М.В. КАПРАНОВ

В. Н. КУЛЕШОВ
Г. М. УТКИН

ТЕОРИЯ
КОЛЕБАНИЙ

В РАДИОТЕХНИКЕ

Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия дпя студентов
радиотехнических специальностей вузов
22.32
К 20

УДК 538.56

Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колеба-
ний в радиотехнике. Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, Главная ре-
дакция физико-математической литературы, 1984. —320 с.

В учебном пособии излагаются основные методы, используемые при ре-
шении задач теории колебаний в радиотехнике. Подробно обсуждается воп-
рос о составлении уравнений динамических систем, общий подход к их
исследованию, выбор наиболее подходящего метода анализа. Изложение
точных и приближенных методов иллюстрируется примерами изучения
свойств конкретных автогенераторов (ЯС-. LC-. с варикапами, с кварце-
выми резонаторами, сверхвысокочастотных), параметрических генерато-
ров и усилителей, умножителей и делителей частоты, генераторов комби-
национных частот, цепей частотной и фазовой автоподстройки частоты и
других динамических систем. Значительное место уделено анализу нели-
нейных систем с распраделенными постоянными. При отборе примеров
предпочтение отдано вариантам, наиболее часто используемым на практи-
ке, а при анализе и обсуждении его результатов обращено внимание как на
общие черты поведения различных на первый взгляд систем, так и на их
особые свойства и на возможности практического использования этих
свойств-

Книга предназначена для студентов радиофизической специальности
высших технических учебных заведений, асЬирантов ряда радиотехни-
ческих специальностей, а также для инженеров, работающих в области
радиоэлектроники и желающих самостоятельно освоить методы теории
колебаний.

Рецензенты:

кафедре физики колебаний физического факультета МГУ им. М.В.Ломо-
носова, кафедра теории колебаний ГГУ им. Н.И.Лобачевского-

Михаил Владимирович Капранов

Валентин Николаевич Кулешов

Герман Михайлович Уткни

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ В РАДИОТЕХНИКЕ

Редактор В.Я. Дубнова

Технический редактор В.В. Лебедева

Корректоры Т.В. Обод, Т.А. Печко

Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах

ИБ № 11386

Сдано в набор 03.0584. Подписано к печати 06.0884. Т—17718

Формат 60 X 90 1 /16. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Универе
Печать офсетная. Усл.печл. 20,0. Усл.кр.-отт. 20,6. Уч.-издл. 23,52
Тираж 7500 экз. Тип. зак. 173 Цена 1 р. 10 к.

Издательство "Наука"

Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25

1704050000-142
053 <02>—84

109-В4

К

© Издательство "Наука".

Главная редакция физико-
математической литературы, 1984
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие................................................................ 7

Введение. Понятие о колебаниях. Изоморфизм колебательных процессов в
системах различной физической природы. Модели систем и обоб-
щенные координаты......................................................... 9

Глава 1.	Радиотехнические колебательные системы......................... 12

§1.1	.	Классификация колебательных систем ...........................  12

§1.2	.	Составление уравнений радиотехнических колебательных систем . .	15

§	1.3. Уравнения линейных колебательных систем с сосредоточенными
параметрами........................................................... 19

§1.4	. Уравнения линейных колебательных систем с распределенными
постоянными .......................................................... 23

§1.5	.	Уравнения автономных генераторов колебаний..................... 28

§1.6	. Уравнения неавтономных систем. Параметрические генераторы и
усилители ............................................................ 39

§1.7	.	Уравнения радиотехнических систем автоматического управления .	43

Глава 2.	Описание движений в колебательных системах .................... 51

§2.1.	Представление движения в фазовом пространстве ................. 51

§2.2.	Типы фазовых пространств автономных систем..................... 53

§ 2.3.	Виды стационарных движений..................................... 56

§ 2.4.	Основные понятия теории устойчивости........................... 57

§ 2.5.	Устойчивость состояний равновесия динамических систем ......... 60

§ 2.6.	Алгебраические критерии локальной устойчивости................. 64

§ 2.7.	Частотный критерий локальной устойчивости...................... 66

§2.8.	Устойчивость и описание движения консервативных систем ........ 70

§ 2.9.	Описание движения динамических систем с помощью уреенений
Лагранжа............................................................   72

Глава 3. Линейные модели радиотехнических колебательных систем и про-
цессы в них ............................................................. 76

§ 3.1.	Роль линейных моделей в анализе колебательных систем .*........ 76

§ 3.2.	Свободные колебания в линейных консервативных системах с мно-
гими степенями свободы ..............................................  77

§ 3.3.	Линейные модели усилителей с обратной связью и их устойчи-
вость ......................................................   •	 •	85

1’	,	3
§ 3.4.	Условия самовозбуждения усилителем и автогенераторов с запазды-
вающей обратной связью............................................... 91

§ 3.5.	Условия самовозбуждения одноконтурных автогенераторов......	95

§ 3.6.	Линейные модели радиотехнических систем с частотным управле-
нием ................................................................ 99

§3.7.	Линейные модели систем фазовой синхронизации................. 105

Глава 4. Исследоваиие нелинейных радиотехнических систем методом фазо-
вого пространства (системы с 1/2 степени свободы)...................... 112

§4.1.	Роль качественных методов при исследовании нелинейных систем 112

§ 4.2.	Фазовые портреты системы частотной автоподстройки с фильтрами
первого порядка..................................................... 114

§ 4.3.	Траектории бесфильтровой системы фазовой автоподстройки на
цилиндрической фазовой поверхности.................................. 119

§ 4.4.	Неучитываемые параметры в системах с 1/2 степени свободы и ги-
потеза скачка ...................................................... 126

Г лава 5.	Метод фазового пространства при исследовании иелииейиых систем

с одной степенью свободы .................................... 130

§5.1.	Основные понятия качественного анализа динамических систем
методом фазового пространства ...................................... 130

§ 5.2.	Классификация особых точек на фазовой плоскости.............. 131

§ 5.3.	Фазовые портреты систем с честотным управлением.............. 137

§ 5.4.	Фазовое пространство и полоса захвата системыФАП второго по-
рядка .............................................................. 142

Г лава 6. Приближенные методы аиализа нелинейных кояебательиых систем .	157

§ 6.1.	Роль приближенных методов и основания для их применения в тео-
рии нелинейных колебаний. Малый параметр............................ 157

§ 6.2.	Основные положения приближенных методов анализа. Квазилиней-
ный метод. Метод медленно меняющихся амплитуд. Энергети-
ческий метод ....................................................... 162

§ 6.3.	Асимптотические методы анализа нелинейных колебательных си-
стем. Высщие приближения ........................................... 171

§ 6.4.	Связь укороченных уравнений с символическими. Метод Евтянова . 1ВЗ

§ 6.5.	Связь укороченных уравнений с приближенной записью комплекс-
ной частотной характеристики цепи обратной связи ................... 189

§6.6.	Второе и высшие приближения в методе Е втянова............... 193

§6.7.	Примеры укороченных уравнений автономных колебательных
систем.............................................................  198

§ 6.В.	Метод Евтянова для неавтономных систем....................... 213

Г лава 7. Анализ одиочастотных колебаний в простейших автономных систе-
мах, близких к линейным консервативным ................................ 217

§ 7.1.	Теория автогенератора с одной степенью свободы............... 217

- § 7.2. Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов.

Примеры использования аппроксимаций для количественного ис-
следования процессов в автогенераторах....................... 224
§ 7.3.	Некоторые свойства автогенераторов с комплексной обратной
связью или инерционным активным элементом :.......................... 22В

Глава 8. Внешнее воздействие на автоколебательиые системы с одной сте-
пенью свободы .......................................................... 234

§ 8.1.	Роль нелинейных колебательных систем с внешним воздействием
в радиотехнике.....................................................   234

§8.2.	Внешнее асинхронное воздействие на автогенератор.............. 235

§ 8.3.	внешнее воздействие с частотой, близкой к частоте автономного
генератора ........................................................   237

§ 8.4.	Синхронизация на кратных частотах (деление и умножение час-
тоты) ............................................................... 241

§ 8.5.	Внешнее воздействие двух гармонических колебаний на автогене-
ратор ..............................................................  244

§ 8.6.	Одноконтурный параметрический генератор....................... 245

Г лава 9.	Автоколебательиые системы с двумя степенями свободы........... 250

§9.1.	Многоконтурные автогенераторы в радиотехнике.................. 250

§ 9.2.	Асинхронные колебения в связанных автогенераторах............. 250

§9.3.	Двухкаскадный резонансный усилитель с обратной связью......... 253

§ 9.4.	Квантовый генератор........................................... 256

§9.5.	Взаимная синхронизация двух автогенераторов с близкими соб-
ственными частотами ................................................. 259

§9.6.	Взаимная синхронизация на кратных частотах................... 261

§9.7.	Взаимная синхронизация на комбинационных частотах............ 262

§ 9.В.	Двухконтурный параметрический генератор...................... 263

§9.9.	Стабилизация частоты автогенераторов дополнительными резона-
торами ............................................................   265

§ 9.10.	Автоколебательные системы с комбинационным соотношением
частот............................................................... 268

Глава 10. Автоколебательные системы с распределеииой и объемной струк-
турой .................................................................  275

§ 10.1.	Автогенераторы с объемной структурой	в	радиотехнике......... 275

§ 10.2.	Уравнения автогенераторов на отрезках	длинных линий......... 276

§ 10.3.	Автогенераторе мягкой нелинейностью......................... 280

§ 10.4.	Нагрузочные характеристики автогенератора с мягкой нелиней-
ностью .............................................................. 282

§ 10.5.	Автогенератор с жесткой нелинейностью....................... 284

§ 10.6.	Комбинационные автоколебания трех частот..................... 285

§ 10.7.	Автогенератор на линии, свернутой в кольцо................... 2В5

§ 10.В.	Автогенераторы с объемной структурой ........................ 290

§10.9.	Объемный автогенератор с туннельными диодами ................ 291

§ Ю.Ю.	Объемный генератор с активным веществом....................   295

Г лава 11. Метод огибающих в теории распределенного усиления колебаний . .	297

§ 11-1.'	Волновой резонанс и избирательность ........................ 297

§ 11.2.	Приближенные соотношения для пространственных огибающих . . .	299

§ 11.3.	Сложные волновые системы..................................... 300

5
§ 11.4.	Принцип пространственно-временной аналогии линейных волновых
и точечных систем.................................................... 302

§ 11.5.	Примеры волновых систем и их точечных аналогов............... 303

§11.6.	Усилители с распределенной нелинейностью — волновые аналоги
автогенераторов ..................................................... 308

§ 11.7.	Пространственно-временная аналогия усилителя бегущей волны и
одноконтурного автогенератора........................................ 311

§ 11.8.	Пространственно-временная аналогия усилителя бегущей волны и
двухконтурного автогенератора........................................ 312

§ 11.9.	Параметрический усилитель бегущей волны...................... 313

§ 11.10.	Условия совместного прохождения волн разных частот.......... 314

§11.11.	Аналоги связанных волновых систем ........................... 314

Список литературы..................................................... 318

Предметный указатель. 	  319
ПРЕДИСЛОВИЕ

В развитии науки и техники можно выделить две важные тенденции. Од-
на (специализация) — непрерывное возникновение и оформление новых
научных направлений, отраслей техники, методов решения научных и техни-
ческих задач. В инженерном образовании ей соответствует возникновение
новых специальностей. Другая (интеграция) - это усиление и усложнение
взаимосвязи между научными направлениями, использование единых мето-
дов в различных областях знания и перенос их с соответствующей модифи-
кацией из одних областей науки и техники в другие. С этой тенденцией
связано требование фундаментализации подготовки инженера, т.е. отбора
такого учебного материала, владение которым позволяет решать наиболее
широкий круг практических задач и самостоятельно осваивать новые мето-
ды и приемы, необходимые в меняющихся конкретных условиях.

В связи со второй тенденцией следует отметить выдающуюся роль теории
колебаний в инженерном образовании вообще и в образовании радиоинже-
нера в особенности. Ведь эта дисциплина посвящена изучению наиболее
общих методов исследования колебательных процессов в системах различ-
ной физической природы, а процессы формирования и преобразования
колебаний, управления их параметрами являются основными во всех ра-
диоэлектронных устройствах и системах.

Настоящее учебное пособие подготовлено на основе курса "Теория
колебаний", который уже более 25 лет читается студентам специальности
"радиофизика и электроника" радиотехнического факультета Московского
энергетического института. Теория колебаний была введена в подготовку
радиоинженеров и аспирантов на радиотехническом факультете МЭИ по
инициативе акад. В.А. Котельникова, акад. Ю.Б. Кобзарева и проф. С.И. Евтя-
нова. Первый вариант учебного курса подготовил и прочитал профессор,
лауреат Государственной премии СССР С.И. Евтянов. За прошедшие годы
курс многократно перерабатывался, совершенствовался отбор материала,
способы решения задач, методы изложения, подбор конкретных примеров.
При этом основная -цель курса "Теория колебаний" состоит в том,
чтобы, используя подготовку в области математики, физики и электротех-
ники, предусмотренную учебной программой для радиоинженеров, обеспе-
чить освоение студентами основных подходов к анализу разнообразных
линейных и нелинейных колебательных систем и систем управления, при-
меняемых в радиоэлектронике, а также показать возможности практи-
ческого применения результатов такого анализа. Такова же и цель
настоящего пособия.

В соответствии с этой целью из обширного арсенала задач и методов тео-
рии колебаний отбирались наиболее подходящие. Составление уравнений
движения ведется символическим методом, что позволяет использовать
навыки, приобретенные в курсе электротехники, и установить глубокие
связи между символическими уравнениями и уравнениями для ком-
плексных амплитуд.
Отбор задач и примеров диктовался, с одной стороны, требованием
наглядности применения излагаемых методов, с другой — требованием
практической полезности навыков и конкретных сведений, полученных при
изучении этих примеров. Многие примеры связаны с научными направле-
ниями, развиваемыми на кафедре радиопередающих устройств МЭИ. При
этом авторы старались не избегать "неудобных" с точки зрения анализа,
но встречающихся на практике систем, а напротив, показать возможность
их изучения и эффективность использования теоретико-колебательных
методов.

Ряд важных вопросов теории колебаний не освещен в данной книге с до-
статочной полнотой или даже совсем не освещен. Сюда относятся вопросы
строгого математического обоснования методов, детальный анализ релакса-
ционных колебаний, исследование автостохастических колебаний и некото-
рые другие. Это определяется как содержанием программы курса, дейст-
вующей в настоящее время, так и ограниченностью объема книги. Упомя-
нутые разделы, кроме того, хорошо изложены в ряде учебных пособий,
перечень которых приведен в списке литературы, и могут быть изучены
читателем самостоятельно.

Хотя книга предназначена в первую очередь как учебное пособие для
студентов радиотехнических факультетов высших технических учебных
заведений, она может быть использована радиоинженерами для самостоя-
тельного изучения прикладных методов теории колебаний, а также специа-
листами из смежных областей, связанных по роду деятельности с практи-
ческим применением радиотехнических колебательных систем.

Введение, главы 1 (за исключением § 1.7), 6,7 написаны В.Н. Кулешо-
вым, § 1.7, главы 2, 3, 4, 5 — М.В. Капрановым, главы 8, 9, 10, 11 —
Г.М.Уткиным.
Введение

Понятие о колебаниях. Изоморфизм колебательных
процессов в системах различной физической природы.

Модели систем и обобщенные координаты

Теория колебаний занимается периодическими или почти периодически-
ми процессами в системах различной физической природы. Из периоди-
ческих колебаний выделяются гармонические или близкие к ним, посколь-
ку суперпозицией или преобразованием таких процессов можно получить
негармонические периодические процессы.

Очень тесной оказывается связь между теорией колебаний и теорией
динамических систем (ТДС). Однако в ТДС акцент делается на изучение
мгновенного движения объекта (например, материальной точки), а в тео-
рии колебаний — на изучение процесса в целом. Для описания колебания в
целом используются такие понятия, как амплитуда, частота и сдвиг фазы
гармонических колебаний, гармонический состав и амплитудно-фазовые
соотношения в сложных колебаниях.

Важно подчеркнуть, что при соответствующем выборе координат в си-
стемах различной физической природы (механических, электрических,
акустических, биологических и т.д.) процессы могут описываться одними и
теми же дифференциальными уравнениями и теоретико-колебательные
характеристики их будут одинаковыми. В этом смысле говорят об изомор-
физме процессов в системах различной физической природы (т.е. об одина-
ковости формы). Физическое содержание этих процессов, их внешние про-
явления, масштабы могут сильно различаться.

Грань между колебательными почти периодическими и неколебательны-
ми процессами в значительной степени условна, и понятно, что в теории ко-
лебаний приходится заниматься и неколебательными в строгом смысле
процессами, когда они либо являются предельной формой процессов коле-
бательных, либо описывают отдельные участки негармонических колеба-
тельных процессов, либо взаимодействуют с колебаниями и влияют на про-
цессы в рассматриваемых системах.

В теории колебаний под движением понимают изменение состояния си-
стемы во времени. Для описания движения выбираются некоторые коорди-
наты: пространственные в случае механического движения, токи, напряже-
ния, магнитные потоки или заряды — в электрических системах. В некото-
рых случаях первичные координаты могут оказаться неудобными.. Иногда
более удобны некоторые их комбинации, имеющие различное физическое
толкование. Их выбирают так, что по ним однозначно находится движение
в первичных координатах, и назывеют обобщенными координатами. Движе-
ние системы описывается изменением обобщенных координат.

Выбор обобщенных координат можно сделать после joro, как выбрана
модель системы, т.е. определено, какие элементы и свойства системы учи-
тываются, а какими на данном этапе исследования (т.е. в рамках данной
модели) следует пренебречь. Только для физической модели можно соста-
вить уравнения движения, т.е. построить модель математическую. Напри-
мер, схема колебательного контура (рис. В.1) — это модель реального кон-
тура. Символ L указывает на то, что напряжение uL на индуктивности свя-
зано с током / соотношением ul=L—. Строго говоря, это утверждение
неверно. Реальная катушка имеет сопротивление потерь и межвитковую
емкость, т.е. часть энергии запасается не в магнитном поле, а в электри-
ческом. Сама геометрия катушки, строго говоря, не постоянна. Она зависит
от тока из-за влияния пондеромоторных сил, нелинейности сердечника или
других причин. Резистор обладает некоторой индуктивностью, емкостью на

Рис. В 1.

корпус и т.д. То же можно сказать и о конденсаторе. Всеми этими реальнос-
тями пренебрегают при построении моделей. И такое пренебрежение при
правильном построении элементов оправдано, хотя в некоторых случаях
для объяснения поведения реальной системы приходится уточнять модели
элементов, из которых она состоит. Аналогичные допущения делаются при
анализе движения груза массы т, подвешенного на пружине с коэффициен-
том упругости (эластансом) к (рис. В.2). Помимо пренебрежения массой
пружины и упругостью груза здесь еще пренебрегают качанием груза, т.е.
ограничивают возможные начальные условия.

Третий пример модели — эквивалентная схема кварцевого резонатора
(рис. В.3,а). Модель (рис. В.3,б) упрощена до предела, так как кварц -
колебательная система с распределенными постоянными и у него много
резонансных частот. Легко добавить ветви, соответствующие механическим
гармоникам. Но есть еще другие виды колебаний кристалла с частотами,
лежащими вблизи первой гармоники. Кроме того, уже при мощностях
рассеяния на кварце порядка десятков - сотен микроватт проявляется не-
линейность колебательной системы, и, в частности, зависимость резонанс-
ной частоты колебаний от амплитуды. Тем не менее, многие основные ре-
зультаты теории генераторов с кварцевым резонатором получены в рамках
этой модели и она продолжает быть полезной.

Вопрос о выборе модели выходит за рамки теории колебаний, так как
он касается адекватности отображения в теории реальной, объективно су-
ществующей системы. Если известны хотя бы модели компонентов систе-
мы и все неизвестности связаны с тем, как эти компоненты взаимодейст-
вуют при выбранном их соединении, то модель можно построить относи-
тельно просто. Тем не менее, такие задачи требуют многих усилий для их
решения и нередко обнаруживается, что в реальной системе встречаются
процессы, для объяснения которых нужно уточнять эквивалентные схемы
(модели) компонентов.

Иначе обстоит дело, когда модель исследуемой системы только строится,
и еще неясно, какими свойствами можно пренебречь, а какие нужно обяза-
тельно учесть. Здесь единственный способ отыскания адекватной модели -
метод проб и проверок, сопоставление с экспериментом, уточнение модели,
новые проверки. Так продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто
адекватное отображение поведения системы в условиях исследования.
Изменение условий, так же как и изменение перечня интересующих
исследователя вопросов, может повлечь за собой необходимость усложне-
ния модели, учета свойств, которые ранее в расчет не принимались. Напри-
мер, если нас интересует лишь частота свободных колебаний в контуре
рис. В.1., определяемая с некоторой погрешностью (например ~ 1%), то ее
можно определить, пренебрегая сопротивлением потерь г. Но для решения
вопроса о скорости рассеяния энергии колебаний учет г совершенно
необходим.

Построить модель, отображающую реальные обстоятельства и систему
во всей полноте, видимо, невозможно, да и не всегда целесообразно. Чрез-
мерно усложненная модель может затруднить и замедлить исследование,
маскируя самое существенное за второстепенным. Выбор модели — это
искусство, которым можно овладеть в процессе практической деятельности,
развивая интуитивное понимание поведения систем. Именно этот шаг —
выбор модели — часто определяет успех исследования.

Кроме проверки теоретической модели практикой весьма полезным
является сопоставление теоретических результатов, получаемых из моде-
лей разной степени полноты и сложности. Оно позволяет выявить то новое,
что появляется в поведении модели по мере ее усложнения, оценить усло-
вия, в которых допустимо применение простых моделей, и выбрать модель
необходимого уровня.

В дальнейшем будет предполагаться, что модель уже выбрана. Основное
внимание будет уделено методам исследования поведения систем -в пред-
положении, что оно правильно отображается выбранной моделью, и обсуж-
дению особенностей поведения и свойств наиболее широко применяемых
в радиотехнике колебательных систем.
ГЛАВА 1

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

§1.1	. Классификация колебательных систем

Модели колебательных систем описываются соответствующими уравне-
ниями, и эти модели можно классифицировать по тем или иным признакам.
Желательно дать такую классификацию, которая, с одной стороны, объеди-
няла бы системы в группы, исследуемые некоторыми общими для всей
группы методами, а с другой стороны — позволяла бы уже по месту систе-
мы в этой классификации судить о степени сложности задачи ее исследо-
вания.

Начиная классификацию, разделим прежде всего колебательные системы
на линейные и нелинейные (рис. 1.1). Здесь правильнее говорить о выделе-
нии линейных систем из всех существующих на том основании, что они
описываются линейными интегро-дифференциальными уравнениями.

Важнейшим свойством линейных систем является применимость прин-
ципа суперпозиции. Если х2 (t) — отклик линейной системы на возмущение
Xi U), У г (?) — отклик на у, (г), то с увеличением х( (г) в А раз отклик
возрастает в такое же число раз, т.е. равен Ах2 (г). Аналогично воздейст-
вию Byt (г) соответствует отклик By2(t). И, наконец, возмущению
Axt (г) + Ву\ (t) соответствует отклик Ах2 (t) + Ву2 (г). Под возмуще-
нием здесь понимается либо выбор начальных значений обобщенных коор-
динат, либо внешнее воздействие, либо совокупность того и другого.

С физической стороны для линейных систем характерно то, что измене-
ние величины возмущения (отклонения) вызывает лишь количественные
изменения отклика, пропорциональные изменению возмущения. Более того,
различные возмущения проходят через систему независимо, и результат
совокупного их действия получается простым суммированием откликов на
отдельные возмущения.

В нелинейных системах дело обстоит принципиально по-иному. Измене-
ние величины возмущения может привести к качественному изменению
отклика системы. Например, при одной величине возмущения система
переходит в состояние покоя, при другой — в состояние установившихся
колебаний. При сложении двух возмущений отклик также может качест-
венно отличаться от реакции на каждое из них в отдельности. Уравнения
таких систем нелинейны.

Далее, системы можно разделить на дискретные (с сосредоточенными
постоянными) и сплошные (с распределенными постоянными) (рис. 1.2).
Первые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями
относительно конечного числа (дискретного набора) обобщенных коорди-
нат. Вторые — дифференциальными уравнениями в частных производных.
Движение в сплошных системах характеризуется непрерывной функцией
q(x, г) пространственной переменной х (или нескольких переменных
Xi, х2,...,хт) и времени.

Дальнейшая классификация дискретных систем может идти по числу
степеней свободы или по порядку дифференциального уравнения, описы-
вающего систему. (Если зто система нескольких дифференциальных урав-
нений, то порядок системы равен сумме порядков всех входящих в нее
дифференциальных уравнений.) Известно, что формально число степеней
свободы колебательной системы равно половине порядка ее дифферен-
циального уравнения (почему так, поясним чуть ниже). Поэтому дискрет-
ные системы можно делить на системы с 0,5; 1; 1,5; 2; ... степенями
свободы.

Сплошные системы можно классифицировать по числу измерений:
одномерные (длинная линия, АС-линия, струна), двумерные (полосковый
двумерный резонатор, мембрана), трехмерные (объемный резонатор,
кварцевый резонатор) и т.д.

Вопрос об определении числа степеней свободы заслуживает более под-
робного обсуждения. Откуда половинки? Из механики. Там число степе-
ней свободы — это число параметров, которые необходимо задать, чтобы
конфигурация системы была определена.

Например, в случаях материальной точки на прямой или твердого тела,
вращающегося относительно неподвижной оси, достаточно задать один
параметр, чтобы полностью определить конфигурацию системы. Рассмот-
рим колебательный контур рис. В.1. Задать конфигурацию — значит прекра-
тить движение. Если в последовательном контуре движение описывается
изменением тока, то зафиксировать /’ = 0, можно, сделав разрыв в контуре.
Одной степени свободы соответствует один разрыв, прекращающий колеба-
ния. Частица, перемещающаяся по заданной поверхности, имеет две степени
свободы. Система из двух связанных контуров также имеет две степени
свободы (два обрыва здесь прекращают движение).

Но в механике, говоря о материальной точке, подразумевают наличие
массы, и уравнение движения имеет второй порядок. Например, колебание
груза в вязкой жидкости (рис. 1.3,а) описывается уравнением второго
порядка

d2x . dx
т —т- = —п—------кх.

dt2 dt

Здесь т — масса груза, к коэффициент упругости пружины, Л — коэффи-
циент трени/i. Если же т = 0, то оно сводится к уравнению первого порядка

Л-^ + А> = 0.

dt
Аналогичное уравнение мы получаем
для контура рис. 1.3,6
d2q dq 1

L —+ r + — q = 0,
dt2 dt c“
где q — заряд, протекающий по контуру.
При L = 0 оно переходит в уравнение
/ТС-цепи (рис. 1.3,в). Особенность этой
предельной системы в том, что в ней не-
возможно колебательное движение. Эта
особенность характеризует добавочные
0,5 степени свободы и в более общем
случае. При 1,5 степенях свободы воз-
можно колебательное движение лишь с
добавляет движение неколебательное. Это

обстоятельство оправдывает использование дробной части степени свободы,
подчеркивая некоторую "дефектность" увеличения целого числа степеней
свободы на 0,5.

Третий принцип классификации колебательных систем — разделение их
на консервативные и неконсервативные (рис. 1.4). Консервативные систе-
мы — это такие, которые сохраняют вложенный в них запас энергии.
Естественно, что это — идеализация. В реальных системах энергия рассеи-
вается. Она переходит либо в тепло, либо тратится на излучение. В консер-
вативной системе этих затрат нет.

Такая идеализация оправдана, если мало рассеяние энергии за некото-
рые характерные для системы интервалы времени, анализ в пределах кото-
рых достаточен при имеющейся постановке задачи. Например, при определе-
нии периодов колебаний маятника, колебательного контура, периодов об-
ращения планет в первом приближении можно использовать модели, в
которых не учитываются потери энергии.

Неконсервативные системы можно разделить на диссипативные, в любом
элементе которых может происходить только рассеяние энергии, и актив-
ные, в которых возможно увеличение средней за период энергии в некото-
рых элементах с течением времени за счет влияния внешних источников
энергии.

Наконец, можно разделить системы по такому признаку, как наличие
или отсутствие внешнего воздействия и характер его. Если система не
находится под внешним воздействием, то ее называют автономной. Фор-
мальный признак автономности системы — отсутствие явно входящего
параметра времени в ее уравнениях. Примеры — автогенератор, колебатель-
ный контур без внешней силы. Неавтономные колебательные системы можно
классифицировать дальше по характеру внешнего воздействия (рис. 1.5).

Если воздействие направлено на обобщенную координату (например.

Колебательные
системы

\Консер6атпи0ные | \Неконсервати6ные |

| Диссипативные | | Активныё\

Рис. 1.4.

схема рис. 1.6,а), то говорят
о системе с непосредствен-
ным внешним воздействием
(или просто с внешним воз-
действием). Если воздейст-
вие изменяет параметр систе-
мы (схема рис. 1.6.6), то го-
ворят о параметрическом
воздействии.

Если внешнее воздействие
изменяет как обобщенную
Колебательные
систены

Рис. 1.6.

координату, так и параметр, то говорят о системах с комбинированным
воздействием. Пример — параметрический усилитель, построенный по схеме
рис. 1.6,в.

В каждом из выделенных классов неавтономных систем можно еще
различать системы по характеру внешнего воздействия. По этому признаку
можно выделить системы с медленно меняющимся внешним воздействием
(М), системы с периодическим внешним воздействием (П), системы со
случайным внешним воздействием (С). Из числа систем с периодическим
внешним воздействием полезно особо выделить имеющие большое практи-
ческое значение системы с гармоническим воздействием. Классификация
колебательных систем по признакам, связанным с наличием или отсут-
ствием внешнего воздействия, способом влияния и его видом иллюстри-
руется рис. 1.5.

§1.2	. Составление уравнений радиотехнических колебательных систем

После выбора модели составление уравнений ее движения является
важнейшим этапом решения теоретико-колебательных задач. Для систем
различной физической природы, в которых -определены понятия кинети-
ческой и потенциальной энергий, можно использовать весьма общий подход
к составлению уравнений, основанный на использовании уравнений Лаг-
ранжа [1, 12]. Этот подход многократно излагался в книгах до теории
колебаний [12, 17].
к,- Л , ’ .		" '	2 «-г "?<	7

,	*	'	’	: '	'	, ,il;. ' f. ' pki ' Д,’ '

Особенностью радиотехнических колебательных систем является то,
что в большинстве случаев их модели можно представить соединением не-
которого числа типовых элементов (индуктивностей, емкостей, сопротив-
лений, генераторов тока или напряжения, управляемых генераторов тока
или напряжения и т.д.). При этом связь между воздействием на каждый
элемент и его реакцией на воздействие известна и определяется некоторым
оператором.

Например, при воздействии на индуктивность L тока / (г) напряжение на
индуктивности и (г) находится известным образом:

w =	(1.1)

dt

Если ввести оператор дифференцирования

то соотношение (1.1) можно представить в символической форме

и = Lpi.	(1.3)

Оператор Lp, связывающий i и ив этом случае, включает в себя дифферен-
цирование и умножение на £. Он имеет размерность сопротивления и может
быть назван символическим сопротивлением индуктивности.

В случае, когда внешним воздействием является напряжение на L , соот-
ношение (1.3) можно записать в виде

называя оператор 1/р£ символической проводимостью индуктивности. На
этапе составления уравнений будем считать символические равенства (1.3),
(1.4) полностью эквивалентными между собой и означающими лишь то,
что между и и i существует соотношение (1.1).

Рассуждая таким же образом, введем символическое сопротивление
МрС емкости С и ее символическую проводимость рС. Оператор, связываю-
щий напряжение и на сопротивлении г и ток 7 через него, есть просто умно-
жение на г. В этом случае символические сопротивление и проводимость
совпадают с обычными.

Выражения для символических сопротивлений и проводимостей элемен-
тов линейных пассивных электрических цепей сведены в табл. 1.1.

Воспользуемся символическим методом, чтобы составить уравнения
простейших схем, показанных на рис. 1.7. Для тока /(t) в последователь-

Таблица 1.1

Символические сопротивления и проводимости линейных пассивных элементов
электрических цепей

Наименование элемента	Обозначение в схеме	Символическое сопротивление	Си мво лическая : проводимость
Сопротивление потерь	—f I—	г	д = 11г
Индуктивность		PL	MpL
Емкость	II	МрС	PC


ном колебательном контуре (рис. 1.7,a), возбуждаемом источником на-
пряжения u (г), символическое уравнение можно записать, пользуясь вто-
рым законом Кирхгофа:

(pL + г + У1рС}1 =и.

(1.5)

Действуя на правую и левую части этого равенства оператором рС и учи-
тывая, что оператору р2 соответствует двукратное дифференцирование по

Г L

а)	6)

Рис. 1.7.

времени (р1 = d2/dt2 ), получим из символического уравнения (1.5) диф-
ференциальное:

~—^ + rC—
dt2 dt

du
dt

(1.6)

Таким образом, равенство (1.5) является формой записи уравнения (1.6),
а уравнение (1.6) выражает смысл символического равенства (1.5).

Для напряжения и’ на параллельном контуре (рис. 1.7,6), возбуждае-
мом генератором тока i'lt), символическое уравнение вытекает из пер-
вого закона Кирхгофа:

(рС'+д' + 1/pL')u’ = i'.	(1.7)

Ему эквивалентно дифференциальное уравнение

L'C^+9'L'^ + u'-L
dt2	dt

di'
dt

(1.8)

Уравнения (1.5), (1.7) можно записать более компактно, если ввести
символическое сопротивление

z(p) =pL + г + 1/рС,	(1.9)
и символическую проводимость	
у’(р) = рС' + д' + }/pL'.	(1.10)
Тогда вместо (1.5) получим	
z(p]i =и.	(1.11)
а вместо (1.7)	
у'(р}и' = i'.	(1.12)

В таком виде эти соотношения суть два варианта символической формы
записи закона Ома для линейных пассивных цепей. Они легко обобщаются
на двухполюсники, состоящие мэ любого конечного числа элементов пас-
сивных линейных цепей.

Если напряжение внешнего воздействия в схеме рис. 1.7,а - гармони-
ческое с амплитудой U, частотой ш и начальной фазой <д, т.е.

u(t) = L/cos(wf + (д),	(1.13)

2. М.В. Капранов	17
то его можно представить в комплексной форме

u(t) = Rellexp(/a>t),	(1.14)

где Re — знак выделения действительной части комплексного числа

U = Uexp(j\p}	(1.15)

- комплексная амплитуда колебания и (г).

Вынужденные колебания тока / (г) в схеме рис. 1.7,а (иначе говоря,
периодическое частное решение линейного неоднородного дифференциаль-
ного уравнения (1.6)), как известно [23], следует искать в виде

Z(t) = /cos (art + ф] = Relexp(/wt),	(1.16)

где / и ф — соответственно амплитуда и фаза колебания 7 (г), а

1 = /ехр(/^)	(1.17)

— комплексная амплитуда того же колебания. Подставляя (1.14) и (1.16)
в (1.6) и учитывая, что операции дифференцирования комплексных функ-
ций времени и выделения действительной части можно менять местами
(поскольку дифференцирование действительной функции не может сделать
ее мнимой и наоборот), получим равенство

Re[tC(/o))2 + rC(ju) + 1 ] lexp (/art) = Re<?(/a;)Uexp(/art).

Это равенство может выполняться лишь при условии, что комплексная
амплитуда реакции I и комплексная амплитуда внешнего воздействия U
связаны равенством:

(jwL +г+ 1//о>С)1 = U.	(1.18)

Здесь множитель перед I - известное из курса теоретической электротех-
ники комплексное сопротивление контура

= /а>Д + г + У/]шС	(1.19)

для гармонического тока с частотой о>. Изложенная процедура для данного
случая служит доказательством того, что комплексная амплитуда вынуж-
денных колебаний тока в цепи с символическим сопротивлением z(p) опре-
деляется через комплексную амплитуду напряжения внешнего воздействия
по формуле

I = U/z(/a>),

причем комплексное сопротивление z(/a>) находится через символическое
простой заменой оператора р на переменную /а>. Такая связь между симво-
лическими и комплексными сопротивлениями и проводимостями справед-
лива для всех линейных цепей, в которых существует устойчивое вынуж-
денное гармоническое колебание. Аналогично по символической проводи-
мости у(р) находится комплексная проводимость у(/а>).

Итак, из символических уравнений (1.11), (1.12) вытекают уравнения
для комплексных амплитуд вынужденных колебаний в цепях, показанных
на рис. 1.7

z(/a>)l = U,	(1.20)

и'(/ш)и’=Г.	(1.21)

Подчеркнем еще раз, что на основе символических уравнений (1.11),
(1.12), эквивалентных дифференциальным [23], можно изучать не только
установившиеся, но и неустановившиеся движения, а комплексные равен-
18
ства (1.20), (1.21) справедливы лишь для комплексных амплитуд устано-
вившихся гармонических колебаний.

Однако простая связь между комплексными и символическими уравне-
ниями позволяет использовать электро- и радиоинженерам навыки расчета
линейных электрических цепей переменного тока для решения задачи со-
ставления символических уравнений линейных цепей с постоянными пара-
метрами. При этом используется следующее правило: составляются урав-
нения для комплексных амплитуд известных и искомых величин, а затем
в полученных выражениях аргумент /ш заменяется оператором р, а ком-
плексные амплитуды — мгновенными значениями тех же величин. Иногда
формальной замены jw -* р не делают, а просто трактуют /ш как символ
дифференцирования [7]. При этом вместо соотношения (1.11) записывает-
ся равенство

z(/w)/ = u.	(1.22)

То обстоятельство, что переменные i и и в этом соотношении не заменены
комплексными амплитудами, указывает на необходимость символической
трактовки такого равенства. В дальнейшем при переходе к символическим
уравнениям во избежание недоразумений мы всюду будем делать замену
/ш -» р и использовать для оператора дифференцирования обозначение р.
Опираясь на изложенные здесь основы символического метода составления
уравнений движения, продемонстрируем его применение на ряде примеров
широко распространенных в радиотехнике колебательных систем. При этом
обратим внимание на особенности использования этого метода при исследо-
вании линейных систем с переменными параметрами и нелинейных систем.

§ 1.3. Уравнения линейных колебательных систем
с сосредоточенными параметрами

Линейные колебательные системы с сосредоточенными параметрами вхо-
дят в состав многих каскадов радиотехнических устройств и в зависимости
от типа и назначения каскада могут обеспечить возможность решения ряда
задач, таких как выделение колебаний с частотами, лежащими в определен-
ной полосе, формирование одного или нескольких гармонических колеба-
ний с заданными частотами, сложение мощностей когерентных колебаний
и т.д.

Приведем здесь два примера каскадов, в которых используются линей-
ные колебательные системы. На рис. 1.8,а показан каскад полосового
усилителя радиоприемного устройства, содержащий полевой транзистор
VI и полосовой фильтр. Первый контур полосового фильтра включен в
цепи стока транзистора VI, а на вход следующего каскада напряжение по-
дается со второго контура. При анализе преобразования колебаний таким
каскадом в простейшем случае транзистор можно заменить источником
тока, который управляется напряжением и, действующим на входе транзи-
стора. Он подключается параллельно конденсатору первого контура. Пере-
менная составляющая тока этого источника должна проходить в основном
через блокировочную емкость Сг>, а постоянная — через источник питания
цепи стока Поскольку элементы, включаемые последовательно с источ-
ником тока, не влияют на величину тока, емкость и источник напряже-
ния Ес на эквивалентной схеме рис. 1.8,6 не показаны. Однако каждая из
катушек индуктивности Z.1, L2 на эквивалентной схеме должна быть заме-
нена двумя элементами: индуктивностями t(, Lt и сопротивлениями по-
терь Г|, гг, а связь между ними определяется значением взаимной индук-
тивности М.
В этой схеме параметры контуров подбираются так, чтобы со входа пер-
вого каскада на вход второго проходили только колебания в определенной
полосе частот.

Составим уравнения схемы рис. 1.8,6, пользуясь символическим мето-
дом. Прежде всего выберем обобщенные координаты.

В данном примере удобно описывать движение изменением контурных
токов и /2. Ток управляемого генератора /в при составлении уравнений
замыкаем через элемент Ct. Положительные направления токов по опреде-
лению соответствуют движению по часовой стрелке.

Пользуясь методом контурных токов, запишем символические
уравнения

(pti +Г1 + 1/pCi)/i - РМ1г -	= 0,

—pMi'i + (pL2 + r2 + MpC2}i2 =0.

Умножив первое из этих уравнений на рС\, а второе на рС2, получим си-
стему двух дифференциальных уравнений второго порядка, записанных в
символической форме

(LiCiP2 +Г|б?1Р+ 1)/, -MCtp2i2 = iB,

,	,	(1.24)

-MC2p2ii + (L2C2p2 + r2C2p + 1)/2 =0.

Из курса высшей математики известно, что система п дифференциальных
уравнений порядков 1\,12, .... 1п эквивалентна в общем случае одному
уравнению порядка (I} +12 + ... + 1п). Рассматриваемая система описывает-
ся двумя обобщенными координатами и суммарный порядок ее уравнений
равен четырем. В соответствии сданными в § 1.1 определениями она имеет
две степени свободы, является неавтономной, линейной и диссипа-
тивной.

Если для практических расчетов необходимо детально изучить поведение
лишь одной координаты (например тока /2), то от системы (1.24) можно
перейти к одному уравнению относительно /2, решЭя ее относительно /2
как систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Таким
способом получим символическое выражение /2 через /в:

LtCtp2 +r1Cip+ 1 /в

-МС2р2	0

2	£|С]Р2+rjC|P+1 -МС^р2

-МС2р2	' L2C2p2 + r2C2p + 1
Рис. 1.9.

Раскрывая определители, запишем это уравнение в виде

[(£.tCiP2 +r1C1p+ 1)(£2С2р2 + r2C2p + D -М2 CiС2р4]6 = -MC2p2iB.

(1.25)

Если интерес представляет напряжение и2 на емкости С2, то, поскольку
и2 = (1/рС2)/2,из (1.25) получаем уравнение

[(LiCiP2 +Г1С1Р+ 1)(£2С2р2 +г2С2р+ 1) -M2CiC2p4]w2 = —MpiB.

(1.26)

Введем символическое сопротивление

~Мр
z(p) -------------------------------------------,	(1.27)

(LiCiP2 +Г1С1Р + 1)(/_2С2р2 + г2С2р + 1)-M2CiC2p4

определяющее связь между током внешнего воздействия /в и выходной
переменной системы рис. 1.8,6,

и2 =z(p)iB-	(1-28)

Поскольку оно показывает, каким образом внешнее воздействие управ-
ляет выходной переменной, Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов предложили
называть его "управляющим". Этот термин затем широко применялся в
теории автогенераторов [8] и будет использоваться далее.

По аналогии можно ввести управляющую проводимость, если внешнее
воздействие — источник напряжения, а выходная координата — ток в неко-
торой ветви, а также управляющие коэффициенты передачи тока и напряже-
ния. Очевидно, что входные сопротивление или проводимость любой цепи
являются частными случаями управляющих. '

Из (1.27) видно, что z(p) является дробно-рациональной функцией опе-
ратора р, причем степень полинома от р, стоящего в знаменателе, равна
удвоенному числу степеней свободы систем. Можно показать, что любые
символические сопротивления, проводимости или коэффициенты передачи,
характеризующие свойства линейной цепи с сосредоточенными постоянны-
ми и конечным числом элементов, могут быть представлены в виде:

г(р)=Д(р)/в(р),	(1.29)

где Ар) и S(p) - полиномы от оператора р.

*' Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики в их приме-
нении к изучению работы электронных генераторов. — М,—Л.: ОНТИ, 1934, 242 с.
В самом деле, если рассмотреть цепь общего вида, содержащую N неза-
висимых контуров, то в достаточно общем случае уравнение для л-го кон-
тура (рис. 1.9,а) имеет вид

Л’

2 <,*(p)'a=*,i (л =1,2.....Л/),	(1.30)

к = I

где z„„ (р) — символическое сопротивление кругового обхода />го контура,
2 пк (Р> — общее сопротивление п-го и Аг-го контуров, е„ — полная э.д.с.
л-го контура, равная сумме э.д.с. всех включенных в него источников.

Решая систему символических уравнений относительно переменных ik,
получим представление любого тока в виде суммы произведений управляю-
щих проводимостей ук„ (р), связывающих л-й источник э.д.с. с к-м током,
на соответствующую э.д.с.

Л’

*к = Укп^Р^п-	(1.31)

и = 1	<

Из этого решения видно, что все управляющие проводимости рассматривае-
мой цепи имеют один и тот же знаменатель, представляющий собой опреде-
литель системы уравнений (1.30).

Уравнение, подобное (1.30), можно было бы получить, воспользовав-
шись методом узловых напряжений, если эти напряжения выбрать в качест-
ве обобщенных координат.

Полезно иметь в виду то обстоятельство, что всегда существуют две це-
пи, которые после соответствующей нормировки описываются одной и
той же системой уравнений, причем в одной из них эти уравнения опреде-
ляют контурные токи, а в другой — узловые напряжения. В самом деле,
в общем случае сопротивление ?пк (р) в системе (1.30) имеет вид:

*л*(Р) =PL„*	+VpC„*.	(1.32)

Поставим ему в соответствие проводимость

уД(р)=р^\+^ + 1/р£“а.,	(1.33)

э.д.с. внешних воздействий е„ (г) поставим в соответствие источники токов
/“(f). Тогда для узловых напряжений u^lt) некоторой цепи можно записать
систему уравнений

N

S у»к(р)и*='*.	<1-34)

к = I
называемых уравнениями цепи, дуальной по отношению к исходной. На
рис. 1.9,6 показана цепь, дуальная по отношению к цепи рис. 1.9,а.

Нетрудно показать, что схемы рис. 1.7,а и 1.7,6 дуальны. Пример дуаль-
ных двухконтурных цепей показан на рис. 1.10. Отметим в заключение это-
го параграфа, что дуальные цепи могут быть построены не только в классе
линейных цепей. Примеры дуальных нелинейных цепей будут рассмотрены
далее.

§ 1.4. Уравнения линейных колебательных систем
с распределенными постоянными

В системах с распределенными постоянными (иначе именуемых "сплош-
ными", см. § 1.1) движение описывается, как правило, изменением во вре-
мени некоторой функции пространственных координат. Принципиальное
отличие сплошных систем от дискретных состоит в том, что для точного
описания движения сплошных систем необходимо определить поведение
любой из бесконечного множества точек системы. В одномерных системах
(см. § 1.1) движение описывается функцией и(х, t). одной пространствен-
ной координаты и времени. В двумерных и трехмерных системах — соответ-
ственно функциями двух и(х, у, t) или трех и(х, у, г, t) пространственных
координат и времени.

Для Получения этих функций, как правило, необходимо составить и ре-
шить дифференциальные уравнения в частных производных. В общем слу-
чае для описания электромагнитных колебаний нужно использовать уравне-
ния Максвелла [13]. Однако в простейших случаях правильные уравнения
можно составить, используя предельный переход от систем с сосредоточен-
ными постоянными. В данном параграфе мы ограничимся таким способом
получения уравнений и обсудим лишь одномерные системы.

Рассмотрим в качестве примера линию, показанную на рис. 1.11. Выде-
лим в ней два элементарных участка длиной Дх каждый. Представим
участок, прилегающий к сечению х, схемой замещения, содержащей элемен-
тарные индуктивности 0.5Z.' (х) Дх, сопротивления потерь в проводниках
0,5г’ (х) Дх, емкость между проводниками (?’(х)Дх и проводимость по-
терь в диэлектрике д* (х) Дх. Штрихами отмечены удельные индуктив-
ность, сопротивление, емкость и проводимость линии, имеющие следующие
размерности (обозначены квадратными скобками):

[L '(х)] = Гн/м, [г'(х)] = Ом/м,

[С'(х)] = Ф/м, [S'(x)] = См/м.

ч

Эквивалентная схема двух соседних участков линйи показана на рис. 1.12.
Воспользуемся ею для составления уравнений линии.

Для узла, характеризующего участок линии (х, х + Дх), запишем уравне-
ние первого закона Кирхгофа:	»

-/(х + Дх) + Z(x) = (рС’(х)Дх +д|'(х)Дх)и(х),
J'-'' '	'	-	 ’	'	-	.	..I

г’(х)Лх jL'(x)Ax ~Lr(z)Ax ^r'la,)ix \^r’(x+Ax)Ax %1!(х+Ах)Ax ^t'(x+Aa)Ax )r-'(x+Ax)Ax

4=ZJ—"^72x2^-----------^=4

д'(х)£А x=C'tx)Ax

тМ

g'fx+AzjAxl I :
yjafx-^x)
I *

-zlfa+Axjdx

Участок tx.x^Ax)

Участок (х+Лх, х* 2Ах)

Рис. 1.12.

а для контура, образованного эквивалентными схемами двух соседних
участков, уравнение второго закона Кирхгофа:

I (.'(х) + 7.’(х + Дх) ’г'(х) + г’(х + Дх)1

—и(х + Дх) + t/(x) = |р----+------2-----I '(* + Д*)-

Переходя в этих равенствах к пределу, получим систему уравнений в част-
ных производных

[рС’(х) +а',(х)]о = — Э//Эх,	(1.35)

\pL *(х) + г ’(х)]7 = — Эо/Эх.	(1.36)

Здесь р = Э/Эг — оператор нахождения частной производной по времени.

Система уравнений (1.35), (1.36) характеризует лишь свойства самой
линии. Чтобы описать поведение колебательной системы с линией, нужно
задать граничные условия. В случае схемы, показанной на рис. 1.11, эти гра-
ничные условия имеют вид:

7(0, г) = —рСво(0, г) +/в(г), и(1, г) = 0.	(1.37)

Наконец, начальное состояние системы, от которого зависит изменение
значений координат и(х, г), 7(х, t) в каждой точке и в каждый момент
времени, определяется начальными условиями. В рассматриваемом при-
мере примем, что начальное напряжение в каждом сечении линии и на вход-
ной емкости Св равно i/H (х) и что до включения источника /в (г) тока в
линии не было. Тогда начальные условия можно записать в виде:

7(0, х) = 0, о(0, х) =ин(*>-	(1.38)

Для конкретных задач часто требуется описать соотношения между
внешним воздействием в некотором сечении линии (например, в начале)
и реакцией на него в том же или в другом фиксированном сечении. Соотно-
шение между током 7 (О, t) в схеме рис. 1.11 и напряжением на входе ли-
нии можно описать, вводя символическое входное сопротивление линии

u(0, t)

гл(°,р)=—(1.39)
/(О, Г)

Определим его, пользуясь уравнениями (1.35), (1.36) и вторым из гранич-
ных условий (1.37). Предположим, что линия однородная, т.е. С*, L*, г' и
д' не зависят от х. Продифференцируем (1.36) по х и подставим в полу-
чившееся равенство выражение для 37/ Эх из (1.35). Получим уравнение

Э2о/Эх2 - (pL' +г’)(рС’ + д’)иО.	(1.40)
\ 5\£1Л J S'*"	' '* i Я’* 1 У '

r J ' I Of	W M	V —'

Запишем его формальное решение, рассматривая р как комплексную пере-
менную:

и(х, t) = {ch{ yfipL ’ + r'}lpC’ + д')(х - /)] }UC +

+ {sh[ у/ tpL ' + r')(pC' + д’)(x - /)]} t/s.

Чтобы было выполнено второе из граничных условий (1.37), постоянная

Uc должна быть тождественно равна нулю. Поэтому

и(х, Г) = {shy/(pL ' + r’)(pj’ +д')(х - 1)}US.	(1.41)

Пользуясь (1.36),определим Их, Г):

( /рС' +д'	/----;		--1

Их, t) = - V--;----chy/(pL + г)(рС + д')(%-/) t/s.	(1.42)

I pL + г	I

Полагая в этих выражениях х = 0 и подставляя их в (1.39), получим

IpC^r1' )---------т—;----

z„(O,p)=V-------- thy/(pL +r )(pC +g)l.	(1.43)

PC +g

Отметим, что в системах с распределенными параметрами символические
сопротивления, проводимости и коэффициенты передачи уже не являются
дробно-рациональными функциями оператора р. Поэтому равенству (1.39)
нельзя точно поставить в соответствие обыкновенное дифференциальное
уравнение. Однако в ограниченной области изменения комплексной пере-
менной р можно аппроксимировать гл (0, р) рациональной дробью и тогда
равенство (1.39) можно толковать как приближенное дифференциальное
уравнение рассматриваемой системы. Такая аппроксимация равносильна
замене цепи с распределенными постоянными эквивалентной схемой с
сосредоточенными постоянными. Естественно, что точность таких эквива-
лентных схем ограничена, так же как и класс задач, для которых их можно
применять. Однако, если известно точное выражение для символической
функции типа (1.43), то всегда можно построить последовательность
дробно-рациональных функций, обеспечивающих все более высокую точ-
ность аппроксимации. В принципе, всегда можно подобрать аппроксими-
рующую функцию, обеспечивающую необходимую для конкретной задачи
точность и, опираясь на нее, толковать (1.39) как дифференциальное урав-
нение системы.

Если рассматривается реакция сплошной системы на гармоническое
внешнее воздействие с частотой ш, то комплексные амплитуды установив-
шихся колебаний при любом х находятся из (1.35), (1.36) после замены р
на /ш. Соответственно, z„ (О, /ш) имеет смысл комплексного входного
сопротивления линии.

Используя символическое сопротивление линии и первое из граничных
условий (1.37) , нетрудно получить символическое уравнение для напряже-
ния на входе колебательной системы рис. 1.11

u(0, t)«

1

—:-----------(И •

z"1 (0,р) +рС

>	(1.44)

Такой подход позволяет упростить анализ систем, состоящих из несколь-
ких линий. Рассмотрим в качестве примера систему из двух линии с вход-
ными сопротивлениями гл t (О, р) и гл2 (О, р), шунтированных емкостями
С) и Сг и связанных между собой через емкость Сз (рис. 1.13). С учетом
25
указанных на рис. 1.13 положительных направлений для напряжений на
входах линий их символические уравнения можно записать в виде:

{znj(O,p) +p(Ci + C3)}ut -рС3и2

-рС3и\ +z’* (0, p) + p(C2 + C3) }u2 = 0.

(1.45)

Такая форма записи позволяет подметить и использовать аналогию системы
рис. 1.13 с системой двух связанных колебательных контуров.

Рис. 1,13.

Приведем еще два примера сплошных систем, которые будут исполь-
зованы в следующих главах.

Первый пример — идеальная линия задержки. Пусть на входе однородной
линии без потерь, нагруженной на сопротивление Ro =\/£' /С', действует
источник тока /в (рис. 1.14). В этом случае д' =0, г ' = 0 и уравнения линии
(1.35), (1.36) переходят в

рС'и = — ЪПдх,	(1.46)

pL'i = -du/dx,	(1.47)

а граничные условия принимают вид

/(0,t)=/B (г»,	(1.48)

u(l, t) = Roi(l,t}.	(1.49)

Уравнение (1.40) в этом случае также упрощается:

Э2о/Эх2 — р2 LC'u =0	(1.50)

и имеет общее решение

и(х, t) = expipy/L'C'1 х) ио(г) + ехр(—р-у4.'С'*х) ил (г).	(1.51)

Этой символической записи соответствует запись решения в виде суммы
двух волн в линии: прямой и обратной, т.е.

и(х, t) = ип (t — x/v) +i/o(t +x/u),	(1.52)

где

u= 1 /yjL'C''	(1.53)

-фазовая скорость волны в линии. Подставляя (1.51) в (1.47), получим

exp(-pv4.'c' x)un (г).

(1.54)

Из (1.51) и (1.54) видно, что граничное условие (1.49) может быть выпол-
нено в случае, когда обратная волна отсутствует, т.е. ио (г) = 0. При этом
в соответствии с (1.51), (1.52)

u(l, t) = ип (г - т) = ехр(-рт)оп (Г),

где t = Uv — время задержки прямой волны на отрезке длины I. Кроме того,
при1/0(г)= 0 из (1.48), (1.51), (1.54), получаем

ип (г) = и (0, t) = Ro /(0, t) = RoiB (t).

i(x, t) = — exP(px
Таким образом, однородная линия без потерь, нагруженная на волновое
сопротивление Ro = х/L'/C1', обеспечивает идеальную задержку входного
напряжения на время т = / /у , а связь между ее входным i>i (t) = u(0, t) и
выходным u2 (t) = u(l, г) напряжениями определяется оператором задержки

(t) = ехр(-рт) Uj (t).	(1.55)

Второй пример - однородная ЯС-линия, возбуждаемая источником тока
на входе и разомкнутая на выходе (рис. 1.15) .Такие линии применяются для

построения фильтров и генераторов колебаний. В этом случае L = 0,д' = О,
а г'(х) = г'и С’(х) = С не зависят от х. Уравнения (1.35), (1.36) переходят в

рС'и = - di/dx ,	(1.56)

г7= —Эи/Эх,	(1.57)

а граничные условия принимают вид

/(О, t) =/в (Г),	(1.58)

/(/, t) = 0.	(1.59)

Уравнение для тока Их, t) получим, исключив и из (1.56), (1.57). Общее ре-
шение его запишем в виде

i (х, t) = jch [VpC?'\х - /)]} /с + { sh [xJpC'r'|х - I)]) /s.

Граничному условию (1.59) удовлетворяет лишь решение, в котором /с = 0.

Поэтому _____________

i (х, t) = (sh [x^C'r'fx — I )]) /s.

Из (1.56) находим

и (х, t) = - х/—7 ! ch [ x/pC'r'lx - I )] I Zs,
pC

а из граничного условия (1.58) найдем

1

4 = ~	Л. 'в (И.

sh(\/pC г I)

Поэтому для выходного напряжения и2 (t) =u(/,t) получим символичес-
кое выражение

(t) =z(p)/в (t),	(1.60)

где

x/r'IpC'

=	(1-6D

sh(VpC.r/)

—управляющее сопротивление ЯС-линии, показанной на рис. 1.15.

Подводя итог анализу примеров составления уравнений систем с рас-
пределенными параметрами, подчеркнем, что для полного.описания двмже-
ния в таких системах необходимо решать уравнения в частных производ-
ных. Однако Между токами и (или) напряжениями в фиксированных се-
чениях этих систем можно найти символические соотношения, подобные тем,
которые используются при анализе систем с сосредоточенными постоян-
ными. Символические характеристики (сопротивления, проводимости,
коэффициенты передачи), входящие в такие соотношения, уже не являют-
ся дробно-рациональными функциями операторар.

§ 1.5. Уравнения автономных генераторов колебаний

Как отмечалось ранее, символический метод составления уравнений
движения удобен при анализе нелинейных систем. Одним из важных клас-
сов таких систем являются автономные генераторы колебаний или автоге-
нераторы. Они содержат обычно лилейную часть, активный нелинейный
элемент и источник энергии. Основная особенность автогенераторов состоит
в том, что при определенных условиях в них могут возникнуть и существо-
вать периодические движения обобщенных координат— автоколебания. По
этой причине их именуют иногда автоколебательными системами. Период
автоколебаний определяется в отсутствии внешних воздействий парамет-
рами самой системы, а энергию они получают от источника питания. Преоб-
разование энергии источника питания в энергию колебаний происходит в
активном нелинейном элементе. Автоколебания наблюдаются в системах
самой различной физической природы: механических, электрических,
квантово-механических, биологических и т.д. Далее мы будем рассматри-
вать главным образом электрические и электромеханические колеба-
тельные системы.

Пример схемы автогенератора на туннельном диоде, являющемся актив-
ным нелинейным двухполюсником, показан на рис. 1.16. Зависимость
тока диода /д от приложенного к нему напряжения ия (рис. 1.17) имеет
падающий участок. Напряжение питания Е должно быть выбрано так, чтобы

в отсутствие колебаний рабочая точка находилась на падающем участке
характеристики.

Символическое уравнение схемы рис. 1.16 имеет вид

(р£+г)(1/рС)

Е - z(p)ia(ua) = иа. где z (р) =------------- (1.62)

pL + г'+ У/рС

—символическое сопротивление контура. Освобождаясь от знаменателя
в (1.62) и вводя новую переменную

и = ил-Е,	(1.63)

что равносильно сдвигу начала координат на рис. 1.17 по оси абсцисс впра-
28
во, запишем уравнение этого автогенератора в виде

ip2LC+prC + 1)u + ipL +г)/д(о) = 0.	(1.64)

Поскольку iд нелинейно зависит от и, дифференциальное уравнение (1.64)
является нелинейным.

В случае, когда вместо контура включен какой-либо иной двухполюс-
ник с сосредоточенными параметрами, его входное сопротивление можно
представить в виде

Aip) аорп+aipn~l + .. .+an~t р+а„

zip) = ---- = --------------;-------------------- ,	(1.65)

в ip) bopm+biPm * + ...+b„,_ iP +bm

и из (1.62), (1.63) вытекает следующее уравнение автогенератора:

В ip) и + А (р)7д(и) = 0.	(1.66)

Рассмотрим теперь автогенератор на активном нелинейном четырех-
полюснике (полевом транзисторе) с обратной связью. Простейшая схема
с трансформаторной обратной связью показана на рис. 1.18. Предположим
что входной ток полевого транзистора равен нулю, а выходной (ток стока)
зависит от входного у выходного напряжений. Уравнение такого генера-
тора можно записать, выразив переменную составляющую входного напря-
жения через ток 7 и символическое управляющее сопротивление цепи об-
ратной связи г ip) . Поскольку

1	ipL+r)WpC)

L pL+r	pL+r + VpC

для схемы рис. 1.18

и = zip)iiu + £с,	-uc+£c),	(1.67)

где

рМ

zip) =-----5------------- .	(1.68)

р2 LC + prC + 1

Для упрощения анализа примем следующие допущения: а) £с выбрано так,
что зависимостью тока стока от t/c можно пренебречь; б) смещение £э фик-
сировано и рассматривается как параметр характеристики активного эле-
мента

7(u)=7(u + £3, -ис + Вс)-	(1.69)

Тогда зависимость Ни) имеет такой вид как показано на рис. 1.19,а. Для
получения установившихся колебаний удобна характеристика, крутизна
которой уменьшается при отклонениях йот нуля как в область положитель-
ных, так и в область отрицательных значений (рис. 1.19,6). Такая характе-
ристика получается, например, в активном элементе, составленном из двух
полевых транзисторов, суммарный ток стока которых задан последова-
тельно соединенными источниками напряжения £и и сопротивлением ЙИ.
Автогенератор с таким активным элементом показг ) на рис. 1.20.

Из (1.67) - (1.69) получается следующее уравнение:

Iр2LC + prC + 1) и + рМЦи) =0.	(1.70)

Внешне уравнение (1.70) мало отличается от (1.64), однако величина тока
7 (и) контролируется не тем напряжением, которое приложено к его за-
жимам, а напряжением между двумя точками управляющего входа. Общей
для двух рассмотренных выше активных приборов является модель, пока-
Рис. 1.20.

Рис. 1.22.

занная на рис. 1.21 и представляющая собой источник тока, управляемого
напряжением. Вместо линейной цепи обратной связи, показанной на
рис. 1.18, 1.20, может быть включен любой линейный четырехполюсник,
в котором могут быть реализованы условия возникновения и существова-
ния автоколебаний требуемого вида. Таким образом, получается достаточ-
но общая модель автогенератора (рис. 1.21). Зная символическое управ-
ляющее сопротивление линейного четырехполюсника г (р), можно записать
уравнение этого автогенератора в виде

u=z(p}i(u}.	(1.71)

Частными случаями такого генератора являются все трехточечные схе-
мы. Они получаются, если четырехполюсник обратной связи построить из
трех двухполюсников zx (р), z2(p) и z3 (р) (рис. 1.22). В этом случае, как
можно показать.

Zi(p)z2(p)

Z(p) =---------;--------------

zt (р) + z2(p) + z3(p)

(1.72)

Если z1(p)=p£1+Г], z2(p)=pZ.2+r2, z3(p)= 1/pC, то получается схема
рис. 1.23, обычно называемая индуктивной трехточкой [8]. Управляющее
сопротивление для этой схемы имеет вид

(pt, +f! )(р£2 +г2)рС
z(p) =-------------------

р2£С+ргС+ 1

где L = L ] + L2. г = г, + г2.

(1.73)
Если z, (р) - 1/pCt, z2 (p) = 1/pC2, z3 (p) = pL + r , то получается ем-
костная трехточка рис. 1.24. Для нее

1

г (р) = - —-----------------------------,

рК?! + С-2)(р2 LC + ргС + 1)

(1.74)

где С ~ С\С2 / (Сi + С2).

Подставляя (1.73), (1.74) в (1.71), получим дифференциальные урав-
нения простейших трехточечных схем:

'	d2 d	\

L С —— + г С -+ 1 ]и +

>	dr2	dt	/

d*

+ LtL2C —
dr

d2	d •

C(L\t2 + L2t\} —-r- + Cr । г 2--

dt2	dt J

/(u) = 0.

d ,	d2	d	ч

(Ci + C2) ----ILC —~ + rC----------- + 11 и + Hu) = 0.

dt \	dt2	dt	J

(1.75)

(1.76)

В отличие от (1.64), (1.70) эти уравнения имеют третий порядок, т.е. опи-
сывают системы с полутора степенями свободы.

Обратим внимание на одну техническую деталь. Чтобы схемы, подобные
схеме рис. 1.18, нормально работали, необходимо [8], чтобы в цепи
управляемого генератора и в цепи управления могли протекать постоянные
составляющие токов и все гармоники, а постоянные напряжения на выход-
ном зажиме и на входе, вообще говоря, различались. Схема рис. 1.18 удов-
летворяет этим требованиям. Подключив источники питания и смещения.

Рис. 1.23.

Рис. 1.24.

обеспечивающие соответствие схемы рис. 1.25 модели рис. 1.23, видим,
что если принять сопротивления источников питания для высоких частот
нулевыми, то сформулированные выше требования могут быть удовлет-
ворены при практической реализации модели рис. 1.23. Что же касается
модели рис. 1.24, то ее нельзя реализовать с обеспечением этих требований.
Необходимо ввести дополнительные элементы, например так, как показано
на схеме рис. 1.26. Введение этих элементов повышает порядок уравнения
автогенератора и может привести к существенным отличиям поведения
реальной схемы от предсказываемого на основе анализа упрощенной моде-
ли. В частности, могут возникнуть нежелательные (паразитные) колебания
на частотах, отличных от частоты основных колебаний. Используя (1.71) и
(1.72) и учитывая, что в схеме рис. 1.26.

1 1

1 pCi + {pLt +Г] Г1 '	2 рС2 + \pL2 +г2)-|

z3=p£3+r3 + 1/рС3,
Рис. 1.25.



у 4*5;



Рис. 1.26.	Рис. 1.27.

частотах. Как видно из рис. 128 и 122, в этом случае
1	1

z1(p) = A1,	z2(p)=	.	.	z3(p)- ——-

рС2 + 1/л2	рС3

и в соответствии с (1.72)
Я]РЯ2Сз

z(p) = — —........... ...........

(pRiC3 +1)(рЯ2С2 +1)+рЯ2СЛ

П-79)

В отличие от схемы рис. 1.22 ток управляемого генератора в схеме
рис. 128 имеет противоположное направление. (Далее будет показано.

можно записать уравнение этой схемы в виде

[(р2£3С3 + рг3С3 + 1)(р2£2С2 + рг2С2 + Шр^С, +рг1С1 + 1) +

+ рС3 (pL2 + r2}{p2 LjCj +prlCl + 1) +

+рС3 {р1 L2C2 +рг2С2 + 1 > (рL! +Г])]1/ +

+ pC3(pL2 +r2}(pLi + rt }Ци} =0.	(1,77)

Это уравнение имеет шестой порядок, т.е. описывает систему с тремя
степенями свободы. Сравнивая (1.77) с (1.76), видим, что модель рис. 1.24
отражает лишь некоторые свойства более близкой к реальности модели
рис. 1.26. Тем не менее реальные схемы строятся так, что именно эти свой-
ства определяют их поведение в первом приближении, а влияние остальных
элементов приводит к небольшим поправкам для основных характеристик
генератора, таких как частота и амплитуда колебаний.

Трехточечная схема рис. 1.22 используется и на сверхвысоких часто-
тах. Сверхвысокочастотным аналогом емкостной трехточки рис. 1.24 являет-
ся схема, показанная на рис. 1.27. В ней вместо индуктивности L и сопро-
тивления г включен отрезок линии I с емкостью С3 на входе. Последняя
обычно равна собственной емкости между соответствующими электродами
активного прибора. В этой схеме

1	1

*1(р) = ——,	z2(p) =----

pCi	рС2

1

гз (р) =-----------:-------,

рС3 + гл (0,р)

(1.78)

где символическое сопротивление линии zn (0,р) определено равенством
(1.43). Подставляя эти выражения в (1.72) и используя (1.71), нетрудно
записать формальное символическое уравнение автогенератора, имеюще-
го колебательную систему с распределенными постоянными. В дальнейшем
будет показано, что такая форма записи уравнения удобна для исследова-
ния поведения автогенератора приближенными методами.

Частным случаем трехточечной схемы является и АС-автогенератор с
мостом Вина (рис. 1.28), -используемый обычно на относительно низких

что генератор сможет работать лишь с таким активным элементом.) - По-
этому в (1.71) следует изменить знак перед вторым слагаемым и записать
дифференциальное уравнение R С-генератора в виде:

[p2A1C3A2C2 +р(Л?,Сз +Я2С2 + А2Сз) + 1]и-рЯ2СэАг/<о)=0.

(1.80)

По форме оно совпадает с (1.70) при М< 0, однако количественные соотно-
шения между различными слагаемыми в (1.80) существенно иные. Из
общности формы уравнений вытекает возможность общего подхода к
их решению, а из количественного различия соотношений параметров
может вытекать существенное различие количественных характеристик
двух сравниваемых генераторов.

Автогенератор на ЯС-линии, схема которого показана на рис. 1.29, не
сводится к трехточечному. Его символическое уравнение можно записать,
используя (1.71) и (1.61),

и =--------/(у).	(1.81)

sh(Vpf'r7)

Как и уравнение генератора СВЧ с линией, оно не сводится точно к обык-
новенному дифференциальному, однако использование записи (1.81)
позволяет успешно применять приближенные методы теории колебаний.

Во всех приведенных выше примерах автогенераторы содержали один
нелинейный элемент, который, кроме того, обеспечивал усиление мощ-
ности входных колебаний и потому являлся активным четырехполюсни-
ком или двухполюсником. Часто встречаются генераторы, содержащие два
и более нелинейных элементов. Рассмотрим несколько вариантов таких
генераторов.

Если для управления частотой к контуру автогенератора рис. 1.16 под-
ключить варикап, то получится схема, показанная на рис. 1.30. Простейшая
модель варикапа — нелинейная емкость, описываемая вольткулоновой
хара ктеристи кой

qB ~q1u),	(1Л2)

где qB — заряд на нелинейной емкости. Пример характеристики варйкаяа
показан на рис. 1.31.	.	„

3. м.в. Капранов	33
V '

с1

Рис. 1.32.	Рис. 1.33.

(1.83)

(1.84)

(1.85)

Символическое уравнение генератора рис. 1.30 является обобщением
уравнения (1.62) и имеет вид

Е-г(р)[/д(од)+/в (и)] = ид.

Здесь /в (и) — ток через варикап. Очевидно, что

, , dqB	dq du	dq

iB (u) = -- =---------=------ PU.

dt	du dt	du

Дифференциальная емкость варикапа

с/ [<7 (tz)J

Св (и) = —-------

du

находится по вольткулоновой характеристике (1.82). Подставляя (1.85),

(1.84) в (1.83) и используя замену переменной (1.63), получим уравнение

(р2 LC + prC + 1)u + IpL +г) [/д(и) + Св 1и)ри] = 0.	(1.86)

Его можно привести к виду, подобному (1.64). Для этого нужно ввести
характеристику нового "эквивалентного" нелинейного элемента

i3 (и, ри) = ialu) + Св 1и)ри.	(1.87)

В записи (1.87) подчеркнуто, что эта характеристика зависит как от самой
обобщенной координаты, так и от ее производной ри. Далее будет показа-
но, что это обстоятельство существенно влияет на свойства автогенератора.
Подставляя (1.87) в (1.86), получим уравнение

Ip2 L С + ргС + 1 )u + IpL + г)/э {и, ри) = 0.	(1.88)

Несколько более сложным и более общим примером автогенератора с
двумя нелинейными элементами является трехточечная схема, перестраи-
ваемая по частоте варикапом. Пусть нелинейная емкость (модель вари-
капа) подключена параллельно элементу гх (р), напряжение на котором
обозначим ив (рис. 1.32). Тогда, поскольку ток через варикап вытекает
из того же узла, что и ток активного элемента Ни), уравнение схемы
рис. 1.32 можно записать подобно (1.71) :

и — zip) Щи) +/в (ов ,рив )) = 0.	(1.89)

Здесь zip) определяется формулой (1.72), а непосредственно из схемы
видно, что ц, и о связаны уравнением

гг Ip) + z3(p)

Таким образом, эта схема описывается системой двух символических
уравнений.

Для емкостной трехточки с варикапом (рис. 1.33) управляющее сопро-
тивление z (р) определяется выражением (1.74) и система уравнений
(1.89), (1.90) приводится к виду:

(Ct + С2 }р (Д Ср1 2 + г Ср + 1 )u + Ни} + Св (ов) рив =0,

(L С2р2 + rC2p + 1) и = ив

Эти два уравнения равносильны одному, имеющему тот же порядок, что и
уравнение (1.76), но характеристику нелинейного элемента

/э (и, ри, р2и, р3и} = Ии} +

+ Св[ЦС2р2 +гС2р + 1 )u] (LC2p3 +rC2p2 + р}и,	(1.91)

зависящую от обобщенной координаты и, а также от ее первой,.второй и
третьей производных

(С| + С2 }p(LCp2 + г Ср + 1)и + /э(у, ри, р2и, р3и} = 0.	(1.92)

В случае индуктивной трехточки (рис. 1.34) подключение варикапа
приведет к повышению порядка уравнения, поскольку образуется допол-
нительный контур. Уравнения этой схемы предлагается составить самостоя-
тельно.

Практическое применение находят и автогенераторы с несколькими
активными элементами и несколькими реактивными нелинейными эле-
ментами. Рассмотрим два примера таких генераторов.

На рис. 1.35 показана эквивалентная схема генератора, в котором
с одним колебательным контуром связано п нелинейных двухполюсников
с отрицательным сопротивлением. Систему символических уравнений та-
кого генератора запишем, используя метод контурных токов:

U] + (pL, + Г] )/'| (uj) ~pMJ = 0,

и2 + {pL2 + г 2}i2 (и2 ) — рМ2 i = 0,

и„ + (pLn +r„}i„(u„] ~pM„i = Q,	(1.93)

(рД+г +-------\i-p SMkik(uk} = 0.

\	pC 1	k=\

В частном случае, когда можно принять Lt =0,ri =0 (/ =1,2, ...,л),
все напряжения ut выражаются через ток контура и вся система урав-
нений может быть сведена к одному:

.	, " мк

(р2LC + prC +\}i — МСр2 S------- ik (Mkpi} = 0,	(1.93а)

* = | М

1	"

где М =---- 1' Мк.




1 '> ! '*

Рис. 1.36.

• «•-к

Из (1.93а) видно, что совместное действие токов всех активных эле-
ментов равносильно действию некоторого эквивалентного активного
элемента, ток которого равен сумме токов всех элементов с весовыми
коэффициентами Мк!М. Если же нельзя сделать допущения £; = 0, rt =0
(/ =1,...,л), то работу схемы надо анализировать, пользуясь более
точными уравениями (1.93) .

На рис. 1.36 показана схема так называемого "кольцевого генератора",
который представляет собой замкнутый в кольцо многокаскадный резо-
нансный усилитель. Непосредственно из схемы получаем систему символи-
ческих уравнений

pLn + гп	. , ,

-wi = ~-----------------— 'п <w„),

Р LHC,t +РГцСц + 1

PLi + П

-u2 = —-------------------*i(Ui),

p LiCi +РГ1С1 + 1

(1.94)

p£„_t + r„ _ ।

и,, - z —	—	~ hi -1 (w»> -1 )•

p2Lll_lC„_, +pr„_| C,i_1 + 1

При анализе общих свойств автоколебательных систем часто оказы-
вается удобным привести исходную систему уравнений к широко исполь-
зуемой в математике [23] канонической форме, т.е. к системе уравнений
первого порядка, в которой производная от каждой обобщенной коорди-
наты выражается через все обобщенные координаты:

рх( = ft (xlz х2......х,„),

рх2 = f2 (xj,x2.......х,„),	(1.95)

Р*т = l*i, х2, . . . ,х,„).

Относительно функций, стоящих в правой части, обычно делаются допу-
щения об однозначности и ограниченности. Иногда дополнительно требуют
их непрерывности или даже дифференцируемости. В уравнениях для* кор-
ректных моделей первые два допущения выполняются всегда. Канони-
ческая форма записи уравнений динамической системы органически связа-
на с представлением ее движения в фазовом пространстве (гл. 2).

Покажем, как привести к канонической форме уравнения кольцевого
генератора. Введем обозначения ц =x3t _1( put = x2Z . Тогда вместо (1.94)
36
можно записать

Р-*1 = *2.
гп	1	1

Рх2 =-----— Х2 - - XJ + —— [1-„1п(хгп-^*2п + Гп!п С*2И-1 )1 .

<-н	‘П',П

Рх3 = Х4,

Г\	1	1

рх4 =-------х4-----------xj +--------[£! i I (xj )х2 +rlil (xt)],	(1.96)

Z. i L j Ct L ।

Pxln-\ = x2n.

r”~'	1	+	1 у

l-n — I	^n - 1 Cn — I	Z-n-l^n-l

X l^-л—1 1 n — |(х2и-з)х2»-2 + rn- 1 * (x2n - 3 

,	di I

Здесь ii (x) --- (/ = 1,2, ..., л). При обычно встречающихся в прак-

dx

тике характеристиках /,(х) требования непрерывности и ограниченности
правых частей этой системы уравнений в любой ограниченной области
пространства переменных xt, х2,... выполняются.

Если таким же приемом воспользоваться для приведения системы урав-
нений (1.93) к канонической форме, то требование ограниченности правой
части канонической системы может не выполняться, что дает основание для
утверждения о некорректности модели рис. 1.35. Подробнее этот вопрос
будет рассмотрен в последующих главах.

При обсуждении уравнений линейных систем было отмечено, что каждой
системе можно поставить в соответствие дуальную, которая описывается
теми же уравнениями, но обобщенные координаты имеют иной смысл —
напряжения в дуальной системе описываются теми же уравнениями, что
и токи в исходной, и наоборот. Утверждение о существовании в общем
случае двух электрических систем, описываемых одним и тем же уравне-
нием, носит название принципа двойственности. Покажем на конкретных
примерах, что он справедлив не только для линейных систем, но и для
нелинейных. При этом для нелинейных элементов при построении дуальной
системы нелинейной зависимости / (<4 ) в исходной системе ставится в
соответствие зависимость и* (/д) в дуальной. Иначе говоря, генератор
тока, управляемый напряжением, замещается генератором напряжения,
управляемым током. Аналогичное толкование имеют и другие замены
нелинейных элементов.
формально мы получим из рис. 1.17

В соответствии со сказанным
уравнение системы, дуальной к
схеме рис. 1.16, получается из
(1.62), заменой£->/п, z(p) ->
-> уа (р), где

Д1 t (рС“ + дд)(1/р£д )
рСд + дд + (1/р£“)

(1.97)
и /д(оп) наи5('д>- Последнюю
заменой обозначений по осям.

Однако, если, как обычно, изобразить ее, указав по оси абсцисс напряже-

ние, а по оси ординат ток, то получится зависимость, показанная на
рис. 1.37. Следовательно, активному нелинейному двухполюснику с Л/-об-
разной характеристикой рис. 1.17 в исходной системе соответствует двух-
полюсник с S-образной характеристикой в дуальной. В итоге уравнению
(1.62) исходной системы соответствует уравнение



/д -уа (plpf (/д) =/д	(1.98)

для дуальной. Из (1.97) , (1.98) видно, что схему дуальной системы можно
изобразить так, как показано на рис. 1.38.

По (1.71), (1.72) можно записать уравнение обобщенной схемы, дуаль-
ной по отношению к трехточке рис. 1.22

/п -/д (р)ид (/я) = 0,	(1.99)

где управляющая проводимость имеет вид

П( ,	/?(Р>/Я(Р>

(1.100)

Дуальная схема изображена на
рис. 1,39. Треугольнику из соп-
ротивлений zt(p), z2(p), z3(p) со-
ответствует звезда из прово-
димостей /?(р) , У2 (р). Уз (pl 
Генератору тока Ци), управ-
ляемому напряжением и на
г2 (р), ~ генератор напряжения
ид(/д), управляемый током че-
рез уг (р) • На рис. 1.40, 1.41
показаны схемы, дуальные, со-
ответственно, индуктивной
трехточке (рис. 1.23) и емкост-
ной трехточке (рис. 1.24).

Приведенные примеры авто-
генераторов — лишь малая часть
схем, используемых на прак-
тике. В конкретных схемах эле-
менты расположены так, чтобы
количественным изменением
какого-либо параметра (напри-
мер крутизны активного эле-
мента) можно было, обеспе-
чить возникновение и существование автоколебаний. Условия, - ко-
торым должны удовлетворять эти схемы, можно выяснить, анализи-
руя их уравнения. Отметим лишь одну общую черту всех рассмотренных в
этом параграфе уравнений. Они не содержат зависимости от времени в явной
форме (см. (1.95)). Время входит только как аргумент, от которого
зависят обобщенные координаты. Это означает, что в какой бы момент
времени t0 ни быди заданы начальные условия, все законы изменения
обобщенных координат не изменятся . Иначе говоря, они инвариантны
по отношению к сдвигу начального момента времени. Эта инвариантность
является фундаментальным свойством автономных систем, формальный
признак которой — отсутствие явно входящего параметра времени в урав-
нениях системы.

§ 1.6. Уравнения неавтономных систем.

Параметрические генераторы и усилители

Простейшие модели неавтономных автоколебательных систем получают-
ся из схем одноконтурных автогенераторов рис. 1.16, 1.20, если их допол-
нить источниками внешних воздействий. На рис. 1.42, 1.43 показаны схемы
с двумя способами введения внешнего воздействия: от источника напряже-
ния, аддитивного с управляющим напряжением активного элемента, и от
источника тока, аддитивного с током активного элемента. Для схемы
рис. 1.42,а получается уравнение, отличающееся от (1.64) добавлением к
управляющему напряжению и напряжения внешнего воздействия ив (И

(p2LC+prC + 1)u + (pL + r)ia[u + uB(t)] =0,	(1.101)

а для схемы рис. 1.42, б — добавлением тока внешнего воздействия

(р2 LC + ргС + 1 }и + (pL + г) [/д (и) + /в (Г)] = 0.	(1.102)
Вводя эквивалентное напряжение

(1.103)

и замену переменной
и' = и — и'в (г).

уравнение ( 1.102) можно привести к (1.101):

(р2£С +ргС + 1) и' + (р£ +г)/д[и' + и'в (г)] = 0.

Это означает, что при одинаковых внешних воздействиях uB(t) иов(Г)
напряжения на нелинейных элементах и + uB(t) в схемах рис. 1.42, а, б будут
изменяться одинаково. Аналогично с использованием (1.70) получаются
уравнения для схем рис. 1.43. Еще раз подчеркнем, что анализ схемы при
одном виде внешнего воздействия сводится к ее анализу при другом виде
лишь при определенных соотношениях между внешними воздействиями

и для тех координат, для которых одинаковы уравнения систем.

Запишем уравнение трехточечного генератора, на который действует
источник напряжения ив (Г) с внутренним сопротивлением zB(p), под-
ключенный так, как показано на рис. 1.44, а. Заменяя источник напряжения
источником тока /в (Г) = zB* (р) ив (г), получим схему рис. 1.44,6. Сравни-
вая ее со схемой рис. 1.21, видим, что подключение источника внешнего
воздействия изменяет сопротивление (р), которое следует заменить на

Z|(p)ZB(p)

Z! (р) = -----------

Z1(p)+ZB(p)

(1.104)

а вместо генератора тока i (о) оказывается включенным генератор тока
i (о) +'в (f)  Поэтому символическое уравнение схемы рис. 1.44, б имеет

вид

и - г'(р) [/(р) + /в (и)] = 0,

где	t

,, ,	z((p)z2(p)

21 (р) =----—-----------------— .

Zi (р) + z2 (р) +z3(p)

(1.105)

(1.106)

Рис. 1.44.

Схема рис. 1.44, б эквивалентна схеме рис. 1.44, а в отношении напря-
жений на всех элементах, не входящих в цепь источника внешнего воз-
действия. В частности, она позволяет правильно найти по о с помощью
очевидного соотношения

*з(р) \
-------1 и.

za(p) /

(1.107)
Однако для расчета тока / 2 через zB (р) эта схема непригодна, и необходимо
воспользоваться исходной схемой рис. 1.44, а, в соответствии с которой

iz =^в(рН“в

До сих пор рассматривались системы, в которых внешнее воздействие
влияет непосредственно на обобщенные координаты через изменение их
баланса в каком-либо узле или контуре. Другой способ внешнего воздейст-
вия — изменение одного или нескольких параметров. Пример линейной
системы с таким воздействием показан на рис. 1.6,5. Известно, что при
определенных соотношениях между средней резонансной частотой контура
и частотой внешнего воздействия существует возможность потери устойчи-
вости состояния равновесия в этой системе с возникновением колебаний на
частоте, находящейся в кратном отношении с частотой внешнего воздейст-
вия. Возникающие колебания получают энергию от устройства, изменяюще-
го параметр контура, и потому называются параметрическими. Символичес-
кое уравнение контура с периодически изменяющейся емкостью (рис. 1.6,5)
можно записать, выбрав в качестве обобщенной координаты заряд, проте-
кающий по контуру. Пусть напряжение на емкости и связано с зарядом q
соотношением

1

и= ------q.

С (Г)

Пользуясь вторым законом Кирхгофа, получим
1

(pL +r)pq+ ------ g = 0.

С (Г)

Если принять, что

1

с (Г)

1

= — [1 + a(r)J,
Со

то это уравнение можно представить в виде

LCop*q + rCopq + [ 1 + а (Г)] q = 0.	(1.108)

При периодическом изменении а (г) оно может быть приведено к уравне-
нию Хилла [22], а при гармоническом законе изменения — к уравнению
Матье [22]. Уравнение вида (1.108) позволяет определить условия возник-
новения параметрических колебаний и описать их поведение, пока ампли-
туда таких колебаний достаточно мала.

Описывать реальный генератор параметрических колебаний с помощью
линейной модели рис. 1.6,5 при больших амплитудах колебаний уже
нельзя. При практической реализации такого рода скем изменение емкости
С (г) происходит за счет периодически меняющегося воздействия на
нелинейную емкость. Пример такой реализации иллюстрируется рис. 1.45.
Периодическое изменение нелинейной емкости с вольткулоновой характе-
ристикой и (о) происходит здесь за счет изменения заряда на ней при проте-
кании тока, вызванного напряжением ов( г). Источник внешнего воздействия
подключен через фильтр, состоящий из элементов Lt, Cit r.t. Выбрав в
качестве обобщенных координат заряды qx и q2, протекающие по
контурам, запишем систему уравнений схемы рис. 1.45:

(р2/.! +РГ1+—Ki +U(«7i -«72)=WB(t),

\	Ci '	(1.109)

-</(<7i -q2) + (p2L2 +Pr2)q2 = 0.

Отметим, что эти уравнения описывают нелинейную неавтономную систе-
му с непараметрическим внешним воздействием. Однако при определенном
выборе элементов этой схемы в ней наблюдается параметрический меха-
низм возникновения колебаний. При больших амплитудах колебания пове-
дение схемы рис. 1.45 существенно отличается от поведения схемы
рис. 1.6,6 — в первую очередь из-за того, что в линейной модели нет меха-
низма, приводящего к ограничению возникших колебаний, а в нелинейной
модели такие механизмы есть. Наиболее очевидный из них — ограничен-
ность мощности, которую может отдать генератор с напряжением холостого
хода ив (г) и внутренним сопротивлением г t. Таким образом, в схеме
рис. 1.45 могут существовать установившиеся колебания, механизм воз-
буждения которых является параметрическим. По этой причине такую
схему называют параметрическим генератором [ 10]. В частном случае, когда
частота установившихся колебаний точно равна половине частоты внешнего
воздействия, эта схема представляет собой важный для практики функцио-
нальный узел радиоэлектронных схем — делитель частоты на два.

Очень интересны для практики схемы с комбинированным внешним
воздействием — по координате и параметрическим. Простейший пример
такой схемы показан на рис. 1.6,в. Уравнение этой схемы отличается,
например от (1.108), наличием напряжения внешнего воздействия в правой
части и имеет вид:

LCop2q + rCopq + [1 +а (Г)] q = uB (t).	(1.110)

Параметрическое внешнее воздействие a (f) приводит к частичной ком-
пенсации потерь на сопротивлении г и тем самым к увеличению тока в
контуре на частотах ив (г), близких к половине частоты параметрического
воздействия а(г). При этом за счет мощности, отбираемой от источника
параметрического воздействия, увеличивается мощность вынужденных
колебаний на частоте воздействия по координате ив (г). Это явление назы-
вается параметрическим усилением колебаний, а сама схема —параметричес-
ким усилителем. Если параметрическое воздействие увеличить настолько,
что на некоторой частоте произойдет полная компенсация потерь, то
возникнут параметрические колебания, уже обсуждавшиеся ранее. Такие
колебания в усилителе нежелательны. Здесь режим малых амплитуд вынуж-
денных колебаний является рабочим, и линейная модель рис. 1.6,в пригод-
на для практических расчетов. Однако реальная схема параметрического
усилителя обычно содержит нелинейную емкость и источник напряжения
накачки, вызывающего периодическое изменение этой емкости. Такая
схема показана на рис. 1.46. Она отличается от схемы рис. 1.45 лишь наличи-
ем источника сигнала ис (Г). Уравнения этой схемы имеют вид

(p2£i +pr{ + 1/С|) <7| +о (<7i -q2} = ии (И,

-и (qi - q2) + (рг L2 +pr2)q2 -ис (Г).	(1.111 >

Таким образом, реальный усилитель представляет собой неавтономную
нелинейную систему с двумя степенями свободы и двумя внешними воз-
действиями.

Используя замену переменных, например так, как это сделано при пере-
ходе от системы уравнений (1.94) к системе (1.96), уравнения любой
неавтономной системы с сосредоточенными параметрами можно привести
к канонической форме

рХ| =Л (Х1,Х2,. .. ,х„„ Г),

рх2 = f2 (xlzx2,... ,хт, г),
.......................................................... (1.112)

Р*т =	(*!, -*2/  • • , г Н-

Эта система уравнений отличается от (1.95) наличием явной зависимости
функций, стоящих в правой части, от времени. Эта зависимость связана с
той или иной формой внешнего воздействия на систему. В отличие от (1.95)
решения системы уравнений (1.112) не инвариантны по отношению к сдви-
гу начального момента времени, и с этим связаны принципиальные отличия
свойств неавтономных систем от свойств автономных. Детальное обсужде-
ние этих отличий дается в следующих главах.

§ 1.7. Уравнения радиотехнических систем
автоматического управления

До сих пор рассматривались системы, моделями которых являлись
электрические цепи. Для каждой из этих цепей могли быть составлены
точные уравнения, анализ которых обеспечивает полное описание поведения
модели. Такой подход оправдан при анализе сравнительно несложных
систем. Описание сложных устройств единой системой точных уравнений
неоправданно усложнило бы задачу. Достаточно представить себе систему
уравнений радиоприемника средней сложности, чтобы понять бесперспек-
тивность такого подхода. Естественный путь упрощения анализа — расчле-
нение устройства на более простые части, выполняющие определенные
функции (функциональные узлы), упрощенное описание работы таких
узлов и характера взаимодействия между ними. При таком описании функ-
циональному узлу ставится в соответствие некоторый элемент структурной
схемы устройства, выполняющий определенную операцию над входной
переменной. Связи между элементами отображаются линиями, соединяю-
щими их. На линиях указывается направление передачи воздействия.

Таким подходом пользуются при анализе поведения радиотехнических
систем автоматического управления, которые представляют собой особую
разновидность динамических систем, предназначенных для управления
основными параметрами преобразуемых или генерируемых в них колеба-
ний иг (г). Для простейшего квазигармонического колебания иТ (г) =
= Ur (г) cos [coof + ^rUH такими параметрами являются меняющаяся
амплитуда I/, (г), текущая частота wr(t) = соо + <й,г U)/dt и фаза (г) =
и>с t + ?г U), причем частота и фаза связаны дифференциальным соотно-
шением сог(г) = dtpr(t)/dt. В случае более сложных колебаний могут фигу-
рировать другие их параметры, например, для радиоимпульса параметром
является расположение огибающей Ur(Г) на оси времени.

Для управления параметрами колебаний иг (Г) обычно используют
информацию, заложенную в законе изменения во времени соотве+ствую-
щих параметров Uc(t), wc(t) и у>с(Г) некоторого управляющего радиосиг-
нала ис (Г), поступающего на вход системы, и говорят о радиосистемах с
амплитудным, частотным или фазовым управлением. Примером системы с
амплитудным управлением может служить система автоматической регули-
ровки усиления в радиоприемнике или система стабилизации выходной
мощности в радиопередатчике. Частотное или фазовое управление использу-
ется при построении разнообразных систем автоподстройки частоты и фазо-
вой синхронизации колебаний автогенераторов, стабилизации фазового
сдвига в усилителях и др. ([6, 18, 20, 24, 25]).

Рис. 1.47.

В простых радиосистемах с одним входом и одним выходом в качестве
выходной координаты служит один из параметров управляемого колебания,
например его амплитуда UT (Г); в практических устройствах требуемому
изменению управляемого параметра может сопутствовать более или менее
заметное нежелательное изменение других параметров колебания иг (г).
Часто удается улучшить работу системы, применяя комбинированное
управление, например частотно-фазовое. При этом используется информа-
ция об изменениях не только самой управляющей величины — фазы сигнала
tfic (t), но и ее производной — частоты сигнала wc (Г) =

Рассмотрим сначала класс систем, в которых управляемое колебание
ит (Г) генерируется, а закон изменения его параметров определяется срав-
нением с аналогичными параметрами управляющего колебания uc(t).
Структурная схема простейшей радиотехнической системы управления
такого типа представлена на рис. 1.47. Здесь изображен произвольный
объект управления (ОУ), тем или иным способом вырабатывающий коле-
бание иг (г), один из параметров которого — хг (г) - амплитуда, задержка
радиоимпульса, частота или фаза — подвергается управлению. С этой целью
в дискриминаторе (Д) (амплитудном, временном, частотном ипи фазовом)
производится сравнение текущих значений соответствующих параметров
хс (г) и xr (г) входного сигнала ис (Г) и управляемого колебания и, (Г). На
выходе дискриминатора вырабатывается сигнал ошибки, например, в фор-
ме напряжения e(t), величина и знак которого соответствуют величине и
знаку текущего рассогласования х (t) = xr (t) —хс (г). Для придания систе-
ме необходимых динамических свойств (быстродействия, точности, желае-
мого переходного процесса и т.п.) сигнал ошибки е (Г) обрабатывается в
специальном корректирующем звене — цепи управления (ЦУ) — и превра-
щается в сигнал 9(f), пригодный для воздействия на управитель, соединен-
ный с объектом управления. Управитель (УПР) в соответствии с сигналом
9(t) вносит необходимую коррекцию Дх(г) регулируемого параметра
(ОУ), действуя в сторону уменьшения текущего рассогласования коорди-
нат хг (г) и хс (г).

Составим дифференциальное уравнение, описывающее изменения регули-
руемого параметра хг (г) при заданном законе хс (Г) изменения управляю-
щего параметра радиосигнала ос(г). При действии управителя текущее
значение регулируемой координаты объекта управления равно

хг=хсв + Дх,	(1.113)
где хСв —значение регулируемого параметра в свободном режиме, т.е. при
разомкнутом кольце управления.

Чтобы определить связь изменения Дх(?) регулируемого параметра с
регулирующим воздействием д (г), нужно выбрать модель ОУ с управите-
лем и составить символическое уравнение относительно обобщенной коор-
динаты хг (Г). Как упоминалось в начале этого параграфа, точное уравнение
в этом случае может быть весьма громоздким. Для анализа рассматривае-
мой системы целесообразно максимально упростить его, сохранив лишь
наиболее существенные черты связи между х, (г) иgit). Чаще всего ОУ и
управитель строятся так, чтобы связь между Дх (г) и ?(tj могла быть
описана линейным символическим уравнением

Дх(?) = $уКу(р)р(?)'	(1.114)

Здесь Sy — чувствительность управителя, а Ку (р) — символический коэф-
фициент передачи, обычно являющийся дробно-рациональной функцией р.

Введя символический коэффициент передачи цепи управления — Kip),
можно связать входной е (?) и выходной д (?) сигналы ЦУ:

д (?) = - К (р) е (?).	(1.115)

Дискриминатор Д, вырабатывающий сигнал ошибки e(t) при воздейст-
вии на него двух колебаний (?, хс) и ит (?, х, ), также обычно является
достаточно сложной нелинейной динамической системой. Детальное иссле-
дование ее свойств показывает, что при определенных условиях связь
между рассогласованием параметров

х =хг —хс	(1.116)

и сигналом ошибки е (?) можно представить в виде

е-Е’Г(х).	(1.117)

Здесь Е — наибольшее значение сигнала ошибки, a F (х) обычно называют
безразмерной дискриминационной характеристикой. Ее минимальное и
максимальное значения примем равными, соответственно, —1 и +1.

Вопрос о границах применимости соотношения (1.117) решается при
детальных исследованиях конкретных моделей дискриминаторов. В ряде
случаев оказывается необходимым применить более детальное и более
точное уравнение связи между х и е. Однако в большинстве случаев этот
функциональный узел строится так, чтобы для анализа систем автоматичес-
кого управления можно было воспользоваться соотношением (1.117).

