кх и /с2. Теорема 5.1.2 доказана
для двумерного случая.
2. Целая функция алгебраического роста
с заданными нулями
1. Рассмотрим целую функцию/(г) алгебраического роста
т из класса В , где т > 0—целое число, с заданными ну-
лями b
к==(*+т)т~ (*=s°' ±г"--)-
Теорема 5.1.3. Если целая функция f (x)£Ма
удовлетворяет условиям
Hm £<£l=. О, (1.9)
яго /(л:) == Q(x)cosax, где Q(x)—некоторый многочлен
степени^ т.
223

Доказательство. Из условия (1.7) следует, что
/(*)|<А (1 + |*jm), т. е. f(x)£B . Кроме того, из (1.10)
следует, что
соБог
является целой функцией. Заметим, что функция cos z удов-
2л: + 1
■— т:
летворяет вне исключительных кружков Кп : I
неравенству
|cosz|>C§eJyl. (1.11)
Вне полосы |у1<1 эта -оценка следует из формулы Эйлера;
COS Z
±(^ + ^)|>±(^1„^1У.)>_1^1У1>
а внутри этой полосы, но вне исключительных кружков Яп,—
из периодичности функции lcos2|. Кроме того, в силу (1.4)
для целой функции f(z) имеет место оценка
|/(z)KCea,y,(l+|z|)m. (1.12)
Из неравенств (1.11) и (1.12) следует, что целая функция
ф(г) удовлетворяет во всей плоскости оценке
|«Н2)КС(1+|2|)т.
Из неравенства Коши для коэффициентов степенного разло
жения
|СК|<^, Л!ф(г) = тах|ф(г)|,
ГК |2|=Г
получим, что Ск — 0 при к>т, то есть ф (2)—полином
степени </7г. Из (1.9) следует, что эта степень < т. Теорема
доказана.
2. Рассмотрим теперь класс Вт целых функций целого
порядка т(т^>0) и конечного типа <; о (о>0),
ограниченных на лучах arg z — — (v = 0, 1,..., 2т — 1). Заметим, что
т
класс Вт q в случае т = 1 совпадает с классом Ва, то есть
В{ а = 5а. В классе Вт а справедлива
Теорема 5.1.4. Если целая функция f(z) из класса
Вт а имеет в тоше z = 0 нуль порядка не выше т и
обращается в нуль в точках
1 vm
I tr-rr \ Ш Ш
г* \7) е (Л=-Ь2,...; v = 0,l,...,2m-l),
mof(z) -= С sin (ozm), где С—постоянная.
224

Доказательство. Положим
sin (агт)
Так как нули функций f(z) и sin (azm) совпадают, то <р(г)
будет целой функцией. По теореме 1.2.5 Фрагмена—Линделефа
всякая функция f(z)(* Ba m удовлетворяет во всей
комплексной плоскости неравенству
\f{reiB)\<Me°Tmi*inmB}. (1.11)
Функция sin z всюду вне кружков Кп : l\z — /г^|<8 < — I
удовлетворяет неравенству
I sin z | > Св.*,у|. (1.12)
В самом деле, вне полосы |у|<1 эта оценка следует из
формулы Эйлера:
\sinz\ = \±{eiz-e-iz)\>±{eiyl-e-M)>-±emy
а внутри этой полосы, но вне исключительных кружков #*n,—
из периодичности | sin z |.
Из (1.12) следует, что вне образов исключительных
кружков Кп при отображении z = wn верна оценка снизу:
|sin(a^)|>C8.^rffl,s,nmeL
Таким образом, целая функция <p(z) удовлетворяет
неравенству | <р(г)| < — вне областей Кп. По принципу максимума
модуля указанное неравенство верно и в этих областях, то
есть во всей комплексной плоскости. Следовательно, по
теореме Лиувилля «р (£) = const и поэтому f(z) = С sin (ozm).
Теорема доказана.
Следствие 1. Если целая функция /(z)(j В9 обращается
в нуль в точках — (# = 0, ±1,...), то /(z) = С sin oz.
Следствие 2. Если функция f(z) имеет в точке z =- О
нуль порядка ^(0<Х^//г) и удовлетворяет остальным
условиям теоремы 5.1.4, то
f(z)=Pm-x(z)-zx-msm(ozml
где Рт_х (г)-—многочлен степени не выше //г —X.
Доказательство. Рассмотрим функцию
' sin (огт)
Ю20-15 225

Очевидно, ф {z)~целая функция. Если она не имеет нулей,
то по теореме Пикара ф(£)==ехр g{z), откуда
f (z) = zx~m sin (ozm)-exp g(z),
где g(z) — целая функция. С другой стороны, по теореме
Адамара g(z)= Ят(z)—многочлен степени не выше т.
Положим Pm(z) = amzm + Pm_l(z). Тогда функцию/(z) можно
представить в виде
Нетрудно показать, что индикатриса Л(9) функции
Т(^)-ехр{ап1^ + Ят_1(/с)}
имеет вид
h (б) = |am|cos(tfi6 + argam).
Так как f(z) ограничена на лучах arg z ■= —, то должно
выполняться неравенство А [—: J ^ 0 (v -= —^ V откуда,
при v=0 и v=l, получаем:
cos (arg am) <0, cos (тс + argam) = —cos (argam) <0.
Из этого следует, что cos(argam) = 0 или argam = ± —.
Таким образом, ат=^№т, где am—вещественное число. Так
как ехр Ят_! (z) имеет порядок </тг —1, то в силу
ограниченности на лучах arg z = —, v = 0,2/ra—1, функции /( z )
т
следует, что ехр Рт_х (2:) = const. Итак,
f(z) = Czx"m sin (o*m) exp (wm zm).
Тогда индикатриса Я(0) функции /(£) имеет вид
#(9)= + |am|sinm6 + o|sinm6 |.
Из этого равенства следует, что max Я(6) = a -f |am | (это
значение Я (б) принимает в одной из точек -2- или -^-). Так
2т 2т}
как f(z)—целая функция конечного типа не выше о, то ат=Ю.
Откуда f{z) =zCzx~m-sin (ozm).
Если ф (2:) имеет конечное число нулей zu z2,..., zK (0 <
<л:<яг —X, среди них могут быть и равные), то, применяя
аналогичные рассуждения к функции
Ф(*)
(г — zj ... (z — zK)*
получим, что
/ (z) « C(z - z,)... (г - zK)2X-m.sin (ozm).
226

Если же ф (г) имеет более т—к нулей zu ..., £m_x,..., to/(z)=0.
В самом деле, функция
*(z)- гт~"Пг)
(г-г,)... (г—гт_х)
удовлетворяет всем условиям теоремы 5.1.4, откуда
f(z) = C{z-zx)... {г - zra_x) zx~msin (c*m).
Из условия <l>(zm_x+1) =0 находим С = 0, то есть /(z)=e0,
3. О компактности семейства целых функций
алгебраического роста
Рассмотрим класс целых функций Д,, q алгебраического
роста т со степенным весом qm(x) = I + l*lm. Справедлива
Теорема 5.1.5. Из любой бесконечной
последовательности {fnM} целых функций класса В с равномерно
m
ограниченным множеством норм {f/nl} можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся равномерно в любви
ограниченной области плоскости комплексного переменного
к некоторой целой функции из класса В .
F» Чт
Доказательство. Из того, что
||/n|j <Ж, fn£Bg , уЛ>1
и из неравенства (1.4) следует
\Mz)\<Me'*](l + \z\m), (1.13)
то есть функции последовательности {fn(z)} равномерно огра
ничены в каждой конечной области О комплексной плоско
сти. Тогда, по теореме Монтеля, из нее можно подобрать
подпоследовательность {fnx{z)}, которая сходится равномерно
в каждой конечной области. Очевидно, предельная функция
f(z) удовлетворяет неравенству (1.13) и поэтому f(z)&Bo .
Таким образом убеждаемся, что семейство целых функций
{/} из класса В с равномерно ограниченным множестэом
норм {"/!;} компактно в каждой конечной области
комплексной плоскости. В частности, из теоремы 5.1.5 следует
известное нам (см. теорему С. 1.2) утверждение о компактности
семейства целых функций {/(х)} из класса Д, в любой
конечной области комплексной плоскости. Теорема 5.1.5 может
быть обобщена и для многомерного случая.
* Теоремы 5. 1.1 и 5. 1.3 с другими доказательствами изложены в
монографии [48(22)]. Приведенные здесь более короткие} доказательства
этих теорем сообщены автору Б. Я. Левиным.
/5* 227-

Теорема 5.1.6. Из любой бесконечной совокупности
целых функций из класса В- с равномерно ограниченным
множеством норм можно извлечь последовательность,
равномерно сходящуюся во всякой ограниченной области Gn
пространства* Сп к некоторой целой функции g(zu ... , гп)
степени <: а = (аи ..., ап) из того же класса.
Доказательство. Для сокращения записи рассмотрим
двумерный случай. Пусть {gs(-*i, д:2)}—последовательность
целых функций из класса В- такая, что ||gs||<^, ys>\.
Тогда в силу неравенства (1.15)
| gs (zv z2) | < Ае°^+°'м(\ + | zx |)mi (1 + | z2 ,)-.
Следовательно, функции последовательности {gs} равномерно
ограничены в каждой конечной области G2£C2. Отсюда, по
теореме Монтеля, вытекает справедливость нашей теоремы.
Таким образом, семейство целых функций из класса £-q- с
равномерно ограниченным множеством норм компактно в
каждой конечной области Gn.
§ 2. О НАИБОЛЬШЕМ УКЛОНЕНИИ ОТ НУЛЯ НЕКОТОРЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ЗАДАННОЙ СФЕРЕ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть £/[/, х]— некоторый линейный оператор,
действующий в классе НаЕ(#) целых функций конечной степени <;<з,
принадлежащих линейному нормированному пространству
Е(/?), и L [/] — £/[/, 0]— соответствующий линейный
функционал. Рассмотрим величину
[LM„= inf. sup [£/[/,*] I,
f€HffE x€R
которую принято называть наименьшим уклонением от нуля
оператора £/[/, х] в классе #аЕ(/?). Введем в рассмотрение
еще и величину
||£/Ц*= sup -sup |£/[/,*]|,
f6HaE, ||f||<M
которую будем называть наибольшим уклонением от нуля
оператора £/[/, х] в классе #аЕ целых функций/(х),
удовлетворяющих условию ||/е<М, где М>0—заданное число.
Целая функция /о(*) из класса #*Е называется
экстремальной функцией для наименьшего уклонения оператора
(/[/, х], если
\Щ.~ Inf sup|f/[/,x]|=sup|LT[/,x]|,
teH^E xeR x6R
* Cn—пространство п комплексных переменных (zv..., zn).
228

и для наибольшего уклонения того же оператора, если
|| U || *= sup sup | £/[/, х] | -sup | U[U A I .
feHeE,||f || <M x6R X6R
Аналогично определяются наименьшее и наибольшее
уклонения от нуля для функционала L [/]:
inf \L[f\\ и sup \L[f\\.
f€HaE f€HeEf || f ||<M
Напомним, что экстремальным элементом данного
линейного функционала L [/] называется всякий элемент /(*)»
отличный от нулевого элемента, для которого
IM/]l = i!M/]lh/i.
Линейный функционал L [/] называется нормальным, если у
него существуют экстремальные элементы и все они
отличаются друг от друга скалярным множителем. В этом случае
будем говорить, что функционал L [/] обладает единственным
экстремальным элементом. Исходя из этих определений,
целую функцию /о (х) будем называть экстремальной функцией
для наименьшего и наибольшего уклонений функционала £[/],
если соответственно выполняются равенства
tiAJLlf\\ = \L\M\-\LV0\Hfb\
sup \L[t]\ = \L\fa\\~\L\f0\i.rM.
f€HeE.1|f||<M
В данном случае задача состоит в нахождении необходимого
и достаточного условия, чтобы f0(x) была экстремальной
функцией оператора £/[/, х] (функционала £[/]), а также в
нахождении экстремальной функции и наибольшего
уклонения от нуля указанного оператора (функционала).
1. О наибольшем уклонении от нуля одного
дифференциального оператора в классе Д,[М]
Пусть Д, [М] —совокупность целых функций из класса Д,,
являющихся вещественными на R и удовлетворяющих
условию ||/||с<Ж, где л. > 0—заданное число.
•ч
Теорема 5.2.1. Для функции /(х) из класса В9 [Ж]
справедливы следующие соотношения'.
1) || V[f'(x)}2 *2I/(*)]2l|c - a l/jfc, (2.1)
229

2) sup \\V a2[fK)(x)Y+ [/(E+V)l24c = 'К+1Ж, (2.2)
f€BelM]
где а: = 0, 1, 2,...
Доказательство. В силу следствия 6 из теоремы
3.1.11 для функции f(x) б Д, [iW] имеем
1| 1Л/Ч*^+°ЧЛ*)Ис О й /II с.
С другой стороны, для функции f(x) из класса 5с[/И], как
очевидно, справедливо неравенство
\\V[f{x))* + °2\f(x)Y\\c>°W<:-
Из последних двух неравенств и следует (2Л).
Далее, в силу неравенства (1.6*), гл. Ш, если f(x)£Ba[M]r
то /(к)(л:)е£ [окМ] и поэтому, заменяя в (2.1) f(x) на /к\х)
и учитывая неравенство (1.6), гл. III, получаем (2.2).
2. О наибольшем уклонении от нуля некоторых
интегральных операторов в классе №ip) [N]
Через W{*] [N] обозначим класс целых функций f{x)£ W{ap\
/?>1, удовлетворяющих условию \\f\P^N> где Л/—заданное
число. Кроме того, через М обозначим класс функций К (2),
регулярных в области |г|>Х, для которых функция
ф(') = !~- j е**К(1)Л (2.3)
151-Х
принадлежит пространству Lp(—a,o) при уХ>0 и р>1.
Рассмотрим интегральный оператор вида
где /(^)€ W£p), K{z)(*M и ^—вещественный параметр.
Определим величину*
||£/tf* = sup sup |f/[f,v]\
f6W<P)[l] v€R
при заданном K(z)£M, где l</?<2. Наряду с оператором
U[f,v] рассмотрим функционал**
]Е|=Х
* Результаты получены в работах [48 (3), 56 (1)].
** Исходя из оценки L [/] (§ 1, гл. IV), получен ряд точных неравенств
между разноименными нормами целой функции конечной степени.
Пространство Е называется строго нормированным, если в соотношении
II х + у || <|\ х\\ + II у II знак равенства имеет место в том и только в том
случае, когда у = \х или х = А у, где Л^О.
230

В дальнейшем нам понадобится лемма М. Г. Крейна (см. [5(2)],
стр. 178):
Лемма 5.2.1. Для того чтобы любой линейный
функционал f£ Е либр вовсе не имел экстремальных элементов,
либо чтобы его экстремальные элементы
отличались друг от друга только лишь скалярными
множителями (L(f)—нормальный функционал), необходимо и
достаточно, чтобы линейное нормированное пространство Е
было строго нормированным.
Доказательство. Пусть
I! *i + *21! Н, V! +1,-*2'!
и элементы хх и х2 линэйнэ независимы. Рассмотрим
функционал/(л;), имеющий элемент у = х{ + х2 в качестве
экстремального. Для этого функционала
I/ (*1 + х2)\ = i;/,;. Хх + х2) - ''/л*! j + ■/:;'!■*.'. (2.4)
а с другой стороны
l/(*i + x3) \<\f(xt)\ + \f(x2)\ <|/j. j^ !+'7j-jAV< (2.5)
Сопоставляя (2.4) и (2.5), находим, что
Таким образом, условие строгой нормированности пространства
является необходимым условием того, чтобы у любого
функционала / не было двух линейно независимых экстремальных
элементов. Это условие также достаточно, ибо если
/(*i) . il/il..*iil и f(x2) = ';fu-\x2\
то
•JWxi] + W.) Н/(*1+*»)1<!№*1+*.и,
откуда \хх -f x2\\ — i\xl '""Н-яД Можно показать, что последнее
равенство выполняется при том и только том условии, если
отрезок, соединяющий точки ех ххЦх,\ и е<ь = х2/{\Х2\
принадлежит границе единичной сферы ||лг|<1. Таким образом,
условие строгой нормированности пространства Е
эквивалентно тому, чтобы граница его единичной сферы не содержала
отрезков.
Т е о р е м а 5.2.2. Если в классе W[?\ [ 1 ], 1 < р < 2,
существует экстремальная функция /0 (х) для функционала
-М/1 пРи заданном K(z)^jvi, то она единственна,- причем
1 i- L
«я?„,яюи-v]' {Lwi'<<*')'T-(т)5'•(£ '"Ф:; ,ад
a I • J
где
231

1_
p
Ф(<)"2;Г f *"*А<6>Л' 1фЬ= ||Ф(01рЛ Р(2.7>
Доказательство. В силу теоремы 2.1.4 для любой
функции f(x) б №ip) (1</?<2) имеет место представление
где <p{t)£L2( — °> °)> и в СИЛУ этого оператор £/[/, ^] и
функционал I [/] соответственно принимают вид:
с
U[/'V]~T^ |в""*(ОФ(ОЛ. (2.8>
—а
а
Л [/] - ^L |Ф(0 <?{t)dt = /(?), (2.8'>
где Ф(0 определяется равенством (2.7), а <р(0~преобразовав
ние Фурье функции /(*), т.е.
— 00
Из определения следует, что
8иРк/[/,*]|>|МЛ|. (2Л0>
Кроме того, применяя неравенство Гельдера, из равенства
(2.8) находим
sup|£/!/,*]К^L \\f{t)\\<P(t)\dt
<
где 1 = 1. Отсюда и из неравенства (2Л0) следует, что
Р Я
1МЛК^1*Й'|Ф|£- (2Л1>
К функции f(x) и ее преобразованию Фурье <р (х)
применимо неравенство К. И. Бабенко (см. (1.75), гл. I). В атом случае
"ИтГ-(£)*"■-
232
J

в силу чего (2.11) примет вид
J. .1
'^^(тП^Г-тк-'/иФ!;, (2.12)
где ||Ф||Р определяется равенством (2.7). Из (2.12) следует
непрерывность L [/], аддитивность же очевидна. Следовательно»
L [/] есть линейный функционал над пространством Wip)
(1 </?<2). Заметим, что если /0(х)(< Wip) [1] является
экстремальной функцией функционала L [/], то в силу (2.12)
IIЩ* = |U[/, v];• = sup (sup \u[f,v]\\ =
feW(P)(1J \ v€R /
1— 2.
-|41Л1-1ЛЛ1К^(^П^)*-|Ф(.
Наконец, в силу леммы 5.2.1 и строгой нормированное™
пространства Wi9) (1 < р < 2) убеждаемся в справедливости
теоремы.
Задачи о нахождении экстремальной функции и нормы
функционала || L [/] || решаются до конца при р = 2.
Теорема 5.2.3. Для того чтобы функция f0(z) была
экстремальной для функционала L [/], определенного над
пространством W{a2) [1], необходимо и достаточно, чтобы
она представлялась в виде
ъде а—некоторое вещественное число. При этом
!^Г»1МЛ1-(2«) 2|Ф|. (2-14)
Доказательство. В рассматриваемом случае (р — # = 2)
из неравенств (2.11) и (2.12) при |i/i|2<1 имеем
Из определения экстремальной функции /0(з) следует, что
все эти неравенства должны обращаться в равенства, что
возможно только при следующих условиях:
1) аг?[?о(ОФ(0] " а =" const почти для всех t(< [— в, а];
2) |<р0|2 »Л|Ф(/)|2, где Л >0—постоянная;
3) llToil = !!/о,|2= Ь где ср0 (^)—преобразование Фурье
функции /„(*).
233

Из условий 1) и 2) следует, что
причем в силу 3)
Следовательно, экстремальная функция /0(2) запишется в виде
(2.13). По теореме Винера—Пэли функция, определяемая
равенством (2.13), принадлежит пространству Wt2\ так как
w = i±.<£L!L€M_e,e).
Г ' Ф(/) •
Покажем теперь, что функция /0(2), определяемая
равенством (2.13), является экстремальной для функционала L [/j. В
самом деле,
\L[f0]\ = \^= ^0(*)Ф(0Л
^•J|O(0i2*
= (2ic) 2 -jo;;.
/2ic ||Ф|£
Наконец, справедливость (2.14) следует из равенства (2.6).
Следствие 1. Для того чтобы функция /0(*)6Wa[lJ
была экстремальной для задачи о нахождении
sup r/i!c.
few0[i]
необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде
/0(x)-i.De(.r),
у тл
где а—вещественное число и
D9(x) =
sin ax
Экстремальная функция /0 (л:)—единственная в классе Wa [1]
для функционала Lx [/] = Ut [/, 0] и, кроме того,
!М/1!1НМ/о]!==)/:
(2.15)
Доказательство. Пусть K(z) =. —£М. Тогда Ф(/)==1
2
и из равенства (2.13) находим, что
TIC
234

Кроме того, в данном случае Ux [/, х] = f{x), Lt [/] =/(0), a
потому и имеет место (2.15).
Следствие 2. Для того чтобы f0(x)£ Wa [1] была
экстремальной функцией для задачи о нахождении
sup ||/(m)|lc
fewff[i]
{т > 0—целое), необходимой достаточно, чтобы она была
представима в виде
( 1
m — и
(_l)Te'«e-»(i2L±-L\ Umcosztdt, т = 2к,
/oW=| ,° (2.16)
Im—1 ^- о
(-l)~1~e'%-m(H^±l) (Vein г* Л, /и=2к+1
Кроме того, необходимо
(2L±!) Г /т sin z* Л, /и=2к+1
7 о (* = 0, 1,...).
, 1
m-f
sup fsup|/m)<*)|l«r а ^Цк(2т + \ )] 2. (2.17)
tewe[i| U-6R I
Доказательство. Пусть K(z) —m\z~m~l £ М. Тогда
Ф(^) = (it)m и из равенства (2.13) находим
2 V «в / J («Г
—а
Отсюда, после элементарных преобразований, получаем
равенство (2.16). Наконец, в этом случае U%[f, x] = /(ш)(х),
I2[/]=/m)(0) и (2.17) следует из равенства (2.14).
Следствие 3. Для того чтобы функция f0(z)б Wf] [1]
была экстремальной для задачи о нахождении
'"••-.л.1{'з1/{*+-Ь-/(*
где р—данное число, 0 <£*■<—, необходимо и достаточно,
с
чтобы она была представима в виде
\п , Л Т/ sin а г — —- I sin (г + "Г")
/e(z)-i—г—t- —-—^- ———
J°K * У*. \ о? -Sin ар ) \ р Р
V -±
Z + Y
1.(2.18)
235

Экстремальная функция /o^JO'/ofa = 1) единственная. Кроме
того,
Доказательство, Положим
'~Т ' + '2
Тогда нетрудно заметить, что
Ut\f,x\-f[*+\)-f{*-\\
ф (о - 2/ sin £, I, Ф ц; = уц*-«п*^
Далее , в силу равенства (2.13) имеем
in л 9" * Sin-T- ,
y°V ' /* V«P-3lna?; J . . ft*
—<j l Sin -r-
_ «i (_8 f .2f sin»*. sin iL*.
/Л5?- sin a3 / J 2
0
Отсюда следует равенство (2.18). Наконец, (2.19) легкз по
лучается из равенства (2.14).
Следствие 4. Для того чтобы /0(^)6 Wi2> [1] была
экстремальной для задачи о нахождении
11^4 [fix] Ц = sup [sup \af(x) + b*f(x)\\,
feW(2)[ij I x€R J
о
необходимо и достаточно, чтобы она была представима в
виде
/o(*)_£!:t/":zei^^ (2.20)
где а, Ь и a—произвольные вещественные числа.
Экстремальная функция /о(^) (||/о|!2== 1) единственна. Кроме того
*■
з
\иА
U\fix\\ = fY±±2£-. (2.21)
236

Доказательство. Положим
Тогда
Z* 2
U [/, х] = af (х) + bof(x) - UK [/, xl
LAf\=UAfiO]=af(0) + bof(0),
!,Oj* = ]/-!. а2 (а2 + 3й2)2. (2.22)
Кроме того, в силу равенства (2.13)
—а
Далее, учитывая, что
' 2 J л: d* V ' 2 J
—a —cr
из (2.23) легко получаем (2.20). Наконец, равенство (2.21)
немедленно следует из равенства (2.14) при наличии (2.23).
3. О наибольшем уклонении от нуля интегрального
оператора в многомерном случае в классе W- [1]
Через UPg-^Jl] обозначим единичную сферу в пространстве
W^\ т. е. совокупность функций/(л:), для которых ||/[р<П,
где a = (оь ..., оп), х = (хи ..., хп). Рассмотрим некоторый
линейный оператор £/[/, х], определенный над пространством
W&K Остановимся на следующих задачах: оценим величину
!£/[•= sup sup|£/[/,*]|, (2.25)
f6W<?)[l] x€Rn
a
затем построим экстремальную функцию fo{x)(< W- [ 1-], для
которой
I£/||#-sup|£/[/o,x]|, (2.26)
x6Rn
и исследуем вопрос о ее единственности. Здесь для /С*)€ HP-
будем рассматривать операторы*:
* Подобные задачи рассмотрены Ф. Г. Насибовым [90(4)].
237

2)U2[f,x\ = D*f(x),
где 5j,..., 5П—целые неотрицательные числа и | s j = ^Н-.-.+^п;
где а и А—заданные вещественные числа (1<^/, к<я,
»,У = 0, 1, 2,...)-
1. Рассмотрим оператор Ux[f, х\ =/(.*) и положим
М/]=*М/, 0]=/(0).
Известно (см. § 3, гл. II), что для любой целой функции
(р)
/(*)€ UP- (/?>1) имеет место тождество
/(Х)=(тП/(0 П°'. ('" + *")<«. (2.27)
Rn K=I
Отсюда следует, что
LAf\ = (^)n$f(nhD,k(tK)dt (2.28)
Очевидно, L{ [/]—линейный функционал над пространством
^V (/?^1)- Применяя неравенство Гельдера, аналогично
тому, как это было сделано в § 1, гл. IV, из равенства (2.28)
получим
n !
1 \п
М/1|<(-)ПЯчИ/1!ЧПак»,
к=1
где
Д, = |Я(*)Ь. Я (*)-—, —+ — =1. (2.29)
л: /> q
Из последнего неравенства при ||/||р < 1 следует, что
iM/]i<(-5q)nrif. <2-3°)
^ * ' к=1
С другой стороны, из тождества (2.27) при ||/J!P<M находим
1^«[/,*]|<(4-^)П1И- (2-31)
^ ' К=1
Следовательно, при любом /?>1
f6SwupJZ^/]l<IKK(T<)nnf' (2.32)
где Bq определяется равенством (2.29).
238

Покажем, что постоянный множитель в правой части (2.32)
являемся наилучшим только при р = 2 и это неравенство не
превращается в равенство ни для одной функции f(x) £ U7(-p)
при /7^=2. Допустим, что для некоторой функции /0(-х)б W{p
(1</?<2) неравенство (2.32) превращается в равенство, т. е
\LX Ш !! - \UX Г = (- Д,)" flaPL. (2.33)
В дальнейшем функцию /0(^) будем называть экстремальной
для функционала, если она удовлетворяет равенству (2.33).
То, что /0 (х) является экстремальной .функцией из класса
U7- [1] для функционала Lx [/], означает, что для нее
неравенство (2.30) обращается в равенство. А это возможно тогда
и только тогда, когда выполняются условия: . .-.v.
1) arg/0(*)= «•= const,
2) |/о(01р = Л П|Я.к('")|ч И>0), (2.34)
3)|1/оРр-1.
Из этих условий следует, что экстремальная функция /0
должна иметь вид
/0 (О =- Л^.^П —i—• П|Лк(<к) р, (2,35).
где
А, (*к)
к=1 °к v к/ к=1
р
-lY\\\D,K(tK)\\q . (2.36)
Из равенства (2.35) видно, что f0(t) является целой функ*
цией тогда и только тогда, когда #> 2—целое четное число
Поэтому, считая <7>2 целым четным числом, формулу (2.35.
можно записать в виде
/o(0 = ^'Wri^(M ! ■ (2.37)
\к=1 J
Заметим, что DQ (t) = 512-2. есть функция из класса WoP\ при-
любом р > 1, поэтому функция/0 (/), определяемая
равенством (2.37), принадлежит классу U7((§Li)5[l], где
Следовательно, при /7=^=2 построенная функция f0{t) не
принадлежит тому классу, в котором мы ее искали, т. е. при.
233

р Ф 2 в классе W- [1] нет экстремальной функции для
функционала Lx [f] и для оператора Ut[f,x]. Иными словами*, при
рф2 (/?>1) ни для одной функции /06 W- [1] неравенство
(2.30) не обращается в равенство. По этой причине нетрудно
заметить, что в данном случае
(КЛ)-1-ZS-fl of
И
f0(t) = №е1л П*^-
является целой функцией из класса №-[1], причем для нее
выполняются равенства
itf.i/o.oii-^yfi-r-
К=1
*>Wi[f.xU=\Lt\f\\ = \Li[fo]\. (2-38)
Следовательно, /0(х) является экстремальной функцией и для
оператора Ux[f, x]. Кроме того, в силу строгой
нормированное™ пространства W— и леммы 5.2.1 экстремальная функция
(2)
/о(х) в классе W- [1] единственная (здесь и в дальнейшем
с точностью до множителя е{*). Таким образом, имеет место
Теорема 5.2.4. Единственной экстремальной функцией
для задачи о нахождении величины
suplM/ll-I^iir
few-ш
в пространстве W- является
/o^-inr1— -ГК<М <2-39>
к=1
и для нее
1М/о]1Н£Л[/о,*Ц|= П(-г)2- (2.40)
к=1
* Эти замечания остаются в силе и для других операторов и
связанных с ними функционалов.
240

2. Теперь рассмотрим оператор Ut[f,x]. В силу тождества
(2.27)
U,\f,x\ = D^f(x) =
"(т)° fy^D*1 f\D4x« +'«)Л- <2-41)
Rn —1
Отсюда находим, что для функционала L2 [/] = U2 [/, 0] имеет
место представление
M/]=^[/.0]=D|s,/(*)l*=o =
"(тП/(°Д1ЧПЯ..<'«)Л. (2.41*)
К=1
Известно (см. гл. IV, § 3), что при любом целом
неотрицательном т и 1 </?<2 ( 1 = 1) имеет место неравенство
ос
I
dmD (x)
dxm
dx<Tt(pm-\- l) p-1.
Применяя неравенство Гельдера, из равенства (2.41*) получим
IM/]l = sup|£M/f*]|<
хек
Отсюда следует, что
sup \L2[f))<lU2r<(±)n\D^t\DaK(tK) I . (2.42)
feWff[i[ \ « / II к==1 II q
Теперь положим p = q =2 и /0(^) из класса UP- назовем
экстремальной функцией для линейного функционала L2[f],
если выполняется равенство
тс
V* ПО.жцк)
К=1
IIМ/111 = 1 МЛН
Тогда в силу (2.42)
1^2 [/, л] I = 11г [/1«= (^-)П | D^f\ D,k (tK)
K=l
(2.43)
(2.44)
Далее предположим, что Л (х)~экстремальная функция (для
M/J из класса W-). Тогда, аналогично тому, как это было
■020-46 241

сделано выше, приходим к заключению, что /0(л:) должна
иметь вид
Mx)^\fAeiaD^ f\D.K(xK),
к=1
где а—некоторое вещественное число и
D,tlT[DoUK)
к=1
(2.45)
(VAr
Следовательно, справедлива
Теорема 5.2. 5. Единственной экстремальной функцией
для задачи о нахождении величины
в пространстве W- является
Mx)=VAe>aD^Y\D.K(x^
(2.46)
К=1
где число УА определяется из равенства (2.45),
а—некоторое вещественное число и \ s | = st + s2 + • - • + $п. Кроме
того,
1
S„+:
Mfn = W*[f>*\\ =
1 \n
• A > П
ЦУ*\2*к+1)
В частности, полагая в этой теореме п = 2, xt = х> х2 = у,
st = т, s2 = /с, будем иметь
R»
^2 [/, л, у] - (-^)2j j>(*. х)дГ (* + О /#* (у + -0л Л-
R*
Наконец, замечая, что при этом
т+ Г к+ J"
Y(2m+ 1)(2л:+ i) '
получаем
Следствие. Единственной экстремальной функцией для
задачи о нахождении величины
IU2[/]U = l№/.*.y]ll
242

в пространстве U^„ j, является
Мх, у) = *1\Г(2т+1)(2к+\) -а]
XDiT)(x)Di:)(yl
X
где а—некоторое вещественное число и, кроме того,
IIIX [/] II - II Ul [/, X, у ] || = ! • оТ *• о,"+ К
1 U1 U ,J ' */(2/в + 1) (2* + 1) 2
3. Рассмотрим далее оператор U3[/, х]. В силу тождества
(2.27)
+*4-п^(''+",)л-(т)7/('){в^-П'\(^*)+
j «a l
r=l
г=1
Кроме того,
-Ш"1/("К-Па,(м + ^По,('.))<«.
Г=1
г«1
Нетрудно заметить, что Ьъ [/] является линейным
функционалом, а иъ [/", л:] —линейным оператором над пространством
ИР-. В этом случае функцию /0(*)6: W- будем называть
экстремальной, если выполняются равенства
1МЛЫ^»[/.*]11НМ/оЛ =
J_\n
"£"Т1п°А*<) + ь^и^(*<)
г=1
Для оператора L3 [/] аналогично предыдущему доказывается
следующее утверждение.
Теорема 5.2.6. Единственной экстремальной функцией
для задачи о нахождении величины
16*
\U\f\\^\Uz\f,x\
243

в классе W- является
Mx)-YAel- U^flD.t(xr) + b£rf[D.t(xt){ (2.47)
I г=1 г=1 '
где 1 < к, I < п, т, s—производные неотрицательные целые
кисла и
[V^Y1 = III в£=ГК(*> + b аТ-П^г <*> 1
v r=i i г=1 '
Кроме того,
\L*\f\\ = W*\f>*\\
2\п
-л:
(Кл)"
(2.48)
В частности, если в этой теореме предполагать, что числа
т и s имеют разную четность, то получим
и/л)-' =
/ а2т a2s
l/ a2—— TT(™r)'+&2 —— TT(TCOr>!
I/ 2m+l1AV ;^ 2s+l ХХ Ч
Г r=l r=l
Г 2m+l ^ 2s + 1 А1Л '
Поэтому функцию f0(x)i определяемую формулой (2.47),
можно записать в виде
- —/ о2т
х
2s+ 1/ J
X
Наконец, в этом частном случае из равенства (2.48) следует,
что
2m 2s n -~
2m+l 2s+lAX \ тс /
§ 3. УСЛОВНО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В ПРОСТРАНСТВЕ На С (R)
Обозначим через H^C(R) совокупность всех целых функ-
ций f(x)£HaC (#), подчиненных ^)-связям:
^jW-^J С/—1 л), (3.1)
244

где /^—некоторые линейные функционалы, определенные на
множестве ЯаыС(/?), А-} (у =1,..., v)—заданные вещественные
числа, не все равные нулю. Очевидно, Н^] C(R) является
линейным нормированным пространством целых функций f{x)(+
eh.C(R) с нормой ||/|!с.
Определим оценку наименьшего уклонения от нуля
функции f(x)6 Яст(>)С(/?) посредством чисел а и Aj (у = 1,..., v),
другими словами, наименьшей нормы
т = mf Ц/11с
f6H<v>c
при наличии связи (3.1).
1. Монотонная целая функция с одним
заданным коэффициентом Тейлора
Через Н^ C(R) обозначим класс монотонных на
вещественной оси целых функций из класса //jv)C(/?). Для целых
функций <?(х)(*Й^) C(R) связи (3.1) задаются в следующем
виде:
^м=|;<р<к)(о)«К),=^ c/=i,...,v), (з.1*)
где Aj—заданные вещественные числа, не все равные нулю.
1. Прежде всего положим v=| и рассмотрим класс
монотонных на вещественной оси целых функций,
удовлетворяющих условию (?/(-^о)= Ь где х0—заданная точка на R. В
классе //i!)C(/?) имеет место следующее утверждение [14(10)].
Те о ре ма 5.3.1. Для целых функций ®(х) из класса
rt^CiR), удовлетворяющих условию ®'(х0)= 1, где
х0—заданная точка на R, имеем
1п«(1)1*;с=К1с = 7-. (3.2>
<рен,; 'с
где
X
Ax) = $D*(f}dx, D(t) =
sin t
Г(Н
Xo
Доказательство. Заметим, что если <?(х)—монотонная
целая функция из класса fl^CiR), то ее производная <?'(х)
неотрицательна и в силу неравенства (1.1), гл. III, ограничена
на вещественной оси. Тогда по теореме (2.1.10) имеет место
представление
*'(x)=\f(x)\\ /6Л^. (3.3).
2
245,

Обозначим
Т= inf|«p|c,
v€H<»c
причем в заданной точке x0^JR, ср'(л:0)=1. Не нарушая
общности, можно положить, что х0 = 0, так как если <?(х)
является решением нашей задачи при х3 = 0, то © (х + х0) будет
соответствовать общему случаю. Очевидно, что одновременно
с функцией <р(х), наименее отклоняющейся от нуля, в смысле
метрики пространства С(#), будут —<р(— х) и нечетная
функция — [<?(х) — <р(— х)], которая также монотонна.
Следовательно, можно полагать ?(*) нечетной, ср(0)»0, а ее
производную <р' (х)—четной.
В силу равенства (3.3) (так как ср(0) = 0)
<?(x)={\f(x)\*dx,
о
причем из условия срг(0) = 1 следует, что |/(0)| = 1 или
/(0) = е1а, где а— некоторое вещественное число. Так как
ограниченная на всей оси /? четная функция f(x)
принадлежит классу L2{R) и.
Т- l\f(*)\2dx = <r(oo),
то по теореме Винера—Пэли функция f(x) допускает
представление
с
/(*)= teiaF{t)eltxdt.
а
Причем преобразование Фурье F(t) функции f(x)
принадлежит пространству LA ~, ~гЬ Равн0 нулю вне отрезка
~-, -~- и имеет место равенство
тс
Таким образом, нужно обратить в минимум интеграл
и
2~
± 7= §F(t)\*at
246

при условии, что
или
/(0) = *,e= ]ex*F{t)dt
Г F(t)dt=\.
В силу неравенства Буняковского—Шварца
J F{t)dt
<V°b%.
Отсюда'находим, что''f/^l'l >—. Принимая во внимание, что
а
знак равенства в Последнем соотношении имеет место лишь
при \F{t)\ постоянном (\F\e=—J, находим
' ■■ ' i ■ ( . ( ft j-n у , v 1 f at
T = -— и F{t) = —e .
Формула т = — дает искомое наименьшее уклонение. Из
■ сг
ТОГО, Ч ТО
следует
$F(t)dt=l,
— I e at = —sin — =1,
a J aa 2
это возможно, если a = 0, т.е. F(t)===—. Кроме того,
a
a
2~
л) =— е dt ——sin— = Z) —
' a J ax 2 \ 2 У
247"

00
TV ; J \2/ a ^J (2/c + 2)! (2* + 1)
0 k=0
Для монотонной целой функции cp(x)6//i1)C(/?)
выполняется неравенство
1<Р,||с<Т-11?11с (3-4)
и знак равенства осуществляется при
О
В самом леле, функция
удовлетворяет условию ф'(0) = 1 и потому для $(л:) ^имеет
место неравенство
« "" с II *'<*>) !с 1т'(-«о)1 *
Отсюда в силу произвольности х0 следует неравенство (3.4).
2. Дополнительные сведения о теореме С. Н. Бернштейна
Теорема 5.3.1 показывает, что впервые С. Н. Бернштейн
определил подкласс h^]C(R) класса #<,С(/?)== Д,, в котором
его неравенство
1/'1с<в«/!с
может быть заменено более точным неравенством (3.4).
При выполнении условий (3.1*) Б. А. Рымаренко [99(1)1
определял экстремальную функцию ®0(х) в классе H^C(R)y
^><2, имеющую минимальную норму, т.е. удовлетворяющую
равенству
Ыс= inf Ые-
rfc
^ частности з С1уча*, кэгда v = 1,
F[<f] = <f{0) = A, (3.1(a))
им доказано, что если <?(х)£На1) С {R), то при условии (3.1(a)
^меет место неравенство
1<р'"«< 3/5 + 5 ,.fL| f
11 Т 1С 60 тс |! ' 1с
'248

Р. П. Боас [15(4)] показал*, что для целых функций/(х)
из класса Д,, не имеющих нулей в верхней полуплоскости
Im z > 0, индикатриса которых на луче atg z = -^- равна нулю
lh (—) = 0 ], справедливо неравенство
АЛс<-7«/ис- <3-6>
К. Рахман [97(1.3)] установил, что если f(z) не имеет
нулей в нижней полуплоскости (Im z < 0) и h (—) = 0, то
справедливо неравенство
\\flc>~Wflc- (3.7)
Если у функции f(z) все нули находятся на вещественной
оси и индикатриса удовлетворяет условию hi—) = 0,. то в
силу (3.6) и (3.7) имеет место равенство
1Яс=~1/!с- О-»)
Таким образом, найден подкласс Д,, в котором справедливо
равенство (3.8).
3. Об оценке снизу уклонений от нуля целых функций
конечной степени с одним заданным
коэффициентом Тейлора
С. Н. Бернштейн [14(19)], снимая условия монотонности и
ограниченности на вещественной оси целых функций в
теореме 5.3.1, пришел к следующему заключению:
Теорема 5.3.2. Если функция f(x)$Ht такая, что
/'(0)=1 и последовательность {/(к)(0)} ограничена, то
||/с>1, причем знак равенства имеет место только для
функции /0(х) = sin х.
Доказательство. Пусть
1/(к)(0)|<Ж (* = 0,1,2,...),
где Ж>0—заданное число.
Для того чтобы убедиться в справедливости теоремы,
достаточно показать, что существует только одна целая
функция f(x)$Hu удовлетворяющая условиям теоремы и
неравенству !/(х) |< 1, этой функцией является sin jc.
Справедливость теоремы для функции f(x) из класса Ни
удовлетворяющей неравенству \f(x)\> 1, очевидна.
* Неравенство (3.6) для многочленов, имеющих все свои нули на
единичной окружности, получено Дж. И. Мамедхановым [84(1)].
249

Пусть для /(х)^Н^ \f(x)\<Ch улгб:/?. Рассмотрим
функцию <?(х) = sin х — f(x). Очевидно, <?(х) обладает
следующими свойствами: 1) |ср(х)|<2; 2) <р (х) — целая функция
первой степени; 3) <?{х) = а0 + а2х2 + ... (а\ = 0) и
коэффициенты ак (аг-^0, 1,...) равномерно ограничены; 4)' Ак =
(- 1)к >0, |ЛК|<2. Знак
функции f(x) в точках (к + —) тс определяется знаком sin x.
Определим теперь функцию ty(x):
Акх
Здесь Ф(а;) есть целая функция и в точках (я-| ]тс
(3.9)
?П*+^1с]в(-1)Мк („_0, ± 1, ±2,...).
Положим далее <р(*) —ф (■*) + й(-*), где A(x) = /?(x)cosx и
/? (х)~некоторый многочлен. Очевидно, Л (л;)—целая
функция первой степени. Докажем прежде всего, что для
вещественных х
|<1>(.к)|<Л1п+|х|+5,
где А и В—положительные константы и
jln|x|, если | х | > 1,
[ О, если |*| <1.
В самом деле, пусть
Рассмотрим сумму
1п+|*| =
5:
00
)•
<
оо
■2-
к = Ко+2
у «
<
к=Ко4-2
1
тс (а: — *0) [к +
«7
п=2
*о + y
л(л + л:о 4- — j
250

n + KQ + —у
1
1 00
<-Ly/JL 1 ),
* JkJ\ n n + к0 + 1 )
n=2
тс V 2 3 к0-\-2
< —1п(к0 + 2)<С1п|х|,
где \x\ > 2. Отсюда
cos л:
00
<Cln|jc|,
где C>0—постоянная. Кроме того, на основании
интерполяционной формулы (3.9)
00
sinx= cos л:
s
[[к+т)*-х]{*+т)%
(3.9* >
и члены этой суммы, соответствующие значениям # = кдУ.
к0 + 1, ограничены (аг0 определено выше). Поэтому
COSJC
^[(ж+т)—*](ж+т)-
<Cln| jcl
Отсюда в силу того, что Л>0 и члены суммы (3.9),
имеющие индексы #>к0 одинакового знака так же, как члены,
имеющие индексы к < к0, получим
♦ (•*)!< 2
COS X ^ .'
+
2 / J\ 2 ;
+ 21 2| <2C#ln|xj,
для произвольного х
\^(х)\<А + В\п+\х |. (3.10)
Пусть теперь z находится на окружности радиуса г = Ы с
центром в начале координат. Заметим, что
оо
s
«>.
<
2
[(••i)
к +~1х
ЛМ
^[(-+т)-'«':
< 2С 1п+ | 2
к+т1*
+
53
к<ке
<
2Cln+r„
25 Г

и так так |coszKe'z|, то на указанных окружностях, а
следовательно для произвольного z, будем иметь
1ф(г)| <e*z]{Aln+\z}+B).
Вследствие условий теоремы коэффициенты ак ряда
00 '
у(х) = а0 + ^-±-х"
к=2
ограничены, откуда следует, что для любого комплексного z
|cp(z)|<C*'z|.
Из последних неравенств следует, что
\h(z)\<elz]{Aln+\z\ + B),
и значит степень h(z) не выше единицы.
Далее из (3.10) и ограниченности <?(х) на вещественной
оси следует, что на этой оси |А(*)|<Л + 51n+| x |. Кроме
того, при любом положительном е(0<е<1)
,. h (x) Л
lim -~ = 0.
Тогда, согласно теореме 5.1.3, R (х)—многочлен степени не
выше е, т.е. нулевой степени. Таким образом, R(x) есть
постоянная а и <?(х) = ty(x) + olcosx. Но, с другой стороны, из
равенства у'(x) = Y(x)~~ asmx следует, что
A 1С*
к=-оо \ 2 /
и так как ф/(0) = 0, а Л>0, то Лк = 0 (# = 0,1,...) и
потому ф(л:)==0. Отсюда вытекает, что
<?{х) sinx —f(x) = olcosx
или
f(x) -= sin х — a cos x = V" 1 -t- a2 • sin (P + *),
где sin В = —т-а-——.
Наконец, так как ]/(*) |< 1, то /l +a2| sin (p + x)| < 1,
откуда при * - — p следует, что a 0 и потому /(.*) = sin х.
Следствие 1. Пусть целая функция
13)
252

удовлетворяет условиям:
1)/'(0) = 1, 2) |а«|<Л*а" (Ж = 0, 1,...). Тогда Шс > —
и знак равенства достигается только для функции f0(x) =
__ sin ex
Доказательство. Это утверждение непосредственно
следует из теоремы 5.3.2, если принять во внимание, что
Л(х ) = /(—) есть целая функция, удовлетворяющая
условию /i (0) = — , и такая, что
а
/.<*>-S3-
. , ак I =
К\
7=0
<М.
Следствие 2. Если целая функция f(x)^H<3
удовлетворяет условию/'(0)== 1, тоа||/|с>1. Знак равенства
достигается для функции /о(^)= ——.
Доказательство. Пусть f(z) удовлетворяет условиям
теоремы. Тогда в силу равенства
1\тУ\/к)(0)\ = о
к-*оо
для любого s > 0 можно найти такое Д, что
IfcKAIP+O1 (* = 0, 1,...),
и в силу следствия 1
\\Лс > -х--
Отсюда вследствие произвольности s > 0 вытекает, что |/|)с>-
а
Следствие 3. Если /(х)^В^ то /'(■*) lie ^°ii/lc-
Доказательство. Пусть f'(x0) ==» -,,/' с. Рассмотрим
функцию
* ///'lie
Очевидно, g(x) удовлетворяет условию g/(-^o)=l- Тогда,
применяя следствие 2 к функции g(x), получим нужное нам
неравенство. Таким образом, из теоремы 5. 3. 2 следует
неравенство С. Н. Бернштейна (см. (1.1), гл. III).
253

4. Об оценке наименьшего уклонения от нуля
целых функций конечной степени
с двумя заданными значениями
Наименьшее уклонение от нуля целых функций с двумя
заданными значениями изучено С. Н. Бернштейном Ц4(19)]г
который установил следующее утверждение.
Теорема 5.3.3. Среди целых функций О(х) степени ау
получающих значения G(x0) = a, G(x{) = b в двух данных
точках х0, хи где 0<л:1 — х0 = ф < —, а указанные значе-
с
ния таковы, что
(Ь - a cos о?) {b cos ар ~ а) > О, (ЗЛ 1>
функцией (единственной), наименее уклоняющейся от нуля
(на R), является
л/ v b sin а (х — х0) — a sin о (х -— х{)
sinaji
причем
||O!'c>Af0 = max|S(^)| =
= -?— • \fo? + b2~ 2ab cos op. (3.12)
sin cji
Доказательство. Тот факт, что М0= max |S (■*)], дока-
x6R
зывается непосредственно. Очевидно,
sin ар • $(.*) = ( b cos ал:0 — a cos а^х) sin ад; —
— {b sin ад:0 — a sin ах) cos ах,
и отсюда
maxl S(x) sin a(J| =
xeR
= I/ (&cosax0 — acosa^)2 + (6sinax0 —asina^i)2 = (3.13)
= У a% + b1 — 2#ft cos (Xj — x0)a.
Таким образом, из (3.13) имеем
| St*) I - —^—Ydl + b2 - 'lab cos ap.
sin op
Из выражения S'(x) видно, что
max
- oo<x<oo sin ой
с
S'(x0) = ^—(b-cos#),
sin a£
sin a3
Следовательно, условие (3.11) равносильно неравенству
S'{xQ).S'(xt)>0. (3.13')
Принимая во внимание, что при сдвиге промежутка (х0, х^)
числа М0 и sup \G(x)\ сохраняются, можем считать, что
264

L <ox0 <axt < -^-. Из выражений для 5(x) и 5'(^)
видно, что 5' (— j = 0 равносильно равенству
5(0)=-6slng^ + flSln^«0. (3.14)
V ; sin ар V '
Заметим, что можно зафиксировать точки х0, л;, так, чтобы
54—1 = 0. В самом деле, из (3.14) имеем
a sin о (х0 + р) = ft sin ax0.
Отсюда
. Л sin a3
tg^o=T L—Г.
0 — a cos ap
где 6 — a cosa(3 ф 0. Из последнего равенства определяется
число х0, а тем самым и х1? так что 5(0) —0 эквивалентно
равенству 5'[ —) = 0. При этом S(x) = M0slnox (для
определенности полагаем, что 5/(x1)>0). Действительно, из
выражения 5 (х), имея в виду условия (3.14), находим, что
S(x) = (b cosoa:u — a cos axt)- sin ax.
sin a(3
Отсюда с помощью равенства (3.9) получаем
s^x,slnGX j/V + b2 __ 2ab COS o|T = Af0 sin ax.
Sin a[S
Докажем теперь невозможность существования функции
степени а, отличной от 5(х), такой, что sup|G(x)|< M0. По-
х
лагая
ф (х) =» А/0 sin ax— G (х),
на основании формулы (3.9) мы имели бы
00
А
<?(х) = cos ах | Л —
к=—оо
2
+ '
^Н* + -уЬ г+ Т
где Л и Асв (— 1 )к ? (я + — ) — > 0 — некоторые
постоянные. Но так как каждое слагаемое суммы, вычитаемой из
А убывает с возрастанием х на ( ~, — ], то <р(л:) имела
бы не более одного корня в этом промежутке, а между тем
из равенства
<Р (х) = MQ sin ах — G(x)
255

видно, что
Следовательно, необходимо, чтобы все Ак=А=0 (#=±1, ±2,...)
При р> —, как и в случае нарушения неравенства (3.11),
inf:|G1ic = max(|6|,|a|),
(G)
так как, полагая для определенности |&|>|а|, видим, что
G(x)== b coso^x — xt)
степени oi^.o удовлетворяет условиям G(xx) — by О(д:0) = а,
если b cos atp = a.
Рассмотрим теперь совокупность всех функций G(x),
удовлетворяющих только одному условию:
\Q(xt)-Q(x0)\ = \b-a\ = L.
Если yv = min sup \G(x)\ соответствует значениям a, 6, удов-
(х)
летворяющим (3.11), то вследствие (3.12)
. У а* + Ы - 2ab cos op . /(a - bf + 2ab(\- cos a?)
N = mm = min — —-—-* — =
sin op sin op
a? op
1% +4b(b — L) sin2 — L cos —
min
V-
sin a? sine? 2sin_a£
2
и равенство осуществляется функцией
L sin ox
S(*):
oS
2s.nT
при 6 = — a=—. Но значение <7V не может получиться
без (3.11), так как тогда мы имели бы
sup| G(*)i>max(lH N)> т •
(Х) 2sin4
2
В этом случае
/V = min sup \G(x)\ = max{\b |, \a\)
(X)
и функция
G(x) bcosa^x — xx) (|6|>|a|)
степени at<o удовлетворяет условиям G{xt) = b, G(x0)~a,
если b cosojP = a.
256

Таким образом, из равенства
\G(x1)-G(x0)\ = L~2Nsln£-
при ^ = л+ — и х0 = х — следует неравенство
I О (х + -$-) - G (х - -£-) I < 2sin 4- sup | G (x) I
I \ 2 / \ 2/i 2 (x) I
Это неравенство в случае р = — очевидно. Если В > —, то
а а
|0(х + -|]-0(л;-^-)|<28ир|0(л:)|1
и это неравенство не может быть улучшено, так как
равенство осуществляется, если G(x) =sin о^х, где ох =— <о.
Р
5. Наименьшее уклонение от нуля целых функций с
тремя заданными коэффициентами Тейлора
Задача об определении ^целой функции G(t) степени не
выше о, наименее уклоняющейся от нуля на всей оси, при
задании
O(a)eflo> G'(a)=0, G"(a) = a2 (3.15)
в некоторой точке а, впервые была рассмотрена С. Н. Берн-
штейном [14(19)], а затем Н. И. Ахиезером [5(3)]. Заменяя
G(t) через G(/ + a), приводим общую задачу к случаю а=0.
Следовательно, — [G{t) + G( — t)] также является решением
поставленной задачи и мы можем ограничиться лишь
четными функциями G(t). В таком случае условиям (3.15)
удовлетворяет функция степени ах -*С <* вида*
G (t) = a0coso^.
В самом деле, G(0)=a0, G'(0) = 0, G//(0)==a2 = — a0a?, если
Те орем а 5.3.4. Среди целых функций G(x) степени
< а с тремя заданными коэффициентами Тейлора:
G(0) = a, G'(0)=0, G"(0) = a2 = —а0<й (3.15*)
при условии, что
^> 1 или -^<-а2, (3.16)
а0 а0
* Условия теоремы 5. 3. "* выполняются для функции G (t), если Ь == 0.
1020—17 257