Соотношения (1.114) — (1.117) определяют операции, выполняемые
каждым функциональным узлом системы рис. 1.47 над входным воздейст-
вием. Используя их, можно от структурной схемы рис. 1.47 перейти к
функциональной схеме рис. 1.48, каждый элемент которой является одно-
направленным и определяет операцию, которую он выполняет над входной
переменной. Из этой схемы видно, что xr = хсв + Sy Ку (р) Kip) EF (х), и,
следовательно, для рассогласования (1.116) справедливо символическое
уравнение:

x+SyKyip) Kip) EFix) = хсв -хс.	(1.118)

Оно имеет простой физический смысл: текущая разность х -х, — хс между
откликом системы и воздействием равна исхбдному их рассогласованию
хсв — хс в свободном режиме за вычетом коррекции, вырабатываемой
дискриминатором в соответствии с его характеристикой EF (х) через цепь
управления с коэффициентом передачи — Kip) и управитель с оператором
Sy Ку [р].
Символическое уравнение (1.118) является достаточно общим. В зависи-
мости от законов изменения во времени величин хс U) и хсв (г), а также от
вида оператора К (р) и Ку (р) оно может соответствовать как автономной,
так и неавтономной системе. Порядок соответствующего ему дифферен-
циального уравнения определяется операторами К (р) и Ку (р), т.е. приня-
той схемой цепи управления и типом управителя. Наконец, самое важное:
наличие нелинейности дискриминационной характеристики F (х) приводит
к тому, что это дифференциальное уравнение оказывается существенно
нелинейным. Это обстоятельство порождает наибольшие трудности при
исследовании поведения системы.

Покажем на нескольких примерах, как из (1.118) получаются диффе-
ренциальные уравнения конкретных радиотехнических систем управления.
Рассмотрим широко распространенную систему частотной автоподстройки
(ЧАП) [24]. В ней объектом управления служит подстраиваемый по частоте
автогенератор (ПГ), а регулируемым параметром хг (г) колебания автоге-
нератора i/r(t) является его текущая частота сог (Г). Следовательно, в
качестве управителя в данной системе должен использоваться частотный
модулятор, вносящий корректирующую частотную расстройку Дсо(Г),
пропорциональную управляющему сигналу д (f). Анализ связи между
Део (Г) и управляющим напряжением, например, для автогенераторов с
варикапами показывает, что частоту можно с высокой точностью считать
зависящей только от мгновенного значения управляющего напряжения.
Поэтому в данном случае Ку (р) =1.

В качестве частотного дискриминатора (ЧД) употребляются различные
схемы [24], реагирующие на расхождение частот cor (г) и <ос(г)двух коле-
баний иг (г) и uc(t). В простейшем ЧД колебания иг (г) и ис (г) подаются
на смеситель, а выделенное в нем колебание с разностной частотой сопр (г) =
= <ог (г) — сос (г) поступает к усилительной схеме, содержащей два резонанс-
ных контура, симметрично расстроенных относительно центральной частоты
дискриминатора <од. Дискриминационная характеристика ЧД приведена на

Рис. 1.48.

рис. 1.49. Важнейшей ее особенностью является ограниченность области
значений сод = со„р — сод, где выходное напряжение является монотонно
возрастающей функцией отклонения разностной частоты ь»пр от ц>д. За пре-
делами этого участка абсолютная величина выходного напряжения С/Чд
уменьшается с увеличением отклонения сопр отсод. Это значит, что уменьша-
ется регулирующее воздействие ЧД, т.е. область отклонений <опр от <од, где
система ЧАП действует эффективно, ограничена.

В данном случае формирование сигнала ошибки х осуществляется едва
этапа. -Сначала формируется разность

СО пр - CJ, — <л)с

и затем сигнал ошибки

X = со Л = содр — СОд = (СО| — СОс ) СОд.	(1.119)
Пусть в отсутствие управляющего воздействия генератор имеет частоту
wCB. Тогда

Хсв ~ Шсв — (^с	) »

причем, в соответствии Со сказанным выше, Ку (р) = 1 и

Дш(Г) = $ур(Г).	(1.120)

Из (1.119) видно, что в данном случае роль управляющего параметра, хс
играет увеличенная на сод частота входного сигнала и уравнение (1.118)
принимает вид

о>д + SyEK(p} Г(сод) = о>св - (о>с + сод).	(1.121)

Дифференциальное уравнение (1.121) позволяет исследовать поведение
нелинейной системы ЧАП при различных видах ЦУ и в различных режимах
работы системы.

Получим теперь из общего выражения (1.118) уравнение системы фазо-
вой автоподстройки (ФАП), широко используемой в радиоэлектронике
[9, 18, 20]. Одной из наиболее известных и распространенных задач ФАП
является синхронизация автогенераторов внешним сигналом, поэтому
такие системы называют иногда системами фазовой синхронизации (СФС).
Принцип фазовой синхронизации с помощью ФАП состоит в применении
фазового дискриминатора (ФД), выходное напряжение которого определя-
ется текущим рассогласованием фаз колебаний подстраиваемого автогене-
ратора (ПГ) у?г (?) и внешнего сигнала у?с (г)

У>(Г) = у>г (Г) - у>с (Г)

с последующим использованием сигнала ошибки

<? = FF(y>)	(1.122)

для коррекции текущей фазы ПГ. Дискриминационная характеристика
F(у?) является периодической функцией у>с периодом 2л, т.е. F(y?) =
= F (у? + 2лл), п - ± 1, + 2, . . . Это связано с тем, что обычные схемы ФД не
реагируют на добавление целого числа периодов входных колебаний. Две
типичные характеристики F (у?) — синусоидальная и треугольная — приве-
дены на рис. 1.50.

Выбрав за .регулируемый параметр хг (г) текущую фазу колебаний ПГ
уу (t), используем для управления не фазовый, а частотный модулятор с
характеристикой (1.120). Принимая в соответствии с (1.113)

У>г(И = у>св(И + Ay>U)

и учитывая, что по определению wr =р^, шсв = ру5св и Асо = р(Ду>),по-
47
г* * f	' *.	’ i" * 1	r	f • *	4

лучим из (1.120)

1
Д<^ = Sv—git).

P

Сравнивая это выражение с (1.115), видим, что в данном случае

<у(р)=1/р.	(1.123)

Иными словами, изменение фазы Д^>, вызванное воздействием 9(f) на
вход частотного модулятора, пропорционально интегралу от этого воздей-
ствия.

Рис. 1.51.

Используя (1.123) в общем уравнении (1.118) и учитывая, что в данном
случае х = у>,хс = у?с(Г), хсв = ^СВ(Г), получим уравнение

sff + SyF (1/р) К (р) F (у?) =у>св(Г) -<д. (Г).

Обычно это символическое уравнение преобразуют, действуя оператором р
на правую и левую части и учитывая, что а>с =ру?си а>св = ру>св, и затем
записывают его в виде

py> + I2K(p) F(y>) = wCB -wt,	(1.124)

где £2 = Sy Е — постоянная, имеющая размерность частоты и равная макси-
мальному отклонению частоты ПГ отшсв, которое может быть получейОза
счет действия на вход частотного модулятора выходного напряжения ФД.

Поскольку дискриминационная характеристика ФД — периодическая
функция координаты дифференциальное уравнение (1.124) описывает
существенно нелинейную динамическую систему, обладающую нелиней-
ностью периодического типа.

Рассмотрим теперь класс радиотехнических систем управления с обрат-
ной связью, в которых управляемое колебание иг (г) не генерируется
внутри системы, как это было, например, в случае ЧАП или ФАП, а форми-
руется из управляющего колебания ис (г). Соответствующая структурная
схема изображена на рис. 1.51. Здесь колебание ит (Г) получается в резуль-
тате прохождения входного сигнала ис (Г) через некоторый усилительный
(или усилительно-преобразовательный) тракт (УТ) с коэффициентом пере-
дачи Kj (р) и модулятор (М), коэффициент передачи которого Км ip,g)
зависит не только от оператора р = d/dt, но и от управляющего сигнала
д (Г), возникающего на выходе корректирующей цепи управления ЦУ с
операторным коэффициентом передачи К (р). Как и в структурной схеме
рис. 1.47, сигнал ошибки е (2) на выходе дискриминатора Д несет информа-
цию о текущем рассогласовании какого-либо параметра xr (t) управляемо-
го колебания ит (г) относительно соответствующего параметра входного
сигнала ис (г).
Поведение такой системы можно описать совокупностью двух уравнений.
Первое из них описывает прохождение входного сигнала через усилитель-
ный тракт и модулятор

иг (f) = К, (р) Км (р, д)ис (Г).	(1.125)

Второе связывает управляющий сигнал д (Г) с рассогласованием управляе-
мого и управляющего параметров:

g(t) = К(р) EF[xc(t)— хг (Г)].	(1.126)

Поскольку параметры хг (г) и хс (f) входят также в выражения мгно-
венных значений колебаний иг(г) и uc(t), связанных соотношением
(1.125), то фактически мы имеем систему двух уравнений относительно
хг (г) ихс (Г) при заданном законе изменения хс (г).

Для примера рассмотрим случай фазового управления [25], когда
параметры хг (г) и хс (г) представляют собой текущие фазы уу (Г) и (Г)
квазигармонических колебаний, и в качестве сигнала ошибки е (Г) исполь-
зовано напряжение с выхода фазового дискриминатора с характеристикой
(1.122), где, как и ранее, у>=у>с — ^г. Тогда из (1.126) получается урав-
нение

gW = K(p) EF(^. -л.).	(1.127)

Определение связи между <рс и <рг требует анализа преобразования колеба-
ния усилительным трактом и модулятором. В общем случае получить из
соотношения (1.125) явное символическое выражение через не удает-
ся. Такая связь обычно получается в форме двух нелинейных уравнений
относительно амплитуды Ur и фазы выходного колебания:

UT =A(UT.^,g, a-, Ut,p}.	(1.128)

<рт = Ф(6/г, <Pf, д, sffc, Ue,p).	(1.129)

Решая совместно уравнения (1.127) — (1.129), изучают влияние изменений
& или параметров тракта на UT и «л- и, подбирая надлежащие характеристи-
ки оператора К (р), добиваются улучшения характеристик тракта, напри-
мер, стабилизации набега фазы уу — >рс.

В заключение рассмотрим один из вариантов системы автоматической
регулировки усиления (АРУ). Ее назначение —поддерживать неизменным
среднее значение амплитуды Ur на выходе тракта (1.125) при нестабильных
амплитуде входного сигнала или усилении каскадов, входящих в тракт.
В этом случае хг имеет смысл амплитуды выходного колебания UT. Коррек-
тирующее воздействие д (Г) формируется как функция отклонения усред-
ненного значения амплитуды L (р) (4(f) от требуемого (номинального)
значения Ur°:

д (t) = U? — L (p)Ur.	(1.130)

Здесь оператор L (р) обеспечивает усреднение амплитуды, необходимое
для того, чтобы система регулировки не искажала используемые для пере-
дачи информации быстрые изменения амплитуды. Модулятор в данном
случае строится так, чтобы он изменял амплитуду UT при заданной амплиту-
де Uc. В общем случае для анализа системы регулировки усиления нужно
решать совместно уравнения (1.128) — (1.130). Однако обычно изменения
фаз <рт и у>с не Влияют сколько-нибудь существенно на UT, и поэтому можно
рассматривать совместно лишь уравнения (1.128) и (1.130). В простейшем
случае при анализе АРУ можно пренебречь инерционностью усилитель-
ного тракта и считать его линейным относительно амплитуды входного

4. М.В. Капранов	4?
' 1

воздействия, а Км (д) — функцией только сигнала ошибки. Тогда вместо
(1.128) получается уравнение

Ц-(Г) =КТКМ (р) Uc (f).	(1.131)

Подставляя (1.130) в (1.131), получим уравнение системы АРУ

Ur = Uc(t) КТКМ {U?-L (р) Ur} .	(1.132)

Это—символическое уравнение нелинейной неавтономной динамической
системы. Изучение ее динамики позволяет правильно выбрать параметры
цепи АРУ.

Приведенными примерами далеко не исчерпывается перечень радиотех-
нических систем управления. Здесь с помощью этих примеров лишь пока-
зано, как составляются символические уравнения таких систем на основе <
разумного расчленения систем на функциональные узлы, обоснованного
выбора операторов, описывающих действие этих узлов, и получения уравне- ;
ний системы на основе уравнений узлов и функциональной схемы, отобра-
жающей взаимодействие узлов.	!

I

Упражнения к главе 1	)

1.1.	Составить систему уравнений цепи, показанной на рис. 1.10,а. Показать что она
является частным случаем системы уравнений (1.30) и записать конкретные выраже- 4
ния для znic (р). Составить уравнения для цепи рис. 1.10,6. Показать что они сводятся
к уравнениям (1.34), и записать выражения для у^к (р).

1.2.	Дополнив цепь, показанную на рис. 1.10,а, сопротивлениями Я, и Я3, включен-
ными параллельно емкостям С, и С2, составить символические уравнения полученной
цепи. Показать, что они являются частным случаем уравнений (1.30), и записать
конкретные выражения для г„к (р>. (Если необходимо, для симметрии записи сделать
замену обозначений.) Определить число степеней свободы полученной цепи. Показать,
что при Я, -* «<> и Я2уравнения рассматриваемой цепи сводятся к уравнениям
цепи рис. 1.10,а. Изобразить цепь, дуальную рассматриваемой.

1.3.	Составить символические уравнения дпя линии, нагруженной на конце (прих =
= /, см.рис. 1.11) на сопротивление Я. Найти символическое входное сопротивление
линии и показать, что при Я -* 0 его выражение совпадает с (1.43).

1.4.	Записать символическое уравнение схемы рис. 1.23, дополненной сопротивле-
нием Я, включенным параллельно емкости С. Рассмотреть частные случаи уравнения
этой цепи: а) при Я -»», б) при г, =>, = 0. Определить число степеней свободы цепи
общего вида и ее частных случаев.

1.5.	Подключить к цепи рис. 1.45 параллельно варикапу еще одну ветвь, состоящую ll
из последовательно соединенных индуктивности L}, емкости С3 и сопротивления г}.
Записать символические уравнения полученной цепи. Каково число ее степеней сво-
боды?

1.6.	Записать дифференциальное уравнение фазовой АПЧ, пользуясь (1.124) и
положив К (pi = 1/ (рТ + 1). Сравнить его с уравнением маятника, приняв в последнем
в качестве обобщенной координаты угол отклонения линии, соединяющей точку
закрепления с центром тяжести, от вертикальной оси.	'i

I
ГЛАВА 2

ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

§ 2.1. Представление движения в фазовом пространстве

В теории колебаний под движением понимают изменение состояния
системы во времени, причем считается, что состояние системы (ее положе-
ние или "конфигурация") может быть полностью определено в данной
задаче заданием какого-либо набора из л независимых величин q{,. . . , qn.
Этот набор, следуя Лагранжу, называют системой обобщенных координат,
сами величины qit .... q„ — обобщенными координатами, а их производ-
ные по времени qx, q„ — обобщенными скоростями. Координатным
(или конфигуративным) называют л-мерное пространство, каждая точка
которого определяется заданием л чисел — обобщенных координат qir. . .
...,qn. Поэтому состояние системы можно представить положением
изображающей ее точки в координатном пространстве.

Движение описано полностью, если найден закон изменения во времени
всех обобщенных координат системы qx (Г),..., qn (f) или, в векторной
записи, закон изменения вектора состояния q(t} - [Qi (t),. . . ,qn (t) 1т, где
т - знак транспонирования.

Из теории дифференциальных уравнений известна теорема о существова-
нии и единственности решения при заданных начальных условиях. Для
систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших
производных (систем типа Коши), эта теорема гарантирует, что задание
начальных данных полностью определяет решение, т.е. последующее движе-
ние. Другими словами, движение таких систем полностью детерминировано
в том смысле, что информация о состоянии системы в начальный момент
целиком определяет все ее движение в будущем.

Таким образом, чтобы однозначно задать движение системы, порядок
дифференциального уравнения которой равен 2л, надо задать 2л начальных
условий, т.е. необходимо в момент t = 0 знать одновременные значения 2л
величин — л обобщенных координат: qi0 = qt (0).q„n = q,, (0) и л обоб-
щенных скоростей: <jt 0 = <7, (0)..............qn0 =	(0). Важно подчеркнуть, что

в нелинейной динамической системе сам вид движения q (t), как правило,
существенно зависит от начальных условий.

Очевидно, что задание точки в координатном пространстве определяет
лишь положение или состояние системы, но еще ничего не говорит о ее
движении. Через каждую точку координатного пространства проходит
бесконечное число траекторий, соответствующих разным движениям систе-
мы, которые в данной точке отличаются значениями обобщенных скоростей.
Поэтому описание движения во временной области, т.е. рассмотрение
траекторий изображающей точки в координатно-временном пространстве
не является единственно возможным и не всегда оказывается наиболее
удобным для представления о протекании процессов в системе. Можно
добиться большей наглядности, рассматривая движение в пространстве,
каждая точка которого определяется заданием 2л чисел: л обобщённых
координат Q],..., qn и л обобщенных скоростей qit . . . , qn. Такое 2л-мер-
4*	51
1, >	r^f ’ jw. п	“ _ 7 T'“1^^,fr'<	ii/н^", шг ( ЬЯ»М4.#'*

''' '" ' ; X; r '	'  ’4: '	'	 - / '	i->	J- .;

'T

ное пространство называется фазовым и выбор любой точки фазового
пространства (за исключением некоторых особых точек, о которых речь
пойдет ниже) полностью определяет движение системы. Кроме особых
точек, траектории в фазовом пространстве нигде не пересекаются.

В случае автономной динамической системы с п степенями свободы ее
дифференциальные уравнения, записанные в форме Коши, сводятся к виду:

Я, = Fj(qt....q„; сц.....qn), /= 1,2......п.	(2.1)

Здесь Fj — нелинейные, в общем случае, функции всех обобщенных коор-
динат и скоростей.

Если ввести новые координаты у, = q,, то придем к канонической
форме Коши записи уравнений движения:

й = ^(«71.....qn; У1.....уп). qi = y„

/-1,2......п.	(2.2)

Чтобы перейти к фазовым траекториям, нужно исключить отсюда dt. Для
этого разделим 2п — 1 первых уравнений канонической системы Коши на
последнее ее уравнение qn = у„. В результате получим 2л — 1 уравнений для
угловых коэффициентов касательных к фазовым траекториям:

^У,-	Fi(qv,..... q„; yt......y„)

---- = --------------------------- (/=1,2...............л),
dqn	Уп

dqn Уп

Решив эти уравнения, найдем выражения фазовых траекторий в 2 л-мер-
ном фазовом пространстве. Исключение времени dt при переходе от урав-
нений движения (2.2) к уравнениям для траекторий (2.3) понижает поря-
док последних на единицу. Это упрощает исследование, особенно для
систем с одной степенью свободы (л = 1).

Во всех точках фазового пространства, где однозначно определены
правые части уравнений (2.3), угловые коэффициенты касательных
dyj/dqn, dqi/dqn единственным образом определяют фазовые траектории.
Такие точки являются неособыми, через каждую неособую точку проходит
единственная фазовая траектория. Время t при этом играет роль параметра,
отмечающего положение изображающей точки на фазовой траектории.
Направление движения изображающей точки по траектории нельзя устано-
вить из уравнений (2.3), поскольку из них исключено время. С этой целью
следует обратиться к исходным уравнениям движения (2.2), они опреде-
ляют величину и знак производных if,, у,, т.е. величину скорости и направ-
ление движения изображающей точки по фазовой траектории в каждой
точке фазового пространства.

В некоторых особых точках правые части уравнений (2.3) могут стать
неопределенными, и тогда угловые коэффициенты касательных к фазовым
траекториям однозначно не определены. Поэтому через особую точку
может проходить бесчисленное множество фазовых траекторий (или не
проходить ни одной). В частности, состояния равновесия qt = q° = const
динамической системы (2.2), в которых скорости обращаются в нуль
(4° = 0), обращают в нуль правые части всех уравнений (2.2) и приводят,
согласно 123), к неопределенности вида 0/0. Следовательно, состояния
равновесия динамической системы всегда оказываются особыми точками
в фазовом пространстве (заметим, что не всегда особые точки обязательно
являются точками равновесия).	v
"Ji 1OT'»4-"It »/<"'-f f hnw »цу^цуц>|1р|уцч,

Преимущества представления движения автономной системы в фазовом
пространстве особенно проявляются при исследовании существенно
нелинейных систем, поскольку учет начальных условий, от изменения кото-
рых может резко измениться сам характер движения, легко произвести,
помещая в момент t = О изображающую точку в соответствующую область
фазового пространства. Рассматривая множество касательных к фазовым
траекториям как векторное поле, полностью характеризующее нелинейную
автономную систему, и построив фазовые траектории, можно сделать ряд
общих выводов, например, указать все возможные' типы движений в
нелинейной системе, их смену или сосуществование при изменении начальных
условий или параметров системы и ответить на ряд других вопросов, прове-
дя так называемое полное качественное исследование системы.

В случае неавтономной динамической системы нелинейные функции /7,
входящие в уравнения движения (2.1) или (2.2), зависят не только от
обобщенных координат и скоростей, но и от времени. При этом само
векторное поле, определяемое угловыми коэффициентами касательных
(23), становится нестационарным, зависящим от времени. Фазовое
пространство неавтономной системы приходится расширять, дополнив его
осью времени. Такое (2л + 1) -мерное пространство с координатами ...
. . .	. ...qn;t называют расширенным фазовым пространством

системы с л степенями свободы. Его структура усложняется, поскольку
неавтономные динамические системы обладают гораздо большим богатством
движений, чем автономные.

§2.2. Типы фазовых пространств автономных систем

Структура фазового пространства автономной динамической системы,
его общие топологические свойства обусловлены характером нелинейных
функций Fj (qt,... ,qn; и..... у„), определяющих угловые коэффициен-
ты (2.3) касательных к траекториям в каждой точке 2л-мерного фазового
пространства. Следовательно, вид векторного поля целиком определяется
спецификой нелинейностей системы, т.е. поведением каждой иэ функций
Ft (pi,..., qn', Xi, . •, Кп) при неограниченном изменении всех обобщен-
ных координат и скоростей.

Очевидно, невозможно дать простую классификацию типов фазовых
пространств в случае многих нелинейных функций Ft, по-разному завися-
щих от своих аргументов. В радиотехнических колебательных системах
большей частью удается выделить одну основную, главную в данной задаче
нелинейность. Примерами устройств и систем с одной нелинейностью могут
служить автогенератор с одним активным элементом, радиотехнические
системы, управления, построенные по одноконтурной схеме, и содержащие
лишь один нелинейный блок — частотный, фазовый или временной дискри-
минатор (рис. 1.47) . В этих устройствах характеристика нелинейного
элемента представляет обычно функцию лишь одной переменной: ток
коллектора в недонапряженном режиме зависит дишь от напряжения на
базе транзистора, сигнал ошибки на выходе дискриминатора в системе ЧАП
или ФАП при неизменном уровне входного сигнала и колебаний ПГ опреде-
ляется лишь разностью их частот или фаз. ,	г~

Укажем основные типы.фазовых пространств таких систем.

Простейшим видом фазового пространства автономной динамической
системы с п степенями свободы является 2л-мерное евклидово пространст-
во. Оно наиболее наглядно и обозримо для систем с одной степенью
свободы, когда превращается в фазовую плоскость с координатами д, $
(рис. 2.1). Евклидово фазовое пространство возникает в тех случаях, когда
характеристика нелинейного элемента системы F (д) является однозначной
непериодической функцией обобщенной координаты q и определена всюду
на бесконечном интервале —	Типичным примером такой функ-

ции являетсяхарактеристикачастотногодискриминатора, график которой
целиком расположен в 1-м и 3-м квадрантах декартовой системы коорди-
нат (рис. 1.49).

Если характеристика нелинейного элемента многозначна, то и фазовое
пространство становится многозначным. Для системы с одной степенью

4	?

Рис. 2.1.

Рис. 2.2.	Рис. 2.3.

свободы многозначность можно учесть, рассматривая многолистную фазо-
вую плоскость, каждый лист которой соответствует определенной ветви
многозначной характеристики F (q}.

Более сложным оказывается цилиндрическое фазовое пространство: оно
адекватно отражает движения динамических систем с периодической харак-
теристикой нелинейного элемента. В качестве примера такой нелинейности
можно привести характеристику фазового дискриминатора (рис. 1.50),
используемого в системах фазовой синхронизации и для фазового управле-
ния усилительными трактами (§ 1.7). Основным свойством характеристи-
ки фазового дискриминатора является ее периодичность по фазе у>с перио-
дом, равным 2л, т.е.

F (у>) = F (у?+2л/),	/ = ±1,±2,...

Поскольку различным значениям координаты у?, различающимся на 2л/,
соответствует один и тот же эффект на выходе нелинейного элемента с
периодической нелинейностью, то фазовые траектории системы с п степеня-
ми свободы располагаются в 2л-мерном цилиндрическом пространстве,
причем координата у? отсчитывается по окружности, опоясывающей поверх-
ность кругового цилиндра. По сравнению с евклидовым образное восприя-
тие многомерного цилиндрического фазового пространства более трудно.
Полная наглядность появляется в случае систем с одной степенью свободы,
фазовым пространством которых становится поверхность кругового
цилиндра.

На рис. 2.2. изображен бесконечно протяженный круговой цилиндр, по
окружности которого откладывается текущая разность фаз колебаний в
системе ФАП (§ 1.7), а по образующей цилиндра — текущая разность
частот, т.е. производная разности фаз ф по времени. Другой пример двумер-
ного цилиндрического фазового пространства приведен на рис. 2.3. Здесь
изображен полубесконечный круговой цилиндр, по образующей которого
в одном направлении откладывается положительно определенная величи-
на — амплитуда колебаний U на выходе усилительного тракта, |а по окруж-
ности цилиндра — разность фаз выходного колебания относительно
54	\
входного. Чтобы облегчить рассмотрение трбекторий, иногда вместо вычер-
чивания их непосредственно на цилиндре переходят к развертке его поверх-
ности на плоскость, т.е. предпочитают иметь дело с картой цилиндра.
Она получается, если разрезать цилиндр по образующей. При этом точ-
ки фазовой поверхности на краях карты в месте разреза отождествля-
ются.

Ясно, что картины движений в цилиндрическом фазовом пространстве
более разнообразны, чем в евклидовом. Так, для динамических систем,
описываемых на фазовой плоскости, возможны периодические движения
лишь единственного вида — им соответствуют замкнутые траектории на

плоскости. На цилиндрической фазовой поверхности возможны уже два
различных вида периодических движений — первому соответствуют
замкнутые траектории, не охватывающие цилиндр,а второму — траектории,
замыкание которых происходит с опоясыванием цилиндра. В системе
фазовой синхронизации первый вид движений представляет периодические
колебания разностной фазы вокруг некоторого среднего значения, а вто-
рой — неограниченное ее возрастание, т.е. смещение частоты за счет пово-
ротов фазы в одну сторону.

Если в системе имеют место периодические нелинейности по двум различ-
ным обобщенным координатам, например, при наличии двух отдельных
нелинейных элементов с периодическими характеристиками типа рис. 1.50
в случае двух взаимодействующих систем фазовой синхронизации [9,18],
то возникающее фазовое пространство будет тороидальным. Действительно,
поверхность тора обладает тем свойством, что положение точки на ней,
заданное двумя угловыми координатами р и в , не меняется при добавле-
нии к этим координатам величин, кратных 2л. Поэтому положение точки на
поверхности тора адекватно отображает совокупность сигналов ошибок на
выходах двух фазовых дискриминаторов.

Для динамической системы с п степенями свободы и двумя нелинейнос-
тями тороидальное фазовое пространство 2л-мерно, причем с поверхностью
тора связаны лишь две его координаты. Более наглядный образ получается
лишь в двумерном случае, для дифференциального уравнения 2-го порядка
или системы двух уравнений 1-го порядка. Множество фазовых траекторий
в этом простейшем случае покрывает поверхность тора (рис. 2.4). Ясно, что
помимо двух видов периодических движений, присущих цилиндрическому
фазовому пространству, на поверхности тора возможны еще
движения с кратными периодами по двум координатам. Фазовые траекто-
рии при этом навиваются на тор, причем начало и конец намотки соединены.
КроКле чисто' периодических возможны условно периодические движения,
при которых фазовые траектории образуют бесконечную намотку на торе,
так что ее витки всюду плотно покрывают поверхность тора.


Т / J £

г .*»

§ 23. Виды стационарных движений

Все режимы движений можно разделить на два больших класса — ста-
ционарные режимы и переходные движения. Под стационарным понимают
такое движение, которое соответствует достаточно большому интервалу
времени (в пределе t -»00), прошедшему с момента включения системы.
Этот интервал практически должен быть велик настолько, чтобы успел
рассеяться весь начальный запас энергии, вложенный в систему.

Переходные движения описывают процессы при переходе от одного
возможного стационарного состояния к другому. Обычно переходные
движения представляют значительный интерес, поскольку наиболее де-
тально характеризуют динамические свойства системы, но они самые
трудные для исследования.

В нелинейной динамической системе обычно возможно существование
нескольких стационарных режимов: реализация того или иного режима
определяется начальными условиями, а сам вид стационарного движения
зависит от вида воздействия на систему и от характера нелинейности.
Так например, в нелинейной автономной системе возможны стационарные
периодические движения q (t) = q (t + Т), причем по каждой из обобщен-
ных координат могут быть различные периоды Tf, а также возможна смена
периодических движений с различными периодами или их наложение.
В неавтономной нелинейной колебательной системе, находящейся, на-
пример, под воздействием периодической внешней силы, могут устано-
виться стационарные колебания с частотой, в целое или дробное число раз
отличающейся от частоты внешней силы (целочисленное или дробно-рацио-
нальное умножение или деление частоты).

Среди стационарных режимов автономных систем наиболее распростра-
ненный и практически важный класс составляют равновесные состояния
<7° (t) = lim q (t) = q ° - const, тл. такие стационарные состояния, в ко-
торых все обобщенные координаты q, (г) системы остаются неизменны-
ми во времени. Поскольку производные по времени постоянных величин
равны нулю, то все входящие в уравнения движения (2.1) или (2.2) обоб-
щенные скорости q° = ... = 9° = 0. При этом непосредственно из дифферен-
циальных уравнений движения (2.1) или (2.2) получается векторное
уравнение стационарного режима (уравнение равновесия)

F(q °) = 0,	(2.4)

которое равносильно системе п алгебраических в общем случае нелиней-
ных уравнений:

Fx(q°i....q°n) = 0,	F2(g?______<7°) = 0..... «7?.........<7,°,) = 0.

(2.5)

Если эта система имеет решения, то, найдя их, можно отыскать состояния
равновесия <7?, .... <?„ Трудность здесь лишь вычислительная, обусловлен-
ная нелинейностью функций F,,.. ., F

Сложнее установить факт существования и отыскать стационарные
периодические движения q (t) = q (t + Г) автономной динамической систе-
мы с произвольным числом степеней свободы. В многомерном фазовом
пространстве системы (евклидовом, цилиндрическом, тороидальном и т.п.)
периодическим движениям соответствуют замкнутые многомерные по-
верхности. В случае высокой размерности фазового пространства нет
простых способов, позволяющих установить существование или отсутствие
в нем замкнутых поверхностей. Еще труднее определить их расположение
и форму, т.е. найти главные характеристики периодического движения
q (Г) =q (t + Т}.

Сравнительно просто изучать периодические движения лишь в случае
автономных систем с одной степенью свободы, фазовое пространство
которых двумерно, т.е. представляет собой фазовую поверхность. Ка-
чественная теория дифференциальных уравнений 2-го порядка устанавли-
вает в простой форме критерии существования или отсутствия замкнутых
траекторий на фазовой поверхности [2, 4, 5]. Эти критерии основаны
на векторных свойствах поля касательных к фазовым траекториям, и
мы рассмотрим их позже при изучении конкретных радиотехнических
систем и устройств.

При наличии внешнего воздействия на систему правые части уравне-
ний движения (2.1) или (2.2) явно зависят от текущего времени Г. Динами-
ческая система становится неавтономной, а ее фазовое пространство —
нестационарным ("расширенным"). Известные методы, позволяющие
отыскать и подробно исследовать свойства периодических движений не-
автономных систем, обычно используют определенные упрощающие пред-
положения. Так, предложенный А. Пуанкаре в начале 90-х годов прошлого
века метод предназначен для построения периодических решений нели-
нейных систем, дифференциальные уравнения которых содержат малый
параметр р < 1. Решения представляют в виде рядов по степеням малого
параметра [16]. В радиотехнике роль малого параметра естественно играет
малое затухание колебательной системы, поэтому метод Пуанкаре получил
широкое применение в радиофизике и был развит советскими учеными
А.А. Андроновым и А.А. Виттом [2], а также Л.И. Мандельштамом и
Н.Д. Папалекси при изучении колебаний в электрических контурах [12].
Различные варианты метода малого параметра применительно к нелиней-
ным задачам теории колебаний в радиотехнике будут подробно изложены
ниже в главах 6—10.

Таким образом, оказывается, что решить главную, самую общую задачу
теории колебаний — получить полное описание движения, т.е. найти закон
q (t) изменения обобщенных координат во времени, обычно очень трудно,
особенно для нелинейных систем, поскольку в них сам характер движения
существенно зависит от начальных условий и полностью определяется ими.
Другими словами, для полного представления о всех возможных типах
движения нелинейной системы необходимо "перебрать" все конкретные
временные решения q = q (t; qw: Qo ), где q0 и g0 — начальные значения
всех обобщенных координат и скоростей. Для этого нужно "перепробо-
вать" все начальные условия из 2л-мерного пространства начальных усло-
вий. Такая задача не под силу современным ЭВМ даже в случае не очень
высокой размерности системы ("проклятье размерности" современной
математики по выражению американского математика Р. Беллмана).
Поэтому в ряде вопросов отказываются от полного описания движения
и ограничиваются исследованием его устойчивости.

§ 2.4.	Основные понятия теории устойчивости

Понятие устойчивости движения — одно из самых фундаментальных
в теории колебаний; существует много определений устойчивости. Наи-
больший вклад в становление и развитие тёории устойчивости внесен
русской и советской школой математиков (А.М. Ляпунов, Н.Г. Четаев,
Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский, А.М. Летов, А.И. Лурье и др.). Большой
интерес представляют работы зарубежных ученых Р. Беллмана, Р. Калмана,
С. Лефшеца, В. Попова и др.
Устойчивость движения — характеристика, связанная с реакцией системы
или устройства на различные возмущения (возмущения условий движения,
в том числе начальных условий, возмущения параметров системы и т.д.).
Очевидно, если не учитываются возмущения, то нет и вопроса об устой-
чивости.

Рассмотрим возможные движения системы и выберем из них интересую-
щее нас конкретное движение 0д(?), вполне определенное для t > 0 своими
начальными условиями 9л(0), $А (0) (траектория А на рис. 2.5). Назовем

Рис. 2.5.

это движение невозмущенным. Всяким другим начальным условиям gg(0),
0g (0) соответствует другое, возмущенное движение Ob’ (?) (траектория Б
на рис. 2.5). Разность е (0) = qg (0) — qA (0) представляет начальное воз-
мущение обобщенных координат, а 5 (?) - qg (?) — qA (?Ц — текущее.
Очевидно, текущее возмущение обобщенных координат 8 (?) зависит
не только от времени ?, но и от начального ихвозмущения F(0), т.е.^ (?) =
= 6(?,е).

Согласно Ляпунову, об устойчивости невозмущенного движения qA(t)
следует судить по поведению достаточно близкого к нему возмущенного
движения qg (?), т.е. по величине 8 (?, е). Интуитивно ясно, что движение
устойчиво, если траектория qg(t) остается вблизи траектории qA (?),т.е
близки их точки, соответствующие одному и тому же моменту времени ?.

Существенным моментом при формулировке понятия устойчивости
является точное определение смысла этой близости и связи его с величиной
начальных возмущений е (0). Сами начальные возмущения можно рас-
сматривать двояко: либо как учет неточности измеренных значений па-
раметров системы, либо как учет действия посторонних возмущающих
сил, не включенных в уравнения движения при их составлении.

Вопрос об устойчивости невозмущенного движения в смысле Ляпунова
сводится к влиянию начальных возмущений на свойства движения. Если
малые начальные возмущения обусловливают также малые текущие воз-
мущения, то невозмущенное движение устойчиво в смысле Ляпунова,
а в противном случае — неустойчиво. Что такое "малое" — зависит от
характера задачи и целей исследования. Четкое определение можно дать
на языке е-, 5-окрестностей: невозмущенное движение qA (t) устойчиво
по отношению к заданным обобщенным координатам, если условие
I qA (0) — qg (0) | < е, выполненное в начальный момент ? - ?0, дает для
всех ? > ?0 выполнение неравенства | qA (?) — qg (?)| < 5, причем раз-
меры области 8 зависят от начального отклонения е, т.е. 5 = 8 (с).

Если при ? -* оо область 5 стягивается в нуль, то устойчивость называют
асимптотической: lim | qA (?) — qg (?)| - 0. Если устойчивость выполня-
t
ется в неограниченной области начальных возмущений 0 < е < °°, то го-
ворят о глобальной устойчивости системы, или об устойчивости в
большом. В случае, когда устойчивость наблюдается лишь в области в
малых размеров, обусловленных конкретным видом нелинейности, систе-
ма устойчива в малом (локальная устойчивость).	1
Помимо' устойчивости невозмущенного движения qA (Г) по отношению
к заданным обобщенным координатам р|........qn можно дополнительно

интересоваться его устойчивостью также и по отношению к обобщенным
скоростям сц, . . . , qn. Это значит, что следует различать близость воз-
мущенного Pg (г) и невозмущенного qA (г) движений в расширенном
(п + 1)-мерном координатном пространстве (?],..., qn; t) ив расширен-
ном (2п + 1)-мерном фазовом пространстве (<7i, . . . , Qi...qn; t).

На языке е-, 5-окрестностей определение устойчивости в фазовом про-
странстве таково: невозмущенное движение qA (г) устойчиво по отношению
к заданным обобщенным координатам q\, . . . , q„ и обобщенным ско-
ростям qt, . . . , qn, если одновременное выполнение в начальный момент
t = to условий | qA (0) - qE (0) | < е, | qA (0) - qs (0) | =% е дает для всех
t0 < t < °° выполнение неравенств | qA (t) — q^ (г) | < 5, | qA (г) —
- qE (t) I < 5.

Из приведенных определений следует, что устойчивость движения в
фазовом пространстве — требование более жесткое, чем устойчивость
в координатном пространстве.

Ясно, что если найдено общее решение уравнений движения q (Г), то
нетрудно установить, устойчиво или нет невозмущенное движение qA (t),—
достаточно лишь исследовать найденное решение. Однако в общем случае
не удается решить нелинейные дифференциальные уравнения движения
(2.1) или (2.2) и такая проверка невозможна.

Заслугой А.М. Ляпунова является то, что он поставил своей целью
найти такие способы, которые позволяли бы решить задачу об устойчиво-
сти независимо от того, могут или не могут быть проинтегрированы диф-
ференциальные уравнения движения системы. Совокупность этих методов
составляет общую теорию устойчивости движения.

Покажем, что задача об устойчивости невозмущенного движения qA (t),
qA (t) сводится к задаче об устойчивости начала координат для текущих
возмущений 5 (t) = q(t} - qA (t),	= q (t) - qA (t), если принять не-

возмущенное движение qA (t), qA(t) за начало координат. Рассмотрим,
например, автономную систему с произвольным числом степеней свободы
и представим ее уравнения движения в нормальной форме Коши, т.е.
запишем их в виде системы 2п уравнений 1-го порядка:

Yi = Fj(q..... у.......У„), q, = У„ г=1,2..........п, (2.2)

или, более компактно, в векторной форме:

dq	dy	_

— = У. ------ = F(q,y),	(2.6)

dt	dt

Компоненты вектор-функции F (q, у}, стоящие в правых частях (2.6),
представляют собой нелинейные функции своих аргументов. Часто эти
нелинейности — аналитические, т.е. имеют непрерывные производные
по всем аргументам.

Помимо дифференциальных уравнений необходимо задать начальные
условия q (0), у (0), т.е. значения обобщенных координат и скоростей в
начальный момент времени. Для нелинейной динамической системы раз-
личным начальным условиям будут соответствовать различные движения,
удовлетворяющие ее дифференциальным уравнениям (2.6). Следователь-
но, исследуемое невозмущенное движение <]д (Г), уА (Г) та_кже удовлет-
воряет уравнениям (2.6). Тогда, сделав замены Переменных 5 (t) =q(t) —
— <7д(0, ??(t) = y(t) — ^(t), мы приведем исходные уравнения (2.6)






к виду

d(yA +rj}
*-------Г"

dt

= F(qA + ь,уа + n).

d(qA + 5)

—= УА +1.

(2.7)

т.е. получим ту же форму (2.6), причем невозмущенному в фазовом
пространстве движению q (t) = qA (t), у (t) = yA (t) соответствует тривиаль-
ное решение 6 (t) = 0, rf (t) = 0. Значит, задача об устойчивости невозму-
щенного в фазовом пространстве движения свелась к задаче об устойчи-
вости начала координат для возмущений S (t), q (Г).

Дпя широкого класса автономных систем важным является случай,
когда обобщенные координаты q (t) могут принимать с течением времени
постоянное значение lim q (t) = q° = const, т.е. система имеет состояния
г — “

равновесия. Вопрос об устойчивости состояний равновесия является в
теории устойчивости наиболее простым, хотя и он оказывается нелегким
в случае произвольной динамической системы.

§ 2.5.	Устойчивость состояний равновесия динамических систем

Представим себе, что нелинейная динамическая система обладает не-
сколькими состояниями равновесия (например, маятник с нижним и
верхним положениями равновесия, система ФАП, нелинейность характери-
стики дискриминатора в которой имеет вид периодической функции,
автогенератор при жестком режиме самовозбуждения и т.д.). Часть из
них может быть устойчива, а часть — неустойчива. Провести полное ис-
следование устойчивости состояний равновесия для больших возмущений
(исследование глобальной устойчивости) оказывается трудным, посколь-
ку в математике не разработаны общие способы решения системы диф-
ференциальных уравнений вида (2.1) или (2.2) с произвольной нелиней-
ностью функций Fj (qt, . . . , qn; q{, . . . , qn} и для различных начальных
условий.

Наиболее просто исследовать локальные движения, соответствующие
малым отклонениям относительно состояний равновесия. С этой целью
составляют так называемые уравнения первого приближения, которые
обычно (но не всегда) получаются линейными, поскольку в большинстве ‘
случаев нелинейные функции F, (<?],..., qt, . . . , qn) для малых от-
клонений от равновесных состояний	о” удается линеаризовать.

Для составления уравнений первого приближения прежде всего находим
все возможные равновесные состояния системы q° = const. Поскольку
производные постоянных величин q’l = . . . = о® = 0, то из дифференциаль-
ных уравнений движения получается векторное уравнение стационарного
режима или уравнение равновесия (2.4), которое равносильно системе
алгебраических или трансцендентных в общем случае нелинейных урав-
нений (2.5).

Чтобы получить дифференциальные уравнения первого приближения,
воспользуемся общей идеей классического метода возмущений — дадим
всем обобщенным координатам q}, . . . , qn независимые приращения
(вариации) (г), . . . , ?n(t) вокруг состояния равновесия q °, т.е. про- I
изведем замену переменных:

<7i(t) = <7?+5И0. <7г(Г) = d2 + h (t).,	<7„(0=<7Й +M0,	(2.B)

или, в векторной форме,	\

q(t) = q°+е(г).	(2.9)
Тогда общие уравнения движения (2.6) примут вид:

dyldt = F(qa + £, у), dtydt = у.	(2.10)

Сам по себе перенос начала отсчета в точку равновесия (q°, 0) пока
еще не дает никаких принципиальных упрощений задачи. Однако, если
принять вариации £ (г) и £ (t) = у(т) достаточно малыми, а функцию
F (q, у) аналитической по всем своим аргументам (qlt.. . ,q„; yt,. .., yn),
то можно линеаризовать ее в окрестности данной точки равновесия, про-
изведя разложение в двойной ряд Тейлора по степеням возмущений
(£),..., £„; И1, - . - , /п) и ограничившись лишь первыми (линейными)
членами разложения:

F, (9? + £....rf. + £„; И.....Уп) * Fi <9?....9°; 0.....0) +

" Э/7!	" bFt

+ Z —- £fc + S —-yt + ...

k = i bqk	r=i dyt

........................................................... (2.11)

F„ (9? + £....9°	+ £и; УI....У»)~ F„(qi......q„; 0.....0) +

"	* bF„

+ S -— £* + S —— у I + -..

к = i bqk / = 1 byt

Здесь частные производные bF j/bqk и bFtlbyt берутся в точке равнове-
сия, а значения самих нелинейных функций в этой точке равны нулю соглас-
но уравнению стационарного режима (2.4). Используя для производных
обозначения а,; = bFj/bq^, Ьц = Ъ F, F&yj и вводя оператор дифференциро-
вания р = d/dt, получим из общих нелинейных уравнений (2.10) с учетом
разложения (2.11) в качестве первого приближения систему линейных диф-
ференциальных уравнений, записанную в матрично-векторной форме:

РУ = (А1£ + [51 У, Р^ = У-	(2.12)

Квадратные л X л-матрицы [А] и [0] составлены из коэффициентов
а а и Ьц:

[А] =	at 1  a-i 1	412   а1 2	 а\п~ а2п	ГА1 =	* 611  621	6ц • •  6j2  •	 61м  • 62„
	_ ап 1	ап2  	• апп -		- 6n 1	6«2 • •	6ПП _

(2.13)

Объединив оба уравнения (2.12), приходим к системе л дифференциаль-
ных уравнений 2-го порядка для возмущений £ (г):

{[/1р2 - [flip- (Al} £(r) = 0.	(2.14)

Здесь [/]-единичная матрица.

Итак, опираясь на аналитичность функций Г/, мы получили уравнения
линейного приближения. Они приближенно описывают малые движения
исходной нелинейной системы (2.10) в непосредственной окрестности
состояния равновесия. Конечно, сами по себе уравнения линейного прибли-
жения (2.14) никак не определяют размеров той области, в пределах ко-
торой допустима замена нелинейной системы (2.10) линейными уравне-
ниями (2.14). Это зависит от влияния отброшенных в разложениях (2.11)
членов высшего порядка.

Рассмотрим подробнее полученные уравнения (2.14). Они описывают
колебания в линейной системе с п степенями свободы. Ее частное решение
?! (t),...,£„ (t) можно представить в виде

(t) = Cexp(Xf), b(f> =^Cexp(Xr), 5„(f) = к„Сехр (Хг).	(2.15)

Здесь X — характеристический показатель, он характеризует рост или зату-
хание экспоненциального решения (2.15). Коэффициенты распределения
к2, ... , кп показывают, в каком соотношении входит в полное реше-
ние 5 (Г) движение, соответствующее характеристическому показателю X.
Они зависят от параметров системы.

Для выяснения вопроса об устойчивости состояний равновесия нужно
отыскать лишь значения характеристических показателей X, при которых
вектор 5(f) с компонентами (2.15) удовлетворяет уравнению (2.14), а
знание коэффициентов распределения важно только при необходимости
полного описания линеаризованного движения.

Чтобы найти значения характеристических показателей, вспомним, что
дифференцирование экспоненциальной вектор-функции равносильно умно-
жению на ее характеристический показатель:

dt

Поэтому при дифференцировании решения (2.15) и подстановке его в систе-
му линейных дифференциальных уравнений (2.14) мы придем к системе л
линейных алгебраических однородных уравнений для координат 51 (t),   
...,5„(t):

{[/] X2 - [В]Х-[Д]} 5(t) = 0.	(2.16)

Она полностью совпадает по форме записи с исходной системой диффе-
ренциальных уравнений (2.14), если в последней смотреть на символ р не
только как на оператор дифференцирования, но и как на характеристичес-
кий показатель X решения (2.15), т.е. как на числор = X. Для совместности
решений системы (2.16) должен быть равен нулю определитель Н(р) матри-
цы [!\р2 - [В]р - [Д], т.е.

Н(р) = det {[/1р2 — [В]р — [Д1} = 0.	(2.17)

Это уравнение называется характеристическим уравнением линейного
приближения, поскольку позволяет отыскать характеристические показа-
тели экспоненциальных решений .(2.15). Каждый элемент определителя
л-го порядка Щр) является квадратичным полиномом относительно р,
поэтому характеристический полином (2.17) представляет собой полином
степени т = 2л:

W(p)=aopm +а1рт~1 + ... +am_ip+am = 0.	(2.18)

Это уравнение HMeef т = 2л корней р2, р2,   •, рт; его можно записать,
согласно теореме Безу, как произведение:

Hip} = а0(р -Pi }[р-р2}... 1р-рт} = 0.	(2.19)

Если все корни р2,  • -.Р^ найдены, то полное решение системы (2.14)
представляет сумму колебаний с различными характеристическими
показателями

(Г) = s С,exp(p-t}f £Jt) = I /r2/Cf exp(Pft), ...
/ * i	t - i

g„(r} = 2 kni Ct exp (p, t).	(2.20)

i- i

В каждой из компонент решения fjt), . . . , различен вклад колеба-
ний с разными характеристическими корнями; он определяется значениями
коэффициентов распределения /г,-,-. В вопросе об устойчивости весовой
состав колебаний нас не интересует — важно знать, нарастает или затухает
каждое из колебаний. Этот вопрос решается, если известны значения харак-
теристических корнейР{,рг,.   ,Рт-

Известно, что корни полинома могут быть действительными и комплекс-
но сопряженными. Экспоненциальное движение, соответствующее действи-
тельному корню р > 0, неограниченно нарастает, а при pi < 0 оно асимпто-
тически стремится к нулю (рис. 2.6). Такие движения называют лимита-
ционными.

В случае пары комплексно сопряженных корней рх = рд+/рмир2 =
= ра - /рм решение имеет вид нарастающего (прирд > 0) или затухающего
(при ра < 0) гармонического колебания (рис. 2.7). Частота заполнения
равна мнимой части корня рм, действительная частьРа определяет скорость
нарастания или затухания колебания. Такое движение представляет разно-
видность колеблющегося (либрационного) движения.

Очевидно, что необходимым и достаточным условием устойчивости ли-
неаризованной системы (2.14) является требование отрицательной действи-
тельной части всех характеристических корней Re pi < 0, / = 1,2, ..., т.

Итак, исследование устойчивости состояний равновесия линеаризованной
системы (2.14) сводится к определению знаков действительных частей кор-
ней характеристического уравнения (2.18).

Если бы можно было легко вычислить корни характеристического урав-
нения, то была бы решена не только задача определения устойчивости, но
и полностью описано локальное движение линеаризованной системы. Одна-
ко корни алгебраического уравнения (2.18) (или (2.19)) т-й степени на-
ходятся просто лишь в случае т = 2 (система с одной степенью свободы) и
т = 3 (система с полутора степенями свободы). При т = 4 не существует
формул для их аналитического определения и пользуются численными
методами. Кроме того, поскольку в общем виде нельзя выразить значения
корней через параметры системы (коэффициенты а, в (2.18)1, то трудно
выяснить, какие параметры системы следует изменить, чтобы сделать ее
устойчивой.

Поэтому возникает потребность в нахождении таких критериев, которые
позволяли бы судить об устойчивости линеаризованной системы без вы-
числения корней характеристического уравнения.
§ 2.6.	Алгебраические критерии локальной устойчивости

Прежде всего докажем необходимый признак устойчивости: в устойчи-
вой системе все коэффициенты характеристического уравнения положи-
тельны (обратное положение силы не имеет, т.е. положительность всех
коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует локаль-
ной устойчивости). Если же некоторые коэффициенты отрицательны или
один из них равен нулю, то система либо неустойчива, либо требуется
дополнительное исследование.

Для доказательства рассмотрим характеристическое уравнение, запи-
санное в форме (2.19), и примем а0 > 0. В случае действительных корней
условие Pj < 0 дает во всех скобках произведения (2.19) положительные
слагаемые, которые после перемножения дадут положительные коэффи-
циенты характеристического уравнения. При этом ни один из коэффициен-
тов характеристического уравнения в нуль не обращается.

В случае комплексных корней р; =ря ± /рм для каждой пары комплекс-
но сопряженных корней имеем произведение

(Р	- Pf) = (Р~РЯ -jPM) IP - Ра +/РМ) = (Р; - 2рря + р 2Л +	).

При выполнении условия рд < 0 имеем здесь положительные слагаемые, а в
характеристическом уравнении опять получаются положительные коэффи-
циенты. Полиномы, все корни которых расположены слева от мнимой оси
на комплексной плоскости корней, называют устойчивыми [15]. (Приве-
денное доказательство составляет содержание теоремы Стодолы [15],
словацкого инженера, создателя теории регулирования паровых турбин.)

Задача о нахождении необходимых и достаточных условий устойчивости
многочленов любой степени была поставлена в 1868 г. Дж.Максвеллом. Эта
задача фактически была решена еще в 1851 г. французским математиком
Ш. Эрмитом, однако его результаты не были доведены до практически
удобных формул и остались неизвестными специалистам-прикладникам.
В 1895 году английский математик Э. Раус указал удобный алгоритм,
позволяющий для любого многочлена определить путем простых арифме-
тических действий, является ли данный многочлен устойчивым. А. Стодола
поставил эту задачу перед немецким математиком А. Гурвицем, который
в 1895 г. дал независимое от Рауса второе решение задачи Максвелла в виде
некоторых неравенств. Оно получило всеобщую известность и условия,
найденные Гурвицем, называют теперь неравенствами Гурвица (или Рауса-
Гурвица).

По критерию Рауса следует составить таблицу

r(i)	-О)

с2 • • -

~(2)	~(2)	~(2)

-(')	„(')	„(')

Со	U]	и2	   ,

которая строится последующим правилам:

1.	В первую строку таблицы записываются коэффициенты многочлена
(2.18), имеющие четные номера, а во вторую — нечетные.

2.	Члены fc-й строки при к > 3 вычисляются по членам двух предыду-
щих строк с помощью формулы
3.	Построение таблицы останавливается на г -й строке, если число Со
оказалось равным нулю.

Теорема Рауса гласит: полином Н{р) (2.18) степени m с действительны-
ми коэффициентами и а0 >0 устойчив тогда и только тогда, когда построе-
ние таблицы (2.21) для этого полинома не останавливается до (т + 1)-й
строки и все элементы первого столбца таблицы положительны [151.

Если среди коэффициентов первого столбца окажутся отрицательные, то
число перемен знаков равно числу корней характеристического уравнения,
имеющих отрицательные действительные части.

Алгоритм Рауса удобен в том случае, когда коэффициенты характеристи-
ческого уравнения заданы численно, и неудобен при задании буквенных вы-
ражений для коэффициентов. Для этого наиболее часто встречающегося при
анализе устойчивости случая лучше подходит критерий Гурвица.

Критерий Гурвица формулирует условия устойчивости в виде требова-
ний к определителям, составленным из коэффициентов характеристическо-
го уравнения (2.18)  Необходимые и достаточные условия отрицательности
всех корней характеристического полинома (2.18) с действительными
коэффициентами и а0 > 0 состоят в том, чтобы при всех k = 1, 2, . . . , m

соблюдались неравенства:				а2к — 1 а2к — 2 а2к-3 а2к-4	>0,	(2.23)
=	а0 0  0	а3 а2 а1 ао	а5 ... а4 .. .  а3 .. . а2 . ..			
	0	0	0 ...	ак		

причем коэффициенты а{ с индексами / > m принимаются равными нулю.
Легко обнаружить, что = am &т _ j.

Приведем несколько примеров составления условия устойчивости по
критерию Гурвица и составим определители Гурвица, для характеристичес-
ких уравнений не высокого порядка.

Для уравнения 1 -го порядка

Н(р) =aop+ai = О

(2.24)

критерий Гурвица дзет: а0 > О, A j = at >0, т.е. здесь необходимые усло-
вия а о > 0, а । >0 являются и достаточными.

В случае характеристического уравнения 2-го порядка

Н(р} =аор2 +а}р + а2 = 0	(2.25)

по критерию Гурвица требуется выполнение неравенств:

о V р J>  II  V р  м  II	а 1 0  = а1аг>0, т.е. а2 >0.	(2.26)  во а2

Видим, что и здесь необходимые условияа0 >0,at >0,аг >0оказывают-
ся достаточными.

Иначе обстоит дело для полинома 3-го порядка:

Н(р} = аор3 + atp2 + а2р + а3 = 0.

Критерий Гурвйца требует следующих неравенств:

(2.27)1

5. М.В. Капранов

аз

а0 а2

Д3=а3Дг>0, т.е. а3>0.

(2.28)

65
Здесь решающим оказался предпоследний определитель, из которого выте-
кает условие а, > аоа3/а2. Оно сильнее, чем просто необходимое условие
at >0.

Рассмотрим, наконец, уравнение 4-го порядка

Н{р) = апр4 + atp3 + а2р2 + а3р + а4 = 0.	(2.29)

Для устойчивости необходимы следующие неравенства:

So > 0,	Д|	= 3)	>0,	Д, =	Q)	й)  С — й)	0)	>0,
	а.	аз	0			
Дз =	а0	а2	а4	>0, д4	- а4Д3 '	> 0, т.е. а4 > 0.
	0	а ।	аз			

(2.30)

Снова убеждаемся, что решающим оказался предпоследний определитель,
поскольку вытекающее из требования Д3 >0 условие Д2 >afa4/a3 оказы-
вается более сильным, чем требование к определителю Д2 > 0.

Из теоремы Льенара — Шипара [15] следует, что многочлен Н[р) нечет-
ной (четной) степени т с положительными коэффициентами устойчив
тогда и только тогда, когда положительны его определители Гурвица чет-
ного (нечетного) порядка.

Другими словами,, в неравенствах Гурвица достаточно проверять лишь
четные или нечетные определители. На практике, однако, это преимущество
лишь кажущееся, поскольку для вычисления каждого из определителей
Гурвица, по существу, необходимо вычислить все определители меньшего
порядка.	

§ 2.7.	Частотный критерий локальной устойадвости	₽

Алгебраические критерии устойчивости линеаризованной системы тре-
буют вычисления определителей, составленных из коэффициентов а, ха-
рактеристического полинома (2.18) степени т — 2п, где п— число степеней
свободы системы. При большом числе степеней свободы данный подход
оказывается громоздким, а для распределенных систем и систем с запазды-
ванием — вовсе невозможным, поскольку такие системы обладают беско-
нечным числом степеней свободы. В этих случаях удобны частотные крите-
рии устойчивости, не оперирующие непосредственно с коэффициентами
характеристического полинома. Изложим амплитудно-фазовый критерий
А.В. Михайлова, предложенный им в 1937 году (интересно, что подобный
критерий использовался еще Ш. Эрмитом в его исследованиях [15]).

Обратимся к характеристическому полиному (2.18) и заменим в нем
комплексное число р чисто мнимой величиной в результате получим
комплексную величину W(/u>), содержащую действительную и мнимую
части:

/y(/w)=ff(w)+/A(w),.	(2.31)

где д(ш} и Л(«) — некоторые полиномы действительной переменной ш.
Например, для многочлена Н{р} третьей степени (2.27) с действительными
коэффициентами а,- имеем:

^(со) =— а,ш2 + а3, Л(ш) = — аош3 +а2ы.	(2.32)

Если степень т полинома Шр} четная, то степень полинома д(ш} равна т,
64

'V ,
а степень полинома А(ш) не превосходит (m — 1). При нечетном т, наобо-
рот, степень д{со) не превосходит (т — 1), а степень Л (ш) равна т.

При изменении со от —« до +<» комплексное число Н(/о>) описывает
на плоскости комплексной переменной (х,/у) некоторую кривую, задан-
ную параметрическими уравнениями х = р(о>), / = А (ш) . Эту кривую, (точ-
нее, ее часть, соответствующую 0 < w< «) называют амплитудно-фазовой
характеристикой полинома Н(р}, или его годографом (годографом Михай-
лова) . Вектор, конец которого при изменении w от 0 до +«> описывает на
комплексной плоскости х = <?(w), jy = /А (w) годограф Михайлова, назы-
вают характеристическим вектором.

Если менять ш от 0 до — <», то полученный годограф будет зеркальным
относительно оси х отображением годографа Михайлова.

Амплитудно-фазовый ("частотный") критерий устойчивости Михайлова
утверждает следующее: для того чтобы характеристический полином Н(р}
степени m был устойчив, необходимо и достаточно, чтобы его годограф Ми-
хайлова начинался при со = 0 на действительной положительной полуоси
(0(0) > 0, А (0) = 0) и при изменении со от 0 до +<» аргумент характе-
ристического вектора монотонно возрастал от нуля до птп/2.

При выполнении этих условий годограф Михайлова последовательно
проходит 1- 2- 3- 4- 5-й (т.е. вновь 1 -й) и т.д. квадранты плоскости \x,jy},
уходя в бесконечность в m-м квадранте.

Очевидно, что выполнение условий критерия Михайлова гарантирует
расположение всех корней р}, —,рт характеристического полинома (2.19)
слева от мнимой оси / со комплексной плоскости р = о + jeo, т.е. отрица-
тельность их действительных частей. При изменении параметров системы
меняются коэффициенты а,- характеристического полинома (2.18) и его
корни Pi мигрируют на плоскости р. Система теряет устойчивость, как
только какой-либо из корней р, впервые пересечет мнимую ось jeo, перей-
дя из левой полуплоскости в правую. Поэтому на границе устойчивости, где
w = о>Гр, коэффициенты а, полинома (2.18) связаны условием

ff(wrp) = 0, A(wrp) = 0,	(2.33)

т.е. годограф Михайлова проходит через начало координат. Это условие
дает границу устойчивости в пространстве параметров а0, , ат при исклю-
чении граничной частоты шгр из обоих равенств (2.33).

Заметим, что связь коэффициентов а,- на границе устойчивости (2.33)
соответствует наиболее сильному из требований положительности опреде-
лителей Гурвица. Так, для полинома Н{р} 3-й степени (2.28) при земене
р ~”/со получаем 0(со) = — а । со2 + аз, А. (со) = со (а, — а0со2). Из условия
А (согр) = 0 находим сог2р = а2/ао. а подстановка этого значения в условие
0(согр) = 0 дает связь коэффициентов а(а2 = аоа3, которая получается
из приравнивания нулю предпоследнего определителя Гурвица.

Аналогичная картина имеет место для характеристического уравнения
4-го порядка (2.29): д(со) = а0со4 — а2со2 + а4, А(со) = со(а3 — а(со2).
Граничная частота со2р = а3/а(, потеря устойчивости происходит при усло-
вии а3(а(а2 — аоа3) = а2а4, что соответствует равенству нулю определи-
теля Гурвица 3-го порядка: Д3 = 0.

Рассмотрим применение частотного критерия для исследования устойчи-
вости систем с бесконечным числом степеней свободы. К понятию о бес-
конечном числе степеней свободы обычно приходят, рассматривая системы,
в уравнения которых входят пространственные производные. Характе-
ристические уравнения таких систем представляют собой так называемые
целые функции, т.е. функции к (р) комплексного переменного р, разла-
5*	.	67
гающиеся в бесконечный степенной ряд

к(р} =b0 + Ь'Р + ... + b„p" + ...,

(2.34)

сходящийся при всех значениях р.

Целые функции обобщают понятие полинома, поскольку все полиномы
Щр} вида (2.18) являются, конечно, целыми функциями. Можно указать
целые функции, не являющиеся полиномами; их называют трансцендентны-
ми. Примером целой трансцендентной функции является показательная
функция

т2 >	т"

к(р) = ехр(-тр) = 1 - тр + р2 + ... + (-1)" —рп + ...	(2.35)

2!	л!

Если смотреть на р как на символ дифференцирования р= d/dt, то диффе-
ренциальный оператор (2.35), действуя на функцию времени g( t), дает
сдвиг этой функции по оси t на величину т, т.е. представляет операцию
идеального запаздывания

ехр(—тр)р(t) = q(t - т).	(2.36)

Поэтому говорят, что звено с идеальным запаздыванием обладает беско-
нечным числом степеней свободы.

В некоторых распределенных системах возникают колебания, механизм
которых обусловлен диффузией [6]. В одномерном случае (одна простран-
ственная переменная х) колебания q(t, х) удовлетворяют, например, диф-
ференциальному уравнению в частных производных

В зависимости от типа краевых условий и выбора входных и выходных ко-
ординат для системы (2.37) возникают три вида дифференциальных опера-
торов [6] :

1.	Полузапаздывающее звено

к(р) = ехр(- V тр }; т = а2.	(2.38)

Эта функция напоминает по виду показательную функцию (2.35), описы-
вающую зрено с идеальным запаздыванием, но отличается тем, что в показа-
теле степени вместо оператора р = d/dt входит \/~р.

2.	Полуинтегрирующее звено

к(р) =—-—.	(2.39)

\ГТр

В отличие от операции идеального интегрирования Н(р] = 1/7р, приводя-
щей к интегралу

-^r-Q(t) =yrf q(t)dt.

в выражение (2.39) вместо р = d/dt входит \/р.
3. Полуинерционное звено

к(Р) =——=;—

<7р+1
Этот оператор напоминает функцию Н{р} = 1 /(Тр + 1) инерционного звена —
цепочки RC или r/L.

Исследование устойчивости трансцендентных и иррациональных функций
к (р) типа (2.35), (2.38), (2.39) и т.п. в самом общем случае представляет
весьма Сложную задачу и ее общее-решение не найдено. Однако для многих
практически важных случаев, приводящих к классу целых функций типа
квазиполиномов [15], проблема Гурвица решена в работах Н.Г.Чеботарева,
Н.М. Мей мана и Л.С. Понтрягина. В инженерной практике более удобны
частотные-методы и критерии, обобщенные для случая квазиполиномов
(см., например, в [6] ).

Напомним, что квазиполиномом называется целая функция к(р), полу-
чающаяся из некоторого (определяющего) полинома F (р, iv) от двух
переменных р и w (и имеющего, в общем случае, комплексные коэффи-
циенты) подстановкой вместо w показательной функции ехрр. Например,
характеристическое уравнение системы, содержащей линейную сосредото-
ченную часть и запаздывающее звено, представляет собой квазиполином
вида

к(р) = О(р) + Жр)ехр(-тр) = 0,	(2.40)

где О(р) и R(p) — обычные полиномы. При т = 0 из этого трансцендентно-
го уравнения получается алгебраическое характеристическое уравнение
сосредоточенной части, т.е. полином Н(р) = Q (р) + R (р) = Овида (2.18).
Его называют полиномом предельной системы.

Для квазиполиномов типа (2.40) возможно обобщение критерия Михай-
лова [6]. Разделив к (р) на Я(р), получим характеристическое уравнение
в виде

_ к(р) _

к (р) =---= О(р) + ехр(—тр) = 0.	(2.41)

R(p)

Ясно, что годограф Михайлова = О(/ш) + 1 предельной системы
получается, если сместить кривую О (/о) на единицу вправо по действи-
тельной оси. Предельная система попадает на границу устойчивости при
прохождении кривой_О(/ш) через точку (—1, 0), что соответствует про-
хождению годографа Н(/ш} через начало координат.

Годограф показательной функции ехр (-/шт), входящей в (2.41), пред-
ставляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале коорди-
нат. Следовательно, граница_устойчивости квазиполинома (2.41) соответ-
ствует пересечению кривой О(/ш) с этой окружностью. Такое обобщение
частотного критерия было использовано Я.3.Цыпкиным в одной из первых
работ по устойчивости систем с запаздыванием [6].

Заметим, что возможны однократные и неоднократные пересечения кри-
вой О(/ш ) с единичной окружностью, при которых система попадает на
границу устойчивости и где выполняется равенство

О(/шгр) + ехр(— /шгрТк) = 0.	(2.42)

Критическое запаздывание тк можно выразить отсюда через граничную
частоту шгр:

wrPTK = (2/г+1)л-^гр;	* = 0,1,2,...,	(2.43)

где <ргр — угол, под которым видна точка пересечения из начала координат.

Таким образом, при непрерывном возрастании запаздывания в случае
однократного пересечения наблюдается чередование областей запаздывания,
где меняется характер устойчивости. Для практики важен факт потери
устойчивости при наименьшем из значений тк в их последовательности
(2.43), т.е.

т^ин = (я-^гр)/шгр.	(2.44)

Если предельная система устойчива, а кривая 0(/о>) пересекает единич-
ную окружность дважды, то вместо одной последовательности величин кри-
тического запаздывания (2.43) возникает две: rj.1> и причем
гк') < ri?)- Картина чередования областей, где меняется характер устой-
чивости при монотонном возрастании т, при этом усложняется, однако для
практики по-прежнему важен факт потери устойчивости при минимальном
из значений тк.

Добавим, что в случае двух пересечений и неустойчивой предельной си-
стеме при некоторых значениях запаздывания области устойчивости ме-
няются местами, т.е. система, неустойчивая без запаздывания, становится
устойчивой при его наличии [6].

§ 2.8. Устойчивость и описание движения консервативных систем

В консервативной системе нет потерь, связанных с сопротивлением дви-
жению, поэтому сохраняется неизменным первоначально вложенный в нее
запас энергии

U + Г= Е = const.	(2.45)

Здесь U, Т и Е — потенциальная, кинетическая и полная энергии системы
соответственно.

Поскольку обусловленные движением, т.е. обобщенными скоростями
Qi, Qn, потери отсутствуют, то дифференциальные уравнения системы
(2.1) содержат производные координат лишь четных порядков — сами
обобщенные координаты ,..., qn и их вторые производные q.......

q^F^q.......р„),	/=1,2....п,	(2.46)

или, согласно (2.2) в форме Коши:

H = f,(Qi...<7,Л	'=1,2....п.	(2.47)

Поэтому характеристический полином Щр} консервативной системы
содержит лишь четные степени р и все его корни — чисто мнимые. Отсут-
ствие действительных частей характеристических корней делает невозмож-
ной асимптотическую устойчивость, и критерии асимптотической устойчи-
вости, рассмотренные выше, становятся непригодными. Однако понятие
устойчивости по Ляпунову, сформулированное в § 2.4 на языке е, 6-окрест-
ностей, сохраняется для любых систем.

Достаточное условие устойчивости положения равновесия консерватив-
ной системы содержится в теореме Лагранжа — Дирихле:

Положение равновесия q° = (g°, ...,	]т консервативной системы

устойчиво, если потенциальная энергия системы U(qt, .... qn}, являющаяся
непрерывной функцией обобщенных координат qi, .... qn, имеет в этом
положении строгий изолированный минимум.

Напомним, что сами состояния равновесия <7° консервативной системы
соответствуют экстремумам потенциальной энергии, и теорема Лагранжа —
Дирихле дает лишь достаточный признак устойчивости. Однако устойчивой
система может оказаться и в тех состояниях равновесия, которые не совпа-
дают с точками строгого минимума потенциальной энергии. Необходимые и
достаточные условия устойчивости состояний равновесия консервативной
системы пока не установлены.

А.М.Ляпунов поставил задачу обращения теоремы Лагранжа — Дирихле
и доказал две теоремы, содержащие достаточные условия неустойчивости
положения равновесия при некоторых предположениях относительно вида
функции U(q.....g„) .

Н.Г. Четаев обобщил результаты Ляпунова в следующей теореме:

Если потенциальная энергия U{q\.... qH) является однородной функ-

цией отклонений £ t = g( - g” от положения равновесия и в этом положе-
нии не имеет минимума, то данное положение равновесия неустой-
чиво.

Таким образом, для консервативных систем понятие энергии является
не только физической иллюстрацией закона сохранения в виде (2.45); оно
служит в качестве рабочего аппарата важнейших теорем устойчивости.
Более того, уравнения движения консервативной системы (2.47) таковы,
что допускают разделение переменных q и у, и позволяют найти 1-й интег-
рал движения, располагая лишь информацией о характере функции (7(g).
Это особенно наглядно в случае системы с одной степенью свободы (п = 1).
Из (2.47) при л= 1 имеем, разделив первое уравнение на второе:

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

У2

— + U(q) =Е = const,	(2.49)

где введена потенциальная энергия

U(q} = -f F(q)dq.	(2.50)

Ясно, что (2.49) представляет просто закон сохранения энергии (2.45),
причем слагаемое у2/2 = д2/2 играет роль кинетической, а константа Е —
полной (начальной) энергии системы. Вид графика потенциальной энергии
U(q) легко устанавливается согласно (2.50) по виду нелинейной функции
F (д), входящей в уравнение движения.

Из равенства (2.49) находим выражение

у = д = ±х/2[£-(7(д)]’,	(2.51)

т.е. первый интеграл движения. Интегрируя (2.51), получаем сам закон
движения g(t). Таким образом, для нахождения закона движения g(t) в
консервативной системе достаточно выполнить лишь одно, а не два интегри-
ровация дифференциального уравнения движения 2-го порядка.

Во многих случаях удобнее, как отмечалось выше, рассматривать движе-
ние не в координатно-временном, а в фазовом пространстве системы. Тогда
выражение (2.5|) сразу дает семейство фазовых траекторий 4 (д) на фазо-
вой поверхности (д,	, причем каждая траектория определяется заданием

значения начальной энергии Е. Подробно использование этого аппарата
изложено в последующих главах.
§ 2.9.	Описание движения динамических систем
с помощью уравнений Лагранжа

При формулировке теорем, определяющих устойчивость консерватив-
ных систем, использовалось универсальное понятие энергии, а также указы-
валось на возможность построения фазовых траекторий, т.е. полного описа-
ния движения таких систем, если использовать связь кинетической и потен-
циальной энергии в форме закона сохранения (2.49). Эта возможность
полного описания поведения системы, опираясь при составлении уравнений
ее движения лишь на такую простую меру движения, как энергия, была в
глубокой форме раскрыта Ж.—Л. Лагранжем в его "Аналитической механи-
ке" в 1788 г. Говоря его словами, он "свел теорию механики и методы ре-
шения связанных с ней задач к общим формулам, простое развитие кото-
рых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи"

Эти общие формулы — уравнения Лагранжа — удобны тем, что представ-
ляю' запись уравнений движения произвольной системы в ковариантной
форме, т.е. их структура не меняется при преобразовании координат. Кова-
риантная форма записи уравнений движения особенно полезна при исполь-
зовании метода динамических аналогий, позволяющего, например, свести
исследование механической или акустической системы к эквивалентной
схеме, основные характеристики которой можно легко найти, пользуясь
известными в теории цепей результатами.

Для изложения метода Лагранжа предположим, что можно записать
уравнения движения для некоторых произвольно выбранных исходных
(не обобщенных!) координат х = ( х..., х,„ ]т в форме Коши

х = Х(х,?;Г).	(2.52)

Тогда задание начальных условий х (0), х (0) гарантирует детерминирован-
ность движения, т.е. существование и единственность решения х (г).

Заметим, что может возникнуть необходимость учета связей, ограничи-
вающих движение системы в исходных координатах. Реакции связей приво-
дят к тому, что не все исходные координаты оказываются независимыми —
они могут быть связаны определенными соотношениями (например, токи
в узлах электрической цепи связаны 1-м законом Кирхгофа). Если извест-
ны ограничения на координаты, накладываемые связями, например, в виде
равенств

Qi(xi...xm;t) = 0,	7=1,2....к,	(2.53)

то с их помощью можно исключить к исходных координат и получить лишь
п = т — к независимых координат. Возможно и непосредственное, из физи-
ческих условий задачи, введение п независимых (обобщенных) координат
<71, —. qn, которые позволяют выразить исходные координаты хь..., х„,
через обобщенные <71, .... qn. Тогда можно записать уравнения преобразова-
ния координат в виде

Xi = filq..,q„’,t},	/= 1,2,	(,2.54)

Такое преобразование называют "точечным" — оно содержит координаты
"точек" и время, не содержит производных от координат, а само время не
преобразуется.

При описании метода Лагранжа удобно предположить вначале, что все
"силы”, т.е. функции X, (х, к; г) в (2.52), потенциальны. Это означает су-
ществование такой функции от исходных координат и, может быть, време-
ни П(х; г),чтоХ; =—дП/дх(.
Если движение происходит в потенциальном поле, то для того чтобы со-
ставить уравнения Лагранжа для конкретной динамической системы с л
степенями свободы, нужно произвести следующие операции ("лагранжев
формализм"):

1.	Выбрать систему обобщенных координат qt, ..., qn, которыми хотим
описать движение системы.

2.	С помощью уравнений (2.54) преобразования исходных координат
*1, •••> хт в обобщенные qx, ..., qn составить выражения кинетической Т и
потенциальной U энергий системы. При этом потенциальная энергия U яв-
ляется функцией только положения системы U = U[qx,qn; t) и не зави-
сит от обобщенных скоростей qlt ..., qn. Поскольку скорости изменения
исходных координат

dxj df, « df(
v' dt at .5, a?,-

(2.55)

связаны не только с обобщенными скоростями pi, —, qn, но и с обобщен-
ными координатами q^, .... qn из-за преобразований (2.54), то и кинети-
ческая энергия Т может зависеть также и от q^,.... qn, т.е. Г = Т (<п,...»дл;

•7|..4„; Г).

3.	Составить разность L = Т — U кинетической и потенциальной энергий
системы после преобразования их к обобщенным координатам. Функция
L (q, q; t) является функцией обобщенных координат, обобщенных ско-
ростей и, может быть, времени. Она носит название функции Лагранжа,
лагранжиана или кинетического потенциала системы (конечно, у Лагранжа
термины кинетическая и потенциальная энергия еще не встречаются).

4.	Уравнения движения системы в обобщенных координатах получаем,
выполняя над лагранжианом следующие операции частного и полного диф-
ференцирования :

d dL_______д/L

dt dfy	dq-

j = 1,2,..., n.

(2.56)

Эти выражения называются уравнениями Лагранжа. Каждое из них пред-
ставляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка,
их число равно числу степеней свободы системы л. Структура уравнений
(2.56) одинакова для любой системы обобщенных координат .... qn, а
различие в выборе той или иной системы обобщенных координат сказы-
вается лишь на виде функций Лагранжа £.( q, %; t).

Таким образом, в случае движения в потенциальных полях для описания
движения достаточно знать лишь одну функцию — лагранжиан системы.
Сила лагранжева формализма как способа описания движения заключается
в том, что этот аппарат безразличен к тому, каким образом и почему возни-
кают формулы "точечного" преобразования (2.54). Специфическая, очень
компактная форма уравнений Лагранжа (2.56) как бы скрывает структуру
получающихся из них дифференциальных уравнений движения, и мы не ви-
дим, как входят в уравнения движения обобщенные координату, их пер-
вые и вторые производные по времени, и к какому виду дифференциаль-
ных уравнений мЬгут быть отнесены уравнения Лагранжа для каждой кон-
кретной системы.

Подробный вывод и детальное обсуждение уравнений Лагранжа (2.56)
приводится в различных курсах теоретической механики (см., напри-
мер, ЕН).
Непосредственно по виду (2.56) могут быть получены некоторые
законы сохранения или первые интегралы дифференциальных уравнений
движения, т.е. функции обобщенных координат, скоростей и времени,
обращающиеся в постоянные величины в силу уравнений движения

f,(<7i..qn'. <7i.qn;t) = Ch	(2.57)

где константы С, определяются из начальных условий. Если удается найти
все первые интегралы, то возможно полное описание системы в фазовом
пространстве.

Рэлей [1, 12, 17] обобщил уравнения Лагранжа для систем, в которых
действуют силы сопротивления движению — силы трения в механических
системах или сопротивления потерь в электрических цепях. Эти силы при-
водят к рассеянию энергии, поэтому их называют диссипативными. Они
Могут быть сложными функциями скоростей, тогда в правые части уравне-
ний Лагранжа они входят непосредственно:

-^-S^--S^=Q.	/'=1,2...п.	(2.58)

dt dfy dqj

Подчеркнем, что здесь Qj — непотенциальная часть обобщенной силы.
Если обобщенные диссипативные силы (силы сопротивления) Оу — ли-

п

нейные функции обобщенных скоростей Qj = — S то их можно
i = 1

представить в виде частных производных по Оу от некоторой квадратичной
функции обобщенных скоростей

Ф=-у £	£ Pisqtqs.	(2.59)

i= 1 s= 1

Очевидно, что Оу = ЭФ/3?у, поэтому уравнения Лагранжа примут вид

dt Э<?у Э<7у Э<7у'

т.е. движение произвольной системы с диссипацией полностью определяется
лишь двумя функциями £ и Ф.

Функция Ф (о, q; г) была введена Рэлеем и поэтому ее называют функ-
цией Рэлея. Она имеет простой физический смысл для случая, когда форму-
лы преобразования (2.54) не содержат явно времени:

— (Г+(7) = 2Ф,	(2.61)

dt

т.е. полная энергия системы убывает со скоростью, равной удвоенной функ-
ции Рэлея.

Упражнения к главе 2

2.1.	Используя взамен уравнений движения динамической системы с л степенями
свободы (2.1), (2.2) их представление в более общей форме

*у-Оу(х,....хп;у,,...; у„),	И-Я/(х,,..., хп; у,..У„),	/-1,2....л,

где Оу и А/ — произвольные нелинейные аналитические функции своих аргументов,
провести процедуру линеаризации этих уравнений в окрестностях возможных состоя-
ний равновесия и получить в общем виде
уравнения линейного приближения. Соста-
вить соответствующие характеристические
уравнения.

2.2.	Задавшись положительными значения-
ми коэффициентов характеристического по-
линома 3-й степени

Н(р] = а„р3 + а,р2 + а,р + а2 =0,
построить годограф Михайлова для следую-
щих соотношений между коэффициентами:
1) ata2 > ааа3, 2) ata2 = а„а3, 3) а,а, <
<аозЛ.

2.3.	Приняв в уравнении (2.49) для за-
кона сохранения энергии в консервативной
системе выражение потенциальной энергии
U(g) в виде

Рис. 2.8.

U(q) = aq1 + bq4,

дать заключение о характере малых колебаний в окрестности точки о = 0, y = q= O
(гармонические они или нет) для двух случаев: 1) b = 0, а >0; 2) а = 0, b > 0.

2.4.	Рассматривая в уравнениях Лагранжа (2.58) обобщенные силы как суммы
диссипативных и внешних сил (механических и электрических), составить уравнения
движения мембраны конденсаторного микрофона (рис. 2.8). В качестве обобщенных
координат выбрать смещение мембраны х (г) и заряд qit), протекающий в цепи, обра-

зованной источником постоянного напряжения Е,сопротивлениемR и емкостью мик-
рофона С (х), приняв ее в виде:

С{х)=С„--------,

1 + х (Г)

где Со — емкость между обкладками в отсутствие звуковых колебаний, представлен-
ных в виде механической силы Е(г), и при отключенном источнике (Е = 0). Масса
мембраны т, жесткость пружинящей подвески к, коэффициент трения вязкой среды
(воздуха) 6.

Используя полученные уравнения, найти возможные состояния равновесия х°, со-
ответствующие F (t) =0 (при 01. Исследовать их устойчивость.

Высказать суждения о выборе целесообразной величины напряжения источника £
(в частности, определить предельное его значение £ = Емакс, при котором подвижная
мембрана под действием одних лишь электростатических сил притяжения, т.е. при
F{ t) = 0, прикоснется к неподвижной обкладке микрофона).
ГЛАВА 3

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

И ПРОЦЕССЫ В НИХ

§ 3.1.	Роль линейных моделей в анализе колебательных систем

Любые реальные системы всегда принципиально нелинейны. Движения
в них qlt) описываются нелинейными дифференциальными уравнениями,
например, вида (2.1) для автономной динамической системы с п степенями
свободы. В нелинейных системах несправедлив принцип суперпозиции, по-
скольку сам характер движения ?(г) может существенно видоизмениться
при изменении начальных условий д(0), д(0),т.е. q(t) - q(t, q(0), q{OH 

Линейные модели реальных нелинейных систем обычно возникают при
линеаризации исходных уравнений движения (2.1) или (2.2), например,
при исследовании локальной устойчивости состояний равновесия q° =
= const нелинейной системы. Для этого рассматривают уравнения первого
приближения (2.12) или (2.14); они представляют собой систему линей-
ных дифференциальных уравнений.

Линеаризованные уравнения движения (2.12) или (2.14) ценны по край-
ней мере с двух точек зрения. Во-первых, в теории А.М. Ляпунова по устой-
чивости линеаризованной системы иногда можно судить об устойчивости
(для малых возмущений) исходной нелинейной системы. Этот вопрос ре-
шается следующей теоремой Ляпунова об устойчивости по первому
приближению [1] :

Если все корни характеристического уравнения системы первого прибли-
жения (2.14) имеют отрицательные действительные части, то невозмущен-
ное движение исходной нелинейной системы (2.10) асимптотически
устойчиво независимо от вида нелинейных членов, отброшенных в разложе-
нии (2.11).

Если же среди этих корней хотя бы один имеет положительную действи-
тельную часть, то невозмущенное движение неустойчиво при любом виде
нелинейности.

Судить об устойчивости исходной нелинейной системы по поведению
линеаризованной невозможно в случае вырождения, когда характеристи-
ческое уравнение имеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мни-
мых корней. В этом случае линеаризованная система находится на границе
устойчивости и для исследования устойчивости нелинейной системы тре-
буется удержать в разложении (2.11) члены до 3-го порядка малости
включительно.

Вторая причина, обусловливающая интерес к уравнениям первого при- ж
ближения, состоит в том, что они позволяют построить линейную модель
системы. Коэффициенты а,-.- и Ьц матриц [А] и [в] линейных дифферен- Ж
циальных уравнений (2.12) или (2.14) определяют структуру линейной Ж
модели. Если воспользоваться методом динамических аналогий [12, 17], Я
то для линеаризованной системы любой физической природы можно пред- Я
ставить ее линейную модель в виде эквивалентной электрической цепи с Я
постоянными параметрами. Процессы в линейных электрических цепях Я
очень хорошо изучены, поэтому, применяя правила динамических аналогий
в обратную сторону, легко сделать заключения о характеристиках линей-
ных моделей первоначальных динамических систем. Отметим, что для обес-
печения действительной мощи метода динамических аналогий необходимо
записывать уравнения движения исходной системы в такой форме, которая
не менялась бы в зависимости от используемой системы координат, т.е.
использовать уравнения Лагранжа.

Следует указать также на роль линейных дифференциальных уравнений
первого приближения (2.12) при полном качественном исследовании пове-
дения исходной нелинейной системы в ее фазовом пространстве.

С помощью уравнений (2.12) можно, например, получить аналитические
выражения фазовых траекторий в непосредственной окрестности каждого
из состояний равновесия. Если вдобавок можно использовать какие-либо
общие соображения о структуре траекторий в областях фазового прост-
ранства, лежащих за пределами малых окрестностей особых точек, то
удается построить в общих чертах полный "фазовый портрет нелинейной
системы. Этот прием особенно результативен при возможности кусочно-
линейной (полигональной) аппроксимации характеристик нелинейных
элементов системы. Разбивая все фазовое пространство на отдельные об-
ласти по числу кусков полигона, внутри которых целиком справедливы
линейные дифференциальные уравнения типа (2.12), и располагая точными
выражениями фазовых траекторий внутри каждой из этих областей, затем
производят "сшивание" траекторий на границах и получают точный и пол-
ный фазовый портрет кусочно-линейной системы [2, 4, 5, 20].

Наконец, отметим, что при использовании метода малого параметра,
особенно плодотворного для радиотехнических нелинейных колебательных
систем, обладающих малым затуханием, часто в качестве порождающих
уравнений, соответствующих нулевому значению малого параметра, возни-
кают линейные дифференциальные уравнения. Такие порождающие уравне-
ния описывают консервативные системы, они дают в качестве нулевого
приближения ("порождают") гармонические колебания и позволяют найти
их частоты.

Перейдем к рассмотрению процессов в линейных моделях различных
колебательных систем.

§ 3.2.	Свободные колебания в линейных консервативных системах
с многими степенями свободы

В радиотехнике консервативная система возникает как результат идеа-
лизации реальной колебательной системы, если полностью пренебречь
потерями в ней. В квантовой физике колебания атомов или молекул про-
исходят без затухания, поэтому консервативный характер таких колеба-
тельных систем вполне реалистичен.

В сложной многоконтурной колебательной системе обычно имеет место
взаимосвязь, т.е. энергетический обмен между составляющими ее простыми
частями — парциальными системами. В результате энергетического взаимо-
действия парциальных систем частоты колебаний не совпадают с собствен-
ными частотами парциальных систем и картина полного колебания полу-
чается сложной. С помощью линейной консервативной модели можно уста-
новить число вбзможных колебаний реальной системы с малым затуханием,
найти их частоты, а также выяснить весовой вклад колебаний различных
частот в полное колебание.

Чтобы лучше представить то новое, что вносит энергетический обмен
между взаимосвязанными парциальными системами, напомним картину
77
колебаний в простейшей парциальной системе — одиночном колебательном
контуре без потерь (рис. 3.1.). В качестве обобщенной координаты можно
выбрать любую из трех обозначенных на рис. 3.1. величин: заряд q, или на-
пряжение и = q/C на конденсаторе С, или ток / = Cdu/dt в контуре. Если
воспользоваться методом Лагранжа, то, выражая через q и q = dq/dt потен-
циальную U = q2/2C и кинетическую Г = Ltj212 энергии контура, получаем
частные производные лагранжиана L = Т— U в виде: dL/dq = —MJ/dq =
= —q/C', dL/dq — dT/dq — Lq. Взяв производную по времени в соответ-

Рис. 3.1.

ствии с записью уравнений Лагранжа (2.56), приходим к дифференциально-
му уравнению для колебаний заряда

Lq + q/C = 0.	(3.1)

Видим, что получили выражение 2-го закона Кирхгофа при последователь-
ном обходе контура: uL + ис = 0.

Используя символический метод составления дифференциальных уравне-
ний, изложенный в гл. 1, введем символические сопротивления индуктив-
ности z L (р) = pL и емкости гс(р} = МрС. Связав z L (р) и гс(р} с то-
ком /(г) по 2-му закону Кирхгофа (z L (р) + zc(p)]/(t) = 0, получим
дифференциальное уравнение для тока в символической записи:

(pZ. + 1/pC)/(t) = 0,	(3.2а)

где р — d/dt — оператор дифференцирования Умножив почленно на ри раз-
делив на L , этому уравнению можно придать иную размерность

(р2 + 1/LC)/(t) = 0	(3.26)

или в другой форме:

(p2LC+1)/(t) = 0.	(3.2в)

Аналогично, используя 1-й закон Кирхгофа, т.е. связав проводимости
Vl Ip) = MpL и Ус(р) = рС с напряжением w(t) соотношением [// (р) +
+ ус (р) ] с/( г) = 0, получим дифференциальное уравнение для напряжения:

(р2С + 1/£)о(г) = 0.	(3.3)

Понятно, что выбор той или иной размерности, т.е. формы записи (3.2а) —
(3.2в) или (3.3), не принципиален. В виде (3.26) дифференциальное уравне-
ние контура удобно сопоставить с общей векторно-матричной записью
(2.14) дифференциальных уравнений первого приближения. Поскольку
одиночный контур — система с одной степенью свободы, то матрица (А) в
(2.14) при п = 1 содержит единственный матричный элемент а,,, причем
—aii = ML С представляет квадрат собственной частоты свободных коле-
баний контура без потерь: = MLC. Матрица [в] = д( । = 0 из-за отсут-
ствия потерь.

Решение линейного дифференциального уравнения, например (3.3),
имеет экспоненциальный вид о(Г) = (Уехр(Хг), его вторая производная
78
p2u{t) = X2w(r), т.е- на стадии отыскания решения на оператор р в симво-
лической записи (3.3) или (2.14) можно смотреть как на характеристи-
ческий корень, проведя замену X. Тогда выражение в круглых скобках
в (3.3) или в фигурных в (2.14) представляет собой характеристическое
уравнение линейной системы. Для контура без потерь получаем два чисто
мнимых корня характеристического уравнения р22 = ± /а>0, и решение

содержит синусную и косинусную компоненты:

u{f) = 1/Ccosu>0r + Ussinwot.	(3.4)

Если заданы начальные условия «(0) = U„, й(0) = йн, то Uc = UH, Us =
= (7H/w0, причем решение можно представить в комплексной записи

иМ = Re(t/C —/t/s)exp(/cJot).	(3.5)

Вводя амплитуду Un и начальную фазу по формулам

Ui - (У2 + й2И/ш2, tg^o = — (7н/соо(7н<	(3.6)

колебание можно записать так:

u(t) = Ret/oexp(/(wot + у>оН = (7ocos(w0t +у>0).	(3.7)

Больше в описание свободных колебаний одиночного контура без потерь
добавить нечего — синусная U3 и косинусная Uc компоненты решения (3.4)
определяются начальными условиям, а частота — параметрами крнтура
L и С.

Перейдем к описанию колебаний в системах с двумя степенями свободы.
В качестве достаточно общего конкретного примера выберем изображен-
ную на рис. 3.2 схему, содержащую три изолированных контура, соединен-
ных в кольцо (кольцевые схемы с четным числом колебательных контуров
представляют интерес в теории магнетронных генераторов).

Хотя все три контура в кольцевой схеме рис. 3.2 равноправны, система
обладает не тремя, а всего лишь двумя степенями свободы. Действительно,
выбрав за исходные координаты напряжения ut, и2, и3 на каждом из конту-
ров, убеждаемся, что эти координаты не являются независимыми — они
связаны между собой 2-м законом Кирхгофа: и, + и2 + и3 = 0. Поэтому за
независимые (обобщенные) следует выбрать лишь две величины, например,
U] и и2, а третья координата определяется условием связи и3 = — (ut +и2).
Таким образом, 2-й закон Кирхгофа в данном случае подобен ограничениям,
накладываемым жесткими связями в механике.

Для удобства физической трактовки процессов в сложной системе с дву-
мя степенями свободы целесообразно выделить в ней две взаимодействую-
щие парциальные системы, обладающие каждая одной степенью свободы.
Вид парциальных систем и характер взаимодействия целиком определяются
выбранными обобщенными координатами. При смене обобщенных коорди-
нат изменяется структура парциальных систем и характер взаимодействия
между ними. Наибольшая наглядность получается, если в качестве пар-
циальной выбирать систему, связанную лишь с данной обобщенной коорди-
натой, т.е. такую, которая получается из полной, если значения всех осталь-
ных обобщенных координат положить равными нулю. В механике это рав-
носильно закреплению остальных координат, а в электрической цепи —
закорачиванию тех точек, между которыми приложены напряжения, или
размыканию тех путей, по которым протекают токи (в зависимости от
того, напряжения или токи выбраны в качестве обобщенных коор-
динат) .
На рис. 3.3 исходная кольцевая схема представлена в виде, приводящем
ее к парциальным системам, соответствующим двум обобщенным коорди-
натам и, и u2, причем для придания симметрии полярность и2 заменена на
обратную по сравнению с принятой на исходной схеме рис. 3.2. Если
замкнуть точки 2-3, т.е. обратить в нуль координату и2, получаем пер-
вую парциальную систему с координатой и, (рис. 3.4,а), а замкнув точки
1 - 3, придем ко второй парциальной системе (рис. 3.4,6) для одной лишь
координаты и2. При таком выборе обобщенных координат и парциальных
систем третий контур играет роль элемента связи между первым и вторым
контурами, поэтому его элементам на рис. 3.3 и 3.4,а,б приписаны другие
индексы, указывающие на эту связь. Элементы связи L 12, С12 входят одно-
временно в обе парциальные системы.

Используем 1-й закон Кирхгофа вначале для узла 1 схемы рис. 3.3, а
затем для узла 2; тогда получим в символической записи дифференциаль-
ные уравнения:

(рС, + 1/pLi + (pCj 2 + 1/pZ., 2)(U| - и2) = О,

(3.8)

(pC2 + 1/pZ.2)u2 + (pC) 2 + 1/pZ.| 2)(u2 - 4/,) = 0.

Поскольку все элементы C,/ z разные, удобной нормировки не полу-
чается. Умножив на операторрпочленно и обозначив

С, 1 = С, + С, 2,	С22=С2+С12, Si 1 = S2 i = 1 iL । 2, C \i ~ Ci \,

(3.9)

S, j = I//., + 1/Z., 2, S22 = 1/Z.2 + 1/Z. 12,

придем к симметричной записи системы двух уравнений 2-го порядка:

(р2 С । 1 + S। 1 । — (р2 С, 2 + S, 2 )и2 =0,

,	,	(3.10)

— (рС21+52|)4/|+(рС22'*'$22)442 ’гО.

Присутствие обоих элементов связи Ct2, L t2 = 1 /St 2 в этих уравнениях
означает совместную емкостно-индуктивную связь между парциальными
системами, определяемыми обобщенными координатами и, и и2. Если
разорвать индуктивность L 12, т.е. положить S, 2 — 0, то останется взаимо-
действие парциальных систем через емкость С| 2 (рис. 3.5). Наоборот,

Рис. 3.4.
отключив Ci 2, получим их взаимодействие через индуктивность £12
(рис. 3.6). Наконец, убрав оба элемента связи, т.е. положив С] 2 = О,
Si j = 0, получим вместо системы двух уравнений для двух координат и, и
и? два независимых уравнения, описывающих по отдельности свободные
колебания в двух изолированных контурах £], С] и £2,С2.

Чтобы получить возможность обобщения результатов исследования
уравнений (3.10) на случай системы с многими степенями свободы, перей-
дем к векторно-матричным обозначениям. Введем квадратные матрицы
емкостей [С] и обратных индуктивностей [S] с элементами:



[С1 =

С} 1

—Сг 1

~Ci г

Сг г

[$] =

—Si 2

$2 2

(3.11)

а также вектор координат и = (u)z о2]т, где т — знак транспонирования.

Группируя в (3.10) члены с одинаковыми степенями оператора р, получим:
р2 (Cj jOl — C]2W2)+$11W|— $12и2=0,	(312)

Р (— С2 1^1 + С2 2^2 I — $21^1 + S22U2 “0.

Отсюда видно, что используя матрицы [С] и [S], можем это компактно
записать как символическое векторно-матричное уравнение

{[С]р2 +[S]}U(t) = O.

(3.13)

Ценность такой записи в том, что ее форма сохраняется для систем с любым
числом степеней свободы п, которое и определяет порядок п х л-матриц
(С] и [S], а также число компонент о,, ..., и„ вектора и. Если сравнить
уравнения (3.13) с общими уравнениями линейного приближения (2.14),
то видим, что (3.13) есть частный случай (2.14), соответствующий нулевой
матрице затуханий [fi] =0, причем матрица — [Д] = [С]-1 [S], где
[С]	— матрица, обратная [С].

Рис. 3.5.

Рис. 3.6.

Поскольку система (3.13) консервативная, примем ее решение «7(f)
сразу в виде небора гармонических колебаний, применив для них ком-
плексную форму записи

u(t) = (7exp(/a>ot).	(3.14)

Здесь введен вектор амплитуд U = [Ui,.... Un]т

Подставляя решение (3.14) в исходное матричное дифференциальное
уравнение (3.13) и учитывая, что p2u= — o>ou, получим систему линейных
алгебраических уравнений для амплитуд колебаний Ui, ..., U„ в матричной
записи:

{ -w?[C] + U = 0.	(3.15)

Чтобы эта система была совместной, ее определитель должен равняться
6. М.В, Капранов	81


нулю:

A(wJ) = det{-wg[C| + [$]} = 0.