функцией, наименее уклоняющейся от нуля на
вещественной оси, является
G (t) = М cos /o¥+7,
где
(3.17)
М&
М cos £ = а0, sin с = а
я г < тс является корнем уравнения
°2 tg С + — £7 = 0.
Доказательство. Первое утверждение не нуждается
в доказательстве, так как вполне очевидно, что
sup|G(0/>|a0|.
(t)
С другой стороны, положим в равенстве (3.17) o2z2T=a2£2-fc2.
Тогда в силу интерполяционной фэрмулы (1.8), гл. II,
cos
УаЧ2 + С2 = COS OZ =
sina£
sin as:
2ог
I л;2^2_а2г2
к=1
=- Sin Va42 + C" -7= h >,-! -5-9- ,
f a*f-• + c-' ^J c2K - a2 ^2
L к=1 J
где Гк = к2к2 — £2 при fc>0, если 0<с<к. Аналогичным
образом, пользуясь формулой (1.5*), гл. II, всякую
ограниченную четную функцию f(t) степени о можно представить
интерполяционной формулой:
F (0 = УаЧ2 + с2 sin fa2t2 + с2
F\f
a-72 + С2
00 / Cif \ "1
-г 2
2
К = 1
3/2
(3.18)
Поэтому, если бы существовала функция стгпени не выше о,
которая уклонялась бы от нуля меньше, чем G (t), то
существовала бы функция F(t) вида (3.18), у которой
(_l)K/r/iK\ лк>0 (*«1,2,...)
и /•"(О) = /r/(0)=/-v/(0) =0. Но это невазможно. так как
(*-'(f)}''№>-"'<4£ + 22^1
L к=1 J
258

F'(0) = 2**csinc Г- A + 2 J£ A|
•- к=1 J
Отсюда видно, что F(0) Ф 0 иР (0) ^ 0. Полученное
противоречие показывает, что нет функции с уклонением от нуля
меньшим, чем уклонение функции, определяемой равенством
(3.18).
Пусть, например, а0 =- 0, а2 = 1. Тогда из равенства
Mcosc = a0 следует, что с = — и среди функций
00
к=3
степени о наименее уклоняется от нуля на вещественной оси
функция
G(t) = M0cosVo42 + —,
г 4
причем число УИ0 = — определяется из равенства —sin с=а2
2 о* с
при с -- — и а2 = 1. Если при том же а2 =■ 1 данный
относительный минимум а0>0(так как #1 = 0, а2>0) будем
увеличивать, то абсолютный экстремум М > а0 функции G(x),
наименее уклоняющейся от нуля, также будет возрастать от
М0 до оо, так как с будет расти от — до тс. Если же
относительный максимум а0<"0, то М>—А0, причем
М 1
| а0 \ cos с
>1
лишь при О < с < —, т. е. *пока а0 < —; после этого M~—a0.
Функции G(t) при любых с, отличных от нуля, обладают
таким свойством, что
sup|G(K)(0l=*K^.
(t)
В отличие от случая с = О указанное значение не достигается
ни при каком конечном t. Однако при с = О
0(/) = Ж cos at, |G(2k)(0)|-^*k
и
17» 259

6. Целые функции, наименее уклоняющиеся от нуля
вне данного промежутка
Пусть Яа(£, М) — множество целых функций G(x) степени
о, принимающих в некоторой точке х = £ значение М:
G(5) = M (а<1<Ь). (3.19)
Определим функцию G0 (x) 6^(5, М), наименее
уклоняющуюся от нуля на всей внешней части действительной оси,
вне промежутка [а, Ь], и соответствующее наименьшее
уклонение:
М*. (a> b)) = La.
Очевидно, что сдвиг промежутка [а, Ь\ вместе с точкой £ не
меняет значения L?, поэтому, не ограничивая общности
задачи, можем положить а = — 6, а также принять, что G(k) =
= М > 0.
Решим сначала соответствующую алгебраическую задачу
определения многочлена степени 2/г, наименее уклоняющегося
от нуля при данном X>ft>0 на двух отрезках [—X, — Ь],
[ft, X] среди многочленов Р2п{х) той же степени 2/г,
подчиненных условию Р2п(\) = М, где — 6<Е<6. Для этого
построим многочлен
T2ntX(x) = (~\rL(n,l)cosnarccos ™~J^ + b2) -
/ х* - №
= ( — l)nZ,(ft,X)cos2/zarccos V —
где Z, (/г, X)—постоянная, не зависящая от х. На каждом из
рассматриваемых отрезков
|^2п.х(*)|<*(Л.Х).
при этом значения ± L (п, X) с чередующимися знаками
принимаются на них в 2(п +-1) точках ±Ь, ± х{,..., + xnl, ± X,
где xK-±lA2 + (X2-*&2)cos2 — (к = 0, ±1, ±2,...,±л).
г 2/г
Поэтому, если постоянную L (п, X) подберем так, чтобы
Ж = I (Л> X) cos 2n arc cos Y^~^~^ (3*20)
то Г2п х (х) будет искомым, наименее уклоняющимся из
многочленов Р2п(х), удовлетворяющих условию Я2п($) = М.
Действительно, если бы существовал многочлен
\Р2п(х)\<Ь(пЛ) на [-Х, -Ь] и [ft, X],
то на каждом из этих отрезков многочлен
260

имел бы не менее, чем по п корней, т. е. вместе с корнем Е
имел бы 2п + 1 корней, что невозможно. Но если М фикси-
ровано, а л-> ос вместе с (целым) п-+уо так, что — -> о по-
л
стоянно, то при всяком конечном х (если полагать для
определенности п четным)
/х2—Ь2 1 /х2
, = Hm cos 2п arc sin I/ —
А2_А2 „ _ Г }2.
n—oo ' A2—b2 n-^oo Г l? — b2
~= lim cos 2л l/^—^ = cos a J/Oc2 — ft2.
n->00 f X2-^2
Отсюда, в частности, следует, что если в равенстве (3.20) М
фиксировано, то
lim L (я, X) =
ccsa У&—№
2М
exp(a yr*2Zrp) + exp(^7Vr^"Zrg2)
Таким образом, полагая
G0 (jc) = La cos a |/"jc2-ft2
видим, что
ЬА^Л-Ь, b)) = L. Ш
= U (3.21)
ехр(о Ytf — P) + exp(-a ]/>_«)
представляет собой наименьшее уклонение от нуля вне
промежутка (— ft, ft) целых функций G^ степени о,
удовлетворяющих (3.19), так как знаем, что все ограниченные
функции G (х) степени а являются пределами при п->оо
многочленов Рп{х) степени п, ограниченных при — Х<л;<^Х, где
— <а + е при произвольно малом е (см. §2, гл. II). Следо-
А
вательно, по доказанному, неравенство \G(x)\-*£La+t при всех
x2>ft2 невозможно ни для какого е>0. Поэтому Gq{x)
осуществляет наименьшее уклонение. Таким образом, приходим
к следующему заключению.
Теорема 5.3.5. Среди целых функций f(x)^H0>
удовлетворяющих условию (3.19), функцией, наименее
уклоняющейся cm нуля вне промежутка (— й, ft), является
G0(x)^L,-cosa V x2 — b\
причем наименьшее уклснение L<, определяется равенством
(3.2./).
Сле дствие. Если вне отрезка [—6, Ь\ выполняется
неравенство |G(x)|<^Z., то на всей оси имеем
\G(x)\<±{e°h+e-°b)L (3.22)
261

и знак равенства достигается лишь для функции
G0(jc) *= L cos а |Лс2 -б2"
в точке л: == 0. В самом деле, если 5 находится вне отрезка
[—6, 6], то M^CL и неравенство (3.22) очевидно, а если
— 6<$<й, то на основании теоремы для М = \G (1)\ -имеем
2М _ = / <L
ехр(а 1^2 _ £й) +ехр(-о \ГЬ* — £2)
или
М = | 0(6) |< — [ехр (а / б2 - Р ) + ехр (_ 0 /ftTZrp)].
Отсюда следует (3.22).
Определим теперь функцию G(t) степени о, наименее
уклоняющуюся от нуля вне отрезка [ — ft, ft], если задана ее
производная G(m)(0) = am какого-нибудь порядка т при *=0.
Предположим сначала, |что т = 2аг0. Тогда искомая функция;
G(t), которую мы можем считать четной, так как —[G(f)-L
+ G (—/)], тоже удовлетворяет требованию задачи при
заданном Д2к* и имеет вид
^J (2к)! (2к0)! ^U <2к)1
к=0 к=к0-|-1
Полагая ^2 = х, получаем функцию полустепени а:
1 ' V ' ^ <2к)1 Т (2ко)! Jj <2к)1
к=0 к=Ко+1
у которой задана к0-я производная
//(Кв)(0) = -^-а,к ,
наименее уклоняющаяся от нуля при х^>Ь2. Отсюда следует
что
h(x) = M cos a V~^irb\ 0{t) = M cos a V^2 — ft2,
где наименьшее уклонение М определяется из равенства
а2к, = М [cos о К^^Р]^ = -^ -Ж• [cos о у—&№>.
Если задана производная a2Ke-i = ?(2к§_1)(0) какого-нибудь
нечетного порядка, то соответствующая задача разрешается
элементарно лишь в случае 6<^—, а именно: функцией G(t)y
наименее уклоняющейся от нуля, будет М sin at, где Mo2*0-1*»
= a2Kol, так как G(t) = УИ sin at наименее уклоняется от нуля
262

даже на всей оси. Напротив, при ft > — наименьшее уклоне-
1Ь
ние вне отрезка [—ft, ft J меньше, чем значение
а0
М =
*?Ко-]
которое соответствует функции М sin at и выражается при
помощи эллиптических функций. Не останавливаясь на
подробностях, отметим, что тогда искомая функция G(t),
наименее уклоняющаяся от нуля вне отрезка [—ft, ft], имеет вид
G(*) = AJcos<p(*),
где o(t) представляет эллиптический интеграл:
t
(f« — 52) atf
ср(/)«оГ
о
Y(t*—№) {р- f)
в котором ( при данном ft > —) оба параметра определяются
из условия Ga(0)=-~0, т.е. <р(0)=± —.
Наряду с функциями
степени с, наименее уклоняющимися от нуля вне
произвольного данного отрезка [a — ft, a + ft], функции
G(t) = MG0 (t - a)= M cos V(t-a)2 + b2
являются наименее уклоняющимися на всей вещественной
оси среди целых функций степени о, зависящих от трех
данных параметров. Как нетрудно видеть, получающаяся в
случае ft = О функция
MG0(t-a) = M cos o(t — a)
является наименее уклоняющейся от нуля среди функций
степени а, подчиненных двум соответствующим условиям:
например, если заданы G(0) = a0, G/(0)=a1, то функция G(t)
степени о, наименее уклоняющаяся от нуля на всей оси,
равна
G(/) = Mcosa(* — a) = a0COSa/+ — sina* (3.23)
a
при a0 = A/cosaa, a, =aMsinca, откуда наименьшее
уклонение
M^±Va2a20+ai .
a
Аналогичное утверждение остается в силе, когда заданы
С(к)(0)=аки G(K+I)(0)==aK+1.
263

Вследствие (3.23) находим тогда, что
\\Gw\\c>±VJal+al+l,
откуда
1°"с>-4+Г1/Г°2«к + акн-1
Знак равенства имеет место, когда Ga(£) вида (3.23). Таким
образом, С. Н. Бернштейн показал, ьто решение его задачи
должно выразиться либо в элементарных, либо в
эллиптических функциях, в зависимости от значения параметра. Это
обстоятельство побудило Н. И. Ахиезера [4(3)] рассмотреть
следующую задачу.
Среди всех целых трансцендентных функций f(z) степени
<^а, удовлетворяющих условиям
/(0) = Д /(0) = В,
где А и В—заданные вещественные числа, найти ту, которая
на вещественной оси наименее уклоняется от нуля.
7. Отклонение от-нуля целой функции конечной степери
при данном весе
Пусть со(z)—целая функция класса Р степени о. Выразим
отклонение от нуля функции f(x), определенной на
вещественной оси, при весе |a>(x)|, величиной
мя
/
Следующее утверждение, принадлежа д^г Б. Я. Левину [77(6)|
является аналогом теоремы 5. 3.2.
Теорема 5.3.6. Из всех вещественных целых функциь
конечной степени т, меньшей или равной а, и вида
f(x) = а0 + ахх + ... + an_i хп~~х + хп+
+ ап+1хп+1+... (л>0) (3.J4)
единственной функцией, дающей наименьшее отклонение
от нуля при весе \&(х)\, является
/о(*) = л! Re " (*} .
Доказательство. Для функции /0{х) имеем
264

Пусть некоторая целая функция fix) вида (3.24), конечной
степени t<o удовлетворяет неравенству
i^)Ki^Wrl(B(x)l {xeR)-
Введем обозначение
<*\ ( г ) — 7^\ ^ ( Z )
и заметим, что
•(,в) (0) = -^гш<п) (0) " п-=/(п) (0)-
Кроме того,
|/(*)1<К(*Л. <3-25)
Следовательно, по теореме 3.1.11 для f(z) одновременно с
(3.25) выполняется неравенство
nl (">j
l/(n)(*)l<RV)l
co<n> (0)
'(«*)
В силу теоремы 3.1.11 из того, что последнее неравенство
превращается в равенство при х — О, т. е. /п (0) = со1п (0),
вытекает
f(x) = 1 + atx + a2x2 +'... .
В самом деле, из равенства
f(z) = с^г(г) + с2^(*) (|сх | + Iс21 = 1)
следует, что
fn)(x) = cii^)(x) + C2^)(x).
Отсюда /{п)(0) = п\ -- cji\ + с2п\, т.е. с{ + с2 = 1. чт0
возможно при с, = at + /6 и г2 = а2 — /ft. Тогда at + а2 = 1. Наряду
с последним равенством имеем
1 =ki 1 + 1*21 ~-^+ Ь2+ У а1+Ь2>аг + а2^\.
Отсюла следует, что b = О, т. е. сх и £2 вещественны.
Наконец, из того, что функция
fix) =■ cts(x) + c1it(x) + c2s(x) — icitix)
является вещественной, следует [ci = с2.
Замечание. Если считать /г = 0, т.е. зафиксировать
свободный член в разложении fix) — 1 + а\х + а2х2 + — » то>
очевидно, функция
/Л*)-Re
со(0)
265

дает наименьшее уклонение L выражения Лш[/]. Од-
| О) (0) |
нако в этом случае нельзя утверждать единственность
экстремальной функции. Например, при a>(£) = £iz все функции
f(x) = coslx, |X|<1 дают отклонение, равное/(0)= К
Естественным развитием этой задачи является задача о
нахождении единственной целой функции конечной степени с двумя
заданными коэффициентами, дающей наименьшее значение
/,«, [/]. По поводу этой задачи имеет место следующее
утверждение Б. Я. Левина (см. [77(6)], стр. 491).
Теорема 5.3.7. Пусть u)(z) = s(z) + it (z)—целая
функция класса Р, конечной степени о>0, без вещественных
корней, отличная от показательной функции Ce+az и от
многочлена степени, не большей [о]. Тогда из всех
вещественных целых функций конечной степени z <; о вида
f(z) = а0 + а{г + ... + an-i zn~l + azn + bzn+l+
+ an+2zn+2+..., (3.26)
где а и Ь фиксированы, единственной функцией, дающей
наименьшее отклонение Ьш [f\, является
ft(x)~As(x) + Bt(x),
где А и В выбраны так, что fx (x) имеет вид (3.26).
§ 4. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ W^
1. Экстремальные задачи в классе W^2) для функций
с конечным числом заданных значений
Обозначим через Q* множество целых функций f(z) из
класса W^ удовлетворяющих условиям
/К )=plf..., /Ы-Pi., (4.1)
где alf... , ап —попарно различные вещественные, рь ..., рп—
произвольно заданные числа, такие, что хотя бы одно из рт
(//г = 1, /г) отлично от нуля. Определим функцию /0 (z),
удовлетворяющую условиям (4.1), с наименьшей нормой
I/ob^lnf |/,.2.
f€Qff
Теорема 5.4.1. В классе Q* существует единственная
целая функция f0 (х) с наименьшей нормой
|j/0|]2 = inf|j/f2. (4.2)
f6Qa
266

Доказательство. Пусть
T(o) = inf||/|i2.
f€Qff
Тогда существует последовательность функции /к (z)€ Q*
такая, что
Нт|/кР2-т(<»).
к-»оо
Из компактности {/k(z)} в пространстве L2{R), где/K(z)6 W*
(к = 1, 2,...), следует, что существует подпоследовательность
//Kv(z)}, сходящаяся в метрике пространства Z2 (/?), причем
предельная функция/0 (z) = l.i.m fK^ <z) принадлежит тому же клас-
<су QCT. Кроме того, в силу (4.2) 'J/ol^ = Т (°)- Очевидно, если
лоследнему равенству удовлетворяет еще функция g(z) £ Q», то
?(*)= у I/o(s)+ *(*)]
является также экстремальной функцией, так как
T(^<il?l'2<y!k(V.+ f |1/о"2 = тИ-
Последнее возможно в норме пространства L2(R), если только
f0(x) =-- cg(x), где г—постоянная. Отсюда, полагая Р^О и
z = alf получаем, что Pi = с р2» т. е. с = 1 и g(z)=f(z).
Таким образом, доказаны существование и единственность
экстремальной функции нашей задачи, которую обозначим через
/о (2).
Для построения экстремальной функции /0 (z) £ Qa будем
пользоваться тем, что любая функция /(£)€Qa (или /^а)
может быть представлена в виде
/(*)= 2 (Дк + Шк)£>(аг--^), (4.3)
к=— оо
где D(z) = — sinz, причем
1/1 =f ^(«ЧаО- (4-4)
к——оо
В самом деле, по теореме Винера—Пэли, если функция g(z)£ Wt
(при о=1), она представляется в виде
—1
где 9(0б^(- 1.1). Заметим, что функция еш при
фиксированном z может быть представлена равномерно сходящимся
на отрезке [— 1,1] рядом Фурье:
267

еш = V с*<Гх\
где
1
Ск = -1 Г eHz~K*n dt = D (« - we).
-1
Следовательно,
К=—00
И поэтому функция g(~) представляется в виде
00
g(z) = 2 aKD{z — дас),
К=—00
где ак = Дк + "*«— комплексные числа. Если g(2)€ W^, то
Л21) = g(°z)€ Wa и /(зг) представляется как (4.3).
Пусть рк = рк + *"Рк (я=П"я). Из связей (4.1) и равенства
(4.3) находим:
Ф] = ^ ^D(aaj— от),
К=— 00
00
(4.5)
Таким образом, задача о построении экстремальной функции
/о (2) сводится к минимизации суммы:
к=—оо
при условиях (4.1).
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа
(вместо множителей Ц возьмем — 2Xj), имеем:
Отсюда
268
получаем:
ди'
дак
ди"
дак
дФ]
дак
д<
дак
= 0,
= 0.

ак = 2 hD(aai - к-)*
n
(4.6)
aK = VX D (oaj — лж)
j=i
где /с = 0, ±1, ±2,.... Благодаря (4.6), равенства (4.5)
примут вид:
п оо
2 Х- ^ ^K-w)D(w,-№) К (4.7)
j = l К=—00
2 *j 2 ^(aa, —wu)D(oa,-iw)=p:. (4.7*)
j^l K=— 00
Разложив функцию D[a(z — aj)] в интерполяционный ряд
Лагранжа и положив затем z = a^ получим
оо
D[*{z-*i)\
= 2 ^(oaj — Kn)D{aZ — Kit)
av к=— oo
00
= S ^(oai — #TC)£>(oav — #*).
K=— 00
Таким образом, для определения множителей Xj и Xj из
равенств (4.7) и (4.7*) получаем две системы уравнений:
п
2 Xj'D[o(a, —aj)]=p; (v=l,n),
j-i
2X;D[a(a,-aj)] = p; (v=l,«).
(4.8)
(4.8*)
j=i
Эти системы имеют один и тот же определитель
Д =
Til Tl2» • • • » Tin
721 Т22» • • • » T2n
I Tnl ТП2' • " • ' Tn
где Tv. = D[a(av-a.)].
Очевидно, 7vj отличны от нуля, поскольку ab...,an попарно
различные.
Обозначив через Д|,..., Дп, Д'ь ..., Дп соответствующ ие сп
ределители неизвестных Хь ..., Хп, л",..., Х'п в- системах урав -
нений (4.8) и (4.8*), находим:
26Э

>-i=-y, *I=y С/- l.-...я).
Отсюда, учитывая равенства (4.6), будем иметь:
11 \
D (3!Xj — Kit),
j=l
ак
\д,
*- V -^-i-.D(eaj -K-)D(oav-Arjr).
(4.9)
(4.9*)
м. j = l
Из (4.9) находим
00
U'. = mln LP = \\ai = У]~дГ~' \ D(3ai-iCK)D(o<L,-icK)
K=— OO j, V=l к — OO
|Д.Д.
^^i,,,.^,,,.^,;.
Аналогично доказывается, что
n //
Из (4.4) получаем выражение для нормы экстремальной
функции /o(z):
1
i/o г.
^2(д^+л»р")
v=l
(4.10)
Сама экстремальная функция в силу равенства (4.3) имеет
вид
/о(«)=2
А, + /Д
• D[a(z-av)].
(4.11)
Таким образом, приходим к следующему заключению.
Теорема 5.4.2. В классе Qe существует единственная
целая функция /0(z) £ наименьшей нормой, которая
определяется равенством (4.11,) а ее норма—равенством (4.10),
где A, Av, A'l—опрздзлители неизвестных К, ^1 (#=1,л) в
системах уравнений (4.8) и (4.8*).
Из этого утверждения при п = 2 вытекает
Следствие 1. В классе Qa функция
/о(*)={! - D* [a(a2 - сч)]}-1^?,—раГ> Ka2~ai)])'£>Hz-«i)] +
+ (Pi-PiO[a(a2-a1)])D[a(z-a1)]}
270

является единственной функцией с наименьшей нормой
В /„ h = I— • '^12~2^^-Д[а(а3-а,)1 + (^п'"
U02 16 l-D.Ke.-o,)] J *
В частности, при а„ = О и а, = «, полагая р1=/(0)=1 и
р2 — 7Г(ТС) = 0, находим
Л>(*> = 1-ваи-/)(аг)~Д(1СЗ)0(8г)
И
l/epf-|JL.__» f.
U 1 — Z)2 (т:о) j
2. Экстремальные задачи в классе Wil) для функций
с конечным числом заданных значений
Обозначим через Pt множество целых функций f(z) из
класса Win (неотрицательных на /?), подчиненных условиям,
/(*.)-&,...,/К)-Рп,
где <*!..., an—попарно различные действительные числа, р,>0г
?2>0,..., рп>0—заданные числа. Построим функцию /оС*)
из класса Pt с наименьшей нормой [58(1)]:
l/ol'i^infl/l!,.
Известно (см. теорему 2.1.10), что всякую функцию
/(z)€ Wil) на вещественной оси можно представить в виде
f(x) = \ty(x)\2\ где ф(л)е UP,, причем [Д = |ф|2. Таким об-
2"
разом, наша задача сводится к нахожденик^функциифоС21)^^ >
2"
наименее уклоняющейся от нуля при условиях
«K«i) - ]^М'\ ..., ЬЫ = VTn A
где 0<;6v<2tc, v= 1,л. Решение этой задачи в силу формул
(4.10) и (4.11) имеет вид:
п
1Уо\ = ЯФо*2 = |J- 21^РГ(Д» cos в, Н- aZ sin в,). (4.13)
271

Числа 0t,..., еп следует выбирать так, чтобы сумма (4.12)
принимала наименьшее значение. При п = 2 из формулы (4.13)
находим
P/ol'i-
2те
F ^;a cos (О, - G2) • D J -у (во — «!)] + ?2
1 — D*
I a '
[T(a2~ai)J
В частности, полагая/(0)= 1 и /(т) = 0, получим
1
I/ol|i = ~-
При /(0)==1, /(«)=!, также из Аормулы (4.13), находим
I /о ■ 1 —
2ti
2-2003(6,-6a)D(yJ
1-Z)2
2
1+Я
2m-
•, тэ мэжно поло-
Из (4.12) видно, что если а.> — а{
а
жить 0t = 02 = 0.. Если а2 — at = ——, то а2 > а{ и можно взять
а
6i=0, а 02 положить равным 0 или тс, смотря по тому, при
каком из этих значений
cos 62,sin ~ (а> — °ч) > О-
Другими словами, 02 можно определить из равенства
б 2= Sign-Sin у (a2 — «i).
Так как 0t выбирается произвольно, то экстремальная
функция не будет единственной. В силу всего вышэиз тзженного
равенство (4.13) можно записать в виде
IIУ о 1— —.'
a
'■VWh | О [у («2 - «l)] | +
1—D2
yfe-1)]
Замечание. М. М. Джрбашян и А. Б. Тазияч 13)(1 )]
среди всех функций /(jc)6 l^q с заданными тел 1)рзз:.<^м и
коэффициентами:
/(2к)(0) = а2к (а:=0, ..., /7— 1) и/2к+1)(0)=а2к+Г(л-1,...-,?-1)
нашли функцию /0(г), минимизирующую норму |/,|2. Класс
272

таких функций обозначается через WQ {а2р_2, a2q_j}. Заметим
что в силу теоремы Винера—Пэли экстремальной функции
/0(г)= {e^%(JL)du
соответствует <р0(л:) 6Z2( — 1,1) с коэффициентами Фурье—Ле-
жандра:
1
^0(x)XK^x)dx (к=-0, 1,...).
-1
где
X
(2а:)!!
(х* - 1)к
(* = 1,2,...).
/2
Доказана
Теорема 5. 4.3. Среди -всех f(z) из класса W„ {#2р_2 ,
^2q-i} (/* ^ 1» <7> 0 минимум нормы ||/f2 реализует функция
р-1
/о(*) =
q-1
2к-}-—
(-1)ка2к]Лга(4к+1)-- 2
(«)
^
+
к=0
)Ка2к+1 ^™(4л: + 3)
2к+-
(«)
^
гдг ак—коэффициенты, Фурье—Лежандра функции ©0 (л) «
/"Т » + :
n+jr- "тс
d \n sin t
tdt
t
(л«0, 1,...)
функция Бесселя. Кроме того,
min|i/||2 = ||/0r2= |2iw|
Из этой теоремы, в частности, вытекают следующие
утверждения.
1) В классе Wa{a0, 0) минимум нормы \f]2 реализует
функция
/о(г):
V
а0 1/ тса
лри этом
J021—is
£ ' 2
-f=-=a0D(oz),
273

2) В классе W9{0,at} минимум ||/||2 реализует функция
_ /L(«)
/. /гч 3at -I/"тса _2 3aj rsin_of cosg-г "1
/ol~J — а2 У 2 * ^j - а2 1^— ■— J,
при этом __
$foh-V~\at\
3) Среди всех функций из класса Wa{a0i at} минимум
нормы Ц/.'з реализует
2 2
sina* . Зал Tsina^ cos аг 1
= U0 Н —L T^9 '
аг a L (a>)2 а<г J
,!/о,1={те['^1+^)Г
3. Об оценке наименьшей нормы функций из класса
W$p) с конечным числом связей
Рассмотрим класс Wi9) (р>1) целых функций <p(jc)6 ^1р)
неотрицательных на вещественной оси /?. Предположим, что
ср(л;)б И^р) подчинены связям
^j(?) = 4 (y = l,2,...,v), (4.14)
где F — некоторые линейные функционалы, определенные на
множестве Wip\ а Л]—заданные вещественные числа, причем
g^lj =£0. Определим оценку сверху и снизу для величины*
1<Ро"р = inf ||?||р
<p€W(P)
при условиях (4.14). Функцию <?0(х) будем называть
экстремальной в классе Wip). Заметим, что <?о(х) Ф const, ибо в
противном случае не выполнялось бы одно из условий (4.14),
или ||<Ро||р не было бы конечным.
Нам необходимы в дальнейшем следующие факты.
1) Если <р(х)6 ЙР), то
SO
1 1_
р Pi
НР1< ^г В?Ь, • (4-15
* Результаты получены совместно с Б. А. Рымаренко [57(1)].
274

где s = i(p) и 1</?<А<°° (см. §1, гл. IV).
2) Если 1 </? <рх < эо, то
Пусть Ф0(^) и <р0 (х)—экстремальные функции нашей
задачи соответственно в классах W„l) и W{a9) (р> 1). Тогда из
4- 4- /
того, что Wi1]CZ W^ap), следует неравенство
р-1 1_
1?о1!р<1|Фо'р<(||Фо"с) Р -(ЦФоМ9. (4.16)
Приняв в (4.15) р{ = ос, найдем
ii?oi'c<(-^-j -:i<Porp.
или ;;?o|p>^P.;;cp0|ic, (4.17)
где s = i(p). Обозначив через /0(-к) экстремальную функцию
нашей задачи в классе UP;00' s= Дт, получим
^0<»/о,,с<1!?о1с
и, следовательно, (4.17) примет вид
;?о:Р>(-^)Р!!/о"с>(^)Р^. (4.18)
Из неравенств (4.16) и (4.18) вытекает
Теорема 5.4.5. Если Ф0(х) и f0(x) являются
экстремальными функциями нашей задаяи, соответственно, в
+ m + = о4"
классах WI } и W? — Д> , то для экстремальной функции
<Р0(л:) в классе Wip) (1 < р <оо) справедливо неравенство
<|Ф0|1р<(1|Ф0?с)р •('Ф0|'г)Р. (4.19)
Видоизменим оценку (4.19). Заметим, что если Ф(х) eWi1}
подчинена связям (4.14), то при v<2 среди экстремальных
функций найдется в этом классе
Фо(*) = [Ф(*)]2, <[>€»;, (4.20)
2
JS* 275
Vc<

где ф (л;)—некоторая целая функция степени ~ ,
принадлежащая L2(R), и согласно теореме Винера—Пэли ${х) предста-
вима в виде
а
2"
_ixt
<!»(*)- Jt(*)* Л, (4.21)
где T(<)6Lj(— -i-, -j), причем
J°[<l>(.«)]2rfjc-2u f [T(x)]2d (4.22)
—00 а
T
Запишем формальное разложение функции f(t) по
нормированным на отрезке I—5L, — полиномам Лежандра pfn(0}
Т(0= \як£к(0, (4.23)
К=0
т
где ак= j т (*)&(<)<#•
а
~~2~
В силу (4.20), (4.22) и (4.23) найдем, что
ст
]Фо11 = |[Ф(*)]2^«2* j [t(012^=2«2«« '(4-24:>
R __а к= О
Г
Кроме того,
<0 j \T(t)*dt=o y^al m (4.25)
а К=0
"г
Итак, из неравенств (4.19), (4.24) и (4.25) вытекает, что
р—1 i_ 1
11Фо!'Р<[« 1*41 Р Гг«2 «*Т — (-Т *2<* ■ (4-26>
L к-0 J L к=0 J V ° j к-0
276

Таким образом, и силу (4.25) и (4.26) из неравенства (4.19)
следует
Теорема 5.4.6. Пусть функция
Фо(-«)=[ф(л)]2б^а(,)
подяинена связям (4.14) и v <2. Тогда для нормы \ <p0fp имеет
место неравенство
i_ \_
( — J ^o<|j?o|,p<^(—) Хак> (4'27>Ч
к=0
где 5 то же, кто и ь неравенстве (4.15), а
а
2
а
7
а
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи доказанных
теорем.
1) Пусть число v = 1 и условия (4.14) имеют вид <р(0) -= 1.
В этом случае с0= 1. С другой стороны, а0 = -?= , ак = 0
У °
(а: =- 1, 2, ...) и экстремальная функция
ф.<*) = (£ sm f)2efe>.
Благодаря этому, неравенство (4.27) примет вид
где 5 = 7(/?).
2) Пусть теперь v = 3, а условия (4.14) таковы:
<Ро(0)=1, <Ро(0) = 0, 9;(0) = аа2,
где а—заданное число. В этом случае экстремальной функции
Фо (■*) 6 WI} при условиях Ф0(0) = 1, Фо (0) -- ао2
соответствуют коэффициенты
277

Поэтому правая часть неравенства (4.27) приобретает вид
bi:P<(ff-4-5(ftt+1)2.
С другой стороны, как показывает теорема 5.3.4, при
указанных условиях экстремальная функция в классе Ва
равна pcos8(/) с нормой Цц!1, а р и 6(1) определяются в
зависимости от а следующим образом: если — 1<а<;0, то jj. = 1 и
9 (t) = ot; если же а< —1 или а > 0, то |х = М и 9(0 =
= }/"о2<2+р2, причем числа М и р определяются из системы
уравнений
JWcosp=l, Jn2!LL = _fl> р<*.
Поэтому в данном случае
2* \р ,.. , ^ „ . , ^ / 2* У\ 4_+ 5 (12а + 1)2
№'<iv,<£)T
4
Отсюда при а= и |»jl 1 == 1 получаем неравенство (4.28).

ГЛАВА VI
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ЛИНЕЙНЫХ
НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Как и раньше, будем пользоваться следующей записью:
если g(z)£Hay а ее сужение на /? g(x)£E(R), то g(x)£HaE(R).
Здесь и в дальнейшем каждой функции f(x)£E(Ft) ставится
в соответствие функционал вида
А(/)е= inf If-gtE,
g€HaE
который называется наилучшим приближением функции f(x}
в смысле метрики пространства Е(/?) посредством целых
функций из класса Я* Е(/?). Если для целой функции g0(x)£HE
осуществляется равенство
А(/)е = |1/-Ы1е,
то go(x) называется наименее уклоняющейся целой функцией
из класса #СТЕ(/?) от f(x) в смысле метрики пространства Е(/?).
§ 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Е (#п)
Рассмотрим вопросы существования, единственности и
некоторые способы нахождения целой функции g0(x)^H^E,
наименее уклоняющейся от заданной функции f(x)(<E(R) в
смысле метрики пространства Е(/?).
1. Понятие наилучшего приближения целыми
функциями в пространстве Е(/?п)
В дальнейшем (и в многомерном случае) каждой функции:
/(х)бЕ(/?п) ставится в соответствие функционал вида
g€HaE
где о = (ot,..., ап), который называется полным наилучшим
приближением (или просто наилучшим приближением)
функции f(x) б Е(/?п) в норме пространства Е(/?п) посредством
целых функций из класса Н-Е (/?п). Аналогично одномерному
случаю, если для целой функции g0(x)^N-E(Rn)
осуществляется равенство
Л-(/)е = !1/-£оЙе.
279

то go(x) называется наименее уклоняющейся целой функцией
из класса H7E{Rn) от функции/(x)t-E(/?n) в норме
пространства E(Rn). Для функций многих переменных f{x)£E(Rn)
наряду с полным наилучшим приближением А- (/)Е вводятся
в рассмотрение еще и так называемые частные наилучшие
приближения.
Пусть Я-(т)>х(п-т) Е(#п)-совокупность функций g(x)£E{Rn),
являющихся целыми функциями степени о(т) = (о],,,.,от) по
переменному х{хп) = (хи ... ,хт) при фиксированных значениях
других аргументов x(n~m) = {хт+и ..., дгп) (см. п. 3, § 1, гл. III),
где тКп. Предположим, что f(x) £ E (Rn) такова, что она как
функция х{т) с фиксированным х{п~т) принадлежит
пространству E{Rm) при ут^п и справедливо равенство
,'!/!E(Rn):=Z||{!l/,E(Rm))||E(Rn_m)>
причем в правой части внутренняя норма берется по
переменному х{т\ а наружная—по остальным переменным (см. (1.13)»
гл. III). Величина
^■*w-"\^™jf-
g\
E(Rm)
является функцией [от фиксированных переменных х{
,(n—m)
-(*
т+1
А-.
х„). В дальнейшем
Хт)
.(/)
= \\А
»(/.
(а—т)
in!
ihVR
E(Rm)
(Rm)l|E(Rn__m)"
E(Rn-m)
будем называть частным наилучшим приближением функции
/(х) в смысле метрики пространства E(Rn) по группе пере-
с(ш) .
^Г(п^Е(#п).
менных х""'* = (хи ..., хт) посредством функций из класса
Пусть теперь <р = ?(.£)> 1 — непрерывная функция в /?п,
функция f = f(x) принадлежит пространству E^(Rn) и g{x) —
произвольная целая функция из класса h-Eo (Rn). Величина
A-(f)P =-А (_/% = inf П/—£
в€Н-Ев
Е?
называется наилучшим весовым приближением в смысле
метрики пространства Ее (Rn) функции/=/(.*) посредством
целых функций из класса H-E^iRn). В случае п=\
употребляется обозначение
Лв(/)Е^= inf J/-g;!E = inf К"'
280

Очевидно, при <р==1 имеем:
Заметим, что в определении наилучшего приближения целыми
функциями в одномерном, а также в многомерном случаях
пространства Е9(У?) и Е<р(/?п) можно, соответственно, заменить
любым из известных нам линейных нормированных пространств.
Отметим наиболее часто встречающиеся частные случаи.
1) Пусть Е(/?П)==М (#п), где М (Rn)—класс функций,
измеримых и ограниченных в пространстве /?п. Тогда
^/) = ^(/)c=jnBfj!/-g,c(Rn)
называется наилучшим равномерным приближением функции
/(л) 6 М (Ra) посредством целых функций g(x)^B- в
пространстве Rn.
2) Пусть Е(/?„)== Lp(Ra) и/(х)6МЯ--). Р> 1- Тогда
fi-E(Ra)=W® и
*"(/)^ -(/)p=ge^>!i/-glip
называют наилучшим степенным приближением (или
приближением в смысле метрики пространства L?(Rn)) функции/(х)
посредством целых функций g{x)^W{^] (/?>!). В
частности, в случае р = 1
gew<'>
называют наилучшим приближением в среднем функции
f(x)£L{Rn) целыми функциями из класса W^\ а в случае
р = 2 величину
называют наилучшим среднеквадратичным приближением f(x)<
на Rn целыми функциями из класса Wf\
3) Пусть Еср(/?п) = Сср(/?п), где ?(л:)>1 непрерывна в про"
странстве 7?п. Тогда #^ = 5- и
л?(Л = ^ 1/-«гРс = inf It — 1
9 g€B-, с* вев-^U т
называют наилучшим равномерным приближением с весом
?(л:) функции /(^)бСср(/?п) целыми функциями g{x)^ Ba- .
4^ Пусть E<p(^n)^Ip>cp(/?n), причем ?(х)>1— та же
функция, что "и выше. Тогда fi-E^ W{^\ и величину
28*

a, <p
называют наилучшим степенным приближением степени р с
весом <?(х) функции f(x)£Lv, 9(/?n) целыми функциями g(x)(*
£ W%\- Очевидно, при ср = 1
ло- (/)Ci s л - ,г/)с, А-а (Яр,, = л- (д.
Таким образом, заменяя Е(/?п), а также Е<р (/?п) другими
линейными нормированными пространствами, можно дать
понятие наилучшего приближения'функций из этих пространств
в смысле их метрики посредством целых функций из
соответствующих классов.
2. Существование целой функции, наименее уклоняющейся
от заданной функции в пространстве Е(/?)
По поводу существования целой функции из класса #вЕ,
наименее уклоняющейся от функции f(x)£E(R) в смысле
метрики пространства Е(/?), справедливо следующее утверж-
делие:
Теорема 6.1.1. Для каждой функции f(x)£E{R) среди
целых функций g{x)£h0E(R) существует g0(x) такая, кто
!/-Ые= inf \\f-gk = A,(f)z. (1.1)
Доказательство. Пусть /(•*)£ Е(/?) и 1!/,е<М. Из
определения величины Л*(/)е следует, что А,(/)Е<|1/||Е<М.
Пусть {an}—некоторая убывающая к нулю последовательность
положительных чисел. Рассмотрим последовательность целых
функций {gK(x)} класса ЯвЕ(/?), для которой
A,{f)E= lim|/-fo|E. (1.2)
Очевидно, в силу (1.2) последовательность {gK(x)} можно
выбрать так, чтобы выполнялись неравенства
1!/-£к!:Е<А(/)Е + ак (*=1, 2,...)-
С другой стороны,
I! gK(x)\E = UgK-f\ +/,:e<|!/- gh + ||/||е<
< fz + А,(/)Е + ак<2М +ак,
т.е. последовательность норм {'!£к|е} ограничена.
В силу компактности множества //*Е(/?) в смысле метрики
пространства E(Rj можем указать последовательность
натура ьных чисел {#j}, обладающую тем свойством, что последо-
ва ельность целых функций {gK.(x + ty)} сходится по норме
282

пространства Е(^?) к функции g0(x+iy) при каждом
конечном у. Кроме того, предельная функция go{x-\-iy) является
целой функцией из класса Я*Е и удовлетворяет равенству
А»(/)е"" !/ —golfe. стало быть, g0(x) наименее уклоняется от
f{x) в метрике Е(/?). Теорема доказана.
Нетрудно заметить, что теорема 6.1.1 остается в силе и в
многомерном случае: для f(x)£E(Rn) существует целая
функция g0(x)&H-E (/?п), наименее уклоняющаяся от нее в
смысле метрики Е(/?п), т. е.
ЛГ(/)е=1/-*о"е.
Отметим несколько следствий из теоремы 6.1.1.
1. Пусть Е(/?) = /Й(/?). Тогда имеет место
Следствие* 1. Для любой измеримой ограниченной
функции f(x), х 6/?, существует целая функция g0(x)^B„y
наименее уклоняющаяся от нее в метрике /W (/?), т. е. такая,,
что
Лст(/)= inf vrai sup \f(x)— g(x)\ =■ vraisup \f(x) - g0(x)\.
g6Bff x€R x6R
Аналогичное утверждение имеет место в многомерном случае..
Следствие 2. Для всякой f(x)£L9(R), /?>1,
существует целая функция g0(x) б W{0?\ наименее уклоняющаяся or
нее в смысле метрики 1р(/?), т. е. такая, что
lf-go*p = A9(f)p.
Подобные утверждения имеют место и в многомерном
случае**.
3. Существование целой функции,
наименее уклоняющейся от заданной функции
в весовом пространстве Ет (/?)
Пусть © (*)> 1— непрерывная функция на /? с
характеристической функцией
гп
с<Яга(0= У)Лк*к (Лк>0). (1.3)
Известно (см. следствие 1 из теоремы 3.1.5), что семейство
{g(z)} целых функций из пространства Н,Е? компактно в-
смысле метрики пространства Е<р(^). Это утверждение дает
* С. Н. Бернштейн [14(6)], стр. 371—375.
** Заменяя пространство Е (/?) пространствами L*p(—тс, тс), др (R), Dp(Ry
и др., можно увеличить число следствий.
283-
а (/) = sup
iy|<t
1 li

нам право сформулировать следующую теорему,
доказательство кг^орой ничем не отличается от предыдущей.
Теорема 6.1.2. Пусть ?(.*:)> 1— непрерывная функция
на R с характеристической функцией a(t),
удовлетворяющей условию (1.3). Тогда для всякой функции f(x)£E9
существует целая функция g0(x)^Ji9Ev такая, кто
^(/Ц^-^ОЕ^!^*
9 ' II ?
Аналогичное утверждение имеет место в многомерном
случае, т. е. в пространстве Р9(/?п), где ?(х)—непрерывная
функция на Rn с характеристическими функциями
«,(0- sup |^L±iL£ii
| у |< t Ц ср (X)
<
C(Rn)
<Pm(t) -- %AKt« (Лк>0, j- 1,2,...,л). (1.4)
Заметим, что теоремы 6.1.1 и 6.1.2 остаются в силе,
соответственно, в пространствах др (R) и £р(#)>^р(Д) (пРи /^l)-
Теорема 6.1.1 в случае Е(#)===УИ (R) (ср=1) доказана
С. Н. Бернштейном ([14(6)], стр. 371—375), а теорема 6.1.2
в случае Еср = Жср {Я*)—Р. Г. Мамедовым [63(5)], при условии,
что
?(*, у) = (а + х2*)(Ь+у2т1
где а>1, b > 1—постоянные, п и т— натуральные числа.
4. Некоторые свойства наилучшего приближения
целыми функциями в пространстве E9(R)
Отметим некоторые свойства наилучших приближений
^■(/)е9 функций f{x)£Ef целыми функциями из класса ИаЕ9,
которые непосредственно следуют из определения (<?{х)^> 1 —
заданная непрерывная функция на R).
1) Если {ок}—возрастающая последовательность
положительных чисел, то
>ЧОЧ>Аак+1(/)Е?>0 (« = 1,2,...). (1-5)
В самом деле, при увеличении к класс //„кЕ<,,(/?) расширяется:
MaiEf С //„Е,(Z- • CftnE,C" • (1.6)
2) Если X—любое постоянное, то
AAVh,-\MMfK>
Действительно, обозначая через g0(x) целую функцию,
наименее уклоняющуюся от f(x)^E9(R) в смысле метрики
пространства Еср (/?), будем иметь
584

Умножая это равенство на |Х|, найдем, что
3) Для любых функций fx (х) и f2(x) из Еср(7?)
справедливо неравенство
А, (/, + /2 )е9 < МА К + А. (Ahr (1.7)
В самом деле, если S (х) и Т(х) — целые функции, наименее
уклоняющиеся, соответственно, от/t (*) и f2(x), то
4A+f2)-(S + TyE9<MA)E9=A.{f2)1>r
Отсюда вытекает неравенство (1.7).
4) Если fi(x) и /2(х) принадлежат пространству Еср (/?), то
есть непрерывная функция от X.
Фиксируем Х0 и обозначим через S(-t) целую функцию
наилучшего приближения:
?(К) = А, (А + Х0/2Ц = p/i + Х0/2 - s |е9.
Очсеилно, в силу неравенства треугольника
4 l'/i + ¥2 - sh9 = 'f(/i + Va - s) + (X - x0)/2ц <
<<P(M+I>—V^\
где M — II/2 "e^— неотрицательное число. Отсюда вытекает, что
1?(*)-?(MI<JW|*--U
т.е. <р(Х) непрерывна на /?.
5) Если f(x)£E9(R) и /2(х) не входит в #аЕ<р(/?), то
lim ср(Х) = -f- °°.
Действительно, в силу утверждения 1)
что в силу наилучшего приближения можно записать и так:
Но так как Ла(/2)Е(р>0, то утверждение становится
очевидным.
6) Если S{x)~~целая функция из ЯаЕ9, то для всякой
/(*)€Е9(/?)
AAf+S)E^A,(fhr (1.8)
Действительно, так как Лст( S)^ =0, из утверждения 1)
вытекает неравенство
A,(f+S)E9<Aa(fhf.
285

С другой стороны, в силу того же утверждения
АЛЛе, = А([/+ S] - S)E(p< A9(f+ S)zr
Из этих неравенств следует требуемое равенство (1.8).
Нетрудно заметить, что аналогичные утверждения имеют места
и в пространстве Ef(/?n).
5. Критерия существования целой функции,
.наименее уклоняющейся от данной функции
в пространстве C{R)
Одной из важнейших теорем наилучшего приближения
функций посредством многочленов данной степени является
найденное П. Л. Чебышевым условие [92(2)], необходимое
и достаточное для того, чтобы многочлен наименее
уклонялся от данной непрерывной функции в рассматриваемом
конечном промежутке. Здесь приводятся некоторые аналоги
теоремы Чебышева, которые были получены С. Н. Бернштейном
1Н(6,7)].
Теорема [6.1.3. Для того чтобы функция 5(^)бЯа
была наименее уклоняющейся от данной непрерывной
функции /(*)€ С(R) и число
L = \\f-Sh * (1.9)
представляло наилучшее приближение f(x) при помощи
целых функций конечной степени <о, L = Ат(/)с,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О целая функция
у(х)£На, удовлетворяющая неравенствам
|9(?)I>1. m[/(6)-S(6)]>Of (1.10)
во всех точках ?, где
JL-e</(6)-S(6)</., (1.11)
не могла быть ограниченной, на всей вещественной оси /?.
Доказательство. Обозначим через Xe(f,S) множество
точек £, в которых выполняется неравенство (1.11) при
некотором заданном в>0. Положим, что S(x) удовлетворяет
условию теоремы, и докажем, что она наименее уклоняется от
функции f(x) на /?.
Допустим обратное. Пусть наименее уклоняющейся от f(x)
является функция Т{х)£Н9 и существует число е1 > е такое,
что
I/- T[Q = L* = L - 2e, < L. (1.12)
Рассмотрим целую функцию
y{x)=±[T(x)-S{x)\.
286

Покажем, что <?{х) удовлетворяет условиям (1-10) во всех
точках множества Хг (f, S). Если t£Xe(f, 5), то из
неравенства
I ?(&)!>- {!/(?)-5(б)| -|7Ч5)_/(?)|}
£1
на основании (1.11) и (1.12) находим
| Т(5)| > i- (Z. - s - Z, + 2st ) = 2 - — > 1,
£i £i
так как — < 1. Справедливость неравенства
?(«)-[/(6)-5(5)]>0 (1.13)
во всех точках %(<X&(f,S) получается из следующих
соображений:
а) Если в точке S разность /(£) — 5(Е) отрицательна, то
-Z </(?)-SOK-I + e (1.14)
и
?(6)=—{[n6)-/(6)] + [/(?)-5(6)J}<
< — [L - 2е, - L + е] = - 2 + — < 0._
£i £i
Следовательно, в точках £, где выполняется [(Ы4)>
одновременно имеет место неравенство (1.13).
б) Если в точках ?б^е(/,5) разность /(£) — 5(S)^0, то
Z-«</(?)-.S(5)</: (1.15)
и поэтому
<p(g)>-L(Z-e-Z + 2e1) = 2- — > 0.
Гаким образом и в точках £, где имеет место (1.15),
одновременно выполняется (1.13). Ограниченность функции у(х)
следует из неравенства
| <р (х)\<± (L - 2s, + Z) = 2^ -. И < оо.
Итак, существует ограниченная целая функция <?(х),
удовлетворяющая условию (1.10) во всех точках S6^e(/, S). Это
противоречит условию теоремы. Следовательно, 5(х) является
Целой функцией, наименее уклоняющейся от f(x) на /?.
Необходимость. Покажем, что если сушествует
функция у(х)(*На, удовлетворяющая неравенствам (1.Ю) и (1.11)
на множестве л, (/, 5) при некотором е > 0, то S(x) не дает
наилучшего приближения для /(х) в классе /У*.
287

Рассмотрим целую функцию
*t(x) = S(x) + -k<?(x),
где X = и М ---1! 9 |'с.
Af+1
Очевидно, для
ф (jc) = S(jc) + Xcp(jc)
во всех точках l£Xs(fy S) выполняется неравенство
|Д|)-ф(Е)|<1-Х|ср|<1-Х, (1.16)
так как в силу (1.10) ©(E) и разность f(?) — S(£) одного знака
и |ср|>1. В прочих точках х$Хг(/, S), где удовлетворяются
неравенства
\f(x)-S(x)\<L-s и |ср(д:)|<уИ,
имеем
\f-4(x)\<\f(x)-S{x)\+\\v\<L-B + l\l
или
\f(x)-*f{x)\<L-* + m. (1.16*)
Зная, что Х=^—-—, на основании (1.16) и (1.16*) в точках
5 и в прочих получим, соответственно:
Из этих неравенств следует, что на R имеет место
и \ > т ч л \ л* + 1
Следовательно, целая функция ${х) степени <Со дает
уклонение меньшее, чем L. А это невозможно. Полученное
противоречие доказывает необходимость условия теоремы.
Утверждение С. Н. Бернштейна удобно формулировать,
введя понятие о полном множестве степени о. Монотонная
последовательность точек {хк} (а: = 0, ±1, ±2,....)
называется полной степени о, если не существует функции <р(х)£Ва,
для которой (—1)к <р С*к)>1 (к=0, ±1, ±2,...).
Пусть Per—полное множество степени <^о, т.е. существует
функция ср(л:)бЯа, неограниченная на /?, такая, что ;
(-1)к?(^к)>1 (* = 0, ±1, ±2,...), !
и функция g(x)£Hv такая, что в точках хк£Ра
f(xK)-g(xK) = (-\y\\f-g\.
Тогда легко заметить, что
|<Р(*К)|>1 и 1<?(хк) [f(xK)-g(xK)]>0 {к -0, ±1,...),
т.е. функции <?(х) и g(x) удовлетворяют условиям теоремы
288

6.1.3 и поэтому g(x) является наименее уклоняющейся от
f(x) на /?. Следовательно, теорема 6.1.3 может быть
сформулирована так:
Если целая функция g(x)6: Н0 обладает тем свойством, что
разность /(*)— g(x) принимает значение
с последовательной переменой знака в точках некоторого
полного множества степени о, то функция g (х) наименее
уклоняется от f(x) на R в классе Яст.
Примером полного множества точек степени о;>0 может
служить последовательность
хк = -^~ ^а (* = 0, ± 1, ±2,...),
о0 + 1
где о0=[о| ([•••] — целая часть). Действительно, в силу
теоремы 6.1.3 функция, тождественно равная нулю, будет
наименее уклоняющейся на вещественной оси от
f(x) = cos (о0 4- 1) (х — а)
среди всех целых функций степени <о и значит Аа(/)= 1.
Имея в виду, что производная любой целой функции из
класса Ва также ограничена на R (см. теорему 3.1.1),
нетрудно заметить, что если бы для функции <р б Д, имели
место неравенства
(-1)к?(*к)>1 (А = 0,±1, ±2,...),
то при достаточно малом е>0 мы имели бы
IICOS (о0 + 1)(* —а) —е<р(л:):с < 1,
а это невозможно. В самом деле, поскольку
(-l)Kcp(^K)>(-l)KCOS(a0 + l)(^K-a)^l,
то существует такое 8(40,—], что
sign ср (х) = sign cos (a0 + 1) (х — a)
при \х — *K|<8 (£ = 0, ± 1, ±2,...). Для остальных
значений имеем
COS(a0 + 1) (х— а) |< COS 8.
Из теоремы 6.1.3 вытекает
Теорема 6.1.3*. Пусть G—множество точек \, в
которых достигается абсолютный максимум
* Р. Г. Мамедов заметил, что доказательство теоремы 6.1.3 остается
r силе и в многомерном случае [83(1)].
Ю20-19 289