Для нашего примера, т.е. для системы
имеем определитель 2-го порядка:

Д(о>о) =

—oiyCi! + S

ШуС) 2



2

(3.16)

(3.10) с двумя степенями свободы,

~S‘2	=0.	(3.17а)

+ S22

Отсюда получаем для ш* квадратное уравнение

(S] | — Шу С1 I )(S2 2 ~ OJy С2 2 ) — ($12 ~ ^0 С1 2 )2 = 0,	43.176)

т.е. две возможных частоты о>0) и о>0 2 колебаний в системе с двумя степе-
нями свободы. Ясно, что для произвольной системы (3.15) с л степенями
свободы число частот колебаний равно количеству степеней свободы, т.е.
порядку матриц [С] и [S], или порядку определителя (3.16). Более фор-
мальный путь нахождения частот колебаний получим, приводя запись
(3.13) и, соответственно, (3.15) к общей форме записи уравнений линейно-
го приближения (2.14), умножив равенство (3.15) на обратную матрицу
емкостей [С] :

oj^U = -[A]U,	(3.18)

где — [А] = [С]"1 [S] — матрица частот..

Запись (3.18) означает, что числа представляют собой собственные
значения	а>оц квадратной п х л-матрицы частот [А], а вектор Uc

компонентами Ut, .... Un — собственный вектор. Напомним, что каждому
собственному значению соответствует свой собственный вектор Um =
= Wm i> —, UmnlT- Это значит, что колебания данной частоты ыот присут-
ствуют в каждой из обобщенных координат ut, ..., ип. Всего имеется л
частот gj0: cJoi. ^оп> следовательно, в каждой из координат ut, ..., ип
имеются колебания всех л частот из набора собственных значений матри-
цы (А].

После того как найдены значения собственных частот, выясним, в каком
весовом соотношении входят в каждую из обобщенных координат колеба-
ния различных собственных частот. Другими словами, выясним соотноше-
ния между компонентами собственного вектора. Если определитель |А|
матрицы частот [А] равен нулю и все собственные числа разные
(некратные корни характеристического уравнения), го компоненты соб-
ственного, вектора отличаются только множителями ktm , которые и
определяют весовой вклад каждого из колебаний в полное колебание дан-
ной обобщенной координаты:

(г) = к,! Vt exp(/w0|t) + ... + klnUnexp(/GjOnt),

л2 (Г) =к211/|вхр(/ш0| г) + ... + /r2„V„exp(/wo„t),

(3.19)

o„(t) = kni V, exp(/u)0 if) + ... + knnVnexp{juOnt).

Коэффициенты распределения klm численно представляют собой долю
амплитуды Vm колебания с частотой шОт, вложенную в полное колебание
координаты ut (г). Очевидно, что распределение задано с точностью до об-
щего произвольного множителя, поэтому можно в матрице коэффициентов
82
распределения

к । ।

Ь I 2

|*] =	*2 1

*22

*1 п

*2 >1

(3.20)

. *и 1	*>12	•••	*н» .

выбрать, например, все элементы 1-й строки кАi = *)2 = • = *щ = 1.

Чтобы найти, скажем, коэффициенты kt ।, характеризующие распределе-
ние колебания с частотой со01 по всем обобщенным координатам ut Ц =
= 1,2....п), нужно подставить в дифференциальное уравнение (3.13) в ка-

честве компонент вектора oft) лишь все первые слагаемые сумм, образую-
щих полное решение (3.19). Сократив затем все составляющие на величину
Vt exp (/Woi t) и считая частоту оц, । известной, получим систему уравнений
для к/ ь подобную (3.15) с определителем (3.16), в котором w() = ы()1.
Решив ее, найдем п коэффициентов */ ।. Аналогично находятся и все осталь-
ные коэффициенты распределения.

Проиллюстрируем отыскание коэффициентов распределения на примере
системы с двумя степенями свободы (3.10). Ее собственные частоты и
находятся как корни уравнения (3.176). Раскрывая запись (3.15) для
п = 2, имеем:

(Sj ] — w2C| । )L/| — ($i 2 — oJoCj 2	=0,	(3 21)

— ($2 I ~ W0C2 I )U\ + ($2 2 W JC2 2 )^2 = 0.

Поскольку частот две, то решение (3.14) имеет по два слагаемых в каж-
дой компоненте вектора о (г):

ojt) = U\* > exp(/a>oit) + L/(|2)exp(/a>o2t).

(3.22)

U2lt) = U(2l ^expf/Wo1О + 1/2(2)ехр(/о>0 2 0.

Подставим в любое из равенств (3.21), например в первое, значения
а>о = w о ।, £7] = U f1 \ U2 = U 1 \ т.е. рассмотрим его для первой из соб-
ственных частот:

а<1)

-------!— --------------------= V] = const.	(3.23а)
51 2 — шо I СI 2 S I 1 — шо I СI I

Поступая аналогично для второй из частот w02, получим

£//) £/<22>

------- ----------------------= у/2 = const.	(3.236)
Sj 2 — Wo2С] 2 $i 1 — Wo2Ci i

Сопоставляя эти соотношения с обозначениями в (3.19), приходим к сле-
дующей 2 х 2-матрице коэффициентов распределения: 1

S1 2 — Wo 1 С] 2	$12 — W02C12

[*] =	12 .-	.	(3.24)

S| । — W01 С] 1 $i 1 — W02C] ] _

Итак, в общем случае в каждой из обобщенных координат о(,..., ип при-
сутствуют колебания всех частот Wot, ..., wOn. Это сильно усложняет на-
блюдаемую картину полного колебания каждой из координат. Поэтому
закономерен вопрос — нельзя ли перейти к другой системе обобщенных
координат 17^, .... рп так, чтобы колебания в новых координатах выглядели
по возможности проще? Оказывается, это возможно — такие координаты
существуют, их называют нормальными или главными обобщенными коор-
динатами.

Переход к главным координатам легко понять, обратившись к исход-
ным уравнениям (3.13), записав их в виде, подобном (2.14) :

{[/]р2 +И]}«(Г) = О.	(3.25)

Ясно, что набор частот в координатах^,..., и„ будет полным, если матри-
ца частот — [ А ] = (С]-1 (S) будет вся заполнена. Если же матрица частот
окажется диагональной, то возникнет наибольшее упрощение — в каждой
координате останется лишь колебание с одной частотой.

Покажем, что переход к нормальным координатам целиком определяет-
ся матрицей коэффициентов распределения | к ] в форме (3.20). Введем
преобразование координат от старых щ...и„ к новым 17,...ту,,, используя

матрицу [Аг]:

u(t) = [*1^(0-	(3-26)

Тогда получим символическое уравнение из (3.25) для новых координат:

{[*]р2 + [Д ][£]} rf(t) = 0.	(3.27)

Умножив слева на обратную матрицу | Аг ] , снова придем к виду (3.25)

{[/]р2 +[ш]Н(И = 0,	(3.28)

но с измененной матрицей частот

[ш] = [Аг]-,[А][Аг].	(3.29)

Теперь она стала диагональной:

	<л>0 1	0	0 .	.. 0	
[щ] =	0	2	0 .	.. 0	(3.30)
	.. 0	0	0	СОл w0h	

Символическое матричное уравнение (3.28) с диагональной матрицей
[ со ] чрезвычайно простое — оно соответствует системе . п независи-
мых дифференциальных уравнений 2-го порядка для главных (нормаль-
ных) координат

(р2+<4( )т?( (Г) = О, (р2 + ш22)т?2(Г) = 0, ... (р2 + Wo„)i7„(t) = 0. (3.31)

Хотя исходные обобщенные координаты тл (г), ..., ип (t) содержат каж-
дая колебания всех частот o>oi> , ^оп- некоторые их линейные комбина-
ции т?| (t), .... i?n(t) (т.е. нормальные координаты) колеблются строго по
гармоническому закону каждая с одной-единственной частотой:

Hi (t) =/V] exp(/u>oi t), т?2 (Г) = Л/2ехр(/о>02г), ...

VnW = A/„exp(/wOnt).	(3.32)

Преимущества такого выбора координат по сравнению с (3.19) неоспо-
римы.
Заметим, что если пользоваться не символическим методом, а приме-
нять лагранжев формализм, то уже по виду выражений потенциальной и
кинетической энергий, еще не выписывая самих дифференциальных уравне-
ний, можно сразу убедиться, выбраны ли в качестве исходных главные
(нормальные) координаты.

Если в некоторых исходных координатах qA, q2 кинетическая Ти потен-
циальная U энергии системы оказываются полными квадратичными форма-
ми обобщенных координат и скоростей

2Т=а,	+ 2а, 2<7,р2 +a22tft.

(3.33)

2С/ = bt tq2 + 2/>12qj q2 + bi 2qi,

то, используя уравнения Лагранжа (2.56), приходим к системе дифферен-
циальных уравнений в виде, содержащем все кинетические а,у и потен-
циальные bjj коэффициенты:

а 1191 + b, 1 q। + а1г + bf 2q2 = О,

(3.34)

а1 291 + b 1 2 q 1 + а22Ч2 +^2292 _ 0.

Эта запись соответствует уравнениям (3.10), роль кинетических коэф-
фициентов играют емкости контуров, а роль потенциальных — обратные
индуктивности.

Перейдем к нормальным координатам т?1. Яг с помощью преобразо-
вания

9, =91+92- 9г =*’2 19i +	29г-	(3.35)

В нормальных координатах кинетическая и потенциальная энергии пред-
ставляются, соответственно, суммами квадратов скоростей и координат:

27 = а, 77? + а2 fii, 2U = b{q2i + b^Vi,	(3.36)

где новые коэффициенты а,-, Ь, связаны со старыми а,у , Ь^ по формулам:

ai =aii + 2а, 2^11 +a22^2i,	6, =6,, +26,2Хг2, +622^21,	(3 37)

а2=а,,+2а 12^22 + а22^22,	62 = b, , + 26, 2^11 + 622^22-

Используя в уравнениях Лагранжа (2.56) выражения (3.36), получим
дифференциальные уравнения в главных координатах

а, п, + б, 9, = 0, а2т?2 + 629г = 0-	(3.38)

Таким образом, признаком главных (нормальных) координат является
отсутствие в выражениях потенциальной энергии произведений координат,
а кинетической — произведений скоростей, т.е. представление их в форме
сумм квадратов (3.36).

§ 3.3. Линейные модели усилителей с обратной связью
и их устойчивость

Структурная схема произвольного усилителя с обратной связью пред-
ставлена на рис. 3.7. Модель прямого тракта принята в виде линейного зве-
на с операторным коэффициентом передачи А (р), где оператор р = d/dt.
Тракт обратной связи представлен линейным звеном 5(р); А (р) и В (р) —
дробно-рациональные функции р в случае систем с сосредоточенными по-
стоянными или квазиполиномы для распределенных систем. Линейность
модели обусловлена тем, что коэффициенты при р в функциях А (р) и
В (р) не зависят от уровня колебаний в трактах, т.е. не связаны с величиной
входного х(т) или выходного u(r) сигналов. Сумматор на схеме рис. 3.7
считается идеальным, знак обратной связи можно изменить с положитель-
ной на отрицательную, заменив В (р) на —В (р). Такая модель охватывает
весьма широкий класс радиотехнических устройств с обратной
связью.

Составим в операторной форме дифференциальное уравнение, связы-
вающее отклик u (г) усилителя на воздействие x(t), приложенное к его
входу. Непосредственно из схемы рис. 3.7 следует

u(t) = A(p)x(t) + A(p)fl(p)u(t),

(3.39)

откуда получаем связь:

o(t) =

А(Р)
----------х(т).
1 -Д(р)Жр)

(3.40)

Видим, что коэффициент передачи усилителя с обратной связью

w(t)	Д(р)

-----= К{р} ----------------.

x(t)	1- A(p)fi(p)

(3.41)

Он равен коэффициенту передачи прямого тракта А (р), уменьшенному в
[1 - А (р) В (р) ] раз. Произведение А (р) В (р) называют фактором обрат-
ной связи.

Если указанный фактор велик, а связь отрицательная, то приближенно
получаем /С(р) % 1/9 (р), т.е. при глубокой отрицательной обратной связи
резко ослаблены погрешности, обусловленные нестабильностью парамет-
ров прямого тракта. Этот факт широко используется при проектировании
усилителей.

Операторное (символическое) дифференциальное уравнение усилителя
при наличии входного сигнала соответствует неавтономной системе

[1 - Д(р)9(р)]о(г) = Д(р)х(Г).

(3.42)

В отсутствие входного сигнала (x(t) = 0) получаем автономную
систему:

[1-Д(р)9(р)]о(Г) = 0.	(3.43)

Рассмотрим ее подробнее. С помощью (3.43) можно исследовать свободные
колебания в усилителе с обратной связью и их устойчивость для произволь-
ных схем прямого и обратного тракта, т.е. при произвольных выражениях

Рис. 3.7.

операторов А (р) и В (р). Заметим, что при рассмотрении свободных коле-
баний имеем дело с последовательным соединением звеньев Д(р) и В(рУ, по-
этому для устойчивости усилителя безразлично распределение его элементов
между трактами Д(р)и В(р), все определяется произведением Д(р)9(р).

Если на оператор р смотреть как на характеристический показатель, то
выражение в квадратных скобках (3.43) приводит к характеристическому
полиному Н (р) = 0, исследование корней которого можно провести с по-
мощью алгебраического или частотного критериев, описанных в гл. 2. Для
наглядной физической трактовки процессов на границе устойчивости удоб-
но представить это выражение в виде уравнения баланса фаз и баланса
амплитуд (6, 8].

На границе устойчивости действительная часть корня обращается в нуль,
т.е. р = /ш, и вместо (3.43) можем записать:

[1 -	=0.

(3.44)

Величины А (/а>) и В (/со) можно считать комплексными коэффициента-
ми передачи соответствующих трактов для гармонического сигнала

Рис. 3.8.

Uexp (jcor). Выделив амплитудно-частотные А (со), В (со) и фазо-частотные
а (со), Ь (со) их характеристики, получим из (3.44)

1 =Д(со)8(со)ехр{/[а(со) +Ь(со)]}.	(3.45)

Очевидно, что удовлетворить этому равенству можно, приравняв модули и
фазы правой и левой частей:

Д(со)8(со) = 1, а(со)+б(со) = 0, —2тг, —4я, ...	(3.46)

Первое из соотношений (3.46) представляет собой "баланс амплитуд", а
второе — "баланс фаз". Если на какой-то частоте согр одновременно выпол-
няются условия баланса фаз и баланса амплитуд, то колебание L/exp (/согрг),
поданное в произвольно выбранном месте разрыва усилительного тракта
схемы рис. 3.7, пройдя весь тракт, вновь вернется к месту разрыва с той
же амплитудой-и той же фазой (или с фазовым сдвигом, кратным 2тт).
Ясно, что это и есть условие границы самовозбуждения.

Рассмотрим простейший пример усилителя с широкополосным прямым
трактом А (р) = А = const и избирательным трактом положительной обрат-
ной связи, в котором включен колебательный г£С-контур согласно схеме
рис. 3.8. Коэффициент передачи тракта обратной связи

Подставляя эти значения А[р) и В(р) в выражение (3.43), получаем диф-
ференциальное уравнение в символической записи

[р2£С+(Т-Д)ргС + 1]о(Г) = 0.	(3.48)

Оно описывает систему с одной степенью свободы и отличается от уравне-
ния (3.2в) для одиночного контура без потерь наличием члена с 1 -й произ-
водной, обусловленного сопротивлением г. Вводя безразмерное время
t = wot, где Wq = 1/Z.C и обозначая й = du/dt, р = d2u/dt2, получим урав-
нение в безразмерной форме

о+ 8(1 — А)й + и = О,	(3.49)

где 8 = гhJL/C - затухание нерегенерированного контура.
Из (3.49) видно, что
обратная связь в данном
случае просто меняет зату-
хание контура. При поло-
жительной обратной связи
потери полностью регене-
рируются при единичном
коэффициенте усиления
трактата А = 1 и происхо-
дит самовозбуждение схе-
мы на частоте контура.
Если сделать обратную
связь отрицательной, из-
менив в (3.49) знак А на
обратный, то наоборот, в
контур вносятся допол-
нительные потери.

Пусть теперь в прямом
тракте введено инерцион-
ное звено с оператором
А(р} = 1/(7р + 1), где
Т = RHCH — постоян-
ная времени нагрузки

усилителя.

Считая тракт обратной связи прежним, получим взамен (3.49) уравнение
3-го порядка

в и + (1 + Ьв}и + [6(1 — А) +	+ и = 0.

(3.50)

Здесь в = со() Т — безразмерная постоянная времени нагрузки, а точки озна-
чают дифференцирование по безразмерному времени г = шог. Этому уравне-

нию соответствует харак-
теристический полином

Н(р) =

= вр3 + (1 + 60)р2 +

+[6(1 - А) + &]р + 1 = 0,
(3.51)
где р =	— безразмер-

ный характеристический
показатель.

Видим, что введение
инерционного звена уве-
личивает число учитывае-
мых в модели рис. 3.8
степеней свободы на 1/2.
Кроме того, сдвигается
граница устойчивости. Для
ее определения использу-
ем критерий Гурвица в
форме неравенств (2.28)
для характеристического
полинома 3-го порядка.
Требование Д2 > 0 дает
условие устойчивости

А < 1 + 02/(1 + 50).	(3.52)

Оно означает, что при большой инерционности нагрузки в = о>0 Т самовоз-
буждение усилителя произойдет лишь при заметно увеличенном коэффи-
циенте усиления, определяемом формулой (3.52). Причину этого проще
увидеть, если использовать баланс фаз и баланс амплитуд, записав
выражения:

А	/8 со

А (/ш) =----—,	В(/ы) =----—--------(3.53)

1+/со0	(1—со2)+/5о>

где со = со/соо — безразмерная частота.

На основе этих выражений на рис. 3.9 дано графическое решение урав-
нений баланса фаз и амплитуд (3.46). Здесь построены амплитудно-
частотные

А	1

Д(ш) =—===, fi(w) =—==========-	(3.54)

ч/1 + (0ш)2	/	(1 -со2)2

V1 +------

2 5 со 2

и фазо-частотные	,

_	_	1 — ссг

а (со) = — arctg0co, Ь(со) = arctg -- (3.55)

5 со

характеристики трактов. Граничная частота согр, на которой выполняется
баланс фаз и возможно самовозбуждение, получается из условия пересе-
чения графиков а(со) = — 5(со). Самовозбуждение произойдет, если на часто-
те со =шгр произведение Д(согр) fi(cdip) > 1 (на рис. 3.9 выбрано fi(cdrp) =
= №Гр1П-

При малом затухании контура 5 < 1 его фазо-частотная характеристика
b(со) идет круто в окрестности собственной частоты. Если при этом инерци-
онность нагрузки не слишком велика, так что 8 = со0 Т ~ 1 , и можно прибли-
женно считать а (со) —0со, то, приняв b (1 — со2 )/5 со, получим для приб-
лиженных оценок простое соотношение:

ш2 ~---------^1-60.	(3.56)

Р 1+50

Видим, что при наличии высокодобротного контура в цепи обратной свя-
зи даже заметные изменения параметров нагрузки (ее инерционности) ма-
ло сказываются на значении частоты согр, на которой происходит самовоз-
буждение. Величина коэффициента усиления на этой частоте Д(согр) опре-
деляет лишь запас в условии самовозбуждения.

На рис. 3.10 подобные построения развиты в предположении, что в ка-
честве нагрузки усилителя выбрано не инерционное звено,-а колебатель-
ный контур с умеренной добротностью, т.е. Д(/со) имеет такой же вид, что
и£(/со) в (353) . Если в цепь обратной связи включить весьма высокодоб-
ротный резонатор, например кварцевый, то получим прообраз известной
схемы двухконтурного автогенератора с кварцем в цепи обратной связи [8].

Из построений рис. 3.10 при линеаризации фазо-частотных характерис-
тик контуров получаем в соответствии с выражениями вида (3.55) прибли-
женное соотношение для частоты самовозбуждения

+ (5д/5л) со л

со = ---——----------,	* (3.57)

1 + 5В/5Л
гдесод л и Зд д — собственные частоты и затухания низкодобротного и
высокодобротного контуров соответственно. Поскольку отношение затуха-
ний8^/5д<1, частота колебаний при самовозбуждении двухконтурной
схемы определяется собственной частотой высокодобротного контура,
очень мало изменяясь при уходах частоты сод низкодобротного контура,
вызванных дестабилизирующими факторами.

Используем теперь общие дифференциальные уравнения (3.43) авто-
номной системы с обратной связью для исследования конкретного примера
многокаскадного усилителя, выход которого соединен со входом

Рис. 3.11.

(рис. 3.11). Найдем границу устойчивости такого усилителя (те. условия
самовозбуждения многокаскадного автогенератора) , приняв операторные
коэффициенты передачи Д (р) и В(р] в виде:

Д(р)=ПДт(р), fi(p) = 1,	(3.58)

ж
где Л/ — число каскадов.
Пусть каждый каскад нагружен инерционным звеном (АС-цепочкой) и
инвертирует полярность входного колебания

Ат(р) =------------ (3.59)

Гтр + 1

Тогда согласно (3.43) получим дифференциальное уравнение данной схемы:

N	кН

[П(7тр + 1)- (-1) п Ат] u{t)=O.	(3.60)

т	т

Раскроем и исследуем это уравнение для различного числа каскадов Л/,
приняв для простоты записи все каскады идентичными: Тт = Т, Ат = А.

1.	Уравнение однокаскадного усилителя (Л/ = 1) :

[Тр + (1 + Д)] и(t) =0.	(3.61)

Видим, что эта схема устойчива при любых Т иД>0, поскольку коэф
фициенты характеристического полинома #о = Т,а\ = 1 + А положительны.

2.	Для двух каскадов (Л/= 2) из (360) имеем:

{Т2р2 + 2 7р + (1 — Д2)] u(t) = 0.	(3.62)

Схема теряет устойчивость приД2>1, корни р12 характеристического
полинома равны: Tpi = Д - 1, Тр2 = -(Д + 1), т.е. получаются действитель-
ными и при Д > 1 оказываются разных знаков. Значит, решение u(t) л ими-
тационное, оно содержит затухающую и нарастающую экспоненты. Другими
словами, колебания не гармонические.

3.	Трехкаскадный усилитель (Л/ = 3) описывается уравнением

[Т3р3 + ЗТ2р2 + 37р + (1 + Д3)] u(r) =0.	(3.63)

Коэффициенты характеристического полиномаа0 = 73,ai = ЗТ2,а2 =37,
а3 =1 + А3, и условие устойчивости a^j - аоа3 > 0 выполняется при Д < 2.
При А > 2 схема самовоэбуждается, причем независимо от значения посто-
янной времени 7 нагрузки каскадов.
* .w	*г Г* n ’	’ ” < з

Пояснить это обстоятельство и заодно найти частоту колебаний такого
автогенератора, не вычисляя корней характеристического полинома 3-й
степени, можно с помощью выражений баланса амплитуд и фаз (3.46).
Модуль Ап, (ш) и фаза а,„ (со) коэффициента передачи одного каскада равны
А

Ат (со) =—а (со) = - rr — arctg со Т.	(3.64)

у1 + (со TV

где добавок — тг учитывает инвертирование полярности колебания на вы-
ходе каскада. Для трех каскадов, соединенных в кольцо, условия баланса
амплитуд и фаз с учетом (3.64) примут вид:

А3 (согр) = f Агр ===.= 1,

V(1 + (согрГ)2]3 ,	(3.65)

a(co, р) = -Зя — 3 arctg corp Т = -4гг.

Отсюда arctg согр Г = я/3, т.е.согрТ = \/31 иДгр = 2. Видим, что самовозбуж-
дение возможно лишь на частоте согр =\/3?Г, при которой нагрузка одиноч-
ного каскада дает фазовый сдвиг — я/3. В трех каскадах она даст сдвиг
— я, и с учетом инвертирования общий фазовый сдвиг составит — 4я. На гра-
ним ной частоте коэффициент передачи инерционного звена в нагрузке
1 /\/1 + (соГр Л2' = 1/2, поэтому для выполнения баланса амплитуд нужно
иметь усиление каскада Дгр = 2.

§34. Условия самовозбуждения усилителей
и автогенераторов с запаздывающей обратной связью

В качестве линейной модели ряда систем с распределенными параметра-
ми — протяженных волноводных и волоконно-оптических трактов, уст-
ройств на поверхностных акустических волнах и др.— можно использовать
звено с идеальным запаздыванием, операторный коэффициент передачи
которого К(р} = ехр(—тр), где т — время запаздывания выходного сигна-
ла относительно входного. Такая модель проста, но идеализирована — в ней
не учитываются затухание и дисперсия, приводящие дополнительно к иска-
жению формы запаздывающего сигнала, однако эти поправки иногда уда-
ется ввести самостоятельно.

Рассмотрим особенности работы усилителей при наличии запаздывания в
цепи обратной связи, для этого достаточно в общей структурной схеме
рис. 3.7 считать оператор тракта обратной связи fi(p) = ехр(— тр). Тогда сво-
бодные колебания и (Г) в такой схеме описываются согласно (3.43) диф-
ференциальным уравнением в символической форме:

[1 - А(р) ехр(-тр)]и(г) = 0.	(3.66)

Если в усилительном тракте используются звенья с сосредоточенными па-
раметрами, то оператор Д(р) - R(p)/Q{p),где Жр) и Q(p) — обычные поли-
номы операторар. При этом (366) принимает вид

(О(р) - Жр) ехр(-тр)] о(Г) = 0,	(3.67)

а в качестве характеристического полинома для (3.67) выступает квазипо-
лином (240). z

Примем первоначально предельно возможную идеализацию задачи, счи-
тая усилительный тракт безынерционным, т.е. Д(р) = А = const. Тогда
Q(p) =4, Жр) = А и получаем самое простое операторное уравнение

(1-Лехр(-тр))и(г) = 0.	’ (3.68)
Его характеристический
квазиполином к(р) ? 1 -
— А ехр(— тр) = 0 имеет
бесчисленное множество
корней, поэтому для ис-
следования вопроса об
устойчивости следует при-
менить частотный крите-
рий. Используя в форму-
лах баланса амплитуд и
фаз значения А(ш) = А,
а(ш) = 0, fi(co) = 1, Ыа>} =
= —сот, получим на гра-
нице устойчивости

Д|р = 1, д(ю)=-согрг =

= 0, —2я, —4тг, . . . (3.69)

Это значит, что при А >Агр = 1 условие самовозбуждения выполняется сра-
зу для бесчисленного множества частот corp(t = 2kir/T, к = 0, 1, 2, .. . Пос-
кольку все они равноправны, то вид содержащего их результирующего ко-
лебания o(t — г) сложный и определяется заданием на интервале 0 < t < т
конкретной начальной функции онач (Г) (заметим, что при замыкании в мо-
мент t = 0 кольца обратной связи сигнал на выходе тракта появится лишь
через время, равное т).

Выясним, как повлияет на эти результаты изменение знака обратной
связи в звене запаздывания или инвертирование сигнала в усилителе (заме-
на А(р) на —А(р)). Поскольку принято А(ш) = А = const, любую из этих
замен можно учесть, заменив 6 (gj) на — я + Р(со). Тогда формулы баланса
амплитуд и фаз дают на границе устойчивости

Arp=1, -согр г =-я,-Зя, . . .	(3.70)

Сопоставляя их с (369) , видим, что перемена полярности привела лишь
к смещению на числовой оси бесконечного множества частот cajpA = 12к —
— 1) я/т, к = 1, 2..для которых выполняется баланс фаз. Построения ба-

ланса для обоих случаев приведены на рис. 3.12; последовательности частот
ЧркИШгр* для положительной и отрицательной полярностей помечены
крестиками и кружочками соответственно.

Из построений рис. 3.12 становится ясно, как нужно поступить, чтобы
из бесчисленного множества частот GjjpA. или w[p* выделить лишь нес-
колько, или даж>е одну частоту, для которой только и выполняется баланс
фаз и амплитуд одновременно. С этой целью в усилительный тракт следует
ввести узкополосное частотно-избирательное звено A (/gj) взамен безынер-
ционного A(j со) = А = const.

Используем в качестве нагрузки усилителя инерционное звено с опера-
тором А(р) = АЦТр + 1),т.е.А(со) = АЛ/1 + (со Г)21, а(со) = — arctgcoT.

При такой схеме усилителя уравнения баланса амплитуд и фаз примут
вид:

А2р = 1 + (согр 7")2, — согрт — arctg согр 7" = 0, -2я, -4я,. . .	(3.71)

По этим формулам на рис. 3.13 построены графики при фиксированном
усилении А, причем для двух различных запаздываний т( и т2 подобраны по
(3.71) два значения постоянных времени Tt иТ2, приводящие систему на
границу устойчивости с единственной частотой генерации. Связь параметров
т, Т и А на границе устойчивости получается совместным решением
92
уравнений (3.72)

,	1/2

/ т \ 2тг - arctg (Л ,р - 1)
(г/гр~ Й?р-1)1/2

(3.72)
Исключенная отсюда частота, на
которой происходит самовозбуж-
дение,

а<р = (Д?р-1)1/2/Г-	(3.73)

Если инвертировать усилитель
или поменять полярность выходных
зажимов запаздывающего звена, то
следует в правую часть уравнения
баланса фаз (3.71) добавить вели-
чину it. При этом частоты генерации
получатся в результате пересече-
ния на рис. 3.13 прямых —сот со
штриховыми кривыми. При неиз-

на границе устойчивости:

менном отношении т/Гизменяется усилениеXIгр
,	1/2

/_г\ _ Я - arctg Игр ~ D

\Г/гр И2гр-1)1/2

(3.74)

и частота генерации ш™, поскольку в формулу (3.73) входит изменив-
шаяся в соответствии с (3.74) величина Дгр.

Таким образом, используя инерционное звено как нагрузку усилитель-

ного тракта, можно на базе звена запаздывания реализовать автогенератор
гармонических колебаний, получив самовозбуждение схемы на единствен-
ной частоте со г р при Дгр > 0 (или со^р при Дгр < 0), наименьшей из бес-
численного их множества, удовлетворяющего условию баланса фаз. Однако
в такой схеме нельзя получить перестройку с одной частоты на другую из

этого набора, поскольку при расширении полосы пропускания инерционно-
го звена (при уменьшении его постоянной времени Г) или увеличении уси-
ления А баланс амплитуд станет выполняться для нескольких низших час-
тот набора и форма колебания будет далека от синусоидальной. Построить
перестраиваемый автогенератор с запаздывающей обратной связью удается,
если использовать в нагрузке усилителя достаточно узкополосный перестра-
иваемый резонатор.

Выберем в качестве такого резонатора параллельный /?£С-контур с опе-

раторным импедансом

г(р) = R

рый8
р1 +po>08 + wo

(3.75)

гдео>о = 1/^-С.З = \/LIC'lR — затухание контура. Если затухание мало, то

выражение комплексного коэффициента передачи усилительного тракта

SR

А Цы) = —--z-----------,

1 + Ды — ыо)/ыыо8

(3.76а)

где£— крутизна активного элемента схемы, можно упростить при малых
расстройках w — частоты колебаний относительно собственной :

АЦы} *-------------------- (3-766)

1+/(со - о>о)7к
ЗдесьД=$Яи введена постоянная времени контура Тк = 2/а>08. Пределы
применимости и удобства, вытекающие из этого упрощения, подробно рас-
сматриваются в гл. 6.

Используя в качестве АЦш) его "укороченное" выражение (3.766), сос-
тавим уравнения баланса амплитуд и фаз на границе устойчивости рассмат-
риваемой схемы усилителя с колебательным контуром и запаздыванием:

ДГр = 1 (^гр ) 7"к,

-о>грт - arctg[(wrp - ш0)Гк) =0, -2тг, -4я,...	(3.77)

На рис. 3.14 по этим формулам построены графики. Благодаря высо-
кой избирательности амплитудно-частотной характеристики контура А (со)
при перестройке собственной частоты соо по диапазону баланс амплитуд и
фаз выполняется одновременно лишь в узких полосах частот генерации
около значений а>от = 2/гя, k « 1,2, ... Согласно (3.77) параметры схемы
на границе устойчивости связаны соотношением

шот +— %/Д?р - 1* = 2-nm + arctgxZ4?p - l'
Гк

m = 1,2.......... (3.78)
а частота колебаний, если приближенно считать для малых расстроек
arctg(a> — Wo )7"к % (ш — о>о) Тк, получается равной

со ~

СОо Тк + 2л7 7Г
7 +ТК

/п = 1,2,...

(3.79)

§33. Условия самовозбуждения одноконтурных автогенераторов

По сравнению с многоконтурными и многокаскадными схемами одно-
контурные автогенераторы с одним активным элементом наиболее рас-
пространены на практике благодаря простоте конструкции и компактности,
легкости подбора режима генерации, удобству перестройки частоты по диа-
пазону и надежности. По типу применяемого активного элемента можно
выделить два больших класса одноконтурных автогенераторов — с исполь-
зованием отрицательной проводимости активного двухполюсника (напри-
мер, тунельный диод, диод Ганна, лавинно-пролетный диод, отражательный
клистрон и т.п) и трехточечные схемы с положительной обратной связью,
использующие активные (усилительные) трехполюсники — транзисторы,
электронные лампы и др.

Обобщенная трехточечная схема на транзисторе представлена без источ-
ников питания на рис. 3.15. Для создания положительной обратной связи
в одноконтурном автогенераторе реактивные элементы контура(р) и
z2(p) выбираются одного знака, az3(p)— другого. Если*] >2 (р) = rt >2	+

+ p£i>2, аг3 = г3 + 1/рСз — получаем индуктивную трехточку; наоборот,
в случае г, 2 (р) = Г| ,2 + 1/рС|>2 иг3 = г3 + pL3 — емкостную трехточку.
Реальный автогенератор отдает полезную колебательную мощность в наг-
рузку, индуктивности и емкости контура обладают потерями, а в базовой
цепи транзистора протекает ток. Поэтому элементы i2i3 (р) оказываются
не чисто реактивными.

Рис. 3.15.

В трехточечной схеме рис. 3.15 с обратной связью напряжение о (Г) связа-
но с током 7(о) соотношением o(t) = zy (р) /(о), где управляющее сопротив-
ление zy(p) = Ar(p) zu(p) представляет произведение коэффициента обратной
связи/г(р) = —z2 (PV\-Z2 (Р) +z3 (р)]насопротивлениенагрузкига(р) = zt (р)Х
z2 (р) + z3 (р)

X-------------------в коллекторной цепи активного элемента. В пиней-

*i (p)+z2(p) +z3 (р)

ной модели автогенератора, верной для малых колебаний, зависимость
Ци) принимается линейной: Ци} = Su, гдеS = di(u)ldu — локальная крутизна
характеристики транзистора. Тогда дифференциальное уравнение линейной
модели автогенератора по трехточечной схеме рис. 3.15 имеет вид

(&у (р) - 1] и(Г) = О,	.(3.80)
где управляющее сопротивление

Zi (p)z2 (р)
z.(р) = ------------------------

Zj (р) +z2 (р) +z.,(p)

(3.81)

Используя эти общие выражения, составим дифференциальное уравнение
для малых колебаний автогенератора по схеме индуктивной трехточки, по-
лагая Zi (р) = rt + pLt , z2 (р) = r2 + pl_2, ^з (p) = Tj + 1/pC3. Введем собствен-
ную частоту co2 = 1/Z.C, полные индуктивность L = Li + L2, сопротивление
потеры = rt + r2 + r3 и затухание контура 8 = гш(>Сз, а также коэффициен-
ты потерь: Si = rt/ai0Li и 62 = /2 /cj0 L2 • Обозначив управляющее сопротив-
ление Ry = Lt L2lrLC, получим:

[рS(S, + p)(62 + p)S/?y +р2+р8 + 1] o(t) =0.	(3.82)

Здесь 7 = со01 и оператор р = d/dt.

Обратим внимание на то, что уравнение получилось 3-го порядка.

Рассмотрим вначале более простой случай распределения потерь по эле-
ментам контура Zi ,z2 ,z3, считая все потери сосредоточенными в емкост-
ной ветвигз(р), т.е. полагая= 82 =0. При этом характеристическое
уравнение примет вид:

W(p) =$Яу8р3 + р2+8р + 1 =0.	(3.83)

Исследуем этот полиноме помощью критерия Гурвица. Видим,что необ-
ходимое условие устойчивости — положительность всех коэффициентов
а0,а, ,а2,а, характеристического полинома — выполнено. Достаточные
условия устойчивости, согласно критерию Гурвица, выполняются при усло-
вии а(а2 >аоаз. Раскрывая это условие для полинома (3S3) , имеем очень
простое неравенство

5ЯУ<1,	(3.84)

т.е. самовозбуждение произойдет, если сделать фактор регенерации SRy > 1.

Применим теперь к (3.83) частотный критерий, проводя замену р
где w = gj/gj0. Приравнивая на границе устойчивости действительную и мни-
мую части полинома = а(ш) + /Л(ш) нулю, получаем:

= 1 - со2р = 0, Л(ш) = wrp8(1 - шгр$Яу) = 0.	(3.85)

Отсюда устанавливаем, что колебания возникают на собственной частоте

контура со, р = GJrp/w0 = 1; при
этом на границе самовозбужде-
ния SRy = 1. Заметим, что зату-
хание 8 входит в величину Ry,
а на частоту колебаний оно в
данной схеме не влияет.

На практике в индуктивной
трехточке (рис. 1.23) чаще уда-
ется реализовать с малыми по-
терями не индуктивности, а
конденсатор. Поэтому положим
далее г3 = 0, rt #= 0, г2 Ф 0 и
будем для упрощения считать,
что потери в катушках пропор-
циональны их индуктивнос-
тям т.е. 6] =82=6. Тогдаха-
рактеристическое уравнение
примет вид

H(p)=SRy&p3 + (1 + 2S/?y62) р2 + 3(1 + S/?y62)p +1 =0.	(3.86)

Необходимые по критерию Гурвица условия устойчивости выполне-
ны — все коэффициенты полинома Н(р} положительны. Достаточные усло-
вия дают следующую связь параметров:

D(x, у) = 2х2у2 + Зху + (1 — у) > 0,	(3.87)

где для краткости обозначено х = 82, у = SRy. Видим, что устойчивость
определяется по-прежнему лишь двумя параметрами — затуханием 8 и

фактором регенерации SRy. Интересно в плоскости этих параметров по-
строить границу устойчивости D{x, у) = 0.

На рис. 3.16 приведено разбиение первого квадранта плоскости парамет-
ров Б2, SRy на области устойчивости и неустойчивости: штриховка границы
D(x, у) направлена внутрь области, где возникает самовозбуждение авто-
генератора. Оказывается, при Б2 < (3 — 2\/^’) = 0,1716, те. при Б <0,429 су-
ществуют два значения фактора регенерации: нижнее (5ЯУ)Н и верхнее
($/?у)в, приводящие автогенератор на границу устойчивости. Для них из
полного выражения D{x, у) = 0 получаются приближенные оценки, верные
для малых затуханий:

($Яу)н 1/(1 - ЗБ2), ($Яу)в * (1 — ЗБ2)/2Б4.	(3.88)

В области весьма малых затуханий Б < 1, характерной для высококачест-
венный резонаторов радиотехнического диапазона, практическое значение
имеет нижняя оценка, грубое значение которой (SRy)н =» 1 + ЗБ2. При Б < 1
верхнее значение фактора регенерации, при котором автоколебания снова
становятся невозможными, оказывается чрезвычайно большим (SRy)в >
> 1 и на практике трудно реализуется.

Поясним эти особенности с помощью частотного критерия. Заменяя в
(3.86) р = j&>, получаем для действительной ^(ш) и мнимой Л(ш) частей по-
линома НЦйзУ.

£(ш) = 1 - ш2(1 +2Б2$/?у) =0,

(3.89)

Л(ш) = шгр [(1 + Б2$Яу) — w?pSRy] = 0.

Оказывается, что частота о>гр на границе самовозбуждения

w?p =wg/(1 +282S/?y)	(3.90)

всегда ниже собственной частоты контура. При большом затухании Б, т.е.
заметных сопротивлениях г, и г2 в индуктивностях и £2, частота о>гр, на
которой выполняется баланс фаз, заметно отличается от о>0. Это Связано с
тем, что при большом сопротивлении г2 и г3 = 0 коэффициент обрати^ свя-
зи получается комплексным, и для компенсации фазы коэффициента обрат-

7 М.В. Капранов	97
ной связи в соответствии с условием баланса фаз контур должен быть в
нужную сторону расстроен относительно частоты колебаний.

Обратимся теперь к схеме рис. 3.17 одноконтурного автогенератора с
активным двухполюсником. Вольтамперная характеристика двухполюс-
ника Це} представлена на рис. 3.18, она имеет падающий участок с отрица-
тельной крутизной,гдеdi(e}/de<0. При выбранных на рис. 3.17 положи-
тельных направлениях выражение 2-го закона Кирхгофа приводит к диффе-
ренциальному уравнению в символической форме

£ = z(p)7(e)+е,	(351)

где Е — постоянное напряжение источника питания, а символическое сопро-
тивление контура

5(6 + р}

z(p} = R -------(352)

р2+6р +1

Здесь5 = г/\/L/Cзатухание,/? -rib1 — резонансное сопротивление конту-
ра, а операторр =d/dloj0t), гдешо = MLC. Используя (352) в (351) и
введя безразмерное время? = u>ot,получаем:

(d2e	de	\	di(e}

----  + 5	и е 1= ri(е) + 5/?  -.	(3.93)
di1	dt-/	di

Это дифференциальное уравнение —нелинейное,оно допускает состояния
равновесия е0 = const. Отыщем все возможные равновесные состояния и
исследуем их устойчивость. Поскольку 7(е°) = 7° = const, из (353) получа-
ем алгебраическое уравнение для нахождения координат точек равно-
весия:

/(е°) = (£-е°)/г.	(3.94)

Для вольтамперной характеристики 7(e) с падающим участком возмож-
ны два типичных решения уравнения (354): с тремя достояниями равно-
весия (рис. 3.18, а) и с одним (рис. 3.18, б). Проведем исследование ло-
кальной устойчивости этих состояний, для чего перенесем начало отсчета
в какую-либо из точек равновесия е^.е? или е?., те. сделаем замену
координат

е(О=е?,2,з + W-	(355)

Нелинейную вольтамперную характеристику активного элемента
'(е1,2,з + разложим в ряд Тейлора в окрестности данной точки равнове-
сия (<

Е

О
и > J» Г». Я



приращение 5 достаточно малым:

• о	„	d'№

i (el, 2, 3 + £) - > (е1,2, 3 ) +	~

de

о
4,2,3

(3.96)

Обозначив локальную крутизну характеристики в

точке равновесия через

51,

di

2,з ~Т~
de

о

1,2,3

подставим линеаризованную

в исходное дифференциальное уравнение (393) и

характеристику (3.96)

учтем уравнение равно-

весия (394). Тогда получим линейное дифференциальное уравнение для

вариаций £(Г):

е

5 + 6(1 + Я$)5 + (1 + rS)5 = 0.

(3.97)

Для анализа устойчивости состояний равновесия используем критерий
Гурвица. Для уравнения 2-го порядка необходимым и достаточным усло-
вием асимптотической устойчивости является требование положительности
коэффициентов характеристического уравнения:

5~'ai = 1+/?$,.2,з > 0, а2 = 1+rSj,2,3 >0.	(398)

При наличии всех трех состояний равновесия е°,е2, крутизны S(
и S3 положительны, поэтому точки е® ие“ устойчивы в малом. В точке
е°2 локальная крутизна $2 <0, но ее модуль |S21 > 1/г, т.е. произведение
rS2 < —1 и коэффициент а2 = 1 + rS2 <0. Значит, в случае трех решений
уравнения (394) состояние равновесия е°2 всегда неустойчиво. Посколь-
ку коэффициент аг =6(1 + RS2) < 0 и коэффициент з2 < 0, то корни харак-
теристического уравнения р2 +а\Р +а2 = 0 получаются действительными и
разных знаков:	_________

Pi = -а] /2 + x/ai/4 -а2 >0, р2 = -а] /2 - у/а2 /4 - а2 < 0.

В этом случае движение 5г (Г) = е(Г) — е2 лимитационное и автоколеба-
ния не возникают.

Если выбрать контур с малым сопротивлением потерь и подобрать
напряжение питания Е так, чтобы получить лишь одно решение е2 уравне-
ния (394) на участке характеристики Це) с отрицательным наклоном, то
получим |$21 < 1/г иа2 = 1 +rS2 > 0. Чтобы возникли автоколебания, нуж-
но еще реализовать неравенство |S2| > 1//? при52 <0. Это значит, что отри-
цательная проводимость активного элемента превышает проводимость кон-
тура, те. его потери компенсируются при условии R |S21 > 1. В этом случае
коэффициент а, = 6(1 + ffS^) <0 и корни характеристического уравнения
Р1,2 = —3| /2 ± Va?/4 — а2 получаются положительными приз] >4а2 и ком-
плексносопряженными с положительной действительной частью при
а, < 4з2 . Это последнее условие выполняется при высокой отрицательной
крутизне и большом резонансном сопротивлении контура.

§ 3.6. Линейные модели радиотехнических систем с частотным управлением

Как указывалось в § 1.7, исчерпывающее описание поведенияградиотех-
нйческой системы управления требует полного исследования ее нелинейных
дифференциальных уравнений, характер которых обусловлен видом нели-
нейной характеристики дискриминатора и структурой цепи управления,
включенной между дискриминатором и управителем. Полное исследование
в общем случае затруднено, поскольку сам закон движения нелинейной

7‘	99

:ч	'	'	'	'	,

‘ , . ' <'' -

Ч
системы может существенно изменяться при незначительном изменении
начальных условий. В то же время многие рабочие характеристики системы
(точность, быстродействие и др.) определяются ее поведением при неболь-
ших отклонениях регулируемых координат от их стационарных состояний.
Поэтому простые.линейные модели оказываются удобными и полезными для
синтеза оптимальной структуоы цепи управления и выбора ее параметров.

Построим линейные модели наиболее распространенных радиотехничес-
ких систем управления.

Рассмотрим в качестве первого примера систему частотной автопод-
стройки (ЧАП) и воспользуемся полученным ранее дифференциальным
уравнением ЧАП (1.121). Его можно несколько упростить, если ввести
обозначение £2 = SyE для наибольшего отклонения частоты, вызываемого
частотным дискриминатором с характеристикой рис. 1.49 при К(р) = 1, и за-
тем нормировать к этой величине как текущее отклонение от (шс + сод),
обозначенное в (1.121 )сод, так и отклонение частоты шсв "свободных" (т.е..
происходящих в отсутствие управляющего воздействия) колебаний ПГ от
той же величины. Будем называть частоту шн =	+ о>д "номинальной" , по

отношению к которой обеспечивается автоматическая подстройка, и введем
безразмерное текущее отклонение шг от шн:

у = о-'д/Q = (шг — шн)/£2

и безразмерное отклонение н от и:н :

7 =

Разделив правую и левую части равенства (1.121) на SyE = £2, получим
уравнение системы ЧАП в той форме, которая будет использована далее:

У + K(p)F(y) = 7.	(3.99)

Предположим, что задан некоторый "невозмущенный" закон 7° (г) =
- lw°B(f) - w„|t|] /П, где w„(t) = Wp(t) + ашл - центральная час-
тота ЧД. Пусть через достаточное время (в пределе г °°) достигнута ста-
ционарная реакция системы у0 (t) = [w°(rj — w® (f)l /Е1, удовлетворяющая
исходному дифференциальному уравнению (399) :

/°+K(p)f(y°) =7°.	(3.100)

Назовем это соотношение уравнением стационарного режима ЧАП, соот-
ветствующего заданному закону 7° (г). Отметим, что из-за нелинейности
характеристики дискриминатора Fly) могут достигаться различные стаци-
онарные состояния у° (г), Уз (г), ... , а характер уравнения (3.100) и,
соответственно, вид у0 (t) определяется заданным законом 7° (Г) и структу-
рой операторного коэффициента К1р) цепи управления ЧАП.

Пусть, далее, возникают произвольные возмущения как номинальной
частоты p(t) = [wB(t) — wB(t)]/Г2, так и собственной частоты ПГк(г) =
= [wCB<f) — WcB(t)J/fi относительно их невозмущенных значений

(t) и Wj!B(Г), тje. 7(t) = 7° (г) + к(f) — p(f). Это приведет к отклонению
(j(f) = [wr(t) — w?(f)l /12 текущей частоты ПГ wr(t) от ее невозмущенного
состояния (Г), причем возмущение отклика /(f) = у° (Г) + $(f) — t'(f). Если
все отклонения x(f), v(t) и i-(f) в определенном смысле малы, то для прибли-
женного описания их связи можем линеаризовать характеристику диск-
риминатора Fly) в малой окрестности данного стационарного режима

F(/)=F(/°+e-»')^F(/0) + Fy’(/0)U-p) + ...	(3.101)

Используя эту линеаризацию в исходном уравнении (399) и учитывая
уравнение стационарного режима (3.100), приходим к линейному диф--
100
ференциальному уравнению для возмущений к (г), р(г) и £(f):
(.1 + K{p)F;.(y°)] g(r) = к (г) + /ClplF/l/ Mt).

(3.102)

Это операторное'уравнение — линейное, оно позволяет выразить реакцию
системы £(г) в отдельности на возмущение номинальной частоты г(т),т.е.
частоты внешнего сигнала, и на возмущение собственной частоты ПГк (t).
Для этого удобно ввести два операторных коэффициента передачи:

(р) = ——

Р(г)

£(г)

W2 (р) = —-
к (г)

*(р)/>(у°)

1 + K{p)Fy(y0}

1

(3.103)

i + к(р)^:(/0)

(3.104)

Первый из них, tV,(р), показывает, как проходит на выход системы
"внешнее" для нее возмущение номинального значения шн (г) = wc (t) + шд,
вызванное вариацией частоты внешнего сигнала wc(t).

Величина (р) характеризует кольцо ЧАП как следящую систему, вос-
производящую закон изменения частоты wc(f) внешнего сигнала, т.е. инте-
ресна при использовании ЧАП в качестве демодулятора сигналов с частотной
модуляцией.

Второй коэффициент передачи И/2 (р) связывает отклонение $(t) частоты
ПГ в замкнутом кольце ЧАП с вызвавшим его уходом частоты к (г) свобод-
ного ПГ, которое наблюдалось бы в отсутствие ЧАП, поэтому он интересен
в задаче стабилизации частоты ПГ по эталонному сигналу.

Непосредственно из формул для (р) и W2 (р) следует, что их сумма
неизменна при любых выражениях оператора К(р) в цепи управления ЧАП:

W, (р) + W2 (р) = 1.

(3.105)

Это важное соотношение инвариантности означает,, что, предпринимая ка-
кие-либо изменения параметров системы, направленные на изменение в
нужную нам сторону коэффициента передачи hVi (р), мы тем самым автома-
тически изменяем величину УУ2 (р) в противоположном направлении.

Это свойство наглядно иллюстрируется структурными схемами
рис. 3.19, построенными с выражениями (3.103) и (3.104). Обе эти модели
представлены в виде усилителей с отрицательной обратной связью и единич-
ным усилением в прямом тракте, а оператор тракта обратной связи одной

Рис. 3.19.

схемы обратен оператору другой. Удобство таких схем в том, что они поз-
воляют воспользоваться для описания характеристик линейных моделей
ЧАП хорошо развитой общей теорией усилителей.с отрицательной обратной
связью. Для экономии времени не-обязательно изучать независимо обе
модели рис. 3.19,достаточно подробно рассмотреть лишь одно из выраже-
ний PV, (р) или IV2 (р), характер и особенности поведения другого легко ус-
тановить, опираясь на соотношение инвариантности (3.105).
» *	4 -g f » „	*	'

Важно отметить, что свойства линейной модели рис. 3.19 обусловлены |
не только видом оператора К (р) цепи управления ЧАП, но и крутизной 1
F’y (у0) характеристики дискриминатора в данном стационарном режиме |
y°(t), который сам связан с заданным законом именения у0 (г). Если 1
стационарное состояние у° (Г) = у° = const, т.е. Fy (у0) = const, то имеем is
линейную модель ЧАП, параметры которой во времени не меняются. Так
получается, например, при неизменной величине у0 (Г) = у0 = const в задаче |
стабилизации частоты ПГ по сигналу с эталонной частотой. В случае изме- |
няющихся во времени координат стационарного режима у0 (t) получаем 1
линейную модель ЧАП с переменными параметрами. Большей частью на J
практике требуется постоянство этих координат, поэтому далее ограни- |
чимся рассмотрением моделей с постоянными параметрами.	1

Обратимся к задаче стабилизации текущей частоты ПГ шг (Г) моно-	1

хроматическим сигналом с постоянной амплитудой Uc (t) = 4/® = const и	1

эталонной частотой сос (t) =	= const. Примем также центральную час-	Я

тату дискриминатора высокостабильной, т.е. сод =	= const. Тогда зна-	|

чение номинальной частоты сон (t) =	= const и ее возмущения е (г> от-	1

сутствуют, а возмущения к(г) связаны с отклонениями собственной час-	I

тоты ПГ gjcb (г) — со®в, вызванными дестабилизирующими факторами	1

или шумами.	I

В отсутствие дестабилизирующих факторов у (t) = у° = const и возмож- I
ны постоянные во времени стационарные режимы у° = const. При этом I
уравнение стационарного режима (3.100) —алгебраическое:	1

у° + K(O)F(y°) = y0,	(3.106)	]

где К (0) — значение коэффициента передачи цепи управления ЧАП при пос- |
тоянном значении сигнала ошибки на выходе дискриминатора, т.е. на пос- ]
тоянном токе (значение К (0) получим, формально положив в К (р) опера- I
тор р= 0). Если К (0) =0 (цепь управления по постоянному току разорва- 1
на, например, в дифференцирующей АС-цепочке), то нет никакой автопод- |
стройки, поскольку в стационарном режиме сохранена полностью исход- 1
ная расстройка у° = У°.	1

Реализовав случай К (0) =°°, например, используя в цепи управления |
идеальный интегратор с коэффициентом передачи К (р) = 1/Гир, получаем 1
абсолютную автоподстройку у0 = 0, так как частота ПГ в стационарном |
режиме совпадает с номиналом. Выбрав класс цепей управления, удов- |
летворяющих условию К (0)

= 1, например, инерционное звено К (р) =
= 1/(Тр + 1), получим уравнение ста-
ционарного режима в виде

у°+А(у°)=у0.	(3.107)

Здесь можно получить разные решения
у0 в зависимости от вида характе-
ристики А (у) и исходной расстрой-
ки у0.

На рис. 3.20 приведено построение 1
графического решения уравнения (3.107)
в области у0 > 0, у0 > 0 для случая ти- |
повой характеристики дискриминатора с |
нарастающим F’y > 0 и падающим F‘y < 0 |
участками. Здесь штрих-пунктиром по- |
казаны прямая у® и нелинейная- функция Г(у°), а жирная кривая
представляет их сумму, т.е. левую часть (3.107). Решения у0 урав-
нения (3.107) получим в результате пересечения графика у® + F (у®)
с горизонтальной прямой, проведенной на рис. 3.20 на уровне у° над осью
абсцисс. Максимум и минимум кривой у0 + F (у0) соответствуют полосе
удержания 7уд и полосе схватывания усхв системы ЧАП, смысл этих наз-
ваний мы установим позже.

При у0 < усхв получаем лишь одно решение у? уравнения (3.107),
соответствующее нарастающему участку характеристики F (у), где ее
можно аппроксимировать уравнением прямой F (у) =* Ду, так что

0_ У°	(3.108)

И ~ 1 + А

Здесь А = SySa — произведение крутизн характеристик управителя и
дискриминатора ("коэффициент регулирования" кольца ЧАП). Величи-
на А может быть сделана большой (А > 1), поэтому обычно у® < у° и в
э.том режиме получаем эффективную автоподстройку.

Если исходная расстройка 7° >7уд, то реализуется лишь стационарный
режим уз, причем величина у® ~7®, т.е. автоподстройка неэффективна.

В интервале расстроек между полосой схватывания и полосой удержа-
ния 7СХВ < 7° < 7УД получаем три возможных стационарных режима
у®, у®иу®, причем крутизна Гу (у®) характеристики дискриминатора
в этих режимах разная. В точке у? она велика: Гг(у®) > 1 положи-
тельна, коэффициент передачи линейной модели ЧАП в соответствии с
(3.104) имеет вид:

ру(р) = 1!!к= ------’----.	(3.109)

к (t)	1 + АК(р)

Эта модель представляет усилитель с единичным коэффициентом усиле-
ния в прямом тракте, а в тракте отрицательной обратной связи последо-
вательно с оператором К (р) включен усилитель с большим коэффициентом
усиления А = SyS„ > 1.

В точке у® крутизна F'y (у®) отрицательна и незначительна: —1 <
< F’y (УзI <0- Это видно из сравнения наклонов графика у® + F (у®) и
прямой у® на рис. 3.20, если учесть, что d [у + F (у) ] Idy = 1 + F'v, причем
значение F'y (у®) = —1 достигается лишь на границе при7® =7СХВ. Значит,
при реализации стационарного режима у® в качестве линейной модели
ЧАП имеем усилитель, охваченный уже не отрицательной, а положитель-
ной обратной связью. Если оператор К (р) такой, что модуль I К (/ ш)1 <1
для всех частот 0< ш < °°, то фактор регенерации получается меньше еди-
ницы и этот усилитель недовозбужден.

Наконец, стационарный режим' у®, расположенный между у® и у® и
возникающий при 7СХВ < 7® < 7уд, всегда неустойчив для операторов
К (р) в виде дробно-рациональных функций, поскольку крутизна
Г^.(у®) отрицательна, а ее абсолютное значение велико: I F\, (у®) | > 1.

Для иллюстрации конкретных динамических свойств линейной модели
ЧАП, работающей в режиме эффективной автоподстройкр у? < 7°, рас-
смотрим ее операторный коэффициент передачи W2 (р), приняв, что в цепи
управления содержится инерционное звено (интегрирующая ЯСщепЬчка)
с оператором К (р) = 1/(7р + 1), где T=RC. Так можно учесть в первом
приближении инерционность^лементов схемы частотного дискриминатора.
Введя безразмерные время t = t/T и оператор дифференцирования р = рТ.
получим:

Р + 1

ИМД1 = ----------- •	(3.1101

р + (1 +>4)

С помощью этого выражения можно найти отклик £(?) на заданное воз-
действие к (г) или, заменив р-*/со, где со = соТ — безразмерная частота
воздействия, построить амплитудно-частотную

/	1+ со2 ’

PV2(co)=V--------------г	(3.111а)

(1 + А)2 + ш2

и фазо-частотную

со

arg W2 (/со )= arctg со - arctg -- (3.1116)

1 + А

характеристики линейной модели ЧАП с инерционным звеном управления.
График l<V2 (со) по формуле (3.111а) для А = 9 построен на рис. 3.21 (кри-
вая 1).

Видим, что медленные возмущения к (t), спектр которых расположен
вблизи нулевой частоты, подавлены на выходе и уменьшены в (1 + А) раз,
а быстрые возмущения к (?) с высокочастотным спектром (соТ> 1) прохо-
дят на выход почти без ослабления. Это легко понять из рассмотрения
структурной схемы модели ЧАП на рис. 3.19, б. На низких частотах влия-
ние инерционного звена незначительно, его коэффициент передачи К (со) = 1
и тракт отрицательной обратной связи действует с полным усилением
^у(/°) К (со) =Д > 1, резко уменьшая (в (1 +А) раз) прохождение воз-
мущения к(г) на выход. С ростом частоты коэффициент передачи инерцион-
ного звена падает, и действие отрицательной обратной связи ослабевает.

а при весьма высоких частотах ее влияние перестает проявляться.

Увеличим теперь инерционность цепи управления ЧАП, добавив через
единичный усилитель к существующему инерционному звену еще одно та-
кое же, т.е. примем К (р) = 1/ (Тр + 1)2. Тогда взамен (3.110) получим

*V2(p) =

104

р2 +2р + 1

р2 + 2р + (1 + А)
а амплитудно-частотная характеристика

1 + w 2

(w) = "Г ,	......... =

v(4 + 1 )2 - 2(4 - 1) w3 + a

(3.113)

представлена (для 4=9) на рис. 3.21 кривой 2. При 4 > у/ь'— 2 ~ 0,236
в ней возникает резонансный подъем на частоте ёЗр = у/А (А + 4)' — 1, ве-
личина которого возрастает с увеличением коэффициента регулирования
ЧАП A = SvSa.

Если таким же образом добавить к двум инерционным звеньям третье,
то К(р) = 1/(7р+1)3 и операторный коэффициент передачи линейной
модели ЧАП

_ р3 + Зр2 + Зр +1

Wi (р) = —--------------------

р3 + Зр2 + Зр + (1 +4)

(3.114)

Выражение в знаменателе представляет характеристический полином,
корнй которого определяют поведение свободных колебаний £(т) в от-
сутствие воздействия к(г). Применив к нему алгебраический критерий
устойчивости, находим предельное значение коэффициента регулирования
4пр = 8, превышение которого приводит к потери устойчивости в малом
системы ЧАП с трехзвенной инерционной цепью управления.

Этот результат подобен условию самовозбуждения трехкаскадного ЯС-
усилителя, выход которого соединен со входом. Соответствующие аналоги
между обычным усилителем с обратной связью и линейной моделью ЧАП
(рис. 3.19, б) легко установить и для произвольных выражений оператора
К (р) в цепи управления ЧАП, который играет роль оператора В(р) тракта
обратной связи в усилителе.

§ 3.7. Линейные модели систем фазовой синхронизации

Системы фазовой синхронизации, или фазовой автоподстройки (ФАП),
представляют типичный пример радиотехнических систем с фазовым управ-
лением [9,18,20]. Общее дифференциальное уравнение системы ФАП
(1.124) было получено в § 1.7. Перепишем его здесь, разделив левую
и правую части на Пи приведя таким образом к форме, используемой
далее:

р^

~ + К(р)Я(у>)=у.	(3.115)

Здесь у (t) = ipr (t) —	(t) —текущая разность фаз колебаний ПГ и вход-

ного сигнала, J2=SyE0 - наибольшая корректирующая расстройка, выра-
батываемая в системе, F (цс) — нормированная к единице.периодическая
характеристика фазового дискриминатора (ФД) , К (р) — операторный
коэффициент передачи цепи управления кольца ФАП. Величина у (г) =
= [<Ч;в (И -Р'Ре <0 ] /Е2, как и в случае ЧАП, учитывает исходную безраз-
мерную расстройку собственной частоты свободного ПГ шСв относи-
тельно текущей частотыру>с (Г) =	(г) внешнего сигнала.

С физической точки зрения, дифференциальное уравнение ФАП (3.115),
как и уравнение ЧАП (3.99), представляет баланс частот в высокочастот-
ном тракте замкнутого кольца ФАП: текущее отклонение безразмерной
частоты pf /12 равно расстройке свободного ПГ у за вычетом корректирую-
щей безразмерной расстройки /С(р)Я(у>), вносимой дискриминатором
через цепь управления и управитель.


По уравнениям (3.115) или (3.99) можно составить нелинейные матема-
тические модели ФАП или ЧАП, представленные на рис. 3.22, а и 3.22, б со-
ответственно. За входную координату в обеих моделях принята исход-
ная расстройка у (Г), а в качестве выходной — текущее отклонение частоты
ПГ относительно частоты сигнала. Сигнал ошибки е в системе с фазовым
управлением вырабатывается фазовым дискриминатором, а в системе с
частотным управлением—частотным дискриминатором. В результате модель

ФАП отличается от модели ЧАП появлением операции идеального интегри-
рования Sl/p. Роль идеального интегратора £2/рв системе ФАП играет управ-
ляемый по частоте ПГ в совокупности с ФД. Это легко понять, имея в виду,
что напряжение е с выхода ФД, обусловленное отклонением фазы ПГ
относительно у>с, вырабатывает через цепь управления и управитель от-
клонение частоты о>г, а фаза и частота о>г связаны через интеграл (или
производную г = со г).

При построении линейной модели ФАП будем, как и в случае ЧАП,
опираться на некоторый избранный нами "невозмущенный" закон изме-
нения у0 (г) и соответствующую ему стационарную реакцию системы

(Г) = ^°(г) — ip® . которая удовлетворяет уравнению стационарного
режима ФАП

p//fi + /C(p)F(/) =уа.	(3.116)

Конечно^ вид (г) определяется законом у0 (г) = (w?B (г) -р^°(Г)1/£2
и типом оператора К (р), а количество возможных стационарных режимов
(t),	(t),. . . обусловлено характером периодической нелинейнос-

ти F (,£).

Введем теперь произвольные возмущения текущей фазы входного
сигнала vc (г) =^с (t) —	(Г), а также собственной частоты K(t) = (о>св (f) —

— w®B(t)]/S2 относительно их невозмущенных значений. При этом
y(t) = y°(t)+K(t) -p₽c(t)/S2, а фаза ПГ получает отклонение vr(t) =
= i^r (t) —	(Г) относительно стационарного значения (г), так что вхо-

дящая в (3.115) текущая разность фаз (t) =^°(f) + [лг(Г) -»»c(t)].

Если отклонения гс (г), к(г) и рг (t) малы, то можно линеаризовать
характеристику ФД в окрестности данного стационарного режима <д° (t) :

Ftp) = F[<₽° + (рг - vc И = F (<р°) + F^> (<р°)(рг - гс) + . . .	(3.117).

С учетом уравнения стационарного режима (3.116) эта линеаризация
приводит к линейному дифференциальному уравнению

— + K'(p)F^(«p°> |>г U) = к(Г) + AC(p)F^(«p0) рс(г).
.1	\
Отсюда получаем коэффициенты передачи
Рг (t) K(p)F^ (у>°)
i>c(r) p/S2 + <(p)F^(ip°)
pvT lt№l __ P/£l

W^P'1 K(t)	p/Sl + K{p)F'^ (^°)

(3.119)

(3.120)

Видим, что их сумма неизменна: Wt (р) +	(р) = 1 , т.е. имеет место

справедливое для всех линейных систем с обратной связью соотношение
инвариантности (3.105).

Выберем при построении линейных моделей ФАП, описываемых коэф-
фициентами передачи (р) и i»V2 (р), в качестве "невозмущенного"
стационарный синхронный режим, для которого стационарная разность
Фаз у;0 (t) =i£r(t) — 4?°(t) - у?0 = const. Синхронным такой режим назы-
вается потому, что при неизменной разности фаз двух колебаний — ПГ
и внешнего сигнала — их частоты в точности совпадают и оба процесса
идут в едином темпе времени, т.е. синхронизированы.

При наличии синхронизма уравнение стационарного режима (3.116)
упрощается, поскольку производная ру>° = 0:

К (0) F (/) = у0	(3.121)

Физический смысл этого уравнения состоит в том, что в стационарном
синхронном режиме в системе ФАП осуществляется полная компенсация
начальной расстройки тем напряжением F (у>°), которое вырабатывается
на выходе ФД и проходит к управителю частоты через'цепь управления
с коэффициентом передачи К (0). Если значение К (0) конечно, то в
данном равенстве величина = const получается лишь при неизменном
значении у0 (Г) = у0 = const, когда неизменны (или изменяются квази-
статически) собственная частота ПГ (И = wcb = const и частота внеш-
него сигнала р^® (г) =	= const. Такова ситуация в задаче стабилизации

частоты ПГ по эталонной частоте сигнала. При этом в стационарном синх-
ронном режиме достигается точное равенство их частот, что является боль-
шим преимуществом системы ФАП перед ЧАП, для которой в случае
конечных /С(0) всегда имелась остаточная разность частот у । =:=у0 М1 + А).

В системе ФАП можно реализовать синхронней стационарный режим
и в задаче слежения за частотой сигнала, меняющейся, например, по поли-
номиальному закону, если поставить в цепи управления соответствующее
количество идеально интегрирующих звеньев.

Пусть для простоты у0 (Г) = у0 = const и. К (0) =1. Тогда координаты
у? ° ,2 = const точек стационарного синхронного режима получаются графи-


ческим решением (3.121) в результате пересечения характеристики
ФД F(p} горизонтальной прямой, проведенной на уровне 7°.

Такое построение приведено на рис. 3.23 для синусоидальной характе-
ристики F(^) = sin^. Видим, что на интервале —	получаются

две точки стационарного режима р® и р^. Первая из них соответствует
положительной крутизне характеристики ФД F(р*,) > О, здесь воз-
можен устойчивый стационарный режим. Вторая точка, расположенная на

о)	6)

Рис. 3.24.

участке характеристики ФД с отрицательной крутизной < 0, оказы- Я
вается неустойчивой при любом типе фильтра в ЦУ.	3

Поскольку характеристика ФД нормирована так, что I F (^) I <1,
то, согласно уравнению стационарного режима (3.121) и построению t
рис. 3.23, стационарный синхронный режим ФАП возможен в пределах |
—1 < у0 < 1. Так как нормированная расстройка 70 = (со°в — со°)/£2,
мы приходим к выводу, что в стационарном синхронном режиме
расстройка ПГ относительно частоты сигнала не может превосходить	I.

величины Я, т.е. I со°в — СО. Физически это связано с тем, что
величина Г2=5,у£° представляет наибольшую корректирующую рас-
стройку, вырабатываемую в системе ФАП с помощью ФД и УЧ. Ее назы-
вают поэтому полосой синхронизма ФАП.

Если выполнить ЦУ с бесконечным усилением на постоянном токе
(например, включив в ЦУ идеальный интегратор), т.е. сделать К (0) =!Х’.
то из (3.121) получаем F (у>°) =0 независимо отвеличины расстройки 70,
При этом для F Ip} = sinр стационарная разность фаз рЧ тождествен-
но равна нулю, а полоса синхронизма теоретически равна бесконечности
(реально она ограничена загибами модуляционной характеристики упра-
вителя частоты).

Вернемся к выражениям (3.119) и (3.120) для коэффициентов переда-
чи ФАП Wi (р) и (р),. учитывая, что в стационарном синхронном
режиме ipi = const и крутизна характеристики ФД F'^ |^°) = const. Вве-
дем величину

которая, как увидим позже, играет роль постоянной времени системы
ФАП при безынерционной цепи управления. Тогдавзамен (3.119) и (3.120)
получим

(р) =-^2_= --------,	(3.123)

1+рт/К(р}

W2(p) =

pvr (t)/fi
x(t)

1

1 + /С(р)/рт
Соответствующие модели представлены на рис. 3.24. Они пригодны
для произвольных законов изменения юс (г) и к (г > при условии, что раз-
ностью, (f) — мала, т.е. верна аппроксимация (3.117).

Выясним конкретный вид линейных моделей ФАП для некоторых ти-
повых выражений оператора К (р) цепи управления. Имея в виду соотно-
шение инвариантности И/, (р) + И/2 (р) = 1, достаточно рассмотреть подроб-
но лишь один из этих коэффициентов, например И/, (р). Для целенаправ-
ленного выбора оператора Л" (р) будем подразумевать .использование
ФАП в задаче стабилизации частоты, считая вариации юс (Г) вредными и
вызванными действием внешних помех, искажающих эталонный сигнал.

Для ФАП без фильтра в ЦУ оператор К (р) = 1 и коэффициент передачи
1

=-------	(3.125)

тр + 1

Видим, что линейная модель ФАП без фильтра эквивалентна инерционному
звену (так называемой "интегрирующей цепочке") с постоянной временит.

Если требуется с помощью ФАП сгладить вредные вариации юс(г),
вызванные действием внешних помех, то в системе без фильтра, согласно
(3.125), необходимо увеличить постоянную времени ФАП т. При этом
приходится уменьшать полосу синхронизма системы 12 или крутизну
характеристики F^ (^?). Однако уменьшение 12 ограничено необходи-
мостью компенсировать начальную расстройку собственной частоты ПГ
относительно эталонной Уменьшение крутизны F^ (ч??) иногда
нежелательно, так. как приводит к сильной зависимости стационарной
разности фаз у?® от изменения расстройки у0.

Чтобы избежать этого противоречия, в цепь управления ФАП вводят
необходимый для подавления помех фильтр. Требуемый вид оператора
фильтра К (р) можно установить с помощью структурной схемы
(рис. 3.24, а}. Согласно этой схеме для подавления высокочастотных
спектральных составляющих вредного воздействия юс(г) следует увели-
чить отрицательную обратную связь в области высоких частот. Для этой
цели подходят простейшие фильтры, амплитудно-частотные характеристи-
ки которых падают с ростом частоты.

о)	6)

Рис. 3.25.

Используем в цепи управления интегрирующий ЯС-фильтр с коэф-
фициентом передачи К (р) = 1/ (Гр + 1), где Т = RC — постоянная времени
фильтра. Тогда получим

ЙЛ (р) =

1

тТрг + тр + 1

(3.125а)

Легко заметить, что эта функция совпадаете передаточной функцией после-
довательного г/.С-контура (рис. 3.25,а), если связать его параметры с па-
раметрами ФАП соотношениями: Т = L!r ,т = г С.
Получим выражение амплитудно-частотных характеристик, т.е. найдем
отклик системы на гармоническое воздействие рс (t) = р® cos ait. Перехо-
дя к безразмерной частоте воздействия £ = шт и заменив в (3.125а) рт на
/£, получим

^(£) = [1 +(1 — 2Д)£2 +Д2£4]-1/2 .	(3.126)

Здесь Д = Т/т — постоянная времени фильтра, нормированная к постоян-
ной времени ФАП.

По этой формуле на рис. 3.26 построена серия кривых для разных значе-
ний Д. Кривая для Д = О отмечена штриховкой, она соответствует ФАП
без фильтра.

Если используется пропорционально-интегрирующий фильтр с коэф-
фициентом передачи

qTp + 1

К(р} =-----------,	(3.127)

Гр + 1

то коэффициент передачи ФАП для вариации фазы

qTp + 1

(р) =---Z—.	(3.128)

тГр2 + (т + рГ)р + 1

Электрический аналог такой ФАП изображен на рис. 3.25, б, его параметры
можно связать с параметрами ФАП соотношениями: T-L/r, т = гС, q-
= arC/L.

Амплитудно-частотные характеристики этой системы имеют вид

Г	1 + (дД£)2	1 1/2

И'! (?) =--------------------, , ,-----г-г	(3.129)

[ 1 + [1 —2Д(1 -о) +о2Д2]£2 + Д2£* J

На рис. 3.27 по этой формуле построено семейство кривых для разных
Д и фиксированного коэффициента включения q = 0,2. Штриховка отно-
сится к ФАП без фильтра (Д = 0), а штрих-пунктирной линией изобра-
жена предельная характеристика, соответствующая Д = Г/т -*°°. Ее вы-
ражение удобно получить из (3.128), положив q = const и устремив
△ —>ОО ;

И'Гред(р)= [(т/р)р + I]"1.	(3.130)

Отсюда следует, что предельная характеристика совпадает с амплитуд-
но-частотной характеристикой ФАП без фильтра, но с постоянной времени т.
I

как бы увеличенной в Mq раз. Важно, что это увеличение достигается не
за счет уменьшения полосы синхронизма 12 (сравним с выражением
(3.122)), а простым изменением коэффициент^ включения q.

Сравнение кривых рис. 3.26 и рис. 3.27 Доказывает, что применение
пропорционально-интегрирующего фильтра дзет гораздо лучшие резуль-
таты, поскольку подбором величины q легко добиться нужного подавле-
ния вариации фазы ре (t), причем характеристики IV, ($) при Д-*°° (но
q = const) получаются монотонно убывающими.

Рассмотрим теперь очень кратко фильтрующие свойства ФАП по отноше-
нию к внутренним помехам (дестабилизирующим факторам); для этого
сопоставим выражения (3.123) и (3.124) для IV, (р) и IV, (р).

Отличие в их записи состоит в том, что операции К (р) и рт поменялись
местами. Следовательно, оператор фильтра К (р) и постоянная времени
ФАП г оказывают совершенно- противоположное действие в зависимости
от того, имеем мы дело с прохождением внешних или внутренних возмуще-
ний. Если нам удалось подбором К (р) и г, например, сузить полосу пропус-
кания ФАП по отношению к внешним возмущениям, то тем самым мы
расширили ее для дестабилизирующих факторов. Ясно поэтому, что пре-
дельные возможности ФАП как узкополосного фильтра, выделяющего
принимаемый сигнал из шума, будут тем выше, чем лучше защищен ПГ
от действия дестабилизирующих факторов и чем меньше его собственные
шумы. Для этого требуется улучшать качество деталей и элементов схемы
ПГ (совместно с управителем частоты), что, однако, приводит к удорожа-
нию его конструкции.

Упражнения к главе 3

3.1.	Исследовать свободные колебания консервативной системы, содержащей три
изолированных колебательных контура, соединенных в кольцо (рис. 3.2). Найти
частоты нормальных колебаний ("частоты связи") и коэффициенты распределения.
Дать трактовку результатов для случая идентичных параметров контуров:
4, = £., = L3 =L,C, = С2 = С3 =С. Развить подходящую методику исследования
для произвольного числа контуров в кольцевой схеме рис. 3.2. Для случая идентичных
параметров контуров воспользоваться возникающими при этом упрощениями.

3.2.	Используя дифференциальное уравнение (3.60) линейной модели многокаскад-
ного автогенератора с инерционными звеньями, получить зависимость коэффициента
усиления каскада Агр на границе устойчивости от числа каскадов N для случая иден-
тичных каскадов.

3.3.	Составить дифференциальное уравнение одноконтурного автогенератора,
выполненного по схеме емкостной трехточки, т.е. полагая в выражении управляю-
щего сопротивления (3.81)2, = г, + 1/рС,, z3= г, + МрС2, 23 = r3 +pL3. Получить
затем дифференциальное уравнение линейной модели автогенератора, верной для
малых колебаний, и составить характеристическое уравнение. Найти условие само-
возбуждения в двух случаях: 1) г3 *0,г, = г2 = 0; 2) г3 = 0, г,/г, = Сг1С2.

3.4.	Составить выражение операторного коэффициента передачи IV, (р) (уравне-
ние (3.109)) линейной модели системы ЧАП, содержащей в цепи управления трёх-
звенный пропорционально-интегрирующий фильтр с коэффициентом передачи

(^)‘

Найти предельное значение коэффициента регулирования Апр, приводящее к поте-
ре устойчивости, и 'сопоставить с результатом для трехзвенного интегрирующего
фильтра, положив <1’0.	‘

3.5.	Показать, что включение в цепь управления системы ФАП идеального интег-
раторе с коэффициентом передачи К (р) ~1/Гир приводит к потере локальной устой-
чивости.
ИССЛЕДОВАНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ ФАЗОВОГО ЙРОСТРАНСТВА
(СИСТЕМЫ С 1/2 СТЕПЕНИ СВОБОДЫ)

§ 4.1.	Роль качественных методов
при исследовании нелинейных систем

Главная, самая общая задача теории колебаний при исследовании произ-
вольной нелинейной системы с п степенями свободы состоит в полном опи-
сании закона ее движения в "большом", т.е. при неограниченном изме-
нении всех обобщенных координат системы q (t) = [ q j (t), . . ., q„ (t )JT .
Это требует рассмотрения большого набора конкретных решений q(t) =

-q(t; qo.Qo) исходных нелинейных дифференциальных уравнений, напри-
мер вида (2.1) или (2.2), различающихся начальными значениями всех
обобщенных координат^ и скоростей q0. Трудности такого глобального
анализа катастрофически нарастают с повышением порядка системы 2п
существенно нелинейных дифференциальных уравнений (пресловутое
"проклятье размерности" современной математики).

Рассмотренные в гл. 3 линейные модели реальных нелинейных систем
верно описывают лишь малые отклонения % (f) =q (t) — q° (t) обобщенных
координат относительно некоторого избранного нами невозмущенного
движения (?0 (г) (в частности, таким "движением" может быть равновес-
ное состояние q” It) =	= const). При переходе к линейным моделям

взамен исходных нелинейных дифференциальных уравнений, например
в виде (2.1) или (2.2), получаем в качестве первого приближения линеа-
ризованную систему (2.12). Ее решения (2.15) чрезвычайно просты —
это экспоненциальные функции времени, рост йли затухание которых
обусловлены характеристическими показателями, т.е. корнями характе-
ристического уравнения (2.17), зависящими от параметров линеаризо-
ванной системы. Таким образом, уравнения (2.15) (или (2.20)) дают
полную информацию о поведении системы, линеаризованной в малой
окрестности конкретного невозмущенного движения ~q° (t), выбран-
ного нами для построения линейной модели.

Однако при больших отклонениях (-(t) = q(t) —"q° (t) линеаризация
(2.11) нелинейных дифференциальных уравнений (2.10) уже неправо-
мерна и линейные уравнения (2.12) становятся неверными — требуется
непосредственный анализ исходной нелинейной системы.

Если параметры конкретной системы заданы, то большую помощь
в ее исследовании может оказать моделирование движения с помощью
математической модели. Примеры нелинейных математических моделей
системы с фазовым (ФАП) и частотным (ЧАП) управлением приведены
на рис. 3.22, а и рис. 3.22, б соответственно.

Однако даже при наличии модели, выполненной, например, с помощью
быстродействующей электронной вычислительной машины, нельзя одно-
временно получить на ее выходе всю совокупность возможных решений
q(t) = q(t; qo>Qo) • Каждый раз на выходе модели реализуется лишь
какое-либо одно решение, определяемое заданными начальными усло-
виями q0 ид0. Напомним, что в нелинейных системах, в отличие от ли-
нейных, плавное изменение начальных условий может привести не только
к количественным изменениям, но и резко видоизменить сам характер
движения.

Следовательно, для получения информации о всех возможных типах
движения нелинейной системы необходимо перебрать на ее модели все
возможные начальные условия. Ясно, что повышение порядка дифферен-
циального уравнения вызывает соответствующее повышение размерности
пространства начальных условий. Поэтому, несмотря на огромную ем-
кость и быстродействие современных вычислительных машин, "проклятье
размерности" остается весьма грозным.

С другой стороны, для практики вовсе не требуется заранее одинаково
высокая точность представления всех возможных решений q(t; qo,qo)
исходной системы. Обычно исследователя предварительно интересует
иная постановка задачи — не решая непосредственно самих дифферен-
циальных уравнений системы, а опираясь на некоторые их свойства, досто-
верно выяснить, какие именно типы движений возможны для данной сис-
темы и вг какой последовательности происходит смена одного типа движе-
ния другим при изменении параметров системы и начальных условий. Такое
математически строгое рассмотрение свойств решений называют качествен-
ным исследованием системы, а применяемые для этого приемы — качест-
венными методами.

После того как проведено качественное исследование и установлена пол-
ная картина движений, постановка задачи обычно расширяется в соответст-
вии с главной целью исследования. В частности, могут быть выделены
решения, представляющие в каком-то смысле наибольший интерес, и пред-
принято детальное их изучение для получения количественных результатов,
например, с помощью моделирования на ЭВМ.

Важным сказывается разбиение пространства параметров системы
на области, различающиеся по типу движений, и установление границ этих
областей, где происходит смена одного типа движения другим. Такой
анализ называют бифуркационным, т.е. связанным с поиском точек вет-
вления или расщепления решений дифференциальных уравнений.
Отыскание бифуркационных значений параметров часто и представ-
ляет наиболее важную цель исследования нелинейной динамической
системы.

Основу многих качественных методов составляет геометризация зада-
чи и топологический подход, представление движения в фазовом про-
странстве и рассмотрение главных характеристик векторного поля касатель-
ных к фазовым траекториям. Если порядок дифференциального уравнения
не выше 2-го, то в большинстве случаев удается провести качественными
методами полное и очень наглядное исследование системы на двумерной
фазовой поверхности (или ее развертке на плоскость).

Далее мы проиллюстрируем использование этих методов для обычного
(евклидова) и цилиндрического двумерного фазового пространств,
выбрав для конкретности в качестве объектов исследования широко
распространенные в радиотехнике системы - с частотным и фазовым
управлением. .

8. М.В. Капранов

113
§ 4.2. Фазовые портреты системы частотной автоподстройки
с фильтрами первого порядка

Обратимся к наиболее простой из нелинейных моделей системы ЧАП,
представленной на рис. 3.22, б. Она построена в соответствии с дифферен-
циальным уравнением

y+K(p)A(y)=7	(3.99)

Предпринять общий теоретический анализ этого нелинейного уравнения
с произвольной характеристикой дискриминатора F (у) и любым опера-
тором цепи управления К (р) (где р = dldt] не представляется возможным.
Используем первоначально-в цепи управления такие схемы фильтров, кото-
рые приводят к дифференциальному уравнению 1то порядка. Простей-
шим из них является инерционное звено (интегрирующая АС-цепочка)
с коэффициентом передачи К (р) = (ГР+1)”1. Для такого фильтра из
(3.99) получаем

dy	dy

Т---- + [у + А (у)] = Т- +7.	(4.1)

dt	dt

Легко заметить, что при произвольном законе изменения исходной расстрой-
ки 7 (Г)в стационарном режиме (при г-*°°) невозможны не зависящие от
времени решения у(°°) = у0 = const, требуемые на практике. Поэтому
инерционное звено можно использовать лишь в системе ЧАП, предназна-
ченной для стабилизации частоты подстраиваемого генератора ПГ по эта-
лонной частоте сигнала, когда 7 (t) «=7° = const. В этом случае производ-
ная dy°Idt = 0, и из (4.1) имеем;

dy „

Т --- = 7° - ly + F(y)].	(4.2)

dt

Таким образом, система ЧАП с простейшим интегрирующим АС-фильт-
ром описывается нелинейным дифференциальным уравнением 1-го по-
рядка.

Изучать движение этой системы можно двояко. Первый путь состоит в
непосредственном интегрировании уравнения (4.2), т.е. в получении вре-
менного решения у (t) (так называемая "интегральная кривая"). Посколь-
ку уравнение (4.2) допускает разделение переменных, то легко записать
выражение обратной зависимости t (у):

t у dx

---- = /	-------------•	(4.3)

Т -Унам 7 - ( * + F W 1

Хотя формально способ решения и записан, практически пользоваться
им неудобно. Во-первых,само взятие интеграла в (4.3) требует представ-
ления функции F (у) в конкретной аналитической форме и может ока-
заться трудным, если эта запись громоздкая. Во-вторых, поскольку
F (у) — нелинейная функция, то для получения полного представления о
всех возможных типах движения необходимо построить по формуле (4.3)
большой набор решений ylt,y0), отличающихся начальными условиями
Ио “Инач-

Оба эти неудобства отпадают, если вместо того, чтобы находить решения
у (г) во временной области, перейти к изучению движения по фазовой плос-
кости с координатами у, у = dy/dt. В этом случае информация <> характе-
ре движения системы заключена в начертании фазовых траекторий, т.е.
зависимостей у (у).
Очевидно, уравнение фазовой траектории у (у) всегда можно получить,
если уже найдено временное решение у (г) и вычислена производная у (г).
Исключив время г (точнее, используя его как текущий параметр), получаем
выражение траектории у (у).

Однако практически нет смысла, а для большинства нелинейных систем
и невозможно найти из дифференциального уравнения временные решения
у (г) и их производные у(г). В теории колебаний разработаны специальные
способы построения фазовых траекторий у (у), минуя нахождение функций
У (t) и у (Г).

В случае уравнения 1-го порядка (4.2) дело обстоит особенно просто,
поскольку здесь сразу имеем выражение фазовой траектории. На фазовой
плоскости с координатами (у, Гу) это уравнение представляет единствен-
ную траекторию, которая получится, если график функции у+F (у) взять
с обратным знаком и поднять над осью абсцисс на уровень?0. Поскольку
ранее (на рис. 3.20) при отыскании стационарных режимов ЧАП у?,2,з МЬ|
уже имели дело с функцией у0 + F (у0), то построение фазовой траектории
(4.2) оказывается очень простым.

На фазовой плоскости (рис. 4.1) изображена фазовая траектория Гу (у),
построенная по уравнению (4.2).

Расстройка частоты свободного ПГ у0 и характеристика дискриминато-
ра F (у) здесь выбраны такими же, как и на рис. 3.20. При этом пересече-
ние фазовой траектории с осью абсцисс у = 0 происходит в трех точках.
Эти точки являются точками равновесия, поскольку в них скорость изме-
нения координаты у (t) =0. Ясно, что точки равновесия у0 =# 0 на рис. 4.1 пред-
ставляют собой точки стационарного режима у?,2,3; полагая в (4.2) ко-
ординату у = у0 = const, т.е. скорость у = 0, получаем уравнение стацио-
нарного режима (3.107).

Заметим, что в верхней полуплоскости рис. 4.1 скорость у>0, поэтому
сама координата y(t) в верхней полуплоскости с ростом времени нарас-
тает. В нижней полуплоскости скорость у < 0 и ситуация получается обрат-
ной. В соответствии с этим на фазовой траектории расставлены стрелки,
показывающие в силу уравнения (4.2) направление движения изображаю-
щей точки, т.е. той точки, движение которой на фазовой плоскости изобра-
жает изменение координат у, у системы ЧАП со временем.

Если в начальный момент времени t = 0 известно значение координаты
у (0), то тем самым однозначно определено и положение изображающей
точки на фазовой траектории в момент t = 0, поскольку значение произвол-
ной у (0) при заданном у (0) находится непосредственно из дифференци-
ального уравнения (4.2).

С учетом направления движения изображающей точки по фазовой траек-
тории легко установить, что точки равновесия у® и у® устойчивы, а точка
У2 неустойчива. При малых возмущениях, например, за счет естественных
флуктуаций, система, -находившаяся в начальный момент в точке у®, вый-
дет из этого положения и будет двигаться по фазовой траектории либо к
точке /V, либо к точке у®. Направление движения зависит от направления
возмущения.

Из картины движения, представленной на фазовом портрете рис. 4.1,
видно, что стационарный режим у® устанавливается при тех значениях на-
чальных условий, которые удовлетворяют неравенству у(0) < у?. Для
достижения стационарного состояния у® необходимо, чтобы в момент
включения было выполнено условие у (0) > у®. Поскольку в данном случае
стационарный режим у?, соответствующий области эффективной работы
ЧАП, устанавливается не при любых начальных условиях, то начальная
расстройка здесь расположена между полосой захвата (схватывания) и
полосой удержания: усхв < у® < ууд.

На рис. 4.2 расстройка у® выбрана так, что неустойчивая точка у® .слива-
ясь с устойчивой точкой у®, образовала сложную точку равновесия у®3,
которая является полуустойчивой. По терминологии теории колебаний
[2, 4, 5, 14] выбранное на рис. 4.2 значение параметра у® является бифур-
кационным, т.е. разделяющим качественно различные виды движения в
системе. В соответствии с принятыми нами определениями, это значение
расстройки соответствует полосе удержания ЧАП: у® = ууд.

Фазовый портрет системы при другом бифуркационном значении началь-
ной расстройки, равном полосе захвата (схватывания) ЧАП у® = усхв, по-
казан на рис. 4.3. Здесь по л у устойчивая точка равновесия у®3 рождается от
слияния устойчивой точки у® и неустойчивой у® (говоря шутливо, дурные
качества всегда легче передаются по наследству, чем хорошие).

Итак, с помощью рис. 4.1—4.3, изображающих траектории движения сис-
темы на фазовой плоскости (у, Гу), легко сразу установить все возмож-
ные типы движений в нелинейной системе ЧАП 1-го порядка при различных
значениях исходной расстройки у®.

Для полноты картины на рис. 4.4 приведен фазовый портрет системы в
случае обратной полярности включения выходных зажимов частотного дис-

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.
криминатора. Величина ?° здесь принята такой же, что и на рис. 4.1. Из
рис. 4.4 видно, что точка стационарного режима у® становится неустойчи-
вой, а точки у? и уз — устойчивыми.

Итак, нелинейный анализ дифференциального уравнения ЧАП 1-го поряд-
ка (4.2| на фазовой плоскости (у, Ту} позволил очень просто дать ответ
на вопрос о поведении системы "в большом", выяснить устойчивость точек
равновесия и установить бифуркационные значения 7СХВ и 7уд парамет-
ра 7° •

Проведенное рассмотрение относилось к случаю, когда в качестве фильт-
ра на выходе дискриминатора использовалась цепь с коэффициентом пере-
дачи на постоянном токе К (0) = 1. Решение уравнения стационарного режи-
ма (3.107) давало конечное (не равное нулю) значение остаточной рас-
стройки у° =f= 0. В области эффективной работы ЧАП это значение равно
У? *= 7°/ И + А I, откуда следует, что остаточная расстройка у? может быть
доведена до весьма малой величины, если выбрать коэффициент регули-
рования А достаточно большим. Однако при любом конечном значении
А < °° в принципе невозможно получить остаточную расстройку у?, в точ-
ности равную нулю. Всегда получается некоторая статическая ошибка
("статизм" системы ЧАП) у1} =# 0. Поэтому такую систему иногда называют
статической, или обладающей статизмом.

В то же время в ряде практических задач стабилизации частоты принци-
пиально необходимо добиться абсолютно точного совпадения частоты ПГ
и эталонного сигнала, т.е. получить нулевой статизм в системе ЧАП. Это
требование можно удовлетворить, если в качестве фильтра использовать,
например, идеальный интегратор, операторный коэффициент передачи
которого

К\р} = а/р.	(4.4)

Очевидно, здесь К (0) = °°. Такой коэффициент передачи можно реализо-
вать с высокой точностью с помощью операционного усилителя. Кроме
того, если для управления частотой ПГ использовать электрический дви-
гатель (мотор постоянного тока), вращающий, например, ось конденса-
тора колебательного контура, то такой двигатель (без учета трения застоя)
также представляет собой идеальный интегратор.

Подставим коэффициент передачи (4.4) в исходное дифференциальное
уравнение ЧАП (3.99) :

dv	dy

	+ aF(y} =	.	(4.5)
dt------------------------------------------------------------dt

Это уравнение описывает процессы в системе при любом законе изменения
начальной расстройки 7 (г). Примем вначале квазистатическое ее измене-
ние, т.е. 7 (Г) = 7° = const. Другими словами, рассмотрим задачу стабилиза-
ции частоты. Поскольку производная dy°/dt = 0, то из (4.5) получим:

dy

Th— =-F(y).	(4.6)

dt

Здесь Ги = 1/а — постоянная времени интегратора.

Рассмотрим стационарный режим, предполагая в стационарном режиме
у = у° = const. Подставив у = у0 = const в (4Д>), имеем уравнение стацио-
нарного режима астатической ЧАП:

F(y°)=0.	(4.7)

Поскольку .характеристика дискриминатора F (у) проходит через нуль
точно при нулевом рассогласовании частот, то из (4.7) следует у® = 0.
Таким образом, введение
идеального интегратора (4.4)
позволяет получить в системе
ЧАП абсолютно точное сов-
падение частоты ПГ с эталон-
ной частотой. Подчеркнем, что
это точное равенство частот
реализуется независимо от
величины начальной расстрой-
ки у0. Интересно отметить,
что в отличие от уравнения
(3.107), допускающего в об-
щем случае три возможных
состояния стационарного ре-
жима у® ,з 0< из уравнения
(4.7) получается только одно-
единственное решение у0 = 0.
Полную информацию о поведении системы можно получить, если рас-
смотреть ее движение на фазовой плоскости. Согласно уравнению (4.6|,
фазовая линия системы на плоскости (у, TKdy/dt} представляет характе-
ристику дискриминатора F (у), взятую с обратным знаком.

На рис. 4.5 по уравнению (4.6) построены фазовые траектории для двух
различных характеристик дискриминатора F (у). Сплошной линией пока-
зана траектория, соответствующая характеристике F (у) с большой крутиз-
ной в начале координат. Штриховая линия соответствует случаю, когда ис-
пользуется характеристика с малой крутизной в начале координат и далеко
разнесенными "горбами". Как видно из рис. 4.5, в обоих этих случаях сис-
тема приходит при t -* 00 в сотояние синхренизма у0 = 0. Однако скорость
втягивания в синхронизм оказывается разной — для характеристики F (у)
с малой крутизной в начале координат эта скорость, естественно, получа-
ется меньше. Поэтому в быстродействующих системах ЧАП нецелесообраз-
но использовать такую характеристику F (у).

Рассмотрим теперь кратко случай слежения за меняющейся частотой эта-
лонного сигнала. Пусть расстройка у (Г) между собственной частотой сво-
бодного ПГ о>св (t) и частотой сигнала wc (t) меняется по линейному за-
кону:



t

y(t) =y° +pr,

(4.8)

гдер — скорость изменения безразмерной расстройки.

Подставив. (4.8) в дифференциальное уравнение ЧАП с идеальным интег-
ратором (4.5), получим:

TK~^F(y}^lt	(4.9)

dt

где величина yi = дТи. Сопоставляя (4.9) и (4.6), легко сообразить, что в
системе ЧАП с одним интегратором слежение за линейно изменяющейся
частотой сигнала wc (t) происходит с постоянной ошибкой у? =£0, которая
определяется из уравнения стационарного режима:

F(y°)=pr„.	(4.10)

Очевидно, чем меньше Т„, т.е. чем больше коэффициент усиления интегра-
тора а, тем за большей скоростью д можно следить с заданной ошибкой
У°^дТи/А.
Итак, при слежении за линейно изменяющейся частотой у (Г) в системе
ЧАП с идеальным интегратором возникает постоянная разность частот
И?*0.

Чтобы и в режиме слежения реализовать точное совпадение частот, т.е.
получить = 0, необходимо ввести еще один идеальный интегратор. Это
приводит к дифференциальному уравнению ЧАП 2-го порядка; мы рас-
смотрим его позже.

§ 4.3.	Траектории бесфильтровой системы фазовой автоподстройки
на цилиндрической фазовой поверхности

Чтобы приступить к последовательному изучению свойств нелинейных
систем с цилиндрической фазовой поверхностью, рассмотрим вначале са-
мый простой, но важный для практики случай, когда инерционность в цепи
управления автономной системы ФАП отсутствует, т.е. положим в общем
дифференциальном уравнении ФАП (3.115) оператор К (р) = 1. С учетом
этого из (3.115) получим дифференциальное уравнение 1-го порядка

----- +F(y>)=7°.	(4.11)

Q dt

Полное исследование уравнения (4.11) можно провести двумя спосо-
бами. Первый из них состоит в получении временного решения р (г) путем
непосредственного интегрирования (4.11). Поскольку в этом уравнении пе-
ременные t и у? разделяются, то легко написать выражение для обратной
зависимости t (у>) :

•f dx

Ш = J —-------------7	(4.12)

*₽нач у — F (х)

где «^иач = Р (0) — начальная разность фаз колебаний ПГ и сигнала в момент
включения (Г ,= 0).