где S{x)^Ha. Если целая функция у(х)£Н<,,
удовлетворяющая неравенствам (1.10) во всех точках множества G, не
может быть ограничена, то S(x) есть целая функция,
наименее уклоняющаяся от f(x) на R и A^(f) = L.
По определению абсолютного максимума для каждой
точки ;0 из О существует окрестность (£0 — а< £ <£0 + а), в
которой выполняется неравенство (1.11). Так как ср (jc)—иелая
функция, то для каждой точки £0 существует некоторая
окрестность (!■„ — ^ < *<£() + т)> гДе ?(■*) сохраняет свой знак
и I ?(•*)!,> !• Очевидно, в пересечениях указанных
окрестностей удовлетворяются условия (1.10) и неравенства (1.11).
Кроме того, целая функция <р(х) не ограничена на R по
условию. Повторяя буквально доказательство достаточности
условия теоремы 6.1.3, легко убедимся в справедливости
теоремы 6.1.3*.
Теоре ма 6.1.4. (Единственность). Если целая функция
ср(л:)£//0, удовлетворяющая неравенству
<?(*)[/(*)-S{x)]> 0 (1.17)
во всех точках, где достигается абсолютный максимум
L — max \f(x) — S{x)\,
не может быть ограничена, то S(x) является
единственной целой функцией, наименее уклоняющейся от функции
f(x) на /?.
Доказательство. Из теоремы 6.1.3 следует, что S(x)
является наменее уклоняющейся от/(л:) на /?. Докажем
единственность функции S(x). Предположим обратное: существует и
другая целая функция Т(х)^Нау наименее уклоняющаяся от
/(х) на R.
Рассмотрим целую функцию
у(х) = T{x) — S(x)£Ha.
Функция <?(х) ограничена на /?. В самом деле, имеем |<?1<^
<.2/.1<эо. Далее так же, как и в доказательстве
достаточности условия теоремы 6.1.3, можно доказать, что во всех
точках 5, где достигается указанный абсолютный максимум,
целая функция ср (х) удовлетворяет неравенству (1.17), Итак,
предполагая, что S(х) не единственная целая функция,
наименее уклоняющаяся от f{x), получим, что существует
ограниченная целая функция ср (л;) (<//<,, удовлетворяющая
неравенству (1.17) во всех точках Е, где достигается указанный
абсолютный максимум, а это невозможно. Теорема доказана*.
* Подобные утверждения имеют место и в многомерном случае [83(1)]-
290

6. Единственность целой функции, наименее уклоняющейся
на вещественной оси от интегрируемой функции
Пусть непрерывная вещественная функция f(x)
удовлетворяет неравенству
l/(^)K YT^ (*e/?' A = const) <1Л8>
и, следовательно, принадлежит пространству L(R). Построим
целую функцию G(x)£ha по интерполяционной формуле
О а +
Q(Z)= sin<gg-g) V(-.i)«- L_iJ-, (1.18*)
ШШш 2 — a —
a
т. е. из условия равенства f(x) и G(x) во всех корнях
целой функции sin a (z — a). Так как ряд сходится абсолютно и
равномерно в каждой конечной части плоскости z, то G(2)
во всяком случае есть целая функция. Можно показать, что
О (x)^L(R), т, е, G(z)Q Wal\ если число а такое, что
выполняется условие
У(-1)к/(*+-) = 0. (1.19)
—_ a
к =—оо
Приведем теорему М. Г. Крейна [74(2)].
Теорема 6.1.5. Пусть для функции f(x),
удовлетворяющей условию (1.18) при некотором о>0, найдено
кисло а, удовлетворяющее условию (1.19), и построена целая
функция G(z) no формуле (1.18*). Если произведение
lf(x)~0(x)] sin о (х — а)
не меняет своего знака на R, то среди всех функций из
класса W?] единственной, наименее уклоняющейся от f(x)
в метрике пространства L(R), является функция G(x) и
величина ее уклонения равна
100
Г f(x)-sign sin а (л — a)dx
^-^Г^^^ЧЯк+Ч*)}
(1.20)
к=0
где F—преобразование Фурье и
,9* 291

£(*)= Г elxu/(u)du.-
—00
Чтобы применить эту теорему к той или иной функции
f(x)> необходимо проверить, что произведение
[/(х) — G(x)] sin а(х — а)
не меняет знака на /?. Для этой проверки часто применяются
следующие теоремы С. Надя.
Теорема 6.1.6. \) "Если f(x)—нечетная функция из
L(R\a
\[t) = Г f(x)s\n txdx
—оо
дважды непрерывно дифференцируема и при некотором
о > 0 для <>о Ь(*)>0» Ь'(')^0» ^(0>0, /?ю произведение
[f(x) — Q(x)] sin ox
«г меняет своего знака на всей вещественной оси.
2) £т./ш f{x)—четная функция из L(R), a
00
\(t) = С f(x) COS ^ЙХ
—оо
дважды дифференцируема и при некотором а > О для
*>а Ц*)>0, Ь'(0<Оэ Х"(г)>0, Х'"(0<0, то
произведение [f(x) — G(x)]cosox не меняет своего знака на всей
вещественной оси.
Замечание. Теорема 6.1.5 является аналогом
классической теоремы А. Маркова об аппроксимации в среднем
функции, непрерывной на конечном интервале (а, 6), посредством
полиномов.
7. Целые функции конечной степени,
наименее уклоняю диеся от данной функции
в метрике пространства LP(R)
Укажем необходимое и достаточное условие (критерий)
того, чтобы целая функция конечной степени наименее
уклонялась от заданной функции в метрике пространства L2(D).
з Доказательства теорзм 5.1.5 и 5.1Л призедены в книге Н. И. Ахие
ера U(5)V
292

1. Критерий в пространстве L2(D). Рассмотрим класс
функций f(z), для которых существует интеграл
1Л2(о) = ( ^\f(z)\2dxdyy< + oc,
где D—бесконечная односвязная область. Напомним, что
функционал
называется наилучшим квадратическим приближением
функции f(z) в области D посредством целых функций g(z)£Ha.
Докажем, что имеет место утверждение [48(5)], являющееся
аналогом теоремы 6.1.3.
Теорема 6.1.7. Для того чтобы целая функция S(z)£tfa
была наименее уклоняющейся от данной функции f(z) в
смысле метрики L2(D), т.е. кисло L =[/— S''Lf(D)
представляло собой наилучшее приближение f(z)£L2(D) при
помощи целых функций конечной степени <. а в смысле
L2{D), необходимо и достаточно, чтобы не существовало
целей дхнкции g(z)^h0L2{D) и удовлетворяющей условию
l\Re[gW\f{*) - S(z)\}dx йуфО. (1.21)
D
Доказательство. Предположим, что условие
выполняется, и докажем, что S(z) наименее уклоняется от f(z) в
смысле L2(D). Допустим обратное: наименее уклоняющейся
от f(z) в метрике L2(D) является другая целая функция T(z)
степени <^о, для которой имеет место равенство
I/-3TlL(D)-A=^->,
где е> 0—произвольно малое число. Рассмотрим целую
функцию g(z) = T(z) — S(z) степени <а. Покажем, что #(#)€
|| g\\ = || T-f+f- So < II П- /|| + II/—SK Lx +L = 2(L-e).
Теперь покажем, что g(z) удовлетворяет условию (1.21):
$fte[7(z)lf(z)-S(z)]\dxdy = $$Re[[T{z)-f(z)] +
D R
+ [/(z)-S{z)J[f(z)-S(z)]}dxdy^
= {[Re[[T(z)-/(zj\[f(z)-S(z)]}dxdy +
D
+ J*jl/(2:) - S (z) |* dxdy = A +/,.
293

В силу неравенства Гельдера
\Il\<[\\T(z)-J(z)\\j(z)~S(z)\dxdy^
Таким образом, мы показали, что g{z) удовлетворяет
условию (1.21). Следовательно, существует целая функция g{z)y
принадлежащая пространству L2 (D) и удовлетворяющая
условию (1.21). А это противоречит условию нашей теоремы и
показывает, что S(z) является целой функцией, -наименее
уклоняющейся от f(z) в смысле Z,2(D).
Необходимость. Предположим, что S (z) является
целой функцией, наименее уклоняющейся от / (z) в смысле
L2 (D), и покажем, что условие теоремы выполняется, т. е.
целая функция n(z), удовлетворяющая условию (1.21), не
может принадлежать пространству L2(D).
Допустим обратное: ^(z) удовлетворяет условию (1.21)
и принадлежит пространству L2(D), те.
Рассмотрим целую функцию
*t(*) = S(z) + \«(z) (Х>0)
степени <о. Очевидно,
1-1= JJl/(*)-*(s)|2rf*tfy-
D
= $$[fW-S{z)-hc(Z)]\f(Z)-S{z)-\*{Z)]dxdy =
= ff|/(2) - S(z)\*dxdy + X2 rj|ic(2)pdjcdy -
D D
- 2X j j Re [«(z) [ f(z) - S (z)]} dx dy = D + № -
-2\^Re{K(z)[f(z)-S(z)])dxdy.
D
При этом, если
JjRe{*(2)[/(z)-S(2)]}dJcdy-Af (Л*>0)
D
есть конечное число, то, полагая
х = Ж (o<e<i),
получим
Z2=I2+4J^_46^ = I2___4Afi q2 v £2_,2 <L2t
Таким образом, имеем
i/-4»:u<d,<ii/-sw
194

Последнее неравенство показывает, что целая функция ty(z)
степени о уклоняется от /(2)6Z2(D) меньше, чем S{z) в
смысле L2(D). А это противоречит нашему предположению
относительно S(z). Следовательно, тс (г) не может
принадлежать пространству L2(D), что и требовалось доказать.
Р. Г. Мамедов [83(1)] заметил, что теорема 6.1.7
переносится в пространство £Р(/?) в случае, когда /?>2—любое
четное число. А. Ф. Тиман [105(2)], снимая ограничение о
четности /?, предложил следующее утверждение:
Теорема 6.1.8. Для того чтобы g (х) б W{a?) среди всех
функций класса Wl?) наименее уклонялась в метрике L9 (/?)
от /(лг)6/,р(7?), достаточно и (при р= 1 в случае, если
разность f(x)—g(x) почти всюду отлична от нуля)
необходимо, чтобы для любой функции <?(х)£ W(0?) имело
место равенство
f\f(x)-g(x)rl'?(x)-sign{f(x)-g(x)}dx==0. (1.22)
Доказательство. Из того, что условие (1.22)
выполняется для любой функции <р (х) 6 Wip\ следует
fg ИI/- 8 Г1 -sign {/- g) dx = 0.
—оо
Благодаря этому и условию (1.22), имеем
f l/HrSfWN- J{fW-g(x))\f(x)-g(x)rlx
—оо ~оо
X sign if(x) - g(x)} clx ~ J [/(x) - ? (x)\ \f(x) - g(x)\<>-1 X
Xsign{f(x)-g(x))dx< f [/(*)-<p(*)|x
— 00
X\f(x)-g(x) rldx^\\f- cpllp-!!/- g\*~\
Отсюда следует неравенство
I/-*lt<!/-<plp.
какой бы ни была функция <?(х) из Wip\ т.е. g(х) наименее
уклоняется от f(x) в метрике £р(/?).
Убедимся теперь, что если g{x)—целая функция
наилучшего приближения, то (при /?= 1, в случае, когда разность
f(x) — g(x) почти всюду отлична от нуля) какой бы ни была
<?(х)£ W^\ имеет место (1.22). В самом деле, если бы для
некоторой функции ?(•*)€ ^р) выполнялось условие
295

j <P (JC)I / (*) - £(*)|P-1- sign (A*) - g(x)}fl!.x ^ p Ф 0,
—00
то при достаточно большом а>0 мы имели бы
f \<?(x)\\f(x)-g(xf-1dx< -1|р|.
J О
1Х|>а
Выберем 8>0 так, чтобы для любого множества Е(—а,а) с
с mes E < 8 выполнялось неравенство
\\<?(x)\\f(x)-g(x)\p-1dx< -1|р|.
Е
В силу известной теоремы И. Н. Лузина [92(1)] можно4
указать на [—а, а] замкнутое множество Q такое, что
mesQ>2a —8 и/(л;) непрерывна на Q. Можем также
считать, что f{x) — g(x)^0 на Q. Пусть
a- mIn|/(*) —g(*)|.
Выберем s настолько малым, чтобы всюду на [—а, а]
выполнялось неравенство |scp (х) | < а, Тогда будем иметь
а i
j' ?(x)\f(x)-g(x) Г^1шп{Г{х)-8(х)-Мх))ёх |>-1 |р|.
Очевидно, что при достаточно малом по абсолютной
величине s справедливо также неравенство
$<?{x)\f(x)-g(x)-*9(x)\
p-i
X sign {/(х) - g(x) -ecp (x)}dx
1
>ты.
Уменьшая, в случае необходимости, еще раз абсолютную
величину е и выбирая соответствующим образом знак, получим
е J 9(х)\/(х)-ё(х)-г9(х)Г1Х
— 00
X sign {/(*) - g(x) - ecp (x)} dx > 0.
Но тогда
if-g- e? !,pp = f [/(X) - g (X)} \f{x) -g(x)- e? (X) Г1 X
—"oo
X sign {f(x) - g (x) — ecp (x)} dx —
- f<?(x)\f(x)-g(x)-t<?(x)\p-1X
~ 00
296

Xslgn{f(x)-g(x)-t<?(x)}dx< J \/(x)-g(x)\X
—00
X\f(x)-g(x)-e9(x)rl A*<||/-gyi/- g-e?g"X-
Следовательно, II/— g — e<pHp <II/— gi|p и мы приходим к
противоречию с предположением относительно g(x).
8. О наилучшем приближении периодических функций
посредством целых функций конечной степени
Напомним, что для f(x) 6: Е* (— те, те)гвеличина
^c/)E.-infii/-7jE.;
тенп
где Г (л:)—тригонометрическая сумма порядка <!л,
называется наилучшим приближением функции f(x) при помощи
тригонометрической суммы порядка <я в смысле метрики
пространства Е* (—те, те). С. Н. Бернштейн [14(9)] заметил, что
задача приближения функции посредством целых функций
конечной степени является естественным обобщением задачи
приближения периодической функции посредством конечных
тригонометрических сумм. Это выражается в следующем
утверждении.
Теорема 6.1.9. Если* /(л:)6Е*(— те, те), то
А(/)е*-£*0(/)е*,
где о0= [о] ([—]— целая часть кисла о).
Доказательство. Пусть 5(х)6#*—-целая функция,
наименее уклоняющаяся от/(^)€Е* в смысле метрики
пространства Е*(—те, те), т.е.
Л(/)е* = 11/-*"е*.
В силу периодичности функции f(x) при любом целом h
А (/)Е. = !/(•* + 2тсА) -S(X+ 2теА) ;'Е# = ||/ (х) - S (X + 2теЛ) j'E%.
Поэтому при всяком целом N целая функция
N
h=—N
обладает свойством
1|/- ёы 1|е. < 2Л^П S"/(Х) ~ 5 (Х + 2ltA)!'E* < Л (/)е"
. h=-N
* Напомним, что Е*(—тс, %) означает линейное нормированное
пространство 2тг-периодических функций, обладающих всеми свойствами
пространства Е(Я) (см. §1, гл. I).
297

Отсюда видно, что последовательность {||ffN||} ограничена.
Следовательно, при соответствующем подборе возрастающих
чисел {NK} последовательность {gN {х)} сходится в смысле
метрики Е* (— тс, ти) к функции #(.*) €//*Е*, которая также
отличается от f(x) не более, чем на Ла(/")£*, т.е.
||/-£|'1е*<Л(/)е*-
Очевидно, в силу ограниченности S (х) на R разность
gN(x + 2*)- gK(x) - -±—[S(x + 2t:(N+\)) -S(x+2*N)}
стремится к нулю равномерно при N-+oc, а потому
g(x + 2«)-g(x)=0,
т.е. g(x) является целой функцией с периодом 2т:.
Следовательно, имеет место представление
g(x)= | cKelKX-
Заметим, что для интеграла
dxn I
о
имеет место оценка снизу:
О к = -оо
Кроме того, в силу неравенства С. Н. Бернштейна находим
оценку сверху:
/<2о2п/Л
Таким образом, полученное неравенство
2|cK|2.tf2n</<2Z2.a2*
невозможно при достаточно большом п, если tf>a0, где о0 =
«= [а]. Следовательно, ск = 0 при |#|>>а0 и
К=—ст0
является тригонометрическим полиномом порядка <^о0.
Теорема доказана.))
Следствие 1, Справедливо равенство*
4, (Л-= <(/),
„1к<
* Первая часть принадлежит С. Н. Бернштейну [14(9)].
298

если /(л:)£С*( — тс, тс) и
А(Лр^£о(А;,
если f(x)£Ll(— тс, тс), где а0 = [о].
Заметим, что теорема 6.1.9 тем же методом может быть
перенесена на многомерный случай. Пусть Е*-(Ле* означает
наилучшее приближение функции/(x)6 Е*(ДП) при помощи
конечной тригонометрической суммы порядка <о0= (о?,... ,оЦ)
в смысле метрики пространства Е*(АП), где a°=[si] (/ —1, ...,л) —
целые числа, а Дп = — тс<х,<тс (*=1, 2,..., я) есть /г-мер-
ный куб. Тогда имеет место
Теорема 6.1.10. Если /(дг)6Е*(Дп), wo
9. Оценка снизу наилучшего приближения целыми
функциями конечной степени
Для оценки снизу наилучшего равномерного приближения
можно пользоваться следующим утверждением С. Н. Берн-
штейна [14(8)], являющимся аналогом классической теоремы
Балле—Пуссена для полиномиального приближения на
конечном отрезке.
Теорема 6.1.11. Если f(x)£C(/?) и для некоторой
целой функции g(x)£Hv разность /(*)— g(x) ограничена на
Rue точках хк некоторого полного множества Ха
степени о выполняются неравенства
(-l)K[f(XK)-g(xK)]>p>0i
то А(/)с>!а.
Доказательство. Предположим, что
\f(x)-g(x)\<M, у*6/?,
где М >0— некоторое число и при '^некотором s>0
Тогда существует целая функция S(x)£H„ такая, что
|/(*)-S(*)|<|*-e, |/-Sfc = t*-e
и в точках xKf*XQ имеют место равенства
/(^k)-5kUk)-(-1)k(^-£).
Рассмотрим целую функцию
T(x) = J-[S(^)-g(x)]e^e.
£
L 299

Очевидно,
\9(x)\<^{\S(x)-/(x)\+\f(x)-g(x)\}<-L<M + }x-t)r
т.е. <?(х) ограничена на /?. Кроме того, справедливо
неравенство
(- 1)«? (хк) = -1 (_ 1 )к[S(Xk) - g(xK)] = -L{(-1 у [/(*«) -
-g(x*)]-(-i)*[f(x*)-S(xK)])>-l-[p-(}x-t)] = l.
£
Таким образом, приходим к противоречию с предположением
о том, что множество Х„ точек хк является полным степени о.
Укажем еще один пример полного множества степени о.
Пусть S(х) + it (х)—некоторый многочлен степени выше
первой, все корни которого лежат в нижней полуплоскости.
Положив
<S>(x)=arg[S(x) + it(x)l
С. Н. Бернштейн (см. [14(2)] стр. 377) показал, что если X—
данная постоянная, то множество точек 8К, определяемых
равенствами
Ф(8К) — а8к=кя — X (к = 0, ±1, ±2,...),
является полным множеством степени а.
Отсюда и из теэремы 6.1.3. следует, что для функции
г. , ч , л, Six) cos, (?х— X) -f t (х) sin (ax — X)
COS [Ф (Х) — ОХ + X] = —^ v ,т u V - у
которая равна (— 1)к в точках 8К и не превышает единицы по
абсолютной величине на /?, функцией степени о, наименее
уклоняющейся от нее, является нуль. Применим это
утверждение к определению целой функции степени а, наименее
уклоняющейся от рациональной дроби
/(x)_JLL£fL,
где b > 0, 5 и С—произвольные вещественные числа.
Докажем, что
А 1В + Сх\ _ _£^ л у Вг^ьгСг
\ х* + Ь*) ] 2^2
Положим для этого
. х* — Ь* . - 2^
cosO= , sinO =
jc2 + #> ' д:2 + £2
и заметим, что если А и X—некоторые постоянные, то
числитель дроби
Лс08(Ф-аХ + Х)^Л>(^'~^)С05(^~Х) + 2^51п(^^Х)
4 ' х* + Ь*
300

есть целая функция степени о. Следовательно,
f(x)*=A cos (Ф - ох + X) + S(x), (1.23)
где S(x)—целая функция степени о, которая и будет
наименее уклоняющейся от f(x) вследствие того, что максимум
разности /(х) — 5(х), равный по модулю Л, достигается с
соответствующими знаками в точках ок полного множества
степени а.
Для определения постоянных А и X достаточно приравнять
нулю
В +Сх-А [(х2 — б2)cos (ах — X) + 26jc sin (ах - X)]
при х = + W,
откуда 5 = — 2;*ftVacosX, С6 = — 2,462ebcjsinX.
Следовательно, tgX= —- и
в
Л f В + С* ) = \А \= — V" Д2 + Ь2 С\
Дифференцируя равенство (1.23) по 6, находим
_ 2Ь(В + Сх) _ 5' (JC) = i4i COS ( Ф - ах + X) -
(jc2 + ^)2 v ' v '
- ;4sin (Ф-ох + X). (фь + х;). (1.24)
Отсюда, применяя теорему 6.1.3, получим асимптотическое
значение при о -> оо наилучшего приближения дроби — ,
если учтем, что в точках 8К полного множества степени о
правая часть равенства (1.24) принимает вид
+ ЛЬ= + -д \—У В' + Ь2С2 1 ~ + 2—Y Я2 + Ь2С2
~~ ~~ до \ 2b* J — 2£з
л К + К] п
и —l j. _*о при о ->■ оо.
Таким образом,
Afi±£i)^^ ««-!!/ & +b2C>. (1.25)
\(jt»-f ^)hj 26 4£з r v '
Аналогично, последовательным дифференцированием для
любого целого А> 1 получим
А /±±Сх\ h°h"1 «~* |/ Д2 + £2С2 . (1.25*)
a^(jci + ^)hj 2hr(/z)6n+ir ^ v '
Последняя формула справедлива также для любых
вещественных значений А: например, имеем:
Л(' 1 ) т^=- (о-*оо).
301

10. Наилучшее приближение как функция от степени
приближающей целой функции
По поводу непрерывности величины Аа (/)е как функции
от о имеет место
Теорема 6.1.12. Если f{x) 6 Е(/?) и А,0(/)<оо, то -при
любом о <С°о
Л-о(/)е = Л(/)е
U при ЛЮбоМ о > а0
Л+о(/)е = Л(/)е-
Доказательство. В силу определения наилучшего
приближения из <Аав(/)Е< °° следует, что существует функция
£Ч*)6:ЯаоЕ(/?), для которой р/— gк < оо. Полагая /t(x) =
==/(•*) ~ ё(х)> заметим, что при любом а<^о0
Пусть а <о0 и g(*)~~та функция из Я*, для которой
И/- gME = АЛ/)Е.
Зададимся числом е, 0 <s < —о, и рассмотрим функцию
Ясно, что
<
^-.(Ле^Ц/о-^-т]*)!
<l:/-gr!'E + ||g(-^)-g
= Л(/)е + || | xg'(*0<«|| <A(/h +
а — е
1 —
E(R)
+ j||g/(^)'E^<^(/)E + a||g!!E jrf/ = A,(/)E|i. .
Беря достаточно малое е, найдем
^-.(/)е<Л(/)е+8.
где 8 сколь угодно мало. Отсюда следует, что
Л-о(/)е = АЛ/)е-
Чтобы доказать непрерывность справа, возьмем последователь-
302

ность {ок==о+ eK}i , где а>а0> £к > О, lini ек = О, а также nO-
следовательность функций gK(.x)6 Д,к(Е), для которых
||/-^к,,Е = Лк(/)Е.
В силу компактности семейства {gK(2J}\° в смысле метрики
E(R) найдется последовательность {£к.(£)}$°, сходящаяся в
смысле \метрики Е(/?) в каждой конечной части плоскости.
Предельная функция g(2), очевидно, принадлежит ЯСТЕ(/?).
Так как в соотношении
|!/-£К].||Е<А;(/)Е
можно сделать предельный переход при у->оо,.то
Из этого находим Ла(/)Е< Ла+0(/)Е, откуда следует
непрерывность справа, т.е. ДД/)Е = Л^+0(/)Е.
11. О вычислении наилучшего приближения функций
целыми функциями конечной степени
С. Н. Бернштейн показал, что существует тесная связь
между наилучшими приближениями Аг(/) функции f{x)£M{R)
на вещественной оси R целыми функциями g(x)£Ba и
наилучшими приближениями Еп(/, а, Ь) той же функции Дх)
посредством алгебраических многочленов степени <я на
отрезке [а, Ь\\
£„(/; а, b) = \n\\f{x)~Pn{xyc[^Y
Теорема 6.1.13. Для любой ограниченной на R
измеримой функции f(x), x£Ry имеют место соотношения:
11m ^n f/, -i— W ШН П5Г En (A --^—, -М=Л.(/), (1.26)
lim Еп(д —?— ) = lim HmfJ/, —, ——
= НтЛ_(/)=А_0(/). (1.26*)
е-*0
Наилучшее приближение <р(а) = ^а(/) является невозрлс-
тающей функцией от о, о>0. Легко видеть, что она
является непрерывной справа, т. е.
ИтЛв+.(/) = Ав(/).
Действительно, так как предел сходящейся при еп -> 0
последовательности функций [g^BJx)}y go^N9+e^ V*>1,
удовлетворяющих условию
303

SUP II &+Jlc < °°.
есть целая функция степени <о, то Лст+е(/) и g0+B(x), для
которых Ла+е (/) = J1/— ga+£ j|, удовлетворяют условию
|'^||<2Л
Поэтому и в силу неравенства (1.18), гл. III, имеем
8"Р|«;+.(* + 'У)|<2ЦЛе(в+,!,у1-
Следовательно, пользуясь теоремой Витали, можно выделить
такую последовательность чисел еп -"-* 0, чтобы
последовательность функций g , (x) всюду сходилась к некоторой целой
~*~ п
функции gs{x)> имеющей конечную степень <о. При этом
А,(/) = «/- g* I < lim Aj+£ (/) < Ла (/).
Очевидно, чтобы ср(о) = Ла(/) в данной точке о была
непрерывна, как это следует из (1.26), необходимо и достаточно,
чтобы
limEnif, — —, —) = lim £n (/, —-
Последнее условие влечет за собой соотношение
lim£n(/, -Л, Л)_Л(/). (1.27)
Доказательство этого равенства опускается [105(2)], так как
оно основывается на некоторых результатах теории
наилучшего полиномиального приближения, которые не
затрагиваются в настоящей книге. При вычислении наилучшего
равномерного приближения некоторых простых функций
посредством целых функций конечной степени на всей вещественной
оси ограничимся применением равенства (1.27) и теоремы
6.1.13.
1) Из теории полиномиального приближения известно
114(17)], что
eJ-±—9 -иWW 1 ^ l
х*+а*' ' ) а\х*+а*) 2д2(я2+ 1)(« + V а? + l)2n'
Очевидно, с помощью замены переменной t = — х отрезок
a
[2п 2/г 1 г 1 11
, — переходит на отрезок [—1, 1] и из последней
формулы находим
2n U+^ a ' a J U/i / ' 2a2 ( a\ + l) (an + / ~^+\T
304

где an= — • Отсюда в силу (1.27) при п ->■ оо
АЛ — J = hm £2n
= lim (
n->00\
x2+cfi/ n-*oo \x--\-a2 a a
2 1
2n
2«2 „^ [ 2n * 4«2 J 2a2
2) Чтобы получить асимптотическое значение при о -> оо
величины Ла [(л:2 + &2)s] для произвольных вещественных чи-
сел Ь и s, положим Х = — и сделаем замену х2 = —(1 —у),
о 2
в силу которой
^[(^ + ^;M = (f)s^n[(i+^-y)s].
С другой стороны, для любого а> 1 имеет место формула
s-l
^nl(a у)] nS+lir(^s)|(a + /__)n>
где en(a)-^0 при д^оо, если a зафиксировано.
В интересующем нас здесь случае
a = 1 -} = 1 Н
tf 2/Z2
стремится к единице при п-+ эо и любом фиксированном а.
Так как ищется асимптотическое значение величины
А» [(х2 + Ь2)*] при о -^ оо, то достаточно заметить, что е (о, /г) -> О
при о -> оо равномерно относительно всех достаточно
больших п. Тогда при фиксированном а для всех п > п0 имеем
;тМ(,+*-'П<1,+-('м*
S-1
X«..(fl»-i) »
Х 2s-«s+4r(-s)|(a+/^TT)n 11+£<°"Х
S-1
/ А2-2 \ 2
2s ^-!
X-
,s+1,r(_s),{1 + _ + _у1+_ }
Ю20-20 305

где e(S)~>0 при а—>сю. Делая в этих [неравенствах
предельный переход при #->оо, находим
Л. [(^ + ^]<[1+*(*)] Д"г(-")|
И Л._0 [(.** +6')°] >[l-s(°)] ДГ^гС),'
откуда и следует асимптотическое (при о-^оо) равенство
OS tS— l — ba
3) С. Н. Бернштейн еще в 1913 году доказал, что
существует предел
lim 2пЕ2п(\х\)= р — 0,282...
П-*-оо
ИЛИ
lim пЕп{\гГ^~х) = 4 —0,142...,
а в 1938 году установил, что при любом s>0 (необязательно
целом)
lim п*Еп(\х\*) = |x(s) (я-> оо), (1.28)
п-*оо
где (х(5) не зависит от п. Отсюда в силу (1.27)
Ах{\х\*) = \\тЕп{\х\\ /г) = Нт п]Еп (U|s) = n(s).
п-> оо п->оо
4) Для функции
Vs{x, a,b) = {ax + b\x\)\x\*,
где а, Ь—любые вещественные числа, при s> —1
существует предел [48(2)]
l\mns+lEn[Vs(x,a, b)\ =X(s+ 1, a, ft),
n_»oo
причем постоянная X(s + 1, a, b) удовлетворяет неравенствам
(i-l)fflJiiii).r(S+i)<MS+u,j)<M-^^.r(S+i),
\ S / п я,
где
>(s, a, ft) - ]/a2sin^--5- +62cos2 —J
306

В силу равенства (1.27) имеем
41(Vs) = llm«s+1£n(l/s) = X(s + l, а,Ь).
5) Вычислим
Ax(\x\*{\xi\x\)")=4(s,m)
при любом 5 > 0 и целом т > 0. Для этой цели нам
понадобятся следующие утверждения [48(1)]:
а) Если s > 0—-любое нецелое число и т—любое целое, то
Cs>/T^En[\x\*(ln\x\r}>\( * ^ Cs
(In луп u ' ' ' J 'U + «/ 2 W
где
00
4sin
cs
б) Если 5 = p—целое четное положительное число и
т > 0—любое целое число, то
^ ^ _?!!__. ЛИ vlo/1«l vhml v./Vя \p CP^
где
:;-s--ij^
Cp=2-»-;i^?„.
в) Если s--=/7—нечетное целое ^положительное число, т-
любое целое число, то
где
1 I- ttP-Jrfa
р О *- + «-
о
Положим сначала, что 5 ■= 2к— четное целое число. Тогда при
Д
m-l
•п{х*(\п\х\Г) = Ea\^Y(\п\х\-\ппГ, я]-
[m-l -.
^^CU-lnrayClnlArir-'; л .
Поэтому
Ит —5!^, £n [j^« (In | jc I)»] =тАх [х2"{\п\х\)] = тА(2к, 1).
го» 307

В случае s Ф 2к
11т 7Г^ЕЛ\х\*(\п\х\Г\ =
= 11т£пГ|л|^(-1)' Ci„ (!5l£!j"~1, /»"|=At(|j:P) = i»(s)r
L 1=0 J
где [x(s) определяется равенством (1.28).
§ 2. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО -ПРИБЛИЖЕНИЯ ЦЕЛЫМИ
ФУНКЦИЯМИ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Определим скорость стремления к нулю наилучшего
приближения функций из Е(7?) в смысле метрики этого
пространства посредством целых функций из класса //*Е(/?)в
зависимости от дифференциальных свойств приближаемой функции..
Подобные задачи называются прямыми, а соответствующие
утверждения-—прямыми теоремами теории наилучшего
приближения целыми функциями.
1. Оценка наилучшего -приближения функций посредством
модуля гладкости в пространстве Е(/?)
Прямая задача наилучшего (равномерного) приближения
функции /(■*)6M(R), решенная С. Н. Бернштейном, может
быть сформулирована в следующем ви^те*:
Теорема 6.2.1. Если функция f(x) и ее производная
fm){x) порядка яг >0 (т—целое) принадлежат
пространству Е(/?), то при любом натуральном к> 1 и а>0 имеет
место неравенство
^.C0e<V-"(-/")'-L) • <2Л>
ат \ с /Е
в котором Скт—констант*, зависящая только от к и т*
<% (f9 — ) —модуль гладкости порядка к функции f в
смысле метрики пространства E(R).
Доказательство. Пусть /тг = 0. Рассмотрим целую
функцию
gU)==(-L;Sin^)2retf,
* Неравенство (2.1) при E(R) = С (R) и к = 1 доказано С. Н. Бернштей-
ном ([14(1)], стр. 373), при E(R)=Lp(R), VP> 1 и л: = 2 Н. И. Ахиезером
([4(5)1, стр. 21?) и ПРИ Е(Я) = £р(Я) и любом к>Ъ М. Ф. Тиманом [107(1,3)1
(см. [105(2)], стр. 274).
308

при некотором натуральном г>— {к-\-2) и положим
*-Л>£Г-'-
2г-1
Очевидно, Trs== 6г-а , где Ьт > 0 — постоянная, зависящая?
только от г. Прежде всего покажем, что
00
F(z)-— [ g(z-t)f(t)dt
Тг J
— оо
— функция из класса //*Е(/?). Заметим, что F(z) является
пределом равномерно сходящейся в любой конечной «частя
комплексной плоскости z=*=x + iy последовательности интег-
ралов
п
Fn(z)=— [g(z-t)f(t)dt (л = 1, 2,...).
— п
Очевидно, в силу
g
(z-t)=X\-
g{K)U)
к\
ZK
к=0
имеем
где
т?% С(п)
Zn,
|c<n>| = -
Tr
к=0
т(к)
gW(t)f(t)dt
причем |C£n)|*0(O.
Следовательно, каждая Fn(z) целая функция. Отсюда следует,
что Fn (z)= lim Fn(z) также является целой функцией. При этом-
п-*оо
в силу неравенства (1.18), гл. III,
ИЮК-1 (\g(*-t)f(t)\dt<C(*)eW-*<C[*).e{a+t),\
Тг J
—оо
т.е. F(z)dH<J. Кроме того, из свойства нормы пространства?
Е(/?) следует, что 1Ие<||/||е, поэтому F(x)eH9E(R).
Предполагая теперь, что
°<*>-2>-,г,(")*(т>
(2.2)
309

рассмотрим функцию
принадлежащую Я*Е. Для нормы разности f(x)—Q(x) имеем
оценку
00 I
I/-QK
g(t)dt
<
-оо L к==0
00
< - \'g(t)«K(f,t)dt.
Тг J
• — оо
Пользуясь свойствами модуля гладкости (см. §1, гл.1),
отсюда получаем
<^«>k(/,^-)J5 J |g(0l^ + 2" j \t\'\g(t)\dt
dt
<
iti<— iti>-
Поскольку 2r># + 2, то равномерно относительно о имеем
m>'-
<
br a2^"-1 V 2r
2Г-"-1 Г/81пи\2
im*
du<CK
где CK > О—постоянная, не зависящая от о. Кроме того,
00
як ок f . 9К Г*
Тг ••о" J 7г J
it,<L
Таким образом мы показали, что
A,(fh<\\f-Q]lz<cK<»K(f, ±^
казано для случая m = (
и любом целом /^>1 и
0)к+т(/, Ог:<^^к(/(т), Ое-
-Неравенство (2.1) доказано для случая /71 = 0.
Напомним, что при любом целом #>1 и яг>1
310
(2.3)
(2.4)

Благодаря этому, из неравенства (2.3) следует (2.1) при
любом натуральном яг>0 и а > 0. Теорема доказана.
Следствие 1. Если / и ее производная /(т) порядка
/гс>-1 принадлежат пространству Е(/?), то
Mf)z<^\\fm%, (2.5>
где Вкт—постоянная, зависящая только от к и т.
В самом деле, (2.5) немедленно следует из неравенства
(2.1), если иметь в виду, что
при любом натуральном /е>1. В некоторэм смысле добавлэ -
нием к теореме 6.2.1 является
Теорема 6.2.2. Если функция f и ее производная f{m
порядка т> 1 принадлеэюат пространству JL(R), то-при
условии, что
2 Vm-Mv(/)E<^,
имеет место оценка
Л(у(т))Е<Ст(а-Лв(/)Е+ 2 ^ л*(/)е), (2.6)
где v0 = [а], Ст—константа, зависящая только от т(т^\)..
Пусть задана функция f£E(R). -Через g обозначим функцию
из ЯаЕ, которая дает наилучшее приближение для / в
метрике Е(У?), т. е.
Л(/)Е = |/-а|Е.
Очевидно, из сходимости ряда с общим членом
ЯЧт = уШ~ А* (/)е
следует, что при #>#0>o сходится ряд с общим членом'
II Vh ~ 8* h< IIVM ~ 7 "в + Л «а" - Л1в <
< Л2к+1 ( /)е + А2« (/)е < 2А2К (/)Е.
Следовательно, каким бы ни было а>0в смысле сходимости
по норме пространства Е(/?), имеем
00
к=р+2
Отсюда находим
Л(/(га>)Е<1|/(т) " ^га)|'Е<|| С2 ~ ^h +
311

При этом, благодаря неравенству (1.6*), гл. III,
|| С+г ~ #' i< 2(K+1)m \\g2K+l ~ g2K \\L< 2(K+1) m+1 Л к (/)e.
Очевидно,
22m+i ^ v"1"1 A, (/)E > 22m+1 • ( 2K - 2й"1) 2(к-1} ^ ^2k (/)E=
V=SB2K-1+1
= 2т(к+1)+1Л2к(/)£.
Следовательно,
Лт) (т)
r>2m-fl
v=2K~1+l
Поэтому, выбирая р так, чтобы 2p<o<2p+1, получим
ЛЛ/(т))Е>2(р+2)т+1Л(/)Е+22т+1 j? *ш~'Л,(/)е<
v=2P-1+l
<сга{о»л0(/)Е+ 2^т-,^(/)Е 1,
I v=v0 J
где v0 = [о], т.е. имеет место (2.6), что и требовалось
доказать.
Замечание. Теорема 6.2.2 в метрике пространства £Р(/?)
доказана А. Ф. Тиманом (см. [105(2)], стр. 315).
2. Оценка наилучшего приближения функций многих
переменных посредством частных модулей гладкости
Для ' наилучшего приближения Л-(/)Е функции /6 Е(/?п)
«функциями класса H-E(Rn) имеет место следующее
утверждение.
Теорема 6.2.3. Пусть f£E(Rn). Тогда при любых а^О,...,
^п > 0 и натуральных ки..., кп справедливо неравенство
п
\-(ЛЕ<СаГк^к^{/, -L)b, (2.7)
v=l
гдеС —константа, зависящая только от пи к=(ки..., кп),а
«4,xv (/, Av)E = sup
j-o
—яастный модуль гладкости функции f в пространстве E(Rn)
(см. (1.31), гл.1).
312

Доказательство. Поскольку в доказательстве
неравенства (2.7) количество переменных принципиального
значения не имеет, проведем его при п = 2. Подобно одномерному
случаю рассмотрим целые функции
gl(J:) = (-Lsing.f'e//ei (/=1, 2)
х 2к\
степени а, (/ = 1, 2) и введем обозначения
TI- fgi(*)dt ('=1. 2),
— оо
к1
Нетрудно заметить, что
оо оо
Q (*) = -J- Г f/ (х + t) Gt (tx) G2 (t2) dtx dt% =
TiTa J J
—oo — oo
Kl K2
-П22<-»ж(:)(?)/<*+^И^)гл'
R,l v=l j=l ^
является целой функцией из класса Н- Е (/?2) и разность.
Q (л;) — /(•*) может быть представлена в виде
1 2R2lLi=l j=l
к* -i
+ А) - 2(~ 1)j_1 (? Jf{Xu *2 +Jt2) +
+ Г\^(~1)Ь1(^)/(^1, x2+y72)-/(x)]Lt(<1)g2(<a)fl«1rf/2.
Для краткости записи введем обозначения. Пусть
1 "
?2 (*) = — \ g2 (*2) ф1 (■*, *2) <"а.
Т2 J
•2
—оо
313-

где
ф,<^)=^|м<,>(22<-1>-(:.')С/
-оо 1 1=1 j=l
Х/(хг + itu x2+jt2) - 2](- 1У~\ ]2) Л*» Ъ + JU) dtA.
j=l J
Оценим нормы функций cpt (х) и ?2 (х) в пространстве Е(/?2)
Очевидно,
00 Кг
1<рЛ<^-£*,(*,) Р£(-1)'(*2 )/(.*,, *2 + А)
2 -ос II j=0
оо
" — f ft (<г) °>кг,хг(/, h)b'dtt,
Т2 J
—оо
I?2»E<— f ^('2)-|Ф1(^М[Е-Л2
л* =
и, ьр се того,
00
1 - оо [I 1=1 j=l
00 J
j-1
Kl К*
(-1)'
l+j-l / *1 \ /&
« / W
/(*i+^i. -Ks+A)
^i<
< — fgi(*iK..*(/.'i)<«i.
7, J
—00
Таким образом, для нормы разности Q(x)— f(x) получаем
Тг J
— 00
00
+ ,— ( £2 (<«)«».*(/. hh-dt,.
(2.8)
В силу свойств частных модулей гладкости (см. §1, гл.1)
имеем
314

— oo
— oo
(0K1 2Kl aKl Г
x
Hi J, "" ?i
,ui<7, ">-
При этом, как было показано в одномерном случае,
?1 J
.•«>i-
где MKl—константа, не зависящая от а,. Следовательно^
00
—oo
Аналогично доказывается, что
00
— f #2 (0 ">к„ * (/. О Л < ( 2К! + Мк,) 0>к„ Xjf/, —) ,
—00
где ЖК2—константа, не зависящая от о2. Если подставим эта
оценки в (2.8), то придем к неравенству (2.7) для функции*
двух переменных. Теорема доказана.
В дальнейшем через Ж-Е(/?п) обозначается совокупность
функций /, принадлежащих пространству Е(/?п) со своими
частными производными —■+- порядка #v по переменному х^
(v = 1, ..., /г), где к = (ки..., кп) и /ct,..., кп~ натуральные
числа. Кроме того, через M-lSa) Е(/?п) обозначается
совокупность функций /6М-Е(/?П), удовлетворяющих по каждому
переменному хк условию Липшица порядка ак (0<^ак<;1,.
#=1,...,л) в метрике пространства Е(/?п), где oi=(au ... ,ап).
Для функции /еЖ-Е(/?п), как известно, имеем
<4+j,.*(/, <v)E<^v «>,„ *v J^f, *v J .
Поэтому из неравенства (2.7) для таких функций вытекает
оценка
31S

В силу (2.9) для функций /6M-L^a^E(I^n) имеем*
^-(Л = 0^ (2-10)
3. Оценка модуля гладкости посредством
наилучшего приближения
Оценим о)к (/,—) при любом натуральном #>1 и о^>0.
Теорема 6.2. 4. Если /6 Е(/?), то при любом натураль-
нем а: > 1 # о > О имеет место неравенство
м
<*«(>.-Ц <%\>+1)кЛ(/)е, (2.11)
а /е а* J^
.гд£ [а\~целая яасть о, Ск—константа, независящая от о.
Доказательство. Пусть {Qn(.*)}— последовательность
целых функций степени <п, осуществляющих при каждом п
наилучшее приближение функции / в метрике Е(/?), т. е.
H/-QJE = iM/)E.
Тогда при некотором натуральном т будем иметь
|. Дп/]И № {/(х) - Q2m (X)} ||е + Ц Дь Q2m (л) ||в<
<2кЛ2т(/)Е+ A"||Q^(-«)|Ie.! (2.12)
Применяя неравенство треугольника для нормы элементов
пространства !£(/?), получим
I V2mj!E-—
QiK)+ 2 [Q^Vi - <#>] IIE<
Пользуясь неравенством (1.6), [гл. III, и монотонностью чисел
-Ai(/)e, приняв 2m</z<2m+1, находим, что
II<#211Е < 2:+1 л0 (л е + s 2("1)K ilQ^1 - Q^ Ik <
v=l
* Неравенства (2.7) и (2.10) в случае E(Rn) ~ С* (Дп) и п = 2
получены С. Н. Еернштейном [14(19)]; (2.7) в случае E(Rn) = Lp(Rn) дано в
книге А. Ф. Тимана [105(2)], стр. 294.
.316

m 2V
<2к+1Л0(/)Е + 22к+12 ^ ^'!^(/)e<
<22K+12(v+l)K-I^v(/)E. (2.13)
v =o
Взяв h< — и п = [o|, из (2.12) и (2.13) получим
неравенство* (2.11).°
4. Прямые задачи в весовом пространстве Е9 (/?п)
Теоремы типа теоремы Джексона (прямые теоремы) в
многомерном случае могут быть перенесены на линейное
нормированное весовое пространство Е9(#п), где © > 1—непрерывная
функция в JRn с характеристической функцией
а(0-- sup _ ||ср(х + у)[1 (2.14)
|УК|<*к.(«—п>
полиномиального роста
mi mn
«CK*V(0 = V ••• 25к-^'-^п (*«>0), (2.15)
кг0 кп=0
здесь х=(х1,...,_Хп), у- (yi,..., Уп), < = (<!....•'n), /ю =
= (/и1э..., mn), л: =- (ки ..., /cn). Справедлива
Теорем а 6. 2.5. Пусть ср>1— непрерывная функция в
Яп с характеристической функцией а(£), удовлетворяющей
условию (2.15). Тогда для каждой функции /6:Е<р(/?п) имеет
место неравенство
Ла.х|(ЛЕ9<С81|<о8,Х|(/,^-)Е, у*>1 (* = 1,...,"), (2.16)
где s>l— любое натуральное число, С ^\~ константа, не
зависящая от о.
Доказательство. Определим для функции о еще
характеристическую функцию оц(^) по переменному х{:
a{(ti) = sup M*+yi*i)[cf<
</>„lU,) = 24l)<iK) И<!>>о, * = i, 2,..., л),
к=0
* Неравенство (2.11) при Е = С (R) дано в книге А. Ф. Тимана [105(2)]
а при Е = Lp (R) доказано М. Ф. Тиманом [207 (2)].
317

где tfii!>0—целые числа. Пусть далее /GE?(^n) и
"q
где
__ "(Slntfl.dt,
Oq
= f(*
—оо
а натуральное число q > 1 удовлетворяет неравенству
2q>ml + s+ 2 (* = 1, 2, ...,я).
Рассмотрим целую функцию степени о>1 па Xi,
определенную следующим образом:
gx, (^) = (- 1 )s+1 о J K{c *)]£](- 1 )s-j( J )/(* +/fe.) Л=
■oo j=l
00
= Г f(x + uet)G(u — X\)du,
—oo
где £i—единичный вектор и
о(«)-« 2<-1У+,(;)7-*(7) (2Л7>
j=i
—целая функция степени а. Нетрудно заметить, что
f G(u)du = 1, f \G{u)\du<cb,
—00 —GO
где as не зависит от о. Тогда
—oo
и отсюда
II/-ft, || < " ^(«ОИ^.ц/Ие.Л. (2.18)
■ — оо
Известно (см. §1, гл.1), что
^хД/^Х^-ЧО8^^)^,^/, 8). .(2.19)
Полагая в (2.18) ^ = |<| и 8 = —, находим
318
ж, (/. И) < * (l'l + -ft «? ("f ) «Ч *,(/, f

Отсюда имеем
<в»а,(-Ма>,>Ж1(/, "f)-e J /СИ)аф*)(|'1 + ^-)8Л^
— 00
<0sa?(s)a-,Xi(/, -i_).-L j /С(т)а,(^М)(|х|4- 1 )•*<
— 00
<«?(s)«..x,(/, -f) j«i(£7J)(h| + De/<'(^^=cIl,«).^(/,iV
_oo
где Oi, s не зависят от a (о>1). Поэтому из (2.18)
окончательно получаем
IIZ-s^c,.^/,.!^.
Отсюда следует неравенство (2.16). Этим теорема доказана.
Теорема 6.2.6. Пусть s\ (i— 1,...» л)—натуральные
числа и функция f£ EyiRn) no переменному Х\ имеет част-
dTi f
ную производную —т^-б: Еф (/?п) порядка n >0 (i = 1,..., я).
Тогда для любых о, > 1 (* = 1,..., /г) имеем
^(/K<d^J^J^ t^) . (2-16*)
1 = 1
где d—постоянная, не зависящая от а — (о1?..., ап).
Доказательство. Ограничимся для простоты
рассуждения случаем функции двух переменных. Введем в
рассмотрение целую функцию g&H-, определяемую равенством
g(x) = j Ot(at)G2 (u2)f(x + u)du, du2y
Rt
где л = (^1)л2),ви=^(й1, tt2), e = (o1,o2), Gt(£) и G2(*)-—ядра,
встречающиеся в теореме 6.2.5. Для нее справедливо
f(x)—g(x)\01(u1)G2(u2)\/{x)^f(x + u)]du,du2=^l + ^
R*
где положено
319

«W = jG1(^1)G2(a2)[/'(x) —f{x + uxex)\dux du2 =
Rt
= JOi (at) [/(x) - / (x + «i e,)] duu
ф2= (,G1(a1)02(tta)[/(■« + exu)—f(x + u)\dux du^
Отсюда на основании (2.16) легко найти, что
Следовательно, имеет место неравенство
= 1 K=l ?
где d— постоянная, не зависящая от о. Таким образом мы
доказали, что
п
к=1 Y
Если в этом неравенстве sK заменить на 5к+гк и учесть
неравенство
%,хк(/, — ) <—-^xJ-tt"' —) '
то получим утверждение теоремы* .
5. Об одновременном приближении функций многих
переменных и их производных по направлению
посредством целых функций конечной сферической степени
Пусть cp(jc)^ 1—заданная функция, непрерывная в /?п с
характеристической функцией
m
<*(*)= sup ly(x + yV!r<Pm(t)= y.AJ* (Ас>0). (2.20)
liylKt. £
Кроме того, пусть /gE?(/?n) и g* £Sa Ecp—целая функция
сферической степени <С с, наименее уклоняющаяся от / в смысле
метрики пространства Еср(/?п), т. е.
Л.(/)е9=Ц/-£№т.
* Теоремы 6.2.5 и 6.2.6 доказаны С. М. Никольским [93(9)] в случае
ср = 1 и Е ~ Lp(R). Теорема 6.2.6 для случая ср = 1 и Е(/?п) = Ьр(Да) дана
в книге А. Ф. Тимана (см. [105(2)], стр. 294).
320

Теорема 6.2.7. Для того чтобы функция /С Е9 (7?n) имела
производную r-го порядка по любому направлению /,
принадлежащую пространству E9 (/?п), необходимо и
достаточно, чтобы А0 (/)е9 -* 0 при о -> оо и
\ д2Ь _ dlh'
lim
min(a, т)-+ оо
о,
(2.21)
/£/?# d/7Z0J(£
drg0
= ом,
(2.22)
Доказательство. Из А^(/)егг~^0 при a -> оо следует,
что f(x) является пределом последовательности целых
функций gn€*SnE? конечной сферической степени в смысле
метрики пространства Е9(/?п), для которых || gn — gm .'e -> 0 при
(/г, яг)->0. Аналогичным образом могут быть описаны функ-
ции, имеющие производную —- по любому направлению /,
принадлежащую пространству Ef (/?п). Следовательно, при
выполнении условия (2.21) функция f(x) имеет производную
dTf
— порядка г, принадлежащую пространству Е? (/?п). Поскольку
dlT
>■ ПрИ 0-н>оо
в смысле метрики Ef(#n) и так как в силу неравенства (1.30)
гл. III,
функция —zl при любом о принадлежит пространству Е?, а
следовательно этими же свойствами обладает и производная
—. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
dlT
Пусть теперь/6 Е^(/?п) имеет производную — порядка г
по любому направлению /, также принадлежащую
пространству Еср(/?п). Рассмотрим оператор
U* [/, х] = J/(* + t)K,t{t)dtx... МЛ9
где at = ajl -{ j, o>l, < = (<!,..., tn) и K^{t)—целая
функция сферической степени <at; Ua[f,x] является целой
функцией сферической степени <а1 из класса SaE<f(/?n), если
/f E«p(/?n). Предположим, что ядро A"ai(0 удовлетворяет
условиям:
1020—21
321

1) f *■„,(*)</*,...Лп=1;
2) f |K*(t) \a(jti)dt{...dtn<M< oo,
где Ж—постоянная, не зависящая от о, и a(t) определяется
равенством (2.20);
3) Если Т(х)~целая функция из класса SjE9(Rn)y то
£/в[7\-*] = П*).
На основании условий 1) и 3)
-?(*)
ср<Х + U)
?(*)
-K<,x{u)dux...duu.
Отсюда в силу условия 2) находим
ЛЛ*Д)е9<А,(/)е9- $ * (Ыъ)К^*)dux... dua < CAJ,f)E9.(2.23)
Пусть #!(.*;) — целая функция наилучшего приближения
функции Ue[f, x], т. е.
Ав(Щг9 = \и,-ё:\\г9.
Тогда на основании формулы (1.30), гл. III, при любом
натуральном а:>0 справедливо неравенство
dlK /е,
АЛ^-1 <
е.
dl« dlK
<[Af(el + w)]4l^-ff*llE9 =
dlK /Е
Из (2.23) и (2.24) следует
<[лг(ц- \~ + ю)1 ViMf/.Jiy (2.24)
(2.25)
где Ж, =Ллф Н 4- /»М —постоянная, не зависящая от
0.
Далее, так как
dlK
то из неравенства
322

dKf J_
dlK ' * h
где Л—постоянная, находим
В силу этого
A(/)E,<A(/-g<0))E9<4
^1
dl« i.E„
дк/ йк^0)
<э/к
<э/к
(2.26)
. dtK )ег
(2.27)
где 5j— постоянная, a gi"'(л)—целая функция из класса 5<,Е9
такая, что
.(0),
=А д Л
diK di* He, 4if)e;
В силу неравенств (2.25) и (2.27) находим
<СГ,,А(Щ, (2.28,
Сс,.-[Л.(1 + Т + И)Г"в1Л*
—постоянная, не зависящая от о. Далее на основании свойства
3) имеем
где
tW
[ <Э/К dlK J J
дк/(*) dK/(*-f Ц) l^oiW
d/K
d/K
d#t . . . fitan =
-Ш^^-Ч^НК^---*-
- f—
1 f dK/ (x + ")
d/K
gaf~^, x+ul\Kat(u)dul...dun.
Отсюда получаем
dKf dKU,
dlK dlK em
<М*-А
2 "^<j
(2.29)
В силу (2.28) и (2.29) имеем
li d/K d/K Em I dlK dlK ею
d*U9 d"ga
dl*
dlK
21*
323

Таким образом, при glix) = ga[(Ja, х] справедливо неравенство
dKf
dlK
где Cr, к—постоянная, не зависящая от о. Кроме того,
dKga[U., x\ _ Pg.lf.x] I
dl* е
+
dlK
^
PUa(f'X)
dlK
dlK
(2.30)
+
dlK
dKf
'г, к а \ d/K
+
+ [^ (l + i)]K • a» <M.(/> < С, к A (Ц )e +
Отсюда
d*g9{U9,x)
dlK
(2.31)
Неравенства (2.30) и (2.31) показывают, что при
[фиксированном значении г имеет место равенство
II д/« [д/к Еср \ ^ а/к ;Еср)
Теорема доказана*.
6. Наилучшее приближение в пространстве Е(/?)
функций, определяемых интегральными операторами
Рассмотрим функции, прэдсгави^ыэ в видгл
f(x) = ^G{x~t)h(t)dt, xtR,
— 00
где ядро G(x) удовлетворяет неравенству
(2.32)
\0(х)\<
1 + *
, vx£R, Л = const,
при любом a>a0>0. .Предположим, что при а><з0 имеются
вещественное число а и целая функция GJ(x)^L(R) конечной
* См. А. Л. Гарк ави [28(1)]. Случай, когда п = 1, <р == 1 и E(R) ==
енС*(—тг, 7i); А. Ф. Тиман [105(2)]. Случай, когда п = 1, у == 1 и Е (/?)=
™С(/?); £. А. Гамидов 127(1)]. Случай, когда E?(Дп) = С^(Дп).
3*4

степени <а, для которых произведение [G (х) — Ga (x)] sin а(х—а)
не меняет своего знака на всей R. Следуя Н. И. Ахиезеру,
назовем такие ядра ядрами М. Г. Крейна.
1. Для функций, представимых в виде (2.32), имеет место
Теорема 6.2.8. Пусть М—класс функций,
представимых через ядро О(t) no формуле (2.32), в которой h(t)
пробегает совокупность всех функций, принадлежащих
пространству Е(/?). Тогда при любом с^>а0 имеем
sup Л(/)е<То(«)11Л||е, (2.33)
где тЛа), как отмечено в теореме 6.L5, определяется
формулой
^27Г1г^"И2К+1^([2"+11о)1
к=0 I
причем F{<?} означает преобразование Фурье функции у и
S(jc) = [° eiuxf(u)du.
—оо
Доказательство. Возьмем какое-нибудь *,
удовлетворяющее неравенству о0 < т < о, и положим
F(x)= [Gz{x-t)h(t)dt.
Jx>
Заметим, что F(x)£HaE и, следовательно, F(x) допустима в
качестве аппроксимирующей функции для f(*E(R). Из
равенства
f(x) — F(xj= Г [G(u)-Gz(u)]h(x-u)du
—00
заключаем, что
ц/_/г||Е<||А||Е. ^\G-Gz\dt.
— оо
Отсюда, согласно теореме 6.1.5, следует, что
A(/)e<||^1e-A(G)l,
а так как это верно для всех функций /£М, то
snnA(/)E<|iAiE.^T.(G)L,
325

что верно при любом т<Со. Приближая х к о, получаем
8ирЛ,(/)Е<1А11Е-Лв(0)1- = Тв(а)11А1!Е, (2.34)
где значение а определяется числом а, a 7Ла)~формулой
(2.34).
2. Можно построить ядро Крейна следующим способом.
Пусть вещественная функция P(t) удовлетворяет условиям:
1) P(t) -= 1 при £>с и К —с, где \с > 0-— сколь угодно
малое число;
2) P(t) имеет непрерывную производную второго порядка;
3) ~ггт» ^ЦУ-> —— при заданном целом г>0 в точке t = 0
t t t*
не обращаются в бесконечность.
Положим Х(£) = —^- и построим функцию
С т_ 00
(-1)2 -~\^г zostx-dt (г-2, 4,...)
Фг(0
г-1 оо
(-1). 2 .±.\ZHL.slntx-dt (г = 1,3,...).
1С J tr
(2.35)
Введем также сопряженную функцию
Фг(*)-
1 < ОО
(-if ~ -~y-fs\ntxdt (г = 2, 4,...)
Г—1 . о©
1 rpV)
(_1) 2 .1 f£ii> costx-dt (г =1,3,...).
ft ) Г
(2.36)
I
Интегрируя по частям, находим, что]
sup(l+-«2)|Or(Jc)|<oo, sup^(l+;t*)lOr(jc)|<oo.
x6R x6R
Критерий С. Надя применим к обеим функциям Фт(х)>
Фг(л:) при любом о>с, так что обе функции являются
ядрами Крейна. Для наилучших приближений в среднем Фг(х) и
Фг(х) посредством целых функций из класса Wll) при а>с
получены [4(5), 5(1)] следующие утверждения:
к=0
л (ф ), - Л. V <-*>" - Ei
(2.37)
(2.38)
326

Допустим, что h(x) и сопряженная с ней функция h(x)
принадлежат пространству ЩН). Нетрудно заметить, что тогда
и функции
/(*)= ^0T(t-x)h{t)dt= ^Фт(и)к(х-и)(1и, (2.39)
— 00 —00
J(x)= Г $T(t-x)h(t)at= Г Фг(и)А(дг-ги)аГи (2.40)
— 00 — 00
принадлежат пространству Е(/?), так как
!|/|Е<|1АИфг|1ь и !1Л1еЯ*11е'Ифг11^
Обозначим через Мт и /Иг множества функций, представи-
мых соответственно в виде (2.39) и (2.40). Применяя теорему
6.2.8 к функциям / и /, приходим к следующему
[заключению.
Т е о р е м а 6.2.9. Если функция h(x) и 1г(х) из
пространства Е(/?) удовлетворяют условиям
!!л;Е< 1 и ||а||е<1,
то при любом о> 1 имеем
sup^(/)E=^-, supAa(f)z = %
f*Mr а Гемг
где КТ и Кх определяются равенствами
4 W4 Г_-Пк(г+1)
к=0
00
j?f—i-V (-1)K^ . (2.41*)
к=0
Сделаем некоторые замечания о константах К, и Л*г. Как видно
из (2.41) и (2.41*),
1 =К0<К2<К<<...<^- <...<КЬ<К3<КХ = ^-
тс 2
тс 2
Кроме того, непосредственно можно показать, что /С, = — ,
^=Т' ^=iT (2'42)
327

В случае E(R) = L*( — те, к) С. М. Никольским [93(2)]
показано, что соответствующие неравенства
являются точными, т.е. существуют функции f(x)=fQ{x) и
/{х)г-^/о(х) из рассматриваемых классов, для которых в
последних неравенствах достигается знак равенства.
7. Функции Стеклова и некоторые их свойства
Для функции,/(л;), x£Ry суммируемой на любом
конечном интервале, при произвольном h > О определяются
функции Стеклова
x+h
Л.г(*) = -Ж j /h.r-i(0<« (г=1, 2,...),
fbjx)^f(x). (2.44)
Очевидно, /h !(*)->/(■*) при /г-^ 0 почти для всех х. Согласно
теореме Лебега [92(1)], функция /h)1(*) имеет почти всюду
производную
Ax{x) = ±{f(x + h)-f{x-h% (2.45)
a /h 2 (*)—почти всюду вторую производную:
/ь.2(*)= ^-{/(х + 2Л) + /(х-2А)-2/(д:)}. (2.46)
Кроме того, легко проверяются следующие равенства:
h
f(x)-fhil(x)=±^\f{x)-f(x + t)]dt =
-h
h
= ^-J[2/(x)-/(x+ t)-f(X-t)]dt; (2.47)
0
h h
/(^)-/h.2W = ~j J [4/(*)-/(■*+< + *>-
0 0
_/(x 4- * + V) __ f (x — t + г>) —/(■* — * — v)] dt dv. (2.48)
Теорема 6.2.10. £с./ш функция f(x), x£Ry суммируема
на любом конечном интервале и принадлежит
пространству E(R), то /h Г€ Е(#), г = 1, 2,..., # имеют место
неравенства:
||/-Лл11е<^-^(/^)е, (2.49)
328

|l/-/h.2l|E<Ya,8^2A>E' (2*50)
||/Л|1е<^-«г(/; 2А)е (г =1,2). (2.51)
Справедливость этого утверждения немедленно следует из
вышеприведенных равенств.
Замечание. Если / 6 £р (7?), р > 1, то
|/hHWI<^-(2*)r-(|l/(' + ^lp^)P<(2A)~|/|!p, (2.52)
т. е. функция Стеклова для /£/,р(/?), у/7 > 1» всегда
ограничена. Далее, если А>р>1, то
ИЛ,. Ир, < (ИЛ,, \\У • НЛ,, ц; < <2A)£-s-.|/rP
и, следовательно, для функции Стеклова /h j (x) имеет место
неравенство
ЛЛ.Лр^^^йА, А >/»>!•
Аналогично
8. Применение функций Стеклова к оценке
наилучших приближений
1. Используя свойства функций Стеклова, можно доказать
следующую теорему.
Теорема 6.2.11. Если функция f и ее производные /'
и /" принадлежат пространству Е(/?), то имеют место
следующие неравенства:
1) л.(/-Л.,)е<тА(/')е' (2'53)
2) Л(/-Л,2)е< 'f-A(/')E, (2.54)
•3) A(/-/hil)E<|-^(/")E. (2.55)
Доказательство. Очевидно, что
h t
Л., (*) -/ (*) -= ^I (I7'(х + *> Л}Л*
329

Через g обозначим целую 'функцию из Я*Е, которая
наименее уклоняется от / в метрике пространства Е, и положим
h t
2h
Очевидно, что S{x)eH(sE. Отсюда, учитывая
Л(Л,,-/-5)е = Л(Л,1-/)е-
получим
^(Л,.-/)е<!1Л)1-/-5Ие<
h , t
J_
2Л
<
\ HI/'(*+*)-*(* + X)\dx\dt
-h U '
h
-h
Неравенство (2.53) доказано. Докажем неравенство (2.55).
Интегрируя по частям, получаем формулу
f^x{x)=f{x) + ^\^f{a){x + t^u)duUt. (2.56)
Пусть ге#вЕ(/?)7и V{x) = (g(x)\x — g(x). Тогда из (2.56)
следует, что
h х-И
Л.1<*>-/(*)-1'<*)-2гП J [/"(«)-«"(")]X
-ti x
h t
X (* + *-я) d« } dt = -i- f (f [/" (xty)- g" (x +
-h v0
+ y)](<-y)dy>*. (2.56*)
Предположим, что целая функция g такая, что Т(х)= g"{x)
наименее уклоняется от f"£E(R) в метрике Е, т. е.
V"- ПШ) = A,{f%.
Тогда из (2.56*) находим
Л(/-Л,1-^)е = ^(/-Л,1)е<
h *
— h u
hr * 1
_hLo J
330

Неравенство (2.55) доказано.
Наконец, заметим, что в силу равенства (2.45)
Л1 (х) -±{/>(х + })-/'[*-+)}• (2-57)
Учитывая неравенства (2.53) и (2.55), получим
Л(/-/ь,2)е<Л(/-Л,,)б + ^(Л.1-Л.2)е<
<\ Л(/'Ы-у^(/ь.1)Е-
В силу (2.57)
Л
Следовательно,
М/-/ь.»)е<-7 Л(Ле'
что и .доказывает неравенство (2.54).
2. Функции Стеклова применяются к оценке наилучшего
приближения дифференцируемых функций целыми функциями
из МаЕ.
Теорема 6.2.12. Если функция f и ее производная /(г)
порядка г (г—натуральное кисло) принадлежат линейному
нормированному пространству Е(/?), то
Аа(/)Е<^<»2(/(г), -f) , (2.58)
где соа |/", —) —модуль гладкости второго порядка
функции f(x) в пространстве Е(/?).
Доказательство. В силу -теоремы 6.2.1, если / и ее
производная fT) принадлежат пространству^ Е(/?), при
натуральном г>0и для любого о >0 имеем
А,(/)е<^|1/(г)11е, (2.59)
где ^-—постоянная, такая, что 0<£г< —. Полагая А = — ,
2 2а
записываем функцию f(x) в виде суммы:
/(*) = (/(*)-А, 2 (•*))+Л, 2 (*Ч
где /h 2 —вторая функция Стеклова для /. Очевидно,
^(/)е<4(/-Л,2)е + Л(Л,2)е-
В силу неравенств (2.49), (2.50) и (2.51) легко получаются
следующие:
Л(/-Л,2)е<-^Ц/-Л>2||е<
331

^ Вт l /(г) 1 \ ^ те / ,(r) 1
Л(/«).<-^1/й»«.<^Ц/м.^.
Благодаря этим неравенствам, находим
«£-('"'• т).-
Примечание. Из тех же соображений, рассматривая
первую функцию Стеклова /hl(4 можно получить оценку
наилучшего приближения Л<, (/)Е посредством модуля
непрерывности (к = 1):
Л3(/)е<4С0(/(Г)^-) • (2-59*)
Кроме того, в случае, когда /(г) (х) имеет сопряженную
функцию /(г) (х), принадлежащую пространству Е(/?), то при г>1
для любого о > 0 имеем
А(/)е<^-о)(/(г)Л) . (2.60)
9. Наилучшее приближение целыми функциями
конечной степени вне данного отрезка
Рассмотрим функцию /(*), заданную за пределами
интервала (—1, 1), и оценим ее наилучшее (равномерное)
приближение А,(/; |*| > 1) целыми функциями из класса На в
области | х | > 1.
Теорема 6.2.13. Если функция f (x), заданная вне
интервала (—1, 1), ограничена и имеет г производных,
причем r-я производная f{T)(x) ограничена и равномерно
непрерывна, то существует константа СТ, не зависящая от х ц
а, такая, что при любом а > 1 найдется целая функция
0(х)£На, удовлетворяющая для каждого х(\х\^\)
неравенству
i/w-ВДК^^ + Я
X
хЧ
1 [Ух — 1
. . +—Yf, (2.6I)
где a) (t) = ш (/(г), i) —модуль непрерывности r-й производной.
[21(1)].
332

Доказательство. Пусть
1
/Г(и)= ^(v)eiuvdv,
(2.62)
—1
где ср (v) имеет на [ — 1, 1] абсолютно непрерывную
производную порядка р — 1 и удовлетворяет условиям:
1) <f(-v) = <p(v), 0<г;<1; 2) <р (0) =
(р-1)
3) се(1)==<р'(1) = ... = ср^(1) = 0, /;>2;
4) ср (0) - cp(lv> (0) = ... = <р^ (0) - 0, 2д<р ■
(2.63)
Интегрируя (2.62) по частям, видим, что в силу свойств
функции <р (v)
-i
Поэтому, так как 2<7 + 1</?<2, при т = 1, 2, ... , 2q + 1
функция \итК{и)\ интегрируема на R и
J0^- /С(«) ^ = (—1^. ^ J f/Г(^г) ^"iut ^ } =
2*
,(m)
ср^(0)=0.
Предположим вначале, что функция f{x) четная, и
рассмотрим функцию
r(u)=f{YW+\\
определенную на всей R. Интеграл
00 ОО
g(u)= Г F (u + —\K(t)dt = a Г F(t)K[o(t — u)\dt (2.64)
— 00 --. ОС
— четная целая функция степени ^о, так как при всех и
«XL .уявпго., 00 00
F
K(t)dt = W«2\
v=0
v=0 — °0
Рассмотрим целую функцию
g(/F=I) = G (/,*)= fjM*2--!)'.
v=0
степень которой < а, и оценим разность между f(x) и О (/, х)
ззз

Из (2.64) следует, что при и = ]/" х- — 1
\f(x)-G{f;x)\ = \F(u)-g(u)\ =
Полагая |/(« Н )+1=У и 1^и2+1=.*,
t^l + -^j-~F{u) = f(y)-f(x)^
0
к=1
где |£>,(/; х,у)1<;'у~^|Га)(,у-.х|).
Поэтому
|/(x)-0(/,x)|<|^-^^L |(у-^АГ(0
00
+ -Ц *y-xY«(\y-x\)\K(t)\dt.
Г] ±00
Но
y-x= У [и -г -f )Ч 1 - f^FTT =,
имеем
d/
^J v! V a / da
где
/\m —
tm+l dm+l (Vx<_+_l)_
(m-l)!am+1' rfx1
.m+1
x=u+?i
(0 < 6 < 1).
Поскольку
X [УЩЛ) =
da*
/\(«)
где Pv(u)—алгебраический многочлен степени <v, то при v>l
эти производные ограничены на всей оси R.
Таким образом,
■*-2^т'(в)+т
m+1)lam+1 -lm+1
тт+1(М),
334

гд£ Tv(*0 и Tm+i(^» ') СУ7Ь ограниченные функции своих
аргументов. Следовательно, при любом натуральном #<г и
т = 2г + 3 — к
2г+2
^1 /v (2r+u—к)к , 1
(У-^)К-2)^Т,,к(»)+1 а2г+2 +-Тк(Я,*).
v=l
где fv к(#) и т*(и, О СУТЬ ограниченные функции своих
аргументов. При определении ядра K(t) положим в условиях (2.14),
что р = (г + 2)2 -+■ 2, q = г + 1. Тогда при к< г будем иметь
оо , « |(2г+и-к)к , 1
j (y-xyK(t)dt U Г m g2r/ 1v,(M)/((0
Л<
<
^+5 ((|^Г2>+2)|т;(«,он^(0|л<^
Поэтому в силу ограниченности f(x) и f{T)(x) при |л:|>1,
sup|/(K)(;c)| < оо при любом к (0 <*;</*) и
х|>1
|2^f(»-*)-f(o*
< Zj. v'o2^2 J W| a2r+2'
oo
l/(*)-G.(/,*)|<:2j<g. +J. ^|у_Х|гш(|у_Л|),дГ(0|
—.00
Остается учесть (2.14) и заметить, что поскольку
dt.
у — х = •—
а I v / J\
+ — -Та(^ 0. то
о р,- и*+ 1 аа
|у — *1г«>(|у—■■*!)<
<Cr(,*|+lf-(-^+
1 \г / I и
(О
a l^l+M- о'1
—00
Пусть теперь функция /(л:) нечетная. Рассмотрим отноше-
ние ф (л:) = -^-^, где
335

g(x) = — f J-sin2 — dt.
* J t> 2
0
Поскольку при v = 0, 1, ..., г sup —■{ | к" oo,
|x|>i \ dx* \g (x) J J
то четная функция ^(x) имеет г производных, ограниченных
за пределами интервала (—1, 1), и так как
а второе слагаемое в правой части имеет ограниченную
производную, то при | jv:1 | > 1 и |х2|>1
if)(x^-f4^)\<-^-Af)ixl)-f)(x2)\ +
I g \xl) I
+ |/r)U2)l -| —^—i ~ -y-rl 4- C*r\x{ - x21 <
< Сr {a)(| xt-x2 \) + \Xi — x.> |}.
Остается воспользоваться соотношением (2.64), тем, что для
четных функций теорема уже доказана, и тем, что
g(x)—целая функция первой степени, удовлетворяющая неравенству
|g(x)|<l. Так как всякая функция, заданная за пределами
интервала (—1, 1), есть сумма * четной и нечетной функций,
то этим самым теорема доказана в общем случае.
§3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО .ПРИБЛИЖЕНИЯ
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ЛИНЕЙНОМ НОРМИРОВАННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Обратной задачей наилучшего приближения считается
выявление тех или иных дифференциальных свойств функций с
заданной последовательностью наилучших приближений. В
ряде случаев появляется возможность полного описания в
терминах наилучшего приближения различных структурных
свойств функций и изучения их с конструктивной точки зре-
ия.
1. О функциях, у югорык задан порядок наилучшего
приближения целыми функциями
С. Н. Бернштейн исследовал дифференциальные свойства
функций, у которых задан порядок наилучшего приближения
посредством тригонометрических полиномов в метрике
пространства С*(—тс, тс). Докажем общее утверждение,
охватывающее в то же время теорему С. Н. Бернштейна в
периодическом случае в пространствах С* (—тс, тс) и Z,p( —тс, тс) при
336

Теорема 6.3.1. Если для некоторой функции f(x)
существует целая функция Fa(x)£HaE, a>o0>0,
удовлетворяющая неравенству
lf-F^<-£r, (3.1)
где А > 0, г>0 (целое число) и <х(0<а^1) от а не завит
сят, то функция
9(x)=f(x)-F9(x)eE(R)
имеет производную <?{г)(х), принадлежащую E{R), при этом
ср(г) (х) б Lip (а, Е), если 0 < а < 1, и
">(?(г\ ь)Е<мь\п -L
о
если а = 1 (условие Дани—Липшица).
Доказательство. Полагая ск = 2кс0 (к = 1,2,...), рас
смотрим ряд
F*(x)+%g*(x), (3.2)
к=1
где
gAx)=F,K(x)-F^1(x) (к= 1,2,...).
Обозначим через Sn (x) сумму первых п членов этого ряда
и заметим, что в силу (3.1)
lim|/-5„l!E= lim ||/-^п||Е = 0,
п-»-оо п-»-оо
т. е. ряд (3.2) сходится к /, а ряд 2 £*(•*)—к функции f(x)—
— Fao(x) в смысле метрики пространства Е(/?). Так как
ftW-^W-rViWe^ (*=1,2,...) ив силу (3.1)
Hg.||E<||/-^llE+!|/-^.lllE<
то на основании неравенства (1.6*), гл. III,
Wg!%<~*~ <*-!, 2,...). (3.4)
ак к
Неравенства (3.3) и (3.4) показывают, соответственно, что
ряды
к= 1 к=1
■1020—22 337

00
являются сходящимися. Следовательно, ряд V gK (х) ?акже
сходится в смысле метрики пространства Е(/?). Таким образом,
существует функция у(х) 6Е(/?), для которой
lim
П->ОЭ
?-^g«\\ =0» т.е.
к=1 И Е
ср(х)= \gK(x) (в смысле метрики Е(/?)).
к=1
Напомним, что в силу теоремы 2.2.5 для каждой целой
функции gK(x) имеет место представление "
gK(x)= f<bt(x-t)gP(t)dt + 6K(t), (3.5)
— 00
где Вк(х)~целая функция степени <t:(r<o0), а Фг(^)—ядра
типа Крейна. Из этого представления следует, что
т.'[е. ряд 2'^к!1 сходится и поэтому ряд ^ М-*) сходится
к=1
по норме Е(/?). Через В{х) обэзлачлм его сумму. Кроме того,
00
в силу неравенства (1.6*), гл. III, сходится и ряд 2 II ^ 1| *
к=1
Пусть С0—его сумма. Из (3.5) находим
2>(*)= f Фг(л-о[2йг)(о]л + 1 м*>.
к = 1 — оо Lk=1 J к=1
Отсюда ^следует, что в смысле "метрики пространства E(R)
имеет место равенство
/(^)-/чК^) = Ф(^)4-в(л)=ф(х), где
«к*)- for(o^(^-o^ *(*)= f;*£r)(*). (3-6)
-оо к=1
Таким образом, нахождение модулей непрерывности, в
смысле метрики пространства Е(/?), функций Q{x) и ф(-к)
должно привести доказательство теоремы к концу. Прежде
всего,
!M* + *)-M*):e<|A/-||OkI!e
338

и, следовательно,
[в(х + А)-в(А)1в<|А|. 3'1в«Цв<со|А|,
К==1
т. е. 6(x)6Lip(l, E). Далее из равенства (3.6) находим
<*(ф, 8)E<«>(g; 8)е- J°|Or(0l^.
—00
Задавшись произвольным (не превосходящим единицы)
числом 8, найдем натуральное число т из условия
2m-i ^ J_ ^ 2m
и положим
т—1
т—1
Р{х) = 28*){х)* Q(-«) =#(-*)-2 2кг)(*).
k=i
Тогда получим
IQk
т-1
8-2 *'
(г)
к«1
<2ll«ir''
Е к=т
к=1
0а ^ 2ка V. 1
и значит при /А|<8 будем иметь
ilQ(^ + A)-Q(^)|lE<2C1Sa.
С другой стороны, если |Л|<8, то снова в силу неравенств
<1.6*), гл. III,
p(x-t-/z)-P(^):E =
m-l
2[^r)(x + A)-g<r)(x)]
K«l
m—1 h II m —1
JK+v + o* <*2ii*ir+,)<*)
k=I 0 I IE! к=1
m-l
< 58aJ"
1-a
)K(l-a)
<
El
вЦ-а.2ш(1-а)
<
<C28a.
Значит, если |А|<8, то
!|Я(х + А)-Р(д:)!!Е<С28а,
что и доказывает теорему при 0<а<1.
Из приведенных в доказательстве оценок следует, что при
•а- 1
22*
!:Q(-*+a)-Q(-*)"e<2CA
,-,Я(х + А)-Я(л)иЕ<58(от-1)<
5
In 2
;in—.
в
339

Таким образом, g(x)£ Lip (а, Е), если 0<а<1, и ш(В)^
<МВ1п—, если а=1, где g(x) = P(x)+Q(x) в смысле
5
оо
Е(/?), причем из того, что у(х)= ^gK(x) в смысле E(R
и g{x) = 2 gi0 (*) в смысле Е(/?), следует g(x) = ср(г)(х) в
к=1
смысле % Е(#). Теорема доказана. Доказательство теоремы
6.3.1 в % случае, когда Е(/?) == С* ( -— тс, тс), принадлежит
С.Н. Бернштейну ]14(4)].
2. Обратная теорема наилучшего приближения
целыми функциями в классе Зигмунда
Скажем, что функция f{x), л:6/?, принадлежит классу
Зигмунда Z(E), если выполняется условие
suplf(x + h)+f{x-h)-2f(x)\E<Mb,
|hl<5
где М > 0—константа, не зависящая от В. В классе Z(E) имеет
место
Теорема 6.3.2. Если для некоторой функции f(x)
существует целая функция F'а 6: ЯаЕ, о > а0 > 0,
удовлетворяющая неравенству
fi/-/V'E<-^r, '(3.7)
где А>0 й целое кисло г>О от о не зависят, то функция
v(x) = f(x) —f*o(x) имеет производную уКТ) (х),
принадлежащую классу Z(E).
Доказательство вначале ничем не отличается от
доказательства теоремы 6.3.1. После того, как представление
cp(r)(x) = P{x)+ Q(x) (в смысле Е) и неравенство |jQPe<Ci&
получены, надлежит рассмотреть выражение
№P=P(x + h) + P(x-h)-2P(x) =
m-l
= %\gir)(x + h) + giT)(x-fi)-2g{«4x)}.
В силу неравенства (1.6) из гл. III, полагая |AJ<A. будем
иметь
!А2р\\е<
340
m—I h
2 U$gV+2){x + t)dt\dtt
к=1 б \-U J
^

5n—1 m—1
<т2^Г2),|е<т-^-22к<£^<Сз8-
Теорема доказана. Сопоставление теорем 6.3.1 и 6.3.2 с
соответствующей прямой теоремой 6.2.1 приводит к следующему
результату.
Теорема 6.3.2*. Для справедливости, при любом
а>з0>0> оценки
необходимо и достаточно, чтобы
f (х) = F„9(x) + у (х) (в смысле Е(/?))г
где Fa0(x)—-целая функция из класса Иао Е, а функция у(х)
имеет производную <р(г> С*)» принадлежащую классу Lip (a, E)
при 0 < а < 1 и классу Z(E) при а - 1.
3. Об оценке модуля гладкости посредством
наилучших приближений
Пусть Ак(/)е (# = 1, 2,..., п) — наилучшие приближения
функции/£Е(/?) целыми функциями из ЯКЕ, а о>к(/, Ое-модуль
гладкости к-то порядка функции /.
Теорема 6.3.3. Если функция f принадлежит
пространству E(R), то для любых натуральных кип
справедливо неравенство
п
"k(/,^-)e<^^](v+ 1Г'Лу(/)е, (3.8)
в котором Ск—константа, зависящая только от к.
Доказательство. Пусть ga—целая сЬункция из //aEt
дающая наилучшее приближение функции /. Очевидно, при
любом целом /тг>0 справедливо неравенство
Отсюда, имея в влду, что
«.(/.!)< 24/11.
получаем
<..(/, -i-)<2K^2m+I (/)E + U>K (g2m+1, -L). (ЗЛО)
Далее в силу неравенства треугольника для нормы
пространства Е(/?) и свойства модуля гладкости имеем
341

lCi-4K>|K2<V+,)K|U2 -erH<2WHK+"A2Af)E. (3.11)
Кроме того, считая g0 целой функцией нулевой степени,
находим
II giK) II = II g\K) - g{oK) II <!kt - go II < 2Л0 (/)Е.
Таким образом установлено, что
*? гп
4w T)<MMfh+^+i)KA-(fh
v=0
-Наконец, учитывая еще
2(,+')kV/)e^22k S ^~Ч(/Ь (3-12)
2V
получим оценку
1 \ 2 к+1
Hv-'+i
-(*■+- 7)<^-{А«</)е+Л'<Ле +
+ 2 ^ ик-'Ал/)еU^^(v + i)K-M,(/)E.
Выбирая теперь т так, чтобы 2m </z < 2m+1, и подставляя эту
оценку в (3.10.), придем к неравенству (3.8.). Теорема
доказана. Щ
Следствие 1. Если последовательность наилучших
приближений {Ап(/)е} функции f(x)£E(jR) в смысле метрики E{R)
при некотором а ^ 0 удовлетворяет соотношению*
An(fh=0(^j9 An>\, (3.13)
то для любого натурального к
IO(ta) при а <#,
0(/к|1пф при а = *. (3.14)
0(tK) при а>/с.
Таким образом, при 0 < а < к условие (3.13) не только
необходимо, но и достаточно для того, чтобы
при а = к соотношение (3.13) эквивалентно условию
* С. Н. Берн штейн [14(17)], случай Е(Я) = С(Я) и*=1;Квад.
164(1)], случай E(R)=Lp(R), 1 </? < ос и л: = 1; А. Ф. Тиман [105(2),
стр. 346, случай E(R) = Lp (R) и /,*(—тс, тс) и /с—любое натуральное число]
342

Теорема 6.3.3 может быть дополнена следующим
предложением*.
Теорема 6.3.4. Если для функцииf £E(R) при
некотором натуральном г
| ir-Mn(/)E<oo, (3.15)
n=l
то f совпадает** в смысле нормы Е(/?) с функцией /*(-*),
имеющей r-ю производную f{J] (х), принадлежащую E(R).
Кроме того, при любом натуральном к имеет место
неравенство
«>к(/(г\ ^)<CKir {-L^(OT+!)*+-• Лш(/)е +
* m=0
+ 2 m'^Am(f)X (3.16)-
m=n+ 1 ^
где Ск r—константа, зависящая только от к и г.
Доказательство. «Рассмотрим при любом натуральном.
/?<г ряд
v=0
где gndHnE—целая функция наилучшего приближения
функции /. Неравенства (3.11) и (3.12) показывают, что согласно
предположению последовательности частичных сумм
v = 0
сходятся в смысле метрики пространства Е(/?). Следовательно,.
{5пР)} при всех /7=1, 2,..., г сходится к некоторой функции
fp(x)£E(R) в смысле метрики пространства Е(/?). Заметим,,
что при р = г
il/(r)-/rllE<||/<r,-Sir)rE + ||5ir>-/r||E,
причем l!Snr)—/г[ \-+ 0 прл д->оо. Остается показать, что-
II/(г) — Sn] |!e также стремится к нулю при п-+со. Прежде-
всего заметим, что
* С. Н. Бернштейн [14(4)], случай Е(#) = С*(—те, я) и л: = 1;
А. Ф. T и м а н [ 105 (2)1 и С. Б. Стечкин[ 103(2)], случай E(R) = С* (—тг, я)
и /,*(—тг, тг) (1</>< оо>.
** Совпадение /и Д означает, что | / — /* || = 0.
343

и потому
l/(r)-s<r'll = ||/(r>-g(r)
2n
<
2{||/"'-<:Н|/"-й',Ч|)
<
<2|||/,',-*г,У-|/и-#.||<£||*&.
4'II-
v=n ' v=n
Отсюда в силу неравенства Бернштейна следует, что
||/"> -S^\\< | 2^||^+1- g2v||< 1-2^1)г+1Л2;(/)Е.
v=n v=n
Таким образом, имея в виду неравенство (3.12), получаем
•следующую оценку:
I|/(r,-5^!k22r+1 | j^iM/fc.
Правая часть последнего неравенства как остаточный член
сходящегося ряда (3.15) стремится к нулю при п~^оо.
Следовательно, 1|/(г) — Snr)l|->0 при п -> оо, т. е./(г)(х)=/г(х) в
смысле Е(/?). Далее имеем
4/<г)' тЬЧ^"^'^^"!5^ ^)и
Шк (/«-Si?, -l)<2K|!/(r>-5Lr>|k2K ^ll^-rflk
v=m-f 1
<2* ^ 2('+,)r+M2V(/)E<2K+2r+1 2 ^~Ч(/)е.
v=m+l li=2m+l
Кроме того, справедливо неравенство
m
v=0
m
Выбирая теперь т так, чтобы 2Ш <я < 2m"1, и применяя
оценки (3.11) и (3.12), придем к неравенству (3.16). Отметим два
частных случая теоремы 6.3.4.
344

1) Пусть f(x) принадлежит Iq(/?), 1<<7<^о, и при некото-
00
ром натуральном г ряд 2 "*T~l Av(f)q сходится. Тогда f{x}
почти всюду на R совпадает с функцией, имеющей абсолютно
непрерывную производную f{T~l)(x), г-ю производную /(г)(х)б
6Iq (.при q ■=- оо непрерывную) и при любом натуральном к
справедливо неравенство (3.16) в метрике пространства L4{R).
2) Пусть f (x)£L\( — те, те) и ряд
V vr-! ^(/Jq <оо (1<?<оо)
сходится. Тогда f(x) почти всюду совпадает с функцией,
имеющей абсолютно непрерывную производную f{v'l) (х) и г-ю
производную f{T)(x), принадлежащую L*q( — те, те) (в случае
<у= эо непрерывную). Кроме того, при любом натуральном к
справедливо неравенство (3.16) в метрике пространства Z,q(—те, те),.
1 < q < оо.
Заметим, что условие (3.15), будучи достаточным для
существования у функции f{x) г-й производной,
принадлежащей пространству Е(#), не всегда является необходимым.
Например, в случае Е(/?)=12( —«, «) функция
00
а-
имеет производную
/'(*) = -
sin кх
s
1
™2- к2 In л:
которая в силу теоремы Фишера—Рисса* принадлежит Z,2(—^, те)..
Однако для нее
* Теорема Фишера—Рисса гласит: какими бы ни были две
последовательности действительных чисел {ак} и {Ь^}, удовлетворяющие условию-
с»
2 (ак "Г" ^к) < °°' всегДа существует измеримая периода 2т: функция / (х),
принадлежащая пространству L2(—тс, тс), для которой эти числа являются
коэффициентами Фурье.
345*

и при некотором С > О
Еп(Л * >
nyj \\ ' (лг -f- 2)1п (л + 2)
^2
оо
Следовательно, ряд V En(f)L* расходится (см. [105(2)], стр. 340
п=1 2
а тгсжг [89(1 ))).
Для функций f(x)£ Е(/?), удовлетворяющих при
некотором натуральном к условию
а>к(/,0 = О('в),
в силу
имеем
лл/)е<сксок(/, __L )
v=l v = l
оо г_г оо
Е
К=1 iv = l
Отсюда видно, что условие (3.15) имеет место при г< а.
Следовательно, на основании теоремы 6.3.4 любая такая функция
совпадает, в смысле метрики Е(/?), с функцией, имеющей
производную f{T)(x) порядка г(г<а), принадлежащую
пространству Е(/?), и каким бы ни было натуральное /с, имеем
(0(ta~~T) при а — г<к,
**{f\ t) = \0(t | In <1) при а —г = к,
(0(tK) при а — г > к.
Из неравенства (3.16) вытекает, что если
последовательность наилучших приближений ЛП(/)Е функции f(x)£ E{R) при
некотором натуральном г и а^>0 удовлетворяет соотношению
а.(/)е = о(-4Л (а-17)
то ряд
^'-Ч,(Яе=с2-^
,,1+а
сходится и в силу теоремы 6.3.4 функция f(x) совпадает, в
смысле метрики пространства Е^/?), с функцией, имеющей г-ю
производную f{T)(x), принадлежащую пространству Е(/?), и
для любого натурального к
346

[0( f) при *<к,
coK(/(r), 0= \0(t«[\nt\) при а = к, (3.18)
[0(tK) при а> /с.
Таким образом, при 0 < а < к соотношение (3.17) необходимо
и достаточно для того, чтобы функция f{x) совпадала, в
смысле метрики Е(^), с функцией, имеющей г-ю производную
f{T)(x), принадлежащую E(R) и удовлетворяющую условию
"к(/(Г\ t) = 0 (*').
В частности, в случае Е(/?)==С*(—«, я) функция f(x) £ С* X
Х( — тс> тс) бесконечно дифференцируема тогда и только тогда*
когда при любом г
lim /гг£п(/)с* = 0.
п->»оо
4. Оценка частных модулей гладкости посредством
частных наилучших приближений
Будем различать точки из пространств Rn и Rm при l</rc</t
по верхним индексам, т. е. положим, что
*(Ш) = (*!,...,Х«)€/?т И *(П) =(*!,..., *п) б Яп-
Условимся через //-(т) х(т) Е обозначать линейное
нормированное пространство функций f(x)k:E(Rn) с нормой ||/|'Е,
являющихся целыми функциями степени < о(т) = (оь ..., ош) по
группе переменных л:(п"т) = (xm+i,..., хп ) и ограниченными
измеримыми функциями по остальным переменным х{п~'т) =■
= (*т+р • • •» Лп) (см* § '» гл- "0- Следуя С. Н. Бернштейну,
обозначим через А-(т) (/)Е частные наилучшие приближения
функции f(x)£E(Rn) посредством функций из класса
Н-{т)9 х(т) Е(/?п):
g6H;(m)x(m)E(Rn)
Напомним, что для функции f(x)£ Е(#п) частный модуль
гладкости по группе переменных х{т) (1 </7Z</z) в метрике
пространства Е(/?п) определяется равенством
-(m)(/.^0)E1hSupjAS;...A-4, (3.19)
где «,т) = (*i. .».*«) и ?(И) = (81,...,8Ш).
Теорема 6.3.5. Для функции /6 Е (/?„), какими бы ни
били натуральные кисла «,,..., кт, справедливо неравенство
347

С-
Vl=0 vm=0
...(vm + l)Km-M7(rn)00(/)E, (3.20)
где ~Ъ{т) = (—, ..., — \С-{т)—константа, зависящая только
к
ют к{т) —(ки ..., кт).
Доказательство. Приведем доказательство для случая
т — п~с1. Пусть g-(x)€H-E(jR2)—целая функция наилучшего
приближения для /(x)fE(^2), т.е.
Л.-(/) = Р/-*Д (3.21)
Положим
P = (t*i. !**). W = 2pJ+1,8j=— (y==l, 2) и 8 = (81,8а).
где р\—неотрицательные целые числа. Тогда
<°«(/~8) <М/- *?. 8) + »г-(^Д)<
<2К'+К' Л-(/)Е + «-(я-, 8~). (3.22)
Оценим правую часть (3.22) через частные наилучшие
приближения функции /€Е(/?2). Представим целую функцию
.g-(*) в следующем виде:
pi-i p«-i
$г(*) - я,, i (■*)+2 i^+i.«~ **, ii+ 2 к2H-1 - ^.ri +
v=0 ' ' v=0
pi-1 p*—1
~~T" ^^ ^ \ &2Vi-blt 2V*+1 ®2Vt + *, 2Vl 2Vl, 2V*+* ^2Vl, 2V* '
*" l^2P1+1,2P*+2 ^P1, 2P* J'
vj=0 v«—0
Благодаря этому, из (3.22), пользуясь неравенством
треугольника в Е(/?2) и свойствами модуля гладкости, находим
„_(а- ъ\<—— ||Dr я-Ik
Pt-l
< -7П?. i!L_:*... 11+ 2 l!D_K [ Vh., - *r., ] II +
1 2 I v=0
+ s i,dk" isr+i - guv} к+P's "si *> [^2v,+,.2v,+1 -
v=0 vt=0 v2=0
°2V,+I, 2V2 ^2Vl, -v'+1 ^2V»,2V* J Ч Ч Ь^РлН-1.2P*+2 ®2Pi, 2P«J
• 348

При этом в силу неравенства (1.15) из гл. III для целых
функций класса Я-Е(/?2) справедливы оценки:
|l^r+liI-^M]||<^^,,+,Arfl(/)<
|р7[^,2^-^2,]||<2^+1)+1Л,,2,(/)<
'I J L°2V»+1, 2V»+1 &2Vl+1/ 2V* 02Vl,2v*+1 ^2Vl, 2V« J|| ^
IH=2vi-l+l |H=2V»_1+1
II ^ [^Р^^РЧ- 1~ ff2P«, 2Pt]|l ^
2Pi 2P*
<22(к,+к,Ж. s s рГ,!^Г,Л|ц.Р.(/)-
Наконец, имея в виду, что g, x(xu х2)—целая функция
первой степени по каждому переменному, находим
ll^"^,i!l<lk,-/+/ll<2Ao,o(/)-
Благодаря этим неравенствам, приходим к следующему
заключению:
||l>^9Pl+,2P,+1||<2A0i0(/)+P222K,+1 2 V'*-I\l(f) +
v==0 |jl^»2v—1-Ы
+ PS22K,+1 ^ ^~lA^(f) +
v=0 li=2v-1 + l
+4K'+K,+lP2P2 2 2 tf_1 «*"""'**.*</) +
vt=l v2=l{li=2v1-l+1 |Jtt=2v«-, + l
349

+ 22(К1+Кг)+1 | !* рГ^ГМ^лЛЧ-
Pt-1 2V«
+ 2K'+K*+3 Л, , (/) + 2K*+2K2+2 J 2 t^"' A.,(/) +
pi-1 2V*
+ 22к,+кг+2^ ^ ЦК'-Ч,.(/)-
vi=1 |i=2v,-4l
Следовательно, справедливо неравенство
1 1
%, к, ^2Pi+1,2P«+1* 0][ ' '^
a2
2pi-l
2p2—1 2P1-1 2P2_1 ч
+ 2*к'~Ч,,(/) + 2 S ^Г'^-'л,,^/) . (з.2з>
V=2 Vi=2 V2 = 2 '
Выбирая теперь р1 и р2 так, чтобы 2P'~1 </t1<2pl, 2p2_1 <
<я<2Рг, и подставляя последнюю оценку в (3.22), придем
к неравенству (3.20) при яг = /г = 2. Из (3.2Э) при т = д
вытекает следующее утверждение.
Следствие. Если для полного наилучшего приближения
A-(f)E функции /6E(#n) при 'некоторых at > 0, ..., am > О1
справедливо соотношение
Чк=1 к"
то для любых натуральных ки ..., кп
•г (/.") =
A'(/)E-°Si' (3-24>
I
350
°(2^ I КОГДа av<^ (v= 1 Л),
/ m n \
О 2 <v+ ^ #v4v/lnav | , когда av < к, (v = 1, 2, ..., т)у
\v=i v=m+i /
°(2 ^ )' К°ГДа av> Кч ^V=== 1,e"" ^'
/ m n \
О y^v+y u*" |lnav| К когда av >*rv (v = l,... ,m)„
\ v=l v=m+l / av ==/Cv (v~1Ю+-1, ... , /l).

Кроме того, поскольку
A-(f)>A7{m)oD(f) (OT=lf..., Л), (3.25)
то из соотношения (3.24) следует, что
(О (Vv), когда ак < ATV,
<Ч. xv (/, «v) = | О I <v | In a J), когда ак = /cv, (3.26)
(O'V"), когда aK> к,.
Таким образом, при 0<av</cv (v = l,...,/&) условие (3.24)
необходимо и достаточно для того, чтобы со,ч> Xv (/, av) = 0(a"vJ
при всех v = 1, 2, ..., /г. Если av = /ev (v — 1, 2,..., я), то
соотношение (3.24) эквивалентно совокупности условий
По той же схеме, что и теорема 6.3.5, может быть доказана
Теорема 6.3.6. Если для функции f(x)£E(Rn) при
некотором натуральном г\ последовательность {Ajlf00 (/)}e°Lo
частных наилучших приближений относительно
переменной {х удовлетворяет условию
00
г,-1
2*1' ^,.«(/)<*>.
,==i
то f(x) совпадает с функцией /* (х), в смысле метрики
Е(/?п), имеющей ггю частную производную D\xf no х{,
принадлежащую Е(/?п), # при любом натуральном кх
^-^](vi+iri+r'-,-A1,oo(/) +
vI=ai+1
где CK.vr{ —константа, зависящая только от К\ и п.
5. Дифференциальные свойства функций
многих переменных с заданной последова1ельностью
полных наилучших приближений
Из теоремы 6.3.6 и неравенства (3.25) вытекает
Теорема 6.3.7. Если f(x)£E(Rn) и последовательность
{^r(f)}^Lo полных наилучших приближений при некоторых
351

натуральных ги ..., гп и at > 0,.. ., ап> О удовлетворяет
соотношению
Ати) = о(^фг\ (3.28)
т=г '
то f(x) совпадает с функцией f*(x), в смысле метрики
Е(/?п), имеющей частную производную D\lfnox\ (i=\,..., п),
принадлежащую пространству Е(#п), и при любом
натуральном К\
Vxi'Xiffif* Ui)
(О (я"1), когда ои <ки
О [ик{{ | In и\ |), когда ai = ati,
0(а^)» когда clx > л:,-.
Таким образом, при 0 < а! < кх (/ = 1,...,л) соотношение
(3.28) необходимо и достаточно для того, чтобы функция
)(х) в смысле метрики Е(/?п) совпадала с функцией,
имеющей относительно каждой переменной Х\ (i= 1,...,л) частную
производную D\{f порядка riy принадлежащую пространству
Е(/?п) и удовлетворяющую условию
<»к{,щ{0?/, щ)=0{и^) (*= I,..., л).
В том случае, когда Ъ[=К[ при всех i' = l,...,/i,
соотношение (3.28) эквивалентно совокупности условий
«Vn. х, (Z?;1/, at);= О «') (/ - 1, ..., п).
Теорему 6.3.7* дополняет следующая
Теорема 6.3.8. Если у функции j(x)£E(#n) при
некотором натуральном г последовоьтгльность {А-(/)}а°10
полных наилучших приближений удовлетворяет условию
00
г-1
2 vrMJb...,Vi,...,an(/)<oo (3.29)
("] = [*!']. 'j>0, /=1,...,я, /i=l),
то f (x) в смысле метрики пространства Е(/?п) совпадает
с функцией, имеющей любую смешанную производную DTf
порядка Г] относительно х} (/=1, ...,я), где
п
и при любом натуральном к\ справедливо неравенство
352

«Klixl(D?/.^-)<C.Ir \J- \] (v. + lp+*-lA9l ,, .„(/)+
+ 2 vf"Ii4'i ч. ■■•.■..(/))•
vi=mi-hl ^
б KomovoM СК[,Т—константа, зависящая только от к\ а гу
а aj [ vjlj] ([• •']—целая часть; j = 1,. .. , п).
Доказательство этой теоремы после почленного
дифференцирования ряда
Я. i(*)+ SI*. . а»|+1 вв-8... ,'. .,.„(*)|'(3.30)
где g--(x)—последовательность целых функций наилучшего
приближения, аналогично доказательству теэремы 6.3.4 в
одномерном случае.
6. Существование смешанной производной
у функции многих переменных с заданными
частными производными по каждому переменному
Рассмотрим специально тот случай, когда функция /бЕ(7?п)
имеет по х? частную производную порядка pv,
принадлежащую Е(7?п), для которой
«2,х¥(№/,й¥) = 0(^) (0<av<l).
Отсюда по теореме 6.1.3 следует, что
/ п
1
*<л-°Щ
= i v
В данном случае ряд (3.2Э) сходится при г = рх (i ^ 1,..., п) и
р} +«,
Стало быть, имеет место утверждение теоремы 6.3.8, где
п
V.—+ -*—<i. (3.3I)
v=l
При этом
0)2,х, (Ьг/, и{) = 0[и\*). (3.32)
1020-23 353

Таким образом*, если f£E(Rn) удовлетворяет перечисленным
выше условиям, то она совпадает с функцией, имеющей
любую производную Dг/, где /*i,...,rn связаны неравенством
(3.31), принадлежащую E(/?,i) и удовлетворяющую условию
(3.32).
Из теоремы 6.3.8 зытекает также, что если функция/(л:)
принадлежит классу УИ-Е(/?П), р = (ри ..., рп), то при любых
Л» • • •» гп, удовлетворяющих условию
у нее существует непрерывная производная Dv /.
Почленное дифференцирование ряда (3.30) и те же
оценки, которые применяются для получения теоремы 6.3.8,
приводят к следующему предложению.
Теорема 6.3.9. Если функция /(х)6Е(/?п) имеет по
каждой из переменных х? (v = 1,..., п) р^-ю частную
производную D?v/, то она совпадает в смысле метрики
пространства Е(#п) с функцией, имеющей любую смешанную
производную DTf = D\\ .. D^f, где
и справедливо неравенство
WD'/ыс-- sll^/ll. (з.зз)
в котором С-, -—константа, зависящая только от г ,
/> = (/>„...,/>п), а р0 =0***.
* С. М. Никольский [93(2)]. Случал E = Lp(An), 1</>< оо.
** Существуют примеры, показывающие, что это утверждение теряет
п
силу, огда 2-^1 = 1 [89(1)].
*** С. Н. Бернштейн показал, что при Е == L2 (R2) (n = 2) неравенство
(3.33) имеет место также в случае pi = /?2, rt = г2 = 1. Если Е =. Lp(Rn)t
<р< оо, то (3.33) справедливо и при 2 1 ~/ = * ^СМ" напРимеР»
[93(10)]).
354

7. Дифференциальные свойства и наилучшее приближение
функций в различных метриках
Пользуясь неравенствами для интегральных норм целых
функций конечной степени, установленными в § 1, гл. IV,
можно получить оценки структурных характеристик функций
в данной метрике по их наилучшим приближениям в
некоторой другой метрике.
1. Одномерный случай. Напомним, что для f (x)£Lp(R)
функционал
Л*(/)р = inf. ||/- gal YP>1
gj€W(P)
называется наилучшим степенным приближением функции/(х
целыми функциями из класса Яа1р(/?)~ UPJP).
Теорема 6. 3.10. Пусть 1<р </?!<«> и f£Lp (R). Если
наилучшее приближение Аа(/)Р обладает тем свойством,
кто при некотором целом р>0
^ vP_1+ p" ~PMv (/)р < ~, (3.34)
v==l
то f(x) поята всюду на R совпадает с функцией, имеющей
абсолютно непрерывную производную /(р-1) (х) и
производную f^] (x) порядка р, принадлежащую пространству LPl(R)
{при рх = ос непрерывную), и при любом натуральном к
I ./м 1 \ Л I 1 Ж11! . К+Р-1+-
■(/"■= тЬс"^2«'+" "s *</>.+
+ J vp_,+ p SAV(/)P }, (3.35)
v=n+l '
где константа С r зависит только от к и о.
К, р '
Доказательство. Рассмотрим ряд
g\m)+ Sl^i-f^l, (з.зб)
где ga6 Wap) такая, что
а целое число яг<р.
Поскольку, согласно неравенству С. Н. Бернштейна в LP(R),
С.-*ПР,<2Ш<'+,>1
23* 35г)