Хотя способ отыскания временных решений р (г, ^иач) для уравнения
ФАП 1-го порядка (4.11) формально получен, пользоваться им удобно да-
леко не всегда. Во-первых, надо располагать записью функции F (^) в фор-
ме, не затрудняющей взятие интеграла (4.12). Во-вторых, что более важно,
для полного суждения о всех возможных типах движения необходимо по-
строить по полученной из (4.12) формуле большой набор временных ре-
шений р (Г, ^нач), каждое из которых отличается своим начальным усло-
вием (£нач, выбранным из интервала —я < ^нач < я. Поэтому вместо
рассмотрения большого набора временных решений ip (Г, у?нач)
изучим движение нелинейной системы (4.11) методом фазового прос-
транства.

Для уравнения ФАП 1-го порядка (4.11) обобщенной координатой явля-
ется разность фаз р (г). Поскольку функция F (^) — периодическая с пери-
одом 2я, то фазовым пространством для этого уравнения оказывается по-
верхность кругового цилиндра. Разность частот dp/dt откладывается вер-
тикально вдоль образующей цилиндра, а разность фаз р — в перпендикуляр-
ном направлении по поверхности цилиндра. Цилиндрическая фазо-
вая поверхность с координатами (р, dpldt}, была изображена ранее на
рис. 2.2.

Поскольку на цилиндрической поверхности совпадают точки -с одинако-
выми ординатами dp/dt, но различающиеся по фазе на 2я, то вместо того,
чтобы рисовать сложную картину фазовых траекторий на цилиндре, удоб-
нее рассматривать его поверхность, развернутую на плоскость с координата-
ми (у>, ckp/dt) (т.е. "карту" цилиндра). Линию разреза проведем параллель-
но образующей цилиндра, а точки, лежащие на границе разреза,отождествим.

Введем безразмерное время Г = Лги обозначим точкой над дифферен-
цирование по этому времени. Тогда уравнение (4.11) можно записать в
виде

Ф = 7° -	

(4.13)

На плоскости (<^, движения, описываемые этим уравнением, происхо-
дят по фазовой линии системы ФАП 1-го порядка. Ее легко построить. Взяв

характеристику дискриминатора F (у>) с обратным знаком и приподняв над
осью абсцисс на величину начальной расстройки 7°.

Такой фазовый портрет изображен на рис. 4.6 для случая 0 < 7° < 1 и
характеристики F ) = sin. В верхней полуплоскости скорость $ > 0, т.е.
координата <р нарастает во времени. Поэтому движение изображающей точ-
ки по траектории (4.13) в верхней полуплоскости происходит в сторону
увеличения т.е. слева направо. В нижней полуплоскости скорость £ < О
и направление движения изображающей точки получается противополож-
ным указанному.

Из фазового портрета рис. 4.6 видно, что точка равновесия устойчива,
а *Р2 неустойчива. При малейшем отклонении системы от состояния равно-
весия будет происходить дальнейшее нарастание рассогласования, кото-
рое закончится либо в устойчивой точке равновесия либо в соседней ус-
тойчивой точке, сдвинутой на —2тг. Направление движения — вле-
во или вправо — зависит от знака возмущения, выводящего систему из
равновесной точки .

Важно отметить, что в системе ФАП в отличие от системы ЧАП перемена
полярности включения выходных зажимов дискриминатора или изменение
знака крутизны модуляционной характеристики управителя не приводят к
нарушению эффективной работы системы. На рис. 4.7 построена фазовая
траектория

ф = 7°+/г(^),	(4.14)

которая получается из (4.13) переменой знака перед функцией F (^). Как
видно, перемена полярности зажимов ФД изменяет лишь расположение ус-
тойчивой и неустойчивой точек равновесия: они переместились на величину
тг (для рассматриваемой симметричной характеристики ФДтипа F (^) =
= sin^)-	’ ~

Заметим, что рассмотрение траекторий i (^) на фазовой плоскости по-
зволяет не только видеть сразу всю картину движения системы в целом
при любых начальных условиях. Если для произвольной нелинейности
F (,/,) построить по (4.13) фазовую траекторию ф (</>), то с ее помощью
весьма просто установить вид временны* решений (Г) (интегральных кри-
вых исходного дифференциального уравнения) . Для этого не обязательно
обращаться к записи интегральных кривых (Г, ^нач) в форме (4.12),
требующей аналитического выражения функции F (у?); для приближенного
интегрирования можно воспользоваться соотношением Дг = Ду>/<£, которое
показывает, что время Дг пребывания системы на интервале изменения ко-
ординаты Д<р обратно пропорционально ординате ф изображающей точки на

Проще всего уяснить переход от фазовой траектории («/’) к временным
решениям <р (Г, ipHa4) на примере кусочно-постбянной характеристики F(ip)
в виде прямоугольной волны



[ +1,	0	<7Г,

[ -1, -7Г < < 0.

(4.15)

Такую характеристику можно получить из синусоидальной, поставив на вы-
ходе ФД усилитель постоянного тока и ограничитель. Фазовая траектория
(4.13) системы ФАП с характеристикой ФД в виде (4.15) построена на
рис. 4.8. Она содержит лишь два горизонтальных участка, т.е. возможны
всего два конечных значения скорости: = у° + 1 (при £ > 0) и р2 =
= 7° — 1 (при < 0). Поэтому временные решения р (Г, ^нач) элементарно
просты, они представляют два семейства прямых (рис. 4.9):

(С^нач) ~

*А«ач (7 + 1)fit’

^нач + (7° - 1) fit

—7Г ^нач < 0.

0 ^^нач < 1Т-

(4.16)

Так же наглядно получаются временные решения из фазовой траектории
для пилообразной характеристики ФД

F(p} = р/п,

—7Г < <£ < 7Г.

(4.17)

Соответствующая траектория £ (i) построена по (4.13) на рис. 4.10.
Скорость р и координата р изображающей точки на ней связаны линейно,
т.е. временное решение р (г) экспоненциально, причем показатель экспонен-
ты равен угловому коэффициенту — 1/тг фазовой траектории:

Ч>И, Л<ач) = 7Г7° +

+ ('/’нам - 7Г7°) ехр (—fit/тг). (4.1В)

Интегральные кривые (4.1В) построе-
ны на рис. 4.11; значения константы
^нач легко установить, рассматривая
расположение траектории на рис. 4.10.

Рассмотрим поведение системы
ФАП, описываемой дифференциаль-
ным уравнением 1-голорядка (4.13),
в том случае, когда рессГройка (7°| >1.
Поскольку |F(y>)| < 1, то при
I 7° I > 1 и К (0| = 1 не существует ре-
шения уравнения стационарного син-
хронного режима (3.121). Это понят-
но физически, так как условие
I 7° I >1 означает, что наибольшая
корректирующая расстройка Q = Sy£°
не в состоянии компенсировать на-
чальную расстройку ПГ относительно
частоты сигнала

Из рассмотрения фазовых портре-
тов рис. 4.6 (или 4.7) легко предста-
вить, что на границе существования
стационарного режима, когда I 70 I =1,
происходит слияние устойчивой и
неустойчивой точек равновесия и

<^2. При дальнейшем увеличении расстройки | 7°| >1 обе точки равновесия
исчезают с фазовой плоскости (</>, <£) и на ней получается траектория, при
7° > 1 целиком расположенная выше оси абсцисс (или ниже оси абсцисс
при 7° < —1). Такая картина показана на рис. 4.12.

Если вырезать на рис. 4.12 вертикальную полосу шириной 2я, свернуть
ее в трубку и склеить по линиям разреза, то взамен плоскости получим ци-
линдрическую фазовую поверхность. Периодическая по траектория ф (</>),
не касающаяся при | 7°| >1 оси абсцисс, опоясывает фазовый цилиндр.

Из этого фазового портрета видно, что в данном случае и разность фаз
(Г) и разность частот ф (Г) не остаются постоянными, как это было в ста-
ционарном синхронном режиме при | 7°| < 1. Теперь обе координаты не-
прерывно изменяются во времени. Разность фаз (Г) неограниченно нарас-
тает с течением времени, а разность частот ф (Г) периодически колеблется в
интервале значений от 70 - 1 до 70 + 1. Изменение безразмерной частоты
ф (Г) на ±1 происходит при тех значениях фазы (Г), где характеристика

F (</>) = ±1. Для синусоидальной характеристики F (</>) в те моменты време-
ни, когда фаза (Г) = я/2 + 2ял, на выходе ФД возникает наибольшее поло-
жительное напряжение. При этом происходит наибольшее подтягивание те-
кущей частоты ПГ к частоте сигнала, т.е. к оси абсцисс на рис. 4.12. Наобо-
рот, в точках ip (г) = —я/2 + 2 ял с выхода ФД поступает наибольшее отрица-
тельное напряжение и имеет место наибольшее отталкивание текущей часто-
ты ПГ от частоты сигнала.

Такие периодические колебания частоты и фазы ПГ, возникающие в сис-
теме ФАП при расстройке | 7°| > 1, в литературе [9, 18, 20] называеют ре-
жимом биений или, более правильно, асинхронным режимом. Легко убе-
диться, что асинхронный стационарный режим, представляемый периодичес-
кой тревкторией на рис. 4.12, является устойчивым.
Выясним, как изменяются в асинхронном режиме временные решения
(г) и ф (г). Хотя на фазовом портрете рис. 4.12 периодическая (по фазе I)
траектория (^) расположена симметрично относительно горизонтальной
прямой = 7°, временное решение £ (г) оказывается деформированным.
Эта деформация вызвана тем, что при нечетной характеристике F ) с по-
ложительной крутизной в начеле координат скорость < у° на интервале
О <	< тг, и разность фаз меняется медленнее, чем равномерно нарастаю-

щая разность фаз = 70 fit, соответствующая разомкнутому кольцу
ФАП. На интервале —я < ^ < О, наоборот, скорость изменения разност-
ной фазы у? >7° и координата\р(Г) меняется быстрее равномерно растущей
разности фаз свободного генератора и сигнала (г) = 7°S2t.

При F ((/,) = sin^ и 7° > 1 интеграл (4.12) табличный, однако запись точ-
ного временного решения (г, ^нач) довольно громоздка. Для нашей цели
проще воспользоваться уже нарисованной на рис. 4.12 траекторией (4.13)
и обойтись приближенным интегрированием, используя упомянутое выше
соотношение Дг = ^1ф.

Таким методом на рис. 4.13, а построено временное решение (г), соот-
ветствующее периодической траектории ф (</>) на рис. 4.12. Видно, что пол-
ный интервал изменения фазы от 0 до 2я системой проходится неравномер-
но: наинтервеле 0<	< я скорость ф мала, и система пребывает здесь дол-
го, а на интервале я <	< 2я скорость ф велика, и система проходит этот

интервал быстро. График (Г) сильно искривлен, он имеет протяженную
пологую часть и сокращенную крутую.

Поскольку в области 0 < </> < я при F (,/,) = sin<^ на выходе ФД получа-
ется напряжение положительной полярности, а в области я < ^ < 2я — от-
рицательной, то кривая выходного напряжения дискриминатора е (Г) так-
же оказывается несимметричной. Положительная полуволна получается рас-
тянутой, а отрицательная — сжатой.

В результате на выходе ФД, а значит, и на входе управителя, возникает
постоянная составляющая напряжения, хорошо земетная на рис. 4.13, б.
Она представляет в определенном масштабе среднее за период биений Гб
значение <Дш> корректирующей расстройки, вносимой системой в кон-
тур ПГ. Поскольку на рис. 4.13,6 среднее значение

1 Гб

<е> =-- f e(t)dt>0,

Гб «
то среднее значение частоты ПГ в асинхронном режиме

1 Tf.

(wr>=----- / wr (t)dt < w°B,

т.е. оказывается меньше, чем собственная частота свободного ПГ при ра-
зомкнутом кольце ФАП. Значит, справедливо неравенство

Это неравенство означает, что в асинхронном режиме подстраивающее
действие ФАП проявляется в подтягивании средней частоты ПГ к частоте f
входного сигнала. Другими словами, частота биений Лб = <а>, > — со® оказы-
вается меньше начальной расстройки со®в — Не-

легко заметить, что частота биений Г2б изменяется в зависимости от вели-
чины начальной расстройки у°. Если расстройка 70 > 1, то максимальное
7° + 1 и минимальное у° — 1 значения текущей разности частот ф различа- i
ются мало. При этом участки характеристики дискриминатора F (^) с поло-
жительной и отрицательной полярностями проходятся системой почти за
одно и то же время. В результате постоянная составляющая <е> близка к ну-
лю, и среднее значение <шг) частоты ПГ почти не отличается от собственной
частоты шс°в свободного ПГ в разомкнутой ФАП.

Чтобы произвести точную количественную оценку подтягивающего дей-
ствия ФАП в асинхронном режиме и получить выражение для частоты бие-
ний £2б = И > — ш®, необходимо использовать интеграл (4.12). Подстав-
ляя (/)нач = 0 при t = 0, а при = 2тг t = Гб, после преобразований для |
F ((/,) = sin<^ получим	|

S2e/n = V(70)’-1-	j

Эта зависимость представлена на рис. 4.14 кривой 1. Штриховая прямая, |
проходящая через начало координат, дает разность частот ПГ и сигнала в J
124	|
отсутствие ФАП. В области больших расстроек уи > 1 кривая £2б (у0) асим-
птотически приближается к ней. При у0 -*1+ период биений Гб а часто-
та биений = 2тг/7’б + 0. На границе полосы синхронизма у0 = 1 происхо-
дит разрушение асинхронного режима и устанавливается стационарный син-
хронный режим, в котором частота ПГ в точности равна частоте сигнала.

Выясним, как влияет на характер графика Qg (у0) вид нелинейности
F (^). Выкладки и построения оказываются наиболее простыми для кусоч-
но-постоянной (4.15) и кусочно-линейной (4.17) характеристики F (^).

Временное решение (г, 0) в асинхронном режиме для прямоугольной
характеристики (4.15) возникает в результате смыкания ("сшивания") от-
резков прямых (4.16) с угловыми коэффициентами у0 — 1 и у0 + 1, а гра-
фик выходного напряжения ФД е(Г) представляет знакопеременную
прямоугольную волну с максимальным и минимальным значениями +F° и
—Е° и разными длительностями положительной и отрицательной полуволн.
Период биений Т5, равный времени изменения разности фаз (t) на 2тт, лег-
ко получить из (4.16). Для частоты биений Qg = 2-п/Т^ находим

[ (у0)2—1 ]/у°	(4.19)

График Qg (у0) по (4.19) отмечен на рис. 4.14 номером 2.

Для пилообразной характеристики (4.17) временное решение (г, 0) в
асинхронном режиме можно получить при сшивании кусков экспоненты
(4.18), при этом с помощью (4.18) находим период биений Тб и частоту
биений Г2б:

Пб/П = 1/arcthy0.	(4.20)

Эта зависимость представлена на рис. 4.14 кривой 3.

Сопоставление кривых рис. 4.14 показывает, что вид нелинейности ха-
рактеристики ФД влияет на характер зависимости 12g (у0) незначительно.
Можно сказать, что подстраивающее действие ФАП в асинхронном режиме
связано, в первую очередь, не столько с видом периодической нелинейности
F (у;), сколько с самим фактом ее периодичности, ибо именно этот факт и
обусловливает различное время пребывания системы на участках характе-
ристики ФД с положительной и отрицательной полярностями.

Таким образом, с помощью аппарата фазовой плоскости мы изучили все
возможные картины движений системы ФАП 1-го порядка при различных
значениях начальной расстройки частоты ПГ и сигнала. Этот анализ был про-
веден в предположении, что инерционность в цепи управления между дис-
криминатором и управителем отсутствует.

§ 4.4.	Неучитываемые параметры в системах с 1/2 степени свободы
и гипотеза скачка

Полное описание движения q (г) произвольной динамической системы
определяется ее дифференциальным уравнением.не изолированно, а в соче-
тании с заданными начальными условиями q (0_ },q (0_), т.е. известным состо-
янием системы в момент Г= 0-. непосредственно предшествующий ее "вклю-
чению". Конкретные значения q(0_), q (0_ Обусловлены теми обстоятель-
ствами, при которых осуществляется включение.

Если имеется дифференциальное уравнение, а^физическая структура сис-
темы неизвестна, то значения координату (0+), у(0+) в момент г = 0+ сразу
же после включения принимают равными q (0_), q(Q_). Для конкретной
физической системы (электрической, механической и т.д.) координаты
q (0+), q (0+) связаны с величинами q (0_), q (0_) соотношениями,обяза-
тельно вытекающими из определенных физических законов. Например,
напряжение на конденсаторе ис (0+) = ис(0_) или ток в индуктивности
//, (0+) а/£ (0_) не могут изменяться скачком, однако ток через емкость
/с = Cduc/dt или напряжение на индуктивности uL = LdiL /dt не обяза-
тельно совпадают в моменты времени t = 0_ и t = 0+.

В случае автономной системы с 1/2 степени свободы, описываемой обык-
новенным дифференциальным уравнением 1-го порядка (например (4.2) в
случае ЧАП или (4.11) в случае ФАП), ее начальное состояние полностью
определяется значением лишь одной координаты в момент Г = О_.ДляЧАП
нужно знать лишь начальную разность ^астот у (0_) = у (0+), а для ФАП —
начальное расхождение фаз у, (0_) = у* (0+), поскольку другая координата
системы — производная у’ (0+) (или ф (0+)) — находится непосредственно
из дифференциального уравнения (42) (или (4.11)) подстановкой в него
у(0+) (или у> (0+)). Значит, движение на фазовой плоскости (у, у) (или
(у>, ф)) формально должно начинаться^ в момент t = 0+ непосредственно
из соответствующей точки единственной фазовой траектории (4.2) (или
(4.13)).

Строго говоря, в случае дифференциального уравнения 1-го порядка ос-
тается неясным, каким образом попадает изображающая точка из любого
места фазовой плоскости на единственную фазовую траекторию системы.
Если считать, что в системе ЧАП с интегрирующей /?С-цепочкой в качестве
фильтра внешний сигнал при t = 0_ еще отсутствует, а в момент t = 0+ он
внезапно появляется, то состоянию системы у (0_), у (0_) до "включения"
соответствует на рис. 4.1 точка на оси абсцисс у (0_) = у°, у (0_) = 0. По-
скольку частота ПГ обусловлена управляющим напряжением* снимаемым
с конденсатора фильтра, то у (0+) = у (0_) = 7°, а производная у (0+) опре-
деляется из уравнения (4.2), так что изображающая точка в момент t = 0+
оказывается уже на фазовой траектории.

Так возникает гипотеза скачка, обычно используемая в рамках диффе-
ренциального уравнения 1-го порядка, т.е. в системах с 1/2 степени свобо-
ды. Она равносильна утверждению, что вне фазовой треектории такой систе-
126
мы движение на фазовой плоскости происходит по вертикальным траекто-
риям с бесконечно большой скоростью, т.е. скачком. Можно сказать, что
все фазовое пространство, кроме самой фазовой траектории, представляет
так называемое "пространство быстрых движений", а единственная фазовая
траектория соответствует "медленным движениям".

Однако описание реальной системы с помощью дифференциального урав-
нения 1-го порядка представляет математическую абстракцию, так как от-
брасываются малые физические параметры. Учесть их действие можно, рас-
сматривая, например, процесс вырождения соответствующего уравнения
2-го порядка с малым параметром при стремлении параметра к нулю. При
этом вся фазовая плоскость будет заполнена множеством круто идущих
траекторий (траектории "быстрых движений"), по которым изображающая
точка из любого места на фазовой плоскости очень быстро (но не скач-
ком!) приходит на фазовую траекторию системы 1-го порядка, продолжая
затем по ней "медленное движение".

Этот процесс можно подробно изучить, перейдя к исследованию диффе-
ренциального уравнения системы ЧАП более высокого порядка, например
второго. Рассмотрим пример системы ЧАП с двухзвенным интегрирующим
фильтром, имеющим разные постоянные времени:

Kip) = (Тр + 1)-'(е Тр + 1)-1,	(4.21)

где е — отношение постоянных времени звеньев фильтра. Выражение
(4.21) справедливо для случая, когда между звеньями фильтра включен
разделительный усилитель с единичным коэффициентом усиления. Если в
(4.21) устремить е -* 0, то придем к однозвенному интегрирующему фильт-
ру с оператором К (р) = (Тр + 1) -1.

Подставим (421) в исходное дифференциальное уравнение ЧАП (3.99).
Считая, что соблюдается условие у (t)	= const, получим:

d2y	dy

еТ1—г+(1+е)Г---------+ [у+F(y)] =7°.	(4.22)

dt2	dt

Введем безразмерное время t и коэффициент затухания 5 по формулам

? =Г/Г7ё? 25 = (1 +	(4.23)

Обозначая точкой над у дифференцирование по безразмерному врёмени
t, получим взамен (422) :

у+ 25 у + [у + Г(у)] =7°.	(4.24)

Из (4.23) видно, что наименьшее затухание 5 = 1 получается при равен-
стве постоянных времени звеньев фильтра 6=1. При е или е -*<» за-
тухание 5 -» °°.

Займемся исследованием дифференциального уравнения 2-го порядка
(4.24). Его удобно представить в виде эквивалентной системы двух урав-
нений 1-го порядка:

y = z, z =-25z+7° - [у + F(y)].	(4.25)

Этой системе (или одному уравнению (424)) на фазовой плоскости с
координатами (у, г = у) соответствует не одна фазовая траектория, а бес-
численное их множество. С помощью системы (425), разделив второе урав-
нение на первое, получим выражение для углового коэффициента касатель-
ных к фазовым траекториям:

dz _ -25z +7° - [у +F(y)]
Рис. 4.15.

Выражение (4.26), в принципе,
позволяет построить на фазовой
плоскости все семейство траекто-
рий системы, поскольку с его по-
мощью можно вычислить угловой
коэффициент касательной к тра-
ектории dz/dy в произвольной
точке с заданными координата-
ми у, г.

Гораздо проще, однако, ис-
пользовать для построения фа-
зовых портретов специально раз-
работанный в теории колебаний
метод изоклин [2,5,11). Изо-
клиной называется вспомогатель-
ная линия на фазовой плоскости
(не фазовая траектория!), на ко-
торой угловой коэффициент ка-
сательных к фазовым траектори-
ям сохраняется постоянным, т.е.
выполняется условие:

dz/dy = к = const. (4.27)

Заменяя в (4.26) левую часть
согласно (4.27), получим урав-

нение изоклины с угловым коэффициентом к :

=

7°-[/+Г(/)]
к + 26

(4.2В)

В частности, уравнение нулевой изоклины (с горизонтальной касательной)
получим из (4.28), положив к = 0:

25z0(y) = 7° — [у + F(y)],	(4.29)

а изоклиной с вертикальной касательной к = °° оказывается ось абсцисс
z = 0.

Заметим, что правая часть (4.29) такая же, как и у дифференциального
уравнения 1-го порядка (4.2). Для выяснения связи расположения нулевой
изоклины (429) с расположением траектории (4.2) раскроем левую часть
(4.29), используя обозначения (4.23) :

25z = (1 + е) Т dy/dt.	(4.30)

Отсюда видно, что при е -* 0 имеем: 28z Т dy/dt, т.е. нулевая изоклина
(4.29) при е -> 0 совпадает с фазовой линией (4.2) дифференциального
уравнения ЧАП 1-го порядка.

Из выражения (426) следует, что в случае е ->0 (т.е. 25 -*°°) приг >0
для всех точек, лежащих на фазовой плоскости (у, z) выше нулевой изо-
клины (429), справедливо приближенное равенство dz/dy == —26, а для
точек, лежащих ниже нулевой изоклины (4.29), имеем dz/dy ~+26. В ниж-
ней полуплоскости, т.е. при г < 0, имеем обратную ситуацию.

Из уравнения (42В) можно установить также, что при е -* 0, т.е. при
26 -* °°, все изоклины кроме изоклины с вертикальной касательной (к =
= °°) сгущаются около изоклины с горизонтальной касательной (к = 0).
Это значит, что угловой коэффициент касательных получается весьма боль-
шим, т.е. фазовые траектории всюду идут очень круто (почти вертикаль-
но) , за исключением узкой полосы в окрестности нулевой изоклины (4.29).

На рис. 4.15 в соответствии с изложенным изображен для случая е < 1
фазовый портрет вырождающейся ЧАП 2-го порядка (уравнение (424) или
система- (425))). Из рассмотрения этого портрета можно заключить, что
при е -* 0 вся фазовая плоскость (у, г = у), за исключением линии (4.29),
превращается в плоскость быстрых движений, а указанная линия есть ли-
ния медленных движений. В пределе при е = 0 вся фазовая плоскость за-
полнена верти калимыми траекториями, по которым изображающая точка
из любого места фазовой плоскости бесконечно быстро (т.е. скачком) при-
ходит на единственную траекторию (42) системы ЧАП 1-го порядка.

Перейдем теперь к изучению невырожденных динамических систем с од-
ной степенью свободы. Их дифференциальные уравнения имеют второй
порядок и, в общем случае, не содержат какого-либо малого параметра,
позволяющего упростить исследование.

Упражнения к главе 4

4.1.	Используя простейшую кусочно-линейную (полигональную) аппроксимацию
характеристики частотного дискриминатора в виде

Г(у) =

Ay,

О,

lyl< МА,
1x1 > VA

построить фазовые портреты и получить для разных начальных условий временные
решения у (t) системы ЧАП, в цепи управления которой включено инерционное звено
с коэффициентом передачи К (р) = 1/(Гр + 1). Значения начальной расстройки 70 при-
нять: 1) меньше полосы захвата ЧАП, 2) больше ее полосы удержания, 3) между по-
лосой захвата и полосой удержания.

4.2.	Для системы ФАП без фильтра в цепи управления (К (р) = 1) с характеристи-
кой фазового дискриминатора F (у>) в форме равнобочной трапеции

' tflnr,	|у>| < Пт,

1,



Пт<^<я — Пт,

-» + Ят<у< - Пт,

я — у>/Пт,

я — Пт < у> < я + Пт,

где П — полоса синхронизма, г — постоянная времени ФАП, построить фазовые портре-
ты и получить при резных начальных условиях временные решения у> (г) в асинхрон-
ном режиме (70 > 1). Найти выражение для частоты биений Пк и построить зависимос-
ти ng (7°) для нескольких значений параметра Пт в пределах 0 < Пт < я/2.
ГЛАВА 5

МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 5.1.	Основные понятия качественного анализа динамических систем
методом фазового пространства

В главе 2 указывалось, что движение q(t) = [<7i	. p„(t) )1 автоном-

ной динамической системы с п степенями свободы описывается в векторно-
матричной форме нелинейными дифференциальными уравнениями

dq	dy	_ _

— = у, ------= F(q,y)

dt	dt

(2.6)

с начальными условиями q (0) = q 0, У (0) Не-
традиционный подход к изучению системы (2-6) заключается в отыска-

нии временных решений p(r) =q(t; q0, у0) ПРИ заданных начальных усло-

виях q0, Уо = <7о-	,

Трудности анализа нелинейных систем во временной области неодно-
кратно обсуждались выше, а в качестве альтернативы обращалось внимание
на метод пространства состояний (фазового пространства). Основная идея
этого метода состоит в исключении времени dt из уравнений движения
(2.6), что приводит к выражениям для угловых коэффициентов касатель-
ных к траекториям в 2л-мерном фазовом пространстве системы и, как
следствие, к анализу свойств векторного поля касательных. Рассмотрение
фазовых траекторий дает в компактной геометрической форме единую и
полную картину всех возможных видов решений q(t; q0, q0} при любых
начальных условиях q0,q0-

При таком подходе сразу проявляется и становится ясной ведущая роль
некоторых так называемых особых траекторий, разделяющих все фазовое
пространство на области, различающиеся по виду движений в них. К осо- <
бым траекториям, в частности, можно отнести особые точки пространства,
в которых оказываются неопределенными угловые коэффициенты каса-
тельных к траекториям, т.е. возникают особенности векторного поля.
Из рассмотрения уравнений движения (2.6) легко установить, что точки
равновесия q 0 = const, в которых одновременно обращаются в нуль все

обобщенные скорости у 0 = 0, обязательно являются особыми, поскольку
при исключении времени dt в этих точках возникает неопределенность
вида 0/0. В случае более сложных уравнений движения, отличных от (2.6),

возможны особые точки, не являющиеся состояниями равновесия.

-—Кроме особых траекторий, разделяющих фазовое пространство на об-

ласти с различными видами движений, важную роль в топологии пространст-

ва играют замкнутые фазовые траектории, к которым с течением времени
сколь угодно близко подходят (или, наоборот, отходят от них) другие.

соседние с ними траектории. Таким замкнутым в фазовом пространстве |
траекториям соответствуют во временной области периодические решения
р(г) =р(г + Г), у (г) = у (г + 7), а сами эти траектории называются предель-
ными циклами (соответственно, устойчивыми или неустойчивыми).
130
Помимо вида нелинейности на структуру фазового пространства влияет
подбор параметров системы. При некоторых значениях параметров неболь-
шие их изменения не приводят к качественным изменениям картины фазо-
вых траекторий, система оказывается "грубой" (по терминологии А.А. Ан-
дронова) , т.е. не реагирует заметным образом на вариации параметров в
определенных пределах. Наоборот, возможны такие значения параметров
(их называют бифуркационными}, малейшие отклонения от которых при-
водят к смене вида решения, т.е. к качественному изменению структуры
фазового пространства. Системы, пришедшие на грань бифуркации, назы-
вают особенными.

Отыскание особых траекторий системы и исследование структуры фа-
зовых траекторий в окрестности особых точек, установление существова-
ния и локализация предельных циклов (т.е. определение их устойчивости
и местонахождения), а также рассмотрение возможных бифуркаций состав-
ляют предмет качественного анализа нелинейных динамических систем.

Ясно, что провести такой анализ в многомерном фазовом пространстве
ненамного легче, чем исследовать поведение системы во временной области,
хотя топологическая формулировка многих задач теории колебаний оказы-
вается гораздо содержательней языка временного описания. Если же прост-
ранство двумерное, и фазовый портрет удается построить на поверхности
всего лишь двух измерений, то аппарат фазовой плоскости становится чрез-
вычайно результативным. Выдающаяся роль в развитии этого аппарата
применительно к задачам теории колебаний принадлежит советской школе
нелинейных колебаний, созданной А.А. Андроновым [2, 4, 5].

Перейдем к изложению метода фазового пространства для нелинейных
радиотехнических систем с одной степенью свободы.

§ 5.2.	Классификация особых точек иа фазовой плоскости

В случае динамической системы с одной степенью свободы (л = 1) век-
тор обобщенных координат q(t) содержит лишь одну компоненту, т.е.
превращается в скалярную величину. При этом запись исходных уравнений
(2.6) также скалярная

dq	dy

~ = У, ~~~-Flq,y}	(5.1)

dt	dt

с двумя начальными условиями q0, у0 = q0.

Исключая независимую переменную t (разделив одно из уравнений систе-
мы (5.1) на другое), приходим к одному автономному дифференциально-
му уравнению 1 -го порядка

- F(q'
dq у

(5.2)

Два уравнения 1-го порядка (5-1) в свою очередь могут быть получены из
одного уравнения 2-го порядка

d1

<7 J dq \

dt

(5.3)

Особыми точками уравнения (5.2) являются такие значения q, у, при
которых угловой коэффициент dy/dq становится неопределенным. Ясно,
что точка равновесия q° = const, для которой /° = dq°/dt = 0 и F(q°, /*)=0,
всегда оказывается особой: в ней величина dy/dq = 0/0 не определена. По-
9’	131
скольку F(q, у) — нелинейная функция своих аргументов, может быть
несколько особых точек, для которых F(d°, у0) = 0 и у0 = 0.

О характере особой точки следует судить по поведению фазовых траек-
торий в малой ее окрестности. Используя подстановку £(t) = <?(г) — 9°, т.е.
перенося начало отсчета в особую точку, и линеаризовав функцию
F(q°+t, у), получим взамен (5.1) систему линейных уравнений для
вариаций

d£	dy

	= у, —- = - ay - bt.	(5.4)
dt----------------------------------------------------------------dt

где — a = F^(O), — b = F’4{q°) — частные производные нелинейной функции
F(q, у) по своим аргументам в точке равновесия (заметим, что процедуру
линеаризации в форме (2.11) мы уже проводили ранее при переходе от
общих уравнений движения (2.6) к уравнениям первого приближения
(2.12) для исследования локальной устойчивости).

Взамен системы (54) можно написать одно уравнение 2-го порядка
d2£	d%

—— +а — + Ь£ = 0,	(5.5)

dt1	dt

или, исключив время, получить уравнение для углового коэффициента

Видим, что в самой точке равновесия £ = 0, у = 0 величина dyldt не опре-
делена. Это может означать, что через саму точку равновесия проходит бо-
лее чем одна фазовая траектория,или не проходит ни одной.

Подставляя в (5.5) частное решение ,

£(г) = Сехр(Хг),	(5.7)

приходим к характеристическому уравнению 2-го порядка:

W(X) = X2+aX+h = O.	(5.8)

Отсюда находим корни характеристического уравнения:

X, л = - а/2 ± yja'li -b,	(5.9)

и общее решение уравнения (5.5) записывается в виде:

£(T) = Ci exp (Xjf) + С2 ехр (Х2Г).	(5.10)

Его производная

£(Г) = X| С\ exp (Xj t) + Х2 Сг exp (Х21).	(5.11)

Комбинируя выражения (5.11) и (5.10), можно исключить время t и полу-
чить уравнение траекторий на фазовой плоскости (£, £):

(£-Х,£)Х‘ = С(£-Х2£)Х’,	(5.12)

где С — произвольная постоянная, определяемая из начальных условий. 1
Придавая константе С все возможные значения, получим целое семейство |
(континуум) траекторий, заполняющих всю фазовую плоскость.	1

Если перейти от исходных координат £ и £ к так называемым "нормаль- J
ным координатам"	J

u = £-Xt£, H-f-Xjt	..	(5.13) 1

1Э2	J
Рис. 5.1.

то выражение (5.12) фазовых траекторий приобретает более нагляд-
ный вид:

=	(5.14)

Очевидно, что вид временного решения (5.10) и форма соответствую-
щих ему фазовых траекторий (5.12) или (5-14) целиком определяются зна-
чениями корней X, и Х2. Характеристические корни X, и Х2, в свою оче-
редь, полностью определяются соотношением коэффициентов а и b соглас-
но формуле (5.9).

Поэтому введем в рассмотрение плоскость коэффициентов (а, Ъ)
(рис. 5.1) и произведем разбиение ее по виду характеристических корней
X1,2- Построим вначале на ней параболу b = а2/4. Как следует из (5.9),
эта парабола отделяет действительные значения корней Х112 от комп-
лексных.

Выясним возможные типы картин фазовых траекторий в зависимости от
вида характеристических корней X, и Х2.

Случай 1а-. а>0, 0<b <а2/4.

В этом случае оба корня Х1г2, согласно (5.9), получаются действитель-
ными и отрицательными Xf < 0, Х2 < 0, причем | Xt | < I Х2 I , т.е. Х2/X। >
> 1. Выражение (5.14) фазовых траекторий в нормальных координатах
(и, v ) при этом представляет семейство парабол степени Х2/Х( > 1, прохо-
дящих через начало координат (рис. 52,а), причем осью симметрии пара-
болических кривых является ось о. Переход к исходным координатам $
И £ = у от нормальных и и v можно произвести, согласно обозначениям
(5.13), по формулам:

$ = (м —у)/(Х, -Х2),	= (X, м - X2w)/(X, -Х2).	(5.15)

В соответствии с этим преобразованием параболические траектории
в исходной системе координат (£,£) деформируются. Чтобы приближенно
построить на фазовой плоскости траектории £((), не обязательно прово-
дить вычисления, по формулам (5.15). Проще врспользоваться методом
изоклин. Из уравнения (5.6) получаем уравнение изоклины с угловым
коэффициентом касательных к траекториям dyfcfy = к:

Ь	'	

= ;------'	(5.16)

к +а
Видим, что семейство изоклин представляет пучок прямых, проходящих
через начало координат.

На фазовой плоскости (£, / = £) (рис. 5.2,6) нанесено несколько
изоклин, и с их помощью построена картина фазовых траекторий системы
(5.4) при условии а >0, 0< b < а2 /4. Как видно из этого рисунка (и в
соответствии с выражением (5.14)), траектории $($) имеют вид деформи-
рованных параболических кривых, за исключением двух прямых: /i = Х^
и У2 = Х2$, проходящих через начало координат и имеющих в качестве
угловых коэффициентов характеристические корни Х2 и Очевидно,
что эти прямые в нормальных координатах (и, v ) превращаются в коорди-
натные оси, причем прямая j/t = дает ось ординат и (т.е. и = 0), а пря-
мая у2 = Х2£ ~ ось абсцисс и (т.е. v = 0).

Все траектории рис. 52,6 один раз пересекают ось абсцисс (за исклю-
чением тех траекторий, которые заключены внутри сектора, образованного
прямыми = Х1 £ и у2 = Х2 £) • Все траектории приходят в начало коорди-
нат, имея в качестве асимптоты прямую у г = Х2£. Точка равновесия, траек-
тории в окрестности которой имеют вид, представленный на рис. 5.2,
называется устойчивым узлом. Временные решения (5.10) в случае устой-

Рис. 5.3.
чивого узла соответствуют апериодическому (неколебательному) про-
цессу установления равновесия.

Случай 16: а < 0, 0 < b < а1 /4.

Этот случай отличается от предыдущего лишь тем, что оба действитель-
ных корня не отрицательны, а положительны, т.е. Х( >0, Х2 > 0- причем
X, > Х2. Из-за положительности корней временное решение E(f) не зату-
хает, как в предыдущем случае, а неограниченно нарастает. Такая точка
равновесия называется неустойчивым узлом. Ее портреты представлены на
фазовой плоскости рис. 5.3.

Случай2а-. а> 0, Ь>а1 /А.

В данном случае, согласно формуле (5.9), корни Х112 получаются комп-
лексно сопряженными: Х[ ,2 =	± /Хм, гДе = — э/2, Хм = \Jb — а /А.

Воспользуемся общей записью траекторий в форме (5.12) и представим
нормальные координаты и и v в полярной системе координат:

и = у - Х|£ = у - Хд£ -/Хм£ =р ехр (-/а),

v = у - Х2£ = у - Хд? +/ХМ£ = Р ехр (+/а),	(5.17)

где

Р2 =(/-Хд?)2 + Х2М?2, гда = Хм?/(у-Хд?).

Подставив (5.17) в (5.12), получаем уравнения фазовых траекторий в
очень простой форме:

.	/ \i \

р(а)=роехр -----а).	(5.18)

Мы получили уравнение логарифмической спирали. На рис. 5.4 с помощью
формулы (5.18) построено семейство спиральных траекторий, закручиваю-
щихся к началу координат. Такая точка равновесия называется устойчи-
вым фокусом. Временное решение (5.10) в случае устойчивого фокуса
представляет затухающий колебательный процесс.

Случай 26-. а < 0, Ь>а2/А.

В данном случае корни Х[ ,2 получаются комплексно сопряженными, но
их действительная часть не отрицательна, как в предыдущем случае, а поло-
жительна. Поэтому спиральные траектории, построенные для неустойчиво-
го фокуса на рис. 5.5, раскручиваются от точки равновесия. Временное
решение в случае неустойчивого фокуса представляет колебательный про-
цесс, амплитуда которого p(t) неограниченно возрастает с течением
времени.

Случай 2в\ а = 0, Ь > 0.

Здесь корни Х| ,2 = ± j т.е. получаются чисто мнимыми. Процесс р (Г)
представляет незатухающие синусоидальные колебания с неизменной
амплитудой. На фазовой плоскости ему соответствует семейство концен-
трических окружностей р =р0. Такая точка равновесия называется центром,
она является границей между устойчивым и неустойчивым фокусами.

Случай За: а > 0, 6 < 0.

Случай 36 : а < 0, b <0.

Согласно формуле (5.9) в обоих этих случаях корни характеристичес-
кого уравнения7 получаются действительными и' противоположными по
знаку: Xf >0, Х2 < 0, причем, в случае За имеем X । < j Х2 I , а в случае 36
получается Х( > | Х2 |. Как и в случае узла, две траектории оказываются
прямыми линиями, проходящими через точку равновесия. Они называются
сепаратрисами. Полные картины траекторий для случаев За и 36 приведе-


ны, соответственно, на рис. 5.6 и 5.7. Такая точка равновесия называется \
седлом. Отметим, что входящая сепаратриса седла у2 = Х2£ разделяет всю |
фазовую плоскость на две части. Каждая из этих частей оказывается об-
пастью "притяжения" положительной (/| > 0) и отрицательной (у] < 0)	1

частей выходящей из седла сепаратрисы у, =Х,£.	J

Укажем, что для случая За нулевая изоклина седла (к = 0), согласно I
формуле (5.16), имеет положительный наклон, а для случая 36 — отрица- |
тельный. В результате получается вращение векторного поля рис. 5-6 по |
часовой стрелке ("правое седло"), а рис. 5.7 — против часовой стрелки |
("левое седло") по отношению к случаю "симметричного седла" при а = 0. |

Итак, теперь мы обладаем полным набором всех возможных картин |
расположения фазовых траекторий в окрестности особой точки (точки Я
равновесия £ = 0, у = £ =0) линейного однородного дифференциального |
уравнения (5.5). Для удобства классификации на рис. 5.1 произведено Я
разбиение плоскости параметров этого уравнения а и b по характеру устой- Я
чивости точек равновесия.	Я

Воспользуемся полученной классификацией для установления характе- 1
ра точек равновесия некоторых конкретных нелинейных радиотехничес- я
ких систем.	Я
§ 5.3. Фазовые портреты систем с частотным управлением

Ранее в § 4.2 мы подробно исследовали на фазовой плоскости все воз-
можные картины движений в системе частотной автоподстройки с двумя
типами фильтров, приводящими к дифференциальному уравнению ЧАП
1 -го порядка. В этом простейшем случае анализ сводится к рассмотрению
движения изображающей точки по единственной фазовой траектории (4.2)
для системы ЧАП с инерционным звеном или (4.6) при использовании
идеального интегратора.

Рассмотрим теперь фазовые портреты некоторых систем ЧАП с фильтра-
ми 2-го порядка.

Обратимся к уравнению (4.24) ЧАП с двузвенным /?С-фильтром, опера-
торный коэффициент передачи которого имеет вид (4.21), и рассмотрим
его в общем случае при произвольном значении параметра е. Согласно
обозначению (4.23), это равносильно изучению уравнения (4.24) или систе-
мы (4.25) при изменении затухания 8 в пределах 1 < 5 < °°. Заметим, что,
полагая в указанных уравнениях /(Г) = у0 = const и учитывая, что у° =
= /° = 0, приходим, естественно, к уже известному уравнению стационар-
ного режима (3.107).

Перед тем как построить полный фазовый портрет системы, обследуем
характер точек равновесия /1,2,3 для малых вариаций £(0, т.е. сделаем
замену переменных /(t) = /3,2,3 + £(t). Уравнение для вариаций £(С)
можно получить, линеаризуя функцию F(y) в исходных уравнениях (4.24)
или (4.25). Но эта процедура уже была выполнена ранее для произволь-
ного оператора фильтра К(р) и получено общее уравнение ЧАП (3.102),
линеаризованное в окрестности любой точки равновесия /1,2,3 :

[1 +К(р)/>(/° ,2,3)]£(Г) = 0.	(5.19)

Поэтому воспользуемся сразу этим уравнением, подставив в него зна-
чение Kip) из (4.21). Учитывая обозначения (4.23), получим уравнение
в вариациях:

£ + 26£ + [1 +f;(/?,2,3H£ = 0.	(5.20)

На фазовой плоскости (£, £) точкой равновесия этого линейного уравнения
является начало координат £ = 0, £ = 0.

Используем приведенную в предыдущем параграфе классификацию
особых точек для установления характера точек равновесия /® 2,з исход-
ной нелинейной системы ЧАП (4.24).

Примем для определенности в формуле (4.21) величину отношения
постоянных времени е = 1. Тогда, с учетом обозначений (4.23) и сопостав-
ляя (5.20) с (55), находим коэффициент а = 26 = 2, а величина коэффи-
циента b = 1 + F'у(/?,2,3) получается разной - в зависимости от того, ка-
кую из трех возможных точек равновесия /° 2 3 мы рассматриваем.

Чтобы проследить за знаком и величиной коэффициента 61,2,3 в разных
точках равновесия, заметим, что согласно (4.24)

d

Ьу,2,з=— (У + ЯУН1Х = У. , .	„ (5.21)

dy	z 1,2,3

Обращаясь к рис. 3.20, видим,что при расстройке 7°, лежащей примерно
в середине между полосой схватывания и полосой удержания ЧАП, для
точки /° имеем: Ьх * 1 + А > 1. Поскольку bt > а2/4 = 1, то точка /? —
устойчивый фокус.
В точке у? имеем Ьг < 0, т.е.
получаем правое седло.

Для точки /э согласно
рис. 3 20, справедливо неравенст-
во 0 < Ь3 < 1. Поскольку выбра-
но а = 2, т.е. величина а2 /4 = 1, то
точка уз оказывается устойчи-
вым узлом.

Таким образом, характер осо-
бых точек выяснен и можно перей-
ти к построению полного фазово-
го портрета нелинейной системы
ЧАП. Результат такого построения
приведен на рис. 5.8. Здесь внача-
ле были нарисованы фазовые тра-
ектории в непосредственных
окрестностях точек равновесия
те- траектории фокуса,
седла и узла, а затем произведе-
но их смыкание. Для удобства

вычерчивания траекторий было построено несколько изоклин, из них на
рис. 58 показаны лишь две изоклины — с горизонтальной и вертикальной
касательной.

На рис. 5.8 штриховкой выделена область, границы которой образованы
входящими полусепаратрисами седла (так называемая "петля сепаратри-
сы") . Легко убедиться, что только эта область является областью притяже-
ния устойчивой точки равновесия у°,а все незаштрихованное пространство
оказывается областью притяжения устойчивой точки равновесия

Следовательно, чтобы система пришла в состояние равновесия у°, не-
обходимо вполне определенное сочетание начальных условий у(0), у(0) в
момент ее включения t = 0, которое соответствует заштрихованной области
рис. 5.8.

Интересно сравнить этот портрет с аналогичным портретом для системы
ЧАП с однозвенным фильтром (рис. 4.1). Из сравнения видно, что переход
от однозвенного ЯС-фмльтра к двухзвенному резко уменьшает размеры об-
ласти притяжения устойчивой точки Можно сказать, что в случае одно-
звенного фильтра входящие полусепаратрисы седла идут на фазовой плос-
кости вертикально, и областью притяжения точки оказывается вся
полуплоскость, лежащая левее точки у° (см. также рис. 4.15).

Очевидно, ситуация, изображенная на рис. 5.В, так же как и родственные
ей картины рис. 4.1 и рис. 4.15, возможна лишь при условии ?схв < 7° <
< 7уд, поскольку только при этом условии возможно существование трех
точек равновесия у, 2 3 и образование "петли сепаратрисы", показанной
на рис. 5.В. Ясно, что если сделать 7° < 7СХВ, то сохранится лишь единствен-
ная точка равновесия y°t. Эта точка является устойчивым фокусом (при
А > 1), и областью ее притяжения оказывается вся фазовая плоскость, т.е.
в этом случае ЧАП работает эффективно, независимо от начальных условий.
Поэтому рабочим диапазоном ЧАП следует считать именно полосу схваты-
вания 7СХВ, в пределах которой режим эффективной автоподстройки <
устанавливается независимо от начальных условий.	!

Главный вывод, который необходимо сделать из проведенного анализа,
состоит в том, что в задаче стабилизации в системе ЧАП полоса схватывания |
совсем не зависит от типа фильтра при условии, что К10) = 1, а определяет- |
ся только видом нелинейности характеристики дискриминатора.	|

'	л

...	\ л
Рассмотрим теперь динамические свойства ЧАП с фильтрами, содержа-
щими идеальные интегрирующие звенья, т.е. К(0) = °°.

Если, например, использовать двойной интегратор

К(р)=а2/р2,	(5.22)

то дифференциальное уравнение (3.99) системы ЧАП примет вид:

у+Р(/) = У.	(5.23)

Здесь точки означают дифференцирование по безразмерному времени t =
= t!TH, где Тп = 1/а. Для случая линейно нарастающей частоты ) вторая
производная у (Г ) = 0. Тогда из (5.23) получаем:

у + F(y} = 0.	(5.24)

Это уравнение допускает формальное решение y(t ) = у0 = 0, т.е. нулевую
ошибку в стационарном режиме. Однако в нем отсутствует член, содержа-
щий первую производную у, т.е. в системе нет "трения1". Такая система
является консервативной и не обладает асимптотической устойчивостью.
На фазовой плоскости (у, у) траекториями уравнения (5.24) оказываются
замкнутые кривые, вложенные одна в другую. Действительно, записав
(5.24) в виде системы

у = z, z = -A(y)	(5.25)

и разделив второе уравнение на первое, получим:

dz _ — F(y}
dy г

(5.26)

Это - нелинейное дифференциальное уравнение 1-го порядка и оно до-
пускает непосредственное интегрирование:

z2/2 +/7(у) = W = const'.	(5.27)

Здесь функция

П{у} = j F(x)dx	(5.28)

о

эквивалентна потенциальной энергии (рис. 5.9), член z2/2 играет роль кине-
тической энергии, а постоянная интегрирования Н выступает в роли началь-
ного запаса энергии в системе.

Из (5.27) имеем явное выражение для фазовых траекторий

г(у) = ± V21H~-7Т(7)Г.

(5.29)

Придавая полной энергии Н различные значения, соответствующие различ-
ным начальным условиям, получим набор траекторий. Согласно (5.29) все
они симметричны относительно оси абсцисс и замкнуты, так как пересе-
кают эту ось в точках, где// = Л(у). При симметричной (нечетной) характе-
ристике F(/) функция /7(у) получается четной, и фазовые траектории бу-
дут симметричны также и относительно оси ординат.

В малой окрестности начала координат, где справедлива линейная ап-
проксимация характеристики дискриминатора F(y) =« А (у), уравнение
(5.24) становится линейным:

у+Ау = 0.	(5.30)

В соответствии с диаграммой рис. 5.1 и обозначениями коэффициентов в
уравнении (5.5) заключаем, что точка равновесия у° = 0 уравнения (5.30)

является центром, а траектории г (у) представляют семейство эл-
липсов:

г2+Ауг=2Н. '	(5.31)

На рис. 5.10 построены по формуле (5.29) замкнутые траектории: вбли-
зи начала координат это эллипсы (5.31), а на периферии их форма иска-
жается.

Итак, в системе ЧАП с двойным интегратором имеем незатухающие
колебательные движения вокруг начала координат и такая система не
обладает асимптотической устойчивостью (этот факт хорошо известен в
теории автоматического управления — система с двумя последовательно
включенными идеальными интеграторами является структурно неустой-
чивой) .

Можно добиться асимптотической устойчивости и сохранить астатичес-
кие свойства системы ЧАП при слежении за линейно изменяющейся часто-
той, если вместо одного из идеальных интеграторов использовать, напри-
мер, его комбинацию с пропорциональным звеном, т.е. принять

К(р\ = (а/р) (1 + а/р).	(5.32)

В этом случае взамен (5.23) получаем дифференциальное уравнение сле-
дующего вида:

у’ +	+ F(y) = 7-	(5.33)

Здесь точками обозначено дифференцирование пр безразмерному времени
t =at-t/T„.

Важно, что в дифференциальном уравнении (533) появился член с пер-,
вой производной и множитель F'y(y) = dF{y)/dy, определяющий вид нели-
нейного затухания. В начале координат (у -♦ 0) затухание /^(0) ^А, тлы
очень велико при А > 1. Поэтому система становится устойчивой (она силь-^
но демпфирована). При этом сохраняется астатизм для случая линейног^
140	\ .
закона изменения 7(f):

/+ >>(/)/ + Fly} = 0.	(5.34}

Используя линейную аппроксимацию при малых у для характеристики
Fly}, получаем линейное дифференциальное уравнение:

у + Ау + Ау = 0.	(5.35)

Характеристические корни

А / Г "V\

X 1,2=----1 + V1--------<0.	(5.36)

2 \	А /

Видим, что точка равновесия у0 = 0 устойчива. Она является устойчивым
фокусом при А < 4 и устойчивым узлом при А > 4. Для типичного случая
А > 1 получаем значения корней Xj — 1, Х2 =е — А, а соответствующая
картина траекторий в окрестности устойчйвого узла приведена на рис.5.2,б.

Итак, при любом законе изменения 7(f) в системе ЧАП подбором нуж-
ного количества интеграторов всегда можно добиться необходимой степени
астатизма, а комбинируя их включения с пропорциональными звеньями
по типу (5.32) — добиться необходимой степени устойчивости системы.

Однако эта картина верна лишь в небольшой окрестности начала коор-
динат, соответствующей линейному (восходящему) участку характеристи-
ки дискриминатора F(y} с положительной крутизной Fy.(x) =»А. При боль-
ших отклонениях текущей разности частот у, выходящих за пределы апер-
туры ЧД, крутизна характеристики F'y(y} < 0 и демпфирование становится
отрицательным. Следовательно, можно ожидать потери устойчивости при
больЩих отклонениях координат системы от положения равновесия у = 0,
г = у = 0. Граница области притяжения устойчивой точки равновесия у = 0,
г = 0 определяется расположением на фазовой плоскости (у, г =у) неустой-
чивого предельного цикла.

Согласно критерию Бендиксона [2,4, 5] для систему

у = Р(у,г), z = O(y,z)	(5.37)

существование, предельных циклов, охватывающих особую точку, оказы-
вается невозможным, если подынтегральное выражение

Я [Я], (у, г) + Q: (у, г) ] dz dy	(5.3В)

не меняет знак в исследуемой области фазовой плоскости. Чтобы изучить
на фазовой плоскости картину траекторий дифференциального уравнения
(534), представим его в виде эквивалентной системы двух уравнений 1-го
порядка:

y=z=P(y,z), z = - F'y{y}z - F(y} = Q(y,z}.	(5.39)

Составив подынтегральное выражение (5.38), получаем отсюда:

[Py(y,z) + O'2(y,z)l = — Fy(y}.	(5.40)

Поскольку знак крутизны типовой характеристики частотного дискрими-
натора Fy (y) не сохраняется положительным всюду на оси у. а меняется на
отрицательный при заходе изображающей точки за предел^) интервала
между ее экстремумами (апертуры ЧД), то, вообще говоря, возможно су-
ществование неустойчивого предельного цикла, окружающего точку равно-
весия у = 0, z = 0.

Таким образом, наличие падающих ветвей характеристики ЧД с отрица-
тельной крутизной Fy(у) < 0 может привести в случае естетической ЧАП
с идеальными пропорционально-интегрирующими фильтрами вида (5.32)
к появлению ограниченной зоны начальных условий, при которых про-
исходит вхождение системы в синхронный режим с нулевой статической
ошибкой.

Напомним еще раз, что практически достижение идеального астатизма
ограничено несимметрией характеристики дискриминатора (точнее, наличи-
ем несбалансированного при у = 0 напряжения на его выходе). Поэтому
для построения высокоточной ЧАП очень важно конструировать такие
схемы дискриминаторов, которые обладают высокостабильными и идеаль-
но сбалансированными характеристиками с большой апертурой.

§ 5.4. Фазовое пространство и полоса захвата
системы ФАП второго порядка

При анализе системы фазовой автоподстройки в § 4.3 предполагалось,
что в кольце ФАП нет никаких инерционных или запаздывающих звеньев.
При этом дифференциальное уравнение ФАП в задаче стабилизации частоты
(4.11) получалось 1-го порядка, на цилиндрической фазовой поверхности
ему соответствовала единственная фазовая траектория. Если же в тракте
ФАП присутствуют инерционные звенья (например, низкочастотный фильтр
после ФД или узкополосный высокочастотный фильтр между ПГ и ФД),
то порядок дифференциального уравнения повышается. В сочетании с пе-
риодической нелинейностью характеристики F(<p) это приводит к возник-
новению специфических гистерезисных явлений.

В задаче стабилизации частоты гистерезис проявляется в отличии полосы
захвата от полосы удержания синхронизма. Оно иллюстрируется графиками
рис. 5.11, которые представляют зависимости частоты биений £2б ФАП
от начальной расстройки 7° для двух типов фильтров в цепи управления.
Гистерезис типа рис. 5.11,а (гистерезиса) наблюдается в случае интегри-
рующего фильтра с коэффициентом передачи К1р} = 1/(7р + 1). Гистерезис
типа рис. 5.11,6 (гистерезис 6) невозможен при интегрирующем фильтре
и наблюдается при определенных параметрах пропорционально-интегрирую-
щего фильтра, с коэффициентом передачи К[р} = (qTp + 1)/(7р + 1),
где 0	< 1.

Суть гистерезисных явлений рис. 5.11 состоит в том, что при квазиста-
тическом изменении начальной расстройки | w°B — wj | собственной часто-
ты П Г и входного сигнала синхронизация сохраняется в пределах полосы
синхронизма Г2 = SyE°, а возвращение в стационарный синхронный режим
со стороны больших значений у° происходит при меньшей расстройке,
называемой полосой захвата Дш3 < £2.

В зоне гистерезиса, т.е. в интервале расстроек между полосой захв^а
и полосой синхронизма < | ш“в — w? I < П, возможно установление
как синхронного, так и асинхронного стационарных режимов.

Как видно из диаграмм рис. 5.11, разница между гистерезисом а и гисте-
резисом б состоит в том, что в случае а система переходит из асинхронного
режима в синхронный при нулевой частоте биений, а в случае б частота
биений на границе полосы захвата не равна нулю.

Поскольку возможность возникновения стационарного синхронного
режима в зоне гистерезиса определяется предысторией системы, т.е.
начальными условиями в момент включения, то надежная, однозначная
синхронизация ПГ возможна только в пределах полосы захвата.

Дадим физическое объяснение появлению полосы захвата, меньшей,
чем полоса синхронизма Дшэ < Оно связано с тем, что при квазистати-
ческом изменении расстройки частот ПГ и сигнала | со°в —	| от нулевого

ее значения до границы полосы синхронизма (I	I = ^) сигнал

ошибки на входе фильтра в ЦУ существует в виде напряжения постоянно-
го тока е°, которое при /С(0) = 1 без ослабления проходит через ЦУ к
управителю и осуществляет полную коррекцию начальной расстройки ПГ
с точностью до фазы.

Далее, при расстройке большей, чем полоса синхронизма | wt°B —	| >

>£2, возникает стационарный асинхронный режим ("режим биений").

Рис. 5.11.

В этом режиме, как показано в § 4.3, напряжение е(г) на выходе ФД
периодически изменяется с частотой биений ив случае узкополосного
ФНЧ напряжение д(г) на входе управителя оказывается значительно ослаб-
ленным по сравнению с выходным напряжением ФД. Кроме того (и это
главное!), за счет инерционности фильтра возникает запаздывание управ-
ляющего сигнала д(г) на входе управителя относительно сигнала ошибки
е(г) на выходе ФД.

Поэтому в зоне гистерезиса и не происходит точной компенсации теку-
щего отклонения частоты ПГ от частоты входного сигнала (хотя и происхо-
дит подтягивание средней разности частот). Только при достаточно низкой
частоте биений, когда I w°B —	| < Дш3, ослабление управляющего сигна-

ла д(Г) и его запаздывание относительно сигнала ошибки е(г), обусловлен-
ные фильтром в ЦУ, становятся настолько малыми, что не препятствуют
полной компенсации текущей разности частот ПГ и сигнала.

Дадим этому явлению количественное описание для случая интегрирую-
щего фильтра и вычислим полосу захвата ФАП с таким фильтром.

Подставим оператор фильтра Kip} = 1/{Тр + 1) в дифференциальное
уравнение ФАП (3.115). В результате получим уравнение в операторной
записи (оператор p=d/dt}:

Т п 1

— Р'у +—Ру + F(y) = 7°.	(5.41)

Q Q

Введем безразмерное время г и величину 26, играющую роль затухания:

Г = Г у/ШТ', 26 = 1/>/nr’	(5.42)

Тогда, обозначая точкой над у дифференцирование по безразмерному
времени Т, приходим к уравнению вида

у + 26у + Р(у>) = 7° •	.	(5.43)

Это уравнение играет важную роль не только в теории ФАП, но и в теории
колебаний: при F(y) = sin у» оно описывает движение маятника в среде с
вязким трением 26, находящегося под действием постоянного вр^щающе-
го момента *у°. Такой же вид имеет дифференциальное уравнение, описы-
вающее колебания роторов синхронных генераторов [2].

Исследованию этого уравнения посвящены многочисленные работы ма-
тематиков и инженеров различных стран. Точные решения получены, одна-
ко, только для некоторых специально подобранных форм характеристики
F(ip}, облегчающих исследование (обзор способов решения уравнения
(5.43) и библиографию можно найти, например, в [9, 18, 20]).

Изучим вначале качественную картину возможных движений в системе.

В стационарном синхронном режиме разность фаз <р (г) = ^° -- const, и
точки равновесия л находятся из уравнения стационарного режима
(3.121). Для характеристик F(^) любой формы, но имеющих по одной вет-
ви с положительной и отрицательной крутизной, внутри зоны синхронизма
(I у0 I < 1) будут существовать две точки стационарного режима и
такие, что крутизна F'^°t) > 0, а ^(^) < 0 (рис. 3.23).

Выясним характер устойчивости точек равновесия и для малых
возмущений. Дадим разности фаз у, вариацию р относительно состояния
равновесия или т.е. сделаем замену переменных: ^(г) =	+ т>(г).

Если вариация и мала, то произвольную характеристику Г(<р) (с конечны-
ми крутизнами ^^.(^i) и Г^^)) можно линеаризовать в окрестности
точек равновесия:

^М = ^?,2 + * Flrf,2) + F^^2)v + . . .	(5.44)

Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (5.43) и учи-
тывая уравнение стационарного режима (3.121), получим линейные диффе-
рециальные уравнения, справедливые для малых возмущений. Если точка-
ми над v обозначить дифференцирование по новому безразмерному вре-
мени t= г 6 = t/2T и вести безразмерные величины

Д, =F^°t}/f>2. A2=F'^°2}/82,	(5.45)

то запись уравнений для вариаций примет наиболее простой вид. В окрест-
ности точки :

р'+2р + р = 0, у =	(5.46)

в окрестности точки <р2 

v + 2v + Д2р = 0, p =	(5.47)

Различие этих уравнений в том, что из-за разных знаков крутизн )
и F'^ (у>2) знаки Д] и Д2 противоположны. Частные решения однородных
линейных дифференциальных уравнений (5.46) и (5.47) имеют вид

р(г) = А ехр(Хг),	р = у; —	,	(5.48а)

р(т) = В ехр (кт),	v = y —	(5.486)

Подставляя их в дифференциальные уравнения (5.46) и (5.47), прихо-
дим к характеристическим уравнениям

X2 + 2Х +	= 0	(точка ),	(5.49а)

к2 + 2к + Д2 =0	(точка <р2).	(5.496)

Отсюда корни характеристических уравнений
Х|2= — 1-\/1— ^1.
к 1,2 = - 1 * x/l~ &1,

144

(5.50)

(5.51)
а общие решения, согласно (5.48 а, б),

р(г) = ехр(Х,7) + Аг ехр (X2r), v = #-$,	(5.52а)

^(г) = £| ехр(К]t) + В2 ехр(к2г), . у = <р-у2.	(5.526)

Из них можно найти р(г) = dv(t)/dt, а затем из выражений для р(т) и
р(г) исключить время. В результате получим выражения фазовых траекто-
рий, связывающие у и у в окрестностях особых точек у>°2:

(i) — X|t>)A| ~ А* (v — Х2р)Лг	(точкам?),	(5.53а)

(р —К|Р)к‘ = В* (у — к2у)к‘	(точка у>2),	(5.536)

где А* и В* — константы, определяемые начальными условиями.

Из (5.50) и (5 51) видно, что корни К] >2 всегда действительные и разных
знаков: к t > 0, к2 < 0, к, < | к2 |, поскольку Д2 < 0. Корни Х112 отри-
цательны и действительны (Х( <0, Х2 <0, | Х( | < |Х2 | ) при △, < 1,
а при △] > 1 они становятся комплексно сопряженными.

В случае действительных корней выражение (5.53а) определяет парабо-
лические, а (5.536) - гиперболические кривые в косоугольной системе
координат, а прямые у, л = ^1,2Р и *4 ,2 ~ к1,2р оказываются ее координат-
ными осями. Используя терминологию, введенную выше (терминологию
теории колебаний), можем сказать, что при < 1 точка является
устойчивым узлом, а точка у>2 представляет собой правое седло. Фазовые
траектории у(у} в окрестности устойчивого узла приведены на рис. 5.2,6,
а в окрестности седла — на рис. 5.6 и рис. 5.7. Отметим, что из всех траекто-
рий у(у) через саму седловую точку <р2 проходят лишь две прямые — сепа-
ратрисы седла Cj = к,у и С2 = к2«>, а в узловую точку входят все пара-
болические траектории, включая две прямые yt = Х(р и у2 = X2v. Очевидно,
что прямые ,2 и yt ,2 являются осями косоугольной системы координат
в записи (5.53 а, б).

Если безразмерная постоянная времени Д( > 1, то корни X t ,2 становятся
комплексно сопряженными: Xt >2 = — 1 ±//?, где/? = \/Д| _ 1 — мнимая часть
выражения (5.50). Запись траекторий у(у) в форме (5.53) теперь неудоб-
на; целесообразнее исходить вместо (5.48а) из решения р(г) в виде

р(г) = А ехр (-Г) cos (fit + 0),	(5.54)

где А и в — произвольные постоянные.

Найдем из (5.54) выражение для y(t) = dv(t}/dt и, комбинируя его
с (5.54), исключим время г. В результате получим уравнение траекторий
в окрестности устойчивой точки при △ । > 1:

,	, ,	,	/ 2 y+v\

(у + у}2 +02у2 = R2 ехр(-arctg -----I.	(5.55)

\ 0	-0у /

В системе координат (у, у} эти траектории представляют собой спи-
ральные кривые, скручивающиеся к точке равновесия такую особую
точку называют устойчивым фокусом. Фазовые траектории в окрестности
устойчивого фокуса приведены на рис. 5.4 (в полярных координатах).

Итак, точка устойчива, а точка у>2 неустойчива. Вспомним, что такое
же положение имело место и для дифференциального уравнения ФАП
1-го порядка (см., например, рис. 4.6), т.е. характер устойчивости точек
равновесия сохранился.	, *

Ю. М.В. Капранов	’^5
Перейдем к построению полного фазового портрета нашей системы.
Для этого запишем исходное дифференциальное уравнение (5.43) в виде
системы двух уравнений 1-го порядка:

у> = /, У = 7° - 25/- F(y>).	(5.56)

Отсюда, разделив второе, выражение на первое, получим уравнение
для углового коэффициента касательных к фазовым траекториям

dy	7° - F(y>)

— = -25 + ----------------

d*p	у

(5.57)

С помощью этого уравнения можно получить выражение для изоклины
с угловым коэффициентом dy/d<p = о:

/аМ= (7° - FMl/(a + 26),	(5.58)

в частности, уравнение изоклины с горизонтальной касательной (о=0):

26/0 М = 7° -	(5.59)

Видим, что на фазовой плоскости с координатами (<р, 28/ = dy>/d(Qr))
это уравнение представляет траекторию (4.13) системы ФАП 1то порядка
(см. рис. 4.6). Заметим, что согласно выражению (5.58) все изоклины
проходят через точки стационарного режима ^1,2. так как F (у>°12) = 7°
На рис. 5.12 с помощью метода изоклин построен фазовый портрет
системы (5.56) для случая синусоидальной характеристики F (у?) = sin
Чтобы не загромождать рисунок деталями, показаны лишь две изоклины —
с горизонтальной и вертикальной касательными.

При построении фазового портрета рис. 5.12 параметры у° и 28 были
подобраны так, чтобы все траектории оказались приходящими в состояние
устойчивого равновесия Согласно картине рис. 5.12 областью притяже-
ния устойчивой точки равновесия >р° оказывается вся фазовая плоскость.
Это значит, что система втягивается в синхронизм при любых начальных
условиях. Следовательно, начальная расстройка у° здесь выбрана меньше,
чем полоса захвата 73 = Дсоз/П.

С топологической точки зрения характерно, что в данном случае выходя-
щая из седла положительная полусепаратриса С] идет на фазовой плоско-
сти ниже входящей в седло положительной полусепаратрисы Сг 

Заметим, что из выражения (5.57) для углового коэффициента ка-
сательных или из формулы (5.51) для угловых коэффициентов сепарат-
рис седла следует, что при уменьшении затухания 28 или увеличении рас-
стройки у° происходит поворот векторного поля касательных к фазовым
траекториям против часовой стрелки в каждой точке фазовой плоскости.
Поэтому при уменьшении 8 или увеличении у° происходит подъем выходя-
щей и опускание входящей сепаратрис.

Это обстоятельство хорошо видно на фазовом портрете рис. 5.13, по-
строенном при том же затухании 28, что и предыдущий портрет, но при
увеличенной расстройке у°. Здесь выходящая положительная сепаратриса
идет на фазовой плоскости выше входящей. Входящая сепаратриса образу-
ет петлю, которая ограничивает область начальных условий, гарантирую-
щих вхождение в синхронизм. На рис. 5.13 эта область покрыта штрихов-
кой. При всех других начальных условиях, не попадающих на фазовой
плоскости в заштрихованную область, изображающая точка приходит
на периодическую по \р траекторию у (у>) = у (у> + 2тгп). Эта кривая, охваты-
вающая фазовый цилиндр, называется в теории колебаний [2] предельным
циклом 2-го рода (в отличие от предельного цикла 1-го рода, т.е. замкну-
той кривой, которая располагается на поверхности цилиндра, охватывая
точку равновесия). Очевидно, что предельный цикл 2-го рода соответ-
ствует установившемуся асинхронному режиму.

Итак, на фазовом портрете рис. 5.13 область притяжения устойчивой
точки равновесия (область вхождения в синхронный режим) ограни-
чена петлей входящей сепаратрисы, а область притяжения устойчивого
предельного цикла 2-го рода у(у>) (область вхождения в асинхронный
режим) соответствует множеству всех остальных точек фазовой плоско-
сти. Очевидно, что такая ситуация получается при расстройке большей,
чем полоса захвата | >° | > ?э.

Легко понять, что случай, когда происходит смыкание входящей и
выходящей сепаратрис, соответствует граничной картине между двумя
рассмотренными. На рис. 5.14 изображен фазовый портрет системы для
такого случая. Здесь сепаратрисы идут из седла в седло, образуя полу-
устойчивый предельный цикл у (у>). Очевидно, что расстройка в данном
случае выбрана в точности равной полосе захвата: при Малейшем ее умень-
шении пЬявится картина типа рис. 5.12, а при сколь угодно малом ее увели-
чении — ситуация типа рис. 5.13.

Таким образом, качественное рассмотрение картин траекторий: диф.-
Ференциального уравнения системы ФАП на цилиндрической фазовой
поверхности позволяет сделать следующее заключение: чтобы получить
аналитическое выражение, связывающее для дифференциального уравне-
’0*	147
Рис. 5.14.

ния (5.43) полосу захвата = у3 с затуханием 26, необходимо составить
такое математическое условие, которое обеспечивает смыкание сепаратрис ,
на фазовой плоскости. Для этого, естественно, нужно располагать аналити-
ческим выражением самих сепаратрис, т.е. фазовых траекторий системы. 
Однако найти выражения фазовых траекторий уравнения (5.43) в общем J
случае не удается из-за нелинейности периодической характеристики фаэо-’ |
вого детектора F(y>). Точное аналитическое выражение для фазовых траек- 1
торий легко получить лишь в некоторых частных случаях.

Рассмотрим несколько примеров, для которых возможно точное реше- :
ние задачи по определению полосы захвата.

Пример 1- Симметричная треугольная характеристика. Характеристика
балансного ФД в случае одинаковых амплитуд U? = колебаний ПГ
и сигнала весьма близка к треугольной функции

Fkp) =

2у>/я, ’

2(я — у>)/я,

-я/2Су><я/2,

я/2 < у? < Зя/2.

(5.60)

Координаты точек равновесия ^р°<2 получим из уравнения стационарного
режима (3J21) при К (0) =1 или непосредственно из исходного диффе-
ренциального уравнения (5.43), положив у> = у?0 = const:

у>?=я7°/2,	у>2=я-у>?.

(5.61)

Поскольку треугольная функция (5.60) симметрична, крутизна F^ (yi?) = ’
- —F^ (у>2) - 2/я. При этом входящие в выражения (5.50) и (5.51) ха- '
рактеристических корней величины △) и Д2 различаются лишь знаком:
△ ) = —Д2 = Д, а на величину Д можно смотреть как на безразмерную по- „

стоянную времени:

В
д = — sit.

я

Линейные дифференциальные уравнения (5.46), (5.47)
симметричной характеристики (5.60) примут вид

+ 2р + Ду = 0,	—я(1 + 7°)/2 < v < я (1 — 7°)/2,

в

p + 2i> — Д^ = 0,	-я(1 - 7°)/2 < v< я(1 +7°)/2.

частном

(5.63а|

(5.636

Использование кусочно-линейной аппроксимации (5.60) нелинейн
периодической характеристики F (у>) представляет важный конструкт
ный шаг в нелинейном анализе системы ФАП, поскольку в силу кусоч!
линейности F (у?) на интервалах —я/2 < у? < я/2 и я/2 < у> < Зтт/2 линей-
ные дифференциальные уравнения (5.46) и (5.47) для вариаций справед-
ливы не только в непосредственной окрестности точек равновесия у>°
и но и целиком внутри каждого из указанных интервалов. В случае
линейных дифференциальных уравнений (5.46) и (5.47) нам известны
точные аналитические выражения (5.53а,б) и (5.55) траекторий i> (р)
на фазовой плоскости. Производя смыкание аналитических решений
("сшивание" траекторий) на границах линейно-ломаных участков харак-
теристики F (у?), получим качественно полную и количественно точную
картину движения системы.

Чтобы нагляднее иллюстрировать идею сшивания траекторий на фазо-
вой плоскости, на рис. 5.15 приведены картйны фазовых траекторий,
построенных по фррмулам -(5.53а,б) и (5.55) в окрестности седла, узла
и фокуса, причем в каждой из картин траекториями занята не вся
плоскость, а лишь те ее вертикальные полосы, которьге соответствуют
областям определения линейных дифференциальных уравнений (5.63,а,б).
оя	on	_я	Я	0Я

2	2	2	2	2

Рис. 5.16.

Построения рис. 5.15 соответствует у° < 1. При этом точки равновесия
*Р°,2 согласно (5.61) находятся внутри областей существования решений
уравнений (5.63а,б). В случае у° > 1 точек равновесия нет, но фазовые
траектории можно построить аналогичным образом. Особые точки
при этом оказываются вне областей существования решений уравнений
(5.63а,б), поэтому их следует считать фиктивными точками равновесия.

При построении фазовых траекторий при у0 > 1 можно пользоваться
их выражениями (5.53а,б) или (5.55) и значениями (5.61) координат
точек но оставлять для совмещения ("сшивания") лишь те участки
траекторий Ф(^), которые расположены внутри областей существования
решений уравнений (5.63а,б) (сплошные линии на рис. 5.16), отбрасывая
участки траекторий, примыкающие к фиктивным точкам равновесия
(штриховые линии на рис. 5.16).

Полная картина фазовой плоскости для у° > 1 получается в результате
совмещения вертикальных полос рис. 5.16, а, б или рис. 5.16, в, а для
150
г

I 7° < 1 нужно "сшить" полосы рис. 5.15, а с полосами рис. 5.15,6 или
 рис. 5.15,в. Соответствующие фазовые портреты представлены на рис. 5.17
I и 5.18.

Как видно из рис. 5.17, в случае 7° > 1 в результате сшивания на фазо-
вой плоскости возникает периодическая по у> траектория у (у>) = у(р +
+	, п = ±1, ±2, . . . (предельный цикл 2-го рода, охватывающий фазо-

вый цилиндр (у\ у?)). Поскольку в область притяжения устойчивого пре-
дельного цикла у(р} попадает вся фазовая плоскость (у?, у>), то при 7° > 1
в системе ФАП с интегрирующим фильтром при любых начальных
условиях устанавливается стационарный асинхронный режим (режим
биений).

Не станем здесь развивать подробное исследование асинхронного режима
в системе ФАП, не связанного с определением полосы захвата ФАП, и

Рис. 5.17.




чем полоса захвата 73, здесь изображающая точка приходит в устойчивую
точку равновесия (фокус на рис. 5.18) при любых начальных условиях.

В случае узла (рис. 5.15,6) траектория, являющаяся продолжением
выходящей положительной полусепаратрисы С\, обязательно проходит
ниже траектории, связанной с входящей полусепаратрисой С2. Это обуслов-
лено тем, что согласно (5.50) и (5.51) при Д1 = —Д2 = Д справедливо
неравенство Ki < I X il, т.е. угловой коэффициент Kt сепаратрисы Ci полу-
чается меньше, чем модуль углового коэффициента оси узла Yt, и поэто-
му сепаратриса С( оказывается ниже прямой Ylt а сепаратриса С2 выше
прямой Y2 при всех 7° <1.

При расстройке 7°= 73, равной полосе захвата, сепаратрисы С\ и С2
смыкаются через отрезок спирали фокуса, образуя полуустойчивый пре-
дельный цикл, идущий из седла в седло. Свяжем расстройку 7° и осталь-
ные параметры системы соотношением, при котором на фазовой плоско-
сти реализуется такая структура.

Будем исходить из уравнения (5.55) для спиралей фокуса и выразим
в нем координаты vlf i>t точки пересечения сепаратрисы С] с линией у? =
= —я/2 через расстройку 7° и угловой коэффициент сепаратрисы

Я	,	Я

Р|	(1 +7з),	(1+Т0-

(5.64)

Аналогично получаем координаты v2, точки пересечения сепаратри
сы С2 с линией у? = я/2:

it	,	it

vi = — (1 - 7з).	=-«2 — (1 -7з>-

2	2

(5.65)

Найдем значение константы R= Rt в уравнении (5.55), при котором
спираль фокуса станет продолжением сепаратрисы С,. Для этого в (5.55)
взамен v, i> подставим их значения vt, i>t из (5.64):

я2 .	/2 к । — 1 \

Я2 = — (1 +7з)1Нк1 - 1) +02]ехр{— arctg ------- ),	(5.66)

4	\0	0	/

Если теперь в (5.55) вместо г, и подставить их значения i>2, v2 из (5.65),
то получим значение константы R = R2, при котором спираль связана
с сепаратрисой Сг:

Ri = — (1-Тз)3 [Ui - 1)2+02) exp/— arctg ---------(5.67)

4	-0 1

При расстройке у° = у3 сепаратрисы Ct и Сг, идущие из седла в седло,
смыкаются через одну и ту же траекторию фокуса. Поэтому выражения
R2 и R2 равны. Разделив (5.67) на (5.66), после подстановки значений
К] г и 3 и несложных преобразований получим следующее выражение
для полосы захвата [20]:

1 — у, V Д + Г — 1	— it + arctg \/ Д2 — 1

------- =	._ ,	 exp 	‘ .,- ,	(5.68)
1 + 73 V Д + Г + 1--------------------------------------------х/ △ —

где Д определена согласно (5.62).

Подчеркнем, что выражение (5.68) справедливо лишь в случае фокуса,
т.е. при Д > 1. На рис. 5.19 по формуле (5.68) построена зависимость
относительной полосы захвата 7Э = Дсо3/Г2 от безразмерной постоянной
времейи Д (кривая 7). Из этого рисунка видно, что, начиная со значения
Д = 1, увеличение постоянной времени приводит к уменьшению полосы
захвата. Значение Д = 1 является бифуркационным: здесь узел сменяет-
ся фокусом. При Д < 1 полоса захвата равна полосе синхронизма, тл.
7, = 1.

Из формулы (5.68) легко получить асимптотическое выражение, спра-
ведливое при Д > 1:

у* * (1 + я/4)/л/Д>.	(5.69)

На рис. 5.19 эта зависимость показана штриховой линией (кривая 7).
Видно, что приближенную формулу (5.69) можно использовать при расче-
тах до значений 73 <0,5, что соответствует Д > 12.

Пример 2. Пилообразная характеристика с положительным наклоном.
Выясним, как влияет изменение формы характеристики ФД на полосу
захвата ФАП и рассмотрим идеальную пилообразную характеристику

F\$} = \plit,	(4.17)

с координатами точек стационарного режима

^°i=ity°,	= iit.	(5.70)

В данном случае участок полигональной характеристики F (^) с поло-
жительной крутизной Ff (ip?) = 1/я занимает всю полосу -я < <р < я,
которая представляет развертку фазового цилиндра (у>, у>) на плоскость,
а участок характеристики F (у?) с отрицательной крутизной F^ (у>°)	—00

стянулся к точке ~ -я, совпадающей с линией разреза фазового ци-
линдра по образующей. Следовательно, областью определения дифферен-
циального уравнения (5.46) для вариаций р = у? — становится вся указан-
ная полоса —я < у? < я фазовой плоскости (у>, у?), которая заполнена цели-
ком траекториями вида (5.53а) (или (5.55) в случае, когда точка у>? —
устойчивый <(юкус).

Если "сшить" ряд этих полос по вертикальным линиям разреза
цилиндра, то получим многократно повторенную его картину; по ней
удобно проследить, например, за такими движениями изображающей
точки, которые опоясывают фазовый цилиндр. На рис. 5.20 представлена
картина, полученная при сшивании полос —я < ^ < я, составленных из
фазовых траекторий (5.55), причем расстройка у° здесь выбрана равной
полосе захвата 73. Отметим, что на линиях соединения траекторий (5.55)
рождаются особые точки = -я; топологически они эквивалентны седлу.
Сепаратрисы седловой точки у>2 имеют в ней вертикальную касательную,
поскольку они составлены из соприкасающихся в этой точке логарифми-
ческих спиралей фокуса, скручивающихся к точкам = тг?0 + 2яп, п =
= ±1,+2, ...

Таким образом, полуустойчивый предельный цикл у (^) = /(у> + 2ял),
образованный от смыкания сепаратрис, идущих из седла в седло, состав-
лен целиком из полуспиралей фокуса.

Для наглядности выкладок удобно воспользоваться записью (5.18)
траекторий фокуса в полярной системе координат, приняв а = в — 0О, где
во — произвольная постоянная. Совместим на рис. 5.20 центр полярной
системы координат с точкой = яу° и направим радиус-вектор при
0 = по горизонтальной оси влево. При этом а = 0, а длина радиус-век-
тора, упирающегося в левую границу полосы — я < я, равна

р(О)=ро =тг(1+73).	(5.71)

Если положить а - я, т£. повернуть радиус-вектор по спирали (5.18)
на угол я по часовой стрелке, то его длина, согласно рис. 5.20, составит

р(тг) = тг(1-7Э).	(5.72)

Полагая в (5.18) а = я и подставляя полученные значения р0 = р(0) и
р(тг), имеем условие, при котором конфигурация логарифмической спи-
рали (5.18) такова, что она образует сепаратрисный предельный цикл
(цикл 2-го рода), соприкасаясь и с левой и с правой границами верти-
кальной полосы —я < я:

Хд

1 — 7з = (1 +7з)ехР ---я.	(5.73)

Имея в виду, что Хд = -1, Хм = (5 = у/- 1* а Д] = F1^ (^°)/52 = Д/2,
приучим формулы для полосы захвата ФАП с пилообразной характеристи-
кой F (у>) :

1 — 7з	-я

----— = ехр —— —, .	(5.74)

1 + 7з	V Д/2 - 1

Очевидно, что эта формула верна при Д > 2, а при 0 < Д < 2 точка
у;? является устойчивым узлом и у3 = 1. Из (5.74) получается асимпто-
тическое выражение полосы захвата, верное при Д > 1:

______L	(5.75)

7э V7 x/д'

Зависимость (5.74) построена на рис. 5.19 (кривая 2), штриховая
линия соответствует асимптотическому выражению (5.75). С целью со-
поставления результатов здесь же приведена аналогичная зависимость
(5.68) для симметричной треугольной характеристики (5.60) (кривая 7).

Пример 3. Пилообразная характеристика с отрицательным наклоном.
На практике может случиться, что полярность выходных зажимов ФД
выбрана противоположной; тогда взамен (4.17) получится пилообразная
характеристика с отрицательным наклоном зубца пилы:

F(tp) = —у>/я,	-я < < я.	(5.76)

Выясним влияние этого обстоятельства на величину полосы захвата
ФАП. Для характеристики (5.76) координата седловой точки равновесия
154
^2 = — я 7°, а расположение устойчивой точки равновесия' = ±я постоян-
но и не зависит от значения расстройки у°. Значит, характеристика (5.76)
удобна тем, что дает нулевую (точнее, неизменную) фазовую ошибку
в стационарном синхронном режиме. Это естественно, поскольку в устой-
чивой точке равновесия = ±it крутизна характеристики F'^ (у?)
-» + что равносильно бесконечно большому коэффициенту, пере-
дачи ФД.

Нарисуем картину фазовых траекторий для случая характеристики
(5.76) (см. рис. 5.21). Здесь вся область —я < у: < я (за исключением
самой линии разреза = ±я) является окрестностью седловой точки у>°,
т.е. областью определения линейного дифференциального уравнения (5.47).
Интересно обратить внимание, что "сшитый” фокус у?| образуется при
соединении гиперболических седловых траекторий (в предыдущем при-
мере на рис. 5.20 "сшитое" седло у1 ° образовалось от соединения спираль-
ных траекторий фокуса ) •

Предельный полуустойчивый цикл 2то рода р(у>) на рис. 5.21 состоит
лишь из двух прямых линий: входящей Ci и выходящей Ct сепаратрис,
идущих из седла в седло. Поскольку угловые коэффициенты сепаратрис
Ci и С2 равны характеристическим корням и к2 (5.51), то условие
смыкания сепаратрис получается в соответствии с рис. 5.21 очень простым:

к |Я(1 + 7з ) = -к2я(1 - 7з ).

(5.77)

Подставляя сюда значения к1>2

из (5.51), получим формулы для полосы
захвата

1 -73 _ т/Д/2 + 1' - 1

1 + 7,	\/Д/2 + Г + 1

(5.78)

Зависимость у3 (△) по этой формуле представлена на рис. 5.19 в виде
кривой 3, а ее асимптотическое выражение

73ас = т/г/Г	(5.79)

показано штриховой линией. По сравнению с симметричной треугольной
характеристикой (5.60) получается проигрыш в полосе захвата.

Как видно из полученных нами выражений, введение в тракт ФАП
интегрирующего фильтра приводит к уменьшению относительной полосы
захвата 7, = Дш3/П, которая падает обратно пропорционально квадрат-
ному корню из безразмерной постоянной времени фильтра ПГ. Из со-
поставления графиков на рис. 5.19 и асимптотических формул для 73с
следует, что изменение формы характеристики фазового дискримина-
тора F (^) не меняет вида функциональной зависимости 73 (ПГ), а влияет
лишь на численный коэффициент пропорциональности. Заметим, что это
влияние выражено заметно, хотя и не чересчур сильно, по крайней мере
для трех рассмотренных типов характеристик F (у>).

Упражнения к главе S

5.1.	Используя процедуру линеаризации, исследовать характер фазовых траекто-
рий в малых окрестностях возможных состояний равновесия динамической системы
с одной степенью свободы

х = Q(x, у), у = Жх, у),

где Q и R — произвольные нелинейные аналитические функции двух переменных.
Провести классификацию особых точек в зависимости от соотношений между произ-
водными QJ, = а, О'у - Ь. в'* = с, R'y - d нелинейных функций в точках равновесия.

5.2.	Для системы ЧАП, описываемой дифференциальным уревнением (5.34),
построить картину фазовых траекторий в случае несбалансированной характеристи-
ки частотного дискриминатора

[ Ay + a,	I у | < А ,

Fly) = (

la,	I у I > А*1 ,

где | а I < 1 — величина разбаланса обусловленная нестабильностью характеристики
частотного дискриминатора.

5.3.	Пользуясь методом сшивания фазовых траекторий, изобразить фазовые порт-
реты системы ФАП с интегрирующим фильтром (дифференциальное уревнение (5.43))
для случая прямоугольной характеристики фазового дискриминатора

[ 1,	0 < < п,

F(>₽)=<

(—1, —it <	< 0

при разных значениях базразмерной начальной расстройки у0: 1) -у" <• у3; 2) у3 <
< 7° < 7 уд = 1; 3) 7° > 1; 4) 7° = О. Получить зависимость полосы захвата у3 от
затухания системы 26 = 1/ у/ S2 Г.'
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ 6.1. Роль приближенных методов и основания для их применения
в теории нелинейных колебаний. Малый параметр

Динамические системы, колебания в которых близки по форме к гар-
моническим (будем называть их квазигармоническими) находят широкое
применение в радиотехнике. К их числу относятся высокодобротные ко-
лебательные контуры, автогенераторы гармонических колебаний, умножи-
тели и делители частоты гармонических колебаний, параметрические усили-
тели и генераторы и т.д.

Общая черта всех этих систем — определенность формы колебаний —
наводит на мысль о возможности приближенного анализа таких систем,
основанного на аппроксимации точного движения почти гармоническими
функциями, т.е. синусоидами, амплитуды и фазы которых зависят от
времени, но меняются настолько медленно, что на одном периоде практи-
чески остаются постоянными.

Рассмотрим несколько примеров таких систем и покажем, каким об-
разом обеспечивается близость колебаний к гармоническим.

Первый пример — колебательный контур, показанный на рис. 1.7,6.
Его символическое уравнение (1.7) преобразуем, вводя частоту парал-
лельного резонанса (далее для краткости именуемую просто резонансной)

ш0 = 1/хЛГс	(6.1)

и нормированное затухание (далее для краткости называемое просто за-
туханием)

6 =д/ш0С= I/O.	(6.2)

Здесь Q — добротность контура. Получим уравнение*)

(р2 + бш0Р + ш1)и = f>aiap(i/g).	(6.3)

Если внешнего воздействие нет, т.е. / = 0, то

и - 6/(0) ехр (-О,5бшог) cos [х/1 - б2/4 шог + у>(0)] =

= Re {6/(0) ехр [-О,5бшог +/^(0)1 ехр (j x/l — б2/4 ш0Г)}.	(6.4)

В этом выражении 6/(0) и д> (0) — амплитуда и фаза при t = 0, определяе-
мые начальными условиями. Изменение амплитуды 6/(0) ехр (—О,5бшог)
за период 2я/\/1 — б 2/4 о>0 определяется множителем ехр (—яб х/1 — б2 /4).
При б = 0,01 он составляет около 0,97. Очевидно, что такое колебание
можно считать квазигармоническим, причем в данном случае только с
медленно меняющейся амплитудой.	,	.

Предположим теперь, что / — периодическое внешнее воздействие.
Примем для определенности, что это последоватёльность импульсов, часто-

*) Штрихи у обозначений тока внешнего воздействия и’ напряжения на контуре
для упрощения зеписи опустим.
Шв 2шв За>в ш
Рис. 6.1.

та следования которых равна шв, и представим ее рядом Фурье

/ = /о + Re S |„ exp(/nwBt).	(6.5)

п = I

Общее решение уравнения (6.3) в этом случае является суммой свобод-
ного колебания (6.4) и вынужденного. Последнее может быть записано
в виде ряда Фурье

увн = Re S U„ ехр(/лшвг),
п=1

где

/6шоювл

U„ = -----------5------------

—совл2 + Шо +/6шошвл Я

ZJ„

(6.6)

(6.7)

Суммируя (6.4) и (6.6) и вводя обозначения it = /texp ) и Дш =
= шв — ш0\/1 — 62/4, получим искомое общее решение

и = Re {LGexpl/y?,) + У(О)ехр[—О,56шог —/Дыг+/ч’(0)]} exp(/wBf) +

+ Re S U„ ехр(/лшвг).

п-г

(6.8)

Если частота внешнего воздействия близка ки0, то при малой величине 6
в разложении Фурье для ывн (6.6) будет преобладать первая гармоника,
а амплитуды остальных в соответствии с (6.7) будут относительно нее
величинами порядка 5(/„/л/1) (рис. 6.1). Малость амплитуд высших
гармоник в (6.8) по сравнению с первой является первым условием близо-
сти напряжения к гармоническому.

Рассматривая комплексную амплитуду составляющей решения (6.8)
с частотой, близкой к видим, что ее модуль и фаза изменяются^ во
времени. Это изменение иллюстрируется векторной диаграммой рис. 6.2,
из которой видно, что если Ды 8ш0*), то относительные изменения

Знаком - мы будем соединять величины одинакового порядка.
158
амплитуды и фазы колебания за период будут одного порядка. Следо-
вательно при Дш/ш0 ~ 8 и 8 < 1 основное слагаемое в (6.8) представля-
ет собой колебание с медленно меняющимися амплитудой и фазой. Медлен-
ность изменения амплитуды и фазы основной составляющей напряжения и
(6.8) является вторым и последним условием близости этого тока к гар-
моническому.

Опираясь на два условия квазигармоничности колебания, сформулиро-
ванных для конкретной колебательной системы (6.3) и воздействия (6.5),



Рис. 6.3.

обобщим классы систем и воздействий, для которых эти условия могут
выполняться.

Начнем с воздействия. Очевидно, что оба условия могут быть выполне-
ны, если к «о близка частота не первой, а /V-й гармоники воздействия
(6.5), т.е.

| Л/шв - wo I 8со(|.	(6.9)

Нужно лишь, чтобы остальные гармоники имели амплитуды одного поряд-
ка с /V-й, а основная частота шв была значительно больше, чем 8соо. Эти
условия обычно выполняются в умножителях частоты гармонических
колебаний. Пример схемы умножителя частоты на биполярном транзисто-
ре показан на рис. 6.3. Его эквивалентная схема показана на рис. 1.7,6,
причем транзистор в этом случае замещается генератором периодической
последовательности импульсов с частотой шв, а. контур имеет резонансную
частоту, близкую к Л/шв. Сравнивая показанное на рис. 6.4 расположение
гармонических составляющих в этом случае с рассмотренным ранее случа-
ем (рис. 6.1), обобщим первое условие квазигармоничности, потребо-
вав малого вклада спектральных составляющих кроме Л/-й в исследуемое
колебание.

Перейдем к обобщению класса систем. Из предыдущего ясно, что су-
щественными чертами рассмотренного случая являются медленность из-
менения амплитуды и фазы свободных колебаний в системе и близость
частоты одной из гармоник внешнего воздействия к средней частоте сво-
бодных колебаний. Первое из этих условий равносильно требованию узкой
полосы резонансной кривой колебательной системы без существенных
ограничений на ее форму. Следовательно, заменив колебательный контур
двухконтурной или многоконтурной узкополосной системой (см. пунктир-
ные резонансные кривые на рис. 6.1 и рис. 6.4), мы снова приходим к
системе, в которой происходят квазигармонические колебания.

Рассмотренные до сих пор линейные системы могли быть проанализи-
рованы и без допущения о квазигармоничности колебания. В теории не-
линейных систем, таких как автогенератор, использование этого допуще-
ния позволило получить большинство качественных и количественных
' - ' ' ' ;	'	'	'“'ФЯ

результатов и послужило основой ин-
женерных методик расчетов таких
систем.

Покажем на примере автогенера-
тора с трансформаторной обратной
связью (рис. 1.20), как условия ква-
зигармоничности колебания могут
быть использованы для приближенно-
го решения нелинейного уравнения
(1.70). Вводя обозначения (6.1),
(6.2), приведем (1.70) к виду

(р2 + 5wop +cjo)u =

М

~	~ WopRKHu) 	(6.10)

Здесь

RK = 1/ш0С5	(6.11)

---1—I---------1—I—»	— резонансное сопротивление кон-
тура генератора.

Рис. 6.4.	Предположим, что мы разом-

кнули в схеме рис. 1.20 цепь об-
ратной связи ключом, введен-
ным между верхним концом индуктивности обратной связи и зат-
вором полевого транзистора. Если в контуре этой схемы задать на-
чальные ток в индуктивности и напряжение на емкости, то в соот-
ветствии со сказанным выше в нем возникнут квазигармонические
колебания. Если в некоторый момент t0 замкнуть цепь обратной связи,
то из-за действия напряжения и на вход управляемого генератора тока
в его выходной цепи будет протекать ток 7 (и), являющийся почти периоди-
ческой функцией времени. Под почти периодической функцией мы будем
понимать пока функцию, амплитуда (форма) и период которой меняются
медленно (т.е. незначительно за время порядка 2я/ш0). Этот ток, воз-
действуя на контур, вызовет в соответствии с (6.10) напряжение

М

и = - —— ----------—7 (и).

р +	+ шб

Поскольку при анализе уравнения (6.3) установлено, что под влиянием
периодического воздействия с частотой, близкой к ш0, в контуре получа- .
ются квазигармонические колебания, естественно ожидать, что под действи-
ем почти периодического тока 7 (и) с периодом, близким к 2тт/ш0, колеба-
ния напряжения будут также квазигармоническими. Отметим лишь, что
сказанное верно при условии, что нелинейная функция 7 (и) не искажает
входное гармоническое колебание настолько, что амплитуда гармоники
с частотой ы0 обращается в нуль или оказывается малой величиной поряд- . J
ка 6 по сравнению с высшими гармониками.

Очевидно, что, заменив в схеме рис. 1.20 цепь обратной связи любой |
иной, но также узкополосной, можно в полученной системе ожидать квази- ' 1
гармонических колебаний. Следовательно, не безе этого допущения можно |
анализировать одноконтурные трехточечные автогенераторы с высоко- |
добротным контуром (схемы рис. 1.23 и рис. 1.24), автогенераторы с
140	1
несколькими колебательными контурами, формирующими частотную
характеристику с одной узкой полосой пропускания, автогенеретор с
несколькими активными элементами (рис. 1.35) и другие схемы. Можно
ожидать, что при гармоническом или квазигармоническом внешнем воз-
действии с частотой, близкой к ш0, колебания во всех перечисленных
схемах будут близки к гармоническим.

Дальнейшее обобщение класса систем может быть связано с отказом
от аппроксимации решения одним квазигармоническим колебанием и
допущением возможности сосуществования нескольких квазигармони-
ческих колебаний с различными частотами. Очевидно, что такая ситуация
возможна в системах с несколькими резонансными частотами, расстоя-
ние между которыми много больше, чем полосы резонансных кривых,
или в устройствах типа автогенераторов с несколькими узкими полоса-
ми пропускания цепи обратной связи. В нелинейных системах эти колеба-
ния всегда взаимодействуют, а характер и степень их взаимодействия
сильно зависят от вида нелинейности в системе и соотношения резонанс-
ных частот.

После такого обобщения оказывается возможным анализ автогенера-
торов с несколькими резонансными контурами при практически произ-
вольных соотношениях между их частотами, параметрических генераторов
и усилителей, варакторных умножителей частоты и многих других радио-
технических устройств с высокодобротными колебательными системами.

Чтобы дополнительно расширить класс систем, для исследования ко-
торых можно использовать априорные сведения о форме колебаний, видо-
изменим подход к обоснованию допущения о квазигармоничности коле-
баний в рассмотренных системах. Воспользуемся для иллюстреции авто-
генератором, описываемым уравнением (6.10). Перенося в этом уравне-
нии все слагаемые, содержащие множитель 5, в превую часть, представим
его в виде

,	,	М

(р2 +wj)u = -5 Gjopu+ —— Якшор/(и) .

(6.12)

Если в этом уравнении положить 5 = 0, то оно будет описывать гармони-
ческие колебания в линейной консервативной системе — колебательном
контуре без потерь. Их частота равна ш0. Допуская, что сколь угодно
малая величина правой части, отражающей влияние потерь и притока энер-
гии на колебания, не может радикально изменить их форму, а заметно
изменить параметры колебания (амплитуду, фазу) сможет лишь за до-
статочно большое по сравнению с периодом 2я/ш0 время, мы с несколько
иных позиций можем понять обсуждаемое допущение*).

При подходе с этих позиций естественно ожидать квазигармонических
колебаний в системе, описываемой более общим уравнением .

(р2 + Wo)t/ = eHu, ри},	(6.13)

где е — малый параметр, a f(u, ри] — нелинейная функция и мри, огра-
ниченная в любом круге и2 + —— {ри}2 <Д2 конечного радиуса. В урав-
' Шо

нении (6.12) мелый параметр — это затухание колебательного контура.

*) Внимательный читатель, сопоставив (6.12) с (6.11), может усомниться в пра-
вильности утверждения о том, что при 6 -» О правая часть (6.12) стремится к нулю.
Однако следует иметь в виду, что с уменьшением 6 необходимо для сохранения соот-
ношения притока и рассеяния энергии уменьшать отношение М/L пропорционально 6.
Именно такой предельный переход приводит к консервативной системе при в>-»0.

11. М.В. Капранов	161
В общем случае он может иметь иной физический смысл. В частности,
уравнение (1.80) /?С-генератора с мостом Вина (рис. 1.28), т.е. генерато-
ра без колебательного контура, при определенных условиях может быть
сведено к уравнению (6.13).

Покажем это, положив для простоты в (1.80), что = Rz = R и Cz =
= С3 = С. Вводя обозначение о>о = MRC и разделив обе части (1.80) на
(/?£?)2, приведем это уравнение к виду

(р2 + W2 )и = — Зыори + toupRi(u).

Если предположить, что / (u) = So + е/д (о) (здесь S — крутизна зависи-
мости / (о), е — малый параметр, а /д (о) — нелинейная часть зависимости
/(о)), и выбрать RS = 3 + е, то уравнение ДС-генератора приводится к
виду, подобному (6.13)

(р2 + Шо)о = б[ш0ро + w0Rpi&(u)].	’	(6.14)

В данном случае малый параметр является одновременно мерой разности
потерь в цепи обратной связи и притока энергии от активного элемента
и вклада в ток нелинейной части характеристики активного элемента,
определяющей уровень высших гармоник, возникающих в этом элементе.
Отсюда ясны и физические условия квазигармоничности колебаний в
таком генереторе.

Представление уравнений исследуемых систем в форме с явно выделен-
ным малым параметром позволяет более строго решить вопросы обосно-
вания приближенных методов исследования колебаний в нелинейных
системах, оценить погрешность приближенного анализа, а в необходи-
мых случаях и уточнить найденное приближенное решение.

Кроме того, методы решения уравнений с малым пераметром могут
быть применены не только, когда система близка к линейной консерва-
тивной, как в случае уравнения (6.13), но и в более общем случае, когда
исследуемая система при е -> 0 превращается в нелинейную консерватив-
ную. Например, система с нелинейной восстанавливающей силой, описы-
ваемая уравнением

рги + Шо«(") = ef(u,pu),	(6.15)

может не удовлетворять требованйю квазигармоничности колебаний. ;
В этом случае при достаточно малой величине е можно говорить о мед- q
ленности изменения параметров колебания, форма которого определяет-
ся видом нелинейности восстанавливающей силы к (и). Очевидно, что
уравнение (6.15) переходит в (6.13), если к (и) = и. Другими частными |
случаями уравнения (6.15) могут быть уравнения маятника и системы |
фазовой авто подст рой к и частоты с фильтром первого порядка при условии, |
что в этих уравнениях может быть выделен малый параметр.	I

Таким образом, анализ широкого класса весьма нужных для практики q
и весьма разнообразных устройств может быть выполнен приближенными I
методами, изучение которых необходимо для успешного решения теорети- 1
ко-колебательных задач радиотехники.	]

§ 6.2. Основные положения приближенных методов анализа.	я

Квазилинейный метод. Метод медленно меняющихся амплитуд.	Я

Энергетический метод	1

В практике радиотехнических расчетов в первые годы применения Я
нелинейных колебательных систем нашел широкое применение квазили- Я
нейный метод. Первоначельно он был развит для расчета амплитуды, часто- Я
162	Л
ты и фазы установившихся квазигармонических колебаний в нелинейных
системах. На этом этале определяющий вклад в разработку метода был
внесен трудами М.В. Шулейкина, М.А. Бонч-Бруевича, Г. Меллера, Г. Барк-
гаузена. Существенное расширение круга задач, решаемых квазилинейным
методом, и развитие самого метода было достигнуто благодаря работам
Ю.Б. Кобзарева*).

Рассмотрим особенности квазилинейного метода на примере анализа
автогенератора с трансформаторной обратной связью (рис. 1.20). Ис-
пользуя допущение о квазигармоничности колебания и и полагая, что
для приближенного расчета параметров стационарного режима достаточно
учесть лишь влияние первой гармоники управляемого тока, будем искать
решение уравнения (1.70) в виде

и = ReUexpQwt),	(6.16)

где U = 17ехр(/4, и, сделав на основании сказанного выше замену

/(о) = Re I (I7)exp(/cot),	(6.17)

где 1(17) = / (17)ехр (/V/), получим из (1.70) приближенное уравнение,
связывающее комплексные амплитуды U и I:

[(/w)2Z.C+/wrC + 1] U +/шМ1(и) = 0.

Оно выводится так же, как равенство (1.18). Зависимость f(U) называ-
ют колебательной характеристикой активного элемента, а отношение

Sl(U) = HU)/U	(6.19)

— средней крутизной активного элемента по первой гармонике. Разность

$8 ~	~

(6.20)

будем называть фазой средней крутизны.

Подставляя (6.19) в (6.18) и деля уравнение на jwL, приведем его

к виду
1
jwC + д + --------

Здесь
г	1

д = ---- = —

L/C	RK

м

— Sx

u = o.

(6.21)

(6.22)

— резонансная проводимость параллельного колебательного контура.
Отношение напряжения обратной связи к напряжению на индуктивности
контура UK, равное —М/L, назовем коэффициентом обратной связи и
обозначим

k = -M/L = U/UK,	(6.23)

а величину

Yi ((7) =	((7)ехр 04;) = +iB(U}	(6.24)

назовем вносимой проводимостью с действительной частью

G(t/J = -fcS, (t/)cos	(6.25)

Кобзарев Ю.Б. Связь между нелинейной и квазилинейной теориями лампового
гвнератора. - Ж урн. техн, физики, 1932, т. 2, еып. 9-10, с. 936. Кобзарев Ю.Б. О ква-
зилинейном методе трактовки явлений в генераторе почти синусоидальных* колеба-
ний. -Журн.техн. физики, 1935, т. 5, вып. 2,с. 216.

11*

163
t ,iaf 1	'"l"r Hi	I* '	-	« * v I '	r > И1 ’I ’

и мнимой	’I

B(U) = -*$, (У) sin vs.	(6.26)	;

Уравнению (6.21) соответствует эквивалентная схема рис. 6.5. Это
уравнение может выполняться либо если U = 0 (режим покоя, отсутствия
колебаний), либо если полная проводимость, являющаяся множителем
при U, равна нулю. Последнее условие для случая комплексной про-
водимости дает два уравнения: уравнение баланса действительных
проводимостей	j

ff + G(f)=0	(6.27)

и уравнение баланса мнимых частей полной проводимости	А

MuL + B{U] = 0.	(6.28) I

Из этих уравнений находятся амплитуда и частота установившихся колеба- I
ний. Если активный элемент безынерционный, то при гармоническом |
напряжении на его входе = 0. Тогда, в соответствии с (6.26), В (У) =0 3
и уравнение для частоты колебаний	|

w£?-1/w£=0	(6.29) |

дает в соответствии с (6.1)
ш = со0.	(6.30) я

Итак, в данном случае частота колебаний в рассматриваемом приближе- 1
нии равна резонансной частоте контура и не зависит от амплитуды колеба- 1
ний. Уравнение для амплитуды колебаний в этом случае в соответствии |
с (6.25) имеет вид

g=-kSl{U]=0.	(6.31) J

Поскольку S| (L0 > 0, это уравнение может иметь решение лишь при уело- 1
вии, что к > 0, т.е. М < 0, что показывает необходимость поворота фазы на '1
180° трансформатором обратной связи.	1

В случае, когда по каким-либо причинам появляется фазовый сдвигу, Ц
частота колебаний отличается от ш0. Детальный анализ влияния различных я
факторов на амплитуду и частоту колебаний будет дан в следующей главе. Л
Здесь же мы ограничимся выводом основных уравнений для параметров
колебаний и их кратким обсуждением.	I

Рис. 6.5.

После того как получены уравнения для амплитуды и частоты стационар- -з
ных квазигармонических колебаний, еще не решен вопрос о том, какие
из решений этих уравнений соответствуют реально существующим, т.е. |
устойчивым колебаниям, а какие — нет. Остается неясным также и вопрос 1
об изменении амплитуды и частоты колебаний в переходном режиме. i

Для решения этих вопросов в рамках квазилинейного метода полу-
чают дифференциальное уравнение для амплитуды колебаний U, пользуясь I
следующими рассуждениями. Если в эквивалентной схеме рис. 6.5 поло- я
164	„	.	J
жить пока В {U} = 0, то она представляет собой колебательный контур
с эквивалентным затуханием

g + GW)

6Э------------

о>оС

На отрезке времени порядка периода колебаний амплитуды U из-
менится мало, так что 6Э можно принять в первом приближении по-
стоянным. Тогда, в соответствии с (6.4), можно считать, что на отрезке
(г, t + Дг) амплитуда колебаний изменяется по такому же закону, как в ли-
нейном контуре:

U(t + Дг) = t/(f)exp | — 63ш0Дг) .
\ 2	/

Отсюда при условии 5эи>0Дг< 1 получим

U(t + Дг) « U(t)

1 5 + G(U) .

1---—--------о>оДг

2 ЫоС

или
U(t + Дг) - U(t)

2 с--------------- == -(ff + G(U)]U(t).

Дг

Левая часть этого равенства при медленно меняющейся амплитуде практи-
чески равна производной от амплитуды по времени. Таким образом полу-
чается дифференциальное уравнение для амплитуды колебаний

2С — = -[g-kStiU^U.	(632)

dt

Нетрудно видеть, что в установившемся режиме, когда dU/dt = 0, из урав-
нения (6.32) вытекает условие стационарного режима (6.31).

Если В (О) =# 0, но В (U} < WqC, то весь вывод уравнения установления
амплитуды остается в силе, так как выражение для эквивалентного зату-
хания 5Э изменится на величину порядка отношения В {U} !ш0С. Только
на заключительном этапе вывода необходимо отказаться от допущения ^5 =
= 0 и воспользоваться выражением (6.25) для G ((У). Получим уравнение

2С~ =-[д ~kSi(U)cos^]U,	(6.33)

dt

из которого в частном случае <ps = 0 вытекает уравнение (6.32).

Итак, квазилинейный метод позволяет найти амплитуду и частоту ква-
зигармонических колебаний в нелинейных системах, приближенно, рас-
смотреть изменение этих величин в переходном процессе. Приближенные
уравнения, получаемые квазилинейным методом, значительно проще ис-
ходных, а физические соображения, лежащие в основе их вывода, выгля-
дят достаточно убедительно для электро- и радиоинженеров.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Параллельно с квазилинейным
подходом развивался предложенный Б. Ван дер Полем*) метод анализа
систем с квазигармоническими колебаниями, в котором уравнения для
медленно меняющихся амплитуд получались непосредственное из диффе-
ренциального уравнения исходной системы, а упрощение их достигалось
за счет последовательного использования условия медленности измене-

*) Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. — М.: Гос. изд.
по техй. связи, 1935, 42 с. Там же приведены ссылки на более ранние работы автора.
ния амплитуды колебаний и возможности пренебрежения высшими гар-
мониками.

Чтобы изложить основы этого подхода, рассмотрим снова автогенера-
тор по схеме рис. 1.20. Воспользуемся при выводе приближенных урав-
нений из точного рассуждениями, подобными тем, которые использовал
Ван дер Поль. Однако, в отличие от развитого им подхода, мы допустим
возможность медленного изменения как амплитуды, так и фазы колеба-
ний и не будем использовать пока полиномиальной аппроксимации харак-
теристики активного нелинейного элемента.

Колебания в схеме рис. 1.20 описываются уравнением (1.70) или (6.10).
Будем искать решение уравнения (6.10) в виде

и = O(t)cos[cj0t + ip(t) ],	(6.34)

где U(Г) и (г) — медленно меняющиеся амплитуда и фаза.

Медленность изменения U(t) означает, что относительное изменение
ее за период колебаний много меньше единицы. Полагая, что оценку абсо-
лютного изменения Д U можно записать в виде

Д(/=	*1

dt

из условия ДС//С/< 1 получим
dU/dt < w0U

(6.35)

Соответственно для производных более высокого порядка предполагаются

выполненными неравенства

d2U
dt2

dU

’о ~~
dt

dt3

d2U
dt2

(6.36)

Относительно функции ^(f) делается допущение
dp

U)q,
dt

(6.37)

означающее, что поправка к мгновенной частоте, обусловленная изме-
нением ii(t), весьма мала по сравнению с ш0. Соответственно предпола-
гается, что

d2p	d<p	d3p	d2p

<	----—I « wn —Г , •

dt2	dt	dt3	dt2

(6.38)

Tok i(u) при и, определенном выражением (6.34), может быть пред-
ставлен рядом Фурье

/[t/cOS(<j00f + ^)] =	+ /c«/)COS(Wof + ^) - /s(O)sin(GJ0f + р) +	‘I

+ высшие гармоники.	(6.39) |

В нем удерживается лишь первая гармоника, для амплитуд косинусои- .
дальней	и синусоидальной	составляющих которой справедливы иэвест- |

ные выражения для коэффициентов	Фурье:	1

/е((/)«- 7 /((/со5Ф)со$Ф t/Ф,	(6.40)

*	|

1 it	1

/S(U) = - - / /((/СО$Ф)8(ПФ 4/Ф.	(6.41) |
Если зависимость 7 (и) алгебраическая и входное напряжение чисто гар-
моническое, то под интегралом в (6.41) стоит нечетная функция. При
симметричных пределах интегрирования этот интеграл равен нулю. Сделав
это замечание, мы, однако, продолжим вывод приближенных уравнений
для Uit) и ^(г) при 7S =# 0, поскольку небольшое усложнение уравнения
исследуемой системы может сразу привести к необходимости расчета при
ненулевом значении 7S.

Вычислив производные решения

dU	/	dp\

ри = — cos(w0t + ^) - UI + — I sin(wot + р},
dt	\	dt /

, d2U	dU

p2u = —r- cos(cjor + ^) - 2 —
dt2	dt

(dp\

Wo + —)sin(wor + p] +
dt J

(6.42)

, d 4> . ,	. , J 2 « d* / d*\

+ U —- sm(wot + i^) - U Wo + 2wo — + I — I
dt2	L	dt \ dt /

cos(w0r + ^),

отбросим, следуя Ван дер Полю, все слагаемые, содержащие вторые про-
изводные и квадрат первой. Тогда

dU	( 1 dp\

ри ~ —2w0 sin(wof + v>) — I u>o + 2w0 — |L/cos(w0f +<p).	(6.43)

dt	\	dt J

Аналогично для pi [и] при учете лишь первой гармоники разложения
(6.39) получим

/	<fy\	d/c

рЦи) - —l(AU} I w0 + — I sin(wof +^) + — cos(wof +tp) —

\	dt /	dt

/	dp\	dls

- IS(U) w0 + — |cos(w0f + 9?)-------sin(w01 + <p).	(6.44)

\	dt/	dt

Выражения (6.42), (6.44) далее упрощаются с учетом того, что в (6.10)
слагаемые, содержащие ри и pi (и}, входят с малым множителем 5. Поэтому
в выражениях для ри и pi (о) можно отбросить слагаемые, содержащие
производные медленно меняющихся функций. Тогда вместо (6.42), (6.44)
можно записать

ри « — wo(7sin(wot +	,	(6.45)

pi(u} == -w0/c{U)sin(caor + ^) - a>0/s(LOcos(w0t + ^).	(6.46)

После подстановки (6.43), (6.45), (6.46) в (6.10) и учета обозначения
(6.23) получим:

dU	dp.

—2w0-----sin(wot + p} - a)ot/cos(Gj0f + <?) - 2w0 — cos(w0f + p} -

dt	dt

— 5w(j t/sin(<o0r +p)+ cost cjat +p) =

= -8<plkRKlc(U}siM(pot +p] -btp20kRkl& (O)cos (wof +^).	(6.47)

Слагаемые нулевого порядка малости в левой части этого выражения ском-
пенсировались, поскольку при 8 -♦ 0 решение (6.34) превращается в гар-
моническое колебание с частотой ш0< являющееся точным решением урав-
нения консервативной колебательной системы, получающегося из (6.10)
при 8=0.
Для выполнения равенства (6.47) необходимо и достаточно, чтобы
были равны коэффициенты при синусоидальных и косинусоидальных
составляющих. Следовательно, (У(г) и ^(Г) должны определяться урав-
нениями

2 dU

---- --- + U = kRKlc{U}.	(6.48)
w05 dt

2 dp

--- U~ = kRKls(U}.	(6.49)
w0 о	dt

Как уже упоминалось, в оригинальных работах Ван дер Поля был рас-
смотрен случай, когда /s = 0. Поэтому фаза р (г) колебания (6.34) ока-
залась не зависящей от времени, а частота — равной wn (в рассматривае-
мом приближении).

Чтобы сопоставить уравнения (6.48), (6.49) с уравнениями (6.33),
(6.28), полученными квазилинейным методом, отметим, что из (6.17),
(6.19), (6.20) вытекает равенство

/,(и) = Re{/(O)exp(/<ps)exp(/(w0t +>p)]i =

=/((7)cosy>scos(w0t +1^) — /(i/)sin^5sin(wot + ^) =

= (S(O)cos^s] (7cos(w0t + ^) — [S(t7)sin^5] (Ain(wot + ^).

Сравнивая это выражение с (6.39), видим, что

lc{U) = US^U)cosps,	(6.50)

ls(U) = USt(U)wups.	(6.51)

Подставляя (6.50) в (6.48) и принимая во внимание (6.11), видим,
что уравнения (6.48) и (6.43) одинаковы. Чтобы сопоставить (6.28) с
(6.49), разделим (6.28) на w0 С и представим в виде

Учитывая, что в (6.34) w = w0 + dp/dt, и принимая во внимание условие
(6.37) и равенство (6.26), получим с точностью до малых порядка отно-

I / I

шения — / w0 I

I dt I I

dp

2C— = kS((U)sin<ps.	(6.52)

Если разделить (6.49) на URK и учесть (6.11), (6.51), то оно совпадает
с (6.52).

Таким образом, приближенные уравнения для амплитуды и фазы ко-
лебаний, получаемые квазилинейным методом и методом медленно ме-
няющихся амплитуд, совпадают с той точностью, с какой получены сами
уравнения. Эти уравнения обычно называют укороченными. Соответст-
венно совпадают и уравнения стационарного режима. Отметим, что пути
получения укороченных уравнений в методе медленно меняющихся ампли-
туд и в квазилинейном методе различны. Совпадение уравнений — свиде-
тельство одинаковой точности этих приближенных методов. В то же время
способ вывода укороченных уравнений, предложенный Ван- дер Полем,
более формален, хотя и нестрог. Строгое обоснование правомерности
отбрасывания высших производных медленно меняющихся величин в
этом выводе и обобщение уравнений было дано Л.И. Мандельштамом и
Н.Д-Папалекси*).

	Энергетический метод К.Ф. Теодорчика. Из приближенных методов ана-

лиза нелинейных систем с кваэигармоническими колебаниями следует

! отметить подход, развитый К.Ф. Теодорчиком**). В этом подходе исход-
ным пунктом является метод вариации произвольных постоянных.

Рассматривая уравнение линейного колебательного контура без потерь,
но с внешним воздействием

(р2 + co2)u = At(t)coscot + As(t)sin cot,	(6.53)

и следуя Теодорчику, запишем его решение при начальных условиях и -
= ри - 0 в момент г = 0:

1	’	I	III	II

и ——sin (otf [Дс(t )cos cot + As(t )sin cot ] cos cot dt —
I	co о

1	f	I	I	I	i'll

-----coscof J(Ac(t')coscot' +-As(t')sin cot'] sin cot'cfr'.

co о

Преобразованием подынтегральных выражений можно выделить часть
решения, в которой под интегралом находятся медленно меняющиеся
функции. В другой части решения под интегралом стоят произведения
медленно меняющихся функций на гармонические функции, осциллирую-
щие с частотой 2 со

1	г	т

и =----sin cot f Ac(t')dt--coscotf As(t )dt’ +

2	co	о	2 co	о

1 f

+ ---sin cotj [Ac(t )cos2cof + As(t )sin2cot ] dt —

2co о

1	f

-----cos cot J [Ac(f )sin2cot — As(t )cos2cot ] dt .

2	co	о

Первые два слагаемых при медленно меняющихся Ас (t) и As(t) описы-
вают усредненные за период процессы обмена энергией между внешним
воздействием и колебательным контуром. Последние слагаемые при тех
же условиях описывают отклонения от основного закона изменения коле-
баний, связанные с изменением Ac(t) и As(t) во времени. При постоянных
Ас и As эти слагаемые обращаются в нуль. При медленно меняющихся
Ac(tK* и As(t) они много меньше двух первых слагаемых. Удерживая
только первые два слагаемых обсуждаемого точного решения, получим
приближенное решение уравнения (6.53)

и I —— f Ac(t')c/t'l sin cot -I —— f As(t')dt'
i 2co о	I	L 2 co о

= (7s(t)sincot + l/jtjcoscot.	(6.54)

Из него следует приближенная связь между амплитудами синусоидаль-

** Мандельштам Л.И., Палалекси Н.Д. Об обосновании одного метода приближен-
| ного решения дифференциальных уравнений. ЖЭТФ, 1934, т. 4, с. 117—122.

* “I Теодорчик К.Ф. ЖТФ, 1939, т. 9,с. 1481.

L ,	,	16»

cos cot =
ной и косинусоидальной составляющих решения и внешнего воздействия
dUc/dt = -(1/2w)X»s(f).	(6.55)

dUs/dt = (1/2ш)Дс(Г).	(6.56)

Обратимся теперь к нелинейному уравнению (6.12). Будем искать
его решение в виде

и = (7(t)coswt,	(6.57)

где частота ш, вообще говоря, отличается от ш0, но относительное отличие
(w - w0)/w0 - величина порядка 6. Следуя Теодорчику, представим
(6.12) с учетом (6.23) в виде

(р2 + w2)u = (ш2 - WqIu - 5[wopu - кЙкшорЦи)].	(6.58)

Подставим (6.57) в правую часть (6.58), отбрасывая высшие гармо-
ники тока и производные медленно меняющихся амплитуды и частоты.
Тогда, используя разложение (6.39), получим

(р2 + ш2)и = (ш2 - Wo)t/cOSGJf -

— 5[—w0Gjt/sinGjf + kRKco0wlc(U}sinwt + kRKw0w/s(L/)coswt].

Это уравнение совпадает с (6.53), если принять, что

ДС(Г) = (w2 - Wq)-5/c/?kwogj/s(L/),

X1s(t) = 5шош[(У - kRK /с((7)1.

Поэтому его решение может быть представлено в виде (6.54). Но (6.54)
совпадает с (6.57) лишь при условии, что выполняются равенства

Uc(t)=U(t}, Us(t)=O.

Если их учесть и записать выражения для скоростей изменения t/c(t)
и Us(t} (6.55), (6.56),то получим уравнения *)

dU

— =--------lU-kRKlc(U)],	(6.59)

dt 2

w2 — Wo — 8kRK w0 w/s((7) = 0.	(6.60)

Первое из них определяет амплитуду колебаний и совпадает с укорочен-
ными уравнениями, полученными ранее квазилинейным методом (6.32)
и методом медленно меняющихся амплитуд (6.48). Второе определяет
поправку на частоту и совпадает с уравнением (6.28), полученным ква-
зилинейным методом.

Таким образом, укороченные уравнения для приближенного описа-
ния медленно меняющихся амплитуды и фазы квазигармонических ко-
лебаний получены тремя методами. Ни один из них не является строгим,
ни один не обеспечивает возможности уточнения решения в случае, если
такое уточнение потребуется. Однако все они основаны на весьма правдо-
подобных физических соображениях и позволяют получить укороченные
уравнения достаточно простыми и наглядными способами. В этих усло-
виях совпадение полученных разными методами укороченных уравне-
ний свидетельствует о том, что в форме этих уравнений отражаются неко-.
торые важные объективно существующие черты поведения медленно
меняющихся амплитуды и фазы колебаний.
—

В оригинале у К.Ф. Теодорчика принято» 4то ж0и поэтому частота о>
на о>0.
§ 63.	Асимптотические методы анализа нелинейных колебательных систем.
Высшие приближения

Существенным шагом вперед в направлении совершенствования и
обоснования приближенных методов анализа нелинейных динамических
систем явилась разработка Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым, Ю.А. Мит-
ропольским и другими советскими учеными асимптотических методов
анализа систем, близких к линейным консервативным. Основой этих ме-
тодов является идея Пуанкаре о возможности получения приближенного
периодического решения уравнения с малым параметром (6.13) в виде
асимптотического разложения по этому параметру. При этом за основу
для отыскания периодического решения берется колебание в порождаю-
щей системе, которая получается из исходной (например (6.13)) при
е -* 0. Периодическое решение исходной системы строится путем под-
бора начальных данных решения порождающей системы.. Эти начальные
данные последовательно уточняются путем учета слагаемых, содержащих
все более высокие степени малого параметра е, причем в процессе уточ-
нения амплитуды, частоты и фазы первой гармоники находятся и также
уточняются амплитуды и фазы высших гармоник периодического коле-
бания. Пуанкаре предложил свой метод в 90-х годах для решения задач
небесной механики, а в дальнейшем этот метод нашел применение в об-
щей механике и радиотехнике. Значительный вклад в его разработку
и развитие был внесен советскими учеными.

Методы Крылова — Боголюбова — Митропольского, хотя и основаны
на использовании решения порождающей системы в качестве отправной
точки для поиска приближенного решения и разложения искомого ре-
шения в ряд по малому параметру, принципиально отличаются от метода
Пуанкаре и его модификаций тем, что они позволяют определять не только
установившееся периодическое решение, но и переходные процессы, т.е.
процессы возбуждения, нарастания и установления колебаний в квази-
линейных системах. В этом отношении они обеспечивают такие же воз-
можности исследования, как метод медленно меняющихся амплитуд,
но являются строго обоснованными и позволяют при необходимости
получить уточнения решения. Некоторые из этих уточнений оказались
весьма существенными в теории стабилизации частоты.

Поскольку в данном курсе изучаются не только установившйеся ре-
жимы, мы дадим здесь краткое изложение двух методов, основы кото-
рых были разработаны Н.М. Крыловым, Н.Н. Боголюбовым и Ю.А. Мит-
ропольским. Метод Пуанкаре и другие родственные ему методы под-
робно изложены в монографии А.П. Проскурякова *). Там же приведена
подробная библиография и показано, что периодические решения, опре-
деляемые по методу малого параметра Крылова — Боголюбова — Митро-
польского, точно совпадают во всех приближениях с решениями, опреде-
ляемыми по методу Пуанкаре.

Метод малого параметра Крылова - Боголюбова - Митропольского **>.
Изложим этот метод для системы, описываемой уравнением (6.13), а со-
поставление с ранее изложенными методами дадим на примере уравнения
(6.12).

*> Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.:
Наука, 1977, 256 с.

**> Впервые такие формулировки метода были дены в кйиге: Крылов Н.М., Бого-
любов Н.Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд. АН УССР, 1937.
При € = 0 уравнение (6.13) превращается в уравнение линейной кон-
сервативной системы

(p2+wg)u = 0.	(6.61)

Как уже говорилось ранее, эту систему называют порождающей. Общее
решение уравнения (6.61) имеет вид

и = t/cos(w0f + У!) ,

(6.62)

где U и у — амплитуда и фаза колебаний, зависящие от начальных условий.
Решение исходного уравнения (6.61) ищется в виде разложения

и = Wcos(w0t + у) + еи^ {U, wot + у) + е2иг (U, wot + у) + .. . .	(6.63)

Здесь U и if не только зависят от начальных условий, но и являются мед-
ленно меняющимися функциями времени, а второе и последующие сла-
гаемые отражают влияние высших гармоник, которые неизбежно должны
возникать в нелинейной системе. То обстоятельство, что их вклад имеет
порядок малого параметра е, отражает второе условие квазигармоничности
колебаний, которое качественно обсуждалось в § 6.1.

Условие медленности изменения амплитуды U и фазы у в данном слу-
чае формулируется следующим образом: U и у в (6.63) должны опреде-
ляться дифференциальными уравнениями:

— =eAl{U)+e2A2(U) + ... ,	(6.64)

dt

cfy

— = eBt(U) + е2В2(Щ + ...	(6.65)

dt

Функции At(U), A2(U)......и fii(W), B2IU),... подлежат определению,

так же как и функции ut(U, coot + у), u2{U, wot + у). После знакомства
с приближенными уравнениями, получаемыми методом медленно меняю-
щихся амплитуд (6.48), (6.49), поиск приближенных уравнений для U и
у в форме (6.64), (6.65) представляется вполне естественным, хотя эта
форма уравнений не является одним-единственным или самым общим
способом строгой формулировки условий медленности изменения
U и у.

Последовательное определение функций, входящих в уравнения (6.64),
(6.65) и в решение (6.63), позволяет получить асимптотическое разло-
жение решения, которое при учете (т + 1) слагаемого удовлетворяет
уравнению (6.13) с погрешностью порядка е'" + 1. При этом на функции
ut(U, a>ot + у), u2{U, wot + у),... накладываются требования отсут-
ствия первой гармоники:

Я  f и, {U, Ф)со$Фг/Ф = 0,	я  J Ut(U, Ф)5(пФб/Ф = 0,	
— Я	-я	
1Г	я	(6.66)
f U2 {U, Ф)сОзФ{/Ф = 0, — яг	f и2 {U, Ф)з1пФс/Ф = 0. — я	

Физически эти требования оэначеют, что на каждом этапе построения по
следовательных приближений из (6.64), (6.65) определяется полная ампли-
туда первой гармоники и, следовательно, ее уточнения учитываются всегда
в первом слагаемом решения (6.63).
Последовательные приближения в решении (6.63) находятся подста-
новкой этого решения в левую и правую части уравнения (6.13)
и приравниванием множителей при одинаковых степенях малого пара-
метра е .

Поэтому прежде всего необходимо вычислить производные решения
(6.63). При этом вычисление производных должно выполняться с учетом
выражений (6.64), (6.65) для dU/dt и dp/dt. Используя обозначение

Ф = GJot + р,

запишем

du dU I , Эи. 2 Эи2

— = — со$Ф + е —- + е - + ... +

dt dt I	bU bU

(dp\ Г	but . bu2

w0 + — 11 — УяпФ + e- + e2 - + . ..

dt / L	ЭФ ЭФ

(6.67)

.	9U|

созФ + е —
I bU

Эи2
е —
bU

Подставляя сюда выражения для dU/dt и dp/dt из (6.64), (6.65), получим

— = [01,(60 + е2Д2(Ш +. ..1
dt
' ,	Г	Эи. ^и2

+ [w0 + ев, (U) + е2В2 (U} + ... ] —С/$(пФ + е-+ е2- + .. .

L	ЭФ ЭФ

ИЛИ'
du	I	9uj 1

— = — ш0(А|пФ + е Д1((У)СО5Ф — UB, (У)51ПФ + w0-	+

dt	I	ЭФ I

J	9uj

+ e2 Д2(У)со5Ф-Ув2(У)51пФ+Д|({/)— +

bu,	bu2 1

+ Bt(U) — + w0 — + ...,	(6.68)

ЭФ	ЭФ J

d2u dU I . , |cMi

---r =   — Ш051пФ + €   СО5Ф —

dt2 dt I	I dU

/	b2ut 1

— I By +U----ЫпФ + gj0----I +

\ dU /	ЭУЭФ1

?Г£/Д2	/	dB2\	dA, bu,

+ e2 ----созФ -I B2 + U-----1з!пФ +----- ---- +

L dU	\	dU '	dU bU

b2ut	dB, bu,	b2u,	b2u2

+ A ।---- + ---- ----- + В ।-------- + o)q--------

bu2	dU ЭФ	ЭС/ЭФ	ЭС/ЭФ

/	dp\ |	Г	b2li11

+ I w0 + — I -I—ш0С/со5Ф + e -ХЦзтФ - С/в.созФ + ш0 ——
\	dt / (	L	ЭФ2 J

32U| 32ut 92u21	)

+ e -Д25(пФ - t/S2cos^ + Ay ------ + Bi ----+ <oo -----r + ... .

I	ЭС/ЭФ ЭФ2 ЭФ2]- J
Подставляя сюда (6.64), (6.65) и группируя слагаемые, содержащие
одинаковые степени е, получим:

, d2u ,	(	>	]

р и = —— = — ЮоУсобФ + е (—2ю0Д|$1пФ — 2ш0^>со5Ф + Wo--------г +

dt2	(	ЭФ2)

, (	7 д2и^

+ е < ~2<v0A2sin'l' — 2<jo0UB2COs'i' + col- —

I	ЭФ2

/	dBt\	( dAi	\

— ( 2А j В, + UА j-I sin Ф + ( 41--- — UB2, 1 со$Ф +

\	dU J	\	dU	)

d2ut	d2ut 1

+ 2oj04 । ----- + 2o>o®i —г + ...	(6.69)

Э£/ЭФ	ЭФ2 J

Используя (6.69) и (6.63), получим разложение левой части уравнения

<6.13):	г

2	2 Г	2 9 U1

р и + ш0о = е <-2ыоД । 51пФ — 2ш0С/б, со$Ф + Wo-----7

I	ЭФ2

2

2 f	2 Э2"2

( -2ш0Д251пФ - 2c*j0(7Z?2 созФ +	-- + Wqu2 -

(.	ЭФ2

dBA	( dA\	,\

2А ]в. + UAt-j$тФ + I A t -—- - UB\ I созФ +

dU /	\	dU	/

+ 2ш04

Э2О|

Э2О]

ЭУЭФ	ЭФ2

(6.70)

Чтобы записать разложение правой части уравнения (6.13), предпо-
ложим, что f{u, ри} — функция, дифференцируемая по обоим аргумен-
там сколько угодно раз, и, вводя обозначения

, df	df „ d2f

fu{u,pu} =	fpu(u,pu} = -— . fu(u,pu} =--------

du	d{pu}	du

,	d2f „	d2f

f'u,pU{u.pu) = ——— -	fpu(u,pu] =     ,

dud(pu}	d(pu}

запишем

(	f , du d(pu}\

ef{u,pu} = eJ f(u,pu}\ +	— + fpu ——	e +

I ie-v \ эе	Эе / e=0

+ 2f

^'u,pu

du
de

dipu} „ d2(pu}
~dT + fp“

Подставляя сюда (6.63) и (6.68) и удерживая лишь слагаемые до второго
порядка по е, получим

ef{u, ри} = е/ЦУсозФ, — си0(75тФ] +

+ e2|t/| [U, Ф)7,1 [УсобФ, — ш0С/51пФ] +
9ui1 ,

+ ХЦсобФ — С/в151пФ + ш0----- Л>и[Усо5Ф, —ш0(ЛтФ] I + ... (6.71)

ЭФ J	J
Итак, чтобы уравнение (6.13) выполнялось, необходимо, чтобы коэф-
фициенты при одинаковых степенях е в (6.70) и (6.71) были равны.
Из этого условия получим уравнения для их (U, Ф), иг (U, Ф),.. .

/ d1 2U{ \

Ыо1 ----; + Ui ) = fl (U, Ф) + 2w04 , (47)sinФ + 2wofi! ((ЛсовФ,

\ ЭФ2	/

/д2о2	\

w2------- + и2) = fi {U, Ф) + 2w042 ((7)51пФ + 2w0S2 ((/(совФ,	(6.72)

\ ЭФ2	/

(д2	\

—+ им I = fm (U, Ф) + 2w04m ((/)51пФ + 2ш0бж((7)со5ф.

ЭФ2	/

Здесь введены обозначения:

fi (U, Ф) = /[ОсовФ, —сооt/sinФ],

(6.73)

f2(U, ф) = и\ W, ФИи’Ц/СОзФ, -Шо(7$1пф) +



А, ((/)со5ф - UBi (U)sinФ + w0

do, {U, Ф)
дФ

/р„(6/СО5Ф, -ЫО^81ПФ) +



UB2iiU]-Ai(U}

------ со$Ф +
dU J

2Ai{U}Bi{U} +UAi(U}

dBi(U)'
dU

51пФ —

d2u,(t/, Ф)	<>2Ui(U, Ф)

- 2u0A,(U) ------------ -2w0fi,(t/) ------------

dt/дФ	дФ2

(6.74)

Из (6.73), (6.74) видно, что в правых частях уравнений (6.72) нахо-
дятся периодические функции переменной Ф.

Найдем функции 4,(0), В,((/) и u,(t/, Ф), определяющие решение
в первом приближении. Представим f tlU, Ф) рядом Фурье:

fi(U, Ф) = Fq(U) + S [ Fcrt (t/) cos п Ф + Fs„ (t/) sin пФ],	(6.75)

п = 1

где

1	1

F0(U) - — f f [Lf cos Ф, —a>a U sin Ф] б/Ф,

2n ~tt

1 *

Fu.„ (t/) = — J f [U cos Ф, —w0 t/ sin Ф] cos пФб/Ф,
я-n

(6.76)

1 "

Fsn((J) = — f f W C°S Ф, —wo t/sin Ф]51П/?Ф б/Ф,
Я —It

и будем искать ut{U, Ф) также в виде ряда Фурье

о,((/,Ф) = (/У>((/) + S	совлф + (/^’(О) 51плф]. (6.77)

И=|	-	.
Для того чтобы были выполнены требования (6.66), в соответствии с
которыми £/*?,*(£/) = 0 и Us(i U(J} = 0, необходимо, чтобы амплитуда первой
гармоники в правой части первого из уравнений (6.72) была равна нулю.
Из этого условия вытекают равенства

Fcl(U} + 2w0(7B1 ((7) = О,	(6.78)

FS1(17) + 2ш(,Л ,((/) = 0,	(6.79)

а из условия гармонического баланса правой и левой частей в первом из
уравнений (6.72) получим

F^dF) 1	” Fe„(t7) cos л Ф + Fs„ ((7) sin л Ф

и, (U, Ф) = ---— + ~ 2 --------!-----------------------------.	(6.80)

Wf, W(, ы2	1 - Лх

В соответствии с (6.64), (6.65), (6.78), (6.79) уравнения для амплитуды
и фазы колебаний в первом приближении имеют вид

dU е

----= - ----FsllU).	(6.81)

dt	2w0

d$	e

— =------------FC1(U}.	(6.82)

dt	2a>0U

Чтобы получить уравнения второго приближения, нужно найти функции
А2 (17), В2 ((7) и и2 {U, Ф). Представим теперь f2 {U, Ф) рядом Фурье

f2{U, Ф) = F(o2) + X [F<2) cos л Ф + F<2> sin лФ],	(6.83)

где	"=1

1	*

F^2) =— / f2 [ОсовФ, — Wo U sin Ф]<7Ф,
2я п

1 п

F&) = —/ Л[{7со$Ф, — w0 U sin Ф]со5 лФс/Ф,	(6.84)

Я - п

1 п

F^ -— / f2 [ОсовФ, — Wo47sin Ф]зт л Фс/Ф.
я -я

Таким же рядом представим и2 (U, Ф):

u2(U, Ф) = (7(О2) + S [</(2> cos лФ + и(Д)$'п пф1- <685>
п= 1

Используя вторую пару условий (6.66), в силу которых Ц.(2 * = 0 и * =
=0, получим из (6.72) :

F<2>((7) +2wo(7e2(0) = 0,	(6.86)

F(s2) (U) + 2wo42(47) = O.	(6.87)

Затем из условия гармонического баланса во втором из уравнений (6.72)
с учетом (6.83), (6.85) найдем

F(2) (47)	1	“ ^2)со$лФ + F_(2)sin^

иг {U. Ф) = —Ц— + — S ....................-г-s-w------.	(6.В8)

Wo Wo »» = 2	1 -nl
При этом уравнения (6.64), (6.65) для амплитуды и фазы первой гармо-
ники во втором приближении в соответствии с (6.78), (6.79), (6.86),

имеют вид:

dU
dt

— F^(U},
2w0

2о>о

dp	е	е2 ,2, FC1(U)	F^(U}  C1	2w0W C1
dt		

(6.89)

(6.90)

Очевидно, что следующие приближения находятся по той же схеме.

Сопоставим приближенные уравнения, получаемые этим методом, с
укороченными уравнениями, к которым приводит использование метода
медленно меняющихся амплитуд. Для этого обратимся к конкретной схе-
ме рис. 1.20, описываемой уравнением (6.12). Сопоставляя (6.12) с (6.13)
и учитывая (6.23), получим для данного случая 6 = 5

Ци, ри} = —ш0 ри + kRKw0 pi {и} = — ш0

di (и)
du

ри.

(6.91)

1

Таким’образом, из (6.73) получим

Щи, Ф) = —w0 [1 - kRK i^(U cos Ф)] (-cu0 Osin Ф) =

’	, d

= a>o t/sin Ф + WgkHK-------[7(1/со$Ф)].	(6.92)

с/Ф

Если в соответствии с (6.39) записать разложение Фурье для /'(ОсозФ)
в виде

/ (УсобФ) = /0(О) + lc(U) cos Ф — /s (U) sin Ф +

+ £ [/C„(t/)cos лФ —/sn(t7) sin лФ],	(6.93)

n=2

то, сравнивая (6.91) c (6.75), получим

F0<U} = 0,

Fei(W) =	-wg Jt/?K/s(W),	(6.94)

FS1(U) =	шгои-a>20kRKlc(U),	(6.95)

Fcn(t/) =	-лш§ ^K/S„(y)	при	л >2,	(6.96)

FsnlU) =	-пш20 kRK /C„(U)	при	л >2.	(6.97)

Записанные с учетом (6.94), (6.95) и равенства е = 5 уравнения первого
приближения (6.81), (6.82) для рассматриваемого генератора

dU _ dt	5to0  - — [U-kRK lc(U}].	(6.98)
dtp	6щ0 1	
		 —kRKis(U}	(6.99)
dt	2 U.	

в точности совпадают с укороченными уравнениями (6.48), (6.49), полу-
ченными методом медленно меняющихся амплитуд.

Отметим, что в случае, когда ток Ни} зависит только от и, в разложении
(6.93) амплитуды синусоидальных составляющих равны нулю, поскольку
12. М.В. Капранов	177
UU cos Ф) — четная функция аргумента Ф. Поэтому в первом приближении '
/s(U} = 0, а следовательно, и поправка к частоте (6.68) равна нулю.

Функция ил{и, Ф), определяющая уровень высших гармоник, в соот-
ветствии с (6.95), (6.96), (6.80) имеет вид:
” п

uHU.W = kRK S —-------------[/s„(t/( cos лФ + /С„((У) яппФ]. (6.100)

п = 2 П2 - 1

Это выражение имеет простой физический смысл и представляет собой сум-
му напряжений высших гармоник на выходе цепи обратной связи схемы
рис. 1.20, обусловленных воздействием высших гармоник тока активного >
нелинейного элемента при гармоническом (точнее квазигармоническом)	|

управляющем напряжении. Таким образом, это дополнение к квазигармо-	1

ническому колебанию в конкретных схемах нетрудно найти из физических Л
соображений. Отметим, что в рассматриваемом случае четной функции

7(С/ cos Ф) в разложении (6.92) неравны нулю только коэффициенты при <
косинусах, т.е. /s„((7) = 0. Поэтому	1

” л

Ul (U, Ф) = kRK S ------- lc„(U) sin лФ.	(6.101)	;

и = 2 П2 - 1	’

Перейдем к определению поправок второго приближения к уравнениям t
и решению. Найдем их, принимая во внимание четность функции /((7cos Ф),	1

являющуюся следствием безынерционное™ активного нелинейного элемен- t
та. В этом случае /s((7) = /sn(U) = 0. Поэтому в соответствии с (6.78),

Wo

(6.79),	(6.94) ,(6.95) В) (47) = 0, AHU} =-[U-kRKlc(U]] и выраже-

2 <
ние (6.74) упрощается:	!

f2 [U, Ф) = Ui {U, Ф) fu(U cos Ф, -w0 U sin Ф) +

( w0	duJW, ФИ

+ {-----[U — kRK /,.((/)] cos Ф + w0 --------> X	1

I	2	ЭФ J	1

X <47 cos Ф, — w0 47 sin Ф) —	,

wj	d! c(0) 1

-----\U-kRKlAUY\ 1-Jt/?K —-— cos Ф +

4	к c	du j

, Г	b2Ul{U, Ф)

L	Э4УЭФ J

В соответствии с (6.91)

,	Гс/2/(о)1

^„((УсозФ, —w0^^siпФ) = wokRK I---------—	(—w0 47sin Ф) =

L du Ju=(7cos4'

, d ,

= Wo kRK------iu (£7 cos Ф),

t/Ф

fpU W cos 'K -w0 4/ sin Ф) = -w0 (1 - к RK (4/ cos Ф)).

Подставляя эти выражения в предыдущую формулу для f2 (U, Ф) й проводя
перегруппировку, получим:

f*{U,

Wn

Ф) =--- [U-kRK!c{U)\

4

1 + kRK

dfc{U)

dU

COS Ф —

Wo

2

[U — kRKfc{U)]

(t/cos Ф) cos Ф +

+ Wo kRK--[U] (U, Ф) (U cos Ф)] —

ЭФ

, г Эи i

- wj J — + [l/-*flK/c(C/)l
[ЭФ

d2U] 1
Э1/Эф] '

(6.102)

Найдем слагаемые второго порядка в (6.89), (6.90), подставив (6.102) в
(6.84) :

wj	Г	d/c(U) '

F^>(U) =— [U -kR/e(U)] 1 + kR ——	-

4	L t/U J

Wq	1я,

- — kR [U -kRlc(U)] — f /„ {U cos Ф) cos2 Ф t/Ф +

2	it —n

+ wo kR — f cos Ф — [y । (U, Ф) i'u (U cos Ф)] t/Ф,
я -я ЭФ

= w2 kR — f sin Ф — [«,(£/, Ф) (W cos Ф)1 с/Ф.
я _я ЭФ

Учитывая, что

1 я	Э ( 1 я	}	dlc{U)

— f 'и cos Ф) cos2 Ф t/Ф = ---------\ — f i(U cos Ф) cos Ф t/Ф } = ------

я -я	dU I я - Я	J	dU

и выполняя в F(*i ((/) и F^ * ((/)

Fg>{U} = — [U-kRfc(U}]
4

интегрирование по частям, получим

Г d/c(U)]

1 -kR ~—	+

L dU J

,	1 я

+ w2 kR — f UfiU.'U} iu (U cos Ф) sin Ф t/Ф,
я - ff

^(t>) = — Wo kR — f ut (U, Ф) /'u(U cos Ф) cos Ф с/Ф.

я -Я
, 1 9

Если принять во внимание, что Л,(4/cos Ф) sin Ф = —--------/(У cos Ф) и,

U дФ
использовав это равенство, выполнить снова интегрирование по частям,
то для F^{U} получим формулу

W2

F(^ {U} =	[U- kR/c(U)]

4

, 1 1 /

+ Wo {kR)------f i{U cos Ф)

U я -я

dlc{U)
l~kFt_S—,
L dU

dut{U, Ф)

—:------ t/Ф.

ЭФ
Подставив в нее (6.101) и (6.93) с учетом того, что lin(U) - /s (£/) = 0,
лучим окончательно

Wo	d/JU)

Л<2) =----[U-kRlc(U}] 1-kR —---------- +

*'	4	dU

,	, 1	л2

+ w?,(kfl)2 — S -------------- /2„(U).

U п = 2 П - 1



(6.103)

Подынтегральное выражение в формуле для F<2 ^L/), как видно из (6.101),
нечетно и поэтому

F(^ (У) = 0.	(6.104)

Таким образом, в сипу (6.94), (6.95), (6.103) и (6.104) уравнения второго
приближения при медленно меняющихся амплитуде и фазе (6.89), (6.90)
для рассматриваемого генератора примут вид

dU	Ьш0		Л
— 		[£>	-kRlc(U}],	(6.105)
dt	2		
dp	52	kRlc(U)	dle(U) I
— 		о>0	1 			1 - kR	 -
dt	8	и	dU I

52	/kR \2 » л2

—(6.106)

2	X U ' п=2 /» — 1

Сравнивая (6.105), (6.106) с уравнениями первого приближения (6.98),
(6.99) при ls{U) = 0, видим, что в рассматриваемом генераторе во втором
приближении не вносится поправка в уравнение для амплитуды. В то же
время поправка на частоту для генератора с безынерционым активным
нелинейным элементом во втором приближении не равна нулю и, как вид-
но из (6.106F, изменяется во времени в переходном процессе. Это важные
для практики результаты, поскольку вопросы стабильности частоты и ее

зависимости от режима играют определяющую роль во многих источниках
колебаний.

Обсудим кратко причины, приводящие к появлению поправки на часто-
ту. Первое слагаемое в правой части (6.106) связано с влиянием потерь и
регенерации колебательной системы на частоту. Отметим, что при отсут-

dp	S2

ствии активного элемента поправка на частоту — ------ш0 согласуется

dt	8

с погрешностью более высокого порядка малости, чем б2 со значением
частоты колебаний в контуре с потерями, определяемой точными методами
(6.4). Второе слагаемое в (6.106) — поправка на частоту, связанная с до-
бавпением высших гармоник к гармоническому управляющему напряже-
нию (6.63). Если учесть, что первое слагаемое в (6.63) — четная функция
Ф = сооГ + <Л а второе (6.101) в нашем случае —нечетная функция, то Ни) *
= i[U cos Ф + bui (U, Ф)1 уже не является четной функцией. Следовательно,
В ряде, аналогичном (6.93), амплитуда ISIU) не будет равна нулю, что в со-
ответствии с (6.99) должно приводить к ненулевой поправке на частоту.

Дальнейшее уточнение решения (6.63) связано с нахождением и2 (U, Ф)
по (6.68), т.е. уточнением уровней высших гармоник. Обычно такое уточнен
ние уже не представляет практического интереса. Поэтому выводить со-
ответствующее выражение мы здесь не будем.



а!
Итак, уравнения первого приближения в методе малого, параметра Кры-
лова — Боголюбова — Митропольского совпадают с укороченными уравне-
ниями, получаемыми методом медленно меняющихся амплитуд, но в этом
методе можно уточнять решение, причем второе приближение естественно
приводит к определению поправки на частоту в тех генераторах, где ее нет в
первом приближении. В то же время процедура выводе основных уравнений
этим методом менее наглядна, чем в случае применения нестрогих методов.

Отметим, что поправка на частоту, связанная с влиянием потерь, регене-
рации и высших гармоник, может быть найдена и другими методами*),
однако процедуры ее определения представляют собой некоторые физи-
чески оправданные дополнения к приближенным методам, а не являются
неотъемлемой частью единого подхода, как в методе Крылова — Боголюбо-
ва — Митропольского.

Метод усреднения для квазилинейных систем**). Другой подход к по-
строению асимптотических разложений решений уравнений систем, близ-
ких к линейным консервативным, основан на подборе такой замены пере-
менных, при которой обобщенные координаты оказываются медленно ме-
няющимися. Поспе замены переменных применяется процедура усред-
нения, позволяющая исключить малые осцилляции обобщенных координат,
обусловленные высшими гармониками квазигармонического решения, и
упростить уравнения. В таком виде метод был предложен Н.М. Крыловым
и Н.Н. Боголюбовым и затем математически обоснован Н.Н. Боголюбовым.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере системы, опи-
сываемой уравнением (6.13). Вводя обозначение ри = v, заменим (6.13)
канонической системой уравнений:

ри = v, pv = —a>oU + ef(u, v).	(6.107)

Соответственно уравнение порождающей системы (6.61) заменяется двумя
уравнениями первого порядке

ри = v, pv=—uiou.	(6.108)

Вектор линейно независимых решений порождающей системы имеет вид

и = (У cos (ш0Г + ^), у = — ш0 (У sin (w0? + •	(6.109)

Будем рассматривать соотношения (6.109) как формулы замены пере-
менных (о, I/) на переменные (0,	. Новые координаты соответствуют

описанию движения в полярной системе координат, вращающейся с угло-
вой скоростью ш0, задаваемой порождающей системой. Колебанию в поро-
ждающей системе с начальными амплитудой Uo и фазой *р0 в этих коорди-
натах соответствует точка с радиус-вектором, имеющим постоянные модуль
Uo и фазу Радиус-вектор точки, описывающей движение в нелинейной
системе (6.107), очевидно, будет иметь изменяющиеся модуль U и фазу <?.

^Подставляя (6.109) в (6.107), получим систему уравнений относительно
pU и р<р:

(cos Ф )pU — (U sin Ф) р!р = 0,

— (w0 sin Ф)р(У — (ш0 (У cos Ф) = е/((7со$Ф— (У sin Ф),

*)Кобзарев Ю.Б. Зависимость частоты лампового генератора, от режима. Вестник
электротехники, 1931, № 10, с. 346—354. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электри-
ческих колебаний. — М.: Гос. изд. по техн, связи, 1935, 42 с.

**>3дёсь мы опираемся на изложение метода, приведенное в книге Боголюбов Н.Н.,
Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.:
Фиэматгиз, 1958,408 с.
где, как и ранее, использовано обозначение Ф = O30t + р для текущей фазы
колебаний.

Решая эту систему уравнений относительно рО \лрр, приведем ее к стан-
дартной*) форме в новых координатах:

1	~

pU = —е  f[U cos Ф, — Wq U sin Ф) sin Ф,
Wo

pip = —е —— f(U cos Ф, — w0 U sin Ф) cos Ф.	(6.110)

w0 U

Поскольку скорости изменения U и р в соответствии с (6.110) являют-
ся величинами порядка е, квазипериодические осцилляции U и р с перио-
дом, близким к 2n/wo, должны быть малыми. Поведение системы в основ-
ных чертах описывается плавно меняющейся составляющей. Поэтому U и р
можно представить в виде

й = и + €й\(и,ф> + е2и2(и, Ф) + ...,	(6.11D

р = р + е01 {U, Ф) + €202(U, Ф) + ...	(6.112)

Из (6.111), (6.112) видно, что учет малых осциллирующих поправок дает
вклад в правые части (6.110) порядка е2. Поэтому, усредняя правую и ле-
вую части уравнений (6.110) по Ф на периоде, получим следующие уравне-
ния для Uvtp:

1	1 я

pU = —е— — f f(U cos Ф, — w0 U sin Ф) sin Ф с/Ф,	(6.113)

w0 2л -я

1	1	”

рр = -е---------f ^(УсскФ, —a>0Usin Ф) cos Ф с/Ф.	(6.114)

Wot' 2 л Л

Если принять во внимание (6.76), то видно, что уравнения первого прибли-
жения в методе усреднения (6.113), (6.114) в точности совпадают с урав-
нениями первого приближения в методе малого параметра (6.81), (6.82).

Вычитая из (6.110) соответствующие уравнения (6.113), (6.114) и
удерживая справа и слева лишь члены порядка е , нетрудно получить осцил-
лирующие поправки i/| (U, Ф)	Ф) к медленно меняющимся функг

циям U и р.

Далее, подставляя в (6.110) выражения для U и р, содержащие первые
два слагаемых в (6.111), (6.112), и снова выполняя усреднение левой и
правой частей, получим уравнения второго приближения для медленно ме-
няющихся функций U и р. Из них определяются поправка к амплитуде и
частоте колебаний. Вычитая эти уравнения из (6.110) с сохранением вели-
чин до второго порядка малости, найдем осциллирующие поправки u2(U,'l,'l
w62(U, Ф).

Алгоритм дальнейшего уточнения решения очевиден. Различие результа-
тов, получаемых на каждом этапе последовательных приближений в двух
последних методах, связано с различием форм представления решения.
Однако выражения для медленно меняющейся поправки на частоту во вто-
ром и последующих приближениях совпадают.

*>Этоттермин для метода усреднения мы используем, следуя упомянутой выше кни-
ге Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского.
Оценка погрешностей асимптотических методов показала, что первое
приближение дает относительную погрешность определения амплитуды и
фазы колебаний порядка € на временном интервале длиной порядка 1/еш0.
Ограниченность временного интервала, на котором оценивается погреш-
ность, физически понятна и связана с неточностью определения частоты
автоколебаний. Эта неточность с течением времени приводит к нарастанию
расхождения фаз точного и приближенно найденного колебаний и различию
мгновенных значений решений спустя достаточно большое время.

Отметим, что математическое обоснование и оценка погрешности асимп-
тотических методов вместе с совпадением уравнений первого приближения,
получаемых приближенными и асимптотическими методами, позволяют
увереннее пользоваться приближенными методами.

§ 6.4. Связь укороченных уравнений с символическими.
Метод Евтянова*)

В любом из перечисленных выше методов процедура получения прибли-
женных уравнений системы из точных дифференциальных уравнений весь-
ма трудоемка, если речь идет даже не о слишком сложных схемах. Сама
прочедура составления точных дифференциальных уравнений и приведения
их к каноническому виду требует времени и внимания. Если применить до-
статочно эффективный символический метод составления уравнений, то
после записи символических уравнений системы необходимо от них перей-
ти к дифференциальным, а затем при использовании, например, метода мед-
ленно меняющихся амплитуд выполнить сначала точное дифференцирова-
ние искомого решения, а затем сортировку слагаемых результирующего
выражения по порядкам величины.

С.И. Евтянов поставил и решип задачу нахождения регулярного метода,
позволяющего быстро получать укороченные уравнения для любой кон-
кретной задачи непосредственно из символических уравнений системы.
Этот метод оказался весьма удобным для решения многих прикладных за-
дач теории колебаний. Поэтому далее он будет рассматриваться как основ-
ной метод исследования систем, в которых происходят квазигармони-
ческие колебания.

Следуя Евтянову, изложим метод получения укороченных уравнений
для системы рис. 1.21, в которой активный элемент является генератором
тока, управляемым напряжением и. В главе 1 было записано символическое
уравнение такой системы (1.71):

и = z(p) Ци}.

Управляющее сопротивление в системах, близких к линейным консерватив-
ным, можно записать в виде

6Р(р, 6)
z(p) = --------- ,

Q{p, 6)

(6.115)

где 6 — малый параметр, Р{р, 6), Q(p, 6) — полиномы от оператора р. В си-
стемах с высокодобротными контурами в качестве малого параметра удоб-
но выбрать затухание на одной из нормальных частот. С учетом (6.115)
исходное символическое уравнение имеет вид:

6Р(р,«)
и = --------- i (и).

О(р,6)

(6.116)

4 Евгяное С.И. О связи между символическими и "укороченными" уравнениями.—
Радиотехника, 1946, т. I, № 1,с. 68—79.
Соответствующее ему дифференциальное уравнение получается из (6.16),
если на правую и левую части подействовать оператором Qlp, 6):

О(р,Ь)и = 5Р(р, 6)/(и).	(6.117)

При 6 = 0 исследуемая система превращается в линейную консервативную.

Ее дифференциальное уравнение

а(р, о}и = о	(6.118)

в достаточно общем случае можно представить в виде

р(рг +	(р2 + ш£2) . . . (р2 + wJA.)u =0,	(6.119)

где Шок (Ar = 1, 2,..., л) — нормальные частоты порождающей системы.
При четной степени уравнения порождающей консервативной системы мно-
житель р отсутствует. Из (6.119) видно, что порождающая система не имеет
кратных корней. Предположение об отсутствии кратных корней не являет-
ся существенным ограничением, так как степень различия нормальных
частот можно выбрать сколь угодно малой. Общее решение уравнения по-
рождающей системы имеет вид

п

и = Uo + S Ukcos + у?*) ,	(6.120)

fc=i

где постоянные Uo, (Ji,..., U„ и , \p2,   , Pn определяются начальными
условиями.

Решение исходного уравнения (6.117) ищется в виде суммы колебаний
с медленно меняющимися амплитудами и фазами

и = U0(t) + S Uk(г) cos [w0*r + y>fc(Hl •	(6.121)

* = i

Высшие гармоники и комбинационные частоты на этом этапе анализа си-
стемы не учитываются. Действие напряжения (6.120) на вход управляемо-
го генератора тока приводит к появлению в спектре тока постоянной
составляющей, квазигармонических составляющих с частотами, близкими
к Шок, гармоник каждой из частот и комбинационных составля-
ющих.

Предполагается, что частоты шОк не находятся в целочисленных соотно-
шениях и в полосы пропускания цепи обратной связи могут попадать лишь
составляющие с нулевой частотой и частотами Шок- Поэтому ток в уравне-
нии (6.117) можно с точностью до поправок порядка 6 представить в виде:

/(о) = /0(t?0, t/j..U„) + S /fc(t?0,	....Un) cos [шоН +^(Н1.

fc=i

(6.122)

Очевидно, что /0 и все 1к являются функциями всех амплитуд Uo, Ulr . . .

Заменив косинусы в (6.121), (6.122) по формуле Эйлера

1	1

cos (шок* + у>*) = — ехр [/(ШоН+ у»*)) + ~ ехр I *7(^о*г + у>*)1

и введя комплексные амплитуды

Uk - Uk епр(ц>к), I* = ехр (/<рА),	(6.123)
представим и и Ни) в комплексной форме

1	я	1 "

и ~— S U* exp(-/coVAr) + Uo + — S ехр (/wofcf),	(6.124)

2	fc=i	2 *=i

i ”	in

/(u) = — i lt exp (—/ш0*-Н + /о + — S 1Л ехр(МокГ). (6.125)
2 t=i	2 *=i

Здесь звездочка — знак операции перехода к комплексно сопряженной
величине.

Если подставить (6.124), (6.125) в (6.117), то очевидно, что для выпол-
нения равенства сумм слева и справа необходимо и достаточно, чтобы были
равны слагаемые с одинаковыми экспоненциальными множителями. Таким
образом, из (6.117), (6.124), (6.125) вытекает система уравнений

О(р, 8) 1У0 = 8Р(р, 8)/0(<7),	(6.126)

Q(p, 8)U* ехр(-/ш0*г) = 8Я(р, 8) (J) ехр (-/ш0*г),

Q(p, 8) U* ехр (/w0*t) = 8Р(р, 8) !*(</ ) ехр (/wOfrt).	(6.127)

Здесь U — совокупность амплитуд Uo, Ulr..., Un.

Отметим, что переход от действи+ельного уравнения (6.117) к системе
комплексных уравнений (6.127) для случая меняющихся амплитуд и фаз
не совсем тривиален. Он равносилен требованию о том, чтобы уравнению
(6.117) одновременно с функциями (6.120), (6.122) удовлетворяли
функции

u = L ик (Г) sin (coofcf + y’fcfr)],	(6.128)

fc=i

/(о) = S /*(0) sin [wofct + ^fctf)l	(6.129)

t=i

по крайней мере с той же погрешностью. В случае, когда полосы спектров
(7о(Н,/о(О много меньше woi, а полосы спектров Uk(г), !к(£/),*рк(t) много
меньше чем Шок, функции (6.128), (6.129) являются преобразованиями
Гильберта от функций (6.121), (6.122)*). Но преобразование Гильберта
перестановочно с линейными операторами Q(p, 8) иР(р, 8). Поэтому, при-
менив его к правой и левой частям равенства (6.117), мы докажем, что
при упомянутых выше условиях (6.128), (6.129) действительно удовлетво-
ряют уравнению (6.117), если ему удовлетворяют (6.121) и (6.122). Одно-
временно доказано, что используемые в (6.121), (6.122) амплитуды и фа-
зы, так же как и комплексные амплитуды 11*(т) и Ц.(г) (6.123), определе-
ны здесь через аналитические колебания U*. ехр (/ш0*Г) и lfc(l/) ехр(/ш0*Г>.
В этом случае первое из уравнений (6.127) является следствием второго.

Используя теорему смещения*), приведем уравнения (6.127) к виду

0(p+/ook,8)U*=8P(p+/oOA, 8)ljt(t7),	к-1.2.....п. (6.130)

*)См., например, стр. 12 в книге Евсиков Ю.А., Чапурский В.В. Преобразование слу-
чайных процессов в радиотехнических устройствах. — М.: Высшая школа, 1977, 264 с.

**>Теораме смещения для символических уравнений представляет собой обобщение
правила дифференцирования функций вида Uw ехр (/о>0 г). В.самом деле, поскольку

Р(И(г1 exp(/w,t)] = exp(/o>0r)pU(t) + /u>oexp(/u>of) U(t) - exp(/u>„f)(p + /w* )U(t),
Отметим, что после применения теоремы смещения мы перешли к уравне-
ниям относительно медленно меняющихся комплексных амплитуд. После
этого перехода можно использовать допущение о медленности изменения
комплексных амплитуд, в силу которого

I P*J* I ~ SwojtlUfcl, |jo2U*l	lUfcl,...

(6.131)

и, пренебрегая поправками порядка 5 к основным слагаемым в правой и
левой частях (6.130), перейти к укороченным уравнениям.

Для удобства сортировки членов уравнения (6.130) представим

О(р + /шок, 6) и P(p+/wofc, 5) двойными рядами Маклорена по степе-
ням р и 5

(/ЭО 1 /ЭО 1	)

О (р + Ъ Й) = (Q ) к + I I "Т- I Р + I ~ • $ I +
I \ op Jk \ 00 J к )

1	1/д2° 1 ,	/ э2о 1 /д2а 1	,1

+ —(I  - р2 + 21 -------- бр + I —-	б2?

2	(\ Эр2 J к \ ЭрЭб I к \ Эр2 J к J

(6.132)

(/ЭР ] /ЭР] 1

Р{р+/а>ок, б) = (Р]к + Г—	р + (— б + ...	(6.133)

I \ Эр J к \ Эб J к )

В этих выражениях в несимметричные скобки (...) заключены выраже-
ния, вычисляемые прир = 0 и б = 0. Например:

yn+nQ 1

Ърт Эб" Jk

9"1+"Q(p+/coofc,6)

ЭртЭб"

Подставляя (6.132), (6.133) в (6.130)
.(6.119) (О) к = 0(/Wok, 0) = 0, получим

р=0,
6 = 0

и учитывая, что в силу (6.118),

.	(6.134)

Получим сначала укороченные уравнения, приняв допущение о том,
что относительные расстояния между ближайшими частотами шок много

то подобным же образом непосредственно доказывается, что для любого к
p*[U(t) exp(/Wgt)] = exp (/uiot) [(p + /w0)*U(t)]

и отсюда для линейной комбинации операторов дифференцирования различных степе-
ней имеем равенство

exp*^w»f,l "* ak (p+/w,)*[U(r) exp(/wot)l.

Поскольку Pip, 6) и O(p, 6) — полиномы относительно оператора p, тем самым до-
казан переход от (6.127) к (6.130) (см. также гл. II п. 38 в [23]).
больше, чем 5. Полином 0{р, 5) можно в общем случае представить в виде
(Р	\ f Р2	Р	\	/ Р2	Р	\

— + б а0 j I —— + Sot] --------+ 1 j • • • I ~ + ба„ ——- + 1),

СО0 I	/\GJoi	Wy j	/	\Won	Wy„	>

(6.135)

где <Хо, СК|, . . ., а„ — величины порядка единицы. Очевидно, что в этом
случае

/ЭО] 2	~	/ЭО]

("Г- I = /	Q*(/wo*,O), l~rl =/a*$*(/Wo*, 0),	(6.136)

\op J*	w0*	\ Эб J л

где

Q(p, 0)

O*(/Wy*, 0) - 2	2

Р + w0*

(6.137)

Относительно Р(р, 6) сделаем лишь допущение о том, что эта функция не
имеет нулей в окрестности какой-либо из частот w0* (к = 1, 2,.... л) с ра-
диусом порядка бш0*. Тогда (Р] * Ф 0. Из (6.136), (6.137) видно, что

ЭО

ЭО

(—	, { — также не равны нулю. В этом случае равенства (6.134)

\Эр * \ Эб I*

можно переписать, пренебрегая слагаемым порядка б2. Получится сле-

дующая система укороченных уравнений

f/ЭО] /’ЭО]	1

Эр К

б U* =б(Р]* 1*(О), Аг =1,2................л. (6.138)

к J

Эти уравнения нужно рассматривать совместно с уравнением (6.126) для
окрестности нулевой частоты, которое с точностью до малых порядка б
можно записать в форме, подобной (6.138):

ЭО

Эр

ЭО

— й

Эй Jo

и0 = б(Р] о /о ((7).

(6.139)

о

Здесь при к = 0

ЭО

Эр] о

ЭО(р, й )
Эр

р = 0,
6=0

/ЭО

\ Эй о

ЭО(р, й)

Эй

р = 0.

6 = 0

(Р1о = /’(0,0).

/ЭО 1

Разделив обе части уравнений (6.138), (6.139) на I-I й (к = 0,1.л)

\ Эб J *
и вводя обозначения для постоянных времени, определяющих скорость
изменения огибающих и фаз колебаний с частотами, близкими к wo*.

/ЭО] / /ЭО] 2

Тк‘ Т /бЧ7 =---------------1	(б-140)

\opjk/ \oojk w0* а*б
и комплексных управляющих сопротивлений на частотах w*

//ЭО]

г*ж(₽Ь/(— L	J6.141)

/ \Эо J*
приведем уравнения (6.138), (6.139) к окончательному виду
(Т*р+1)Ut = ZA1fc((J), Аг =1,2............п,	(6.142)

(Тор + 1)£Л) = Z0/0(t7).	(6.143)

Сравнивая систему, уравнений (6.142), (6.143) с исходным уравнением
(6.117), видим, что суммарный порядок уравнения порождающей системы
(6.119) и системы укороченных уравнений одинаков, поскольку каждое
комплексное уравнение эквивалентно двум действительным. Однако пере-
ход к укороченным уравнениям во многих случаях позволяет достигать
существенного понижения порядка системы уравнений. В самом деле, под-
ставив (6.123) в (6.142) и приравняв после дифференцирования действи-
тельные и мнимые части справа и слева, перейдем от (6.142) к системе
действительных уравнений:

(Г*р + 1)	= Rklk(U0,Ux......U„),

TkUiiP'Pk ~ XklkWo, ,. . . , Un), к - 1,2.............n.

(6.144)

Здесь Rk = ReZk, Xk = lmZfc. Из (6.144) видно, что для автономной систе-
мы весьма общего вида, которой соответствует исходное уравнение (6.117)
при некратных соотношениях между частотами w0*, уравнения для
L/о, Ulr'... ,Un могут решаться независимо от уравнений для фаз, т.е. от
уравнения порядка (2л + 1) мы переходим к системе уравнений (л + 1) -го
порядка.

Рассмотрим теперь, как выглядит система укороченных уравнений в
случае, когда две из нормальных частот ш0|. иш0<| + | близки между собой,
т.е. - шОг|/шОг ~ 6. При этом составлять уравнения гармонического
баланса для амплитуды Ur, пренебрегая влиянием Ur+1, вообще говоря,
некорректно. Однако при таком соотношении нормальных частот wOl. и
wOr+i сумма колебаний с этими частотами сама по себе является квази-
гармоническим колебанием и может характеризоваться одной медлен-
но меняющейся комплексной амплитудой. В самом деле, сумму г -го и
(г + 1)-го слагаемых в (6.124) можно представить в виде

Ur ехр (/шОгг) + Ur+i exp(/wO r+1 г) = Ur,r+i exp (/wOrt),
где

Ur,r+1 = Ur + Ur+1 exp(/(wO r+1 - Wor)r] =илг+1 exp (/Vr.r+I)(6.145)

— медленно меняющаяся комплексная амплитуда, поскольку скорость
изменения показателя в экспоненциальном множителе второго слагаемо-
го — величина порядка 6 по сравнению с шОг.

Поставив таким образом в соответствие двум близким нормальным
частотам одну комплексную амплитуду, мы сохраним в силе все допуще-
ния, которые были сделаны при выводе уравнений (6.134). Однако при
переходе от уравнения (6.134) к укороченному для комплексных ампли-
туд Ur,г+1 и lr,r+i выражения (6.136), (6.137) перестают быть справедли-
выми и укороченное уравнение для случая близких нормальных частот
отличается от (6.138).

В самом деле, в этом случае вместо (6.135) можно записать

Р	Р\/Р	Р \

	 + Sai 	 + 1). .. | —+ Иаг-+ 1 |Х.
Wqi---------------------------------Wo I / \Wor Wo г /

/ рг	р	\	I р*	р	\

х — + par+i--------+ 1+05). ..-j- +5а--------+ l).	(6.140)

\Wor	Wo Г	’	'Won	Won	'
Из (6.146) видно, что

да ]

— 1 =0 и
, др 1г

Поэтому в левой части уравнения (6.134) для комплексных амплитуд
иг,г+1,1г,г+1(^) основными оказываются слагаемые второго порядка
малости.

Из теории линейных диссипативных систем известно, что близкие нор-
мальные частоты существуют при слабой связи между парциальными си-
стемами с близкими или равными частотами собственных колебаний.
При этих условиях для операторного полинома Р(р, 6) в (6.117) выпол-
нено одно из двух условий:

а)	либо он имеет порядок 6 , т.е.

Р(р,6) = HPi (р,6).

б)	либо он имеет нуль в 6-окрестности Wor, т.е.

/ р2	р	\

Р(р, 6)- I—-— +	----- + 1 + Х6|₽2(р, д) ,

\Шог	СОог	'

(6.147)

(6.148)

где f и X — постоянные порядка единицы. В обоих случаях (Р] г = 0 и поэто-
му в правой части уравнения (6.134) для окрестности частоты шОг первые
не равные нулю слагаемые имеют порядок 62.

Таким образом, чтобы найти укороченное уравнение для окрестности
двух близких частот, необходимо удержать в (6.134) члены второго по-
рядка малости, пренебрегая членами третьего порядка. Получим

11 /д2О
1г \ др2

, / д °

р +1------

КдрЭб

1
бр + —

2

/д2а

\ Э62

S2Jur,r+1 =

(6.149)

Из изложенного ясно, что уравнением (6.149) должны быть заменены г-е
и (г + 1)-е уравнения в системе (6.138). Поскольку два уравнения пер-
вого порядка заменяются одним второго порядка, суммарный порядок си-
стемы укороченных уравнений сохраняется и по-прежнему равен порядку
уравнения порождающей системы.

Рассуждая так же, как в случае двух близких нормальных частот, можно
показать, что при трех близких нормальных частотах первые не равные ну-
лю слагаемые в (6.134) будут иметь третий порядок малости и соответст-
вующее им укороченное уравнение будет третьего порядка , а для s близ-
ких частот укороченное уравнение будет иметь порядок s.

§ 6.5.	Связь укороченных уравнений с приближенной записью
комплексной частотной характеристики цепи обратной связи

Укороченные уравнения могут быть получены непосредственно из
символического уравнения (6.116), если воспользоваться выявленной
С.И. Евтяновым связью укороченных уравнений с приближенной записью
комплексной частотной характеристики цепи обратной связи. Эта связь
подобна рассмотренной в гл. 1 связи между дифференциальными уравне-
ниями линейных систем в символической форме и уравнениями для комп-
лексных амплитуд.
Чтобы пояснить эту связь, предположим, что на месте управляемого
генератора тока Ци) в схеме рис. 1.21 включен генератор гармоническо-
го тока. Изменяя его частоту и наблюдая за изменением\выходного на-
пряжения цепи обратной связи и, можно получить комплексную частот-
ную характеристику цепи обратной связи. При этом, если частота тока
внешнего воздействия близка к wot. т-е-

ik = Relk exp \j (соОк + Дсо)г],

где

|Дш| = |w - GJ0* I ~

to, заменяя в (6.116) /(u) на /k, получим соотношение между комплекс-
ными амплитудами гармонического внешнего воздействия и реакции
на него

аи<^ок + /Дш, S)Uk = 6P(/wot + /Дш, 6)lfc.	(6.150)

Сравнивая это уравнение с (6.130). видим, что они различаются заменой
р на /Дш. Очевидно, что условиям медленности изменения Uk (6.131)
в процедуре получения резонансной кривой эквивалентно условие малой
величины относительной расстройки Дш/шок, а приближенная запись опера-
торов, используемая в (6.138), эквивалентна записи комплексной частот-
ной характеристики с точностью до величин порядка 6

/ЭО

/Дш + —
\Эй

Uk=6(P]*l*.

(6.151)

6

Таким образом, получив приближенные выражения комплексной час-
тотной характеристики цепи обратной связи для расстроек Део относитель-
но нормальных частот порядка Эшок (к = 1, 2, . ... л) и заменив /Део
оператором дифференцирования, а постоянные комплексные амплиту-
ды Ufc, lk — медленно меняющимися Uk(г) и 1к(£Л, U2.мы по-

лучим систему укороченных уравнений. При этом простым одногорбым

резонансным кривым соответствуют комплексные укороченные уравне-
ния первого порядка, а более сложным кривым для окрестностей двух
или более близких нормальных частот соответствуют укороченные урав-
нения второго и более высоких порядков.

Используя связь приближенных комплексных частотных характерис-
тик с укороченными уравнениями, можно дать иной, более наглядный,
вывод последних непосредственно из символического уравнения (6.116).
Представим z(p) (6.115) с учетом (6.135) разложением на элементарные
дроби, выделив, если есть необходимость, целую часть


Здесь R — множитель, имеющий размерность сопротивленйя и равный
(точно или по порядку величины) резонансному управляющему сопро-
тивлению на одной из нормальных частот, а а_ ь а0, Ьо, Ьк, ск (к = 1,2,...

. , л) — безразмерные коэффициенты порядка единицы или меньше.

Если рассматривать комплексную частотную характеристику z(/co) в
окрестности нулевой частоты, то доминирующим оказывается третье сла-
гаемое. Остальные, как видно из (6.152), являются величинами порядка 8
по сравнению с третьим слагаемым. Поэтому приближенное уравнение, свя-
зывающее /0 (U) и Uo, имеет вид

8Ь0

Uo = ------------- Я/о(£> )•	(6.153)

Део

/-----+ 8 а,

ш01

Для окрестности частоты o>ofc все слагаемые в (6.152), кроме (к + 3)-го,
имеют по сравнению с ним порядок 8 и поэтому комплексные амплиту-
ды тока !*.(£/) и напряжения U* с частотой, отличающейся от со0ЛнаД<о,
связаны между собой равенством

СГ (/^Ок +/Acj\ 1

6 bky------------I +Cjt j

/ /ь>Ок + M«\2	/ ja>Ok + / Дю\

I------------I + 8afc I--------------j + 1

' Шок /	\ CJofc >

Пренебрегая в числителе и знаменателе этой комплексной частотной ха-
рактеристики малыми порядка 82, получим

(bk—jck)/ak _»

Щ  -------------Ь— ------R\(U ).

/	2 \

I---------| / Део + 1

\ bak и>Ок J

Используя обозначение (6.140) и учитывая, что с точностью до поправок
порядка 8 комплексное управляющее сопротивление (6.141) можно за-

писать в виде: Zk=---------R, приведем это уравнение к виду

<*к

Zk

и*= -------—---- 1(У), Аг = 1,2......л.	(6.154)

/ЬыТк + 1

Сравнивая (6.154) с (6.142), видим, что после замены/Део-*р из приб-
лиженной записи комплексных частотных характеристик получается сим-
волическая форма записи укороченных дифференциальных уравнений
для случая больших расстояний между нормальными частотами.

В случае двух близких нормальных частот Ыог и шО г+1 полином
О(р, 8) удобно представить выражением (6.146). Из него видно, что в
разложении (6.152) для окрестности со0г одинаковый порядок вели-
чины будут иметь два слагаемых, так что

	г	р	Р	-г		
	, Ьг	 + сг  ш0г			
г(р) =		йг+1 шо.	1 сг+1 r+'l	HR.
	Р2 Е Р  —+ 8а,.—- + 1  - wOr	wOr	Р2  V + 8аг+1 Wor	~^—+ 1 + (38 ш0г	
Записывая комплексную частотную характеристику Z(/co0r+/Дш) с пог Л
решностью порядка 5, получим	'

_ j R ( b^\ -icr+S\R
[ar ar	\ ar+ j ar+ )

Z(jwOr + / Aw) = —---------- +-----—-------------

/ Aw Tr + 1	j До Tr+ ] + 1 - j -

«г* i

Приводя эту сумму к общему знаменателю и выполняя алгебраические
преобразования, получим уравнение связи между Ur г+1 и 1Г /. + 1 (U)

(/ДоГгЛ/! +Л/2) Я1г г+1 (L/)
ur r+ j - -	~———————————————- .

(/До)2TrTr+! + (гг + Tr+1 -/----- Гг)(/• До) + (l -/-)

\	аг+1 ' /	V ar+ j /

(6.155)

Здесь М1г М2 — комплексные постоянные, получаемые после суммирова-i
ния элементарных дробей. После замены /До-»риз (6.155) получает-
ся символическое укороченное уравнение второго порядка, все коэффи-
циенты которого с точностью до малых порядка 6 совпадают с соответ-
ствующими коэффициентами уравнения (6.149).

Использование разложения символического управляющего сопротивле-,
ния на элементарные дроби и связи укороченных уравнений с прибли-
женной записью комплексной частотной характеристики позволяет во
многих случаях получить укороченные уравнения с минимальными затра-
тами времени и меньшей вероятностью ошибок. Кроме того, такой под-
ход позволяет выявить общие свойства генераторов, схемы которых раз-
личаются несущественными для выполнения основных функций дета-
лями.

В заключение этого параграфа обсудим вопрос о том, с какой точностью
нужно знать нормальные частоты колебательной системы при выводе
укороченных уравнений. До сих пор предполагалось, что они известны
точно и комплексные амплитуды Ut, lt описывали изменение во време-
ни амплитуды и фазы колебаний с частотами (6.124), (6.125). Од-
нако нетрудно заметить, что решение (6.120) можно искать в виде коле-
бания с частотой шк, которая может отличаться от а>Ок на величину

Дсо^ = (л>к — <*>ок	(6.156)

такую, что

Дш^/соо^ ~ 8.	(6.157) .

В самом деле, учитывая (6.156), можно переписать (6.120) в виде,
п

и = Ua + S Ukcos(wkt — Д.шк{+ <рк).	(6.158)

*= 1

Можно ввести новую фазу	.

'Р к ~ Рк — AbJict,	(6.159)

которая в силу (6.157) удовлетворяет требованию медленного ее изме- ^
нения. Все последующие выкладки, связанные с получением укорочен*’!
ных уравнений, остаются верными. Однако при переходе от (6.133) к1*
(6.134) не выполняется равенство Q(/wk,0) = 0. Эта величина имеет по- ’
рядок 6. Чтобы не повторять весь вывод для опорных частот wk, отлича* s
ющихся от нормальных, можно воспользоваться следующим приемом. 3
1»	/	1
' Выразим комплексную амплитуду Ufc = Ukexp(jtpk) при опорной час-
тоте w0* чеРе3 комплексную амплитуду Uj = <Укехр(/<3*) • Как видно
из (6.159),

Ut = U*exp(/Awtt).

(6.160)

Подставляя (6.160) и вытекающее из него выражение для гармонических
составляющих тока Ik(t7) = 1к(Д/)ехр(/ДшкГ) в (6.138) и применяя теоре-
му смещения, получим укороченные уравнения при опорной частоте wk:

I / dQ 1	/ ЭО ] I

|(—4 (р+/Дшк)+1--------- '6 Uk =mk lk (У).	(6.161)

t’ Эр Jk	4 dS Jfc J

/ЭО1 /dQl

Параметры (— , I------I , (P]k здесь, как и в (6.138), вычисляются при

\ 3pJk \ 38Jk

опорных частотах wok, но их можно находить и при опорных частотах
wk, поскольку связанная с этим погрешность будет порядка 8. Именно
с такой погрешностью получены сами укороченные уравнения.

Соответственно укороченное уравнение (6.149) для окрестности двух
близких частот при выборе любой опорной частоты срг, близкой к шОг,
примет вид:

( 1 { Э2О1	, / Э2О 1

{ —I---: (р +/Дшг)2 +(-•— 8(р+/Дшг) +

| 2 V Эр2	' Эр Э8 J г

1 / Э20т ,)	(/ЭР	[ЪР I I

+	2	$ [ и, г+1 = 8 <1 (р +/Дшг) +1 —-	8 .1г г+1 (U),

2 \Э82 J r J	(\ 3pJr	\ Э8 Jr J

(6.162)

где

Дшг = GJr — WOr.

Приближенная запись комплексной частотной характеристики при
опорной частоте шк или а>г получается из (6.161), (6.162) заменой р->
->/Дш, где Дш = w — wk или Дш = ш — шг, и, обратно, укороченные урав-
нения можно получить из приближенной комплексной частотной характе-
ристики, полученной с погрешностью порядка 8 при опорных частотах
wk или wr, путем замены /Дш-*р. Таким образом, при получении уко-
роченных уравнений из символических нет необходимости точно знать
нормальные частоты. Достаточно знать их с погрешностью порядка 8, а
в процессе решения укороченных уравнений частота колебаний будет
уточнена и определена с погрешностью порядка 82.

§ 6.6. Второе и высшие приближения в методе Евтянова

Полученные в предыдущих параграфах укороченные уравнения поз-
воляют решить вопросы возникновения и существования (устойчивости)
квазигармонических колебаний. Амплитуды и частоты колебаний (если
их несколько) определяются соответственно с погрешностями порядка
5 и82. Такая точность определения амплитуды, как правило, достаточна
Для практики. Вс$ зависимости амплитуд колебаний от параметров нахо-
дятся из этого приближения и в уточнениях следующего порядке необхо-
димости Het.

Что же касается частоты колебаний, то точность первого приближения
не всегда достаточна и поправку второго приближения, которая для 1*ене-
13. М.В. Капранов	193
ратора с одной степенью свободы была найдена методом малого парамет!
ра (§ 6.3), нужно уметь определять для любой схемы. Эта задача может
быть решена с использованием полученных в предыдущем параграфе
укороченных уравнений и их решения в качестве первого приближения.
Будем решать ее, приняв допущения, сделанные при выводе укороченных
уравнений из символических, и предполагая, кроме того, что в генерато-
ре существуют одночастотные колебания. Обозначим медленно меняю-
щиеся амплитуду и фазу существующего колебания Ui nyj| соответствен-
но и вместо (6.120) будем искать решение в виде

и = и0 j + f>ur,	(6.163)

где

«oi = Uo + Re [U, ехр (/ш0 if И	(6.164)

— сумма медленно меняющейся части и первой гармоники с медленно
меняющейся комплексной амплитудой U| = Ut exp(/^i), а

ur = 2 Re [Utexp(AwOif)l	(6.165)

k=2

— сумма высших гармоник решения. Выделим в Uo, Ui и у>| составля-
ющие 444 UP и лч определяемые в рамках первого приближения
(т.е. по укороченным уравнениям), и поправки порядка 6:

U0=U^+f>U^, U1=uP>+6Up», <^1 =У>Р+бу>р. (6.166)

Ток активного элемента Ци} представим формулой Тейлора, учитывая
поправки порядка 5

i(u) = j(uoi + 6«г) =/(«о।)+®(«о 1 )Sur + погрешность ~82.

Здесь

di (и}

s(«oi) =--- ,	(6.167)

du U=Ua,

т.е. предполагается дифференцируемость/(«). Подставляя (6.164) в выра-
жение для/(«) и используя представление/(и) комплексным рядом Фурье,
запишем

/(£/)= 2 1*ехр(Лш0jt) + 6(	2 S(exp(//w01f)) X

—/= _ ос

X ( Е' Um ехр(/Тпсоо 1 f)) + погрешность ~62.	(6.168)

т = — “

Здесь комплексные амплитуды тока I* и крутизны Sj зависят от Uo и
Ui, = U£,a штрих у суммы высших гармоник напоминает об отсут-
ствии в ней слагаемых с m = 0 и m = + 1. Комплексные амплитуды I =
= 4 (Uo, U| )ехр(Ду>,) можно записать с относительной погрешностью
порядка62 в виде	j

l*«/k(Ui1> + 5Ui2),(/P)+«uP))exp(/^J)-

=	Upb+6ak0^2)+6ак1 Uf2)] exp(//ry?i),	(6.169) ;j
где

°t0 = Э(/о

У <*>,</<*> '

э/*

Cfc 1 —
ди.

У<1>,уР>

(6.170)

Подставив (6.169) в (6.168) и перегруппировав слагаемые в произведе-
нии сумм, получим

z(u)= S +5оло<42>+8ojtl£42)}exp(/Av1)exp(/*cj0it) +

к--°°

ОО	со ,	/| j

+ 6 S ( S' Sfc_fUf )exp(/fcu>oif) + погрешность ~82.
к = — “ Is — ОО

Обозначим поправки к гармоническим составляющим тока,

Alf>= S' Sk_iUt	(6.171)

z= - “

и, выделив в сумме гармоник Ци) медленно меняющуюся составляющую
и первую гармонику, запишем:

/(о) = /Р) + 3(о00уР) + o0|t'P> + Д/o’’l +

+ {(111) + 8 (а, о t/P} + Oj j t/}2})ехр(/у? i) + 8Д/Р ?] ехр(/ш01 г) + к.с.} +

+ { £ nJ1’ + 8(аА0Оо2) + о*!t/f2))exp(у'Дгу?!) +8Д/Р)]ехр(/*ш01Г) +к.с.).

к = 2

(6.172)

Здесь к.с. — слагаемое, комплексно сопряженное первому слагаемому
в фигурных скобках.

Подставим (6.163), (6.172) в (6.117) и, применив теорему смещения,
приравняем выражения для комплексных амплитуд различных квазигар-
монических составляющих. Получим равенства

Q(p, ЗНуР’ +8</(2)) = БР(р, ЗК/Р’ +8(аООУо2) + о01<Л<2) + AlP’)L

О(р +/Шо1,8)U, =

= 8Р(р +/w01, 3)[1р) + 8(о|0уР) +o11t/P))exp(/y?|) +8Д/р)],

О(р +/Агш0|, Б )8Ufc =

= 8Р(р + }кш0,, 8)(|Р} +8(ок0^о2’ + ак1 t/P ’lexp(jk^t) + 8Д/Р .

(6.173)

Поскольку в окрестности частот кш01 при Хг > 2 цепь обратной связи
не имеет точек, где |Q(//rw01.8)| ~ 8, то с точностью до малых порядка
3 можно принять

Q(p +jkwot, 8) ®» Q(jkco0i, 0), Р(р +Дш01, 8) =» Р(/*Шоь 0).
Поэтому выражения для комплексных амплитуд высших гармоник на-
пряжения и имеют вид

|О> (* = 2,3,...).

Q(Awo 1,0)

(6.174)

Эти комплексные амплитуды определяются через комплексные ампли-
туды гармоник тока активного элемента, зависящие только от 1 ’ и
О/1 \ определяемых из уравнений первого приближения. Решение уко-
роченных уравнений, дополненное суммой высших гармоник, определя-
емых соотношениями (6.174), называют улучшенным первым прибли-
жением.

Уравнения второго приближения для поправок Uq2^ и У, получаются
из первых двух уравнений (6.173). Используя разложения (6.132), (6.133),

перепишем их в виде:

/дат	/ дот	1/д2о

I-- р + I-- 8 + — ( ——

'др Jo ' дд Jo 2'др2

Р2
о

д2о •

др д8 . 0

6р +

1	( д2О] ,
+ —I—— 82 + .

2	V дб2 Jо

I	I ЭР]

= 5 (Р]о + ----

I	' op о

(О0(,)+8О^2)) =

I 9Р1
р + --

\д« Jo

X [^1) + й(Ооо(71<2)+о01С/р) + △/<*>)],

(zd01	/ЭО1	1 / д2О] , / д2О 1

{ -- р+1----- 8+ —------— I р2 + ----- 8р +

I'dpJj	\ дб J j	2' др2 J । >др дб

+	д2+--- I (HI’+5t7|2)]exp(/V?>+/^i2>) =

2' д82 J i	J

X Ц[1) + 8(0lot/P + oj ।Wf2))exp[/(^}1) + 8^2))1 +8Л1}1’].

Приравнивая в этих уравнениях слагаемые первого порядка по 8, полу-
чим укороченные уравнения

[/ дО] ( дО 1	1	.. .	,.	...	.

— Р+1ЧГ 6	) = т0^ МЧ^Р), (6.175)

I'др Jo'до Jo’

I\др J!	\ do J i J Vdp Ji

совпадающие для рассматриваемого случая с уравнениями (6.139),
(6.138).
Приравнивая слагаемые второго порядка, получим искомые уравнения
второго приближения;

((—1 Р + (—1 5 )	’ - «2 (аоо<4>2 ’ + «о । <42)) =

1\ Эр J о ' 36 Jo J

1 / d2Ql 2

2 \ Эр2 1о₽

Э2О	1 / Э2О

---- 8р + — (------
дрд8 о 2 \ Эб2

82

О

<4(1)

+ 62(Р]оД/о1),

(6.176)

- 82 (Р1, (a10U<2) + о111/}2)) =

= - ехр (~/^Р))

1 / э2а1 , / а2 о I 1 / э2 о 1 ,
-- 7 Р + ------------------ 8р+ — (   82
2' dp2-* t ' др до J t 2 \ Эб2 J t

X

X L/f^expJ/^1*)+ 8ехр (-/^f^)

дР 1 /дР ]	1

— р + (---1 6 }

др J t V asJ । J

х

X /,(1) (f/0(1), 6'Р))+62(/’]1ехр(-А?Р))Д1р).	(6.177)

Система уравнений (6.176), (6.177) с учетом (6.171), (6.174) позво-
ляет найти поправки второго приближения к амплитуде и частоте коле-
баний, а также к напряжению смещения. Нетрудно заметить, что левые
части этих уравнений представляют собой уравнения (6.175), линеари-
зованные относительно малых возмущений амплитуды и фазы, а правые
части зависят от решений уравнений первого приближения. В частности,
первые два слагаемых в правой части уравнения (6.177) отражают влияние
потерь в контуре и его регенерации активным элементом на частоту коле-
баний, а третье — влияние высших гармоник на частоту и амплитуду.

Уравнения (6.176), (6.177) позволяют найти поправки второго приб-
лижения к параметрам колебаний для более широкого класса автогене-
раторов, чем уравнения (6.89), (6.90). Чтобы найти конкретные зави-
симости поправок второго приближения от времени и параметров, нуж-
но знать символическое управляющее сопротивление генератора. Расчет
поправок на частоту и установления частоты колебаний в одноконтурных
генераторах подобным методом с учетом некоторых дополнительных
факторов был дан С.И. Евтяновым *).

*) См. Евтянов СИ. Расчет частоты автоколебаний. — Радиотехника, 1946, т. I,
№2, с. 63—74 и Евтянов С.И. Установление частоты автоколебаний. — НДВШ, Радио-
техника и электроника, 1958, № 1, с. 106—116.
Для расчета третьего приближения нужно, взяв за основу второе приб-
лижение, повторить выкладки этого параграфа, удерживая в уравнениях
малые величины до третьего порядка по 6. В практике радиотехнических
расчетов в третьем приближении, как правило, нет необходимости. По-
этому рассматривать его здесь мы не будем *).

§ 6.7. Примеры укороченных уравнений
автономных колебательных систем

Рассмотрим несколько примеров составления укороченных уравне-
ний автономных колебательных систем. При этом будем использовать
некоторые схемы, рассмотренные в гл. 1, и составленные для них сим-
волические уравнения. Детальный анализ поведения конкретных схем
будет дан в следующих главах. Здесь же обратим внимание на то, что ряд
схем, имеющих различные символические уравнения, может описывать-
ся одними и теми же укороченными уравнениями. Это обстоятельство
позволяет использовать результаты анализа колебательной системы, опи-
сываемой определенным видом укороченных уравнений, для целого клас-
са систем.

Одноконтурные автогенераторы (простейшие}. Рассмотрим схему
рис. 1.16. Она описывается символическим уравнением (1.64). Если ис-
пользовать обозначения w0 = Mx/LC, 6 = r/co0L = гш0С, R = w0 £/6, то из
(1.64) получим

I р2	„ Р	\	I р \

----+ 5-----+ 1u = - Sfl----+ 6 /д(и).	(6.178)

\ CJq COq '	'	'

Сравнивая это уравнение с (6.117), видим, что в данном случае

Р	Р

О(р, 5) = —- +6—+ 1,
Wo	Wq

I р \

Р(р, Ь) = — RI— + 8 .

\ w0 1

(6.179)

Уравнение порождающей системы (6.118) в данном случае имеет второй
порядок

(р2 + о>1 }и = О,

и поэтому автогенератор в первом приближении описывается одним комп-
лексным укороченным уравнением (6.142) прик = 1. В данном случаев
соответствии с (6.135) ct| = 1 и постоянная времени контура (6.140)
определяется равенством

r=7|=2/w05.	(6.180)

,	/ ЭО1

Из (6.178) получим (Р) । = P(/w0, 0) =/Я, I-----

и из (6.141) имеем

дО(р, б)'

6=0

Z( = R.