2 (mfl --!)+•,> 2' m_,+ L_L
<2 l p И . 2 ^ p P1^v/v
то в силу условия (3.34) ряд (3.36) сходится в среднем в
смысле метрики Z.Pl(#). Далее, рассуждая так же, как и в
теореме 6.3.4, убеждаемся, что производная /(р) (х) почти
всюду существует и является пределом в среднем (в смысле
метрики LPl(/?)) для частных сумм ряда (3.36) при т = р.
Повторяя затем те же оценки, что и в теореме 6.3.4, получим
неравенство (3.35) для модуля гладкости шк ( f{9\ —) .
Так как для функций f(x), удовлетворяющих при
некотором натуральном / условию
М/. 0ч=О('а) (q>\\ (3.37)
ряд (3.34), где О^р —а —( V сходится, то на осно-
\ Р Pi)
вании последней теоремы имеет место
Следствие. Любая функция /(^)6^q(/?),
удовлетворяющая условию (3.37), почти всюду на 7? совпадает с
функцией, имеющей абсолютно непрерывную производную /{9~~ц(х)
(р—целое), производную f{9)(x) порядка р, принадлежащую
£pi(^?) (Р^Р\ < :ю)» и ПРИ любом натуральном к
|°[<а~(^~1р1)~Р1' К0Гда а~~(~ ~)~ ?<к>
<*Л/<Р\0*- j°('KllnM)> когда a-(-L -J-)-p.*f (3.38)
О (*к), когда a — ( | — р > к.
( \ Р Pi)
В частности, отсюда непосредственно следует, что класс
MrL{2a)(L9)(r-i\2<\oz, OOKl, \^о ^ хз) пэя рх>р ир +Р =
= г+- а—( \ где р—целое и 0<р< 1, содержится в
V Р Pi)
классе
2. Многомерный случай. Теорема, аналогичная 6.3. 10,
справедлива и для функций многих переменных.
Теорема 6.3.11. Если функция f 6LP(R) и при
некотором целом pi>0 для наилучшего приближения А-(/)р,
когда 0j = vJj (у = 1,. .., п, I) > 0, /( = 1), имеет место
356

vj=0
где px >/?> 1, то почти всюду в пространстве #а функция
f(x) совпадает с функцией, имеющей почти для всех
xv ."..", x._v xl+v ..., хп абсолютно непрерывную
производную Z)-"1/ no х\ и производную Др1/£!(/?), и при любом
натуральном к\
Kj-Pi-I +
(J--а 2"
j-i x
v ' ;р» (ni ^3
x\ -.</),+ 2] ;-,+(;"У|;'х
X\.,.„ an(/)PK (3.40)
ecte константа CiJJp, зависит только от т, ки ?\, а
aj==[v!j] (У -- 1 л. /,= 1).
Доказательство проводится так же, как и при п^ 1. В
случае, когда функция /(*) относительно каждой из
переменных х? (v = l,...,/t) имеет абсолютно непрерывную по
х! производную/)^""1/ и
- №/. «Л - °«*).
ряд (3.39) в силу (3.34) сходится, если
п + «ж
1з ; ■»
rj + ai
при условии, что
o<h<(ft+.l)[,-(^--i)|;_L-r].
Поэтому на основании теоремы 6.3.11 в данном случае/(jc)
почти всюду в пространстве /?п совпадает с функцией,
имеющей относительно каждой переменной х{ почти при всех
хх, ..., xx_v x^v ..., хп абсолютно непрерывную частную
производную D\[~xf и производную D\[f^LVx{R), и при любом
натуральном К\
357

CDJ7.",)»-
J (г,+.,)
i-(L
0 {и*1 Цпи,1},
0 («"«).
n 1
-LV v. _JL_
p.; / rj+J
j=i J
-Pi
когда
Ч'-^-аЗМг]
Pi
соответственно меньше, равно или больше к\.
8. Обратная задача при задании последовательных
значений наилучшего приближения в пространстве Е(/?)
По поводу существования функции /6Е(/?) с заданными
наилучшими приближениями в метрике пространства Е(/?)
справедлива
Теорема 6.3.12. Для любых последовательностей {Ап}
и {ап} таких, что Лп_1>Ап>0, ап>ап_!>0» /г =1,2,... и
lim Лп = 0, llm ап •= + эо, .
п-*оо п-* оо
существует функция /6Е(/?), для которой кисла Ап(п =
= 0,1, ...) являются наилучшими приближениями целыми
функциями класса //впЕ, //г. г.
А,п(/) =АД (л = 0, 1, ...). (3.41)
При доказательстве этой теоремы нам понадобятся
нижеследующие леммы.
Лемма 6.3.1. Для любой функции /6Е(/?) и любых оА
и а таких, что а'Т ^ а^0, можно найти целую функцию
Т , 6 Я , Е(/?) такую, что
Aa{f+Te.) = Aa.(f). (3.42)
Доказательство. Пусть g3,—целая функция, наименее
уклоняющаяся от/ в классе //а,Е, т. е.
||/-*.'||-Л..</).
Очевидно, последнее равенство можно переписать так:
И/-(*.'-*.)-&II = А.'</)'
что справедливо при любом ga(*HaE. Левая часть этого
равенства не меньше, чем АД/ — \ga, — glj, поэтому
лв1/-[гв.-*,])<л..(/). (3.43)
358

С другой стороны, в силу свойства 1) наилучшего
приближения (см. § 1, гл. VI) при а' > а>0
А. (/ + [g.-g..])>Ae. (/+ [*„-*..])• (3-44)
Заметим, что Та, = ga — go,(?Ha,E и поэтому
М/^'Н^Л/)- (3.45)
Из (3.44) и (3.45) следует
A9{f+T0.)>Aa.(f). (3.46)
Таким образом, из неравенств (3.43) и (3.46) следует (3.42).
Лемма 6.3.2. Для любой функции /£Е(/?), любого К>0
и любого a'><j>0 существует целая функция SQ, бЯо,Е
такая, кто
Aa(f+Sa>) = K.
Доказательство. Если бы имело место равенство
К= Аа> (/), то дело свелось бы к лемме 6.3.1. Поэтому можно
допустить, что f\S>A*'(f)- Постооим функцию
*W = A9(f+\T9.)9
где 7\(л;)6#а,Е, То,$НЕ и [удовлетворяет равенству (3.42).
Очевидно, в силу (3.42)
HV-AJfXK.
С другой стороны, в силу свойств 4) и 5) наилучшего
приближения (см. §1, гл. VI) ф(Х) есть непрерывная функция от
X и в силу того, что Т,$НЕ, имеем Нтф(Х) - оо. Следова-
Х-*оо
тельно, при достаточно большом I ф(Х)<А". Но функция ф(Х)
непрерывна на R, поэтому найдется такое значение X = Х0, при
котором ф(\)) = АГ. Лемма доказана.
Лемма 6.3.3. Пусггл Л0> А, >.. .Ап и 0<а0<а1<
< ... < an < а0— заданные числа. Тогда существует целая
функция Т(:НаЕ такая, что
А,к(Т) = Ак (к = 0, 1,...,л), 11^||<Л0.
Доказательство. Положим /'=0. Для этой функции
0=A,(/)<Ai. Значит, в силу леммы 6.3.2 найдется целая
функция So&H„E такая, что A<,a(S9)=An. Ввиду Аа < Лп_1
можно найти функцию Твп$Н9аЕ такую, что
Л„_, (5, + Т,я) = Лп_, и Л,п (5, + Г.п) = Аа.
Далее, ввиду того, что АП<АП_2, можно найти целую функ-
цию gon-iGHa^E такую, что
а между тем
359

A^S. + T^+g.^-A*.
Таким образом, путем многократного применения леммы 6.3.2
убеждаемся в существовании целой функции
T(x)^S,(x)+ Taa(x) + gan^{x):-r ...+ Vao (x) из класса
H0E(R) такой, что
Аак(Т)^Ак (к = 0, 1,..., п).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 6.3.12. Заметим, что при
обращении какого-нибудь из Ап в нуль утверждение теоремы
приводится к лемме 6.3.3. Поэтому можем предположить,
что Ап > 0, \7гл>0. В силу леммы 6.3.3 можем построить для
каждого п >0 такую целую функцию S,n+1 £ #<,п+1 Е(/?), что
Покажем, что из последовательности целых функций {San+1}
выделяется сходящаяся по норме пространства E(R)
подпоследовательность {San }, предельная функция / которой
удовлетворяет равенствам (3.41). Для этой цели обозначим через
R^(x) целую функцию из класса #атЕ(#), наименее
уклоняющуюся от 5вп+1, где 0</?1<я. Нетрудно видеть, что
||<!-s,n+1||<^ («-(и,...) (3-47>
при 0<т</г. Для случаев т>л + 1 неравенство (3.47)
тривиально, так как /?а^ = San+1 (/и = л+1, /г-f 2,...). Из (3.47)
вытекает, что при всех п и m
|\/ЙвЛ11<2А>.
Рассмотрим последовательность целых функций:
Из этой, ограниченной по норме Е(/?), последовательности
можно выделить сходящуюся в смысле метрики E(R)
последовательность
со)(*>. <2'o)u)....,m:k-o)w....,
l.i.m /?£к-о)(л:) = Rao(x) (по норме Е), /?at(-«) 6 Яа.Е, причем
к-*оо
Л1.0 </г2,0</гЗ,0< • •• .
Рассмотрим далее последовательность целых функций
ЯСЧ.О), /J(»2i0)i ...,/#".«.0),...
из класса /7С1Е, ограниченных по норме числом 2Д0- Выделим
отсюда сходящуюся по норме E{R) подпоследовательность
360

l.i.m RiyHx) = RJx) (no норме E(R)), R3iZ H,E, причем
последовательность {/гк j} является подпоследовательностью
{як 0}. Продолжая этот процесс, для каждого т сможем
построить сходящуюся по норме Е(#) последовательность целых
функций
ЯСч.по^ /?(п2.ш) f##e>/jK,m)f ..., 1л.т/?(Пк>т>(;с) =
5m CTm m K_^ qq 'm
= /?.„ (x) (по норме Е(/?)), R,mZH,m E(R).
Очевидно, для фиксированного m найдется такое yvm, что при
л>Л^т выполнится неравенство
II /?("»•») — /?.ш II < Am. (3.48)
II ^ГП ш II
Положим ni^nil . Если />т, то п{ является одним из
членов последовательности [пк }, т.е. пх = AZt m, где />i.
Далее положим, что /(m)^max(m, /Vm). Если />/(/я), то
л1 =/г1 ш» где ni,m >*(т) ^>Nm. Следовательно, из (3.48)
будем иметь
и:?-*-,|[<л~
С другой стороны, в силу (3.47)
и потому при г > i (m)
\\Sai-R.m\\<2Aa. (3.49)
Значит, если номера / и j превосходят i (m), то
||5-п1^5^1|<4Лт,
что в связи с условием lim Ат = 0 и обеспечивает сходимость
по норме E(i?) последовательности (S*n (л:)|. Положим f{x)~
= l.i.m San (x), по норме Е(/?), и покажем, что эта функция
удовлетворяет требованиям теоремы. Для этого перейдем в
неравенстве (3.49) к пределу при фиксированном т и
возрастающем /:
|1/-я.«!|«;Ат,
т.е. А»т(/)<<Ат. Остается опровергнуть неравенство Д,т(/)<
< Ат. Допустим, что при каком-нибудь т реализуется это
неравенство. Обозначим через £Лт целую функцию, наименее
отклоняющуюся от / среди всех функций из класса //атЕ-
361

||^«-/Ц<^ш(/)-
При достаточно большом i окажется, что
\\S^-f\\<Am-A,m(f),
стало быть,
р..-5-,|1<А-
откуда и подавно
что, однако, при щ>,т противоречит определению функции
SJn (x). Теорема доказана.

ГЛАВА VII
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ-АППАРАТ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В данной главе приводятся общие утверждения о
последовательностях линейных операторов, действующих в
линейных нормированных пространствах, и рассматриваются
аппараты приближения функций, построенные с помощью линейных
положительных операторов. Мы пользуемся уже
установившейся терминологией „приближение функций линейными
операторами", имея в виду приближение функций f{x)
последовательностью функций вида Ln [/, х], где Zn—линейные
операторы.
§ 1. НЕКОТОРЬЕ ОБЩИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ О СХОДИМОСТИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть Ег и Е2—линейные нормированные пространства и
1—линейный оператор, заданный на Ех с областью значений,
расположенной в Е2. Поскольку сходимость в пространствах
Ел и Е2 есть сходимость по норме, то непрерывность
оператора L означает, что \\Lnf— £/цЕ§->0 ПРИ P/n —/''El —>0.
Оператор L(EX-+E2) называется ограниченным, если существует
такая постоянная Ж, что
U/i;E,<M!7i!El. v/e^i.
Наименьшая из этих постоянных М называется нормой
оператора L и обозначается через ||£|'El_El или ||1|'. Эта величина
может быть вычислена непосредственно по формуле
Ш = sup |II/|1F.
Для линейных операторов понятия непрерывности и
ограниченности эквивалентны.
Сходимость последовательности линейных ограниченных
операторов {Ln} в смысле сходимости по норме II - • • 1'ех—е. на~
зывается равномерной сходимостью. Последнее оправдывается
тем, что если Ln-*L в смысле сходимости по норме, то
Lnf-^ I/равномерно во всяком шаре !/|El<Jr, так как имеет
место неравенство
363

|, Uf- LflEt < [ Ln - L [El_E/ 7'l'El-
Очевидно, из равномерной сходимости последовательности {Ln}
следует, что последовательность {Lnf} сходится к L/ для
каждого фиксированного / (т. е. сходится в себе). Обратное,
вообще говоря, неверно. В частности, пусть Е{ = Я2 = Е и для
любого f£E последовательность линейных операторов Lnfy
действующих из £в f, сходится в Е. Тогда говорят, что
последовательность {Ln} сходится к оператору I,
определенному формулой
L[f]=\imLn[f].
п-»оо
Легко видеть, что оператор L будет линейным. В
конструктивной теории функций сходимость последовательности
линейных операторов изучается в различных функциональных
пространствах. При этом особое место в вопросах теории
приближений занимают так называемые, положительные
операторы, характеризующиеся тем, что они всякую неотрицательную
функцию из области своего определения переводят в
неотрицательную же функцию. Такие операторы L обладают свой,
ством монотонности: если /> g, то Lf^Lg.
1. Теорема Банаха
В дальнейшем будем пользоваться следующей
классической теоремой.
Теорема 7. 1. 1. Если последовательность линейных
ограниченных операторов {1п} сходится в себе в каждой
точке f банахова пространства Еи то последовательность
норм { Ln } этих операторов ограничена.
Доказательство. Допустим противное: пусть
последовательность норм { Ln} не ограничена. Тогда множество {^п/ц}
не ограничено на любом замкнутом шаре I1/—/oj<X
Действительно, если
1ЬпДКМ
для всех п и всех / из некоторого шара S(/0, s), то для
любого у(«г\ равенство
II? II
определяет элемент, принадлежащий этому шару.
Следовательно, i!Zn/,|<M, л=1, 2, .. . , или
I? i
|Zn<pl|-!jZn/n<
II?!
Ln cp + Z.n/o
<А\
Таким образом, при п — 1, 2, .. .
364

Отсюда, в силу определения нормы оператора, вытекает, что
IlinlKMt, л = 1, 2, ...,
и мы приходим к противоречию.
Пусть теперь So (/0, е0) — произвольный замкнутый шар в
пространстве Еи Так как последовательность {jjZn/l) не
ограничена на этом шаре, то существуют номер пг и элемент
fx €S0 такие, что
Последнее неравенство выполняется в некотором замкнутом
шаре Si(/M s^cSq в силу непрерывности оператора Lni. Так
как последовательность {||in|!} не ограничена на Si, то снова
найдутся номер щ{пг> пх) и элемент/2gS, такие, что
IW»I!>2.
Продолжая процесс, найдем номер пк и элемент /к,
принадлежащий шару SK(/K, eK), такие, что
?LaJ>K.
Можно считать, что еп—*0 при л—>оо. Тогда будет
существовать элемент /, принадлежащий всем шарам Sn (/n, «п). и для
него
что противоречит условию сходимости последовательности для
любого f£Et. Теорема доказана.
2. Теорема Банаха—Штейнгауза
Теорема 7. 1. 2. Для того чтобы последовательность
{1П} линейных операторов точечно сходилась к оператору
Z,0, необходимо а достаточно, чтобы:
1) последовательность {l!Z,n!} была ограничена;
2) Lnf~+L0f для любого f из некоторого множества Е°,
линейные комбинации элементов которого лежат всюду
плотно в Ех.
Доказательство. Необходимость второго условия
очевидна, а необходимость первого условия вытекает из теоремы
Банаха. Докажем достаточность.
Пусть е (Е°)~линейная оболочка множества Е°. В силу
второго условия и линейности операторов Ln и LQ имеем
Lnf-+L0f для любого /£е (Е°\ Пусть ср^£, и в то же время
<?§е(Е°). Тогда по б > 0 найдется элемент /£е (Е°) такой, что
Гер — /!i <—-—, где М = sup||Z,nl- Следовательно,
AM n
365

I! L „ cp - L0 о |i < |l Ln о - Ln/1! + " Ln/- lo/i! + jf L{)/- I0 cp' <
<|iIn/-I,/|| + (;Lni| + !!lo,')!!/-?;i<!!W--^o/il + e/2.
Далее, поскольку Z,n/—>Z,t)/, найдется HOviep TV такой, что
для всех /г>УУ будем иметь
ii£n/-£<>/,.< у-
Но тогда при # >/V [Z,n <р — £0 ?JI < е. Теорема доказана.
3. Теоремы П. П. Коровкина о приближении непрерывных
на конечном отрезке функций линейными
положительными операторами
Теорема Банаха—Штейнгауза содержит два условия, одно
из которых—ограниченность множества чисел { Ln }. П. П. Ко-
ровкин показал, что для линейных положительных операторов,
действующих в пространствах С [а, Ь] и С* [—тс, тс], условия
теоремы 7. 1. 2 можно ослабить. А именно: для линейных
положительных операторов, действующих из С\а, Ь\ в М [a, ft],
или из С* [—те, тс] в М* [—тс, тс], где М [а, Ь)—пространство
функций, ограниченных на отрезке [a, ft], условие сходимости
на некотором всюду плотном множестве можно заменить
условием сходимости на трех конкретных функциях [72(1)].
Заметим, что для последовательности линейных
положительных операторов Ln, действующих из С [а, ft] в М\а, ft]
или из С* [—к, тс] в УИ*[—тс, тс], справедливо равенство
||^П-С—М ~ !!^п 1 ||м.
Наряду с записью Z,n/, будем пользоваться также записью
^п(/, -*), полагая по определению, что Ln (/, х) = Z,n (/(<)> х).
Тогда справедливо равенство
Ln(f(x), x)=f(x)Ln(\, x).
Теорема 7. 1. 3. Пусть для последовательности
линейных и положительных операторов £n(C[a,bi~^Atf{a>b]) при
п —> ос выполнены три условия:
||In(l,-*)-lFM-*0, I'M*. х)~х\-Ъ, iIn(^x)-x2!M->0.
Тогда \\Lnf— f'\ -> 0, л—;>оо, я/ш условии, что f(t)
ограничена на всей оси, непрерывна на отрезке [a, ft], непрерывна
справа в точке t — b и слева в тоьке t а.
Доказательство. В силу ограниченности функции /
существует постоянная М > 0 такая, что для всех значений
х и t справедливо неравенство
1/(0-/(^)1 <2М.
Далее, в с,!лу непрерывности /, по г>0 найдется й>0
такое, что при 11 — л:,<8, х£ [а, Ь], будет справедливо неравенство
Следовательно, для всех t и х, х£[а, ft],
366

Теперь имеем
\Ln(f,x)-f(x)\<Ln(\f(t)-f(x)\y x) +
+ \f(x)\\La(\,x)-l\<*La(\,x)+-y?- Ln ((/- х)\ х) +
+ M\Ln(h x)-\\.
Нетрудно видеть, что в силу условий теоремы
последовательность in (1, х) ограничена на отрезке [a, ft], a последовательность
Ln((t — х)2, x) равномерно на этом отрезке стремится к нулю.
Теорема доказана. Аналогично доказывается и следующая
теорема П. П. Коровкина.
Теорема 7. 1. 4. Пусть для последовательности
линейных и положительных операторов Z,n(Qa,bj —>^И[а,ь] ), где
О < ft — а < 2тс, выполнены три условия:
|iin(l, х)— l|lM->0, ||in(cos/, х) —cosx|)M^0,
|:Ln (sin/, л:) — sinx|!M->0 (я—>эо).
Гогда liin/—/'-*0, я—►<», при условии, что f (t) ограничена,
имеет период 2к, непрерывна на отрезке [a, ft], непрерывна
справа в точке t=b и слева в точке t = a.
Теоремы 7. 1. 3 и 7. 1.4 играют важную роль в
исследовании вопросов сходимости последовательности линейных
положительных операторов, действующих в пространстве С[а, ft].
Они дают в то же время достаточные условия для
равномерного приближения непрерывных функций/линейными
агрегатами in (/, х), где {in}—линейные положительные операторы.
Общая теория приближения непрерывных функций такими
агрегатами изложена [83(4)] с достаточной полнотой в книге П. П.
Коровкина (72(1)]. Следующие теоремы, принадлежащие Р. Г. Ма-
медову [83(6,7)], дополняют теоремы П. П. Коровкина.
Теорема 7. 1. 5. Если для последовательности
линейных положительных операторов {in}, действующих из
С [a, ft] в М [а, ft], выполнены три условия:
L„(l,x) = l, U{tm,x) = xm + <ttm> (х), т = 1, 2,
где <?пт> (х) равномерно на отрезке [a, ft] стремятся к
нулю при п -* сю, то для любой функции /б С [а, ft]
справедливо равенство
IM/, ■*)-/(*)! = ОМ/. Mb V*6[a, ft],
где о)(/, (ап)—модуль непрерывности функции / а
Рп - У\?П2>(Х)\-2Х?;1- (X) . (1. 1)
Доказательство. В силу первого условия и
положительности операторов in имеем
367

IM/.*)-/(*)l<MI/(<)-/(*)l. *)<Mu(/, \t-x\),jc)
для любой функции /бС [а, й]. Отсюда, используя свойства
модуля непрермзности о> (/, S) и ннеераветво Коши—Буняков-
ского, получим
1 М/. *)-/(*) К *(/>п)
1
1 + — i„ (1 ^ - -«I, ■*)
< «> (/, t*n)
1+ — V U((t-x)\ x)
где {ап определено равенством (1. 1). В силу условий теоремы
очевидно, что
VZJXt - х)\ X) < |хп,
откуда и следует требуемое. Аналогично может быть доказана
Теорема 7. 1. 6. Если для последоватгльности
линейных положительных операторов {Z,n}, действующих из
С* [—тс, тс] в Ак* [—it, тс], выполнены три условия:
Z,„(l, л) - 1, Z,n(sin*, х) ■= sinx —срп^1;> (л),
In (cos *, *) == cos х —- срп"2" (х),
где q>nm^ (х), т = \, 2, равномерно стремятся к нулю на
отрезке [—тс, тс], то для каждой функции /6:С*[—те, it]
справедливо равенств
где со (/, Хп)— модуль непрерывности функции /, а
^n = ]f<?nl" (x) sin х + 9?^ (*)cos л:.
В заключение заметим, что В. К. Дзядыку [41 (4)]
принадлежит обобщение результатов П. П. ^Коровкина на
пространство Z,p, /? > 1. Им доказана
Теорема 7. 1. 7. Для того чтобы последовательность
линейных положительных операторов Ln, отображающих
пространство Z,p[—те, те], /?>1, в себя, для любой функции
/б!р сходглась в метрике этого пространства к /,
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены два условия:
1) последовательность норм операторов {Ln} должна
быть равномерно ограниченной;
2) последовательность значений операторов Ln на трех
пункциях: 1, cos-v, sinx должна сходиться в метрике Z,p,
соответственно, к этим же функциям.
ЗС8

^ Метод построения сходящихся последовательностей
линейных положительных операторов [50(l)j
Наиболее простой и в то же время исключительно важной
моделью линейных положительных операторов являются
классические полиномиальные операторы С. Н. Бернштейна:
п
Вп(/, *)=]У]/(^)Спкл:к(1-*Гк.
Условия теоремы П. П. Коровкина в этом случае легко
проверяются, откуда и следует равномерная сходимость
полиномов Вп(/,х) к функции f(x)£C [О, 1]. Метод построения
операторов С. Н. Бернштейна был использован в дальнейшем в
конструкциях многих линейных положительных операторов,
таких как операторы Бернштейна— Холодовского, Г. М. Миракь-
яна, В. А. Баскакова и других. Приведем здесь один общий
способ построения операторов типа С. Н. Бернштейна,
содержащих в себе все указанные операторы, и проиллюстрируем
на них применение теоремы П. П. Коровкина 7. 1. 3.
Рассмотрим последовательность функций трех переменных
{Кп (х, t, и)}, каждая из которых является целой функцией
относительно переменной а при любых х и t, принадлежащих
конечному отрезку [О, Л], Л > 0. Возьмем две
последовательности функций {?п(0} и {фп(0} из класса С [0, Л], таких,
что
?п(0) = 0, фп(0>0 (0<*<Д л-=1, 2, ...).
Нт/г2%(0) = + оо. (1. 2)
П-+0О
Пусть далее {ап}—последовательность положительных чисел,
для которой
Нш ^-=: 1. (1. 3)
п—оо п
Рассмотрим сложную функцию Кп (х, t, <рп(0)- Поскольку
каждая из функций последовательности {Кп (х, t, а)} является
целой относительно а, то можем записать разложение:
" (тп (0 - "п Фп (ОГ
*пСМ, <р„(/))= ^>jDlKAx,t, апфп(<))'
v!
v= О
справедливое при любых л:6 [О, Л], *<=[0, Л]. Полагая в этом
равенстве / -0 и учитывая срп (0) = 0, получим, что при любом
•*€[0, Л] и любом п= 1, 2, . . .
00
*Г„ (х, О, 0) -- 2 DlKn (х, 0, «п фп (0)) .(-а°уо))\ (1. 4)
v=0
J020-24 369

Это—основное разложение, необходимое для построения наших,
операторов. Предварительно наложим на функции {Кп} еще
некоторые ограничения. Будем полагать, что:
1. АГп(х,0,0) = 1, у*€[0, А], у"=1, 2,.
2. (-iyDlKn(x,0, апфп(0))>0, V^-0, 1, 2 ;
3) -DlKnix, О, апфп(0)) - nxDl~xКп+т (*, О, апфп (0)),
где v, п = 1, 2, . . . , х£ [0, A], a m таково, что я+/?г есть
натуральное число или нуль. В силу первого условия и (1.4)
получаем равенство
Уо1КЛх,0,«М0)) (~gn^(Q))V = 1. (1. 5)
Рассмотрим теперь последовательность операторов {Z,n},
действующих на функциях /£С[0, А]:
Ln{f,x)=^f,-^)DlKAx^,aM0))S^^. (1.6>
v=0
Очевидно, что /,п—линейные операторы. Далее в силу
положительности чисел ап, фп(0) и свойства 2) функций Kn(x, t, и}
очевидно, что операторы Ln являются положительными.
Наконец, с силу ограниченности функций /6 С |0, А] и равенства
{1, 5) заключаем, что при у^б|0, A], |Z,n(/, л:)|<УИ и,
следовательно, операторы Ln действуют } из С [0, А] в М [0, А].
Покажем, что операторы /,п, определенные равенством (1.6)v
удовлетворяют условиям теоремы П. П. Коровкина 7. 1. 3.
В силу (1.5) очевидно, что 1п(1, х) = 1, у*б[0, А]. Далее^
пользуясь свойством 3), получаем
*»<'• *)eS ТГ75Г-^^« °' Яп *°(0))' ("an;n(°))V "-
^ш^ яНп(О) v!
/г ^J (v— l)!
Следовательно, опять же в силу (1. 5),
Ln(t, х) = ~^-х
V 1
и из (1. 3) следует, что \Ln (t, х) — *цм -> 0 при л-^ ex.
Наконец, вычислим Z,nU2, -*). Дважды применяя свойство 3), получим
* В [50(1)] изучены и другие свойства этих операторов. Например»,
показано, что они сохраняют выпуклость, вогнутость и потиномиальность.
любого порядка.
370

00
v=2
00
ДпФп(0)),~' ,
(V —1)1
1
+ (7" '' ^^ •х2 X DS"'^2-(*' °«*' *»(0))- ^^llv +
оо
jt„_ -у 'V лг1 /г (г о п л> т\\ (-апФп(О))""'1
v=l
Применяя (1. 5), окончательно будем иметь
Z„(/21jc)= IJ^)\x%+l^'*. — x2 + -Zz- - .
\ /г / \ п ' п п п2<\>п (0)
В силу (1. 2) и (1.3) отсюда получаем
ГМ*2, x)-x2flA-+0 (л-*оо).
Таким образом, выполнены все условия теоремы 7. 1.3,
откуда и следует равномерная сходимость последовательности
Хп(/, л) к Дх) на отрезке [О, Л] для любой функции /£С[0, А].
Покажем теперь, что операторы (1. 5) содержат в себе ряд
ранее известных операторов.
Г ~.. "in
операторы Z,n при-
а) В случае Кп (х> t, u)=\l :^—
нимают вид
п
L?' [/,*] = У,/\-1^-гЛС1[\-^Л0)х]п-"(а^а (Q))-x\
Очевидно, что при х< выполняются условия 1—3 и
«п Фп (0)
m=L Если положить ап=я, фп(0) =—, то оператор Ln1^
п
совпадает с полиномом С. Н. Бернштейна. Если же
*п =- л, фп(0) = —- f'lim ftn= oo, Hm-2-« о),
то приходим к операторам Бернштейна—Холодовского:
в) Полагая Kn(x, t, и) — e~~n{Hllx\ приходим к оператора-м
24* '371

00
т<"Ь> х* i —пха ф (0) ^ГЧ / v \ (пхУ , , /пчч*
U [/, х] = * ^/l__jl_L (а„,п (0)) ,
которые при ап=--/г, ф„ (0) = — совпадают с известными опе-
л
раторами Г. М. Миракьяна. Условия 1)—3), очевидно,
выполняются и тп = 0.
с) Пусть /Сп(*, *, и) = Kn(t-fux)y где /Cn(£)—целая
функция. Тогда
00
joi V я* Vn (0) / v!
При an —: /г, фп(0) — — получаем операторы, изученные
В. А. Баскаковым [12 (£)]. Если же положить фп(0) = — и
обозначить — = рп, то оператор 1гГ4^ превратится в другой
оператор В. А. Баскакова [12(2)]. Аналогичным образом,
пользуясь различными способами подбора функций Kn{x,t,a)\\
последовательностей {ап} и {фп(0)}, можно получить и ряд.
других линейных положительных операторов. Заметим euiev
что операторы Z,n, определенные равенством (1. 6), переводят
любой полином степени тп в такой же полином [50(1)].
5. Приближение непрерывных функций линейными
положительными операторами в пространстве С9 (/?)
Установим* теоремы типа П. П. Коровкина о сходимости
последовательности линейных положительных операторов в
линейном нормированном пространстве функций, непрерывных
на всей оси R и имеющих заданную мажоранту роста. Прежде
всего отметим, что, как показал В. А. Баскаков [12(1), (2)],
теорема П. П. Коровкина 7. 1. 3 справедлива не только для
функций /б С [а, й], ограниченных на/?, но и для функций
/£С[а, ft], растущих на бесконечности не быстрее, чем 1+хч
т. е. удовлетворяющих неравенству
\f(x)\^M(l+x% xdR,
где М > 0—постоянная. В соответствии с этим сформулируем
теорему типа П. П. Коровкина в несколько иной форме,
позволяющей выявить влияние роста функций / на сходимость
последовательности операторов.
* Результаты этого раздела принадлежат А. Д. Гаджиеву [26(2,3)].
372

!!/,!=• I!/c, -sup^Hf'. ■ (1.8)
Пусть р(х)—непрерывная на R функция, строго
возрастающая на всей оси. Положим
?(*)=- 1 + рЧ*) (Ип\9(х) - оо)
±х->оо
и напомним, что Cv (/?)— пространство всех функций /,
непрерывных на /?, для которых
l/(x)|<5f.cp(x), v*e/?, (l. 7)
где Bf > 0—постоянная, своя для каждой функции/. Через
№9(R) мы обозначали линейное нормированное пространство
всех функций /, удовлетворяющих неравенству (1.7), с нормой
x6R ? (*)
Допустим, что для последовательности линейных
положительных операторов Лп(Сср —>М(?) выполнены три условия:
Ип(1, ^)-1;;->0, (1. 9)
1Ип(р, ^)-p(x)-1 —0, (1.10)
||Лп(р2^)-р2(^)!1-0. (1.11).
Спрашивается: можно ли утверждать, что
Мп(/)-/ц-^0 (я^сю)
имеет место для любой функции /6 Се? Покажем, что на
вопрос следует дать отрицательный ответ.
Теорема 7. 1. 8. Для любой функции ® (х) ~ 1-\-р2(х)
(p^,p(:C(R)) существует последовательность линейных
положительных операторов Ап(С<р-+У}9), удовлетворяющих
условиям (1. 9)—(1. 11), и существует функция /oCQ, для
которой ''Лп(/0) — /0f не стремится к нулю пои п—>оо.
Доказательство. Очевидно, не уменьшая общности,
можем полагать р (0) = 0. Пусть {Лп}—последовательность
операторов, действующих на функциях /6 С9 по формуле
An{f,x) = \JK ' 4?(п)[рЧ*+1) Jy ' Jy >^рНх + 2)^
Х/(х + 2)] при *е[0,я],
1/(л) при х$ [0, я].
Линейность этих операторов очевидна. Далее, так как <р(х\
возрастает на [0, оо) вместе с р(х), то при х£[0, п\
JPi£L< lf
4? (л)
откуда и следует, что операторы Ап являются
положительными. Наконец, для любой функции /бСр в силу (1. 7)
I t(X) /(х+1) — ?/(*) + ?2(х) /(jc + 2) I < 4£f.? (х)
373

и, следовательно,
|i4n(/,*)l<£t•?(■*). ул=-1,2э ..., v*6/?,
так что операторы Ап действуют из СФ в Л/?. Проверим теперь
условия (1. 9)-(1. 11).
Очевидно, нам необходимо только вычислить разность
An{f,x)—f{x) при л: 6 [0, п]. Полагая
I (/, jc) = p2(x) /(* + 1) - 2/(jc) + рЧ) •/(* + 2),
можем записать, что
An(f,x)-f(x) = p£-l9(f,x). (1. 12)
Оценим теперь |/р(/, *)| при /(*) = 1, р (.*:), ?'2(х). В силу
возрастания функции р(х) очевидно, что
/Р(1,*)|<4, |/р(р, л)| = р(д:)
р (*) 2 + р(х)
<4р(х).
Р (х + 1) Р С* + 2)
Кроме того, /Р(р2, х) = 0. Следовательно, из (1. 12) имеем:
i^n(U)-lI<T7^0 (п-^оо),
ср(/г)
МЛр,х)-р(*)1<-^-ГУЙ7т->0 (я — ),
ср (л) 1 + р2 (Я)
1|Лп(р2,л-)-р2(^)11=0.
Таким образом, операторы Ап обладают всеми требуемыми
свойствами.
Рассмотрим функцию /0(^) = Р2 (^c)cos^x. Для нее,
очевидно, будем иметь
]h (/о» х) I = Р2 (■*) I — cos кх— 2cos кх+cos vx | = 2p (jc) I cos те x |.
Следовательно,
1 й<1Лй2/.м is P2W
Ho(/o)-/ol|=^-7"--supp2(^);cos^xl>
2т (л) х€[оТп1 " • 2 [1+ f-0]
То, что правая часть последнего неравенства не стремится к
нулю, доказывает теорему. Доказанное утверждение
показывает, что теорема 7. 1. 3 не имеет своего аналога в
пространстве Cf (/?). Однако справедлива
Теорема 7. 1. 9. Если для последовательности
линейных положительных операторов Ап(С<р~+ М9) выполнены
условия (1. 9.)—(1. 11), то для любой функции f£C?(R),
^n(/, x)-+f(x) (п~^оо) в смысле нормы любого иг
пространств Мф при условии, ято
lim lifL _= ().
374

Доказательство. Пусть задано число е > 0. Выберем
число лг0 > о так, чтобы при \х\> х0 выполнялось неравенства
»(х)<еФ(л:). Тогда для любой функции /бСр(/?)
An (/)-Л
1 Л (/, х)
^<supi^^>
|х|<х0
-/(*>
+ sup
М^х0
Ф(х)
? (*) ф С*)
Так как операторы Лп действуют из С? в
то
1|х]Л Ф(ДГ)Л
ф<*)
<б[|1Лп(ср, X)
sup—ii—J+F/...
«-.
, + l]!l/!V
В силу (2.5)
lAn(.9,x)fe9<M<oot
так что /п-*0 при п-+оо в силу произвольности е>0.
Остается показать, что /п -»■ 0 при п-*<х>. Для этого, очевидно,
достаточно показать, что \Ап(/, х) —f(x)\ стремится к нулю
при п-^оо для любого д: 6 [— х0, х0\.
Заметим, что в силу непрерывности/по е>0 найдется
такое 8>0, что при \t — х\ <.Ь будем иметь
|/(0 ~/(х) |< е, v*€ [—*о. х0].
Теперь воспользуемся тем, что »(.*)= 1 +рг(х). При It—л|>8~
в силу возрастания функции р(х) имеем
I Р (О - Р (х) | > min [р(х 4- 8) - р (*); р(х) - р(х - о)] = Др (х>.
Следовательно, из (1. 7) получим, что для функции /бС9при
\t — x\>b
\f(t)~f(x)\^M1[2 + P*(t) + PHx)]<
<ЛГ|[2+(р(/)-р(л))» + 2|р(л)[|р(0-р(х)
I « (*) I
<2Af, [p(t)-p(x
*'[ф*
+ 1 +
др(*)
+
2?Цх)}
■■(х)
А^(
ill
или, учитывая, что Др (д:)< \р(х)\, в силу самого определения
Ар(лг) имеем
l/(/)-/(x)|<2yWf?(^).[p(0-pW]2-
**(*)
при | /—jc| >8#
Вместе с неравенством для 11
t и *e[—х0, х0]
|/(<)-/WI<«
xj^S это дает, что при всех
2Afty(jc)
ApW
ИО-pW]'.
(1. 13)
375

Теперь заметим, что
lAn(j,x)~f(x)\<An(\f(x)-f(t)l x)+\f{x)\.\An(\,x)-\\.
В силу (1. 9) второе слагаемое справа стремится к нулю при
любом xf[-x0, х0]. Для оценки первого слагаемого
воспользуемся неравенством (1. 13):
•Ап(|/(0-/(*)1. х)<еАл(\,х)+2-^^>Ап([?(П~Р(х)]\х).
Первое слагаемое справа сколь угодно мало в силу
произвольности s и условия (1. 9).
Остается показать, что при любом |л:|<^0
An([9(t)-9(x)\\ x)-+0 (я-*оо).
Последнее действительно имеет место, так как
An([?(t)-P(x)]\ х) = [Аа(9\х)-9Чх)}-
-2р (х) [Ап (р, *)-Р> х)} + р2 (х) [Ап (1, *) - 1 ],
в выражения в скобках стремятся к нулю при я->оо,
соответственно, в силу (1. 11), (1. 10) и (1. 9). Теорема доказана.
Теорема 7. 1. 10. Если для последовательности
линейных положительных операторов Ап(С<?-+ М9) выполнены
условия (1. 9)—(1. 11), то
!^п/~/с,^0 (л-*оо)
на любой функции /б Ср, для которой существует
конечный предал lim ^x* -= Ки где Ki—постоянное.
х-оо <?(*)
Доказательство. Докажем сначала теорему для
частного случая Ki = 0. Тогда по заданному е > 0 найдется такое
д:0>0, что при | х | > х0 будем иметь | f(x) | < s cp (х).
Кроме того, поскольку lim ®(x) = +оо, то по этому же г>0
х-*оо
найдется столь большое х^^>х0, что будет выполняться
неравенство уИ£ < scp(^j), где Мг = max {max \f{x) |, 1). Положим,
|х|<х0
что g(x)^=f(x) при I л; | < л;0, g(x) линейна на отрезках
,[*<)» *i] и [—*i. —*о] и gW = 0 при U|>jc0. Тогда
очевидно, что geCp и ;/— g\\<2e. Так как в силу (1. И) 1|Лп(ср, х)'<С,
где С—постоянная, то
Ми/-/! < Cs+l An{g,x)-~g (x)K
Нетрудно увидеть также, что
max \g(x)\ = max \f(x) | < /Ие; Мш определено выше.
IX|<Xi jX|<Xo
Следовательно, для функции g можно записать неравенство
(1. 13), справедливое при любых t и л\ т. е.
376

|g(*)-g(*)l<4-2M. [Р%ЦХ)]°>
где
APU) - min[p(*) —р(*-8), p(x + 8)-р(*)].
Дальше доказательство завершается так же, как и в теореме
7. 1. 9. Таким образом, в случае Kf=0 теорема доказана
Переходя к общему случаю, рассмотрим функцию Г(х) —
= /(•*)—М<р (•*)• Очевидно, что
Ит-^=0.
х~>оо и(х)
Следовательно, по доказанному выше
\Ап(Г\х)-Р(х)\С9-+ О (я-*оо).
Остается только заметить, что
[Anf-f^KlAnF-F^+KtlAnV-v^.
Теорема доказана полностью.
Замечание. Нетрудно увидеть, что условия теорем
7. 1. 9 и 7. 1. 10 являются и необходимыми. Совершенно
аналогично доказывается
Теорема 7. 1. 11. Пусть
lim -f-=0 (v=l, 2).
n->oo ?(*)
Тогда для того, чтобы последовательность линейных
положительных операторов Ап{С^ ~+М9) обладала свойством
на любой функции /6 £?(/?), для которой существует
конечный предел
необходимо и достаточно, чтобы:
а) нормы операторов Ап были равномерно ограничены,
б) lim An{t\ x)-xL-»0 (v=-0, 1,2).
n~»oo
§ 2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫМИ
ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Выше уже описан общий способ построения
последовательности линейных положительных операторов, равномерно
сходящихся к непрерывным функциям на любом конечном отрезке
вещественней оси. Эти операторы, как отмечено, переводят
любую функцию, непрерывную на заданном конечном отрезке,,
377

в функцию, ограниченную на атом же отрезке. Кроме того
,[50 (П], показано, что они переводят любой полином степени
не выше п в такой же полином. Заметим, для полиномов
С. Н. Бернштейна характерно, что они любую функцию
/6С[0, 1] переводят в алгебраический многочлен степени я,
,а если /—многочлен степени т, то Вп/ (ее полином
Бернштейна) есть многочлен степени не выше т, но не п.
Существуют линейные положительные операторы,
переводящие функцию/6С* [—тс, тс] в тригонометрический полином.
Этим свойством обладают, например, операторы Джексона—
Балле—Пуссена:
£/п [/,*] =
2тгл(2/г2+1)
и операторы Фейера:
/(О
sin
п {t — х)
sin-
t — x
dt
*n [/,*] = •
l
2~к
П*+Х)
sin-
nt
sin —
2
dt.
В общем случае линейный оператор, переводящий любую
функцию из области своего определения в алгебраический
или тригонометрический полином, называется полиномиальным
оператором.
1. Интегральные операторы с ядрами типа Фейера
Пусть /—измеримая функция на /? и f^'£L (/?). Следуя
1 + №
Валле—-Пуссену, условимся называть интеграл
Фх [/,-*]=- АО
sin* — {x-t)
■dt.
(2.1)
где Х> 0—произвольное число, оператором Фейера, а
выражение
*><"-5Г°г(тКт
It
sin2 —
2_
—ядром Фейера. Очевидно, что оператор Фейера (2. 1)
является линейным иоложительным оператором. Полагая в (2. 1)
/(*)== 1, получим (см. § 1, гл. II)
378

Ф;
.[1,*] = JL *D2{u)du=\.
Из этого равенства в силу положительности ядра Фейера
следует, что для вещественной функции /
inf f(x) < Ф{ [/, х] < sup/(л).
x6R x6R
В силу (3. 1) очевидно также, что
1!ф1!|с<|1/!о
Вместо оператора Фейера можно рассматривать более общий
оператор
Фх[/,*]=Х ff(u)K[b(x-u)]du, vx>0, (2.2)
— ОО
с ядром K{t), обладающим свойствами:
а) К( — х) = К{х)\ б) f K(x) dx = 1; в) /С(х) ограничена
на отрезке [ —1, 1]; д) х2К(х) ограничена на всей
вещественной оси. Ясно, что при выполнении этих условий интеграл
(2. 2) существует для любого ^>0, если f(x) измерима на
R и lt*LfL{R).
1 + х2
Ядра, удовлетворяющие условиям а)—д), называют ядрами
типа Фейера. Обычно предполагают также, что эти ядра
являются функциями ограниченной вариации на R. Допустим,
что функция К{х) удовлетворяет и этому условию, и положим
<f(t) = J K(x)e~itx dx.
В силу свойства в) ядра К(х) очевидно, что ср (0) = 1 и
преобразование Фурье ряда К(х) отличается от y(t) лишь
числовым множителем. Выясним теперь, какой вид принимает
функция Ф(х, к) ^Фх[/ х] в случае, когда f£L2{R). Легко
заметить, что K(x)£L2(R) и поэтому применение теоремы о
свертке двух функций из L2{R) (см. § 3, гл. I) дает
Ф(*Д)=-У f? (■{-)/(<) *'"<«. (2.3)
-00
где /—преобразование Фурье функции /. Таким образом,
можно сделать следующее важное замечание: оператор Ф (х, X)
получается из интеграла Фурье для функции / введением в
него „множителя44. Отметим теперь наиболее известные и
часто встречающиеся в теории приближений ядра типа Фейера.
Ядро Абеля—Пуассона. Пусть
379

K(x) =
_L a
к а2 + х2
(а>0).
Тогда ср (х) = ехр (—а\х\) и мы приходим к оператору Лбеля —
Пуассона:
а\
М/,*Ь- —\/(и)-
тс .) а1
da
a|vl
zr \е х f(v)eixvdv.
-h ^(х —а)2 г^2л J
R r R
>7d/?o Вейерштрасса. При /С(л:) = ехр (—ал:2), очевидно,
имеем
o(x)^ l expf-^j (a>0).
2 /it a ^"r \ 4a /
В этом случае получаем оператор Вейерштрасса:
W-
,|/,,|-xf(!-"«-'V(„)rf,-T7LJexp(-1£r)/(,)<!1»*.
R R
#д/?о Фгйера. П^сть A^(x)
2т:
-D-
»(*) = \х~\*\ ПРИ 1*1<1.
10 при |*|>1
Тогда
и оператор Фейера имеет вид
r -*i
#d/?o Джексона—Балле—Пуссена. Полагая
сбудем иметь
?<*)
1 — —jc2 +—jc3 при |*|<1,
2 4 F '
— (2-|х|)3 при 1<jc<2,
0 при |jc|>2.
Оператор
R
380

00
3 Г Г. / . 2t \ . - 2t
= -5г \f[x+-r)+Ax-
x
&(t)dt
0
является оператором Джексона —Балле—Пуссена.
2. О сходимости семейства операторов с ядром
типа Фейера
В дальнейшем будем обозначать через Тр\(Ц)
(соответственно 7^(7?)) класс функций /gZ,p(/?), /?>1, таких, что
функция ^ (соответственно ) принадлежит
пространству Z.q(/?) ( 1 = 1]. В частности, если р = ос (<7=1),
то условие /б^да,^/?) означает, что ^ *** 6 Z, (/?). В более
1 + |*|
общем случае через Г(1)Е(/?) (соответственно Г(2) Е(/?)) обо-
значается класс функций /€Е(/?) таких, что ; (соответст-
1+1*1
венно —5—L ) принадлежит сопряженному пространству Е(/?).
1 + х2 /
Следующая теорема дает условия сходимости операторов
типа Фейера.
Теорема 7. 2. 1. Лусш> /бГ(^,,(/?)и Фх[/, *]=Ф(*, X)-
интегральный оператор с ядром типа Фейера. Тогда:
1) соотношение lim Ф (л:, X) == 5, где s—некоторое кисло,
Х-*оо
справедливо в каждой точке х, в которой
Ит П /u + o+/u-o,sb<a80 (2 4)
h-o J I 2 I
о
2) £<?./ш /(л:) непрерывна в конечном интервале а<л:<(3,
то НтФ(х, X) = /(л:) равномерно на любом отргзке [а1э Pi](Z
Х-*оо
С(а, Р).
Доказательство. В силу свойств а)—в) ядра типа
Фейера К(х) каково бы ни было число s,
Ф (jc, X) - 5 = X Г [f(t) - s] K[k (x - t)] dt =
R
= 2xJ[^±ibi^£zii)_sj^(xo^.
Дополнительные сведения имеются в работе [35(6)].
38!

Пусть 8 > 0—любое число и л> —. Тогда
Ф (х, Ц - s =--
= 2Х
1/Х 6 да.
Н + 1
О 1/Х. 8 >
-f(x + t)+f(x-t)
- s\K(kt)dt= /, + /2+ /8.
v О 1/Х б
Введем в соответствии со свойствами с) и д) ядра типа
Фейера обозначения:
sup | К(х) | = A, sup х2 | К(х) | = В.
Положим, кроме того,
Тогда очевидно, что
/<* +О+ /(*-*)
d*.
I/, К 2Л ?(-£-),
//2,<-^- П/(* + 0+/<*-0 _s
^ J I 2
x l * J. i ^ J ^ L^il
Наконец,
•4
IA
r<t<8
l/.K
00
/(* + 0+/(*-')
(2.5)
(2. 6)'
Зададимся произвольным г > 0. Если для некоторых х и s
имеет место соотношение (2. 4), то найдется такое 8= 8(e),.
что при 0<*<8 будем иметь
2Л + 6В
Следовательно, взяв это 8 и учитывая (2. 5), получим
I Л I + I /2 I < е.
С другой стороны, при фиксированном 8 из (2. 6) имеем
lim /3 "= 0. Поэтому
X—оо
Ш\\Ф(х, X) — s | <е,
Х-*00
откуда и следует первое утверждение теоремы.
382

Пусть теперь f(x) непрерывна в некотором конечном
интервале (а, р) и [а,, р,]с(а, Р)- Тогда можно указать такое
5 = 6(e), что для любого х6(а, (3) и любого ^6(0, 8)
/(* + *) + /(*-*) __ дх)
<
2Л + 6В
и, следовательно, для введенной выше функции ср будет
справедливо неравенство
' V ; 2A + 6B
если только ^ € [0, В] и S =-/(.*). Фиксируя это 8, как и выше,
получим неравенство 1Л | + |/3|^е Для любого х£ [at, pj.
Остается заметить, что при фиксированном 81im/3 = 0 равно-
Х->оо'
мерно относительно xf[a„ pj, откуда и следует второе
утверждение теоремы.
Замечание. Соотношение (2. 4) имеет место в каждой
точке непрерывности функции /, если положить S = f{x).
Если же положить 5 = — [f(x + 0) +/(х — 0)], то (2. 4)
будет выполняться и в точках разрыва первого рода.
3. О порядке сходимости интегрального оператора
с ядром типа Фейера
Будем считать, что ядро К(х) интегрального оператора
Фх[/, *] = Х §f(t)K[4x-t)]dt, X>0, (2.7)
R
обладает следующими свойствами:
а) К(-х)=К(х);
в) §K{x)dx=U
я
с) существует неотрицательная, монотонно убывающая на
полуоси функция К0 (t) такая, что
\K{t)\<Ko(t), v'e#.
Кроме того, при некотором a > 0
00
q*=* f t* K0(t)at < + ос.
о
Пустьк теперь At/(л;)—симметричная разность второго порядка
функции / в точке х с шагом t, т. е.
Atf(x) = f(x + t)- 2f(x) +f(x - t). (2. 8)
Теорема 7. 2. 2 . Если функция /£Е(/?) такова, кто
для нее имеет смысл интеграл (2. 7) и при некотором а>0
383

h
1 Г
h_o ha+l J ;
о
то для операторов (2, 7) справедливо соотношение
НтГ!|Фх/~/||Е-0.
Х—оо
Доказательство. В силу свойств а) и в) ядра А'(а')
очевидно, что
Фх[/, х] ~f(x) = l^Atf(x).K()t)dt1
о
где At/ определено равенством (2. 8). Взяв от обеих частей
этого равенства норму по х, получим
ЦФх/-/|!Е<Х р|А,/||Е|АГ(Х/)|Л<Х j|jAt/,lE./C0(XO^,
о" о
где Ко {и)—мажоранта ядра К(и), существующая в силу
свойства с). Отсюда очевидно, что для любого &>0
^ll®x/-/i!E<Aa+1jj+j)!!At/,iE^o(^)^ = /i + A- (2-9)
Пусть f> > 0—произвольное малое число, причем р<8.
Введем обозначение
/?=r+lJ|jAt/,iE/C0(XO^. (2.10)
р
Положим
ф(0 = jljAt/fe-^, ф(0) = 0.
о
Тогда, интегрируя (2. 10) по частям, получим
-ха+1[ф(8)/с0(Х8)^ф(р)^л^)] + ^+1|ф(0^[--^о(И)].
,з
В силу условия теоремы по заданному е > 0 найдется такое
80>0, что для любого &6(0, Ь0]
\^(Ъ)\<гЪ«+г.
Следовательно,
,484

|/?l<sXa+1[5a+1/ro(/.8) + r4X(^)]+^a+1J^+i^o(H).
f
Вторичное интегрирование по частям дает
\1°\<42(ПУ+1К0(Щ+ jV+V^0(A/) dt
Sot
2(Ща+} К0(Щ + (* + I) § t*K0(t)dt
0
Поскольку функция K0(t) монотонно убывает на [0, ос), то
(a+ 1)J t*K0(t)dt^> (U)a+1/T0(X8).
о
Следовательно,
5Х оо
|/iC|<36(a+l)J/a/r0(O^<3e(a+l) \ t*K0(t)dt
о о
и окончательно, в силу свойства с) ядра К{х),
|/?|<3e(a + l)flra.
Возвращаясь к (2. 10) и (2. 9), заметим, что в силу
произвольности (3 это же неравенство справедливо и для /и т. е
при &6[0, К] и любом л
|/,|<3e(a + \)qa. (2. 11
Оценим теперь /2. При/б.Е(7?) имеем iAt/ <4'i/'. Следова
тельно,
l'2K4V,;.xa+l |/г0(х/)л<
<1Ж|х'+1^о(ХОЛ-^1-^'АГ„(ОЛ.
5 6Х
Последнее стремится к нулю при а-^оо в силу конечности
интеграла qa =■ t'xK0(t)dt. Значит, при Х-*ос и при любом
О
4ЦЛ1
А<—•*• (2- 12)
В силу (2. И) и (2. 12) из (2. 9) получим
limrlj©x/-/|iE = 0.
Х-*о
1020—25
385

Теорема доказана . В заключение заметим, что в случае ядра
Фейера
условия а)—в), очевидно, выполняются. Далее имеем
где М — постоянная. Функция К{)(х) удовлетворяет условию
с) при 0<а < 1 и, следовательно, из теоремы 7. 2. 2
вытекает соответствующее утверждение и для оператора Фейера.
4. Интегральные операторы, приближающие
суммируемые функции
Рассмотрим линейные операторы, переводящие каждую
функцию из области своего определения в целую функцию
конечной степени. Построение таких операторов в конкретных
случаях основывается на следующем результате.
Л змма 7. 2. 1. Если K(z)£ W{q) и f^LAR), где 1</?<зо,
11
1 « 1, то функция gv, определяемая равенством
р я
ga(z) = °\K[o(t-z)]f(t)dt {z = x+iy), (2.13)
R
является целой функцией из класса В3.
Доказательство. В силу теоремы 3. 1. 3
m(t-X-iy)o]\ = lK[(t-iy)a]fq<
_ 1
<**'у'!|/С(0оч=°~ч>|У1||^ф
причем норма всюду берется относительно t. Следовательно
применяя неравенство Гельдера, из (2. 13) получим
\_
*,(*-Ну)! <*;*"[(' -x-iy)o] V7p<V Vy| -IK\ ■ |!/;'p,
1
или, обозначая op J:Klq-';f'p = Л, будем иметь
\g(x + iy)\<Ae°lyl. (2. 14)
Пусть далее Г—окружность £ = 2#е19 (0<6<2тс) и \z\ =/?•
Тогда, используя абсолютную сходимость интеграла (2. 13)»
получим
* Подобное утверждение доказано Р. Г. Мамед^вым в случае, когда
E(R)=Lp(R) (р>1) [83(8-11)].
386

R
Отс.ода вытекает, что ga—аналитическая функция в круге
£|</?, а так как R произвольно, то ga является целой
функцией. Из (2. 14) следует, что степень этой функции не
выше а, остается только заметить, что при у=^0 | g(J(x)\ -^ А,
т. е. go£B0. Лемма доказана. Таким образом, равенство (2. 13)
определяет целое семейство линейных интегральных
операторов, зависящих от параметра о.
Покажем, что любую измеримую и ограниченную на /?
функцию можно приблизить операторами ga(z) в точках
Лебега* функции i\
Теорема 7. 2. 3. Л ля любой измеримой и ограниченной
на R функции F существует семейство целых функций {ga}
степени не выше а таких, что в точках Лебега функции
t имеем lim %а (х) = i (x).
а-> 00
Доказательство. Пусть K(z)—целая функция степени
а такая, что** K(t) и tKf (t) принадлежат пространству L (/?),
причем
^K(t)dt~- 1. (2. 15)
R
В силу леммы 7. 2. 1
g,(x)= a p (t + x)K(ot)dt
R
является целой функцией из класса Ва. Так как по условию
\\г\О0<М1 < оо, ТО
|gaWh<^L^,<^'.
В силу (2. 15) очевидно, что
g*(x)-F{x)={K(t)lF{x+-^}--t(x)\dt. (2. 16)
R
Пусть х~точка Лебега функции . и
* Точка х называется точкой Лебега порядка р, если
h
lim— \\f{x+t) — f(x)\Pdt~0
h—O h J
0
** Например, К (О = —— e~l\
2Z* 387

t t/a
H,(t)= f |>(* + JL\—F(X)\du =a f [/Ч-к + и) - F{x)]du.
о о
Тогда, очевидно, H<,(t) =o(t) при ^0. Интегрируя по час-
в
тям, из (2. 16) будем иметь
gAx)-r(x)^^I<f(t)H,(t)dt1 (2. 17)
R
так как в силу замечания 2 к теореме 3. 1. 1 tK'(t)-*0 при
|#в(<)1<2|<| |rfc.
Из последнего неравенства и из предположения tKf(t)^L{R)
следует абсолютная сходимость интеграла (2. 17).
Следовательно, по £ > 0 можно найти такое М = М (е), чтобы
выполнялось неравенство
Г—М оо "1
Остается оценить интеграл
м
/= §K'(t)H9{t)dt.
-м
Очевидно, что
м м
/|< §\tK'(t)\-\rlH,(t)\dt<max\rlH,(t)\ §\tK'(t)\dt,
—М — М
и поскольку Hc{t) =o(t) при ^0, то при достаточно боль-
ших а будем иметь |/|< —-. Теорема доказана. Рассмотрим
теперь приближение функции /6:Е(/?) посредством линейных
операторов (2. 13).
Теорема 7.2.4. Пусть /6Е(/?), а целая функция K(z) =
= W\l) такова, что
[K{t)dt= 1, \\tK(t)\dt<C <аэ.
R К
Тогда
\f-g*b<A<*{f* -7).
гдг ga определено равенством (2. 13), «>(/, —\ —модуль не-
прерывности f в ЩИ), а А—постоянная.
388

Доказательство. Очевидно, что
gAx)-f(x) -' ] 1/(0 -Ах)] К (i{t - х))Л -
\KV)[f
R
, : + -f )-/(*)] Л.
R
Используя условие теоремы и свойства модуля
непрерывности, отсюда получим
J v « /Е
< J! *"(*) I (\t\+1) «> (/, 7)БЛ=Ш ■/' 7 'Е [с+Jl *<')'Л ] -
где Л— nccTOfиная. Теорема доказана. В этой теореме в
качестве пространства Е(/?) можно взять, очевидно, любое из
пространств A (R), Zp(/?), Ар(/?), £>р(/?) (/?>1). Легко
проверить также, что в качестве функции K{z) можно взять
функцию — . Заметим, что в силу леммы 7. 2. 1 опера-
71 Z2
тор Фурье (или сингулярный интеграл Дирихле)
M/.*] = ^J/(O0.(<-*)<
R
является целой функцией степени не выше о, причем Da(u)
определяется равенством (2. 14), гл. I. В то же время,
очевидно, это есть семейство операторов. Покажем, что оно
приближает функции из L2(R).
Теорема 7. 2. 5. Для f£L2{R) функция Fa[fy х]
принадлежит W{92) и является наименее уклоняющейся от f в
Доказательство. То, что F9£ Wi2\ следует из леммы
7.2. 1. Пусть/—преобразование Фурье функции / в
пространстве L2(R). Тогда в силу теоремы о свертке функций из
L2(R) (см. § 1, гл. I)
1 С ?/„\ Jxu
\f,x]=Y= | f(u)e^du.
V2*
СУ
Очевидно, что преобразование Фурье разности f(x)--t\[f, х]
обращается в нуль при |я|<"<?. Пусть h(x)£ Wp и ф (и) —
преобразование Фурье разности t„ [/, х] — h(x). Очевидно,
ф(#)==0 при |и|>о. В силу той же теоремы о свертке
389

J [/(*) - F, [/, x]) [Fe [/, x] - h (x)\ dx = 0.
R
Благодаря этому
\\f(x)-h(x)fdx = ^\f(x)--F9\f%x\\*dx +
R R
+ ^\Fa[f,x]-h(x)?dx
R
и, следовательно, \\f(x) — h {x) I2 d* достигает своего наи-
R
меньшего значения при h{x) = Fa[f, x], т. е.
^a(/)2 = inf-/-A|ia-|/-^ei:2.
hew<2)
а
Теорема доказана. С помощью оператора Фурье можно
построить и другие линейные операторы, дающие наилучший
порядок приближения [95(1; 2)] в метрике пространства 1р(#).
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
ОБОБЩЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ ФЕЙЕРА
1. Обобщенный оператор Фейера и его свойства
Положим при каком-нибудь 6, 0<6<1,
(1-6) и и
cos — cos
Ф(и) = Ф(и, 6)= —
п и-
и рассмотрим семейство интегральных операторов J7x,
определенных формулой
Лх[/, в, jc]= 9Х J/(jc —xi)0(eXzF)rfxi =
R
0
Легко заметить, что функция Ф{и) является ядром типа
Фейера, а при 9 = 1 превращается в классическое ядро Фейера.
Поэтому, следуя Н. И. Ахиезеру и Б. М. Левитану [4 (5)],
назовем оператор Л\ обобщенным оператором Фейера (см.
также [31 (1)]). В силу инвариантности нормы в Е(/?) относительно
любого вещественного сдвига очевидно, что
1!^х[/,в,л:]1Е<х(в)У'Е|
где
390

х(9) = 2|" |Ф(и, B)\dv.
о
В частности, при Е(/?)-= С (/?)
Г^х[/,в,х]|1с<х(9)|!/|1с.
Величину х(8) нетрудно оценить непосредственно, разбивая
Л 26 .26 0
интеграл на три интеграла: от 0 до , от до 2 и от
2 до ос. Легко видеть, что в этих промежутках имеем,
соответственно, оценки
/2-6 2 ' . / 26
#2приО<#< ~
cos — cos - =2
. (2-6)* . a i . г
sinv — • sin — < I
2fl 2 I" *
26
& при
26
<и<2
2 при 2 < % < oo.
следе вательно,
/сч ^ 4 . 2 , 2
(О < в < 1).
Однако можно получить и довольно точную оценку для
х(б), если воспользоваться разложением
(в):
16
1&Х
m,n=l
т + пх — | т — пх 1
(4т2— 1)(4/г2— 1)
X = •
2 —(
которое получается с помощью формулы
|sintf| = —
1 — cos 2tct
4*2- 1
В этом случае простые подсчеты дают оценку
ТС2
+ -}<*(е)<^1п^- + 2 (0<в<1).
Ядро Ф(#) можно представить в виде
00
Ф(/г)=— ( о (6 v)cos (uv)dv,
2* J
где
00
<р(<) = 2 f Ф («) cos — с?«-=
391

i i при |<|<1 -е,
4-(1-1'|) при 1 —е<|*|<1, (3. 2)
о
О при 111 > 1.
Обратимся к обобщенному оператору Фейера (3. 1) и
перечислим некоторые его свойства.
1) Если f{x)eT£\{R) или Г^(#)до Лх[/, 9, х] есть
целая функция конечной степени <Д. Это являгтся следствием
из леммы 7. 2. 1.
2) Если /(х)—целая функция степени о<Ц1 — б) и если
f(x)£T{2)(R), то имеет место тождество*
Лх[/, 9, х]=/{х).
Действительно, в рассматриваемом случае
а
/i(-*)-/U)~/(0 - (>Ч(0^.
X — I J
где Ф(06£2(—а> °). Замечая же, что
ЛЛ/, 9, х]--9А l'/(*- v)<b(\Qv)dv =
— 00
00
^•/ -ч I / -\ [' * / ч cosX(l — 6) v — cos X v ,
J тс t) A V1
—00
00
[' X t \ COS A(l — в) V -— COS A V ,
J n A 0 v
на основании теоремы о свертке получаем
t
—J
ст
-™ 1'?,(у)ф(0в1х'Л;
в силу (3. 2)
Лх[/, 9, х] =/(*)+(*-О |в1хЧ(')<"=/(■*)
—СГ
3) Если /(х)—интегрируемая функция с периодом 2ic,
* См. лемму 7. 2. 1.
392

—00
ее ряд Фурье, то
Лх[/,в,*]= \]9(у)^кх.
|кТ<Х
4) Если п— натуральное число, то при условиях
предыдущего предложения
ЛпГ/, —, х] = Sn-i(x)
есть сумма Фурье порядка (/г—1) функции /(*).
2 Наилучшее приближение дифференцируемой функции
обобщенным оператором Фейера в пространстве Е(/?)
Пусть функция f(x) имеет производную /(Г) (х), причем
/( х) и /(п(*) принадлежат пространству Г(2)Е(/?). Тогда при
любом £ > 0 и любом а > О существует целая функция g<£Ha9
также принадлежащая T{2)E{R), для которой
1/-£ЛЕ<Л,(/)Е + е.
Р?*в голожительнсе ^vcix f(C<6<l), гсгонру о=).(1 —9
Тогла в силу свойства 2) обобщенного оператора Фейера
/I*) - Лх [/, 9, х] = f(x) - ga (л) - Лх If- g99 б, х],
откуда
l!/(^)-^x[/,e,x]|iE<!i/-^/'E + Wx[/-^,e,x]|!E.
Замечая, что
получаем
|1/(л)-Лх[/,в,л]а'Е<[1+х(в)]Л(/)Е+е[1+х(в)].
Поэтому, поскольку в>0 произвольно,
11/(х)-Лх[/, e,jc]pE<[i +х(в)].л.(/)Е. (з.з)
Рассмотрим случай, когда выполняется одно из двух неравенств:
Л(/)е<^г, Л(/)е<—Ц-.
аг аг
где со (/)—неубывающая функция, для которой при любом
р > О имеет место неравенство
393

Из (4. 3) вытекает, что в этих случаях соответственно имеем:
. 1+*(6) Ст
;</(*)-Лх[/, в, х]
Е <;
(1 —в)' ЛГ
г/(<)-А(д..*И<ЗЧг81
d)
(l_6)r+i Хг
Таким образом, мы показали, что порядок приближения
функции f(x) в смысле метрики пространства E(JR) посредством
обобщенного оператора Фейера совпадает с порядком
наилучшего приближения той же функции в смысле метрики Е(/?)
посредством целых функций конечной степени.
Отметим некоторые факты относительно приближения в
метрике пространства С* (—тс, тт) непрерывной периодической
функции f(x) с помощью ее оператора Фурье Sn-\ [/, -*].
1) Если почти всюду 1/(*)|<1, то
max |5„_,[/, х]|< ±-1пд + С,
где С—абсолютная константа <3. Это теорема Лебега.
Для ее доказательства достаточно использовать свойства
4) обобщенного оператора Фейера и неравенство
(т)<20"12"-"-
2) Если f{x) имеет производную порядка г>0 и
|/(г)(х)|<1, то
max \f(x)~Sn-.l[f, x]\<(^--lnn+c)
х€[-*,«] \тс2 ; (л — 1)г
К этому неравенству, также принадлежащему Лебегу,
примыкает интересный результат А. Н. Колмогорова [68(4)].
Если МГ— класс всех функций с периодом 2тс, для
которых выполняется условие |/(г) (х) | < 1, то
sup \f(x) - S„_, (/, *) | = -1 ~ (1 + ^
где lim sn » 0.
п->оо
3) Если/(х) имеет производную /(Г) {х) порядка г>0
с модулем непрерывности со (/(r), b\ то
max|/(x)-Sn-i Г/, x]|<(4ln"+c)
x6R \ *2 /
п
(п - 1)г
394

4) Если г > 1, то те же оценки, что и в утверждениях
2) и 3), имеют место для величины
max|/(x) — Sn-i[/, x]\.
3. Обобщенный оператор Фейера для сопряженных функций
Напомним, что функция/ называется сопряженной для
функции/6£р(/?) (1</^<ос), если для их~ преобразований
•Фурье справедливо равенство
Ф(/ x) = — isignx^(fix)
почти при всех хб/?. Пусть/61(7?). Рассмотрим
интегральный оператор вида
00
Ж[/,в,х]=/(х)+± ]"[/(* + fi)~f{x~Tb)]hiUt 6)du>
о
где Л\—обобщенный оператор Фейера и
A(^e)==^[sinT~sinf(1~e)}
Отсюда при 9 = 1 находим
sin l и
*[£(■*)-/(■*)]= -7 J/(jc + «)
«2
_ оо
где
du,
*х(х) = лх[/, е,хц9=1-
Теорема 7. 3. 1. Яустг> f{x)£L(R), J(x)eLp(R) (p>\
и ш(/, 8)р<Л8. Тогда
\/(х)-ах(х)1<^,
где Ж # N—константы.
4. Приближение оператором Джексона—Балле—Пуссена
Пусть для функции /6Е(/?) имеет смысл интеграл
который называется оператором Джексона—Балле —Пуссена.
Очевидно,
K(t) --I-D*(t)
2к
395

является ядром типа Фейера и
оо
3
j- j D*(*)dt = l.
— ОО
В силу свойства обобщенного оператора Фейера D\ [/, х]
является целой функцией степени <Х. Кроме того,
i:^m-/ii<|rj||/(-« + -7-)-/(^-f-)-2/(jf)||-£)*(0^<
2
;М-
2t
DA(t)dt.
Отсюда, исходя из того, что
2t
со2 /, -f <(2*+1)»ш2 /,
получаем
О
где 5—константа. Таким образом, учитывая, что
А(/)е<|!/-£Ч/]1!Е)
приходим к следующему заключению.
Теорема 7. 3. 2. Для наилучшего приближения Лх(/)Е
функции / из класса Т Е(/?) целыми функциями из Н\Е
справедливо неравенство
Ax(f)E<B*2(f,±y (3. 4)
где о>2 (/, —) —модуль гладкости второго порядка функции
f в смысле метрики пространства E(R).
Это утверждение является аналогом классической теоремы
Джексона в случае полиномиального приближения в метрике
пространства Е(/?) = С* [—те, те].
Следствие 1. Если у функции /6 Е(/?) существует
производная у 6:Е(/?), то
а*(Ле<— |Ле. С3- 5>
где 5— постоянная, не зависящая ст о. В самом деле,
/,
ihi<L
£96

< sup iih f (x + e,A) + hf (x - e2 a) и< — и/' и
1 a
|h|<-
и поэтому из неравенства (3. 4) следует (3. 5).
Следствие 2. Если у функции /£Е(/?) существует
производная /'£Е(/?), то справедливо неравенство
А9{/)е< — А.(Ле* (3. 6)
a
где 5—постоянная, не зависящая от о.
Доказательство. Пусть целая функция geGH9E такая,
что
Заметим, что
о
является также целой функцией и принадлежит пространству
Иа Е.^Рассмотрим функцию
©(*)=/(*)- Va(x).
Очевидно,
|?,|,Е=1|/'-^»Е-Лв(ЛЕ.
Применяя неравенство (4. 5) к функции у(х), находим
Л(/)<—!'?»= —Л, (/').
a a
Отсюда следует, что если у функции/б Е(/?) существуют
производные /,/,..., /(г), принадлежащие также пространству
Е(/?), то
А.(/)е<Ца.(/%. (3.7)
Неравенство (3. 7) получается путем повторного применения
(3. 6).

ГЛАВА VIII
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Пусть D—некоторая бесконечная область (или континуум)
с границей дО = Г и E(D)—линейное нормированное
пространство функций /(£), определенных в D. Обозначим через
Иа,о E(D) совокупность всех целых функций g(z) конечного
порядка р > 0 и нормального типа о > О, принадлежащих
пространству E(D). Очевидно, Hat9E(D) есть также линейное
нормированное пространство. Взяв в этих определениях вместо
области (или континуума) D кривую Г, будем рассматривать
линейное нормированное пространство Е(Г) функций /(£),
определенных на кривой Г, и соответствующий класс целых
функций Яа,рЕ(Г).
Для функций из пространств E(D) и Е(Г) определяются
наилучшие приближения целыми функциями в смысле
метрики этих пространств, соответственно, в следующем виде;
\f(f> £>)E=inf |l/-gj:E[D), (0. 1)
^,?(/;r>E=inf ji/-£.;Em. (0.2)
g€Ha?b
Кроме того, определяются модули непрерывности функций из
пространств E(D) и Е(Г), соответственно, равенствами:
со(/ДЯ)Е- sup »/(*,)-/(г,)'Е, V*i, 226Д (0. 3)
|Zi—Z2|<6
а>(/,8;Г)Е = sup E/fs,)-/^2) Е, узь *2бГ. (0.4)
|zi-z„|<8
Настоящая глава посвящена изучению зависимости между
наилучшими приближениями Л (/; D)E, Лар(/, Г)Е и
соответствующими Модулями непрерывности со(/, 8, £))£ и со(/, 8;Г)Е<
Рассматривается случай, когда D является бесконечным
множеством или областью, ограниченной прямыми линиями. К
числу таких множеств относятся множество точек
противолежащих углов, угол данного раствора, полоса данной ширины,
полуплоскость и др.
* Мы не требуем, чтобы нормы в рассматриваемых пространствах
обладали свойством инвариантности относительно сдвига.
398

§ 1. НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ДВУХ
{ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ УГЛАХ/!
""Рассмотрим (при заданном р>1) множество D{9\
состоящее из точек двух противолежащих углов:
D\9) : (|argz|< -^-(l - -L)) и D{29) : (|argz + *| < |(l - -1))
т^е. D{9) = D,(p) + D(29) и 7>(p) = D|p) +J5ip) его замыкание.
В случае р= 1, очевидно, множество D{9) совпадает с
вещественной осью /?. Пространствами типа Е (D(p)), например,
являются:
1) пространства^ [D{9)] функций /(2), аналитических в D{9)
и непрерывных в D{9) с нормой
ll/L= sup |/(0)|- sup !/(***) |;
zeo(p) ^K^^.^r
2) пространство Лр [D(p)] функций /(z), аналитических в
D(p) и таких, что
I
i'/a = sup ( Г|/(^)\рл)Р< + ос.
В дальнейшем обозначим через E(m) [Di9)] совокупность
функций /(£), принадлежащих пространству Е [Di9)] вместе со
своими производными / (£), . . . ,/<т) (-Z) (#г>1).
Соответственно с этим мы употребляем обозначения А(т) [D{9)] и
Лрт) [D(p)]. Величина -A f/, D{9))E, определяемая равенством
(0. 1), в случае Е [D(p)] =Л [D(p)] является наилучшим
равномерным приближением, а в случае E,[Z)(P)] === Лр [D{9)] будет
называться наилучшим смешанным приближением функции f(z)
на множестве D{9) посредством целых функций из класса
Иа E(D(P)). Выясним связь между порядком стремления к
нулю чисел Д,0(/)Е, когда о->оо, и дифференциальными
свойствами приближаемой функции /(£)•
1. Некоторые вспомогательные утверждения
Известно, что порядок и тип целой функции
399

определяются посредством ее коэффициентов Тейлора
формулами:
р = 1ШГ к1пк , Шк\ск\91к =е9о.
К-> 00 1 к_* СО
In
\ск\
Пользуясь этими формулами, покажем, что функция Миттаг—
Леффлера:
ЕМ =
00
гп
п=0
р
(1.1)
является целой функцией порядка р>1, типа о = 1.
Напомним формулу Стирлинга:
к i JL к
где Г (а)—гамма-функция Эйлера. В случае
с„= ^ (к = 0, 1,...)
имеем
г|1 + —
Р
г.— к\пк
lim
к-*оо ^ 1
к In к
In-
и, кроме того,
|СК|
«Игл -
Р 2 / р
= Р
lim #|гк|к = lim к
1
г(1 + —
р
= *р.
Заметим, что функция Z?P(z) прир>— ограничена в
области |arg£|>-^—. Рассмотрим еще функцию
2р
м ( -41х
. е I - /*Х Р \
9 <Р>1), (1.2)
Ях(*)=
£Д/гл
/г
где Х(Х > 2)-—любое четное число.
Очевидно, Н\(г) является четной целой функцией порядка
р> 1, типа единицы и может быть представлена в виде
Ях(*)
2Х
ж"1
: 7j("1)n
1 \2П
X ег
rfi +
2п+ 1
Р /
(1. 2*)
400

Отсюда видно, что /Л(.л;)>0 на всей вещественной оси /?.
Кроме того, в силу ограниченности Ь\(г) в области
из (1.
имеет
2) вытекает,
1 arg г |
место
2 \
оценка
что
—
п
1
Р
1 arg г |
ри
) или
" 2Р
1 arg 2
arg ^ +*K-^-(l — —
2 V о
i^(*)l<-,7jr- <Х>2)' (!■ 3>
где В (л, р)—постоянная, зависящая только от X и р. Далее
нам понадобится
Лемма 8. 1. 1. Пусть г (г)—целая функция типа
•а (0 < а < оо), порядка р (— <Гр < ос J а контур С состоит
из двух лучей:
"^-тО-т'" arg2 = f(1 + 7
образующих между собой углы раствора -\ — — и 6=2iu—-
Р Р
Пусть кисло А > О является верхней гранью функции
F (z) на С и в угле раствора 6. Тогда для любого z имеем
\r(z)\<Aexp{a\z\9}. (1. 3*
Доказательство. Справедливость леммы в случае
•б == тс (р 1) очевидна. При этом из неравенства |^(д:)|<Л
(xt/?) в силу теоремы 3. 1. 3 следует, что
\F(x+iy)\<<Ae°r,<Ae°zl
при любом z(z = x+ iy).
В случае — < р < оо обозначим через 1\ и Г2 углы,
соответственно, раствора ? и б. Угол 1\ делится пополам
положительной частью мнимой оси, которую обозначим через
L (arg£ = —J. Рассмотрим функцию
G(z)^r(z)exp\(a+2B)z9e^~Y'j (1. 4)
при заданном s > 0, являющуюся целой функцией^ порядка pf
типа <^2о. Она на Г2 по модулю меньше, чем Л'ехр{(о+2в)];г|р},
где А' > 0—постоянная, и не больше, чем А на линии С.
Кроме того, при любом z имеем
d 020-213 401

I О (2) I =|/=-(2Г)|ехр {(a +2s) I Z|pCOS (pep + 1С -^P-)j,
я
где cp = argz. В частности, на Z,, т. е. при <р = — » [получаем?
| О (г) | = | г (0) | ехр {- (з+2г) | г |р} < Л V
» I1
s|z|
где Л"—постоянная. Последнее показывает, что \G(z)\
стремится к нулю при |-| -> х) вдоль I. Таким образом, \G(z)\^CA
в обоих углах между L и С и, по теореме 1. 2. 4, остается
в силе на Г1#
Отсюда находим, что
|г(г)КЛехр{(а + 2з)|2|р)
на rt и, следовательно, вэ всей плоскости, что и требовалось
доказать.
Если z лежит на 1\ и ф-—угол между прямой,
соединяющей начало координат с точкой z, и одной из двух прямых,
ограничивающих 1\ (0 < ф < т), то
| Z3, (г) | «< Л ехр {а | г: |р sin p ф}. (1. 4*>
Это следует из равенства (1. 4), если учесть, что
eH*|exp{*fibi±2J)}, |.|exp;{/(* 4- -j (l - f))]
и
cos[<|>p+r-^(l-—j 4. ^'l- JL)]-Sinp<l>.
Лемма 8. 1. 2. вГТуспу K(z)~целая функция типа
а (0 < а < эо), порядка р(1 <р < эо) и лу<?л» D<(,) - Ъ\9,\^Т>Т,.
A(p):(|arg2
Тогда, если
то на всей
к
f(l--i)), S'»:(largz
sup 1АГ(г)|=Л <+ -ю,
z6D(P>
плоскости z
+'"<т(,-т))-
|/С(;г)|<Лехр(о|у!р}.
Доказательство. Пусть Ф = argz. Как и в
доказательстве леммы 8. 1. 1 получается, что если
Ф _ —
2
~ (Р>1).
то
402
|/Г(г)|< Лехр{а|2|рсозр(у-ф)}, (1. 5>

ф = ф ~(1 ] и sin p^ = cosp [— Ф
так как в данном случае
ф = Ф-
Покажем, что
COSpa<cosap [р>1, 0<а<——У
Функция <р (a) = cospa — cos pa, имеющая неотрицательные
значения на концах интервала (0, -^-) , является возрастающей
функцией в этом интервале, так как
?'(a) = p \.Sin pa— COSp"!a-sina] >psinp a(l — C0$p_l a) > 0.
Следовательно,
sinpO = cosp (-^ Ф ) > cos p ( — — Ф ].
2 / \ 2
Благодаря этому неравенству и равенству | у | = | z | sin Ф >0,
из (1. 5) получаем
\К(г)\>Аехр\а\у\9} при у>0.
Подобным же образом требуемое неравенство доказывается
при у < 0, чем и завершается доказательство леммы.
Как показывает неравенство (1. 3), целая функция H\(z)
удовлетворяет условиям
sup \гкНх(г)\<-М<+ю (к=1, 2, ..., X)
и в силу леммы 8. 1. 2
|zKtfx(s)|<Ate,y,P (1.6)
на всей плоскости £.
Лемма 8. 1. 3. Если р > 1 #
h(z) = zKHx(z) (* = 0, 1, .... Х-2),
где Н\(г) спределяется по формуле (1. 2), то
°f |A(*-s)|d*<CeyP (£ = * + *у), (1. 7)
—'оо
где С = С(Х, р).
Доказательство. Положим t — u — x. Очевидно, при
z: = л: + *У
?|й(*-г)|Л = \ |А(« — /y)lrfa-
— 00 -00
В случае р= 1 в силу теоремы 3. 1. 3
26* 403

j\h(u-iy)\du^ew j| А (и) |</и.
— 00 _O0
Пусть теперь р> 1. Заметим, что при 1у|<1 интеграл
00
Ау) = \\h\U — iy)\du
— 00
мажорируется некоторой константой Ль так как h(x + iy*
и х2h(x-j- iy) ограничены в полосе |у|< 1, \х |< оо. J ;. l
при |у|> 1 и / > ^-+ 1 (у =0, 1, . . . , 2/ —2) имеем:
i-~
\у\?
J |А(< -*у)|Л<Л2*,уР <f(^2+l)Jf~1^<^3^,y|P,
— 00 — ОО
что и доказывает лемму.
Лемма 8. 1. 4. Пусть т > 0—^ло^ я 0 уннция I (t) en
ределена почти всюду на /?, измерима и огранияена на
любом конечном отрезке и имеет порядок 0(\t\m) при \t\->^
Если р>1, а целое число Х>//г + 2, то
L оо Г L ]
G,{z) = J §Нх[а9 (t - z)\t(t)dt (
°^0), (1.3)1
где функция H\{z) определяется из (1. 2), есть целая
функция порядка р и типа а, причем
Юа(*+'У)КСи +\ч\т + з
»°У\9
(1.9>
где С = С(т, р).
Доказательство. Во-первых, возьмем т=0. В этом
случае / (/) измерима и ограничена на вещественной оси. R:
и поэтому справедливо неравенство
GA-i3
t6R _oo
dt =
= sup|^(0|- f|//x(*-s)|rf*.
Отсюда в силу леммы 8. 1. 3 саедует
\_
"р
бДга РЛ<Л(л, р)^,у,?<Л^2,Р,
что и доказывает лемму в случае т = 0,
404

Возьмем теперь т > 0. В этом случае из неравенства*
\F(0|<5(1+U!m) (|*|-эо)
следует, что
|г(*)1<Я,(1 +и-2|"Ч-|гГ) (|/|-»-оо)г
В силу этого
G.(2)|<ePA(l+|z|m) |//xl
1 оо
+ ар 5, f | * - Z |m I Ял
?l
jk
" I
"1
У ('—2)JI
00
- 1 -11
у (*
-2).
]л<
Л +
о* 1У1Р
m oo
<В,(Н|гГ)е'шЧо > Bt )\t-zm\Hx(t-z)\dt^
—00
Лемма доказана*.
Лемма 8. 1. 5. Если f(z) принадлежит пространству
Е(т)[/)(р)], то тому эюе пространству принадлежит и
функция
z+h
z
(А>0, £с/ш £6£>{Р), а А<0, £С./г# c'6D2p)), г<?2 ичпггриро -
вание совершается вдоль отрезка, соединяющего тэяхг z
и z + А, причем имеют место неравенства:
11л(т+|) !!Е<^--(/<-', л, d<^)e
(1. и)
Доказательство. Первая часть леммы следует из
равенства
z + h
/<r(z)=4-j7(m,(* + ')^=-f j7(m)(*)<«
Благодаря этому, имеем
/r>(2)-/(m)(2)=^-j[/(m)(-+0-/(m)(2)]
rf*.
Леммы 8. 1. (1—4) заимствованы из работы Кобера [67(1)].
405

Отсюда и следует (1. 10). Неравенство (1. 11) вытекает из
того, что
/„<-+» (2) = -1 (/<m>(2 + h) -fm) (Z)]
п
и
!1/ьга+1,!!Е = ~lf(m)(~ + h)-/(m)(г)!'е< yw(/(m>'h'd<p))e-
Лемма доказана.
2 Наилучшее равномерное приближение целыми
функциями на множестве D{9)
Как показывает лемма 8. 1. 4, если f{z) 6 A [Z)(p)], то
G,(z) = af ]н\°Г {t-^)\f(t)dt (з^О),
— 00
где Н\(г), определенная равенством (1. 2), -есть целая
функция порядка р и типа а. Прежде всего займемся
видоизменением формулы (1. 8). Обозначим через 1(6) прямые,
уравнения которых имеют вид
z = te[* (<€/?),
гфи фиксированном б, где |6|< — (1 ). Крайние прямые
1 ) и l\ (1 ) семейства Ч^\е)}
обозначим, соответственно, через Z,(+) и L{~\ Через Lx (б)
обозначим полупрямую argz — б, где | б |< — 11 ), :а через
£2(6)—ее дополнение до прямой 1(6). Покажем, что при
р> 1, когда £g/, (6), |6|<-|- II 1, для целой -функции
Ga(z) имеет место представление
Ge(a)=arJ//xU"(6 -*)J/(5)d5. (1. 8*)
Ц8)
где интегрирование по прямой 1(6) совершается в
направлении возрастания Re£.
Пусть точка z^ L(B) фиксирована. Обозначим через Z,] (6, г)
{i = \, 2) отрезки соответствующих лучей Z,,(6)(/^ 1, 2),
лежащих в круге |г|<.г, а через Г< (6, г)—пробегаемый в
положительном направлении замкнутый контур, состоящий из
отрезка [0, г], дуги Сг(В, г) окружности \г\ = г, лежащей
между лучами li(6) и /^(0), не проходящими через точку
406

£ = — г, и отрезка Ii (9, г). Аналогично, ^обозначим через
Г2(9, г) пробегаемый в отрицательном направлении замкнутый
контур, состоящий из отрезка [—г, 0], отрезка L2(Q,r) и дуги
С2(9, г) окружности |з| = г, лежащей между лучами LX(Q) и
L2(0): не проходящими через точку £ = -ы. При фиксирован^
ном значении 2 61(9) как функция от X выражение
н\?Т {\-z)\f{%l
очевидно, голоморфно в каждой из областей D[9) и D{29\
поэтому по теореме Коши будем иметь
J //х1/(6-2)|/(6)Л- j //xUF(£—s)J/(6)riS = 0. (1.12)
Складывая интегралы (1. 12) с учетом направление
интегрирования, получим формулу
Jtfxl/ (t-z)\f(t)dt= f //х[/ (E-2)J/(S)rf£-
-г L('e,r)
- J //xLoro-2)J/,(S)rf5- j tfx^o-ioWya, (i.i3)
C,(6,r) Ся(в,г)
справедливую при всех г>0 и ££/,(6).
Заметим, что в формуле (1. 12) интегрирование по 1(9, г)
совершается в направлении возрастания Re£, а
интегрирование по дугам С\(9, г) и С2(9, г) совеошается по тем
направлениям, по которым они входят, соответственно, в состав
контуров 1\(9, г) и Г2(9, г). Обозначим
Г|(0= j ^xk^-^jJ/^Drfu-eiC^), * = i, 2.
Cjie.r)
Тогда в силу (1. 13) для установления требуемой формулы
(1. 8*) достаточно показать, что при фиксированном z^L(B)
lim К, (г) = 0 (/ = 1, 2). (1. 14)
г-к©
Действительно, если ££d(9, г) (i = 1, 2) при фиксированном
z£L(Q), то при достаточно больших значениях г всегда
будем иметь (arg (? — с) [ < | 9 | ил и 1 arg [ (; — z) + тс] | < | 9 |. Но
так как у нас !9[<— И J, то отсюда ясно, что при.
больших значениях г в силу формулы (1. 2) и свойств
функции E9(z) равномерно относительно всех ;6Ci(9, г) (/ -- 1,2)
будем иметь
|/Ф>;-г)]|<-^-, (1. 15)
Г
407

где М > О—постоянная, не зависящая от / и 6. Из оценки
{1. 15), обозначив
К= sup |/(z)|,
zeo(p) (l. 16)
получим
г.ИК^-г,
Отсюда в силу того, что л>2, вытекает утверждение (1. 14).
Таким образом, формула (1. 8*) доказана.
Докажем, что целая функция G0(z) удовлетворяет условию
sup|G,(*)|<iWi,
zeD(p) (l. 17)
где №х > 0—псстоянная, не зависящая от типа о.
Действительно, пусть ££:/,(9), где |6|<— (1 ). Тогда из
представления (1. 8*) в силу (1. 16) имеем
|Ga(*)|<tf J |//xUr(5 — ^)J!-UUr(5— «)J
L(8)
Отсюда пссле замены переменной i: = a9 (£ — *), оставляющей
путь интегрирования неподвижным, получим
|<М*Ж*Г J|//x(«)||rf«|. (1. 18)
L(8)
Но из формулы (1. 2) следует, что при
\argi
имеем
<т
(1 j или |arg£+TC|<
1»*)К^ >->2-
;f(i-
1
Р
(1. 19)
Пусть /i(£)—ограниченная голоморфная функция внутри
области D\9) {i = 1, 2; р>1), непрерывная на ее границе.
Полагая/i(0) =-/2(0), определим функцию
/(*)= (Л<*> при ^^
1/2(а) при Z£D{29),
которая непрерывна и ограничена на множестве D{9) и анали-
тична на D{9). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 8. 1. 1. Если пункция f(z) непрерывна и
'Огранияена на D{9) (р>1) вместе со своими производными
до порядка р — \ (/?>1) вклюяительно, прияем
408

sup |/(p)U)K^P^ + °°>
*
mo
где постоянная Ср не зависит от а> 0 и от функции f (z)..
Доказательство. Если обозначить
Т#х(0<й = в (а^О), (1. 20>
— 00
то из свойств функции H\(z)b областях D[9) и D(29) будет
легко следовать, что
t Hx(u)du = a при |е|<у"(1_~)- (1.20*)
L(8)
Предположим теперь, что z£L{Jr) = L — (1 ) , тогда по
формуле (1. 14) будем иметь
G,(z) ~- аг \h\_J {\--z)\f(\)d\. (1. 21 >
Составим функцию
которая, очевидно, является целой функцией порядка р> типа
айв силу (1. 17) удовлетворяет условию
sup\g9(z)l<\arl{^-l)Mu (1. 22>
ze6tp)
Из (1. 21) имеем
gAt) "a_I^(~1)K~1C^J ^L4-^-«)J/(5)^(1.23>
к=1 L(+>
I
1
откуда после замены переменной и= — ар (Z-—z)y
производимой в к-м члене суммы (1. 23), получим
g9(z) = (Tl f Нх (и) \2(-1)к-1С1/[г + !с<Г'и) \duy (1.24>
l(+) Ik=i J
* Результаты этого и следующего пунктов доказаны М.. М. Джрбашя-
ном и А. П. Тамадяном [42(1)]/
409*

так как z^L{+) и при всех заменах путь интегрирования 1( +
,«е меняется.
Обозначим
Р-'л(Р)
(-1Г'А
Тогда
р-1
/(
г); и° 4= S(-ir'cPK/t + .
1_ \
Р
киа р }. (1.25)
к=0
^(-lr'Cj/lz + KBo 0=(-1Г'А(Р)1/(^), «« Ч+/(г).
*к=1
Из (1. 25) и (1. 26) следует, что
(1. 26)
g<
(z)=a-{ J tf^U-ir1 дЦ/(г)>д<, р]+/(£
)j<fc.
L(+>
Отсюда в силу (1. 20) вытекает формула
га(£)-/(г) = (-1)^.^
-1 j Л\(/г)Л(р)[/(г),иа р Jrfa, (1-27)
L( + )
•справедливая при z£L{+). Очевидно, вполне аналогичным
методом можно получить, что при z£L{~} справедлива формула
.*.(*)-/(г) = (-1)р-,.а-1 J Hx(u)b{*{f(z),uo *\du.(L
28)
L(-)
Заметим, что при р= 1 обе формулы (1. 27) и (1. 28)
переходят в одну; при хб/?
^(^)-/(^) = (-1)р"1а~1|Ях(/0А(Р)[/(^), ^\du.
Запишем (1. 27) и (1. 28) в виде
g°\te
f\te
41-PL
>) =
X
X
НА^Щ,
±гГГ)
dr.
(1. 29)
-410

Но из (1. 25) при р— 1 вытекает, что
д(1)и,
Г а
,<■>
[Д(е4-Н));гГЫ-'К)]=
Поэтому
=/
[* + г
-k-) 4(>4
а Че~2
-f[te
414)1.
^(П
sup|Au4^ ro
<Г <J
sup
t6R
,(^4Н-
/Ч'е
Отсюда по условию теоремы ыетодом индукции получим
sup
t€R
,,и^щ,^е^-т)
с
<|rlPo f supl/(p'Ue
t6R
~2 9 )\<Mp\r\p* p.
(1. 30)
Из формулы (1. 29) и оце1 ки (1. 30) заключаем, что
Л4(4Г ' -ы- '
sup
^
V
<
rpflfr = C0 Mp a
(1.31)
где Ср = С(/7, р) не зависит от о. [Из (1. 31) "при р=1
следует утверждение для частного случая, для которого теорема
впервые была доказана С. Н. Бернштейном (теорема 6. 2. 1).
Заметим, что в случае р> 1, с одной стороны, f(z)
голоморфна и ограничена в областях Dip) и D^P в отдельности, с
другой стороны, в силу (1.22) целые функции g*(z) при всех
a > 0 удовлетворяют условиям:
sup |ga(z)| =
1
z6D|P)
SUp \ga(z)\
zeD^p)
1
где Мх не зависит от о. Поэтому при всех а^>0 функция
/(z) — £*(£) голоморфна в областях D\9) и D[9) и, кроме того,
sup №)-£■(*)! <JWlf sup |/(2)-ge(«)|<Af2f
z6D^P)
z6D^P)
где Л 2 > 0 не зависит от a > 0. Следовательно, так как в
силу (1. 31) на границах Lx и L2 областей Dip) и D{2]
соответственно имеют место оценки
411

sup|/(*)-g.0OI<!^L,
z6Li P.
SUP |/(2)- ga(2)K^L,
z€L2 P_
то по принципу максимума
sup/(2) -Ыг)|<СрМро р. 1. 32)
zSD(P)
Яз (1. 32), очевидно, следует утверждение теоремы прир>Ь
_ Теорема 8. 1. 2. Если f{z) непрерывна и ограничена на
D{9) вместе со своими производными до порядка р (р > 1)
.включительно, причем
ш(/('\Л)= SUP |/(P)(^)-/(P)(^)I («', ^fc/Jp))
U'—z"j<h
—модуль непрерывности функции /p)(z) на D(<,\ то при
о> 1
A^(f,DW)^C;o~K{/^; a"),
,гд£ постоянная С*р не зависит от а и от функции f(z).
Доказательство. В силу леммы 8. 1. 5 при любом
.А(0<А<1) функции
z+h z-hh
z г
являются голоморфными, соответственно, в областях D[p) и Мр)
:и имеют место неравенства
sup |//m*U)-/№(*) 1<«>0Г\ Л)х (/=1, 2),
z6D}P)
где a)(/i(rn); A)j— модуль непрерывности /im)U) ('==1. 2) -в
•смысле метрики A [D\9)] и
WS+V)?j - -jl//m) (* + A) -/,(и»<*)■*< у «>(/im); А)х
Обозначим
./hU)=,yi-h
412
/lih(2) при z€I>lp>,
/2h(2) при zeLf'

Тогда очевидно, что функция /и(^) непрерывна на L>{p) вместе
•со своими производными до порядка т включительно. Кроме
того, в силу свойств функций /]h(^) и /2h(2) имеем:
1) SUp |/,P,(Z)-/h(P)(2)|<5p<o(/(P), h),
z6D(PJ
2) 5ир!л^"(;)|<д; -(/,р>^);
z6D(?) h
где постоянные Вр и Вр не зависят от h. Вообще говоря,
функция /h(p+l)(*) терпит разрыв в точке z = 0.
Представим функцию f{z) в виде
Из утверждения 1) в силу теоремы 8. 1. 1 можно заключить,
что существует такая целая функция yil)(z) порядка р, типа
о ;> 1, что
sup\f(z)-fh(z)- gil)(z)\-KCpBpo pu)(/(p),o %(1. 33)
z€D(P)
где h = а р . Аналогично, в силу утверждения 2) и теоремы
8. L 1, мюжко заключить, что существует такая целая
функция gT'(z) порядка р и типа а, что
S_UP|/h(^)-^2)(^)l<Cp+1.^+1a р <Д/<'\ о pjr.ap.(1.34)
z6D(P)
Из (1. 33), (1. 34) и неравенства
l/(*)-g.(*)l< l/(^)-/h(^)-gi,)U)l+ l/i.(*)-«JS)(*)l.
где ga<3)- gan(^)+ do\z), при а>1 имеем
s_Up|/(,)_^(^)KC;a~pD"«>(/(p); о"
где постоянная С* не зависит от а. Теорема доказана.
3. Наилучшее приближение целыми функциями
в области заданного угла
Если /'{^—ограниченная аналитическая функция внутри
угла 0 <^arg £ <Г 6 (0 <" 9 < 1^) и равномерно приближается
целыми функциями порядка р, то между величинами р и б
существует связь, т. е, как показывает следующая теорема,
число р зависит от раствора угла.
413

Теорема 8. 1. 3. Пусть i (г)—любая ограниченная
аналитическая функция внутри угла О < argz < б (0 < б < 2тс)
и равномерно приближсется целыми функциями gn(z)(n-
= 1, 2, . . .) порядка р в области А (е < Ф = arg & < 6 — г„
12 | < ос), гд£ г > 0—сколь угодно малое число'. Тогда
Р
2тт — е
Доказательство. Предположим, что р < —-—. Тогда
существует число е>0 такое, что
2г. + 2s - e
Из |r(*)KyVJ и |г(г) —g„(s)|<e в угле 0<arg£<6
следует, что каждая функция gn(z) ограничена при £<Ф<6—s..
В остальной части плоскости, т. е. в угле 6 — г<Ф<2тс-[-е,.
|Ы*)НО{ехр(|г|р+£)} (|г|-*оо).
Заметим, что gn(z) ограничена на "линиях, ограничивающих
угол раствора меньше , и, следовательно, в силу теоре-
мы Фрагмена—Линделефа она ограничена ео всем угле.
Отсюда и из теоремы Лиувилля следует, что gn(z)— постоянная, а
это противоречит тому, что разность F(z)—gn(z) по модулю
может быть сколь угодно малой в области D£. Теорема
доказана.
Для данного р (р> — ) обозначим через G(p) угол
«gz- T
<r«"-i
При р =— замкнутое множество G 2 представляет собой
полуось [0, + * °°)-
Теорема 8. 1. 4. Пусть функция /(г) голоморфна в об-
ласти G(p) ( при о > —j и непрерывна в G(p) ( при р > —) ,.
Тогда:
1) если при —-<.р< 1 функция f{z2) непрерывна на лу-
= — (1 ) вместе со своими
производными до порядка р — 1 (р j> 1) включительно^ причем на
указанных лучах
414
чах arg z

то
^,Л/;«(р))<срл>" (1.35)
где Ср>0 не зависит от о и от функции /(£);
2) если при р>1 функция f(z) непрерывна на G{9)
вместе со своими производными до порядка р —\ (р > 1)
включительно, причем
SUp !/(Р)(*)1<^Р< + ~,
то
Ла,Р(/, 0(р))<С>;а р, (1. 35*)
где Ср 7*£ зависит от з и функции f{z).
Доказательство. 1) Пусть —<^р<С1, тогда очевидно,
что раствор ic|2 ] угла (7(р) меньше тс, а при р —•—- об-
.ласть G(l/2) представляет собой полуось [0,/оо). Функция f(z2)
при —<р<1, очевидно, аналитична в противолежащих
углах {j(2p).
argz — —
4
<-=-<» '
2 V 2р
*,!|«»*+т1<т(1-5
;и непрерывна на множестве
Ъ{29) =-G[29) + u{i9)
при —<p<"L По условиям данной теоремы функция <p(z)=
= f(z2) удовлетворяет всем условиям теоремы 8. 1. 1 с
заменой в указанной теореме числа р на 2р (2р>1).
Так как функция <d(z) = f(z-) четная, то по теореме 8. 1.1
существует четная целая функция ga(z) порядка 2р и типа
а > 0, для которой
_р
sup ■?(£)-ga(^)|<CpMpa 2p. (Ь 36)
Функция Fo(z) = g5 (|/ & ), очевидно, опять целая, но имеет
порядок р я тип а. Поэтому из (1. 36) получаем
sup |/(s)-r;(2)|<CpAfpa 2р,
415

откуда следует утверждение (1. 35).
2) Положим теперь р>1, тогда очевидно, что раствор
тс (2 J угла G(p) больше, чем тс. Рассмотрим интеграл
L <* Г L 1
Ga(z)=s0 j#xK (t-z)\f(t)dt, (1. 8)
— 60
где, как и в теореме 8. 1. 1, функция Н\(г) определяется
по (1. 2) и четное число Х>/? + 2. Согласно лемме 8. 1. 4
интеграл (1. 8) сходится и представляет целую функцию
порядка р, типа а. Так как раствор угла G(p), в котором
функция f(z) аналитична, не меньше тс, то, поступая как и при
доказательстве теоремы 8. 1. 1, т. е. поворачивая путь
интегрирования в формуле (1. 8), заключаем, что
sup \G,(z)\<Mu
z6G(P)
где Мх > 0—постоянная, не зависящая от а. Далее
установление утверждения (1. 35*) теоремы полностью совпадает с
соответствующими рассуждениями, проведенными в теореме
8. 1. 1, поэтому мы их опускаем.
Пусть, как и в теореме 8. 1. 3, при —-<р< 1 Oi2p)
означает область угла
2 1 2р
Докажем вторую теорему о наилучшем приближении в
угловой области G(p.
Теорема 8. 1. 5. Пусть функция f (z) голоморфна в
области G(p) (прир> — ) и непрерывна на G(p) (прир^ —) .
Тогда:
1) если при —-<р< 1 функция f {г2) непрерывна на Gi2p>
вместе со своими производными (по z) до порядка р (7? >0)
включительно, причем со(/(р)(£2); h)—модуль непрерывности
функции fip)(z2) на G{2p), то
А*ЛА G(p))<Cpa~2~pco(/^(^), a~2"p); (1. 37)
2) если при р>1 функция f(z) непрерывна на 0(р)вместе
со своими производными до порядка р (р^О) включительно,
причем cd(/p)(z); h)—модуль непрерывности функции /{р)(г)
на G(p), то
Л°ЛА G(p))<Cpa"L(/^(z); 3~), (1.37*)
416
Urgz — —
I 4

где, как обычно,
<о(/, А)= sup |/(z,)-/(z,)| (г„ z2€G(p)).
lzi-z2|<h
Доказательство. 1) Пусть /(£)(—•< p<l] аналитич-
на в противолежащих углах Gfp) и G22p), определенных в
теореме 8. 1. 4, и непрерывна на множестве
Z5l2p) = Gj2p) + G[>2p).
Кроме того, ясно, что функция f(z2) на /J(2p) удовлетворяет
всем условиям теоремы 8. 1. 1 с заменой в ней р на 2р (2р>1).
Так как /(г2)—четная функция, то по теореме 8.1. 1
существует четная целая функция go(z) порядка 2р и типа а > О,
для которой
sup \f(z2)-g.^)\<C;^^(f^(z^ а"5?). (1. 38)
z6D(2P)
Из (1. 38) легко вывести утверждение (1. 37) теоремы, если
заметить, что re (z) = go (\f z) также целая функция типа а,
но порядка р.
2) Пусть р>1, тогда при z£Di9) рассмотрим функцию
z+ih ih
/h(«) = -l j /(?)ds=_LJ/(z + ?)d? (л>0),
z 0
где интегрирование производится по отрезку, соединяющему
точки z и z + ih. Очевидно, что функция /h (z) голоморфна
в области D(p), непрерывна и ограничена на Z)(p) вместе со
своими производными до порядка р включительно. Кроме того,
из формул
ih z+ih
0 z
/h(p+I) (*) = 4 [/(P)(z + ih) -/(p)(*)]
имеем:
sup|/(p)(^)~/h(p)(^)!<^(/(P)(^);A), (1. 39)
z6D(P)
supl/^OOk "<^<«>'»>. (1.39*)
z€D<P> h
Представим функцию f(z) в виде
/(2)=[/(2)-/h(2)]J-/h(«), A=a '.
1020-27 417

Из (1. 39) в силу теоремы 8. 1. 4 можно заключить, что
существует целая функция g*] (z) порядка р и типа о такая, что
sup \f(z)~fh(z)- ё^(г)\^с;а^^\ о"). (1. 40)
z6D(P)
Аналогично из (1. 39*) в силу теоремы 8. 1. 4 следует, что
существует целая функция g¥} (z) порядка р и типа а такая,
что
-Р±! / _L\ L
sup |/h(^-^2)(z)l<C*p+1.a p 4/(р), о r)o?. (L41)
z6D(P)
Из (1. 40) и (1. <1) приходим к утверждению (1. 37).
§ 2. О СМЕШАННЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫМИ
ФУНКЦИЯМИ В ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ УГЛАХ
1. Вспомогательные утверждения
Сохраняя вышепринятые обозначения, установим связь в
виде неравенства между смешанным модулем непрерывности
sup ( bf[{r^h)e{"}-f\re{")Ur\
(2. 1)
и смешанным наилучшим приближением
KV> &%= ™m*)-g(z)^m (2.2)
g ».p
функции f(z) из пространства AP[D(P)]. С этой целью
докажем три вспомогательных леммы и одну теорему,
являющуюся аналогом классической теоремы Фрагмена—Линделефа .
Лемма 8. 2. 1. Если Х> 2—четное целое число, то
целая функция h\(z), определяемая равенством (1. 2),
принадлежит пространству Лр[£)(р)], т. е. классу #$Лр.
Доказательство. Очевидно, имеем
" | /Ух {re") |p dr= J'' | Ях {re1') jp dr + J\ Hx {re1") \4r +
_ 00 - CO 1
+ j ' I Нх(ге1*) fdr = /,+/« + /8- (2- 3)
* Результаты получены И. И.Ибрагимовым и А. А. Гамидовым [53(1,2)
и 26 (2)].
418