(6.181)

Таким образом, комплексное укороченное уравнение одноконтурного

*) Вопрос о получении уравнений высших приближений из символических рас-
смотрен в учебном пособии: Богачев В.М., Смольский СМ. Исследование автоколе-
бательных систем методом символических укороченных уравнений. — М.: МЭИ,
1980,96 с.
генератора на туннельном диоде рис. 1.1 б имеет вид

(Тр + 1 )U = — Л?1 > (47),	(6.182)

а эквивалентные ему уравнения для амплитуды и фазы колебаний (6.144)
таковы:

(Тр + 1 }U = —Rll(U}, TUpy = G.	(6.183)

Следующий пример—автогенератор с трансформаторной обратной связью
(рис. 1.18, 1.19, 1.20), укороченные уравнения которого были ранее полу-
чены другими методами. Используем символическое уравнение (1.17),
которое обозначениями (6.1), (6.11) приводится к (6.10). Используя
определение для коэффициента обратной связи в этой схеме (6.23) и опре-
деляя управляющее сопротивление на резонансной частоте равенством

R=kRK,	(6.184)

приведем уравнение к виду

I рг	р	\	р

—- +5------+ 1 и = 8— Ri(u).	(6.185)

\ Wo	Шо '	<^о

Следовательно, в этом случае

р2	р	р

О(р, 6)=——+8— +1,	Р(р,8) = Я—,	(6.186)

СОо	U?o	w0

и укороченные уравнения

(7р + 1 )U = Я1( ((/)	(6.187)

и

(7р+ !)£>= ЯЛ (СО, TUpp = 0	(6.188)

отличаются от (6.181), (6.182) только знаком в правых частях.

Обратимся к уравнениям для автогенератора по схеме индуктивной
трехточки (рис. 1.23). Воспользуемся символическим уравнением (1.71)
с учетом (1.73). Полагая, как и прежде, ы0= 1/V4C, 8 = гы0С= r/<jjuL,
принимая для упрощения, что относительные потери в L । и L г одинаковы,
т.е. Г1/ш04| = r2/a>0L2 = 8, и вводя управляющее сопротивление на ре-
зонансной частоте

^л-)о4|(-2	W(>4

R =-----------------------

8/.	8

(6.189)

приведем (1.73) к виду

8/?[(р/ш0) + 8]2(р/ш0)

(р/ш0 )2 + 8 (р/ш0) + 1

Представим z(p) разложением, подобным (6.152) :

z(p) = - 6Я[(р/ш0) +5] +

8Я[ (р/ш0) + 8]
(p/w0 )2 + 3 (р/ш0) + 1

(6.190)

(6.191)

Сравнивая это выражение с (6.178), видим, что второе слагаемое в
нем с точностью до знака совпадает с управляющим сопротивлением в
схеме рис. 1.16. Поэтому укороченные уравнения для амплитуды и фазы
колебания с частотой, близкой к а>0, отличаются от (6.182), (6.183)
знаком перед R и совпадают с уравнениями (6.187), (6.188). Первое
слагаемое в (6.191) для колебаний с частотой, близкой к имеет поря-
док 6 по сравнению со вторым и в укороченных уравнениях для ампли-
туды и фазы колебаний не должно учитываться. Однако в случае быстрых
изменений мгновенных значений координат и„(г),при которых pu^/wo^
~6'1uoo, первое слагаемое оказывается преобладающим и для таких из-
менений координат получим из (1.71), (6.191) в дополнение к укоро-
ченным следующее уравнение:

=-бЯ(р/соо)/’(</.« + ReUexp(/cjot)).	(8.192)

Общее решение уравнений индуктивной трехточки складывается из
быстрого движения (f), практически затухающего за время порядка

периода основного колебания, и квезипериодического, описываемого
уравнениями (6.187) или (6.188). Таким образом, индуктивная трехточка,
представляющая собой систему с полутора степенями свободы, описы-
вается в первом приближении системой двух укороченных уравнений
первого порядка (6.188) и уравнения первого порядка (6.192) для быст-
рых движений. Из (6.192) видно, что быстрое движение, вообще говоря,
не обязательно затухает. Условие его затухания при решении конкрет-
ных задач необходимо проверять.

Одноконтурные автогенераторы с цепями автоматического смещения.
Начнем анализ со схемы генератора с трансформаторной обратной связью
и истоковым автосмещением (рис. 6.6). Емкость Са в этой схеме выбира-
ется так, что на частоте о>о ее реактивное сопротивление — величина по-
рядка 8 по сравнению с Яа, т.е.

1/шоСа = ао5Яа,	(6.193)

где а0 — величина порядка единицы. Непосредственно из схемы рис. 6.6
видно, что полное напряжение между затвором и истоком в ней явля-
ется суммой напряжения иа на выходе высокочастотной цепи трансфор-
маторной обратной связи и падения напряжения Uo на цепи эвтосмеще-
ния, т.е. и = ия + Uo. Последнее связано с током управляемого генерато-
ра равенством

(Знак минус связан с выбором положительной полярности падения на-
пряжения на схеме рис. 6.6. Индекс "с" у тока стока полевого транзистора
в схеме рис. 6.6. для упрощения записи опущен.)

Напряжениец, связано с Ни) уравнением (6.185), т.е.

5(р/со0)Я	,

и. «-------;--------------/(и).

(р/ы0)5 + 6(р/ы0) + 1
Если учесть (6.193), то уравнение схемы рис. 6.6 можно записать в виде

г (-5ооЯа)
и = ------------ +

L (р/ыо)+5во

6(p/w0)ff

(р/ы0)2 +6(р/соо) + 1 -

Ни).

(6.194)

Полное управляющее сопротивление в этой схеме является честным слу-
чаем общего выражения (6.152). Первое слагаемое этого управляющего
сопротивления является определяющим при записи комплексной частот-
ной характеристики управляющего сопротивления в окрестности нуле-
вой частоты, а второе слагаемое на частотах, близких к нулевой, имеет
по сравнению с первым порядок 5.

Рис. 6.7.

Пользуясь приближенной записью "резонансной" кривой для окрест-
ности нулевой частоты, получим для напряжения автосмещения выра-
жение, подобное (6.153),

- 8a0Rt
j (Ды/ыо) + 5<*о

/о(Уо.У).

где U — амплитуда высокочастотных колебаний. Земеняя в соответствии
со сказанным в § 6.5 /Дш-*р, получим уравнение для напряжения авто-
смещения:

(ГоР + П^о =-RtlolUo,U),	(6.195)

где Го “ ЛаСа.

Оно должно рассматриваться совместно с уравнениями для амплиту-
ды и фазы колебаний, которые отличаются от (6.137), (6.188) лишь тем,
что амплитуда первой гармоники тока должна рассматриваться как функ-
ция Uo и U

(Гр + 1)U = ЯН (l/0, L/)	(6.196)

или

( Тр + 1 )U = RI 1 (Uo, U), TUp* = 0.	(6.197)

Эти уравнения являются частным случаем уравнений (6.142) - (6.144).
Вывод уравнений для двух других одноконтурных автогенераторов, рас-
смотренных в этом параграфе, в точности подобный приведенному здесь,
дает уравнения, которые в случае индуктивной трехточки совпадают с
(6.194), (6.196), а в случае генератора на туннельном диоде в соответствии
с (6.182), (6.183) должен измениться знак правой части в уравнении
для амплитуды и фазы колебаний.

Рассмотрим автогенератор по схеме емкостной трехточки (рис 6.7).
При этом схему рис 1.24, для которой найдено управляющее сопротив-
ление (1.74), дополним сопротивлениями Ri и R2, через которые соот-
ветственно проходят постоянная и медленно меняющиеся составляющие
тока управляемого генератора Ни) и передается напряжение смещения
на вход. Если этого не сделать, то полная система уравнений первого приб-
лижения для достаточно общей нелинейной характеристики не будет пра-
вильно отображать поведение реальной системы.

Рассмотрим сначала случай, когда Яа = 0. Пользуясь (1.72), запишем
выражение для управляющего сопротивления

ipcl +й-11г,(рс2 +Я-;)-'

г (р =----------------j----------j—:------------i—г-.	16.198)

pL + r + (pC3 Г' + (pCt + Я? Г1 + (pC2 + R2l Г1

Переписав его в виде

№ + R? Г1 (pC2 + R2' Г'

z(p) = -

pL + r + (рСГ1 - «V/{pCi [pCi + Я]1)] - Я;7(рС2 (pC2 +R? )]

где 1/C = MCi + 1/C2 + 1/C3, и вводя обозначения wj = 11x/LC* =
~ г/u^qL., 8c= 1 / WqC1R1, c s 1/cO()C2/?2, получим

Wo С

wqC] w0C2

(p/w0)+5Cj (p/w0)+6c2

(6.199)

Wq Wq (p/w0)+8Ci	(p/wo)+6c2

Предположим, что 6L, 8C и 5Cj — малые величины одного порядка. Мож-
но было бы, выразив их через единый малый параметр 5, привести г (р)
к стандартной форме (6.115) и применить формальную процедуру полу-
чения укороченных уравнений из символических. Однако этот путь ока-
зывается более громоздким, чем использование связи укороченных урав-
нений с приближенной записью комплексной частотной характеристики

управляющего сопротивления.

В окрестности нулевой частоты, сделав замену р~>] Дш и учитывая,
что |Дш/ш0| ~3, получим с точностью до малых порядка 5

/Дш /	w0С \//Дш	\ 1 //Дш

-----I----------II----+ 8с,) I—----
Wq ' WoC|WoC2'' Wo '	' Wo

Zo (j Дш) =-------------------------------------

ScJC/CJ	8Ci(C/C2)

I — 1	—	— •

(/Дш/wo )+6Ci	(/Дш/wo ) + 8c2

Очевидно, что это представление равносильно пренебрежению сопротивле-
ниями индуктивности (реактивным и активным) на низких частотах.
Поэтому

Z0(p) =

(С3/С1 )R2pT 1

р2 r2 r2 (1 +Сз/С, + Сз/С2) +р[Г| (1 +С3/С1) + Г2(1 +Сз/С2)] +1

(6.200)

и для медленно меняющегося напряжения на входе активного элемента
l/0(t) получим уравнение

{р^ГЛ ч-'Сз/С, +С3/С2)+р[Г1(1 +Сз/С,) + Г2(1 +С3/С2)] +l}t/0 =

= -{C3/Ct )R2pTil0(U0,U).

(6.201)
Для окрестности частоты а>0 комплексную частотную характеристику,
соответствующую z(p) (6.199), можно записать с точностью до малых
порядка 8 в виде

г(/ш0 +/'Aw) === Zj (/Aw) =

_______________(/7w0C)(C/Ci )(C/C2 )_______
/[2(/Aw/w0)l+/[6L+(C/C,)5Ci + (C/C2)6cJ ‘

Вводя обозначения для полного затухания, постоянной времени и резо-
нансного управляющего сопротивления контура

6 = 5/.+ (С/С! )6С| + (С/С2 )6С1, Т ± 2/w05,

Я = (1/6w0C)(C/C!)(С/С2)	(6.202)

и выполняя снова переход к символическому уравнению, получим
Я

г (jw0 + p)*Zl (р) = ----- .	(6.203)

р Т+ 1

Таким образом, после введения обозначений (6.202) укороченные
уравнения для амплитуды и фазы колебаний в емкостной трехточке с часто-
той, близкой к w0, совпадают с (6.196), (6.197). Однако решать их следует
совместно с уравнением (6.201).

Если сопротивление специально вводимой цепи автосмещения Яа не рав-
но нулю, то непосредственно из схемы рис. 6.7 нетрудно видеть, что вместо
(6.200) для Zo (р) должно получиться выражение

Z0(p) =

__ _______________________(С3/С,)Я2р Г,__________________________

р2Г1 Г2(1 + С3/С, + С3/С2)+р [7J1 +C3/CJ + Г2(1 +Сз/С2) + 1]~

яа

---------- .	(6.204)

РТО + 1

Поэтому в общем случае уравнение для медленно меняющегося смещения
получается достаточно громоздким. Если принять для упрощения, что
параметры выбраны так, что Tt = Г2 = Го, то

(С3/С,)Я2рГ0	Яа

Zolp) =-----------------------------------------

(р Го + 1 )[р Го + С3/С + 1] рГ0 + 1

Яа[[(Сз/С1)(Я2/Яа) + Сз/С] Я Го + 1]	2о5)

(Я Го + 1)(рГ0(С3/С,) + 1)

и вместо (6.201) получим следующее уравнение для Uo:

. (рГ0 + 1) (рГ0(С3/С) + 1) 1/0 =

= - [((С/С, ).(Я2/Яа) + 1 )р Г0(С3/С) + 1 ] Яа/о((/о, U).	(6.206)

Очевидно» что различие в динамике цепей автосмещения может при опреде-
ленных условиях приводить к различному поведению емкостной трехточки
и других одноконтурных автогенераторов, если цепи питания и смещения
такие, как показано на схеме рис. 6.7.
Одноконтурные автогенераторы с варикапами. Рассмотрим автогенера-
тор с варикапом, построенный по схеме рис. 1.31. Его символическое
уравнение (1.88) отличается от уравнения генератора без варикапа (1.64)
заменой тока диода /д (о) на суммарный ток диода и варикапа i3{u,pu)
(1.87).

Поэтому комплексное укороченное уравнение такого генератора отлича-
ется от уравнений генератора без варикапа лишь выражением для комплекс-
ной амплитуды первой гармоники тока i3{u,pu). Поскольку в данном

случае, как было показано ранее, Uo ~~8U, выражение для колебания u(t)
(6.120) в первом приближении имеет вид

и = Ucos (wot + ^) = Re U ехр (/ыог);

для тбка диода /д (и) и заряда на варикапе q (и) имеем ряды Фурье:

/д(и) = /о(^) + S Re [ 1*((У) ехр (/7гшог)],
л = 1

q {и) = Q0(U) + S Re [Q*(l/)exp (/7оо0Г)1,
* =i

где lfc(U) = /*(С/)ехр(/7г0), Qk (1/)=ОЛ-(1/)ехр(//г0). Выражение для тока ва-
рикапа с точностью до малых порядка 8 имеет вид

/в(и) = С(и)ри = pq(u) = Е Re [/kw0 Qfc ехр (/fccoot)l.

* = i

Поэтому для комплексной амплитуды первой гармоники тока i3 (и, ри)
(1.87) получим выражение

1э>(0)= I, (I/)+/со0О, (t/) = [I^Cn+juoQilU]) ехр (/у,).	(6.207)

Введем обозначение для амплитуды первой гармоники тока через варикап
liB{U) = ^0Qt(U)	(6.208)

и заменим в комплексном укороченном уравнении (6.182) I, (4/) на
1э, (U). Получим

(Тр + 1)и = -Я1Э1(1/).	(6.209)

Подставляя (6.207) с учетом (6.208) в уравнение (6.209) и приравнивая
после дифференцирования действительные и мнимые части, перейдем к
системе действительных уравнений

(Тр+ 1)1/ = -Я/,(1/), 1/77)0=-Я/, в (I/).	(6.210)

Сравнивая (6.210) с (6.183) , видим, что в генераторе с нелинейной
емкостью производная от медленно меняющейся фазы не равна нулю, а
определяется амплитудой первой гармоники тока через нелинейную
емкость, которая зависит от амплитуды колебаний.'
204
Аналогичные уравнения для амплитуды и фазы колебаний в емкостной
трехточке можно получить из (1.91), (1.92). Эти уравнения рекомендуем
читателю получить самостоятельно.

Одноконтурные автогенераторы с комплексной обратной связью. В
некоторых многокаскадных схемах автоколебания (желательные или
нежелательные) возникают при замыкании цепей обратной связи через
каскады, вносящие фазовый сдвиг колебаний, слабо зависящий от частоты
при изменении ее в интервале порядка полосы пропускания контура автоге-
нератора. Модель такого генератора .показана на рис. 6.8. Фазосдвигающая
цепь Яф -, Яф  , С“4> возбуждается генератором тока /ф “УфЬф, линейно зави-
сящего от напряжения о*. Поэтому напряжение и, управляющее нелиней-
ным генератором тока / (о), связано с Оф символическим уравнением

0ф Яф>
и --------

1 + Р Тф

иФ-

(6.211)

где Гф = (Яф’ + Яф- ) Сф. Примем для упрощения,что

0фЯф' = 1.	(6.212)

Тогда управляющее сопротивление, связывающее о с Ци) в схеме рис. 6.8,
можно записать в виде

2 (р) =

Если софТф ~ 1, то приближенная запись комплексной частотной характе-
ристики для окрестности частоты со0 имеет вид

Гф + 1)

г (/w0 +J Aw) * z\ (j Део) ----—------ ,

/ ДсоТ + 1

а комплексное укороченное уравнение является частным случаем уравне-
ния (6.142)

(Гр + 1) U =Zlf (I/),	(6.213)

где

Я

2 = ---------= | Z I ехр (/«РФ) •	(6.214)

11 + М>Гф

Из (6.213) получается система действительных уравнений

(Гр +1)17= |Z|cos /,(С7), UTp*~ IZisin^/JL/), (6.215)
где

Я

IZ (= ,	-; г, ^ф =-arctgwor+.	(6.216)

V1+w5 4

Из предыдущих рассуждений видно, что укороченные уравнения для
амплитуды и фазы автоколебаний не изменятся, если заменить контур с
трансформаторной цепью обратной связи любой одноконтурной трехточеч-
ной схемой, понимая под Я управляющее сопротивление соответствующей
схемы на частоте w0.	. ’
ГИС. 6.3.

Одноконтурный автогенератор на биполярном транзисторе. Рассмотрим Я
трехточечный автогенератор на биполярном транзисторе. Схема его показа-	»

на на рис. 6.9,э. Предположим, что транзистор работает в активной области,	1

где его токи определяются системой уравнений упрощенной зарядовой 1

модели, показанной на рис. 6.9,6	1

i=qlrx, 'б = q/тр + dqldt,	(6.217) Я

(и„	\	W

ехр-----1).	(6.218)	«

*т	/	j

Здесь /— ток коллектора, /g — ток базы, q — заряд, накопленный в базе я
транзистора, ип — напряжение на эмиттерном переходе, >рт = к б Tie — тепло-	а

вой потенциал, кБ — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура,	Ц

е — заряд электрона, q0 — начальный заряд, гт — время пролета носителей а
заряда через базу, тр — величина порядка среднего времени жизни носите- S
лей в базе.	я

Заменив транзистор его моделью, получим схему рис. 6.9, в, для которой, Ж
используя метод контурных токов, можно записать уравнения:	V

[z, (p)+z2(p)+z3(p)l /к-z2(p)/6 = -zt (р)/,	(6.219)	1

-z2(p)/к +[z2(p) +гб1 /б+ип(</) = 0.	(6.220)	1

Система уравнений (6.217), (6.219), (6.220) содержит единственную нели-. ж
нейную зависимость ип (р), определяемую из (6.2181. Однако особенность	Ш

генераторов на биполярных транзисторах состоит в том, что в рабочих	Ж

режимах нельзя сделать допущения о квазигармоничности напряжения	К

ип (г) или заряда в базе q (t|. В то же время контурный ток (г), как и	Ж

падение напряжения z2(p)/K(t), практически всегда меняются квазигар-
монически- Введем обозначения

u=z2(p)/K,

К(Р) = Z2 (p)/Z| (р), $ = Тр/Тт

и, подставляя (6.217) в (6.219), (6.220) получим уравнения

zt(p)z2(p) / К(р) К(р) \ q

и = - ------------------ 1----------------р Тр I — ,

Zi<p)+z2(p}+z3(p}\	3	{}	/ тт

(z2(p) + r6) (р+ Мтр} q + un(q) = и.

Сравнивая (6.223) с (1.71), (1.72), видим, что в данном случае первую
гармонику тока эквивалентного активного элемента

/	к	к	\ q

/3U)e|1-------------Рт&}—	,	<6.225)

\	/з	/з	7 тт

(6.221)

(6.222)

(6.223)

(6.224)
нужно находить, решая дифференциальное уравнение (6.224). При этом
ищется периодическое решение (вынужденное колебание), а собственные
движения, связанные с установлением колебаний в транзисторе, в процессе
приближенного анализа не учитываются. Таким образом, в уравнениях для
амплитуды и фазы колебаний инерционность биполярного транзистора
учитывается лишь тем, что первая гармоника эквивалентного тока 1Э1
имеет сдвиг фазы относительно первой гармоники управляющего напряже-
ния, т.е., если

U = U exp (/V),
то

bi = /л «Л>, У, Wo) exp (/у>+/ Др)-	(6.226)

Здесь подчеркнуто, что зависимости амплитуды и фазового сдвига первой
гармоники эквивалентного тока от U, соответствующие разным частотам
квазигармонических колебаний, различаются. Однако при выводе укоро-
ченных уравнений, описывающих относительные изменения частоты автоко-
лебаний порядка 6, влияние последних на /Э] и Д,/? можно не учитывать.
Связанные с таким пренебрежением погрешности того же порядка, что и
погрешность самих укороченных уравнений.

Комплексное укороченное уравнение для амплитуды и фазы колебаний в
одноконтурных трехточечных схемах (6.195) было получено ранее. Теперь в
нем нужно заменить 1( (17) на 1Э >(С/), определенное равенством (6.226).
Получим

(Гр+1)и = /?1э1(6/о,^,ыо).	(6.227)

Этому комплексному уравнению эквивалентны два действительных:

(Тр + 1) U = R /Э1 ((/о, U, w0) cos Др (t/0, Ux, шо),

(6.228)

UTp<p = Я/э] IUO, U, о>о) sin &p(U0, U, w0).

Уравнений для Uo мы здесь записывать не будем. Они аналогичны получен-
ным ранее для трехточечных генераторов.

Одноконтурная модель автогенератора с кварцевым резонатором. Если
на место индуктивного сопротивления в емкостной трехточке рис. 1.24
включить кварцевый резонатор, то получится автогенератор рис. 6.10,а.
Заменив кварцевый резонатор его эквивалентной схемой рис. В.З, получим
модель автогенератора, показанную на рис. 6.10,6. На ней не приведены
сопротивления цепей питания и смещения для активного элемента, обычно
включаемые подобно тому, как это сделано на рис. 1.26. Как было показа-
но при анализе схемы рис. 1.26, эти цепи существенно влияют лишь на
уравнения для медленно меняющегося напряжения смещения, в уравнениях
для амплитуды и фазы колебаний цепи питания и смещения при правиль-
, '  ' ' ' ' "' - ':> ' ‘  • ' -	 ' V " ' T	" ' ' :,• V:': - *••-».' ., > >" 1 I’ :	1	। •

’• 1 . >  . • '••!". .	’ ; ; • ' \ ‘

Преобразуя "треугольник" из емкостей Со, С,,С2 в "звезду” С'о, С\, С{,
гдеС’о ^С|+С2 + (CjCi/Co), С2 - Со + С2 + (С0С2/С|), С/ = Со + С, +
+ (C0CilС2}, получим из схемы рис. 6.10,6 схему рис. 6.10,в *h

Из последней видно, что напряжение и, управляющее током активного
элемента, в данном случае складывается из напряжения на емкости С2 и
падения напряжения на емкости Со- Поскольку укороченное управляющее
сопротивление емкостной трехточки известно, то, добавляя к комплексной
амплитуде U’ напряжения на С2 комплексную амплитуду U" падения
напряжения на Со от первой гармоники тока коллектора, получим:

/ R	\

и = 1 ------ + /х)||(У).	(6.229)

\рТ+1	/

Здесь R — управляющее сопротивление контура LKCKrKC\, С2 на частоте
/1.11 1Т

cJq = v—I —+ —7+ ~г), Т — его постоянная времени и

L \СК С| С2'

х=1/шоСо-	(6.230)

Это комплексное укороченное уравнение отличается от всех полученных
ранее для одноконтурных автогенераторов тем, что учитывается дополни-
тельная, не зависящая от малых расстроек, составляющая напряжения
обратной связи. С формальной стороны зто соответствует учету влияния
нуля полинома Р[р, 6) в (6.116), расположенного вблизи от опорной частоты а>0.

Это уравнение можно привести к обычному виду, если ввести замену
переменной

U' = U-yxIjy)	(6.231)

и рассматривать lt (У) как функцию U' и х. Очевидно, что фаза I] (У)
отличается от фазы U', так что

• i (U'.x) = /, (U',x) ехр [/<р1/>+/Д<р(У',х)).	(6.232)

Предполагая, что, фаза Ц (У)совпадает с фазой U, найдем зависимость
модуля и фазы U' от модуля и фазы U из (6.231):

U' = \А/2 (1 +x2Sj (У)],	(6.233)

-arctg IxSi(U)],	(6.234)

где

S, (У) = /, (У)/У.	(6.235)

Поэтому

Др (У', х) = arctg [xSf (У)].	(6.236)

Используя (6.231), (6.232), приведем уравнение (6-229) к виду

(7р +1)U'= Я1,(У',х).	(6.237)

Соответствующая (6.237) система действительных укороченных уравнений
пс^форме совпадает с (6.228):

(Гр + ПУ'= ff/i (У', х) cos (У',х),

(6.238)

U* Тр<р = Rli {U', х) sin Д<р (У', х). **

** Такое преобразование было предложено в статье: Евтяное С-И.. Каменский Е.И.,
Есин 8.А. Исследование автогенератора с кварцем по схеме Шембеля. — Радиотехника, .
1954, т. 9, Г 2. с. 36-46.
Из изложенного видно, что комплексное укороченное уравнение типа
(6-237) и соответствующие ему действительные уравнения (6.238) позво-
ляют описать поведение одноконтурных автогенераторов, встречающихся
на практике.

Автогенератор сверхвысоких частот с линией. Укороченные уравнения
СВЧ автогенератора рис. 1.27 также могут быть получены из символичес-
ких уравнений (1.71), (1.72), где z, (р), z2 (р), z3 (р) определены выра-
жениями (1.78), а z„’ (0, р) —равенством (1.43). Применив такое же преоб-
разование, как в автогенераторе с кварцем, получим схему СВЧ генератора.

Рис. 6.11.

показанную на рис. 6.11. Примем для упрощения анализа, что в (1.43)
дЧС = r’/L’ = Тд > и воспользуемся обозначениями:

Ro =y/L’/Cl, v=\h/LrC!',	(Q.239)

где Ro— волновое сопротивление линии, а ч — фазовая скорость волны.
Тогда из (1.43) получим

Р +т„
zn (0,р) = Ro th-------- I.

v

Символическое уравнение схемы рис. 6.11 можно записать так

(6.240)

(6.241)

где 1/С= 1 /С/ + 1/Ci.

Уравнение для частот собственных колебаний контура, составленного из
линии и емкостей С\, С2, можно записать, пренебрегая потерями и прирав-
нивая к нулю знаменатель первого слагаемого после замены р на 1изОт
= 1,2,...)

1	I

---------+ Яо tg	= 0.	(6.242)

Графическое решение этих уравнений иллюстрируется рис. 6.12,

Чтобы воспользоваться связью укороченных уравнений с приближен-
ной записью комплексной частотной характеристики управляющего сопро-
тивления, запишем выражение для zn(0,/wOm +/Дш) при Дсо/ыо :

шот1	1	//△w + rn\

=»/ffotg------+ Яо-------------------------) I.

v	cos’ 7 ' v 7

V

14. М.В. Капранов

209
Учитывая (6.242), получим

1	(j^Om +j Дш + тп \ ,

	+; Яо th I------- I / '
(/WornЛ-i Ato) С-----------------------X v-/

Worn !<^ОтС

(“от

1

С*о)2

Если ввести эквивалентное сопротивление потерь
Г 1	1

гзт = 1 + - -2-о; (г /).	(6.243)

L ш2ОтС2Я1\

постоянную времени, характеризующую скорость затухания колебаний с
частотой <о0т,
1

----— +co0mL I

и0т rvn

и резонансное управляющее сопротивление на частоте а>от

«т = ~~2 -	----->	(6.245)

и0т Q Cj гэт

то для окрестности частоты Шот получим следующую связь между ком-
плексными амплитудами тока активного элемента lm (Um) и управляющего
напряжения:

U,,, =

,/До> Тт + 1

:	~7 I Im VJm 1,

т Со J

т = 1,2,...

Вводя обозначение

1

хт~ ~~i

Worn Со
и переходя к символическим уравнениям, получим

Um =

Rm

+ I bnUAn),

/л= 1,2,...

(6.246)

1

Эта система уравнений, подобных (6.229), описывает колебания в СВЧ
автогенераторе. Хотя число уравнений, строго говоря, бесконечно велико,
с повышением номера обертона колебательной.системы резонансное управ-
ляющее сопротивление резко убывает, и на практике можно ограничить-
ся учетом колебаний лишь на самой нижней частоте ш01 (одноконтурная
модель) или на двух нижних частотах wOi,coO2 (двухконтурная модель).
Последнее необходимо, например, для того, чтобы решить вопрос о допус-
тимой величине уменьшения Rx из-за связи с нагрузкой генератора. Сходст-
во уравнений одноконтурных моделей автогенератора с кварцем и генера-
тора СВЧ показывает, что физические процессы в этих схемах также будут
подобными в тех областях параметров, где упомянутые модели применимы.

RC-автогенератор с мостом Вина. Схема этого генератора показана на
рис. 1.28. Для него было получено символическое уравнение (1.80). Чтобы
не отвлекаться на детали, примем здесь Я, = Я2 = Я и С2 = С3 = С, и введем
обозначение t = RC. Тогда из (1.80) получается более простое уравнение

(р2тг + Зрт + 1)u -prRi(о) = 0.	(6.247)

Чтобы колебания в этом генераторе были близки к гармоническим, можно
пействовать следующим образом: разделить управляемый генератор на
линейный и нелинейный;

7 (о) = Soи + 8 ir (и).

Величина крутизны So предполагается выбранной так, что

3 —Я50 =8,

(6.248)

(6.249)

где 8 — малый параметр, аналогичный затуханию в колебательном контуре.
Тогда (6.247) можно переписать в виде

(р2	р	\	р

— +6 — +llo = 6 — R/r(wr),	(6.250)

Wq	GJo	/	Wo

где

ш0 = 1/г=1/ЯС.	(6.251)

Это уравнение в точности совпадает с (6.185). Поэтому ему соответствуют
укороченные уравнения (6.187), (6.188). Отметим однако, что в данном
случае близость колебаний к гармоническим связана с тем, что часть тока
активного элемента, содержащая нелинейность, есть величина порядка 8 по
сравнению с полным его током. Иначе говоря, в ЯС-генераторе активный
.элемент должен быть слабо нелинейным.

Автогенератор на RC-пинии. Рассмотрим автогенератор по схеме рис. 1.29.
Его символическое уравнение (1.81) преобразуем, вводя полную емкость
Сл и полное сопротивление Ял пинии:

Cn = C'l, Rn=r'l,	(6.252)

а также характеристическую постоянную времени линии

Тогда из (1.81) получим

рТл'shу/рТл' и = - Rni(и).

(6.253)

(6.254)
Используя представление генератора тока выражением (6.248), получим

[ ^/рТл shх/рТд + Ял$0 1 w = -6RniT(u}.	(6.255)

Для определения частоты свободных колебаний в системе при точной
компенсации потерь в линии (т.е. при 5=0) нужно положить р и при-
нять, что действительная часть множителя при и в (6.255) соответствую-
щим выбором RnSo обращена в нуль. Тогда из условия равенства нулю
мнимой части этого выражения

)т [>//сооГл'shV/соо Тл] =0	(6.256)

будет найдена частота сог> Преобразуя это условие, получим уравнение

VwqT’i (shx/woT’n cosхАо0Г1 + sinx/wo^n chx/wor;l') = 0.

Оно имеет нулевой корень и бесконечное множество корней, определяемых
из трансцендентного уравнения

tg x/woT’n' = - th x/wo’^ji-	(6.257)

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 6.13.

Введем эквивалентное символическое управляющее сопротивление,
связывающее /г (о) с и:

5ЯЛ

х/Р Тд1 sh х/рР‘л + Яд

Приближенная запись комплексной частотной характеристики для окрест-
ности о>о может быть получена из этого выражения и имеет вид

5 Яд

г3 (/w0 + i Део) = -	-----»

V U^o +/Aw) Гт sh V (/w0 +/ Асо) Тд + Ял So

za(w0)+/zMko0)
----------------- t	(о.zoo/

j АллТ

где Т = 2/соо5, а величины za(coo) и zM (соо) определяются линеаризацией
знаменателя гэ(/'соо + / Aw) по Дсо/соо с учетом равенства (6.256) и в пред-
положении, что

Re [V/Worn’sh x/ywo^’l = RnS0 * > •	(6-259)

Приближенной записи комплексной частотной характеристики (6.258)
соответствует комплексное укороченное уравнение

pTU = [za (соо) +jzM (Wq)] lr । (U)	(6.260)

или система действительных уравнений

pTU = za(a)0] /г,(С/), L/pr^ = ZM(w0)/r,(t/).	(6.261)

Эти уравнения можно сопоставить, например, с уравнениями (6.215). Пове-
дение автогенераторов, описываемых этими уравнениями, в основных
чертах подобно.

*) Конкретные выражения для zala>0) игм(ы0) читателю рекомендуется получить •
самостоятельно.
§ 6.8.	Метод Евтянова для неавтономных систем

Из рассмотренных в § 1.6 примеров видно, что достаточно общей
моделью автогенератора с внешним воздействием является схема, в кото-
рой напряжение внешнего воздействия ua4f) складывается с напряжением
обратной связи на входе активного элемента (рис. 6.14). Символическое
уравнение такого автогенератора очевидно:

и -г (р) / [л + лд (Г)],	(6.262)

где? (р) представимо выражением (6.115).

u*(t)	----±=—

Рис. 6.14.

Рассмотрим здесь случай гармонического внешнего воздействия. При
этом наибольший интерес представляют следующие соотношения частоты
внешнего воздействия шд и собственных частот цепи обратной связи.

а)	ни одна из частот шд,л>шд, шд/л, где т, п— небольшие целые числа, не
попадает в полосы пропускания цепи обратной связи (рис. 6.15,а) ;

б)	частота сод лежит в S-окрестности частоты со0*, т.е.|сод — Шо*|/шо* ~
~6 (рис. 6.15,6);

в)	частота л?шд,гдел? — небольшое целое число, лежит в S-окрестности
(рис. 6.15,в);

г)	частота шд/л, где л — небольшое целое число, лежит в 6-окрестности
шОп (рис. 6.15,г).

В случае а) говорят об асинхронном внешнем воздействии на автогене-
ратор. При этом в разложении тока активного элемента (6.122) новых
составляющих с частотами, близкими к шОл, не появляется, однако ампли-
туды /0 и 1к (*= 1, 2, . . . , л) дополнительно зависят от амплитуды ил
внешнего воздействия. Изменяя ее, можно воздействовать на амплитуду и
частоту автоколебаний, однако жесткой связи между фазами внешнего
воздействия и автоколебаний в этом случае нет.

В случае б) сумма внешнего воздействия иа и напряжения обратной
связи и приводит к появлению зависимости амплитуды и фазы квазигармо-
нической составляющей тока от соотношения амплитуд Ua и U* и фазового
сдвига между внешним воздействием и напряжением обратной связи. В
самом деле, полное напряжение с частотой, близкой к сод, на входе активно-
го элемента можно записать так:

= t/д cos ШдГ + (7*cos [шдГ + <^Л(г)1.

Отметим, что здесь в качестве опорной частоты для колебаний с частотой,
близкой к «о к, взята частота внешнего воздействия соя. Это не является
каким-либо ограничением, что показано в конце § 6.5. В данном случае
мох(но рассматривать как одно колебание

Us = Re (U* exp (/шдг)],	(6.263)

\ . -  . \
где

U* - = Uk' exp (fok +j Д>рк),	Uk • = Uky/(1 + 2mncos^k + т2д),

(6.264)
тя sin #к	иа

Д^к = - arctg ----------- , тя = ----- .

1	+ тя cos *рк	Uk

Поэтому квазигармоническая составляющая ik тока активного элемен-
та с частотой, близкой к соок, может быть записана в виде

ik = IklUo, U....Uk'.....Un} cos (coat + ^k + Д»р*) = Re I* exp (/wat),

где

I* = lk(U0, Ui,... ,Uk‘,..., Un) exp (fok +j AsP*)-	(6.265)

Укороченное уравнение для амплитуды и фазы колебаний с частотой,
близкой к со0*, следует записать с учетом отличия

Дш = сод — шок	(6.266)

опорной частоты от частоты собственных колебаний порождающей системы.
Для случая изолированной собственной частоты такое уравнение совпадает
с (6.161), где lk определяется из (6.265). Используя обозначения (6.140),
(6.141), запишем его в виде

[7*(р+/Дш) + 1] Uk = lk(t7').	(6.267)
Здесь штрих у (/'означает, что амплитуда Uk заменяется на Uk', которая
в соответствии с (6.264) зависит от Uk, Un и <рк.

Этому комплексному укороченному уравнению соответствует система
двух вещественных уравнений:

(Ткр+ 1) Uk = \Zk\ lk(U')cos(4>zk + 4^*),	(6.268)

UkTkp ipk= - UkAxo Тк + | Zk | lk (U ’) sin ($zk +

Здесь \Zk\ Wi?zk —модуль и аргумент резонансного управляющего сопро-
тивления соответственно.

При анализе случаев попадания гармоники (рис. 6.15, в) или субгармо-
ники (рис. 6.15, г) внешнего воздействия в 6-окрестность соок взаимодейст-
вие внешнего воздействия с собственным колебанием также приводит к
появлению зависимости модуля и фазы Ц от амплитуды внешнего воз-
действия и фазового сдвига напряжения обратной связи относительно
гармоники или субгармоники внешнего воздействия. При этом зависимос-
ти Ц от Uk, Ua и <$к будут иными, но общий вид уравнений (6.267),
сохраняется.

Основное отличие уравнений (6.268) от уравнений автономных генера-
торов состоит в том, что правая часть уравнения для фазы колебаний зави-
сит от <рк и поэтому может существовать стационарный режим, в котором
фаза \рк определена жестко, а не с точностью до произвольной аддитивной
постоянной. В этом режиме частота автоколебаний точно совпадает с часто-
той внешнего воздействия, поэтому говорят, что происходит синхронизация
автоколебаний внешним воздействием.

Анализ поведения конкретных генераторов при периодическом внешнем
воздействии будет дан в гл. 8.

Упражнения к главе 6

6.1.	Для схемы рис. 1.7, а, опираясь на символическое уравнение (1.5), получить
укороченные уравнения для амплитуды и фазы колебаний тока /(г) при uU) = 0.
Рассмотреть, пользуясь этими уравнениями, переходный процесс при скачке напряже-
ния u(t) в момент t = 0. Записать укороченные уравнения для дуальной цепи
рис. 1.7, б при /' (t> = 0.

6.2.	Для схемы рис. 1.7, а, опираясь на уравнение (1.5), получить укороченные
уравнения для амплитуды / и фазы колебаний при гармоническом воздействии с
частотой, близкой к частоте собственных колебаний контура. Пользуясь методом
фазовой плоскости, рассмотреть поведение /<Г) и ^(т) в переходном режиме, полагая,
что амплитуда внешнего воздействия постоянна. Рассмотреть случаи: а) нулевой
расстройки между частотой внешнего воздействия и частотой собственных коле-
баний контура ы0; б) I шв - ш0|/ш0 = 6/2 = r/2w0’Z_; в) | ыв - а>„ |/а>0 =6.

6.3.	Составить укороченные уравнения для амплитуд и фаз колебаний ut (tl, ut (t)
в схеме рис. 1.8, б для случая /в(и) = 0. В качестве исходных использовать уравне-
ния (1.24). Вводя обозначения для парциальных частот а>01 = 1/\Д, С,, г =
= 1/V/-f С», парциальных затуханий 601 = г, /ш0, Ll, 60 г =	рассмотреть

случаи: а) когда 6 = 601 - 60, < 1, |	, - о>0 г |/<ш0 2	) > 1; б) когда 6 =

“ 601 ~ 60; < 1,	1,	>6; в) когда 6 = 601 = 60а < 1, ш01 =

=	MIsjL, £, =» 6.

6.4.	Составить укороченные уравнения для амплитуд и фаз колебаний u,(t),u.(t)
при наличии гармонического внешнего воздействия /в (и) = /в (Г) с частотой шв. Ис-
пользуя те же обозначения, что и в упражнении 6.3, записать укороченные уравнения
для следующих случаев: а) | ш01 — а>0 , |/(ш01 + , ) >6, |ш01 - а>в|/а>„х « 6;
б) |ш0| - ы02 |/(ш01 + а>0 ;) > 6, |о>02 - ыв l/w0 J * 6; в) о>0 r = w0!, M!^/LxL\ >
>6, | Wj. — wB l/w, = 6, где о, — нижняя нормальная частота колебательной систе-
мы; г) ы0 , = а>0 г = а>0,	® 6, |а>0 — о>в|/а>0 = 6. Во всех случаях при-

нять, что 6=601«60а.
6.5.	Пользуясь символическим уравнением (1.77), получить укороченные уравнения
автогенератора, построенного по схеме рис. 1.26. Ввести обозначение ы0 - M\/LiC,
где С« (Cf* + Cj‘ + Cj* )'*, и рассмотреть следующие частные случаи: а) 4, - О,
Lt - О, г( > 1/w0C,, г, > l/w.Cj,- б> £, - 0, ш04, > 1/ш„С1г г, < yjfLt/C,', г2 >
> 1/ш0С2; в) £,С, =» L2C2, a>aLl > 1/oJcC., co.t, > 1/ш0С2, г, 4 хДЛч- г2 4
<х/Ц7с?.

6.6.	Пользуясь символическими уравнениями (1.94), составить укороченные урав-
нения автогенератора, построенного по схеме рис. 1.36. Рассмотреть подробно случай
двух каскадов (л = 2), используя обозначения а>01 = 1 /-JL, С\, ш02  M\jL2C'2,
6j -rJcjl22Ll, 8, - r2/u>„ 2L2, и проанализировать особенности укороченных урав-
нений при следующих соотношениях между параметрами: а) 8, «82, о>01 *ш02;
б) 6, » 6 j "6, |о>0 , — о>0 г |/(ш0। + о>(11) > 6; а| 6, »6;, шл! « 2а>0,.

6.7.	Пользуясь укороченными уравнениями (6.268) и формулами (6.264). полу-
чить уравнения синхронизированного одноконтурного автогенератора для случая
малого внешнего воздействия /пя <1. Сравнить полученное уравнение для фазы син-
хронизированного автогенератора с уравнением системы фазовой автрподстройки
частоты (4.11). Сформулировать условия одинаковости переходных процессов по
фазе в синхронизированном автогенератора и в системе фазовой автоподстройки
частоты. Проанализировать физические причины одинаковости переходных процессов.

6.8.	Пользуясь такими же рассуждениями как в § 6.8, получить из (6-162) укоро-
ченные уравнения синхронизированного двухконтурного автогенератора для случая
слабой связи между контурами колебательной системы.
ГЛАВА 7

АНАЛИЗ ОДНОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
В ПРОСТЕЙШИХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ,
БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ КОНСЕРВАТИВНЫМ

§7.1. Теория автогенератора с одной степенью свободы

Стационарный режим автогенератора. Наиболее общим вариантом авто-
колебательной системы с одной степенью свободы из рассмотренных в § 6.7
примеров является автогенератор с варикапом (рис. 1.30). В этой схеме
нелинейным является как активный элемент, так и один из реактивных
параметров. Укороченные уравнения такого генератора (6.210) оказывают-
ся значительно проще исходного символического, поскольку уравнение для
амплитуды колебаний

(7р + 1Ш=-Я/я1 (С/)	(7.1)

может решаться независимо от уравнения для фазы. При этом уравнение
для амплитуды колебаний в генераторе с обратной связью (6.188) отли-
чается от (7.1) только знаком перед Я:

(Гр+1)(7=Я/1((7).	(7.2)

Причина этого различия в том, что генератор, описываемый уравне-
нием (7.1), имеет активный элемент с отрицательной крутизной (см.
рис. 1.17). Поэтому первая гармоника тока 1Д1 (U) находится в противо-
фазе с напряжением U. Средняя крутизна такого активного элемента по
первой гармонике Sa (U) = 1Д| ((/) /U отрицательна. Если перейти к эквива-
лентной характеристике

/1(С/)=-/Д1((Я

то уравнение (7.1) совпадает с (7.2), и при одинаковых колебательных
характеристиках /( (U) процессы изменения амплитуды колебаний в обеих
схемах в первом приближении одинаковы. Далее будем рассматривать
уравнение (7.2).

Это уравнение соответствует системе с половиной степени свободы.
Свойства этой системы существенно зависят от вида нелинейности зависи-
мости. Ограничиваясь пока качественным анализом, рассмотрим две ситуа-
ции.

Первая соответствует максимальной крутизне зависимости Ни) в точке
покоя(точка 1 на рис. 7.1). В таком случае колебательная характеристика
(рис. 7.2, а) имеет монотонно убывающую среднюю крутизну (рис. 7.2,6)

S1(L/) = /l(t/)/L/.	.	(7.3)

Во второй ситуации (точка 2 на рис. 7.1) точка'покоя смещена относи-
тельно точки максимума крутизны активного элемента, и средняя крутиз-
на (7.3) колебательной характеристики (рис. 7.2, в) сначала возрастает и,
лишь пройдя через максимум, убывает (рис. 7.2, г).
Колебательную характеристику рис. 72, а называют "мягкой", а харак-
теристику рис. 7.2, в "жесткой". Причины таких названий будут подробно
пояснены.

В стационарном режиме амплитуда колебаний U= U° не зависит от вре-
мени. Поэтому слагаемые в (7.2), содержащие оператор p = dldt, обра-
щаются в нуль, и из (7.2) вытекает уравнение стационарного режима

U° = Я/1((/°).	(7.4)

В зависимости от величины управляющего сопротивления при мягкой
характеристике /! (U) могут существовать одна или две точки стационар-
ного режима (рис. 7.3,а). Одна точка пересечения получается, когда пря-
мая обратной связи U/R идет выше колебательной характеристики и имеет

с ней единственную общую точку U° = 0. Единственный стационарный
режим при этом соответствует отсутствию колебаний. Если угловой коэф-
фициент 1/Я прямой обратной связи меньше крутизны мягкой колебатель-

. Г с//1 ((/) ]
ной характеристики в начале координат, т.е. ----< ----------- , то,

R dU tz=o

кроме точки покоя U° =0, существует решение, соответствующее не рав-
ной нулю амплитуде стационарных колебаний.

При жесткой характеристике возможны одна, две и три точки стационар-
ного режима (рис. 7.4,а). Очевидно, что в ситуациях с несколькими воз-
можными состояниями равновесия необходимо решить вопрос об их
устойчивости.

Однако, прежде чем переходить к его решению, заметим, что уравнение
стационарного режима можно переписать в виде

U° [ 1 - RSI (U°)] =0

и определять условие стационарно-
го режима из уравнений

U° =0, St(U°)= \fR. (7.5)

Такая форма записи несколько
более удобна для графического
решения и имеет простой физи-
ческий смысл. В автогенераторе
с одной степенью свободы усло-
вие стационарного режима соот-
ветствует равенству средней кру-
тизны колебательной характерис-
тики и величины, обратной управ-
ляющему сопротивлению на резо-
нансной частоте (рис. 73,6, 7.4,6).
Устойчивость стационарного режима. Условие самовозбуждения. Для
решения вопроса об устойчивости колебаний в стационарных режимах
перепишем уравнение (7.2) в виде

dU	:	U \

Т-----=R{lx(U}-------	(7..6)

dt	V	RI	т

и рассмотрим определяемые им зависимости — pL/от U (рис. 7.5). Очевид-
но, что производная dU/dt пропорциональна разности ординат колеба-
тельной характеристики и прямой обратной связи. Зависимости, построен-
ные на рис. 7.5, представляют собой фазовые линии, по которым движется
изображающая точка в переходном процессе. В точках равновесия (стацио-
нарного режима) фазовая линия проходит через нуль. Там, где правая
часть (7.6) положительна, скорость изменения амплитуды положительна и,
следовательно, амплитуда растет. Там, где правая часть отрицательна,
амплитуда U убывает. Непосредственно из рис. 7.5 видно, что для устой-
чивости равновесия необходимо, чтобы фазовая линия имела отрицатель-
ный наклон в точке равновесия, т.е. было выполнено условие

с//, (U) < 1	(7 7)

dU R
(7.8)

dtx ((7) 1
--------	. Условие

dU J r<> =0

тельной характеристики и, учитывая (7.5), можем для всех (7° э* 0 записать
условие устойчивости иначе:

a(U°}<S' ((7°).

В точке покоя, где (7° = 0, локальная крутизна колебательной характе-
ристики равна средней и равна крутизне S статической характеристики

ilu) в точке равновесия: S =

di M

du J u=0

устойчивости при этом определяется неравенством (7.7), а условие само-
возбуждения колебаний, т.е. неустойчивости состояния с (7° = 0, определя-
ется обратным неравенством

S>1/R.	(7.9)

Из рис. 7.3,а, 7.5,а и условий (7.7), (7.8) видно, что при мягкой коле-
бательной характеристике стационарный режим, соответствующий (7° =7=0,

устойчив, и если он существует, то состояние покоя U° = 0 неустойчиво.
При жесткой колебательной характеристике в случае двух точек равнове-
сия ситуация такая же, как при мягкой характеристике, а при трех состоя-
ниях равновесия (рис. 7.3, б, 7,5, б) устойчивыми в малом оказываются
состояние покоя U° = 0 и стационарный режим с большей амплитудой
U°, а режим с меньшей амплитудой Uf неустойчив. Это означает, что если
на генератор, находящийся в состоянии покоя, воздействовать импульсом,
который задаст начальное значение U, превышающее Ut°, то амплитуда
колебаний будет нарастать и достигнет величины U°. Если же существую-
щие колебания на короткое время сорвать (или резко уменьшить их ампли-
туду до величины, меньшей U°), то генератор перейдет в состояние покоя
(7° = 0.

Зависимость амплитуды колебаний от параметров. Мягкое и жесткое
самовозбуждение колебаний. Обобщенным параметром автогенератора с
одной степенью свободы является резонансное управляющее сопротивле-
ние R. Зная его зависимость от других параметров генератора, можно рас-
смотреть влияние этих параметров на амплитуду колебаний, если известна
зависимость амплитуды от/?. Интересующие нас зависимости U° (/?) опре-
деляются равенствами (7.5). Их называют диаграммами бифуркаций.
Удобно сначала построить зависимость R = 17S ((7°), а затем поменять
местами оси координат. Такие зависимости показаны на рис. 7.6,а для
мягкой характеристики и на рис. 7.6, б — для жесткой. Сплошными линия
ми показаны геометрические места устойчивых точек стационарных режи‘
мов, штриховыми - неустойчивых.

Каждому значению R соответствует своя топология на фазовой плос-
кости генератора (и, pa}. Для генератора с мягкой колебательной харак-
220


теристикой, пока Я< 1/S, условие самовозбуждения автоколебаний (7.9)
не выполнено, и состояние равновесия и - 0, ри = 0 является устойчивым
фокусом (рис. 7.7, а). При переходе Я через точку 1/S фокус меняет устой-
чивость, и из него рождается устойчивый предельный цикл (рис. 7.7, б);
при этом сколь угодно малому превышению Я над 1/S соответствует
сколь угодно малая амплитуда колебаний. Самовозбуждение происхо-
дит мягко, без скачков. (Здесь можно провести аналогию с мягким нача-
лом движения состава, трогаемого локомотивом, при условии отсутствия
сухого трения в осях колес, т.е. при идеальной смазке.) При уменьшении Я
амплитуда колебаний плавно уменьшается и обращается в нуль при том же
значении Я = 1/S, при котором возникли колебания.

В генераторе с жесткой колебательной характеристикой, пока Я<
< VS|max, на фазовой плоскости генератора (рис. 7.8,а) есть только
устойчивый фокус в начале координат. При Я=1/31тах из сгущения
фазовых траекторий рождается полуустойчивый предельный цикл
(рис. 7.8, б), который при дальнейшем увеличении R порождает два цик-
ла — устойчивый с большим радиусом U® и неустойчивый U\ . При этом
фокус в начале координат остается устойчивым, пока R < 1/S, и автоко-
лебания без дополнительных внешних воздействий не могут возникнуть.
В точке R = 1/S неустойчивый предельный цикл стягивается в точку равно-
весия и исчезает, передавая неустойчивость фокусу. Состояние покоя
становится неустойчивым, и любое внешнее возмущение, так же как и не-
большое увеличение R, приводит к нарастанию колебаний до величины,
определяемой радиусом устойчивого предельного цикла U?. При этом
сколь угодно малое превышение R над 1/S вызывает возникновение коле-
баний с конечной и обычно весьма значительной амплитудой £/2°. (Здесь
снова можно использовать аналогию с рывком в момент преодоления
локомотивом силы сопротивления сухого, трения при плохой смазке осей
колес.) Такое самовозбуждение колебаний называют "жестким". Отсюда
и наименования соответствующих колебательных характеристик. Даль-
нейшее увеличение R после самовозбуждения приводит к плавному на-
растанию амплитуды колебаний.

Если теперь уменьшить R, то в области 1/S)max < R < 1/S колебания
будут существовать и сорвутся только в точке R = 1/Slmax, где произойдет
слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов с образованием
полуустойчивого, который при сколь угодно малом дальнейшем уменьше-
нии R исчезает. Таким образом, возникновение и срыв колебаний будут про-
исходить при различных значениях R. Иногда говорят, что в генераторе с
жесткой характеристикой наблюдается колебательный гистерезис.

Характер и длительность процессов установления амплитуды автоколе-
баний. С помощью укороченного уравнения (7.6) может быть рассчитан
и исследован процесс установления амплитуды автоколебаний при задан-
ных начальных условиях. Предположим, что в начальный момент t = t0
задана амплитуда (/(Г). Уравнение (7.6) с разделяющимися переменными
легко интегрируется и интеграл его имеет вид

t —10 v	1	,

------- = f ---------;------dU'.	(7.10)
T u(t„) Rlt(U} — U

Таким образом, получается функция t {U}, обратная зависимости £/(t).
Она полностью определяет искомый переходный процесс.

Основные качественные особенности переходного процесса можно рас-
смотреть, не используя конкретной зависимости / ((С/). Предположим, что
активный элемент имеет мягкую колебательную характеристику
(рис. 7.9, а), условие самовозбуждения выполнено, а начальная амплитуда
(/(г0) на несколько порядков меньше, чем амплитуда U0 стационарных
колебаний*). Тогда на начальном участке колебательную характеристику
можно линеаризовать, положив,

liiU}=SU.	(7.11)

В этом случае из (7.10) получим

Г'—Го 1	Ult)

----------------	 In 	 ,	(7.12)
Т-----------------------------------------------------------(RS-V-(/(to)

или
[д $  1	-1

-----— и'-Го)]-	17-13)

Таким образом, на начальном участке(Го, Г (происходит экспоненциаль-
ный рост амплитуды колебаний, скорость которого тем больше, чем
меньше постоянная времени контура Т и чем больше превышение запаса
по самовозбуждению (/?S) над пороговым значением, равным единице.
Начальный участок переходного процесса при (/(г0) = 0,001 U° показан
на рис. 7.9,6. Время нарастания амплитуды от начального значения до
0,1 (/°, как видно из (7.12), равно 4,6 Т (RS — 1).

В окрестности точки стационарного режима (рис. 7.9, а) колебательную
характеристику также можно линеаризовать, положив

Л((/) = /|((/°) + а(£/°)((/-(/0).	(7.14)

Если в момент t" амплитуда колебаний U (г") находится на участке, где
можно применить аппроксимацию (7.14), то, подставляя (7.14) в (7.10)
и используя (7.14), получим

г-г" , и-и0

-------=-------1--- Щ ------------ .

Т	(1-оЯ)	(/(t)-(/°

Отсюда

л „ п Г 1 - oR

U=U° + [(/(г )-(/°] ехр|^-------—(Г — Г )].	(7.15)

Видно, что отклонение [U(г") — О0] от стационарной амплитуды затухает
экспоненциально и тем быстрее, чем меньше Г и чем больше (1 — о/?).
Величину (1 —cR}/T иногда называют прочностью предельного цикла,
поскольку она характеризует скорость возврата изображающей точки
на фазовой плоскости автогенератора на предельный цикл при малых
отклонениях от него. Процесс установления стационарного значения ам-
плитуды в окрестности (7° показан на рис. 7.9,в в интервале, где t>t".

Таким образом, на интервале (Го, г' ) переходный процесс описывается
выражением (7.13), на интервале (г", °°) — выражением (7.15) и лишь
на участке (г',г") необходимо точное интегрирование уравнения (7.10).
Этот участок на рис. 7.9, в показан штриховой линией.

Расчет частоты автоколебаний. Изохронные и неизохронные автогене-
раторы. Поправка к частоте ш0 8 автогенераторе с нелинейной емкостью
определяется вторым из уравнений (6.210). Разделив его правую и ле-
вую части на UT, найдем поправку на частоту

1

ру>= - — RStB(U).	(7.16)

*) Такая ситуация действительно имеет место в высокочастотных автогенераторах,
если начальное отклонение (/((„) от нуля вызвано включением источника питания
или действием собственных шумов активного элемента.
Здесь

SlB(U} = llB(U}/U	(7.17)

— средняя проводимость нелинейной емкости по первой гармонике.

Если вместо варикапа включать малую по сравнению с емкостью кон-
тура постоянную емкость АС, то S1B = ы0ДС и

ру> = — со0(/?/Т)ДС.

Учитывая, что R = 1/cj0C5, а Т = 2/cj06, получим

ру> = -соо ДС72С.

Это — приближенное выражение для изменения собственной частоты конту-
ра при подключении малой емкости АС параллельно емкости контура.
Очевидно, что в этом случае поправка на частоту не зависит от амплитуды
колебаний.

Если средняя проводимость варикапа зависит от амплитуды колебаний, то
поправка на частоту будет изменяться с изменением амплитуды U. Автогене-
раторы, в которых частота колебаний не изменяется с изменением амплиту-
ды, называют изохронными. Если же частота колебаний изменяется с измене-
нием амплитуды, то генератор называют неизохронным. При отсутствии
нелинейной емкости или индуктивности в контуре автогенератор с одной
степенью свободы и безынерционным активным элементом является
изохронным в первом приближении, поскольку из укороченных уравне-
ний получается поправка'на частоту, равная нулю.

§ 7.2. Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов.
Примеры использования аппроксимаций для количественного исследования
процессов в автогенераторах

Для аналитического исследования процессов в нелинейных системах
применяют аппроксимации зависимостей токов, напряжений, зарядов
или других величин от их аргументов. Выбор способа аппроксимации
зависит как от вида нелинейности, так и от особенностей решаемой задачи.

Рассмотрим в качестве примера вопрос об аппроксимации характеристи-
ки Ни} активного элемента. Если характеристика/ладкая, то естественно
применить ее аппроксимацию степенным рядом. Пусть управляющее напря-
жение отсчитывается от некоторого постоянного напряжения смещения, т.е.

Ни} = /а(£ + и},

где /а(ц) — несмещенная характеристика того же активного элемента.
Разлагая Ни} в ряд Тейлора, получим

Ни} = i0 +StU + s2u2 + s3u3 + s4u4 + s5u5 + ... ,	_	(7.18)

где 4 =iB‘<E}.

Если напряжение на входе нелинейного элемента гармоническое, и ап-
проксимация необходима для расчета первой гармоники тока, то достаточ-
но аппроксимировать не саму характеристику, а лишь ее нечетную часть

/н (u) =-у [/(u)-/(-и)1,	(7.19)

поскольку четная часть не дает вклада в первую гармонику тока нелиней-
ного элемента. В этом случае в аппроксимации i (и) степенным рядом
удерживаются лишь слагаемые с нечетными степенями и:

/„(u}=stu+s3u3 +ssus + ...	(7.20)
Если и = У cos (cj0 t +, то для первой гармоники тока нелинейного
элемента из (7.20), так же как и из (7.18), получим

3	.	5

/1(У)=5,У + — s3U3 +---ssUs+...	(7.21)

4	8

Простейшая полиномиальная аппроксимация мягкой колебательной ха-
рактеристики содержит два слагаемых: линейное и третьей степени

3

/([U}=StU+—s3U3	(7.22)

4

и соответствует аппроксимации (7.18), в которой отброшены члены ряда
со степенями, большими четырех. При этом, чтобы с увеличением Усредняя
крутизна

3

S1((/)=s1+—s3 У2	(7.23)

4

убывала, необходимо, чтобы при положительной крутизне st коэффициент
$з был отрицателен, т.е. выполнялись условия

S| > 0, s3 < 0.	(7.24)

Простейшая полиномиальная аппроксимация жесткой характеристики
должна содержать слагаемое пятой степени, т.е.

3  /! (У) =s(y + — 4	S3 и3	5  + TSs	У5,	(7.25)
3		5		
St(U)=Si + — 4	s3U2 н	kT,s	У4,	(7.26)
причем				
s t > 0, s3 > 0,	Ss <	:о.		(7.27)

В случах, когда необходимо знать зависимость от амплитуды внешнего
воздействия не только первой гармоники тока, но например, постоянной
составляющей или четных гармоник (в умножителе частоты), недостаточно
аппроксимировать только нечетную часть нелинейной характеристики.
Нужно учитывать все члены ряда (7.18), необходимые для достаточно
точного описания характеристики в заданном интервале изменения и.
Так же следует поступать и при анализе воздействия нескольких напря-
жений с кратными частотами или при расчете комбинационных частот.

Для реальных активных элементов (ламп, транзисторов) аппрокси-
мация полиномом в достаточно большом интервале входных напряже-
ний не обеспечивает необходимой для практики точности расчетов. Более
удобной и точной оказывается кусочно-линейная аппроксимация, показан-
ная на рис. 7.10. При такой аппроксимации крутизна s принимается пос-
тоянной, и вводится напряжение отсечки Е', так что

f S(u — E'},
/a(wl= Io,

и>Е' ,
и<Е'.

(7.28)

Если о = Е+Усоз (wf+ ч5),тоток /а(Г) имеет, в общем случае, форму
импульсов

{SU(cos (cot + у>) —cosfl] при cos (cor + у>) > cos в,

(7.29)

0	при cos (о>г + у>) < cosfl, 15

15. М.В. Капранов	225
где

cos в = — (Е — Е' }/U	(7.30)

— косинус угла отсечки тока в , определяющего относительную ширину
импульсов тока. Очевидно, что в случае, когда — (Е — Е'} /U> 1, отрица-
тельное смещение (Е — £') слишком велико для заданного значения U и
ток активного элемента равен нулю. Напротив, когда — (£—£’)/(/< — 1,
положительное смещение (£ — £') таково, что отсечки тока нет и амплиту-
да первой гармоники тока 7а (г) пропорциональна U.

Ряд Фурье для тока

ia(ti = /0 + /1с cos Ф + /2с cos 2Ф + ...,

(7.31)

где Ф=о>Г+у>, имеет только косинусоидальные составляющие. Каждая
амплитуда зависит от U и Е , но для описания их оказывается удобным
использовать угол отсечки в в качестве параметра, вычисляя коэффициен-
ты ряда (7.31) и используя (7.29), получим

SU о

/0 =--- / (со5Ф-со5б)£/Ф = 56/у0(б ).	(7.32)

2л -в

где

1

70(6) =— (sin 0 - 0cos0).	(7.33)

л

Аналогичным путем получим
/„=SU7n(0).

где

sin (л — 1)6 sin (л + 1)6
л—1	л + 1

(7.34)

(7.35)

Зависимости 7п (6 ) (л = 0,1....) табулированы, и с помощью соответст-
вующих таблиц нетрудно построить зависимости /„((/) при любом значе-
нии Е.

Выражения для колебательной характеристики /((С/) при постоянном
смещении Е, пользуясь приведенными здесь соотношениями, можно запи-
сать в одной из следующих форм:
При£>£':

/,(//) =

SU,
SU7i(0}.

U<(E — Е'},
UXE-E'Y.

(7.36)
при Е <Е’

(О.

/ ((/) =

Is (/7,(0),

(/<—(£ — £’),
U>-{E-E').

(7.37)

Эти зависимости показаны на рис. 7.11. Из них видно, что колебательная
характеристика (7.36) (кривая 1} является мягкой. Однако она имеет
две особенности. Во-первых, при сколь угодно малом превышении SR над
единицей устанавливается амплитуда колебаний (/> (£—£'), поскольку
только с началом* отсечки тока уменьшается наклон колебательной ха-
рактеристики. Во-вторых, при £/->«> в соответствии с (7.36) в -*90° и
7, (0 ) ->0,5. Поэтому при постоянном смещении за счет отсечки тока сред-
няя крутизна уменьшается с ростом (/не более чем в два раза. Следователь-
но, стационарный режим при такой характеристике может быть обеспечен
только, если угловой коэффициент прямой обратной связи 1//? больше,
чем S/2, т.е. RS < 2. В реальных генераторах с постоянным смещением
при RS >2 должен проявляться какой-то дополнительный механизм огра-
ничения колебаний, например, насыщение тока /а(у), не учтенное в зависи-
мости (7.28).

Колебательная характеристика (7.37), как видно из рис. 7.11 (кривая 2)
является жесткой. Следовательно, при постоянном смещении стационарные
колебания с углом отсечки в < 90 существовать не могут. Такой режим
неустойчив.

Детальное рассмотрение различных способов аппроксимации характе-
ристик нелинейных элементов было проведено С.И. Евтяновыми А.Н. Бруе-
вичем .

Рассмотрим в качестве примера аппроксимацию колебательной характе-
ристики варикапа с резким р— п-переходом. Его вольткулоновая харак-
теристика имеет вид

/ Ев + и'

д(и) = - 2СО£К\Л1--------.	(7.38)

Ек

Здесь Ек — контактная разность потенциалов р— /^перехода, —дифферен-
циальная емкость варикапа при смещении Ев = 0. Введем обозначение

<7о = 2С0 £«>/•-""** ' и = и/(Ек— £в).	(7.39)

Ек

Тогда

дМ = -Qo V1 -V.	(7.40)

Разлагая это выражение		в ряд, получим		
	Г 1	1 ,	1	,	5 ,	7 .
дМ = -д0	1	V —	2	3  	 у	у —		 /		у5
	L 2	8	16	128	256

Удерживая для расчета первой
ны этого ряда до 5-й степени
= (// (£к — Ев), получим

гармоники заряда только нечетные чле-
включительно и вводя обозначение V =

Г 1	3	\

О,(И-<у0—V + —V 3 +

L 2	64

35 а

-----Vs .

2048 J

(7.41)

*) Бруевич А.Н., Евтянов С. И. Аппроксимации нелинейных характеристик и спект-

ры при гармоническом воздействии. — М.: Сов. радио, 1965, 344 с.
Используя (6.208) и (7.17), найдем

$1в

(V) - сооСо

1 +----------V

35

32

1024

(7.42)

3

2

Эта формула позволяет дать количественную оценку относительного
изменения частоты в генераторе с варикапом при установлении колебаний.
Если предположить, что в установившемся режиме величина U равна
(£к — £в), то при нарастании амплитуды от нуля до максимума S1B (V)
возрастет примерно на 13%, и в соответствии с (7.16) примерно на 13%
увеличится отрицательная поправка на частоту.

§ 7.3. Некоторые свойства автогенераторов с комплексной обратной связью
или инерционным активным элементом

Из рассмотренных в § 6.7 примеров видно, что во 'многих случаях
укороченные уравнения для U и подобны уравнениям неизохронного
автогенератора с одной степенью свободы (6.210). Однако причины не-
изохронности в них связаны не с влиянием нелинейного реактивного
элемента, а со свойствами цепи обратной связи или активного элемента.
Для практических нужд важно знать, в какой мере развитая в § 7.1 тео-
рия автогенератора с одной степенью свободы переносится на анализ других
одноконтурных автогенераторов и какие особенности поведения могут
наблюдаться в одноконтурных генераторах с полутора и большим числом
степеней свободы.

Начнем рассмотрение с генератора с комплексной обратной связью
(рис. 6.8), описываемого уравнениями (6.215). Сравнивая первое из
этих уравнений с (7.2), видим, что в правой части уравнения для ампли-
туды колебаний (6.215) множителем при /( ((/) является действительная
часть резонансного управляющего сопротивления (6.214). Поэтому урав-
нение стационарного режима (7.4) в этом случае имеет вид

U° = IZlcos^/,(t/°),	(7.43)

а условие самовозбуждения, аналогичное (7.9), записывается в виде не-
равенства

S> ——!--------- .	(7.44)

IZIcostftj)

Из (7.43), (7.44) видно, что введение фазового сдвига в кольцо обрат-
ной связи даже при сохранении постоянным модуля управляющего сопро-
тивления приводит к ухудшению условий самовозбуждения (на границе
самовозбуждения требуется большая крутизна S) и к уменьшению ампли-
туды установившихся колебаний, если характеристика активного элемента
задана.

Физически это объясняется тем, что колебания возникают и существуют
на частоте, отличающейся от резонансной. Поправка на частоту в стацио-
нарном режимеру> = Доопределяется вторым из уравнений (6.215)

ГДо = IZI sin у>ф[/, (U0 )/U° ].	(7.45)

Из (7.43), (7.45) видим, что поправка на частоту в стационарном режиме
не зависит от амплитуды, поскольку средняя крутизна SJt/0) =/(
определяется значением управляющего сопротивления:

До>Г = Тду>ф.	(7.46)
Этот результат можно получить несколько иным способом, записав
уравнение стационарного режимав комплексной форме. Это уравнение полу-
чается из (6.2131, (6.214) ,если в него подставить выражение для комплекс-
ных амплитуд стационарных колебаний

U - (/°ехр|/(ДсоГ +^0}],
1JU) = /1((/°)ехр[/(Дшг + 1р°)].

(7.47)

Получим равенство

(/Део 7 + 1)1/° = iZlexpIMj,) /((1/°),
которое выполняется при условии, что модули и фазы правой и левой
частей одинаковы. Из условия равенства (баланса) фаз, которое, как видно
из этого уравнения, не зависит от стационарной амплитуды колебаний,
получается равенство (7.46).

Ухудшению условий самовозбуждения и уменьшению амплитуды ко-
лебаний с увеличением <^ф можно дать энергетическое толкование. В самом
деле, при Ф 0 самовозбуждение колебаний происходит на частоте,
отличающейся от <о0, где колебательный контур имеет комплексное сопро-
тивление для тока активного элемента. С этим связан сдвиг фазы (—^ф)
напряжения на контуре относительно упомянутого тока. Но с ростом этого
фазового сдвйга. мощность, отдаваемая активным элементом в контур,
уменьшается пропорционально соэ^ф, что затрудняет компенсацию потерь
мощности в контуре и самовозбуждение автоколебаний.

Однако в переходном процессе частота колебаний в таком генераторе
изменяется. В самом деле, из (6.215), (6.216) можно записать следующее

выражение для поправки на частоту в переходном процессе
1

Тр<р = — tg ^ф (Гр + 1) (/,

или сонетом выражения (7.46), получаем соотношение

Tlpip — Део) = Део Г--.

U

(7.48)

Поскольку из первого уравнения системы действительных уравнений
(6. 215) имеем

TpU	л

—— = S, (t/)IZl cos ^ф- 1,	(7.49)

то из уравнений (7.48), (7.49) видно,
что при заданной величине у>ф изме-
нение частоты в переходном режиме
будет тем больше, чем сильнее отли-
чается St (U) от S, т.е. чем больше за-
пас по самовозбуждению. На рис. 7.12
показано, как изменяется амплитуда
колебаний в автогенераторе с мягкой
колебательной характеристикой при
Фф = —45° и нескольких значениях
запаса по самовозбуждению. Зависи-
мости нормированной частоты Трр от
t/T рекомендуем читателю построить
самостоятельно с использованием вы-
ражений (7.48),/(7.49) и рис. 7.12, б,
обратив внимание на начальные зна-
чения Тркр, соответствующие U-0.

Рис. 7.12.
Отметим, что рассмотренный генератор является неизохронным в пере-
ходном режиме. Однако изменение амплитуды стационарных колебаний
любыми регулировками, не меняющими у>ф или со0, не влияет на частоту
установившихся колебаний.

Для автогенераторов с жесткими требованиями к стабильности частоты
работа со значительными сдвигами фазы у;ф нежелательна, поскольку
увеличение у?ф, кроме всего прочего, приводит к росту чувствительности
частоты колебаний к малым изменениям фазового сдвига, обусловленным
влиянием высших гармоник, шумов активного элемента и другими факто-
рами. В самом деле, если дать у;ф малое возмущение у>ф, то возмущение
поправки на частоту AwB можно определить из (7.46) путем линеаризации
этого соотношения в окрестности уф. Получим

ДшвГ =-----;----уз*.	(7.50)

СОБ^ф

Это соотношение позволяет количественно определить, как растет влияние
у>ф на частоту с ростом у>ф.

Рассмотрим теперь уравнения транзисторного одноконтурного генера-
тора (6.228). Предположим пока, что Uo безынерционно зависит от U, так что
все функции в правой части определяются только величиной Uи параметром
о>0. Для упрощения записи мы далее не будем указывать у /Э1 (О0, I7t, а>о)
и Ду; (t/0, Ut, о>о) параметры Uo и w0. Гармонический анализ тока
инерционного: транзистора при кусочно-линейной аппроксимации показы-
вает, что /Э1 и Ду; зависят от амплитуды колебаний. При этом с ростом
запаса по самовозбуждению модуль средней крутизны /э1/С/и отрицатель-
ный фазовый сдвиг Ду; уменьшаются. Такая зависимость Ду>.(1/) может
приводить к изменению характера самовозбуждения генератора на транзис-
торе с повышением рабочей частоты. В самом деле, если на низкой частоте
соо фазовый сдвиг Ду; пренебрежимо мал и зависимость S31 (t/f - /э1 (U) IU
монотонно убывает с увеличением U, то самовозбуждение проис-
ходит мягко. На высокой же частоте соо характер самовозбужде-
ния определяется зависимостью от амплитуды действительной
части средней крутизны S3l (t/) cos Ду? (t/). Поскольку I Ду; (t/) I убывает
с ростом U, это вызывает рост cos Ду? ((/). Произведение монотонно убы-
вающей функции S31 (У) на монотонно возрастающую cosAy>(L/) приво-
дит, как показано на рис. 7.13, а, к немонотонной зависимости
S3I (I/) созДу; (17) от амплитуды и жесткому самовозбуждению автогене-
ратора на транзисторе.

Выяснение физической причины жесткого самовозбуждения позволяет
предложить и способы построения транзисторных генераторов с мягким
самовозбуждением. В самом деле, если ввести не зависящий отамплитуды
положительный фазовый сдвиг у>ф, компенсирующий Ду; (0), то с увеличе-
нием амплитуды суммарный сдвиг фазы по кольцу обратной связи [у>ф +
+ Ду? ((/) ] будет увеличиваться, cos [у>ф + Ду> (СУ) ] будет убывать, зависи-
мость S31 (t/)cos [у>ф + Ду; (t/) ] будет также монотонно убывающей
(рис. 7.13, б), такой автогенератор будет самовозбуждаться мягко.

Рассмотрим, как себя ведет поправка на частоту в модели автогенерато-
ра на биполярном транзисторе, описываемой уравнениями (6.228).

В стационарном режиме

ГДы = тдДу?(С/°),	(7.51)

т.е., в отличие от (7.46), здесь поправка на частоту зависит от амплитуды
колебаний. Изменение частоты в переходном процессе определяется урав-
230
Рис. 7.13.

нением (7.48), где в соответствии с (6.228)

TpU/U = RS3i ((/)со$Ду>((7) - 1.	(7.52)

Отличие процессов изменения частоты в транзисторном автогенераторе от
рассмотренных ранее процессов в генераторе с фиксированным фазовым
сдвигом в том, что при каждом значении запаса по самовозбуждению
устанавливаются различные значения Деи.

Перейдем к обсуждению свойств одноконтурной модели автогенератора
с кварцем (рис. 6.10). Ее динамика описывается уравнением (6.238).
В данном случае, как и в предыдущем, существует зависящий от амплиту-
ды сдвиг фаз между напряжением и'и током 11 ((/’) .Как видно из (6.236),
этот сдвиг фазы положителен, и с ростом амплитуды управляющего напря-
жения U' при мягкой колебательной характеристике он уменьшается.
Поэтому в такой схеме при достаточно больших значениях Ду> (т.е. при
больших х) можно ожидать немонотонности зависимости действительной
части средней крутизны

$1 ((/’) =/| ((/')cos Д^((/)/(/'	(7.53)

от амплитуды колебаний и явлений, связанных с жестким самовозбужде-
нием колебаний.

Воспользуемся кубической аппроксимацией колебательной характерис-
тики активного элемента (7.22), чтобы рассмотреть количественно свойст-
ва этого генератора. Введем обозначение

Ux = V-4s, /3si	(7.54)

для максимального напряжения, при котором /|(С/)>0, и перепишем
(7.22) в виде

/(((/)= s( (7(1-t/1/(/*).	(7.55)

Подставляя (7.55). с учетом (6.235) в (6.233), получим связь между амп-
литудой напряжения и и U:

+ (xsi)2(1 -U*/U2XH.	(7.56)

231
а из (6.236) найдем зависимость Д<^(17):

Ду» = arctg((xsi )(1 - U1 IU2}].	(7.57)

Зависимости UIUX и созДу» от U/Ux показаны на рис. 7.14 и рис. 7.15,
соответственно. С помощью этих зависимостей на рис. 7.16 построена экви-
валентная колебательная характеристика	') = /) (1/')созДу>(1/').

Из характеристики рис. 7.16 видно, что npnxsj = 2 начальный участок
эквивалентной колебательной характеристики, хотя и не имеет участка,
где средняя крутизна растет, оказывается на большом интервале значений
U' близким к линейному, и поэтому при изменении R колебания будут воз-
никать и исчезать скачком, хотя при х = 0 они возникают плавно.

Интересно отметить появление при достаточно больших х$, двузначности
эквивалентной колебательной характеристики на' участке, где локальная
крутизна исходной характеристики отрицательна. Если запас по самовоз-
буждению в этом генераторе настолько велик, что единственная точка ста-
ционарного режима расположена на участке, где с(/1экв (U']/dU' > MR-
(рис. 7.17), то этот стационарный режим неустойчив. Если предположить,
что в реальной колебательной характеристике при U > Ux первая гармоника
тока равна нулю, то эквивалентная колебательная характеристика должна
быть продолжена отрезком оси абсцисс в области, где С/ ’> Ux v»U>Ux, так
как при5)(1/)=0в соответствии с (6.233) U’ = U. Такой колебательной
характеристике соответствует фазовая линия, показанная на рис. 7.17, б.
Анализ движения по этой линии показывает, что на ней есть точки возвра-
та, выход из которых по фазовой линии невозможен. Появление таких то-
чек связано с пренебрежением дополнительными степенями свободы в ис-
ходной системе. Учет этих степеней свободы позволяет показать, что из точ-
ки возврата система за весьма малое по сравнению с постоянной Т время пе-
реходит на другой участок фазовой линии, причем, поскольку переменная
U' (напряжение на контуре) не может резко измениться за малое по срав-
нению с Т время, то изменяется производная pU‘и первая гармоника тока
через активный элемент. Это движение аппроксимируется скачкомpU', при
котором координата U 'остается неизменной. Как видно из рис. 7.17, б, пос-
ле скачкаpU' вниз напряжение U' начинает убывать. После того как изоб-
ражающая точка доходит до второй точки возврата, происходит скачок
pU' вверх, и изображающая точка снова движется к первой точке возврата.

Таким образом, возникает периодическая самомодуляция колебаний,
причем в соответствии с (6238) вместе с изменением амплитуды будет ме-
няться и поправка на частоту. Из сказанного в § 6.7 следует, что такая же
самомодуляция может наблюдаться в автогенераторе СВЧ с ли-
нией.
Именно в таких генераторах этот вид самомодуляции был обнаружен
экспериментально, а затем объяснен теоретически.

Анализ RC-автогенератора с мостом Вина при кубической аппроксима-
ции /г(и) сводится к анализу генератора с одной степенью свободы без вари-
капа (см. § 7.1), поскольку он описывается укороченными уравнениями
(6.187), (6.188), а анализ /?С-генератора с линией сводится к анализу гене-
ратора с комплексной обратной связью; однако, как следует из уравнений
(6.261), поправка на частоту в установившемся режиме в этом генераторе
равна нулю.

На этом мы закончим анализ явлений в одноконтурных генераторах
и эквивалентных им одночастотных /?С-генераторах.

Упражнения к главе 7

7.1.	Характеристика активного нелинейного элемента в схеме одноконтурного
автогенератора имеет вид

/(и) = S, и + siui.

гдез, =0,01 A/В, з5 = —0.00333 А/В3 . а) Рассчитать зависимость амплитуды колеба-
ний от времени 1/(г/Г) в переходном режиме при 1/(0) = 10"‘ В, 1/(0) = 10"3 В,1/(0) =
- Ю"‘ В иЯ- 200 0м. б) Рассчитать и построить зависимость амплитуды установив-
шихся колебаний напряжениями первой гармоники тока/^СОот управляющего
сопротивления Я при изменении его от 0 до-10’ 0м. в) Рассчитать переходные про-
цессы 1/(Г/Т) при 1/(0) = 10"3 В для R = 110 0м, R = 200 0м, R = 400 0м, R = ВОООм.

7.2.	Характеристика активного нелинейного элемента Ни) (где ток указывается в
амперах) в схеме одноконтурного автогенератора имеет вид:

( 0.01 и.

Ни) = 1

10,005.

|и| < 0,5 В.

Iи | > 0,5 В.

Рассчитать зависимости первой гармоники тока /, (I/) и средней крутизны S1 (U) от ам-
плитуды управляющего напряжения. Провести для этой характеристики те же рас-
четы, что и в упражнении 7.1,и сопоставить результаты.

7.3.	Характеристика активного нелинейного элемента в схеме одноконтурного
автогенератора имеет вид

Ни) = sLu + s3u3 + з,и5,

гдез^ = 0,005 A/В, s, = 0,00333 A/В3, ss =—0,0015 A/Bs. а) Рассчитать зависимость
амплитуды колебаний от времени Ult/T) в переходном режиме при R = 190 0м для
случеев, когда 1/(0) = 0.1 В и 1/(0) = 0.3 В. б) Рассчитать и построить зависимости ам-
плитуд установившихся колебаний напряжения U и первой гармоники тока /4(1/) от
управляющего сопротивления R. в) Рассчитать переходные процессы (/(r/Т) при 1/(0) =
= 10'* В для R = 200 0м, R = 4000м,Я = ВОООм.

7.4.	Характеристика активного нелинейного элемента в схеме одноконтурного
автогенератора такая же, как в упражнении 7.1. В цепь обратной связи (между выхо-
дом линейной цели и входом активного нелинейного элемента) включен фазовраща-
тель, сдвигающий фазу колебаний на всех честотах (в пределах нескольких полос про-
пускания контура обратной связи) на —тг/4. Выполнить для такого автогенератора все
расчеты, заданные в упражнении 7.1. При расчете переходных процессов рассмотреть
как изменение амплитуд колебаний, так и изменение частоты.
ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

НА АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 8.1.	Роль нелинейных колебательных систем
с внешним воздействием в радиотехнике

Известно, что в современной радиотехнике чрезвычайно большую роль
играют всевозможные источники гармонических колебаний — автогенера-
торы и их комбинации с усилителями гармонических колебаний. При этом
для широкого круга применений исключительно важны генераторы преци-
зионных колебаний, обладающие эталонными свойствами частоты и фазы, а
в ряде случаев — и закона их изменения во времени.

Одним из способов создания достаточно мощных генераторов прецизи-
онных колебаний является использование внешнего воздействия эталонного
сигнала относительно малой мощности на достаточно мощный, но сам по
себе не прецизионный автогенератор. В этом случае частота синхронизиру-
емого генератора оказывается точно равной или кратной частоте внешнего
эталлонного колебания. Такая синхронизация может существовать не толь-
ко при фиксированной, т.е. не меняющейся во времени частоте (или фазе)
внешнего воздействия, но может сохраняться в динамике, т.е. при измене-
нии во времени параметров воздействующего сигнала — его амплитуды, час-
тоты и фазы, конечно, в пределах определенных ограничений. Возможные
при этом преобразования одного вида модуляции сигнала в другой находят
применение на практике для различных задач радиотехники.

Синхронизация генераторов на основной или кратной частоте широко
применяется для стабилизации частоты сравнительно мощных генераторов;
по существу, при этом происходит усиление эталонных колебаний,а также
когерентное преобразование частоты — ее деление или умножение, если час-
тоты кратны.

При воздействии на генератор двух и более источников эталонных
колебаний возможна синхронизация на любой из комбинационных частот,
возникающих за счет нелинейных свойств активного элемента. При этом
частота синхронизируемого генератора оказывается связанной линейной
комбинацией частот воздействующих колебаний, причем возможна пере-
стройка синхронизации с одной комбинационной частоты на другую с целью,
например, получения набора выбираемых стабильных частот.

Когерентная синхронизация двух и более автогенераторов, работающих
на общую нагрузку, обеспечивает суммирование мощностей этих генерато-
ров, тем более эффективное, чем более точно сфазированы генераторы с
эталонным сигналом и между собой. Аналогичное сложение мощностей ко-
герентно работающих автогенераторов с излучателями возможно непосред-
ственно в эфире, с одновременным формированием диаграммы направлен-
ности, а также управлением последней путем изменения фазирования гене-
раторов.

Частным случаем внешнего воздействия на автоколебательные систе-
мы является асинхронное внешнее воздействие, когда соотношение внеш-
ней частоты и собственной частоты автоколебательной системы таково, что
при имеющейся нелинейности не создается гармоник или комбинационных
составляющих, попадающих в полосу прозрачности колебательной системы
и вызывающих эффект синхронизации колебаний автогенератора. В этом
случае синхронизации не наблюдается и существует только влияние ампли-
туд колебаний (мощности) воздействия на амплитуду колебаний (мощ-
ность) автоколебательной системы. Характер асинхронного влияния может
быть различным — в зависимости от свойств нелинейности. Возможно, нап-
ример, при "мягкой”характеристике нелинейности асинхронное "тушение"
колебаний — когда с увеличением амплитуды воздействия уменьшается
амплитуда колебаний автогенератора. В противном случае (например при
"жесткой" нелинейности) возможно в определенных пределах асинхронное
"возбуждение" колебаний, сменяемое по мере роста амплитуды воздейст-
вия асинхронным '‘тушением".

Явления асинхронного тушения и возбуждения колебаний могут сопро-
вождаться изменением частоты колебаний автогенератора, если нелиней-
ность содержит инерционность. Влияние внешнего асинхронного воздейст-
вия на практике может быть использовано для управления амплитудой и
частотой колебаний в автоколебательной системе, в частности, в современ-
ных генераторах на диодах Ганна и ЛПД.где такой способ управления коле-
баниями легко реализуется.

§ 8.2.	Внешнее асинхронное воздействие на автогенератор

Рассмотрим влияние внешнего асинхронного воздействия на амплитуду
одноконтурного автогенератора. Поскольку уравнения одноконтурных
автогенераторов, собранных на различных активных элементах, имеют оди-
наковую структуру, можно без существенного ограничения общности рас-
смотреть схему рис. 8.1, где автогенератор состоит из колебательного кон-
тура и двухполюсника — активного элемента.

Внешнее воздействие, представляющее гармоническое колебание с на-
пряжением = (/jcoswjt, включено последовательно с колебательным
контуром и вместе с напряжением на контуре и, действует на нелинейный
активный элемент. Другие возможные схемы автогенераторов с внешним

Рис. В.1.

воздействием изображены на рис. 8.2. На рис. 8.2, а автогенератор представ-
ляется схемой с трансформаторной обратной связью, причем внешнее воз-
действие подается в цепь базы. На рис. 82, б внешнее воздействие включено
в цепь базы автогенератора по схеме емкостной трехточки. Более общие
схемы представлены на рис. 8.2 в, г, где автогенераторы составлены либо по
обобщенной трехточечной схеме, либо включают в себя усилитель с избира-
тельной обратной связью.

При условии узкополосности избирательного звена укороченные диффе-
ренциальные уравнения всех представленных систем имеют вид

dUi

Ti ~	— T\ ——	t/i=(|p/?i,	(8.1)

dt	dt
г

Рис. 8.2.

где Uj , ф, — амплитуда и фаза напряжения u, = U\ cos(wt t + ф,) на колеба- <
тельном контуре (для схемы рис. 8.1) или пропорционального ему напря- j
жения обратной связи на входе усилительного элемента в схемах рис. 8.2,	:

Wi = 1/Vi। — собственная частота, Л = 2/(Ш) 61) — постоянная времени, I
Ri — резонансное (или управляющее—для остальных'схем) сопротивление 1
контура, /)а и/1 р — амплитуды активной (синфазной с Ui) и реактивной |
составляющих тока нелинейного элемента с учетом действия на него как (
основного автоколебания, так и внешнего напряжения.	1

Для нахождения этих составляющих тока аппроксимируем характерис- |
тику тока нелинейного элемента двучленом	|

i-au-yu3	(8.2)	1

и, подставив и = и} + и2, выделим составляющие с аргументом г, =Ш|Г+ ’
+ ф|, попадающие в полосу прозрачности колебательной системы.	j

Линейное слагаемое даст,очевидно, составляющую тока atyt cos'], а пос- I
ле подстановки о = (Л cos ri + t/jcosrj, гдетз = шзГво второе слагаемое j
(8.2), возведения в куб и проведения простейших тригонометрических пре- *
образований, получим следующее общее выражение для тока:

it = /lacos7! - /1р sinri,	(8.3)	|

Где 3	3	.1

/1а=а(/( - — ?(/?-у 1/1,	/1р=0.	1

Подстановка этих выражений в (8.1) дает укороченные уравнения для |
автогенератора с внешним асинхронным воздействием.	я

Поскольку в рассматриваемом случае ток первой гармоники не содер- Я
жит реактивной составляющей, частота колебаний совпадает с собственной Я
частотой колебательного контура Ш| , как и в автономном генераторе. Вли- Я
яние внешнего воздействия на амплитуду напряжения автогенератора полу- 1
чим из первого укороченного уравнения 6.1), которое с учетом (8.3) имеет вид Я

dU,	!	3	3	\	Я

7(-----= («</,--------------7UtU22)Rl -Ut.	I

dt	V	4	2	'	_____ )i

После введения безразмерных амплитуд Х, = t/,/(/M, где t/M = х/4а7з% / = Я
-1,2, параметра регенерации ai =1—1/a/?t и обобщенного времени гэ = Я
= aR't/7\ укороченное уравнение можно привести к более компактной Я
форме	Я

dXt	*	?	dXi	>	, :

—— = (в| —— 2Хг )Х| или —— = (а1а—X । }Х{, гдед| 3 = — 2Х2 • Я
dtj	dt3	Я
Из полученного уравнения следует, что влияние амплитуды внешнего
воздействия сводится к уменьшению эквивалентного параметра регенерации.
Что касается основных зависимостей амплитуды колебаний от параметра
регенерации, устойчивости стационарных режимов — все сохраняется, как
в автономном генераторе. Сказанное иллюстрируется рис. 8.3, где представ-
лено графическое решение дифференциального уравнения для различных
амплитуд внешнего воздействия при а, > 0. Из графиков следует,что с уве-
личением амплитуды внешнего воздействия Хг амплитуда напряжения
автоколебаний X] уменьшается и приХ2 = Va i /2 'обращается в нуль, — т.е.
колебания подавляются. Такое явление называется явлением асинхронного
тушения колебаний автогенератора. Физически это явление объясняется
уменьшением средней крутизны по первой гармонике за счет увеличения

амплитуды внешнего воздействия из-за кубического члена аппроксими-
рованной характеристики нелинейности.

Можно показать, что для "жесткой” характеристики нелинейности,
представленной полиномом / = au + уи3 — eus, в определенном интервале
значений амплитуды внешнего воздействия наблюдается рост амплитуды
автоколебаний — асинхронное возбуждение автоколебаний — за счет поло-
жительного кубического слагаемого характеристики нелинейности. С даль-
нейшим увеличением амплитуды внешнего воздействия асинхронное воз-
буждение сменяется асинхронным тушением колебаний из-за возрастаю-
щего влияния слагаемого пятой степени характеристики нелинейности.

§ 8.3.	Внешнее воздействие с частотой, близкой к частоте
автономного генератора

Если частота внешнего воздействия близка к частоте колебаний автоном-
ного автогенератора, в полосу прозрачности колебательной системы попа-
дает составляющая тока с частотой внешнего воздействия, что приводит к
изменению не только амплитуды автоколебаний, но и частоты.

Рассмотрим в качестве примера схему рис. 8.4, где внешнее воздействие
представлено источником тока /2 = /, cos (со? t + I, подключенным к коле-
бательному контуру автогенератора.

Полагая со2 =wi +J2, где Q — малая расстройка, представим внешний
ток в виде

i2 = /2 cos (Т| +

где ri = f + ф] — аргумент напряжения на контуре ut = Ut eoszi ,^>=Пг +
+ 1р2 —	. Разлагая/j =/IacosTi — /jpSinr, .получим амплитуды активной

и реактивной составляющих тока внешнего воздействия

Ga='icos<p, 1гр = >1 sin у>.
Подставим эти выражения в укороченные уравнения (8.1) , полагая для
простоты, что нелинейный элемент под действием напряжения на контуре
создает ток первой гармоники/t = /(((/, )cosT|, совпадающий по фазе с
напряжением. В результате получим следующие укороченные уравнения
рассматриваемой системы:

dUt

7"।	~ [/i (U\) +12 cosR\ —	, Ti  --— 12sin y>.	(8.4)

dt	dt

К полученной системе уравнений следует добавить уравнение, связывающее
фазы 1Д1 и получающееся из выражения для разности фазу> = £2т+ф2 —
— ф|,которое после дифференцирования по времени и при условии посто-
янства частоты внешнего воздействия (ф, =0*)) имеет вид:

,	•	j

= 12 —	.

Подставив сюда выражение для ф,, получаемое из второго уравнения (8.4),
находим:

!р = £2 — £2Г sin у>,	(8.5)

где£2Г = 0,5cj|i>S|, p = /2/?|/L/|,	= 1/cj| Ri.

Проведем приближенный анализ полученных уравнений, полагая, что
уровень внешнего воздействия относительно мал, т.е. 1. При этом пред-
полагаем, что условия самовозбуждения в автономном генераторе (т.е. при
12 = 0) выполнены, и существуют колебания с амплитудой, определяемой
решением уравнения стационарного режима автономного автогенератора,
получаемого из (8.4) при Ut =0, /2 = 0 и представляющего известное урав-
нение "баланса амплитуд"

/|(L/1) = 1/1 /Я).

При малом внешнем воздействии амплитуда колебаний изменится не-
значительно, поэтому уравнение для фазы может рассматриваться



Рис. 8.4.

самостоятельно в предположении, что входящая в £2Г амплитудаX/i посто-
янна и равна амплитуде колебаний в автономном генераторе.

Решение уравнения (8.5) легко представить на плоскости (92,^). Для
—£2Г < £2 < £2Г возможные решения показаны на рис. 85; из них следует,
что при любых начальных значениях фазы = у>0 сиётеМа стремится к устой-
чивому состоянию равновесия с постоянным'значением фазы Для нуле-
вой расстройки этим значениям фазы соответствуют = 0, ± 2л, ± 4л,...
и тд., т.е. синфазный режим работы генератора, при котором напряжение
автоколебаний и ток внешнего воздействия совпадают по фазе. При других
расстройках £2 Ф 0, но в упомянутых пределах значения разности фаз меня-
ются, график этого изменения представлен на рис.8.6.

•) Точкой над переменной здесь и далее обозначается, как обычно, производная от
этой переменной по времени.
Заметим, что сам факт постоянства разно-
сти фаз двух колебаний — внешнего воздей-
ствия и автоколебаний означает, что их часто-
ты совпадают, т.е. имеет место синхронный
режим в пределах полосы расстроек

— £2Г < £2 < £2Г .

Так как частота внешнего воздействия зада-
на, очевидно, что в синхронном режиме часто-
та автоколебаний совпадает с частотой внеш-
него воздействия. Колебания отличаются
только по фазе, зависимость которой от рас-
стройки £2 характеризуется графиком рис.8.6,
прямо следующим из решения фазового
уравнения на рис. 8.5.

Равенство частот автоколебаний и внешне-
го воздействия следует также из записи

у; = £2 +	~ Фг •

Если учесть,что и>з + Ф2 = w", wi + Ф1 = о/, то для у> = О получим ш' = со".

Область расстроек—£2Г < £2 <£2Г называется зоной или полосой синхро-
низма. Ее величину определим из выражения £2Г = 0,5u>tP6i, откуда следует

2£2г/о?! = S| р,

(8.6)

где р = /2//1 — отношение амплитуды тока внешнего воздействия к ампли-
туде тока первой гармоники активного элемента автогенератора. Обычно
р < 1,6!	1, поэтому относительные значения полосы синхронизма при-

мерно порядка затухания контура автогенератора.

Рассмотрим, как ведет себя система вне полосы синхронизма, т.е. при
£2 > £2Г или £2 < -£2Г. Уравнение (8.5) в этом случае представляется графи-
ком рис. 8.7, из которого следует, что фаза непрерывно меняется либо в
положительном направлении (£2 > £2Г),либо в отрицательном (£2 < —£2Г).
Здесь, очевидно, синхронного режима быть не может, следовательно, часто-
та колебаний в автогенераторе не равна частоте внешнего воздействия.
Непрерывное изменение фазы у> во времени приводит, как это следует из
уравнений для амплитуды и поправки на частоту колебаний, к их перио-
дическому изменению за счет входящих в правые части уравнений
функций cos у> и sinyi. Поэтому такой режим называется режимом
биений. Заметим, что фаза у> меняется во времени неравномерно,
для ряда ее значений (у? === тт/2 ± 2ттХс) скорость ее изменения мини-
мальна, для других (у> ^Зтг/2 ± 2тгк} скорость ее изменения макси-

мальна.

Медленные изменения соответствуют сбли-
жению частот, быстрые — их расхождению.
Изменение частоты колебаний во времени
представлено на рис. 8.8. По мере уменьше-
ния расстройки и приближения ее к границе
зоны синхронизма "полупериод" биений, со-
ответствующий сближению частот, все более
увеличивается, стремясь к бесконечности на
границе зоны синхронизма, т.е. при £2= ±£2Г.
При этом средняя за период биений частота
колебаний автогенератора постепенно при-
ближается к частоте внешнего воздействия
Рис. 8.8.

и при расстройке £2= ±£2Г совпадает с ней, т.е. система втягивается в син-
хронный режим.

На рис. 8.9 представлены графики зависимости частоты колебаний от
частоты внешнего воздействия при фиксированной собственной частоте
контура. В пределах зоны синхронизма частота автоколебаний следует за
частотой внешнего воздействия, вне полосы синхронизма средняя частота
автоколебаний постепенно расходится с внешней частотой, сближаясь с
собственной частотой контура по мере удаления расстройки от зоны синх-
ронизма.

На рис. 8.10 представлена зависимость частоты колебаний от изменения
собственной частоты контура при фиксированной частоте внешнего воз-
действия. Здесь в пределах зоны синхронизма частота колебаний равна час-
тоте внешнего воздействия, т.е. не зависит от собственной частоты контура .
Вне зоны синхронизма по мере удаления от нее средняя частота колебаний
приближается к собственной частоте контура.