Заметим, что целая функция Миттаг—Лефлера E9(iz)
ограничена в области -^-1 1 )< argz < ~ (3 ), a E9(—iz)
— в области — < arg z < — — (р > 1). Следователь-
2р 2 2 2р v 7
но, функция
1 чпХ
.<р>
)_£р(-йХ 0]
ограничена в области D р и потому
00
|/ii = |/2| = ji^(r^)|prfr.<
Af
рД
Л /7 — 1
(/>*>!), (2. 4)
где
М = sup | fp ^'2 X "р j-f, (_/zX р
zeD<P)
Кроме того, в силу равенства (1.1)
-И . оо 1 / 1 \2к х р
|/з| =
_2_
iz
к=0
*гл
/г А
■г
Г[1 + (2/с+1)р-1]
|d£|<+ оо. (2. 5)
Таким образом, в силу (2. 4) и (2. 5) из равенства (2. 3)
следует лемма.
Обозначим через £р [0(р^] множество функций f(z)
(г=ге1ср), регулярных в области G(p) П arg г | << -^- , р>1),
имеющих вторую частную производную по г и ср в замкнутой
области G(p Marg£|< --) и удовлетворяющих условиям:
1. |/(*)|-0 при |z|-*oo (^6G(P));
2. Существуют интегралы
ш
Т
rfr
'М < + "»
/Ire 2р
rfr = /VI < + оо;
(2. 6)
(2. 7)
3. Существует интеграл
j^i/^ip*
и справедливо равенство
27*
419

•£jl/(~*)r*--f£|/(~*)r*.
О О
Лемма 8. 2. 2. Для функции f(z) (z = reif) из класса
Вр [G(p)] имеет место формула
00
/(•г) = —. е 2р I Г\м.*Ыи - -L ^p I f\ue9)du (2> 8)
о а* г о и# — 2
Кроме того, имегм
11тГ.4.^7И)=0 (« = 0,1,2). (2.9)
Г_>00 д/*К
Равенство (2. 8) получается применением формулы Коши
к функции f(z) вдоль контура Г = ^1 + Т2 + Т» гДе Ti—отре-
зок прямой z = te 2р, 72—отрезок прямой z + te29,
находящийся внутри круга |^|<^, а у-—Дуга окружности |2| = /?,
находящаяся в области 0(р). Справедливость (2. 9) очевидна.
Лемма 8. 2. 3. Пусть K(<?)=as'm ср + #cos <р, ^ а # & —
действительные кисла, и действительная функция g(f)
удовлетворяет условиям:
r(?) = g*(<p) + g(<p)>0, g(0)-*(0), g(«)=ff(a),
2<?£ 0 < а < тт. 7Ъгд# g(cp) </C(cp) Я/?а 0<ср <а.
Доказательство. Рассмотрим функцию Я(ср) .-^ ^(ср)—
— /С(?). Заметим, что в силу условия леммы
h"(<?)+H(*) = r(*) (2.10)
при 0<ср<а и //(0) = //(а) = 0. (2. 11)
Решение дифференциального уравнения (2. 10) при условиях
(2. 11) имеет вид
//(?)=- fr(f)sin(i-T)rf/_i^i fr(i)sin(a- *)Л.
о о
Отсюда, после простых преобразований, получим
Я(ср)=- Sin (а -ер) Е s.mir(t)dt__j}n± Lln(a-t)r{t)dt.
sin a J sin a J
О ?
Из этого равенства вытекает, что Я(<?)<0, т.е. g(<p) </C(<p)
при 0 < ср < a < тс.
420

Теорема 8. 2. 1. Для функции f(z) из класса Вр [G{9)]
имеет место неравенство
J4/(r^)|ptfr= \\f(z)?\dz\<
О С(<р)
<—! —-coscp 4 ! — sin?, (2. 12)
2cos —- 2sin —
2P 2P
г<?£ Ж? и Жг определяются равенствами (2. 6) и (2. 7).
Доказательство. Введем обозначение
00
g(<P)«=jl/(r*,?)Nr, M<|^ (2.13)
О
Заметим, что если
/<р)(г) = [А* + /У)]р = U(x, У) + iV(x, у)
и А—оператор Лапласа, то для всех г, лежащих в угле
ср | < —, в силу субгармоничности [функции |/(*)|р, будем
2р
иметь
A {VU*(x,y)+V4x,y)) = А (|/(г) |р) > О,
где /р(£) означает ту однозначную и аналитическую в
области С/(р) ветвь функции /р (^), которая принимает
положительное значение при положительном /(£).
Записывая оператор Лапласа в полярных координатах, для
функции \f{rel°) |р = //(г, ф) получим
, 2 д*Я . dtf , д*я ^ л
что может быть представлено в виде
Отсюда в силу (2. 9) следует неравенство
J .) д?2
о о
Учитывая, что для функции /У (г, ср) = |/(reic?) |p
выполняется условие
00 00
jiJ|/(r^)r*-J-^l/(«*)r*.
421

и имея в виду (2. 13), получим
^- + *<?)>о.
Пусть КХ<р) = acos<p+ Psln<p, где коэффициенты а и р
определяются из условий:
gf- —W ff(- —) = «cos 8 sin Л- ,= Щ.
6 V 2р / I 2р / 2р ' 2р
Тогда в силу леммы 8. 2. 3 g(y) <К(<?) при О^ср < тс, что и
доказывает (.2. 12).
Примечание. При /?=х из (2. 6) и (2. 7) следует, что
sup (Дг^и-УИ^^тахС/И,, ЛГ9) = /И,
0<г< ос
sup
0<г^ оо
/\ге «)\ = М2<Стах(Ми М2)^М.
Тогда на основании неравенства (2. 12) sup |/(г^1ср) j < М при
0<г -' оо
любом ср, удовлетворяющем условию | <р | < —, что является
аналогом теоремы Фрагмена—Линделефа [48(22)].
2. О смешанном модуле непрерывности
Выясним поведение смешанного модуля непрерывности
о) (/, 8, D(p))^ в зависимости от 8. Для этой цели введем в
рассмотрение следующие величины:
<»(/,», С,)Р= »(/,*; C,)t_= sup ^|/(И^)-/(-Г1^|У",(2.14)
z4-E€Ci
АР №<«_ Ы I
и(/ЛС2)р=ш(/,&;С2)^ = sup /f|/(c+6)-/(£)l^iy, (2.15)
р М$* с
z+E€C2 \ Сг
где Ct ^c[--j-(l - —)], а С3-С| Ml - — )1 Очевидно,
<°(/> 8; Сг)р и со(/, 8; С2 )р являются модулями непрерывности
/(2) на сторонах угла О р) и каждый из них не превосходит
«>(/. »; £>(р)).
Теорема 8. 2. 2. £Ъш /U)G Ap[D(p)], то великаны
со (/, 8; Ct )p, о) (/, 8; С2)р и о>(/, 8; Di9))p связаны неравенством
422

<o(/, 8; D(p))p<[co(/,8; Сt)? +<*(/, 8; С2)р] *—. (2.16)
Кроме того,
sin —
2
lim a)(/, 8; D(?))P = 0. (2. 17)
Доказательство. Обычными рассуждениями,
проводимыми на вещественной оси, можно показать, что
limu)(/, 8; С1)0 = Ипко(/, 8; С2) = 0. (2. 18)
В силу (2. 14) и (2. 15) имеем:
\\f(z + l)-f(*)\*\dz\<[<»(f,b; С0р]Р,
Ci
\\f{* + t)-f(*)\P\dz\<[<*(f, 8; C2)p]p. "
с,
Тогда в силу теоремы 8. 2. 1, полагая
Ж1=со(/,8; С,)р И М,~ш(/, 8; С2)р,
получаем неравенство
<»(/,5;С(ср))р<—!—[«,(/, 8; C1)Psin^+-|-) +
sin(f)
+ ш(/, 8; C2)psin(<?--|-)].
Отсюда следует неравенство (2. 16), fa из него в силу (2. 18)
получаем (2. 17).
Теорема 8. 2. 3. £г./ш /(г) £AP[D{?)], то существует
целая функция g0{z) из класса М?р(Лр), для которой
выполняются неравенства
col/-. о~. £>(Р)Ь<2Л,ЛЛ D(p))n ■+.«)( j
I/, a p"f D(p))p<2AJ>?(A D(p))p + -Uo, - P, £>(p)jp, (2. 19)
l
A,t9 (/, D(p))p< 5a>l/, а p ; D(p)jp, (2. 20)
zcte В—постоянная, не зависящая от аир.
Доказательство. Пусть 8 -=-о р и целая функция
g0 (z)£HvPp Ap наименее уклоняется от функции f(z) в
смысле метрики пространства Лр[£)(р)]. Очевидно, в силу
определения модуля непрерывности
ш(/, 8; D(p))P=sup||/(z + A)-/U)'p«
lb|<5
423

= sup [[f(z + h)-g0(z+h)]-[/(z)-g0(z)] +
IhKS
+ [go(z + h)-go(z)];p.
Отсюда находим, что
ш (/, S; D{% < 2Aa,t (/, D(p,)p + о (g0, 8; tf'%
Неравенство (2. 19) доказано. Из того, что go (я) является
целой функцией из класса ЯЙ, следует: u>\g0, о р; D{9); -> О
при а -> оо.
Для доказательства неравенства (2. 20) выберем функцию
•j(z), удовлетворяющую условиям:
1. т(^)~*четная целая функция из множества М?р и т(2:)->0
при |z|— ~ (-е/3(р));
2. Г т(О dt — а, где С (<р)—прямая с уравнением
С(9)
0 = Г£1? ( — ос < Г < оо, | ср К — ( 1
3. Для любой f(z)£Ap[D{9)] функция
g{z) = T Jt(0/U + ''
С(9)
входит в пространство Н(^\
4. f 1*т(01|,^К + ос-
Заметим, что в качестве функции ^(z) можно взять H\(z)y
определяемую равенством (1. 2), и простым вычислением
показать, что H\(z) удовлетворяет всем четырем условиям,
наложенным на 7 (£)•
Рассмотрим разность
1_
р 'Л
Пусть seCt, где Ct =c[—— (l- —'
Отсюда в силу
обобщенного неравенства Минковского получим
i_
lg(2)-/(z)|'.|dz|\»<
\Ci
I
JlT(0.,(j|/U + ^"T)-/(2)| .\dz\\'.\dt\
Ci 'ci J
I*. -
Ct lCi
424

Далее, пользуясь определением и свойством модуля непре.
рывности (см. § 1, гл. I), находим:
i_
р ,
^ ]'|T(OI»U *°"Г; cXat€BLJf, о P;CJP; (2. 21'
1_
с.
'"|*(*)-/(z)lp \dz\Y < В, <»[/,<, >;С2)Р,
(I
\р ^ я. .„ (/,«';
где С,
[f('-f)
и 52 —постоянная, независящая от а.
Итак, в силу определения класса Лр[/)(р)] из неравенств (2.21)
и (2. 22) следует (2. 20).
Следствие 1. Если со \f, а р, D(P7p^0 при о -> эо, то
А»,р(/)р->0 пРи з-^ос, и наоборот.
Следствие 2. Для наилучшего приближения любой
функции /(г) (Мр [D(p)] посредством целых функций из Н^ имеем
НтЛор(/,£(р))р=0. (2.22)
Таким образом доказано, что ^множество //$ плотно в
пространстве лр[д(р)].
3. О порядке наилучшего смешанного приближения
Исследуем порядок смешанного приближения AJ)9:(f, Z)(p))p,
в зависимости от дифференциальных свойств функции /(£).
Теорема 8. 2. 4. Если f{z) вместе со своими
производными до порядка т входит в ^пространство Ар [^(р)], та
р
а
где Вт—постоянная, нг зависящая от а, и
уи<га) =
sup / f|/(m,(*)lPW2|y. (2.23)
Доказательство. Пусть ^(z) удовлетворяет условиям 1,
2 и 4 теоремы 8. 2. 3 и, кроме того, удовлетворяет двум
условиям:
425

1.
\\z*i(z)\\dz\< + cx> (У = 0, 1, . . .,/л);
(г) = °ГД iK (*-*)]
£*(*)
(S-*)J/(S)<«
(2. 24)
ь
входит в пространство H[9)9[D{9)] при любых ср||?|<-^-|1 п
и ga(z)-*0 при \z\-+oo (z£D{9)). Заметим, что функция
/7x(s), определяемая равенством (1. 2), при четном Х>т + 2
удовлетворяет вышеуказанным условиям.
Рассмотрим функцию
a 4U '
(2. 25)
Очевидно, Н(г) и g*(z) имеют один и тот же порядок роста
и H{z)£H^[D{9)]. В силу (2.24) равенство (2.25) при
z б С\ = С J — [ 1 \ примет вид
m
■s
L
р
Я(2)==Т Zj(-iy c'm7" и
m
Ci
'-(?-*)
/{*)&-=
= ^]\(0Щ(-1У_1а/и + У" p)lЛ+ /(£). (2. 26)
Ci ( j=0 J
Аналогично при 26C2 = C — (1 j можно получить
следующую формулу:
//(*)-/(*) =^Т(0|^ (2.27)
С2 [ j=0 J
В силу (2. 26) при т = 1 имеет место неравенство
^\H(z)-f(z)?\dz\Y <j^\° P I'tOIHIX
1
<
Bi-Afp
р
где В{ — постоянная, не зависящая от о, а Л1р определяется
равенством (2. 23) при т = 0. Далее методом индукции дока-
426

зывается, что имеет место более общее неравенство при
любом целом т^ 1:
L _Е
[\H(z)-f(z)\»\dz\Y <В2М{рт)о р, (2.28)
Ct '
где А'(рт) определяется равенством (2. 23) а 5> >
0—постоянная, не зависящая от а и р. Аналогично этому доказывается
неравенство
L _Е
\\H(z)-f{z)\*\dz\\* <^MT^ 9 (2. 29)
с* /
Бри любом целом /7г>-1, где Л1рт) определяется равенством
■(2. 23). Из неравенств (2. 23) и (2. 29) в силу определения
класса Лр [D(p)] следует
L _Е
*.,,(/, D(p))p< sup / $\H(z)-f(z)\*\dz\y <ZMf<n>o~>,
w<j-(i-J-)U(?)
?2 V р
что и доказывает теорему.
Теорема 8. 2. 5. /Гели функция F(z) вместе со своими
производными до порядка т (т>1) включительно
принадлежит пространству Лр[/)(р)], то при о > 1
\9 {?> D(%< 5о ? ">' ^(т). ° Р • ^<Р)/р- (2- 30)
гдг постоянная В не зависит от а, р и функции F(z).
Доказательство. Рассмотрим функцию
z-fh h
A(£)=Y jV(*)^ = -yjV(' + z)^
z О
причем интегрирование совершается вдоль отрезка,
соединяющего точки г и 2 +А. Из леммы 8. 1. 5 следует, что если
/•"(г) и ее произво_дные t' (z), r" (z), . . . , г(ш) (2)
принадлежат пространству Лр[/)(р)], to имеют место неравенства
\t-{m) (*)-Am)Wkp<<»(?im)' Ь Dlf\ (2. 31)
И
;/f.m+1)(^);'-<^ (/<m), h,D^)x. (2.32)
^Р h со
Представим функцию ; (2) в виде
/•-(Z) = [^(z)-/h(Z)]-/h(z), A-9 р.
427

В силу теоремы 8. 2. 4 существует целая функция g$l) (z) из
класса Н[*\ [D{?)] такая, что
m
P(z)-Mz)-g^(zy]X<Bla Чир( [\F^-/r\»\dz\\\
supf П,
9 [ah
где h — a p . Отсюда в силу (2. 31)
Л.,р (г - /h; Drp))p < Д, а" со (r(m\ о"; D(f))p, (2. 33)-
где постоянная В{ не зависит от о и функции г (г). Далее,
в силу того, что функция /л вместе cj своими производными
до порядка /тг(яг> 1.) принадлежит пространству AP[D(P)],
существует целая функция g{a2) (z) из класса //$ [D{9)] такая,,
что
т-И
\/ъ-£\-<вл,- р 1!/Г+1)||Гр,
где h =■ о 9 . Отсюда в силу (2. 33) следует
а,ЛА;&%<В2<, р .о»«Д/*»>, Гр; D(p)
= fl,o р (ol4F(m), о р; £>(р).'р, (2. 34>
где постоянная Я> также не зависит от о, р и функции <"(£)_
Из (2. 33), (2. 34) и неравенства
Л,, (/•■; D(p))p<.^,P(^-yh; D(P))P + л,,? (Л; £<р))р
находим, что
Л.,р(г; D(p))p<53~u>t"(m>, o~; D(p))p,
где 5—постоянная, не зависящая от о, р и функции r (z).
Теорема доказана.]
§ 3. О НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ЦЕЛЫМИ
ФУНКЦИЯМИ В ЗАДАННОЙ ПОЛОСЕ
Пусть S означает открытую горизонтальную полосу Sx =
— ос<Х<х^ с /я <Х<р
^ или вертикальную полосу 5У=
_У1<У<У2.; \ — э°<У<°с
a S—ее замыкание, ограниченное двумя прямыми fi и 72-
428

.Далее, пусть Е [5] —линейное нормированное пространство
функций f(z), ^аналитических в полосе, непрерывных в
замкнутой полосе 5, с нормой \\ffE{s] по области 5 и с нормами
[/.ЕГт-1 (^ = '» ^) вдоль граничных прямых Tj U = 1, 2).
Прежле всего докажем ряд теорем, являющихся аналогами
классической теоремы Фрагмена—Линделефа в полосе, т. е.
оценим норму II/E[s] по области S через нормы !!/j!ErT.i (У = 1,2)
вдоль граничных прямых. Полученные неравенства
применяются к оценке наилучшего приближения AQ (/, S)E{sl по
области посредством наилучших приближений Ла(/, ъ)е\ л
(у = 1, 2) вдоль граничных прямых у} (J ■-=■ 1, 2) или модулей
непрерывности заданной функции f(z)(*E[S].
В качестве Е [5J рассмотрим класс К? [Sx] функций/(2),
аналитических в полосе 5Х, непрерывных в замкнутой полосе
Sx и удовлетворяющих условиям:
1. T|/(x + /y)|ptfx<£p<-b^ (3. 1)
равномерно по у из отрезка [yt, у2], где К/?<эо, ух и у2—
заданные числа ;
2. Имеет место равенство
|/(г)НО(ехр^|у|) 0<р< —-)
рарномерно в полосе 5Х.
Наряду с нормой 1!/;к ,$ , функции /(z) €АГР [Sx] по области
Sx рассмотрим величины
|./К[т.1 = ( j|/(*+/yj)|prf*Y (/=1,2), (3.2)
\ - 00 /
называемые нормами той же функции /(г) вдоль граничных
прямых Tj (у = У j, j =- 1, 2). В случае /7 = оо эти нормы
определяются, как обычно, посредством существенного максимума
функции /(£) по области и вдоль граничных прямых.
Вместе с пространством /CprSx] рассмотрим также линейное
нормированное пространство К [Sx] функций f(z),
аналитических в полосе Sx, непрерывных в замкнутой полосе Sx с
нормой
* По поводу таких классов функций, определенных в полуплоскости,
см. В. И. Крылов [75(1)].
429

l/1'к
p.q1
\yiL-o°
\f(x + iy)Vdx
1 \4
' dy\ (3.3)
где 1 < p, q^ ос—действительные числа.
Аналогичные вопросы рассмотрим и для пространства #p[SyU
где Syl 0<*<« ).
У\— эо < у < ooj
1. Некоторые тождества для функций*
аналитических в полосе
Получим интегральное тождество для функций f(z) из
класса АГР[5Х].
Теорема 8. 3. 1. Для функции f{z) из класса /CP[SX]
(/?>!) при любом z£Sx имеет место формула
/ii+JM_U (3.4)
— 00
Доказательство. Пусть rR—контур прямоугольника
Пус
Очевидно, HmGR = 5x. В силу теоремы Коши
Г R+iyi R-НУг -R+iy2 -R-Hyi-,
I—R+lyi R+iyi R+iy« -R+iye-l
Интегрируя еще раз, при достаточно большом X получим
Х+1 г R+iyt R-r-iy2 -R+iy> — R-hiyx-i
X « R+iyi R-t-iyi R+iy2 -R+iy2J
Далее имеем
Л'М-
X+I R+ly,
1 P .,„ (* /(?)«
^1*1
X R+iyi
/X+l
£-*
1
2*
X+l ya
J J Л + «
/ (# + it) dt.
г
<
У* /M-l \ P /И-1 <j# \
<
430

'Ч-l
<const- j dtl ] \f(R + it)\*dR
Из (3. 1) следует, что
a+i
J \f(R + U)\*dR\ < const,
Hm ( J\f(R+it)\*dR J - 0. |
Из теории интегралов Лебега известно, что если
последовательность интегрируемых функций ограниченно сходится к
пределу, то предел интеграла от функций последовательности
равен интегралу от предела [92(1)].
Итак, имеем
Х+1 R+iy.
lim [dR f
Ь-оо J J
/(5)<й
= 0.
(3. 6>
X R+iyx
Аналогично доказывается равенство
lim I? = lim 7dR Г Т Ш*1 = 0. (3. 7)
х_^о> x^oo J J |_г
X I R+iy, J
Таким образом, в силу (3. 6) и (3.7) из (3. 5) получим
Х+1
Д*)=-±т lim [dR П-
X -R
Отсюда нетрудно заметить, что
fV+iyi)
+ 0>1 ■
/(*+*Уа)
Л.
/(g)-^lim(f[/(' + <»> -/« + '*) ]dt +
2т, i х^ оо I J 11 + /yi — г f + *)Ъ — * J
1 -х
x+i
X
<Х + !_*)/(* +/у,)
*У1 —г
Х+1
* + tyi — *
^
1
t + iy2 — 2
(Х+ 1 —0/(/ + /Уа)
* + *>2 — ^
Л +
х
При этом
(A-i.l_i)/(-f+ fyt)
—t + ОЧ — г
Л-
х+1
(Х+ !-<)/(-<+ <у»)
—t + ly* — z
dtl (3.8)
ч-i
1 f (х+ 1_/)/(м.,Л)
srj
г + />-i - -г
Л
<
431

L I
(4-1 ]V
< const- f \/{t + iyi)\pdt\ ,
тде 1 = 1 (/?> 1). Из последнего неравенства в силу
Р я
условия (3. 1) следует, что
lim _L_ T (x±i-о/<* + **) dt = о.
х— оо 2тс £ J t + £yt — г
X
Аналогичное рассуждение позволяет исключить из (3. 8) еще
три члена, и мы получаем
dt
— оо
при всех z = x-\-iy, лежащих внутри полосы 5Х. Теорема
доказана .
Заметим, что формула (3. 4) для полосы, симметричной
относительно вещественной оси (при ух = —Ь и у2"=#), ПРИ
вещественном г = х примет вид
f(x) = — Ъ*~х) f/K'-*0-/('+*0]+** lf(t-bi)+f(t+bt)] di (3 g
— оо
"Из (3. 4), применяя неравенство Гельдера, получим оценку
J I jML±jyAdtU±( bfit + iy^dtfx
\ 2ni .) t + iyt — z 2x \ J /
- 00
• oo
1
X' ' dt
J,-
iyi-2\*
тде h —= 1. Отсюда вытекает
P я
Следствие. В предположениях теоремы 8. 3. 1 функция
/ (г) ограничена в любой полосе Sie) = ( ~7°° S х^ °°. \ где
s > 0-—сколь угодно малое число.
* Подобное утверждение в случае р = 2 в полосе Sy=( 1>Г<^у<^оо)
доказано Н. Винером и Р. Пэли [24 1)].

Теорема 8. 3. 2. Пусть функция f(z)=U(x, y)+iV(x, у),
аналитическая в вертикальной полосе 5у, непреоивна в ее
замыкании и удовлетворяет условиям:
и/ьда- jl/eop* <+■
|/«SW= Jl/(* + «)lp^ <+<*>
у,—оо
#р# /7 > 1. Тогда при zf*Sy справедлива формула
f(x+iy)=— Г — f{it)dt +
— 00
00
+ ± Г !!!£ f(«+tt)dt. (3.10
2тг J ch (* — у) + cos х '
— 00
Доказательство. Формула Пуассона для функции
U(x, у) в единичном круге имеет вид
те
U(w)=^- {U(w)Rei'°-±^)dT, (3.11)
2тс J (со — ад J
— 1С
где со = е1%. Заметим, что преобразования
= iexz или w = —- (z = jc 4- /у)
W + 1 1 — /£*2
переводят левую и правую полуокружности, соответственно
в левый и правый берега полосы Sy. На левом берегу полосы
5У при l = it имеем
0)=£ зав ! (0<4<1г).
1 - ie~x
Отсюда
x = J_lnl±j£Zl, rfx== *-'*
' 1 - 1е~* 1 + *~2t
U - wj ^-2y + e-2t_2-(t+y) cos x '
Re(^±^lrfT=== sln*rf' . (3. 12)
lсо + w) ch (* — y) — cos x
Аналогично этому на правом берегу полосы Sy($ = к + it)
имеем:
1020—28 433

со = e = , t = — In ,
l + /«-* ' l + ie~x
dz=*LllL, Re(!LlU?)dT» EILL^ . (3. i3)
1 _|_ g-2t ^w — w) Ch (* — у) — COS X V '
Формулу (3. 11) можно представить в виде
2тс J [со — a;J
— 1С
0
Введем обозначения:
«(*,y)«*/(JL+i£l «(о, о-£//1+и"
. 1 - teIZ / V 1 - te"
Из (3. 14) в силу (3. 12) и (3. 13) находим
00
e(jc,y) = -L f !!И* и(0,/)Л +
v ' '' 2я J ch(f — у) — cos* '
00
00
+ _L Г Ё££ u(^t)dt. (3. 15)
2тг J ch(* — y) + cosx v ' v '
— 00
Аналогичная формула имеет место для V(x, у):
v ' у} 2п J ch (* — у) — cos х v '
— 00
00
+ J Г !!i£ !/(*, О d*. (3. 16)
2тс J ch(^ — )0 + cos;t
— 00
Заметим, что из (3. 15) и (3. 16) следует (3. 10).
2. Теоремы типа Фрагмена — Линделефа в полосе
1. В дальнейшем нам понадобится оценка нормы ||/||к (s]
функции f(z) по области S через нормы I1/, ^, вдоль
граничных прямых ifj (У =1,2), где S—вертикальная Sy =
( xt<x <х2 \ или горизонтальная Sx=(~~°°< XS °° , п°-
434

л оса, р и q, вообще говоря,—различные действительные числа
не меньше единицы. Например, в случае S = SX найдем
оценку интеграла
ЛУУ) = ( f\f(x + iy)\*dxj <+oo (1</?<оо) (3. 17)
посредством величины
^q(yj)-IAqlTj]- f fl/(-«+'yj)lq^)q (/-1. 2). (3. 18)
В случае р = оо связь между величинами М^ (у)= Л/(у) и
yWoo (yj) = ^(yj) (У = 1» 2) установлена в известной теореме
Фрагмена—Линделефа для полосы 5Х (см. теорему 1. 2. 6).
Поэтому вполне логично приведенные ниже утверждения
называть теоремами типа Фрагмена—Линделефа. К числу подобных
утверждений можно отнести и следующую теорему Винера—
Пэли [24(1)].
Теорема 8. 3. 3. Пусть F (z)—ограниченная
аналитическая функция в полосе Sy = ( Xl <* <** ) такая, что
\—ос \ У < ос)
существует интеграл
№^щ=[МЛх\)\2= J\F{Xi + iy)?dy<+oo (/ = 1,2).
— 00
Тогда при любом х из промежутка \х{, х2] имеет место
неравенство
f\F(x + iy)\2dy< ^\F{xx+ty)\*dy+ J \F(x2 + iy)\* dy,
— 00 — 00 — 00
(3. 19)
m. e. F{z) принадлежит пространству K2[Sy].
Доказательство. В силу условий теоремы F(z)eK2[Ti]
(/=1, 2) и существует функция /(о, л:) такая, что
А
/(*, х) = —l—U.m (V(° + «) e-itxdt,
у2т, А-оо J
причем в силу равенства Парсеваля
J\f(o*x)\2dx= J\F{o+it)\*dt. (3.20)
— 00 — 00
Положим Xi = — а (X > 0), х2 = v > 0 и
28* 435

<?{*) -(^-«при х>0 (a>0).
Тогда будем иметь
— oo О
Аналогично, если a < 0, получим
цт f*5^_f-*e (х<0)
A-Zoo J а— /у (О (*>0).
—А
Таким образом, при — Х + £<з<|а — s по теореме Парсеваля
будем иметь
f/(_x, *)e(a+X)xVtxrf;c« —L- Г ^<-* + 'зМу .
— 00 — 00
Точно таким же способом получим
Fto+ty)dy
j/„,„,—V^-^L- j
}/"2i J p. —a-i('-y)
0
Таким образом, в силу формулы (3. 4) имеем
о
1
V2% J
— 00
Теперь, применяя теорему Планшереля, найдем
I/O», JC)^""** (0<r*<oc).
Благодаря этому, равенство (3. 20) примет вид
Jl f(o + it)\4t = j|/(-X, х)|2 ^2<3+X)Vx +
— 00 —00
+ fl/(n,-*)l2-*2('~")x^. (3.21)
6
При этом в силу (3. 20)
О 0 оо
J|/(-X, x)\2e2{°+X)xdx< ^\f(-\xfdx< §\F(-l+it)\4t
— оо
436

JV(^*)|8-^'~^d*< j'l/0».*)l2<**< j \F^ + it)\'dt.
0 6 - oo
Таким образом, из равенства (3. 21) следует неравенство
J\F(a + it)\2dt< (V(-x + ")l2<« + JV {V + it)? dt,
oo 'oo —oo
что и доказывает теорему.
2) Заметим, что теорема 8. 3. 3 может быть обобщена в
следующем виде.
Теорема 8. 3. 4. Пусть f (г)—аналитическая функция
в полосе
s_f а<х<$
V—oo <у<ос,
непрерывная в ее замыкании S, удовлетворяет равенству
f(z) = o(expeKM) (o< «<-=-)
\ р — а /
равномерно в S и интеграл
М*)= f\f(x + iy)\'dy
— 00
сходится при х = а и х = [3. Тогда:
1) /Р(.к) сходится для всех х из интервала (а, р);
Р—X х~а
2)/р(х)<[/р(а)]'3-а.[/р(Р)р (3. 22)
при а<х<Р;
3) /р(*)</р(а) + /Р(Р>. (3.22*)
Доказательство. Если /(£) в каждой конечной части
полосы 5 удовлетворяет условию
!/(2)|</ftr,y|,
то в этом случае утверждение 1) очевидной
1р(х)—непрерывная функция от х (*Кх^$). Предположим, что/р(х)
достигает максимума в точке x0{cl< х0<Сф). Выберем число г>0
так, чтобы а<^0 — г<х0 + г<р. В силу аналитичности /(2)
в круге \г — £)<г, где £ = х0+гу (у—фиксированное), имеем
тс
f(x0 + iy) = ± §f{x0 + iy + relt)d,Q.
Отсюда следует
1020-28 437

\f(Xl) + iy)\^± ij\f(x0+iy + rel9)\dB.
— т.
Применяя здесь неравенство Гельдера при р > 1, находим
г.
В силу последнего неравенства имеем
/PUo)= ^\/(x0 + iy)\pdy^^- jjdB jl/Uo +rcos 9) +
— 00 _тс _ ос
+/(y+rsine)|Pdy = -L r/p(jc0+rcose)de=-L (7p(.sc0+rcos8)rfe.
^<* J Л J
-те О
Отсюда видно, что если Ip(x) достигает максимума при х=х0,
то 1Р(х) 1Р(х0) в интервале (х0~ г, х04-г), что возможно,
если /р(д:) постоянна в интервале (а, р). Следовательно, если
1р(х) не постоянна, то она достигает максимума при х = а
или х = р. А это доказывает неравенство
/р(х)<тах{/р(а), /р(р». (3.23)
Справедливость неравенства (3. 22) при наличии (3. 23)
доказывается аналогично тому, как доказывалась последняя часть
теоремы 1.2.6 в гл. I. Наконец, нетрудно заметить, что
справедливость (3. 22*) следует из (3. 22).
В самом деле, если положительные числа cot и со2
удовлетворяют условию o>t -f- со2 = 1, то из очевидных неравенств
[/р(«)Г<[/р(«) + /Р(Р)Г
и
[/Р1Р)Г<[/р(«) + /р(Р)Г
следует, что
[/р(«)Г[/р(Р)Р^М«)+МР).
Теорема доказана" . Аналогичное утверждение доказывается в
горизонтальной полосе Sx = ( ^ Х^ °°
* Аналогичное утверждение доказано в [112(1)] для среднего значения
ф(х>У)=~Г \ \f(x + it)\Pdt
-у
аналитической в полосе функции /(?) при условии, что
\—°° <С У <С °° 1
Ф(а, у)<Л и Ф(Э, у) ^Б (см. также А. А. Бонами [18(1)]).
438

Теорема 8. 3. 4*. Пусть f(z)—аналитическая функция
в горизонтальной полосе Sx = (~~ °° ^ XJ^ °° ), непрерывная
_ \ У\ < У < Уг /
в ££ замыкании Sx, удовлетворяет условиям:
^P(yj) = :i/iiK [т] = Jl/(*+'yj)lpA* <+~ (У» 1,2)
р J _w
/г/?# /?> 1. Тогда имеет место неравенство
h(y)^fiw + VhplhV
т. е. f(z) принадлежит пространству A"P[SX].
3) Напомним, что через Afp,q[Sx| обозначается класс
функций /(£), для которых
1
q
p>q
ii/-PKp>q[sx]=jj $\f(x+iy)\*dx\ dy
Для функции /(г)бЛгра [Sx] имеет место
Теорема 8. 3. 5. Пусть f(z)—аналитическая функция
в полосе Sx, непрерывная в ее замыкании Sx,
удовлетворяет условиям
оо
ff'4b]= -^ 1 1/(^ + г'У])1^<ос U = 1.2).
- оо
Тогда справедливо неравенство
1АМ1У<СМ-1У.-Л1' ''"'ь^м+'/'здЬ (3- 24)
т. £. /(£) принадлежит также пространству /Cpq[Sx] я/ш
1 < Р) Я < °°» г^£ С —постоянная, зависящая только от р
1 1 Р'4
и q, и а= — -| 1.
Р Я
Доказательство. Применяя обобщенное неравенство
Минковского, из тождества (3. 4) получим
1 о.
+ ^ JW + ^У.) I (ll[(< - -*)2 + (Уз - У)2ГГ1кР.ч I dt. (3. 25)
439

При этом, полагая = и, находим
\У\-У\
Л=1|[('-.к)2 + (У1-У)2]
Kp.q :
1
(у, д(р-" \ч L+—1
-Ср [flyt-yl р ^У j — СрЛ|У. — У»1р ч .
Таким же образом, вычисляя второе слагаемое, из (3. 25)
получим неравенство
?/''^PJ < См /У> ~ * l"~V'kh., + «/Iki17,, ),
где <х= 1 >1 и С —постоянная, зависящая только от
Р я p,q
/? и q.
Теорема 8. 3. 6. Пусть Sie)ss( -™<x<*> \-no-
У2-У1
2 *
Тогда: 1) для функции f(z)&Kp [tj] в каждой полосе Sxa}
имеет место неравенство
\f(x + iy)\<S2-\ ">«'*£• + *»<**>! (3.26)
1Л-У1Р I Л — У |Р
лога, расположенная внутри полосы SXi где 0<а <
где
Pi
00 ч 2
0 4«
Ср= | -ЧГ) npup^^j (1<р<2);
2) для функции f(z)eK?[*ti] при 1<Ср <<f<°°
справедливо неравенство
Жч(/; y)<BpJJMLfL + JWj^.f^X
L 1л-ЛР I у2 — у lp J
р.
Х[Л*р(/,У1)+Л*р(/, y2)]q, (3. 27)
где
5_ =
д-р
Р'Ч 1 2*) '
Доказательство. 1) Из тождества (3. 4) в силу
неравенства Гельдера получим
440

J-J
lf(x + iy)\<~} j" \f(t + iyi)\*dt
X
X
dt
I
+ ^| \ \f(t + iy,)?dt
+
dt
где 1 = 1 (!</?< 2). Отсюда, учитывая, что
P
I
A
dt
Pi
,2
dtf
V00 1(^-Л)2+(зг_У1)Я]- | у -yi I _-oo (ИЯ+1)-
получаем неравенство (З. 26).
2) Пусть теперь ^—вещественное число такое, что
1</?<^^оо. Очевидно, имеем
f|/(* + *y)lqd*< sup |/(* + *у)ГР fl/(x+/y)|prfx.
-оо 26S(«) _Joo
Из этого неравенства в силу (3. 22) и (3. 26) находим
00
§\f(* + iy)\qdx<
2п
,Р
\q-p
X
I* —Яр I у2 — У Г
X[Afp(/tyi) + Afp(/fya)]Pf
отсюда получаем (3. 27).
3) Теоремы, аналогичные вышеприведенным, могут быть
доказаны также для функций, заданных в вертикальной по-
лосе S7-( «<*<* ).
Теорема 8.3. 7. Если 5У = (__ ^^ ^* ] —
вертикальная полоса и 1 < /? <^ оо, то для функции f (z) 6Кр [Sy] имеет
место неравенство
Jl/(* + *y)lp<*y
441

(3. 28)
zcte i, (x = 0) a if2 (jc = ic)—граничные прямые.
Доказательство. В силу неравенства Минковского из
тождества (3. 10) находим
\f(x+iy)\*dy) <
V— 00 | _ 00 )
+
+
00 I ОО
11
2те 1 J I J ch t 4- cos л:
00 1 — 00
-f(<K + it + iy)dtfdy
Отсюда в силу обобщенного неравенства Минковского получим
i_
р
00
оо
JI/(* + W* ^Js^-l/b^
+
00
2^ J
sin xdt
ch* —cos* " ^pW
(3. 29)
причем нетрудно показать, что
ос
-Ч
sin л:
ch £ — cos л:
d*==
тс — л:
2ie J
— 00
00
sin л: tf f
ch t + cos л:
(0 <*<*).
(3. 30)
(3. 31)
Из (3.29), (3.30) и (3.31) следует (3.28). Неравенство (3.28)
при х->0, те превращается в равенство.
Обозначим через ATp[Sy] пространство функций /(z)€ATp[Sy]
с нормой
В силу (3. 28)
442

\p
|;/IK* =sup I \\f(x + it)\*dt\
<'/'к гтГ suP ^^^+1'/!^ ГТчг SUP — •
Таким образом, из теоремы 8. 3. 7 вытекает [29(1,2)]
Следствие 1. Для функции / (£) 6 #р [5У] при любом /?>1
справедливо неравенство
'''Ч^^Ч^+^Чм' (з-32)
где 7j (7 = 1, 2)—граничные прямые полосы 5у.
Следствие 2. Для функции /(г) из класса K?,q [Sy] с
нормой
/ /f IN
имеет место неравенство [100 (2)]:
i:/-Mi4<(,T-.f!i/,K»'"'+l/|,w!- (3-33>
В самом деле, для этого достаточно проинтегрировать
неравенство (3. 28) по х в промежутке (0, тс).
Теорема 8. 3. 8. Пусть f (z)—ограниченная
аналитическая функция в полосе Sy = (_J j? 3 )» непрерывная
в ее замыкании Sy удовлетворяет условиям |/||к . . < + ос
(у = 1, 2). Тогда л/щ 1 <р<д^С<х> справедливо неравенство
я п L)
\_l1/(A: + 'y)1Vy) <CM<sin*> •(',Лкр^+|1/Чм1,(3-34)
где 0 < * < тс и Ср,ч—постоянная, зависящая только от р
и q. Следовательно, f(z) принадлежит пространству
^q[5ya)] При ЛЮбОМ а /0< а < —V
Доказательство. Из тождества (ЗЛО) в силу
неравенства Гельдера находим
1
I/ (х + iy)\< ^yjcbt-cosxr^tj^
+
443

1 sin
1
^ f(ch/ + cos^r«^jP,||/,,Kp[T2], (3. 35)
где 1 «1. Нетрудно показать, что
P Pi
L L
A = J J(cat-as x)-pidt J <4(l + -i)Pl(sinjc)~2+^
и
l
/2 = j%h*-cosJc)-pifl?H '<4(l + — )Pl(sinJc)""2+^
Поэтому неравенство (З. 35) примет зид
f(x+ly)|< -1 (l + f f (sinx)- [mw + ll/!'KplT2l] (3^36)
при 0<лг<тг. Далее для функции f(z)£ /СР [5у] имеем
q-p( 00 ]q
<(sup|/(*+*y)|) я j {f(x + iy)\?dy\ {\<p<q<<*).
Отсюда в силу (3. 32) и (3. 36) следует (3. 34). Из этой
теоремы вытекает
Следствие. Для функции /(г)бЛГр [5У], ограниченной
в полосе 5У, справедливо неравенство
«/4[sr]<Cp.qp"(,r4)[,i/i!KplTl]+ll/l'W]
при любом р>0 и 1</?<<7<<х>, где Cp,q—постоянная,
зависящая только от р и #, a Syp)—полоса PJ^-^^P 1
расположенная внутри полосы Sy(p>0).
3. О наилучшем равномерном приближении функций»
заданных в полосе
Пусть /(z)6ATp[S], где S—заданная горизонтальная полоса
означает класс целых функций g{z) конечной степени <о, при-
444

я, следовательно,
надлежащих пространству Kv [5]. В случае р = оо
употребляются, соответственно, обозначения K[S] и Ha[S].
Оценим наилучшее приближение Ae(/;S)K по области S
посредством модулей непрерывности или наилучших
приближений вдоль граничных прямых ifi и Тг-
1. Для функций f{z)&K[S] имеют место следующие
утверждения С. Н. Бернштейна [14(8)].
Теорема 8. 3. 9. Если функция f(z) регулярна внутри
полосы —b < Im z < b и существует
J\f(x + ib)\dx^My
- ОО
то для наилучшего равномерного приближения Aa(f)c
функции f (х) на R посредством целых функций конечной
степени Ко имеем
TimoVXT7)T<^b- (3- 37)
Доказательство. Напомним формулу, доказанную в § 1,
гл. VI, в виде
А /JBx + c_\ = _1_ е-«ъ у В* + Ь2с*. (3. 38)
Выше было доказано, что для функции f{z)£Kx [Sx], где
Sx = (~^h^XS?°\ имеет место формула
f(Z\ =. _L f (*~г>[/ <'-**> ~f ('+*')!+*' If С - *0+/('+M)I ^ /3 4*ч
J{ } M J (t — z + bi){t — z — bi)
— 00
Из этой формулы а случае, когда 2 - х—действительное пе*
ременное, следует
JK ' 2те/ J (* — л:)2 + &2
— 00
Отсюда вследствие (3. 38) находим, что
2тс
со L
^ 2тс6
445

Теорема доказана. Справедливо также и обратное утверждение.
Теорема 8. 3. 10. Если
Ш VA„(f)c ==е~-ъ,
то функция f(z) аналитическая внутри полосы—b<lmz<b
и ограниченная на вещественной оси /?.
В самом деле, из |Sa(^)|<^ следует, что при всяком
/с>0 справедливо неравенство
\SiK)(x)\<MaK(x£R).
Благодаря этим неравенствам, имеем
Se{x+bi)\<M\t&£- = Me
b«j
— = ivi e
к = 0
Кроме того, по условию f(x) = ^уа(х) при а > а0 достаточна
большом
|сра(;с)|<£-ь' (Ь'<Ь)
и b'/b сколь угодно близко к единице. Поэтому в силу только
что сказанного при любых значениях z =-- х ± b"i, где Ь" < Ь\
ряд f(z)=*S ?а (-) равномерно сходится, так как
4. О наилучшем приближении в среднем функций,
заданных в полосе
Рассмотрим случай, когда / (z) 6 КР [Sx], где Sx =
= ( °°<5 XJ^ °°)— горизонтальная полоса, ограниченная
прямыми Tt (У = У1) и ТгСУ^Уг)- При этом наилучшее
приближение Ав(/, 5Х)К по области5х может быть оценено через наи-
р
лучшие приближения Аст(/, Tj)K (У = 1» 2), вдоль граничных
прямых 7i и 72> а также через модули непрерывности
приближаемых функций.
1) Связь между модулями непрерывности. Найдем оценку
модуля непрерывности со (/, S; 8)q посредством со (/; «у jf 8)p
(у = 1, 2), вообще говоря, при различных предположениях
относительно р > 1 и<7>1. Пусть S(a) означает полосу
I ~~00<-х:<00 ] Где а > 0—сколь угодно малое число, и
предположим, что
«(/.S. »)•=«>(/; 5, Ь) и со(/, Tjt S),,-^/, Tj ») (/=1,2).
446

Теорема 8. 3. 11. Если f{z)£Kv [s] (1 < р < ос), то
имеем:
1) <* (/, S, *)р <<»(/. Ti. *)Р + <°(/. Т2> 8)р (3. 39)
Я/Ж ЛЮбоМ р (1 < р < оо ) и
Hmu)(/, S, 8)р = 0; (3. 40)
6-*0
-С—М
2) ш(/, 5W, 8)q<5p,qa Vp ч >(/, Ti.8)p+«»(/,T2,8)p1 (3-41)
при любом а > 0 и 1 </?<9< о©, где Bpq—постоянная,
зависящая только от р и q\
3) «>(/, 5х, S)K <См|у2-У||р q [»(/,Ti. *)p+<°(/.T2.*)p].
P' (3. 42)
г<?£ С VA—постоянная, зависящая только от р и q.
Доказательство. На основании теоремы 8. 3. 4 при
любом вещественном А(1А|<8) имеем
]_
00, \Р
\\f(x+h+iy)-f(x+iy)\*dx\ <
1_
<( f|/(^4-A+iy1)-/(-^ + ^i)lp^Y +
\ — *оо /
+ \\f(x+h+iyi)-f(x+iy2)\»dx\ <»(/, Ti,8)p+4/,T2,8)p.
Отсюда следует (3. 39). Чтобы доказать (3. 40), заметим, что
из принадлежности f(z) к классу /Ср [s] следует
J\f(x + iym)\pdx<+-M (« = 1,2).
— 00
Рассмотрим функции «pmi2)=/(z+iym) (*и=1, 2), для которых
J\9m(x)\*dx= J\f(x + iym)\»dx< ос,
- 00 — 00
т. е. <fm{x)eLp(R) (w=l, 2).
Учитывая, что о>(/, -уш, 8)p=(fi(<Pim 8)-» О при 8-* О, на
основании (3. 39) получаем (3. 40.) Применяя неравенство
(3. 27) к разности f(x + iy+h)—f(x + iy), получаем (3.41).
Неравенство (3. 42) получается также применением
неравенства (3. 24) к разности f(x + iy + h)—f(x + iy) при |А|<8.
Теорема доказана.
447

2) Связь между наилучшими приближениями. Относительно
связи между наилучшими приближениями имеет место
аналогичное утверждение. _
Теорема 8. 3. 12. Если j {z)£Kp[S] (1</?<эо), то
справедливы неравенства:
1) М/. s)Kpls] <A°(f> Ti)Kp[Tl] + л.(/. т2)Кр[Т2]; О- 43>
2) «> " «~А, (/, S<">) < Вм {A,(f, Ь\м+ АЛ/, Ь)ЧЬ]]
(3. 44}
при 1 < р <q < эо, гдг В >А—постоянная, зависящая только
от р и q;
3) Л.(/. 5)Kpq[5] < C;,q [A.(f. Ti)KplTj + ^.(/. T.)Kp[Tj(.
где Cp,q также постоянная, зависящая только от v и q.
Доказательство проводится также, как и в предыдущей
теореме, с той лишь разницей, что взамен разности f(x+h-{-iy)—
— f(x + iy) берется разность f(z) — g„(z)4 где ga(z)—целая
функция степени о, наименее уклоняющаяся от f(z) вдоль
прямых Yi и 7г в смысле метрики пространства Кр [^т] (/ю=1, 2).
Полагая в последней теореме а = —, получим
а
Следствие. Если f{z)£K9 [s] (I </?< эо), то имеем:
1) limAe(/f sJkj-^O, (3. 45>
-(L-L) ( (L)i
2)limoVp qJAe\f,S*)к =° 0</K?<°c). (3.45*)
5-* 00 ^P
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
ИтД.(/, Тш)КГт т=0 (го=1, 2; 1</?<ос). (3. 46)
о-»оо pl'mj
В самом деле, пусть <fm(z)=f(z + iym) (m=\, 2). Из того
что <?m£Lp(R), следует a>(<pm, 8)р-*0 при 8-^0. Известно, что
А>(?т, /?)р<Со)(срт; — )
\ a /р
Далее,
/ 00 \Р
-М/, Тт)к = inf ( Г | Фт(Аг) — gA* + iym)\pdx\ =-
Р <*a) V-J00 j
Отсюда имеем (3.46). В силу (3.46) и (3.43)~получэем (3. 45)г
а в силу (3. 46) и (3. 44) получается (3. 45*).
448

Замечание. Формулировка и доказательство теоремы
8. 3. 12 остаются справедливыми и в случае, когда S^Sy^
— I О44*^* (—вертикальная полоса.
Теорема 8. 3. 12. Если f (z)—-аналитическая функция
в полосе Sy=( v^x^n \ u Принадлежит пространству
^р[5у] при 1 </7<оо, яго имеем:
1) л,(/, sy)K*<A,(/, Tt)Kp[Tl] + ^(/, т2)Кр[Т2];
q
2) W. Sy4.q[Syl<(тт-J {Л'(Л Т1Чм + АЛ/' T2)W
Я/?# 1 <р< q< oo;
3) Л(/> 5y)Kptq[syl<CP)q{^(/)Kp[Ti] + ^(/)Kp[T2]))
г<?£ 1 >1, 1 </?, а < оо и Спп — постоянная, завися-
р я p,q
щая только от р и q.
5. Об оценке наилучших приближений
посредством модулей непрерывности
Оценим наилучшие приближения Лв(/, S)k и Ав(/, 5:(1/а))к
посредством модулей непрерывности со |/, 5;—] при
определенных предположениях относительно чисел р и #>-!.
Напомним, что если /(z)6tfp[s] и
H(az) = <— 7 v -J (^>2 четное),
то
00
g.W=7J//(<)/(г +1")Л (3' 47)
— 00
является целой функцией конечной степени о из класса Wip)
(/?>1), где Z^z)—целая функция Миттаг—Леффлера порядка
и типа единицы (см. § 1, гл. VIII) и
а= \H{t)dt.
— "ОО
На основании (3. 46) при у€[Уп у2] имеем
1 ОГО—29 449

~ j° H(t) {/ (x + iy + Ilj -f{t + Ц Л.
Л°(/> Tm4^-]< Б ш (Л Tm' "7/ • (3- 48)
Ча основании этого равенства легко получить
Благодаря этому, справедлива
Теорема 8. 3. 13. Если f(z)£Kp [5], то:
1) А,(/, S)K < 4° w !/*>$,—) при 1</?<эо;
Р ' « /р
1 1
1
2) Л /. S;-M </#>ор Чш/Л5| -L
/КР \ - /р
при 1 </? <^'<оо. Прияем В[р и В^—постоянные,
независящие от о.
Доказательство получается на основании неравенств (3. 43),
(3. 44), (3. 48)
ш(/'Ти' "г)р<ш(/>5в"г)р.
Следствие 1. Если f(z)£Kp\s], то НтЛа(/, s)K =0.
а-» оо Р
Следствие 2. Если / (г) € ЛГР [5J и <о (/, im, 8)P =
, L_l\
= О' 5р V (да = 1, 2), то 11т Л, f/, S<IM )к = О-

ЛИТЕРАТУРА
1. А 6 д у л л а ев И. К.
оо
(*
1) О наилучшем приближении в среднем функции вида \ U|s dty (s) на
отрезке [—1,1]. Тр. Азерб. пед. ин-та, 2 (1955), 97—1С9.
2) О наилучшем равномерном приближении многочленами функции
(a—x)s/2[b—ln(a— х)\~т. Тр. Азерб. пед. ин-та, 2 (1955), 181—187.
2. Аветисян Г. М.
1) О приближении аналитических функций целыми функциями. „Изв.
вузов, математика", 5 (1959), 3—15.
2) Об аппроксимации аналитических функций с оценкой роста
аппроксимирующих целых функций. "Изв. вузов, математика", 3 (1965), 3—14.
3. А ра ке л я н Н. У.
1) Об асимптотическом приближении -целыми функциями в
бесконечных областях. "Матем. сб.", 53 : 4 (1961), 515—5^8.
2) Равномерное приближение целыми функциями с оценкой их роста.
"Сиб. матем. ж.", 4 : 4 (196^), 977-999.
3) О равномерном приближении целыми функциями на замкнутых
множествах. "ИАН СССР, серия матем.", 28:5 (1934), 1187—1205.
4. А х и е з е р Н. И.
1) К теории целых функций конечной степени. "ДАН СССР", 6 : 5
(1948).
2) О некоторых свойствах целых трансцендентных функций
экспоненциального типа. "ИАН СССР, серия матем.", 10 (1945), 411-428.
3) О целых функциях конечной степени, наименее уклоняющихся от
нуля. "Матем. сб.", 31 :2 (73) (1952), 415-438.
4) О полиномах Левитана. "ДАН СССР", 54 : 1 (1945), 3—6.
5) Лекции по теории аппроксимации. М.," Наука*, 1965, 1—407.
0) О наилучшем взвешенном приближении на всей оси посредством
целых функций конечной степени. "ДАН СССР", 94 : 6 (1954), 983-986.
5. А х и е з е р Н. И., Крейн М. Г.
1) О наилучшем приближении периодических функций. "ДАН СССР*
15 : 3 (1937), 107—112.
2) О некоторых вопросах теории моментов.Харьков, 1933.
6. А х и е з е р Н. И. Левин Б. Я.
1) Обобщение неравенства С. Н. Бернштейна для производных от
целых функций. "Иссл. по соврем, пробл. теории функций комплексного
переменного". М., Физматгиз, 1950.
7. Ахундов А. А.
1) О наилучшем приближении в среднем функций
^S.m (\а — х\) = \а — x,s lnm \a—x\. Тр. Азерб. пед. ин-та, 2 (1955),
117-132.
2) О наилучшем приближении в среднем функции
^s,m (a—x)=(a—x)s lnm {а—х). Тр. Азерб. пед. ин-та, 12 (1960), 105—111
8. Бабаев М.-Б. А.
29*
451

1) О наилучшем степенном приближении функций двух переменных
функциями вида ф (л:)-Ьф(у). "ИАН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и матем.
наук", 6 (1952), 25—40.
2) О приближении многочленов двух переменных суммами функций
одной переменной. "ДАН СССР", 193^-5 (1970), 957-959.
3) О точных оценках приближения функций многих переменных
суммами функций меньшего числа переменны;. "Матем. заметки", 12: 1 (1972),
105-115,
9. Бабе н ко К. И.
1) Об одном неравенстве в теории интегралов Фурье. „ИАН СССР,
серия матем.", 25 : 4 (1961).
10. Бари Н. К.
1) О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух
сопряженных функций. „ИАН СССР, серия матем.", 19(1955), 285—302.
2) Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова. „ИАН
СССР, серия матем.", 28:2 (1954), 159—176.
3) Тригонометрические ряды. М., (1951), 1—936.
П.Бари Н. К., Стечкин С. Б.
1) Нашучшее приближение и дифференциальные свойства двух
сопряженных функций. Тр. Московск. матем. об-ва, 5 (1955), 483—522.
12. Ба с ка ков В. А.
1) Пример последовательности линейных положительных операторов
в пространстве непрерывных функций. „ДАН СССР", 113:2 (1957),
249-251.
2) Об одной конструкции сходящихся последовательностей линейных
положительных операторов. Сб. "Иссл. по соврем, пробл. кэнструктивной
теории функций. М., (1961), 314—318.
13. Б е р д ы. ш е в В. И.
1) Теорема Джексона в Lp. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН
СССР, 88 (1967), 3-16.
14. Б е р н ш т е й н С. Н.
1) Задача приближения непрерывных функций на всей вещественной»
оси (1924). Собрание сочинений, т. 1, сгр. 277—284.
2) Об одном свойстве целых функций рода нуль (1926). Собрание
сочинений, т. 1, стр. 321—329.
3) Об оценках производных многочленов (1930). Собрание сочинений
т. 1, стр. 497—499.
4) Об обратной задаче теории наилучшего приближения непрерывных
функций (1938). Собрание сочинений, т. 2, стр. 292—294.
5) О наилучшем приближении \x\s при помощи многочленов весьма
высокой степени (1938). Собрание сочинений, т. 2, стр. 252—272.
6) О наилучшем приближении непрерывных функций на всей
вещественной оси при помощи целых функций данной степени, 1 (1946).
Собрание сочинений, т. 2, стр. 371—375.
7) О наилучшем приближении непрерывных функций на всей
вещественной оси при помощи целых функций данной степени, 2 (194.).
Собрание сочинений, т. 2, стр. 375—379.
8) О наилучшем приближении на всей вещественной оси при помощи
целых функций данной степени, 3 (194д)-_.С.обрание сочинений, т. 2, стр.
379-383.
9) О наилучшем приближении на всей вещественной оси при помощи
целых функций данной степени, 5 (1946). Собрание сочинений, т. 2, стр.
390-395
10) О максимуме модуля произзодной монотонной функции конечной
степени (1945). Собрание сочинений, т. 2, стр. 395—398.
11) Обобщение одного результата С. М. Никольского (1946).
Собрание сочинений, т. 2, стр. 499—401.
452

J2) Добавление к работе И. И. Ибрагимова "Об асимптотическом
значений..." (1946). Собрание сочинений, т. 2, стр. 405—407.
13) Распространение неравенств С. Б. Стечкина на целые функции
конечной степени (1948). Собрание сочинений, т. 2, стр. 442—445.
14) Перенесение свойств тригонометрических полиномов на целые
функции конечной степени (1948). Собрание сочинений, т. 2, стр. 446—487.
15) О наилучшем приближении аналитических функций при помощи
целых функций конечной степени. Собрание сочинений, т. 2, стр. 408—412.
16) Экстремальные свойства полиномов. ОНТИ, М. (19^7).
17) Собрание сочинений, т. 1. Изд-во АН СССР (1952).
18) Собрание сочинений, т. 2. Изд-во АН СССР (1954).
15. Б о ас Р. П. (Boas R. Р.). .
1) Entire functions. N. Y., 1954, 1—276.
2) Inequalities for functions of exponential type. Math. Scand., 4 (1956),
29-32.
3) Interference phenomena for entire functions. Michigan Math, j., 3 : 2
<1956), 123-132.
16. Боа с Р. П., Ра хм а н К. И. (Boas R. P. and Rahman Q. I).
1) Inequalities for polynomials and entire functions. Arch. Rat. Mech.
and Analysis, 7 : 1 (1962), 34-39.
2) Inequalities for monotonic entire functions. Michigan Math. }., 10
{1963), 225-230.
17. Б о а с Р. П. и Шеффер А. С. (BoasR. P. andSchaeffer A.).
1) Inequalities for entire functions. J. of Math, and Mech., 7 : 2 (1958),
1-91—206.
2) Variational methods in entire functions. Amer. ]. math., 79 : 4 (1957)
18. Б о н а м и A. A.
1) О средних модулях аналитических функций. „ДАН СССР", 113-*-6
<1957), стр. 1195—1198.
2) О граничных свойствах функций, регулярных в полосе. Сб. "Иссл.
по соврем, пробл. теории функций компл. переменного". М. (19:0), 95 — 110.
19. Б о х н е р (В о с h n e г).
1) Лекции об интегралах Фурье. М„ Физматгиз, 1952.
2) Bull. Amer. math, soc, XL (1934).
.20. Бредихина Е. A.
1) К теореме Бернштейна о наилучшем приближении непрерывных
функций целыми функциями данной степени. „Изв. вузов, математика",
5-6 (1931), 3-7.
2) О наилучшем приближении почти-периодических функций целыми
функциями конечной степени. „ДАН СССР", 117: 1 (1957). „Изв. вузов,
математика", 5 (i960).
21. Б рудный Ю. А.
1) Приближение целыми функциями на внешности отрезка и полуоси.
„ИАН СССР, серия матем.", 23 : 4 (1959).
22. В а т е р м а н Н. Д. (Waterman D.).
1) On functions analytic in half-plane. Trans. Amer. math, soc, 81 : 1
(1956), 167-194.
23. В и д е н с к и й В. С.
1) О равномерном приближении в комплексной плоскости. УМН,
.11 :5 (71), (1956), 169-175.
2) Следствие одного предложения С. Н. Бернштейна о целых
функциях рода нуль. „ДАН СССР", 84 (1952), 421—422.
24. Винер Н, Пэли Р.
1) Преобразование Фурье в комплексной области. М., "Наука" (1954),
стр. 1—267.
25. Габисония О. Д.
1) О приближении функций многих переменных целыми функциями.
„Изв. вузов, математика", 2 (1965), 30—35.
26. Г ад ж и е в А, Д.
453

1) О скорости сходимости одного класса сингулярных
интегралов. „ИАН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и матем, наук", 6 (1933), стр.
27—30.
2) Проблема сходимости последовательности линейных положительных
операторов на неограниченных множествах и теоремы, аналогичные
теореме П. П. Коровкина. „ДАН СССР", 218 : 5 (1974), стр. 1001—1004.
3) Взвешенное приближение непрерывных функций линейными
положительными операторами на всей вещественной оси. „ИАН Азерб. ССР,
серия физ.- техн. и матем. наук", 5 (1975), стр. 45—50.
27. Га ми до в А. А.
1) Об одновременной аппроксимации и их производных по
направлению в многомерном эзклидовом пространстве. „ИАН Азеро. ССР, серия-
физ.-техн. и матем. наук", 4 (1953), 13-19.
2) О приближении функций целыми функциями в комплексной
области. „Иссл. по соврем, пробл, конструктивной теории функций". Изд. АН
Азерб. ССР (1935), 300-305.
28. Га рк а в и А. Л.
1) О совместном приближении периодической функ пни и ее
производных тригонометрическими полиномами. „ИАН СССР, серия матем.",.
24 : 1 (195 ), 103-128.
29. Г а с а н о в 3. Н.
1) О некоторых экстремальных свойствах аналитических функций в
данной полосе." ИАН Азерб. ССР, серия физ.- тех.н. и матем. наук", 3
(1938), 97-104.
2) Изучение наилучшего приближения аналитической функции по пло-.
щади заданной полосы. Спец. во тросы дифф. уравнений и теории функций.
Баку, "Элм" (1970), 109-113.
tO. Гельфонд А. О.
1) Исчисление конечных разностей. М.— Л., Физматгиз (19 j7), 1—375-
2) О равномерных приближениях многочленами с целыми
рациональными коэффициентами. УМН, 10 : 1 (63), (19^5).
31. Г о л и н с к и й Б. Л.
1) Приближение двух сопряженных функ щи операторами Н. И. Ахие-
зера и Б. М. Левитана. „Иссл. по совсем, пробл. кэнструктивнои теории
функций". М., Физматгиз (19 51), 53—60.
32. Г о н ч а р А. А.
1) О равномерном приближении непзерывных функций
гармоническими. "ИАН СССР, серия матем.", 6 (1933), 1239-1250.
2) О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с
характерными особенностями. "Матем. сб.", 73 : 4 (19 37), 630—638.
33. Г о н ч а р А. А. и М'ергелян С. Н.
1) О равномерном прибликении аналитическими и гармоническими
функциями. „Соврем, пробл. теории аналитические функции". М., "Наука"
(1936), 94-101.
34. Г о н ч а р о в В. Л.
1) Теория интерполирования и приближения функций. М., Гостехиздат,.
1954.
35. Г у к е в и ч В. О.
1) Интеграл Фурье функции ограниченной вариации на всей оси.
„Иссл. по соврем, пробл. конструктивной теории функций". М., Физматгиз
(19о1), 60-64.
2) О наилучшем приближении многочленами в среднем функции. „ДАН
СССР", 77 : 5 (195Л "-5-788.
33. Д ж а ф а ро в А. С.
1) О наилучшем приближении в среднем функций многих переменных
при помощи целых функций конечной степени. Тр. АПИ им. В. И. Ленина,.
8. Бак/ (1959), 97—107.
454

2) Некоторые теоремы о наилучшем приближении целыми функциями
конечной степени. „Изв. вузов, математика", 1 (1960), 103—115.
3) Некоторые теоремы о наилучшем приближении целыми функциями
конечной степени. "ДАН Азерб. СССР", 19 : 10 (1963), 3-7.
4) К теории наилучшего приближения функций многих переменных
посредством целых функций. "ДАН СССР", 142 : 2 (1932), 267-269.
5) Неравенства между различными весовыми нормами для целых
функций экспоненциального типа. "ИАН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и матем.
наук", 2 (1933), 17—25.
6) О сходимости семейства сингулярных интегралов. "ИАН Азерб.
ССР, серия физ.-техн. и матем. наук", 4 (1931), 13—23.
37. Джексон Дж.
1) The theory of approximation. N. Y., 1930.
2) Certain problems of closest approximation. "Bull. Amer. math, soc",
39 (1933), 889-905.
38. ДжрбашянМ. М.
1) Об асимптотическом приближении целыми функциями в
полуплоскости. "ДАН СССР", 114:4 (1953), 749-752.
2) Об обратной задаче наилучшего приближения в пространстве
функций. "ИАН Арм. ССР, серия матем. и техн. наук", И :2 (1958), 79-82.
3) О наилучшем приближении целыми функциями в комплексной
области. "ИАН Арм. ССР, серия матем. и техн. наук", 20 : 4 (1953), 485—488.
39. Джрбашян М. М. и Тавадян А. Б.
I) Некоторые экстремальные задачи для целых функций. "ИАН Арм
ССР, серия матем. и техн. наук ",7:5 (1954).
40. Джрбашян М. М. и Тамадян А. П.
1) О наилучшем приближении целыми функциями в комплексной
области. "ИАН СССР, серия матем.", 20(1953), 485-512.
4L Дзядык В. К.
1) О приближении функций обыкновенными многочленами на конеч
«ом отрезке вещественной оси. "ИАН СССР, серия матем.", 22 : 3 (1958-
2) Обратные теоремы теории приближения функций в комплексных
областях. УМН, 15:4 (1933), 3)5-375.
3) Теоремы о преобразовании и приближении аналитических функций
ШДАН СССР", 151 : 2 (1933), 2о9-271.
4) О приближении функций линейными положительными операторами
и сингулярными интегралами. „Матем. сб.", 170 (112) : 4 (19с6), 508—517.
42. До л ж е н ко Е. П.
1) О приближении на замкнутых областях и нуль-множествах. „ДАН
СССР", 143 : 4 (1962), 771-774.
43. Е ф и м о в А. В.
1) Оценка модуля непрерывности функций класса 7/х, . „ИАН СССР.
серия матем.", 21 : 2 (1957), 283-288.
2) О приближении сопряженных функций суммами Фейера. УМН-
14: 1 (1959), 183-188.
44. Заманский М. (Zamansky M.).
1) Ann sicent. Ecole norm, super., 66 (1949), 19—93.
45. 3 и г м у н д А.
2) Тригонометрические ряды. ГОНТИ, М., 1939.
2) A remark on the integral modulus of continuity Univ. Tucuman, Revi
sta., A—7 (1950), 259—265.
46. 3 у x о в и с к и й С. И.
1) Некоторые теоремы теории „чебышевских приближений в
пространстве Гильберта. „Матем. сб.", 37 (79) : 1 (1955), 3—20.
47. ЗуховицкийС. И. и Стечкин С. 5.
1) О приближении абстрактных функций. УМН. 12 : 1 (73), (1957)
187—191. .
48. Иб р а г и м о в И. И.
455

1) Об асимптотическом значении наилучшего приближения функций»
имеющих вещественную особую точку. „ИАН СССР, серия матем.", 10
(1946), 429-460.
2) О наилучшем приближении функций (ах+ Ь\х\)\х\$ . „ИАН СССР,,
серия матем.", 14: 5 (1950), 405-412.
3) О наилучшем приближении в среднем функции, s-я производная
которой имеет ограниченную вариационную на отрезке. „ДАН СССР",
90 : 1 (1953), 13-16.
4) О наилучшем приближении функций, s-я производная которой
имеет разрыв первого рода. „ДАН СССР", 89 : 6 (1953), 973-975,
5) О среднеквадратическом приближении функций комплексного
переменного в бесконечных областях посредством целых функций конечной
степени. УМН, 11:5 (1956), 50-55.
6) Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени.
УМН, 12 : 3 (75), (1957).
7) Экстремальные задачи в классе тригонометрических полиномов..
„ДАН СССР", 121 : 3 (1958), 415-417.
8) Некоторые неравенства для целых функций конечной степени
многих переменных. „ДАН СССР", 128:6 (1959), 114—117.
9) Об интегральном представлении некоторых целых функций. „ИАН
Азеро. ССР, серия физ.-техн. и матем. наук", 6 (1959), 3—16.
10) Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени.
„ИАН СССР, серия матем.", 23 : 2 (1959), 243-25:.
11) Некоторые неравенства для алгебраических многочленов. „Матем.
сб.", 52 : 3 (1930), 863-878.
12) Некоторые неравенства для целых функций экспоненциального
типа." И АН СССР, серия матем.", 24 : 4 (1930), 605-616.
13) Экстремальные задачи в классе целых функций. В сб. "Иссл. по
соврем, пробл. теории функций компл. переменного". М., 1961, 277—285.
14) Экстремальные задачи в классе целых функций многих
переменных конечной степени. Тр. Ин-та матем. и мех. АН Азерб. ССР, 1 (1931),.
5-26.
15) Экстремальные свойства целых функций конечной степени в
различных метрических пространствах. В сб.„ "Иссл. по соврем, пробл.
теории функций компл. переменного". М., 19 51, 257—266.
16) Экстремальные свойства целых функций конечной степени
(монография). Изд. АН Азерб. ССР, Баку (1962), 1-373.
17) Об оценке нормы линейного оператора в классе целых функций
конечной степени. „ДАН СССР", 125:5 (1933), 1054-1057.
18) Некоторые экстремальные задачи в классе целых функций
конечной степени. Тр. 4-го Всесоюз. матем. съезда, 2 (1964), 643—648.
19) Неравенства для целых функций конечной степени в метрике
обобщенного пространства Лебега. „ДАН Азерб. ССР", 20:4 (1964), 13—18.
20) Некоторые экстремальные задачи в классе целых функций конечной,
степени. В сб. "Иссл. по соврем, пробл. конструктивной теории функций*.
Баку (1935), 212—219.
21) О приближениях функций комплексного переменного в
бесконечных областях, ограниченных прямыми линиями, посредством целых
функций. В сб. "Соврем, пробл. теории аналитических функций". М., „Наука*
(1966), 144—150.
22) Методы теории интерполяции функций и некоторые их прим^не5-
ния (монография). М.-Л., "Наука", 1971, 1—518.
23)* Об оценке нормы некоторых линейных операторов в классах це,-
лых функций конечной степени. "ДАН СССР", 211 :6 (1973), 1276-1279;
49. Ибрагимов И. И. и Бабаев М.-Б. А.
1) О способах нахождения функций, наименее уклоняющихся от
функций многих переменных. „ДАН СССР", 197 : 4 (1971), 763-769.
2) Приближение функций многих переменных суммали функций
меньшего числа переменных. „ДАН СССР", 201 : 5 (1971), 1037—1041.
456

50. Ибрагимов И. И. и Гаджиев А. Д.
1) Об одной последовательности линейных положительных операторов^
„ДАН СССР", 193:6 (1970), 1222-1225.
2) О порядке сходимости сингулярных интегралов типа Коши—Стиль-
тьеса. „ДАН СССР", 212 : 1 (1973), 23—26.
51. Ибрагимов И. И., Гаджиев А. Д., Шахвердиев В. М.
1) Об условиях монотонности последовательности производных
полиномов А. О. Гельфонда-С. Н. Бернштейна. "ДАН СССР", 199:4 (1971),
762—765.
52. Ибрагимов И. И. и Гамидов А. А.
1) О смешанных приближениях функций комплексного переменного в
противолежащих углах посредством целых функций. „ИАН Азерб. ССР,
серия физ.-техн. и матем. наук", 5 (1965), 13—22.
2) О смешанных приближениях функций комплексного переменного в
противолежащих углах посредством целых функций. „ДАН СССР", 166 : 1
(1966), 23-25.
3) О некоторых экстремальных свойствах аналитических функций в
данной полосе. „ИАН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и матем, наук", &
(1968).
53. Ибрагимов И. И. и ДжафаровА. С.
1) О некоторых неравенствах для целой функции конечной степени и
ее производных. „ДАН СССР", 138:4 (1931), 755—758.
2) Об оценкэ производной целой функции конечной степени. „ИАН
Азерб. ССР, серия физ.-техн. и матем. наук", 3 (19Ы), 3—11.
3) Некоторые неравенства для целых функций конечной степени в
норме обобщенного класса Лебега. „ИАН Азерб. ССР, серия физ.-техн,
и матем. наук", 5 (1962), 17—28.
4) Оценка одного дифференциального оператора в классе целых
функций конечной степени. „ДАН СССР", 152 : 3 (1963), 533—531
5) Некоторые неравенства с весом для целых функций конечной
степени. УМН, 19:6 (19J4), 147-154.
54. Ибрагимов И. И. и Мамедов Р. Г.
1) Некоторые неравенства для полиномов комплексного переменного
„ДАН СССР ,138:3 (1961), 526-528.
2) Неравенства типа С. Н. Бернштейна для аналитических функций.
"Иссл. по соврем, пробл. конструктивной теории функций". М., 1961,.
269-273.
55. Ибрагимов И. И. и Мамедханов Дж. И.
1) Связь между нормами с весом целой функции конечной степени на
прямых, параллельных вещественной оси. „ДАН СССР", 157 : 2 (1934),,
258-261.
56. Ибрагимов И. И. и Насибов Ф. Г.
1) Экстремальные задачи для некоторых линейных операторов в
классе целых функций конечной степени. Сб. науч. трудов Ленингр. механич.
ин-та, 50 (i9S5), 116—125.
2) Некоторые экстремальные задачи для линейных операторов в
классе целых функций конечной степени. „Сиб. матем. ж.", 7 : 2 (1966).
3) Некоторые неравенства для цешх функций конечной степени с
заданными нулями. „Матем. заметки", 5 : 5 (1939), 497—508.
57. Ибрагимов И. И. и Рымаренко Б. А.
1) О некоторых неравенствах в классе целых функций
экспоненциального типа. Сб. науч. трудов Ленингр. механич. ин-та, 50 (1955), 126 — 132.
2) О некоторых условно-экстремальных задачах в классе целых функций
конечной степени. „ДАН СССР", 166:2 (19)6), 278—280.
58. Ибрагимов И. И. иТрухачев В. Н.
1) Об одной экстремальной задаче в классе целых функций конечной
степени. „ДАН СССР", 208 : 4 (1973), 768—770,
59. Иноземцев И. О.
457

1) К теории наилучшего приближения непрерывных функций с помощью
целых фужций конечной степени. Тр. Харьковского политехнич. ин-та
(серия инженерно-физич.), вып. 5 : 1 (1955), 15—28.
2) К теории наилучшего приближения функций многих переменных с
помощью целых функций конечной степени. „ДАН СССР", 91 : 1 (1953).
'60. Калугина Е. П.
1) Класс /,ф как выпуклое функциональное многообразие. „ДАН
СССР", 98: 1 (1954), 13-16.
2) О классах НфЛп гп). „ДАН СССР", 96 : 1 (1954), 13-15.
61. К а план В. (К а р 1 a n W.).
1) Approximation by entire functions. Michigan Math, j., 3 (1955—1956),
43-52.
<62. Карлеман Т. (Carleman Т.).
1) Sur un theoreme de Weierstrass. Arkiv for Math. Astr. Fisik, 20 : 4
(1927), 1-5.
63. Картрайт M. (Cartwright M.).
1) On Certain integral functions of order 1. Quarterley j. of math.
(Oxford, ser), 7 (1936), 46—55.
64. К в а д Ь. (Q uad e E.).
1) Trigonometric approximation in the mean. Duke math, j., 3 (1937).
'C'5. Келдыш М. B.
1) Sup l'approximation on moyenne guadratique des functions analy-
tiques. „Матем. сб.", 5 (47), (1939), 391—402.
2) Sur l'approximation des fonctions analytique dans les domains fermes.
„Матем. сб." 8 (50), (1940), 137-148.
3) О приближении голоморфных функций целыми функциями. „ДАН
СССР", 47 (1945), 243-245.
4) Sur l'approximation en movenne par polynomes des fonctions d'une
variable complexe. „Матем. сб.", 16 (58), (1945), 120.
5) О представлении функции комплексного переменного рядами
полиномов в замкнутых областях. „Матем сб.", 16 (58), 1945.
66. Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А.
1) Об одной задаче Карлемана. „ДАН СССР", 23 : 8 (1939), 746—748.
67. Кобе р Н. (Kober H.).
1) Approximation by integral functions in fhe complex domain. Trans
Amer. math, sec, 54 (1943), /0—82; 56 : 1 (1944), 7—31.
68. Колмогоров A. H..
1) О неравенствах между верхними гранями последовательных
производных функций на бесконечном интервале. „Уч. зап. МГУ им. Ломоносова,
математика", 30, 3-16 (1939).
2) Стапионарные последовательности в гильбертовом пространстве
„Бюлл. МГУ", 11 ;6 (1941).
3) Замечание по поводу многочленов Чебышева, наименее
уклоняющихся от заданной функции. УМН, 3 : 1 (1948),216-221.
4) Zur grossenordnung des Restgliedes fourierischer reihen differenzier-
Ъагег funktionen. Annals of math., 36 (1935), 521—526.
€9. К о н ю ш к о в А. А.
1) Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и
коэффициенты Фурье. „Матем. сб.", 44 (86) : 1 (1958), 53-84.
70. КореваарДж. (К о г е v а а г J.).
1) An inquality for entire functions of exponen type. New. archiv voot
Wiskunde, 23 : 2 (1949), 55-62.
2) Limits of polynomials Whose zeros Lie ina Given set. proceeding of
Symposia in pure Mathematics, vol. 11. Amer. math, soc, 1968, 261—271.
3) Lacunary Forms of Walsh approximation theorems. University of
Amsterdam. The Netherland, 1975, 1—17.
71. Корнейчук Н. П.
458
J

1) Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном
приближении непрерывных периодических функций. „ДАН СССР", 145:3
(1952), 514—515.
2) О наилучшем равномерном поиближении дифференцируемых
функций. „ДАН СССР", 141 : 2 (1931), 304-307.
72. К о р о в ки н П. П.
1) Линейные операторы и теория приближений. М., Физматгиз, 1959,
1-211.
73 Красносельский М. А. и РутицкийЯ. Б.
1) Выпуклые функции и пространства Орлича. М., 1958, 1—271.
74. К р е й н М. Г.
1) О представлении функции интегралами Фурье—Стильтьеса. „Уч. зап.
Куйбышевского пед. ин-та", 7, 1943.
2) О наилучшей аппроксимации непрерывных дифференцируемых
функций на всей вещественной оси. „ДАН СССР", 18 (1948), 615—624.
3) Об одной экстремальной проблеме А. Н. Колмогорова. „ДАН
СССР", 46 (1945), 339-342.
75. К рыл о в В. И.
1) О функциях, регулярных в полуплоскости. „Матем. сб.", 6 (48), 1939
95-138.
76. Лакшминарасимхан Т. В. (Lakshminarasimhan Т. V.).
1) Заметка о неравенстве Бернштейна для целой функции и ее
производной. Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wet., A : -2 : 3 (1939). „Indaqationes
math.", 31 : 3 (1939), 297-300.
2) Неравенства между средними от целой функции или от ее
действительной части и средними от производной функции.
J. Math. Anal, and Applic, 27 : 3 (1959), 624-635.
77. Л е в и н Б. Я.
1) О некоторых экстремальных свойствах целых функций конечной
степени. „ДАН СССР", 65 : 5 (1949).
2) Об одном специальном классе целых функций и связанных с ним
экстремальных свойстзах целых функций юнечной степени. „ИАН СССР,
серия матем.", 14 : 1 (1950).
3) Некоторые экстремальные свойства целых функций от нескольких
переменных. „ДАН СССР", 78 : 5 (1951).
4) Об одном классе целых функций. „ДАН СССР", 78 : 6 (1951).
5) Распределение нулей целой функции. М., Физматгиз, 1958.
78. Л е в и т а н Б. М.
1) Об одном обобщении неравенства С. Н. Бернштейна и Н. Бора.
„ДАН СССР", 15 (1937).
2) Почти-периодические функции. М., Физматгиз, 1953.
79. Логунов А. А., Нгуен Ван Хьеу.
1) Дисперсионные соотношения и фундаментальная длина в квантовой
теории поля. Препринт Объединенного института ядерных исследований.
Дубна, 19 56.
80. Лозинский С. М.
1) Обобщение теоремы С. Н. Бернштейна о производной
тригонометрического полинома. „ДАН СССР", 55 (1947), 9—12.
81. Л ю с т е р н и к Л. А. и Соболев В. И.
1) Элементы функционального анализа. М., Гостехиздат, 1951.
82. М а р к у ш е в и ч А. И.
1) Теория аналитических функций. М., Физматгиз, 1950.
2) О наилучшем приближении. „ДАН СССР", 44 : 7 (1944).
83. М а м е д о в Р. Г.
1) О приближении функций в бесконечных областях посредством
целых функций конечной степени. Тр. АПИ им. В. И. Ленина, 8 (1959),
89-93.
2) Неравенства для полиномов и рациональных функций. „ДАН СССР",
152:5 (1933), 1058-1030.
459

3) О замкнутости не;сотоэых систем рациональные функций. Тр. Азгрб
заочн. пед. ин-та, 4, вып. 1 (1957), 51—58.
4) Приближения функций линейными операторами. Азернешр, 1937
1—215.
5) О взвешенном приближении в пространстве. Тр. Азерб. заочн. пед.
ин-та, 4 : 1 (1957), 154—157.
6) О порядке приближения функций линейными положительными
операторами. „ДАН СССР", 18 : 4 (1959), 674-676.
7) Об оценке приближения функций линейными положительными
операторами посредством модуля непрерывности. „ИАН Азерб. ССР, серия-
физ.-матем. и техн. наук", 4 (1931), 3—11.
8) О порядке сходимости сингулярных интегралов в точках суммируе
мой функции. „ДАН Азерб. ССР", 17: 11 (1931), 553-567.
9) О порядке сходимости сингулярных интегралов в точках Лебега
данного порядка. „ДАН Азерб. ССР-, 17: 11 (1961), 1005—1008.
10) О порядке сходимости /и-сингулярных интегралов. «ДАН Азерб.
ССР", 17 : 12 (1931), 1127-1131.
И) О порядке сходимости m-сингулярных интегралов4 в обобщенных
точках Лебега и в пространстве. „ИАН СССР, серия матем.", 27 : 2 (1963),
287-304.
84. М а м е д х а н о в Дж. И.
1) Некоторые неравенства для алгебраических полиномов и
рациональных функиий. „ИАН Азерб. ССР, серия физ.-техн. и матем. наук", 5
(19,2).
2) Некоторые экстремальные задачи в классе полиномов и
рациональных функций. „ДАН СССР", 151 : 6 (1963), 1277-1279.
3) Неравенства для положительных целых функций в обобщенном
пространстве Лебега. „ДАН СССР", 157 : 3 (1964), 526—528.
4) Свойства некоторых классов полиномов целых и рациональных
функций. В сб. "Иссл. по теории дифф. уравнений и теории функций".
Баку (1935), 109-117.
5) О некоторых свойствах целой функции конечной степени в
обобщенном пространстве Лебега. В сб. "Функциональный анализ". Баку (1957),
150-160.
6) Экстремальные свойства целых функций многих переменных в
обобщенном пространстве Лебега с весом, рост которого выше
полиномиального. Сб. "Спец. вопросы функц. анализа и его применения в вопросах
дифф. уравнений и теории функций". АН Азерб. ССР, Баку, 1938.
85. Мамедханов Д. И. и Гейсберг С. П.
1) Некоторые оценки с весом для целых функций конечной степени.
Спец. вопросы дифф. уравнений и теории функций. АН Азерб. ССР,
Баку, 1970.
85. Маршо А. (М а г s с h a u о А.).
1) Sur les derivees et sur differences des functions variables reeles.
J. math, pures. et appl., 6 (1927), 367—425.
87. Мейман Н. H.
1) Об условиях, при которых производная мажоранты функции
является мажорантой производной функции. „ДАН СССР", 71 : 3 (1950), 609—612*
2) Дифференциальные неравенства и некоторые вопросы распределения
нулей целых и однозначных аналитических функций. УМН, 7 : 3, 49 (1952);
8 :5, 58 (1953).
3) Решение основных задач теории полиномов и целых функций,
наименее уклоняющихся от нуля. Тр. Матем. об-ва, 6 (1930), 507—535.
4) Несколько теорем о нулях и экстремальных свойствах целых
функций. „ДАН СССР", 140 : 4 (1961), 755-758.
£8. Мер ге л ян С. Н.
1) Равномерные приближения функций комплексного переменного
УМН, 7 : 2 (48), 1952, 31—122.
2) Весовые приближения многочленами. УМН, 11 : 5 (1953).
460

3) О наилучших приближениях с весом на прямой. «ДАН СССР",.
132 : 2 (1930), 287—290.
4) О равномерном приближении аналитическими и гармоническими
функциями. В сб. "Соврем, пробл. теории аналитич. функций". М., 1966
94—101. (Совместно с Гончаром А. А.).
89. М и т я г и н Б. С.
1) О второй смешанной производной. „ДАН СССР", 123 : 4 (1958)
603—609.
90. Насибов Ф. Г.
1) Некоторые экстремальные задачи в классах Вь и Wa. Тр. Азерб.
ин-та нефти и химии, вып. 28, 1970, 15—28.
2) О порядке наилучших приближений функций, имеющих дробную
производную в смысле Римана—Лиувилля. "ИАН Азерб. ССР, серия физ.-
матем. и техн. наук", 3 (1952), 51—57.
3) О порядке наилучших приближений функций многих переменных,,
имеющих дробную производную. В сб. "Иссл. по соврем, пробл.
конструктивной теории функций". Баку (19)5), 73—79.
4) Об одной экстремальной задаче в классе целых функций конечной
степени. „ДАН Азерб. ССР", 25 : 10 (1959), стр. 7—10.
91. Натансон Г. И.
1) Приближение непрерывных функций частными суммами ряда
Фурье—Эрмита, 28 (1934), 1237—1259.
2) Приближение функций суммами, Фурье—Якоби (совместно с Ага-
хановым С. А.). „ДАН СССР," 166 : 1 (1966), 9—10.
92. Н атансон И. П.
1) Теория функций вещественного переменного. М., Гостехиздат, 1957,.
1-522.
2) Конструктивная теория функций. М. —Л., Гостехиздат, 1949, 1—568
93. Н и к о л ь с к и й С. М.
1) Приближение периодических функций тригонометрическими много
членами. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 15 (1945), 1—76
2) Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем
„ИАН СССР, серия матем.", 10 (1943), 207-253.
3) О наилучшем приближении многочленами функций,
удовлетворяющих условию Липшица. „ИАН СССР, серия матем.", 10 (1946), 295-332.
4) О наилучшем приближении функций, 5-я производная которой
имеет разрывы первого рода. „ДАН СССР", 55 : 2 (1947), 99—102.
5) О наилучшем приближении многочленами в среднем функции. „ИАН
СССР, серия матем.", 11 (1947), 139—180.
6) Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна. „ДАН СССР"
60 : 9 (1948), 1507—1510.
7) Обоощение одного предложения С. Н. Бернштейна о
дифференцируемых функциях многих переменных. „ДАН СССР", 59 (1948), 1533—1536.
8) Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна. „ДАН СССР"
60 : 9 (1948).
9) Неравенства для целых функций конечной степени и их применение
в теории дифференцируемых функций многих переменных. Тр. Матем. ин-
та им. В. А. Стеклова АН СССР, 38 (1951), 244—278.
10) Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.
М., "Наука", 1959.
11) Об одьой задаче С. Л. Соболева. „Сиб. матем. ж.", 3:5 (1962),
845—851.
94. Планшере.льи Пойа (Plancherel et Poly a).
1) Fonctiions entieres et integrates de Fourier. Multiples. Comm. Helv.,.
9 et 10 (1912).
95. П о н о м а р е н к о В. Г.
1) Суммировтние интегралов Фуэье и наилучшее приближение целыми,
функциями. „ДАН СССР", 147 : 3 (1952), 555—558. В сб. „Иссл.. по соврем,
пробл. конструктив юй теории функций". Баку, 85—88 (1955).
46L

2) Интегралы Фуръ. наилучшее приближение целыми функциями
„Изв. вупв. математике, 3 (1936), 109—123.
95. П ъ л и и. и Винер Е. (Р а 1 е у R., Wienern Е.).
1) Feurier transforms in the complex domain N. Y. (1934).
'97. Рахман К. И.. (Rachman Q. I.).
1) Some ineqnalities for polynomials and entire functions. J. of. Math.,
5: 1 П953), 144-151.
2) Maximum modulus and the zeros of an entire function. Reprinted
from Ganita, 5 : 2 1954), 143—148.
3) Функции экспоненциального типа. Trans. Amer. math, soc, 135, jan
(1969 , 295-309.
98. Рахман К. И., А ли хан М. (Rachman Q., Alikhan M.).
1) Polynomials with some prescribed zeros. Canad. Math. Bull., 10 : 2
(1957), 179-189.
99. Рымаренко Б. А.
1) О монотонных целых функциях конечной степени. „ДАН СССР",
155 : 1 (1934), 47—49.
2) О вещественных целых функциях, принадлежащих классу. „ДАН
СССР", 161 : 4 (1965), 772—775.
100. Сайвин П. (Civin P.).
1) Inequalities for trigonometric integrals. Duke Math. ]., 8 (1941).
101. Сабзиев Н.
1) Приближение периодически^ функций тригонометрическими
полиномами в обобщенном пространстве Лебега. „ИАН Азерб. ССР, серия физ.-
матем. и техн. наук", 3 (19^3)* 31—39.
2) Экстремальные свойства аналитических функций в полосе
комплексной плоскости. Спец. вопросы функционального анализа и их
применение. Изд. АН Азерб. ССР (1959), 143-155.
3) О приближениях функций комплексного переменного в заданной
области. Спей, вопросы дифф. уравнений и теории функций. Баку, *Элм"
(1970), 102—108.
4) Экстремальные свойства целых функций конечного порядка и
конечного типа в заданном угле комплексной плоскости. „ИАН Азерб. ССР,
серия (Ьиз.-матем. и техн. наук", 4 (1970), 37—43.
102. Смирнов В. И. и ЛебедевН. А.
1) Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.—Л.,
1954, 1-438.
103. СтечкинС. Б.
1) Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна. „ДАН СССР",
60:9 (1948).
2) О порядке наилучших приближений непрерывных функций. „ИАН
СССР, серия матем.", 15 : 3 (1951), 219—241.
3) Замечание о теореме Джексона. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стекло-
ша АН СССР, 88 (1957), 17-19.
4) О наилучшем приближении сопряженных функций
тригонометрическими полиномами. „ИАН СССР, серия матем.", 20 (1956), 197—206.
104. Тала л ян А. А. и Хачатурян И. О.
1) Об обратной задаче теории наилучшего приближения. "ИАН Арм.
ССР, серия физ.-матем. наук", 9 : 2 (1958).
105. Т и м а н А. Ф.
1) Некоторые асимптотические оценки для полиномов Н. И. Ахиезера—
Б. М. Левитана. "ДАН СССР", 64 : 2 (1949).
2) Теория приближения функции действит. переменного. М., Физмат
гиз (1960).
3) Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в
•среднем. „ДАН СССР", 71 : 1 (1950), 17-20.
4) Точная оценка остатка при приближении периодических
дифференцируемых функций интегралами Пуассона. "ДАН СССР", 74 : 1 (1950)
17-20.
462

5) К вопросу оз одновременной аппроксимации функций и их
производных на всей числовой оси. "ИАН СССР, серия матем." 24 (1950),.
421-430.
103. Тиман А. Ф. иТиманМ. Ф.
1) О зависимости между модулями гладкости функций, заданных на
всей вещественной оси. "ДАН СССР", 113 (1957), 9Э5-997.
2) О наилучшей равюмерной аппроксимации непрерывных функций
целыми функциями. "ДАН СССР", 177: 4 (1957., 790-792.
107. Тиман М. Ф.
1) Наилучшее приближение и модуль гладкости функций, заданных на
всей вещественной оси. "Изв. вузов, математика", 6 (1951), Ю8—120.
2) Особенности приближения функций в различных метриках. В сб
"Иссл. по соврем, пробл. конструктивной теории функций". М. (1951), 69—72^
3) Приближение функций, заданных на всей вещественной оси целыми
Функциями экспоненциального типа. "Изв. вузов, математика", 7 (1957;.
53-60.
4) "Изв. вузов, математика", 2 (1938), 89—101.
108. Гитчмарш Е.
1) Введение в теорию интегралов Фурье. М., Гостехиздат, 1948.
2) Теория функций. М., Гостехиздат, 1951.
3) A proof of a theorem of Watson. J. Lond. math, soc, 8 (1933).
109. Уолш Д. Л.
1) Интерполяция и аппроксимация... М. (1931).
ПО. Ф а вар Ж. (Favard J.).
1) Sur les meillenrs procedes d'approximation de certaines des fonctions
par des polynomes trigonometriques. Bull, de sciences Math., 61 (1937),
209—224.
111. Хавинсон С. Я.
1) О единственности функции наилучшего приближения в метрике
пространства L. „ИАН СССР, серия матем.", 22 : 2 (1958), 243—270.
112. Хард и, Ингам и Пойа (Hardy, Ingham and Po'lya;.
1) Theorems Concerning means values of analytic functions. Ргэс. Roy.
soc, ser. A, 11, A765 (1927), 541—569.
113. Хилл Е. и Там арки н Ж.
1) On the absolute integrability of Fourier transforms. Fund. Math., 25
(1955), 329-352. .
2) On a theorem of Paley and Wiener. Annals of Math., 2 (34) (193,),
60 ~—614.
114. Хойсеен Л. A. (Hoischen L. A.).
1) О приближении непрерывных функций целыми.
London Math, soc, 42 : 2 (19о7), 351—354.
115. Черны x H. И.
1) Теорема Джексона в пространстве L2. Тр. Матем. ин-та им.
В. А. Стеклова АН СССР, 88 (1967), 3—16:
116. Ч э н ь Ц з и н ь-г у н.
1) Обобщения неравенства Минковского с приложениями к теории
приближений в среднем целыми функциями. 8 сб. „Иссл. соврем, пробл. теории
функций комплексного "переменного". М., Физматгиз, 1961, 14, 144.
117. Шеффер А- и Дафин Р. Ж. (Schaeffer А. С. et Duffin R.).
1) On some inqualities of S. Bernstein and W. Markoff for derivatives
of polynomials. Bull. Amer. math, soc, 44: 4 (1938).
118. Штейн Е. (Stein E.).
1) Functions of exponential type. Ann. math., 63 : 3 (1957).
119. Юсу ф-заде Б. М.
1) О -приближении в среднем суммируемых функций посредством
целых функций конечной степени. Тр/Ин^-та физики и математики АН Азерб.
ССР, 7 (серия матем.), 1955, 71-84.
463.

ОГЛАВЛЕНИЕ
П редисловие 3
"Введение 5
Тлава I. Введение в теорию приближения функций целыми
функциями 14
§ 1. Некоторые пространства функций 14
1. Линейное нормированное пространство Е (R) (14). 2. Пространство
Лебега (19). 3. Модуль непрерывности функций в линейном нормированном
пространстве Е<р (Rn) (25). 4. Модуль гладкости функций в линейном
нормированном пространстве Е9 (Rn) (27). 5. Свойства модуля гладкости в
пространстве Е^(/сп) (30). 6. Преобразование Фурье (33). 7. Теорема План-
шереля (35). 8. Свертка двух функции в пространстве L2(R) (41). 9.
Преобразование Фурье функций из пространства Z,p (R) (43).
• § 2. Дополнительные сведения о целых функциях 46
1. Характеристические величины целей функции (46). 2. Целые функции
конечной степени (46).3. Тесремы Фрагмена—Линделефа (52). 4. Род целой
функции (55). 5. С б одной вспомогательной целой функции (59). 6.
Принцип компактности множества функций (61).
Глава П. Классы целых функций конечной степени 64
§ 1. Классы С. Н. Бернштейна и Винера — Пэли 64
1. Определение классов В<з и W<s (64). 2. Теорема Винера—Пэли (66).
.3. Функции, сопряженные с функциями из Ва и Wo (71). 4.
Интерполяционные формулы для функций из классов В<з и Ва (73). 5. Интерполяционная
формула С. Н. Бернштейна (79). 6. Интерполяционная формула в классе
"7а (83). 7. О взаимоотношениях классов Во, W^ и N™ (85). 8.
Классы знакопостоянных целых функций конечной степени (88). 9. Класс £*.р)
и его обобщения (94). 10. Дополнительные сведения о классах целых
функций конечной степени (94). 11. Линейное нормированное пространство це-
.лых функций На Е (/?) (96).
§ 2. Представление целой функции в виде предела последовательности по-
.линомов 97
1. Целая функция конечной степени как предел последовательности
алгебраических многочленов (97). 2. Целая функция конечной степени как
предел последовательности тригонометрических полиномов (101). 3. Другое
представление целой функции как предела последовательности
тригонометрических полиномов (104). 4. О представимости непрерывной функции в
виде интеграла Фурье—Стильтьеса и неравенство М. Р. Крейна (107).
:5. Об интегральном представлении некоторых дифференцируемых функций
,(113).
464

§ 3. Интегральные тождества для целых функций
116
1. Интегральные тождества для функций из класса Bv (116). 2.
Интегральные тождества для функций из класса U^p) (117). 3. Об интегральном
представлении некоторых целых функций (122).
Глава III. Об оценке нормы производных целой функции ... 131
§ 1. Неравенство С. Н. Бернштейна и его дальнейшее обобщение ... 131
U. Неравенство С. Н. Бернштейна в классе Нэ Е (R) (131). 2. Некоторые
применения неравенства С. Н. Бернштейна (137). 3. Неравенство С. Н.
Бернштейна в линейном нормированном пространстве целых функций
многих переменных (138). 4. Оценка производной целой функции конечной
степени в линейном нормированном пространстве с весом (140). 5. Оценка
.производной по направлению целой функции конечной сферической
степени в линейном нормированном пространстве (143). б. Неравенство С. Б. Стеч-
кина и его обобщение для целых функций (144). 7. Дополнительные
замечания об исследованиях по теореме С. Н. Бернштейна (149).
<§ 2. Об оценке производных целой функции конечного рода 152
1. Оценка производной целой функции конечного рода на данном отрезке
{152). 2. Оценка производной целой функции нулевой степени (155). 3. Об
«оценке производных функций конечной полустепени (158).
§ 3. Об оценке линейных операторов, действующих в классах целых
функций конечной степени 160
1. Об оценке нормы некоторых линейных операторов, действующих в Ва
{160). 2. Об оценке нормы линейного оператора в классе 1#1р) (164). 3. Об
оценке нормы линейного оператора,исключающего нули целой функции (168).
Глава IV. Связь между нормами целой функции конечной
степей и 174
§ 1. Неравенства типа С. М. Никольского в различных классах целых функ
ций конечной степени 174
1. Об оценке одного функционала в классе 1^р) (174). 2. Уточненное
неравенство С. М. Никольского (180). 3. Неравенства типа С. М.
Никольского для производных целой функции из класса W<p) (182). 4.
Уточненное неравенство С. М. Никольского в классе Wz —(184). 5. Связь
:между нормами с весом целых функций из класса IF- (186).
§ 2. Неравенства между одноименными нормами цглых функций вдоль
ттрямых, параллельных вещественной оси 186
1. Связь между одноименными нормами функций из класса W^ (191).
2. Связь между одноименными нормами целой функции в линейном
нормированном пространстве //<т Е9 (192). 3. Связь между одноименными
нормами функций из класса £*р) (195). 4. Связь между одноименными
нормами в пространстве Б^ Е<р (196). 5. Неравенства между одноименными
нормами функций из класса Б~ £р) (198).
1020—30
465

§ 3. Неравенства между разноименными нормами целых функций вдоль
прямых, параллельных вещественной оси * 199
1. Связь между разноименными нормами целой функции из класса W*p) (199)
2. Связь между разноименными'нормами целой функции из класса Б^ (203)
3. Связь между разноименными нормами целой функции из весового клас-
са Б. W (206).
§ 4. Связь между нормами некоторых линейных операторов вдоль
прямых параллельных вещественной оси 209
1. Об оценке нормы одного дифференциального оператора в классе W^2)
вдоль прямых, параллельных вещественной оси (209). 2. Об оценке еще
сдного дифференциального оператора в классе 1#ЧУ (214). 3. Связь меж_
ду различными нормами непрерывного линейного оператора в классе
W®> (217).
Глава V. Экстремальные задачи в классах целых функций конечной
степени 219*
§ 1. Экстремальные задачи в классе целых функций алгебраического
роста 219
1. Об оценке коэффициента Тейлора целых функций алгебраического
роста (220). 2. Целая функция алгебраического роста с заданными нулями (223).
3. О компактности семейства целых функций алгебраического роста (227).
§ 2. О наибольшем уклонении от нуля некоторых линейных операторов в
заданной сфере целых функций 228-
1. О наибольшем уклонении от нуля одного дифференциального оператора
в классе Во [М] (229). 2. О наибольшем уклонении от нуля некоторых
интегральных операторов в классе W^ [M] (230). 3. О наибольшем-
уклонении от нуля интегрального оператора в многомерном случае в классе
№i-p) [1] (237).
§ 3. Условно-экстремальные задачи в пространстве Но С (R) 244
1. Монотонная целая функция с одним заданным коэффициентом Тейлора
(245). 2. Дополнительные сведения о теореме С. Н. Бернштейна (248).
3. Об оценке снизу уклонений от нуля целых функций конечной степени с
одним заданным коэффициентом Тейлора (249). 4. Об оценке наименьшего
уклонения от нуля целых функций конечной степени с двумя заданными
значениями (254). 5 Наименьшее уклонение от нуля целых функций с
тремя заданными коэффициентами Тейлора (257). 6. Пелые функции, наименее
уклоняющиеся от нуля вне данного промежутка. 7. Отклонение от нуля
целой функции конечной степени при данном весе (264).
§ 4. Экстремальные задачи в классе W^ 266
1. Экстремальные задачи в классе W^ для функций с конечным числом
заданных значений (266). 2. Экстремальные задачи в классе W^ для
функций с конечным числом заданных значений (271). 3. Об оценке
наименьшей нормы функций из класса и/5 с конечным числом связей (274).
Глава VI. Наилучшее приближение функций действительного переменного
целыми функциями в линейных нормированных пространствах . 279
466

§ 1. Приближение функций действительного переменного целыми
функциями в пространстве Е (Rn) 279
1. Понятие наилучшего приближения целыми функциями в пространстве
Е (Rn) (279). 2. Существование це..ой функции, наименее уклоняющейся от
заданной функции в пространстве Е (R) (282). 3. Существование целой
функции, наименее уклоняющейся от заданной функции в весовом
пространстве Ef (R) (283). 4. Некоторые свойстза наилучшего приближения
целыми функциями в пространстве Е? (R) (284). 5- Критерии существования
целой функции, наименее уклоняющейся от данной функции в пространстве
С (R) (286). 6. Единственность целой функции, наименее уклонпющейся на
вещественной оси от интегрир/емой функции (291). 7. Целые функции
конечной степени, наименее уклоняющиеся от даннсй функции в метрике
пространства Lp (R) (292). 8. О наилучшем приближении периодических
функций посредством целых функций конечной степени (297). 9. Оценка
снизу наилучшего приближения целыми функциями конечной степени (299).
10. Наилучшее приближение как функция от степени приближающей целой
функции (302). П. О вычислении наилучшего приближения функций
целыми функциями конечной степени (303).
§ 2. Прямые задачи наилучшего приближения целыми функциями в
линейных нормированных пространствах 303
1. Оценка наилучшего приближения функций посредством модуля
гладкости в пространстве Е (R) (308). 2. Сценка наилучшего приближения
функций многих переменных пссредствсм частных модулей гладкости (312).
3. Оценка модуля гладкости посредством наилучшего приближения (316).
4. Прямые задачи в весовом пространстве Е9 (Rn) (317). 5. Об
одновременном приближении многих переменных и их производных по направлению
посредством целых функций конечной сферической степени (320). 6.
Наилучшее приближение в пространстве E(R) функций, определяемых
интегральными операторами (324). 7. Функции Стеклова и некоторые их
свойства (328). 8. Применение функций Стеклога к оценке наилучших
приближений (329). 9. Наилучшее приближение целыми функциями конечной
степени вне данного отрезка (332),
§ 3. Обратные задачи наилучшего приближения целыми функциями в линей -
лом нормированном пространстве 333
1. О функциях, у которых садан порядок наилучшего приближения целыми
функциями (336). 2. Обратная теорема наилучшего приближения целыми
функциями в классе Зигмунда (340). 3. Об оценке модуля гладкости
посредством наилучших приближений (341). 4. Сценка частных модулей
гладкости посредством частных наилучших приближений (347). 5.
Дифференциальные свойства функций многих переменных с заданнсй последовательностью
полных наилучших приближений (351). 6. Существование смешанной
производной у функции многих переменных с заданными частными производными
по каждому переменному (353). 7. Дифференциальные сгсйстьа и HawjLLe
приближение функций в различных метриках (355). 8, Обратная задача при
задании последовательных значение наилучшего приближения в простран
ст.е E(R) (358).
Глава VII. Линейные операторы—аппарат приближения в линейных
нормированных пространствах ... 363
§ 1. Некоторые общие утверждения о сходимости последовательности
линейных операторов в линейных нормированных пространствах .... ЗэЗ
1. Теорема Банаха (364). 2. Теорема Банаха—Штейнгауза (365). 3. Теоремы
П. П. Коровкина о приближении непрерывных на конечном отрезке
функций линейными положительными операторами (3.6), 4. Метод построения
сходящиеся последовательностей линейных положительных операторов
|50 (1)] (359). 5. Приближение непрерывных функций линейными
положительными операторами в пространстве С9 (R) (372).
30*
467

§ 2. Приближение функций линейными интегральными операторами . „ . 377
1. Интегральные операторы с ядрами типа Фейера (378). 2. О сходимости
семейства операторов с ядром типа Фейера (381). 3. О порядке сходимости
интегрального оператора с ядром типа Фейера (38 3). 4. Интегральные
операторы, приближающие суммируемые функции (386).
§ 3. Приближение дифференцируемых функций обобщенным оператором
Фейера 390
1. Обобщенный оператор Фейера и его свойства (390). 2) Наилучшее
приближение дифференцируемой функции обобщенным оператором Фейера в
пространстве Е (R) (393). 3. Обобщенный оператор Фейера для
сопряженных функций (395). 4. Приближение оператором
Джексона—Валле—Пуссена (395).
Глава VIII Наилучшие приближения функций комплексного переменного
целыми функциями 39S
§ 1. Наилучшие, приближения функций комплексного переменного целыми
функциями в двух противолежащих углах 399
1. Некоторые вспомогательные утверждения (399). 2. Наилучшее
равномерное приближение целыми функциями на множестве D^ (406). 3.
Наилучшее приближение целыми функциями в области заданного угла (413).
§ 2. О смешанных приближениях целыми функциями в противолежащих
углах 418
1. Вспомогательные утверждения (418). 2. О смешанном модуле
непрерывности (422). 3. О порядке наилучшего смешанного приближения (425)
§ 3. О наилучших приближениях целыми функциями в заданной полосе 428
1. Некоторые тождества для функций, аналитических в полосе '(430).
2. Теоремы типа Фрагмена—Линделефа в полосе (434). 3. О наилучшем
равномерном приближении функций, заданных в полосе (444). 4. О
наилучшем приближении в среднем функций, заданных в полосе (446). 5. Об
оценке наилучших приближений посредством модулей непрерывности (449)
Литература 451
Редактор издательства Л. Дементьева
Художественный редактор Ф. Сафаров
Художник Ю. Гвозденко
Технический редактор Т. Гасанова
Корректор М. Василенко
ИБ № 405
Сдано в набор 13/IV-1979 г. Подписано к печати З/ХН-1979 г. Формат
бумаги 60X90Vi6. Бум, лист. 14,63. Печ. лист. 29,25. Уч.-изд. лист. 31,74. ФГ 30362.
Заказ 1020. Тираж 1865. Цена 3 руб.
Издательство «Элм». 370143 Баку-143, проспект Нариманова, 31,
Академгородок, Главное здание.
Новая книжная типография Государственного комитета Азербайджанской
ССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Баку, ул. Али
Тагизаде, 4.