Амплитуда колебаний в пределах зоны синхронизма несколько меня-
ется, она максимальна в центре эоны и уменьшается к ее границам. Вне
зоны синхронизма, т.е. в режиме биений, амплитуда автоколебаний перио-
дически меняется.

Выражение для средней частоты биений £2б= )ср =	— можно

получить из уравнения (8.5) для фазы у, если провести его интегрирование
и усреднить за период биений.

Проведенное рассмотрение процесса синхронизации автогенератора на
близкой частоте в предположении малости амплитуды внешнего воздейст-
вия отражает основные закономерности, хотя и носит приближенный ха-
рактер. Для более детального исследования следует конкретизировать
характеристику активного элемента и провести анализ синхронизации на
фазовой плоскости двух переменных- амплитуды Uvt фазы .уравнения
для которых известны.
§ 8.4. Синхронизация на кратных частотах (деление н умножение частоты)

Если на активный элемент автогенератора (туннельный диод, лампу,
транзистор и др.) кроме основного колебания действует внешняя сила с
частотой, приближенно кратной частоте автономного генератора, в актив-
ном элементе возникнут гармонические и комбинационные составляющие
тока, часть которых попадает в полосу пропускания контура и, следова-
тельно, влияет на процессы в автогенераторе. Механизм этого влияния та-
кой же, как при синхронизации внешним током на близкой частоте, меня-
ется лишь природа появления этого тока, который в данном случае явля-
ется продуктом воздействия на нелинейность напряжений двух частот -
автоколебаний и внешнего напряжения.

Рассмотрим два наиболее характерных примера синхронизации на крат-
ных частотах — умножение и деление частоты на два.

Умножение частоты. Как отмечалось, важную роль при синхронизации
на кратных частотах играет нелинейность активного элемента. Чтобы при
внешнем воздействии с частотой, вдвое меньшей собственной частоты кон-
тура, возник эффект синхронизации, нужно, чтобы появился ток второй
гармоники от внешнего воздействия. Это возможно, если характеристика
активного элемента содержит квадратичный член (Ju2. В этом случае, если
иметь в виду схему рис. 8.1, составляющие тока, попадающие в полосу
пропускания контура, могут быть представлены в виде

= [/j (Ut , U2 ) + /2COS^] COST, — /2Siny>  Sin 7, ,

что позволяет получить следующие укороченные уравнения:

Г, йх = [/t (U{, иг ) + /2cosyi] R\ -Ui. Tt^iUi = /7ff,siny>, (8.7)
где /2 = 0,5/3Ul. Выражение для тока /2 получено после подстановки
в выражение (}и2 напряжения

U = Ut COST| +i/2cos ----- ,

V 2 /

где*/? = (2<л>2-<л>| )Г + 2^2 — $i .

Если обозначить £2 = 2шг — ы, и продифференцировать у по времени, то
получим с учетом второго уравнения (8.7)

= £2 — £2r sin у),	(8.8)

где £2Г = 0,5<л), 5] v, v = 0,5/8(272 Ri /Ut ).

Уравнения (8.7) и (83) аналогичны уравнениям, рассмотренным при
синхронизации на основной частоте, поэтому нет необходимости повторять
их исследование. Подчеркнем лишь, что в пределах зоны синхронизма, т.е.
при — £2Г < £2 < £2Г, получим устойчивое решение, где ф = 0, что соответст-
вует си'= 2 си 2, тл. точной кратности частоты колебаний частоте внешнего
воздействия (умножению частоты на два). Полосу синхронизма в относи-
тельном масштабе представим выражением

2£2г/ш, =6,^.

Из этого выражения следует, что полоса синхронизма в рассматриваемом
случае пропорциональна затуханию контура и относительной величине воз-
действия, причем последнее зависит от коэффициента при квадратичном
члене характеристики нелинейности.

Вне зоны синхронизма существует режим биений, в котором частота
и амплитуда колебаний периодически меняются во времени с частотой
биений

Пб=\Л25-£2!г’-

При этом чем ближе Q к границе полосы синхронизма — тем ближе средняя
за период биений частота колебаний автогенератора к удвоенной частоте
внешнего воздействия. Графики зависимости частоты колебаний от частоты
внешнего воздействия со2 и собственной частоты контура cjj аналогичны
рис. 8.9,8.10, если Заменить в них cj2 на2ш2.

Режимы умножения частоты возникают и при других кратностях частот.
8 этих случаях важную роль играют те слагаемые идеализированной харак-
теристики нелинейности, которые создают под влиянием внешнего воздей-
ствия гармонику тока, попадающую в полосу пропускания контура. Это
условие требует наличия в характеристике нелинейности слагаемого n-й сте-
пени, если рассматривается умножение частоты в п раз.

С увеличением кратности зона синхронизма уменьшается, поэтому на
практике синхронизацию с целью умножения частоты применяют для крат-
ностей частот не более 5 -г 10. Исключение составляет так называемое
радиоимпульсное умножение частоты с несколько иным механизмом син-
хронизации, позволяющим получить умножение частоты до кратностей по-
рядка нескольких сотен.

Деление частоты. Рассмотрим внешнее воздействие на одноконтурный
автогенератор, полагая частоту напряжения и2 = U2 cos(w21 + ф2) внешнего
воздействия примерно вдвое большей собственной частоты колебательного
контура автогенератора, т.е.

со2 = 2cj| + Q,

гдеЛ = со2 — 2cji - малая расстройка. Составим укороченные уравнения
для амплитуды и фазы колебаний в автогенераторе i/| = Ux cos (си + ф]),
полагая что характеристика нелинейности имеет квадратичный член/Зи2. Со-
ставляющие тока первой гармоники, образованные при действии на нели-
нейность напряжений их и и2, имеют вид

/18 = Л (t/i, t/2) +/cosy?, /|p=/siny?,

гдеу? = Ut + ф2 — 2ф( — обобщенная разность фаз напряжений внешнего
воздействия и автоколебаний,/ = (3UX U2, !х (Ux, U2} — составляющая тока
первой гармоники при асинхронном воздействии. В частности, при наличии
в характеристике слагаемых аи — у и3 получим

3	3

/I(L/1,V2)=at'1------yU3i--------MUI.

4	2

В дальнейших рассуждениях мы не будем конкретизировать-вид зависи-
мости /1 (t/j, U2), которая может быть в значительной степени произволь-
ной. Укороченные уравнения в данном случае имеют вид:

TXU\ = [/i(t/|, U2) + /cosy?] R} — Ux, Тхфхих = /Rt sin у?.

К ним следует добавить уравнение для фазы у?,

= S2 — Qr sin у»,

где

/Hi	IRt

Пт =2 ----- =со1611?, i> =------= $U2RX.

тхих	их

Полученные уравнения аналогичны уравнениям, рассмотренным выше для
242
внешнего воздействия с частотой, близкой или вдвое меньшей частоты авто-
номного генератора. Отличие—в выражениях для ip и амплитуды тока /, ко-
торая в данном случае является амплитудой составляющей разностной ком-
бинационной частоты внешнего воздействия и автоколебаний, образуемой
за счет квадратичного члена характеристики нелинейности. Если принять,
что внешнее воздействие мало, т.е. / •< /,, то анализ полученных уравнений
не отличается от проведенного выше для других кратностей частот.

В пределах зоны синхронизма —SlT < SI < Qr существует стационарный
режим, в котором амплитуда колебаний и фаза постоянны во времени,
при этом частота автоколебаний равна половине внешней частоты. Такая
система в пределах зоны синхронизма может быть использована как дели-
тель частоты. Полосу синхронизма можно определить выражением

2 Slr 1^2

Вне зоны синхронизма, как и в рассмотренных ранее случаях, существу-
ет режим биений, в котором частота автоколебаний и их амплитуда перио-
дически меняются, причем средняя частота тем ближе к внешней частоте,
чем ближе ресстройка к граничной. Механизм втягивания системы в синх-
ронизм аналогичен случаю синхронизации на основной частоте, только роль
синхронизующего воздействия играет составляющая тока разностной ком-
бинационной частоты.

Графики зависимости частоты колебаний от частоты воздействия или
собственной частоты контура аналогичны графикам рис. В.9 - 8.10, нужно
лишь заменить СО| и сУ на	и 2 со' соответственно.

Отметим одну особенность режима деления частоты при синхронизации
автогенератора на кратной частоте. Из фазового уравнения

= SI — S2r sin

следует, что устойчивые значения разности фаз при SI - 0 соответствуют
<р = 0, ±2тг, ±4я,...

Следует подчеркнуть, что для напряжений кратных частот ut = Ucosrt и
и2 = £/2cos(2T| + ф) фазы ip = 0, = 2тт соответствуют разным режимам, в
отличие от синхронизации на основной частоте, где эти режимы одинаковы.
Сказанное проиллюстрируем рис. 8-11, где представлены графики напря-
жений ut, и2 в зависимости от аргумента т2 = 2rt + ф; при этом Tj =
= (т2 - ф) 12, Ui • Ut cos ((т2 - >р) 12, и2 = U2cos т2.

Из рис. 8.11 следует, что для значений <р = 0;2я графики i/j (т2) отличают-
ся на тг, при этом их расположение различно по отношению к опорному
внешнему колебанию и2. Таким образом, для фаз р = 0;2п имеем,соответ-
ственно, два устойчивых состояния, с разным фазовым расположением
напряжений i/t ии2. Это может быть использовано для создания систем
памяти с двумя устойчивыми состояниями. Для деления частоты с большим
номером кратности частот число устойчивых состояний растет, что также
может быть применено для систем памяти с многоустойчивыми состоя-
ниями.

§ 8-5. Внешнее воздействие двух гармонических колебаний
на автогенератор

Рассмотрим внешнее воздействие двух гармонических колебаний на
одноконтурный автогенератор при условии, что одна из комбинационных
частот, образующаяся в результате действия внешних напряжений на нели-
нейность, близка к собственной частоте контура. Схема рассматриваемой
системы представлена на рис.8.12,при этом предполагаем

— со2 ~ oj । + £2,

причем для упрощения задачи считаем, что другие комбинационные состав-
ляющие, кроме со «г соj — со2, образующиеся^нелинейностью под действием
трех напряжений	'

W(=t/1COST|, U2=U2COST2, Ui=UiCOSTi,

где т3 - Г) + т2 + у>,	= fit + ф3 — (ф, + ф2),не попадают в полосу про-

пускания контура.

Полагая, что характеристика нелинейности содержит квадратичный член
ри2, найдем сихронизующую составляющую тока с аргументом Tt, подста-
вив и = их + и2 + и3. В соответствии с принятыми допущениями нас будет
интересовать только составляющая разностной частоты со3 — со2, получаю-
щаяся от произведения 2ри2и3. Эту составляющую выразим в виде

pU2U3 cos (Т| +	= /а cos Tj - /р sin Тз,

где /а = / cos /р = / sin ^7, / = p(J2U3. Составляющую тока основной
частоты, образующуюся за счет остальных членов характеристики нелиней-
ности, в общем виде представим как /1(2/3, U2, U3}; для характеристики
нелинейности вида i = аи + ри2 - уи3 она представляется выражением

3	3

/, = at/,	- — y(MU22+Ul}

и учитывает асинхронное влияние двух внешних напряжений на ток 1-й
гармоники. Таким образом, для подстановки в укороченные уравнения

TiUi =Ла^1 ~	= lipR\	(8.9}

имеем

/1а = li ((/„ U2, U3} +1 cos /lp = / sin

а с учетом того, что

^ = Q+ Ф3 - (ф, +ф2),

получим, полагая ф2 = ф3 = 0 (т.е. считая частоты внешних воздействий
постоянными и равными со2,	) 

= Q - Qr sin >р,	(8.9')

где

/Я|	/Я,	и2и3

ПГ --------=0,5w1«i»', к =-----=Р--------fft.

T1U1	Ui	Ut	'
г

I	Для малых внешних воздействий {у <1) анализ уравнений не отличается

I от рассмотренного выше для систем с близкой и кратными частотами.
|[ Амплитуда колебаний в этом случае практически совпадает с амплитудой
К	колебаний автономного генератора и находится из первого уравнения (8.9)

I	при й} =0, U2 = и2 = 0. 8 этом случае из уравнения (8.9’) находится поло-

| са синхронизма

2S1/W] = 6]Р,

где v - относительная величина внешнего воздействия, зависящая от Про-
S' изведения амплитуд U2, (J3 и коэффициента при квадратичном члене харак-
f теристики нелинейности.

!	j—i—I уО С) JW

1	£ р 1 и3 ф

5 у тр у

Рис. 3.12.

Частота колебаний в пределах полосы синхронизации — £2 г < £2 < £2 г
совпадает с разностной частотой ш3 — ш2, что прямо следует из уравнения
(8.9') при у; = 0, т.е.

си = СО] +	= си3 — со2 .

Если уточнить значения амплитуды колебаний с учетом внешнего воздейст-
вия, го для устойчивых значений разности фаз — тт/2 < < я/2, как следует
из 1-го уравнения (8.9), получим некоторое увеличение амплитуды колеба-
ний, если асинхронное влияние внешнего воздействия не проявляется
сильнее.

Для аппроксимации нелинейности трехчленом (au+$uz — уи3) влияние
внешних напряжений на общий ток 1-й гармоники при £2=0 (^ = 0) нахо-
дим из выражения -

3	3

aU1-----yU^- — y(U22 +Ul)Ut +&U2U3.

4	2

Очевидно,что при

3 1

j}U2Ui>-yiul +сф(А

будет некоторое увеличение амплитуды автоколебаний в центре зоны син-
хронизма, при обратном неравенстве — уменьшение. Эти изменения тем
менее заметны, чем меньше амплитуды напряжений внешнего воздействия
по сравнению с амплитудой автоколебаний.

В режиме биений синхронизм нарушается, средняя частота колебаний
приближается к собственной частоте а>! по мере удаления от границы зоны
синхронизма.

§ 8.6. Одноконтурный параметрический генератор

Особенностью параметрического генератора является отсутствие нели-
нейности обычного вида. Ее роль выполняется изменяющимся во времени
реактивным параметром колебательной системы - индуктивностью или
емкостью. При этом возникают условия для возбуждения колебаний в
системе, причем энергия для их обеспечения поступает от источника (меха-
нического или электрического), который вызывает периодическое измене-
ние реактивного параметра. Этот источник можно сравнить с насосом,
который "накачивает" энергию в систему, поэтому его принято называть
источником накачки.

Колебательная система параметрического генератора может содержать
один, два и более колебательных контуров с сосредоточенными параметра-
ми, может представлять объемную структуру, обладающую резонансными
свойствами на ряде частот.

Наиболее распространены одноконтурные и двухконтурные параметри-
ческие генераторы и аналогичные им устройства с распределенной и объем-
ной структурой, обладающие одним или двумя резонансами колебательной
системы.

Схема одноконтурного параметрического генератора представлена на
рис. 8.13. Генератор состоит из колебательного контура, емкость которого
периодически меняется вокруг некоторого среднего значения по закону

С = С] (1 + т cos т„),

где т = ДС/Ci, тн = о>н t + фн .

Укороченные дифференциальные уравнения для рассматриваемой систе-
мы при условии m < 1 и узкополосности колебательного контура имеют
традиционный вид

T}Ut =llaRt -Ux,	(8.10)

где 7\ = 2/а>161,	= 1/\Д* Ci,	= 1/<OjCj/?i, U}, фх - амплитуда и

фаза напряжения на контуре

Ux = Ut COS (tOj t + Ф1 ) = Ux COS Ti .

Составляющие тока /1а и /1р образуются при действии на варьируемой
емкости напряжения и,. Для их нахождения воспользуемся известным
выражением

7 = - dq/dt,

где dq - Cadu, - дифференциальная емкость, равная ДСсоэ (cj„t + фн).



Рис. 8.13.

Рассмотрим наиболее характерный случай, когда сон = 2со( + 12, где
Г2 = сон — 2со1 — малая расстройка. В этом случае Ca=ACcos(2r1 + у>),
где >£ = Г2т + фн — 2ф(. С учетом малости т и для тока 7 получим

7 = ДС<*>1 Ux cos (2т( + <р) sin T!,
откуда выделим составляющую тока, попадающую в полосу пропускания
контура

1

7, =— СО] Схт cos (т. + ф),
2

где ф = у? + тг/2.
После разложения тока на активную и реактивную составляющие получим

Л =/1а cos т, -/1р sin Т| ,	(8.11)

где	1

liа ~ Sn Ui cos ф, /|р = SnU\ sin ф, Sn =—.	(8.12)

Величину Sn назовем крутизной преобразования на нелинейной емкости.
Она определяется как отношение амплитуды тока разностной комбина-
ционной частоты, образующегося в результате действия колебания в кон-
туре и периодической накачки, вызывающей изменение емкости вокруг
среднего значения, к амплитуде напряжения на контуре. При частоте изме-
нения емкости, т.е. частоте накачки, вдвое большей частоты напряжения
на контуре, разностная комбинационная составляющая тока совпадает с
частотой колебаний в контуре и может вызвать их нарастание и установле-
ние стационарных незатухающих колебаний. Рассмотрим эти процессы с
помощью уравнений (8.10), в которые подставим (8.12), после чего по-
лучим:

Ti Uy = (Sn Ri cos Ф - 1 )Ui, Ti фг - Sn/?1 sin ф.	(8.13)

Сюда следует добавить уравнение для фазы ф, для которой имеем:

ф = П+ф„-2ф1.	(8.14)

Полагая частоту накачки фиксированной, т.е. фи = 0, и учитывая второе
уравнение (8.13), получим вместо (8.14)

ф = Q - 2SnR 1 sin ф.

Рассмотрим стационарный режим, в котором амплитуда и фаза постоян-
ны во времени, т.е. Ui = Ф - 0. В этом случае, как следует из (8.14),

cu'=c<jl +	= сон/2,	(8.15)

т.е. частота колебаний в системе равна половине частоты накачки. Для на-
хождения амплитуды колебаний в зависимости от параметров рассмотрим
уравнения, стационарного режима, которые получаются из (8.13), (8.14)
при Ut = ф = 0 и сводятся к системе двух уравнений

SnRi cos 0=1, i2F|=2tg0.	(8.16)

Из второго уравнения следует

ф = arctg /2),

что позволяет заменить в 1-м уравнении (8.16) cos ф = 1/у1 + Д2, где Д =
= П7\ /2.

В реальной системе крутизна преобразования зависит от амплитуды ко-
лебаний, т.е. Sn(^i) • Принимая, что она уменьшается с увеличением ампли-
туды, начиная с максимального значения Sn(0), амплитуду напряжения
установившихся колебаний получим, если проведем горизонтальную пря-
мую на уровне \/l + Д?/Я1 и найдем абсциссу точки пересечения прямой
с кривой Snil/j). При Д = 0 самовозбуждение колебаний происходит при
выполнении условия

SJO)/?! >1,

откуда следует значение минимально необходимого для самовозбуждения
сопротивления контура

*imin =1/S„(0).
С учетом расстройки условие самовозбуждения имеет вид
Sn(o)«i а/Г+д7 > г

(8.17)

Очевидно, что максимальная амплитуда колебаний получается при нулевой
расстройке. С увеличением последней в ту или другую сторону амплитуда
колебаний уменьшается и обращается в нуль, как следует из (8.17), при
расстройках Г2Г = 2ДГ/Г1(где

△г = ± x/SnfO)/?, - 1'.

Зависимости амплитуды колебаний от расстройки для различных парамет-
ров регенерации А = Sn(0) представлены на рис. 8.14. С увеличением А

амплитуда колебаний и область расстроек, в пределах которой они сущест-
вуют, увеличиваются. Такой вид кривых получается при "мягкой" зависи-
мости крутизны преобразования от амплитуды колебаний.

Возможны более сложные случаи, когда крутизна преобразования для
малых амплитуд напряжения возрастает с увеличением последней, затем
достигает максимума и уменьшается. Для такого случая на краях полосы
существования колебаний появляются петли гистерезиса - возникновение
и срыв происходят при различных расстройках (рис. 8.15).

При использовании в качестве варьируемой емкости полупроводниково-
го диода среднее значение емкости оказывается зависящим от амплитуды
колебаний, что вызывает изменение фактической расстройки при измене-
нии амплитуды колебаний. В результате кривые зависимости амплитуды
колебаний от расстройки получаются несимметричными, они как бы "пе-
реваливаются", что приводит к появлению петли гистерезиса с одной сторо-
ны области существования колебаний (рис. 8.16).

Важной особенностью параметрического генератора является отсутствие
автономных колебаний при снятии накачки. Это создает удобство при ис-
пользовании параметрических генераторов в качестве делителей частоты —
никаких асинхронных режимов биений, как в ранее рассмотренных уст-
ройствах.'в них не существует.

Как следует из уравнения для фазы Ф, устойчивое значение фазы, напри-
мер для нулевой расстройки (£1 = 0), соответствует ф = 0, 2я, 4л, . .. Два
соседних значения фазы соответствуют в случае деления частоты на два
разным фазовым соотношениям между напряжением на контуре и законом
изменения емкости. Поясним это следующим образом. Пусть в качестве
опорного колебания взят закон изменения емкости, т.е. cos т„. В этом
случае гн = 2т j + у), и, следовательно, для напряжения на контуре получим

Uj = Uj cos Ti = cos (тн/2 - ф/2 + л/4).

Из последнего выражения следует, что для двух возможных устойчивых
фаз ф= 0; 2я, т.е. для двух возможных устойчивых режимов получаем два
248
закона изменения напряжения на контуре, отличающихся сдвигом фаз
на 180°. Это свойство используется в системах памяти.

Рассмотрим условие самовозбуждения параметрического генератора
SnRl > К которое может быть представлено в виде

(△С/2С]	> 1, или т/2>61,

где 61 — затухание контура.

Если вспомнить, что т/2 представляет относительную девиацию качания
собственной частоты контура, a 6t — половину относительной полосы
прозрачности контура, то, как следует из условия самовозбуждения, для
возникновения колебаний необходимо, чтобы изменение собственной часто-
ты контура за счет накачки было больше полосы его прозрачности. Чем боль-
ше девиация частоты и меньше затухание контура, тем легче выполняются
условия самовозбуждения.

Если условие самовозбуждения не выполнено, система аналогична кон-
туру с частичной компенсацией потерь, т.е. регенерированному колебатель-
ному контуру. Его добротность и резонансное сопротивление возрастают
с приближением к границе самовозбуждения. Такие системы используют
в качестве входных малошумящих усилителей в чувствительной приемной
аппаратуре. Малый уровень собственных шумов объясняется отсутствием
электронных потоков, которые в традиционных усилительных приборах
(лампах, транзисторах и др.) являются основными источниками шума.

Упражнения к главе 8

8.1.	Объяснить механизм втягивания автоколебательной системы в синхронизм
и выхода из него при изменении расстройки частоты внешнего воздействия.

8.2.	Построить зависимость полосы синхронизма одноконтурного автогенератора
с внешним воздействием от резонансного сопротивления контура.

8.3.	Рассчитать зависимость полосы синхронизма от кратности частот автогенера-
тора и внешнего воздействия. Коэффициентами полинома, аппроксимирующего ха-
рактеристику нелинейности, задаться.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§ 9.1.	Многоконтурные автогенераторы в радиотехнике

На практике, особенно в диапазоне СВЧ, реальные автоколебательные
системы далеко не всегда могут быть представлены одноконтурной мо-
делью. Существуют дополнительные резонансы, обусловленные другими
видами колебаний в объемной колебательной системе, элементами блоки-
ровочных цепей, паразитными межэлектродными емкостями и индуктив-
ностями вводов активных элементов. В результате образуется сложная
автоколебательная система с множеством резонансов и обратных связей.

В таких системах процессы существенно усложняются по сравнению с
одноконтурным автогенератором, возможно появление дополнительных
колебаний, которые заметно влияют на мощность и частоту основного ко-
лебания, вплоть до полного срыва последнего. Поэтому важно представлять
основные закономерности в многоконтурных автоколебательных системах,
чтобы грамотно устранять нежелательные явления.

В ряде случаев введение дополнительных контуров в автоколебательную
систему принципиально необходимо, например, при построении автоколе-
бательных систем на основе многокаскадных резонансных усилителей.

Важную роль играют в радиотехнике автоколебательные системы с по-
вышенной стабильностью частоты. Здесь ряд возможностей открывают мно-
гоконтурные автоколебательные системы, позволяющие при определенных
структурных схемах автогенераторов получить повышенную стабильность
частоты в сочетании с перестройкой по диапазону.

Наконец, в последние годы существенно возрос интерес к изучению
возможности когерентной работы группы автогенераторов с целью сложе-
ния их мощностей в общей нагрузке. Одной из сравнительно легко реали-
зуемых возможностей обеспечения когерентности генераторов является
их взаимная синхронизация за счет специальных элементов взаимной связи.
Выявление возможностей таких систем, эффективности сложения мощнос-
тей генераторов, оценка нестабильности частоты - все это теоретико-коле-
бательные задачи, решаемые при проектировании современных радиопере-
дающих 'устройств. Ниже рассматриваются некоторые основные вопросы
взаимодействия колебаний в ряде наиболее характерных многоконтурных
автоколебательных систем.

§ 9.2.	Асинхронные колебания в связанных автогенераторах

Рассмотрим взаимодействие колебаний в двухконтурном автогенераторе
по схеме рис. 9.1.

Предполагая, что собственные частоты контуров ш1( ш2 не находятся
в кратном отношении, ищем решение в виде двух почти гармонических
колебаний

Uj =i/| COST!, u2=t/2cosr2,	(9.1)

где Т] = u>i t +	, г2 = to2t + ф2.
Укороченные уравнения для амплитуд Ц и фаз ф,
каждого из напряжений имеют традиционный вид
(В.1), но для асинхронных частот и безынерционной
нелинейности N второе уравнение тривиально (ф; = 0),
так как в токе нелинейности нет реактивных состав-
ляющих. Следовательно, частоты колебаний совпадают
с собственными частотами контуров. Амплитудные
уравнения имеют вид

TXUX = IX(UX, U3}RX — Ux,

Т2 U2 = /2 (Ux, U2 }R3 - U2.	(9.2)

При аппроксимации характеристики нелинейности
полиномом 7 = аи- уи3 имеем:

l\(Ux,U2 \=aUx - 3ltyU3x - з/2 yUx Ul,
l2(Ux,U2}=aU2 - VajUI- З/2 yU2U*.

(9.3)

После подстановки (9.3) в (9.2) и введения безразмерных амплитуд
Х,- Uj/Um, где Unl = \/Аа13у, i= 1,2, уравнения (9.2) можно представить
в следующем более компактном виде:

d	d

— X, = F1(X1,X2),	— Х2 = F2(X,,X2).	(9.4)

dt	dt

где Fx = (a,-Xj-2Xf)Xx, F2 = ?(a2 - Хг2 - 2X2x )X2, l=aRxt/Tx, | =
= ai1 ~ 1/аЯ/. Исследование уравнений (9.4) проведем на фазо-
вой плоскости амплитуд (Xj/Xj).

Для облегчения графических построений умножим уравнения (9.4) на
переменные X] и Х2 соответственно и введем новые переменные

У,=Х?, 7=1,2,

для которых уравнения (9.4) примут более простой вид
d	d

— Yx =(а, - Yx — 2У2)У(,	— Y2 = ?(а2 - Y2 -2YX}Y3.	(9.5)

dt	dt

3 стационарном режиме переменные Yx и Y2 найдем решением этих
двух уравнений при dYx/dt =dY2/dt =0, что соответствует пересечению
графиков У1(У1)1 и Yx(Y2)2, получаемых из правых частей первого и
второго уравнений (9.5) соответственно. Зависимости YX(Y3)( и YX(Y2)2
образованы прямыми Yt =0, Yx ~а, — 2Y3 и Y3 = 0, Y3 = a3 - 2YX со-
ответственно. Они изображены на рис.9.2 для различных параметров реге-
нерации а,, а3. Там же изображен ход фазовых траекторий, направление
которых легко определяется для любой точки фазовой плоскости из
направлений изменения составляющих Yx и У2, получаемых из урав-
нений (9.5).

Из графиков следует, что при ах > 0 и постепенном увеличении а2 в систе-
ме существуют колебания в первом контуре (У] =3,), пока а2 < 2ах.
При а3 > 2а, возникают колебания во втором контуре (У2 = <»2), при этом
колебания в первом контуре срываются. При обратном изменений'пара-
метра а3 колебания во втором контуре уменьшаются по амплитуде по
закону У2 = а3, при этом колебания в первом контуре не возникают,
пока а3 > ах /2.
Рис. 9.2.

При а2 /2 возникают устойчивые колебания в первом контуре =
= alz Xj = \/а[), колебания во втором контуре срываются.

Таким образом, при изменении параметра а2 в системе имеет место ко-
лебательный гистерезис, т.е. возникновение одних колебаний сопровожда-
ется срывом других, причем эти скачки режима происходят при различных
значениях параметра а2, в зависимости от начальных условий на границе
появления скачка.

Заметим, что в рассматриваемом случае одновременные устойчивые
колебания невозможны, что связано с выбранным типом нелинейности,
для которой слишком ярко выражена взаимная конкуренция коле-
баний.

Конкуренция колебаний может быть ослаблена в системе двух взаимно
связанных автогенераторов (рис. 9.3), где взаимное влияние генераторов
регулируется величиной коэффициентов взаимной связи. В отсутствие
взаимной связи генераторы становятся автономными и в них, естественно,
возможны одновременные независимыйколебания.

По мере увеличения взаимной связи одновременные колебания сущест-
вуют, пока фазовые портреты соответствуют рис. 9.4 или пока
I (dY^ tdY2 )j| < | (dYt tdY2 )2 | . В этих неравенствах производные являются
угловыми коэффициентами прямых Yi (Y2и У| (У2 )$ соответственно.

Уравнения для такой системы имеют вид

dYJdt = (Si - И -2К2гх Y2)Yt, dY2idt = (а2 - Y2 -2K[2Yt)Y2,

откуда следует для dYJdt = dY2 left '= О

Yi =3l -2K22lY2,	{dYtldY2\=-2K22l,

Y2=a2-2K}2Yi. {dY}/dY2)2=-l/2K2l2.

Условие устойчивости одновременных колебаний в этом случае представ-
ляется в* виде

4К?2К||<1, или K2iKl2 <1/2.

Для /<12 = К21 = К условие устойчивости одновременных колебаний
сводится к неравенству К < 1/xfiF.

Если число взаимосвязанных генераторов больше двух, т.е. имеем ан-
самбль связанных автогенераторов, условие устойчивости одновременных
колебаний при асинхронных частотах аналогично рассматриваемому для
двух генераторов. При симметрии взаимных связей, когда Кц = К, и ха-
рактеристике нелинейности 7 = аи — уи3 в каждом из генераторов условие
устойчивости одновременных колебаний сводится к неравенству К <
< как и в случае двух связанных генераторов.
Для многоконтурного автогенератора с одной общей нелинейностью не-
возможно регулировать коэффициенты конкуренцйи, которые соответ-
ствуют К = 1. Поэтому здесь возможность одновременных колебаний це-
ликом определяется видом характеристики нелинейности. При мягкой
характеристике / = аи — уи3 одновременные асинхронные колебания не-
возможны. Если характеристика нелинейности представлена полиномом
/ = at/ + yt/J — ей, т.е. является жесткой характеристикой, то за счет
положительного кубичного члена характеристики имеется область значе-
ний амплитуд колебаний, где возможны одновременные колебания, по-
скольку в этой области их конкуренция выражена относительно слабо.

§ 9.3.	Двухкаскадный резонансный усилитель с обратной связью

В отличие от взаимодействия колебаний асинхронных частот в автоко-
лебательных системах с близкими собственными частотами существенную
роль играют фазовые соотношения между колебаниями, которые приводят
к их взаимной синхронизации, влияют на характер переходных про-
цессов.

Вариантов автоколебательных систем с близкими собственными частота-
ми может быть много. Рассмотрим автоколебательную систему, состоящую
из двух последовательно включенных резонансных усилителей с собствен-
ными частотами контуров tOj, со2 (рис. 9.5), причем to2 = cjj + SI.

Для составления укороченных дифференциальных уравнений в качестве
переменных выберем напряжения на контурах

Ui = Ui cos Г], и2- U2 cos т2 = Цг cos (тх + <р),

где Т| = со1г+ф1, т2 = w2t + ф2, р= Sit + ф2 ~ Ф1, Sl = <л2 —	~ малая

расстройка порядка суммарной полосы пропускания контуров (т.е. пред-
полагаем, что резонансные кривые частично перекрываются), р — разность
фаз напряжений ut и и2. Укороченные уравнения для амплитуд Ult U2 и
фаз ф ।, ф 2 в данном случае имеют вид

1\ Ui = ly^Ri — Uir Т2й2 = !2лЯ2 — U2,

.	.	(9.0)

_ Г| Ф1 t/j =/1рЯ|, Т2 ф2и2 = IzpRi,

где Tt = 2/(w,-6,), / - 1, 2.

Составляющие токов найдем из соотношений

/] = S, U2 cos (т। + у?) = S| U2 cos у> cos Tj — S, U2 sin y> sin Tj,
Рис. 9.5.

откуда следует

/ia ~ *$i (L/i COS tf, /1 р = Sj (1/2 It/j sin
Аналогично из выражения

/2 = S2 (t/i )t/i cos Tj = S2 (6't }Ui cos (r2 - ^) =

= S2 (Ul }Ui cos cos r2 + S2 (L/| )l/] sin sin r2
следует

/2а = $1 Wl Wl cos !2p = - S2 [Ui )Ui sin

(9.7)

(9.8)

Поскольку в правые части уравнений (9.6) с учетом (9.7), (9.8) входит
переменная <р, к ним нужно добавить уравнение

ф = О, + ф2 — фt,
которое после замены ф[ и ф2 в соответствии с (9.6) запишем в виде:

Для стационарного режима, в котором амплитуды колебаний и разность
фаз постоянны, т.е. U2 = U2 = = 0, получим из (9.6) следующие уравнения:

Ui =S, [U2}U2Ri cos^, =tgy>,	(910)

t/2 ~~ S2 (£/1 )L/| R2 cos <pr Г2 0 2 = tg y?,

7T2 = tg >p,

где 7 = TlT2/(Tl + Г2).

В последних трех уравнениях учтены соотношения, получающиеся из
первых двух уравнений, что приводит к существенному их упрощению.

Так, из третьего уравнения следует непосредственная зависимость раз-
ности фаз у> от расстройки:

у» = arctg £27,

причем легко понять, какие значения разности фаз устойчивы. Например,
при £2=0, устойчива разность фаз у? = 0. Это прямо следует из уравнения
(9.9), если в него подставить выражения для токов /|р, /2р. Можно ожи-
дать (хотя строго здесь требуется более детальное исследование устойчи-
вости с учетом амплитудных уравнений), что при £2^0 устойчивым значе-
ниям разности фаз у, будут соответствовать значения, лежащие в пределах
— тт/2 < < тг/2.

Влияние расстройки на фазу у; и, соответственно, множитель cos у:,
входящий в амплитудные уравнения, иллюстрируется рисунком 9.6. Ис-
пользуя эти зависимости, можно решйть амплитудные уравнения стационар-
ного режима для различных параметров Rt, R2 и расстройки.
Предположим, что зависимости St IU2),
S2 (4/0 являются "мягкими", т.е. падающи-
ми с увеличением амплитуд UA,U2, начи-
ная со значений St (0), S2 (0), как показа-
но на рис. 9.7. В этом случае решение
амплитудных уравнений на плоскости U\,
U2 можно представить с помощью рис.9.8.
Здесь построены кривые (7,{U2}2
в соответствии с первыми двумя уравне-
ниями (9.10}. Эти кривые являются изо-
клинами горизонтальных и вертикальных
касательных к фазовым траекториям, что
позволяет судить об устойчивости
возможных стационарных режимов.
Последним соответствуют точки пере-
сечения кривых U}lU2)i, Ui(U2}2,

и в зависимости от их вза-

имного расположения возможен либо один устойчивый режим с нуле-

выми амплитудами (рис. 9.8,а), либо два стационарных режима, в одном
из которых колебания отсутствуют (неустойчивый режим), а другой со-
ответствует устойчивым установившимся колебаниям (рис. 9.8,6}. Из
рисунков следует, что для получения последнего режима необходимо вы-

полнение неравенства

Si (0)/?| cos vj > 1/S2 (0)7? 2 cos

или

К7[1 + (QT)2] > 1.

(9.11)

где К = St(0) ff] S2(0) R2 - коэффициент усиления разомкнутого двух-
каскадного усилителя при точной настройке контуров.
Условие (9.11) является условием самовозбуждения рассматриваемой
автоколебательной системы. Заменив в нем знак неравенства знаком ра-
венства, легко получить область расстроек Q, в пределах которой сущест-
вуют колебания

Пг 7 = ±х/К- Г

Колебания возможны при К> 1, и область расстроек, в пределах кото-
рой они существуют, возрастает с увеличением К. В пределах этой полосы
расстроек амплитуды колебаний на контурах максимальны при нулевой
расстройке и уменьшаются с ее увеличением симметрично в обе стороны,
обращаясь в нуль при расстройках, равных граничным.

Рассмотрим, как зависит частота колебаний в системе от параметров
контуров. Заметим, что в стационарном режиме с постоянной разностью
фаз р частоты напряжений их и иг совпадают, что очевидно из физических
соображений. Этот Вывод также прямо следует из приведенного выше
уравнения для фазы р, из которого получим

= to" — со',

где со = со! + фх, со” = со2 + |Д2 — частоты колебаний в первом и втором
контурах соответственно. Для стационарного режима р = 0, следовательно,
со = со”, т.е. частоты колебаний совпадают.

Частоту со' (а следовательно, и со”) получим из выражения

со' = COj + ф,,

в которое подставим 0! = tg , исключив из последнего tg р = ГП, что
приводит к выражению:

При 7( = Т2 частоты колебаний равны среднему арифметическому соб-
ственных частот, т.е.

со” = со" = (соI + СО2 )/2.

При 7\ < Тг (6! > 62)

со" = со' = COj (62 /б 1 ) + со2,

а для нестабильностей частот

Део' = Део" = ДсО| (62 /6! ) + Дсо2.

Таким образом, частота колебаний и ее нестабильность определяются,
в основном, добротным вторым контуром (со2), а влияние малодобротно-
го первого контура ослабляется в 5 2 /52 раз.

При 72 < Тх картина становится обратной, т.е. частота колебаний и ее
стабильность определяются добротным первым контуром и мало зависят
от малодобротного второго контура, влияние которого ослаблено в число
раз, равное отношению добротностей контуров.

§ 9.4.	Квантовый генератор

Рассмотрим модель квантового генератора, состоящего из резонансного
контура, конденсатор которого содержит в качестве диэлектрика неравно-
весную среду с диэлектрической проницаемостью

е = 1 + е',

256
где

, >А
е =---------------— .

1 + /(w - шп)Гп

Параметры А, Т„ = 2/(<оп5п) определяются плотностью неравновесной сре-
ды и шириной линии излучения (поглощения), шп — частота перехода.
8 дальнейшем предполагаем, что число молекул, находящихся в верхнем
энергетическом состоянии, превышает число молекул нижнего энергетичес-
кого состояния; это соответствует А > 0.

Емкость с рассматриваемым диэлектриком можно представить в виде
параллельного соединения емкости Со с воздушным диэлектриком (е =
= 1) и комплексной проводимости Sn(c*j), в общем случае нелинейной,
вычисление которой для произвольной частоты ш дает

о	. Z, .	S"

Sn = -/wCoe =-—----------—,

1 +/(w - ШП'Л1

где Sn = шпС0А, причем в общем случае Sn зависит от амплитуды проходя-
щего через емкость тока /п.

Предполагая, что напряжения на контуре и ток через проводимость Sn
близки к гармоническим, т.е.	cosier +	= Re Ui exp(/u>it),

/п = fn cos(wnt + фп) = Re ln explicit], где U, = U} exp (j ф t), ln =
= /п exp (/ф|) exp (/y>),	~	+ Фп ~ Фи O=wn_toi - установим связь

комплексных амплитуд U] и 1П.

Используя выражение для комплексного сопротивления контура LC0,
получим

Uj ---------------

1 + /(ш -а>! }7\

и, заменяя j (со — Wj) на d/dt в соответствии с методом Евтянова [7],
найдем

7"i	= 1п Ri — U(.

После подстановки Uj = ехр(/фх}, 1п = 1П expf/i/^JexpO’y?) и разделе-
ния действительных и мнимых частей получим укороченные уравнения

Г] Ui = /п7?1 cos^-Ut, T^iUi = /п/?| sin у?.	(9.12)

Аналогично получим вторую пару укороченных уравнений, используя
выражение

I	S"U>

1 + /(со -соп)Тп

После замены Цш — соп) = /(со — cot) — /О и /(со — coj) = d/dt получим

in+ Л1'п ~	- snt/i.

Отсюда после подстановки 1П = /п exp(/0i )exp(/yj), U] = Ux exp (/ фх) и
разделения действительных и мнимых частей придем к уравнениям

7"п 41 =	cos \р — /п, Та фа /п = — SnUi sin у>.	(9.13)

Из выражения для фазы у? после дифференцирования и подстановки
вторых уравнений (9.12) и (9.13) получим:

ф - О,

/ Ai

In 7"п

sin у:.

(9.14)

+

17. М.В. Капранов
Из полученных пяти уравнений?
(9.12) - (9.14) достаточно совместно ;
решить уравнения для амплитуд U\, =
/,, и фазы оставшиеся уравнения
позволяют найти поправки на частоты •
колебаний , Фп.

Ограничимся рассмотрением стацио- \
нарного режима, в котором амплиту- 1
ды колебаний и /п постоянны (L/, = j
= О, /п = 0), а их частоты одинаковы
(ip = 0). В этом случае уравнения для |
амплитуд и фазы имеют вид;

t/i = /„ ft] cos р, /п = SnUnlUi cos у», i

(9.15)
где 1/Г = 1/7", + 1/Г,.

В последнем уравнении учтены соотношения переменных из первых двух j
уравнений, что существенно упростило его запись. Решение полученной |
системы уравнений облегчается тем, что третье уравнение не зависит от f
амплитуд Uit !„ и содержит только одну переменную у>. Это дает возмож- j
ность получить зависимость стационарного значения разности фаз р от
расстройки Q:	•

у? = arctg (ЯГ)	5

или для cos р, входящего в первые два уравнения,

cos р = 1 /	+ (OF)2 * * * * 7.	j

Очевидно, что при П = 0 значение cos р = 1, т.е. максимально, с изменением
11 =# 0 значение cos р уменьшается с увеличением расстройки. Для нахожде- ’
ния амплитуд 1/1г /п требуется совместно решить два первых уравнения >
(9.15). Это легко сделать в плоскости переменных Uy, /п (рис. 9.9).

Из рис. 9.9 следует, что для того чтобы возник устойчивый режим с не- !

нулевыми амплитудами ,
Ri cos р> 1/[Sn(0)cosy?] или

SntO)/?, .

/п, требуется выполнение неравенства '

(9.16) .

1 + (ПГ)2	‘	\

Это неравенство — условие самовозбуждения квантового генератора. Оче- ;
видно, что максимальная амплитуда колебаний будет при нулевой расстрой- J

ке. С изменением расстройки амплитуды (Д и /„ уменьшаются и обращают- j

ся в нуль при расстройках

1	-

Пг =±—	VSn(0)/?i - Т.	|

7	’j

Чем больше "запас" самовозбуждения, т.е. чем больше Sn(0) R\, тем шире <•
область расстроек, в которой существуют колебания, больше их амплитуда.

Для нахожденйя частоты колебаний воспользуемся выражением со' = <

.	.	1	$

- СО1 +	, в которое подставим = — tg р. Последнее выражение следу-,

Г j	J

ет из второго уравнения (9.12), если использовать первое уравнение стацио-
нарного режима.	$

Как и в ранее рассмотренном случае двухкаскадного резонансного уси- 
лителя с обратной связью, где были аналогичные выражения, получим.;
г

' заменив tg = fl Т и сгруппировав слагаемые, следующие выражения для
частоты колебаний:

,	,	01	On

W = шп = ы, —-----— + шп —-----—

О, + 02 Oj + Qn

и ее нестабильности

Ды'	Д ы!	Oj Дшп 0„

---- = ---- ------- + ---- — —   ,
ы, Ы! О, + Оп ып Q] + Оп

Из полученных выражений следует, что при значительной разнице в доброт-
ностях контуров частота колебаний определяется более добротной резо-
нансной системой. Например, при использовании в качестве неравновесной
среды газа аммиака NH3 при Ды,/ы! « 10~4, Дып/ып 10“ °, Qi/On 35
=» 10~6 получим относительную нестабильность частоты Ды'/ы( 25 10_,°.
Это значение того же порядка, что стабильность частоты перехода, что
объясняет широкое использование квантовых генераторов в качестве эта-
лонов частоты, несмотря на относительно малую мощность колебаний из-за
ограниченного числа частиц в объеме резонатора.

Мы рассмотрели модель квантового эталона частоты. Реальные устройст-
ва существенно сложнее, поскольку обычно используется объемная струк-
тура резонатора, колебания в котором и их взаимодействие с неравновес-
ной средой происходят по более сложным законам. Но основные процессы
и свойства таких генераторов в рассмотренной модели отражены достаточ-
но хорошо.

§ 9.5.	Взаимная синхронизация двух автогенераторов
с близкими собственными частотами

Рассмотрим взаимодействие двух автогенераторов с близкими собствен-
ными частотами контуров, связанных резистивным элементом связи
(рис. 9.10). Укороченные уравнения для амплитуд и фаз напряжений на
контурах О1 = (Л cost], о2 - t/2cosr2 отличаются от уравнений автоном-
ных генераторов дополнительными составляющими токов 7*а, /t'p, /'^
/2'р за счет элемента связи. Эти составляющие определим из выражений

>’ ~YCB(u2 -oj;

в результате получим

Л'а = V'ce^icosy- t/J, /1'р = Усв U2 sinvs,

Z2a = Хсв^1 COSY? - U2 ), /2'р‘ = - V'cb^I $'п<Л

где v? = т2 - Г].

Подставляя эти выражения в укороченные уравнения с учетом основных
составляющих токов от нелинейных элементов Л/] и Л/2, получим следую-
щую систему уравнений:

TiUi = [/| (С/,) + Усв1/2со$<^]Я| - Ui,	Г,	= YCBRiU2sinip,

Т2 U2 = [ /2 {U2) + УСв^Л со$»/?]Я2 — U2,	Т2ф2и2 = ~YcbR2U\ sin»/?.

где Rt, R2 — резонансные сопротивления контуров с учетом шунтирующего
действия сопротивления связи, 7\ = 2CiRt, Т2 = 2C2R2. К уравнениям
(9.17) следует добавить фазовое уравнение = fit + & — ф|( которое
17*	259
после дифференцирования по времени и подстановки производных
из второго и четвертого уравнений (2.17) примет вид

!р = Я — Г2Г sin^,

(9.18)

где

' 7,(7, + T2U2 Гса'

Полагая для простоты, что связь генераторов достаточно мала, т.е. YCBU2<%
</1 (Ut), УсвUt <l2 (U2), можно приближенно положить амплитуды коле-
баний постоянными, такими же, как в автономных режимах. Это позволит

Рис. 9.10.

в фазовом уравнении считать известными амплитуды напряжений Ut, U2 и
определить решение для фазы, используя рассмотренное ранее уравнение
(9.18), где для данного случая

U2 1	их 1

12г _^г1. + ^г2< fid ~ V'ceffl -j- ' г2 “ ^св^2 у j-

Решение уравнения (9.18) изучалось ранее при рассмотрении внешней
синхронизации автогенераторов. В пределах зоны синхронизма, т.е. при
—Г2, < Я < Г2г, фаза стремится к устойчивому значению, определяемому
решением стационарного уравнения

f2=£2rsin^>,	(9.19)

откуда = arcsin (Г2/£2г).

Постоянство разности фаз у означает равенство частот колебаний в гене-
раторах, т.е. их взаимную синхронизацию. Амплитуды колебаний в зоне
синхронизма будут несколько больше, чем в автономных режимах, особен-
но в середине зоны синхронизма. Это увеличение амплитуд вызвано допол-
нительными составляющими токов за счет элемента связи. Чем меньше
связь, чем ближе £2 к границе зоны синхронизма, тем меньше отличаются
амплитуды колебаний от их значений в автономных режимах, т.е. в отсут-
ствие связи. Разумеется, регенерация в каждом из автогенераторов предпо-
лагается такой, что автономные колебания существуют.

Частоты колебаний в зоне синхронизма, как уже отмечалось, одинаковы.
Их можно найти, используя уравнение

= £2rIsin<£.	,

Исключая si пу? = S2/S2r , найдем	i

,	•	S 2 р j	i 2р 1

со = со =coj +	= W1-----------+ со2-------------.	(9.20) i

£2Г1 + ^г2 S2rl + S2p2	'
Раскрывая

W]	ш2 U{

£2Г1	i ~	. £2r2 ~ ^cb ^2

2QS Ui	2Q2 U2

и подставляя эти выражения в (9.20), получим

п . I	м ,	I

ш = а> ~ а>s----+ «•>-------,

1+4	1+4

(9.21)

Q Г 2	СО 2 О j R 2 U2	Q j Р ।

£2Г]	ffj (Ут	С?2^2

Pt = 0$U\/Ri иРг = O,5U2/R2 -

мощности колебаний, выделяемые на резонансных сопротивлениях кон-

туров.

Из полученного выражения следует, что если 4=1, т.е. Q2P2 = Q|P|,
оба контура одинаково влияют на частоты колебаний, которые равны в
этом случае полусумме собственных частот.

Если мощности колебаний и добротности резонаторов сильно отличают-
ся, т.е. 4 > 1 или 4 < 1, то частота колебаний в системе близка к собствен-
ной частоте контура того генератора, для которого больше произведение
QP. Таким образом, генератор с большей мощностью и большей доброт-
ностью контура сильнее влияет на частоту колебаний в системе, чем другой
генератор. Вне полосы синхронизма в системе существует режим биений,
в котором частоты колебаний периодически меняются со средней частотой
биений = V П2 — получающейся из решения фазового уравнения
(9.18) при |12|> |ПГ| и соответствующей средней скорости изменения
фазы во времени.

В режиме биений фаза меняется неравномерно. При сближении частот
колебаний фаза меняется относительно медленно, при расхождении
частот — быстрее. На границе зоны синхронизма время сближения частот
растягивается до бесконечности — частоты асимптотически сближаются и
система втягивается в синхронный режим, который сохраняется во всей
зоне синхронизма. Можно сказать, что из-за неравномерности изменения
фазы во времени средние частоты колебаний в режиме биений отличают-
ся друг от друга меньше, чем собственные частоты. На границе зоны синхро-
низма средние частоты колебаний становятся одинаковыми, т.е. наступает
синхронный режим.

В отличие от внешней синхронизации автогенератора, в режиме биений
обе частоты колебаний периодически меняются и процесс сближения частот
по мере уменьшения расстройки носит взаимный характер.

§ 9.6.	Взаимная синхронизация на кратных частотах

Если два генератора с приближенно кратными собственными частотами
взаимно связаны, то в некоторой полосе расстроек также происходит
взаимная синхронизация колебаний, т.е. частоты их становятся точно крат-
ными. Свойства здесь примерно такие же, как при взаимной синхронизации
на близких частотах. При одинаковой взаимной связи ведет частоту генера-
тор, обладающий большей мощностью и добротностью колебательной систе-
м£>1. Но здесь существенное влияние оказывает характеристика нелиней-
ности в каждом генераторе, так как от нее зависят уровень гармонических
и комбинационных составляющих, обеспечивающих эффект синхронизации
колебаний. При соответствующем выборе параметров частоту как в низко-
частотном, так и в высокочастотном генераторе ведет либо первый контур
(умножение частоты), либо второй (деление частоты). В общем случае оба
генератора влияют на обе частоты колебаний. Это позволяет в зависимости
от необходимости строить компактные генераторы с одновременным пре-
образованием частоты, в том числе на одном нелинейном элементе. В ка-
честве одного из контуров колебательной системы можно применить квар-
цевый резонатор [19].

§ 9.7.	Взаимная синхронизация на комбинационных частотах

Если на два взаимно связанных автогенератора подано напряжение с
частотой, равной сумме (или разности) их частот, причем последние между
собой не кратны, возникает эффект взаимной синхронизации на комбина-
ционных частотах. В некоторой полосе расстроек контуров сумма (или
разность) частот колебаний точно равна частоте внешнего воздействия.
При этом оказывается интересным влияние собственных частот и их неста- ,
бильностей на частоты колебаний, в частности, возможна взаимная компен- :
сация их нестабильностей и получение колебаний с повышенной стабиль- -
ностью частоты.	]

Рассмотрим систему двух автогенераторов, связанных между собой на ’
асинхронных частотах, при этом на нелинейности каждого из генераторов j
кроме основного колебания действуют два дополнительных напряжения —
от соседнего генератора и напряжение внешнего воздействия. Рассмотрим
основные процессы в такой системе. У первого генератора на контуре будет
напряжение U|=t/|cosr1( амплитуда и фаза которого подчиняются
известным укороченным уравнениям. Составляющие тока, попадающие
в полосу пропускания контура, содержат основную составляющую i\ =
= li (Uit U2, U3) cosTj, обусловленную воздействием сигнала	и асинхрон-

ным воздействием сигналов и2 и и3, а также составляющую разностной
комбинационной частоты двух других воздействий сигналов и2 ии3, кото-
рая для малой расстройки £23 = со3 — (a>t + ш2) имеет вид:

7 = /| cos(rj - 72 ) = /tcos(7| + ^),

где 71 = CJ11 +	= 73 — <7| + 72 ) = £2 t + фз - {ф1 + фг ).

Представляя ток 7 BBHAe7 = /iCos^co$7i — /isin^sinri ииспользуя (В.1),
получим следующие укороченные уравнения для первого генератора:

TfUi = [7| + 7| cos ] ft 1 — Uir Ti^iUi = 7| ft । sin^s

и аналогичные им — для второго генератора:

7"} U2 —	+ /2 COS<^]ft} — U2, Т2 ^2U2 ~ /2 7?2 sin•

Предполагая взаимную связь малой, т.е. /| < 7tz /2 < /?, получим, чтоам- >
плитуды колебаний мало будут отличаться от их значений для автономного
режима.

В этом случае исследование сводится к анализу фазового уравнения:

<^ = £2 +	- (^| + ф2),

которое с учетом уравнений для ф|, в предположении ф3 = 0 (т.е. при
постоянной частоте внешнего воздействия) принимает вид:

(Д = £2 — £2rsin<£,

f
где £2Г = £2| + £22, £2| = 7i Я|/Г| Ut, £22 = 12Я2/T2U2. Уравнение для фазы j
аналогично таким же уравнениям для других видов синхронизации. Из:?

262	J
него следует, что в пределах полосы расстроек —S2r < S2 < S2r в системе
существует режим, в котором tp = со3 — (о/ +	) = 0, и, следовательно,

ш' + Со" = СОз, ПОСКОЛЬКУ со' = Ы| + 1//(, ш" = cj2 + ф2.

Вне полосы синхронизма существует режим биений, в котором частоты
колебаний колеблются вблизи собственных частот с частотой модуляции

Яб= VЯ2 -Я2.

§ 9.8. Двухконтурный параметрический генератор

Двухконтурный параметрический генератор (ДПГ) состоит из двух кон-
туров, связанных реактивным элементом связи — емкостью или индуктив-
ностью, величина которых меняется периодически с частотой со3 (частота
накачки), близкой к сумме собственных частот контуров wt, а>2, т.е.

СОз = Ы| + Ы2 + Я,

где — малая расстройка.

Схема ДПГ с емкостной связью представлена на рис. 9.11. Емкость связи
С меняется по закону

С = Со + ДСсо5(ы3г + фз).

При действии на емкость связи напряжения и=и{ + и2, где ut = Ui cost
u2 = t/2cosT2, n = cojt + 1Д,-, i = 1, 2, кроме обычных реактивных состав-
ляющих тока, связанных со средним значением емкости Со, появляются
составляющие разностных и суммарных комбинационных частот со3±о>|,
w3±w2, обусловленные переменной составляющей' емкости ДСсо$г3.
При выбранном соотношении частот, когда ы3 + w2, составляющие
разностных комбинационных частот попадают в полосы пропускания соот-
ветствующих контуров и вызывают при определенных условиях генерацию
колебаний. Для нахождения этих составляющих токов учтем переменную
часть емкости связи, полагая, что среднее ее значение приплюсовывается к
основным емкостям колебательных контуров, несколько изменяя собст-
венные частоты свободных колебаний.

Рис. 9.11.

Полагая, что емкость связи представляется дифференциальным ее зна-
чением, для вычисления тока воспользуемся выражением

/=-с

ОТ

где С~ = ДСсобт3, т3 = co3t + Подставляя и= и2 + и2, получим

7 = ДС(сО| Ui sinri + co2t/2sinT2)cosr3,

откуда следует

/(tJ =/laCOSTi -/jpsinr,,
где /1а = Snl U2 cos#, /1р = Sni U2 s in#, Sni = 0,5 оь AC, # = ф + я/2. Ана-
логично

i'(t2 ) = /2acosr2 - /2pSinr2,

где /2а - Sn2t/|Cos#, /2р = Sn2t/!sin0, Sn2 = 0,5wi AC. Таким образом,
варьируемая часть емкости играет роль преобразователя частоты.

Используя полученные выражения для токов, получим следующую си-
стему укороченных дифференциальных уравнений:

Т{й1 = SnlfllC2cos#-Uit	= Sn|ff,L/2sin#,

72 U2 — Sn2R2 U। cos# — t/2,	72 Ф2 U2 ~ $n2R2 Ui sin#,

к которым следует добавить уравнение для производной разности фаз

# = £2

/	Sn27?2tM .

1-ПйГ *-Tisr*/""*-

<9 23)

Исследование полученной системы пяти уравнений сводится к совмест-
ному решению трех уравнений — первых двух (амплитудных) и последнего,
поскольку переменные , #2 в явном виде в них не входят. Эти уравне-
ния упрощаются для стационарного режима, в котором постоянны амплиту-
ды I/,, U2 и разность фаз ф. Полагая в (9.22), (9.23) Ut = (Л = ф = 0, полу-
чим следующую систему уравнений стационарного режима:

(>1 = Snlff1t/2cos#, U2 = Sn2ff2t/j cos#, 7£2 = tg#,	(9.24)

где 7= Л 72/ ( 7| + 72). Выражения для поправок на частоты (третье и чет-
вертое уравнения (9.22)) также упрощаются и имеют вид:

7!#i=tg#,	72#2=tg#.	(9.25)

Полагая, что с увеличением амплитуд колебаний крутизны преобразова-
ния Snl и $п2 уменьшаются, начиная с некоторых максимальных значений
$п ] (0), $п2 (0), решение уравнений легко представить на фазовой
плоскости (Uir U2), определив для каждого значения расстройки величину
фазы # и, соответственно, множителя cos#, входящего в первые два уравне-
ния. Пример такого решения представлен на рис. 9.12, где в соответствии
с первыми двумя уравнениями (9.24) построены кривые £/s (С/2) , ,
t/i (t/2) 2. Эти кривые являются изоклинами, соответственно, горизонталь-
ных и вертикальных касательных к фазовым траекториям, вернее, к их
проекциям на плоскость (U|, U2} в фазовом пространстве (1/|,С2,#).

Из рис. 9.12 следует, что для су-
ществования решения с ненулевой
амплитудой, т.е. для самовозбужде-
ния колебаний, должно выполняться
условие

Sni/?icos#> 1/Sn2fl2cos#.

Используя выражение для cos2# =
= 1/(1 + tg2#) и третье уравнение
(9.24), получим, что для возникно-
вения колебаний требуется выполне-
ние условия:

—>1

1+IQ7)1	(9.26)
где К — $П1 (0) R>Sn2 (0)Я2. Если раскрыть выражения для $П1 и Sn2, по-
лучим для условия самовозбуждения

1 ДС АС

4 С, С2



(9.27)

Это неравенство можно записать в виде

1*2 >5162,

где р, = AGj]/ojj, i»2 = Agj2/gj2 — относительные девиации собственных
частот контуров за счет изменения емкости связи. Если pt = v2 ~	=

— 61 = S, то условие упрощается и сводится к г > 5, что соответствует
превышению размаха качаний собственных частот контуров над их поло-
сами пропускания.

Выражения для частот колебаний получим, исключая tg ф из уравнений
для ^ий. Тогда

Tt .	Ъ

--------+ (wj — а>.)-----------

Л + Г2	 7, + т2

(9.28)

а для второй частоты индексы 1,2 следует поменять местами, поскольку
И	I 

а> = cj3 — gj в режиме синхронизма.

Из (9.28) следует, что изменения частот gJ],gj2 в одну сторону взаимно
компенсируются и мало влияют на частоты колебаний. При этом увеличи-
вается расстройка Г' = gj3 — |wi + gj2) , что в конечном счете приводит к
уменьшению амплитуд колебаний и их срыву при расстройках



Взаимную компенсацию нестабильностей собственных частот одного зна-
ка можно использовать для получения повышенной стабильности частоты
при создании, например, диапазонного автогенератора. Для перестройки
частоты gj' иш'' следует изменять одновременно собственные частоты GJ)
и w2 в противоположные стороны так, чтобы

Ш| + GJ? = GJ3 .

В этом случае частоты совпадают с собственными частотами а>' — Ш|,
л" = ш2 и, соответственно, меняются по тому же закону. Поскольку при
этом расстройка Q = 0, амплитуда колебаний максимальна, система нахо-
дится в центре зоны колебаний.

§ 9.9.	Стабилизация частоты автогенераторов
дополнительными резонаторами

Включение в автоколебательную систему дополнительных высокоста-
бильных и добротных резонаторов расширяет возможности автогенерато-
ров. Для вывода мощности используется основной резонатор автогенерато-
ра, обычно малостабильный и с низкой добротностью из-за связи с нагруз-
кой, а высокодобротный резонатор, не связанный непосредственно с
нагрузкой, является стабилизирующим. Вариантов включения дополни-
тельного резонатора в автоколебательную систему может быть много.
Рассмотрим наиболее характерные схемы.

На рис. 9.13 представлен автогенератор по схеме с трансформативной
обратной связью, в цепь которой включен селективный делитель напряже-
ния, состоящий из контура r2, Lt, С2 и активного сопротивления г. Обо-
значим резонансную частоту коллекторного контура через ш,, а частоту
последовательного резонанса цепи г г, L2, С7 через = 1/\/L2C7

Уравнения баланса фаз и баланса амплитуд схемы рис. 9.13 имеют вид

Sj |Z| ||£| =1,	+ i£K+ = О,

где Sj (U) — средняя крутизна характеристики триода; \Z t | — модуль
резонансного сопротивления контура в коллекторной цели; |£| — модуль

Рис. 9.13.



коэффициента обратной связи с учетом селективной вставки; $ ।,	=

= — arctg (w— WjlTj, у>к = — arctg (cj —	7"г — фазы крутизны, ком-

плексного сопротивления коллекторного контура и коэффициента обрат-
ной связи соответственно.

Частота колебаний определяется решением уравнения баланса фаз, кото-
рое легко выполнить графически. На рис. 9.14 показаны такие решения для
разных расстроек .Q = ш2 - ш, и различных соотношений затуханий конту-
ров. При Г2 = 0 частота колебаний совпадает с резонансными частотами кон-
туров, т.е. со = Ы| = ы2. В этом случае |Z|| и |Лг | максимальны, что соот-
ветствует максимальной амплитуде колебаний, если условие самовозбуж-
дения Sf>Rk0 > 1 выполнено. При Я Ф 0 частота колебаний располагается
между резонансными частотами cot, со2 (рис. 9.14), причем ближе к той из
них, для которой добротность контура выше, т.е. круче фазовая характе-
ристика.

Амплитуда колебаний при расстройке будет уменьшаться, поскольку
уменьшаются |Zt| и |/г|.

Зависимости амплитуды колебаний от параметра регенерации S^Rkl} и
расстройки представлены на рис. 9.15.

Из уравнения баланса фаз легко получить выражение для частоты коле-
баний при = 0 и малых расстройках S2:

ш = (Ш|Г|+ы2Г2)/(Г|+Г2)

или для малых расстроек, когда wt = ш2:

, ‘ Q,	Qj

W = «I --------- + ш2 ------ .

Qi + Qi Qj + Q2

Вводя относительные нестабильности v' -	' /о>|, v-, =

получим

, Qi	Q2

р = i?i-------+ i>2-------.

Qi + Q2 Qj + Q2

При Qj > Q| имеем

, о,

V =Vi~— + V2,
Qj

т.е. получается ослабление влияния нестабильности р j.
Рис. 9.15.

Часто для оценки стабилизирующего действия дополнительного контура
вводится понятие коэффициента стабилизации q, который показывает, во
сколько раз дополнительный контур ослабляет влияние нестабильности
собственной частоты основного контура. В нашем случае

q - V\/v',

причем для О2 > Q| получим

q = Q2/Q\-

Для увеличения коэффициента стабилизации необходимо повышать
добротность О2, которая зависит от сопротивлений гг,т. Уменьшение со-
противления г приводит к увеличению О2, но при этом уменьшается коэф-
фициент передачи селективного делителя в цепи обратной связи. В резуль-
тате ухудшаются энергетические возможности схемы, уменьшается ампли-
туда колебаний. Обычно выбирают г = г 2.

В качестве добротного и стабильного "контура" часто используется
кварцевый резонатор, работающий вблизи последовательного резонанса.
Такая схема называется схемой с кварцем в цепи положительной обратной
связи.

Возможны различные модификации рассмотренной системы. Одна из
них — двухкаскадный генератор, состоящий из двух резонансных каскадов.
Процессы в таком генераторе аналогичны рассмотренным ранее. При значи-
тельной разнице в добротностях частота колебаний и ее стабильность опре-
деляются более добротным контуром. Коэффициент стабилизации имеет
выражение, аналогичное полученному для предыдущей схемы. Для само-
возбуждения двухкаскадного генератора необходимо, чтобы коэффициент
усиления разомкнутой системы на частоте колебаний был больше единицы.
Очевидно, что он максимален при нулевой расстройке контуров, и умень-
шается с увеличением последней. Обозначим коэффициент усиления при
нулевой расстройке через Ко- Зависимость амплитуды колебаний от рас-
стройки S2 для разных параметров регенерации системы, т.е. разных коэф-
фициентов усиления разомкнутой цепи Ко, имеет тот же вид, что и для
предыдущей схемы. Граничная расстройка, при которой генерация исчезает,
определяется выражением

и растет с увеличением Ко. Здесь Т = 1\T2l(Ti + Т2). Максимальная
амплитуда колебаний получается при нулевой расстройке.

В ряде случаев, например на СВЧ, конструкция генератора такова, что
дополнительный резонатор можно подключить только извне, связав его с
основным резонатором генератора. Получающиеся таким образом авто-
колебательные системы получили название систем с затягиванием частоты.
Внешний резонатор, связанный с основным, влияет на частоту колебаний и
позволяет при соответствующем выборе параметров либо стабилизировать
ее, либо управлять ею.

Связь резонаторов может быть реактивной, если элемент связи носит
реактивный характер, либо активной (резистивной), если в качестве эле-
мента связи используется резистор. И в том и другом случае возможна
реализация режима с сильным влиянием дополнительного резонатора на
частоту колебаний. Но есть различие между схемами с этими видами связи.
При реактивной связи наибольшее стабилизирующее действие внешнего
резонатора получается на краях области затягивания, где возможны пере-
скоки режима. Это — недостаток, который создает трудности в настройке
и эксплуатации таких систем. Его можно устранить, если применить
резистивную связь между контурами или использовать набор из трех или
другого нечетного числа резонаторов, связанных реактивно. В таких систе-
мах легко реализовать режим, в котором коэффициент стабилизации полу-
чается максимальным при нулевой расстройке контуров и уменьшается
с увеличением последней. В пределах некоторой полосы расстроек (зоны
стабилизации) коэффициент стабилизации, обусловленный влиянием до-
полнительных резонаторов, сохраняется высоким. При выходе из зоны
стабильности (порядка полосы пропускания основного резонатора) стаби-
лизирующее влияние дополнительных резонаторов пропадает. При этом
мощность в нагрузке возрастает, поскольку она выводится из основного
резонатора, а потери в дополнительных резонаторах при сильной расстройке
последних отсутствуют. Исследование показывает, что выход из зоны стаби-
лизации и вход в нее при изменении расстройки сопровождается гистере-
зисными явлениями.

Разновидностью промежуточного резонатора для трехрезонаторной
системы может служить настроенный отрезок волновода, длина которого
может быть достаточно большой, что иногда удобно из конструктивных
соображений. Последнее обстоятельство особенно важно при использовании
явления сверхпроводимости свинца и некоторых других металлов при
низких температурах. Такой резонатор со свинцовыми стенками, помещен-
ный в сосуд Дьюара с жидким гелием, обладает добротностью порядка 106
и весьма малой нестабильностью частоты. Применение такого резонатора в
цепи обратной связи генератора на лампе бегущей волны позволило полу-
чить долговременную нестабильность частоты не более 10~9, а кратковре-
менную — еще лучше. Применение аналогичного резонатора в качестве ста-
билизирующего в системах с затягиванием позволяет получить нестабиль-
ности частоты того же порядка. Это подтверждается экспериментом, прове-
денным в МГУ.

§ 9.10.	Автоколебательные системы с комбинационным
соотношением частот

Автоколебательные системы с комбинационным соотношением трех
частот обладают интересным свойством взаимной компенсации нестабиль-
ности собственных частот, в связи с чем они могут быть применены для диа-
пазонной стабилизации частоты.

Рассмотрим систему (рис. 9.16), состоящую из двух смесителей Ct, С2,
на каждый из которых подается напряжение внешнего воздействия частот
ты и напряжение с фильтра соседнего смесителя. Если фильтры смесите-
лей настроены на частоты, в сумме приближенно равные частоте внешнего
воздействия, то в системе возникают колебания комбинационных частот.
сумма которых равна частоте внешнего воздействия. Возникновение коле-
баний представить нетрудно. При появлении малых колебаний частоты о/ в
первом фильтре на выходе второго смесителя фильтром со? выделяется
напряжение разностной комбинационной частоты а>" = со» — w’, которое
действует на вход первого смесителя. В результате на выходе первого сме-
сителя появляется составляющая второй разностной частоты ы ' =
= wj - со”, которая при надлежащем выборе параметров способствует
нарастанию колебаний до установившегося режима.

На рис. 9.17 представлена одна из возможных схем генераторов комби-
национных частот, где в качестве смесителей используются триоды, а в ка-
честве фильтров — резонансные контуры. Аналогичные схемы могут быть
составлены с использованием смесителей любого другого вида. В дальней-
ших рассуждениях будем иметь в виду схему рис. 9.17.

Задача исследования заключается в том, чтобы определить условия само-
возбуждения и существования колебаний двух комбинационных частот,
а также установить зависимость нестабильности генерируемых частот от
нестабильности собственных частот контуров и изменения питающих напря-
жений.

Уравнения системы. Для составления уравнений в качестве независимых
координат выберем напряжения на контурах:

Ui=t/|COST|, и2 - U2cozt2,

где г, = со, t + ф|, т2 = w2t + ф2.

Амплитуды напряжений Uir U2 и их фазы , ф2 в общем случае считаем
медленно меняющимися функциями времени.

Напряжение внешнего воздействия и3 = U3cos (u3t + фз) для удобства
последующих операций представим в виде

U3 = (>зСО5(Т| + Т2 +у>),

где = т3 — (?1 + т2) = ^t + Фз — (ф| + ф2), S2= о>з — (wi + coj . Обоб-
щенная разность фаз представляет сдвиг текущей фазы т3 напряжения
внешнего воздействия относительно суммы текущих фаз г, ит2 напряже-
ний на контурах.

При действии на сетку первого смесителя напряжений и2 и и3 в анодном
токе появляется ряд гармонических и комбинационных составляющих. Нас
будет интересовать составляющая с разностной частотой, соответствующая
аргументу ri + у?. Эта составляющая попадет в полосу пропускания первого
контура и будет поддерживать в нем колебания. При кратном отношении
собственных частот в полосу пропускания контура,. помимо разностной
составляющей, могут попасть гармоники одного из напряжений, а также
комбинационные составляющие высшего порядка. Такие области настроек
контуров (w,/wi = т/п) мы исключим из рассмотрения, полагая, что
контуры выделяют только разностные комбинационные составляющие
анодных токов. Каждую из этих составляющих представим в виде суммы
двух слагаемых, одно из которых синфазно с соответствующим напряже-
нием на контуре, а второе опережает его по фазе на тг/2: /, = /,dcosr, —
— ZipSinT), /2 “ /2aCOST;-/2pSinT2, ГДе /,а = /, COS^, /,р = /,51П£.

Пользуясь найденными выражениями для токов, нетрудно получить
укороченные уравнения для каждого из контуров

7"i=/iaHi - г/,, г2й2 = /2aR2 -и2,

(9.29)

Л 0.47, = /|pff,,	7-2 02 02 =/2pff2-

Здесь ft,, R2, Tt, Т2 — резонансные сопротивления и постоянные времени
контуров.

Проводя нормированное сложение второго и четвертого уравнений
(9.29) в соответствии с условием 0 = Q — (0, + 02) и используя приведен-
ные выше выражения для /(а, /(р, приходим окончательно к следующей
системе:

Г, (7, = 7, RjCOSifl — (7,,

7-2(72 = /2ff2cos^- (72,

/ l2R2

* = п~* К(^

Vl = тлС,п^

/iff,

+ 7-, (7,

sin<£.

(9.30)

Поскольку первые три уравнения не зависят от переменной 0,, исследова-
ние этой системы сводится к рассмотрению первых трех уравнений.

Стационарный режим и его устойчивость. Стационарным будем называть
режим, при котором амплитуды колебаний и их частоты постоянны, причем
последние в сумме равны частоте внешнего воздействия. Уравнения стацио-
нарного режима получаются из (9.30), если положить (7, = U2 = 0 = 0.
Используя соотношения /,/?,- = (7,7cos^, получающиеся из первых двух
уравнений стационарного режима, третье и четвертое уравнения можно
упростить. В результате уравнения стационарного режима принимают вид

/, Н, cos^ = (7,, l2R2cow=U2, ТП = tg^. 7, 0, = tg^,	(9.31)

где 7= 7, 72/(7, +72).

Из третьего уравнения для каждого значения расстройки может быть
найдена разность фаз ip. При этом первые два уравнения определяют ампли-
туду колебаний, а четвертое позволит найти генерируемые частоты по фор-
мулам ю' = Ы, +0, со" - W3 — со'.

Составляя для системы (9.30) уравнения в вариациях относительно осо-
бых точек, соответствующих стационарному режиму, можно с помощью
критерия Гурвица получить условия устойчивости стационарного режима.
В данном случае получаются три условия устойчивости. Анализ условий
устойчивости позволяет заключить, что самовозбуждение системы насту-
пает при выполнении неравенства

Sio/?iS2off2/(1+ (Я7)2]>1,	(9.32)

где 5|о,$2о — крутизны преобразования при малых амплитурах Ut,U2.

Величины Sio, $2 о определяются типом смесителей и амплитудой внеш-
него воздействия. Из рассмотрения условий устойчивости в стационарном
режиме, возникающем при выполненном условии самовозбуждения (9.32),
выводим, что стационарный режим устойчив, если в соответствующих ему
270
точках выполняются неравенства

dlJdU2 < ti/U2, dl2/dUt < f2/Ut.

Эти неравенства, в частности, будут выполнены, если зависимости /t (<У2) и
/2 (С/1) имеют "мягкий” характер. В дальнейших рассуждениях предпола-
гается, что указанное условие устойчивости выполняется. В этом случае
наибольшие значения амплитуд колебаний получаются при нулевой рас-
стройке. С увеличением последней амплитуды колебаний уменьшаются и
при расстройке

(2гр = ±уx/S10RtS20R2 - l!	(9.33)

соответствующей границе самовозбуждения, обращаются в нуль. В случае
симметричной схемы, когда 5j = 52 = 5, Rt= R2= R, SI0= S20~ S,вы-
ражение (9.33) можно привести к виду

2(2/ш3 = 6 у/ (SR? - 1.

Полученное выражение представляет относительную полосу расстроек,
в пределах которой существуют колебания.

Генерируемые частоты и их стабильность. Для рассмотрения частотных
зависимостей воспользуемся третьим и четвертым уравнениями (9.31).
При нулевой расстройке S2 = 0 из третьего уравнения следует tgy> = 0 и,
значит, = 0.

В этом случае генерируемые частоты равны собственным со,, со2. Пере-
страивая контуры по диапазону в противоположные стороны с сохранением
(2=0, получим изменение частот колебаний в значительных пределах. При
(2 =# 0 выражение для генерируемой частоты о>' = Wi + ф| получается с
помощью тех же уравнений (если исключить из них tg </?) и имеет вид

,	Ti	7,

со = «I - -- + (о>з - ш2) -=——.	(9.34)

Т1 + Т2	/1 + Л

Вводя относительные нестабильности собственных частот и частоты
внешнего воздействия v, =	с помощью (9.34), получим следую-

щее выражение для относительной нестабильности одной из частот колеба-
ний р/=	:

,	71	/	3|	Т2 «з \

v =--------(Vi — v2---+--------1>з).	(9.35)

Г| + Т2 \	32	71 <*>|	/

Выражения для второй частоты и ее нестабильности получаются аналогич-
ными (9.34), (9.35). Нужно только индексы 1 и 2 поменять местами.

Из выражений (9.34) и (9.35) следует, что при затуханиях одного поряд-
ка нестабильность генерируемых частот определяется разностью нестабиль-
ностей собственных частот. Следовательно, при одинаковом конструктив-
ном выполнении контуров (а также одинаковых температурных условиях
для них) нестабильность частот колебаний может быть сделана весьма ма-
лой, того же порядка, что и нестабильность эталонной частоты. Возможное
различие в величинах и, "2 за счет неизбежной асимметрии реальных си-
стем, в особенности при перестройке по диапазону, может быть скорректи-
ровано в разных точках диапазона подбором соотношения затуханий конту-
ров в соответствии с условием t’x 32 = р28] . Таким образом, рассматривае-
мая система, так же как и рассмотренный ранее двухконтурный параметри-
ческий генератор, позволяет получить две стабильные частот^!, перестраи-
ваемые по диапазону, при использовании всего лишь одной фиксированной
частоты эталонного генератора. Диапазон частот, в пределах которого
сохраняются указанные свойства, определяется областями настроек, внутри
которых частоты контуров не оказываются кратными. Наибольший интерес
здесь представляет область 0,5 < сО|/ы2 < 1, соответствующая изменению
частоты в первом контуре в пределах ы3/3 < «| < ы3/2, а во втором кон-
туре — в пределах о>з/2 < gj2 < 2ш3/3. Внутри указанного диапазона
можно ожидать синхронизации при отношениях частот Ш|/ш; = 2/5, 3/7 и
т.д., однако экспериментально такую синхронизацию обнаружить не
удалось.

В реальной системе нестабильность генерируемых частот зависит не толь-
ко от нестабильности собственных частот, но и от изменения питающих
напряжений. Влияние питающих напряжений проявляется за счет действия
базового тока и высших гармонических, не учтенных при составлении
уравнений. Учет базового тока и высших гармоник тока коллектора приво-
дит к появлению дополнительных сдвигов фаз ip], >р2 в коэффициентах
связи контуров со входом смесителей и в крутизнах преобразования.

Величина дополнительных сдвигов фаз того же порядка (т.е. порядка
затуханий контуров), что и в одноконтурных автогенераторах. Она зависит
от схемы связи контуров со входом смесителей, а также от соотношений
базового и коллекторного тока смесителей. В случае, если система близка
к симметричной, с достаточной точностью можно считать, что при одинако-
вом для обоих триодов изменении напряжений питания фазы >р ।, у 2 ме-
няются в одну сторону.

Покажем, что изменение частот колебаний определяется разностью фаз
! — у>2. Для этого при выводе укороченных уравнений нужно вместо
ffi, ff2 подставить выражения R। (1 + /\? [), ff2 (1 +/V 2). После преобразо-
ваний, аналогичных проведенным выше, и исключения малых высшего
порядка получим следующую систему уравнений стационарного режима:

/|/?!СО5у> = t/j, Г£2 = tgy> —	+ у>2/Г2),

/2/?2 cosip = U2, Tf = tgip — у>1.

Находя из последних двух уравнений выражения для генерируемых частот
(подобно тому, как это делалось выше), получим

,	Г]	Г2 <р j — у>2

ш = ш ।-------+ (а>з — а>2 )------+----------.	(9.36)

Г, + Г2	Г, + Г2 Т, + Т2

Отсюда следует, что стабильность генерируемых частот зависит от разности
фаз । — у> 2. Это позволяет сделать вывод, что влияние питающих напряже-
ний в рассматриваемой системе оказывается существенно ослабленным по
сравнению с обычными одноконтурными автогенераторами. Можно пока-
зать, что даже при различных вариациях фаз у? ।, у> 2 удается добиться почти
полной их компенсации подбором коэффициентов включения контуров.

Варианты генераторов комбинационных частот. Колебания двух комби-
национных частот возможны также в случае, когда частота внешнего воз-
действия равна приближенно разности собственных частот. Основные рас-
суждения для таких генераторов аналогичны приведенным выше. Однако
здесь нестабильности собственных частот контуров не компенсируются.

При исследовании были исключены области настроек контуров, в кото-
рых отношение собственных частот приближенно равно отношению простых
целых чисел т,п. В этих областях явления становятся более сложными,
поскольку в полосы пропускания контуров проникают не только разност-
212
г

ные комбинационные частоты, но и другие составляющие комбинаций
ты' + кшз, пы" ± кыу. В частности, при приближенно равных частотах
контуров рассматриваемая система превращается в двухкаскадный авто-
генератор, способный самовозбуждаться на частоте, близкой к собственным
частотам контуров. Возникновение дополнительных колебаний нежелатель-
но, так как при этом теряется уверенность в существовании именно тех
колебаний, которые необходимы. Самовозбуждение в отсутствие внешней
э.д.с. можно устранить отрицательной обратной связью, что осуществляется
соответствующим подключением сеток смесителей к контурам. Однако для
обеспечения в этом случае самовозбуждения на комбинационных частотах
в соответствии с условием (9.32) необходимо, чтобы крутизны преобразо-
вания S),S2 были противоположны по знаку. Это достигается подачей
внешней э.д.с. на сетки смесителей в противофазе [19].

В рассмотренных выше генераторах колебания комбинационных частот
прекращаются при снятии напряжения внешнего воздействия. Можно
строить системы, обладающие аналогичными свойствами в отношении ста-
бильности генерируемых частот, на принципе синхронизации суммарной
частотой двух взаимно связанных автогенераторов (§ 9.7) или одного
двухконтурного автогенератора. При действии на такой автогенератор
внешней э.д.с. с частотой, равной сумме генерируемых частот, в некоторой
полосе существуют колебания в контурах, причем их частоты в сумме
точно равны частоте внешнего воздействия. При этом их нестабильность
определяется разностью нестабильностей собственных частот, как в генера-
торах, рассмотренных ранее. Пользуясь этим обстоятельством, можно гене-
ратор комбинационных частот и эталонный генератор осуществить на одном
активном нелинейном элементе (лампе, транзисторе и т.д.).

Генераторы комбинационных частот, рассмотренные ранее, обладают
повышенной стабильностью частот колебаний, но имеют недостаток, огра-
ничивающий их применение. Он связан с наличием зон кратного синхро-
низма, в которых генерируемые частоты кратны друг другу и опорной
частоте, и не зависят от настройки контуров. Зоны кратного синхронизма
связаны с присутствием гармонических и комбинационных составляющих
высшего порядка, которые при приближенно кратных собственных часто-
тах контуров попадают в полосы пропускания последних наряду с полезны-
ми разностными комбинационными составляющими. Кроме очевидной
центральной зоны взаимной синхронизации колебаний (1.1) при близких
частотах контуров, наиболее заметные зоны кратного синхронизма соот-
.ветствуют отношениям частот 1:2, 1:3, ... и 2:1, 3:1 и т.д. Зоны синхрониз-
ма на равных и кратных частотах определяются порядком затуханий конту-
ров и уменьшаются с увеличением кратности частот.

Интервал между зоной 1:1 и зонами 1:2 и 2:1 соответствует перестройке
каждой из частот примерно на 30% и для ряда применений достаточен.
Внутри этих интервалов существуют зоны высшего порядка, соответствую-
щие кратностям частот 2:3, 3:4, 3:5, 4:5, 5:3, 5:4 и т.д. Эти зоны значитель-
но меньше зон 1:2 и 2:1, но вредны, поскольку нарушают плавную зависи-
мость частот колебаний от перестройки контуров. Из-за режима биений,
возникающего вблизи зон кратного синхронизма, засоряется спектр основ-
ных колебаний. Для уменьшения паразитных зон до минимального уровня,
определяемого, например, заданной точностью установки частот, требуется
уменьшать затухания контуров и уровень паразитных гармонических и
комбинационных составляющих токов смесителей.

Снижение уровня гармонических и комбинационных составляющих выс-
шего порядка может быть достигнуто уменьшением амплитуд колебаний,
т.е. работой генератора вблизи порога самовозбуждения. Такой путь ухуд-
18. М.В. Капранов	273
шает надежность работы генератора, приводит к нестабильности амплитуды
колебаний при изменении параметров, смене транзисторов или ламп и т.д.
Значительно целесообразнее применение автоматической регулировки уси-
ления преобразователей и усиленного автосмещения. Этими методами
можно обеспечить устойчивую работу генератора с малыми амплитудами
колебаний при любом запасе самовозбуждения.

Упражнения к главе 9

9.1.	Построить зависимости амплитуд колебаний в системе двух связанных одно-
контурных асинхронных автогенераторов от резонансного сопротивления одного из
контуров.

9.2.	Объяснить механизм втягивания в синхронизм системы двух автогенераторов
с близкими и кратными частотами при перестройке одного из генераторов.

9.3.	Для двухконтурного параметрического генератора найти зависимость амплитуд
и частот колебаний от изменения частоты накачки.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И ОБЪЕМНОЙ СТРУКТУРОЙ

§ 10.1.	Автогенераторы с объемной структурой в радиотехнике

В последние годы существенно возрос интерес к автоколебательным си-
стемам с распределенной и объемной структурой. Такие автогенераторы
состоят из отрезка длинной линии или волновода и распределенных вдоль
них активных нелинейных элементов — туннельных диодов, ЛПД или дио-
дов Ганна, неравновесной активной среды и др. В диапазоне СВЧ такие
генераторы интересны в связи с возможностью суммирования энергети-
ческих возможностей дискретно распределенных активных элементов,
число которых может быть большим. При относительной простоте кон-
струкции такие системы могут обеспечивать большие суммарные мощности
колебаний. Применение распределенных и объемных структур в радиотех-
нике открывает новые возможности микроминиатюризации радиоаппара-
туры, сохраняющей традиционные функциональные возможности на качест-
венно ином принципиальном и технологическом уровне.

Изучение автоколебательных систем с распределенной и объемной струк-
турой в общем виде затруднительно, поскольку процессы в них представ-
ляются нелинейными уравнениями в частных производных. Чтобы упростить
исследование, приходится вводить определенные ограничения. В некоторых
случаях в качестве порождающего решения используется набор встречных
волн с амплитудами и фазами, мало меняющимися в пределах временного
и пространственного периодов. Такой подход пригоден для приближенного,
но достаточно точного для практики решения большого круга задач с раз-
нообразными краевыми условиями. Но это решение, как правило, полу-
чается громоздким и относительно мало наглядным. Для систем с отраже-
ниями на краях, близкими к полному, а также при относительно неболь-
шом усилении в пределах структуры встречные волны каждой из частот в
сумме близки к стоячей волне. В этом случае исследование подобных си-
стем можно существенно упростить, если решение представить в виде набо-
ра стоячих волн, параметры которых меняются во времени и пространстве.

Еще большее упрощение получается, если принять пространственное
распределение стоячих волн таким же, как в консервативной системе.
В приближении стоячих волн были проведены исследования автоколеба-
тельных процессов в области механики и оптических генераторов,
электронных приборов СВЧ.

Далее будут рассмотрены примеры распределенных автогенераторов,
уравнения которых в приближении стоячих волн аналогичны укороченным
уравнениям связанных одноконтурных автогенераторов. Аналогия уравне-
ний позволяет сделать изучение сравнительно сложных распределенных
автоколебательных систем простым и наглядным.

Несмотря на существенные ограничения, приближение стоячих волн
позволяет выявить основные важные свойства распределенных автогенера-
торов, возможности сложения мощностей активных элементов, условия
устойчивости одночастотных и многочастотных колебаний.

18*	275
§ 10.2.	Уравнения автогенераторов на отрезках длинных линий

Рассматриваемая система состоит из отрезка длинной линии (двухпро-
водной, коаксиальной), вдоль которой распределены активные элементы
(рис. 10.1). На границах линия либо замкнута, либо включены реактивные
элементы, обеспечивающие полное отражение и образование стоячих волн
в соответствующей консервативной системе.

Исходные уравнения имеют вид

Эи , Э/ '. Э/ „Эи „

----= — L----/г, ----= — С-----uG + y(u).

дхп dt дхл dt

После дифференцирования первого уравнения по координате и подстанов-
ки второго уравнения они приводятся к одному уравнению

д2и
dx2

(10.1)

где т = u>it; х = /3|ХЛ — обобщенные время и координата; W| — частота
основного тона в консервативной системе; = wt \/LC' — постоянная рас-
пространения на частоте W]; 5 = 1/w|Cff — малый параметр, характеризую-
щий затухание в линии без активных элементов; R = 1/G3 — погонное со-
противление, обратное эквивалентной погонной проводимости потерь в ли-
нии G3 = G + г/W2, И/ — у/L/C — волновое сопротивление, у (и) — погон-
ный ток распределенного активного элемента. Функция f для схемы на
рис. 10.1 представляется записью

Эи	Э7

f =---R—~.

dr	дт

(10.2)

В качестве порождающего решения примем решение при 6=0, которое
имеет вид сумм собственных колебаний

u=

(10.3)

где ик = Ukco$Tk cosxk, тк = кт+ фк, хк = кх + ^к.

Коэффициенты к представляют набор собственных значений при решении
краевой задачи для консервативной системы, фазы к также определяются
краевыми условиями, а амплитуды Uk и фазы фк — начальными условиями.
Все эти параметры для консервативной системы находятся известными
методами.

г L	г L

Рис. 10.1.
Если на краях включены реактивности с импедансами Z\,Z2, собствен-
ные значения к и к определяются из уравнений

Zj (jku} = /Wctg^A,	Z2 (/Ы = /Wctg (kfil +	,

полученных из (10.1) после введения комплексных амплитуд и учета крае-
вых условий. Для линии, закороченной на краях, получим $ к = тг/2, к =
= птг/|3|/, п = 1,2,... и, следовательно,

ик = Ukcos(kr + фк)з'ткх.

В этом случае собственные частоты кратны. При наличии реактивностей на
краях собственные частоты асинхронны, за исключением некоторых отдель-
ных частот.

Положим, что решение при 5^0 имеет вид (10.3), но амплитуды
Uk(x, т) и фазы фк (т), *рк (х) являются функциями временной и простран-
ственной координат. Подставляя (10.3) в исходное уравнение (10.1),
получаем

Lf^cosxjt + Qksinxk)cosrk + Ykcosxk sinr^.} = bf(u, ди/дт), (10.4)
к

где

Рк = йкхх - йкгт + 2кик(фкт-фкх)-ик(ф1т-^кх),

....	(Ю.5)

Qk - 2Ukx(k + <ркх) — Ukipkxx, Yk - 2икт(к + фкт) + икфктт.

Для получения из (10.4) системы укороченных уравнений воспользуемся
свойством ортогональности собственных функций. Умножая обе части ра-
венства (10.4) на cos тк или sinr* и интегрируя (усредняя) в пределах
периода, получаем после отбрасывания малых высшего порядка

Pkcosxk + Qj.sinXfc = &Fkc, Ykcosxk = 5FAs,	(10.6)

где коэффициенты Fkc, F ks являются коэффициентами разложения функ-
ции f в ряд Фурье:

f = S(FfcCcosrA + FfcsSinrj.)	(10.7)

и определяются выражениями

1 2lT	-I 2 77

Fkc ~ f fcoSTkdr, Fks = ~ f fsinrkdr.	(10.8)

0	0

Коэффициенты Pk, Qk, Yk в (10.6) после учета малости изменения
Uk, Фк> 'Рк в пределах периода 2тг заменены приближенными выражениями

Рк =2kUk(4>kT-^kx}. Qk=—2kUkx, Yk=2KUkT.	(10.9)

Проведем усреднение по пространственному периоду, предварительно
умножив обе части уравнений (10.6) на cosxfc, sinxfc. В результате получим
уравнения

—2kUkx = 5Fkcs, 2kUkT = &Fksc, 2kUk(^kT-^kx)=8Fkcc, (10.10)

где Fkcs, Fks<., Fkcc являются коэффициентами первой гармоники разло-
жения функций Fkc, Fks в ряд Фурье по "пространственным" гармоникам
(т.е. стоячим волнам) вида

Fkc = 2coslxk + F<z> sin/x*),
в которых для I - 1

। 2п	2 п

^ксс ~ J FjtcCOSXjt dx, ^kcs ~ ~ft J ^j^cSin Хдрcfx,
о	0

(10.11)

1	2я

^itsc — "я / Fksco$xkdx.

о

Полученную систему уравнений (10.10) можно еще более упростить, по-
скольку в рассматриваемой задаче пространственная дисперсия отсут-
ствует, т.е. ток распределенных активных элементов и функция f опреде-
ляются напряжением на линии при том же значении пространственной коор-
динаты. При этом распределения первой пространственной гармоники тока
и функции f совпадают по фазе с распределением амплитуд колебаний, в ре-
зультате чего имеет место тождество Fkcs = 0. Формально этот результат
связан с отсутствием производных ди/ дх под знаком функции f.

Исключение может составить случай взаимодействия колебаний кратных
частот, при котором пространственный фазовый сдвиг в распределении оги-
бающих колебаний тока и напряжения может возникнуть из-за гармони-
ческих и комбинационных составляющих, близких к основным частотам.
Но даже и в этих случаях величина Ukx может быть весьма малой, и поэто-
му изменением амплитуды Uk вдоль координат можно пренебречь. Это
означает, что распределение огибающих в реальной системе как в стационар-
ном, так и переходном процессе, сохраняется таким же, как в консерватив-
ной системе. Если граничные условия сохраняются при 5 ¥= 0, то решение,
полученное из (10.10), должно им удовлетворять. Это значит, что
/

'Рк + f<PkXdx = ук,
о

и, следовательно, граничные условия будут выполнены, если &кх — 0. Это
соответствует условию постоянства электрической длины линии на каждой
из частот колебаний, т.е. постоянству 1шк у/ LC', откуда следует, что изме-
нение параметров линии должно приводить к такому изменению частоты,
чтобы распределение оставалось прежним.

Проведенные рассуждения позволяют установить, что для ряда случаев
при использовании метода медленно меняющихся амплитуд можно пре-
небречь возможным отклонением истинного распределения огибающих по
сравнению с консервативной системой. При этом ошибка будет тем меньше,
чем меньше пространственных периодов укладывается вдоль длины линии
и чем меньше 5.

При условии Ukx = <ркх = 0 уравнения принимают вид

^fcr ~ о. ^ksc- Фкт^к Р'ксс-	(10.12)

Если развернуть выражение для т = W| Г и представить входящий в f по-
гонный ток в виде ряда

7(w) = S(/fcacosrfc - /fcpSinr*),

где lka = S/^cos/x*, /kp = S /^cos/x*., то, учитывая, что
^sc—^/f-t'fc), Fkcc~klkpR'

278
I

получаем уравнения

dUk .	Wk

T— =)LR-Uk, T——=I'R. к = У,2.............................. (10.13)

dt ka k dt v

2	J 2тт 2 л	1 2л 2тт

где Т =----	J 7Cosrkcosxkdrdx, 4p = ~f f IsinT^.cosx^Tdx.

W|“ П о о	я о 0

Наконец, если ввести комплексные амплитуды 11д = 6/^ехр(/i//fc) и lfc =
= (/А'а + )ехр(/фк), то каждую пару уравнений (10.13) можно пред-
ставить в виде одного комплексного уравнения

dU*

Т— =lkR-Uk	(10.14)

dt

или в символической записи

U* =2*1/(ы- wJlk,

(10.15)

гце Z к = R/[1 +j Т (ы— шк) ]— укороченный операторный импеданс вбли-
зи каждой из собственных частот колебаний. Дифференциальное уравнение
(10.14) получается из (10.15) после замены оператора / (ы — шк) симво-
лом дифференцирования по времени.

Уравнения (10.13) —(10.15) аналогичны укороченным уравнениям си-
стемы связанных одноконтурных автогенераторов или одного многокон-
турного автогенератора (рис. 10.2), однако смысл входящих в них парамет-
ров различен. Амплитуды Uk в (10.13) представляют амплитуды стоячих

волн, пространственное распределение которых учитывается множителем
cosxk (см. (10.3)). Производные фк представляют поправки на частоты
колебаний относительно собственных частот шк консервативной системы.
Входящие в уравнения величины 1кз, 1кр представляют амплитуды актив-
ных и реактивных составляющих первой пространственной и первой вре-
менной гармоник плотности тока для каждой из частот колебаний. Эти

составляющие в общем случае зависят от напряжений всех частот.

Реактивные составляющие появляются из-за инерционности распре-
А р

деленных нелинейностей и из-за наличия комбинационных и гармонических
составляющих токов, частоты которых близ-

ки к собственным частотам систем, так же
как это имеет место в многоконтурных
автогенераторах. Если принять, что соб-
ственные частоты не находятся в кратном
или комбинационным соотношениях, т.е.
асинхронны, а распределенная нелинейность
не имеет инерционности, то задача сводится к
системе укороченных уравнений

с«Л

Т~ =lkR—Uk, к=У,2..................

(10.16)

поскольку реактивные составляющие тока
/к = 0 и, следовательно, частоты колебаний
совпадают с собственными частотами шк , так
как ф* = 0.

279

к
В системе, описываемой уравнениями (10.16), возможен асимптоти-
ческий режим одновременных колебаний с равными амплитудами Ut =
= Uk = Un (значения их находятся из любого уравнения (10.16) при под-
становке U, = Uk), если выполняются неравенства

- Ьк < о.

$ц + (п - 1 }sik <0,

(10.17)

где Sa =	sik = ЭЛ-1 /dUk, Fk = /,'Ш,.Un}R - U(

Если неравенства (10.17) не выполняются, то в системе существует ре-
жим одного колебания — на одной из собственных частот, для которой
начальные условия были наиболее благоприятными. Амплитуда (7, для этих
колебаний находится из соответствующего уравнения при замене всех ос-
тальных амплитуд Uk^i - 0. Такие режимы можно использовать для созда-
ния устройств памяти — для запоминания частоты кратковременного внеш-
него воздействия, а также для дискретной перестройки частоты изменением
частоты внешнего воздействия.

§ 10.3. Автогенератор с мягкой нелинейностью

В качестве примера рассмотрим случай, когда характеристика нелиней-
ности аппроксимируется двучленом -у — с}и— Суи3, что характерно для не-
линейностей типа туннельных диодов при соответствующем выборе по-
стоянного смещения. При этом выражение для амплитуды плотности тока
имеет вид

/! = с, Ц - (%)2с3 U3 - % сэ Ц S U2k .

к + i

а уравнения приводятся к виду

dXj/dt = (а - % X2 - S Х2^,	(10.18)

к * i

где Xi = Uj у/Зс3/4с{ — безразмерная амплитуда колебаний; а = 1 —1/с, R —
параметр регенерации.

Легко убедиться, что стационарный режим с равными амплитудами коле-
баний (Xi = Хп} неустойчив, первое неравенство (10.17) не выполняется,
так как s1(- = — %Х2; sjk = — X2. Следовательно, в системе возможен ре-
жим одночастотных колебаний с амплитудой, определяемой из одного из
уравнений (10.18) при dXj/dt = 0; dXk * i/dt = 0, откуда следует

Х,-=х/4а/3.'	(10.19)

Рассмотрим энергетические возможности генератора с распределенной
структурой.

Общая мощность, отдаваемая в линию, определится интегрированием
по длине

1 1

pi=~F f (7, cos (0,х +	(x}dx,

z 0

откуда следует

^=0,25(7,-///,	(10.20)
поскольку

2 i

I- =— f >i(x)cos(0ix + >Pi}dx.
‘ о

Свяжем мощность P, с мощностью каждого из элементарных активных
элементов (туннельных диодов). При аппроксимации характеристики не-
линейности 7 = с{и— с3и3 выражение для первой гармоники плотности то-
ка после подстановки и = l/f lx) cos г,- примет вид

/, =С1 \/,(х) - %с3 vf(x).

Следовательно, мощность, отдаваемая распределенными диодами на
участке линии длиной Д/, определяется выражением

= % ^(х)(С] У,(х)-%сэУ(?(х))Д/.	(10.21)

Эта мощность имеет максимум при V? (х) — 2с( /Зсз, что соответствует

1	С?

(10.22)

О ''З

Это значение характеризует максимальную мощность, которую могут
отдавать диоды. С другой стороны, полная мощность, отдаваемая всеми
распределенными диодами в линии, представляется выражением (10.20) и
при той же аппроксимации нелинейности зависит от амплитуды стоячей
волны Ui следующим образом:

Л7 = ,/4[с1У/-В 9/)бС3Ц3]7.

Эта мощность максимальна при t/- = 8с! /9с 3 и равна

РИ макс =4 "Г Л	П0 23)

И Сз

Сравнивая выражения (10.22) и (10.23), убеждаемся, что

2	/

^Лмакс"^ д^^/Д/макс1	(10.24)

В качестве Р^ымакс можно, принять мощность, выделяемую одним
туннельным диодом, включенным в элементарную ячейку линии при
дискретной структуре. В этом случае / / Д/ представляет число диодов,
равномерно распределенных вдоль линии. Из (10.24) следует, что мощ-
ность диодов используется не полностью, что связано с непостоянством

амплитуды напряжения вдоль линии и, как следствие, с невозможностью
обеспечить максимальное использование каждого диода по мощности. Тем
не менее, коэффициент 2/3 достаточно близок к единице и, в принципе,
имеется возможность получения весьма больших суммарных мощностей

в распределенных автогенераторах.

Перейдем к рассмотрению нагрузочных характеристик генератора, имея
в виду, что нагрузка представлена сопротивлением Ян, подключенным к
линии в точке хн. Полагаем, что Ян > W (РУ — волновое сопротивление ли-
нии) , поэтому можно считать, что распределение напряжений вдоль генера-
тора не меняется. Мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки,

t/?cos2 (0,хн +^)
Л'н ~

2ЯН

(10.25)
Мощность распределенных потерь в линии определится интегрированием
по длине:

U? cos’ (ftx + ipt)	Uf

---------------dx -----1.

2R	4R

I

Р/ пот ~ I
О

(10.26)

Используя (10.25) и (10.26), получим следующее выражение для коэф-
фициента полезного действия колебательной системы:

т?к= 1 -R3/RKK.	(10.27)

2

где RKK — -j- /? cos2 (0,х„ + <£,) — сопротивление распределенных потерь в
линии, пересчитанное к точкам подключения нагрузки (сопротивление
"холостого хода"); R3 = /?хх (1 т?к) — результирующее сопротивление
нагрузки и потерь в точках включения нагрузки.

Выражение (10.27) удобно тем, что оно имеет общепринятый вид (см.
[8]), и т?к легко можно определить экспериментально после измерений со-
противлений нагрузки и сопротивлений потерь нагруженной и ненагружен-
ной колебательной системы (например, с помощью измерения ширины ре-
зонансной кривой). Коэффициент т?к характеризует связь нагрузки с коле-
бательной системой. Чем больше эта связь, тем большая часть мощности,
выделяемой генератором, передается в нагрузку. Для увеличения т?к необ-
ходимо уменьшить отношение Яэ/Яхх, включая, например, нагрузку в
точках пучности напряжения, где Лхх максимально и большая часть мощ-
ности передается в нагрузку.

§ 10.4.	Нагрузочные характеристики автогенератора
с мягкой нелинейностью

Для построения нагрузочных характеристик t/(r?K), Р (т?к), Рн (т?к) уч-
тем влияние нагрузки на параметр регенерации а, заменив входящую в
него погонную проводимость MR эквивалентной погонной проводимостью
потерь и нагрузки l//?^. Для этого произведем пересчет проводимости на-
грузки, включенной в точках хн, в распределенную погонную проводимость
нагрузки 1/я' и сложим ее с погонной проводимостью потерь 1 //?. Нагруз-
ка пересчитывается из условия энергетического баланса аналогично поте-
рям в (10.27); в результате получим

.	„ R	„ R	. Лэ

«н о •	~ R? D > Vk= 1 о •

”хх	**хх	”

откуда следует

Я, = Я(1-т?к), аэ= 1 - 1/с,Л(1-т/к).	(10.28)

Последнее выражение позволяет установить связь параметра регенерации
аэ нагруженного генератора с величиной т?к, характеризующей параметры
нагрузки: сопротивление, место ее включения, соотношение с потерями в
линии в соответствии с (10.27). Из (10.19) и (10.28) следует

У = а,= 1 - 1/с,Я(1-т?к),	(10.29)

где Y = % X/, с( R — параметр, характеризующий запас самовозбуждения не-
нагруженного генератора. Графики зависимостей К(т?к) при различных па-
раметрах d = CxR представлены на рис. Ю.З. Из них следует, что амплитуда
Рис. 10.4.

максимальна при т?к= 0 и уменьшается с увеличением т?к за счет шунтирую-
щего действия нагрузки. Чем больше параметр d превышает единицу, тем
больше амплитуда колебаний и больше предельное значение т?к , при кото-
ром колебания срываются.

Мощность, выделяемая в нагрузке и проводимостях потерь, определяет-
ся выражением (10.20) и зависит от амплитуды колебаний. Используя
введенное выражение для Y, можно представить зависимость мощности от
Y в следующем виде:

^огн =4(1 - Y)Y,

(10.30)

гдеРотн = Pj/Pim — относительная мощность.

График зависимости Ротн (У) представлен на рис. 10.4, он имеет макси-
мум при Y = 0,5, где Ротн = 1- В этой точке мощность максимальна и соот-
ветствует (10.23). Используя (10.19) и (10.20), представим зависимость
мощности Ротн от ijK (рис. 10.5). Из графиков рис. 10,5 следует, что при
1 < d < 2 мощность максимальна при riK = 0, а при d > 2 максимум мощ-
ности сдвигается в сторону больших т?к.

На рис. 10.6 представлены зависимости относительной мощности в на-
грузке Рн отн = Ротн^к от т?к- Здесь с увеличением параметра d максимум
мощности возрастает и сдвигается в сторону больших т?к, стремясь в пре-
деле к Рн отн = 1 при d ->°о и т?к -*1. Из графиков следует, что для реали-
зации эффективного сложения мощностей туннельных диодов необходимо
увеличивать параметр d и выбирать соответствующее ему оптимальное
значение коэффициента т?к.
Сопротивление нагрузки можно включить последовательно в линию.
В этом случае для увеличения т?к сопротивление нагрузки следует включить
в точках линии, соответствующих пучностям тока. Рассуждения при этом
аналогичны приведенным выше, а графики такие же, что и на рис. 10.3 —
10.6.

Подводя итог, делаем вывод, что в распределенных генераторах можно
получить эффективное сложение мощностей активных элементов с падаю-
щими участками характеристик (туннельных диодов и др.). Кроме двух-
проводных линий в диапазоне СВЧ целесообразно применять замкнутые
волноводные конструкции, состоящие из отрезка волновода, замедляющей
структуры, коаксиальной линии и др., в которых можно расположить боль-
шое число диодов и получить значительные суммарные мощности колебаний.

§ 10.5.	Автогенератор с жесткой нелинейностью

Пусть характеристика распределенной нелинейности является жесткой,
т.е. представляется трехчленом вида у = ctu + с3и3 — csus. Укороченные
уравнения распределенного автогенератора при асинхронных частотах
имеют вид

Xi^FiXi,	(10.31)

где

F, =a + |x?+(l--|b) S X2k-^bX\-^b S Х{ -
'	' к * 1	к * I

-ЗЬ[Х22(Х23 + ... + Х2)+Х23(Х24 + ... + Х2} + ... + Х2^Х2п],

.	10 <чС5

о - ——

9 cl

(10.32)

Выражения для F, при / =#= 1 получаются из (10.32) круговой переста-
новкой индексов. Отметим, что здесь уравнения в правой части также отли-
чаются от похожих уравнений многоконтурного автогенератора с
сосредоточенными параметрами, для которого исследование устойчивости
одновременных колебаний проведено в [19], где были найдены области
параметров регенерации, в пределах которых возможен режим одновремен-
ных колебаний. Аналогичное исследование устойчивости симметричного
режима (одновременных колебаний с равными амплитудами) для распре-
деленного автогенератора показывает, что при числе рассматриваемых
колебаний, большем двух (л > 2), сосуществование колебаний асинхрон-
ных частот невозможно, в отличие от сосредоточенного автогенератора,
где область устойчивости принципиально существует при любых п, хотя и
трудно реализуется из-за необходимости ударного возбуждения си-
стемы.

При п = 2 такая область устойчивости в распределенном генераторе
имеется, но она значительно уже, чем в сосредоточенном генераторе. Таким
образом, можно сделать вывод, что при жесткой нелинейности в распреде-
ленном генераторе в стационарном режиме возможны только одночастот-
ные колебания с частотой, для которой начальные условия были наиболее
благоприятными. Такую систему также можно использовать в качестве
радиоимпульсного триггера для запоминания частоты кратковременного J
внешнего воздействия. Условие самовозбуждения колебаний здесь также
представляется неравенством d > 1.
§ 10.6.	Комбинационные автоколебания трех частот

Если три частоты из всего набора собственных частот находятся в комби-
национном соотношении	+ ш2 + Дш, то в системе могут возник-

нуть одновременные колебания трех частот, которые из-за комбинацион-
ного соотношения частот взаимно поддерживают друг друга, обеспечивая
сосуществование колебаний. В этом случае уравнения для распределенного
генератора при характеристике распределенной нелинейности у = схи +
+ с2и2 — с2у3 получаются следующими:

Х,=Ф,, у? = Ф4,	/=1,2,3,

где Ф, = aXi — %Х3 - Xt (X2 + X2) + 6X2X3cos^, Ф2, Фз аналогичны Ф1
, Л JX>X3 + XlXi х

при перестановке индексов, Ф4 = Дш — Ь|------ +—-— +----------Isin^,

\ Х( Х2 Х} /

b = х/ 4с2/Зс1Сз'.

В стационарном режиме при Дш = 0 амплитуды колебаний определяются
выражением

Х( = Х2 = Х3 = 12b ± \/4Ь2 + 44а')/11.

Исследование устойчивости режима одновременных колебаний трех
частот для симметричного режима с равными амплитудами показывает, что
в распределенном генераторе область параметров —й2/11 < а< 40 Ь2
(и расстройки Дш), соответствующая устойчивым режимам, ^значительно
шире, чем аналогичная область параметров —й2/Ю < а < 4Ъ2 (и расстрой-
ки Ды) в трехконтурном генераторе с комбинационным соотношением
частот. Условия самовозбуждения колебаний здесь остаются такими же,
как и в предыдущих случаях, т.е. R > 1.

§ 10.7.	Автогенератор на линии, свернутой в кольцо

Рассматриваемый автогенератор состоит из свернутого в кольцо отрезка
длинной линии с распределенными активными элементами (рис. 10.7).
Процессы в таком автогенераторе описываются таким же дифференциаль-
ным уравнением в частных производных, как и для генератора на линии
с отражениями на краях, т.е.

Э2и/Эх2 — d2u/dr2 = 5/(u, Эи/Эт).	(10.33)

В отличие от генератора со стоячими волнами решение будем искать в виде
набора однонаправленных бегущих волн

и = S cos[nfc(т - х) +	,	(10.34)

к

где пк — собственные значения, характеризующие собственные частоты шк
консервативной системы и соответствующие им фазовые постоянные.

Полагаем, что в реальной системе амплитуды бегущих волн Uk и фазы фк
являются меняющимися функциями времени.

Подставляя решения вида (10.34) в исходное уравнение (10.33) полу-
чаем после проведения усреднения по временнбму и пространственному пе-
риодам (или длине линии) следующие укороченные уравнения относительно

' Чтобы исключить возможность существования встречных волн, можно включить
в систему невзаимный элемент.
амплитуд Uk и фаз фк:

dUk

Т~~ = 1 k^R ~Uk,
dt

где

1

2тт2

тельно собственных частот

dt

Uk '
(10.35)

г 4Фк _ /ftp Я

/ftp

2тт2 0

т.е. Uk, !ка, /кр

2я
/ y(u)cosrkdTdx,
о

2 л

f 7(u)sinT*dTdx,

0	(10.36)

— амплитуды бегущих

волн напряжения и тока в кольцевом гене*
раторе. Производные фк представляют по-
правки на частоты колебаний относи-
ык. Постоянная времени Т = и со-

противление Я (обратное погонной проводимости потерь) одинаковы во
всех уравнениях, поэтому система (10.35) аналогична системе уравнений
связанных одноконтурных автогенераторов или одного многоконтурного
автогенератора, изображенного на рис. 10.2, с одинаковыми резонансными
сопротивлениями контуров и постоянными времени. Для такого генератора
уравнения имеют вид (10.35), амплитуды Uk представляют амплитуды ко-
лебаний в контурах, производные фк — поправки на частоты колебаний от-
носительно собственных частот контуров. Входящие в уравнения состав-
ляющие токов 1ка, 1кр для многоконтурного автогенератора (рис. 10.2)
определяются выражениями



1

2 л

о

2 л

1	1 2п

/*а=я J 7(t/)cosrfcc/T, /ftP=^ f 7(u)sinrkdr,
о	о

(10.37)

где 7 (и) — нелинейная функция, определяющая характеристику нелиней-
ного элемента.

Подчеркнем сходство и различие выражений для составляющих токов
в (10.36), (10.37). Для многоконтурного генератора !ка, fkp представляют
амплитуды активных и реактивных составляющих токов каждой из частот.
Эти составляющие получают, определяя первую гармонику для каждой из
частот колебаний в соответствии с (10.37). Реактивные составляющие тока
появляются либо из-за инерционности нелинейности, либо из-за кратного
или комбинационного соотношения между частотами, что приводит к по-
явлению дополнительных составляющих тока каждой из частот, отличаю-
щихся по фазе от соответствующих напряжений на контурах. При асинхрон-
ных частотах контуров в случае достаточной их добротности реактивные
составляющие токов равны нулю и частоты колебаний совпадают с соб-
ственными частотами контуров.

Для кольцевого генератора (рис. 10.7) составляющие 1ка и /кр отличают-
ся от (10.37) дополнительным усреднением по длине. Если изменение Uk
вдоль координаты небольшое, то аналитические выражения для составляю-
щих токов кольцевого генератора получаются такими же, как для генера- >
тора на рис. 10.2. Поэтому для кольцевого генератора амплитуды !к, !клг 1кр
представляют средние значения в пределах длины линии. Для генератора с
отражениями на краях с распределением напряжений по закону стоячих н
волн амплитуды Uk представляли амплитуды в точках их наибольшего зн4‘
286	4
чения (пучностях) напряжения, а амплитуды плотности токов /^а, /кр —
амплитуды первой пространственной гармоники от действительного распре-
деления тока, отличающегося из-за нелинейности от закона стоячей волны.
При одинаковых характеристиках распределенной нелинейности конкрет-
ные выражения для составляющих lka, fkp различаются для схем на
рис. 10.1 и рис. 10.7. Например, при мягкой характеристике нелинейности
вида

7 = CjU — с3и3	(10.38)

получим для кольцевого генератора

/*а =CiUk — %c3Uk -%c3Uk L U*	(10.39)

I Ф к

При этом !kv = 0, следовательно, частоты колебаний совпадают с собствен-
ными частотами шк. В результате процессы в автогенераторах описываются
системой дифференциальных укороченных уравнений

TUk=!kaR~Uk, к = 1,2...........п,	(10.40)

где 1ка соответствуют (10.39).

Стационарные режимы с постоянными во времени амплитудами колеба-
ний могут быть либо одночастотными, в которых &к О, U/ * к =0, либо
многочастотными с одинаковыми амплитудами колебаний Ц = Uk в силу
симметрии уравнений. Условия устойчивости одновременных колебаний в
системах, описываемых уравнениями (10.40), сводятся к двум неравен-
ствам (см. [19] )

sii ~ sik < 0. sii + (Л - 1 )sih <0,	(10.41)

где $ц = дФ/fdUi, sik. =	п ~ число колебаний. Легко убедиться

в том, что при подстановке (10.39) в (10.41) второе неравенство выпол-
няется, а первое нет, следовательно, режим одновременных колебаний не-
устойчив, и в системе возможен только одночастотный режим с колеба-
ниями на частоте с наиболее благоприятными начальными условиями.
Амплитуда колебаний определится из любого уравнения (10.40), в кото-
ром надо положить Uk = 0, Ut ^к = 0, при этом

Uk = >fa,	(10.42)

где а = 1 - 1/с; R, = у/ 4с j /Зед.

Из (10.42) следует, что колебания возникают при а > 0, т.е. при с1 R > 1,
и при ctR -+<*> амплитуда колебаний возрастает, приближаясь асимптоти-
чески к Uk =	.

Рассмотрим энергетические возможности кольцевых автогенераторов.
Мощность, отдаваемую активными элементами в линию и рассеиваемую
на проводимостях потерь и нагрузки (предполагается, что последняя не
меняет существенно распределения напряжений на .линии), можно найти
из выражения

I

P = fP'(x)dx,	(10.43)

о

где Р' (х) dx = dP — мощность, отдаваемая в линию на участке dx, равная

. dP=^U{x}!(U}dx.		(10.44)
В кольцевом генераторе из-за постоянства амплитуды бегущей волны
вдоль координаты выражение (10.43) при интегрировании упрощается и
принимает вид

Р=’/2 UIC(U},	(10.45)

где /с = // — суммарное значение амплитуды тока основной частоты от
всех активных элементов.

Из (10.44) и (10.45) следует

/»= (dP/dx]l.

При дискретной структуре включения активных элементов с интерва-
лом dx, удовлетворяющей условиям, при которых справедливо приближе-
ние dx < Х/4, отношение I /dx= т представляет число включенных туннель-
ных диодов, a dP = Р’ — мощность, отдаваемую каждым из них. В этом
случае результирующая мощность Р= тР' представляет сумму мощностей
каждого из элементов при любом режиме их использования. Максимум
мощности каждый активный элемент отдает при определенной амплитуде
колебаний (из-за нелинейной зависимости / (U]), поэтому полное суммиро-
вание мощностей активных элементов получается только при условии
постоянства амплитуды бегущей волны вдоль координаты, что имеет место
в кольцевом генераторе.

При нелинейности вида (10.38) мощность

Р' = ’/г U{CiU- %c3U3]dx

и пропорциональная ей суммарная мощность в кольцевом генераторе
имеют максимумы

' с» _ -

^макс —	^макс ~ ^макст

при U2 = 0,5 U\ Учитывая зависимость амплитуды от параметра регенера-
ции (10.42), нетрудно получить следующее выражение для относительной
мощности колебаний Ротн = />//’макс:

Л.ТН =4а(1 -а).	(10.46)

Максимум мощности имеет место при а = 0,5.

В генераторе с отражениями на краях амплитуда напряжения существен-
но меняется вдоль координаты, поэтому диоды используются менее эф-
фективно, поскольку только часть из них может быть поставлена в режим,
близкий к оптимальному по мощности. Как следует из (10.24), максимум
мощности, отдаваемой диодами в линию, определяется выражением

^макс — /э ^макст- z

Коэффициент 2/3 учитывает уменьшение суммарной мощности генерато-
ра по сравнению с кольцевым генератором, вызванное невозможностью
оптимального использования всех диодов.

Зависимость мощности от амплитуды колебаний и параметра регенера-
ции для этого генератора также может быть представлена выражением
(10.46), если иметь в виду относительную мощность Ротн. Нагрузку можно
включить в точке хи в виде параллельного или последовательного сопротив-
лений. Сопротивление нагрузки меняет параметр регенерации и мощность,
отдаваемую диодами, последняя частично рассеивается на сопротивлениях
потерь и только часть ее поступает в нагрузку. Важно выявить зависимость
полезной мощности, выделяемой в нагрузке, от параметров нагрузки и
генераторов, определить значения параметров, при которых мощность '
в нагрузке близка к максимальной. Для этого рассмотрим нагрузочные ха-
рактеристики кольцевых генераторов.

Предполагав, что распределение напряжения вдоль линии меняется не-
значительно при включении нагрузки, заменим сопротивление нагрузки
R„, включенное в точке х', эквивалентной распределенной проводимостью
включенной параллельно погонным проводимостям потерь. Для на-
хождения Ян воспользуемся условием энергетического баланса

t/2(x'| >U2M

------ = f-------dx,

2Я'	0 2ЯН

откуда при подстановке U(x) = U для кольцевого генератора получим
после интегрирования правой части Яи =	.

Таким образом, для кольцевого генератора включение сопротивления
нагрузки в любой точке линии приводит к одному и тому же значению R„.
Напомним, что для генератора с отражениями на краях наименьшее значе-
ние R„ получалось при подключении нагрузки в точках пучности напряже-
ния, в которых cos2x* = 1- В точках узлов напряжений влияние нагрузки
уменьшалось до нуля, поскольку при этом R„ -*<».

Эквивалентная погонная проводимость потерь и нагрузки 1/Яэ пред-
ставляется в виде суммы 1/R3 = MR + MR„, что позволяет определить
параметр регенерации и амплитуду колебаний с учетом нагрузки, а также
мощность, выделяемую диодами на проводимостях потерь и нагрузки.
Для этого достаточно использовать полученные ранее выражения, подставив
в них значение параметра регенерации с учетом нагрузки. Как и для генера-
торов со стоячей волной, степень связи колебательной системы с нагрузкой
удобно характеризовать величиной коэффициента полезного действия т},
представляющего отношение мощности в нагрузке к полной мощности, вы-
деляемой в нагрузке и проводимостях потерь. В рассматриваемом случае
он определяется соотношением

Т7=1-Л?э/Л?

и может быть как вычислен теоретически, так и найден экспериментально
по соотношению добротностей нагруженного Оэ и ненагруженного Q резо-
наторов в соответствии с формулой

т?=1 -Q3/Q.

Чем больше шунтирующее действие нагрузки, тем ближе т] к единице и
тем большая часть мощности, отдаваемой диодами, поступает в нагрузку,
поскольку Р„ = РТ).

Параметр ^однозначно связывает погонную проводимость потерь с экви-
валентной погонной проводимостью потерь и нагрузки:

1/Я= (1 - т?)/Яэ

и, следовательно, позволяет учесть влияние нагрузки и места ее включения
на параметр регенерации ctR (1 — т?), определяющий амплитуду и мощ-
ность колебаний. Зная зависимости а = 1—1/ctA?3 и (10.46}, можно пост-
роить нагрузочные характеристики в виде графиков Ротн (т?), Р„ отн (П> ~
= Ротн т? при различных параметрахd = C\R, характеризующих запас регене-
рации ненагруженного генератора. Эти графики в относительном масштабе
(рис. 10.5 и 10.6) получаются одинаковыми как для кольцевого генерато-
ра, так и для генераторов со стоячими волнами; их различие учитывается

19. М.В. Капранов	28’
значениями Рмакс. Максимальная мощность в нагрузке, сколь угодн<уВ
близкая к Рмакс, получается при т)-* 1. При d = 10,77= 0,8, мощность®
в нагрузке составляет 0,8 /’макс-	W

Таким образом, в кольцевых генераторах принципиально возможно
эффективное сложение мощностей активных элементов.	£

§ 10.8.	Автогенераторы с объемной структурой

Разновидностью автогенераторов с объемной структурой являются авто-
генераторы, состоящие из объемного резонатора с распределенными
внутри него активными элементами — туннельными диодами и др. Для
квантовомеханических автогенераторов оптического и радиодиапазонов
объемная структура также является весьма характерной и пока единствен-
но возможной. Ранее было показано,-что исследование однородных автоге-
нераторов с распределенной структурой существенно упрощается при ис-
пользовании приближения медленно меняющихся бегущих или стоячих '
волн, близких к волнам консервативной системы. Целесообразно развить
аналогичный подход для анализа объемных структур с нелинейностями,
выявить их сходство и различие с автогенераторами с сосредоточенными
параметрами, рассмотреть наиболее характерные свойства таких систем,
их энергетические возможности, зависимости амплитуд и частот колеба-
ний от параметров, вопросы взаимодействия и генерации колебаний нес- <
кольких частот и др., представляющие теоретический и практический ин-
терес.

Используя уравнения Максвелла с учетом сторонних источников элек-
трического тока уэ

- dE	-+ ЪН	.

rot Н = е --- + 7Э . rot Е = - р---	(10.47)

dt	dt

и применяя операцию rot к левой и правой частям второго уравнения,
после подстановки первого уравнения и учета соотношений

—►	—>	—►	—>

rot rot Е= grad div Е— ДЕ, <iivE=p3/e, р3 = — f div "t3dt
и вытекающего из двух последних

-»	1	_

grad div Е =---grad div f у 3dt,

e	1

получаем вместо (10.47) следующую систему уравнений:	j

ДЕ =d2E/dr2 rot £ = -WdHIdr,	(10.48)	|

Jf
где f = R (Э 7^/d т2 — grad div f y", dr} ,W= у/ p /e, R = 1/оэ — волное conpo-
тивление и обратная проводимость потерь; 6 = 1 /<*>! eR — затухание. Диф- "'.я
ференцирование в (10.48) проводится по обобщенным координатам тя я
= oji f, х = 01X ,у = 0! Y, г = 0| Z, где о>| — частота основного тона консерва-
тивной системы (т.е. объемного резонатора без потерь); 0! = o>t\/e д' — <
фазовая постоянная на частоте W|; 7Э = q,E — 7эст ~ плотность тока про- ж.
во ди мости потерь и активных элементов, распределенных внутри резр-^
натора.

Полагаем 6 < 1 i
стоячих волн

Е = S E^i cos Tj
«о '

и принимаем в качестве порождающего решения набор <

(10.4») |



А

(
где Ti = kjT +	j-, — единичные векторные функции для собственных ко-

лебаний, найденные из решения краевой задачи для консервативной систе-
мы. Частоты свободных колебаний и вид собственных функций £,• из-
вестны для любого конкретного вида объемных резонаторов. Для прямоу-
гольного объемного резонатора они представляются выражениями

где = cosx( sin у,- sinz,, £/v. = sinх,-cos у,-sinz,-, = sinx, siny, cosz,, x, -
= Ixn/afii, y( = тул/b^i, z, = nziddfii. Индекс i соответствует порядковому
номеру типа колебаний, определяемого набором простых цепых чисел
1,т,п, частота /-го типа колебаний равна ш,-= [к^к^] и,, где к( =
= y/i2 /а 2 + m2/b2 + n2/d2'к].

Амплитуды стоячих волн Е, и фазы колебаний консервативной сис-
темы определяются начальными условиями. Полагая при й 4= 0 амплитуды
£; и фазы «Д- медленно меняющимися функциями времени, а пространст-
венное распределение таким же, как в консервативной системе |это допус-
тимо при S < 1), подставим (10.49) в первое уравнение (10.48) и проведем
дифференцирование и усреднение за временной период основного тона
и по объ'ему резонатора. Используя свойства ортогональности собственных
функций и пренебрегая малыми высшего лорядка,придем к системе укоро-
ченных уравнений

dEt	d$i

Т— = ФЛ. TEt ---------- =Ф,С,	(10.50)

dt	dt

где

8	2п I sin Т;	]	2

ф s	=—/	jq	рг, г= — .

/I р !	vir	v	о I cost,	I	ojjd

Уравнения (10.50) позволяют найти амплитуды стоячих волн напряжен-
ностей электрического поля и поправки на частоты колебаний. Если
Ej и найдены, то напряженность электрического поля внутри резонатора
определится выражением

Е = X £,'(г) $,• cos [кр +	(Г)],

i

а составляющие магнитного поля легко будут найдены из второго урав-
нения (10.48).

$ 10.9. Объемный автогенератор с туннельными диодами

Рассмотрим автогенератор, состоящий из прямоугольного объемного
резонатора и распределенных туннельных диодов, включенных между
противоположными стенками, как показано на рис. 10.8. Поскольку ток
зависит от напряжений между стенками резонатора, т.е.

а

u ~ S J Efav dy cos Tj,
i 0

уравнения (10.50) преобразуем к виду
dU,	d^i

Т—- = /Zc R3-Uh TUi —- = iisR3,	(10.51)

dt	dt

19

291
где

Ui = Etb.

4 ° d	2 n	cos T. 1

/	=-----f f sin lx sin nzdxdz f y(u)	dr

/[ s ] itad oo	о	sin т( J

— амплитуды активных и реактивных составляющих плотности тока основ-
ных частот, из которых выделена стоячая волна первой пространственной
гармоники. Параметр Яэ = Rb представляет обратную проводимость потерь
на единицу поперечного сечения, перпендикулярного вектору тока диодов.
Рассмотрим несколько наиболее характерных случаев.

Асинхронные частоты. При аппроксимации характеристики нелинейности
у (и) = CtU — с3и3 получим дпя асинхронных колебаний = 0, т.е. частоты
совпадают с собственными, а амплитуды определятся решением системы
уравнений

dXi Г	/ 3 \ч ,	2	1

---- = Р-~	— 2 X] Х„ / = 1,2,3................ (10.52)
dt3 L	\ 4 /	217 /V/	]

где Х,= Ui\J3c3/4ci' — безразмерные амплитуды напряжений в пучностях
стоячих волн; а = 1 — 1/с( R3 — параметр регенерации, t3 = tlTc^ R3. Пока-
затель степени q равен 0, 1, 2 для схем на рис. 10.8, а — в соответственно.
Решение уравнений (10.52) для стационарного режима, в котором амплиту-
ды колебаний постоянны, т.е. X,- = 0, приводит к выводу о том, что возмо-
жен либо режим одновременных колебаний всех частот с равными амплиту-
дами X/ -X, где X = Уа/(3/4И + (2/2^) (л-1)’, либо одночастотный режим
с амлитудой X/ =у/а I (3/4) Исследование устойчивости этих режимов
облегчается тем, что уравнения (10.52) симметричны и можно применить
условия устойчивости, [19], сводящиеся к двум неравенствам

Sj/ — Sjx < 0, Хц + (л — 1 )5|^ < 0,

где Sjx = bFj/'dXk для полигармонического режима (F, —правые части

Рис. Ю.8.
(10.52)). Убеждаемся, что при q = 0, 1 возможен только одночастотный,
а при q = 2 — многочастотный режимы колебаний. Возможность многочас-
тотных режимов вызвана ослаблением нелинейного взаимодействия коле-
баний разных частот из-за наличия участков, близких к узпам стоячих волн,
где взаимодействие колебаний минимально. Особенно мало взаимодействие
колебаний в системе с объемным расположением точечных активных
элементов, для которых справедливы уравнения вида (10.52) при
<7 = 3.

Ранее подчеркивалось, что применение большого числа активных элемен-
тов позволяет получить эффективное сложение их мощностей. Для одно-
частотных колебаний при рассмотренной характеристике нелинейности
суммарная мощность колебаний представляется выражением

Р - /зЛ^^/максг

где Р/макс — максимальная мощность одного диода; М — число диодов.
Множитель 2/3 учитывает, что суммарная мощность колебаний не равна
арифметической сумме мощностей диодов, поскольку они находятся в
разных условиях и не могут быть все поставлены в режим максимального
использования по мощности.

Для генератора на рис. 10.8, в одночастотный режим неустойчив, суммар-
ная мощность всех существующих колебаний Л/разных частот равна

N 1

₽ = Р(макс М 2 Л/+ 0,25 * 2 Лмакс М'

а для каждого колебания Р, = Р, макс MI2N. Такие же примерно выражения
получаются для трехмерного распределения активных элементов.

Автоколебания двух кратных частот. Полагаем, что две какие-либо
собственные частоты приближенно кратны, т.е. <ofc = 2<о; + J2, и допускаем
возможность бигармонических колебаний кратных частот, представляемых
выражениями

£, = Ej g, cos т„ £* = £*£* cos тк ,

где Tj = t + ф,-. тк — ukt + ^к = 2т, +<р .

При аппроксимации характеристики нелинейности у = ctu + с2и —c3ir
получим после введения безразмерных амплитуд и учета выражения =
= £lt + фк — 2 ф1 систему уравнений

. [	/ 3 V	2	1

Ху = а - I — ) X]------Хк + baXk cos X,,

L	\4 /	2Ч	J

[/ з \<7	2	b X2 1

э-\7/~ zx,?+~2 cosdХк' (1053>

/1	xi\

= S2 — b„ Хк I — + — I sin (£, ф= bg Хк sin

\2 Хк /

TRR bq = Ьо для <7 =0 И bg = b0 COS 0z для <7 = 1.

Уравнения (10.53) аналогичны уравнениям двухконтурного автогене-
ратора с той же кратностью частот контуров, рассмотренного в гл. 9 и в
[19]. Они отличаются значениями коэффициентов при переменных и мно-
жителем cos6z , входящим, в bq. Исследование (10.53) в стационарном
режиме, анализ их устойчивости дают качественно те же результаты, что в
[ 19], хотя имеются количественные изменения при q = 1, 2,3.
Наиболее существенным новым результатом является вывод о влиянии
краевых условий, определяющих множитель Ьд, на взаимодействие коле-
баний кратных частот. Например, при одномерной задаче (q = 1) с корот-
ким замыканием на краях по продольной координате г получим cos в. = О
и, как следствие, полное исключение взаимодействия колебаний, специ-
фичного для кратных частот. Взаимодействие сводится к асинхронному,
и бигармонический асинхронный режим для данной аппроксимации нели-
нейности оказывается невозможным при 9=1.

При других краевых условиях множитель cos в- Ф 0. Например, при
холостом ходе на краях cos в. = 1, и взаимодействие колебаний наиболее
заметно. В частности, частоты колебаний в пределах полосы расстроек
собственных частот точно кратны, обе собственные частоты и ык влия-
ют на каждую из генерируемых частот, зона синхронизма при cos#- = 1
максимальна и бигармонический режим устойчив при q = 0, 1. Для других
схем с объемным распределением также существенно влияние краевых
условий и типов колебаний на взаимодействие колебаний кратных частот.
Физически это влияние объясняется тем, что комбинационные или гармо-
нические компоненты, образуемые за счет квадратичного члена нелиней-
ности, только при-определенных распределениях исходных колебаний
имеют требуемые для их возбуждения пространственные гармо-
ники. Этот вывод следует учитывать при анализе не только автономных сис-
тем, но и систем с внешним воздействием, используемых, например, для
деления и умножения частоты. В каждом случае важно тщательно учи-
тывать влияние краевых условий на основные характеристики уст-
ройств.

Объемный параметрический генератор. Пусть в системе, изображенной
на рис. 10.8, а — в, применены параметрические диоды, емкость которых
зависит от приложенных к ним напряжений. В резонатор вводится внешнее
воздействие с частотой, примерно вдвое большей одной из собственных
частот системы. Представляя напряжение воздействия и собственных ко-
лебаний в виде

°в = t/B cos хв 005 гв ' ui ~ Ui 005 xi cos Ti •
получаем (при зависимости емкости диодов от напряжения по закону
С = аи, где и =	+ и,) уравнения

ТО, = (0,25аЯэ w, UB cos в. cos Ф - 1 }Uh

Ф = £1 — 0,5аЯ,ш. —cos в. sin Ф.

Г

Эти уравнения аналогичны уравнениям одноконтурного параметрическо-
го генератора (см. гл.8), поэтому основной характер зависимостей ампли-
туды колебаний, зоны синхронизации от параметров системы будет таким
же, как в известных случаях. Но здесь также следует подчеркнуть сущест-
венное влияние множителя cos 0z, определяемого условиями и выбран-
ными типами колебаний, на основные процессы. В частности, при корот-
ком замыкании на краях, что соответствует cos 0z = 0, параметрического
возбуждения не произойдет. Так же внимательно следует подходить к вы-
бору типа колебаний и краевых условий при объемном распределении па-
раметрических диодов, в частности, для объемных параметрических гене-
раторов оптического диапазона с использованием электрооптического эф-
фекта некоторых кристаллов.

Комбинационные и параметрические колебания при соотношении частот
ыв “ (W/ + ш*) mln. Здесь на основании (10.51) также легко можно полу-
294
нить уравнения для амплитуды колебаний, поправок на частоты и обобщен-
ной разности фаз. Уравнения можно получить как в общей форме, так и
при любой аппроксимации характеристики распределенной нелинейности.
Они также оказываются аналогичными уравнениям сосредоточенных сис-
тем, общий характер выводов сохраняется, но, как и в рассмотренных слу-
чаях, оказывается существенным выбор типов колебаний и краевых усло-
вий. При неправильном их выборе, например при коротком замыкании
на краях, одномерной структуре и распределении напряжений всех трех
частот по закону собственных колебаний консервативной системы, теряет-
ся специфика комбинационного взаимодействия и параметрические коле-
бания не возбуждаются.

§ 10.10.	Объемный генератор с активным веществом

Для объемного резонатора, заполненного неравновесной средой с
диэлектрической проницаемостью вида е = 1 + е где

,= ____________М____________

>/l +</l£2 Г + j(со - о>п ) Тп

также можно использовать уравнения (10.50); число индексов равно числу
собственных частот, попадающих в полосу прозрачности линии излучения
вещества. В этом случае Та < Т и можно пренебречь инерционностью про-
цессов для огибающих в .активной среде, что приведет после введения
обозначений

8	2 п

! а = — J t,dv f >ст

/| р I nv v о

к системе уравнений

Т — = /,а R - F,. ТЕ,
dt

cos т,
sin 7,

d^t
dt

dt

= hPR

или, в символической форме записи.

а и,

Т----- = 1,Л - и„	(10.54)

dt

где U, = £, exp(/i>,). I,- = (/,а +/7,Р) expl/tf,) = - и,/е'ш,-.

Из уравнений следует, что при выполнении условия AWjR> 1 для ряда
частот ш, колебания этих частот с небольшими поправками нарастают
во времени на линейном этапе, затем начинается их нелинейное взаимо-
действие. Для частот, ближайших к частоте перехода, уравнения близки
к симметричным, причем условия устойчивости одновременных колебаний
в стационарном режиме выполняются, т.е. возможен многомодовый стацио-
нарный режим.

При выполнении условия ТП>Т и небольших регенерациях режим ста-
новится одночастотным. В этом случае необходимо учесть инерционность
процессов для огибающих в активной среде, что легко сделать, используя
их символическую связь в виде

I, = -/€'wrUj,

откуда после замены /(ш—си,) = d/dt придем к укороченному дифферен-
циальному уравнению, связывающему огибающие I, U:

7ni, = >4wA-b7l +^/‘-
Это уравнение совместно с одним из уравнений (10.54) для соответст-
вующей собственной частоты образует искомую систему уравнений для
одномодовых колебаний генератора. Разбивая их на действительные и мни-
мые составляющие и вводя переменную = £lt + ф, — |Д,, где S2 = а>,- — о>п 
придем к уравнениям

ТЕ,: = IjRcos^ - Eh Гп/,• = e£,cos<p -/,р + —j

.	( /,Я BE, \	. BE,

if = S2 — I - + ----- ) sin ik- = ----- sin ,

\T£f TnZ,/	7nZ,-

гдеб=До?,-. Отсюда для стационарного режима (Ё, = Z,=<p = O) получим
г,- //±у

V \3 / \1 + (ЯГЭ)2 /'

, ,	ттп

условие самовозбуждения В R/(Л + S2 Г, ) > 1, где Т3 = ------ , гранич-

_________	7"+ 7п

ное значение расстройки Т3£1Г = ± у/В R — 1 и выражение для поправки на
частоту колебаний относительно частоты перехода

OJ - <z>n = (<z>, - wn) Т3/Т„ .

Из последнего выражения следует известный вывод о высокой стабиль-
ности частоты молекулярного генератора при Тп > Т .

Упражнения к главе 10

10.1.	Объяснить, как влияет распределенный характер расположения активных
элементов на взаимодействие колебаний асинхронных, кратных и комбинационных
частот в автогенераторе с объемной структурой.

10.2.	Рассмотреть, можно ли в одномерной распределенной автоколебательной
системе найти такое расположение дискретно включенных активных элементов, чтобы
одновременно существовали колебания двух и более частот.

10.3.	Расположить активные элементы в однородной и двумерной автоколебатель-
ных системах так, чтобы получить наибольшую мощность в нагрузке.
МЕТОД ОГИБАЮЩИХ

В ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕННОГО УСИЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Возможности распределенного усиления колебаний широко исполь-
зуются для построения современных радиопередающих устройств. Широ-
кая полоса усиливаемых частот, позволяющая проектировать радиопередаю-
щий тракт без перестройки колебательной системы, возможность реализа-
ции эффективного сложения мощностей распределенных активных элемен-
тов являются основными достоинствами усилителей с распределенным
усилением, определяющими все более широкое их внедрение в прак-
тику.

В настоящей главе изложен приближенный символический метод для
анализа стационарного пространственного распределения огибающих в
волновых системах, возбуждаемых распределенными источниками. Полу-
чающиеся приближенные уравнения линейных волновых систем (в част-
ности, некоторых типов усилителей бегущей волны) аналогичны уравне-
ниям сосредоточенных систем, содержащих частотно-избирательные цепи.
В результате для анализа большого числа волновых систем можно исполь-
зовать точечный аналог, временные процессы в котором аналогичны прост-
ранственному распределению огибающих в волновой системе. Рассмотре-
ние свойств волновых систем и составление уравнений для них проводит-
ся на примере линии или системы связанных линий с распределенными
вдоль них источниками или активными элементами. Аналогичные резуль-
таты получаются при анализе распространения волн в изотропных актив-
ных средах, волноводах и замедляющих структурах.

§ 11.1.	Волновой резонанс и избирательность

Процессы в длинной линии, возбуждаемой внешними источниками тока,
распределенными вдоль нее по известному закону, описываются системой
дифференциальных уравнений в частных производных.

ди	di	di	du

— = — L--------ir, — = -C-----------ug + y,	(11.1)

dx	dt	Эх	dt

где и, i — напряжение на линии и ток; у — плотность распределения тока
внешнего источника; L,C,r ,g — погонные индуктивность, емкость, сопро-
тивление и проводимость потерь.

При возбуждении линии гармоническими источниками (монохромати-
ческий режим) уравнения (11.1) сводятся к обыкновенному дифференци-
альному уравнению (при нулевых начальных условиях) вида

tf2U ,

=	(П.2)

где U, I — комплексные амплитуды напряжения на линии и плотности
тока внешнего источника, определяемые условиями 2и= Uexp (/ cot) +
+ О*ехр (—/wt),	2? =.l exp(/wt) + I * ехр (-/wt), i^i =\ZTy' - комп-

лексная постоянная распространения (f । = oti + / >, z = / co£ + r , у =
= /<оС + ff — погонные параметры линии *),	= г Г2А+ gW/2,LC\

W=\JL/C — постоянная затухания, фазовая постоянная и волновое сопро-
тивление линии.

Уравнение (11.2) решается методом функции Грина [13], являющейся
решением уравнения (11.2) при точечном источнике внешнего тока:

d2Z

—-	Z = - z5(x -х ),

dx

где 6 (х— х ) — функция Дирака, фиксирующая положение точечного ис-
точника тока единичной амплитуды в точке х = х' . Для бесконечной
линии с потерями функция Грина представляет собой две волны, расходя-
щиеся с затуханием от точки расположения источника тока, и имеет вид

’zU) = Z+(g)	для£>0,	(

ZU) = Z_(£) для $ < О,

где £ =х —х', Z+= (IV/2) ехр(—и?), Z_ = (И72) ехр(+) (при at <С
«С Д). Для произвольного распределения источников решение находит-
ся интегрированием по всей длине линии:

U(x) = J I (x')Z(x — х’)с/х!	(11.4)

С учетом (11.3) интеграл разбивается на два слагаемых

(J(x) = U+(x) + U_(x),

где

U+(х) = f I (x')Z+ (х — x'}dx’, U_ (х) = / l(x') Z_ (х — x')dx'. (11.5)
— оо	х

Слагаемые U+ (х) и U_ (х) представляют результат суммирования, со-
ответственно, прямых и обратных волн, проходящих через сечение х от
всех источников, расположенных слева и справа от рассматриваемого се-
чения.

Выражения (11.4) и (11.5) можно получить спектральным методом.
Применяя к (11.2) двустороннее преобразование Лапласа и переходя
от пространственных зависимостей к волновым изображениям — спектрам

U(q)=‘ f U(x) ехр(-</х)с/х,	!(<?) = f I (х) ехр (-qx)dx, (11.6)

получаем уравнение в операторной форме

U(q) = Z(q)I(q),	(11.7)

где Z (g) = I — Z) / (g2 — v2) — операторный импеданс, являющийся волно-
вым изображением функции Грина. Он может быть представлен в виде
суммы

Z(g) = Z+(<?) + Z_(<?).	(11.8)

*> Предполагается г «	« ыС.
где

“	W

Z+ (g) = f Z+ (x) exp(-qx]dx =------- ,

о	2(g + ^,)

-pv	,n-9>

Z_(g)=f Z_ (x) exp(—gx)c/x =--------- .

2(g-p()

Вблизи q = ± j (i операторный импеданс обладает резонансными свойст-
вами. Решение получаем обратным преобразованием Лапласа

1	о+/“

U(x)= —- f I (g)Z(g) exp(gx)c/g. ,	(11.10)

2	л/ o~i°°

С учетом (11.8) представляем его. в виде суммы слагаемых

U(x) = U+(x) + U_(x),

где

U+(x)=—;	f l(g)Z+ (g) exp(gx)c/g,

2 л/ о -/“

(11.11)

U_(x) =----; f 1 (g)Z_ (g) exp(gx) c/g.

2 л/ о -/°°

Выражения (11.10)/ (11.11) адекватны (11.4), (11.5), поскольку
последние являются сверткой функции Г ри на и функции плотности внеш-
него тока, изображения которых входят в подынтегральное выражение
(11.10), (11.11).

Резонансные свойства операторного импеданса вблизи (Ц позволяют
упростить нахождение решения. Если волновой спектр внешнего тока рас-
полагается вблизи частот одного из двух резонансов, т.е. представляет
бегущие волны одного направления с фазовой скоростью, близкой к фазо-
вой скорости свободных волн в линии, можно с достаточной для практики
точностью пользоваться приближенными выражениями, в которых учиты-
ваются волны только одного направления.

§ 11.2.	Приближенные соотношения для пространственных огибающих

Ограничиваясь в дальнейшем рассмотрением только волн прямого нап-
равления, введем волновые огибающие V и J в соответствии с выраже-
ниями

U(x) = V(x)exp(-/0ix),	1(х) = J(x) ехр(-/0)Х).	(11.12)

Подставив (11.12) в приближенное дифференциальное уравнение

U(x) = Z+(g)l(x),
где q=dldx, получим дифференциальное уравнение для волновых оги-
бающих

V(x) = Z+(-/0i +g)J(x).

Обозначая для краткости Z+ +д) = Z+(s), получаем уравнение

V(x) = Z+(s)J(x).	(11.13)

Дифференциальному уравнению (11.13) соответствует операторная за-
пись, связывающая изображения волновых огибающих

V(s') = Z+(s') J ($'),	(11.14)

299
где V(s') = / V(x )exp(-s'x)dx, J (s') = f J (x) exp(-s'x)dx. (Здесь s’ — one-
o	о

pa тор преобразования Лапласа).

В примере с пинией

Z+(s) = fll/(1 + Dls},	(11.15)

гдеЯ| = И'/2а1, Dt = 1/at.

Подставляя (11.15) в (11.13), получаем дифференциальное уравнение

DlV + V = J/?l,	(11.16)

где точкой обозначено дифференцирование по координате. Как следует
из (11.15), приближенный импеданс Z + (s) аналогичен импедансу парал-
лельного колебательного контура, связь пространственных изменений
волновых огибающих, представляемая (11.16), — связи временных изме-
нений комплексных амплитуд напряжения и тока на колебательном конту-
ре. При этом волновые огибающие V(x), J(x) соответствуют огибающим
U (Г), 1(f). Погонная проводимость 1/Я, аналогична резонансной прово-
димости контура, а постоянная расстояния D{ — постоянной времени
контура. Фазовая постоянная 0, является аналогом резонансной частоты
Wi контура.

§ 113. Сложные волновые системы

Для произвольной одномерной волновой системы (например связанных
линий), возбуждаемой распределенными источниками, процессы описы-
ваются дифференциальным уравнением в частных производных

Q(p, q)u(t, х) = бР(р, р)7(г,х),	(11.17)

где 5 — малый параметр (затухание).

Для стационарных гармонических процессов с частотой ш это уравнение
преобразуется в обыкновенное дифференциальное для комплексных
амплитуд U(х) и I (х), определяемых выражениями

27(х, t) = I (х) exp(/wt) + Г (х) ехр( —/сог),

2о(х, г) = U(x) exp(/wf) + U*(x) ехр(—/cot).	(11.18)

Подстановка (11.18) в (11.17) и операция усреднения за период коле-
баний Г=2я/со позволяют, как и в результате преобразований в [19],
придти к обыкновенному дифференциальному уравнению для комплекс-
ных амплитуд

Q(/w,<7) U(x) = bP(jeo,q} I (х)

или, в более компактной форме,

U(x) =Z(/w,p)l(x)	. (11.19)

где, как и ранее, q представляет символ дифференцирования по координа-
те, a Z Цш, q) = bP(j<o, q}IQ(jeo, q}.

Из уравнения (11.19) следует связь волновых изображений

U(p) = Z(/w,p) 1(р),	(11.20)

причем здесь q — оператор преобразования Лапласа, т.е. текущая фазовая
постоянная q = j (3. Операторный импеданс Z(/w, q) получается из полного
дифференциального уравнения для комплексных амплитуд заменой симво-
ла дифференцирования по координате оператором q. В общем случае
операторный импеданс характеризуется рядом резонансов (волновых) для
300
прямых и обратных волн. Резонансы соответствуют полюсам операторно-
го импеданса. Если волновой спектр воздействующего тока близок к
частоте одного из резонансов, можно существенно упростить вычисления,
пользуясь приближенным выражением для операторного импеданса.
Последнее можно найти разложением (11.19) на простые дроби с после-
дующим пренебрежением малыми высшего порядка. Представляя оператор-
ный импеданс в виде суммы простых дробей, получаем

5Р(д)

Z(q) = ---------------- = Z+(q) + Z_ (qj,	(11.21)

П (q - Vj){q + Vj)
i=i

"	Ь,+	" Ь;-

где Z+(q) = Z -------,ZJq) = S ------, b(<.= [Z(q)(q + ^,)](?=_l, - выче-

i = 1 q + Vj	i = i q — Vj

ты в полюсах q = —vf = -cq b,_ = [Z (q)(q — »>,)], = v. - вычеты в по-
люсах q = Vj: = a,- +i^j.

Если волновой спектр тока внешнего источника располагается вблизи
одного или нескольких из волновых резонансов, соответствующих прямым
волнам, приближенное выражение для операторного импеданса получаем
в виде

Z(Jcj.q) = S Zk+(/cj,q),
к

где к — индексы учитываемых резонансов^ Комплексные амплитуды напря-
жений и тока в рассматриваемых системах меняются по координате по
закону мало меняющихся бегущих волн, их можно представить как

U(x) = V(x) ехр(-/0А х),	1(х) = J(x) ехр(-/0Лх).	(11.22)

Подстановка (11.22) в дифференциальное уравнение (11.19) позволяет
получить дифференциальное уравнение для волновых огибающих V (х) и
J (х), которое имеет вид

Q(/w, —/)3* + q)V(x) = &P(jw, -i0k + q)J(x).	(11.23)

Здесь (Sk — фазовая постоянная, выбираемая произвольно; удобнее,
как было видно на примере с линией, в качестве вк выбирать фазовую по-
стоянную одной из свободных волн, соответствующую одному из волновых
резонансов системы.

В уравнении (11.23) q, как и раньше, является символом дифференци-
рования по координате. Обозначив

Z(/со, -j0k + q) = -jHk + q)!Q (ju, -j(Sk + q),	(11.24)

представим дифференциальное уравнение (11.23) для волновых огибаю-
щих в виде

V(x) = Z(/w,-/0*+q)J(x).	(11.25)

В дальнейшем для сокращения записи обозначим

Z(/w,-/flt+q) = Z(s),	(11.26)

где под s понимается символ дифференцирования по координате. Измене-
ние его обозначения вызвано желанием отличить операторный импеданс
(11.26), связывающий волновые огибающие, от операторного Z (q) (11.20),
связывающего комплексные амплитуды U(x) и I (х) и отличающегося
сдвигом фазовых постоянных. В результате получаем дифференциальное
уравнение для волновых огибающих

V(x) = Z(s)J(x).	(11.27)

Ему соответствуют связь изображений

V (s') = Z (s') J (s'),	(11.28)

где

V(s')=J V(x) exp(-s'x)dx, J(s') = f J(x)exp(-s'x)dx, (11.29)
о	о

а также интегральные соотношения типа свертки и интеграла Дюамеля.

Если внешний ток представляется суммой бегущих вопн с разными
волновыми числами, то для каждой из них следует составить операторные
соотношения и укороченные уравнения рассмотренного вида, а потом про-
суммировать решения.

При малых потерях (а<0) приближенные выражения для операторного
импеданса можно получить как разложением на простые дроби и после-
дующим отбрасыванием слагаемых, так и разложением числителя и знаме-
нателя Z (q) в ряд Тейлора по степеням затухания и оператора (или рас-
стройки) а=/(/? + /?*) относительно "резонансных", фазовых постоянных
0к, определяемых решением дисперсионного уравнения

О(/ш,/0*,8 =0) =0.	(11.30)

Разлагая полиномы по степеням s и 8 и учитывая (11.30), получаем

.	Н/ад/0*)+ Pj8s + . . .

Z (s) = 8 —;------------------------------ .	(11.31)

Об	+ О^к Цш,/0к)5 + . ..

В простейшем случае достаточно ограничиться наибольшими слагаемы-
ми разложения; тогда придем к выражению, аналогичному полученному
ранее для линии:

Z(s) = /?*/(1 + Dks),	(11.32)

где Rk = P(juJMIQ'fAju>.i$k}. Dk = Q'j0(ja>,i^k)/Q'6(ju,j^k)8.

В более сложных случаях необходим учет большего числа слагаемых
в числителе и знаменателе (11.31).

§ 11.4.	Принцип пространственно-временной аналогии
линейных волновых и точечных систем

Полученные соотношения и укороченные уравнения распространяются
на случай возбуждения линии (или системы связанных линий) не источ-
никами тока, а источниками э.д.с., распределенными вдоль линии по из-
вестному закону. В этом случае волновую систему можно представить
в виде символического четырехполюсника с операторным коэффициен-
том передачи K(s), связывающим волновые огибающие э.д.с. воздействия
и отклика на него. Форма интегральных операторных и дифференциаль-
ных соотношений остается прежней, только вместо операторного импе-
данса двухполюсника следует иметь в виду коэффициент передачи че-
тырехполюсника, а вместо воздействующего тока — э.д.с. воздействия.

Проведенные рассуждения позволяют выявить роль волновых резонан-
сов, соответствующих не только прямым волнам, но и обратным, распро-
страняющимся от каждого из элементарных источников в соответствии
с функцией Грина. Формально обратным волнам соответствуют те корни
302
характеристического уравнения (полюса q = + v( операторного импедан-
са или коэффициента передачи символических двухполюсника или четы-
рехполюсника) , действительная часть которых положительна. Прямым
волнам соответствуют корни характеристического уравнения (полюса
q = — Vi) с отрицательной действительной частью. Прямые и обратные
волны затухают в направлении распространения.

Наличие обратных волн и соответствующих им полюсов с положитель-
ной действительной частью принципиально отличает уравнения волновых
систем (например (11.2)), от уравнений для временных переходных про-
цессов в частотно-избирательных системах (например, дифференциаль-
ного уравнения колебательного контура), для которых корни характе-
ристического уравнения (или полюса операторного импеданса при комп-
лексной записи) всегда имеют отрицательную действительную часть, со-
ответствующую колебаниям, затухающим во времени. Физически ясно,
что временные процессы в сосредоточенных системах при нулевых началь-
ных условиях не могут появиться раньше начала какого-либо внешнего
воздействия, в то время как в волновой системе распространение волн
происходит в обоих направлениях от источников.

При пренебрежении волнами одного направления указанное принци-
пиальное различие волновых систем и систем с частотно-избирательными
цепями исчезает. В связи с этим можно сформулировать принцип прост-
ранственно-временной аналогии, состоящий в том, что каждой волновой
системе с приближенным операторным импедансом, содержащим только
корни (полюсы), соответствующие прямым волнам, можно поставить
в соответствие сосредоточенную частотно-избирательную систему, опе-
раторный импеданс который имеет аналогичное расположение полюсов
и нулей.

При одинаковых выражениях для операторных импедансов будет иметь
место пространственно-временная аналогия процессов в тех и других
системах, на которую применительно к некоторым системам указыва-
лось в [1 — 3, 59, 63]. Например, связь бегущих комплексных амплитуд
напряжения на линии и внешнего тока в приближенном спектральном
представлении в интегральных выражениях и укороченных уравнениях
аналогична связи комплексной амплитуды напряжения на параллельном
колебательном контуре, возбуждаемом внешним током (например, в
резонансном усилителе). Следовательно, пространственное распределе-
ние бегущей комплексной амплитуды на линии аналогично временной
зависимости комплексной амплитуды напряжения на контуре, возбуж-
даемом внешним током, амплитуда которого меняется по закону прост-
ранственного распределения бегущей комплексной амплитуды плотности
тока, возбуждающего линию.

Используя принцип пространственно-временнбй аналогии, можно за-
менить анализ волновых систем анализом или экспериментальным ис-
следованием их точечных аналогов.

§ 11.5.	Примеры волновых систем и их точечных аналогов

Конкретный вид пространственно-временного аналога можно найти,
допоставляя укороченные уравнения тех и других систем в диффаренци-
альной или символической записи. В последнем случае часто бывает доста-
точно сравнить выражения для операторных импедансов или коэффици-
ентов передачи символических четырехполюсников.

В табл. 11.1 - 11.3 изображены символические четырехполюсники
и двухполюсники линейных волновых и точечных систем и выписаны
Волновая система	Аналог
	

а) Четырехполюсник, связывающий оги-
бающие V(x) и Е<х) в системе с волно-
вой избирательностью

Четырехполюсник, связывающий оги-
бающие V(t) и Е (г) в системе с частот-
ной избирательностью



б) Двухполюсник, связывающий огиба-
ющие V(x) и J(x) в системе с волно-
вой избирательностью

Двухполюсник, связывающий оги-
бающие V (г) и Кг) в системе с час-
тотной избирательностью

1М
—
о—

ЭД №

о

Ш)

в) Линия, возбуждаемая током бегу-
щей волны с огибающей J(x)

Параллельный колебательный контур,
возбуждаемый источником тока с оги-
бающей Нг)



ZU) = Я/(1 + Ds), s = /[(?-<-(?„)],
= u)L(:, D = 2/0o 6, 6 = r3/u>4,

Z(p) = ft/(1 + Tpl, p = /(u> - w0),

w0 = l/x/LC? T=2/w06,

Я=1/и>С6, r3 = r + p2G, p = x/L/C

6 = r3/o>0£.

выражения для импедансов и коэффициентов передачи, связывающих ’
огибающие воздействия и отклика на него. Эти выражения записаны в
одинаковой форме и подчеркивают пространственно-временную анало-
гию систем, представлены примеры конкретных волновых систем и их
точечных аналогов.	А

Приведенные примеры можно продолжить, например, для других ти-
пов ламп, для большего числа параллельно связанных линий или каска-
дов, для различных общих линий заземления и др. Обсудим некоторые
из приведенных примеров сопоставления точечных и распределенных
систем.
Волновая система

Аналог

а) Линия Z, У, возбуждаемая
током бегущей волны

Параллельный колебательный контур, возбужда-
емый источником тока

Z

X

Zls) Я/11 + Dj). D = 1/а,

6 = 2а/0о,

Zip) = Я/11 + Тр)

a +/0О - y/Z(u>)Y{w}, R = 1л>/2а

б) Линия, возбуждаемая бегу-
щей волной э.д.с. с огибающей
Е(х)

Последовательный колебательный контур, воз-
буждаемый источником э.д.с. с огибающей Е(г)

х

V(x)« KlslElx), К /C0/(1+Dj),

Ка = 1/6, 6 = r/^L

е) Линия Z, У, возбуждаемая
бегущей волной з.д.с. с огиба-
бающей Е(х)

Vlr) = К 1р1Е(г), К(р) = К„/(1 + Тм),

Ко = 1/6, 6 = г/ш0/.

Последовательный колебательный контур, воз-
буждаемый источником э.д.с. с огибающей Е(г)

О+/0О
г) Система двух связанных
линий, возбуждаемых бегу-
щей волной тока

Система связанных контуров, возбуждаемых
источником тока
Волновые усилители

Аналоги

а)	Волновой усилитель на распределен-
ных триодах (тетродах, транзисторах)
с общим катодом

Резонансный усилитель с общим ка-
тодом

б)	Волновой усилитель на распреде-
ленных триодах с общей сеткой

Резонансный усилитель с общей
сеткой

е) Параллельно-каскадное включение
двух волновых усилителей на триодах

Каскадное включение двух резо-
нансных усилителей

г) Волновой усилитель со связанными
линиями в анодных цепях распреде-
ленных триодов

Резонансный усилитель со связан-
ными контурами в анодной цепи
Переходные процессы в представляемых точечных аналогах хорошо
изучены, и для них можно воспользоваться готовыми результатами для
переноса последних на волновые системы. На рис, 11.1 показан график
зависимости амплитуды напряжения на колебательном контуре при воз-
действии единичного скачка гармонического тока. Этот график, заимст-
вованный из (7], представлен в безразмерном виде при различных рас-
стройках Д. В соответствии с принципом аналогии эти зависимости пред-
ставляют *) пространственное распределение амплитуды напряжения для
распределенных усилителей (табл. 11.3, а—в), если вместо безразмерного
времени иметь в виду безразмерную координату, а вместо расстройки
частот — расстройку фазовых постоянных. Из графиков следует, что при
малых расстройках амплитуда колебаний приближается к асимптотичес-
кому уровню при значениях безразмерного времени или координаты
порядка t/T = x/D >2-^3, т.е. при t > (2 ч- 3) Т, х > (2 -г 3)0; для времен-
ных процессов эти данные определяют время переходного процесса, для
волновых систем — длину линии, на которой уровень близок к максималь-
но возможному. Последнее позволяет выбирать необходимую длину уси-
лителя бегущей волны для обеспечения усиления, близкого к максималь-
ному.

На рис. 11.2 изображены графики, представляющие переходный процесс
в усилителе со связанными контурами, подробно рассмотренном в [7].
Эти зависимости характеризуют пространственное распределение огиба-
ющей для усилителя бегущей волны со связанными линиями в анодной
цепи (табл. 11.3, г). Для точечной системы применение связанных конту-
ров при надлежащем выборе параметров (частотная характеристика близ-
ка к прямоугольной) позволяет уменьшить время переходного процесса.
Применительно к усилителю бегущей волны такое свойство позволяет
уменьшить необходимую длину усилителя, обеспечивающую усиление,
близкое к максимальному.

На рис. 11.3 представлены графики зависимости огибающей для л-кас-
кадного усилителя на выходе с настроенными контурами при включении
гармонического. напряжения на входе. Они соответствуют пространствен-
ному распределению огибающей напряжения на выходной линии усилителя
бегущей волны, изображенного для п = 2 в табл. 11.3, в. Известно, что

*) В предположении постоянства амплитуды бегущей волны на сеточной линии
первой ступени.
для многокаскадного резонансного усилителя целесообразна взаимная
расстройка контуров (расстроенные двойки, тройки), что расширяет
полосу пропускания и уменьшает время переходного процесса. Отсюда
следует, что некоторую расстройку фазовых постоянных линий можно
использовать для уменьшения необходимой длины усилителя бегущей
волны, состоящего из параллельно работающих каскадов.

Если известны зависимости фазовых постоянных линий от частоты,
то с помощью полученных графиков можно представить частотные ха-
рактеристики усилителей бегущей волны. Если расстройка Д =0 — £? t
в пределах некоторого диапазона частот от частоты не зависит, то усили-
тель будет иметь равномерное усиление в этом диапазоне. С ростом раз-
личия дисперсионных свойств линий коэффициент усиления все острее
будет зависеть от частоты, усилитель будет узкополоснее.

Приведенные примеры имели целью продемонстрировать принцип прост-
рансГвенно-временной аналогии, позволяющий непосредственно распрост-
ранить известные результаты анализа сосредоточенных частотно-избира-
тельных систем на волновые системы.

§ 11.6. Усилители с распределенной нелинейностью — волновые
аналоги автогенераторов

В предыдущих параграфах ток, возбуждающий линию (или более слож-
ную волновую систему), считался заданным, не зависящим от вызыва-
емого им отклика. В данном параграфе рассматриваются волновые систе-
мы с распределенными нелинейными активными элементами, плотность
тока которых зависит от напряжения на линии в месте их включения.

К таким системам относится большой класс усилителей бегущей волны,
состоящих из линии (или Другой волноводной системы) и распределённых
туннельных диодов, ламп с обратной связью, неравновесной среды.

Для конкретности в дальнейшем рассматривается волновая система,
состоящая из полубесконечной линии и распределенной нелинейности,
ток которой зависит от напряжения на линии в той же точке, т.е. предпо-
лагается, что пространственная дисперсия отсутствует. Устанавливается
аналогия уравнений таких усилителей и уравнений автогенераторов.

Пусть на входе усилителя с распределенной нелинейностью {рис. 11.4)
действует гармоническое напряжение с/вх (г) = t/cos(wf + ф). Исходные
уравнения в частных производных.имеют вид

Эс//Эх = - z(p)i, Э/7Эх = -/(р )w + 7,	(11.33)

где zip), yip) —. операторные сопротивления и проводимость линии на
единицу длины, в которых оператор р — символ дифференцирования по
времени. Величина 7 представляет ток распределенной нелинейности на
единицу длины. Этот ток является функцией напряжения на линии и. После

О	X

Рис. 11.4.

дифференцирования первого уравнения (11.33) по координате и под-
становки второго уравнения получим

д2и/дх2 -z(p)y(p)u = - zlp)y.	(11.34)

Ограничиваясь рассмотрением стационарного режима, будем искать
решение в виде набора п гармоник UkcosIk cot + <рк) частоты со, т.е.

2и = S (U* exp(/7rcof) + U* ехр(—jkcot)),	(11.35)

к-1

где U* = <4exp(/^fc), U£ = 1/*ехр(-/фл).

Подставляя (11.35) в (11.34), проведем операцию дифференцирования
по времени и усредним обе части уравнения в пределах периода Т = 2тг/<о
основной частоты колебаний. Дифференцирование по времени приведет
к замене р -* jku или р = —jkw (для сопряженных слагаемых) в z (р),
У(р).

При усреднении для выделения необходимых слагаемых умножаем обе
части равенства на множитель ехр(—jlwt) или exp(+/7wf), где I — произ-
вольный индекс между 1 и л. С учетом ортогональности функций
ехр(Дсо t) и exp(/7wt) усреднение в пределах периода Т приводит к раз-
делению уравнений для каждой гармоники. В итоге получаем следующую
систему уравнений:

Э2

—— и* - гЦкы)уЦкы)ик = -г(Дсо)|ъ	(11.36)

Эх

Э2

—-и; -г(-/*ш)у(-/*ш)Щ = -г(-Дш)Ц,	(11.37)

Эх

где комплексные амплитуды I* и |£ представляются выражениями

2 т	2 т

I* =—/7(о)ехр(—/Arcof)</t, Iк =—f у(и)ехр(+jkcot)dt	(11.38)

То'	То
и соответствуют комплексным амплитудам разложения плотности тока
в ряд Фурье по гармоникам кш, т.е.

и

2у(и) = S (1Л ехр(/ЛгсоГ) + |£ ехр(— jkut)).
k=i

Уравнения для сопряженных переменных (11.37) можно отбросить,
поскольку они дублируют уравнения (11.36) и переходят в них при из-
менении знака мнимых составляющих. Поэтому в дальнейшем будем
опираться на уравнения (11.36). Для их решения обозначим

(а* +/7М2 =z(ikw)y(jkw)	(11.39)

и в дальнейшем будем полагать ак что соответствует малым потерям
в линии. Для полубесконечной линии (или согласованной на конце) реше-
ние уравнения (11.36) в отсутствие потерь (аА = 0) и без распределенной
нелинейности (/* = 0) представляет набор бегущих волн с постоянными
вдоль координаты амплитудами, определяемыми напряжениями в нача-
ле линии:

Ufc = и*(О)ехр(-/0кх).

Положим, что в реальной системе, т.е. при ак =#= 0, 1к =#= 0, решение так-
же представляется бегущей волной с мало меняющимися вдоль коорди-
наты амплитудой и фазой, т.е.

U* = Vfe(x)exp(-/^x),	(11.40)

где Vfc(x) = (7*(х)ехр(/ф*(х)), причем Uk и фк мало меняются в пределах
пространственного периода — длины волны X* = 2tt/(Sk. Это значит, что
выполняются неравенства

dUk
dx

dyk
dx

X* < 2<

4фк
dx

dUk		d2Uk		dUk
dx	<WkUk\.	dx1		0k . dx

(11.41)





Подстановка (11.40) в (11.36) и операция усреднения в пределах
х... х + X* приводит к уравнениям

/ d \ з
— -JM V* - (a* +//MV* = -гЦкиЩ.	(11.42)

\ ах .	/

2 х+л*
где J* = — S lkexp(/^x)c/x.
X* *

Уравнения (11.42) с учетом медленности изменения Vk в пределах
х 4- (х +Х*) приводят к следующей системе укороченных уравнений для
волновых огибающих:

dV*

О*-—= 4**-Vfc, Ar =1,2............n,	(11.43)

dx

где Dk = 1/aA, Rk = гЦкы)Ц2ак$к * Wk!2ak.

При введении средней погонной комплексной крутизны

S* = Jfc/Vjt = Skt +/Skp
уравнение (11.43) представится в виде

сЛ/к

Dk—~ = (SkRk - 1)Vfc, к = 1,2..............п.

dx

После подстановки Vk = икехр{/фк) и разбиения на
действительные и мнимые составляющие из уравне-
ния (11.44) получим два уравнения

dUk

Dk ~~ ~ (SkaRk ~ 1>ик,
dx

d$k

Dk----= SkpRk, *=1...........n. (11.45)

dx

Уравнения (11.44), (11.45) аналогичны уко-

роченным уравнениям автогенератора с узкополос-
ными колебательными контурами, число которых равно числу учиты-
ваемых гармоник (рис. 11.5).

Амплитуды напряжений каждой из частот на линии Uk являются анало-
гами напряжений на контурах, а постоянные Dk, Rk, 0к = 0{кы) —анало-
гами постоянных времени Г, резонансных сопротивлений и собственных
частот контуров. Последние могут иметь как кратные значения (при /3 к=
= к(3,), так и отличные от кратных (при (Зк Фkf}}).

Рассмотрим частные случаи пространственно-временной аналогии вол-
новых и автоколебательных процессов.

§ 11.7.	Пространственно-временная аналогия усилителя бегущей волны
и одноконтурного автогенератора -

Напряжения высших гармоник могут оказаться пренебрежимо малыми
по сравнению с напряжением основной частоты. Из (11.45) можно получить
следующее оценочное неравенство:

дк < 2Sk RkI у/у + Д2’	(11.46)

Uk	I !к I	2[и(ш) - iz(A-co) ]

где £*=-—, Sk = ——	. Дк=--------—------------. Hw),

U>	I I макс	l'(w)5*

(/(/rw) — фазовые скорости на частотах w, кш.

Для линии, обладающей дисперсией и(со) =# и(Агсо) и малым затуханием
8к <1 (а*< ₽*), ошибка от пренебрежения гармониками может быть мала.
Те же результаты получаются при малой нелинейности, когда SkRk< 1
при к Ф 1.

Уравнения (11.45) при выполнении неравенства (11.46) аналогичны уко-
роченным уравнениям автогенератора, состоящего из контура с постоянной
времени Т (аналог D) и подключенной к нему квазилинейной отрицатель-
ной проводимости S] (рис. 11.6). Такой автогенератор является простран-
ственно-временным аналогом нелинейной волновой системы рассмотренно-
го типа и известные его свойства можно использовать для анализа волновой
системы.

Условие усиления SR > 1 аналогично условию самовозбуждения автоге-
нератора. При мягкой^ характеристике усиление возможно для самых ма-
лых значений амплитуд входного напряжения (так же как нарастание коле-
баний в точечном аналоге при мягкой характеристике возможно с малых
начальных амплитуд), меньших, чем асимптотическое значение. Переход-
ный процесс в автогенераторе - изменение амплитуды и частоты колебаний
в процессе установления — аналогичен пространственному изменению ам-
плитуды и фазовой постоянной в волновой системе. Асимптотический режим
волнового аналога при х -» °° соответствует стационарному режиму t
в автогенераторе. Известные выражения для поправок на частоту колебаний
в автогенераторе (за счет сеточного тока триодов, гармоник) и рекоменда-
ции по стабилизации частоты колебаний легко переносятся на волновой
аналог, для которого подобные выражения и рекомендации относятся к
фазовой постоянной и фазовому набегу выходного напряжения относитель-
но входного.

Рис. 11.6.

Для жесткой нелинейности зависимость асимптотической амплитуды
от параметра регенерации имеет характерную петлю гистерезиса. В преде-
лах последней усиление в волновом аналоге возможно (так же, как и на-
растание колебаний в точечном аналоге — автогенераторе) только для ам-
плитуд, превосходящих неустойчивые асимптотические значения. Для
меньших амплитуд имеет место ослабление сигнала.

§ 11.8.	Пространственно-временная аналогия усилителя бегущей волны
и двухконтурного автогенератора

Если условие пренебрежения гармониками не выполняется, требуется
совместное решение уравнений вида (11.45) для всех учитываемых гармо-
ник. В этом случае уравнения аналогичны уравнениям многоконтурного
генератора (рис. 11.5) с приближенно-кратными частотами контуров,
расстройка которых — кшх соответствует расстройке фазовых постоян-
ных 0^ —k(3t (из-за дисперсии (?к Ф к 0,). Процессы взаимодействия коле-
баний двух кратных частот в двухконтурном генераторе (рис. 11.7) хоро-
шо изучены ([19]). Эти результаты можно непосредственно использовать
при анализе взаимодействия волн двух кратных частот в усилителе бегущей
волны. Асимптотический режим (х -»<») в волновой системе аналогичен
стационарному режиму генератора, которому соответствует постоянство
амплитуд и фазовых постоянных вдоль координаты, точная крат-
ность фазовых постоянных (и, следовательно, равенство фазовых
скоростей).

Интервал расстроек собственных фазовых постоянных линии, соответ-
ствующий пространственному синхронизму волн, выражается теми же фор-
мулами и графиками, что и зона синхронизма (т.е. расстройка частот конту-
ров) для генератора.

. Если на входе усилителя действуют напряжения двух асинхронных
частот со,, <о2, волны этих частот, распространяясь вдоль координаты,
вызывают из-за нелинейности волны гармоник и комбинационных состав-
ляющих с частотами <о„,	± пы2. Для каждой из частот можно

получить уравнение вида (11.44), где к — порядковый номер учитываемой
волны. Оценка гармонических и комбинационных составляющих, получен-
ная в предположении малости последних, приводит
к неравенству	'

9т, п < 2S/W ,цЯт,п/ "*	, п ,	(11 -47)

где 9т, п ~ Um, n/Ut, Ut — наименьшая из амплитуд
основных напряжений; Sm> „.= /т^ n/U} - макси-
мальное значение средней погонной крутизны преоб-
разования характеристики нелинейности (величина
Sm „ всегда меньше максимального значения погон-
ной крутизны характеристики нелинейности),

Рис. 11.7.

△m,n 2[/3(шт п ) —п ]/0т ,и П,

0т.п = т0(ы{) ±„0(ы2), 6„, „ = 2а(што,„)/^(што.,|).

(11.48)

Из (11.47), (11.48) следует, что при малых затуханиях 5ТО, „ и достаточ-
ной дисперсии (△,„,„ > 1) пренебрежение волнами гармоник и комби-
национных частот не дает заметной ошибки, и задача сводится к анализу
системы двух уравнений вида

dU.	dU2

Dt-------- [S, ((?!, U2)R1 - DC/,, D2-----= [S2[Ui,U2}R2 - 1]U2.

dx	dx

(11.49)

Эти уравнения аналогичны уравнениям двухконтурного автогенератора,
изображенного на рис. 11.7, при асинхронных частотах ш1,ш2.

В зависимости от характеристики нелинейности взаимодействие колеба-
ний здесь может привести в процессе распространения к подавлению одного
колебания другим, для которого граничные условия более благоприятны,
по аналогии с взаимодействием колебаний во времени в автогенераторе
(рис. 11.7). Если для какой-либо комбинационной частоты неравенство
9т.п 1 не выполняется, следует совместно решить систему трех пар
уравнений (11.45), где к = 1, 2, 3.

В этом случае взаимодействие колебаний разных.частот перестает быть
асинхронным из-за комбинационного соотношения частот. Кроме амплитуд-
ного взаимодействия здесь появляется и фазовое, что приводит к явлениям
пространственной синхронизации, т.е. к сближению фазовых скоростей
всех трех волн по мере распространения [19].

Точечным аналогом такой системы является автогенератор с тремя кон-
турами, частоты которых связаны тем же комбинационным соотношением.
Такие генераторы были подробно рассмотрены в [19].

§ 11.9.	Параметрический усилитель бегущей волны

Параметрический усилитель бегущей волны состоит из линии с распре-
деленными полупроводниками (параметрическими) диодами (рис. 11.8,а).
При подаче на вход усилителя напряжения накачки и сигнала кроме волн
этих частот появятся волны гармонических и комбинационных составляю-
щих. Если дисперсионные свойства линии таковы, что достаточно учесть
взаимодействие волн трех частот — накачки, сигнала и разностной комби-
национной частоты (их фазовые скорости, в отличие от волн остальных час-
тот, близки), то при условии малого изменения амплитуды накачки вдоль
координаты, например при усилении малого сигнала, уравнения системы
аналогичны уравнениям двухконтурного параметрического генерато-
ра (рис. 113, б), и можно воспользоваться готовыми результатами
гл. 9.

Условия самовозбуждения генератора аналогичны условию усиления
усилителя, зона синхронизма — зоне усиления, характеризующей допусти-
мый разброс суммы фазовых постоянных свободных волн на частоте сигна-
ла и разностной частоте относительно фазовой постоянной линии на частоте
накачки. В области расстроек фазовых постоянных с гистерезисным видом
асимптотических зависимостей усиление возможно только для амплитуд
входного сигнала, больших уровня неустойчивых асимптотических режи-
мов. В пределах зоны усиления фазовые постоянные основных двух волн
обладают повышенной стабильностью, если фазовая постоянная опорной
волны накачки стабильна.

§ 11.10.	Условия совместного прохождения волн разных частот

Известные условия устойчивости стационарных режимов в автогенера-
торах непосредственно можно использовать при анализе асимптотической
устойчивости режимов совместного прохождения волн разных частот через
нелинейную волновую систему или в связанных усилителях бегущей волны.
Например, при мягкой характеристике нелинейности асимптотический ре-
жим при действии на входе напряжений нескольких асинхронных частот
неустойчив [19]). Следовательно, по мере распространения волн одна из
них постепенно будет подавлять другие. Совместное прохождение волн
асинхронных частот возможно при характеристике нелинейности, аппрок-
симируемой полиномом 5-й степени, а также при комбинационном взаимо-
действии трех частот в комбинационных и параметрических усилителях
бегущей волны.

§ 11.11.	Аналоги связанных волновых систем

Ранее рассматривались системы, у которых распределенный нелинейный
элемент общий, и к нему подключена волноводная система типа линии,
в которой распространяются волны одной или нескольких частот. Возмож-
но дальнейшее обобщение теории волновых и точечных систем. Здесь име-
ются в виду связанные волновые системы и их точечные аналоги — связан-
ные автоколебательные системы. Примером связанных волновых систем
являются два усилителя бегущей волны с распределенной нелинейностью,
связанные таким образом, что ток, создаваемый нелинейностью, зависит
от напряжений обоих усилителей в тех же точках (при отсутствии простран-
ственной дисперсии в распределенной связи). В качестве распределенных
нелинейностей можно использовать распределенные туннельные диоды,
лампы, сетки которых связаны с обеими линиями, транзисторы. В таких
связанных системах имеет место взаимодействие волн, что приводит к до-
полнительным эффектам. Здесь следует различать следующие случаи:

1)	частоты в каждом из усилителей одинаковы (<о2 = со,) ;

2)	частоты точно кратны (л = 2, 3,...);

3)	частоты асинхронны.

В первом случае точечным аналогом является система двух связанных
автогенераторов с приближенно равными собственными частотами конту-
ров (собственные частоты являются аналогами фазовых постоянных для
свободных волн в линиях на рассматриваемой частоте). Как известно, в
такой системе в стационарном режиме имеет место взаимная синхрониза-
ция колебаний в пределах полосы расстроек контуров — зоны синхронизма
[см. гл. 9]. В пределах зоны синхронизма генерируемые частоты равны.
В волновом аналоге в асимптотическом режиме (режиме насыщения) бу-
дет иметь место пространственный.синхронизм: в пределах некоторой
расстройки волновых чисел 02 — 01 (зоны пространственного или волно-
вого синхронизма) волновые числа точно равны. Вне зоны синхронизма
имеют место пространственные биения, по- аналогии с режимом биений в
двух связанных автогенераторах с близкими частотами вне зоны синхро-
низма.

Частным случаем рассмотренной системы является внешнее воздействие
на волновую или соответствующую ей точечную систему — случай, когда
один из генераторов значительно мощнее другого или когда связь их одно-
сторонняя. При этом при близких частотах задача сводится к синхрониза-
ции автогенератора на основной частоте, здесь также имеется зона синхро-
низма и режим биений вне ее. Для волнового аналога выводы будут такими
же для фазовых постоянных, т.е. в пределах некоторой полосы расстроек
волновых чисел фазовая постоянная волны напряжения на линии в асимпто-
тическом режиме (режиме насыщения) равна фазовой постоянной внешне-
го воздействия.

При асинхронном воздействии на автогенератор известны эффекты асин-
хронного тушения и возбуждения колебаний, состоящие в том, что в зави-
симости от характеристики нелинейного элемента внешнее воздействие
уменьшает или увеличивает среднюю крутизну тока для основных колеба-
ний и влияет на условия их срыва или возбуждения. При мягкой характе-
ристике нелинейного элемента, представляемой полиномом 3-й степени,
наблюдается только асинхронное тушение колебаний автогенератора. При
аппроксимации характеристики полиномом 5-й степени может быть асин-
хронное возбуждение: колебания в автогенераторе возникают только при
наличии асинхронного внешнего воздействия.

Аналогичные эффекты асинхронного тушения и возбуждения колебаний
можно перенести на волновую систему, если иметь в виду распределенное
внешнее воздействие волны с асинхронной частотой и произвольной фазо-
вой постоянной. Такая картина будет наблюдаться, если из двух связанных
усилителей бегущей волны один характеризуется значительно большими
амплитудами колебаний в каждой точке, чем второй, или если связь усили-
телей односторонняя. Уравнения получаются аналогичными уравнениям
автогенератора с внешним воздействием. Эффект асинхронного тушения
или возбуждения здесь будет состоять в том, что при наличии волны внеш-
него воздействия усиление в усилителе может уменьшиться (например,
при характеристике нелинейного элемента (лампы), представляемой по-
315
линомом 3-й степени с отрицательным кубичным членом), и основная
волна может даже вместо усиления претерпевать ослабление вдоль коорди-
наты. При характеристике нелинейного элемента, представляемой полино-
мом 5-й степени с положительным кубичным членом, возможен случай,
когда сигнал усиливается только при наличии волны внешнего воздействия,
увеличивающего среднюю крутизну нелинейности для основной волны в
каждой точке усилителя.

При анализе взаимодействия двух асинхронных волн в связанных усили-
телях бегущей волны требуется совместное решение двух уравнений с уче-
том взаимного влияния напряжений в каждой точке на ток не только свое-
го, но и соседнего усилителя. Здесь система аналогична двум связанным

Рис. 11.9.

автогенераторам с асинхронными частотами, в которых возможны либо
одновременные колебания двух частот, либо одно из них подавляет другое.

Аналогичная картина получается при параллельной работе нескольких
связанных усилителей бегущей волны с асинхронными частотами. Здесь
точечным аналогом является система связанных одноконтурных автогене-
раторов, в которых возможны либо одновременные колебания всех частот,
либо одно или часть из них подавляет все другие. Устойчивость одновремен-
ных колебаний в таких генераторах исследуется в [19]. Условия устойчи-
вости, соответствующие одновременным колебаниям в системе связанных
автогенераторов или многоконтурного автогенератора, соответствуют ус-
ловиям совместного прохождения всех волн в связанных усилителях (или
в одном усилителе) бегущей волны. Наоборот, если характеристика нели-
нейного элемента и связь между усилителями такова, что условия устой-
чивости одновременных колебаний не выполняются, происходит подавле-
ние одних колебаний- другими, — этому соответствует случай, когда одно-
временное прохождение всех волн невозможно.

Если частоты в связанных усилителях кратны, а фазовые постоянные
приближенно кратны, то уравнения аналогичны уравнениям связанных
автогенераторов с приближенно кратными частотами контуров. Здесь воз-
можны режимы взаимной синхронизации автоколебаний на кратных часто-
тах в пределах зоны синхронизма (см. гл. 2).

Приодносторонней связи генераторов имеют место деление и умножение
частоты и синхронизация на кратных частотах. Аналогичные процессы для
связанных усилителей бегущей волны приводят к эффектам взаимной
пространственной синхронизации волн.

Связанные волновые системы, состоящие из усилителя бегущей волны и
дополнительной линии примерно с такой же фазовой постоянной (без
распределенной нелинейности), имеют точечный аналог — автогенератор,
основной контур которого связан с дополнительным контуром, настроен-
ным примерно на ту же частоту (рис. 11.9,6). В такой системе возможен
эффект затягивания, состоящий в том, что внешний контур влияет на часто-
ту автоколебаний в системе, причем его перестройка приводит к гистерезис-
ным изменениям амплитуд и частот колебаний вблизи зоны, затягивания.
Родственные процессы получаются в соответствующей волноводной систе-
ме, в которой возможен режим пространственного затягивания. Эффект
затягивания в автогенераторах (в частности, отражательных клистронах)
используется на практике для стабилизации частоты. Аналогичный эффект
волнового затягивания можно использовать для стабилизации фазовой
постоянной и набега фазы в усилителе бегущей волны (рис. 11.9,а).

Эффект стабилизации частоты получается также в системе, состоящей из
автогенератора и двух дополнительных связанных контуров. В аналогич-
ной волновой системе, состоящей из усилителя и двух дополнительных
линий, связанных с основной линией усилителя, возможна стабилизация
фазовой постоянной в результате стабилизирующего действия двух до-
полнительных линий.

Известно применение связанных контуров для увеличения полосы
синхронизма при внешней синхронизации. При установлении связи между
контурами несколько меньше критической наклон фазовой характеристи-
ки получается малым, что приводит к увеличению зоны синхронизма при
малых амплитудах синхронизирующего напряжения. Аналогичный эффект
будет при волновой синхронизации усилителя бегущей волны, связанного
с дополнительной линией, при соответствующем выборе связи между
линиями (рис. 11.9,а).

В случае трех связанных усилителей бегущей волны при комбинацион-
ном соотношении частот, подаваемых на их входы, получим взаимную
волновую синхронизацию на комбинационных частотах. Здесь процессы
получаются аналогичными взаимодействию колебаний комбинационных
частот в трех связанных автогенераторах, частоты которых находятся в
рассматриваемом комбинационном соотношении. В зависимости от наличия
тех или других связей между отдельными генераторами возможны различ-
ные варианты усилителей, отличающиеся интересными свойствами в отно-
шении стабильности волновых чисел и фазовых набегов.

Упражнения к главе 11

11.1.	Объяснить механизм усиления колебаний в волновых усилителях.

11.2.	Изложить принцип пространственно-временной аналогии волновых усилите-
лей и автогенераторов и условия его применимости.

11.3.	Придумать примеры волновых усилителей — аналогов автогенераторов на
трехзлектродных активных элементах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Айзерман М.А. Классическая механика. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. —
368 с.

2.	Андронов А.А., ВиттА.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Наука. 1981. —
568 с.

3.	Ахманов С.А., Хохлов Р.В. О пространственно-временной аналогии в теории систем
с переменными параметрами. — Радиотехника и электроника, 1962, т. 7, №8.

4.	Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования ди-
намических систем на плоскости. — М.: Наука, 1976. — 496 с.

5.	Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н А. Введение в теорию нелинейных коле-
баний. — М.: Наука, 1976. — 384 с.

6.	Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и
нелинейные системы. — 2-е изд., перареб. — М.: Энергоиздат, 1981. — 304 с.

7.	Евтянов С.И. Переходные процессы в приемно-усилительных схемах. — М.: Связь-
издат, 1948. - 210 с.

8.	Евтянов С.И. Ламповые генераторы. — М.: Связь, *1967. — 384 с.

9.	Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ./Под рад.
Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. — М.: Сов. радио, 1978. — 600 с.

10.	Люисепл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. Пер. с англ. —
М.: ИЛ. 1963.-352 с.

Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. — М.:
Мир, 1982. - 303 с.

12.	Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972. — 470 с.

13.	Марков Г.Т. и др. Электродинамика и распространение радиоволн. — М.: Сов.
радио, 1979.

14.	Мигупин В.В.. Медведев В.И.. Мустепь Е.Р., Парыгин В. Н. Основы теории колеба-
ний/Под ред. В.В. Мигулина. — М.: Наука, 1978. - 392 с.

15.	Постников М.М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. - 176 с.

16.	Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука,
1977. - 256 с.

17.	Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. — М.: Гостехиздат, 1951 - 438 с.

18.	А кимов В. Н., Бел актина Л. Н., Белых В.Н. и др. Системы фазовой синхрониза-
ции/Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. — М : Радио и связь. 1982. —
288 с.

19.	Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. — М.: Советское
радио, 1978. — 272 с.

20.	Фазовая синхронизация/Подред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. - М.: Связь,
1975.- 288 с.

21.	Файн В.М., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика. — М.: Сов. радио, 1965. — 608 с.

22.	Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. - М.: Мир, 1968. — 432 с.

23.	Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 2. — М.: Наука, 1974. — 628 с.

24.	Первачев С.В. РадиЪавтоматика. - М-: Радио и связь, 1982. — 296 с.

25.	Автоматическая подстройка фазового набега в усилителях/Под ред. М.В. Капра-
нова. - М.: Сов. радио, 1972- - 176 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автогенератор двухконтурный 250

—	изохронный 223

—	кольцевой 36

- на полевом транзисторе 29

--длинной линии 276

------, свернутой в кольцо 276

--туннельном диоде 28

—	, общая модель 30

—	одноконтурный 95,198, 200

—	по схеме емкостнойтрехточки 31,
201

------индуктивной трехточки 30, 199

—	с варикапом 33, 204, 217

--внешним воздействием 235

--кварцевым резонатором 207, 231

--комплексной обратной связью 228

--линией 209

—	, самовозбуждение 95

—	НС с мостом Вина 32, 33, 211

Амплитуда колебания комплексная 18

Анализ бифуркационный 113

Биений режим 122, 261

— частота 124, 261

Бифуркаций диаграммы 220

Возбуждение асинхронное 237

Генератор квантовый 256

— комбинационных частот 269, 272

— параметрический 41,42

--двухконтурный 263

--объемный 294

--одноконтурный 245

Гистерезис в системе ФАП 142

—	колебательный 222

Годограф Михайлова 67

Движение вибрационное 63

—	лимитационное 63

Двойственности принцип 37

Деление частоты 242

Дискриминатор 44, 45

-	фазовый 130

—	частотный 46

Закон Ома, символическая форма 17

Затухание 157

Звено с идеальным запаздыванием 91

Зоны креткого синхронизма 273

Изоклина 128

Колебание квазигармоническое 157, 161
— параметрическое 41

Колебательный контур 9, 13, 78, 157

Координаты нормальные 84, 132

Коэффициент включения 110

— обратной связи 163

— передачи усилителя 86, 87

--четырехполюсника операторный 302

--полезного действия колебетельной сис-
темы 282

-------кольцевого автогенератора 289

— регулирования 103,105

— стабилизации 267

Коэффициенты передачи управляющие
21,45,48

—	распределения 62,83

Критерий Бендиксона 141

—	Гурвица 65, 96,99

—	Михайлова амплитудно-частотный 66

Крутизна средняя 163

Линия задержки идеальная 26

—	, система из двух 25

—	, уревнение 23

— ЯС однородная 27

Матрица частот 82

Метод Евтянова 183

--, высшие приближения 193

--для неавтономных систем 213

—	изоклин 128, 133

—	квазилинейный 162

—	Лагранжа 72

—	Крылова—Боголюбова — Митрополь-
ского малого параметра 171

-------усреднения 191

-	медленно меняющихся амплитуд
(Ван дер Поля) 165

Метод Пуанкаре 57

—	фазового пространства 130

—	энергетический К.Ф. Теодорчика 169

Неравенства Рауса—Гурвица 64

Огибающие волновые 229

Параметры бифуркационные 113, 114,

131

Плоскость фазовая 115

Показатель характеристический 62

Полоса синхронизма 142,239, 245

— схватывания 103, 116

—	удержания 103, 116

Постоянная расстояния 300

Проводимость вносимая 163

—	комплексная 18

—	погонная 163

— символическая 16, 17
Проводимость управляющая 21

Пространство евклидово 53, 56

—	координатное (конфигуративное) 51

—	расширенное 53

—	тороидальное 55, 56

—	фазовое 51, 130

—	цилиндрическое 54, 56

Режим автогенератора стационарный 217

— асинхронный 122, 151

-	биений 56,143, 151,239, 261,270

—	переходный 56

—	синхронный 107

—	слежения 118

—	стационарный 56, 270

Резонанс волновой 297

Резонатор кварцевый 207
--, эквивалентная схема 10

Самовозбуждение жесткое 220
— мягкое 220

условия 219, 228, 248

Самомодуляция колебаний 232

Седло 136, 138

Сепаратриса 135, 147

—, петля 138

Синхронизация автогенераторов 234
--взаимная 261,262

Синхронизм 107

—, полоса 108
— пространственный 312, 315
Системы автоколебательные 28
--дуальные 37, 38
--неавтономные 14, 39
— колебательные, классификации 12, 13,
14,23

--с параметрическим воздействием 14,41
— особенные 131

—	радиотехнические автоматического
управления 43

—	с затягиванием частоты 268

—	фазовой автоподстройки (ФАП) 47,
105

—	частотной автоподстройки (ЧАП) 46,
100

Сопротивление комплексное 18

—	резонансное контура 160
— символическое 16,17, 21,24

— управляющее 21,27, 30

Степеней свободы число 12,13

Схемы трехточечные 30, 31,95, 96

— — кольцевые 79, 80

--с варикапом 34

—	умножителя частоты 159

Сшивание траекторий 149

Теорема Лагранжа—Дирихле 70

—	Ляпунове 76

—	Рауса 65

—	С то долы 64

Точки неособые 52

— особые 52,120

--, классификация 121

— равновесия, узел 134, 141

--фиктивные 150

Траектории фазовые 52, 130

Тушение колебаний 235
--асинхронное 237, 315

Укороченные уравнения 168, 183,189,
193, 236,284

--, примеры составления 198

Умножение частоты 241

Уравнение линейного приближения
характеристическое 52

—	полосового усилителя 19, 20

—	равновесия 56

—	стационарного ражимв 228

Уравнения баланса фаз и амплитуд 87,
89,92

—	движения, каноническая форма Ко-
ши 52

—	Лагранжа 72, 73

—	первого приближения 61

Усилитель бегущей волны 308, 313

—	параметрический 42,85

—	резонансный 253

—	с распределенной нелинейностью 308

Устойчивость режима колебаний трех
частот 285

—	системы в смысле Ляпунова 58

--, критерий алгебраический 66

Устойчивость системы, критерий частот-
ный 66

Фазовея плоскость 115

—	поверхность цилиндрическая 119

—	траектория 115

Фактор обратной связи 66

Фокус неустойчивый 135

—	устойчивый 135, 137, 141, 153

Функция диссипации Рэлея 74

—	Лагранжа 73

Характеристика генератора колебатель-
ная, аппроксимация 224

-----жесткая 217, 221

-----мягкая 217, 220

Центр 140

Циклы предельные 130, 221

--2-го рода 147,151

--попу устойчивые 154,155

--,прочность 223

Частота резонансная 157

— самовозбуждения 90

Частоты нормальные (собственные) 82,
184

--близкие 191